1) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항이 \(a_1=1\) 이므로,
공차를 \(d\)라 하면 일반항은 \(a_n = 1 + d(n-1)\) 입니다.
주어진 등차수열의 합 조건에 의해: \(\sum_{n=1}^{10} a_n = \frac{10\{2(1) + 9d\}}{2} = 5(2+9d) = 100 \implies 2+9d = 20 \implies 9d = 18 \implies d = 2\) 입니다.
따라서 수열의 일반항은 \(a_n = 2n-1\) 이고, 다음
항은 \(a_{n+1} = 2n+1\) 입니다.
2) 구하고자 하는 식에 대입하여 부분분수 분해를 수행합니다.
\(\sum_{n=1}^{10} \frac{2}{a_n a_{n+1}} = \sum_{n=1}^{10} \frac{2}{(2n-1)(2n+1)}\) 부분분수 공식 \(\frac{2}{AB} = \frac{2}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B}\right)\) 에 \(A=2n-1, B=2n+1\) 을 적용하면 \(B-A=2\) 이므로: \(\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\) 입니다.
3) 소거형 급수 계산을 통해 최종 값을 구합니다.
\(\sum_{n=1}^{10} \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{19} - \frac{1}{21}\right)\) \(= 1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21}\) 입니다.

1) 극한 수렴 조건에 의해 \(x\to3\)일 때 분모 \(x^3-27\to0\)이므로 분자 \(f(3)-3=0 \implies f(3)=3\)이다. \(x\to2\)일 때 분모 \(x^2-4\to0\)이므로 분자 \(f(2)-f(3)=0 \implies f(2)=f(3)=3\)이다. 따라서 이차함수 \(f(x)\)는 \(f(x)=c(x-3)(x-2)+3\) (\(c \ne 0\))으로 둘 수 있다.
2) 극한 식 계산:
- \(\lim_{x \to 3} \frac{f(x)-x}{x^3-27} = \lim_{x \to 3} \frac{c(x-3)(x-2) - (x-3)}{(x-3)(x^2+3x+9)} = \lim_{x \to 3} \frac{c(x-2)-1}{x^2+3x+9} = \frac{c-1}{27}\) 이므로 \(9 \times \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-x}{x^3-27} = \frac{c-1}{3}\) 이다.
- \(\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(x+1)}{x^2-4} = \lim_{x \to 2} \frac{c(x-3)(x-2) - c(x-2)(x-1)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{-2c(x-2)}{(x-2)(x+2)} = -\frac{c}{2}\) 이다.
3) \(\frac{c-1}{3} = -\frac{c}{2} \implies c = \frac{2}{5}\) 이다. 따라서 \(a = -\frac{c}{2} = -\frac{1}{5}\) 이고 \(f(x) = \frac{2}{5}(x-3)(x-2)+3\) 이다. 구하고자 하는 값은 \(f(7) = \frac{2}{5} \times 4 \times 5 + 3 = 11\), \(a = -\frac{1}{5}\) 이다.

1) \(a_6 = 11\)에 대해 \(a_5\)를 역추적한다.
- \(a_5 \lt 4\) 이면 \(a_6 = -2a_5 + 7 = 11 \implies a_5 = -2\). 이때 \(a_4\) 추적 시 정수 모순 또는 범위 모순이 발생하므로 배제된다.
- \(a_5 \ge 4\) 이면 \(a_6 = a_5 - 5 + 5 = 11 \implies a_5 = 11\) (적합)이다.
2) \(a_5 = 11\)로부터 \(a_4\)를 추적한다. \(11 = -2a_4+7 \implies a_4=-2\) (부적합), \(11 = a_4-4+5 \implies a_4=10\) (적합)이다. 따라서 \(a_4 = 10\)이다.
3) \(a_4 = 10\)에서 이전 항들을 역추적하면 \(a_3 - 3 + 5 = 10 \implies a_3 = 8\), \(a_2 - 2 + 5 = 8 \implies a_2 = 5\), \(a_1 - 1 + 5 = 5 \implies a_1 = 1\)이 된다. 따라서 처음 4개 항은 \(a_1=1, a_2=5, a_3=8, a_4=10\)이다.
4) 수열의 7항부터 10항까지 구하면 \(a_6=11 \implies a_7=10 \implies a_8=8 \implies a_9=5 \implies a_{10}=1\)이다. 따라서 최종 합은 \(\sum_{k=1}^{10} a_k = 1+5+8+10+11+11+10+8+5+1 = 70\)이다.

1) 최대인 점 \(x=\alpha\)와 최소인 점 \(x=\beta\)의 차이가 반주기 \(\frac{\pi}{b}\)이므로, \(\beta - \alpha = \frac{\pi}{b} = 2\pi \implies b = \frac{1}{2}\)이다. 따라서 \(f(x) = a\sin\frac{x}{2}+c\) 이다.
2) 최댓값은 \(x=\pi\)일 때 \(a+c = 10 \quad \cdots (1)\) 이고, \(f(\frac{\pi}{3}) = a\sin\frac{\pi}{6}+c = \frac{1}{2}a+c = 8 \quad \cdots (2)\) 이다. (1), (2)를 연립하면 \(a=4, c=6\) 이다 (\(a \lt c\) 만족). 최솟값은 \(x=3\pi\)일 때 \(m = -a+c = 2\) 이다. 두 극점은 \(A(\pi, 10), B(3\pi, 2)\)이다.
3) 두 점 \(A(\pi, 10)\)과 \(B(3\pi, 2)\)를 잇는 선분 아래의 x축 사잇 영역은 꼭짓점이 \((\pi, 0), A(\pi, 10), B(3\pi, 2), (3\pi, 0)\)인 사다리꼴이다. 따라서 넓이는 \(S = \frac{1}{2} \times (10+2) \times (3\pi - \pi) = 12\pi\) 이다.

1) 식 \(S = 2f_{n+1}(a^n) + (-1)^n \times f_n(f_{n+1}(a))\)의 최소 조건을 분석한다. \(a \lt 0\) 이고 \(n\)이 홀수일 때, \(n+1\)은 짝수이므로 \(f_{n+1}(a^n)=f_{n+1}(a)=0\) 이고, \(f_n(0)=1\) 이 되어 \(S = -1\)로 최소가 된다. 따라서 최소 조건은 \(a \lt 0\) 이고 \(n\)은 홀수이다.
2) 해당 조건 하에서 각 항을 계산하면:
- \(f_n(a) = 1\) (음수의 홀수제곱근 개수)
- \(f_{n+1}(a^n) = 0\) (음수의 짝수제곱근 개수)
- \(a \lt 0\) 이고 \(n\)은 홀수이므로 \(|a|^n - a^n = -2a^n \gt 0\) 이다. 따라서 \(f_{n+1}(|a|^n - a^n) = 2\) (양수의 짝수제곱근 개수)
3) 구하고자 하는 식에 대입하면: \(f_n(a) - 3f_{n+1}(a^n) + f_{n+1}(|a|^n - a^n) = 1 - 0 + 2 = 3\) 이다.

1) \(x \lt 0\) 일 때 \(f(x) = (x+5)(x-1)\) 이고, \(x \ge 0\) 일 때 \(f(x) = x-4\) 이므로, \(f(x)\)는 \(x=0\)에서만 불연속이다. 곱함수 \(g(x)=f(x)f(k-x)\)가 실수 전체에서 극한값을 가지려면 불연속 후보점인 \(x=0, x=k\)에서 좌우극한이 일치해야 한다.
2) \(x=0\) 에서의 좌우극한 일치 조건: \(-5 \times f(k+) = -4 \times f(k-)\) 이 성립해야 한다.
- \(k\)가 \(f(x)\)의 연속 지점인 경우: \(f(k) = 0 \implies k = -5\) 또는 \(k = 4\) 이다.
- \(k\)가 \(f(x)\)의 불연속 지점인 경우: \(k = 0 \implies -5 \times f(0+) = -4 \times f(0-) \implies -5(-4) = -4(-5) = 20\) 으로 성립한다.
3) \(x=k\) 에서의 연속성도 동일하게 성립하므로, 구하고자 하는 모든 실수 \(k\)의 값은 \(0, 4, -5\)이다.

1) 항등식을 양변 미분하면 \(f(x) = 2x f(x) + x^2 f'(x) - 8x^3 + a\) 이다. 최고차항 소거 조건에 의해 \(f(x) = 2x^2 + bx + c\) 로 둘 수 있다.
2) \(F(x) = \int (2x^2 + bx + c) dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C\) 이고, \(F(0)=1 \implies C=1\) 이므로, \(F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + 1 \quad \cdots (1)\) 이다. 또한 항등식 우변에 대입하면 \(F(x) = bx^3 + cx^2 + ax + 1 \quad \cdots (2)\) 이다.
3) (1)과 (2)의 계수를 비교하면 \(b = \frac{2}{3}, c = \frac{b}{2} = \frac{1}{3}, a = c = \frac{1}{3}\) 이다. 이때 \(f'(x) = 4x+b \implies f'(0) = b = \frac{2}{3}\) 이다.
4) 대입할 값 \(\frac{2}{a f'(0)} = \frac{2}{\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}} = 9\) 이므로, 구하고자 하는 함숫값은 \(F(9) = \frac{2}{3}(9^3) + \frac{1}{3}(9^2) + \frac{1}{3}(9) + 1 = 486 + 27 + 3 + 1 = 517\) 이다.

1) 교점 \(A(\frac{1}{a}, 2)\), 두 점 \(B(t, \log_a t + 3)\), \(C(t, -\log_a t + 1)\) 이므로 \(\overline{BC} = 2|\log_a t + 1|\), 높이 \(h = t - \frac{1}{a}\) (\(t \gt 1\)) 이다.
2) 넓이에 의해 \(|\log_a t + 1|(t - \frac{1}{a}) = \frac{16}{3} \cdots (1)\), 피타고라스에 의해 \((t - \frac{1}{a})^2 + (\log_a t + 1)^2 = \frac{100}{9} \cdots (2)\) 이다.
3) \(\alpha = \log_a t + 1\), \(\beta = t - \frac{1}{a}\) 라 두면 \(|\alpha|\beta = \frac{16}{3}\), \(\alpha^2 + \beta^2 = \frac{100}{9}\) 이다. \(\alpha \gt 0\) 이면 \((\alpha+\beta)^2 = \frac{196}{9} \implies \alpha+\beta = \frac{14}{3}\) 이다. 이는 \(3x^2 - 14x + 16 = (3x-8)(x-2) = 0\) 의 근이다.
- \(\alpha = 2, \beta = \frac{8}{3} \implies a=t=3\) (y좌표가 정수가 되어 적합)
- \(\alpha = \frac{8}{3}, \beta = 2 \implies \log_a t = \frac{5}{3}\) (y좌표가 정수가 아니므로 부적합). 따라서 \(a = 3, t = 3\) 이다.

1) 미적분학의 기본정리를 이용해 극한 항을 변형합니다.
\(\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_1^{1+h} \{f(t)\}^2 dt = \{f(1)\}^2\) 입니다.
따라서 주어진 다항함수 식은 다음
과 같이 변형됩니다.
\(4f(x) = -2x^3 + 6x + \{f(1)\}^2 \quad \cdots\text{ (1)}\) 입니다.
2) \(x=1\) 을 대입하여 함숫값 \(f(1)\)을 구합니다.
\(4f(1) = -2(1) + 6(1) + \{f(1)\}^2 \implies 4f(1) = 4 + \{f(1)\}^2\) \(\implies \{f(1)\}^2 - 4f(1) + 4 = \{f(1)-2\}^2 = 0 \implies f(1) = 2\) 입니다.
3) \(f(x)\) 함수 식을 완비합니다.
\(4f(x) = -2x^3 + 6x + 4 \implies f(x) = \frac{1}{2}(-x^3 + 3x + 2)\) 입니다.
4) 미분을 통해 극댓값과 극솟값을 계산합니다.
\(f'(x) = \frac{1}{2}(-3x^2 + 3) = -\frac{3}{2}(x^2 - 1) = -\frac{3}{2}(x-1)(x+1)\) 이므로,
\(f'(x) = 0\) 의 근은 \(x=1\) 과 \(x=-1\) 입니다.
- 최고차항 계수가 음
수이므로,
\(x=1\)에서 극대이고 \(x=-1\)에서 극소입니다.
- 극댓값: \(f(1) = 2\) 입니다.
- 극솟값: \(f(-1) = \frac{1}{2}\left(-(-1)^3 + 3(-1) + 2\right) = \frac{1}{2}(1 - 3 + 2) = 0\) 입니다.
따라서 극댓값은 \(2\) 이고 극솟값은 \(0\) 입니다.

\[\sin\left(\pi+\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right) - \cos\left(\pi+\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right) = -\frac{3}{4}\]

\[-\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) = -\frac{3}{4}\]

\[-\cos\theta - \sin\theta = -\frac{3}{4}\]

\[\therefore \cos\theta + \sin\theta = \frac{3}{4}\]

양변을 제곱하면

\[\begin{aligned} (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta \\ = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{9}{16} \implies \sin\theta\cos\theta \\ = -\frac{7}{32} \end{aligned}\]

구하고자 하는 식을 변형하면

\[\begin{aligned} \tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \\ = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{-\frac{7}{32}} = -\frac{32}{7} \end{aligned}\]

1) 분모를 인수분해하면 \(18n^2+30n+8 = 2(3n+1)(3n+4)\)이고 분자 \(3n^2+5n+2 = \dfrac{1}{6}(18n^2+30n+8)+\dfrac{2}{3}\)이므로:
\(a_n = \dfrac{3n^2+5n+2}{2(3n+1)(3n+4)} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3(3n+1)(3n+4)} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{3n+1} - \dfrac{1}{3n+4}\right)\)이다.
2) \(n=1\)부터 \(12\)까지 합하면:
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{12} a_n = \dfrac{1}{6}\times 12 + \dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{40}\right) = 2 + \dfrac{1}{9}\times\dfrac{9}{40} = 2 + \dfrac{1}{40} = \dfrac{81}{40}\)이다.

1) \(\log_2(a_n a_{n+1}) = \sin\dfrac{n\pi}{6}\), \(\log_2(b_n b_{n+1}) = \cos\dfrac{n\pi}{3}\), \(\log_2(c_n c_{n+1}) = \tan\dfrac{2n-1}{4}\pi\)이다. \(n=1, 3, 5, \dots, 99\) (홀수 \(50\)개)를 대입하여 더하면 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{100}\log_2(a_n b_n c_n) = \sum_{k=1}^{50}\left\{\sin\dfrac{(2k-1)\pi}{6} + \cos\dfrac{(2k-1)\pi}{3} + \tan\dfrac{(4k-3)\pi}{4}\right\}\)이다.
2) \(\sin\dfrac{(2k-1)\pi}{6}\)은 주기 \(6\)으로 한 주기 합이 \(0\)이므로 \(k=49, 50\)만 남아 \(\sin\dfrac{\pi}{6}+\sin\dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{1}{2}+1 = \dfrac{3}{2}\)이다.
3) \(\cos\dfrac{(2k-1)\pi}{3}\)은 주기 \(3\)으로 한 주기 합이 \(0\)이므로 \(k=49, 50\)에서 \(\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos\pi = \dfrac{1}{2}-1 = -\dfrac{1}{2}\)이고, \(\tan\dfrac{(4k-3)\pi}{4}=\tan\!\left(k\pi-\dfrac{3\pi}{4}\right)=1\)이 \(50\)번 더해져 \(50\)이다.
따라서 전체 합은 \(\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} + 50 = 51\)이다.

1) 세 교점의 \(x\)좌표는 \(a_1 = 1\)과 \(x \gt 1\)에서 \((x-1)(k-x)=m(x-1) \implies x=k-m\) (\(1 \lt x \lt k\)), \((x-1)(x-k)=m(x-1) \implies x=k+m\) (\(x \gt k\))이므로 \(1,\ r,\ r^2\) (\(r \gt 1\))이다.
2) \(r = k-m\), \(r^2 = k+m\)을 더하면 \(2k = r^2 + r\), 즉 \(r^2 + r - 2k = 0\)이다.
3) \(r \gt 1\)이 유리수이고 \(k\)가 자연수이려면 \(r\)은 \(2\) 이상의 자연수여야 하므로 \(k = \dfrac{r(r+1)}{2}\)이다. \(1 \lt k \lt 16\)을 만족하는 경우는 \(r=2, 3, 4, 5\)일 때 각각 \(k = 3, 6, 10, 15\)이다.
따라서 모든 자연수 \(k\)의 값의 합은 \(3 + 6 + 10 + 15 = 34\)이다.

1) 방정식을 정리하면 \(\log_5(5^x+10) = \log_5(5^{\frac{x}{2}}\cdot 10)\)이므로 \(5^x - 10\cdot 5^{\frac{x}{2}} + 10 = 0\)이다. \(5^{\frac{\alpha}{2}}=p,\ 5^{\frac{\beta}{2}}=q\)라 하면 \(p+q=10,\ pq=10\)이므로 \(5^\alpha+5^\beta = p^2+q^2 = 80,\ 5^{\alpha+\beta}=100\)이고 \(m = \dfrac{1}{5^\alpha}+\dfrac{1}{5^\beta} = \dfrac{80}{100} = \dfrac{4}{5}\)이다.
2) 정의역 \(-\sqrt[5]{5} \le x \le -\dfrac{1}{125}\)에서 함수 \(y=-\log_5(-x)+a\)는 증가함수이므로 \(x=-5^{\frac{1}{5}}\)일 때 최솟값 \(m = -\dfrac{1}{5}+a = \dfrac{4}{5} \implies a = 1\)이다.
3) \(x=-\dfrac{1}{125}=-5^{-3}\)일 때 최댓값 \(M = -(-3) + 1 = 4\)이다.

1) \(g'(x)=f(x)=(k-x)^3+6(k-x)^2+3(k-x)-18\)이다. \(u = k - x\)라 하면 \(x \in (0, k)\)일 때 \(u \in (0, k)\)이고 \(h(u)=u^3+6u^2+3u-18\)은 \(u \gt 0\)에서 \(h'(u)=3u^2+12u+3 \gt 0\)이므로 순증가한다.
2) \(g(x)\)가 \((0, k)\)에서 극값을 가지려면 \(g'(x)=0\)이 \((0, k)\)에서 부호가 바뀌는 근을 가져야 한다. \(h(0)=-18 \lt 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 \(h(k) = k^3+6k^2+3k-18 = (k+3)(k^2+3k-6) \gt 0\)이어야 한다.
3) \(k \gt 0\)이므로 \(k+3 \gt 0\)이고 \(k^2+3k-6 \gt 0\)에서 \(k \gt \dfrac{-3+\sqrt{33}}{2}\)이다.

1) 조건 (나)에서 대칭축이 \(x = \dfrac{6}{2} = 3\)이므로 \(f(x)=(x-3)^2 + c\) (조건 (가)에 의해 \(c \lt 0\))이다.
2) 조건 (다)에서 \(x\to 5\)일 때 분모가 \(0\)이므로 분자도 \(0\)이어야 하여 \(\displaystyle\int_a^5 |f(t)|dt = 2\int_a^3 |f(t)|dt\)이고, 미분계수의 정의에 의해 \(|f(5)| = |4+c| = 6\)이다. \(c = 2\)는 조건 (가)에 위배되므로 \(c = -10\)이다. 이때 \(1 \le t \le 5\)에서 \((t-3)^2-10 \lt 0\)이고 대칭축 \(t=3\)에 대한 대칭성에 의해 \(\displaystyle\int_1^3 |f(t)|dt = \int_3^5 |f(t)|dt = \dfrac{52}{3}\)이므로 \(a = 1\)이다.
3) 따라서 \(a = 1,\ f(x)=(x-3)^2-10 = x^2-6x-1\)이고 \(f(3) = -10\)이므로 \(af(3) = 1 \times (-10) = -10\)이다.

1) 점 \(A(4, 4)\)는 직선 \(y=x\) 위의 점이고 선분 \(OA\)는 직선 \(y=x\) 위에 있다. 점 \(A(4, 4)\)에서 직선 \(y=mx\) (\(m\gt 1\))에 내린 수선의 발 \(B\)의 좌표는 \(mx-y=0\)과 \(x+my=4(1+m)\)을 연립하여 \(B\!\left(\dfrac{4(m+1)}{m^2+1},\ \dfrac{4m(m+1)}{m^2+1}\right)\)이다.
2) 점 \(C\)는 \(x_C = x_B = \dfrac{4(m+1)}{m^2+1}\)이고 선분 \(OA\) (\(y=x\)) 위에 있으므로 \(C(x_B, x_B)\)이다. 선분 \(BC\)를 공통 밑변(\(\overline{BC}=(m-1)x_B\))으로 보면 \(\triangle ABC\)의 높이는 \(4 - x_B = \dfrac{4(m^2-m)}{m^2+1}\), \(\triangle OBC\)의 높이는 \(x_B = \dfrac{4(m+1)}{m^2+1}\)이다.
3) 따라서 \(\dfrac{S(m)}{T(m)} = \dfrac{4 - x_B}{x_B} = \dfrac{m(m-1)}{m+1}\)이므로 \(\displaystyle\lim_{m\to 1+}\dfrac{S(m)}{(m-1)T(m)} = \lim_{m\to 1+}\dfrac{m}{m+1} = \dfrac{1}{2}\)이다.

1) \(f'(x)=x^3-5x^2+2x+8=(x+1)(x-2)(x-4)=0\)에서 사차함수 \(f(x)\)는 \(x=2\)에서만 극댓값을 가지므로 \(a = 2\)이고 극댓값은 \(f(2) = 4 - \dfrac{40}{3} + 4 + 16 + 9 = \dfrac{59}{3}\)이다.
2) 최고차항 계수가 \(1\)이고 \(g(0)=-\dfrac{1}{3}\)인 삼차함수 \(g(x)=x^3+px^2+qx-\dfrac{1}{3}\)이 \(x=2\)에서 극댓값 \(\dfrac{59}{3}\)을 가지므로 \(g'(2)=12+4p+q=0\)과 \(g(2)=8+4p+2q-\dfrac{1}{3}=\dfrac{59}{3}\)을 연립하면 \(4p+q=-12,\ 4p+2q=12\)에서 \(q=24,\ p=-9\)이다.
3) \(g(x)=x^3-9x^2+24x-\dfrac{1}{3}\)에서 \(g'(x)=3(x-2)(x-4)=0\)이므로 \(x=4\)에서 극솟값 \(g(4) = 64 - 144 + 96 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{47}{3}\)을 갖는다.

1) \(0 \lt a \lt 1\) 일 때 로그함수의 밑이 1보다 작으므로 \(x\)의 값이 증가하면 \(y\)의 값은 감소한다. ➔ [ ① ]: 감소
2) 로그의 진수가 1이 되는 \(x-1 = 1 \implies x = 2\) 일 때, \(y = \log_a 1 = 0\) 이므로 그래프는 항상 점 \((2, 0)\) 을 지난다. ➔ [ ② ]: (2, 0)
3) \(x\)축 대칭인 함수는 \(y\) 대신 \(-y\)를 대입한 것이므로, \(-y = \log_a(x-1) \implies y = -\log_a(x-1)\) 이다. ➔ [ ③ ]: \(-\log_a(x-1)\) (또는 \(\log_{\frac{1}{a}}(x-1)\))
4) \(x\)축 방향으로 3만큼, \(y\)축 방향으로 2만큼 평행이동하면 \(y - 2 = \log_a(x - 3 - 1) \implies y = \log_a(x-4) + 2\) 이다. ➔ [ ④ ]: \(\log_a(x-4)+2\)

조건 (가)에서 \(x \to \infty\) 일 때 \(\dfrac{1}{x} \to 0\) 이므로, 다항함수 \(f(x)\)의 연속성에 의해 \(\lim_{x \to \infty} f\left(\dfrac{1}{x}\right) = f(0) = -3\) 이다.
조건 (나)의 식에 \(x=0\)을 대입하면 \(f(0) = a\) 이므로, \(a = -3\) 이다.
여기서 \(\int_{0}^{2} f(t)dt = b\) (상수)라 놓으면, 조건 (나)의 식은 다음과 같다.
\[f(x) = 3x^2 - 4x + 2bx - 3 = 3x^2 + 2(b-2)x - 3\]
양변을 \(0\)부터 \(2\)까지 정적분하면,
\[\begin{aligned} b = \int_{0}^{2} \left\{ 3t^2 + 2(b-2)t - 3 \right\} dt \\ = \left[ t^3 + (b-2)t^2 - 3t \right]_0^2 = 8 + 4(b-2) - 6 = 4b - 6 \end{aligned}\]
\[b = 4b - 6 \implies 3b = 6 \implies b = 2\]
따라서 함수 \(f(x)\)는 다음과 같다.
\[f(x) = 3x^2 - 3\]
도함수를 구하면 \(f'(x) = 6x\) 이므로, 구하고자 하는 값 \(f'(a) = f'(-3)\)은 다음과 같다.
\[f'(a) = f'(-3) = 6 \times (-3) = -18\]

주어진 식 \(\int_{a}^{x} f(t)dt = x^3 - x^2 - 6x\) 에 \(x=a\)를 대입하면,
\[0 = a^3 - a^2 - 6a = a(a-3)(a+2)\]
\(a\)는 양수이므로, \(a = 3\) 이다.
주어진 식의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면, 적분과 미분의 관계에 의해
\[f(x) = 3x^2 - 2x - 6\]
구하고자 하는 \(f(a)\)의 값은 \(f(3)\)이므로 대입하면,
\[f(a) = f(3) = 3 \times 3^2 - 2 \times 3 - 6 = 15\]

함수 \(f(x)\)의 식을 지수법칙을 이용하여 간단히 정리하면 다음과 같다.
\[\begin{aligned} f(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{7}}} \\ = x^{\frac{1}{2} - \frac{2}{7}} = x^{\frac{3}{14}} \end{aligned}\]
이를 이용하여 \(f(f(n))\)을 구하면,
\[\begin{aligned} f(f(n)) = f\left( n^{\frac{3}{14}} \right) \\ = \left( n^{\frac{3}{14}} \right)^{\frac{3}{14}} = n^{\frac{9}{196}} \end{aligned}\]
따라서 구하고자 하는 식 \(\{f(f(n))\}^{49}\)는 다음과 같다.
\[\begin{aligned} \{f(f(n))\}^{49} = \left( n^{\frac{9}{196}} \right)^{49} \\ = n^{\frac{9}{4}} \end{aligned}\]
이 식의 값이 자연수가 되기 위해서는 밑인 자연수 \(n\)이 어떤 자연수 \(k\)의 4제곱 꼴이어야 한다. 즉, \(n = k^4 \; (k \in \mathbb{N})\) 이다.
자연수 \(n\)은 \(1^4, 2^4, 3^4, \dots\) 이 될 수 있으며, 각 경우 값을 비교해보자.
- \(k=1\) 일 때, \(n = 1^4 = 1 \implies 1^{\frac{9}{4}} = 1 \lt 1000\)
- \(k=2\) 일 때, \(n = 2^4 = 16 \implies 16^{\frac{9}{4}} = (2^4)^{\frac{9}{4}} = 2^9 = 512 \lt 1000\)
- \(k=3\) 일 때, \(n = 3^4 = 81 \implies 81^{\frac{9}{4}} = (3^4)^{\frac{9}{4}} = 3^9 = 19683 \gt 1000\)
따라서 조건을 만족시키는 가장 작은 자연수 \(n\)은 \(3^4 = 81\) 이다.

1) 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항: \(a_n = S_n - S_{n-1} = (\frac{3a_1 n^2}{2} - \frac{a_1 n}{2}) - (\frac{3a_1 (n-1)^2}{2} - \frac{a_1 (n-1)}{2}) = 3a_1 n - 2a_1\) 이며, 공차 \(d = 3a_1\) 이다.
2) 부분분수 분해 적용: \(\frac{7}{a_{2k}a_{2k+2}} = \frac{7}{a_{2k+2}-a_{2k}}(\frac{1}{a_{2k}} - \frac{1}{a_{2k+2}}) = \frac{7}{6a_1}(\frac{1}{a_{2k}} - \frac{1}{a_{2k+2}})\) 이다.
3) 시그마 식의 소거법 적용: \(\sum_{k=1}^{4} \frac{7}{a_{2k} a_{2k+2}} = \frac{7}{6a_1}(\frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_{10}}) = 1\) 이다. 일반항에서 \(a_2 = 4a_1, a_{10} = 28a_1\) 이므로 대입하면 \(\frac{7}{6a_1}(\frac{1}{4a_1} - \frac{1}{28a_1}) = \frac{1}{4a_1^2} = 1\) 이다. \(a_1 \gt 0\) 이므로 \(a_1 = \frac{1}{2}\) 이고 공차 \(d = \frac{3}{2}\) 이다.
4) 따라서 구하는 제 5항은 \(a_5 = a_1 + 4d = \frac{1}{2} + 4 \times \frac{3}{2} = \frac{13}{2}\) 이다.

1) \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x) = 4x-8 \; (0 \lt x \lt 4)\), \(4x-20 \; (4 \lt x \lt 6)\) 이다. \(g(x) = f(x) - mx\)의 극점은 \(g'(x)=0\)인 지점과 미분불가능점 중 도함수의 부호 변화가 있는 곳이다.
2) \(4 \lt m \lt 8\) 일 때의 극점 \(\alpha_n\)은 다음과 같다:
- \(0 \lt x \lt 4\): \(4x-8=m \implies \alpha_1 = \frac{m+8}{4}\)
- \(x=4\) (미분불가능 및 부호변화): \(\alpha_2 = 4\)
- \(4 \lt x \lt 6\): \(4x-20=m \implies \alpha_3 = \frac{m+20}{4}\)
- \(6 \lt x \lt 10\): \(4(x-6)-8=m \implies \alpha_4 = \frac{m+32}{4}\) 이고, \(\alpha_5 = 10\) 이므로 \(\alpha_4 \lt 10 \le \alpha_5\)를 만족한다.
3) 네 극점의 합 조건: \(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = \frac{3m+60}{4} + 4 = 23.5 \implies m = 6\) 이다. 이며, 자연수 만족 값은 \(6\) 임) 따라서 \(m=6\) 이다.

조건 (가) 식의 양변을 \(x\)에 대해 미분하면,
\[\begin{aligned} xf'(x) = \frac{2}{3}\{ f(x) + k \} + \left( \frac{2x}{3} + 1 \right) f'(x) \implies \frac{1}{3} xf'(x) - f'(x) \\ = \frac{2}{3} \{ f(x) + k \} \end{aligned}\] 양변의 최고차항을 비교하면, 좌변의 최고차항은 \(\dfrac{an}{3} x^n\), 우변의 최고차항은 \(\dfrac{2a}{3} x^n\) 이다. 따라서 \(\dfrac{an}{3} = \dfrac{2a}{3} \implies n = 2\) 이다. ➔ [ ① ]: 2
\(f(x) = ax^2 + bx + c\) 라 하고 대입하여 계수를 비교하면 \(b = -6a\), \(k = 9a - c\) 이며,
\[f(x) = ax^2 - 6ax + c = a(x-3)^2 + c - 9a = a(x-3)^2 - k\] 조건 (나)에서 최솟값이 \(-9\)이므로 \(a \gt 0\), \(-k = -9 \implies k = 9\) 이다. ➔ [ ② ]: 9
\(k=9\) 이므로 \(f(x) = a(x-3)^2 - 9\) 이고, 조건 (다)에서 \(f(0) = 9a - 9 \ge 0 \implies a \ge 1\) 이다.
구하고자 하는 정적분은 다음과 같다.
\[\begin{aligned} \int_{0}^{6} f(x)dx = \int_{0}^{6} \left\{ a(x-3)^2 - 9 \right\} dx \\ = \left[ \frac{a(x-3)^3}{3} - 9x \right]_0^6 = 18a - 54 \end{aligned}\]
이 값은 \(a \ge 1\) 일 때 최소이므로, \(a=1\) 일 때 최소가 된다. ➔ [ ③ ]: 1
따라서 최솟값은 \(18(1) - 54 = -36\) 이다. ➔ [ ④ ]: -36

삼각형 \(OAH\)는 \(\angle OHA = \dfrac{\pi}{2}\) 인 직각삼각형이다.
\(OA = 13\), \(OH = 5\) 이므로 피타고라스 정리에 의해 \(AH = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\) 이다.
이때 \(\angle AOH = \alpha\) 라 하면, \(\sin\alpha = \dfrac{12}{13}\), \(\cos\alpha = \dfrac{5}{13}\) 이다.
직선 \(l\)과 \(x\)축이 만나는 점을 \(B\)라 하면, 삼각형 \(AOH\)와 삼각형 \(AOB\)는 닮음이고 \(\angle AOH = \angle ABO = \alpha\) 이다.
직선 \(l\)의 기울기가 음수이고 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각이 \(\theta\) 이므로, 동경의 각 성질에 의해 \(\theta = \pi - \alpha\) 이다.
따라서, 삼각함수의 각 변환 공식에 의해 다음이 성립한다.
\[\sin\theta = \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha = \frac{12}{13}\]
\[\cos\theta = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha = -\frac{5}{13}\]
구하고자 하는 식 \(2\sin\theta - 3\cos\theta\)의 값을 계산하면,
\[\begin{aligned} 2\sin\theta - 3\cos\theta = 2\left( \frac{12}{13} \right) - 3\left( -\frac{5}{13} \right) \\ = \frac{24 + 15}{13} = 3 \end{aligned}\]

1) 주어진 식을 인수분해하면 \((f(x)-2)(f(x)+2)(f(x)-2x)(f(x)+2x)=0\) 이다. \(f(x)\)는 실수 전체에서 연속이며 최댓값 0, 최솟값 \(-2\)를 가지므로 \(f(x) = -2|x| \; (|x| \le 1)\), \(-2 \; (|x| \gt 1)\) 이다.
2) 구간별로 나누면 \(f(x) = 2x \; (-1 \le x \lt 0)\), \(-2x \; (0 \le x \le 1)\), \(-2 \; (|x| \gt 1)\) 이다.
3) \(g(x) = \frac{f(x)}{x}\)의 \(x=0\)에서의 좌우극한을 계산하면:
- 좌극한: \(x \to 0^-\) 일 때 \(f(x)=2x\) 이므로 \(\lim_{x\to0^-} g(x) = \lim_{x\to0^-} \frac{2x}{x} = 2\) 이다.
- 우극한: \(x \to 0^+\) 일 때 \(f(x)=-2x\) 이므로 \(\lim_{x\to0^+} g(x) = \lim_{x\to0^+} \frac{-2x}{x} = -2\) 이다.

\(f'(x) = 3x^2 - 2mx + m + \frac{4}{3}\)

함수 \(f(x)\)가 극값을 갖지 않으려면 이차방정식 \(f'(x) = 0\)이 중근 또는 허근을 가져야 한다.

이차방정식 \(3x^2 - 2mx + m + \frac{4}{3} = 0\)의 판별식을 \(D\)라 하면

\(\frac{D}{4} = m^2 - 3m - 4\) 이므로 \(m^2 - 3m - 4 \le 0\) 에서
\((m+1)(m-4) \le 0\)
\(-1 \le m \le 4\)

따라서 정수 \(m\)의 값은 \(-1, 0, 1, 2, 3, 4\)이다.

\(a^{-3} \times (a^4 b^{-2})^{\frac{1}{2}} = 3\) 에서 \(a^{-3} \times a^2 b^{-1} = a^{-1} b^{-1} = 3\)

\(\frac{1}{ab} = 3\) 에서 \(ab = \frac{1}{3}\)

\(a^{-1} - b^{-1} = -5\) 에서 \(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = -5\)
\(\frac{b-a}{ab} = -5\) 에 \(ab = \frac{1}{3}\) 을 대입하면 \(a - b = \frac{5}{3}\)

\(a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab = \left(\frac{5}{3}\right)^2 + 2 \times \frac{1}{3} = \frac{31}{9}\)

\(\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = -2\)

그러므로 \(\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{2}\)

\((\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2\sin \theta \cos \theta = 2\)

\(\tan \theta\) 와 \(\frac{1}{\tan \theta}\) 의 부호가 같으므로 \(\theta\)의 범위는 \(\frac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi\) 이고, \(\sin \theta \gt 0\), \(\cos \theta \lt 0\) 이다.

따라서 \(\sin \theta - \cos \theta \gt 0\) 이므로 \(\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2}\)

\(\frac{1}{\cos \theta} - \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{\sqrt{2}}{-\frac{1}{2}} = -2\sqrt{2}\)

\(f(x^2) = -x^2 + 2a + 1\)

\(f(2x-1) = \begin{cases} -2x + 2 + 2a & (x \gt 0) \\ 4x - 2 + a^2 & (x \le 0) \end{cases}\)

\(g(x) = f(x^2)f(2x-1)\) 라 하면

\(g(x) = \begin{cases} (-x^2 + 2a + 1)(4x - 2 + a^2) & (x \le 0) \\ (-x^2 + 2a + 1)(-2x + 2 + 2a) & (x \gt 0) \end{cases}\)

\(\lim_{x \to 0+} g(x) = (2a+1)(2+2a)\) 와 \(g(0) = (2a+1)(-2+a^2)\) 가 같을 때 \(x=0\) 에서 연속이다.

즉, \((2a+1)(a^2 - 2a - 4) = 0\)

따라서 모든 \(a\)의 값의 합은 \(-\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}\) 이다.

\(a_1 = 30\), \(a_2 = 30 + 3p + q\), \(a_3 = 30 + 9p + 2q\), \(a_4 = 30 + 18p + 3q\) 이다.

\(a_3 = 30 + 9p + 2q \gt 0\) 이므로 \(q \gt -15 - \frac{9p}{2}\) 이고,
\(a_4 = 30 + 18p + 3q \lt 0\) 이므로 \(q \lt -10 - 6p\) 이다.

따라서 \(-15 - \frac{9p}{2} \lt q \lt -10 - 6p\) 이며, 이를 만족하는 정수 \(q\)가 존재해야 하므로
\((-10 - 6p) - \left(-15 - \frac{9p}{2}\right) \gt 0\) 이 되어야 한다.

따라서 \(p \le 2\) 이므로 가능한 자연수 \(p=1, 2\) 이다.

1) \(p=1\) 일 때, \(-\frac{39}{2} \lt q \lt -16\) 이므로 \(q = -19, -18, -17\) 이다.

2) \(p=2\) 일 때, \(-24 \lt q \lt -22\) 이므로 \(q = -23\) 이다.

따라서 순서쌍 \((p, q)\)는 \((1, -19)\), \((1, -18)\), \((1, -17)\), \((2, -23)\) 이다.

선분 PQ가 원 C의 지름이므로 PQ의 중점은 원의 중심 \(\left(\frac{5}{3}, 0\right)\)이다.

따라서 점 P, Q의 x좌표는 각각 \(\frac{5}{3}-b, \frac{5}{3}+b\) \((b \gt 0)\) 이고 y좌표는 부호가 반대이므로

\(\log_a \left(\frac{5}{3}+b\right) = -\log_a \left(\frac{5}{3}-b\right) = \log_a \left(\frac{5}{3}-b\right)^{-1}\) 이고
\(\left(\frac{5}{3}-b\right)\left(\frac{5}{3}+b\right) = 1\) 이므로 \(b = \frac{4}{3}\)

따라서 Q의 x좌표는 3이고 이를 원의 방정식에 대입하면 Q의 y좌표는 \(\frac{1}{3}\) 이다.

점 Q가 곡선 위의 교점이므로 \(\log_a 3 = \frac{1}{3}\). 따라서 \(a = 27\) 이다.

\(\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-4}{x-2} = 2\) 이므로 \(f(x)-4=(x-2)F(x)\) 라 하면 \(F(2)=2\)

\(\lim_{x \to 2} \frac{g(x)+2}{x-2} = -1\) 이므로 \(g(x)+2=(x-2)G(x)\) 라 하면 \(G(2)=-1\)

따라서 \(f(x) = (x-2)F(x)+4\), \(g(x) = (x-2)G(x)-2\) 이므로

\(f(x)g(x) = (x-2)^2 F(x)G(x) - 2(x-2)F(x) + 4(x-2)G(x) - 8\)

\(\lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x)+8}{x^2-4} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)^2 F(x)G(x) - 2(x-2)F(x) + 4(x-2)G(x)}{(x-2)(x+2)}\)

\(= \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)F(x)G(x) - 2F(x) + 4G(x)}{x+2} = \frac{-2(2) + 4(-1)}{4} = -2\)

이차함수 \(f(x)\)의 최고차항의 계수가 3이고, \(x=3\)에서 극값을 갖기 때문에 \(f'(x) = 6(x-3)\)

\(g'(x) = (1-x)f'(x)\) 이므로
\(g'(x) = -6(x-1)(x-3)\)

\(g(x) = -2x^3 + 12x^2 - 18x + C\) 이고 \(g(1)=0\) 이므로 \(C=8\)

곡선 \(y=g(x)\) 위의 점 \((t, g(t))\) \((t \gt 0)\) 에서의 접선의 방정식은 \(y-g(t) = g'(t)(x-t)\)
원점을 지나므로 \(-g(t) = g'(t)(-t)\)

즉, \(2t^3 - 12t^2 + 18t - 8 = 6t^3 - 24t^2 + 18t\), 정리하면 \(4(t-1)(t^2 - 2t - 2) = 0\) 이고, \(t \gt 0\) 이므로 \(t=1, 1+\sqrt{3}\) 이다.
조건을 만족하는 접점은 \(t=1+\sqrt{3}\) 이다.

\(t=1+\sqrt{3}\) 에서의 직선의 기울기는 \(g'(1+\sqrt{3})\) 이므로
\(g'(1+\sqrt{3}) = -6(\sqrt{3})(\sqrt{3}-2) = -18 + 12\sqrt{3}\)

\(f(x) = |x^2 - 5x| - 5x + 9\) 라 하자.

\(x^2 - 5x \ge 0\) 이면 \(f(x) = x^2 - 10x + 9\). 구간 내에서 x축과의 교점은 9이다.

마찬가지로 \(x^2 - 5x \lt 0\) 이면 \(f(x) = -x^2 + 9\). 구간 내에서 x축과의 교점은 3이다.

둘러싸인 부분의 넓이 \(S\)는

\(S = \int_3^9 |f(x)| dx = \int_3^5 (x^2 - 9) dx + \int_5^9 (-x^2 + 10x - 9) dx\)
\(= \frac{44}{3} + \frac{128}{3} = \frac{172}{3}\)

\(x \lt 1\)일 때 \(f(x) = x - \frac{x}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}\), \(x \gt 1\)일 때 \(f(x) = 1 - \frac{x}{1+x} = \frac{1}{1+x}\). \(f(1) = \frac{1}{2}\)이므로 \(\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1-} \frac{\frac{x^2}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1-} \frac{(2x+1)(x-1)}{2(1+x)(x-1)} = \frac{3}{4}\), \(\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1+} \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1+} \frac{1-x}{2(1+x)(x-1)} = -\frac{1}{4}\)

접선의 기울기를 \(m\)이라 하면 점 \(\left(\frac{1}{2a}, 0\right)\)을 지나는 접선의 방정식은 \(y = m\left(x - \frac{1}{2a}\right)\)이다.
또한 \(x = k\)에서 접하므로 \(m = 2ak\)이다.
한편 접선이 점 \((k, ak^2)\)을 지나므로 \(ak^2 = 2ak\left(k - \frac{1}{2a}\right)\)이다.
따라서 \(k = \frac{1}{a}\)이다.
결론적으로 접선의 기울기는 \(m = 2\)이다.

\(f(x) = 3^{|x|} + a\)의 그래프는 \(x=0\)에서 최솟값 \(1+a\)를 갖는다.
\(4^{f(x)} - 5 \times 2^{f(x)+1} + 24 = 0\) 방정식은 \(2^{f(x)}\)를 \(t\)라 치환하면 \(t^2 - 10t + 24 = 0\)이 되고, 이 방정식의 해는 \(t=4, 6\)이다.
\(f(x)\)의 최솟값은 \(1+a\)이므로 \(2^{f(x)} \ge 2^{1+a}\)이다.
오직 하나의 실근을 갖기 위해서는 \(2^{f(x)}\)의 최솟값이 6이 되어야 한다.
(\(\because 2^{f(x)} = 4\)이면,
\(2^{f(x)} = 6\)인 근 \(x\)가 존재) 따라서 \(2^{1+a} = 6\) 즉, \(a\)의 값은 \(\log_2 6 - 1\) 또는 \(\log_2 3\)이다.

\(3\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \frac{b}{a} = 3\), \(\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} = 3\), \((3a+b)^2 = 9(a^2+b^2)\) \(9a^2+6ab+b^2 = 9a^2+9b^2\), \(6ab = 8b^2\), \(\therefore \frac{a}{b} = \frac{4}{3}\)

\(a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{1}{9} \left\{ n^2(n+2)^2 - (n-1)^2(n+1)^2 \right\}\) \(= \frac{1}{9} ( n^4 + 4n^3 + 4n^2 - n^4 + 2n^2 - 1 ) = \frac{1}{9} ( 4n^3 + 6n^2 - 1 )\) \(\therefore a_1 = S_1 = 1\) \(\therefore a_{100} = \frac{1}{9} ( 4000000 + 60000 - 1 ) = 451111\) \(\therefore a_1 + a_{100} = 451112\)

\(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9\)이므로 \(f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + b\)이다.
또한 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 14\)이므로 \(f(0) = 0\)가 성립해야하므로 \(b = 0\). 따라서 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 9x^2 + ax}{x} = \lim_{x \to 0} (x^2 - 9x + a) = a = 14\) 이므로 \(f(x) = x^3 - 9x^2 + 14x = x(x-2)(x-7)\)이고 결국 \(\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = \lim_{x \to 2} x(x-7) = -10\).

\(0 \lt |a+1| \lt 1\)일 때, 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 감소 함수 따라서, \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 \(x = \frac{1}{9}\)에서 최댓값 2를 갖는다.
\(|a+1|^2 = \frac{1}{9}, \therefore |a+1| = \frac{1}{3}, \implies a = -\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\) \(1 \lt |a+1|\)일 때, 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 증가 함수 따라서, \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 \(x = 16\)에서 최댓값 2를 갖는다.
\(|a+1|^2 = 16, \therefore |a+1| = 4, \implies a = 3, -5\)

시각 \(t(t \ge 0)\)에서의 두 점 A, B의 위치는 각각 \(s_1(t) = \int_0^t v_1(\tau) d\tau = \int_0^t (2\tau^3 - 12\tau^2 + 24\tau) d\tau = \frac{1}{2}t^4 - 4t^3 + 12t^2\), \(s_2(t) = \int_0^t v_2(\tau) d\tau = \int_0^t \left(\frac{3}{2}\tau^2 + 9a\right) d\tau = \frac{1}{2}t^3 + 9at\)이다.
두 점이 만나므로 \(s_1(t) = s_2(t)\)라 놓으면 \(\frac{1}{18}t^4 - \frac{1}{2}t^3 + \frac{4}{3}t^2 = at\)이고 출발 후 두 점이 만나는 횟수는 \(\frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t = a\)의 실근의 개수와 같다.
즉 함수 \(f(t) = \frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t (t \ge 0)\)의 그래프와 직선 \(y = a\)의 교점의 개수가 2인 \(a\)값을 구한다.
즉 극값에서 직선 \(y = a\)와 교점의 개수가 2이다.
따라서 \(f'(t) = \frac{1}{6}t^2 - t + \frac{4}{3} = \frac{1}{6}(t-2)(t-4)\)이므로 \(t = 2, 4\)에서 교점이 2개이다.
\(f(2) = \frac{10}{9}\), \(f(4) = \frac{8}{9}\)이다.

곡선 \(y = -x^2+6x-9 = -(x-3)^2\) 위의 점 \((a, f(a))\) (\(0 \lt a \lt 3\))에서의 접선의 방정식은 \(f'(x) = -2x+6\) 이므로 \(y = -2(a-3)(x-a) - (a-3)^2\) 이다.
따라서 접선의 \(x\)절편은 \(\frac{a+3}{2}\) 이고 \(y\)절편은 \(a^2-9\) 이므로 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \left(\frac{a+3}{2}\right) \times (9-a^2)\) 이다.
따라서 \(y = f(x)\)의 그래프와 접선 및 \(x\)축 또는 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = -\int_0^3 f(x) dx - \text{삼각형넓이}\) 로 계산할 수 있다.
\[\begin{aligned} S &= -\int_0^3 (-x^2+6x-9) dx - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} \\ &= \left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x \right]_0^3 - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} \\ &= \frac{1}{4}a^3 + \frac{3}{4}a^2 - \frac{9}{4}a + \frac{9}{4} \end{aligned}\]
따라서 넓이 \(S\)의 (\(0 \lt a \lt 3\))에서의 최솟값은 \[\begin{aligned} S' = \frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{2}a - \frac{9}{4} \\ = \frac{3}{4}(a-1)(a+3) \end{aligned}\] 이므로 \(a = 1\)에서 극소값 \(S = 1\)을 가지며 이 값이 최솟값이다.