【1단계: 구간별 자연수 개수와 $S_{63}$ 급수 표현】
\(2^m \le k \le 2^{m+1} - 1\)인 자연수 \(k\)의 개수는 \((2^{m+1} - 1) - 2^m + 1 = 2^m\)개이다. \(63 = 2^6 - 1\)이므로 \(k = 1, 2, \dots, 63\)은 \(m = 0, 1, 2, 3, 4, 5\) 구간을 빠짐없이 덮으며 \(m = 0\)일 때 \(0\times 2^0 = 0\)이므로 \(S_{63} = \displaystyle\sum_{m=1}^{5} m\cdot 2^m\)이다.

【2단계: 차분법 증명 및 $S_{63}$ 계산】
\(T_n = 1\cdot 2^1 + 2\cdot 2^2 + \cdots + n\cdot 2^n\)에서 \(2T_n = 1\cdot 2^2 + 2\cdot 2^3 + \cdots + (n-1)\cdot 2^n + n\cdot 2^{n+1}\)을 변변 빼면
\[-T_n = (2^1 + 2^2 + \cdots + 2^n) - n\cdot 2^{n+1} = 2(2^n - 1) - n\cdot 2^{n+1} = -(n - 1)2^{n+1} - 2\]이므로 \(T_n = (n - 1)2^{n+1} + 2\)이다. 여기에 \(n = 5\)를 대입하면 \(S_{63} = T_5 = 4\cdot 64 + 2 = 258\)이다.

【3단계: $S_N \ge 1000$을 만족시키는 최소 자연수 $N$】
\(S_{127} = T_6 = 5\cdot 128 + 2 = 642\)이고 \(S_{255} = T_7 = 6\cdot 256 + 2 = 1538\)이므로 최소 \(N\)은 \(128 \le N \le 255\) 구간(\(f(k) = 7\))에 속한다.
\(S_N = 642 + 7(N - 127) \ge 1000 \iff 7(N - 127) \ge 358 \iff N - 127 \ge \dfrac{358}{7} = 51 + \dfrac{1}{7}\)이므로 \(N - 127 \ge 52\), 즉 최소의 자연수는 \(N = 179\)이다.

【1단계: 역수 치환과 $a_n$ 일반항 유도】
\(a_1 = 2 \gt 0\)이므로 귀납적으로 \(a_n \gt 0\)이다. 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{a_n + 4}{2a_n} = \dfrac{2}{a_n} + \dfrac{1}{2}\), 즉 \(b_{n+1} = 2b_n + \dfrac{1}{2}\)이다.
\(b_{n+1} + \dfrac{1}{2} = 2\left(b_n + \dfrac{1}{2}\right)\)이고 \(b_1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1\)이므로 \(b_n + \dfrac{1}{2} = 2^{n-1} \implies b_n = \dfrac{2^n - 1}{2}\)이다. 따라서 \(a_n = \dfrac{2}{2^n - 1}\)이다.

【2단계: 부분분수 항등식 증명】
\[2^{k-2} a_k a_{k+1} = 2^{k-2}\cdot\frac{2}{2^k - 1}\cdot\frac{2}{2^{k+1} - 1} = \frac{2^k}{(2^k - 1)(2^{k+1} - 1)}\]이때 분자 \(2^k = (2^{k+1} - 1) - (2^k - 1)\)이므로 우변은 \(\dfrac{1}{2^k - 1} - \dfrac{1}{2^{k+1} - 1}\)과 일치한다.

【3단계: 망원합 소거와 무한급수 수렴값】
\[S_n = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2^k - 1} - \frac{1}{2^{k+1} - 1}\right) = \frac{1}{2^1 - 1} - \frac{1}{2^{n+1} - 1} = 1 - \frac{1}{2^{n+1} - 1}\]\(n \to \infty\)일 때 \(2^{n+1} - 1 \to \infty\)이므로 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = 1\)이다.

【1단계: f(0) 및 도함수 정의에 의한 f'(x), f(x) 유도】
준식에 \(x = y = 0\)을 대입하면 \(f(0) = 2f(0) \implies f(0) = 0\)이다.
도함수의 정의에 \(y = h\)를 대입하면
\[f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(h) + 3xh(x + h) - 6xh}{h} = \lim_{h \to 0}\left(\frac{f(h) - f(0)}{h} + 3x^2 + 3xh - 6x\right) = f'(0) + 3x^2 - 6x = 3x^2 - 6x - 9\]부정적분하면 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + C\)이고 \(f(0) = 0\)이므로 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x\)이다.

【2단계: 극댓값과 극솟값 도출】
\(f'(x) = 3(x + 1)(x - 3) = 0\)에서 \(x = -1\) 좌우로 부호가 \(+ \to -\), \(x = 3\) 좌우로 \(- \to +\)이므로 극댓값은 \(f(-1) = -1 - 3 + 9 = 5\), 극솟값은 \(f(3) = 27 - 27 - 27 = -27\)이다.

【3단계: 닫힌구간 [-2, 4]에서 |f(x)|의 최댓값】
구간 양 끝점과 극점에서의 함숫값은 \(f(-2) = -8 - 12 + 18 = -2\), \(f(-1) = 5\), \(f(3) = -27\), \(f(4) = 64 - 48 - 36 = -20\)이다.
따라서 \(|f(-2)| = 2,\; |f(-1)| = 5,\; |f(3)| = 27,\; |f(4)| = 20\) 중 최댓값은 \(x = 3\)일 때 \(27\)이다.

【1단계: 도함수와 극댓값·극솟값】
\(f'(x) = 2x e^x + (x^2 - 3)e^x = (x + 3)(x - 1)e^x\)이다. \(e^x \gt 0\)이므로 \(x = -3\)에서 극댓값 \(f(-3) = 6e^{-3}\)을 갖고, \(x = 1\)에서 극솟값 \(f(1) = -2e\)를 갖는다.

【2단계: 이계도함수·변곡점 및 점근 극한】
\(f''(x) = (2x + 2 + x^2 + 2x - 3)e^x = (x^2 + 4x - 1)e^x\)이다. \(x^2 + 4x - 1 = 0\)의 두 실근 \(x = -2 - \sqrt{5},\; -2 + \sqrt{5}\) 좌우에서 \(f''(x)\)의 부호가 바뀌므로 두 변곡점의 \(x\)좌표는 \(-2 \pm \sqrt{5}\)이다.
또한 \(x \lt -\sqrt{3}\)일 때 \(f(x) \gt 0\)이고 \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) (양의 방향 점근)이며, \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty\)이다.

【3단계: \(y = f(x)\)와 직선 \(y = k\)의 교점 개수 분류】
\(f(x)\)는 \((-\infty, -3]\)에서 \(0^+\)로부터 \(6e^{-3}\)까지 증가, \([-3, 1]\)에서 \(6e^{-3}\)으로부터 \(-2e\)까지 감소, \([1, \infty)\)에서 \(-2e\)로부터 \(+\infty\)까지 증가한다.
따라서 서로 다른 실근이 \(3\)개인 범위는 \(0 \lt k \lt 6e^{-3}\)이다. 전체 분류는 ① \(0 \lt k \lt 6e^{-3}\): \(3\)개, ② \(k = 6e^{-3}\) 또는 \(-2e \lt k \le 0\): \(2\)개, ③ \(k \gt 6e^{-3}\) 또는 \(k = -2e\): \(1\)개, ④ \(k \lt -2e\): \(0\)개이다.

【1단계: 접선의 x절편과 이등변삼각형 성질 증명】
\(p = 2\)이므로 접선 \(l : y_1 y = 4(x + x_1)\)에 \(y = 0\)을 대입하면 \(\mathrm{Q}(-x_1, 0)\)이다.
포물선의 정의에 의해 점 \(\mathrm{P}\)에서 준선 \(x = -2\)까지의 거리는 \(\overline{\mathrm{FP}} = x_1 + 2\)이고, \(\overline{\mathrm{FQ}} = 2 - (-x_1) = x_1 + 2\)이므로 항상 \(\overline{\mathrm{FP}} = \overline{\mathrm{FQ}}\)이다.

【2단계: 정삼각형 조건과 넓이 계산】
\(\overline{\mathrm{FP}} = \overline{\mathrm{FQ}}\)인 이등변삼각형이 정삼각형이 되려면 접선의 양의 기울기가 \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\)이어야 한다(또는 \(\overline{\mathrm{PQ}} = x_1 + 2\)).
접선 기울기 \(\dfrac{4}{y_1} = \sqrt{3} \implies y_1 = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\), \(x_1 = \dfrac{y_1^2}{8} = \dfrac{2}{3}\)이므로 \(\mathrm{P}\left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right)\)이다.
한 변의 길이는 \(x_1 + 2 = \dfrac{8}{3}\)이므로 정삼각형의 넓이는 \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\left(\dfrac{8}{3}\right)^2 = \dfrac{16\sqrt{3}}{9}\)이다.

【3단계: 초점 현의 길이와 사다리꼴 넓이】
\(\overline{\mathrm{AF}} = x_A + 2 = 6 \implies x_A = 4,\; y_A = 4\sqrt{2}\)이다. 직선 \(\mathrm{AF}\)의 방정식은 \(y = 2\sqrt{2}(x - 2)\)이므로 포물선과 연립하면
\[8(x - 2)^2 = 8x \iff x^2 - 5x + 4 = (x - 4)(x - 1) = 0 \implies x_B = 1,\; y_B = -2\sqrt{2}\]따라서 \(\overline{\mathrm{BF}} = x_B + 2 = 3\)이다. 사다리꼴 \(\mathrm{ABB}'\mathrm{A}'\)은 아랫변 \(\overline{\mathrm{AA}'} = 6\), 윗변 \(\overline{\mathrm{BB}'} = 3\), 높이 \(|y_A - y_B| = 6\sqrt{2}\)이므로 넓이는 \(\dfrac{1}{2}(6 + 3)\times 6\sqrt{2} = 27\sqrt{2}\)이다.

【1단계: 코사인법칙과 사인법칙 적용】
\(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\)이므로 \(\overline{\mathrm{AC}}^2 = 3^2 + 5^2 - 2\cdot 3\cdot 5\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 9 + 25 + 15 = 49 \implies \overline{\mathrm{AC}} = 7\)이다.
사인법칙에 의해 \(2R = \dfrac{7}{\sin(2\pi/3)} = \dfrac{7}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{14\sqrt{3}}{3} \implies R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)이다.

【2단계: 삼각형 넓이 S와 내접원 반지름 r】
\(S = \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 5\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}\)이고, 둘레의 길이가 \(3 + 5 + 7 = 15\)이므로 \(\dfrac{1}{2}r\cdot 15 = \dfrac{15\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)이다.

【3단계: 각이등분선의 길이와 내분 길이】
\(\angle \mathrm{ABD} = \angle \mathrm{CBD} = \dfrac{\pi}{3}\)이므로 넓이 합 \(S_{\triangle\mathrm{ABD}} + S_{\triangle\mathrm{CBD}} = S\)에서
\[\frac{1}{2}\cdot 3\cdot\overline{\mathrm{BD}}\sin\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\cdot 5\cdot\overline{\mathrm{BD}}\sin\frac{\pi}{3} = 2\sqrt{3}\,\overline{\mathrm{BD}} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \implies \overline{\mathrm{BD}} = \frac{15}{8}\]또한 내각 이등분선 정리에 의해 \(\overline{\mathrm{AD}} : \overline{\mathrm{CD}} = 3 : 5\)이므로 \(\overline{\mathrm{CD}} = 7 \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{35}{8}\)이다.

【1단계: 극한 조건을 통한 삼차함수 결정】
첫째 극한에서 \(f(x)\)는 최고차항이 \(x^3\), 이차항이 \(-6x^2\)인 삼차함수이다. 둘째 극한에서 분모가 \((x-3)^2 \to 0\)이므로 \(f(x)\)는 \((x - 3)^2\)을 인수로 갖는다.
\(f(x) = (x - 3)^2(x - k)\)로 놓으면 \(\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{(x-3)^2} = 3 - k = 3 \implies k = 0\)이므로 \(f(x) = x(x - 3)^2 = x^3 - 6x^2 + 9x\)이다(이차항 계수 \(-6\) 일치).
\(f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)\)이므로 극댓값은 \(f(1) = 4\), 극솟값은 \(f(3) = 0\)이다.

【2단계: 누적 최댓값 함수 M(t)와 미분가능성 판정】
방정식 \(f(x) = 4 \iff x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = (x - 1)^2(x - 4) = 0\)이므로 \(f(4) = 4\)이다. 따라서
\[M(t) = \begin{cases} t^3 - 6t^2 + 9t & (t \le 1) \\ 4 & (1 \lt t \lt 4) \\ t^3 - 6t^2 + 9t & (t \ge 4) \end{cases}\]\(t = 1\)에서는 \(f'(1) = 0\)이므로 좌·우미분계수가 모두 \(0\)으로 일치하여 미분가능하다. 반면 \(t = 4\)에서는 좌미분계수가 \(0\), 우미분계수가 \(f'(4) = 3\cdot 3\cdot 1 = 9 \neq 0\)이므로 \(t = 4\)에서만 미분가능하지 않다.

【3단계: 구간 분할 정적분 계산】
\(F(t) = \dfrac{t^4}{4} - 2t^3 + \dfrac{9}{2}t^2\)이라 하면 \(F(0) = 0,\; F(1) = \dfrac{11}{4},\; F(4) = 8,\; F(5) = \dfrac{75}{4}\)이므로
\[\int_0^5 M(t)\,dt = \int_0^1 f(t)\,dt + \int_1^4 4\,dt + \int_4^5 f(t)\,dt = \frac{11}{4} + 12 + \left(\frac{75}{4} - 8\right) = \frac{11 + 43}{4} + 12 = \frac{27}{2} + 12 = \frac{51}{2}\]

【1단계: 상수 A, B 치환 연립과 f(x) 결정】
\(f(x) = 6x^2 - 6Ax + 4B\)를 \(A, B\)의 정의식에 각각 대입하면
\[A = \int_0^1 (6t^2 - 6At + 4B)\,dt = 2 - 3A + 4B \iff 4A - 4B = 2 \iff A - B = \frac{1}{2}\]\[B = \int_0^1 (6t^3 - 6At^2 + 4Bt)\,dt = \frac{3}{2} - 2A + 2B \iff 2A - B = \frac{3}{2}\]두 식을 변변 빼면 \(A = 1,\; B = \dfrac{1}{2}\)이므로 \(f(x) = 6x^2 - 6x + 2\)이다.

【2단계: 외부 점에서 그은 두 접선의 방정식】
접점을 \((s, 6s^2 - 6s + 2)\)라 하면 \(f'(s) = 12s - 6\)이므로 접선은 \(y - (6s^2 - 6s + 2) = (12s - 6)(x - s)\)이다. 점 \(\left(\dfrac{1}{2}, -1\right)\)을 대입하면 \(-1 - 6s^2 + 6s - 2 = (12s - 6)\left(\dfrac{1}{2} - s\right) = -12s^2 + 12s - 3 \iff 6s^2 - 6s = 0\)이므로 \(s = 0\) 또는 \(s = 1\)이다.
따라서 두 접점은 \((0, 2)\)와 \((1, 2)\)이고, 두 접선의 방정식은 \(y = -6x + 2\)와 \(y = 6x - 4\)이다.

【3단계: 대칭성을 이용한 곡선과 두 접선 사이 넓이】
곡선과 두 접선은 모두 직선 \(x = \dfrac{1}{2}\)에 대하여 대칭이므로 구하는 넓이는
\[S = 2\int_0^{1/2} \bigl\{(6x^2 - 6x + 2) - (-6x + 2)\bigr\}\,dx = 2\int_0^{1/2} 6x^2\,dx = 2\bigl[2x^3\bigr]_0^{1/2} = \frac{1}{2}\]

【1단계: 부분적분법에 의한 점화식 유도】
\(u(x) = \sin^{n-1} x,\; v'(x) = \sin x\)로 놓으면 \(u'(x) = (n-1)\sin^{n-2} x\cos x,\; v(x) = -\cos x\)이므로
\[I_n = \bigl[-\sin^{n-1} x\cos x\bigr]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{n-2} x(1 - \sin^2 x)\,dx = 0 + (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n\]이항하여 정리하면 \(n I_n = (n - 1)I_{n-2} \iff I_n = \dfrac{n - 1}{n}I_{n-2}\)이다.

【2단계: $I_4$, $I_5$ 계산과 불변량 $n I_n I_{n-1}$ 증명】
\(I_0 = \dfrac{\pi}{2},\; I_1 = \bigl[-\cos x\bigr]_0^{\pi/2} = 1\)이므로 \(I_4 = \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{16}\), \(I_5 = \dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot 1 = \dfrac{8}{15}\)이다.
\(n \ge 2\)일 때 \(n I_n = (n-1)I_{n-2}\)의 양변에 \(I_{n-1}\)을 곱하면 \(n I_n I_{n-1} = (n-1)I_{n-1}I_{n-2}\)이므로 귀납적으로 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(n I_n I_{n-1} = 1\cdot I_1 I_0 = \dfrac{\pi}{2}\)로 일정하다.

【3단계: 정적분 부등식과 조임정리 극한】
\(0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(0 \le \sin x \le 1\)이므로 \(\sin^{n+1} x \le \sin^n x \le \sin^{n-1} x\)이고 적분하면 \(I_{n+1} \le I_n \le I_{n-1}\)이다.
\(I_{n-1} \gt 0\)으로 나누면 \(\dfrac{n}{n+1} = \dfrac{I_{n+1}}{I_{n-1}} \le \dfrac{I_n}{I_{n-1}} \le 1\)이므로 조임정리에 의해 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{I_n}{I_{n-1}} = 1\)이다.
따라서 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n I_n^2 = \lim_{n \to \infty} (n I_n I_{n-1})\cdot\frac{I_n}{I_{n-1}} = \frac{\pi}{2}\cdot 1 = \frac{\pi}{2}\)이다.

【1단계: 평면의 방정식과 수선의 발 H】
평면 \(\alpha\)의 방정식은 \(\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{3} = 1 \iff x + 2y + 2z - 6 = 0\)이며 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 2, 2)\)이다.
수선의 발 \(\mathrm{H}\)는 \(\overrightarrow{\mathrm{OH}} = t\vec{n} = (t, 2t, 2t)\)이므로 평면 식에 대입하면 \(t + 4t + 4t = 6 \implies t = \dfrac{2}{3}\)이다. 따라서 \(\mathrm{H}\left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{3}, \dfrac{4}{3}\right)\)이고 \(\overline{\mathrm{OH}} = \dfrac{2}{3}\sqrt{1 + 4 + 4} = 2\)이다.

【2단계: 사면체 부피와 삼각형 ABC의 넓이】
세 모서리 \(\mathrm{OA}, \mathrm{OB}, \mathrm{OC}\)가 서로 수직이므로 사면체 \(\mathrm{OABC}\)의 부피는 \(V = \dfrac{1}{6}\times 6 \times 3 \times 3 = 9\)이다.
한편 \(V = \dfrac{1}{3} \times S_{\triangle\mathrm{ABC}} \times \overline{\mathrm{OH}}\)에서 \(9 = \dfrac{1}{3}\times S_{\triangle\mathrm{ABC}} \times 2 \implies S_{\triangle\mathrm{ABC}} = \dfrac{27}{2}\)이다.

【3단계: 이면각 코사인값과 원의 정사영 넓이】
\(xy\)평면의 법선벡터 \(\vec{k} = (0, 0, 1)\)과 \(\vec{n} = (1, 2, 2)\)가 이루는 예각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta = \dfrac{|(1,2,2)\cdot(0,0,1)|}{3\cdot 1} = \dfrac{2}{3}\)이다.
반지름 \(3\)인 원의 넓이는 \(9\pi\)이므로 \(xy\)평면 위로의 정사영의 넓이는 \(9\pi\cos\theta = 9\pi\times\dfrac{2}{3} = 6\pi\)이다.

【1단계: 음이 아닌 정수해와 양의 정수해 개수】
음이 아닌 정수해의 개수는 \({}_{4}\mathrm{H}_{12} = {}_{15}\mathrm{C}_{12} = {}_{15}\mathrm{C}_{3} = \dfrac{15\cdot 14\cdot 13}{6} = 455\)이다.
양의 정수해(\(x, y, z, w \ge 1\))는 각각 \(1\)을 먼저 배분하면 \({}_{4}\mathrm{H}_{8} = {}_{11}\mathrm{C}_{8} = {}_{11}\mathrm{C}_{3} = \dfrac{11\cdot 10\times 9}{6} = 165\)이다.

【2단계: 상한 조건(4 이하) 정수해 개수】
\(x' = 4 - x,\; y' = 4 - y,\; z' = 4 - z,\; w' = 4 - w\)로 치환하면 \(0 \le x, y, z, w \le 4 \iff 0 \le x', y', z', w' \le 4\)이고 합은
\[x' + y' + z' + w' = 16 - (x + y + z + w) = 4\]합이 \(4\)이므로 각 변수가 자동으로 \(4\) 이하가 된다. 따라서 해의 개수는 \({}_{4}\mathrm{H}_{4} = {}_{7}\mathrm{C}_{4} = {}_{7}\mathrm{C}_{3} = 35\)이다.
(참고: 포함·배제의 원리로도 \(455 - 4\cdot{}_{4}\mathrm{H}_{7} + 6\cdot{}_{4}\mathrm{H}_{2} = 455 - 480 + 60 = 35\)로 동일하다.)

【3단계: \(x = y\)일 확률 계산】
\(x = y \iff x' = y' = k\) (\(k \in \{0, 1, 2\}\))이고 \(z' + w' = 4 - 2k\)이다.
• \(k = 0\): \(z' + w' = 4 \implies {}_{2}\mathrm{H}_{4} = 5\)개
• \(k = 1\): \(z' + w' = 2 \implies {}_{2}\mathrm{H}_{2} = 3\)개
• \(k = 2\): \(z' + w' = 0 \implies {}_{2}\mathrm{H}_{0} = 1\)개
총 \(5 + 3 + 1 = 9\)개이므로 구하는 확률은 \(\dfrac{9}{35}\)이다.

【1단계: 역함수 함숫값과 합성함수 미분계수】
\(f'(x) = 1 + 2e^{2x} \gt 1 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)는 실수 전체에서 미분가능하다. \(f(0) = 0 + e^0 = 1\)이므로 \(g(1) = 0\)이고 \(g'(1) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{1 + 2} = \dfrac{1}{3}\)이다.
연쇄법칙에 의해 \(h'(x) = 2g'(2x + 1)\)이므로 \(h'(0) = 2g'(1) = \dfrac{2}{3}\)이다.

【2단계: 역함수 도함수 상계와 평균값 정리 부등식】
\(y \ge 1\)일 때 \(g\)는 순증가하므로 \(g(y) \ge g(1) = 0\)이고, \(f'(g(y)) = 1 + 2e^{2g(y)} \ge 1 + 2 = 3\)이다. 따라서 \(0 \lt g'(y) = \dfrac{1}{f'(g(y))} \le \dfrac{1}{3}\)이다.
닫힌구간 \([a, b] \subset [1, \infty)\)에서 \(g\)에 평균값 정리를 적용하면 \(\dfrac{g(b) - g(a)}{b - a} = g'(c)\)인 \(c \in (a, b)\)가 존재하고, \(0 \lt g'(c) \le \dfrac{1}{3}\)이므로 양변에 \(b - a \gt 0\)을 곱하면 \(0 \lt g(b) - g(a) \le \dfrac{1}{3}(b - a)\)가 성립한다.

【3단계: 역함수의 정적분 계산】
\(f(1) = 1 + e^2\)이므로 \(g(1 + e^2) = 1\)이다. 직사각형 넓이 차 공식에 의해
\[\int_1^{1+e^2} g(x)\,dx = 1\cdot(1 + e^2) - 0\times 1 - \int_0^1 (x + e^{2x})\,dx = 1 + e^2 - \left[\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1 = 1 + e^2 - \frac{1}{2}e^2 = 1 + \frac{1}{2}e^2\]

【1단계: 변수 분리 미분과 사차다항식 도출】
\(F(x) = x\displaystyle\int_0^x (t^2 - 4t + 3)\,dt - \int_0^x t(t^2 - 4t + 3)\,dt\)를 미분하면
\[F'(x) = \int_0^x (t^2 - 4t + 3)\,dt = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x = \frac{1}{3}x(x - 3)^2\]이고 \(F'(x)\)의 도함수는 \((x - 1)(x - 3)\)이다. \(F(0) = 0\)이므로 적분하면 \(F(x) = \dfrac{1}{12}x^4 - \dfrac{2}{3}x^3 + \dfrac{3}{2}x^2\)이다.

【2단계: 극솟값과 $x = 3$ 무극값 논증】
\(F'(x) = \dfrac{1}{3}x(x - 3)^2\)에서 \(x = 0\) 좌우로 부호가 \(- \to +\)이므로 \(x = 0\)에서 유일한 극솟값 \(F(0) = 0\)을 갖는다.
반면 \(x = 3\) 좌우에서는 \((x - 3)^2 \gt 0\)이고 \(x \gt 0\)이므로 \(F'(x)\)의 부호가 \(+ \to +\)로 바뀌지 않아 극값을 갖지 않는다.

【3단계: 점 (3, F(3))에서의 접선과 둘러싸인 넓이】
\(F(3) = \dfrac{81}{12} - 18 + \dfrac{27}{2} = \dfrac{9}{4}\)이고 \(F'(3) = 0\)이므로 접선 \(l\)은 \(y = \dfrac{9}{4}\)이다.
\(\dfrac{9}{4} - F(x) = -\dfrac{1}{12}(x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 27) = -\dfrac{1}{12}(x - 3)^3(x + 1)\)이므로 다른 교점은 \(x = -1\)이다. \(u = 3 - x\)로 치환하면
\[S = \frac{1}{12}\int_{-1}^3 (3 - x)^3(x + 1)\,dx = \frac{1}{12}\int_0^4 u^3(4 - u)\,du = \frac{1}{12}\left[u^4 - \frac{u^5}{5}\right]_0^4 = \frac{1}{12}\cdot\frac{256}{5} = \frac{64}{15}\]

【1단계: 순환 부분적분과 $S_1$ 도출】
\(J = \displaystyle\int e^{-x}\sin x\,dx\)라 하고 부분적분법을 두 번 적용하면
\[J = -e^{-x}\sin x + \int e^{-x}\cos x\,dx = -e^{-x}\sin x - e^{-x}\cos x - J \implies J = -\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x) + C\]\(0 \le x \le \pi\)에서 \(\sin x \ge 0\)이므로 \(S_1 = \left[-\dfrac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x)\right]_0^\pi = \dfrac{1}{2}e^{-\pi} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 + e^{-\pi}}{2}\)이다.

【2단계: 치환적분을 통한 등비수열 증명】
\(x = (n - 1)\pi + u\) (\(0 \le u \le \pi\))로 치환하면 \(|\sin((n-1)\pi + u)| = |(-1)^{n-1}\sin u| = \sin u\)이므로
\[S_n = \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} e^{-x}|\sin x|\,dx = e^{-(n-1)\pi}\int_0^\pi e^{-u}\sin u\,du = \frac{1 + e^{-\pi}}{2}e^{-(n-1)\pi}\]따라서 \(\{S_n\}\)은 첫째항 \(S_1 = \dfrac{1 + e^{-\pi}}{2}\), 공비 \(r = e^{-\pi}\) (\(0 \lt e^{-\pi} \lt 1\))인 등비수열이다.

【3단계: 무한등비급수와 교대급수 합】
\[\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \frac{(1 + e^{-\pi})/2}{1 - e^{-\pi}} = \frac{e^\pi + 1}{2(e^\pi - 1)}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}S_n = \frac{(1 + e^{-\pi})/2}{1 - (-e^{-\pi})} = \frac{1}{2}\]

【1단계: 내적과 일차결합 표현】
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 4\times 6\cos\dfrac{\pi}{3} = 12\)이고, \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = |\overrightarrow{\mathrm{AC}} - \overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2 = 36 + 16 - 24 = 28 \implies \overline{\mathrm{BC}} = 2\sqrt{7}\)이다.
\(2(-\overrightarrow{\mathrm{AP}}) + 3(\overrightarrow{\mathrm{AB}} - \overrightarrow{\mathrm{AP}}) + (\overrightarrow{\mathrm{AC}} - \overrightarrow{\mathrm{AP}}) = \vec{0}\)에서 \(6\overrightarrow{\mathrm{AP}} = 3\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AC}}\), 즉 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \dfrac{1}{6}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)이다.

【2단계: 내분점 구성을 통한 넓이 비 유도】
변 \(\mathrm{BC}\)를 \(1 : 3\)으로 내분하는 점을 \(\mathrm{D}\)라 하면 \(4\overrightarrow{\mathrm{AD}} = 3\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AC}}\)이므로 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}\)이다(즉 \(\mathrm{P}\)는 \(\overline{\mathrm{AD}}\)를 \(2:1\)로 내분).
전체 넓이를 \(S\)라 하면 \(S_{\triangle\mathrm{PBC}} = \dfrac{1}{3}S = \dfrac{2}{6}S\), \(S_{\triangle\mathrm{PAB}} = \dfrac{2}{3}S_{\triangle\mathrm{ABD}} = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{4}S = \dfrac{1}{6}S\), \(S_{\triangle\mathrm{PCA}} = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}S = \dfrac{3}{6}S\)이므로 넓이의 비는 \(1 : 2 : 3\)이다.

【3단계: 선분 AP의 길이와 동점 벡터 내적 최대·최소】
\(|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2 = \dfrac{1}{4}(16) + \dfrac{1}{36}(36) + 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{6}(12) = 4 + 1 + 2 = 7 \implies \overline{\mathrm{AP}} = \sqrt{7}\)이다.
또한 \(\overrightarrow{\mathrm{BP}} = \overrightarrow{\mathrm{AP}} - \overrightarrow{\mathrm{AB}} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \dfrac{1}{6}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)이므로
\[|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2 = \frac{1}{4}(16) + \frac{1}{36}(36) - \frac{1}{6}(12) = 4 + 1 - 2 = 3 \implies |\overrightarrow{\mathrm{BP}}| = \sqrt{3}\]\(|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}| = 2\)이고 \(\mathrm{Q}\)가 원 전체를 움직이므로 \(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BP}}\)의 최댓값은 \(2\sqrt{3}\), 최솟값은 \(-2\sqrt{3}\)이다.

【1단계: 일반항과 부분합 최솟값】
\(a_n = -17 + 3(n - 1) = 3n - 20\)이다. \(a_n \lt 0 \iff 3n \lt 20 \iff n \le 6\)이고 \(a_6 = -2,\; a_7 = 1\)이므로 \(n = 6\)일 때 \(S_n\)이 최소이며 최솟값은 \(S_6 = \dfrac{6(-17 + (-2))}{2} = -57\)이다.

【2단계: 절댓값 합 $T_n$의 일반식과 $T_{15}$ 계산】
\(S_n = \dfrac{n(-34 + 3n - 3)}{2} = \dfrac{3n^2 - 37n}{2}\)이다. \(n \ge 7\)일 때
\[T_n = -\sum_{k=1}^{6} a_k + \sum_{k=7}^{n} a_k = -S_6 + (S_n - S_6) = S_n - 2S_6 = \frac{3n^2 - 37n + 228}{2}\]\(n = 15\)를 대입하면 \(S_{15} = \dfrac{15(45 - 37)}{2} = 60\)이므로 \(T_{15} = 60 - 2(-57) = 174\)이다.

【3단계: 부분분수 분해 무한급수】
\(n \ge 7\)에서 \(\dfrac{1}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{1}{(3n - 20)(3n - 17)} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3n - 20} - \dfrac{1}{3n - 17}\right)\)이므로
\[\sum_{n=7}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+1}} = \lim_{M \to \infty}\frac{1}{3}\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3M - 17}\right) = \frac{1}{3}\]

【1단계: 몫의 미분법과 극값 계산】
\(f'(x) = \dfrac{4(x^2 + 3) - 4x(2x)}{(x^2 + 3)^2} = \dfrac{4(3 - x^2)}{(x^2 + 3)^2}\)이다.
\(x = \sqrt{3}\)에서 극댓값 \(f(\sqrt{3}) = \dfrac{4\sqrt{3}}{6} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)을 갖고, 기함수 대칭성에 의해 \(x = -\sqrt{3}\)에서 극솟값 \(-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)를 갖는다.

【2단계: 세 변곡점 좌표와 한 직선 위 공선성 증명】
\[f''(x) = 4\cdot\frac{-2x(x^2 + 3)^2 - (3 - x^2)\cdot 2(x^2 + 3)(2x)}{(x^2 + 3)^4} = \frac{8x(x^2 - 9)}{(x^2 + 3)^3}\]\(x = -3, 0, 3\) 좌우에서 \(f''(x)\)의 부호가 모두 바뀌므로 세 변곡점은 \(\mathrm{A}(-3, -1),\; \mathrm{O}(0, 0),\; \mathrm{B}(3, 1)\)이다. 세 점 모두 직선 \(l : y = \dfrac{1}{3}x\)의 방정식을 만족시키므로 한 직선 위에 놓인다.

【3단계: 제1사분면 곡선과 직선 사이 넓이】
\(0 \lt x \lt 3\)에서 \(\dfrac{4x}{x^2 + 3} - \dfrac{1}{3}x = \dfrac{x(9 - x^2)}{3(x^2 + 3)} \gt 0\)이므로 구하는 넓이는
\[S = \int_0^3 \left(\frac{4x}{x^2 + 3} - \frac{1}{3}x\right)dx = \left[2\ln(x^2 + 3) - \frac{1}{6}x^2\right]_0^3 = \left(2\ln 12 - \frac{3}{2}\right) - 2\ln 3 = 2\ln 4 - \frac{3}{2} = 4\ln 2 - \frac{3}{2}\]

【1단계: 매개변수 접선의 기울기와 방정식】
\(x'(\theta) = 2(1 - \cos\theta),\; y'(\theta) = 2\sin\theta\)이고 \(0 \lt \theta \lt 2\pi\)에서 \(1 - \cos\theta \neq 0\)이므로 \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sin\theta}{1 - \cos\theta}\)이다.
\(\dfrac{\sin\theta}{1 - \cos\theta} = 1 \iff \sin\theta + \cos\theta = 1\)이고 \(0 \lt \theta \lt 2\pi\)에서 \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\)이다. 대응하는 점은 \((\pi - 2, 2)\)이므로 접선의 방정식은 \(y - 2 = 1\cdot\bigl(x - (\pi - 2)\bigr) \iff y = x - \pi + 4\)이다.

【2단계: 최고점 좌표와 넓이 치환적분 식】
\(y(\theta) = 2(1 - \cos\theta)\)는 \(\cos\theta = -1\), 즉 \(\theta = \pi\)일 때 최댓값 \(4\)를 가지며 최고점의 좌표는 \((2\pi, 4)\)이다.
제시문 (가)에 의해 \(S = \displaystyle\int_0^{2\pi} 2(1 - \cos\theta)\cdot 2(1 - \cos\theta)\,d\theta = 4\int_0^{2\pi} (1 - \cos\theta)^2\,d\theta\)이다.

【3단계: 반각 공식을 통한 정적분 완료】
\((1 - \cos\theta)^2 = 1 - 2\cos\theta + \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2} = \dfrac{3}{2} - 2\cos\theta + \dfrac{1}{2}\cos 2\theta\)이므로
\[S = 4\left[\frac{3}{2}\theta - 2\sin\theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta\right]_0^{2\pi} = 4 \times 3\pi = 12\pi\]굴러간 반지름 \(2\)인 원의 넓이가 \(4\pi\)이므로 \(S\)는 원의 넓이의 정확히 \(3\)배이다.

【1단계: 초기 확률 \(p_1\)과 전이 점화식 수립】
이동 확률은 \(\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\), 잔류 확률은 \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)이므로 \(p_1 = \dfrac{2}{3}\)이다.
\(n\)회 후 \(\mathrm{A}\)방에 있을 확률이 \(p_n\), 반대편 \(\mathrm{B}\)방에 있을 확률이 \(1 - p_n\)이므로
\[p_{n+1} = \frac{2}{3}p_n + \frac{1}{3}(1 - p_n) = \frac{1}{3}p_n + \frac{1}{3}\]

【2단계: 일반항 유도 및 \(p_4\) 계산】
\(p_{n+1} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\left(p_n - \dfrac{1}{2}\right)\)이고 \(p_1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}\)이므로
\[p_n - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^n \implies p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^n\]따라서 \(p_4 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{162} = \dfrac{82}{162} = \dfrac{41}{81}\)이다.

【3단계: 장기 평형 극한과 편차 무한급수】
\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^n \to 0\)이므로 \(\alpha = \displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n = \frac{1}{2}\)이다.
편차 급수는 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(p_n - \frac{1}{2}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{1/6}{1 - 1/3} = \frac{1}{4}\)이다.

【1단계: 원 C까지의 거리 범위와 선분 PQ의 최소·최대】
원 \(C\) 위의 점 \(\mathrm{Q}(x, y, 0)\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{AQ}} = \sqrt{x^2 + y^2 + 144}\)이다.
\(xy\)평면에서 원점 \((0,0)\)으로부터 중심 \((7,0)\), 반지름 \(2\)인 원 \(C\) 위의 점까지의 거리 \(\sqrt{x^2 + y^2}\)은 \(7 - 2 = 5\) 이상 \(7 + 2 = 9\) 이하이다.
따라서 \(\overline{\mathrm{AQ}}_{\min} = \sqrt{25 + 144} = 13\), \(\overline{\mathrm{AQ}}_{\max} = \sqrt{81 + 144} = 15\)이며, 구의 반지름이 \(3\)이므로 \(\overline{\mathrm{PQ}}_{\min} = 13 - 3 = 10\), \(\overline{\mathrm{PQ}}_{\max} = 15 + 3 = 18\)이다.

【2단계: 최소 거리 달성점 \(\mathrm{P}_0, \mathrm{Q}_0\)의 좌표】
\(\sqrt{x^2 + y^2} = 5\)일 때 \(\mathrm{Q}_0(5, 0, 0)\)이고, \(\mathrm{P}_0\)은 선분 \(\mathrm{AQ}_0\)을 \(3 : 10\)으로 내분하는 점이므로
\[\overrightarrow{\mathrm{OP}_0} = \frac{10\overrightarrow{\mathrm{OA}} + 3\overrightarrow{\mathrm{OQ}_0}}{13} = \left(\frac{15}{13},\; 0,\; \frac{120}{13}\right)\]

【3단계: 구와 평면 \(\alpha\) 사이의 거리 판정】
중심 \(\mathrm{A}(0, 0, 12)\)와 평면 \(\alpha\) 사이의 거리는 \(d = \dfrac{|0 + 0 + 144 - 79|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \dfrac{65}{13} = 5\)이다.
\(d = 5 \gt 3\) (반지름)이므로 구 \(S\)와 평면 \(\alpha\)는 만나지 않으며, 수선의 길이의 최솟값은 \(5 - 3 = 2\), 최댓값은 \(5 + 3 = 8\)이다.

【1단계: 한 주기 항 나열과 가중합 계산】
\((a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6) = \left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}, -1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, 1\right)\)이므로 합은 \(0\)이다.
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{6} k a_k = \frac{1}{2} - 1 - 3 - 2 + \frac{5}{2} + 6 = 3\)이다.

【2단계: 블록 가중합 불변성과 60항 합】
\(k = 6(m - 1) + j\) (\(j = 1, \dots, 6\))로 치환하면 \(a_{6(m-1)+j} = a_j\)이므로
\[\sum_{k=6m-5}^{6m} k a_k = 6(m-1)\sum_{j=1}^{6} a_j + \sum_{j=1}^{6} j a_j = 0 + 3 = 3\]따라서 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{60} k a_k = \sum_{m=1}^{10} 3 = 30\)이다.

【3단계: 주기 6 등비 블록 합에 의한 무한급수 계산】
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{6} \frac{a_k}{2^k} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{8} - \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{64} = 0\)이고 각 \(6\)항 블록은 \(\dfrac{1}{64}\)배씩 축소되므로(일반항 \(|a_n/2^n| \le 1/2^n \to 0\)) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n} = 0\)이다.
한편 \((b_1, \dots, b_6) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}(1, 1, 0, -1, -1, 0)\)이므로 첫 블록 합은 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{32}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{21}{32} = \dfrac{21\sqrt{3}}{64}\)이고, 공비 \(\dfrac{1}{64}\)인 등비급수로 더하면 \(\dfrac{21\sqrt{3}/64}{1 - 1/64} = \dfrac{21\sqrt{3}}{63} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)이다.