\(5\cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+4\cos x+a-1=0\)
\(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\) 이므로
\(5\sin^2 x+4\cos x+a-1=0\)  ⟺  \(5(1-\cos^2 x)+4\cos x+a-1=0\)
⟺  \(5\cos^2 x-4\cos x-4=a\)  이다.
\(\cos x=t\) 라 하자.
\(y=5t^2-4t-4\) 으로 표현할 수 있다.
\(y=5\!\left(t-\dfrac{2}{5}\right)^{\!2}-\dfrac{24}{5}\)    \((-1 \le t \le 1)\)
\(t=\dfrac{2}{5}\) 일 때, 최솟값은 \(-\dfrac{24}{5}\) 이고,  \(t=-1\) 일 때, 최댓값은 \(5\) 이다.

1) 주어진 수열의 귀납적 관계식에서 일반항을 구하기 위해 항들을 정리합니다.
\(a_{n+1} - a_n = (-1)^n \frac{2n+1}{n(n+1)}\) 이며, \(\frac{2n+1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}\) 로 부분분수 변형할 수 있습니다.
2) \(n=1\)부터 \(n=2024\)까지 대입하여 변변 더해줍니다.
\(a_{2025} - a_1 = \sum_{n=1}^{2024} (-1)^n \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} \right)\) \(= -\left(1 + \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}\right)\) 이를 전개하면 이웃한 항들이 부호가 반대로 소거됩니다.
\(a_{2025} - a_1 = -1 + \frac{1}{2025}\) 3) 첫째항 \(a_1 = \frac{47}{45}\) 이므로 대입합니다.
\(a_{2025} = \frac{47}{45} - 1 + \frac{1}{2025} = \frac{2}{45} + \frac{1}{2025}\) \(45^2 = 2025\) 이므로 통분하면: \(a_{2025} = \frac{90}{2025} + \frac{1}{2025} = \frac{91}{2025}\) 따라서 \(p = 2025, q = 91\) 이며 두 수는 서로소입니다.
4) 구하고자 하는 값은: \(\sqrt{p} + q = \sqrt{2025} + 91 = 45 + 91 = 136\) 입니다.

1) \(f(x) = ax^3\) 에서 도함수는 \(f'(x) = 3ax^2\) 입니다.
\(x=5\) 에서의 접선의 방정식은: \(y = f'(5)(x-5) + f(5) \implies y = 75a(x-5) + 125a = 75ax - 250a\) 이 접선이 점 \((4,2)\) 를 지나므로: \(2 = 75a(4) - 250a \implies 2 = 50a \implies a = \frac{1}{25}\) 입니다.
(\(a \gt 0\) 조건 만족) 2) 따라서 원래 함수는 \(f(x) = \frac{1}{25}x^3\) 입니다.
\(f(x)\) 와 그 역함수 \(g(x)\) 의 교점은 \(y = f(x)\) 와 직선 \(y=x\) 의 교점과 같습니다.
\(\frac{1}{25}x^3 = x \implies x^3 - 25x = 0 \implies x(x-5)(x+5) = 0\) 따라서 교점의 \(x\)좌표는 \(x = -5, 0, 5\) 입니다.
3) 두 곡선 \(y=f(x)\) 와 \(y=g(x)\) 는 원점 대칭이고, 직선 \(y=x\) 에 대해 대칭이므로,
둘러싸인 전체 영역의 넓이는 \([0, 5]\) 영역의 넓이의 4배(혹은 \([0, 5]\)의 원래함수와 역함수 사이의 넓이의 2배)가 됩니다.
\(S = 2 \times \int_0^5 \left( x - \frac{1}{25}x^3 \right) dx \times 2 = 4 \int_0^5 \left( x - \frac{1}{25}x^3 \right) dx\) \(\int_0^5 \left( x - \frac{1}{25}x^3 \right) dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{100}x^4 \right]_0^5 = \frac{25}{2} - \frac{625}{100} = \frac{25}{2} - \frac{25}{4} = \frac{25}{4}\) 입니다.
따라서 구하는 전체 넓이는: \(S = 4 \times \frac{25}{4} = 25\) 입니다.

1) 주어진 로그 값을 단순화합니다.
\(a = \log_4 27 = \log_{2^2} 3^3 = \frac{3}{2}\log_2 3\) \(b = \log_9 25 = \log_{3^2} 5^2 = \log_3 5\) 두 값의 곱 \(ab\)를 계산하면: \(ab = \left(\frac{3}{2}\log_2 3\right) \times (\log_3 5) = \frac{3}{2} \frac{\log 3}{\log 2} \frac{\log 5}{\log 3} = \frac{3}{2}\log_2 5\) 입니다.
2) \(\log_5 10 = \log_5 (5 \times 2) = 1 + \log_5 2\) 입니다.
주어진 관계식 \(\log_5 10 = 1 + \frac{1}{pab}\) 와 비교하면: \(\log_5 2 = \frac{1}{pab} \implies pab = \frac{1}{\log_5 2} = \log_2 5\) 가 성립해야 합니다.
\(p \left( \frac{3}{2}\log_2 5 \right) = \log_2 5 \implies p = \frac{2}{3}\) 입니다.
3) \(\log_6 10 = \frac{1+pab}{1+qa}\) 에서 \(pab = \log_2 5\) 이므로 분자는: \(1 + pab = 1 + \log_2 5 = \log_2 2 + \log_2 5 = \log_2 10\) 입니다.
식에 대입하면: \(\log_6 10 = \frac{\log_2 10}{1+qa} \implies 1 + qa = \frac{\log_2 10}{\log_6 10} = \log_2 6\) 이 성립합니다.
\(\log_2 6 = \log_2 (2 \times 3) = 1 + \log_2 3\) 이므로: \(qa = \log_2 3\) 이 되어야 합니다.
\(q \left( \frac{3}{2}\log_2 3 \right) = \log_2 3 \implies q = \frac{2}{3}\) 입니다.
따라서 구하는 상수 값은 \(p = \frac{2}{3}, q = \frac{2}{3}\) 입니다.

1) 직선 \(y=n\) 과 두 로그함수 \(y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)\), \(y=\log_{\frac{1}{9}}(3-x)\) 의 교점 \(P_n, Q_n\)의 \(x\)좌표를 구합니다.
\(n = \log_{\frac{1}{3}}(x-1) \implies x-1 = \left(\frac{1}{3}\right)^n \implies x = 1 + \left(\frac{1}{3}\right)^n\) \(n = \log_{\frac{1}{9}}(3-x) \implies 3-x = \left(\frac{1}{9}\right)^n \implies x = 3 - \left(\frac{1}{9}\right)^n\) 따라서 \(P_n = \left(1 + 3^{-n}, n\right)\), \(Q_n = \left(3 - 9^{-n}, n\right)\) 이고 밑변 \(P_nQ_n\)의 길이는: \(\overline{P_nQ_n} = \left(3 - 9^{-n}\right) - \left(1 + 3^{-n}\right) = 2 - 3^{-n} - 9^{-n}\) 입니다.
2) 점 \(R_n\)은 \(y=n-1\) 위의 점이고 \(x\)좌표가 \(2\)이므로 \(R_n = (2, n-1)\) 이며, 삼각형 \(P_nQ_nR_n\)의 높이는 \(y\)-좌표의 차이인 \(n - (n-1) = 1\) 입니다.
따라서 넓이 \(a_n\)은: \(a_n = \frac{1}{2} \times \left(2 - 3^{-n} - 9^{-n}\right) \times 1 = 1 - \frac{1}{2 \times 3^n} - \frac{1}{2 \times 9^n}\) 입니다.
3) 조건 \(a_n + b_n = 1 - \frac{1}{2 \times 3^n}\) 에 대입합니다.
\(\left(1 - \frac{1}{2 \times 3^n} - \frac{1}{2 \times 9^n}\right) + b_n = 1 - \frac{1}{2 \times 3^n} \implies b_n = \frac{1}{2 \times 9^n}\) 입니다.
\(b_n\)은 첫째항이 \(b_1 = \frac{1}{18}\), 공비가 \(\frac{1}{9}\)인 등비수열입니다.
4) \(S_3 = b_1 + b_2 + b_3\)를 구합니다.
\(S_3 = \frac{1}{18} + \frac{1}{162} + \frac{1}{1458} = \frac{81 + 9 + 1}{1458} = \frac{91}{1458}\) 따라서 구하고자 하는 최종 값은: \(1458 S_3 = 1458 \times \frac{91}{1458} = 91\) 입니다.

1) 정적분 상수항 \(\int_2^3 t f'(t) dt\) 를 상수 \(K\)로 치환합니다.
\(\int_1^x f(t) dt = x^4 + ax^3 + K x^2 + 52x\) 주어진 식에 \(x=1\)을 대입하면 좌변이 \(0\)이 되므로: \(0 = 1 + a + K + 52 \implies a + K = -53 \quad \cdots \text{ (ㄱ)}\) 2) 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면: \(f(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2Kx + 52\) 입니다.
도함수를 구하면: \(f'(x) = 12x^2 + 6ax + 2K\) 이고, 피적분함수 \(t f'(t)\)는: \(t f'(t) = 12t^3 + 6at^2 + 2Kt\) 입니다.
3) 치환한 정적분 식에 대입하여 \(K\)에 대한 관계식을 도출합니다.
\(K = \int_2^3 \left(12t^3 + 6at^2 + 2Kt\right) dt = \left[ 3t^4 + 2at^3 + Kt^2 \right]_2^3\) \(= 3(81 - 16) + 2a(27 - 8) + K(9 - 4)\) \(= 195 + 38a + 5K\) 정리하면: \(4K + 38a = -195 \quad \cdots \text{ (ㄴ)}\) 4) (ㄱ)에서 \(K = -53 - a\) 이므로 이를 (ㄴ)에 대입합니다.
\(4(-53 - a) + 38a = -195 \implies -212 - 4a + 38a = -195\) \(34a = 17 \implies a = \frac{1}{2}\) 입니다.
이를 다시 대입하면 \(K = -53 - \frac{1}{2} = -\frac{107}{2}\) 입니다.
5) 함수 \(f(x)\)는 다음
과 같습니다.
\(f(x) = 4x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 107x + 52\) 따라서 \(f(2)\)의 값을 구하면: \(f(2) = 4(8) + \frac{3}{2}(4) - 107(2) + 52 = 32 + 6 - 214 + 52 = -124\) 입니다.
따라서 \(a = \frac{1}{2}, f(2) = -124\) 입니다.

1) 주어진 조건 식의 분모와 분자의 위치를 역수로 취하여 정리합니다.
\(\lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x)-x} = \frac{1}{2} \implies \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-x}{x} = 2\) \(\lim_{x \to 0} \left( \frac{f(x)}{x} - 1 \right) = 2\) 이므로,
\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3\) 임을 알 수 있습니다.
2) 구하고자 하는 식의 분자, 분모를 각각 \(x^2\)으로 나누어 줍니다.
\(\lim_{x \to 0} \frac{35xf(x) + 5\{f(x)\}^2}{2\{f(x)\}^2 + 3xf(x) - 2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{35 \left(\frac{f(x)}{x}\right) + 5\left(\frac{f(x)}{x}\right)^2}{2\left(\frac{f(x)}{x}\right)^2 + 3\left(\frac{f(x)}{x}\right) - 2}\) 3) 위 식에 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3\) 을 대입하여 극한값을 구합니다.
\(\frac{35(3) + 5(3^2)}{2(3^2) + 3(3) - 2} = \frac{105 + 45}{18 + 9 - 2} = \frac{150}{25} = 6\) 입니다.
따라서 최종 구하는 극한값은 \(6\)입니다.

1) 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)의 교점의 \(x\)좌표를 구합니다.
\[f(x) = -\log_2((k+1)x) = -\log_2(k+1) - \log_2 x\] \[g(x) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{k+1}{kx}\right) = -\log_2(k+1) + \log_2 k + \log_2 x\] \(f(x) = g(x)\) 에서
\[-\log_2(k+1) - \log_2 x = -\log_2(k+1) + \log_2 k + \log_2 x\] \[-2\log_2 x = \log_2 k \implies \log_2 x^{-2} = \log_2 k \implies x = \frac{1}{\sqrt{k}}\] 따라서 교점의 \(x\)좌표를 \(a = \frac{1}{\sqrt{k}}\) 라 하면,
- \(0 \lt x \lt a\) 일 때: \(f(x) \gt g(x) \implies h(x) = f(x)\)
- \(x \ge a\) 일 때: \(g(x) \ge f(x) \implies h(x) = g(x)\)
입니다.

2) 곡선 \(y = h(x)\)와 직선 \(y = \log_2 k\)의 교점 \(A(x_A, \log_2 k), \; B(x_B, \log_2 k)\) (\(x_A \lt x_B\))를 구합니다.
(1) \(x_A \lt a\) 인 영역에서 \(f(x) = \log_2 k\) 를 풀면
\[-\log_2((k+1)x) = \log_2 k \implies (k+1)x = \frac{1}{k} \implies x_A = \frac{1}{k(k+1)}\] 이때 \(k \ge 1\)에서 \(k(k+1) \gt \sqrt{k}\) 이므로 \(x_A = \frac{1}{k(k+1)} \lt \frac{1}{\sqrt{k}} = a\) 를 만족합니다.
(2) \(x_B \ge a\) 인 영역에서 \(g(x) = \log_2 k\) 를 풀면
\[-\log_2\left(\frac{k+1}{kx}\right) = \log_2 k \implies \frac{k+1}{kx} = \frac{1}{k} \implies x_B = k+1\] 이때 \(k+1 \gt \frac{1}{\sqrt{k}}\) 이므로 \(x_B = k+1 \gt a\) 를 만족합니다.
따라서 두 교점 사이의 거리 \(l(k)\)는 다음과 같습니다.
\[l(k) = x_B - x_A = k + 1 - \frac{1}{k(k+1)}\]
3) 시그마 공식과 부분분수 소거법을 사용하여 \(\sum_{k=1}^{9} l(k)\) 의 값을 계산합니다.
\[\sum_{k=1}^{9} l(k) = \sum_{k=1}^{9} (k+1) - \sum_{k=1}^{9} \frac{1}{k(k+1)}\] - \(\sum_{k=1}^{9} (k+1) = 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{9(2+10)}{2} = 54\)
- \(\sum_{k=1}^{9} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{9} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}\)
따라서
\[\sum_{k=1}^{9} l(k) = 54 - \frac{9}{10} = \frac{531}{10}\] 입니다.

4) 구하고자 하는 최종 연산 값은 다음과 같습니다.
\[\frac{10}{3} \times \sum_{k=1}^{9} l(k) = \frac{10}{3} \times \frac{531}{10} = \frac{531}{3} = 177\]

1) 조건 (나)의 좌변 극한 부분을 미분계수로 변형합니다.
\(\lim_{h \to 0} \frac{f(k+1+h) - f(k+1-2h)}{5h}\) \(= \lim_{h \to 0} \frac{f(k+1+h) - f(k+1) + f(k+1) - f(k+1-2h)}{5h}\) \(= \frac{1}{5} \lim_{h \to 0} \frac{f(k+1+h) - f(k+1)}{h} + \frac{2}{5} \lim_{h \to 0} \frac{f(k+1-2h) - f(k+1)}{-2h}\) \(= \frac{1}{5} f'(k+1) + \frac{2}{5} f'(k+1) = \frac{3}{5} f'(k+1)\) 입니다.
2) 다항함수의 도함수는 \(f'(x) = 2x+a\) 이므로,
\(f'(k+1) = 2k + a + 2\) 입니다.
시그마 대입하여 정리하면: \(\sum_{k=1}^{15} \frac{3}{5} f'(k+1) = \frac{3}{5} \sum_{k=1}^{15} (2k + a + 2) = 90 \implies \sum_{k=1}^{15} (2k + a + 2) = 150\) \(2 \times \frac{15 \times 16}{2} + 15(a+2) = 240 + 15a + 30 = 15a + 270 = 150\) \(15a = -120 \implies a = -8\) 입니다.
3) 조건 (가) \(f(2) = f'(2)\) 를 통해 \(b\)를 구합니다.
\(f(2) = 4 + 2a + b = 4 - 16 + b = b - 12\) \(f'(2) = 4 + a = 4 - 8 = -4\) \(b - 12 = -4 \implies b = 8\) 입니다.
4) 따라서 \(a = -8, b = 8\) 이며 구하고자 하는 함숫값은: \(f(a+b) = f(-8+8) = f(0) = b = 8\) 입니다.

1) 삼각함수의 변환 공식에 의하여 \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right) = -\sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\)이므로 \(\sin\theta = -\dfrac{1}{\sqrt{6}}\)이다.
2) \(\cos\theta \lt 0\)이고 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)이므로 \(\cos\theta = -\sqrt{1 - \dfrac{1}{6}} = -\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\)이고, \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\)이다.
3) \(\tan(\pi+\theta) = \tan\theta\), \(\sin\!\left(\dfrac{3}{2}\pi+\theta\right) = -\cos\theta\)이므로 구하는 식에 대입하면:
\(\tan^2\theta + \sqrt{5}\tan\theta + 3\cos^2\theta = \dfrac{1}{5} + \sqrt{5}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{5}} + 3\cdot\dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{5} + 1 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{37}{10}\)이다.

1) \(n=1\)일 때: \(0 \lt 1 \le 2\)이므로 \(f(1) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-3} = 27\)이다. \(27 \gt 2\)이므로 \(f(f(1)) = \log_3 27 = 3\)이고, \(3 \gt 2\)이므로 \(f(f(f(1))) = \log_3 3 = 1\)이다.
2) \(n=2\)일 때: \(0 \lt 2 \le 2\)이므로 \(f(2) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = 9\)이다. \(9 \gt 2\)이므로 \(f(f(2)) = \log_3 9 = 2\)이고, \(0 \lt 2 \le 2\)이므로 \(f(f(f(2))) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = 9\)이다.
3) \(n=3\)일 때: \(3 \gt 2\)이므로 \(f(3) = \log_3 3 = 1\)이고, \(f(f(3)) = f(1) = 27\), \(f(f(f(3))) = \log_3 27 = 3\)이다.
따라서 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{3} f(f(f(n))) = 1 + 9 + 3 = 13\)이다.

\(f(x)\)가 상수함수이면 성립하지 않는다.
\(f(x) = bx^n + \dots + c\) 로 놓았을 때 \(n\)의 값은 1. 따라서 \(f(x) = bx+c\).
\(\int_0^x t f(t) dt = f(x) + ax^3 + x^2 + x - 2\)에서 \(x\)에 0을 대입하면 \(0 = f(0) - 2 = c - 2\). 따라서 \(c = 2\).
\(f(x) = bx+2\)이므로 \(\int_0^x t f(t) dt = f(x) + ax^3 + x^2 + x - 2\)에서
\(\frac{b}{3}x^3 + x^2 = bx + 2 + ax^3 + x^2 + x - 2\) \(\Leftrightarrow \frac{b}{3}x^3 + x^2 = ax^3 + x^2 + (b+1)x\)
\(a = \frac{b}{3}\), \(b+1 = 0\).
\(b = -1\), \(a = -\frac{1}{3}\). \(f(x) = -x+2\).
\(f(a) = f\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}+2 = \frac{7}{3}\).

1) \(\sqrt[n]{(2^k)^7} = 2^{\frac{7k}{n}}\)의 값이 \(8 = 2^3\)의 배수가 되려면 \(\dfrac{7k}{n}\)이 \(3\) 이상의 자연수여야 한다. 즉, \(n\)은 \(7k\)의 양의 약수이면서 \(2 \le n \le \dfrac{7k}{3}\)을 만족해야 한다.
2) ㄱ: \(k=7\)이면 \(7k=49\)의 약수 \(1, 7, 49\) 중 \(2 \le n \le \dfrac{49}{3}\)을 만족하는 \(n\)은 \(7\)뿐이므로 \(f(7)=1 \neq 2\)이다. (거짓)
3) ㄴ: \(k \le 5\)인 자연수에 대하여 조건을 만족하는 \(n\)을 구하면 \(f(1)=0\), \(f(2)=1\) (\(n=2\)), \(f(3)=2\) (\(n=3, 7\)), \(f(4)=3\) (\(n=2, 4, 7\)), \(f(5)=2\) (\(n=5, 7\))이므로 \(f(k)=2\)인 \(k\)는 \(3, 5\)로 \(2\)개이다. (참)
4) ㄷ: \(10\) 이하의 자연수 \(k\)에 대하여 조건을 만족하는 \(n\)의 개수를 조사하면 \(f(6)=5\) (\(n=2,3,6,7,14\)), \(f(8)=5\) (\(n=2,4,7,8,14\)), \(f(10)=5\) (\(n=2,5,7,10,14\))이므로 \(f(k)=5\)인 \(k\)의 합은 \(6 + 8 + 10 = 24\)이다. (참)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

1) 조건 (가)의 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{9x^2-1}=\dfrac{1}{3}\)로부터 \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 \(3\)인 이차함수이다.
2) 조건 (나)의 \(\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{3}}\dfrac{9x^2-1}{f(x)}=\dfrac{1}{4}\)에서 \(x\to\dfrac{1}{3}\)일 때 분자 \(9x^2-1 \to 0\)이고 \(0\)이 아닌 극한값을 가지므로 \(f\!\left(\dfrac{1}{3}\right)=0\)이다. \(f(x)=(3x-1)(x+k)\)로 두면 \(\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{3}}\dfrac{(3x-1)(3x+1)}{(3x-1)(x+k)}=\dfrac{2}{\frac{1}{3}+k}=\dfrac{1}{4}\)에서 \(\dfrac{1}{3}+k=8\), 즉 \(k=\dfrac{23}{3}\)이다.
3) \(\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{3}}\dfrac{\left|x-\frac{1}{3}\right|(x^2+ax+5)}{3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{23}{3}\right)}=b\)에서 \(x\to\dfrac{1}{3}-\)와 \(x\to\dfrac{1}{3}+\)의 부호가 반대이므로 극한이 존재하려면 \(x=\dfrac{1}{3}\)에서 \(x^2+ax+5=0\)이어야 하고 이때 \(b=0\)이다. 따라서 \(\dfrac{1}{9}+\dfrac{a}{3}+5=0\)에서 \(a=-\dfrac{46}{3},\ b=0\)이다.

조건 (가) \(f'(\alpha) = f'(\beta) = 0\)에서 \(x=\alpha\)와 \(x=\beta\)에서 극값을 가지며, 조건 (나) \(f(\alpha)f(\beta) \lt 0\)에서 함숫값의 부호는 다르므로 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있다.
(1) 최고차항의 계수가 양수일 때, 즉 \(f(\alpha) \gt 0\)일 때, 방정식 \(|f(x)| = |f(t)|\)의 실근의 개수가 홀수가 되도록 하는 실수 \(t\)는 \(y = |f(x)|\)의 그래프가 직선 \(y=0\), \(y=|f(\alpha)|\), \(y=|f(\beta)|\)와 만나는 점들의 \(x\)좌표이므로 \(m=4\)이고, 합은 \(-3\)이다.
(2) 최고차항의 계수가 음수일 때, 즉 \(f(\alpha) \lt 0\)일 때, 마찬가지로 방정식의 실근의 개수가 홀수가 되도록 하는 실수 \(t\)는 점들의 \(x\)좌표이므로 \(m=4\)이고, 합은 \(3\)이다. 따라서 \(\pm 3\)이다.

1) \(f(x)\)가 실수 전체에서 연속이므로 \(x=1\)에서 연속이다. \(f(1)=f(0)+1=\dfrac{1}{16}a-\dfrac{9}{16}+1\)이고 \(\displaystyle\lim_{x\to 1-}f(x)=\dfrac{9}{16}a-\dfrac{9}{16}\)이므로 \(\dfrac{9}{16}a-\dfrac{9}{16}=\dfrac{1}{16}a+\dfrac{7}{16}\)에서 \(a=2\)이다.
2) \(0 \le x \lt 1\)에서 \(f(x)=2\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{9}{16}=2x^2-x-\dfrac{7}{16}\)이므로 \(p_1=\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = \left[\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{7}{16}x\right]_0^1 = -\dfrac{13}{48}\)이다.
3) 조건 (나)의 \(f(x+1)=f(x)+1\)에 의해 \(p_n = \displaystyle\int_{n-1}^{n} f(x)\,dx = p_1 + (n-1)\)이다. 이차함수 \(g(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{100}(x-p_n)^2\)은 평균 \(\alpha = \dfrac{1}{100}\displaystyle\sum_{n=1}^{100} p_n = p_1 + \dfrac{99}{2} = -\dfrac{13}{48} + \dfrac{2376}{48} = \dfrac{2363}{48}\)에서 최솟값을 갖는다.

1) 조건 (가)에서 \(x\to 2\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 \(f(2)=f(-2)\)이다. ① 만약 \(f(2)\neq 0\)이면 \(f(-2)=f(2)\neq 0\)이므로 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x+2)}{f(x-2)}=\dfrac{f(2)}{f(-2)}=1\neq 3\)이 되어 조건 (나)에 모순이다. 따라서 조건을 만족하는 함수는 존재하지 않는다.
2) ② \(f(2)=f(-2)=0\)이므로 삼차함수 \(f(x)=a(x-2)(x+2)(x-k)\)로 놓을 수 있다. 조건 (나)에서 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{a x(x+4)(x+2-k)}{a x(x-4)(x-2-k)}=\dfrac{4(2-k)}{-4(-2-k)}=\dfrac{2-k}{2+k}=3\)이므로 \(2-k=6+3k \implies k=-1\)이다.
3) 조건 (가)에서 \(f'(2)=a(4)(3)=12a=1 \implies a=\dfrac{1}{12}\)이므로 \(f(x)=\dfrac{1}{12}(x^2-4)(x+1)=\dfrac{1}{12}(x^3+x^2-4x-4)\)이다.
따라서 \(\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx = \dfrac{1}{12}\left[\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{1}{3}x^3-2x^2-4x\right]_0^3 = \dfrac{1}{12}\left(\dfrac{81}{4}+9-18-12\right) = -\dfrac{1}{16}\)이다.

1) \(f(x)=\sin\dfrac{\pi x}{n}\)의 기본주기는 \(2n\)이므로 모든 실수 \(x\)에서 \(f(x+30)=f(x)\)이려면 \(30\)이 \(2n\)의 배수, 즉 \(n\)이 \(15\)의 약수여야 한다. 따라서 \(n \in \{1, 3, 5, 15\}\)이고 합 \(m = 1+3+5+15 = 24\)이다.
2) \(\overline{OD} : \overline{OE} : \overline{OF} = 12 : 24 : 6(3\sqrt{5}-1) = 2 : 4 : (3\sqrt{5}-1)\)이므로 양수 \(k\)에 대하여 \(\overline{OD}=2k,\ \overline{OE}=4k,\ \overline{OF}=(3\sqrt{5}-1)k\)라 하자. 외접원의 반지름 \(R=4\)이고 예각삼각형이므로 \(\cos C = \dfrac{\overline{OD}}{4}=\dfrac{k}{2},\ \cos A = k,\ \cos B = \dfrac{(3\sqrt{5}-1)k}{4}\)이다.
3) 삼각형 내각의 성질 \(\cos C = -\cos(A+B) = \sin A\sin B - \cos A\cos B\)에서 \((\cos C + \cos A\cos B)^2 = (1-\cos^2 A)(1-\cos^2 B)\)가 성립하므로 \(\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2\cos A\cos B\cos C = 1\)에 대입하여 정리하면 \(k=\dfrac{1}{2}\)을 얻는다.
따라서 \(\overline{OE} = 4k = 2\)이고, \(\cos B = \dfrac{3\sqrt{5}-1}{8}\)이므로 \(\sin^2 B = 1 - \dfrac{46-6\sqrt{5}}{64} = \dfrac{9+3\sqrt{5}}{32}\)이다.

\(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}\) 의 양변을 제곱하면
\(\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \dfrac{1}{4}\)
\(1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\) 이므로 \(2\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{4}\)
\(|\sin\theta - \cos\theta|^2 = (\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 1 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{4}\)
따라서,  \(|\sin\theta - \cos\theta| = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)

\(x \neq -1, x \neq 2\)일 때, \(f(x) = \frac{x^3 + ax + b}{x + 1}\)이다. 함수 \(f(x)\)는 \(x = 2\)에서 연속이므로 \(\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)\)이다.
즉, \(\lim_{x \to 2} \frac{x^3 + ax + b}{x + 1} = 1\)이므로 \(\frac{8 + 2a + b}{3} = 1\)에서 \(2a + b = -5\)이다.
또한, 함수 \(f(x)\)는 \(x = -1\)에서도 연속이므로 \(\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)\)이다. \(\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + ax + b}{x + 1} = f(-1)\)이고 극한값이 존재하므로 (분모) \(\to 0\)일 때 (분자) \(\to 0\)이어야 한다.
즉, \(\lim_{x \to -1} (x^3 + ax + b) = 0\)이므로 \(-1 - a + b = 0\), 즉 \(a - b = -1\)이다.
이를 \(2a + b = -5\)와 연립하여 풀면 \(a = -2, b = -1\)이다. 따라서,
\(f(-1) = \lim_{x \to -1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x + 1} = \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x^2 - x - 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} (x^2 - x - 1) = 1\)이다.

그러므로 빈칸에 알맞은 식과 값은 다음과 같다.
[①] \(2a + b + 5\) (또는 \(2a+b=-5\))
[②] \(a - b + 1\) (또는 \(a-b=-1\))
[③] \((-2, -1)\) (또는 \(a = -2, b = -1\))
[④] \(1\)

\(2(x+1)f(x)\)의 한 부정적분이 \(G(x)\)이므로, \(G'(x) = 2(x+1)f(x)\)이다.

\(G(x) = (x+1)^2f(x) - x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 4x\)의 양변을 \(x\)에 대해 미분하면,
\(G'(x) = 2(x+1)f(x) + (x+1)^2f'(x) - 4x^3 - 12x^2 - 12x - 4\)이다.

따라서,
\(2(x+1)f(x) = 2(x+1)f(x) + (x+1)^2f'(x) - 4(x^3 + 3x^2 + 3x + 1)\)
\((x+1)^2f'(x) = 4(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 4(x+1)^3\)이다.

\(f(x)\)는 다항함수이므로, \(x \neq -1\)일 때 양변을 \((x+1)^2\)으로 나누면
\(f'(x) = 4(x+1) = 4x + 4\)이고, 이는 연속함수이므로 모든 실수 \(x\)에서 성립한다.
양변을 적분하면 \(f(x) = 2x^2 + 4x + C\) (단, \(C\)는 적분상수)이다.

한편, \(G(x) = (x+1)^2f(x) - x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 4x\)에 \(x = 0\)을 대입하면,
\(G(0) = f(0) = -2\)이므로 \(C = -2\)이다. 따라서,
\(f(x) = 2x^2 + 4x - 2\)이며, 구하고자 하는 값은 \(f(1) = 2 + 4 - 2 = 4\)이다.

[참고] \(G(x) = (x+1)^2(2x^2+4x-2) - x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 4x = x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x - 2\)

\(f(x) = x^4 + \frac{8}{3}kx^3 - 6k^2x^2 + 3\) 에서 \(f'(x) = 4x^3 + 8kx^2 - 12k^2x = 4x(x+3k)(x-k)\) 이다.
\(f'(x) = 0\) 의 근은 \(x = -3k, 0, k\) 이며, \(k \gt 0\) 이므로 극대·극소 위치와 극값은 다음과 같다.
• 극대: \(x = 0\) 에서 \(f(0) = 3\)
• 극소1: \(x = -3k\) 에서 \(f(-3k) = -45k^4 + 3\)
• 극소2: \(x = k\) 에서 \(f(k) = -\frac{7}{3}k^4 + 3\)
이때 \(k \gt 0\) 이므로 극솟값의 대소 관계는 \(f(-3k) \lt f(k) \lt f(0)\) 이다.

(가) 곡선 \(y = f(x)\) 와 직선 \(y = a\) 가 서로 다른 두 점에서 만나려면 직선이 극댓값보다 위에 있거나, 두 극솟값 사이에 위치해야 한다. 즉, \(a \gt f(0)\) 또는 \(f(-3k) \lt a \lt f(k)\) 이므로 구하는 범위는 \(a \gt 3\) 또는 \(-45k^4 + 3 \lt a \lt -\frac{7}{3}k^4 + 3\) 이다.

(나) 곡선 \(y = f(x)\) 와 직선 \(y = b\) 가 서로 다른 세 점에서 만나려면 직선이 극댓값을 지나거나, 더 큰 극솟값을 지나야 한다. 즉, \(b = f(0)\) 또는 \(b = f(k)\) 이므로 구하는 값은 \(b = 3\) 또는 \(b = -\frac{7}{3}k^4 + 3\) 이다.

1) \(a_1 = 2 \lt 4\)이므로 두 번째 식에 대입하면 \(a_2 = 2\cdot 2 + 1 = 5\)이다.
2) \(n \ge 2\)부터 조건 \(a_n \ge 4\)의 성립 여부를 확인하며 순차 계산하면:
\(a_2 = 5 \ge 4 \implies a_3 = 5 - 2 + 5 = 8\),
\(a_3 = 8 \ge 4 \implies a_4 = 8 - 3 + 5 = 10\),
\(a_4 = 10 \ge 4 \implies a_5 = 10 - 4 + 5 = 11\),
\(a_5 = 11 \ge 4 \implies a_6 = 11 - 5 + 5 = 11\)이다.
3) 이어서 \(a_7 = 11 - 6 + 5 = 10\), \(a_8 = 10 - 7 + 5 = 8\), \(a_9 = 8 - 8 + 5 = 5\)이고, \(a_9 = 5 \ge 4\)이므로 \(a_{10} = 5 - 9 + 5 = 1\)이다.

1) \(f(0) \gt f\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\)에서 \(|-q| \gt |-p-q|\)이고 \(p \gt 0\)이므로 \(q \lt 0\)이다. \(g(x)=p\sin x - q\)라 할 때 최솟값 \(-p-q \ge 0\)이면 등차수열이 되는 \(t\)가 \(3\)개 존재하므로 \(-p-q \lt 0\)이어야 한다.
2) 이때 교점의 \(x\)좌표가 등차수열을 이루는 양수 \(t\)는 곡선의 최댓값 \(\beta = p - q\)와 기준선 대칭 높이 \(\alpha = -q\) (또는 접어 올린 극댓값 \(p+q\)) 두 경우뿐이며, 조건 \(\dfrac{f(b_3)}{a_4}=\dfrac{\beta}{3\pi}=\dfrac{3}{\pi}\)로부터 \(\beta = 9\)이고 \(\alpha + \beta = 12\)에서 \(\alpha = 3\)이다.
3) 따라서 \(-q = 3 \implies q = -3\)이고 \(p - q = 9 \implies p = 6\)이므로 \(2p - q = 12 - (-3) = 15\)이다.

1) 주어진 부등식의 각 변에 \(x^2 \gt 0\)을 곱하면 \(\dfrac{9x - 4}{2} \le x^2 f(x) \le (3x - 2)^2\)이다.
2) \(\displaystyle\lim_{x \to \frac{4}{3}+} \dfrac{9x - 4}{2} = 4\)이고 \(\displaystyle\lim_{x \to \frac{4}{3}+} (3x - 2)^2 = 4\)이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의해 \(\displaystyle\lim_{x \to \frac{4}{3}+} x^2 f(x) = 4\)이다. 따라서 \(3a = 4\)에서 \(a = \dfrac{4}{3}\)이다.
3) 또한 \(x \gt 0\)으로 나누면 \(\dfrac{9}{2x^2} - \dfrac{2}{x^3} \le \dfrac{f(x)}{x} \le \dfrac{1}{x}\left(3 - \dfrac{2}{x}\right)^2\)이고 \(x \to \infty\)일 때 양 끝 변이 모두 \(0\)으로 수렴하므로 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{x} = 0\)이다.
따라서 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\dfrac{ax - f(x)}{2f(x)+3x} = \displaystyle\lim_{x \to \infty}\dfrac{a - \frac{f(x)}{x}}{2\frac{f(x)}{x}+3} = \dfrac{\frac{4}{3}}{3} = \dfrac{4}{9}\)이다.

1) \(512^x = 144^y = k\) (\(k \gt 0\))라 하면 \(2^{9x}=k \implies 2 = k^{\frac{1}{9x}}\)이고, \(12^{2y}=k \implies 12 = k^{\frac{1}{2y}}\)이다.
2) \(k^{\frac{1}{9x}+\frac{1}{2y}} = 2 \times 12 = 24\)이고 조건에서 \(\dfrac{1}{9x}+\dfrac{1}{2y}=\dfrac{1}{2}\)이므로 \(k^{\frac{1}{2}}=24\), 즉 \(k = 24^2 = 576\)이다.
3) \(512^x = 24^2\)에서 \(x = \log_{2^9} 24^2 = \dfrac{2}{9}\log_2 24\)이므로 \(p = \dfrac{2}{9}\)이고, \(144^y = 24^2\)에서 \(y = \log_{12^2} 24^2 = \log_{12} 24\)이므로 \(q = 1\)이다.
4) 밑의 변환 공식에 의해 \(9x\log_{24} 2 + y\log_{24} 12 = 9\cdot\dfrac{2}{9}\log_2 24\cdot\log_{24} 2 + \log_{12} 24\cdot\log_{24} 12 = 2 + 1 = 3\)이다.

1) 선분 \(AP\)를 포함하는 부채꼴 \(AOP\)의 중심각을 \(\alpha\) (\(0 \lt \alpha \le \pi\))라 하면 반지름 \(r = 2\)이므로 넓이 \(\dfrac{1}{2}\cdot 2^2\alpha = \dfrac{3}{2}\pi\)에서 \(\alpha = \dfrac{3}{4}\pi\)이다. 따라서 \(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\) 또는 \(\theta = \dfrac{5}{4}\pi\)이다.
2) 조건 (나)에서 \(\dfrac{\cos\theta}{\tan\theta} = \dfrac{\cos^2\theta}{\sin\theta} \lt 0\)이고 \(\cos^2\theta \gt 0\)이므로 \(\sin\theta \lt 0\)이어야 한다. 따라서 \(\theta = \dfrac{5}{4}\pi\)이다.
3) \(\sin 2\theta = \sin\dfrac{5}{2}\pi = \sin\dfrac{\pi}{2} = 1\)이고, \(\tan 3\theta = \tan\dfrac{15}{4}\pi = \tan\!\left(4\pi - \dfrac{\pi}{4}\right) = -1\)이다.

\(F'(x) = f(x)\) 이고, \(F(x) = f(x) + 2x^3 - 5x^2 - 5x\) 의 양변을 미분하면 \(f(x) = f'(x) + 6x^2 - 10x - 5\) (이하 (1)식)이다.
\(f(x) = 6x^2 + ax + b\) 로 정의하면,
\(f'(x) = 12x + a\) 이므로,
(1)식에 이를 대입하면,
\(6x^2 + ax + b = 6x^2 + 2x + a - 5\), 즉 \(a = 2, b = -3\) 이다.
방정식 \(f(x) = 4x^2 + 3\) 에 계산한 \(f(x)\) 를 대입하면,
\(6x^2 + 2x - 3 = 4x^2 + 3\) 즉, \(2x^2 + 2x - 6 = 0 \implies x^2 + x - 3 = 0\)
이 방정식의 두 근을 \(\alpha, \beta\) 라 할 때, \(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-1)^2 - 2(-3) = 1 + 6 = 7\)

\(f(x) = -x^3+3x^2+9x+k\) 에서 \(f'(x) = -3x^2+6x+9 = -3(x+1)(x-3)\)
\(f'(x)=0\) 에서 \(x=-1\) 또는 \(x=3\) 에서 극값을 갖는다.
함수 \(f(x)\)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

\(x\)	\(\cdots\)	\(-1\)	\(\cdots\)	\(3\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(\nearrow\)	극대	\(\searrow\)	극소	\(\nearrow\)

그러므로 \(a=3\), \(b=-1\) 이며 \(x=-1\) 일 때 \(x\)축과 접하려면 극솟값이 \(0\)이어야 하므로
\(f(-1) = 1+3-9+k=0\) 에서 \(k=5\) 이다.

함수 \(y = \frac{3^x \times a^{\frac{1}{2}x}}{10^x}\) 의 그래프와 원 \((x-1)^2 + y^2 = 1\) 이 만나기 위해서는 \(y = \left(\frac{3 a^{\frac{1}{2}}}{10}\right)^x\) 에서 밑이 1 이하여야 한다.
따라서 \(a^{\frac{1}{2}} \le \frac{10}{3}\) 이고, 양변을 제곱하면 \(a \le \frac{100}{9} = 11.1\dots\)
함수 \(y = a^x \times \left(\frac{7}{3}\right)^{-x}\) 의 그래프와 원 \((x-1)^2 + y^2 = 1\) 이 만나지 않기 위해서는 \(y = \left(\frac{3a}{7}\right)^x\) 에서 밑이 1보다 커야 한다.
따라서 \(\frac{3a}{7} \gt 1\) 이므로 \(a \gt \frac{7}{3} = 2.3\dots\)
결과적으로 \(\frac{7}{3} \lt a \le \frac{100}{9}\) 을 만족하는 자연수 \(a\)의 개수는 \(a = 3, 4, \dots, 11\) 로 총 9개다.

\[\lim_{x \to 1} \frac{g(x)+1}{f(x)} = 1\] 이므로 \(g(1) + 1 = 0\). 즉, \(g(1) = -1\) 이고, \(g(1) = 1 + p\) 이므로 \(p = -2\) 이다.
\(g(x)\) 가 \(x = \pm 1\) 에서 연속이므로 \(\lim_{x \to 1} g(x) = a + b + c = g(1) = -1\) 이다.
\[\lim_{x \to 1} \frac{g(x)+1}{f(x)} = \lim_{x \to 1} \frac{ax^2+bx+c+1}{(x^2-1)(ax^2+bx+c)} = 1\]
분자가 0이 되어야 하므로 \(a+b+c+1 = 0\), 즉 \(a+b+c = -1\) 이고, 조립제법을 이용하거나 식을 정리하면 분자는 \(a(x^2-1) + b(x-1) + (a+b+c+1) = (x-1)(a(x+1)+b)\) 가 된다.
따라서 \[\lim_{x \to 1} \frac{a(x+1)+b}{(x+1)(ax^2+bx+c)} = \frac{2a+b}{2(a+b+c)} = 1\]
\(a+b+c = -1\) 이므로 \(2a+b = -2\) 이다.
한편 \(\lim_{x \to -1} g(x) = a - b + c = g(-1) = -1 - 2 = -3\) 이다.
\(a+b+c = -1\) 과 \(a-b+c = -3\) 을 연립하면 \(2b = 2 \implies b = 1\) 이다.
\(b = 1\) 을 \(2a+b = -2\) 에 대입하면 \(2a = -3 \implies a = -\frac{3}{2}\) 이다.
\(a+b+c = -1\) 에 대입하면 \(-\frac{3}{2} + 1 + c = -1 \implies c = -\frac{1}{2}\) 이다.
따라서 \(g(x) = ax^2 + bx + c = -\frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}\) 이며, \(g(p) = g(-2) = -\frac{3}{2}(-2)^2 + (-2) - \frac{1}{2} = -6 - 2 - \frac{1}{2} = -\frac{17}{2}\) 이다.

곡선 \(y = 4 + \log_a(x+2)\) 와 \(y = a^{x+2} + 4\) 는 곡선 \(y = \log_a x\) 와 \(y = a^x\) 을 \(x\)축으로 \(-2\)만큼, \(y\)축으로 \(4\)만큼 평행 이동한 곡선으로, 직선 \(y = x+6\) 에 대하여 대칭이다.
교점 \(P\)는 직선 \(x = -1\) 과 \(y = 5\) 의 교점이므로 \(P(-1, 5)\) 이다.
점 \(A\)는 직선 \(y = 5\) 와 곡선 \(y = 4 + \log_a(x+2)\) 의 교점이므로 \(5 = 4 + \log_a(x+2) \implies x+2 = a \implies x = a-2\) 이므로 \(A(a-2, 5)\) 이다.
점 \(B\)는 직선 \(x = -1\) 과 곡선 \(y = a^{x+2} + 4\) 의 교점이므로 \(y = a^{-1+2} + 4 = a+4\) 이므로 \(B(-1, a+4)\) 이다.
따라서 삼각형 \(PAB\) 는 \(\angle P = 90^{\circ}\) 인 직각삼각형이므로 넓이는
\(\dfrac{1}{2} \times \overline{PA} \times \overline{PB} = \dfrac{1}{2}((a-2)-(-1))((a+4)-5) = \dfrac{1}{2}(a-1)^2\) 이다.
삼각형의 넓이가 2이므로 \(\frac{1}{2}(a-1)^2 = 2 \implies (a-1)^2 = 4\)
\(a \gt 1\) 이므로 \(a-1 = 2 \implies a = 3\) 이다.

\(\cos^2 x + 4\sin x + k \le 0\) 에 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) 를 대입하여 사인의 식으로 바꾸면,
\(1 - \sin^2 x + 4\sin x + k \le 0\) 즉, \(\sin^2 x - 4\sin x - k - 1 \ge 0\) 이다.
\(\sin x = t\) 라 하면 \(-1 \le t \le 1\) 이고, 식은 \(t^2 - 4t - k - 1 \ge 0\) 이 된다.
완전제곱식으로 변형하면 \((t-2)^2 - k - 5 \ge 0\) 이다.
\(-1 \le t \le 1\) 에서 \((t-2)^2\) 의 최솟값은 \(t = 1\) 일 때 \((-1)^2 = 1\) 이다.
따라서 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식이 성립하려면 최솟값일 때도 성립해야 하므로,
\(1 - k - 5 \ge 0 \implies k \le -4\) 이다.
즉, 실수 \(k\)의 최댓값은 \(-4\) 이다.

\(\lim_{x \to 2} (x-2)f(x) = 0\) 이므로, 우변의 극한값도 0이어야 한다.
\(\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2+a}-5}{x^2+4} = 0 \implies \frac{\sqrt{4+a}-5}{8} = 0\) 따라서 \(\sqrt{4+a} = 5\) 이므로 \(a = 21\) 이다.
\(x \ge 2\) 일 때 \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2+21}-5}{(x-2)(x^2+4)}\) 이다.
함수 \(f(x)\) 가 실수 전체에서 연속이므로 \(f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)\) 이다.
\(f(2) = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2+21}-5}{(x-2)(x^2+4)} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x^2+21}-5)(\sqrt{x^2+21}+5)}{(x-2)(x^2+4)(\sqrt{x^2+21}+5)}\)
\(= \lim_{x \to 2} \frac{x^2+21-25}{(x-2)(x^2+4)(\sqrt{x^2+21}+5)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{(x-2)(x^2+4)(\sqrt{x^2+21}+5)}\)
\(= \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x^2+4)(\sqrt{x^2+21}+5)} = \lim_{x \to 2} \frac{x+2}{(x^2+4)(\sqrt{x^2+21}+5)}\)
\(= \frac{4}{8 \times (\sqrt{25}+5)} = \frac{4}{8 \times 10} = \frac{1}{20}\) 이다.
따라서 \(\frac{a}{f(2)} = \frac{21}{\frac{1}{20}} = 420\) 이다.

\(g(x) = x \int_0^x (tf(t)-11)dt - \int_0^x t^2 f(t) dt\) 에서 양변을 미분하면
\(g'(x) = \int_0^x (tf(t)-11)dt + x(xf(x)-11) - x^2 f(x) = \int_0^x (tf(t)-11)dt - 11x\) 이다.
함수 \(g(x)\) 는 \(x=2\) 에서 극솟값을 가지므로 \(g'(2) = 0\) 이다.
\(g'(2) = \int_0^2 (tf(t)-11)dt - 22 = 0\) 이다.
일차함수 \(f(x) = ax+b\) 라 하자.
\(\int_0^2 (t(at+b)-11)dt = \int_0^2 (at^2+bt-11)dt = \left[\frac{a}{3}t^3 + \frac{b}{2}t^2 - 11t\right]_0^2 = \frac{8}{3}a + 2b - 22\)
따라서 \(\frac{8}{3}a + 2b - 22 - 22 = 0 \implies \frac{8}{3}a + 2b = 44 \implies 4a + 3b = 66\) 이다.
또한 \(g(2) = 2 \int_0^2 (tf(t)-11)dt - \int_0^2 t^2 f(t) dt = -20\) 이다.
\(\int_0^2 (tf(t)-11)dt = 22\) 이므로 \(2(22) - \int_0^2 t^2 f(t) dt = -20 \implies \int_0^2 t^2 f(t) dt = 64\) 이다.
\(\int_0^2 t^2 (at+b)dt = \int_0^2 (at^3+bt^2)dt = \left[\frac{a}{4}t^4 + \frac{b}{3}t^3\right]_0^2 = 4a + \frac{8}{3}b = 64 \implies 3a + 2b = 48\) 이다.
두 식 \(4a + 3b = 66\) 과 \(3a + 2b = 48\) 을 연립하면 \(a=12, b=6\) 이므로 \(f(x) = 12x+6\) 이다.
이제 \(g'(x)\) 를 구하면 \(g'(x) = \int_0^x (12t^2+6t-11)dt - 11x = \left[4t^3+3t^2-11t\right]_0^x - 11x = 4x^3+3x^2-22x = x(4x^2+3x-22) = x(4x+11)(x-2)\) 이다.
\(g'(x) = 0\) 에서 \(x = 0, 2, -\frac{11}{4}\) 이고 극값을 갖는다.
함수 \(g(x)\) 가 \(x=k\) (\(k \ne 2\)) 에서 또 다른 극솟값을 가지므로, \(x=-\frac{11}{4}\) 에서 극소이다.
따라서 \(k = -\frac{11}{4}\) 이다.

1) 원 \(x^2+y^2=\dfrac{1}{9^n}\)의 반지름이 \(r_n=\dfrac{1}{3^n}\)이고 제\(1\)사분면 위쪽에서 기울기가 \(-\dfrac{2}{3}\)인 접선(또는 두 접선 대칭 동일 넓이)은 \(y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{3^n}\sqrt{1+\dfrac{4}{9}} = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{\sqrt{13}}{3^{n+1}}\)이다.
2) \(x\)절편은 \(\dfrac{\sqrt{13}}{2\cdot 3^n}\), \(y\)절편은 \(\dfrac{\sqrt{13}}{3^{n+1}}\)이므로 삼각형 넓이 \(a_n = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{13}}{2\cdot 3^n}\cdot\dfrac{\sqrt{13}}{3^{n+1}} = \dfrac{13}{12\cdot 9^n}\)이고 첫째항 \(a_1 = \dfrac{13}{108}\)이다.
3) 공비가 \(\dfrac{1}{9}\)인 등비수열이므로 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k = \dfrac{\frac{13}{108}\left\{1 - \left(\frac{1}{9}\right)^{10}\right\}}{1 - \frac{1}{9}} = \dfrac{13}{96}\left\{1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{20}\right\}\)이다.

\(x \lt 1\)일 때 \(f(x) = x - \frac{x}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}\), \(x \gt 1\)일 때 \(f(x) = 1 - \frac{x}{1+x} = \frac{1}{1+x}\). \(f(1) = \frac{1}{2}\)이므로 \(\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1-} \frac{\frac{x^2}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1-} \frac{(2x+1)(x-1)}{2(1+x)(x-1)} = \frac{3}{4}\), \(\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1+} \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1+} \frac{1-x}{2(1+x)(x-1)} = -\frac{1}{4}\)

접선의 기울기를 \(m\)이라 하면 점 \(\left(\frac{1}{2a}, 0\right)\)을 지나는 접선의 방정식은 \(y = m\left(x - \frac{1}{2a}\right)\)이다.
또한 \(x = k\)에서 접하므로 \(m = 2ak\)이다.
한편 접선이 점 \((k, ak^2)\)을 지나므로 \(ak^2 = 2ak\left(k - \frac{1}{2a}\right)\)이다.
따라서 \(k = \frac{1}{a}\)이다.
결론적으로 접선의 기울기는 \(m = 2\)이다.

\(f(x) = 3^{|x|} + a\)의 그래프는 \(x=0\)에서 최솟값 \(1+a\)를 갖는다.
\(4^{f(x)} - 5 \times 2^{f(x)+1} + 24 = 0\) 방정식은 \(2^{f(x)}\)를 \(t\)라 치환하면 \(t^2 - 10t + 24 = 0\)이 되고, 이 방정식의 해는 \(t=4, 6\)이다.
\(f(x)\)의 최솟값은 \(1+a\)이므로 \(2^{f(x)} \ge 2^{1+a}\)이다.
오직 하나의 실근을 갖기 위해서는 \(2^{f(x)}\)의 최솟값이 6이 되어야 한다.
(\(\because 2^{f(x)} = 4\)이면,
\(2^{f(x)} = 6\)인 근 \(x\)가 존재) 따라서 \(2^{1+a} = 6\) 즉, \(a\)의 값은 \(\log_2 6 - 1\) 또는 \(\log_2 3\)이다.

\(3\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \frac{b}{a} = 3\), \(\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} = 3\), \((3a+b)^2 = 9(a^2+b^2)\) \(9a^2+6ab+b^2 = 9a^2+9b^2\), \(6ab = 8b^2\), \(\therefore \frac{a}{b} = \frac{4}{3}\)

\(a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{1}{9} \left\{ n^2(n+2)^2 - (n-1)^2(n+1)^2 \right\}\) \(= \frac{1}{9} ( n^4 + 4n^3 + 4n^2 - n^4 + 2n^2 - 1 ) = \frac{1}{9} ( 4n^3 + 6n^2 - 1 )\) \(\therefore a_1 = S_1 = 1\) \(\therefore a_{100} = \frac{1}{9} ( 4000000 + 60000 - 1 ) = 451111\) \(\therefore a_1 + a_{100} = 451112\)

\[\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9\]이므로 \(f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + b\)이다.
또한 \[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 14\]이므로 \(f(0) = 0\)이 성립해야 하므로 \(b = 0\)이다. 따라서 \[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 9x^2 + ax}{x} = \lim_{x \to 0} (x^2 - 9x + a) = a = 14\]이므로 \(f(x) = x^3 - 9x^2 + 14x = x(x-2)(x-7)\)이고, 결국 \[\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = \lim_{x \to 2} x(x-7) = -10\]이다.

\(0 \lt |a+1| \lt 1\)일 때, 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 감소 함수 따라서, \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 \(x = \frac{1}{9}\)에서 최댓값 2를 갖는다.
\(|a+1|^2 = \frac{1}{9}, \therefore |a+1| = \frac{1}{3}, \implies a = -\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\) \(1 \lt |a+1|\)일 때, 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 증가 함수 따라서, \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 \(x = 16\)에서 최댓값 2를 갖는다.
\(|a+1|^2 = 16, \therefore |a+1| = 4, \implies a = 3, -5\)

시각 \(t(t \ge 0)\)에서의 두 점 A, B의 위치는 각각 \(s_1(t) = \int_0^t v_1(\tau) d\tau = \int_0^t (2\tau^3 - 12\tau^2 + 24\tau) d\tau = \frac{1}{2}t^4 - 4t^3 + 12t^2\), \(s_2(t) = \int_0^t v_2(\tau) d\tau = \int_0^t \left(\frac{3}{2}\tau^2 + 9a\right) d\tau = \frac{1}{2}t^3 + 9at\)이다.
두 점이 만나므로 \(s_1(t) = s_2(t)\)라 놓으면 \(\frac{1}{18}t^4 - \frac{1}{2}t^3 + \frac{4}{3}t^2 = at\)이고 출발 후 두 점이 만나는 횟수는 \(\frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t = a\)의 실근의 개수와 같다.
즉 함수 \(f(t) = \frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t (t \ge 0)\)의 그래프와 직선 \(y = a\)의 교점의 개수가 2인 \(a\)값을 구한다.
즉 극값에서 직선 \(y = a\)와 교점의 개수가 2이다.
따라서 \(f'(t) = \frac{1}{6}t^2 - t + \frac{4}{3} = \frac{1}{6}(t-2)(t-4)\)이므로 \(t = 2, 4\)에서 교점이 2개이다.
\(f(2) = \frac{10}{9}\), \(f(4) = \frac{8}{9}\)이다.

곡선 \(y = -x^2+6x-9 = -(x-3)^2\) 위의 점 \((a, f(a))\) (\(0 \lt a \lt 3\))에서의 접선의 방정식은 \(f'(x) = -2x+6\) 이므로 \(y = -2(a-3)(x-a) - (a-3)^2\) 이다.
따라서 접선의 \(x\)절편은 \(\frac{a+3}{2}\) 이고 \(y\)절편은 \(a^2-9\) 이므로 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \left(\frac{a+3}{2}\right) \times (9-a^2)\) 이다.
따라서 \(y = f(x)\)의 그래프와 접선 및 \(x\)축 또는 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = -\int_0^3 f(x) dx - \text{삼각형넓이}\) 로 계산할 수 있다.
\[ \begin{aligned} S &= -\int_0^3 -x^2+6x-9 dx - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x \right]_0^3 - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} \\ &= \frac{1}{4}a^3 + \frac{3}{4}a^2 - \frac{9}{4}a + \frac{9}{4} \end{aligned} \]
따라서 넓이 \(S\)의 (\(0 \lt a \lt 3\))에서의 최솟값은 \[ S' = \frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{2}a - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}(a-1)(a+3)\] 이므로 \(a = 1\)에서 극소값 \(S = 1\)을 가지며 이 값이 최솟값이다.