| 순위 | 기출 원천 문항 | 핵심 출제 테마 및 변별 포인트 | 모의 1:1 매칭 | 부분점수 공략 전략 |
|---|---|---|---|---|
| TOP 1 | 공학계 핵심유형 01 (삼각방정식과 범위 제한) | 삼각방정식·부등식의 치환 범위 제한 및 대칭근의 합 추론 | 제6회 문항 3 · 제8회 문항 3 | $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$로 단일 삼각함수로 통일한 뒤 반드시 [-1, 1] 범위 외의 무연근 배제 근거를 명시 |
| TOP 2 | 공학계 핵심유형 02 (닫힌구간 삼차함수 최대·최소) | 미정계수를 포함한 삼차·사차함수의 제한 구간 최대·최소 역추론 | 제6회 문항 7 · 제9회 문항 7 | 도함수 인수분해로 구간 내 극값과 양 끝점 함숫값을 모두 표기·비교하여 미정계수와 최솟값을 동시 확정 |
| TOP 3 | 모의 B형 문항 10 (절댓값 정적분·구간분리 넓이) | 절댓값 피적분함수의 부호 구간 분할 정적분 및 넓이 비 해석 | 제7회 문항 8 · 제10회 문항 8 | 피적분함수의 영점을 기준으로 적분 구간을 나눈 뒤 각 구간의 부호를 반영해 정적분을 합산 |
| TOP 4 | 모의 B형 문항 7 (분수·계차형 귀납적 정의) | 수열의 귀납적 정의(역수·선형 변환)와 시그마 부분합 결합 | 제7회 문항 4 · 제10회 문항 9 | 점화식을 등차·등비 표준형으로 치환하여 일반항을 먼저 확정한 뒤 시그마 합 공식에 대입 |
| TOP 5 | 모의 B형 문항 10 (수직선 운동 방향 전환과 거리) | 정적분으로 정의된 함수와 수직선 운동의 위치·실제 이동거리 | 제8회 문항 8 · 제10회 문항 10 | 위끝=아래끝 초기조건 대입 및 속도 $v(t)=0$ 부호 전환 시각 분할로 위치 변화량과 이동거리를 구분 계산 |
$0 \le x \lt 2\pi$일 때, 삼각방정식 $2\sin^2 x - 3\cos x = 0$을 만족시키는 모든 실근의 합을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, 삼각함수의 성질 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 및 코사인 값의 범위를 반드시 명시할 것.)
$0 \le x \lt 2\pi$에서 방정식 $2\cos^2 x + 3\sin x = 0$을 만족시키는 모든 실근의 합을 구하시오.
$2(1-\sin^2 x)+3\sin x=0 \iff (2\sin x + 1)(\sin x - 2)=0$에서 $|\sin x|\le 1$이므로 $\sin x = -\dfrac{1}{2}$이고 $x = \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$의 합은 $3\pi$이다. [정답: $3\pi$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각함수의 기본 성질 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 주어진 방정식에 대입하여 정리하면 $2(1 - \cos^2 x) - 3\cos x = 0 \iff 2\cos^2 x + 3\cos x - 2 = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 인수분해하면 $(2\cos x - 1)(\cos x + 2) = 0$이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $-1 \le \cos x \le 1$이므로 $\cos x \ne -2$이어서 $\cos x = \dfrac{1}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \le x \lt 2\pi$에서 $\cos x = \dfrac{1}{2}$을 만족시키는 해는 $x = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}$이므로 모든 실근의 합은 $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{5\pi}{3} = 2\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 대입하여 이차방정식 $2 \cos^2 x + 3 \cos x - 2 = 0$을 유도함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 범위 조건 $-1 \le \cos x \le 1$을 명시하여$\cos x = -2$를 배제하고$\cos x = 1/2$을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간 내 두 실근 $\pi/3$, $5\pi/3$과 그 합 $2\pi$를 정확히 도출함 | 3점 |
$\cos x = -2$가 해가 될 수 없는 이유($-1 \le \cos x \le 1$)를 적지 않으면 루브릭에서 2점이 감점됩니다.
그림과 같이 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + k$의 닫힌구간 $[0, 3]$에서의 최댓값이 $10$일 때, 상수 $k$의 값과 이 구간에서의 최솟값을 각각 구하시오. (단, 도함수 $f'(x)$를 구하고 극값 및 양 끝값의 대소 관계를 밝힐 것.)
삼차함수 $g(x) = x^3 - 6x^2 + c$의 닫힌구간 $[0, 5]$에서의 최솟값이 $-12$일 때, 상수 $c$와 최댓값을 구하시오.
$g'(x)=3x(x-4)$에서 $g(0)=c$, $g(4)=c-32$, $g(5)=c-25$이므로 최솟값 $c-32=-12 \implies c=20$이고 최댓값은 $g(0)=20$이다. [정답: $c=20$, 최댓값 $20$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 도함수를 구하면 $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$이므로 $f'(x) = 0$에서 임계점은 $x = 0, 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 닫힌구간 $[0, 3]$에서 극값과 양 끝점의 함숫값을 비교하면 $f(0) = k$, $f(2) = 8 - 12 + k = k - 4$, $f(3) = 27 - 27 + k = k$이므로 최댓값은 $k = 10$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $k = 10$을 대입하면 주어진 구간에서의 최솟값은 $f(2) = 10 - 4 = 6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 도함수 $f'(x)=3x(x-2)$를 구하여 임계점 $x=0$, 2를 도출함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f(0)=k$, $f(2)=k-4$, $f(3)=k$를 모두 비교하여 최댓값 $k=10$을 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최솟값 $f(2)=6$을 정확히 계산함 | 3점 |
f(0), f(2), f(3) 세 값을 모두 명시하여 대소를 비교하면 감점 요인이 원천 차단됩니다.
$\sqrt[4]{64} \times \sqrt{32} \div \sqrt[4]{4}$의 값을 유리수 지수 법칙을 이용하여 간단히 하는 과정을 서술하시오.
$\sqrt[3]{16} \times \sqrt[6]{4} \div \sqrt{2}$의 값을 구하시오.
$2^{4/3 + 2/6 - 1/2} = 2^{7/6}$ (또는 $2\sqrt[6]{2}$)이다. [정답: $2\sqrt[6]{2}$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 각 거듭제곱근을 밑이 $2$인 유리수 지수로 변환하면 $\sqrt[4]{64} = 2^{6/4} = 2^{3/2}$, $\sqrt{32} = 2^{5/2}$, $\sqrt[4]{4} = 2^{2/4} = 2^{1/2}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 지수법칙을 적용하면 $2^{\frac{3}{2} + \frac{5}{2} - \frac{1}{2}} = 2^{\frac{7}{2}}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 이를 근호 꼴로 정리하면 $2^3 \times 2^{1/2} = 8\sqrt{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 각 항을 밑이 2인 유리수 지수 형태로 정확히 변환함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 지수법칙에 따라 지수의 덧셈·뺄셈으로 $2^{7/2}$을 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $8 \times \sqrt{2}$를 정확히 도출함 | 3점 |
나눗셈 뒤의 항은 지수의 뺄셈으로 처리됨을 등식에 명확히 드러내십시오.
$2\log_5 10 + \log_5 \dfrac{5}{2} - \log_5 2$의 값을 로그의 성질을 이용하여 구하는 과정을 서술하시오.
$\log_3 18 + \log_3 \dfrac{3}{2}$의 값을 구하시오.
$\log_3\left(18 \times \dfrac{3}{2}\right) = \log_3 27 = 3$이다. [정답: $3$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 거듭제곱 성질에 의하여 $2\log_5 10 = \log_5 10^2 = \log_5 100$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 밑이 $5$로 같으므로 로그의 덧셈·뺄셈 성질을 적용하면 $\log_5\left(100 \times \dfrac{5}{2} \div 2\right)$로 정리된다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 진수를 약분하면 $100 \times \dfrac{5}{2} \times \dfrac{1}{2} = 125 = 5^3$이므로 구하는 값은 $\log_5 5^3 = 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 계수 2를 진수의 거듭제곱으로 올려 $\log_5 100$으로 변환함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 밑이 5인 로그들의 덧셈과 뺄셈을 진수의 곱셈·나눗셈으로 결합함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 진수 $125 = 5^3$으로부터 정수 로그값 3을 정확히 도출함 | 3점 |
로그 앞의 계수 2를 먼저 진수의 제곱으로 올린 뒤 곱셈·나눗셈을 수행해야 실수가 없습니다.
부등식 $2^{x^2 - 5x} \le 64$를 만족시키는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.
부등식 $3^{x^2 - 2x} \le 27$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 개수를 구하시오.
$3^{x^2 - 2x} \le 3^3 \implies x^2 - 2x - 3 \le 0 \implies -1 \le x \le 3$이므로 정수는 $5$개이다. [정답: $5$개]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 우변을 밑이 $2$인 거듭제곱으로 나타내면 $64 = 2^6$이므로 주어진 부등식은 $2^{x^2 - 5x} \le 2^6$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 밑 $2$가 $1$보다 크므로 지수의 대소 방향이 유지되어 $x^2 - 5x - 6 \le 0 \iff (x + 1)(x - 6) \le 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $-1 \le x \le 6$이고, 이를 만족시키는 자연수 $x$는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$이므로 합은 $\dfrac{6 \times 7}{2} = 21$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $64 = 2^6$으로 밑을 2로 통일함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 밑 $2 \gt 1$ 성질을 명시하여 이차부등식 $(x+1)(x-6) \le 0$을 품 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 자연수 1~6을 구하고 합 21을 정확히 도출함 | 3점 |
구한 구간 [-1, 6]에서 문제 조건인 '자연수 x'만 골라 -1과 0을 제외해야 합니다.
그림과 같이 세 변의 길이가 $\overline{\mathrm{AB}} = 3$, $\overline{\mathrm{BC}} = 7$, $\overline{\mathrm{CA}} = 5$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 내각 $A$의 크기와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 넓이를 각각 구하시오.
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $a = \sqrt{13}$, $b = 3$, $c = 4$일 때 내각 $A$의 크기를 구하시오.
$\cos A = \dfrac{9 + 16 - 13}{24} = \dfrac{1}{2}$이므로 $A = 60^\circ$이다. [정답: $60^\circ$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여 $\cos A = \dfrac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \dfrac{9 + 25 - 49}{30} = -\dfrac{1}{2}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $0^\circ \lt A \lt 180^\circ$이므로 둔각 $A = 120^\circ$이고 $\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 사인법칙 $2R = \dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin 120^\circ} = \dfrac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{14}{\sqrt{3}}$에서 $R = \dfrac{7}{\sqrt{3}}$이므로 외접원의 넓이는 $\pi R^2 = \dfrac{49}{3}\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙으로$\cos A = -1/2$을 정확히 계산함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 둔각 $A = 120^\circ$와 $\sin A = \sqrt{3}/2$를 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 사인법칙으로 $R = 7/\sqrt{3}$을 구해 외접원 넓이 (49/3)pi를 도출함 | 3점 |
$\cos A = -1/2$일 때 각 A는 60도가 아니라 120도임에 주의하십시오.
등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_4 = 24$, $S_8 = 80$일 때, 첫째항 $a_1$과 공차 $d$를 구하고 $a_{12}$의 값을 서술하시오.
등차수열 $\{b_n\}$에서 $S_3 = 9$, $S_6 = 36$일 때 공차 $d$를 구하시오.
$2b_1 + 2d = 6$, $2b_1 + 5d = 12$를 연립하면 $3d = 6 \implies d = 2$이다. [정답: $2$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등차수열의 합 공식에 의하여 $S_4 = \dfrac{4(2a_1 + 3d)}{2} = 4a_1 + 6d = 24 \implies 2a_1 + 3d = 12$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $S_8 = \dfrac{8(2a_1 + 7d)}{2} = 8a_1 + 28d = 80 \implies 2a_1 + 7d = 20$이며, 두 식을 연립하면 $4d = 8$에서 $d = 2$, $a_1 = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 일반항은 $a_n = 3 + 2(n - 1) = 2n + 1$이고 $a_{12} = 25$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $S_4=24$로부터 $2a_1 + 3d = 12$ 관계식을 유도함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $S_8=80$과 연립하여 $d=2$, $a_1=3$을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 일반항으로부터 $a_{12}=25$를 정확히 도출함 | 3점 |
$S_n = \frac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2}$에서 $2a_1$ 앞의 계수 2를 빠뜨리지 않도록 주의하십시오.
$\displaystyle\sum_{k=1}^{8} \frac{1}{k(k + 2)}$의 값을 부분분수 변형을 이용하여 구하는 과정을 서술하시오.
$\displaystyle\sum_{k=1}^{6} \frac{2}{k(k + 2)}$의 값을 구하시오.
$\displaystyle\sum_{k=1}^{6}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right) = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{7} - \frac{1}{8} = \frac{69}{56}$이다. [정답: $\dfrac{69}{56}$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부분분수 공식에 의하여 $\dfrac{1}{k(k + 2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 2}\right)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $k = 1$부터 $8$까지 대입하여 더하면 앞에서는 $1 + \dfrac{1}{2}$의 두 항이 남고 뒤에서는 $-\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{10}$의 두 항이 남는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 합은 $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{19}{90}\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{116}{90} = \dfrac{29}{45}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 분모 차 2를 반영해 $(1/2)(1/k - 1/(k+2))$로 정확히 분해함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 2칸 간격 소거로 앞 2개 항(1, 1/2)과 뒤 2개 항(-1/9, -1/10)이 남음을 보임 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 통분 및 약분으로 기약분수 29/45를 도출함 | 3점 |
2칸 간격 망원급수는 첫 항 1개와 끝 항 1개만 남는 것이 아니라 앞 2개·뒤 2개 항이 남습니다!
$\sin\dfrac{7\pi}{6} + \cos\dfrac{5\pi}{3} - \tan\dfrac{3\pi}{4}$의 값을 각 변환 공식을 이용하여 구하는 과정을 서술하시오.
$\cos\dfrac{4\pi}{3} + \sin\dfrac{5\pi}{6} + \tan\dfrac{5\pi}{4}$의 값을 구하시오.
$-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + 1 = 1$이다. [정답: $1$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 각 변환 공식에 의하여 $\sin\dfrac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\cos\dfrac{5\pi}{3} = \cos\left(2\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$이고, $\tan\dfrac{3\pi}{4} = \tan\left(\pi - \dfrac{\pi}{4}\right) = -\tan\dfrac{\pi}{4} = -1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 식의 값은 $-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - (-1) = 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 제3사분면 각 $7\pi/6$의 사인값 $-1/2$을 유도함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 제4사분면 코사인값 1/2과 제2사분면 탄젠트값 -1을 각각 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 부호를 반영해 합산하여 1을 정확히 도출함 | 3점 |
$-\tan(3\pi/4) = -(-1) = 1$에서 이중 음수 부호 실수를 주의하십시오.
다항함수 $f(x)$가 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2 + 3x} = 2$, $\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x - 3} = 11$을 만족시킬 때, $f(0)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
다항함수 $f(x)$가 $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x^2} = 3$, $\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{f(x)}{x - 1} = 7$일 때 $f(2)$의 값을 구하시오.
$f(x) = (x - 1)(3x + 4)$이므로 $f(2) = 1 \times 10 = 10$이다. [정답: $10$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 첫째 조건으로부터 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $2$인 이차함수이고, 둘째 조건에서 $f(3) = 0$이므로 $f(x) = 2(x - 3)(x - k)$로 놓을 수 있다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 둘째 극한에 대입하여 $(x - 3)$을 약분하면 $\displaystyle\lim_{x \to 3} 2(x - k) = 2(3 - k) = 11$이므로 $2x - 2k = 2x + 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = (x - 3)(2x + 5)$이므로 상수항은 $f(0) = (-3) \times 5 = -15$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 무한대 극한과 $f(3)=0$으로부터 $f(x) = (x-3)(2x+c)$ 꼴을 세움 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | (x-3) 약분 후 극한값 11 조건으로 일차 인수 2x+5를 결정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x=0$을 대입하여 $f(0) = -15$를 정확히 도출함 | 3점 |
$f(x) = (x-3)(2x+c)$로 설정하면 분수 분모 없이 정수 계산만으로 빠르게 풀립니다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 1 & (x \lt 2) \\ 3x - a & (x \ge 2) \end{cases}$가 $x = 2$에서 연속일 때, 상수 $a$의 값과 $f(2)$의 값을 각각 구하시오.
함수 $g(x) = \begin{cases} 2x^2 - k & (x \lt 1) \\ x + 2k & (x \ge 1) \end{cases}$가 $x = 1$에서 연속일 때 상수 $k$를 구하시오.
$2 - k = 1 + 2k \implies 3k = 1 \implies k = \dfrac{1}{3}$이다. [정답: $\dfrac{1}{3}$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 $f(x)$가 $x = 2$에서 연속이려면 $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$가 성립해야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 좌극한은 $2^2 + 2a + 1 = 2a + 5$이고, 우극한 및 함숫값은 $3(2) - a = 6 - a$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $2a + 5 = 6 - a$에서 $3a = 1 \implies a = \dfrac{1}{3}$이고, $f(2) = 6 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{17}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x=2$에서의 좌극한=우극한=함숫값 연속 조건을 명시함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 좌극한 2a+5와 우극한 6-a를 정확히 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 방정식을 풀어 $a=1/3$과 $f(2)=17/3$을 도출함 | 3점 |
좌극한 기호(2-)와 우극한 기호(2+)를 구분해 적어 서술 감점을 예방하십시오.
삼차함수 $f(x) = -2x^3 + ax^2 + bx + 5$가 $x = 2$에서 극댓값 $13$을 가질 때, 상수 $a, b$의 값과 극솟값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.
함수 $f(x) = x^3 + px^2 + qx + 1$이 $x = 1$에서 극솟값 $-3$을 가질 때, $p + q$의 값을 구하시오.
$f(1) = 2 + p + q = -3$에서 $p + q = -5$이다 ($f'(1)=3+2p+q=0 \implies p=2, q=-7$로 실제로 $x=1$에서 극소). [정답: $-5$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 도함수는 $f'(x) = -6x^2 + 2ax + b$이며, $x = 2$에서 극값을 가지므로 $f'(2) = -24 + 4a + b = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(2) = -16 + 4a + 2b + 5 = 13 \implies 4a + 2b = 24$이고 두 식을 연립하면 $b = 0$, $a = 6$이므로 $f'(x) = -6x(x - 2)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = -2x^3 + 6x^2 + 5$는 $x = 0$에서 극솟값 $f(0) = 5$를 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미분가능 함수의 극점 성질 $f'(2)=0$으로부터 $4a + b = 24$를 세움 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극댓값 $f(2)=13$과 연립하여 $a=6$, $b=0$과 도함수 -6x(x-2)를 확정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 극소점 $x=0$에서의 극솟값 $f(0)=5$를 도출함 | 3점 |
최고차항 계수가 음수(-2)이므로 작은 근 $x=0$에서 극소, 큰 근 $x=2$에서 극대가 됨을 확인하십시오.
그림과 같이 함수 $f(x) = \begin{cases} ax^2 + 2x + 1 & (x \lt 1) \\ x^3 + bx - 1 & (x \ge 1) \end{cases}$이 $x = 1$에서 미분가능할 때, 상수 $a, b$의 값과 $f'(1)$의 값을 구하시오.
함수 $g(x) = \begin{cases} x^2 + px & (x \lt 2) \\ 5x + q & (x \ge 2) \end{cases}$가 $x = 2$에서 미분가능할 때 $p - q$의 값을 구하시오.
미분계수 $4 + p = 5 \implies p = 1$, 연속 조건 $4 + 2 = 10 + q \implies q = -4$이므로 $p - q = 5$이다. [정답: $5$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x = 1$에서 미분가능하면 연속이므로 $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$에서 $a + 3 = b$, 즉 $a - b = -3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x = 1$에서의 좌미분계수 $2a + 2$와 우미분계수 $3 + b$가 같아야 하므로 $2a - b = 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 식을 연립하면 $a = 4$, $b = 7$이고, 따라서 $f'(1) = 2(4) + 2 = 10$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x=1$ 연속 조건으로부터 $a - b = -3$을 유도함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 좌·우미분계수 일치 조건으로부터 $2a - b = 1$을 유도해 $a=4$, $b=7$을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 미분계수 $f'(1) = 10$을 정확히 도출함 | 3점 |
구한 $a=4$, $b=7$을 좌·우 미분계수 양쪽에 대입해 모두 10이 나오는지 검산하면 실수가 사라집니다.
삼차방정식 $x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0$이 오직 하나의 실근과 두 개의 허근을 갖도록 하는 자연수 $k$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.
방정식 $x^3 - 3x + c = 0$이 한 실근과 두 허근을 갖도록 하는 양의 정수 $c$의 최솟값을 구하시오.
극값 $(c+2)(c-2) \gt 0$에서 양수 범위는 $c \gt 2$이므로 최소 양의 정수는 $3$이다. [정답: $3$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k$라 하면 $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)$이므로 $x = -1$에서 극대, $x = 3$에서 극소이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 극댓값은 $f(-1) = k + 5$이고 극솟값은 $f(3) = k - 27$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 삼차방정식이 한 실근과 두 허근을 가지려면 극댓값과 극솟값의 부호가 같아야 하므로 $(k + 5)(k - 27) \gt 0 \implies k \lt -5$ 또는 $k \gt 27$이며, 자연수 $k$의 최솟값은 $28$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 도함수 $3(x+1)(x-3)$으로부터 극댓값 $k+5$와 극솟값 $k-27$을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 한 실근·두 허근 조건으로 극댓값*극솟값 > 0 부등식을 세움 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $k \gt 27$ 범위에서 최소 자연수 28을 도출함 | 3점 |
$k=27$일 때는 중근과 다른 한 실근을 가지므로 허근이 생기지 않아 등호를 제외해야 합니다.
연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = 3x^2 - 2x + \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{0}^{2} f(t)\,dt$를 만족시킬 때, 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{2} f(t)\,dt$의 값과 $f(1)$의 값을 각각 구하시오.
연속함수 $g(x)$가 $g(x) = 2x + 3\displaystyle\int_{0}^{1} g(t)\,dt$일 때 $g(2)$의 값을 구하시오.
$A = \displaystyle\int_{0}^{1}(2t+3A)\,dt = 1 + 3A \implies A = -\dfrac{1}{2}$이므로 $g(2) = 4 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}$이다. [정답: $\dfrac{5}{2}$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 정적분 구간이 상수이므로 $A = \displaystyle\int_{0}^{2} f(t)\,dt$라 놓으면 $f(x) = 3x^2 - 2x + \dfrac{1}{4}A$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이를 $A$의 식에 대입하면 $A = \displaystyle\int_{0}^{2} \left(3t^2 - 2t + \dfrac{1}{4}A\right)dt = \left[t^3 - t^2 + \dfrac{1}{4}At\right]_{0}^{2} = 8 - 4 + \dfrac{1}{2}A$이므로 $\dfrac{1}{2}A = 4$에서 $A = 8$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\displaystyle\int_{0}^{2} f(t)\,dt = 8$이고, $f(x) = 3x^2 - 2x + 2$에서 $f(1) = 3 - 2 + 2 = 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정적분을 상수 A로 치환하여 $f(x) = 3x^2 - 2x + (1/4)A$로 나타냄 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 구간 [0, 2]에서 적분하여 일차방정식 $A = 4 + (1/2)A$로부터 $A=8$을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | f(x)를 확정하고 $f(1)=3$을 정확히 도출함 | 3점 |
치환 상수 (1/4)A를 구간 [0, 2]에서 적분하면 구간 길이 2가 곱해져 (1/2)A가 됨에 유의하십시오.
그림과 같이 곡선 $y = x^3 - 4x^2 + 3x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오.
곡선 $y = x^3 - x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
교점은 $-1, 0, 1$이고 원점 대칭이므로 $2\displaystyle\int_{0}^{1}(x - x^3)\,dx = 2\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$이다. [정답: $\dfrac{1}{2}$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x^3 - 4x^2 + 3x = x(x - 1)(x - 3) = 0$이므로 곡선과 $x$축의 교점의 $x$좌표는 $0, 1, 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 $[0, 1]$에서는 $y \ge 0$, 구간 $[1, 3]$에서는 $y \le 0$이므로 넓이는 $S = \displaystyle\int_{0}^{1} (x^3 - 4x^2 + 3x)\,dx + \int_{1}^{3} (-x^3 + 4x^2 - 3x)\,dx$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 원함수 $F(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{4}{3}x^3 + \dfrac{3}{2}x^2$에 대하여 $F(1) = \dfrac{5}{12}$, $F(3) = -\dfrac{9}{4}$이므로 $S = \dfrac{5}{12} + \left(\dfrac{5}{12} - \left(-\dfrac{9}{4}\right)\right) = \dfrac{5}{12} + \dfrac{32}{12} = \dfrac{37}{12}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼차식을 $x(x-1)(x-3)$으로 인수분해해 세 교점 $0, 1, 3$을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | [0, 1] 양수 구간과 [1, 3] 음수 구간으로 부호를 반전하여 적분식을 세움 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $5/12 + 8/3 = 37/12$를 정확히 계산하여 도출함 | 3점 |
0부터 3까지 한 번에 적분하면 음수 넓이가 상쇄되므로 반드시 $x=1$에서 구간을 나누어야 합니다.
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R1-Q1 | 대수 | 거듭제곱근의 성질과 유리수 지수 연산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 거듭제곱근의 성질 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-01] | 10점/중 |
| R1-Q2 | 대수 | 부채꼴의 둘레와 최대 넓이 최적화 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 호도법과 부채꼴의 호의 길이 및 중심각 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-01] | 10점/중상 |
| R1-Q3 | 대수 | 수열의 귀납적 정의와 등차수열의 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 등차수열과 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-06] | 10점/중 |
| R1-Q4 | 대수 | 로그방정식의 해와 진수 조건 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그방정식과 로그부등식 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중 |
| R1-Q5 | 대수 | 코사인법칙과 삼각형의 넓이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 코사인법칙과 도형의 활용 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중상 |
| R1-Q6 | 미적분Ⅰ | 인수분해와 유리화를 이용한 0/0꼴 극한 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 무리식의 부정형 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R1-Q7 | 미적분Ⅰ | 미분계수의 정의를 이용한 극한 변형 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수의 정의와 극한 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01] | 10점/중상 |
| R1-Q8 | 미적분Ⅰ | 곡선 위의 점에서의 접선과 절편의 합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/중 |
| R1-Q9 | 미적분Ⅰ | 부정적분을 이용한 원함수와 방정식 실근 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 원함수 결정 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02] | 10점/중상 |
| R1-Q10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선과 좌표축 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/중 |
| R2-Q1 | 대수 | 유리수 지수의 제곱 곱셈공식 변형 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 유리수 지수와 대칭식 연산 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중 |
| R2-Q2 | 대수 | 제3사분면 각의 삼각함수 부호와 관계식 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수의 뜻과 부호 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.13 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중 |
| R2-Q3 | 대수 | 등비수열의 귀납적 정의와 부분합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 등비수열과 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06] | 10점/중 |
| R2-Q4 | 대수 | 감소하는 로그함수의 최대·최소 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그함수의 최대와 최소 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/중 |
| R2-Q5 | 대수 | 합의 기호 시그마의 성질과 전개 계산 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 여러 가지 수열의 합과 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/중 |
| R2-Q6 | 미적분Ⅰ | 유리함수의 수렴 조건과 미정계수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 미정계수의 결정과 다항함수 추론 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R2-Q7 | 미적분Ⅰ | 곱의 미분법 공식 적용 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 다항함수의 도함수와 곱의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.17 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-04] | 10점/중 |
| R2-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 극대와 극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/중상 |
| R2-Q9 | 미적분Ⅰ | 가속도가 0인 시각에서의 속도 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 직선 운동의 속도와 가속도 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-10] | 10점/중상 |
| R2-Q10 | 미적분Ⅰ | 절댓값 이차함수의 세 구간 정적분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선과 좌표축 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R3-Q1 | 대수 | 밑변환 공식을 이용한 로그방정식 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 로그의 밑변환 공식 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.21 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/중 |
| R3-Q2 | 대수 | 삼각함수 합의 제곱과 세제곱 대칭식 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 사이의 관계식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R3-Q3 | 대수 | 수학적 귀납법을 이용한 자연수 합 등식 증명 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 등식 증명 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-07] | 10점/중상 |
| R3-Q4 | 대수 | 평행이동된 지수함수의 밑 결정 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수의 그래프와 평행이동 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/중 |
| R3-Q5 | 대수 | 외접원 반지름과 사인법칙 내각 결정 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 외접원 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R3-Q6 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한의 대소 관계와 무한대 극한 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한의 대소 관계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R3-Q7 | 미적분Ⅰ | 접선의 방정식과 수직인 법선의 방정식 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/중상 |
| R3-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 정수 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 방정식의 실근의 개수와 극값 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/중상 |
| R3-Q9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 함수의 미정계수 두 개 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수와 미분의 관계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R3-Q10 | 미적분Ⅰ | 열차의 제동 시각과 정지 거리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 제동 시각과 정지 거리 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.35 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/중상 |
| R4-Q1 | 대수 | 지수함수의 점근선·치역과 구간 최대·최소 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수의 최대와 최소 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/중 |
| R4-Q2 | 대수 | 삼각방정식의 모든 해 도출 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각방정식과 삼각부등식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R4-Q3 | 대수 | 계차형 수열의 귀납적 정의와 일반항 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 일반항 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/중상 |
| R4-Q4 | 대수 | 상용로그의 정수 부분과 소수 부분 계산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 상용로그의 활용 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.24 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-05] | 10점/중 |
| R4-Q5 | 대수 | 연속한 항의 합 조건을 이용한 등비수열 결정 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 등비수열과 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06] | 10점/중 |
| R4-Q6 | 미적분Ⅰ | 사잇값 정리를 이용한 실근 존재 증명 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 사잇값 정리와 실근의 존재성 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/중상 |
| R4-Q7 | 미적분Ⅰ | 최고차항이 음수인 삼차함수의 극값 합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 극대와 극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/중상 |
| R4-Q8 | 미적분Ⅰ | 평행이동된 좌극한과 우극한의 계산 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 우극한과 좌극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.10 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01] | 10점/중 |
| R4-Q9 | 미적분Ⅰ | 원점 대칭구간에서의 정적분 계산 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질과 대칭구간 계산 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R4-Q10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 x축 및 상수직선이 이루는 두 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R5-Q1 | 대수 | 로그함수의 역함수 유도와 구간 최대·최소 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그함수의 그래프와 역함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/중상 |
| R5-Q2 | 대수 | 사인법칙을 이용한 변의 길이와 외접원 반지름 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 외접원 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중상 |
| R5-Q3 | 대수 | 분수 점화식의 역수 수열과 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 일반항 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/중상 |
| R5-Q4 | 대수 | 삼각함수의 주기와 진폭 계산 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수의 주기와 최대·최소 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중 |
| R5-Q5 | 대수 | 등차수열과 결합된 무리식 분모의 유리화 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 여러 가지 수열의 합과 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/상 |
| R5-Q6 | 미적분Ⅰ | 분수함수의 실수 전체 연속 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 조건 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03] | 10점/중 |
| R5-Q7 | 미적분Ⅰ | 평균값 정리를 만족시키는 상수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 롤의 정리와 평균값 정리 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] | 10점/중상 |
| R5-Q8 | 미적분Ⅰ | 절대부등식에의 사차함수 미분 활용 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 부등식에의 미분 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/중상 |
| R5-Q9 | 미적분Ⅰ | 원점 대칭 삼차곡선과 직선이 이루는 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 두 곡선 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/중상 |
| R5-Q10 | 미적분Ⅰ | 수직선 운동의 방향 전환·위치·움직인 거리 종합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 수직선 운동의 위치와 움직인 거리 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R6-Q1 | 대수 | 진수 조건과 로그방정식의 해 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그방정식과 로그부등식 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/상 |
| R6-Q2 | 대수 | 지수함수와 로그함수의 역함수 대칭과 삼각형 넓이 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그함수의 그래프와 역함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/상 |
| R6-Q3 | 대수 | 삼각방정식의 치환 범위 제한과 대칭근의 합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각방정식과 삼각부등식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/최상 |
| R6-Q4 | 대수 | 외접원의 반지름과 사인법칙을 이용한 삼각형 둘레 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 외접원 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R6-Q5 | 대수 | 로그의 성질과 시그마 연쇄 소거 합 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 로그의 성질과 계산 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/상 |
| R6-Q6 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 도함수·극값 및 접선의 방정식 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 극대와 극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/상 |
| R6-Q7 | 미적분Ⅰ | 미정계수를 포함한 삼차함수의 닫힌구간 최대·최소 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 최대와 최소 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/최상 |
| R6-Q8 | 미적분Ⅰ | 무리식을 포함한 부정형 극한의 미정계수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 무리식의 부정형 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/상 |
| R6-Q9 | 미적분Ⅰ | 사차부등식이 모든 실수에서 성립할 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 부등식에의 미분 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/최상 |
| R6-Q10 | 미적분Ⅰ | 대칭 구간에서 우함수·기함수의 정적분 성질 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질과 대칭구간 계산 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중상 |
| R7-Q1 | 대수 | 코사인법칙을 이용한 대변의 길이와 삼각형 넓이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 코사인법칙과 도형의 활용 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R7-Q2 | 대수 | 상용로그를 이용한 자외선 투과율 실생활 부등식 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수의 활용 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/상 |
| R7-Q3 | 대수 | 치환을 이용한 지수부등식의 해와 정수 합 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수방정식과 지수부등식 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중상 |
| R7-Q4 | 대수 | 역수 치환 귀납적 정의와 시그마 부분합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 일반항 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/최상 |
| R7-Q5 | 대수 | 코사인함수의 최댓값·최솟값과 주기 미정계수 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수의 주기와 최대·최소 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R7-Q6 | 미적분Ⅰ | 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R7-Q7 | 미적분Ⅰ | 무한대 극한과 영점 극한을 이용한 다항함수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 미정계수의 결정과 다항함수 추론 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/상 |
| R7-Q8 | 미적분Ⅰ | 절댓값 이차 피적분함수의 부호 구간 분할 정적분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질과 대칭구간 계산 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/최상 |
| R7-Q9 | 미적분Ⅰ | 불연속 구간함수와 이차함수 곱의 실수 전체 연속 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 연속함수의 성질 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.29 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/상 |
| R7-Q10 | 미적분Ⅰ | 열차의 정지 시각과 제동거리 정적분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 제동 시각과 정지 거리 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.35 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/중상 |
| R8-Q1 | 대수 | 두 항이 주어진 등차수열의 일반항과 부분합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 등차수열과 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-06] | 10점/중상 |
| R8-Q2 | 대수 | 유리수 지수의 곱셈공식과 대칭식 계산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 유리수 지수와 대칭식 연산 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중상 |
| R8-Q3 | 대수 | 이차 치환 삼각부등식의 해 구간과 대칭성 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각방정식과 삼각부등식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/최상 |
| R8-Q4 | 대수 | 등비수열 부분합의 비를 이용한 공비와 일반항 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 등비수열과 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06] | 10점/상 |
| R8-Q5 | 대수 | 평행사변형의 넓이와 코사인법칙 대각선 길이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 종합 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R8-Q6 | 미적분Ⅰ | 분수함수의 연속 조건과 미정계수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 조건 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03] | 10점/중상 |
| R8-Q7 | 미적분Ⅰ | 절댓값 인수를 포함한 함수의 미분가능성 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분가능성과 연속성 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/최상 |
| R8-Q8 | 미적분Ⅰ | 변수 분리형 정적분 정의 함수와 절댓값 정적분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수의 극값 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 문제 7 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/최상 |
| R8-Q9 | 미적분Ⅰ | 미분계수의 정의를 이용한 식 변형 극한 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수의 정의와 극한 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01] | 10점/상 |
| R8-Q10 | 미적분Ⅰ | 두 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 두 곡선 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/중상 |
| R9-Q1 | 대수 | 닫힌구간에서 지수함수의 최댓값과 최솟값 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수의 최대와 최소 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/중 |
| R9-Q2 | 대수 | 로그의 밑의 변환 공식을 이용한 문자의 표현 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 로그의 밑변환 공식 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.21 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/상 |
| R9-Q3 | 대수 | 삼각함수의 제곱 관계와 사분면 부호 판정 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 사이의 관계식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R9-Q4 | 대수 | 부분분수 분해를 이용한 분수수열의 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 여러 가지 수열의 합과 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/중상 |
| R9-Q5 | 대수 | 수학적 귀납법을 이용한 지수·다항 부등식 증명 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 부등식 증명 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-07] | 10점/상 |
| R9-Q6 | 미적분Ⅰ | 원점에서 포물선에 그은 두 접선의 방정식과 접점 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 곡선 밖의 점에서 그은 접선 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/상 |
| R9-Q7 | 미적분Ⅰ | 닫힌구간에서 사차함수의 최솟값과 미정계수 역추론 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 최대와 최소 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/최상 |
| R9-Q8 | 미적분Ⅰ | 직원뿔에 내접하는 직원기둥의 최대 부피 최적화 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 최대와 최소 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/최상 |
| R9-Q9 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 방정식의 실근의 개수와 극값 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| R9-Q10 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 둘러싸인 도형 넓이의 비례 분할 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선과 좌표축 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R10-Q1 | 대수 | 선형 귀납적 정의로 주어진 수열의 항 계산 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 일반항 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/상 |
| R10-Q2 | 대수 | 이차 진수를 갖는 로그함수의 닫힌구간 최대·최소 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그함수의 최대와 최소 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/상 |
| R10-Q3 | 대수 | 부채꼴의 넓이와 호의 길이 및 둘레 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 호도법과 부채꼴의 호의 길이 및 중심각 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-01] | 10점/중상 |
| R10-Q4 | 대수 | 코사인법칙과 사인법칙을 결합한 외접원 반지름 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 코사인법칙과 도형의 활용 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R10-Q5 | 미적분Ⅰ | 절댓값 유리식의 좌극한·우극한과 극한 존재 판정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 우극한과 좌극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.10 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01] | 10점/중상 |
| R10-Q6 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 함수의 미정계수와 함숫값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수와 미분의 관계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R10-Q7 | 미적분Ⅰ | 삼차함수에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 롤의 정리와 평균값 정리 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] | 10점/상 |
| R10-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이 및 y축 분할 비 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 두 곡선 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/최상 |
| R10-Q9 | 대수 | 선형 점화식 일반항 도출과 등비·상수 결합 시그마 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 여러 가지 수열의 합과 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/최상 |
| R10-Q10 | 미적분Ⅰ | 수직선 위 두 동점의 실제 이동거리와 재회 시각 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 수직선 운동의 위치와 움직인 거리 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/최상 |
식 $\sqrt[3]{2} \times \sqrt[6]{16} \div \sqrt[3]{4}$의 값을 유리수 지수 법칙을 이용하여 간단히 하는 과정을 서술하시오.
그림과 같이 둘레의 길이가 $24\,\mathrm{cm}$인 부채꼴 중에서 그 넓이가 최대가 되는 부채꼴의 반지름의 길이 $r$와 중심각의 크기 $\theta$ (라디안)를 구하고, 그때의 최대 넓이 $S$를 구하는 과정을 서술하시오.
첫째항이 $a_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = a_n + 4$로 정의된 수열 $\{a_n\}$에 대하여 제$10$항 $a_{10}$과 첫째항부터 제$10$항까지의 합 $S_{10}$을 구하는 과정을 서술하시오.
방정식 $\log_5(x - 2) + \log_5(x + 2) = 1$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 5$, $\overline{\mathrm{AC}} = 6$, $\cos A = \dfrac{3}{5}$일 때, 변 $\overline{\mathrm{BC}}$의 길이와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 각각 구하시오.
두 극한값 $A = \displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$와 $B = \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$를 각각 구하는 과정을 서술하시오.
미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f(2) = 3$, $f'(2) = 4$일 때, $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x^2 - 2) - 3}{x - 2}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
곡선 $y = x^3 - 5x + 3$ 위의 점 $(1, -1)$에서의 접선의 $x$절편과 $y$절편의 합을 구하는 과정을 서술하시오.
함수 $f(x)$의 도함수가 $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$이고 곡선 $y = f(x)$가 점 $(1, -2)$를 지날 때, 함수 $f(x)$와 방정식 $f(x) = 0$의 모든 실근을 각각 구하는 과정을 서술하시오.
포물선 $y = x^2 - 6x + 8$과 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 정적분을 이용하여 구하는 과정을 서술하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 문항 1 | 대수 | 거듭제곱근의 성질과 유리수 지수 연산 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 2 | 대수 | 부채꼴의 둘레와 최대 넓이 최적화 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 3 | 대수 | 수열의 귀납적 정의와 등차수열의 합 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 4 | 대수 | 로그방정식의 해와 진수 조건 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 5 | 대수 | 코사인법칙과 삼각형의 넓이 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 인수분해와 유리화를 이용한 0/0꼴 극한 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 미분계수의 정의를 이용한 극한 변형 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 곡선 위의 점에서의 접선과 절편의 합 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 부정적분을 이용한 원함수와 방정식 실근 결정 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이 | 10점 | 중 |
$x \gt 0$이고 $x^{1/2} + x^{-1/2} = 3$일 때, $x + x^{-1}$의 값과 $x^2 + x^{-2}$의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.
각 $\theta$가 제$3$사분면의 각이고 $\sin\theta = -\dfrac{3}{5}$일 때, $\cos\theta$와 $\tan\theta$의 값을 구하고 $\dfrac{1}{\cos\theta} + \dfrac{1}{\tan\theta}$의 값을 서술하시오.
첫째항이 $a_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 3a_n$으로 정의된 수열 $\{a_n\}$에 대하여 제$5$항 $a_5$와 $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} a_k$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
닫힌구간 $[2, 26]$에서 함수 $f(x) = -\log_3(x + 1) + 5$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 곱 $Mm$의 값을 구하시오.
수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k = 15$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k^2 = 35$일 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (2a_k - 1)^2$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
등식 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 5$를 만족시키는 두 상수 $a, b$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
함수 $f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3x + 2)$에 대하여 도함수 $f'(x)$를 곱의 미분법을 이용하여 구하고, $f'(1)$의 값을 서술하시오.
삼차함수 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1$의 극댓값과 극솟값의 차를 구하는 과정을 서술하시오.
수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 위치가 $x(t) = t^3 - 9t^2 + 15t + 4$일 때, 점 $\mathrm{P}$의 가속도가 $0$이 되는 시각에서의 속도를 구하시오.
그림과 같이 피적분함수의 부호에 따라 적분 구간을 나누어 정적분 $I = \displaystyle\int_{-1}^{2} |x(x - 1)|\,dx$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제2회 | 문항 1 | 대수 | 유리수 지수의 제곱 곱셈공식 변형 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 2 | 대수 | 제3사분면 각의 삼각함수 부호와 관계식 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 3 | 대수 | 등비수열의 귀납적 정의와 부분합 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 4 | 대수 | 감소하는 로그함수의 최대·최소 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 5 | 대수 | 합의 기호 시그마의 성질과 전개 계산 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 유리함수의 수렴 조건과 미정계수 결정 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 곱의 미분법 공식 적용 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 가속도가 0인 시각에서의 속도 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 절댓값 이차함수의 세 구간 정적분 | 10점 | 상 |
방정식 $\log_2 x + \log_4 x = 6$을 만족시키는 양수 $x$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
$\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{3}$일 때, $\sin\theta\cos\theta$의 값과 $\sin^3\theta + \cos^3\theta$의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.
모든 자연수 $n$에 대하여 등식 $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정을 서술하시오.
지수함수 $f(x) = a^{x - 1} + 2$ ($a \gt 1$)의 그래프가 점 $(3, 18)$을 지날 때, 상수 $a$의 값과 $f(0)$의 값을 각각 구하시오.
그림과 같이 반지름의 길이가 $5$인 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{BC}} = 5\sqrt{3}$이고 내각 $A$가 예각일 때, 각 $A$의 크기와 $\cos A$의 값을 각각 구하시오.
모든 양의 실수 $x$에 대하여 부등식 $2x^2 - 3x + 1 \lt f(x) \lt 2x^2 + 5x + 7$이 성립할 때, $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2 + 2}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
곡선 $y = x^3 - 3x + 2$ 위의 점 $(2, 4)$에서의 접선의 방정식과, 이 접선에 수직이고 점 $(2, 4)$를 지나는 직선의 방정식을 각각 구하시오.
방정식 $2x^3 - 6x^2 + k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 정수 $k$의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle\int_{2}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + ax + b$이고 $f(1) = 2$를 만족시킬 때, 상수 $a, b$의 값과 $f(3)$의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.
직선 철로를 $30\,\mathrm{m/s}$의 속도로 달리는 열차가 제동을 건 후 $t$초에서의 속도가 $v(t) = 30 - 3t$ ($\mathrm{m/s}$)일 때, 제동을 건 순간부터 정지할 때까지 열차가 움직인 거리를 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제3회 | 문항 1 | 대수 | 밑변환 공식을 이용한 로그방정식 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 2 | 대수 | 삼각함수 합의 제곱과 세제곱 대칭식 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 3 | 대수 | 수학적 귀납법을 이용한 자연수 합 등식 증명 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 4 | 대수 | 평행이동된 지수함수의 밑 결정 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 5 | 대수 | 외접원 반지름과 사인법칙 내각 결정 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한의 대소 관계와 무한대 극한 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 접선의 방정식과 수직인 법선의 방정식 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 정수 조건 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 함수의 미정계수 두 개 결정 | 10점 | 상 |
| 제3회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 열차의 제동 시각과 정지 거리 | 10점 | 중상 |
함수 $f(x) = 2^{x - 1} + 3$의 그래프에 대하여 점근선의 방정식과 치역을 구하고, 닫힌구간 $[1, 3]$에서의 최댓값과 최솟값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.
$0 \le x \lt 2\pi$일 때, 방정식 $2\sin^2 x + 3\cos x = 0$을 만족시키는 모든 해를 구하는 과정을 서술하시오.
수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 1$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = a_n + 2n + 1$을 만족시킬 때, 일반항 $a_n$을 구하는 과정을 서술하시오.
양수 $N$에 대하여 $\log N = 2.602$일 때, $\log 2 = 0.301$임을 이용하여 $N$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
공비가 양수인 등비수열 $\{a_n\}$에서 $a_1 + a_2 = 12$, $a_3 + a_4 = 108$일 때, 공비 $r$와 첫째항 $a_1$의 값을 각각 구하시오.
방정식 $x^3 - 3x - 1 = 0$이 열린구간 $(1, 2)$에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 사잇값 정리를 이용하여 증명하는 과정을 서술하시오.
함수 $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 5$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하고, 그 합을 서술하시오.
함수 $f(x) = \begin{cases} x^2 + 3 & (x \lt 1) \\ -2x + 7 & (x \ge 1) \end{cases}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) + \lim_{x \to 0^+} f(x + 1)$의 값을 구하시오.
정적분 $\displaystyle\int_{-3}^{3} (2x^3 + 2x^2 - 5x + 1)\,dx$의 값을 우함수와 기함수의 성질을 이용하여 구하시오.
그림과 같이 포물선 $y = -x^2 + 2x + 3$과 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_1$, 이 포물선과 직선 $y = 3$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_2$라 할 때, $S_1$과 $S_2$를 각각 구하는 과정을 서술하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제4회 | 문항 1 | 대수 | 지수함수의 점근선·치역과 구간 최대·최소 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 2 | 대수 | 삼각방정식의 모든 해 도출 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 3 | 대수 | 계차형 수열의 귀납적 정의와 일반항 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 4 | 대수 | 상용로그의 정수 부분과 소수 부분 계산 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 5 | 대수 | 연속한 항의 합 조건을 이용한 등비수열 결정 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 사잇값 정리를 이용한 실근 존재 증명 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 최고차항이 음수인 삼차함수의 극값 합 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 평행이동된 좌극한과 우극한의 계산 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 원점 대칭구간에서의 정적분 계산 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 x축 및 상수직선이 이루는 두 넓이 | 10점 | 상 |
그림과 같이 닫힌구간 $[2, 10]$에서 정의된 함수 $f(x) = \log_3(x - 1) + 2$의 역함수 $f^{-1}(x)$를 구하고, 주어진 구간에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $A = 45^\circ$, $B = 60^\circ$, $b = 3\sqrt{2}$일 때, 변 $a$의 길이와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름 $R$를 각각 구하는 과정을 서술하시오.
첫째항이 $a_1 = 1$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{a_n + 1}$로 정의된 수열 $\{a_n\}$에 대하여 일반항 $a_n$과 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
함수 $f(x) = 2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) - 3$의 주기를 $T$, 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $T + M - m$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
첫째항이 $1$이고 공차가 $3$인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\displaystyle\sum_{k=1}^{8} \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
함수 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 16}{x - 4} & (x \ne 4) \\ k & (x = 4) \end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 $k$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
함수 $f(x) = x^3 - 3x$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 평균값 정리를 만족시키는 모든 실수 $c$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x^4 - 4x + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.
그림과 같이 곡선 $y = x^3 - 2x$와 직선 $y = 2x$로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합을 구하는 과정을 서술하시오.
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$일 때, 운동 방향을 바꾸는 시각 $t$, 시각 $t = 2$에서의 위치 $x(2)$, 시각 $t = 0$부터 $t = 3$까지 실제로 움직인 거리 $s$를 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제5회 | 문항 1 | 대수 | 로그함수의 역함수 유도와 구간 최대·최소 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 2 | 대수 | 사인법칙을 이용한 변의 길이와 외접원 반지름 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 3 | 대수 | 분수 점화식의 역수 수열과 합 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 4 | 대수 | 삼각함수의 주기와 진폭 계산 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 5 | 대수 | 등차수열과 결합된 무리식 분모의 유리화 합 | 10점 | 상 |
| 제5회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 분수함수의 실수 전체 연속 조건 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 평균값 정리를 만족시키는 상수 결정 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 절대부등식에의 사차함수 미분 활용 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 원점 대칭 삼차곡선과 직선이 이루는 넓이 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 수직선 운동의 방향 전환·위치·움직인 거리 종합 | 10점 | 상 |
양수 $x$에 대하여 방정식 $\log_3 x + \log_3(x + 6) = 3$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
그림과 같이 직선 $y = -x + 8$이 두 곡선 $y = 2^{x - 1} + 1$, $y = \log_2(x - 1) + 1$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 할 때, 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표와 원점 $\mathrm{O}$에 대한 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오.
$0 \le x \lt 2\pi$일 때, 삼각방정식 $4\sin^2 x + 8\cos x - 7 = 0$을 만족시키는 모든 실근 $x$를 구하고, 모든 실근의 합을 서술하시오.
그림과 같이 반지름의 길이가 $5$인 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\sin A + \sin B = \dfrac{7}{5}$, $\sin C = \dfrac{4}{5}$일 때, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 둘레의 길이를 구하는 과정을 서술하시오.
합 $\displaystyle\sum_{k=2}^{24} \log_5\left(1 - \dfrac{1}{k^2}\right) + \log_5 48$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$에 대하여 도함수 $f'(x)$, 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값, 그리고 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선의 방정식을 각각 구하는 과정을 서술하시오.
그림과 같이 닫힌구간 $[-2, 2]$에서 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k$ ($k$는 상수)의 최댓값이 $22$일 때, 상수 $k$의 값과 닫힌구간 $[-2, 2]$에서의 최솟값 $m$을 구하는 과정을 서술하시오.
등식 $\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x + a} - 4}{x - 3} = b$를 만족시키는 두 실수 $a, b$에 대하여 $a, b$의 값과 $a + 16b$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x^4 - 4x^3 + 16x + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.
다항함수 $f(x) = 3x^5 - 4x^3 + 3x^2 - 7x + 2$에 대하여 정적분 $\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x)\,dx$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제6회 | 문항 1 | 대수 | 진수 조건과 로그방정식의 해 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 2 | 대수 | 지수함수와 로그함수의 역함수 대칭과 삼각형 넓이 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 3 | 대수 | 삼각방정식의 치환 범위 제한과 대칭근의 합 | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 4 | 대수 | 외접원의 반지름과 사인법칙을 이용한 삼각형 둘레 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 5 | 대수 | 로그의 성질과 시그마 연쇄 소거 합 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 도함수·극값 및 접선의 방정식 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 미정계수를 포함한 삼차함수의 닫힌구간 최대·최소 | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 무리식을 포함한 부정형 극한의 미정계수 결정 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 사차부등식이 모든 실수에서 성립할 조건 | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 대칭 구간에서 우함수·기함수의 정적분 성질 | 10점 | 중상 |
그림과 같이 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $b = 4$, $c = 6$, $A = 60^\circ$일 때, 변 $a$의 길이와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 구하는 과정을 서술하시오.
어떤 자외선 차단 필름 $1$장을 통과할 때마다 자외선의 세기가 통과 전 세기의 $75\%$가 된다고 한다. 자외선의 세기가 처음 세기의 $\dfrac{1}{10}$ 이하가 되도록 하려면 최소 몇 장의 필름을 겹쳐야 하는지 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\log 2 = 0.3010$, $\log 3 = 0.4771$로 계산한다.)
지수부등식 $4^x - 10 \cdot 2^{x - 1} + 4 \le 0$을 만족시키는 실수 $x$의 값의 범위와 모든 정수 $x$의 합을 구하는 과정을 서술하시오.
첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{3}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{2a_n + 1}$을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$에 대하여 일반항 $a_n$을 구하고, $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k}$의 값을 서술하시오.
두 양수 $a, b$와 상수 $c$에 대하여 함수 $f(x) = a\cos(bx) + c$의 최댓값이 $7$, 최솟값이 $-1$, 주기가 $\dfrac{2\pi}{3}$일 때, 상수 $a, b, c$의 값과 $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
그림과 같이 포물선 $y = -x^2 + 4$와 직선 $y = x + 2$의 두 교점의 $x$좌표를 구하고, 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분을 이용하여 구하는 과정을 서술하시오.
다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -3$, $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 4$를 모두 만족시킬 때, 함수 $f(x)$를 구하고 $f(2)$의 값을 서술하시오.
그림과 같이 피적분함수의 부호가 바뀌는 구간을 나누어 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{5} |x^2 - 5x + 4|\,dx$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
함수 $f(x) = \begin{cases} x + 3 & (x \lt 1) \\ x - 2 & (x \ge 1) \end{cases}$와 이차함수 $g(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 곱의 함수 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이고 $g(0) = -3$일 때, 상수 $a, b$의 값과 $g(3)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
직선 철로 위를 $24\,\mathrm{m/s}$의 속도로 달리는 열차가 제동을 건 후 $t$초일 때의 속도가 $v(t) = 24 - 4t$ ($\mathrm{m/s}$)라 한다. 제동을 건 후 열차가 완전히 정지할 때까지 걸리는 시간과 정지할 때까지 달린 거리(제동거리)를 구하는 과정을 서술하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제7회 | 문항 1 | 대수 | 코사인법칙을 이용한 대변의 길이와 삼각형 넓이 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 2 | 대수 | 상용로그를 이용한 자외선 투과율 실생활 부등식 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 3 | 대수 | 치환을 이용한 지수부등식의 해와 정수 합 | 10점 | 중상 |
| 제7회 | 문항 4 | 대수 | 역수 치환 귀납적 정의와 시그마 부분합 | 10점 | 최상 |
| 제7회 | 문항 5 | 대수 | 코사인함수의 최댓값·최솟값과 주기 미정계수 | 10점 | 중상 |
| 제7회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 무한대 극한과 영점 극한을 이용한 다항함수 결정 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 절댓값 이차 피적분함수의 부호 구간 분할 정적분 | 10점 | 최상 |
| 제7회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 불연속 구간함수와 이차함수 곱의 실수 전체 연속 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 열차의 정지 시각과 제동거리 정적분 | 10점 | 중상 |
등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_3 = 11$, $a_7 = 27$일 때, 첫째항 $a_1$과 공차 $d$를 구하고 첫째항부터 제$10$항까지의 합 $S_{10}$을 구하는 과정을 서술하시오.
양수 $a$에 대하여 $a^{1/2} - a^{-1/2} = 2$일 때, $a + a^{-1}$의 값과 $a^2 + a^{-2}$의 값을 차례로 구하는 과정을 서술하시오.
$0 \le x \lt 2\pi$일 때, 삼각부등식 $2\sin^2 x + 5\cos x + 1 \le 0$의 해가 $\beta \le x \le \gamma$이다. 두 상수 $\beta, \gamma$의 값과 $\beta + \gamma$, $\gamma - \beta$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
모든 항이 양수인 등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, $S_3 = 7$, $S_6 = 63$이다. 공비 $r$와 첫째항 $a_1$, 그리고 제$5$항 $a_5$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
그림과 같이 이웃하는 두 변의 길이가 $\overline{\mathrm{AB}} = 6$, $\overline{\mathrm{AD}} = 8$이고 $\angle \mathrm{BAD} = 120^\circ$인 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$에 대하여 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S$와 대각선 $\overline{\mathrm{BD}}$의 길이를 구하는 과정을 서술하시오.
함수 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2} & (x \ne 2) \\ b & (x = 2) \end{cases}$가 $x = 2$에서 연속일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
두 상수 $a, b$에 대하여 함수 $f(x) = (x^2 + ax + b)|x - 2|$가 $x = 2$에서 미분가능하고 $f'(0) = -8$일 때, 좌미분계수와 우미분계수의 정의를 이용하여 상수 $a, b$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle\int_{1}^{x} (x - t)f(t)\,dt = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$를 만족시킬 때, 함수 $f(x)$를 구하고 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{4} |f(x)|\,dx$의 값을 서술하시오.
다항함수 $f(x)$에 대하여 $f(2) = 3$, $f'(2) = 5$일 때, 극한값 $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 f(2) - 4f(x)}{x - 2}$를 구하는 과정을 서술하시오.
두 이차함수 $y = x^2 - 2x$와 $y = -x^2 + 4x$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하는 과정을 서술하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제8회 | 문항 1 | 대수 | 두 항이 주어진 등차수열의 일반항과 부분합 | 10점 | 중상 |
| 제8회 | 문항 2 | 대수 | 유리수 지수의 곱셈공식과 대칭식 계산 | 10점 | 중상 |
| 제8회 | 문항 3 | 대수 | 이차 치환 삼각부등식의 해 구간과 대칭성 | 10점 | 최상 |
| 제8회 | 문항 4 | 대수 | 등비수열 부분합의 비를 이용한 공비와 일반항 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 5 | 대수 | 평행사변형의 넓이와 코사인법칙 대각선 길이 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 분수함수의 연속 조건과 미정계수 결정 | 10점 | 중상 |
| 제8회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 절댓값 인수를 포함한 함수의 미분가능성 | 10점 | 최상 |
| 제8회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 변수 분리형 정적분 정의 함수와 절댓값 정적분 | 10점 | 최상 |
| 제8회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 미분계수의 정의를 이용한 식 변형 극한 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 두 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | 10점 | 중상 |
함수 $f(x) = 3^{x - 1} + 2$가 닫힌구간 $[1, 3]$에서 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 가질 때, $M$과 $m$의 값을 각각 구하고 $M + m$의 값을 서술하시오.
$\log_2 3 = a$, $\log_3 5 = b$일 때, $\log_{15} 24$를 $a, b$에 대한 식으로 나타내는 과정을 서술하시오.
$0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{4}$인 각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta - \sin\theta = \dfrac{1}{2}$일 때, $\sin\theta\cos\theta$의 값과 $\sin\theta + \cos\theta$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
자연수 $n$에 대하여 $a_n = 4n^2 - 1$일 때, 합 $\displaystyle\sum_{k=1}^{15} \dfrac{1}{a_k}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
$n \ge 5$인 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $2^n \gt n^2$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정을 서술하시오.
원점 $(0, 0)$에서 곡선 $y = x^2 + 4$에 그은 두 접선의 방정식과 두 접점의 좌표를 각각 구하는 과정을 서술하시오.
그림과 같이 닫힌구간 $[-1, 2]$에서 사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + k$ ($k$는 상수)의 최솟값이 $6$일 때, 상수 $k$의 값과 닫힌구간 $[-1, 2]$에서의 최댓값 $M$을 구하는 과정을 서술하시오.
그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 $9$이고 높이가 $18$인 직원뿔에 내접하는 직원기둥 중에서 부피가 최대인 직원기둥의 밑면의 반지름의 길이 $r$, 높이 $h$, 그리고 최대 부피 $V_{\max}$를 구하는 과정을 서술하시오.
삼차방정식 $x^3 - 6x^2 + 9x - k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위와 모든 정수 $k$의 합을 구하는 과정을 서술하시오.
그림과 같이 곡선 $y = 3x^2$과 $x$축 및 직선 $x = 2$로 둘러싸인 도형의 넓이가 직선 $x = a$ ($0 \lt a \lt 2$)에 의하여 왼쪽과 오른쪽 부분의 넓이의 비가 $1 : 7$이 되도록 나누어질 때, 상수 $a$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제9회 | 문항 1 | 대수 | 닫힌구간에서 지수함수의 최댓값과 최솟값 | 10점 | 중 |
| 제9회 | 문항 2 | 대수 | 로그의 밑의 변환 공식을 이용한 문자의 표현 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 3 | 대수 | 삼각함수의 제곱 관계와 사분면 부호 판정 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 4 | 대수 | 부분분수 분해를 이용한 분수수열의 합 | 10점 | 중상 |
| 제9회 | 문항 5 | 대수 | 수학적 귀납법을 이용한 지수·다항 부등식 증명 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 원점에서 포물선에 그은 두 접선의 방정식과 접점 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 닫힌구간에서 사차함수의 최솟값과 미정계수 역추론 | 10점 | 최상 |
| 제9회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 직원뿔에 내접하는 직원기둥의 최대 부피 최적화 | 10점 | 최상 |
| 제9회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 둘러싸인 도형 넓이의 비례 분할 | 10점 | 상 |
첫째항이 $a_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 2a_n + 1$로 정의된 수열 $\{a_n\}$에 대하여 일반항 $a_n$과 제$5$항 $a_5$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x) = \log_{1/2}(x^2 - 2x + 5)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하고, $M + m$의 값을 서술하시오.
그림과 같이 중심각의 크기가 $\dfrac{2\pi}{3}$이고 넓이가 $12\pi$인 부채꼴의 반지름의 길이 $r$와 둘레의 길이 $L$을 구하는 과정을 서술하시오.
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 5$, $\overline{\mathrm{AC}} = 8$, $\cos A = \dfrac{1}{2}$일 때, 변 $\overline{\mathrm{BC}}$의 길이와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 구하는 과정을 서술하시오.
함수 $f(x) = \dfrac{|x - 3|}{x - 3} + 2x$에 대하여 $x = 3$에서의 좌극한 $\lim_{x \to 3^-} f(x)$와 우극한 $\lim_{x \to 3^+} f(x)$를 각각 구하고, 극한값 $\lim_{x \to 3} f(x)$의 존재 여부를 서술하시오.
모든 실수 $x$에 대하여 연속인 함수 $f(x)$가 $\displaystyle\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 + ax^2 - 4$를 만족시킬 때, 상수 $a$의 값과 $f(2)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c$ ($0 \lt c \lt 3$)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
그림과 같이 삼차곡선 $y = x^3 - 3x$ 위의 점 $(-1, 2)$에서의 접선 $l$의 방정식을 구하고, 곡선과 접선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$ 및 이 도형이 $y$축에 의하여 나누어지는 왼쪽과 오른쪽 넓이의 비 $S_1 : S_2$를 구하는 과정을 서술하시오.
첫째항이 $a_1 = 4$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 3a_n - 2$를 만족시키는 수열 $\{a_n\}$에 대하여 일반항 $a_n$을 구하고, $\displaystyle\sum_{k=1}^{6} a_k$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
그림과 같이 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 각각 $v_1(t) = 3t^2 - 12t + 9$, $v_2(t) = 6t - 9$이다. 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $\mathrm{P}$가 실제로 움직인 거리 $D$와 출발 후 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 다시 만나는 시각 $t$ ($t \gt 0$)를 모두 구하는 과정을 서술하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제10회 | 문항 1 | 대수 | 선형 귀납적 정의로 주어진 수열의 항 계산 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 2 | 대수 | 이차 진수를 갖는 로그함수의 닫힌구간 최대·최소 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 3 | 대수 | 부채꼴의 넓이와 호의 길이 및 둘레 | 10점 | 중상 |
| 제10회 | 문항 4 | 대수 | 코사인법칙과 사인법칙을 결합한 외접원 반지름 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ | 절댓값 유리식의 좌극한·우극한과 극한 존재 판정 | 10점 | 중상 |
| 제10회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 함수의 미정계수와 함숫값 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 삼차함수에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 결정 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이 및 y축 분할 비 | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 9 | 대수 | 선형 점화식 일반항 도출과 등비·상수 결합 시그마 합 | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 수직선 위 두 동점의 실제 이동거리와 재회 시각 | 10점 | 최상 |
식 $\sqrt[3]{2} \times \sqrt[6]{16} \div \sqrt[3]{4}$의 값을 유리수 지수 법칙을 이용하여 간단히 하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 각 거듭제곱근을 밑이 $2$인 유리수 지수 형태로 변환하면 $\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$, $\sqrt[6]{16} = 2^{4/6} = 2^{2/3}$, $\sqrt[3]{4} = 2^{2/3}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 지수법칙을 적용하면 $2^{1/3} \times 2^{2/3} \div 2^{2/3} = 2^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3}} = 2^{1/3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 식의 값은 $\sqrt[3]{2}$ (또는 $2^{1/3}$)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 각 거듭제곱근을 밑이 2인 유리수 지수로 정확히 변환함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 지수법칙으로 지수의 덧셈과 뺄셈을 계산하여 $2^{1/3}$을 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 값 $\sqrt[3]{2}$를 정확히 도출함 | 3점 |
6제곱근 내부의 $16=2^4$을 약분하여 $2^{2/3}$으로 고치면 뒤의 나눗셈 항과 즉시 소거됩니다.
그림과 같이 둘레의 길이가 $24\,\mathrm{cm}$인 부채꼴 중에서 그 넓이가 최대가 되는 부채꼴의 반지름의 길이 $r$와 중심각의 크기 $\theta$ (라디안)를 구하고, 그때의 최대 넓이 $S$를 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부채꼴의 반지름을 $r$, 호의 길이를 $l$이라 하면 $2r + l = 24$에서 $l = 24 - 2r$ ($0 \lt r \lt 12$)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}rl = \dfrac{1}{2}r(24 - 2r) = -r^2 + 12r = -(r - 6)^2 + 36$이므로 $r = 6\,\mathrm{cm}$일 때 최대 넓이 $S = 36\,\mathrm{cm}^2$을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $r = 6$일 때 $l = 12$이므로 호의 길이 공식 $l = r\theta$에서 중심각의 크기는 $\theta = \dfrac{12}{6} = 2$ (라디안)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 둘레 조건으로 호의 길이 $l = 24 - 2r$과 반지름 범위 $0 \lt r \lt 12$를 설정함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 완전제곱식 -(r-6)^2 + 36으로부터 $r=6$과 최대 넓이 $S=36$을 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $l = r \times \theta$에 대입하여 중심각 $\theta = 2$를 정확히 도출함 | 3점 |
부채꼴의 둘레는 호의 길이 l에 두 반지름 2r를 더한 2r + l임을 놓치지 마십시오.
첫째항이 $a_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = a_n + 4$로 정의된 수열 $\{a_n\}$에 대하여 제$10$항 $a_{10}$과 첫째항부터 제$10$항까지의 합 $S_{10}$을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 관계식 $a_{n+1} - a_n = 4$이므로 수열 $\{a_n\}$은 첫째항 $a_1 = 3$, 공차 $d = 4$인 등차수열이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 일반항은 $a_n = 3 + 4(n - 1) = 4n - 1$이므로 제$10$항은 $a_{10} = 4(10) - 1 = 39$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 등차수열의 합 공식에 의하여 $S_{10} = \dfrac{10(a_1 + a_{10})}{2} = 5(3 + 39) = 210$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 귀납적 정의로부터 공차 $d=4$인 등차수열임을 밝히고 일반항 4n-1을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 제10항 $a_{10} = 39$를 계산함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 합 공식으로 $S_{10} = 210$을 정확히 도출함 | 3점 |
초항과 끝항을 이미 구했으므로 $\dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$ 공식을 쓰면 계산 실수를 줄일 수 있습니다.
방정식 $\log_5(x - 2) + \log_5(x + 2) = 1$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그의 진수 조건에 의하여 $x - 2 \gt 0$이고 $x + 2 \gt 0$이어야 하므로 공통 범위는 $x \gt 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 로그의 성질로 좌변을 합치면 $\log_5(x^2 - 4) = 1$이므로 $x^2 - 4 = 5^1 = 5$, 즉 $x^2 = 9$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x = \pm 3$ 중 진수 조건 $x \gt 2$를 만족시키는 해는 $x = 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 진수 조건으로부터 정의역 $x \gt 2$를 먼저 명시함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 로그 덧셈 성질로 $x^2 - 4 = 5$를 유도하여 $x = \pm 3$을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 진수 조건으로 음근 -3을 배제하고 $x = 3$을 확정함 | 3점 |
$x = -3$을 대입하면 진수가 음수가 되어 로그가 정의되지 않으므로 반드시 진수 조건을 서술해야 합니다.
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 5$, $\overline{\mathrm{AC}} = 6$, $\cos A = \dfrac{3}{5}$일 때, 변 $\overline{\mathrm{BC}}$의 길이와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 코사인법칙에 의하여 $\overline{\mathrm{BC}}^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \times \dfrac{3}{5} = 25 + 36 - 36 = 25$이므로 $\overline{\mathrm{BC}} = 5$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $0^\circ \lt A \lt 180^\circ$에서 $\sin A \gt 0$이므로 $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \dfrac{4}{5} = 12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙을 적용하여 $BC = 5$를 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 제곱 항등식과 양수 부호로$\sin A = 4/5$를 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 넓이 공식 (1/2)bc $\sin A$로 넓이 12를 도출함 | 3점 |
삼각형의 내각 A에 대하여 $\sin A$는 항상 양수(+)임을 밝혀야 제곱근 부호 선택 근거가 명확해집니다.
두 극한값 $A = \displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$와 $B = \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$를 각각 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \ne 2$일 때 $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$이므로 약분하면 $A = \displaystyle\lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $B$의 분모와 분자에 $\sqrt{x + 4} + 2$를 곱하여 유리화하면 $\dfrac{(x + 4) - 4}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \dfrac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x \to 0$의 극한을 취하면 $B = \dfrac{1}{\sqrt{4} + 2} = \dfrac{1}{4}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 0/0꼴 다항분수식을 인수분해 약분하여 $A = 4$를 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 무리식 분자를 켤레식으로 유리화하여 영인자 x를 약분함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $B = 1/4$을 정확히 도출함 | 3점 |
약분 과정에서는 $x \ne 2$ 및 $x \ne 0$ 조건에 의해 분모가 0이 아님을 활용합니다.
미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f(2) = 3$, $f'(2) = 4$일 때, $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x^2 - 2) - 3}{x - 2}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(2) = 3$이고 $(x^2 - 2) - 2 = x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$이므로 분모와 분자에 $(x + 2)$를 곱해 미분계수 정의 꼴로 변형한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 주어진 식은 $\displaystyle\lim_{x \to 2}\left\{\frac{f(x^2 - 2) - f(2)}{(x^2 - 2) - 2} \cdot (x + 2)\right\}$이며, $x \to 2$일 때 $x^2 - 2 \to 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 극한의 성질에 의하여 $f'(2) \times 4 = 4 \times 4 = 16$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 분모·분자에 (x+2)를 곱하여 미분계수 정의 형태를 구성함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $t = x^2 - 2 \to 2$ 치환 원리로 앞 인수의 극한이 f'(2)임을 보임 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | f'(2) * 4 = 16을 정확히 계산함 | 3점 |
f 내부의 식이 $x^2-2$이므로 분모에도 반드시 $(x^2-2)-2 = x^2-4$를 맞추어 주어야 미분계수 정의가 성립합니다.
곡선 $y = x^3 - 5x + 3$ 위의 점 $(1, -1)$에서의 접선의 $x$절편과 $y$절편의 합을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $y' = 3x^2 - 5$이므로 점 $(1, -1)$에서의 접선의 기울기는 $3(1)^2 - 5 = -2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 접선의 방정식은 $y - (-1) = -2(x - 1)$, 즉 $y = -2x + 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 이 직선의 $x$절편은 $\dfrac{1}{2}$, $y$절편은 $1$이므로 두 절편의 합은 $\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 도함수로부터 점 (1, -1)에서의 접선 기울기 -2를 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 접선 방정식 $y = -2x + 1$을 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | x절편 1/2과 y절편 1의 합 3/2을 도출함 | 3점 |
x절편은 $y=0$일 때의 x값이므로 -2x + 1 = 0에서 부호 실수 없이 1/2을 구하십시오.
함수 $f(x)$의 도함수가 $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$이고 곡선 $y = f(x)$가 점 $(1, -2)$를 지날 때, 함수 $f(x)$와 방정식 $f(x) = 0$의 모든 실근을 각각 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부정적분을 구하면 $f(x) = \displaystyle\int (3x^2 - 4x + 1)\,dx = x^3 - 2x^2 + x + C$이고, $f(1) = 1 - 2 + 1 + C = -2$에서 $C = -2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2$이며, $f(x) = 0$을 묶어 인수분해하면 $x^2(x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(x^2 + 1) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 모든 실수 $x$에 대하여 $x^2 + 1 \gt 0$이므로 방정식 $f(x) = 0$의 실근은 $x = 2$뿐이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 부정적분과 점 (1, -2) 조건으로 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2$를 완성함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 공통인수로 묶어$(x-2)(x^2+1)=0$으로 인수분해함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x^2+1 \gt 0$임을 밝혀 유일한 실근 $x=2$를 도출함 | 3점 |
이차 인수 $x^2+1=0$은 허근을 가지므로 '모든 실근' 조건에 따라 $x^2+1 \gt 0$ 판정을 함께 적어 주십시오.
포물선 $y = x^2 - 6x + 8$과 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 정적분을 이용하여 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) = 0$이므로 포물선과 $x$축의 교점의 $x$좌표는 $2$와 $4$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 닫힌구간 $[2, 4]$에서 $y \le 0$이므로 넓이는 $S = \displaystyle\int_{2}^{4} (-x^2 + 6x - 8)\,dx$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 계산하면 $S = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 8x\right]_{2}^{4} = \left(-\dfrac{64}{3} + 48 - 32\right) - \left(-\dfrac{8}{3} + 12 - 16\right) = -\dfrac{16}{3} - \left(-\dfrac{20}{3}\right) = \dfrac{4}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 이차방정식을 인수분해하여 x절편 2, 4를 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 구간 [2, 4]에서 $y \le 0$임을 반영해 부호를 반전한 정적분 식을 세움 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분을 계산하여 넓이 4/3을 도출함 | 3점 |
x축 아래쪽에 있는 영역이므로 피적분함수에 (-)를 붙여 적분해야 양수 넓이 4/3이 나옵니다.
$x \gt 0$이고 $x^{1/2} + x^{-1/2} = 3$일 때, $x + x^{-1}$의 값과 $x^2 + x^{-2}$의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 등식의 양변을 제곱하면 $(x^{1/2} + x^{-1/2})^2 = x + 2 + x^{-1} = 9$이므로 $x + x^{-1} = 7$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 다시 $x + x^{-1} = 7$의 양변을 제곱하면 $(x + x^{-1})^2 = x^2 + 2 + x^{-2} = 49$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $x^2 + x^{-2} = 49 - 2 = 47$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 양변 제곱과 역수 곱 1을 이용하여 $x + x^{-1} = 7$을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x + x^{-1} = 7$을 다시 제곱하여 전개함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 상수항 2를 이항하여 $x^2 + x^{-2} = 47$을 도출함 | 3점 |
두 번 연속 제곱할 때마다 상수항 +2가 생기므로 매 단계 2를 빼는 것을 잊지 마십시오.
각 $\theta$가 제$3$사분면의 각이고 $\sin\theta = -\dfrac{3}{5}$일 때, $\cos\theta$와 $\tan\theta$의 값을 구하고 $\dfrac{1}{\cos\theta} + \dfrac{1}{\tan\theta}$의 값을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 제$3$사분면에서 $\cos\theta \lt 0$이고 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$이므로 $\cos\theta = -\sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = -\dfrac{4}{5}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{-3/5}{-4/5} = \dfrac{3}{4}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\dfrac{1}{\cos\theta} + \dfrac{1}{\tan\theta} = -\dfrac{5}{4} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{-15 + 16}{12} = \dfrac{1}{12}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 제3사분면 부호($\cos \lt 0$)를 근거로$\cos(\theta) = -4/5$를 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 몫 관계 $\tan = \sin/\cos$로 $\tan(\theta) = 3/4$을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 역수의 합을 통분하여 1/12을 정확히 도출함 | 3점 |
제3사분면에서는 탄젠트만 양수(+)이고 사인과 코사인은 모두 음수(-)입니다.
첫째항이 $a_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 3a_n$으로 정의된 수열 $\{a_n\}$에 대하여 제$5$항 $a_5$와 $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} a_k$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 관계식 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = 3$으로부터 수열 $\{a_n\}$은 첫째항 $a_1 = 2$, 공비 $r = 3$인 등비수열이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 일반항은 $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$이므로 제$5$항은 $a_5 = 2 \times 3^4 = 162$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 등비수열의 합 공식에 의하여 $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} a_k = \dfrac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = 243 - 1 = 242$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 귀납적 정의로부터 초항 2, 공비 3인 등비수열임을 선언함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 일반항 공식으로 제5항 $a_5 = 162$를 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 등비수열 합 공식으로 242를 정확히 계산함 | 3점 |
$a_5$에서는 $3^4=81$이 곱해지고 합 $S_5$에서는 $3^5=243$이 사용됨을 구분하십시오.
닫힌구간 $[2, 26]$에서 함수 $f(x) = -\log_3(x + 1) + 5$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 곱 $Mm$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 $y = \log_3(x + 1)$이 증가함수이므로 음의 부호가 붙은 $f(x) = -\log_3(x + 1) + 5$는 구간 $[2, 26]$에서 감소한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 최댓값은 $M = f(2) = -\log_3 3 + 5 = 4$이고, 최솟값은 $m = f(26) = -\log_3 27 + 5 = -3 + 5 = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구하는 곱은 $Mm = 4 \times 2 = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 로그 앞에 음수 부호가 있어 구간 내 감소함수임을 밝힘 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양 끝점 대입으로 최댓값 $M=4$와 최솟값 $m=2$를 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 값의 곱 8을 도출함 | 3점 |
로그 밑이 $3( \gt 1$)이더라도 함수 전체 앞에 (-) 부호가 붙어 있으므로 감소함수가 됩니다.
수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k = 15$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k^2 = 35$일 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (2a_k - 1)^2$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 완전제곱식을 전개하면 $(2a_k - 1)^2 = 4a_k^2 - 4a_k + 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 합의 기호의 성질을 적용하면 $4\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k^2 - 4\sum_{k=1}^{10} a_k + \sum_{k=1}^{10} 1$로 분리된다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 주어진 값을 대입하면 $4(35) - 4(15) + 10 = 140 - 60 + 10 = 90$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 피합산 식을 $4a_k^2 - 4a_k + 1$로 전개함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 시그마의 선형성과 상수합 성질을 적용함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $140 - 60 + 10 = 90$을 정확히 계산함 | 3점 |
상수 1을 $k=1$부터 10까지 더한 값은 1이 아니라 $1 \times 10 = 10$입니다!
등식 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 5$를 만족시키는 두 상수 $a, b$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to 1$일 때 분모가 $0$으로 수렴하고 유한한 극한값 $5$가 존재하므로 분자도 $0$으로 수렴하여 $1 + a + b = 0 \implies b = -a - 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이를 분자에 대입해 인수분해하면 $x^2 + ax - (a + 1) = (x - 1)(x + a + 1)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 약분 후 극한을 취하면 $\displaystyle\lim_{x \to 1} (x + a + 1) = a + 2 = 5$이므로 $a = 3$이고 $b = -4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 분자의 극한이 0임을 이용하여 $b = -a - 1$을 유도함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 분자를 (x-1)(x+a+1)로 인수분해하고 (x-1)을 약분함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 극한 등식 a+2=5로부터 $a=3$, $b=-4$를 확정함 | 3점 |
구한 $a=3$, $b=-4$를 원식에 대입해 $\frac{x^2+3x-4}{x-1} = x+4 \to 5$가 되는지 검산하십시오.
함수 $f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3x + 2)$에 대하여 도함수 $f'(x)$를 곱의 미분법을 이용하여 구하고, $f'(1)$의 값을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곱의 미분법 $\{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$를 적용하면 $f'(x) = 2(x^2 - 3x + 2) + (2x + 1)(2x - 3)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 우변을 전개하여 동류항끼리 정리하면 $f'(x) = (2x^2 - 6x + 4) + (4x^2 - 4x - 3) = 6x^2 - 10x + 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $x = 1$을 대입하면 $f'(1) = 6 - 10 + 1 = -3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 곱의 미분법 공식을 정확히 적용하여 미분식을 세움 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 전개 및 동류항 정리로 도함수 $f'(x) = 6x^2 - 10x + 1$을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f'(1) = -3$을 정확히 계산함 | 3점 |
문제에서 '곱의 미분법을 이용하여'라고 지정했으므로 처음부터 다항식을 전개한 뒤 미분하지 말고 곱의 미분법 첫 줄을 반드시 적으십시오.
삼차함수 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1$의 극댓값과 극솟값의 차를 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 도함수를 구하면 $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2)$이므로 임계점은 $x = 1, 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x)$의 부호 변화에 의해 $x = 1$에서 극댓값 $f(1) = 2 - 9 + 12 - 1 = 4$를 갖고, $x = 2$에서 극솟값 $f(2) = 16 - 36 + 24 - 1 = 3$을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 극댓값과 극솟값의 차는 $4 - 3 = 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 도함수 $6(x-1)(x-2)$로 임계점 $x=1, 2$를 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극댓값 $f(1)=4$와 극솟값 $f(2)=3$을 각각 계산함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 차 $4 - 3 = 1$을 도출함 | 3점 |
삼차함수 두 극값의 차 공식 $\dfrac{|a|(2-1)^3}{2} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1$로 검산하면 편리합니다.
수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 위치가 $x(t) = t^3 - 9t^2 + 15t + 4$일 때, 점 $\mathrm{P}$의 가속도가 $0$이 되는 시각에서의 속도를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 위치를 미분하면 속도는 $v(t) = x'(t) = 3t^2 - 18t + 15$이고, 속도를 한 번 더 미분하면 가속도는 $a(t) = v'(t) = 6t - 18$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 가속도가 $0$이 되는 시각은 $6t - 18 = 0$에서 $t = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 시각 $t = 3$을 속도 식에 대입하면 $v(3) = 27 - 54 + 15 = -12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 몫 관계 $\tan = \sin/\cos$로 $\tan(\theta) = 3/4$을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a(t)=0$으로부터 시각 $t=3$을 결정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $v(3) = -12$를 정확히 도출함 | 3점 |
속력의 최솟값이 아니라 속도 v(3)을 구하므로 음수 부호(-12)를 그대로 유지해야 합니다.
그림과 같이 피적분함수의 부호에 따라 적분 구간을 나누어 정적분 $I = \displaystyle\int_{-1}^{2} |x(x - 1)|\,dx$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x(x - 1)$은 구간 $[-1, 0]$과 $[1, 2]$에서 $0$ 이상이고 구간 $[0, 1]$에서 $0$ 이하이므로 세 구간 $[-1, 0], [0, 1], [1, 2]$로 나눈다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $I = \displaystyle\int_{-1}^{0} (x^2 - x)\,dx + \int_{0}^{1} (-x^2 + x)\,dx + \int_{1}^{2} (x^2 - x)\,dx$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 각 구간의 정적분 값은 차례로 $\dfrac{5}{6}$, $\dfrac{1}{6}$, $\dfrac{5}{6}$이므로 $I = \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{11}{6}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 부호 변화점 $x=0$, 1을 기준으로 구간을 [-1,0], [0,1], [1,2] 셋으로 분할함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 각 구간의 절댓값 부호를 바르게 풀어 정적분 식을 세움 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $5/6 + 1/6 + 5/6 = 11/6$을 정확히 도출함 | 3점 |
이차함수 $y=x(x-1)$은 직선 $x=1/2$에 대칭이므로 [-1, 0]과 [1, 2]의 정적분 값이 5/6으로 같음을 활용하면 검산이 빠릅니다.
방정식 $\log_2 x + \log_4 x = 6$을 만족시키는 양수 $x$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 진수 조건 $x \gt 0$을 확인하고, 밑변환 공식으로 밑을 $2$로 통일하면 $\log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{\log_2 4} = \dfrac{1}{2}\log_2 x$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 주어진 방정식에 대입하면 $\log_2 x + \dfrac{1}{2}\log_2 x = \dfrac{3}{2}\log_2 x = 6$이므로 $\log_2 x = 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 로그의 정의에 의하여 $x = 2^4 = 16$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 밑변환 공식으로 $\log_4 x = (1/2)\log_2 x$를 유도함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $(3/2)\log_2 x = 6$으로부터 $\log_2 x = 4$를 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 양수 해 $x = 16$을 정확히 도출함 | 3점 |
$\log_4 x$를 $2\log_2 x$로 거꾸로 바꾸지 않도록 밑의 제곱 지수 2가 분모로 나감을 확인하십시오.
$\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{3}$일 때, $\sin\theta\cos\theta$의 값과 $\sin^3\theta + \cos^3\theta$의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 양변을 제곱하면 $1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{9}$이므로 $\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{4}{9}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 세제곱 합 곱셈공식 $\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)^3 - 3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta + \cos\theta)$를 적용한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 대입하면 $\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 - 3\left(-\dfrac{4}{9}\right)\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{27} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{13}{27}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 제곱 항등식으로$\sin \times \cos = -4/9$를 정확히 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 세제곱 합 곱셈공식 변형식을 선언함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 부호 실수 없이 13/27을 도출함 | 3점 |
-3 * (-4/9) * (1/3)에서 음수와 음수의 곱이 양수($+4/9 = 12/27$)가 됨을 주의하십시오.
모든 자연수 $n$에 대하여 등식 $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (i) $n = 1$일 때 좌변은 $1$, 우변은 $\dfrac{1 \times 2}{2} = 1$이므로 $n = 1$일 때 등식이 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (ii) $n = k$일 때 $1 + 2 + \cdots + k = \dfrac{k(k + 1)}{2}$이 성립한다고 가정하고 양변에 $(k + 1)$을 더하면 좌변은 $1 + 2 + \cdots + k + (k + 1)$이고 우변은 $\dfrac{k(k + 1)}{2} + (k + 1) = \dfrac{(k + 1)(k + 2)}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (iii) 따라서 $n = k + 1$일 때도 등식이 성립하므로 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 등식이 성립한다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $n=1$ 초기 성립 확인을 좌변·우변 각각 명시함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $n=k$ 귀납 가정의 양변에 $(k+1)$을 더해 $\frac{(k+1)(k+2)}{2}$로 인수분해함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $n=k+1$ 성립 및 모든 자연수에 대한 귀납 결론을 완결함 | 3점 |
귀납 단계에서 목표 식을 미리 쓰지 않고 양변에 (k+1)을 더해 통분·인수분해하는 과정을 보여야 만점을 받습니다.
지수함수 $f(x) = a^{x - 1} + 2$ ($a \gt 1$)의 그래프가 점 $(3, 18)$을 지날 때, 상수 $a$의 값과 $f(0)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 그래프가 점 $(3, 18)$을 지나므로 $f(3) = a^{3 - 1} + 2 = a^2 + 2 = 18$에서 $a^2 = 16$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 단서 조건에서 $a \gt 1$이므로 $a = 4$이고 $f(x) = 4^{x - 1} + 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(0) = 4^{-1} + 2 = \dfrac{1}{4} + 2 = \dfrac{9}{4}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 점 (3, 18)을 대입해 $a^2 = 16$을 유도함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 조건 $a \gt 1$을 명시하여 $a = 4$를 결정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 음수 지수 $4^{-1} = 1/4$을 계산해 $f(0) = 9/4$를 도출함 | 3점 |
$a^2 = 16$에서 음근 -4를 제외할 때 문제 단서 $a \gt 1$을 반드시 언급하십시오.
그림과 같이 반지름의 길이가 $5$인 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{BC}} = 5\sqrt{3}$이고 내각 $A$가 예각일 때, 각 $A$의 크기와 $\cos A$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 외접원의 반지름이 $R = 5$이므로 사인법칙 $\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = 2R$에서 $\sin A = \dfrac{5\sqrt{3}}{10} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 단서 조건에서 각 $A$는 예각($0^\circ \lt A \lt 90^\circ$)이므로 $A = 60^\circ$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\cos A = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 사인법칙 $\frac{BC}{\sin A} = 2R$에 대입하여 $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$를 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 예각 조건을 적용하여 120도를 배제하고 $A = 60$도를 확정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\cos A = 1/2$을 도출함 | 3점 |
$\sin A = \sqrt{3}/2$를 만족하는 삼각형 내각은 60도와 120도 두 개이므로 '예각' 단서 언급이 필수입니다.
모든 양의 실수 $x$에 대하여 부등식 $2x^2 - 3x + 1 \lt f(x) \lt 2x^2 + 5x + 7$이 성립할 때, $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2 + 2}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 모든 실수 $x$에 대하여 $x^2 + 2 \gt 0$이므로 부등식의 각 변을 $x^2 + 2$로 나누면 $\dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 2} \lt \dfrac{f(x)}{x^2 + 2} \lt \dfrac{2x^2 + 5x + 7}{x^2 + 2}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x \to \infty$일 때 좌변과 우변의 극한을 구하면 최고차항의 계수비에 의하여 모두 $2$로 수렴한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2 + 2} = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x^2 + 2 \gt 0$임을 밝혀 부등호 방향 유지 나눗셈 식을 세움 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양 끝 유리함수의 무한대 극한값이 모두 2임을 보임 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 극한의 대소 관계로 최종 값 2를 도출함 | 3점 |
엄격 부등호$( \lt )$가 주어져도 극한을 취하면 등호가 성립하여 같은 극한값 2로 수렴합니다.
곡선 $y = x^3 - 3x + 2$ 위의 점 $(2, 4)$에서의 접선의 방정식과, 이 접선에 수직이고 점 $(2, 4)$를 지나는 직선의 방정식을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $y' = 3x^2 - 3$이므로 점 $(2, 4)$에서의 접선의 기울기는 $3(2)^2 - 3 = 9$이고, 접선의 방정식은 $y - 4 = 9(x - 2)$, 즉 $y = 9x - 14$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 접선에 수직인 직선의 기울기는 두 기울기의 곱이 $-1$이므로 $-\dfrac{1}{9}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 점 $(2, 4)$를 지나고 접선에 수직인 직선의 방정식은 $y - 4 = -\dfrac{1}{9}(x - 2)$, 즉 $y = -\dfrac{1}{9}x + \dfrac{38}{9}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미분계수 9로부터 접선 $y = 9x - 14$를 정확히 유도함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 수직 조건으로 기울기 -1/9을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 법선의 방정식 $y = -(1/9)x + 38/9$을 도출함 | 3점 |
수직인 직선의 기울기는 단순 부호 반전(-9)이 아니라 음의 역수(-1/9)입니다.
방정식 $2x^3 - 6x^2 + k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 정수 $k$의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 방정식을 $-2x^3 + 6x^2 = k$로 변형하고 $h(x) = -2x^3 + 6x^2$이라 하면 $h'(x) = -6x^2 + 12x = -6x(x - 2)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $h(x)$는 $x = 0$에서 극솟값 $h(0) = 0$, $x = 2$에서 극댓값 $h(2) = -16 + 24 = 8$을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 서로 다른 세 실근을 가지려면 $0 \lt k \lt 8$이어야 하므로 정수 $k$는 $1, 2, \ldots, 7$이고 합은 $\dfrac{7 \times 8}{2} = 28$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 상수 분리 $h(x) = -2x^3 + 6x^2$과 도함수 -6x(x-2)를 세움 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극솟값 0과 극댓값 8을 구해 $0 \lt k \lt 8$ 범위를 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 1부터 7까지의 합 28을 도출함 | 3점 |
k를 우변으로 넘길 때 부호를 실수하지 않도록 $-2x^3 + 6x^2 = k$ 형태로 정확히 이항하십시오.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle\int_{2}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + ax + b$이고 $f(1) = 2$를 만족시킬 때, 상수 $a, b$의 값과 $f(3)$의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 양변에 $x = 2$를 대입하면 $0 = 8 - 8 + 2a + b$이므로 $b = -2a$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 3x^2 - 4x + a$이고, $f(1) = 3 - 4 + a = 2$에서 $a = 3$, $b = -6$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = 3x^2 - 4x + 3$이므로 $f(3) = 27 - 12 + 3 = 18$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x=2$를 대입하여 관계식 $2a + b = 0$을 유도함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양변 미분 후 $f(1)=2$ 조건으로 $a=3$, $b=-6$을 확정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(3) = 18$을 정확히 도출함 | 3점 |
초기조건 $x=2$ 대입식과 미분식을 순서대로 세우면 두 미정계수 a, b가 연립 없이 차례로 풀립니다.
직선 철로를 $30\,\mathrm{m/s}$의 속도로 달리는 열차가 제동을 건 후 $t$초에서의 속도가 $v(t) = 30 - 3t$ ($\mathrm{m/s}$)일 때, 제동을 건 순간부터 정지할 때까지 열차가 움직인 거리를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 열차가 정지하는 시각은 $v(t) = 30 - 3t = 0$으로부터 $t = 10$초이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 $[0, 10]$에서 $v(t) \ge 0$이므로 움직인 거리 $s$는 속도의 정적분 $s = \displaystyle\int_{0}^{10} (30 - 3t)\,dt$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 계산하면 $s = \left[30t - \dfrac{3}{2}t^2\right]_{0}^{10} = 300 - 150 = 150\,(\mathrm{m})$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $v(t)=0$으로부터 정지 시각 $t=10$초를 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 구간 [0, 10]에서의 정적분 식을 세움 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 제동 거리 150(m)를 정확히 도출함 | 3점 |
등가속도 공식을 암기해 답만 적지 말고 반드시 정적분 계산 과정을 명시해야 서술형 배점을 모두 받습니다.
함수 $f(x) = 2^{x - 1} + 3$의 그래프에 대하여 점근선의 방정식과 치역을 구하고, 닫힌구간 $[1, 3]$에서의 최댓값과 최솟값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 모든 실수 $x$에 대하여 $2^{x - 1} \gt 0$이므로 치역은 $\{y \mid y \gt 3\}$이고 점근선의 방정식은 $y = 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 밑 $2 \gt 1$이므로 함수 $f(x)$는 실수 전체에서 증가함수이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 닫힌구간 $[1, 3]$에서 최솟값은 $f(1) = 2^0 + 3 = 4$이고 최댓값은 $f(3) = 2^2 + 3 = 7$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $2^{x-1} \gt 0$을 근거로 점근선 $y=3$과 치역 $\{y \mid y \gt 3\}$을 명시함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 증가함수 성질을 선언함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간 최솟값 4와 최댓값 7을 정확히 도출함 | 3점 |
치역을 적을 때 등호$(y \ge 3)$를 넣으면 오답이 되므로 엄격 부등호$(y \gt 3)$를 지켜 주십시오.
$0 \le x \lt 2\pi$일 때, 방정식 $2\sin^2 x + 3\cos x = 0$을 만족시키는 모든 해를 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 대입하여 정리하면 $2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x = 0 \iff 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = (2\cos x + 1)(\cos x - 2) = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $-1 \le \cos x \le 1$이므로 $\cos x \ne 2$이고 $\cos x = -\dfrac{1}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \le x \lt 2\pi$에서 $\cos x = -\dfrac{1}{2}$을 만족시키는 모든 해는 제$2, 3$사분면의 각인 $x = \dfrac{2\pi}{3}$ 또는 $x = \dfrac{4\pi}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인으로 통일하여 ($2 \cos x + 1)(\cos x - 2) = 0$으로 인수분해함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 범위 조건으로$\cos x = 2$를 배제하고$\cos x = -1/2$을 확정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간 내 모든 해 $2\pi/3$, $4\pi/3$을 도출함 | 3점 |
코사인값이 음수(-1/2)인 각은 제2사분면($\pi - \pi/3$)과 제3사분면($\pi + \pi/3$)에서 나타납니다.
수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 1$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = a_n + 2n + 1$을 만족시킬 때, 일반항 $a_n$을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $n \ge 2$일 때 $k = 1, 2, \ldots, n - 1$을 대입하여 변끼리 더하면 $a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 우변을 계산하면 $1 + 2 \cdot \dfrac{(n - 1)n}{2} + (n - 1) = 1 + n^2 - n + n - 1 = n^2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $n = 1$일 때도 $1^2 = 1 = a_1$이 성립하므로 모든 자연수 $n$에 대하여 일반항은 $a_n = n^2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $n \ge 2$에서 축차대입 합의 식 $a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)$을 세움 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 시그마 공식을 적용하여 $n^2$으로 정리함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $n=1$일 때 성립 여부를 확인하여 일반항 $a_n = n^2$을 확정함 | 3점 |
홀수의 합 성질 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = $n^2$과 정확히 일치함을 검산할 수 있습니다.
양수 $N$에 대하여 $\log N = 2.602$일 때, $\log 2 = 0.301$임을 이용하여 $N$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\log N = 2 + 0.602$로 정수 부분과 소수 부분을 분리한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2 = \log 10^2 = \log 100$이고, $0.602 = 2 \times 0.301 = 2\log 2 = \log 2^2 = \log 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\log N = \log 100 + \log 4 = \log 400$이므로 $N = 400$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정수 부분 2와 소수 부분 0.602로 분리함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 2 = log 100과 0.602 = log 4를 각각 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 로그 덧셈 성질로 $N = 400$을 정확히 도출함 | 3점 |
소수 부분 0.602가 주어진 log 2 = 0.301의 정확히 2배임을 파악하는 것이 핵심입니다.
공비가 양수인 등비수열 $\{a_n\}$에서 $a_1 + a_2 = 12$, $a_3 + a_4 = 108$일 때, 공비 $r$와 첫째항 $a_1$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등비수열의 일반항 성질에 의하여 $a_3 + a_4 = a_1 r^2 + a_2 r^2 = r^2(a_1 + a_2)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 조건을 대입하면 $12r^2 = 108 \implies r^2 = 9$이고, 공비가 양수이므로 $r = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a_1 + a_2 = a_1(1 + r) = 4a_1 = 12$로부터 첫째항은 $a_1 = 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a_3 + a_4 = r^2(a_1 + a_2)$ 인수분해 관계를 세움 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양수 조건 $r \gt 0$으로 공비 $r = 3$을 결정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 첫째항 $a_1 = 3$을 정확히 도출함 | 3점 |
항마다 개별 전개하기보다 공통인수 $r^2$으로 묶어 나누면 3줄 만에 깔끔하게 해결됩니다.
방정식 $x^3 - 3x - 1 = 0$이 열린구간 $(1, 2)$에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 사잇값 정리를 이용하여 증명하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 - 3x - 1$이라 하면 다항함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[1, 2]$에서 연속이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양 끝점에서의 함숫값을 구하면 $f(1) = 1 - 3 - 1 = -3 \lt 0$, $f(2) = 8 - 6 - 1 = 1 \gt 0$이므로 $f(1)f(2) \lt 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 사잇값 정리에 의하여 $f(c) = 0$인 실수 $c$가 열린구간 $(1, 2)$에 적어도 하나 존재하므로 주어진 방정식은 $(1, 2)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 함수 f(x) 설정 및 닫힌구간 [1, 2]에서의 연속성을 선언함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f(1) = -3 \lt 0$, $f(2) = 1 \gt 0$으로 부호가 반대임을 보임 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 사잇값 정리에 의한 열린구간 (1, 2) 내 실근 존재 결론을 완결함 | 3점 |
사잇값 정리 증명에서 (1) 닫힌구간 연속, (2) $f(a)f(b) \lt 0$, (3) 열린구간 존재의 3요소가 모두 들어가야 만점입니다.
함수 $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 5$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하고, 그 합을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 도함수를 구하면 $f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x + 1)(x - 3)$이므로 $f'(x) = 0$에서 $x = -1$ 또는 $x = 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부호 변화에 의해 $x = -1$에서 극솟값 $f(-1) = 1 + 3 - 9 - 5 = -10$을 갖고, $x = 3$에서 극댓값 $f(3) = -27 + 27 + 27 - 5 = 22$를 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 극댓값과 극솟값의 합은 $22 + (-10) = 12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 도함수 $-3(x+1)(x-3)$을 인수분해하여 임계점을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극솟값 $f(-1) = -10$과 극댓값 $f(3) = 22$를 각각 정확히 계산함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 극값의 합 12를 도출함 | 3점 |
최고차항 계수가 $-1( \lt 0)$이므로 $x=-1$에서 극소, $x=3$에서 극대임을 반대로 쓰지 않도록 주의하십시오.
함수 $f(x) = \begin{cases} x^2 + 3 & (x \lt 1) \\ -2x + 7 & (x \ge 1) \end{cases}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) + \lim_{x \to 0^+} f(x + 1)$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 첫째 항은 $x \lt 1$인 구간에서 극한을 취하므로 $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} (x^2 + 3) = 1 + 3 = 4$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 둘째 항에서 $t = x + 1$로 치환하면 $x \to 0^+$일 때 $t \to 1^+$이므로 $\displaystyle\lim_{t \to 1^+} f(t) = \lim_{t \to 1^+} (-2t + 7) = 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 값은 $4 + 5 = 9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x \to 1^-$ 좌극한 값 4를 계산함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $t = x+1$ 치환으로 $t \to 1^+$ 우극한 값 5를 계산함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 극한값의 합 9를 도출함 | 3점 |
$x \to 0^+$일 때 x+1은 1보다 큰 쪽에서 1에 가까워지므로 우극한 식(-2x+7)을 택해야 합니다.
정적분 $\displaystyle\int_{-3}^{3} (2x^3 + 2x^2 - 5x + 1)\,dx$의 값을 우함수와 기함수의 성질을 이용하여 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 적분 구간 $[-3, 3]$이 원점 대칭이므로 홀수차 기함수 항 $2x^3 - 5x$의 정적분은 $0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 짝수차 우함수 항 $2x^2 + 1$에 대하여 주어진 식은 $2\displaystyle\int_{0}^{3} (2x^2 + 1)\,dx$와 같다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 계산하면 $2\left[\dfrac{2}{3}x^3 + x\right]_{0}^{3} = 2(18 + 3) = 42$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 기함수 항 $2x^3 - 5x$의 정적분이 0임을 선언함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 우함수 성질로 $2 \times \int_0^3 (2x^2 + 1)\,dx$로 변형함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 42를 정확히 계산하여 도출함 | 3점 |
적분 위끝 3을 (2/3)$x^3$에 대입하면 (2/3)*27 = 18이 됨을 정확히 계산하십시오.
그림과 같이 포물선 $y = -x^2 + 2x + 3$과 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_1$, 이 포물선과 직선 $y = 3$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_2$라 할 때, $S_1$과 $S_2$를 각각 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $-x^2 + 2x + 3 = -(x + 1)(x - 3) = 0$에서 $x$축과의 교점은 $-1, 3$이므로 $S_1 = \displaystyle\int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3)\,dx = \dfrac{1}{6}(3 - (-1))^3 = \dfrac{32}{3}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 포물선과 직선 $y = 3$을 연립하면 $-x^2 + 2x + 3 = 3 \iff x(x - 2) = 0$에서 교점은 $0, 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구간 $[0, 2]$에서 포물선이 직선 위쪽에 있으므로 $S_2 = \displaystyle\int_{0}^{2} (-x^2 + 2x)\,dx = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + x^2\right]_{0}^{2} = \dfrac{4}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | x절편 -1, 3을 구하고 정적분으로 $S_1 = 32/3$을 계산함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 직선 $y=3$과의 교점 0, 2를 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간 [0, 2] 정적분으로 $S_2 = 4/3$을 정확히 도출함 | 3점 |
두 넓이의 비 $S_1$ : $S_2 = (4^3)$ : ($2^3$) = 8 : 1이 성립함을 이용해 빠르게 검산할 수 있습니다.
그림과 같이 닫힌구간 $[2, 10]$에서 정의된 함수 $f(x) = \log_3(x - 1) + 2$의 역함수 $f^{-1}(x)$를 구하고, 주어진 구간에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x)$는 밑 $3 \gt 1$이므로 증가함수이며, $f(2) = \log_3 1 + 2 = 2$ (최솟값), $f(10) = \log_3 9 + 2 = 4$ (최댓값)이므로 치역은 $[2, 4]$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $y = \log_3(x - 1) + 2$에서 $y - 2 = \log_3(x - 1) \iff x - 1 = 3^{y - 2} \implies x = 3^{y - 2} + 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x$와 $y$를 바꾸고 정의역을 명시하면 $f^{-1}(x) = 3^{x - 2} + 1$ ($2 \le x \le 4$)이고, $f(x)$의 최댓값은 $4$, 최솟값은 $2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 증가성을 이용해 최솟값 $f(2)=2$, 최댓값 $f(10)=4$와 치역 [2, 4]를 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 로그 정의로 $x$를 $y$에 관하여 풀어 $x = 3^{y-2} + 1$을 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 역함수 식 $f^{-1}(x) = 3^{x-2} + 1$과 정의역 $[2, 4]$를 함께 명시함 | 3점 |
제한된 구간에서 정의된 함수의 역함수를 구할 때는 원함수의 치역 [2, 4]를 역함수의 정의역으로 적어 주면 만점 답안이 됩니다.
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $A = 45^\circ$, $B = 60^\circ$, $b = 3\sqrt{2}$일 때, 변 $a$의 길이와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름 $R$를 각각 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 사인법칙 $\dfrac{b}{\sin B} = 2R$에 대입하면 $2R = \dfrac{3\sqrt{2}}{\sin 60^\circ} = \dfrac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{6}$이므로 외접원의 반지름은 $R = \sqrt{6}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 다시 사인법칙 $a = 2R\sin A$에 $2R = 2\sqrt{6}$과 $A = 45^\circ$를 대입한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 계산하면 $a = 2\sqrt{6} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 사인법칙 $\frac{b}{\sin B} = 2R$로부터 외접원 반지름 $R = \sqrt{6}$을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a = 2R \sin A$ 관계식에 45도 삼각비를 대입함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 무리수를 간단히 하여 $a = 2 \times \sqrt{3}$을 도출함 | 3점 |
분모에 루트가 있는 번분수 계산 시 $\frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ 약분을 먼저 수행하면 산술 실수가 없습니다.
첫째항이 $a_1 = 1$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{a_n + 1}$로 정의된 수열 $\{a_n\}$에 대하여 일반항 $a_n$과 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a_1 = 1 \gt 0$으로부터 모든 항이 양수이므로 양변에 역수를 취하면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{a_n + 1}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 수열 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$은 첫째항이 $1$, 공차가 $1$인 등차수열이므로 $\dfrac{1}{a_n} = n$, 즉 일반항은 $a_n = \dfrac{1}{n}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{10} k = \dfrac{10 \times 11}{2} = 55$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 양변에 역수를 취해 등차 점화식 $\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 1$을 유도함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 일반항 $a_n = \frac{1}{n}$을 확정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 자연수의 합 공식으로 55를 도출함 | 3점 |
역수 치환 후 구한 식이 $\frac{1}{a_n} = n$이므로 일반항 $a_n$을 적을 때는 다시 역수 $\frac{1}{n}$으로 되돌려 적어야 합니다.
함수 $f(x) = 2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) - 3$의 주기를 $T$, 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $T + M - m$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x$의 계수가 $\dfrac{\pi}{2}$이므로 주기는 $T = \dfrac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $-1 \le \sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) \le 1$이므로 최댓값은 $M = 2(1) - 3 = -1$, 최솟값은 $m = 2(-1) - 3 = -5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $T + M - m = 4 + (-1) - (-5) = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 주기 공식 $2\pi / (\pi/2)$로 주기 $T=4$를 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 사인 치역으로부터 $M=-1$과 $m=-5$를 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $T + M - m = 8$을 정확히 계산함 | 3점 |
x의 계수에 pi가 포함되어 있으므로 주기 T는 pi가 약분된 유리수 4가 됩니다.
첫째항이 $1$이고 공차가 $3$인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\displaystyle\sum_{k=1}^{8} \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 공차가 $a_{k+1} - a_k = 3$이고 $a_n = 3n - 2 \gt 0$이므로 분모를 유리화하면 $\dfrac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k} = \dfrac{1}{3}\left(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}\right)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $k = 1$부터 $8$까지 대입하여 더하면 이웃한 항들이 소거되어 $\dfrac{1}{3}\left(\sqrt{a_9} - \sqrt{a_1}\right)$만 남는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a_1 = 1$, $a_9 = 3(9) - 2 = 25$이므로 구하는 합은 $\dfrac{1}{3}(\sqrt{25} - \sqrt{1}) = \dfrac{4}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 분모 차 $a_{k+1}-a_k = 3$을 이용해 유리화 계수 1/3을 유도함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 망원합 소거로 $\dfrac{1}{3}(\sqrt{a_9} - \sqrt{a_1})$을 세움 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a_9 = 25$를 대입하여 4/3을 정확히 도출함 | 3점 |
유리화 시 분모 $a_{k+1} - a_k$가 1이 아니라 공차 $d=3$이므로 1/3 계수를 반드시 곱해야 합니다.
함수 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 16}{x - 4} & (x \ne 4) \\ k & (x = 4) \end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 $k$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 $f(x)$는 $x \ne 4$인 모든 실수에서 연속이므로 실수 전체에서 연속이려면 $x = 4$에서 연속이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x \ne 4$일 때 $\dfrac{x^2 - 16}{x - 4} = \dfrac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4} = x + 4$이므로 $\displaystyle\lim_{x \to 4} f(x) = 8$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 연속의 정의 $\displaystyle\lim_{x \to 4} f(x) = f(4)$에 의하여 $k = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x=4$에서의 연속 정의 $\lim_{x \to 4} f(x) = f(4) = k$를 선언함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 합차 공식 인수분해와 약분으로 극한값 8을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 상수 $k = 8$을 도출함 | 3점 |
$x \ne 4$ 조건을 적고 (x-4)를 약분하면 서술의 엄밀성이 완벽해집니다.
함수 $f(x) = x^3 - 3x$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 평균값 정리를 만족시키는 모든 실수 $c$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[0, 3]$에서 연속이고 열린구간 $(0, 3)$에서 미분가능하며, 평균변화율은 $\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{18 - 0}{3} = 6$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(c) = 3c^2 - 3 = 6$을 풀면 $3c^2 = 9$, 즉 $c^2 = 3$이므로 $c = \pm\sqrt{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 열린구간 $(0, 3)$에 속하는 실수는 양수뿐이므로 $c = \sqrt{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 평균값 정리 전제 조건과 평균변화율 6을 계산함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 방정식 $3c^2 - 3 = 6$으로부터 $c = \pm\sqrt{3}$을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 열린구간 (0, 3) 조건으로 음근을 제외하고 $c = \sqrt{3}$을 확정함 | 3점 |
$-\sqrt{3}$은 구간 (0, 3) 밖의 값이므로 반드시 제외해야 합니다.
모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x^4 - 4x + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $g(x) = x^4 - 4x + k$라 하면 $g'(x) = 4x^3 - 4 = 4(x - 1)(x^2 + x + 1)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 모든 실수 $x$에서 $x^2 + x + 1 \gt 0$이므로 $g(x)$는 $x = 1$에서 유일한 극소이자 실수 전체의 최솟값 $g(1) = 1 - 4 + k = k - 3$을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 모든 실수에서 $g(x) \ge 0$이려면 최솟값 $k - 3 \ge 0$이어야 하므로 $k$의 최솟값은 $3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 도함수 $4(x-1)(x^2+x+1)$로 인수분해하고 이차 인수 양수 판별을 보임 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 유일한 극소점 $x=1$에서의 전역 최솟값 k-3을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $k - 3 \ge 0$으로부터 최솟값 3을 도출함 | 3점 |
$x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4 \gt 0$임을 한 줄로 밝히면 부호 판단 근거가 완벽해집니다.
그림과 같이 곡선 $y = x^3 - 2x$와 직선 $y = 2x$로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 교점 방정식 $x^3 - 2x = 2x \iff x^3 - 4x = x(x + 2)(x - 2) = 0$으로부터 교점의 $x$좌표는 $-2, 0, 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 두 함수 모두 기함수(원점 대칭)이므로 두 도형의 넓이는 서로 같으며, 구간 $[0, 2]$에서는 직선 $y = 2x$가 곡선 위쪽에 있다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 넓이의 합은 $2\displaystyle\int_{0}^{2} (4x - x^3)\,dx = 2\left[2x^2 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_{0}^{2} = 2(8 - 4) = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 연립방정식을 인수분해하여 세 교점 -2, 0, 2를 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 원점 대칭성을 이용해 구간 [0, 2] 넓이의 2배 적분식을 세움 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분을 계산하여 넓이의 합 8을 도출함 | 3점 |
[-2, 2]에서 절댓값 없이 그대로 적분하면 기함수여서 0이 되므로 반드시 원점 대칭 2배 적분을 적용하십시오.
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$일 때, 운동 방향을 바꾸는 시각 $t$, 시각 $t = 2$에서의 위치 $x(2)$, 시각 $t = 0$부터 $t = 3$까지 실제로 움직인 거리 $s$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$에서 $t = 1, 3$ 전후로 속도의 부호가 바뀌므로 운동 방향을 바꾸는 시각은 $t = 1$과 $t = 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 원점 출발($x(0)=0$)이므로 위치는 $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$이고 $x(2) = 8 - 24 + 18 = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구간 $[0, 1]$에서 $v \ge 0$, $[1, 3]$에서 $v \le 0$이므로 거리 $s = \displaystyle\int_{0}^{1} v(t)\,dt + \int_{1}^{3} (-v(t))\,dt = x(1) + \{x(1) - x(3)\} = 4 + (4 - 0) = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $v(t) = 3(t-1)(t-3)$의 부호 변화로 방향 전환 시각 $t=1$, 3을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 원점 출발 적분으로 위치 함수와 $x(2) = 2$를 계산함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | [0, 1]과 [1, 3] 부호 분리 정적분으로 실제 이동거리 $s = 8$을 도출함 | 3점 |
$t=3$일 때의 위치는 $x(3)=0$(원점 복귀)이지만 $t=1$에서 위치 4까지 갔다가 돌아왔으므로 움직인 거리는 $4+4=8$입니다.
양수 $x$에 대하여 방정식 $\log_3 x + \log_3(x + 6) = 3$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그의 진수 조건에서 $x \gt 0$이고 $x + 6 \gt 0$이므로 공통 범위는 $x \gt 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 로그의 성질에 의하여 좌변을 합치면 $\log_3\{x(x + 6)\} = 3$이므로 $x(x + 6) = 3^3 = 27$, 즉 $x^2 + 6x - 27 = (x + 9)(x - 3) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 진수 조건 $x \gt 0$에 의하여 $x = -9$는 무연근이므로 구하는 해는 $x = 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 로그의 진수 조건으로부터 $x \gt 0$ 범위를 먼저 명시함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 로그의 합을 진수의 곱으로 바꾸어 이차방정식 $x^2 + 6x - 27 = 0$을 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 진수 조건으로 음수 근을 배제하고 $x = 3$을 정확히 도출함 | 3점 |
로그방정식 서술형에서는 진수 조건을 첫 줄에 선언하지 않으면 정답이 맞아도 단계 감점이 발생합니다.
그림과 같이 직선 $y = -x + 8$이 두 곡선 $y = 2^{x - 1} + 1$, $y = \log_2(x - 1) + 1$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 할 때, 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표와 원점 $\mathrm{O}$에 대한 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $y = 2^{x - 1} + 1$에서 $x$와 $y$를 바꾸어 정리하면 $x - 1 = 2^{y - 1}$, 즉 $y = \log_2(x - 1) + 1$이므로 두 곡선은 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 방정식 $2^{x - 1} + 1 = -x + 8$에서 좌변은 증가함수, 우변은 감소함수이고 $x = 3$일 때 $2^2 + 1 = 5 = -3 + 8$이 성립하므로 유일한 교점은 $\mathrm{A}(3, 5)$이며, $y = x$ 대칭에 의하여 $\mathrm{B}(5, 3)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는 $\sqrt{(5 - 3)^2 + (3 - 5)^2} = 2\sqrt{2}$이고 원점 $\mathrm{O}$에서 직선 $x + y - 8 = 0$에 내린 수선의 길이는 $\dfrac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$이므로 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 두 함수가 서로 역함수 관계로서 직선 $y = x$에 대칭임을 밝힘 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 단조성과 대칭성을 이용하여 두 교점 $A(3, 5)$, $B(5, 3)$을 확정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 밑변의 길이와 높이를 구하여 삼각형 OAB의 넓이 8을 정확히 도출함 | 3점 |
기울기가 -1인 직선과 역함수 쌍의 교점은 반드시 직선 $y = x$에 대하여 대칭입니다.
$0 \le x \lt 2\pi$일 때, 삼각방정식 $4\sin^2 x + 8\cos x - 7 = 0$을 만족시키는 모든 실근 $x$를 구하고, 모든 실근의 합을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각함수의 기본 항등식 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 대입하면 $4(1 - \cos^2 x) + 8\cos x - 7 = 0$, 즉 $4\cos^2 x - 8\cos x + 3 = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 좌변을 인수분해하면 $(2\cos x - 1)(2\cos x - 3) = 0$이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $-1 \le \cos x \le 1$이므로 $\cos x = \dfrac{3}{2}$인 해는 존재하지 않아 $\cos x = \dfrac{1}{2}$뿐이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \le x \lt 2\pi$에서 $\cos x = \dfrac{1}{2}$을 만족시키는 해는 $x = \dfrac{\pi}{3}$ 또는 $x = \dfrac{5\pi}{3}$이며, 모든 실근의 합은 $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{5\pi}{3} = 2\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 대입하여 $4\cos^2 x - 8\cos x + 3 = 0$을 유도함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $-1 \le \cos x \le 1$ 범위 제한으로$\cos x = 3/2$를 배제하고$\cos x = 1/2$를 확정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 근 $\pi/3$, $5\pi/3$과 모든 실근의 합 $2\pi$를 정확히 도출함 | 3점 |
삼각치환 이차방정식에서 [-1, 1] 바깥의 근을 배제하는 이유를 적는 것이 만점 답안의 핵심입니다.
그림과 같이 반지름의 길이가 $5$인 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\sin A + \sin B = \dfrac{7}{5}$, $\sin C = \dfrac{4}{5}$일 때, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 둘레의 길이를 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 외접원의 반지름의 길이가 $R = 5$이므로 사인법칙에 의하여 세 변의 길이는 $a = 2R\sin A = 10\sin A$, $b = 2R\sin B = 10\sin B$, $c = 2R\sin C = 10\sin C$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 주어진 조건을 대입하면 $a + b = 10(\sin A + \sin B) = 10 \times \dfrac{7}{5} = 14$이고, $c = 10 \times \dfrac{4}{5} = 8$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 둘레의 길이는 $a + b + c = 14 + 8 = 22$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 사인법칙 $a = 2R\sin A, b = 2R \sin B$, $c = 2R \sin C$ 관계를 선언함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $R = 5$와 사인값 조건을 대입하여 $a + b = 14$ 및 $c = 8$을 계산함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 세 변의 합으로 둘레의 길이 22를 정확히 도출함 | 3점 |
개별 각 A, B를 구하려 하지 말고 $a + b = 2R(\sin A + \sin B)$로 묶어 처리하면 즉시 해결됩니다.
합 $\displaystyle\sum_{k=2}^{24} \log_5\left(1 - \dfrac{1}{k^2}\right) + \log_5 48$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 진수를 인수분해하면 $1 - \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{k^2 - 1}{k^2} = \dfrac{k - 1}{k} \cdot \dfrac{k + 1}{k}$이고, 로그의 덧셈 성질에 의하여 시그마 합은 진수들의 곱의 로그와 같다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\displaystyle\prod_{k=2}^{24} \left(\dfrac{k - 1}{k} \cdot \dfrac{k + 1}{k}\right) = \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdots \dfrac{23}{24}\right)\left(\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdots \dfrac{25}{24}\right) = \dfrac{1}{24} \cdot \dfrac{25}{2} = \dfrac{25}{48}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 주어진 식의 값은 $\log_5\dfrac{25}{48} + \log_5 48 = \log_5\left(\dfrac{25}{48} \times 48\right) = \log_5 25 = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $1 - \frac{1}{k^2} = \frac{k-1}{k} \times \frac{k+1}{k}$ 인수분해와 로그 합의 진수 곱 변환을 제시함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연쇄 약분을 통해 진수의 곱 25/48을 정확히 계산함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\log_5 48$과 결합하여 최종 값 $\log_5 25 = 2$를 도출함 | 3점 |
(k-1)/k 묶음과 (k+1)/k 묶음을 따로 분리해 약분하면 맨 앞과 맨 뒤 남는 항이 한눈에 보입니다.
함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$에 대하여 도함수 $f'(x)$, 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값, 그리고 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선의 방정식을 각각 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x)$를 미분하면 $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$이므로 $f'(x) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x = 0$ 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값은 $f(0) = 2$이고, $x = 2$ 좌우에서 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값은 $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 점 $(1, f(1)) = (1, 0)$에서의 접선의 기울기는 $f'(1) = 3 - 6 = -3$이므로 접선의 방정식은 $y - 0 = -3(x - 1)$, 즉 $y = -3x + 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 도함수 $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$와 임계점 $x = 0, 2$를 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부호 변화를 근거로 극댓값 2와 극솟값 -2를 정확히 산출함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 접점 (1, 0)과 기울기 $f'(1) = -3$으로부터 접선 $y = -3x + 3$을 도출함 | 3점 |
극값을 적을 때는 도함수 부호 변화에 따른 극대·극소 판정 근거를 한 문장으로 덧붙이십시오.
그림과 같이 닫힌구간 $[-2, 2]$에서 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k$ ($k$는 상수)의 최댓값이 $22$일 때, 상수 $k$의 값과 닫힌구간 $[-2, 2]$에서의 최솟값 $m$을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0$에서 구간 $[-2, 2]$ 내부에 속하는 극값 후보는 $x = -1$뿐이다 ($x = 3$은 구간 밖).
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 내 극값과 양 끝점의 함숫값을 비교하면 $f(-2) = k - 2$, $f(-1) = k + 5$, $f(2) = k - 22$이므로 최댓값은 $f(-1) = k + 5 = 22$에서 $k = 17$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 닫힌구간 $[-2, 2]$에서의 최솟값은 $x = 2$일 때 $m = f(2) = 17 - 22 = -5$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 도함수 인수분해로 구간 [-2, 2] 내부의 임계점 $x = -1$만 선택함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | f(-2), f(-1), f(2)를 모두 비교하여 k + 5 = 22에서 $k = 17$을 확정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간 최솟값 $m = f(2) = -5$를 정확히 도출함 | 3점 |
임계점 $x = 3$이 주어진 닫힌구간 [-2, 2] 밖에 있음을 명시해야 논리적 감점이 없습니다.
등식 $\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x + a} - 4}{x - 3} = b$를 만족시키는 두 실수 $a, b$에 대하여 $a, b$의 값과 $a + 16b$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to 3$일 때 분모가 $0$에 수렴하고 극한값 $b$가 존재하므로 분자도 $0$에 수렴해야 한다. 즉 $\sqrt{6 + a} - 4 = 0$에서 $6 + a = 16$이므로 $a = 10$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a = 10$을 대입하고 분자를 유리화하면 $\dfrac{(\sqrt{2x + 10} - 4)(\sqrt{2x + 10} + 4)}{(x - 3)(\sqrt{2x + 10} + 4)} = \dfrac{2(x - 3)}{(x - 3)(\sqrt{2x + 10} + 4)} = \dfrac{2}{\sqrt{2x + 10} + 4}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x \to 3$일 때 극한값은 $b = \dfrac{2}{4 + 4} = \dfrac{1}{4}$이므로 $a + 16b = 10 + 4 = 14$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 분모 극한이 0임을 이용하여 분자 극한 0 조건으로 $a = 10$을 결정함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 켤레식을 곱해 (x - 3) 인수를 약분한 극한식을 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $b = 1/4$ 및 $a + 16b = 14$를 정확히 도출함 | 3점 |
유리화 후 분자에 남는 계수 2를 빠뜨리지 않도록 $2x + 10 - 16 = 2(x - 3)$으로 묶어 쓰십시오.
모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x^4 - 4x^3 + 16x + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $g(x) = x^4 - 4x^3 + 16x$라 하면 미분하여 $g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 16 = 4(x + 1)(x - 2)^2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $g'(x) = 0$에서 $x = -1$ 또는 $x = 2$이나, $x = 2$ 좌우에서는 $(x - 2)^2 \ge 0$이므로 부호가 바뀌지 않고 $x = -1$에서만 음에서 양으로 바뀌므로 $g(x)$는 $x = -1$에서 극소이자 최솟값 $g(-1) = 1 + 4 - 16 = -11$을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 모든 실수 $x$에서 $g(x) + k \ge 0$이려면 최솟값 $-11 + k \ge 0$이어야 하므로 $k \ge 11$이며, 실수 $k$의 최솟값은 $11$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | g(x)를 설정하고 도함수 $g'(x) = 4(x + 1)(x - 2)^2$으로 인수분해함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 중근 $x = 2$에서 부호 불변임을 확인하고 $x = -1$에서 최솟값 $g(-1) = -11$을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $-11 + k \ge 0$ 조건으로부터 $k$의 최솟값 11을 정확히 도출함 | 3점 |
중근 인수는 도함수의 부호를 바꾸지 않으므로 사차함수가 유일한 극솟값을 가짐을 서술하십시오.
다항함수 $f(x) = 3x^5 - 4x^3 + 3x^2 - 7x + 2$에 대하여 정적분 $\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x)\,dx$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 적분 구간 $[-2, 2]$가 원점에 대하여 대칭이므로 홀수차 항 $3x^5$, $-4x^3$, $-7x$의 정적분 값은 모두 $0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 짝수차 항과 상수항은 우함수 성질에 의하여 $\displaystyle\int_{-2}^{2} (3x^2 + 2)\,dx = 2\int_{0}^{2} (3x^2 + 2)\,dx$로 정리된다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 계산하면 $2\Bigl[x^3 + 2x\Bigr]_{0}^{2} = 2(8 + 4) = 24$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 원점 대칭 구간 [-2, 2]에서 기함수 항들의 정적분이 0임을 선언함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 우함수 성질로 $2 \times \int_0^2 (3x^2 + 2)\,dx$로 단순화함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분을 계산하여 최종 값 24를 정확히 도출함 | 3점 |
5차·3차 항을 직접 적분하면 부호 실수가 잦으므로 기함수 소거 성질을 반드시 활용하십시오.
그림과 같이 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $b = 4$, $c = 6$, $A = 60^\circ$일 때, 변 $a$의 길이와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 코사인법칙에 의하여 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = 4^2 + 6^2 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos 60^\circ = 16 + 36 - 24 = 28$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a \gt 0$이므로 변 $a$의 길이는 $a = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 변의 길이와 끼인각을 이용한 삼각형 넓이 공식에 의하여 $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙에 $b=4$, $c=6$, $A=60$도를 대입하여 $a^2 = 28$을 유도함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 변의 양수 조건으로 $a = 2 \times \sqrt{7}$을 확정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 넓이 공식 $S = (1/2)bc \sin A$로 $S = 6 \times \sqrt{3}$을 정확히 도출함 | 3점 |
$\cos 60$도 = 1/2과 $\sin 60$도 = $\sqrt{3}/2$를 혼동하지 않도록 각각 명시하여 대입하십시오.
어떤 자외선 차단 필름 $1$장을 통과할 때마다 자외선의 세기가 통과 전 세기의 $75\%$가 된다고 한다. 자외선의 세기가 처음 세기의 $\dfrac{1}{10}$ 이하가 되도록 하려면 최소 몇 장의 필름을 겹쳐야 하는지 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\log 2 = 0.3010$, $\log 3 = 0.4771$로 계산한다.)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 처음 자외선의 세기를 $I_0$, 겹친 필름의 장수를 자연수 $n$이라 하면 $n$장 통과 후 세기는 $I_0\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$이므로 부등식 $\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \le \dfrac{1}{10}$을 만족해야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양변에 상용로그를 취하면 $n(\log 3 - 2\log 2) \le -1$이고, 주어진 값을 대입하면 $n(0.4771 - 0.6020) = -0.1249n \le -1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 양변을 $-0.1249$로 나누면 $n \ge \dfrac{1}{0.1249} = \dfrac{10000}{1249} = 8.006\cdots$이므로 자연수 $n$의 최솟값은 $9$장이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 지수부등식 $(3/4)^n \le 1/10$을 정확히 세움 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 상용로그를 취해 $-0.1249n \le -1$로 변환함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 부등호 방향에 유의하여 $10000/1249 \gt 8$임을 보이고 최소 9장을 도출함 | 3점 |
$1249 \times 8 = 9992 \lt 10000$이므로 8장으로는 부족하고 최소 9장이 필요함을 검산하십시오.
지수부등식 $4^x - 10 \cdot 2^{x - 1} + 4 \le 0$을 만족시키는 실수 $x$의 값의 범위와 모든 정수 $x$의 합을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $2^{x - 1} = \dfrac{1}{2} \cdot 2^x$이므로 식을 정리하고 $2^x = t$ ($t \gt 0$)로 치환하면 $t^2 - 5t + 4 \le 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 좌변을 인수분해하면 $(t - 1)(t - 4) \le 0$이므로 $1 \le t \le 4$, 즉 $2^0 \le 2^x \le 2^2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 밑 $2$가 $1$보다 크므로 $0 \le x \le 2$이고, 이를 만족시키는 정수 $x$는 $0, 1, 2$이므로 합은 $0 + 1 + 2 = 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $2^x = t$ $(t \gt 0)$로 치환하여 이차부등식 $t^2 - 5t + 4 \le 0$을 유도함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $1 \le 2^x \le 4$로부터 밑이 1보다 큰 단조성을 적용해 $0 \le x \le 2$를 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간 내 모든 정수 $x = 0$, 1, 2의 합 3을 정확히 도출함 | 3점 |
$10 \times 2^{x-1}$을 $5 \times 2^x$로 정확히 고친 뒤 치환해야 계수 실수를 막을 수 있습니다.
첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{3}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{2a_n + 1}$을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$에 대하여 일반항 $a_n$을 구하고, $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k}$의 값을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a_1 \gt 0$이므로 귀납적으로 모든 항이 양수이며, 점화식의 양변에 역수를 취하면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{2a_n + 1}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 수열 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$은 첫째항이 $\dfrac{1}{a_1} = 3$이고 공차가 $2$인 등차수열이므로 $\dfrac{1}{a_n} = 3 + (n - 1)\cdot 2 = 2n + 1$, 즉 $a_n = \dfrac{1}{2n + 1}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{10} (2k + 1) = 2 \times \dfrac{10 \times 11}{2} + 10 = 110 + 10 = 120$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 양변에 역수를 취하여 $\{\frac{1}{a_n}\}$이 공차 2인 등차수열임을 유도함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\frac{1}{a_n} = 2n + 1$로부터 일반항 $a_n = \frac{1}{2n + 1}$을 확정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 시그마 공식을 적용하여 합 120을 정확히 도출함 | 3점 |
분모가 일차식 합 꼴인 분수 점화식은 역수를 취하면 즉시 등차수열로 바뀝니다.
두 양수 $a, b$와 상수 $c$에 대하여 함수 $f(x) = a\cos(bx) + c$의 최댓값이 $7$, 최솟값이 $-1$, 주기가 $\dfrac{2\pi}{3}$일 때, 상수 $a, b, c$의 값과 $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a \gt 0$이고 $-1 \le \cos(bx) \le 1$이므로 최댓값은 $a + c = 7$, 최솟값은 $-a + c = -1$이다. 두 식을 연립하면 $a = 4$, $c = 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $b \gt 0$이므로 함수 $f(x)$의 주기는 $\dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{2\pi}{3}$에서 $b = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = 4\cos(3x) + 3$이므로 $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 4\cos\pi + 3 = 4(-1) + 3 = -1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a \gt 0$ 조건에서 $a + c = 7$, $-a + c = -1$을 연립하여 $a = 4$, $c = 3$을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주기 공식 $\frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{3}$으로부터 $b = 3$을 확정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(\pi/3) = 4\cos(\pi) + 3 = -1$을 정확히 도출함 | 3점 |
양수 조건 $a \gt 0$, $b \gt 0$을 서술에 함께 명시해야 절댓값 기호 생략의 근거가 완성됩니다.
그림과 같이 포물선 $y = -x^2 + 4$와 직선 $y = x + 2$의 두 교점의 $x$좌표를 구하고, 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분을 이용하여 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 식을 연립하면 $-x^2 + 4 = x + 2$, 즉 $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) = 0$이므로 두 교점의 $x$좌표는 $x = -2$와 $x = 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 $[-2, 1]$에서 포물선이 직선보다 위쪽에 있으므로 넓이는 $S = \displaystyle\int_{-2}^{1} \{(-x^2 + 4) - (x + 2)\}\,dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2)\,dx$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 정적분을 계산하면 $S = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + 2x\right]_{-2}^{1} = \left(-\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} + 2\right) - \left(\dfrac{8}{3} - 2 - 4\right) = \dfrac{7}{6} - \left(-\dfrac{10}{3}\right) = \dfrac{9}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 연립방정식 $x^2 + x - 2 = 0$을 풀어 두 교점 $x = -2$, 1을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 구간 [-2, 1]에서 위쪽 함수에서 아래쪽 함수를 뺀 정적분 식을 세움 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 부정적분 대입 계산으로 넓이 $S = 9/2$를 정확히 도출함 | 3점 |
계산 후 이차함수 넓이 공식 $(1/6)(1 - (-2))^3 = 27/6 = 9/2$로 검산하면 분수 계산 오류를 100% 방지할 수 있습니다.
다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -3$, $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 4$를 모두 만족시킬 때, 함수 $f(x)$를 구하고 $f(2)$의 값을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 첫째 조건에서 $f(x) - 2x^3$은 최고차항이 $-3x^2$인 이차 이하의 다항식이므로 상수 $p, q$에 대하여 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + px + q$로 놓을 수 있다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 둘째 조건에서 분모가 $0$으로 가므로 $f(1) = 2 - 3 + p + q = 0$, 즉 $q = 1 - p$이고, 미분계수의 정의에 의하여 $f'(1) = 6 - 6 + p = 4$이므로 $p = 4$, $q = -3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 3$이며, $f(2) = 16 - 12 + 8 - 3 = 9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 무한대 극한 조건으로부터 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + px + q$ 꼴을 설정함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f(1) = 0$과 $f'(1) = 4$를 적용하여 $p = 4$, $q = -3$을 결정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | f(x) 식을 확정하고 $f(2) = 9$를 정확히 도출함 | 3점 |
$f(1)=0$을 확인한 뒤 lim f(x)/(x-1) = f'(1)로 처리하면 인수분해보다 훨씬 빠르게 일차항 계수가 결정됩니다.
그림과 같이 피적분함수의 부호가 바뀌는 구간을 나누어 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{5} |x^2 - 5x + 4|\,dx$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$이므로 구간 $[0, 1]$과 $[4, 5]$에서는 $x^2 - 5x + 4 \ge 0$이고 구간 $[1, 4]$에서는 $x^2 - 5x + 4 \le 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간을 분할하면 $\displaystyle\int_{0}^{1} (x^2 - 5x + 4)\,dx + \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4)\,dx + \int_{4}^{5} (x^2 - 5x + 4)\,dx$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $F(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{5}{2}x^2 + 4x$라 하면 $F(1) - F(0) = \dfrac{11}{6}$, $-\{F(4) - F(1)\} = \dfrac{9}{2} = \dfrac{27}{6}$, $F(5) - F(4) = \dfrac{11}{6}$이므로 합은 $\dfrac{11 + 27 + 11}{6} = \dfrac{49}{6}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 인수분해 $(x-1)(x-4)$로 부호 전환점 $x = 1, 4$를 찾아 세 구간으로 분할함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 원시함수 F(x)를 이용하여 각 구간의 정적분 11/6, 27/6, 11/6을 계산함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 세 값을 합산하여 최종 답 49/6을 정확히 도출함 | 3점 |
이차함수 $y = (x-1)(x-4)$는 축 $x = 5/2$에 대칭이므로 [0, 1]과 [4, 5]의 정적분 값이 같음을 검산에 활용하십시오.
함수 $f(x) = \begin{cases} x + 3 & (x \lt 1) \\ x - 2 & (x \ge 1) \end{cases}$와 이차함수 $g(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 곱의 함수 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이고 $g(0) = -3$일 때, 상수 $a, b$의 값과 $g(3)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x)$는 $x \ne 1$에서 연속이고 $g(x)$는 실수 전체에서 연속이므로 $f(x)g(x)$가 $x = 1$에서만 연속이면 실수 전체에서 연속이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\lim_{x \to 1^-} f(x)g(x) = 4g(1)$이고 $\lim_{x \to 1^+} f(x)g(x) = f(1)g(1) = -g(1)$이므로 $4g(1) = -g(1)$에서 $g(1) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $g(0) = b = -3$이고 $g(1) = 1 + a - 3 = 0$에서 $a = 2$이므로 $g(x) = x^2 + 2x - 3$이며, $g(3) = 9 + 6 - 3 = 12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x = 1$에서의 좌극한 4g(1)과 우극한·함숫값 -g(1)을 각각 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연속 조건 $4g(1) = -g(1)$로부터 $g(1) = 0$을 이끌어냄 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $b = -3$, $a = 2$를 확정하고 $g(3) = 12$를 정확히 도출함 | 3점 |
불연속점 $x = k$에서 연속함수 g(x)를 곱해 연속이 되려면 $g(k) = 0$이어야 함을 좌·우극한 비교로 증명하십시오.
직선 철로 위를 $24\,\mathrm{m/s}$의 속도로 달리는 열차가 제동을 건 후 $t$초일 때의 속도가 $v(t) = 24 - 4t$ ($\mathrm{m/s}$)라 한다. 제동을 건 후 열차가 완전히 정지할 때까지 걸리는 시간과 정지할 때까지 달린 거리(제동거리)를 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 열차가 정지하는 시각은 속도 $v(t) = 0$이 되는 시각이므로 $24 - 4t = 0$에서 $t = 6$초이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 시각 $t = 0$에서 $t = 6$까지 $v(t) \ge 0$이므로 제동거리는 $D = \displaystyle\int_{0}^{6} (24 - 4t)\,dt$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 계산하면 $D = \Bigl[24t - 2t^2\Bigr]_{0}^{6} = 144 - 72 = 72\,\mathrm{m}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정지 조건 $v(t) = 0$으로부터 정지 시각 $t = 6$초를 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 제동거리 정적분 식 $\int_0^6 (24 - 4t)\,dt$를 세움 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분을 계산하여 제동거리 72m를 정확히 도출함 | 3점 |
단위(초, m)가 주어진 물리 운동 문항에서는 최종 답에 단위를 함께 기입하는 습관을 들이십시오.
등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_3 = 11$, $a_7 = 27$일 때, 첫째항 $a_1$과 공차 $d$를 구하고 첫째항부터 제$10$항까지의 합 $S_{10}$을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등차수열의 일반항 $a_n = a_1 + (n - 1)d$에서 $a_3 = a_1 + 2d = 11$, $a_7 = a_1 + 6d = 27$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 두 식을 빼면 $4d = 16$에서 $d = 4$이고, 이를 대입하면 $a_1 = 11 - 8 = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 등차수열의 합 공식에 의하여 $S_{10} = \dfrac{10(2a_1 + 9d)}{2} = \dfrac{10(6 + 36)}{2} = 210$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등차수열 일반항 공식으로 $a_1 + 2d = 11$, $a_1 + 6d = 27$ 연립식을 세움 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 공차 $d = 4$와 첫째항 $a_1 = 3$을 정확히 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 등차수열 합 공식으로 $S_{10} = 210$을 도출함 | 3점 |
$a_7 - a_3 = 4d$임을 이용하면 공차를 암산 수준으로 구하고 검산까지 마칠 수 있습니다.
양수 $a$에 대하여 $a^{1/2} - a^{-1/2} = 2$일 때, $a + a^{-1}$의 값과 $a^2 + a^{-2}$의 값을 차례로 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a^{1/2} - a^{-1/2} = 2$의 양변을 제곱하면 $(a^{1/2})^2 - 2\cdot a^{1/2}\cdot a^{-1/2} + (a^{-1/2})^2 = a - 2 + a^{-1} = 4$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 $a + a^{-1} = 4 + 2 = 6$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 다시 $a + a^{-1} = 6$의 양변을 제곱하면 $a^2 + 2 + a^{-2} = 36$이므로 $a^2 + a^{-2} = 36 - 2 = 34$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $(a^{1/2} - a^{-1/2})^2 = a + a^{-1} - 2$ 항등식을 전개함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부호에 유의하여 $a + a^{-1} = 6$을 정확히 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 한 번 더 제곱하여 $a^2 + a^{-2} = 34$를 도출함 | 3점 |
차를 제곱할 때는 +2를 더하고, 합을 제곱할 때는 2를 빼야 함을 단계별로 구분하십시오.
$0 \le x \lt 2\pi$일 때, 삼각부등식 $2\sin^2 x + 5\cos x + 1 \le 0$의 해가 $\beta \le x \le \gamma$이다. 두 상수 $\beta, \gamma$의 값과 $\beta + \gamma$, $\gamma - \beta$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 대입하여 정리하면 $2(1 - \cos^2 x) + 5\cos x + 1 \le 0$, 즉 $2\cos^2 x - 5\cos x - 3 = (2\cos x + 1)(\cos x - 3) \ge 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 모든 실수 $x$에 대하여 $\cos x \le 1$이므로 $\cos x - 3 \le -2 \lt 0$ (항상 음수)이다. 따라서 양변을 음수인 $\cos x - 3$으로 나누면 $2\cos x + 1 \le 0$, 즉 $\cos x \le -\dfrac{1}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \le x \lt 2\pi$에서 $\cos x \le -\dfrac{1}{2}$의 해는 $\dfrac{2\pi}{3} \le x \le \dfrac{4\pi}{3}$이므로 $\beta = \dfrac{2\pi}{3}$, $\gamma = \dfrac{4\pi}{3}$이며, $\beta + \gamma = 2\pi$, $\gamma - \beta = \dfrac{2\pi}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 양변 제곱과 $\sin^2 + \cos^2 = 1$로부터 $\sin(\theta)\cos(\theta) = 3/8$을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\cos x - 3 \lt 0$임을 근거로 부등호를 반전시켜 $\cos x \le -1/2$를 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\beta = 2\pi/3$, $\gamma = 4\pi/3$ 및 합 $2\pi$, 차 $2\pi/3$을 정확히 도출함 | 3점 |
항상 음수인 인수 $(\cos x - 3)$으로 나눌 때 부등호 방향이 반대로 바뀜을 서술에 반드시 명시하십시오.
모든 항이 양수인 등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, $S_3 = 7$, $S_6 = 63$이다. 공비 $r$와 첫째항 $a_1$, 그리고 제$5$항 $a_5$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 7$이고 $S_6 = S_3 + r^3(a_1 + a_2 + a_3) = (1 + r^3)S_3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $63 = 7(1 + r^3)$에서 $1 + r^3 = 9$, 즉 $r^3 = 8$이고 실수 공비는 $r = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $S_3 = a_1(1 + 2 + 4) = 7a_1 = 7$에서 $a_1 = 1$이므로 $a_5 = a_1 r^4 = 1 \times 2^4 = 16$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등비수열 부분합 관계 $S_6 = (1 + r^3)S_3$을 세움 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $r^3 = 8$로부터 실수 공비 $r = 2$와 첫째항 $a_1 = 1$을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 제5항 $a_5 = 16$을 정확히 도출함 | 3점 |
$S_{2k} = (1 + r^k)S_k$ 관계를 쓰면 공비 $r=1$ 여부를 따로 나눌 필요 없이 곧바로 r^k가 구해집니다.
그림과 같이 이웃하는 두 변의 길이가 $\overline{\mathrm{AB}} = 6$, $\overline{\mathrm{AD}} = 8$이고 $\angle \mathrm{BAD} = 120^\circ$인 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$에 대하여 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S$와 대각선 $\overline{\mathrm{BD}}$의 길이를 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 이웃한 두 변과 끼인각을 이용한 평행사변형 넓이 공식에 의하여 $S = \overline{\mathrm{AB}} \cdot \overline{\mathrm{AD}} \sin 120^\circ = 6 \times 8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 코사인법칙을 적용하면 $\overline{\mathrm{BD}}^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \times 6 \times 8 \cos 120^\circ$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$이므로 $\overline{\mathrm{BD}}^2 = 36 + 64 + 48 = 148$이고, $\overline{\mathrm{BD}} \gt 0$에서 $\overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $S = AB \times AD \times \sin 120$도 공식으로 넓이 $24 \times \sqrt{3}$을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 삼각형 ABD에 코사인법칙과 $\cos 120$도 = -1/2를 대입하여 $BD^2 = 148$을 계산함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 양수 조건으로 대각선의 길이 $BD = 2 \times \sqrt{37}$을 도출함 | 3점 |
둔각 120도의 코사인값은 음수(-1/2)이므로 -2bc $\cos A$ 항이 양수(+48)로 더해짐에 주의하십시오.
함수 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2} & (x \ne 2) \\ b & (x = 2) \end{cases}$가 $x = 2$에서 연속일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x = 2$에서 연속이려면 $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2} = f(2) = b$가 성립해야 하며, $x \to 2$일 때 분모가 $0$에 수렴하므로 분자도 $4 + 2a - 6 = 0$에서 $a = 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a = 1$을 대입하고 분자를 인수분해하면 $\dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2} = \dfrac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = x + 3$ ($x \ne 2$)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $b = \lim_{x \to 2} (x + 3) = 5$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 연속의 정의 $\lim_{x \to 2} f(x) = b$와 분자 영점 조건으로 $a = 1$을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 분자를 $(x - 2)(x + 3)$으로 인수분해하여 $(x - 2)$를 약분함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 극한값을 계산하여 $b = 5$를 정확히 도출함 | 3점 |
약분 과정 옆에 $(x \ne 2)$ 단서를 함께 표기하면 논리적 완성도가 매우 높아집니다.
두 상수 $a, b$에 대하여 함수 $f(x) = (x^2 + ax + b)|x - 2|$가 $x = 2$에서 미분가능하고 $f'(0) = -8$일 때, 좌미분계수와 우미분계수의 정의를 이용하여 상수 $a, b$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(2) = 0$이므로 우미분계수는 $\lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(2 + h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \{(2 + h)^2 + a(2 + h) + b\} = 4 + 2a + b$이고, 좌미분계수는 $\lim_{h \to 0^-} \dfrac{-(2 + h)^2 - a(2 + h) - b}{1} = -(4 + 2a + b)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x = 2$에서 미분가능하려면 좌·우미분계수가 같아야 하므로 $4 + 2a + b = -(4 + 2a + b)$, 즉 $2a + b = -4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x \lt 2$인 근방에서 $f(x) = -(x^2 + ax + b)(x - 2) = -x^3 + (2 - a)x^2 + (2a - b)x + 2b$이므로 $f'(0) = 2a - b = -8$이며, 연립하면 $a = -3$, $b = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $h \to 0^+$와 $h \to 0^-$의 미분계수 극한을 각각 계산함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 좌미분계수 = 우미분계수 조건으로부터 $2a + b = -4$를 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x \lt 2$ 구간 도함수에서 $f'(0) = 2a - b = -8$을 연립하여 $a = -3$, $b = 2$를 도출함 | 3점 |
$x = 0$은 2보다 작으므로 |x - 2| = -(x - 2) 부호를 반영해 미분해야 f'(0)의 부호가 틀리지 않습니다.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle\int_{1}^{x} (x - t)f(t)\,dt = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$를 만족시킬 때, 함수 $f(x)$를 구하고 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{4} |f(x)|\,dx$의 값을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 적분 변수 $t$에 대하여 $x$를 상수 취급해 좌변을 분리하면 $x\displaystyle\int_{1}^{x} f(t)\,dt - \int_{1}^{x} tf(t)\,dt = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle\int_{1}^{x} f(t)\,dt + xf(x) - xf(x) = \int_{1}^{x} f(t)\,dt = 3x^2 - 12x + 9$이고, 다시 한 번 미분하면 $f(x) = 6x - 12$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(x) = 6(x - 2)$는 $x = 2$에서 부호가 바뀌므로 $\displaystyle\int_{0}^{4} |6x - 12|\,dx = \int_{0}^{2} (12 - 6x)\,dx + \int_{2}^{4} (6x - 12)\,dx = 12 + 12 = 24$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 좌변을 x * int f(t)dt - int t*f(t)dt로 전개하여 변수 x를 적분 기호 밖으로 분리함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 두 번 연속 미분하여 도함수 관계로부터 $f(x) = 6x - 12$를 확정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x = 2$를 기준으로 구간 [0, 2], [2, 4]로 나누어 정적분 값 24를 도출함 | 3점 |
피적분함수 안에 x가 들어 있는 상태로 바로 대입 미분하면 오답이 되므로 반드시 분배 후 미분하십시오.
다항함수 $f(x)$에 대하여 $f(2) = 3$, $f'(2) = 5$일 때, 극한값 $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 f(2) - 4f(x)}{x - 2}$를 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 미분계수의 정의 꼴을 만들기 위해 분자에 $-4f(2) + 4f(2)$를 더하고 빼면 $\dfrac{(x^2 - 4)f(2) - 4\{f(x) - f(2)\}}{x - 2}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 식을 두 항으로 분리하면 $\lim_{x \to 2} (x + 2)f(2) - 4\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 4f(2) - 4f'(2)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(2) = 3$, $f'(2) = 5$를 대입하면 $4 \times 3 - 4 \times 5 = 12 - 20 = -8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 분자에 4f(2)를 빼고 더하여 미분계수 표준형으로 변형함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극한의 성질로 4f(2) - 4f'(2) 식을 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 주어진 값을 대입하여 최종 극한값 -8을 정확히 도출함 | 3점 |
교육과정 외 변칙 공식을 쓰지 말고 반드시 4f(2)를 더하고 빼는 표준 변형 과정을 서술해야 만점을 받습니다.
두 이차함수 $y = x^2 - 2x$와 $y = -x^2 + 4x$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 식을 연립하면 $x^2 - 2x = -x^2 + 4x$에서 $2x^2 - 6x = 2x(x - 3) = 0$이므로 두 교점의 $x$좌표는 $x = 0$과 $x = 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 $[0, 3]$에서 $-x^2 + 4x \ge x^2 - 2x$이므로 넓이는 $S = \displaystyle\int_{0}^{3} \{(-x^2 + 4x) - (x^2 - 2x)\}\,dx = \int_{0}^{3} (-2x^2 + 6x)\,dx$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 정적분을 계산하면 $S = \left[-\dfrac{2}{3}x^3 + 3x^2\right]_{0}^{3} = -18 + 27 = 9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 연립방정식 $2x(x - 3) = 0$으로부터 교점 $x = 0$, 3을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 구간 $[0, 3]$에서 대소 관계를 반영한 정적분 $\int_0^3 (-2x^2 + 6x)\,dx$를 세움 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분을 계산하여 넓이 $S = 9$를 정확히 도출함 | 3점 |
최고차항 계수의 차가 |-1 - 1| = 2이므로 (2/6)*(3 - 0)^3 = 9로 빠르게 검산할 수 있습니다.
함수 $f(x) = 3^{x - 1} + 2$가 닫힌구간 $[1, 3]$에서 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 가질 때, $M$과 $m$의 값을 각각 구하고 $M + m$의 값을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 지수함수 $f(x) = 3^{x - 1} + 2$는 밑 $3$이 $1$보다 크므로 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 닫힌구간 $[1, 3]$에서 $x = 1$일 때 최솟값 $m = f(1) = 3^0 + 2 = 3$을 갖고, $x = 3$일 때 최댓값 $M = f(3) = 3^2 + 2 = 11$을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 그러므로 구하는 합은 $M + m = 11 + 3 = 14$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 밑 $3 \gt 1$임을 근거로 f(x)가 증가함수임을 명시함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양 끝점 대입으로 최솟값 $m = 3$, 최댓값 $M = 11$을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 합 $M + m = 14$를 정확히 도출함 | 3점 |
지수·로그함수의 최대·최소 서술에서는 밑의 크기(밑 > 1 또는 0 < 밑 < 1)에 따른 증감 판정을 첫 줄에 적으십시오.
$\log_2 3 = a$, $\log_3 5 = b$일 때, $\log_{15} 24$를 $a, b$에 대한 식으로 나타내는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 공통으로 등장하는 숫자 $3$을 밑으로 하여 밑의 변환 공식을 적용하면 $\log_{15} 24 = \dfrac{\log_3 24}{\log_3 15}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 소인수분해하면 $24 = 2^3 \times 3$, $15 = 3 \times 5$이고 $\log_3 2 = \dfrac{1}{\log_2 3} = \dfrac{1}{a}$이므로 분자는 $3\log_3 2 + 1 = \dfrac{3}{a} + 1$, 분모는 $1 + \log_3 5 = 1 + b$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 분모와 분자에 $a$를 곱해 정리하면 $\log_{15} 24 = \dfrac{a + 3}{a(b + 1)}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 공통 수 3을 밑으로 하는 밑 변환 공식 $\frac{\log_3 24}{\log_3 15}$를 세움 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\log_3 2 = 1/a$와 소인수분해를 대입하여 번분수 식을 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 통분 정리하여 (a + 3) / (a(b + 1))을 정확히 도출함 | 3점 |
두 조건식에 공통으로 들어 있는 수(여기서는 3)로 밑을 통일하는 것이 가장 빠른 해법입니다.
$0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{4}$인 각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta - \sin\theta = \dfrac{1}{2}$일 때, $\sin\theta\cos\theta$의 값과 $\sin\theta + \cos\theta$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\cos\theta - \sin\theta = \dfrac{1}{2}$의 양변을 제곱하고 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 적용하면 $1 - 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}$에서 $\sin\theta\cos\theta = \dfrac{3}{8}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 곱셈공식 변형에 의하여 $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{4}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{4}$에서 $\sin\theta \gt 0$, $\cos\theta \gt 0$이므로 $\sin\theta + \cos\theta \gt 0$이어서 $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 양변 제곱과 $\sin^2 + \cos^2 = 1$로부터 $\sin(\theta)\cos(\theta) = 3/8$을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | ($\sin + \cos)^2 = 7/4$를 계산함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 제1사분면 양수 부호 근거를 들어$\sin + \cos = \sqrt{7}/2$를 도출함 | 3점 |
제곱근을 벗길 때 각의 범위로부터 부호를 판정하는 근거 문장이 필수 채점 요소입니다.
자연수 $n$에 대하여 $a_n = 4n^2 - 1$일 때, 합 $\displaystyle\sum_{k=1}^{15} \dfrac{1}{a_k}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a_k = 4k^2 - 1 = (2k - 1)(2k + 1)$이므로 부분분수로 변형하면 $\dfrac{1}{a_k} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k - 1} - \dfrac{1}{2k + 1}\right)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $k = 1$부터 $15$까지 대입해 더하면 이웃한 항이 연쇄 소거되어 $\dfrac{1}{2}\left\{\left(1 - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{29} - \dfrac{1}{31}\right)\right\}$이 된다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 남는 첫 항과 끝 항을 계산하면 $\dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{31}\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{30}{31} = \dfrac{15}{31}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $4k^2 - 1 = (2k-1)(2k+1)$ 인수분해와 부분분수 계수 1/2를 정확히 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 이웃한 항들의 연쇄 소거 과정을 제시함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 남은 양 끝 항을 통분하여 15/31을 정확히 도출함 | 3점 |
두 인수 (2k+1)과 (2k-1)의 차가 2이므로 부분분수 앞에 1/2을 곱하는 것을 잊지 마십시오.
$n \ge 5$인 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $2^n \gt n^2$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (i) $n = 5$일 때, 좌변은 $2^5 = 32$, 우변은 $5^2 = 25$이므로 $32 \gt 25$가 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (ii) $n = k$ ($k \ge 5$)일 때 $2^k \gt k^2$이 성립한다고 가정하면 양변에 $2$를 곱하여 $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k \gt 2k^2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 이때 $k \ge 5$이므로 $2k^2 - (k + 1)^2 = k^2 - 2k - 1 = (k - 1)^2 - 2 \ge 16 - 2 = 14 \gt 0$에서 $2k^2 \gt (k + 1)^2$이므로 $2^{k+1} \gt (k + 1)^2$이 성립한다. 따라서 $n \ge 5$인 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 초기값 $n = 5$에서 좌변 32 > 우변 25가 성립함을 확인함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $n = k$ 귀납 가정으로부터 $2^{k+1} \gt 2k^2$을 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $2k^2 - (k+1)^2 = (k-1)^2 - 2 \gt 0$ ($k \ge 5$)을 보여 증명을 완결함 | 3점 |
부등식의 귀납법 증명에서는 중간 매개식 $2k^2$과 목표식 (k+1)^2의 차가 양수임을 보이는 단계가 핵심입니다.
원점 $(0, 0)$에서 곡선 $y = x^2 + 4$에 그은 두 접선의 방정식과 두 접점의 좌표를 각각 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $y' = 2x$이므로 접점의 좌표를 $(t, t^2 + 4)$라 하면 이 점에서의 접선의 방정식은 $y - (t^2 + 4) = 2t(x - t)$, 즉 $y = 2tx - t^2 + 4$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이 직선이 원점 $(0, 0)$을 지나므로 $0 = -t^2 + 4$에서 $t^2 = 4$, 즉 $t = -2$ 또는 $t = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 두 접점의 좌표는 $(-2, 8)$, $(2, 8)$이고, 두 접선의 방정식은 각각 $y = -4x$, $y = 4x$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 접점 $(t, t^2 + 4)$를 설정하여 접선 방정식 $y = 2tx - t^2 + 4$를 세움 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 원점 (0, 0) 대입으로 $t = -2$, 2를 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 접점 (-2, 8), (2, 8)과 두 접선 $y = -4x$, $y = 4x$를 정확히 도출함 | 3점 |
원점 (0, 0)은 곡선 위의 점이 아니므로 미분계수에 $x=0$을 바로 대입하지 않도록 주의하십시오.
그림과 같이 닫힌구간 $[-1, 2]$에서 사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + k$ ($k$는 상수)의 최솟값이 $6$일 때, 상수 $k$의 값과 닫힌구간 $[-1, 2]$에서의 최댓값 $M$을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x - 1)(x - 2) = 0$에서 구간 $[-1, 2]$ 안의 임계점은 $x = 0, 1, 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 양 끝점과 임계점의 함숫값을 구하면 $f(-1) = k + 9$, $f(0) = k$, $f(1) = k + 1$, $f(2) = k$이므로 최솟값은 $k = 6$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $k = 6$일 때 닫힌구간 $[-1, 2]$에서의 최댓값은 $M = f(-1) = 6 + 9 = 15$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 도함수 4x$(x-1)(x-2) = 0$으로부터 임계점 $x = 0$, 1, 2를 모두 찾음 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | f(-1), f(0), f(1), f(2)를 비교하여 최솟값 $k = 6$을 확정함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최댓값 $M = f(-1) = 15$를 정확히 도출함 | 3점 |
$f(x) = x^2(x - 2)^2 + k$로 완전제곱 변형하면 $x = 0$, 2에서 최솟값 k를 가짐을 즉시 확인할 수 있습니다.
그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 $9$이고 높이가 $18$인 직원뿔에 내접하는 직원기둥 중에서 부피가 최대인 직원기둥의 밑면의 반지름의 길이 $r$, 높이 $h$, 그리고 최대 부피 $V_{\max}$를 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 직원기둥의 밑면 반지름을 $r$ ($0 \lt r \lt 9$), 높이를 $h$라 하면 축을 포함하는 단면 직각삼각형의 닮음비 $(18 - h) : r = 18 : 9$에서 $h = 18 - 2r$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 직원기둥의 부피는 $V(r) = \pi r^2 h = \pi r^2(18 - 2r) = 2\pi(9r^2 - r^3)$이고, 미분하면 $V'(r) = 2\pi(18r - 3r^2) = 6\pi r(6 - r)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \lt r \lt 9$에서 $V(r)$는 $r = 6$일 때 극대이자 최대이므로 그때의 높이는 $h = 18 - 12 = 6$이고 최대 부피는 $V_{\max} = \pi \times 6^2 \times 6 = 216\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 단면 삼각형의 닮음비로 $h = 18 - 2r$과 정의역 $0 \lt r \lt 9$를 설정함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부피 함수 $V(r) = 2\pi(9r^2 - r^3)$과 도함수 $V'(r) = 6\pi \times r(6 - r)$을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $r = 6$에서 극대·최대임을 밝히고 $h = 6$, 최대 부피 $216\pi$를 도출함 | 3점 |
도형 최적화 서술에서는 반지름 r의 열린구간 범위$(0 \lt r \lt 9)$와 유일한 극댓값이 최댓값이라는 근거를 반드시 기입하십시오.
삼차방정식 $x^3 - 6x^2 + 9x - k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위와 모든 정수 $k$의 합을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 방정식을 $x^3 - 6x^2 + 9x = k$로 변형하고 $g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$라 하면 $g'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $g(x)$는 $x = 1$에서 극댓값 $g(1) = 1 - 6 + 9 = 4$를 갖고, $x = 3$에서 극솟값 $g(3) = 27 - 54 + 27 = 0$을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 곡선 $y = g(x)$와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나려면 극솟값 $\lt k \lt$ 극댓값이어야 하므로 $0 \lt k \lt 4$이며, 정수 $k = 1, 2, 3$의 합은 $6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 상수 k를 분리하여 $g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$와 $y = k$의 교점 문제로 전환함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 도함수로부터 극댓값 $g(1) = 4$, 극솟값 $g(3) = 0$을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $0 \lt k \lt 4$ 범위와 정수 $k = 1$, 2, 3의 합 6을 정확히 도출함 | 3점 |
등호가 들어가면 중근이 생겨 실근이 2개가 되므로 부등호에 등호가 빠짐을 명확히 구분하십시오.
그림과 같이 곡선 $y = 3x^2$과 $x$축 및 직선 $x = 2$로 둘러싸인 도형의 넓이가 직선 $x = a$ ($0 \lt a \lt 2$)에 의하여 왼쪽과 오른쪽 부분의 넓이의 비가 $1 : 7$이 되도록 나누어질 때, 상수 $a$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 전체 도형의 넓이는 $S = \displaystyle\int_{0}^{2} 3x^2\,dx = \Bigl[x^3\Bigr]_{0}^{2} = 8$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 직선 $x = a$의 왼쪽 부분의 넓이는 $S_1 = \displaystyle\int_{0}^{a} 3x^2\,dx = \Bigl[x^3\Bigr]_{0}^{a} = a^3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 왼쪽과 오른쪽 넓이의 비가 $1 : 7$이므로 왼쪽 넓이는 전체 넓이의 $\dfrac{1}{8}$이다. 즉 $a^3 = 8 \times \dfrac{1}{8} = 1$이고 실수 $a$는 $a = 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정적분으로 전체 영역의 넓이 $S = 8$을 계산함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 왼쪽 부분의 넓이를 $S_1 = a^3$으로 표현함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 넓이 비 1 : 7로부터 $a^3 = 1$을 세워 $a = 1$을 정확히 도출함 | 3점 |
넓이 비가 1 : 7이면 전체 대비 왼쪽 비율은 1/7이 아니라 1/(1+7) = 1/8임에 주의하십시오.
첫째항이 $a_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 2a_n + 1$로 정의된 수열 $\{a_n\}$에 대하여 일반항 $a_n$과 제$5$항 $a_5$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 점화식 $a_{n+1} = 2a_n + 1$의 양변에 $1$을 더하여 변형하면 $a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 수열 $\{a_n + 1\}$은 첫째항이 $a_1 + 1 = 3$이고 공비가 $2$인 등비수열이므로 $a_n + 1 = 3 \cdot 2^{n - 1}$, 즉 $a_n = 3 \cdot 2^{n - 1} - 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 여기에 $n = 5$를 대입하면 $a_5 = 3 \times 2^4 - 1 = 48 - 1 = 47$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 양변에 1을 더하여 등비수열 표준형 $a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$로 변형함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 첫째항 3, 공비 2를 적용하여 일반항 $a_n = 3 \times 2^{n-1} - 1$을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $n = 5$를 대입하여 $a_5 = 47$을 정확히 도출함 | 3점 |
항 번호가 작아 순차 대입(2 ➔ 5 ➔ 11 ➔ 23 ➔ 47)으로도 검산이 가능하니 일반항 결과와 반드시 대조하십시오.
닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x) = \log_{1/2}(x^2 - 2x + 5)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하고, $M + m$의 값을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 진수를 $g(x) = x^2 - 2x + 5 = (x - 1)^2 + 4$라 하면 닫힌구간 $[0, 3]$에서 $g(x)$는 $x = 1$일 때 최솟값 $4$, $x = 3$일 때 최댓값 $8$을 갖는다 ($4 \le g(x) \le 8$).
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 로그의 밑 $\dfrac{1}{2}$이 $0 \lt \dfrac{1}{2} \lt 1$이므로 로그함수는 감소함수이다. 따라서 진수가 최소일 때 최댓값 $M = \log_{1/2} 4 = -2$, 진수가 최대일 때 최솟값 $m = \log_{1/2} 8 = -3$을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 그러므로 $M + m = -2 + (-3) = -5$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 이차 진수 $g(x) = (x-1)^2 + 4$의 구간 [0, 3] 범위 $4 \le g(x) \le 8$을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 밑 1/2이 1보다 작아 부등호 방향이 반전됨을 들어 $M = -2$, $m = -3$을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 합 $M + m = -5$를 정확히 도출함 | 3점 |
밑이 0과 1 사이일 때는 진수가 작을수록 로그값은 커진다는 반비례 단조성에 주의하십시오.
그림과 같이 중심각의 크기가 $\dfrac{2\pi}{3}$이고 넓이가 $12\pi$인 부채꼴의 반지름의 길이 $r$와 둘레의 길이 $L$을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부채꼴의 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$에서 $12\pi = \dfrac{1}{2}r^2 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}r^2$이므로 $r^2 = 36$, 즉 $r = 6$ ($r \gt 0$)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 호의 길이 공식 $l = r\theta$에 대입하면 $l = 6 \times \dfrac{2\pi}{3} = 4\pi$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 부채꼴의 둘레의 길이는 두 반지름과 호의 길이의 합인 $L = 2r + l = 12 + 4\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 넓이 공식 $\frac{1}{2}r^2\theta = 12\pi$로부터 반지름 $r = 6$을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 호의 길이 $l = r \times \theta = 4\pi$를 계산함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 반지름을 포함한 둘레 $L = 12 + 4\pi$를 정확히 도출함 | 3점 |
부채꼴의 둘레를 호의 길이 $4\pi$만 적어 틀리는 사례가 많으니 반드시 $2r$를 더하십시오.
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 5$, $\overline{\mathrm{AC}} = 8$, $\cos A = \dfrac{1}{2}$일 때, 변 $\overline{\mathrm{BC}}$의 길이와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 코사인법칙에 의하여 $\overline{\mathrm{BC}}^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times \dfrac{1}{2} = 25 + 64 - 40 = 49$이므로 $\overline{\mathrm{BC}} = 7$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $0 \lt A \lt \pi$에서 $\sin A \gt 0$이므로 $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 사인법칙 $2R = \dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = \dfrac{7}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{14}{\sqrt{3}}$으로부터 외접원의 반지름의 길이는 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙을 적용하여 변 $BC = 7$을 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 삼각함수 제곱 관계로$\sin A = \sqrt{3}/2$를 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 사인법칙에 대입하고 분모를 유리화하여 $R = 7 \times \sqrt{3}/3$을 도출함 | 3점 |
사인법칙 분모에 사인값을 넣은 뒤 마지막에 2로 나누어 R를 구할 때 2R와 R를 혼동하지 마십시오.
함수 $f(x) = \dfrac{|x - 3|}{x - 3} + 2x$에 대하여 $x = 3$에서의 좌극한 $\lim_{x \to 3^-} f(x)$와 우극한 $\lim_{x \to 3^+} f(x)$를 각각 구하고, 극한값 $\lim_{x \to 3} f(x)$의 존재 여부를 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \lt 3$일 때 $|x - 3| = -(x - 3)$이므로 좌극한은 $\lim_{x \to 3^-} \left(\dfrac{-(x - 3)}{x - 3} + 2x\right) = \lim_{x \to 3^-} (-1 + 2x) = 5$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x \gt 3$일 때 $|x - 3| = x - 3$이므로 우극한은 $\lim_{x \to 3^+} \left(\dfrac{x - 3}{x - 3} + 2x\right) = \lim_{x \to 3^+} (1 + 2x) = 7$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\lim_{x \to 3^-} f(x) \ne \lim_{x \to 3^+} f(x)$이므로 극한값 $\lim_{x \to 3} f(x)$는 존재하지 않는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x \lt 3$에서 |x - 3| = -(x - 3)을 적용해 좌극한 5를 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x \gt 3$에서 |x - 3| = x - 3을 적용해 우극한 7을 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 좌극한과 우극한의 불일치를 근거로 극한값이 존재하지 않음을 판정함 | 3점 |
절댓값 분수식의 극한은 반드시 좌·우 부호를 먼저 분리해 약분한 뒤 극한을 취해야 합니다.
모든 실수 $x$에 대하여 연속인 함수 $f(x)$가 $\displaystyle\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 + ax^2 - 4$를 만족시킬 때, 상수 $a$의 값과 $f(2)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 위끝과 아래끝이 같아지도록 양변에 $x = 1$을 대입하면 $\displaystyle\int_{1}^{1} f(t)\,dt = 0 = 1 + a - 4$이므로 $a = 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a = 3$을 대입한 등식 $\displaystyle\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 + 3x^2 - 4$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 3x^2 + 6x$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $x = 2$를 대입하면 $f(2) = 3 \times 4 + 6 \times 2 = 24$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 양변에 $x = 1$을 대입하여 초기조건으로부터 $a = 3$을 결정함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 미적분의 기본정리로 양변을 미분하여 $f(x) = 3x^2 + 6x$를 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x = 2$를 대입하여 $f(2) = 24$를 정확히 도출함 | 3점 |
미분하기 전에 반드시 위끝=아래끝인 $x = 1$을 먼저 대입해야 미정계수 a가 결정됩니다.
닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c$ ($0 \lt c \lt 3$)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[0, 3]$에서 연속이고 열린구간 $(0, 3)$에서 미분가능하며, 평균변화율은 $\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{7 - 1}{3} = 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$이므로 평균값 정리에 의하여 $f'(c) = 3c^2 - 6c + 2 = 2$인 $c$가 $(0, 3)$에 존재한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $3c(c - 2) = 0$에서 $c = 0$ 또는 $c = 2$이고, 열린구간 조건 $0 \lt c \lt 3$에 의하여 $c = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 연속·미분가능 조건 명시 후 구간 [0, 3]의 평균변화율 2를 계산함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f'(c) = 3c^2 - 6c + 2 = 2$ 방정식을 세워 $c = 0, 2$를 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 열린구간 $0 \lt c \lt 3$ 조건으로 경계점 $c = 0$을 제외하고 $c = 2$를 확정함 | 3점 |
구간 끝점 $c = 0$을 답에 포함시키면 평균값 정리의 열린구간 조건 위반으로 감점됩니다.
그림과 같이 삼차곡선 $y = x^3 - 3x$ 위의 점 $(-1, 2)$에서의 접선 $l$의 방정식을 구하고, 곡선과 접선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$ 및 이 도형이 $y$축에 의하여 나누어지는 왼쪽과 오른쪽 넓이의 비 $S_1 : S_2$를 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $y' = 3x^2 - 3$에서 $x = -1$일 때 기울기는 $0$이므로 접선 $l$의 방정식은 $y = 2$이고, 연립식 $x^3 - 3x = 2$에서 $(x + 1)^2(x - 2) = 0$이므로 교점은 $x = -1$ (접점)과 $x = 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 $[-1, 2]$에서 $2 \ge x^3 - 3x$이므로 전체 넓이는 $S = \displaystyle\int_{-1}^{2} (2 - x^3 + 3x)\,dx = \left[2x - \dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{3}{2}x^2\right]_{-1}^{2} = 6 - \left(-\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{27}{4}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $y$축($x = 0$) 왼쪽 넓이는 $S_1 = \displaystyle\int_{-1}^{0} (2 - x^3 + 3x)\,dx = \dfrac{3}{4}$이고 오른쪽 넓이는 $S_2 = \displaystyle\int_{0}^{2} (2 - x^3 + 3x)\,dx = 6 = \dfrac{24}{4}$이므로 $S_1 : S_2 = 1 : 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 접선 $y = 2$와 인수분해 (x+1)^2(x-2) = 0으로 교점 $x = -1$, 2를 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 정적분을 계산하여 전체 둘러싸인 넓이 $S = 27/4$를 도출함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x = 0$을 기준으로 $S_1 = 3/4$, $S_2 = 6$을 계산해 넓이 비 1 : 8을 확정함 | 3점 |
삼차함수와 접선이 둘러싼 넓이 공식 $(1/12)(2 - (-1))^4 = 81/12 = 27/4$로 전체 넓이를 검산하십시오.
첫째항이 $a_1 = 4$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 3a_n - 2$를 만족시키는 수열 $\{a_n\}$에 대하여 일반항 $a_n$을 구하고, $\displaystyle\sum_{k=1}^{6} a_k$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 점화식 $a_{n+1} = 3a_n - 2$를 변형하면 $a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$이므로 수열 $\{a_n - 1\}$은 첫째항이 $a_1 - 1 = 3$이고 공비가 $3$인 등비수열이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 $a_n - 1 = 3 \cdot 3^{n - 1} = 3^n$이므로 일반항은 $a_n = 3^n + 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 시그마 성질과 등비수열 합 공식을 적용하면 $\displaystyle\sum_{k=1}^{6} (3^k + 1) = \dfrac{3(3^6 - 1)}{3 - 1} + 6 = \dfrac{3 \times 728}{2} + 6 = 1092 + 6 = 1098$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$ 변형으로 $\{a_n - 1\}$이 등비수열임을 밝힘 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 일반항 $a_n = 3^n + 1$을 정확히 유도함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 등비수열 합과 상수항 합 6을 더하여 1098을 도출함 | 3점 |
시그마 뒤의 상수항 +1을 6번 더할 때 1이 아니라 6을 더해야 함에 유의하십시오.
그림과 같이 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 각각 $v_1(t) = 3t^2 - 12t + 9$, $v_2(t) = 6t - 9$이다. 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $\mathrm{P}$가 실제로 움직인 거리 $D$와 출발 후 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 다시 만나는 시각 $t$ ($t \gt 0$)를 모두 구하는 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $v_1(t) = 3(t - 1)(t - 3)$이므로 구간 $[0, 1]$, $[3, 4]$에서는 $v_1(t) \ge 0$이고 구간 $[1, 3]$에서는 $v_1(t) \le 0$이다. 따라서 점 $\mathrm{P}$의 이동거리는 $D = \displaystyle\int_{0}^{1} v_1(t)\,dt - \int_{1}^{3} v_1(t)\,dt + \int_{3}^{4} v_1(t)\,dt = 4 + 4 + 4 = 12$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 원점을 출발하므로 시각 $t$에서 두 점의 위치는 각각 $x_1(t) = \displaystyle\int_{0}^{t} v_1(s)\,ds = t^3 - 6t^2 + 9t$, $x_2(t) = \displaystyle\int_{0}^{t} v_2(s)\,ds = 3t^2 - 9t$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 다시 만나는 시각은 $x_1(t) = x_2(t)$에서 $t^3 - 9t^2 + 18t = t(t - 3)(t - 6) = 0$이므로 $t \gt 0$인 해는 $t = 3$ 또는 $t = 6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $v_1(t) = 3(t-1)(t-3)$의 부호 구간을 나누어 이동거리 $D = 4 + 4 + 4 = 12$를 구함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 원점 출발 초기조건으로 두 점의 위치 함수 $x_1(t)$, $x_2(t)$를 적분 도출함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x_1(t) = x_2(t)$ 방정식을 풀어 재회 시각 $t = 3$, 6을 모두 도출함 | 3점 |
실제 이동거리는 속도의 절댓값 정적분이고, 두 점이 만나는 조건은 속도가 아닌 위치가 같아지는 시각입니다.
| 모집단위 | 모집인원 | 명목경쟁률 | 실질경쟁률 | 최초합 평균 | 70% 충원컷 | 수능최저 기준 | 실시간 합격 판정 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 간호학과 | 14명 | 31.5:1 | 14.2:1 | 89.0점 | 85.5점 | 1개 영역 3등급 이내 | 판정 대기 |
| 물리치료학과 | 10명 | 29.8:1 | 13.4:1 | 88.0점 | 84.5점 | 1개 영역 3등급 이내 | 판정 대기 |
| 인공지능융합공학부(AI공학) | 16명 | 24.6:1 | 11.3:1 | 85.5점 | 82.0점 | 1개 영역 3등급 이내 | 판정 대기 |
| 소프트웨어응용학부 | 18명 | 23.9:1 | 11.0:1 | 85.0점 | 81.5점 | 1개 영역 3등급 이내 | 판정 대기 |
| 데이터사이언스전공 | 12명 | 22.8:1 | 10.5:1 | 84.0점 | 80.5점 | 1개 영역 3등급 이내 | 판정 대기 |
| 전자반도체공학부 | 15명 | 22.1:1 | 10.2:1 | 83.5점 | 80.0점 | 1개 영역 3등급 이내 | 판정 대기 |
| 바이오융합공학과 | 10명 | 21.5:1 | 9.9:1 | 83.0점 | 79.5점 | 1개 영역 3등급 이내 | 판정 대기 |
| 건축학과(5년제) | 8명 | 21.0:1 | 9.7:1 | 82.5점 | 79.0점 | 1개 영역 3등급 이내 | 판정 대기 |
| IoT전자공학과 | 12명 | 20.4:1 | 9.4:1 | 82.0점 | 78.5점 | 1개 영역 3등급 이내 | 판정 대기 |
| 화학생명과학과 | 10명 | 19.8:1 | 9.1:1 | 81.5점 | 78.0점 | 1개 영역 3등급 이내 | 판정 대기 |
| 보건관리학과 | 10명 | 19.2:1 | 8.8:1 | 81.0점 | 77.5점 | 1개 영역 3등급 이내 | 판정 대기 |
| 식품영양학과 | 10명 | 18.6:1 | 8.6:1 | 80.5점 | 77.0점 | 1개 영역 3등급 이내 | 판정 대기 |
| 스마트도시공학전공 | 12명 | 18.0:1 | 8.3:1 | 79.5점 | 76.0점 | 1개 영역 3등급 이내 | 판정 대기 |
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| 제2회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제3회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제4회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제5회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제6회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제7회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제8회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제9회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제10회 | 2026. . . | 분 | / 100 |