2027학년도 가톨릭대학교 자연계열 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 153쪽 단권화

2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본

2027학년도 가톨릭대학교
자연계열 수리논술
10회분 통합 마스터 문제집·해설집

출제 범위: 교과서 기반 교육과정 수학 전 범위 (Textbook DB SSOT)
시험 시간: 90분 | 전형 반영: 논술 80% + 학생부교과 20%

📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 153쪽 완결]

• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭

• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (31p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (15문항)

• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (65p): 출제 타당성 보고서(4p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)

• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (51p): 50문항 전수 아코디언 정밀 해설

• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터

📱 스마트폰 실시간 합격진단 & 올인원 대시보드 연동

우측 QR 스캔 또는 상단 툴바 버튼으로 가톨릭대학교 실시간 컷오프 시뮬레이터와 즉시 동기화됩니다.

발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: QUESTIO-2027-UNIFIED-MASTER

전형 반영 비율

논술 80% + 학생부교과 20%

논술 실질 변별력 핵심

시험 시간 · 문항

90분 · 5문항

회차당 수리 100점 만점

수능최저학력기준

모집단위별 기준 확인

의예 3합 4 · 약학 3합 5 · 간호(자연) 3합 7 /

출제 교육과정

교과서 기반 수학과

Textbook DB V1.0 완벽 준거

STEP 1기출 5개년 해부Part 1 정독

STEP 2표준 모의 1~5회실전 시간 엄수

STEP 3킬러 모의 6~10회TOP 5 심화 격파

STEP 4루브릭 약점 교정감점 요인 제거

STEP 5입결 컷오프 판정Part 3 시뮬레이션

📈 5개년 출제 경향 및 2027학년도 핵심 대비 전략

1) 2022~2026학년도 5개년 출제 기조와 2027 개편 핵심: 가톨릭대학교 자연공학계열·간호학과(자연)·약학·의예 수리논술은 제시문 (ㄱ), (ㄴ), (ㄷ)에 교과서 핵심 정의와 함수 조건을 부여하고, 소문항 간 결과가 연쇄적으로 연결되는 다단계 논증형(Track A) 구조를 일관되게 유지하고 있습니다. 2027학년도 대비 실전 체제에서는 대수 · 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ 전 영역에서 90분 5문항(문항당 20점, 총 100점) 밸런스로 고득점 변별이 이루어집니다.

2) 당락을 가르는 3대 채점 급소: ① 지수·로그 치환 시 정의역 경계 변환($x \gt 0 \iff 2^x \gt 1$), ② 절댓값·구간별 정의 함수의 접점(중근) 미분가능성 및 실근 개수 경계에서의 등호 포함 판정, ③ 초월함수 부분적분 점화식과 정적분 함수의 극값·변곡 논거 명시가 부분점수 확보의 핵심입니다.

🔥 역대 킬러 문항 TOP 5 분석 & 실전 모의고사 6~10회 1:1 심화 매칭표

순위	기출 원천 문항	핵심 출제 테마 및 변별 포인트	모의 1:1 매칭	부분점수 공략 전략
TOP 1	2026학년도 자연·간호 문항 1 & 2025학년도 문항 1	지수·로그 치환 근의 분리 및 등차·귀납 수열 망원소거	제6회~제10회 각 회차 문항 1 (대수 킬러 매칭)	치환 변수의 새 정의역($t \gt a^k$) 위에서 판별식·대칭축·경계 함숫값 3조건을 연립하고 $S_n - S_{n-1}$에서 $a_1 = S_1$ 검증을 필수 명시
TOP 2	2025학년도 자연·간호 문항 2 & 2024학년도 문항 2	삼차·사차함수 접선 개수와 절댓값 미분불가능점 경계 판정	제6회~제10회 각 회차 문항 2 (미적분Ⅰ 미분 킬러 매칭)	곡선 밖 점에서 그은 접선 방정식을 접점 $t$의 함수 $h(t) = k$로 전환하고 중근 접점에서의 미분가능성 등호를 엄밀히 구분
TOP 3	2026학년도 자연·간호 문항 3 & 2024학년도 문항 1	사인·코사인법칙 외접원·내접원 결합 및 정적분 넓이 최적화	제6회~제10회 각 회차 문항 3 (도형·정적분 활용 킬러 매칭)	외접원(사인법칙)과 내접원(넓이 분할) 공식을 연립하고 정적분으로 정의된 함수의 부호 변화점에서 구간을 분할 적분
TOP 4	2026학년도 자연·간호 문항 2 & 2023학년도 문항 2	초월함수(지수·로그·유리·매개변수) 변곡접선과 역함수 미분법	제6회~제10회 각 회차 문항 4 (미적분Ⅱ 미분 킬러 매칭)	$f'(x) \ge 0$ 고립 영점에서의 순증가 일대일대응 논증 후 $g'(b) = 1/f'(a)$ 대응점 $(a, b)$ 좌표를 혼동 없이 매칭
TOP 5	2025학년도 자연·간호 문항 3 (무한급수·치환적분 40점)	부분적분 점화식·정적분 급수 변환·무한등비급수 수렴 판정	제6회~제10회 각 회차 문항 5 (미적분Ⅱ 적분·급수 킬러 매칭)	부분적분 경계항 소거 근거와 등비급수 공비 $\|r\| \lt 1$ 수렴 조건, 리만 합 $1/n$ 인자 분리를 빠짐없이 서술

📌 본 통합 마스터북 100% 활용 5단계 로드맵

STAGE 1

Step 1 [기출 구조 체화]: Part 1의 2022~2026학년도 5개년 공식 기출 15문항과 교과서 기반 1:1 유사 연습문제를 풀며 가톨릭대 연쇄 논제 호흡을 익힙니다.

STAGE 2

Step 2 [표준 실전 훈련]: Part 2-1 제1회~제5회(기출 유사 표준 모의고사)를 회당 90분 실전 타이머로 작성하고 18줄 답안지 공간 배분을 연습합니다.

STAGE 3

Step 3 [킬러 변별 돌파]: 제6회~제10회(역대 킬러 TOP 5 1:1 심화 모의고사)를 통해 초월함수 미적분·근의 분리·절댓값 미분가능성 고난도 감점 포인트를 교정합니다.

STAGE 4

Step 4 [입결 시뮬레이션]: Part 3의 실시간 자가채점기와 모집단위별(의예·약학·간호·자연공학) 70% 컷 판정표로 목표 학과 안정권 점수를 최종 점검합니다.

PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS

2022~2026학년도 가톨릭대학교
공식 기출 심층 해설 & 교과서 1:1 연계

최근 5개년 기출 핵심 15문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.

📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록

📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공

✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능

📚 과목/단원: 대수 🎯 핵심 테마: 방정식과 실근의 개수, 근과 계수의 관계 ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

(ㄱ) 실수에서 정의된 함수 $f(x)$와 $g(x)$는 다음과 같다.

$f(x) = x^3 - 6x^2$, $g(x) = \frac{3}{2}x - \frac{11}{2}$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 상수 $L$은 다음과 같다.

방정식 $f(x) - g(x) = 0$의 유리수가 아닌 두 근을 $\alpha, \beta$라 할 때,

$L = \alpha^3 + \beta^3$

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$에 대하여 상수 $m$은 다음 조건을 만족시킨다.

방정식 $f(x) - mx + m + 4 = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 두 개이다.

[논제 1] (10점)

제시문의 상수 $L$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

[논제 2] (20점)

제시문의 상수 $m$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

【유사 연습 문제】 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB}=5, \overline{AC}=7, \angle A = \frac{\pi}{3}$일 때, 변 $\overline{BC}$의 길이와 외접원의 반지름 $R$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 코사인법칙으로 $\overline{BC}^2 = 25 + 49 - 35 = 39 \implies \overline{BC} = \sqrt{39}$. 사인법칙으로 $R = \frac{\sqrt{39}}{2\sin(\pi/3)} = \sqrt{13}$이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연공학·간호 문항 1 (대수) [배점 30점]

2026학년도 자연공학·간호 문항 1 (30점, 권장 30분) | 핵심 테마: 방정식과 실근의 개수, 근과 계수의 관계 — [논제 1](10점) 및 [논제 2](20점) 단계별 논거 서술.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 1 · 총 30점

[논제 1]
함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 다음이 성립한다. \[f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 = -7, \quad g(-1) = \frac{3}{2}(-1) - \frac{11}{2} = -7\] 이므로 $f(-1) = g(-1)$이다. 즉, 방정식 $f(x) - g(x) = 0$은 $x+1$을 인수로 가진다. 조립제법을 통해 식을 인수분해하면 다음과 같다. \[f(x) - g(x) = x^3 - 6x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{11}{2} = (x+1)\left(x^2 - 7x + \frac{11}{2}\right) = 0\] 유리수가 아닌 두 근 $\alpha, \beta$는 이차방정식 $x^2 - 7x + \frac{11}{2} = 0$의 근이다. 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립한다. \[\alpha + \beta = 7, \quad \alpha\beta = \frac{11}{2}\] 따라서 구하고자 하는 상수 $L$의 값은 다음과 같다. \[\begin{aligned} L &= \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) \\ &= (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta) \\ &= 7 \left(7^2 - 3 \times \frac{11}{2}\right) = 7 \left(49 - \frac{33}{2}\right) = 7 \times \frac{65}{2} = \frac{455}{2} \end{aligned}\]

[논제 2]
함수 $h(x) = mx - m - 4 = m(x-1) - 4$라고 하자. 방정식 $f(x) - mx + m + 4 = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 2개라는 것은 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = h(x)$가 서로 다른 두 점에서 만남을 의미하며, 이는 한 점에서 접하고 다른 한 점에서 만남을 뜻한다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 접점의 $x$좌표를 $p$라 하면, 접점 $(p, f(p))$에서의 접선 방정식은 다음과 같다. \[y = (3p^2 - 12p)(x-p) + p^3 - 6p^2 = (3p^2 - 12p)x - 2p^3 + 6p^2\] 이 접선이 직선 $y = m(x-1)-4$, 즉 $(1, -4)$를 지나는 직선과 일치해야 하므로, 접선 식에 $x=1, y=-4$를 대입한다. \[-4 = (3p^2 - 12p)(1-p) + p^3 - 6p^2 \implies -4 = -2p^3 + 9p^2 - 12p\] 정리하면 $2p^3 - 9p^2 + 12p - 4 = 0$이며, 인수분해하면 $2(p-2)^2\left(p-\frac{1}{2}\right) = 0$이다. 따라서 $p = 2$ 또는 $p = \frac{1}{2}$이다.
i) $p = 2$인 경우: 기울기 $m = 3(2)^2 - 12(2) = -12$이다. 이때 $f(x) - h(x) = (x-2)^3 = 0$이 되어 삼중근 $x=2$만을 실근으로 갖는다. 이는 실근의 개수가 1개이므로 모순이다.
ii) $p = \frac{1}{2}$인 경우: 기울기 $m = 3(1/2)^2 - 12(1/2) = -\frac{21}{4}$이다. 이때 $f(x) - h(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2(x-5) = 0$이 되어 실근이 $x=\frac{1}{2}, 5$로 2개가 되므로 조건에 부합한다. 따라서 구하는 상수 $m = -\frac{21}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] [논제 1] 두 함수가 $x=-1$에서 교점을 가짐을 보이고 인수분해 유도	5점
2단계	[논제 1] [논제 1] 근과 계수의 관계 또는 곱셈공식 변형을 통해 $L = \frac{455}{2}$ 도출	5점
3단계	[논제 2] [논제 2] 접점 $(p, f(p))$에서 $(1, -4)$를 지나는 접선 관계식 설정 및 $p=2, 1/2$ 구하기	10점
4단계	[논제 2] [논제 2] $p=2$의 부적합성을 밝히고, $p=1/2$일 때 $m = -\frac{21}{4}$ 도출 및 검증	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

가톨릭대학교 수리논술은 [논제 1]에서 구한 상수나 관계식이 [논제 2]의 전제 조건으로 작동하는 연쇄형 구조이므로, [논제 1]의 인수분해·부호·정의역 검산을 먼저 확정한 뒤 [논제 2]의 계산으로 진입해야 대량 실점을 예방할 수 있습니다.

[논제 1]$L = \frac{455}{2}$ | [논제 2] $m = -\frac{21}{4}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 함수의 연속, 극한값의 곱 ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

(ㄱ) 다항함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$는 다음과 같다.

$g(x) = \begin{cases} 3x & (x \lt 0, \; x \gt 3) \\ f(x) & (0 \le x \le 3) \end{cases}$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $g(x)$에 대하여 함수 $h(x)$는 다음과 같다.

$h(x) = \lim_{t \to 0+} g(x+t) \cdot \lim_{t \to 3+} g(x+t)$

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 함수 $h(x)$는 모든 실수 $x$에서 연속이고 다음 조건을 만족시킨다.

$\int_{-5}^{5} h(x) dx = 600$

[논제 1] (10점)

제시문의 다항함수 $f(x)$에 대하여 $f(0) + f(3)$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

[논제 2] (20점)

제시문의 다항함수 $f(x)$에 대하여 적분값 $\int_{0}^{3} x f(x) dx$를 구하고 그 근거를 논술하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

【유사 연습 문제】 정적분 $\displaystyle \int_1^e x \ln x \, dx$의 값을 부분적분법을 이용하여 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\int_1^e x \ln x \, dx = \left[\frac{1}{2}x^2 \ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{2}e^2 - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연공학·간호 문항 2 (미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ) [배점 30점]

2026학년도 자연공학·간호 문항 2 (30점, 권장 30분) | 핵심 테마: 함수의 연속, 극한값의 곱 — [논제 1](10점) 및 [논제 2](20점) 단계별 논거 서술.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 2 · 총 30점

[논제 1]
$X = x+t$라 하면, $t \to 0+$ 일 때 $X \to x+$ 이고, $t \to 3+$ 일 때 $X \to (x+3)+$ 이다. 따라서 $h(x) = \lim_{X \to x+} g(X) \cdot \lim_{X \to (x+3)+} g(X)$ 이다. $x$의 범위에 따라 $x$와 $x+3$이 속하는 범위를 고려하여 $h(x)$를 작성하면 다음과 같다. \[h(x) = \begin{cases} 3x \times 3(x+3) = 9x(x+3) & (x \ge 3) \\ f(x) \times 3(x+3) = 3(x+3)f(x) & (0 \le x \lt 3) \\ 3x \times f(x+3) = 3x f(x+3) & (-3 \le x \lt 0) \\ 3x \times 3(x+3) = 9x(x+3) & (x \lt -3) \end{cases}\] 주어진 함수 $h(x)$는 모든 실수 $x$에서 연속이므로 경계값 $x=3, x=0, x=-3$에서 연속이어야 한다.
1) $x=3$에서의 연속성: \[\lim_{x \to 3+} h(x) = 9 \times 3 \times 6 = 162, \quad \lim_{x \to 3-} h(x) = 18 f(3) \implies 18 f(3) = 162 \implies f(3) = 9\] 2) $x=0$에서의 연속성: \[\lim_{x \to 0+} h(x) = 9 f(0), \quad \lim_{x \to 0-} h(x) = 0 \implies 9 f(0) = 0 \implies f(0) = 0\] 따라서 다항함수 $f(x)$에 대하여 $f(0) = 0, f(3) = 9$ 이므로, $f(0) + f(3) = 9$ 이다.

[논제 2]
$\int_{-5}^{5} h(x) dx = 600$을 구간별로 나누어 적분 식을 세우면 다음과 같다. \[\int_{-5}^{-3} 9x(x+3) dx + \int_{-3}^{0} 3x f(x+3) dx + \int_{0}^{3} 3(x+3) f(x) dx + \int_{3}^{5} 9x(x+3) dx = 600\] 다항식으로 된 적분 구간의 값을 직접 계산하면: \[\int_{-5}^{-3} 9(x^2 + 3x) dx = 9 \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_{-5}^{-3} = 78\] \[\int_{3}^{5} 9(x^2 + 3x) dx = 9 \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_{3}^{5} = 510\] 따라서 $78 + \int_{-3}^{0} 3x f(x+3) dx + \int_{0}^{3} 3(x+3) f(x) dx + 510 = 600$ 이므로 \[\int_{-3}^{0} 3x f(x+3) dx + \int_{0}^{3} 3(x+3) f(x) dx = 12\] 여기서 첫 번째 적분항에 대해 $u = x+3$으로 치환하면 $dx = du$이고 $x=u-3$이며, 적분 구간은 $[0, 3]$이 된다. \[\int_{-3}^{0} 3x f(x+3) dx = \int_{0}^{3} 3(u-3) f(u) du = \int_{0}^{3} 3(x-3) f(x) dx\] 이를 식에 대입하여 더해주면 다음과 같다. \[\int_{0}^{3} 3(x-3) f(x) dx + \int_{0}^{3} 3(x+3) f(x) dx = \int_{0}^{3} 6x f(x) dx = 12\] 따라서 구하고자 하는 적분값은 $\int_{0}^{3} x f(x) dx = 2$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] [논제 1] 극한을 해석하여 함수 $h(x)$를 $f(x)$가 포함된 조각함수로 표현	5점
2단계	[논제 1] [논제 1] $h(x)$의 연속 조건($x=0, 3$)을 활용하여 $f(0)+f(3) = 9$ 도출	5점
3단계	[논제 2] [논제 2] 정적분 구간 분할 및 다항식 적분 계산 ($78, 510$ 구하기)	10점
4단계	[논제 2] [논제 2] 치환적분법을 활용하여 두 정적분 식을 합치고 $\int_{0}^{3} x f(x) dx = 2$ 계산	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[논제 1]$f(0) + f(3) = 9$ | [논제 2] $\int_{0}^{3} x f(x)\,dx = 2$

📚 과목/단원: 대수 🎯 핵심 테마: 사인법칙과 코사인법칙, 외접원의 넓이 ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

(ㄱ) 삼각형 $ABC$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 세 변의 길이 중 가장 짧은 변의 길이는 $3$이다.

(나) $\sin 2B = \sin 2C$ 또는 $\cos 2B = \cos 2C$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 삼각형 $ABC$에 대하여 집합 $M$은 다음과 같다.

집합 $M$은 $\cos B = \frac{1}{3}$일 때 $\overline{BC}$가 가질 수 있는 모든 값의 모임이다.

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 삼각형 $ABC$에 대하여 상수 $p, q, r$은 다음과 같다.

(가) 선분 $AB$의 중점을 $P$라 할 때, 삼각형 $APC$의 외접원의 넓이를 $S_1$, 삼각형 $BPC$의 외접원의 넓이를 $S_2$라 하자.

(나) $\frac{S_1}{S_2}$의 값이 $\frac{1}{8}$일 때 $\overline{BC}$의 최솟값을 $p$, $\frac{S_1}{S_2}$의 값이 $\frac{3}{8}$일 때 $\overline{BC}$의 최솟값을 $q$, $\frac{S_1}{S_2}$의 값이 $\frac{5}{8}$일 때 $\overline{BC}$의 최솟값을 $r$이라 하자.

[논제 1] (15점)

제시문의 집합 $M$을 구하고 그 근거를 논술하시오.

[논제 2] (25점)

제시문의 상수 $p, q, r$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

【유사 연습 문제】 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 2a_n + 1 \; (n \ge 1)$을 만족시킬 때, 일반항 $a_n$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$이므로 $\{a_n + 1\}$은 첫째항 $3$, 공비 $2$인 등비수열이다. 따라서 $a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연공학·간호 문항 3 (대수) [배점 40점]

2026학년도 자연공학·간호 문항 3 (40점, 권장 30분) | 핵심 테마: 사인법칙과 코사인법칙, 외접원의 넓이 — [논제 1](15점) 및 [논제 2](25점) 단계별 논거 서술.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 3 · 총 40점

[논제 1]
제시문 (ㄱ)-(나)에 의해 $\sin 2B = \sin 2C$ 또는 $\cos 2B = \cos 2C$ 이다. 삼각형의 각은 $0 \lt B, C \lt \pi$ 이다.
1) $\sin 2B = \sin 2C \implies 2B = 2C$ 또는 $2B + 2C = \pi \implies B = C$ 또는 $B+C = \frac{\pi}{2}$
2) $\cos 2B = \cos 2C \implies 2B = 2C$ 또는 $2B + 2C = 2\pi \implies B = C$ 또는 $B+C = \pi$ 삼각형 내각의 합 조건상 $B+C = \pi$는 불가능하므로, 가능한 경우는 $A = \frac{\pi}{2}$인 직각삼각형 또는 $B=C$인 이등변삼각형이다. $\cos B = \frac{1}{3}$일 때 $\overline{BC}$의 길이를 구하자.
i) 직각삼각형인 경우 ($A = \frac{\pi}{2}$): $\cos B = \frac{1}{3} \gt 0$ 이므로 $B$는 예각이다. 또한 $\cos B \lt \cos \frac{\pi}{4} \implies B \gt \frac{\pi}{4}$ 이므로 $B \gt C$ 이다. 가장 짧은 변은 $C$의 대변인 $\overline{AB}$가 되어 $\overline{AB} = 3$이다. 직각삼각형 정의에 의해 $\overline{BC} = \frac{\overline{AB}}{\cos B} = 9$이다.
ii) 이등변삼각형인 경우 ($B=C$): $\cos B = \frac{1}{3} \lt \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3} \implies B \gt \frac{\pi}{3}$ 이다. 이때 $A = \pi - 2B \lt \frac{\pi}{3}$ 이므로 $A$가 가장 작은 각이다. 가장 짧은 변은 $A$의 대변인 $\overline{BC}$가 되어 $\overline{BC} = 3$이다. 따라서 (i), (ii)에 의해 집합 $M = \{3, 9\}$이다.

[논제 2]
삼각형 $APC$와 $BPC$의 외접원 반지름을 $R_1, R_2$라 하자. 선분 $PC$에 대하여 사인법칙을 적용하면: \[2R_1 = \frac{\overline{PC}}{\sin A}, \quad 2R_2 = \frac{\overline{PC}}{\sin B} \implies \frac{S_1}{S_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{\sin^2 B}{\sin^2 A}\] 삼각형 $ABC$에 대해 사인법칙을 쓰면 $\frac{\overline{BC}}{\sin A} = \frac{\overline{AC}}{\sin B} = 2R \implies \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}$ 이므로, $\frac{S_1}{S_2} = \frac{\overline{AC}^2}{\overline{BC}^2}$ 이 성립한다.
i) 직각삼각형일 때 ($A=\frac{\pi}{2}$): 피타고라스 정리에 의해 $\overline{AC}^2 + \overline{AB}^2 = \overline{BC}^2$ 이다.
ii) 이등변삼각형일 때 ($B=C$): 수선의 발을 통해 $\cos B = \frac{\overline{BC}}{2\overline{AC}} \implies \frac{\overline{AC}^2}{\overline{BC}^2} = \frac{1}{4\cos^2 B}$ 이다.
1) $\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{8}$ 인 경우: 이등변삼각형에서는 $\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{4\cos^2 B} \ge \frac{1}{4}$이므로 $\frac{1}{8}$이 될 수 없다. 따라서 직각삼각형만 가능하다. $\overline{AC}^2 : \overline{AB}^2 : \overline{BC}^2 = 1 : 7 : 8$ 이며, $\overline{AC} \lt \overline{AB} \lt \overline{BC}$ 에서 가장 짧은 변은 $\overline{AC} = 3$ 이다. 따라서 $\overline{BC} = 3\sqrt{8} = 6\sqrt{2}$ 이며, $p = 6\sqrt{2}$ 이다.
2) $\frac{S_1}{S_2} = \frac{3}{8}$ 인 경우: - 직각삼각형: $\overline{AC}^2 : \overline{AB}^2 : \overline{BC}^2 = 3 : 5 : 8$. 가장 짧은 변은 $\overline{AC} = 3$ 이므로 $\overline{BC} = 2\sqrt{6}$ 이다. - 이등변삼각형: $\frac{1}{4\cos^2 B} = \frac{3}{8} \implies \cos B = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 이다. $B \lt A$에서 $\overline{AB} = 3$ 이므로 $\overline{BC} = 2\overline{AC}\cos B = 6\cos B = 2\sqrt{6}$ 이다. 두 경우 모두 $\overline{BC} = 2\sqrt{6}$ 이므로 최솟값 $q = 2\sqrt{6}$ 이다.
3) $\frac{S_1}{S_2} = \frac{5}{8}$ 인 경우: - 직각삼각형: $\overline{AC}^2 : \overline{AB}^2 : \overline{BC}^2 = 5 : 3 : 8$. 가장 짧은 변은 $\overline{AB} = 3$ 이므로 $\overline{BC} = 2\sqrt{6}$ 이다. - 이등변삼각형: $\frac{1}{4\cos^2 B} = \frac{5}{8} \implies \cos B = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ 이다. 가장 짧은 변 $\overline{AB}=3$을 이용하여 $\overline{BC} = 6\cos B = \frac{6\sqrt{10}}{5}$ 을 얻는다. $2\sqrt{6} \gt \frac{6\sqrt{10}}{5}$ 이므로 $\overline{BC}$의 최솟값은 이등변삼각형일 때의 $r = \frac{6\sqrt{10}}{5}$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] [논제 1] 각의 성질을 분석해 직각삼각형과 이등변삼각형 두 가지 형태로 구조화	5점
2단계	[논제 1] [논제 1] 두 삼각형의 성질 및 가장 짧은 변 기준을 통해 집합 $M=\{3,9\}$ 도출	10점
3단계	[논제 2] [논제 2] 사인법칙을 활용해 넓이비 식 $\frac{S_1}{S_2} = \frac{\overline{AC}^2}{\overline{BC}^2}$ 유도	10점
4단계	[논제 2] [논제 2] 각 비율에 대한 삼각형 존재성 검증 및 최솟값 $p=6\sqrt{2}, q=2\sqrt{6}, r=\frac{6\sqrt{10}}{5}$ 도출	15점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[논제 1]$M = \{3, 9\}$ | [논제 2] $p = 6\sqrt{2},\; q = 2\sqrt{6},\; r = \frac{6\sqrt{10}}{5}$

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 등차수열, 평균의 극대와 극소 ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

(ㄱ) 첫째항이 $3$, 공차가 $7$인 등차수열 $\{a_n\}$과 자연수 $N$에 대하여 집합 $A, B$는 다음과 같다.

$A = \{ a_k \mid k\text{는 } 1 \le k \le 100\text{인 자연수} \}$

$B = \{ a_k \mid k\text{는 } 1 \le k \le N\text{인 자연수} \}$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 집합 $A$에 대하여 $A$의 원소 중 하나를 제외한 나머지 원소들의 평균으로 가능한 가장 작은 값을 $m$, 가장 큰 값을 $M$이라고 하자.

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 집합 $B$에 대하여 $B$의 원소 $p$는 다음 조건을 만족시킨다.

집합 $B$의 원소 중 $p$를 제외한 나머지 원소들의 평균은 $97 + \frac{1}{9}$ 이다.

[논제 1] (10점)

제시문 (ㄴ)의 $m, M$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

[논제 2] (20점)

제시문 (ㄷ)의 $p$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]

【유사 연습 문제】 방정식 $\log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 진수 조건에서 $x \gt 3$이고, $(x-1)(x-3) = 8 \implies x^2 - 4x - 5 = 0$에서 $x \gt 3$이므로 $x = 5$이다.

【문항 요약】 2025학년도 자연공학·간호 문항 1 (대수 · 미적분Ⅰ) [배점 30점]

2025학년도 자연공학·간호 문항 1 (30점, 권장 30분) | 핵심 테마: 등차수열, 평균의 극대와 극소 — [논제 1](10점) 및 [논제 2](20점) 단계별 논거 서술.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 1 · 총 30점

[논제 1]
집합 $A$의 원소는 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제100항까지로, 크기순으로 나열하면 $a_1 \lt a_2 \lt \dots \lt a_{100}$ 이다. 집합 $A$의 원소 중 하나를 제외한 나머지 99개 원소들의 평균은 가장 작은 원소인 $a_1$을 제외할 때 가장 크고, 가장 큰 원소인 $a_{100}$을 제외할 때 가장 작다. 등차수열의 일반항은 $a_k = 3 + 7(k-1)$ 이므로, 평균의 최솟값 $m$은 가장 큰 원소인 $a_{100}$을 제외한 경우이다. \[\begin{aligned} m &= \frac{1}{99}\sum_{k=1}^{99} (3 + 7(k-1)) = \frac{a_1 + a_{99}}{2} \\ &= \frac{3 + (3 + 7 \times 98)}{2} = \frac{6 + 686}{2} = 346 \end{aligned}\] 평균의 최댓값 $M$은 가장 작은 원소인 $a_1$을 제외한 경우이다. \[\begin{aligned} M &= \frac{1}{99}\sum_{k=2}^{100} (3 + 7(k-1)) = \frac{a_2 + a_{100}}{2} \\ &= \frac{10 + (3 + 7 \times 99)}{2} = \frac{10 + 696}{2} = 353 \end{aligned}\] 따라서 $m = 346, M = 353$ 이다.

[논제 2]
집합 $B$의 원소 중 하나를 제외한 나머지 $N-1$개 원소들의 평균은 가장 작은 원소 $a_1$을 제외할 때 가장 크고, 가장 큰 원소 $a_N$을 제외할 때 가장 작다. 따라서 제시문 (ㄷ)의 조건에 의해 다음 부등식이 성립한다. \[\frac{1}{N-1}\sum_{k=1}^{N-1} a_k \le 97 + \frac{1}{9} \le \frac{1}{N-1}\sum_{k=2}^{N} a_k\] 이 부등식을 등차수열 합의 공식을 이용하여 정리하면: \[-4 + \frac{7}{2}N \le 97 + \frac{1}{9} \le 3 + \frac{7}{2}N\] 양변에 $2$를 곱하고 식을 각각 정리하면: \[26 + \frac{56}{63} \le N \le 28 + \frac{56}{63}\] $N$은 자연수이므로 가능한 $N$의 값은 $27$ 또는 $28$ 이다. 한편, 원소 $p$를 제외한 $N-1$개 원소들의 합 $(N-1) \times \left(97 + \frac{1}{9}\right) = (N-1) \times \frac{874}{9}$ 은 정수여야 하므로, $N-1$은 $9$의 배수여야 한다. $N=27$ 이면 $N-1=26$ (9의 배수가 아님), $N=28$ 이면 $N-1=27$ (9의 배수임)이므로 만족하는 $N$의 값은 $28$ 이다. 따라서 집합 $B$의 원소 $p$를 제외한 나머지 27개 원소들의 평균이 $\frac{874}{9}$ 이므로: \[\begin{aligned} p &= \sum_{k=1}^{28} a_k - 27 \times \left(97 + \frac{1}{9}\right) = \sum_{k=1}^{28} (3 + 7(k-1)) - 2622 \\ &= \left( 28 \times 3 + 7 \times \frac{27 \times 28}{2} \right) - 2622 = 2730 - 2622 = 108 \end{aligned}\] 따라서 구하고자 하는 원소 $p$의 값은 $108$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] [논제 1] 평균의 최댓값과 최솟값이 각각 $a_1, a_{100}$을 제외할 때임을 설명	4점
2단계	[논제 1] [논제 1] 수열의 합 공식을 활용하여 $m = 346, M = 353$ 계산 도출	6점
3단계	[논제 2] [논제 2] $N$에 대한 부등식 범위를 설정하여 $N = 27$ 또는 $28$ 유도	8점
4단계	[논제 2] [논제 2] 평균의 정수 조건을 통해 $N=28$을 결정하고 $p = 108$ 도출	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[논제 1]$m = 346,\; M = 353$ | [논제 2] $p = 108$

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 접선의 방정식, 극대와 극소 ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

(ㄱ) 양의 실수 $k$에 대하여 삼차함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = kx + 1$은 두 점에서 만나고, 만나는 두 점의 $x$좌표는 각각 $\alpha, 1$ 이다. (단, $\alpha \lt -1$)

(나) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = kx - 1$은 두 점에서 만나고, 만나는 두 점의 $x$좌표는 각각 $-1, \beta$ 이다. (단, $\beta \gt 1$)

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 실수 $k$와 함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$는 다음과 같다.

$g(x) = f(x) - kx$

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$에 대하여 실수 $c$는 다음 조건을 만족시킨다.

곡선 $y = f(x)$와 곡선 $y = x^2 + cx + c$는 두 점에서 만나고, 만나는 두 점의 $x$좌표는 각각 $t, 2$이다. (단, $t \lt 2$)

[논제 1] (15점)

제시문 (ㄴ)의 함수 $g(x)$를 구하고 그 근거를 논술하시오.

[논제 2] (15점)

제시문 (ㄷ)의 $c$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]

【유사 연습 문제】 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n = n^2 + 2n$일 때, $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $a_n = 2n + 1 \; (n \ge 1)$이므로 $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{23}\right) = \frac{10}{69}$이다.

【문항 요약】 2025학년도 자연공학·간호 문항 2 (대수 · 미적분Ⅰ) [배점 30점]

2025학년도 자연공학·간호 문항 2 (30점, 권장 30분) | 핵심 테마: 접선의 방정식, 극대와 극소 — [논제 1](15점) 및 [논제 2](15점) 단계별 논거 서술.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 2 · 총 30점

[논제 1]
함수 $g(x) = f(x) - kx$는 최고차항의 계수가 $a$인 삼차함수이다. 제시문 (ㄱ)의 조건에 의해 곡선 $y = g(x)$는 직선 $y = 1$과 $x = \alpha, 1$에서만 만나며, $y = -1$과 $x = -1, \beta$에서만 만나므로 $y = 1$ 및 $y = -1$에 각각 접한다. 따라서 삼차함수 $g(x)$의 극댓값과 극솟값은 각각 $1$과 $-1$이다. 만약 $g(x)$의 최고차항의 계수 $a$가 양수라고 가정하면, $1$이 극댓값이므로 $g(\alpha) = g(1) = 1$ ($\alpha \lt 1$)에서 $g'(\alpha) = 0$ 이고, $-1$이 극솟값이므로 $g(-1) = g(\beta) = -1$ ($-1 \lt \beta$)에서 $g'(\beta) = 0$ 이 된다. 이때 닫힌구간 $[\alpha, \beta]$에서 $g(x)$는 감소하므로 $g(-1) = g(\beta) = -1$ 에서 $-1 \lt \alpha$ 가 되어 문제의 조건 $\alpha \lt -1$에 모순이 발생한다. 따라서 최고차항의 계수 $a \lt 0$ 이다. 이에 따라 극댓값은 $g(1) = 1$ 이고 극솟값은 $g(-1) = -1$ 이며, $g'(1) = 0, g'(-1) = 0$ 이 성립한다. 도함수를 $g'(x) = 3a(x^2 - 1)$ 이라 놓으면 $g(x) = a(x^3 - 3x) + b$ 이다. $g(-1) = 2a + b = -1$, $g(1) = -2a + b = 1$ 을 연립하면 $a = -\frac{1}{2}, b = 0$ 이다. 따라서 구하는 함수 $g(x) = -\frac{1}{2}(x^3 - 3x)$ 이다.

[논제 2]
논제 1의 결과에 의해 삼차함수 $f(x) = -\frac{1}{2}x^3 + \left(k + \frac{3}{2}\right)x$ 이다. 삼차함수 $h(x) = f(x) - (x^2 + cx + c)$ 라고 하자. 곡선 $y = f(x)$와 $y = x^2 + cx + c$가 두 점에서만 만나므로, 방정식 $h(x) = 0$ 은 $x = t, 2$에서 실근을 갖고 둘 중 하나는 중근이다. $h(x)$의 최고차항의 계수가 $-\frac{1}{2}$이므로 다음 두 경우로 나눌 수 있다.
1) $h(x) = -\frac{1}{2}(x-t)^2(x-2)$ 인 경우: 전개하면 $h(x) = -\frac{1}{2}\left(x^3 - 2(t+1)x^2 + (t^2 + 4t)x - 2t^2\right)$ 이다. 한편 $h(x) = -\frac{1}{2}x^3 - x^2 + \left(k-c+\frac{3}{2}\right)x - c$ 이므로 계수를 비교하면: $t+1 = -1 \implies t = -2$ 이고, $-c = -\frac{1}{2}(2t^2) = t^2 \implies c = -4$ 이며, $k-c+\frac{3}{2} = -\frac{1}{2}(t^2+4t) = 2 \implies k - (-4) + \frac{3}{2} = 2 \implies k = -\frac{7}{2}$ 이다. 이는 $k \gt 0$ 조건에 모순이므로 성립하지 않는다.
2) $h(x) = -\frac{1}{2}(x-t)(x-2)^2$ 인 경우: 전개하면 $h(x) = -\frac{1}{2}\left(x^3 - (t+4)x^2 + 4(t+1)x - 4t\right)$ 이다. 계수를 비교하면: $\frac{t+4}{2} = -1 \implies t = -6$ 이고, $-c = -\frac{1}{2}(4t) = 2t \implies c = 12$ 이며, $k-c+\frac{3}{2} = -2(t+1) = 10 \implies k - 12 + \frac{3}{2} = 10 \implies k = \frac{41}{2}$ 이다. 이는 $k = \frac{41}{2} \gt 0$ 이므로 조건에 만족한다. 따라서 구하는 실수 $c$의 값은 $12$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] [논제 1] 최고차항 계수의 부호를 판정하여 모순 분석 및 $a \lt 0$ 증명	7점
2단계	[논제 1] [논제 1] 극대/극소 성질을 이용해 연립식 유도 및 $g(x) = -\frac{1}{2}(x^3 - 3x)$ 도출	8점
3단계	[논제 2] [논제 2] 만나는 두 점의 관계로부터 $h(x)$의 중근 형태 분류 식 설정	5점
4단계	[논제 2] [논제 2] 계수비교법 및 $k \gt 0$ 조건을 활용해 모순인 경우 제외하고 $c=12$ 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[논제 1]$g(x) = -\frac{1}{2}(x^3 - 3x)$ | [논제 2] $c = 12$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 무한급수의 수렴과 발산, 치환적분 ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

(ㄱ) 실수 $a, M$과 함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 실수 $t$에 대하여 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{e^{tn}}$ 은 $t \le a$ 이면 발산하고 $t \gt a$ 이면 수렴한다.

(나) $t \gt a$인 모든 실수 $t$에 대하여 함수 $f(x)$의 $x = t$ 에서의 함숫값은 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{e^{tn}}$ 의 합과 같다.

(다) 구간 $(a, \infty)$에서 함수 $f(x)$의 최댓값은 $M$이다.

(ㄴ) 닫힌구간 $[0, 2\pi]$ 에 속하고 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 $\alpha$의 집합을 $A$라고 하자.

$\frac{\cos \alpha}{e^{\cos \alpha}} \le \frac{\sin \alpha}{e^{\sin \alpha}}$

(ㄷ) 두 함수 $g(x)$와 $h(x)$가 다음과 같을 때, 두 곡선 $y = g(x)$, $y = h(x)$와 두 직선 $x = 0, x = 2\pi$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S$라고 하자.

$g(x) = e^{\cos x}\sin x$, $h(x) = e^{\sin x}\cos x$

[논제 1] (10점)

제시문 (ㄱ)의 $M$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

[논제 2] (30점)

제시문 (ㄴ)의 집합 $A$와 제시문 (ㄷ)의 $S$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x e^{-x}$의 극댓값과 변곡점의 $x$좌표를 각각 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x) = (1-x)e^{-x} = 0$에서 $x=1$일 때 극댓값 $\frac{1}{e}$을 갖고, $f''(x) = (x-2)e^{-x} = 0$에서 부호가 바뀌므로 변곡점의 $x$좌표는 $2$이다.

【문항 요약】 2025학년도 자연공학·간호 문항 3 (미적분Ⅱ) [배점 40점]

2025학년도 자연공학·간호 문항 3 (40점, 권장 30분) | 핵심 테마: 무한급수의 수렴과 발산, 치환적분 — [논제 1](10점) 및 [논제 2](30점) 단계별 논거 서술.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 3 · 총 40점

[논제 1]
급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{t}{e^t}\right)^n$ 은 첫째항과 공비가 모두 $r = \frac{t}{e^t}$ 인 등비급수이다. 함수 $F(t) = \frac{t}{e^t} = te^{-t}$ 라 하면, 도함수는 $F'(t) = (1-t)e^{-t}$ 이다. $F(t)$는 구간 $(-\infty, 1]$에서 증가하고, $[1, \infty)$에서 감소하므로 $t=1$에서 최댓값 $F(1) = \frac{1}{e}$ 을 가진다. 또한 $\lim_{t \to \infty} F(t) = 0$, $\lim_{t \to -\infty} F(t) = -\infty$, $F(0) = 0$ 이다. 등비급수의 수렴 조건은 $|r| \lt 1$, 즉 $-1 \lt F(t) \lt 1$ 이다. 최댓값이 $\frac{1}{e} \lt 1$ 이므로 우측 부등식 $F(t) \lt 1$은 항상 성립한다. 따라서 수렴 조건은 $F(t) \gt -1$ 이다. $F(t)$는 증가함수이므로, $F(t) \gt -1$ 을 만족하는 실수의 범위는 $t \gt a$ (여기서 $F(a) = -1$) 이다. $t \gt a$ 일 때, 등비급수의 합은 $\frac{r}{1-r} = \frac{t}{e^t - t}$ 이다. 함수 $f(t) = \frac{F(t)}{1 - F(t)}$ 이고, $y = \frac{r}{1-r}$ 은 $-1 \lt r \lt 1$ 에서 증가함수이므로, $F(t)$가 최댓값 $F(1) = \frac{1}{e}$ 을 가질 때 $f(t)$도 최댓값 $M$을 갖는다. \[M = \frac{F(1)}{1 - F(1)} = \frac{1/e}{1 - 1/e} = \frac{1}{e - 1}\] 따라서 $M = \frac{1}{e-1}$ 이다.

[논제 2]
함수 $F(t) = \frac{t}{e^t}$ 는 $t \le 1$ 에서 증가함수이다. $|\cos\alpha| \le 1$, $|\sin\alpha| \le 1$ 이므로, $F(\cos\alpha) \le F(\sin\alpha)$ 일 필요충분조건은 $\cos\alpha \le \sin\alpha$ 이다. $0 \le \alpha \le 2\pi$ 이므로 $\cos\alpha \le \sin\alpha$ 의 해는 $\frac{\pi}{4} \le \alpha \le \frac{5\pi}{4}$ 이다. 따라서 집합 $A = \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$ 이다. 다음으로 둘러싸인 넓이 $S$를 구하자. $q(x) = g(x) - h(x) = e^{\cos x}\sin x - e^{\sin x}\cos x$ 라 하면, $S = \int_{0}^{2\pi} |q(x)| dx$ 이다. $q(x) \ge 0 \iff F(\sin x) \ge F(\cos x) \iff \sin x \ge \cos x \iff x \in A$ 이므로: \[S = -\int_{0}^{\pi/4} q(x) dx + \int_{\pi/4}^{5\pi/4} q(x) dx - \int_{5\pi/4}^{2\pi} q(x) dx\] $q(x)$의 부정적분을 구하기 위해 치환적분을 사용한다. $Q(x) = -e^{\cos x} - e^{\sin x}$ 라 하면 $Q'(x) = e^{\cos x}\sin x - e^{\sin x}\cos x = q(x)$ 이므로 $Q(x)$는 $q(x)$의 부정적분이다. \[\begin{aligned} S &= -[Q(x)]_{0}^{\pi/4} + [Q(x)]_{\pi/4}^{5\pi/4} - [Q(x)]_{5\pi/4}^{2\pi} \\ &= Q(0) - 2Q\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2Q\left(\frac{5\pi}{4}\right) - Q(2\pi) \end{aligned}\] $Q(0) = -e - 1$, $Q(2\pi) = -e - 1$, $Q\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$, $Q\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -2e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ 이므로, \[S = (-e-1) - 2\left(-2e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) + 2\left(-2e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) - (-e-1) = 4\left(e^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)\] 따라서 집합 $A = \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$, 넓이 $S = 4\left(e^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] [논제 1] 등비급수의 공비를 설정하고 도함수를 활용하여 극댓값 판정	5점
2단계	[논제 1] [논제 1] 수렴 조건 $F(t) \gt -1$로부터 최댓값 $M = \frac{1}{e-1}$ 도출	5점
3단계	[논제 2] [논제 2] 증가구간 분석을 통해 조건식과 $\cos\alpha \le \sin\alpha$의 동치관계를 밝혀 집합 $A = \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$ 도출	10점
4단계	[논제 2] [논제 2] 치환적분을 활용해 부정적분 $Q(x) = -e^{\cos x} - e^{\sin x}$을 구하고, 넓이 $S = 4\left(e^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$ 계산 도출	20점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[논제 1]$M = \frac{1}{e - 1}$ | [논제 2] $A = \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right],\; S = 4\left(e^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$

📚 과목/단원: 대수 🎯 핵심 테마: 사인법칙, 코사인법칙, 내심의 성질 ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

(ㄱ) 각 변의 길이가 자연수인 삼각형 $ABC$는 다음을 만족시킨다.

$\sin C \cos(B+C) + \sin B = 0$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 삼각형 $ABC$에 대하여 내접원의 반지름을 $r$, 외접원의 반지름을 $R$, 선분 $AB$의 길이를 $c$라고 하자.

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 삼각형 $ABC$가 다음을 만족시킬 때, 선분 $BC$의 길이를 $a$라고 하자.

삼각형 $ABC$의 내접원이 선분 $AB$와 만나는 점을 $P$라고 할 때, 점 $P$는 선분 $AB$를 $m:n$으로 내분한다. (단, $m, n$은 $3$ 이하의 자연수이다.)

[논제 1] (15점)

제시문 (ㄴ)의 $R, c$에 대하여 $\frac{c}{R}$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

[논제 2] (15점)

제시문 (ㄴ)의 $r$의 값이 $2$일 때, 제시문 (ㄷ)의 $a$의 값으로 가능한 것을 모두 구하고 그 근거를 논술하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]

【유사 연습 문제】 양수 $x$에 대하여 $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$일 때, $x^2 + x^{-2}$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 양변을 제곱하면 $x + x^{-1} + 2 = 9 \implies x + x^{-1} = 7$이고, 다시 제곱하면 $x^2 + x^{-2} = 7^2 - 2 = 47$이다.

【문항 요약】 2024학년도 자연공학·간호 문항 1 (대수) [배점 30점]

2024학년도 자연공학·간호 문항 1 (30점, 권장 30분) | 핵심 테마: 사인법칙, 코사인법칙, 내심의 성질 — [논제 1](15점) 및 [논제 2](15점) 단계별 논거 서술.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 1 · 총 30점

[논제 1]
삼각형 $ABC$의 세 각의 합은 $\pi$이므로 $\cos(B+C) = \cos(\pi - A) = -\cos A$ 이다.
한편, $\overline{BC}=a, \overline{AC}=b$라 하면 사인법칙과 코사인법칙에 의해 다음이 성립한다. \[\sin B = \frac{b}{2R}, \quad \sin C = \frac{c}{2R}, \quad \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\] 이를 제시문 (ㄱ)의 관계식에 대입하면 다음과 같다. \[\sin C \cos(B+C) + \sin B = 0 \iff -\sin C \cos A + \sin B = 0\] \[\iff -\frac{c}{2R} \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} + \frac{b}{2R} = 0 \iff c^2 = a^2 + b^2\] 따라서 삼각형 $ABC$는 $C = \frac{\pi}{2}$ 인 직각삼각형이다. 사인법칙을 이용하면 다음을 얻는다. \[\frac{c}{R} = 2\sin C = 2\]

[논제 2]
내접원의 성질에 의해 $\overline{AP} = mx, \overline{PB} = nx$ ($x \gt 0$)라 하면 변들의 길이는 다음과 같다. \[a = nx + 2, \quad b = mx + 2, \quad c = (m + n)x\] 이때 $a, b, c$가 자연수이므로 $x$는 반드시 유리수여야 한다. 이 식들을 피타고라스 정리 $c^2 = a^2 + b^2$ 에 대입하면 다음과 같다. \[(m+n)^2 x^2 = (nx+2)^2 + (mx+2)^2 \iff mnx^2 - 2(m+n)x - 4 = 0\] 이차방정식의 판별식을 $D$라 할 때, 유리수 해 $x$가 존재하기 위해선 $\frac{D}{4} = (m+n)^2 + 4mn$ 이 어떤 자연수의 제곱이어야 한다. $m, n$은 $3$ 이하의 자연수이므로 가능한 모든 경우를 조사하면 다음과 같다. - $(m, n) = (1, 1) \implies \frac{D}{4} = 8$ (탈락) - $(m, n) = (1, 2)$ 또는 $(2, 1) \implies \frac{D}{4} = 17$ (탈락) - $(m, n) = (1, 3)$ 또는 $(3, 1) \implies \frac{D}{4} = 28$ (탈락) - $(m, n) = (2, 2) \implies \frac{D}{4} = 32$ (탈락) - $(m, n) = (2, 3)$ 또는 $(3, 2) \implies \frac{D}{4} = 49 = 7^2$ (적합) - $(m, n) = (3, 3) \implies \frac{D}{4} = 72$ (탈락) 따라서 적합한 순서쌍은 $(m, n) = (2, 3)$ 또는 $(3, 2)$ 이다.
이때 이차방정식은 $6x^2 - 10x - 4 = 0 \iff (3x+1)(x-2) = 0$ 이고 $x \gt 0$ 이므로 $x = 2$ 이다. - $m=3, n=2$ 이면 $a = nx + 2 = 6$ 이다. - $m=2, n=3$ 이면 $a = nx + 2 = 8$ 이다. 따라서 가능한 $a$의 값은 $6, 8$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] 세 각의 합을 이용하여 $\cos(B+C) = -\cos A$ 관계 도출	5점
2단계	[논제 1] 사인법칙과 코사인법칙을 대입하여 $c^2 = a^2 + b^2$ 유도	5점
3단계	[논제 1] 삼각형 $ABC$가 $C=90^{\circ}$인 직각삼각형임을 유도하고 $\frac{c}{R} = 2$ 계산	5점
4단계	[논제 2] 내접원의 성질을 활용해 각 변의 길이를 $x$의 관계식으로 설정	4점
5단계	[논제 2] $c^2 = a^2 + b^2$ 에 대입하여 $mnx^2 - 2(m+n)x - 4 = 0$ 유도	4점
6단계	[논제 2] 판별식 조건 $\frac{D}{4} = 49$ 로부터 순서쌍 $(2,3), (3,2)$ 및 양수 $x=2$ 도출	4점
7단계	[논제 2] 가능한 $a$의 값으로 $6$과 $8$을 최종 도출	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[논제 1]$\frac{c}{R} = 2$ | [논제 2] $a = 6$ 또는 $a = 8$

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 미분계수, 극대와 극소, 도함수의 활용, 정적분 ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

(ㄱ) 삼차함수 $f(x)$는 다음을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) + f(-x) = 4$

(나) $f'(0) \gt 0$ 이고 $f'(1) - f'(0) = -3$

(ㄴ) 실수 $k$와 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$에 대하여 방정식 $f(x) = k$의 서로 다른 실근의 개수를 $A(k)$라고 하자.

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$에 대하여 제시문 (ㄴ)의 $A(k)$가 다음을 만족시킬 때, $I = \int_{0}^{2} f(x)dx$라고 하자.

(가) $A(0) \ge A(18) \ge A(20)$

(나) $A(0) - A(18) = A(20)$

[논제 1] (15점)

제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$에 대하여 $f(x)$의 최고차항의 계수를 구하고 그 근거를 논술하시오.

[논제 2] (15점)

제시문 (ㄷ)의 $I$의 값으로 가능한 것을 모두 구하고 그 근거를 논술하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

【유사 연습 문제】 닫힌구간 $[1, 3]$에서 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 실수 $c \in (1, 3)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$이고 $f'(x) = 3x^2 - 6x$이므로 $3c^2 - 6c - 1 = 0$. $1 \lt c \lt 3$이므로 $c = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$이다.

【문항 요약】 2024학년도 자연공학·간호 문항 2 (대수 · 미적분Ⅰ) [배점 30점]

2024학년도 자연공학·간호 문항 2 (30점, 권장 30분) | 핵심 테마: 미분계수, 극대와 극소, 도함수의 활용, 정적분 — [논제 1](15점) 및 [논제 2](15점) 단계별 논거 서술.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 2 · 총 30점

[논제 1]
삼차함수 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$라 하자. 조건 (가) $f(x) + f(-x) = 4$ 에 대입하면 다음과 같다. \[f(x) + f(-x) = 2bx^2 + 2d = 4\] 이 식은 모든 실수 $x$에 대해 성립하므로 $b = 0, d = 2$ 이다. 따라서 $f(x) = ax^3 + cx + 2$ 이다. 이를 미분하면 $f'(x) = 3ax^2 + c$ 이다. 조건 (나) $f'(1) - f'(0) = -3$ 에 대입하면 다음과 같다. \[(3a + c) - c = 3a = -3 \implies a = -1\] 따라서 삼차함수 $f(x)$의 최고차항의 계수는 $-1$ 이다.

[논제 2]
$f(x) = -x^3 + cx + 2$ 이고 $f'(x) = -3x^2 + c$ 이다. $f'(0) \gt 0$ 이므로 $c \gt 0$ 이다. $f'(x) = 0 \iff x = \pm \sqrt{\frac{c}{3}}$ 이므로 함수 $f(x)$는 극값을 가지며, 극솟값은 $f\left(-\sqrt{\frac{c}{3}}\right) = 2 - \frac{2c}{3}\sqrt{\frac{c}{3}}$ 이고, 극댓값은 $f\left(\sqrt{\frac{c}{3}}\right) = 2 + \frac{2c}{3}\sqrt{\frac{c}{3}}$ 이다. 극댓값은 항상 $2$보다 크고 극솟값은 항상 $2$보다 작다. 방정식 $f(x) = k$의 실근의 개수 $A(k)$에 대해 다음을 분석한다. - $A(20) = 3$ 이면 조건 (가)에 의해 $A(0) = 3, A(18) = 3$ 이 되나, 이는 조건 (나) $A(0) - A(18) = A(20)$ 를 만족시키지 않는다. - $A(20) = 2$ 이면 조건 (나)에 의해 $A(0) - A(18) = 2$ 이므로 $A(0) = 3, A(18) = 1$ 이어야 한다. 그러나 이는 조건 (가) $A(0) \ge A(18)$ 에 모순이다. - 따라서 $A(20) = 1$ 이어야 하며, 조건 (나)에 의해 가능한 경우는 다음과 같다.
1) $A(0) = 2, A(18) = 1, A(20) = 1$ 인 경우:
$A(0) = 2$ 이므로 극솟값이 $0$ 이어야 한다. \[2 - \frac{2c}{3}\sqrt{\frac{c}{3}} = 0 \implies c = 3\] 이때 극댓값은 $4$이므로 $A(18) = 1, A(20) = 1$ 을 모두 만족한다. 따라서 $f(x) = -x^3 + 3x + 2$ 이다. \[I = \int_{0}^{2} (-x^3 + 3x + 2) dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_{0}^{2} = -4 + 6 + 4 = 6\] 2) $A(0) = 3, A(18) = 2, A(20) = 1$ 인 경우:
$A(18) = 2$ 이므로 극댓값이 $18$ 이어야 한다. \[2 + \frac{2c}{3}\sqrt{\frac{c}{3}} = 18 \implies c = 12\] 이때 극솟값은 $-14$이므로 $A(0) = 3, A(20) = 1$ 을 모두 만족한다. 따라서 $f(x) = -x^3 + 12x + 2$ 이다. \[I = \int_{0}^{2} (-x^3 + 12x + 2) dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + 6x^2 + 2x \right]_{0}^{2} = -4 + 24 + 4 = 24\] 따라서 가능한 $I$의 값은 $6, 24$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] $f(x)+f(-x)=4$ 가 항등식임을 이용해 $b=0, d=2$ 도출	7점
2단계	[논제 1] $f'(1)-f'(0)=-3$ 을 대입하여 최고차항 계수 $a=-1$ 도출	8점
3단계	[논제 2] $f'(0) \gt 0$ 으로부터 두 극값의 성질 및 극댓값이 2보다 큼을 유도	3점
4단계	[논제 2] $A(20)=1$ 및 조건부 조건들을 활용하여 $A(0), A(18)$ 의 경우의 수 탐색 및 분류	3점
5단계	[논제 2] 극솟값이 $0$ 일 때 $c=3$ 과 $f(x) = -x^3+3x+2$ 를 구해 $I=6$ 계산	5점
6단계	[논제 2] 극댓값이 $18$ 일 때 $c=12$ 와 $f(x) = -x^3+12x+2$ 를 구해 $I=24$ 계산	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[논제 1]최고차항의 계수 $-1$ | [논제 2] $I = 6$ 또는 $I = 24$

📚 과목/단원: 대수 🎯 핵심 테마: 수열, 등차수열, 수열의 합 ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

(ㄱ) 첫째항이 양의 실수 $a$이고 공차가 $b$인 등차수열 ${a_n}$에 대하여, $a_k + a_m = 0$을 만족시키는 순서쌍 $(k, m)$ (단, $k \lt m$)의 개수가 한 개 또는 두 개가 되도록 하는 공차 $b$ 중 가장 큰 값을 $d$라고 하자.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 $a, d$에 대하여 수열 ${b_n}$이 첫째항이 $a$이고 공차가 $d$인 등차수열일 때, $S$는 다음과 같다.

$S = \sum_{k=1}^{52} \frac{1}{\sqrt{|b_k|} + \sqrt{|b_{k+1}|}}$

[논제 1] (15점)

제시문 (ㄱ)의 $a, d$에 대하여 $d$를 $a$에 대한 식으로 나타내고 그 근거를 논술하시오.

[논제 2] (15점)

제시문 (ㄴ)의 $a, S$에 대하여 $S = 3$일 때, $a$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

【유사 연습 문제】 곡선 $y = x^3 - 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 $S$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 교점은 $x = -2, 0, 2$이고 기함수 대칭성에 의해 $S = 2\int_0^2 (4x - x^3)\,dx = 2\left[2x^2 - \frac{1}{4}x^4\right]_0^2 = 8$이다.

【문항 요약】 2024학년도 자연공학·간호 문항 3 (대수) [배점 30점]

2024학년도 자연공학·간호 문항 3 (30점, 권장 30분) | 핵심 테마: 수열, 등차수열, 수열의 합 — [논제 1](15점) 및 [논제 2](15점) 단계별 논거 서술.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 3 · 총 30점

[논제 1]
수열 ${a_n}$의 일반항은 $a_n = a + b(n-1)$ 이다. $a_k + a_m = 2a + b(k+m-2) = 0$ 이므로 공차 $b$는 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[b = -\frac{2a}{k+m-2} = -\frac{2a}{l} \quad (\text{단, } l = k+m-2\text{는 자연수})\] 위 식을 만족시키는 순서쌍 $(k, m)$ (단, $k \lt m$)의 개수는 $k+m = l+2$ 를 만족시키는 자연수 순서쌍의 개수와 같다. - $l \gt 4$ 이면 순서쌍 $(k, m)$은 $(1, l+1), (2, l), (3, l-1)$ 등 최소 3개 이상 존재한다. - $l = 4$ 이면 순서쌍 $(k, m)$은 $(1, 5), (2, 4)$ 로 정확히 2개 존재한다. - $l = 3$ 이면 순서쌍 $(k, m)$은 $(1, 4), (2, 3)$ 으로 정확히 2개 존재한다. - $l = 2$ 이면 순서쌍 $(k, m)$은 $(1, 3)$ 으로 정확히 1개 존재한다. 따라서 개수가 1개 또는 2개가 되도록 하는 자연수 $l$ 중 최댓값은 $4$ 이다. 공차 $b = -\frac{2a}{l}$ 에서 $b$가 가장 크려면 분모 $l$이 가장 커야 하므로 최댓값 $d$는 다음과 같다. \[d = -\frac{2a}{4} = -\frac{a}{2}\]

[논제 2]
$d = -\frac{a}{2}$ 이므로 수열 ${b_n}$의 일반항은 다음과 같다. \[b_n = a - \frac{a}{2}(n-1) = \frac{a}{2}(3-n)\] - $k \le 3$ 이면 $|b_k| = \frac{a}{2}(3-k)$ 이고, $k \ge 3$ 이면 $|b_k| = \frac{a}{2}(k-3)$ 이다. 이를 합 식 $S$에 적용하여 구간을 분할한다. \[S = \sqrt{\frac{2}{a}} \left[ \sum_{k=1}^{2} \frac{1}{\sqrt{3-k} + \sqrt{2-k}} + \sum_{k=3}^{52} \frac{1}{\sqrt{k-3} + \sqrt{k-2}} \right]\] 각 합 항을 유리화하여 전개하면 다음과 같다. - 첫 번째 합: \[\sum_{k=1}^{2} \frac{1}{\sqrt{3-k} + \sqrt{2-k}} = \sum_{k=1}^{2} (\sqrt{3-k} - \sqrt{2-k}) = (\sqrt{2}-1) + (1-0) = \sqrt{2}\] - 두 번째 합: \[\sum_{k=3}^{52} \frac{1}{\sqrt{k-3} + \sqrt{k-2}} = \sum_{k=3}^{52} (\sqrt{k-2} - \sqrt{k-3}) = (1-0) + (\sqrt{2}-1) + \dots + (5\sqrt{2}-7) = 5\sqrt{2}\] 따라서 $S$의 값은 다음과 같이 정리된다. \[S = \sqrt{\frac{2}{a}} \left( \sqrt{2} + 5\sqrt{2} \right) = \sqrt{\frac{2}{a}} \cdot 6\sqrt{2} = \frac{12}{\sqrt{a}}\] $S = 3$ 이므로 $\frac{12}{\sqrt{a}} = 3 \iff \sqrt{a} = 4 \implies a = 16$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] 수열 일반항 공식에서 $a_k+a_m=0$ 임을 이용해 $b = -\frac{2a}{l}$ 형태 유도	7점
2단계	[논제 1] $k+m=l+2$ 의 순서쌍 개수를 분류해 최댓값 조건 $l=4$ 로부터 $d = -\frac{a}{2}$ 도출	8점
3단계	[논제 2] 수열 ${b_n}$의 일반항 수립 및 구간별 절댓값 식 유도	5점
4단계	[논제 2] 급수의 각 항을 유리화하여 전개하고 소거법을 통해 $S = \frac{12}{\sqrt{a}}$ 계산	5점
5단계	[논제 2] $S=3$ 조건식을 적용하여 첫째항 $a=16$ 최종 계산	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[논제 1]$d = -\frac{a}{2}$ | [논제 2] $a = 16$

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 복소수와 이차방정식, 삼차방정식, 이차부등식 ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

(ㄱ) 함수 $f(x)$와 실수 $k$, 복소수 $z$는 다음 조건을 만족시킨다. (단, $i = \sqrt{-1}$)

(가) $f(x) = 2x^3 - 2(k+2)x^2 + (k^2 + 4k - 6)x - 2k^2 + 12$

(나) $3z - 1$은 방정식 $f(x) = 0$의 한 허근이다.

(다) $3z - 1$은 $2z - \frac{5}{3}i$의 켤레복소수이다.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 $a$의 값의 집합을 $S$라 하자.

모든 실수 $x$에 대하여 $|a x^2 - 2(a+3)x + 11| \le \frac{1}{2}|f'(x)|$ 이다.

[논제 1] (15점)

제시문 (ㄱ)의 $k$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

[논제 2] (15점)

제시문 (ㄴ)의 집합 $S$를 구하고 그 근거를 논술하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.19 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

【유사 연습 문제】 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - 2x^3}{x^2} = 3$, $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = 4$를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f(x) = 2x^3 + 3x^2 + ax + b$에서 $f(1)=0 \implies a+b=-5$, $f'(1)=6+6+a=4 \implies a=-8, b=3$. 따라서 $f(2)=16+12-16+3=15$이다.

【문항 요약】 2023학년도 자연공학·간호 문항 1 (대수 · 미적분Ⅰ) [배점 30점]

2023학년도 자연공학·간호 문항 1 (30점, 권장 30분) | 핵심 테마: 복소수와 이차방정식, 삼차방정식, 이차부등식 — [논제 1](15점) 및 [논제 2](15점) 단계별 논거 서술.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 1 · 총 30점

[논제 1]
제시문 (ㄱ)의 (가)에 의해 $f(2) = 16 - 8(k+2) + 2(k^2+4k-6) - 2k^2 + 12 = 0$ 이므로 $f(x)$는 다음과 같이 인수분해된다. \[f(x) = (x-2)(2x^2 - 2kx + k^2 - 6)\] 복소수 $z = \alpha + \beta i$ (단, $\alpha, \beta$는 실수, $\beta \ne 0$)라 할 때, 제시문 (ㄱ)의 (다)에 의해 다음이 성립한다. \[3\alpha - 1 - 3\beta i = \overline{3z - 1} = 2z - \frac{5}{3}i = 2\alpha + \left(2\beta - \frac{5}{3}\right)i\] 실수부분과 허수부분을 비교하면: \[3\alpha - 1 = 2\alpha \implies \alpha = 1\] \[-3\beta = 2\beta - \frac{5}{3} \implies \beta = \frac{1}{3}\] 따라서 $3z - 1 = 3\left(1 + \frac{1}{3}i\right) - 1 = 2 + i$ 이다. 이것이 삼차방정식 $f(x)=0$의 허근이므로, $2x^2 - 2kx + k^2 - 6 = 0$ 의 한 근이다. $x = 2 + i$ 를 대입하면: \[2(2+i)^2 - 2k(2+i) + k^2 - 6 = 0 \iff 2(3+4i) - 4k - 2ki + k^2 - 6 = 0\] \[\iff (k^2 - 4k) + (8 - 2k)i = 0\] 이를 만족시키는 실수 $k$의 값은 $k = 4$ 이다.

[논제 2]
$k=4$ 이므로 삼차함수 $f(x) = 2x^3 - 12x^2 + 26x - 20$ 이고, 도함수는 $f'(x) = 6x^2 - 24x + 26 = 6(x-2)^2 + 2 \gt 0$ 이다. 따라서 모든 실수 $x$에 대해 다음이 성립해야 한다. \[|ax^2 - 2(a+3)x + 11| \le 3x^2 - 12x + 13\] \[\iff -(3x^2 - 12x + 13) \le ax^2 - 2(a+3)x + 11 \le 3x^2 - 12x + 13\] 이 식은 다음 두 연립이차부등식이 모든 실수 $x$에 대해 성립함을 뜻한다. 1) $(3-a)x^2 - 2(3-a)x + 2 \ge 0$
2) $(a+3)x^2 - 2(a+9)x + 24 \ge 0$
각 경우에 대해 판별식을 분석한다. - $a = 3$ 인 경우: 1) $2 \ge 0$, 2) $6x^2 - 24x + 24 = 6(x-2)^2 \ge 0$ 이 되므로 성립한다. 따라서 $3 \in S$ 이다. - $a = -3$ 인 경우: 2) $-12x + 24 \ge 0$ 은 모든 실수 $x$에 대해 성립하지 않으므로 탈락이다. - $a \ne 3, a \ne -3$ 인 경우: 1)이 성립할 조건: $3-a \gt 0 \iff a \lt 3$ 이고, $\frac{D_1}{4} = (3-a)^2 - 2(3-a) = (3-a)(1-a) \le 0 \iff 1 \le a \lt 3$ 이다. 2)가 성립할 조건: $a+3 \gt 0 \iff a \gt -3$ 이고, $\frac{D_2}{4} = (a+9)^2 - 24(a+3) = (a-3)^2 \le 0 \iff a = 3$ 이다. 두 조건을 동시에 만족하는 실수는 존재하지 않는다. 따라서 만족시키는 집합 $S$는 다음과 같다. \[S = {3}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] 조립제법을 통해 $f(x) = (x-2)(2x^2 - 2kx + k^2 - 6)$ 인수분해	5점
2단계	[논제 1] 켤레복소수 관계 식을 이용해 허근 $3z-1 = 2+i$ 계산	5점
3단계	[논제 1] $f(2+i)=0$ 을 대입해 실수 $k=4$ 도출	5점
4단계	[논제 2] $f'(x)$의 부호를 판별하고 연립 이차부등식 관계 수립	4점
5단계	[논제 2] $a = 3$ 일 때 성립함을 보여 원소에 포함시킴	3점
6단계	[논제 2] $a = -3$ 일 때 성립하지 않음을 보임	3점
7단계	[논제 2] 일반 케이스 ($a \ne \pm 3$)에서 판별식을 적용해 다른 원소가 없음을 규명하고 집합 $S = \{3\}$ 계산	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[논제 1]$k = 4$ | [논제 2] $S = \{3\}$

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 극대와 극소, 함수의 그래프, 도함수의 활용, 정적분 ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

(ㄱ) 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0) = 0$

(나) 임의의 실수 $t$에 대하여 $\int{0}^{t} f(5+x)dx = \int{0}^{t} f(5-x)dx$ 이다.

(다) $f(x)$는 $x=10$에서 극값을 가진다.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$에 대하여 실수 $M$은 다음 조건을 만족시킨다.

실수 $k$에 대하여 방정식 $f(x) = k$의 서로 다른 양의 실근의 개수를 $n$이라 할 때,
(가) $0 \lt k \lt M$ 이면 $n = 3$
(나) $k \gt M$ 이면 $n = 1$

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$에 대하여 실수 $a, b, c$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $0 \lt a \lt b \lt c$

(나) $f(a) = f(b) = f(c)$

(다) $c - a = \sqrt{70}$

[논제 1] (15점)

제시문 (ㄴ)의 $M$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

[논제 2] (15점)

제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$와 제시문 (ㄷ)의 $a$에 대하여 $f(a)$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]

【유사 연습 문제】 삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + k$의 그래프가 $x$축과 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x)=3(x-1)(x-3)=0$이므로 극댓값 $f(1)=4+k \gt 0$, 극솟값 $f(3)=k \lt 0$이어야 한다. $-4 \lt k \lt 0$이므로 정수 $k=-3,-2,-1$로 $3$개이다.

【문항 요약】 2023학년도 자연공학·간호 문항 2 (대수 · 미적분Ⅰ) [배점 30점]

2023학년도 자연공학·간호 문항 2 (30점, 권장 30분) | 핵심 테마: 극대와 극소, 함수의 그래프, 도함수의 활용, 정적분 — [논제 1](15점) 및 [논제 2](15점) 단계별 논거 서술.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 2 · 총 30점

[논제 1]
제시문 (ㄱ)의 (나) 식 $\int_{0}^{t} f(5+x)dx = \int_{0}^{t} f(5-x)dx$ 의 양변을 $t$에 대해 미분하면 다음과 같다. \[f(5+t) = f(5-t)\] 삼차함수 $g(x) = f(x+5)$ 라 하면 $g(t) = g(-t)$ 이므로 $g(x)$는 우함수(y축 대칭)인 사차함수이다. 따라서 $g(x) = x^4 + c_2 x^2 + c_0$ 로 설정할 수 있다. $y = g(x)$의 그래프는 $y = f(x)$의 그래프를 x축 방향으로 $-5$만큼 평행이동한 것이므로, 조건 (가) $f(0)=0$ 에 의해 $g(-5) = 0$ 이고, 조건 (다)에 의해 $f(x)$가 $x=10$에서 극값을 가지므로 $g(x)$는 $x=5$에서 극값을 가진다. 즉 $g'(5) = 0$ 이다. - $g(-5) = 625 + 25c_2 + c_0 = 0$
- $g'(x) = 4x^3 + 2c_2 x \implies g'(5) = 500 + 10c_2 = 0 \iff c_2 = -50$
이를 대입하면 $c_0 = 625$ 이다. 따라서 $g(x) = x^4 - 50x^2 + 625 = (x^2 - 25)^2 = (x-5)^2(x+5)^2$ 이고, \[f(x) = g(x-5) = x^2(x-10)^2\] 이다. $f(x)$는 $x=0, 10$에서 극솟값 $0$을 갖고 $x=5$에서 극댓값 $f(5) = 625$를 갖는다. 방정식 $f(x) = k$의 양의 실근의 개수 $n$은 다음과 같다. - $0 \lt k \lt 625$ 일 때, 양의 실근은 $x=5$를 기준으로 대칭인 위치에 3개 존재한다. ($n=3$) - $k \gt 625$ 일 때, 극대보다 크므로 양의 실근은 1개 존재한다. ($n=1$) 따라서 최댓값 $M$은 다음과 같다. \[M = 625\]

[논제 2]
$f(a)=f(b)=f(c)=k$ 라 하면 조건 (가)에 의해 세 양의 실근의 존재 영역은 $0 \lt k \lt 625$ 이다. 우함수 $g(x) = f(x+5)$ 에 대해, 방정식 $g(x) = k$는 $x=0$을 축으로 대칭인 네 실근 $-\beta, -\alpha, \alpha, \beta$ ($0 \lt \alpha \lt 5 \lt \beta$)를 가진다. \[g(x) - k = (x^2 - \alpha^2)(x^2 - \beta^2) = x^4 - (\alpha^2 + \beta^2)x^2 + \alpha^2 \beta^2\] 동시에 $g(x) - k = x^4 - 50x^2 + (625 - k)$ 이므로 계수비교법에 의해 다음이 성립한다. \[\alpha^2 + \beta^2 = 50, \quad \alpha^2 \beta^2 = 625 - k\] 방정식 $f(x) = k$의 서로 다른 네 실근은 $5-\beta, 5-\alpha, 5+\alpha, 5+\beta$ 이며, $0 \lt a \lt b \lt c$ 인 양의 세 실근은 다음과 같다. \[a = 5-\alpha, \quad b = 5+\alpha, \quad c = 5+\beta\] 조건 (다) $c-a = \sqrt{70}$ 에 대입하면 다음과 같다. \[(5+\beta) - (5-\alpha) = \alpha + \beta = \sqrt{70}\] 이를 제곱하여 관계식을 정리한다. \[(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta \iff 70 = 50 + 2\alpha\beta \iff \alpha\beta = 10\] 따라서 $\alpha^2 \beta^2 = 100$ 이다. 계수비교 식 $625 - k = 100$ 이므로 $k = 525$ 이다. 따라서 구하는 함숫값은 다음과 같다. \[f(a) = k = 525\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] 적분 미분 및 평행이동 변환 $g(x)=f(x+5)$를 활용하여 $g(x) = x^4 + c_2 x^2 + c_0$ 설정	5점
2단계	[논제 1] 경계값 조건 $g(-5)=0, g'(5)=0$ 으로부터 사차함수 $f(x) = x^2(x-10)^2$ 도출	5점
3단계	[논제 1] 함수 그래프의 실근 개수를 분석하여 $M = 625$ 계산	5점
4단계	[논제 2] $f(a)=f(b)=f(c)=k$ 및 우함수 변형을 통한 근의 위치($5-\alpha, 5+\alpha, 5+\beta$) 설정	5점
5단계	[논제 2] 근과 계수 대입 및 계수비교법을 활용해 $\alpha^2+\beta^2=50$, $\alpha^2\beta^2=625-k$ 유도	5점
6단계	[논제 2] 조건 $c-a = \sqrt{70}$ 을 이용해 $\alpha\beta=10$ 계산 및 $f(a) = 525$ 도출	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[논제 1]$M = 625$ | [논제 2] $f(a) = 525$

📚 과목/단원: 공통수학 · 대수 🎯 핵심 테마: 원과 직선의 위치 관계, 점과 직선 사이의 거리 ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

(ㄱ) 좌표평면 위의 두 점 $A(-5, 0)$, $B(-4, 3)$에 대하여 두 점 $C, D$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 원 $x^2 + y^2 = 9$ 위의 두 점 $C, D$에서의 접선은 모두 점 $A$를 지난다.

(나) $BC \lt BD$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 네 점 $A, B, C, D$에 대하여 삼각형 $ABC$와 삼각형 $ABD$의 넓이 중 더 큰 값을 $S$라 하사.

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 점 $A$와 다음 조건을 만족시키는 모든 점 $P, Q$에 대하여 삼각형 $APQ$의 넓이의 최댓값을 $M$이라 하자.

(가) 두 점 $P, Q$는 원 $x^2 + y^2 = 18$ 위에 있다.

(나) $PQ = 6$

(다) 세 점 $A, P, Q$는 한 직선 위에 있지 않다.

[논제 1] (15점)

제시문 (ㄴ)의 $S$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

[논제 2] (15점)

제시문 (ㄷ)의 $M$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04]

【유사 연습 문제】 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_1^x f(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + ax$를 만족시키는 연속함수 $f(x)$에 대하여 $f(2)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x=1$을 대입하면 $0 = 1 - 2 + a \implies a = 1$. 양변을 미분하면 $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$이므로 $f(2) = 12 - 8 + 1 = 5$이다.

【문항 요약】 2023학년도 자연공학·간호 문항 3 (공통수학 · 대수) [배점 30점]

2023학년도 자연공학·간호 문항 3 (30점, 권장 30분) | 핵심 테마: 원과 직선의 위치 관계, 점과 직선 사이의 거리 — [논제 1](15점) 및 [논제 2](15점) 단계별 논거 서술.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 3 · 총 30점

[논제 1]
원 $x^2 + y^2 = 9$ 위의 점 $T(a, b)$에서의 접선의 방정식은 $ax + by = 9$ 이다. 이 접선이 점 $A(-5, 0)$을 지나므로 $-5a = 9 \iff a = -\frac{9}{5}$ 이다. 점 $T$는 원 위에 있으므로 다음이 성립한다. \[a^2 + b^2 = 9 \iff b^2 = 9 - \frac{81}{25} = \frac{144}{25} \implies b = \pm \frac{12}{5}\] 조건 (나) $BC \lt BD$ 에 의해 $y$좌표가 큰 점이 $C$, 작은 점이 $D$ 이다. (점 B의 y좌표가 3이므로 C의 y좌표가 양수여야 B와 더 가깝다.) 따라서 $C\left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)$, $D\left(-\frac{9}{5}, -\frac{12}{5}\right)$ 이다. 선분 $AB$의 길이는 다음과 같다. \[AB = \sqrt{(-4 - (-5))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\] 두 점 $A(-5, 0)$, $B(-4, 3)$을 지나는 직선 $AB$의 방정식은 $3x - y + 15 = 0$ 이다. 점 $C$와 $D$에서 직선 $AB$까지의 거리는 각각 다음과 같다. \[h_C = \frac{\left| 3\left(-\frac{9}{5}\right) - \frac{12}{5} + 15 \right|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{\left| -\frac{39}{5} + 15 \right|}{\sqrt{10}} = \frac{36}{5\sqrt{10}}\] \[h_D = \frac{\left| 3\left(-\frac{9}{5}\right) - \left(-\frac{12}{5}\right) + 15 \right|}{\sqrt{10}} = \frac{\left| -\frac{15}{5} + 15 \right|}{\sqrt{10}} = \frac{12}{\sqrt{10}} = \frac{60}{5\sqrt{10}}\] 삼각형의 넓이가 더 큰 값 $S$는 거리가 더 먼 점 $D$를 선택할 때이므로 다음과 같다. \[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_D = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{12}{\sqrt{10}} = 6\]

[논제 2]
원 $x^2 + y^2 = 18$ 위의 현 $PQ$의 중점을 $R(c, d)$라 하자. 삼각형 $OPQ$는 $OP=OQ=3\sqrt{2}$ 인 이등변삼각형이므로 $OR \perp PQ$ 이다. 현의 길이 $PQ=6$ 이므로 $RP=3$ 이다. 직각삼각형 $ORP$에서 피타고라스 정리에 의해: \[OR^2 = OP^2 - RP^2 = 18 - 9 = 9 \implies OR = 3\] 따라서 중점 $R(c, d)$는 원 $x^2 + y^2 = 9$ 위의 점이다. 현 $PQ$를 포함하는 직선은 원 $x^2 + y^2 = 9$ 위의 점 $R(c, d)$에서의 접선 $cx + dy = 9$ 와 같다. 만약 $c = -\frac{9}{5}$ 이면 직선 $cx + dy = 9$ 는 점 $A(-5, 0)$을 지나므로 세 점 $A, P, Q$가 한 직선 위에 있게 되어 조건 (다)에 모순이다. 따라서 $-3 \le c \le 3$ 이고 $c \ne -\frac{9}{5}$ 이다. 삼각형 $APQ$의 넓이 $T$는 다음과 같다. \[T = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot \text{d}(A, PQ) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{| -5c + 0d - 9 |}{\sqrt{c^2 + d^2}} = 3 \cdot \frac{|5c + 9|}{3} = |5c + 9|\] $-3 \le c \le 3$ 이므로 $|5c + 9|$의 최댓값 $M$은 $c = 3$ 일 때이다. \[M = |5 \times 3 + 9| = 24\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] 원 위의 점에서의 접선 공식을 활용하여 교점 $C, D$의 좌표 정확히 도출	7점
2단계	[논제 1] 직선 $AB$의 방정식을 세우고 점과 직선의 거리 공식을 활용해 큰 넓이 $S=6$ 계산	8점
3단계	[논제 2] 현의 중점 $R(c,d)$가 원 $x^2+y^2=9$ 위의 점임을 피타고라스 정리로 유도	7점
4단계	[논제 2] 직선 $PQ$의 접선 방정식 유도 및 세 점이 한 직선 위에 있지 않을 조건 규명	4점
5단계	[논제 2] 삼각형 $APQ$의 넓이 공식 $\|5c+9\|$를 수립하고 범위 내 최댓값 $M=24$ 도출	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[논제 1]$S = 6$ | [논제 2] $M = 24$

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 함수의 극한, 도함수, 인수분해 ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

(ㄱ) 자연수 $m, n, l$과 상수 $a, b, c$에 대하여 두 함수 $f(x) = ax^{m+1} + bx^m$, $g(x) = x^n + cx^l$은 다음 조건을 만족시킨다. (단, $a \ne 0, b \ne 0, n \gt l$)

(가) $f(1) = 8, \quad g(1) = 2$

(나) $\lim_{x \to \infty} \frac{g'(x)}{f(x)} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{x g(x)}{f(x)} = \frac{1}{4}$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 극한값 $L$은 다음과 같다.

$L = \lim_{x \to -1} \frac{g(x)}{f(x)}$

[논제 1] (15점)

제시문 (ㄱ)의 $a, b, c$의 값을 각각 구하고 그 근거를 논술하시오.

[논제 2] (15점)

제시문 (ㄴ)의 $L$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

【유사 연습 문제】 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t \; (t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$일 때, $t=0$에서 $t=4$까지 점 $P$가 움직인 거리 $s$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $v(t)=3(t-1)(t-3)$이므로 $s = \int_0^1 v(t)\,dt - \int_1^3 v(t)\,dt + \int_3^4 v(t)\,dt = 4 + 4 + 4 = 12$이다.

【문항 요약】 2022학년도 자연공학·간호 문항 1 (대수 · 미적분Ⅰ) [배점 30점]

2022학년도 자연공학·간호 문항 1 (30점, 권장 30분) | 핵심 테마: 함수의 극한, 도함수, 인수분해 — [논제 1](15점) 및 [논제 2](15점) 단계별 논거 서술.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 1 · 총 30점

[논제 1]
$g(1) = 1 + c = 2$ 이므로 $c = 1$ 이다. 조건 (나)의 첫 번째 식 $\lim_{x \to \infty} \frac{g'(x)}{f(x)} = 1$ 을 분석한다. $g'(x) = nx^{n-1} + lx^{l-1}$ 이고 $f(x) = ax^{m+1} + bx^m$ 이다. 무한대 극한이 $1$로 수렴하므로 최고차항의 차수와 계수가 같아야 한다. \[n-1 = m+1 \implies n = m+2\] \[\frac{n}{a} = 1 \implies a = n = m+2\] 조건 (나)의 두 번째 식 $\lim_{x \to 0} \frac{x g(x)}{f(x)} = \frac{1}{4}$ 을 분석한다. \[\lim_{x \to 0} \frac{x(x^n + x^l)}{ax^{m+1} + bx^m} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{n+1} + x^{l+1}}{ax^{m+1} + bx^m} = \frac{1}{4}\] 분모와 분자의 최저차항 차수가 같아야 $0$이 아닌 값으로 수렴한다. \[l+1 = m \implies l = m-1\] \[\frac{1}{b} = \frac{1}{4} \implies b = 4\] 조건 (가) $f(1) = a + b = 8$ 이므로 $a + 4 = 8 \iff a = 4$ 이다. $a = m+2$ 이므로 $4 = m+2 \implies m = 2$ 이다. 따라서 모든 미지수들의 값은 다음과 같다. \[a = 4, \quad b = 4, \quad c = 1\]

[논제 2]
구한 변수값들로부터 $m=2, n=4, l=1$ 이므로 함수 $f(x)$와 $g(x)$는 다음과 같다. \[f(x) = 4x^3 + 4x^2 = 4x^2(x+1)\] \[g(x) = x^4 + x = x(x+1)(x^2 - x + 1)\] 이 식들을 극한 식 $L$에 대입하면 다음과 같다. \[L = \lim_{x \to -1} \frac{x(x+1)(x^2 - x + 1)}{4x^2(x+1)} = \lim_{x \to -1} \frac{x(x^2 - x + 1)}{4x^2}\] $x+1$을 분모 분자에서 약분한 뒤 $x = -1$ 을 대입한다. \[L = \frac{-1((-1)^2 - (-1) + 1)}{4(-1)^2} = \frac{-(1 + 1 + 1)}{4} = -\frac{3}{4}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] $g(1)=2$ 조건으로부터 상수 $c=1$ 도출	3점
2단계	[논제 1] 무한대 극한 성질을 활용해 최고차항 차수 $n=m+2$ 및 계수관계 $a=m+2$ 유도	4점
3단계	[논제 1] $x \to 0$ 극한 성질을 활용해 최저차항 차수 $l=m-1$ 및 계수 $b=4$ 유도	4점
4단계	[논제 1] $f(1)=8$ 조건을 결합하여 연립방정식을 풀고 $a=4, b=4, c=1$ 도출	4점
5단계	[논제 2] $f(x) = 4x^2(x+1)$, $g(x) = x(x+1)(x^2-x+1)$ 대입 식 설정	6점
6단계	[논제 2] 인수분해 및 약분을 통해 극한값 $L = -\frac{3}{4}$ 계산 완료	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[논제 1]$a = 4,\; b = 4,\; c = 1$ | [논제 2] $L = -\frac{3}{4}$

📚 과목/단원: 확률과 통계 (경우의 수·조합) 🎯 핵심 테마: 경우의 수, 조합 ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

(ㄱ) 한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $ABCD$의 점 $A$에 바둑돌이 놓여있다. 동전을 던져 앞면이 나오면 $3$, 뒷면이 나오면 $2$만큼씩 정사각형의 둘레를 따라 시계방향으로 바둑돌을 옮기는 시행을 한다. $8$회 시행 후 바둑돌이 점 $A$로 돌아오게 되는 경우의 수를 $a$라고 하자.

(ㄴ) 한 변의 길이가 $1$인 정팔각형 $ABCDEFGH$의 점 $A$에 바둑돌이 놓여있다. 빨간 구슬, 노란 구슬, 파란 구슬이 한 개씩 들어있는 주머니에서 구슬을 한 개 꺼내 빨간 구슬이면 $3$, 노란 구슬이면 $2$, 파란 구슬이면 $1$만큼씩 정팔각형의 둘레를 따라 시계방향으로 바둑돌을 옮기는 시행을 한다. $8$회 시행 후 바둑돌이 점 $A$로 돌아오게 되는 경우의 수를 $b$라고 하자. (단, 꺼낸 구슬은 다시 주머니에 넣는다.)

[논제 1] (15점)

제시문 (ㄱ)의 $a$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

[논제 2] (15점)

제시문 (ㄴ)의 $b$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

【유사 연습 문제】 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n + (-2)^n}{5^n}$의 합을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 두 등비급수가 각각 수렴하므로 합은 $\frac{3/5}{1 - 3/5} + \frac{-2/5}{1 + 2/5} = \frac{3}{2} - \frac{2}{7} = \frac{17}{14}$이다.

【문항 요약】 2022학년도 자연공학·간호 문항 2 (확률과 통계 (경우의 수·조합)) [배점 30점]

2022학년도 자연공학·간호 문항 2 (30점, 권장 30분) | 핵심 테마: 경우의 수, 조합 — [논제 1](15점) 및 [논제 2](15점) 단계별 논거 서술.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 2 · 총 30점

[논제 1]
8회 시행 중 앞면이 나오는 횟수를 $m$, 뒷면이 나오는 횟수를 $n$이라 하면 $m + n = 8$ 이다. 총 이동거리 $d = 3m + 2n$ 이며, $n = 8 - m$ 을 대입하면 $d = m + 16$ 이다. 정사각형의 둘레를 따라 다시 꼭짓점 $A$로 돌아오려면 총 이동거리 $d$가 둘레 길이인 $4$의 배수여야 한다. $0 \le m \le 8$ 이므로 $16 \le d \le 24$ 이다. 따라서 가능한 $d$의 값은 $16, 20, 24$ 이다. - $d = 16 \implies m = 0, n = 8$ - $d = 20 \implies m = 4, n = 4$ - $d = 24 \implies m = 8, n = 0$ 각 경우의 수를 조합으로 계산하여 합산한다. \[a = \binom{8}{0} + \binom{8}{4} + \binom{8}{8} = 1 + 70 + 1 = 72\]

[논제 2]
8회 시행 중 빨간, 노란, 파란 구슬이 나오는 횟수를 각각 $l, m, n$이라 하면 $l + m + n = 8$ 이다. 총 이동거리 $d = 3l + 2m + n$ 이며, 다시 꼭짓점 $A$로 돌아오려면 $d$가 정팔각형의 둘레 길이인 $8$의 배수여야 한다. $8 \le d \le 24$ 이므로 가능한 $d$의 값은 $8, 16, 24$ 이다. - **[경우 1] $d = 8$ 또는 $d = 24$ 인 경우:**
- $d = 8 \implies (l, m, n) = (0, 0, 8)$ (경우의 수: $\binom{8}{8} = 1$) - $d = 24 \implies (l, m, n) = (8, 0, 0)$ (경우의 수: $\binom{8}{8} = 1$) 따라서 이 경우의 경우의 수 합은 $1 + 1 = 2$ 이다. - **[경우 2] $d = 16$ 인 경우:**
$3l + 2m + n = 16$ 이고 $n = 8 - l - m$ 이므로 $2l + m = 8$ 을 얻는다. 가능한 순서쌍 $(l, m, n)$을 대입하면 다음과 같다. - $l = 4 \implies m = 0, n = 4$ (경우의 수: $\binom{8}{4}\binom{4}{0} = 70$) - $l = 3 \implies m = 2, n = 3$ (경우의 수: $\binom{8}{3}\binom{5}{2} = 56 \times 10 = 560$) - $l = 2 \implies m = 4, n = 2$ (경우의 수: $\binom{8}{2}\binom{6}{4} = 28 \times 15 = 420$) - $l = 1 \implies m = 6, n = 1$ (경우의 수: $\binom{8}{1}\binom{7}{6} = 8 \times 7 = 56$) - $l = 0 \implies m = 8, n = 0$ (경우의 수: $\binom{8}{0}\binom{8}{8} = 1$) 이 경우들의 경우의 수 합은 $70 + 560 + 420 + 56 + 1 = 1107$ 이다. 따라서 구하는 총 경우의 수 $b$는 다음과 같다. \[b = 2 + 1107 = 1109\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] 이동거리가 $4$의 배수가 되어야 함을 확인하고 순서쌍 $(0,8), (4,4), (8,0)$ 분류	7점
2단계	[논제 1] 각 경우의 수를 조합으로 계산하여 합 $a = 72$ 도출	8점
3단계	[논제 2] 이동거리 식 $3l+2m+n$이 $8$의 배수 조건 및 연립방정식 형태 수립	4점
4단계	[논제 2] 이동거리 $8, 24$ 일 때의 순서쌍 분석 및 경우의 수 $2$ 도출	4점
5단계	[논제 2] 이동거리 $16$ 일 때 각 순서쌍을 분류하고 조합으로 각각 계산하여 합 $1107$ 도출	5점
6단계	[논제 2] 두 경우의 합으로 최종 경우의 수 $b = 1109$ 도출	2점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[논제 1]$a = 72$ | [논제 2] $b = 1109$

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 이차방정식의 근과 계수의 관계, 극대와 극소, 함수의 그래프 ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

(ㄱ) 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0) = 1$

(나) 함수 $f(x)$의 극값 중 하나는 $3$이다.

(다) 도함수 $f'(x)$는 $x=0$에서 극값을 가진다.

(ㄴ) 실수 $a, b$에 대하여 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

실수 $k$에 대하여 방정식 $f(x) = k$의 실근의 개수를 $n$이라 할 때,
(가) $a \le k \le b$ 이면 $n \ge 2$
(나) $k \lt a$ 또는 $k \gt b$ 이면 $n = 1$

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 삼차함수 $f(x)$와 제시문 (ㄴ)의 실수 $a, b$에 대하여 실수 $k$가 $a \le k \le b$일 때, 방정식 $f(x) = k$의 실근 중에서 가장 작은 근을 $\alpha$, 가장 큰 근을 $\beta$라고 하자. 또한, 닫힌구간 $[a, b]$에 속하는 모든 $k$에 대한 $\beta - \alpha$의 최솟값을 $m$, 최댓값을 $M$이라고 하자.

[논제 1] (15점)

제시문 (ㄴ)의 $a, b$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

[논제 2] (15점)

제시문 (ㄷ)의 $m, M$에 대하여 $\frac{M}{m}$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.20 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]

【유사 연습 문제】 실수 전체에서 증가하는 함수 $f(x) = x^3 + 3x + 1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $g'(5)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f(1) = 1 + 3 + 1 = 5$이므로 $g(5) = 1$이다. 역함수의 미분법에 의해 $g'(5) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{3(1)^2 + 3} = \frac{1}{6}$이다.

【문항 요약】 2022학년도 자연공학·간호 문항 3 (대수 · 미적분Ⅰ) [배점 30점]

2022학년도 자연공학·간호 문항 3 (30점, 권장 30분) | 핵심 테마: 이차방정식의 근과 계수의 관계, 극대와 극소, 함수의 그래프 — [논제 1](15점) 및 [논제 2](15점) 단계별 논거 서술.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 3 · 총 30점

[논제 1]
최고차항의 계수가 $1$이고 $f(0) = 1$ 이므로 삼차함수 $f(x)$는 다음과 같다. \[f(x) = x^3 + px^2 + qx + 1\] $f'(x) = 3x^2 + 2px + q$ 이다. 조건 (다) $f'(x)$가 $x=0$에서 극값을 가지므로 $f''(0) = 6(0) + 2p = 0 \implies p = 0$ 이다. 따라서 $f(x) = x^3 + qx + 1$ 이고 $f'(x) = 3x^2 + q$ 이다. 조건 (나) 극값 중 하나가 $3$이므로 극값을 가져야 한다. 즉 $q \lt 0$ 이다. $c = \sqrt{-\frac{q}{3}} \gt 0$ 이라 하면 $q = -3c^2$ 이다. $f(x) = x^3 - 3c^2 x + 1$ 이고 극대, 극소는 $x = \pm c$ 에서 가진다. 극댓값은 $f(-c) = -c^3 + 3c^3 + 1 = 2c^3 + 1 \gt 1$ 이고, 극솟값은 $f(c) = c^3 - 3c^3 + 1 = -2c^3 + 1 \lt 1$ 이다. 극값 중 하나가 $3$이므로 $2c^3 + 1 = 3 \iff c = 1$ 이다. 따라서 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 이다. 함수 $f(x)$의 극댓값은 $3$, 극솟값은 $-1$ 이다. 방정식 $f(x) = k$의 실근의 개수 $n$은 극대와 극소 사이인 $-1 \le k \le 3$ 일 때 $n \ge 2$ 이고, 그 외 범위일 때 $n=1$ 이다. 제시문 (ㄴ)의 조건과 비교하면 다음과 같다. \[a = -1, \quad b = 3\]

[논제 2]
$-1 \le k \le 3$ 에 대해 $f(t) = k$ 이고 $-1 \le t \le 1$ 인 실수 $t$가 유일하게 존재한다. 이때 $f(\alpha) = f(t) = f(\beta) = k$ 이므로 다음이 성립한다. \[f(x) - k = f(x) - f(t) = x^3 - 3x - (t^3 - 3t) = 0\] \[\iff (x-t)(x^2 + tx + t^2 - 3) = 0\] 따라서 $\alpha, \beta$는 이차방정식 $x^2 + tx + t^2 - 3 = 0$ 의 두 실근이다. 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립한다. \[\alpha + \beta = -t, \quad \alpha\beta = t^2 - 3\] 두 근의 차의 제곱은 다음과 같다. \[(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (-t)^2 - 4(t^2 - 3) = -3t^2 + 12\] $-1 \le t \le 1$ 이므로: - $t = 0$ 일 때 최댓값 $M^2 = 12 \implies M = 2\sqrt{3}$ - $t = \pm 1$ 일 때 최솟값 $m^2 = 9 \implies m = 3$ 따라서 구하고자 하는 값 $\frac{M}{m}$은 다음과 같다. \[\frac{M}{m} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] 조건 (다)를 활용하여 $p=0$ 임을 보이고 $f(x) = x^3 - 3c^2 x + 1$ 설정	7점
2단계	[논제 1] 극댓값 $3$ 조건을 대입해 $c=1$ 구하여 삼차함수식 및 극대/극소 경계 $a=-1, b=3$ 도출	8점
3단계	[논제 2] $f(x)-k = (x-t)(x^2+tx+t^2-3)=0$ 으로 식을 인수분해하여 이차방정식 관계 도출	5점
4단계	[논제 2] 근과 계수의 관계를 이용하여 차의 제곱식 $(\beta-\alpha)^2 = -3t^2+12$ 유도	5점
5단계	[논제 2] $-1 \le t \le 1$ 범위에서 최댓값 $M=2\sqrt{3}$과 최솟값 $m=3$을 구하여비율 $\frac{M}{m} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ 계산	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[논제 1]$a = -1,\; b = 3$ | [논제 2] $\frac{M}{m} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

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2027학년도 가톨릭대학교 자연계열 수리논술
실전 모의고사 1회 ~ 10회 문제집

제1~5회 기출유사 표준 실전편과 제6~10회 킬러 TOP 5 심화편(총 50문항) 및 회차별 종합 분석 매트릭스 리포트로 실전 적응력을 극대화합니다.

📋 출제 타당성 검토 보고서 (4p): 전 문항 교과서 기반 교육과정 성취기준 및 Textbook DB 원천 검증

📝 실전 맞춤형 시험지 포맷: 가톨릭대학교 실제 문항 수·배점·답안지 규격 100% 반영

📈 회차별 종합 분석 매트릭스 (10p): 매 회차 직후 문항별 난이도·배점·합격 전략 리포트 수록

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R1-Q1	대수	유리수 지수의 대소 비교와 지수방정식 치환 해법	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 탐구 1 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]	20점/중
R1-Q2	대수	호도법 부채꼴의 둘레와 넓이 최대화 및 삼각비 항등식	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.1 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]	20점/중상
R1-Q3	미적분Ⅰ	유리·무리함수의 극한과 샌드위치 정리(조임 정리)의 응용	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.1 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	20점/중상
R1-Q4	미적분Ⅰ	도함수의 정의와 함수방정식에서의 미분계수 유도	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.1 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]	20점/상
R1-Q5	미적분Ⅰ	정적분이 포함된 항등식과 이차·삼차함수의 넓이 최적화	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]	20점/상
R2-Q1	대수	상용로그의 정수부분·소수부분와 약물 반감기 로그 모델	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 탐구 1 변형 \| 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]	20점/중
R2-Q2	대수	사인함수 그래프의 대칭성과 삼각방정식 실근의 개수	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.2 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]	20점/중상
R2-Q3	미적분Ⅰ	유리식 분모의 영점 부재 조건과 합성함수의 연속성	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.2 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]	20점/중상
R2-Q4	미적분Ⅰ	곡선 밖의 점에서 그은 두 접선의 수직 조건과 접점 삼각형 넓이	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.50 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05]	20점/상
R2-Q5	미적분Ⅰ	주기함수의 정적분과 연속성·미분가능성 결합 추론	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 1 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]	20점/상
R3-Q1	대수	지수함수와 로그함수 역함수 교점 및 직선 대칭 넓이	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.1 탐구 1 변형 \| 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]	20점/중
R3-Q2	대수	원주각·중심각과 사인법칙·코사인법칙을 이용한 현의 길이	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]	20점/중상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R3-Q3	대수	약물 반복 투여의 혈중 농도 점화식과 부분합 수렴 분석	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 1 변형 \| 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]	20점/중상
R3-Q4	미적분Ⅰ	삼차함수의 극값 존재 조건과 방정식의 실근의 부호 판별	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]	20점/상
R3-Q5	미적분Ⅰ	수직선 위를 움직이는 점의 속도와 위치 변화량 및 실제 이동 거리	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 1 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	20점/상
R4-Q1	대수	로그부등식의 진수 조건과 이차 치환 최대·최소	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.2 탐구 1 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]	20점/중
R4-Q2	대수	평행사변형 대각선 코사인법칙과 삼각형의 넓이 분할	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]	20점/중상
R4-Q3	미적분Ⅰ	원점 지나는 직선과 원의 교점 개수 함수의 불연속점 분석	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]	20점/중상
R4-Q4	미적분Ⅰ	롤의 정리와 평균값 정리를 이용한 도함수 영점의 존재 증명	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.52 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]	20점/상
R4-Q5	미적분Ⅰ	사차부등식이 항상 성립할 조건과 두 곡선 사이의 최소 수직 거리	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.53 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	20점/상
R5-Q1	대수	지수부등식과 로그함수의 그래프 교점 영역 격자점	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 1 변형 \| 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]	20점/중
R5-Q2	대수	무리식 분모 유리화 망원급수와 수학적 귀납법 증명	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 1 변형 \| 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]	20점/중상
R5-Q3	미적분Ⅰ	구간별 정의된 다항함수의 미분가능성과 접선의 기울기 최대·최소	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]	20점/중상
R5-Q4	미적분Ⅰ	포물선에 내접하는 직사각형의 둘레·넓이 최대화	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.54 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]	20점/상
R5-Q5	미적분Ⅰ	절댓값 정적분 함수의 최솟값과 정적분 넓이 이등분 곡선	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 1 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]	20점/상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R6-Q1	대수	지수방정식의 치환 정의역 변환과 근의 분리	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]	20점/상
R6-Q2	미적분Ⅰ	삼차함수의 극값과 절댓값 함수의 미분불가능점 개수 판정	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]	20점/상
R6-Q3	미적분Ⅰ	정적분으로 정의된 함수의 극값과 부호 변화 구간 넓이	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]	20점/중상
R6-Q4	미적분Ⅱ	지수·다항 곱함수의 단조증가성과 역함수 미분법·변곡점	[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.20 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]	20점/상
R6-Q5	미적분Ⅱ	삼각함수 거듭제곱 정적분의 부분적분 점화식 유도	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]	20점/최상
R7-Q1	대수	코사인법칙·사인법칙을 활용한 외접원·내접원과 각의 이등분선	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.10 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]	20점/중상
R7-Q2	미적분Ⅰ	사차함수의 대칭 이중접선 넓이와 절댓값 방정식 실근 개수	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	20점/상
R7-Q3	미적분Ⅰ	정적분 함수의 극대·극소 차와 이차도함수 넓이 공식	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]	20점/중상
R7-Q4	미적분Ⅱ	몫의 미분법을 이용한 유리함수의 극값·변곡점과 치환적분 넓이	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]	20점/상
R7-Q5	미적분Ⅱ	일차 귀납적 수열의 극한과 편차 제곱 무한등비급수	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.8 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-02]	20점/상
R8-Q1	대수	수열의 합과 일반항의 관계 및 로그·부분분수 소거 합	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]	20점/중상
R8-Q2	미적분Ⅰ	곡선 밖의 점에서 삼차곡선에 그은 접선의 개수 판정	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]	20점/상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R8-Q3	미적분Ⅰ	이차곡선과 원점 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 이등분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]	20점/중상
R8-Q4	미적분Ⅱ	로그·일차 결합함수의 극값 존재 조건과 극값의 차	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.10 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02]	20점/상
R8-Q5	미적분Ⅱ	감쇠 지수함수의 부분적분과 이상극한 수렴값	[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.30 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-05]	20점/상
R9-Q1	대수	로그방정식의 치환과 두 실근의 곱·대칭식 연산	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-03]	20점/중상
R9-Q2	미적분Ⅰ	절댓값 다항함수의 미분가능성 조건과 구간 최댓값	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]	20점/상
R9-Q3	미적분Ⅰ	수직선 위 운동에서 위치의 변화량과 실제 움직인 거리	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	20점/중상
R9-Q4	미적분Ⅱ	지수·삼각 곱함수의 극값·변곡접선과 순환형 부분적분	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]	20점/상
R9-Q5	미적분Ⅱ	정적분과 급수의 관계 및 유리·로그 치환적분 결합	[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.20 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]	20점/상
R10-Q1	대수	등차수열을 이루는 삼각형 세 변의 길이와 외접원·넓이	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.18 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]	20점/상
R10-Q2	미적분Ⅰ	비대칭 사차함수의 극값 대소 비교와 실근 개수 조건	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]	20점/상
R10-Q3	미적분Ⅰ	두 정적분 상수를 포함한 연립 적분방정식의 해법	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.26 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]	20점/중상
R10-Q4	미적분Ⅱ	사이클로이드 매개변수 곡선의 접선과 호의 길이	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.10 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]	20점/최상
R10-Q5	미적분Ⅱ	로그·거듭제곱 몫함수의 최댓값과 부분적분 넓이	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]	20점/상

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 유리수 지수의 대소 비교와 지수방정식 치환 해법 배점 20점 · 난이도 중

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문 (가)] 양수 $a, b$와 자연수 $n \ge 2$에 대하여 $a \lt b \iff a^n \lt b^n \iff \sqrt[n]{a} \lt \sqrt[n]{b}$가 성립한다. 따라서 서로 다른 거듭제곱근의 대소를 비교할 때는 지수의 분모들의 최소공배수를 거듭제곱하여 밑을 자연수로 통일할 수 있다.

세 양수 $A = \sqrt[3]{4},\; B = \sqrt[4]{8},\; C = \sqrt[6]{32}$와 실수 $x$에 대한 방정식 $4^x - 2^{x+2} + k = 0$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 세 수 $A, B, C$를 각각 $2$의 유리수 지수 꼴로 나타내고, $A, B, C$의 대소 관계를 부등호로 나타내시오.

[문항 1-2] (7점) 자연수 $n$에 대하여 $(A \cdot B \cdot C)^n$이 자연수가 되도록 하는 최소의 자연수 $n_0$과 그때의 값 $(A \cdot B \cdot C)^{n_0}$을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 지수방정식 $4^x - 2^{x+2} + k = 0$이 서로 다른 두 양의 실근 $\alpha, \beta$ ($\alpha, \beta \gt 0$)를 갖도록 하는 상수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 호도법 부채꼴의 둘레와 넓이 최대화 및 삼각비 항등식 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.1 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[제시문 (가)] 반지름의 길이가 $r$이고 중심각의 크기가 $\theta$ (라디안, $0 \lt \theta \lt 2\pi$)인 부채꼴의 호의 길이는 $l = r\theta$이고, 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}rl$이다.

둘레의 길이가 $20$으로 일정한 부채꼴 $\mathrm{OAB}$ (반지름 $r$, 호의 길이 $l$, 중심각 $\theta$)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 부채꼴의 둘레 조건 $2r + l = 20$을 이용하여 부채꼴의 넓이 $S(r)$를 $r$에 대한 이차함수로 나타내고, 넓이가 최대가 될 때의 반지름 $r$, 호의 길이 $l$, 중심각 $\theta$를 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) [문항 2-1]에서 넓이가 최대가 될 때의 중심각 $\theta$에 대하여, 점 $\mathrm{A}$에서 직선 $\mathrm{OB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 할 때 삼각형 $\mathrm{OAH}$의 넓이를 $\sin 2,\; \cos 2$를 이용하여 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) $\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ($0 \lt \alpha \lt \pi$)일 때, $\sin\alpha\cos\alpha$와 $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 유리·무리함수의 극한과 샌드위치 정리(조임 정리)의 응용 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.1 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문 (가)] 세 함수 $f(x), g(x), h(x)$가 $a$에 가까운 모든 실수 $x$ ($x \ne a$)에서 $f(x) \le g(x) \le h(x)$를 만족시키고 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$이면, $\lim_{x \to a} g(x) = L$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$와 무리식 극한에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 모든 양수 $x$에 대하여 부등식 $3x^2 + 4x - 1 \le (x + 1)g(x) \le 3x^2 + 4x + 2$가 성립할 때, 제시문 (가)를 이용하여 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{g(x)}{x}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

[문항 3-2] (7점) 등식 $\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x + a} - b}{x - 1} = \dfrac{1}{4}$이 성립하도록 하는 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 극한값 $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^2 + 6x + 1} - 2x\right)$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 도함수의 정의와 함수방정식에서의 미분계수 유도 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.1 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

[제시문 (가)] 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수는 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$로 정의되며, 두 변수 $x, y$에 대한 항등식이 주어졌을 때는 차분몫 $\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$를 정리하여 도함수를 구할 수 있다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 항등식 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2$를 만족시키고 $f'(0) = 4$일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 주어진 항등식에 $x = 0,\; y = 0$을 대입하여 $f(0)$의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x)$를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 $f(x)$의 식을 구하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 방정식 $f(x) = 4x + k$가 실근을 오직 하나만 갖는지, 아니면 여러 개 갖는지 도함수 $f'(x) - 4$의 부호를 이용하여 논증하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅰ — 정적분이 포함된 항등식과 이차·삼차함수의 넓이 최적화 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문 (가)] 상수 $a, b$에 대하여 정적분 $\int_{a}^{b} f(t)\,dt$의 값은 적분변수 $t$에 무관한 상수이므로, $K = \int_{a}^{b} f(t)\,dt$로 치환하여 함수 $f(x)$를 먼저 결정한 뒤 다시 정적분에 대입하여 $K$를 구할 수 있다.

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 4x + 2\int_{0}^{1} f(t)\,dt$를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)와 같이 $K = \int_{0}^{1} f(t)\,dt$로 치환하여 상수 $K$의 값을 구하고, 함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 2x + 2$의 두 교점의 $x$좌표를 구하고, 곡선과 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 실수 $x$에 대하여 함수 $G(x) = \int_{0}^{x} \bigl(f(t) - 2\bigr)\,dt$의 극댓값과 극솟값의 차를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제1회	문항 1	대수	유리수 지수의 대소 비교와 지수방정식 치환 해법	20점	중
제1회	문항 2	대수	호도법 부채꼴의 둘레와 넓이 최대화 및 삼각비 항등식	20점	중상
제1회	문항 3	미적분Ⅰ	유리·무리함수의 극한과 샌드위치 정리(조임 정리)의 응용	20점	중상
제1회	문항 4	미적분Ⅰ	도함수의 정의와 함수방정식에서의 미분계수 유도	20점	상
제1회	문항 5	미적분Ⅰ	정적분이 포함된 항등식과 이차·삼차함수의 넓이 최적화	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 가톨릭대학교 수리논술 제1회 출제 원칙 및 합격 전략

제1회는 지수 치환 근의 분리, 부채꼴 최대 넓이, 조임 정리 극한, 함수방정식 도함수 유도, 정적분 상수 치환의 5대 기본기를 점검합니다. 문항당 18분 배분을 엄수하십시오.

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 상용로그의 정수부분·소수부분와 약물 반감기 로그 모델 배점 20점 · 난이도 중

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

[제시문 (가)] 체내에 투여된 약물의 혈중 농도가 매 시간 일정한 비율로 감소하여 반감기가 $T$시간일 때, 초기 농도 $C_0$에 대하여 $t$시간 후의 혈중 농도는 $C(t) = C_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$이다.

반감기가 $T = 4$시간인 어떤 항생제를 환자에게 정맥 주사한 직후의 초기 혈중 농도가 $C_0 = 160\,(\mu\text{g/mL})$일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $\log_{10} 2 = 0.3010,\; \log_{10} 3 = 0.4771$로 계산한다.)

[문항 1-1] (6점) 주사 후 $t$시간이 지났을 때의 혈중 농도 $C(t)$가 초기 농도의 $\dfrac{1}{16}$ 이하가 되려면 최소 몇 시간이 지나야 하는지 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 혈중 농도가 $C(t) \le 15\,(\mu\text{g/mL})$가 되는 최소 시간 $t$를 상용로그표를 이용하여 소수점 아래 첫째 자리까지 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 양수 $x$에 대하여 $\log_{10} x$의 정수부분이 $2$이고, $\log_{10} x$의 소수부분과 $\log_{10} x^2$의 소수부분이 같을 때, 양수 $x$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 사인함수 그래프의 대칭성과 삼각방정식 실근의 개수 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[제시문 (가)] 함수 $y = a\sin(bx + c) + d$ ($a \gt 0, b \gt 0$)의 주기는 $T = \dfrac{2\pi}{b}$이고 최댓값은 $a + d$, 최솟값은 $-a + d$이다. 또한 그래프는 극점의 $x$좌표에 대하여 선대칭이다.

닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 정의된 함수 $f(x) = 2\sin(2x) + 1$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 함수 $f(x)$의 주기, 최댓값, 최솟값을 각각 구하고, 방정식 $f(x) = 2$의 닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서의 모든 실근과 그 합을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = k$ ($1 \lt k \lt 3$)가 만나는 네 교점의 $x$좌표를 작은 것부터 차례로 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$라 할 때, 그래프의 대칭성을 이용하여 $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4$의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 자연수 $n$에 대하여 닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 곡선 $y = \sin(2x)$와 직선 $y = \dfrac{x}{n\pi}$의 교점의 개수를 $N(n)$이라 할 때, $N(1)$과 $N(2)$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 유리식 분모의 영점 부재 조건과 합성함수의 연속성 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[제시문 (가)] 두 연속함수 $f(x), g(x)$에 대하여 유리함수 $h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위한 필요충분조건은 모든 실수 $x$에 대하여 분모 $g(x) \ne 0$인 것이다.

이차함수 $g(x) = x^2 - 2kx + k + 6$과 구간별로 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x \le 1) \\ -x + 3 & (x \gt 1) \end{cases}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 유리함수 $h(x) = \dfrac{x + 1}{g(x)}$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수 $f(x)$가 $x = 1$에서 불연속임을 좌극한과 우극한을 비교하여 보이고, 곱함수 $p(x) = f(x)\cdot (x - a)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 $a$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 합성함수 $(g \circ f)(x)$가 $x = 1$에서 연속이 되도록 하는 상수 $k$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 곡선 밖의 점에서 그은 두 접선의 수직 조건과 접점 삼각형 넓이 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.50 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05]

[제시문 (가)] 이차곡선 $y = x^2$ 위의 점 $(t, t^2)$에서의 접선의 방정식은 $y = 2tx - t^2$이다. 곡선 밖의 점 $(a, b)$에서 그은 두 접선의 접점의 $x$좌표 $t_1, t_2$는 이차방정식 $t^2 - 2at + b = 0$의 두 실근이다.

좌표평면에서 포물선 $y = x^2$ 밖의 점 $\mathrm{P}(a, b)$에서 포물선에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)와 근과 계수의 관계를 이용하여 두 접선이 서로 수직이기 위한 점 $\mathrm{P}(a, b)$의 자취의 방정식($b$의 값)을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 점 $\mathrm{P}\left(1, -\dfrac{1}{4}\right)$에서 포물선 $y = x^2$에 그은 두 접선의 접점을 각각 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$라 할 때, 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식과 선분 $\mathrm{AB}$의 길이를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) [문항 4-2]의 두 접점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$와 포물선 $y = x^2$으로 둘러싸인 영역의 넓이 $S$와 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 넓이 $T$의 비 $\dfrac{S}{T}$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅰ — 주기함수의 정적분과 연속성·미분가능성 결합 추론 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

[제시문 (가)] 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + p) = f(x)$ ($p \gt 0$)를 만족시키는 연속함수 $f(x)$는 길이가 $p$인 모든 구간에서 정적분의 값이 일정하다. 즉, 임의의 실수 $a$와 자연수 $n$에 대하여 $\int_{a}^{a + np} f(x)\,dx = n\int_{0}^{p} f(x)\,dx$이다.

실수 전체의 집합에서 연속이고 미분가능한 주기함수 $f(x)$가 다음 두 조건을 만족시킨다.
(가) 닫힌구간 $[0, 2]$에서 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$이다.
(나) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + 2) = f(x)$이다.
다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이고 미분가능함을 이용하여 $f(0) = f(2),\; f'(0) = f'(2)$로부터 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 한 주기 구간에서의 정적분 $\int_{0}^{2} |f(x)|\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 정적분 $\int_{-4}^{10} \bigl(f(x) + 3\bigr)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제2회	문항 1	대수	상용로그의 정수부분·소수부분와 약물 반감기 로그 모델	20점	중
제2회	문항 2	대수	사인함수 그래프의 대칭성과 삼각방정식 실근의 개수	20점	중상
제2회	문항 3	미적분Ⅰ	유리식 분모의 영점 부재 조건과 합성함수의 연속성	20점	중상
제2회	문항 4	미적분Ⅰ	곡선 밖의 점에서 그은 두 접선의 수직 조건과 접점 삼각형 넓이	20점	상
제2회	문항 5	미적분Ⅰ	주기함수의 정적분과 연속성·미분가능성 결합 추론	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 가톨릭대학교 수리논술 제2회 출제 원칙 및 합격 전략

제2회는 로그부등식 진수 조건, 사인·코사인법칙 도형 해석, 삼차함수 접선과 극값, 정적분 넓이, 초월함수 극한을 결합했습니다. 진수 조건 누락 감점에 주의하십시오.

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 지수함수와 로그함수 역함수 교점 및 직선 대칭 넓이 배점 20점 · 난이도 중

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.1 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]

[제시문 (가)] 지수함수 $y = a^x$ ($a \gt 1$)와 로그함수 $y = \log_a x$는 서로 역함수 관계이므로 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. 또한 기울기가 $-1$인 직선 $y = -x + k$와 두 곡선의 교점도 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.

좌표평면에서 두 곡선 $y = 2^x$과 $y = \log_2 x$가 직선 $y = -x + 6$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}(x_1, y_1),\; \mathrm{B}(x_2, y_2)$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $x_1 + x_2$와 $y_1 + y_2$의 값을 구하고, 선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\mathrm{M}$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 방정식 $2^x = -x + 6$의 유일한 실근 $x_1$을 구하여 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 좌표를 확정하고, 선분 $\mathrm{AB}$의 길이와 삼각형 $\mathrm{OAB}$ (단, $\mathrm{O}$는 원점)의 넓이를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 곡선 $y = 2^x$을 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 곡선의 역함수 $g(x)$의 식을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 원주각·중심각과 사인법칙·코사인법칙을 이용한 현의 길이 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[제시문 (가)] 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 세 변의 길이를 $a, b, c$, 외접원의 반지름을 $R$라 하면 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$와 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$가 성립하며, 삼각형의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{abc}{4R}$이다.

반지름의 길이가 $R = \sqrt{7}$인 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle A = \dfrac{\pi}{3}\;(60^\circ)$이고 $\overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AC}} = 3 : 2$ ($\overline{\mathrm{AB}} \gt \overline{\mathrm{AC}}$)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 변 $\mathrm{BC}$의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 코사인법칙을 이용하여 두 변 $\overline{\mathrm{AB}}$와 $\overline{\mathrm{AC}}$의 길이를 각각 구하고, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내접원의 반지름 $r$를 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}r(\overline{\mathrm{AB}} + \overline{\mathrm{BC}} + \overline{\mathrm{CA}})$를 이용하여 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수 — 약물 반복 투여의 혈중 농도 점화식과 부분합 수렴 분석 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[제시문 (가)] 환자에게 일정한 시간 간격으로 $D\,(\text{mg})$의 약물을 반복 투여할 때, 직전 투여 후 다음 투여 직전까지 체내에 남는 약물의 잔존율을 $r$ ($0 \lt r \lt 1$)라 하면, $n$번째 투여 직후 체내 약물의 총량 $a_n$은 점화식 $a_{n+1} = r a_n + D$ ($a_1 = D$)를 만족시킨다.

어떤 환자에게 매일 정오마다 $D = 120\,(\text{mg})$의 약물을 투여한다. 하루가 지났을 때 체내 약물의 $75\%$가 배출되고 $25\%$($r = \dfrac{1}{4}$)만 남는다고 할 때, $n$일째 정오 약물 투여 직후의 체내 약물 총량을 $a_n\,(\text{mg})$이라 하자. 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) $a_1, a_2, a_3$의 값을 구하고, 점화식 $a_{n+1} - \alpha = \dfrac{1}{4}(a_n - \alpha)$를 만족시키는 상수 $\alpha$를 구하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 투여 직후 체내 약물 총량 $a_n$이 $159.5\,(\text{mg})$ 이상이 되는 최소의 자연수 $n$을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 만약 독성 한계치가 $240\,(\text{mg})$일 때, 잔존율이 $r = \dfrac{1}{4}$인 상태에서 매일 투여할 수 있는 최대 투여량 $D_{\max}$의 범위를 부등식 $a_n \lt 240$ (모든 자연수 $n$)으로부터 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 삼차함수의 극값 존재 조건과 방정식의 실근의 부호 판별 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[제시문 (가)] 삼차함수 $f(x)$가 극값을 갖기 위한 필요충분조건은 이차방정식 $f'(x) = 0$이 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$ ($\alpha \lt \beta$)를 갖는 것이며, 이때 방정식 $f(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가질 필요충분조건은 $f(\alpha)f(\beta) \lt 0$이다.

실수 $a$에 대하여 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(a^2 - 1)x + 2$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 도함수 $f'(x) = 0$의 두 실근 $\alpha, \beta$ ($\alpha \lt \beta$)를 $a$에 대한 식으로 구하고, 극댓값 $f(\alpha)$와 극솟값 $f(\beta)$의 차 $f(\alpha) - f(\beta)$가 $a$의 값에 관계없이 일정함을 보이시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 $f(x)$의 극소점의 $x$좌표가 양수이고 극대점의 $x$좌표가 음수가 되도록 하는 실수 $a$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) $a = 1$일 때 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 두개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 상수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅰ — 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 위치 변화량 및 실제 이동 거리 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문 (가)] 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t)$이고 시각 $t = 0$에서의 위치가 $x_0$일 때, 시각 $t$에서의 위치는 $x(t) = x_0 + \int_{0}^{t} v(s)\,ds$이고, 시각 $t = a$에서 $t = b$까지 점 $\mathrm{P}$가 실제로 움직인 거리는 $\int_{a}^{b} |v(t)|\,dt$이다.

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ ($0 \le t \le 4$)에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하고, 그때의 점 $\mathrm{P}$의 위치를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $\mathrm{P}$의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 다시 원점을 지나는 시각 $t_0$ ($t_0 \gt 0$)을 구하고, 그 순간의 가속도 $a(t_0)$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제3회	문항 1	대수	지수함수와 로그함수 역함수 교점 및 직선 대칭 넓이	20점	중
제3회	문항 2	대수	원주각·중심각과 사인법칙·코사인법칙을 이용한 현의 길이	20점	중상
제3회	문항 3	대수	약물 반복 투여의 혈중 농도 점화식과 부분합 수렴 분석	20점	중상
제3회	문항 4	미적분Ⅰ	삼차함수의 극값 존재 조건과 방정식의 실근의 부호 판별	20점	상
제3회	문항 5	미적분Ⅰ	수직선 위를 움직이는 점의 속도와 위치 변화량 및 실제 이동 거리	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 가톨릭대학교 수리논술 제3회 출제 원칙 및 합격 전략

제3회는 등차·등비수열 귀납 추론, 삼각방정식 실근 합, 사차함수 그래프 개형, 정적분으로 정의된 함수, 치환적분을 다룹니다. 소문항 간 연결고리를 먼저 파악하십시오.

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 로그부등식의 진수 조건과 이차 치환 최대·최소 배점 20점 · 난이도 중

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.2 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

[제시문 (가)] 로그가 포함된 방정식이나 부등식을 풀 때는 먼저 모든 로그의 밑 조건($\text{밑} \gt 0,\; \text{밑} \ne 1$)과 진수 조건($\text{진수} \gt 0$)을 구하여 해의 허용 범위를 확정한 뒤 로그의 성질을 적용해야 한다.

실수 $x$에 대한 로그부등식 $\log_2(x - 1) + \log_2(7 - x) \ge 3$과 닫힌구간 $[1, 8]$에서 정의된 함수 $f(x) = (\log_2 x)^2 - 2\log_2 x + 5$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)에 따라 로그부등식 $\log_2(x - 1) + \log_2(7 - x) \ge 3$의 진수 조건을 구하고, 부등식의 해를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 닫힌구간 $[1, 8]$에서 함수 $f(x) = (\log_2 x)^2 - 2\log_2 x + 5$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하고, 그때의 $x$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 모든 양수 $x$에 대하여 부등식 $\log_2 x^2 + \log_2 y^2 \le 4$를 만족시키는 두 양수 $x, y$에 대하여 곱 $xy$의 최댓값과 그때 $x + y$의 최솟값을 산술·기하평균 부등식으로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 평행사변형 대각선 코사인법칙과 삼각형의 넓이 분할 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[제시문 (가)] 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$에서 이웃한 두 내각의 합은 $\pi$이므로 $\cos B = -\cos A$이다. 따라서 두 삼각형 $\mathrm{ABD}$와 $\mathrm{ABC}$에 각각 코사인법칙을 적용하면 두 대각선의 제곱의 합은 네 변의 제곱의 합과 같다($\overline{\mathrm{AC}}^2 + \overline{\mathrm{BD}}^2 = 2(\overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AD}}^2)$).

이웃한 두 변의 길이가 $\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{AD}} = 5$이고 $\angle \mathrm{BAD} = \dfrac{2\pi}{3}\;(120^\circ)$인 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 두 대각선 $\overline{\mathrm{BD}}$와 $\overline{\mathrm{AC}}$의 길이를 각각 구하고, 제시문 (가)의 등식이 성립함을 확인하시오.

[문항 2-2] (7점) 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S$를 구하고, 두 대각선 $\mathrm{AC}$와 $\mathrm{BD}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때 $\sin\theta$의 값을 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{AC}}\cdot\overline{\mathrm{BD}}\sin\theta$를 이용하여 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 외접원의 반지름 $R_1$과 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름 $R_2$의 비 $\dfrac{R_1}{R_2}$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 원점 지나는 직선과 원의 교점 개수 함수의 불연속점 분석 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[제시문 (가)] 중심이 $(x_0, y_0)$이고 반지름이 $r$인 원과 직선 $ax + by + c = 0$ 사이의 거리를 $d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$라 할 때, 원과 직선의 교점의 개수는 $d \lt r$일 때 $2$개, $d = r$일 때 $1$개, $d \gt r$일 때 $0$개이다.

좌표평면에서 중심이 $(2, 1)$이고 반지름의 길이가 $2$인 원 $C : (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$와 기울기가 $m$인 직선 $l_m : y = mx$가 만나는 교점의 개수를 $f(m)$이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 원 $C$의 중심 $(2, 1)$과 직선 $mx - y = 0$ 사이의 거리 $d(m)$을 구하고, $d(m) = 2$가 되는 실수 $m$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 교점의 개수 함수 $f(m)$을 $m$의 구간에 따라 구하고, 함수 $f(m)$이 불연속이 되는 $m$의 값 $m_0$와 그때의 좌극한·우극한·함숫값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 이차함수 $g(m) = m^2 + am + b$에 대하여 곱함수 $f(m)g(m)$이 실수 전체의 집합에서 연속이고 $g(0) = 3$일 때, 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 롤의 정리와 평균값 정리를 이용한 도함수 영점의 존재 증명 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.52 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]

[제시문 (가)] 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때, $f(a) = f(b)$이면 $f'(c) = 0$인 실수 $c$가 열린구간 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다(롤의 정리).

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$와 다항함수 $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 롤의 정리를 세 구간 $[1, 2], [2, 3], [3, 4]$에 각각 적용하여 방정식 $P'(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가짐을 증명하시오.

[문항 4-2] (7점) 사차함수 $P(x)$의 그래프의 대칭축 $x = \dfrac{5}{2}$를 이용하여 방정식 $P'(x) = 0$의 세 실근을 직접 구하고, 함수 $P(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f(1) = 1,\; f(3) = 5$를 만족시킬 때, 방정식 $f'(x) = 2$가 열린구간 $(1, 3)$에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보조함수 $g(x) = f(x) - 2x$에 롤의 정리를 적용하여 증명하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅰ — 사차부등식이 항상 성립할 조건과 두 곡선 사이의 최소 수직 거리 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.53 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문 (가)] 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $h(x)$가 최솟값 $m$을 가질 때, 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $h(x) \ge 0$이 성립하기 위한 필요충분조건은 $m \ge 0$인 것이다.

사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2$와 일차함수 $g(x) = 4x - k$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 차이 함수 $h(x) = f(x) - g(x)$의 도함수 $h'(x)$를 인수분해하여 함수 $h(x)$가 최솟값을 갖는 $x$의 값과 최솟값을 $k$에 대한 식으로 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 모든 실수 $x$에 대하여 곡선 $y = f(x)$가 직선 $y = g(x)$보다 위쪽에 있거나 접하도록($f(x) \ge g(x)$) 하는 상수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) $k = 3$일 때, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$와 직선 $y = 4t - 3$ 사이의 수직 거리 $D(t) = f(t) - (4t - 3)$이 최소가 되는 점 $\mathrm{P}$의 좌표와 그때 점 $\mathrm{P}$에서의 곡선 $y = f(x)$의 접선의 방정식을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제4회	문항 1	대수	로그부등식의 진수 조건과 이차 치환 최대·최소	20점	중
제4회	문항 2	대수	평행사변형 대각선 코사인법칙과 삼각형의 넓이 분할	20점	중상
제4회	문항 3	미적분Ⅰ	원점 지나는 직선과 원의 교점 개수 함수의 불연속점 분석	20점	중상
제4회	문항 4	미적분Ⅰ	롤의 정리와 평균값 정리를 이용한 도함수 영점의 존재 증명	20점	상
제4회	문항 5	미적분Ⅰ	사차부등식이 항상 성립할 조건과 두 곡선 사이의 최소 수직 거리	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 가톨릭대학교 수리논술 제4회 출제 원칙 및 합격 전략

제4회는 지수·로그함수 교점, 삼각함수 합성·최대최소, 절댓값 함수 연속·미분가능성, 속도·거리 적분, 부분적분을 집중 점검합니다.

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 지수부등식과 로그함수의 그래프 교점 영역 격자점 배점 20점 · 난이도 중

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

[제시문 (가)] 밑이 $0 \lt a \lt 1$인 지수함수 $y = a^x$과 로그함수 $y = \log_a x$는 모두 정의역에서 순감소하므로, 부등식 $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$는 부등호 방향이 바뀌어 $f(x) \ge g(x)$와 동치이다.

실수 $x$에 대한 지수부등식 $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 4x} \ge \left(\dfrac{1}{9}\right)^{x + 3}$과 로그부등식 $\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) \gt -3$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 지수부등식 $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 4x} \ge \left(\dfrac{1}{9}\right)^{x + 3}$의 해집합 $A$를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 진수 조건에 유의하여 로그부등식 $\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) \gt -3$의 해집합 $B$를 구하고, 연립부등식의 해집합 $A \cap B$에 속하는 모든 정수 $x$의 합을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 모든 실수 $x$에 대하여 지수부등식 $9^x - 2\cdot 3^{x+1} + k - 2 \gt 0$이 항상 성립하도록 하는 상수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 무리식 분모 유리화 망원급수와 수학적 귀납법 증명 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

[제시문 (가)] 공차가 $d \gt 0$인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 일반항이 $\dfrac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$인 수열은 분모를 유리화하면 $\dfrac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d}$가 되어 연쇄 소거로 부분합을 구할 수 있다.

일반항이 $a_n = 2n - 1$인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 부분합 $S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{2}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$을 $n$에 대한 식으로 구하고, $S_n = 8$을 만족시키는 자연수 $n$의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 모든 자연수 $n \ge 1$에 대하여 부등식 $\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}} \ge 2\bigl(\sqrt{n + 1} - 1\bigr)$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (7점) [문항 2-2]의 부등식을 이용하여 합 $T = \sum_{k=1}^{99} \dfrac{1}{\sqrt{k}}$가 $18$보다 크거나 같음을 보이시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 구간별 정의된 다항함수의 미분가능성과 접선의 기울기 최대·최소 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[제시문 (가)] 구간별로 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} g(x) & (x \lt a) \\ h(x) & (x \ge a) \end{cases}$가 $x = a$에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 연속 조건 $g(a) = h(a)$와 좌·우미분계수 일치 조건 $g'(a) = h'(a)$가 동시에 성립하는 것이다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x) = \begin{cases} -x^2 + ax + b & (x \lt 1) \\ x^3 - 3x^2 + 4 & (x \ge 1) \end{cases}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 $f(x)$가 $x = 1$에서 미분가능하도록 하는 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 기울기 $f'(t)$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 극한값 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x^2 - 1}$과 $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + 3h) - f(2 - h)}{2h}$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 포물선에 내접하는 직사각형의 둘레·넓이 최대화 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.54 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

[제시문 (가)] 직선 $x = 0$에 대하여 선대칭인 포물선 $y = a^2 - x^2$ ($a \gt 0$)과 $x$축으로 둘러싸인 영역에 내접하는 직사각형의 제1사분면 꼭짓점을 $(t, a^2 - t^2)$ ($0 \lt t \lt a$)라 하면, 직사각형의 가로의 길이는 $2t$, 세로의 길이는 $a^2 - t^2$이다.

좌표평면에서 곡선 $y = 12 - x^2$과 $x$축으로 둘러싸인 영역에 내접하고 한 변이 $x$축 위에 있는 직사각형 $\mathrm{ABCD}$에 대하여 제1사분면 위의 꼭짓점의 $x$좌표를 $t$ ($0 \lt t \lt 2\sqrt{3}$)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 직사각형 $\mathrm{ABCD}$의 둘레의 길이 $L(t)$를 $t$에 대한 이차함수로 나타내고, 둘레의 길이가 최대가 될 때의 $t$의 값과 둘레의 최댓값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 직사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S(t)$를 $t$에 대한 삼차함수로 나타내고, 도함수를 이용하여 넓이가 최대가 될 때의 $t$의 값과 넓이의 최댓값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) [문항 4-2]의 최대 넓이 $S_{\max}$와 곡선 $y = 12 - x^2$ 및 $x$축으로 둘러싸인 전체 영역의 넓이 $A$의 비 $\dfrac{S_{\max}}{A}$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅰ — 절댓값 정적분 함수의 최솟값과 정적분 넓이 이등분 곡선 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문 (가)] 닫힌구간 $[0, a]$에서 연속이고 순증가하는 함수 $f(x)$에 대하여, 상수 $t \in [0, a]$에 관한 정적분 함수 $I(t) = \int_{0}^{a} |f(x) - f(t)|\,dx$는 구간을 $[0, t]$와 $[t, a]$로 나누어 절댓값을 풀고 $t$에 대하여 미분하면 구간의 중점 $t = \dfrac{a}{2}$에서 최솟값을 갖는다.

닫힌구간 $[0, 2]$에서 정의된 함수 $f(x) = 3x^2$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) $0 \le t \le 2$인 실수 $t$에 대하여 정적분 $I(t) = \int_{0}^{2} |3x^2 - 3t^2|\,dx$를 $t$에 대한 다항식으로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) 도함수 $I'(t)$를 구하여 닫힌구간 $[0, 2]$에서 함수 $I(t)$가 최소가 되는 $t$의 값과 그때의 최솟값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 곡선 $y = 3x^2$과 직선 $x = 2$ 및 $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 곡선 $y = ax^2$ ($0 \lt a \lt 3$)이 이등분할 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제5회	문항 1	대수	지수부등식과 로그함수의 그래프 교점 영역 격자점	20점	중
제5회	문항 2	대수	무리식 분모 유리화 망원급수와 수학적 귀납법 증명	20점	중상
제5회	문항 3	미적분Ⅰ	구간별 정의된 다항함수의 미분가능성과 접선의 기울기 최대·최소	20점	중상
제5회	문항 4	미적분Ⅰ	포물선에 내접하는 직사각형의 둘레·넓이 최대화	20점	상
제5회	문항 5	미적분Ⅰ	절댓값 정적분 함수의 최솟값과 정적분 넓이 이등분 곡선	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 가톨릭대학교 수리논술 제5회 출제 원칙 및 합격 전략

제5회는 전반부 종합 실전 회차로 수열의 합과 일반항 검증(a1=S1), 평균값 정리, 다항함수 넓이 공식, 초월함수 변곡점, 등비급수 수렴 조건을 총정리합니다.

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 지수방정식의 치환 정의역 변환과 근의 분리 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[제시문 (가)] 지수함수 $y = a^x \; (a \gt 1)$은 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합으로의 일대일대응이며 순증가한다. 따라서 $x \gt k$인 실근 조건은 $t = a^x$로 치환할 때 $t \gt a^k$인 실근 조건과 동치이다.
[제시문 (나)] 이차함수 $g(t) = t^2 + pt + q$에 대하여 방정식 $g(t) = 0$이 열린구간 $(c, \infty)$에서 서로 다른 두 실근을 가질 필요충분조건은 판별식 $D \gt 0$, 대칭축 $-\frac{p}{2} \gt c$, 경계 함숫값 $g(c) \gt 0$이 동시에 성립하는 것이다.
실수 $m$에 대한 지수방정식 $9^x - 2(m+1)\cdot 3^x + 3m + 7 = 0$을 고려하자.

[문항 1-1] (6점) $t = 3^x$로 치환하여 얻은 이차함수 $g(t) = t^2 - 2(m+1)t + 3m + 7$에 대하여, 주어진 지수방정식이 서로 다른 두 실근을 갖기 위한 실수 $m$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 주어진 지수방정식이 $1$보다 큰 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta \; (\alpha \gt 1,\; \beta \gt 1)$를 갖도록 하는 실수 $m$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]의 조건을 만족시키는 $m = \frac{19}{6}$일 때, 두 실근의 합 $\alpha + \beta$의 값을 $\log_3$을 사용하여 나타내시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ — 삼차함수의 극값과 절댓값 함수의 미분불가능점 개수 판정 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[제시문 (가)] 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 함수 $h(x) = |f(x)|$는 $f(a) = 0$이고 $f'(a) \ne 0$인 점 $x = a$에서 미분불가능하며, $f(a) = 0$이고 $f'(a) = 0$인 접점에서는 $h'(a) = 0$이 되어 미분가능하다.
[제시문 (나)] 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값의 부호를 조사하면 $x$축과의 교점의 개수 및 접점 여부를 판별할 수 있다.
실수 $k$에 대하여 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k$와 함수 $h(x) = |f(x)|$를 정의하자.

[문항 2-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 $k$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 함수 $h(x) = |f(x)|$가 실수 전체의 집합에서 미분불가능한 점의 개수가 오직 $1$개가 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) $k = 27$일 때, 곡선 $y = f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 정적분으로 정의된 함수의 극값과 부호 변화 구간 넓이 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

[제시문 (가)] 연속함수 $f(t)$에 대하여 $g(x) = \int_a^x f(t)\,dt$로 정의하면 미적분학의 기본정리에 의해 $g'(x) = f(x)$이고 $g(a) = 0$이다.
[제시문 (나)] 닫힌구간 $[\alpha, \beta]$에서 곡선 $y = f(t)$와 $t$축 사이의 넓이는 부호가 바뀌는 교점을 기준으로 구간을 나누어 $\int_\alpha^\beta |f(t)|\,dt$로 계산한다.
이차함수 $f(t) = t^2 - 4t + 3$에 대하여 함수 $g(x) = \int_0^x f(t)\,dt$라 하자.

[문항 3-1] (6점) 함수 $g(x)$를 $x$에 대한 다항식으로 나타내고, $g(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 4]$에서 함수 $g(x)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 합 $M + m$을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 곡선 $y = f(t)$와 $t$축으로 둘러싸인 도형의 넓이의 합 $A$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅱ — 지수·다항 곱함수의 단조증가성과 역함수 미분법·변곡점 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.20 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]

[제시문 (가)] 실수 전체에서 미분가능하고 역함수 $g(x)$가 존재하는 함수 $f(x)$에 대하여 $g(b) = a$이고 $f'(a) \ne 0$이면 $g'(b) = \frac{1}{f'(a)}$이다.
[제시문 (나)] 이계도함수를 갖는 함수 $f(x)$에서 $f''(c) = 0$이고 $x = c$의 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 바뀌면 점 $(c, f(c))$는 곡선 $y = f(x)$의 변곡점이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = (x^2 - 2x + 2)e^x$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 도함수 $f'(x)$를 구하여 함수 $f(x)$가 치역 $(0, \infty)$ 위에서 역함수 $g(x)$를 가짐을 논술하시오.

[문항 4-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$의 모든 변곡점의 좌표를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) $f(x)$의 역함수 $g(x)$에 대하여 $g(2) + e \cdot g'(e)$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅱ — 삼각함수 거듭제곱 정적분의 부분적분 점화식 유도 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

[제시문 (가)] 닫힌구간 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$에서 미분가능한 두 함수 $u(x), v(x)$에 대하여 부분적분법 $\int_0^{\pi/2} u(x)v'(x)\,dx = \left[u(x)v(x)\right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} u'(x)v(x)\,dx$가 성립한다.
[제시문 (나)] 모든 실수 $x$에 대하여 삼각함수 항등식 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$와 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$가 성립한다.
자연수 $n$에 대하여 정적분 수열 $J_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx$를 정의하자.

[문항 5-1] (6점) $J_1$과 $J_2$의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) $n \ge 3$일 때 부분적분법을 적용하여 점화식 $J_n = \frac{n-1}{n} J_{n-2}$가 성립함을 증명하시오.

[문항 5-3] (7점) $\frac{J_4}{\pi} + J_5$의 값을 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제6회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제6회	문항 1	대수	지수방정식의 치환 정의역 변환과 근의 분리	20점	상
제6회	문항 2	미적분Ⅰ	삼차함수의 극값과 절댓값 함수의 미분불가능점 개수 판정	20점	상
제6회	문항 3	미적분Ⅰ	정적분으로 정의된 함수의 극값과 부호 변화 구간 넓이	20점	중상
제6회	문항 4	미적분Ⅱ	지수·다항 곱함수의 단조증가성과 역함수 미분법·변곡점	20점	상
제6회	문항 5	미적분Ⅱ	삼각함수 거듭제곱 정적분의 부분적분 점화식 유도	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 가톨릭대학교 수리논술 제6회 출제 원칙 및 합격 전략

제6회(킬러 심화 1)는 $x \gt 1$ 지수 치환 근의 분리, $|f(x)|$ 미분불가능점 1개 경계, 정적분 함수 넓이, $(x^2-2x+2)e^x$ 역함수 미분, $\sin^n x$ 월리스 점화식을 공략합니다.

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 코사인법칙·사인법칙을 활용한 외접원·내접원과 각의 이등분선 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]

[제시문 (가)] 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름을 $R$이라 할 때 사인법칙 $\frac{a}{\sin A} = 2R$과 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$가 성립한다.
[제시문 (나)] 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$와 내접원의 반지름 $r$에 대하여 $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}r(a + b + c)$이다.
$\overline{AB} = 5,\; \overline{AC} = 8,\; \angle BAC = \frac{\pi}{3}$인 삼각형 $ABC$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 변 $BC$의 길이와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 외접원의 반지름 $R$과 내접원의 반지름 $r$의 곱 $R \cdot r$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 각 $BAC$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 할 때, 선분 $AD$의 길이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ — 사차함수의 대칭 이중접선 넓이와 절댓값 방정식 실근 개수 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문 (가)] 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$가 두 점 $x = \alpha, \beta \; (\alpha \lt \beta)$에서 동일한 극솟값 $c$를 가지면 $f(x) - c = (x - \alpha)^2(x - \beta)^2$이며 직선 $x = \frac{\alpha + \beta}{2}$에 대하여 대칭이다.
[제시문 (나)] 방정식 $|f(x) - k| = d \; (d \gt 0)$의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 $y = f(x)$와 두 수평선 $y = k - d,\; y = k + d$의 교점의 개수의 합과 같다.
사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하고, 대칭축의 방정식을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$의 두 극솟점을 지나는 직선 $l$과 곡선 $y = f(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 방정식 $|f(x) - k| = \frac{1}{3}$이 서로 다른 $8$개의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 정적분 함수의 극대·극소 차와 이차도함수 넓이 공식 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

[제시문 (가)] 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(t) = (t - \alpha)(t - \beta) \; (\alpha \lt \beta)$의 한 부정적분을 $F(x) = \int_c^x f(t)\,dt$라 하면, $F(x)$는 $x = \alpha$에서 극대, $x = \beta$에서 극소가 된다.
[제시문 (나)] 이때 극댓값과 극솟값의 차 $F(\alpha) - F(\beta)$는 적분 상수 $c$에 무관하게 $-\int_\alpha^\beta (t - \alpha)(t - \beta)\,dt = \frac{(\beta - \alpha)^3}{6}$과 일치한다.
함수 $F(x) = \int_1^x (t - 2)(t - 5)\,dt$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 함수 $F(x)$의 극댓값 $F(2)$를 정적분 계산을 통해 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 극솟값 $F(5)$와 극값의 차 $F(2) - F(5)$를 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 방정식 $F(x) = k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 정수 $k$의 개수를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅱ — 몫의 미분법을 이용한 유리함수의 극값·변곡점과 치환적분 넓이 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

[제시문 (가)] 분모가 $0$이 아닌 미분가능한 두 함수 $u(x), v(x)$에 대하여 몫의 미분법 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$과 치환적분법 $\int \frac{v'(x)}{v(x)}\,dx = \ln|v(x)| + C$가 성립한다.
[제시문 (나)] 원점 대칭인 기함수 $f(-x) = -f(x)$의 이계도함수 역시 기함수이므로, $f''(x)$가 연속이면 원점 $(0, 0)$은 변곡점 후보가 된다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \frac{x}{x^2 + 4}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 구하고, 점근선의 방정식을 제시하시오.

[문항 4-2] (7점) 이계도함수 $f''(x)$를 구하여 곡선 $y = f(x)$의 모든 변곡점의 $x$좌표를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 $y = f(x)$와 $x$축 및 직선 $x = 2$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅱ — 일차 귀납적 수열의 극한과 편차 제곱 무한등비급수 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-02]

[제시문 (가)] 상수 $p, q \; (|p| \lt 1)$에 대하여 점화식 $a_{n+1} = p a_n + q$로 정의된 수열은 특성방정식 $\alpha = p\alpha + q$의 해 $\alpha = \frac{q}{1 - p}$를 이용하여 $a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)$인 등비수열로 변환된다.
[제시문 (나)] 첫째항이 $A$이고 공비가 $r \; (|r| \lt 1)$인 등비급수는 수렴하며 그 합은 $\sum_{n=1}^{\infty} A r^{n-1} = \frac{A}{1 - r}$이다.
첫째항 $a_1 = 1$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + 2$를 만족시키는 수열 $\{a_n\}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$과 극한값 $L = \lim_{n \to \infty} a_n$을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} (L - a_n)$이 수렴함을 보이고 그 합을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제곱 편차 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} (L - a_n)^2$의 합을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제7회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제7회	문항 1	대수	코사인법칙·사인법칙을 활용한 외접원·내접원과 각의 이등분선	20점	중상
제7회	문항 2	미적분Ⅰ	사차함수의 대칭 이중접선 넓이와 절댓값 방정식 실근 개수	20점	상
제7회	문항 3	미적분Ⅰ	정적분 함수의 극대·극소 차와 이차도함수 넓이 공식	20점	중상
제7회	문항 4	미적분Ⅱ	몫의 미분법을 이용한 유리함수의 극값·변곡점과 치환적분 넓이	20점	상
제7회	문항 5	미적분Ⅱ	일차 귀납적 수열의 극한과 편차 제곱 무한등비급수	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 가톨릭대학교 수리논술 제7회 출제 원칙 및 합격 전략

제7회(킬러 심화 2)는 외접원·내접원 반지름 곱과 각이등분선, 사차함수 이중접선과 $|f(x)-k| = 1/3$ 실근 8개 조건, 유리함수 변곡점, 편차 제곱 등비급수를 다룹니다.

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 수열의 합과 일반항의 관계 및 로그·부분분수 소거 합 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

[제시문 (가)] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하면 $a_1 = S_1$이고, $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1}$이다.
[제시문 (나)] 로그의 성질 $\log_2 \frac{k+1}{k} = \log_2(k+1) - \log_2 k$와 부분분수 항등식 $\frac{1}{AB} = \frac{1}{B - A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B}\right)$를 이용하면 이웃한 항들이 연쇄 소거된다.
모든 자연수 $n$에 대하여 첫째항부터 제$n$항까지의 합이 $S_n = n^2 + 2n$인 수열 $\{a_n\}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 모든 자연수 $n$에 대하여 일반항 $a_n$을 구하시오($n = 1$일 때의 성립 여부를 반드시 확인하시오).

[문항 1-2] (7점) $b_n = \log_2 \frac{a_n + 1}{a_n - 1}$이라 할 때, 합 $\sum_{k=1}^{15} b_k$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 부분분수 합 $\sum_{k=1}^{15} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$의 값을 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ — 곡선 밖의 점에서 삼차곡선에 그은 접선의 개수 판정 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

[제시문 (가)] 곡선 $y = f(x)$ 밖의 한 점 $(x_0, y_0)$에서 곡선에 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수는, 접점의 $x$좌표 $t$에 대한 방정식 $y_0 - f(t) = f'(t)(x_0 - t)$의 서로 다른 실근 $t$의 개수와 일치한다.
[제시문 (나)] 삼차함수 그래프 위의 서로 다른 두 접점은 서로 다른 두 접선에 일대일 대응한다.
삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$와 $y$축 위의 점 $P(0, k)$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 $y$절편을 $h(t)$라 할 때, $h(t)$의 식을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 점 $P(0, k)$에서 곡선 $y = f(x)$에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 $k$의 값의 범위와 정수 $k$의 개수를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 곡선 $y = f(x)$의 변곡점에서의 접선의 방정식을 구하고, 그 $y$절편이 [문항 2-2]의 범위의 경계값과 일치함을 확인하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 이차곡선과 원점 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 이등분 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문 (가)] 최고차항의 계수가 $-1$인 이차함수 $y = -x^2 + px$와 일차함수 $y = mx$의 그래프가 두 점 $x = 0,\; p - m \; (p \gt m)$에서 만날 때, 두 그래프로 둘러싸인 넓이는 $\int_0^{p-m} \{-x^2 + (p - m)x\}\,dx = \frac{(p - m)^3}{6}$이다.
[제시문 (나)] 도형의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기는 전체 넓이의 절반과 부분 넓이를 같다고 놓아 결정한다.
이차함수 $y = 6x - x^2$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 도형 $D$를 원점을 지나는 직선 $y = mx \; (0 \lt m \lt 6)$가 두 부분으로 나눌 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 도형 $D$의 전체 넓이 $A$를 정적분으로 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 곡선 $y = 6x - x^2$과 직선 $y = mx$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S(m)$을 $m$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 3-3] (7점) 직선 $y = mx$가 도형 $D$의 넓이를 이등분할 때, $(6 - m)^3$의 값과 $m$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅱ — 로그·일차 결합함수의 극값 존재 조건과 극값의 차 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02]

[제시문 (가)] 미분가능한 함수 $f(x)$가 서로 다른 두 점에서 극값을 가지려면 도함수 $f'(x) = 0$이 서로 다른 두 실근을 가지고 각 근의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 바뀌어야 한다.
[제시문 (나)] 모든 실수 $x$에 대하여 산술·기하평균 관계 또는 도함수 분석에 의해 $\frac{2x}{x^2 + 1}$의 치역은 닫힌구간 $[-1, 1]$이다.
양수 $k$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \ln(x^2 + 1) - kx$를 고려하자.

[문항 4-1] (6점) 도함수 $f'(x)$를 구하고, 함수 $f(x)$가 극댓값과 극솟값을 모두 갖도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) $k = \frac{4}{5}$일 때, 함수 $f(x)$가 극댓값을 갖는 $x$의 값과 극솟값을 갖는 $x$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) $k = \frac{4}{5}$일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$의 차 $M - m$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅱ — 감쇠 지수함수의 부분적분과 이상극한 수렴값 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.30 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-05]

[제시문 (가)] 부분적분법에 의하여 다항함수와 지수함수의 곱 $\int t e^{-at}\,dt \; (a \gt 0)$는 다항식의 차수를 낮추어 초등함수로 적분할 수 있다.
[제시문 (나)] 임의의 자연수 $k$와 양수 $a$에 대하여 지수함수의 증가 속도가 다항함수보다 빠르므로 $\lim_{x \to \infty} x^k e^{-ax} = 0$이 성립한다.
실수 $x \ge 0$에 대하여 함수 $F(x) = \int_0^x t e^{-t/2}\,dt$를 정의하자.

[문항 5-1] (6점) 부분적분법을 이용하여 $F(x)$를 적분 기호 없이 $x$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) $F(2)$의 값과 극한값 $\lim_{x \to \infty} F(x)$를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 곡선 $y = t e^{-t/2} \; (t \ge 0)$의 변곡점의 $t$좌표를 $t_0$이라 할 때, $F(t_0)$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제8회	문항 1	대수	수열의 합과 일반항의 관계 및 로그·부분분수 소거 합	20점	중상
제8회	문항 2	미적분Ⅰ	곡선 밖의 점에서 삼차곡선에 그은 접선의 개수 판정	20점	상
제8회	문항 3	미적분Ⅰ	이차곡선과 원점 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 이등분	20점	중상
제8회	문항 4	미적분Ⅱ	로그·일차 결합함수의 극값 존재 조건과 극값의 차	20점	상
제8회	문항 5	미적분Ⅱ	감쇠 지수함수의 부분적분과 이상극한 수렴값	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 가톨릭대학교 수리논술 제8회 출제 원칙 및 합격 전략

제8회(킬러 심화 3)는 로그·부분분수 연쇄 소거, 곡선 밖 점에서 그은 세 접선과 변곡접선 $y$절편, 포물선 넓이 이등분, $\ln(x^2+1)-kx$ 극값 차, 감쇠지수 부분적분을 훈련합니다.

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 로그방정식의 치환과 두 실근의 곱·대칭식 연산 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[제시문 (가)] 양수 $x \; (x \gt 0)$에 대한 로그방정식 $(\log_a x)^2 + B\log_a x + C = 0 \; (a \gt 1)$이 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$를 가질 때, $t = \log_a x$로 치환한 이차방정식 $t^2 + Bt + C = 0$의 두 실근은 $t_1 = \log_a \alpha,\; t_2 = \log_a \beta$이다.
[제시문 (나)] 이때 근과 계수의 관계에 의해 $t_1 + t_2 = \log_a(\alpha\beta) = -B$이므로 두 실근의 곱은 $\alpha\beta = a^{-B}$로 결정된다.
실수 $p$에 대한 로그방정식 $(\log_2 x)^2 - 2p\log_2 x + 3p - 2 = 0$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 주어진 로그방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 실수 $p$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 두 실근 $\alpha, \beta$의 곱이 $\alpha\beta = 64$일 때 상수 $p$의 값을 구하고, 이 값이 [문항 1-1]의 범위를 만족함을 확인하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]에서 구한 $p$에 대하여 $(\log_2 \alpha)^2 + (\log_2 \beta)^2 + \log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ — 절댓값 다항함수의 미분가능성 조건과 구간 최댓값 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

[제시문 (가)] 다항함수 $f(x)$가 $f(1) = 0$일 때, 함수 $|f(x)|$가 $x = 1$에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 $f'(1) = 0$, 즉 $f(x)$가 $(x - 1)^2$을 인수로 갖는 것이다.
[제시문 (나)] 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수의 최댓값은 구간 내부의 극댓값들과 양 끝점의 함숫값 중 가장 큰 값이다.
두 상수 $a, b$에 대하여 삼차함수 $f(x) = (x - 1)(x^2 + ax + b)$가 $f(0) = -3$을 만족하고 함수 $g(x) = |f(x)|$가 실수 $x = 1$에서 미분가능할 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 두 상수 $a, b$의 값을 각각 구하고, $f(x)$를 인수분해된 꼴로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 닫힌구간 $[1, 3]$에서 함수 $g(x) = |f(x)|$의 최댓값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 실수 전체의 집합에서 함수 $g(x)$가 미분불가능한 점의 $x$좌표와 그 점에서의 우미분계수를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 수직선 위 운동에서 위치의 변화량과 실제 움직인 거리 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문 (가)] 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t)$이고 시각 $t = 0$에서의 위치가 $x_0$일 때, 시각 $t$에서의 위치는 $x(t) = x_0 + \int_0^t v(s)\,ds$이다.
[제시문 (나)] 시각 $t = a$에서 $t = b$까지 점 $P$의 위치의 변화량은 $\int_a^b v(t)\,dt$이고, 실제로 움직인 거리는 $\int_a^b |v(t)|\,dt$이다.
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t \; (t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 15t + 12$일 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 점 $P$가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 모든 시각과 그때의 위치를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) $t = 0$에서 $t = 5$까지 점 $P$의 위치의 변화량을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) $t = 0$에서 $t = 5$까지 점 $P$가 실제로 움직인 총 거리 $D$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅱ — 지수·삼각 곱함수의 극값·변곡접선과 순환형 부분적분 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

[제시문 (가)] 삼각함수의 합성 원리에 의해 $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$이다.
[제시문 (나)] 정적분 $I = \int_a^b e^x \sin x\,dx$는 부분적분법을 두 번 연속 적용하면 자기 자신 $I$에 대한 일차방정식이 도출되어 값을 구할 수 있다.
닫힌구간 $[0, \pi]$에서 정의된 함수 $f(x) = e^x \sin x$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 닫힌구간 $[0, \pi]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 그때의 $x$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 열린구간 $(0, \pi)$에서 곡선 $y = f(x)$의 변곡점에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 $y = f(x) \; (0 \le x \le \pi)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅱ — 정적분과 급수의 관계 및 유리·로그 치환적분 결합 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.20 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]

[제시문 (가)] 닫힌구간 $[0, 1]$에서 연속인 함수 $h(x)$에 대하여 정적분과 급수의 관계 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n h\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 h(x)\,dx$가 성립한다.
[제시문 (나)] 유리함수의 적분에서는 분자를 분모로 나누어 몫과 나머지로 분리하거나 분모의 도함수 꼴로 변형하여 로그함수로 적분한다.
두 극한값 $A = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n + 2k}{n(n + k)}$와 $B = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k^2}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $A$와 $B$를 각각 닫힌구간 $[0, 1]$에서의 정적분으로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) 두 극한값 $A$와 $B$를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) $A + 2B$의 값을 구하고, 이를 피적분함수의 합에 대한 단일 정적분으로도 검증하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제9회	문항 1	대수	로그방정식의 치환과 두 실근의 곱·대칭식 연산	20점	중상
제9회	문항 2	미적분Ⅰ	절댓값 다항함수의 미분가능성 조건과 구간 최댓값	20점	상
제9회	문항 3	미적분Ⅰ	수직선 위 운동에서 위치의 변화량과 실제 움직인 거리	20점	중상
제9회	문항 4	미적분Ⅱ	지수·삼각 곱함수의 극값·변곡접선과 순환형 부분적분	20점	상
제9회	문항 5	미적분Ⅱ	정적분과 급수의 관계 및 유리·로그 치환적분 결합	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 가톨릭대학교 수리논술 제9회 출제 원칙 및 합격 전략

제9회(킬러 심화 4)는 로그방정식 밑변환 대칭식, 중근 미분가능성 결정과 구간 최댓값, 수직선 운동 실제 이동거리, $e^x \sin x$ 순환 부분적분, 정적분과 급수 결합을 돌파합니다.

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 등차수열을 이루는 삼각형 세 변의 길이와 외접원·넓이 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

[제시문 (가)] 세 수가 등차수열을 이룰 때는 가운데 항을 $a$, 공차를 $d \; (d \gt 0)$로 놓아 $a - d,\; a,\; a + d$로 대칭 표현하면 합이 $3a$로 단순화된다.
[제시문 (나)] 삼각형에서 가장 긴 변의 대각이 가장 큰 내각이며, 코사인법칙과 사인법칙으로 변의 비와 외접원의 반지름을 결정할 수 있다.
세 변의 길이가 등차수열을 이루고 둘레의 길이가 $30$이며 가장 큰 내각의 크기가 $\frac{2\pi}{3}$인 삼각형 $ABC$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 가운데 변의 길이 $a$를 구하고, 코사인법칙으로 공차 $d$와 세 변의 길이를 모두 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$와 외접원의 반지름 $R$을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 가장 작은 내각의 크기를 $\theta$라 할 때 $\sin\theta$와 $\cos\theta$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ — 비대칭 사차함수의 극값 대소 비교와 실근 개수 조건 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문 (가)] 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 서로 다른 세 실근 $\alpha \lt \beta \lt \gamma$를 가지면, $f(x)$는 $x = \alpha, \gamma$에서 극솟값을 갖고 $x = \beta$에서 극댓값을 갖는다.
[제시문 (나)] 이때 두 극솟값 중 큰 값을 $m_{\max}$, 극댓값을 $M$이라 하면 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 $4$개의 실근을 가질 필요충분조건은 $m_{\max} \lt k \lt M$이다.
$f(0) = 0$이고 도함수가 $f'(x) = 4(x + 1)(x - 1)(x - 2)$인 사차함수 $f(x)$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 부정적분을 이용하여 사차함수 $f(x)$의 식을 구하고, 세 극값 $f(-1),\; f(1),\; f(2)$를 모두 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 $4$개의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 범위와 모든 정수 $k$의 값의 합을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 방정식 $f(x) = k$가 중근 $1$개와 다른 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 두 정적분 상수를 포함한 연립 적분방정식의 해법 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.26 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[제시문 (가)] 적분 구간이 상수인 정적분 $\int_a^b g(t)\,dt$의 값은 적분변수 $t$에 무관한 상수이므로, 상수 $A, B$로 치환한 뒤 다시 정적분 정의식에 대입하여 연립방정식으로 결정할 수 있다.
[제시문 (나)] 이차함수 $f(x) = px^2 + qx + r \; (p \gt 0)$은 꼭짓점 $x = -\frac{q}{2p}$에서 최솟값을 갖는다.
모든 실수 $x$에 대하여 등식 $f(x) = 6x^2 - 6x\int_0^1 f(t)\,dt + 4\int_0^1 t f(t)\,dt$를 만족시키는 연속함수 $f(x)$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) $A = \int_0^1 f(t)\,dt,\; B = \int_0^1 t f(t)\,dt$라 할 때, $A$와 $B$에 대한 이원일차연립방정식을 세우시오.

[문항 3-2] (7점) 연립방정식을 풀어 $A, B$의 값을 구하고 함수 $f(x)$를 확정하시오.

[문항 3-3] (7점) 실수 전체에서 함수 $f(x)$의 최솟값과 $\int_{-1}^1 f(x)\,dx$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅱ — 사이클로이드 매개변수 곡선의 접선과 호의 길이 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문 (가)] 매개변수 $t$로 나타내어진 미분가능한 곡선 $x = x(t),\; y = y(t)$에서 $x'(t) \ne 0$일 때 접선의 기울기는 $\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$이고, 구간 $[a, b]$에서 곡선의 길이는 $L = \int_a^b \sqrt{\{x'(t)\}^2 + \{y'(t)\}^2}\,dt$이다.
[제시문 (나)] 반각 항등식에 의하여 모든 실수 $t$에서 $1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$이고 $\sin t = 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}$이다.
매개변수 $t \; (0 \le t \le 2\pi)$로 나타내어진 곡선 $x = t - \sin t,\; y = 1 - \cos t$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) $0 \lt t \lt 2\pi$일 때 $\frac{dy}{dx}$를 $\frac{t}{2}$의 삼각함수로 간단히 나타내고, $t = \frac{2\pi}{3}$에 대응하는 점에서의 접선의 기울기를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) $0 \lt t \lt 2\pi$에서 접선의 기울기가 $1$이 되는 시각 $t$와 그때의 점의 좌표 $(x, y)$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) $t = 0$에서 $t = 2\pi$까지 이 곡선의 전체 길이 $L$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅱ — 로그·거듭제곱 몫함수의 최댓값과 부분적분 넓이 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

[제시문 (가)] 구간 $[1, \infty)$에서 정의된 미분가능한 함수 $f(x)$의 최댓값은 임계점과 경계점 및 무한대 극한 $\lim_{x \to \infty} f(x)$를 종합하여 판정한다.
[제시문 (나)] 로그함수와 유리함수의 곱 $\int \frac{\ln x}{x^2}\,dx$는 $u = \ln x,\; v' = x^{-2}$로 놓는 부분적분법으로 계산한다.
정의역이 $x \ge 1$인 함수 $f(x) = \frac{\ln x}{x^2}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 함수 $f(x)$의 최댓값과 그때의 $x$의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$와 $x$축 및 직선 $x = e$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1$을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 자연수 $n$에 대하여 $A_n = \int_1^{e^n} f(x)\,dx$라 할 때, $A_2$의 값과 극한값 $\lim_{n \to \infty} A_n$을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제10회	문항 1	대수	등차수열을 이루는 삼각형 세 변의 길이와 외접원·넓이	20점	상
제10회	문항 2	미적분Ⅰ	비대칭 사차함수의 극값 대소 비교와 실근 개수 조건	20점	상
제10회	문항 3	미적분Ⅰ	두 정적분 상수를 포함한 연립 적분방정식의 해법	20점	중상
제10회	문항 4	미적분Ⅱ	사이클로이드 매개변수 곡선의 접선과 호의 길이	20점	최상
제10회	문항 5	미적분Ⅱ	로그·거듭제곱 몫함수의 최댓값과 부분적분 넓이	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 가톨릭대학교 수리논술 제10회 출제 원칙 및 합격 전략

제10회(파이널 최고난도)는 등차수열 변 삼각형 둔각 코사인법칙, 비대칭 사차함수 실근 개수, 이원 연립 적분방정식, 사이클로이드 호의 길이, $(\ln x)/x^2$ 적분 극한으로 마무리합니다.

PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS

실전 모의고사 1회 ~ 10회
문제 · 모범답안 · 채점 루브릭 합본 해설집

시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 50문항 전체 원문 요약과 단계별 모범답안·루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.

🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능

⚡ 단계별 채점 기준표 완비: 소문항·단계별 부분점수 배점표를 통해 정밀한 자가 채점 지원

👨‍🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭

【문제 1】 원문 요약 — 유리수 지수의 대소 비교와 지수방정식 치환 해법 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

세 양수 $A = \sqrt[3]{4},\; B = \sqrt[4]{8},\; C = \sqrt[6]{32}$와 실수 $x$에 대한 방정식 $4^x - 2^{x+2} + k = 0$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 세 수 $A, B, C$를 각각 $2$의 유리수 지수 꼴로 나타내고, $A, B, C$의 대소 관계를 부등호로 나타내시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 1 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] $A = 2^{2/3} = 2^{8/12},\; B = 2^{3/4} = 2^{9/12},\; C = 2^{5/6} = 2^{10/12}$으로 지수의 분모를 $12$로 통분한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] 밑 $2 \gt 1$이므로 $A \lt B \lt C$이다. 또한 $A\cdot B\cdot C = 2^{\frac{8+9+10}{12}} = 2^{\frac{27}{12}} = 2^{\frac{9}{4}}$이므로 $(A\cdot B\cdot C)^n = 2^{\frac{9n}{4}}$이 자연수가 되려면 $n$은 $4$의 배수여야 한다. 따라서 최소 자연수는 $n_0 = 4$이고 그때의 값은 $2^9 = 512$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] $t = 2^x$로 치환하면 $x \gt 0 \iff t \gt 1$이다. 이차방정식 $f(t) = t^2 - 4t + k = 0$이 $t \gt 1$에서 서로 다른 두 실근을 가지려면 대칭축 $t = 2 \gt 1$에서 $D/4 = 4 - k \gt 0 \implies k \lt 4$이고 경계값 $f(1) = 1 - 4 + k \gt 0 \implies k \gt 3$이어야 하므로 $3 \lt k \lt 4$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• $A = 2^{2/3},\; B = 2^{3/4},\; C = 2^{5/6}$ 변환 / $A \lt B \lt C$ 대소 판정	6점
2단계	• $A\cdot B\cdot C = 2^{9/4}$ 산출 / $n_0 = 4$ 및 $2^9 = 512$ 도출	7점
3단계	• $t = 2^x \gt 1$ 치환 및 근의 분리 조건 수립 / $3 \lt k \lt 4$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$x \gt 0$인 양의 실근 조건을 $t = 2^x$로 치환할 때 정의역이 $t \gt 0$이 아니라 $t \gt 2^0 = 1$로 바뀐다는 점이 가톨릭대 수리논술의 핵심 채점 포인트입니다.

[1-1]$A = 2^{2/3} \lt B = 2^{3/4} \lt C = 2^{5/6}$ | [1-2] $n_0 = 4,\; 2^9 = 512$ | [1-3] $3 \lt k \lt 4$

【문제 2】 원문 요약 — 호도법 부채꼴의 둘레와 넓이 최대화 및 삼각비 항등식 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.1 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

둘레의 길이가 $20$으로 일정한 부채꼴 $\mathrm{OAB}$ (반지름 $r$, 호의 길이 $l$, 중심각 $\theta$)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-3] (7점) $\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ($0 \lt \alpha \lt \pi$)일 때, $\sin\alpha\cos\alpha$와 $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 2 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] $l = 20 - 2r$ ($0 \lt r \lt 10$)이므로 $S(r) = \dfrac{1}{2}r(20 - 2r) = -r^2 + 10r = -(r - 5)^2 + 25$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] $r = 5$일 때 최대 넓이 $25$를 가지며, 이때 $l = 10$이고 중심각은 $\theta = \dfrac{l}{r} = 2$ (라디안)이다. $\dfrac{\pi}{2} \lt 2 \lt \pi$이므로 $\angle \mathrm{AOH} = \pi - 2$이고 $\overline{\mathrm{OH}} = 5\cos(\pi - 2) = -5\cos 2 \gt 0,\; \overline{\mathrm{AH}} = 5\sin 2$이므로 $\triangle \mathrm{OAH} = -\dfrac{25}{2}\sin 2\cos 2$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{2} \implies \sin\alpha\cos\alpha = -\dfrac{1}{4}$이고, $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(1 + \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{5\sqrt{2}}{8}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• $S(r) = -r^2 + 10r$ 식 수립 / $r = 5,\; l = 10,\; \theta = 2$ 산출	6점
2단계	• $2$ 라디안이 제2사분면 각($\cos 2 \lt 0$)임을 반영 / 넓이 $-\dfrac{25}{2}\sin 2\cos 2$ 도출	7점
3단계	• $\sin\alpha\cos\alpha = -\dfrac{1}{4}$ 산출 / 세제곱 곱셈공식으로 $\dfrac{5\sqrt{2}}{8}$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

중심각 $\theta = 2$ 라디안은 $\dfrac{\pi}{2} \approx 1.57$보다 큰 둔각이므로 $\cos 2 \lt 0$이 되어 선분 길이 $\overline{\mathrm{OH}} = -5\cos 2$로 부호를 양수로 맞춰야 감점을 피할 수 있습니다.

[2-1]$S(r) = r(10 - r)$, $r = 5,\; l = 10,\; \theta = 2$ (라디안) | [2-2] $-\dfrac{25}{2}\sin 2\cos 2$ | [2-3] $\sin\alpha\cos\alpha = -\dfrac{1}{4},\; \sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \dfrac{5\sqrt{2}}{8}$

【문제 3】 원문 요약 — 유리·무리함수의 극한과 샌드위치 정리(조임 정리)의 응용 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.1 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$와 무리식 극한에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-2] (7점) 등식 $\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x + a} - b}{x - 1} = \dfrac{1}{4}$이 성립하도록 하는 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 극한값 $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^2 + 6x + 1} - 2x\right)$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 3 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] $x \gt 0$이므로 부등식의 각 변을 양수 $x(x + 1)$로 나누어 극한을 취한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] $\dfrac{3x^2 + 4x - 1}{x^2 + x} \le \dfrac{g(x)}{x} \le \dfrac{3x^2 + 4x + 2}{x^2 + x}$에서 양 끝 변의 $x \to \infty$ 극한이 모두 $3$이므로 제시문 (가)에 의해 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{g(x)}{x} = 3$이다. [문항 3-2]에서 분모가 $0$으로 수렴하므로 $\sqrt{1 + a} - b = 0 \implies b = \sqrt{1 + a} \gt 0$이고, 유리화하면 $\lim_{x \to 1} \dfrac{1}{\sqrt{x + a} + b} = \dfrac{1}{2b} = \dfrac{1}{4} \implies b = 2,\; a = 3$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] 켤레식 $\sqrt{4x^2 + 6x + 1} + 2x$를 분자·분모에 곱하면 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{6x + 1}{\sqrt{4x^2 + 6x + 1} + 2x} = \dfrac{6}{2 + 2} = \dfrac{3}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• 양변을 $x(x+1) \gt 0$으로 나눈 부등식 제시 / 조임 정리로 극한값 $3$ 도출	6점
2단계	• $\sqrt{1+a} = b$ 및 유리화 극한 $\dfrac{1}{2b} = \dfrac{1}{4}$ 수립 / $a = 3,\; b = 2$ 산출	7점
3단계	• 켤레 무리식 유리화 / 최고차항 계수비 $\dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

부등식의 각 변을 $x(x+1)$로 나눌 때 반드시 '$x \gt 0$이므로 $x(x+1) \gt 0$이어서 부등호 방향이 유지된다'는 언급을 적어야 만점을 받습니다.

[3-1]$3$ | [3-2] $a = 3,\; b = 2$ | [3-3] $\dfrac{3}{2}$

【문제 4】 원문 요약 — 도함수의 정의와 함수방정식에서의 미분계수 유도 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.1 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

[문항 4-1] (6점) 주어진 항등식에 $x = 0,\; y = 0$을 대입하여 $f(0)$의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x)$를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 $f(x)$의 식을 구하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 방정식 $f(x) = 4x + k$가 실근을 오직 하나만 갖는지, 아니면 여러 개 갖는지 도함수 $f'(x) - 4$의 부호를 이용하여 논증하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 4 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] $x = y = 0$을 대입하면 $f(0) = 2f(0) - 2 \implies f(0) = 2$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 2 + 3xh(x + h)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - f(0)}{h} + 3x^2 = f'(0) + 3x^2 = 3x^2 + 4$이다. 부정적분과 $f(0) = 2$로부터 $f(x) = x^3 + 4x + 2$이고, $f(1) = 7,\; f'(1) = 7$이므로 접선은 $y = 7(x - 1) + 7 = 7x$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] $f(x) = 4x + k \iff x^3 + 2 = k \iff x^3 = k - 2$이다. (또는 $g(x) = f(x) - 4x = x^3 + 2$는 $g'(x) = 3x^2 \ge 0$이고 유한 개 점에서만 $0$인 순증가 함수이므로 임의의 실수 $k$에 대하여 실근 $x = \sqrt[3]{k - 2}$를 오직 하나만 갖는다.)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• $f(0) = 2$ 산출 / 도함수 정의로 $f'(x) = 3x^2 + 4$ 유도	6점
2단계	• $f(x) = x^3 + 4x + 2$ 적분 결정 / 점 $(1, 7)$에서의 접선 $y = 7x$ 산출	7점
3단계	• $f(x) - 4x = x^3 + 2$ 변환 및 도함수 $3x^2 \ge 0$ 제시 / 유일 실근 존재 논증	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

함수방정식에서 도함수를 유도할 때 대학 과정의 공식을 쓰지 않고 반드시 $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$의 정의를 거쳐야 교육과정 준수 만점을 받습니다.

[4-1]$f(0) = 2,\; f'(x) = 3x^2 + 4$ | [4-2] $f(x) = x^3 + 4x + 2$, 접선 $y = 7x$ | [4-3] 모든 실수 $k$에 대하여 오직 하나의 실근만 가짐

【문제 5】 원문 요약 — 정적분이 포함된 항등식과 이차·삼차함수의 넓이 최적화 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 4x + 2\int_{0}^{1} f(t)\,dt$를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)와 같이 $K = \int_{0}^{1} f(t)\,dt$로 치환하여 상수 $K$의 값을 구하고, 함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 2x + 2$의 두 교점의 $x$좌표를 구하고, 곡선과 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 실수 $x$에 대하여 함수 $G(x) = \int_{0}^{x} \bigl(f(t) - 2\bigr)\,dt$의 극댓값과 극솟값의 차를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 5 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] $K = \int_{0}^{1} f(t)\,dt$로 놓으면 $f(x) = 3x^2 - 4x + 2K$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] 양변을 $0$부터 $1$까지 정적분하면 $K = \int_{0}^{1} (3t^2 - 4t + 2K)\,dt = \Bigl[t^3 - 2t^2 + 2Kt\Bigr]_{0}^{1} = 1 - 2 + 2K = 2K - 1 \implies K = 1$이다. 따라서 $f(x) = 3x^2 - 4x + 2$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] $f(x) = 2x + 2 \iff 3x^2 - 6x = 0 \implies x = 0, 2$이므로 둘러싸인 넓이는 $\dfrac{3}{6}(2 - 0)^3 = 4$이다. 또한 $G'(x) = f(x) - 2 = 3x^2 - 4x = x(3x - 4) = 0$에서 $x = 0, \dfrac{4}{3}$이므로 극댓값과 극솟값의 차는 $\int_{0}^{4/3} |3t^2 - 4t|\,dt = \dfrac{3}{6}\left(\dfrac{4}{3}\right)^3 = \dfrac{32}{27}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• $K = \int_0^1 f(t)\,dt$ 치환 및 $K = 2K - 1$ 유도 / $K = 1,\; f(x) = 3x^2 - 4x + 2$ 도출	6점
2단계	• 교점 방정식 정리 / 정적분 공식으로 둘러싸인 넓이 산출	7점
3단계	• 미적분학의 기본정리 $F'(x) = f(x)$ 적용 / 정적분 차 계산	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

적분 구간이 상수인 정적분 $\int_0^1 f(t)\,dt$는 미분하면 $0$이 되는 상수이므로 반드시 상수 $K$로 치환해 적분 방정식을 풀어야 합니다.

[5-1]$K = 1,\; f(x) = 3x^2 - 4x + 2$ | [5-2] 교점 $x = 0, 2$, 넓이 $4$ | [5-3] 극값 차 $\dfrac{32}{27}$

【문제 1】 원문 요약 — 상용로그의 정수부분·소수부분와 약물 반감기 로그 모델 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

[문항 1-2] (7점) 혈중 농도가 $C(t) \le 15\,(\mu\text{g/mL})$가 되는 최소 시간 $t$를 상용로그표를 이용하여 소수점 아래 첫째 자리까지 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 1 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] $C(t) = 160\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}} \le 160 \times \dfrac{1}{16} = 10$을 세운다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}} \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \iff \dfrac{t}{4} \ge 4 \iff t \ge 16$시간이다. 또한 $160\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}} \le 15 \iff 2^{\frac{t}{4}} \ge \dfrac{32}{3}$에서 상용로그를 취하면 $\dfrac{t}{4}\log_{10} 2 \ge 5\log_{10} 2 - \log_{10} 3 = 1.5050 - 0.4771 = 1.0279 \implies t \ge \dfrac{4.1116}{0.3010} \approx 13.66$시간이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] $2 \le \log_{10} x \lt 3$이고 두 상용로그의 소수부분이 같으므로 차 $\log_{10} x^2 - \log_{10} x = \log_{10} x$가 정수여야 한다. 따라서 $\log_{10} x = 2 \implies x = 10^2 = 100$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• 반감기 지수부등식 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/4} \le 2^{-4}$ 수립 / 최소 $16$시간 도출	6점
2단계	• $2^{t/4} \ge \dfrac{32}{3}$ 상용로그 변환 / $5\log_{10} 2 - \log_{10} 3 = 1.0279$ 대입 계산	7점
3단계	• $\log_{10} x^2 - \log_{10} x = \log_{10} x \in \mathbb{Z}$ 조건 도출 / $x = 100$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

가톨릭대 간호학과 수리논술 빈출 유형인 약동학 반감기 모델에서는 $\dfrac{32}{3}$처럼 분모·분자를 $2$와 $3$의 거듭제곱으로 소인수분해해야 주어진 상용로그 값을 정확히 대입할 수 있습니다.

[1-1]최소 $16$시간 | [1-2] $t \ge \dfrac{4(1 - \log_{10} 1.5)}{0.3010} \approx 13.6$시간 | [1-3] $x = 100$

【문제 2】 원문 요약 — 사인함수 그래프의 대칭성과 삼각방정식 실근의 개수 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 정의된 함수 $f(x) = 2\sin(2x) + 1$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 함수 $f(x)$의 주기, 최댓값, 최솟값을 각각 구하고, 방정식 $f(x) = 2$의 닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서의 모든 실근과 그 합을 구하시오.

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📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 2 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] 주기는 $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$, 최댓값은 $2 + 1 = 3$, 최솟값은 $-2 + 1 = -1$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] $f(x) = 2 \iff \sin(2x) = \dfrac{1}{2}$에서 $2x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{13\pi}{6}, \dfrac{17\pi}{6}$이므로 네 실근은 $\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{13\pi}{12}, \dfrac{17\pi}{12}$이고 합은 $3\pi$이다. 임의의 $1 \lt k \lt 3$에서도 $\alpha_1 + \alpha_2 = 2\cdot\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$이고 $\alpha_3 + \alpha_4 = 2\cdot\dfrac{5\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{2}$이므로 네 근의 합은 $k$에 관계없이 항상 $3\pi$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] $n = 1$일 때 직선 $y = \dfrac{x}{\pi}$는 $(0, 0)$과 $(\pi, 1)$을 지나므로 $[0, \pi]$에서 $x = 0$과 $(0, \pi/2)$ 사이의 $1$개 교점만 만나 $N(1) = 2$개이다. $n = 2$일 때 직선 $y = \dfrac{x}{2\pi}$는 $(2\pi, 1)$을 지나므로 첫 주기에서 $2$개, 둘째 주기 마루 $(5\pi/4, 1)$ 근처에서 $2$개 만나 총 $N(2) = 4$개이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• 주기 $\pi$, 최댓값 $3$, 최솟값 $-1$ 도출 / 네 근 및 합 $3\pi$ 산출	6점
2단계	• 대칭축 $x = \dfrac{\pi}{4},\; \dfrac{5\pi}{4}$ 명시 / $\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{5\pi}{2} = 3\pi$ 유도	7점
3단계	• $(n\pi, 1)$ 통과점 기준 그래프 교점 분석 / $N(1) = 2,\; N(2) = 4$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

삼각함수와 수평선 $y = k$의 교점들의 합을 구할 때는 개별 근을 구하지 않고 대칭축(마루·골의 $x$좌표)의 $2$배로 묶어 계산하는 것이 핵심입니다.

[2-1]주기 $\pi$, 최댓값 $3$, 최솟값 $-1$, 실근 합 $3\pi$ | [2-2] $3\pi$ | [2-3] $N(1) = 2,\; N(2) = 4$

【문제 3】 원문 요약 — 유리식 분모의 영점 부재 조건과 합성함수의 연속성 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

이차함수 $g(x) = x^2 - 2kx + k + 6$과 구간별로 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x \le 1) \\ -x + 3 & (x \gt 1) \end{cases}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 유리함수 $h(x) = \dfrac{x + 1}{g(x)}$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 합성함수 $(g \circ f)(x)$가 $x = 1$에서 연속이 되도록 하는 상수 $k$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 3 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] 모든 실수 $x$에서 $g(x) = x^2 - 2kx + k + 6 \ne 0$이려면 이차방정식 $g(x) = 0$의 판별식 $D \lt 0$이어야 한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] $D/4 = k^2 - (k + 6) = (k - 3)(k + 2) \lt 0 \implies -2 \lt k \lt 3$이므로 정수 $k \in \{-1, 0, 1, 2\}$로 총 $4$개이다. 또한 $\lim_{x \to 1-} f(x) = 3 \ne \lim_{x \to 1+} f(x) = 2$이므로 $f(x)$는 $x = 1$에서 불연속이고, $p(x) = f(x)(x - a)$가 $x = 1$에서 연속이 되려면 $3(1 - a) = 2(1 - a) \implies a = 1$이어야 한다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] $(g \circ f)(x)$가 $x = 1$에서 연속이 되려면 $\lim_{x \to 1-} g(f(x)) = g(3)$과 $\lim_{x \to 1+} g(f(x)) = g(2)$가 같아야 한다. $g(3) = g(2) \iff$ 이차함수 $g(x)$의 대칭축이 $x = k = \dfrac{2 + 3}{2} = \dfrac{5}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• 분모 $g(x) \ne 0 \iff D/4 = k^2 - k - 6 \lt 0$ 도출 / $-2 \lt k \lt 3$ 및 정수 $4$개 산출	6점
2단계	• 좌극한 $3$, 우극한 $2$ 비교 서술 / $3(1-a) = 2(1-a) \implies a = 1$ 도출	7점
3단계	• $g(3) = g(2)$ 연속 조건 수립 / 대칭축 $k = \dfrac{5}{2}$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

이차함수 $g(x)$에 대하여 $g(\alpha) = g(\beta)$ ($\alpha \ne \beta$)가 성립할 조건은 직접 대입해 풀지 않고도 대칭축이 $\dfrac{\alpha + \beta}{2}$라는 성질로 즉시 구할 수 있습니다.

[3-1]$-2 \lt k \lt 3$, 정수 $k$는 $4$개 | [3-2] $a = 1$ | [3-3] $k = \dfrac{5}{2}$

【문제 4】 원문 요약 — 곡선 밖의 점에서 그은 두 접선의 수직 조건과 접점 삼각형 넓이 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.50 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05]

좌표평면에서 포물선 $y = x^2$ 밖의 점 $\mathrm{P}(a, b)$에서 포물선에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 다음 물음에 답하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 4 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] 두 접선의 기울기는 $2t_1, 2t_2$이므로 수직 조건은 $(2t_1)(2t_2) = 4t_1 t_2 = -1$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] 방정식 $t^2 - 2at + b = 0$에서 근과 계수의 관계에 의해 $t_1 t_2 = b$이므로 $4b = -1 \implies b = -\dfrac{1}{4}$이다. $a = 1,\; b = -\dfrac{1}{4}$일 때 $t_1 + t_2 = 2,\; t_1 t_2 = -\dfrac{1}{4}$이므로 $(t_2 - t_1)^2 = 4 - (-1) = 5 \implies |t_2 - t_1| = \sqrt{5}$이다. 직선 $\mathrm{AB}$는 $y = (t_1 + t_2)x - t_1 t_2 = 2x + \dfrac{1}{4}$이고, 기울기가 $2$이므로 $\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{1 + 2^2}|t_2 - t_1| = 5$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] 포물선과 할선 $\mathrm{AB}$로 둘러싸인 넓이는 $S = \dfrac{1}{6}(t_2 - t_1)^3 = \dfrac{5\sqrt{5}}{6}$이고, 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 넓이는 $T = \dfrac{1}{4}(t_2 - t_1)^3 = \dfrac{5\sqrt{5}}{4}$이므로 비율은 $\dfrac{S}{T} = \dfrac{1/6}{1/4} = \dfrac{2}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• $4t_1 t_2 = -1$ 및 $t_1 t_2 = b$ 적용 / $b = -\dfrac{1}{4}$ 도출	6점
2단계	• 직선 $\mathrm{AB} : y = 2x + \dfrac{1}{4}$ 도출 / $\|t_2 - t_1\| = \sqrt{5}$로부터 $\overline{\mathrm{AB}} = 5$ 산출	7점
3단계	• 포물선 넓이 $S = \dfrac{5\sqrt{5}}{6}$ 및 $\triangle\mathrm{PAB}$ 넓이 $T = \dfrac{5\sqrt{5}}{4}$ 산출 / 비율 $\dfrac{2}{3}$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

아르키메데스의 포물선 넓이 정리에 의해 포물선과 두 접점 연결 할선으로 둘러싸인 넓이 $S$와 두 접선·할선이 이루는 삼각형 넓이 $T$의 비는 항상 $\dfrac{S}{T} = \dfrac{2}{3}$입니다.

[4-1]$b = -\dfrac{1}{4}$ (직선 $y = -\dfrac{1}{4}$) | [4-2] 직선 $\mathrm{AB} : y = 2x + \dfrac{1}{4},\; \overline{\mathrm{AB}} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2}$ | [4-3] $\dfrac{S}{T} = \dfrac{2}{3}$

【문제 5】 원문 요약 — 주기함수의 정적분과 연속성·미분가능성 결합 추론 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

[문항 5-2] (7점) 한 주기 구간에서의 정적분 $\int_{0}^{2} |f(x)|\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 정적분 $\int_{-4}^{10} \bigl(f(x) + 3\bigr)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 5 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] 주기성에 의해 $f(2) = f(0) = 0$이고, $x = 2$에서의 미분가능성에 의해 $f'(2) = f'(0) = b$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] $f(2) = 8 + 4a + 2b = 0$이고 $f'(2) = 12 + 4a + b = b \implies 4a = -12 \implies a = -3,\; b = 2$이다. 따라서 $[0, 2]$에서 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x = x(x - 1)(x - 2)$이고, 점 $(1, 0)$ 대칭이므로 $\int_{0}^{2} |f(x)|\,dx = 2\int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2x)\,dx = 2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] 점 $(1, 0)$ 대칭성에 의해 한 주기 정적분은 $\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 0$이다. 구간 $[-4, 10]$의 길이는 $14 = 7 \times 2$ (주기 $7$개)이므로 $\int_{-4}^{10} \bigl(f(x) + 3\bigr)\,dx = 7\int_{0}^{2} f(x)\,dx + 3 \times 14 = 0 + 42 = 42$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• $f(2) = f(0),\; f'(2) = f'(0)$ 조건식 수립 / $a = -3,\; b = 2$ 산출	6점
2단계	• $f(x) = x(x-1)(x-2)$ 부호 분리 / $\int_0^2 \|f(x)\|\,dx = \dfrac{1}{2}$ 산출	7점
3단계	• 한 주기 정적분 $\int_0^2 f(x)\,dx = 0$ 도출 / $3 \times 14 = 42$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

주기가 $2$인 함수가 실수 전체에서 미분가능하려면 구간 양 끝점에서의 함숫값 일치($f(0)=f(2)$)뿐만 아니라 미분계수 일치($f'(0)=f'(2)$)까지 연립해야 합니다.

[5-1]$a = -3,\; b = 2$ | [5-2] $\dfrac{1}{2}$ | [5-3] $42$

【문제 1】 원문 요약 — 지수함수와 로그함수 역함수 교점 및 직선 대칭 넓이 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.1 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $x_1 + x_2$와 $y_1 + y_2$의 값을 구하고, 선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\mathrm{M}$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 곡선 $y = 2^x$을 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 곡선의 역함수 $g(x)$의 식을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 1 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] 두 교점 $\mathrm{A}(x_1, y_1)$과 $\mathrm{B}(x_2, y_2)$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 $x_2 = y_1,\; y_2 = x_1$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] 점 $\mathrm{A}$가 $y = -x + 6$ 위에 있으므로 $x_1 + x_2 = x_1 + y_1 = 6$이고 $y_1 + y_2 = 6$이며 중점은 $\mathrm{M}(3, 3)$이다. $2^x = -x + 6$에서 좌변은 순증가, 우변은 순감소이고 $x = 2$일 때 $2^2 = 4 = -2 + 6$이므로 $x_1 = 2$, 즉 $\mathrm{A}(2, 4),\; \mathrm{B}(4, 2)$이다. 따라서 $\overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{2}$이고, 원점에서 직선 $x + y - 6 = 0$까지의 거리는 $3\sqrt{2}$이므로 $\triangle \mathrm{OAB} = \dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2} = 6$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] 평행이동한 함수는 $y = 2^{x-1} - 1$ ($y \gt -1$)이다. $x$와 $y$를 바꾸면 $x = 2^{y-1} - 1 \iff 2^{y-1} = x + 1 \iff y = \log_2(x + 1) + 1$ ($x \gt -1$)이므로 $g(x) = \log_2(x + 1) + 1$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• $y = x$ 대칭성으로 $x_2 = y_1$ 도출 / $x_1 + x_2 = 6$ 및 $\mathrm{M}(3, 3)$ 산출	6점
2단계	• $\mathrm{A}(2, 4),\; \mathrm{B}(4, 2)$ 및 $\overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{2}$ 도출 / $\triangle\mathrm{OAB} = 6$ 산출	7점
3단계	• $y = 2^{x-1} - 1$ 평행이동 식 수립 / 역함수 $g(x) = \log_2(x+1)+1$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$y = f(x)$를 $(a, b)$만큼 평행이동한 함수의 역함수는 원래 역함수 $y = f^{-1}(x)$를 $(b, a)$만큼 평행이동한 함수와 항상 일치합니다.

[1-1]$x_1 + x_2 = 6,\; y_1 + y_2 = 6,\; \mathrm{M}(3, 3)$ | [1-2] $\mathrm{A}(2, 4),\; \mathrm{B}(4, 2),\; \overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{2},\; S = 6$ | [1-3] $g(x) = \log_2(x + 1) + 1$

【문제 2】 원문 요약 — 원주각·중심각과 사인법칙·코사인법칙을 이용한 현의 길이 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[문항 2-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 변 $\mathrm{BC}$의 길이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 2 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] 사인법칙에 의해 $\overline{\mathrm{BC}} = 2R\sin 60^\circ = 2\sqrt{7}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{21}$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] $\overline{\mathrm{AB}} = 3k,\; \overline{\mathrm{AC}} = 2k$ ($k \gt 0$)로 놓으면 코사인법칙에 의해 $21 = 9k^2 + 4k^2 - 2(3k)(2k)\cos 60^\circ = 7k^2 \implies k = \sqrt{3}$이다. 따라서 $\overline{\mathrm{AB}} = 3\sqrt{3},\; \overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{3}$이고, 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}(3\sqrt{3})(2\sqrt{3})\sin 60^\circ = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] 둘레의 길이는 $5\sqrt{3} + \sqrt{21} = \sqrt{3}(5 + \sqrt{7})$이므로 $\dfrac{1}{2}r\sqrt{3}(5 + \sqrt{7}) = \dfrac{9\sqrt{3}}{2} \implies r = \dfrac{9}{5 + \sqrt{7}} = \dfrac{9(5 - \sqrt{7})}{18} = \dfrac{5 - \sqrt{7}}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• 사인법칙 $\overline{\mathrm{BC}} = 2\sqrt{7}\sin 60^\circ$ 적용 / $\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{21}$ 산출	6점
2단계	• $7k^2 = 21 \implies k = \sqrt{3}$ 및 $\overline{\mathrm{AB}}=3\sqrt{3},\; \overline{\mathrm{AC}}=2\sqrt{3}$ 도출 / 넓이 $\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$ 산출	7점
3단계	• 내접원 넓이 식 $\dfrac{1}{2}r(5\sqrt{3}+\sqrt{21}) = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$ 수립 / 유리화하여 $r = \dfrac{5 - \sqrt{7}}{2}$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

변의 길이의 비 $\overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AC}} = 3 : 2$가 주어졌을 때 비례상수 $k$를 도입하면 코사인법칙이 $7k^2 = 21$이라는 단항 이차방정식으로 간결하게 풀립니다.

[2-1]$\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{21}$ | [2-2] $\overline{\mathrm{AB}} = 3\sqrt{3},\; \overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{3},\; S = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$ | [2-3] $r = \dfrac{9(5 - \sqrt{7})}{14}$

【문제 3】 원문 요약 — 약물 반복 투여의 혈중 농도 점화식과 부분합 수렴 분석 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문항 3-2] (7점) 투여 직후 체내 약물 총량 $a_n$이 $159.5\,(\text{mg})$ 이상이 되는 최소의 자연수 $n$을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 3 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] $a_1 = 120,\; a_2 = 30 + 120 = 150,\; a_3 = \dfrac{375}{2}$이고, 특성방정식 $\alpha = \dfrac{1}{4}\alpha + 120$에서 $\alpha = 160$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] $a_n - 160 = (a_1 - 160)\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1} = -40\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1} = -160\left(\dfrac{1}{4}\right)^n$이므로 $a_n = 160\left\{1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^n\right\}$이다. $a_n \ge 159.5 \iff 160\left(\dfrac{1}{4}\right)^n \le 0.5 = \dfrac{1}{2} \iff 4^n \ge 320$이고 $4^4 = 256 \lt 320 \lt 4^5 = 1024$이므로 최소 자연수는 $n = 5$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] 일반 투여량 $D$에 대하여 $a_n = \dfrac{4}{3}D\left\{1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^n\right\}$은 증가수열이고 상한이 $\dfrac{4}{3}D$이다. 모든 자연수 $n$에서 $a_n \lt 240$이 성립하려면 $\dfrac{4}{3}D \le 240 \implies D \le 180$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• $\alpha = 160$ 도출 / 일반항 $a_n = 160\left\{1 - (1/4)^n\right\}$ 유도	6점
2단계	• $4^n \ge 320$ 부등식 변환 / $4^4 = 256,\; 4^5 = 1024$ 비교로 $n = 5$ 산출	7점
3단계	• $a_n = \dfrac{4}{3}D(1 - 4^{-n})$ 일반화 / 상한 $\dfrac{4}{3}D \le 240 \implies D \le 180$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

약물 반복 투여 점화식 $a_{n+1} = r a_n + D$는 등비수열의 합 공식 $a_n = D(1 + r + \cdots + r^{n-1}) = \dfrac{D(1 - r^n)}{1 - r}$으로도 즉시 유도할 수 있습니다.

[3-1]$\alpha = 160,\; a_n = 160\left\{1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^n\right\}$ | [3-2] 최소 $n = 5$ | [3-3] $D \lt 180\,(\text{mg})$

【문제 4】 원문 요약 — 삼차함수의 극값 존재 조건과 방정식의 실근의 부호 판별 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

실수 $a$에 대하여 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(a^2 - 1)x + 2$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 $f(x)$의 극소점의 $x$좌표가 양수이고 극대점의 $x$좌표가 음수가 되도록 하는 실수 $a$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) $a = 1$일 때 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 두개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 상수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 4 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] $f'(x) = 3\bigl(x^2 - 2ax + (a^2 - 1)\bigr) = 3(x - a + 1)(x - a - 1) = 0$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] 두 근은 $\alpha = a - 1,\; \beta = a + 1$이다. 극값의 차는 $\int_{a-1}^{a+1} |f'(x)|\,dx = \dfrac{3}{6}\bigl((a+1) - (a-1)\bigr)^3 = \dfrac{1}{2} \times 8 = 4$로 $a$에 무관하게 항상 $4$이다. 극대점 $\alpha = a - 1 \lt 0$이고 극소점 $\beta = a + 1 \gt 0$이려면 $-1 \lt a \lt 1$이어야 한다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] $a = 1$이면 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$이고 극댓값은 $f(0) = 2$, 극솟값은 $f(2) = -2$이다. $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = k$가 양수에서 두 번, 음수에서 한 번 만나려면 $f(2) \lt k \lt f(0)$, 즉 $-2 \lt k \lt 2$이어야 한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• $f'(x) = 3(x-a+1)(x-a-1)$ 인수분해 및 $\alpha = a-1,\; \beta = a+1$ 도출 / 극값 차 $4$ 일정 증명	6점
2단계	• $a - 1 \lt 0$ 및 $a + 1 \gt 0$ 부등식 수립 / $-1 \lt a \lt 1$ 도출	7점
3단계	• $a = 1$일 때 $f(0) = 2,\; f(2) = -2$ 계산 / 그래프 교점 부호 분석으로 $-2 \lt k \lt 2$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

삼차함수 $f(x) = ax^3 + \cdots$의 두 극값의 차는 항상 $\dfrac{|a|}{2}(\beta - \alpha)^3$이므로 $\beta - \alpha = 2$가 상수이면 극값의 차도 상수가 됩니다.

[4-1]$\alpha = a - 1,\; \beta = a + 1$, 극값 차 $4$ | [4-2] $-1 \lt a \lt 1$ | [4-3] $-2 \lt k \lt 2$

【문제 5】 원문 요약 — 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 위치 변화량 및 실제 이동 거리 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ ($0 \le t \le 4$)에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하고, 그때의 점 $\mathrm{P}$의 위치를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $\mathrm{P}$의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 다시 원점을 지나는 시각 $t_0$ ($t_0 \gt 0$)을 구하고, 그 순간의 가속도 $a(t_0)$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 5 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] $v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$에서 $t = 1, 3$일 때 속도의 부호가 바뀌므로 운동 방향을 바꾼다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] 위치 함수는 $x(t) = \int_{0}^{t} (3s^2 - 12s + 9)\,ds = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t - 3)^2$이다. 따라서 $x(1) = 4,\; x(3) = 0$이다. $t = 0$에서 $t = 4$까지 위치 변화량은 $x(4) - x(0) = 4$이고, 실제 이동 거리는 $|4 - 0| + |0 - 4| + |4 - 0| = 4 + 4 + 4 = 12$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] $x(t) = t(t - 3)^2 = 0$에서 $t \gt 0$인 해는 $t_0 = 3$이다. 가속도 함수는 $a(t) = v'(t) = 6t - 12$이므로 $a(3) = 18 - 12 = 6$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• $v(t) = 3(t-1)(t-3) = 0$으로 $t = 1, 3$ 도출 / $x(1) = 4,\; x(3) = 0$ 산출	6점
2단계	• 위치 변화량 $x(4) = 4$ 산출 / 구간별 절댓값 적분으로 이동 거리 $12$ 도출	7점
3단계	• $x(t) = t(t-3)^2 = 0 \implies t_0 = 3$ 도출 / 가속도 $a(3) = 6$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

실제 이동 거리 $\int_0^4 |v(t)|\,dt$를 계산할 때는 위치 함수 $x(t)$의 극댓값·극솟값·끝점 함숫값들의 변위 절댓값 합 $|x(1)-x(0)| + |x(3)-x(1)| + |x(4)-x(3)|$으로 구하면 적분 실수를 원천 방지할 수 있습니다.

[5-1]$t = 1$ (위치 $4$), $t = 3$ (위치 $0$) | [5-2] 위치 변화량 $4$, 이동 거리 $12$ | [5-3] $t_0 = 3$, 가속도 $a(3) = 6$

【문제 1】 원문 요약 — 로그부등식의 진수 조건과 이차 치환 최대·최소 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.2 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)에 따라 로그부등식 $\log_2(x - 1) + \log_2(7 - x) \ge 3$의 진수 조건을 구하고, 부등식의 해를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 닫힌구간 $[1, 8]$에서 함수 $f(x) = (\log_2 x)^2 - 2\log_2 x + 5$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하고, 그때의 $x$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 1 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] 진수 조건에서 $x - 1 \gt 0$이고 $7 - x \gt 0$이므로 $1 \lt x \lt 7$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] $\log_2\{(x - 1)(7 - x)\} \ge \log_2 8 \iff (x - 1)(7 - x) \ge 8 \iff x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5) \le 0$이므로 진수 조건과 결합하면 $3 \le x \le 5$이다. 또한 $t = \log_2 x$ ($0 \le t \le 3$)로 치환하면 $g(t) = (t - 1)^2 + 4$이므로 $t = 1$ ($x = 2$)에서 최솟값 $m = 4$, $t = 3$ ($x = 8$)에서 최댓값 $M = 8$을 갖는다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] $\log_2(x^2 y^2) \le 4 \iff (xy)^2 \le 16 \implies 0 \lt xy \le 4$이므로 $xy$의 최댓값은 $4$이다. $xy = 4$일 때 산술·기하평균 부등식에 의해 $x + y \ge 2\sqrt{xy} = 4$ (등호는 $x = y = 2$일 때 성립)이므로 최솟값은 $4$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• 진수 조건 $1 \lt x \lt 7$ 명시 / $(x-3)(x-5) \le 0$으로부터 $3 \le x \le 5$ 도출	6점
2단계	• $t = \log_2 x \in [0, 3]$ 치환 / $M = 8\;(x=8),\; m = 4\;(x=2)$ 산출	7점
3단계	• $xy \le 4$ 도출 / 산술·기하평균 및 등호 조건 $x=y=2$로 최솟값 $4$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

로그 치환 함수에서 최댓값·최솟값을 구할 때 그때의 $t$값($t=1, 3$)만 적고 원래 변수 $x$값($x=2, 8$)으로 환원하지 않으면 부분 감점됩니다.

[1-1]진수 조건 $1 \lt x \lt 7$, 해 $3 \le x \le 5$ | [1-2] $x = 8$에서 $M = 8$, $x = 2$에서 $m = 4$ | [1-3] $xy$ 최댓값 $4$, 그때 $x + y$ 최솟값 $4$

【문제 2】 원문 요약 — 평행사변형 대각선 코사인법칙과 삼각형의 넓이 분할 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[문항 2-3] (7점) 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 외접원의 반지름 $R_1$과 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름 $R_2$의 비 $\dfrac{R_1}{R_2}$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 2 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] $\angle A = 120^\circ,\; \angle B = 60^\circ$이므로 $\triangle \mathrm{ABD}, \triangle \mathrm{ABC}$에 코사인법칙을 적용한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] $\overline{\mathrm{BD}}^2 = 3^2 + 5^2 - 2\cdot 3\cdot 5\cos 120^\circ = 34 + 15 = 49 \implies \overline{\mathrm{BD}} = 7$이고, $\overline{\mathrm{AC}}^2 = 3^2 + 5^2 - 2\cdot 3\cdot 5\cos 60^\circ = 34 - 15 = 19 \implies \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{19}$이며 $49 + 19 = 68 = 2(9 + 25)$가 성립한다. 넓이는 $S = 3\cdot 5\sin 120^\circ = \dfrac{15\sqrt{3}}{2}$이고, $\dfrac{1}{2}\cdot 7\cdot\sqrt{19}\sin\theta = \dfrac{15\sqrt{3}}{2} \implies \sin\theta = \dfrac{15\sqrt{3}}{7\sqrt{19}} = \dfrac{15\sqrt{57}}{133}$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] 사인법칙에서 $2R_1 = \dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{\sin 120^\circ},\; 2R_2 = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin 60^\circ}$이고 $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ$이므로 $\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{\overline{\mathrm{AC}}} = \dfrac{7}{\sqrt{19}} = \dfrac{7\sqrt{19}}{19}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• $\overline{\mathrm{BD}} = 7,\; \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{19}$ 산출 / $49 + 19 = 2(9 + 25) = 68$ 확인	6점
2단계	• 평행사변형 넓이 $S = \dfrac{15\sqrt{3}}{2}$ 산출 / 대각선 넓이 공식으로 $\sin\theta = \dfrac{15\sqrt{57}}{133}$ 도출	7점
3단계	• $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ$ 사인법칙 적용 / $\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{7\sqrt{19}}{19}$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$(3, 5, 7)$은 끼인각이 $120^\circ$인 대표 코사인법칙 삼각형 쌍이므로 계산 결과를 즉시 검산할 수 있습니다.

[2-1]$\overline{\mathrm{BD}} = 7,\; \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{19}$ | [2-2] $S = \dfrac{15\sqrt{3}}{2},\; \sin\theta = \dfrac{15\sqrt{57}}{133}$ | [2-3] $\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{7}{\sqrt{19}} = \dfrac{7\sqrt{19}}{19}$

【문제 3】 원문 요약 — 원점 지나는 직선과 원의 교점 개수 함수의 불연속점 분석 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문항 3-1] (6점) 원 $C$의 중심 $(2, 1)$과 직선 $mx - y = 0$ 사이의 거리 $d(m)$을 구하고, $d(m) = 2$가 되는 실수 $m$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 3 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] 점과 직선 사이의 거리 공식에 의해 $d(m) = \dfrac{|2m - 1|}{\sqrt{m^2 + 1}}$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] $d(m) = 2 \iff (2m - 1)^2 = 4(m^2 + 1) \iff 4m^2 - 4m + 1 = 4m^2 + 4 \iff -4m = 3 \iff m = -\dfrac{3}{4}$이다. 따라서 $m \lt -\dfrac{3}{4}$일 때 $d(m) \gt 2$이므로 $f(m) = 0$, $m = -\dfrac{3}{4}$일 때 $f(m) = 1$, $m \gt -\dfrac{3}{4}$일 때 $d(m) \lt 2$이므로 $f(m) = 2$가 되어 $m_0 = -\dfrac{3}{4}$에서만 불연속이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] $g(0) = 3 \implies b = 3$이고, 불연속점 $m_0 = -\dfrac{3}{4}$에서 곱함수 $f(m)g(m)$이 연속이 되려면 $g\left(-\dfrac{3}{4}\right) = 0$이어야 한다. 따라서 $\dfrac{9}{16} - \dfrac{3}{4}a + 3 = 0 \implies \dfrac{3}{4}a = \dfrac{57}{16} \implies a = \dfrac{19}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• $d(m) = \dfrac{\|2m - 1\|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ 식 수립 / $m = -\dfrac{3}{4}$ 도출	6점
2단계	• $m = -3/4$ 기준 $f(m) \in \{0, 1, 2\}$ 분류 / 좌극한 $0$, 우극한 $2$, 함숫값 $1$ 명시	7점
3단계	• $b = 3$ 및 $g(-3/4) = 0$ 연속 조건 수립 / $a = \dfrac{19}{4}$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

원점 $(0, 0)$에서 원 $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$에 그은 두 접선 중 하나는 수직선 $x = 0$이므로 기울기 $m$에 대한 이차방정식에서 $m^2$ 항이 소거되어 접선 기울기 해가 $m = -\dfrac{3}{4}$ 하나만 나옵니다.

[3-1]$d(m) = \dfrac{|2m - 1|}{\sqrt{m^2 + 1}},\; m = -\dfrac{3}{4}$ | [3-2] $m_0 = -\dfrac{3}{4}$에서 불연속 ($f(-3/4) = 1$, 좌극한 $0$, 우극한 $2$) | [3-3] $a = \dfrac{19}{4},\; b = 3$

【문제 4】 원문 요약 — 롤의 정리와 평균값 정리를 이용한 도함수 영점의 존재 증명 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.52 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$와 다항함수 $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 4 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] $P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0$이고 다항함수 $P(x)$는 실수 전체에서 미분가능하다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] 롤의 정리에 의해 $P'(c_1) = 0,\; P'(c_2) = 0,\; P'(c_3) = 0$을 만족시키는 $c_1 \in (1, 2),\; c_2 \in (2, 3),\; c_3 \in (3, 4)$가 각각 존재하고 세 구간이 서로소이므로 $P'(x) = 0$은 서로 다른 세 실근을 갖는다. 또한 $t = (x - 1)(x - 4) = x^2 - 5x + 4$로 놓으면 $P(x) = t(t + 2) = (t + 1)^2 - 1$이므로 $t = -1 \iff x = \dfrac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$에서 극솟값 $-1$을 갖고, $x = \dfrac{5}{2}$ ($t = -\dfrac{9}{4}$)에서 극댓값 $\dfrac{9}{16}$을 갖는다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] $g(x) = f(x) - 2x$는 닫힌구간 $[1, 3]$에서 연속, 열린구간 $(1, 3)$에서 미분가능하며 $g(1) = 1 - 2 = -1,\; g(3) = 5 - 6 = -1$로 $g(1) = g(3)$이다. 따라서 롤의 정리에 의해 $g'(c) = f'(c) - 2 = 0 \iff f'(c) = 2$인 $c \in (1, 3)$가 적어도 하나 존재한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• $P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=0$ 확인 / 서로소인 세 열린구간에서 롤의 정리 적용 서술	6점
2단계	• $t = x^2 - 5x + 4$ 치환으로 세 극점 도출 / 극댓값 $\dfrac{9}{16}$, 극솟값 $-1$ 산출	7점
3단계	• $g(1) = g(3) = -1$ 및 미분가능성 확인 / 롤의 정리로 $f'(c) = 2$ 존재 증명	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$와 같이 등차수열 네 인수의 곱으로 된 사차함수는 바깥쪽 두 인수와 안쪽 두 인수를 짝지어 $t = x^2 - 5x + 4$로 치환하면 미분 없이도 극솟값 $-1$을 즉시 찾을 수 있습니다.

[4-1]각 구간에 $P'(c_i) = 0$인 $c_1 \in (1,2),\; c_2 \in (2,3),\; c_3 \in (3,4)$ 존재 증명 | [4-2] 세 근 $\dfrac{5}{2},\; \dfrac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$, 극댓값 $\dfrac{9}{16}$, 극솟값 $-1$ | [4-3] $g(1) = g(3) = -1$로부터 롤의 정리 증명 완료

【문제 5】 원문 요약 — 사차부등식이 항상 성립할 조건과 두 곡선 사이의 최소 수직 거리 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.53 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2$와 일차함수 $g(x) = 4x - k$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 5 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] $h(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + k$를 미분하면 $h'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 = 4(x - 1)^3$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] $h'(x) = 0 \iff x = 1$이고 $x = 1$의 좌우에서 $h'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $h(x)$는 $x = 1$에서 극소이자 최소이다. 최솟값은 $h(1) = 1 - 4 + 6 - 4 + k = k - 1$이므로 모든 실수 $x$에서 $h(x) \ge 0$일 조건은 $k - 1 \ge 0 \iff k \ge 1$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] $k = 3$일 때 $D(t) = (t - 1)^4 + 2$는 $t = 1$에서 최솟값 $2$를 갖는다. 따라서 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $(1, f(1)) = (1, 3)$이고, $f'(1) = 4 - 12 + 12 = 4$이므로 접선의 방정식은 $y = 4(x - 1) + 3 = 4x - 1$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• $h'(x) = 4(x - 1)^3$ 인수분해 / $x = 1$에서 최솟값 $k - 1$ 산출	6점
2단계	• 제시문 (가) 적용 $h(1) = k - 1 \ge 0$ 수립 / $k \ge 1$ 도출	7점
3단계	• $\mathrm{P}(1, 3)$ 도출 / 접선 $y = 4x - 1$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x = (x - 1)^4 - 1$의 이항정리 완전네제곱 구조를 파악하면 미분 계산의 정확도를 100% 검증할 수 있습니다.

[5-1]$x = 1$에서 최솟값 $k - 1$ | [5-2] $k \ge 1$ | [5-3] $\mathrm{P}(1, 3)$, 접선 $y = 4x - 1$

【문제 1】 원문 요약 — 지수부등식과 로그함수의 그래프 교점 영역 격자점 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 지수부등식 $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 4x} \ge \left(\dfrac{1}{9}\right)^{x + 3}$의 해집합 $A$를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 모든 실수 $x$에 대하여 지수부등식 $9^x - 2\cdot 3^{x+1} + k - 2 \gt 0$이 항상 성립하도록 하는 상수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 1 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] $\left(\dfrac{1}{9}\right)^{x+3} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x+6}$이고 밑 $\dfrac{1}{3} \in (0, 1)$이므로 부등호 방향을 바꾼다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] $x^2 - 4x \le 2x + 6 \iff x^2 - 6x - 6 \le 0 \implies 3 - \sqrt{15} \le x \le 3 + \sqrt{15}\;\;(\approx -0.87 \le x \le 6.87)$이다. [문항 1-2]에서 진수 조건 $x \gt 2$와 $x - 2 \lt 2^3 = 8 \implies 2 \lt x \lt 10$이므로 $A \cap B$에 속하는 정수는 $x \in \{3, 4, 5, 6\}$이고 합은 $3 + 4 + 5 + 6 = 18$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] $t = 3^x \gt 0$으로 치환하면 $t^2 - 6t + k - 2 = (t - 3)^2 + k - 11 \gt 0$이 모든 $t \gt 0$에서 성립해야 한다. 대칭축 $t = 3 \gt 0$에서의 최솟값이 $k - 11$이므로 $k - 11 \gt 0 \iff k \gt 11$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• 밑 $1/3$ 통일 및 부등호 반전 $x^2 - 6x - 6 \le 0$ 도출 / 해집합 $3 - \sqrt{15} \le x \le 3 + \sqrt{15}$ 산출	6점
2단계	• 진수 조건 $x \gt 2$ 및 $B = (2, 10)$ 도출 / 교집합 정수 $\{3, 4, 5, 6\}$의 합 $18$ 산출	7점
3단계	• $t = 3^x \gt 0$ 치환 및 $(t - 3)^2 + k - 11$ 변형 / $k \gt 11$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

밑이 $1$보다 작은 로그부등식 $\log_{1/2}(x - 2) \gt -3$에서는 부등호 반전으로 생기는 상한 $x \lt 10$뿐만 아니라 진수 조건에서 생기는 하한 $x \gt 2$를 반드시 교집합해야 합니다.

[1-1]$A = \{x \mid 3 - \sqrt{15} \le x \le 3 + \sqrt{15}\}$ | [1-2] $B = \{x \mid 2 \lt x \lt 10\}$, 정수 합 $18$ | [1-3] $k \gt 11$

【문제 2】 원문 요약 — 무리식 분모 유리화 망원급수와 수학적 귀납법 증명 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

일반항이 $a_n = 2n - 1$인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-3] (7점) [문항 2-2]의 부등식을 이용하여 합 $T = \sum_{k=1}^{99} \dfrac{1}{\sqrt{k}}$가 $18$보다 크거나 같음을 보이시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 2 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] $a_{k+1} - a_k = 2$이므로 $\dfrac{2}{\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1}} = \sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] 연쇄 소거하면 $S_n = \sqrt{2n + 1} - 1$이고, $\sqrt{2n + 1} - 1 = 8 \implies 2n + 1 = 81 \implies n = 40$이다. [문항 2-2] 귀납법 증명: (i) $n = 1$일 때 $1 \ge 2(\sqrt{2} - 1) \approx 0.828$ 성립. (ii) $n = m$일 때 성립 가정 시 양변에 $\dfrac{1}{\sqrt{m+1}}$을 더하면 $\dfrac{1}{\sqrt{m+1}} = \dfrac{2}{2\sqrt{m+1}} \gt \dfrac{2}{\sqrt{m+1} + \sqrt{m+2}} = 2(\sqrt{m+2} - \sqrt{m+1})$이므로 좌변 $\ge 2(\sqrt{m+1} - 1) + 2(\sqrt{m+2} - \sqrt{m+1}) = 2(\sqrt{m+2} - 1)$이 되어 $n = m + 1$에서도 성립한다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] [문항 2-2]의 부등식에 $n = 99$를 대입하면 $\sum_{k=1}^{99} \dfrac{1}{\sqrt{k}} \ge 2(\sqrt{99 + 1} - 1) = 2(10 - 1) = 18$이 성립한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• 분모 유리화로 $S_n = \sqrt{2n+1} - 1$ 도출 / $n = 40$ 산출	6점
2단계	• 초기조건 $n=1$ 확인 / $\dfrac{1}{\sqrt{m+1}} \gt 2(\sqrt{m+2}-\sqrt{m+1})$ 부등식 연결 증명	7점
3단계	• $n = 99$ 대입 / $2(\sqrt{100} - 1) = 18$ 유도 완료	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

무리수 급수 귀납법 증명에서 핵심 보조부등식 $\dfrac{1}{\sqrt{m+1}} \gt \dfrac{2}{\sqrt{m+1} + \sqrt{m+2}} = 2(\sqrt{m+2} - \sqrt{m+1})$을 정확히 제시하면 만점 답안이 완성됩니다.

[2-1]$S_n = \sqrt{2n + 1} - 1,\; n = 40$ | [2-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [2-3] $T \ge 2(\sqrt{100} - 1) = 18$ 증명 완료

【문제 3】 원문 요약 — 구간별 정의된 다항함수의 미분가능성과 접선의 기울기 최대·최소 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x) = \begin{cases} -x^2 + ax + b & (x \lt 1) \\ x^3 - 3x^2 + 4 & (x \ge 1) \end{cases}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 $f(x)$가 $x = 1$에서 미분가능하도록 하는 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 기울기 $f'(t)$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 극한값 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x^2 - 1}$과 $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + 3h) - f(2 - h)}{2h}$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 3 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] $x = 1$에서의 연속 조건 $-1 + a + b = 1 - 3 + 4 = 2$와 미분계수 조건 $-2 + a = 3 - 6 = -3$을 연립한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] $-2 + a = -3 \implies a = -1$이고 $b = 3 - a = 4$이다. 따라서 $t \in [0, 1)$에서는 $f'(t) = -2t - 1 \in (-3, -1]$이고, $t \in [1, 3]$에서는 $f'(t) = 3t^2 - 6t = 3(t - 1)^2 - 3 \in [-3, 9]$이므로 $[0, 3]$에서 $f'(t)$의 최댓값은 $9$ ($t = 3$), 최솟값은 $-3$ ($t = 1$)이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x^2 - 1} = \dfrac{f'(1)}{2} = -\dfrac{3}{2}$이고, $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + 3h) - f(2 - h)}{2h} = \dfrac{4}{2}f'(2) = 2(12 - 12) = 0$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• 연속 조건 $a + b = 3$ 및 미분계수 조건 $-2 + a = -3$ 수립 / $a = -1,\; b = 4$ 산출	6점
2단계	• 구간 $[0, 1)$과 $[1, 3]$에서 $f'(t)$의 치역 분석 / 최댓값 $9$, 최솟값 $-3$ 도출	7점
3단계	• $\dfrac{1}{2}f'(1) = -\dfrac{3}{2}$ 산출 / $2f'(2) = 0$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$x = 1$이 경계점이더라도 이미 [문항 3-1]에서 $x = 1$에서의 미분가능성을 확보했으므로 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = f'(1) = -3$이 좌·우극한 구분 없이 성립합니다.

[3-1]$a = -1,\; b = 4$ | [3-2] 최댓값 $9$, 최솟값 $-3$ | [3-3] $-\dfrac{3}{2},\; 0$

【문제 4】 원문 요약 — 포물선에 내접하는 직사각형의 둘레·넓이 최대화 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.54 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 4 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] 가로의 길이는 $2t$, 세로의 길이는 $12 - t^2$ ($0 \lt t \lt 2\sqrt{3}$)이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] 둘레는 $L(t) = 4t + 2(12 - t^2) = -2(t - 1)^2 + 26$이므로 $t = 1$에서 최댓값 $26$을 갖는다. 넓이는 $S(t) = 2t(12 - t^2) = 24t - 2t^3$이고 $S'(t) = 24 - 6t^2 = 6(2 - t)(2 + t) = 0$에서 $t = 2$일 때 극대이자 최대이므로 최대 넓이는 $S_{\max} = S(2) = 4 \times 8 = 32$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] 포물선과 $x$축의 교점은 $x = \pm 2\sqrt{3}$이므로 둘러싸인 전체 넓이는 $A = \dfrac{1}{6}(4\sqrt{3})^3 = \dfrac{192\sqrt{3}}{6} = 32\sqrt{3}$이다. 따라서 비율은 $\dfrac{S_{\max}}{A} = \dfrac{32}{32\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• $L(t) = -2t^2 + 4t + 24$ 식 수립 / $t = 1$에서 최댓값 $26$ 산출	6점
2단계	• $S(t) = 24t - 2t^3$ 및 $S'(t) = 6(4 - t^2) = 0$ 도출 / $t = 2,\; S_{\max} = 32$ 산출	7점
3단계	• 포물선 넓이 $A = 32\sqrt{3}$ 산출 / 비율 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

포물선 아치 내부에 내접하는 최대 넓이 직사각형의 넓이는 항상 포물선 아치 전체 넓이의 $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$배가 됩니다.

[4-1]$t = 1$에서 둘레 최댓값 $26$ | [4-2] $t = 2$에서 넓이 최댓값 $S_{\max} = 32$ | [4-3] $A = 32\sqrt{3},\; \dfrac{S_{\max}}{A} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

【문제 5】 원문 요약 — 절댓값 정적분 함수의 최솟값과 정적분 넓이 이등분 곡선 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

닫힌구간 $[0, 2]$에서 정의된 함수 $f(x) = 3x^2$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) $0 \le t \le 2$인 실수 $t$에 대하여 정적분 $I(t) = \int_{0}^{2} |3x^2 - 3t^2|\,dx$를 $t$에 대한 다항식으로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) 도함수 $I'(t)$를 구하여 닫힌구간 $[0, 2]$에서 함수 $I(t)$가 최소가 되는 $t$의 값과 그때의 최솟값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 5 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 관계식 수립] $0 \le x \le t$에서는 $3t^2 - 3x^2 \ge 0$이고, $t \le x \le 2$에서는 $3x^2 - 3t^2 \ge 0$으로 구간을 분리한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논증] $I(t) = \int_{0}^{t} (3t^2 - 3x^2)\,dx + \int_{t}^{2} (3x^2 - 3t^2)\,dx = (3t^3 - t^3) + \bigl((8 - t^3) - 3t^2(2 - t)\bigr) = 2t^3 + 8 - t^3 - 6t^2 + 3t^3 = 4t^3 - 6t^2 + 8$이다. 미분하면 $I'(t) = 12t^2 - 12t = 12t(t - 1) = 0$이므로 $t = 1$에서 극소이자 최솟값 $I(1) = 4 - 6 + 8 = 6$을 갖는다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론] 임의의 $k \gt 0$에 대하여 $\int_{0}^{2} kx^2\,dx = \dfrac{8}{3}k$로 넓이가 계수 $k$에 정비례한다. 따라서 $y = 3x^2$ 아래의 넓이 $\dfrac{8}{3} \times 3 = 8$을 곡선 $y = ax^2$이 이등분하려면 $\dfrac{8}{3}a = 4 \implies a = \dfrac{3}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• $[0, t]$와 $[t, 2]$ 구간 분리 적분 / $I(t) = 4t^3 - 6t^2 + 8$ 도출	6점
2단계	• $I'(t) = 12t(t - 1) = 0$ 도출 / $t = 1$에서 최솟값 $6$ 산출	7점
3단계	• 전체 넓이 $8$ 및 아랫부분 넓이 $\dfrac{8}{3}a$ 계산 / $a = \dfrac{3}{2}$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

제시문 (가)와 같이 임의의 단조증가함수 $f(x)$에 대하여 $\int_a^b |f(x) - f(t)|\,dx$를 $t$로 미분하면 $f'(t)\{(t - a) - (b - t)\} = 2f'(t)\left(t - \dfrac{a+b}{2}\right)$가 되어 함수 모양에 관계없이 항상 구간의 중점 $t = \dfrac{a+b}{2}$에서 최솟값을 갖습니다.

[5-1]$I(t) = 4t^3 - 6t^2 + 8$ | [5-2] $t = 1$에서 최솟값 $6$ | [5-3] $a = \dfrac{3}{2}$

【문제 1】 원문 요약 — 지수방정식의 치환 정의역 변환과 근의 분리 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]의 조건을 만족시키는 $m = \frac{19}{6}$일 때, 두 실근의 합 $\alpha + \beta$의 값을 $\log_3$을 사용하여 나타내시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 1 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$t = 3^x \; (t \gt 0)$로 치환하면 $g(t) = t^2 - 2(m+1)t + 3m + 7 = 0$이다. 서로 다른 두 양의 실근을 가지려면 대칭축 $m + 1 \gt 0 \implies m \gt -1$, 판별식 $\frac{D}{4} = (m+1)^2 - (3m+7) = (m-3)(m+2) \gt 0 \implies m \lt -2$ 또는 $m \gt 3$, 경계값 $g(0) = 3m + 7 \gt 0 \implies m \gt -\frac{7}{3}$이어야 하므로 공통범위는 $m \gt 3$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
$\alpha, \beta \gt 1$이려면 $t = 3^x \gt 3$에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 제시문 (나)에 의해 $\frac{D}{4} = (m-3)(m+2) \gt 0$, 대칭축 $m + 1 \gt 3 \implies m \gt 2$, 경계 함숫값 $g(3) = 9 - 6(m+1) + 3m + 7 = 10 - 3m \gt 0 \implies m \lt \frac{10}{3}$을 연립하면 $3 \lt m \lt \frac{10}{3}$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
$m = \frac{19}{6}$일 때 이차방정식 $g(t) = 0$의 두 근 $3^\alpha, 3^\beta$의 곱은 근과 계수의 관계에 의해 $3^\alpha \cdot 3^\beta = 3^{\alpha+\beta} = 3m + 7 = \frac{19}{2} + 7 = \frac{33}{2}$이다. 따라서 $\alpha + \beta = \log_3 \frac{33}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] $t = 3^x \gt 0$ 치환 후 $D \gt 0$, 축 $\gt 0$, $g(0) \gt 0$으로부터 $m \gt 3$ 도출	6점
2단계	[1-2] $x \gt 1$을 $t \gt 3$으로 변환하여 $g(3) = 10 - 3m \gt 0$ 연립, $3 \lt m \lt 10/3$ 산출	7점
3단계	[1-3] 근과 계수의 관계 $3^{\alpha+\beta} = 3m+7 = 33/2$ 적용 및 $\alpha+\beta = \log_3(33/2)$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

지수방정식에서 두 실근의 합 $\alpha+\beta$는 치환된 이차방정식의 두 근의 합이 아니라 두 근의 곱 $t_1 t_2 = 3^{\alpha+\beta}$에서 도출된다는 점이 핵심 채점 포인트입니다.

[1-1]$m \gt 3$ | [1-2] $3 \lt m \lt \frac{10}{3}$ | [1-3] $\alpha + \beta = \log_3 \frac{33}{2}$

【문제 2】 원문 요약 — 삼차함수의 극값과 절댓값 함수의 미분불가능점 개수 판정 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문항 2-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 $k$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) $k = 27$일 때, 곡선 $y = f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 2 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0$에서 $x = -1$ 또는 $x = 3$이다. 따라서 $x = -1$에서 극댓값 $f(-1) = k + 5$, $x = 3$에서 극솟값 $f(3) = k - 27$을 갖는다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
$h(x) = |f(x)|$의 미분불가능한 점은 $f(a) = 0,\; f'(a) \ne 0$인 단순 실근뿐이다. 극댓값 $k + 5 \le 0 \iff k \le -5$이거나 극솟값 $k - 27 \ge 0 \iff k \ge 27$일 때 단순 실근이 오직 $1$개 존재한다($k = -5, 27$일 때 중근은 미분가능). 따라서 $k \le -5$ 또는 $k \ge 27$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
$k = 27$일 때 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = (x - 3)^2(x + 3)$이며 구간 $[-3, 3]$에서 $f(x) \ge 0$이므로 기함수 항을 소거하면
\[ S = \int_{-3}^{3} (x^3 - 3x^2 - 9x + 27)\,dx = 2\int_0^3 (-3x^2 + 27)\,dx = 2\left[-x^3 + 27x\right]_0^3 = 108 \]이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 도함수 인수분해 및 극댓값 $k+5$, 극솟값 $k-27$ 도출	6점
2단계	[2-2] 중근 접점($k = -5,\; 27$)의 미분가능성 판정으로 $k \le -5$ 또는 $k \ge 27$ 도출	7점
3단계	[2-3] $f(x) = (x-3)^2(x+3)$ 인수분해 및 대칭 정적분으로 넓이 $S = 108$ 계산	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

중근이 발생하는 경계값 $k = -5$와 $k = 27$에서도 $|f(x)|$의 미분불가능점은 $1$개이므로 부등호에 등호가 반드시 포함되어야 합니다.

[2-1]극댓값 $k+5$, 극솟값 $k-27$ | [2-2] $k \le -5$ 또는 $k \ge 27$ | [2-3] $S = 108$

【문제 3】 원문 요약 — 정적분으로 정의된 함수의 극값과 부호 변화 구간 넓이 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

[문항 3-1] (6점) 함수 $g(x)$를 $x$에 대한 다항식으로 나타내고, $g(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 4]$에서 함수 $g(x)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 합 $M + m$을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 곡선 $y = f(t)$와 $t$축으로 둘러싸인 도형의 넓이의 합 $A$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 3 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$g(x) = \left[\frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 3t\right]_0^x = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x$이고 $g'(x) = (x - 1)(x - 3)$이다. $x = 1$에서 극댓값 $g(1) = \frac{4}{3}$, $x = 3$에서 극솟값 $g(3) = 0$을 갖는다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
닫힌구간 $[0, 4]$에서 $g(0) = 0,\; g(1) = \frac{4}{3},\; g(3) = 0,\; g(4) = \frac{64}{3} - 32 + 12 = \frac{4}{3}$이므로 최댓값 $M = \frac{4}{3}$, 최솟값 $m = 0$이며 $M + m = \frac{4}{3}$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
$[0, 1]$에서 $f(t) \ge 0$, $[1, 3]$에서 $f(t) \le 0$이므로 $A = \int_0^1 f(t)\,dt - \int_1^3 f(t)\,dt = g(1) - (g(3) - g(1)) = 2g(1) - g(3) = \frac{8}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] $g(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$ 도출 및 극댓값 $4/3$, 극솟값 $0$ 계산	6점
2단계	[3-2] 구간 $[0, 4]$ 경계값 $g(0) = 0$, $g(4) = 4/3$ 비교로 $M+m = 4/3$ 산출	7점
3단계	[3-3] 부호 구간 $[0, 1]$, $[1, 3]$ 분할 적분으로 넓이 합 $A = 8/3$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

정적분 $\int_0^3 f(t)\,dt = 0$과 넓이 $\int_0^3 |f(t)|\,dt = \frac{8}{3}$의 차이를 원시함수 함숫값 차 $2g(1) - g(3)$으로 연결하면 계산 실수를 원천 차단할 수 있습니다.

[3-1]$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x$, 극댓값 $\frac{4}{3}$, 극솟값 $0$ | [3-2] $\frac{4}{3}$ | [3-3] $A = \frac{8}{3}$

【문제 4】 원문 요약 — 지수·다항 곱함수의 단조증가성과 역함수 미분법·변곡점 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.20 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]

[문항 4-1] (6점) 도함수 $f'(x)$를 구하여 함수 $f(x)$가 치역 $(0, \infty)$ 위에서 역함수 $g(x)$를 가짐을 논술하시오.

[문항 4-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$의 모든 변곡점의 좌표를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) $f(x)$의 역함수 $g(x)$에 대하여 $g(2) + e \cdot g'(e)$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 4 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
곱의 미분법에 의해 $f'(x) = (2x - 2 + x^2 - 2x + 2)e^x = x^2 e^x \ge 0$이고 $f'(x) = 0$인 점은 $x = 0$ 하나뿐이다. 또한 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0,\; \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$이므로 치역 $(0, \infty)$로 가는 순증가 일대일대응이어서 역함수 $g(x)$가 존재한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
$f''(x) = (2x + x^2)e^x = x(x + 2)e^x$이므로 $x = -2$와 $x = 0$ 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 바뀐다. 따라서 변곡점의 좌표는 $\left(-2, \frac{10}{e^2}\right)$와 $(0, 2)$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
$f(0) = 2 \implies g(2) = 0$이고, $f(1) = e,\; f'(1) = e \ne 0 \implies g'(e) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{e}$이다. 따라서 $g(2) + e \cdot g'(e) = 0 + 1 = 1$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] $f\'(x) = x^2 e^x \ge 0$ 유도 및 순증가 일대일대응 논증	6점
2단계	[4-2] $f\'\'(x) = x(x+2)e^x$ 부호 변화 확인 및 변곡점 $(-2, 10/e^2)$, $(0, 2)$ 도출	7점
3단계	[4-3] $f(0) = 2$, $f(1) = e$ 대응점 파악 및 $g\'(e) = 1/e$로부터 값 $1$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$f'(x) \ge 0$에서 등호가 고립점($x = 0$)에서만 성립할 때도 함수가 순증가하여 역함수가 존재한다는 정리를 명확히 서술해야 합니다.

[4-1]$f'(x) = x^2 e^x \ge 0$ (순증가) | [4-2] $\left(-2, \frac{10}{e^2}\right),\; (0, 2)$ | [4-3] $1$

【문제 5】 원문 요약 — 삼각함수 거듭제곱 정적분의 부분적분 점화식 유도 [배점 20점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

[문항 5-1] (6점) $J_1$과 $J_2$의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) $n \ge 3$일 때 부분적분법을 적용하여 점화식 $J_n = \frac{n-1}{n} J_{n-2}$가 성립함을 증명하시오.

[문항 5-3] (7점) $\frac{J_4}{\pi} + J_5$의 값을 기약분수로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 5 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$J_1 = \left[-\cos x\right]_0^{\pi/2} = 1$이고, $J_2 = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \left[\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
$u = \sin^{n-1} x,\; v' = \sin x$로 놓으면 $u' = (n-1)\sin^{n-2} x\cos x,\; v = -\cos x$이므로
\[ J_n = \left[-\sin^{n-1}x\cos x\right]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{n-2}x(1 - \sin^2 x)\,dx = (n-1)J_{n-2} - (n-1)J_n \]이항하여 정리하면 $nJ_n = (n-1)J_{n-2}$, 즉 $J_n = \frac{n-1}{n}J_{n-2}$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
$J_4 = \frac{3}{4}J_2 = \frac{3\pi}{16}$이고 $J_5 = \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}J_1 = \frac{8}{15}$이므로 $\frac{J_4}{\pi} + J_5 = \frac{3}{16} + \frac{8}{15} = \frac{173}{240}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 직접 적분과 배각 공식으로 $J_1 = 1$, $J_2 = \pi/4$ 산출	6점
2단계	[5-2] 부분적분 경계항 소거 및 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 대입으로 점화식 증명	7점
3단계	[5-3] $J_4 = 3\pi/16$, $J_5 = 8/15$ 순차 계산 및 합 $173/240$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경계항 $\left[-\sin^{n-1}x\cos x\right]_0^{\pi/2}$이 양 끝점에서 $0$이 되는 이유($n - 1 \ge 2 \gt 0$이므로 $\sin 0 = 0,\; \cos\frac{\pi}{2} = 0$)를 반드시 명시하십시오.

[5-1]$J_1 = 1,\; J_2 = \frac{\pi}{4}$ | [5-2] $J_n = \frac{n-1}{n}J_{n-2}$ 증명 | [5-3] $\frac{173}{240}$

【문제 1】 원문 요약 — 코사인법칙·사인법칙을 활용한 외접원·내접원과 각의 이등분선 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]

[문항 1-1] (6점) 변 $BC$의 길이와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 외접원의 반지름 $R$과 내접원의 반지름 $r$의 곱 $R \cdot r$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 각 $BAC$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 할 때, 선분 $AD$의 길이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 1 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
코사인법칙으로부터 $\overline{BC}^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cos\frac{\pi}{3} = 49$이므로 $\overline{BC} = 7$이고, 넓이는 $S = \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 8 \sin\frac{\pi}{3} = 10\sqrt{3}$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
사인법칙에 의해 $R = \frac{7}{2\sin\frac{\pi}{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}}$이고, 내접원 넓이 공식 $10\sqrt{3} = \frac{1}{2}r(5 + 8 + 7) = 10r$에서 $r = \sqrt{3}$이므로 $R \cdot r = 7$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
$S = \triangle ABD + \triangle ACD$이므로 $10\sqrt{3} = \frac{1}{2}(5 + 8)\overline{AD}\sin\frac{\pi}{6} = \frac{13}{4}\overline{AD}$에서 $\overline{AD} = \frac{40\sqrt{3}}{13}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 코사인법칙으로 $BC = 7$ 및 넓이 $S = 10\sqrt{3}$ 계산	6점
2단계	[1-2] 사인법칙 $R = 7/\sqrt{3}$, 내접원 공식 $r = \sqrt{3}$으로부터 $R \cdot r = 7$ 도출	7점
3단계	[1-3] 넓이 분할 등식을 적용하여 $AD = 40\sqrt{3}/13$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

외접원 반지름 $R$과 내접원 반지름 $r$을 각각 구할 때 무리수 분모를 미리 유리화하지 않고 곱하면 $\sqrt{3}$이 약분되어 깔끔하게 $7$이 도출됩니다.

[1-1]$\overline{BC} = 7,\; S = 10\sqrt{3}$ | [1-2] $R \cdot r = 7$ | [1-3] $\overline{AD} = \frac{40\sqrt{3}}{13}$

【문제 2】 원문 요약 — 사차함수의 대칭 이중접선 넓이와 절댓값 방정식 실근 개수 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문항 2-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하고, 대칭축의 방정식을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$의 두 극솟점을 지나는 직선 $l$과 곡선 $y = f(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 방정식 $|f(x) - k| = \frac{1}{3}$이 서로 다른 $8$개의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 2 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x - 1)(x - 2)$이고 $f(x) - 2 = x^2(x - 2)^2$이다. 따라서 $x = 0, 2$에서 극솟값 $2$, $x = 1$에서 극댓값 $f(1) = 3$을 가지며 대칭축은 $x = 1$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
두 극솟점을 지나는 이중접선 $l$은 $y = 2$이므로 둘러싸인 넓이 $S$는
\[ S = \int_0^2 (x^4 - 4x^3 + 4x^2)\,dx = \left[\frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{4}{3}x^3\right]_0^2 = \frac{32}{5} - 16 + \frac{32}{3} = \frac{16}{15} \]이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
수평선 $y = y_0$이 곡선 $y = f(x)$와 서로 다른 $4$개의 점에서 만나려면 $2 \lt y_0 \lt 3$이어야 한다. 따라서 두 수평선 $y = k - \frac{1}{3}$과 $y = k + \frac{1}{3}$이 각각 $4$개씩 총 $8$개의 교점을 가지려면 $2 \lt k - \frac{1}{3}$ 그리고 $k + \frac{1}{3} \lt 3$이어야 하므로 $\frac{7}{3} \lt k \lt \frac{8}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] $f\'(x) = 4x(x-1)(x-2)$로부터 극솟값 $2$, 극댓값 $3$, 대칭축 $x = 1$ 도출	6점
2단계	[2-2] 이중접선 $y = 2$ 설정 및 정적분으로 넓이 $S = 16/15$ 계산	7점
3단계	[2-3] 두 수평선 $2 \lt k - 1/3$, $k + 1/3 \lt 3$ 조건으로부터 $7/3 \lt k \lt 8/3$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

사차함수와 직선의 교점이 $4$개가 되는 열린구간 $(2, 3)$ 안에 평행한 두 직선 $y = k \pm \frac{1}{3}$이 동시에 들어오도록 연립부등식을 세우는 것이 핵심입니다.

[2-1]극댓값 $3$, 극솟값 $2$, 대칭축 $x = 1$ | [2-2] $S = \frac{16}{15}$ | [2-3] $\frac{7}{3} \lt k \lt \frac{8}{3}$

【문제 3】 원문 요약 — 정적분 함수의 극대·극소 차와 이차도함수 넓이 공식 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

[문항 3-1] (6점) 함수 $F(x)$의 극댓값 $F(2)$를 정적분 계산을 통해 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 극솟값 $F(5)$와 극값의 차 $F(2) - F(5)$를 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 방정식 $F(x) = k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 정수 $k$의 개수를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 3 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$F'(x) = (x - 2)(x - 5) = x^2 - 7x + 10$이므로 $x = 2$에서 극댓값을 갖는다.
\[ F(2) = \int_1^2 (t^2 - 7t + 10)\,dt = \left[\frac{t^3}{3} - \frac{7t^2}{2} + 10t\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3} - 14 + 20\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 10\right) = \frac{11}{6} \]이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
제시문 (나)에 의해 극댓값과 극솟값의 차는 $F(2) - F(5) = \frac{(5 - 2)^3}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$이다. 따라서 극솟값은 $F(5) = \frac{11}{6} - \frac{27}{6} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
삼차방정식 $F(x) = k$가 서로 다른 세 실근을 가질 필요충분조건은 $F(5) \lt k \lt F(2)$, 즉 $-\frac{8}{3} \lt k \lt \frac{11}{6}$이다. $-2.66\cdots \lt k \lt 1.83\cdots$을 만족하는 정수 $k$는 $-2, -1, 0, 1$로 총 $4$개이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] $F\'(x) = (x-2)(x-5)$ 확인 및 정적분으로 극댓값 $F(2) = 11/6$ 산출	6점
2단계	[3-2] 극값 차 공식 $(5-2)^3/6 = 9/2$ 적용 및 극솟값 $F(5) = -8/3$ 도출	7점
3단계	[3-3] $-8/3 \lt k \lt 11/6$ 범위 설정 및 정수 $k = -2, -1, 0, 1$ (4개) 판정	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

정적분으로 정의된 삼차함수 $F(x)$의 극값의 차가 도함수의 넓이 $\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}$와 같음을 활용하면 복잡한 분수 연산을 크게 줄일 수 있습니다.

[3-1]$F(2) = \frac{11}{6}$ | [3-2] $F(5) = -\frac{8}{3},\; F(2) - F(5) = \frac{9}{2}$ | [3-3] $4$개

【문제 4】 원문 요약 — 몫의 미분법을 이용한 유리함수의 극값·변곡점과 치환적분 넓이 [배점 20점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

[문항 4-1] (6점) 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 구하고, 점근선의 방정식을 제시하시오.

[문항 4-2] (7점) 이계도함수 $f''(x)$를 구하여 곡선 $y = f(x)$의 모든 변곡점의 $x$좌표를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 $y = f(x)$와 $x$축 및 직선 $x = 2$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 4 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$f'(x) = \frac{(x^2 + 4) - x(2x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2}$이므로 $x = 2$에서 극대이자 최댓값 $f(2) = \frac{1}{4}$, $x = -2$에서 극소이자 최솟값 $f(-2) = -\frac{1}{4}$을 가지며 $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$이므로 점근선은 $y = 0$($x$축)이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
몫의 미분법으로 한 번 더 미분하면
\[ f''(x) = \frac{-2x(x^2 + 4)^2 - (4 - x^2)\cdot 2(x^2 + 4)(2x)}{(x^2 + 4)^4} = \frac{2x(x^2 - 12)}{(x^2 + 4)^3} \]$x = 0$과 $x = \pm 2\sqrt{3}$ 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 모두 바뀌므로 변곡점의 $x$좌표는 $-2\sqrt{3},\; 0,\; 2\sqrt{3}$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
구간 $[0, 2]$에서 $f(x) \ge 0$이므로 $S = \int_0^2 \frac{x}{x^2 + 4}\,dx = \frac{1}{2}\left[\ln(x^2 + 4)\right]_0^2 = \frac{1}{2}(\ln 8 - \ln 4) = \frac{1}{2}\ln 2$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] $f\'(x) = (4-x^2)/(x^2+4)^2$ 도출 및 최댓값 $1/4$, 최솟값 $-1/4$, 점근선 $y = 0$ 제시	6점
2단계	[4-2] $f\'\'(x) = 2x(x^2-12)/(x^2+4)^3$ 유도 및 변곡점 $x$좌표 $-2\sqrt{3}$, $0$, $2\sqrt{3}$ 산출	7점
3단계	[4-3] 치환적분을 적용하여 넓이 $S = (1/2)\ln 2$ 계산	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

분수함수의 이계도함수를 정리할 때 전개하지 않고 공통인수 $(x^2 + 4)$를 먼저 약분해야 부호 실수를 막을 수 있습니다.

[4-1]최댓값 $\frac{1}{4}$, 최솟값 $-\frac{1}{4}$, 점근선 $y = 0$ | [4-2] $x = -2\sqrt{3},\; 0,\; 2\sqrt{3}$ | [4-3] $S = \frac{1}{2}\ln 2$

【문제 5】 원문 요약 — 일차 귀납적 수열의 극한과 편차 제곱 무한등비급수 [배점 20점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-02]

[문항 5-1] (6점) 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$과 극한값 $L = \lim_{n \to \infty} a_n$을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} (L - a_n)$이 수렴함을 보이고 그 합을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제곱 편차 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} (L - a_n)^2$의 합을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 5 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$\alpha = \frac{1}{3}\alpha + 2 \implies \alpha = 3$이므로 $a_{n+1} - 3 = \frac{1}{3}(a_n - 3)$이다. 수열 $\{a_n - 3\}$은 첫째항 $a_1 - 3 = -2$, 공비 $\frac{1}{3}$인 등비수열이므로 $a_n = 3 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$이고 $L = \lim_{n \to \infty} a_n = 3$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
$L - a_n = 2\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$은 첫째항 $2$, 공비 $\frac{1}{3}$ ($\left|\frac{1}{3}\right| \lt 1$)인 등비수열이므로 급수는 수렴하며 합은 $\frac{2}{1 - 1/3} = 3$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
$(L - a_n)^2 = 4\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}$은 첫째항 $4$, 공비 $\frac{1}{9}$ ($\left|\frac{1}{9}\right| \lt 1$)인 등비수열이므로 급수의 합은 $\frac{4}{1 - 1/9} = \frac{4}{8/9} = \frac{9}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 특성근 $\alpha = 3$ 도출로 일반항 $a_n = 3 - 2(1/3)^{n-1}$ 및 극한 $L = 3$ 산출	6점
2단계	[5-2] 공비 $1/3$ 수렴 조건 명시 및 급수 합 $3$ 도출	7점
3단계	[5-3] 제곱 수열의 첫째항 $4$, 공비 $1/9$ 변환 및 합 $9/2$ 계산	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

등비급수의 합 공식을 사용할 때 반드시 공비의 절댓값이 $1$보다 작다는 수렴 근거($\left|\frac{1}{3}\right| \lt 1,\; \left|\frac{1}{9}\right| \lt 1$)를 적시해야 합니다.

[5-1]$a_n = 3 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1},\; L = 3$ | [5-2] $3$ | [5-3] $\frac{9}{2}$

【문제 1】 원문 요약 — 수열의 합과 일반항의 관계 및 로그·부분분수 소거 합 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

[문항 1-1] (6점) 모든 자연수 $n$에 대하여 일반항 $a_n$을 구하시오($n = 1$일 때의 성립 여부를 반드시 확인하시오).

[문항 1-2] (7점) $b_n = \log_2 \frac{a_n + 1}{a_n - 1}$이라 할 때, 합 $\sum_{k=1}^{15} b_k$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 부분분수 합 $\sum_{k=1}^{15} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$의 값을 기약분수로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 1 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$n \ge 2$일 때 $a_n = (n^2 + 2n) - \{(n-1)^2 + 2(n-1)\} = 2n + 1$이다. $n = 1$일 때 $a_1 = S_1 = 1 + 2 = 3$이므로 위 식에 $n = 1$을 대입한 값과 일치한다. 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = 2n + 1$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
$b_k = \log_2 \frac{2k + 2}{2k} = \log_2 \frac{k + 1}{k} = \log_2(k + 1) - \log_2 k$이므로
$\sum_{k=1}^{15} b_k = (\log_2 2 - \log_2 1) + (\log_2 3 - \log_2 2) + \cdots + (\log_2 16 - \log_2 15) = \log_2 16 - 0 = 4$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
$\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\right)$이므로
\[ \sum_{k=1}^{15} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{33}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{33} = \frac{5}{33} \]이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] $S_n - S_{n-1}$ 계산 및 $a_1 = S_1 = 3$ 일치 검증으로 $a_n = 2n+1$ 확정	6점
2단계	[1-2] 로그 차 분해 및 연쇄 소거로 합 $\log_2 16 = 4$ 도출	7점
3단계	[1-3] 부분분수 항등식 $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\right)$ 적용으로 $5/33$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$S_n$으로부터 $a_n$을 구할 때 $a_1 = S_1$ 검증을 누락하면 가톨릭대 채점 기준에서 $2$점이 감점되므로 반드시 서술해야 합니다.

[1-1]$a_n = 2n + 1$ | [1-2] $4$ | [1-3] $\frac{5}{33}$

【문제 2】 원문 요약 — 곡선 밖의 점에서 삼차곡선에 그은 접선의 개수 판정 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

[문항 2-1] (6점) 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 $y$절편을 $h(t)$라 할 때, $h(t)$의 식을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 곡선 $y = f(x)$의 변곡점에서의 접선의 방정식을 구하고, 그 $y$절편이 [문항 2-2]의 범위의 경계값과 일치함을 확인하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 2 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$f'(t) = 3t^2 - 12t + 9$이므로 점 $(t, f(t))$에서의 접선은 $y - (t^3 - 6t^2 + 9t) = (3t^2 - 12t + 9)(x - t)$이다. $x = 0$을 대입하면 접선의 $y$절편은 $h(t) = f(t) - tf'(t) = -2t^3 + 6t^2$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
서로 다른 세 접선을 그으려면 방정식 $h(t) = k$, 즉 $-2t^3 + 6t^2 = k$가 서로 다른 세 실근을 가져야 한다. $h'(t) = -6t^2 + 12t = -6t(t - 2)$이므로 $h(t)$는 $t = 0$에서 극솟값 $h(0) = 0$, $t = 2$에서 극댓값 $h(2) = -16 + 24 = 8$을 갖는다. 따라서 $0 \lt k \lt 8$이며, 정수 $k$는 $1, 2, \dots, 7$로 $7$개이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
$f''(x) = 6x - 12 = 0$에서 변곡점은 $(2, f(2)) = (2, 2)$이고 $f'(2) = -3$이므로 변곡접선의 방정식은 $y - 2 = -3(x - 2)$, 즉 $y = -3x + 8$이다. 이 직선의 $y$절편 $8$은 $h(t)$의 극댓값이자 상단 경계값 $8$과 정확히 일치한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 접선의 $y$절편 함수 $h(t) = f(t) - tf\'(t) = -2t^3 + 6t^2$ 유도	6점
2단계	[2-2] $h\'(t) = -6t(t-2)$ 극값 분석으로 $0 \lt k \lt 8$ 및 정수 7개 도출	7점
3단계	[2-3] 변곡점 $(2, 2)$에서의 변곡접선 $y = -3x + 8$ 및 $y$절편 $8$ 일치 검증	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

삼차곡선에서 접선의 개수가 바뀌는 경계는 곡선 자체와 변곡접선 위에서 형성된다는 기하적 원리를 수식 $h(2) = 8$로 실증한 논제입니다.

[2-1]$h(t) = -2t^3 + 6t^2$ | [2-2] $0 \lt k \lt 8$, 정수 $7$개 | [2-3] $y = -3x + 8$ ($y$절편 $8$)

【문제 3】 원문 요약 — 이차곡선과 원점 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 이등분 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문항 3-1] (6점) 도형 $D$의 전체 넓이 $A$를 정적분으로 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 곡선 $y = 6x - x^2$과 직선 $y = mx$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S(m)$을 $m$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 3-3] (7점) 직선 $y = mx$가 도형 $D$의 넓이를 이등분할 때, $(6 - m)^3$의 값과 $m$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 3 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
곡선 $y = 6x - x^2 = x(6 - x)$와 $x$축의 교점은 $x = 0, 6$이므로 전체 넓이는 $A = \int_0^6 (6x - x^2)\,dx = \left[3x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^6 = 108 - 72 = 36$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
$6x - x^2 = mx \iff x(6 - m - x) = 0$에서 교점은 $x = 0$과 $x = 6 - m \gt 0$이므로
\[ S(m) = \int_0^{6-m} \{(6 - m)x - x^2\}\,dx = \left[\frac{6-m}{2}x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^{6-m} = \frac{(6 - m)^3}{6} \]이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
넓이를 이등분하려면 $S(m) = \frac{1}{2}A = 18$이어야 하므로 $\frac{(6 - m)^3}{6} = 18 \implies (6 - m)^3 = 108$이다. 세제곱근을 취하면 $6 - m = \sqrt[3]{108} = 3\sqrt[3]{4}$이므로 $m = 6 - 3\sqrt[3]{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 교점 $x = 0,\; 6$ 도출 및 정적분으로 전체 넓이 $A = 36$ 계산	6점
2단계	[3-2] 직선과의 교점 $x = 6-m$ 설정 및 $S(m) = (6-m)^3/6$ 유도	7점
3단계	[3-3] $S(m) = 18$ 등식으로부터 $(6-m)^3 = 108$ 및 $m = 6 - 3 \cdot 4^{1/3}$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

이차곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 $\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}$을 쓰더라도 서술형 답안에서는 정적분 유도식을 한 줄 함께 제시하는 것이 안전합니다.

[3-1]$A = 36$ | [3-2] $S(m) = \frac{(6-m)^3}{6}$ | [3-3] $(6-m)^3 = 108,\; m = 6 - 3\sqrt[3]{4}$

【문제 4】 원문 요약 — 로그·일차 결합함수의 극값 존재 조건과 극값의 차 [배점 20점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02]

[문항 4-1] (6점) 도함수 $f'(x)$를 구하고, 함수 $f(x)$가 극댓값과 극솟값을 모두 갖도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) $k = \frac{4}{5}$일 때, 함수 $f(x)$가 극댓값을 갖는 $x$의 값과 극솟값을 갖는 $x$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) $k = \frac{4}{5}$일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$의 차 $M - m$을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 4 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} - k = \frac{-kx^2 + 2x - k}{x^2 + 1}$이다. 분모 $x^2 + 1 \gt 0$이므로 이차방정식 $kx^2 - 2x + k = 0$이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. $\frac{D}{4} = 1 - k^2 \gt 0$이고 $k \gt 0$이므로 $0 \lt k \lt 1$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
$k = \frac{4}{5}$일 때 $f'(x) = \frac{-\frac{4}{5}x^2 + 2x - \frac{4}{5}}{x^2 + 1} = -\frac{2(2x - 1)(x - 2)}{5(x^2 + 1)}$이다. 부호 변화를 조사하면 $x = \frac{1}{2}$에서 음에서 양으로 바뀌므로 극소, $x = 2$에서 양에서 음으로 바뀌므로 극대이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
$M = f(2) = \ln 5 - \frac{8}{5}$이고 $m = f\left(\frac{1}{2}\right) = \ln\frac{5}{4} - \frac{2}{5} = \ln 5 - 2\ln 2 - \frac{2}{5}$이므로
\[ M - m = \left(\ln 5 - \frac{8}{5}\right) - \left(\ln 5 - 2\ln 2 - \frac{2}{5}\right) = 2\ln 2 - \frac{6}{5} \]이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] $f\'(x)$ 분자 판별식 $D/4 = 1 - k^2 \gt 0$으로부터 $0 \lt k \lt 1$ 도출	6점
2단계	[4-2] $k = 4/5$ 대입 인수분해로 극소 $x = 1/2$, 극대 $x = 2$ 판정	7점
3단계	[4-3] $\ln 5$ 소거 연산으로 극값 차 $M - m = 2\ln 2 - 6/5$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$f'(x)$의 최고차항 계수가 $-\frac{4}{5} \lt 0$이므로 작은 근 $x = \frac{1}{2}$에서 극소, 큰 근 $x = 2$에서 극대가 된다는 부호 판정에 유의하십시오.

[4-1]$0 \lt k \lt 1$ | [4-2] 극대 $x = 2$, 극소 $x = \frac{1}{2}$ | [4-3] $2\ln 2 - \frac{6}{5}$

【문제 5】 원문 요약 — 감쇠 지수함수의 부분적분과 이상극한 수렴값 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.30 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-05]

[문항 5-1] (6점) 부분적분법을 이용하여 $F(x)$를 적분 기호 없이 $x$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) $F(2)$의 값과 극한값 $\lim_{x \to \infty} F(x)$를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 곡선 $y = t e^{-t/2} \; (t \ge 0)$의 변곡점의 $t$좌표를 $t_0$이라 할 때, $F(t_0)$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 5 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$u = t,\; v' = e^{-t/2}$로 놓으면 $u' = 1,\; v = -2e^{-t/2}$이므로
\[ F(x) = \left[-2t e^{-t/2}\right]_0^x + \int_0^x 2e^{-t/2}\,dt = -2xe^{-x/2} + \left[-4e^{-t/2}\right]_0^x = 4 - (2x + 4)e^{-x/2} \]이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
$x = 2$를 대입하면 $F(2) = 4 - 8e^{-1} = 4 - \frac{8}{e}$이다. 또한 제시문 (나)에 의해 $\lim_{x \to \infty} xe^{-x/2} = 0,\; \lim_{x \to \infty} e^{-x/2} = 0$이므로 $\lim_{x \to \infty} F(x) = 4$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
$g(t) = te^{-t/2}$라 하면 $g'(t) = \left(1 - \frac{t}{2}\right)e^{-t/2}$, $g''(t) = \left(\frac{t}{4} - 1\right)e^{-t/2}$이다. $t = 4$ 좌우에서 $g''(t)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 변곡점의 좌표는 $t_0 = 4$이며, $F(4) = 4 - (8 + 4)e^{-2} = 4 - \frac{12}{e^2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 부분적분 적용으로 $F(x) = 4 - (2x+4)e^{-x/2}$ 도출	6점
2단계	[5-2] $F(2) = 4 - 8/e$ 및 극한값 $\lim_{x \to \infty} F(x) = 4$ 산출	7점
3단계	[5-3] 이계도함수 $g\'\'(t) = (t/4 - 1)e^{-t/2}$로부터 변곡점 $t_0 = 4$ 및 $F(4) = 4 - 12/e^2$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

부분적분 후 검산으로 $F'(x)$를 다시 미분하여 $xe^{-x/2}$가 나오는지 확인하면 부호 실수를 100% 방지할 수 있습니다.

[5-1]$F(x) = 4 - (2x+4)e^{-x/2}$ | [5-2] $F(2) = 4 - \frac{8}{e},\; \lim_{x\to\infty}F(x) = 4$ | [5-3] $t_0 = 4,\; F(4) = 4 - \frac{12}{e^2}$

【문제 1】 원문 요약 — 로그방정식의 치환과 두 실근의 곱·대칭식 연산 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문항 1-1] (6점) 주어진 로그방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 실수 $p$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 두 실근 $\alpha, \beta$의 곱이 $\alpha\beta = 64$일 때 상수 $p$의 값을 구하고, 이 값이 [문항 1-1]의 범위를 만족함을 확인하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]에서 구한 $p$에 대하여 $(\log_2 \alpha)^2 + (\log_2 \beta)^2 + \log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 1 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$t = \log_2 x$의 치역은 실수 전체이므로 이차방정식 $t^2 - 2pt + 3p - 2 = 0$이 서로 다른 두 실근을 가지면 된다. 판별식 $\frac{D}{4} = p^2 - (3p - 2) = (p - 1)(p - 2) \gt 0$이므로 $p \lt 1$ 또는 $p \gt 2$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
$t_1 + t_2 = \log_2(\alpha\beta) = 2p$이므로 $\alpha\beta = 2^{2p} = 64 = 2^6$에서 $p = 3$이다. $p = 3 \gt 2$이므로 [문항 1-1]의 범위를 만족한다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
$p = 3$일 때 $t_1 + t_2 = 6,\; t_1 t_2 = 7$이다. 따라서 $t_1^2 + t_2^2 = (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 = 36 - 14 = 22$이고, 밑변환 공식에 의해 $\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \frac{t_2}{t_1} + \frac{t_1}{t_2} = \frac{t_1^2 + t_2^2}{t_1 t_2} = \frac{22}{7}$이다. 그러므로 구하는 합은 $22 + \frac{22}{7} = \frac{176}{7}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] $t = \log_2 x$ 치환 및 $D/4 = (p-1)(p-2) \gt 0$으로부터 $p \lt 1$ 또는 $p \gt 2$ 도출	6점
2단계	[1-2] $\alpha\beta = 2^{2p} = 64$로부터 $p = 3$ 도출 및 범위 충족 확인	7점
3단계	[1-3] $t_1^2 + t_2^2 = 22$ 및 밑변환 대칭식 $22/7$ 결합으로 $176/7$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$\log_2 x$는 $x \gt 0$에서 모든 실수값을 가지므로 지수 치환($t \gt 0$)과 달리 부호 제약 없이 판별식 $D \gt 0$만으로 서로 다른 두 양의 실근이 보장됩니다.

[1-1]$p \lt 1$ 또는 $p \gt 2$ | [1-2] $p = 3$ | [1-3] $\frac{176}{7}$

【문제 2】 원문 요약 — 절댓값 다항함수의 미분가능성 조건과 구간 최댓값 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

[문항 2-1] (6점) 두 상수 $a, b$의 값을 각각 구하고, $f(x)$를 인수분해된 꼴로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 닫힌구간 $[1, 3]$에서 함수 $g(x) = |f(x)|$의 최댓값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 실수 전체의 집합에서 함수 $g(x)$가 미분불가능한 점의 $x$좌표와 그 점에서의 우미분계수를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 2 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$f(0) = (-1)\cdot b = -3 \implies b = 3$이다. $g(x) = |f(x)|$가 $x = 1$에서 미분가능하므로 제시문 (가)에 의해 $x^2 + ax + 3$도 $x - 1$을 인수로 가져야 한다. 따라서 $1 + a + 3 = 0 \implies a = -4$이며, $f(x) = (x - 1)^2(x - 3)$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
$f'(x) = 2(x - 1)(x - 3) + (x - 1)^2 = (x - 1)(3x - 7)$이므로 구간 $[1, 3]$에서 $f(x)$는 $x = \frac{7}{3}$에서 극솟값 $f\left(\frac{7}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^2\left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{32}{27}$을 갖고 $f(1) = f(3) = 0$이다. 따라서 $g(x) = |f(x)|$의 최댓값은 $\frac{32}{27}$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
$f(x) = 0$의 근 중 $x = 1$은 중근이므로 미분가능하고, 단순근 $x = 3$에서만 미분불가능하다. $x \gt 3$일 때 $f(x) \gt 0$이므로 $g(x) = f(x)$이고, $x = 3$에서의 우미분계수는 $f'(3) = (3 - 1)(9 - 7) = 4$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] $f(0) = -3$ 및 $x = 1$ 중근 조건으로 $a = -4$, $b = 3$, $f(x) = (x-1)^2(x-3)$ 도출	6점
2단계	[2-2] $f\'(x) = (x-1)(3x-7)$ 극소점 $x = 7/3$ 분석으로 최댓값 $32/27$ 계산	7점
3단계	[2-3] 미분불가능점 $x = 3$ 특정 및 우미분계수 $f\'(3) = 4$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

삼차함수의 비율 관계($1 : 2$ 내분점 $x = \frac{2\cdot 3 + 1\cdot 1}{3} = \frac{7}{3}$)로 검산하되 답안지에는 도함수 $f'(x) = (x-1)(3x-7)$을 명시하십시오.

[2-1]$a = -4,\; b = 3,\; f(x) = (x-1)^2(x-3)$ | [2-2] $\frac{32}{27}$ | [2-3] $x = 3$, 우미분계수 $4$

【문제 3】 원문 요약 — 수직선 위 운동에서 위치의 변화량과 실제 움직인 거리 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문항 3-1] (6점) 점 $P$가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 모든 시각과 그때의 위치를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) $t = 0$에서 $t = 5$까지 점 $P$의 위치의 변화량을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) $t = 0$에서 $t = 5$까지 점 $P$가 실제로 움직인 총 거리 $D$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 3 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$v(t) = 3(t - 1)(t - 4) = 0$에서 $t = 1$과 $t = 4$ 좌우에서 속도의 부호가 바뀌므로 운동 방향을 바꾼다. $x(t) = \int_0^t (3s^2 - 15s + 12)\,ds = t^3 - \frac{15}{2}t^2 + 12t$이므로 $x(1) = \frac{11}{2},\; x(4) = 64 - 120 + 48 = -8$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
$t = 0$에서 $t = 5$까지 위치의 변화량은 $x(5) - x(0) = 125 - \frac{375}{2} + 60 = -\frac{5}{2}$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
구간별 위치 변화를 절댓값으로 합산하면 총 이동거리 $D$는
\[ D = |x(1) - x(0)| + |x(4) - x(1)| + |x(5) - x(4)| = \frac{11}{2} + \left|-8 - \frac{11}{2}\right| + \left|-\frac{5}{2} - (-8)\right| = \frac{11}{2} + \frac{27}{2} + \frac{11}{2} = \frac{49}{2} \]이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] $v(t) = 3(t-1)(t-4)$ 부호 변화 확인 및 $x(1) = 11/2$, $x(4) = -8$ 도출	6점
2단계	[3-2] 정적분으로 $t = 5$ 위치 변화량 $x(5) = -5/2$ 계산	7점
3단계	[3-3] 세 구간 $[0, 1]$, $[1, 4]$, $[4, 5]$ 변위 절댓값 합산으로 거리 $49/2$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

실제 움직인 거리는 매 구간마다 정적분을 새로 계산하는 대신 원시함수 $x(t)$의 방향 전환점 함숫값 차의 절댓값을 더하면 훨씬 빠르고 정확합니다.

[3-1]$t = 1$ (위치 $\frac{11}{2}$), $t = 4$ (위치 $-8$) | [3-2] $-\frac{5}{2}$ | [3-3] $D = \frac{49}{2}$

【문제 4】 원문 요약 — 지수·삼각 곱함수의 극값·변곡접선과 순환형 부분적분 [배점 20점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

[문항 4-1] (6점) 닫힌구간 $[0, \pi]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 그때의 $x$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 열린구간 $(0, \pi)$에서 곡선 $y = f(x)$의 변곡점에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 $y = f(x) \; (0 \le x \le \pi)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 4 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$f'(x) = e^x(\sin x + \cos x) = \sqrt{2}e^x\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$이다. $[0, \pi]$에서 $f'(x) = 0 \iff x = \frac{3\pi}{4}$이며 좌우에서 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 $x = \frac{3\pi}{4}$에서 최댓값 $f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{3\pi/4}$을 갖는다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
$f''(x) = e^x(\sin x + \cos x + \cos x - \sin x) = 2e^x\cos x$이므로 $(0, \pi)$에서 $x = \frac{\pi}{2}$ 좌우에서 부호가 바뀌어 변곡점은 $\left(\frac{\pi}{2}, e^{\pi/2}\right)$이다. $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{\pi/2}$이므로 변곡접선은 $y = e^{\pi/2}\left(x - \frac{\pi}{2} + 1\right)$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
구간 $[0, \pi]$에서 $f(x) \ge 0$이다. 부분적분법을 $2$회 적용하면 $\int e^x\sin x\,dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$이므로
\[ S = \left[\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x)\right]_0^\pi = \frac{1}{2}e^\pi(0 - (-1)) - \frac{1}{2}e^0(0 - 1) = \frac{e^\pi + 1}{2} \]이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] $f\'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$ 부호 판정으로 $x = 3\pi/4$에서 최댓값 $(\sqrt{2}/2)e^{3\pi/4}$ 도출	6점
2단계	[4-2] $f\'\'(x) = 2e^x \cos x$로부터 변곡점 $(\pi/2, e^{\pi/2})$ 및 변곡접선 도출	7점
3단계	[4-3] 순환 부분적분 2회 적용으로 넓이 $S = (e^\pi + 1)/2$ 계산	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$f''(x) = 2e^x \cos x$는 놀라울 만큼 간단히 정리되므로 덧셈정리 전개 과정에서 $\sin x$ 항이 소거됨을 꼼꼼히 확인하십시오.

[4-1]$x = \frac{3\pi}{4}$, 최댓값 $\frac{\sqrt{2}}{2}e^{3\pi/4}$ | [4-2] $y = e^{\pi/2}\left(x - \frac{\pi}{2} + 1\right)$ | [4-3] $S = \frac{e^\pi + 1}{2}$

【문제 5】 원문 요약 — 정적분과 급수의 관계 및 유리·로그 치환적분 결합 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.20 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $A$와 $B$를 각각 닫힌구간 $[0, 1]$에서의 정적분으로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) 두 극한값 $A$와 $B$를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) $A + 2B$의 값을 구하고, 이를 피적분함수의 합에 대한 단일 정적분으로도 검증하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 5 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
분모·분자를 $n$과 $n^2$으로 나누면 $\frac{n + 2k}{n(n + k)} = \frac{1}{n}\cdot\frac{1 + 2(k/n)}{1 + k/n}$, $\frac{k}{n^2 + k^2} = \frac{1}{n}\cdot\frac{k/n}{1 + (k/n)^2}$이므로
$A = \int_0^1 \frac{1 + 2x}{1 + x}\,dx,\quad B = \int_0^1 \frac{x}{1 + x^2}\,dx$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
$\frac{1 + 2x}{1 + x} = 2 - \frac{1}{1 + x}$이므로 $A = \left[2x - \ln(1 + x)\right]_0^1 = 2 - \ln 2$이다.
또한 $u = 1 + x^2$ 치환에 의해 $B = \frac{1}{2}\left[\ln(1 + x^2)\right]_0^1 = \frac{1}{2}\ln 2$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
$A + 2B = (2 - \ln 2) + 2\cdot\frac{1}{2}\ln 2 = 2$이다. 실제로 $\int_0^1 \left(2 - \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^2}\right)dx = \left[2x + \ln\frac{1+x^2}{1+x}\right]_0^1 = 2 + \ln\frac{2}{2} - 0 = 2$로 일치한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] $k/n = x$, $1/n = dx$ 변환으로 $A$, $B$의 $[0, 1]$ 정적분 식 수립	6점
2단계	[5-2] 가분수 분리 및 치환적분으로 $A = 2 - \ln 2$, $B = (1/2)\ln 2$ 산출	7점
3단계	[5-3] $A + 2B = 2$ 계산 및 단일 로그 결합 정적분 검산 완료	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

급수의 일반항에서 반드시 $\frac{1}{n}$ 인수를 앞으로 묶어낸 뒤 $\frac{k}{n}$만의 함수꼴로 통일해야 적분 구간의 상수 배율 실수를 막을 수 있습니다.

[5-1]$A = \int_0^1 \frac{1+2x}{1+x}dx,\; B = \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}dx$ | [5-2] $A = 2 - \ln 2,\; B = \frac{1}{2}\ln 2$ | [5-3] $2$

【문제 1】 원문 요약 — 등차수열을 이루는 삼각형 세 변의 길이와 외접원·넓이 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 가운데 변의 길이 $a$를 구하고, 코사인법칙으로 공차 $d$와 세 변의 길이를 모두 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$와 외접원의 반지름 $R$을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 가장 작은 내각의 크기를 $\theta$라 할 때 $\sin\theta$와 $\cos\theta$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 1 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
세 변을 $a - d,\; a,\; a + d \; (0 \lt d \lt a)$라 하면 둘레 $(a - d) + a + (a + d) = 3a = 30 \implies a = 10$이다. 최대 변 $10 + d$의 대각이 $\frac{2\pi}{3}$이므로 코사인법칙에 의해
$(10 + d)^2 = (10 - d)^2 + 10^2 - 2\cdot 10(10 - d)\cos\frac{2\pi}{3} \implies 40d = 100 + 10(10 - d) = 200 - 10d \implies 50d = 200 \implies d = 4$이다. 따라서 세 변의 길이는 $6,\; 10,\; 14$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
$S = \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 10 \sin\frac{2\pi}{3} = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$이다. 사인법칙에 의해 $2R = \frac{14}{\sin\frac{2\pi}{3}} = \frac{28}{\sqrt{3}} \implies R = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
가장 짧은 변 $6$의 대각이 $\theta$이므로 사인법칙에서 $\sin\theta = \frac{6}{2R} = \frac{6}{28/\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{14}$이다. 둔각삼각형의 나머지 각이므로 $\theta$는 예각이며 $\cos\theta = \sqrt{1 - \frac{27}{196}} = \frac{13}{14}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] $3a = 30$ 및 코사인법칙 전개로 $d = 4$, 세 변 $6$, $10$, $14$ 확정	6점
2단계	[1-2] 넓이 $S = 15\sqrt{3}$ 및 사인법칙 외접원 반지름 $R = 14\sqrt{3}/3$ 도출	7점
3단계	[1-3] 최소 변 $6$에 대한 $\sin \theta = 3\sqrt{3}/14$, $\cos \theta = 13/14$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

가장 큰 내각이 $\frac{2\pi}{3}$인 둔각삼각형이므로 최소 내각 $\theta$는 자동으로 예각($\cos\theta \gt 0$)임을 언급하면 논증이 완벽해집니다.

[1-1]$6,\; 10,\; 14$ | [1-2] $S = 15\sqrt{3},\; R = \frac{14\sqrt{3}}{3}$ | [1-3] $\sin\theta = \frac{3\sqrt{3}}{14},\; \cos\theta = \frac{13}{14}$

【문제 2】 원문 요약 — 비대칭 사차함수의 극값 대소 비교와 실근 개수 조건 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문항 2-1] (6점) 부정적분을 이용하여 사차함수 $f(x)$의 식을 구하고, 세 극값 $f(-1),\; f(1),\; f(2)$를 모두 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 $4$개의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 범위와 모든 정수 $k$의 값의 합을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 방정식 $f(x) = k$가 중근 $1$개와 다른 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 2 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$f'(x) = 4(x^3 - 2x^2 - x + 2) = 4x^3 - 8x^2 - 4x + 8$이고 $f(0) = 0$이므로 $f(x) = x^4 - \frac{8}{3}x^3 - 2x^2 + 8x$이다.
극값은 $f(-1) = 1 + \frac{8}{3} - 2 - 8 = -\frac{19}{3}$(극소), $f(1) = 1 - \frac{8}{3} - 2 + 8 = \frac{13}{3}$(극대), $f(2) = 16 - \frac{64}{3} - 8 + 16 = \frac{8}{3}$(극소)이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
두 극솟값 중 큰 값은 $m_{\max} = f(2) = \frac{8}{3}$이고 극댓값은 $M = \frac{13}{3}$이므로 제시문 (나)에 의해 $\frac{8}{3} \lt k \lt \frac{13}{3}$이다. 이를 만족하는 정수 $k$는 $3, 4$이며 합은 $7$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
중근 $1$개와 다른 서로 다른 두 실근(총 $3$개의 교점)을 가지는 경우는 직선 $y = k$가 극댓점 $(1, \frac{13}{3})$에 접하거나 더 큰 극솟점 $(2, \frac{8}{3})$에 접할 때이다($k = -\frac{19}{3}$일 때는 교점이 $2$개뿐). 따라서 가능한 $k$는 $\frac{13}{3}$과 $\frac{8}{3}$이며 합은 $\frac{21}{3} = 7$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] $f(x)$ 다항식 적분 완성 및 $f(-1) = -19/3$, $f(1) = 13/3$, $f(2) = 8/3$ 계산	6점
2단계	[2-2] 큰 극솟값 기준 $8/3 \lt k \lt 13/3$ 설정 및 정수 합 $3 + 4 = 7$ 산출	7점
3단계	[2-3] 교점 3개 경계 $k = 8/3,\; 13/3$ 판별($k = -19/3$ 배제) 및 합 $7$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

낮은 쪽 극솟값 $k = -\frac{19}{3}$에서는 그래프와 직선의 교점이 $3$개가 아니라 $2$개(중근 $1$개 + 실근 $1$개)이므로 반드시 제외해야 합니다.

[2-1]$f(-1) = -\frac{19}{3},\; f(1) = \frac{13}{3},\; f(2) = \frac{8}{3}$ | [2-2] $\frac{8}{3} \lt k \lt \frac{13}{3}$, 합 $7$ | [2-3] $7$

【문제 3】 원문 요약 — 두 정적분 상수를 포함한 연립 적분방정식의 해법 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.26 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문항 3-1] (6점) $A = \int_0^1 f(t)\,dt,\; B = \int_0^1 t f(t)\,dt$라 할 때, $A$와 $B$에 대한 이원일차연립방정식을 세우시오.

[문항 3-2] (7점) 연립방정식을 풀어 $A, B$의 값을 구하고 함수 $f(x)$를 확정하시오.

[문항 3-3] (7점) 실수 전체에서 함수 $f(x)$의 최솟값과 $\int_{-1}^1 f(x)\,dx$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 3 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$f(t) = 6t^2 - 6At + 4B$를 $A, B$의 정의식에 각각 대입하면
① $A = \int_0^1 (6t^2 - 6At + 4B)\,dt = 2 - 3A + 4B \implies 4A - 4B = 2 \implies 2A - 2B = 1$
② $B = \int_0^1 (6t^3 - 6At^2 + 4Bt)\,dt = \frac{3}{2} - 2A + 2B \implies 2A - B = \frac{3}{2}$

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
②에서 ①을 빼면 $B = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$이고, 이를 대입하면 $2A = 2 \implies A = 1$이다. 따라서 $f(x) = 6x^2 - 6x + 2$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
$f(x) = 6\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}$이므로 최솟값은 $\frac{1}{2}$이다. 또한 우함수·기함수 성질에 의해 $\int_{-1}^1 (6x^2 - 6x + 2)\,dx = 2\int_0^1 (6x^2 + 2)\,dx = 2(2 + 2) = 8$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] $f(t) = 6t^2 - 6At + 4B$ 치환 적분으로 연립식 $2A - 2B = 1$, $2A - B = 3/2$ 수립	6점
2단계	[3-2] $A = 1$, $B = 1/2$ 해 도출 및 $f(x) = 6x^2 - 6x + 2$ 확정	7점
3단계	[3-3] 완전제곱식 최솟값 $1/2$ 및 대칭 구간 적분값 $8$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

피적분함수 안의 $x\int_0^1 f(t)\,dt$에서 $x$는 적분변수 $t$에 대해 상수이므로 적분 기호 밖으로 분리되어 $Ax$가 됨을 명확히 보여야 합니다.

[3-1]$2A - 2B = 1,\; 2A - B = \frac{3}{2}$ | [3-2] $A = 1,\; B = \frac{1}{2},\; f(x) = 6x^2 - 6x + 2$ | [3-3] 최솟값 $\frac{1}{2}$, 적분값 $8$

【문제 4】 원문 요약 — 사이클로이드 매개변수 곡선의 접선과 호의 길이 [배점 20점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[문항 4-2] (7점) $0 \lt t \lt 2\pi$에서 접선의 기울기가 $1$이 되는 시각 $t$와 그때의 점의 좌표 $(x, y)$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) $t = 0$에서 $t = 2\pi$까지 이 곡선의 전체 길이 $L$을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 4 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$x'(t) = 1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2},\; y'(t) = \sin t = 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}$이다. $0 \lt t \lt 2\pi$에서 $\sin\frac{t}{2} \gt 0$이므로 $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(t/2)}{\sin(t/2)} = \cot\frac{t}{2}$이다. $t = \frac{2\pi}{3}$일 때 기울기는 $\cot\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
$\cot\frac{t}{2} = 1 \iff \tan\frac{t}{2} = 1$이고 $0 \lt \frac{t}{2} \lt \pi$이므로 $\frac{t}{2} = \frac{\pi}{4} \implies t = \frac{\pi}{2}$이다. 이때 점의 좌표는 $\left(\frac{\pi}{2} - 1,\; 1\right)$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
$\{x'(t)\}^2 + \{y'(t)\}^2 = (1 - \cos t)^2 + \sin^2 t = 2(1 - \cos t) = 4\sin^2\frac{t}{2}$이다. $0 \le t \le 2\pi$에서 $\sin\frac{t}{2} \ge 0$이므로
\[ L = \int_0^{2\pi} 2\sin\frac{t}{2}\,dt = \left[-4\cos\frac{t}{2}\right]_0^{2\pi} = (-4)(-1) - (-4)(1) = 8 \]이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 반각 항등식으로 $dy/dx = \cot(t/2)$ 유도 및 $t = 2\pi/3$ 기울기 $\sqrt{3}/3$ 산출	6점
2단계	[4-2] $\cot(t/2) = 1$ 풀이로 $t = \pi/2$ 및 점 $(\pi/2 - 1, 1)$ 도출	7점
3단계	[4-3] 속력 $2\sin(t/2)$ 유도 및 $[0, 2\pi]$ 정적분으로 길이 $L = 8$ 계산	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$\sqrt{4\sin^2\frac{t}{2}} = 2\left|\sin\frac{t}{2}\right|$에서 $0 \le \frac{t}{2} \le \pi$이므로 절댓값을 양수로 벗길 수 있다는 부호 근거를 반드시 밝혀야 합니다.

[4-1]$\frac{dy}{dx} = \cot\frac{t}{2}$, 기울기 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | [4-2] $t = \frac{\pi}{2},\; \left(\frac{\pi}{2}-1, 1\right)$ | [4-3] $L = 8$

【문제 5】 원문 요약 — 로그·거듭제곱 몫함수의 최댓값과 부분적분 넓이 [배점 20점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

[문항 5-1] (6점) 함수 $f(x)$의 최댓값과 그때의 $x$의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$와 $x$축 및 직선 $x = e$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1$을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 자연수 $n$에 대하여 $A_n = \int_1^{e^n} f(x)\,dx$라 할 때, $A_2$의 값과 극한값 $\lim_{n \to \infty} A_n$을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 5 · 총 20점

[1단계: 제시문 원리 및 핵심 관계식 수립]
$f'(x) = \frac{\frac{1}{x}\cdot x^2 - (\ln x)\cdot 2x}{x^4} = \frac{1 - 2\ln x}{x^3}$이다. $f'(x) = 0 \iff \ln x = \frac{1}{2} \iff x = \sqrt{e}$이며 좌우에서 도함수 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 $x = \sqrt{e}$에서 최댓값 $f(\sqrt{e}) = \frac{1/2}{e} = \frac{1}{2e}$을 갖는다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 논리적 추론]
$u = \ln x,\; v' = x^{-2}$로 놓으면 $u' = \frac{1}{x},\; v = -\frac{1}{x}$이므로 부정적분은 $-\frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{\ln x + 1}{x} + C$이다. 따라서 $S_1 = \left[-\frac{\ln x + 1}{x}\right]_1^e = -\frac{2}{e} - (-1) = 1 - \frac{2}{e}$이다.

[3단계: 경계 조건 검증 및 최종 결론 도출]
일반적으로 $A_n = \left[-\frac{\ln x + 1}{x}\right]_1^{e^n} = 1 - \frac{n + 1}{e^n}$이다. 따라서 $A_2 = 1 - \frac{3}{e^2}$이고, 지수함수의 증가 속도에 의해 $\lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{e^n} = 0$이므로 $\lim_{n \to \infty} A_n = 1$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] $f\'(x) = (1 - 2\ln x)/x^3$ 부호 판정으로 $x = \sqrt{e}$에서 최댓값 $1/(2e)$ 도출	6점
2단계	[5-2] 부분적분 원시함수 $-(\ln x + 1)/x$ 유도 및 $S_1 = 1 - 2/e$ 산출	7점
3단계	[5-3] $A_n = 1 - (n+1)/e^n$ 일반화로부터 $A_2 = 1 - 3/e^2$ 및 극한 $1$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$\frac{\ln x}{x}$의 최댓값 위치($x = e$)와 $\frac{\ln x}{x^2}$의 최댓값 위치($x = \sqrt{e}$)를 혼동하지 않도록 분모 차수에 따른 도함수를 정확히 계산하십시오.

[5-1]$x = \sqrt{e}$, 최댓값 $\frac{1}{2e}$ | [5-2] $S_1 = 1 - \frac{2}{e}$ | [5-3] $A_2 = 1 - \frac{3}{e^2},\; \lim_{n\to\infty}A_n = 1$

🎯 전형 방식: 논술 80% + 학생부교과 20% 📌 수능최저 기준: 의예 3합 4 · 약학 3합 5 · 간호(자연) 3합 7 / 일반 자연·공학계열 수능최저 없음

희망 지원 모집단위 선택

수능최저학력기준 충족 여부 체크 (의예 3합 4 · 약학 3합 5 · 간호(자연) 3합 7 / 일반)

문항 1 (20점)

문항 2 (20점)

문항 3 (20점)

문항 4 (20점)

문항 5 (20점)

합산 환산 총점 (100점 만점) 0.0 / 100점

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모집단위	모집인원	명목경쟁률	실질경쟁률	최초합 평균	70% 충원컷	수능최저 기준	실시간 합격 판정
의예과	19명	204.8 : 1	58.2 : 1	93.4점	91.5점	국·수·영·탐(2평균) 중 3합 4, 한국사 4	판정 대기
약학과	8명	142.5 : 1	44.6 : 1	89.2점	87.0점	국·수·영·탐(1) 중 3합 5	판정 대기
간호학과(자연)	12명	46.8 : 1	19.4 : 1	83.5점	81.2점	국·수·영·탐(1) 중 3합 7	판정 대기
인공지능학과	8명	31.4 : 1	26.8 : 1	80.6점	78.4점	수능최저 없음	판정 대기
컴퓨터정보공학부	12명	29.7 : 1	25.1 : 1	79.8점	77.5점	수능최저 없음	판정 대기
의생명과학과	7명	33.2 : 1	28.0 : 1	81.0점	78.8점	수능최저 없음	판정 대기
데이터사이언스학과	7명	27.5 : 1	23.2 : 1	78.9점	76.5점	수능최저 없음	판정 대기
바이오메디컬화학공학과	8명	26.9 : 1	22.7 : 1	78.4점	76.0점	수능최저 없음	판정 대기
바이오메디컬소프트웨어학과	6명	26.1 : 1	22.0 : 1	77.8점	75.4점	수능최저 없음	판정 대기
정보통신전자공학부	12명	25.4 : 1	21.5 : 1	77.2점	74.8점	수능최저 없음	판정 대기
미디어기술콘텐츠학과	8명	24.6 : 1	20.8 : 1	76.5점	74.0점	수능최저 없음	판정 대기
자연과학부(수학·화학·생명·물리)	16명	23.8 : 1	20.1 : 1	75.8점	73.2점	수능최저 없음	판정 대기

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📋 실전 모의고사 1회~10회 회차별 자기주도 성취도 기록표 (인쇄용 체크시트)

회차	실전 응시일	소요 시간	원점수 / 100점
제1회	2026. . .	분	/ 100
제2회	2026. . .	분	/ 100
제3회	2026. . .	분	/ 100
제4회	2026. . .	분	/ 100
제5회	2026. . .	분	/ 100
제6회	2026. . .	분	/ 100
제7회	2026. . .	분	/ 100
제8회	2026. . .	분	/ 100
제9회	2026. . .	분	/ 100
제10회	2026. . .	분	/ 100

RULE 1

원칙 1. 교과서 정의·정리 우선 선언
답안 첫 줄에 사용할 교과서 정리(사잇값 정리, 평균값 정리, 미분가능성 정의, 조건부확률 곱셈정리 등)를 명시하여 1단계 배점(30%)을 확정하십시오.

RULE 2

원칙 2. 대학 미적분학 과정 공식 사용 철저 배제
고교 교육과정을 벗어난 대학 과정 정리나 무근거 근사식 사용은 채점 기준에서 감점 또는 무효 처리되므로 반드시 교과서 성질만으로 논증하십시오.

RULE 3

원칙 3. 동치 변형과 정의역·부호 경계 조건 명시
로그의 밑·진수 조건, 무리식·분수식의 분모 조건, 치환 변수의 새로운 범위(예: $-1 \le t \le 1$)를 빠짐없이 기록하십시오.

RULE 4

원칙 4. 소문항 간 단계적 연계 구조 활용
앞선 소문항 (1)의 결론은 소문항 (2), (3)을 해결하는 핵심 힌트입니다. (1)이 막히더라도 (1)의 결과를 가정하고 (2)의 식을 세우면 부분점수를 획득할 수 있습니다.

RULE 5

원칙 5. 도형·그래프 보조 문자의 명확한 정의
답안지에 새로운 점·각·길이를 도입할 때는 '점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하자'와 같이 기호의 정의를 한 문장으로 선언하십시오.

RULE 6

원칙 6. 실전 시간 배분 및 검산 루틴 엄수
전체 시험 시간(90분) 중 마지막 10분은 부호 오류, 기약분수 약분 여부, 최종 답란 이기 누락을 점검하는 전용 검산 시간으로 확보하십시오.

RULE 7

원칙 7. 깔끔한 단락 구분과 최종 결론 강조
단계별 번호([1단계], [2단계], [결론])를 줄바꿈하여 가독성을 높이고 최종 수식을 명확히 제시하여 채점위원이 즉시 득점 포인트를 확인하게 하십시오.

📘 2027학년도 가톨릭대학교 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

• 편찬 및 발행: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술·약술형논술 연구소 | 공식 플랫폼: https://questio.co.kr

• 상호: 퀘스티오(QUESTIO) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449

• 교육과정 준거: 교과서 기반 수학과 교육과정 (Textbook DB V1.0 · JEV-REA-ARGON 7대 무결성 검증 통과)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] [논제 1] 두 함수가 \(x=-1\)에서 교점을 가짐을 보이고 인수분해 유도	5점
2단계	[논제 1] [논제 1] 근과 계수의 관계 또는 곱셈공식 변형을 통해 \(L = \frac{455}{2}\) 도출	5점
3단계	[논제 2] [논제 2] 접점 \((p, f(p))\)에서 \((1, -4)\)를 지나는 접선 관계식 설정 및 \(p=2, 1/2\) 구하기	10점
4단계	[논제 2] [논제 2] \(p=2\)의 부적합성을 밝히고, \(p=1/2\)일 때 \(m = -\frac{21}{4}\) 도출 및 검증	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] [논제 1] 극한을 해석하여 함수 \(h(x)\)를 \(f(x)\)가 포함된 조각함수로 표현	5점
2단계	[논제 1] [논제 1] \(h(x)\)의 연속 조건(\(x=0, 3\))을 활용하여 \(f(0)+f(3) = 9\) 도출	5점
3단계	[논제 2] [논제 2] 정적분 구간 분할 및 다항식 적분 계산 (\(78, 510\) 구하기)	10점
4단계	[논제 2] [논제 2] 치환적분법을 활용하여 두 정적분 식을 합치고 \(\int_{0}^{3} x f(x) dx = 2\) 계산	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] [논제 1] 평균의 최댓값과 최솟값이 각각 \(a_1, a_{100}\)을 제외할 때임을 설명	4점
2단계	[논제 1] [논제 1] 수열의 합 공식을 활용하여 \(m = 346, M = 353\) 계산 도출	6점
3단계	[논제 2] [논제 2] \(N\)에 대한 부등식 범위를 설정하여 \(N = 27\) 또는 \(28\) 유도	8점
4단계	[논제 2] [논제 2] 평균의 정수 조건을 통해 \(N=28\)을 결정하고 \(p = 108\) 도출	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] 세 각의 합을 이용하여 \(\cos(B+C) = -\cos A\) 관계 도출	5점
2단계	[논제 1] 사인법칙과 코사인법칙을 대입하여 \(c^2 = a^2 + b^2\) 유도	5점
3단계	[논제 1] 삼각형 \(ABC\)가 \(C=90^{\circ}\)인 직각삼각형임을 유도하고 \(\frac{c}{R} = 2\) 계산	5점
4단계	[논제 2] 내접원의 성질을 활용해 각 변의 길이를 \(x\)의 관계식으로 설정	4점
5단계	[논제 2] \(c^2 = a^2 + b^2\) 에 대입하여 \(mnx^2 - 2(m+n)x - 4 = 0\) 유도	4점
6단계	[논제 2] 판별식 조건 \(\frac{D}{4} = 49\) 로부터 순서쌍 \((2,3), (3,2)\) 및 양수 \(x=2\) 도출	4점
7단계	[논제 2] 가능한 \(a\)의 값으로 \(6\)과 \(8\)을 최종 도출	3점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] \(f(x)+f(-x)=4\) 가 항등식임을 이용해 \(b=0, d=2\) 도출	7점
2단계	[논제 1] \(f'(1)-f'(0)=-3\) 을 대입하여 최고차항 계수 \(a=-1\) 도출	8점
3단계	[논제 2] \(f'(0) \gt 0\) 으로부터 두 극값의 성질 및 극댓값이 2보다 큼을 유도	3점
4단계	[논제 2] \(A(20)=1\) 및 조건부 조건들을 활용하여 \(A(0), A(18)\) 의 경우의 수 탐색 및 분류	3점
5단계	[논제 2] 극솟값이 \(0\) 일 때 \(c=3\) 과 \(f(x) = -x^3+3x+2\) 를 구해 \(I=6\) 계산	5점
6단계	[논제 2] 극댓값이 \(18\) 일 때 \(c=12\) 와 \(f(x) = -x^3+12x+2\) 를 구해 \(I=24\) 계산	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] 수열 일반항 공식에서 \(a_k+a_m=0\) 임을 이용해 \(b = -\frac{2a}{l}\) 형태 유도	7점
2단계	[논제 1] \(k+m=l+2\) 의 순서쌍 개수를 분류해 최댓값 조건 \(l=4\) 로부터 \(d = -\frac{a}{2}\) 도출	8점
3단계	[논제 2] 수열 \({b_n}\)의 일반항 수립 및 구간별 절댓값 식 유도	5점
4단계	[논제 2] 급수의 각 항을 유리화하여 전개하고 소거법을 통해 \(S = \frac{12}{\sqrt{a}}\) 계산	5점
5단계	[논제 2] \(S=3\) 조건식을 적용하여 첫째항 \(a=16\) 최종 계산	5점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] 조립제법을 통해 \(f(x) = (x-2)(2x^2 - 2kx + k^2 - 6)\) 인수분해	5점
2단계	[논제 1] 켤레복소수 관계 식을 이용해 허근 \(3z-1 = 2+i\) 계산	5점
3단계	[논제 1] \(f(2+i)=0\) 을 대입해 실수 \(k=4\) 도출	5점
4단계	[논제 2] \(f'(x)\)의 부호를 판별하고 연립 이차부등식 관계 수립	4점
5단계	[논제 2] \(a = 3\) 일 때 성립함을 보여 원소에 포함시킴	3점
6단계	[논제 2] \(a = -3\) 일 때 성립하지 않음을 보임	3점
7단계	[논제 2] 일반 케이스 (\(a \ne \pm 3\))에서 판별식을 적용해 다른 원소가 없음을 규명하고 집합 \(S = \{3\}\) 계산	5점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] 적분 미분 및 평행이동 변환 \(g(x)=f(x+5)\)를 활용하여 \(g(x) = x^4 + c_2 x^2 + c_0\) 설정	5점
2단계	[논제 1] 경계값 조건 \(g(-5)=0, g'(5)=0\) 으로부터 사차함수 \(f(x) = x^2(x-10)^2\) 도출	5점
3단계	[논제 1] 함수 그래프의 실근 개수를 분석하여 \(M = 625\) 계산	5점
4단계	[논제 2] \(f(a)=f(b)=f(c)=k\) 및 우함수 변형을 통한 근의 위치(\(5-\alpha, 5+\alpha, 5+\beta\)) 설정	5점
5단계	[논제 2] 근과 계수 대입 및 계수비교법을 활용해 \(\alpha^2+\beta^2=50\), \(\alpha^2\beta^2=625-k\) 유도	5점
6단계	[논제 2] 조건 \(c-a = \sqrt{70}\) 을 이용해 \(\alpha\beta=10\) 계산 및 \(f(a) = 525\) 도출	5점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] 원 위의 점에서의 접선 공식을 활용하여 교점 \(C, D\)의 좌표 정확히 도출	7점
2단계	[논제 1] 직선 \(AB\)의 방정식을 세우고 점과 직선의 거리 공식을 활용해 큰 넓이 \(S=6\) 계산	8점
3단계	[논제 2] 현의 중점 \(R(c,d)\)가 원 \(x^2+y^2=9\) 위의 점임을 피타고라스 정리로 유도	7점
4단계	[논제 2] 직선 \(PQ\)의 접선 방정식 유도 및 세 점이 한 직선 위에 있지 않을 조건 규명	4점
5단계	[논제 2] 삼각형 \(APQ\)의 넓이 공식 \(\|5c+9\|\)를 수립하고 범위 내 최댓값 \(M=24\) 도출	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] \(g(1)=2\) 조건으로부터 상수 \(c=1\) 도출	3점
2단계	[논제 1] 무한대 극한 성질을 활용해 최고차항 차수 \(n=m+2\) 및 계수관계 \(a=m+2\) 유도	4점
3단계	[논제 1] \(x \to 0\) 극한 성질을 활용해 최저차항 차수 \(l=m-1\) 및 계수 \(b=4\) 유도	4점
4단계	[논제 1] \(f(1)=8\) 조건을 결합하여 연립방정식을 풀고 \(a=4, b=4, c=1\) 도출	4점
5단계	[논제 2] \(f(x) = 4x^2(x+1)\), \(g(x) = x(x+1)(x^2-x+1)\) 대입 식 설정	6점
6단계	[논제 2] 인수분해 및 약분을 통해 극한값 \(L = -\frac{3}{4}\) 계산 완료	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] 이동거리가 \(4\)의 배수가 되어야 함을 확인하고 순서쌍 \((0,8), (4,4), (8,0)\) 분류	7점
2단계	[논제 1] 각 경우의 수를 조합으로 계산하여 합 \(a = 72\) 도출	8점
3단계	[논제 2] 이동거리 식 \(3l+2m+n\)이 \(8\)의 배수 조건 및 연립방정식 형태 수립	4점
4단계	[논제 2] 이동거리 \(8, 24\) 일 때의 순서쌍 분석 및 경우의 수 \(2\) 도출	4점
5단계	[논제 2] 이동거리 \(16\) 일 때 각 순서쌍을 분류하고 조합으로 각각 계산하여 합 \(1107\) 도출	5점
6단계	[논제 2] 두 경우의 합으로 최종 경우의 수 \(b = 1109\) 도출	2점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[논제 1] 조건 (다)를 활용하여 \(p=0\) 임을 보이고 \(f(x) = x^3 - 3c^2 x + 1\) 설정	7점
2단계	[논제 1] 극댓값 \(3\) 조건을 대입해 \(c=1\) 구하여 삼차함수식 및 극대/극소 경계 \(a=-1, b=3\) 도출	8점
3단계	[논제 2] \(f(x)-k = (x-t)(x^2+tx+t^2-3)=0\) 으로 식을 인수분해하여 이차방정식 관계 도출	5점
4단계	[논제 2] 근과 계수의 관계를 이용하여 차의 제곱식 \((\beta-\alpha)^2 = -3t^2+12\) 유도	5점
5단계	[논제 2] \(-1 \le t \le 1\) 범위에서 최댓값 \(M=2\sqrt{3}\)과 최솟값 \(m=3\)을 구하여비율 \(\frac{M}{m} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\) 계산	5점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• \(A = 2^{2/3},\; B = 2^{3/4},\; C = 2^{5/6}\) 변환 / \(A \lt B \lt C\) 대소 판정	6점
2단계	• \(A\cdot B\cdot C = 2^{9/4}\) 산출 / \(n_0 = 4\) 및 \(2^9 = 512\) 도출	7점
3단계	• \(t = 2^x \gt 1\) 치환 및 근의 분리 조건 수립 / \(3 \lt k \lt 4\) 산출	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• \(S(r) = -r^2 + 10r\) 식 수립 / \(r = 5,\; l = 10,\; \theta = 2\) 산출	6점
2단계	• \(2\) 라디안이 제2사분면 각(\(\cos 2 \lt 0\))임을 반영 / 넓이 \(-\dfrac{25}{2}\sin 2\cos 2\) 도출	7점
3단계	• \(\sin\alpha\cos\alpha = -\dfrac{1}{4}\) 산출 / 세제곱 곱셈공식으로 \(\dfrac{5\sqrt{2}}{8}\) 도출	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• 양변을 \(x(x+1) \gt 0\)으로 나눈 부등식 제시 / 조임 정리로 극한값 \(3\) 도출	6점
2단계	• \(\sqrt{1+a} = b\) 및 유리화 극한 \(\dfrac{1}{2b} = \dfrac{1}{4}\) 수립 / \(a = 3,\; b = 2\) 산출	7점
3단계	• 켤레 무리식 유리화 / 최고차항 계수비 \(\dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\) 산출	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• \(f(0) = 2\) 산출 / 도함수 정의로 \(f'(x) = 3x^2 + 4\) 유도	6점
2단계	• \(f(x) = x^3 + 4x + 2\) 적분 결정 / 점 \((1, 7)\)에서의 접선 \(y = 7x\) 산출	7점
3단계	• \(f(x) - 4x = x^3 + 2\) 변환 및 도함수 \(3x^2 \ge 0\) 제시 / 유일 실근 존재 논증	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• \(K = \int_0^1 f(t)\,dt\) 치환 및 \(K = 2K - 1\) 유도 / \(K = 1,\; f(x) = 3x^2 - 4x + 2\) 도출	6점
2단계	• 교점 방정식 정리 / 정적분 공식으로 둘러싸인 넓이 산출	7점
3단계	• 미적분학의 기본정리 \(F'(x) = f(x)\) 적용 / 정적분 차 계산	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• 반감기 지수부등식 \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/4} \le 2^{-4}\) 수립 / 최소 \(16\)시간 도출	6점
2단계	• \(2^{t/4} \ge \dfrac{32}{3}\) 상용로그 변환 / \(5\log_{10} 2 - \log_{10} 3 = 1.0279\) 대입 계산	7점
3단계	• \(\log_{10} x^2 - \log_{10} x = \log_{10} x \in \mathbb{Z}\) 조건 도출 / \(x = 100\) 산출	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• 주기 \(\pi\), 최댓값 \(3\), 최솟값 \(-1\) 도출 / 네 근 및 합 \(3\pi\) 산출	6점
2단계	• 대칭축 \(x = \dfrac{\pi}{4},\; \dfrac{5\pi}{4}\) 명시 / \(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{5\pi}{2} = 3\pi\) 유도	7점
3단계	• \((n\pi, 1)\) 통과점 기준 그래프 교점 분석 / \(N(1) = 2,\; N(2) = 4\) 산출	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• 분모 \(g(x) \ne 0 \iff D/4 = k^2 - k - 6 \lt 0\) 도출 / \(-2 \lt k \lt 3\) 및 정수 \(4\)개 산출	6점
2단계	• 좌극한 \(3\), 우극한 \(2\) 비교 서술 / \(3(1-a) = 2(1-a) \implies a = 1\) 도출	7점
3단계	• \(g(3) = g(2)\) 연속 조건 수립 / 대칭축 \(k = \dfrac{5}{2}\) 산출	7점

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평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• \(4t_1 t_2 = -1\) 및 \(t_1 t_2 = b\) 적용 / \(b = -\dfrac{1}{4}\) 도출	6점
2단계	• 직선 \(\mathrm{AB} : y = 2x + \dfrac{1}{4}\) 도출 / \(\|t_2 - t_1\| = \sqrt{5}\)로부터 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5\) 산출	7점
3단계	• 포물선 넓이 \(S = \dfrac{5\sqrt{5}}{6}\) 및 \(\triangle\mathrm{PAB}\) 넓이 \(T = \dfrac{5\sqrt{5}}{4}\) 산출 / 비율 \(\dfrac{2}{3}\) 도출	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• \(f(2) = f(0),\; f'(2) = f'(0)\) 조건식 수립 / \(a = -3,\; b = 2\) 산출	6점
2단계	• \(f(x) = x(x-1)(x-2)\) 부호 분리 / \(\int_0^2 \|f(x)\|\,dx = \dfrac{1}{2}\) 산출	7점
3단계	• 한 주기 정적분 \(\int_0^2 f(x)\,dx = 0\) 도출 / \(3 \times 14 = 42\) 산출	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• \(y = x\) 대칭성으로 \(x_2 = y_1\) 도출 / \(x_1 + x_2 = 6\) 및 \(\mathrm{M}(3, 3)\) 산출	6점
2단계	• \(\mathrm{A}(2, 4),\; \mathrm{B}(4, 2)\) 및 \(\overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{2}\) 도출 / \(\triangle\mathrm{OAB} = 6\) 산출	7점
3단계	• \(y = 2^{x-1} - 1\) 평행이동 식 수립 / 역함수 \(g(x) = \log_2(x+1)+1\) 도출	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• 사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}} = 2\sqrt{7}\sin 60^\circ\) 적용 / \(\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{21}\) 산출	6점
2단계	• \(7k^2 = 21 \implies k = \sqrt{3}\) 및 \(\overline{\mathrm{AB}}=3\sqrt{3},\; \overline{\mathrm{AC}}=2\sqrt{3}\) 도출 / 넓이 \(\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\) 산출	7점
3단계	• 내접원 넓이 식 \(\dfrac{1}{2}r(5\sqrt{3}+\sqrt{21}) = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}\) 수립 / 유리화하여 \(r = \dfrac{5 - \sqrt{7}}{2}\) 도출	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• \(\alpha = 160\) 도출 / 일반항 \(a_n = 160\left\{1 - (1/4)^n\right\}\) 유도	6점
2단계	• \(4^n \ge 320\) 부등식 변환 / \(4^4 = 256,\; 4^5 = 1024\) 비교로 \(n = 5\) 산출	7점
3단계	• \(a_n = \dfrac{4}{3}D(1 - 4^{-n})\) 일반화 / 상한 \(\dfrac{4}{3}D \le 240 \implies D \le 180\) 도출	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• \(f'(x) = 3(x-a+1)(x-a-1)\) 인수분해 및 \(\alpha = a-1,\; \beta = a+1\) 도출 / 극값 차 \(4\) 일정 증명	6점
2단계	• \(a - 1 \lt 0\) 및 \(a + 1 \gt 0\) 부등식 수립 / \(-1 \lt a \lt 1\) 도출	7점
3단계	• \(a = 1\)일 때 \(f(0) = 2,\; f(2) = -2\) 계산 / 그래프 교점 부호 분석으로 \(-2 \lt k \lt 2\) 산출	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• \(v(t) = 3(t-1)(t-3) = 0\)으로 \(t = 1, 3\) 도출 / \(x(1) = 4,\; x(3) = 0\) 산출	6점
2단계	• 위치 변화량 \(x(4) = 4\) 산출 / 구간별 절댓값 적분으로 이동 거리 \(12\) 도출	7점
3단계	• \(x(t) = t(t-3)^2 = 0 \implies t_0 = 3\) 도출 / 가속도 \(a(3) = 6\) 산출	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• 진수 조건 \(1 \lt x \lt 7\) 명시 / \((x-3)(x-5) \le 0\)으로부터 \(3 \le x \le 5\) 도출	6점
2단계	• \(t = \log_2 x \in [0, 3]\) 치환 / \(M = 8\;(x=8),\; m = 4\;(x=2)\) 산출	7점
3단계	• \(xy \le 4\) 도출 / 산술·기하평균 및 등호 조건 \(x=y=2\)로 최솟값 \(4\) 산출	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• \(\overline{\mathrm{BD}} = 7,\; \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{19}\) 산출 / \(49 + 19 = 2(9 + 25) = 68\) 확인	6점
2단계	• 평행사변형 넓이 \(S = \dfrac{15\sqrt{3}}{2}\) 산출 / 대각선 넓이 공식으로 \(\sin\theta = \dfrac{15\sqrt{57}}{133}\) 도출	7점
3단계	• \(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ\) 사인법칙 적용 / \(\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{7\sqrt{19}}{19}\) 산출	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• \(d(m) = \dfrac{\|2m - 1\|}{\sqrt{m^2 + 1}}\) 식 수립 / \(m = -\dfrac{3}{4}\) 도출	6점
2단계	• \(m = -3/4\) 기준 \(f(m) \in \{0, 1, 2\}\) 분류 / 좌극한 \(0\), 우극한 \(2\), 함숫값 \(1\) 명시	7점
3단계	• \(b = 3\) 및 \(g(-3/4) = 0\) 연속 조건 수립 / \(a = \dfrac{19}{4}\) 산출	7점