주어진 \(x,\ y\)를 시각 \(t\)에 대하여 각각 미분하면 \[ x'(t) = 2t^{\frac{2n-1}{2}}, \qquad y'(t) = t^{2n} - \frac{1}{t} \] 이다. 따라서 제시문 [가]의 매개변수로 나타낸 함수의 미분법에 의하여 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)} = \frac{t^{2n} - \dfrac{1}{t}}{2t^{\frac{2n-1}{2}}} = \frac{1}{2}\left(t^{\frac{2n+1}{2}} - t^{-\frac{2n+1}{2}}\right) \quad \cdots\cdots \text{[배점 6점]} \] 이다. 여기서 \(u = t^{\frac{2n+1}{2}}\)이라고 두고 \(\dfrac{dy}{dx} = n\)일 때를 생각하면, \[ n = \frac{1}{2}\left(u - \frac{1}{u}\right) \implies u^2 - 2nu - 1 = 0 \] 이다. 근의 공식에 의하여 \(u = n \pm \sqrt{n^2 + 1}\)이고, 조건에서 \(t \ge 1\)이므로 \(u = t^{\frac{2n+1}{2}} \ge 1 \gt 0\)이어서 \(u = n + \sqrt{n^2 + 1}\)을 얻는다.
따라서 \(\dfrac{dy}{dx} = n\)이 되는 점 \(\mathrm{P}\)의 \(x\)좌표 \(a_n\)은 \[ a_n = \frac{4}{2n+1}u - \frac{4}{2n+1} = \frac{4}{2n+1}\left(n - 1 + \sqrt{n^2 + 1}\right) \quad \cdots\cdots \text{[배점 6점]} \] 이다. 그러므로 구하는 극한값은 \[ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{4(n-1)}{2n+1} + \frac{4\sqrt{n^2+1}}{2n+1}\right) = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{4 - \dfrac{4}{n}}{2 + \dfrac{1}{n}} + \frac{4\sqrt{1 + \dfrac{1}{n^2}}}{2 + \dfrac{1}{n}}\right) = 2 + 2 = 4 \quad \cdots\cdots \text{[배점 3점]} \] 시각 \(t\ (t \ge 1)\)에서 점 \(\mathrm{P}\)의 속력은 \[ \sqrt{\{x'(t)\}^2 + \{y'(t)\}^2} = \sqrt{4t^{2n-1} + \left(t^{2n} - \frac{1}{t}\right)^2} = \sqrt{4t^{2n-1} + t^{4n} - 2t^{2n-1} + \frac{1}{t^2}} = \sqrt{\left(t^{2n} + \frac{1}{t}\right)^2} = t^{2n} + \frac{1}{t} \quad \cdots \text{[배점 6점]} \] 이다. \(b = e^{\frac{1}{2n+1}}\)이라고 할 때, 제시문 [나]에 의하여 시각 \(t = 1\)에서 \(t = b\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리 \(l\)은 \[ l = \int_1^b \left(t^{2n} + \frac{1}{t}\right)dt = \left[\frac{1}{2n+1}t^{2n+1} + \ln t\right]_1^b = \frac{1}{2n+1}b^{2n+1} + \ln b - \frac{1}{2n+1} = \frac{e + 1 - 1}{2n+1} = \frac{e}{2n+1} \quad \cdots \text{[배점 6점]} \] 이다. 또한 시각 \(t = b = e^{\frac{1}{2n+1}}\)에서 점 \(\mathrm{P}\)의 \(y\)좌표 \(m\)은 \[ m = \frac{1}{2n+1}b^{2n+1} - \ln b - \frac{1}{2n+1} = \frac{e - 1 - 1}{2n+1} = \frac{e-2}{2n+1} \] 이므로, 구하는 비는 \(\dfrac{l}{m} = \dfrac{\; \dfrac{e}{2n+1} \;}{\dfrac{e-2}{2n+1}} = \dfrac{e}{e-2}\)이다. \(\cdots\cdots \text{[배점 3점]}\)

\(f(x) = 4\sqrt{x}\)에서 \(f'(x) = \dfrac{2}{\sqrt{x}}\)이므로, 제시문 [라]에 의하여 점 \(\mathrm{P}(a, 4\sqrt{a})\)에서의 접선 \(l\)의 방정식은 \[ y - 4\sqrt{a} = \frac{2}{\sqrt{a}}(x - a) \implies y = h(x) = \frac{2}{\sqrt{a}}x + 2\sqrt{a} \quad \cdots\cdots \text{[배점 5점]} \] 이다. \(0 \lt x \lt 4\)에서 \(h(x) \ge f(x)\) (등호는 \(x=a\)일 때 성립)이므로, 도형 \(S\)의 넓이를 \(g(a)\)라 하면 \[ g(a) = \int_0^4 h(x)\,dx - \int_0^4 4\sqrt{x}\,dx = \left[\frac{1}{\sqrt{a}}x^2 + 2\sqrt{a}x\right]_0^4 - \left[\frac{8}{3}x\sqrt{x}\right]_0^4 = 8\sqrt{a} + \frac{16}{\sqrt{a}} - \frac{64}{3} \quad \cdots\cdots \text{[배점 5점]} \] 이다. \(0 \lt a \lt 4\)에서 \(g(a)\)를 미분하면 \(g'(a) = \dfrac{4}{\sqrt{a}} - \dfrac{8}{a\sqrt{a}} = \dfrac{4}{a\sqrt{a}}(a - 2)\)이다. 제시문 [마]에 의하여 \(g(a)\)는 \(0 \lt a \lt 2\)에서 감소(\(g'(a) \lt 0\))하고 \(2 \lt a \lt 4\)에서 증가(\(g'(a) \gt 0\))하므로 \(a = 2\)에서 극소이자 최소가 된다. 따라서 최솟값은 \(g(2) = 16\sqrt{2} - \dfrac{64}{3} = 16\left(\sqrt{2} - \dfrac{4}{3}\right)\)이다. \(\cdots \text{[배점 7점]}\)

곡선 \(y = 5 - \dfrac{x^2}{a}\)에서 \(x^2 = a(5 - y)\)이므로, 이를 \(y = 5\sqrt{1 - x^2}\)에 대입하면 \(y = 5\sqrt{1 - 5a + ay}\)이다. 양변을 제곱하여 정리하면 \[ y^2 = 25(1 - 5a + ay) \implies y^2 - 25ay + 125a - 25 = 0 \implies (y - 5)(y - 25a + 5) = 0 \quad \cdots\cdots \text{[배점 7점]} \] 이므로 \(y = 5\) 또는 \(y = 25a - 5\)이다.
• \(y = 5\)일 때는 \(x = 0\)이므로 한 개의 교점 \((0, 5)\)를 갖는다.
• \(y = 25a - 5\)일 때 교점을 가지려면, 함수 \(y = 5\sqrt{1-x^2}\ (-1 \le x \le 1)\)의 치역이 \(0 \le y \le 5\)이므로 \[ 0 \le 25a - 5 \le 5 \implies \frac{1}{5} \le a \le \frac{2}{5} \quad \cdots\cdots \text{[배점 6점]} \] 이어야 한다. 이때 \(a = \dfrac{2}{5}\)이면 \(y = 25a - 5 = 5\)가 되어 교점이 \((0, 5)\) 오직 \(1\)개뿐이고, \(\dfrac{1}{5} \le a \lt \dfrac{2}{5}\)이면 \(0 \le 25a - 5 \lt 5\)가 되어 \(x = \pm\sqrt{a(10 - 25a)}\)인 두 교점과 \((0, 5)\)를 합쳐 총 \(3\)개의 서로 다른 교점을 갖는다. 따라서 서로 다른 교점이 \(2\)개 이상이 되는 양수 \(a\)의 범위는 \(\dfrac{1}{5} \le a \lt \dfrac{2}{5}\)이다. \(\cdots\cdots \text{[배점 5점]}\)

삼각형 \(\mathrm{OP}_1\mathrm{P}_2\)에서 \(\angle\mathrm{P}_2\mathrm{OP}_1 = \alpha,\ \angle\mathrm{OP}_2\mathrm{P}_1 = \dfrac{\pi}{3}\)이므로 \(\angle\mathrm{OP}_1\mathrm{P}_2 = \pi - \left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right)\)이다. 제시문 [라]의 사인법칙을 적용하면 \[ \frac{\overline{\mathrm{OP}_2}}{\sin\left(\pi - \left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right)\right)} = \frac{\overline{\mathrm{OP}_1}}{\sin\dfrac{\pi}{3}} \implies \overline{\mathrm{OP}_2} = \frac{2}{\sqrt{3}}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right)\overline{\mathrm{OP}_1} \] 이고, 직각삼각형 \(\mathrm{OP}_3\mathrm{P}_2\)에서 \(\angle\mathrm{OP}_2\mathrm{P}_3 = \alpha\)이므로 \(\overline{\mathrm{OP}_3} = \sin\alpha\,\overline{\mathrm{OP}_2}\)이다.
이와 같은 방법으로 제\(2\)사분면의 삼각형 \(\mathrm{OP}_3\mathrm{P}_4\)와 직각삼각형 \(\mathrm{OP}_5\mathrm{P}_4\)에서는 \(\angle\mathrm{P}_3\mathrm{OP}_4 = \dfrac{\pi}{2} - \beta\)이므로, 위 식의 \(\alpha\) 대신 \(\dfrac{\pi}{2} - \beta\)를 적용하면 \[ \overline{\mathrm{OP}_4} = \frac{2}{\sqrt{3}}\sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta + \frac{\pi}{3}\right)\overline{\mathrm{OP}_3}, \qquad \overline{\mathrm{OP}_5} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\overline{\mathrm{OP}_4} \quad \cdots\cdots \text{[배점 10점]} \] 이다. 위의 관계식들과 \(\overline{\mathrm{OP}_1} = 1\)을 차례대로 대입하고 \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \left(\beta - \dfrac{\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(\beta - \dfrac{\pi}{3}\right),\ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \beta\right) = \cos\beta\)를 적용하면 \[ \overline{\mathrm{OP}_5} = \frac{4}{3}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right)\sin\alpha\cos\left(\beta - \frac{\pi}{3}\right)\cos\beta \quad \cdots\cdots \text{[배점 6점]} \] 이다. 주어진 범위 \(0 \lt B \lt \dfrac{\pi}{2},\ -\dfrac{\pi}{2} \lt C \lt 0\)에 의해 \(A = \dfrac{4}{3},\ B = \dfrac{\pi}{3},\ C = -\dfrac{\pi}{3}\)이다. \(\beta = \dfrac{\pi}{6}\)을 (1)의 식에 대입하면 \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{3}{4}\)이므로 \(\overline{\mathrm{OP}_5} = \overline{\mathrm{OP}_1}\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right)\sin\alpha\)이다. 같은 시행을 반복하므로 삼각형 \(\mathrm{OP}_1\mathrm{P}_2,\ \mathrm{OP}_5\mathrm{P}_6,\ \mathrm{OP}_9\mathrm{P}_{10},\ \cdots\)들은 모두 닮음이며, 이웃한 두 도형의 닮음비는 일정하게 \(r = \dfrac{\overline{\mathrm{OP}_5}}{\overline{\mathrm{OP}_1}} = \dfrac{\overline{\mathrm{OP}_9}}{\overline{\mathrm{OP}_5}} = \cdots = \sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right)\sin\alpha\)이다. 따라서 구하는 합은 등비급수이다. \(\cdots \text{[배점 7점]}\)
첫째항은 \(\overline{\mathrm{OP}_1} = 1\)이고, \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(0 \lt r = \sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right)\sin\alpha \lt 1\)이므로 제시문 [마]에 의하여 \[ f(\alpha) = \frac{1}{1 - \sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right)\sin\alpha} \quad \cdots\cdots \text{[배점 7점]} \] 이다. \(f(\alpha)\)를 미분하고 제시문 [바]의 사인함수의 덧셈정리를 적용하면 \[ f'(\alpha) = \frac{\cos\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right)\sin\alpha + \sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right)\cos\alpha}{\left\{1 - \sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right)\sin\alpha\right\}^2} = \frac{\sin\left(2\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right)}{\left\{1 - \sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right)\sin\alpha\right\}^2} \] 이다. \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(\dfrac{\pi}{3} \lt 2\alpha + \dfrac{\pi}{3} \lt \dfrac{4\pi}{3}\)이므로 \(f'(\alpha) = 0 \iff \alpha = \dfrac{\pi}{3}\)이다. 제시문 [사]에 따른 \(f(\alpha)\)의 증감표는 다음과 같다.

선분 \(\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1\)의 수직이등분선을 \(m\)이라 하자. 두 점 \(\mathrm{P}_1(8, 0),\ \mathrm{Q}_1(0, 4)\)에 대하여 선분 \(\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1\)의 중점의 좌표는 \((4, 2)\)이고, 직선 \(\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1\)의 기울기가 \(\dfrac{4 - 0}{0 - 8} = -\dfrac{1}{2}\)이므로 제시문 [가]에 의하여 직선 \(m\)의 기울기는 \(2\)이다. 따라서 직선 \(m\)의 방정식은 \[ y - 2 = 2(x - 4) \implies y = 2x - 6 \quad \cdots\cdots \text{[배점 6점]} \] 이다. 한편 쌍곡선 \(x^2 - y^2 = b\)와 직선 \(m\)이 접하려면, \(y = 2x - 6\)을 대입하여 정리한 이차방정식 \[ x^2 - (2x - 6)^2 = b \iff 3x^2 - 24x + 36 + b = 0 \] 의 판별식 \(D\)가 \(0\)이어야 한다. 따라서 \(\dfrac{D}{4} = (-12)^2 - 3(36 + b) = 144 - 108 - 3b = 0\)이므로 \(b = 12\)이다. \(\cdots\cdots \text{[배점 6점]}\) 두 점 \(\mathrm{P}_n\)과 \(\mathrm{Q}_n\)을 지나는 직선을 \(l_n\)이라 하자. 직선 \(l_2\)는 (1)에서 구한 직선 \(m\ (y = 2x - 6)\)이고, \(x\)축과 \(\mathrm{P}_2(3, 0)\), \(y\)축과 \(\mathrm{Q}_2(0, -6)\)에서 만난다. (선분 \(\mathrm{P}_2\mathrm{Q}_2\)의 중점 \(\left(\dfrac{3}{2}, -3\right)\)은 제\(4\)사분면 위의 점이다.)
직선 \(l_3\)는 선분 \(\mathrm{P}_2\mathrm{Q}_2\)의 수직이등분선이므로 중점 \(\left(\dfrac{3}{2}, -3\right)\)을 지나고 기울기는 \(-\dfrac{1}{2}\)이다. 따라서 직선 \(l_3\)의 방정식은 \(y = -\dfrac{1}{2}x - \dfrac{9}{4}\)이고, \(x\)축과 \(\mathrm{P}_3\left(-\dfrac{9}{2}, 0\right)\), \(y\)축과 \(\mathrm{Q}_3\left(0, -\dfrac{9}{4}\right)\)에서 만난다. (중점 \(\left(-\dfrac{9}{4}, -\dfrac{9}{8}\right)\)은 제\(3\)사분면 위의 점이며, 같은 방식으로 선분 \(\mathrm{P}_4\mathrm{Q}_4\)의 중점은 제\(2\)사분면, 선분 \(\mathrm{P}_5\mathrm{Q}_5\)의 중점은 다시 제\(1\)사분면에 놓인다.)
이제 직각삼각형 \(\mathrm{OP}_n\mathrm{Q}_n\)의 넓이를 \(S_n\)이라 하면 \(S_1 = \dfrac{1}{2}\times 8\times 4 = 16,\ S_2 = \dfrac{1}{2}\times 3\times 6 = 9,\ S_3 = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{9}{2}\times\dfrac{9}{4} = \dfrac{81}{16}\)이다. 직각삼각형 \(\mathrm{OP}_n\mathrm{Q}_n\)들은 모두 서로 닮음이고, 연속하여 만들어지는 두 직각삼각형의 닮음비는 \(\dfrac{3}{4}\)이므로 넓이의 비는 \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}\)이다. 따라서 \(S_4 = \dfrac{81}{16}\times\dfrac{9}{16} = \dfrac{729}{256}\)이다. \(\cdots\cdots \text{[배점 8점]}\)
제시문 [나]에 의하여 \(A_1\)은 첫째항이 \(S_1 = 16\), \(A_4\)는 첫째항이 \(S_2 = 9\), \(A_3\)은 첫째항이 \(S_3 = \dfrac{81}{16}\), \(A_2\)는 첫째항이 \(S_4 = \dfrac{729}{256}\)이고 공비가 모두 동일하게 \(r = \left(\dfrac{9}{16}\right)^4\)인 등비급수의 합이다. 따라서 \(A_1\)과 \(A_2 + A_3 + A_4\)의 대소 관계를 비교하기 위해 첫째항 \(S_1\)과 \(S_2 + S_3 + S_4\)의 대소를 비교하면, \[ S_2 + S_3 + S_4 = 9 + \frac{81}{16} + \frac{729}{256} = \frac{2304 + 1296 + 729}{256} = \frac{4329}{256} \gt \frac{4096}{256} = 16 = S_1 \] 이므로 \(A_1 \lt A_2 + A_3 + A_4\)이다. 따라서 주어진 명제는 거짓이다. \(\cdots\cdots \text{[배점 10점]}\)

앞면을 \(\mathrm{H}\), 뒷면을 \(\mathrm{T}\)라고 하자. 아래와 같이 앞면이 나온 동전 \(16\)개를 먼저 일렬로 배열하고, 첫 번째 \(\mathrm{H}\)의 앞, 이웃한 두 \(\mathrm{H}\)의 사이, \(16\)번째 \(\mathrm{H}\)의 뒤에 총 \(17\)개의 \(\bigcirc\) 표시를 하자. \[ \bigcirc\ \mathrm{H}\ \bigcirc\ \mathrm{H}\ \bigcirc\ \cdots\ \bigcirc\ \mathrm{H}\ \bigcirc \] 뒷면이 연속해서 나오지 않으려면 \(3\)개의 \(\mathrm{T}\)는 \(17\)개의 \(\bigcirc\) 자리에 최대 하나씩만 들어갈 수 있으므로 \(\cdots\cdots \text{[배점 4점]}\)
제시문 [다]에 의하여 뒷면이 연속해서 나오지 않는 경우의 수는 \[ {}_{17}\mathrm{C}_3 = \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 680 \quad \cdots\cdots \text{[배점 8점]} \] 이다. 첫 번째 뒷면(\(\mathrm{T}\))이 나오기 전에 나온 앞면의 수를 \(x_1\), 첫 번째 뒷면과 두 번째 뒷면 사이에 나온 앞면의 수를 \(x_2\), 두 번째 뒷면과 세 번째 뒷면 사이에 나온 앞면의 수를 \(x_3\), 세 번째 뒷면 후에 나온 앞면의 수를 \(x_4\)라 하면 \[ (\underbrace{\mathrm{H}\cdots\mathrm{H}}_{x_1\text{개}})\ \mathrm{T}\ (\underbrace{\mathrm{H}\cdots\mathrm{H}}_{x_2\text{개}})\ \mathrm{T}\ (\underbrace{\mathrm{H}\cdots\mathrm{H}}_{x_3\text{개}})\ \mathrm{T}\ (\underbrace{\mathrm{H}\cdots\mathrm{H}}_{x_4\text{개}}) \implies x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 16 \] 이다. 앞면이 항상 연속해서 두 번 이상 나오면서 뒷면이 연속해서 나오지 않으려면, 두 \(\mathrm{T}\) 사이에 있는 \(x_2,\ x_3\)는 반드시 \(x_2 \ge 2,\ x_3 \ge 2\)이어야 하고, 양 끝의 \(x_1,\ x_4\)는 \(0\)이거나(해당 위치에 앞면이 아예 없는 경우) \(2\) 이상(\(x_j \neq 0\)이면 \(x_j \ge 2\))이어야 한다. 따라서 다음 네 가지 경우가 가능하다. \(\cdots\cdots \text{[배점 6점]}\)
(i) \(x_1 = 0\)이고 \(x_2,\ x_3,\ x_4 \ge 2\)인 경우:
\(x_2 = y_2 + 2,\ x_3 = y_3 + 2,\ x_4 = y_4 + 2\)라 하면 \(y_2 + y_3 + y_4 = 10\)을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수를 구하면 되므로, 제시문 [라]에 의하여 \({}_3\mathrm{H}_{10} = {}_{12}\mathrm{C}_{10} = {}_{12}\mathrm{C}_2 = 66\)이다.
(ii) \(x_4 = 0\)이고 \(x_1,\ x_2,\ x_3 \ge 2\)인 경우:
(i)과 대칭이므로 같은 방법으로 구하면 \({}_3\mathrm{H}_{10} = {}_{12}\mathrm{C}_{10} = 66\)이다.
(iii) \(x_1 = x_4 = 0\)이고 \(x_2,\ x_3 \ge 2\)인 경우:
\(x_2 = y_2 + 2,\ x_3 = y_3 + 2\)라 하면 \(y_2 + y_3 = 12\)를 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수이므로 \({}_2\mathrm{H}_{12} = {}_{13}\mathrm{C}_{12} = 13\)이다.
(iv) \(x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4 \ge 2\)인 경우:
\(x_i = y_i + 2\ (i = 1, 2, 3, 4)\)라 하면 \(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 8\)을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수이므로 \({}_4\mathrm{H}_8 = {}_{11}\mathrm{C}_8 = {}_{11}\mathrm{C}_3 = 165\)이다.
따라서 (i)~(iv)에 의하여 구하는 경우의 수는 \(66 + 66 + 13 + 165 = 310\)이다. \(\cdots\cdots \text{[배점 15점]}\)

구간 \((0, \infty)\)에서 정의된 함수 \(y = x + \dfrac{1}{x}\)을 제시문 [라]를 이용하여 미분하면 \(y' = 1 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}\)이다. \(x \gt 0\)에서 \(y' = 0 \iff x = 1\)이므로 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. \(\cdots\cdots \text{[배점 6점]}\)

\(x\)	\((0)\)	\(\cdots\)	\(1\)	\(\cdots\)
\(y'\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)		\(\searrow\)	\(2\) (극소·최소)	\(\nearrow\)

두 함수 \(y = f(x),\ y = g(x)\)의 그래프가 만나는 점의 \(x\)좌표는 방정식 \(f(x) = g(x)\), 즉 \[ -x + \frac{1}{x^2} = -x^2 + k + \frac{1}{x} \iff \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - \left(x + \frac{1}{x}\right) - k = 0 \] 의 실근이다. 여기서 \(t = x + \dfrac{1}{x}\)라 치환하면 위 증감표에 의해 \(t \ge 2\)이고, \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2\)이므로 주어진 방정식은 \[ t^2 - t - k - 2 = 0 \] 이 된다. \(k \gt 0\)일 때 이 이차방정식의 두 근 중 \(t \ge 2\)를 만족하는 근은 \(t_0 = \dfrac{1 + \sqrt{4k + 9}}{2} \gt \dfrac{1 + 3}{2} = 2\)뿐이다. \(\cdots\cdots \text{[배점 6점]}\)
이때 \(\displaystyle\lim_{x\to 0+}\left(x + \frac{1}{x}\right) = \infty,\ \lim_{x\to\infty}\left(x + \frac{1}{x}\right) = \infty\)이고 \(y = x + \dfrac{1}{x}\)는 \((0, 1]\)에서 감소, \([1, \infty)\)에서 증가하며 최솟값이 \(2\)이므로, \(t_0 \gt 2\)에 대하여 직선 \(y = t_0\)과 곡선 \(y = x + \dfrac{1}{x}\)은 서로 다른 두 점에서 만난다. 즉 \(f(x) = g(x)\)는 서로 다른 두 양의 실근을 갖는다. \(\cdots\cdots \text{[배점 6점]}\) (1)에서 두 교점의 \(x\)좌표 \(\alpha,\ \beta\)는 방정식 \(x + \dfrac{1}{x} = t_0\), 즉 이차방정식 \(x^2 - t_0 x + 1 = 0\)의 두 근이다. 제시문 [다]의 근과 계수의 관계에 의하여 \(\alpha + \beta = t_0,\ \alpha\beta = 1\)이므로 \(\cdots\cdots \text{[배점 5점]}\) \[ S(k) = (\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = t_0^2 - 4 = (t_0 + k + 2) - 4 = t_0 + k - 2 = k - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{4k + 9} \quad \cdots\cdots \text{[배점 5점]} \] 이다. 따라서 대학 공식 예시답안에 따라 정적분을 계산하면 (\(\sqrt{4x+9}\)의 부정적분은 \(\dfrac{1}{6}(4x+9)^{3/2}\)) \[ \int_4^{10} 6S(x)\,dx = \int_4^{10} \left(6x - 9 + 3\sqrt{4x + 9}\right)dx = \left[3x^2 - 9x + \frac{1}{2}(4x + 9)^{3/2}\right]_4^{10} = \left(210 + \frac{343}{2}\right) - \left(12 + \frac{125}{2}\right) = 198 + 109 = 307 \quad \cdots\cdots \text{[배점 5점]} \]

\(6\)번 조끼를 입은 학생이 상품을 받은 사건을 \(C\), \(3\)번 조끼를 입은 학생이 상품을 받지 못하였을 사건을 \(D\)라 하자. \(6\)번 조끼를 입은 학생이 상품을 받는 경우는 상품을 받지 못한 학생의 수가 \(0, 1, 2, 3, 4, 5\)명일 때이고, \(3\)번 조끼를 입은 학생이 상품을 받지 못하는 경우는 상품을 받지 못한 학생의 수가 \(3, 4, 5, 6, 7\)명일 때이다.
따라서 사건 \(C\)의 확률은 두 개의 출구 중 하나의 출구를 선택하는 시행을 \(7\)회 반복할 때 운동장으로 나오는 출구를 \(0, 1, 2, 3, 4, 5\)개 선택하는 확률과 같고, 사건 \(C\cap D\)의 확률은 운동장으로 나오는 출구를 \(3, 4, 5\)개 선택하는 확률과 같다. 제시문 [바]에 의하여 \(p = \dfrac{1}{2}\)이므로 \[ \mathrm{P}(C) = \sum_{r=0}^{5} {}_7\mathrm{C}_r \left(\frac{1}{2}\right)^7 = \frac{1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21}{128} = \frac{120}{128}, \qquad \mathrm{P}(C\cap D) = \left({}_7\mathrm{C}_3 + {}_7\mathrm{C}_4 + {}_7\mathrm{C}_5\right)\left(\frac{1}{2}\right)^7 = \frac{35 + 35 + 21}{128} = \frac{91}{128} \quad \cdots\cdots \text{[배점 12점]} \] 따라서 제시문 [사]에 의하여 구하는 조건부확률은 \(\mathrm{P}(D\mid C) = \dfrac{\mathrm{P}(C\cap D)}{\mathrm{P}(C)} = \dfrac{91/128}{120/128} = \dfrac{91}{120}\)이다. \(\cdots\cdots \text{[배점 5점]}\) • \(400\)명의 학생이 게임에 참가할 때, 상품을 받지 못한 학생 수를 확률변수 \(X_A\)라고 하면 \(X_A\)는 운동장으로 나가는 출구를 선택한 횟수와 같다. 따라서 \(X_A\)는 이항분포 \(\mathrm{B}\!\left(400, \dfrac{1}{2}\right)\)을 따르므로 평균 \(m_A = 400\times\dfrac{1}{2} = 200\), 표준편차 \(\sigma_A = \sqrt{400\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}} = 10\)이다. 시행 횟수 \(400\)이 충분히 크므로 \(X_A\)는 근사적으로 정규분포 \(\mathrm{N}(200, 10^2)\)을 따르고, \(Z = \dfrac{X_A - 200}{10}\)은 표준정규분포 \(\mathrm{N}(0, 1)\)을 따른다. 상품을 받은 학생이 \(190\)명 이상인 사건 \(A\)는 \(X_A \le 400 - 190 = 210\)인 사건이므로 \[ \mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(X_A \le 210) = \mathrm{P}\!\left(Z \le \frac{210 - 200}{10}\right) = \mathrm{P}(Z \le 1) \quad \cdots\cdots \text{(1)} \] • \(72\)명의 학생이 게임에 참가할 때, 상품을 받지 못한 학생 수를 확률변수 \(X_B\)라고 하면 \(X_B\)는 이항분포 \(\mathrm{B}\!\left(72, \dfrac{1}{2}\right)\)을 따르므로 평균 \(m_B = 72\times\dfrac{1}{2} = 36\), 표준편차 \(\sigma_B = \sqrt{72\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}} = \sqrt{18}\)이다. \(X_B\)는 근사적으로 정규분포 \(\mathrm{N}(36, 18)\)을 따르고, 상품을 받은 학생이 \(k\)명 이상인 사건 \(B\)는 \(X_B \le 72 - k\)인 사건이므로 \[ \mathrm{P}(B) = \mathrm{P}(X_B \le 72 - k) = \mathrm{P}\!\left(Z \le \frac{(72 - k) - 36}{\sqrt{18}}\right) = \mathrm{P}\!\left(Z \le \frac{36 - k}{\sqrt{18}}\right) \quad \cdots\cdots \text{(2) <14점> } \] ①과 ②에서 \(\mathrm{P}(A) \le \mathrm{P}(B)\)가 성립하려면 \(1 \le \dfrac{36 - k}{\sqrt{18}}\), 즉 \(k \le 36 - \sqrt{18} = 36 - 3\sqrt{2}\)이어야 한다. \(4 \lt \sqrt{18} \lt 5\)이므로 \(31 \lt 36 - \sqrt{18} \lt 32\)가 되어, 이를 만족하는 가장 큰 자연수 \(k\)는 \(31\)이다. \(\cdots\cdots \text{[배점 6점]}\)