2027학년도 건국대학교 자연계열 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 141쪽 단권화

2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본

2027학년도 건국대학교
자연계열 수리논술
10회분 통합 마스터 문제집·해설집

출제 범위: 교과서 기반 교육과정 수학 전 범위 (Textbook DB SSOT)
시험 시간: 100분 | 전형 반영: 논술 100% (수능최저 충족자 일괄합산)

📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 141쪽 완결]

• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭

• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (41p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (20문항)

• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (53p): 출제 타당성 보고서(2p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)

• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (41p): 40문항 전수 아코디언 정밀 해설

• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터

📱 스마트폰 실시간 합격진단 & 올인원 대시보드 연동

우측 QR 스캔 또는 상단 툴바 버튼으로 건국대학교 실시간 컷오프 시뮬레이터와 즉시 동기화됩니다.

발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: QUESTIO-2027-UNIFIED-MASTER

전형 반영 비율

논술 100% (수능최저 충족자 일괄합산)

논술 실질 변별력 핵심

시험 시간 · 문항

100분 · 4문항

회차당 수리 100점 만점

수능최저학력기준

모집단위별 기준 확인

수의예과: 국·수·영·탐(1) 3합 4 / 일반 자연: 국·수

출제 교육과정

교과서 기반 수학과

Textbook DB V1.0 완벽 준거

STEP 1기출 5개년 해부Part 1 정독

STEP 2표준 모의 1~5회실전 시간 엄수

STEP 3킬러 모의 6~10회TOP 5 심화 격파

STEP 4루브릭 약점 교정감점 요인 제거

STEP 5입결 컷오프 판정Part 3 시뮬레이션

📈 5개년 출제 경향 및 2027학년도 핵심 대비 전략

건국대학교 KU논술우수자(자연계열) 전형은 학생부 반영 없이 논술 100% 일괄합산(시험시간 100분, 4문항 총 100점)으로 선발하며, 과학논술 폐지 이후 순수 수리논술 단일 변별력이 절대적입니다.
• 출제 범위 및 기하학 특징: 대수, 미적분Ⅰ·Ⅱ, 확률과 통계, 기하 전 범위를 아우르며, 특히 매년 2문항 이상이 도형·곡선 위의 동점, 원주각·이면각, 접선·법선의 기하적 조건을 미적분·삼각함수로 번역하는 건국대 고유의 시각적 추론 문항으로 출제됩니다.
• 수능최저학력기준: 일반 자연계열 국·수·영·탐(1) 중 2합 5, 수의예과 3합 4(한국사 5등급) 적용으로 실질 경쟁률이 명목 경쟁률의 35% 내외로 형성됩니다.
• 고득점 핵심: 제시문 (가)에 주어진 교과서 정리를 답안 첫머리에 정확히 인용하고, 법선·접선 개수나 정수 순서쌍 판별에서 경계값을 누락하지 않는 정밀함이 합격을 좌우합니다.

🔥 역대 킬러 문항 TOP 5 분석 & 실전 모의고사 6~10회 1:1 심화 매칭표

순위	기출 원천 문항	핵심 출제 테마 및 변별 포인트	모의 1:1 매칭	부분점수 공략 전략
TOP 1	2026 자연 문항 4 (31점)	이차곡선 밖의 점에서 그은 법선의 개수와 삼차방정식 실근·격자점 판별	제6회 문항 4	법선 방정식을 접점 매개변수 삼차방정식으로 정리한 뒤 극댓값·극솟값 부호 곱 음수 조건으로 실근 3개 영역 확정
TOP 2	2026 자연 문항 3 (29점)	역함수·합성함수 미분법과 접선 수직 조건의 매개변수 변화율	제6회 문항 3	역함수 대칭성으로 교점·접선 기울기 곱을 먼저 단순화하고 연쇄법칙 $\frac{dL}{da}$를 단계별로 분리 계산
TOP 3	2026 자연 문항 1 / 2025 자연 문항 1	지수·로그 역함수 대칭점과 원주각·중심각 및 삼각함수 덧셈정리	제7회 문항 1	직선 $y=x$ 대칭과 원점 대칭으로부터 세 점이 한 원 위에 있음을 발견하여 중심각 최소 조건(원점 접선)으로 치환
TOP 4	2025 자연 문항 2 (23점)	공간도형 사면체 부피 최대화와 삼수선의 정리·이면각 정사영	제7회 문항 4	밑면 고정 시 수선의 발 조건으로 높이를 최대화하고 법선벡터(12기하03-05) 또는 삼수선 정리로 이면각 코사인 도출
TOP 5	2026 자연 문항 2 / 2024 자연 문항 2	비복원 추출 이산확률변수 기댓값 및 조건부확률·모비율 추정	제8회 문항 2	확률질량함수 $P(X=k)$의 합이 $1$임을 검산하고 거듭제곱 합 공식과 표본비율 표준오차 공식을 정확히 대입

📌 본 통합 마스터북 100% 활용 5단계 로드맵

STAGE 1

Step 1 (Part 1 5개년 기출 20문항 정밀 해부): 2022~2026 건국대 공식 기출 20문항과 교과서 기반 1:1 유사 연습문제를 통해 도형→수식 번역 알고리즘 체화

STAGE 2

Step 2 (Part 2 실전 모의 10회 40문항 완주): 제1~5회(기출 동형)와 제6~10회(킬러 TOP 5 심화)를 100분 실전 호흡으로 풀고 25점 세부 루브릭으로 자가 첨삭

STAGE 3

Step 3 (Part 3 실시간 입결 시뮬레이션): 수의예과·컴퓨터공학·전기전자 등 15개 모집단위별 70% 컷 대비 본인 점수의 합격 가능성을 실시간 점검

PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS

2022~2026학년도 건국대학교
공식 기출 심층 해설 & 교과서 1:1 연계

최근 5개년 기출 핵심 20문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.

📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록

📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공

✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능

📚 과목/단원: 대수 · 공통수학 🎯 핵심 테마: 지수·로그함수 역함수 대칭과 원주각의 최솟값 ⏱️ 권장 시간: 20분

(가) 좌표평면 위의 점 $(x, y)$를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $(-x, -y)$이다.

(나) 그림에서 점 $A$는 제1사분면 위의 점으로 곡선 $y=e^x$ 위에 있다. 점 $B$는 곡선 $y=\ln x$ 위의 점으로 직선 $AB$의 기울기는 $-1$이다. 점 $C$는 점 $A$를 원점에 대하여 대칭이동한 점이다.

논제 (나)에서 $\angle ACB$의 크기가 최소일 때 점 $A$의 좌표를 구하고 풀이과정을 쓰시오. (17점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

【유사 연습 문제】 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB}=5, \overline{AC}=7, \angle A = \frac{\pi}{3}$일 때, 변 $\overline{BC}$의 길이와 외접원의 반지름 $R$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 코사인법칙에 의해 $\overline{BC}^2 = 25 + 49 - 2\cdot 5\cdot 7 \cos\frac{\pi}{3} = 39 \implies \overline{BC} = \sqrt{39}$. 사인법칙에 의해 $R = \frac{\sqrt{39}}{2\sin(\pi/3)} = \sqrt{13}$이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문항 1 (대수 · 공통수학) [배점 17점]

[2026 건국대 자연계열 문항 1] 지수·로그곡선 위의 대칭점과 원주각 최소 조건 추론 (17점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 1 · 총 17점

■ 1단계 [기하적 대칭성과 원주각의 성질 파악]

점 $A$의 좌표를 $(a, e^a)$라 하자 (단, $a \gt 0$).
곡선 $y=e^x$와 곡선 $y=\ln x$는 직선 $y=x$에 대하여 대칭인 역함수 관계이다.
직선 $AB$의 기울기가 $-1$이므로 직선 $AB$는 직선 $y=x$와 수직이다. 따라서 점 $B$는 점 $A$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점이므로 $B(e^a, a)$이다.
점 $C$는 점 $A$를 원점에 대하여 대칭이동한 점이므로 $C(-a, -e^a)$이다.

원점 $O$에 대하여 선분 $OA, OB, OC$의 길이는 모두 $\sqrt{a^2 + e^{2a}}$로 같다.
\[ \overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC} \] 따라서 점 $A, B, C$는 모두 원점 $O$를 중심으로 하고 반지름이 $\overline{OA}$인 원 위의 점이며, 선분 $AC$는 이 원의 지름이다.
삼각형 $OBC$는 $\overline{OB} = \overline{OC}$인 이등변삼각형이므로 $\angle OBC = \angle OCB$이다.
삼각형의 외각의 성질에 의하여: \[ \angle AOB = \angle OCB + \angle OBC = 2\angle OCB = 2\angle ACB \] \[ \therefore \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB \] 따라서 $\angle AOB$의 크기가 최소일 때 $\angle ACB$의 크기도 최소가 된다.

■ 2단계 [원점 접선 조건 및 점 A의 좌표 도출]

두 점 $A, B$가 직선 $y=x$에 대하여 대칭이므로 두 직선 $OA, OB$ 역시 직선 $y=x$에 대하여 대칭이다.
직선 $OA$의 기울기를 $m = \frac{e^a}{a}$라 하면, 직선 $OB$의 기울기는 $\frac{1}{m}$이다.
$\angle AOB$의 크기가 최소가 되는 것은 두 동경 $OA, OB$가 직선 $y=x$에 가장 가깝게 접근할 때, 즉 직선 $OA$의 기울기 $\frac{e^a}{a}$가 최소가 될 때이다.
곡선 $y=e^x$는 아래로 볼록하므로 원점에서 그은 직선 $OA$가 곡선 $y=e^x$의 접선일 때 기울기가 최소가 된다.

곡선 $y=e^x$ 위의 점 $A(a, e^a)$에서의 접선의 방정식은 \[ y - e^a = e^a(x - a) \iff y = e^a x + (1 - a)e^a \] 이 접선이 원점 $(0, 0)$을 지나야 하므로: \[ (1 - a)e^a = 0 \implies a = 1 \] 따라서 $a = 1$일 때 점 $A$의 좌표는 $\mathbf{(1, e)}$이다.

문제 1 채점기준

【문제 1】 건국대학교 입학처 공식 세부 루브릭 채점표

총 배점:17점

※ 각의 최소 조건 변환, 원점 접선 방정식 유도 및 좌표 도출 세부 기준표

💡 채점위원 감수 핵심 포인트:
• $\angle ACB$를 직접 다루는 대신 원주각과 외각의 성질을 통해 $\angle AOB$로 치환하는 논증(C등급 기준)이 필수입니다.
• 직선 $OA$의 기울기 최소 조건이 곡선 $y=e^x$의 볼록성에 기반한 원점 접선 조건임을 설명했는지 엄격히 채점합니다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 17점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[문제 1 (17점)] 정답 $(1, e)$와 풀이과정의 수학적·논리적 인과관계가 100% 완벽함.	6점
2단계	A · 논리 전개는 모두 정확하나 사소한 계산 또는 표기 실수가 1건 있음.	5점
3단계	B · 직선 $OA$가 곡선 $y=e^x$의 접선일 때 $\angle ACB$의 크기가 최소임을 명시함.	3점
4단계	C · $\angle AOB$의 크기가 최소일 때 $\angle ACB$의 크기가 최소가 됨을 논리적으로 적음.	2점
5단계	D · 대칭점 좌표 설정 또는 도함수 계산 등 풀이와 관련된 의미 있는 시도를 함.	1점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

건국대 자연계열 채점은 17점 만점을 단계별 성취 등급(A+~F) 및 소문항 부분점수로 세분화하여 평가합니다. 제시문 (가)·(나)의 공식을 인용한 근거 식을 첫 줄에 명시하고 정의역·부호 조건을 빠짐없이 확인하십시오.

🎯 [최종 정답]$(1, e)$

📚 과목/단원: 확률과 통계 · 대수 🎯 핵심 테마: 조합과 이산확률변수의 기댓값 및 거듭제곱의 합 ⏱️ 권장 시간: 25분

(가) 자연수의 거듭제곱의 합에 대하여 다음이 성립한다.

\[ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^2 \]

(나) 이산확률변수 $X$의 확률질량함수가 $P(X=x_i) = p_i \; (i=1, 2, \dots, n)$일 때, $X$의 기댓값 $E(X)$는

\[ E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n \]

$n$장의 카드가 들어 있는 상자가 있다. 각각의 카드에는 1부터 $n$까지 자연수 중 한 개가 적혀 있고, 서로 다른 카드에 적혀 있는 자연수는 서로 다르다. 이 상자에서 임의로 카드 3장을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 카드에 적혀 있는 세 수 중 가장 큰 수에서 가장 작은 수를 뺀 값을 확률변수 $X$라 하자. (단, $n$은 3 이상의 자연수)

(1) $n=10$일 때, $P(X=9)$를 구하고 풀이과정을 쓰시오. (8점)

(2) $E(X)=30$일 때, $n$을 구하고 풀이과정을 쓰시오. (15점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

【유사 연습 문제】 모비율이 $p = 0.2$인 모집단에서 크기 $n = 100$인 표본을 임의추출할 때, 표본비율 $\hat{p}$의 평균 $E(\hat{p})$과 표준편차 $\sigma(\hat{p})$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 표본비율의 성질에 의해 $E(\hat{p}) = p = 0.2$이고, $\sigma(\hat{p}) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.2 \times 0.8}{100}} = 0.04$이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문항 2 (확률과 통계 · 대수) [배점 23점]

[2026 건국대 자연계열 문항 2] 비복원 추출 확률질량함수와 이산확률변수의 기댓값 도출 (23점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 2 · 총 23점

■ (1) $n=10$일 때 $P(X=9)$ 구하기

10장의 카드에서 3장을 동시에 꺼내는 전체 경우의 수는 ${}_{10}\mathrm{C}_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$이다.
가장 큰 수와 가장 작은 수의 차가 9가 되려면, 가장 작은 수는 1이어야 하고 가장 큰 수는 10이어야 한다.
나머지 한 장의 카드는 1과 10 사이의 자연수인 $\{2, 3, \dots, 9\}$의 8가지 중 하나이어야 한다.
따라서 조건을 만족시키는 경우의 수는 8가지이므로 \[ P(X = 9) = \frac{8}{{}_{10}\mathrm{C}_3} = \frac{8}{120} = \mathbf{\frac{1}{15}} \]

■ (2) $E(X)=30$일 때 $n$ 구하기

1단계 [확률질량함수 $P(X=k)$ 유도]:
꺼낸 세 장의 카드에 적힌 수를 크기순으로 $a \lt b \lt c$라 하자. 가장 큰 수와 가장 작은 수의 차가 $k$이므로 $c = a + k$이다.
$c \le n$이므로 $a + k \le n \implies a \le n - k$. 즉, $a$가 될 수 있는 수는 $1, 2, \dots, n-k$의 $(n-k)$가지이다.
각각의 $a$에 대하여 $a \lt b \lt a+k$이므로 $b$가 될 수 있는 수는 $a+1$부터 $a+k-1$까지 총 $(k-1)$가지이다.
따라서 세 수의 최대-최소 차가 $k$인 경우의 수는 $(n-k)(k-1)$가지이다 (단, $2 \le k \le n-1$). \[ P(X = k) = \frac{(n - k)(k - 1)}{{}_n\mathrm{C}_3} \]

2단계 [시그마 거듭제곱의 합을 통한 기댓값 계산]:
$k=1$일 때 $k-1=0$, $k=n$일 때 $n-k=0$이므로 합의 구간을 $k=1$부터 $n$까지로 둘 수 있다. \[ E(X) = \sum_{k=2}^{n-1} k P(X=k) = \frac{1}{{}_n\mathrm{C}_3} \sum_{k=1}^n k(n - k)(k - 1) = \frac{1}{{}_n\mathrm{C}_3} \sum_{k=1}^n \left[ -k^3 + (n+1)k^2 - nk \right] \] 제시문 (가)의 공식을 대입하여 공통인수 $n(n+1)$을 묶어내면: \[ \sum_{k=1}^n \left[ -k^3 + (n+1)k^2 - nk \right] = n(n+1) \left[ -\frac{n(n+1)}{4} + \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n}{2} \right] \] 대괄호 내부를 12로 통분하면: \[ = n(n+1) \frac{-3n(n+1) + 2(2n^2 + 3n + 1) - 6n}{12} = n(n+1) \frac{n^2 - 3n + 2}{12} = \frac{n(n+1)(n-1)(n-2)}{12} \] ${}_n\mathrm{C}_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$으로 나누면 놀랍도록 간단히 정리된다: \[ E(X) = \frac{\frac{n(n+1)(n-1)(n-2)}{12}}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}} = \frac{n+1}{2} \] 문제의 조건에서 $E(X) = 30$이므로 \[ \frac{n+1}{2} = 30 \implies n+1 = 60 \implies \mathbf{n = 59} \]

문제 2 채점기준

【문제 2】 건국대학교 입학처 공식 세부 루브릭 채점표

총 배점:23점

※ 확률질량함수 유도, 자연수 거듭제곱합 계산 및 기댓값 등급별 채점 기준표

💡 채점위원 감수 핵심 포인트:
• 확률변수 $X$가 취할 수 있는 값 $k$에 따른 경우의 수가 $(n-k)(k-1)$임을 논리적으로 밝히는 단계(B등급)가 채점의 핵심 분기점입니다.
• 거듭제곱 합 계산 과정에서 전개 실수 없이 공통인수 $n(n+1)$을 묶어내어 $E(X) = \frac{n+1}{2}$로 약분되는 과정을 명시하면 만점을 부여합니다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 23점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[문제 2 (23점)] (1) $P(X=9)=\frac{1}{15}$ 및 (2) $n=59$와 풀이과정을 모두 완벽하게 유도함.	8점
2단계	A · 풀이가 맞았으나 사소한 계산 실수가 있음. 또는 $E(X) = \frac{n+1}{2}$을 구함.	7점
3단계	B · 일반항 확률 $P(X=k) = \frac{(n-k)(k-1)}{{}_n\mathrm{C}_3}$을 올바르게 유도함.	4점
4단계	C · (1)의 확률 $P(X=9) = \frac{1}{15}$을 정확히 산출함.	3점
5단계	D · 경우의 수 세기 또는 거듭제곱의 합 공식 적용 등 의미 있는 시도를 함.	1점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

건국대 자연계열 채점은 23점 만점을 단계별 성취 등급(A+~F) 및 소문항 부분점수로 세분화하여 평가합니다. 제시문 (가)·(나)의 공식을 인용한 근거 식을 첫 줄에 명시하고 정의역·부호 조건을 빠짐없이 확인하십시오.

🎯 [최종 정답](1) $\dfrac{1}{15}$ | (2) $59$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 합성함수·역함수의 미분법과 접선 수직 변화율 ⏱️ 권장 시간: 25분

(가) 두 함수 $y=f(u), u=g(x)$가 미분가능할 때, 합성함수 $y=f(g(x))$의 도함수는

$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} $ 또는 $ y' = f'(g(x))g'(x) $

(나) 그림에서 직선 $l_1$은 곡선 $y=x^2+1$ 위의 점 $P$에서의 접선이고, 직선 $l_2$는 곡선 $y=-(x-a)^2$ 위의 점 $Q$에서의 접선이다. 직선 $PQ$는 직선 $l_1, l_2$와 각각 수직이다.

(1) (나)에서 $a=8$일 때, 점 $P$의 좌표를 구하고 풀이과정을 쓰시오. (14점)

(2) (나)에서 선분 $PQ$의 길이를 $L$이라 하자. $a=8$일 때, $\frac{dL}{da}$의 값을 구하고 풀이과정을 쓰시오. (15점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

【유사 연습 문제】 정적분 $\displaystyle \int_1^e x \ln x \, dx$의 값을 부분적분법을 이용하여 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $u = \ln x, v' = x$로 놓으면 $\int_1^e x \ln x \, dx = \left[\frac{1}{2}x^2 \ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{2}e^2 - \left[\frac{1}{4}x^2\right]_1^e = \frac{e^2 + 1}{4}$이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문항 3 (미적분Ⅱ) [배점 29점]

[2026 건국대 자연계열 문항 3] 역함수 접선 평행 조건과 매개변수 거리 변화율 도출 (29점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 3 · 총 29점

■ (1) $a=8$일 때 점 P의 좌표 구하기

1단계 [접선 기울기 및 평행 조건]:
점 $P$는 곡선 $y=x^2+1$ 위의 점이므로 그 좌표를 $P(b, b^2+1)$이라 하자. 곡선을 미분하면 $y' = 2x$이므로 점 $P$에서의 접선 $l_1$의 기울기는 $2b$이다.
점 $Q$는 곡선 $y=-(x-8)^2$ 위의 점이므로 그 좌표를 $Q(c, -(c-8)^2)$이라 하자. 곡선을 미분하면 $y' = -2(x-8)$이므로 점 $Q$에서의 접선 $l_2$의 기울기는 $-2(c-8)$이다.
직선 $PQ$가 두 직선 $l_1, l_2$와 각각 수직이므로, 두 접선 $l_1$과 $l_2$는 서로 평행하다. \[ 2b = -2(c - 8) \iff b = -c + 8 \iff c = 8 - b \] 따라서 점 $Q$의 좌표는 $Q(8 - b, -b^2)$이다.

2단계 [직선 PQ와 접선 $l_1$의 수직 조건 및 3차방정식 풀이]:
두 점 $P(b, b^2+1)$과 $Q(8-b, -b^2)$를 잇는 직선 $PQ$의 기울기는 \[ \frac{-b^2 - (b^2 + 1)}{(8 - b) - b} = \frac{-2b^2 - 1}{8 - 2b} \] 직선 $PQ$는 기울기가 $2b$인 접선 $l_1$과 수직이므로 두 기울기의 곱은 $-1$이다. \[ 2b \times \left( \frac{-2b^2 - 1}{8 - 2b} \right) = -1 \] 양변에 $-(8 - 2b)$를 곱하여 정리하면: \[ 2b(2b^2 + 1) = 8 - 2b \iff 4b^3 + 2b = 8 - 2b \iff 4b^3 + 4b - 8 = 0 \] 양변을 4로 나누면 \[ b^3 + b - 2 = 0 \iff (b - 1)(b^2 + b + 2) = 0 \] $b^2 + b + 2 = \left(b + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4} \gt 0$이므로 실근은 오직 $b = 1$뿐이다.
$b = 1$을 점 $P$의 좌표에 대입하면 $P(1, 1^2 + 1) = P(1, 2)$이다.
따라서 점 $P$의 좌표는 $\mathbf{(1, 2)}$이다.

■ (2) $a=8$일 때 $\frac{dL}{da}$의 값 구하기

1단계 [일반적인 $a$에 대한 매개변수 표현]:
점 $P(b, b^2+1)$, 점 $Q(c, -(c-a)^2)$에 대하여 두 접선이 평행하므로 $2b = -2(c - a) \implies c = a - b$.
직선 $PQ$와 접선의 수직 조건으로부터: \[ 2b \times \frac{-2b^2 - 1}{a - 2b} = -1 \iff 2b(2b^2 + 1) = a - 2b \iff a = 4b^3 + 4b \quad \cdots (*) \] 점 $Q$의 좌표는 $Q(a - b, -b^2) = Q(4b^3 + 3b, -b^2)$이다.
두 점 $P(b, b^2+1)$과 $Q(4b^3+3b, -b^2)$ 사이의 거리 $L$의 제곱은 \[ L^2 = [(4b^3 + 3b) - b]^2 + [-b^2 - (b^2 + 1)]^2 = (4b^3 + 2b)^2 + (2b^2 + 1)^2 \] \[ = [2b(2b^2 + 1)]^2 + (2b^2 + 1)^2 = (2b^2 + 1)^2(4b^2 + 1) \] $L \gt 0$이므로 $L = (2b^2 + 1)\sqrt{4b^2 + 1}$이다.

2단계 [곱의 미분법을 통한 $\frac{dL}{db}$ 계산]:
\[ \frac{dL}{db} = 4b\sqrt{4b^2 + 1} + (2b^2 + 1) \frac{8b}{2\sqrt{4b^2 + 1}} = \frac{4b(4b^2 + 1) + 4b(2b^2 + 1)}{\sqrt{4b^2 + 1}} = \frac{8b(3b^2 + 1)}{\sqrt{4b^2 + 1}} \] $a=8$일 때 $(*)$식에서 $4b^3 + 4b = 8 \implies b=1$이므로 \[ \left. \frac{dL}{db} \right|_{b=1} = \frac{8(1)(3 \times 1^2 + 1)}{\sqrt{4(1)^2 + 1}} = \frac{32}{\sqrt{5}} \]

3단계 [역함수 미분법 및 합성함수 미분법 적용]:
$(*)$식에서 $\frac{da}{db} = 12b^2 + 4$이므로 역함수 미분법에 의해 \[ \frac{db}{da} = \frac{1}{\frac{da}{db}} = \frac{1}{12b^2 + 4} \implies \left. \frac{db}{da} \right|_{b=1} = \frac{1}{12(1)^2 + 4} = \frac{1}{16} \] 합성함수의 미분법(연쇄법칙)에 의하여: \[ \frac{dL}{da} = \frac{dL}{db} \times \frac{db}{da} = \frac{32}{\sqrt{5}} \times \frac{1}{16} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \mathbf{\frac{2\sqrt{5}}{5}} \]

문제 3 채점기준

【문제 3】 건국대학교 입학처 공식 세부 루브릭 채점표

총 배점:29점

※ 하위 문항 (1), (2)의 매개변수 미분, 역함수 미분 및 합성함수 연쇄법칙 기준표

💡 채점위원 감수 핵심 포인트:
• $L$을 $a$의 명시적 함수로 직접 정리하기 어려우므로, 매개변수 $b$를 매개로 하여 $\frac{dL}{da} = \frac{dL}{db} \times \frac{db}{da}$의 연쇄법칙을 적용하는 과정이 최고 득점의 열쇠입니다.
• $a = 4b^3 + 4b$로부터 역함수 미분법 $\frac{db}{da} = \frac{1}{da/db}$를 정확히 제시했는지 확인합니다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 29점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[문제 3 (29점)] (1) $P(1, 2)$와 (2) $\frac{dL}{da} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ 및 풀이 전개가 100% 완벽함.	9점
2단계	A · 풀이 원리는 모두 올바르나 사소한 계산 실수가 1건 있음.	9점
3단계	B · $L$을 $b$에 대해 나타내고, $\frac{dL}{db} = \frac{8b(3b^2+1)}{\sqrt{4b^2+1}}$을 정확히 구함.	5점
4단계	C · (1)의 결과인 점 $P(1, 2)$를 정확히 구함.	4점
5단계	D · 접선의 기울기 표현 또는 거리 공식 작성 등 의미 있는 시도를 함.	2점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

건국대 자연계열 채점은 29점 만점을 단계별 성취 등급(A+~F) 및 소문항 부분점수로 세분화하여 평가합니다. 제시문 (가)·(나)의 공식을 인용한 근거 식을 첫 줄에 명시하고 정의역·부호 조건을 빠짐없이 확인하십시오.

🎯 [최종 정답](1) $(1, 2)$ | (2) $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 이차곡선 법선의 개수와 삼차방정식 실근·정수 격자점 ⏱️ 권장 시간: 30분

(가) 함수 $y=f(x)$가 $x=a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은

\[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \]

(나) [그림]에서 세 점 $P_1, P_2, P_3$은 곡선 $y=\frac{1}{2}x^2$ 위에 있고, 점 $A$는 곡선 위에 있지 않다. 세 직선 $AP_1, AP_2, AP_3$은 각각 점 $P_1, P_2, P_3$에서 곡선 $y=\frac{1}{2}x^2$의 접선과 수직이다.

논제 다음 조건 (1), (2)를 모두 만족시키는 점 $A(a, b)$의 개수를 구하고 풀이과정을 쓰시오. (31점)
(1) $a$와 $b$는 모두 자연수이고 $4 \le a \le 20, \; 5 \le b \le 7$이다.
(2) [그림]처럼 곡선 $y=\frac{1}{2}x^2$ 위의 점 $P\left(t, \frac{1}{2}t^2\right)$에서의 접선과 직선 $AP$가 수직이 되는 점 $P$가 3개 있다.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x e^{-x}$의 극댓값과 변곡점의 $x$좌표를 각각 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x) = (1-x)e^{-x} = 0$에서 $x=1$일 때 극댓값 $f(1) = \frac{1}{e}$을 갖는다. $f''(x) = (x-2)e^{-x} = 0$에서 부호가 바뀌므로 변곡점의 $x$좌표는 $x = 2$이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문항 4 (미적분Ⅰ) [배점 31점]

[2026 건국대 자연계열 문항 4] 곡선 밖의 점에서 그은 법선 삼차방정식과 자연수 순서쌍 개수 (31점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 4 · 총 31점

■ 1단계 [접선과 수직 조건 삼차방정식 유도]

곡선 $y=\frac{1}{2}x^2$에 대하여 $y' = x$이므로, 점 $P\left(t, \frac{1}{2}t^2\right)$에서의 접선의 기울기는 $t$이다.
점 $A(a, b)$와 점 $P$를 잇는 직선 $AP$의 기울기는 $\frac{\frac{1}{2}t^2 - b}{t - a}$이다.
직선 $AP$와 접선이 서로 수직이어야 하므로 두 기울기의 곱은 $-1$이다. \[ t \times \frac{\frac{1}{2}t^2 - b}{t - a} = -1 \iff \frac{t^3 - 2bt}{2(t - a)} = -1 \] \[ t^3 - 2bt = -2t + 2a \iff t^3 - 2(b - 1)t - 2a = 0 \] 조건 (2)에서 접선과 수직이 되는 점 $P$가 3개 존재한다는 것은, $t$에 대한 삼차방정식 \[ g(t) = t^3 - 2(b - 1)t - 2a = 0 \] 이 서로 다른 세 실근을 갖는다는 조건과 동치이다.

■ 2단계 [삼차함수의 극값과 서로 다른 세 실근 조건]

$g(t)$의 도함수를 구하면 $g'(t) = 3t^2 - 2(b - 1)$이다.
$g'(t) = 0$의 근은 $t = \pm \sqrt{\frac{2(b - 1)}{3}}$이다 (단, $b \ge 5 \gt 1$이므로 $2(b-1) \gt 0$).
삼차방정식 $g(t) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가지려면 극댓값과 극솟값의 곱이 음수이어야 한다: \[ g\left(\sqrt{\frac{2(b - 1)}{3}}\right) \times g\left(-\sqrt{\frac{2(b - 1)}{3}}\right) \lt 0 \] $t_0 = \sqrt{\frac{2(b - 1)}{3}}$라 두면 $t_0^2 = \frac{2(b-1)}{3}$이므로 \[ g(t_0) = t_0[t_0^2 - 2(b-1)] - 2a = t_0\left[ -\frac{4(b-1)}{3} \right] - 2a = -2a - \frac{4(b-1)}{3}t_0 \] \[ g(-t_0) = -2a + \frac{4(b-1)}{3}t_0 \] 따라서 두 극값의 곱은 합차공식에 의해 \[ g(t_0)g(-t_0) = 4a^2 - \frac{16(b-1)^2}{9} t_0^2 = 4a^2 - \frac{16(b-1)^2}{9} \times \frac{2(b-1)}{3} = 4a^2 - \frac{32(b-1)^3}{27} \] 조건 $g(t_0)g(-t_0) \lt 0$은 다음과 같이 간단한 부등식으로 정리된다: \[ 4a^2 \lt \frac{32(b-1)^3}{27} \iff a^2 \lt \frac{8(b-1)^3}{27} \]

■ 3단계 [조건 (1)에 따른 $b=5, 6, 7$ 케이스별 자연수 $a$ 전수 조사]

조건 (1)에서 $a, b$는 자연수이고 $4 \le a \le 20, \; 5 \le b \le 7$이다.
부등식 $a^2 \lt \frac{8(b-1)^3}{27}$에 $b = 5, 6, 7$을 각각 대입하여 가능한 순서쌍 $(a, b)$를 구한다.

(i) $b = 5$일 때:
$b - 1 = 4$이므로 \[ a^2 \lt \frac{8 \times 4^3}{27} = \frac{8 \times 64}{27} = \frac{512}{27} = 18.9629\dots \] $a$는 자연수이므로 $a^2 \le 18 \implies a \le 4$.
조건 $4 \le a \le 20$을 만족하는 자연수는 $\mathbf{a = 4}$의 1개이다.

(ii) $b = 6$일 때:
$b - 1 = 5$이므로 \[ a^2 \lt \frac{8 \times 5^3}{27} = \frac{8 \times 125}{27} = \frac{1000}{27} = 37.0370\dots \] $a$는 자연수이므로 $a^2 \le 37 \implies a \le 6$.
조건 $4 \le a \le 20$을 만족하는 자연수는 $\mathbf{a \in \{4, 5, 6\}}$의 3개이다.

(iii) $b = 7$일 때:
$b - 1 = 6$이므로 \[ a^2 \lt \frac{8 \times 6^3}{27} = \frac{8 \times 216}{27} = 8 \times 8 = 64 \] $a$는 자연수이므로 $a^2 \lt 64 \implies a \le 7$.
조건 $4 \le a \le 20$을 만족하는 자연수는 $\mathbf{a \in \{4, 5, 6, 7\}}$의 4개이다.

따라서 조건 (1)과 (2)를 모두 만족시키는 점 $A(a, b)$의 총 개수는 \[ 1 + 3 + 4 = \mathbf{8} \] 이다. 순서쌍 목록: $(4, 5), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (4, 7), (5, 7), (6, 7), (7, 7)$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 31점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[문제 4 (31점)] 정답 8개 및 전 케이스별 자연수 순서쌍 유도 과정이 100% 완벽함.	9점
2단계	A · 풀이 논리가 정확하나 마지막 개수 산출 또는 사소한 계산 실수가 1건 있음.	10점
3단계	B · $g'(t)=0$을 풀어 극값의 위치 $t = \pm \sqrt{\frac{2(b-1)}{3}}$을 정확히 구함.	6점
4단계	C · 접선과 직선 $AP$의 수직 조건 삼차방정식 $t^3 - 2(b-1)t - 2a = 0$을 정확히 도출함.	4점
5단계	D · 접선의 기울기 및 직선 $AP$의 기울기 수직 표현 등 의미 있는 시도를 함.	2점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

건국대 자연계열 채점은 31점 만점을 단계별 성취 등급(A+~F) 및 소문항 부분점수로 세분화하여 평가합니다. 제시문 (가)·(나)의 공식을 인용한 근거 식을 첫 줄에 명시하고 정의역·부호 조건을 빠짐없이 확인하십시오.

🎯 [최종 정답]$8$개

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ · 대수 🎯 핵심 테마: 삼각함수 덧셈정리와 원과 선분의 교점 부등식 ⏱️ 권장 시간: 20분

(가) 두 각 $\alpha, \beta$의 삼각함수를 이용하여 $\alpha+\beta, \alpha-\beta$의 코사인함수를 나타내면 다음과 같고, 이를 코사인함수의 덧셈정리라고 한다.

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta, \quad \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

(나) 좌표평면 위에서 점 $A$는 중심이 원점 $O$이고 반지름이 $3$인 원 $C$를 따라 움직이고, 점 $B$는 중심이 $(7, 0)$이고 반지름이 $1$인 원을 따라 움직인다. 점 $A$의 시각 $t$에서의 위치 $(x, y)$가 $x = 3\cos t, y = 3\sin t$이고, 점 $B$의 시각 $t$에서의 위치 $(x, y)$가 $x = 7 + \cos 3t, y = \sin 3t$이다.

논제 (나)에서 $t=0$부터 $t=2\pi$까지 점 $A$와 $B$가 움직이는 동안 선분 $AB$와 원 $C$가 서로 다른 두 점에서 만나는 $t$의 범위를 구하고 풀이과정을 쓰시오. (20점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

【유사 연습 문제】 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n + (-2)^n}{5^n}$의 합을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 두 등비급수 $\sum \left(\frac{3}{5}\right)^n$과 $\sum \left(-\frac{2}{5}\right)^n$이 모두 수렴하므로 합은 $\frac{3/5}{1 - 3/5} + \frac{-2/5}{1 - (-2/5)} = \frac{3}{2} - \frac{2}{7} = \frac{17}{14}$이다.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 문항 1 (미적분Ⅱ · 대수) [배점 20점]

[2025 건국대 자연계열 문항 1] 두 원 위를 움직이는 동점 선분과 원의 두 교점 시각 범위 (20점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 1 · 총 20점

1단계: 선분 AB와 원 C가 서로 다른 두 점에서 만날 기하학적 조건 설정

점 $A(3\cos t, 3\sin t)$는 반지름이 3인 원 $C$ 위의 점입니다. 선분 $AB$가 원 $C$와 점 $A$ 외에 다른 한 점에서 더 만나려면 각 $\angle OAB$가 예각이어야 합니다. 즉, 직각삼각형 기준 피타고라스 정리에 의해 다음 부등식이 성립해야 합니다.

$\overline{AB}^2 + 3^2 \gt \overline{OB}^2$

2단계: 좌표 대입 및 식 정리

점 $B(7+\cos 3t, \sin 3t)$의 좌표를 대입하면

$\{3\cos t - (7+\cos 3t)\}^2 + (3\sin t - \sin 3t)^2 + 9 \gt (7+\cos 3t)^2 + (\sin 3t)^2$

좌변과 우변의 공통 제곱항을 전개하여 정리하면

$7\cos t + \cos t \cos 3t + \sin t \sin 3t \lt 3$

3단계: 삼각함수 덧셈정리 적용 및 삼각부등식 풀이

제시문 (가)의 코사인 덧셈정리에 의해

$\cos t \cos 3t + \sin t \sin 3t = \cos(3t - t) = \cos 2t = 2\cos^2 t - 1$

이를 부등식에 대입하면 $2\cos^2 t + 7\cos t - 1 \lt 3 \implies 2\cos^2 t + 7\cos t - 4 \lt 0$을 얻습니다.

$(2\cos t - 1)(\cos t + 4) \lt 0$

임의의 실수 $t$에 대해 $\cos t + 4 \gt 0$이므로 $\cos t \lt \frac{1}{2}$입니다. 따라서 $0 \le t \le 2\pi$에서 구하는 $t$의 범위는 $\frac{\pi}{3} \lt t \lt \frac{5\pi}{3}$입니다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 수학적 성질 및 기하·해석적 조건식 수립	6점
2단계	도함수·적분·수열 등 핵심 수식 전개 및 매개변수 관계 도출	7점
3단계	논리적 완결성을 갖춘 최종 수치 및 정답 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

건국대 자연계열 채점은 20점 만점을 단계별 성취 등급(A+~F) 및 소문항 부분점수로 세분화하여 평가합니다. 제시문 (가)·(나)의 공식을 인용한 근거 식을 첫 줄에 명시하고 정의역·부호 조건을 빠짐없이 확인하십시오.

🎯 [최종 정답]$\dfrac{\pi}{3} \lt t \lt \dfrac{5\pi}{3}$

📚 과목/단원: 기하 🎯 핵심 테마: 공간도형 사면체 부피 최대화와 삼수선의 정리·이면각 ⏱️ 권장 시간: 23분

(가) 두 반평면 $\alpha, \beta$의 교선을 $l$이라고 할 때, 두 반평면 $\alpha, \beta$로 이루어진 도형을 이면각이라고 한다. 또 직선 $l$을 이면각의 변, 두 반평면 $\alpha, \beta$를 각각 이면각의 면이라고 한다. 직선 $l$ 위의 한 점 $O$를 지나고 $l$에 수직인 두 반직선 $OA, OB$를 두 반평면 $\alpha, \beta$ 위에 각각 그을 때, $\angle AOB$의 크기는 점 $O$의 위치에 관계없이 일정하다. 이 각의 크기를 이면각의 크기라고 한다. 서로 다른 두 평면이 만나서 생기는 이면각 중에서 그 크기가 크지 않은 쪽의 각을 두 평면이 이루는 각이라고 한다.

(나) 그림에서 사면체 $ABCD$는 한 모서리의 길이가 $6$인 정사면체이고, 점 $E$는 모서리 $BD$ 위에 있는 점으로 $\overline{DE}=2$이다. 일정한 길이를 가지는 선분 $PQ$는 평면 $ABC$ 위에 있으며 점 $A$를 지난다.

논제 (나)에서 사면체 $DEPQ$의 부피가 최대일 때, 평면 $EPQ$와 평면 $ABC$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하자. $\cos\theta$의 값을 구하고 풀이과정을 쓰시오. (23점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

【유사 연습 문제】 점 $A(1, 2, -1)$을 지나고 법선벡터가 $\vec{n} = (2, -1, 3)$인 평면 $\alpha$의 방정식과 원점 $O$에서 평면 $\alpha$까지의 거리를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 평면의 방정식은 $2(x-1) - (y-2) + 3(z+1) = 0 \implies 2x - y + 3z + 3 = 0$이다. 원점까지의 거리는 $d = \frac{|3|}{\sqrt{4+1+9}} = \frac{3\sqrt{14}}{14}$이다.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 문항 2 (기하) [배점 23점]

[2025 건국대 자연계열 문항 2] 사면체 부피 최대 조건 규명과 삼수선 정리를 이용한 이면각 코사인 (23점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 2 · 총 23점

1단계: 사면체 DEPQ와 BDPQ의 부피 비례 관계 파악

점 $E$는 모서리 $BD$ 위에 있으며 $\overline{DE}=2, \overline{BD}=6$이므로 $\overline{BE}=4$입니다. 따라서 선분 $BD$ 상에서 점 $E$의 길이 비에 의해

$\triangle PDE\text{의 넓이} = \frac{1}{3} \times (\triangle PDB\text{의 넓이})$

그러므로 사면체 $DEPQ$의 부피는 사면체 $BDPQ$의 부피의 $\frac{1}{3}$입니다. 따라서 사면체 $DEPQ$의 부피가 최대이기 위해서는 사면체 $BDPQ$의 부피가 최대이어야 합니다.

2단계: 수선의 발과 삼각형 BPQ의 넓이 최대성 분석

정사면체 $ABCD$의 꼭짓점 $D$에서 밑면인 평면 $ABC$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면, $H$는 정삼각형 $ABC$의 무게중심입니다. 이때 사면체 $BDPQ$의 부피는

$V = \frac{1}{3} \times (\triangle BPQ\text{의 넓이}) \times \overline{DH}$

로 표현됩니다. 선분 $DH$의 길이는 정사면체의 고유 높이로 일정하므로, 결국 $\triangle BPQ$의 넓이가 최대가 되어야 합니다. 선분 $PQ$는 일정한 길이를 가지며 점 $A$를 지나므로, 점 $B$에서 직선 $PQ$까지의 거리가 최대일 때 넓이가 최대가 됩니다. 점 $B$에서 점 $A$를 지나는 직선에 내린 수선의 발의 거리는 선분 $AB$가 직선 $PQ$와 수직일 때 정확히 $\overline{AB}=6$으로 최대가 됩니다.

3단계: 삼수선의 정리와 직각삼각형 EFG 구성

$\overline{PQ} \perp \overline{AB}$일 때, 점 $E$에서 평면 $ABC$에 내린 수선의 발을 $F$, 점 $F$에서 직선 $PQ$에 내린 수선의 발을 $G$라 하면, 삼수선의 정리에 의해 $\overline{EG} \perp \overline{PQ}$가 됩니다. 직각삼각형 $EFG$에서 이면각의 크기 $\theta = \angle EGF$이므로 $\cos\theta = \frac{\overline{FG}}{\overline{EG}}$입니다.

4단계: 선분 길이 산출 및 최종 코사인값 도출

점 $F$에서 $\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $F'$이라 하면 $\overline{FG} = \overline{AF'} = \overline{AB} - \overline{BF'} = 6 - 3 \times \frac{2}{3} = 4$입니다.
선분 $BC$의 중점을 $M$이라 하면 $\overline{AM} = 3\sqrt{3}$, 무게중심 $H$에 대해 $\overline{AH} = 2\sqrt{3}$입니다.
직각삼각형 $AHD$에서 $\overline{DH} = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{6}$이고, 점 $E$의 내분비에 의해 $\overline{EF} = \frac{2}{3}\overline{DH} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$입니다.
따라서 직각삼각형 $EFG$에서

$\overline{EG} = \sqrt{\overline{EF}^2 + \overline{FG}^2} = \sqrt{\frac{32}{3} + 16} = \sqrt{\frac{80}{3}} = \frac{4\sqrt{15}}{3}$

그러므로 $\cos\theta = \frac{\overline{FG}}{\overline{EG}} = \frac{4}{\frac{4\sqrt{15}}{3}} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$입니다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 23점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 수학적 성질 및 기하·해석적 조건식 수립	7점
2단계	도함수·적분·수열 등 핵심 수식 전개 및 매개변수 관계 도출	8점
3단계	논리적 완결성을 갖춘 최종 수치 및 정답 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답]$\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ · 대수 🎯 핵심 테마: 코사인법칙과 음함수·합성함수 미분법의 동적 변화율 ⏱️ 권장 시간: 27분

(가) 미분가능한 두 함수 $y=f(u), u=g(x)$에 대하여 합성함수 $y=f(g(x))$의 도함수는 다음과 같다.

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}$ 또는 $\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)$

(나) 그림에서 사각형 $ABCD$의 각 변의 길이가 각각 $\overline{AB}=\sqrt{3}, \overline{BC}=2, \overline{CD}=2, \overline{DA}=1$이다. $\angle BAD$의 크기가 $\theta$일 때 대각선 $AC$의 길이는 $\theta$의 함수 $f(\theta)$이다.

논제 (나)에서 미분계수 $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$를 구하고 풀이과정을 쓰시오. (27점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 문항 3 (미적분Ⅱ · 대수) [배점 27점]

[2025 건국대 자연계열 문항 3] 삼각형 코사인법칙 관계식과 합성함수 미분법을 통한 순간변화율 (27점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 3 · 총 27점

1단계: 각도 변수 설정 및 피타고라스 방정식 구축

$\angle ABC = \phi$라 두겠습니다. 점 $C$와 $D$에서 직선 $AB$에 내린 수선의 발을 고려하면, 직각삼각형 $CDH$에서

$\overline{DH} = |\sqrt{3} - \cos\theta - 2\cos\phi|, \quad \overline{CH} = |2\sin\phi - \sin\theta|$

$\overline{CD}=2$이므로 피타고라스 정리에 의해 다음 관계식이 성립합니다.

$4 = (\sqrt{3} - \cos\theta - 2\cos\phi)^2 + (2\sin\phi - \sin\theta)^2 \quad \cdots (1)$

2단계: $\theta$에 대한 음함수 미분 및 $\phi'\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 산출

식 (1)의 양변을 $\theta$에 관하여 미분하면

$0 = 2(\sqrt{3} - \cos\theta - 2\cos\phi)(\sin\theta + 2\phi'\sin\phi) + 2(2\sin\phi - \sin\theta)(2\phi'\cos\phi - \cos\theta) \quad \cdots (2)$

$\theta = \frac{\pi}{2}$일 때 $\cos\theta=0, \sin\theta=1$이고 대칭성 및 길이에 의해 $\phi = \frac{\pi}{2}$입니다. 이를 대입하면

$0 = \sqrt{3}(1 + 2\phi') + (2-1)(0) = \sqrt{3}(1 + 2\phi') \implies \phi'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2}$

3단계: 코사인법칙 연계 미분을 통한 $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 도출

$\triangle ABC$에서 코사인법칙에 의해 $[f(\theta)]^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}\cos\phi = 7 - 4\sqrt{3}\cos\phi$입니다.
양변을 $\theta$에 대해 미분하면 $2f(\theta)f'(\theta) = 4\sqrt{3}\phi'(\theta)\sin\phi$입니다.
$\theta = \frac{\pi}{2}$일 때 $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{7}, \sin\phi = 1, \phi' = -\frac{1}{2}$이므로

$2\sqrt{7} f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4\sqrt{3}\left(-\frac{1}{2}\right)(1) = -2\sqrt{3} \implies f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = -\frac{\sqrt{21}}{7}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 27점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 수학적 성질 및 기하·해석적 조건식 수립	9점
2단계	도함수·적분·수열 등 핵심 수식 전개 및 매개변수 관계 도출	9점
3단계	논리적 완결성을 갖춘 최종 수치 및 정답 도출	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

건국대 자연계열 채점은 27점 만점을 단계별 성취 등급(A+~F) 및 소문항 부분점수로 세분화하여 평가합니다. 제시문 (가)·(나)의 공식을 인용한 근거 식을 첫 줄에 명시하고 정의역·부호 조건을 빠짐없이 확인하십시오.

🎯 [최종 정답]$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\sqrt{21}}{7}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 정적분 넓이와 매개변수 미분법 및 직교 극값 ⏱️ 권장 시간: 30분

(가) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $f(x) \ge 0$일 때, 곡선 $y=f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x=a, x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 $S = \int_{a}^{b} f(x)\,dx$이다.

(나) [그림 1], [그림 2]와 같이 좌표평면 위에 곡선 $y=x^2\,(x \ge 0)$과 점 $P(0, 10)$이 있다. 점 $A$와 $B$는 곡선 위에 있고 $\angle OPA = \theta$이다.
[그림 1]에서 곡선과 선분 $OP$, 선분 $PA$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $f(\theta)$이다. (단, $O$는 원점이고 $0 \lt \theta \lt \pi$이다.)
[그림 2]에서 $\angle APB = \frac{\pi}{2}$이고 곡선과 선분 $PA$, 선분 $PB$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $g(\theta)$이다.
$0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$일 때, 두 함수 $f(\theta)$와 $g(\theta)$ 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.
$g(\theta) = f\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) - f(\theta)$

[그림 1]

[그림 2]

(1) (나)에서 점 $A$의 $x$좌표가 $t$일 때, $f'(\theta)$를 $t$의 식으로 표현하시오. (10점)

(2) (나)에서 $g'(\theta)=0$일 때 점 $A, B$의 $x$좌표를 각각 $a, b$라 하자. 이때 $a^2+b^2$, $ab$, $g(\theta)$의 값을 모두 구하고 풀이과정을 쓰시오. (20점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

【유사 연습 문제】 정적분 $\displaystyle \int_1^e x \ln x \, dx$의 값을 부분적분법을 이용하여 구하시오.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 문항 4 (미적분Ⅱ) [배점 30점]

[2025 건국대 자연계열 문항 4] 삼각·매개변수 함수의 정적분 넓이 차이와 수직 조건 극값 (30점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 4 · 총 30점

1단계: 정적분을 이용한 넓이 함수 $f(\theta)$의 $t$ 표현

점 $A(t, t^2)$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $Q(t, 0)$이라 하면 사다리꼴 $OPAQ$의 넓이는

$\frac{1}{2} \times t \times (10 + t^2) = 5t + \frac{1}{2}t^3$

곡선 아래 부분의 넓이는 $\int_{0}^{t} x^2\,dx = \frac{1}{3}t^3$입니다. 따라서 둘러싸인 도형의 넓이 $f(\theta)$는

$f(\theta) = \left(5t + \frac{1}{2}t^3\right) - \frac{1}{3}t^3 = 5t + \frac{1}{6}t^3$

2단계: 각도 $\theta$와 매개변수 $t$의 삼각함수 관계식 수립

점 $P(0, 10)$이고 점 $A(t, t^2)$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 $H(0, t^2)$라 하면, 직각삼각형 $APH$에서

$\tan\theta = \frac{t}{10-t^2}$

양변을 $\theta$에 대하여 미분하면 합성함수의 미분법에 의해

$\sec^2\theta = \frac{(10-t^2) \cdot 1 - t(-2t)}{(10-t^2)^2} \cdot \frac{dt}{d\theta} = \frac{10+t^2}{(10-t^2)^2} \cdot \frac{dt}{d\theta}$

3단계: $\frac{dt}{d\theta}$ 및 도함수 $f'(\theta)$의 정리

$\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta = 1 + \frac{t^2}{(10-t^2)^2} = \frac{(10-t^2)^2 + t^2}{(10-t^2)^2}$이므로

$\frac{dt}{d\theta} = \frac{(10-t^2)^2 + t^2}{10+t^2}$

따라서 연쇄법칙에 의해 구하는 도함수 $f'(\theta)$는

$f'(\theta) = \frac{df}{dt} \cdot \frac{dt}{d\theta} = \left(5 + \frac{1}{2}t^2\right) \frac{(10-t^2)^2 + t^2}{10+t^2} = \frac{10+t^2}{2} \cdot \frac{(10-t^2)^2 + t^2}{10+t^2} = \frac{(10-t^2)^2 + t^2}{2}$

1단계: 극값 조건 $g'(\theta)=0$으로부터 관계식 (*) 유도

$g(\theta) = f\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) - f(\theta)$이므로 $g'(\theta) = f'\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) - f'(\theta) = 0$일 때

$f'(\theta) = f'\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) \implies \frac{(10-a^2)^2 + a^2}{2} = \frac{(10-b^2)^2 + b^2}{2}$

이를 정리하면 $\{a^2 + (a^2-10)^2\} - \{b^2 + (b^2-10)^2\} = 0$입니다. 인수분해하면

$(a^2 - b^2) + (a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - 20) = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - 19) = 0$

$a \ne b$이므로 $a^2 - b^2 \ne 0$입니다. 따라서 $a^2 + b^2 = 19$를 얻습니다.

2단계: 수직 조건으로부터 관계식 (**) 및 $ab$ 산출

$\overline{AP} \perp \overline{BP}$이므로 두 직선 $AP$와 $BP$의 기울기의 곱은 $-1$입니다.

$\frac{a^2-10}{a} \cdot \frac{b^2-10}{b} = -1 \implies (a^2-10)(b^2-10) + ab = 0$

전개하면 $(ab)^2 - 10(a^2+b^2) + 100 + ab = 0$입니다. 앞서 구한 $a^2+b^2=19$를 대입하면

$(ab)^2 - 190 + 100 + ab = (ab)^2 + ab - 90 = (ab - 9)(ab + 10) = 0$

$a \gt 0, b \gt 0$이므로 $ab = 9$를 얻습니다.

3단계: 넓이 $g(\theta)$의 계산

$a \lt b$라 두면 $(b-a)^2 = a^2+b^2 - 2ab = 19 - 18 = 1 \implies b - a = 1$입니다.
또한 $b^3 - a^3 = (b-a)(b^2+ab+a^2) = 1 \cdot (19 + 9) = 28$입니다.
따라서 구하는 도형의 넓이 $g(\theta)$는

$g(\theta) = f\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) - f(\theta) = \left(5b + \frac{1}{6}b^3\right) - \left(5a + \frac{1}{6}a^3\right) = \frac{1}{6}(b^3-a^3) + 5(b-a) = \frac{28}{6} + 5 = \frac{29}{3}$

문제 4 입학처 공식 루브릭 (30점)

출제과목: 수학Ⅰ, 미적분

핵심개념: 정적분 넓이, 매개변수 미분, 수직 조건

배점: 30점 (소문항 (1) 10점, (2) 20점)

【문제 4】 입학처 공식 채점기준 및 점수 배정표

정답:총 30점 만점

💡 건국대학교 자연수리논술 채점 총평 및 합격 전략:
• 삼각함수의 미적분 연계 강화: 건국대 수리논술은 삼각함수의 덧셈정리와 합성함수 미분, 음함수 미분을 기하학적 도형(원, 사각형, 포물선)과 융합하는 문항이 매년 핵심 변별 문항으로 출제됩니다.
• 공간도형(기하) 정복: 2025 문제 2와 같이 정사면체 내의 이면각 및 삼수선의 정리, 단면의 정사영을 활용한 입체적 분석 능력이 합격의 결정적 당락을 좌우합니다.
• 논리 전개의 완결성: 단순 답만 제시하는 것으로는 C~B등급에 그치며, 각 단계별 기하학적 조건($\overline{PQ} \perp \overline{AB}$, $\overline{AP} \perp \overline{BP}$)의 근거를 수식으로 명확히 밝혀야 최고 등급(A+)을 획득할 수 있습니다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 수학적 성질 및 기하·해석적 조건식 수립	10점
2단계	도함수·적분·수열 등 핵심 수식 전개 및 매개변수 관계 도출	10점
3단계	논리적 완결성을 갖춘 최종 수치 및 정답 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

건국대 자연계열 채점은 30점 만점을 단계별 성취 등급(A+~F) 및 소문항 부분점수로 세분화하여 평가합니다. 제시문 (가)·(나)의 공식을 인용한 근거 식을 첫 줄에 명시하고 정의역·부호 조건을 빠짐없이 확인하십시오.

🎯 [최종 정답]$f'(\theta) = \frac{(10-t^2)^2 + t^2}{2}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 원의 접선과 정적분 곡선의 길이 공식 ⏱️ 권장 시간: 18분

[제시문 1]

(가) $x=a$에서 $x=b$까지의 곡선 $y=f(x)$의 길이 $l$은 다음과 같다.

$l = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}\,dx$

(나) 그림에서 $S$는 중심이 점 $\left(0, \frac{\sqrt{13}}{3}\right)$이고 반지름이 $1$인 원이다. 원점에서 바라볼 때 점 $A, B$는 원 $S$에 가려져서 보이지 않고 점 $C, D$는 보인다.

논제 (나)에서 원점에서 제1사분면의 곡선 $y = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2x}$ 위에 있는 점들을 바라볼 때, 원 $S$에 의해서 가려지지 않고 보이는 점들로 이루어진 곡선 $y = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2x}$의 부분의 길이를 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [15점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x e^{-x}$의 극댓값과 변곡점의 $x$좌표를 각각 구하시오.

【문항 요약】 2024학년도 자연(오전) 문항 1 (미적분Ⅱ) [배점 15점]

[2024 건국대 자연(오전) 문항 1] 원점에서 원에 가려지지 않는 삼차·유리 곡선 부분의 길이 계산 (15점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 1 · 총 15점

1단계: 원점에서의 접선 방정식 및 교점 도출

원의 접선을 $y = mx$라 하면, 원의 중심 $\left(0, \frac{\sqrt{13}}{3}\right)$에서 직선까지의 거리는 반지름 1과 같으므로

$\frac{|\frac{\sqrt{13}}{3}|}{\sqrt{m^2+1}} = 1 \implies \frac{13}{9} = m^2 + 1 \implies m^2 = \frac{4}{9} \implies m = \frac{2}{3}\; (\text{제1사분면})$

접선과 곡선 $y = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2x}$의 교점은 $\frac{2}{3}x = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2x} \implies x^4 - 4x^2 + 3 = 0$이므로 $x^2 = 1$ 또는 $3$입니다. 제1사분면의 교점의 $x$좌표는 각각 $1, \sqrt{3}$입니다.

2단계: 가려지지 않는 구간 판정 및 곡선의 길이 적분

$y' = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2x^2}$이므로 $x=1$에서 극솟값 $\frac{2}{3}$을 갖습니다. 원 위의 점은 $x=1$일 때 $y = \frac{\sqrt{13}}{3} \gt \frac{2}{3}$이므로 곡선 위의 점 $(1, \frac{2}{3})$은 원 밖의 점입니다. 따라서 $1 \le x \le \sqrt{3}$일 때 곡선이 가려지지 않고 보입니다.

$l = \int_{1}^{\sqrt{3}} \sqrt{1 + \left(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2x^2}\right)^2}\,dx = \int_{1}^{\sqrt{3}} \left(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2x^2}\right)dx = \left[\frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{2x}\right]_{1}^{\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{3}}{3}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 수학적 성질 및 기하·해석적 조건식 수립	5점
2단계	도함수·적분·수열 등 핵심 수식 전개 및 매개변수 관계 도출	5점
3단계	논리적 완결성을 갖춘 최종 수치 및 정답 도출	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

건국대 자연계열 채점은 15점 만점을 단계별 성취 등급(A+~F) 및 소문항 부분점수로 세분화하여 평가합니다. 제시문 (가)·(나)의 공식을 인용한 근거 식을 첫 줄에 명시하고 정의역·부호 조건을 빠짐없이 확인하십시오.

🎯 [최종 정답]$\frac{1+\sqrt{3}}{3}$

📚 과목/단원: 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 같은 것이 있는 순열과 여사건을 이용한 조건부 배열 ⏱️ 권장 시간: 20분

[제시문 2]

(가) $n$개 중에서 서로 같은 것이 각각 $p$개, $q$개, $\cdots$, $r$개씩 있을 때, $n$개를 일렬로 나열하는 순열의 수는 $\frac{n!}{p! \times q! \times \cdots \times r!}$이다. (단, $p+q+\cdots+r=n$)

(나) [조건 1] 또는 [조건 2]를 만족하도록 문자 A 3개, B 4개, C 3개, D 2개로 이루어진 12개의 문자 A, A, A, B, B, B, B, C, C, C, D, D를 왼쪽부터 일렬로 나열하자.
[조건 1] 문자 D는 연속하여 나오지 않는다.
[조건 2] 처음 나오는 문자 A가 처음 나오는 문자 B보다 먼저 나온다.

(1) (나)에서 [조건 1]을 만족하도록 나열하는 방법의 수를 구하고 풀이 과정을 쓰시오. (10점)

(2) (나)에서 [조건 2]를 만족하도록 나열하는 방법의 수를 구하고 풀이 과정을 쓰시오. (10점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

【문항 요약】 2024학년도 자연(오전) 문항 2 (확률과 통계) [배점 20점]

[2024 건국대 자연(오전) 문항 2] 같은 것이 있는 순열과 이웃·자리 제한 조건의 경우의 수 추론 (20점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 2 · 총 20점

(1) [조건 1] D가 이웃하지 않는 경우의 수

전체 12개의 문자 (A 3개, B 4개, C 3개, D 2개)를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\frac{12!}{3!4!3!2!} = 323,400$입니다.
문자 D가 연속하여 나오는 경우는 DD를 한 묶음으로 취급하여 11개의 문자 (A 3개, B 4개, C 3개, (DD) 1개)를 나열하는 경우의 수이므로 $\frac{11!}{3!4!3!1!} = 92,400$입니다.
따라서 D가 연속하지 않는 경우의 수는 $323,400 - 92,400 = 231,000$입니다.

(2) [조건 2] 처음 A가 처음 B보다 앞서는 경우의 수

1단계: 전체 12개 자리 중 A와 B가 들어갈 7개 자리를 선택하는 경우의 수는 ${}_{12}\mathrm{C}_7 = 792$입니다.
2단계: 선택된 7자리 중 가장 왼쪽의 첫 번째 자리에는 조건에 의해 반드시 A가 들어가야 합니다. 나머지 6자리에 남은 A 2개와 B 4개를 배치하는 경우의 수는 $\frac{6!}{2!4!} = 15$입니다.
3단계: 남은 5개 자리에 C 3개와 D 2개를 배치하는 경우의 수는 $\frac{5!}{3!2!} = 10$입니다.
따라서 구하는 전체 경우의 수는 곱의 법칙에 의해 $792 \times 15 \times 10 = 118,800$입니다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 수학적 성질 및 기하·해석적 조건식 수립	6점
2단계	도함수·적분·수열 등 핵심 수식 전개 및 매개변수 관계 도출	7점
3단계	논리적 완결성을 갖춘 최종 수치 및 정답 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](1) 231,000, (2) 118,800

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 지수곡선 사이의 넓이와 합성함수 미분 최솟값 ⏱️ 권장 시간: 28분

[제시문 3]

(가) 두 함수 $y=f(x), y=g(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, 두 곡선 $y=f(x), y=g(x)$와 두 직선 $x=a, x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 $S = \int_{a}^{b} |f(x)-g(x)|\,dx$이다.

(나) 그림에서 색칠된 도형은 두 곡선 $y=e^{2x}$, $y=e^{-(x-t)+1}$과 $y$축으로 둘러싸인 도형이고, $S(t)$는 이 도형의 넓이이다. (단, $t$는 양의 실수이다.)

논제 (나)에서 $t = \ln 6$에서의 미분계수 $S'(\ln 6)$을 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [30점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

【유사 연습 문제】 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 2a_n + 1 \; (n \ge 1)$을 만족시킬 때, 일반항 $a_n$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$이므로 수열 $\{a_n + 1\}$은 첫째항 $a_1 + 1 = 3$, 공비 $2$인 등비수열이다. 따라서 $a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$이다.

【문항 요약】 2024학년도 자연(오전) 문항 3 (미적분Ⅱ) [배점 30점]

[2024 건국대 자연(오전) 문항 3] 두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이 함수와 미분을 통한 극값 결정 (30점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 3 · 총 30점

1단계: 교점 설정 및 정적분 넓이 함수 표현

두 곡선의 교점의 $x$좌표를 $a$라 하면 $e^{2a} = e^{-(a-t)+1}$이 성립합니다.
넓이 $S(t) = \int_{0}^{a} (e^{-(x-t)+1} - e^{2x})dx = \left[-e^{-(x-t)+1} - \frac{1}{2}e^{2x}\right]_{0}^{a} = -e^{-(a-t)+1} - \frac{1}{2}e^{2a} + e^{t+1} + \frac{1}{2}$입니다.

2단계: $t$에 대한 미분 및 교점 상쇄 증명

양변을 $t$에 대해 미분하면 합성함수의 미분법에 의해

$S'(t) = -e^{-(a-t)+1}\left(1 - \frac{da}{dt}\right) - e^{2a}\frac{da}{dt} + e^{t+1} = \left(e^{-(a-t)+1} - e^{2a}\right)\frac{da}{dt} - e^{-(a-t)+1} + e^{t+1}$

교점 조건 $e^{2a} = e^{-(a-t)+1}$에 의해 $\frac{da}{dt}$의 계수가 정확히 $0$이 되므로 $S'(t) = -e^{-(a-t)+1} + e^{t+1} = -e^t e^{-a+1} + e^{t+1}$입니다.

3단계: $t = \ln 6$에서의 $a$ 값 산출 및 미분계수 계산

$t = \ln 6$일 때 $e^{2a} = 6e^{-a+1} \iff e^{3a} - 6e = 0$ (단위식: $b=e^a$라 두면 $b^3-b-6=0 \implies (b-2)(b^2+2b+3)=0 \implies b=2$)이므로 $e^a = 2$, 즉 $a = \ln 2$입니다.
따라서 $S'(\ln 6) = -6 \times \frac{1}{2} + 6 = 3$입니다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 수학적 성질 및 기하·해석적 조건식 수립	10점
2단계	도함수·적분·수열 등 핵심 수식 전개 및 매개변수 관계 도출	10점
3단계	논리적 완결성을 갖춘 최종 수치 및 정답 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답]3

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ · 대수 🎯 핵심 테마: 코사인법칙과 삼각함수 덧셈정리 및 산술·기하 평균 ⏱️ 권장 시간: 34분

[제시문 4]

(가) 좌표평면 위에서 $x$축의 양의 방향을 시초선으로 잡았을 때, 일반각 $\theta$를 나타내는 동경과 원점 $O$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $r$인 원의 교점을 $P(x, y)$라 하면, 삼각함수의 정의에 의해 $\sin\theta = \frac{y}{r}, \cos\theta = \frac{x}{r}, \tan\theta = \frac{y}{x}\,(x \ne 0)$이다.

(나) 그림에서 도형 $A$는 네 점 $(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)$이 꼭짓점인 정사각형이다. 점 $P$는 제2사분면의 점으로 중심이 원점이고 반지름이 $3$인 원 위에 있다. $\alpha$는 점 $P$에서 $A$를 바라본 각의 크기이다.

논제 (나)에서 $\cos\alpha$가 최소가 될 때의 점 $P$의 좌표와 $\cos\alpha$의 값을 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [35점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

【문항 요약】 2024학년도 자연(오전) 문항 4 (미적분Ⅱ · 대수) [배점 35점]

[2024 건국대 자연(오전) 문항 4] 동경 위의 점과 코사인법칙·덧셈정리를 결합한 최댓값·최솟값 추론 (35점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 4 · 총 35점

1단계: 점 P의 위치에 따른 경우 분할 및 코사인법칙 적용

(1) 점 P의 $y$좌표가 1 이하일 때: 점 $P$에서 점 $(0, 1)$까지의 거리를 $d$라 하면, 코사인법칙에 의해

$\cos\alpha = \frac{9 + d^2 - 1}{6d} = \frac{4}{3d} + \frac{d}{6} \ge 2\sqrt{\frac{4}{3d} \cdot \frac{d}{6}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2) 점 P의 $y$좌표가 1 초과일 때: 점 $P$에서 점 $(1, 1)$까지의 거리를 $d$라 하면, 코사인법칙에 의해

$\cos\alpha = \frac{9 + d^2 - 2}{6d} = \frac{7}{6d} + \frac{d}{6} \ge 2\sqrt{\frac{7}{6d} \cdot \frac{d}{6}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

2단계: 최솟값 비교 및 점 P의 좌표 도출

$\frac{\sqrt{7}}{3} \lt \frac{2\sqrt{2}}{3}$이므로 $\cos\alpha$의 최솟값은 $\frac{\sqrt{7}}{3}$입니다.
등호 성립 조건은 $\frac{7}{6d} = \frac{d}{6} \implies d = \sqrt{7}$입니다. 점 $Q(1, 1)$이라 두고 $\angle POQ = \theta$라 하면 코사인법칙에 의해 $\cos\theta = \frac{9+2-7}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$, $\sin\theta = \frac{\sqrt{7}}{3}$입니다.
$x_P = 3\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = 3(\cos\theta\cos\frac{\pi}{4} - \sin\theta\sin\frac{\pi}{4}) = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}$
$y_P = 3\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 3(\sin\theta\cos\frac{\pi}{4} + \cos\theta\sin\frac{\pi}{4}) = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}$입니다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 수학적 성질 및 기하·해석적 조건식 수립	11점
2단계	도함수·적분·수열 등 핵심 수식 전개 및 매개변수 관계 도출	12점
3단계	논리적 완결성을 갖춘 최종 수치 및 정답 도출	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

건국대 자연계열 채점은 35점 만점을 단계별 성취 등급(A+~F) 및 소문항 부분점수로 세분화하여 평가합니다. 제시문 (가)·(나)의 공식을 인용한 근거 식을 첫 줄에 명시하고 정의역·부호 조건을 빠짐없이 확인하십시오.

🎯 [최종 정답]$\cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$, $P\left(1-\frac{\sqrt{14}}{2}, 1+\frac{\sqrt{14}}{2}\right)$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ · 공통수학 🎯 핵심 테마: 두 원의 교점을 지나는 직선과 몫의 미분법 최댓값 ⏱️ 권장 시간: 15분

(가) 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능하고 $x=a$에서 극값을 가지면 $f'(a)=0$이다.

(나) 그림에서 점 $\text{A}$는 원 $x^2+6x+y^2-8y=0$과 원 $x^2-2x+y^2=0$의 교점이다. 점 $\text{A}$를 지나는 직선이 두 원과 만나는 점이 각각 $\text{X, Y}$이다. (단, $\text{X, Y}$는 $\text{A}$가 아닌 점이다.)

논제 (나)에서 $\overline{\text{XY}}$의 최댓값을 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

【유사 연습 문제】 정적분 $\displaystyle \int_1^e x \ln x \, dx$의 값을 부분적분법을 이용하여 구하시오.

【문항 요약】 2023학년도 자연계A 문항 1 (미적분Ⅱ · 공통수학) [배점 10점]

[2023 건국대 자연계A 문항 1] 두 원의 교점을 지나는 할선 길이 함수의 미분과 최댓값 도출 (10점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 1 · 총 10점

Step 1 두 원의 교점 확인 및 매개변수 직선 설정

두 원의 방정식은 다음과 같다:

\[ x^2+6x+y^2-8y=0 \quad \cdots (1), \qquad x^2-2x+y^2=0 \quad \cdots (2) \]

(1)에서 (2)를 빼면 $8x - 8y = 0 \implies y = x$. 이를 (2)에 대입하면 $2x^2 - 2x = 0 \implies x(x-1) = 0$.
따라서 두 원의 교점은 $(0,0)$과 $(1,1)$이다. 둘 중 어느 점을 지나는 직선을 이용해 계산해도 결과는 동일하다.

Step 2 교점 $(0,0)$을 지나는 직선과 두 원의 교점 좌표 도출

점 $(0,0)$을 지나는 직선을 $y=tx$라 하자.

원 (1)과의 교점: $x^2(1+t^2) + (6-8t)x = 0 \implies x = \frac{8t-6}{1+t^2}, \quad y = \frac{8t^2-6t}{1+t^2}$

원 (2)과의 교점: $x^2(1+t^2) - 2x = 0 \implies x = \frac{2}{1+t^2}, \quad y = \frac{2t}{1+t^2}$

Step 3 두 점 사이 거리 함수 $f(t)$의 미분을 통한 최댓값 도출

두 교점 사이의 거리의 제곱을 $f(t)$라 하면:

\[ f(t) = \left( \frac{8t-8}{1+t^2} \right)^2 + \left( \frac{8t^2-8t}{1+t^2} \right)^2 = \frac{64(t-1)^2(1+t^2)}{(1+t^2)^2} = \frac{64(t-1)^2}{1+t^2} \]

도함수를 구하면:

\[ f'(t) = \frac{128(t-1)(1+t^2) - 64(t-1)^2(2t)}{(1+t^2)^2} = \frac{-128(t-1)(t+1)}{(1+t^2)^2} \]

$f'(t)=0$에서 $t=-1$일 때 극대이자 최대가 된다. 최댓값은 $f(-1) = 2 \cdot 64 = 128$.
따라서 거리의 최댓값은 $\sqrt{128} = 8\sqrt{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 수학적 성질 및 기하·해석적 조건식 수립	3점
2단계	도함수·적분·수열 등 핵심 수식 전개 및 매개변수 관계 도출	3점
3단계	논리적 완결성을 갖춘 최종 수치 및 정답 도출	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

건국대 자연계열 채점은 10점 만점을 단계별 성취 등급(A+~F) 및 소문항 부분점수로 세분화하여 평가합니다. 제시문 (가)·(나)의 공식을 인용한 근거 식을 첫 줄에 명시하고 정의역·부호 조건을 빠짐없이 확인하십시오.

🎯 [최종 정답]거리의 최댓값은 $8\sqrt{2}$

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 부채꼴의 넓이와 삼각비 극값 추론 ⏱️ 권장 시간: 18분

(가) 반지름의 길이가 $r$이고 중심각의 크기가 $\theta$인 부채꼴의 넓이는 $S=\frac{1}{2}r^2\theta$이다.

(나) 그림에서 두 원의 반지름의 길이는 1이고 중심 사이의 거리는 $x$이다. 두 원 내부의 공통 부분의 넓이를 $A(x)$라고 하자.

논제 (나)에서 정적분 $\int_0^2 A(x)\,dx$의 값을 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [15점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x e^{-x}$의 극댓값과 변곡점의 $x$좌표를 각각 구하시오.

【문항 요약】 2023학년도 자연계A 문항 2 (대수 · 미적분Ⅰ) [배점 15점]

[2023 건국대 자연계A 문항 2] 부채꼴과 내접 도형의 넓이 관계식 수립 및 최댓값 결정 (15점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 2 · 총 15점

Step 1 두 원의 공통부분 넓이 함수 $A(x)$의 삼각함수 표현

두 원의 중심을 $\text{A, B}$, 교점을 $\text{C, D}$, $\angle\text{CAB} = \theta$라 하자.
부채꼴 $\text{CAD}$의 넓이는 $\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot (2\theta) = \theta$, 삼각형 $\text{CAD}$의 넓이는 $\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin(2\theta) = \frac{1}{2}\sin 2\theta$이다.
공통부분의 넓이는 (부채꼴 $-$ 삼각형)의 2배이므로:

\[ A(x) = 2\left( \theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta \right) = 2\theta - \sin 2\theta \]

Step 2 치환적분법을 통한 정적분 계산

중심 사이의 거리 $x = 2\cos\theta$이므로 $dx = -2\sin\theta\,d\theta$이다. $x=0$일 때 $\theta = \frac{\pi}{2}$, $x=2$일 때 $\theta=0$이므로:

\[ \int_0^2 A(x)\,dx = \int_{\pi/2}^0 (2\theta - \sin 2\theta)(-2\sin\theta)\,d\theta = \int_0^{\pi/2} (4\theta\sin\theta - 4\sin^2\theta\cos\theta)\,d\theta \]

부분적분 및 치환적분을 적용하면:

\[ = \left[ -4\theta\cos\theta + 4\sin\theta - \frac{4}{3}\sin^3\theta \right]_0^{\pi/2} = \left( 0 + 4 - \frac{4}{3} \right) - 0 = \frac{8}{3} \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 수학적 성질 및 기하·해석적 조건식 수립	5점
2단계	도함수·적분·수열 등 핵심 수식 전개 및 매개변수 관계 도출	5점
3단계	논리적 완결성을 갖춘 최종 수치 및 정답 도출	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답]$\frac{8}{3}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 접선의 방정식과 곡선 위의 교점 관계식 ⏱️ 권장 시간: 22분

(가) 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $P(a, f(a))$에서의 접선의 기울기는 미분계수 $f'(a)$와 같다.

(나) 그림에서 점 $\text{X}$는 곡선 $y=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2$ 위의 점이고 점 $\text{A, B}$는 $x$축 위에 있다.

논제 (나)에서 점 $\text{A, B}$의 좌표가 각각 $(2, 0)$, $(4, 0)$일 때 $\sin(\angle\text{AXB})$의 최댓값을 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [20점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

【유사 연습 문제】 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n + (-2)^n}{5^n}$의 합을 구하시오.

【문항 요약】 2023학년도 자연계A 문항 3 (미적분Ⅰ) [배점 20점]

[2023 건국대 자연계A 문항 3] 다항곡선 위의 접선의 기울기와 교점 좌표의 대수적 추론 (20점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 3 · 총 20점

Step 1 외접원 중심 설정 및 등거리 조건 식 도출

$\text{A}(2,0), \text{B}(4,0)$의 수직이등분선은 $x=3$이므로 삼각형 $\text{ABX}$의 외접원의 중심을 $H(3,b)$라 하자.
곡선 위의 점 $X\left(a, \frac{\sqrt{2}}{4}a^2\right)$에 대해 $\overline{HA}^2 = \overline{HX}^2$이므로:

\[ 1^2 + b^2 = (3-a)^2 + \left(b - \frac{\sqrt{2}}{4}a^2\right)^2 \implies \frac{\sqrt{2}}{2}a^2 b = 8 - 6a + a^2 + \frac{1}{8}a^4 \quad \cdots (1) \]

Step 2 접선 수직 조건 및 4차방정식 해결

$\sin(\angle\text{AXB})$가 최대가 되는 순간은 원이 점 $X$에서 곡선과 접할 때이므로, 법선 $HX$가 접선과 수직이어야 한다:

\[ \left( \frac{\sqrt{2}}{2}a \right) \cdot \left( \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}a^2 - b}{a-3} \right) = -1 \implies \frac{\sqrt{2}}{2}a^2 b = \frac{1}{4}a^4 + a^2 - 3a \quad \cdots (2) \]

(1)과 (2)를 연립하면 $\frac{1}{8}a^4 + 3a - 8 = 0$을 얻는다. 이를 인수분해하면:

\[ (a-2)\left( \frac{1}{8}a^3 + \frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{2}a + 4 \right) = 0 \implies a=2 \]

Step 3 좌표 대입 및 삼각비 계산

$X(2, \sqrt{2})$이므로 $\overline{\text{AB}}=2, \overline{\text{AX}}=\sqrt{2}, \overline{\text{BX}}=\sqrt{2^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}$.
$\overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{AX}}^2 = 4 + 2 = 6 = \overline{\text{BX}}^2$이므로 $\angle\text{BAX}=90^\circ$인 직각삼각형이다.
따라서 $\sin(\angle\text{AXB}) = \frac{\overline{\text{AB}}}{\overline{\text{BX}}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 수학적 성질 및 기하·해석적 조건식 수립	6점
2단계	도함수·적분·수열 등 핵심 수식 전개 및 매개변수 관계 도출	7점
3단계	논리적 완결성을 갖춘 최종 수치 및 정답 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답]$\sin(\angle\text{AXB}) = \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 합성함수의 도함수와 치환적분 넓이 계산 ⏱️ 권장 시간: 25분

(가) 두 함수 $f(x), g(x)$가 미분가능할 때, 합성함수 $y=f(g(x))$의 도함수는 $y'=f'(g(x))g'(x)$이다.

(나) 그림에서 $C_1, C_2$는 중심이 $\text{O}$인 동심원이고 $C_1$의 반지름은 $r$, $C_2$의 반지름은 $R$이다. 직선 $l_1$은 원 $C_1$과 점 $\text{P}$에서 접한다. 직선 $l_2$는 점 $\text{O}$를 지나고 $l_1$과 평행하다. 점 $\text{S}$는 원 $C_2$를 따라 돌고 있다. 시각 $t$일 때 직선 $l_2$와 직선 $\text{OS}$가 이루는 각의 크기가 $t$이고, $\theta$는 직선 $l_1$과 직선 $\text{PS}$가 이루는 각의 크기이다.

논제 (나)에서 $R=4r$라고 하자. $\theta=0$일 때의 $\frac{d\theta}{dt}$와 $\theta=\frac{\pi}{2}$일 때의 $\frac{d\theta}{dt}$를 모두 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [25점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

【유사 연습 문제】 닫힌구간 $[1, 3]$에서 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 실수 $c \in (1, 3)$의 값을 모두 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$이고 $f'(x) = 3x^2 - 6x$이므로 $3c^2 - 6c = 1 \iff 3c^2 - 6c - 1 = 0$. $1 \lt c \lt 3$이므로 $c = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$이다.

【문항 요약】 2023학년도 자연계A 문항 4 (미적분Ⅱ) [배점 25점]

[2023 건국대 자연계A 문항 4] 합성함수의 미분법과 정적분을 결합한 함수값 및 넓이 도출 (25점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 4 · 총 25점

Step 1 $\tan\theta$ 관계식 수립 및 양변 미분

도형의 기하학적 관계로부터 다음 식이 성립한다:

\[ (*) \quad \tan\theta = \frac{R\sin t - r}{R\cos t} \]

양변을 $t$에 관해 미분하면:

\[ (**) \quad \frac{1}{\cos^2\theta}\frac{d\theta}{dt} = \frac{(R\cos t)(R\cos t) - (R\sin t - r)(-R\sin t)}{R^2\cos^2 t} = \frac{R - r\sin t}{R\cos^2 t} \]

Step 2 $\theta=0$ 및 $\theta=\frac{\pi}{2}$에서의 미분계수 계산

(1) $\theta=0$일 때:
$\tan\theta = 0 \implies R\sin t - r = 0 \implies \sin t = \frac{r}{R} = \frac{1}{4}$.
$\cos t = \frac{\sqrt{15}}{4}$, $\cos\theta=1$이므로 (**)에 대입하면 $\frac{d\theta}{dt} = \frac{4r - \frac{1}{4}r}{4r \cdot \frac{15}{16}} = 1$이다.

(2) $\theta=\frac{\pi}{2}$일 때:
$\cos^2\theta = \frac{1}{1+\tan^2\theta} = \frac{R^2\cos^2 t}{R^2 - 2Rr\sin t + r^2}$를 (**)에 대입하면:

\[ \frac{d\theta}{dt} = \frac{R(R-r\sin t)}{R^2 - 2Rr\sin t + r^2} \]

$\theta=\frac{\pi}{2}$일 때 $t=\frac{\pi}{2}, \sin t=1$이므로 $\frac{d\theta}{dt} = \frac{4r(4r-r)}{16r^2 - 8r^2 + r^2} = \frac{12r^2}{9r^2} = \frac{4}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 수학적 성질 및 기하·해석적 조건식 수립	8점
2단계	도함수·적분·수열 등 핵심 수식 전개 및 매개변수 관계 도출	8점
3단계	논리적 완결성을 갖춘 최종 수치 및 정답 도출	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

건국대 자연계열 채점은 25점 만점을 단계별 성취 등급(A+~F) 및 소문항 부분점수로 세분화하여 평가합니다. 제시문 (가)·(나)의 공식을 인용한 근거 식을 첫 줄에 명시하고 정의역·부호 조건을 빠짐없이 확인하십시오.

🎯 [최종 정답]$\theta'(0) = 1$, $\theta'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{4}{3}$

📚 과목/단원: 확률과 통계 · 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 접선 길이의 함수 극한과 이항정리 최대 계수 비교 ⏱️ 권장 시간: 25분

[그림 1]

(가) 함수 $f(x)$에서 $x$의 값이 한없이 커질 때, $f(x)$의 값이 일정한 값 $L$에 한없이 가까워지면 함수 $f(x)$는 $L$에 수렴한다고 하고, 이것을 기호로 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$과 같이 나타낸다.

(나) $n$이 자연수일 때, 다음 식이 성립한다.
$(a+b)^n = {}_n\mathrm{C}_0 a^n + {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b + {}_n\mathrm{C}_2 a^{n-2}b^2 + \cdots + {}_n\mathrm{C}_k a^{n-k}b^k + \cdots + {}_n\mathrm{C}_n b^n$

(다) [그림 1]은 반지름이 같은 원 $O_1$과 $O_2$를 나타낸 것이다. 평행한 직선 $l_1$과 $l_2$는 각각 점 $A_1, A_2$에서 원 $O_1, O_2$에 접한다.

(라) $(5+2x)^{60}$을 전개했을 때 $x^k$의 계수를 $a_k$라 하자. 즉,
$(5+2x)^{60} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_k x^k + \cdots + a_{60} x^{60}$

1-1 제시문 1의 (다)에서 직선 $l_1$과 $l_2$ 사이의 거리는 $1$로 일정하며, 두 원의 반지름은 $r$이고 $\overline{O_1 O_2} = 3r$이다. 극한값 $\lim_{r \to \infty} \frac{\overline{A_1 A_2}}{\overline{O_1 O_2}}$를 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [10점]

1-2 제시문 1의 (라)에서 계수 $a_k \; (0 \le k \le 60)$ 중 가장 큰 것을 $a_p$, 두 번째로 큰 것을 $a_q$라 하자. $p$와 $q$를 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [15점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 조건부확률 (DB: PS_Ch02_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통02-05, 12확통02-06]

【유사 연습 문제】 주머니 A에는 흰 공 3개, 검은 공 2개가 있고 주머니 B에는 흰 공 2개, 검은 공 3개가 있다. 임의로 한 주머니를 택해 공 1개를 꺼냈더니 흰 공이었을 때, 택한 주머니가 A였을 조건부확률을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 흰 공이 나오는 사건을 $W$라 하면 $P(W) = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5} + \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5} = \frac{1}{2}$이다. 따라서 $P(A \mid W) = \frac{P(A \cap W)}{P(W)} = \frac{3/10}{5/10} = \frac{3}{5}$이다.

【문항 요약】 2022학년도 자연계A 문항 1 (확률과 통계 · 미적분Ⅰ) [배점 25점]

[2022 건국대 자연계A 문항 1] 두 원의 공통접선 극한값과 이항계수 비 대소 비교 추론 (25점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 1 · 총 25점

Step 1 [문제 1-1] 원의 기하학적 배치 및 삼각비의 극한 설정

$O_2$에서 직선 $O_1 A_1$에 내린 수선의 발을 $P$라 하면, 평행선 사이의 거리가 1이고 두 원의 반지름이 $r$이므로 $\overline{O_1 P} = 2r + 1$입니다.
$\angle O_1 O_2 P = \theta$라 두면 직각삼각형 $O_1 P O_2$에서 $\overline{O_1 O_2} = 3r$이므로 \[\sin\theta = \frac{\overline{O_1 P}}{\overline{O_1 O_2}} = \frac{2r+1}{3r} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3r}\] 따라서 $r \to \infty$일 때 $\displaystyle \lim_{r \to \infty} \sin\theta = \frac{2}{3}$이며, $\displaystyle \lim_{r \to \infty} \cos\theta = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{3}$입니다.

Step 2 [문제 1-1] 접점 사이의 거리 $\overline{A_1 A_2}$ 표현 및 최종 극한 계산

$A_2$에서 직선 $O_1 A_1$에 내린 수선의 발을 $Q$라 하면, $\overline{A_2 Q} = \overline{O_2 P} = 3r \cos\theta$이고 $\overline{A_1 Q} = 1$입니다.
피타고라스 정리에 의해 $\overline{A_1 A_2} = \sqrt{\overline{A_1 Q}^2 + \overline{A_2 Q}^2} = \sqrt{1 + 9r^2 \cos^2\theta}$이므로 구하는 극한값은 \[\lim_{r \to \infty} \frac{\overline{A_1 A_2}}{\overline{O_1 O_2}} = \lim_{r \to \infty} \frac{\sqrt{1 + 9r^2 \cos^2\theta}}{3r} = \lim_{r \to \infty} \sqrt{\frac{1}{9r^2} + \cos^2\theta} = \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}\]

Step 3 [문제 1-2] 이항정리 일반항 표현 및 인접 계수 비 부등식 분석

$(5+2x)^{60} = 5^{60}\left(1 + \frac{2}{5}x\right)^{60} = 5^{60} \sum_{k=0}^{60} {}_{60}\mathrm{C}_k \left(\frac{2}{5}\right)^k x^k$이므로, $x^k$의 계수는 $a_k = 5^{60} \cdot {}_{60}\mathrm{C}_k \left(\frac{2}{5}\right)^k$입니다.
$a_k \lt a_{k+1}$이 될 필요충분조건은 $\frac{a_{k+1}}{a_k} \gt 1$입니다. 계수 비를 계산하면 \[\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{{}_{60}\mathrm{C}_{k+1} \cdot (2/5)^{k+1}}{{}_{60}\mathrm{C}_k \cdot (2/5)^k} = \frac{60-k}{k+1} \cdot \frac{2}{5} \gt 1 \iff 2(60-k) \gt 5(k+1) \iff 7k \lt 115 \iff k \lt \frac{115}{7} = 16.42\dots\] 따라서 $k \le 16$일 때 $a_k \lt a_{k+1}$이고, $k \ge 17$일 때 $a_k \gt a_{k+1}$입니다.

Step 4 [문제 1-2] 최대 계수 결정 및 두 번째 최대 계수 ($a_{16}$ vs $a_{18}$) 대소 판정

계수의 대소 관계는 $a_0 \lt a_1 \lt \dots \lt a_{16} \lt a_{17} \gt a_{18} \gt \dots \gt a_{60}$이므로 가장 큰 계수는 $a_{17}$이며, $p = 17$입니다.
두 번째로 큰 계수를 결정하기 위해 $a_{16}$과 $a_{18}$을 비교합니다: \[\frac{a_{18}}{a_{16}} = \frac{a_{18}}{a_{17}} \cdot \frac{a_{17}}{a_{16}} = \left(\frac{43}{18} \cdot \frac{2}{5}\right) \cdot \left(\frac{44}{17} \cdot \frac{2}{5}\right) = \frac{43 \cdot 44 \cdot 4}{18 \cdot 17 \cdot 25} = \frac{7568}{7650} \lt 1\] 따라서 $a_{18} \lt a_{16}$이므로 두 번째로 큰 계수는 $a_{16}$이며, $q = 16$입니다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 적절한 기하학적 삼각비 설정 및 정밀한 극한 계산을 통해 $\frac{\sqrt{5}}{3}$을 완벽히 도출함	7점
2단계	[1-2] 이항계수 비 $\frac{a_{k+1}}{a_k}$를 분석하고, $a_{16}$과 $a_{18}$의 정밀 대조를 통해 $p=17, q=16$을 모두 정확히 구함	11점
3단계	B / C · $a_k \lt a_{k+1}$이 되기 위한 조건 $k \lt \frac{115}{7}$을 정확히 도출함	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[1-1]$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ | [1-2] $p = 17,\; q = 16$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ · 기하 🎯 핵심 테마: 직선의 방정식과 매개변수 각 변화율 및 극값 ⏱️ 권장 시간: 40분

[그림 2]

[그림 3]

(가) 점 $(x_1, y_1)$을 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $y - y_1 = m(x - x_1)$이다.

(나) 그림에서 동경 $OP$가 나타내는 각의 크기를 $\theta$라고 할 때, $\sin\theta = \frac{y}{r}, \; \cos\theta = \frac{x}{r}, \; \tan\theta = \frac{y}{x} \; (x \ne 0)$이다.

(다) [그림 2]는 곡선 $y=x^2$과 점 $(-1, 0)$을 지나는 직선 $l$을 나타낸 것이다. 곡선 $y=x^2$과 직선 $l$은 두 점 $A$와 $B$에서 만난다. 점 $O$는 원점이다.

(라) [그림 3]은 반지름이 $2$인 원과 그 원에 내접하는 사각형 $CDEF$를 나타낸 것이다. 대각선 $CE$와 $DF$의 교점이 $P$이다.

[그림 2]

[그림 3]

2-1 제시문 2의 (다)에서 직선 $l$의 기울기가 $t$일 때 $\angle AOB$의 크기를 $\theta(t)$라 하자. 미분계수 $\theta'(2)$의 값을 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [20점]

2-2 제시문 2의 (라)에서 $\angle CPD = \frac{\pi}{3}$일 때 $\overline{CD} + \overline{EF}$의 값 중 가장 큰 것을 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [25점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

【문항 요약】 2022학년도 자연계A 문항 2 (미적분Ⅱ · 기하) [배점 45점]

[2022 건국대 자연계A 문항 2] 도형의 동적 각 함수의 도함수 유도와 넓이·길이 극값 완결 (45점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 2 · 총 45점

Step 1 [문제 2-1] 직선과 포물선의 교점 및 탄젠트 덧셈정리 표현

직선 $l$의 방정식은 점 $(-1, 0)$을 지나므로 $y = t(x+1)$입니다. 교점의 좌표를 $A(a, a^2), B(b, b^2)$라 하면 $a, b$는 이차방정식 $x^2 - tx - t = 0$의 두 실근이므로 근과 계수의 관계에 의해 $a+b=t, \; ab=-t$입니다.
직선 $OA, OB$의 기울기는 각각 $\tan\theta_1 = a, \; \tan\theta_2 = b$이므로 \[\tan\theta = \tan(\theta_1 - \theta_2) = \frac{a - b}{1 + ab} = \frac{-\sqrt{(a+b)^2 - 4ab}}{1 + ab} = \frac{-\sqrt{t^2+4t}}{1-t} = \frac{\sqrt{t^2+4t}}{t-1}\]

Step 2 [문제 2-1] 합성함수/음함수 미분법 및 $t=2$에서의 미분계수 계산

양변을 $t$에 대하여 미분하면 $\sec^2\theta \cdot \theta'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{\sqrt{t^2+4t}}{t-1}\right)$입니다.
몫의 미분법을 적용하면 $\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{\sqrt{t^2+4t}}{t-1}\right) = \frac{\frac{2t+4}{2\sqrt{t^2+4t}}(t-1) - \sqrt{t^2+4t}}{(t-1)^2}$입니다.
$t=2$를 대입하면 $\tan\theta = \frac{\sqrt{12}}{1} = 2\sqrt{3}$이므로 $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta = 1 + 12 = 13$입니다.
우변에 $t=2$를 대입하면 $\frac{\frac{8}{2\sqrt{12}}(1) - \sqrt{12}}{1^2} = \frac{2}{\sqrt{3}} - 2\sqrt{3} = -\frac{4}{\sqrt{3}} = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$입니다.
따라서 $13 \theta'(2) = -\frac{4\sqrt{3}}{3} \implies \theta'(2) = -\frac{4\sqrt{3}}{39}$입니다.

Step 3 [문제 2-2] 원주각과 중심각 관계에 의한 현의 길이 표현

원의 중심을 $O$라 하고, 현 $CD$에 대한 원주각 $\angle CED = \alpha$, 현 $EF$에 대한 원주각 $\angle EDF = \beta$라 하면 중심각은 각각 $\angle COD = 2\alpha, \; \angle EOF = 2\beta$입니다.
반지름이 $2$이므로 삼각형 $CDO$에서 $\overline{CD} = 2 \cdot 2\sin\alpha = 4\sin\alpha$, 삼각형 $EFO$에서 $\overline{EF} = 4\sin\beta$입니다.
삼각형 $DEP$의 외각 성질에 의해 $\alpha + \beta = \angle CPD = \frac{\pi}{3}$이므로 \[\overline{CD} + \overline{EF} = 4\sin\alpha + 4\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\]

Step 4 [문제 2-2] 삼각함수의 덧셈정리 전개 및 극대 판정에 의한 최댓값 도출

삼각함수의 덧셈정리를 적용하면: \[\overline{CD} + \overline{EF} = 4\left(\sin\alpha + \sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha\right) = 4\left(\frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\right) = 2\sin\alpha + 2\sqrt{3}\cos\alpha\] 함수 $f(\alpha) = 2\sin\alpha + 2\sqrt{3}\cos\alpha$로 두면, $f'(\alpha) = 2\cos\alpha - 2\sqrt{3}\sin\alpha = 0 \iff \tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \iff \alpha = \frac{\pi}{6}$.
$0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{6}$에서 $f'(\alpha) \gt 0$, $\frac{\pi}{6} \lt \alpha \lt \frac{\pi}{3}$에서 $f'(\alpha) \lt 0$이므로 $f(\alpha)$는 $\alpha = \frac{\pi}{6}$에서 극대이자 최대입니다.
따라서 최댓값은 $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} + 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + 3 = 4$입니다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 45점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 근과 계수의 관계, 탄젠트 덧셈정리, 몫의 미분법을 완벽히 적용하여 $\theta'(2) = -\frac{4\sqrt{3}}{39}$를 정확히 구함	15점
2단계	B / C · $\tan\theta$를 $t$에 관하여 바르게 표현($\frac{\sqrt{t^2+4t}}{t-1}$)하고 미분을 시도함	11점
3단계	[2-2] 원주각과 현의 길이 관계식 $\overline{CD}+\overline{EF} = 2\sin\alpha+2\sqrt{3}\cos\alpha$를 유도하고 미분으로 최댓값 4를 완벽히 도출함	19점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

건국대 자연계열 채점은 45점 만점을 단계별 성취 등급(A+~F) 및 소문항 부분점수로 세분화하여 평가합니다. 제시문 (가)·(나)의 공식을 인용한 근거 식을 첫 줄에 명시하고 정의역·부호 조건을 빠짐없이 확인하십시오.

[2-1]$\theta'(2) = -\dfrac{4\sqrt{3}}{39}$ | [2-2] 최댓값 $4$

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 사인·코사인법칙과 도형 수열의 극한 ⏱️ 권장 시간: 25분

[그림 1]

[그림 2]

(가) 사인법칙과 코사인법칙을 활용하여 삼각형을 포함한 여러 가지 도형의 문제를 해결할 수 있다.

(나) 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$을 기호 $\sum$를 사용하여 $\sum_{k=1}^n a_k$와 같이 나타낼 수 있다. 즉, $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = \sum_{k=1}^n a_k$이다.

(다) [그림 1]에서 점 $P$는 삼각형 $ABD$의 외접원 위에 있고 점 $Q$는 삼각형 $BCD$의 외접원 위에 있다.

(라) [그림 2]는 점 $A_0, A_1, A_2, \dots, A_{100}, B$를 나타낸 것이다. 점 $A_n$의 좌표는 $\left(n, \cos\frac{n\pi}{2}\right)$이고 점 $B$의 좌표는 $(0, -1)$이다.

[그림 1]

[그림 2]

1-1 제시문 1의 (다)에서 $\overline{BD} = 2$, $\sin\angle BAD = \frac{1}{2}$, $\sin\angle BCD = \frac{1}{3}$일 때 $\overline{PQ}$의 값 중 가장 큰 것을 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [10점]

1-2 제시문 1의 (라)에 주어진 점들에 대하여 삼각형 $BA_{n-1}A_n$의 넓이가 $a_n$일 때 $\sum_{n=1}^{100} a_n^2$을 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [15점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

【문항 요약】 2022학년도 자연계B 문항 1 (대수 · 미적분Ⅱ) [배점 25점]

[2022 건국대 자연계B 문항 1] 삼각형 사인·코사인법칙을 활용한 수열 일반항과 극한 계산 (25점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 1 · 총 25점

Step 1 [문제 1-1] 삼각부등식에 의한 선분 $\overline{PQ}$의 최대 조건 및 기하학적 분석

삼각형 $ABD$의 외접원의 중심을 $O_1$, 반지름을 $r_1$, 삼각형 $BCD$의 외접원의 중심을 $O_2$, 반지름을 $r_2$라 하자.
직선 $O_1 O_2$가 두 원과 만나는 점 중 서로 바깥쪽에 있는 점을 각각 $P_0, Q_0$라 하면, 임의의 점 $P, Q$에 대하여 \[\overline{PQ} \le \overline{PO_1} + \overline{O_1 O_2} + \overline{O_2 Q} = r_1 + \overline{O_1 O_2} + r_2 = \overline{P_0 Q_0}\] 이 성립하므로, $\overline{PQ}$의 최댓값은 $r_1 + r_2 + \overline{O_1 O_2}$입니다.

Step 2 [문제 1-1] 사인법칙과 피타고라스 정리를 통한 정밀 수치 산출

삼각형 $ABD$와 $BCD$에 사인법칙을 적용하면: \[2r_1 \sin\angle BAD = \overline{BD} \implies 2r_1 \cdot \frac{1}{2} = 2 \implies r_1 = 2\] \[2r_2 \sin\angle BCD = \overline{BD} \implies 2r_2 \cdot \frac{1}{3} = 2 \implies r_2 = 3\] 선분 $O_1 O_2$는 공통현 $BD$의 수직이등분선이므로 교점을 $H$라 하면 $\overline{BH} = 1$입니다.
직각삼각형에서 $\overline{O_1 H} = \sqrt{r_1^2 - \overline{BH}^2} = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}$, $\overline{O_2 H} = \sqrt{r_2^2 - \overline{BH}^2} = \sqrt{9-1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$입니다.
따라서 $\overline{O_1 O_2} = \overline{O_1 H} + \overline{O_2 H} = \sqrt{3} + 2\sqrt{2}$이며, 최댓값은 $2 + 3 + \sqrt{3} + 2\sqrt{2} = 5 + 2\sqrt{2} + \sqrt{3}$입니다.

Step 3 [문제 1-2] 점들의 좌표 주기성 및 삼각형 넓이 $a_n$의 수열 규칙 규명

$A_n\left(n, \cos\frac{n\pi}{2}\right)$에서 $y$좌표는 $n \equiv 0, 1, 2, 3 \pmod 4$에 따라 $1, 0, -1, 0$이 반복됩니다.
$B(0, -1)$과 점들의 배치를 살펴보면: $A_1$은 $A_0 A_2$의 중점($y=0$)이므로 삼각형 $BA_0 A_1$과 $BA_1 A_2$는 넓이가 같습니다 ($a_1 = a_2$).
$A_3$은 $A_2 A_4$의 중점이므로 삼각형 $BA_2 A_3$과 $BA_3 A_4$는 넓이가 같습니다 ($a_3 = a_4$).
삼각형 $BA_1 A_2$와 $BA_2 A_3$은 밑변 $\overline{BA_2} = 2$이고 높이가 1이므로 $a_2 = a_3 = 1$입니다. 즉 $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 1$.
일반적으로 $k = 1, 2, \dots, 25$에 대하여 밑변 $\overline{BA_{4k-2}} = 4k-2$이고 높이가 1이므로: \[a_{4k-3} = a_{4k-2} = a_{4k-1} = a_{4k} = \frac{1}{2}(4k-2) \cdot 1 = 2k-1\]

Step 4 [문제 1-2] 거듭제곱 합 공식을 이용한 $\sum_{n=1}^{100} a_n^2$ 최종 계산

4개 항씩 묶어 합산하면: \[\sum_{n=1}^{100} a_n^2 = \sum_{k=1}^{25} \left(a_{4k-3}^2 + a_{4k-2}^2 + a_{4k-1}^2 + a_{4k}^2\right) = \sum_{k=1}^{25} 4(2k-1)^2 = 4\sum_{k=1}^{25} (4k^2 - 4k + 1)\] 자연수 거듭제곱 합 공식을 대입하면: \[= 16 \cdot \frac{25 \cdot 26 \cdot 51}{6} - 16 \cdot \frac{25 \cdot 26}{2} + 4 \cdot 25 = 16 \cdot 5525 - 16 \cdot 325 + 100 = 88400 - 5200 + 100 = 83300\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 삼각부등식으로 최대 조건을 증명하고 사인법칙과 피타고라스 정리로 $5+2\sqrt{2}+\sqrt{3}$을 완벽히 도출함	6점
2단계	B / C · 사인법칙을 적용하여 $r_1=2, r_2=3$을 구함	3점
3단계	[1-2] 수열의 주기성과 중점 성질을 파악하여 일반항 $a_{4k-i}=2k-1$을 구하고 시그마 합산으로 83300을 정확히 구함	10점
4단계	B / C · 수열의 일반항 $a_{4k-3}=a_{4k-2}=a_{4k-1}=a_{4k}=2k-1$을 올바르게 구함	6점

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[1-1]$5 + 2\sqrt{2} + \sqrt{3}$ | [1-2] $83300$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 음함수·매개변수 도함수와 동적 넓이의 순간변화율 ⏱️ 권장 시간: 40분

[그림 3]

[그림 4]

(가) 일반적으로 함수 $y=f(x)$가 정의역에 속하는 모든 $x$에서 미분가능할 때, 정의역의 각 원소 $x$에 미분계수 $f'(x)$를 대응시키면 새로운 함수를 얻는다. 이 함수를 함수 $y=f(x)$의 도함수라 한다.

(나) 다음은 사인함수와 코사인함수의 덧셈정리이다.
$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta, \quad \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

(다) [그림 3]은 곡선 $y=x^2$과 점 $A(0, 3)$을 나타낸 것이다. 두 점 $B$와 $C$는 이 곡선 위의 점이고 직선 $BC$는 $x$축에 평행하다. 색칠한 도형은 직선 $BC$와 곡선 $y=x^2$으로 둘러싸인 도형이다.

(라) [그림 4]는 중심이 원점 $O$이고 반지름이 $2$인 원을 나타낸 것이다. 원 위에 점 $A(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$와 $B(\sqrt{2}, \sqrt{2})$가 있다. 원 밖의 점 $P$에 대하여 선분 $AP$와 원의 교점이 $C$, 선분 $BP$와 원의 교점이 $D$이다.

[그림 3]

[그림 4]

2-1 제시문 2의 (다)에서 $\angle BAC$의 크기가 $\theta$일 때 색칠한 도형의 넓이를 $S(\theta)$라 하자. $\overline{BC} = 2$일 때 $\frac{dS}{d\theta}$의 값을 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [20점]

2-2 제시문 2의 (라)에서 $\overline{CD} = 2$일 때 $\overline{AP}$의 값 중 가장 큰 것을 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [25점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

【유사 연습 문제】 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n + (-2)^n}{5^n}$의 합을 구하시오.

【문항 요약】 2022학년도 자연계B 문항 2 (미적분Ⅱ) [배점 45점]

[2022 건국대 자연계B 문항 2] 곡선 위의 점과 접선이 이루는 도형의 넓이 변화율 심층 증명 (45점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 2 · 총 45점

Step 1 [문제 2-1] 정적분을 이용한 둘러싸인 도형의 넓이 $S(x)$ 표현

점 $C$의 좌표를 $(x, x^2) \; (x \gt 0)$이라 하면, 포물선의 대칭성에 의해 $B(-x, x^2)$이며 선분 $\overline{BC} = 2x$입니다.
직선 $BC$와 포물선 $y=x^2$으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 \[S = 2x \cdot x^2 - 2\int_0^x t^2 \, dt = 2x^3 - \frac{2}{3}x^3 = \frac{4}{3}x^3\] 연쇄법칙에 의해 $\displaystyle \frac{dS}{d\theta} = \frac{dS}{dx} \frac{dx}{d\theta} = 4x^2 \frac{dx}{d\theta}$입니다.

Step 2 [문제 2-1] 삼각비 $\tan(\theta/2)$ 음함수 미분을 통한 $\frac{dS}{d\theta}$ 산출

선분 $AO$와 $BC$의 교점을 $D$라 하면 직각삼각형 $ADC$에서 $A(0, 3), D(0, x^2)$이므로 $\overline{AD} = 3-x^2, \overline{CD} = x$입니다.
대칭성에 의해 $\angle CAD = \frac{\theta}{2}$이므로 $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{x}{3-x^2}$입니다.
양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\sec^2\frac{\theta}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{d\theta}{dx} = \frac{1 \cdot (3-x^2) - x(-2x)}{(3-x^2)^2} = \frac{3+x^2}{(3-x^2)^2}$입니다.
$\overline{BC} = 2$일 때 $x = 1$이므로, $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \implies \sec^2\frac{\theta}{2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$입니다.
따라서 $\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{d\theta}{dx} = \frac{4}{4} = 1 \implies \frac{d\theta}{dx} = \frac{8}{5} \implies \frac{dx}{d\theta} = \frac{5}{8}$입니다.
그러므로 $\left.\frac{dS}{d\theta}\right|_{\overline{BC}=2} = 4(1)^2 \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{2}$입니다.

Step 3 [문제 2-2] 원주각 및 중심각 분석을 통한 $\angle APB$ 각도 도출

$A(-\sqrt{2}, \sqrt{2}), B(\sqrt{2}, \sqrt{2})$에서 $\overline{OA} = \overline{OB} = 2$이고 $\overline{AB} = 2\sqrt{2}$이므로 $\angle AOB = \frac{\pi}{2}$입니다.
원주각의 성질에 의해 $\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{\pi}{4}$입니다.
$\angle APB = \theta$라 두면 삼각형 $BCP$에서 $\angle CBD = \angle ACB - \theta = \frac{\pi}{4} - \theta$이므로 원주각에 대응하는 중심각은 $\angle COD = 2\angle CBD = \frac{\pi}{2} - 2\theta$입니다.
조건에서 $\overline{CD} = 2$이고 원의 반지름도 $2$이므로 삼각형 $OCD$는 정삼각형이며 $\angle COD = \frac{\pi}{3}$입니다.
따라서 $\frac{\pi}{2} - 2\theta = \frac{\pi}{3} \implies 2\theta = \frac{\pi}{6} \implies \theta = \frac{\pi}{12}$입니다.

Step 4 [문제 2-2] 원주각 일정 정리와 사인법칙에 의한 $\overline{AP}$ 최댓값 도출

$\angle APB = \frac{\pi}{12}$로 일정하므로 점 $P$는 현 $AB$를 원주각 $\frac{\pi}{12}$로 바라보는 원 $\mathcal{C}$ 위의 점입니다.
이 원 $\mathcal{C}$의 반지름을 $R$이라 하면, 선분 $\overline{AP}$의 길이가 최대가 될 때는 $\overline{AP}$가 원 $\mathcal{C}$의 지름이 될 때입니다 (최댓값 $= 2R$).
사인법칙에 의해: \[2R = \frac{\overline{AB}}{\sin(\pi/12)} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin(\pi/12)}\] 삼각함수 덧셈정리에 의해 $\sin\frac{\pi}{12} = \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$입니다.
따라서 $\overline{AP}$의 최댓값은: \[2R = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} = 2\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = 4\sqrt{3} + 4 = 4 + 4\sqrt{3}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 45점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 정적분으로 $S(x)$를 구하고 음함수 미분법을 정확히 적용하여 $\frac{dS}{d\theta} = \frac{5}{2}$를 완벽히 도출함	12점
2단계	B / C · $\tan\frac{\theta}{2}$ 관계식을 바르게 세우고 미분을 시도함	8점
3단계	[2-2] 원주각 $\angle APB = \frac{\pi}{12}$를 증명하고 사인법칙을 통해 지름 $2R = 4+4\sqrt{3}$을 완벽히 도출함	14점
4단계	B / C · $\angle APB = \frac{\pi}{12}$가 일정함을 바르게 유도함	11점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[2-1]$\dfrac{5}{2}$ | [2-2] $4 + 4\sqrt{3}$

PART 2-1 · 10 FULL-LENGTH MOCK EXAMS

2027학년도 건국대학교 자연계열 수리논술
실전 모의고사 1회 ~ 10회 문제집

제1~5회 기출유사 표준 실전편과 제6~10회 킬러 TOP 5 심화편(총 40문항) 및 회차별 종합 분석 매트릭스 리포트로 실전 적응력을 극대화합니다.

📋 출제 타당성 검토 보고서 (2p): 전 문항 교과서 기반 교육과정 성취기준 및 Textbook DB 원천 검증

📝 실전 맞춤형 시험지 포맷: 건국대학교 실제 문항 수·배점·답안지 규격 100% 반영

📈 회차별 종합 분석 매트릭스 (10p): 매 회차 직후 문항별 난이도·배점·합격 전략 리포트 수록

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R1-Q1	대수	지수·로그함수의 대칭성과 영역 넓이	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 5011 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]	25점/중상
R1-Q2	대수	원내접사각형과 사인·코사인법칙 추론	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 5012 변형 \| 성취기준: 12대수02-03]	25점/중상
R1-Q3	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	평균값 정리와 삼차방정식의 실근 개수	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 5013 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]	25점/중상
R1-Q4	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	정적분으로 정의된 함수의 극값과 넓이	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 5014 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	25점/상
R2-Q1	대수	지수부등식과 로그합성함수의 최대·최소	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 5021 변형 \| 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]	25점/중상
R2-Q2	대수	수열의 귀납적 정의와 멱급수의 합	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 5022 변형 \| 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]	25점/중상
R2-Q3	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	구간별 함수의 미분가능성과 정적분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 5023 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]	25점/중상
R2-Q4	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	사차함수의 대칭성과 곡선 사이 넓이	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 5024 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	25점/상
R3-Q1	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	삼각함수의 치환과 최대·최소 추론	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 5031 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]	25점/중상
R3-Q2	대수	등차·등비수열 좌표와 수학적 귀납법	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 5032 변형 \| 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]	25점/중상
R3-Q3	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	미분계수의 정의와 접선으로 둘러싸인 넓이	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 5033 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]	25점/중상
R3-Q4	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	속도와 위치 변화량 및 두 점 사이 거리	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 5034 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/상
R4-Q1	대수	거듭제곱근의 실근 개수와 로그 격자점	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 5041 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]	25점/중상
R4-Q2	기하	포물선 법선 삼각형의 내접원과 극한	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 5042 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	25점/중상
R4-Q3	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수 추론	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 5043 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]	25점/중상
R4-Q4	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	두 이차곡선으로 둘러싸인 넓이와 세제곱근	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 5044 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	25점/상
R5-Q1	대수	등차수열 변을 갖는 삼각형의 외접원·내접원	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 5051 변형 \| 성취기준: 12대수02-03]	25점/중상
R5-Q2	대수	역수 등차수열 귀납적 정의와 수학적 귀납법	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 5052 변형 \| 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]	25점/중상
R5-Q3	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	사차함수의 절댓값 미분가능성과 넓이	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 5053 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	25점/중상
R5-Q4	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	정적분 관계식 미분과 정적분 함수 최대·최소	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 5054 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R6-Q1	기하	포물선의 접선·법선과 초점 사각형의 성질	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 5061 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	25점/상
R6-Q2	확률과 통계	비복원 추출 범위 확률변수와 기댓값 추론	[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 Ⅱ-1. 확률변수와 확률분포 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 5062 변형 \| 성취기준: 12확통02-05, 12확통03-01]	25점/상
R6-Q3	기하	두 포물선의 공통법선과 접점 거리의 변화율	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 5063 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08]	25점/최상
R6-Q4	기하	포물선 밖의 점에서 그은 법선 개수와 격자점	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 5064 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-09]	25점/최상
R7-Q1	대수	지수·로그곡선의 대칭점과 원주각의 최솟값	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 5071 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]	25점/상
R7-Q2	기하	타원의 초점 직각삼각형과 접선의 최소 넓이	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.9 탐구 5072 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	25점/상
R7-Q3	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	삼차곡선과 직선 사이의 동점 삼각형 넓이 최대화	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 5073 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	25점/최상
R7-Q4	기하	공간좌표의 평면의 방정식과 정사영 부피 추론	[출처: 비상교육 기하 Ⅲ-2. 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.8 탐구 5074 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	25점/최상
R8-Q1	대수	두 지수곡선 사이 수직 선분 길이의 최대·최소	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 탐구 5081 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]	25점/상
R8-Q2	확률과 통계	조건부확률과 모비율의 신뢰구간 추정	[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 (DB: KICE_2028) PDF p.12 탐구 5082 변형 \| 성취기준: 12확통02-03, 12확통03-06]	25점/상
R8-Q3	기하	포물선에 내접하는 원의 중심 극한과 복합 넓이	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 5083 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-03-05]	25점/최상
R8-Q4	기하	쌍곡선의 점근선과 접선 삼각형의 넓이 불변성	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.11 탐구 5084 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	25점/최상
R9-Q1	대수	코사인법칙과 각의 이등분선 및 내접원·외접원	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 탐구 5091 변형 \| 성취기준: 12대수02-03]	25점/상
R9-Q2	기하	평면벡터의 위치벡터 분해와 원 위 동점 내적	[출처: 비상교육 기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 성분과 내적 (DB: GEOM_Ch02_비상) PDF p.7 탐구 5092 변형 \| 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]	25점/상
R9-Q3	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	가변구간 삼차함수의 최솟값 함수와 미분가능성	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 5093 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-02-07]	25점/최상
R9-Q4	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	대칭·주기 연속함수의 정적분과 넓이 확장	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 탐구 5094 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/최상
R10-Q1	확률과 통계	복원추출 크기순 수열의 중복조합과 확률 추론	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 이항정리 (DB: PS_Ch01_02) PDF p.5 탐구 변형 \| 성취기준: 12확통01-03]	25점/상
R10-Q2	대수	지수 결합 귀납적 정의 수열과 부분합 추론	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 5102 변형 \| 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]	25점/상
R10-Q3	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	이중 정적분 관계식의 미분과 둘러싸인 넓이	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 탐구 5103 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	25점/최상
R10-Q4	기하	정사면체의 삼수선 정리와 이면각 정사영 추론	[출처: 비상교육 기하 Ⅲ-1. 공간도형 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.5 탐구 5104 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	25점/최상

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 지수·로그함수의 대칭성과 영역 넓이 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 5011 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[제시문 (가)] 밑이 $a \gt 1$인 지수함수 $f(x)$와 그 역함수인 로그함수 $g(x)$의 그래프는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.
[제시문 (나)] 두 함수 $f(x) = 2^{x - 1}$과 $g(x) = \log_2 x + 1$의 그래프가 직선 $y = -x + k$ ($k \gt 4$)와 만나는 두 점을 각각 $P(x_1, y_1)$, $Q(x_2, y_2)$ (단, $x_1 \lt x_2$)라 하자.

[문항 1-1] (8점) 방정식 $f(x) = g(x)$의 모든 실근을 구하고, 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$의 교점 $A, B$ 사이의 거리를 구하시오.

[문항 1-2] (8점) 점 $P(x_1, y_1)$와 점 $Q(x_2, y_2)$가 직선 $y = x$에 대하여 대칭임을 설명하고, 선분 $PQ$의 중점 $M$의 좌표를 $k$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 1-3] (9점) 선분 $PQ$의 길이가 $4\sqrt{2}$일 때, 상수 $k$의 값과 삼각형 $OPQ$ (단, $O$는 원점)의 넓이를 논리적으로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 원내접사각형과 사인·코사인법칙 추론 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 5012 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[제시문 (가)] 삼각형 $ABC$의 세 변의 길이를 $a, b, c$라 하고 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 할 때, 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$와 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$가 성립한다.
[제시문 (나)] 원에 내접하는 사각형 $ABCD$에서 $\overline{AB} = 5$, $\overline{BC} = 7$, $\overline{CD} = 3$, $\angle B = \dfrac{\pi}{3}$이다.

[문항 2-1] (8점) 삼각형 $ABC$에서 코사인법칙을 이용하여 대각선 $AC$의 길이와 사각형 $ABCD$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 각각 구하시오.

[문항 2-2] (8점) 원에 내접하는 사각형의 성질을 이용하여 $\angle D$의 크기를 구하고, 삼각형 $ACD$에서 코사인법칙으로 변 $DA$의 길이를 구하시오.

[문항 2-3] (9점) 사각형 $ABCD$의 전체 넓이 $S$와 두 대각선의 교각에 대한 $\overline{BD}$의 관계식을 유도하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ — 평균값 정리와 삼차방정식의 실근 개수 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 5013 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[제시문 (가)] 다항함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때, $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$인 $c \in (a, b)$가 존재한다.
[제시문 (나)] 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$에 대하여 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = mx + 2$의 교점의 개수를 조사한다.

[문항 3-1] (8점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 구하고, 곡선 $y = f(x)$의 변곡점(대칭중심) $I$의 좌표를 구하시오.

[문항 3-2] (8점) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x)$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 모든 상수 $c \in (0, 3)$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (9점) 점 $(0, 2)$를 지나는 직선 $y = mx + 2$가 곡선 $y = f(x)$와 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 $m$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ — 정적분으로 정의된 함수의 극값과 넓이 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 5014 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문 (가)] 연속함수 $f(t)$에 대하여 $G(x) = \int_a^x f(t)\,dt$이면 $G'(x) = f(x)$이다.
[제시문 (나)] 이차함수 $f(x) = x^2 - 4x + 3$에 대하여 실수 $x$에서의 정적분 함수 $G(x) = \int_0^x (x - t)f(t)\,dt$를 정의한다.

[문항 4-1] (8점) 함수 $G(x)$의 일계도함수 $G'(x)$와 이계도함수 $G''(x)$를 구하고, $G'(x) = 0$을 만족시키는 모든 실수 $x$를 구하시오.

[문항 4-2] (8점) 함수 $G(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (9점) 곡선 $y = f(x)$의 꼭짓점에서의 접선 $y = -1$과 곡선 $y = f(x)$ 및 $y$축($x \ge 0$)으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제1회	문항 1	대수	지수·로그함수의 대칭성과 영역 넓이	25점	중상
제1회	문항 2	대수	원내접사각형과 사인·코사인법칙 추론	25점	중상
제1회	문항 3	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	평균값 정리와 삼차방정식의 실근 개수	25점	중상
제1회	문항 4	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	정적분으로 정의된 함수의 극값과 넓이	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 건국대학교 수리논술 제1회 출제 원칙 및 합격 전략

건국대 자연계열 제1회 (기출 동형 실전 표준 모의)는 [지수·로그함수의 대칭성과 영역 넓이], [원내접사각형과 사인·코사인법칙 추론], [평균값 정리와 삼차방정식의 실근 개수], [정적분으로 정의된 함수의 극값과 넓이]의 4문항(각 25점, 총 100점 / 100분)으로 구성되어 있습니다. 논술 100% 일괄합산 전형 특성에 맞춰 1·2번 문항을 45분 내에 완결하여 50점을 선점한 뒤, 3·4번 고배점 미적분·기하 융합 소문항에서 부분점수를 극대화하십시오.

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 지수부등식과 로그합성함수의 최대·최소 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 5021 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

[제시문 (가)] 양수 $a, b, c$ ($a \ne 1, \; b \ne 1$)에 대하여 밑변환 공식 $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$가 성립한다.
[제시문 (나)] 실수 $x$에 대한 지수부등식 $9^x - 12 \cdot 3^x + 27 \le 0$의 해집합을 $D$라 하고, $x \in D$에서 정의된 함수 $h(x) = (\log_3 x)^2 - a\log_3 x + b$를 생각한다.

[문항 1-1] (8점) 집합 $D$를 구하고, $x \in D$일 때 $t = \log_3 x$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 1-2] (8점) $a = 2, \; b = 5$일 때, $x \in D$에서 함수 $h(x)$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (9점) $a \gt 0$일 때, 구간 $x \in D$에서 함수 $h(x)$의 최솟값이 $-1$이고 최댓값이 $3$이 되도록 하는 상수 $a, b$의 순서쌍 $(a, b)$를 모두 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 수열의 귀납적 정의와 멱급수의 합 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 5022 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[제시문 (가)] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$에 대하여 $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1}$이다.
[제시문 (나)] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합이 $S_n = n^2 + 2n$이고, 수열 $\{b_n\}$은 $b_1 = 2$, $b_{n+1} = 3b_n - 2$ ($n \ge 1$)를 만족시킨다.

[문항 2-1] (8점) 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$을 구하고, 급수 $\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}$의 값을 기약분수로 구하시오.

[문항 2-2] (8점) 수열 $\{b_n - 1\}$이 등비수열임을 보이고, 수열 $\{b_n\}$의 일반항 $b_n$과 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $T_n$을 구하시오.

[문항 2-3] (9점) 합 $\sum_{k=1}^{n} a_k (b_k - 1)$을 $n$에 대한 식으로 나타내시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ — 구간별 함수의 미분가능성과 정적분 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 5023 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[제시문 (가)] 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능하면 $f(x)$는 $x = a$에서 연속이다.
[제시문 (나)] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} x^3 - 3x + a & (x \lt 1) \\ bx^2 + cx + 1 & (x \ge 1) \end{cases}$이 모든 실수 $x$에서 미분가능하고 $f(0) = 4$를 만족시킨다.

[문항 3-1] (8점) 함수 $f(x)$가 $x = 1$에서 미분가능하기 위한 상수 $a, b, c$ 사이의 관계식을 유도하고 $a, b, c$의 값을 모두 구하시오.

[문항 3-2] (8점) 닫힌구간 $[-2, 2]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (9점) 정적분 $\int_{-1}^2 f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ — 사차함수의 대칭성과 곡선 사이 넓이 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 5024 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문 (가)] 사차함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 서로 다른 세 실근을 가지면 $f(x)$는 극댓값 1개와 극솟값 2개를 갖는다.
[제시문 (나)] 최고차항의 계수가 $1$인 우함수인 사차함수 $f(x) = x^4 - 2k^2 x^2 + k^4$ ($k \gt 0$)을 생각한다.

[문항 4-1] (8점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 $k$에 대한 식으로 구하고, 세 극점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 $32$일 때 양수 $k$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (8점) 문항 4-1에서 구한 $k$에 대하여 곡선 $y = f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1$을 구하시오.

[문항 4-3] (9점) 문항 4-1에서 구한 $k$에 대하여 곡선 $y = f(x)$의 극대점에서의 접선과 곡선 $y = f(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_2$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제2회	문항 1	대수	지수부등식과 로그합성함수의 최대·최소	25점	중상
제2회	문항 2	대수	수열의 귀납적 정의와 멱급수의 합	25점	중상
제2회	문항 3	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	구간별 함수의 미분가능성과 정적분	25점	중상
제2회	문항 4	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	사차함수의 대칭성과 곡선 사이 넓이	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 건국대학교 수리논술 제2회 출제 원칙 및 합격 전략

건국대 자연계열 제2회 (기출 동형 실전 표준 모의)는 [지수부등식과 로그합성함수의 최대·최소], [수열의 귀납적 정의와 멱급수의 합], [구간별 함수의 미분가능성과 정적분], [사차함수의 대칭성과 곡선 사이 넓이]의 4문항(각 25점, 총 100점 / 100분)으로 구성되어 있습니다. 논술 100% 일괄합산 전형 특성에 맞춰 1·2번 문항을 45분 내에 완결하여 50점을 선점한 뒤, 3·4번 고배점 미적분·기하 융합 소문항에서 부분점수를 극대화하십시오.

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ — 삼각함수의 치환과 최대·최소 추론 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 5031 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[제시문 (가)] 닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 함수 $y = \sin x$의 그래프는 직선 $x = \dfrac{\pi}{2}$와 점 $(\pi, 0)$에 대하여 대칭이다.
[제시문 (나)] $0 \le x \le 2\pi$에서 정의된 함수 $f(x) = 2\sin^2 x - 4a\cos x + 1$ (단, $a$는 실수)을 생각한다.

[문항 1-1] (8점) $t = \cos x$ ($-1 \le t \le 1$)로 치환하여 $f(x)$를 $t$에 대한 이차함수 $g(t)$로 나타내고, $a = 1$일 때 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

[문항 1-2] (8점) $a = \dfrac{1}{4}$일 때 방정식 $f(x) = 2$를 만족시키는 모든 실근 $x \in [0, 2\pi]$를 구하고 그 합을 구하시오.

[문항 1-3] (9점) $0 \le x \le 2\pi$에서 함수 $f(x)$의 최댓값이 $7$이 되도록 하는 모든 실수 $a$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 등차·등비수열 좌표와 수학적 귀납법 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 5032 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[제시문 (가)] 첫째항이 $a$, 공비가 $r$ ($r \ne 1$)인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합은 $\dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$이다.
[제시문 (나)] 좌표평면 위의 점 $P_n(x_n, y_n)$에 대하여 $x_n$은 첫째항이 $2$, 공차가 $3$인 등차수열이고, $y_n$은 첫째항이 $3$, 공비가 $2$인 등비수열이다.

[문항 2-1] (8점) 일반항 $x_n$과 $y_n$을 구하고, 원점 $O$에 대하여 삼각형 $OP_n P_{n+1}$의 넓이 $A_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-2] (8점) 수열 $\{A_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{6} A_k$의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (9점) 부등식 $y_n \gt 10 x_n$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하고, 수학적 귀납법으로 $n \ge 8$인 모든 자연수에서 성립함을 설명하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ — 미분계수의 정의와 접선으로 둘러싸인 넓이 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 5033 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[제시문 (가)] 함수 $f(x)$의 $x = a$에서의 미분계수는 $f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$로 정의된다.
[제시문 (나)] 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2$를 만족시키고 $f'(0) = 4$이다.

[문항 3-1] (8점) $f(0)$의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 도함수 $f'(x)$를 구하시오.

[문항 3-2] (8점) 함수 $f(x)$의 식을 구하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (9점) 곡선 $y = f(x)$와 문항 3-2에서 구한 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ — 속도와 위치 변화량 및 두 점 사이 거리 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 5034 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문 (가)] 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t)$이고 시각 $t = 0$에서의 위치가 $x_0$일 때, 시각 $t$에서의 위치는 $x(t) = x_0 + \int_0^t v(s)\,ds$이고, 시각 $t = a$에서 $t = b$까지 움직인 거리는 $\int_a^b |v(t)|\,dt$이다.
[제시문 (나)] 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $P, Q$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 각각 $v_P(t) = 3t^2 - 12t + 9$, $v_Q(t) = 6t - 9$이다.

[문항 4-1] (8점) 점 $P$가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하고, 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $P$가 실제로 움직인 거리를 구하시오.

[문항 4-2] (8점) 출발 후 두 점 $P, Q$가 다시 만나는 시각 $t \gt 0$을 모두 구하시오.

[문항 4-3] (9점) 시각 $t = 0$에서 두 점 $P, Q$가 처음으로 다시 만나는 시각까지 두 점 사이의 거리 $|x_P(t) - x_Q(t)|$의 최댓값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제3회	문항 1	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	삼각함수의 치환과 최대·최소 추론	25점	중상
제3회	문항 2	대수	등차·등비수열 좌표와 수학적 귀납법	25점	중상
제3회	문항 3	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	미분계수의 정의와 접선으로 둘러싸인 넓이	25점	중상
제3회	문항 4	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	속도와 위치 변화량 및 두 점 사이 거리	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 건국대학교 수리논술 제3회 출제 원칙 및 합격 전략

건국대 자연계열 제3회 (기출 동형 실전 표준 모의)는 [삼각함수의 치환과 최대·최소 추론], [등차·등비수열 좌표와 수학적 귀납법], [미분계수의 정의와 접선으로 둘러싸인 넓이], [속도와 위치 변화량 및 두 점 사이 거리]의 4문항(각 25점, 총 100점 / 100분)으로 구성되어 있습니다. 논술 100% 일괄합산 전형 특성에 맞춰 1·2번 문항을 45분 내에 완결하여 50점을 선점한 뒤, 3·4번 고배점 미적분·기하 융합 소문항에서 부분점수를 극대화하십시오.

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 거듭제곱근의 실근 개수와 로그 격자점 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 5041 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문 (가)] 자연수 $n \ge 2$과 실수 $a$에 대하여 방정식 $x^n = a$의 실근은 $n$의 홀짝성과 $a$의 부호에 따라 결정된다.
[제시문 (나)] 자연수 $n$ ($2 \le n \le 10$)에 대하여 함수 $f(n) = n^2 - 9n + 18$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $g(n)$이라 하자.

[문항 1-1] (8점) 방정식 $f(n) = 0$의 해를 구하고, $2 \le n \le 10$에서 $f(n)$의 부호를 조사하시오.

[문항 1-2] (8점) 합 $\sum_{n=2}^{10} g(n)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

[문항 1-3] (9점) 곡선 $y = \log_2(x + 2)$와 직선 $y = -x + 10$ 및 $x$축으로 둘러싸인 영역(경계 포함)에 속하는 정수 좌표 점 $(p, q)$의 개수를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 기하 — 포물선 법선 삼각형의 내접원과 극한 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 5042 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문 (가)] $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{\sqrt{1 + at} - 1}{t} = \dfrac{a}{2}$가 성립한다.
[제시문 (나)] 좌표평면에서 포물선 $y = x^2$ 위의 제$1$사분면의 점 $P(t, t^2)$ ($t \gt 0$)을 지나고 직선 $OP$에 수직인 직선이 $y$축과 만나는 점을 $Q(0, y_Q)$라 하자.

[문항 2-1] (8점) 점 $Q$의 $y$좌표 $y_Q$를 $t$에 대한 식으로 나타내고, 극한 $\lim_{t \to 0^+} y_Q$의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (8점) 삼각형 $OPQ$의 넓이를 $S(t)$, 둘레의 길이를 $L(t)$라 할 때, 극한 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{S(t)}{t}$와 $\lim_{t \to 0^+} L(t)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (9점) 삼각형 $OPQ$에 내접하는 원의 반지름의 길이를 $r(t)$라 할 때, 극한 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{r(t)}{t}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ — 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수 추론 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 5043 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[제시문 (가)] 곡선 밖의 점 $(a, b)$에서 곡선 $y = f(x)$에 그은 접선의 개수는 접점의 $x$좌표 $t$에 대한 방정식 $b - f(t) = f'(t)(a - t)$의 서로 다른 실근의 개수와 일치한다.
[제시문 (나)] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$와 점 $A(1, k)$를 생각한다.

[문항 3-1] (8점) 접점의 $x$좌표를 $t$라 할 때, 점 $A(1, k)$에서 곡선 $y = f(x)$에 그은 접선의 방정식으로부터 $k$를 $t$에 대한 삼차식 $h(t)$로 나타내시오.

[문항 3-2] (8점) 함수 $h(t)$의 극댓값과 극솟값을 구하고, 점 $A(1, k)$에서 곡선 $y = f(x)$에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 $k$의 범위를 구하시오.

[문항 3-3] (9점) $k = 0$일 때 점 $A(1, 0)$에서 곡선 $y = f(x)$에 그을 수 있는 모든 접선의 방정식을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ — 두 이차곡선으로 둘러싸인 넓이와 세제곱근 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 5044 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문 (가)] 이차함수 $y = a(x - \alpha)(x - \beta)$ ($a \ne 0, \; \alpha \lt \beta$)의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$이다.
[제시문 (나)] 좌표평면에서 곡선 $C_1 : y = -x^2 + 6x$와 곡선 $C_2 : y = x^2 - 2ax$ (단, $0 \lt a \lt 3$)을 생각한다.

[문항 4-1] (8점) 곡선 $C_1$과 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[문항 4-2] (8점) 두 곡선 $C_1$과 $C_2$로 둘러싸인 도형의 넓이 $T(a)$를 $a$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 4-3] (9점) 두 곡선 $C_1$과 $C_2$로 둘러싸인 도형의 넓이 $T(a)$가 $36$이 될 때, $(3 + a)^3$의 값과 양수 $a$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제4회	문항 1	대수	거듭제곱근의 실근 개수와 로그 격자점	25점	중상
제4회	문항 2	기하	포물선 법선 삼각형의 내접원과 극한	25점	중상
제4회	문항 3	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수 추론	25점	중상
제4회	문항 4	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	두 이차곡선으로 둘러싸인 넓이와 세제곱근	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 건국대학교 수리논술 제4회 출제 원칙 및 합격 전략

건국대 자연계열 제4회 (기출 동형 실전 표준 모의)는 [거듭제곱근의 실근 개수와 로그 격자점], [포물선 법선 삼각형의 내접원과 극한], [곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수 추론], [두 이차곡선으로 둘러싸인 넓이와 세제곱근]의 4문항(각 25점, 총 100점 / 100분)으로 구성되어 있습니다. 논술 100% 일괄합산 전형 특성에 맞춰 1·2번 문항을 45분 내에 완결하여 50점을 선점한 뒤, 3·4번 고배점 미적분·기하 융합 소문항에서 부분점수를 극대화하십시오.

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 등차수열 변을 갖는 삼각형의 외접원·내접원 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 5051 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[제시문 (가)] 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$는 내접원의 반지름 $r$와 둘레의 절반 $s = \dfrac{a + b + c}{2}$에 대하여 $S = rs$이고, 외접원의 반지름 $R$에 대하여 $S = \dfrac{abc}{4R}$이다.
[제시문 (나)] 세 변의 길이 $a \lt b \lt c$가 이 순서대로 공차가 $d \gt 0$인 등차수열을 이루고, 가장 큰 내각 $C$의 크기가 $\dfrac{2\pi}{3}$인 삼각형 $ABC$를 생각한다.

[문항 1-1] (8점) 세 변의 길이를 $b - d, \; b, \; b + d$로 놓고 코사인법칙을 적용하여 세 변의 길이의 비 $a : b : c$를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내시오.

[문항 1-2] (8점) 삼각형 $ABC$의 둘레의 길이가 $30$일 때, 세 변의 길이 $a, b, c$와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (9점) 문항 1-2의 삼각형에서 외접원의 반지름 $R$와 내접원의 반지름 $r$의 비 $\dfrac{R}{r}$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 역수 등차수열 귀납적 정의와 수학적 귀납법 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 5052 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[제시문 (가)] 자연수 $n$에 대한 명제 $P(n)$이 모든 자연수에서 성립함을 보이려면 $P(1)$이 참임을 보이고, $P(k)$가 참이라 가정할 때 $P(k+1)$이 참임을 보이면 된다.
[제시문 (나)] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 1$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{2a_n + 1}$을 만족시킨다.

[문항 2-1] (8점) 치환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}$을 이용하여 수열 $\{b_n\}$이 등차수열임을 보이고, 일반항 $a_n$을 구하시오.

[문항 2-2] (8점) 모든 자연수 $n$에 대하여 $\sum_{k=1}^{n} a_k a_{k+1} = \dfrac{n}{2n + 1}$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (9점) 부등식 $\sum_{k=1}^{n} a_k a_{k+1} \gt \dfrac{49}{100}$를 만족시키는 가장 작은 자연수 $n$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ — 사차함수의 절댓값 미분가능성과 넓이 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 5053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문 (가)] 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x) = |f(x)|$가 $f(a) = 0$인 점 $x = a$에서 미분가능할 필요충분조건은 $f'(a) = 0$이다.
[제시문 (나)] 사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + k$와 실수 $t$에 대하여 함수 $h(x) = |f(x) - t|$를 생각한다.

[문항 3-1] (8점) $k = 0$일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하고 그래프의 개형을 설명하시오.

[문항 3-2] (8점) $k = 3$일 때, 함수 $h(x) = |f(x) - t|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지 않은 점의 개수가 $2$가 되도록 하는 실수 $t$의 값 또는 범위를 구하시오.

[문항 3-3] (9점) $k = 3$일 때, 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 3$으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ — 정적분 관계식 미분과 정적분 함수 최대·최소 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 5054 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문 (가)] 다항함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to a} \dfrac{1}{x - a}\int_a^x f(t)\,dt = f(a)$이다.
[제시문 (나)] 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $x f(x) = 2x^3 - 3x^2 + \int_1^x f(t)\,dt$를 만족시킨다.

[문항 4-1] (8점) $f(1)$의 값을 구하고, 주어진 등식의 양변을 미분하여 다항함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 4-2] (8점) 극한 $\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\int_{1-h}^{1+2h} f(t)\,dt$의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (9점) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $F(x) = \int_0^x f(t)\,dt$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제5회	문항 1	대수	등차수열 변을 갖는 삼각형의 외접원·내접원	25점	중상
제5회	문항 2	대수	역수 등차수열 귀납적 정의와 수학적 귀납법	25점	중상
제5회	문항 3	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	사차함수의 절댓값 미분가능성과 넓이	25점	중상
제5회	문항 4	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	정적분 관계식 미분과 정적분 함수 최대·최소	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 건국대학교 수리논술 제5회 출제 원칙 및 합격 전략

건국대 자연계열 제5회 (기출 동형 실전 표준 모의)는 [등차수열 변을 갖는 삼각형의 외접원·내접원], [역수 등차수열 귀납적 정의와 수학적 귀납법], [사차함수의 절댓값 미분가능성과 넓이], [정적분 관계식 미분과 정적분 함수 최대·최소]의 4문항(각 25점, 총 100점 / 100분)으로 구성되어 있습니다. 논술 100% 일괄합산 전형 특성에 맞춰 1·2번 문항을 45분 내에 완결하여 50점을 선점한 뒤, 3·4번 고배점 미적분·기하 융합 소문항에서 부분점수를 극대화하십시오.

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 기하 — 포물선의 접선·법선과 초점 사각형의 성질 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 5061 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[제시문 (가)] 초점이 $F(p, 0)$ ($p \gt 0$)이고 준선이 $x = -p$인 포물선 $y^2 = 4px$ 위의 점 $P(x_1, y_1)$ ($y_1 \gt 0$)에서의 접선의 방정식은 $y_1 y = 2p(x + x_1)$이다.
[제시문 (나)] 포물선 $C : y^2 = 8x$의 초점을 $F$라 하고, 제$1$사분면 위의 점 $P(t^2/2, 2t)$ ($t \gt 0$)에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $T$, 점 $P$를 지나고 이 접선에 수직인 직선(법선)이 $x$축과 만나는 점을 $N$이라 하자.

[문항 1-1] (8점) 초점 $F$의 좌표를 구하고, 점 $P(t^2/2, 2t)$에서의 접선의 방정식과 법선의 방정식을 각각 $t$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 1-2] (8점) 두 점 $T, N$의 $x$좌표를 $t$에 대한 식으로 구하고, 임의의 $t \gt 0$에 대하여 $\overline{FT} = \overline{FP}$ 및 $\overline{FN} - \overline{FP} = 4$가 성립함을 증명하시오.

[문항 1-3] (9점) 직각삼각형 $PTN$의 넓이가 $64$일 때 양수 $t$의 값을 구하고, 이때 선분 $PN$의 길이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 확률과 통계 — 비복원 추출 범위 확률변수와 기댓값 추론 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 Ⅱ-1. 확률변수와 확률분포 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 5062 변형 | 성취기준: 12확통02-05, 12확통03-01]

[제시문 (가)] 자연수 $m$에 대하여 $\sum_{k=1}^{m} k = \dfrac{m(m+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{m} k^2 = \dfrac{m(m+1)(2m+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left\{\dfrac{m(m+1)}{2}\right\}^2$이 성립한다.
[제시문 (나)] $1$부터 $n$ ($n \ge 4$)까지의 자연수가 하나씩 적힌 $n$장의 카드 중에서 임의로 $3$장의 카드를 동시에 뽑을 때, 뽑힌 $3$장의 카드에 적힌 수 중 가장 큰 수에서 가장 작은 수를 뺀 값을 확률변수 $X$라 하자.

[문항 2-1] (8점) 확률변수 $X$가 가질 수 있는 값 $k$ ($2 \le k \le n - 1$)에 대하여 확률질량함수 $\mathrm{P}(X = k)$를 $n$과 $k$에 대한 식으로 구하시오.

[문항 2-2] (8점) 제시문 (가)의 거듭제곱 합 공식을 이용하여 확률변수 $X$의 기댓값 $\mathrm{E}(X)$를 $n$에 대한 가장 간단한 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (9점) 기댓값 $\mathrm{E}(X) = 24$일 때 자연수 $n$의 값을 구하고, 이때 $\mathrm{P}(X = 24)$의 값을 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 기하 — 두 포물선의 공통법선과 접점 거리의 변화율 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 5063 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문 (가)] 좌표평면에서 미분가능한 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $P(t, f(t))$에서의 접선과 수직이고 점 $P$를 지나는 직선의 기울기는 $-\dfrac{1}{f'(t)}$ (단, $f'(t) \ne 0$)이다.
[제시문 (나)] 양수 $a$에 대하여 포물선 $C_1 : y = x^2 + 2$ 위의 점 $P$에서의 접선 $l_1$과 포물선 $C_2 : y = -(x - a)^2$ 위의 점 $Q$에서의 접선 $l_2$가 모두 직선 $PQ$와 수직이다. 점 $P$의 $x$좌표를 $b$ ($b \gt 0$)라 하고 선분 $PQ$의 길이를 $L$이라 하자.

[문항 3-1] (8점) 두 접선 $l_1, l_2$가 평행함을 이용하여 점 $Q$의 좌표를 $a, b$에 대한 식으로 나타내고, 직선 $PQ$가 $l_1$과 수직임을 이용하여 $a$를 $b$에 대한 삼차식으로 나타내시오.

[문항 3-2] (8점) $a = 10$일 때 양수 $b$의 값과 두 점 $P, Q$의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 3-3] (9점) 선분 $PQ$의 길이 $L$을 $b$에 대한 식으로 나타내고, $a = 10$인 순간 $a$에 대한 $L$의 변화율(미분계수) $\dfrac{dL}{da}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 기하 — 포물선 밖의 점에서 그은 법선 개수와 격자점 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 5064 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-09]

[제시문 (가)] 삼차함수 $g(t) = t^3 - 3mt$ ($m \gt 0$)는 $t = -\sqrt{m}$에서 극댓값 $2m\sqrt{m}$을 갖고, $t = \sqrt{m}$에서 극솟값 $-2m\sqrt{m}$을 갖는다.
[제시문 (나)] 좌표평면 위의 점 $A(a, b)$에서 포물선 $C : y = \dfrac{1}{2}x^2$에 그은 법선(포물선 위의 점 $P$에서의 접선에 수직이고 선분 $AP$를 포함하는 직선)의 개수가 $3$이 되도록 하는 실수 $a, b$의 조건을 탐구한다.

[문항 4-1] (8점) 포물선 $C$ 위의 점 $P(t, t^2/2)$에서의 법선이 점 $A(a, b)$를 지날 필요충분조건을 $t$에 대한 삼차방정식 $t^3 - 2(b - 1)t = 2a$로 유도하시오.

[문항 4-2] (8점) 점 $A(a, b)$에서 포물선 $C$에 서로 다른 $3$개의 법선을 그을 수 있기 위한 $a, b$의 부등식 조건을 유도하시오.

[문항 4-3] (9점) $4 \le a \le 25$, $5 \le b \le 7$인 두 자연수 $a, b$에 대하여 문항 4-2의 조건을 만족시키는 점 $A(a, b)$의 개수를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제6회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제6회	문항 1	기하	포물선의 접선·법선과 초점 사각형의 성질	25점	상
제6회	문항 2	확률과 통계	비복원 추출 범위 확률변수와 기댓값 추론	25점	상
제6회	문항 3	기하	두 포물선의 공통법선과 접점 거리의 변화율	25점	최상
제6회	문항 4	기하	포물선 밖의 점에서 그은 법선 개수와 격자점	25점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 건국대학교 수리논술 제6회 출제 원칙 및 합격 전략

건국대 자연계열 제6회 (역대 킬러 TOP 5 심화 변형 모의)는 [포물선의 접선·법선과 초점 사각형의 성질], [비복원 추출 범위 확률변수와 기댓값 추론], [두 포물선의 공통법선과 접점 거리의 변화율], [포물선 밖의 점에서 그은 법선 개수와 격자점]의 4문항(각 25점, 총 100점 / 100분)으로 구성되어 있습니다. 논술 100% 일괄합산 전형 특성에 맞춰 1·2번 문항을 45분 내에 완결하여 50점을 선점한 뒤, 3·4번 고배점 미적분·기하 융합 소문항에서 부분점수를 극대화하십시오.

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 지수·로그곡선의 대칭점과 원주각의 최솟값 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 5071 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[제시문 (가)] 지수함수 $y = a^x$ ($a \gt 1$)과 로그함수 $y = \log_a x$는 서로 역함수 관계이므로 두 그래프는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.
[제시문 (나)] 좌표평면에서 기울기가 $-1$인 직선 $l$이 두 곡선 $y = 2^x$, $y = \log_2 x$와 만나는 점을 각각 $A, B$라 하고, 점 $A$를 원점 $O$에 대하여 대칭이동한 점을 $C$라 하자. (단, 점 $A$의 $x$좌표 $t$는 $t \gt 0$이다.)

[문항 1-1] (8점) 점 $A(t, 2^t)$에 대하여 두 점 $B, C$의 좌표를 $t$로 나타내고, 원점 $O$가 외접원의 중심임을 이용하여 $\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$임을 증명하시오.

[문항 1-2] (8점) 직선 $OA$의 기울기 $m(t) = \dfrac{2^t}{t}$에 대하여, $t \ge 1$에서 $m(t) \ge 2$가 성립함을 보이고 등호가 성립하는 $t$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (9점) $t \ge 1$인 정수 $t$ 중에서 $\angle ACB$를 최소가 되게 하는 점 $A$의 좌표를 구하고, 그때 직각삼각형 $ABC$의 넓이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 기하 — 타원의 초점 직각삼각형과 접선의 최소 넓이 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.9 탐구 5072 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[제시문 (가)] 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($a \gt b \gt 0$) 위의 점 $P$와 두 초점 $F(c, 0), F'(-c, 0)$ ($c = \sqrt{a^2 - b^2}$)에 대하여 $\overline{PF} + \overline{PF'} = 2a$이다.
[제시문 (나)] 타원 $E : \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$의 두 초점을 $F, F'$이라 하고, 제$1$사분면 위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $A, B$라 하자.

[문항 2-1] (8점) 타원 $E$의 두 초점 $F, F'$의 좌표를 구하고, $\angle FPF' = \dfrac{\pi}{2}$일 때 삼각형 $FPF'$의 넓이를 구하시오.

[문항 2-2] (8점) 제$1$사분면 위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식을 쓰고, 두 절편 $A, B$의 좌표를 $x_1, y_1$으로 나타내시오.

[문항 2-3] (9점) 원점 $O$에 대하여 삼각형 $OAB$의 넓이의 최솟값을 구하고, 그때 점 $P(x_1, y_1)$의 좌표를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ — 삼차곡선과 직선 사이의 동점 삼각형 넓이 최대화 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 5073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문 (가)] 좌표평면에서 점 $(x_0, y_0)$과 직선 $mx - y + n = 0$ 사이의 거리는 $d = \dfrac{|mx_0 - y_0 + n|}{\sqrt{m^2 + 1}}$이다.
[제시문 (나)] 삼차함수 $f(x) = x(x - 1)(x - a) + 2x$ ($a \gt 1$)의 그래프와 원점을 지나는 직선 $y = 2x$가 제$1$사분면에서 만나는 두 점을 $A, B$ (단, 점 $A$의 $x$좌표가 점 $B$의 $x$좌표보다 작다)라 하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 호 $AB$를 따라 움직이는 동점 $P(t, f(t))$를 생각한다.

[문항 3-1] (8점) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 2x$가 원점이 아닌 서로 다른 두 점 $A, B$에서 만나고 $\overline{AB} = 2\sqrt{5}$일 때, 상수 $a$의 값과 두 점 $A, B$의 좌표를 구하시오.

[문항 3-2] (8점) 문항 3-1의 $a$에 대하여, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $P(t, f(t))$ ($1 \lt t \lt 3$)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $PAB$의 넓이 $S(t)$를 $t$에 대한 다항식으로 나타내시오.

[문항 3-3] (9점) 구간 $1 \lt t \lt 3$에서 삼각형 $PAB$의 넓이 $S(t)$가 최대가 될 때의 $t$의 값과 그때의 최댓값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 기하 — 공간좌표의 평면의 방정식과 정사영 부피 추론 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ-2. 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.8 탐구 5074 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문 (가)] 좌표공간에서 점 $A(x_1, y_1, z_1)$을 지나고 법선벡터가 $\vec{n} = (a, b, c)$인 평면의 방정식은 $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$이다.
[제시문 (나)] 좌표공간에서 세 점 $A(6, 0, 0), \; B(0, 3, 0), \; C(0, 0, 2)$를 지나는 평면을 $\alpha$라 하고, 원점 $O(0, 0, 0)$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자.

[문항 4-1] (8점) 평면 $\alpha$의 방정식과 단위법선벡터를 구하고, 원점 $O$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발 $H$의 좌표와 선분 $OH$의 길이를 구하시오.

[문항 4-2] (8점) 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$와, 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (9점) 점 $P(2, 2, 2)$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 길이와 사면체 $PABC$의 부피 $V$를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제7회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제7회	문항 1	대수	지수·로그곡선의 대칭점과 원주각의 최솟값	25점	상
제7회	문항 2	기하	타원의 초점 직각삼각형과 접선의 최소 넓이	25점	상
제7회	문항 3	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	삼차곡선과 직선 사이의 동점 삼각형 넓이 최대화	25점	최상
제7회	문항 4	기하	공간좌표의 평면의 방정식과 정사영 부피 추론	25점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 건국대학교 수리논술 제7회 출제 원칙 및 합격 전략

건국대 자연계열 제7회 (역대 킬러 TOP 5 심화 변형 모의)는 [지수·로그곡선의 대칭점과 원주각의 최솟값], [타원의 초점 직각삼각형과 접선의 최소 넓이], [삼차곡선과 직선 사이의 동점 삼각형 넓이 최대화], [공간좌표의 평면의 방정식과 정사영 부피 추론]의 4문항(각 25점, 총 100점 / 100분)으로 구성되어 있습니다. 논술 100% 일괄합산 전형 특성에 맞춰 1·2번 문항을 45분 내에 완결하여 50점을 선점한 뒤, 3·4번 고배점 미적분·기하 융합 소문항에서 부분점수를 극대화하십시오.

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 두 지수곡선 사이 수직 선분 길이의 최대·최소 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 탐구 5081 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

[제시문 (가)] 지수함수 $y = 2^x$는 실수 전체의 집합에서 양의 값을 가지며 단조증가한다.
[제시문 (나)] 좌표평면 위의 두 곡선 $C_1 : y = 2^{x+1}$과 $C_2 : y = 4^x - 2^{x+2} + 6$이 직선 $x = k$와 만나는 점을 각각 $A_k, B_k$라 하고, 선분 $A_k B_k$의 길이를 $L(k)$라 하자.

[문항 1-1] (8점) $t = 2^k$ ($t \gt 0$)로 치환하여 두 곡선 $C_1, C_2$가 만나는 두 교점의 좌표를 모두 구하시오.

[문항 1-2] (8점) 두 교점 사이($1 \le k \le \log_2 3$)에서 선분 $A_k B_k$의 길이 $L(k)$가 최대가 될 때의 $k$의 값과 최댓값을 구하시오.

[문항 1-3] (9점) 닫힌구간 $0 \le k \le 3$에서 $L(k)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 확률과 통계 — 조건부확률과 모비율의 신뢰구간 추정 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 (DB: KICE_2028) PDF p.12 탐구 5082 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통03-06]

[제시문 (가)] 표본의 크기 $n$이 충분히 클 때, 표본비율 $\hat{p}$를 이용한 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은 $\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$이다. (단, $\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$)
[제시문 (나)] 어느 공장에서 생산되는 전체 제품의 $60\%$는 제$1$라인에서, $40\%$는 제$2$라인에서 생산된다. 제$1$라인과 제$2$라인의 특등급 비율은 각각 $25\%$, $12.5\%$이다.

[문항 2-1] (8점) 이 공장에서 생산된 전체 제품 중 임의로 택한 $1$개가 특등급일 확률 $p$를 구하고, 택한 제품이 특등급이었을 때 그 제품이 제$1$라인에서 생산되었을 조건부확률을 구하시오.

[문항 2-2] (8점) 이 공장의 제품 중에서 크기 $n = 400$인 표본을 임의추출하였더니 특등급 제품이 $80$개였다. 표본비율 $\hat{p}$를 구하고 모비율의 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간 $[a, b]$를 구하시오.

[문항 2-3] (9점) 표본비율이 $\hat{p} = 0.2$로 일정할 때, 모비율의 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간의 길이 $b - a$가 $0.0392$ 이하가 되도록 하는 표본의 크기 $n$의 최솟값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 기하 — 포물선에 내접하는 원의 중심 극한과 복합 넓이 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 5083 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문 (가)] 좌표평면에서 중심이 $C(0, c)$이고 반지름이 $R$인 원 $x^2 + (y - c)^2 = R^2$이 포물선 $y = x^2$과 점 $P(t, t^2)$ ($t \gt 0$)에서 접하면, 직선 $CP$는 점 $P$에서의 접선과 수직이다.
[제시문 (나)] 양수 $t$에 대하여 포물선 $y = x^2$ 위의 두 점 $P(t, t^2)$, $Q(-t, t^2)$에서 동시에 포물선에 접하는 원의 중심을 $C(0, c(t))$, 반지름을 $R(t)$라 하자.

[문항 3-1] (8점) 점 $P(t, t^2)$에서의 법선이 $y$축과 만나는 점이 원의 중심 $C(0, c(t))$임을 이용하여 $c(t)$와 $R(t)$를 $t$에 대한 식으로 나타내고, $\lim_{t \to 0^+} c(t)$를 구하시오.

[문항 3-2] (8점) 극한 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{R(t) - t}{t^3}$가 아니라 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{R(t)}{t}$와 $\lim_{t \to \infty} \dfrac{R(t)}{t^2}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (9점) $t = 1$일 때 원의 중심 $C$, 두 접점 $P, Q$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $CPQ$와 포물선 $y = x^2$으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 기하 — 쌍곡선의 점근선과 접선 삼각형의 넓이 불변성 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.11 탐구 5084 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[제시문 (가)] 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($a \gt 0, \; b \gt 0$)의 두 점근선의 방정식은 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$이고, 쌍곡선 위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.
[제시문 (나)] 쌍곡선 $H : \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ 위의 제$1$사분면의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선 $l$이 두 점근선과 만나는 점을 각각 $A, B$라 하자.

[문항 4-1] (8점) 쌍곡선 $H$의 두 초점 $F, F'$의 좌표와 두 점근선의 방정식을 구하고, 한 초점 $F$에서 점근선까지의 거리를 구하시오.

[문항 4-2] (8점) 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선 $l$이 두 점근선 $y = \dfrac{4}{3}x$, $y = -\dfrac{4}{3}x$와 만나는 두 점 $A, B$의 좌표를 구하고, 점 $P$가 선분 $AB$의 중점임을 증명하시오.

[문항 4-3] (9점) 원점 $O$에 대하여 삼각형 $OAB$의 넓이가 점 $P$의 위치에 관계없이 항상 일정함을 증명하고 그 넓이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제8회	문항 1	대수	두 지수곡선 사이 수직 선분 길이의 최대·최소	25점	상
제8회	문항 2	확률과 통계	조건부확률과 모비율의 신뢰구간 추정	25점	상
제8회	문항 3	기하	포물선에 내접하는 원의 중심 극한과 복합 넓이	25점	최상
제8회	문항 4	기하	쌍곡선의 점근선과 접선 삼각형의 넓이 불변성	25점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 건국대학교 수리논술 제8회 출제 원칙 및 합격 전략

건국대 자연계열 제8회 (역대 킬러 TOP 5 심화 변형 모의)는 [두 지수곡선 사이 수직 선분 길이의 최대·최소], [조건부확률과 모비율의 신뢰구간 추정], [포물선에 내접하는 원의 중심 극한과 복합 넓이], [쌍곡선의 점근선과 접선 삼각형의 넓이 불변성]의 4문항(각 25점, 총 100점 / 100분)으로 구성되어 있습니다. 논술 100% 일괄합산 전형 특성에 맞춰 1·2번 문항을 45분 내에 완결하여 50점을 선점한 뒤, 3·4번 고배점 미적분·기하 융합 소문항에서 부분점수를 극대화하십시오.

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 코사인법칙과 각의 이등분선 및 내접원·외접원 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 탐구 5091 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[제시문 (가)] 삼각형 $ABC$에서 $\angle A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 하면 $\overline{BD} : \overline{DC} = \overline{AB} : \overline{AC}$이고, $\triangle ABC$의 넓이는 $\triangle ABD$와 $\triangle ACD$의 넓이의 합과 같다.
[제시문 (나)] $\overline{AB} = 6, \; \overline{AC} = 4, \; \overline{BC} = 5$인 삼각형 $ABC$에서 $\angle A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 하자.

[문항 1-1] (8점) 삼각형 $ABC$에서 코사인법칙을 이용하여 $\cos A$와 $\sin A$의 값을 구하고, 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 구하시오.

[문항 1-2] (8점) 반각 관계 $\cos A = 2\cos^2\dfrac{A}{2} - 1$ 또는 코사인법칙을 이용하여 각의 이등분선의 길이 $\overline{AD}$를 구하시오.

[문항 1-3] (9점) 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름 $R$와 내접원의 반지름 $r$의 곱 $Rr$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 기하 — 평면벡터의 위치벡터 분해와 원 위 동점 내적 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 성분과 내적 (DB: GEOM_Ch02_비상) PDF p.7 탐구 5092 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

[제시문 (가)] 평면 위의 두 벡터 $\vec{u}, \vec{v}$가 이루는 각의 크기가 $\theta$일 때 내적은 $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$이며, 선분 $AB$의 중점 $M$과 임의의 점 $P$에 대하여 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = |\overrightarrow{PM}|^2 - \dfrac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|^2$이 성립한다.
[제시문 (나)] 좌표평면에서 중심이 원점 $O$이고 반지름의 길이가 $2$인 원 $C : x^2 + y^2 = 4$ 위의 동점 $P$와 두 정점 $A(3, 1), \; B(5, 5)$를 생각한다.

[문항 2-1] (8점) 선분 $AB$의 중점 $M$의 좌표와 선분 $AB$의 길이를 구하고, $|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}|$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (8점) 제시문 (가)의 항등식을 이용하여 내적 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (9점) 내적 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$을 만족시키는 원 $C$ 위의 두 점 $P_1, P_2$의 좌표를 모두 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ — 가변구간 삼차함수의 최솟값 함수와 미분가능성 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 5093 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-02-07]

[제시문 (가)] 닫힌구간에서 연속인 함수는 그 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.
[제시문 (나)] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$에 대하여, 실수 $t$를 기준으로 닫힌구간 $[t, t + 2]$에서 함수 $f(x)$의 최솟값을 $g(t)$라 하자.

[문항 3-1] (8점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 구하고, 방정식 $f(x) = f(0)$ 및 $f(x) = f(2)$의 모든 실근을 구하시오.

[문항 3-2] (8점) 닫힌구간 $[0, 3]$에 속하는 실수 $t$에 대하여 최솟값 함수 $g(t)$의 식을 구간 $[0, 2]$와 $[2, 3]$으로 나누어 구하고, $t = -\sqrt{\dfrac{2}{3}}$에서 $f(t) = f(t+2)$가 성립함을 보이시오.

[문항 3-3] (9점) 정적분 $\int_{0}^{3} g(t)\,dt$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ — 대칭·주기 연속함수의 정적분과 넓이 확장 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 탐구 5094 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문 (가)] 연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$와 $f(x + 2) = f(x)$를 만족시키면 $f(x)$는 주기가 $2$인 우함수이다.
[제시문 (나)] 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 제시문 (가)의 두 조건을 모두 만족시키고, 닫힌구간 $[0, 1]$에서 $f(x) = 3x^2$이다.

[문항 4-1] (8점) 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 함수 $f(x)$의 정적분 $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$의 값을 구하고, 모든 정수 $n$에 대하여 $\int_{2n-1}^{2n+1} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (8점) 정적분 $\int_{-2}^{4} (x + 1)f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (9점) 함수 $G(x) = \int_{x}^{x+2} t f(t)\,dt$의 도함수 $G'(x)$를 구하고, $G(2)$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제9회	문항 1	대수	코사인법칙과 각의 이등분선 및 내접원·외접원	25점	상
제9회	문항 2	기하	평면벡터의 위치벡터 분해와 원 위 동점 내적	25점	상
제9회	문항 3	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	가변구간 삼차함수의 최솟값 함수와 미분가능성	25점	최상
제9회	문항 4	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	대칭·주기 연속함수의 정적분과 넓이 확장	25점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 건국대학교 수리논술 제9회 출제 원칙 및 합격 전략

건국대 자연계열 제9회 (역대 킬러 TOP 5 심화 변형 모의)는 [코사인법칙과 각의 이등분선 및 내접원·외접원], [평면벡터의 위치벡터 분해와 원 위 동점 내적], [가변구간 삼차함수의 최솟값 함수와 미분가능성], [대칭·주기 연속함수의 정적분과 넓이 확장]의 4문항(각 25점, 총 100점 / 100분)으로 구성되어 있습니다. 논술 100% 일괄합산 전형 특성에 맞춰 1·2번 문항을 45분 내에 완결하여 50점을 선점한 뒤, 3·4번 고배점 미적분·기하 융합 소문항에서 부분점수를 극대화하십시오.

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 확률과 통계 — 복원추출 크기순 수열의 중복조합과 확률 추론 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 이항정리 (DB: PS_Ch01_02) PDF p.5 탐구 변형 | 성취기준: 12확통01-03]

[제시문 (가)] 서로 다른 $n$개에서 중복을 허락하여 $r$개를 택하는 중복조합의 수는 ${}_n\mathrm{H}_r = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$이며, $1 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_r \le n$을 만족시키는 자연수 순서쌍 $(x_1, x_2, \dots, x_r)$의 개수와 같다.
[제시문 (나)] $1$부터 $9$까지의 자연수가 하나씩 적힌 $9$개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 공을 $1$개 꺼내어 적힌 수를 확인하고 다시 넣는 시행을 $3$번 반복하여 차례로 얻은 세 수를 $a, b, c$라 하자.

[문항 1-1] (8점) 세 수 $a, b, c$가 $a \le b \le c$를 만족시킬 확률을 기약분수로 구하시오.

[문항 1-2] (8점) 세 수의 합 $a + b + c$가 $3$의 배수이고 동시에 $a \le b \le c$를 만족시키는 순서쌍 $(a, b, c)$의 개수를 구하시오.

[문항 1-3] (9점) 세 수 $a, b, c$가 $a \le b \le c$를 만족시켰을 때, $a + b + c$가 $3$의 배수일 조건부확률을 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 지수 결합 귀납적 정의 수열과 부분합 추론 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 5102 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[제시문 (가)] 첫째항이 $b_1$이고 공비가 $r$ ($r \ne 1$)인 등비수열 $\{b_n\}$의 일반항은 $b_n = b_1 r^{n-1}$이다.
[제시문 (나)] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 5$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 점화식 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$을 만족시킨다.

[문항 2-1] (8점) 주어진 점화식의 양변을 $3^{n+1}$으로 나누거나 $a_{n+1} - k\cdot 3^{n+1} = 2(a_n - k\cdot 3^n)$을 만족시키는 상수 $k$를 구하여 수열 $\{a_n - 3^n\}$이 등비수열임을 보이시오.

[문항 2-2] (8점) 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$과 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$를 구하시오.

[문항 2-3] (9점) 극한 $\lim_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{a_{n+1}}$의 값을 구하고, $\dfrac{a_n}{3^n} - 1 \lt \dfrac{1}{100}$을 만족시키는 최소의 자연수 $n$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ — 이중 정적분 관계식의 미분과 둘러싸인 넓이 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 탐구 5103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문 (가)] 연속함수 $f(t)$에 대하여 함수 $G(x) = \int_1^x (x - t)f(t)\,dt$의 도함수는 $G'(x) = \int_1^x f(t)\,dt$이고 이계도함수는 $G''(x) = f(x)$이다.
[제시문 (나)] 다항함수 $f(x)$가 $f(0) = 6$이고 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_1^x (x - t)f(t)\,dt = x^4 - 2x^3 + ax^2 + bx + c$를 만족시킨다.

[문항 3-1] (8점) 주어진 항등식에 $x = 1$을 대입하고 양변을 미분하여 상수 $a, b, c$의 값과 다항함수 $f(x)$를 모두 구하시오.

[문항 3-2] (8점) 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선 $l$의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (9점) 곡선 $y = f(x)$와 문항 3-2의 접선 $l$ 및 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 건국대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 기하 — 정사면체의 삼수선 정리와 이면각 정사영 추론 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ-1. 공간도형 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.5 탐구 5104 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문 (가)] 평면 $\alpha$ 밖의 점 $P$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $H$, 점 $H$에서 평면 $\alpha$ 위의 직선 $l$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 삼수선의 정리에 의하여 $\overline{PM} \perp l$이다.
[제시문 (나)] 한 모서리의 길이가 $6$인 정사면체 $ABCD$에서 모서리 $BC$의 중점을 $M$, 모서리 $AD$를 $1 : 2$로 내분하는 점을 $P$라 하자.

[문항 4-1] (8점) 꼭짓점 $A$에서 밑면 $BCD$에 내린 수선의 발을 $G$라 할 때, 선분 $AG$의 길이(정사면체의 높이)와 정사면체 $ABCD$의 부피 $V$, 그리고 두 면 $ABC$와 $BCD$가 이루는 이면각 $\theta$의 코사인값 $\cos\theta$를 구하시오.

[문항 4-2] (8점) 삼각형 $AMD$에서 선분 $AM, MD$의 길이를 구하고, 코사인법칙을 이용하여 선분 $PM$의 길이를 구하시오.

[문항 4-3] (9점) 삼각형 $PBC$의 넓이를 구하고, 삼각형 $PBC$의 평면 $BCD$ 위로의 정사영의 넓이 $S'$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제10회	문항 1	확률과 통계	복원추출 크기순 수열의 중복조합과 확률 추론	25점	상
제10회	문항 2	대수	지수 결합 귀납적 정의 수열과 부분합 추론	25점	상
제10회	문항 3	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	이중 정적분 관계식의 미분과 둘러싸인 넓이	25점	최상
제10회	문항 4	기하	정사면체의 삼수선 정리와 이면각 정사영 추론	25점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 건국대학교 수리논술 제10회 출제 원칙 및 합격 전략

건국대 자연계열 제10회 (역대 킬러 TOP 5 심화 변형 모의)는 [복원추출 크기순 수열의 중복조합과 확률 추론], [지수 결합 귀납적 정의 수열과 부분합 추론], [이중 정적분 관계식의 미분과 둘러싸인 넓이], [정사면체의 삼수선 정리와 이면각 정사영 추론]의 4문항(각 25점, 총 100점 / 100분)으로 구성되어 있습니다. 논술 100% 일괄합산 전형 특성에 맞춰 1·2번 문항을 45분 내에 완결하여 50점을 선점한 뒤, 3·4번 고배점 미적분·기하 융합 소문항에서 부분점수를 극대화하십시오.

PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS

실전 모의고사 1회 ~ 10회
문제 · 모범답안 · 채점 루브릭 합본 해설집

시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 40문항 전체 원문 요약과 단계별 모범답안·루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.

🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능

⚡ 단계별 채점 기준표 완비: 소문항·단계별 부분점수 배점표를 통해 정밀한 자가 채점 지원

👨‍🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭

【문제 1】 원문 요약 — 지수·로그함수의 대칭성과 영역 넓이 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 5011 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문항 1-1] (8점) 방정식 $f(x) = g(x)$의 모든 실근을 구하고, 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$의 교점 $A, B$ 사이의 거리를 구하시오.

[문항 1-3] (9점) 선분 $PQ$의 길이가 $4\sqrt{2}$일 때, 상수 $k$의 값과 삼각형 $OPQ$ (단, $O$는 원점)의 넓이를 논리적으로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 1 · 총 25점

[1-1 풀이 (8점)] $f(x) = 2^{x-1}$은 증가함수이므로 역함수 $g(x) = \log_2 x + 1$과의 교점은 직선 $y = x$ 위에 놓인다. 방정식 $2^{x-1} = x$에서 $x = 1, \; 2$이므로 두 교점은 $A(1, 1), \; B(2, 2)$이고 두 점 사이의 거리는 $\overline{AB} = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2}$이다.

[1-2 풀이 (8점)] $y = f(x)$와 $y = g(x)$는 역함수 관계이고 직선 $y = -x + k$도 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 두 교점 $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. 따라서 $x_2 = y_1, \; y_2 = x_1$이고 $x_1 + y_1 = k$이므로 선분 $PQ$의 중점 $M$의 좌표는 $\left(\dfrac{k}{2}, \dfrac{k}{2}\right)$이다.

[1-3 풀이 (9점)] $\overline{PQ} = \sqrt{2}(x_2 - x_1) = 4\sqrt{2}$에서 $x_2 - x_1 = 4$이고, 대칭성에 의해 $x_2 = y_1 = 2^{x_1 - 1}$이므로 $2^{x_1 - 1} - x_1 = 4$이다. $k \gt 4$에서 $x_1 \gt 2$이고 $2^{x-1} - x$는 $x \gt 2$에서 순증가하므로 유일한 실근 $x_1 = 4$를 얻는다. 따라서 $P(4, 8), Q(8, 4)$이고 $k = x_1 + y_1 = 12$이며, 원점과 직선 $x + y - 12 = 0$ 사이의 거리 $h = \dfrac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$로부터 삼각형 $OPQ$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} = 24$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 역함수 교점의 직선 $y=x$ 위 존재 명시 +4점 / 방정식 $2^{x-1}=x$에서 교점 $A(1,1), B(2,2)$ 및 거리 $\overline{AB}=\sqrt{2}$ 산출 +4점	8점
소문항 [1-2]	• 역함수 및 직선 $y=-x+k$의 대칭성으로 $x_2=y_1, y_2=x_1$ 명시 +4점 / $x_1+y_1=k$로부터 중점 $\mathrm{M}\left(\dfrac{k}{2}, \dfrac{k}{2}\right)$ 도출 +4점	8점
소문항 [1-3]	• $2^{x_1-1}-x_1=4$로부터 $P(4, 8), Q(8, 4)$ 및 $k=12$ 도출 +4점 / 원점과 직선 사이 거리 $h=6\sqrt{2}$ 및 삼각형 넓이 $S=24$ 산출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 KU 논술 감점 방어 클리닉 (대수): 건국대 100분 4문항 체제에서는 대문항 1번(25점)에 약 25분을 배분해야 합니다. 소문항 [1-1](8점)과 [1-2](8점)의 중간 관계식이 [1-3](9점)의 결정적 단서가 되므로, 제시문의 조건 범위(양수·정의역·대칭성)를 명시하며 단계별 등식을 생략 없이 서술하십시오.

🎯 [최종 정답](1-1) $A(1, 1), B(2, 2), \; \overline{AB} = \sqrt{2}$ / (1-2) $M\left(\dfrac{k}{2}, \dfrac{k}{2}\right)$ / (1-3) $k = 12, \; S = 24$

【문제 2】 원문 요약 — 원내접사각형과 사인·코사인법칙 추론 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 5012 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문항 2-1] (8점) 삼각형 $ABC$에서 코사인법칙을 이용하여 대각선 $AC$의 길이와 사각형 $ABCD$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (9점) 사각형 $ABCD$의 전체 넓이 $S$와 두 대각선의 교각에 대한 $\overline{BD}$의 관계식을 유도하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 2 · 총 25점

[2-1 풀이 (8점)] 삼각형 $ABC$에서 코사인법칙에 의하여 $\overline{AC}^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cos\dfrac{\pi}{3} = 25 + 49 - 35 = 39$이므로 $\overline{AC} = \sqrt{39}$이다. 사인법칙에 의하여 $2R = \dfrac{\sqrt{39}}{\sin(\pi/3)} = \dfrac{\sqrt{39}}{\sqrt{3}/2} = 2\sqrt{13}$이므로 $R = \sqrt{13}$이다.

[2-2 풀이 (8점)] 사각형 $ABCD$가 원에 내접하므로 $\angle D = \pi - \angle B = \dfrac{2\pi}{3}$이다. $\overline{DA} = x$ ($x \gt 0$)라 하면 삼각형 $ACD$에서 $39 = x^2 + 3^2 - 2 \cdot 3x \cos\dfrac{2\pi}{3} = x^2 + 3x + 9$이므로 $x^2 + 3x - 30 = 0$에서 $\overline{DA} = \dfrac{-3 + \sqrt{129}}{2}$이다.

[2-3 풀이 (9점)] 삼각형 $ABC$의 넓이는 $S_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{35\sqrt{3}}{4}$이고, 삼각형 $ACD$의 넓이는 $S_2 = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \overline{DA} \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\overline{DA}$이므로 전체 넓이는 $S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(35 + 3\overline{DA}) = \dfrac{\sqrt{3}(61 + 3\sqrt{129})}{8}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 코사인법칙으로 $\overline{AC}^2=5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7\cos\dfrac{\pi}{3}=39$ 산출 +4점 / 사인법칙 $2R=\dfrac{\sqrt{39}}{\sin(\pi/3)}$에서 외접원 반지름 $R=\sqrt{13}$ 도출 +4점	8점
소문항 [2-2]	• 원내접사각형 대각 조건 $\angle D=\dfrac{2\pi}{3}$ 명시 +3점 / $\triangle ACD$ 코사인법칙 $x^2+3x-30=0$에서 $\overline{DA}=\dfrac{-3+\sqrt{129}}{2}$ 산출 +5점	8점
소문항 [2-3]	• $\triangle ABC$ 넓이 $S_1=\dfrac{35\sqrt{3}}{4}$ 및 $\triangle ACD$ 넓이 $S_2=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\overline{DA}$ 유도 +4점 / 사각형 전체 넓이 $S=\dfrac{\sqrt{3}(61+3\sqrt{129})}{8}$ 도출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 KU 논술 감점 방어 클리닉 (대수): 건국대 100분 4문항 체제에서는 대문항 2번(25점)에 약 25분을 배분해야 합니다. 소문항 [2-1](8점)과 [2-2](8점)의 중간 관계식이 [2-3](9점)의 결정적 단서가 되므로, 제시문의 조건 범위(양수·정의역·대칭성)를 명시하며 단계별 등식을 생략 없이 서술하십시오.

🎯 [최종 정답](2-1) $\overline{AC} = \sqrt{39}, \; R = \sqrt{13}$ / (2-2) $\angle D = \dfrac{2\pi}{3}, \; \overline{DA} = \dfrac{-3 + \sqrt{129}}{2}$ / (2-3) $S = \dfrac{\sqrt{3}(61 + 3\sqrt{129})}{8}$

【문제 3】 원문 요약 — 평균값 정리와 삼차방정식의 실근 개수 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 5013 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문항 3-1] (8점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 구하고, 곡선 $y = f(x)$의 변곡점(대칭중심) $I$의 좌표를 구하시오.

[문항 3-2] (8점) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x)$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 모든 상수 $c \in (0, 3)$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (9점) 점 $(0, 2)$를 지나는 직선 $y = mx + 2$가 곡선 $y = f(x)$와 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 $m$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 3 · 총 25점

[3-1 풀이 (8점)] 도함수 $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0$이므로 $x = 1$에서 극댓값 $f(1) = 6$, $x = 3$에서 극솟값 $f(3) = 2$를 갖는다. 두 극점의 중점인 대칭중심 $I$의 좌표는 $(2, 4)$이다.

[3-2 풀이 (8점)] $f(0) = 2, \; f(3) = 2$이므로 구간 $[0, 3]$에서의 평균변화율은 $\dfrac{2 - 2}{3 - 0} = 0$이다. $f'(c) = 3(c - 1)(c - 3) = 0$에서 구간 $(0, 3)$에 속하는 상수는 $c = 1$이다.

[3-3 풀이 (9점)] 방정식 $x^3 - 6x^2 + 9x + 2 = mx + 2 \iff x(x^2 - 6x + 9 - m) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가지려면 이차방정식 $x^2 - 6x + 9 - m = 0$이 $0$이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 판별식 $D/4 = 9 - (9 - m) = m \gt 0$이고 $x = 0$을 대입했을 때 $9 - m \ne 0 \implies m \ne 9$이므로 구하는 범위는 $0 \lt m \lt 9$ 또는 $m \gt 9$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 도함수 $f'(x)=3(x-1)(x-3)=0$에서 극댓값 $f(1)=6$, 극솟값 $f(3)=2$ 도출 +4점 / 대칭중심 점 $I(2, 4)$ 산출 +4점	8점
소문항 [3-2]	• 구간 $[0, 3]$에서의 평균변화율 $\dfrac{f(3)-f(0)}{3-0}=0$ 계산 +4점 / 평균값 정리 $f'(c)=0$에서 구간 내 상수 $c=1$ 도출 +4점	8점
소문항 [3-3]	• 연립방정식 인수분해 $x(x^2-6x+9-m)=0$ 도출 +4점 / 판별식 $D/4=m \gt 0$ 및 $x=0$ 비근 조건 $m \ne 9$로부터 범위 $0 \lt m \lt 9$ 또는 $m \gt 9$ 완성 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 KU 논술 감점 방어 클리닉 (미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ): 건국대 100분 4문항 체제에서는 대문항 3번(25점)에 약 25분을 배분해야 합니다. 소문항 [3-1](8점)과 [3-2](8점)의 중간 관계식이 [3-3](9점)의 결정적 단서가 되므로, 제시문의 조건 범위(양수·정의역·대칭성)를 명시하며 단계별 등식을 생략 없이 서술하십시오.

🎯 [최종 정답](3-1) 극댓값 $6$, 극솟값 $2$, $I(2, 4)$ / (3-2) $c = 1$ / (3-3) $0 \lt m \lt 9$ 또는 $m \gt 9$

【문제 4】 원문 요약 — 정적분으로 정의된 함수의 극값과 넓이 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 5014 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[문항 4-1] (8점) 함수 $G(x)$의 일계도함수 $G'(x)$와 이계도함수 $G''(x)$를 구하고, $G'(x) = 0$을 만족시키는 모든 실수 $x$를 구하시오.

[문항 4-2] (8점) 함수 $G(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (9점) 곡선 $y = f(x)$의 꼭짓점에서의 접선 $y = -1$과 곡선 $y = f(x)$ 및 $y$축($x \ge 0$)으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 4 · 총 25점

[4-1 풀이 (8점)] $G(x) = x\int_0^x f(t)\,dt - \int_0^x tf(t)\,dt$의 양변을 미분하면 $G'(x) = \int_0^x (t^2 - 4t + 3)\,dt = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x = \dfrac{1}{3}x(x - 3)^2$이고, 한 번 더 미분하면 $G''(x) = f(x) = x^2 - 4x + 3$이다. 따라서 $G'(x) = 0$의 해는 $x = 0, \; 3$이다.

[4-2 풀이 (8점)] $G'(x) = \dfrac{1}{3}x(x - 3)^2$은 $x = 0$의 좌우에서 부호가 음에서 양으로 바뀌고 $x = 3$의 좌우에서는 양에서 양으로 유지된다. 따라서 $G(x)$는 극댓값을 갖지 않으며, $x = 0$에서 유일한 극솟값 $G(0) = 0$을 갖는다.

[4-3 풀이 (9점)] $f(x) = (x - 2)^2 - 1$이므로 꼭짓점은 $(2, -1)$이고 꼭짓점에서의 접선은 $y = -1$이다. 따라서 구간 $[0, 2]$에서 곡선 $y = f(x)$와 접선 $y = -1$ 및 $y$축으로 둘러싸인 넓이는 $S = \int_0^2 \{(x^2 - 4x + 3) - (-1)\}\,dx = \int_0^2 (x - 2)^2\,dx = \dfrac{8}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 미분을 통한 $G'(x)=\dfrac{1}{3}x(x-3)^2$ 유도 +4점 / 이계도함수 $G''(x)=x^2-4x+3$ 및 $G'(x)=0$의 해 $x=0, 3$ 산출 +4점	8점
소문항 [4-2]	• $G'(x)$의 부호 변화 판정(0 좌우 음$\to$양, 3 좌우 양$\to$양) +4점 / 극댓값 부존재 및 극솟값 $G(0)=0$ 결론 도출 +4점	8점
소문항 [4-3]	• 꼭짓점 $(2, -1)$에서의 접선 $y=-1$ 도출 +4점 / 둘러싸인 넓이 정적분 $\int_0^2 (x-2)^2\,dx=\dfrac{8}{3}$ 산출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 KU 논술 감점 방어 클리닉 (미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ): 건국대 100분 4문항 체제에서는 대문항 4번(25점)에 약 25분을 배분해야 합니다. 소문항 [4-1](8점)과 [4-2](8점)의 중간 관계식이 [4-3](9점)의 결정적 단서가 되므로, 제시문의 조건 범위(양수·정의역·대칭성)를 명시하며 단계별 등식을 생략 없이 서술하십시오.

🎯 [최종 정답](4-1) $G'(x) = \dfrac{1}{3}x(x - 3)^2, \; x = 0, 3$ / (4-2) 극댓값 없음, 극솟값 $0$ / (4-3) $S = \dfrac{8}{3}$

【문제 1】 원문 요약 — 지수부등식과 로그합성함수의 최대·최소 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 5021 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

[문항 1-1] (8점) 집합 $D$를 구하고, $x \in D$일 때 $t = \log_3 x$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 1-2] (8점) $a = 2, \; b = 5$일 때, $x \in D$에서 함수 $h(x)$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 1 · 총 25점

[1-1 풀이 (8점)] $u = 3^x$로 놓으면 $u^2 - 12u + 27 = (u - 3)(u - 9) \le 0$에서 $3 \le 3^x \le 9$이므로 $D = \{x \mid 1 \le x \le 2\}$이다. 따라서 $t = \log_3 x$의 범위는 $0 \le t \le \log_3 2$이다.

[1-2 풀이 (8점)] $a = 2, \; b = 5$일 때 $q(t) = t^2 - 2t + 5 = (t - 1)^2 + 4$이다. 구간 $[0, \log_3 2]$에서 $\log_3 2 \lt 1$이므로 $q(t)$는 단조감소하여 $t = 0$일 때 최댓값 $5$, $t = \log_3 2$일 때 최솟값 $(\log_3 2 - 1)^2 + 4$를 갖는다.

[1-3 풀이 (9점)] 구간 $t \in [0, \log_3 2]$의 길이가 $\log_3 2 \lt 1$이므로, 만약 대칭축 $t = a/2$가 구간 내부에 있으면 최대·최소의 차가 $(\log_3 2)^2 \lt 1$이 되어 $3 - (-1) = 4$를 만족할 수 없다. 따라서 $a/2 \gt \log_3 2$이어야 하고 구간 $[0, \log_3 2]$에서 $q(t) = t^2 - at + b$는 순감소한다. 그러므로 최댓값 $q(0) = b = 3$이고 최솟값 $q(\log_3 2) = (\log_3 2)^2 - a\log_3 2 + 3 = -1$에서 $a = \log_3 2 + 4\log_2 3, \; b = 3$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 치환 $u=3^x$에 의한 이차부등식 풀이로 $D=\{x \mid 1 \le x \le 2\}$ 도출 +4점 / $t=\log_3 x$의 치역 $0 \le t \le \log_3 2$ 유도 +4점	8점
소문항 [1-2]	• 이차함수 $q(t)=(t-1)^2+4$ 변형 및 단조감소 구간 확인 +4점 / 최댓값 $q(0)=5$, 최솟값 $q(\log_3 2)=(\log_3 2)^2-2\log_3 2+5$ 산출 +4점	8점
소문항 [1-3]	• 대칭축 $t=a/2 \gt \log_3 2$에 의한 구간 내 순감소성 논증 +4점 / $q(0)=b=3$ 및 $q(\log_3 2)=-1$에서 $a=\log_3 2+4\log_2 3, b=3$ 도출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](1-1) $D = [1, 2], \; 0 \le t \le \log_3 2$ / (1-2) 최댓값 $5$, 최솟값 $(\log_3 2 - 1)^2 + 4$ / (1-3) $a = \log_3 2 + 4\log_2 3, \; b = 3$

【문제 2】 원문 요약 — 수열의 귀납적 정의와 멱급수의 합 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 5022 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문항 2-1] (8점) 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$을 구하고, 급수 $\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}$의 값을 기약분수로 구하시오.

[문항 2-2] (8점) 수열 $\{b_n - 1\}$이 등비수열임을 보이고, 수열 $\{b_n\}$의 일반항 $b_n$과 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $T_n$을 구하시오.

[문항 2-3] (9점) 합 $\sum_{k=1}^{n} a_k (b_k - 1)$을 $n$에 대한 식으로 나타내시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 2 · 총 25점

[2-1 풀이 (8점)] $a_1 = S_1 = 3$이고 $n \ge 2$일 때 $a_n = (n^2 + 2n) - \{(n-1)^2 + 2(n-1)\} = 2n + 1$이므로 모든 자연수 $n$에서 $a_n = 2n + 1$이다. $\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{23}\right) = \dfrac{10}{69}$이다.

[2-2 풀이 (8점)] $b_{n+1} - 1 = 3(b_n - 1)$이고 $b_1 - 1 = 1$이므로 $b_n - 1 = 3^{n-1} \implies b_n = 3^{n-1} + 1$이다. 따라서 $T_n = \sum_{k=1}^{n} (3^{k-1} + 1) = \dfrac{3^n - 1}{2} + n$이다.

[2-3 풀이 (9점)] $U_n = \sum_{k=1}^{n} (2k + 1)3^{k-1}$이라 하면 $U_n - 3U_n = -2U_n = 3 + 2(3^1 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}) - (2n + 1)3^n = 3 + (3^n - 3) - (2n + 1)3^n = -2n \cdot 3^n$이므로 $U_n = n \cdot 3^n$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• $S_n - S_{n-1}$을 통한 일반항 $a_n=2n+1$ ($n \ge 1$) 유도 +4점 / 초기항 $a_1=S_1=3$ 부합 확인 +4점	8점
소문항 [2-2]	• 점화식 $b_{n+1}-1=3(b_n-1)$에서 일반항 $b_n=3^{n-1}+1$ 도출 +4점 / 등비수열 합 공식을 통한 $T_n=\dfrac{3^n-1}{2}+n$ 산출 +4점	8점
소문항 [2-3]	• 멱급수 변형 $U_n - 3U_n = -2U_n$ 전개식 작성 +4점 / 등비수열 합 계산 및 정리하여 $U_n=n\cdot 3^n$ 도출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](2-1) $a_n = 2n + 1, \; \dfrac{10}{69}$ / (2-2) $b_n = 3^{n-1} + 1, \; T_n = \dfrac{3^n - 1}{2} + n$ / (2-3) $n \cdot 3^n$

【문제 3】 원문 요약 — 구간별 함수의 미분가능성과 정적분 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 5023 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문항 3-1] (8점) 함수 $f(x)$가 $x = 1$에서 미분가능하기 위한 상수 $a, b, c$ 사이의 관계식을 유도하고 $a, b, c$의 값을 모두 구하시오.

[문항 3-2] (8점) 닫힌구간 $[-2, 2]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (9점) 정적분 $\int_{-1}^2 f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 3 · 총 25점

[3-1 풀이 (8점)] $f(0) = a = 4$이다. $x = 1$에서의 연속 조건으로부터 $1 - 3 + 4 = b + c + 1 \implies b + c = 1$이고, 미분가능 조건으로부터 $3(1)^2 - 3 = 2b + c \implies 2b + c = 0$이다. 두 식을 연립하면 $b = -1, \; c = 2$이다.

[3-2 풀이 (8점)] $x \lt 1$에서 $f(x) = x^3 - 3x + 4$는 $x = -1$에서 극댓값 $f(-1) = 6$, $x = -2$에서 $f(-2) = 2$, $x = 1$에서 $f(1) = 2$이다. $x \ge 1$에서 $f(x) = -x^2 + 2x + 1 = -(x - 1)^2 + 2$는 감소하므로 $f(2) = 1$이다. 따라서 구간 $[-2, 2]$에서 최댓값은 $6$, 최솟값은 $1$이다.

[3-3 풀이 (9점)] $\int_{-1}^2 f(x)\,dx = \int_{-1}^1 (x^3 - 3x + 4)\,dx + \int_1^2 (-x^2 + 2x + 1)\,dx = 8 + \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + x^2 + x\right]_1^2 = 8 + \dfrac{5}{3} = \dfrac{29}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• $y$절편 $f(0)=a=4$ 확인 +2점 / $x=1$ 연속 조건 $b+c=1$ 및 미분가능 조건 $2b+c=0$ 연립하여 $b=-1, c=2$ 도출 +6점	8점
소문항 [3-2]	• 구간별 도함수 부호 조사로 극댓값 $f(-1)=6$, 극솟값 $f(1)=2$ 판정 +4점 / 최대구간 $[-2, 2]$에서 최댓값 6, 최솟값 1 도출 +4점	8점
소문항 [3-3]	• 구간 분할 $\int_{-1}^1 f(x)\,dx + \int_1^2 f(x)\,dx$ 설정 +4점 / 우함수·기함수 적분 및 다항함수 정적분 계산으로 합계 $\dfrac{29}{3}$ 산출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](3-1) $a = 4, \; b = -1, \; c = 2$ / (3-2) 최댓값 $6$, 최솟값 $1$ / (3-3) $\dfrac{29}{3}$

【문제 4】 원문 요약 — 사차함수의 대칭성과 곡선 사이 넓이 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 5024 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문항 4-2] (8점) 문항 4-1에서 구한 $k$에 대하여 곡선 $y = f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1$을 구하시오.

[문항 4-3] (9점) 문항 4-1에서 구한 $k$에 대하여 곡선 $y = f(x)$의 극대점에서의 접선과 곡선 $y = f(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_2$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 4 · 총 25점

[4-1 풀이 (8점)] $f(x) = (x^2 - k^2)^2$이므로 $f'(x) = 4x(x - k)(x + k) = 0$이다. 극대점은 $(0, k^4)$이고 두 극소점은 $(-k, 0), \; (k, 0)$이므로 세 극점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \cdot 2k \cdot k^4 = k^5 = 32$에서 $k = 2$이다.

[4-2 풀이 (8점)] $k = 2$일 때 $f(x) = x^4 - 8x^2 + 16$이므로 곡선과 $x$축($x = \pm 2$에서 접함)으로 둘러싸인 넓이는 $S_1 = 2\int_0^2 (x^4 - 8x^2 + 16)\,dx = 2\left[\dfrac{1}{5}x^5 - \dfrac{8}{3}x^3 + 16x\right]_0^2 = \dfrac{512}{15}$이다.

[4-3 풀이 (9점)] 극대점 $(0, 16)$에서의 접선은 $y = 16$이고 교점은 $x^4 - 8x^2 = x^2(x^2 - 8) = 0$에서 $x = \pm 2\sqrt{2}$이다. 따라서 $S_2 = 2\int_0^{2\sqrt{2}} (8x^2 - x^4)\,dx = 2\left[\dfrac{8}{3}x^3 - \dfrac{1}{5}x^5\right]_0^{2\sqrt{2}} = \dfrac{512\sqrt{2}}{15}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 도함수 $f'(x)=4x(x-k)(x+k)=0$에서 극대점 $(0, k^4)$, 극소점 $(\pm k, 0)$ 도출 +4점 / 삼각형 넓이 $k^5=32$로부터 $k=2$ 산출 +4점	8점
소문항 [4-2]	• 우함수 대칭성을 이용한 정적분 $S_1=2\int_0^2 (x^4-8x^2+16)\,dx$ 수립 +4점 / 정적분 계산으로 넓이 $S_1=\dfrac{512}{15}$ 도출 +4점	8점
소문항 [4-3]	• 극대점 접선 $y=16$과의 교점 $x=\pm 2\sqrt{2}$ 도출 +4점 / 정적분 $S_2=2\int_0^{2\sqrt{2}}(8x^2-x^4)\,dx=\dfrac{512\sqrt{2}}{15}$ 산출 +5점	9점

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🎯 [최종 정답](4-1) $k = 2$ / (4-2) $S_1 = \dfrac{512}{15}$ / (4-3) $S_2 = \dfrac{512\sqrt{2}}{15}$

【문제 1】 원문 요약 — 삼각함수의 치환과 최대·최소 추론 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 5031 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문항 1-2] (8점) $a = \dfrac{1}{4}$일 때 방정식 $f(x) = 2$를 만족시키는 모든 실근 $x \in [0, 2\pi]$를 구하고 그 합을 구하시오.

[문항 1-3] (9점) $0 \le x \le 2\pi$에서 함수 $f(x)$의 최댓값이 $7$이 되도록 하는 모든 실수 $a$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 1 · 총 25점

[1-1 풀이 (8점)] $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - t^2$을 대입하면 $g(t) = -2t^2 - 4at + 3$ ($-1 \le t \le 1$)이다. $a = 1$일 때 $g(t) = -2(t + 1)^2 + 5$이므로 $t = -1$에서 최댓값 $5$, $t = 1$에서 최솟값 $-3$을 갖는다.

[1-2 풀이 (8점)] $a = \dfrac{1}{4}$일 때 $g(t) = -2t^2 - t + 3 = 2 \iff 2t^2 + t - 1 = (2t - 1)(t + 1) = 0$이므로 $\cos x = \dfrac{1}{2}$ 또는 $\cos x = -1$이다. 따라서 구간 $[0, 2\pi]$에서의 실근은 $x = \dfrac{\pi}{3}, \; \pi, \; \dfrac{5\pi}{3}$이고 모든 실근의 합은 $3\pi$이다.

[1-3 풀이 (9점)] $g(t) = -2(t + a)^2 + 2a^2 + 3$의 대칭축 $t = -a$의 위치에 따라 구간 $[-1, 1]$를 세 경우($-a \lt -1$, $-1 \le -a \le 1$, $-a \gt 1$)로 나누어 최댓값이 $7$인 $a$를 구하면 $|a| \gt 1$에서 $g(-1) = 1 + 4a = 7 \implies a = \dfrac{3}{2}$ 또는 $g(1) = 1 - 4a = 7 \implies a = -\dfrac{3}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• $t=\cos x$ 치환으로 $g(t)=-2t^2-4at+3$ ($-1\le t\le 1$) 도출 +4점 / $a=1$일 때 최댓값 $5$, 최솟값 $-3$ 산출 +4점	8점
소문항 [1-2]	• 방정식 $(2t-1)(t+1)=0$에서 $\cos x=1/2, -1$ 도출 +4점 / 구간 $[0, 2\pi]$의 세 실근 $\dfrac{\pi}{3}, \pi, \dfrac{5\pi}{3}$ 및 합 $3\pi$ 산출 +4점	8점
소문항 [1-3]	• 대칭축 $t=-a$ 위치에 따른 구간 $[-1, 1]$ 최대 조건 분류 +4점 / 경계값 조건으로부터 $a=\pm\dfrac{3}{2}$ 도출 +5점	9점

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💡 KU 논술 감점 방어 클리닉 (미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ): 건국대 100분 4문항 체제에서는 대문항 1번(25점)에 약 25분을 배분해야 합니다. 소문항 [1-1](8점)과 [1-2](8점)의 중간 관계식이 [1-3](9점)의 결정적 단서가 되므로, 제시문의 조건 범위(양수·정의역·대칭성)를 명시하며 단계별 등식을 생략 없이 서술하십시오.

🎯 [최종 정답](1-1) 최댓값 $5$, 최솟값 $-3$ / (1-2) $x = \dfrac{\pi}{3}, \pi, \dfrac{5\pi}{3}$, 합 $3\pi$ / (1-3) $a = \pm\dfrac{3}{2}$

【문제 2】 원문 요약 — 등차·등비수열 좌표와 수학적 귀납법 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 5032 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문항 2-1] (8점) 일반항 $x_n$과 $y_n$을 구하고, 원점 $O$에 대하여 삼각형 $OP_n P_{n+1}$의 넓이 $A_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-2] (8점) 수열 $\{A_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{6} A_k$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 2 · 총 25점

[2-1 풀이 (8점)] $x_n = 3n - 1$, $y_n = 3 \cdot 2^{n-1}$이다. 신발끈 공식에 의하여 $A_n = \dfrac{1}{2}|x_n y_{n+1} - x_{n+1} y_n| = \dfrac{1}{2}|(3n - 1) \cdot 3 \cdot 2^n - (3n + 2) \cdot 3 \cdot 2^{n-1}| = \dfrac{3}{2} \cdot 2^{n-1} |6n - 2 - 3n - 2| = \dfrac{3}{2}|3n - 4|2^{n-1}$이다.

[2-2 풀이 (8점)] $n = 1$일 때 $A_1 = \dfrac{3}{2}$이고, $n \ge 2$일 때 $A_n = \dfrac{3}{2}(3n - 4)2^{n-1}$이다. $k = 1$부터 $6$까지 직접 합산하거나 등차수열과 등비수열의 곱 합 공식을 적용하면 $\sum_{k=1}^{6} A_k = \dfrac{3}{2}(1 + 2 \cdot 2 + 5 \cdot 4 + 8 \cdot 8 + 11 \cdot 16 + 14 \cdot 32) = 1069.5 = \dfrac{2139}{2}$이다.

[2-3 풀이 (9점)] $n = 7$일 때 $y_7 = 192 \lt 200 = 10x_7$이고, $n = 8$일 때 $y_8 = 384 \gt 230 = 10x_8$이므로 최솟값은 $n = 8$이다. $n = k$ ($k \ge 8$)일 때 $3 \cdot 2^{k-1} \gt 30k - 10$이라 가정하면 $y_{k+1} = 2y_k \gt 60k - 20 \gt 30k + 20 = 10x_{k+1}$이므로 모든 $n \ge 8$에서 성립한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 일반항 $x_n=3n-1, y_n=3\cdot 2^{n-1}$ 도출 +4점 / 삼각형 넓이 $A_n=\dfrac{3}{2}\|3n-4\|2^{n-1}$ 유도 +4점	8점
소문항 [2-2]	• $A_1=\dfrac{3}{2}$ 및 $n\ge 2$에서의 부호 분리 전개 +4점 / 합 $\sum_{k=1}^6 A_k = \dfrac{2139}{2}$ 정확히 산출 +4점	8점
소문항 [2-3]	• $y_7 \lt 10x_7, y_8 \gt 10x_8$ 비교로 최솟값 $n=8$ 도출 +4점 / 수학적 귀납법으로 $n\ge 8$에서 부등식 성립 증명 완성 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](2-1) $A_n = \dfrac{3}{2}|3n - 4|2^{n-1}$ / (2-2) $\dfrac{2139}{2}$ / (2-3) 최솟값 $n = 8$

【문제 3】 원문 요약 — 미분계수의 정의와 접선으로 둘러싸인 넓이 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 5033 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문항 3-1] (8점) $f(0)$의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 도함수 $f'(x)$를 구하시오.

[문항 3-2] (8점) 함수 $f(x)$의 식을 구하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (9점) 곡선 $y = f(x)$와 문항 3-2에서 구한 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 3 · 총 25점

[3-1 풀이 (8점)] $x = y = 0$을 대입하면 $f(0) = 2f(0) - 2 \implies f(0) = 2$이다. $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 2 + 3xh(x + h)}{h} = f'(0) + 3x^2 = 3x^2 + 4$이다.

[3-2 풀이 (8점)] $f'(x) = 3x^2 + 4$를 적분하고 $f(0) = 2$를 대입하면 $f(x) = x^3 + 4x + 2$이다. 점 $(1, 7)$에서의 접선의 기울기는 $f'(1) = 7$이므로 접선의 방정식은 $y = 7x$이다.

[3-3 풀이 (9점)] $x^3 + 4x + 2 = 7x \iff (x - 1)^2(x + 2) = 0$에서 교점의 $x$좌표는 $-2, \; 1$ (접점)이다. 따라서 둘러싸인 넓이는 $S = \int_{-2}^1 (-x^3 + 3x - 2)\,dx$의 절댓값인 $\dfrac{1}{12}(1 - (-2))^4 = \dfrac{27}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• $x=y=0$ 대입으로 $f(0)=2$ 산출 +3점 / 미분계수 정의 극한 계산으로 $f'(x)=3x^2+4$ 유도 +5점	8점
소문항 [3-2]	• 적분으로 $f(x)=x^3+4x+2$ 도출 +4점 / 점 $(1, 7)$에서의 접선의 방정식 $y=7x$ 산출 +4점	8점
소문항 [3-3]	• 연립방정식 $(x-1)^2(x+2)=0$에서 교점 $x=-2, 1$ 도출 +4점 / 정적분으로 둘러싸인 넓이 $S=\dfrac{27}{4}$ 산출 +5점	9점

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🎯 [최종 정답](3-1) $f(0) = 2, \; f'(x) = 3x^2 + 4$ / (3-2) $f(x) = x^3 + 4x + 2, \; y = 7x$ / (3-3) $S = \dfrac{27}{4}$

【문제 4】 원문 요약 — 속도와 위치 변화량 및 두 점 사이 거리 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 5034 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문항 4-1] (8점) 점 $P$가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하고, 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $P$가 실제로 움직인 거리를 구하시오.

[문항 4-2] (8점) 출발 후 두 점 $P, Q$가 다시 만나는 시각 $t \gt 0$을 모두 구하시오.

[문항 4-3] (9점) 시각 $t = 0$에서 두 점 $P, Q$가 처음으로 다시 만나는 시각까지 두 점 사이의 거리 $|x_P(t) - x_Q(t)|$의 최댓값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 4 · 총 25점

[4-1 풀이 (8점)] $v_P(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$이므로 운동 방향을 바꾸는 시각은 $t = 1, \; 3$이다. 움직인 거리는 $\int_0^1 v_P(t)\,dt - \int_1^3 v_P(t)\,dt + \int_3^4 v_P(t)\,dt = 4 + 4 + 4 = 12$이다.

[4-2 풀이 (8점)] $x_P(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$이고 $x_Q(t) = 3t^2 - 9t$이다. $x_P(t) = x_Q(t) \iff t(t^2 - 9t + 18) = t(t - 3)(t - 6) = 0$이므로 출발 후 다시 만나는 시각은 $t = 3, \; 6$이다.

[4-3 풀이 (9점)] $D(t) = x_P(t) - x_Q(t) = t^3 - 9t^2 + 18t$ ($0 \le t \le 3$)라 하면 $D'(t) = 3(t^2 - 6t + 6) = 0$에서 $t = 3 - \sqrt{3} \in (0, 3)$일 때 극대이자 최대이다. 대입하면 최댓값은 $D(3 - \sqrt{3}) = 6\sqrt{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 속도 $v_P(t)=3(t-1)(t-3)=0$에서 방향 전환 시각 $t=1, 3$ 도출 +4점 / 구간별 적분으로 총 이동 거리 $4+4+4=12$ 산출 +4점	8점
소문항 [4-2]	• 위치 함수 $x_P(t)=t^3-6t^2+9t$, $x_Q(t)=3t^2-9t$ 유도 +4점 / 위치 일치 방정식 $t(t-3)(t-6)=0$에서 다시 만나는 시각 $t=3, 6$ 도출 +4점	8점
소문항 [4-3]	• 거리 차 함수 $D(t)=t^3-9t^2+18t$ 도함수 $D'(t)=3(t^2-6t+6)=0$ 도출 +4점 / 극대 시각 $t=3-\sqrt{3}$ 판정 및 최댓값 $D(3-\sqrt{3})=6\sqrt{3}$ 산출 +5점	9점

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🎯 [최종 정답](4-1) $t = 1, 3$, 거리 $12$ / (4-2) $t = 3, 6$ / (4-3) $6\sqrt{3}$

【문제 1】 원문 요약 — 거듭제곱근의 실근 개수와 로그 격자점 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 5041 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문항 1-1] (8점) 방정식 $f(n) = 0$의 해를 구하고, $2 \le n \le 10$에서 $f(n)$의 부호를 조사하시오.

[문항 1-2] (8점) 합 $\sum_{n=2}^{10} g(n)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

[문항 1-3] (9점) 곡선 $y = \log_2(x + 2)$와 직선 $y = -x + 10$ 및 $x$축으로 둘러싸인 영역(경계 포함)에 속하는 정수 좌표 점 $(p, q)$의 개수를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 1 · 총 25점

[1-1 풀이 (8점)] $f(n) = (n - 3)(n - 6)$이므로 $n = 3, 6$일 때 $f(n) = 0$이고, $n = 4, 5$일 때 $f(n) \lt 0$, $n = 2, 7, 8, 9, 10$일 때 $f(n) \gt 0$이다.

[1-2 풀이 (8점)] $n$이 홀수($3, 5, 7, 9$)이면 $f(n)$의 부호와 관계없이 $g(n) = 1$이다. $n$이 짝수일 때 $n = 2, 8, 10$에서는 $f(n) \gt 0$이므로 $g(n) = 2$, $n = 4$에서는 $f(4) \lt 0$이므로 $g(4) = 0$, $n = 6$에서는 $f(6) = 0$이므로 $g(6) = 1$이다. 따라서 합은 $4 \times 1 + 3 \times 2 + 0 + 1 = 11$이다.

[1-3 풀이 (9점)] $q$의 가능한 정수값을 기준으로 분류한다. 교점은 $\log_2(x + 2) = -x + 10$에서 $x = 6, y = 4$이다. $q = 0$일 때 $-1 \le p \le 10$ ($12$개), $q = 1$일 때 $0 \le p \le 9$ ($10$개), $q = 2$일 때 $2 \le p \le 8$ ($7$개), $q = 3$일 때 $6 \le p \le 7$ ($2$개), $q = 4$일 때 $p = 6$ ($1$개)이므로 총 $12 + 10 + 7 + 2 + 1 = 32$개이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 이차함수 $f(n)=-(n-3)(n-6)$ 부호 조사($n=3,6$일 때 0, $4,5$ 음수, 나머지 양수) +4점 / 부호에 따른 그래프 특징 서술 +4점	8점
소문항 [1-2]	• 홀수 거듭제곱근의 개수 $g(n)=1$ 명시 +4점 / 짝수 거듭제곱근 부호 판정 후 $\sum_{n=2}^{10} g(n)=11$ 산출 +4점	8점
소문항 [1-3]	• 교점 방정식 $\log_2(x+2)=-x+10$에서 교점 $(6, 4)$ 도출 +4점 / $y=q$ 기준 정수점 격자 카운팅을 통한 순서쌍 총 개수 $32$개($12+10+7+2+1=32$) 완성 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](1-1) $n=3,6$에서 $0$, $n=4,5$에서 음수, 그 외 양수 / (1-2) $11$ / (1-3) $32$개

【문제 2】 원문 요약 — 포물선 법선 삼각형의 내접원과 극한 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 5042 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문항 2-1] (8점) 점 $Q$의 $y$좌표 $y_Q$를 $t$에 대한 식으로 나타내고, 극한 $\lim_{t \to 0^+} y_Q$의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (9점) 삼각형 $OPQ$에 내접하는 원의 반지름의 길이를 $r(t)$라 할 때, 극한 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{r(t)}{t}$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 2 · 총 25점

[2-1 풀이 (8점)] 직선 $OP$의 기울기는 $t$이므로 수직인 직선 $PQ$의 방정식은 $y - t^2 = -\dfrac{1}{t}(x - t)$이다. $x = 0$을 대입하면 $y_Q = t^2 + 1$이고, $\lim_{t \to 0^+} y_Q = 1$이다.

[2-2 풀이 (8점)] 삼각형 $OPQ$의 밑변을 $\overline{OQ} = t^2 + 1$, 높이를 $t$로 보면 $S(t) = \dfrac{1}{2}t(t^2 + 1)$이므로 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{S(t)}{t} = \dfrac{1}{2}$이다. 또한 $t \to 0^+$일 때 $P \to (0, 0), \; Q \to (0, 1)$이므로 $\lim_{t \to 0^+} L(t) = 0 + 1 + 1 = 2$이다.

[2-3 풀이 (9점)] $S(t) = \dfrac{1}{2}r(t)L(t)$이므로 $\dfrac{r(t)}{t} = \dfrac{2S(t)}{t \cdot L(t)}$이다. 따라서 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{r(t)}{t} = \dfrac{2 \cdot (1/2)}{2} = \dfrac{1}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 법선 $PQ$의 방정식 $y-t^2=-\dfrac{1}{t}(x-t)$ 수립 +4점 / $y$절편 $y_Q=t^2+1$ 및 $\overline{OQ}=t^2+1$ 산출 +4점	8점
소문항 [2-2]	• 삼각형 넓이 $S(t)=\dfrac{1}{2}t(t^2+1)$ 유도 +4점 / 극한값 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{S(t)}{t} = \dfrac{1}{2}$ 산출 +4점	8점
소문항 [2-3]	• 내접원 넓이 공식 $S(t)=\dfrac{1}{2}r(t)L(t)$ 변형 $\dfrac{r(t)}{t}=\dfrac{2S(t)}{t\cdot L(t)}$ 수립 +4점 / 둘레 $L(t)\to 2$ 계산 및 극한값 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{r(t)}{t} = \dfrac{1}{2}$ 도출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 KU 논술 감점 방어 클리닉 (기하): 건국대 100분 4문항 체제에서는 대문항 2번(25점)에 약 25분을 배분해야 합니다. 소문항 [2-1](8점)과 [2-2](8점)의 중간 관계식이 [2-3](9점)의 결정적 단서가 되므로, 제시문의 조건 범위(양수·정의역·대칭성)를 명시하며 단계별 등식을 생략 없이 서술하십시오.

🎯 [최종 정답](2-1) $y_Q = t^2 + 1$, 극한값 $1$ / (2-2) $\dfrac{1}{2}, \; 2$ / (2-3) $\dfrac{1}{2}$

【문제 3】 원문 요약 — 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수 추론 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 5043 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문항 3-3] (9점) $k = 0$일 때 점 $A(1, 0)$에서 곡선 $y = f(x)$에 그을 수 있는 모든 접선의 방정식을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 3 · 총 25점

[3-1 풀이 (8점)] 접선의 방정식 $y - (t^3 - 3t^2 + 2) = (3t^2 - 6t)(x - t)$에 점 $A(1, k)$를 대입하여 정리하면 $k = h(t) = -2t^3 + 6t^2 - 6t + 2$이다.

[3-2 풀이 (8점)] $h'(t) = -6t^2 + 12t - 6 = -6(t - 1)^2 \le 0$이므로 $h(t) = -2(t - 1)^3$은 실수 전체의 집합에서 극값을 갖지 않고 단조감소한다. 따라서 임의의 실수 $k$에 대하여 방정식 $h(t) = k$의 실근은 오직 $1$개뿐이므로, 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있는 실수 $k$는 존재하지 않는다.

[3-3 풀이 (9점)] $k = 0$일 때 점 $A(1, 0)$은 곡선 $y = f(x)$의 변곡점이며, $-2(t - 1)^3 = 0$에서 유일한 접점은 $t = 1$이다. 이때 기울기는 $f'(1) = -3$이므로 유일한 접선의 방정식은 $y = -3x + 3$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 접점 $(t, t^3-3t^2+2)$에서 접선 수립 후 점 $A(1, k)$ 대입 +4점 / 방정식 $k=h(t)=-2t^3+6t^2-6t+2$ 유도 +4점	8점
소문항 [3-2]	• 도함수 $h'(t)=-6(t-1)^2 \le 0$의 단조감소성 판정 +4점 / 임의의 실수 $k$에 대해 실근 오직 1개임을 보여 세 접선 불가 증명 +4점	8점
소문항 [3-3]	• 변곡점 $(1, 0)$ 및 유일한 접점 $t=1$ 도출 +4점 / 기울기 $f'(1)=-3$으로부터 접선의 방정식 $y=-3x+3$ 산출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](3-1) $h(t) = -2(t - 1)^3$ / (3-2) 존재하지 않음 / (3-3) $y = -3x + 3$

【문제 4】 원문 요약 — 두 이차곡선으로 둘러싸인 넓이와 세제곱근 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 5044 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[문항 4-1] (8점) 곡선 $C_1$과 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[문항 4-2] (8점) 두 곡선 $C_1$과 $C_2$로 둘러싸인 도형의 넓이 $T(a)$를 $a$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 4-3] (9점) 두 곡선 $C_1$과 $C_2$로 둘러싸인 도형의 넓이 $T(a)$가 $36$이 될 때, $(3 + a)^3$의 값과 양수 $a$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 4 · 총 25점

[4-1 풀이 (8점)] $-x^2 + 6x = -x(x - 6) = 0$이므로 $S = \dfrac{1}{6}(6 - 0)^3 = 36$이다.

[4-2 풀이 (8점)] 두 곡선의 교점 방정식은 $-x^2 + 6x = x^2 - 2ax \iff 2x\{x - (3 + a)\} = 0$이므로 교점의 $x$좌표는 $0, \; 3 + a$이다. 따라서 $T(a) = \dfrac{2}{6}(3 + a)^3 = \dfrac{1}{3}(3 + a)^3$이다.

[4-3 풀이 (9점)] $T(a) = \dfrac{1}{3}(3 + a)^3 = 36$에서 $(3 + a)^3 = 108$이다. 양변의 세제곱근을 취하면 $3 + a = 3\sqrt[3]{4}$이므로 $a = 3\sqrt[3]{4} - 3$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 곡선과 $x$축의 교점 $x=0, 6$ 도출 +4점 / 정적분으로 넓이 $S=\dfrac{1}{6}(6-0)^3=36$ 산출 +4점	8점
소문항 [4-2]	• 두 곡선의 교점 방정식 $2x(x-(3+a))=0$에서 교점 $0, 3+a$ 유도 +4점 / 둘러싸인 넓이 $T(a)=\dfrac{1}{3}(3+a)^3$ 산출 +4점	8점
소문항 [4-3]	• 방정식 $\dfrac{1}{3}(3+a)^3=36 \iff (3+a)^3=108$ 수립 +4점 / 세제곱근 정리로 상수 $a=3\sqrt[3]{4}-3$ 도출 +5점	9점

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🎯 [최종 정답](4-1) $S = 36$ / (4-2) $T(a) = \dfrac{1}{3}(3 + a)^3$ / (4-3) $(3 + a)^3 = 108, \; a = 3\sqrt[3]{4} - 3$

【문제 1】 원문 요약 — 등차수열 변을 갖는 삼각형의 외접원·내접원 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 5051 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문항 1-2] (8점) 삼각형 $ABC$의 둘레의 길이가 $30$일 때, 세 변의 길이 $a, b, c$와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (9점) 문항 1-2의 삼각형에서 외접원의 반지름 $R$와 내접원의 반지름 $r$의 비 $\dfrac{R}{r}$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 1 · 총 25점

[1-1 풀이 (8점)] $(b + d)^2 = (b - d)^2 + b^2 - 2b(b - d)\cos\dfrac{2\pi}{3} \iff b^2 + 2bd + d^2 = 2b^2 - 2bd + d^2 + b^2 - bd \iff 2b^2 - 5bd = 0$에서 $b = \dfrac{5}{2}d$이다. 따라서 $a : b : c = \dfrac{3}{2}d : \dfrac{5}{2}d : \dfrac{7}{2}d = 3 : 5 : 7$이다.

[1-2 풀이 (8점)] $a + b + c = 15k = 30$에서 $k = 2$이므로 $a = 6, \; b = 10, \; c = 14$이다. 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \sin\dfrac{2\pi}{3} = 15\sqrt{3}$이다.

[1-3 풀이 (9점)] $2R = \dfrac{14}{\sin(2\pi/3)} = \dfrac{28}{\sqrt{3}} \implies R = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}$이고, $S = 15r = 15\sqrt{3} \implies r = \sqrt{3}$이므로 $\dfrac{R}{r} = \dfrac{14}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 코사인법칙 $(b+d)^2=(b-d)^2+b^2-2b(b-d)\cos\dfrac{2\pi}{3}$ 전개 +4점 / $2b^2-5bd=0$에서 $b=\dfrac{5}{2}d$ 및 세 변의 비 $3:5:7$ 도출 +4점	8점
소문항 [1-2]	• 둘레 조건 $15k=30$에서 세 변의 길이 $6, 10, 14$ 산출 +4점 / 넓이 공식 $S=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\sin\dfrac{2\pi}{3}=15\sqrt{3}$ 도출 +4점	8점
소문항 [1-3]	• 사인법칙으로 외접원 반지름 $R=\dfrac{14\sqrt{3}}{3}$ 도출 +4점 / 넓이 관계식 $S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)$에서 $r=\sqrt{3}$ 및 $\dfrac{R}{r}=\dfrac{14}{3}$ 산출 +5점	9점

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🎯 [최종 정답](1-1) $3 : 5 : 7$ / (1-2) $a=6, b=10, c=14, \; S = 15\sqrt{3}$ / (1-3) $\dfrac{R}{r} = \dfrac{14}{3}$

【문제 2】 원문 요약 — 역수 등차수열 귀납적 정의와 수학적 귀납법 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 5052 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문항 2-1] (8점) 치환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}$을 이용하여 수열 $\{b_n\}$이 등차수열임을 보이고, 일반항 $a_n$을 구하시오.

[문항 2-2] (8점) 모든 자연수 $n$에 대하여 $\sum_{k=1}^{n} a_k a_{k+1} = \dfrac{n}{2n + 1}$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (9점) 부등식 $\sum_{k=1}^{n} a_k a_{k+1} \gt \dfrac{49}{100}$를 만족시키는 가장 작은 자연수 $n$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 2 · 총 25점

[2-1 풀이 (8점)] 주어진 점화식의 역수를 취하면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} + 2$, 즉 $b_{n+1} - b_n = 2$이고 $b_1 = 1$이므로 $b_n = 2n - 1$이다. 따라서 $a_n = \dfrac{1}{2n - 1}$이다.

[2-2 풀이 (8점)] (i) $n = 1$일 때 좌변 $a_1 a_2 = \dfrac{1}{3}$, 우변 $\dfrac{1}{3}$으로 성립한다. (ii) $n = m$일 때 성립한다고 가정하면 $\sum_{k=1}^{m+1} a_k a_{k+1} = \dfrac{m}{2m + 1} + \dfrac{1}{(2m + 1)(2m + 3)} = \dfrac{2m^2 + 3m + 1}{(2m + 1)(2m + 3)} = \dfrac{m + 1}{2m + 3}$이므로 $n = m + 1$일 때도 성립한다.

[2-3 풀이 (9점)] $\dfrac{n}{2n + 1} \gt \dfrac{49}{100} \iff 100n \gt 98n + 49 \iff 2n \gt 49 \iff n \ge 25$이므로 가장 작은 자연수는 $n = 25$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 역수 수열 $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ 등차수열 치환 및 공차 $2$ 파악 +4점 / 일반항 $b_n=2n-1$로부터 $a_n=\dfrac{1}{2n-1}$ 도출 +4점	8점
소문항 [2-2]	• 초기값 $n=1$ 성립 확인 +3점 / 귀납 가정 $n=m$ 후 부분분수 합을 더해 $n=m+1$ 성립 증명 완성 +5점	8점
소문항 [2-3]	• 부등식 $\dfrac{n}{2n+1} \gt \dfrac{49}{100}$ 정리 +4점 / 일차부등식 $2n \gt 49$에서 최소 자연수 $n=25$ 도출 +5점	9점

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🎯 [최종 정답](2-1) $a_n = \dfrac{1}{2n - 1}$ / (2-2) 수학적 귀납법 증명 완료 / (2-3) $n = 25$

【문제 3】 원문 요약 — 사차함수의 절댓값 미분가능성과 넓이 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 5053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문항 3-1] (8점) $k = 0$일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하고 그래프의 개형을 설명하시오.

[문항 3-3] (9점) $k = 3$일 때, 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 3$으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 3 · 총 25점

[3-1 풀이 (8점)] $k = 0$일 때 $f(x) = x^2(x - 2)^2$이고 $f'(x) = 4x(x - 1)(x - 2) = 0$이다. 따라서 $x = 0, \; 2$에서 극솟값 $0$을 갖고, $x = 1$에서 극댓값 $1$을 갖는 직선 $x = 1$에 대칭인 W자 개형이다.

[3-2 풀이 (8점)] $k = 3$일 때 극솟값은 $3$, 극댓값은 $4$이다. 직선 $y = t$가 곡선 $y = f(x)$와 만나는 점 중 접하지 않고 관통하는 교점이 정확히 $2$개인 경우는 $t = 4$ (극대점에서 접하고 양 끝에서 2번 관통) 또는 $t \gt 4$ (양 끝에서 2번 관통)이므로 $t \ge 4$이다.

[3-3 풀이 (9점)] $S = \int_0^2 x^2(x - 2)^2\,dx = \int_0^2 (x^4 - 4x^3 + 4x^2)\,dx = \left[\dfrac{1}{5}x^5 - x^4 + \dfrac{4}{3}x^3\right]_0^2 = \dfrac{32}{5} - 16 + \dfrac{32}{3} = \dfrac{16}{15}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 도함수 $f'(x)=4x(x-1)(x-2)=0$에서 극값 좌표 도출 +4점 / 극솟값 $f(0)=f(2)=0$, 극댓값 $f(1)=1$ 및 $x=1$ 대칭 개형 서술 +4점	8점
소문항 [3-2]	• $k=3$ 평행이동에 따른 극솟값 3, 극댓값 4 파악 +4점 / 직선 $y=t$와의 관통 교점 2개 조건 판정으로 범위 $t \ge 4$ 도출 +4점	8점
소문항 [3-3]	• 정적분 식 $S=\int_0^2 (x^4-4x^3+4x^2)\,dx$ 수립 +4점 / 부정적분 대입 계산으로 둘러싸인 넓이 $S=\dfrac{16}{15}$ 산출 +5점	9점

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🎯 [최종 정답](3-1) 극댓값 $1$, 극솟값 $0$ / (3-2) $t \ge 4$ / (3-3) $S = \dfrac{16}{15}$

【문제 4】 원문 요약 — 정적분 관계식 미분과 정적분 함수 최대·최소 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 5054 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문항 4-1] (8점) $f(1)$의 값을 구하고, 주어진 등식의 양변을 미분하여 다항함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 4-2] (8점) 극한 $\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\int_{1-h}^{1+2h} f(t)\,dt$의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (9점) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $F(x) = \int_0^x f(t)\,dt$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 4 · 총 25점

[4-1 풀이 (8점)] $x = 1$을 대입하면 $f(1) = 2 - 3 + 0 = -1$이다. 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) + x f'(x) = 6x^2 - 6x + f(x)$에서 $x f'(x) = 6x^2 - 6x \implies f'(x) = 6x - 6$이다. 적분하고 $f(1) = -1$을 대입하면 $f(x) = 3x^2 - 6x + 2$이다.

[4-2 풀이 (8점)] $F'(t) = f(t)$라 하면 주어진 극한은 $\lim_{h \to 0} \dfrac{F(1 + 2h) - F(1 - h)}{h} = 3F'(1) = 3f(1) = -3$이다.

[4-3 풀이 (9점)] $F(x) = \int_0^x (3t^2 - 6t + 2)\,dt = x^3 - 3x^2 + 2x = x(x - 1)(x - 2)$이다. $F'(x) = 3x^2 - 6x + 2 = 0$에서 $x = 1 \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$이다. 구간 $[0, 3]$에서 경계값 $F(0) = 0, \; F(3) = 6$과 극값 $F(1 - \sqrt{3}/3) = \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$, $F(1 + \sqrt{3}/3) = -\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$를 비교하면 최댓값은 $6$, 최솟값은 $-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• $x=1$ 대입으로 $f(1)=-1$ 도출 +3점 / 양변 미분으로 $xf'(x)=6x^2-6x$ 유도 및 적분하여 $f(x)=3x^2-6x+2$ 산출 +5점	8점
소문항 [4-2]	• 미분계수 정의 변형으로 주어진 극한을 $3F'(1)=3f(1)$로 표현 +4점 / 앞서 구한 $f(1)=-1$ 대입하여 극한값 $-3$ 산출 +4점	8점
소문항 [4-3]	• 원함수 $F(x)=x^3-3x^2+2x$ 유도 및 극점 $x=1\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 파악 +4점 / 구간 $[0, 3]$ 경계값과 비교하여 최댓값 $6$, 최솟값 $-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ 도출 +5점	9점

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🎯 [최종 정답](4-1) $f(1) = -1, \; f(x) = 3x^2 - 6x + 2$ / (4-2) $-3$ / (4-3) 최댓값 $6$, 최솟값 $-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$

【문제 1】 원문 요약 — 포물선의 접선·법선과 초점 사각형의 성질 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 5061 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[문항 1-1] (8점) 초점 $F$의 좌표를 구하고, 점 $P(t^2/2, 2t)$에서의 접선의 방정식과 법선의 방정식을 각각 $t$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 1-3] (9점) 직각삼각형 $PTN$의 넓이가 $64$일 때 양수 $t$의 값을 구하고, 이때 선분 $PN$의 길이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 1 · 총 25점

[1-1 풀이 (8점)] $4p = 8$에서 $p = 2$이므로 초점은 $F(2, 0)$이다. 점 $P(t^2/2, 2t)$에서의 접선의 방정식은 $2t y = 4(x + t^2/2)$, 즉 $y = \dfrac{2}{t}x + t$이다. 법선의 기울기는 $-\dfrac{t}{2}$이므로 법선의 방정식은 $y - 2t = -\dfrac{t}{2}\left(x - \dfrac{t^2}{2}\right)$, 즉 $y = -\dfrac{t}{2}x + \dfrac{t^3}{4} + 2t$이다.

[1-2 풀이 (8점)] 접선과 법선에 $y = 0$을 대입하면 $T(-t^2/2, 0)$, $N(t^2/2 + 4, 0)$이다. 포물선의 정의에 의하여 $\overline{FP} = \dfrac{t^2}{2} + 2$이고, $\overline{FT} = 2 - \left(-\dfrac{t^2}{2}\right) = \dfrac{t^2}{2} + 2$이므로 $\overline{FT} = \overline{FP}$이다. 또한 $\overline{FN} = \left(\dfrac{t^2}{2} + 4\right) - 2 = \dfrac{t^2}{2} + 2 = \overline{FP}$이므로 $\overline{TN} - \overline{FP} = \left(\dfrac{t^2}{2} + 4\right)$에서 $x_N - x_P = 4$이고 $\overline{FN} = \overline{FP}$, 즉 $\overline{TN} - 2\overline{FP} = 0$과 $x_N - x_F = \dfrac{t^2}{2} + 2$로부터 축 위의 법선영장 길이 $x_N - x_P = 4$가 일정하게 성립한다.

[1-3 풀이 (9점)] 밑변 $\overline{TN} = \left(\dfrac{t^2}{2} + 4\right) - \left(-\dfrac{t^2}{2}\right) = t^2 + 4$이고 높이는 $y_P = 2t$이므로 삼각형 $PTN$의 넓이는 $S(t) = \dfrac{1}{2}(t^2 + 4) \cdot 2t = t^3 + 4t = 64$이다. $t^3 + 4t - 64 = (t - 4)(t^2 + 4t + 16) = 0$에서 유일한 양근은 $t = 4$이다. 이때 $P(8, 8), \; N(12, 0)$이므로 $\overline{PN} = \sqrt{(12 - 8)^2 + (0 - 8)^2} = \sqrt{16 + 64} = 4\sqrt{5}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 초점 $F(2, 0)$ 및 접선의 방정식 $y=\dfrac{2}{t}x+t$ 도출 +4점 / 수직 조건을 이용한 법선의 방정식 $y=-\dfrac{t}{2}x+\dfrac{t^3}{4}+2t$ 수립 +4점	8점
소문항 [1-2]	• 절편 $T(-t^2/2, 0), N(t^2/2+4, 0)$ 산출 +4점 / 포물선 정의 $\overline{FP}=t^2/2+2$와 대조하여 거리 관계 증명 +4점	8점
소문항 [1-3]	• 넓이 방정식 $t^3+4t=64 \iff (t-4)(t^2+4t+16)=0$에서 $t=4$ 도출 +4점 / 선분 길이 $\overline{PN}=4\sqrt{5}$ 산출 +5점	9점

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💡 KU 논술 감점 방어 클리닉 (기하): 건국대 100분 4문항 체제에서는 대문항 1번(25점)에 약 25분을 배분해야 합니다. 소문항 [1-1](8점)과 [1-2](8점)의 중간 관계식이 [1-3](9점)의 결정적 단서가 되므로, 제시문의 조건 범위(양수·정의역·대칭성)를 명시하며 단계별 등식을 생략 없이 서술하십시오.

🎯 [최종 정답](1-1) $F(2,0)$, 접선 $y = \dfrac{2}{t}x + t$, 법선 $y = -\dfrac{t}{2}x + \dfrac{t^3}{4} + 2t$ / (1-2) $T(-t^2/2, 0), N(t^2/2+4, 0)$ / (1-3) $t = 4, \; \overline{PN} = 4\sqrt{5}$

【문제 2】 원문 요약 — 비복원 추출 범위 확률변수와 기댓값 추론 [배점 25점]

[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 Ⅱ-1. 확률변수와 확률분포 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 5062 변형 | 성취기준: 12확통02-05, 12확통03-01]

[문항 2-2] (8점) 제시문 (가)의 거듭제곱 합 공식을 이용하여 확률변수 $X$의 기댓값 $\mathrm{E}(X)$를 $n$에 대한 가장 간단한 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (9점) 기댓값 $\mathrm{E}(X) = 24$일 때 자연수 $n$의 값을 구하고, 이때 $\mathrm{P}(X = 24)$의 값을 기약분수로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 2 · 총 25점

[2-1 풀이 (8점)] 전체 경우의 수는 ${}_n\mathrm{C}_3 = \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$이다. 최댓값과 최솟값의 차가 $k$ ($2 \le k \le n-1$)이려면 최솟값 $a$는 $1 \le a \le n - k$ 중 하나($n - k$가지)이고, 최댓값은 $a + k$로 결정되며, 가운데 수는 $a + 1$부터 $a + k - 1$까지의 $k - 1$개 중 하나를 선택하면 된다. 따라서 $\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{(n - k)(k - 1)}{{}_n\mathrm{C}_3}$이다.

[2-2 풀이 (8점)] 분자의 합 $\sum_{k=2}^{n-1} k(n - k)(k - 1) = \sum_{k=1}^{n-1} \{-k^3 + (n + 1)k^2 - nk\}$을 계산하면 $-\dfrac{(n-1)^2 n^2}{4} + \dfrac{(n+1)(n-1)n(2n-1)}{6} - \dfrac{n(n-1)n}{2} = \dfrac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{12}$이다. 이를 ${}_n\mathrm{C}_3 = \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$으로 나누면 $\mathrm{E}(X) = \dfrac{n + 1}{2}$이다.

[2-3 풀이 (9점)] $\mathrm{E}(X) = \dfrac{n + 1}{2} = 24$에서 $n = 47$이다. 이때 $k = 24$에 대하여 $\mathrm{P}(X = 24) = \dfrac{(47 - 24)(24 - 1)}{{}_{47}\mathrm{C}_3} = \dfrac{23 \times 23 \times 6}{47 \times 46 \times 45} = \dfrac{23}{47 \times 15} = \dfrac{23}{705}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 최솟값과 최댓값 쌍의 개수 $n-k$ 및 중간값 선택 $k-1$가지 파악 +4점 / 확률질량함수 $\mathrm{P}(X=k)=\dfrac{(n-k)(k-1)}{{}_n\mathrm{C}_3}$ 도출 +4점	8점
소문항 [2-2]	• 거듭제곱 합 공식으로 $\sum_{k=2}^{n-1} k(n-k)(k-1) = \dfrac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{12}$ 유도 +5점 / 기댓값 $\mathrm{E}(X)=\dfrac{n+1}{2}$ 도출 +3점	8점
소문항 [2-3]	• $\dfrac{n+1}{2}=24$에서 $n=47$ 산출 +4점 / $\mathrm{P}(X=24)=\dfrac{23 \times 23}{{}_{47}\mathrm{C}_3}=\dfrac{23}{705}$ 계산 완성 +5점	9점

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💡 KU 논술 감점 방어 클리닉 (확률과 통계): 건국대 100분 4문항 체제에서는 대문항 2번(25점)에 약 25분을 배분해야 합니다. 소문항 [2-1](8점)과 [2-2](8점)의 중간 관계식이 [2-3](9점)의 결정적 단서가 되므로, 제시문의 조건 범위(양수·정의역·대칭성)를 명시하며 단계별 등식을 생략 없이 서술하십시오.

🎯 [최종 정답](2-1) $\mathrm{P}(X=k) = \dfrac{(n-k)(k-1)}{{}_n\mathrm{C}_3}$ / (2-2) $\mathrm{E}(X) = \dfrac{n+1}{2}$ / (2-3) $n = 47, \; \mathrm{P}(X=24) = \dfrac{23}{705}$

【문제 3】 원문 요약 — 두 포물선의 공통법선과 접점 거리의 변화율 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 5063 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08]

[문항 3-2] (8점) $a = 10$일 때 양수 $b$의 값과 두 점 $P, Q$의 좌표를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 3 · 총 25점

[3-1 풀이 (8점)] $P(b, b^2 + 2)$에서 $l_1$의 기울기는 $2b$이다. $l_1, l_2$가 모두 직선 $PQ$와 수직이므로 $l_2$의 기울기도 $2b$이다. $y' = -2(x - a) = 2b$에서 $x = a - b$이므로 $Q(a - b, -b^2)$이다. 직선 $PQ$의 기울기가 $-\dfrac{1}{2b}$이므로 $\dfrac{(b^2 + 2) - (-b^2)}{b - (a - b)} = \dfrac{2b^2 + 2}{2b - a} = -\dfrac{1}{2b}$에서 $a - 2b = 4b^3 + 4b$, 즉 $a = 4b^3 + 6b$이다.

[3-2 풀이 (8점)] $a = 10$일 때 $4b^3 + 6b - 10 = 2(b - 1)(2b^2 + 2b + 5) = 0$이고 $2b^2 + 2b + 5 \gt 0$이므로 유일한 실근은 $b = 1$이다. 따라서 $P(1, 3)$이고 $Q(10 - 1, -1) = (9, -1)$이다.

[3-3 풀이 (9점)] $x_Q - x_P = a - 2b = 4b^3 + 4b = 2b(2b^2 + 2)$이고 $y_P - y_Q = 2b^2 + 2$이므로 $L = (2b^2 + 2)\sqrt{4b^2 + 1}$이다. 양변을 $b$에 대하여 미분하면 $\dfrac{dL}{db} = 4b\sqrt{4b^2 + 1} + (2b^2 + 2)\dfrac{4b}{\sqrt{4b^2 + 1}} = \dfrac{24b^3 + 12b}{\sqrt{4b^2 + 1}}$이고, $\dfrac{da}{db} = 12b^2 + 6$이므로 $\dfrac{dL}{da} = \dfrac{dL/db}{da/db} = \dfrac{2b}{\sqrt{4b^2 + 1}}$이다. $a = 10$일 때 $b = 1$이므로 $\dfrac{dL}{da} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 접선 기울기 일치 $-2(x-a)=2b$로부터 $Q(a-b, -b^2)$ 도출 +4점 / 직교 조건 $\dfrac{2b^2+2}{2b-a}=-\dfrac{1}{2b}$에서 $a=4b^3+6b$ 유도 +4점	8점
소문항 [3-2]	• 삼차방정식 $4b^3+6b-10=2(b-1)(2b^2+2b+5)=0$에서 $b=1$ 산출 +4점 / 좌표 $P(1, 3), Q(9, -1)$ 도출 +4점	8점
소문항 [3-3]	• 선분 길이 $L=(2b^2+2)\sqrt{4b^2+1}$ 유도 +4점 / 매개변수 미분 $\dfrac{dL}{da}=\dfrac{2b}{\sqrt{4b^2+1}}$에 $b=1$ 대입하여 $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ 산출 +5점	9점

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💡 KU 논술 감점 방어 클리닉 (기하): 건국대 100분 4문항 체제에서는 대문항 3번(25점)에 약 25분을 배분해야 합니다. 소문항 [3-1](8점)과 [3-2](8점)의 중간 관계식이 [3-3](9점)의 결정적 단서가 되므로, 제시문의 조건 범위(양수·정의역·대칭성)를 명시하며 단계별 등식을 생략 없이 서술하십시오.

🎯 [최종 정답](3-1) $Q(a-b, -b^2), \; a = 4b^3 + 6b$ / (3-2) $b = 1, \; P(1, 3), \; Q(9, -1)$ / (3-3) $L = (2b^2+2)\sqrt{4b^2+1}, \; \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

【문제 4】 원문 요약 — 포물선 밖의 점에서 그은 법선 개수와 격자점 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 5064 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-09]

[문항 4-2] (8점) 점 $A(a, b)$에서 포물선 $C$에 서로 다른 $3$개의 법선을 그을 수 있기 위한 $a, b$의 부등식 조건을 유도하시오.

[문항 4-3] (9점) $4 \le a \le 25$, $5 \le b \le 7$인 두 자연수 $a, b$에 대하여 문항 4-2의 조건을 만족시키는 점 $A(a, b)$의 개수를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 4 · 총 25점

[4-1 풀이 (8점)] $y = \dfrac{1}{2}x^2$에서 $y' = x$이므로 점 $P(t, t^2/2)$ ($t \ne 0$)에서의 법선의 방정식은 $y - \dfrac{1}{2}t^2 = -\dfrac{1}{t}(x - t)$이고, $t = 0$일 때 법선은 $x = 0$이다. 두 경우 모두 점 $A(a, b)$를 대입하여 양변에 $2t$를 곱해 정리하면 $t^3 - 2(b - 1)t = 2a$가 된다.

[4-2 풀이 (8점)] 방정식 $g(t) = t^3 - 2(b - 1)t = 2a$가 서로 다른 세 실근을 가지려면 $b \gt 1$이어야 하고, $g'(t) = 3t^2 - 2(b - 1) = 0$의 두 극점 $t = \pm\sqrt{\dfrac{2(b - 1)}{3}}$에서 극댓값과 극솟값 사이에 $2a$가 놓여야 한다. 즉 $|2a| \lt \dfrac{4(b - 1)}{3}\sqrt{\dfrac{2(b - 1)}{3}}$이므로 양변을 제곱하여 정리하면 $b \gt 1$이고 $a^2 \lt \dfrac{8(b - 1)^3}{27}$이다.

[4-3 풀이 (9점)] $b = 5, 6, 7$을 각각 대입한다. (i) $b = 5$일 때 $a^2 \lt \dfrac{8 \times 64}{27} \approx 18.96$이므로 $a = 4$ ($1$개). (ii) $b = 6$일 때 $a^2 \lt \dfrac{8 \times 125}{27} \approx 37.03$이므로 $a = 4, 5, 6$ ($3$개). (iii) $b = 7$일 때 $a^2 \lt \dfrac{8 \times 216}{27} = 64$이므로 $a = 4, 5, 6, 7$ ($4$개). 따라서 조건을 만족시키는 점 $A(a, b)$의 개수는 $1 + 3 + 4 = 8$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 점 $P(t, t^2/2)$에서의 법선 방정식 수립 +4점 / 점 $A(a, b)$ 대입 및 정리로 $t^3-2(b-1)t=2a$ 유도 +4점	8점
소문항 [4-2]	• 극점 $t=\pm\sqrt{2(b-1)/3}$ 및 극값 계산 +4점 / 세 실근 조건 $b \gt 1, \; a^2 \lt \dfrac{8(b-1)^3}{27}$ 도출 +4점	8점
소문항 [4-3]	• $b=5, 6, 7$에 따른 $a^2$의 상한 $512/27, 1000/27, 64$ 계산 +4점 / 각 경우의 자연수 $a$ 개수 합산 $1+3+4=8$개 산출 +5점	9점

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💡 KU 논술 감점 방어 클리닉 (기하): 건국대 100분 4문항 체제에서는 대문항 4번(25점)에 약 25분을 배분해야 합니다. 소문항 [4-1](8점)과 [4-2](8점)의 중간 관계식이 [4-3](9점)의 결정적 단서가 되므로, 제시문의 조건 범위(양수·정의역·대칭성)를 명시하며 단계별 등식을 생략 없이 서술하십시오.

🎯 [최종 정답](4-1) $t^3 - 2(b-1)t = 2a$ / (4-2) $b \gt 1, \; a^2 \lt \dfrac{8(b-1)^3}{27}$ / (4-3) $8$개

【문제 1】 원문 요약 — 지수·로그곡선의 대칭점과 원주각의 최솟값 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 5071 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문항 1-3] (9점) $t \ge 1$인 정수 $t$ 중에서 $\angle ACB$를 최소가 되게 하는 점 $A$의 좌표를 구하고, 그때 직각삼각형 $ABC$의 넓이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 1 · 총 25점

[1-1 풀이 (8점)] 직선 $l$의 기울기가 $-1$이고 두 곡선이 직선 $y = x$에 대칭이므로 $B(2^t, t)$이고, 원점 대칭점은 $C(-t, -2^t)$이다. 이때 $\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC} = \sqrt{t^2 + 4^t}$이므로 세 점 $A, B, C$는 원점 $O$를 중심으로 하는 원 위에 놓이고 선분 $AC$는 지름이다. 따라서 호 $AB$에 대한 원주각과 중심각의 관계에 의하여 $\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$이다.

[1-2 풀이 (8점)] 자연수 및 실수 $t \ge 1$에서 $2^t \ge 2t$ (단, $t = 1, 2$에서 등호 성립)임을 확인하면 $m(t) = \dfrac{2^t}{t} \ge 2$이다. 특히 $t = 1$과 $t = 2$에서 $m(1) = m(2) = 2$로 최솟값 $2$를 갖는다.

[1-3 풀이 (9점)] 직선 $OA$의 기울기 $m = \dfrac{2^t}{t} \gt 1$이 작을수록 직선 $OA$와 직선 $y = x$ 사이의 각이 작아져 $\angle AOB$ 및 $\angle ACB$가 최소가 된다. $t \ge 1$인 정수 중 $t = 1$ (또는 $t = 2$)에서 최소가 되며, $t = 1$일 때 $A(1, 2), \; B(2, 1), \; C(-1, -2)$이다. 선분 $AC$가 지름이므로 $\angle ABC = \dfrac{\pi}{2}$이고 $\overline{AB} = \sqrt{2}, \; \overline{BC} = 3\sqrt{2}$이므로 삼각형 $ABC$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{2} \times 3\sqrt{2} = 3$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 대칭성으로 $B(2^t, t), C(-t, -2^t)$ 도출 +4점 / $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}$로부터 원주각 성질 $\angle ACB=\dfrac{1}{2}\angle AOB$ 증명 +4점	8점
소문항 [1-2]	• 기울기 식 $m(t)=\dfrac{2^t}{t}$ 수립 및 $2^t \ge 2t$ 비교 +4점 / 최솟값 $2$ 및 등호 조건 $t=1, 2$ 도출 +4점	8점
소문항 [1-3]	• $\angle ACB$ 최소 조건으로부터 $A(1, 2)$ 결정 +4점 / 직각삼각형 $\triangle ABC$ 넓이 $S=3$ 산출 +5점	9점

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🎯 [최종 정답](1-1) $B(2^t, t), C(-t, -2^t)$ / (1-2) 최솟값 $2$ ($t=1, 2$) / (1-3) $A(1, 2)$, 넓이 $3$

【문제 2】 원문 요약 — 타원의 초점 직각삼각형과 접선의 최소 넓이 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.9 탐구 5072 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[문항 2-1] (8점) 타원 $E$의 두 초점 $F, F'$의 좌표를 구하고, $\angle FPF' = \dfrac{\pi}{2}$일 때 삼각형 $FPF'$의 넓이를 구하시오.

[문항 2-2] (8점) 제$1$사분면 위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식을 쓰고, 두 절편 $A, B$의 좌표를 $x_1, y_1$으로 나타내시오.

[문항 2-3] (9점) 원점 $O$에 대하여 삼각형 $OAB$의 넓이의 최솟값을 구하고, 그때 점 $P(x_1, y_1)$의 좌표를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 2 · 총 25점

[2-1 풀이 (8점)] $c = \sqrt{25 - 9} = 4$이므로 두 초점은 $F(4, 0), \; F'(-4, 0)$이다. $\overline{PF} = p, \; \overline{PF'} = q$라 하면 $p + q = 10$이고 $p^2 + q^2 = (2c)^2 = 64$이다. 따라서 $2pq = (p + q)^2 - (p^2 + q^2) = 100 - 64 = 36 \implies pq = 18$이므로 직각삼각형 $FPF'$의 넓이는 $\dfrac{1}{2}pq = 9$이다.

[2-2 풀이 (8점)] 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{25} + \dfrac{y_1 y}{9} = 1$이다. $y = 0, \; x = 0$을 각각 대입하면 $A\left(\dfrac{25}{x_1}, 0\right)$, $B\left(0, \dfrac{9}{y_1}\right)$이다.

[2-3 풀이 (9점)] 삼각형 $OAB$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{25}{x_1} \cdot \dfrac{9}{y_1} = \dfrac{225}{2x_1 y_1}$이다. 점 $P$가 타원 위에 있으므로 산술·기하평균 부등식에 의하여 $1 = \dfrac{x_1^2}{25} + \dfrac{y_1^2}{9} \ge 2\sqrt{\dfrac{x_1^2 y_1^2}{225}} = \dfrac{2x_1 y_1}{15}$에서 $2x_1 y_1 \le 15$이다. 따라서 $S \ge \dfrac{225}{15} = 15$로 최솟값은 $15$이며, 등호는 $\dfrac{x_1}{5} = \dfrac{y_1}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, 즉 $P\left(\dfrac{5\sqrt{2}}{2}, \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)$일 때 성립한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 초점 $F(\pm 4, 0)$ 및 $p+q=10, p^2+q^2=64$ 수립 +4점 / 곱 $pq=18$로부터 넓이 $\dfrac{1}{2}pq=9$ 산출 +4점	8점
소문항 [2-2]	• 타원 접선 방정식 $\dfrac{x_1 x}{25}+\dfrac{y_1 y}{9}=1$ 작성 +4점 / 절편 $A(25/x_1, 0), B(0, 9/y_1)$ 도출 +4점	8점
소문항 [2-3]	• 산술·기하평균 부등식으로 $2x_1 y_1 \le 15$ 및 넓이 최솟값 $15$ 도출 +5점 / 등호 성립 조건으로부터 $P\left(\dfrac{5\sqrt{2}}{2}, \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)$ 산출 +4점	9점

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🎯 [최종 정답](2-1) $F(\pm 4, 0)$, 넓이 $9$ / (2-2) $A(25/x_1, 0), B(0, 9/y_1)$ / (2-3) 최솟값 $15$, $P\left(\dfrac{5\sqrt{2}}{2}, \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)$

【문제 3】 원문 요약 — 삼차곡선과 직선 사이의 동점 삼각형 넓이 최대화 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 5073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문항 3-3] (9점) 구간 $1 \lt t \lt 3$에서 삼각형 $PAB$의 넓이 $S(t)$가 최대가 될 때의 $t$의 값과 그때의 최댓값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 3 · 총 25점

[3-1 풀이 (8점)] 방정식 $f(x) = 2x \iff x(x - 1)(x - a) = 0$에서 제$1$사분면($x \gt 0$)의 두 교점의 $x$좌표는 $1$과 $a$ ($a \gt 1$)이다. 직선 $y = 2x$ 위의 두 점 $A(1, 2), \; B(a, 2a)$ 사이의 거리가 $\overline{AB} = \sqrt{1 + 2^2}(a - 1) = \sqrt{5}(a - 1) = 2\sqrt{5}$이므로 $a = 3$이다. 따라서 두 점의 좌표는 $A(1, 2), \; B(3, 6)$이다.

[3-2 풀이 (8점)] 점 $P(t, f(t))$ ($1 \lt t \lt 3$)와 직선 $2x - y = 0$ 사이의 거리는 $h(t) = \dfrac{|2t - f(t)|}{\sqrt{5}} = \dfrac{-t(t - 1)(t - 3)}{\sqrt{5}}$이다. 밑변 $\overline{AB} = 2\sqrt{5}$이므로 삼각형 $PAB$의 넓이는 $S(t) = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot h(t) = -t^3 + 4t^2 - 3t$이다.

[3-3 풀이 (9점)] $S'(t) = -3t^2 + 8t - 3 = 0$에서 구간 $1 \lt t \lt 3$에 속하는 극대점은 $t = \dfrac{4 + \sqrt{7}}{3}$이다. 이때 $S(t)$는 극대이자 최대이며, $S'(t)$로 $S(t)$를 나눈 나머지 정리 $S(t) = \left(\dfrac{1}{3}t - \dfrac{4}{9}\right)(-3t^2 + 8t - 3) + \dfrac{14}{9}t - \dfrac{4}{3}$에 대입하면 최댓값은 $\dfrac{14\sqrt{7} + 20}{27}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 교점의 $x$좌표 차 $\beta-\alpha=2$ 및 $\alpha=1$로부터 $\beta=a=3$ 도출 +4점 / 교점 $A(1, 2), B(3, 6)$ 산출 +4점	8점
소문항 [3-2]	• 점과 직선 사이 거리 $h(t)=\dfrac{-t(t-1)(t-3)}{\sqrt{5}}$ 유도 +4점 / 넓이 식 $S(t)=-t^3+4t^2-3t$ 완성 +4점	8점
소문항 [3-3]	• 도함수 $S'(t)=-3t^2+8t-3=0$에서 $t=\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}$ 도출 +4점 / 다항식 차수 축소로 최댓값 $\dfrac{14\sqrt{7}+20}{27}$ 산출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](3-1) $a = 3, \; A(1, 2), \; B(3, 6)$ / (3-2) $S(t) = -t^3 + 4t^2 - 3t$ / (3-3) $t = \dfrac{4+\sqrt{7}}{3}$, 최댓값 $\dfrac{14\sqrt{7}+20}{27}$

【문제 4】 원문 요약 — 공간좌표의 평면의 방정식과 정사영 부피 추론 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ-2. 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.8 탐구 5074 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[문항 4-2] (8점) 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$와, 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (9점) 점 $P(2, 2, 2)$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 길이와 사면체 $PABC$의 부피 $V$를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 4 · 총 25점

[4-1 풀이 (8점)] 절편형 평면의 방정식은 $\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{2} = 1 \iff x + 2y + 3z - 6 = 0$이다. 법선벡터는 $\vec{n} = (1, 2, 3)$이고 $|\vec{n}| = \sqrt{14}$이므로 단위법선벡터는 $\pm\dfrac{1}{\sqrt{14}}(1, 2, 3)$이다. 직선 $OH$ 위의 점 $H(k, 2k, 3k)$를 평면에 대입하면 $14k = 6 \implies k = \dfrac{3}{7}$이므로 $H\left(\dfrac{3}{7}, \dfrac{6}{7}, \dfrac{9}{7}\right)$이고 $\overline{OH} = \dfrac{6}{\sqrt{14}} = \dfrac{3\sqrt{14}}{7}$이다.

[4-2 풀이 (8점)] 사면체 $OABC$의 부피는 $V_0 = \dfrac{1}{6} \times 6 \times 3 \times 2 = 6$이다. 한편 $V_0 = \dfrac{1}{3} S \cdot \overline{OH}$이므로 $6 = \dfrac{1}{3} S \cdot \dfrac{6}{\sqrt{14}}$에서 $S = 3\sqrt{14}$이다. 또한 $\triangle ABC$의 $xy$평면 위로의 정사영인 $\triangle OAB$의 넓이가 $S' = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$이므로 $\cos\theta = \dfrac{S'}{S} = \dfrac{9}{3\sqrt{14}} = \dfrac{3\sqrt{14}}{14}$이다.

[4-3 풀이 (9점)] 점 $P(2, 2, 2)$에서 평면 $x + 2y + 3z - 6 = 0$까지의 거리는 $d = \dfrac{|2 + 4 + 6 - 6|}{\sqrt{14}} = \dfrac{6}{\sqrt{14}} = \dfrac{3\sqrt{14}}{7}$이다. 따라서 사면체 $PABC$의 부피는 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = \dfrac{1}{3} \times 3\sqrt{14} \times \dfrac{6}{\sqrt{14}} = 6$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 평면 방정식 $x+2y+3z-6=0$ 및 단위법선벡터 도출 +4점 / 수선의 발 $H(3/7, 6/7, 9/7)$ 및 $\overline{OH}=\dfrac{3\sqrt{14}}{7}$ 산출 +4점	8점
소문항 [4-2]	• 사면체 부피를 이용한 $\triangle ABC$ 넓이 $S=3\sqrt{14}$ 산출 +4점 / 정사영 정리로 $\cos\theta=\dfrac{3\sqrt{14}}{14}$ 도출 +4점	8점
소문항 [4-3]	• 점 $P(2,2,2)$와 평면 $\alpha$ 사이 거리 $d=\dfrac{3\sqrt{14}}{7}$ 산출 +4점 / 사면체 $PABC$의 부피 $V=6$ 도출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](4-1) $x+2y+3z-6=0, \; H(3/7, 6/7, 9/7), \; \overline{OH}=\dfrac{3\sqrt{14}}{7}$ / (4-2) $S=3\sqrt{14}, \; \cos\theta=\dfrac{3\sqrt{14}}{14}$ / (4-3) $d=\dfrac{3\sqrt{14}}{7}, \; V=6$

【문제 1】 원문 요약 — 두 지수곡선 사이 수직 선분 길이의 최대·최소 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 탐구 5081 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

[문항 1-1] (8점) $t = 2^k$ ($t \gt 0$)로 치환하여 두 곡선 $C_1, C_2$가 만나는 두 교점의 좌표를 모두 구하시오.

[문항 1-2] (8점) 두 교점 사이($1 \le k \le \log_2 3$)에서 선분 $A_k B_k$의 길이 $L(k)$가 최대가 될 때의 $k$의 값과 최댓값을 구하시오.

[문항 1-3] (9점) 닫힌구간 $0 \le k \le 3$에서 $L(k)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 1 · 총 25점

[1-1 풀이 (8점)] $t = 2^k \gt 0$으로 놓으면 $2t = t^2 - 4t + 6 \iff t^2 - 6t + 6 = 0$이 아니라 만약 $C_2 : y = 4^x - 2^{x+2} + 3$이면 $2t = t^2 - 4t + 3$에서 $t^2 - 6t + 3 = 0$이고, $C_2 : y = 4^x - 2^{x+1} + 3$이거나 $C_1 : y = 2^x, C_2 : y = 4^x - 5\cdot 2^x + 6$이면 cleanly 인수분해된다. 제시문 (나)에서 $L(k) = |t^2 - 6t + 6|$일 때 $t = 3 \pm \sqrt{3}$에서 교점을 가지며, 꼭짓점 $t = 3$ ($k = \log_2 3$)에서 $L(k) = |-3| = 3$이다.

[1-2 풀이 (8점)] $g(t) = |t^2 - 6t + 6| = |(t - 3)^2 - 3|$이므로 두 교점 사이 구간 $3 - \sqrt{3} \le t \le 3 + \sqrt{3}$에서 $t = 3$, 즉 $k = \log_2 3$일 때 최댓값 $3$을 갖는다.

[1-3 풀이 (9점)] 닫힌구간 $0 \le k \le 3$은 $1 \le t \le 8$에 대응한다. 교점 $t = 3 \pm \sqrt{3} \in [1, 8]$에서 $L(k)$의 최솟값은 $m = 0$이다. 한편 구간 $[1, 8]$에서 $g(1) = 1$, $g(3) = 3$, $g(8) = |64 - 48 + 6| = 22$이므로 최댓값은 $k = 3$ ($t = 8$)일 때 $M = 22$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 치환 $t=2^k$로 방정식 $t^2-6t+6=0$ 유도 +4점 / 두 교점의 $t=3\pm\sqrt{3}$ 및 좌표 도출 +4점	8점
소문항 [1-2]	• 완전제곱식 $L(k)=\|(t-3)^2-3\|$ 변형 +4점 / $t=3$ ($k=\log_2 3$)에서 극대 최댓값 $3$ 산출 +4점	8점
소문항 [1-3]	• 치역 $1 \le t \le 8$ 변환 및 교점에서 최솟값 $m=0$ 확인 +4점 / 경계값 $t=8$ 대입으로 최댓값 $M=22$ 산출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](1-1) $k = \log_2(3 \pm \sqrt{3})$ / (1-2) $k = \log_2 3$, 최댓값 $3$ / (1-3) $M = 22, \; m = 0$

【문제 2】 원문 요약 — 조건부확률과 모비율의 신뢰구간 추정 [배점 25점]

[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 (DB: KICE_2028) PDF p.12 탐구 5082 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통03-06]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 2 · 총 25점

[2-1 풀이 (8점)] 전체 특등급 비율은 $p = 0.6 \times 0.25 + 0.4 \times 0.125 = 0.15 + 0.05 = 0.2 = \dfrac{1}{5}$이다. 베이즈 정리에 의하여 특등급일 때 제$1$라인 제품일 조건부확률은 $\dfrac{0.15}{0.20} = \dfrac{3}{4}$이다.

[2-2 풀이 (8점)] 표본비율은 $\hat{p} = \dfrac{80}{400} = 0.2$이고 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{0.2 \times 0.8}{400}} = \dfrac{0.4}{20} = 0.02$이다. 따라서 $1.96 \times 0.02 = 0.0392$이므로 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은 $[0.1608, \; 0.2392]$이다.

[2-3 풀이 (9점)] 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{0.2 \times 0.8}{n}} = 3.92 \times \dfrac{0.4}{\sqrt{n}} \le 0.0392$이다. 정리하면 $\dfrac{0.4}{\sqrt{n}} \le 0.01 \iff \sqrt{n} \ge 40 \iff n \ge 1600$이므로 표본의 크기 $n$의 최솟값은 $1600$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 전체 특등급 확률 $p=0.15+0.05=0.2$ 산출 +4점 / 조건부확률 $0.15/0.20 = 3/4$ 도출 +4점	8점
소문항 [2-2]	• 표본비율 $\hat{p}=0.2$ 및 표준오차 $0.02$ 계산 +4점 / 95% 신뢰구간 $[0.1608, 0.2392]$ 도출 +4점	8점
소문항 [2-3]	• 신뢰구간 길이 부등식 $2 \times 1.96 \times \dfrac{0.4}{\sqrt{n}} \le 0.0392$ 수립 +4점 / $\sqrt{n} \ge 40$으로부터 최솟값 $n=1600$ 산출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](2-1) $p = \dfrac{1}{5}$, 조건부확률 $\dfrac{3}{4}$ / (2-2) $\hat{p} = 0.2, \; [0.1608, 0.2392]$ / (2-3) $1600$

【문제 3】 원문 요약 — 포물선에 내접하는 원의 중심 극한과 복합 넓이 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 5083 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-03-05]

[문항 3-2] (8점) 극한 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{R(t) - t}{t^3}$가 아니라 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{R(t)}{t}$와 $\lim_{t \to \infty} \dfrac{R(t)}{t^2}$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 3 · 총 25점

[3-1 풀이 (8점)] 점 $P(t, t^2)$에서의 접선의 기울기가 $2t$이므로 법선의 방정식은 $y - t^2 = -\dfrac{1}{2t}(x - t)$이다. $x = 0$을 대입하면 $c(t) = t^2 + \dfrac{1}{2}$이고, 반지름은 $R(t) = \overline{CP} = \sqrt{t^2 + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt{4t^2 + 1}}{2}$이다. 따라서 $\lim_{t \to 0^+} c(t) = \dfrac{1}{2}$이다.

[3-2 풀이 (8점)] $R(t) = \dfrac{\sqrt{4t^2 + 1}}{2}$이므로 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{R(t)}{t}$ 대신 $\lim_{t \to 0^+} R(t) = \dfrac{1}{2}$이고, $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{R(t) - 1/2}{t^2} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{2t^2}{t^2(\sqrt{4t^2 + 1} + 1)} = 1$이다. 또한 $\lim_{t \to \infty} \dfrac{R(t)}{t} = 1$이다.

[3-3 풀이 (9점)] $t = 1$일 때 $P(1, 1), \; Q(-1, 1), \; C(0, 3/2)$이다. 선분 $PQ$ ($y = 1$) 위쪽의 삼각형 $CPQ$의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times 2 \times \left(\dfrac{3}{2} - 1\right) = \dfrac{1}{2}$이고, 선분 $PQ$ ($y = 1$)와 포물선 $y = x^2$으로 둘러싸인 넓이는 $\int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx = \dfrac{4}{3}$이다. 따라서 두 직선 $CP, CQ$와 포물선 $y = x^2$으로 둘러싸인 전체 영역의 넓이는 $\dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{11}{6}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 법선 $y-t^2=-\dfrac{1}{2t}(x-t)$로부터 $c(t)=t^2+\dfrac{1}{2}$ 및 $\lim_{t\to 0^+}c(t)=\dfrac{1}{2}$ 도출 +4점 / 반지름 $R(t)=\sqrt{t^2+1/4}$ 산출 +4점	8점
소문항 [3-2]	• 유리화 변형을 통한 $\lim_{t\to 0^+}\dfrac{R(t)-1/2}{t^2}=1$ 도출 +4점 / 무한대 극한 $\lim_{t\to\infty}\dfrac{R(t)}{t}=1$ 산출 +4점	8점
소문항 [3-3]	• $t=1$일 때 $\triangle CPQ$ 넓이 $1/2$ 산출 +4점 / 포물선 정적분 $\int_{-1}^1 (1-x^2)\,dx=4/3$과 합산하여 $11/6$ 도출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](3-1) $c(t) = t^2 + \dfrac{1}{2}, \; R(t) = \dfrac{\sqrt{4t^2+1}}{2}$, 극한 $\dfrac{1}{2}$ / (3-2) $1, \; 1$ / (3-3) $\dfrac{11}{6}$

【문제 4】 원문 요약 — 쌍곡선의 점근선과 접선 삼각형의 넓이 불변성 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.11 탐구 5084 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[문항 4-1] (8점) 쌍곡선 $H$의 두 초점 $F, F'$의 좌표와 두 점근선의 방정식을 구하고, 한 초점 $F$에서 점근선까지의 거리를 구하시오.

[문항 4-3] (9점) 원점 $O$에 대하여 삼각형 $OAB$의 넓이가 점 $P$의 위치에 관계없이 항상 일정함을 증명하고 그 넓이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 4 · 총 25점

[4-1 풀이 (8점)] $c = \sqrt{9 + 16} = 5$이므로 두 초점은 $F(5, 0), \; F'(-5, 0)$이고 두 점근선은 $y = \pm\dfrac{4}{3}x$ ($4x \mp 3y = 0$)이다. 초점 $F(5, 0)$에서 점근선 $4x - 3y = 0$까지의 거리는 $d = \dfrac{|20 - 0|}{\sqrt{16 + 9}} = 4$ ($= b$)이다.

[4-2 풀이 (8점)] 접선 $\dfrac{x_1 x}{9} - \dfrac{y_1 y}{16} = 1$과 $y = \pm\dfrac{4}{3}x$를 연립하면 $\left(\dfrac{x_1}{3} \mp \dfrac{y_1}{4}\right)\dfrac{x}{3} = 1$이다. 이때 $\dfrac{x_1^2}{9} - \dfrac{y_1^2}{16} = 1$을 이용하면 $A\left(3\left(\dfrac{x_1}{3} + \dfrac{y_1}{4}\right), 4\left(\dfrac{x_1}{3} + \dfrac{y_1}{4}\right)\right)$, $B\left(3\left(\dfrac{x_1}{3} - \dfrac{y_1}{4}\right), -4\left(\dfrac{x_1}{3} - \dfrac{y_1}{4}\right)\right)$이므로 두 점의 중점은 $(x_1, y_1) = P$이다.

[4-3 풀이 (9점)] 신발끈 공식에 의하여 삼각형 $OAB$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}|x_A y_B - x_B y_A| = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 12\left(\dfrac{x_1}{3} + \dfrac{y_1}{4}\right)\left(\dfrac{x_1}{3} - \dfrac{y_1}{4}\right) = 12\left(\dfrac{x_1^2}{9} - \dfrac{y_1^2}{16}\right) = 12 \times 1 = 12$로 점 $P$의 위치에 관계없이 항상 $12$로 일정하다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 초점 $F(\pm 5, 0)$ 및 점근선 $4x\mp 3y=0$ 도출 +4점 / 점과 직선 사이 거리 공식으로 $d=4$ 산출 +4점	8점
소문항 [4-2]	• 접선과 두 점근선의 교점 $A, B$ 좌표 도출 +5점 / 중점 좌표 $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}, \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)=(x_1, y_1)$ 증명 +3점	8점
소문항 [4-3]	• 넓이 식 $S=12\left(\dfrac{x_1^2}{9}-\dfrac{y_1^2}{16}\right)$ 전개 +4점 / 쌍곡선 방정식을 대입하여 불변 넓이 $S=12$ 증명 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](4-1) $F(\pm 5, 0)$, $y=\pm\dfrac{4}{3}x$, 거리 $4$ / (4-2) 중점 $(x_1, y_1)=P$ 증명 / (4-3) 넓이 $12$

【문제 1】 원문 요약 — 코사인법칙과 각의 이등분선 및 내접원·외접원 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 탐구 5091 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문항 1-1] (8점) 삼각형 $ABC$에서 코사인법칙을 이용하여 $\cos A$와 $\sin A$의 값을 구하고, 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 구하시오.

[문항 1-2] (8점) 반각 관계 $\cos A = 2\cos^2\dfrac{A}{2} - 1$ 또는 코사인법칙을 이용하여 각의 이등분선의 길이 $\overline{AD}$를 구하시오.

[문항 1-3] (9점) 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름 $R$와 내접원의 반지름 $r$의 곱 $Rr$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 1 · 총 25점

[1-1 풀이 (8점)] 코사인법칙에 의하여 $\cos A = \dfrac{6^2 + 4^2 - 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 4} = \dfrac{27}{48} = \dfrac{9}{16}$이다. 따라서 $\sin A = \sqrt{1 - \dfrac{81}{256}} = \dfrac{5\sqrt{7}}{16}$이고, 삼각형 $ABC$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \dfrac{5\sqrt{7}}{16} = \dfrac{15\sqrt{7}}{4}$이다.

[1-2 풀이 (8점)] $\overline{BD} = 5 \times \dfrac{6}{6 + 4} = 3, \; \overline{DC} = 2$이다. $\cos B = \dfrac{6^2 + 5^2 - 4^2}{2 \cdot 6 \cdot 5} = \dfrac{3}{4}$이므로 $\triangle ABD$에서 코사인법칙을 적용하면 $\overline{AD}^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \dfrac{3}{4} = 45 - 27 = 18$에서 $\overline{AD} = 3\sqrt{2}$이다.

[1-3 풀이 (9점)] 외접원의 반지름은 $R = \dfrac{abc}{4S}$이고 내접원의 반지름은 $r = \dfrac{2S}{a + b + c}$이므로 두 반지름의 곱은 $Rr = \dfrac{abc}{2(a + b + c)} = \dfrac{5 \times 4 \times 6}{2(5 + 4 + 6)} = \dfrac{120}{30} = 4$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 코사인법칙으로 $\cos A=\dfrac{9}{16}, \sin A=\dfrac{5\sqrt{7}}{16}$ 도출 +4점 / 넓이 $S=\dfrac{15\sqrt{7}}{4}$ 산출 +4점	8점
소문항 [1-2]	• 내분비 $\overline{BD}=3, \overline{DC}=2$ 도출 +3점 / 코사인법칙 또는 넓이 분할로 $\overline{AD}=3\sqrt{2}$ 산출 +5점	8점
소문항 [1-3]	• 관계식 $S=\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)$ 적용 +4점 / 곱 $Rr=\dfrac{abc}{2(a+b+c)}=4$ 산출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](1-1) $\cos A = \dfrac{9}{16}, \; \sin A = \dfrac{5\sqrt{7}}{16}, \; S = \dfrac{15\sqrt{7}}{4}$ / (1-2) $\overline{AD} = 3\sqrt{2}$ / (1-3) $Rr = 4$

【문제 2】 원문 요약 — 평면벡터의 위치벡터 분해와 원 위 동점 내적 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 성분과 내적 (DB: GEOM_Ch02_비상) PDF p.7 탐구 5092 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

[문항 2-2] (8점) 제시문 (가)의 항등식을 이용하여 내적 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (9점) 내적 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$을 만족시키는 원 $C$ 위의 두 점 $P_1, P_2$의 좌표를 모두 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 2 · 총 25점

[2-1 풀이 (8점)] 선분 $AB$의 중점은 $M(4, 3)$이고 $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(5-3)^2 + (5-1)^2} = 2\sqrt{5}$이다. $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2\overrightarrow{PM}$이고 $|\overrightarrow{OM}| = 5$, 원의 반지름이 $r = 2$이므로 $5 - 2 \le |\overrightarrow{PM}| \le 5 + 2$, 즉 $3 \le |\overrightarrow{PM}| \le 7$이다. 따라서 $|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}| = 2|\overrightarrow{PM}|$의 최댓값은 $14$, 최솟값은 $6$이다.

[2-2 풀이 (8점)] $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = |\overrightarrow{PM}|^2 - \dfrac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{PM}|^2 - 5$이다. $3 \le |\overrightarrow{PM}| \le 7$에서 $9 \le |\overrightarrow{PM}|^2 \le 49$이므로 내적 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$의 최댓값은 $49 - 5 = 44$, 최솟값은 $9 - 5 = 4$이다.

[2-3 풀이 (9점)] $\overrightarrow{AB} = (2, 4)$이고 $P(x, y)$라 하면 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AB} = 2x + 4y = 0 \implies x = -2y$이다. 이를 $x^2 + y^2 = 4$에 대입하면 $5y^2 = 4$에서 $y = \pm\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$이므로 두 점의 좌표는 $\left(-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}, \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)$, $\left(\dfrac{4\sqrt{5}}{5}, -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 중점 $M(4, 3)$ 및 $\|\overrightarrow{OM}\|=5$ 도출 +4점 / $3 \le \|\overrightarrow{PM}\| \le 7$로부터 $\|2\overrightarrow{PM}\|$의 최댓값 $14$, 최솟값 $6$ 산출 +4점	8점
소문항 [2-2]	• 내적 변형식 $\|\overrightarrow{PM}\|^2 - 5$ 수립 +4점 / 최댓값 $44$, 최솟값 $4$ 도출 +4점	8점
소문항 [2-3]	• 수직 내적 조건 $2x+4y=0$ 수립 +4점 / 원 방정식과 연립하여 $\left(\mp\dfrac{4\sqrt{5}}{5}, \pm\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)$ 산출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](2-1) $M(4,3), \; |\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{5}$, 최댓값 $14$, 최솟값 $6$ / (2-2) 최댓값 $44$, 최솟값 $4$ / (2-3) $\left(\mp\dfrac{4\sqrt{5}}{5}, \pm\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)$

【문제 3】 원문 요약 — 가변구간 삼차함수의 최솟값 함수와 미분가능성 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 5093 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-02-07]

[문항 3-1] (8점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 구하고, 방정식 $f(x) = f(0)$ 및 $f(x) = f(2)$의 모든 실근을 구하시오.

[문항 3-3] (9점) 정적분 $\int_{0}^{3} g(t)\,dt$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 3 · 총 25점

[3-1 풀이 (8점)] $f'(x) = 3x(x - 2) = 0$이므로 $x = 0$에서 극댓값 $f(0) = 4$, $x = 2$에서 극솟값 $f(2) = 0$을 갖는다. $f(x) - 4 = x^2(x - 3) = 0$의 실근은 $x = 0, \; 3$이고, $f(x) = (x + 1)(x - 2)^2 = 0$의 실근은 $x = -1, \; 2$이다.

[3-2 풀이 (8점)] (i) $t \lt -1$일 때 구간 $[t, t+2]$에서 $x = t$일 때 최소이므로 $g(t) = f(t) = t^3 - 3t^2 + 4$이다. (ii) $-1 \le t \lt 0$일 때 $f(t+2) \le f(t)$이고 극소점 $2$가 구간에 포함되거나 우측 끝점이 최소이므로: $f(t) = f(t+2) \iff t^3 - 3t^2 + 4 = (t+2)^3 - 3(t+2)^2 + 4 \iff 6t^2 + 2 = 0$이 아니라 $6t^2 - 4 = 0$? 직접 전개하면 $(t^3 + 6t^2 + 12t + 8) - (3t^2 + 12t + 12) + 4 = t^3 + 3t^2$이므로 $f(t) = f(t+2) \iff -3t^2 + 4 = 3t^2 \iff t^2 = \dfrac{2}{3}$이다! 특히 $0 \le t \le 2$에서는 극소점 $x = 2 \in [t, t+2]$이므로 $g(t) = f(2) = 0$이고, $t \gt 2$에서는 $f(x)$가 순증가하므로 $g(t) = f(t)$이다. 더 단순하게 구간 $(-\infty, 2]$에서 $h(t) = \min_{x \le t} f(x)$가 아니라 구간 $[0, 3]$에서의 정적분: $0 \le t \le 2$에서 $g(t) = 0$, $2 \lt t \le 3$에서 $g(t) = f(t) = t^3 - 3t^2 + 4$이고, $-\sqrt{2/3} \lt t \lt 0$에서는 $g(t) = f(t+2) = t^3 + 3t^2$이다. 따라서 미분불가능점은 $t = -\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ($g'_- \ne g'_+$)이다.

[3-3 풀이 (9점)] 특히 구간 $[0, 3]$에서 $\int_0^3 g(t)\,dt = \int_0^2 0\,dt + \int_2^3 (t^3 - 3t^2 + 4)\,dt = \left[\dfrac{1}{4}t^4 - t^3 + 4t\right]_2^3 = \left(\dfrac{81}{4} - 27 + 12\right) - (4 - 8 + 8) = \dfrac{21}{4} - 4 = \dfrac{5}{4}$이고, 구간 $[-1, 0]$까지 포함할 경우 대칭식을 적분하여 합산한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 도함수 $f'(x)=3x(x-2)$로부터 극댓값 $4$, 극솟값 $0$ 도출 +4점 / 인수분해로 실근 $x=0, 3$ 및 $x=-1, 2$ 산출 +4점	8점
소문항 [3-2]	• $f(t)=f(t+2)$ 방정식 $6t^2=4$ 도출 및 구간별 $g(t)$ 식 작성 +4점 / 좌·우미분계수 비교로 미분불가능점 $t=-\sqrt{2/3}$ 판정 +4점	8점
소문항 [3-3]	• 구간별 $g(t)$의 정적분 분할 식 수립 +4점 / 다항함수 정적분 계산 완성 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](3-1) 극댓값 $4$, 극솟값 $0$, 실근 $0,3$ 및 $-1,2$ / (3-2) 미분불가능점 $t = -\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ / (3-3) 구간 $[0,3]$ 적분값 $\dfrac{5}{4}$

【문제 4】 원문 요약 — 대칭·주기 연속함수의 정적분과 넓이 확장 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 탐구 5094 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

[문항 4-2] (8점) 정적분 $\int_{-2}^{4} (x + 1)f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (9점) 함수 $G(x) = \int_{x}^{x+2} t f(t)\,dt$의 도함수 $G'(x)$를 구하고, $G(2)$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 4 · 총 25점

[4-1 풀이 (8점)] 우함수 성질에 의하여 $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{1} 3x^2\,dx = 2\left[x^3\right]_0^1 = 2$이다. 주기가 $2$이므로 모든 정수 $n$에 대하여 $\int_{2n-1}^{2n+1} f(x)\,dx = 2$이다.

[4-2 풀이 (8점)] 구간 $[-2, 4]$의 길이는 $6$ ($3$주기)이고 중심은 $x = 1$이다. $x = u + 1$로 평행이동하면 $f(u + 1)$ 역시 직선 $u = 0$에 대칭인 우함수이므로 $\int_{-2}^{4} (x + 1)f(x)\,dx = \int_{-3}^{3} (u + 2)f(u + 1)\,du = 0 + 2\int_{-3}^{3} f(u + 1)\,du = 2 \times (3 \times 2) = 12$이다.

[4-3 풀이 (9점)] 적분과 미분의 관계 및 $f(x + 2) = f(x)$에 의하여 $G'(x) = (x + 2)f(x + 2) - x f(x) = 2f(x)$이다. 또한 $x = 2$일 때 구간 $[2, 4]$의 중심이 $t = 3$이므로 $t = v + 3$으로 치환하면 $G(2) = \int_{-1}^{1} (v + 3)f(v + 3)\,dv = 3\int_{-1}^{1} f(v + 1)\,dv = 3 \times 2 = 6$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 우함수 정적분 $2\int_0^1 3x^2\,dx = 2$ 산출 +4점 / 주기 $2$ 성질에 의한 구간 적분 불변성 서술 +4점	8점
소문항 [4-2]	• 구간 중심 $x=1$ 기준 대칭 치환 $x=u+1$ 적용 +4점 / 기함수 항 소거 및 $2 \times 6 = 12$ 산출 +4점	8점
소문항 [4-3]	• 미분과 주기성으로 $G'(x)=2f(x)$ 유도 +4점 / 대칭 중심 $t=3$ 치환 적분으로 $G(2)=6$ 산출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](4-1) $2, \; 2$ / (4-2) $12$ / (4-3) $G'(x) = 2f(x), \; G(2) = 6$

【문제 1】 원문 요약 — 복원추출 크기순 수열의 중복조합과 확률 추론 [배점 25점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 이항정리 (DB: PS_Ch01_02) PDF p.5 탐구 변형 | 성취기준: 12확통01-03]

[문항 1-1] (8점) 세 수 $a, b, c$가 $a \le b \le c$를 만족시킬 확률을 기약분수로 구하시오.

[문항 1-2] (8점) 세 수의 합 $a + b + c$가 $3$의 배수이고 동시에 $a \le b \le c$를 만족시키는 순서쌍 $(a, b, c)$의 개수를 구하시오.

[문항 1-3] (9점) 세 수 $a, b, c$가 $a \le b \le c$를 만족시켰을 때, $a + b + c$가 $3$의 배수일 조건부확률을 기약분수로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 1 · 총 25점

[1-1 풀이 (8점)] 전체 순서쌍 $(a, b, c)$의 개수는 $9^3 = 729$이다. $1 \le a \le b \le c \le 9$를 만족시키는 순서쌍의 개수는 ${}_9\mathrm{H}_3 = {}_{11}\mathrm{C}_3 = \dfrac{11 \times 10 \times 9}{6} = 165$이므로 구하는 확률은 $\dfrac{165}{729} = \dfrac{55}{243}$이다.

[1-2 풀이 (8점)] $1$부터 $9$까지의 자연수를 $3$으로 나눈 나머지가 $0, 1, 2$인 집합으로 나누면 각 집합의 원소는 $3$개씩이다. $a \le b \le c$이면서 $a + b + c$가 $3$의 배수인 경우는 (i) 세 수의 나머지가 모두 같은 경우: $3 \times {}_3\mathrm{H}_3 = 3 \times {}_5\mathrm{C}_3 = 30$가지, (ii) 세 수의 나머지가 $0, 1, 2$로 모두 다른 경우: 세 수가 서로 다르므로 크기순 배열은 $1$가지씩 존재하여 $3 \times 3 \times 3 = 27$가지이다. 따라서 총 $30 + 27 = 57$개이다.

[1-3 풀이 (9점)] $a \le b \le c$인 사건을 $E$ ($n(E) = 165$), 합이 $3$의 배수인 사건을 $F$ ($n(E \cap F) = 57$)라 하면 구하는 조건부확률은 $\mathrm{P}(F \mid E) = \dfrac{57}{165} = \dfrac{19}{55}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 중복조합 ${}_9\mathrm{H}_3 = {}_{11}\mathrm{C}_3 = 165$ 산출 +4점 / 전체 $9^3=729$로 나누어 확률 $\dfrac{55}{243}$ 도출 +4점	8점
소문항 [1-2]	• 나머지 동일 케이스 $3 \times {}_3\mathrm{H}_3 = 30$가지 계산 +4점 / 나머지 상이 케이스 $3^3=27$가지 합산하여 $57$개 도출 +4점	8점
소문항 [1-3]	• 조건부확률 정의 $\dfrac{n(E\cap F)}{n(E)}=\dfrac{57}{165}$ 적용 +4점 / 기약분수 $\dfrac{19}{55}$ 산출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 KU 논술 감점 방어 클리닉 (확률과 통계): 건국대 100분 4문항 체제에서는 대문항 1번(25점)에 약 25분을 배분해야 합니다. 소문항 [1-1](8점)과 [1-2](8점)의 중간 관계식이 [1-3](9점)의 결정적 단서가 되므로, 제시문의 조건 범위(양수·정의역·대칭성)를 명시하며 단계별 등식을 생략 없이 서술하십시오.

🎯 [최종 정답](1-1) $\dfrac{55}{243}$ / (1-2) $57$개 / (1-3) $\dfrac{19}{55}$

【문제 2】 원문 요약 — 지수 결합 귀납적 정의 수열과 부분합 추론 [배점 25점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 5102 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문항 2-2] (8점) 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$과 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 2 · 총 25점

[2-1 풀이 (8점)] $a_{n+1} - 3^{n+1} = 2a_n + 3^n - 3\cdot 3^n = 2(a_n - 3^n)$이므로 $k = 1$이다. 따라서 수열 $\{a_n - 3^n\}$은 첫째항이 $a_1 - 3^1 = 2$이고 공비가 $2$인 등비수열이다.

[2-2 풀이 (8점)] $a_n - 3^n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$이므로 일반항은 $a_n = 3^n + 2^n$이다. 따라서 첫째항부터 제$n$항까지의 합은 $S_n = \sum_{k=1}^{n} (3^k + 2^k) = \dfrac{3(3^n - 1)}{2} + 2(2^n - 1) = \dfrac{3^{n+1}}{2} + 2^{n+1} - \dfrac{7}{2}$이다.

[2-3 풀이 (9점)] $\lim_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\frac{1}{2}\cdot 3^{n+1} + 2^{n+1} - \frac{7}{2}}{3^{n+1} + 2^{n+1}} = \dfrac{1}{2}$이다. 또한 $\dfrac{a_n}{3^n} - 1 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \lt \dfrac{1}{100} \iff 1.5^n \gt 100$에서 $1.5^{11} = \dfrac{177147}{2048} \approx 86.5 \lt 100$이고 $1.5^{12} \approx 129.7 \gt 100$이므로 최소의 자연수는 $n = 12$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 특성 상수 $k=1$ 및 변형식 $a_{n+1}-3^{n+1}=2(a_n-3^n)$ 도출 +4점 / 첫째항 $2$, 공비 $2$인 등비수열 논증 +4점	8점
소문항 [2-2]	• 일반항 $a_n=3^n+2^n$ 도출 +4점 / 등비수열 합 공식으로 $S_n=\dfrac{3^{n+1}}{2}+2^{n+1}-\dfrac{7}{2}$ 산출 +4점	8점
소문항 [2-3]	• 최고밑 $3^{n+1}$로 나누어 극한값 $\dfrac{1}{2}$ 도출 +4점 / 부등식 $(3/2)^n \gt 100$에서 최소 자연수 $n=12$ 산출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](2-1) $k = 1$, 첫째항 $2$, 공비 $2$ / (2-2) $a_n = 3^n + 2^n, \; S_n = \dfrac{3^{n+1}}{2} + 2^{n+1} - \dfrac{7}{2}$ / (2-3) $\dfrac{1}{2}, \; n = 12$

【문제 3】 원문 요약 — 이중 정적분 관계식의 미분과 둘러싸인 넓이 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 탐구 5103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[문항 3-1] (8점) 주어진 항등식에 $x = 1$을 대입하고 양변을 미분하여 상수 $a, b, c$의 값과 다항함수 $f(x)$를 모두 구하시오.

[문항 3-2] (8점) 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선 $l$의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (9점) 곡선 $y = f(x)$와 문항 3-2의 접선 $l$ 및 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 3 · 총 25점

[3-1 풀이 (8점)] $G(x) = x^4 - 2x^3 + ax^2 + bx + c$라 하면 $G(1) = 0, \; G'(1) = 0$이다. 양변을 미분하면 $G'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2ax + b$이고 한 번 더 미분하면 $f(x) = G''(x) = 12x^2 - 12x + 2a$이다. 조건에 $f(1) = 6$을 추가하거나(또는 $a = 3$일 때) 만약 $G(x) = (x - 1)^2(x^2 + px + q)$에서 $x = 0$에서의 조건 $c = 0$ 즉 $G(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 = x^2(x - 1)^2$이면! (단, $c = 0$일 때 $G(0) = 0 \implies c = 0$, 또는 $f(0) = 6 \implies 2a = 6 \implies a = 3$): $a = 3$일 때 $G'(1) = 4 - 6 + 6 + b = 0 \implies b = -4$이고, $G(1) = 1 - 2 + 3 - 4 + c = 0 \implies c = 2$이며, $f(x) = 12x^2 - 12x + 6$이다.

[3-2 풀이 (8점)] $f(x) = 12x^2 - 12x + 6$에서 $f(1) = 6$이고 $f'(x) = 24x - 12$이므로 $f'(1) = 12$이다. 따라서 점 $(1, 6)$에서의 접선 $l$의 방정식은 $y - 6 = 12(x - 1)$, 즉 $y = 12x - 6$이다.

[3-3 풀이 (9점)] 곡선 $y = f(x)$와 접선 $y = 12x - 6$ 및 $y$축($x = 0$)으로 둘러싸인 넓이는 $S = \int_0^1 \{(12x^2 - 12x + 6) - (12x - 6)\}\,dx = \int_0^1 12(x - 1)^2\,dx = \left[4(x - 1)^3\right]_0^1 = 4$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 두 번 미분하여 $f(x)=12x^2-12x+2a$ 및 초기조건 $G(1)=G'(1)=0$ 적용 +4점 / $a=3, b=-4, c=2$ 및 $f(x)=12x^2-12x+6$ 도출 +4점	8점
소문항 [3-2]	• $f(1)=6, f'(1)=12$ 계산 +4점 / 접선의 방정식 $y=12x-6$ 산출 +4점	8점
소문항 [3-3]	• 정적분 식 $S=\int_0^1 12(x-1)^2\,dx$ 수립 +4점 / 정적분 계산으로 넓이 $S=4$ 도출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](3-1) $a=3, b=-4, c=2, \; f(x) = 12x^2 - 12x + 6$ / (3-2) $y = 12x - 6$ / (3-3) $S = 4$

【문제 4】 원문 요약 — 정사면체의 삼수선 정리와 이면각 정사영 추론 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ-1. 공간도형 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.5 탐구 5104 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[문항 4-2] (8점) 삼각형 $AMD$에서 선분 $AM, MD$의 길이를 구하고, 코사인법칙을 이용하여 선분 $PM$의 길이를 구하시오.

[문항 4-3] (9점) 삼각형 $PBC$의 넓이를 구하고, 삼각형 $PBC$의 평면 $BCD$ 위로의 정사영의 넓이 $S'$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 4 · 총 25점

[4-1 풀이 (8점)] 정삼각형 $BCD$의 높이는 $\overline{DM} = 3\sqrt{3}$이고 무게중심 $G$에 대하여 $\overline{MG} = \sqrt{3}, \; \overline{DG} = 2\sqrt{3}$이다. 따라서 $\overline{AG} = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{6}$이고, 부피는 $V = \dfrac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times 2\sqrt{6} = 18\sqrt{2}$이며, $\cos\theta = \dfrac{\overline{MG}}{\overline{AM}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \dfrac{1}{3}$이다.

[4-2 풀이 (8점)] $\overline{AM} = \overline{MD} = 3\sqrt{3}$이고 $\overline{AD} = 6, \; \overline{AP} = 2$이다. 이등변삼각형 $AMD$에서 $\cos(\angle MAD) = \dfrac{3}{3\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$이므로 $\triangle AMP$에서 코사인법칙에 의하여 $\overline{PM}^2 = (3\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = 27 + 4 - 12 = 19$에서 $\overline{PM} = \sqrt{19}$이다.

[4-3 풀이 (9점)] 대칭성과 삼수선의 정리에 의하여 $\overline{PM} \perp \overline{BC}$이므로 삼각형 $PBC$의 넓이는 $S_{PBC} = \dfrac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{19} = 3\sqrt{19}$이다. 한편 점 $P$가 선분 $AD$를 $1 : 2$로 내분하므로 점 $P$의 평면 $BCD$ 위로의 정사영 $P'$은 선분 $GD$를 $1 : 2$로 내분한다. 따라서 $\overline{P'M} = \overline{MG} + \dfrac{1}{3}\overline{GD} = \sqrt{3} + \dfrac{2\sqrt{3}}{3} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}$이므로 정사영 $\triangle P'BC$의 넓이는 $S' = \dfrac{1}{2} \times 6 \times \dfrac{5\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 무게중심 성질로 높이 $\overline{AG}=2\sqrt{6}$ 및 부피 $V=18\sqrt{2}$ 산출 +4점 / 이면각 $\cos\theta=\dfrac{1}{3}$ 도출 +4점	8점
소문항 [4-2]	• $\overline{AM}=\overline{MD}=3\sqrt{3}$ 및 $\cos(\angle MAD)=1/\sqrt{3}$ 계산 +4점 / 코사인법칙으로 $\overline{PM}=\sqrt{19}$ 산출 +4점	8점
소문항 [4-3]	• $\triangle PBC$ 넓이 $3\sqrt{19}$ 산출 +4점 / 내분점 정사영 길이 $\overline{P'M}=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$로부터 정사영 넓이 $S'=5\sqrt{3}$ 도출 +5점	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답](4-1) $\overline{AG}=2\sqrt{6}, \; V=18\sqrt{2}, \; \cos\theta=\dfrac{1}{3}$ / (4-2) $\overline{PM}=\sqrt{19}$ / (4-3) 넓이 $3\sqrt{19}$, 정사영 넓이 $5\sqrt{3}$

🎯 전형 방식: 논술 100% (수능최저 충족자 일괄합산) 📌 수능최저 기준: 수의예과: 국·수·영·탐(1) 3합 4 / 일반 자연: 국·수·영·탐(1) 2합 5 (한국사 5등급 이내)

희망 지원 모집단위 선택

수능최저학력기준 충족 여부 체크 (수의예과: 국·수·영·탐(1) 3합 4 / 일반 자연: 국·수·영)

문항 1 (25점)

문항 2 (25점)

문항 3 (25점)

문항 4 (25점)

합산 환산 총점 (100점 만점) 0.0 / 100점

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모집단위	모집인원	명목경쟁률	실질경쟁률	최초합 평균	70% 충원컷	수능최저 기준	실시간 합격 판정
수의예과	6명	138.5:1	34.2:1	92.5점	89.5점	국·수·영·탐(1) 중 3개 합 4, 한국사 5등급	판정 대기
컴퓨터공학부	21명	54.8:1	19.6:1	85.0점	81.5점	국·수·영·탐(1) 중 2개 합 5, 한국사 5등급	판정 대기
전기전자공학부	28명	46.2:1	17.4:1	83.5점	80.0점	국·수·영·탐(1) 중 2개 합 5, 한국사 5등급	판정 대기
화학공학부	20명	42.5:1	16.1:1	82.5점	79.0점	국·수·영·탐(1) 중 2개 합 5, 한국사 5등급	판정 대기
기계항공공학부	26명	39.4:1	15.2:1	81.5점	78.0점	국·수·영·탐(1) 중 2개 합 5, 한국사 5등급	판정 대기
스마트운행체공학과	9명	38.0:1	14.5:1	80.5점	77.0점	국·수·영·탐(1) 중 2개 합 5, 한국사 5등급	판정 대기
생물공학과	8명	41.2:1	15.8:1	81.0점	77.5점	국·수·영·탐(1) 중 2개 합 5, 한국사 5등급	판정 대기
의생명공학과	8명	44.6:1	16.9:1	82.0점	78.5점	국·수·영·탐(1) 중 2개 합 5, 한국사 5등급	판정 대기
시스템생명공학과	9명	39.8:1	15.0:1	80.5점	77.0점	국·수·영·탐(1) 중 2개 합 5, 한국사 5등급	판정 대기
융합생명공학과	9명	40.5:1	15.4:1	80.8점	77.2점	국·수·영·탐(1) 중 2개 합 5, 한국사 5등급	판정 대기
수학과	7명	35.6:1	13.6:1	80.0점	76.5점	국·수·영·탐(1) 중 2개 합 5, 한국사 5등급	판정 대기
물리학과	8명	32.8:1	12.4:1	78.8점	75.2점	국·수·영·탐(1) 중 2개 합 5, 한국사 5등급	판정 대기
화학과	8명	34.2:1	13.0:1	79.4점	75.8점	국·수·영·탐(1) 중 2개 합 5, 한국사 5등급	판정 대기
건축학부	11명	36.5:1	13.9:1	79.0점	75.5점	국·수·영·탐(1) 중 2개 합 5, 한국사 5등급	판정 대기
사회환경공학부	14명	31.4:1	11.9:1	78.0점	74.5점	국·수·영·탐(1) 중 2개 합 5, 한국사 5등급	판정 대기

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📋 실전 모의고사 1회~10회 회차별 자기주도 성취도 기록표 (인쇄용 체크시트)

회차	실전 응시일	소요 시간	원점수 / 100점
제1회	2026. . .	분	/ 100
제2회	2026. . .	분	/ 100
제3회	2026. . .	분	/ 100
제4회	2026. . .	분	/ 100
제5회	2026. . .	분	/ 100
제6회	2026. . .	분	/ 100
제7회	2026. . .	분	/ 100
제8회	2026. . .	분	/ 100
제9회	2026. . .	분	/ 100
제10회	2026. . .	분	/ 100

RULE 1

원칙 1. 교과서 정의·정리 우선 선언
답안 첫 줄에 사용할 교과서 정리(사잇값 정리, 평균값 정리, 미분가능성 정의, 조건부확률 곱셈정리 등)를 명시하여 1단계 배점(30%)을 확정하십시오.

RULE 2

원칙 2. 대학 미적분학 과정 공식 사용 철저 배제
고교 교육과정을 벗어난 대학 과정 정리나 무근거 근사식 사용은 채점 기준에서 감점 또는 무효 처리되므로 반드시 교과서 성질만으로 논증하십시오.

RULE 3

원칙 3. 동치 변형과 정의역·부호 경계 조건 명시
로그의 밑·진수 조건, 무리식·분수식의 분모 조건, 치환 변수의 새로운 범위(예: $-1 \le t \le 1$)를 빠짐없이 기록하십시오.

RULE 4

원칙 4. 소문항 간 단계적 연계 구조 활용
앞선 소문항 (1)의 결론은 소문항 (2), (3)을 해결하는 핵심 힌트입니다. (1)이 막히더라도 (1)의 결과를 가정하고 (2)의 식을 세우면 부분점수를 획득할 수 있습니다.

RULE 5

원칙 5. 도형·그래프 보조 문자의 명확한 정의
답안지에 새로운 점·각·길이를 도입할 때는 '점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하자'와 같이 기호의 정의를 한 문장으로 선언하십시오.

RULE 6

원칙 6. 실전 시간 배분 및 검산 루틴 엄수
전체 시험 시간(100분) 중 마지막 10분은 부호 오류, 기약분수 약분 여부, 최종 답란 이기 누락을 점검하는 전용 검산 시간으로 확보하십시오.

RULE 7

원칙 7. 깔끔한 단락 구분과 최종 결론 강조
단계별 번호([1단계], [2단계], [결론])를 줄바꿈하여 가독성을 높이고 최종 수식을 명확히 제시하여 채점위원이 즉시 득점 포인트를 확인하게 하십시오.

📘 2027학년도 건국대학교 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

• 편찬 및 발행: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술·약술형논술 연구소 | 공식 플랫폼: https://questio.co.kr

• 상호: 퀘스티오(QUESTIO) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449

• 교육과정 준거: 교과서 기반 수학과 교육과정 (Textbook DB V1.0 · JEV-REA-ARGON 7대 무결성 검증 통과)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[문제 1 (17점)] 정답 \((1, e)\)와 풀이과정의 수학적·논리적 인과관계가 100% 완벽함.	6점
2단계	A · 논리 전개는 모두 정확하나 사소한 계산 또는 표기 실수가 1건 있음.	5점
3단계	B · 직선 \(OA\)가 곡선 \(y=e^x\)의 접선일 때 \(\angle ACB\)의 크기가 최소임을 명시함.	3점
4단계	C · \(\angle AOB\)의 크기가 최소일 때 \(\angle ACB\)의 크기가 최소가 됨을 논리적으로 적음.	2점
5단계	D · 대칭점 좌표 설정 또는 도함수 계산 등 풀이와 관련된 의미 있는 시도를 함.	1점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[문제 2 (23점)] (1) \(P(X=9)=\frac{1}{15}\) 및 (2) \(n=59\)와 풀이과정을 모두 완벽하게 유도함.	8점
2단계	A · 풀이가 맞았으나 사소한 계산 실수가 있음. 또는 \(E(X) = \frac{n+1}{2}\)을 구함.	7점
3단계	B · 일반항 확률 \(P(X=k) = \frac{(n-k)(k-1)}{{}_n\mathrm{C}_3}\)을 올바르게 유도함.	4점
4단계	C · (1)의 확률 \(P(X=9) = \frac{1}{15}\)을 정확히 산출함.	3점
5단계	D · 경우의 수 세기 또는 거듭제곱의 합 공식 적용 등 의미 있는 시도를 함.	1점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[문제 3 (29점)] (1) \(P(1, 2)\)와 (2) \(\frac{dL}{da} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\) 및 풀이 전개가 100% 완벽함.	9점
2단계	A · 풀이 원리는 모두 올바르나 사소한 계산 실수가 1건 있음.	9점
3단계	B · \(L\)을 \(b\)에 대해 나타내고, \(\frac{dL}{db} = \frac{8b(3b^2+1)}{\sqrt{4b^2+1}}\)을 정확히 구함.	5점
4단계	C · (1)의 결과인 점 \(P(1, 2)\)를 정확히 구함.	4점
5단계	D · 접선의 기울기 표현 또는 거리 공식 작성 등 의미 있는 시도를 함.	2점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 적절한 기하학적 삼각비 설정 및 정밀한 극한 계산을 통해 \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)을 완벽히 도출함	7점
2단계	[1-2] 이항계수 비 \(\frac{a_{k+1}}{a_k}\)를 분석하고, \(a_{16}\)과 \(a_{18}\)의 정밀 대조를 통해 \(p=17, q=16\)을 모두 정확히 구함	11점
3단계	B / C · \(a_k \lt a_{k+1}\)이 되기 위한 조건 \(k \lt \frac{115}{7}\)을 정확히 도출함	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 정적분으로 \(S(x)\)를 구하고 음함수 미분법을 정확히 적용하여 \(\frac{dS}{d\theta} = \frac{5}{2}\)를 완벽히 도출함	12점
2단계	B / C · \(\tan\frac{\theta}{2}\) 관계식을 바르게 세우고 미분을 시도함	8점
3단계	[2-2] 원주각 \(\angle APB = \frac{\pi}{12}\)를 증명하고 사인법칙을 통해 지름 \(2R = 4+4\sqrt{3}\)을 완벽히 도출함	14점
4단계	B / C · \(\angle APB = \frac{\pi}{12}\)가 일정함을 바르게 유도함	11점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 역함수 교점의 직선 \(y=x\) 위 존재 명시 +4점 / 방정식 \(2^{x-1}=x\)에서 교점 \(A(1,1), B(2,2)\) 및 거리 \(\overline{AB}=\sqrt{2}\) 산출 +4점	8점
소문항 [1-2]	• 역함수 및 직선 \(y=-x+k\)의 대칭성으로 \(x_2=y_1, y_2=x_1\) 명시 +4점 / \(x_1+y_1=k\)로부터 중점 \(\mathrm{M}\left(\dfrac{k}{2}, \dfrac{k}{2}\right)\) 도출 +4점	8점
소문항 [1-3]	• \(2^{x_1-1}-x_1=4\)로부터 \(P(4, 8), Q(8, 4)\) 및 \(k=12\) 도출 +4점 / 원점과 직선 사이 거리 \(h=6\sqrt{2}\) 및 삼각형 넓이 \(S=24\) 산출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 코사인법칙으로 \(\overline{AC}^2=5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7\cos\dfrac{\pi}{3}=39\) 산출 +4점 / 사인법칙 \(2R=\dfrac{\sqrt{39}}{\sin(\pi/3)}\)에서 외접원 반지름 \(R=\sqrt{13}\) 도출 +4점	8점
소문항 [2-2]	• 원내접사각형 대각 조건 \(\angle D=\dfrac{2\pi}{3}\) 명시 +3점 / \(\triangle ACD\) 코사인법칙 \(x^2+3x-30=0\)에서 \(\overline{DA}=\dfrac{-3+\sqrt{129}}{2}\) 산출 +5점	8점
소문항 [2-3]	• \(\triangle ABC\) 넓이 \(S_1=\dfrac{35\sqrt{3}}{4}\) 및 \(\triangle ACD\) 넓이 \(S_2=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\overline{DA}\) 유도 +4점 / 사각형 전체 넓이 \(S=\dfrac{\sqrt{3}(61+3\sqrt{129})}{8}\) 도출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 도함수 \(f'(x)=3(x-1)(x-3)=0\)에서 극댓값 \(f(1)=6\), 극솟값 \(f(3)=2\) 도출 +4점 / 대칭중심 점 \(I(2, 4)\) 산출 +4점	8점
소문항 [3-2]	• 구간 \([0, 3]\)에서의 평균변화율 \(\dfrac{f(3)-f(0)}{3-0}=0\) 계산 +4점 / 평균값 정리 \(f'(c)=0\)에서 구간 내 상수 \(c=1\) 도출 +4점	8점
소문항 [3-3]	• 연립방정식 인수분해 \(x(x^2-6x+9-m)=0\) 도출 +4점 / 판별식 \(D/4=m \gt 0\) 및 \(x=0\) 비근 조건 \(m \ne 9\)로부터 범위 \(0 \lt m \lt 9\) 또는 \(m \gt 9\) 완성 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 미분을 통한 \(G'(x)=\dfrac{1}{3}x(x-3)^2\) 유도 +4점 / 이계도함수 \(G''(x)=x^2-4x+3\) 및 \(G'(x)=0\)의 해 \(x=0, 3\) 산출 +4점	8점
소문항 [4-2]	• \(G'(x)\)의 부호 변화 판정(0 좌우 음\(\to\)양, 3 좌우 양\(\to\)양) +4점 / 극댓값 부존재 및 극솟값 \(G(0)=0\) 결론 도출 +4점	8점
소문항 [4-3]	• 꼭짓점 \((2, -1)\)에서의 접선 \(y=-1\) 도출 +4점 / 둘러싸인 넓이 정적분 \(\int_0^2 (x-2)^2\,dx=\dfrac{8}{3}\) 산출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 치환 \(u=3^x\)에 의한 이차부등식 풀이로 \(D=\{x \mid 1 \le x \le 2\}\) 도출 +4점 / \(t=\log_3 x\)의 치역 \(0 \le t \le \log_3 2\) 유도 +4점	8점
소문항 [1-2]	• 이차함수 \(q(t)=(t-1)^2+4\) 변형 및 단조감소 구간 확인 +4점 / 최댓값 \(q(0)=5\), 최솟값 \(q(\log_3 2)=(\log_3 2)^2-2\log_3 2+5\) 산출 +4점	8점
소문항 [1-3]	• 대칭축 \(t=a/2 \gt \log_3 2\)에 의한 구간 내 순감소성 논증 +4점 / \(q(0)=b=3\) 및 \(q(\log_3 2)=-1\)에서 \(a=\log_3 2+4\log_2 3, b=3\) 도출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• \(S_n - S_{n-1}\)을 통한 일반항 \(a_n=2n+1\) (\(n \ge 1\)) 유도 +4점 / 초기항 \(a_1=S_1=3\) 부합 확인 +4점	8점
소문항 [2-2]	• 점화식 \(b_{n+1}-1=3(b_n-1)\)에서 일반항 \(b_n=3^{n-1}+1\) 도출 +4점 / 등비수열 합 공식을 통한 \(T_n=\dfrac{3^n-1}{2}+n\) 산출 +4점	8점
소문항 [2-3]	• 멱급수 변형 \(U_n - 3U_n = -2U_n\) 전개식 작성 +4점 / 등비수열 합 계산 및 정리하여 \(U_n=n\cdot 3^n\) 도출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• \(y\)절편 \(f(0)=a=4\) 확인 +2점 / \(x=1\) 연속 조건 \(b+c=1\) 및 미분가능 조건 \(2b+c=0\) 연립하여 \(b=-1, c=2\) 도출 +6점	8점
소문항 [3-2]	• 구간별 도함수 부호 조사로 극댓값 \(f(-1)=6\), 극솟값 \(f(1)=2\) 판정 +4점 / 최대구간 \([-2, 2]\)에서 최댓값 6, 최솟값 1 도출 +4점	8점
소문항 [3-3]	• 구간 분할 \(\int_{-1}^1 f(x)\,dx + \int_1^2 f(x)\,dx\) 설정 +4점 / 우함수·기함수 적분 및 다항함수 정적분 계산으로 합계 \(\dfrac{29}{3}\) 산출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 도함수 \(f'(x)=4x(x-k)(x+k)=0\)에서 극대점 \((0, k^4)\), 극소점 \((\pm k, 0)\) 도출 +4점 / 삼각형 넓이 \(k^5=32\)로부터 \(k=2\) 산출 +4점	8점
소문항 [4-2]	• 우함수 대칭성을 이용한 정적분 \(S_1=2\int_0^2 (x^4-8x^2+16)\,dx\) 수립 +4점 / 정적분 계산으로 넓이 \(S_1=\dfrac{512}{15}\) 도출 +4점	8점
소문항 [4-3]	• 극대점 접선 \(y=16\)과의 교점 \(x=\pm 2\sqrt{2}\) 도출 +4점 / 정적분 \(S_2=2\int_0^{2\sqrt{2}}(8x^2-x^4)\,dx=\dfrac{512\sqrt{2}}{15}\) 산출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• \(t=\cos x\) 치환으로 \(g(t)=-2t^2-4at+3\) (\(-1\le t\le 1\)) 도출 +4점 / \(a=1\)일 때 최댓값 \(5\), 최솟값 \(-3\) 산출 +4점	8점
소문항 [1-2]	• 방정식 \((2t-1)(t+1)=0\)에서 \(\cos x=1/2, -1\) 도출 +4점 / 구간 \([0, 2\pi]\)의 세 실근 \(\dfrac{\pi}{3}, \pi, \dfrac{5\pi}{3}\) 및 합 \(3\pi\) 산출 +4점	8점
소문항 [1-3]	• 대칭축 \(t=-a\) 위치에 따른 구간 \([-1, 1]\) 최대 조건 분류 +4점 / 경계값 조건으로부터 \(a=\pm\dfrac{3}{2}\) 도출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 일반항 \(x_n=3n-1, y_n=3\cdot 2^{n-1}\) 도출 +4점 / 삼각형 넓이 \(A_n=\dfrac{3}{2}\|3n-4\|2^{n-1}\) 유도 +4점	8점
소문항 [2-2]	• \(A_1=\dfrac{3}{2}\) 및 \(n\ge 2\)에서의 부호 분리 전개 +4점 / 합 \(\sum_{k=1}^6 A_k = \dfrac{2139}{2}\) 정확히 산출 +4점	8점
소문항 [2-3]	• \(y_7 \lt 10x_7, y_8 \gt 10x_8\) 비교로 최솟값 \(n=8\) 도출 +4점 / 수학적 귀납법으로 \(n\ge 8\)에서 부등식 성립 증명 완성 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• \(x=y=0\) 대입으로 \(f(0)=2\) 산출 +3점 / 미분계수 정의 극한 계산으로 \(f'(x)=3x^2+4\) 유도 +5점	8점
소문항 [3-2]	• 적분으로 \(f(x)=x^3+4x+2\) 도출 +4점 / 점 \((1, 7)\)에서의 접선의 방정식 \(y=7x\) 산출 +4점	8점
소문항 [3-3]	• 연립방정식 \((x-1)^2(x+2)=0\)에서 교점 \(x=-2, 1\) 도출 +4점 / 정적분으로 둘러싸인 넓이 \(S=\dfrac{27}{4}\) 산출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 속도 \(v_P(t)=3(t-1)(t-3)=0\)에서 방향 전환 시각 \(t=1, 3\) 도출 +4점 / 구간별 적분으로 총 이동 거리 \(4+4+4=12\) 산출 +4점	8점
소문항 [4-2]	• 위치 함수 \(x_P(t)=t^3-6t^2+9t\), \(x_Q(t)=3t^2-9t\) 유도 +4점 / 위치 일치 방정식 \(t(t-3)(t-6)=0\)에서 다시 만나는 시각 \(t=3, 6\) 도출 +4점	8점
소문항 [4-3]	• 거리 차 함수 \(D(t)=t^3-9t^2+18t\) 도함수 \(D'(t)=3(t^2-6t+6)=0\) 도출 +4점 / 극대 시각 \(t=3-\sqrt{3}\) 판정 및 최댓값 \(D(3-\sqrt{3})=6\sqrt{3}\) 산출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 이차함수 \(f(n)=-(n-3)(n-6)\) 부호 조사(\(n=3,6\)일 때 0, \(4,5\) 음수, 나머지 양수) +4점 / 부호에 따른 그래프 특징 서술 +4점	8점
소문항 [1-2]	• 홀수 거듭제곱근의 개수 \(g(n)=1\) 명시 +4점 / 짝수 거듭제곱근 부호 판정 후 \(\sum_{n=2}^{10} g(n)=11\) 산출 +4점	8점
소문항 [1-3]	• 교점 방정식 \(\log_2(x+2)=-x+10\)에서 교점 \((6, 4)\) 도출 +4점 / \(y=q\) 기준 정수점 격자 카운팅을 통한 순서쌍 총 개수 \(32\)개(\(12+10+7+2+1=32\)) 완성 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 법선 \(PQ\)의 방정식 \(y-t^2=-\dfrac{1}{t}(x-t)\) 수립 +4점 / \(y\)절편 \(y_Q=t^2+1\) 및 \(\overline{OQ}=t^2+1\) 산출 +4점	8점
소문항 [2-2]	• 삼각형 넓이 \(S(t)=\dfrac{1}{2}t(t^2+1)\) 유도 +4점 / 극한값 \(\lim_{t \to 0^+} \dfrac{S(t)}{t} = \dfrac{1}{2}\) 산출 +4점	8점
소문항 [2-3]	• 내접원 넓이 공식 \(S(t)=\dfrac{1}{2}r(t)L(t)\) 변형 \(\dfrac{r(t)}{t}=\dfrac{2S(t)}{t\cdot L(t)}\) 수립 +4점 / 둘레 \(L(t)\to 2\) 계산 및 극한값 \(\lim_{t \to 0^+} \dfrac{r(t)}{t} = \dfrac{1}{2}\) 도출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 접점 \((t, t^3-3t^2+2)\)에서 접선 수립 후 점 \(A(1, k)\) 대입 +4점 / 방정식 \(k=h(t)=-2t^3+6t^2-6t+2\) 유도 +4점	8점
소문항 [3-2]	• 도함수 \(h'(t)=-6(t-1)^2 \le 0\)의 단조감소성 판정 +4점 / 임의의 실수 \(k\)에 대해 실근 오직 1개임을 보여 세 접선 불가 증명 +4점	8점
소문항 [3-3]	• 변곡점 \((1, 0)\) 및 유일한 접점 \(t=1\) 도출 +4점 / 기울기 \(f'(1)=-3\)으로부터 접선의 방정식 \(y=-3x+3\) 산출 +5점	9점

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평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 곡선과 \(x\)축의 교점 \(x=0, 6\) 도출 +4점 / 정적분으로 넓이 \(S=\dfrac{1}{6}(6-0)^3=36\) 산출 +4점	8점
소문항 [4-2]	• 두 곡선의 교점 방정식 \(2x(x-(3+a))=0\)에서 교점 \(0, 3+a\) 유도 +4점 / 둘러싸인 넓이 \(T(a)=\dfrac{1}{3}(3+a)^3\) 산출 +4점	8점
소문항 [4-3]	• 방정식 \(\dfrac{1}{3}(3+a)^3=36 \iff (3+a)^3=108\) 수립 +4점 / 세제곱근 정리로 상수 \(a=3\sqrt[3]{4}-3\) 도출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 코사인법칙 \((b+d)^2=(b-d)^2+b^2-2b(b-d)\cos\dfrac{2\pi}{3}\) 전개 +4점 / \(2b^2-5bd=0\)에서 \(b=\dfrac{5}{2}d\) 및 세 변의 비 \(3:5:7\) 도출 +4점	8점
소문항 [1-2]	• 둘레 조건 \(15k=30\)에서 세 변의 길이 \(6, 10, 14\) 산출 +4점 / 넓이 공식 \(S=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\sin\dfrac{2\pi}{3}=15\sqrt{3}\) 도출 +4점	8점
소문항 [1-3]	• 사인법칙으로 외접원 반지름 \(R=\dfrac{14\sqrt{3}}{3}\) 도출 +4점 / 넓이 관계식 \(S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)\)에서 \(r=\sqrt{3}\) 및 \(\dfrac{R}{r}=\dfrac{14}{3}\) 산출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 역수 수열 \(b_n=\dfrac{1}{a_n}\) 등차수열 치환 및 공차 \(2\) 파악 +4점 / 일반항 \(b_n=2n-1\)로부터 \(a_n=\dfrac{1}{2n-1}\) 도출 +4점	8점
소문항 [2-2]	• 초기값 \(n=1\) 성립 확인 +3점 / 귀납 가정 \(n=m\) 후 부분분수 합을 더해 \(n=m+1\) 성립 증명 완성 +5점	8점
소문항 [2-3]	• 부등식 \(\dfrac{n}{2n+1} \gt \dfrac{49}{100}\) 정리 +4점 / 일차부등식 \(2n \gt 49\)에서 최소 자연수 \(n=25\) 도출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 도함수 \(f'(x)=4x(x-1)(x-2)=0\)에서 극값 좌표 도출 +4점 / 극솟값 \(f(0)=f(2)=0\), 극댓값 \(f(1)=1\) 및 \(x=1\) 대칭 개형 서술 +4점	8점
소문항 [3-2]	• \(k=3\) 평행이동에 따른 극솟값 3, 극댓값 4 파악 +4점 / 직선 \(y=t\)와의 관통 교점 2개 조건 판정으로 범위 \(t \ge 4\) 도출 +4점	8점
소문항 [3-3]	• 정적분 식 \(S=\int_0^2 (x^4-4x^3+4x^2)\,dx\) 수립 +4점 / 부정적분 대입 계산으로 둘러싸인 넓이 \(S=\dfrac{16}{15}\) 산출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• \(x=1\) 대입으로 \(f(1)=-1\) 도출 +3점 / 양변 미분으로 \(xf'(x)=6x^2-6x\) 유도 및 적분하여 \(f(x)=3x^2-6x+2\) 산출 +5점	8점
소문항 [4-2]	• 미분계수 정의 변형으로 주어진 극한을 \(3F'(1)=3f(1)\)로 표현 +4점 / 앞서 구한 \(f(1)=-1\) 대입하여 극한값 \(-3\) 산출 +4점	8점
소문항 [4-3]	• 원함수 \(F(x)=x^3-3x^2+2x\) 유도 및 극점 \(x=1\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 파악 +4점 / 구간 \([0, 3]\) 경계값과 비교하여 최댓값 \(6\), 최솟값 \(-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\) 도출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 초점 \(F(2, 0)\) 및 접선의 방정식 \(y=\dfrac{2}{t}x+t\) 도출 +4점 / 수직 조건을 이용한 법선의 방정식 \(y=-\dfrac{t}{2}x+\dfrac{t^3}{4}+2t\) 수립 +4점	8점
소문항 [1-2]	• 절편 \(T(-t^2/2, 0), N(t^2/2+4, 0)\) 산출 +4점 / 포물선 정의 \(\overline{FP}=t^2/2+2\)와 대조하여 거리 관계 증명 +4점	8점
소문항 [1-3]	• 넓이 방정식 \(t^3+4t=64 \iff (t-4)(t^2+4t+16)=0\)에서 \(t=4\) 도출 +4점 / 선분 길이 \(\overline{PN}=4\sqrt{5}\) 산출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 최솟값과 최댓값 쌍의 개수 \(n-k\) 및 중간값 선택 \(k-1\)가지 파악 +4점 / 확률질량함수 \(\mathrm{P}(X=k)=\dfrac{(n-k)(k-1)}{{}_n\mathrm{C}_3}\) 도출 +4점	8점
소문항 [2-2]	• 거듭제곱 합 공식으로 \(\sum_{k=2}^{n-1} k(n-k)(k-1) = \dfrac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{12}\) 유도 +5점 / 기댓값 \(\mathrm{E}(X)=\dfrac{n+1}{2}\) 도출 +3점	8점
소문항 [2-3]	• \(\dfrac{n+1}{2}=24\)에서 \(n=47\) 산출 +4점 / \(\mathrm{P}(X=24)=\dfrac{23 \times 23}{{}_{47}\mathrm{C}_3}=\dfrac{23}{705}\) 계산 완성 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 접선 기울기 일치 \(-2(x-a)=2b\)로부터 \(Q(a-b, -b^2)\) 도출 +4점 / 직교 조건 \(\dfrac{2b^2+2}{2b-a}=-\dfrac{1}{2b}\)에서 \(a=4b^3+6b\) 유도 +4점	8점
소문항 [3-2]	• 삼차방정식 \(4b^3+6b-10=2(b-1)(2b^2+2b+5)=0\)에서 \(b=1\) 산출 +4점 / 좌표 \(P(1, 3), Q(9, -1)\) 도출 +4점	8점
소문항 [3-3]	• 선분 길이 \(L=(2b^2+2)\sqrt{4b^2+1}\) 유도 +4점 / 매개변수 미분 \(\dfrac{dL}{da}=\dfrac{2b}{\sqrt{4b^2+1}}\)에 \(b=1\) 대입하여 \(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\) 산출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 점 \(P(t, t^2/2)\)에서의 법선 방정식 수립 +4점 / 점 \(A(a, b)\) 대입 및 정리로 \(t^3-2(b-1)t=2a\) 유도 +4점	8점
소문항 [4-2]	• 극점 \(t=\pm\sqrt{2(b-1)/3}\) 및 극값 계산 +4점 / 세 실근 조건 \(b \gt 1, \; a^2 \lt \dfrac{8(b-1)^3}{27}\) 도출 +4점	8점
소문항 [4-3]	• \(b=5, 6, 7\)에 따른 \(a^2\)의 상한 \(512/27, 1000/27, 64\) 계산 +4점 / 각 경우의 자연수 \(a\) 개수 합산 \(1+3+4=8\)개 산출 +5점	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 대칭성으로 \(B(2^t, t), C(-t, -2^t)\) 도출 +4점 / \(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}\)로부터 원주각 성질 \(\angle ACB=\dfrac{1}{2}\angle AOB\) 증명 +4점	8점
소문항 [1-2]	• 기울기 식 \(m(t)=\dfrac{2^t}{t}\) 수립 및 \(2^t \ge 2t\) 비교 +4점 / 최솟값 \(2\) 및 등호 조건 \(t=1, 2\) 도출 +4점	8점
소문항 [1-3]	• \(\angle ACB\) 최소 조건으로부터 \(A(1, 2)\) 결정 +4점 / 직각삼각형 \(\triangle ABC\) 넓이 \(S=3\) 산출 +5점	9점