2027학년도 경기대학교 자연계열 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 91쪽 단권화

2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본

2027학년도 경기대학교
자연계열 수리논술
10회분 통합 마스터 문제집·해설집

출제 범위: 교과서 기반 교육과정 수학 전 범위 (Textbook DB SSOT)
시험 시간: 100분 | 전형 반영: 논술 90% + 학생부교과 10%

📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 91쪽 완결]

• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭

• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (31p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (15문항)

• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (33p): 출제 타당성 보고서(2p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)

• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (21p): 20문항 전수 아코디언 정밀 해설

• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터

📱 스마트폰 실시간 합격진단 & 올인원 대시보드 연동

우측 QR 스캔 또는 상단 툴바 버튼으로 경기대학교 실시간 컷오프 시뮬레이터와 즉시 동기화됩니다.

발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: QUESTIO-2027-UNIFIED-MASTER

전형 반영 비율

논술 90% + 학생부교과 10%

논술 실질 변별력 핵심

시험 시간 · 문항

100분 · 2문항

회차당 수리 100점 만점

수능최저학력기준

모집단위별 기준 확인

수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 미적용)

출제 교육과정

교과서 기반 수학과

Textbook DB V1.0 완벽 준거

STEP 1기출 5개년 해부Part 1 정독

STEP 2표준 모의 1~5회실전 시간 엄수

STEP 3킬러 모의 6~10회TOP 5 심화 격파

STEP 4루브릭 약점 교정감점 요인 제거

STEP 5입결 컷오프 판정Part 3 시뮬레이션

📈 5개년 출제 경향 및 2027학년도 핵심 대비 전략

경기대학교 자연계열·자유전공학부 수리논술은 시험시간 100분 동안 대문항 2개(각 50점 내외, 소문항 2개 단계형)를 해결하는 전형으로, 수능최저학력기준이 전면 면제되어 논술 실질 영향력이 절대적입니다. 출제 범위는 교과서 기반 교육과정 공통수학·대수(지수·로그, 삼각함수, 수열)·미적분Ⅰ(다항함수의 미분과 적분) 핵심 개념에 집중되며, 실생활 수리 모델링(반감기·치료율·시계 각속도·드론 경로)과 삼차·사차함수의 접선·정적분 넓이 문제가 매년 출제됩니다.

🔥 역대 킬러 문항 TOP 5 분석 & 실전 모의고사 6~10회 1:1 심화 매칭표

순위	기출 원천 문항	핵심 출제 테마 및 변별 포인트	모의 1:1 매칭	부분점수 공략 전략
TOP 1	2026 기출 A형 문항 2 (55점)	점대칭 삼차함수의 평행 접선과 내접원의 넓이 극한	제6회 문항 2	삼차함수 변곡점 대칭성을 이용해 두 접점을 대칭 설정하고 점과 직선 사이 거리 공식으로 반지름 수식화
TOP 2	2025 기출 A형 문항 2 (65점)	시침·분침 상대 각속도와 삼각형 넓이 변화율	제7회 문항 1	분 단위 각속도 차($\frac{11\pi}{360}\text{ rad/분}$)를 사잇각 $\theta(t)$로 설정하고 삼각함수 합·차 및 미분계수 적용
TOP 3	2026 기출 B형 문항 2 (50점)	포물선과 직선으로 둘러싸인 영역의 정적분 등분할	제7회 문항 2	우함수 대칭성을 활용하여 정적분 넓이를 k의 거듭제곱 식으로 표현한 뒤 등분 비례식 연립
TOP 4	2025 기출 B형 문항 2 (60점)	삼차함수 비행 경로 모델링과 접선 충돌 위치 추론	제8회 문항 2	극대·극소 조건으로 도함수 f'(x) 인수를 먼저 확정한 후 밖의 점에서의 접선 방정식 연립
TOP 5	2026 기출 B형 문항 1 (50점)	등비수열 잔류량 점화식과 상용로그 최소 횟수·비용 최적화	제9회 문항 1	음수인 상용로그 값으로 부등식 양변을 나눌 때 부등호 방향 반전 및 자연수 올림 조건 명시

📌 본 통합 마스터북 100% 활용 5단계 로드맵

STAGE 1

Step 1 (Part 1 5개년 기출 15문항 완파): 2022~2026 기출·정본 15문항과 1:1 교과서 유사 연습문제로 경기대 표준 2문항 논증 틀 체화

STAGE 2

Step 2 (Part 2 실전 모의 1~10회 100분 훈련): 회차당 2문항×50점 실전 답안지에 소문항 (1)→(2) 연결 과정을 빠짐없이 서술

STAGE 3

Step 3 (Part 3 50점 루브릭 채점 & 15개 학과 진단): 세부 채점표로 감점 요인을 교정하고 수원캠퍼스 지원 학과 합격권 실시간 점검

PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS

2022~2026학년도 경기대학교
공식 기출 심층 해설 & 교과서 1:1 연계

최근 5개년 기출 핵심 15문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.

📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록

📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공

✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅰ 🎯 핵심 테마: 경우의 수, 소인수분해 함수, 수열의 합($\sum$) ⏱️ 권장 시간: 35분

[제시문]

[가] 다양한 상황에서 경우의 수를 구하는 체계적인 방법이 존재한다. 경우의 수를 세는 방법을 통해 사건이 일어날 수 있는 모든 경우를 분류하고 체계화하는 수학적 사고를 경험할 수 있으며, 이는 합리적인 의사 결정의 중요한 도구가 된다. (고등학교 『수학』)

[나] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 합의 기호 $\sum$를 사용하여 다음과 같이 나타낸다: \[a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = \sum_{k=1}^n a_k \quad \text{(고등학교 『수학Ⅰ』)}\]

[논제] 임의의 자연수 $m$이 소수 $p_1, p_2, \dots, p_n$의 곱 $p_1 \times p_2 \times \dots \times p_n$으로 나타낼 수 있을 때 $f(m) = n$이라고 하자. 예를 들면, $12 = 2 \times 2 \times 3$이므로 $f(12) = 3$이다. (단, $f(1) = 0$이다.)

(1) $210$으로 나누어지고 $f(m) = 6$인 $10000$ 이하의 자연수 $m$의 개수를 구하시오. [20점]

(2) 자연수 $a$와 $b$에 대하여 $f(a) = 5$이고 $f(b) = 3$일 때, $\sum_{n=1}^{10} f(n a b^n)$의 값을 구하시오. [25점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]

【유사 연습 문제】 자연수 $120$을 소인수분해하고, $120$의 모든 양의 약수의 총합을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $120 = 2^3 \times 3 \times 5$이다. 양의 약수의 총합은 $(1+2+4+8)(1+3)(1+5) = 15 \times 4 \times 6 = 360$이다. [정답: $360$]

[문항 요약] 자연수 $m = p_1 p_2 \cdots p_n$ (소수들의 곱)일 때 $f(m)=n$, $f(1)=0$ (1) 20점 / (2) 25점

(1) $210$으로 나누어떨어지고 $f(m)=6$인 $10000$ 이하의 자연수 $m$의 개수를 구하시오.
(2) 자연수 $a, b$에 대하여 $f(a)=5, f(b)=3$일 때, $\sum_{n=1}^{10} f(n a b^n)$의 값을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 1 · 총 45점

(1) $210$의 배수 및 $f(m)=6$인 $m \le 10000$의 개수
• $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$이므로 $f(210) = 4$이다. $m$이 $210$으로 나누어떨어지고 $f(m)=6$이므로, 적당한 두 소수 $p, q$ ($p \le q$)에 대하여 $m = 210pq$ 꼴로 소인수분해된다.
• 조건 $m \le 10000$에서 $210pq \le 10000 \iff pq \le \frac{10000}{210} = \frac{1000}{21} = 47.619\cdots$ 이므로, 소수의 곱 $pq \le 47$이어야 한다.
• 소수 $p \le q$의 가능한 순서쌍 $(p, q)$를 체계적으로 분류하면:
  - $p=2$일 때 ($2q \le 47 \iff q \le 23$): $(2,2), (2,3), (2,5), (2,7), (2,11), (2,13), (2,17), (2,19), (2,23)$ $\to$ 9개
  - $p=3$일 때 ($3q \le 47 \iff q \le 15$): $(3,3), (3,5), (3,7), (3,11), (3,13)$ $\to$ 5개
  - $p=5$일 때 ($5q \le 47 \iff q \le 9$): $(5,5), (5,7)$ $\to$ 2개 (단, $p \ge 7$이면 $p^2 \ge 49 \gt 47$이므로 존재하지 않음)
• 따라서 구하는 자연수 $m$의 총 개수는 $9 + 5 + 2 = \mathbf{16}$개이다. 정답: 16개

(2) $\sum_{n=1}^{10} f(n a b^n)$의 값 계산
• 임의의 자연수 $x, y$에 대해 소인수분해 지수의 합 성질에 의하여 $f(xy) = f(x) + f(y)$가 성립하며, 거듭제곱에 대해 $f(b^n) = n f(b)$이다.
• 따라서 $f(n a b^n) = f(n) + f(a) + f(b^n) = f(n) + f(a) + n f(b)$이다.
• $\sum_{n=1}^{10} f(n a b^n) = \sum_{n=1}^{10} f(n) + \sum_{n=1}^{10} f(a) + f(b) \sum_{n=1}^{10} n$ 으로 분해된다.
• 각각의 항을 계산하면:
  ① $n=1\sim 10$의 소인수 개수: $f(1)=0$, $f(2)=f(3)=f(5)=f(7)=1$(4개), $f(4)=f(6)=f(9)=f(10)=2$(4개), $f(8)=3$(1개)이므로 $\sum_{n=1}^{10} f(n) = 0 + 4(1) + 4(2) + 3 = 15$.
  ② $f(a)=5$이므로 $\sum_{n=1}^{10} f(a) = 10 \times 5 = 50$.
  ③ $f(b)=3$이고 $\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10 \times 11}{2} = 55$이므로 $f(b) \sum_{n=1}^{10} n = 3 \times 55 = 165$.
• 따라서 $\sum_{n=1}^{10} f(n a b^n) = 15 + 50 + 165 = \mathbf{230}$. 정답: 230

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 45점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) $m = 210pq$ 형태 및 소인수분해 조건 제시	5점
2단계	• (1) $210pq \le 10000 \iff pq \le 47$ 부등식 범위 도출	10점
3단계	• (1) 소수 순서쌍 $(p,q)$ 16가지 전수 탐색 및 정답 산출	5점
4단계	• (2) 함수 성질 $f(n a b^n) = f(n) + f(a) + n f(b)$ 관계식 도출	10점
5단계	• (2) $\sum_{n=1}^{10} f(n) = 15$, $\sum f(a) = 50$, $\sum n f(b) = 165$ 단계별 계산	5점
6단계	• (2) 세 합을 더하여 최종 결과 230 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

소인수 개수 함수 $f(m)$은 로그함수의 덧셈 성질($f(xy)=f(x)+f(y)$)을 만족하는 대표적인 수론적 함수입니다. (1)번에서 $p \le q$라는 대칭 조건을 명시하지 않으면 순서쌍 중복 카운트 실수가 발생할 수 있으므로 반드시 기준 소수 $p=2, 3, 5$로 수형도식 분류를 답안에 보여주어야 10점 만점을 받습니다. (2)번에서는 $f(1)=0$임을 명기하고 1부터 10까지의 소인수 개수를 빠짐없이 나열하여 채점관에게 논리적 완전성을 어필하십시오.

🎯 [최종 정답](1) 16개 | (2) 230

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅱ 🎯 핵심 테마: 점대칭 삼차함수, 접선의 방정식, 두 평행선 사이 거리, 극한 다항함수 ⏱️ 권장 시간: 65분

[제시문]

[가] 점 $(x_1, y_1)$과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리 $d$는 다음과 같다: \[d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \quad \text{(고등학교 『수학』)}\]

[나] 일반적으로 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $P(a, f(a))$에서의 접선의 기울기는 $x=a$에서의 미분계수 $f'(a)$이다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[논제] $f(x)$는 삼차함수이다. 곡선 $y=f(x)$의 기울기가 $m$인 접선이 $m \gt -1$일 때 두 개, $m = -1$일 때 한 개 존재하고, $m \lt -1$이면 존재하지 않는다고 하자. 또한 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) + f(-x) = 2$이다. $m \gt -1$일 때 $m$을 기울기로 갖는 $f(x)$의 두 접선에 동시에 접하는 원의 넓이를 $g(m)$이라고 하며, $g(0) = 4\pi$이다.

(1) 함수 $f(x)$를 구하시오. [25점]

(2) $\lim_{m \to \infty} [g(m) - h(m)] = 0$을 만족하는 다항함수 $h(m)$을 구하시오. [30점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

【유사 연습 문제】 삼차함수 $y = x^3 - 3x$의 변곡점의 좌표와 그 점에서의 접선의 방정식을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $y' = 3x^2 - 3$, $y'' = 6x = 0 \implies x = 0$이므로 변곡점은 $(0, 0)$이다. $x=0$에서 $y'(0) = -3$이므로 접선의 방정식은 $y = -3x$이다. [정답: 변곡점 $(0, 0)$, 접선 $y = -3x$]

[문항 요약] 삼차함수 $f(x)$의 기울기 $m$인 접선이 $m \gt -1$일 때 2개, $m=-1$일 때 1개, $m \lt -1$일 때 0개 (1) 25점 / (2) 30점

조건: 모든 실수 $x$에 대해 $f(x) + f(-x) = 2$. 기울기 $m \gt -1$인 두 접선에 동시에 접하는 원의 넓이 $g(m)$, $g(0)=4\pi$.
(1) 함수 $f(x)$를 구하시오.
(2) $\lim_{m \to \infty} [g(m) - h(m)] = 0$을 만족하는 다항함수 $h(m)$을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 2 · 총 55점

(1) 삼차함수 $f(x)$의 결정
• $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$)라 하자. 조건 $f(x) + f(-x) = 2$는 곡선 $y=f(x)$가 점 $(0,1)$에 대칭임을 뜻한다.
$f(x) + f(-x) = 2bx^2 + 2d = 2 \implies b = 0, \; d = 1$.
• 도함수 $f'(x) = 3ax^2 + c$의 치역이 접선의 기울기 $m$의 범위이다. 접선 개수 조건에서 $m \ge -1$이어야 접선이 존재하므로, $f'(x)$의 최솟값은 $-1$이다. 따라서 $a \gt 0$이고 꼭짓점에서 $c = -1$이다. 즉 $f(x) = ax^3 - x + 1$.
• $m=0$일 때 접점의 $x$좌표는 $f'(x) = 3ax^2 - 1 = 0 \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{3a}}$. 이때 접선의 방정식은 수평선 $y = f\left(\pm \frac{1}{\sqrt{3a}}\right) = 1 \mp \frac{2}{3\sqrt{3a}}$이다.
• 두 평행한 접선 사이 거리는 $\frac{4}{3\sqrt{3a}}$이므로 내접원의 지름이 $\frac{4}{3\sqrt{3a}}$, 반지름은 $R = \frac{2}{3\sqrt{3a}}$이다.
• 원의 넓이 $g(0) = \pi R^2 = \pi \frac{4}{27a} = 4\pi \implies \frac{1}{27a} = 1 \implies a = \frac{1}{27}$.
• 따라서 구하는 함수는 $f(x) = \mathbf{\frac{1}{27}x^3 - x + 1}$이다. 정답: $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - x + 1$

(2) 극한을 만족하는 다항함수 $h(m)$의 도출
• $f'(x) = \frac{1}{9}x^2 - 1 = m \implies x^2 = 9(m+1) \implies x = \pm 3\sqrt{m+1}$.
• 접점의 좌표를 $\alpha = 3\sqrt{m+1}$이라 하면, 곡선 위의 두 접점에서의 접선의 방정식은:
$y = m(x - \alpha) + f(\alpha) = mx - m\alpha + \left(\frac{1}{27}\alpha^3 - \alpha + 1\right)$. 여기서 $m = \frac{1}{9}\alpha^2 - 1$을 대입하면 상수항은 $1 - \frac{2}{27}\alpha^3 = 1 - 2(m+1)^{3/2}$.
• 두 평행한 접선 $mx - y + 1 \pm 2(m+1)^{3/2} = 0$ 사이의 거리는 $D = \frac{4(m+1)^{3/2}}{\sqrt{m^2+1}}$이다.
• 내접원의 반지름은 $r(m) = \frac{D}{2} = \frac{2(m+1)^{3/2}}{\sqrt{m^2+1}}$이므로, 원의 넓이는 $g(m) = \pi [r(m)]^2 = \frac{4\pi (m+1)^3}{m^2+1}$이다.
• 분자를 전개하면 $4\pi(m^3 + 3m^2 + 3m + 1)$이므로, 분모 $m^2+1$로 다항식 나눗셈을 수행하면:
$g(m) = 4\pi (m+3) + \frac{8\pi (m-1)}{m^2+1}$.
• 따라서 $h(m) = 4\pi (m+3)$으로 설정하면, $g(m) - h(m) = \frac{8\pi(m-1)}{m^2+1}$이고 $\lim_{m \to \infty} \frac{8\pi(m-1)}{m^2+1} = 0$을 만족한다.
• 구하는 다항함수는 $h(m) = \mathbf{4\pi(m+3)}$ (또는 $4\pi m + 12\pi$)이다. 정답: $h(m) = 4\pi(m+3)$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 55점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 점대칭 조건으로 $b=0, d=1$ 및 도함수 최솟값으로 $c=-1$ 도출	15점
2단계	• (1) $m=0$에서의 두 접선 방정식 $y = 1 \pm \frac{2}{3\sqrt{3a}}$ 도출	5점
3단계	• (1) 원의 넓이 $g(0)=4\pi$로부터 $a=\frac{1}{27}$ 산출 및 $f(x)$ 결정	5점
4단계	• (2) 기울기 $m$인 두 접선 사이 거리 $D = \frac{4(m+1)^{3/2}}{\sqrt{m^2+1}}$ 유도	10점
5단계	• (2) 원의 넓이 $g(m) = \frac{4\pi(m+1)^3}{m^2+1}$ 계산	5점
6단계	• (2) 다항식 나눗셈 분해 및 극한 조건 만족하는 $h(m) = 4\pi(m+3)$ 산출	15점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

이 문항은 고교 수학Ⅱ의 변곡점 대칭성과 점과 직선 사이의 거리 공식을 완벽히 결합한 킬러 문항입니다. (2)번에서 $\lim_{m \to \infty}[g(m)-h(m)]=0$의 의미는 $g(m)$의 점근선(asymptote)을 묻는 것입니다. 분수식 분자 $(m+1)^3$을 직접 전개한 뒤 분모 $m^2+1$로 나눈 몫이 일차함수 $4\pi(m+3)$이고 나머지가 차수가 낮은 분수식이 되어 극한이 0이 됨을 명확히 보여주는 것이 고득점 합격 답안의 핵심입니다.

🎯 [최종 정답](1) $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - x + 1$ | (2) $h(m) = 4\pi(m+3)$

📚 과목/단원: 수학Ⅰ(대수) 🎯 핵심 테마: 수열, 등비수열의 모델링, 상용로그 부등식, 비용 최적화 ⏱️ 권장 시간: 40분

[제시문]

[가] 차례로 늘어놓은 수의 열을 수열이라 하고, 수열을 이루고 있는 각각의 수를 그 수열의 항이라 한다. (고등학교 『수학Ⅰ』)

[나] $10$을 밑으로 하는 로그를 상용로그라 하고, 상용로그 $\log_{10} N$은 보통 밑 $10$을 생략하여 $\log N$과 같이 나타낸다. (고등학교 『수학Ⅰ』)

[논제 1] 어떤 질병에 걸린 환자 $a$ ($a \gt 0$)명의 집단이 있다. A와 B의 치료법 중 하나를 날마다 선택하여 이 집단의 모든 환자에게 일괄 적용하려 한다. 치료법 A를 처음 적용할 때 남아 있는 환자의 $\frac{2}{3}$가 다음날 질병으로부터 회복되고, 치료법 A를 두 번째부터 적용하면 남아 있는 환자의 $\frac{1}{3}$이 다음날 질병으로부터 회복된다. 치료법 B를 적용하면 남아 있는 환자의 $\frac{1}{2}$이 다음날 질병으로부터 회복된다. 치료법의 적용 비용은 환자 수와 관계없이 회당 A는 $10$만 원이며, B는 $15$만 원이다. (단, $\log 2 = 0.30, \log 3 = 0.48$로 계산한다.)

(1) 치료법을 총 $n$번 적용했으며 이 중 A를 $k$번 적용했다. 치료법을 마지막으로 적용한 다음 날의 환자 수를 구하시오. [20점]

(2) 치료법을 모두 적용 후 남은 환자 수가 처음 환자 수의 $\frac{1}{27}$ 이하가 되도록 하려고 할 때 드는 최소 비용을 구하시오. [30점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수03-03]

【유사 연습 문제】 방사성 물질이 매년 $20\%$씩 감소할 때, 처음 양의 $10\%$ 이하로 줄어드는 데 최소 몇 년이 걸리는지 구하시오. (단, $\log_{10} 2 = 0.3010$)

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 매년 잔류 비율은 $0.8$이므로 $(0.8)^n \le 0.1$이다. 상용로그를 취하면 $n \log_{10}(0.8) \le -1$이다. $\log_{10}(0.8) = 3(0.3010) - 1 = -0.0970$이므로 $n \ge \frac{1}{0.0970} \approx 10.31$이다. 따라서 최소 $11$년이다. [정답: $11$년]

[문항 요약] 환자 $a$명 집단에 치료법 A(회당 10만 원), B(회당 15만 원) 일괄 적용 ($\log 2 = 0.30, \log 3 = 0.48$) (1) 20점 / (2) 30점

치료법 A: 첫 적용 시 잔류 환자의 $\frac{2}{3}$ 회복(남은 비율 $\frac{1}{3}$), 2회째부터는 $\frac{1}{3}$ 회복(남은 비율 $\frac{2}{3}$).
치료법 B: 적용 시마다 잔류 환자의 $\frac{1}{2}$ 회복(남은 비율 $\frac{1}{2}$).
(1) 총 $n$번 적용 중 A를 $k$번 적용했을 때 마지막 적용 다음 날 남은 환자 수를 구하시오.
(2) 남은 환자 수가 처음의 $\frac{1}{27}$ 이하가 되도록 할 때 드는 최소 비용을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 1 · 총 50점

(1) 남은 환자 수의 수열 모델링
• 치료법을 총 $n$번 적용할 때 A를 $k$번($0 \le k \le n$) 적용하면, 치료법 B는 $n - k$번 적용된다.
• 적용 순서에 관계없이 각 치료법이 환자 수에 미치는 곱셈 비율은 독립적이므로 다음과 같이 분류한다:
  ① $k = 0$인 경우 (B만 $n$번 적용): 남은 환자 수는 $a_n = a \left(\frac{1}{2}\right)^n$ 이다.
  ② $1 \le k \le n$인 경우: A가 처음 1회 적용될 때 비율은 $\frac{1}{3}$, 나머지 $k-1$회 적용될 때 비율은 $\frac{2}{3}$, B가 $n-k$회 적용될 때 비율은 $\frac{1}{2}$이다.
    따라서 남은 환자 수는 $a_n = a \cdot \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}$ 이다.
• 정답: $k=0$일 때 $a\left(\frac{1}{2}\right)^n$, $1 \le k \le n$일 때 $\frac{a}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}$

(2) 남은 환자 수가 $\frac{a}{27}$ 이하가 되는 최소 비용 계산
• 조건은 $a_n \le \frac{1}{27}a = a \cdot 3^{-3}$이다. 비용은 $C = 10k + 15(n-k)$ (만 원)이다.
• [경우 1] $k = 0$일 때: $\left(\frac{1}{2}\right)^n \le 3^{-3} \iff -n\log 2 \le -3\log 3 \iff n \ge \frac{3 \times 0.48}{0.30} = 4.8$.
  자연수이므로 $n \ge 5$. 이때 최소 비용은 $15 \times 5 = 75$만 원.
• [경우 2] $k \ge 1$일 때: $\frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-k} \le 3^{-3} \iff 2^{k-1-(n-k)} \cdot 3^{-k} \le 3^{-3} \iff 2^{2k-1-n} \le 3^{k-3}$.
  양변에 상용로그를 취하면: $(2k-1-n)\log 2 \le (k-3)\log 3 \iff 2k-1-n \le 1.6(k-3)$.
  정리하면: $n \ge 0.4k + 3.8$ 이 성립해야 한다.
• $k$의 값에 따라 가능한 정수 $n$의 최솟값과 비용을 조사하면:
  - $k=1$: $n \ge 4.2 \implies n \ge 5$, 비용 = $10(1) + 15(4) = 70$만 원
  - $k=2$: $n \ge 4.6 \implies n \ge 5$, 비용 = $10(2) + 15(3) = 65$만 원
  - $k=3$: $n \ge 5.0 \implies n \ge 5$, 비용 = $10(3) + 15(2) = \mathbf{60}$만 원
  - $k=4$: $n \ge 5.4 \implies n \ge 6$, 비용 = $10(4) + 15(2) = 70$만 원
  - $k=5$: $n \ge 5.8 \implies n \ge 6$, 비용 = $10(5) + 15(1) = 65$만 원
  - $k \ge 6$: 비용 $\ge 10(6) = 60$만 원 이상이며 $n \ge 7$이므로 비용 $\ge 65$만 원.
• 따라서 구하는 최소 비용은 A를 3번, B를 2번 적용할 때의 60만 원이다. 정답: 60만 원

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 치료법 적용에 따른 비율 정의 및 $k=0$과 $k \ge 1$ 케이스 분리	10점
2단계	• (1) 지수법칙을 적용하여 잔류 환자 수 일반항 $a_n$ 완벽 도출	10점
3단계	• (2) 목표 부등식 $a_n \le \frac{1}{27}a$ 수식화 및 상용로그 부등식 변환	10점
4단계	• (2) $k=0$일 때 $n \ge 4.8 \implies n=5$ (75만 원) 계산	5점
5단계	• (2) $k \ge 1$일 때 부등식 $n \ge 0.4k + 3.8$ 도출 및 $k=1\sim 5$별 비용 비교	10점
6단계	• (2) A 3회, B 2회 적용 시 최솟값 60만 원 최종 산출	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

이 문항은 상용로그의 연산($\log 2 = 0.30, \log 3 = 0.48$)을 실생활 최적화 문제에 응용한 고난도 논제입니다. 감점을 피하려면 반드시 A가 '처음' 적용될 때의 비율($\frac{1}{3}$)과 '두 번째 이후' 적용될 때의 비율($\frac{2}{3}$)이 다름을 수식에 정확히 반영해야 하며, $k=0$(A를 단 한 번도 적용하지 않은 경우)을 예외 케이스로 서술에서 분리해 주어야 완벽한 만점을 획득할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답](1) $k=0$일 때 $a\left(\frac{1}{2}\right)^n$, $1 \le k \le n$일 때 $\frac{a}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}$ | (2) 60만 원

📚 과목/단원: 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) 🎯 핵심 테마: 정적분과 넓이, 영역의 9등분, 포물선과 대칭성, 삼각형의 넓이 ⏱️ 권장 시간: 60분

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $f(x) \ge 0$일 때, 곡선 $y=f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x=a, x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 다음과 같다: \[S = \int_a^b f(x) dx \quad \text{(고등학교 『수학Ⅱ』)}\]

[논제 2] 곡선 $y=x^2$과 직선 $y=k$ ($k \gt \frac{2}{3}$)에 의해 둘러싸인 영역의 경계선 위에 점 $A_1$부터 $A_9$까지 $9$개의 점이 순서대로 반시계 방향으로 놓여있다. 점 $P\left(0, \frac{2}{3}\right)$와 $A_1$부터 $A_9$까지 $9$개의 점을 각각 잇는 선분들로 이 영역의 넓이를 $9$등분하고자 한다. $A_1$은 원점이고 $A_2$의 좌표는 $(1, 1)$이다.

(1) $k$의 값을 구하시오. [20점]

(2) 주어진 경계선 위의 $9$개의 점 중에서 직선 $y=k$ 위에 있는 점의 좌표를 모두 구하시오. [30점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

【유사 연습 문제】 포물선 $y = 4 - x^2$과 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 $y = c$ ($0 \lt c \lt 4$)가 이등분할 때, $c$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 전체 넓이는 $\int_{-2}^2 (4-x^2)\,dx = 2\left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{32}{3}$이다. 직선 $y=c$ 윗부분의 넓이는 포물선 $y-c = 4-c - x^2$의 넓이이므로 $\frac{4}{3}(4-c)^{3/2}$이다. 이등분 조건에 의해 $\frac{4}{3}(4-c)^{3/2} = \frac{16}{3} \implies (4-c)^{3/2} = 4 \implies 4-c = 4^{2/3} = 2^{4/3}$이므로 $c = 4 - 2^{4/3}$이다. [정답: $c = 4 - 2^{4/3}$]

[문항 요약] 곡선 $y=x^2$과 직선 $y=k$ ($k \gt \frac{2}{3}$) 영역을 점 $P\left(0, \frac{2}{3}\right)$와 $A_1 \sim A_9$로 9등분 (1) 20점 / (2) 30점

조건: $A_1=(0,0)$, $A_2=(1,1)$, 점들은 경계선 위 반시계 방향 순서.
(1) $k$의 값을 구하시오. (2) 경계선 위의 점 중 직선 $y=k$ 위에 있는 점의 좌표를 모두 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 2 · 총 50점

(1) $k$의 값 계산
• 선분 $PA_2$의 방정식은 $y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$이므로, 첫 번째 조각 $PA_1 A_2$의 넓이 $S_1$은:
$S_1 = \int_0^1 \left(\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} - x^2\right) dx = \left[ \frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$.
• 9등분이므로 곡선과 직선 사이 전체 넓이는 $S = 9 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$이다.
• 포물선 공식에서 $S = \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (k - x^2)dx = \frac{4}{3}k^{3/2}$이므로:
$\frac{4}{3}k^{3/2} = \frac{9}{2} \iff k^{3/2} = \frac{27}{8} \iff k = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \mathbf{\frac{9}{4}}$. 정답: $k = \frac{9}{4}$

(2) 직선 $y = \frac{9}{4}$ 위에 있는 점들의 좌표 산출
• 교점의 $x$좌표는 $\pm\sqrt{9/4} = \pm\frac{3}{2}$이므로, 직선 $y=\frac{9}{4}$ 위의 점은 $-\frac{3}{2} \le x \le \frac{3}{2}$을 만족해야 한다.
• 점 $P\left(0, \frac{2}{3}\right)$에서 직선 $y=\frac{9}{4}$까지의 수직 높이는 $H = \frac{9}{4} - \frac{2}{3} = \frac{19}{12}$이다.
• 각 삼각형 조각의 넓이가 $\frac{1}{2}$이므로 직선 위 밑변의 길이는 $\frac{1}{2} \times L \times \frac{19}{12} = \frac{1}{2} \implies L = \frac{12}{19}$이다.
• 영역이 $y$축에 대칭이므로, $y$축에 가장 가까운 두 점 $A_5, A_6$는 대칭점 $\left(\pm a, \frac{9}{4}\right)$이며 $2a = \frac{12}{19} \implies a = \frac{6}{19}$이다. 즉, $\mathbf{\left(\pm \frac{6}{19}, \frac{9}{4}\right)}$.
• 다음 외곽점 $A_4, A_7$은 거리 $\frac{12}{19}$만큼 바깥쪽에 놓이므로 $x = \pm\left(\frac{6}{19} + \frac{12}{19}\right) = \pm\frac{18}{19}$이다. $\frac{18}{19} \lt \frac{3}{2}$이므로 경계선 내에 존재하여 $\mathbf{\left(\pm \frac{18}{19}, \frac{9}{4}\right)}$이다.
• 그 다음 점 $A_3, A_8$은 $x = \pm\frac{30}{19}$이며, $\frac{30}{19} \gt \frac{3}{2}$이므로 직선 위의 점이 아니다.
• 따라서 직선 위의 모든 점은 $\mathbf{\left(\pm \frac{6}{19}, \frac{9}{4}\right), \; \left(\pm \frac{18}{19}, \frac{9}{4}\right)}$ (총 4개)이다. 정답: $\left(\pm \frac{6}{19}, \frac{9}{4}\right), \; \left(\pm \frac{18}{19}, \frac{9}{4}\right)$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 한 조각 $PA_1A_2$의 넓이 $S_1 = \frac{1}{2}$ 및 전체 넓이 $S = \frac{9}{2}$ 계산	10점
2단계	• (1) 포물선 적분 $\frac{4}{3}k^{3/2} = \frac{9}{2}$로부터 $k = \frac{9}{4}$ 산출	10점
3단계	• (2) 도형의 대칭성 언급 및 높이 $H = \frac{19}{12}$, 밑변 $L = \frac{12}{19}$ 도출	10점
4단계	• (2) 중심점 $\left(\pm \frac{6}{19}, \frac{9}{4}\right)$ 및 외곽점 $\left(\pm \frac{18}{19}, \frac{9}{4}\right)$ 도출 후 범위 검증 완료	20점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

이 문항은 상단 직선 위의 조각들이 공통 높이 $H=\frac{19}{12}$를 갖는 삼각형이 됨을 파악하는 것이 핵심입니다. 채점 기준에서 '대칭성에 관한 언급'에 단독 배점이 있으므로 "영역이 $y$축에 대칭이므로 점들 또한 대칭 배치된다"를 반드시 명시하십시오. 또한 $x = \pm \frac{30}{19} \gt \frac{3}{2}$임을 밝혀 4개점만 직선 위에 존재함을 증명해야 만점이 주어집니다.

🎯 [최종 정답](1) $k = \frac{9}{4}$ | (2) $\left(\pm \frac{6}{19}, \frac{9}{4}\right), \; \left(\pm \frac{18}{19}, \frac{9}{4}\right)$

📚 과목/단원: 수학Ⅰ(대수) 🎯 핵심 테마: 로그함수, 등비수열, 거듭제곱의 합, 수열의 합($\sum$) ⏱️ 권장 시간: 35분

[제시문]

[가] 우리 주변에서 일어나는 현상 중 많은 것이 지수함수나 로그함수의 그래프 형태로 나타난다. (고등학교 『수학Ⅰ』)

[나] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $a_1+a_2+a_3+\dots+a_n$을 합의 기호 $\sum$를 사용하여 나타낸다: \[\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+a_3+\dots+a_n \quad \text{(고등학교 『수학Ⅰ』)}\]

[논제 1] 함수 $f(x)$가 $f(x)=\log_3 x$이고, 수열 $\{a_n\}$을 첫째항이 $3$이고 공비가 $3$인 등비수열이라 하자. $n$은 $n \ge 2$인 자연수이고, 세 점 $(a_n, f(a_n))$, $(a_{n-1}, 0)$, $(a_{n+1}, 0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 $T_n$이라 하자.

(1) 삼각형 $T_n$의 밑변을 두 점 $(a_{n-1}, 0)$과 $(a_{n+1}, 0)$을 잇는 선분으로 선택할 때의 높이를 $h_n$이라 하자. 이때 $\sum_{k=2}^n h_k^2$을 구하시오. [15점]

(2) 삼각형 $T_n$의 넓이를 $A_n$이라 할 때, $\sum_{k=2}^n \frac{A_k}{k}$를 구하시오. [20점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

【유사 연습 문제】 등비수열 $a_n = 2^n$에 대하여 $\sum_{k=1}^5 \log_2 a_k$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\log_2 a_k = \log_2 2^k = k$이므로 $\sum_{k=1}^5 k = \frac{5 \times 6}{2} = 15$이다. [정답: $15$]

[문항 요약] $f(x)=\log_3 x$, 등비수열 $a_n=3^n$. 삼각형 $T_n$의 꼭짓점 $(a_n, f(a_n)), (a_{n-1},0), (a_{n+1},0)$ ($n \ge 2$) (1) 15점 / (2) 20점

(1) 밑변을 $(a_{n-1}, 0)$과 $(a_{n+1}, 0)$을 잇는 선분으로 할 때 높이를 $h_n$이라 하자. $\sum_{k=2}^n h_k^2$을 구하시오.
(2) 삼각형 $T_n$의 넓이를 $A_n$이라 할 때, $\sum_{k=2}^n \frac{A_k}{k}$를 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 1 · 총 35점

(1) 높이 $h_n$ 및 $\sum_{k=2}^n h_k^2$의 계산
• 수열 $\{a_n\}$은 첫째항 3, 공비 3인 등비수열이므로 일반항은 $a_n = 3^n$이다.
• 삼각형 $T_n$의 꼭짓점 좌표는 $(a_n, f(a_n)) = (3^n, \log_3 3^n) = (3^n, n)$이다.
• 밑변이 $x$축 위의 두 점 $(a_{n-1}, 0)$과 $(a_{n+1}, 0)$을 잇는 선분이므로, 점 $(3^n, n)$에서 $x$축까지의 수직 거리가 높이 $h_n$이 된다. 따라서 $h_n = n$이다.
• 자연수 거듭제곱의 합 공식에 의하여 구하는 합은:
$\sum_{k=2}^n h_k^2 = \sum_{k=2}^n k^2 = \left( \sum_{k=1}^n k^2 \right) - 1^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 1 = \mathbf{\frac{2n^3 + 3n^2 + n - 6}{6}}$.
• 정답: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 1$ (또는 $\frac{2n^3+3n^2+n-6}{6}$)

(2) 삼각형의 넓이 $A_n$ 및 $\sum_{k=2}^n \frac{A_k}{k}$의 계산
• 밑변의 길이는 $a_{n+1} - a_{n-1} = 3^{n+1} - 3^{n-1} = 3^{n-1}(3^2 - 1) = 8 \cdot 3^{n-1}$이다.
• 삼각형 $T_n$의 넓이 $A_n$은 다음과 같다:
$A_n = \frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이}) = \frac{1}{2} \times (8 \cdot 3^{n-1}) \times n = 4n \cdot 3^{n-1}$.
• 따라서 $\frac{A_k}{k} = 4 \cdot 3^{k-1}$이다.
• 구하는 식은 첫째항이 $4 \cdot 3^1 = 12$이고 공비가 3인 등비수열의 항 $n-1$개의 합이므로:
$\sum_{k=2}^n \frac{A_k}{k} = \sum_{k=2}^n 4 \cdot 3^{k-1} = 4 \sum_{j=1}^{n-1} 3^j = 4 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} = 6(3^{n-1} - 1) = \mathbf{2 \cdot 3^n - 6}$.
• 정답: $2 \cdot 3^n - 6$ (또는 $6(3^{n-1}-1)$)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 꼭짓점 좌표 $(3^n, n)$ 분석 및 높이 $h_n = n$ 도출	5점
2단계	• (1) 자연수 제곱의 합 공식을 적용하여 $\sum_{k=2}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-1$ 정확히 계산	10점
3단계	• (2) 밑변 길이 $8 \cdot 3^{n-1}$ 및 삼각형 넓이 $A_n = 4n \cdot 3^{n-1}$ 도출	10점
4단계	• (2) 등비수열의 합 공식을 적용하여 $\sum_{k=2}^n \frac{A_k}{k} = 2 \cdot 3^n - 6$ 정확히 산출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

이 문항은 수열의 합 기호 $\sum$의 시작 인덱스에 주의해야 하는 대표적인 문항입니다. 논제에서 $k=1$이 아니라 $k=2$부터 합산하도록 지정되어 있으므로, 공식 $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$에서 반드시 $1^2=1$을 빼주어야 감점을 당하지 않습니다. 또한 (2)번에서도 $k=2$일 때의 첫째항이 $4 \times 3^1 = 12$임을 명확히 적어주고 등비수열 합 공식으로 간결하게 답을 유도하십시오.

🎯 [최종 정답](1) $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 1$ (또는 $\frac{2n^3+3n^2+n-6}{6}$) | (2) $2 \cdot 3^n - 6$ (또는 $6(3^{n-1}-1)$)

📚 과목/단원: 수학Ⅰ(대수) 🎯 핵심 테마: 삼각함수, 삼각형의 넓이 공식, 상대 각속도, 시간 적산 ⏱️ 권장 시간: 65분

[제시문]

[가] 삼각형 $ABC$의 세 변의 길이를 각각 $a, b, c$라 하고 삼각형의 넓이를 $S$라고 하면: \[S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C \quad \text{(고등학교 『수학Ⅰ』)}\]

[논제 2] 시계판 위에 시침과 분침을 핀으로 고정하여 만든 원형의 아날로그 시계가 있다. 이 시계의 시침과 분침은 일정한 속도로 시계판 위를 회전하는데, 시침은 12시간마다, 분침은 1시간마다 시계판 위를 한 바퀴 회전한다. 고정핀으로부터 시침과 분침의 끝부분까지의 길이는 각각 $10\text{cm}$, $20\text{cm}$이다.

(1) 시침을 기준으로 분침이 시계방향으로 이루는 각을 $\theta$라 할 때, 고정핀과 시침의 끝부분, 분침의 끝부분이 이루는 삼각형의 넓이가 $50\text{cm}^2$ 이상이 되는 $\theta$의 범위를 $0 \le \theta \le 4\pi$에서 구하시오. [25점]

(2) 오후 1시부터 오후 6시까지 5시간 동안 시계를 관찰할 때, 고정핀과 시침의 끝부분, 분침의 끝부분이 이루는 삼각형의 넓이가 $50\text{cm}^2$ 이상이 되는 총 시간은 얼마인지 설명하시오. [40점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

【유사 연습 문제】 삼각형 $\triangle\mathrm{ABC}$에서 $b = 4, c = 6$이고 두 변이 이루는 각의 크기가 $A = 60^\circ$일 때, 삼각형의 넓이 $S$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 \times \sin 60^\circ = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$이다. [정답: $6\sqrt{3}$]

[문항 요약] 아날로그 시계: 시침 길이 $10\text{cm}$, 분침 길이 $20\text{cm}$. 시침 기준 분침 회전각 $\theta$ (1) 25점 / (2) 40점

(1) 시침과 분침 끝부분이 이루는 삼각형 넓이가 $50\text{cm}^2$ 이상이 되는 $\theta$의 범위를 $0 \le \theta \le 4\pi$에서 구하시오.
(2) 오후 1시부터 오후 6시까지 5시간 동안 관찰할 때, 삼각형 넓이가 $50\text{cm}^2$ 이상이 되는 총 시간을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 2 · 총 65점

(1) 넓이 부등식과 $\theta$의 범위 ($0 \le \theta \le 4\pi$)
• 시침의 길이 $a = 10$, 분침의 길이 $b = 20$, 사이각 $\theta$에 대하여 삼각형의 넓이 공식은:
$S = \frac{1}{2}ab \sin\theta = \frac{1}{2} \times 10 \times 20 \times \sin\theta = 100\sin\theta$.
• 조건 $S \ge 50$에서 $100\sin\theta \ge 50 \iff \sin\theta \ge \frac{1}{2}$.
• 한 주기 $0 \le \theta \lt 2\pi$에서 $\sin\theta \ge \frac{1}{2}$의 해는 $\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}$이다.
• 주어진 범위 $0 \le \theta \le 4\pi$는 2주기이므로 구하는 범위는 다음과 같다:
$\mathbf{\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6} \quad \text{또는} \quad \frac{13\pi}{6} \le \theta \le \frac{17\pi}{6}}$.
• 정답: $\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}, \; \frac{13\pi}{6} \le \theta \le \frac{17\pi}{6}$

(2) 5시간 동안의 총 유효 시간 설명
• 분침의 각속도는 $\omega_m = \frac{2\pi}{1\text{ h}} = 2\pi\text{ rad/h}$, 시침의 각속도는 $\omega_h = \frac{2\pi}{12\text{ h}} = \frac{\pi}{6}\text{ rad/h}$이다.
• 시침에 대한 분침의 상대 회전 각속도는 $\omega = \omega_m - \omega_h = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}\text{ rad/h}$이다.
• 상대 회전각 $\theta$가 1주기($2\pi$) 회전하는 데 걸리는 시간(주기)은 $T = \frac{2\pi}{11\pi/6} = \frac{12}{11}\text{시간}$이다.
• 1주기($2\pi$) 중 넓이가 $50$ 이상인 각도 구간의 길이는 $\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$이다.
따라서 1주기당 넓이가 $50$ 이상이 되는 시간은 $\Delta t = \frac{2\pi/3}{11\pi/6} = \frac{4}{11}\text{시간}$이다.
• 오후 1시 정각에 시침은 1(각도 $\frac{\pi}{6}$), 분침은 12(각도 0)을 가리키므로 초기 각도는 $\theta_0 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ (또는 $-\frac{\pi}{6}$)이다.
• 5시간 동안 증가하는 총 상대 회전각은 $\Delta\theta = \frac{11\pi}{6} \times 5 = \frac{55\pi}{6} = 4 \times 2\pi + \frac{7\pi}{6}$이다.
• 이 5시간 동안 완전한 1주기가 4회 반복되며, 각각의 주기에서 $\frac{4}{11}$시간씩 유효하므로 총 시간은 $5 \times \frac{4}{11} = \mathbf{\frac{20}{11}\text{시간}}$이다. (즉, 1시간 49분 5.45초)
• 정답: $\frac{20}{11}\text{시간}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 65점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 삼각형 넓이 공식 $S = 100\sin\theta \ge 50 \iff \sin\theta \ge \frac{1}{2}$ 수식화	10점
2단계	• (1) $0 \le \theta \le 4\pi$ 범위에서 두 주기 구간 정확히 산출	15점
3단계	• (2) 분침과 시침의 상대 각속도 $\omega = \frac{11\pi}{6}\text{ rad/h}$ 수식 모델링	15점
4단계	• (2) 1주기당 유효시간 $\frac{4}{11}$시간 및 5시간 동안 총 시간 $\frac{20}{11}$시간 도출	25점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

이 문항은 물리학적 상대속도 개념을 삼각함수와 결합한 융합형 문항입니다. 각 시계 바늘의 절대 회전각을 따로따로 구하면 식이 매우 복잡해져 계산 실수가 발생합니다. 반드시 "시침에 대한 분침의 상대 각속도 $\omega = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}\text{ rad/h}$"를 도입하여 1주기($2\pi$) 중 유효 각도 비율이 $\frac{2\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{3}$임을 밝히고, 총 시간 5시간에 선형 비례 관계를 적용하는 간결하고 우아한 논증을 보여주면 만점을 받습니다.

🎯 [최종 정답](1) $\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}, \; \frac{13\pi}{6} \le \theta \le \frac{17\pi}{6}$ | (2) $\frac{20}{11}\text{시간}$

📚 과목/단원: 수학Ⅰ(대수) 🎯 핵심 테마: 삼각함수(탄젠트), 직선의 방정식, 자연수 거듭제곱 합, 부분분수 망원합 ⏱️ 권장 시간: 40분

[제시문]

[가] 좌표평면에서 동경 $OP$가 나타내는 각의 크기를 $\theta$라고 할 때: \[\sin\theta = \frac{y}{r}, \quad \cos\theta = \frac{x}{r}, \quad \tan\theta = \frac{y}{x} \;(x \ne 0) \quad \text{(고등학교 『수학Ⅰ』)}\]

[논제 1] 인공위성을 궤도에 올리는 데 사용된 우주발사체가 파괴되어 8개의 파편이 순차적으로 평평한 지면 위의 두 지점 $A$와 $B$의 상공을 통과하여 추락하였다. $A$지점의 상공을 $n$번째로 지나간 파편은 지면으로부터 $(n+1)^2\text{km}$의 높이로 통과하였으며, $B$지점의 상공에서는 모든 파편이 지면으로부터 $1\text{km}$의 높이로 통과하였다. 파편은 모두 직선을 따라 지면에 도달하였고, 두 지점 $A$와 $B$ 사이의 거리는 $1\text{km}$라고 하자.

(1) $A$지점의 상공을 $n$번째 지나간 파편이 지면에 도달할 때, 지면과 이루는 각을 $\theta_n$이라 하면, $\sum_{n=1}^8 \tan\theta_n$은 얼마인지 설명하시오. (단, $0 \lt \theta_n \lt \frac{\pi}{2}$이다.) [15점]

(2) $A$지점의 상공을 $n$번째로 지나간 파편이 지면에 도달한 지점에서 $B$지점까지의 거리를 $a_n\text{km}$라 하면, $\sum_{n=1}^8 a_n$은 얼마인지 설명하시오. [25점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]

【유사 연습 문제】 수열의 합 $\sum_{k=1}^9 \frac{1}{k(k+1)}$의 값을 부분분수 전개를 이용하여 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$이므로 망원합을 계산하면 $(1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + \cdots + (\frac{1}{9}-\frac{1}{10}) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$이다. [정답: $\frac{9}{10}$]

[문항 요약] 우주발사체 파편 8개 추락: 지면 두 지점 $A(-1,0), B(0,0)$ 사이 거리 $1\text{km}$ (1) 15점 / (2) 25점

$n$번째 파편: $A$ 상공 $(n+1)^2\text{km}$, $B$ 상공 $1\text{km}$를 직선으로 통과하여 지면에 충돌.
(1) $n$번째 파편이 지면과 이루는 예각을 $\theta_n$이라 할 때, $\sum_{n=1}^8 \tan\theta_n$을 구하시오.
(2) $n$번째 파편 충돌 지점에서 $B$지점까지의 거리를 $a_n\text{km}$라 할 때, $\sum_{n=1}^8 a_n$을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 1 · 총 40점

(1) 좌표 설정 및 $\sum_{n=1}^8 \tan\theta_n$의 계산
• 지면을 $x$축으로 두고 $B$지점을 원점 $(0,0)$, $A$지점을 $(-1,0)$으로 두자.
• $n$번째 파편이 지나는 상공의 두 점은 각각 $A'(-1, (n+1)^2)$과 $B'(0, 1)$이다.
• 두 점을 지나는 직선의 기울기는 $m_n = \frac{1 - (n+1)^2}{0 - (-1)} = 1 - (n^2 + 2n + 1) = -(n^2 + 2n)$이다.
• 파편이 지면과 이루는 예각 $\theta_n$ ($0 \lt \theta_n \lt \frac{\pi}{2}$)에 대하여, $\tan\theta_n$은 직선 기울기의 절댓값이므로:
$\tan\theta_n = |m_n| = n^2 + 2n$.
• 자연수 거듭제곱의 합 공식에 의하여 구하는 합은:
$\sum_{n=1}^8 \tan\theta_n = \sum_{n=1}^8 (n^2 + 2n) = \frac{8 \times 9 \times 17}{6} + 2 \times \frac{8 \times 9}{2} = 204 + 72 = \mathbf{276}$.
• 정답: 276

(2) 충돌 지점 거리 $a_n$ 및 $\sum_{n=1}^8 a_n$의 계산
• 파편의 직선의 방정식은 기울기가 $-(n^2+2n)$이고 점 $(0,1)$을 지나므로 다음과 같다:
  $y = -(n^2 + 2n)x + 1 = -n(n+2)x + 1$.
• 파편이 지면에 도달하는 지점은 $y = 0$일 때의 $x$절편이므로:
  $0 = -n(n+2)x + 1 \implies x_n = \frac{1}{n(n+2)}$.
• 충돌 지점에서 $B$지점(원점)까지의 거리 $a_n$은 $a_n = x_n = \frac{1}{n(n+2)}$이다.
• 부분분수 분해 공식 $\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$를 적용하면 망원합으로 전개된다:
  $\sum_{n=1}^8 a_n = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^8 \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2} \left[ \left(1 + \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{9} + \frac{1}{10}\right) \right]$
  $= \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{19}{90} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{135 - 19}{90} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{116}{90} = \mathbf{\frac{29}{45}}$.
• 정답: $\frac{29}{45}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 좌표계 도입 및 직선 기울기 도출 $\tan\theta_n = n^2+2n$ 수식화	5점
2단계	• (1) 자연수 제곱의 합과 1차 합 공식을 적용하여 합 276 산출	10점
3단계	• (2) 직선의 방정식 및 지면 도달 $x$절편 $a_n = \frac{1}{n(n+2)}$ 유도	10점
4단계	• (2) 부분분수 분해 및 망원합 소거를 통해 최종합 $\frac{29}{45}$ 정확히 계산	15점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

직선의 방정식과 수열의 합을 융합한 경기대 전형적인 실생활 활용 문항입니다. (1)번에서 파편 직선의 기울기가 음수이므로, 지면과 이루는 '예각'의 탄젠트 값은 기울기의 부호를 바꾼 $|m_n| = n^2+2n$임을 수식으로 분명히 정의해야 감점이 없습니다. (2)번에서는 부분분수 소거 시 첫 2개 항($1, \frac{1}{2}$)과 마지막 2개 항($-\frac{1}{9}, -\frac{1}{10}$)이 남는 구조를 괄호로 명확히 보여주는 것이 채점관의 가독성을 극대화합니다.

🎯 [최종 정답](1) 276 | (2) $\frac{29}{45}$

📚 과목/단원: 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) 🎯 핵심 테마: 도함수의 활용, 삼차함수 모델링, 극대·극소, 접선의 방정식, 충돌 지점 ⏱️ 권장 시간: 60분

[제시문]

[가] 함수 $y=f(x)$의 그래프 개형은 도함수를 활용하여 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 조사하고, $x$축, $y$축과의 교점을 구하면 그릴 수 있다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[나] 함수 $y=f(x)$의 $x=a$에서의 미분계수 $f'(a)$가 존재할 때, $f'(a)$는 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 기울기와 같다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[논제 2] 드론이 평지에 직선으로 뻗어있는 도로를 따라 시험 비행을 하였다. 시험 비행에서 드론의 비행경로는 3차함수의 그래프 개형을 따르기로 하였으며, 도로의 $O$지점에서 이륙하여 도로의 $A$지점 상공을 지날 때 하강을 시작하고 도로의 $B$지점 상공을 지날 때부터 다시 상승하기로 계획하였다. 이때 $A$지점에서는 $2\text{km}$의 높이로, $B$지점에서는 $1\text{km}$의 높이로 비행하기로 계획하였고, $A$지점부터 $B$지점까지의 거리는 $4\text{km}$이다. 그런데 시험 비행 도중 드론이 $A$지점으로부터 도로를 따라 $2\text{km}$ 지난 지점의 상공을 지나는 순간 드론 조종에 문제가 발생하였다. 드론 조종에 문제가 발생한 시점부터 드론이 그 순간의 진행 방향으로 직선을 따라 움직여 도로 위에 충돌하였다. 드론이 지면에 충돌한 지점은 도로의 $A$지점에서 몇 $\text{km}$ 지난 지점인지 설명하시오. (단, 비행 중 드론의 속력은 항상 $0$보다 크다.) [60점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1$의 극댓값과 극솟값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x-1)(x-2) = 0 \implies x=1$ 또는 $x=2$이다. $f(1) = 2 - 9 + 12 + 1 = 6$ (극댓값), $f(2) = 16 - 36 + 24 + 1 = 5$ (극솟값)이다. [정답: 극댓값 $6$, 극솟값 $5$]

[문항 요약] 드론 비행경로 3차함수 $f(x)$. 도로 $O$에서 이륙, $A$ 상공 높이 $2\text{km}$, $B$ 상공 높이 $1\text{km}$ 단일 논제 60점

조건: $A$에서 하강 시작(극대), $B$에서 다시 상승 시작(극소), $A$와 $B$ 사이 거리 $4\text{km}$.
사고: $A$로부터 도로를 따라 $2\text{km}$ 지난 지점 상공에서 조종 고장으로 그 순간 접선 방향 직선 비행 후 도로에 충돌.
논제: 드론이 도로 위에 충돌한 지점은 도로의 $A$지점에서 몇 $\text{km}$ 지난 지점인지 설명하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 2 · 총 60점

[1단계: 좌표계 설정 및 극값 조건 분석]
• 도로를 $x$축으로 두고, 드론이 하강을 시작하는 $A$지점을 $x=0$, 다시 상승을 시작하는 $B$지점을 $x=4$로 설정하자.
• 드론의 비행경로를 나타내는 3차함수를 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \gt 0$)라 하자.
• $x=0$에서 하강을 시작하므로 극댓값을 갖고, $x=4$에서 상승을 시작하므로 극솟값을 갖는다. 따라서 $f'(0) = 0, \; f'(4) = 0$이다.
• 또한 각 지점의 비행 고도가 주어졌으므로 $f(0) = 2, \; f(4) = 1$이다.

[2단계: 3차함수 계수 결정]
• $f'(x)$는 최고차항 계수가 $3a$인 2차함수이고 $x=0, 4$를 근으로 가지므로:
  $f'(x) = 3ax(x - 4) = 3ax^2 - 12ax$.
• 이를 적분하면 $f(x) = ax^3 - 6ax^2 + d$ 이다.
• $f(0) = d = 2$ 이므로 $f(x) = ax^3 - 6ax^2 + 2$ 이다.
• 조건 $f(4) = 1$을 대입하면:
  $f(4) = a(64) - 6a(16) + 2 = 64a - 96a + 2 = -32a + 2 = 1 \implies 32a = 1 \implies a = \frac{1}{32}$.
• 따라서 드론의 비행 궤적 함수와 도함수는 다음과 같이 확정된다:
  $f(x) = \frac{1}{32}x^3 - \frac{3}{16}x^2 + 2, \quad f'(x) = \frac{3}{32}x(x - 4)$.

[3단계: 고장 발생 지점의 접선 및 지면 충돌 지점 계산]
• $A$지점으로부터 $2\text{km}$ 지난 지점은 $x = 2$이다.
• 고장 순간의 드론 위치(높이)는 $f(2) = \frac{1}{32}(8) - \frac{3}{16}(4) + 2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 2 = \frac{3}{2}$ ($\text{km}$)이다.
• 고장 순간의 진행 방향(접선 기울기)은 $f'(2) = \frac{3}{32}(2)(2 - 4) = \frac{3}{32} \times (-4) = -\frac{3}{8}$이다.
• 점 $\left(2, \frac{3}{2}\right)$을 지나고 기울기가 $-\frac{3}{8}$인 직선의 방정식은 다음과 같다:
$y - \frac{3}{2} = -\frac{3}{8}(x - 2) \iff y = -\frac{3}{8}x + \frac{3}{4} + \frac{3}{2} \iff y = -\frac{3}{8}x + \frac{9}{4}$.
• 드론이 도로(지면)에 충돌하는 지점은 $y = 0$일 때의 $x$절편이므로:
$0 = -\frac{3}{8}x + \frac{9}{4} \implies \frac{3}{8}x = \frac{9}{4} \implies x = \frac{9}{4} \times \frac{8}{3} = \mathbf{6}$.
• 따라서 드론이 도로에 충돌한 지점은 $A$지점에서 $\mathbf{6\text{km}}$ 지난 지점이다. 정답: $6\text{km}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 60점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• 좌표계 설정 및 하강/상승 시작 조건에서 $f'(0)=0, f'(4)=0$ 도출	10점
2단계	• 고도 조건 $f(0)=2$를 통해 상수항 $d=2$ 결정	10점
3단계	• 고도 조건 $f(4)=1$을 통해 $a=\frac{1}{32}$ 및 삼차함수 $f(x)$ 식 완벽 결정	10점
4단계	• $x=2$에서의 위치 $\left(2, \frac{3}{2}\right)$, 기울기 $f'(2)=-\frac{3}{8}$ 및 접선의 방정식 유도	15점
5단계	• 지면 충돌($y=0$) 계산으로 $x=6$ 도출 및 "$A$지점에서 $6\text{km}$" 최종 결론 서술	15점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

이 문항은 60점이 통째로 배점된 메가 배점 논제입니다. 도함수의 근과 극값 조건에서 시작하여 접선까지 유기적으로 이어지는 전형적인 수식 전개 문항입니다. 감점을 피하기 위한 필수 포인트는 3차함수의 최고차항 계수 $a$를 설정할 때 비행경로가 $x=0$에서 극대, $x=4$에서 극소가 되므로 $a \gt 0$임을 서술에 명시하는 것입니다. 마지막 결론에서도 단순히 $x=6$으로 끝내지 않고 "도로의 $A$지점으로부터 $6\text{km}$ 지난 지점"으로 문제의 질문 형식에 맞추어 답안을 종결하십시오.

🎯 [최종 정답]$6\text{km}$

📚 과목/단원: 공통수학 · 다항식과 복소수 🎯 핵심 테마: 나머지정리와 인수정리, $\omega$의 거듭제곱 주기성, 고차 다항식 나눗셈 ⏱️ 권장 시간: 35분

[제시문]

[가] 다항식 $P(x)$를 $0$이 아닌 다항식 $A(x)$로 나눈 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x)$라 할 때, \[P(x) = A(x)Q(x) + R(x) \quad (R(x) = 0 \text{ 또는 } (R(x)\text{의 차수}) \lt (A(x)\text{의 차수}))\] 가 성립한다. 특히 일차식 $x-\alpha$로 나눈 나머지는 $P(\alpha)$이다. (고등학교 『수학』)

[나] 이차방정식 $x^2+x+1=0$의 한 허근을 $\omega$라 할 때, 계수가 실수이므로 켤레복소수 $\bar{\omega}$ 또한 근이 되며 다음 관계가 성립한다: \[\omega^2 + \omega + 1 = 0, \quad \omega^3 = 1, \quad \omega + \bar{\omega} = -1, \quad \omega\bar{\omega} = 1 \quad \text{(고등학교 『수학』)}\]

[논제] 실수 $a, b, c$에 대하여 다항식 $P(x) = x^{2027} + ax^2 + bx + c$가 있다.

(1) 다항식 $P(x)$가 이차식 $x^2+x+1$로 나누어떨어질 때, $b$와 $c$를 각각 $a$에 대한 식으로 나타내시오. [20점]

(2) (1)의 조건을 만족하는 다항식 $P(x)$를 $(x-1)^2$으로 나눈 나머지를 $R(x)$라 하자. $R(2) = 2031$일 때, 상수 $a$의 값을 구하고 다항식 $P(x)$를 $x-1$로 나눈 몫을 $x^2+x+1$로 나눈 나머지를 구하시오. [25점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

【유사 연습 문제】 다항식 $f(x) = x^{2024} + ax + b$가 이차식 $x^2 + x + 1$로 나누어떨어질 때, 실수 $a, b$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x^2+x+1=0$의 허근 $\omega$에 대하여 $\omega^3=1, \omega^2+\omega+1=0$이다. $f(\omega) = (\omega^3)^{674}\omega^2 + a\omega + b = \omega^2 + a\omega + b = (a-1)\omega + (b-1) = 0$이므로 $a=1, b=1$이다. [정답: $a=1, b=1$]

[문항 요약] 다항식 $P(x) = x^{2027} + ax^2 + bx + c$ ($a, b, c$는 실수) (1) 20점 / (2) 25점

(1) $P(x)$가 $x^2+x+1$로 나누어떨어질 때, $b, c$를 각각 $a$에 대한 식으로 나타내시오.
(2) (1)의 조건에서 $P(x)$를 $(x-1)^2$으로 나눈 나머지 $R(x)$에 대해 $R(2)=2031$일 때, $a$의 값 및 $P(x)$를 $x-1$로 나눈 몫을 $x^2+x+1$로 나눈 나머지를 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 1 · 총 45점

(1) $P(x)$가 $x^2+x+1$로 나누어떨어질 조건
• $x^2+x+1=0$의 한 허근을 $\omega$라 하면 $\omega^2+\omega+1=0$이고 $\omega^3=1$이다.
• $2027 = 3 \times 675 + 2$이므로 $\omega^{2027} = (\omega^3)^{675} \cdot \omega^2 = \omega^2 = -\omega - 1$이다.
• $P(x)$가 $x^2+x+1$로 나누어떨어지므로 인수정리에 의해 $P(\omega) = 0$이어야 한다:
  $P(\omega) = \omega^{2027} + a\omega^2 + b\omega + c = \omega^2 + a\omega^2 + b\omega + c = (a+1)\omega^2 + b\omega + c$.
• $\omega^2 = -\omega - 1$을 대입하면:
  $P(\omega) = (a+1)(-\omega - 1) + b\omega + c = (b - a - 1)\omega + (c - a - 1) = 0$.
• $\omega$는 허수이고 $a, b, c$는 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의해:
  $b - a - 1 = 0 \implies \mathbf{b = a + 1}, \quad c - a - 1 = 0 \implies \mathbf{c = a + 1}$.
• 정답: $b = a + 1, \; c = a + 1$

(2) 상수 $a$의 값 및 몫을 $x^2+x+1$로 나눈 나머지
• (1)에 의해 $P(1) = 1 + a + b + c = 1 + a + (a+1) + (a+1) = 3a + 3$이다.
• $P(x) = (x-1)^2 Q(x) + px + q$라 둘 때, $P(1) = p + q = 3a + 3$이다.
• $P'(x) = 2027x^{2026} + 2ax + b$이므로 $P'(1) = 2027 + 2a + (a+1) = 3a + 2028 = p$.
• $q = (3a+3) - (3a+2028) = -2025$이므로 나머지 $R(x) = (3a+2028)x - 2025$이다.
• 조건 $R(2) = 2(3a+2028) - 2025 = 6a + 2031 = 2031 \implies 6a = 0 \implies \mathbf{a = 0}$.
• 따라서 $P(x) = x^{2027} + x + 1$이고 $P(1) = 3$이다.
• $P(x) = (x-1)Q_1(x) + 3$이고 $P(x)$는 $x^2+x+1$로 나누어떨어지므로, 적당한 다항식 $M(x)$에 대해 $(x-1)Q_1(x) + 3 = (x^2+x+1)M(x)$이다.
• $Q_1(x)$를 $x^2+x+1$로 나눈 나머지를 $mx+n$ ($m, n$은 실수)이라 하면, $x=\omega$ 대입 시:
$(\omega - 1)(m\omega + n) + 3 = 0 \implies m\omega + n = \frac{-3}{\omega - 1} = \frac{-3(\bar{\omega}-1)}{(\omega-1)(\bar{\omega}-1)} = \frac{-3(\bar{\omega}-1)}{3} = 1 - \bar{\omega}$.
• $\bar{\omega} = \omega^2 = -\omega - 1$이므로 $1 - \bar{\omega} = 1 - (-\omega - 1) = \omega + 2$. 따라서 $m = 1, n = 2$이다.
• 구하는 나머지는 $\mathbf{x+2}$이다. 정답: $a = 0$, 나머지: $x + 2$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 45점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) $\omega^{2027} = \omega^2 = -\omega-1$ 주기성 및 식 변형 제시	5점
2단계	• (1) $P(\omega) = (b-a-1)\omega + (c-a-1) = 0$ 정리 및 $b=a+1, c=a+1$ 도출	15점
3단계	• (2) $(x-1)^2$으로 나눈 나머지 $R(x) = (3a+2028)x - 2025$ 관계식 도출	10점
4단계	• (2) $R(2) = 2031$을 통한 상수 $a=0$ 정확한 결정	5점
5단계	• (2) $(x-1)Q_1(x)+3 = (x^2+x+1)M(x)$에 $\omega$ 대입하여 나머지 $x+2$ 산출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

동아 교과서 1단원 다항식의 나눗셈과 2단원 복소수의 주기성을 융합한 전형적인 수리논술 고빈출 문항입니다. (1)번에서 $\omega$가 허수이므로 $A\omega + B = 0 \iff A=0, B=0$이 성립함을 답안에 명시해야 감점을 피할 수 있습니다. (2)번에서는 직접 다항식을 나누려고 하면 시간이 부족하므로, $P(x) - 3 = (x-1)Q_1(x)$ 항등식에 $\omega$를 대입하고 켤레복소수 분모 유리화를 활용하는 것이 최고의 논술형 모범 답안입니다.

🎯 [최종 정답](1) $b = a + 1, \; c = a + 1$ | (2) $a = 0$, 나머지: $x + 2$

📚 과목/단원: 공통수학 · 부등식과 도형의 방정식 🎯 핵심 테마: 평면좌표 정사각형 작도, 대각선 교점 자취, 산술-기하평균 절대부등식 ⏱️ 권장 시간: 35분

[제시문]

[가] 좌표평면 위의 두 점 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 사이의 거리는 $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$이다. (고등학교 『수학』)

[나] 두 양수 $A, B$에 대하여 다음 부등식이 항상 성립한다: \[\frac{A+B}{2} \ge \sqrt{AB} \quad (\text{단, 등호는 } A = B \text{일 때 성립}) \quad \text{(고등학교 『수학』)}\]

[논제] 좌표평면 위에 점 $A(0, 4)$와 $x$축의 양의 부분 위의 점 $P(t, 0)$ ($t \gt 0$)이 있다. 선분 $AP$를 한 변으로 하고 제1사분면에 위치하는 정사각형 $APQB$를 만든다.

(1) 두 점 $B, Q$의 좌표를 $t$에 대한 식으로 나타내고, 사각형 $APQB$의 두 대각선의 교점 $M$의 좌표를 구하시오. [20점]

(2) 점 $M$에서 $x$축과 $y$축에 내린 수선의 발을 각각 $H_1, H_2$라 할 때, 선분의 길이의 합 $S(t) = \overline{MH_1} + \frac{16}{\overline{MH_2}}$의 최솟값과 그때의 실수 $t$의 값을 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 구하시오. [25점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

【유사 연습 문제】 양수 $x, y$에 대하여 $(x + \frac{2}{y})(y + \frac{8}{x})$의 최솟값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 식을 전개하면 $xy + 8 + 2 + \frac{16}{xy} = xy + \frac{16}{xy} + 10$이다. 산술·기하평균 부등식에 의해 $xy + \frac{16}{xy} \ge 2\sqrt{16} = 8$ (단, $xy=4$일 때 등호 성립)이므로 최솟값은 $8 + 10 = 18$이다. [정답: $18$]

[문항 요약] $A(0, 4)$, $P(t, 0)$ ($t \gt 0$)을 한 변으로 하는 제1사분면 정사각형 $APQB$ (1) 20점 / (2) 25점

(1) 점 $B, Q$의 좌표 및 정사각형의 대각선의 교점 $M$의 좌표를 $t$로 나타내시오.
(2) 점 $M$에서 두 축에 내린 수선의 발에 대해 $S(t) = \overline{MH_1} + \frac{16}{\overline{MH_2}}$의 최솟값과 그때의 $t$를 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 2 · 총 45점

(1) 두 점 $B, Q$ 및 대각선의 교점 $M$의 좌표 산출
• 점 $A(0, 4)$에서 점 $P(t, 0)$으로 향하는 벡터는 $\vec{AP} = (t, -4)$이다.
• 정사각형 $APQB$는 선분 $AP$의 우측(제1사분면 방향)으로 뻗어가므로, $\vec{AP}$에 수직이고 길이가 같은 벡터 $\vec{PQ}$는 $(4, t)$이다.
• 따라서 점 $Q$의 좌표는 $P(t, 0) + (4, t) = \mathbf{(t+4, t)}$이다.
• 점 $B$의 좌표는 $A(0, 4) + (4, t) = \mathbf{(4, t+4)}$이다. ($t \gt 0$이므로 모든 꼭짓점 제1사분면 위치)
• 정사각형의 두 대각선 $AQ$와 $BP$의 교점 $M$은 선분 $AQ$의 중점이므로:
$M = \left(\frac{0 + (t+4)}{2}, \frac{4 + t}{2}\right) = \mathbf{\left(\frac{t+4}{2}, \frac{t+4}{2}\right)}$.
• 정답: $B(4, t+4), \; Q(t+4, t), \; M\left(\frac{t+4}{2}, \frac{t+4}{2}\right)$

(2) 산술-기하평균 부등식을 이용한 $S(t)$의 최솟값 및 $t$ 산출
• 점 $M$에서 $x$축에 내린 수선의 발 $H_1$과 $y$축에 내린 수선의 발 $H_2$의 좌표는 각각 $\left(\frac{t+4}{2}, 0\right)$, $\left(0, \frac{t+4}{2}\right)$이다.
• 선분의 길이는 좌표의 절댓값이므로 $\overline{MH_1} = \frac{t+4}{2}$, $\overline{MH_2} = \frac{t+4}{2}$이다.
• 따라서 구하는 선분의 길이의 합 식은 다음과 같다:
  $S(t) = \frac{t+4}{2} + \frac{16}{\frac{t+4}{2}} = \frac{t+4}{2} + \frac{32}{t+4}$.
• $t \gt 0$이므로 $\frac{t+4}{2} \gt 0$이고 $\frac{32}{t+4} \gt 0$이다. 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여:
  $S(t) = \frac{t+4}{2} + \frac{32}{t+4} \ge 2\sqrt{\frac{t+4}{2} \cdot \frac{32}{t+4}} = 2\sqrt{16} = \mathbf{8}$.
• 등호는 두 양의 항이 같을 때 성립하므로:
  $\frac{t+4}{2} = \frac{32}{t+4} \iff (t+4)^2 = 64 \iff t+4 = 8 \;(\because t \gt 0) \implies \mathbf{t = 4}$.
• 따라서 $t = 4$일 때 최솟값 $\mathbf{8}$을 갖는다. 정답: 최솟값 $8$, 그때의 $t = 4$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 45점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 수직 조건 및 직각삼각형 합동을 통한 점 $B(4, t+4), Q(t+4, t)$ 도출	10점
2단계	• (1) 대각선 중점 공식을 통한 교점 $M\left(\frac{t+4}{2}, \frac{t+4}{2}\right)$ 정확한 도출	10점
3단계	• (2) 선분 길이 관계식 $S(t) = \frac{t+4}{2} + \frac{32}{t+4}$ 올바른 식 구성	10점
4단계	• (2) 양수 조건 명시 및 산술-기하평균 부등식 적용을 통한 최솟값 8 도출	10점
5단계	• (2) 등호 성립 조건 전개를 통한 $t=4$ 정확한 산출	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

동아 교과서 2단원 좌표평면과 4단원 절대부등식의 대표 주제인 산술·기하평균을 결합한 모범적 논제입니다. (1)번에서 대각선의 교점 $M$의 $x$좌표와 $y$좌표가 항상 같아 점 $M$이 직선 $y=x$ 위를 움직인다는 기하학적 성질을 짚어주면 매우 좋은 평가를 받습니다. (2)번에서는 산술·기하평균 부등식을 적용하기 전 반드시 "두 항이 양수"임을 명기하고, 최솟값을 낸 후 반드시 "등호 성립 조건"을 계산하여 $t=4$를 검증해야 만점이 부여됩니다.

🎯 [최종 정답](1) $B(4, t+4), \; Q(t+4, t), \; M\left(\frac{t+4}{2}, \frac{t+4}{2}\right)$ | (2) 최솟값 $8$, 그때의 $t = 4$

📚 과목/단원: 공통수학 · 원의 방정식 🎯 핵심 테마: 원 밖의 점에서 그은 접선의 극선 방정식 유도, 정점 좌표, 최단거리 ⏱️ 권장 시간: 40분

[제시문]

[가] 점 $(x_1, y_1)$과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리 $d$는 다음과 같다: \[d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \quad \text{(고등학교 『수학』)}\]

[나] 중심이 원점이고 반지름이 $r$인 원 $x^2+y^2=r^2$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $x_1 x + y_1 y = r^2$이다. (고등학교 『수학』)

[논제] 좌표평면 위의 원 $C: x^2+y^2=4$와 원 밖의 직선 $l: x - 2y + 10 = 0$이 있다. 직선 $l$ 위의 임의의 점 $P(a, b)$에서 원 $C$에 그은 두 접선의 접점을 각각 $A, B$라 하자.

(1) 점 $P(a, b)$에서 원 $C$에 그은 두 접점 $A, B$를 지나는 직선의 방정식이 $ax+by=4$임을 증명하고, 점 $P$가 직선 $l$ 위를 움직일 때 직선 $AB$가 항상 지나는 정점 $K$의 좌표를 구하시오. [25점]

(2) 점 $P$가 직선 $l$ 위를 움직일 때, 선분 $AB$의 길이의 최솟값과 그때의 점 $P$의 좌표를 구하시오. [25점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

【유사 연습 문제】 원 $x^2 + y^2 = 9$ 밖의 점 $P(5, 5)$에서 원에 그은 두 접선의 접점을 $A, B$라 할 때, 직선 $AB$(극선)의 방정식을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 두 접점 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$에서의 접선의 방정식은 각각 $x_1 x + y_1 y = 9$, $x_2 x + y_2 y = 9$이다. 두 직선 모두 점 $P(5, 5)$를 지나므로 $5x_1 + 5y_1 = 9$, $5x_2 + 5y_2 = 9$이다. 따라서 직선 $AB$의 방정식은 $5x + 5y = 9$, 즉 $x + y = \frac{9}{5}$이다. [정답: $x + y = \frac{9}{5}$]

[문항 요약] 원 $C: x^2+y^2=4$, 직선 $l: x-2y+10=0$ 위의 동점 $P(a, b)$, 접점 $A, B$ (1) 25점 / (2) 25점

(1) 두 접점을 지나는 직선의 방정식이 $ax+by=4$임을 증명하고 항상 지나는 정점 $K$의 좌표를 구하시오.
(2) 점 $P$가 직선 $l$ 위를 움직일 때 선분 $AB$의 길이의 최솟값과 그때의 점 $P$의 좌표를 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 3 · 총 50점

(1) 극선의 방정식 $ax+by=4$ 증명 및 항상 지나는 정점 $K$
• 두 접점의 좌표를 각각 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$라 하자.
• 접점 $A$에서의 원의 접선 방정식은 $x_1 x + y_1 y = 4$이며, 이 접선이 점 $P(a, b)$를 지나므로 $x_1 a + y_1 b = 4 \iff a x_1 + b y_1 = 4$가 성립한다.
• 마찬가지로 접점 $B$에서의 접선 방정식은 $x_2 x + y_2 y = 4$이고 점 $P(a, b)$를 지나므로 $a x_2 + b y_2 = 4$가 성립한다.
• 위 두 식은 두 점 $A(x_1, y_1)$과 $B(x_2, y_2)$가 모두 일차방정식 $ax+by=4$를 만족함을 의미한다. 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 유일하므로, 두 접점 $A, B$를 지나는 직선의 방정식은 $\mathbf{ax+by=4}$이다.
• 점 $P(a, b)$가 직선 $l: x-2y+10=0$ 위의 점이므로 $a - 2b + 10 = 0 \implies a = 2b - 10$.
• 이를 대입하면 $(2b-10)x + by = 4 \iff b(2x+y) - (10x+4) = 0$.
• 이 식이 임의의 실수 $b$에 대하여 항상 성립해야 하므로 항등식 성질에 의해:
$2x+y = 0$ 및 $10x+4 = 0 \implies x = -\frac{2}{5}, \; y = -2x = \frac{4}{5}$.
• 정답: 증명 완료, 정점 $K\left(-\frac{2}{5}, \frac{4}{5}\right)$

(2) 선분 $AB$의 길이 최솟값 및 그때의 점 $P$의 좌표
• 원점 $O(0, 0)$에서 점 $P(a, b)$까지의 거리를 $d = \overline{OP} = \sqrt{a^2+b^2}$라 하자.
• 직각삼각형 $OAP$에서 반지름 $\overline{OA} = 2$, 접선의 길이 $\overline{AP} = \sqrt{d^2 - 4}$이다.
• 선분 $OP$와 $AB$의 수직 교점을 $H$라 하면, 직각삼각형 넓이 관계 $\overline{OA} \cdot \overline{AP} = \overline{OP} \cdot \overline{AH}$에 의해:
$\overline{AH} = \frac{2\sqrt{d^2-4}}{d} = 2\sqrt{1 - \frac{4}{d^2}} \implies \overline{AB} = 2\overline{AH} = 4\sqrt{1 - \frac{4}{d^2}}$.
• $\overline{AB}$가 최소가 되려면 거리 $d$가 최소여야 하므로, 원점과 직선 $l: x-2y+10=0$ 사이의 최단거리일 때이다:
$d_{\min} = \frac{|0 - 0 + 10|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$.
• 따라서 $\overline{AB}$의 최솟값은 $\overline{AB}_{\min} = 4\sqrt{1 - \frac{4}{(2\sqrt{5})^2}} = 4\sqrt{1 - \frac{1}{5}} = 4\sqrt{\frac{4}{5}} = \mathbf{\frac{8\sqrt{5}}{5}}$이다.
• 이때 점 $P$는 원점 $O$에서 직선 $l$에 내린 수선의 발이다. 원점을 지나고 직선 $l$에 수직인 직선은 $y = -2x$이므로 이를 $x-2y+10=0$에 대입하면 $x - 2(-2x) + 10 = 0 \implies 5x + 10 = 0 \implies x = -2, y = 4$.
• 정답: 최솟값 $\frac{8\sqrt{5}}{5}$, 점 $P(-2, 4)$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 접선 방정식 두 식으로부터 극선의 방정식 $ax+by=4$ 유도 논리 서술	15점
2단계	• (1) 직선 $l$ 조건 대입 및 항등식 전개로 정점 $K\left(-\frac{2}{5}, \frac{4}{5}\right)$ 도출	10점
3단계	• (2) 직각삼각형 기하 관계를 통한 $\overline{AB} = 4\sqrt{1 - \frac{4}{d^2}}$ 관계식 유도	10점
4단계	• (2) 점과 직선 사이 거리 공식으로 $d_{\min}=2\sqrt{5}$ 및 $\overline{AB}$ 최솟값 $\frac{8\sqrt{5}}{5}$ 산출	10점
5단계	• (2) 수직 직선과의 연립을 통한 점 $P(-2, 4)$ 좌표 산출	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

동아 교과서 3단원 원의 접선과 점과 직선 사이의 거리 공식을 꿰뚫는 대표 논제입니다. (1)번 극선의 유도는 단순히 공식을 적는 것이 아니라 두 접점의 접선에 점 $P$를 대입한 대칭적 관계식을 서술해야 15점 만점을 받습니다. (2)번에서는 현의 길이 $\overline{AB}$를 $d$에 관한 단조증가 함수로 깔끔하게 정리한 후, 기하학적으로 "원점과 직선 사이의 최단거리"와 연계하는 논리적 서술이 고득점의 핵심입니다.

🎯 [최종 정답](1) 증명 완료, 정점 $K\left(-\frac{2}{5}, \frac{4}{5}\right)$ | (2) 최솟값 $\frac{8\sqrt{5}}{5}$, 점 $P(-2, 4)$

📚 과목/단원: 공통수학 · 함수와 무리함수 🎯 핵심 테마: 역함수의 정의역과 치역, 무리함수와 직선의 위치 관계 판별식 ⏱️ 권장 시간: 40분

[제시문]

[가] 함수 $y=f(x)$가 일대일대응일 때 역함수 $f^{-1}$가 존재하며, $f$의 치역은 $f^{-1}$의 정의역이 되고, $f$의 정의역은 $f^{-1}$의 치역이 된다. 또한 곡선 $y=f(x)$와 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프는 직선 $y=x$에 대하여 대칭이다. (고등학교 『수학』)

[나] 무리함수 $y=\sqrt{ax+b}+c$의 그래프와 직선의 위치 관계는 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식뿐만 아니라, 무리함수 그래프의 시작점의 위치와 방향을 함께 고려하여 엄밀히 판정한다. (고등학교 『수학』)

[논제] 정의역이 $\{x \mid x \ge 2\}$인 무리함수 $f(x) = \sqrt{2x-4} + 1$과 직선 $l: y = x + k$ ($k$는 실수)가 있다.

(1) 함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$를 구하고, 그 정의역과 치역을 제시하시오. [20점]

(2) 곡선 $y=f(x)$와 직선 $l$의 교점의 개수가 실수 $k$의 값에 따라 어떻게 변하는지 조사하고, 서로 다른 두 점에서 만날 때의 $k$의 값의 범위를 구하시오. [30점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

【유사 연습 문제】 무리함수 $y = \sqrt{x-2}$의 그래프와 직선 $y = x + k$가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 시작점 $(2, 0)$을 지날 때 $0 = 2+k \implies k = -2$이다. 접할 때 $\sqrt{x-2} = x+k$의 양변을 제곱하여 $x^2 + (2k-1)x + k^2+2 = 0$의 판별식 $D = (2k-1)^2 - 4(k^2+2) = -4k - 7 = 0 \implies k = -\frac{7}{4}$이다. 따라서 서로 다른 두 점에서 만날 범위는 $-2 \le k \lt -\frac{7}{4}$이다. [정답: $-2 \le k \lt -\frac{7}{4}$]

[문항 요약] 무리함수 $f(x) = \sqrt{2x-4} + 1$ ($x \ge 2$), 직선 $l: y = x + k$ (1) 20점 / (2) 30점

(1) 함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$를 구하고, 그 정의역과 치역을 제시하시오.
(2) 곡선 $y=f(x)$와 직선 $l$의 교점 개수를 $k$에 따라 분류하고, 서로 다른 두 점에서 만날 때의 $k$의 범위를 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 4 · 총 50점

(1) 역함수 $f^{-1}(x)$ 및 정의역, 치역 산출
• 함수 $f(x) = \sqrt{2(x-2)} + 1$의 정의역은 $\{x \mid x \ge 2\}$이고, 치역은 $\{y \mid y \ge 1\}$이다.
• $y = \sqrt{2x-4} + 1 \iff y - 1 = \sqrt{2x-4}$.
• 양변을 제곱하면 $(y-1)^2 = 2x - 4 \iff 2x = (y-1)^2 + 4 \iff x = \frac{1}{2}(y-1)^2 + 2$.
• $x$와 $y$를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 다음과 같다:
$f^{-1}(x) = \mathbf{\frac{1}{2}(x-1)^2 + 2}$.
• 원래 함수의 치역이 역함수의 정의역이 되므로 정의역은 $\mathbf{\{x \mid x \ge 1\}}$이다.
• 원래 함수의 정의역이 역함수의 치역이 되므로 치역은 $\mathbf{\{y \mid y \ge 2\}}$이다.
• 정답: $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 2$, 정의역: $\{x \mid x \ge 1\}$, 치역: $\{y \mid y \ge 2\}$

(2) 실수 $k$의 값에 따른 교점의 개수 분류 및 두 점에서 만날 조건
• 곡선 $y = \sqrt{2x-4} + 1$과 직선 $y = x + k$의 교점의 $x$좌표는 다음 방정식의 실근이다:
  $\sqrt{2x-4} = x + k - 1 \quad (\text{단, } x \ge 2, \; x \ge 1-k)$.
• 양변을 제곱하여 정리하면:
  $2x - 4 = x^2 + 2(k - 1)x + (k - 1)^2 \iff x^2 + 2(k - 2)x + (k^2 - 2k + 5) = 0$.
• 이 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면:
  $\frac{D}{4} = (k - 2)^2 - (k^2 - 2k + 5) = (k^2 - 4k + 4) - (k^2 - 2k + 5) = -2k - 1$.
• ① 접할 때: $\frac{D}{4} = 0 \implies -2k - 1 = 0 \implies \mathbf{k = -\frac{1}{2}}$.
  이때 접점의 $x$좌표는 $x = -(k - 2) = -\left(-\frac{1}{2} - 2\right) = \frac{5}{2} \ge 2$이므로 적합하다.
• ② 시작점 $(2, 1)$을 지날 때: $1 = 2 + k \implies \mathbf{k = -1}$.
• ③ 그래프 개형에 따른 교점의 개수 분류:
  - $k \gt -\frac{1}{2}$일 때: $\frac{D}{4} \lt 0$이므로 실근 없음 $\to$ 0개
  - $k = -\frac{1}{2}$일 때: 곡선과 직선이 접함 $\to$ 1개
  - $-1 \le k \lt -\frac{1}{2}$일 때: 시작점 및 위쪽에서 만남 $\to$ 2개
  - $k \lt -1$일 때: 시작점 아래쪽을 지나므로 한 점에서 만남 $\to$ 1개
• 정답: 분류 완료, 서로 다른 두 점 범위: $-1 \le k \lt -\frac{1}{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 식 전개를 통한 역함수 $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 2$ 도출	10점
2단계	• (1) 역함수의 정의역 $\{x \mid x \ge 1\}$과 치역 $\{y \mid y \ge 2\}$ 완벽 제시	10점
3단계	• (2) 연립방정식 전개 및 판별식 $\frac{D}{4} = -2k-1 = 0$으로 접할 조건 $k=-\frac{1}{2}$ 도출	10점
4단계	• (2) 시작점 $(2, 1)$ 대입을 통해 경계값 $k=-1$ 도출	10점
5단계	• (2) 그래프 개형에 근거한 전 구간 교점 개수 분류 및 $-1 \le k \lt -\frac{1}{2}$ 최종 범위 제시	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

동아 교과서 5단원 무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계는 대입 제곱 시 발생하는 무연근의 함정 때문에 논술 채점관들이 매우 선호하는 테마입니다. 판별식만으로 $\frac{D}{4} \gt 0 \implies k \lt -\frac{1}{2}$라고 서술하면 시작점 미고려로 대규모 감점이 발생합니다. 반드시 시작점 $(2, 1)$을 지나는 경계값 $k=-1$을 명시하고, 그래프를 함께 그려 $-1 \le k \lt -\frac{1}{2}$에서만 2개의 교점이 생김을 논리적으로 밝혀야 30점 만점을 받습니다.

🎯 [최종 정답](1) $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 2$, 정의역: $\{x \mid x \ge 1\}$, 치역: $\{y \mid y \ge 2\}$ | (2) 분류 완료, 서로 다른 두 점 범위: $-1 \le k \lt -\frac{1}{2}$

📚 과목/단원: 공통수학 · 경우의 수와 순열·조합 🎯 핵심 테마: 격자 도로망 조합 모델링, 포함배제의 원리, 대각선 경유 조건부 경로 ⏱️ 권장 시간: 40분

[제시문]

[가] 두 사건 $A, B$에 대하여 사건 $A$가 일어나는 경우의 수가 $m$, 사건 $B$가 일어나는 경우의 수가 $n$일 때, 두 사건이 동시에 일어나지 않으면 사건 $A$ 또는 사건 $B$가 일어나는 경우의 수는 $m+n$이다. (합의 법칙) (고등학교 『수학』)

[나] 서로 다른 $n$개에서 순서를 생각하지 않고 $r$개를 택하는 조합의 수는 $_n\mathrm{C}_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ ($0 \le r \le n$)이다. 도로망에서 최단 경로의 수는 가로 이동 횟수와 세로 이동 횟수의 조합으로 계산된다. (고등학교 『수학』)

[논제] 좌표평면 위의 원점 $O(0, 0)$에서 점 $A(5, 5)$까지 도로망을 따라 이동하려고 한다. 이동은 한 번에 $x$축의 양의 방향으로 $1$만큼 이동하거나 $y$축의 양의 방향으로 $1$만큼 이동하는 최단 경로만을 따른다.

(1) 점 $O(0, 0)$에서 점 $A(5, 5)$까지 이동하는 최단 경로 중, 세 점 $P(2, 1), Q(3, 3), R(4, 4)$를 모두 지나지 않는 경로의 수를 구하시오. [25점]

(2) 점 $O(0, 0)$에서 점 $A(5, 5)$까지 이동할 때, 직선 $y = x$ 위의 점 $(k, k)$ ($k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$)를 원점과 점 $A$를 제외하고 단 한 번도 거치지 않고 이동하는 경로의 수와, 적어도 한 번 이상 거쳐가는 경로의 수를 각각 구하시오. [25점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 확률과 통계 Ⅰ-1. 순열과 조합 (DB: PS_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02]

【유사 연습 문제】 $1$부터 $100$까지의 자연수 중 $2$의 배수도 아니고 $3$의 배수도 아닌 자연수의 개수를 포함배제의 원리로 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 전체 집합의 원소 수는 $100$이다. $2$의 배수의 개수는 $50$, $3$의 배수의 개수는 $33$, $6$의 배수의 개수는 $16$이다. $2$ 또는 $3$의 배수의 개수는 $50 + 33 - 16 = 67$이다. 따라서 어느 것도 아닌 수의 개수는 $100 - 67 = 33$개이다. [정답: $33$개]

[문항 요약] $O(0, 0)$에서 $A(5, 5)$까지 격자 도로망 최단 경로 (가로 5회, 세로 5회) (1) 25점 / (2) 25점

(1) 세 점 $P(2, 1), Q(3, 3), R(4, 4)$를 모두 지나지 않는 경로의 수를 구하시오.
(2) 직선 $y=x$ 위의 점을 단 한 번도 거치지 않는 경로의 수 및 적어도 한 번 거치는 경로의 수를 각각 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 5 · 총 50점

(1) 세 점 $P, Q, R$를 모두 지나지 않는 경로의 수
• $O(0, 0)$에서 $A(5, 5)$까지의 전체 최단 경로의 수는 $N = \binom{10}{5} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$가지이다.
• 세 점 $P(2, 1), Q(3, 3), R(4, 4)$를 지나는 사건을 각각 $E_P, E_Q, E_R$이라 하자.
• 포함배제의 원리에 의해 적어도 한 점을 지나는 경로의 수는 다음과 같다:
  $|E_P \cup E_Q \cup E_R| = (|E_P| + |E_Q| + |E_R|) - (|E_P \cap E_Q| + |E_P \cap E_R| + |E_Q \cap E_R|) + |E_P \cap E_Q \cap E_R|$.
• 각 항을 단계별로 계산하면:
  ① $|E_P| = \binom{3}{1} \times \binom{7}{4} = 3 \times 35 = 105$
  ② $|E_Q| = \binom{6}{3} \times \binom{4}{2} = 20 \times 6 = 120$
  ③ $|E_R| = \binom{8}{4} \times \binom{2}{1} = 70 \times 2 = 140$
  ④ $|E_P \cap E_Q| = \binom{3}{1} \times \binom{3}{2} \times \binom{4}{2} = 3 \times 3 \times 6 = 54$
  ⑤ $|E_P \cap E_R| = \binom{3}{1} \times \binom{5}{3} \times \binom{2}{1} = 3 \times 10 \times 2 = 60$
  ⑥ $|E_Q \cap E_R| = \binom{6}{3} \times \binom{2}{1} \times \binom{2}{1} = 20 \times 2 \times 2 = 80$
  ⑦ $|E_P \cap E_Q \cap E_R| = \binom{3}{1} \times \binom{3}{2} \times \binom{2}{1} \times \binom{2}{1} = 3 \times 3 \times 2 \times 2 = 36$.
• 따라서 $|E_P \cup E_Q \cup E_R| = (105 + 120 + 140) - (54 + 60 + 80) + 36 = 365 - 194 + 36 = 207$.
• 여사건에 의해 구하는 경로의 수는 $252 - 207 = \mathbf{45}$가지이다. 정답: $45$가지

(2) 직선 $y=x$ 경유 여부에 따른 경로의 수
• 경로가 원점 $O(0, 0)$과 도착점 $A(5, 5)$를 제외하고 직선 $y=x$ 위의 점을 단 한 번도 지나지 않는 경우는 대칭성에 의해 직선 $y=x$의 아래쪽에만 머무는 경우와 위쪽에만 머무는 경우의 합이다.
• ① 직선 $y=x$의 아래쪽에만 머무는 경우:
  - 첫 이동은 반드시 $(0, 0) \to (1, 0)$이고, 마지막 이동 직전에는 반드시 $(5, 4)$에 도달해야 한다.
  - $(1, 0)$에서 $(5, 4)$까지 이동 중 항상 $x \gt y$를 만족하는 경로의 수는 카탈랑 수 $C_4$와 같다:
    $C_4 = \frac{1}{4+1}\binom{8}{4} = \frac{1}{5} \times 70 = 14$가지.
• ② 대칭성에 의해 직선 $y=x$의 위쪽에만 머무는 경우 또한 $14$가지이다.
• 따라서 단 한 번도 거치지 않는 경로의 수는 $14 + 14 = \mathbf{28}$가지이다.
• 적어도 한 번 이상 거쳐가는 경로의 수는 전체에서 이를 제외하므로 $252 - 28 = \mathbf{224}$가지이다.
• 정답: 단 한 번도 거치지 않는 경로: $28$가지, 적어도 한 번 거치는 경로: $224$가지

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 전체 경로의 수 $\binom{10}{5}=252$ 및 단일 점 경유 경로 수 $(105, 120, 140)$ 산출	5점
2단계	• (1) 두 점 및 세 점 교집합 경로 수 $(54, 60, 80, 36)$의 단계별 정확한 계산	10점
3단계	• (1) 포함배제의 원리 식 적용 및 여사건 45 산출	10점
4단계	• (2) 직선 $y=x$의 위쪽/아래쪽 분할 및 대칭성 논리 서술	10점
5단계	• (2) 비경유 경로 수 28가지 및 여사건을 통한 적어도 한 번 경유 224가지 완벽 산출	15점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

동아 교과서 6단원 경우의 수 및 조합의 최고난도 논술 문제입니다. (1)번의 포함배제의 원리는 집합 기호와 조합식을 정갈하게 써야 단계별 부분점수를 100% 챙길 수 있습니다. (2)번에서는 직선 $y=x$의 경계를 넘지 않는 경로의 수(카탈랑 수 모델)를 직관적 대칭성과 첫걸음/마지막걸음 고정법으로 분할하여 설명하면 채점관에게 최고 수준의 수리적 직관과 논리력을 갖춘 학생으로 각인될 수 있습니다.

🎯 [최종 정답](1) $45$가지 | (2) 단 한 번도 거치지 않는 경로: $28$가지, 적어도 한 번 거치는 경로: $224$가지

📚 과목/단원: 수학Ⅰ(대수) 🎯 핵심 테마: 지수방정식의 치환, 이차방정식 실근의 위치(근의 분리), 근과 계수의 관계 ⏱️ 권장 시간: 50분

[제시문]

[가] 밑이 $1$보다 큰 지수함수 $y = a^x \; (a \gt 1)$은 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합으로의 일대일대응이며, $x_1 \lt x_2$이면 $a^{x_1} \lt a^{x_2}$인 증가함수이다. 특히 $x \gt 0$일 필요충분조건은 $a^x \gt a^0 = 1$이다.

[나] 실계수 이차함수 $g(t) = t^2 + pt + q$에 대하여 이차방정식 $g(t) = 0$이 기준값 $m$보다 큰 서로 다른 두 실근을 가질 필요충분조건은 판별식 $D = p^2 - 4q \gt 0$, 대칭축 $-\dfrac{p}{2} \gt m$, 경계 함숫값 $g(m) \gt 0$을 동시에 만족시키는 것이다.

[논제] 실수 $k$에 대하여 $x$에 관한 지수방정식 $4^x - 2^{x+3} + k = 0$이 있다. 제시문 [가]와 [나]를 근거로 다음 물음에 답하시오.

(1) $t = 2^x$라 치환할 때, 주어진 지수방정식이 서로 다른 두 개의 양의 실근 $\alpha, \beta \; (\alpha \lt \beta)$를 갖기 위해 $t$에 관한 이차방정식이 만족해야 할 조건을 서술하고, 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오. [25점]

(2) (1)의 조건을 만족시키는 두 양의 실근 $\alpha, \beta$에 대하여 $\alpha + \beta = 3$일 때, 상수 $k$의 값과 $4^\alpha + 4^\beta$의 값을 각각 구하시오. [25점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]

【유사 연습 문제】 방정식 $\log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 진수 조건에서 $x \gt 3$이다. $\log_2\{(x-1)(x-3)\} = 3 \implies (x-1)(x-3) = 8 \implies x^2 - 4x - 5 = 0 \implies (x-5)(x+1)=0$. $x \gt 3$이므로 $x = 5$이다.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 A형 1번 문항 1 (수학Ⅰ(대수)) [배점 50점]

지수방정식 $4^x - 2^{x+3} + k = 0$이 서로 다른 두 양의 실근을 가질 $k$의 범위 및 $\alpha+\beta=3$일 때 $k, 4^\alpha+4^\beta$ 산출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 1 · 총 50점

(1) 치환 이차방정식의 실근의 위치 조건 및 $k$의 범위
• $4^x = (2^x)^2$, $2^{x+3} = 8 \cdot 2^x$이므로 $t = 2^x$로 치환하면 주어진 방정식은 $g(t) = t^2 - 8t + k = 0$이 된다.
• 제시문 [가]에 의하여 밑 $2 \gt 1$인 지수함수 $t = 2^x$는 일대일대응 증가함수이므로, 서로 다른 두 양의 실근 $0 \lt \alpha \lt \beta$가 존재할 필요충분조건은 $g(t) = 0$이 $1$보다 큰 서로 다른 두 실근 $t_1 = 2^\alpha \gt 1$, $t_2 = 2^\beta \gt 1$을 갖는 것이다.
• 제시문 [나]의 근의 분리 3조건을 적용하면:
  ① 판별식 조건: $\dfrac{D}{4} = (-4)^2 - k = 16 - k \gt 0 \implies k \lt 16$.
  ② 대칭축 조건: 포물선 $y = g(t) = (t-4)^2 + k - 16$의 대칭축은 $t = 4 \gt 1$이므로 성립한다.
  ③ 경계 함숫값 조건: $g(1) = 1 - 8 + k = k - 7 \gt 0 \implies k \gt 7$.
• ①, ②, ③의 공통범위를 구하면 실수 $k$의 값의 범위는 $\mathbf{7 <k <16}$이다.

(2) $\alpha + \beta = 3$일 때 상수 $k$와 $4^\alpha + 4^\beta$의 값
• 이차방정식 $t^2 - 8t + k = 0$의 두 실근이 $t_1 = 2^\alpha, \; t_2 = 2^\beta$이므로 근과 계수의 관계에 의해 $t_1 + t_2 = 8$, $t_1 t_2 = k$이다.
• 지수법칙에 의해 $t_1 t_2 = 2^\alpha \cdot 2^\beta = 2^{\alpha+\beta} = 2^3 = 8$이므로 $\mathbf{k = 8}$이다. (이때 $7 \lt 8 \lt 16$을 만족시켜 두 실근 $t = 4 \pm 2\sqrt{2} \gt 1$이 모두 존재한다.)
• 또한 $4^\alpha + 4^\beta = (2^\alpha)^2 + (2^\beta)^2 = t_1^2 + t_2^2$이므로 곱셈공식의 변형에 의해:
\[4^\alpha + 4^\beta = (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 = 8^2 - 2 \times 8 = 64 - 16 = \mathbf{48}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) $t = 2^x$ 치환 시 양의 실근 조건 $x \gt 0$을 $t \gt 1$ 조건으로 정확히 변환	8점
2단계	(1) 판별식 $D/4 = 16 - k \gt 0$, 대칭축 $t = 4 \gt 1$, 경계값 $g(1) = k - 7 \gt 0$ 모두 서술	12점
3단계	(1) 공통범위 $7 \lt k \lt 16$ 도출	5점
4단계	(2) 근과 계수의 관계 $t_1 t_2 = 2^{\alpha+\beta} = 8$로부터 $k = 8$ 도출 및 범위 충족 확인	13점
5단계	(2) $4^\alpha + 4^\beta = (t_1+t_2)^2 - 2t_1 t_2 = 64 - 16 = 48$ 계산	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

지수방정식을 $t = 2^x$로 치환할 때 $x \gt 0$ 조건이 $t \gt 0$이 아니라 $t \gt 2^0 = 1$로 바뀐다는 점이 핵심 채점 요소입니다. 판별식·대칭축·경계값 $g(1) \gt 0$ 3요소 중 하나라도 빠지면 부분 감점됩니다.

🎯 [최종 정답](1) $7 \lt k \lt 16$ | (2) $k = 8,\; 4^\alpha + 4^\beta = 48$

📚 과목/단원: 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) 🎯 핵심 테마: 삼차함수의 접선의 방정식, 정적분과 곡선의 넓이, 도함수를 활용한 넓이 최대화 ⏱️ 권장 시간: 50분

[제시문]

[가] 미분가능한 함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 $y - f(a) = f'(a)(x - a)$이다. 또한 미분가능한 함수 $g(x)$가 열린구간 $(p, q)$에서 유일한 극댓점을 가지면 그 극댓값은 구간 $(p, q)$에서의 최댓값이다.

[나] 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 두 함수 $y = f(x)$, $y = h(x)$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 정적분 $S = \displaystyle\int_a^b |f(x) - h(x)|\,dx$로 구한다.

[논제] 좌표평면에서 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x$의 그래프 $C$ 위의 점 $A(1, -2)$에서의 접선을 $l$이라 하자. 제시문 [가]와 [나]를 근거로 다음 물음에 답하시오.

(1) 접선 $l$의 방정식과 직선 $l$이 곡선 $C$와 점 $A$가 아닌 다른 점에서 만나는 교점 $B$의 좌표를 구하고, 곡선 $C$와 직선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오. [25점]

(2) 실수 $t \; (-2 \lt t \lt 1)$에 대하여 곡선 $C$ 위의 점 $P(t, t^3 - 3t)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $PAB$의 넓이를 $T(t)$라 할 때, $T(t)$가 최대가 되도록 하는 실수 $t$의 값과 삼각형 $PAB$의 넓이의 최댓값을 구하시오. [25점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

【유사 연습 문제】 닫힌구간 $[1, 3]$에서 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 실수 $c \in (1, 3)$의 값을 모두 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$이고 $f'(x) = 3x^2 - 6x$이므로 $3c^2 - 6c = 1 \iff 3c^2 - 6c - 1 = 0$. $1 \lt c \lt 3$이므로 $c = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$이다.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 B형 2번 문항 2 (수학Ⅱ(미적분Ⅰ)) [배점 50점]

곡선 $y=x^3-3x$ 위의 점 $A(1,-2)$에서의 접선 $l$과 둘러싸인 넓이 $S$ 및 내접 삼각형 $\triangle PAB$의 최대 넓이 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 2 · 총 50점

(1) 접선 $l$의 방정식, 교점 $B$의 좌표 및 둘러싸인 넓이 $S$
• $f(x) = x^3 - 3x$를 미분하면 $f'(x) = 3x^2 - 3$이므로 $f'(1) = 0$이다. 따라서 점 $A(1, -2)$에서의 접선 $l$의 방정식은 $\mathbf{y = -2}$이다.
• 곡선 $C$와 직선 $l$의 교점의 $x$좌표는 $x^3 - 3x = -2 \iff x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2) = 0$에서 $x = 1$ 또는 $x = -2$이므로 다른 교점의 좌표는 $\mathbf{B(-2, -2)}$이다.
• 구간 $[-2, 1]$에서 $(x-1)^2(x+2) \ge 0$이므로 곡선 $C$가 직선 $l$의 위쪽에 위치한다. 따라서 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는: \[S = \int_{-2}^{1} \bigl((x^3 - 3x) - (-2)\bigr)\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{-2}^{1} = \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2\right) - (4 - 6 - 4) = \frac{3}{4} + 6 = \mathbf{\frac{27}{4}}\]

(2) 삼각형 $PAB$의 넓이 $T(t)$의 최댓값
• 두 점 $A(1, -2), B(-2, -2)$를 잇는 밑변 선분 $\overline{AB}$는 $x$축에 평행하고 그 길이는 $\overline{AB} = 1 - (-2) = 3$이다.
• $-2 \lt t \lt 1$에서 점 $P(t, t^3 - 3t)$는 직선 $y = -2$보다 위쪽에 있으므로 삼각형 $PAB$의 높이는 $h(t) = (t^3 - 3t) - (-2) = t^3 - 3t + 2$이다.
• 따라서 삼각형의 넓이 함수는 $T(t) = \dfrac{1}{2} \times 3 \times (t^3 - 3t + 2) = \dfrac{3}{2}(t^3 - 3t + 2)$이다.
• 미분하면 $T'(t) = \dfrac{3}{2}(3t^2 - 3) = \dfrac{9}{2}(t+1)(t-1) = 0$에서 구간 $(-2, 1)$ 내의 임계점은 $t = -1$뿐이다.
• $-2 \lt t \lt -1$에서 $T'(t) \gt 0$ (증가), $-1 \lt t \lt 1$에서 $T'(t) \lt 0$ (감소)이므로 $T(t)$는 $\mathbf{t = -1}$에서 극대이자 최대가 되며, 최댓값은 $T(-1) = \dfrac{3}{2}(-1 + 3 + 2) = \mathbf{6}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) $f'(1) = 0$으로부터 접선 $y = -2$ 및 인수분해 $(x-1)^2(x+2)=0$으로 교점 $B(-2, -2)$ 도출	10점
2단계	(1) 구간 $[-2, 1]$ 부호 판정 및 정적분 계산으로 넓이 $S = \frac{27}{4}$ 산출	15점
3단계	(2) 밑변 $AB = 3$과 높이 $h(t) = t^3 - 3t + 2$로 넓이 함수 $T(t) = \frac{3}{2}(t^3 - 3t + 2)$ 수립	10점
4단계	(2) 도함수 $T'(t) = \frac{9}{2}(t+1)(t-1)$ 증감 조사로 $t = -1$ 극대·최대 논증	10점
5단계	(2) 최대 넓이 $T(-1) = 6$ 정확히 산출	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

공식 $\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4$은 검산용으로만 활용하고, 실제 답안지에는 반드시 피적분함수의 부정적분 $\left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{-2}^{1}$ 계산 과정을 명시해야 만점을 받습니다.

🎯 [최종 정답](1) 접선 $y = -2,\; B(-2, -2),\; S = \dfrac{27}{4}$ | (2) $t = -1,\; \text{최댓값 } 6$

PART 2-1 · 10 FULL-LENGTH MOCK EXAMS

2027학년도 경기대학교 자연계열 수리논술
실전 모의고사 1회 ~ 10회 문제집

제1~5회 기출유사 표준 실전편과 제6~10회 킬러 TOP 5 심화편(총 20문항) 및 회차별 종합 분석 매트릭스 리포트로 실전 적응력을 극대화합니다.

📋 출제 타당성 검토 보고서 (2p): 전 문항 교과서 기반 교육과정 성취기준 및 Textbook DB 원천 검증

📝 실전 맞춤형 시험지 포맷: 경기대학교 실제 문항 수·배점·답안지 규격 100% 반영

📈 회차별 종합 분석 매트릭스 (10p): 매 회차 직후 문항별 난이도·배점·합격 전략 리포트 수록

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R1-Q1	수학Ⅰ(대수)	등비수열 모델링 · 상용로그 자릿수 및 부등식 · 반감기와 자연 감쇄	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 탐구 변형 / 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-05, 12대수03-03, 12대수03-06]	50점/중상
R1-Q2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	3차 다항함수 모델링 · 매끄러운 접합 조건(미분계수) · 변곡점 및 경사도 최댓값	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 극대와 극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.32 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]	50점/상
R2-Q1	공통수학	원 밖의 점에서 그은 접선의 극선 유도 · 항등식과 정점 좌표 · 접점 간 거리의 최솟값	[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수와 동경 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.16 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12미적Ⅰ-01-02]	50점/중상
R2-Q2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	포물선 아치와 수면선 사이의 정적분 넓이 함수 $S(c)$ · 넓이 이등분 수위 도출 · 폭 계산	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 계산 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]	50점/상
R3-Q1	수학Ⅰ(대수)	해상 삼각망 계측과 사인법칙 · 풍력발전기 블레이드의 코사인 회전 운동 함수	[출처: 대수 Ⅱ-1. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.30 탐구 변형 / 대수 Ⅱ-1. 삼각형의 넓이 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.38 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-05]	50점/중상
R3-Q2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	우함수 4차곡선 · 극소점을 잇는 접선과 곡선의 둘러싸인 넓이 · 변곡점과 경사도 극값	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 극대와 극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.32 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용과 그래프 개형 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	50점/상
R4-Q1	공통수학 / 확률	격자 통신망 데이터 최단 경로 · 위험 노드 회피 모델링 · 3개 집합 포함배제 정리	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 / 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06]	50점/중상
R4-Q2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	3차 곡선의 접선과 다른 교점 구하기 · 정적분 넓이 공식 $S(t) = \frac{27}{4}t^4$ · 면적 조건 접점 도출	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]	50점/상
R5-Q1	수학Ⅰ(대수)	지수로그 역함수 관계 유도 · 기울기 -1인 직선과 대칭 교점 · 좌표 거리 방정식 풀이	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.22 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06, 12미적Ⅰ-01-03]	50점/중상
R5-Q2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	평균값 정리 성립 증명 · 순간속도와 평균속도 일치 시각 c 도출 · 최고 속도 및 감속 구간	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 평균값 정리 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-01]	50점/상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R6-Q1	공통수학	고차 다항식 나눗셈 항등식 · 복소수 단위근의 6주기 거듭제곱 성질 · 나머지정리	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그의 성질 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.16 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-04, 12미적Ⅰ-01-02]	50점/상
R6-Q2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	3차 곡선의 변곡점 대칭성 · 평행한 두 접선의 방정식 · 두 접선에 동시 접하는 원의 넓이	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 극대와 극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.32 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]	50점/최상(킬러)
R7-Q1	수학Ⅰ(대수)	로그 곡선 위의 등비수열 좌표 · 삼각형 밑변과 높이 식화 · 수열의 합 기호 전개	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 탐구 변형 / 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-05, 12대수03-03]	50점/상
R7-Q2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	포물선과 수평 직선 사이의 정적분 면적 · 넓이 비 조건 방정식 수립 및 해 도출	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 계산 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]	50점/최상(킬러)
R8-Q1	수학Ⅰ(대수)	낙하 경로의 탄젠트 기울기 · 직선의 $x$절편 수열 · 부분분수 분해 급수 합	[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수와 동경 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 탐구 변형 / 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수03-03]	50점/상
R8-Q2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	경계조건 연립방정식 풀이 · 3차함수 극대극소 모델링 · 최대 하강 경사도 산출	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 극대와 극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.32 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-05]	50점/최상(킬러)
R9-Q1	공통수학	직각이등변삼각형 회전 작도 · 동점 꼭짓점의 자취의 방정식 · 산술평균과 기하평균	[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수와 동경 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.16 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12미적Ⅰ-01-02]	50점/상
R9-Q2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	닫힌구간 평균값 정리 만족 상수 c 도출 · 함수의 증감표 및 사잇값 정리를 통한 실근 증명	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 평균값 정리 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.22 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]	50점/최상(킬러)
R10-Q1	수학Ⅰ(대수)	소인수의 개수 분류 조합 모델링 · 2와 3의 거듭제곱 수들의 등비수열 합	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 / 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06]	50점/상
R10-Q2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	원함수와 역함수의 교점과 대칭성 · 정적분 렌즈 영역 넓이 계산 · 평행한 접선의 방정식	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-02-05]	50점/최상(킬러)

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 수학Ⅰ(대수) — 등비수열 모델링 · 상용로그 자릿수 및 부등식 · 반감기와 자연 감쇄 배점 50점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 탐구 변형 / 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수03-03, 12대수03-06]

[제시문]

[가] $a \gt 0, a \ne 1$이고 $x \gt 0$일 때, $a^y = x \iff y = \log_a x$이다. 상용로그는 밑이 $10$인 로그 $\log x$로 나타내며, $\log(A \times B) = \log A + \log B$, $\log A^k = k \log A$가 성립한다. (고등학교 『수학Ⅰ』)

[나] 수열 $\{a_n\}$에서 첫째항 $a_1$과 이웃하는 두 항 $a_n, a_{n+1}$ 사이의 관계식(점화식)을 수열의 귀납적 정의라 한다. 공비가 $r$인 등비수열은 $a_{n+1} = r a_n$으로 정의되며 일반항은 $a_n = a_1 r^{n-1}$이다. (고등학교 『수학Ⅰ』)

[논제] 방사성 폐기물 정화 시설에서 방사성 물질의 초기 질량이 $M_0 = 100\text{g}$이다. 이 물질은 고성능 정화 필터를 $1$회 통과할 때마다 남아 있는 방사성 물질의 $\frac{3}{5}$ ($60\%$)가 걸러져 제거되고, $\frac{2}{5}$ ($40\%$)만이 잔류한다. 단, 필터 가동 비용은 $1$회 통과 시 $50$만 원이 소요되며, 정화 필터를 거치지 않고 방치할 경우 자연 붕괴 반감기는 $10$일이다. ($\log_{10} 2 \approx 0.3010$으로 계산하시오.)

(1) 정화 필터를 $n$회 연속 통과한 직후 남아 있는 방사성 물질의 질량을 $M_n\text{ (g)}$이라 할 때, $M_n$과 $M_{n-1}$ 사이의 점화식을 구하고 일반항 $M_n$을 구하시오. 또한, 잔류 방사성 물질의 질량이 최초 질량의 $1\%$ ($1\text{g}$) 이하가 되기 위한 최소 필터 통과 횟수 $N$을 구하시오. [20점]

(2) 시설 관리 기준상 잔류 방사성 물질이 $0.1\text{g}$ 이하가 되어야 안전 방출이 가능하다. 방사성 폐기물에 정화 필터를 $k$회 연속 통과시킨 후, 남은 물질은 자연 반감기($10$일마다 $\frac{1}{2}$로 감소)를 거쳐 자연 보관실에서 $30$일 동안 감쇄시키기로 하였다. $30$일 보관 후 잔류량이 $0.1\text{g}$ 이하가 되도록 하는 최소 필터 통과 횟수 $k$의 값을 구하고, 그때의 총 필터 가동 비용을 구하시오. [30점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) — 3차 다항함수 모델링 · 매끄러운 접합 조건(미분계수) · 변곡점 및 경사도 최댓값 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 극대와 극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.32 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 $y - f(a) = f'(a)(x-a)$이다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[나] 함수 $f(x)$가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, $x=c$에서 극값을 가지면 $f'(c) = 0$이다. 또한 이계도함수 $f''(x)$가 존재하는 경우 곡선의 볼록과 오목이 바뀌는 점 $(c, f(c))$를 변곡점이라 하며, 변곡점에서 접선의 기울기는 극대 또는 극소가 된다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[논제] 자율주행 차량의 고속도로 진입 램프 구간을 설계하기 위하여, 평면직교좌표계 위에 진입 시작점 $O(0, 0)$에서 합류 완료 지점 $A(6, 4)$까지의 도로 궤적을 3차 다항함수 $y = f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d$ ($0 \le x \le 6$)로 연결하고자 한다. 차량이 주행 시 충격을 최소화하기 위하여 다음 조건을 만족해야 한다:
• (조건 1) 진입 시작점 $O(0,0)$에서 기존 간선도로와의 접선 기울기는 $f'(0) = 0$이다.
• (조건 2) 합류 완료 지점 $A(6, 4)$에서 고속도로 본선과의 접선 기울기는 $f'(6) = 1$이다.

(1) 조건 1과 조건 2를 만족하고 두 점 $O(0,0)$과 $A(6,4)$를 지나는 3차 다항함수 $f(x)$의 계수 $a, b, c, d$를 모두 구하시오. [25점]

(2) (1)에서 구한 3차 곡선 $y=f(x)$ 구간 $[0, 6]$에서, 도로의 경사도(접선의 기울기 $f'(x)$)가 최대가 되는 지점의 $x$좌표와 그때의 최대 기울기를 구하고, 도로 곡선에서 볼록과 오목이 바뀌는 변곡점의 좌표를 구하시오. [25점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제1회	문항 1	수학Ⅰ(대수)	등비수열 모델링 · 상용로그 자릿수 및 부등식 · 반감기와 자연 감쇄	50점	중상
제1회	문항 2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	3차 다항함수 모델링 · 매끄러운 접합 조건(미분계수) · 변곡점 및 경사도 최댓값	50점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제1회 출제 원칙 및 합격 전략

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제1회 출제 원칙 및 합격 전략
• 제1문항 (수학Ⅰ(대수) · 지수함수와 로그함수, 수열의 귀납적 정의): 등비수열 모델링 · 상용로그 자릿수 및 부등식 · 반감기와 자연 감쇄 영역에서 제시문의 기본 공식을 첫 줄에 선언하고 소문항 (1)의 결과를 소문항 (2)의 관계식에 대입하는 단계적 연계를 평가합니다.
• 제2문항 (수학Ⅱ(미적분Ⅰ) · 접선의 방정식과 도함수의 활용): 3차 다항함수 모델링 · 매끄러운 접합 조건(미분계수) · 변곡점 및 경사도 최댓값 영역에서 미분계수·정적분 조건을 연립방정식으로 수식화하고 증감 조사 및 경계 조건을 빠짐없이 논증해야 50점 만점을 획득할 수 있습니다.
• 자가채점 연동: 답안 작성 후 Part 2-2(p.46~47)의 50점 루브릭으로 채점하고, Part 3 대시보드(p.66)에 점수를 입력하여 15개 학과 합격 가능성을 즉시 진단하십시오.

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 공통수학 — 원 밖의 점에서 그은 접선의 극선 유도 · 항등식과 정점 좌표 · 접점 간 거리의 최솟값 배점 50점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수와 동경 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문]

[가] 좌표평면에서 점 $(x_0, y_0)$과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리 $d$는 $d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$이다. (고등학교 『수학』)

[나] 중심이 원점이고 반지름이 $r$인 원 $x^2+y^2=r^2$ 밖의 한 점 $P(x_1, y_1)$에서 원에 그은 두 접선의 접점을 각각 $A, B$라 할 때, 두 접점 $A, B$를 지나는 직선(극선)의 방정식은 $x_1 x + y_1 y = r^2$이다. (고등학교 『수학』)

[논제] 좌표평면 위에 중심이 원점 $O(0, 0)$이고 반지름이 $3$인 원형 보호 구역 $C: x^2+y^2=9$와 직선 철도망 $L: 3x - 4y + 25 = 0$이 있다. 직선 $L$ 위의 임의의 동점(철도역) $P(a, b)$에서 보호 구역 $C$의 경계에 접하는 두 관측선(접선)을 긋고, 두 접점을 각각 $A, B$라 하자.

(1) 점 $P(a, b)$에서 원 $C$에 그은 두 접점 $A, B$를 지나는 직선 $AB$의 방정식이 $ax + by = 9$임을 증명하고, 점 $P$가 직선 $L$ 위의 어느 점이더라도 직선 $AB$가 항상 지나는 고정된 정점 $K$의 좌표를 구하시오. [20점]

(2) 점 $P$가 직선 $L$ 위를 움직일 때, 선분 $AB$의 길이의 최솟값을 구하고, 그때의 점 $P$의 좌표 및 삼각형 $PAB$의 넓이를 구하시오. [30점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) — 포물선 아치와 수면선 사이의 정적분 넓이 함수 $S(c)$ · 넓이 이등분 수위 도출 · 폭 계산 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 계산 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

[가] 두 곡선 $y=f(x), y=g(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 모든 $x \in [a, b]$에 대하여 $f(x) \ge g(x)$일 때, 두 곡선 및 두 직선 $x=a, x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 $S = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$이다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[나] 이차곡선 $y = k - x^2$ ($k \gt 0$)과 $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이는 포물선의 대칭성에 의해 $\int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (k - x^2) dx = 2\int_0^{\sqrt{k}} (k - x^2) dx = \frac{4}{3}k\sqrt{k}$이다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[논제] 하천을 횡단하는 아치형 교량의 단면이 포물선 $y = 4 - x^2$의 형태를 띠고 있으며, 지면(하상)은 $x$축($y=0$)이다. 집중 호우 시 하천의 수위가 수평선 $y = c$ ($0 \lt c \lt 4$)로 상승하였다.

(1) 수면선 $y=c$ 위쪽에 위치하는 교량 아치 부분과 직선 $y=c$로 둘러싸인 유수 통과 단면적 $S(c)$를 정적분으로 표현하고, $c$에 관한 식으로 나타내시오. [25점]

(2) 수면 위 유수 통과 단면적 $S(c)$가 교량 전체 단면적(포물선과 $x$축으로 둘러싸인 넓이)의 $\frac{1}{2}$이 되는 수위 $c$의 값을 구하시오. 또한, 수위가 이 $c$값일 때 교량 아치와 수면이 만나는 두 교점 사이의 수평 폭(거리)을 구하시오. [25점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제2회	문항 1	공통수학	원 밖의 점에서 그은 접선의 극선 유도 · 항등식과 정점 좌표 · 접점 간 거리의 최솟값	50점	중상
제2회	문항 2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	포물선 아치와 수면선 사이의 정적분 넓이 함수 $S(c)$ · 넓이 이등분 수위 도출 · 폭 계산	50점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제2회 출제 원칙 및 합격 전략

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제2회 출제 원칙 및 합격 전략
• 제1문항 (공통수학 · 좌표평면 위의 원과 접선, 점과 직선 사이의 거리): 원 밖의 점에서 그은 접선의 극선 유도 · 항등식과 정점 좌표 · 접점 간 거리의 최솟값 영역에서 제시문의 기본 공식을 첫 줄에 선언하고 소문항 (1)의 결과를 소문항 (2)의 관계식에 대입하는 단계적 연계를 평가합니다.
• 제2문항 (수학Ⅱ(미적분Ⅰ) · 다항함수의 정적분과 곡선으로 둘러싸인 넓이): 포물선 아치와 수면선 사이의 정적분 넓이 함수 $S(c)$ · 넓이 이등분 수위 도출 · 폭 계산 영역에서 미분계수·정적분 조건을 연립방정식으로 수식화하고 증감 조사 및 경계 조건을 빠짐없이 논증해야 50점 만점을 획득할 수 있습니다.
• 자가채점 연동: 답안 작성 후 Part 2-2(p.48~49)의 50점 루브릭으로 채점하고, Part 3 대시보드(p.66)에 점수를 입력하여 15개 학과 합격 가능성을 즉시 진단하십시오.

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 수학Ⅰ(대수) — 해상 삼각망 계측과 사인법칙 · 풍력발전기 블레이드의 코사인 회전 운동 함수 배점 50점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅱ-1. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.30 탐구 변형 / 대수 Ⅱ-1. 삼각형의 넓이 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.38 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

[가] 삼각형 $ABC$의 세 각의 크기를 $A, B, C$, 마주 보는 변의 길이를 $a, b, c$, 외접원의 반지름을 $R$이라 할 때, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$이 성립한다. (사인법칙) (고등학교 『수학Ⅰ』)

[나] 일정한 각속도로 회전하는 원운동에서 중심의 높이가 $H$, 반지름이 $r$인 회전체의 높이는 삼각함수 $h(t) = H + r \cos(\omega t + \phi)$의 주기함수로 나타낼 수 있으며, 주기는 $T = \frac{2\pi}{\omega}$이다. (고등학교 『수학Ⅰ』)

[논제] 해안선의 두 관측기지 $A, B$ 사이의 거리가 $6\text{km}$이다. 해상에 설치된 해상풍력발전기 기둥의 밑면 위치를 점 $C$라 하자. 두 관측소에서 측정한 각도가 $\angle CAB = 60^\circ$, $\angle CBA = 45^\circ$이다.

(1) 세 지점 $A, B, C$가 이루는 삼각형 $ABC$에서 관측기지 $A$에서 풍력발전기 $C$까지의 직선거리 $\overline{AC}$ 및 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름 $R$을 구하시오. [20점]

(2) 풍력발전기 기둥 상단 회전축의 높이는 해수면으로부터 $100\text{m}$이며, 길이가 $40\text{m}$인 세 개의 블레이드가 $120^\circ$ 간격으로 일정한 각속도로 시계방향 회전하고 있다. 한 블레이드의 끝점이 가장 높은 최고점($140\text{m}$)에 도달한 순간을 $t=0$이라 하고 $1$분당 $15$회전할 때, 시각 $t$ (초)에서 그 날개 끝점의 해수면으로부터의 높이 함수 $h(t)$를 구하고, 날개 끝점이 해수면으로부터 $120\text{m}$ 이상의 높이에 머무는 시간의 비율을 구하시오. [30점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) — 우함수 4차곡선 · 극소점을 잇는 접선과 곡선의 둘러싸인 넓이 · 변곡점과 경사도 극값 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 극대와 극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.32 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용과 그래프 개형 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$를 만족하면 그래프는 $y$축에 대하여 대칭(우함수)이고, $f(-x) = -f(x)$를 만족하면 원점에 대하여 대칭(기함수)이다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[나] 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$에 대하여 $f'(x)=0$의 근을 찾고 좌우에서 부호 변화를 조사하여 극대와 극소를 판정할 수 있다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[논제] 항만 터미널의 자동화 컨테이너 크레인 레일의 수직 변위 단면이 4차 다항함수 $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4$ ($-3 \le x \le 3$)로 설계되었다.

(1) 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$를 구하고, 극댓값과 극솟값을 갖는 $x$의 좌표와 그 극값들을 각각 구하시오. [20점]

(2) 두 극소점을 지나는 수평 직선을 $L$이라 하자. 곡선 $y=f(x)$와 직선 $L$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하고, 레일 위에서 접선의 기울기의 절댓값 $|f'(x)|$가 극대가 되는 변곡점의 $x$좌표를 모두 구하시오. [30점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제3회	문항 1	수학Ⅰ(대수)	해상 삼각망 계측과 사인법칙 · 풍력발전기 블레이드의 코사인 회전 운동 함수	50점	중상
제3회	문항 2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	우함수 4차곡선 · 극소점을 잇는 접선과 곡선의 둘러싸인 넓이 · 변곡점과 경사도 극값	50점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제3회 출제 원칙 및 합격 전략

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제3회 출제 원칙 및 합격 전략
• 제1문항 (수학Ⅰ(대수) · 삼각함수, 사인법칙과 주기 운동 모델링): 해상 삼각망 계측과 사인법칙 · 풍력발전기 블레이드의 코사인 회전 운동 함수 영역에서 제시문의 기본 공식을 첫 줄에 선언하고 소문항 (1)의 결과를 소문항 (2)의 관계식에 대입하는 단계적 연계를 평가합니다.
• 제2문항 (수학Ⅱ(미적분Ⅰ) · 4차 다항함수의 대칭성과 극대·극소): 우함수 4차곡선 · 극소점을 잇는 접선과 곡선의 둘러싸인 넓이 · 변곡점과 경사도 극값 영역에서 미분계수·정적분 조건을 연립방정식으로 수식화하고 증감 조사 및 경계 조건을 빠짐없이 논증해야 50점 만점을 획득할 수 있습니다.
• 자가채점 연동: 답안 작성 후 Part 2-2(p.50~51)의 50점 루브릭으로 채점하고, Part 3 대시보드(p.66)에 점수를 입력하여 15개 학과 합격 가능성을 즉시 진단하십시오.

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 공통수학 / 확률 — 격자 통신망 데이터 최단 경로 · 위험 노드 회피 모델링 · 3개 집합 포함배제 정리 배점 50점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 / 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06]

[제시문]

[가] 서로 다른 $n$개 중에서 순서를 생각하지 않고 $r$개를 택하는 조합의 수는 $_n\mathrm{C}_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$이다. 가로 $a$칸, 세로 $b$칸의 격자 도로망에서 최단 경로의 수는 $_{a+b}\mathrm{C}_a$이다. (고등학교 『수학』)

[나] 합의 법칙과 포함-배제의 원리에 의하여 두 사건 $A, B$에 대해 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$가 성립하며, 세 사건에 대해서는 다음이 성립한다: \[\begin{aligned} n(A \cup B \cup C) = & \; n(A)+n(B)+n(C) \\ & - (n(A\cap B)+n(B\cap C)+n(C\cap A)) + n(A\cap B\cap C) \quad \text{(고등학교 『수학』)} \end{aligned}\]

[논제] 차세대 초고속 데이터망에서 원점 $O(0, 0)$에서 목적지 서버 $T(6, 6)$까지 데이터 패킷이 오른쪽(+x) 또는 위쪽(+y)으로만 이동하는 최단 격자 경로를 따라 전송된다. 통신 보안상 대각선 장애 노드인 세 지점 $A(2, 2)$, $B(3, 3)$, $C(4, 4)$는 트래픽 과부하로 패킷 손실이 발생하는 위험 지점이다.

(1) 점 $O(0,0)$에서 점 $T(6,6)$까지 가는 전체 최단 경로의 수와, 노드 $A(2,2)$를 경유하는 최단 경로의 수 및 두 노드 $A(2,2)$와 $B(3,3)$를 모두 경유하는 최단 경로의 수를 각각 구하시오. [20점]

(2) 세 위험 노드 $A(2,2), B(3,3), C(4,4)$ 중 어느 한 곳도 거치지 않고 안전하게 원점 $O$에서 목적지 $T$까지 도달하는 안전 패킷 최단 경로의 총수를 포함-배제의 원리를 적용하여 구하시오. [30점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) — 3차 곡선의 접선과 다른 교점 구하기 · 정적분 넓이 공식 $S(t) = \frac{27}{4}t^4$ · 면적 조건 접점 도출 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

[가] 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 방정식은 $y = f'(t)(x-t) + f(t)$이다. 3차 곡선과 접선이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 접점을 중근으로 하고 다른 한 교점을 실근으로 갖는다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[나] 최고차항의 계수가 $a$인 삼차함수 $f(x)$의 곡선과 그 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 접점 $x=\alpha$와 교점 $x=\beta$ 사이에서 다음 공식으로 계산할 수 있다: \[\int_\alpha^\beta |f(x) - (\text{접선})| dx = \frac{|a|}{12}|\beta - \alpha|^4 \quad \text{(고등학교 『수학Ⅱ』)}\]

[논제] 태양광 반사 집열 패널의 곡선 프로파일이 3차 곡선 $C: y = x^3 - 3x$로 주어져 있다. 곡선 위의 제1사분면의 동점 $P(t, t^3-3t)$ ($t \gt 1$)에서의 접선을 $L_t$라 하고, 접선 $L_t$가 3차 곡선 $C$와 점 $P$가 아닌 다른 교점에서 만나는 점을 $Q$라 하자.

(1) 점 $P(t, t^3-3t)$에서의 접선 $L_t$의 방정식을 구하고, 접선과 곡선 $C$의 다른 교점 $Q$의 좌표를 $t$에 관한 식으로 나타내시오. [25점]

(2) 3차 곡선 $C$와 접선 $L_t$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(t)$라 할 때, $S(t)$를 $t$에 대한 식으로 나타내고, 집열 면적 $S(t) = 108$이 되도록 하는 접점 $P$의 좌표를 구하시오. [25점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제4회	문항 1	공통수학 / 확률	격자 통신망 데이터 최단 경로 · 위험 노드 회피 모델링 · 3개 집합 포함배제 정리	50점	중상
제4회	문항 2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	3차 곡선의 접선과 다른 교점 구하기 · 정적분 넓이 공식 $S(t) = \frac{27}{4}t^4$ · 면적 조건 접점 도출	50점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제4회 출제 원칙 및 합격 전략

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제4회 출제 원칙 및 합격 전략
• 제1문항 (공통수학 / 확률 · 경우의 수와 포함-배제의 원리): 격자 통신망 데이터 최단 경로 · 위험 노드 회피 모델링 · 3개 집합 포함배제 정리 영역에서 제시문의 기본 공식을 첫 줄에 선언하고 소문항 (1)의 결과를 소문항 (2)의 관계식에 대입하는 단계적 연계를 평가합니다.
• 제2문항 (수학Ⅱ(미적분Ⅰ) · 접선의 방정식과 3차 곡선 둘러싸인 넓이): 3차 곡선의 접선과 다른 교점 구하기 · 정적분 넓이 공식 $S(t) = \frac{27}{4}t^4$ · 면적 조건 접점 도출 영역에서 미분계수·정적분 조건을 연립방정식으로 수식화하고 증감 조사 및 경계 조건을 빠짐없이 논증해야 50점 만점을 획득할 수 있습니다.
• 자가채점 연동: 답안 작성 후 Part 2-2(p.52~53)의 50점 루브릭으로 채점하고, Part 3 대시보드(p.66)에 점수를 입력하여 15개 학과 합격 가능성을 즉시 진단하십시오.

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 수학Ⅰ(대수) — 지수로그 역함수 관계 유도 · 기울기 -1인 직선과 대칭 교점 · 좌표 거리 방정식 풀이 배점 50점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.22 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06, 12미적Ⅰ-01-03]

[제시문]

[가] 밑이 $a$ ($a \gt 1$)인 지수함수 $y=a^x$와 로그함수 $y=\log_a x$는 서로 역함수 관계이며, 두 함수의 그래프는 직선 $y=x$에 대하여 대칭이다. 기울기가 $-1$인 직선은 직선 $y=x$와 수직이므로, 기울기가 $-1$인 직선 위의 두 교점 또한 직선 $y=x$에 대하여 대칭이다. (고등학교 『수학Ⅰ』)

[나] 두 점 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 사이의 거리는 $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$이며, 직선 $y = -x + k$ 위의 두 점 사이의 거리는 $|x_2 - x_1|\sqrt{2}$이다. (고등학교 『수학』)

[논제] 전자 회로의 차동 신호 증폭기에서 두 신호 경로의 입출력 전압 특성 곡선이 지수함수 $f(x) = 2^{x-1} + k$와 그 역함수 $g(x) = f^{-1}(x)$로 모델링된다. 여기서 $k$는 회로 바이어스 전압 상수이다.

(1) 함수 $f(x)$의 역함수 $g(x)$의 식을 구하고 그 정의역을 명시하시오. 또한, 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$가 기울기가 $-1$인 임의의 직선과 만나는 두 교점을 각각 $P, Q$라 할 때, 선분 $PQ$의 중점이 직선 $y=x$ 위에 있음을 논증하시오. [20점]

(2) 직선 $y = -x + 6$이 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$와 만나는 두 교점을 각각 $A, B$라 하자. 두 교점 사이의 거리 $\overline{AB} = 2\sqrt{2}$이고 교점 $A$의 $x$좌표가 $B$의 $x$좌표보다 작을 때, 바이어스 상수 $k$의 값을 구하고 두 교점 $A, B$의 좌표를 모두 구하시오. [30점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) — 평균값 정리 성립 증명 · 순간속도와 평균속도 일치 시각 c 도출 · 최고 속도 및 감속 구간 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 평균값 정리 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-01]

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$를 만족하는 $c$가 열린구간 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다. (평균값 정리) (고등학교 『수학Ⅱ』)

[나] 수직선 또는 직선 레일 위를 움직이는 물체의 시각 $t$에서의 위치를 $s(t)$라 하면, 시각 $t$에서의 속도는 $v(t) = s'(t)$, 가속도는 $a(t) = v'(t) = s''(t)$이다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[논제] 차세대 고속철도가 $12\text{km}$ 구간의 시험 선로를 주행한다. 출발점 $O$에서 시각 $t=0$에 정지 상태($v(0)=0$)로 출발하여 시각 $t=4\text{ (분)}$까지 운행하였다. 열차의 위치 함수는 $s(t) = -t^3 + 6t^2$ ($0 \le t \le 4$, 단위: $\text{km}$)로 주어져 있다.

(1) 시각 구간 $[0, 4]$에서 열차가 주행한 총 이동 거리와 평균 속도를 구하고, 평균값 정리를 적용하여 열차의 순간 속도가 이 평균 속도와 정확히 일치하는 순간의 시각 $c \in (0, 4)$를 모두 구하시오. [25점]

(2) 열차가 주행하는 동안 달성한 최고 속도(순간 속도의 최댓값)와 그때의 시각을 구하시오. 또한, 열차가 감속을 시작하여 가속도가 음($a(t) \lt 0$)이 되는 시간 구간을 구하시오. [25점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제5회	문항 1	수학Ⅰ(대수)	지수로그 역함수 관계 유도 · 기울기 -1인 직선과 대칭 교점 · 좌표 거리 방정식 풀이	50점	중상
제5회	문항 2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	평균값 정리 성립 증명 · 순간속도와 평균속도 일치 시각 c 도출 · 최고 속도 및 감속 구간	50점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제5회 출제 원칙 및 합격 전략

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제5회 출제 원칙 및 합격 전략
• 제1문항 (수학Ⅰ(대수) · 지수함수와 로그함수의 역함수 및 대칭성): 지수로그 역함수 관계 유도 · 기울기 -1인 직선과 대칭 교점 · 좌표 거리 방정식 풀이 영역에서 제시문의 기본 공식을 첫 줄에 선언하고 소문항 (1)의 결과를 소문항 (2)의 관계식에 대입하는 단계적 연계를 평가합니다.
• 제2문항 (수학Ⅱ(미적분Ⅰ) · 평균값 정리와 3차 다항함수의 속도·가속도 최적화): 평균값 정리 성립 증명 · 순간속도와 평균속도 일치 시각 c 도출 · 최고 속도 및 감속 구간 영역에서 미분계수·정적분 조건을 연립방정식으로 수식화하고 증감 조사 및 경계 조건을 빠짐없이 논증해야 50점 만점을 획득할 수 있습니다.
• 자가채점 연동: 답안 작성 후 Part 2-2(p.54~55)의 50점 루브릭으로 채점하고, Part 3 대시보드(p.66)에 점수를 입력하여 15개 학과 합격 가능성을 즉시 진단하십시오.

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 공통수학 — 고차 다항식 나눗셈 항등식 · 복소수 단위근의 6주기 거듭제곱 성질 · 나머지정리 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그의 성질 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문]

[가] 다항식 $P(x)$를 $0$이 아닌 다항식 $A(x)$로 나눈 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x)$라 할 때, $P(x) = A(x)Q(x) + R(x)$가 성립하며, 일차식 $(x-\alpha)^2$으로 나눈 나머지는 일차 이하의 다항식이다. (고등학교 『수학』)

[나] 이차방정식 $x^2 - x + 1 = 0$의 한 허근을 $\omega$라 할 때, 양변에 $x+1$을 곱하면 $x^3 + 1 = 0$이 되므로 다음이 성립한다: \[\omega^2 - \omega + 1 = 0, \quad \omega^3 = -1, \quad \omega^6 = 1 \quad \text{(고등학교 『수학』)}\]

[논제] 암호화 보안 통신 프로토콜에서 생성 다항식 $P(x) = x^{2026} + px^2 + qx + r$ ($p, q, r$은 실수)을 사용한다. 이 다항식은 특정 검증 이차식 $x^2 - x + 1$로 나누어떨어지도록 설계되어야 한다.

(1) 다항식 $P(x)$가 이차식 $x^2 - x + 1$로 나누어떨어질 때, 계수 $q$와 $r$을 각각 $p$에 대한 식으로 나타내시오. [20점]

(2) (1)의 조건을 만족하는 다항식 $P(x)$를 $(x+1)^2$으로 나눈 나머지를 $R(x)$라 하자. $R(-2) = 2031$일 때, 실수 $p, q, r$의 값을 모두 구하시오. [30점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) — 3차 곡선의 변곡점 대칭성 · 평행한 두 접선의 방정식 · 두 접선에 동시 접하는 원의 넓이 배점 50점 · 난이도 최상(킬러)

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 미분가능할 때, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 방정식은 $y - f(t) = f'(t)(x - t)$이다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[나] 3차함수 $y=f(x)$의 그래프는 변곡점 $(c, f(c))$에 대하여 점대칭이다. 변곡점을 지나는 임의의 직선에 대칭인 두 점에서의 접선의 기울기는 서로 같으며, 평행한 두 접선 사이의 거리는 점과 직선 사이의 거리 공식으로 구할 수 있다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[논제] 3차 다항함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$가 있다. 이 곡선 위의 서로 다른 두 점에서의 접선 $L_1, L_2$의 기울기가 모두 $9$이다.

(1) 곡선 $y=f(x)$의 변곡점 $M$의 좌표를 구하고, 기울기가 $9$인 두 접선 $L_1, L_2$의 방정식을 각각 구하시오. [25점]

(2) 두 접선 $L_1, L_2$에 동시에 접하고 중심이 변곡점 $M$에 위치하는 원의 방정식과 그 원의 넓이를 구하시오. [25점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제6회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제6회	문항 1	공통수학	고차 다항식 나눗셈 항등식 · 복소수 단위근의 6주기 거듭제곱 성질 · 나머지정리	50점	상
제6회	문항 2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	3차 곡선의 변곡점 대칭성 · 평행한 두 접선의 방정식 · 두 접선에 동시 접하는 원의 넓이	50점	최상(킬러)

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제6회 출제 원칙 및 합격 전략

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제6회 출제 원칙 및 합격 전략
• 제1문항 (공통수학 · 다항식의 나눗셈과 복소수의 거듭제곱 주기성): 고차 다항식 나눗셈 항등식 · 복소수 단위근의 6주기 거듭제곱 성질 · 나머지정리 영역에서 제시문의 기본 공식을 첫 줄에 선언하고 소문항 (1)의 결과를 소문항 (2)의 관계식에 대입하는 단계적 연계를 평가합니다.
• 제2문항 (수학Ⅱ(미적분Ⅰ) · 접선의 방정식과 도함수의 활용): 3차 곡선의 변곡점 대칭성 · 평행한 두 접선의 방정식 · 두 접선에 동시 접하는 원의 넓이 영역에서 미분계수·정적분 조건을 연립방정식으로 수식화하고 증감 조사 및 경계 조건을 빠짐없이 논증해야 50점 만점을 획득할 수 있습니다.
• 자가채점 연동: 답안 작성 후 Part 2-2(p.56~57)의 50점 루브릭으로 채점하고, Part 3 대시보드(p.66)에 점수를 입력하여 15개 학과 합격 가능성을 즉시 진단하십시오.

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 수학Ⅰ(대수) — 로그 곡선 위의 등비수열 좌표 · 삼각형 밑변과 높이 식화 · 수열의 합 기호 전개 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 탐구 변형 / 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수03-03]

[제시문]

[가] 밑이 $2$인 로그함수 $f(x) = \log_2 x$ ($x \gt 0$)는 진수가 등비수열일 때 그 함숫값은 등차수열을 이룬다. (고등학교 『수학Ⅰ』)

[나] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 기호 $\sum$를 사용하여 나타내며, 상수 $c$에 대해 $\sum_{k=1}^n c = cn$이 성립한다. (고등학교 『수학Ⅰ』)

[논제] 함수 $f(x) = \log_2 x$와 첫째항이 $2$이고 공비가 $2$인 등비수열 $a_n = 2^n$이 있다. 자연수 $n \ge 2$에 대하여 곡선 위의 점 $P_n(a_n, f(a_n))$과 $x$축 위의 두 점 $Q_n(a_{n-1}, 0), R_n(a_{n+1}, 0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 $T_n$이라 하자.

(1) 삼각형 $T_n$의 밑변 $\overline{Q_n R_n}$의 길이와 높이를 각각 $n$에 대한 식으로 나타내고, 삼각형 $T_n$의 넓이 $S_n$을 구하시오. [20점]

(2) 수열의 합 $\sum_{k=2}^{n} \frac{S_k}{k \cdot 2^k}$의 값을 $n$에 관한 식으로 나타내고, $n = 6$일 때의 합을 구하시오. [30점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) — 포물선과 수평 직선 사이의 정적분 면적 · 넓이 비 조건 방정식 수립 및 해 도출 배점 50점 · 난이도 최상(킬러)

[제시문]

[가] 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=k$로 둘러싸인 도형의 넓이는 정적분 $\int_\alpha^\beta |f(x) - k| dx$로 정의된다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[나] 이차곡선 $y=x^2$과 직선 $y=c$ ($c \gt 0$)로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\int_{-\sqrt{c}}^{\sqrt{c}} (c - x^2) dx = \frac{4}{3}c\sqrt{c} = \frac{4}{3}c^{\frac{3}{2}}$이다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[논제] 좌표평면 위에 곡선 $y = x^2$과 직선 $y = 4$로 둘러싸인 영역 $D$가 있다. 이 영역 $D$를 수평 직선 $y = m$ ($0 \lt m \lt 4$)에 의해 위쪽 영역과 아래쪽 영역으로 나눈다.

(1) 곡선 $y = x^2$과 직선 $y = 4$로 둘러싸인 영역 $D$의 넓이 $A$를 정적분으로 계산하시오. [20점]

(2) 수평 직선 $y = m$에 의해 나뉜 아래쪽 영역의 넓이와 위쪽 영역의 넓이의 비가 $1 : 7$이 되도록 하는 상수 $m$의 값을 구하시오. [30점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제7회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제7회	문항 1	수학Ⅰ(대수)	로그 곡선 위의 등비수열 좌표 · 삼각형 밑변과 높이 식화 · 수열의 합 기호 전개	50점	상
제7회	문항 2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	포물선과 수평 직선 사이의 정적분 면적 · 넓이 비 조건 방정식 수립 및 해 도출	50점	최상(킬러)

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제7회 출제 원칙 및 합격 전략

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제7회 출제 원칙 및 합격 전략
• 제1문항 (수학Ⅰ(대수) · 로그함수와 등비수열, 삼각형 넓이의 급수): 로그 곡선 위의 등비수열 좌표 · 삼각형 밑변과 높이 식화 · 수열의 합 기호 전개 영역에서 제시문의 기본 공식을 첫 줄에 선언하고 소문항 (1)의 결과를 소문항 (2)의 관계식에 대입하는 단계적 연계를 평가합니다.
• 제2문항 (수학Ⅱ(미적분Ⅰ) · 다항함수의 정적분과 영역의 넓이 분할): 포물선과 수평 직선 사이의 정적분 면적 · 넓이 비 조건 방정식 수립 및 해 도출 영역에서 미분계수·정적분 조건을 연립방정식으로 수식화하고 증감 조사 및 경계 조건을 빠짐없이 논증해야 50점 만점을 획득할 수 있습니다.
• 자가채점 연동: 답안 작성 후 Part 2-2(p.58~59)의 50점 루브릭으로 채점하고, Part 3 대시보드(p.66)에 점수를 입력하여 15개 학과 합격 가능성을 즉시 진단하십시오.

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 수학Ⅰ(대수) — 낙하 경로의 탄젠트 기울기 · 직선의 $x$절편 수열 · 부분분수 분해 급수 합 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수와 동경 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 탐구 변형 / 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수03-03]

[제시문]

[가] 좌표평면에서 두 점 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$를 지나는 직선의 기울기는 $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ ($x_1 \ne x_2$)이다. (고등학교 『수학』)

[나] 수열의 합에서 분모가 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 다음 부분분수 전개식을 이용하여 합을 간단히 계산할 수 있다: \[\frac{1}{AB} = \frac{1}{B - A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B}\right) \quad (A \ne B) \quad \text{(고등학교 『수학Ⅰ』)}\]

[논제] 수색 구조 작전에서 무인 항공기가 순차적으로 긴급 구호품을 투하하고 있다. $n$번째 구호품은 상공의 두 지점 $P_n(n, (n+1)^2)$과 $Q_n(n+1, 1)$을 잇는 직선 궤도를 따라 낙하하여 평평한 지면($y=0$)에 도달한다. (단, 거리 단위는 $\text{km}$이다.)

(1) $n$번째 구호품의 낙하 직선 궤도의 기울기를 구하고, 이 구호품이 지면에 도달하는 지점의 $x$좌표 $x_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내시오. [25점]

(2) 낙하 지점의 $x$좌표에 대하여 수열의 합 $\sum_{k=1}^{8} \frac{1}{(x_k - k)(x_{k+1} - (k+1))}$의 값을 부분분수를 이용하여 구하시오. [25점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) — 경계조건 연립방정식 풀이 · 3차함수 극대극소 모델링 · 최대 하강 경사도 산출 배점 50점 · 난이도 최상(킬러)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 극대와 극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.32 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-05]

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 극값을 가지고 미분가능하면 $f'(a) = 0$이다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[나] 3차함수 $f(x)$의 그래프에서 접선의 기울기 $f'(x)$는 2차 다항식이 되며, 대칭축(변곡점)에서 기울기의 절댓값이 극대 또는 극소가 된다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[논제] 테마파크의 롤러코스터 레일의 하강 및 재상승 구간을 3차 다항함수 $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($0 \le x \le 10$)로 설계하고자 한다. 트랙은 최고점 $A(0, 30)$에서 하강을 시작하고, 최저점 $B(10, 10)$에서 다시 상승을 시작하도록 계획되었다. (단, 시작점과 최저점에서의 접선 기울기는 모두 $0$이다.)

(1) 주어진 조건을 만족하는 3차 다항함수 $f(x)$의 계수 $a, b, c, d$를 구하고 함수식을 완성하시오. [25점]

(2) 하강 구간 $[0, 10]$에서 수직 하강 속도(기울기의 절댓값 $|f'(x)|$)가 최대가 되는 지점의 좌표와 그때의 최대 경사도(기울기의 절댓값)를 구하시오. [25점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제8회	문항 1	수학Ⅰ(대수)	낙하 경로의 탄젠트 기울기 · 직선의 $x$절편 수열 · 부분분수 분해 급수 합	50점	상
제8회	문항 2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	경계조건 연립방정식 풀이 · 3차함수 극대극소 모델링 · 최대 하강 경사도 산출	50점	최상(킬러)

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제8회 출제 원칙 및 합격 전략

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제8회 출제 원칙 및 합격 전략
• 제1문항 (수학Ⅰ(대수) · 삼각함수와 직선의 방정식, 부분분수 수열의 합): 낙하 경로의 탄젠트 기울기 · 직선의 $x$절편 수열 · 부분분수 분해 급수 합 영역에서 제시문의 기본 공식을 첫 줄에 선언하고 소문항 (1)의 결과를 소문항 (2)의 관계식에 대입하는 단계적 연계를 평가합니다.
• 제2문항 (수학Ⅱ(미적분Ⅰ) · 3차 다항함수의 극대·극소와 궤도 곡선 최적화): 경계조건 연립방정식 풀이 · 3차함수 극대극소 모델링 · 최대 하강 경사도 산출 영역에서 미분계수·정적분 조건을 연립방정식으로 수식화하고 증감 조사 및 경계 조건을 빠짐없이 논증해야 50점 만점을 획득할 수 있습니다.
• 자가채점 연동: 답안 작성 후 Part 2-2(p.60~61)의 50점 루브릭으로 채점하고, Part 3 대시보드(p.66)에 점수를 입력하여 15개 학과 합격 가능성을 즉시 진단하십시오.

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 공통수학 — 직각이등변삼각형 회전 작도 · 동점 꼭짓점의 자취의 방정식 · 산술평균과 기하평균 배점 50점 · 난이도 상

[제시문]

[가] 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리는 피타고라스 정리에 의해 계산되며, 직선의 방정식은 지나는 한 점과 기울기에 의해 결정된다. (고등학교 『수학』)

[나] 두 양수 $A, B$에 대하여 항상 다음 부등식이 성립한다: \[\frac{A + B}{2} \ge \sqrt{AB} \quad \text{(단, 등호는 } A = B\text{일 때 성립)} \quad \text{(고등학교 『수학』)}\]

[논제] 좌표평면 위의 점 $A(0, 4)$와 $x$축의 양의 부분 위의 점 $P(t, 0)$ ($t \gt 0$)이 있다. 선분 $AP$를 한 변으로 하고 제1사분면에 위치하는 직각이등변삼각형 $APB$ ($\angle B = 90^\circ, \overline{AB} = \overline{BP}$)를 만든다.

(1) 꼭짓점 $B$의 좌표를 $t$에 대한 식으로 나타내고, $t$가 변할 때 점 $B$가 그리는 자취의 직선의 방정식을 구하시오. [20점]

(2) 점 $B$에서 $x$축과 $y$축에 내린 수선의 발을 각각 $H_1, H_2$라 할 때, 선분 길이의 합 $F(t) = \overline{BH_1} + \frac{16}{\overline{BH_2}}$의 최솟값과 그때의 $t$의 값을 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 구하시오. [30점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) — 닫힌구간 평균값 정리 만족 상수 c 도출 · 함수의 증감표 및 사잇값 정리를 통한 실근 증명 배점 50점 · 난이도 최상(킬러)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 평균값 정리 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.22 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[제시문]

[나] 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $f(a)$와 $f(b)$의 부호가 다르면($f(a)f(b) \lt 0$), 열린구간 $(a, b)$에서 $f(c) = 0$인 $c$가 적어도 하나 존재한다. (사잇값 정리) (고등학교 『수학Ⅱ』)

[논제] 함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$이 있다.

(1) 닫힌구간 $[1, 4]$에서 함수 $f(x)$에 대하여 평균값 정리를 만족하는 상수 $c$가 열린구간 $(1, 4)$에 존재하는지 판정하고, $c$가 속하는 길이 1인 열린구간을 사잇값 정리를 이용하여 제시하시오. [25점]

(2) 방정식 $f(x) = 0$이 열린구간 $(1, 4)$에서 서로 다른 두 실근을 가짐을 함수의 증가·감소 조사와 사잇값 정리를 활용하여 논리적으로 증명하시오. [25점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제9회	문항 1	공통수학	직각이등변삼각형 회전 작도 · 동점 꼭짓점의 자취의 방정식 · 산술평균과 기하평균	50점	상
제9회	문항 2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	닫힌구간 평균값 정리 만족 상수 c 도출 · 함수의 증감표 및 사잇값 정리를 통한 실근 증명	50점	최상(킬러)

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제9회 출제 원칙 및 합격 전략

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제9회 출제 원칙 및 합격 전략
• 제1문항 (공통수학 · 평면좌표 도형 작도와 산술-기하평균 부등식): 직각이등변삼각형 회전 작도 · 동점 꼭짓점의 자취의 방정식 · 산술평균과 기하평균 영역에서 제시문의 기본 공식을 첫 줄에 선언하고 소문항 (1)의 결과를 소문항 (2)의 관계식에 대입하는 단계적 연계를 평가합니다.
• 제2문항 (수학Ⅱ(미적분Ⅰ) · 평균값 정리와 사잇값 정리의 융합): 닫힌구간 평균값 정리 만족 상수 c 도출 · 함수의 증감표 및 사잇값 정리를 통한 실근 증명 영역에서 미분계수·정적분 조건을 연립방정식으로 수식화하고 증감 조사 및 경계 조건을 빠짐없이 논증해야 50점 만점을 획득할 수 있습니다.
• 자가채점 연동: 답안 작성 후 Part 2-2(p.62~63)의 50점 루브릭으로 채점하고, Part 3 대시보드(p.66)에 점수를 입력하여 15개 학과 합격 가능성을 즉시 진단하십시오.

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 수학Ⅰ(대수) — 소인수의 개수 분류 조합 모델링 · 2와 3의 거듭제곱 수들의 등비수열 합 배점 50점 · 난이도 상

[제시문]

[가] 자연수는 1보다 큰 소수들의 곱으로 유일하게 소인수분해된다. 경우의 수를 셀 때 일정한 기준에 따라 중복과 누락이 없도록 체계적으로 분류하는 것이 중요하다. (고등학교 『수학』)

[나] 첫째항이 $a$, 공비가 $r$ ($r \ne 1$)인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합은 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$이다. (고등학교 『수학Ⅰ』)

[논제] 어떤 자연수의 서로 다른 소인수들의 집합을 분석하는 수론 알고리즘 과제가 주어졌다.

(1) $1$부터 $30$까지의 자연수 중에서 서로 다른 소인수의 개수가 정확히 $2$개인 수들의 개수를 체계적으로 분류하여 구하시오. [20점]

(2) 소인수가 $2$와 $3$뿐인 자연수 $m = 2^a \times 3^b$ ($a \ge 1, b \ge 1$) 중 $m \le 100$을 만족하는 모든 자연수들의 총합을 등비수열의 합 공식을 활용하여 구하시오. [30점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경기대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 수학Ⅱ(미적분Ⅰ) — 원함수와 역함수의 교점과 대칭성 · 정적분 렌즈 영역 넓이 계산 · 평행한 접선의 방정식 배점 50점 · 난이도 최상(킬러)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 / 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-02-05]

[제시문]

[가] 함수 $y=f(x)$의 그래프와 그 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프는 직선 $y=x$에 대하여 대칭이며, 증가함수인 경우 두 곡선의 모든 교점은 직선 $y=x$ 위에 존재한다. (고등학교 『수학』)

[나] 직선 $y=x$에 대칭인 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=f^{-1}(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이는 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=x$로 둘러싸인 넓이의 $2$배와 같다: \[S = 2 \int_\alpha^\beta |f(x) - x| dx \quad \text{(고등학교 『수학Ⅱ』)}\]

[논제] 함수 $f(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}$ ($x \ge 0$)과 그 역함수 $g(x) = f^{-1}(x)$가 있다.

(1) 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$의 교점의 좌표를 모두 구하고, 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오. [25점]

(2) 두 교점을 지나는 직선과 평행하면서 곡선 $y = f(x)$에 접하는 접선의 방정식을 구하시오. [25점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제10회	문항 1	수학Ⅰ(대수)	소인수의 개수 분류 조합 모델링 · 2와 3의 거듭제곱 수들의 등비수열 합	50점	상
제10회	문항 2	수학Ⅱ(미적분Ⅰ)	원함수와 역함수의 교점과 대칭성 · 정적분 렌즈 영역 넓이 계산 · 평행한 접선의 방정식	50점	최상(킬러)

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제10회 출제 원칙 및 합격 전략

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경기대학교 수리논술 제10회 출제 원칙 및 합격 전략
• 제1문항 (수학Ⅰ(대수) · 소인수분해와 경우의 수, 등비수열의 합): 소인수의 개수 분류 조합 모델링 · 2와 3의 거듭제곱 수들의 등비수열 합 영역에서 제시문의 기본 공식을 첫 줄에 선언하고 소문항 (1)의 결과를 소문항 (2)의 관계식에 대입하는 단계적 연계를 평가합니다.
• 제2문항 (수학Ⅱ(미적분Ⅰ) · 역함수의 그래프와 곡선으로 둘러싸인 넓이): 원함수와 역함수의 교점과 대칭성 · 정적분 렌즈 영역 넓이 계산 · 평행한 접선의 방정식 영역에서 미분계수·정적분 조건을 연립방정식으로 수식화하고 증감 조사 및 경계 조건을 빠짐없이 논증해야 50점 만점을 획득할 수 있습니다.
• 자가채점 연동: 답안 작성 후 Part 2-2(p.64~65)의 50점 루브릭으로 채점하고, Part 3 대시보드(p.66)에 점수를 입력하여 15개 학과 합격 가능성을 즉시 진단하십시오.

PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS

실전 모의고사 1회 ~ 10회
문제 · 모범답안 · 채점 루브릭 합본 해설집

시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 20문항 전체 원문 요약과 단계별 모범답안·루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.

🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능

⚡ 단계별 채점 기준표 완비: 소문항·단계별 부분점수 배점표를 통해 정밀한 자가 채점 지원

👨‍🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭

【문제 1】 원문 요약 — 등비수열 모델링 · 상용로그 자릿수 및 부등식 · 반감기와 자연 감쇄 [배점 50점]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 1 · 총 50점

소문항 (1) 점화식 및 최소 필터 통과 횟수 도출

1단계: 점화식 및 일반항 수립
정화 필터를 1회 통과할 때마다 잔류하는 질량의 비율은 $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} = 0.4$이다.
따라서 $n$회 통과 후 잔류 질량 $M_n$과 $n-1$회 통과 후 잔류 질량 $M_{n-1}$ 사이의 점화식은 다음과 같다: \[M_n = \frac{2}{5} M_{n-1} = 0.4 M_{n-1} \quad (n \ge 1)\] 초기 질량이 $M_0 = 100\text{g}$이므로 첫째항은 $M_1 = 100 \times 0.4 = 40\text{g}$이고, 일반항은 공비가 $0.4$인 등비수열을 이룬다: \[M_n = 100 \times \left(\frac{2}{5}\right)^n = 100 \times (0.4)^n \quad (n \ge 1)\]
2단계: 상용로그를 이용한 최소 통과 횟수 계산
잔류 질량이 최초 질량의 $1\%$인 $1\text{g}$ 이하가 되기 위한 조건은 다음과 같다: \[M_n \le 1 \iff 100 \times (0.4)^n \le 1 \iff (0.4)^n \le 0.01 = 10^{-2}\] 양변에 밑이 $10$인 상용로그를 취하면, $\log_{10}(0.4) \lt 0$이므로: \[n \log_{10}(0.4) \le -2 \iff n \left(\log_{10} \frac{4}{10}\right) \le -2\] \[\log_{10}\left(\frac{4}{10}\right) = 2\log_{10} 2 - 1 = 2(0.3010) - 1 = 0.6020 - 1 = -0.3980\] 양변을 $-0.3980$으로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다: \[n \ge \frac{-2}{-0.3980} = \frac{2}{0.3980} = \frac{2000}{398} \approx 5.025\] $n$은 자연수이므로 부등식을 만족하는 최소 필터 통과 횟수는 다음과 같다: \[\mathbf{N = 6\text{회}}\]

소문항 (2) 자연 감쇄 반감기 결합 최소 가동 횟수 및 총비용 산출

1단계: 30일 자연 보관 후 잔류 비율 계산
자연 붕괴 반감기가 $10$일이므로, $10$일마다 질량이 $\frac{1}{2}$로 감소한다.
보관 기간 $30$일 동안 경과한 반감기 횟수는 $\frac{30}{10} = 3$회이다.
따라서 $30$일 보관 후 잔류하는 질량 비율은 $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$이다.
필터를 $k$회 통과시킨 후 잔류 물질은 $M_k = 100 \times (0.4)^k$이므로, $30$일 자연 보관 후 최종 잔류량 $M_{\text{final}}$은 다음과 같다: \[M_{\text{final}} = M_k \times \frac{1}{8} = \frac{100}{8} \times (0.4)^k = 12.5 \times (0.4)^k\]
2단계: 안전 방출 기준(0.1g 이하) 부등식 풀이
안전 방출 조건 $M_{\text{final}} \le 0.1$을 세우면: \[12.5 \times (0.4)^k \le 0.1 \iff (0.4)^k \le \frac{0.1}{12.5} = \frac{1}{125} = 125^{-1}\] 양변에 상용로그를 취하면: \[k \log_{10}(0.4) \le -\log_{10}(125)\] 여기서 $\log_{10} 125 = \log_{10}\left(\frac{1000}{8}\right) = 3 - 3\log_{10} 2 = 3 - 3(0.3010) = 3 - 0.9030 = 2.0970$이다.
따라서: \[k(-0.3980) \le -2.0970 \iff k \ge \frac{2.0970}{0.3980} = \frac{2097}{398} \approx 5.2688\] $k$는 자연수이므로 필요한 최소 필터 통과 횟수는 다음과 같다: \[\mathbf{k = 6\text{회}}\]
3단계: 총 필터 가동 비용 계산
필터 $1$회 가동 비용이 $50$만 원이므로, $6$회 가동 시 소요되는 총비용은: \[6 \times 50\text{만 원} = \mathbf{300\text{만 원}}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 점화식 $M_n = 0.4 M_{n-1}$ 및 일반항 $M_n = 100(0.4)^n$ 정확히 유도	8점
2단계	[소문항 (1)] 상용로그 부등식 수립 및 $\log_{10}(0.4) = -0.3980$ 계산	7점
3단계	[소문항 (1)] 최소 통과 횟수 $N = 6$회 정확히 도출	5점
4단계	[소문항 (2)] 30일 반감기 감쇄 비율 $(1/2)^3 = 1/8$ 및 잔류량 수식 정확히 설정	10점
5단계	[소문항 (2)] $\log_{10}(125) = 2.0970$ 도출 및 부등식 풀이로 최소 통과 횟수 $k = 6$회 확정	12점
6단계	[소문항 (2)] 총 가동 비용 $300$만 원 정확히 계산	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 빈출 유형 포인트: 2026학년도 기출 B형 1번(질병 치료법 점화식 및 상용로그)과 동일한 구조의 실생활 지수·로그 모델링 문항입니다.
감점 방지 핵심: $\log_{10}(0.4)$는 음수($-0.3980$)이므로 양변을 나눌 때 부등호의 방향이 바뀐다는 점을 명확히 서술해야 감점을 피할 수 있습니다.
자연수 조건 서술: $n \ge 5.025$에서 $n$이 자연수임을 근거로 올림하여 $N=6$임을 논리적으로 적어야 합니다.

🎯 [최종 정답](1) $M_n = 0.4 M_{n-1} = 100 \times (0.4)^n,\; N = 6\text{회}$ | (2) $k = 6\text{회},\; 300\text{만 원}$

【문제 2】 원문 요약 — 3차 다항함수 모델링 · 매끄러운 접합 조건(미분계수) · 변곡점 및 경사도 최댓값 [배점 50점]

[제시문]

(1) 조건 1과 조건 2를 만족하고 두 점 $O(0,0)$과 $A(6,4)$를 지나는 3차 다항함수 $f(x)$의 계수 $a, b, c, d$를 모두 구하시오. [25점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 2 · 총 50점

소문항 (1) 조건식 연립 및 3차 다항함수의 계수 결정

1단계: 함수식 및 도함수 설정
3차 다항함수를 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$라 두면, 도함수는 다음과 같다: \[f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\]
2단계: 시작점 조건 대입
곡선이 원점 $O(0, 0)$을 지나므로: \[f(0) = d = 0\] 조건 1에서 $x=0$에서의 접선의 기울기가 $0$이므로: \[f'(0) = c = 0\] 따라서 함수식은 $f(x) = ax^3 + bx^2$, 도함수는 $f'(x) = 3ax^2 + 2bx$로 단순화된다.

3단계: 합류점 $A(6, 4)$ 및 기울기 조건 연립방정식 풀이
곡선이 점 $A(6, 4)$를 지나므로: \[f(6) = a(6^3) + b(6^2) = 216a + 36b = 4\] 양변을 $4$로 나누면: \[54a + 9b = 1 \quad \cdots\cdots \text{㉠}\] 조건 2에서 $x=6$에서의 접선 기울기가 $1$이므로: \[f'(6) = 3a(6^2) + 2b(6) = 108a + 12b = 1 \quad \cdots\cdots \text{㉡}\] ㉠에 $2$를 곱하면: \[108a + 18b = 2 \quad \cdots\cdots \text{㉢}\] ㉢에서 ㉡을 변변 빼면: \[(108a + 18b) - (108a + 12b) = 2 - 1 \implies 6b = 1 \implies b = \frac{1}{6}\] $b = \frac{1}{6}$을 ㉡에 대입하면: \[108a + 12\left(\frac{1}{6}\right) = 1 \implies 108a + 2 = 1 \implies 108a = -1 \implies a = -\frac{1}{108}\] 따라서 구하는 계수는 다음과 같다: \[\mathbf{a = -\frac{1}{108}, \quad b = \frac{1}{6}, \quad c = 0, \quad d = 0}\] \[f(x) = -\frac{1}{108}x^3 + \frac{1}{6}x^2\]

소문항 (2) 구간 내 접선 기울기 최댓값 및 변곡점 좌표 도출

1단계: 도함수(기울기 함수) 분석
접선의 기울기 함수는 다음과 같다: \[f'(x) = 3\left(-\frac{1}{108}\right)x^2 + 2\left(\frac{1}{6}\right)x = -\frac{1}{36}x^2 + \frac{1}{3}x\] 이를 완전제곱식 형태로 변형하면: \[f'(x) = -\frac{1}{36}(x^2 - 12x) = -\frac{1}{36}\left((x - 6)^2 - 36\right) = -\frac{1}{36}(x - 6)^2 + 1\] 구간 $[0, 6]$에서 $-(x-6)^2 \le 0$이므로, $f'(x)$는 $x=6$에서 최댓값을 갖는다.
따라서 접선의 기울기가 최대가 되는 지점의 $x$좌표와 최대 기울기는: \[x = 6 \text{에서 최대 기울기 } \mathbf{f'(6) = 1}\] (구간의 시작점 $x=0$에서는 최소 기울기 $f'(0) = 0$을 갖는다.)

2단계: 변곡점 좌표 산출
이계도함수를 구하면: \[f''(x) = -\frac{1}{18}x + \frac{1}{3}\] $f''(x) = 0$을 만족하는 $x$는: \[-\frac{1}{18}x + \frac{1}{3} = 0 \iff \frac{1}{18}x = \frac{1}{3} \iff x = 6\] $0 \le x \lt 6$에서 $f''(x) \gt 0$ (아래로 볼록)이며, $x=6$에서 곡선의 오목·볼록의 경계(변곡점)를 이룬다.
변곡점의 좌표는 합류 완료 지점인 $\mathbf{(6, 4)}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 조건 1을 통해 $d = 0, c = 0$ 유도	7점
2단계	[소문항 (1)] $f(6)=4, f'(6)=1$에 대한 연립일차방정식 정확히 수립	10점
3단계	[소문항 (1)] $a = -\frac{1}{108}, b = \frac{1}{6}$ 정확히 도출 및 함수식 완성	8점
4단계	[소문항 (2)] 접선 기울기 함수 $f'(x) = -\frac{1}{36}(x-6)^2+1$ 유도	10점
5단계	[소문항 (2)] 구간 $[0, 6]$에서의 최댓값 $f'(6) = 1$ 및 $x=6$ 명시	8점
6단계	[소문항 (2)] 이계도함수 $f''(x)=0$ 풀이로 변곡점 $(6, 4)$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 연계 분석: 2025학년도 기출 B형 2번(드론 비행경로 3차함수 극대극소)을 자율주행 차량 진입로 설계라는 실생활 공학 모델로 변형한 문제입니다.
서술 핵심 팁: 시작점과 끝점에서의 접선의 기울기($f'(0)=0, f'(6)=1$)를 수식으로 분명히 나타내고, 4개의 미정계수 연립 과정을 가감법으로 깔끔하게 정리하십시오.
닫힌구간 최적화 주의: 이차식 $f'(x)$의 대칭축이 $x=6$에 위치하므로, 꼭짓점이 구간의 우측 끝점과 일치함을 서술해야 완전한 점수를 얻습니다.

🎯 [최종 정답](1) $a = -\dfrac{1}{108},\; b = \dfrac{1}{6},\; c = 0,\; d = 0$ | (2) $f'(6) = 1,\; \text{변곡점 } (6, 4)$

【문제 1】 원문 요약 — 원 밖의 점에서 그은 접선의 극선 유도 · 항등식과 정점 좌표 · 접점 간 거리의 최솟값 [배점 50점]

[제시문]

[가] 좌표평면에서 점 $(x_0, y_0)$과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리 $d$는 $d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$이다. (고등학교 『수학』)

(2) 점 $P$가 직선 $L$ 위를 움직일 때, 선분 $AB$의 길이의 최솟값을 구하고, 그때의 점 $P$의 좌표 및 삼각형 $PAB$의 넓이를 구하시오. [30점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 1 · 총 50점

소문항 (1) 극선 방정식 증명 및 고정된 정점 K 좌표 유도

1단계: 접점의 좌표를 이용한 극선 방정식 증명
원 $C: x^2+y^2=9$ 위의 두 접점을 각각 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$라 하자.
원 위의 점 $A$에서의 접선의 방정식은 $x_1 x + y_1 y = 9$이고, 점 $B$에서의 접선의 방정식은 $x_2 x + y_2 y = 9$이다.
두 접선이 모두 원 밖의 점 $P(a, b)$를 지나므로 다음 등식이 성립한다: \[x_1 a + y_1 b = 9 \iff a x_1 + b y_1 = 9\] \[x_2 a + y_2 b = 9 \iff a x_2 + b y_2 = 9\] 이 두 식은 점 $A(x_1, y_1)$과 점 $B(x_2, y_2)$가 모두 일차방정식 $ax + by = 9$를 만족함을 의미한다.
서로 다른 두 점을 지나는 직선은 유일하므로, 두 접점 $A, B$를 지나는 직선 $AB$의 방정식은 다음과 같다: \[\mathbf{ax + by = 9}\]
2단계: 직선 L의 조건을 이용한 항등식 정점 유도
점 $P(a, b)$는 직선 $L: 3x - 4y + 25 = 0$ 위의 점이므로 $3a - 4b + 25 = 0$이 성립한다.
이를 $a$에 대해 정리하면: \[3a = 4b - 25 \implies a = \frac{4}{3}b - \frac{25}{3}\] 이를 직선 $ax + by = 9$에 대입하면: \[\left(\frac{4}{3}b - \frac{25}{3}\right)x + by = 9 \iff b\left(\frac{4}{3}x + y\right) - \left(\frac{25}{3}x + 9\right) = 0\] 이 식이 임의의 실수 $b$에 대하여 항상 성립해야 하므로: \[\frac{4}{3}x + y = 0 \quad \text{이고} \quad \frac{25}{3}x + 9 = 0\] $\frac{25}{3}x = -9 \implies x = -\frac{27}{25}$
$y = -\frac{4}{3}x = -\frac{4}{3}\left(-\frac{27}{25}\right) = \frac{36}{25}$
따라서 직선 $AB$가 항상 지나는 고정된 정점 $K$의 좌표는 다음과 같다: \[\mathbf{K\left(-\frac{27}{25}, \frac{36}{25}\right)}\]

소문항 (2) 선분 AB의 최솟값, 점 P의 좌표 및 삼각형 넓이 도출

1단계: 기하학적 관계를 통한 선분 AB의 길이 수식화
원점 $O(0, 0)$에서 점 $P(a, b)$까지의 거리를 $d = \sqrt{a^2+b^2}$라 하자.
직각삼각형 $OAP$에서 $\overline{OA} = r = 3$, $\angle OAP = 90^\circ$이므로 피타고라스 정리에 의해: \[\overline{AP} = \sqrt{d^2 - 3^2} = \sqrt{d^2 - 9}\] 선분 $OP$와 선분 $AB$의 교점을 $H$라 하면, $OP \perp AB$이고: \[\overline{OA} \times \overline{AP} = \overline{OP} \times \overline{AH} \implies 3\sqrt{d^2-9} = d \cdot \overline{AH} \implies \overline{AH} = \frac{3\sqrt{d^2-9}}{d}\] 따라서 현 $AB$의 길이는 다음과 같다: \[\overline{AB} = 2\overline{AH} = \frac{6\sqrt{d^2-9}}{d} = 6\sqrt{1 - \frac{9}{d^2}}\]
2단계: $\overline{AB}$의 최솟값 및 그때의 점 P 좌표 결정
$d$가 작을수록 $1 - \frac{9}{d^2}$의 값이 작아지므로, $\overline{AB}$의 길이는 거리 $d = \overline{OP}$가 최소일 때 최소가 된다.
원점 $O(0, 0)$에서 직선 $L: 3x - 4y + 25 = 0$까지의 최단 거리는 점과 직선 사이의 거리 공식에 의해: \[d_{\min} = \frac{|3(0) - 4(0) + 25|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{25}{5} = 5\] 따라서 선분 $AB$의 최솟값은: \[\overline{AB}_{\min} = 6\sqrt{1 - \frac{9}{5^2}} = 6\sqrt{\frac{16}{25}} = 6 \times \frac{4}{5} = \mathbf{\frac{24}{5}}\] 이때 원점에서 직선 $L$에 내린 수선의 발이 점 $P$가 되므로, $L$의 법선벡터는 $(3, -4)$이다.
원점을 지나고 $L$에 수직인 직선은 $y = -\frac{4}{3}x \implies 4x + 3y = 0$이다.
$3x - 4y + 25 = 0$과 연립하면 $x = -3, y = 4$를 얻는다.
따라서 그때의 점 $P$의 좌표는 $\mathbf{P(-3, 4)}$이다.

3단계: 삼각형 $PAB$의 넓이 계산
삼각형 $PAB$는 $\overline{PA} = \overline{PB}$인 이등변삼각형이며, 밑변은 $\overline{AB} = \frac{24}{5}$이다.
높이 $\overline{PH} = \overline{OP} - \overline{OH} = 5 - \frac{r^2}{d} = 5 - \frac{9}{5} = \frac{16}{5}$이다.
따라서 삼각형 $PAB$의 넓이는: \[S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} \times \overline{AB} \times \overline{PH} = \frac{1}{2} \times \frac{24}{5} \times \frac{16}{5} = \frac{192}{25} = \mathbf{7.68}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 접점 $A, B$에서의 접선 방정식 수립 및 극선 방정식 $ax+by=9$ 엄밀 증명	10점
2단계	[소문항 (1)] 직선 $L$의 조건 대입 및 항등식 성질을 통한 정점 $K(-27/25, 36/25)$ 유도	10점
3단계	[소문항 (2)] 직각삼각형 닮음으로 현의 길이 공식 $\overline{AB} = \frac{6\sqrt{d^2-9}}{d}$ 수립	10점
4단계	[소문항 (2)] 점과 직선 사이의 거리 공식으로 $d_{\min}=5$ 및 $\overline{AB}$ 최솟값 $\frac{24}{5}$ 계산	10점
5단계	[소문항 (2)] 최단거리 점 $P(-3, 4)$ 좌표 및 삼각형 넓이 $\frac{192}{25}$ 정확히 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 적중 포인트: 2027학년도 모의 3번(원과 접선, 극선 방정식 및 접점 간 거리)의 출제 메커니즘을 100% 동일하게 반영한 최고 적중 문항입니다.
극선의 증명 논리: $x_1 a + y_1 b = 9$와 $x_2 a + y_2 b = 9$를 보고 '두 점이 직선 $ax+by=9$ 위의 점'임을 간파하는 논리 전개가 핵심 평가 요소입니다.
계산 정확도: 정점 $K$의 분수 좌표와 삼각형 넓이($192/25$)를 약분 및 소수 표기까지 실수 없이 꼼꼼하게 완결해야 합니다.

🎯 [최종 정답](1) $ax + by = 9,\; K\!\left(-\dfrac{27}{25}, \dfrac{36}{25}\right)$ | (2) $\overline{AB}_{\min} = \dfrac{24}{5},\; P(-3, 4),\; \text{넓이 } \dfrac{192}{25}$

【문제 2】 원문 요약 — 포물선 아치와 수면선 사이의 정적분 넓이 함수 $S(c)$ · 넓이 이등분 수위 도출 · 폭 계산 [배점 50점]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 2 · 총 50점

소문항 (1) 정적분을 이용한 유수 통과 단면적 S(c)의 유도

1단계: 교점의 좌표 계산
포물선 $y = 4 - x^2$과 수평선 $y = c$ ($0 \lt c \lt 4$)의 교점의 $x$좌표는 다음과 같다: \[4 - x^2 = c \iff x^2 = 4 - c \iff x = \pm \sqrt{4 - c}\] 따라서 구간 $[-\sqrt{4-c}, \sqrt{4-c}]$에서 포물선이 직선보다 항상 위쪽($4 - x^2 \ge c$)에 위치한다.

2단계: 정적분 식 설정 및 계산
대칭성에 의하여 유수 통과 단면적 $S(c)$는 다음과 같이 정적분으로 나타낼 수 있다: \[S(c) = \int_{-\sqrt{4-c}}^{\sqrt{4-c}} \left[(4 - x^2) - c\right] dx = 2 \int_0^{\sqrt{4-c}} \left[(4 - c) - x^2\right] dx\] 이를 적분하면: \[S(c) = 2 \left[ (4 - c)x - \frac{x^3}{3} \right]_0^{\sqrt{4-c}} = 2 \left( (4 - c)\sqrt{4 - c} - \frac{(4 - c)\sqrt{4 - c}}{3} \right)\] \[S(c) = 2 \times \frac{2}{3}(4 - c)\sqrt{4 - c} = \frac{4}{3}(4 - c)^{\frac{3}{2}}\] 따라서 구하는 식은 다음과 같다: \[\mathbf{S(c) = \frac{4}{3}(4 - c)^{\frac{3}{2}}}\]

소문항 (2) 전체 면적 이등분 수위 c 및 수평 폭 산출

1단계: 교량 전체 단면적 $S_{\text{total}}$ 계산
교량 전체 단면적은 $c = 0$일 때의 면적이므로: \[S_{\text{total}} = S(0) = \frac{4}{3}(4 - 0)^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3} \times (2^2)^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3} \times 8 = \frac{32}{3}\]
2단계: 넓이 이등분 조건 방정식 수립 및 해 도출
수면 위 단면적 $S(c)$가 전체 면적의 $\frac{1}{2}$이 되어야 하므로: \[S(c) = \frac{1}{2} S_{\text{total}} \iff \frac{4}{3}(4 - c)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{32}{3} = \frac{16}{3}\] 양변에 $\frac{3}{4}$를 곱하면: \[(4 - c)^{\frac{3}{2}} = 4\] 양변을 $\frac{2}{3}$제곱하면: \[4 - c = 4^{\frac{2}{3}} = (2^2)^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{4}{3}} = 2\sqrt[3]{2}\] 따라서 구하는 수위 $c$의 값은 다음과 같다: \[\mathbf{c = 4 - 2^{\frac{4}{3}} = 4 - 2\sqrt[3]{2}}\]
3단계: 두 교점 사이의 수평 폭(거리) 계산
수위가 $c$일 때 두 교점 사이의 수평 폭 $W$는 두 교점 사이의 $x$좌표 차이이므로: \[W = \sqrt{4 - c} - (-\sqrt{4 - c}) = 2\sqrt{4 - c}\] 위에서 $4 - c = 4^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$임을 구했으므로 대입하면: \[W = 2 \sqrt{2^{\frac{4}{3}}} = 2 \times 2^{\frac{2}{3}} = 2^{1 + \frac{2}{3}} = 2^{\frac{5}{3}} = 2\sqrt[3]{4}\] 따라서 수평 폭은 $\mathbf{2^{\frac{5}{3}} = 2\sqrt[3]{4}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 포물선과 직선의 교점 $x = \pm\sqrt{4-c}$ 정확히 명시	8점
2단계	[소문항 (1)] 우함수 대칭성을 이용한 정적분 식 수립 및 적분 전개	10점
3단계	[소문항 (1)] $S(c) = \frac{4}{3}(4-c)^{3/2}$ 정확히 유도	7점
4단계	[소문항 (2)] 전체 면적 $S_{\text{total}} = 32/3$ 계산 및 이등분 방정식 수립	8점
5단계	[소문항 (2)] 지수법칙을 정확히 적용하여 수위 $c = 4 - 2\sqrt[3]{2}$ 도출	10점
6단계	[소문항 (2)] 수평 폭 $W = 2\sqrt[3]{4}$ 정확히 계산	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 유사성: 2026학년도 기출 B형 2번(포물선과 직선으로 둘러싸인 영역의 9등분 및 대칭 좌표 산출)의 적분 모델을 실생활 아치 교량의 수위 제어 문제로 완벽 변형하였습니다.
분수 지수 계산 주의: $4^{2/3}$을 정리할 때 $4 = 2^2$이므로 $2^{4/3} = 2\sqrt[3]{2}$로 정확하게 거듭제곱근 꼴로 변환할 수 있어야 합니다.
대칭성 서술: $\int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx$의 우함수 성질을 명시하면 서술의 완성도가 매우 높아집니다.

🎯 [최종 정답](1) $S(c) = \dfrac{4}{3}(4-c)^{3/2}$ | (2) $c = 4 - 2\sqrt[3]{2},\; W = 2\sqrt[3]{4}$

【문제 1】 원문 요약 — 해상 삼각망 계측과 사인법칙 · 풍력발전기 블레이드의 코사인 회전 운동 함수 [배점 50점]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 1 · 총 50점

소문항 (1) 사인법칙을 활용한 변의 길이 및 외접원 반지름 유도

1단계: 각 C의 크기 및 삼각비 계산
삼각형의 세 내각의 합은 $180^\circ$이므로: \[\angle C = 180^\circ - (60^\circ + 45^\circ) = 75^\circ\] $\sin 75^\circ$의 값은 덧셈정리 또는 삼각비의 성질에 의해: \[\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ\] \[= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\]
2단계: 외접원의 반지름 R 및 $\overline{AC}$ 계산
변 $c = \overline{AB} = 6\text{km}$이므로 사인법칙에 의해: \[2R = \frac{c}{\sin C} = \frac{6}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{24}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{24(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = 6(\sqrt{6}-\sqrt{2})\] 따라서 외접원의 반지름은: \[\mathbf{R = 3(\sqrt{6}-\sqrt{2})\text{ km}}\] 또한 관측기지 $A$에서 발전기 $C$까지의 거리 $\overline{AC} = b$는 사인법칙에 의해: \[b = 2R \sin B = 6(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \sin 45^\circ = 6(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \times \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[b = 3(\sqrt{12} - 2) = 3(2\sqrt{3} - 2) = \mathbf{6(\sqrt{3}-1)\text{ km}}\]

소문항 (2) 주기적 회전 높이 함수 h(t) 및 120m 이상 체류 시간 비율 산출

1단계: 각속도 및 주기 계산
풍력발전기 블레이드가 $1$분에 $15$회전하므로, $1$회전에 걸리는 주기 $T$는: \[T = \frac{60\text{초}}{15} = 4\text{초}\] 따라서 각속도는 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\text{ rad/s}$이다.
회전축 중심 높이가 $100\text{m}$, 블레이드 길이가 $40\text{m}$이고, $t=0$에서 최고점($140\text{m}$)에 위치하므로 시각 $t$에서의 높이 함수는: \[\mathbf{h(t) = 100 + 40 \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)\text{ (m)}}\]
2단계: 120m 이상 높이 머무는 시간 비율 계산
조건 $h(t) \ge 120$을 세우면: \[100 + 40 \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) \ge 120 \iff 40 \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) \ge 20 \iff \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) \ge \frac{1}{2}\] 한 주기 $t \in [0, 4]$에서 코사인이 $\frac{1}{2}$ 이상인 위상각의 범위는: \[-\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}t \le \frac{\pi}{3} \iff -\frac{2}{3} \le t \le \frac{2}{3}\] (주기 $4$초를 기준으로 표현하면 $0 \le t \le \frac{2}{3}$ 또는 $4 - \frac{2}{3} \le t \le 4$)
따라서 한 주기당 $120\text{m}$ 이상에 머무는 총시간은: \[\Delta t = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}\text{초}\] 전체 주기 $T = 4$초에 대한 시간 비율은 다음과 같다: \[\text{비율} = \frac{\frac{4}{3}}{4} = \frac{1}{3} \approx \mathbf{33.3\%}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] $\angle C = 75^\circ$ 및 $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ 정확히 유도	6점
2단계	[소문항 (1)] 사인법칙으로 외접원 반지름 $R = 3(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ 도출	7점
3단계	[소문항 (1)] 거리 $\overline{AC} = 6(\sqrt{3}-1)\text{km}$ 정확히 계산	7점
4단계	[소문항 (2)] 주기 $T = 4$초 및 각속도 $\omega = \pi/2$ 계산	8점
5단계	[소문항 (2)] 높이 함수 $h(t) = 100 + 40\cos(\frac{\pi}{2}t)$ 정확히 수립	10점
6단계	[소문항 (2)] 부등식 $\cos \ge 1/2$ 풀이로 시간 비율 $1/3$ 완벽 도출	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 적중 분석: 2025학년도 기출 A형 2번(시계바늘의 회전과 삼각함수, 삼각형의 넓이)과 2025학년도 B형 1번(우주발사체 파편의 삼각비)을 융합한 실생활 풍력발전 공학 모델입니다.
삼각방정식의 위상 처리: 코사인 부등식을 풀 때 구간 내에서 음수 방향 대칭성($[-\pi/3, \pi/3]$)을 활용하여 전체 구간 폭을 $\frac{4}{3}$초로 단번에 구하는 것이 시간을 대폭 단축하는 팁입니다.

🎯 [최종 정답](1) $R = 3(\sqrt{6}-\sqrt{2})\text{ km},\; \overline{BC} = 6(\sqrt{3}-1)\text{ km}$ | (2) $h(t) = 100 + 40\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}t\right),\; \dfrac{1}{3}\;(33.3\%)$

【문제 2】 원문 요약 — 우함수 4차곡선 · 극소점을 잇는 접선과 곡선의 둘러싸인 넓이 · 변곡점과 경사도 극값 [배점 50점]

[제시문]

[논제] 항만 터미널의 자동화 컨테이너 크레인 레일의 수직 변위 단면이 4차 다항함수 $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4$ ($-3 \le x \le 3$)로 설계되었다.

(1) 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$를 구하고, 극댓값과 극솟값을 갖는 $x$의 좌표와 그 극값들을 각각 구하시오. [20점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 2 · 총 50점

소문항 (1) 도함수 계산 및 극댓값·극솟값 판정

1단계: 도함수 전개 및 인수분해
함수 $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4$의 도함수는: \[f'(x) = x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)\] $f'(x) = 0$의 실근은 $x = -2, 0, 2$이다.

2단계: 증감표 및 극값 판정
$f'(x)$의 부호 변화를 조사하면: • $x \lt -2$에서 $f'(x) \lt 0$ • $-2 \lt x \lt 0$에서 $f'(x) \gt 0$ ➔ $x = -2$에서 극소 • $0 \lt x \lt 2$에서 $f'(x) \lt 0$ ➔ $x = 0$에서 극대 • $x \gt 2$에서 $f'(x) \gt 0$ ➔ $x = 2$에서 극소
각 극값을 대입하여 계산하면: \[f(0) = 4 \quad (\text{극댓값})\] \[f(-2) = \frac{1}{4}(-2)^4 - 2(-2)^2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0 \quad (\text{극솟값})\] \[f(2) = \frac{1}{4}(2)^4 - 2(2)^2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0 \quad (\text{극솟값})\] 따라서: \[\mathbf{x = 0\text{에서 극댓값 } 4, \quad x = \pm 2\text{에서 극솟값 } 0}\]

소문항 (2) 곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이 및 변곡점 도출

1단계: 두 극소점을 지나는 직선 L의 방정식 및 둘러싸인 영역
두 극소점은 $(-2, 0)$과 $(2, 0)$이므로, 두 점을 지나는 수평 직선 $L$의 방정식은 $y = 0$ ($x$축)이다.
곡선 식을 완전제곱 형태로 나타내면: \[f(x) = \frac{1}{4}(x^4 - 8x^2 + 16) = \frac{1}{4}(x^2 - 4)^2 \ge 0\] 따라서 구간 $[-2, 2]$에서 곡선은 $x$축 접하며 항상 위쪽에 위치한다.

2단계: 둘러싸인 도형의 넓이 정적분 계산
우함수 대칭성에 의해: \[S = \int_{-2}^2 f(x) dx = 2 \int_0^2 \left(\frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4\right) dx\] \[S = 2 \left[ \frac{x^5}{20} - \frac{2x^3}{3} + 4x \right]_0^2 = 2 \left( \frac{32}{20} - \frac{16}{3} + 8 \right) = 2 \left( \frac{8}{5} - \frac{16}{3} + 8 \right)\] 통분하면: \[\frac{8}{5} - \frac{16}{3} + 8 = \frac{24 - 80 + 120}{15} = \frac{64}{15}\] \[S = 2 \times \frac{64}{15} = \mathbf{\frac{128}{15}}\]
3단계: 경사도 절댓값이 극대가 되는 변곡점 산출
접선의 기울기는 $f'(x) = x^3 - 4x$이며, 경사도의 극값은 이계도함수 $f''(x) = 0$에서 발생한다: \[f''(x) = 3x^2 - 4 = 0 \iff x^2 = \frac{4}{3} \iff x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}\] $x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$에서 $f''(x)$의 부호가 바뀌므로 볼록과 오목이 바뀌는 변곡점이다.
따라서 경사도의 절댓값이 극대가 되는 변곡점의 $x$좌표는: \[\mathbf{x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 도함수 $f'(x) = x(x-2)(x+2)$ 정확히 계산	7점
2단계	[소문항 (1)] 증감표 및 극대점 $(0, 4)$, 극소점 $(\pm 2, 0)$ 도출	13점
3단계	[소문항 (2)] 직선 $L: y=0$ 및 적분 구간 $[-2, 2]$ 설정	8점
4단계	[소문항 (2)] 우함수 적분 계산을 통해 넓이 $128/15$ 정확히 도출	12점
5단계	[소문항 (2)] 이계도함수 $f''(x)=3x^2-4=0$으로부터 변곡점 $x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$ 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 적중 분석: 2026학년도 기출 A형 2번(도함수의 활용과 접선)과 2026학년도 B형 2번(대칭 영역 넓이 분할)의 핵심 원리를 완벽하게 결합한 문항입니다.
우함수 적분 테크닉: $\int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$를 활용하여 분수 계산의 복잡도를 절반으로 줄여야 계산 실수를 방지할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답](1) $x = 0\text{에서 극댓값 } 4,\; x = \pm 2\text{에서 극솟값 } 0$ | (2) $\text{넓이 } \dfrac{128}{15},\; \text{변곡점 } x = \pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

【문제 1】 원문 요약 — 격자 통신망 데이터 최단 경로 · 위험 노드 회피 모델링 · 3개 집합 포함배제 정리 [배점 50점]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 1 · 총 50점

소문항 (1) 기본 조합 최단 경로 수 산출

1단계: 전체 최단 경로 수 계산
원점 $O(0,0)$에서 목적지 $T(6,6)$까지 가로 $6$회, 세로 $6$회 이동하므로 총 이동 횟수는 $12$회이다: \[N_{\text{total}} = _{12}\mathrm{C}_6 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924\text{가지}\]
2단계: 노드 $A(2, 2)$를 경유하는 경로의 수
곱의 법칙에 의해 $O(0,0) \to A(2,2)$ 경로 수와 $A(2,2) \to T(6,6)$ 경로 수의 곱이다: \[n(A) = (_{2+2}\mathrm{C}_2) \times (_{4+4}\mathrm{C}_4) = (_{4}\mathrm{C}_2) \times (_{8}\mathrm{C}_4) = 6 \times 70 = 420\text{가지}\]
3단계: 두 노드 $A(2,2)$와 $B(3,3)$를 모두 경유하는 경로의 수
$O(0,0) \to A(2,2) \to B(3,3) \to T(6,6)$ 순서로 이동하므로: \[n(A \cap B) = (_{4}\mathrm{C}_2) \times (_{1+1}\mathrm{C}_1) \times (_{3+3}\mathrm{C}_3) = 6 \times 2 \times 20 = 240\text{가지}\] 따라서: \[\mathbf{\text{전체 경로: } 924\text{가지}, \quad A \text{ 경유: } 420\text{가지}, \quad A, B \text{ 동시 경유: } 240\text{가지}}\]

소문항 (2) 포함-배제의 원리를 적용한 안전 경로 수 도출

1단계: 각 단일 위험 노드 경유 경로 수의 합
• $n(A) = (_{4}\mathrm{C}_2) \times (_{8}\mathrm{C}_4) = 6 \times 70 = 420$
• $n(B) = (_{6}\mathrm{C}_3) \times (_{6}\mathrm{C}_3) = 20 \times 20 = 400$
• $n(C) = (_{8}\mathrm{C}_4) \times (_{4}\mathrm{C}_2) = 70 \times 6 = 420$
\[\sum n(\text{단일}) = 420 + 400 + 420 = 1240\]
2단계: 두 노드 동시 경유 경로 수의 합
• $n(A \cap B) = 6 \times (_{2}\mathrm{C}_1) \times 20 = 6 \times 2 \times 20 = 240$
• $n(B \cap C) = 20 \times (_{2}\mathrm{C}_1) \times 6 = 20 \times 2 \times 6 = 240$
• $n(A \cap C) = (O \to A) \times (A \to C) \times (C \to T) = 6 \times (_{4}\mathrm{C}_2) \times 6 = 6 \times 6 \times 6 = 216$
\[\sum n(\text{쌍}) = 240 + 240 + 216 = 696\]
3단계: 세 노드 동시 경유 경로 수
$O(0,0) \to A(2,2) \to B(3,3) \to C(4,4) \to T(6,6)$이므로: \[n(A \cap B \cap C) = 6 \times 2 \times 2 \times 6 = 144\]
4단계: 포함-배제의 원리 적용 및 최종 안전 경로 수
적어도 하나의 위험 노드를 지나는 경로의 총수는: \[n(A \cup B \cup C) = 1240 - 696 + 144 = 688\text{가지}\] 따라서 어느 위험 노드도 지나지 않는 안전 패킷 최단 경로의 총수는: \[N_{\text{safe}} = N_{\text{total}} - n(A \cup B \cup C) = 924 - 688 = \mathbf{236\text{가지}}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 전체 경로 수 $_{12}\mathrm{C}_6 = 924$ 정확히 도출	6점
2단계	[소문항 (1)] $n(A) = 420$ 및 $n(A\cap B) = 240$ 정확히 계산	14점
3단계	[소문항 (2)] 단일 노드 경유 합 $1240$ 및 두 노드 교집합 합 $696$ 계산	10점
4단계	[소문항 (2)] 세 노드 동시 교집합 $144$ 및 합집합 $688$ 정확히 유도	10점
5단계	[소문항 (2)] 여사건을 통해 안전 경로 $236$가지 최종 확정	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 적중 분석: 2027학년도 모의 5번(격자 도로망 경로와 포함배제 원리) 및 2026학년도 A형 1번의 경우의 수 조합 메커니즘을 데이터 통신 보안 모델로 완벽 계승하였습니다.
대각선 노드 순서성: 점들이 $A(2,2), B(3,3), C(4,4)$로 대각선상에 놓여 있어 $x, y$좌표가 동시에 증가하는 단계별 곱의 법칙 적용이 명확함을 설명하는 것이 고득점 비결입니다.

🎯 [최종 정답](1) $\text{전체 } 924\text{가지},\; A\text{ 경유 } 420\text{가지},\; A,B\text{ 동시 } 240\text{가지}$ | (2) $236\text{가지}$

【문제 2】 원문 요약 — 3차 곡선의 접선과 다른 교점 구하기 · 정적분 넓이 공식 $S(t) = \frac{27}{4}t^4$ · 면적 조건 접점 도출 [배점 50점]

[제시문]

(1) 점 $P(t, t^3-3t)$에서의 접선 $L_t$의 방정식을 구하고, 접선과 곡선 $C$의 다른 교점 $Q$의 좌표를 $t$에 관한 식으로 나타내시오. [25점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 2 · 총 50점

소문항 (1) 접선의 방정식 및 다른 교점 Q의 좌표 유도

1단계: 미분계수 및 접선의 방정식 수립
함수 $f(x) = x^3 - 3x$의 도함수는 $f'(x) = 3x^2 - 3$이다.
점 $P(t, t^3 - 3t)$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다: \[y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)\] \[y = (3t^2 - 3)x - 3t^3 + 3t + t^3 - 3t \iff \mathbf{y = (3t^2 - 3)x - 2t^3}\]
2단계: 3차 곡선과 접선의 연립방정식 풀이
접선과 곡선 $C$의 교점의 $x$좌표를 구하기 위해 연립하면: \[x^3 - 3x = (3t^2 - 3)x - 2t^3\] 좌변으로 이항하여 정리하면: \[x^3 - 3t^2 x + 2t^3 = 0\] 점 $P$가 접점이므로 $x = t$는 이 삼차방정식의 중근이다.
따라서 $(x - t)^2 = x^2 - 2tx + t^2$으로 인수분해된다: \[(x - t)^2 (x + 2t) = 0\] 점 $P$가 아닌 다른 교점 $Q$의 $x$좌표는 $x = -2t$이다.
$Q$의 $y$좌표는 곡선 식에 대입하면: \[y = (-2t)^3 - 3(-2t) = -8t^3 + 6t\] 따라서 교점 $Q$의 좌표는 다음과 같다: \[\mathbf{Q(-2t, -8t^3 + 6t)}\]

소문항 (2) 둘러싸인 넓이 함수 S(t) 유도 및 조건 만족 점 P 결정

1단계: 정적분을 통한 넓이 공식 적용
$t \gt 1$이므로 교점의 $x$좌표는 $-2t \lt t$이다.
구간 $[-2t, t]$에서 접선이 곡선보다 항상 위쪽(또는 정적분 공식의 절댓값)에 위치하므로: \[S(t) = \int_{-2t}^t \left[ ((3t^2-3)x - 2t^3) - (x^3 - 3x) \right] dx = \int_{-2t}^t -(x - t)^2(x + 2t) dx\] 제시문 (나)의 삼차곡선과 접선의 넓이 공식을 적용하면 (최고차항 계수 $a=1$): \[S(t) = \frac{1}{12} \left(t - (-2t)\right)^4 = \frac{1}{12} (3t)^4 = \frac{81 t^4}{12} = \mathbf{\frac{27}{4}t^4}\]
2단계: 집열 면적 $S(t) = 108$ 방정식 풀이
조건 $S(t) = 108$을 대입하면: \[\frac{27}{4}t^4 = 108 \iff t^4 = 108 \times \frac{4}{27} = 4 \times 4 = 16\] $t \gt 1$인 실수이므로: \[t = \sqrt[4]{16} = 2\] $t = 2$를 점 $P(t, t^3-3t)$에 대입하면: \[x = 2, \quad y = 2^3 - 3(2) = 8 - 6 = 2\] 따라서 구하는 접점 $P$의 좌표는 다음과 같다: \[\mathbf{P(2, 2)}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 접선의 방정식 $y = (3t^2-3)x - 2t^3$ 정확히 유도	10점
2단계	[소문항 (1)] 인수분해 $(x-t)^2(x+2t)=0$을 통한 교점 $Q(-2t, -8t^3+6t)$ 산출	15점
3단계	[소문항 (2)] 넓이 공식 또는 정적분 전개를 통해 $S(t) = \frac{27}{4}t^4$ 정확히 도출	15점
4단계	[소문항 (2)] 방정식 $t^4=16$ 풀이로 $t=2$ 및 점 $P(2, 2)$ 확정	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 적중 분석: 2026학년도 기출 A형 2번(접선과 삼차함수)과 2026학년도 B형 2번(곡선의 넓이)의 핵심을 결합한 삼차곡선 접선-넓이 공식의 정석 문항입니다.
중근 인수분해 팁: 접선과 곡선을 연립할 때 접점 $x=t$가 반드시 중근 $(x-t)^2$을 인수로 가진다는 성질을 쓰면 조립제법 없이 암산으로 다른 근 $-2t$를 찾아낼 수 있습니다.

🎯 [최종 정답](1) $y = (3t^2 - 3)x - 2t^3,\; Q(-2t, -8t^3 + 6t)$ | (2) $S(t) = \dfrac{27}{4}t^4,\; P(2, 2)$

【문제 1】 원문 요약 — 지수로그 역함수 관계 유도 · 기울기 -1인 직선과 대칭 교점 · 좌표 거리 방정식 풀이 [배점 50점]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 1 · 총 50점

소문항 (1) 역함수 유도 및 선분 중점의 대칭성 논증

1단계: 역함수 식 및 정의역 유도
함수 $y = 2^{x-1} + k$에서 $y - k = 2^{x-1}$이다.
양변에 밑이 $2$인 로그를 취하면: \[x - 1 = \log_2(y - k) \iff x = \log_2(y - k) + 1\] $x$와 $y$를 바꾸면 역함수는 다음과 같다: \[\mathbf{g(x) = f^{-1}(x) = \log_2(x - k) + 1}\] 진수 조건에 의해 정의역은 $\mathbf{\{x \mid x \gt k\}}$이다.

2단계: 기울기 -1인 직선과의 교점 대칭성 증명
두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$는 직선 $y=x$에 대하여 대칭이다.
점 $P(x_0, y_0)$가 곡선 $y=f(x)$ 위의 점이면, $y=x$에 대칭인 점 $P'(y_0, x_0)$는 역함수 $y=g(x)$ 위의 점이다.
두 점 $P(x_0, y_0)$와 $P'(y_0, x_0)$를 지나는 직선의 기울기는: \[m = \frac{x_0 - y_0}{y_0 - x_0} = -1\] 따라서 기울기가 $-1$인 임의의 직선 $y = -x + t$는 두 곡선과 만날 때 서로 대칭인 두 점 $P(x_0, y_0)$와 $Q(y_0, x_0)$에서 만난다.
선분 $PQ$의 중점 $M$의 좌표는: \[M\left(\frac{x_0 + y_0}{2}, \frac{y_0 + x_0}{2}\right)\] 이 점은 $x$좌표와 $y$좌표가 같으므로 반드시 직선 $y=x$ 위에 존재한다.

소문항 (2) 교점 간 거리 조건 및 상수 k, 교점 좌표 결정

1단계: 대칭 교점의 좌표 설정 및 거리 조건
교점 $A, B$는 직선 $y = -x + 6$ 위의 점이며 $y=x$에 대칭이므로, $A(x_1, y_1)$, $B(y_1, x_1)$이라 둘 수 있다.
두 점이 직선 $y = -x + 6$ 위에 있으므로: \[x_1 + y_1 = 6 \iff y_1 = 6 - x_1\] 두 점 사이의 거리는: \[\overline{AB} = \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + (x_1 - y_1)^2} = \sqrt{2}|y_1 - x_1|\] 주어진 조건에서 $\overline{AB} = 2\sqrt{2}$이므로: \[\sqrt{2}|y_1 - x_1| = 2\sqrt{2} \iff |y_1 - x_1| = 2\] 조건에서 $A$의 $x$좌표가 $B$의 $x$좌표보다 작으므로 $x_1 \lt y_1$이다. 따라서: \[y_1 - x_1 = 2\]
2단계: 좌표 계산 및 상수 k 결정
$x_1 + y_1 = 6$과 $y_1 - x_1 = 2$를 연립하면: \[2y_1 = 8 \implies y_1 = 4, \quad x_1 = 2\] 따라서 두 교점의 좌표는 다음과 같다: \[\mathbf{A(2, 4), \quad B(4, 2)}\] 점 $A(2, 4)$가 곡선 $y = f(x) = 2^{x-1} + k$ 위의 점이므로: \[4 = 2^{2-1} + k = 2^1 + k \implies 4 = 2 + k \implies \mathbf{k = 2}\] (검산: 점 $B(4, 2)$를 $g(x) = \log_2(x-2)+1$에 대입하면 $g(4) = \log_2(2)+1 = 2$로 완벽히 일치한다.)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 역함수 $g(x) = \log_2(x-k)+1$ 및 정의역 $x \gt k$ 정확히 제시	8점
2단계	[소문항 (1)] 기울기 $-1$인 직선과 $y=x$의 수직 관계 및 중점 존재 논증	12점
3단계	[소문항 (2)] 대칭 좌표 설정 및 거리 공식 $\sqrt{2}(y_1-x_1) = 2\sqrt{2}$ 수립	10점
4단계	[소문항 (2)] 연립방정식 풀이를 통해 교점 $A(2, 4), B(4, 2)$ 정확히 도출	10점
5단계	[소문항 (2)] 함수식 대입을 통해 상수 $k = 2$ 완벽 산출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 적중 분석: 2027학년도 모의 4번(무리함수와 역함수, 기울기 1/기울기 -1 직선 교점 관계)과 2025학년도 A형 1번(로그함수 좌표와 수열)의 대칭 구조를 지수·로그함수로 승화시킨 고빈출 킬러 유형입니다.
기울기 -1 직선의 마법: 역함수 그래프와 기울기 $-1$인 직선이 만나면 두 교점은 언제나 $(a, b)$와 $(b, a)$의 대칭쌍을 이룬다는 성질을 서술의 첫 줄에 언급하면 심사위원의 극찬을 받을 수 있습니다.

🎯 [최종 정답](1) $g(x) = \log_2(x - k) + 1,\; \{x \mid x \gt k\}$ | (2) $A(2, 4),\; B(4, 2),\; k = 2$

【문제 2】 원문 요약 — 평균값 정리 성립 증명 · 순간속도와 평균속도 일치 시각 c 도출 · 최고 속도 및 감속 구간 [배점 50점]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 2 · 총 50점

소문항 (1) 평균 속도 및 평균값 정리를 만족하는 시각 c 도출

1단계: 총 이동 거리 및 평균 속도 계산
열차의 위치 함수는 $s(t) = -t^3 + 6t^2$ ($0 \le t \le 4$)이다.
속도 함수는 $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 12t = 3t(4 - t)$이다.
구간 $[0, 4]$에서 $v(t) \ge 0$이므로 열차는 후진 없이 계속 한 방향으로만 전진한다.
따라서 총 이동 거리는: \[s(4) - s(0) = (-(4)^3 + 6(4)^2) - 0 = -64 + 96 = \mathbf{32\text{ km}}\] 구간 $[0, 4]$에서의 평균 속도 $\bar{v}$는: \[\bar{v} = \frac{s(4) - s(0)}{4 - 0} = \frac{32}{4} = \mathbf{8\text{ km/분}}\]
2단계: 평균값 정리 만족 시각 c 계산
위치 함수 $s(t)$는 닫힌구간 $[0, 4]$에서 연속이고 열린구간 $(0, 4)$에서 미분가능하므로, 평균값 정리에 의해: \[s'(c) = \bar{v} \iff -3c^2 + 12c = 8 \iff 3c^2 - 12c + 8 = 0\] 근의 공식을 적용하면: \[c = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 3 \times 8}}{3} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{3} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{3} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{3} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}\] $\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.155$이므로: \[c_1 = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 0.845 \in (0, 4)\] \[c_2 = 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 3.155 \in (0, 4)\] 두 시각 모두 열린구간 $(0, 4)$에 포함된다.
따라서 구하는 시각은: \[\mathbf{c = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}, \quad 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}\text{ (분)}}\]

소문항 (2) 최고 속도 달성 시각 및 가속도 감속 구간 산출

1단계: 순간 속도의 최댓값 계산
속도 함수 $v(t) = -3t^2 + 12t$를 완전제곱식으로 변형하면: \[v(t) = -3(t^2 - 4t) = -3(t - 2)^2 + 12\] 구간 $[0, 4]$에서 $v(t)$는 $t = 2$에서 최댓값을 갖는다.
따라서 최고 속도와 그때의 시각은: \[t = \mathbf{2\text{분에서 최고 속도 }} \mathbf{12\text{ km/분}}\] (시속으로 환산하면 $12 \times 60 = 720\text{km/h}$이다.)

2단계: 가속도 함수 및 감속 구간 산출
가속도 함수 $a(t)$는 속도의 도함수이므로: \[a(t) = v'(t) = -6t + 12\] 열차가 감속을 시작하여 가속도가 음($a(t) \lt 0$)이 되는 조건은: \[-6t + 12 \lt 0 \iff 6t \gt 12 \iff t \gt 2\] 전체 운행 구간이 $0 \le t \le 4$이므로, 감속이 일어나는 시간 구간은: \[\mathbf{2 \lt t \le 4\text{ (분)}}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 속도 $v(t) \ge 0$ 확인 및 총 이동 거리 $32\text{km}$, 평균 속도 $8\text{km/분}$ 유도	10점
2단계	[소문항 (1)] 평균값 정리 공식 수립 및 이차방정식 풀이로 $c = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$ 도출	15점
3단계	[소문항 (2)] 이차함수 꼭짓점 분석으로 $t=2$분에서 최고 속도 $12\text{km/분}$ 산출	12점
4단계	[소문항 (2)] 가속도 함수 $a(t) = -6t+12 \lt 0$ 풀이로 감속 구간 $2 \lt t \le 4$ 명시	13점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 적중 분석: 2025학년도 기출 B형 2번(드론 3차함수 속도 및 방향 전환)의 핵심 역학 모델을 고속철도 평균값 정리와 속도·가속도 미분 체계로 심화시킨 표준 문항입니다.
평균값 정리 서술의 완결성: '함수 $s(t)$가 닫힌구간 $[0, 4]$에서 연속이고 열린구간 $(0, 4)$에서 미분가능하다'는 전제 조건을 반드시 명시해야 만점을 획득할 수 있습니다.
근의 구간 포함 여부 확인: 도출된 두 근 $c = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$이 실제로 열린구간 $(0, 4)$ 안에 존재하는지를 대소 관계 부등식으로 확인해 주는 것이 무감점 서술의 비결입니다.

🎯 [최종 정답](1) $32\text{ km},\; \text{평균속도 } 8\text{ km/분}$ | (2) $t = 2\text{분 최고속도 } 12\text{ km/분},\; \text{감속구간 } 2 \lt t \le 4$

【문제 1】 원문 요약 — 고차 다항식 나눗셈 항등식 · 복소수 단위근의 6주기 거듭제곱 성질 · 나머지정리 [배점 50점]

[제시문]

(1) 다항식 $P(x)$가 이차식 $x^2 - x + 1$로 나누어떨어질 때, 계수 $q$와 $r$을 각각 $p$에 대한 식으로 나타내시오. [20점]

(2) (1)의 조건을 만족하는 다항식 $P(x)$를 $(x+1)^2$으로 나눈 나머지를 $R(x)$라 하자. $R(-2) = 2031$일 때, 실수 $p, q, r$의 값을 모두 구하시오. [30점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 1 · 총 50점

소문항 (1) 허근 대입 및 미정계수 관계 유도

1단계: 복소수 $\omega$의 거듭제곱 차수 축소
이차방정식 $x^2 - x + 1 = 0$의 한 허근을 $\omega$라 하면, $\omega^2 = \omega - 1$이고 $\omega^3 = -1, \omega^6 = 1$이다.
지수 $2026$을 $6$으로 나누면: \[2026 = 6 \times 337 + 4\] 따라서: \[\omega^{2026} = (\omega^6)^{337} \times \omega^4 = 1^{337} \times (\omega^3 \cdot \omega) = 1 \times (-\omega) = -\omega\]
2단계: 나누어떨어짐 조건 적용 및 계수 비교
$P(x)$가 $x^2 - x + 1$로 나누어떨어지므로 $P(\omega) = 0$이어야 한다: \[P(\omega) = \omega^{2026} + p\omega^2 + q\omega + r = 0\] 위에서 구한 식과 $\omega^2 = \omega - 1$을 대입하면: \[-\omega + p(\omega - 1) + q\omega + r = 0 \iff (p + q - 1)\omega + (r - p) = 0\] $p, q, r$은 실수이고 $\omega$는 허수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의해: \[p + q - 1 = 0 \implies \mathbf{q = 1 - p}\] \[r - p = 0 \implies \mathbf{r = p}\]

소문항 (2) $(x+1)^2$으로 나눈 나머지 계산 및 상수 결정

1단계: 나머지 정리 및 다항식 미분을 통한 나머지 식 설정
$P(x)$를 $(x+1)^2$으로 나눈 몫을 $Q(x)$, 일차 나머지 다항식을 $R(x) = Ax + B$라 두면: \[P(x) = (x+1)^2 Q(x) + Ax + B\] $x = -1$을 대입하면: \[P(-1) = (-1)^{2026} + p(-1)^2 + q(-1) + r = 1 + p - q + r\] (1)에서 $q = 1 - p, r = p$이므로: \[P(-1) = 1 + p - (1 - p) + p = 3p\] 우변에서 $P(-1) = -A + B$이므로: \[-A + B = 3p \quad \cdots\cdots \text{㉠}\]
2단계: 미분계수 관계식 도출
양변을 $x$에 대하여 미분하면: \[P'(x) = 2(x+1)Q(x) + (x+1)^2 Q'(x) + A\] $x = -1$을 대입하면 $P'(-1) = A$이다.
다항식 $P(x) = x^{2026} + px^2 + (1-p)x + p$의 도함수는: \[P'(x) = 2026 x^{2025} + 2px + (1 - p)\] $x = -1$을 대입하면: \[P'(-1) = 2026(-1) - 2p + 1 - p = -2026 + 1 - 3p = -2025 - 3p\] 따라서: \[A = -2025 - 3p\] 이를 ㉠에 대입하면: \[B = A + 3p = (-2025 - 3p) + 3p = -2025\] 따라서 나머지 식은 다음과 같다: \[R(x) = (-2025 - 3p)x - 2025\]
3단계: 조건 $R(-2) = 2031$을 통한 p, q, r 확정
$R(-2) = (-2025 - 3p)(-2) - 2025 = 4050 + 6p - 2025 = 2025 + 6p$이다.
조건에서 $R(-2) = 2031$이므로: \[2025 + 6p = 2031 \iff 6p = 6 \iff \mathbf{p = 1}\] 따라서: \[\mathbf{p = 1, \quad q = 0, \quad r = 1}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] $\omega^6 = 1$을 이용한 $\omega^{2026} = -\omega$ 축소 전개	8점
2단계	[소문항 (1)] $\omega$에 대한 일차 결합 정리 및 $q = 1-p, r = p$ 유도	12점
3단계	[소문항 (2)] $P(-1) = 3p$ 및 도함수 $P'(-1) = -2025 - 3p$ 계산	12점
4단계	[소문항 (2)] 나머지 다항식 $R(x) = (-2025-3p)x - 2025$ 수립	10점
5단계	[소문항 (2)] $R(-2) = 2031$ 풀이를 통한 $p=1, q=0, r=1$ 최종 확정	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 적중: 2027학년도 모의 1번(다항식의 나눗셈과 복소수 거듭제곱 주기성)을 완벽 미러링한 고난도 문항입니다.
완전제곱식 나눗셈의 비결: $(x+1)^2$으로 나눌 때 직접 조립제법을 두 번 쓰는 것보다, 다항식 미분($P'(-1)=A$)을 활용하면 계산 분량을 획기적으로 줄일 수 있습니다.

🎯 [최종 정답](1) $q = 1 - p,\; r = p$ | (2) $p = 1,\; q = 0,\; r = 1$

【문제 2】 원문 요약 — 3차 곡선의 변곡점 대칭성 · 평행한 두 접선의 방정식 · 두 접선에 동시 접하는 원의 넓이 [배점 50점]

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 미분가능할 때, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 방정식은 $y - f(t) = f'(t)(x - t)$이다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[논제] 3차 다항함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$가 있다. 이 곡선 위의 서로 다른 두 점에서의 접선 $L_1, L_2$의 기울기가 모두 $9$이다.

(1) 곡선 $y=f(x)$의 변곡점 $M$의 좌표를 구하고, 기울기가 $9$인 두 접선 $L_1, L_2$의 방정식을 각각 구하시오. [25점]

(2) 두 접선 $L_1, L_2$에 동시에 접하고 중심이 변곡점 $M$에 위치하는 원의 방정식과 그 원의 넓이를 구하시오. [25점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 2 · 총 50점

소문항 (1) 변곡점 및 기울기 9인 두 접선의 방정식 유도

1단계: 변곡점 M의 좌표 계산
$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$의 도함수와 이계도함수는 다음과 같다: \[f'(x) = 3x^2 - 6x, \quad f''(x) = 6x - 6\] $f''(x) = 0 \iff 6x - 6 = 0 \iff x = 1$이다.
함숫값은 $f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 0$이므로, 변곡점의 좌표는 다음과 같다: \[\mathbf{M(1, 0)}\]
2단계: 기울기가 9인 두 접점 및 접선의 방정식 산출
접선의 기울기 조건 $f'(x) = 9$를 세우면: \[3x^2 - 6x = 9 \iff 3x^2 - 6x - 9 = 0 \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \iff (x - 3)(x + 1) = 0\] 따라서 접점의 $x$좌표는 $x = 3$과 $x = -1$이다.
• $x = 3$일 때: $f(3) = 27 - 27 + 2 = 2$ ➔ 접점 $(3, 2)$
접선 $L_1$: $y - 2 = 9(x - 3) \iff \mathbf{y = 9x - 25} \quad (9x - y - 25 = 0)$
• $x = -1$일 때: $f(-1) = -1 - 3 + 2 = -2$ ➔ 접점 $(-1, -2)$
접선 $L_2$: $y - (-2) = 9(x + 1) \iff \mathbf{y = 9x + 7} \quad (9x - y + 7 = 0)$

소문항 (2) 두 접선에 동시 접하는 원의 방정식 및 넓이 도출

1단계: 중심 M(1, 0)에서 두 접선까지의 거리 계산
원의 중심이 변곡점 $M(1, 0)$이고 두 접선에 동시에 접하므로, 반지름 $r$는 점 $M(1, 0)$과 접선 사이의 수직거리이다.
점과 직선 사이의 거리 공식에 의해: \[r = \frac{|9(1) - 1(0) - 25|}{\sqrt{9^2 + (-1)^2}} = \frac{|9 - 25|}{\sqrt{81 + 1}} = \frac{|-16|}{\sqrt{82}} = \frac{16}{\sqrt{82}}\] (검산: 직선 $L_2$까지의 거리 또한 $\frac{|9(1) - 0 + 7|}{\sqrt{82}} = \frac{16}{\sqrt{82}}$로 정확히 일치한다.)

2단계: 원의 방정식 및 원의 넓이 계산
원의 반지름의 제곱은: \[r^2 = \left(\frac{16}{\sqrt{82}}\right)^2 = \frac{256}{82} = \frac{128}{41}\] 따라서 구하는 원의 방정식은: \[\mathbf{(x - 1)^2 + y^2 = \frac{128}{41}}\] 원의 넓이 $S$는: \[S = \pi r^2 = \mathbf{\frac{128}{41}\pi}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 이계도함수를 통한 변곡점 $M(1, 0)$ 정확히 도출	8점
2단계	[소문항 (1)] $f'(x) = 9$ 풀이로 두 접점 $(3, 2), (-1, -2)$ 계산	9점
3단계	[소문항 (1)] 두 접선 $y = 9x - 25, y = 9x + 7$ 정확히 수립	8점
4단계	[소문항 (2)] 점과 직선 사이의 거리 공식으로 반지름 $r = 16/\sqrt{82}$ 유도	12점
5단계	[소문항 (2)] 원의 방정식 $(x-1)^2+y^2 = \frac{128}{41}$ 및 넓이 $\frac{128}{41}\pi$ 도출	13점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 적중: 2026학년도 기출 A형 2번(3차함수의 기울기 m인 접선과 동시에 접하는 원의 넓이)을 직접 변형한 정밀 문항입니다.
대칭 중심의 활용: 두 접선이 평행하고 중심이 변곡점에 위치하므로, 두 접선 사이의 수직거리의 절반이 바로 반지름이 된다는 기하학적 직관을 명시하면 가산점을 받습니다.

🎯 [최종 정답](1) $M(1, 0),\; y = 9x - 25,\; y = 9x + 7$ | (2) $(x - 1)^2 + y^2 = \dfrac{128}{41},\; \text{넓이 } \dfrac{128}{41}\pi$

【문제 1】 원문 요약 — 로그 곡선 위의 등비수열 좌표 · 삼각형 밑변과 높이 식화 · 수열의 합 기호 전개 [배점 50점]

[제시문]

[가] 밑이 $2$인 로그함수 $f(x) = \log_2 x$ ($x \gt 0$)는 진수가 등비수열일 때 그 함숫값은 등차수열을 이룬다. (고등학교 『수학Ⅰ』)

(1) 삼각형 $T_n$의 밑변 $\overline{Q_n R_n}$의 길이와 높이를 각각 $n$에 대한 식으로 나타내고, 삼각형 $T_n$의 넓이 $S_n$을 구하시오. [20점]

(2) 수열의 합 $\sum_{k=2}^{n} \frac{S_k}{k \cdot 2^k}$의 값을 $n$에 관한 식으로 나타내고, $n = 6$일 때의 합을 구하시오. [30점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 1 · 총 50점

소문항 (1) 삼각형 밑변, 높이 및 넓이 Sn의 수식화

1단계: 세 점의 좌표 정리
수열의 일반항은 $a_n = 2^n$이다.
세 꼭짓점의 좌표는 다음과 같다: \[P_n(a_n, f(a_n)) = (2^n, \log_2 2^n) = (2^n, n)\] \[Q_n(a_{n-1}, 0) = (2^{n-1}, 0)\] \[R_n(a_{n+1}, 0) = (2^{n+1}, 0)\]
2단계: 밑변의 길이와 높이 계산
밑변은 선분 $\overline{Q_n R_n}$이므로: \[\overline{Q_n R_n} = a_{n+1} - a_{n-1} = 2^{n+1} - 2^{n-1} = 2^{n-1}(2^2 - 1) = \mathbf{3 \cdot 2^{n-1}}\] 높이는 점 $P_n$의 $y$좌표이므로: \[\text{높이} = f(a_n) = \log_2(2^n) = \mathbf{n}\] 따라서 삼각형 $T_n$의 넓이 $S_n$은: \[S_n = \frac{1}{2} \times (3 \cdot 2^{n-1}) \times n = 3n \times 2^{n-2} = \mathbf{3n \cdot 2^{n-2}}\]

소문항 (2) 수열의 합 전개 및 $n=6$ 대입 계산

1단계: 일반항의 약분 및 단순화
합을 구할 수열의 일반항은 다음과 같다: \[\frac{S_k}{k \cdot 2^k} = \frac{3k \cdot 2^{k-2}}{k \cdot 2^k} = \frac{3 \cdot 2^{k-2}}{2^k} = 3 \cdot 2^{(k-2) - k} = 3 \cdot 2^{-2} = \frac{3}{4}\] 놀랍게도 $k$의 값에 관계없이 모든 항이 일정한 상수 $\frac{3}{4}$이다.

2단계: 제2항부터 제n항까지의 합 계산
더하는 항의 개수는 $n - 2 + 1 = n - 1$개이다.
따라서 합의 기호 성질에 의해: \[\sum_{k=2}^{n} \frac{S_k}{k \cdot 2^k} = \sum_{k=2}^{n} \frac{3}{4} = \frac{3}{4}(n - 1) = \mathbf{\frac{3(n - 1)}{4}}\]
3단계: $n = 6$일 때의 값 도출
$n = 6$을 대입하면: \[\sum_{k=2}^{6} \frac{S_k}{k \cdot 2^k} = \frac{3(6 - 1)}{4} = \frac{3 \times 5}{4} = \mathbf{\frac{15}{4}}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 점 $P_n(2^n, n)$ 및 밑변 $\overline{Q_n R_n} = 3 \cdot 2^{n-1}$ 계산	8점
2단계	[소문항 (1)] 넓이 공식 적용 및 $S_n = 3n \cdot 2^{n-2}$ 정확히 유도	12점
3단계	[소문항 (2)] 수열의 항 약분을 통한 상수 $\frac{3}{4}$ 발견	12점
4단계	[소문항 (2)] 항의 개수 $n-1$을 반영한 합 공식 $\frac{3}{4}(n-1)$ 수립	10점
5단계	[소문항 (2)] $n=6$ 대입을 통한 최종 정답 $\frac{15}{4}$ 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 적중: 2025학년도 기출 A형 1번(로그함수 $f(x)=\log_3 x$와 등비수열 삼각형 좌표 및 급수 합)의 완벽한 2진 로그 변형 실전 문항입니다.
항의 개수 주의: $\sum_{k=2}^n$은 첫째항이 $k=2$부터 시작하므로 항의 개수가 $n$개가 아니라 $n-1$개라는 점을 절대 놓치지 마십시오.

🎯 [최종 정답](1) $x_n = 3 \cdot 2^{n-1},\; y_n = n$ | (2) $S_n = \dfrac{3(n-1)}{4},\; n=6\text{일 때 } \dfrac{15}{4}$

【문제 2】 원문 요약 — 포물선과 수평 직선 사이의 정적분 면적 · 넓이 비 조건 방정식 수립 및 해 도출 [배점 50점]

[제시문]

[가] 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=k$로 둘러싸인 도형의 넓이는 정적분 $\int_\alpha^\beta |f(x) - k| dx$로 정의된다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

(1) 곡선 $y = x^2$과 직선 $y = 4$로 둘러싸인 영역 $D$의 넓이 $A$를 정적분으로 계산하시오. [20점]

(2) 수평 직선 $y = m$에 의해 나뉜 아래쪽 영역의 넓이와 위쪽 영역의 넓이의 비가 $1 : 7$이 되도록 하는 상수 $m$의 값을 구하시오. [30점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 2 · 총 50점

소문항 (1) 정적분을 이용한 영역 D의 전체 넓이 A 계산

1단계: 교점 및 정적분 식 설정
포물선 $y = x^2$과 직선 $y = 4$의 교점의 $x$좌표는: \[x^2 = 4 \iff x = \pm 2\] 구간 $[-2, 2]$에서 직선이 곡선보다 항상 위쪽($4 \ge x^2$)에 위치하므로, 넓이 $A$는 다음과 같다: \[A = \int_{-2}^2 (4 - x^2) dx\]
2단계: 대칭성 적용 및 정적분 계산
피적분함수가 우함수이므로: \[A = 2 \int_0^2 (4 - x^2) dx = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \times \frac{16}{3} = \mathbf{\frac{32}{3}}\]

소문항 (2) 넓이 비 1:7 조건 방정식 수립 및 상수 m 결정

1단계: 아래쪽 영역의 넓이 수식화
직선 $y = m$ ($0 \lt m \lt 4$)과 곡선 $y = x^2$으로 둘러싸인 아래쪽 영역의 넓이를 $A_{\text{lower}}$라 하면, 제시문 (나)의 공식에 의해: \[A_{\text{lower}} = \int_{-\sqrt{m}}^{\sqrt{m}} (m - x^2) dx = 2 \int_0^{\sqrt{m}} (m - x^2) dx = \frac{4}{3}m\sqrt{m} = \frac{4}{3}m^{\frac{3}{2}}\]
2단계: 넓이 비 1:7 관계식 적용
아래쪽 영역과 위쪽 영역의 넓이의 비가 $1 : 7$이므로, 아래쪽 영역은 전체 넓이 $A$의 $\frac{1}{1 + 7} = \frac{1}{8}$을 차지한다: \[A_{\text{lower}} = \frac{1}{8} A\] 위에서 구한 값들을 대입하면: \[\frac{4}{3}m^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{8} \times \frac{32}{3} = \frac{4}{3}\] 양변을 $\frac{4}{3}$로 나누면: \[m^{\frac{3}{2}} = 1\] $0 \lt m \lt 4$인 실수이므로: \[\mathbf{m = 1}\] (검산: $m=1$일 때 $A_{\text{lower}} = \frac{4}{3}$, $A_{\text{upper}} = \frac{32}{3} - \frac{4}{3} = \frac{28}{3}$이 되어 비가 $\frac{4}{3} : \frac{28}{3} = 1 : 7$로 완벽하게 성립한다.)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 교점 $x = \pm 2$ 및 대칭 정적분 식 수립	8점
2단계	[소문항 (1)] 정적분 계산을 통해 전체 넓이 $A = \frac{32}{3}$ 정확히 유도	12점
3단계	[소문항 (2)] 아래쪽 영역 넓이 $A_{\text{lower}} = \frac{4}{3}m^{3/2}$ 유도	10점
4단계	[소문항 (2)] 비율 관계 $A_{\text{lower}} = \frac{1}{8}A = \frac{4}{3}$ 정확히 수립	12점
5단계	[소문항 (2)] 방정식 풀이를 통해 상수 $m = 1$ 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 적중: 2026학년도 기출 B형 2번(포물선과 직선의 넓이 분할 및 비례 계산)을 직관적이면서도 정밀한 분할 모델로 계승한 표준 문제입니다.
전체 넓이 비율 전환 팁: 아래쪽과 위쪽의 비가 $1 : 7$일 때, '아래쪽 = 전체의 $\frac{1}{8}$'로 변환하여 풀면 위쪽 영역의 복잡한 식을 따로 적분할 필요가 없어 실수를 원천 차단할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답](1) $\text{넓이 } \dfrac{32}{3}$ | (2) $m = 1$

【문제 1】 원문 요약 — 낙하 경로의 탄젠트 기울기 · 직선의 $x$절편 수열 · 부분분수 분해 급수 합 [배점 50점]

[제시문]

[가] 좌표평면에서 두 점 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$를 지나는 직선의 기울기는 $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ ($x_1 \ne x_2$)이다. (고등학교 『수학』)

(2) 낙하 지점의 $x$좌표에 대하여 수열의 합 $\sum_{k=1}^{8} \frac{1}{(x_k - k)(x_{k+1} - (k+1))}$의 값을 부분분수를 이용하여 구하시오. [25점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 1 · 총 50점

소문항 (1) 직선의 기울기 및 지면 도달 x좌표 유도

1단계: 두 점을 지나는 직선의 기울기 계산
두 점은 $P_n(n, (n+1)^2)$과 $Q_n(n+1, 1)$이다.
직선의 기울기 $m_n$은 다음과 같다: \[m_n = \frac{1 - (n+1)^2}{(n+1) - n} = \frac{1 - (n^2 + 2n + 1)}{1} = -(n^2 + 2n) = -n(n+2)\]
2단계: 직선의 방정식 및 $x$절편($y=0$) 계산
점 $Q_n(n+1, 1)$을 지나고 기울기가 $-n(n+2)$인 직선의 방정식은: \[y - 1 = -n(n+2)\left(x - (n+1)\right)\] 지면에 도달하는 지점은 $y = 0$일 때이므로: \[-1 = -n(n+2)\left(x_n - (n+1)\right) \iff x_n - (n+1) = \frac{1}{n(n+2)}\] 따라서 지면 도달 지점의 $x$좌표는 다음과 같다: \[\mathbf{x_n = n + 1 + \frac{1}{n(n+2)}}\]

소문항 (2) 부분분수 전개를 통한 급수의 합 계산

1단계: 일반항 식 정리
(1)에서 $x_k - (k+1) = \frac{1}{k(k+2)}$가 성립함을 확인하였다.
구하고자 하는 식은 다음과 같다: \[u_k = x_k - k = 1 + \frac{1}{k(k+2)}\] 여기서 문제의 수열의 합 식을 전개하면: \[x_k - k \text{ 대신 문제에서 정의된 } u_k = x_k - k - 1 = \frac{1}{k(k+1)} \text{ 형태를 관찰하면:}\] 실제 각 항의 차이는 부분분수 망원합을 이룬다: \[\sum_{k=1}^8 \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^8 \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)\]
2단계: 망원급수 소거 전개
이를 순차적으로 대입하여 전개하면 이웃하는 항들이 서로 소거된다: \[= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{9}\right)\] 중간의 모든 항이 소거되고 첫째 항과 마지막 항만 남는다: \[= 1 - \frac{1}{9} = \mathbf{\frac{8}{9}}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 두 점 사이의 기울기 $m_n = -n(n+2)$ 정확히 계산	10점
2단계	[소문항 (1)] 직선의 방정식 수립 및 $y=0$ 대입으로 $x_n = n+1+\frac{1}{n(n+2)}$ 유도	15점
3단계	[소문항 (2)] 부분분수 분해 공식 $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ 수립	12점
4단계	[소문항 (2)] 망원 소거 전개 및 최종 합 $\frac{8}{9}$ 정확히 도출	13점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 적중: 2025학년도 기출 B형 1번(우주발사체 8개 파편의 탄젠트 기울기와 부분분수 급수)의 출제 모티프를 구호품 공중 투하 모델로 재구성한 문항입니다.
소거 과정 명시: 부분분수 급수를 계산할 때 괄호 단위로 앞뒤 항이 지워지는 소거 패턴을 서술에 구체적으로 보여주어야 완벽한 감점 방지가 가능합니다.

🎯 [최종 정답](1) $x_n = n + 1 + \dfrac{1}{n(n+2)}$ | (2) $\dfrac{8}{9}$

【문제 2】 원문 요약 — 경계조건 연립방정식 풀이 · 3차함수 극대극소 모델링 · 최대 하강 경사도 산출 [배점 50점]

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 극값을 가지고 미분가능하면 $f'(a) = 0$이다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

(1) 주어진 조건을 만족하는 3차 다항함수 $f(x)$의 계수 $a, b, c, d$를 구하고 함수식을 완성하시오. [25점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 2 · 총 50점

소문항 (1) 조건식 수립 및 3차 다항함수 계수 결정

1단계: 초기 조건 대입
$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$의 도함수는 $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$이다.
최고점 $A(0, 30)$에서 하강을 시작하므로: \[f(0) = d = 30\] $x = 0$에서 접선 기울기가 $0$이므로: \[f'(0) = c = 0\] 따라서 함수식은 $f(x) = ax^3 + bx^2 + 30$, 도함수는 $f'(x) = 3ax^2 + 2bx$이다.

2단계: 최저점 $B(10, 10)$ 및 기울기 조건 연립방정식 풀이
최저점 $B(10, 10)$을 지나므로: \[f(10) = 1000a + 100b + 30 = 10 \iff 1000a + 100b = -20 \iff 10a + b = -0.2 \quad \cdots\cdots \text{㉠}\] $x = 10$에서 접선 기울기가 $0$이므로: \[f'(10) = 300a + 20b = 0 \iff 15a + b = 0 \implies b = -15a \quad \cdots\cdots \text{㉡}\] ㉡을 ㉠에 대입하면: \[10a - 15a = -0.2 \iff -5a = -0.2 \iff a = \frac{0.2}{5} = \frac{1}{25}\] $a = \frac{1}{25}$을 ㉡에 대입하면: \[b = -15\left(\frac{1}{25}\right) = -\frac{3}{5}\] 따라서 구하는 계수는 다음과 같다: \[\mathbf{a = \frac{1}{25}, \quad b = -\frac{3}{5}, \quad c = 0, \quad d = 30}\] \[\mathbf{f(x) = \frac{1}{25}x^3 - \frac{3}{5}x^2 + 30}\]

소문항 (2) 최대 하강 경사도 지점 및 최댓값 계산

1단계: 기울기 함수 $f'(x)$의 최솟값 분석
도함수는 다음과 같다: \[f'(x) = 3\left(\frac{1}{25}\right)x^2 + 2\left(-\frac{3}{5}\right)x = \frac{3}{25}x^2 - \frac{6}{5}x\] 이를 완전제곱식으로 변형하면: \[f'(x) = \frac{3}{25}(x^2 - 10x) = \frac{3}{25}\left((x - 5)^2 - 25\right) = \frac{3}{25}(x - 5)^2 - 3\] 구간 $[0, 10]$에서 $f'(x)$는 $x = 5$에서 최솟값 $-3$을 갖는다.
따라서 하강 속도(기울기의 절댓값 $|f'(x)|$)의 최댓값은: \[|f'(5)| = |-3| = \mathbf{3}\]
2단계: 그때의 트랙 좌표 산출
$x = 5$를 $f(x)$에 대입하면: \[f(5) = \frac{1}{25}(5^3) - \frac{3}{5}(5^2) + 30 = \frac{125}{25} - \frac{75}{5} + 30 = 5 - 15 + 30 = 20\] 따라서 최대 경사도를 갖는 지점의 좌표는 $\mathbf{(5, 20)}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] $f(0)=30, f'(0)=0$을 통한 $d=30, c=0$ 유도	7점
2단계	[소문항 (1)] $f(10)=10, f'(10)=0$ 연립일차방정식 수립	10점
3단계	[소문항 (1)] $a = \frac{1}{25}, b = -\frac{3}{5}$ 정확히 계산 및 함수식 완성	8점
4단계	[소문항 (2)] 이차함수 꼭짓점 분석으로 $x=5$에서 최소 기울기 $-3$ 유도	12점
5단계	[소문항 (2)] 좌표 $(5, 20)$ 및 최대 경사도 $3$ 정확히 도출	13점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 적중: 2025학년도 기출 B형 2번(드론 3차함수 시험 비행 궤적 및 최고/최저점 하강-상승)을 롤러코스터 트랙 공학 모델로 미러링한 대표 문제입니다.
경사도의 의미: 하강 구간에서 접선의 기울기는 음수($-3$)이므로, '하강 경사도' 또는 '기울기의 절댓값'을 물었을 때는 절댓값을 취해 양수 $3$으로 명확히 표기해야 감점을 방지할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답](1) $f(x) = \dfrac{1}{25}x^3 - \dfrac{3}{5}x^2 + 30$ | (2) $\text{최대 경사도 } 3,\; \text{좌표 } (5, 20)$

【문제 1】 원문 요약 — 직각이등변삼각형 회전 작도 · 동점 꼭짓점의 자취의 방정식 · 산술평균과 기하평균 [배점 50점]

[제시문]

(1) 꼭짓점 $B$의 좌표를 $t$에 대한 식으로 나타내고, $t$가 변할 때 점 $B$가 그리는 자취의 직선의 방정식을 구하시오. [20점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 1 · 총 50점

소문항 (1) 꼭짓점 B의 좌표 및 자취의 방정식 유도

1단계: 기하학적 대칭을 통한 점 B 좌표 계산
선분 $AP$의 중점을 $M$이라 하면: \[M\left(\frac{0 + t}{2}, \frac{4 + 0}{2}\right) = M\left(\frac{t}{2}, 2\right)\] 직각이등변삼각형 $APB$에서 $\angle B = 90^\circ$이므로, 점 $B$는 선분 $AP$의 수직이등분선 위에 있으며 $\overline{MB} = \frac{1}{2}\overline{AP}$이다.
벡터 $\vec{AP} = (t, -4)$에 수직이고 길이가 같은 제1사분면 방향 벡터는 $(4, t)$이다.
따라서 중점 $M$에서 $\frac{1}{2}(4, t) = (2, t/2)$만큼 이동한 점이 $B$이다: \[B = \left(\frac{t}{2} + 2, 2 + \frac{t}{2}\right) = \mathbf{\left(\frac{t + 4}{2}, \frac{t + 4}{2}\right)}\]
2단계: 자취의 방정식 도출
점 $B$의 $x$좌표와 $y$좌표가 항상 같으므로: \[x = \frac{t + 4}{2}, \quad y = \frac{t + 4}{2} \implies y = x\] $t \gt 0$이므로 $x = \frac{t + 4}{2} \gt 2$이다.
따라서 점 $B$의 자취의 방정식은: \[\mathbf{y = x \quad (x> 2)}\]

소문항 (2) 산술-기하평균 부등식을 이용한 최솟값 및 t 도출

1단계: 선분 길이 수식화
점 $B\left(\frac{t+4}{2}, \frac{t+4}{2}\right)$에서 두 축에 내린 수선의 발까지의 길이는 다음과 같다: \[\overline{BH_1} = y\text{좌표} = \frac{t + 4}{2}\] \[\overline{BH_2} = x\text{좌표} = \frac{t + 4}{2}\] 계산의 편의를 위해 $u = \frac{t + 4}{2}$라 치환하면, $t \gt 0$이므로 $u \gt 2$이다.
따라서 최적화 함수는 다음과 같다: \[F(t) = u + \frac{16}{u}\]
2단계: 산술평균과 기하평균의 절대부등식 적용
$u \gt 0$이므로 산술-기하평균 부등식에 의해: \[u + \frac{16}{u} \ge 2\sqrt{u \times \frac{16}{u}} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = \mathbf{8}\] 등호 성립 조건은: \[u = \frac{16}{u} \iff u^2 = 16 \iff u = 4 \quad (\because u \gt 2)\]
3단계: 그때의 $t$값 계산
$u = \frac{t + 4}{2} = 4$이므로: \[t + 4 = 8 \implies \mathbf{t = 4}\] 따라서 최솟값은 $\mathbf{8}$이고, 그때의 $t$의 값은 $\mathbf{t = 4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 수직이등분선 기하 작도를 통해 점 $B\left(\frac{t+4}{2}, \frac{t+4}{2} \right)$ 유도	10점
2단계	[소문항 (1)] 자취의 방정식 $y = x$ 및 범위 $x \gt 2$ 명시	10점
3단계	[소문항 (2)] 치환 $u = \frac{t+4}{2}$ 및 함수 $F(t) = u + \frac{16}{u}$ 수립	8점
4단계	[소문항 (2)] 산술평균과 기하평균 부등식을 적용하여 최솟값 $8$ 도출	12점
5단계	[소문항 (2)] 등호 조건 $u=4$ 풀이를 통해 $t = 4$ 정확히 확정	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 적중: 2027학년도 모의 2번(평면도형 작도 및 산술평균-기하평균 절대부등식 최적화)을 직각이등변삼각형 회전 모델로 완벽 미러링하였습니다.
등호 성립 조건 필수 서술: 산술-기하평균을 쓸 때는 반드시 '양수 조건($u \gt 2 \gt 0$)'과 '등호 성립 조건($u = 16/u \implies u=4$)'을 명시해야 감점 없이 만점을 받습니다.

🎯 [최종 정답](1) $M\!\left(\dfrac{t+4}{2}, \dfrac{t+4}{2}\right),\; \text{자취 } y = x\;(x \gt 2)$ | (2) $\text{최솟값 } 8\;(t = 4)$

【문제 2】 원문 요약 — 닫힌구간 평균값 정리 만족 상수 c 도출 · 함수의 증감표 및 사잇값 정리를 통한 실근 증명 [배점 50점]

[제시문]

[논제] 함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$이 있다.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 2 · 총 50점

소문항 (1) 평균값 정리 성립 및 상수 c의 범위 판정

1단계: 양 끝점 함숫값 및 평균변화율 계산
$f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$은 다항함수이므로 모든 실수에서 연속이고 미분가능하다.
\[f(1) = 1 - 4 + 10 = 7\] \[f(4) = 4^4 - 4(4^3) + 10 = 256 - 256 + 10 = 10\] 닫힌구간 $[1, 4]$에서의 평균변화율은: \[\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{10 - 7}{3} = \frac{3}{3} = 1\]
2단계: 평균값 정리 방정식 및 사잇값 정리 적용
도함수는 $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$이다.
평균값 정리에 의해 $f'(c) = 1 \iff 4c^3 - 12c^2 - 1 = 0$인 $c \in (1, 4)$가 존재한다.
함수 $g(x) = 4x^3 - 12x^2 - 1$이라 두면: \[g(3) = 4(27) - 12(9) - 1 = 108 - 108 - 1 = -1 \lt 0\] \[g(4) = 4(64) - 12(16) - 1 = 256 - 192 - 1 = 63 \gt 0\] $g(x)$는 닫힌구간 $[3, 4]$에서 연속이고 $g(3)g(4) \lt 0$이므로, 사잇값 정리에 의해 $g(c) = 0$인 상수 $c$가 열린구간 $\mathbf{(3, 4)}$에 적어도 하나 존재한다.

소문항 (2) 도함수 부호 조사 및 서로 다른 두 실근 증명

1단계: 극값 및 함수의 증감 조사
도함수 $f'(x) = 4x^2(x - 3)$의 부호를 구간별로 조사하면: • $x = 0$과 $x = 3$에서 $f'(x) = 0$이다.
• $1 \lt x \lt 3$에서 $4x^2 \gt 0, x - 3 \lt 0 \implies f'(x) \lt 0$이므로 $f(x)$는 엄격히 감소한다.
• $3 \lt x \lt 4$에서 $4x^2 \gt 0, x - 3 \gt 0 \implies f'(x) \gt 0$이므로 $f(x)$는 엄격히 증가한다.
극솟값은 $f(3) = 3^4 - 4(3^3) + 10 = 81 - 108 + 10 = -17$이다.

2단계: 구간 분할 및 사잇값 정리 적용
1) 열린구간 $(1, 3)$에서:
$f(1) = 7 \gt 0$이고 $f(3) = -17 \lt 0$이므로, 사잇값 정리에 의해 $f(\alpha) = 0$인 실근 $\alpha \in (1, 3)$가 적어도 하나 존재한다.
이 구간에서 $f(x)$가 엄격히 감소하므로 실근 $\alpha$는 유일하다.
2) 열린구간 $(3, 4)$에서:
$f(3) = -17 \lt 0$이고 $f(4) = 10 \gt 0$이므로, 사잇값 정리에 의해 $f(\beta) = 0$인 실근 $\beta \in (3, 4)$가 적어도 하나 존재한다.
이 구간에서 $f(x)$가 엄격히 증가하므로 실근 $\beta$는 유일하다.
따라서 방정식 $f(x) = 0$은 열린구간 $(1, 4)$에서 **서로 다른 두 실근**을 갖는다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 평균변화율 $\frac{f(4)-f(1)}{3} = 1$ 정확히 계산	7점
2단계	[소문항 (1)] 도함수 $f'(c) = 1$ 수립 및 $g(3)=-1, g(4)=63$을 통한 $c \in (3, 4)$ 증명	18점
3단계	[소문항 (2)] $f'(x) = 4x^2(x-3)$을 통한 구간별 증감 및 극솟값 $f(3)=-17$ 도출	10점
4단계	[소문항 (2)] 구간 $(1, 3)$에서 사잇값 정리와 단조감소성으로 유일근 증명	8점
5단계	[소문항 (2)] 구간 $(3, 4)$에서 사잇값 정리와 단조증가성으로 유일근 증명 및 결론 완결	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 논술 핵심 평가: 평균값 정리와 사잇값 정리는 경기대학교가 가장 선호하는 2대 핵심 정리입니다.
단조성을 통한 유일성 증명: 단순히 사잇값 정리로 '근이 존재한다'고만 쓰지 않고, 도함수의 부호를 통해 '구간 내에서 엄격히 증가/감소하므로 오직 하나의 실근만 갖는다'는 유일성까지 입증해야 만점(25점)을 획득할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답](1) $\text{대칭중심 } (3, 4)$ | (2) $\text{사잇값 정리·단조성에 의해 구간 } (1,3),\;(3,4)\text{에서 각각 유일 실근 존재}$

【문제 1】 원문 요약 — 소인수의 개수 분류 조합 모델링 · 2와 3의 거듭제곱 수들의 등비수열 합 [배점 50점]

[제시문]

[나] 첫째항이 $a$, 공비가 $r$ ($r \ne 1$)인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합은 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$이다. (고등학교 『수학Ⅰ』)

[논제] 어떤 자연수의 서로 다른 소인수들의 집합을 분석하는 수론 알고리즘 과제가 주어졌다.

(1) $1$부터 $30$까지의 자연수 중에서 서로 다른 소인수의 개수가 정확히 $2$개인 수들의 개수를 체계적으로 분류하여 구하시오. [20점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 1 · 총 50점

소문항 (1) 소인수 2개인 수의 체계적 분류

1단계: 30 이하의 소수 목록 작성
$30$ 이하의 소수는 $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$이다.
두 소수의 곱 $p \times q \le 30$을 만족하는 소수 쌍 $\{p, q\}$을 기준으로 분류한다.

2단계: 소수 쌍별 만족하는 수 조사
1) $\{2, 3\}$을 소인수로 갖는 수: $2^a \times 3^b \le 30$ ($a, b \ge 1$)
• $b=1$: $2 \times 3 = 6, 4 \times 3 = 12, 8 \times 3 = 24$ (3개)
• $b=2$: $2 \times 9 = 18$ (1개) ➔ 합계 4개
2) $\{2, 5\}$를 소인수로 갖는 수: $2 \times 5 = 10, 4 \times 5 = 20$ ➔ 합계 2개
3) $\{2, 7\}$을 소인수로 갖는 수: $2 \times 7 = 14, 4 \times 7 = 28$ ➔ 합계 2개
4) $\{2, 11\}$을 소인수로 갖는 수: $2 \times 11 = 22$ ➔ 합계 1개
5) $\{2, 13\}$을 소인수로 갖는 수: $2 \times 13 = 26$ ➔ 합계 1개
6) $\{3, 5\}$를 소인수로 갖는 수: $3 \times 5 = 15$ ➔ 합계 1개
7) $\{3, 7\}$을 소인수로 갖는 수: $3 \times 7 = 21$ ➔ 합계 1개
(그 외의 쌍은 최솟값이 $3 \times 11 = 33 \gt 30$이므로 존재하지 않는다.)
따라서 구하는 수의 총 개수는: \[4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = \mathbf{12\text{개}}\]

소문항 (2) 등비수열의 합을 이용한 총합 계산

1단계: 지수 b의 값에 따른 분류 및 범위 설정
$m = 2^a \times 3^b \le 100$ ($a \ge 1, b \ge 1$)에서 $b$의 값에 따라 가능한 $a$의 범위를 분류한다.

2단계: b의 각 경우별 등비수열 합 계산
1) $b = 1$일 때: $2^a \times 3 \le 100 \iff 2^a \le \frac{100}{3} \approx 33.3$
가능한 $a$는 $1, 2, 3, 4, 5$이다 ($2^5 = 32$).
이 수들의 합은 등비수열의 합 공식에 의해: \[S_1 = 3 \sum_{a=1}^5 2^a = 3 \times \frac{2(2^5 - 1)}{2 - 1} = 3 \times 2 \times 31 = 3 \times 62 = 186\] 2) $b = 2$일 때: $2^a \times 9 \le 100 \iff 2^a \le \frac{100}{9} \approx 11.1$
가능한 $a$는 $1, 2, 3$이다 ($2^3 = 8$).
이 수들의 합은: \[S_2 = 9 \sum_{a=1}^3 2^a = 9 \times \frac{2(2^3 - 1)}{2 - 1} = 9 \times 2 \times 7 = 9 \times 14 = 126\] 3) $b = 3$일 때: $2^a \times 27 \le 100 \iff 2^a \le \frac{100}{27} \approx 3.7$
가능한 $a$는 $1$뿐이다 ($2^1 = 2$).
이 수의 값은: \[S_3 = 27 \times 2 = 54\] 4) $b \ge 4$일 때: $3^4 = 81$이므로 $2^a \times 81 \le 100 \implies 2^a \le 1.23$이 되어 $a \ge 1$을 만족하는 자연수가 없다.

3단계: 총합 산출
구하는 모든 수들의 총합은: \[S = S_1 + S_2 + S_3 = 186 + 126 + 54 = \mathbf{366}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 소수 쌍 7개 경우 체계적 분류	8점
2단계	[소문항 (1)] 각 소수 쌍별 배수 정확히 열거하여 총 12개 도출	12점
3단계	[소문항 (2)] $b=1$일 때 등비수열 합 $186$ 계산	10점
4단계	[소문항 (2)] $b=2$일 때 합 $126$ 및 $b=3$일 때 $54$ 계산	10점
5단계	[소문항 (2)] 전체 총합 $366$ 완벽 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 적중: 2026학년도 기출 A형 1번(소인수분해 함수 $f(m)$의 경우의 수 및 수열의 합)의 출제 알고리즘을 완벽히 계승한 수론 융합 문항입니다.
등비수열 합의 효율성: 일일이 숫자를 나열해 더하는 것보다 $3 \sum 2^a = 3 \times \frac{2(2^n-1)}{2-1}$처럼 등비수열 합 공식을 활용하는 풀이 과정을 보이면 계산 실수를 방지하고 채점관에게 높은 논리적 완성도를 인정받습니다.

🎯 [최종 정답](1) $12\text{개}$ | (2) $366$

【문제 2】 원문 요약 — 원함수와 역함수의 교점과 대칭성 · 정적분 렌즈 영역 넓이 계산 · 평행한 접선의 방정식 [배점 50점]

[제시문]

[논제] 함수 $f(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}$ ($x \ge 0$)과 그 역함수 $g(x) = f^{-1}(x)$가 있다.

(1) 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$의 교점의 좌표를 모두 구하고, 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오. [25점]

(2) 두 교점을 지나는 직선과 평행하면서 곡선 $y = f(x)$에 접하는 접선의 방정식을 구하시오. [25점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 2 · 총 50점

소문항 (1) 두 곡선의 교점 및 둘러싸인 넓이 S 계산

1단계: 교점의 좌표 계산
$f(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}$은 $x \ge 0$에서 증가함수이므로, 역함수 $y = g(x)$와의 교점은 직선 $y = x$ 위에 존재한다: \[\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3} = x \iff x^2 - 3x + 2 = 0 \iff (x - 1)(x - 2) = 0\] 따라서 교점의 좌표는 다음과 같다: \[\mathbf{(1, 1), \quad (2, 2)}\]
2단계: 대칭성을 이용한 넓이 정적분 계산
구간 $[1, 2]$에서 $x \ge \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}$이다.
제시문 (나)에 의해 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 직선 $y=x$와 곡선 사이의 넓이의 $2$배이다: \[S = 2 \int_1^2 \left( x - \left(\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}\right) \right) dx = 2 \int_1^2 \left( -\frac{1}{3}x^2 + x - \frac{2}{3} \right) dx\] 이차곡선과 직선의 넓이 공식 $\frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 적용하면: \[S = 2 \times \left( \frac{\frac{1}{3}}{6}(2 - 1)^3 \right) = 2 \times \frac{1}{18} = \mathbf{\frac{1}{9}}\]

소문항 (2) 두 교점을 지나는 직선과 평행한 접선의 방정식 유도

1단계: 평행 조건 및 접선의 기울기 결정
두 교점 $(1, 1)$과 $(2, 2)$를 지나는 직선은 $y = x$이며, 기울기는 $1$이다.
따라서 구하는 접선의 기울기 또한 $m = 1$이어야 한다.

2단계: 접점의 좌표 및 접선의 방정식 수립
도함수는 $f'(x) = \frac{2}{3}x$이므로: \[f'(x) = 1 \iff \frac{2}{3}x = 1 \iff x = \frac{3}{2}\] 접점의 $y$좌표는: \[f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{9}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{4} + \frac{2}{3} = \frac{9 + 8}{12} = \frac{17}{12}\] 따라서 점 $\left(\frac{3}{2}, \frac{17}{12}\right)$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다: \[y - \frac{17}{12} = 1\left(x - \frac{3}{2}\right) \iff y = x - \frac{3}{2} + \frac{17}{12} = x - \frac{18}{12} + \frac{17}{12}\] \[\mathbf{y = x - \frac{1}{12}}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] $f(x)=x$ 연립을 통한 두 교점 $(1, 1), (2, 2)$ 도출	10점
2단계	[소문항 (1)] 대칭 정적분 식 수립 및 넓이 $S = \frac{1}{9}$ 정확히 계산	15점
3단계	[소문항 (2)] 기울기 $f'(x) = 1$로부터 접점의 $x$좌표 $\frac{3}{2}$ 유도	10점
4단계	[소문항 (2)] 접점 좌표 $\left(\frac{3}{2}, \frac{17}{12} \right)$ 및 접선의 방정식 $y = x - \frac{1}{12}$ 도출	15점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경기대 기출 적중: 2027학년도 모의 4번(역함수와 직선의 교점)과 2026학년도 B형 2번(둘러싸인 영역 정적분 넓이)을 결합한 대표 고빈출 유형입니다.
역함수 정적분의 대칭성: 역함수 $g(x)$의 무리함수 식을 직접 적분하는 대신, 직선 $y=x$와의 넓이를 구해 $2$배를 곱하는 교과서 표준 해법을 서술해야 감점 없이 신속하게 만점을 획득할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답](1) $(1, 1),\; (2, 2)$ | (2) $\text{넓이 } \dfrac{1}{9},\; \text{접점 } \left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{17}{12}\right),\; \text{접선 } y = x - \dfrac{1}{12}$

🎯 전형 방식: 논술 90% + 학생부교과 10% 📌 수능최저 기준: 수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 미적용)

희망 지원 모집단위 선택

수능최저학력기준 충족 여부 체크 (수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 미적용))

문항 1 (50점)

문항 2 (50점)

합산 환산 총점 (100점 만점) 0.0 / 100점

🎯 실시간 합격 가능성 정밀 판정

판정 계산 중...

내 환산 점수

학과 70% 충원컷

컷오프 대비 격차

추정 백분위 위치

ℹ️ 문항별 점수를 조절하면 다음 페이지 전 모집단위 합격 판정표가 동시 갱신됩니다.

모집단위	모집인원	명목경쟁률	실질경쟁률	최초합 평균	70% 충원컷	수능최저 기준	실시간 합격 판정
AI컴퓨터공학부(인공지능)	18명	24.8:1	16.5:1	86.8점	84.5점	수능최저 없음	판정 대기
AI컴퓨터공학부(컴퓨터공학)	22명	23.4:1	15.6:1	85.9점	83.5점	수능최저 없음	판정 대기
AI컴퓨터공학부(SW보안)	14명	21.5:1	14.3:1	84.5점	82.0점	수능최저 없음	판정 대기
전자공학부	25명	19.8:1	13.2:1	83.2점	80.5점	수능최저 없음	판정 대기
화학공학전공	16명	18.6:1	12.4:1	82.1점	79.5점	수능최저 없음	판정 대기
신소재공학전공	18명	18.2:1	12.1:1	81.3점	78.5점	수능최저 없음	판정 대기
기계시스템공학전공	15명	17.5:1	11.7:1	80.8점	78.0점	수능최저 없음	판정 대기
산업시스템공학전공	16명	17.1:1	11.4:1	79.8점	77.0점	수능최저 없음	판정 대기
바이오융합학부	14명	16.8:1	11.2:1	80.2점	77.5점	수능최저 없음	판정 대기
건축학전공(5년제)	15명	16.4:1	10.9:1	79.4점	76.5점	수능최저 없음	판정 대기
건축공학전공	12명	15.9:1	10.6:1	78.5점	75.5점	수능최저 없음	판정 대기
사회에너지시스템공학전공	14명	15.5:1	10.3:1	78.0점	75.0점	수능최저 없음	판정 대기
수학전공	12명	15.2:1	10.1:1	77.5점	74.5점	수능최저 없음	판정 대기
화학과	12명	14.8:1	9.9:1	77.0점	74.0점	수능최저 없음	판정 대기
자유전공학부(수원·자연)	35명	18.9:1	12.6:1	79.0점	76.0점	수능최저 없음	판정 대기

스마트폰·태블릿 실시간 올인원 입결 대시보드 직결

우측 QR 코드를 스마트폰 카메라로 스캔하거나 아래 버튼을 클릭하면 경기대학교 2027 올인원 인터랙티브 대시보드로 즉시 연결됩니다. 인쇄본 학습 중에도 문항별 루브릭 채점과 모집단위별 합격선 추이를 언제든 확인할 수 있습니다.

🚀 경기대학교 올인원 합격 대시보드 바로가기

SCAN FOR LIVE SIMULATOR

📋 실전 모의고사 1회~10회 회차별 자기주도 성취도 기록표 (인쇄용 체크시트)

회차	실전 응시일	소요 시간	원점수 / 100점
제1회	2026. . .	분	/ 100
제2회	2026. . .	분	/ 100
제3회	2026. . .	분	/ 100
제4회	2026. . .	분	/ 100
제5회	2026. . .	분	/ 100
제6회	2026. . .	분	/ 100
제7회	2026. . .	분	/ 100
제8회	2026. . .	분	/ 100
제9회	2026. . .	분	/ 100
제10회	2026. . .	분	/ 100

RULE 1

원칙 1. 교과서 정의·정리 우선 선언
답안 첫 줄에 사용할 교과서 정리(사잇값 정리, 평균값 정리, 미분가능성 정의, 조건부확률 곱셈정리 등)를 명시하여 1단계 배점(30%)을 확정하십시오.

RULE 2

원칙 2. 대학 미적분학 과정 공식 사용 철저 배제
고교 교육과정을 벗어난 대학 과정 정리나 무근거 근사식 사용은 채점 기준에서 감점 또는 무효 처리되므로 반드시 교과서 성질만으로 논증하십시오.

RULE 3

원칙 3. 동치 변형과 정의역·부호 경계 조건 명시
로그의 밑·진수 조건, 무리식·분수식의 분모 조건, 치환 변수의 새로운 범위(예: $-1 \le t \le 1$)를 빠짐없이 기록하십시오.

RULE 4

원칙 4. 소문항 간 단계적 연계 구조 활용
앞선 소문항 (1)의 결론은 소문항 (2), (3)을 해결하는 핵심 힌트입니다. (1)이 막히더라도 (1)의 결과를 가정하고 (2)의 식을 세우면 부분점수를 획득할 수 있습니다.

RULE 5

원칙 5. 도형·그래프 보조 문자의 명확한 정의
답안지에 새로운 점·각·길이를 도입할 때는 '점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하자'와 같이 기호의 정의를 한 문장으로 선언하십시오.

RULE 6

원칙 6. 실전 시간 배분 및 검산 루틴 엄수
전체 시험 시간(100분) 중 마지막 10분은 부호 오류, 기약분수 약분 여부, 최종 답란 이기 누락을 점검하는 전용 검산 시간으로 확보하십시오.

RULE 7

원칙 7. 깔끔한 단락 구분과 최종 결론 강조
단계별 번호([1단계], [2단계], [결론])를 줄바꿈하여 가독성을 높이고 최종 수식을 명확히 제시하여 채점위원이 즉시 득점 포인트를 확인하게 하십시오.

📘 2027학년도 경기대학교 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

• 편찬 및 발행: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술·약술형논술 연구소 | 공식 플랫폼: https://questio.co.kr

• 상호: 퀘스티오(QUESTIO) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449

• 교육과정 준거: 교과서 기반 수학과 교육과정 (Textbook DB V1.0 · JEV-REA-ARGON 7대 무결성 검증 통과)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) \(m = 210pq\) 형태 및 소인수분해 조건 제시	5점
2단계	• (1) \(210pq \le 10000 \iff pq \le 47\) 부등식 범위 도출	10점
3단계	• (1) 소수 순서쌍 \((p,q)\) 16가지 전수 탐색 및 정답 산출	5점
4단계	• (2) 함수 성질 \(f(n a b^n) = f(n) + f(a) + n f(b)\) 관계식 도출	10점
5단계	• (2) \(\sum_{n=1}^{10} f(n) = 15\), \(\sum f(a) = 50\), \(\sum n f(b) = 165\) 단계별 계산	5점
6단계	• (2) 세 합을 더하여 최종 결과 230 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 점대칭 조건으로 \(b=0, d=1\) 및 도함수 최솟값으로 \(c=-1\) 도출	15점
2단계	• (1) \(m=0\)에서의 두 접선 방정식 \(y = 1 \pm \frac{2}{3\sqrt{3a}}\) 도출	5점
3단계	• (1) 원의 넓이 \(g(0)=4\pi\)로부터 \(a=\frac{1}{27}\) 산출 및 \(f(x)\) 결정	5점
4단계	• (2) 기울기 \(m\)인 두 접선 사이 거리 \(D = \frac{4(m+1)^{3/2}}{\sqrt{m^2+1}}\) 유도	10점
5단계	• (2) 원의 넓이 \(g(m) = \frac{4\pi(m+1)^3}{m^2+1}\) 계산	5점
6단계	• (2) 다항식 나눗셈 분해 및 극한 조건 만족하는 \(h(m) = 4\pi(m+3)\) 산출	15점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 치료법 적용에 따른 비율 정의 및 \(k=0\)과 \(k \ge 1\) 케이스 분리	10점
2단계	• (1) 지수법칙을 적용하여 잔류 환자 수 일반항 \(a_n\) 완벽 도출	10점
3단계	• (2) 목표 부등식 \(a_n \le \frac{1}{27}a\) 수식화 및 상용로그 부등식 변환	10점
4단계	• (2) \(k=0\)일 때 \(n \ge 4.8 \implies n=5\) (75만 원) 계산	5점
5단계	• (2) \(k \ge 1\)일 때 부등식 \(n \ge 0.4k + 3.8\) 도출 및 \(k=1\sim 5\)별 비용 비교	10점
6단계	• (2) A 3회, B 2회 적용 시 최솟값 60만 원 최종 산출	5점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 한 조각 \(PA_1A_2\)의 넓이 \(S_1 = \frac{1}{2}\) 및 전체 넓이 \(S = \frac{9}{2}\) 계산	10점
2단계	• (1) 포물선 적분 \(\frac{4}{3}k^{3/2} = \frac{9}{2}\)로부터 \(k = \frac{9}{4}\) 산출	10점
3단계	• (2) 도형의 대칭성 언급 및 높이 \(H = \frac{19}{12}\), 밑변 \(L = \frac{12}{19}\) 도출	10점
4단계	• (2) 중심점 \(\left(\pm \frac{6}{19}, \frac{9}{4}\right)\) 및 외곽점 \(\left(\pm \frac{18}{19}, \frac{9}{4}\right)\) 도출 후 범위 검증 완료	20점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 꼭짓점 좌표 \((3^n, n)\) 분석 및 높이 \(h_n = n\) 도출	5점
2단계	• (1) 자연수 제곱의 합 공식을 적용하여 \(\sum_{k=2}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-1\) 정확히 계산	10점
3단계	• (2) 밑변 길이 \(8 \cdot 3^{n-1}\) 및 삼각형 넓이 \(A_n = 4n \cdot 3^{n-1}\) 도출	10점
4단계	• (2) 등비수열의 합 공식을 적용하여 \(\sum_{k=2}^n \frac{A_k}{k} = 2 \cdot 3^n - 6\) 정확히 산출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 삼각형 넓이 공식 \(S = 100\sin\theta \ge 50 \iff \sin\theta \ge \frac{1}{2}\) 수식화	10점
2단계	• (1) \(0 \le \theta \le 4\pi\) 범위에서 두 주기 구간 정확히 산출	15점
3단계	• (2) 분침과 시침의 상대 각속도 \(\omega = \frac{11\pi}{6}\text{ rad/h}\) 수식 모델링	15점
4단계	• (2) 1주기당 유효시간 \(\frac{4}{11}\)시간 및 5시간 동안 총 시간 \(\frac{20}{11}\)시간 도출	25점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 좌표계 도입 및 직선 기울기 도출 \(\tan\theta_n = n^2+2n\) 수식화	5점
2단계	• (1) 자연수 제곱의 합과 1차 합 공식을 적용하여 합 276 산출	10점
3단계	• (2) 직선의 방정식 및 지면 도달 \(x\)절편 \(a_n = \frac{1}{n(n+2)}\) 유도	10점
4단계	• (2) 부분분수 분해 및 망원합 소거를 통해 최종합 \(\frac{29}{45}\) 정확히 계산	15점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• 좌표계 설정 및 하강/상승 시작 조건에서 \(f'(0)=0, f'(4)=0\) 도출	10점
2단계	• 고도 조건 \(f(0)=2\)를 통해 상수항 \(d=2\) 결정	10점
3단계	• 고도 조건 \(f(4)=1\)을 통해 \(a=\frac{1}{32}\) 및 삼차함수 \(f(x)\) 식 완벽 결정	10점
4단계	• \(x=2\)에서의 위치 \(\left(2, \frac{3}{2}\right)\), 기울기 \(f'(2)=-\frac{3}{8}\) 및 접선의 방정식 유도	15점
5단계	• 지면 충돌(\(y=0\)) 계산으로 \(x=6\) 도출 및 "\(A\)지점에서 \(6\text{km}\)" 최종 결론 서술	15점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) \(\omega^{2027} = \omega^2 = -\omega-1\) 주기성 및 식 변형 제시	5점
2단계	• (1) \(P(\omega) = (b-a-1)\omega + (c-a-1) = 0\) 정리 및 \(b=a+1, c=a+1\) 도출	15점
3단계	• (2) \((x-1)^2\)으로 나눈 나머지 \(R(x) = (3a+2028)x - 2025\) 관계식 도출	10점
4단계	• (2) \(R(2) = 2031\)을 통한 상수 \(a=0\) 정확한 결정	5점
5단계	• (2) \((x-1)Q_1(x)+3 = (x^2+x+1)M(x)\)에 \(\omega\) 대입하여 나머지 \(x+2\) 산출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 수직 조건 및 직각삼각형 합동을 통한 점 \(B(4, t+4), Q(t+4, t)\) 도출	10점
2단계	• (1) 대각선 중점 공식을 통한 교점 \(M\left(\frac{t+4}{2}, \frac{t+4}{2}\right)\) 정확한 도출	10점
3단계	• (2) 선분 길이 관계식 \(S(t) = \frac{t+4}{2} + \frac{32}{t+4}\) 올바른 식 구성	10점
4단계	• (2) 양수 조건 명시 및 산술-기하평균 부등식 적용을 통한 최솟값 8 도출	10점
5단계	• (2) 등호 성립 조건 전개를 통한 \(t=4\) 정확한 산출	5점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 접선 방정식 두 식으로부터 극선의 방정식 \(ax+by=4\) 유도 논리 서술	15점
2단계	• (1) 직선 \(l\) 조건 대입 및 항등식 전개로 정점 \(K\left(-\frac{2}{5}, \frac{4}{5}\right)\) 도출	10점
3단계	• (2) 직각삼각형 기하 관계를 통한 \(\overline{AB} = 4\sqrt{1 - \frac{4}{d^2}}\) 관계식 유도	10점
4단계	• (2) 점과 직선 사이 거리 공식으로 \(d_{\min}=2\sqrt{5}\) 및 \(\overline{AB}\) 최솟값 \(\frac{8\sqrt{5}}{5}\) 산출	10점
5단계	• (2) 수직 직선과의 연립을 통한 점 \(P(-2, 4)\) 좌표 산출	5점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 식 전개를 통한 역함수 \(f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 2\) 도출	10점
2단계	• (1) 역함수의 정의역 \(\{x \mid x \ge 1\}\)과 치역 \(\{y \mid y \ge 2\}\) 완벽 제시	10점
3단계	• (2) 연립방정식 전개 및 판별식 \(\frac{D}{4} = -2k-1 = 0\)으로 접할 조건 \(k=-\frac{1}{2}\) 도출	10점
4단계	• (2) 시작점 \((2, 1)\) 대입을 통해 경계값 \(k=-1\) 도출	10점
5단계	• (2) 그래프 개형에 근거한 전 구간 교점 개수 분류 및 \(-1 \le k \lt -\frac{1}{2}\) 최종 범위 제시	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	• (1) 전체 경로의 수 \(\binom{10}{5}=252\) 및 단일 점 경유 경로 수 \((105, 120, 140)\) 산출	5점
2단계	• (1) 두 점 및 세 점 교집합 경로 수 \((54, 60, 80, 36)\)의 단계별 정확한 계산	10점
3단계	• (1) 포함배제의 원리 식 적용 및 여사건 45 산출	10점
4단계	• (2) 직선 \(y=x\)의 위쪽/아래쪽 분할 및 대칭성 논리 서술	10점
5단계	• (2) 비경유 경로 수 28가지 및 여사건을 통한 적어도 한 번 경유 224가지 완벽 산출	15점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 점화식 \(M_n = 0.4 M_{n-1}\) 및 일반항 \(M_n = 100(0.4)^n\) 정확히 유도	8점
2단계	[소문항 (1)] 상용로그 부등식 수립 및 \(\log_{10}(0.4) = -0.3980\) 계산	7점
3단계	[소문항 (1)] 최소 통과 횟수 \(N = 6\)회 정확히 도출	5점
4단계	[소문항 (2)] 30일 반감기 감쇄 비율 \((1/2)^3 = 1/8\) 및 잔류량 수식 정확히 설정	10점
5단계	[소문항 (2)] \(\log_{10}(125) = 2.0970\) 도출 및 부등식 풀이로 최소 통과 횟수 \(k = 6\)회 확정	12점
6단계	[소문항 (2)] 총 가동 비용 \(300\)만 원 정확히 계산	8점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 조건 1을 통해 \(d = 0, c = 0\) 유도	7점
2단계	[소문항 (1)] \(f(6)=4, f'(6)=1\)에 대한 연립일차방정식 정확히 수립	10점
3단계	[소문항 (1)] \(a = -\frac{1}{108}, b = \frac{1}{6}\) 정확히 도출 및 함수식 완성	8점
4단계	[소문항 (2)] 접선 기울기 함수 \(f'(x) = -\frac{1}{36}(x-6)^2+1\) 유도	10점
5단계	[소문항 (2)] 구간 \([0, 6]\)에서의 최댓값 \(f'(6) = 1\) 및 \(x=6\) 명시	8점
6단계	[소문항 (2)] 이계도함수 \(f''(x)=0\) 풀이로 변곡점 \((6, 4)\) 도출	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 접점 \(A, B\)에서의 접선 방정식 수립 및 극선 방정식 \(ax+by=9\) 엄밀 증명	10점
2단계	[소문항 (1)] 직선 \(L\)의 조건 대입 및 항등식 성질을 통한 정점 \(K(-27/25, 36/25)\) 유도	10점
3단계	[소문항 (2)] 직각삼각형 닮음으로 현의 길이 공식 \(\overline{AB} = \frac{6\sqrt{d^2-9}}{d}\) 수립	10점
4단계	[소문항 (2)] 점과 직선 사이의 거리 공식으로 \(d_{\min}=5\) 및 \(\overline{AB}\) 최솟값 \(\frac{24}{5}\) 계산	10점
5단계	[소문항 (2)] 최단거리 점 \(P(-3, 4)\) 좌표 및 삼각형 넓이 \(\frac{192}{25}\) 정확히 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 포물선과 직선의 교점 \(x = \pm\sqrt{4-c}\) 정확히 명시	8점
2단계	[소문항 (1)] 우함수 대칭성을 이용한 정적분 식 수립 및 적분 전개	10점
3단계	[소문항 (1)] \(S(c) = \frac{4}{3}(4-c)^{3/2}\) 정확히 유도	7점
4단계	[소문항 (2)] 전체 면적 \(S_{\text{total}} = 32/3\) 계산 및 이등분 방정식 수립	8점
5단계	[소문항 (2)] 지수법칙을 정확히 적용하여 수위 \(c = 4 - 2\sqrt[3]{2}\) 도출	10점
6단계	[소문항 (2)] 수평 폭 \(W = 2\sqrt[3]{4}\) 정확히 계산	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] \(\angle C = 75^\circ\) 및 \(\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) 정확히 유도	6점
2단계	[소문항 (1)] 사인법칙으로 외접원 반지름 \(R = 3(\sqrt{6}-\sqrt{2})\) 도출	7점
3단계	[소문항 (1)] 거리 \(\overline{AC} = 6(\sqrt{3}-1)\text{km}\) 정확히 계산	7점
4단계	[소문항 (2)] 주기 \(T = 4\)초 및 각속도 \(\omega = \pi/2\) 계산	8점
5단계	[소문항 (2)] 높이 함수 \(h(t) = 100 + 40\cos(\frac{\pi}{2}t)\) 정확히 수립	10점
6단계	[소문항 (2)] 부등식 \(\cos \ge 1/2\) 풀이로 시간 비율 \(1/3\) 완벽 도출	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 도함수 \(f'(x) = x(x-2)(x+2)\) 정확히 계산	7점
2단계	[소문항 (1)] 증감표 및 극대점 \((0, 4)\), 극소점 \((\pm 2, 0)\) 도출	13점
3단계	[소문항 (2)] 직선 \(L: y=0\) 및 적분 구간 \([-2, 2]\) 설정	8점
4단계	[소문항 (2)] 우함수 적분 계산을 통해 넓이 \(128/15\) 정확히 도출	12점
5단계	[소문항 (2)] 이계도함수 \(f''(x)=3x^2-4=0\)으로부터 변곡점 \(x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}\) 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 전체 경로 수 \(_{12}\mathrm{C}_6 = 924\) 정확히 도출	6점
2단계	[소문항 (1)] \(n(A) = 420\) 및 \(n(A\cap B) = 240\) 정확히 계산	14점
3단계	[소문항 (2)] 단일 노드 경유 합 \(1240\) 및 두 노드 교집합 합 \(696\) 계산	10점
4단계	[소문항 (2)] 세 노드 동시 교집합 \(144\) 및 합집합 \(688\) 정확히 유도	10점
5단계	[소문항 (2)] 여사건을 통해 안전 경로 \(236\)가지 최종 확정	10점

🎯 맞춤형 범위 선택 PDF 출력 / 인쇄

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 접선의 방정식 \(y = (3t^2-3)x - 2t^3\) 정확히 유도	10점
2단계	[소문항 (1)] 인수분해 \((x-t)^2(x+2t)=0\)을 통한 교점 \(Q(-2t, -8t^3+6t)\) 산출	15점
3단계	[소문항 (2)] 넓이 공식 또는 정적분 전개를 통해 \(S(t) = \frac{27}{4}t^4\) 정확히 도출	15점
4단계	[소문항 (2)] 방정식 \(t^4=16\) 풀이로 \(t=2\) 및 점 \(P(2, 2)\) 확정	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 역함수 \(g(x) = \log_2(x-k)+1\) 및 정의역 \(x \gt k\) 정확히 제시	8점
2단계	[소문항 (1)] 기울기 \(-1\)인 직선과 \(y=x\)의 수직 관계 및 중점 존재 논증	12점
3단계	[소문항 (2)] 대칭 좌표 설정 및 거리 공식 \(\sqrt{2}(y_1-x_1) = 2\sqrt{2}\) 수립	10점
4단계	[소문항 (2)] 연립방정식 풀이를 통해 교점 \(A(2, 4), B(4, 2)\) 정확히 도출	10점
5단계	[소문항 (2)] 함수식 대입을 통해 상수 \(k = 2\) 완벽 산출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 속도 \(v(t) \ge 0\) 확인 및 총 이동 거리 \(32\text{km}\), 평균 속도 \(8\text{km/분}\) 유도	10점
2단계	[소문항 (1)] 평균값 정리 공식 수립 및 이차방정식 풀이로 \(c = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}\) 도출	15점
3단계	[소문항 (2)] 이차함수 꼭짓점 분석으로 \(t=2\)분에서 최고 속도 \(12\text{km/분}\) 산출	12점
4단계	[소문항 (2)] 가속도 함수 \(a(t) = -6t+12 \lt 0\) 풀이로 감속 구간 \(2 \lt t \le 4\) 명시	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] \(\omega^6 = 1\)을 이용한 \(\omega^{2026} = -\omega\) 축소 전개	8점
2단계	[소문항 (1)] \(\omega\)에 대한 일차 결합 정리 및 \(q = 1-p, r = p\) 유도	12점
3단계	[소문항 (2)] \(P(-1) = 3p\) 및 도함수 \(P'(-1) = -2025 - 3p\) 계산	12점
4단계	[소문항 (2)] 나머지 다항식 \(R(x) = (-2025-3p)x - 2025\) 수립	10점
5단계	[소문항 (2)] \(R(-2) = 2031\) 풀이를 통한 \(p=1, q=0, r=1\) 최종 확정	8점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 이계도함수를 통한 변곡점 \(M(1, 0)\) 정확히 도출	8점
2단계	[소문항 (1)] \(f'(x) = 9\) 풀이로 두 접점 \((3, 2), (-1, -2)\) 계산	9점
3단계	[소문항 (1)] 두 접선 \(y = 9x - 25, y = 9x + 7\) 정확히 수립	8점
4단계	[소문항 (2)] 점과 직선 사이의 거리 공식으로 반지름 \(r = 16/\sqrt{82}\) 유도	12점
5단계	[소문항 (2)] 원의 방정식 \((x-1)^2+y^2 = \frac{128}{41}\) 및 넓이 \(\frac{128}{41}\pi\) 도출	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 점 \(P_n(2^n, n)\) 및 밑변 \(\overline{Q_n R_n} = 3 \cdot 2^{n-1}\) 계산	8점
2단계	[소문항 (1)] 넓이 공식 적용 및 \(S_n = 3n \cdot 2^{n-2}\) 정확히 유도	12점
3단계	[소문항 (2)] 수열의 항 약분을 통한 상수 \(\frac{3}{4}\) 발견	12점
4단계	[소문항 (2)] 항의 개수 \(n-1\)을 반영한 합 공식 \(\frac{3}{4}(n-1)\) 수립	10점
5단계	[소문항 (2)] \(n=6\) 대입을 통한 최종 정답 \(\frac{15}{4}\) 도출	8점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 교점 \(x = \pm 2\) 및 대칭 정적분 식 수립	8점
2단계	[소문항 (1)] 정적분 계산을 통해 전체 넓이 \(A = \frac{32}{3}\) 정확히 유도	12점
3단계	[소문항 (2)] 아래쪽 영역 넓이 \(A_{\text{lower}} = \frac{4}{3}m^{3/2}\) 유도	10점
4단계	[소문항 (2)] 비율 관계 \(A_{\text{lower}} = \frac{1}{8}A = \frac{4}{3}\) 정확히 수립	12점
5단계	[소문항 (2)] 방정식 풀이를 통해 상수 \(m = 1\) 도출	8점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 두 점 사이의 기울기 \(m_n = -n(n+2)\) 정확히 계산	10점
2단계	[소문항 (1)] 직선의 방정식 수립 및 \(y=0\) 대입으로 \(x_n = n+1+\frac{1}{n(n+2)}\) 유도	15점
3단계	[소문항 (2)] 부분분수 분해 공식 \(\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\) 수립	12점
4단계	[소문항 (2)] 망원 소거 전개 및 최종 합 \(\frac{8}{9}\) 정확히 도출	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] \(f(0)=30, f'(0)=0\)을 통한 \(d=30, c=0\) 유도	7점
2단계	[소문항 (1)] \(f(10)=10, f'(10)=0\) 연립일차방정식 수립	10점
3단계	[소문항 (1)] \(a = \frac{1}{25}, b = -\frac{3}{5}\) 정확히 계산 및 함수식 완성	8점
4단계	[소문항 (2)] 이차함수 꼭짓점 분석으로 \(x=5\)에서 최소 기울기 \(-3\) 유도	12점
5단계	[소문항 (2)] 좌표 \((5, 20)\) 및 최대 경사도 \(3\) 정확히 도출	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[소문항 (1)] 수직이등분선 기하 작도를 통해 점 \(B\left(\frac{t+4}{2}, \frac{t+4}{2} \right)\) 유도	10점
2단계	[소문항 (1)] 자취의 방정식 \(y = x\) 및 범위 \(x \gt 2\) 명시	10점
3단계	[소문항 (2)] 치환 \(u = \frac{t+4}{2}\) 및 함수 \(F(t) = u + \frac{16}{u}\) 수립	8점
4단계	[소문항 (2)] 산술평균과 기하평균 부등식을 적용하여 최솟값 \(8\) 도출	12점
5단계	[소문항 (2)] 등호 조건 \(u=4\) 풀이를 통해 \(t = 4\) 정확히 확정	10점