1) \(f(x)=a\sin\frac{x}{3b}+c\)의 주기는 \(\frac{2\pi}{\left|\frac{1}{3b}\right|} = 6b\pi\) 입니다 (단, \(b \gt 0\)). 주기가 \(6\pi\) 이므로,
\(6b\pi=6\pi \implies b=1\) 입니다.
2) \(f(x)=a\sin\frac{x}{3}+c\)의 최솟값은 \(-|a|+c\) 입니다 (단, \(a \gt 0\)). 최솟값이 \(-2\) 이므로,
\(-a+c=-2 \quad \cdots\text{ (1)}\) 입니다.
3) \(f\left(\frac{\pi}{2}\right) = a\sin\frac{\pi}{6}+c = \frac{1}{2}a+c = \frac{3}{2} \quad \cdots\text{ (2)}\) 입니다.
4) (1)과 (2)를 연립하여 값을 구합니다.
(2)에서 (1)을 변변 빼주면: \(\frac{3}{2}a = \frac{7}{2} \implies a=\frac{7}{3}\) 이를 (1)에 대입하면: \(-\frac{7}{3}+c=-2 \implies c=\frac{1}{3}\) 입니다.
5) 따라서 구하고자 하는 곱은: \(a\times b\times c = \frac{7}{3}\times 1\times \frac{1}{3} = \frac{7}{9}\) 입니다.

1) 조건 (나)에서 \(f(x)-g'(x)=1\) 입니다.
\(a(x+1) - 2b(x+c) = (a-2b)x + (a-2bc) = 1\) 이 모든 실수 \(x\)에 대해 성립해야 하므로,
\(a-2b=0 \implies a=2b \quad \cdots\text{ (1)}\) 이고, \(a-2bc=1 \quad \cdots\text{ (2)}\) 입니다.
2) 조건 (가)에서 \(\{f(x)\}^2-4g(x)=4x+3\) 에 \(a=2b\)를 대입합니다.
\(4b^2(x+1)^2 - 4b(x+c)^2 = 4x+3\) \(x^2\)의 계수를 비교하면 \(4b^2-4b=0\) 인데, \(b \neq 0\) (이차함수이므로) 이므로 \(b=1\) 입니다.
\(b=1\)을 대입하면 \(a=2\) 이고, (2)에서 \(2-2c=1 \implies c=\frac{1}{2}\) 입니다.
따라서 \(f(x)=2x+2\) 이고 \(g(x)=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = x^2+x+\frac{1}{4}\) 입니다.
3) 두 함수 \(y=\log_2 f(x)\) 와 \(y=\log_2\sqrt{g(x)}\) 의 진수 조건을 구합니다.
- \(f(x) \gt 0 \implies 2x+2 \gt 0 \implies x \gt -1\) - \(g(x) \gt 0 \implies \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 \gt 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}\) 따라서 공통 진수 조건 범위는 \(x \gt -1\) 이고 \(x \neq -\frac{1}{2}\) 입니다.
4) 두 함수의 교점 방정식 \(\log_2 f(x) = \log_2\sqrt{g(x)}\) 를 풉니다.
\(f(x) = \sqrt{g(x)} \implies 2x+2 = \sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2} = \left|x+\frac{1}{2}\right|\) - \(x \gt -\frac{1}{2}\) 일 때: \(2x+2 = x+\frac{1}{2} \implies x = -\frac{3}{2}\) 이나 이는 범위에 맞지 않아 모순입니다.
- \(-1 \lt x \lt -\frac{1}{2}\) 일 때: \(2x+2 = -\left(x+\frac{1}{2}\right) \implies 3x = -\frac{5}{2} \implies x = -\frac{5}{6}\) 이며 범위에 적합합니다.
따라서 만나는 점의 \(x\)좌표는 \(x = -\frac{5}{6}\) 입니다.

1) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항 \(a_1=a=\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}\) 이고 공비를 \(r\)이라 둡시다.
일반항 \(a_n = a r^{n-1}\) 을 대입하여 분수 식을 정리하면: \(\frac{a_5 a_7}{a_4 a_6 a_8} = \frac{(ar^4)(ar^6)}{(ar^3)(ar^5)(ar^7)} = \frac{a^2 r^{10}}{a^3 r^{15}} = \frac{1}{ar^5}\) 입니다.
2) 주어진 로그 방정식에 대입합니다.
\(\log_3\left(\frac{1}{ar^5}\right) = 9 \implies \log_3(a r^5)^{-1} = 9 \implies -\log_3 a - 5\log_3 r = 9\) \(a = 3^{\frac{1}{2}}\) 이므로 \(-\frac{1}{2} - 5\log_3 r = 9 \implies -5\log_3 r = \frac{19}{2} \implies \log_3 r = -\frac{19}{10}\) 입니다.
따라서 공비는 \(r=3^{-\frac{19}{10}}\) 입니다.
3) \(a_m = \frac{1}{3^9} = 3^{-9}\) 을 만족하는 \(m\)을 구합니다.
\(a_m = a r^{m-1} = 3^{\frac{1}{2}} \times \left(3^{-\frac{19}{10}}\right)^{m-1} = 3^{\frac{1}{2}-\frac{19}{10}(m-1)} = 3^{-9}\) 지수를 비교하면: \(\frac{1}{2} - \frac{19}{10}(m-1) = -9 \implies -\frac{19}{10}(m-1) = -\frac{19}{2}\) \(m-1 = 5 \implies m=6\) 입니다.
따라서 자연수 \(m=6\), 공비 \(r = 3^{-\frac{19}{10}}\) 입니다.

1) 곡선 \(y=\sqrt{x}\)와 직선 \(y=x\)의 원점이 아닌 교점 \(A\)는 \(\sqrt{x}=x \implies x^2-x=0 \implies A(1,1)\) 입니다.
세 점 \(O(0,0), A(1,1), B(t, \sqrt{t})\)로 둘러싸인 삼각형 \(OAB\)의 넓이 \(T(t)\)는 사선 공식에 의해: \(T(t) = \frac{1}{2}|1\cdot\sqrt{t} - 1\cdot t| = \frac{1}{2}(\sqrt{t}-t)\) (단, \(0 \lt t \lt 1\) 이므로 \(\sqrt{t} \gt t\)입니다.
) 2) 곡선 \(y=x^2\)과 \(x\)축 및 \(x=t, x=1\)로 둘러싸인 영역의 넓이 \(S(t)\)는 정적분으로 계산합니다.
\(S(t) = \int_t^1 x^2 dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_t^1 = \frac{1}{3}(1-t^3)\) 입니다.
3) 구하고자 하는 극한값을 계산합니다.
\(\lim_{t \to 1-} \frac{S(t)}{T(t)} = \lim_{t \to 1-} \frac{\frac{1}{3}(1-t^3)}{\frac{1}{2}(\sqrt{t}-t)} = \frac{2}{3} \lim_{t \to 1-} \frac{1-t^3}{\sqrt{t}(1-\sqrt{t})}\) 입니다.
분자의 \(1-t^3\)을 인수분해하면 \(1-t^3 = (1-t)(1+t+t^2) = (1-\sqrt{t})(1+\sqrt{t})(1+t+t^2)\) 이므로: \(\lim_{t \to 1-} \frac{(1-\sqrt{t})(1+\sqrt{t})(1+t+t^2)}{\sqrt{t}(1-\sqrt{t})} = \lim_{t \to 1-} \frac{(1+\sqrt{t})(1+t+t^2)}{\sqrt{t}}\) \(= \frac{(1+1)(1+1+1)}{1} = 2 \times 3 = 6\) 입니다.
따라서 최종 극한값은: \(\frac{2}{3} \times 6 = 4\) 입니다.

1) 사차함수 \(f(x) = \frac{5}{16}x^4 - \frac{5}{2}x^2 + 4\)의 극값을 구하기 위해 도함수를 구합니다.
\(f'(x) = \frac{5}{4}x^3 - 5x = \frac{5}{4}x(x-2)(x+2)\) \(f'(x)=0\)의 실근은 \(x=-2, 0, 2\) 입니다.
- 극댓값: \(f(0) = 4\) - 극솟값: \(f(-2) = f(2) = \frac{5}{16}(16) - \frac{5}{2}(4) + 4 = 5 - 10 + 4 = -1\) 2) 함수 \(y=|f(x)|\)의 그래프는 \(y=f(x)\) 그래프 중 \(y \lt 0\)인 부분을 위로 접어 올린 것이므로,
접어 올라간 극솟값의 위치는 \(y=1\)이 되고, 극댓값은 \(y=4\)가 됩니다.
방정식 \(|f(x)|=t\)의 실근의 개수 \(g(t)\)는 함수 \(y=|f(x)|\)의 그래프와 직선 \(y=t\)의 교점의 개수와 같습니다.
직선 \(y=t\)의 위치에 따른 교점의 개수 \(g(t)\)를 분석하면: - \(t \gt 4\) 일 때, \(g(t) = 2\) - \(t = 4\) 일 때, \(g(t) = 3\) - \(1 \lt t \lt 4\) 일 때, \(g(t) = 4\) - \(t = 1\) 일 때, \(g(t) = 6\) (접어 올려진 극솟점 \(x = \pm 2\)에서 접점 2개와 그 사이/바깥의 교점 4개) - \(0 \lt t \lt 1\) 일 때, \(g(t) = 8\) - \(t = 0\) 일 때, \(g(t) = 4\) 3) 각각의 우극한, 좌극한, 함숫값을 구합니다.
- \(\lim_{t \to 1+} g(t) = 4\) - \(\lim_{t \to 1-} g(t) = 8\) - \(g(1) = 6\) 따라서 구하고자 하는 값은 \(4 + 8 + 6 = 18\) 입니다.

1) 조건 (가), (나)의 변수를 치환하여 \(f(t)\)에 관한 범위를 설정합니다.
- 조건 (가)에서 \(t = \frac{x-1}{6}\) 이라 하면,
\(x = 6t+1\) 이므로 \(t \ge 0\) 일 때: \((6t+1)^2 \lt f(t) \implies 36t^2 + 12t + 1 \lt f(t)\) 입니다.
- 조건 (나)에서 \(t = \frac{x-2}{6}\) 이라 하면,
\(x = 6t+2\) 이므로 \(t \ge 0\) 일 때: \(f(t) \lt (6t+2)^2 \implies f(t) \lt 36t^2 + 24t + 4\) 입니다.
따라서 \(t \ge 0\) 인 모든 실수 \(t\)에 대하여 다음
부등식이 성립합니다.
\(36t^2 + 12t + 1 \lt f(t) \lt 36t^2 + 24t + 4\) 2) 각 변을 \(t^2\) (\(t \gt 0\))으로 나누고 \(t \to \infty\) 극한을 취하면 샌드위치 정리에 의해: \(\lim_{t \to \infty} \frac{f(t)}{t^2} = 36\) 임을 알 수 있습니다.
\(f(x)\)는 다항함수이므로 \(f(x) = 36x^2 + ax + b\) (\(a, b\)는 정수)로 둘 수 있습니다.
\(t=0\)을 대입하면 \(1 \lt f(0) \lt 4 \implies 1 \lt b \lt 4\) 이므로,
정수 \(b\)는 \(b=2\) 또는 \(b=3\) 입니다.
3) 조건 (다)에서 \(g(x) = \int_0^x f(t)dt\)가 \(x=-\frac{1}{3}\)에서 극값을 가지므로,
미적분학의 기본정리에 의해: \(g'\left(-\frac{1}{3}\right) = f\left(-\frac{1}{3}\right) = 0\) 입니다.
\(f\left(-\frac{1}{3}\right) = 36\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + a\left(-\frac{1}{3}\right) + b = 4 - \frac{a}{3} + b = 0 \implies a = 3b + 12\) 입니다.
4) \(b\)의 각 값에 따른 정수 \(a\)와 \(f(-1)\)의 값을 구합니다.
- \(b=2\) 일 때: \(a=18 \implies f(x) = 36x^2 + 18x + 2\) 이므로,
\(f(-1) = 36-18+2 = 20\) - \(b=3\) 일 때: \(a=21 \implies f(x) = 36x^2 + 21x + 3\) 이므로,
\(f(-1) = 36-21+3 = 18\) 따라서 다항함수 \(f(x)\)의 계수가 모두 정수인 조건 하에서 \(f(-1)\)의 최솟값은 \(18\)입니다.

1) \(x \ge 0\)에서 \(f(x)=ax(x-2)\)의 최솟값은 \(x=1\)에서 \(f(1)=-a\) 이며, \(x \lt 0\)에서 \(f(x)=x^3\)은 음
의 실수 전체를 치역으로 갖습니다.
\(f(x)=f(t)\)의 교점 개수인 \(g(t)\)는 \(y=f(t)\)의 높이에 따라 변합니다.
높이가 \(-a\)가 되게 하는 \(x\)좌표는 \(x=-\sqrt[3]{a}\) 와 \(x=1\) 이며, 높이가 \(0\)이 되게 하는 \(x\)좌표는 \(x=0, 2\) 입니다.
각 \(t\)의 위치에 따른 실근의 개수 \(g(t)\)를 분석하면: - \(t \lt -\sqrt[3]{a}\) 일 때, \(f(t) \lt -a \implies g(t) = 1\) - \(t = -\sqrt[3]{a}\) 일 때, \(f(t) = -a \implies g(t) = 2\) - \(-\sqrt[3]{a} \lt t \lt 0\) 일 때, \(-a \lt f(t) \lt 0 \implies g(t) = 3\) - \(t = 0\) 일 때, \(f(t) = 0 \implies g(t) = 2\) - \(0 \lt t \lt 1\) 일 때, \(-a \lt f(t) \lt 0 \implies g(t) = 3\) - \(t = 1\) 일 때, \(f(t) = -a \implies g(t) = 2\) - \(1 \lt t \lt 2\) 일 때, \(-a \lt f(t) \lt 0 \implies g(t) = 3\) - \(t = 2\) 일 때, \(f(t) = 0 \implies g(t) = 2\) - \(t \gt 2\) 일 때, \(f(t) \gt 0 \implies g(t) = 1\) 불연속점 \(k\) 중 좌우극한의 차이가 2인 지점은 \(k=-\sqrt[3]{a}\) 와 \(k=2\) 뿐입니다.
따라서 모든 \(k\)의 합 \(-\sqrt[3]{a}+2=1 \implies \sqrt[3]{a}=1 \implies a=1\) 입니다.
2) \(a=1\) 이므로 \(x \ge 0\)에서 곡선은 \(y=x^2-2x\) 입니다.
접점을 \(C(c, c^2-2c)\) (\(c \gt 0\))라 하면 접선의 기울기는 \(2c-2\) 이므로 접선의 방정식은: \(y - (c^2-2c) = (2c-2)(x-c) \implies y = (2c-2)x - c^2\) 입니다.
이 접선이 점 \((0, -9)\)를 지나므로 \(-c^2 = -9 \implies c = 3\) (\(c \gt 0\)) 입니다.
따라서 접선은 \(y = h(x) = 4x-9\) 입니다.
3) 구하고자 하는 넓이는 곡선 \(y=x^2-2x\)와 \(y\)축(\(x=0\)) 및 접선 \(y=4x-9\)로 둘러싸인 도형입니다.
교점(접점) \(x=3\)까지 적분하면: \(A = \int_0^3 \{(x^2-2x) - (4x-9)\}\,dx = \int_0^3 (x^2-6x+9)\,dx = \left[ \frac{1}{3}(x-3)^3 \right]_0^3 = 0 - \left(-\frac{27}{3}\right) = 9\) 입니다.
따라서 구하는 부분의 넓이는 \(9\)입니다.

1) 주어진 식의 각도 항을 각변환 공식을 이용해 통일합니다.
- \(\cos^2\left(x+\frac{5\pi}{6}\right) = \cos^2\left(x+\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = 1 - \cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\) - \(\cos\left(x+\frac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(x+\frac{\pi}{3} + \pi\right) = -\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\) - \(\sin\left(x+\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(x+\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\) 이를 대입하여 정리하면: \(1 - \cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right) + a\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) + a\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) - 2a - 4 = 0\) \(\cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right) - 2a\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) + (2a+3) = 0 \quad \cdots\text{ (ㄱ)}\) 입니다.
2) \(t = \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\) 로 치환합니다.
\(0 \le x \le \frac{4\pi}{3} \implies \frac{\pi}{3} \le x+\frac{\pi}{3} \le \frac{5\pi}{3}\) 이므로,
코사인 값의 범위는 \(-1 \le t \le \frac{1}{2}\) 입니다.
이 범위 내에서 각 \(t\)에 대한 실근 \(x\)의 개수를 파악하면: - \(t = -1\) 일 때, \(x+\frac{\pi}{3} = \pi\) 이므로 \(x\)는 \(1\)개만 대응합니다.
- \(-1 \lt t \le \frac{1}{2}\) 일 때, 코사인 곡선과의 교점이 2개 발생하므로 서로 다른 \(x\)가 \(2\)개 대응합니다.
- \(t \gt \frac{1}{2}\) 일 때, 만족하는 실근 \(x\)는 존재하지 않습니다 (0개). 따라서 방정식 (ㄱ)이 서로 다른 2개의 실근 \(x\)를 가지려면 치환 방정식 \(f(t) = t^2-2at+2a+3 = 0\) 이 \(-1 \lt t \le \frac{1}{2}\) 에서 오직 하나의 실근을 가져야 합니다.
3) \(f(t) = t^2-2at+2a+3 = 0\) 이 범위 내에서 하나의 실근을 갖도록 하는 정수 \(a\)를 구합니다.
- 경계값: \(f(-1) = 4a+4\), \(f\left(\frac{1}{2}\right) = a + \frac{13}{4}\) (i) 두 경계에서의 부호가 서로 다를 때: \(f(-1)f\left(\frac{1}{2}\right) \lt 0 \implies (4a+4)\left(a+\frac{13}{4}\right) \lt 0 \implies -\frac{13}{4} \lt a \lt -1\) 이 범위 안의 정수 \(a\)는 \(a = -3, a = -2\) 입니다.
(ii) 경계가 0인 경우: - \(f\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \implies a = -\frac{13}{4}\) (정수가 아님) - \(f(-1) = 0 \implies a = -1\) 이면,
\(f(t) = (t+1)^2 = 0 \implies t = -1\) (중근). 그러나 \(t=-1\)은 범위에서 제외되므로 조건을 만족하지 않습니다.
(iii) 축이 범위에 있고 판별식이 0인 경우: \(D/4 = a^2 - (2a+3) = (a-3)(a+1) = 0 \implies a = 3\) 또는 \(a = -1\) 두 경우 모두 대칭축이 범위 외부에 있거나 범위 밖에서 중근을 가지므로 해당 사항이 없습니다.
따라서 만족하는 정수 \(a\)는 \(a = -3, a = -2\) 입니다.

1) 조건 (나)에 의해 삼차함수 \(f(x)\)는 다음
과 같이 수립할 수 있습니다.
\(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 14\) (\(a, b\)는 상수) 도함수는 \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\) 입니다.
2) 조건 (가)에 의해 \(x=2\)에서의 접선이 \(y=-4x+24\) 이므로: - \(f'(2) = -4\) - 접점의 \(y\)좌표는 \(f(2) = -4(2)+24 = 16\) 입니다.
이를 식에 대입하여 정리합니다.
- \(f'(2) = 12 + 4a + b = -4 \implies 4a + b = -16 \quad \cdots\text{ (1)}\) - \(f(2) = 8 + 4a + 2b + 14 = 22 + 4a + 2b = 16 \implies 4a + 2b = -6 \quad \cdots\text{ (2)}\) (2)에서 (1)을 빼주면: \(b = 10\) 입니다.
이를 (1)에 대입하면: \(4a + 10 = -16 \implies 4a = -26 \implies a = -\frac{13}{2}\) 입니다.
따라서 삼차함수는 \(f(x) = x^3 - \frac{13}{2}x^2 + 10x + 14\) 이고, 도함수는 \(f'(x) = 3x^2 - 13x + 10 = (3x-10)(x-1)\) 입니다.
3) \(f'(x)=0\)의 실근은 \(x=1\)과 \(x=\frac{10}{3}\) 이며, 증감표를 고려하면 \(x=1\)에서 극대, \(x=\frac{10}{3}\)에서 극소입니다.
- 극댓값: \(f(1) = 1 - \frac{13}{2} + 10 + 14 = 25 - \frac{13}{2} = \frac{37}{2}\) 입니다.
- 극솟값: \(f\left(\frac{10}{3}\right) = \left(\frac{10}{3}\right)^3 - \frac{13}{2}\left(\frac{10}{3}\right)^2 + 10\left(\frac{10}{3}\right) + 14 = \frac{1000}{27} - \frac{650}{9} + \frac{100}{3} + 14\) \(= \frac{1000 - 1950 + 900 + 378}{27} = \frac{328}{27}\) 입니다.
따라서 극댓값은 \(\frac{37}{2}\) 이고, 극솟값은 \(\frac{328}{27}\) 입니다.

1) 주어진 방정식 \(\log_a b\) 에 대한 이차방정식을 정리합니다.
\((\log_a b)^2 = 3\log_a b - 2\) 이므로
\((\log_a b)^2 - 3\log_a b + 2 = 0\)
2) 이차방정식을 인수분해하여 \(\log_a b\) 의 값을 구합니다.
\((\log_a b - 1)(\log_a b - 2) = 0\) 이므로 \(\log_a b = 1\) 또는 \(\log_a b = 2\) 입니다.
조건에서 \(a \neq b\) 이므로 \(\log_a b \neq 1\) 입니다. 따라서 \(\log_a b = 2\) 입니다.
3) 구하고자 하는 식의 값을 계산합니다.
\(\log_b a + \log_{\frac{1}{a}} b = \frac{1}{\log_a b} - \log_a b = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}\) 입니다.

1) 조건 (가)를 이용하여 \(f(x)\)의 식을 세웁니다.
\(f(x) = x^2 + ax + b\) 라 하면, \(\int_0^1 f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}a + b = \frac{1}{3}\) 이므로 \(b = -\frac{1}{2}a\) 입니다.
2) 조건 (나)의 극한식을 분석합니다.
\(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x(x^2+x+1)} \int_1^{x+1} f(t) dt = f(1) = 3\) 입니다.
\(f(1) = 1 + a + b = 3\) 이고, \(b = -\frac{1}{2}a\) 를 대입하면 \(1 + \frac{1}{2}a = 3 \implies a = 4\) 이고 \(b = -2\) 입니다.
따라서 \(f(x) = x^2 + 4x - 2\) 입니다.
3) \(f(a) + f(b)\) 의 값을 구합니다.
\(f(a) + f(b) = f(4) + f(-2) = (16 + 16 - 2) + (4 - 8 - 2) = 30 - 6 = 24\) 입니다.

1) \(\overline{BC}=a,\ \overline{CA}=b,\ \overline{AB}=c\)라 하면 \(ab=42\), \(\cos C=\dfrac{27}{28}\)이므로 \(\sin C = \sqrt{1 - \left(\dfrac{27}{28}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{55}}{28}\)이다.
2) 사인법칙 \(a=2R\sin A,\ b=2R\sin B,\ c=2R\sin C\)에서 \(\dfrac{\sin A + \sin B}{\sin C} = \dfrac{a+b}{c}\)이고 \(\dfrac{\frac{13\sqrt{55}}{56}}{\frac{\sqrt{55}}{28}} = \dfrac{13}{2}\)이므로 \(a+b = \dfrac{13}{2}c\)이다.
3) 코사인법칙 \(c^2 = a^2+b^2 - 2ab\cos C = (a+b)^2 - 2ab(1+\cos C)\)에 대입하면 \(c^2 = \dfrac{169}{4}c^2 - 84\cdot\dfrac{55}{28} \implies \dfrac{165}{4}c^2 = 165 \implies c = 2\)이다.
4) \(2R = \dfrac{c}{\sin C} = \dfrac{2}{\frac{\sqrt{55}}{28}} = \dfrac{56}{\sqrt{55}} \implies R = \dfrac{28}{\sqrt{55}}\), 외접원 넓이 \(S = \pi R^2 = \dfrac{784}{55}\pi\)이므로 \(\sqrt{\dfrac{495S}{\pi}} = \sqrt{9 \times 784} = 3 \times 28 = 84\)이다.

1) 삼각형 \(A_n B_n C_n\) 의 넓이와 둘레를 구합니다.
넓이 \(S_n = \frac{1}{2} \times 2n \times n = n^2\) 입니다.
둘레의 길이 \(l_n = 2n + \sqrt{(2n)^2 + n^2} + \dots\) 직각이등변삼각형 등 기하적 조건에 의해 \(l_n = 2n + 2\sqrt{2}n = 2n(1+\sqrt{2})\) 입니다.
2) \(S_n\) 과 \(l_n\) 의 합을 계산합니다.
\(\sum_{n=1}^{10} S_n = \sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385\) 입니다.
\(\sum_{n=1}^{10} l_n = (2+2\sqrt{2}) \sum_{n=1}^{10} n = (2+2\sqrt{2}) \times 55 = 110(1+\sqrt{2})\) 입니다.

1) 주어진 극한 조건을 통해 \(f(x)\) 를 설정합니다.
\(f(x) = \frac{1}{3}x^3 + bx^2 + 4x\) 입니다. (상수항은 극한 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 4\) 에서 도출)
2) \(g(x) = f(x) + x^2 = \frac{1}{3}x^3 + (b+1)x^2 + 4x\) 가 \(x \gt 0\) 에서 증가하기 위한 조건을 찾습니다.
\(g'(x) = x^2 + 2(b+1)x + 4 \ge 0\)
대칭축 \(x = -(b+1)\) 의 위치에 따라 분류합니다.
(i) \(b+1 \ge 0\) (즉, \(b \ge -1\)) 인 경우: 대칭축이 0 이하이므로 \(x \gt 0\) 에서 항상 만족합니다.
(ii) \(b+1 \lt 0\) (즉, \(b \lt -1\)) 인 경우: 판별식 또는 최솟값 조건을 통해 \(-b^2-2b+3 \ge 0\) 이므로 \(-3 \le b \le 1\) 입니다. 범위와 교집합하면 \(-3 \le b \lt -1\) 에서 만족합니다.
3) 두 경우를 종합하면 \(b \ge -3\) 입니다.
방정식 \(f(x) = 0\) 의 모든 근의 합은 \(-3b\) 이고, \(b \ge -3\) 이므로 \(-3b \le 9\) 입니다.
따라서 구하는 최댓값은 9입니다.

1) 집합 \(A\)의 방정식을 인수분해하면 \((f(x)-1)\{f'(t)(x-t)+f(t)-1\}=0\)이므로, \(f(x)=1\)의 실근 또는 점 \((t, f(t))\)에서의 접선이 직선 \(y=1\)과 만나는 점의 \(x\)좌표이다.
2) \(f(x)-1 = -\dfrac{1}{3}x^3+x+6 = -\dfrac{1}{3}(x-3)(x^2+3x+6) = 0\)에서 \(x^2+3x+6 \gt 0\)이므로 유일한 실근은 \(x=3\)이다.
3) 원소의 개수가 \(1\)이려면 접선이 \(y=1\)과 만나지 않거나(\(f'(t)=0\)이고 \(f(t)\neq 1\)), 교점이 \(x=3\)뿐이어야 한다.
(i) \(f'(t)=-t^2+1=0 \implies t = \pm 1\) (이때 \(f(1)=\dfrac{23}{3}\neq 1,\ f(-1)=\dfrac{19}{3}\neq 1\)이므로 성립).
(ii) 접선이 \((3, 1)\)을 지날 때: \((-t^2+1)(3-t)-\dfrac{1}{3}t^3+t+6 = \dfrac{1}{3}(t-3)^2(2t+3)=0\)이므로 \(t = 3\) 또는 \(t = -\dfrac{3}{2}\)이다.
따라서 모든 실수 \(t\)의 값은 \(-1,\ 1,\ 3,\ -\dfrac{3}{2}\)이다.

1) 조건 (가)의 \(F(x)=\dfrac{1}{2}\{f(x)\}^2\)을 미분하면 \(f(x)=f(x)f'(x)\)이다. \(f(0)=1\)이고 다항함수이므로 \(f'(x)=1\), 즉 \(f(x)=x+1\)이다.
2) 조건 (나)의 양변을 미분하면 \(x+g(x)=1+g'(x)+x^2\), 즉 \(g(x)-g'(x)=x^2-x+1\)이므로 계수비교에 의해 \(g(x)=x^2+x+2\)이다.
3) 구하는 정적분은 \(\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{x^2}{1+x}+\dfrac{x+1}{1-x}+\dfrac{x^2+x+2}{x^2-1}\right)dx = \int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^2(x-1)-(x+1)^2+(x^2+x+2)}{x^2-1}dx = \int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^3-x^2-x+1}{x^2-1}dx = \int_0^{\frac{1}{2}}(x-1)dx = \left[\dfrac{1}{2}x^2-x\right]_0^{\frac{1}{2}} = -\dfrac{3}{8}\)이다.

1) 선분 \(AB\)가 지름이므로 \(\angle ACB = \angle ADB = \dfrac{\pi}{2}\)이다. \(\overline{CA}^2 = \sqrt{5},\ \overline{CB}^2 = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)이므로 피타고라스 정리에 의해 \(\overline{AB}^2 = 3\sqrt{5}\), 즉 \(\overline{AB} = \sqrt{3\sqrt{5}}\)이다.
2) 직각삼각형의 사영 정리 \(\overline{CB}^2 = \overline{PB}\cdot\overline{AB}\), \(\overline{DB}^2 = \overline{QB}\cdot\overline{AB}\)로부터 \(\overline{DB}^2 = \sqrt{1.25} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\)이므로:
\(\overline{PB} = \dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3\sqrt{5}}}\), \(\overline{QB} = \dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3\sqrt{5}}}\)이다.
3) \(\overline{PQ} = \overline{PB} - \overline{QB} = \dfrac{\frac{3}{2}\sqrt{5}}{\sqrt{3\sqrt{5}}}\)이므로 \(\dfrac{\overline{PQ}}{\overline{AB}} = \dfrac{\frac{3}{2}\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}\)이다.

1) 등비수열의 공비를 \(r \gt 0\)이라 하면 \(\dfrac{a_{n+1}a_{n+2}a_{n+3}}{a_n a_{n+1}a_{n+2}} = \dfrac{a_{n+3}}{a_n} = r^3 = \dfrac{3^{n+1}}{3^n} = 3\)이므로 \(r = \sqrt[3]{3}\)이다.
2) \(n=1\)을 대입하면 \(a_1 a_2 a_3 = a_1^3 r^3 = 3a_1^3 = 3\)이고 \(a_1 \gt 0\)이므로 \(a_1 = 1\)이다.
3) \(S_{12} = \dfrac{1\cdot\left\{(\sqrt[3]{3})^{12} - 1\right\}}{\sqrt[3]{3}-1} = \dfrac{3^4 - 1}{\sqrt[3]{3}-1} = \dfrac{80}{\sqrt[3]{3}-1}\)이므로 \(\dfrac{1}{S_{12}} = \dfrac{\sqrt[3]{3}-1}{80}\)이다.

1) \(\tan\theta - \frac{\sqrt{3}}{\tan\theta} = \sqrt{3} - 1\) 양변에 \(\tan\theta\)를 곱하여 정리하면,
\[\tan^2\theta - (\sqrt{3}-1)\tan\theta - \sqrt{3} = 0 \implies (\tan\theta + 1)(\tan\theta - \sqrt{3}) = 0\]2) \(\pi \lt \theta \lt \frac{3}{2}\pi\) (\(3\)사분면)이므로 \(\tan\theta \gt 0\) 이다.
따라서 \(\tan\theta = \sqrt{3}\) 이며 \(\theta = \frac{4\pi}{3}\) 이다.
3) \(\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos\theta = -\frac{1}{2}\) 이므로,
\[2\cos\theta - 4\sin\theta = 2\left(-\frac{1}{2}\right) - 4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 1\]

1) 점 \((2, 6)\)이 곡선 \(y = x^2f(x) - 3x\) 위에 있으므로,
\[6 = 2^2 f(2) - 3(2) = 4f(2) - 6 \implies 4f(2) = 12 \implies f(2) = 3\]2) \(y' = 2xf(x) + x^2f'(x) - 3\) 에서 \(x=2\)에서의 접선 기울기가 \(1\)이므로,
\[2(2)f(2) + 2^2 f'(2) - 3 = 4(3) + 4f'(2) - 3 = 9 + 4f'(2) = 1 \implies 4f'(2) = -8 \implies f'(2) = -2\]3) 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((2, 3)\)에서의 접선의 방정식은,
\[y - 3 = -2(x - 2) \implies y = -2x + 7\]따라서 \(y\)절편은 \(7\) 이다.

수열 \(\{a_n\}\)에 대하여,
1) \(a_1 = 1\), \(a_2 = 1 + 1\cdot\sin\pi = 1\), \(a_3 = 1 + 2\cdot\sin\frac{3\pi}{2} = -1\), \(a_4 = -1 + 3\cdot\sin 2\pi = -1\)
2) 일반화하면 \(a_{4k-3} = 2k-1\), \(a_{4k-2} = 2k-1\) [ ① \(2k-1\) ], \(a_{4k-1} = 2k-3\), \(a_{4k} = 2k-3\) [ ② \(2k-3\) ] 이다.
3) 4개 항의 합은 \(a_{4k-3} + a_{4k-2} + a_{4k-1} + a_{4k} = 8k-8\) 이다. [ ③ \(8k-8\) ]
4) \(\sum_{k=1}^{42} a_k = \sum_{k=1}^{10} (8k-8) + a_{41} + a_{42} = (8 \times 55 - 80) + 21 + 21 = 360 + 42 = 402\) 이다. [ ④ \(402\) ]

1) \(f(x) = \frac{ax+2}{x-b} = a + \frac{ab+2}{x-b}\) 의 점근선은 \(x=b, y=a\) 이다.
조건 (가)에서 \(|f(x)|=t\)의 실근 개수 \(g(t)\)가 \(t=b\)에서만 불연속이므로, \(|a| = b\) 이다.
2) 조건 (나)에서 \(|f(x)|=-tx\)의 실근 개수 \(h(t)\)가 양의 실수 전체에서 연속이므로 \(a = b \gt 0\) 이다.
3) \(f(3) + h(3) = \frac{2}{3}\) 에 대입하여 정돈하면 \(a=2, b=2\) 이다.
따라서 \(f(x) = \frac{2x+2}{x-2}\) 이며 구하는 값은 \(f(a) = f(4) = \frac{10}{2} = 5\) 이다.

1) 최고차항 계수가 \(-1\)인 사차함수 \(f(x)\)가 \(x=4\)에서 극솟값 \(0\)을 가지므로 \(x=4\)는 중근이다.
2) 세 실근이 등차수열을 이루므로 대칭축은 \(x=4\) 이며 세 실근은 \(4-a, 4, 4+a\) 이다.
\[f(x) = -(x-4)^2(x-4-a)(x-4+a) = -(x-4)^2\{(x-4)^2-a^2\}\]3) \(t = (x-4)^2\) 이라 하면 \(g(t) = -t(t-a^2) = -t^2 + a^2 t\) 의 극댓값은 \(t = \frac{a^2}{2}\) 일 때 이다.
\[g\left(\frac{a^2}{2}\right) = \frac{a^4}{4} = 9 \implies a^4 = 36 \implies a^2 = 6\]따라서 \(f(x) = -(x-4)^2\{(x-4)^2 - 6\}\) 이며,
\[f(1) = -(1-4)^2\{(1-4)^2 - 6\} = -9(9-6) = -27\]이다.

1) \(f(-x) = -f(x)\) 및 \(f(x) = f(x-2)+4a\) 에 \(x=1\)을 대입하면 \(f(1) = 2a\) 이다. [ ① \(2a\) ]
2) 평행이동에 의해 \(f(4) = f(0) + 8a = 6a\) 이다. [ ② \(6a\) ]
3) 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y\)축 및 \(y=-2a\)로 둘러싸인 부분의 넓이는 \(15a\) 이다. [ ③ \(15a\) ]
4) \(\int_{1}^{4} f(x)dx = 45 \implies 15a = 45 \implies a = 3\) 이다. [ ④ \(3\) ]

1) \(n=1\) (\(0 \le x \lt 2\)): \(f(x) = \cos(\pi x) = \frac{1}{2} \implies \pi x = \frac{\pi}{3} \implies x = \frac{1}{3}\) (가장 작은 실근).
2) \(n=2\) (\(2 \le x \lt 4\)): \(f(x) = \cos(2\pi x) = \frac{1}{2} \implies 2\pi x = 6\pi + \frac{5\pi}{3} = \frac{23\pi}{3} \implies x = \frac{23}{6}\) (가장 큰 실근).
따라서 가장 작은 실근은 \(\frac{1}{3}\), 가장 큰 실근은 \(\frac{23}{6}\) 이다.

1) \(a_n+b_n=2\)에서 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (a_k+b_k)=20 \quad \cdots \text{(식1)}\) 이고,
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{9} \{(a_{k+1})^2-(b_{k+1})^2\} = \sum_{k=1}^{10} \{(a_k)^2-(b_k)^2\} - \{(a_1)^2-(b_1)^2\} = 20\) 이다.
이때 두 수열의 첫째항이 같으므로(\(a_1=b_1\)),
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (a_k-b_k)(a_k+b_k) = \sum_{k=1}^{10} 2(a_k-b_k) = 20 \quad \cdots \text{(식2)}\) 이다.
2) 상기 (식1), (식2)를 연립하여 풀면, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k = 15\) 이고 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} b_k = 5\) 이다.
3) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \{ka_{k+1}-(k+1)a_k\}=50\)을 전개하면
\((a_2-2a_1)+(2a_3-3a_2)+(3a_4-4a_3)+\cdots+(10a_{11}-11a_{10})=50\) 이고,
\(-2(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{10})+10a_{11}=50\), 즉 \(-2\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k + 10a_{11}=50\) 이다.
4) 따라서 \(10a_{11}=80\), \(a_{11}=8\) 이고 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{11} a_k = 15+8=23\) 이다.

1) 진수 조건에 의해 \(f\left(\frac{x}{3}\right) \gt 0\) 이고 \(g\left(\frac{x}{3}\right) \gt 0\) 이어야 합니다.
2) 밑이 \(3\)으로 \(1\)보다 크므로 지수 및 함수 대소 관계에 의해,
\[f\left(\frac{x}{3}\right) \le g\left(\frac{x}{3}\right)\]를 만족해야 합니다.
3) \(t = \frac{x}{3}\) 라 하면 \(f(t) \gt 0\), \(g(t) \gt 0\), \(f(t) \le g(t)\) 를 동시에 만족하는 \(t\)의 범위를 구하면,
\[1 \lt t \le 4\]즉, \(1 \lt \frac{x}{3} \le 4 \implies 3 \lt x \le 12\) 입니다.
4) 따라서 만족하는 정수 \(x\)는 \(4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\) 로 총 \(9\)개입니다.

등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항을 \(a\), 공차를 \(d\)라 하면,
\(a_5 + a_6 + a_7 = 30\)에서 \((a+4d) + (a+5d) + (a+6d) = 3a+15d = 30\)이고,
\(a_9 + a_{10} = (a+8d) + (a+9d) = 2a+17d = 6\)이다.
상기 연립일차방정식을 풀이하면,
\(\therefore a=20, d=-2\)
따라서 \(a_{20} = 20 + 19(-2) = -18\)이므로
\(\therefore S_{20} = \frac{20(a_1 + a_{20})}{2} = \frac{20 \{20 + (-18)\}}{2} = 20\)

\(AC = x, BD = y\)라 하자.
조건 (가)에서 \(x+y=11\)이고, 조건 (나)에서 \(\frac{1}{2} x y \sin 30^\circ = 6\)으로부터 \(\frac{1}{4}xy = 6\), 즉 \(xy=24\)이다.
따라서 \(x, y\)는 방정식 \(t^2 - 11t + 24 = 0\)의 두 근이다.
\(x \lt y\)이므로 \(x=3, y=8\).
따라서 \(\frac{BD}{AC} = \frac{y}{x} = \frac{8}{3}\).

\(y = -x^3 + 6tx^2 + 5tx\)에서 \(y' = -3x^2 + 12tx + 5t = -3(x-2t)^2 + 12t^2 + 5t\)
곡선 \(y = -x^3 + 6tx^2 + 5tx\)에 접하는 직선의 기울기는 \(x=2t\)에서 최댓값 \(12t^2 + 5t\)를 갖는다.
이 때 접점의 좌표는 \((2t, 16t^3 + 10t^2)\)이므로 접선의 방정식은
\(y = (12t^2 + 5t)(x-2t) + 16t^3 + 10t^2\)
\(\therefore y = (12t^2 + 5t)x - 8t^3\)

\(\log_2 a + \log_3 b = 3c\)
\((\log_3 a)(\log_2 b) = \left( \frac{\log a}{\log 3} \right) \left( \frac{\log b}{\log 2} \right) = \left( \frac{\log a}{\log 2} \right) \left( \frac{\log b}{\log 3} \right) = (\log_2 a)(\log_3 b) = 2c^2\)이므로,
\(A = \log_2 a\), \(B = \log_3 b\)라 놓으면,
\(A+B = 3c\), \(AB = 2c^2\)
따라서 \(A\)와 \(B\)는 이차방정식 \(x^2 - 3cx + 2c^2 = 0\)의 두 근이다.
\(a \lt b\) (제시문 조건 등에 의해 \(A \lt B\))이므로 \(A = \log_2 a = c\), \(B = \log_3 b = 2c\)이다. (\(A=2c, B=c\)인 경우는 해당하지 않는다.)
따라서 \(a = 2^c, b = 3^{2c} = 9^c\)이므로,
\(\frac{a}{b} = \frac{2^c}{9^c} = \left(\frac{2}{9}\right)^c\)
따라서 \(k = \frac{2}{9}\)이다.

\(\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \cos x\), \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)이므로 주어진 식은
\(y = -\sin^2 x - 2k\sin x + 3k = -(\sin x + k)^2 + k^2 + 3k\)이다.
\(\sin x = t\)라 하면 \(y = f(t) = -t^2 - 2kt + 3k = -(t+k)^2 + k^2 + 3k\)이고 정의역은 \([-1, 1]\)이다.
\(k \lt -1\)이므로 대칭축 \(t = -k \gt 1\)이다. 따라서 최댓값은 \(x = \frac{\pi}{2}\) 즉, \(t=1\)에서 \(f(1) = k-1\)이다.
최댓값이 \(-3\)이므로 \(k-1 = -3 \implies k=-2\)이다.
최솟값은 \(x = \frac{3\pi}{2}\) 즉, \(t=-1\)에서 \(f(-1) = 5k-1\)이다.
따라서 최솟값은 \(5(-2) - 1 = -11\)이다.

두 점 \(P, Q\)의 시각 \(t=k\)에서의 위치를 각각 \(f(k), g(k)\)라 하면,
\(f(k) = k^2 - 3ak\), \(g(k) = \frac{1}{2}k^2 + ak\)이다.
\(h(k) = f(k) - g(k) = \frac{1}{2}k^2 - 4ak\)라 하면, 두 점 사이의 거리는 \(|h(k)|\)이다.
\(|h(k)| = 72\)가 되도록 하는 모든 양수 \(k\)의 개수가 2개이려면,
\(k \gt 0\)일 때, \(|h(k)| = 72\)의 서로 다른 실근의 개수가 2개이어야 한다.
이차함수 \(h(k)\)는 \(k = 4a\)에서 극소이자 최소이므로, \(|-h(4a)| = 72\)이어야 한다.
\(|h(4a)| = \left| \frac{1}{2}(4a)^2 - 4a(4a) \right| = |-8a^2| = 8a^2 = 72 \implies a^2 = 9\), \(\therefore a=3\) (\(\because a \gt 0\))

조건 (가)에서 \(\sum_{k=1}^{10} (a_k^2 + 4a_k + 4) = 192 \implies \sum_{k=1}^{10} (a_k^2 + 4a_k) + 40 = 192\)
조건 (나)에서 \(\sum_{k=1}^{10} (a_k^2 + a_k) = \sum_{k=1}^{11} 2a_k\)
위의 두 식을 변변 빼주면,
\(\sum_{k=1}^{10} 3a_k = 152 - \sum_{k=1}^{11} 2a_k\)   \(\cdots\) (식 1)
조건 (다)에서 \(\sum_{k=1}^{10} k(a_k - a_{k+1}) = (a_1 - a_2) + 2(a_2 - a_3) + \\dots + 10(a_{10} - a_{11}) = 20\)
\((a_1 + a_2 + \\dots + a_{10}) - 10a_{11} = 20 \implies \sum_{k=1}^{10} a_k = 20 + 10a_{11}\)
\(a_{11} = \sum_{k=1}^{11} a_k - \sum_{k=1}^{10} a_k\) 이므로,
\(\sum_{k=1}^{10} a_k = 20 + 10 \left( \sum_{k=1}^{11} a_k - \sum_{k=1}^{10} a_k \right)\)   \(\cdots\) (식 2)
(식 1)과 (식 2)를 연립하여 풀면,
\(\sum_{k=1}^{11} a_k = 31\)이다.

\(5^2=25, 5^3=125, 5^4=625, 5^5=3125\)이므로,
구간 \((0, 2)\)에서 \(f(x)=1\), 구간 \([2, 52)\)에서 \(f(x)=2\), 구간 \([52, 302)\)에서 \(f(x)=3\), 구간 \([302, 1552)\)에서 \(f(x)=4\)이다.
구간 \((0, n]\)에서 \(f\)의 불연속인 점의 개수는 \(n=2\)일 때는 1개, \(2 \lt n \\le 52\)일 때는 2개, \(52 \lt n \\le 302\)일 때는 3개, \(302 \lt n \\le 1552\)일 때는 4개이다.
따라서 구간 \((0, 344]\)에서 불연속인 점의 개수는 4이므로,
구간 \((0, 1720]\)에서 \(f(x)\)의 불연속인 점의 개수는 \(4 \times 5 = 20\)개이다.
또한, \(x=1722, x=1772, x=2022\)에서 \(f(x)\)는 불연속이므로, 불연속인 점의 총 개수가 23이 되도록 하는 자연수 \(n\)의 최댓값은 344이다.

\(P(t, t^2+1)\)이라 하면 \(y=x^2+1\)에서 \(y'=2x\)이므로 직선 \(l\)의 기울기는 \(2t\)이다.
이때 직선 PQ의 기울기가 \(-\frac{1}{2t}\)이므로 \(\frac{(t^2+1)-\frac{9}{2}}{t-m} = -\frac{1}{2t}\)에서 \(2t^3-6t-m=0\).
\(f(t)=2t^3-6t-m\)라 하면 방정식 \(f(t)=0\)이 하나의 실근을 가져야 한다.
\(f'(t)=6t^2-6\)이므로 \(f'(t)=0\)에서 \(t=-1\) 또는 \(t=1\). 함수 \(f(t)\)는 \(t=-1\)에서 극대, \(t=1\)에서 극소이므로 \(f(-1) \times f(1) \gt 0\)이 성립해야 한다.
\((-2+6-m)(2-6-m) \gt 0\)에서 \(m \lt -4\) 또는 \(m \gt 4\).

\(x \lt 1\)일 때 \(f(x) = x - \frac{x}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}\), \(x \gt 1\)일 때 \(f(x) = 1 - \frac{x}{1+x} = \frac{1}{1+x}\). \(f(1) = \frac{1}{2}\)이므로 \(\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1-} \frac{\frac{x^2}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1-} \frac{(2x+1)(x-1)}{2(1+x)(x-1)} = \frac{3}{4}\), \(\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1+} \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1+} \frac{1-x}{2(1+x)(x-1)} = -\frac{1}{4}\)

접선의 기울기를 \(m\)이라 하면 점 \(\left(\frac{1}{2a}, 0\right)\)을 지나는 접선의 방정식은 \(y = m\left(x - \frac{1}{2a}\right)\)이다.
또한 \(x = k\)에서 접하므로 \(m = 2ak\)이다.
한편 접선이 점 \((k, ak^2)\)을 지나므로 \(ak^2 = 2ak\left(k - \frac{1}{2a}\right)\)이다.
따라서 \(k = \frac{1}{a}\)이다.
결론적으로 접선의 기울기는 \(m = 2\)이다.

\(f(x) = 3^{|x|} + a\)의 그래프는 \(x=0\)에서 최솟값 \(1+a\)를 갖는다.
\(4^{f(x)} - 5 \times 2^{f(x)+1} + 24 = 0\) 방정식은 \(2^{f(x)}\)를 \(t\)라 치환하면 \(t^2 - 10t + 24 = 0\)이 되고, 이 방정식의 해는 \(t=4, 6\)이다.
\(f(x)\)의 최솟값은 \(1+a\)이므로 \(2^{f(x)} \ge 2^{1+a}\)이다.
오직 하나의 실근을 갖기 위해서는 \(2^{f(x)}\)의 최솟값이 6이 되어야 한다.
(\(\because 2^{f(x)} = 4\)이면,
\(2^{f(x)} = 6\)인 근 \(x\)가 존재) 따라서 \(2^{1+a} = 6\) 즉, \(a\)의 값은 \(\log_2 6 - 1\) 또는 \(\log_2 3\)이다.

\(3\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \frac{b}{a} = 3\), \(\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} = 3\), \((3a+b)^2 = 9(a^2+b^2)\) \(9a^2+6ab+b^2 = 9a^2+9b^2\), \(6ab = 8b^2\), \(\therefore \frac{a}{b} = \frac{4}{3}\)

\(a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{1}{9} \left\{ n^2(n+2)^2 - (n-1)^2(n+1)^2 \right\}\) \(= \frac{1}{9} ( n^4 + 4n^3 + 4n^2 - n^4 + 2n^2 - 1 ) = \frac{1}{9} ( 4n^3 + 6n^2 - 1 )\) \(\therefore a_1 = S_1 = 1\) \(\therefore a_{100} = \frac{1}{9} ( 4000000 + 60000 - 1 ) = 451111\) \(\therefore a_1 + a_{100} = 451112\)

\(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9\)이므로 \(f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + b\)이다.
또한 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 14\)이므로 \(f(0) = 0\)가 성립해야하므로 \(b = 0\). 따라서 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 9x^2 + ax}{x} = \lim_{x \to 0} (x^2 - 9x + a) = a = 14\) 이므로 \(f(x) = x^3 - 9x^2 + 14x = x(x-2)(x-7)\)이고 결국 \(\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = \lim_{x \to 2} x(x-7) = -10\).

\(0 \lt |a+1| \lt 1\)일 때, 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 감소 함수 따라서, \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 \(x = \frac{1}{9}\)에서 최댓값 2를 갖는다.
\(|a+1|^2 = \frac{1}{9}, \therefore |a+1| = \frac{1}{3}, \implies a = -\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\) \(1 \lt |a+1|\)일 때, 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 증가 함수 따라서, \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 \(x = 16\)에서 최댓값 2를 갖는다.
\(|a+1|^2 = 16, \therefore |a+1| = 4, \implies a = 3, -5\)

시각 \(t(t \ge 0)\)에서의 두 점 A, B의 위치는 각각 \(s_1(t) = \int_0^t v_1(\tau) d\tau = \int_0^t (2\tau^3 - 12\tau^2 + 24\tau) d\tau = \frac{1}{2}t^4 - 4t^3 + 12t^2\), \(s_2(t) = \int_0^t v_2(\tau) d\tau = \int_0^t \left(\frac{3}{2}\tau^2 + 9a\right) d\tau = \frac{1}{2}t^3 + 9at\)이다.
두 점이 만나므로 \(s_1(t) = s_2(t)\)라 놓으면 \(\frac{1}{18}t^4 - \frac{1}{2}t^3 + \frac{4}{3}t^2 = at\)이고 출발 후 두 점이 만나는 횟수는 \(\frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t = a\)의 실근의 개수와 같다.
즉 함수 \(f(t) = \frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t (t \ge 0)\)의 그래프와 직선 \(y = a\)의 교점의 개수가 2인 \(a\)값을 구한다.
즉 극값에서 직선 \(y = a\)와 교점의 개수가 2이다.
따라서 \(f'(t) = \frac{1}{6}t^2 - t + \frac{4}{3} = \frac{1}{6}(t-2)(t-4)\)이므로 \(t = 2, 4\)에서 교점이 2개이다.
\(f(2) = \frac{10}{9}\), \(f(4) = \frac{8}{9}\)이다.

곡선 \(y = -x^2+6x-9 = -(x-3)^2\) 위의 점 \((a, f(a))\) (\(0 \lt a \lt 3\))에서의 접선의 방정식은 \(f'(x) = -2x+6\)이므로 \(y = -2(a-3)(x-a) - (a-3)^2\) 이다.
따라서 접선의 \(x\)절편은 \(\frac{a+3}{2}\) 이고 \(y\)절편은 \(a^2-9\) 이므로 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \left(\frac{a+3}{2}\right) \times (9-a^2)\) 이다.
따라서 \(y = f(x)\)의 그래프와 접선 및 \(x\)축 또는 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = -\int_0^3 f(x) dx - \text{(삼각형 넓이)}\) 로 계산할 수 있다.
\[S = -\int_0^3 (-x^2+6x-9)\,dx - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x \right]_0^3 - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} = \frac{1}{4}a^3 + \frac{3}{4}a^2 - \frac{9}{4}a + \frac{9}{4}\]따라서 넓이 \(S\)의 (\(0 \lt a \lt 3\))에서의 최솟값을 구하기 위해 미분하면,
\[S' = \frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{2}a - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}(a-1)(a+3)\] 이므로 \(a = 1\)에서 극솟값 \(S = 1\)을 가지며 이 값이 최솟값이다.