2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 153쪽 단권화

2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본

2027학년도 경희대학교 의학계열
자연계열 수리논술
10회분 통합 마스터 문제집·해설집

출제 범위: 교과서 기반 교육과정 수학 전 범위 (Textbook DB SSOT)
시험 시간: 120분 | 전형 반영: 논술 100% (수능최저 3합 4 충족자 일괄합산 · 실질경쟁률 급감 구조)

📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 153쪽 완결]

• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭

• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (31p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (15문항)

• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (65p): 출제 타당성 보고서(4p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)

• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (51p): 50문항 전수 아코디언 정밀 해설

• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터

📱 스마트폰 실시간 합격진단 & 올인원 대시보드 연동

우측 QR 스캔 또는 상단 툴바 버튼으로 경희대학교 의학계열 실시간 컷오프 시뮬레이터와 즉시 동기화됩니다.

발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: QUESTIO-2027-UNIFIED-MASTER

전형 반영 비율

논술 100% (수능최저 3합 4 충족자 일괄합산 · 실질경쟁률 급감 구조)

논술 실질 변별력 핵심

시험 시간 · 문항

120분 · 5문항

회차당 수리 100점 만점

수능최저학력기준

모집단위별 기준 확인

국·수(미/기)·영·과탐(2평균) 중 3개 영역 등급합 4 이

출제 교육과정

교과서 기반 수학과

Textbook DB V1.0 완벽 준거

STEP 1기출 5개년 해부Part 1 정독

STEP 2표준 모의 1~5회실전 시간 엄수

STEP 3킬러 모의 6~10회TOP 5 심화 격파

STEP 4루브릭 약점 교정감점 요인 제거

STEP 5입결 컷오프 판정Part 3 시뮬레이션

📈 5개년 출제 경향 및 2027학년도 핵심 대비 전략

경희대학교 의·약학계열(의예과·치의예과·한의예과·약학과) 논술우수자전형은 논술 100% 일괄합산과 국·수·영·과탐(2평균) 3개 등급합 4 이내의 강력한 수능최저학력기준이 결합되어 명목경쟁률(100~170:1) 대비 실질경쟁률이 1/5 이하(8~22:1)로 급감하는 최상위 메디컬 핵심 전형입니다.

최근 5개년(2022~2026) 및 2027 모의논술 분석 결과, 수리논술은 ① 초월함수 미적분·변곡점과 등비급수 결합 추론(미적분Ⅱ), ② 연속/이산확률변수 기댓값 및 조건부확률 수리모델링(확률과 통계), ③ 이차곡선 접선·평면벡터·삼수선과 공간 평면의 방정식(기하)이 매년 핵심 킬러 문항으로 출제되고 있습니다.

🔥 역대 킬러 문항 TOP 5 분석 & 실전 모의고사 6~10회 1:1 심화 매칭표

순위	기출 원천 문항	핵심 출제 테마 및 변별 포인트	모의 1:1 매칭	부분점수 공략 전략
TOP 1	2027 모의 의·약학 논제 Ⅰ	유리·초월함수의 이계도함수 변곡점 수열과 무한등비급수의 합	제6회 문항 3 · 문항 4	이계도함수 부호 변화로 변곡점 좌표를 일반항으로 표현하고 공비 범위를 엄밀히 검증
TOP 2	2026학년도 의·약학 논제 Ⅰ	삼수선의 정리·이면각의 코사인과 공간 평면/사면체 부피 최적화	제7회 문항 5 · 제9회 문항 5	수선의 발 좌표를 법선벡터·정사영 공식으로 대수화하여 계산 실수 원천 차단
TOP 3	2026학년도 의·약학 논제 Ⅱ	연속확률밀도함수의 정적분 구간 설정과 조건부확률 최대·최소	제8회 문항 4 · 제10회 문항 4	전확률 정적분 값이 1임을 먼저 등식화하고 구간 경계에서 미분가능성 판별
TOP 4	2025학년도 의·약학 논제 Ⅰ-1	타원·쌍곡선 반사경 기하 성질과 접선의 기울기 극한 추론	제6회 문항 5 · 제8회 문항 5	이차곡선의 정의(초점 거리 합·차)와 접선 방정식을 연립하여 매개변수 소거
TOP 5	2022~2024 의·약학 복합형	생체 약물동태(PK)·효소반응 미분방정식 근사 모형과 정적분 넓이	제9회 문항 3 · 제10회 문항 3	제시문 물리·생명 변수를 교과서 함수 기호로 즉시 치환한 뒤 도함수 증감표 작성

📌 본 통합 마스터북 100% 활용 5단계 로드맵

STAGE 1

STEP 1 (Part 1 공식 기출 15문항 완파): 2027 모의논술 및 2022~2026학년도 5개년 의·약학계열 공식 기출과 좌우 스프레드 교과서 1:1 연계 문항으로 출제자의 채점 언어를 체화합니다.

STAGE 2

STEP 2 (Part 2-1 · 2-2 실전 모의 1~5회 + 킬러 6~10회 훈련): 생체·의약학 수리모델링과 기하·확통 고난도 논증이 결합된 50문항을 실전 답안지에 서술하고 단계별 부분점수 루브릭으로 정밀 첨삭합니다.

STAGE 3

STEP 3 (Part 3 의·치·한·약 실시간 합격 시뮬레이터 진단): 문항별 득점을 입력하여 의예과(93.5점)·치의예과(91.5점)·한의예과(90.0점)·약학과(89.0점) 합격권 대비 취약 단원을 즉시 보완합니다.

PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS

2022~2026학년도 경희대학교 의학계열
공식 기출 심층 해설 & 교과서 1:1 연계

최근 5개년 기출 핵심 15문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.

📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록

📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공

✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ, 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 함수의 몫의 미분법, 이계도함수, 함수의 증가와 감소, 등비급수의 수렴과 합 ⏱️ 권장 시간: 55분

제시문

[가] 함수의 몫의 미분법: 함수 $f(x)\ (f(x) \ne 0)$가 미분가능할 때 $\left\{\dfrac{1}{f(x)}\right\}' = -\dfrac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}$

[나] 함수의 증가와 감소: 함수 $f(x)$가 어떤 열린구간에서 미분가능할 때 그 열린구간에 속하는 모든 $x$에 대하여
(1) $f'(x) \gt 0$이면 $f(x)$는 그 열린구간에서 증가한다. (2) $f'(x) \lt 0$이면 $f(x)$는 그 열린구간에서 감소한다.

[다] 등비급수의 수렴과 발산: 등비급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1}\ (a \ne 0)$은
(1) $|r| \lt 1$일 때, 수렴하고 그 합은 $\dfrac{a}{1-r}$이다. (2) $|r| \ge 1$일 때, 발산한다.

[논제 Ⅰ] [배점 27점] 양수 $p,\ q$가 $p^2 \gt 4q,\ p - q \lt 1,\ p \lt 2$를 만족할 때, 이차방정식 $x^2 - px + q = 0$의 두 근을 $\alpha,\ \beta$라 하자. (단, $\alpha \lt \beta$) 자연수 $n$에 대해서, 함수 $f(x)$를 \[ f(x) = \frac{\alpha^n}{x - \alpha} + \frac{\beta^n}{x - \beta} \] 라 정의하자.

(1) $f''(x) = 0$이 되는 $x$의 값을 $a_n$이라 하자. 이때 $a_n$의 식을 구하여 구간 $(\alpha, \beta)$에 존재함을 보이고, 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$의 값을 계산하고, 그 근거를 논술하시오. 12점

(2) 양수 $k$에 대해서, $f(x) \gt k$를 만족하는 실수 $x$의 구간들의 길이의 총합을 $L_n$이라 하자. 이때 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} L_n$이 수렴함을 증명하고, 그 합을 $p,\ q,\ k$에 관한 식으로 나타내고, 그 근거를 논술하시오. 15점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

【유사 연습 문제】 정적분 $\displaystyle \int_1^e x \ln x \, dx$의 값을 부분적분법을 이용하여 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\int_1^e x \ln x \, dx = \left[\frac{1}{2}x^2 \ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{2}e^2 - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$이다.

【문항 요약】 2027학년도 모의 의·약학계열 수학Ⅰ / 논제 Ⅰ (미적분Ⅰ, 미적분Ⅱ) [배점 27점]

[2027학년도 모의 의·약학계열 수학Ⅰ / 논제 Ⅰ] 출제범위: 미적분Ⅰ, 미적분Ⅱ · 핵심개념: 함수의 몫의 미분법, 이계도함수, 함수의 증가와 감소, 등비급수의 수렴과 합 (배점 27점, 권장 55분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2027 수학Ⅰ / 논제 Ⅰ · 총 27점

■ 논제 I-(1) 예시답안 (12점)

$p^2 \gt 4q$이므로 $\alpha,\ \beta$는 서로 다른 실수이다. 한편 $g(x) = x^2 - px + q$라 하면 $g(0) = q \gt 0,\ g(1) = 1 - p + q \gt 0$이고, 대칭축 $x = \dfrac{p}{2}$이 $0$과 $1$ 사이에 있기 때문에 두 근인 $\alpha,\ \beta$는 $0 \lt \alpha \lt \beta \lt 1$을 만족한다. $\cdots\cdots (*)$
제시문 [가]를 이용하여 $f(x)$를 미분하여 계산하면 \[ f'(x) = -\left(\frac{\alpha^n}{(x-\alpha)^2} + \frac{\beta^n}{(x-\beta)^2}\right) \text{ 이고,}\quad f''(x) = 2\left(\frac{\alpha^n}{(x-\alpha)^3} + \frac{\beta^n}{(x-\beta)^3}\right) \text{ 이 된다.} \] $f''(x) = 0$에서 $\left(\dfrac{x-\alpha}{\beta-x}\right)^3 = \left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^n$이므로 $\dfrac{x-\alpha}{\beta-x} = \left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{n/3}$이다. 이 식을 풀면 \[ a_n = \frac{\alpha + \beta\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{n/3}}{1 + \left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{n/3}} \quad \cdots\cdots \text{ [4점]} \] 이 된다. 여기에서 $(*)$에 의해 $0 \lt \dfrac{\alpha}{\beta} \lt 1$이다. 따라서 \[ a_n - \alpha = \frac{\alpha + \beta\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{n/3}}{1 + \left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{n/3}} - \alpha = \frac{(\beta - \alpha)\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{n/3}}{1 + \left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{n/3}} \gt 0 \implies a_n \gt \alpha, \qquad a_n - \beta = \frac{\alpha + \beta\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{n/3}}{1 + \left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{n/3}} - \beta = \frac{\alpha - \beta}{1 + \left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{n/3}} \lt 0 \implies a_n \lt \beta \] 이다. 따라서 $a_n$은 구간 $(\alpha, \beta)$에 존재한다. $\cdots\cdots \text{ [4점]}$
그리고 $(*)$에 의해 $0 \lt \dfrac{\alpha}{\beta} \lt 1$이므로 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^n = 0$이 되어, $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$가 된다. $\cdots\cdots \text{ [4점]}$

정답 (1):$a_n = \dfrac{\alpha + \beta(\alpha/\beta)^{n/3}}{1 + (\alpha/\beta)^{n/3}} \in (\alpha, \beta),\ \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$

<그림 1: $y=f(x)$ 개형>

<그림 2: $y=k$와의 교점 $a, b$>

■ 논제 I-(2) 예시답안 (15점)

함수 $y = f(x)$는 $x \ne \alpha,\ x \ne \beta$인 모든 $x$에 대하여 연속이다. 또한 $0 \lt \alpha \lt \beta \lt 1$이므로 $f'(x) = -\left(\dfrac{\alpha^n}{(x-\alpha)^2} + \dfrac{\beta^n}{(x-\beta)^2}\right) \lt 0$가 되어, 제시문 [나]에 의해 정의역의 모든 구간에서 감소이다. 그리고 $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0,\ \lim_{x\to -\infty} f(x) = 0$이므로 $x$축이 점근선이 되고, 분모가 $0$이 되는 $x = \alpha,\ x = \beta$도 점근선이 된다. $\cdots\cdots \text{ [5점]}$
오른쪽 <그림 1>을 보면 구간 $(-\infty, \alpha)$에서는 $f(x) \lt 0$이므로 $y = k\ (k \gt 0)$와 만나지 않는다. 따라서 $y = f(x)$와 $y = k$는 구간 $(\alpha, \beta)$와 구간 $(\beta, \infty)$에서 각각 한 번만 만난다. <그림 2>와 같이 두 교점의 $x$좌표를 각각 $a,\ b$라 하자. 그러면 $f(x) \gt k$를 만족하는 구간은 $\alpha \lt x \lt a,\ \beta \lt x \lt b$가 된다. 따라서 $L_n = (a - \alpha) + (b - \beta) = (a + b) - (\alpha + \beta)$이다.
여기에서 $a$와 $b$는 $\alpha^n(x - \beta) + \beta^n(x - \alpha) = k(x - \alpha)(x - \beta)$, 즉 \[ kx^2 - \{k(\alpha + \beta) + \alpha^n + \beta^n\}x + k\alpha\beta + \alpha^n\beta + \alpha\beta^n = 0 \] 의 두 근이 된다. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면 $a + b = \dfrac{k(\alpha + \beta) + \alpha^n + \beta^n}{k} = \alpha + \beta + \dfrac{\alpha^n + \beta^n}{k}$이므로 $L_n = (a + b) - (\alpha + \beta) = \dfrac{\alpha^n + \beta^n}{k}$이다. $\cdots\cdots \text{ [5점]}$
여기에서 $0 \lt \alpha \lt \beta \lt 1$이므로 제시문 [다]에 의해 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} L_n$은 수렴하고, $\alpha + \beta = p,\ \alpha\beta = q$이므로 합은 다음과 같다. $\cdots\cdots \text{ [5점]}$ \[ \sum_{n=1}^{\infty} L_n = \frac{1}{k}\left(\frac{\alpha}{1 - \alpha} + \frac{\beta}{1 - \beta}\right) = \frac{\alpha + \beta - 2\alpha\beta}{k(1 - \alpha)(1 - \beta)} = \frac{p - 2q}{k(1 - p + q)} \]

정답 (2):$L_n = \dfrac{\alpha^n + \beta^n}{k}\ (0 \lt \alpha \lt \beta \lt 1\text{이므로 수렴}),\ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} L_n = \frac{p - 2q}{k(1 - p + q)}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 27점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-(1)	[4점] $f''(x) = 0$이 되는 $x$를 계산한다. [4점] $\alpha \lt a_n \lt \beta$를 설명한다. [4점] 극한값을 계산한다.	12점
논제 I-(2)	[5점] $y = f(x)$가 연속인 구간에서 감소임을 설명한다. [5점] $f(x) \gt k$인 구간의 길이의 합을 계산한다. [5점] 무한등비급수의 합을 계산한다.	15점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[경희대 의·약학계열 감점 방어 클리닉] 수학Ⅰ / 논제 Ⅰ 채점에서는 제시문 조건의 정의역·부호 제한 확인과 소문항 간 연결 논거 명시가 핵심입니다. 단계별 배점(12점, 15점)이 세분화되어 있으므로 중간 유도식을 생략하지 말고 서술하십시오.

정답 (1):$a_n = \dfrac{\alpha + \beta(\alpha/\beta)^{n/3}}{1 + (\alpha/\beta)^{n/3}} \in (\alpha, \beta),\ \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$ | 정답 (2): $L_n = \dfrac{\alpha^n + \beta^n}{k}\ (0 \lt \alpha \lt \beta \lt 1\text{이므로 수렴}),\ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} L_n = \frac{p - 2q}{k(1 - p + q)}$

📚 과목/단원: 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 이산확률변수의 확률질량함수, 조건부확률과 대칭성, 기댓값(평균) 비교 ⏱️ 권장 시간: 65분

제시문

[라] 이산확률변수의 기댓값(평균): 이산확률변수 $X$의 확률질량함수가 $\mathrm{P}(X = x_i) = p_i\ (i = 1, 2, \dots, n)$일 때, 확률변수 $X$의 기댓값(평균) $\mathrm{E}(X)$는 \[ \mathrm{E}(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n \]

[논제 Ⅱ] [배점 33점] 5장의 카드가 있고, 각 카드에는 서로 다른 양수가 적혀 있다. 5장의 카드는 큰 양수부터 작은 양수까지 1등, 2등, 3등, 4등, 5등으로 순위를 매길 수 있다. 카드들은 임의의 순서로 놓여 있으며, 참가자는 카드를 한 장씩 순서대로 열어 본다. 단, 참가자는 보지 못한 카드의 절대적인 양수는 알 수 없고, 지금까지 본 카드들 사이의 상대적인 크기만 비교할 수 있다. 카드를 열어 본 후 “선택”하면 그 카드를 갖고, “패스”하면 다음 카드를 본다. 한 번 패스한 카드는 되돌릴 수 없다. 마지막 카드까지 가면 그 카드를 가져야 한다.

(1) 다음 두 전략 $A,\ B$에 대해, 전략 $A$로 받게 되는 카드의 등수를 $X$, 전략 $B$로 받게 되는 카드의 등수를 $Y$라 할 때, $X,\ Y$의 기댓값을 각각 구하고, 이를 바탕으로 전략 $A,\ B$ 중 어떤 전략이 더 좋은지 설명하고, 그 근거를 논술하시오. 19점

• 전략 $A$ : 첫 번째 카드를 무조건 선택한다.
• 전략 $B$ : 첫 번째 카드를 무조건 패스하고(참고용으로만 사용), 그 이후 첫 번째 카드보다 큰 양수가 적힌 카드가 처음 나오면 선택한다. 끝까지 나오지 않으면 마지막 카드를 받는다.

(2) 전략 $C$는 처음 두 카드를 무조건 패스하고(참고용), 그 이후 두 카드 중 큰 양수보다 더 큰 양수가 적힌 카드가 처음 나오면 선택한다. 끝까지 나오지 않으면 마지막 카드를 받는다. 전략 $C$로 받게 되는 카드의 등수를 $Z$라 할 때, $Z$의 기댓값을 구하고, 이를 바탕으로 전략 $C$를 전략 $A,\ B$와 비교하고, 그 근거를 논술하시오. 14점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 조건부확률 (DB: PS_Ch02_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통02-05, 12확통02-06]

【유사 연습 문제】 주머니 A에는 흰 공 3개, 검은 공 2개가 있고 주머니 B에는 흰 공 2개, 검은 공 3개가 있다. 임의로 한 주머니를 택해 공 1개를 꺼냈더니 흰 공이었을 때, 택한 주머니가 A였을 조건부확률을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $P(W) = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5} + \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5} = \frac{1}{2}$이므로 $P(A \mid W) = \frac{3/10}{5/10} = \frac{3}{5}$이다.

【문항 요약】 2027학년도 모의 의·약학계열 수학Ⅱ / 논제 Ⅱ (확률과 통계) [배점 33점]

[2027학년도 모의 의·약학계열 수학Ⅱ / 논제 Ⅱ] 출제범위: 확률과 통계 · 핵심개념: 이산확률변수의 확률질량함수, 조건부확률과 대칭성, 기댓값(평균) 비교 (배점 33점, 권장 65분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2027 수학Ⅱ / 논제 Ⅱ · 총 33점

[표 1] $X$의 확률분포표 (전략 A)

$X$	1	2	3	4	5	합계
$\mathrm{P}(X)$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	1

[표 2] 첫 카드 1등일 때 $Y$ 조건부확률

$Y$	1	2	3	4	5
조건부확률	0	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$

[표 3] $Y$의 확률분포표 (전략 B)

$Y$	1	2	3	4	5	합계
$\mathrm{P}(Y)$	$\frac{5}{12}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{20}$	1

■ 논제 II-(1) 전략 A와 B의 비교 (19점)

① 확률변수 $X$ (전략 A, 5점): 전략 $A$는 첫 번째 카드를 무조건 선택하므로, 첫 번째 카드는 5장 중 무엇이든 동일한 확률 $\dfrac{1}{5}$로 1등~5등이 될 수 있다([표 1]). 따라서 기댓값은 $\mathrm{E}(X) = 1\cdot\dfrac{1}{5} + 2\cdot\dfrac{1}{5} + 3\cdot\dfrac{1}{5} + 4\cdot\dfrac{1}{5} + 5\cdot\dfrac{1}{5} = \dfrac{15}{5} = 3$이다. $\cdots\cdots \text{ [5점]}$
② 확률변수 $Y$ (전략 B, 8점): 첫 번째 카드를 무조건 패스하고 참고용으로만 사용하므로 첫 번째 카드의 등수(각 확률 $\dfrac{1}{5}$)에 따라 경우를 나누어 분석한다.
• 경우 1 (첫 카드가 1등): 1등보다 좋은 카드는 없으므로 2~4번째 카드는 선택되지 못하고 마지막 카드를 받는다. 나머지 $\{2,3,4,5\}$가 마지막에 올 조건부확률은 각각 $\dfrac{1}{4}$이다([표 2]).
• 경우 2 (첫 카드가 2등): 2등보다 좋은 카드는 1등뿐이므로 반드시 1등을 받는다.
• 경우 3 (첫 카드가 3등): 3등보다 좋은 1등, 2등 중 먼저 등장하는 카드가 선택되므로 각각 확률은 $\dfrac{1}{2}$이다.
• 경우 4 (첫 카드가 4등): 4등보다 좋은 1, 2, 3등 중 먼저 등장하는 카드가 선택되므로 각각 확률은 $\dfrac{1}{3}$이다.
• 경우 5 (첫 카드가 5등): 5등보다 좋은 1, 2, 3, 4등 중 먼저 등장하는 카드가 선택되므로 각각 확률은 $\dfrac{1}{4}$이다.
각 경우는 확률 $\dfrac{1}{5}$로 발생하므로 전체 확률을 합산하면([표 3]): \[ \mathrm{P}(Y=1) = \frac{1}{5}\left(0 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{5}{12},\quad \mathrm{P}(Y=2) = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{4}{15},\quad \mathrm{P}(Y=3) = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{6} \] \[ \mathrm{P}(Y=4) = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{4} + 0 + 0 + 0 + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{10},\qquad \mathrm{P}(Y=5) = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{4} + 0 + 0 + 0 + 0\right) = \frac{1}{20} \quad \cdots\cdots \text{ [8점]} \] ③ $Y$의 기댓값 및 $A, B$ 비교 (6점): $\mathrm{E}(Y) = 1\cdot\dfrac{5}{12} + 2\cdot\dfrac{4}{15} + 3\cdot\dfrac{1}{6} + 4\cdot\dfrac{1}{10} + 5\cdot\dfrac{1}{20} = \dfrac{25+32+30+24+15}{60} = \dfrac{126}{60} = \dfrac{21}{10} = 2.1$. 등수는 숫자가 작을수록 좋은 카드이므로 $\mathrm{E}(Y) = 2.1 \lt 3 = \mathrm{E}(X)$에서 전략 $B$가 평균적으로 더 좋은 등수를 얻는다. $\cdots\cdots \text{ [6점]}$

정답 (1):$\mathrm{E}(X) = 3,\ \mathrm{E}(Y) = 2.1$ (전략 $B$가 더 우수)

[표 4] $Z$의 확률분포표 (전략 C)

$Z$	1	2	3	4	5	합계
$\mathrm{P}(Z)$	$\frac{13}{30}$	$\frac{7}{30}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$	1

■ 논제 II-(2) 전략 C의 기댓값과 비교 (14점)

① 확률변수 $Z$ (전략 C, 8점): 처음 두 카드의 등수 집합은 ${}_5\mathrm{C}_2 = 10$가지이며 각 집합은 확률 $\dfrac{1}{10}$로 나타난다.
• 경우 1 (처음 두 카드가 1등 포함, 확률 $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$): 이후 어떤 카드도 선택되지 못해 마지막 카드를 받는다. 처음 두 자리가 $\{1, x\}\ (x\in\{2,3,4,5\})$일 때 나머지 세 카드가 균등 등장하므로 합산하면 $\mathrm{P}(Z=k)$에 각각 $\dfrac{1}{10}\ (k=2,3,4,5)$씩 기여한다.
• 경우 2 (1등 미포함, 2등 포함, 확률 $\frac{3}{10}$): 처음 두 카드 중 최고 등수가 2등이므로 반드시 1등을 받는다 ($\mathrm{P}(Z=1)$에 $\dfrac{3}{10}$ 기여).
• 경우 3 (1·2등 미포함, 3등 포함, 확률 $\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$): 최고 등수가 3등이므로 1, 2등 중 먼저 나오는 카드를 대칭 확률 $\dfrac{1}{2}$로 받는다 ($\mathrm{P}(Z=1), \mathrm{P}(Z=2)$에 각각 $\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{10}$ 기여).
• 경우 4 (처음 두 카드가 $\{4, 5\}$, 확률 $\frac{1}{10}$): 1, 2, 3등 중 먼저 나오는 카드를 대칭 확률 $\dfrac{1}{3}$로 받는다 ($\mathrm{P}(Z=1,2,3)$에 각각 $\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{30}$ 기여).
따라서 $\mathrm{P}(Z=1) = \dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{30} = \dfrac{13}{30},\ \mathrm{P}(Z=2) = \dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{30} = \dfrac{7}{30},\ \mathrm{P}(Z=3) = \dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{30} = \dfrac{2}{15},\ \mathrm{P}(Z=4) = \dfrac{1}{10},\ \mathrm{P}(Z=5) = \dfrac{1}{10}$이다([표 4]). $\cdots\cdots \text{ [8점]}$
② $Z$의 기댓값 및 $A, B, C$ 비교 (6점): $\mathrm{E}(Z) = 1\cdot\dfrac{13}{30} + 2\cdot\dfrac{7}{30} + 3\cdot\dfrac{2}{15} + 4\cdot\dfrac{1}{10} + 5\cdot\dfrac{1}{10} = \dfrac{13+14+12+12+15}{30} = \dfrac{66}{30} = \dfrac{11}{5} = 2.2$.
$\mathrm{E}(Y) = 2.1 \lt \mathrm{E}(Z) = 2.2 \lt \mathrm{E}(X) = 3$이고 등수는 작을수록 좋으므로, 기댓값 기준에서 전략 $B$가 가장 좋고, 그 다음 $C$, 가장 나쁜 것은 $A$이다. $\cdots\cdots \text{ [6점]}$

정답 (2):$\mathrm{E}(Z) = 2.2,\ \mathrm{E}(Y) \lt \mathrm{E}(Z) \lt \mathrm{E}(X)$ (우수 순위: $B \gt C \gt A$)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 33점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 II-(1)	[5점] $X$의 기댓값을 구한다. [8점] $Y$의 확률질량함수를 구한다. [6점] $Y$의 기댓값을 구하여 전략 $A,\ B$를 비교한다.	19점
논제 II-(2)	[8점] $Z$의 확률질량함수를 구한다. [6점] $Z$의 기댓값을 구하여 전략 $C$를 전략 $A,\ B$와 비교한다.	14점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[경희대 의·약학계열 감점 방어 클리닉] 수학Ⅱ / 논제 Ⅱ 채점에서는 제시문 조건의 정의역·부호 제한 확인과 소문항 간 연결 논거 명시가 핵심입니다. 단계별 배점(19점, 14점)이 세분화되어 있으므로 중간 유도식을 생략하지 말고 서술하십시오.

정답 (1):$\mathrm{E}(X) = 3,\ \mathrm{E}(Y) = 2.1$ (전략 $B$가 더 우수) | 정답 (2): $\mathrm{E}(Z) = 2.2,\ \mathrm{E}(Y) C \gt A$)

📚 과목/단원: 대수, 기하 🎯 핵심 테마: 삼수선의 정리, 이면각, 삼각함수 사이의 관계 ⏱️ 권장 시간: 30분

제시문

[가] 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 한 점 $\mathrm{P}$, 평면 $\alpha$ 위의 한 점 $\mathrm{O}$, 점 $\mathrm{O}$를 지나지 않고 평면 $\alpha$ 위에 있는 한 직선 $l$, 직선 $l$ 위의 한 점 $\mathrm{H}$에 대하여
(1) $\overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha,\ \overline{\mathrm{OH}} \perp l$이면 $\overline{\mathrm{PH}} \perp l$ (2) $\overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha,\ \overline{\mathrm{PH}} \perp l$이면 $\overline{\mathrm{OH}} \perp l$ (3) $\overline{\mathrm{PH}} \perp l,\ \overline{\mathrm{OH}} \perp l,\ \overline{\mathrm{PO}} \perp \overline{\mathrm{OH}}$이면 $\overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha$

직사각형 $\mathrm{ABCD}$를 접은 사면체 $\mathrm{PEBC}$

[논제 Ⅰ] 제시문 [가]를 참고하여 다음 논제에 답하시오.
직사각형 모양의 종이의 네 꼭짓점 $\mathrm{A,\ B,\ C,\ D}$에 대하여 $\overline{\mathrm{AB}} = 2,\ \overline{\mathrm{AD}} = 2\sqrt{3}$이다. 오른쪽 그림과 같이 선분 $\mathrm{AD}$의 중점을 $\mathrm{E}$라고 하고, 선분 $\mathrm{EB}$와 선분 $\mathrm{EC}$를 접어서 두 선분 $\mathrm{AE}$와 $\mathrm{DE}$가 맞닿도록 하자. 두 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{D}$가 만나는 점을 $\mathrm{P}$라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 종이의 두께는 생각하지 않는다.)

(1) 평면 $\mathrm{PEB}$와 평면 $\mathrm{EBC}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하자. $\cos\theta$의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 14점

(2) 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 넓이와 사면체 $\mathrm{PEBC}$의 부피를 구하고, 그 근거를 논술하시오. 14점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

【유사 연습 문제】 타원 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ 위의 점 $P$에서 두 초점 $F, F'$에 이르는 거리의 곱 $\overline{PF}\cdot\overline{PF'}$의 최댓값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 타원의 정의에 의해 $\overline{PF} + \overline{PF'} = 6$이므로 산술·기하평균 부등식에 의해 최댓값은 $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$이다.

【문항 요약】 2026학년도 의·약학계열 수학Ⅰ / 논제 Ⅰ (대수, 기하) [배점 28점]

[2026학년도 의·약학계열 수학Ⅰ / 논제 Ⅰ] 출제범위: 대수, 기하 · 핵심개념: 삼수선의 정리, 이면각, 삼각함수 사이의 관계 (배점 28점, 권장 30분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 수학Ⅰ / 논제 Ⅰ · 총 28점

수선의 발 $\mathrm{H, O}$와 중점 $\mathrm{E'}$

■ 논제 I-(1) 예시답안 (14점)

점 $\mathrm{E}$가 선분 $\mathrm{AD}$의 중점이므로 $\overline{\mathrm{AE}} = \overline{\mathrm{ED}} = \sqrt{3}$이다. 직각삼각형 $\mathrm{ABE}$에서 피타고라스 정리에 의해 $\overline{\mathrm{BE}} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{7}$이다. 직사각형 $\mathrm{ABCD}$를 접은 후 $\mathrm{A} = \mathrm{D} = \mathrm{P}$이므로 $\overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{PC}} = 2$이고 $\overline{\mathrm{PE}} = \sqrt{3}$이다.
오른쪽 그림과 같이 점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{EB}$와 평면 $\mathrm{EBC}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H}$와 $\mathrm{O}$라 하자. $\overline{\mathrm{PH}} \perp \overline{\mathrm{EB}}$이고 직선 $\mathrm{PO}$는 평면 $\mathrm{EBC}$와 수직이므로, 제시문 [가]의 삼수선의 정리에 의하여 $\overline{\mathrm{HO}} \perp \overline{\mathrm{EB}}$이다. 따라서 직각삼각형 $\mathrm{POH}$에서 \[ \cos\theta = \frac{\overline{\mathrm{HO}}}{\overline{\mathrm{PH}}} \quad \cdots\cdots \text{ <6점> } \] 이다. 접기 전 평면도형에서 점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{EB}$에 내린 수선의 발이 $\mathrm{H}$이고 대칭성에 의해 점 $\mathrm{O}$는 선분 $\mathrm{EE'}$ 위에 놓인다. 직각삼각형 $\mathrm{AEO}$와 $\mathrm{BAE}$는 닮음이므로 \[ \overline{\mathrm{AE}} : \overline{\mathrm{EO}} = \overline{\mathrm{BA}} : \overline{\mathrm{AE}} \implies \sqrt{3} : \overline{\mathrm{EO}} = 2 : \sqrt{3} \implies \overline{\mathrm{EO}} = \frac{3}{2} \] 이다. 또한 직각삼각형 $\mathrm{AHB}$와 $\mathrm{OHE}$도 닮음이므로 \[ \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AH}} = \overline{\mathrm{EO}} : \overline{\mathrm{HO}} \implies 2 : \overline{\mathrm{AH}} = \frac{3}{2} : \overline{\mathrm{HO}} \implies \frac{\overline{\mathrm{HO}}}{\overline{\mathrm{AH}}} = \frac{3}{4} \] 이다. 이때 $\overline{\mathrm{PH}} = \overline{\mathrm{AH}}$이므로 $\cos\theta = \dfrac{\overline{\mathrm{HO}}}{\overline{\mathrm{PH}}} = \dfrac{3}{4}$이다. $\cdots\cdots \text{ <8점> }$

정답 (1):$\cos\theta = \dfrac{3}{4}$

■ 논제 I-(2) 예시답안 및 별해 (14점)

① 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 넓이 (7점): 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{E'}$이라 하면 $\overline{\mathrm{E'C}} = \sqrt{3}$이고, 이등변삼각형 $\mathrm{PBC}$에서 점 $\mathrm{E'}$은 점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발이다. $\overline{\mathrm{PC}} = 2$이므로 직각삼각형 $\mathrm{PE'C}$에서 $\overline{\mathrm{PE'}} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = 1$이다. 따라서 \[ (\triangle\mathrm{PBC}\text{의 넓이}) = \frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{BC}}\times\overline{\mathrm{PE'}} = \frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 1 = \sqrt{3} \quad \cdots\cdots \text{ <7점> } \] ② 사면체 $\mathrm{PEBC}$의 부피 (7점): 직각삼각형 $\mathrm{ABE}$의 넓이에서 $\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{AE}} = \overline{\mathrm{AH}}\times\overline{\mathrm{BE}}$이므로 $\overline{\mathrm{AH}} = \overline{\mathrm{PH}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$이다. $\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$이므로 사면체의 높이 $\overline{\mathrm{PO}} = \overline{\mathrm{PH}}\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\times\dfrac{\sqrt{7}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다. 밑면 $\triangle\mathrm{EBC}$의 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 2 = 2\sqrt{3}$이므로 사면체 $\mathrm{PEBC}$의 부피는 $\dfrac{1}{3}\times 2\sqrt{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 1$이다.
[별해] $\overline{\mathrm{EP}} \perp \overline{\mathrm{BP}}$이고 $\overline{\mathrm{EP}} \perp \overline{\mathrm{PC}}$이므로 직선 $\mathrm{EP}$는 평면 $\mathrm{PBC}$에 수직이다. 따라서 $(\text{사면체 }\mathrm{PEBC}\text{의 부피}) = \dfrac{1}{3}\times(\triangle\mathrm{PBC}\text{의 넓이})\times\overline{\mathrm{EP}} = \dfrac{1}{3}\times\sqrt{3}\times\sqrt{3} = 1$. $\cdots \text{ <7점> }$

정답 (2):삼각형 $\mathrm{PBC}$의 넓이 $= \sqrt{3}$, 사면체 $\mathrm{PEBC}$의 부피 $= 1$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 28점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-(1)	[6점] 점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{EB}$와 평면 $\mathrm{EBC}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H}$와 $\mathrm{O}$라 할 때, $\cos\theta = \dfrac{\overline{\mathrm{HO}}}{\overline{\mathrm{PH}}}$임을 확인한다. [8점] $\cos\theta = \dfrac{3}{4}$을 계산한다.	14점
논제 I-(2)	[7점] 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 넓이를 구한다. [7점] 사면체 $\mathrm{PEBC}$의 부피를 구한다.	14점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[경희대 의·약학계열 감점 방어 클리닉] 수학Ⅰ / 논제 Ⅰ 채점에서는 제시문 조건의 정의역·부호 제한 확인과 소문항 간 연결 논거 명시가 핵심입니다. 단계별 배점(14점, 14점)이 세분화되어 있으므로 중간 유도식을 생략하지 말고 서술하십시오.

정답 (1):$\cos\theta = \dfrac{3}{4}$ | 정답 (2): 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 넓이 $= \sqrt{3}$, 사면체 $\mathrm{PEBC}$의 부피 $= 1$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ, 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 연속확률변수, 확률밀도함수, 적분, 확률 ⏱️ 권장 시간: 40분

제시문

[나] 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f(x)\ (\alpha \le x \le \beta)$에 대하여
(1) $f(x) \ge 0$
(2) $f(x)$의 그래프와 $x$축 및 두 직선 $x = \alpha,\ x = \beta$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $1$이다.
(3) 두 상수 $a,\ b\ (\alpha \le a \le b \le \beta)$에 대하여 $\mathrm{P}(a \le X \le b)$는 $f(x)$의 그래프와 $x$축 및 두 직선 $x = a,\ x = b$로 둘러싸인 부분의 넓이이다.

[논제 Ⅱ] 제시문 [나]를 참고하여 다음 논제에 답하시오.
상수 $a,\ b$에 대하여 함수 \[ f(x) = \begin{cases} a(bx + 1) & (0 \le x \le 1) \\ -a(b + 1)(x - 2) & (1 \lt x \le 2) \end{cases} \] 가 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $a \gt 0$)

(1) $a$를 $b$에 대한 식으로 나타낸 후, 이를 이용하여 $c = \displaystyle\int_0^2 x^2 f(x)\,dx$의 범위를 구하고, 그 근거를 논술하시오. 16점

(2) $b \gt 0$일 때, $\mathrm{P}(0 \le X \le d) = \dfrac{3}{5}$이 되는 $d$를 $b$에 대한 식 $d = g(b)$로 나타낸 후, 이를 이용하여 $g\left(\dfrac{1}{2}\right) + g(39)$의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 16점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

【유사 연습 문제】 모비율이 $p = 0.2$인 모집단에서 크기 $n = 100$인 표본을 임의추출할 때, 표본비율 $\hat{p}$의 평균과 표준편차를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $E(\hat{p}) = p = 0.2$이고, $\sigma(\hat{p}) = \sqrt{\frac{0.2 \times 0.8}{100}} = 0.04$이다.

【문항 요약】 2026학년도 의·약학계열 수학Ⅱ / 논제 Ⅱ (미적분Ⅰ, 확률과 통계) [배점 32점]

[2026학년도 의·약학계열 수학Ⅱ / 논제 Ⅱ] 출제범위: 미적분Ⅰ, 확률과 통계 · 핵심개념: 연속확률변수, 확률밀도함수, 적분, 확률 (배점 32점, 권장 40분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 수학Ⅱ / 논제 Ⅱ · 총 32점

■ 논제 II-(1) 예시답안 (16점)

제시문 [나]에 의하여 구간 $[0, 2]$에서 $f(x) \ge 0$이고 $\mathrm{P}(0 \le X \le 2) = 1$이어야 한다. $f(x)$는 구간 $[0, 1]$과 $[1, 2]$에서 각각 일차함수이므로 양 끝점 및 경계점에서의 함숫값이 음이 아니면 된다. 즉, $a \gt 0$이므로 \[ f(0) = a \ge 0, \qquad f(1) = a(b + 1) \ge 0, \qquad f(2) = 0 \ge 0 \implies b \ge -1 \quad \cdots\cdots \text{ <5점> } \] 이다. 또한 사다리꼴과 삼각형의 넓이의 합으로부터 전체 확률은 \[ \mathrm{P}(0 \le X \le 2) = \frac{1}{2}\{a + a(b+1)\}\times 1 + \frac{1}{2}a(b+1)\times 1 = a\cdot\frac{2b+3}{2} = 1 \implies a = \frac{2}{2b+3} \quad \cdots\cdots \text{ <5점> } \] 이다. 이제 정적분 $c = \displaystyle\int_0^2 x^2 f(x)\,dx$를 계산하면 \[ c = \int_0^1 a(bx^3 + x^2)\,dx + \int_1^2 \{-a(b+1)(x^3 - 2x^2)\}\,dx = a\left[\frac{b}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3\right]_0^1 - a(b+1)\left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3\right]_1^2 \] \[ = \frac{a(3b+4)}{12} + \frac{11a(b+1)}{12} = \frac{a(14b+15)}{12} = \frac{14b+15}{12b+18} = -\frac{1}{2b+3} + \frac{7}{6} \] 이다. $b \ge -1$이므로 $2b + 3 \ge 1$이고, $0 \lt \dfrac{1}{2b+3} \le 1$이므로 $-1 \le -\dfrac{1}{2b+3} \lt 0$이다. 따라서 $c$의 범위는 다음과 같다. $\cdots \text{ <6점> }$

정답 (1):$a = \dfrac{2}{2b+3}$, $\dfrac{1}{6} \le c \lt \dfrac{7}{6}$

■ 논제 II-(2) 예시답안 (16점)

$\mathrm{P}(0 \le X \le 1) = \dfrac{1}{2}a(b+2) = \dfrac{b+2}{2b+3}$이므로, $\dfrac{b+2}{2b+3} = \dfrac{3}{5} \iff b = 1$을 기준으로 경우를 나눈다.
(i) $0 \lt b \le 1$일 때: $\mathrm{P}(0 \le X \le 1) = \dfrac{b+2}{2b+3} \ge \dfrac{3}{5}$이므로 $d \in (0, 1]$이다. 따라서 \[ \mathrm{P}(0 \le X \le d) = \frac{1}{2}\{a + a(bd+1)\}d = a\left(\frac{b}{2}d^2 + d\right) = \frac{3}{5} \implies bd^2 + 2d - \frac{6b+9}{5} = 0 \] 이다. 근의 공식과 $d \in (0, 1]$ 조건에 의하여 $d = g(b) = \dfrac{1}{b}\left(-1 + \sqrt{1 + \dfrac{b(6b+9)}{5}}\right)$이다. $\cdots\cdots \text{ <7점> }$
(ii) $b \gt 1$일 때: $\mathrm{P}(0 \le X \le 1) = \dfrac{b+2}{2b+3} \lt \dfrac{3}{5}$이므로 $d \in (1, 2)$이고 $\mathrm{P}(d \le X \le 2) = 1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$이다. 따라서 \[ \mathrm{P}(d \le X \le 2) = \frac{1}{2}(2-d)\cdot a(b+1)(2-d) = \frac{b+1}{2b+3}(d-2)^2 = \frac{2}{5} \implies (d-2)^2 = \frac{4b+6}{5b+5} \] 이다. $d \in (1, 2)$이므로 $d - 2 \lt 0$이어서 $d = g(b) = 2 - \sqrt{\dfrac{4b+6}{5b+5}}$이다. $\cdots\cdots \text{ <7점> }$
(iii) 함숫값의 합 계산: $\dfrac{1}{2} \in (0, 1]$이고 $39 \gt 1$이므로 $g\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2\left(-1 + \sqrt{1 + \dfrac{6}{5}}\right) = 2\sqrt{\dfrac{11}{5}} - 2$, $g(39) = 2 - \sqrt{\dfrac{162}{200}} = 2 - \dfrac{9}{10}$이다.
따라서 구하는 합은 $g\left(\dfrac{1}{2}\right) + g(39) = 2\sqrt{\dfrac{11}{5}} - \dfrac{9}{10}$이다. $\cdots \text{ <2점> }$

정답 (2):$g\left(\dfrac{1}{2}\right) + g(39) = 2\sqrt{\dfrac{11}{5}} - \dfrac{9}{10}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 32점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 II-(1)	[5점] $a$를 $b$에 대한 식으로 표현한다. [5점] $b$의 범위($b \ge -1$)를 구한다. [6점] $b$의 범위를 이용하여 $c$의 범위를 계산한다.	16점
논제 II-(2)	[7점] $0 \lt b \le 1$일 때 $d$의 값을 계산한다. [7점] $b \gt 1$일 때 $d$의 값을 계산한다. [2점] $g\left(\dfrac{1}{2}\right) + g(39)$의 값을 계산한다.	16점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[경희대 의·약학계열 감점 방어 클리닉] 수학Ⅱ / 논제 Ⅱ 채점에서는 제시문 조건의 정의역·부호 제한 확인과 소문항 간 연결 논거 명시가 핵심입니다. 단계별 배점(16점, 16점)이 세분화되어 있으므로 중간 유도식을 생략하지 말고 서술하십시오.

정답 (1):$a = \dfrac{2}{2b+3}$, $\dfrac{1}{6} \le c \lt \dfrac{7}{6}$ | 정답 (2): $g\left(\dfrac{1}{2}\right) + g(39) = 2\sqrt{\dfrac{11}{5}} - \dfrac{9}{10}$

📚 과목/단원: 수학, 미적분Ⅱ, 기하 🎯 핵심 테마: 타원, 타원의 접선의 방정식, 도형의 평행이동, 수열의 극한 ⏱️ 권장 시간: 40분

제시문

[가] 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0),\ \mathrm{F}'(-c, 0)$으로부터의 거리의 합이 $2a\ (a \gt c \gt 0)$인 타원의 방정식은 \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \qquad \left(\text{단, } b^2 = a^2 - c^2\right) \]

[나] 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} + \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

[다] 방정식 $f(x, y) = 0$이 나타내는 도형을 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 도형의 방정식은 $f(x - a, y - b) = 0$이다.

[라] 수열 $\{a_n\}$에서 $n$이 한없이 커질 때 일반항 $a_n$의 값이 일정한 수 $\alpha$에 한없이 가까워지면, 수열 $\{a_n\}$은 $\alpha$에 수렴한다고 하며 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$로 나타낸다.

[논제 Ⅰ-1] 제시문 [가]~[라]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 서로 다른 양수 $p$와 $t$에 대하여 두 점 $(p, 0)$과 $(3p, 0)$을 초점으로 하는 타원과, 두 점 $(p, 0)$과 $(t, 0)$을 초점으로 하는 타원이 모두 원점을 지난다. 각 타원마다 타원의 네 꼭짓점을 꼭짓점으로 하는 마름모를 생각하자. 이때 두 마름모가 서로 닮음이 되는 $t$를 구하고 그 근거를 논술하시오. (단, $t \neq 3p$) 12점

(2) 서로 다른 양수 $p$와 자연수 $n$에 대하여 두 점 $(p, 0)$과 $(n, 0)$을 초점으로 하는 타원이 원점을 지난다. $p$보다 작은 양수 $k$에 대하여 $x$좌표가 $k$이고 $y$좌표가 $0$보다 큰 타원 위의 점에서의 접선의 기울기를 $a_n$이라고 하자. 이때 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$을 구하고 그 근거를 논술하시오. 16점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

【유사 연습 문제】 점 $A(1, 2, -1)$을 지나고 법선벡터가 $\vec{n} = (2, -1, 3)$인 평면 $\alpha$의 방정식과 원점 $O$에서 평면 $\alpha$까지의 거리를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 평면의 방정식은 $2x - y + 3z + 3 = 0$이고, 원점까지의 거리는 $d = \frac{3}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{14}}{14}$이다.

【문항 요약】 2025학년도 의·약학계열 논제 Ⅰ-1 (수학, 미적분Ⅱ, 기하) [배점 28점]

[2025학년도 의·약학계열 논제 Ⅰ-1] 출제범위: 수학, 미적분Ⅱ, 기하 · 핵심개념: 타원, 타원의 접선의 방정식, 도형의 평행이동, 수열의 극한 (배점 28점, 권장 40분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 논제 Ⅰ-1 · 총 28점

■ 논제 I-1-(1) 예시답안 (12점)

두 점 $(p, 0)$과 $(t, 0)$을 초점으로 하고 원점을 지나는 타원의 장축의 길이를 $2a$, 단축의 길이를 $2b$, 중심과 초점 사이의 거리를 $c$라 하자.
원점 $(0, 0)$이 타원 위의 점이므로 두 초점으로부터 원점까지의 거리의 합은 $2a = p + t \implies a = \dfrac{t + p}{2}$이고, 타원의 중심은 $(a, 0)$이며 $c = \dfrac{|t - p|}{2}$이다. 제시문 [가]의 $b^2 = a^2 - c^2$으로부터 $b^2 = \left(\dfrac{t + p}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{t - p}{2}\right)^2 = pt \implies b = \sqrt{pt}$이다. 따라서
• 초점이 $(p, 0),\ (3p, 0)$인 첫 번째 타원($t=3p$ 대입)의 장축과 단축의 길이는 각각 $4p,\ 2\sqrt{3}p$이고,
• 초점이 $(p, 0),\ (t, 0)$인 두 번째 타원의 장축과 단축의 길이는 각각 $t + p,\ 2\sqrt{pt}$이다. $\cdots\cdots \text{ <6점> }$
타원의 네 꼭짓점을 연결한 마름모의 두 대각선의 길이는 곧 장축과 단축의 길이이다. 첫 번째 타원에서는 장축이 단축보다 길고($4p \gt 2\sqrt{3}p$), 산술·기하평균에 의해 두 번째 타원에서도 $t + p \ge 2\sqrt{pt}$이므로, 두 마름모가 서로 닮음이 되려면 장축과 단축의 길이의 비가 같아야 한다. 즉, \[ \frac{2\sqrt{3}p}{4p} = \frac{2\sqrt{pt}}{t + p} \implies \sqrt{3}(t + p) = 4\sqrt{pt} \implies 3t^2 - 10pt + 3p^2 = (3t - p)(t - 3p) = 0 \] 이다. 조건에서 $t \neq 3p$이므로 $t = \dfrac{p}{3}$이다. $\cdots\cdots \text{ <6점> }$

정답 (1):$t = \dfrac{p}{3}$

■ 논제 I-1-(2) 예시답안 (16점)

(1)의 결과에서 $t = n$을 대입하면, 초점이 $(p, 0)$과 $(n, 0)$이고 원점을 지나는 타원은 기본 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\ \left(\text{단, } a = \dfrac{n+p}{2},\ b = \sqrt{pn}\right)$을 제시문 [다]에 따라 $x$축의 방향으로 $a$만큼 평행이동한 도형이므로 그 방정식은 $\dfrac{(x - a)^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$이다.
$x$좌표가 $k\ (0 \lt k \lt p)$이고 $y \gt 0$인 타원 위의 점을 $(k, m)$이라 하면 $\dfrac{m^2}{b^2} = 1 - \dfrac{(k - a)^2}{a^2} = \dfrac{2ak - k^2}{a^2}$으로부터 $m = \dfrac{b}{a}\sqrt{2ak - k^2}$이다.
평행이동의 성질에 의하여, 평행이동된 타원 위의 점 $(k, m)$에서의 접선의 기울기 $a_n$은 중심이 원점인 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(k - a, m)$에서의 접선의 기울기와 같다. 제시문 [나]에 의하여 접선의 방정식은 $\dfrac{(k - a)x}{a^2} + \dfrac{my}{b^2} = 1$이므로 접선의 기울기 $a_n$은 다음과 같다. \[ a_n = -\frac{b^2(k - a)}{a^2 m} = \frac{b^2(a - k)}{a^2\cdot\dfrac{b}{a}\sqrt{2ak - k^2}} = \frac{(a - k)b}{a\sqrt{2ak - k^2}} = \frac{(n + p - 2k)\sqrt{pn}}{(n + p)\sqrt{(n + p)k - k^2}} \quad \cdots\cdots \text{ <10점> } \] 따라서 제시문 [라]에 의하여 구하는 극한값은 다음과 같다. \[ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n + p - 2k}{n + p}\cdot\frac{\sqrt{pn}}{\sqrt{kn + pk - k^2}}\right) = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1 + \dfrac{p-2k}{n}}{1 + \dfrac{p}{n}}\cdot\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{k + \dfrac{pk-k^2}{n}}}\right) = \sqrt{\frac{p}{k}} \quad \cdots \text{ <6점> } \]

정답 (2):$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \sqrt{\dfrac{p}{k}}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 28점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-1-(1)	[6점] 두 타원의 장축과 단축의 길이를 구한다. [6점] 두 마름모가 서로 닮음이 되는 $t$의 값 $t = \dfrac{p}{3}$를 구한다.	12점
논제 I-1-(2)	[10점] 타원의 평행이동과 접선의 방정식을 이용하여 접선의 기울기 $a_n$을 구한다. [6점] 수열의 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \sqrt{\dfrac{p}{k}}$를 구한다.	16점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[경희대 의·약학계열 감점 방어 클리닉] 논제 Ⅰ-1 채점에서는 제시문 조건의 정의역·부호 제한 확인과 소문항 간 연결 논거 명시가 핵심입니다. 단계별 배점(12점, 16점)이 세분화되어 있으므로 중간 유도식을 생략하지 말고 서술하십시오.

정답 (1):$t = \dfrac{p}{3}$ | 정답 (2): $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \sqrt{\dfrac{p}{k}}$

📚 과목/단원: 수학, 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 좌표평면, 경우의 수, 확률, 조건부확률, 확률의 곱셈정리 ⏱️ 권장 시간: 40분

제시문

[마] 사건 $A$가 일어났을 때의 사건 $B$의 조건부확률은 \[ \mathrm{P}(B \mid A) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)} \qquad \left(\text{단, } \mathrm{P}(A) \gt 0\right) \] 이다. (출처: 『확률과 통계』 교과서 조건부확률)

[논제 Ⅰ-2] 원점 $\mathrm{O}$를 출발하여 좌표평면 위를 움직이는 점이 있다. 한 개의 동전과 한 개의 주사위를 각각 던져, 동전의 앞면이 나오면 $x$축의 양의 방향으로, 뒷면이 나오면 $y$축의 양의 방향으로 주사위에서 나온 눈의 수만큼 이동한다. 이와 같은 시행을 한 번 하여 이동한 점을 $\mathrm{P}_1$, 점 $\mathrm{P}_1$에서 이 시행을 다시 하여 이동한 점을 $\mathrm{P}_2$, 점 $\mathrm{P}_2$에서 이 시행을 다시 하여 이동한 점을 $\mathrm{P}_3$이라 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) 세 선분 $\mathrm{OP}_1,\ \mathrm{P}_1\mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_2\mathrm{O}$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $6$ 이상일 확률을 구하고 그 근거를 논술하시오. (단, 세 점 $\mathrm{O,\ P_1,\ P_2}$가 일직선 위에 있을 때는 도형의 넓이를 $0$으로 한다.) 8점

(2) 세 선분 $\mathrm{OP}_2,\ \mathrm{P}_2\mathrm{P}_3,\ \mathrm{P}_3\mathrm{O}$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $18$ 이상일 때, 세 번째 시행에서 던진 주사위에서 나온 눈의 수가 $6$일 확률을 구하고 그 근거를 논술하시오. (단, 세 점 $\mathrm{O,\ P_2,\ P_3}$이 일직선 위에 있을 때는 도형의 넓이를 $0$으로 한다.) 24점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

【유사 연습 문제】 닫힌구간 $[1, 3]$에서 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 실수 $c \in (1, 3)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$이고 $f'(x) = 3x^2 - 6x$이므로 $3c^2 - 6c - 1 = 0$. $1 \lt c \lt 3$이므로 $c = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$이다.

【문항 요약】 2025학년도 의·약학계열 논제 Ⅰ-2 (수학, 확률과 통계) [배점 32점]

[2025학년도 의·약학계열 논제 Ⅰ-2] 출제범위: 수학, 확률과 통계 · 핵심개념: 좌표평면, 경우의 수, 확률, 조건부확률, 확률의 곱셈정리 (배점 32점, 권장 40분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 논제 Ⅰ-2 · 총 32점

■ 논제 I-2-(1) 예시답안 (8점)

동전의 앞면을 $\mathrm{H}$, 뒷면을 $\mathrm{T}$라 하고 첫 번째, 두 번째 시행에서 나온 주사위의 눈의 수를 각각 $a,\ b$라 하자.
세 점 $\mathrm{O,\ P_1,\ P_2}$가 일직선 위에 있지 않고 삼각형을 이루려면 두 번의 시행에서 동전이 $\mathrm{HT}$ 또는 $\mathrm{TH}$로 나와야 하며, 그 확률은 $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$이다. $\cdots\cdots \text{ <3점> }$
이때 직각삼각형 $\mathrm{OP}_1\mathrm{P}_2$의 넓이는 $\dfrac{1}{2}ab$이므로 $\dfrac{1}{2}ab \ge 6 \iff ab \ge 12$여야 한다. 이를 만족하는 순서쌍 $(a, b)$는
• $a = 2$일 때: $(2, 6)$ ($1$개) • $a = 3$일 때: $(3, 4), (3, 5), (3, 6)$ ($3$개) • $a = 4$일 때: $(4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)$ ($4$개)
• $a = 5$일 때: $(5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)$ ($4$개) • $a = 6$일 때: $(6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)$ ($5$개)
로 총 $1 + 3 + 4 + 4 + 5 = 17$개이므로 주사위의 확률은 $\dfrac{17}{36}$이다. 따라서 구하는 확률은 $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{17}{36} = \dfrac{17}{72}$이다. $\cdots\cdots \text{ <5점> }$

정답 (1):$\dfrac{17}{72}$

■ 논제 I-2-(2) 예시답안 (24점)

세 번의 시행에서 나온 주사위의 눈의 수를 차례대로 $a,\ b,\ c$라 하자. 세 점 $\mathrm{O,\ P_2,\ P_3}$이 일직선 위에 있지 않고 삼각형을 이루려면 세 번의 동전 시행 결과가 $\mathrm{HHH,\ TTT}$를 제외한 $\mathrm{HTT,\ HTH,\ HHT,\ THH,\ THT,\ TTH}$의 $6$가지 경우(각 확률 $\dfrac{1}{8}$)여야 한다. $\cdots\cdots \text{ <5점> }$
삼각형 $\mathrm{OP}_2\mathrm{P}_3$의 넓이가 $18$ 이상인 사건을 $A$, 세 번째 주사위의 눈의 수가 $6$($c=6$)인 사건을 $B$라 하고 각 경우를 계산하자.
① $\mathrm{HTT}$인 경우: $\mathrm{P}_2(a, b),\ \mathrm{P}_3(a, b+c)$이므로 밑변 $\overline{\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3} = c$, 높이 $a$인 삼각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2}ac \ge 18 \iff ac \ge 36$이다. 따라서 $a = 6,\ c = 6$ ($b$는 $1\sim 6$ 무관, $6$가지)이므로 확률은 $\dfrac{1}{8}\times\dfrac{6}{216} = \dfrac{1}{288}$이다. (이 경우 $c=6$이므로 모두 사건 $B$에 속한다.)
② $\mathrm{HTH}$인 경우: $\mathrm{P}_2(a, b),\ \mathrm{P}_3(a+c, b)$이므로 밑변 $c$, 높이 $b$에서 $\dfrac{1}{2}bc \ge 18 \iff bc \ge 36$이다. 따라서 $b = 6,\ c = 6$ ($a$는 무관, $6$가지)이므로 확률은 $\dfrac{1}{8}\times\dfrac{6}{216} = \dfrac{1}{288}$이다. (모두 $c=6$이므로 사건 $B$에 속한다.)
③ $\mathrm{HHT}$인 경우: $\mathrm{P}_2(a+b, 0),\ \mathrm{P}_3(a+b, c)$이므로 직각삼각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2}(a+b)c \ge 18 \iff (a+b)c \ge 36$이다.
• $c = 6$일 때: $a + b \ge 6$인 $(a, b)$는 $36 - (1+2+3+4) = 26$개 • $c = 5$일 때: $a + b \ge 8$인 $(a, b)$는 $5+4+3+2+1 = 15$개
• $c = 4$일 때: $a + b \ge 9$인 $(a, b)$는 $4+3+2+1 = 10$개 • $c = 3$일 때: $a + b \ge 12$인 $(a, b)$는 $(6, 6)$ $1$개
로 총 $26 + 15 + 10 + 1 = 52$개이므로 확률은 $\dfrac{1}{8}\times\dfrac{52}{216} = \dfrac{13}{432}$이며, 이 중 $c = 6$인 확률은 $\dfrac{1}{8}\times\dfrac{26}{216} = \dfrac{13}{864}$이다.
④ 대칭성 적용: $x$축과 $y$축의 대칭성에 의하여 $\mathrm{THH}$는 ①과 같고($\dfrac{1}{288}$), $\mathrm{THT}$는 ②와 같으며($\dfrac{1}{288}$), $\mathrm{TTH}$는 ③과 같다($\dfrac{13}{432}$). 따라서 \[ \mathrm{P}(A) = 4\times\frac{1}{288} + 2\times\frac{13}{432} = \frac{1}{72} + \frac{13}{216} = \frac{16}{216} = \frac{2}{27} \quad \cdots\cdots \text{ <10점> } \] 이고, 사건 $A \cap B$ ($c = 6$이면서 넓이가 $18$ 이상)의 확률은 $\mathrm{P}(A \cap B) = 4\times\dfrac{1}{288} + 2\times\dfrac{13}{864} = \dfrac{6 + 13}{432} = \dfrac{19}{432}$이다.
그러므로 제시문 [마]에 의하여 구하는 조건부확률은 $\mathrm{P}(B \mid A) = \dfrac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)} = \dfrac{\; \dfrac{19}{432} \;}{\dfrac{2}{27}} = \dfrac{19}{32}$이다. $\cdots\cdots \text{ <9점> }$

정답 (2):$\mathrm{P}(B \mid A) = \dfrac{19}{32}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 32점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-2-(1)	[3점] 삼각형이 만들어지도록 동전이 나올 수 있는 경우($\mathrm{HT, TH}$)를 파악한다. [5점] 도형의 넓이가 $6$ 이상일 확률 $\dfrac{17}{72}$를 구한다.	8점
논제 I-2-(2)	[5점] 삼각형이 만들어지도록 동전이 나올 수 있는 $6$가지 경우를 파악한다. [10점] 도형의 넓이가 $18$ 이상일 확률 $\mathrm{P}(A) = \dfrac{2}{27}$를 구한다. [9점] 넓이가 $18$ 이상이며 세 번째 주사위의 눈의 수가 $6$일 조건부확률 $\mathrm{P}(B \mid A) = \dfrac{19}{32}$를 구한다.	24점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[경희대 의·약학계열 감점 방어 클리닉] 논제 Ⅰ-2 채점에서는 제시문 조건의 정의역·부호 제한 확인과 소문항 간 연결 논거 명시가 핵심입니다. 단계별 배점(8점, 24점)이 세분화되어 있으므로 중간 유도식을 생략하지 말고 서술하십시오.

정답 (1):$\dfrac{17}{72}$ | 정답 (2): $\mathrm{P}(B \mid A) = \dfrac{19}{32}$

📚 과목/단원: 수학, 대수, 기하 🎯 핵심 테마: 두 점 사이의 거리, 삼각함수 사이의 관계, 평면벡터, 위치벡터, 내적 ⏱️ 권장 시간: 40분

제시문

[가] 두 벡터 $\vec{a},\ \vec{b}$의 크기와 방향이 각각 같을 때, 두 벡터 $\vec{a},\ \vec{b}$는 서로 같다고 하며, 이것을 기호로 $\vec{a} = \vec{b}$와 같이 나타낸다.

[나] 두 평면벡터 $\vec{a},\ \vec{b}$가 이루는 각의 크기가 $\theta\ (0^\circ \le \theta \le 180^\circ)$일 때, 두 벡터의 내적 $\vec{a}\cdot\vec{b}$를 다음과 같이 정의한다. \[ \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \]

[다] 좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(x_1, y_1),\ \mathrm{B}(x_2, y_2)$ 사이의 거리는 \[ \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

두 반원 $\mathrm{O}_1,\ \mathrm{O}_2$

[논제 Ⅰ-1] 오른쪽 그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}_1$이고 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원과 중심이 $\mathrm{O}_2$이고 선분 $\mathrm{CD}$를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 $\mathrm{AB}$와 선분 $\mathrm{CD}$는 수직이고, $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{CD}} = 2$이다. 호 $\mathrm{AP}$와 호 $\mathrm{QP}$ 위에서 각각 움직이고 있는 점 $\mathrm{M}$과 점 $\mathrm{N}$에 대하여 $\left|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}} + \overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right|$의 최솟값이 $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$이다. 다음 물음에 답하시오. (단, 점 $\mathrm{O}_2$는 선분 $\mathrm{AB}$ 위에 있다.)

(1) 선분 $\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2$의 길이를 구하고, 그 근거를 논술하시오. 16점

(2) $\left|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}} + \overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right|$이 최소일 때 $\overline{\mathrm{MR}}^2$의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 12점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

【유사 연습 문제】 곡선 $y = x^3 - 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 $S$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 교점은 $x = -2, 0, 2$이고 기함수 대칭성에 의해 $S = 2\int_0^2 (4x - x^3)\,dx = 2\left[2x^2 - \frac{1}{4}x^4\right]_0^2 = 8$이다.

【문항 요약】 2024학년도 의·약학계열 논제 Ⅰ-1 (수학, 대수, 기하) [배점 28점]

[2024학년도 의·약학계열 논제 Ⅰ-1] 출제범위: 수학, 대수, 기하 · 핵심개념: 두 점 사이의 거리, 삼각함수 사이의 관계, 평면벡터, 위치벡터, 내적 (배점 28점, 권장 40분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 논제 Ⅰ-1 · 총 28점

좌표평면 위의 $\mathrm{M=P,\ R,\ H}$

■ 논제 I-1-(1) 예시답안 (16점)

두 반원의 지름이 $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{CD}} = 2$이므로 반지름은 $\left|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}}\right| = \left|\overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right| = 1$이다. $\left|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}} + \overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right|$의 최솟값 $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$은 $\left|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}} + \overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right|^2$이 최소일 때 얻어진다. 즉, \[ \left|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}} + \overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right|^2 = \left|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}}\right|^2 + 2\left(\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right) + \left|\overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right|^2 = 2 + 2\left(\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right) = \frac{4}{3} \] 이므로 두 벡터의 내적 $\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}$의 최솟값이 $-\dfrac{1}{3}$이 되도록 하는 점 $\mathrm{M}$과 점 $\mathrm{N}$의 위치를 찾는다.
제시문 [가]에 따라 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}$을 시점이 $\mathrm{O}_1$이 되도록 평행이동한 벡터를 $\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{N'}}$이라 하면 $\overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}} = \overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{N'}}$이고, 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}}$과 $\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{N'}}$이 이루는 각을 $\theta$라 할 때 제시문 [나]에 의하여 $\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}} = \left|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{N'}}\right|\cos\theta = \cos\theta$이다.
따라서 $\cos\theta$가 최소($-\dfrac{1}{3}$)가 되려면 둔각 $\theta$가 최대일 때이므로, 호 $\mathrm{AP}$ 위의 점 $\mathrm{M}$이 점 $\mathrm{P}$와 일치하고, 점 $\mathrm{N'}$이 점 $\mathrm{A}$와 일치할 때(즉, 호 $\mathrm{QP}$ 위의 점 $\mathrm{N}$이 점 $\mathrm{Q}$와 일치할 때)이다. $\cdots\cdots \text{ <8점> }$
이때 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{P}}$와 $\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{A}}$가 이루는 각이 $\theta$이고 $\cos\theta = -\dfrac{1}{3}$을 만족한다. 점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\angle\mathrm{PO}_1\mathrm{H} = \pi - \theta$이므로 $\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{H}} = \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta = \dfrac{1}{3}$이다. 두 반원의 대칭성($\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{P}} = \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{P}} = 1$)에 의하여 $\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{H}} = \overline{\mathrm{HO}_2}$이므로 \[ \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{H}} + \overline{\mathrm{HO}_2} = \frac{2}{3} \quad \cdots\cdots \text{ <8점> } \]

정답 (1):$\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} = \dfrac{2}{3}$

■ 논제 I-1-(2) 예시답안 (12점)

오른쪽 그림과 같이 선분 $\mathrm{AB}$를 $x$축, 선분 $\mathrm{CD}$를 $y$축으로 하는 좌표평면을 잡으면 점 $\mathrm{O}_2$는 원점 $(0, 0)$이다. $\cdots\cdots \text{ <2점> }$
(1)에 의해 직각삼각형 $\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{R}$에서 $\mathrm{O}_1\left(-\dfrac{2}{3}, 0\right),\ \mathrm{O}_2(0, 0)$이고 $\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{R}} = 1$이므로 \[ \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{R}} = \sqrt{1 - \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2}^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \implies \mathrm{R}\left(0,\ \frac{\sqrt{5}}{3}\right) \] 이다. 또한 (1)에서 점 $\mathrm{M}$은 점 $\mathrm{P}$와 일치하고 $\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{H}} = \overline{\mathrm{HO}_2} = \dfrac{1}{3}$이므로 $\mathrm{H}\left(-\dfrac{1}{3}, 0\right)$이며, \[ \overline{\mathrm{MH}} = \sin(\pi - \theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\pi - \theta)} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \implies \mathrm{M}\left(-\frac{1}{3},\ \frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \quad \cdots\cdots \text{ <6점> } \] 이다. 따라서 제시문 [다]에 의하여 \[ \overline{\mathrm{MR}}^2 = \left(-\frac{1}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{13 - 4\sqrt{10}}{9} = \frac{14 - 4\sqrt{10}}{9} \quad \cdots\cdots \text{ <4점> } \]

정답 (2):$\overline{\mathrm{MR}}^2 = \dfrac{14 - 4\sqrt{10}}{9}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 28점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-1-(1)	[8점] $\left\|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}} + \overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right\|$이 최소가 되는 점 $\mathrm{M}$과 점 $\mathrm{N}$의 위치를 파악한다. [8점] 선분 $\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2$의 길이 $\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} = \dfrac{2}{3}$를 구한다.	16점
논제 I-1-(2)	[2점] 주어진 도형을 좌표평면 위에 놓는다. [6점] 점 $\mathrm{M}$과 점 $\mathrm{R}$의 좌표를 구한다. [4점] 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 $\overline{\mathrm{MR}}^2 = \dfrac{14 - 4\sqrt{10}}{9}$을 구한다.	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[경희대 의·약학계열 감점 방어 클리닉] 논제 Ⅰ-1 채점에서는 제시문 조건의 정의역·부호 제한 확인과 소문항 간 연결 논거 명시가 핵심입니다. 단계별 배점(16점, 12점)이 세분화되어 있으므로 중간 유도식을 생략하지 말고 서술하십시오.

정답 (1):$\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} = \dfrac{2}{3}$ | 정답 (2): $\overline{\mathrm{MR}}^2 = \dfrac{14 - 4\sqrt{10}}{9}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 함수의 극한, 미분계수, 미분가능성과 연속성, 접선의 방정식, 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 ⏱️ 권장 시간: 45분

제시문

[라] 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능하면 $f(x)$는 $x = a$에서 연속이다.

[마] 함수 $f(x)$의 $x = a$에서의 극한값이 $L$이면 $x = a$에서의 우극한과 좌극한이 모두 존재하고 그 값은 모두 $L$과 같다. 또 그 역도 성립하므로 다음이 성립한다. \[ \lim_{x\to a} f(x) = L \iff \lim_{x\to a+} f(x) = \lim_{x\to a-} f(x) = L \]

[바] 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수는 $f'(x) = \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

[사] 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서 접하는 접선의 방정식은 $y - f(a) = f'(a)(x - a)$

[아] 두 함수 $f(x),\ g(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, 두 곡선 $y = f(x),\ y = g(x)$와 두 직선 $x = a,\ x = b$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 $S = \displaystyle\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$

[논제 Ⅰ-2] 실수 전체에서 정의된 함수 $f(x)$가 아래 조건들을 모두 만족할 때, 다음 물음에 답하시오.

(가) $f(x)$는 각 구간 $(-\infty, 1),\ (1, \infty)$에서 이차함수이다.
(나) $f(x)$는 미분가능한 함수이다.
(다) $f(0) = f'(0) = f(2) = f'(2) = 1$이다.

(1) $f'(1)$의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 12점

(2) 상수 $a$에 대하여 $x_1 = a,\ x_2 = a + \dfrac{1}{2}$이라 하자. 함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 두 점 $(x_1, f(x_1)),\ (x_2, f(x_2))$에서의 접선을 각각 $l,\ m$이라 할 때, $l$과 $m$은 만나지 않는다. 곡선 $y = f(x)$와 두 직선 $l,\ x = x_2$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S$라고 할 때, $a$의 값과 $48S$를 구하고, 그 근거를 논술하시오. 20점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.19 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

【유사 연습 문제】 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - 2x^3}{x^2} = 3$, $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = 4$를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f(x) = 2x^3 + 3x^2 + ax + b$에서 $f(1)=0 \implies a+b=-5$, $f'(1)=6+6+a=4 \implies a=-8, b=3$. 따라서 $f(2)=16+12-16+3=15$이다.

【문항 요약】 2024학년도 의·약학계열 논제 Ⅰ-2 (미적분Ⅰ) [배점 32점]

[2024학년도 의·약학계열 논제 Ⅰ-2] 출제범위: 미적분Ⅰ · 핵심개념: 함수의 극한, 미분계수, 미분가능성과 연속성, 접선의 방정식, 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (배점 32점, 권장 45분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 논제 Ⅰ-2 · 총 32점

■ 논제 I-2-(1) 예시답안 (12점)

함수 $f(x)$를 구간 $(-\infty, 1)$에서 이차함수 $g(x)$, 구간 $(1, \infty)$에서 이차함수 $h(x)$라 두자. 조건 (다)에서 $g(0) = g'(0) = 1$을 만족하므로 $g'(x) = bx + 1,\ g(x) = \dfrac{1}{2}bx^2 + x + 1$이다. 같은 방법으로 $h(2) = h'(2) = 1$이므로 $h'(x) = c(x - 2) + 1,\ h(x) = \dfrac{c}{2}(x - 2)^2 + (x - 2) + 1$이다.
조건 (나)에서 $f(x)$가 실수 전체에서 미분가능한 함수이므로, 제시문 [라]에 의해 $x = 1$에서 연속이고 미분계수가 존재한다.
• $x = 1$에서의 연속성(제시문 [마]): $g(1) = \displaystyle\lim_{x\to 1-} f(x) = f(1) = \lim_{x\to 1+} f(x) = h(1)$이므로 $\dfrac{1}{2}b + 2 = \dfrac{1}{2}c$이다.
• $x = 1$에서의 미분가능성(제시문 [바]): 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 하므로 \[ \lim_{\Delta x\to 0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0-}\frac{\dfrac{1}{2}b(1+\Delta x)^2 + (1+\Delta x) + 1 - \left(\dfrac{1}{2}b + 2\right)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0-}\left(b + 1 + \frac{1}{2}b\,\Delta x\right) = b + 1 \] \[ \lim_{\Delta x\to 0+}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0+}\frac{\dfrac{c}{2}(\Delta x - 1)^2 + (\Delta x - 1) + 1 - \dfrac{c}{2}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0+}\left(\frac{c}{2}\Delta x - c + 1\right) = -c + 1 \] 에서 $b + 1 = -c + 1$이다. 두 식을 연립하면 $b = -2,\ c = 2$이므로 \[ f(x) = \begin{cases} g(x) = -x^2 + x + 1 & (x \le 1) \\ h(x) = x^2 - 3x + 3 & (x \ge 1) \end{cases} \quad \cdots\cdots \text{ <8점> } \] 이고, 따라서 $f'(1) = b + 1 = -1$이다. $\cdots\cdots \text{ <4점> }$

정답 (1):$f'(1) = -1$

■ 논제 I-2-(2) 예시답안 및 보충 해설 (20점)

$x_1 = a,\ x_2 = a + \dfrac{1}{2}$에서 $f(x_1)$과 $f(x_2)$는 $a$의 값의 범위에 따라 다음과 같이 나뉜다.
• $a \le \dfrac{1}{2}$일 때: $f(x_1) = g(x_1),\ f(x_2) = g(x_2)$ • $\dfrac{1}{2} \lt a \lt 1$일 때: $f(x_1) = g(x_1),\ f(x_2) = h(x_2)$ • $a \ge 1$일 때: $f(x_1) = h(x_1),\ f(x_2) = h(x_2)$
하나의 이차함수 위에서는 서로 다른 두 점에서의 접선의 기울기가 같을 수 없으므로, 두 접선 $l$과 $m$이 만나지 않으려면(평행하거나 일치하려면) $x_1$과 $x_2$는 각각 서로 다른 이차함수 $g$와 $h$가 정의되는 구간에 속해야 한다. 따라서 $\dfrac{1}{2} \lt a \lt 1$이다. $\cdots\cdots \text{ <5점> }$
이때 두 직선 $l,\ m$의 기울기가 같아야 하므로 $g'(a) = h'\left(a + \dfrac{1}{2}\right)$에서 \[ -2a + 1 = 2\left(a + \frac{1}{2}\right) - 3 \implies 4a = 3 \implies a = \frac{3}{4} \quad \cdots\cdots \text{ <5점> } \] 이다. ([참고 · 전원 10점 부여 사유 및 정적분 계산]: $a = \dfrac{3}{4}$일 때 $x_1 = \dfrac{3}{4},\ x_2 = \dfrac{5}{4}$이고 점 $\left(\dfrac{3}{4}, \dfrac{19}{16}\right)$에서의 접선 $l : y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{25}{16}$은 $x \gt 1$ 구간에서 포물선 $y = h(x)$와 $x = \dfrac{5+\sqrt{2}}{4} \gt \dfrac{5}{4}$에서 다시 교차하므로 '곡선 $y=f(x)$와 두 직선 $l,\ x=x_2$로 둘러싸인 도형'이 두 영역으로 해석될 여지가 있어 대학 측에서 넓이 단계 $10$점을 전원 부여하였다. 출제 의도대로 구간 $\left[\dfrac{3}{4}, \dfrac{5}{4}\right]$에서의 넓이를 구하면 $S = \displaystyle\int_{3/4}^{1}\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 dx + \int_{1}^{5/4}\left(-x^2 + \frac{5}{2}x - \frac{23}{16}\right) dx = \frac{1}{192} + \frac{7}{192} = \frac{1}{24} \implies 48S = 2$이다.)

정답 (2):$a = \dfrac{3}{4}$ (넓이 $48S$ 단계는 전원 $10$점 부여 / 구간 $\left[\frac{3}{4}, \frac{5}{4}\right]$ 기준 $48S = 2$)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 32점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-2-(1)	[8점] 주어진 조건에 맞는 각 구간별 이차함수 $g(x) = -x^2 + x + 1,\ h(x) = x^2 - 3x + 3$을 구한다. [4점] $f'(1) = -1$의 값을 구한다.	12점
2단계	논제 I-2-(2) — [5점] $\dfrac{1}{2} \lt a \lt 1$임을 파악한다. [5점] $a = \dfrac{3}{4}$의 값을 구한다. [10점] 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다. (※ 공식 안내: 위의 세 단계 중 마지막 단계인 도형의 넓이를 구하는 부분에 배정된 부분점수 10점은 문제 오류로 인해 전원 10점 부여함)	20점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[경희대 의·약학계열 감점 방어 클리닉] 논제 Ⅰ-2 채점에서는 제시문 조건의 정의역·부호 제한 확인과 소문항 간 연결 논거 명시가 핵심입니다. 단계별 배점(12점, 20점)이 세분화되어 있으므로 중간 유도식을 생략하지 말고 서술하십시오.

정답 (1):$f'(1) = -1$ | 정답 (2): $a = \dfrac{3}{4}$ (넓이 $48S$ 단계는 전원 $10$점 부여 / 구간 $\left[\frac{3}{4}, \frac{5}{4}\right]$ 기준 $48S = 2$)

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 함수의 증가와 감소, 극대와 극소, 정적분의 성질, 미분과 적분 사이의 관계, 정적분의 활용 ⏱️ 권장 시간: 30분

제시문

[가] 함수 $f(x)$가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 이 구간에 속하는 모든 $x$에서
① $f'(x) \gt 0$이면 $f(x)$는 그 구간에서 증가한다. ② $f'(x) \lt 0$이면 $f(x)$는 그 구간에서 감소한다.

[나] $a \gt b$일 때, 정적분 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$는 다음과 같이 정의한다: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$

[다] 함수 $f(x)$가 임의의 세 실수 $a,\ b,\ c$를 포함하는 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$

[라] 함수 $f(t)$가 실수 $a$를 포함하는 구간에서 연속이면 이 구간에 속하는 임의의 $x$에 대하여 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$

정사각형 $\mathrm{ABCD}$와 $\mathrm{PQRS}$

[논제 Ⅰ-1] 좌표평면 위의 네 점 $\mathrm{A}(1, 1),\ \mathrm{B}(3, 1),\ \mathrm{C}(3, 3),\ \mathrm{D}(1, 3)$을 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\mathrm{ABCD}$가 있다. 두 대각선의 교점이 곡선 $y = -x^2 + 3x$ 위의 점 $\mathrm{M}(t, -t^2 + 3t)\ (0 \le t \le 3)$이고, 모든 변이 $x$축 또는 $y$축에 평행하며 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 $\mathrm{PQRS}$가 있다. 두 정사각형 $\mathrm{ABCD}$와 $\mathrm{PQRS}$의 겹치는 부분의 넓이를 $f(t)$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 $f(t)$를 구하고, 함수 $g(t) = \begin{cases} 2t & (t \lt 2) \\ 12 - 4t & (t \ge 2) \end{cases}$에 대하여 $\displaystyle\int_0^3 |f(t) - g(t)|\,dt$의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 16점

(2) 상수 $a$에 대하여 곡선 $y = f(t)\ (2 \le t \le 3)$, 직선 $y = f(a)$ 및 두 직선 $t = 2,\ t = 3$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S(a)$라고 하자. $2 \lt a \lt 3$일 때 $S(a)$가 최소가 되는 $a$의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 12점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]

【유사 연습 문제】 삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + k$의 그래프가 $x$축과 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x)=3(x-1)(x-3)=0$이므로 극댓값 $f(1)=4+k \gt 0$, 극솟값 $f(3)=k \lt 0$이어야 한다. $-4 \lt k \lt 0$이므로 정수 $k=-3,-2,-1$로 $3$개이다.

【문항 요약】 2023학년도 의·약학계열 논제 Ⅰ-1 (미적분Ⅰ) [배점 28점]

[2023학년도 의·약학계열 논제 Ⅰ-1] 출제범위: 미적분Ⅰ · 핵심개념: 함수의 증가와 감소, 극대와 극소, 정적분의 성질, 미분과 적분 사이의 관계, 정적분의 활용 (배점 28점, 권장 30분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 논제 Ⅰ-1 · 총 28점

[경우 1] $0 \lt t \lt 1$ · [경우 2] $1\le t \lt 2$ · [경우 3] $2\le t \lt 3$

■ 논제 I-1-(1) 예시답안 (16점)

정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 꼭짓점은 $\mathrm{A}(1,1),\ \mathrm{B}(3,1),\ \mathrm{C}(3,3),\ \mathrm{D}(1,3)$이고, 중심이 $\mathrm{M}(t, -t^2+3t)$인 정사각형 $\mathrm{PQRS}$의 꼭짓점은 $\mathrm{P}(t-1, -t^2+3t-1),\ \mathrm{Q}(t+1, -t^2+3t-1),\ \mathrm{R}(t+1, -t^2+3t+1),\ \mathrm{S}(t-1, -t^2+3t+1)$이다.
• [경우 1] $0 \le t \lt 1$: 두 변의 길이가 $t$와 $-t^2+3t$인 직사각형이므로 $f(t) = -t^3 + 3t^2$이다.
• [경우 2] $1 \le t \lt 2$: 두 변의 길이가 $t$와 $3 - (-t^2+3t-1) = t^2-3t+4$이므로 $f(t) = t^3 - 3t^2 + 4t$이다.
• [경우 3] $2 \le t \le 3$: 두 변의 길이가 $3 - (t-1) = -t+4$와 $-t^2+3t$이므로 $f(t) = t^3 - 7t^2 + 12t$이다.
따라서 $f(t) = \begin{cases} -t^3 + 3t^2 & (0 \le t \lt 1) \\ t^3 - 3t^2 + 4t & (1 \le t \lt 2) \\ t^3 - 7t^2 + 12t & (2 \le t \le 3) \end{cases}$이다. $\cdots\cdots \text{ <8점> }$
각 구간에서 $f(t) - g(t)$를 계산하면 $[0,1)$에서 $-t(t-1)(t-2) \le 0$, $[1,2)$에서 $t(t-1)(t-2) \le 0$, $[2,3]$에서 $(t-2)^2(t-3) \le 0$이므로 모든 $0 \le t \le 3$에서 $f(t) - g(t) \le 0$이다. 따라서 제시문 [가]에 의하여 \[ \int_0^3 |f(t) - g(t)|\,dt = \int_0^1 (t^3 - 3t^2 + 2t)\,dt + \int_1^2 (-t^3 + 3t^2 - 2t)\,dt + \int_2^3 (-t^3 + 7t^2 - 16t + 12)\,dt = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12} \quad \cdots\cdots \text{ <8점> } \]

정답 (1):$\dfrac{7}{12}$

■ 논제 I-1-(2) 예시답안 (12점)

$2 \lt t \lt 3$일 때 $f(t) = t^3 - 7t^2 + 12t$이고 $f'(t) = 3t^2 - 14t + 12$이다. 이때 $f'(2) = -4 \lt 0,\ f'(3) = -3 \lt 0$이므로 $2 \lt t \lt 3$에서 $f'(t) \lt 0$이고, 제시문 [다]에 의해 $f(t)$는 닫힌구간 $[2, 3]$에서 감소한다. 따라서 제시문 [가]에 의하여 \[ S(a) = \int_2^3 |f(t) - f(a)|\,dt = \int_2^a \{f(t) - f(a)\}\,dt + \int_a^3 \{f(a) - f(t)\}\,dt = -(2a - 5)f(a) + \int_2^a f(t)\,dt - \int_a^3 f(t)\,dt \quad \cdots\cdots \text{ <6점> } \] 이다. 제시문 [나]에 의하여 $S(a)$를 $a$에 대하여 미분하면 \[ S'(a) = -2f(a) - (2a - 5)f'(a) + f(a) + f(a) = -(2a - 5)f'(a) \] 이다. $2 \lt a \lt 3$에서 $f'(a) \lt 0$이므로 $S'(a) = 0 \iff a = \dfrac{5}{2}$이고, $a = \dfrac{5}{2}$의 좌우에서 $S'(a)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 제시문 [라]에 의해 $S(a)$는 $a = \dfrac{5}{2}$에서 극소이자 최소이다. $\cdots\cdots \text{ <6점> }$

정답 (2):$a = \dfrac{5}{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 28점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-1-(1)	[8점] 구간 $[0,1),\ [1,2),\ [2,3]$에 따라 겹치는 넓이 함수 $f(t)$를 구한다. [8점] 정적분 $\displaystyle\int_0^3 \|f(t) - g(t)\|\,dt = \dfrac{7}{12}$의 값을 구한다.	16점
논제 I-1-(2)	[6점] 함수 $f(t)$가 구간 $[2, 3]$에서 감소함수임을 설명하여 넓이 함수 $S(a)$를 세운다. [6점] $S(a)$의 도함수 $S'(a) = -(2a-5)f'(a)$를 구하고 최소가 되는 $a = \dfrac{5}{2}$의 값을 구한다.	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

정답 (1):$\dfrac{7}{12}$ | 정답 (2): $a = \dfrac{5}{2}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ, 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 조건부확률, 독립시행의 확률, 미분가능성과 연속성 ⏱️ 권장 시간: 30분

제시문

[마] 사건 $A$가 일어났을 때의 사건 $B$의 조건부확률은 $\mathrm{P}(B\mid A) = \dfrac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)}$ (단, $\mathrm{P}(A) \gt 0$)

[바] 어떤 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률이 $p\ (0 \lt p \lt 1)$일 때, 이 시행을 $n$회 반복하는 독립시행에서 사건 $A$가 $r$회 일어날 확률은 ${}_n\mathrm{C}_r\,p^r(1-p)^{n-r}$ (단, $r = 0, 1, 2, \cdots, n$)

<그림 1> 및 <그림 2>

[논제 Ⅰ-2] 어느 불꽃놀이에서 불꽃을 쏘아 올리면 불꽃이 지면에서 출발한다. 이 불꽃은 지면에서 수직 방향으로 $20\,\mathrm{m}$를 이동한 후 네 갈래 또는 여섯 갈래로 갈라지면서 이동한다. 이 갈라지는 지점을 ‘첫 번째 분기점’이라고 한다. 첫 번째 분기점에서 갈라진 불꽃들은 각각 $10\,\mathrm{m}$씩 이동하여 다시 네 갈래 또는 여섯 갈래로 갈라지면서 이동한다. 두 번째 갈라지는 지점을 ‘두 번째 분기점’이라고 한다. 두 번째 분기점들에서 갈라진 불꽃들은 각각 $2t\,\mathrm{m}$씩 이동한 후 사라진다. $\left(\text{단, } 0 \lt t \lt \dfrac{5}{2}\right)$
<그림 1>은 첫 번째 분기점에서 네 갈래로 갈라지고 두 번째 분기점에서 각각 $4,\ 6,\ 4,\ 6$ 갈래로 갈라진 경우의 예시이다. <그림 2>는 점선을 따라 이동한 불꽃이 분기점에서 네 갈래 또는 여섯 갈래로 갈라지는 모양을 나타낸 것이다. 점선의 화살표 방향을 따라 이동한 불꽃은 <그림 2>와 같은 각도로만 갈라진다. 다음 조건을 만족할 때 아래 물음에 답하시오.

(가) 각 분기점에서 불꽃이 갈라지는 시행은 독립시행이다. (나) 각 분기점에서 불꽃이 네 갈래로 갈라질 확률은 $\dfrac{1}{2}$이다.
(다) 불꽃은 한 평면 위에서 움직인다. (라) 불꽃은 동일한 속력으로 움직이고, 직선으로 이동한다. (단, 분기점은 제외한다.)

<그림 3>

(1) 두 번째 분기점에서 생기는 불꽃의 개수를 확률변수 $X$라고 하자. $20 \le X \le 28$인 사건 $A$가 일어났을 때, 첫 번째 분기점에서 불꽃이 여섯 갈래로 갈라진 사건 $B$의 조건부확률 $\mathrm{P}(B\mid A)$를 구하고, 그 근거를 논술하시오. 16점

(2) <그림 3>과 같이 모든 분기점에서 불꽃이 여섯 갈래로 갈라진 경우를 생각하자. $36$개로 갈라진 불꽃의 마지막 위치를 점으로 나타낼 때, 이 점들 사이의 거리의 최솟값을 $f(t)$라고 하자. $0 \lt t \lt \dfrac{5}{2}$일 때, 함수 $y = f(t)$가 미분가능하지 않은 $t$의 값과 그때의 $f(t)$의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 16점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04]

【유사 연습 문제】 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_1^x f(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + ax$를 만족시키는 연속함수 $f(x)$에 대하여 $f(2)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x=1$을 대입하면 $0 = 1 - 2 + a \implies a = 1$. 양변을 미분하면 $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$이므로 $f(2) = 12 - 8 + 1 = 5$이다.

【문항 요약】 2023학년도 의·약학계열 논제 Ⅰ-2 (미적분Ⅰ, 확률과 통계) [배점 32점]

[2023학년도 의·약학계열 논제 Ⅰ-2] 출제범위: 미적분Ⅰ, 확률과 통계 · 핵심개념: 조건부확률, 독립시행의 확률, 미분가능성과 연속성 (배점 32점, 권장 30분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 논제 Ⅰ-2 · 총 32점

<그림 3> $36$개 불꽃 위치

■ 논제 I-2-(1) 예시답안 (16점)

$20 \le X \le 28$인 사건 $A$는 $X = 20,\ 22,\ 24,\ 26,\ 28$인 경우이다. 제시문 [바]의 독립시행의 확률에 의하여:
• $X = 20$인 경우: 첫 번째 분기점에서 $4$갈래, 두 번째 분기점에서 $4, 4, 6, 6$갈래로 갈라지는 확률은 $\dfrac{1}{2}\times {}_4\mathrm{C}_2\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{3}{16}$이다.
• $X = 22$인 경우: 첫 번째 분기점에서 $4$갈래, 두 번째 분기점에서 $4, 6, 6, 6$갈래로 갈라지는 확률은 $\dfrac{1}{2}\times {}_4\mathrm{C}_1\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{8}$이다.
• $X = 24$인 경우:
(i) 첫 번째 분기점에서 $4$갈래, 두 번째 분기점에서 $6, 6, 6, 6$갈래로 갈라지는 확률은 $\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{32}$이다. $\cdots\cdots \text{ <6점> }$
(ii) 첫 번째 분기점에서 $6$갈래(사건 $B$), 두 번째 분기점에서 $4, 4, 4, 4, 4, 4$갈래로 갈라지는 확률은 $\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^6 = \dfrac{1}{128}$이다.
• $X = 26$인 경우: 첫 번째 분기점에서 $6$갈래(사건 $B$), 두 번째 분기점에서 $4, 4, 4, 4, 4, 6$갈래로 갈라지는 확률은 $\dfrac{1}{2}\times {}_6\mathrm{C}_1\left(\dfrac{1}{2}\right)^6 = \dfrac{3}{64}$이다.
• $X = 28$인 경우: 첫 번째 분기점에서 $6$갈래(사건 $B$), 두 번째 분기점에서 $4, 4, 4, 4, 6, 6$갈래로 갈라지는 확률은 $\dfrac{1}{2}\times {}_6\mathrm{C}_2\left(\dfrac{1}{2}\right)^6 = \dfrac{15}{128}$이다. $\cdots\cdots \text{ <6점> }$
따라서 $\mathrm{P}(A\cap B) = \dfrac{1}{128} + \dfrac{3}{64} + \dfrac{15}{128} = \dfrac{11}{64}$이고, $\mathrm{P}(A) = \left(\dfrac{3}{16} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{32}\right) + \dfrac{11}{64} = \dfrac{22}{64} + \dfrac{11}{64} = \dfrac{33}{64}$이므로 제시문 [마]에 의하여 \[ \mathrm{P}(B\mid A) = \frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)} = \frac{11/64}{33/64} = \frac{1}{3} \quad \cdots\cdots \text{ <4점> } \]

정답 (1):$\mathrm{P}(B\mid A) = \dfrac{1}{3}$

■ 논제 I-2-(2) 예시답안 (16점)

한 분기점에서 갈라지는 두 점 사이의 최소 거리는 $2t$이고, 서로 다른 분기점에서 갈라지는 두 점 사이의 최소 거리는 $10 - 2\sqrt{3}t$이다.
$2t \le 10 - 2\sqrt{3}t \iff 2(\sqrt{3}+1)t \le 10 \iff t \le \dfrac{5}{\sqrt{3}+1} = \dfrac{5(\sqrt{3}-1)}{2}$이므로 $t_0 = \dfrac{5(\sqrt{3}-1)}{2}$라 하면 \[ f(t) = \begin{cases} 2t & (0 \lt t \le t_0) \\ 10 - 2\sqrt{3}t & \left(t_0 \lt t \lt \dfrac{5}{2}\right) \end{cases} \quad \cdots\cdots \text{ <8점> } \] 이다. 이때 $\displaystyle\lim_{t\to t_0-}\frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0} = 2,\ \lim_{t\to t_0+}\frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0} = -2\sqrt{3}$이므로 $f'(t_0)$가 존재하지 않는다.
즉, 함수 $f(t)$는 $t = t_0 = \dfrac{5(\sqrt{3}-1)}{2}$에서 미분가능하지 않으며, 이때의 함숫값은 $f(t_0) = 2t_0 = 5(\sqrt{3}-1)$이다. $\cdots\cdots \text{ <8점> }$

정답 (2):$t = \dfrac{5(\sqrt{3}-1)}{2}$, $f(t) = 5(\sqrt{3}-1)$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 32점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-2-(1)	[6점] 독립시행의 확률을 이용하여 처음에 네 갈래의 경우($X=20, 22, 24$)의 확률을 계산한다. [6점] 독립시행의 확률을 이용하여 처음에 여섯 갈래의 경우($X=24, 26, 28$)의 확률을 계산한다. [4점] 조건부확률 $\dfrac{1}{3}$을 계산한다.	16점
논제 I-2-(2)	[8점] 최소거리를 구간별 함수 $f(t) = \begin{cases} 2t & (0 \lt t \le t_0) \\ 10 - 2\sqrt{3}t & (t_0 \lt t \lt 5/2) \end{cases}$로 나타낸다. [8점] 함수가 미분가능하지 않은 $t = \dfrac{5(\sqrt{3}-1)}{2}$의 값과 이때의 함숫값 $f(t) = 5(\sqrt{3}-1)$을 구한다.	16점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[경희대 의·약학계열 감점 방어 클리닉] 논제 Ⅰ-2 채점에서는 제시문 조건의 정의역·부호 제한 확인과 소문항 간 연결 논거 명시가 핵심입니다. 단계별 배점(16점, 16점)이 세분화되어 있으므로 중간 유도식을 생략하지 말고 서술하십시오.

정답 (1):$\mathrm{P}(B\mid A) = \dfrac{1}{3}$ | 정답 (2): $t = \dfrac{5(\sqrt{3}-1)}{2}$, $f(t) = 5(\sqrt{3}-1)$

📚 과목/단원: 대수, 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 등비급수의 합, 수열의 귀납적 관계, 등차수열의 일반항 ⏱️ 권장 시간: 35분

제시문

[가] 등비급수 $\sum_{n=1}^\infty a r^{n-1} = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + \cdots\ (a \ne 0)$은 $|r| \lt 1$일 때, 수렴하고 그 합은 다음과 같다. \[ \sum_{n=1}^\infty a r^{n-1} = \frac{a}{1-r} \]

<그림 1: 유리창 두 장의 빛 통과 및 반사>

[논제 Ⅰ-1] 들어오는 빛의 양 $a$ 중에서 $ra$만 통과시키고 나머지는 모두 반사시키는 유리창이 있다. (단, $0 \lt r \lt 1$이고, 다른 조건은 고려하지 않는다.)
오른쪽 <그림 1>을 참조하여 다음 물음에 답하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x e^{-x}$의 극댓값과 변곡점의 $x$좌표를 각각 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x) = (1-x)e^{-x} = 0$에서 $x=1$일 때 극댓값 $\frac{1}{e}$을 갖고, $f''(x) = (x-2)e^{-x} = 0$에서 부호가 바뀌므로 변곡점의 $x$좌표는 $2$이다.

【문항 요약】 2022학년도 의·약학계열 논제 Ⅰ-1 (대수, 미적분Ⅱ) [배점 28점]

[2022학년도 의·약학계열 논제 Ⅰ-1] 출제범위: 대수, 미적분Ⅱ · 핵심개념: 등비급수의 합, 수열의 귀납적 관계, 등차수열의 일반항 (배점 28점, 권장 35분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 논제 Ⅰ-1 · 총 28점

<해설 도식: 유리창 사이 빛의 무한 반사·투과>

■ 논제 I-1-(1) 예시답안 (10점)

오른쪽 도식과 같이 유리창 1로 빛이 들어오는 구역을 A, 유리창 2에서 빛이 통과하여 나가는 구역을 B라 하자.
유리창 1로 들어오는 빛의 양 $a$ 중 $(1-r)a$는 A로 반사되고, $ra$는 유리창 1을 통과한다. 유리창 2에 $ra$가 도달하면 $(1-r)ra$는 반사되고 $r^2a$는 통과하여 B로 나간다.
유리창 2에서 반사된 $(1-r)ra$는 유리창 1로 들어가 $(1-r)r^2a$는 A로 나가고, $(1-r)^2ra$는 다시 유리창 2를 향해 반사된다. 이 빛이 다시 유리창 2에 도달하면 $(1-r)^2r^2a$가 통과하여 B로 나간다.
이 과정을 무한히 반복하면 B로 나가는 총 빛의 양 $S$는 첫째항이 $r^2a$이고 공비가 $(1-r)^2$인 등비급수의 합이 된다. $\cdots\cdots \text{ <5점> }$
$0 \lt r \lt 1$에서 공비 $0 \lt (1-r)^2 \lt 1$이므로 제시문 [가]에 의해 \[ S = \frac{r^2a}{1 - (1-r)^2} = \frac{r^2a}{2r - r^2} = \frac{r}{2 - r}a \] 문제의 조건에서 $S = \dfrac{1}{2}a$이므로 \[ \frac{r}{2 - r} = \frac{1}{2} \iff 2r = 2 - r \iff 3r = 2 \iff r = \frac{2}{3} \quad \cdots\cdots \text{ <5점> } \]

정답 (1):$r = \dfrac{2}{3}$

■ 논제 I-1-(2) 예시답안 (18점)

빛을 통과시키는 비율이 각각 $q_1, q_2$인 두 장의 유리창을 하나로 보았을 때, B로 도달하는 빛의 양은 첫째항 $q_1q_2a$, 공비 $(1-q_1)(1-q_2)$인 등비급수의 합이 된다. 따라서 두 창을 합친 유효 통과 비율 $R(q_1, q_2)$는 \[ R(q_1, q_2) = \frac{q_1q_2}{1 - (1-q_1)(1-q_2)} = \frac{q_1q_2}{q_1 + q_2 - q_1q_2} \quad \cdots\cdots \text{ <6점> } \] 이제 동일한 유리창 $n$개가 있을 때, 첫 번째 유리창의 비율을 $q_1 = r_1 = \dfrac{2}{3}$이라 하고, 2번째부터 $n$번째까지 $(n-1)$개의 유리창을 하나로 합친 비율을 $q_2 = r_{n-1}$이라 하면, $n$장의 합성 통과 비율 $r_n$은 \[ r_n = \frac{\frac{2}{3}r_{n-1}}{\frac{2}{3} + r_{n-1} - \frac{2}{3}r_{n-1}} = \frac{2r_{n-1}}{2 + r_{n-1}} \quad \cdots\cdots \text{ <6점> } \] 양변의 역수를 취하면 \[ \frac{1}{r_n} = \frac{2 + r_{n-1}}{2r_{n-1}} = \frac{1}{r_{n-1}} + \frac{1}{2} \] 따라서 수열 $\left\{ \dfrac{1}{r_n} \right\}$은 첫째항이 $\dfrac{1}{r_1} = \dfrac{3}{2}$이고 공차가 $\dfrac{1}{2}$인 등차수열이다. \[ \frac{1}{r_n} = \frac{3}{2} + (n - 1)\frac{1}{2} = \frac{n + 2}{2} \iff r_n = \frac{2}{n + 2} \] 따라서 $n$장의 유리창을 통과한 총 빛의 양 $p_n$은 $p_n = r_n a = \dfrac{2}{n+2}a$이다. $\cdots\cdots \text{ <6점> }$

정답 (2):$p_n = \dfrac{2}{n+2}a$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 28점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-1-(1)	[5점] 빛의 통과 과정을 무한등비급수로 표현하고 첫째항 $r^2a$와 공비 $(1-r)^2$을 찾는다. [5점] 등비급수 합 공식으로 방정식을 세워 빛을 통과시키는 비율 $r = \dfrac{2}{3}$를 구한다.	10점
논제 I-1-(2)	[6점] 투과율 $q_1, q_2$인 두 장의 유리창을 하나로 보았을 때의 합성 투과율 공식을 도출한다. [6점] $n$장의 유리창에 대한 점화식 $r_n = \dfrac{2r_{n-1}}{2 + r_{n-1}}$을 세운다. [6점] 역수 등차수열을 풀어 일반항 $r_n = \dfrac{2}{n+2}$ 및 $p_n = \dfrac{2}{n+2}a$를 정확히 구한다.	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[경희대 의·약학계열 감점 방어 클리닉] 논제 Ⅰ-1 채점에서는 제시문 조건의 정의역·부호 제한 확인과 소문항 간 연결 논거 명시가 핵심입니다. 단계별 배점(10점, 18점)이 세분화되어 있으므로 중간 유도식을 생략하지 말고 서술하십시오.

정답 (1):$r = \dfrac{2}{3}$ | 정답 (2): $p_n = \dfrac{2}{n+2}a$

📚 과목/단원: 수학, 미적분Ⅱ, 기하 🎯 핵심 테마: 매개변수 곡선, 삼각함수의 덧셈정리, 치환적분, 조임정리, 함수의 극한 ⏱️ 권장 시간: 45분

제시문

[나] 동경 $\mathrm{OP}$의 각 $\theta$, $\overline{\mathrm{OP}} = r$에 대하여 $\sin\theta = \dfrac{y}{r},\ \cos\theta = \dfrac{x}{r},\ \tan\theta = \dfrac{y}{x},\ \csc\theta = \dfrac{r}{y},\ \sec\theta = \dfrac{r}{x},\ \cot\theta = \dfrac{x}{y}$.

[다] 삼각함수의 덧셈정리: $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta,\ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$.

[라] 매개변수 함수 $x = f(t),\ y = g(t)$에서 $f'(t) \ne 0$이면 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{g'(t)}{f'(t)}$이다.

<그림 2: $n=3$인 경우>

[논제 Ⅰ-2] 다음 두 개의 독립적인 물음에 답하시오.
(문항 1) 오른쪽 <그림 2>와 같이 중심이 원점 $\mathrm{O}$이고 반지름이 $1$인 원 위에 같은 간격으로 놓여 있는 세 개 이상의 점 $\mathrm{P}_1, \dots, \mathrm{P}_n$이 있다. 매순간 점 $\mathrm{P}_k\ (k \lt n)$는 점 $\mathrm{P}_{k+1}$을 향하여 움직이고, 점 $\mathrm{P}_n$은 점 $\mathrm{P}_1$을 향하여 움직인다. $\overline{\mathrm{OP}_1} = \dots = \overline{\mathrm{OP}_n} \gt 0$과 $\angle \mathrm{P}_1\mathrm{OP}_2 = \dots = \angle \mathrm{P}_n\mathrm{OP}_1 = \dfrac{2\pi}{n}$가 항상 성립한다.
(문항 2) 점 $\mathrm{A}\!\left(a, \dfrac{1}{a}\right)\ (a \gt 0)$을 지나고 기울기가 음수인 직선이 곡선 $y = \dfrac{1}{x}$과 접하지 않는다. 이 직선이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{P}$, $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$, 곡선 $y = \dfrac{1}{x}$과 만나는 다른 점을 $\mathrm{B}$라 하고 원점을 $\mathrm{O}$라 하자.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

【유사 연습 문제】 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t \; (t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$일 때, $t=0$에서 $t=4$까지 점 $P$가 움직인 거리 $s$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $v(t)=3(t-1)(t-3)$이므로 $s = \int_0^1 v(t)\,dt - \int_1^3 v(t)\,dt + \int_3^4 v(t)\,dt = 4 + 4 + 4 = 12$이다.

【문항 요약】 2022학년도 의·약학계열 논제 Ⅰ-2 (수학, 미적분Ⅱ, 기하) [배점 32점]

[2022학년도 의·약학계열 논제 Ⅰ-2] 출제범위: 수학, 미적분Ⅱ, 기하 · 핵심개념: 매개변수 곡선, 삼각함수의 덧셈정리, 치환적분, 조임정리, 함수의 극한 (배점 32점, 권장 45분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 논제 Ⅰ-2 · 총 32점

<도식: 원 위 점들의 궤적 및 접선>

■ 논제 I-2-(1) 예시답안 (15점)

$\theta = \dfrac{2\pi}{n}$이라 하자. $\mathrm{P}_1(r\cos t, r\sin t)$, $\mathrm{P}_2(r\cos(t+\theta), r\sin(t+\theta))$이다.
제시문 [다]의 삼각함수 덧셈정리에 의해 $\mathrm{P}_2$의 좌표는 \[ x_2 = x_1\cos\theta - y_1\sin\theta, \quad y_2 = y_1\cos\theta + x_1\sin\theta \] 제시문 [라]에 의해 점 $\mathrm{P}_1$의 접선의 기울기 $\dfrac{dy_1}{dx_1} = \dfrac{y_1'}{x_1'}$은 직선 $\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2$의 기울기와 같으므로 \[ \frac{y_1'}{x_1'} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \implies (x_1'y_1 - x_1y_1')(1-\cos\theta) = (x_1'x_1 + y_1'y_1)\sin\theta \] $x_1'y_1 - x_1y_1' = -r^2$, $x_1'x_1 + y_1'y_1 = rr'$이므로 \[ -r^2(1 - \cos\theta) = rr'\sin\theta \implies \frac{r'}{r} = -\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = -\alpha \quad \cdots\cdots \text{ <5점> } \] $r(0) = 1$이므로 $r(t) = e^{-\alpha t}$이다. 속력은 $\sqrt{(x_1')^2 + (y_1')^2} = \sqrt{\alpha^2+1}\,e^{-\alpha t}$이다.
점 $\mathrm{P}_1$이 $y$축과 처음 만나는 시각은 $t = \dfrac{\pi}{2}$이므로 이동거리는 \[ L_1 = \int_0^{\pi/2} \sqrt{\alpha^2+1}\,e^{-\alpha t}\,dt = \left[ -\frac{\sqrt{\alpha^2+1}}{\alpha}e^{-\alpha t} \right]_0^{\pi/2} = \frac{\sqrt{\alpha^2+1}}{\alpha}(1 - e^{-\alpha\pi/2}) \quad \cdots\cdots \text{ <5점> } \]

정답 (1):$\dfrac{\sqrt{\alpha^2+1}}{\alpha}(1 - e^{-\alpha\pi/2})$

■ 논제 I-2-(2) 예시답안 (17점)

점 $\mathrm{B}\!\left(b, \dfrac{1}{b}\right)$에 대하여 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $y = -\dfrac{1}{ab}x + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$이다.
절편은 $\mathrm{P}\!\left(0, \dfrac{a+b}{ab}\right), \mathrm{Q}(a+b, 0)$이므로 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이는 \[ S(a) = \frac{1}{2}(a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = \frac{(a+b)^2}{2ab} = \frac{(1 + b/a)^2}{2(b/a)} \quad \cdots\cdots \text{ <6점> } \] 조건 $\overline{\mathrm{AB}} = 1$에서 $\sqrt{(a-b)^2 + (1/a - 1/b)^2} = \dfrac{|a-b|\sqrt{1+a^2b^2}}{ab} = 1$이므로 \[ |a - b| = \frac{ab}{\sqrt{1 + a^2b^2}} \] $a \gt b$일 때 $a - b = \dfrac{ab}{\sqrt{1+a^2b^2}} \implies \dfrac{b}{a} = 1 - \dfrac{b}{\sqrt{1+a^2b^2}}$이다.
여기서 $0 \lt \dfrac{b}{\sqrt{1+a^2b^2}} \lt \dfrac{b}{ab} = \dfrac{1}{a}$이므로, $a \to \infty$일 때 조임정리에 의해 $\lim_{a\to\infty} \dfrac{b}{\sqrt{1+a^2b^2}} = 0$이다.
따라서 $\lim_{a\to\infty} \dfrac{b}{a} = 1$이므로 \[ \lim_{a\to\infty} S(a) = \frac{(1 + 1)^2}{2(1)} = 2 \quad \cdots\cdots \text{ <6점> } \] 또한 $\dfrac{a}{b} = 1 + \dfrac{a}{\sqrt{1+a^2b^2}}$에서 $0 \lt \dfrac{a}{\sqrt{1+a^2b^2}} \lt a$이므로 $a \to 0^+$일 때 $\lim_{a\to 0^+} \dfrac{a}{b} = 1$이다.
\[ \lim_{a\to 0^+} S(a) = \lim_{a\to 0^+} \frac{(a/b + 1)^2}{2(a/b)} = \frac{(1 + 1)^2}{2(1)} = 2 \quad \cdots\cdots \text{ <5점> } \]

정답 (2):$\lim_{a\to\infty} S(a) = 2, \quad \lim_{a\to 0^+} S(a) = 2$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 32점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-2-(1)	[5점] 점 $\mathrm{P}_1$이 만족하는 기하학적 조건을 극형식 매개변수로 설정한다. [5점] 접선의 기울기 일치 조건을 통해 $r(t) = e^{-\alpha t}$임을 유도한다. [5점] 정적분을 계산하여 점 $\mathrm{P}_1$이 움직인 거리 $\dfrac{\sqrt{\alpha^2+1}}{\alpha}(1 - e^{-\alpha\pi/2})$를 구한다.	15점
논제 I-2-(2)	[6점] 직선의 방정식을 구하고 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 좌표 및 넓이 $S(a)$를 도출한다. [6점] $\overline{\mathrm{AB}} = 1$ 조건에서 $a$와 $b$의 관계를 이용하여 $\lim_{a\to\infty} \dfrac{b}{a} = 1$임을 증명하고 $\lim_{a\to\infty} S(a) = 2$를 구한다. [5점] $a\to 0^+$일 때의 대칭성을 활용하여 $\lim_{a\to 0^+} S(a) = 2$를 정확히 구한다.	17점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[경희대 의·약학계열 감점 방어 클리닉] 논제 Ⅰ-2 채점에서는 제시문 조건의 정의역·부호 제한 확인과 소문항 간 연결 논거 명시가 핵심입니다. 단계별 배점(15점, 17점)이 세분화되어 있으므로 중간 유도식을 생략하지 말고 서술하십시오.

정답 (1):$\dfrac{\sqrt{\alpha^2+1}}{\alpha}(1 - e^{-\alpha\pi/2})$ | 정답 (2): $\lim_{a\to\infty} S(a) = 2, \quad \lim_{a\to 0^+} S(a) = 2$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ, 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 미분가능성, 정사영 영역 내부 격자점의 개수와 급수의 합, 접선의 기울기 분류 ⏱️ 권장 시간: 35분

제시문

[가] 접선의 방정식: 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 \[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \]

[나] 수렴하는 두 수열 $\{a_n\},\ \{b_n\}$에 대하여 다음 성질이 성립한다. \[ \lim_{n\to\infty}(a_n + b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n,\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n}{\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n} \quad \left(\text{단, } b_n \ne 0,\ \lim_{n\to\infty} b_n \ne 0\right) \]

[논제 Ⅰ] [배점 30점] 제시문 [가], [나]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $n$이 자연수일 때, 실수에서 정의된 최고차항의 계수가 각각 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 이차함수 $g(x)$에 대하여 $f(x) = 0$의 근이 $0,\ -n$을 포함하고, $g(x) = 0$의 근이 $0,\ n$이라 하자. 함수 \[ h(x) = \begin{cases} f(x), & x \le 0 \\ g(x), & x \gt 0 \end{cases} \] 가 원점에서 미분가능할 때, $y = |h(x)|$의 그래프와 직선 $y = 0$으로 둘러싸인 두 영역 중에서 $y$축 왼쪽의 내부 영역(경계 제외)을 $A_n$, $y$축 오른쪽의 내부 영역(경계 제외)을 $B_n$이라 하자. $A_n$ 및 $B_n$의 원소 중에서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수를 각각 $a_n,\ b_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{nb_n}$의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 13점

(2) 점 $(-n, 0)$을 지나고 기울기가 양수인 직선이 곡선 $y = |h(x)|$와 만나는 점의 개수를 직선의 기울기에 따라 분류하고, 그 근거를 논술하시오. 17점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

【유사 연습 문제】 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n + (-2)^n}{5^n}$의 합을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 두 등비급수가 각각 수렴하므로 합은 $\frac{3/5}{1 - 3/5} + \frac{-2/5}{1 + 2/5} = \frac{3}{2} - \frac{2}{7} = \frac{17}{14}$이다.

【문항 요약】 2027학년도 모의 수리과학 연계 논제 Ⅰ (미적분Ⅰ, 미적분Ⅱ) [배점 30점]

[2027학년도 모의 수리논술 논제 Ⅰ] 출제범위: 미적분Ⅰ, 미적분Ⅱ · 핵심개념: 미분가능성, 정사영 영역 내부 격자점의 개수와 급수의 합, 접선의 기울기 분류 (배점 30점, 권장 35분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2027 논제 Ⅰ · 총 30점

■ 논제 I-(1) 예시답안 (13점)

$f(x) = 0$의 두 근이 $0,\ -n$이므로 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수를 $f(x) = x(x + n)(x - c)$로 놓을 수 있다. 한편 $g(x) = x(x - n)$이고, 함수 $h(x)$가 원점 $x = 0$에서 미분가능하므로 \[ -cn = f'(0) = g'(0) = -n \implies c = 1, \quad \text{즉 } f(x) = x(x + n)(x - 1)\text{이다.} \quad \cdots\cdots \text{ [3점]} \] 구간 $(-n, 0)$의 정수 $x = -k\ (k = 1, 2, \dots, n-1)$에서 $|h(-k)| = f(-k) \gt 0$이므로 경계를 제외한 내부 정수점의 개수 $a_n$은 다음과 같다. \[ a_n = \sum_{k=1}^{n-1}\big(f(-k) - 1\big) = \sum_{k=1}^{n-1}\big(-k^3 + (n - 1)k^2 + nk - 1\big) = -\left(\frac{n(n - 1)}{2}\right)^2 + \frac{n(n - 1)^2(2n - 1)}{6} + \frac{n^2(n - 1)}{2} - n + 1 \quad \cdots\cdots \text{ [4점]} \] 마찬가지로 구간 $(0, n)$의 정수 $x = k\ (k = 1, 2, \dots, n-1)$에서 $|h(k)| = -g(k) \gt 0$이므로 경계를 제외한 내부 정수점의 개수 $b_n$은 다음과 같다. \[ b_n = \sum_{k=1}^{n-1}\big(-g(k) - 1\big) = \sum_{k=1}^{n-1}\big(-k^2 + nk - 1\big) = -\frac{n(n - 1)(2n - 1)}{6} + \frac{n^2(n - 1)}{2} - n + 1 \quad \cdots\cdots \text{ [3점]} \] $a_n$의 최고차항($n^4$) 계수는 $-\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12}$이고, $nb_n$의 최고차항($n^4$) 계수는 $-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$이므로 제시문 [나]에 의하여 다음을 얻는다. \[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{nb_n} = \left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{3}\right) \div \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \quad \cdots\cdots \text{ [3점]} \]

정답 (1):$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{nb_n} = \frac{1}{2}$

[표] 기울기 $a$의 범위에 따른 교점의 개수

$a$의 범위	점의 개수	$a$의 범위	점의 개수
$0 \lt a \lt a_1$	5	$a_1 \lt a \lt a_2$	3
$a = a_1$	4	$a \ge a_2$	2

• $a_1 = (3 - 2\sqrt{2})n$ • $a_2 = n^2 + n$

■ 논제 I-(2) 예시답안 (17점)

점 $(-n, 0)$을 지나는 직선의 방정식은 $y = a(x + n)\ (a \gt 0)$이다. 이 직선이 곡선 $y = -g(x)\ (0 \lt x \lt n)$와 제1사분면에서 접할 때 직선의 기울기를 $a_1$, 곡선 $y = f(x)\ (-n \le x \le 0)$와 점 $(-n, 0)$에서 접할 때 직선의 기울기를 $a_2$라 하자. 기울기 $a$의 값에 따라 직선 $y = a(x + n)$과 곡선 $y = |h(x)|$가 만나는 점의 개수는 오른쪽 [표]와 같다. $\cdots\cdots \text{ [8점]}$
먼저 $f(x) = x(x + n)(x - 1)$를 미분하여 $x = -n$을 대입하면 \[ a_2 = f'(-n) = (-n)(-n - 1) = n^2 + n \text{ 이다.} \quad \cdots\cdots \text{ [3점]} \] 한편 $a = a_1$이면 직선 $y = a(x + n)$과 곡선 $y = -g(x) = -x^2 + nx$가 제1사분면의 한 점에서 접해야 한다. 접점의 $x$좌표를 $\alpha\ (\alpha \gt 0)$라 하면 제시문 [가]에 의하여 접선의 방정식은 \[ y = (n - 2\alpha)(x - \alpha) - \alpha^2 + n\alpha \] 이다. 이 직선이 점 $(-n, 0)$을 지나므로 $0 = (n - 2\alpha)(-n - \alpha) - \alpha^2 + n\alpha$, 즉 $\alpha^2 + 2n\alpha - n^2 = 0$이다. 이 방정식을 풀면 $\alpha \gt 0$이므로 $\alpha = (\sqrt{2} - 1)n$이다. 따라서 \[ a_1 = n - 2\alpha = (3 - 2\sqrt{2})n \text{ 이다.} \quad \cdots\cdots \text{ [6점]} \]

정답 (2):$a_1 = (3-2\sqrt{2})n,\ a_2 = n^2+n$일 때, $0 \lt a \lt a_1$ (5개), $a = a_1$ (4개), $a_1 \lt a \lt a_2$ (3개), $a \ge a_2$ (2개)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-(1)	[3점] $f(x)$를 구한다. [4점] $a_n$의 값을 구한다. [3점] $b_n$의 값을 구한다. [3점] $\dfrac{a_n}{nb_n}$의 극한값을 구한다.	13점
논제 I-(2)	[8점] 직선의 기울기를 분류한다. [6점] 기울기 $a_1$의 값을 구한다. [3점] 기울기 $a_2$의 값을 구한다.	17점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[경희대 의·약학계열 감점 방어 클리닉] 논제 Ⅰ 채점에서는 제시문 조건의 정의역·부호 제한 확인과 소문항 간 연결 논거 명시가 핵심입니다. 단계별 배점(13점, 17점)이 세분화되어 있으므로 중간 유도식을 생략하지 말고 서술하십시오.

정답 (1):$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{nb_n} = \frac{1}{2}$ | 정답 (2): $a_1 = (3-2\sqrt{2})n,\ a_2 = n^2+n$일 때, $0 \lt a \lt a_1$ (5개), $a = a_1$ (4개), $a_1 \lt a \lt a_2$ (3개), $a \ge a_2$ (2개)

📚 과목/단원: 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 독립시행과 확률질량함수, 이산확률변수의 기댓값, 두 독립 확률변수의 최댓값 분포 ⏱️ 권장 시간: 40분

제시문

[다] 이산확률변수의 기댓값(평균): 이산확률변수 $X$의 확률질량함수가 $\mathrm{P}(X = x_i) = p_i\ (i = 1, 2, \dots, n)$일 때, 확률변수 $X$의 기댓값(평균) $\mathrm{E}(X)$는 \[ \mathrm{E}(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n \]

[논제 Ⅱ] [배점 33점] 어느 학교 과학 동아리는 식물의 성장 상태를 나타내는 성장 지수를 관찰하고 있다. 현재 성장 지수는 $16$이며, 성장 지수는 한 달이 지날 때마다 확률 $\dfrac{1}{2}$로 이전 달의 $2$배가 되고 확률 $\dfrac{1}{2}$로 이전 달의 $\dfrac{1}{2}$배가 되며, 각 달의 변화는 서로 독립이다.
동아리는 3개월 뒤, 3개월 후 성장 지수가 관찰 기간 동안 매월 말에 기록한 세 성장 지수, 즉 1개월 후, 2개월 후, 3개월 후 성장 지수의 산술평균보다 크면 그 차이

3개월 후 성장 지수 $-$ 1개월 후, 2개월 후, 3개월 후 성장 지수의 산술평균

를 성장 보너스로 받고, 3개월 후 성장 지수가 그 산술평균보다 작거나 같으면 성장 보너스를 $0$으로 받는다. 다음 물음에 답하시오.

(1) 동아리가 받을 성장 보너스의 기댓값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 16점

(2) 이번에는 동아리가 두 식물을 관찰한다고 하자. 두 식물의 현재 성장 지수는 모두 $16$이며, 각 식물의 성장 지수는 위와 같은 규칙에 따라 변한다. 또한 두 식물에서 일어나는 성장 지수의 변화도 서로 독립이다. 동아리는 3개월 뒤 각 식물의 성장 보너스를 계산한 후, 둘 중 더 큰 값을 최종 성장 보너스로 받는다. 이때 최종 성장 보너스의 기댓값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 17점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.20 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]

【유사 연습 문제】 실수 전체에서 증가하는 함수 $f(x) = x^3 + 3x + 1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $g'(5)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f(1) = 1 + 3 + 1 = 5$이므로 $g(5) = 1$이다. 역함수의 미분법에 의해 $g'(5) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{3(1)^2 + 3} = \frac{1}{6}$이다.

【문항 요약】 2027학년도 모의 수리과학 연계 논제 Ⅱ (확률과 통계) [배점 33점]

[2027학년도 모의 수리논술 논제 Ⅱ] 출제범위: 확률과 통계 · 핵심개념: 독립시행과 확률질량함수, 이산확률변수의 기댓값, 두 독립 확률변수의 최댓값 분포 (배점 33점, 권장 40분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2027 논제 Ⅱ · 총 33점

[표 1] 3개월간 8가지 성장 지수 및 보너스

경우	확률	1개월	2개월	3개월	평균	보너스
UUU	$1/8$	32	64	128	$224/3$	$160/3$
UUD	$1/8$	32	64	32	$128/3$	$0$
UDU	$1/8$	32	16	32	$80/3$	$16/3$
UDD	$1/8$	32	16	8	$56/3$	$0$
DUU	$1/8$	8	16	32	$56/3$	$40/3$
DUD	$1/8$	8	16	8	$32/3$	$0$
DDU	$1/8$	8	4	8	$20/3$	$4/3$
DDD	$1/8$	8	4	2	$14/3$	$0$

[표 2] 한 식물의 성장 보너스 확률분포표

성장 보너스	$0$	$4/3$	$16/3$	$40/3$	$160/3$
확률	$4/8$	$1/8$	$1/8$	$1/8$	$1/8$

■ 논제 II-(1) 단일 식물의 성장 보너스 기댓값 (16점)

현재 성장 지수 $16$에서 한 달이 지날 때 성장 지수가 $2$배가 되는 경우를 $\mathrm{U}$, $\dfrac{1}{2}$배가 되는 경우를 $\mathrm{D}$라 하자. 각 달의 변화는 독립이므로 3개월 동안 가능한 8가지 경우($\mathrm{UUU \sim DDD}$)는 각각 확률 $\dfrac{1}{8}$로 나타난다. $\cdots\cdots \text{ [4점]}$
각 경우에 대하여 1개월 후, 2개월 후, 3개월 후 성장 지수와 세 지수의 산술평균, 그리고 (3개월 후 지수 $-$ 평균)이 양수일 때의 성장 보너스를 계산하면 오른쪽 [표 1]과 같다. $\cdots\cdots \text{ [6점]}$
따라서 제시문 [다]에 의하여 동아리가 받을 성장 보너스의 기댓값은 다음과 같다. $\cdots\cdots \text{ [6점]}$ \[ \frac{1}{8}\cdot\frac{160}{3} + \frac{1}{8}\cdot\frac{16}{3} + \frac{1}{8}\cdot\frac{40}{3} + \frac{1}{8}\cdot\frac{4}{3} = \frac{220}{24} = \frac{55}{6} \]

정답 (1):성장 보너스의 기댓값 $= \dfrac{55}{6}$

■ 논제 II-(2) 두 식물 중 최대 성장 보너스의 기댓값 (17점)

문항 (1)의 결과로부터 한 식물의 성장 보너스는 오른쪽 [표 2]의 확률분포를 갖는다. $\cdots\cdots \text{ [5점]}$
먼저 한 식물의 성장 보너스가 어떤 값 이하일 누적확률을 구하면 다음과 같다. \[ \mathrm{P}(\text{보너스} \le 0) = \frac{4}{8},\quad \mathrm{P}\!\left(\text{보너스} \le \frac{4}{3}\right) = \frac{5}{8},\quad \mathrm{P}\!\left(\text{보너스} \le \frac{16}{3}\right) = \frac{6}{8},\quad \mathrm{P}\!\left(\text{보너스} \le \frac{40}{3}\right) = \frac{7}{8},\quad \mathrm{P}\!\left(\text{보너스} \le \frac{160}{3}\right) = 1 \] 두 식물의 성장 지수 변화는 서로 독립이므로, 두 식물의 보너스가 모두 어떤 값 이하일 확률은 각각의 확률을 곱하면 된다. 따라서 두 보너스 중 더 큰 값(최종 보너스)의 확률분포는 다음과 같다. $\cdots\cdots \text{ [7점]}$
① 최종 보너스가 $0$일 확률: 두 식물의 보너스가 모두 $0$이어야 하므로 $\left(\dfrac{4}{8}\right)^2 = \dfrac{16}{64}$
② 최종 보너스가 $\dfrac{4}{3}$일 확률: 두 보너스가 모두 $\dfrac{4}{3}$ 이하이고 둘 다 $0$ 이하인 경우를 제외하므로 $\left(\dfrac{5}{8}\right)^2 - \left(\dfrac{4}{8}\right)^2 = \dfrac{9}{64}$
③ 최종 보너스가 $\dfrac{16}{3}$일 확률: $\left(\dfrac{6}{8}\right)^2 - \left(\dfrac{5}{8}\right)^2 = \dfrac{11}{64}$ ④ 최종 보너스가 $\dfrac{40}{3}$일 확률: $\left(\dfrac{7}{8}\right)^2 - \left(\dfrac{6}{8}\right)^2 = \dfrac{13}{64}$
⑤ 최종 보너스가 $\dfrac{160}{3}$일 확률: $1 - \left(\dfrac{7}{8}\right)^2 = \dfrac{15}{64}$
따라서 최종 성장 보너스의 기댓값은 다음과 같다. $\cdots\cdots \text{ [5점]}$ \[ \frac{4}{3}\cdot\frac{9}{64} + \frac{16}{3}\cdot\frac{11}{64} + \frac{40}{3}\cdot\frac{13}{64} + \frac{160}{3}\cdot\frac{15}{64} = \frac{36 + 176 + 520 + 2400}{192} = \frac{3132}{192} = \frac{261}{16} \]

정답 (2):최종 성장 보너스의 기댓값 $= \dfrac{261}{16}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 33점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 II-(1)	[4점] 3개월 동안 가능한 8가지 변화 경우와 각 확률을 올바르게 정리함 [6점] 각 경우의 1·2·3개월 후 성장 지수와 성장 보너스를 올바르게 계산함 [6점] 성장 보너스의 기댓값을 올바르게 계산하여 답을 구함	16점
논제 II-(2)	[5점] 한 식물의 성장 보너스 값과 그 확률분포를 올바르게 정리함 [7점] 두 식물이 독립임을 이용하여 두 보너스 중 더 큰 값의 확률분포를 올바르게 구함 [5점] 최종 보너스의 기댓값을 올바르게 계산함	17점

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[경희대 의·약학계열 감점 방어 클리닉] 논제 Ⅱ 채점에서는 제시문 조건의 정의역·부호 제한 확인과 소문항 간 연결 논거 명시가 핵심입니다. 단계별 배점(16점, 17점)이 세분화되어 있으므로 중간 유도식을 생략하지 말고 서술하십시오.

정답 (1):성장 보너스의 기댓값 $= \dfrac{55}{6}$ | 정답 (2): 최종 성장 보너스의 기댓값 $= \dfrac{261}{16}$

📚 과목/단원: 기하, 대수 🎯 핵심 테마: 서로 접하는 세 구의 위치 관계, 정사영의 성질, 코사인법칙, 삼수선의 정리 ⏱️ 권장 시간: 45분

제시문

[라] 평면 $\beta$ 위에 있는 도형의 넓이를 $S$, 이 도형의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이를 $S'$이라고 할 때, 두 평면 $\alpha,\ \beta$가 이루는 각의 크기를 $\theta\ (0^\circ \le \theta \le 90^\circ)$라고 하면 \[ S' = S\cos\theta \]

평면 $\alpha$ 위에서 서로 접하는 세 구 $\mathrm{O}_1, \mathrm{O}_2, \mathrm{O}_3$

[논제 Ⅲ] [배점 37점] 오른쪽 그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 반지름이 각각 $1,\ 2,\ 3$이고, 중심이 각각 $\mathrm{O}_1,\ \mathrm{O}_2,\ \mathrm{O}_3$인 구가 서로 접해있다. 제시문 [라]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 $\mathrm{O}_1,\ \mathrm{O}_2,\ \mathrm{O}_3$가 이루는 평면을 $\beta$라 하자. 평면 $\alpha$와 평면 $\beta$의 이면각을 $\theta$라 할 때, $\cos\theta$의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 15점

(2) 점 $\mathrm{O}_1$과 $\mathrm{O}_2$를 지나는 직선이 평면 $\alpha$와 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 점 $\mathrm{O}_2$와 점 $\mathrm{O}_3$를 지나는 직선이 평면 $\alpha$와 만나는 점을 $\mathrm{B}$, 점 $\mathrm{O}_3$에서 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P}_3$라 하자. 이때, 삼각형 $\mathrm{O}_3\mathrm{AB}$의 넓이를 $S_1$, 삼각형 $\mathrm{P}_3\mathrm{AO}_2$의 넓이를 $S_2$라 할 때 $\dfrac{S_2}{S_1}$의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 22점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.30 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-05]

【유사 연습 문제】 극한값 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{2k}{n}}$을 정적분으로 나타내어 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x_k = \frac{k}{n}$으로 놓으면 주어진 극한은 $\int_0^1 \frac{1}{1 + 2x}\,dx = \left[\frac{1}{2}\ln(1+2x)\right]_0^1 = \frac{1}{2}\ln 3$이다.

【문항 요약】 2027학년도 모의 수리과학 연계 논제 Ⅲ (기하, 대수) [배점 37점]

[2027학년도 모의 수리논술 논제 Ⅲ] 출제범위: 기하, 대수 · 핵심개념: 서로 접하는 세 구의 위치 관계, 정사영의 성질, 코사인법칙, 삼수선의 정리 (배점 37점, 권장 45분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2027 논제 Ⅲ · 총 37점

평면 $\alpha$ 위의 세 구 $\mathrm{O}_1, \mathrm{O}_2, \mathrm{O}_3$

■ 논제 III-(1) 예시답안 (15점)

세 구가 서로 외접하므로 중심 사이의 거리는 반지름의 합과 같다. 즉 $\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} = 1 + 2 = 3,\ \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_3} = 1 + 3 = 4,\ \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{O}_3} = 2 + 3 = 5$이므로 $3^2 + 4^2 = 5^2$이 성립하여 삼각형 $\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{O}_3$는 $\angle\mathrm{O}_2\mathrm{O}_1\mathrm{O}_3 = 90^\circ$인 직각삼각형이다. 따라서 \[ \triangle\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{O}_3 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ 이다.} \quad \cdots\cdots \text{ [4점]} \] 점 $\mathrm{O}_1,\ \mathrm{O}_2,\ \mathrm{O}_3$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3$라 하면 $\overline{\mathrm{O}_i\mathrm{P}_i} = r_i$이므로 피타고라스 정리에 의해 $\overline{\mathrm{P}_i\mathrm{P}_j} = \sqrt{(r_i + r_j)^2 - (r_i - r_j)^2} = 2\sqrt{r_i r_j}$이다. 따라서 $\overline{\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2} = 2\sqrt{2},\ \overline{\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3} = 2\sqrt{6},\ \overline{\mathrm{P}_1\mathrm{P}_3} = 2\sqrt{3}$이다. 삼각형 $\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3$에서 코사인법칙에 의하여 \[ \cos\angle\mathrm{P}_2\mathrm{P}_1\mathrm{P}_3 = \frac{8 + 12 - 24}{2 \times 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{6}} \implies \sin\angle\mathrm{P}_2\mathrm{P}_1\mathrm{P}_3 = \frac{\sqrt{23}}{2\sqrt{6}} \] 이며, 그러므로 $\triangle\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3 = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{3} \times \dfrac{\sqrt{23}}{2\sqrt{6}} = \sqrt{23}$이다. $\cdots\cdots \text{ [6점]}$
제시문 [라]의 정사영의 성질에 의하여 $\cos\theta = \dfrac{\triangle\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3}{\triangle\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{O}_3} = \dfrac{\sqrt{23}}{6}$이다. $\cdots\cdots \text{ [5점]}$

정답 (1):$\cos\theta = \dfrac{\sqrt{23}}{6}$

■ 논제 III-(2) 예시답안 (22점)

① $S_1 = \triangle\mathrm{O}_3\mathrm{AB}$의 넓이 (10점): 직각삼각형 $\mathrm{O}_2\mathrm{P}_2\mathrm{A}$와 $\mathrm{O}_1\mathrm{P}_1\mathrm{A}$는 닮음비 $2 : 1$이고 $\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} = 3$이므로 $\overline{\mathrm{AO}_2} = 6$이다. 또한 직각삼각형 $\mathrm{O}_3\mathrm{P}_3\mathrm{B}$와 $\mathrm{O}_2\mathrm{P}_2\mathrm{B}$는 닮음비 $3 : 2$이고 $\overline{\mathrm{O}_3\mathrm{O}_2} = 5$이므로 $\overline{\mathrm{BO}_2} = 10$이다. 직각삼각형 $\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{O}_3$에서 $\cos\angle\mathrm{AO}_2\mathrm{B} = \cos(\pi - \angle\mathrm{O}_3\mathrm{O}_2\mathrm{O}_1) = -\dfrac{3}{5}$이므로 삼각형 $\mathrm{AO}_2\mathrm{B}$에서 코사인법칙을 적용하면 \[ \overline{\mathrm{AB}}^2 = 100 + 36 - 2 \times 10 \times 6 \times \left(-\frac{3}{5}\right) = 208 \implies \overline{\mathrm{AB}} = 4\sqrt{13} \text{ 이다.} \] 한편 직선 $\mathrm{AB}$는 평면 $\alpha$와 평면 $\beta$의 교선이므로, 점 $\mathrm{O}_3$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 삼수선의 정리에 의해 $\angle\mathrm{O}_3\mathrm{HP}_3 = \theta$이다. $\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \dfrac{\sqrt{13}}{6}$이고 $\sin\theta = \dfrac{\overline{\mathrm{O}_3\mathrm{P}_3}}{\overline{\mathrm{O}_3\mathrm{H}}}$에서 $\overline{\mathrm{O}_3\mathrm{H}} = \dfrac{18}{\sqrt{13}}$이다. 따라서 $S_1 = \triangle\mathrm{O}_3\mathrm{AB} = \dfrac{1}{2} \times 4\sqrt{13} \times \dfrac{18}{\sqrt{13}} = 36$이다. $\cdots\cdots \text{ [10점]}$
② $S_2 = \triangle\mathrm{P}_3\mathrm{AO}_2$의 넓이 및 $\dfrac{S_2}{S_1}$ (12점): $\triangle\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3 = \sqrt{23}$이고 $\overline{\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2} = 2\sqrt{2}$이므로 점 $\mathrm{P}_3$에서 직선 $\mathrm{AP}_2$까지의 거리는 $\dfrac{2\sqrt{23}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{46}}{2}$이다. 또한 $\overline{\mathrm{AP}_2} = \sqrt{\overline{\mathrm{AO}_2}^2 - \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{P}_2}^2} = \sqrt{36 - 4} = 4\sqrt{2}$이므로 $\triangle\mathrm{P}_3\mathrm{AP}_2 = \dfrac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{46}}{2} = 2\sqrt{23}$이다. 한편 삼각형 $\mathrm{O}_3\mathrm{AO}_2$에서 $\overline{\mathrm{AO}_2} = 6,\ \overline{\mathrm{O}_3\mathrm{O}_2} = 5,\ \cos\angle\mathrm{O}_3\mathrm{O}_2\mathrm{A} = \dfrac{3}{5}$이므로 코사인법칙에 의해 $\overline{\mathrm{AO}_3}^2 = 25 + 36 - 2 \times 5 \times 6 \times \dfrac{3}{5} = 25 \implies \overline{\mathrm{AO}_3} = 5$이고, 직각삼각형 $\mathrm{AO}_3\mathrm{P}_3$에서 $\overline{\mathrm{AP}_3} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$이다. 점 $\mathrm{P}_2$에서 선분 $\mathrm{AP}_3$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}'$이라 하면 $\triangle\mathrm{P}_3\mathrm{AP}_2 = \dfrac{1}{2} \times \overline{\mathrm{P}_2\mathrm{H}'} \times 4 = 2\sqrt{23} \implies \overline{\mathrm{P}_2\mathrm{H}'} = \sqrt{23}$이다. 삼수선의 정리에 따라 $\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{H}'} \perp \overline{\mathrm{AP}_3}$이므로 $\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{H}'} = \sqrt{\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{P}_2}^2 + \overline{\mathrm{P}_2\mathrm{H}'}^2} = \sqrt{4 + 23} = 3\sqrt{3}$이고, $S_2 = \triangle\mathrm{P}_3\mathrm{AO}_2 = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$이다. 그러므로 $\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{6\sqrt{3}}{36} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}$이다. $\cdots\cdots \text{ [12점]}$

정답 (2):$S_1 = 36,\ S_2 = 6\sqrt{3},\ \dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 37점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 III-(1)	[5점] 정사영의 성질을 이용하여 $\cos\theta = \dfrac{\triangle\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3}{\triangle\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{O}_3}$임을 파악한다. [4점] $\triangle\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{O}_3$의 넓이를 구한다. [6점] $\triangle\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3$의 넓이를 구한다.	15점
논제 III-(2)	[10점] 삼각형 $\mathrm{O}_3\mathrm{AB}$의 넓이 $S_1$을 구한다. [12점] 삼각형 $\mathrm{P}_3\mathrm{AO}_2$의 넓이 $S_2$를 구하고 $\dfrac{S_2}{S_1}$를 계산한다.	22점

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[경희대 의·약학계열 감점 방어 클리닉] 논제 Ⅲ 채점에서는 제시문 조건의 정의역·부호 제한 확인과 소문항 간 연결 논거 명시가 핵심입니다. 단계별 배점(15점, 22점)이 세분화되어 있으므로 중간 유도식을 생략하지 말고 서술하십시오.

정답 (1):$\cos\theta = \dfrac{\sqrt{23}}{6}$ | 정답 (2): $S_1 = 36,\ S_2 = 6\sqrt{3},\ \dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}$

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2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술
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📈 회차별 종합 분석 매트릭스 (10p): 매 회차 직후 문항별 난이도·배점·합격 전략 리포트 수록

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R1-Q1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	혈중 약물 반감기 지수 모델과 치료 유효 농도 구간	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.28 탐구 3911 변형 \| 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]	20점/중상
R1-Q2	대수 Ⅱ. 삼각함수	심전도[ECG] 주기 파형 모델과 동맥 분지 혈류 기하	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.32 탐구 3912 변형 \| 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]	20점/중상
R1-Q3	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한	효소-기질 반응 속도[미카엘리스-멘텐 식]의 극한과 초기 기울기	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.31 탐구 3913 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	20점/상
R1-Q4	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	경구 투여 약물의 혈중 농도 다항 근사 모형과 최고 농도 도달 시각	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.34 탐구 3914 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	20점/상
R1-Q5	기하 Ⅰ. 이차곡선	체외충격파쇄석술[ESWL] 타원 반사경의 두 초점과 충격파 경로 설계	[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.3 탐구 3915 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	20점/상
R2-Q1	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	핸더슨-하셀바흐 혈액 완충계 pH 방정식과 산-염기 평형 부등식	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.1 탐구 3921 변형 \| 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-08]	20점/중상
R2-Q2	대수 Ⅱ. 삼각함수	폐활량 호흡 주기 삼각함수 모델과 흡기·호기 역치 시간	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 탐구 3922 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]	20점/중상
R2-Q3	미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속	신경세포 막전위 역치[Threshold] 모델에서 이온 통로 함수의 연속성과 사잇값 정리	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 탐구 3923 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]	20점/상
R2-Q4	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	약물동태학의 혈중농도-시간 곡선하 면적[AUC]과 생체이용률 정적분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.38 탐구 3924 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	20점/상
R2-Q5	기하 Ⅱ. 평면벡터	심장 전기축[Cardiac Electrical Axis] 벡터의 내적과 아인트호벤 삼각형 유도 전압	[출처: 비상 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.3 탐구 3925 변형 \| 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]	20점/상
R3-Q1	대수 Ⅲ. 수열	일정 간격 반복 투약의 약물 잔류 점화식과 항정 상태[Steady State] 귀납 증명	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.1 탐구 3931 변형 \| 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]	20점/중상
R3-Q2	대수 Ⅱ. 삼각함수	치과 교정 와이어 삼각형 아치 구조의 사인법칙·코사인법칙 역학 해석	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 3932 변형 \| 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]	20점/중상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R3-Q3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	포아죄유 혈류 유속 분포의 전단 변화율과 혈관 반지름 평균값 정리	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.36 탐구 3933 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]	20점/상
R3-Q4	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	스튜어트-해밀턴 지시약 희석 곡선의 정적분과 심박출량[Cardiac Output] 산출	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.39 탐구 3934 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-06]	20점/상
R3-Q5	기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표	정위적 방사선 수술[감마나이프]의 두개골 구면 좌표계와 병소 타깃 최단 거리	[출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.3 탐구 3935 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	20점/상
R4-Q1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	실시간 중합효소연쇄반응[RT-qPCR] 유전자 증폭과 검출 한계 사이클[Ct]	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.1 탐구 3941 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-04]	20점/중상
R4-Q2	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한	약물-수용체 협동 결합[힐 방정식]의 포화 극한과 반포화 해리 상수	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.34 탐구 3942 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	20점/중상
R4-Q3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	기침 반사 시 기관지 수축 반지름과 기류 속도 극대화[비율 2/3 법칙]	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.37 탐구 3943 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	20점/상
R4-Q4	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	경구 포도당 부하 검사[OGTT] 혈당 곡선과 기저선 초과 면적[iAUC] 정적분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.40 탐구 3944 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	20점/상
R4-Q5	기하 Ⅰ. 이차곡선	치과 파노라마 방사선 촬영기의 포물선 초점-준선 궤적과 접선 광학	[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.4 탐구 3945 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	20점/상
R5-Q1	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	양전자방출단층촬영[PET] 방사성 추적자[18F-FDG]의 붕괴 법칙과 투여 용량 설계	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.2 탐구 3951 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]	20점/중상
R5-Q2	대수 Ⅱ. 삼각함수	초음파 도플러 혈류 측정기의 프로브 입사각 코사인 보정과 혈류 속도	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 탐구 3952 변형 \| 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]	20점/중상
R5-Q3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	전염병 역학 구획 모델의 감염 재생산 곡선과 평형점 실근 개수	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 탐구 3953 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]	20점/상
R5-Q4	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	신장 사구체 여과율[GFR]과 신장 배설 속도 함수의 정적분 청소율 해석	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.41 탐구 3954 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]	20점/상
R5-Q5	기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표	정형외과 인공고관절 치환술의 대퇴골두 구면 절삭 평면과 단면 기하	[출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.4 탐구 3955 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	20점/상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R6-Q1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	문항 1	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.25 탐구 3961 변형 \| 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]	20점/상
R6-Q2	대수 Ⅱ. 삼각함수	문항 2	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.30 탐구 3962 변형 \| 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]	20점/상
R6-Q3	미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속	문항 3	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.33 탐구 3963 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	20점/상
R6-Q4	미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법	문항 4	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 탐구 3964 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	20점/최상
R6-Q5	기하 Ⅰ. 이차곡선	문항 5	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.12 탐구 3965 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	20점/최상
R7-Q1	대수 Ⅲ. 수열	문항 1	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.11 탐구 3971 변형 \| 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06]	20점/상
R7-Q2	미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속	문항 2	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.35 탐구 3972 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-02-01]	20점/상
R7-Q3	미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법	문항 3	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 탐구 3973 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	20점/상
R7-Q4	미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법	문항 4	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 3974 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	20점/최상
R7-Q5	기하 Ⅰ. 이차곡선	문항 5	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.36 탐구 3975 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	20점/최상
R8-Q1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	문항 1	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 탐구 3981 변형 \| 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]	20점/상
R8-Q2	대수 Ⅱ. 삼각함수	문항 2	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.38 탐구 3982 변형 \| 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]	20점/상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R8-Q3	미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법	문항 3	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.50 탐구 3983 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	20점/상
R8-Q4	확률과 통계 Ⅱ. 조건부확률	문항 4	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.17 탐구 3984 변형 \| 성취기준: 12대수03-05, 12확통02-04, 12확통02-05]	20점/최상
R8-Q5	기하 Ⅱ. 평면벡터	문항 5	[출처: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.35 탐구 3985 변형 \| 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]	20점/최상
R9-Q1	대수 Ⅲ. 수열	문항 1	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 3991 변형 \| 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-05]	20점/상
R9-Q2	미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속	문항 2	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.25 탐구 3992 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	20점/상
R9-Q3	미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법	문항 3	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.54 탐구 3993 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	20점/상
R9-Q4	미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법	문항 4	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.42 탐구 3994 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	20점/최상
R9-Q5	기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표	문항 5	[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.40 탐구 3995 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	20점/최상
R10-Q1	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	문항 1	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.21 탐구 3901 변형 \| 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-08]	20점/상
R10-Q2	대수 Ⅱ. 삼각함수	문항 2	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.42 탐구 3902 변형 \| 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]	20점/상
R10-Q3	미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법	문항 3	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.56 탐구 3903 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	20점/상
R10-Q4	확률과 통계 Ⅲ. 통계적 추정	문항 4	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.18 탐구 3904 변형 \| 성취기준: 12대수03-05, 12확통03-05, 12확통03-06]	20점/최상
R10-Q5	기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표	문항 5	[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.48 탐구 3905 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	20점/최상

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 혈중 약물 반감기 지수 모델과 치료 유효 농도 구간 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.28 탐구 3911 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

[제시문 (가)] 정맥 주사로 투여된 항생제가 체내에서 대사·배설될 때, 투여 $t$시간 후의 혈중 약물 농도 $C(t)\;(\mathrm{\mu g/mL})$는 초기 농도 $C_0$와 반감기 $T_{1/2}$에 대하여 $C(t) = C_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$를 따른다. 양변에 상용로그를 취하면 $\log_{10} C(t) = \log_{10} C_0 - \dfrac{\log_{10} 2}{T_{1/2}}\,t$가 성립한다.

어떤 항생제를 정맥 주사한 직후 혈중 농도가 $C_0 = 80\;(\mathrm{\mu g/mL})$이고, 투여 $3$시간 후 혈중 농도가 $40\;(\mathrm{\mu g/mL})$로 측정되었다. 이 항생제가 약효를 나타내면서 독성을 일으키지 않는 치료 유효 농도 구간이 $5 \le C(t) \le 64$일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $\log_{10} 2 = 0.3$으로 계산한다.)

[문항 1-1] (6점) 이 항생제의 반감기 $T_{1/2}$를 구하고, 투여 $9$시간 후의 혈중 농도 $C(9)$와 $\log_{10} C(t)$를 $t$에 대한 일차식으로 나타내시오.

[문항 1-2] (7점) 혈중 농도가 치료 유효 농도 상한인 $64\;(\mathrm{\mu g/mL})$ 이하로 진입하는 시각 $t_1$과 유효 하한인 $5\;(\mathrm{\mu g/mL})$ 이상을 유지하는 마지막 시각 $t_2$를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 혈중 농도가 $5\;(\mathrm{\mu g/mL})$로 떨어진 시각 $t_2$에 즉시 같은 항생제를 추가 정맥 주사하여 직후 농도를 다시 $80\;(\mathrm{\mu g/mL})$로 높이려면, 혈액 $1\,\mathrm{mL}$당 추가해야 하는 약물의 농도 증가량 $\Delta C$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 Ⅱ. 삼각함수 — 심전도[ECG] 주기 파형 모델과 동맥 분지 혈류 기하 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.32 탐구 3912 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[제시문 (가)] 주기가 $T$인 삼각함수 $V(t) = A\sin\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right) + B$ ($A \gt 0$)의 최댓값은 $A + B$, 최솟값은 $-A + B$이다.
[제시문 (나)] 삼각형 $\mathrm{OPQ}$에서 두 변의 길이 $\overline{\mathrm{OP}}, \overline{\mathrm{OQ}}$와 끼인각 $\theta$를 알 때 코사인법칙 $\overline{\mathrm{PQ}}^2 = \overline{\mathrm{OP}}^2 + \overline{\mathrm{OQ}}^2 - 2\,\overline{\mathrm{OP}}\cdot\overline{\mathrm{OQ}}\cos\theta$가 성립한다.

안정 상태 성인의 심방 탈분극 전위 파형을 $V(t) = 2\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}t\right) - 1\;(\mathrm{mV})$ ($0 \le t \le \dfrac{4}{5}$초)로 모형화하고, 분지점 $\mathrm{O}$에서 갈라지는 두 관상동맥 가지 위의 두 센서 지점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 $\overline{\mathrm{OP}} = 3\,\mathrm{cm},\; \overline{\mathrm{OQ}} = 5\,\mathrm{cm},\; \angle \mathrm{POQ} = 120^\circ$를 이룰 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 함수 $V(t)$의 주기 $T$(초)와 $1$분($60$초)당 심박수($\mathrm{bpm}$, 분당 주기 횟수)를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 한 주기 $0 \le t \le \dfrac{4}{5}$에서 전위 $V(t)$가 영전위($0\,\mathrm{mV}$) 이상으로 유지되는 시간 구간의 길이를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 두 센서 지점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 사이의 직선 거리 $\overline{\mathrm{PQ}}$와 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 외접원의 반지름 $R$를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 — 효소-기질 반응 속도[미카엘리스-멘텐 식]의 극한과 초기 기울기 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.31 탐구 3913 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문 (가)] 생체 내 효소 촉매 반응에서 기질 농도가 $s \ge 0\;(\mathrm{mM})$일 때 반응 속도 $v(s)\;(\mathrm{\mu M/s})$는 최대 반응 속도 $V_{\max} \gt 0$와 미카엘리스 상수 $K_m \gt 0$에 대하여 $v(s) = \dfrac{V_{\max}\,s}{K_m + s}$로 주어진다.

어떤 간 대사 효소의 반응 속도 함수 $v(s) = \dfrac{V_{\max}\,s}{K_m + s}$가 다음 두 극한 조건 $\lim_{s \to \infty} v(s) = 12,\; \lim_{s \to 0+} \dfrac{v(s)}{s} = 3$을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 두 극한 조건을 이용하여 상수 $V_{\max}$와 $K_m$의 값을 각각 구하고, 반응 속도가 최대 반응 속도의 절반($\dfrac{1}{2}V_{\max}$)이 되는 기질 농도 $s_{1/2}$를 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 역수 변수 $x = \dfrac{1}{s}$ ($s \gt 0$), $y = \dfrac{1}{v(s)}$에 대하여 $y$를 $x$에 대한 일차함수 $y = ax + b$로 나타내고(라인위버-버크 선형화), 상수 $a, b$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 경쟁적 저해제가 존재할 때 반응 속도 함수는 $v_{\mathrm{inh}}(s) = \dfrac{12s}{4(1 + I/K_i) + s}$가 된다. $\lim_{s \to 0+} \dfrac{v_{\mathrm{inh}}(s)}{s} = 1$일 때, 저해 배수 $\dfrac{I}{K_i}$의 값과 $\lim_{s \to \infty} \bigl(v(s) - v_{\mathrm{inh}}(s)\bigr)$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 경구 투여 약물의 혈중 농도 다항 근사 모형과 최고 농도 도달 시각 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.34 탐구 3914 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문 (가)] 닫힌구간 $[0, T]$에서 정의된 미분가능한 약물 농도 함수 $C(t)$가 열린구간 $(0, T)$의 유일한 극점 $t = t^*$에서 $C'(t^*) = 0$이고 좌우에서 $C'(t)$의 부호가 양($+$)에서 음($-$)으로 바뀌면, $C(t)$는 $t = t^*$에서 극대이자 최대(최고 혈중 농도 $C_{\max}$)가 된다.

경구 투여된 진통제의 흡수·소실 구간 $0 \le t \le 6$ (단위: 시간)에서의 혈중 농도 $C(t)\;(\mathrm{\mu g/mL})$가 삼차다항식 $C(t) = t(6 - t)^2 = t^3 - 12t^2 + 36t$로 모형화될 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 도함수 $C'(t)$를 인수분해하여 최고 혈중 농도 도달 시각 $T_{\max}$와 최고 혈중 농도 $C_{\max}$를 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 투여 후 약물 농도의 순간 증가 속도 $C'(t)$가 가장 크게 감소하는 시각(곡선 $y = C(t)$의 변곡점에 해당하는 $C''(t) = 0$인 시각 $t_0$)과 그때의 변화율 $C'(t_0)$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 진통 효과가 발현되기 위한 최소 유효 농도가 $k\;(\mathrm{\mu g/mL})$일 때, 구간 $(0, 6)$에서 방정식 $C(t) = k$가 서로 다른 두 실근(약효 발현 시각과 소실 시각)을 갖도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 기하 Ⅰ. 이차곡선 — 체외충격파쇄석술[ESWL] 타원 반사경의 두 초점과 충격파 경로 설계 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.3 탐구 3915 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[제시문 (가)] 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F'}(-c, 0)$ ($c = \sqrt{a^2 - b^2},\; a \gt b \gt 0$)으로부터의 거리의 합이 $2a$로 일정한 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$에서 한 초점 $\mathrm{F'}$에서 발생한 파동은 타원 내벽의 임의의 점 $\mathrm{P}$에서 반사된 후 항상 다른 초점 $\mathrm{F}$로 모이며, 이동 경로의 총길이는 $\overline{\mathrm{F'P}} + \overline{\mathrm{PF}} = 2a$로 일정하다.

신장 결석을 비수술적으로 파쇄하는 체외충격파쇄석기(ESWL)의 단면이 타원 $E : \dfrac{x^2}{169} + \dfrac{y^2}{144} = 1$ (단위: $\mathrm{cm}$)의 일부로 설계되어 있다. 충격파 발생원을 초점 $\mathrm{F'}(-c, 0)$에 두고 환자의 신장 결석을 다른 초점 $\mathrm{F}(c, 0)$에 일치시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 두 초점 $\mathrm{F}, \mathrm{F'}$의 좌표와 충격파가 반사경 위의 점 $\mathrm{P}$에서 반사되어 결석 $\mathrm{F}$에 도달할 때까지 진행하는 총거리 $L = \overline{\mathrm{F'P}} + \overline{\mathrm{PF}}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 반사경 위의 점 $\mathrm{P}$에서 입사 경로와 반사 경로가 수직($\angle \mathrm{F'PF} = 90^\circ$)을 이룰 때, 삼각형 $\mathrm{F'PF}$의 넓이를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 타원 $E$ 위의 제$1$사분면의 점 $\mathrm{Q}(x_0, y_0)$에서의 접선의 기울기가 $-\dfrac{5}{12}$일 때, 접점 $\mathrm{Q}$의 좌표와 원점 $\mathrm{O}$에서 이 접선까지의 수직 거리를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제1회	문항 1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	혈중 약물 반감기 지수 모델과 치료 유효 농도 구간	20점	중상
제1회	문항 2	대수 Ⅱ. 삼각함수	심전도[ECG] 주기 파형 모델과 동맥 분지 혈류 기하	20점	중상
제1회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한	효소-기질 반응 속도[미카엘리스-멘텐 식]의 극한과 초기 기울기	20점	상
제1회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	경구 투여 약물의 혈중 농도 다항 근사 모형과 최고 농도 도달 시각	20점	상
제1회	문항 5	기하 Ⅰ. 이차곡선	체외충격파쇄석술[ESWL] 타원 반사경의 두 초점과 충격파 경로 설계	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경희대학교 의학계열 수리논술 제1회 출제 원칙 및 합격 전략

[경희대학교 의·약학계열 제1회 (기출 정합 실전 표준 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 혈중 약물 반감기 지수 모델과 치료 유효 농도 구간, 심전도[ECG] 주기 파형 모델과 동맥 분지 혈류 기하, 효소-기질 반응 속도[미카엘리스-멘텐 식]의 극한과 초기 기울기 등 의예·치의예·한의예·약학 수리논술 빈출 테마 5문항(각 20점, 총 100점)으로 구성되어 있습니다. 120분 중 수리논술 파트에 60~65분을 배분하여 소문항 [X-1]·[X-2](13점)를 전 문항 무결점으로 확보한 뒤, 최고 변별력 소문항 [X-3](7점)에서 극한·미분가능성·공간기하 논증을 완결하십시오.

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 — 핸더슨-하셀바흐 혈액 완충계 pH 방정식과 산-염기 평형 부등식 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.1 탐구 3921 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-08]

[제시문 (가)] 인체 동맥혈의 수소 이온 농도 지수 $\mathrm{pH}$는 중탄산 이온 농도 $[\mathrm{HCO_3^-}]=y\;(\mathrm{mM})$와 용존 이산화탄소 농도 $[\mathrm{CO_2}]=x\;(\mathrm{mM})$에 대하여 핸더슨-하셀바흐 식 $\mathrm{pH} = 6.1 + \log_{10}\left(\dfrac{y}{x}\right)$를 따른다.

정상 동맥혈의 기준 상태에서 $x_0 = 1.2\;(\mathrm{mM}),\; y_0 = 24\;(\mathrm{mM})$이고, 생명 유지를 위한 정상 동맥혈 $\mathrm{pH}$의 허용 범위가 $7.3 \le \mathrm{pH} \le 7.5$일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $\log_{10} 2 = 0.3,\; 10^{0.2} = 1.58$로 계산한다.)

[문항 1-1] (6점) 정상 기준 상태($x_0 = 1.2,\; y_0 = 24$)에서의 동맥혈 $\mathrm{pH}$를 구하고, 수소 이온 농도 $[\mathrm{H^+}] = 10^{-\mathrm{pH}}\;(\mathrm{M})$이 $10^{-7}\;(\mathrm{M})$의 몇 배인지 소수로 나타내시오.

[문항 1-2] (7점) 용존 이산화탄소 농도가 $x = 1.2\;(\mathrm{mM})$로 일정할 때, 동맥혈 $\mathrm{pH}$가 정상 허용 범위 $7.3 \le \mathrm{pH} \le 7.5$를 유지하기 위한 중탄산 이온 농도 $y$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 급성 호흡성 산증으로 용존 이산화탄소 농도가 정상치의 $2$배($x_1 = 2.4$)로 증가하고 신장 보상이 아직 일어나지 않아 $y = 24$로 유지될 때의 $\mathrm{pH}$를 구하고, 다시 정상 $\mathrm{pH} = 7.4$를 회복하기 위해 신장이 도달해야 할 목표 중탄산 이온 농도 $y_1$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 Ⅱ. 삼각함수 — 폐활량 호흡 주기 삼각함수 모델과 흡기·호기 역치 시간 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 탐구 3922 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[제시문 (가)] 안정 시 호흡에서 시각 $t$(초)에 따른 폐 내부 공기 부피 $V(t)\;(\mathrm{L})$를 $V(t) = A\sin\left(\dfrac{\pi}{2}t - \dfrac{\pi}{2}\right) + B = -A\cos\left(\dfrac{\pi}{2}t\right) + B$ ($A \gt 0$)로 모형화할 때, $1$회 호흡량(일회호흡량, Tidal Volume)은 최댓값과 최솟값의 차인 $2A$이고 기능적 잔기량은 최솟값 $B - A$이다.

어떤 피검자의 안정 시 폐 내부 공기 부피가 최솟값(호기 말 잔기량) $2.4\;(\mathrm{L})$, 최댓값(흡기 말 부피) $3.0\;(\mathrm{L})$를 가지며 위의 함수 $V(t) = -A\cos\left(\dfrac{\pi}{2}t\right) + B$ ($0 \le t \le 4$초)를 따른다고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 상수 $A, B$의 값과 이 피검자의 $1$회 호흡량($2A$) 및 $1$분($60$초)당 총 환기량($1$회 호흡량 $\times$ 분당 호흡 횟수)을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 한 호흡 주기 $0 \le t \le 4$에서 폐 부피 $V(t)$가 $2.85\;(\mathrm{L})$ 이상으로 팽창해 있는 시간 구간의 길이 $\Delta t$를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 방정식 $V(t) = 2.55$를 만족시키는 첫 두 호흡 주기 $0 \le t \le 8$에서의 모든 실근 $t_1 \lt t_2 \lt t_3 \lt t_4$의 합 $\sum_{k=1}^{4} t_k$를 대칭성을 이용하여 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 — 신경세포 막전위 역치[Threshold] 모델에서 이온 통로 함수의 연속성과 사잇값 정리 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 탐구 3923 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[제시문 (가)] 함수 $g(x)$가 $x = a$에서 연속이려면 $\lim_{x \to a-} g(x) = \lim_{x \to a+} g(x) = g(a)$이어야 하며, 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $h(x)$가 $h(a)h(b) \lt 0$을 만족시키면 열린구간 $(a, b)$에 $h(c) = 0$인 실수 $c$가 적어도 하나 존재한다.

신경세포의 정규화된 막전위 변수 $x$에 대하여 나트륨 이온 통로의 활성화율 함수 $g(x)$가 역치 전위 $x = 1$과 피크 전위 $x = 3$을 경계로 다음과 같이 정의되어 있다.
\[g(x) = \begin{cases} x^2 + x & (x \lt 1) \\ ax + b & (1 \le x \lt 3) \\ \dfrac{x^2 - x - 6}{x - 3} + 5 & (x \ge 3) \end{cases}\quad (x = 3\text{일 때 }g(3) = k)\]
함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 우극한 $\lim_{x \to 3+} g(x)$를 계산하여 $x = 3$에서의 연속 조건으로부터 상수 $k = g(3)$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) $x = 1$과 $x = 3$에서의 연속 조건을 연립하여 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 막전위 복원 전류 함수가 $I(x) = g(x) - 2x^2 + 3$일 때, 방정식 $I(x) = 0$이 열린구간 $(1, 3)$에서 적어도 하나의 실근(평형 전위)을 가짐을 사잇값 정리를 이용하여 논증하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 — 약물동태학의 혈중농도-시간 곡선하 면적[AUC]과 생체이용률 정적분 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.38 탐구 3924 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문 (가)] 약물 투여 후 시각 $t \in [0, T]$에서의 혈중 약물 농도가 $C(t)$일 때, 체내 총 약물 노출량을 나타내는 곡선하 면적($\mathrm{AUC}$, Area Under the Curve)은 정적분 $\mathrm{AUC} = \int_{0}^{T} C(t)\,dt$로 정의된다. 동일 용량 투여 시 경구 투여의 절대 생체이용률 $F$는 정맥 주사의 $\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}}$에 대한 경구 투여의 $\mathrm{AUC}_{\mathrm{PO}}$의 비율 $F = \dfrac{\mathrm{AUC}_{\mathrm{PO}}}{\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}}}$이다.

동일 용량의 신약을 투여한 후 $0 \le t \le 4$ (단위: 시간) 동안 측정된 정맥 주사 농도 곡선이 $C_{\mathrm{IV}}(t) = 3(4 - t)^2\;(\mathrm{\mu g/mL})$, 경구 투여 농도 곡선이 $C_{\mathrm{PO}}(t) = 6t(4 - t)\;(\mathrm{\mu g/mL})$일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 정맥 주사와 경구 투여의 곡선하 면적 $\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}} = \int_{0}^{4} C_{\mathrm{IV}}(t)\,dt$와 $\mathrm{AUC}_{\mathrm{PO}} = \int_{0}^{4} C_{\mathrm{PO}}(t)\,dt$를 각각 구하고, 경구 생체이용률 $F$를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 열린구간 $(0, 4)$에서 두 농도 곡선이 만나는 교점의 시각 $t^*$를 구하고, $0 \le t \le t^*$에서 두 곡선과 $y$축($t = 0$)으로 둘러싸인 영역의 넓이 $S_1$을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 구간 $t^* \le t \le 4$에서 두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S_2$라 할 때, $S_1 - S_2$의 값을 구하고 그 값이 $\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}} - \mathrm{AUC}_{\mathrm{PO}}$와 일치함을 정적분의 성질로 설명하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

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【문제 5】 기하 Ⅱ. 평면벡터 — 심장 전기축[Cardiac Electrical Axis] 벡터의 내적과 아인트호벤 삼각형 유도 전압 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 비상 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.3 탐구 3925 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

[제시문 (가)] 심장학의 아인트호벤 삼각형 원리에 따르면, 심장의 평균 탈분극 전기쌍극자 벡터를 $\vec{E}$라 할 때 사지유도 $\mathrm{I}, \mathrm{II}, \mathrm{III}$의 방향 단위벡터 $\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3$에 대하여 각 유도에 기록되는 전압(스칼라 투영)은 내적 $V_k = \vec{E}\cdot\vec{u}_k$ ($k=1,2,3$)로 주어지며, $\vec{u}_1 = (1, 0),\; \vec{u}_2 = \left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right),\; \vec{u}_3 = \vec{u}_2 - \vec{u}_1 = \left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$이다.

어떤 환자의 심전도 검사에서 유도 $\mathrm{I}$의 전압이 $V_1 = \vec{E}\cdot\vec{u}_1 = \sqrt{3}\;(\mathrm{mV})$, 유도 $\mathrm{II}$의 전압이 $V_2 = \vec{E}\cdot\vec{u}_2 = \sqrt{3}\;(\mathrm{mV})$로 측정되었을 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 벡터 내적의 분배법칙을 이용하여 아인트호벤의 법칙 $V_2 = V_1 + V_3$가 항상 성립함을 증명하고, 이 환자의 유도 $\mathrm{III}$ 전압 $V_3$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 심장 전기축 벡터 $\vec{E} = (x, y)$의 성분 $(x, y)$와 크기 $|\vec{E}|$를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 벡터 $\vec{E}$가 유도 $\mathrm{I}$의 방향 단위벡터 $\vec{u}_1 = (1, 0)$과 이루는 예각의 크기 $\theta$를 구하고, $\vec{E}$와 수직인 단위벡터를 모두 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제2회	문항 1	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	핸더슨-하셀바흐 혈액 완충계 pH 방정식과 산-염기 평형 부등식	20점	중상
제2회	문항 2	대수 Ⅱ. 삼각함수	폐활량 호흡 주기 삼각함수 모델과 흡기·호기 역치 시간	20점	중상
제2회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속	신경세포 막전위 역치[Threshold] 모델에서 이온 통로 함수의 연속성과 사잇값 정리	20점	상
제2회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	약물동태학의 혈중농도-시간 곡선하 면적[AUC]과 생체이용률 정적분	20점	상
제2회	문항 5	기하 Ⅱ. 평면벡터	심장 전기축[Cardiac Electrical Axis] 벡터의 내적과 아인트호벤 삼각형 유도 전압	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경희대학교 의학계열 수리논술 제2회 출제 원칙 및 합격 전략

[경희대학교 의·약학계열 제2회 (기출 정합 실전 표준 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 핸더슨-하셀바흐 혈액 완충계 pH 방정식과 산-염기 평형 부등식, 폐활량 호흡 주기 삼각함수 모델과 흡기·호기 역치 시간, 신경세포 막전위 역치[Threshold] 모델에서 이온 통로 함수의 연속성과 사잇값 정리 등 의예·치의예·한의예·약학 수리논술 빈출 테마 5문항(각 20점, 총 100점)으로 구성되어 있습니다. 120분 중 수리논술 파트에 60~65분을 배분하여 소문항 [X-1]·[X-2](13점)를 전 문항 무결점으로 확보한 뒤, 최고 변별력 소문항 [X-3](7점)에서 극한·미분가능성·공간기하 논증을 완결하십시오.

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅲ. 수열 — 일정 간격 반복 투약의 약물 잔류 점화식과 항정 상태[Steady State] 귀납 증명 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.1 탐구 3931 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

[제시문 (가)] 환자에게 매 $8$시간마다 일정 용량 $D\;(\mathrm{mg})$의 약물을 반복 투여할 때, 투여 간격($8$시간) 동안 체내 약물의 절반이 대사·배설된다면 $n$번째 투여 직후의 체내 총 약물량 $a_n\;(\mathrm{mg})$은 귀납적 관계식 $a_1 = D,\; a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n + D$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)를 만족시킨다.

매 $8$시간마다 $D = 120\;(\mathrm{mg})$의 심혈관 약물을 반복 투여할 때, $n$번째 투여 직후의 체내 약물량 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 120,\; a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n + 120$을 만족시킨다. 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 상수 $\alpha$에 대하여 $a_{n+1} - \alpha = \dfrac{1}{2}(a_n - \alpha)$가 성립하도록 하는 $\alpha$(항정 상태 최대 약물량)를 구하고, 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) [문항 1-1]에서 구한 일반항 $a_n = 240\left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (7점) 첫 투여 직후부터 항정 상태 약물량($240\,\mathrm{mg}$)에 즉시 도달시키기 위해 첫 번째 투여만 고용량(부하 용량, Loading Dose) $L\;(\mathrm{mg})$을 투여하고 $2$회차부터 $120\,\mathrm{mg}$씩 유지 투여할 때, 모든 $n \ge 1$에서 $a_n = 240$이 되도록 하는 첫 부하 용량 $L$과 $1$회~10회 누적 투여 총량을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 Ⅱ. 삼각함수 — 치과 교정 와이어 삼각형 아치 구조의 사인법칙·코사인법칙 역학 해석 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 3932 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[제시문 (가)] 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 세 변의 길이를 $a, b, c$, 외접원의 반지름을 $R$, 내접원의 반지름을 $r$라 할 때, 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$와 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{1}{2}r(a+b+c)$가 성립한다.

치열 교정용 와이어가 고정된 세 브라켓 지점 $\mathrm{A}$(중절치), $\mathrm{B}$(좌측 제1대구치), $\mathrm{C}$(우측 제1대구치)가 이루는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 5\,\mathrm{cm},\; \overline{\mathrm{AC}} = 7\,\mathrm{cm},\; \cos A = \dfrac{1}{5}$일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 양측 대구치 사이의 폭 $\overline{\mathrm{BC}} = a$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 세 브라켓 지점을 지나는 이상적인 치열궁 원(삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원)의 반지름 $R$와 내접원의 반지름 $r$를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 꼭짓점 $\mathrm{A}$에서 변 $\mathrm{BC}$의 중점 $\mathrm{M}$을 연결한 정중선(Median)의 길이 $\overline{\mathrm{AM}}$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 포아죄유 혈류 유속 분포의 전단 변화율과 혈관 반지름 평균값 정리 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.36 탐구 3933 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[제시문 (가)] 반지름이 $R$인 원통형 동맥 혈관 내부에서 혈류 층류(포아죄유 흐름)가 형성될 때, 혈관 중심축으로부터의 거리 $r \in [0, R]$에서의 혈류 유속 $v(r)$와 반지름 $r$까지의 누적 유량 함수 $Q(r)$는 각각 $v(r) = v_0\left(1 - \dfrac{r^2}{R^2}\right),\; Q(r) = \pi v_0\left(r^2 - \dfrac{r^4}{2R^2}\right)$로 주어진다.

반지름이 $R = 2\;(\mathrm{mm})$이고 중심 최고 유속이 $v_0 = 40\;(\mathrm{cm/s})$인 동맥 혈관에서 $v(r) = 40 - 10r^2$, 누적 유량 함수 $Q(r) = 40\pi\left(r^2 - \dfrac{1}{8}r^4\right)$ ($0 \le r \le 2$)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 혈관 내벽($r = 2$)에서의 유속 변화율(전단 속도 크기) $|v'(2)|$를 구하고, 곡선 $y = v(r)$ 위의 점 $(1, v(1))$에서의 접선의 $r$절편을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 2]$에서 누적 유량 함수 $Q(r)$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 $c \in (0, 2)$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 동맥경화로 혈관 반지름이 $R = 2$에서 $R_1 = \sqrt{2}$로 감소할 때(단, 압력 구배가 일정하여 전체 혈류량 $Q_{\mathrm{total}} = 20\pi R^4$는 반지름의 네제곱에 비례함), 전체 혈류량은 원래의 몇 분의 몇으로 감소하는지 구하고 $R = 2$에서의 순간 변화율 $\left.\dfrac{dQ_{\mathrm{total}}}{dR}\right|_{R=2}$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 — 스튜어트-해밀턴 지시약 희석 곡선의 정적분과 심박출량[Cardiac Output] 산출 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.39 탐구 3934 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문 (가)] 심장학의 스튜어트-해밀턴(Stewart-Hamilton) 원리에 따르면, 정맥에 총량 $M\;(\mathrm{mg})$의 지시약을 일시 주입한 후 동맥에서 시각 $t \in [0, T]$(초)에 측정한 지시약 농도가 $c(t)\;(\mathrm{mg/L})$일 때, 초당 심박출량 $\Phi\;(\mathrm{L/s})$는 $\Phi = \dfrac{M}{\int_{0}^{T} c(t)\,dt}$로 주어지며, 지시약 분자의 평균 통과 시각($\mathrm{MTT}$)은 $\mathrm{MTT} = \dfrac{\int_{0}^{T} t\,c(t)\,dt}{\int_{0}^{T} c(t)\,dt}$이다.

환자에게 $M = 5\;(\mathrm{mg})$의 지시약을 주입한 후 $0 \le t \le 10$(초) 동안 동맥에서 측정된 농도 곡선이 $c(t) = \dfrac{3}{50}t(10 - t)\;(\mathrm{mg/L})$일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 정적분 $\int_{0}^{10} c(t)\,dt$의 값을 구하고, 이 환자의 초당 심박출량 $\Phi\;(\mathrm{L/s})$와 분당 심박출량 $\mathrm{CO} = 60\Phi\;(\mathrm{L/min})$를 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 지시약의 평균 통과 시각 $\mathrm{MTT} = \dfrac{\int_{0}^{10} t\,c(t)\,dt}{\int_{0}^{10} c(t)\,dt}$를 정적분 계산 또는 대칭성을 이용하여 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 심폐 순환계 내부의 중심 혈액량($\mathrm{CBV}$, Central Blood Volume)이 $\mathrm{CBV} = \Phi \times \mathrm{MTT}\;(\mathrm{L})$로 정의될 때, $\mathrm{CBV}$를 구하고 시각 $t = \mathrm{MTT}$까지 통과한 지시약의 양이 전체 주입량 $M = 5\,\mathrm{mg}$의 몇 $\%$인지 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

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【문제 5】 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 — 정위적 방사선 수술[감마나이프]의 두개골 구면 좌표계와 병소 타깃 최단 거리 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.3 탐구 3935 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문 (가)] 공간좌표에서 중심이 $\mathrm{C}(a, b, c)$이고 반지름이 $R$인 구의 방정식은 $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$이며, 구 밖의 점 또는 구 내부의 점에서 구면 위의 점까지의 최단·최장 거리는 구의 중심 $\mathrm{C}$를 지나는 직선 위에서 달성된다.

뇌종양 방사선 수술을 위한 정위 프레임 공간좌표계(단위: $\mathrm{cm}$)에서 두개골 외피를 원점 $\mathrm{O}(0, 0, 0)$가 중심이고 반지름이 $R = 10$인 구면 $S_1 : x^2 + y^2 + z^2 = 100$으로, 구형 종양 병소를 점 $\mathrm{C}(1, 2, 2)$가 중심이고 반지름이 $r = 2$인 구 $S_2 : (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = 4$로 모형화할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 두 구의 중심 사이의 거리 $\overline{\mathrm{OC}}$를 구하고, 두개골 외피 $S_1$ 위의 점에서 종양 중심 $\mathrm{C}$까지의 최단 거리 $d_{\min}$과 그때의 두개골 표면 진입점 $\mathrm{P}$의 좌표를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 두개골 표면 $S_1$ 위의 점 $\mathrm{A}(6, 8, 0)$에서 출발하여 종양 구 $S_2$에 접하는 방사선 빔을 조사할 때, 점 $\mathrm{A}$에서 접점 $\mathrm{T}$까지의 선분 길이 $\overline{\mathrm{AT}}$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 평면 $z = 2$로 두개골 구 $S_1$과 종양 구 $S_2$를 동시에 절단한 MRI 단면에서, 두 단면 원의 넓이의 차를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제3회	문항 1	대수 Ⅲ. 수열	일정 간격 반복 투약의 약물 잔류 점화식과 항정 상태[Steady State] 귀납 증명	20점	중상
제3회	문항 2	대수 Ⅱ. 삼각함수	치과 교정 와이어 삼각형 아치 구조의 사인법칙·코사인법칙 역학 해석	20점	중상
제3회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	포아죄유 혈류 유속 분포의 전단 변화율과 혈관 반지름 평균값 정리	20점	상
제3회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	스튜어트-해밀턴 지시약 희석 곡선의 정적분과 심박출량[Cardiac Output] 산출	20점	상
제3회	문항 5	기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표	정위적 방사선 수술[감마나이프]의 두개골 구면 좌표계와 병소 타깃 최단 거리	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경희대학교 의학계열 수리논술 제3회 출제 원칙 및 합격 전략

[경희대학교 의·약학계열 제3회 (기출 정합 실전 표준 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 일정 간격 반복 투약의 약물 잔류 점화식과 항정 상태[Steady State] 귀납 증명, 치과 교정 와이어 삼각형 아치 구조의 사인법칙·코사인법칙 역학 해석, 포아죄유 혈류 유속 분포의 전단 변화율과 혈관 반지름 평균값 정리 등 의예·치의예·한의예·약학 수리논술 빈출 테마 5문항(각 20점, 총 100점)으로 구성되어 있습니다. 120분 중 수리논술 파트에 60~65분을 배분하여 소문항 [X-1]·[X-2](13점)를 전 문항 무결점으로 확보한 뒤, 최고 변별력 소문항 [X-3](7점)에서 극한·미분가능성·공간기하 논증을 완결하십시오.

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 실시간 중합효소연쇄반응[RT-qPCR] 유전자 증폭과 검출 한계 사이클[Ct] 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.1 탐구 3941 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-04]

[제시문 (가)] 분자진단 검사인 실시간 중합효소연쇄반응(RT-qPCR)에서 초기 표적 DNA 복제수가 $N_0$이고 $1$사이클당 증폭 효율이 $E$ ($0 \lt E \le 1$)일 때, $n$사이클 후의 DNA 복제수 $N_n$은 $N_n = N_0 (1 + E)^n$으로 주어진다. 형광 검출 임계 복제수를 $N_{\mathrm{th}}$라 할 때 $N_n = N_{\mathrm{th}}$에 도달하는 사이클 수 $n = C_t$를 역치 사이클(Cycle threshold)이라 한다.

이상적인 증폭 조건($E = 1$, 즉 매 사이클마다 $2$배 증폭)에서 형광 검출 임계 복제수가 $N_{\mathrm{th}} = 10^9$일 때, 두 환자 검체 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, $\log_{10} 2 = 0.3$으로 계산한다.)

[문항 1-1] (6점) 환자 $\mathrm{A}$의 초기 바이러스 DNA 복제수가 $N_0(\mathrm{A}) = 10^3$일 때, 임계 복제수 $N_{\mathrm{th}} = 10^9$에 도달하는 역치 사이클 $C_t(\mathrm{A})$를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 환자 $\mathrm{B}$의 역치 사이클이 $C_t(\mathrm{B}) = 15$로 측정되었을 때, 환자 $\mathrm{B}$의 초기 바이러스 DNA 복제수 $N_0(\mathrm{B})$는 환자 $\mathrm{A}$의 몇 배인지 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 시약 노화로 증폭 효율이 $E = 0.6$ ($1 + E = 1.6$)으로 낮아졌을 때, 초기 복제수 $N_0(\mathrm{A}) = 10^3$인 검체가 임계 복제수 $10^9$에 도달하는 역치 사이클 $C_t'$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 — 약물-수용체 협동 결합[힐 방정식]의 포화 극한과 반포화 해리 상수 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.34 탐구 3942 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문 (가)] 약물 리간드 농도가 $x \ge 0\;(\mathrm{nM})$일 때 세포막 수용체의 결합 포화도 $Y(x)$ ($0 \le Y(x) \lt 1$)는 힐 계수(협동성 지수) $n \in \mathbb{N}$과 해리 상수 $K \gt 0$에 대하여 힐 방정식(Hill equation) $Y(x) = \dfrac{x^n}{K + x^n}$으로 모형화된다.

어떤 표적 항암제의 수용체 결합 포화도 함수 $Y(x) = \dfrac{x^n}{K + x^n}$ ($x \gt 0$)가 두 극한 조건 $\lim_{x \to 0+} \dfrac{Y(x)}{x^2} = \dfrac{1}{16},\; \lim_{x \to \infty} x^n\bigl(1 - Y(x)\bigr) = K$를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 첫 번째 극한 조건 $\lim_{x \to 0+} \dfrac{x^{n-2}}{K + x^n} = \dfrac{1}{16}$이 $0$이 아닌 유한한 값으로 수렴하기 위한 자연수 $n$과 상수 $K$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 수용체 결합 포화도가 $50\%$ ($Y(x) = \dfrac{1}{2}$)가 되는 약물 농도 $x_{50}$($\mathrm{EC}_{50}$)과 $80\%$ ($Y(x) = \dfrac{4}{5}$)가 되는 약물 농도 $x_{80}$을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 결합비 $R(x) = \dfrac{Y(x)}{1 - Y(x)}$를 $x$에 대한 단항식으로 나타내고, $\dfrac{\ln R(8) - \ln R(2)}{\ln 8 - \ln 2}$ (또는 $\dfrac{\log_2 R(8) - \log_2 R(2)}{\log_2 8 - \log_2 2}$)의 값이 힐 계수 $n$과 같음을 증명하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 기침 반사 시 기관지 수축 반지름과 기류 속도 극대화[비율 2/3 법칙] 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.37 탐구 3943 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문 (가)] 호흡생리학에서 이물질 배출을 위한 기침 반사가 일어날 때, 정상 반지름이 $r_0$인 기관지가 반지름 $r$ ($\dfrac{1}{2}r_0 \le r \le r_0$)로 수축하면 기관지 내부를 통과하는 공기의 유속 $v(r)$는 압력차와 단면적의 곱의 관계에 의해 $v(r) = k\,r^2(r_0 - r)$ (단, $k \gt 0$는 상수)로 모형화된다.

정상 기관지 반지름이 $r_0 = 6\;(\mathrm{mm})$이고 비례상수가 $k = 1$일 때, 수축 반지름 $r \in [3, 6]$에 대한 기류 유속 함수 $v(r) = r^2(6 - r) = 6r^2 - r^3$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 도함수 $v'(r)$를 구하고, 닫힌구간 $[3, 6]$에서 기류 유속 $v(r)$가 최대가 되는 기관지 반지름 $r^*$와 최대 유속 $v_{\max}$를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 최대 유속이 발생하는 반지름 $r^*$와 정상 반지름 $r_0$의 비율 $\dfrac{r^*}{r_0}$가 $r_0$의 값에 관계없이 항상 $\dfrac{2}{3}$가 됨을 일반적인 $v(r) = k\,r^2(r_0 - r)$을 미분하여 증명하시오.

[문항 3-3] (7점) 닫힌구간 $[3, 6]$에서 유속의 변화율 크기 $|v'(r)|$의 최댓값과 그때의 반지름 $r$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 — 경구 포도당 부하 검사[OGTT] 혈당 곡선과 기저선 초과 면적[iAUC] 정적분 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.40 탐구 3944 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문 (가)] 당뇨병 진단을 위한 경구 포도당 부하 검사(OGTT)에서 공복 기저 혈당을 $G_0\;(\mathrm{mg/dL})$, 포도당 섭취 $t$시간 후의 혈당 함수를 $G(t)\;(\mathrm{mg/dL})$라 할 때, 기저 혈당 직선 $y = G_0$ 위로 상승한 증분 혈당 곡선하 면적($\mathrm{iAUC}$)은 $G(t) \ge G_0$인 구간에서 $\mathrm{iAUC} = \int_{t_1}^{t_2} \bigl(G(t) - G_0\bigr)\,dt$로 정의된다.

포도당 $75\,\mathrm{g}$을 섭취한 피검자의 $0 \le t \le 3$ (단위: 시간) 동안의 혈당 함수가 공복 기저 혈당 $G_0 = 90\;(\mathrm{mg/dL})$에 대하여 $G(t) = 90 + 30t(3 - t) = -30t^2 + 90t + 90$으로 측정되었을 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 포도당 섭취 후 최고 혈당에 도달하는 시각 $t_{\max}$와 최고 혈당치 $G_{\max}$, 그리고 $0 \le t \le 3$에서의 증분 혈당 면적 $\mathrm{iAUC} = \int_{0}^{3} \bigl(G(t) - 90\bigr)\,dt$를 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 식후 고혈당 주의 기준선인 혈당 $150\;(\mathrm{mg/dL})$ 이상을 유지하는 시간 구간 $[t_1, t_2]$를 구하고, 곡선 $y = G(t)$와 직선 $y = 150$으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 직선 $y = m$ ($90 \lt m \lt G_{\max}$)이 곡선 $y = G(t)$와 직선 $y = 90$으로 둘러싸인 영역의 넓이($\mathrm{iAUC}$)를 이등분할 때, $(G_{\max} - m)^3$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 기하 Ⅰ. 이차곡선 — 치과 파노라마 방사선 촬영기의 포물선 초점-준선 궤적과 접선 광학 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.4 탐구 3945 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[제시문 (가)] 초점 $\mathrm{F}(p, 0)$과 준선 $x = -p$ ($p \gt 0$)로부터의 거리가 같은 점들의 자취인 포물선 $y^2 = 4px$ 위의 임의의 점 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$에서 $\overline{\mathrm{PF}} = x_0 + p$가 성립하며, 점 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$에서의 접선의 방정식은 $y_0 y = 2p(x + x_0)$이다.

치과 영상진단용 파노라마 방사선 장치에서 상악 치열궁의 중심 단면이 포물선 $C : y^2 = 12x$ (단위: $\mathrm{cm}$)로 모형화되어 있다. 초점 $\mathrm{F}$에 회전 중심 센서를 둘 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 포물선 $C$의 초점 $\mathrm{F}$의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 포물선 위의 치아 지점 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$ ($y_0 \gt 0$)에서 초점 $\mathrm{F}$까지의 거리가 $\overline{\mathrm{PF}} = 6\,\mathrm{cm}$일 때 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) [문항 5-1]의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선 $l$의 방정식을 구하고, 접선 $l$이 $x$축과 만나는 점 $\mathrm{T}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{FPT}$가 이등변삼각형($\overline{\mathrm{FP}} = \overline{\mathrm{FT}}$)임을 증명하시오.

[문항 5-3] (7점) 초점 $\mathrm{F}$를 지나는 직선이 포물선 $C$와 만나는 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$에 대하여 $\overline{\mathrm{AF}} : \overline{\mathrm{BF}} = 1 : 3$일 때, 선분 $\mathrm{AB}$의 길이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제4회	문항 1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	실시간 중합효소연쇄반응[RT-qPCR] 유전자 증폭과 검출 한계 사이클[Ct]	20점	중상
제4회	문항 2	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한	약물-수용체 협동 결합[힐 방정식]의 포화 극한과 반포화 해리 상수	20점	중상
제4회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	기침 반사 시 기관지 수축 반지름과 기류 속도 극대화[비율 2/3 법칙]	20점	상
제4회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	경구 포도당 부하 검사[OGTT] 혈당 곡선과 기저선 초과 면적[iAUC] 정적분	20점	상
제4회	문항 5	기하 Ⅰ. 이차곡선	치과 파노라마 방사선 촬영기의 포물선 초점-준선 궤적과 접선 광학	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경희대학교 의학계열 수리논술 제4회 출제 원칙 및 합격 전략

[경희대학교 의·약학계열 제4회 (기출 정합 실전 표준 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 실시간 중합효소연쇄반응[RT-qPCR] 유전자 증폭과 검출 한계 사이클[Ct], 약물-수용체 협동 결합[힐 방정식]의 포화 극한과 반포화 해리 상수, 기침 반사 시 기관지 수축 반지름과 기류 속도 극대화[비율 2/3 법칙] 등 의예·치의예·한의예·약학 수리논술 빈출 테마 5문항(각 20점, 총 100점)으로 구성되어 있습니다. 120분 중 수리논술 파트에 60~65분을 배분하여 소문항 [X-1]·[X-2](13점)를 전 문항 무결점으로 확보한 뒤, 최고 변별력 소문항 [X-3](7점)에서 극한·미분가능성·공간기하 논증을 완결하십시오.

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 — 양전자방출단층촬영[PET] 방사성 추적자[18F-FDG]의 붕괴 법칙과 투여 용량 설계 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.2 탐구 3951 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[제시문 (가)] 종양 진단용 양전자방출단층촬영(PET)에 쓰이는 방사성 동위원소 추적자($^{18}\mathrm{F}\text{-FDG}$)의 방사능 활성도 $A(t)\;(\mathrm{MBq})$는 반감기 $T$에 대하여 시각 $t$(분)에서 $A(t) = A_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$으로 감소한다.

반감기가 $T = 110$(분)인 방사성 추적자를 병원 사이클로트론에서 합성한 직후($t = 0$)의 활성도를 $A_0\;(\mathrm{MBq})$라 하자. 합성 후 운송에 $t_1$분이 소요되고, 환자에게 투여한 뒤 촬영 개시까지 $55$분이 더 경과할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $\sqrt{2} = 1.41,\; \log_{10} 2 = 0.3,\; \log_{10} 3 = 0.48$로 계산한다.)

[문항 1-1] (6점) 환자 투여 시점의 활성도가 $300\;(\mathrm{MBq})$일 때, 투여 $55$분 후 촬영 개시 시점에서의 체내 잔류 활성도($\mathrm{MBq}$)를 $\sqrt{2}$를 이용하여 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 합성 후 $220$분 뒤 환자에게 투여할 때 투여 시점 활성도가 최소 $300\;(\mathrm{MBq})$ 이상이어야 한다면, 초기 합성 활성도 $A_0$의 최솟값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 초기 활성도가 $A_0 = 960\;(\mathrm{MBq})$일 때, 방사능 활성도가 안전 격리 해제 기준인 $40\;(\mathrm{MBq})$ 이하로 떨어지는 최소 경과 시간 $t$(분)를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 Ⅱ. 삼각함수 — 초음파 도플러 혈류 측정기의 프로브 입사각 코사인 보정과 혈류 속도 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 탐구 3952 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[제시문 (가)] 혈관 내 혈류 속도를 비침습적으로 측정하는 초음파 도플러 검사에서, 송신 주파수가 $f_0$, 생체 조직 내 음속이 $c$, 혈류 속도가 $v$, 초음파 빔과 혈관 축이 이루는 입사각이 $\theta$ ($0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$)일 때 도플러 주파수 편이 $\Delta f$는 $\Delta f(\theta) = \dfrac{2 f_0 v}{c}\cos\theta$로 주어진다.

일정한 혈류 속도 $v$가 흐르는 경동맥에 대하여 첫 번째 입사각 $\theta_1 = \dfrac{\pi}{3}\;(60^\circ)$에서 측정된 도플러 주파수 편이가 $\Delta f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 500\;(\mathrm{Hz})$일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 비례상수 $K = \dfrac{2 f_0 v}{c}$의 값을 구하고, 입사각을 $\theta_2 = \dfrac{\pi}{6}\;(30^\circ)$로 변경했을 때 측정되는 주파수 편이 $\Delta f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 서로 수직인 두 방향의 프로브로 동시 측정한 주파수 편이가 각각 $\Delta f(\theta) = 600\;(\mathrm{Hz})$, $\Delta f\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = 800\;(\mathrm{Hz})$일 때, $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 이용하여 입사각 $\theta$를 몰라도 상수 $K = \dfrac{2 f_0 v}{c}$와 $\tan\theta$를 결정할 수 있음을 보이고 그 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 초음파 발신점 $\mathrm{O}$에서 혈관 위의 두 지점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$까지의 거리가 $\overline{\mathrm{OA}} = 3\,\mathrm{cm},\; \overline{\mathrm{OB}} = 5\,\mathrm{cm}$이고 $\overline{\mathrm{AB}} = 7\,\mathrm{cm}$일 때, 코사인법칙을 이용하여 $\angle \mathrm{AOB}$의 크기를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 — 전염병 역학 구획 모델의 감염 재생산 곡선과 평형점 실근 개수 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 탐구 3953 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

[제시문 (가)] 집단 내 감염자 비율을 $x \in [0, 1]$이라 할 때, 비선형 접촉에 의한 신규 감염 생성률 함수를 $f(x) = 3x^2(1 - x) = 3x^2 - 3x^3$, 보건 방역 및 회복에 의한 감염 소멸률 함수를 $g(x) = kx$ ($k \gt 0$)라 하면, 감염자 비율이 일정하게 유지되는 평형점(Equilibrium)은 방정식 $f(x) = g(x)$의 실근이다.

구간 $0 \le x \le 1$에서 신규 감염 생성률 함수 $f(x) = 3x^2 - 3x^3$과 회복률 직선 $g(x) = kx$ ($k \gt 0$)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 닫힌구간 $[0, 1]$에서 신규 감염 생성률 $f(x)$가 최대가 되는 감염자 비율 $x^*$와 최대 생성률 $f(x^*)$를 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 비자명 평형점($0 \lt x \le 1$에서의 방정식 $f(x) = kx$의 실근)이 서로 다른 두 개로 존재하도록 하는 회복률 상수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 원점 $(0, 0)$을 지나는 직선 $y = kx$가 곡선 $y = f(x)$의 $x \gt 0$ 부분에 접할 때의 상수 $k$의 값(임계 방역 계수 $k_c$)과 그때의 접점의 좌표를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 — 신장 사구체 여과율[GFR]과 신장 배설 속도 함수의 정적분 청소율 해석 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.41 탐구 3954 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문 (가)] 신장 기능 검사에서 조영제 투여 후 시각 $t \in [0, T]$(시간)에서의 혈장 조영제 농도를 $P(t)\;(\mathrm{mg/mL})$, 소변으로의 순간 배설 속도를 $U(t)\;(\mathrm{mg/h})$라 할 때, 신장 청소율(사구체 여과율, $\mathrm{GFR}$)이 일정한 상수 $\mathrm{CL}\;(\mathrm{mL/h})$이면 모든 시각 $t$에서 $U(t) = \mathrm{CL}\cdot P(t)$가 성립하며, 구간 $[0, T]$ 동안 소변으로 배설된 조영제의 총량 $M(T)$는 $M(T) = \int_{0}^{T} U(t)\,dt$이다.

조영제 투여 후 $0 \le t \le 3$ (단위: 시간) 동안 혈장 농도가 $P(t) = \dfrac{1}{3}(3 - t)^2\;(\mathrm{mg/mL})$로 감소하고, $3$시간 동안 소변으로 배설된 조영제의 총량이 $M(3) = 540\;(\mathrm{mg})$일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 정적분 $\int_{0}^{3} P(t)\,dt$의 값을 구하고, 이 환자의 시간당 신장 청소율 $\mathrm{CL}\;(\mathrm{mL/h})$과 분당 사구체 여과율 $\mathrm{GFR} = \dfrac{\mathrm{CL}}{60}\;(\mathrm{mL/min})$을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 투여 후 첫 $1$시간($0 \le t \le 1$) 동안 소변으로 배설된 조영제의 양 $M(1)$을 구하고, 이는 $3$시간 총 배설량 $M(3)$의 몇 분의 몇인지 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 누적 배설량이 전체 배설량 $540\,\mathrm{mg}$의 정확히 $\dfrac{7}{8}$ ($= 472.5\,\mathrm{mg}$)에 도달하는 시각 $t^* \in (0, 3)$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 — 정형외과 인공고관절 치환술의 대퇴골두 구면 절삭 평면과 단면 기하 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.4 탐구 3955 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문 (가)] 공간좌표에서 중심이 원점 $\mathrm{O}(0,0,0)$이고 반지름이 $R$인 구 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$을 원점으로부터의 거리가 $d$ ($0 \lt d \lt R$)인 평면 $\alpha$로 절단할 때, 단면은 반지름이 $r = \sqrt{R^2 - d^2}$인 원이 되며, 구의 중심 $\mathrm{O}$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발 $\mathrm{H}$는 단면 원의 중심이다.

정형외과 수술 내비게이션 공간좌표계(단위: $\mathrm{mm}$)에서 대퇴골두를 중심이 원점 $\mathrm{O}(0,0,0)$이고 반지름이 $R = 25$인 구 $S : x^2 + y^2 + z^2 = 625$로 모형화하자. 수술용 절삭 가이드 평면 $\alpha$가 법선벡터가 $\vec{n} = (1, 2, 2)$이고 점 $\mathrm{M}(5, 10, 10)$을 지나는 평면 $x + 2y + 2z = 45$일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 구의 중심 $\mathrm{O}(0,0,0)$에서 절삭 평면 $\alpha : x + 2y + 2z = 45$에 내린 수선의 발 $\mathrm{H}$의 좌표와 거리 $d = \overline{\mathrm{OH}}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 절삭 평면 $\alpha$에 의해 잘린 대퇴골두 단면 원의 반지름 $r$와 단면 원의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 평면 $\alpha$와 평행하고 대퇴골두 구면 $S$의 양($+$)의 팔분공간 부분에 접하는 접평면 $\beta$의 방정식과 접점 $\mathrm{T}$의 좌표, 그리고 절삭되어 제거되는 구모(Spherical Cap)의 높이 $h = R - d$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제5회	문항 1	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	양전자방출단층촬영[PET] 방사성 추적자[18F-FDG]의 붕괴 법칙과 투여 용량 설계	20점	중상
제5회	문항 2	대수 Ⅱ. 삼각함수	초음파 도플러 혈류 측정기의 프로브 입사각 코사인 보정과 혈류 속도	20점	중상
제5회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	전염병 역학 구획 모델의 감염 재생산 곡선과 평형점 실근 개수	20점	상
제5회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	신장 사구체 여과율[GFR]과 신장 배설 속도 함수의 정적분 청소율 해석	20점	상
제5회	문항 5	기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표	정형외과 인공고관절 치환술의 대퇴골두 구면 절삭 평면과 단면 기하	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경희대학교 의학계열 수리논술 제5회 출제 원칙 및 합격 전략

[경희대학교 의·약학계열 제5회 (기출 정합 실전 표준 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 양전자방출단층촬영[PET] 방사성 추적자[18F-FDG]의 붕괴 법칙과 투여 용량 설계, 초음파 도플러 혈류 측정기의 프로브 입사각 코사인 보정과 혈류 속도, 전염병 역학 구획 모델의 감염 재생산 곡선과 평형점 실근 개수 등 의예·치의예·한의예·약학 수리논술 빈출 테마 5문항(각 20점, 총 100점)으로 구성되어 있습니다. 120분 중 수리논술 파트에 60~65분을 배분하여 소문항 [X-1]·[X-2](13점)를 전 문항 무결점으로 확보한 뒤, 최고 변별력 소문항 [X-3](7점)에서 극한·미분가능성·공간기하 논증을 완결하십시오.

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 문항 1 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.25 탐구 3961 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

[제시문 (가)] 핵의학 영상 검사에 쓰이는 방사성 추적자의 투여 $t$시간 후 잔류 방사능량 $A(t)\;(\mathrm{MBq})$는 유효 반감기 $\tau$에 대하여 $A(t) = A_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/\tau}$를 만족한다.

초기 투여량이 $A_0 = 160\;(\mathrm{MBq})$인 추적자의 투여 $4$시간 후 잔류량이 $80\;(\mathrm{MBq})$일 때, 영상 판독 가능 구간 $20 \le A(t) \le 128$에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, $\log_{10} 2 = 0.3$)

[문항 1-1] (6점) 유효 반감기 $\tau$와 투여 $8$시간 후의 잔류량 $A(8)$을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 잔류량이 $128\;(\mathrm{MBq})$ 이하로 들어오는 시각 $t_a$와 $20\;(\mathrm{MBq})$ 이상을 유지하는 시각 $t_b$를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 시각 $t_b$에서의 잔류량 $A(t_b)$와 초기량의 비 $\dfrac{A(t_b)}{A_0}$를 기약분수로 나타내시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 Ⅱ. 삼각함수 — 문항 2 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.30 탐구 3962 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[제시문 (가)] 호흡 주기 함수 $Q(t) = M\cos(\omega t) + N$의 주기는 $P = \dfrac{2\pi}{\omega}$이다.
[제시문 (나)] 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2\,\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cos A$이다.

안정 호흡 시 폐포 유량 지수가 $Q(t) = 4\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}t\right) - 2$ ($0 \le t \le 5$초)이고, 기관지 분기점 $\mathrm{A}$에서 갈라진 두 세기관지 끝점 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$가 $\overline{\mathrm{AB}} = 4\,\mathrm{cm},\; \overline{\mathrm{AC}} = 6\,\mathrm{cm},\; \angle \mathrm{BAC} = 60^\circ$일 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) $Q(t)$의 주기 $P$(초)와 $1$분($60$초)당 호흡 횟수를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 한 주기 $0 \le t \le 5$에서 $Q(t) \ge 0$인 시간 구간의 길이를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 두 끝점 사이 거리 $\overline{\mathrm{BC}}$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 — 문항 3 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.33 탐구 3963 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문 (가)] 리간드 농도 $c \ge 0$에 대한 협동 수용체 결합률 $\theta(c) = \dfrac{E_{\max}\,c^2}{K + c^2}$은 $c \to \infty$일 때 포화 상한 $E_{\max}$에 수렴한다.

수용체 결합 함수 $\theta(c) = \dfrac{E_{\max}\,c^2}{K + c^2}$가 $\displaystyle\lim_{c\to\infty} \theta(c) = 18,\; \lim_{c\to 0+} \dfrac{\theta(c)}{c^2} = 2$를 만족할 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 상수 $E_{\max}$와 $K$의 값을 각각 구하고, $\theta(c) = 9$가 되는 농도 $c_{1/2} \gt 0$를 구하시오.

[문항 3-2] (7점) $u = \dfrac{1}{c^2}$ ($c \gt 0$), $w = \dfrac{1}{\theta(c)}$에 대하여 $w$를 $u$의 일차함수 $w = pu + q$로 나타내시오.

[문항 3-3] (7점) 길항제 투여 시 $\theta_{\mathrm{ant}}(c) = \dfrac{18c^2}{9m + c^2}$에서 $\theta_{\mathrm{ant}}(6) = 9$일 때 양수 $m$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 — 문항 4 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 탐구 3964 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문 (가)] 혈당 증가분 함수 $G(t)$의 순간변화율 $G'(t)$가 $0$이 되고 부호가 양에서 음으로 바뀌는 시각에서 혈당이 최고치에 도달한다.

포도당 섭취 $t$시간($0 \le t \le 4$) 후 기준치 대비 혈당 증가분이 $G(t) = -5t^3 + 20t^2\;(\mathrm{mg/dL})$일 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 혈당 증가 속도 $v(t) = G'(t)$를 구하고, 혈당이 최고치에 도달하는 시각 $t_{\max}$와 최대 증가분 $G(t_{\max})$를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 혈당 증가 속도 $v(t)$가 최대가 되는 시각 $t_i$와 그때의 최대 증가 속도 $v(t_i)$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 섭취 $4$시간 후 혈당이 기준치($G=0$)로 돌아옴을 확인하고, 구간 $[0, 4]$에서의 평균 혈당 증가분 $\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_0^4 G(t)\,dt$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 기하 Ⅰ. 이차곡선 — 문항 5 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.12 탐구 3965 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[제시문 (가)] 포물선 $y^2 = 4px$의 축에 평행하게 입사한 초음파는 포물면에서 반사된 후 반드시 초점 $\mathrm{F}(p, 0)$에 집속되며, 준선 $x = -p$에서 포물선 위의 점 $\mathrm{P}$까지의 거리는 $\overline{\mathrm{PF}}$와 같다.

단면이 포물선 $y^2 = 16x\;(\mathrm{cm})$인 집속초음파 변환기에서 준선 $x = -4$ 위의 발진원 $\mathrm{H}(-4, 8)$에서 $x$축과 평행하게 발사된 음파가 포물면 위의 점 $\mathrm{P}$에서 반사되어 종양 위치인 초점 $\mathrm{F}$에 도달할 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 초점 $\mathrm{F}$의 좌표와 반사점 $\mathrm{P}$의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 발진원 $\mathrm{H}$에서 반사점 $\mathrm{P}$를 거쳐 초점 $\mathrm{F}$에 이르는 총 음파 이동 경로 $\overline{\mathrm{HP}} + \overline{\mathrm{PF}}$의 길이를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 점 $\mathrm{P}$에서의 포물선 접선이 $x$축과 만나는 점 $\mathrm{Q}$의 좌표와 삼각형 $\mathrm{FPQ}$의 넓이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제6회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제6회	문항 1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	문항 1	20점	상
제6회	문항 2	대수 Ⅱ. 삼각함수	문항 2	20점	상
제6회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속	문항 3	20점	상
제6회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법	문항 4	20점	최상
제6회	문항 5	기하 Ⅰ. 이차곡선	문항 5	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경희대학교 의학계열 수리논술 제6회 출제 원칙 및 합격 전략

[경희대학교 의·약학계열 제6회 (역대 킬러 TOP 5 1:1 심화 확장 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 문항 1, 문항 2, 문항 3 등 의예·치의예·한의예·약학 수리논술 빈출 테마 5문항(각 20점, 총 100점)으로 구성되어 있습니다. 120분 중 수리논술 파트에 60~65분을 배분하여 소문항 [X-1]·[X-2](13점)를 전 문항 무결점으로 확보한 뒤, 최고 변별력 소문항 [X-3](7점)에서 극한·미분가능성·공간기하 논증을 완결하십시오.

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅲ. 수열 — 문항 1 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.11 탐구 3971 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06]

[제시문 (가)] 매 투여 간격마다 직전 체내 약물의 비율 $r$ ($0 \lt r \lt 1$)만큼이 남고 일정 용량 $D$를 추가 투여할 때, $n$번째 투여 직후 약물량 $M_n$은 $M_1 = D,\; M_{n+1} = rM_n + D$를 만족한다.

환자에게 $12$시간마다 $D = 60\;(\mathrm{mg})$의 약물을 투여하고 투여 간격 동안 체내 약물의 $75\%$가 배설($25\%$ 잔류, $r = \dfrac{1}{4}$)될 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $n$번째 투여 직후 체내 약물량 $M_n$의 일반항을 구하고, $M_3$의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 장기 반복 투여 시 $n \to \infty$에서의 정상상태 최고 약물량 $M_{\infty} = \displaystyle\lim_{n\to\infty} M_n$과 다음 투여 직전 최저 약물량 $rM_{\infty}$를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 첫 투여부터 $n$번째 투여 직후까지 $M_k$와 $M_{\infty}$의 차이들의 합 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (M_{\infty} - M_k)$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 — 문항 2 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.35 탐구 3972 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-02-01]

[제시문 (가)] 구간별로 정의된 함수 $E(t)$가 경계 시각 $t = t_0$에서 미분가능하려면 $t = t_0$에서 연속이고 좌·우미분계수가 일치해야 한다.

자극 개시 후 신경 세포막 전위 변화 모형 $E(t) = \begin{cases} t^2 + at & (0 \le t \lt 2) \\ -t^2 + bt + c & (t \ge 2) \end{cases}$가 $t = 2$에서 미분가능하고 $E(1) = 5$일 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 조건 $E(1) = 5$를 이용하여 상수 $a$의 값과 $t = 2$에서의 좌극한 $\lim_{t\to 2-} E(t)$를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) $t = 2$에서의 미분가능성 조건을 이용하여 상수 $b, c$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 시각 $t \ge 0$에서 전위 $E(t)$의 최댓값과 그때의 시각을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 — 문항 3 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 탐구 3973 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문 (가)] 반지름이 $R$인 혈관 중심으로부터 거리 $r$ ($0 \le r \le R$)인 지점의 혈류 속도는 $v(r) = k(R^2 - r^2)$이고, 반지름 $r$인 고리 단면을 지나는 유량 밀도는 $\Phi(r) = 2\pi r\,v(r)$에 비례한다.

내경 반지름이 $R = 3\,\mathrm{mm}$이고 비례상수가 $k = 2$인 동맥에서 중심 거리 $r$ ($0 \le r \le 3$)에서의 유량 밀도 함수를 $f(r) = r\,v(r) = 2r(9 - r^2)$이라 할 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 혈관 중심($r=0$)에서의 최대 유속 $v(0)$과 혈관 벽($r=3$)에서의 유속 변화율 $v'(3)$을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 유량 밀도 함수 $f(r) = 18r - 2r^3$이 최대가 되는 위치 $r_0$와 그때의 최댓값 $f(r_0)$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 단면 전체에 대한 적분 $\displaystyle\int_0^3 2\pi f(r)\,dr$를 계산하여 총 혈류량 $Q$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 — 문항 4 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 3974 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문 (가)] 약물 투여 후 시각 $t = 0$부터 $t = T$까지 혈중 농도 곡선 $y = C(t)$와 $t$축 사이의 넓이 $\mathrm{AUC} = \displaystyle\int_0^T C(t)\,dt$는 체내 총 약물 노출량을 나타낸다.

동일 용량의 약물을 경구 투여했을 때의 농도 곡선이 $C_{\mathrm{oral}}(t) = 6t - t^2$ ($0 \le t \le 6$시간)이고, 정맥 투여했을 때의 총 노출량이 $\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}} = 48$일 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 경구 투여 시 최고 혈중 농도 $C_{\max}$와 도달 시각 $T_{\max}$를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 경구 투여 시 총 노출량 $\mathrm{AUC}_{\mathrm{oral}} = \displaystyle\int_0^6 (6t - t^2)\,dt$와 절대 생체이용률 $F = \dfrac{\mathrm{AUC}_{\mathrm{oral}}}{\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}}}$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 시각 $t = 0$부터 $t = k$ ($0 \lt k \lt 6$)까지의 누적 노출량이 전체 $\mathrm{AUC}_{\mathrm{oral}}$의 절반이 되는 시각 $k$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 기하 Ⅰ. 이차곡선 — 문항 5 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.36 탐구 3975 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[제시문 (가)] 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$의 두 초점은 $\mathrm{F}(c,0),\; \mathrm{F}'(-c,0)$ ($c = \sqrt{a^2+b^2}$)이고 점근선의 방정식은 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$이다.

방사선 치료실의 쌍곡선 궤적 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ ($x \gt 0$) 위의 센서 $\mathrm{P}$와 두 기준원 $\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)$ ($c \gt 0$)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 초점 좌표 $c$와 거리 차 $\overline{\mathrm{PF}'} - \overline{\mathrm{PF}}$, 그리고 두 점근선의 기울기를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 초점 $\mathrm{F}(c, 0)$에서 점근선 $4x - 3y = 0$에 내린 수선의 길이 $d$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) $\overline{\mathrm{PF}} = 4$일 때 $\overline{\mathrm{PF}'}$의 길이와 $\cos(\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF})$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제7회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제7회	문항 1	대수 Ⅲ. 수열	문항 1	20점	상
제7회	문항 2	미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속	문항 2	20점	상
제7회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법	문항 3	20점	상
제7회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법	문항 4	20점	최상
제7회	문항 5	기하 Ⅰ. 이차곡선	문항 5	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경희대학교 의학계열 수리논술 제7회 출제 원칙 및 합격 전략

[경희대학교 의·약학계열 제7회 (역대 킬러 TOP 5 1:1 심화 확장 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 문항 1, 문항 2, 문항 3 등 의예·치의예·한의예·약학 수리논술 빈출 테마 5문항(각 20점, 총 100점)으로 구성되어 있습니다. 120분 중 수리논술 파트에 60~65분을 배분하여 소문항 [X-1]·[X-2](13점)를 전 문항 무결점으로 확보한 뒤, 최고 변별력 소문항 [X-3](7점)에서 극한·미분가능성·공간기하 논증을 완결하십시오.

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 문항 1 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 탐구 3981 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

[제시문 (가)] 혈액의 산도 $\mathrm{pH}$는 중탄산 이온 농도 $[\mathrm{HCO}_3^-]\;(\mathrm{mM})$와 용존 이산화탄소 농도 $S\,\mathrm{P}_{\mathrm{CO}_2}\;(\mathrm{mM})$에 대하여 $\mathrm{pH} = 6.1 + \log_{10}\dfrac{[\mathrm{HCO}_3^-]}{S\,\mathrm{P}_{\mathrm{CO}_2}}$를 만족한다.

정상 동맥혈에서 $S\,\mathrm{P}_{\mathrm{CO}_2} = 1.2\;(\mathrm{mM})$이고 $[\mathrm{HCO}_3^-] = 24\;(\mathrm{mM})$일 때 다음 물음에 답하시오. (단, $\log_{10} 2 = 0.3$)

[문항 1-1] (6점) 정상 동맥혈의 $\mathrm{pH}$ 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 대사성 산증으로 $[\mathrm{HCO}_3^-]$가 $12\;(\mathrm{mM})$로 감소하고 $S\,\mathrm{P}_{\mathrm{CO}_2} = 1.2\;(\mathrm{mM})$로 유지될 때의 $\mathrm{pH}$를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 문항 [1-2]의 환자가 과호흡 보상을 통해 $\mathrm{pH}$를 다시 $7.4$로 회복하려면 $S\,\mathrm{P}_{\mathrm{CO}_2}$가 몇 $\mathrm{mM}$가 되어야 하는지 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 Ⅱ. 삼각함수 — 문항 2 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.38 탐구 3982 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[제시문 (가)] $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 이용하면 $2\sin^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$을 $\cos\theta$에 대한 이차방정식으로 변환할 수 있다.

맥파 위상각 $\theta \in [0, 2\pi]$에 대하여 압력 평형 방정식 $2\sin^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$이 성립할 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 방정식을 $\cos\theta$에 대한 인수분해 식으로 변형하여 $\cos\theta$의 값을 모두 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 구간 $[0, 2\pi]$에서 만족하는 모든 위상각 $\theta_1 \lt \theta_2 \lt \theta_3$과 그 합을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 단위원 위의 세 점 $\mathrm{A}(\cos\theta_1, \sin\theta_1),\; \mathrm{B}(\cos\theta_2, \sin\theta_2),\; \mathrm{C}(\cos\theta_3, \sin\theta_3)$가 이루는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 — 문항 3 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.50 탐구 3983 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문 (가)] 약물 용량 $x$에 따른 약효 지수 $E(x)$와 독성 손실 지수 $L(x)$의 차인 순임상유익지수 $N(x) = E(x) - L(x)$는 $N'(x) = 0$인 극대점에서 최대가 된다.

용량 $x \in [0, 6]\;(\mathrm{mg/kg})$에서 약효 지수가 $E(x) = 18x^2 - 2x^3$이고 독성 지수가 $L(x) = 24x$일 때, 순임상유익지수 $N(x) = -2x^3 + 18x^2 - 24x$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 도함수 $N'(x)$를 구하고 $N(x)$의 극소 용량 $x_1$과 극대 용량 $x_2$를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 구간 $[0, 6]$에서 순임상유익지수 $N(x)$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 독성 없이 순유익 변화율 $N'(x) \ge 0$이 유지되는 용량 구간 $[x_1, x_2]$의 길이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 확률과 통계 Ⅱ. 조건부확률 — 문항 4 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.17 탐구 3984 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12확통02-04, 12확통02-05]

[제시문 (가)] 질병 유병률이 $\mathrm{P}(D)$, 검사의 민감도가 $\mathrm{P}(T^+\mid D)$, 특이도가 $\mathrm{P}(T^-\mid D^c)$일 때, 양성 판정자 중 실제 감염자일 확률(양성예측도)은 $\mathrm{P}(D\mid T^+) = \dfrac{\mathrm{P}(D)\mathrm{P}(T^+\mid D)}{\mathrm{P}(D)\mathrm{P}(T^+\mid D) + \mathrm{P}(D^c)\mathrm{P}(T^+\mid D^c)}$이다.

어느 집단에서 특정 바이러스 유병률이 $\mathrm{P}(D) = 0.05$ ($5\%$)이고, 신속항원검사의 민감도가 $\mathrm{P}(T^+\mid D) = 0.90$, 특이도가 $\mathrm{P}(T^-\mid D^c) = 0.95$일 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 비감염자가 양성으로 잘못 판정될 위양성률 $\mathrm{P}(T^+\mid D^c)$와 진양성 확률 $\mathrm{P}(D \cap T^+)$를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 임의로 선택한 한 사람이 양성 판정을 받을 전체 확률 $\mathrm{P}(T^+)$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 양성 판정을 받은 사람이 실제로 감염되었을 양성예측도 $\mathrm{P}(D\mid T^+)$를 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 기하 Ⅱ. 평면벡터 — 문항 5 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.35 탐구 3985 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

[제시문 (가)] 좌표평면에서 두 벡터 $\vec{a} = (a_1, a_2),\; \vec{b} = (b_1, b_2)$의 내적은 $\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$이고, 두 벡터가 수직일 조건은 $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$이다.

MRI 단면 설정을 위한 두 기준 위치벡터가 $\vec{a} = (3, 1),\; \vec{b} = (1, 4)$일 때 제시문 (가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 내적 $\vec{a}\cdot\vec{b}$와 두 벡터의 크기 $|\vec{a}|,\; |\vec{b}|$를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 벡터 $\vec{b} - k\vec{a}$가 벡터 $\vec{a}$와 수직이 되도록 하는 실수 $k$의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 원점 $\mathrm{O}$와 두 점 $\mathrm{A}(3, 1),\; \mathrm{B}(1, 4)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제8회	문항 1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	문항 1	20점	상
제8회	문항 2	대수 Ⅱ. 삼각함수	문항 2	20점	상
제8회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법	문항 3	20점	상
제8회	문항 4	확률과 통계 Ⅱ. 조건부확률	문항 4	20점	최상
제8회	문항 5	기하 Ⅱ. 평면벡터	문항 5	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경희대학교 의학계열 수리논술 제8회 출제 원칙 및 합격 전략

[경희대학교 의·약학계열 제8회 (역대 킬러 TOP 5 1:1 심화 확장 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 문항 1, 문항 2, 문항 3 등 의예·치의예·한의예·약학 수리논술 빈출 테마 5문항(각 20점, 총 100점)으로 구성되어 있습니다. 120분 중 수리논술 파트에 60~65분을 배분하여 소문항 [X-1]·[X-2](13점)를 전 문항 무결점으로 확보한 뒤, 최고 변별력 소문항 [X-3](7점)에서 극한·미분가능성·공간기하 논증을 완결하십시오.

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅲ. 수열 — 문항 1 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 3991 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-05]

[제시문 (가)] 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열 $a_n = a r^{n-1}$에 대하여 $\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}$이고 $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$이다.

배양기 $\mathrm{I}$의 $k$일째 세포 군집 지수가 $u_k = k(k + 2)$이고, 배양기 $\mathrm{II}$의 $k$일째 군집 지수가 $v_k = 3^k$일 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $5$일 동안 배양기 $\mathrm{I}$의 누적 군집 지수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} u_k$를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) $5$일 동안 배양기 $\mathrm{II}$의 누적 군집 지수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} v_k$를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 망원급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{2}{u_k} = \sum_{k=1}^{10} \dfrac{2}{k(k+2)}$의 값을 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 — 문항 2 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.25 탐구 3992 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문 (가)] 다항식 비의 극한 $\displaystyle\lim_{p\to\infty}\dfrac{Ap^2 + Bp}{Cp^2 + D} = \dfrac{A}{C}$이고, $\displaystyle\lim_{p\to a}\dfrac{f(p)}{p - a} = L$이 존재하면 $f(a) = 0$이다.

산소 분압 $p \gt 0$에 대한 보정 포화 함수 $S(p) = \dfrac{ap^2 + bp}{p^2 + 16}$가 $\displaystyle\lim_{p\to\infty} S(p) = 100$과 $S(4) = 60$을 만족할 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 상수 $a$와 $b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 극한값 $\displaystyle\lim_{p\to 0+} \dfrac{S(p)}{p}$를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 분압 $p = 4$에서의 순간변화율 $S'(4)$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 — 문항 3 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.54 탐구 3993 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문 (가)] 밑면 반지름이 $r$, 높이가 $h$인 직원기둥의 겉넓이는 $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$이고 부피는 $V = \pi r^2 h$이다.

서방형 약물 캡슐을 반지름 $r \gt 0$, 높이 $h \gt 0$인 직원기둥 모양으로 제작할 때 전체 겉넓이가 $S = 24\pi\;(\mathrm{mm}^2)$로 일정하다면 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 높이 $h$를 $r$에 대한 식으로 나타내고, $h \gt 0$을 만족하는 반지름 $r$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 캡슐의 부피 $V(r)$를 $r$의 삼차함수로 나타내고, 도함수 $V'(r)$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 부피 $V(r)$가 최대가 될 때의 반지름 $r_0$, 높이 $h_0$ 및 최대 부피 $V_{\max}$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 — 문항 4 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.42 탐구 3994 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문 (가)] 심장에 지시약 총량 $I\;(\mathrm{mg})$를 주입한 후 동맥에서 측정한 지시약 농도가 $c(t)\;(\mathrm{mg/L})$ ($0 \le t \le T$초)일 때, 초당 심박출량 $\mathrm{CO}\;(\mathrm{L/s})$는 $\mathrm{CO} = \dfrac{I}{\int_0^T c(t)\,dt}$로 계산된다.

지시약 $I = 9\;(\mathrm{mg})$를 주입한 후 $0 \le t \le 6$초 동안 측정된 농도 곡선이 $c(t) = \dfrac{1}{2}t(6 - t)\;(\mathrm{mg/L})$일 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 지시약 최고 농도와 도달 시각을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 정적분 $\displaystyle\int_0^6 c(t)\,dt$의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 초당 심박출량 $\mathrm{CO}\;(\mathrm{L/s})$와 $1$분($60$초)당 심박출량($\mathrm{L/min}$)을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 — 문항 5 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.40 탐구 3995 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문 (가)] 좌표공간에서 구 $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = R^2$이 $xy$평면($z=0$)과 만나 생기는 교선은 반지름이 $\sqrt{R^2 - c^2}$인 원이다.

정위 좌표계에서 표적 구 영역이 $S : (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2 = 41$로 주어질 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 구 $S$의 중심 $\mathrm{C}$의 좌표와 원점 $\mathrm{O}(0,0,0)$에서 중심 $\mathrm{C}$까지의 거리 $\overline{\mathrm{OC}}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 구 $S$가 $xy$평면($z = 0$)과 만나 생기는 교선 원의 중심 좌표와 반지름 $r$, 그리고 단면 원의 넓이를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 구 $S$ 위의 점 $\mathrm{P}$와 원점 $\mathrm{O}$ 사이의 거리의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 곱 $Mm$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제9회	문항 1	대수 Ⅲ. 수열	문항 1	20점	상
제9회	문항 2	미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속	문항 2	20점	상
제9회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법	문항 3	20점	상
제9회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법	문항 4	20점	최상
제9회	문항 5	기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표	문항 5	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경희대학교 의학계열 수리논술 제9회 출제 원칙 및 합격 전략

[경희대학교 의·약학계열 제9회 (역대 킬러 TOP 5 1:1 심화 확장 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 문항 1, 문항 2, 문항 3 등 의예·치의예·한의예·약학 수리논술 빈출 테마 5문항(각 20점, 총 100점)으로 구성되어 있습니다. 120분 중 수리논술 파트에 60~65분을 배분하여 소문항 [X-1]·[X-2](13점)를 전 문항 무결점으로 확보한 뒤, 최고 변별력 소문항 [X-3](7점)에서 극한·미분가능성·공간기하 논증을 완결하십시오.

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 — 문항 1 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.21 탐구 3901 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-08]

[제시문 (가)] 방사선이 두께 $x\;(\mathrm{mm})$인 차폐체를 통과할 때 투과 선량률 $I(x)$는 반가층 두께 $d_{1/2}$에 대하여 $I(x) = I_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x / d_{1/2}}$이다.

어떤 감마선에 대한 납 차폐체의 반가층이 $d_{1/2} = 6\;(\mathrm{mm})$이고 초기 선량률이 $I_0 = 320\;(\mathrm{mSv/h})$일 때 다음 물음에 답하시오. (단, $\log_{10} 2 = 0.3$)

[문항 1-1] (6점) 두께 $x = 18\;(\mathrm{mm})$인 납 판을 통과한 후의 선량률 $I(18)$을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 투과 선량률을 $5\;(\mathrm{mSv/h})$ 이하로 낮추기 위해 필요한 최소 납 두께 $x_{\min}$을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 선량률을 초기값의 $\dfrac{1}{10}$ 이하로 줄이는 데 필요한 십가층 두께 $x_{1/10}$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 Ⅱ. 삼각함수 — 문항 2 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.42 탐구 3902 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[제시문 (가)] 삼각형 $\mathrm{LMN}$에서 $m^2 = l^2 + n^2 - 2ln\cos M$이고 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}ln\sin M$이다.

안구 광축 단면의 세 기준점 $\mathrm{L}, \mathrm{M}, \mathrm{N}$에서 $\overline{\mathrm{ML}} = 5\,\mathrm{mm},\; \overline{\mathrm{MN}} = 8\,\mathrm{mm},\; \angle \mathrm{LMN} = 60^\circ$일 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 선분 $\overline{\mathrm{LN}}$의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 $\mathrm{LMN}$의 넓이 $S$와 외접원의 반지름 $R$를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 각 $\angle \mathrm{LMN}$의 이등분선이 변 $\mathrm{LN}$과 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 할 때, 선분 $\overline{\mathrm{MD}}$의 길이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 — 문항 3 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.56 탐구 3903 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문 (가)] 미분가능한 함수 $W(x)$가 $W'(x) = 0$인 점에서 부호가 양에서 음으로 바뀌면 극댓값을 갖는다.

정규화된 대동맥 저항 지수 $x \in [0, 3]$에 대한 좌심실 박출 효율 함수가 $W(x) = -x^4 + 4x^3$일 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 도함수 $W'(x)$를 구하고 $W'(x) = 0$을 만족하는 $x$의 값을 모두 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 구간 $[0, 3]$에서 $W(x)$가 최대가 되는 $x$의 값과 그때의 최댓값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 곡선 $y = W(x)$ 위의 점 $(2, W(2))$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 확률과 통계 Ⅲ. 통계적 추정 — 문항 4 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.18 탐구 3904 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12확통03-05, 12확통03-06]

[제시문 (가)] 크기가 $n$인 임의표본에서 사건이 일어난 비율(표본비율)이 $\hat{p}$이고 $\hat{q} = 1 - \hat{p}$일 때, 모비율 $p$에 대한 $95\%$ 신뢰구간은 $\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$이다. (단, $\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$)

신규 백신 임상시험에서 피험자 $n = 400$명을 임의추출하여 검사한 결과 $320$명에게서 중화항체가 형성되었다. 제시문 (가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 항체 형성 표본비율 $\hat{p}$와 표준오차 $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 모비율 $p$에 대한 $95\%$ 신뢰구간 $[a, b]$와 신뢰구간의 길이 $L = b - a$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 표본비율이 $\hat{p} = 0.8$로 동일할 때, $95\%$ 신뢰구간의 길이가 $0.0392$ 이하가 되도록 하기 위한 최소 피험자 수 $n_{\min}$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 — 문항 5 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.48 탐구 3905 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문 (가)] 법선벡터가 $\vec{n} = (a, b, c)$이고 점 $\mathrm{A}(x_0, y_0, z_0)$를 지나는 공간 평면의 방정식은 $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$이며, 원점 $(0,0,0)$에서 평면 $ax+by+cz+d=0$까지의 거리는 $\dfrac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$이다.

치료 좌표계에서 세 기준 마커 $\mathrm{A}(6, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 3, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 2)$를 지나는 빔 조사 평면을 $\alpha$라 할 때 제시문 (가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 평면 $\alpha$의 방정식을 $x + 2y + 3z = k$ 꼴로 나타내고 단위법선벡터를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 원점 $\mathrm{O}(0, 0, 0)$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 길이 $d$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S_{\mathrm{ABC}}$와 $\triangle\mathrm{ABC}$의 $xy$평면 위로의 정사영 넓이 $S_{\mathrm{OAB}}$를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제10회	문항 1	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	문항 1	20점	상
제10회	문항 2	대수 Ⅱ. 삼각함수	문항 2	20점	상
제10회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법	문항 3	20점	상
제10회	문항 4	확률과 통계 Ⅲ. 통계적 추정	문항 4	20점	최상
제10회	문항 5	기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표	문항 5	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 경희대학교 의학계열 수리논술 제10회 출제 원칙 및 합격 전략

[경희대학교 의·약학계열 제10회 (역대 킬러 TOP 5 1:1 심화 확장 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 문항 1, 문항 2, 문항 3 등 의예·치의예·한의예·약학 수리논술 빈출 테마 5문항(각 20점, 총 100점)으로 구성되어 있습니다. 120분 중 수리논술 파트에 60~65분을 배분하여 소문항 [X-1]·[X-2](13점)를 전 문항 무결점으로 확보한 뒤, 최고 변별력 소문항 [X-3](7점)에서 극한·미분가능성·공간기하 논증을 완결하십시오.

PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS

실전 모의고사 1회 ~ 10회
문제 · 모범답안 · 채점 루브릭 합본 해설집

시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 50문항 전체 원문 요약과 단계별 모범답안·루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.

🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능

⚡ 단계별 채점 기준표 완비: 소문항·단계별 부분점수 배점표를 통해 정밀한 자가 채점 지원

👨‍🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭

【문제 1】 원문 요약 — 혈중 약물 반감기 지수 모델과 치료 유효 농도 구간 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.28 탐구 3911 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

[문항 1-1] (6점) 이 항생제의 반감기 $T_{1/2}$를 구하고, 투여 $9$시간 후의 혈중 농도 $C(9)$와 $\log_{10} C(t)$를 $t$에 대한 일차식으로 나타내시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 1 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $C(3) = 80\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3/T_{1/2}} = 40$에서 반감기 $T_{1/2}$를 구하고 상용로그를 취한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $T_{1/2} = 3$시간이므로 $C(9) = 80\cdot 2^{-3} = 10$이고 $\log_{10} C(t) = \log_{10} 80 - \dfrac{0.3}{3}t = 1.9 - 0.1t$이다. 또한 $\log_{10} 64 = 6\log_{10} 2 = 1.8 = 1.9 - 0.1t_1 \implies t_1 = 1$이고, $80\cdot 2^{-t_2/3} = 5 \implies 2^{t_2/3} = 16 = 2^4 \implies t_2 = 12$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] $t_2 = 12$시간에서 잔류 농도가 $5\;(\mathrm{\mu g/mL})$이므로 직후 농도를 $80\;(\mathrm{\mu g/mL})$로 맞추기 위한 추가 농도 증가량은 $\Delta C = 80 - 5 = 75\;(\mathrm{\mu g/mL})$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 1-1	• $T_{1/2} = 3$ 및 $C(9) = 10$ 산출 +3점 / $\log_{10} C(t) = 1.9 - 0.1t$ 유도 +3점	6점
문항 1-2	• $\log_{10} 64 = 1.8$로부터 $t_1 = 1$ 도출 +4점 / $2^{t_2/3} = 16$으로부터 $t_2 = 12$ 도출 +3점	7점
문항 1-3	• 잔류 농도 $C(12) = 5$ 확인 +3점 / 추가 투여 농도 $\Delta C = 75$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: $\log_{10} 80 = 1 + 3\log_{10} 2 = 1.9$와 $\log_{10} 64 = 6\log_{10} 2 = 1.8$을 정확히 변환해야 $t_1 = 1$시간이 오차 없이 도출됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [1-1] $T_{1/2} = 3$시간, $C(9) = 10$, $\log_{10} C(t) = 1.9 - 0.1t$ | [1-2] $t_1 = 1$시간, $t_2 = 12$시간 | [1-3] $\Delta C = 75\;(\mathrm{\mu g/mL})$

【문제 2】 원문 요약 — 심전도[ECG] 주기 파형 모델과 동맥 분지 혈류 기하 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.32 탐구 3912 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[문항 2-1] (6점) 함수 $V(t)$의 주기 $T$(초)와 $1$분($60$초)당 심박수($\mathrm{bpm}$, 분당 주기 횟수)를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 한 주기 $0 \le t \le \dfrac{4}{5}$에서 전위 $V(t)$가 영전위($0\,\mathrm{mV}$) 이상으로 유지되는 시간 구간의 길이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 2 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $T = \dfrac{2\pi}{5\pi/2} = \dfrac{4}{5}$초이고 $V(t) \ge 0 \iff \sin\left(\dfrac{5\pi}{2}t\right) \ge \dfrac{1}{2}$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] 분당 심박수는 $\dfrac{60}{4/5} = 75\,\mathrm{bpm}$이다. $\theta = \dfrac{5\pi}{2}t \in [0, 2\pi]$에서 $\sin\theta \ge \dfrac{1}{2} \iff \dfrac{\pi}{6} \le \dfrac{5\pi}{2}t \le \dfrac{5\pi}{6}$이므로 $\dfrac{1}{15} \le t \le \dfrac{1}{3}$이고 구간의 길이는 $\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{15} = \dfrac{4}{15}$초이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] 코사인법칙에 의해 $\overline{\mathrm{PQ}}^2 = 9 + 25 - 2\cdot 3\cdot 5\cos 120^\circ = 34 + 15 = 49 \implies \overline{\mathrm{PQ}} = 7\,\mathrm{cm}$이고, 사인법칙에서 $R = \dfrac{7}{2\sin 120^\circ} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\,\mathrm{cm}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 2-1	• 주기 $T = \dfrac{4}{5}$초 도출 +3점 / 분당 심박수 $75\,\mathrm{bpm}$ 산출 +3점	6점
문항 2-2	• 부등식 $\dfrac{1}{15} \le t \le \dfrac{1}{3}$ 해 도출 +4점 / 시간 길이 $\dfrac{4}{15}$초 산출 +3점	7점
문항 2-3	• 코사인법칙으로 $\overline{\mathrm{PQ}} = 7$ 도출 +4점 / 사인법칙으로 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 삼각부등식에서 치환 변수 $\theta = \dfrac{5\pi}{2}t$의 구간 길이 $\dfrac{2\pi}{3}$를 각속도 $\dfrac{5\pi}{2}$로 나누어 실제 시간 길이 $\dfrac{4}{15}$초로 환원하는 과정을 빠뜨리지 마십시오.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [2-1] 주기 $T = \dfrac{4}{5}$초, 심박수 $75\,\mathrm{bpm}$ | [2-2] $\dfrac{4}{15}$초 | [2-3] $\overline{\mathrm{PQ}} = 7\,\mathrm{cm},\; R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\,\mathrm{cm}$

【문제 3】 원문 요약 — 효소-기질 반응 속도[미카엘리스-멘텐 식]의 극한과 초기 기울기 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.31 탐구 3913 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 3 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] 분모·분자를 $s$로 나누어 $\lim_{s \to \infty} \dfrac{V_{\max}}{K_m/s + 1} = V_{\max}$ 및 $\lim_{s \to 0+} \dfrac{V_{\max}}{K_m + s} = \dfrac{V_{\max}}{K_m}$를 적용한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $V_{\max} = 12$이고 $\dfrac{12}{K_m} = 3 \implies K_m = 4$이며 $v(s_{1/2}) = 6 \implies s_{1/2} = K_m = 4$이다. 역수를 취하면 $y = \dfrac{4 + s}{12s} = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{12}$이므로 $a = \dfrac{1}{3},\; b = \dfrac{1}{12}$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] $\lim_{s \to 0+} \dfrac{v_{\mathrm{inh}}(s)}{s} = \dfrac{12}{4(1 + I/K_i)} = 1 \implies 1 + \dfrac{I}{K_i} = 3 \implies \dfrac{I}{K_i} = 2$이며, $s \to \infty$일 때 두 함수 모두 $12$로 수렴하므로 차의 극한은 $12 - 12 = 0$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 3-1	• $V_{\max} = 12,\; K_m = 4$ 도출 +4점 / $s_{1/2} = 4$ 산출 +2점	6점
문항 3-2	• 역수 변환식 유도 +3점 / $a = \dfrac{1}{3},\; b = \dfrac{1}{12}$ 산출 +4점	7점
문항 3-3	• $\dfrac{I}{K_i} = 2$ 산출 +4점 / 무한대 극한 차 $0$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 경쟁적 저해제는 초기 기울기($s \to 0+$ 극한)는 감소시키지만, 기질 농도가 무한히 커질 때($s \to \infty$) 최대 반응 속도 $V_{\max} = 12$는 변화시키지 않는다는 수리적 성질을 극한으로 명확히 서술하십시오.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [3-1] $V_{\max} = 12,\; K_m = 4,\; s_{1/2} = 4$ | [3-2] $y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{12}$ ($a = \dfrac{1}{3},\; b = \dfrac{1}{12}$) | [3-3] $\dfrac{I}{K_i} = 2$, 극한값 $0$

【문제 4】 원문 요약 — 경구 투여 약물의 혈중 농도 다항 근사 모형과 최고 농도 도달 시각 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.34 탐구 3914 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문항 4-1] (6점) 도함수 $C'(t)$를 인수분해하여 최고 혈중 농도 도달 시각 $T_{\max}$와 최고 혈중 농도 $C_{\max}$를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 4 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $C'(t) = 3t^2 - 24t + 36 = 3(t - 2)(t - 6)$을 인수분해하여 부호 변화를 조사한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $(0, 6)$에서 $t = 2$일 때 $C'(t)$가 양에서 음으로 바뀌므로 $T_{\max} = 2$시간이고 $C_{\max} = C(2) = 2\times 16 = 32$이다. 또한 $C''(t) = 6t - 24 = 0$에서 $t_0 = 4$시간이고 $C'(4) = 3(2)(-2) = -12$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] $C(0) = C(6) = 0$이고 $(0, 2)$에서 순증가하여 $C(2) = 32$, $(2, 6)$에서 순감소하므로, 열린구간 $(0, 6)$에서 $C(t) = k$가 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 $0 \lt k \lt 32$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 4-1	• $C'(t) = 3(t-2)(t-6)$ 인수분해 +3점 / $T_{\max} = 2,\; C_{\max} = 32$ 도출 +3점	6점
문항 4-2	• $t_0 = 4$ 도출 +4점 / $C'(4) = -12$ 산출 +3점	7점
문항 4-3	• 양 끝점 함숫값 $C(0)=C(6)=0$ 및 증감 개형 분석 +4점 / $0 \lt k \lt 32$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 열린구간 $(0, 6)$에서의 실근 개수를 묻고 있으므로 경계값 $k = 0$과 극댓값 $k = 32$(중근 1개)는 등호에서 제외되어야 합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [4-1] $T_{\max} = 2$시간, $C_{\max} = 32\;(\mathrm{\mu g/mL})$ | [4-2] $t_0 = 4$시간, $C'(4) = -12$ | [4-3] $0 \lt k \lt 32$

【문제 5】 원문 요약 — 체외충격파쇄석술[ESWL] 타원 반사경의 두 초점과 충격파 경로 설계 [배점 20점]

[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.3 탐구 3915 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 5 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $a = 13,\; b = 12$이므로 $c = \sqrt{169 - 144} = 5$이고 타원의 정의에 의해 $\overline{\mathrm{F'P}} + \overline{\mathrm{PF}} = 2a = 26$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $\overline{\mathrm{F'P}} = p,\; \overline{\mathrm{PF}} = q$라 하면 $p + q = 26$이고 직각삼각형에서 $p^2 + q^2 = (2c)^2 = 100$이므로 $2pq = (p+q)^2 - (p^2+q^2) = 676 - 100 = 576 \implies \triangle \mathrm{F'PF} = \dfrac{1}{2}pq = 144\,(\mathrm{cm^2})$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] 기울기가 $m = -\dfrac{5}{12}$이고 제$1$사분면에 접하는 접선은 $y = -\dfrac{5}{12}x + \sqrt{169\left(-\dfrac{5}{12}\right)^2 + 144} = -\dfrac{5}{12}x + \dfrac{169}{12}$이므로 $5x + 12y - 169 = 0$이다. 원점에서의 거리는 $\dfrac{169}{\sqrt{25+144}} = 13\,\mathrm{cm}$이고, 접점 $\mathrm{Q}$는 $\dfrac{x_0}{169} : \dfrac{y_0}{144} = 5 : 12$에서 $\mathrm{Q}\left(5, \dfrac{144}{13}\right)$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 5-1	• $c = 5$ 및 $\mathrm{F}(\pm 5, 0)$ 산출 +3점 / 총 이동 거리 $L = 26\,\mathrm{cm}$ 도출 +3점	6점
문항 5-2	• $p+q=26,\; p^2+q^2=100$ 연립 +4점 / 넓이 $\dfrac{1}{2}pq = 144$ 산출 +3점	7점
문항 5-3	• 접선 $5x + 12y = 169$ 및 접점 $\mathrm{Q}\left(5, \dfrac{144}{13}\right)$ 도출 +4점 / 원점 거리 $13\,\mathrm{cm}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 충격파의 이동 거리 $\overline{\mathrm{F'P}} + \overline{\mathrm{PF}} = 2a$가 반사 지점 $\mathrm{P}$의 위치에 관계없이 항상 일정하기 때문에 모든 반사파가 결석 $\mathrm{F}$에 동일한 위상(동시 도달)으로 집중됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [5-1] $\mathrm{F}(5, 0),\; \mathrm{F'}(-5, 0),\; L = 26\,\mathrm{cm}$ | [5-2] $144\,(\mathrm{cm^2})$ | [5-3] $\mathrm{Q}\left(5, \dfrac{144}{13}\right)$, 거리 $13\,\mathrm{cm}$

【문제 1】 원문 요약 — 핸더슨-하셀바흐 혈액 완충계 pH 방정식과 산-염기 평형 부등식 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.1 탐구 3921 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-08]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 1 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $\dfrac{y_0}{x_0} = \dfrac{24}{1.2} = 20$이므로 $\mathrm{pH} = 6.1 + \log_{10} 20 = 6.1 + 1 + \log_{10} 2$를 적용한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $\mathrm{pH} = 7.4$이고 $\dfrac{[\mathrm{H^+}]}{10^{-7}} = 10^{-0.4} = (10^{-0.2})^2$ 또는 $10^{-0.4} = \dfrac{10^{0.2}}{10^{0.6}} = \dfrac{1.58}{4} = 0.395$배이다. 또한 $7.3 \le 6.1 + \log_{10}\left(\dfrac{y}{1.2}\right) \le 7.5 \iff 1.2 \le \log_{10}\left(\dfrac{y}{1.2}\right) \le 1.4$에서 $10^{1.2} = 10\times 1.58 = 15.8$이고 $10^{1.4} = 10^{2 - 0.6} = \dfrac{100}{4} = 25$(단, $\log_{10} 2 = 0.3$ 기준 $10^{0.3}=2 \implies 10^{0.6}=4 \implies 10^{1.4} = 25$)이므로 $1.2\times 15.8 = 18.96 \le y \le 1.2\times 25 = 30.0$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] $x_1 = 2.4,\; y = 24$이면 $\dfrac{y}{x_1} = 10$이므로 $\mathrm{pH} = 6.1 + \log_{10} 10 = 7.1$로 떨어지며, 다시 $\mathrm{pH} = 7.4$($y_1/x_1 = 20$)가 되려면 $y_1 = 20 \times 2.4 = 48\;(\mathrm{mM})$이어야 한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 1-1	• $\mathrm{pH} = 7.4$ 산출 +3점 / $10^{-0.4} = \dfrac{1.58}{4} = 0.395$배 도출 +3점	6점
문항 1-2	• 로그 부등식 $1.2 \le \log_{10}(y/1.2) \le 1.4$ 수립 +4점 / $18.96 \le y \le 30$ 도출 +3점	7점
문항 1-3	• 산증 $\mathrm{pH} = 7.1$ 도출 +3점 / 보상 목표 농도 $y_1 = 48\;(\mathrm{mM})$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: $\log_{10} 2 = 0.3$이 주어졌을 때 $10^{0.3} = 2$이므로 $10^{1.4} = 10^{2 - 0.6} = \dfrac{100}{(10^{0.3})^2} = \dfrac{100}{4} = 25$로 정확히 환산할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [1-1] $\mathrm{pH} = 7.4$, $0.395$배($\dfrac{1}{2\times 1.58} = 10^{-0.4}$배) | [1-2] $18.96 \le y \le 30.24\;(\mathrm{mM})$ | [1-3] $\mathrm{pH} = 7.1,\; y_1 = 48\;(\mathrm{mM})$

【문제 2】 원문 요약 — 폐활량 호흡 주기 삼각함수 모델과 흡기·호기 역치 시간 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 탐구 3922 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문항 2-2] (7점) 한 호흡 주기 $0 \le t \le 4$에서 폐 부피 $V(t)$가 $2.85\;(\mathrm{L})$ 이상으로 팽창해 있는 시간 구간의 길이 $\Delta t$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 2 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $B - A = 2.4,\; B + A = 3.0$을 연립하고 주기 $T = \dfrac{2\pi}{\pi/2} = 4$초를 구한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $A = 0.3,\; B = 2.7$이므로 $1$회 호흡량은 $2A = 0.6\,\mathrm{L}$이고 분당 호흡수는 $\dfrac{60}{4} = 15$회이므로 분당 총 환기량은 $0.6 \times 15 = 9.0\,\mathrm{L/min}$이다. $V(t) \ge 2.85 \iff -0.3\cos\left(\dfrac{\pi}{2}t\right) + 2.7 \ge 2.85 \iff \cos\left(\dfrac{\pi}{2}t\right) \le -\dfrac{1}{2}$에서 $\dfrac{2\pi}{3} \le \dfrac{\pi}{2}t \le \dfrac{4\pi}{3} \iff \dfrac{4}{3} \le t \le \dfrac{8}{3}$이므로 구간의 길이는 $\dfrac{4}{3}$초이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] $V(t)$의 그래프는 첫 주기에서 직선 $t = 2$에 대칭이고 둘째 주기에서 직선 $t = 6$에 대칭이므로, $t_1 + t_2 = 4,\; t_3 + t_4 = 12$가 되어 네 근의 합은 $4 + 12 = 16$초이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 2-1	• $A=0.3, B=2.7$ 및 $1$회 호흡량 $0.6\,\mathrm{L}$ 산출 +3점 / 분당 환기량 $9.0\,\mathrm{L/min}$ 도출 +3점	6점
문항 2-2	• $\cos(\pi t/2) \le -1/2$ 변환 +3점 / $\dfrac{4}{3} \le t \le \dfrac{8}{3}$ 및 길이 $\dfrac{4}{3}$초 도출 +4점	7점
문항 2-3	• 주기별 대칭축 $t = 2, 6$ 명시 +4점 / 네 근의 합 $16$초 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 근의 개별 값을 구하지 않더라도 코사인 곡선의 대칭축 $t = 2$와 $t = 6$을 활용하면 $t_1+t_2=2\times 2=4,\; t_3+t_4=2\times 6=12$로 즉시 합을 구할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [2-1] $A = 0.3,\; B = 2.7$, $1$회 호흡량 $0.6\,\mathrm{L}$, 분당 환기량 $9.0\,\mathrm{L/min}$ | [2-2] $\dfrac{4}{3}$초 | [2-3] $16$초

【문제 3】 원문 요약 — 신경세포 막전위 역치[Threshold] 모델에서 이온 통로 함수의 연속성과 사잇값 정리 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 탐구 3923 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문항 3-1] (6점) 우극한 $\lim_{x \to 3+} g(x)$를 계산하여 $x = 3$에서의 연속 조건으로부터 상수 $k = g(3)$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) $x = 1$과 $x = 3$에서의 연속 조건을 연립하여 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 3 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $x \gt 3$에서 $\dfrac{x^2 - x - 6}{x - 3} = \dfrac{(x - 3)(x + 2)}{x - 3} = x + 2$로 약분하여 우극한을 계산한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $\lim_{x \to 3+} g(x) = (3 + 2) + 5 = 10$이므로 $k = 10$이다. 또한 $\lim_{x \to 1-} g(x) = 2 = a + b$이고 $\lim_{x \to 3-} g(x) = 3a + b = 10$이므로 연립하면 $2a = 8 \implies a = 4,\; b = -2$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] 닫힌구간 $[1, 3]$에서 $g(x) = 4x - 2$이므로 $I(x) = -2x^2 + 4x + 1$은 다항함수로서 $[1, 3]$에서 연속이다. $I(1) = -2 + 4 + 1 = 3 \gt 0$이고 $I(3) = -18 + 12 + 1 = -5 \lt 0$으로 $I(1)I(3) \lt 0$이므로, 사잇값 정리에 의해 $(1, 3)$에 $I(c) = 0$인 평형 전위 $c$가 적어도 하나 존재한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 3-1	• 인수분해 약분 $\dfrac{(x-3)(x+2)}{x-3} = x+2$ +3점 / $k = 10$ 도출 +3점	6점
문항 3-2	• $a + b = 2,\; 3a + b = 10$ 수립 +4점 / $a = 4,\; b = -2$ 산출 +3점	7점
문항 3-3	• $[1, 3]$에서 $I(x)$의 연속성 명시 +3점 / $I(1)=3 \gt 0,\; I(3)=-5 \lt 0$ 확인 후 사잇값 정리 결론 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 사잇값 정리 논증에서 $I(1)I(3) \lt 0$만 적고 '닫힌구간 $[1, 3]$에서 $I(x)$가 연속이다'라는 전제 조건을 누락하면 부분점수가 감점됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [3-1] $k = 10$ | [3-2] $a = 4,\; b = -2$ | [3-3] $I(1) = 3 \gt 0,\; I(3) = -5 \lt 0$ 및 닫힌구간 $[1, 3]$ 연속성에 의해 실근 존재

【문제 4】 원문 요약 — 약물동태학의 혈중농도-시간 곡선하 면적[AUC]과 생체이용률 정적분 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.38 탐구 3924 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 4 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}} = \int_{0}^{4} 3(4-t)^2\,dt = \Bigl[-(4-t)^3\Bigr]_{0}^{4}$ 및 이차함수 넓이 공식 $\int_{0}^{4} 6t(4-t)\,dt = \dfrac{6\cdot 4^3}{6}$을 적용한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}} = 64,\; \mathrm{AUC}_{\mathrm{PO}} = 64$이므로 생체이용률은 $F = \dfrac{64}{64} = 1\;(100\%)$이다. $3(4-t)^2 = 6t(4-t)$에서 $t \in (0, 4)$이면 $3(4-t) = 6t \implies t^* = \dfrac{4}{3}$이다. $C_{\mathrm{IV}}(t) - C_{\mathrm{PO}}(t) = 3(4-t)(4-3t) = 9t^2 - 48t + 48$이므로 $S_1 = \int_{0}^{4/3} (9t^2 - 48t + 48)\,dt = \Bigl[3t^3 - 24t^2 + 48t\Bigr]_{0}^{4/3} = \dfrac{64}{9} - \dfrac{128}{3} + 64 = \dfrac{256}{9}$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] $\int_{0}^{4} \bigl(C_{\mathrm{IV}}(t) - C_{\mathrm{PO}}(t)\bigr)\,dt = S_1 - S_2$이고 동시에 $\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}} - \mathrm{AUC}_{\mathrm{PO}} = 64 - 64 = 0$이므로 $S_1 - S_2 = 0$, 즉 초기 정맥 주사 우위 면적 $S_1 = \dfrac{256}{9}$와 후기 경구 흡수 우위 면적 $S_2 = \dfrac{256}{9}$가 정확히 상쇄된다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 4-1	• $\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}} = 64,\; \mathrm{AUC}_{\mathrm{PO}} = 64$ 산출 +4점 / $F = 1$ 도출 +2점	6점
문항 4-2	• 교점 $t^* = \dfrac{4}{3}$ 도출 +3점 / 정적분으로 $S_1 = \dfrac{256}{9}$ 산출 +4점	7점
문항 4-3	• $S_1 - S_2 = \int_0^4 (C_{\mathrm{IV}} - C_{\mathrm{PO}})\,dt = 0$ 증명 +4점 / $S_2 = \dfrac{256}{9}$ 결론 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 전체 구간에서의 정적분 차가 $0$이면 교점 $t^* = \dfrac{4}{3}$ 전후의 두 둘러싸인 영역의 넓이 $S_1, S_2$가 서로 같다는 등적(Equal-Area) 원리가 성립합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [4-1] $\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}} = 64,\; \mathrm{AUC}_{\mathrm{PO}} = 64,\; F = 1\;(100\%)$ | [4-2] $t^* = \dfrac{4}{3}$시간, $S_1 = \dfrac{256}{9}$ | [4-3] $S_2 = \dfrac{256}{9},\; S_1 - S_2 = 0$

【문제 5】 원문 요약 — 심장 전기축[Cardiac Electrical Axis] 벡터의 내적과 아인트호벤 삼각형 유도 전압 [배점 20점]

[출처: 비상 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.3 탐구 3925 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

[문항 5-2] (7점) 심장 전기축 벡터 $\vec{E} = (x, y)$의 성분 $(x, y)$와 크기 $|\vec{E}|$를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 5 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $\vec{u}_3 = \vec{u}_2 - \vec{u}_1$의 양변에 $\vec{E}$를 내적하여 선형성을 적용한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $V_3 = \vec{E}\cdot(\vec{u}_2 - \vec{u}_1) = V_2 - V_1$이므로 $V_2 = V_1 + V_3$이고, $V_3 = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$이다. 또한 $\vec{E} = (x, y)$라 하면 $V_1 = x = \sqrt{3}$이고 $V_2 = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}y = \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}y = \sqrt{3} \implies y = -1$이므로 $\vec{E} = (\sqrt{3}, -1),\; |\vec{E}| = \sqrt{3 + 1} = 2$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] $\cos\theta = \dfrac{\vec{E}\cdot\vec{u}_1}{|\vec{E}||\vec{u}_1|} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $\theta = \dfrac{\pi}{6}\;(30^\circ)$이고, $\vec{E} = (\sqrt{3}, -1)$과 내적이 $0$이고 크기가 $1$인 단위벡터는 $\pm\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 5-1	• 내적 분배법칙으로 $V_2 = V_1 + V_3$ 증명 +4점 / $V_3 = 0$ 도출 +2점	6점
문항 5-2	• 성분 $\vec{E} = (\sqrt{3}, -1)$ 도출 +4점 / 크기 $\|\vec{E}\| = 2$ 산출 +3점	7점
문항 5-3	• $\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = \dfrac{\pi}{6}$ 도출 +4점 / 수직 단위벡터 $\pm\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: $V_3 = \vec{E}\cdot\vec{u}_3 = 0$이라는 사실로부터 곧바로 $\vec{E} \perp \vec{u}_3 = \left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$임을 알 수 있어 수직 단위벡터가 $\pm\vec{u}_3$가 됨을 즉시 검산할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [5-1] $\vec{E}\cdot\vec{u}_3 = \vec{E}\cdot(\vec{u}_2 - \vec{u}_1) = V_2 - V_1 \implies V_2 = V_1 + V_3,\; V_3 = 0\,\mathrm{mV}$ | [5-2] $\vec{E} = (\sqrt{3}, -1),\; |\vec{E}| = 2\,\mathrm{mV}$ | [5-3] $\theta = \dfrac{\pi}{6}\;(30^\circ)$, 수직 단위벡터 $\pm\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

【문제 1】 원문 요약 — 일정 간격 반복 투약의 약물 잔류 점화식과 항정 상태[Steady State] 귀납 증명 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.1 탐구 3931 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

[문항 1-2] (7점) [문항 1-1]에서 구한 일반항 $a_n = 240\left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 1 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] 특성방정식 $\alpha = \dfrac{1}{2}\alpha + 120$에서 $\alpha = 240$을 구하여 등비수열 $\{a_n - 240\}$으로 변환한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $a_n - 240 = (a_1 - 240)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = -120\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = -\dfrac{240}{2^n}$이므로 $a_n = 240\left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)$이다. (i) $n=1$일 때 $a_1 = 240(1 - 1/2) = 120$ 성립. (ii) $n=k$일 때 성립 가정 시 $a_{k+1} = \dfrac{1}{2}\cdot 240\left(1 - \dfrac{1}{2^k}\right) + 120 = 240 - \dfrac{240}{2^{k+1}} = 240\left(1 - \dfrac{1}{2^{k+1}}\right)$이므로 $n=k+1$에서도 성립한다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] 첫 투여 직후 $a_1 = L = 240$이면 $a_2 = \dfrac{1}{2}(240) + 120 = 240$으로 모든 $n \ge 1$에서 $a_n = 240$이 유지된다. 따라서 부하 용량은 $L = 240\,\mathrm{mg}$이고, $10$회까지 투여한 약물의 총량은 $240 + 120 \times 9 = 1320\,\mathrm{mg}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 1-1	• $\alpha = 240$ 도출 +3점 / 일반항 $a_n = 240(1 - 2^{-n})$ 산출 +3점	6점
문항 1-2	• 초기조건 $n=1$ 확인 +2점 / $n=k \implies n=k+1$ 점화식 대입 유도 +5점	7점
문항 1-3	• 부하 용량 $L = 240\,\mathrm{mg}$ 도출 +4점 / 누적 투여 총량 $1320\,\mathrm{mg}$ 산출 +3점	7점

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⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 임상 약리학에서 반감기마다 유지 용량 $D$를 투여할 때 초기 부하 용량 $L = 2D$를 투여하면 첫 투여 직후부터 지체 없이 항정 상태($2D$)에 도달한다는 원리를 점화식 불변점($a_1 = \alpha$)으로 설명한 문항입니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [1-1] $\alpha = 240,\; a_n = 240\left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)$ | [1-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [1-3] 부하 용량 $L = 240\,\mathrm{mg}$, 누적 투여 총량 $1320\,\mathrm{mg}$

【문제 2】 원문 요약 — 치과 교정 와이어 삼각형 아치 구조의 사인법칙·코사인법칙 역학 해석 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 3932 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 양측 대구치 사이의 폭 $\overline{\mathrm{BC}} = a$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 세 브라켓 지점을 지나는 이상적인 치열궁 원(삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원)의 반지름 $R$와 내접원의 반지름 $r$를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 꼭짓점 $\mathrm{A}$에서 변 $\mathrm{BC}$의 중점 $\mathrm{M}$을 연결한 정중선(Median)의 길이 $\overline{\mathrm{AM}}$을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 2 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $\cos A = \dfrac{1}{5}$에서 $\sin A = \sqrt{1 - \dfrac{1}{25}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}$를 구하고 코사인법칙을 적용한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $a^2 = 25 + 49 - 2\cdot 5\cdot 7\cdot\dfrac{1}{5} = 74 - 14 = 60 \implies a = 2\sqrt{15}$이고, $S = \dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot\dfrac{2\sqrt{6}}{5} = 7\sqrt{6}$이다. 외접원 반지름은 $R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{2\sqrt{15}}{4\sqrt{6}/5} = \dfrac{5\sqrt{10}}{4}$이고, 내접원 반지름은 $r = \dfrac{2S}{a+b+c} = \dfrac{14\sqrt{6}}{12 + 2\sqrt{15}} = \dfrac{7\sqrt{6}}{6 + \sqrt{15}} = \dfrac{7\sqrt{6}(6 - \sqrt{15})}{21} = 2\sqrt{6} - \sqrt{10}$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] 파푸스 중선정리(또는 $\triangle \mathrm{ABM}, \triangle \mathrm{ACM}$의 코사인법칙 연립)에 의해 $\overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 = 2(\overline{\mathrm{AM}}^2 + \overline{\mathrm{BM}}^2)$이고 $\overline{\mathrm{BM}}^2 = \dfrac{a^2}{4} = 15$이므로 $25 + 49 = 2(\overline{\mathrm{AM}}^2 + 15) \implies \overline{\mathrm{AM}}^2 = 37 - 15 = 22 \implies \overline{\mathrm{AM}} = \sqrt{22}\,\mathrm{cm}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 2-1	• $a = 2\sqrt{15}$ 산출 +3점 / $\sin A = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}$ 및 $S = 7\sqrt{6}$ 도출 +3점	6점
문항 2-2	• 사인법칙으로 $R = \dfrac{5\sqrt{10}}{4}$ 산출 +4점 / $r = 2\sqrt{6} - \sqrt{10}$ 도출 +3점	7점
문항 2-3	• 중선정리 또는 코사인법칙 식 수립 +4점 / $\overline{\mathrm{AM}} = \sqrt{22}$ 산출 +3점	7점

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⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 삼각형의 중선 길이는 $\angle \mathrm{AMB} + \angle \mathrm{AMC} = \pi$이므로 양쪽 삼각형에 코사인법칙을 적용하여 더하면 코사인 항이 소거되어 곧바로 도출됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [2-1] $a = 2\sqrt{15}\,\mathrm{cm},\; S = 7\sqrt{6}\,(\mathrm{cm^2})$ | [2-2] $R = \dfrac{5\sqrt{10}}{4}\,\mathrm{cm},\; r = \dfrac{7\sqrt{6}}{6 + \sqrt{15}}\,\mathrm{cm}$ | [2-3] $\overline{\mathrm{AM}} = \sqrt{22}\,\mathrm{cm}$

【문제 3】 원문 요약 — 포아죄유 혈류 유속 분포의 전단 변화율과 혈관 반지름 평균값 정리 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.36 탐구 3933 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문항 3-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 2]$에서 누적 유량 함수 $Q(r)$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 $c \in (0, 2)$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 3 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $v'(r) = -20r$ 및 $Q'(r) = 40\pi\left(2r - \dfrac{1}{2}r^3\right) = 20\pi r(4 - r^2) = 2\pi r\,v(r)$을 도출한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $|v'(2)| = |-40| = 40$이고, $(1, 30)$에서의 접선은 $y = -20(r - 1) + 30 = -20r + 50$이므로 $r$절편은 $\dfrac{5}{2}$이다. 또한 $\dfrac{Q(2) - Q(0)}{2 - 0} = \dfrac{80\pi - 0}{2} = 40\pi = Q'(c) = 20\pi(4c - c^3)$에서 $c^3 - 4c + 2 = 0$이 아니라 $Q(2) = 40\pi(4 - 2) = 80\pi$이므로 $4c - c^3 = 2$, 즉 $c \in (0, 2)$를 구한다. 특히 $v(r)$에 대한 $[0, 2]$ 평균값 정리는 $v'(c_1) = \dfrac{-40}{2} = -20 \implies c_1 = 1$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] $Q_{\mathrm{total}}(R) = 20\pi R^4$에서 $\dfrac{Q_{\mathrm{total}}(\sqrt{2})}{Q_{\mathrm{total}}(2)} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{4}$배가 되며, $\dfrac{dQ_{\mathrm{total}}}{dR} = 80\pi R^3$에 $R = 2$를 대입하면 $640\pi$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 3-1	• $\|v'(2)\| = 40$ 산출 +3점 / 접선 $y = -20r + 50$ 및 $r$절편 $\dfrac{5}{2}$ 도출 +3점	6점
문항 3-2	• $Q(2) = 80\pi$ 및 평균변화율 $40\pi$ 도출 +4점 / $Q'(c) = 40\pi \iff c^3 - 4c + 2 = 0$ ($v(r)$ 기준 $c=1$) 도출 +3점	7점
문항 3-3	• 유량 비 $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{4}$ 산출 +3점 / 미분계수 $80\pi(2)^3 = 640\pi$ 도출 +4점	7점

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⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 포아죄유 법칙에서 총 혈류량은 혈관 반지름의 네제곱($R^4$)에 비례하므로 반지름이 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$배로 줄어들면 혈류량은 $\dfrac{1}{4}$로 급감합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [3-1] $|v'(2)| = 40$, $r$절편 $\dfrac{5}{2}$ | [3-2] $c = 1\,\mathrm{mm}$ | [3-3] $\dfrac{1}{4}$배로 감소, 순간 변화율 $640\pi$

【문제 4】 원문 요약 — 스튜어트-해밀턴 지시약 희석 곡선의 정적분과 심박출량[Cardiac Output] 산출 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.39 탐구 3934 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-06]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 4 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] 이차함수 정적분 공식 $\int_{0}^{10} \dfrac{3}{50}t(10-t)\,dt = \dfrac{3}{50}\cdot\dfrac{10^3}{6}$을 적용한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $\int_{0}^{10} c(t)\,dt = \dfrac{3}{50}\cdot\dfrac{1000}{6} = 10\,(\mathrm{mg\cdot s/L})$이므로 $\Phi = \dfrac{5}{10} = 0.5\,\mathrm{L/s}$이고 분당 심박출량은 $60 \times 0.5 = 30\,\mathrm{L/min}$(고박출 운동 상태)이다. 또한 $\int_{0}^{10} t\,c(t)\,dt = \dfrac{3}{50}\int_{0}^{10} (10t^2 - t^3)\,dt = \dfrac{3}{50}\left(\dfrac{10000}{3} - \dfrac{10000}{4}\right) = 50$이므로 $\mathrm{MTT} = \dfrac{50}{10} = 5$초이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] 중심 혈액량은 $\mathrm{CBV} = 0.5 \times 5 = 2.5\,\mathrm{L}$이며, $c(t)$가 직선 $t = 5$에 대하여 대칭이므로 $\int_{0}^{5} c(t)\,dt = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{10} c(t)\,dt = 5$가 되어 시각 $t = 5$초까지 정확히 $50\%$의 지시약이 통과한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 4-1	• 정적분 값 $10$ 산출 +3점 / $\Phi = 0.5\,\mathrm{L/s},\; \mathrm{CO} = 30\,\mathrm{L/min}$ 도출 +3점	6점
문항 4-2	• $\int_{0}^{10} t\,c(t)\,dt = 50$ 계산 또는 $t=5$ 대칭성 논증 +4점 / $\mathrm{MTT} = 5$초 도출 +3점	7점
문항 4-3	• $\mathrm{CBV} = 2.5\,\mathrm{L}$ 산출 +4점 / 대칭성에 의한 $50\%$ 통과율 도출 +3점	7점

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⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: $c(10-t) = c(t)$인 대칭 분포에서는 $(t - 5)c(t)$가 $t = 5$에 대하여 기함수적 대칭을 이루므로 $\int_{0}^{10} (t-5)c(t)\,dt = 0 \implies \mathrm{MTT} = 5$초임을 즉시 확인할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [4-1] $\int_{0}^{10} c(t)\,dt = 10,\; \Phi = 0.5\,\mathrm{L/s},\; \mathrm{CO} = 30\,\mathrm{L/min}$ | [4-2] $\mathrm{MTT} = 5$초 | [4-3] $\mathrm{CBV} = 2.5\,\mathrm{L},\; 50\%$

【문제 5】 원문 요약 — 정위적 방사선 수술[감마나이프]의 두개골 구면 좌표계와 병소 타깃 최단 거리 [배점 20점]

[출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.3 탐구 3935 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[문항 5-3] (7점) 평면 $z = 2$로 두개골 구 $S_1$과 종양 구 $S_2$를 동시에 절단한 MRI 단면에서, 두 단면 원의 넓이의 차를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 5 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $\overline{\mathrm{OC}} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$이며, 최단 진입점 $\mathrm{P}$는 반직선 $\mathrm{OC}$와 구면 $S_1$의 교점이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $d_{\min} = R - \overline{\mathrm{OC}} = 10 - 3 = 7\,\mathrm{cm}$이고, $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \dfrac{10}{3}\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \left(\dfrac{10}{3}, \dfrac{20}{3}, \dfrac{20}{3}\right)$이다. 또한 $\overline{\mathrm{AC}}^2 = (6-1)^2 + (8-2)^2 + (0-2)^2 = 25 + 36 + 4 = 65$이고 $\angle \mathrm{ATC} = 90^\circ$이므로 $\overline{\mathrm{AT}} = \sqrt{\overline{\mathrm{AC}}^2 - r^2} = \sqrt{65 - 4} = \sqrt{61}\,\mathrm{cm}$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] 평면 $z = 2$로 자른 $S_1$의 단면 원은 $x^2 + y^2 = 100 - 4 = 96$이므로 넓이가 $96\pi$이고, $S_2$의 중심 $\mathrm{C}(1, 2, 2)$는 평면 $z = 2$ 위에 있으므로 단면 원은 반지름 $r = 2$인 대원(넓이 $4\pi$)이다. 따라서 넓이의 차는 $96\pi - 4\pi = 92\pi\,(\mathrm{cm^2})$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 5-1	• $\overline{\mathrm{OC}} = 3$ 및 $d_{\min} = 7$ 산출 +3점 / $\mathrm{P}\left(\dfrac{10}{3}, \dfrac{20}{3}, \dfrac{20}{3}\right)$ 도출 +3점	6점
문항 5-2	• $\overline{\mathrm{AC}}^2 = 65$ 계산 +3점 / 피타고라스 정리로 $\overline{\mathrm{AT}} = \sqrt{61}$ 도출 +4점	7점
문항 5-3	• 두 단면 원의 넓이 $96\pi,\; 4\pi$ 각각 산출 +4점 / 넓이 차 $92\pi$ 도출 +3점	7점

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⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 구면 위의 점에서 종양 중심까지의 최단 경로는 구의 중심 $\mathrm{O}$와 종양 중심 $\mathrm{C}$를 잇는 직선 위에 놓이므로 방향 단위벡터 $\dfrac{1}{3}(1, 2, 2)$에 구의 반지름 $10$을 곱하여 즉시 구할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [5-1] $\overline{\mathrm{OC}} = 3\,\mathrm{cm},\; d_{\min} = 7\,\mathrm{cm},\; \mathrm{P}\left(\dfrac{10}{3}, \dfrac{20}{3}, \dfrac{20}{3}\right)$ | [5-2] $\overline{\mathrm{AT}} = \sqrt{61}\,\mathrm{cm}$ | [5-3] $92\pi\,(\mathrm{cm^2})$

【문제 1】 원문 요약 — 실시간 중합효소연쇄반응[RT-qPCR] 유전자 증폭과 검출 한계 사이클[Ct] [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.1 탐구 3941 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-04]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 1 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $N_0 \cdot 2^{C_t} = 10^9$의 양변에 상용로그를 취하면 $C_t \log_{10} 2 = 9 - \log_{10} N_0$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $N_0(\mathrm{A}) = 10^3$이면 $0.3\,C_t(\mathrm{A}) = 9 - 3 = 6 \implies C_t(\mathrm{A}) = 20$이다. 또한 $N_0(\mathrm{A})\cdot 2^{20} = N_0(\mathrm{B})\cdot 2^{15} = 10^9$이므로 $\dfrac{N_0(\mathrm{B})}{N_0(\mathrm{A})} = 2^{20 - 15} = 2^5 = 32$배이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] $1 + E = 1.6 = \dfrac{16}{10} = \dfrac{2^4}{10}$이므로 $\log_{10} 1.6 = 4\log_{10} 2 - 1 = 1.2 - 1 = 0.2$이다. 따라서 $10^3 \cdot (1.6)^{C_t'} = 10^9 \implies 0.2\,C_t' = 6 \implies C_t' = 30$사이클이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 1-1	• $10^3 \cdot 2^{C_t} = 10^9$ 수립 +3점 / $C_t(\mathrm{A}) = 20$ 산출 +3점	6점
문항 1-2	• 사이클 차 $\Delta C_t = 5$ 활용 +3점 / $2^5 = 32$배 도출 +4점	7점
문항 1-3	• $\log_{10} 1.6 = 4\log_{10} 2 - 1 = 0.2$ 유도 +4점 / $C_t' = 30$ 산출 +3점	7점

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⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: RT-qPCR에서 역치 사이클 $C_t$가 $1$ 작은 검일수록 초기 바이러스 농도가 $2$배 높으며, $\Delta C_t = 5$ 차이는 초기 농도 $2^5 = 32$배 차이를 의미합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [1-1] $C_t(\mathrm{A}) = 20$사이클 | [1-2] $32$배 | [1-3] $C_t' = 30$사이클

【문제 2】 원문 요약 — 약물-수용체 협동 결합[힐 방정식]의 포화 극한과 반포화 해리 상수 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.34 탐구 3942 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 2 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $x \to 0+$일 때 분모 $K + x^n \to K \gt 0$이므로 분자 $x^{n-2}$가 $0$이 아닌 상수로 수렴하려면 $n - 2 = 0$이어야 한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $n = 2$이고 $\dfrac{1}{K} = \dfrac{1}{16} \implies K = 16$이다. 따라서 $Y(x) = \dfrac{x^2}{16 + x^2}$이므로 $Y(x_{50}) = \dfrac{1}{2} \implies x_{50}^2 = 16 \implies x_{50} = 4$이고, $Y(x_{80}) = \dfrac{4}{5} \implies x_{80}^2 = 64 \implies x_{80} = 8$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] $1 - Y(x) = \dfrac{16}{16 + x^2}$이므로 $R(x) = \dfrac{Y(x)}{1 - Y(x)} = \dfrac{x^2}{16}$이다. 따라서 $\log_2 R(x) = 2\log_2 x - 4$이므로 $\dfrac{\log_2 R(8) - \log_2 R(2)}{\log_2 8 - \log_2 2} = \dfrac{2 - (-2)}{3 - 1} = 2 = n$이 성립한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 2-1	• 차수 비교로 $n = 2$ 도출 +3점 / $K = 16$ 산출 +3점	6점
문항 2-2	• $x_{50} = 4$ 도출 +3점 / $x_{80} = 8$ 산출 +4점	7점
문항 2-3	• $R(x) = \dfrac{x^2}{16}$ 유도 +4점 / 로그 변화율(힐 플롯 기울기) $= 2 = n$ 증명 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 약리학의 힐 플롯(Hill Plot)에서 $\log R(x) = n\log x - \log K$의 기울기가 곧 협동성 지수 $n$이 된다는 핵심 원리를 대수적 로그 성질로 증명하는 문항입니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [2-1] $n = 2,\; K = 16$ | [2-2] $x_{50} = 4\,\mathrm{nM},\; x_{80} = 8\,\mathrm{nM}$ | [2-3] $R(x) = \dfrac{x^2}{16}$, 기울기 $n = 2$

【문제 3】 원문 요약 — 기침 반사 시 기관지 수축 반지름과 기류 속도 극대화[비율 2/3 법칙] [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.37 탐구 3943 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문항 3-3] (7점) 닫힌구간 $[3, 6]$에서 유속의 변화율 크기 $|v'(r)|$의 최댓값과 그때의 반지름 $r$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 3 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $v'(r) = 12r - 3r^2 = 3r(4 - r)$을 인수분해하여 $[3, 6]$에서의 증감을 조사한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $r = 4$에서 $v'(r)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 $r^* = 4\,\mathrm{mm}$에서 최대 유속 $v_{\max} = v(4) = 16 \times 2 = 32$를 갖는다. 일반적인 $v(r) = k(r_0 r^2 - r^3)$에서도 $v'(r) = kr(2r_0 - 3r) = 0$이므로 $r \gt 0$에서 $r^* = \dfrac{2}{3}r_0$, 즉 $\dfrac{r^*}{r_0} = \dfrac{2}{3}$가 항상 성립한다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] $v'(r) = -3r^2 + 12r = -3(r - 2)^2 + 12$는 구간 $[3, 6]$에서 단조감소하며 $v'(3) = 9,\; v'(4) = 0,\; v'(6) = -36$이므로, 변화율의 절댓값 $|v'(r)|$은 $r = 6\,\mathrm{mm}$에서 최댓값 $|-36| = 36$을 갖는다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 3-1	• $v'(r) = 3r(4-r)$ 도출 +3점 / $r^* = 4,\; v_{\max} = 32$ 산출 +3점	6점
문항 3-2	• 일반식 미분 $v'(r) = kr(2r_0 - 3r)$ 전개 +4점 / 비율 $\dfrac{r^*}{r_0} = \dfrac{2}{3}$ 불변성 증명 +3점	7점
문항 3-3	• $[3, 6]$에서 $v'(r)$의 범위 $[-36, 9]$ 조사 +4점 / $r = 6$에서 최댓값 $36$ 산출 +3점	7점

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⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 실제 흉부 X선 투시 검사에서도 기침 시 기관지 직경이 정상 시의 약 $\dfrac{2}{3}$로 수축하여 기류 유속을 극대화한다는 생체역학적 정리를 증명한 문항입니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [3-1] $v'(r) = 12r - 3r^2,\; r^* = 4\,\mathrm{mm},\; v_{\max} = 32$ | [3-2] $v'(r) = kr(2r_0 - 3r) = 0 \implies \dfrac{r^*}{r_0} = \dfrac{2}{3}$ | [3-3] $r = 6\,\mathrm{mm}$에서 $|v'(6)| = 36$

【문제 4】 원문 요약 — 경구 포도당 부하 검사[OGTT] 혈당 곡선과 기저선 초과 면적[iAUC] 정적분 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.40 탐구 3944 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 4 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $G(t) - 90 = -30\left(t - \dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{135}{2}$이고 이차함수 넓이 공식 $\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 적용한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $t_{\max} = \dfrac{3}{2} = 1.5$시간에서 $G_{\max} = 90 + 67.5 = 157.5$이고, $\mathrm{iAUC} = \dfrac{30}{6}(3 - 0)^3 = 5 \times 27 = 135$이다. 또한 $G(t) \ge 150 \iff -30t^2 + 90t - 60 \ge 0 \iff (t - 1)(t - 2) \le 0$이므로 시간 구간은 $[1, 2]$이고 둘러싸인 넓이는 $\dfrac{30}{6}(2 - 1)^3 = 5$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] 포물선 꼭짓점으로부터의 높이가 $h = G_{\max} - m$일 때 둘러싸인 넓이는 $h^{3/2}$에 비례하므로 $\left(\dfrac{G_{\max} - m}{G_{\max} - 90}\right)^{3/2} = \dfrac{1}{2} \implies (G_{\max} - m)^3 = \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{135}{2}\right)^3 = \dfrac{135^3}{32}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 4-1	• $t_{\max} = 1.5,\; G_{\max} = 157.5$ 산출 +3점 / $\mathrm{iAUC} = 135$ 도출 +3점	6점
문항 4-2	• $G(t) = 150$ 교점 구간 $[1, 2]$ 도출 +3점 / 정적분 공식으로 넓이 $5$ 산출 +4점	7점
문항 4-3	• 넓이 비 $\left(\dfrac{h}{67.5}\right)^{3/2} = \dfrac{1}{2}$ 유도 +4점 / $(G_{\max} - m)^3 = \dfrac{135^3}{32}$ 도출 +3점	7점

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⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 이차함수 $y = -a(t - \alpha)(t - \beta)$와 직선으로 둘러싸인 넓이는 $\dfrac{a}{6}(\beta - \alpha)^3$이며, 꼭짓점으로부터의 높이 $h = \dfrac{a}{4}(\beta - \alpha)^2$에 대하여 $h^{3/2}$에 비례합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [4-1] $t_{\max} = 1.5$시간, $G_{\max} = 157.5,\; \mathrm{iAUC} = 135$ | [4-2] $[1, 2]$, 넓이 $5$ | [4-3] $(157.5 - m)^3 = \dfrac{135^3}{32}$

【문제 5】 원문 요약 — 치과 파노라마 방사선 촬영기의 포물선 초점-준선 궤적과 접선 광학 [배점 20점]

[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.4 탐구 3945 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 5 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $4p = 12 \implies p = 3$이므로 초점은 $\mathrm{F}(3, 0)$, 준선은 $x = -3$이고 $\overline{\mathrm{PF}} = x_0 + 3 = 6$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $x_0 = 3,\; y_0 = \sqrt{36} = 6$이므로 $\mathrm{P}(3, 6)$이다. 접선은 $6y = 6(x + 3) \implies y = x + 3$이고 $x$절편은 $\mathrm{T}(-3, 0)$이다. 따라서 $\overline{\mathrm{FT}} = 3 - (-3) = 6 = \overline{\mathrm{PF}}$이므로 $\triangle \mathrm{FPT}$는 이등변삼각형이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] 초점 현의 성질(또는 준선에 내린 수선의 발과 닮음비 $1 : 3$)에 의해 $\overline{\mathrm{AF}} = k,\; \overline{\mathrm{BF}} = 3k$라 하면 $\dfrac{1}{\overline{\mathrm{AF}}} + \dfrac{1}{\overline{\mathrm{BF}}} = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{3}$에서 $\dfrac{4}{3k} = \dfrac{1}{3} \implies k = 4$이다. 따라서 $\overline{\mathrm{AB}} = 4k = 16\,\mathrm{cm}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 5-1	• $\mathrm{F}(3, 0),\; x = -3$ 산출 +3점 / $\mathrm{P}(3, 6)$ 도출 +3점	6점
문항 5-2	• 접선 $y = x + 3$ 및 $\mathrm{T}(-3, 0)$ 도출 +4점 / $\overline{\mathrm{FP}} = \overline{\mathrm{FT}} = 6$ 증명 +3점	7점
문항 5-3	• 준선 수선 사다리꼴 닮음 또는 초점 현 관계식 수립 +4점 / $\overline{\mathrm{AB}} = 16\,\mathrm{cm}$ 산출 +3점	7점

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⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 준선에 내린 수선의 발을 이용한 직각삼각형 닮음에서 $\overline{\mathrm{BF}} - \overline{\mathrm{AF}} = (3k + k)\cos\theta \implies \cos\theta = \dfrac{1}{2}$이므로 $k = \dfrac{2p}{1 + \cos\theta} = 4,\; 3k = \dfrac{2p}{1 - \cos\theta} = 12$로도 손쉽게 유도됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [5-1] $\mathrm{F}(3, 0),\; x = -3,\; \mathrm{P}(3, 6)$ | [5-2] 접선 $y = x + 3,\; \mathrm{T}(-3, 0),\; \overline{\mathrm{FP}} = \overline{\mathrm{FT}} = 6$ | [5-3] $\overline{\mathrm{AB}} = 16\,\mathrm{cm}$

【문제 1】 원문 요약 — 양전자방출단층촬영[PET] 방사성 추적자[18F-FDG]의 붕괴 법칙과 투여 용량 설계 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.2 탐구 3951 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 1 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $55$분은 반감기 $110$분의 절반($\dfrac{1}{2}T$)이므로 $A(55) = 300\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1/2}$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] 촬영 개시 시점 활성도는 $\dfrac{300}{\sqrt{2}} = 150\sqrt{2} = 150 \times 1.41 = 211.5\;(\mathrm{MBq})$이다. 또한 $220$분은 반감기의 $2$배이므로 $A_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{220/110} = \dfrac{1}{4}A_0 \ge 300 \implies A_0 \ge 1200\;(\mathrm{MBq})$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] $960\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/110} \le 40 \iff 2^{t/110} \ge 24$에서 양변에 상용로그를 취하면 $\dfrac{t}{110}\log_{10} 2 \ge 3\log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.9 + 0.48 = 1.38$이다. 따라서 $\dfrac{0.3t}{110} \ge 1.38 \implies t \ge 110 \times 4.6 = 506$분이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 1-1	• 지수 $\dfrac{55}{110} = \dfrac{1}{2}$ 대입 +3점 / $150\sqrt{2}$ ($211.5\,\mathrm{MBq}$) 산출 +3점	6점
문항 1-2	• $\dfrac{1}{4}A_0 \ge 300$ 부등식 수립 +4점 / 최솟값 $1200\,\mathrm{MBq}$ 도출 +3점	7점
문항 1-3	• $2^{t/110} \ge 24$ 및 상용로그 변환 +4점 / 최소 시간 $506$분 산출 +3점	7점

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⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: $24 = 2^3 \times 3$으로 소인수분해하면 $\log_{10} 24 = 3\log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 1.38$이 되어 $0.3$으로 나누었을 때 $4.6$으로 나누어떨어집니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [1-1] $150\sqrt{2} \approx 211.5\;(\mathrm{MBq})$ | [1-2] $A_0 \ge 1200\;(\mathrm{MBq})$ | [1-3] $506$분

【문제 2】 원문 요약 — 초음파 도플러 혈류 측정기의 프로브 입사각 코사인 보정과 혈류 속도 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 탐구 3952 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 2 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $K\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}K = 500$ 및 여각 공식 $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta$를 적용한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $K = 1000\,\mathrm{Hz}$이므로 $\Delta f(\pi/6) = 1000\cos\dfrac{\pi}{6} = 500\sqrt{3}\,\mathrm{Hz}$이다. 수직 이중 프로브에서 $K\cos\theta = 600,\; K\sin\theta = 800$이므로 제곱하여 더하면 $K^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = 600^2 + 800^2 = 1000^2 \implies K = 1000\,\mathrm{Hz}$이고 $\tan\theta = \dfrac{800}{600} = \dfrac{4}{3}$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] 삼각형 $\mathrm{OAB}$에서 코사인법칙에 의해 $\cos(\angle \mathrm{AOB}) = \dfrac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2\cdot 3\cdot 5} = \dfrac{34 - 49}{30} = -\dfrac{1}{2}$이므로 $\angle \mathrm{AOB} = \dfrac{2\pi}{3}\;(120^\circ)$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 2-1	• $K = 1000\,\mathrm{Hz}$ 산출 +3점 / $\Delta f(\pi/6) = 500\sqrt{3}\,\mathrm{Hz}$ 도출 +3점	6점
문항 2-2	• $\cos(\pi/2-\theta) = \sin\theta$ 변환 +3점 / $K = 1000\,\mathrm{Hz},\; \tan\theta = \dfrac{4}{3}$ 산출 +4점	7점
문항 2-3	• 코사인법칙 $\cos(\angle \mathrm{AOB}) = -\dfrac{1}{2}$ 유도 +4점 / $\angle \mathrm{AOB} = \dfrac{2\pi}{3}$ 도출 +3점	7점

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⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 단일 프로브는 혈관 각도 $\theta$ 측정 오차에 민감하지만, 직교 이중 프로브를 쓰면 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$에 의해 각도 $\theta$와 무관하게 혈류 속도를 정확히 복원할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [2-1] $K = 1000\,\mathrm{Hz},\; \Delta f(\pi/6) = 500\sqrt{3}\,\mathrm{Hz}$ | [2-2] $K = 1000\,\mathrm{Hz},\; \tan\theta = \dfrac{4}{3}$ | [2-3] $\angle \mathrm{AOB} = \dfrac{2\pi}{3}\;(120^\circ)$

【문제 3】 원문 요약 — 전염병 역학 구획 모델의 감염 재생산 곡선과 평형점 실근 개수 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 탐구 3953 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

구간 $0 \le x \le 1$에서 신규 감염 생성률 함수 $f(x) = 3x^2 - 3x^3$과 회복률 직선 $g(x) = kx$ ($k \gt 0$)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 닫힌구간 $[0, 1]$에서 신규 감염 생성률 $f(x)$가 최대가 되는 감염자 비율 $x^*$와 최대 생성률 $f(x^*)$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 3 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $f'(x) = 6x - 9x^2 = 3x(2 - 3x)$이고, $x \gt 0$에서 $f(x) = kx \iff 3x - 3x^2 = k$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $(0, 1)$에서 $x^* = \dfrac{2}{3}$일 때 $f(x)$는 극대이자 최대이며 $f\left(\dfrac{2}{3}\right) = 3\cdot\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{9}$이다. 또한 $x \in (0, 1]$에서 $3x^2 - 3x^3 = kx$의 양변을 $x$로 나누면 $h(x) = -3x^2 + 3x = -3\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} = k$이므로, $(0, 1]$에서 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 $0 \lt k \lt \dfrac{3}{4}$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] 직선 $y = kx$가 $x \gt 0$에서 $y = f(x)$에 접할 조건은 이차방정식 $3x^2 - 3x + k = 0$이 중근을 가질 조건과 같으므로 $k_c = \dfrac{3}{4}$이고 중근은 $x = \dfrac{1}{2}$, 접점의 좌표는 $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{8}\right)$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 3-1	• $f'(x) = 3x(2-3x)$ 도출 +3점 / $x^* = \dfrac{2}{3},\; f(x^*) = \dfrac{4}{9}$ 산출 +3점	6점
문항 3-2	• $x \gt 0$에서 $-3x^2 + 3x = k$로 약분 변환 +4점 / $0 \lt k \lt \dfrac{3}{4}$ 도출 +3점	7점
문항 3-3	• 판별식 $D = 9 - 12k = 0$으로 $k_c = \dfrac{3}{4}$ 도출 +4점 / 접점 $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{8}\right)$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 회복률 계수 $k$가 임계값 $k_c = \dfrac{3}{4}$보다 커지면 $x \gt 0$에서 평형점이 사라져 감염자 비율이 항상 $x = 0$(질병 소멸)으로 수렴하게 됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [3-1] $x^* = \dfrac{2}{3},\; f(x^*) = \dfrac{4}{9}$ | [3-2] $0 \lt k \lt \dfrac{3}{4}$ | [3-3] $k_c = \dfrac{3}{4}$, 접점 $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{8}\right)$

【문제 4】 원문 요약 — 신장 사구체 여과율[GFR]과 신장 배설 속도 함수의 정적분 청소율 해석 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.41 탐구 3954 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문항 4-3] (7점) 누적 배설량이 전체 배설량 $540\,\mathrm{mg}$의 정확히 $\dfrac{7}{8}$ ($= 472.5\,\mathrm{mg}$)에 도달하는 시각 $t^* \in (0, 3)$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 4 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] $\int_{0}^{3} \dfrac{1}{3}(3-t)^2\,dt = \Bigl[-\dfrac{1}{9}(3-t)^3\Bigr]_{0}^{3} = 3$이며 $M(3) = \mathrm{CL}\int_{0}^{3} P(t)\,dt = 540$이다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $\mathrm{CL} = \dfrac{540}{3} = 180\,\mathrm{mL/h}$이고 분당 여과율은 $\dfrac{180}{60} = 3\,\mathrm{mL/min}$이다. 시각 $t$까지의 누적 배설량은 $M(t) = 180\int_{0}^{t} \dfrac{1}{3}(3-s)^2\,ds = 20\bigl(27 - (3-t)^3\bigr)$이므로 $M(1) = 20(27 - 8) = 380\,\mathrm{mg}$이고 비율은 $\dfrac{380}{540} = \dfrac{19}{27}$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] $\dfrac{M(t^*)}{M(3)} = 1 - \left(\dfrac{3 - t^*}{3}\right)^3 = \dfrac{7}{8}$에서 $\left(\dfrac{3 - t^*}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{8} \implies \dfrac{3 - t^*}{3} = \dfrac{1}{2} \implies t^* = \dfrac{3}{2} = 1.5$시간이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 4-1	• 정적분 $\int_0^3 P(t)\,dt = 3$ 산출 +3점 / $\mathrm{CL} = 180\,\mathrm{mL/h},\; \mathrm{GFR} = 3\,\mathrm{mL/min}$ 도출 +3점	6점
문항 4-2	• $M(t) = 20(27 - (3-t)^3)$ 유도 +4점 / $M(1) = 380\,\mathrm{mg}$ 및 비율 $\dfrac{19}{27}$ 산출 +3점	7점
문항 4-3	• 잔여 비율 식 $\left(\dfrac{3-t^}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$ 수립 +4점 / $t^ = 1.5$시간 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 정적분 $\int_0^t (3-s)^2\,ds$를 전개하지 않고 $\int_t^3 (3-s)^2\,ds = \dfrac{1}{3}(3-t)^3$을 전체 적분값 $9$에서 빼면 계산 실수를 원천 차단할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [4-1] $\int_{0}^{3} P(t)\,dt = 3,\; \mathrm{CL} = 180\,\mathrm{mL/h},\; \mathrm{GFR} = 3\,\mathrm{mL/min}$ (단위 환산 전 기본값; 또는 $P(t)$ 단위 $\mathrm{mg/dL}$ 시 $100$배) | [4-2] $M(1) = 380\,\mathrm{mg},\; \dfrac{19}{27}$ | [4-3] $t^* = \dfrac{3}{2} = 1.5$시간

【문제 5】 원문 요약 — 정형외과 인공고관절 치환술의 대퇴골두 구면 절삭 평면과 단면 기하 [배점 20점]

[출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.4 탐구 3955 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[문항 5-2] (7점) 절삭 평면 $\alpha$에 의해 잘린 대퇴골두 단면 원의 반지름 $r$와 단면 원의 넓이를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 5 · 총 20점

[1단계: 제시문 수리 모형 및 핵심 정리 선언] 직선 $\mathrm{OH}$의 방향벡터가 $\vec{n} = (1, 2, 2)$이므로 $\mathrm{H}(t, 2t, 2t)$를 평면 방정식에 대입한다.

[2단계: 소문항별 수식 전개 및 정량 논증] $t + 4t + 4t = 9t = 45 \implies t = 5$이므로 $\mathrm{H}(5, 10, 10)$이고 $d = \overline{\mathrm{OH}} = \sqrt{25 + 100 + 100} = 15\,\mathrm{mm}$이다. 따라서 단면 원의 반지름은 $r = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20\,\mathrm{mm}$이고 단면 넓이는 $\pi r^2 = 400\pi\,(\mathrm{mm^2})$이다.

[3단계: 최종 수치 도출 및 의·약학적 결론] 단위 법선벡터가 $\vec{u} = \dfrac{1}{3}(1, 2, 2)$이므로 반지름 $R = 25$인 구면의 접점은 $\mathrm{T} = 25\vec{u} = \left(\dfrac{25}{3}, \dfrac{50}{3}, \dfrac{50}{3}\right)$이고, 접평면 $\beta$의 방정식은 $x + 2y + 2z = 3 \times 25 = 75$이며, 제거되는 골두 구모의 높이는 $h = 25 - 15 = 10\,\mathrm{mm}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 5-1	• $\mathrm{H}(5, 10, 10)$ 도출 +3점 / $d = 15\,\mathrm{mm}$ 산출 +3점	6점
문항 5-2	• $r = \sqrt{625 - 225} = 20\,\mathrm{mm}$ 도출 +4점 / 넓이 $400\pi$ 산출 +3점	7점
문항 5-3	• 접점 $\mathrm{T}\left(\dfrac{25}{3}, \dfrac{50}{3}, \dfrac{50}{3}\right)$ 및 접평면 $x+2y+2z=75$ 도출 +4점 / 높이 $h = 10\,\mathrm{mm}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 점 $\mathrm{M}(5, 10, 10)$의 위치벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OM}} = 5(1, 2, 2)$가 이미 평면의 법선벡터 $\vec{n} = (1, 2, 2)$와 평행하므로 점 $\mathrm{M}$ 자체가 수선의 발 $\mathrm{H}$가 됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 최종 정답 요약: [5-1] $\mathrm{H}(5, 10, 10),\; d = 15\,\mathrm{mm}$ | [5-2] $r = 20\,\mathrm{mm}$, 단면 넓이 $400\pi\,(\mathrm{mm^2})$ | [5-3] 접평면 $x + 2y + 2z = 75$, 접점 $\mathrm{T}\left(\dfrac{25}{3}, \dfrac{50}{3}, \dfrac{50}{3}\right)$, 높이 $h = 10\,\mathrm{mm}$

【문제 1】 원문 요약 — 문항 1 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.25 탐구 3961 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

[문항 1-1] (6점) 유효 반감기 $\tau$와 투여 $8$시간 후의 잔류량 $A(8)$을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 잔류량이 $128\;(\mathrm{MBq})$ 이하로 들어오는 시각 $t_a$와 $20\;(\mathrm{MBq})$ 이상을 유지하는 시각 $t_b$를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 시각 $t_b$에서의 잔류량 $A(t_b)$와 초기량의 비 $\dfrac{A(t_b)}{A_0}$를 기약분수로 나타내시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 1 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $t$ , $A(t)\;(\mathrm{MBq})$ , $\tau$ , $A(t) = A_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/\tau}$ , $A_0 = 160\;(\mathrm{MBq})$ , $4$ , $80\;(\mathrm{MBq})$ , $20 \le A(t) \le 128$ , $\log_{10} 2 = 0.3$ , $8$ , $A(8)$ , $128\;(\mathrm{MBq})$ , $t_a$ , $20\;(\mathrm{MBq})$ , $t_b$ , $A(t_b)$ , $\dfrac{A(t_b)}{A_0}$

[의약학 모형 1 [수식화] — 문항 1-1 해설]: $160(1/2)^{4/\tau} = 80 \implies \tau = 4$시간이며, $A(8) = 160\cdot 2^{-2} = 40\;(\mathrm{MBq})$이다.

[의약학 모형 2 [정량 해석] — 문항 1-2 해설]: $\log_{10} A(t) = 2.2 - 0.075t$이고 $\log_{10} 128 = 7\times 0.3 = 2.1$이므로 $2.2 - 0.075t_a = 2.1 \implies t_a = \dfrac{4}{3}$시간이다. 또한 $160\cdot 2^{-t_b/4} = 20 \implies 2^{t_b/4} = 8 \implies t_b = 12$시간이다.

[의약학 모형 3 [임상 판정] — 문항 1-3 해설]: $A(12) = 20$이므로 비율은 $\dfrac{A(t_b)}{A_0} = \dfrac{20}{160} = \dfrac{1}{8}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 1-1	• $\tau = 4$시간 산출 +3점 / $A(8) = 40$ 계산 +3점	6점
문항 1-2	• $t_a = \dfrac{4}{3}$시간 도출 +4점 / $t_b = 12$시간 산출 +3점	7점
문항 1-3	• $A(t_b) = 20$ 확인 +3점 / 비율 $\dfrac{1}{8}$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: $\log_{10} 160 = 1 + 4\log_{10} 2 = 2.2$와 $\log_{10} 128 = 7\log_{10} 2 = 2.1$의 차이를 이용합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [1-1] $\tau = 4$시간, $A(8) = 40$ | [1-2] $t_a = \dfrac{4}{3}$시간, $t_b = 12$시간 | [1-3] $\dfrac{1}{8}$

【문제 2】 원문 요약 — 문항 2 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.30 탐구 3962 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[문항 2-1] (6점) $Q(t)$의 주기 $P$(초)와 $1$분($60$초)당 호흡 횟수를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 한 주기 $0 \le t \le 5$에서 $Q(t) \ge 0$인 시간 구간의 길이를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 두 끝점 사이 거리 $\overline{\mathrm{BC}}$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 2 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $Q(t) = M\cos(\omega t) + N$ , $P = \dfrac{2\pi}{\omega}$ , $\mathrm{ABC}$ , $\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2\,\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cos A$ , $Q(t) = 4\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}t\right) - 2$ , $0 \le t \le 5$ , $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ , $\overline{\mathrm{AB}} = 4\,\mathrm{cm},\; \overline{\mathrm{AC}} = 6\,\mathrm{cm},\; \angle \mathrm{BAC} = 60^\circ$ , $Q(t)$ , $P$ , $60$ , $Q(t) \ge 0$ , $\overline{\mathrm{BC}}$

[의약학 모형 1 [수식화] — 문항 2-1 해설]: 주기는 $P = \dfrac{2\pi}{2\pi/5} = 5$초이며, $1$분당 호흡 횟수는 $\dfrac{60}{5} = 12$회이다.

[의약학 모형 2 [정량 해석] — 문항 2-2 해설]: $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}t\right) \ge \dfrac{1}{2}$에서 $0 \le t \le \dfrac{5}{6}$ 또는 $\dfrac{25}{6} \le t \le 5$이므로 총 시간 길이는 $\dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{3}$초이다.

[의약학 모형 3 [임상 판정] — 문항 2-3 해설]: $\overline{\mathrm{BC}}^2 = 16 + 36 - 2\cdot 4\cdot 6\cos 60^\circ = 28 \implies \overline{\mathrm{BC}} = 2\sqrt{7}\,\mathrm{cm}$이고, 넓이는 $\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\sin 60^\circ = 6\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 2-1	• 주기 $5$초 도출 +3점 / 분당 $12$회 산출 +3점	6점
문항 2-2	• $\cos\theta \ge \dfrac{1}{2}$ 구간 설정 +4점 / 길이 $\dfrac{5}{3}$초 계산 +3점	7점
문항 2-3	• $\overline{\mathrm{BC}} = 2\sqrt{7}$ 산출 +3점 / 넓이 $6\sqrt{3}$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 코사인 함수는 한 주기 양 끝 구간 $[0, 5/6]$와 $[25/6, 5]$ 두 곳에서 $1/2$ 이상이 됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [2-1] 주기 $5$초, 분당 $12$회 | [2-2] $\dfrac{5}{3}$초 | [2-3] $\overline{\mathrm{BC}} = 2\sqrt{7}\,\mathrm{cm}$, 넓이 $6\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2$

【문제 3】 원문 요약 — 문항 3 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.33 탐구 3963 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문항 3-1] (6점) 상수 $E_{\max}$와 $K$의 값을 각각 구하고, $\theta(c) = 9$가 되는 농도 $c_{1/2} \gt 0$를 구하시오.

[문항 3-2] (7점) $u = \dfrac{1}{c^2}$ ($c \gt 0$), $w = \dfrac{1}{\theta(c)}$에 대하여 $w$를 $u$의 일차함수 $w = pu + q$로 나타내시오.

[문항 3-3] (7점) 길항제 투여 시 $\theta_{\mathrm{ant}}(c) = \dfrac{18c^2}{9m + c^2}$에서 $\theta_{\mathrm{ant}}(6) = 9$일 때 양수 $m$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 3 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $c \ge 0$ , $\theta(c) = \dfrac{E_{\max}\,c^2}{K + c^2}$ , $c \to \infty$ , $E_{\max}$ , $\displaystyle\lim_{c\to\infty} \theta(c) = 18,\; \lim_{c\to 0+} \dfrac{\theta(c)}{c^2} = 2$ , $K$ , $\theta(c) = 9$ , $c_{1/2} \gt 0$ , $u = \dfrac{1}{c^2}$ , $c \gt 0$ , $w = \dfrac{1}{\theta(c)}$ , $w$ , $u$ , $w = pu + q$ , $\theta_{\mathrm{ant}}(c) = \dfrac{18c^2}{9m + c^2}$ , $\theta_{\mathrm{ant}}(6) = 9$ , $m$

[의약학 모형 1 [수식화] — 문항 3-1 해설]: $E_{\max} = 18$이고 $\dfrac{E_{\max}}{K} = 2 \implies K = 9$이다. $\dfrac{18c^2}{9+c^2} = 9 \implies c^2 = 9 \implies c_{1/2} = 3$이다.

[의약학 모형 2 [정량 해석] — 문항 3-2 해설]: $w = \dfrac{9 + c^2}{18c^2} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{c^2} + \dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{2}u + \dfrac{1}{18}$이므로 $p = \dfrac{1}{2},\; q = \dfrac{1}{18}$이다.

[의약학 모형 3 [임상 판정] — 문항 3-3 해설]: $\theta_{\mathrm{ant}}(6) = \dfrac{18\cdot 36}{9m + 36} = 9 \implies 9m + 36 = 72 \implies m = 4$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 3-1	• $E_{\max}=18, K=9$ 도출 +3점 / $c_{1/2} = 3$ 산출 +3점	6점
문항 3-2	• 역수 선형화 식 유도 +4점 / $p = \dfrac{1}{2},\; q = \dfrac{1}{18}$ 산출 +3점	7점
문항 3-3	• $9m + 36 = 72$ 수립 +3점 / $m = 4$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: $c^2$ 비례 협동 결합이므로 반포화 농도는 $\sqrt{K} = 3$이 됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [3-1] $E_{\max} = 18,\; K = 9,\; c_{1/2} = 3$ | [3-2] $w = \dfrac{1}{2}u + \dfrac{1}{18}$ | [3-3] $m = 4$

【문제 4】 원문 요약 — 문항 4 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 탐구 3964 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문 (가)] 혈당 증가분 함수 $G(t)$의 순간변화율 $G'(t)$가 $0$이 되고 부호가 양에서 음으로 바뀌는 시각에서 혈당이 최고치에 도달한다.

포도당 섭취 $t$시간($0 \le t \le 4$) 후 기준치 대비 혈당 증가분이 $G(t) = -5t^3 + 20t^2\;(\mathrm{mg/dL})$일 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 혈당 증가 속도 $v(t) = G'(t)$를 구하고, 혈당이 최고치에 도달하는 시각 $t_{\max}$와 최대 증가분 $G(t_{\max})$를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 혈당 증가 속도 $v(t)$가 최대가 되는 시각 $t_i$와 그때의 최대 증가 속도 $v(t_i)$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 4 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $G(t)$ , $G'(t)$ , $0$ , $t$ , $0 \le t \le 4$ , $G(t) = -5t^3 + 20t^2\;(\mathrm{mg/dL})$ , $v(t) = G'(t)$ , $t_{\max}$ , $G(t_{\max})$ , $v(t)$ , $t_i$ , $v(t_i)$ , $4$ , $G=0$ , $[0, 4]$ , $\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_0^4 G(t)\,dt$

[의약학 모형 1 [수식화] — 문항 4-1 해설]: $v(t) = G'(t) = -15t^2 + 40t = -5t(3t - 8) = 0$에서 $t_{\max} = \dfrac{8}{3}$시간이고 $G\left(\dfrac{8}{3}\right) = 20\cdot\dfrac{64}{9}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{1280}{27}$이다.

[의약학 모형 2 [정량 해석] — 문항 4-2 해설]: $v'(t) = -30t + 40 = 0$에서 $t_i = \dfrac{4}{3}$시간일 때 최대 증가 속도 $v\left(\dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{80}{3}$을 갖는다.

[의약학 모형 3 [임상 판정] — 문항 4-3 해설]: $G(4) = -320 + 320 = 0$이고, $\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_0^4 (-5t^3 + 20t^2)\,dt = \dfrac{1}{4}\left[-\dfrac{5}{4}\cdot 256 + \dfrac{20}{3}\cdot 64\right] = -80 + \dfrac{320}{3} = \dfrac{80}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 4-1	• $t_{\max} = \dfrac{8}{3}$ 도출 +3점 / $G(8/3) = \dfrac{1280}{27}$ 산출 +3점	6점
문항 4-2	• $t_i = \dfrac{4}{3}$ 도출 +4점 / $v(4/3) = \dfrac{80}{3}$ 계산 +3점	7점
문항 4-3	• $G(4)=0$ 확인 +3점 / 평균 증가분 $\dfrac{80}{3}$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 삼차함수 $-5t^3 + 20t^2$에서 $t=4$일 때 $G(t_{\max}) = \dfrac{1}{3}\cdot 20t_{\max}^2 = \dfrac{1280}{27}$로 빠르게 검산됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [4-1] $t_{\max} = \dfrac{8}{3}$시간, $G\left(\dfrac{8}{3}\right) = \dfrac{1280}{27}$ | [4-2] $t_i = \dfrac{4}{3}$시간, $v\left(\dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{80}{3}$ | [4-3] 평균 $\dfrac{80}{3}$

【문제 5】 원문 요약 — 문항 5 [배점 20점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.12 탐구 3965 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[문항 5-1] (6점) 초점 $\mathrm{F}$의 좌표와 반사점 $\mathrm{P}$의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 점 $\mathrm{P}$에서의 포물선 접선이 $x$축과 만나는 점 $\mathrm{Q}$의 좌표와 삼각형 $\mathrm{FPQ}$의 넓이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 5 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $y^2 = 4px$ , $\mathrm{F}(p, 0)$ , $\mathrm{P}$ , $\overline{\mathrm{PF}}$ , $y^2 = 16x\;(\mathrm{cm})$ , $x = -4$ , $\mathrm{H}(-4, 8)$ , $x$ , $\mathrm{F}$ , $\mathrm{H}$ , $\overline{\mathrm{HP}} + \overline{\mathrm{PF}}$ , $\mathrm{Q}$ , $\mathrm{FPQ}$

[의약학 모형 1 [수식화] — 문항 5-1 해설]: $4p = 16 \implies p = 4$이므로 $\mathrm{F}(4, 0)$이다. $y = 8$을 대입하면 $16x = 64 \implies x = 4$이므로 $\mathrm{P}(4, 8)$이다.

[의약학 모형 2 [정량 해석] — 문항 5-2 해설]: 포물선 정의에 의해 $\overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{HP}} = 4 - (-4) = 8\,\mathrm{cm}$이므로 총 경로 길이는 $8 + 8 = 16\,\mathrm{cm}$이다.

[의약학 모형 3 [임상 판정] — 문항 5-3 해설]: 접선은 $8y = 8(x + 4) \implies y = x + 4$이므로 $\mathrm{Q}(-4, 0)$이고, 밑변 $\overline{\mathrm{FQ}} = 8$, 높이 $8$이므로 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times 8\times 8 = 32\,\mathrm{cm}^2$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 5-1	• $\mathrm{F}(4, 0),\; \mathrm{P}(4, 8)$ 도출 +3점 / 좌표 대입 확인 +3점	6점
문항 5-2	• $\overline{\mathrm{HP}} = \overline{\mathrm{PF}} = 8$ 도출 +4점 / 합 $16\,\mathrm{cm}$ 산출 +3점	7점
문항 5-3	• $\mathrm{Q}(-4, 0)$ 도출 +3점 / 넓이 $32\,\mathrm{cm}^2$ 계산 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 준선 $x = -p$에서 출발한 축 평행 파동이 반사되어 초점에 도달하는 거리는 $2(x_0 + p)$입니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [5-1] $\mathrm{F}(4, 0),\; \mathrm{P}(4, 8)$ | [5-2] 총 경로 $16\,\mathrm{cm}$ | [5-3] $\mathrm{Q}(-4, 0)$, 넓이 $32\,\mathrm{cm}^2$

【문제 1】 원문 요약 — 문항 1 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.11 탐구 3971 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06]

[문항 1-1] (6점) $n$번째 투여 직후 체내 약물량 $M_n$의 일반항을 구하고, $M_3$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 첫 투여부터 $n$번째 투여 직후까지 $M_k$와 $M_{\infty}$의 차이들의 합 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (M_{\infty} - M_k)$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 1 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $r$ , $0 \lt r \lt 1$ , $D$ , $n$ , $M_n$ , $M_1 = D,\; M_{n+1} = rM_n + D$ , $12$ , $D = 60\;(\mathrm{mg})$ , $75\%$ , $25\%$ , $r = \dfrac{1}{4}$ , $M_3$ , $n \to \infty$ , $M_{\infty} = \displaystyle\lim_{n\to\infty} M_n$ , $rM_{\infty}$ , $M_k$ , $M_{\infty}$ , $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (M_{\infty} - M_k)$

[임상 분석 Ⅰ [모형 설정] — 문항 1-1 해설]: 등비수열 합에 의해 $M_n = 60\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}\left(\dfrac{1}{4}\right)^j = 80\left(1 - \dfrac{1}{4^n}\right)$이고 $M_3 = 80\cdot\dfrac{63}{64} = \dfrac{315}{4}\;(\mathrm{mg})$이다.

[임상 분석 Ⅱ [수치 유도] — 문항 1-2 해설]: $M_{\infty} = \lim_{n\to\infty} M_n = 80\;(\mathrm{mg})$이고, 직전 최저량은 $\dfrac{1}{4}\times 80 = 20\;(\mathrm{mg})$이다.

[임상 분석 Ⅲ [검증 결론] — 문항 1-3 해설]: $M_{\infty} - M_k = \dfrac{80}{4^k}$이므로 급수의 합은 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{80}{4^k} = \dfrac{20}{1 - 1/4} = \dfrac{80}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 1-1	• $M_n = 80(1 - 4^{-n})$ 도출 +3점 / $M_3 = \dfrac{315}{4}$ 계산 +3점	6점
문항 1-2	• $M_{\infty} = 80$ 산출 +4점 / 최저량 $20$ 도출 +3점	7점
문항 1-3	• 차이 일반항 $80\cdot 4^{-k}$ 유도 +3점 / 급수 합 $\dfrac{80}{3}$ 계산 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 초기 투여량을 $80\,\mathrm{mg}$으로 주면 첫 회부터 즉시 정상상태 $M_{\infty}=80$에 도달합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [1-1] $M_n = 80\left(1 - \dfrac{1}{4^n}\right),\; M_3 = \dfrac{315}{4}$ | [1-2] $M_{\infty} = 80,\; rM_{\infty} = 20$ | [1-3] $\dfrac{80}{3}$

【문제 2】 원문 요약 — 문항 2 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.35 탐구 3972 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-02-01]

[제시문 (가)] 구간별로 정의된 함수 $E(t)$가 경계 시각 $t = t_0$에서 미분가능하려면 $t = t_0$에서 연속이고 좌·우미분계수가 일치해야 한다.

[문항 2-1] (6점) 조건 $E(1) = 5$를 이용하여 상수 $a$의 값과 $t = 2$에서의 좌극한 $\lim_{t\to 2-} E(t)$를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) $t = 2$에서의 미분가능성 조건을 이용하여 상수 $b, c$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 시각 $t \ge 0$에서 전위 $E(t)$의 최댓값과 그때의 시각을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 2 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $E(t)$ , $t = t_0$ , $E(t) = \begin{cases} t^2 + at & (0 \le t \lt 2) \\ -t^2 + bt + c & (t \ge 2) \end{cases}$ , $E(1) = 5$ , $a$ , $\lim_{t\to 2-} E(t)$ , $b, c$ , $t \ge 0$

[임상 분석 Ⅰ [모형 설정] — 문항 2-1 해설]: $E(1) = 1 + a = 5 \implies a = 4$이고, $\lim_{t\to 2-}(t^2 + 4t) = 4 + 8 = 12$이다.

[임상 분석 Ⅱ [수치 유도] — 문항 2-2 해설]: $t = 2$에서 좌미분계수는 $2(2) + 4 = 8$, 우미분계수는 $-4 + b$이므로 $b = 12$이다. 연속 조건 $-4 + 24 + c = 12$에서 $c = -8$이다.

[임상 분석 Ⅲ [검증 결론] — 문항 2-3 해설]: $t \ge 2$에서 $E(t) = -t^2 + 12t - 8 = -(t - 6)^2 + 28$이므로 $t = 6$에서 최댓값 $28$을 갖는다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 2-1	• $a = 4$ 및 좌극한 $12$ 산출 +3점 / 대입 검산 +3점	6점
문항 2-2	• 미분계수 일치로 $b = 12$ 도출 +4점 / 연속성으로 $c = -8$ 산출 +3점	7점
문항 2-3	• 완전제곱식 $-(t-6)^2 + 28$ 변형 +3점 / $t = 6$, 최댓값 $28$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: $[0, 2]$에서 $t^2+4t$는 단조증가하므로 전체 최댓값은 $t \ge 2$ 구간의 꼭짓점 $t=6$에서 발생합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [2-1] $a = 4,\; \lim_{t\to 2-} E(t) = 12$ | [2-2] $b = 12,\; c = -8$ | [2-3] $t = 6$에서 최댓값 $28$

【문제 3】 원문 요약 — 문항 3 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 탐구 3973 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문항 3-1] (6점) 혈관 중심($r=0$)에서의 최대 유속 $v(0)$과 혈관 벽($r=3$)에서의 유속 변화율 $v'(3)$을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 유량 밀도 함수 $f(r) = 18r - 2r^3$이 최대가 되는 위치 $r_0$와 그때의 최댓값 $f(r_0)$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 단면 전체에 대한 적분 $\displaystyle\int_0^3 2\pi f(r)\,dr$를 계산하여 총 혈류량 $Q$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 3 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $R$ , $r$ , $0 \le r \le R$ , $v(r) = k(R^2 - r^2)$ , $\Phi(r) = 2\pi r\,v(r)$ , $R = 3\,\mathrm{mm}$ , $k = 2$ , $0 \le r \le 3$ , $f(r) = r\,v(r) = 2r(9 - r^2)$ , $r=0$ , $v(0)$ , $r=3$ , $v'(3)$ , $f(r) = 18r - 2r^3$ , $r_0$ , $f(r_0)$ , $\displaystyle\int_0^3 2\pi f(r)\,dr$ , $Q$

[임상 분석 Ⅰ [모형 설정] — 문항 3-1 해설]: $v(r) = 18 - 2r^2$이므로 $v(0) = 18$이고, $v'(r) = -4r$에서 $v'(3) = -12$이다.

[임상 분석 Ⅱ [수치 유도] — 문항 3-2 해설]: $f'(r) = 18 - 6r^2 = 6(3 - r^2) = 0$에서 $r_0 = \sqrt{3}$일 때 최댓값 $f(\sqrt{3}) = 18\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$을 갖는다.

[임상 분석 Ⅲ [검증 결론] — 문항 3-3 해설]: $Q = 2\pi\displaystyle\int_0^3 (18r - 2r^3)\,dr = 2\pi\left[9r^2 - \dfrac{1}{2}r^4\right]_0^3 = 2\pi\left(81 - \dfrac{81}{2}\right) = 81\pi$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 3-1	• $v(0) = 18,\; v'(3) = -12$ 산출 +3점 / 도함수 $v'(r) = -4r$ 확인 +3점	6점
문항 3-2	• $f'(r) = 18 - 6r^2 = 0$에서 $r_0 = \sqrt{3}$ 도출 +4점 / $f(\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}$ 산출 +3점	7점
문항 3-3	• 정적분 $2\pi\int_0^3 f(r)dr$ 계산 +3점 / $Q = 81\pi$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 포아죄유(Poiseuille) 법칙에서 총 유량은 혈관 반지름의 네제곱($R^4 = 81$)에 비례합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [3-1] $v(0) = 18,\; v'(3) = -12$ | [3-2] $r_0 = \sqrt{3},\; f(\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}$ | [3-3] $Q = 81\pi$

【문제 4】 원문 요약 — 문항 4 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 3974 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[문항 4-1] (6점) 경구 투여 시 최고 혈중 농도 $C_{\max}$와 도달 시각 $T_{\max}$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 시각 $t = 0$부터 $t = k$ ($0 \lt k \lt 6$)까지의 누적 노출량이 전체 $\mathrm{AUC}_{\mathrm{oral}}$의 절반이 되는 시각 $k$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 4 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $t = 0$ , $t = T$ , $y = C(t)$ , $t$ , $\mathrm{AUC} = \displaystyle\int_0^T C(t)\,dt$ , $C_{\mathrm{oral}}(t) = 6t - t^2$ , $0 \le t \le 6$ , $\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}} = 48$ , $C_{\max}$ , $T_{\max}$ , $\mathrm{AUC}_{\mathrm{oral}} = \displaystyle\int_0^6 (6t - t^2)\,dt$ , $F = \dfrac{\mathrm{AUC}_{\mathrm{oral}}}{\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}}}$ , $t = k$ , $0 \lt k \lt 6$ , $\mathrm{AUC}_{\mathrm{oral}}$ , $k$

[임상 분석 Ⅰ [모형 설정] — 문항 4-1 해설]: $C_{\mathrm{oral}}(t) = -(t - 3)^2 + 9$이므로 $T_{\max} = 3$시간에서 $C_{\max} = 9$이다.

[임상 분석 Ⅱ [수치 유도] — 문항 4-2 해설]: $\mathrm{AUC}_{\mathrm{oral}} = \left[3t^2 - \dfrac{1}{3}t^3\right]_0^6 = 108 - 72 = 36$이고, $F = \dfrac{36}{48} = \dfrac{3}{4}$ ($75\%$)이다.

[임상 분석 Ⅲ [검증 결론] — 문항 4-3 해설]: 이차함수 $6t - t^2$은 대칭축 $t = 3$에 대하여 좌우 대칭이므로 전체 넓이 $36$의 절반($18$)이 되는 시각은 $k = 3$시간이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 4-1	• $T_{\max}=3,\; C_{\max}=9$ 도출 +3점 / 완전제곱 변형 +3점	6점
문항 4-2	• $\mathrm{AUC}_{\mathrm{oral}} = 36$ 산출 +4점 / $F = \dfrac{3}{4}$ 도출 +3점	7점
문항 4-3	• 대칭축 $t = 3$ 성질 또는 적분 방정식 적용 +3점 / $k = 3$시간 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 구간 $[0, 6]$에서 대칭인 포물선의 정적분 절반 지점은 대칭축 $k = 3$과 정확히 일치합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [4-1] $T_{\max} = 3$시간, $C_{\max} = 9$ | [4-2] $\mathrm{AUC}_{\mathrm{oral}} = 36,\; F = \dfrac{3}{4}$ | [4-3] $k = 3$시간

【문제 5】 원문 요약 — 문항 5 [배점 20점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.36 탐구 3975 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[문항 5-1] (6점) 초점 좌표 $c$와 거리 차 $\overline{\mathrm{PF}'} - \overline{\mathrm{PF}}$, 그리고 두 점근선의 기울기를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 초점 $\mathrm{F}(c, 0)$에서 점근선 $4x - 3y = 0$에 내린 수선의 길이 $d$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) $\overline{\mathrm{PF}} = 4$일 때 $\overline{\mathrm{PF}'}$의 길이와 $\cos(\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF})$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 5 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ , $\mathrm{F}(c,0),\; \mathrm{F}'(-c,0)$ , $c = \sqrt{a^2+b^2}$ , $y = \pm\dfrac{b}{a}x$ , $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ , $x \gt 0$ , $\mathrm{P}$ , $c \gt 0$ , $c$ , $\overline{\mathrm{PF}'} - \overline{\mathrm{PF}}$ , $\mathrm{F}(c, 0)$ , $d$ , $\overline{\mathrm{PF}} = 4$ , $\overline{\mathrm{PF}'}$ , $\cos(\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF})$

[임상 분석 Ⅰ [모형 설정] — 문항 5-1 해설]: $c = \sqrt{9 + 16} = 5$, 주축 길이는 $2a = 6$, 점근선 기울기는 $\pm\dfrac{4}{3}$이다.

[임상 분석 Ⅱ [수치 유도] — 문항 5-2 해설]: 점 $(5, 0)$에서 직선 $4x - 3y = 0$까지의 거리는 $d = \dfrac{|20 - 0|}{\sqrt{16 + 9}} = 4 = b$이다.

[임상 분석 Ⅲ [검증 결론] — 문항 5-3 해설]: $\overline{\mathrm{PF}'} = 4 + 6 = 10$이고 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}} = 10$이므로 코사인법칙에서 $\cos(\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF}) = \dfrac{100 + 16 - 100}{2\cdot 10\cdot 4} = \dfrac{16}{80} = \dfrac{1}{5}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 5-1	• $c = 5,\; 2a = 6$, 기울기 $\pm\dfrac{4}{3}$ 산출 +3점 / 공식 확인 +3점	6점
문항 5-2	• 점과 직선 사이 거리 공식 적용 +4점 / $d = 4$ 도출 +3점	7점
문항 5-3	• $\overline{\mathrm{PF}'} = 10$ 도출 +3점 / 코사인법칙으로 $\dfrac{1}{5}$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 쌍곡선의 초점 $(c, 0)$에서 점근선 $bx - ay = 0$에 내린 수선의 길이는 항상 $b$와 같습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [5-1] $c = 5$, 거리 차 $6$, 기울기 $\pm\dfrac{4}{3}$ | [5-2] $d = 4$ | [5-3] $\overline{\mathrm{PF}'} = 10,\; \cos(\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF}) = \dfrac{1}{5}$

【문제 1】 원문 요약 — 문항 1 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 탐구 3981 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

정상 동맥혈에서 $S\,\mathrm{P}_{\mathrm{CO}_2} = 1.2\;(\mathrm{mM})$이고 $[\mathrm{HCO}_3^-] = 24\;(\mathrm{mM})$일 때 다음 물음에 답하시오. (단, $\log_{10} 2 = 0.3$)

[문항 1-1] (6점) 정상 동맥혈의 $\mathrm{pH}$ 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 1 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $[\mathrm{HCO}_3^-]\;(\mathrm{mM})$ , $S\,\mathrm{P}_{\mathrm{CO}_2}\;(\mathrm{mM})$ , $\mathrm{pH} = 6.1 + \log_{10}\dfrac{[\mathrm{HCO}_3^-]}{S\,\mathrm{P}_{\mathrm{CO}_2}}$ , $S\,\mathrm{P}_{\mathrm{CO}_2} = 1.2\;(\mathrm{mM})$ , $[\mathrm{HCO}_3^-] = 24\;(\mathrm{mM})$ , $\log_{10} 2 = 0.3$ , $[\mathrm{HCO}_3^-]$ , $12\;(\mathrm{mM})$ , $7.4$ , $S\,\mathrm{P}_{\mathrm{CO}_2}$ , $\mathrm{mM}$

[핵심 논거 1 [법칙 적용] — 문항 1-1 해설]: 비율이 $\dfrac{24}{1.2} = 20$이므로 $\mathrm{pH} = 6.1 + \log_{10} 20 = 6.1 + 1.3 = 7.4$이다.

[핵심 논거 2 [대수 연산] — 문항 1-2 해설]: 비율이 $\dfrac{12}{1.2} = 10$이므로 $\mathrm{pH} = 6.1 + \log_{10} 10 = 7.1$이다.

[핵심 논거 3 [결과 해석] — 문항 1-3 해설]: $\mathrm{pH} = 7.4$이려면 비율 $\dfrac{12}{S\,\mathrm{P}_{\mathrm{CO}_2}} = 20$이어야 하므로 $S\,\mathrm{P}_{\mathrm{CO}_2} = \dfrac{12}{20} = 0.6\;(\mathrm{mM})$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 1-1	• 비율 $20$ 및 $\log_{10} 20 = 1.3$ 계산 +3점 / $\mathrm{pH} = 7.4$ 산출 +3점	6점
문항 1-2	• 비율 $10$ 도출 +4점 / $\mathrm{pH} = 7.1$ 산출 +3점	7점
문항 1-3	• 보상 비율 $20$ 설정 +3점 / $0.6\,\mathrm{mM}$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: $\mathrm{pH}$가 $0.3$만큼 낮아지면 수소이온 농도는 $10^{0.3} = 2$배가 됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [1-1] $\mathrm{pH} = 7.4$ | [1-2] $\mathrm{pH} = 7.1$ | [1-3] $0.6\;(\mathrm{mM})$

【문제 2】 원문 요약 — 문항 2 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.38 탐구 3982 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[제시문 (가)] $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 이용하면 $2\sin^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$을 $\cos\theta$에 대한 이차방정식으로 변환할 수 있다.

맥파 위상각 $\theta \in [0, 2\pi]$에 대하여 압력 평형 방정식 $2\sin^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$이 성립할 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 방정식을 $\cos\theta$에 대한 인수분해 식으로 변형하여 $\cos\theta$의 값을 모두 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 구간 $[0, 2\pi]$에서 만족하는 모든 위상각 $\theta_1 \lt \theta_2 \lt \theta_3$과 그 합을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 2 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ , $2\sin^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$ , $\cos\theta$ , $\theta \in [0, 2\pi]$ , $[0, 2\pi]$ , $\theta_1 \lt \theta_2 \lt \theta_3$ , $\mathrm{A}(\cos\theta_1, \sin\theta_1),\; \mathrm{B}(\cos\theta_2, \sin\theta_2),\; \mathrm{C}(\cos\theta_3, \sin\theta_3)$ , $\mathrm{ABC}$

[핵심 논거 1 [법칙 적용] — 문항 2-1 해설]: $2(1 - \cos^2\theta) - \cos\theta - 1 = 0 \implies (2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) = 0$이므로 $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ 또는 $-1$이다.

[핵심 논거 2 [대수 연산] — 문항 2-2 해설]: 해는 $\theta_1 = \dfrac{\pi}{3},\; \theta_2 = \pi,\; \theta_3 = \dfrac{5\pi}{3}$이며 합은 $3\pi$이다.

[핵심 논거 3 [결과 해석] — 문항 2-3 해설]: 세 점은 한 변의 길이가 $\sqrt{3}$인 정삼각형을 이루며 밑변 $\sqrt{3}$, 높이 $\dfrac{3}{2}$이므로 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times\sqrt{3}\times\dfrac{3}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 2-1	• $(2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) = 0$ 인수분해 +3점 / $\cos\theta = 1/2, -1$ 산출 +3점	6점
문항 2-2	• 세 근 $\pi/3, \pi, 5\pi/3$ 도출 +4점 / 합 $3\pi$ 계산 +3점	7점
문항 2-3	• 밑변 $\sqrt{3}$, 높이 $3/2$ 확인 +3점 / 넓이 $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 단위원에 내접하는 정삼각형의 넓이는 $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$입니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [2-1] $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ 또는 $\cos\theta = -1$ | [2-2] $\dfrac{\pi}{3},\; \pi,\; \dfrac{5\pi}{3}$, 합 $3\pi$ | [2-3] $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

【문제 3】 원문 요약 — 문항 3 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.50 탐구 3983 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문항 3-1] (6점) 도함수 $N'(x)$를 구하고 $N(x)$의 극소 용량 $x_1$과 극대 용량 $x_2$를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 구간 $[0, 6]$에서 순임상유익지수 $N(x)$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 독성 없이 순유익 변화율 $N'(x) \ge 0$이 유지되는 용량 구간 $[x_1, x_2]$의 길이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 3 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $x$ , $E(x)$ , $L(x)$ , $N(x) = E(x) - L(x)$ , $N'(x) = 0$ , $x \in [0, 6]\;(\mathrm{mg/kg})$ , $E(x) = 18x^2 - 2x^3$ , $L(x) = 24x$ , $N(x) = -2x^3 + 18x^2 - 24x$ , $N'(x)$ , $N(x)$ , $x_1$ , $x_2$ , $[x_1, x_2]$

[핵심 논거 1 [법칙 적용] — 문항 3-1 해설]: $N'(x) = -6x^2 + 36x - 24 = -6(x - 1)(x - 5) = 0$이므로 극소 용량은 $x_1 = 1$, 극대 용량은 $x_2 = 5$이다.

[핵심 논거 2 [대수 연산] — 문항 3-2 해설]: $N(0) = 0,\; N(1) = -8,\; N(5) = -250 + 450 - 120 = 80,\; N(6) = -432 + 648 - 144 = 72$이므로 최댓값은 $80$, 최솟값은 $-8$이다.

[핵심 논거 3 [결과 해석] — 문항 3-3 해설]: $N'(x) \ge 0$인 구간은 $[1, 5]$이므로 구간의 길이는 $5 - 1 = 4\;(\mathrm{mg/kg})$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 3-1	• $N'(x) = -6(x-1)(x-5)$ 인수분해 +3점 / $x_1=1, x_2=5$ 도출 +3점	6점
문항 3-2	• $N(1)=-8, N(5)=80, N(6)=72$ 비교 +4점 / 최댓값 $80$, 최솟값 $-8$ 산출 +3점	7점
문항 3-3	• 부등식 $-6(x-1)(x-5) \ge 0$ 풀이 +3점 / 구간 길이 $4$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 닫힌구간 $[0, 6]$의 끝점 $N(0)=0,\; N(6)=72$까지 모두 비교하여 최댓값 $80$과 최솟값 $-8$을 확정합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [3-1] $x_1 = 1,\; x_2 = 5$ | [3-2] 최댓값 $N(5) = 80$, 최솟값 $N(1) = -8$ (단 $N(6)=-72?$ 확인: $N(5) = -250 + 450 - 120 = 80,\; N(6) = -432 + 648 - 144 = 72,\; N(1) = -8$) | [3-3] 구간 길이 $4$

【문제 4】 원문 요약 — 문항 4 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.17 탐구 3984 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12확통02-04, 12확통02-05]

[문항 4-1] (6점) 비감염자가 양성으로 잘못 판정될 위양성률 $\mathrm{P}(T^+\mid D^c)$와 진양성 확률 $\mathrm{P}(D \cap T^+)$를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 임의로 선택한 한 사람이 양성 판정을 받을 전체 확률 $\mathrm{P}(T^+)$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 양성 판정을 받은 사람이 실제로 감염되었을 양성예측도 $\mathrm{P}(D\mid T^+)$를 기약분수로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 4 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $\mathrm{P}(D)$ , $\mathrm{P}(T^+\mid D)$ , $\mathrm{P}(T^-\mid D^c)$ , $\mathrm{P}(D\mid T^+) = \dfrac{\mathrm{P}(D)\mathrm{P}(T^+\mid D)}{\mathrm{P}(D)\mathrm{P}(T^+\mid D) + \mathrm{P}(D^c)\mathrm{P}(T^+\mid D^c)}$ , $\mathrm{P}(D) = 0.05$ , $5\%$ , $\mathrm{P}(T^+\mid D) = 0.90$ , $\mathrm{P}(T^-\mid D^c) = 0.95$ , $\mathrm{P}(T^+\mid D^c)$ , $\mathrm{P}(D \cap T^+)$ , $\mathrm{P}(T^+)$ , $\mathrm{P}(D\mid T^+)$

[핵심 논거 1 [법칙 적용] — 문항 4-1 해설]: 위양성률은 $1 - 0.95 = 0.05$이고, 진양성 확률은 $0.05 \times 0.90 = 0.045 = \dfrac{9}{200}$이다.

[핵심 논거 2 [대수 연산] — 문항 4-2 해설]: $\mathrm{P}(D^c \cap T^+) = 0.95 \times 0.05 = 0.0475$이므로 $\mathrm{P}(T^+) = 0.045 + 0.0475 = 0.0925 = \dfrac{37}{400}$이다.

[핵심 논거 3 [결과 해석] — 문항 4-3 해설]: 베이즈 정리에 의해 $\mathrm{P}(D\mid T^+) = \dfrac{0.045}{0.0925} = \dfrac{450}{925} = \dfrac{18}{37}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 4-1	• 위양성률 $0.05$ 및 $\mathrm{P}(D\cap T^+) = 0.045$ 산출 +3점 / 조건부확률 정의 확인 +3점	6점
문항 4-2	• $\mathrm{P}(D^c\cap T^+) = 0.0475$ 계산 +4점 / $\mathrm{P}(T^+) = 0.0925$ 도출 +3점	7점
문항 4-3	• 양성예측도 분수식 수립 +3점 / 기약분수 $\dfrac{18}{37}$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 만 명 기준 표를 만들면 진양성 $450$명, 위양성 $475$명이므로 양성예측도는 즉시 $\dfrac{450}{925} = \dfrac{18}{37}$이 됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [4-1] 위양성률 $0.05$, $\mathrm{P}(D\cap T^+) = 0.045$ | [4-2] $\mathrm{P}(T^+) = 0.0925 = \dfrac{37}{400}$ | [4-3] $\mathrm{P}(D\mid T^+) = \dfrac{18}{37}$

【문제 5】 원문 요약 — 문항 5 [배점 20점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.35 탐구 3985 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

MRI 단면 설정을 위한 두 기준 위치벡터가 $\vec{a} = (3, 1),\; \vec{b} = (1, 4)$일 때 제시문 (가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 내적 $\vec{a}\cdot\vec{b}$와 두 벡터의 크기 $|\vec{a}|,\; |\vec{b}|$를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 벡터 $\vec{b} - k\vec{a}$가 벡터 $\vec{a}$와 수직이 되도록 하는 실수 $k$의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 원점 $\mathrm{O}$와 두 점 $\mathrm{A}(3, 1),\; \mathrm{B}(1, 4)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 5 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $\vec{a} = (a_1, a_2),\; \vec{b} = (b_1, b_2)$ , $\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$ , $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ , $\vec{a} = (3, 1),\; \vec{b} = (1, 4)$ , $\vec{a}\cdot\vec{b}$ , $|\vec{a}|,\; |\vec{b}|$ , $\vec{b} - k\vec{a}$ , $\vec{a}$ , $k$ , $\mathrm{O}$ , $\mathrm{A}(3, 1),\; \mathrm{B}(1, 4)$ , $\mathrm{OAB}$

[핵심 논거 1 [법칙 적용] — 문항 5-1 해설]: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 3\cdot 1 + 1\cdot 4 = 7$이고, $|\vec{a}| = \sqrt{9+1} = \sqrt{10},\; |\vec{b}| = \sqrt{1+16} = \sqrt{17}$이다.

[핵심 논거 2 [대수 연산] — 문항 5-2 해설]: $(\vec{b} - k\vec{a})\cdot\vec{a} = \vec{a}\cdot\vec{b} - k|\vec{a}|^2 = 7 - 10k = 0$에서 $k = \dfrac{7}{10}$이다.

[핵심 논거 3 [결과 해석] — 문항 5-3 해설]: 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a}\cdot\vec{b})^2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{170 - 49} = \dfrac{11}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 5-1	• $\vec{a}\cdot\vec{b}=7,\; \|\vec{a}\|=\sqrt{10},\; \|\vec{b}\|=\sqrt{17}$ 산출 +3점 / 성분 계산 +3점	6점
문항 5-2	• 수직 조건 $7 - 10k = 0$ 수립 +4점 / $k = \dfrac{7}{10}$ 도출 +3점	7점
문항 5-3	• 벡터 넓이 공식 적용 +3점 / 넓이 $\dfrac{11}{2}$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 성분 공식 $S = \dfrac{1}{2}|a_1 b_2 - a_2 b_1| = \dfrac{1}{2}|12 - 1| = \dfrac{11}{2}$로 검산할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [5-1] $\vec{a}\cdot\vec{b} = 7,\; |\vec{a}| = \sqrt{10},\; |\vec{b}| = \sqrt{17}$ | [5-2] $k = \dfrac{7}{10}$ | [5-3] 넓이 $\dfrac{11}{2}$

【문제 1】 원문 요약 — 문항 1 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 3991 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-05]

배양기 $\mathrm{I}$의 $k$일째 세포 군집 지수가 $u_k = k(k + 2)$이고, 배양기 $\mathrm{II}$의 $k$일째 군집 지수가 $v_k = 3^k$일 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $5$일 동안 배양기 $\mathrm{I}$의 누적 군집 지수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} u_k$를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) $5$일 동안 배양기 $\mathrm{II}$의 누적 군집 지수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} v_k$를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 망원급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{2}{u_k} = \sum_{k=1}^{10} \dfrac{2}{k(k+2)}$의 값을 기약분수로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 1 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $a$ , $r$ , $a_n = a r^{n-1}$ , $\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ , $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ , $\mathrm{I}$ , $k$ , $u_k = k(k + 2)$ , $\mathrm{II}$ , $v_k = 3^k$ , $5$ , $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} u_k$ , $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} v_k$ , $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{2}{u_k} = \sum_{k=1}^{10} \dfrac{2}{k(k+2)}$

[의공학 풀이 1 [원리] — 문항 1-1 해설]: $\displaystyle\sum_{k=1}^5 (k^2 + 2k) = \dfrac{5\cdot 6\cdot 11}{6} + 2\cdot\dfrac{5\cdot 6}{2} = 55 + 30 = 85$이다.

[의공학 풀이 2 [계산] — 문항 1-2 해설]: $\displaystyle\sum_{k=1}^5 3^k = \dfrac{3(3^5 - 1)}{3 - 1} = \dfrac{3\times 242}{2} = 363$이다.

[의공학 풀이 3 [결론] — 문항 1-3 해설]: $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+2}\right) = 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{11} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{23}{132} = \dfrac{175}{132}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 1-1	• $\sum k^2 + 2\sum k$ 공식 적용 +3점 / $85$ 산출 +3점	6점
문항 1-2	• 등비수열 합 공식 적용 +4점 / $363$ 계산 +3점	7점
문항 1-3	• 부분분수 $\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+2}$ 분리 +3점 / $\dfrac{175}{132}$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 간격이 $2$인 부분분수 소거에서는 앞의 두 항 $1 + 1/2$과 뒤의 두 항 $-1/11 - 1/12$이 남습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [1-1] $85$ | [1-2] $363$ | [1-3] $\dfrac{175}{132}$

【문제 2】 원문 요약 — 문항 2 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.25 탐구 3992 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문항 2-1] (6점) 상수 $a$와 $b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 극한값 $\displaystyle\lim_{p\to 0+} \dfrac{S(p)}{p}$를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 분압 $p = 4$에서의 순간변화율 $S'(4)$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 2 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $\displaystyle\lim_{p\to\infty}\dfrac{Ap^2 + Bp}{Cp^2 + D} = \dfrac{A}{C}$ , $\displaystyle\lim_{p\to a}\dfrac{f(p)}{p - a} = L$ , $f(a) = 0$ , $p \gt 0$ , $S(p) = \dfrac{ap^2 + bp}{p^2 + 16}$ , $\displaystyle\lim_{p\to\infty} S(p) = 100$ , $a$ , $b$ , $\displaystyle\lim_{p\to 0+} \dfrac{S(p)}{p}$ , $p = 4$ , $S'(4)$

[의공학 풀이 1 [원리] — 문항 2-1 해설]: $\lim_{p\to\infty} S(p) = a = 100$이고, $S(4) = \dfrac{1600 + 4b}{32} = 60 \implies 1600 + 4b = 1920 \implies b = 80$이다.

[의공학 풀이 2 [계산] — 문항 2-2 해설]: $\displaystyle\lim_{p\to 0+}\dfrac{100p + 80}{p^2 + 16} = \dfrac{80}{16} = 5$이다.

[의공학 풀이 3 [결론] — 문항 2-3 해설]: $S(p) - 60 = \dfrac{100p^2 + 80p - 60p^2 - 960}{p^2 + 16} = \dfrac{40(p - 4)(p + 6)}{p^2 + 16}$이므로 $S'(4) = \displaystyle\lim_{p\to 4}\dfrac{40(p+6)}{p^2+16} = \dfrac{400}{32} = \dfrac{25}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 2-1	• $a = 100$ 및 $b = 80$ 산출 +3점 / $S(4)=60$ 대입 +3점	6점
문항 2-2	• $p \to 0+$ 극한식 정리 +4점 / 극한값 $5$ 도출 +3점	7점
문항 2-3	• 미분계수 정의식 $\dfrac{S(p)-S(4)}{p-4}$ 인수분해 +3점 / $S'(4) = \dfrac{25}{2}$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 몫의 미분법 없이도 미분계수의 정의 $\lim_{p\to 4}\dfrac{S(p)-60}{p-4}$를 인수분해하여 미적분Ⅰ 범위 내에서 정확히 구할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [2-1] $a = 100,\; b = 80$ | [2-2] $5$ | [2-3] $S'(4) = 12.5 = \dfrac{25}{2}$

【문제 3】 원문 요약 — 문항 3 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.54 탐구 3993 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문 (가)] 밑면 반지름이 $r$, 높이가 $h$인 직원기둥의 겉넓이는 $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$이고 부피는 $V = \pi r^2 h$이다.

[문항 3-1] (6점) 높이 $h$를 $r$에 대한 식으로 나타내고, $h \gt 0$을 만족하는 반지름 $r$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 캡슐의 부피 $V(r)$를 $r$의 삼차함수로 나타내고, 도함수 $V'(r)$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 부피 $V(r)$가 최대가 될 때의 반지름 $r_0$, 높이 $h_0$ 및 최대 부피 $V_{\max}$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 3 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $r$ , $h$ , $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ , $V = \pi r^2 h$ , $r \gt 0$ , $S = 24\pi\;(\mathrm{mm}^2)$ , $V(r)$ , $V'(r)$ , $r_0$ , $V_{\max}$

[의공학 풀이 1 [원리] — 문항 3-1 해설]: $2\pi r^2 + 2\pi rh = 24\pi \implies r^2 + rh = 12 \implies h = \dfrac{12 - r^2}{r}$이고 $h \gt 0$에서 $0 \lt r \lt 2\sqrt{3}$이다.

[의공학 풀이 2 [계산] — 문항 3-2 해설]: $V(r) = \pi r^2\cdot\dfrac{12 - r^2}{r} = \pi(12r - r^3)$이고 $V'(r) = 3\pi(4 - r^2)$이다.

[의공학 풀이 3 [결론] — 문항 3-3 해설]: $V'(r) = 0$에서 $r_0 = 2$일 때 $h_0 = \dfrac{8}{2} = 4$이고 최대 부피는 $V_{\max} = \pi(24 - 8) = 16\pi\;(\mathrm{mm}^3)$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 3-1	• $h = \dfrac{12-r^2}{r}$ 및 범위 $0 \lt r \lt 2\sqrt{3}$ 도출 +3점 / 양수 조건 명시 +3점	6점
문항 3-2	• $V(r) = \pi(12r - r^3)$ 유도 +4점 / $V'(r) = 3\pi(4 - r^2)$ 계산 +3점	7점
문항 3-3	• $r_0 = 2,\; h_0 = 4$ 도출 +3점 / $V_{\max} = 16\pi$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 겉넓이가 일정한 원기둥의 부피가 최대일 때는 항상 높이 $h_0$가 지름 $2r_0$와 같아집니다($h_0 = 2r_0 = 4$).

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [3-1] $h = \dfrac{12 - r^2}{r},\; 0 \lt r \lt 2\sqrt{3}$ | [3-2] $V(r) = \pi(12r - r^3),\; V'(r) = 3\pi(4 - r^2)$ | [3-3] $r_0 = 2,\; h_0 = 4,\; V_{\max} = 16\pi$

【문제 4】 원문 요약 — 문항 4 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.42 탐구 3994 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

지시약 $I = 9\;(\mathrm{mg})$를 주입한 후 $0 \le t \le 6$초 동안 측정된 농도 곡선이 $c(t) = \dfrac{1}{2}t(6 - t)\;(\mathrm{mg/L})$일 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 지시약 최고 농도와 도달 시각을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 정적분 $\displaystyle\int_0^6 c(t)\,dt$의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 초당 심박출량 $\mathrm{CO}\;(\mathrm{L/s})$와 $1$분($60$초)당 심박출량($\mathrm{L/min}$)을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 4 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $I\;(\mathrm{mg})$ , $c(t)\;(\mathrm{mg/L})$ , $0 \le t \le T$ , $\mathrm{CO}\;(\mathrm{L/s})$ , $\mathrm{CO} = \dfrac{I}{\int_0^T c(t)\,dt}$ , $I = 9\;(\mathrm{mg})$ , $0 \le t \le 6$ , $c(t) = \dfrac{1}{2}t(6 - t)\;(\mathrm{mg/L})$ , $\displaystyle\int_0^6 c(t)\,dt$ , $1$ , $60$ , $\mathrm{L/min}$

[의공학 풀이 1 [원리] — 문항 4-1 해설]: $c(t) = -\dfrac{1}{2}(t - 3)^2 + \dfrac{9}{2}$이므로 $t = 3$초에서 최고 농도 $\dfrac{9}{2}\;(\mathrm{mg/L})$이다.

[의공학 풀이 2 [계산] — 문항 4-2 해설]: $\displaystyle\int_0^6 \dfrac{1}{2}(6t - t^2)\,dt = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{6^3}{6} = 18\;(\mathrm{mg\cdot s/L})$이다.

[의공학 풀이 3 [결론] — 문항 4-3 해설]: 초당 심박출량은 $\mathrm{CO} = \dfrac{9}{18} = 0.5\;(\mathrm{L/s})$이고, 분당 심박출량은 $0.5 \times 60 = 30\;(\mathrm{L/min})$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 4-1	• $t = 3$초 및 최고 농도 $\dfrac{9}{2}$ 산출 +3점 / 대칭축 확인 +3점	6점
문항 4-2	• 정적분 값 $18$ 계산 +4점 / 부정적분 과정 +3점	7점
문항 4-3	• $\mathrm{CO} = 0.5\,\mathrm{L/s}$ 도출 +3점 / 분당 $30\,\mathrm{L/min}$ 환산 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 운동 부하 상태에서의 심박출량($30\,\mathrm{L/min}$)을 지시약 적분 면적으로부터 정확히 산출할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [4-1] $t = 3$초에서 최고 농도 $\dfrac{9}{2}$ | [4-2] 정적분 값 $18$ | [4-3] $\mathrm{CO} = 0.5\,\mathrm{L/s}$, 분당 $30\,\mathrm{L/min}$

【문제 5】 원문 요약 — 문항 5 [배점 20점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.40 탐구 3995 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문 (가)] 좌표공간에서 구 $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = R^2$이 $xy$평면($z=0$)과 만나 생기는 교선은 반지름이 $\sqrt{R^2 - c^2}$인 원이다.

정위 좌표계에서 표적 구 영역이 $S : (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2 = 41$로 주어질 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 구 $S$의 중심 $\mathrm{C}$의 좌표와 원점 $\mathrm{O}(0,0,0)$에서 중심 $\mathrm{C}$까지의 거리 $\overline{\mathrm{OC}}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 구 $S$가 $xy$평면($z = 0$)과 만나 생기는 교선 원의 중심 좌표와 반지름 $r$, 그리고 단면 원의 넓이를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 구 $S$ 위의 점 $\mathrm{P}$와 원점 $\mathrm{O}$ 사이의 거리의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 곱 $Mm$을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 5 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = R^2$ , $xy$ , $\sqrt{R^2 - c^2}$ , $S : (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2 = 41$ , $S$ , $\mathrm{C}$ , $\mathrm{O}(0,0,0)$ , $\overline{\mathrm{OC}}$ , $r$ , $\mathrm{P}$ , $\mathrm{O}$ , $M$ , $m$ , $Mm$

[의공학 풀이 1 [원리] — 문항 5-1 해설]: 중심은 $\mathrm{C}(3, 4, 5)$이고 $\overline{\mathrm{OC}} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$이다.

[의공학 풀이 2 [계산] — 문항 5-2 해설]: $z = 0$을 대입하면 $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 41 - 25 = 16$이므로 중심은 $(3, 4, 0)$, 반지름은 $r = 4$, 단면 넓이는 $16\pi$이다.

[의공학 풀이 3 [결론] — 문항 5-3 해설]: $M = 5\sqrt{2} + \sqrt{41},\; m = 5\sqrt{2} - \sqrt{41}$이므로 $Mm = 50 - 41 = 9$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 5-1	• $\mathrm{C}(3,4,5)$ 및 $\overline{\mathrm{OC}} = 5\sqrt{2}$ 도출 +3점 / 거리 공식 적용 +3점	6점
문항 5-2	• $r = 4$ 및 중심 $(3,4,0)$ 산출 +4점 / 넓이 $16\pi$ 계산 +3점	7점
문항 5-3	• $M = 5\sqrt{2}+\sqrt{41},\; m = 5\sqrt{2}-\sqrt{41}$ 표현 +3점 / 곱 $Mm = 9$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 방멱의 정리와 동일하게 $Mm = \overline{\mathrm{OC}}^2 - R^2 = 50 - 41 = 9$가 성립합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [5-1] $\mathrm{C}(3, 4, 5),\; \overline{\mathrm{OC}} = 5\sqrt{2}$ | [5-2] 중심 $(3, 4, 0)$, $r = 4$, 넓이 $16\pi$ | [5-3] $Mm = 9$

【문제 1】 원문 요약 — 문항 1 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.21 탐구 3901 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-08]

[문항 1-1] (6점) 두께 $x = 18\;(\mathrm{mm})$인 납 판을 통과한 후의 선량률 $I(18)$을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 투과 선량률을 $5\;(\mathrm{mSv/h})$ 이하로 낮추기 위해 필요한 최소 납 두께 $x_{\min}$을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 선량률을 초기값의 $\dfrac{1}{10}$ 이하로 줄이는 데 필요한 십가층 두께 $x_{1/10}$을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 1 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $x\;(\mathrm{mm})$ , $I(x)$ , $d_{1/2}$ , $I(x) = I_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x / d_{1/2}}$ , $d_{1/2} = 6\;(\mathrm{mm})$ , $I_0 = 320\;(\mathrm{mSv/h})$ , $\log_{10} 2 = 0.3$ , $x = 18\;(\mathrm{mm})$ , $I(18)$ , $5\;(\mathrm{mSv/h})$ , $x_{\min}$ , $\dfrac{1}{10}$ , $x_{1/10}$

[파이널 1단계 [수리 원리] — 문항 1-1 해설]: $I(18) = 320\left(\dfrac{1}{2}\right)^{18/6} = 320 \times \dfrac{1}{8} = 40\;(\mathrm{mSv/h})$이다.

[파이널 2단계 [정밀 계산] — 문항 1-2 해설]: $320\cdot 2^{-x/6} \le 5 \implies 2^{x/6} \ge 64 = 2^6 \implies x \ge 36$이므로 $x_{\min} = 36\;(\mathrm{mm})$이다.

[파이널 3단계 [임상 결론] — 문항 1-3 해설]: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x/6} \le \dfrac{1}{10} \implies \dfrac{x}{6}\log_{10} 2 \ge 1 \implies 0.05x \ge 1 \implies x_{1/10} = 20\;(\mathrm{mm})$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 1-1	• $I(18) = 40$ 산출 +3점 / 지수 $18/6 = 3$ 대입 +3점	6점
문항 1-2	• $2^{x/6} \ge 64$ 유도 +4점 / $x_{\min} = 36\,\mathrm{mm}$ 도출 +3점	7점
문항 1-3	• 상용로그 부등식 $\dfrac{x}{6}\times 0.3 \ge 1$ 수립 +3점 / $x_{1/10} = 20\,\mathrm{mm}$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 십가층(TVL)은 반가층(HVL)의 $\dfrac{1}{\log_{10} 2} = \dfrac{10}{3}$배이므로 $6 \times \dfrac{10}{3} = 20\,\mathrm{mm}$입니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [1-1] $I(18) = 40\;(\mathrm{mSv/h})$ | [1-2] $x_{\min} = 36\;(\mathrm{mm})$ | [1-3] $x_{1/10} = 20\;(\mathrm{mm})$

【문제 2】 원문 요약 — 문항 2 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.42 탐구 3902 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[제시문 (가)] 삼각형 $\mathrm{LMN}$에서 $m^2 = l^2 + n^2 - 2ln\cos M$이고 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}ln\sin M$이다.

[문항 2-1] (6점) 선분 $\overline{\mathrm{LN}}$의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 $\mathrm{LMN}$의 넓이 $S$와 외접원의 반지름 $R$를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 각 $\angle \mathrm{LMN}$의 이등분선이 변 $\mathrm{LN}$과 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 할 때, 선분 $\overline{\mathrm{MD}}$의 길이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 2 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $\mathrm{LMN}$ , $m^2 = l^2 + n^2 - 2ln\cos M$ , $S = \dfrac{1}{2}ln\sin M$ , $\mathrm{L}, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ , $\overline{\mathrm{ML}} = 5\,\mathrm{mm},\; \overline{\mathrm{MN}} = 8\,\mathrm{mm},\; \angle \mathrm{LMN} = 60^\circ$ , $\overline{\mathrm{LN}}$ , $S$ , $R$ , $\angle \mathrm{LMN}$ , $\mathrm{LN}$ , $\mathrm{D}$ , $\overline{\mathrm{MD}}$

[파이널 1단계 [수리 원리] — 문항 2-1 해설]: 코사인법칙에서 $\overline{\mathrm{LN}}^2 = 25 + 64 - 2\cdot 5\cdot 8\cos 60^\circ = 49 \implies \overline{\mathrm{LN}} = 7\,\mathrm{mm}$이다.

[파이널 2단계 [정밀 계산] — 문항 2-2 해설]: $S = \dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\sin 60^\circ = 10\sqrt{3}\,\mathrm{mm}^2$이고, $R = \dfrac{7}{2\sin 60^\circ} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\,\mathrm{mm}$이다.

[파이널 3단계 [임상 결론] — 문항 2-3 해설]: 넓이 분할 $\dfrac{1}{2}(5 + 8)\,\overline{\mathrm{MD}}\sin 30^\circ = 10\sqrt{3}$에서 $\dfrac{13}{4}\,\overline{\mathrm{MD}} = 10\sqrt{3}?$ 잠깐: $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$이므로 $\dfrac{13}{4}\,\overline{\mathrm{MD}} = 10\sqrt{3} \implies \overline{\mathrm{MD}} = \dfrac{40\sqrt{3}}{13}\,\mathrm{mm}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 2-1	• $\overline{\mathrm{LN}} = 7\,\mathrm{mm}$ 산출 +3점 / 코사인법칙 식 +3점	6점
문항 2-2	• $S = 10\sqrt{3}$ 계산 +4점 / $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ 도출 +3점	7점
문항 2-3	• 넓이 합 $S_{\mathrm{LMD}} + S_{\mathrm{NMD}} = S$ 적용 +3점 / $\overline{\mathrm{MD}} = \dfrac{40\sqrt{3}}{13}$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: $5, 7, 8$ 삼각형은 $60^\circ$를 끼인각으로 갖는 대표적인 정수변 삼각형입니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [2-1] $\overline{\mathrm{LN}} = 7\,\mathrm{mm}$ | [2-2] $S = 10\sqrt{3}\,\mathrm{mm}^2,\; R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\,\mathrm{mm}$ | [2-3] $\overline{\mathrm{MD}} = \dfrac{40}{13}\,\mathrm{mm}$

【문제 3】 원문 요약 — 문항 3 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.56 탐구 3903 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문 (가)] 미분가능한 함수 $W(x)$가 $W'(x) = 0$인 점에서 부호가 양에서 음으로 바뀌면 극댓값을 갖는다.

정규화된 대동맥 저항 지수 $x \in [0, 3]$에 대한 좌심실 박출 효율 함수가 $W(x) = -x^4 + 4x^3$일 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 도함수 $W'(x)$를 구하고 $W'(x) = 0$을 만족하는 $x$의 값을 모두 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 구간 $[0, 3]$에서 $W(x)$가 최대가 되는 $x$의 값과 그때의 최댓값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 곡선 $y = W(x)$ 위의 점 $(2, W(2))$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 3 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $W'(x) = 0$ , $x \in [0, 3]$ , $W(x) = -x^4 + 4x^3$ , $x$ , $[0, 3]$ , $y = W(x)$ , $(2, W(2))$

[파이널 1단계 [수리 원리] — 문항 3-1 해설]: $W'(x) = -4x^3 + 12x^2 = 4x^2(3 - x) = 0$이므로 $x = 0$ 또는 $x = 3$이다.

[파이널 2단계 [정밀 계산] — 문항 3-2 해설]: $0 \lt x \lt 3$에서 $W'(x) \gt 0$이므로 $W(x)$는 증가하며 $x = 3$에서 극대이자 최댓값 $W(3) = -81 + 108 = 27$을 갖는다.

[파이널 3단계 [임상 결론] — 문항 3-3 해설]: $W(2) = -16 + 32 = 16$이고 $W'(2) = 16\cdot 1 = 16$이므로 접선은 $y - 16 = 16(x - 2) \implies y = 16x - 16$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 3-1	• $W'(x) = 4x^2(3-x)$ 인수분해 +3점 / $x = 0, 3$ 도출 +3점	6점
문항 3-2	• 증감 판정 및 $x = 3$ 확인 +4점 / 최댓값 $27$ 산출 +3점	7점
문항 3-3	• $W(2)=16, W'(2)=16$ 계산 +3점 / 접선 $y = 16x - 16$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: $x = 0$에서는 $W'(x)$의 부호가 바뀌지 않아 극값이 아니며 $x = 3$에서만 극댓값을 갖습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [3-1] $W'(x) = 4x^2(3 - x),\; x = 0, 3$ | [3-2] $x = 3$에서 최댓값 $27$ | [3-3] $y = 16x - 16$

【문제 4】 원문 요약 — 문항 4 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.18 탐구 3904 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12확통03-05, 12확통03-06]

[문항 4-1] (6점) 항체 형성 표본비율 $\hat{p}$와 표준오차 $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 모비율 $p$에 대한 $95\%$ 신뢰구간 $[a, b]$와 신뢰구간의 길이 $L = b - a$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 4 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $n$ , $\hat{p}$ , $\hat{q} = 1 - \hat{p}$ , $p$ , $95\%$ , $\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$ , $\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$ , $n = 400$ , $320$ , $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ , $[a, b]$ , $L = b - a$ , $0.0392$ , $n_{\min}$

[파이널 1단계 [수리 원리] — 문항 4-1 해설]: $\hat{p} = \dfrac{320}{400} = 0.8$이고, 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{0.8 \times 0.2}{400}} = \dfrac{0.4}{20} = 0.02$이다.

[파이널 2단계 [정밀 계산] — 문항 4-2 해설]: 오차한계는 $1.96 \times 0.02 = 0.0392$이므로 신뢰구간은 $[0.7608, 0.8392]$이고 길이는 $L = 2 \times 0.0392 = 0.0784$이다.

[파이널 3단계 [임상 결론] — 문항 4-3 해설]: $2 \times 1.96 \times \dfrac{0.4}{\sqrt{n}} \le 0.0392 \implies \dfrac{1.568}{\sqrt{n}} \le 0.0392 \implies \sqrt{n} \ge 40 \implies n_{\min} = 1600$명이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 4-1	• $\hat{p} = 0.8$ 및 표준오차 $0.02$ 산출 +3점 / 루트 계산 +3점	6점
문항 4-2	• 신뢰구간 $[0.7608, 0.8392]$ 도출 +4점 / 길이 $L = 0.0784$ 계산 +3점	7점
문항 4-3	• 부등식 $\sqrt{n} \ge 40$ 유도 +3점 / $n_{\min} = 1600$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 교과서 기반 교육과정 확률과 통계(`12확통03-06`)에서 재도입된 모비율·표본비율$\hat{p}$ 추정의 핵심 문항입니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [4-1] $\hat{p} = 0.8$, 표준오차 $0.02$ | [4-2] $[0.7608, 0.8392],\; L = 0.0784$ | [4-3] $n_{\min} = 1600$명

【문제 5】 원문 요약 — 문항 5 [배점 20점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.48 탐구 3905 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[문항 5-1] (6점) 평면 $\alpha$의 방정식을 $x + 2y + 3z = k$ 꼴로 나타내고 단위법선벡터를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 원점 $\mathrm{O}(0, 0, 0)$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 길이 $d$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S_{\mathrm{ABC}}$와 $\triangle\mathrm{ABC}$의 $xy$평면 위로의 정사영 넓이 $S_{\mathrm{OAB}}$를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 5 · 총 20점

[조건 수식 확인]: $\vec{n} = (a, b, c)$ , $\mathrm{A}(x_0, y_0, z_0)$ , $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ , $(0,0,0)$ , $ax+by+cz+d=0$ , $\dfrac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ , $\mathrm{A}(6, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 3, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 2)$ , $\alpha$ , $x + 2y + 3z = k$ , $\mathrm{O}(0, 0, 0)$ , $d$ , $\mathrm{ABC}$ , $S_{\mathrm{ABC}}$ , $\triangle\mathrm{ABC}$ , $S_{\mathrm{OAB}}$

[파이널 1단계 [수리 원리] — 문항 5-1 해설]: 절편 방정식 $\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{2} = 1$의 양변에 $6$을 곱하면 $x + 2y + 3z = 6$이고, 법선벡터 $\vec{n} = (1, 2, 3)$의 크기는 $\sqrt{14}$이다.

[파이널 2단계 [정밀 계산] — 문항 5-2 해설]: 원점에서 평면까지의 거리는 $d = \dfrac{6}{\sqrt{1+4+9}} = \dfrac{6}{\sqrt{14}} = \dfrac{3\sqrt{14}}{7}$이다.

[파이널 3단계 [임상 결론] — 문항 5-3 해설]: $xy$평면 위 정사영 $\triangle\mathrm{OAB}$의 넓이는 $S_{\mathrm{OAB}} = \dfrac{1}{2}\times 6\times 3 = 9$이고, $\cos\theta = \dfrac{3}{\sqrt{14}}$이므로 $S_{\mathrm{ABC}} = \dfrac{9}{3/\sqrt{14}} = 3\sqrt{14}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 5-1	• 평면 방정식 $x+2y+3z=6$ 도출 +3점 / 법선벡터 크기 $\sqrt{14}$ 계산 +3점	6점
문항 5-2	• 점과 평면 거리 공식 적용 +4점 / $d = \dfrac{3\sqrt{14}}{7}$ 산출 +3점	7점
문항 5-3	• $S_{\mathrm{OAB}} = 9$ 및 $\cos\theta = \dfrac{3}{\sqrt{14}}$ 도출 +3점 / $S_{\mathrm{ABC}} = 3\sqrt{14}$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

⚠️ 감점 방어 & 첨삭 클리닉: 교과서 기반 기하(`12기하03-05`)의 공간 평면 방정식과 정사영 성질을 결합하여 $\dfrac{1}{3}\cdot S_{\mathrm{ABC}}\cdot d = \dfrac{1}{6}\cdot 6\cdot 3\cdot 2 = 6$으로도 검산됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 정답 요약: [5-1] $x + 2y + 3z = 6$, 단위법선 $\dfrac{1}{\sqrt{14}}(1, 2, 3)$ | [5-2] $d = \dfrac{3\sqrt{14}}{7}$ | [5-3] $S_{\mathrm{OAB}} = 9,\; S_{\mathrm{ABC}} = 3\sqrt{14}$

🎯 전형 방식: 논술 100% (수능최저 3합 4 충족자 일괄합산 · 실질경쟁률 급감 구조) 📌 수능최저 기준: 국·수(미/기)·영·과탐(2평균) 중 3개 영역 등급합 4 이내 및 한국사 5등급 이내

희망 지원 모집단위 선택

수능최저학력기준 충족 여부 체크 (국·수(미/기)·영·과탐(2평균) 중 3개 영역 등급합 4 이내 )

문항 1 (20점)

문항 2 (20점)

문항 3 (20점)

문항 4 (20점)

문항 5 (20점)

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모집단위	모집인원	명목경쟁률	실질경쟁률	최초합 평균	70% 충원컷	수능최저 기준	실시간 합격 판정
의예과	15명	168.4:1	21.5:1	93.5점	90.5점	3합 4 (과탐2평균)	판정 대기
치의예과	11명	134.2:1	18.2:1	91.5점	88.5점	3합 4 (과탐2평균)	판정 대기
한의예과(자연)	16명	112.6:1	15.8:1	90.0점	87.0점	3합 4 (과탐2평균)	판정 대기
약학과	8명	146.5:1	19.4:1	89.0점	86.0점	3합 4 (과탐2평균)	판정 대기
한약학과 (의약학 연계군)	6명	64.8:1	14.6:1	84.5점	81.5점	2합 5 (수·영·과)	판정 대기
약과학과 (의약학 연계군)	5명	58.2:1	13.2:1	83.5점	80.5점	2합 5 (수·영·과)	판정 대기
간호학과(자연)	8명	52.4:1	12.5:1	83.0점	80.0점	2합 5 (수·영·과)	판정 대기
유전생명공학과 (바이오 비교군)	10명	46.5:1	11.4:1	82.0점	79.0점	2합 5	판정 대기
생체의공학과 (메디컬공학 비교군)	8명	41.8:1	10.6:1	81.0점	78.0점	2합 5	판정 대기
융합바이오·신소재공학과	9명	38.6:1	9.8:1	80.0점	77.0점	2합 5	판정 대기

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회차	실전 응시일	소요 시간	원점수 / 100점
제1회	2026. . .	분	/ 100
제2회	2026. . .	분	/ 100
제3회	2026. . .	분	/ 100
제4회	2026. . .	분	/ 100
제5회	2026. . .	분	/ 100
제6회	2026. . .	분	/ 100
제7회	2026. . .	분	/ 100
제8회	2026. . .	분	/ 100
제9회	2026. . .	분	/ 100
제10회	2026. . .	분	/ 100

RULE 1

원칙 1. 교과서 정의·정리 우선 선언
답안 첫 줄에 사용할 교과서 정리(사잇값 정리, 평균값 정리, 미분가능성 정의, 조건부확률 곱셈정리 등)를 명시하여 1단계 배점(30%)을 확정하십시오.

RULE 2

원칙 2. 대학 미적분학 과정 공식 사용 철저 배제
고교 교육과정을 벗어난 대학 과정 정리나 무근거 근사식 사용은 채점 기준에서 감점 또는 무효 처리되므로 반드시 교과서 성질만으로 논증하십시오.

RULE 3

원칙 3. 동치 변형과 정의역·부호 경계 조건 명시
로그의 밑·진수 조건, 무리식·분수식의 분모 조건, 치환 변수의 새로운 범위(예: $-1 \le t \le 1$)를 빠짐없이 기록하십시오.

RULE 4

원칙 4. 소문항 간 단계적 연계 구조 활용
앞선 소문항 (1)의 결론은 소문항 (2), (3)을 해결하는 핵심 힌트입니다. (1)이 막히더라도 (1)의 결과를 가정하고 (2)의 식을 세우면 부분점수를 획득할 수 있습니다.

RULE 5

원칙 5. 도형·그래프 보조 문자의 명확한 정의
답안지에 새로운 점·각·길이를 도입할 때는 '점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하자'와 같이 기호의 정의를 한 문장으로 선언하십시오.

RULE 6

원칙 6. 실전 시간 배분 및 검산 루틴 엄수
전체 시험 시간(120분) 중 마지막 10분은 부호 오류, 기약분수 약분 여부, 최종 답란 이기 누락을 점검하는 전용 검산 시간으로 확보하십시오.

RULE 7

원칙 7. 깔끔한 단락 구분과 최종 결론 강조
단계별 번호([1단계], [2단계], [결론])를 줄바꿈하여 가독성을 높이고 최종 수식을 명확히 제시하여 채점위원이 즉시 득점 포인트를 확인하게 하십시오.

📘 2027학년도 경희대학교 의학계열 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

• 편찬 및 발행: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술·약술형논술 연구소 | 공식 플랫폼: https://questio.co.kr

• 상호: 퀘스티오(QUESTIO) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449

• 교육과정 준거: 교과서 기반 수학과 교육과정 (Textbook DB V1.0 · JEV-REA-ARGON 7대 무결성 검증 통과)

\(X\)	1	2	3	4	5	합계
\(\mathrm{P}(X)\)	\(\frac{1}{5}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(\frac{1}{5}\)	1

\(Y\)	1	2	3	4	5
조건부확률	0	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{4}\)

\(Y\)	1	2	3	4	5	합계
\(\mathrm{P}(Y)\)	\(\frac{5}{12}\)	\(\frac{4}{15}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{10}\)	\(\frac{1}{20}\)	1

\(Z\)	1	2	3	4	5	합계
\(\mathrm{P}(Z)\)	\(\frac{13}{30}\)	\(\frac{7}{30}\)	\(\frac{2}{15}\)	\(\frac{1}{10}\)	\(\frac{1}{10}\)	1

\(a\)의 범위	점의 개수	\(a\)의 범위	점의 개수
\(0 \lt a \lt a_1\)	5	\(a_1 \lt a \lt a_2\)	3
\(a = a_1\)	4	\(a \ge a_2\)	2

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-(1)	[4점] \(f''(x) = 0\)이 되는 \(x\)를 계산한다. [4점] \(\alpha \lt a_n \lt \beta\)를 설명한다. [4점] 극한값을 계산한다.	12점
논제 I-(2)	[5점] \(y = f(x)\)가 연속인 구간에서 감소임을 설명한다. [5점] \(f(x) \gt k\)인 구간의 길이의 합을 계산한다. [5점] 무한등비급수의 합을 계산한다.	15점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 II-(1)	[5점] \(X\)의 기댓값을 구한다. [8점] \(Y\)의 확률질량함수를 구한다. [6점] \(Y\)의 기댓값을 구하여 전략 \(A,\ B\)를 비교한다.	19점
논제 II-(2)	[8점] \(Z\)의 확률질량함수를 구한다. [6점] \(Z\)의 기댓값을 구하여 전략 \(C\)를 전략 \(A,\ B\)와 비교한다.	14점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-(1)	[6점] 점 \(\mathrm{P}\)에서 선분 \(\mathrm{EB}\)와 평면 \(\mathrm{EBC}\)에 내린 수선의 발을 각각 \(\mathrm{H}\)와 \(\mathrm{O}\)라 할 때, \(\cos\theta = \dfrac{\overline{\mathrm{HO}}}{\overline{\mathrm{PH}}}\)임을 확인한다. [8점] \(\cos\theta = \dfrac{3}{4}\)을 계산한다.	14점
논제 I-(2)	[7점] 삼각형 \(\mathrm{PBC}\)의 넓이를 구한다. [7점] 사면체 \(\mathrm{PEBC}\)의 부피를 구한다.	14점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 II-(1)	[5점] \(a\)를 \(b\)에 대한 식으로 표현한다. [5점] \(b\)의 범위(\(b \ge -1\))를 구한다. [6점] \(b\)의 범위를 이용하여 \(c\)의 범위를 계산한다.	16점
논제 II-(2)	[7점] \(0 \lt b \le 1\)일 때 \(d\)의 값을 계산한다. [7점] \(b \gt 1\)일 때 \(d\)의 값을 계산한다. [2점] \(g\left(\dfrac{1}{2}\right) + g(39)\)의 값을 계산한다.	16점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-2-(1)	[3점] 삼각형이 만들어지도록 동전이 나올 수 있는 경우(\(\mathrm{HT, TH}\))를 파악한다. [5점] 도형의 넓이가 \(6\) 이상일 확률 \(\dfrac{17}{72}\)를 구한다.	8점
논제 I-2-(2)	[5점] 삼각형이 만들어지도록 동전이 나올 수 있는 \(6\)가지 경우를 파악한다. [10점] 도형의 넓이가 \(18\) 이상일 확률 \(\mathrm{P}(A) = \dfrac{2}{27}\)를 구한다. [9점] 넓이가 \(18\) 이상이며 세 번째 주사위의 눈의 수가 \(6\)일 조건부확률 \(\mathrm{P}(B \mid A) = \dfrac{19}{32}\)를 구한다.	24점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-1-(1)	[8점] \(\left\|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}} + \overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right\|\)이 최소가 되는 점 \(\mathrm{M}\)과 점 \(\mathrm{N}\)의 위치를 파악한다. [8점] 선분 \(\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\)의 길이 \(\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} = \dfrac{2}{3}\)를 구한다.	16점
논제 I-1-(2)	[2점] 주어진 도형을 좌표평면 위에 놓는다. [6점] 점 \(\mathrm{M}\)과 점 \(\mathrm{R}\)의 좌표를 구한다. [4점] 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 \(\overline{\mathrm{MR}}^2 = \dfrac{14 - 4\sqrt{10}}{9}\)을 구한다.	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-2-(1)	[8점] 주어진 조건에 맞는 각 구간별 이차함수 \(g(x) = -x^2 + x + 1,\ h(x) = x^2 - 3x + 3\)을 구한다. [4점] \(f'(1) = -1\)의 값을 구한다.	12점
2단계	논제 I-2-(2) — [5점] \(\dfrac{1}{2} \lt a \lt 1\)임을 파악한다. [5점] \(a = \dfrac{3}{4}\)의 값을 구한다. [10점] 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다. (※ 공식 안내: 위의 세 단계 중 마지막 단계인 도형의 넓이를 구하는 부분에 배정된 부분점수 10점은 문제 오류로 인해 전원 10점 부여함)	20점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-1-(1)	[8점] 구간 \([0,1),\ [1,2),\ [2,3]\)에 따라 겹치는 넓이 함수 \(f(t)\)를 구한다. [8점] 정적분 \(\displaystyle\int_0^3 \|f(t) - g(t)\|\,dt = \dfrac{7}{12}\)의 값을 구한다.	16점
논제 I-1-(2)	[6점] 함수 \(f(t)\)가 구간 \([2, 3]\)에서 감소함수임을 설명하여 넓이 함수 \(S(a)\)를 세운다. [6점] \(S(a)\)의 도함수 \(S'(a) = -(2a-5)f'(a)\)를 구하고 최소가 되는 \(a = \dfrac{5}{2}\)의 값을 구한다.	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-2-(1)	[6점] 독립시행의 확률을 이용하여 처음에 네 갈래의 경우(\(X=20, 22, 24\))의 확률을 계산한다. [6점] 독립시행의 확률을 이용하여 처음에 여섯 갈래의 경우(\(X=24, 26, 28\))의 확률을 계산한다. [4점] 조건부확률 \(\dfrac{1}{3}\)을 계산한다.	16점
논제 I-2-(2)	[8점] 최소거리를 구간별 함수 \(f(t) = \begin{cases} 2t & (0 \lt t \le t_0) \\ 10 - 2\sqrt{3}t & (t_0 \lt t \lt 5/2) \end{cases}\)로 나타낸다. [8점] 함수가 미분가능하지 않은 \(t = \dfrac{5(\sqrt{3}-1)}{2}\)의 값과 이때의 함숫값 \(f(t) = 5(\sqrt{3}-1)\)을 구한다.	16점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-1-(1)	[5점] 빛의 통과 과정을 무한등비급수로 표현하고 첫째항 \(r^2a\)와 공비 \((1-r)^2\)을 찾는다. [5점] 등비급수 합 공식으로 방정식을 세워 빛을 통과시키는 비율 \(r = \dfrac{2}{3}\)를 구한다.	10점
논제 I-1-(2)	[6점] 투과율 \(q_1, q_2\)인 두 장의 유리창을 하나로 보았을 때의 합성 투과율 공식을 도출한다. [6점] \(n\)장의 유리창에 대한 점화식 \(r_n = \dfrac{2r_{n-1}}{2 + r_{n-1}}\)을 세운다. [6점] 역수 등차수열을 풀어 일반항 \(r_n = \dfrac{2}{n+2}\) 및 \(p_n = \dfrac{2}{n+2}a\)를 정확히 구한다.	18점

경우	확률	1개월	2개월	3개월	평균	보너스
UUU	\(1/8\)	32	64	128	\(224/3\)	\(160/3\)
UUD	\(1/8\)	32	64	32	\(128/3\)	\(0\)
UDU	\(1/8\)	32	16	32	\(80/3\)	\(16/3\)
UDD	\(1/8\)	32	16	8	\(56/3\)	\(0\)
DUU	\(1/8\)	8	16	32	\(56/3\)	\(40/3\)
DUD	\(1/8\)	8	16	8	\(32/3\)	\(0\)
DDU	\(1/8\)	8	4	8	\(20/3\)	\(4/3\)
DDD	\(1/8\)	8	4	2	\(14/3\)	\(0\)

성장 보너스	\(0\)	\(4/3\)	\(16/3\)	\(40/3\)	\(160/3\)
확률	\(4/8\)	\(1/8\)	\(1/8\)	\(1/8\)	\(1/8\)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-2-(1)	[5점] 점 \(\mathrm{P}_1\)이 만족하는 기하학적 조건을 극형식 매개변수로 설정한다. [5점] 접선의 기울기 일치 조건을 통해 \(r(t) = e^{-\alpha t}\)임을 유도한다. [5점] 정적분을 계산하여 점 \(\mathrm{P}_1\)이 움직인 거리 \(\dfrac{\sqrt{\alpha^2+1}}{\alpha}(1 - e^{-\alpha\pi/2})\)를 구한다.	15점
논제 I-2-(2)	[6점] 직선의 방정식을 구하고 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)의 좌표 및 넓이 \(S(a)\)를 도출한다. [6점] \(\overline{\mathrm{AB}} = 1\) 조건에서 \(a\)와 \(b\)의 관계를 이용하여 \(\lim_{a\to\infty} \dfrac{b}{a} = 1\)임을 증명하고 \(\lim_{a\to\infty} S(a) = 2\)를 구한다. [5점] \(a\to 0^+\)일 때의 대칭성을 활용하여 \(\lim_{a\to 0^+} S(a) = 2\)를 정확히 구한다.	17점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 I-(1)	[3점] \(f(x)\)를 구한다. [4점] \(a_n\)의 값을 구한다. [3점] \(b_n\)의 값을 구한다. [3점] \(\dfrac{a_n}{nb_n}\)의 극한값을 구한다.	13점
논제 I-(2)	[8점] 직선의 기울기를 분류한다. [6점] 기울기 \(a_1\)의 값을 구한다. [3점] 기울기 \(a_2\)의 값을 구한다.	17점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
논제 III-(1)	[5점] 정사영의 성질을 이용하여 \(\cos\theta = \dfrac{\triangle\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3}{\triangle\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{O}_3}\)임을 파악한다. [4점] \(\triangle\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{O}_3\)의 넓이를 구한다. [6점] \(\triangle\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3\)의 넓이를 구한다.	15점
논제 III-(2)	[10점] 삼각형 \(\mathrm{O}_3\mathrm{AB}\)의 넓이 \(S_1\)을 구한다. [12점] 삼각형 \(\mathrm{P}_3\mathrm{AO}_2\)의 넓이 \(S_2\)를 구하고 \(\dfrac{S_2}{S_1}\)를 계산한다.	22점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 1-1	• \(T_{1/2} = 3\) 및 \(C(9) = 10\) 산출 +3점 / \(\log_{10} C(t) = 1.9 - 0.1t\) 유도 +3점	6점
문항 1-2	• \(\log_{10} 64 = 1.8\)로부터 \(t_1 = 1\) 도출 +4점 / \(2^{t_2/3} = 16\)으로부터 \(t_2 = 12\) 도출 +3점	7점
문항 1-3	• 잔류 농도 \(C(12) = 5\) 확인 +3점 / 추가 투여 농도 \(\Delta C = 75\) 산출 +4점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 2-1	• 주기 \(T = \dfrac{4}{5}\)초 도출 +3점 / 분당 심박수 \(75\,\mathrm{bpm}\) 산출 +3점	6점
문항 2-2	• 부등식 \(\dfrac{1}{15} \le t \le \dfrac{1}{3}\) 해 도출 +4점 / 시간 길이 \(\dfrac{4}{15}\)초 산출 +3점	7점
문항 2-3	• 코사인법칙으로 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 7\) 도출 +4점 / 사인법칙으로 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 3-1	• \(V_{\max} = 12,\; K_m = 4\) 도출 +4점 / \(s_{1/2} = 4\) 산출 +2점	6점
문항 3-2	• 역수 변환식 유도 +3점 / \(a = \dfrac{1}{3},\; b = \dfrac{1}{12}\) 산출 +4점	7점
문항 3-3	• \(\dfrac{I}{K_i} = 2\) 산출 +4점 / 무한대 극한 차 \(0\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 4-1	• \(C'(t) = 3(t-2)(t-6)\) 인수분해 +3점 / \(T_{\max} = 2,\; C_{\max} = 32\) 도출 +3점	6점
문항 4-2	• \(t_0 = 4\) 도출 +4점 / \(C'(4) = -12\) 산출 +3점	7점
문항 4-3	• 양 끝점 함숫값 \(C(0)=C(6)=0\) 및 증감 개형 분석 +4점 / \(0 \lt k \lt 32\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 5-1	• \(c = 5\) 및 \(\mathrm{F}(\pm 5, 0)\) 산출 +3점 / 총 이동 거리 \(L = 26\,\mathrm{cm}\) 도출 +3점	6점
문항 5-2	• \(p+q=26,\; p^2+q^2=100\) 연립 +4점 / 넓이 \(\dfrac{1}{2}pq = 144\) 산출 +3점	7점
문항 5-3	• 접선 \(5x + 12y = 169\) 및 접점 \(\mathrm{Q}\left(5, \dfrac{144}{13}\right)\) 도출 +4점 / 원점 거리 \(13\,\mathrm{cm}\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 1-1	• \(\mathrm{pH} = 7.4\) 산출 +3점 / \(10^{-0.4} = \dfrac{1.58}{4} = 0.395\)배 도출 +3점	6점
문항 1-2	• 로그 부등식 \(1.2 \le \log_{10}(y/1.2) \le 1.4\) 수립 +4점 / \(18.96 \le y \le 30\) 도출 +3점	7점
문항 1-3	• 산증 \(\mathrm{pH} = 7.1\) 도출 +3점 / 보상 목표 농도 \(y_1 = 48\;(\mathrm{mM})\) 산출 +4점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 2-1	• \(A=0.3, B=2.7\) 및 \(1\)회 호흡량 \(0.6\,\mathrm{L}\) 산출 +3점 / 분당 환기량 \(9.0\,\mathrm{L/min}\) 도출 +3점	6점
문항 2-2	• \(\cos(\pi t/2) \le -1/2\) 변환 +3점 / \(\dfrac{4}{3} \le t \le \dfrac{8}{3}\) 및 길이 \(\dfrac{4}{3}\)초 도출 +4점	7점
문항 2-3	• 주기별 대칭축 \(t = 2, 6\) 명시 +4점 / 네 근의 합 \(16\)초 산출 +3점	7점

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평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 3-1	• 인수분해 약분 \(\dfrac{(x-3)(x+2)}{x-3} = x+2\) +3점 / \(k = 10\) 도출 +3점	6점
문항 3-2	• \(a + b = 2,\; 3a + b = 10\) 수립 +4점 / \(a = 4,\; b = -2\) 산출 +3점	7점
문항 3-3	• \([1, 3]\)에서 \(I(x)\)의 연속성 명시 +3점 / \(I(1)=3 \gt 0,\; I(3)=-5 \lt 0\) 확인 후 사잇값 정리 결론 +4점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 4-1	• \(\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}} = 64,\; \mathrm{AUC}_{\mathrm{PO}} = 64\) 산출 +4점 / \(F = 1\) 도출 +2점	6점
문항 4-2	• 교점 \(t^* = \dfrac{4}{3}\) 도출 +3점 / 정적분으로 \(S_1 = \dfrac{256}{9}\) 산출 +4점	7점
문항 4-3	• \(S_1 - S_2 = \int_0^4 (C_{\mathrm{IV}} - C_{\mathrm{PO}})\,dt = 0\) 증명 +4점 / \(S_2 = \dfrac{256}{9}\) 결론 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 5-1	• 내적 분배법칙으로 \(V_2 = V_1 + V_3\) 증명 +4점 / \(V_3 = 0\) 도출 +2점	6점
문항 5-2	• 성분 \(\vec{E} = (\sqrt{3}, -1)\) 도출 +4점 / 크기 \(\|\vec{E}\| = 2\) 산출 +3점	7점
문항 5-3	• \(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = \dfrac{\pi}{6}\) 도출 +4점 / 수직 단위벡터 \(\pm\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 1-1	• \(\alpha = 240\) 도출 +3점 / 일반항 \(a_n = 240(1 - 2^{-n})\) 산출 +3점	6점
문항 1-2	• 초기조건 \(n=1\) 확인 +2점 / \(n=k \implies n=k+1\) 점화식 대입 유도 +5점	7점
문항 1-3	• 부하 용량 \(L = 240\,\mathrm{mg}\) 도출 +4점 / 누적 투여 총량 \(1320\,\mathrm{mg}\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 2-1	• \(a = 2\sqrt{15}\) 산출 +3점 / \(\sin A = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}\) 및 \(S = 7\sqrt{6}\) 도출 +3점	6점
문항 2-2	• 사인법칙으로 \(R = \dfrac{5\sqrt{10}}{4}\) 산출 +4점 / \(r = 2\sqrt{6} - \sqrt{10}\) 도출 +3점	7점
문항 2-3	• 중선정리 또는 코사인법칙 식 수립 +4점 / \(\overline{\mathrm{AM}} = \sqrt{22}\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 3-1	• \(\|v'(2)\| = 40\) 산출 +3점 / 접선 \(y = -20r + 50\) 및 \(r\)절편 \(\dfrac{5}{2}\) 도출 +3점	6점
문항 3-2	• \(Q(2) = 80\pi\) 및 평균변화율 \(40\pi\) 도출 +4점 / \(Q'(c) = 40\pi \iff c^3 - 4c + 2 = 0\) (\(v(r)\) 기준 \(c=1\)) 도출 +3점	7점
문항 3-3	• 유량 비 \(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{4}\) 산출 +3점 / 미분계수 \(80\pi(2)^3 = 640\pi\) 도출 +4점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 4-1	• 정적분 값 \(10\) 산출 +3점 / \(\Phi = 0.5\,\mathrm{L/s},\; \mathrm{CO} = 30\,\mathrm{L/min}\) 도출 +3점	6점
문항 4-2	• \(\int_{0}^{10} t\,c(t)\,dt = 50\) 계산 또는 \(t=5\) 대칭성 논증 +4점 / \(\mathrm{MTT} = 5\)초 도출 +3점	7점
문항 4-3	• \(\mathrm{CBV} = 2.5\,\mathrm{L}\) 산출 +4점 / 대칭성에 의한 \(50\%\) 통과율 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 5-1	• \(\overline{\mathrm{OC}} = 3\) 및 \(d_{\min} = 7\) 산출 +3점 / \(\mathrm{P}\left(\dfrac{10}{3}, \dfrac{20}{3}, \dfrac{20}{3}\right)\) 도출 +3점	6점
문항 5-2	• \(\overline{\mathrm{AC}}^2 = 65\) 계산 +3점 / 피타고라스 정리로 \(\overline{\mathrm{AT}} = \sqrt{61}\) 도출 +4점	7점
문항 5-3	• 두 단면 원의 넓이 \(96\pi,\; 4\pi\) 각각 산출 +4점 / 넓이 차 \(92\pi\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 1-1	• \(10^3 \cdot 2^{C_t} = 10^9\) 수립 +3점 / \(C_t(\mathrm{A}) = 20\) 산출 +3점	6점
문항 1-2	• 사이클 차 \(\Delta C_t = 5\) 활용 +3점 / \(2^5 = 32\)배 도출 +4점	7점
문항 1-3	• \(\log_{10} 1.6 = 4\log_{10} 2 - 1 = 0.2\) 유도 +4점 / \(C_t' = 30\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문항 2-1	• 차수 비교로 \(n = 2\) 도출 +3점 / \(K = 16\) 산출 +3점	6점
문항 2-2	• \(x_{50} = 4\) 도출 +3점 / \(x_{80} = 8\) 산출 +4점	7점
문항 2-3	• \(R(x) = \dfrac{x^2}{16}\) 유도 +4점 / 로그 변화율(힐 플롯 기울기) \(= 2 = n\) 증명 +3점	7점