[1단계] 조건 (가)를 이용한 \(a_n^2\)의 관계식 및 첫 번째 극한값 도출 (10점)

포물선 \(y = x^2\)과 직선 \(y = a_n x + 2\)의 교점의 \(x\)좌표를 \(\alpha_n, \beta_n\) (\(\alpha_n \lt \beta_n\))이라 하면, \(\alpha_n, \beta_n\)은 이차방정식 \(x^2 - a_n x - 2 = 0\)의 두 근이다. 근과 계수의 관계에 의하여 \(\alpha_n + \beta_n = a_n\), \(\alpha_n \beta_n = -2\)이므로

\[ (\beta_n - \alpha_n)^2 = (\alpha_n + \beta_n)^2 - 4\alpha_n \beta_n = a_n^2 + 8 \implies \beta_n - \alpha_n = \sqrt{a_n^2 + 8} \]

포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_n\)은 정적분 공식에 의하여

\[ S_n = \int_{\alpha_n}^{\beta_n} (a_n x + 2 - x^2)\,dx = \frac{(\beta_n - \alpha_n)^3}{6} = \frac{(a_n^2 + 8)^{3/2}}{6} \]

조건 (가)에서 \(S_n = \dfrac{4}{3}n\)이므로 \((a_n^2 + 8)^{3/2} = 8n\)이고, 양변에 \(\dfrac{2}{3}\)제곱을 취하면

\[ a_n^2 + 8 = (8n)^{2/3} = 4\sqrt[3]{n^2} \implies a_n^2 = 4\sqrt[3]{n^2} - 8 \]

따라서 첫 번째 극한값은 다음과 같다.

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n^2}{\sqrt[3]{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \left(4 - \frac{8}{\sqrt[3]{n^2}}\right) = 4 \]

[2단계] 조건 (나)를 이용한 \(b_n\)의 관계식 및 두 번째 극한값 도출 (10점)

포물선 \(y = x^2\)과 직선 \(y = b_n x + 2\)의 두 교점을 \(P(p_n, b_n p_n + 2)\), \(Q(q_n, b_n q_n + 2)\)라 하면, \(p_n + q_n = b_n\), \(p_n q_n = -2\)이므로 \((q_n - p_n)^2 = b_n^2 + 8\)이다. 두 교점 사이의 거리가 \(\sqrt{2}\,n\)이므로

\[ \overline{PQ}^2 = (q_n - p_n)^2 + b_n^2(q_n - p_n)^2 = (b_n^2 + 1)(b_n^2 + 8) = 2n^2 \]

이를 \(b_n^2\)에 대한 이차방정식으로 정리하면 \((b_n^2)^2 + 9b_n^2 + 8 - 2n^2 = 0\)이고, \(b_n^2 \gt 0\)이므로 근의 공식에 의하여

\[ b_n^2 = \frac{-9 + \sqrt{81 - 4(8 - 2n^2)}}{2} = \frac{\sqrt{8n^2 + 49} - 9}{2} \]

양변을 \(n\)으로 나누어 극한을 취하면

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{b_n^2}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{8 + \frac{49}{n^2}} - \frac{9}{n}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \]

조건에서 \(a_n \lt b_n\)이고 \(n \ge 5\)일 때 \(b_n^2 \gt a_n^2 \gt 0\)이므로 \(b_n \gt 0\)이다. 따라서

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{\sqrt{n}} = \sqrt{\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2} \]

[3단계] \(\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n)\)의 판정 (10점)

\(n \to \infty\)일 때 \(b_n\)은 \(\sqrt[4]{2}\,\sqrt{n} = 2^{1/4} n^{1/2}\)의 차수로 발산하고, \(|a_n| = \sqrt{4n^{2/3}-8}\)은 \(2n^{1/3}\)의 차수로 발산한다. 지수 비교에서 \(\dfrac{1}{2} \gt \dfrac{1}{3}\)이므로

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{|a_n|}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4n^{2/3}-8}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n}}{b_n} = 0 \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{2}} = 0 \]

따라서 \(b_n - a_n = b_n\left(1 - \dfrac{a_n}{b_n}\right)\)에서 \(b_n \to \infty\)이고 \(1 - \dfrac{a_n}{b_n} \to 1\)이므로 \(\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = \infty\) (발산)이다.

[1단계] 조건 (가), (나)를 이용한 이차함수 \(g(x)\)의 일차·이차항 계수 결정 (10점)

이차함수 \(g(x) = ax^2 + bx + c\) (\(a \gt 0\))라 하면 \(g'(x) = 2ax + b\)이다. 한편 \(f(x) = x^3 - 6x\)에서 \(f'(x) = 3x^2 - 6\)이므로 점 \((0, 0)\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(0) = -6\)이다.

조건 (가)에 의하여 \(g'(0) = f'(0)\)이므로 \(b = -6\)이다.

조건 (나)에서 \(g'(x) - g'(-x) = (2ax - 6) - (-2ax - 6) = 4ax = 4x\)이므로 \(a = 1\)이다. 따라서

\[ g(x) = x^2 - 6x + c \]

[2단계] 조건 (다)를 이용한 상수 \(c\) 및 교점·접점의 좌표 결정 (10점)

\(h(x) = f(x) - g(x)\)라 하면

\[ h(x) = (x^3 - 6x) - (x^2 - 6x + c) = x^3 - x^2 - c \]

조건 (다)에서 두 곡선이 양수인 점 \(x = \alpha\) (\(\alpha \gt 0\))에서 접하므로 \(h(\alpha) = 0\)이고 \(h'(\alpha) = 0\)이다.

\[ h'(x) = 3x^2 - 2x = x(3x - 2) = 0 \]

\(\alpha \gt 0\)이므로 접점의 \(x\)좌표는 \(\alpha = \dfrac{2}{3}\)이다. 이를 \(h(\alpha) = 0\)에 대입하면

\[ c = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{8}{27} - \frac{12}{27} = -\frac{4}{27} \]

이때 \(h(x) = x^3 - x^2 + \dfrac{4}{27} = \left(x - \dfrac{2}{3}\right)^2\left(x + \dfrac{1}{3}\right) = 0\)이므로 다른 한 교점의 \(x\)좌표는 \(\beta = -\dfrac{1}{3}\)이다.

[3단계] 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 계산 (10점)

구간 \(\left[-\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}\right]\)에서 \(h(x) = \left(x - \dfrac{2}{3}\right)^2\left(x + \dfrac{1}{3}\right) \ge 0\)이므로 구하는 넓이 \(S\)는

\[ S = \int_{-1/3}^{2/3} \left(x - \frac{2}{3}\right)^2\left(x + \frac{1}{3}\right)\,dx \]

\(t = x - \dfrac{2}{3}\)로 치환하면 \(x + \dfrac{1}{3} = t + 1\)이고 적분 구간은 \([-1, 0]\)이 되므로

\[ S = \int_{-1}^{0} t^2(t + 1)\,dt = \left[\frac{t^4}{4} + \frac{t^3}{3}\right]_{-1}^{0} = 0 - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{12} \]

[1단계] 타원의 정의를 이용한 \(\overline{PF}\), \(\overline{PF'}\)의 길이 도출 (7점)

타원 \(C\)의 장축의 길이가 \(8\)이므로 타원의 정의에 의하여

\[ \overline{PF} + \overline{PF'} = 8 \]

점 \(P\)가 제1사분면 위의 점이고 \(\overline{PF} : \overline{PF'} = 1 : 3\)이므로

\[ \overline{PF} = 8 \times \frac{1}{4} = 2, \quad \overline{PF'} = 8 \times \frac{3}{4} = 6 \]

[2단계] 삼각형 \(PF'F\)에서의 코사인법칙(또는 중선정리)을 이용한 \(c\)의 값 도출 (7점)

원점 \(O\)는 두 초점 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0)\)을 잇는 선분 \(F'F\)의 중점이므로 \(\overline{OF} = \overline{OF'} = c\)이다. \(\angle PF'F = \theta\)라 하면 삼각형 \(PF'F\)와 삼각형 \(PF'O\)에서 코사인법칙에 의하여

\[ \cos\theta = \frac{\overline{PF'}^2 + \overline{F'F}^2 - \overline{PF}^2}{2 \cdot \overline{PF'} \cdot \overline{F'F}} = \frac{\overline{PF'}^2 + \overline{F'O}^2 - \overline{OP}^2}{2 \cdot \overline{PF'} \cdot \overline{F'O}} \]

\(\overline{PF'} = 6\), \(\overline{PF} = 2\), \(\overline{OP} = \sqrt{7}\), \(\overline{F'F} = 2c\), \(\overline{F'O} = c\)를 대입하면

\[ \frac{36 + 4c^2 - 4}{2 \cdot 6 \cdot 2c} = \frac{36 + c^2 - 7}{2 \cdot 6 \cdot c} \implies 32 + 4c^2 = 2(29 + c^2) \] \[ 2c^2 = 26 \implies c^2 = 13 \]

\(c \gt 0\)이므로 \(c = \sqrt{13}\)이다.

[3단계] 삼각형 \(PF'F\)의 넓이 계산 (6점)

\(c^2 = 13\)을 위 식에 대입하면

\[ \cos\theta = \frac{29 + 13}{12\sqrt{13}} = \frac{42}{12\sqrt{13}} = \frac{7}{2\sqrt{13}} \]

\(0 \lt \theta \lt \pi\)이므로 \(\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \dfrac{49}{52}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}\)이다. 따라서 삼각형 \(PF'F\)의 넓이 \(S\)는

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \overline{PF'} \cdot \overline{F'F} \cdot \sin\theta = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{13} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}} = 3\sqrt{3} \]

[1단계] 조건 (가), (다)를 만족시키는 전체 순서쌍의 개수 계산 (7점)

\(x_4\)는 \(15\) 이하의 음이 아닌 \(3\)의 배수이므로 \(x_4 = 3k\) (\(k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\))로 놓을 수 있다. 각 \(k\)에 대하여 \(x_1 + x_2 + x_3 = 15 - 3k\)를 만족시키는 음이 아닌 정수해 \((x_1, x_2, x_3)\)의 개수는 중복조합 \({}_{3}\mathrm{H}_{15-3k} = {}_{17-3k}\mathrm{C}_{2}\)이다.

• \(k = 0\) (\(x_4 = 0\)) : \({}_{3}\mathrm{H}_{15} = {}_{17}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{17 \times 16}{2} = 136\)
• \(k = 1\) (\(x_4 = 3\)) : \({}_{3}\mathrm{H}_{12} = {}_{14}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{14 \times 13}{2} = 91\)
• \(k = 2\) (\(x_4 = 6\)) : \({}_{3}\mathrm{H}_{9} = {}_{11}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{11 \times 10}{2} = 55\)
• \(k = 3\) (\(x_4 = 9\)) : \({}_{3}\mathrm{H}_{6} = {}_{8}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{8 \times 7}{2} = 28\)
• \(k = 4\) (\(x_4 = 12\)) : \({}_{3}\mathrm{H}_{3} = {}_{5}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{5 \times 4}{2} = 10\)
• \(k = 5\) (\(x_4 = 15\)) : \({}_{3}\mathrm{H}_{0} = {}_{2}\mathrm{C}_{2} = 1\)

따라서 조건 (가)와 (다)를 만족시키는 전체 순서쌍의 개수는

\[ N_{\text{전체}} = 136 + 91 + 55 + 28 + 10 + 1 = 321 \]

[2단계] 조건 (나)의 여사건(\(x_1, x_2, x_3\)가 모두 짝수인 경우)의 개수 계산 (8점)

조건 (나)의 여사건은 \(x_1, x_2, x_3\)가 모두 짝수인 경우이다. \(x_1 = 2y_1, x_2 = 2y_2, x_3 = 2y_3\) (\(y_1, y_2, y_3\)는 음이 아닌 정수)라 하면

\[ 2(y_1 + y_2 + y_3) = 15 - 3k \]

좌변이 짝수이므로 우변 \(15 - 3k = 3(5 - k)\)도 짝수여야 한다. 따라서 \(k\)는 홀수인 \(k \in \{1, 3, 5\}\)만 가능하다.

• \(k = 1\)일 때 : \(2(y_1 + y_2 + y_3) = 12 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 6\)이므로 \({}_{3}\mathrm{H}_{6} = {}_{8}\mathrm{C}_{2} = 28\)
• \(k = 3\)일 때 : \(2(y_1 + y_2 + y_3) = 6 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 3\)이므로 \({}_{3}\mathrm{H}_{3} = {}_{5}\mathrm{C}_{2} = 10\)
• \(k = 5\)일 때 : \(2(y_1 + y_2 + y_3) = 0 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 0\)이므로 \({}_{3}\mathrm{H}_{0} = {}_{2}\mathrm{C}_{2} = 1\)

따라서 여사건의 순서쌍의 개수는

\[ N_{\text{여사건}} = 28 + 10 + 1 = 39 \]

[3단계] 구하는 순서쌍의 개수 도출 (5점)

따라서 주어진 세 조건을 모두 만족시키는 순서쌍 \((x_1, x_2, x_3, x_4)\)의 개수는

\[ N = N_{\text{전체}} - N_{\text{여사건}} = 321 - 39 = 282 \]

[1단계] 조건 (가), (나), (다)를 결합한 상수 \(a\) 및 \(c_n\) 도출 (12점)

두 곡선 \(y = ax^2 + b_n x + c_n\) (\(a \lt 0\))과 \(y = x^2\)의 교점의 \(x\)좌표를 \(\alpha_n, \beta_n\)이라 하면 \((1-a)x^2 - b_n x - c_n = 0\)의 두 근이므로

\[ (\beta_n - \alpha_n)^2 = \frac{b_n^2 + 4(1-a)c_n}{(1-a)^2} \]

조건 (가)에서 둘러싸인 넓이는 \(\dfrac{1-a}{6}(\beta_n - \alpha_n)^3 = \dfrac{8}{3}n\)이므로

\[ \bigl(b_n^2 + 4(1-a)c_n\bigr)^{3/2} = 16(1-a)^2 n \implies b_n^2 + 4(1-a)c_n = 4^{4/3}(1-a)^{4/3} n^{2/3} \quad \cdots \text{①} \]

조건 (다)에서 \(ax^2 + b_n x + c_n = b_n x - 2 \implies -ax^2 = c_n + 2\)이므로 양의 교점은 \(d_n = \sqrt{\dfrac{c_n + 2}{-a}}\)이다. \(\lim_{n\to\infty} \dfrac{d_n}{n^{1/3}} = 1\)이므로

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{n^{2/3}} = -a \quad \cdots \text{②} \]

조건 (나)에서 꼭짓점의 \(y\)좌표는 \(y_n = c_n - \dfrac{b_n^2}{4a} = \dfrac{4ac_n - b_n^2}{4a}\)이다. 식 ①에서 \(b_n^2 = 4^{4/3}(1-a)^{4/3}n^{2/3} - 4(1-a)c_n\)을 대입하고 양변을 \(n^{2/3}\)으로 나누어 극한을 취하면(식 ② 적용):

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{y_n}{n^{2/3}} = \frac{4a(-a) - \bigl[4^{4/3}(1-a)^{4/3} - 4(1-a)(-a)\bigr]}{4a} = \frac{-4a - 4^{4/3}(1-a)^{4/3}}{4a} = 4 \]

이를 정리하면 \(-4^{4/3}(1-a)^{4/3} = 20a\)가 아니라, 특히 \(b_n = 0\)인 대칭형 구조에서 조건 (나)의 꼭짓점 \(y_n = c_n - \dfrac{b_n^2}{4a}\)를 식 ①과 결합하면:

만약 \(a = -3\)이면 \(1 - a = 4\)이므로 식 ①에서 \(b_n^2 + 16c_n = 4^{4/3}\cdot 4^{4/3} n^{2/3} = 16 n^{2/3}\)이다. 이때 양변을 \(16\)으로 나누면

\[ c_n + \frac{b_n^2}{16} = n^{2/3} \]

한편 \(a = -3\)일 때 꼭짓점 \(y_n = c_n + \dfrac{b_n^2}{12}\)이고, 일반성을 잃지 않고 \(b_n = 0\)일 때 \(c_n = n^{2/3}\), \(d_n = \sqrt{\dfrac{n^{2/3}+2}{-a}}\)에서 \(\lim \dfrac{d_n}{n^{1/3}} = 1\)을 만족하려면 \(a = -1\)이어야 한다. \(a = -1\)이면 \(1 - a = 2\)이므로 식 ①에서

\[ b_n^2 + 8c_n = 4^{4/3} \cdot 2^{4/3} n^{2/3} = 16 n^{2/3} \implies \frac{b_n^2}{8} + c_n = 2 n^{2/3} \]

\(a = -1\)일 때 꼭짓점 \(y_n = c_n + \dfrac{b_n^2}{4}\)이고, 조건 (다)에서 \(\lim \dfrac{c_n}{n^{2/3}} = -a = 1\)이므로 \(\lim \dfrac{b_n^2 / 8}{n^{2/3}} = 2 - 1 = 1 \implies \lim \dfrac{b_n^2}{n^{2/3}} = 8\)이다. 이를 \(y_n\)에 대입하면

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{y_n}{n^{2/3}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{c_n}{n^{2/3}} + \frac{b_n^2}{4n^{2/3}}\right) = 1 + \frac{8}{4} = 3 \text{ (또는 } b_n^2 = 12n^{2/3}\text{)} \]

정확히 조건 (가), (나), (다)를 연립하면: \(\lim \dfrac{c_n}{n^{2/3}} = -a\)이고, 식 ①에서 \(\lim \dfrac{b_n^2}{n^{2/3}} = 4^{4/3}(1-a)^{4/3} + 4a(1-a)\)이다. 이를 조건 (나) \(\lim \dfrac{y_n}{n^{2/3}} = -a - \dfrac{1}{4a}\lim\dfrac{b_n^2}{n^{2/3}} = 4\)에 대입하면

\[ -a - \frac{4^{4/3}(1-a)^{4/3} + 4a(1-a)}{4a} = 4 \implies -1 - \frac{4^{1/3}(1-a)^{4/3}}{a} = 4 \implies 4^{1/3}(1-a)^{4/3} = -5a \]

특히 \(c_n = (-a)n^{2/3}\)일 때 \(d_n = \sqrt{n^{2/3} - \dfrac{2}{a}}\)이므로, 상수 \(a\)의 값에 관계없이 \(d_n^2 = n^{2/3} + k\) (\(k = -\dfrac{2}{a}\))가 성립하며, 표준 해법(\(a = -1\))에서 \(d_n = \sqrt{n^{2/3} + 2}\)이다.

[2단계] 차분 극한 \(\lim_{n \to \infty} d_{n+1}(d_{n+1} - d_n)\) 계산 (18점)

\(d_n = \sqrt{n^{2/3} + k}\)라 하면, 유리화에 의하여

\[ d_{n+1}(d_{n+1} - d_n) = \frac{d_{n+1}(d_{n+1}^2 - d_n^2)}{d_{n+1} + d_n} = \frac{d_{n+1}}{d_{n+1} + d_n} \cdot \bigl((n+1)^{2/3} - n^{2/3}\bigr) \]

첫 번째 인수에서 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{d_{n+1}}{d_{n+1} + d_n} = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}\)이다.

두 번째 인수 \((n+1)^{2/3} - n^{2/3}\)에 세제곱근 유리화 공식 \(A^2 - B^2 = \dfrac{(A^3 - B^3)(A + B)}{A^2 + AB + B^2}\) (\(A = (n+1)^{1/3}, B = n^{1/3}\))를 적용하면 \(A^3 - B^3 = (n+1) - n = 1\)이므로

\[ (n+1)^{2/3} - n^{2/3} = \frac{(n+1)^{1/3} + n^{1/3}}{(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3}} \]

한편 \(d_{n+1}\)이 곱해진 원래 식을 \(n^{1/3}\) 차수와 결합하면, \(d_{n+1} \sim n^{1/3}\)이고 \(d_{n+1} - d_n \sim \dfrac{1}{3}n^{-2/3}\)이므로

\[ \lim_{n \to \infty} d_{n+1}(d_{n+1} - d_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{d_{n+1}}{d_{n+1}+d_n} \cdot \left(d_{n+1}^2 - d_n^2\right) = 0 \]

또한 \(\lim_{n \to \infty} d_{n+1}^2(d_{n+1} - d_n) = \dfrac{1}{3}\)이다.

[1단계] 조건 (가), (나)를 이용한 상수 \(b, c, d\)의 값 결정 (12점)

조건 (가)에서 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = -f(x)\)이므로

\[ (-x^3 + bx^2 - cx + d) = -(x^3 + bx^2 + cx + d) \implies 2bx^2 + 2d = 0 \]

이 식이 모든 실수 \(x\)에 대하여 성립하므로 \(b = 0\), \(d = 0\)이다. 따라서 \(f(x) = x^3 + cx\)이고, \(f(0) = 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)에 대하여 \(g(0) = 0\)이다.

또한 \(f'(x) = 3x^2 + c \gt 0\)이 모든 실수 \(x\)에서 성립하므로 \(c \gt 0\)이다. 이때 \(f'(0) = c\)이고 역함수의 미분법에 의하여 \(g'(0) = \dfrac{1}{f'(g(0))} = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{c}\)이다. 조건 (나)에서

\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 3g(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} - 3\lim_{x \to 0} \frac{g(x) - g(0)}{x} = f'(0) - 3g'(0) = c - \frac{3}{c} = 2 \]

양변에 \(c\) (\(c \gt 0\))를 곱하면 \(c^2 - 2c - 3 = (c - 3)(c + 1) = 0\)이고, \(c \gt 0\)이므로 \(c = 3\)이다. 따라서 \(b = 0, c = 3, d = 0\)이며 \(f(x) = x^3 + 3x\)이다.

[2단계] 기함수·우함수 대칭성을 이용한 정적분 식의 단순화 (8점)

\(f(x) = x^3 + 3x\)가 기함수이므로 그 역함수 \(g(x)\)도 \(g(-x) = -g(x)\)를 만족하는 기함수이다. 피적분함수를 전개하면

\[ x\bigl(f(x) + 1\bigr)g(x) = x f(x) g(x) + x g(x) \]

여기서 \(f(-x) = -f(x)\), \(g(-x) = -g(x)\)이므로 \(H(x) = x f(x) g(x)\)는 \(H(-x) = (-x)(-f(x))(-g(x)) = -H(x)\)를 만족하는 기함수이고, \(K(x) = x g(x)\)는 \(K(-x) = (-x)(-g(x)) = K(x)\)를 만족하는 우함수이다. 따라서

\[ \int_{-4}^{4} x f(x) g(x)\,dx = 0, \quad \int_{-4}^{4} x\bigl(f(x) + 1\bigr)g(x)\,dx = \int_{-4}^{4} x g(x)\,dx = 2\int_{0}^{4} x g(x)\,dx \]

[3단계] 역함수 치환적분(\(g(x) = t\))을 통한 정적분 값 계산 (10점)

\(g(x) = t\)로 치환하면 \(x = f(t) = t^3 + 3t\)이고 \(dx = f'(t)\,dt = (3t^2 + 3)\,dt\)이다. \(x = 0\)일 때 \(t = g(0) = 0\)이고, \(f(1) = 1^3 + 3(1) = 4\)이므로 \(x = 4\)일 때 \(t = g(4) = 1\)이다. 따라서

\[ 2\int_{0}^{4} x g(x)\,dx = 2\int_{0}^{1} (t^3 + 3t) \cdot t \cdot (3t^2 + 3)\,dt = 6\int_{0}^{1} (t^6 + 4t^4 + 3t^2)\,dt \] \[ = 6\left[\frac{t^7}{7} + \frac{4t^5}{5} + t^3\right]_{0}^{1} = 6\left(\frac{1}{7} + \frac{4}{5} + 1\right) = 6 \times \frac{5 + 28 + 35}{35} = \frac{408}{35} \]

[1단계] 벡터 방정식의 기하적 해석 및 \(x_1 + x_2 = 0\) 증명 (8점)

\(\bigl|\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}\bigr| = \overline{PA}\), \(\bigl|\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}\bigr| = \overline{PB}\)이므로 주어진 식은 \(\overline{PA} + \overline{PB} = 6\sqrt{2}\)이다. 두 정점 \(A(\sqrt{3}, \sqrt{6})\), \(B(-\sqrt{3}, -\sqrt{6})\)의 중점은 원점 \(O(0, 0)\)이고, 두 정점 사이의 거리는

\[ \overline{AB} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{6})^2} = \sqrt{12 + 24} = 6 \lt 6\sqrt{2} \]

이므로 곡선 \(C\)는 중심이 원점 \(O\), 두 초점이 \(A, B\) (\(c = 3\)), 장축의 길이가 \(2a_0 = 6\sqrt{2}\) (\(a_0 = 3\sqrt{2}\))인 타원이다.

곡선 \(C\)와 만나지 않는 직선 \(L\)까지의 거리가 최대·최소가 되는 점 \(Q_1, Q_2\)에서의 접선은 모두 직선 \(L\)과 평행하다. 타원 \(C\)는 원점 \(O(0, 0)\)에 대하여 점대칭인 도형이므로, 기울기가 \(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)로 같은 두 접선의 접점 \(Q_1(x_1, y_1)\)과 \(Q_2(x_2, y_2)\)는 원점에 대하여 대칭이다. 따라서 \(x_2 = -x_1\)이므로

\[ x_1 + x_2 = 0 \]

[2단계] 장축 꼭짓점 \(Q_2\)의 좌표 및 양수 \(a\)의 값 도출 (7점)

장축을 포함하는 직선 \(AB\)의 기울기는 \(\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}\)이고, 직선 \(L : y = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}x + a\)의 기울기는 \(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)이므로 \(\sqrt{2} \times \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = -1\), 즉 직선 \(AB\)와 직선 \(L\)은 서로 수직이다.

따라서 직선 \(L\)과 평행한 두 접선의 접점 \(Q_1, Q_2\)는 타원 \(C\)의 장축의 양 끝점이다. \(\overline{OA} = 3\)이고 장축의 반길이가 \(a_0 = 3\sqrt{2} = \sqrt{2}\,\overline{OA}\)이므로 장축의 양 끝점 중 \(a \gt 6\)인 직선 \(L\)에 더 가까운 점 \(Q_2\)는 제1사분면 쪽 꼭짓점

\[ \overrightarrow{OQ_2} = \sqrt{2}\,\overrightarrow{OA} = \bigl(\sqrt{6},\, 2\sqrt{3}\bigr), \quad \overrightarrow{OQ_1} = -\sqrt{2}\,\overrightarrow{OA} = \bigl(-\sqrt{6},\, -2\sqrt{3}\bigr) \]

직선 \(L : x + \sqrt{2}y - \sqrt{2}a = 0\)과 점 \(Q_2(\sqrt{6}, 2\sqrt{3})\) 사이의 거리가 \(\sqrt{6}\)이고 \(a \gt 6\)이므로

\[ \frac{\bigl|\sqrt{6} + \sqrt{2}(2\sqrt{3}) - \sqrt{2}a\bigr|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2}} = \frac{\sqrt{2}a - 3\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6} \implies \sqrt{2}a - 3\sqrt{6} = 3\sqrt{2} \implies a = 3\sqrt{3} + 3 \]

[3단계] 삼각형 \(ABQ_1\)의 둘레의 길이 계산 (5점)

점 \(Q_1\)과 초점 \(A, B\)가 한 직선(장축) 위에 있지 않을 때는 타원의 정의 \(\overline{Q_1A}+\overline{Q_1B}=6\sqrt{2}\)를 쓰며, 본 문항에서 \(Q_1(-\sqrt{6}, -2\sqrt{3})\)을 포함하는 타원 위의 임의의 점 \(P\)에 대하여 \(\overline{PA} + \overline{PB} = 6\sqrt{2}\)이고 \(\overline{AB} = 6\)이므로 두 초점 거리 합과 초점 간 거리의 합은 \(\overline{AB} + \overline{Q_1A} + \overline{Q_1B} = 6 + 6\sqrt{2}\)이다.

[1단계] 고정 숫자 분석 및 \(\text{③}\)의 값에 따른 케이스 분류 구조 확립 (6점)

조건 (가)에서 \(\text{①} = 2\)로 고정되고, \(\text{②} \in \{0, 1, 3, 4\}\) (\(2\)는 중복 불가)이다.

조건 (나)에서 \(\text{③} \in \{0, 1\}\)이다. 또한 조건 (다)에서 \(\text{⑤} \in \{0, 1, 2, 3\}\)인데 이미 \(\text{①} = 2\)이므로 \(\text{⑤} \in \{0, 1, 3\}\)이다.

[2단계] 케이스 1 (\(\text{③} = 1\)인 경우)의 개수 계산 (6점)

\(\text{③} = 1\)이면 조건 (나)에서 \(\text{④} \in \{0, 1, 2\}\)인데 \(1, 2\)는 이미 사용되었으므로 반드시 \(\text{④} = 0\)이다.

그러면 \(0, 1, 2\)가 모두 사용되었으므로:

• \(\text{⑤} \in \{0, 1, 2, 3\}\)에서 반드시 \(\text{⑤} = 3\)으로 유일하게 결정된다 (\(1\)가지).
• \(\text{②} \in \{0, 1, 3, 4\}\)에서 \(0, 1, 3\)이 모두 사용되었으므로 반드시 \(\text{②} = 4\)로 유일하게 결정된다 (\(1\)가지).
• 이제 사용된 숫자는 \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\)이고, \(\text{⑥}\)은 남은 짝수 \(\{6, 8\}\) 중 하나이므로 \(2\)가지이다.

따라서 케이스 1의 개수는 \(1 \times 1 \times 1 \times 2 = 2\)가지이다. (코드: \(\text{241036}\), \(\text{241038}\))

[3단계] 케이스 2 (\(\text{③} = 0\)인 경우)의 개수 및 최소 코드 도출 (8점)

\(\text{③} = 0\)이면 이미 사용된 숫자는 \(\{0, 2\}\)이고, \(\text{⑤} \in \{1, 3\}\) (\(2\)가지 선택)이다. \(\text{②} \in \{1, 3, 4\}\) (\(\text{②} \ne \text{⑤}\))이므로 \(\text{②}\)의 값이 \(4\)인지 아닌지(짝수 개수에 영향)로 세분화한다.

• (2-1) \(\text{②} = 4\)인 경우: \(\text{⑤} \in \{1, 3\}\) (\(2\)가지). 현재 사용된 숫자는 \(\{0, 2, 4, \text{⑤}\}\)이다.
  • \(\text{⑥}\)은 남은 짝수 \(\{6, 8\}\) 중 하나이므로 \(2\)가지.
  • \(\text{④}\)는 \(1 \sim 9\) 중 이미 쓰인 \(\{2, 4, \text{⑤}, \text{⑥}\}\) \(4\)개를 제외한 \(9 - 4 = 5\)가지.
  • 개수: \(1 \times 2 \times 2 \times 5 = 20\)가지.
• (2-2) \(\text{②} \in \{1, 3\}\)인 경우: \(\text{②}\)와 \(\text{⑤}\)가 \(\{1, 3\}\)을 나누어 가지므로 \(2! = 2\)가지. 현재 사용된 숫자는 \(\{0, 1, 2, 3\}\)이다.
  • \(\text{⑥}\)은 남은 짝수 \(\{4, 6, 8\}\) 중 하나이므로 \(3\)가지.
  • \(\text{④}\)는 \(1 \sim 9\) 중 이미 쓰인 \(\{1, 2, 3, \text{⑥}\}\) \(4\)개를 제외한 \(9 - 4 = 5\)가지.
  • 개수: \(2 \times 3 \times 5 = 30\)가지.

따라서 전체 보안코드의 총개수는 \(2 + 20 + 30 = 52\)개이다.

가장 작은 보안코드는 앞자리부터 최소 숫자를 배정하여 \(\text{①}=2, \text{②}=1, \text{③}=0, \text{④}=4, \text{⑤}=3, \text{⑥}=6\)인 \(210436\)이다.

[1단계] 정적분으로 정의된 함수의 미분과 \(f(x)\), \(g(x)\)의 결정 (12점)

함수 \(g(x)\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면

\[ g'(x) = \bigl(2 - f(x)\bigr) - 2f(x) = 2 - 3f(x) \]

조건 (가)에서 \(g(x)\)가 \(x = 0\)과 \(x = \dfrac{4}{3}\)에서 극값을 가지므로 \(g'(0) = 0\), \(g'\!\left(\dfrac{4}{3}\right) = 0\)이다. 최고차항의 계수가 양수 \(a\) (\(a \gt 0\))인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여

\[ g'(x) = -3a x\left(x - \frac{4}{3}\right) = -3a x^2 + 4a x \implies f(x) = a x^2 - \frac{4}{3}a x + \frac{2}{3} \]

\(a \gt 0\)이므로 \(g(x)\)는 \(x = 0\)에서 극솟값 \(g(0)\), \(x = \dfrac{4}{3}\)에서 극댓값 \(g\!\left(\dfrac{4}{3}\right)\)을 갖는다. 이때

\[ g\!\left(\frac{4}{3}\right) - g(0) = \int_{0}^{4/3} g'(t)\,dt = \int_{0}^{4/3} (-3at^2 + 4at)\,dt = \left[-at^3 + 2at^2\right]_{0}^{4/3} = \frac{32}{27}a \]

또한 \(g(0) = 2\int_{0}^{1} f(t)\,dt = 2\left[\dfrac{a}{3}t^3 - \dfrac{2a}{3}t^2 + \dfrac{2}{3}t\right]_{0}^{1} = \dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{3}a\)이다. 조건 (나)에서

\[ g(0) + g\!\left(\frac{4}{3}\right) = 2g(0) + \frac{32}{27}a = \frac{8}{3} - \frac{4}{3}a + \frac{32}{27}a = \frac{8}{3} - \frac{4}{27}a = 2 \] \[ \frac{4}{27}a = \frac{2}{3} \implies a = \frac{9}{2} \]

따라서 \(f(x) = \dfrac{9}{2}x^2 - 6x + \dfrac{2}{3}\)이고, \(g'(x) = -\dfrac{27}{2}x^2 + 18x\), \(g(0) = \dfrac{4}{3} - 3 = -\dfrac{5}{3}\)이므로

\[ g(x) = -\frac{9}{2}x^3 + 9x^2 - \frac{5}{3} \]

(조건 (다) 검산: \(f(0) = \dfrac{2}{3} \gt 0\), \(f(1) = -\dfrac{5}{6} \lt 0\), \(f\!\left(\dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{2}{3} \gt 0\)이므로 사잇값 정리에 의하여 두 실근은 각각 \((0, 1)\)과 \(\left(1, \dfrac{4}{3}\right)\)에 존재하여 모두 열린구간 \(\left(0, \dfrac{4}{3}\right)\)에 속한다.)

[2단계] 정적분 \(\int_{0}^{1} x g(x)\,dx\)의 계산 (9점)

\(g(x) = -\dfrac{9}{2}x^3 + 9x^2 - \dfrac{5}{3}\)를 직접 대입하거나 부분적분법 \(\int_0^1 x g(x)\,dx = \left[\dfrac{1}{2}x^2 g(x)\right]_0^1 - \dfrac{1}{2}\int_0^1 x^2 g'(x)\,dx\)를 적용하면

\[ \int_{0}^{1} x g(x)\,dx = \int_{0}^{1} \left(-\frac{9}{2}x^4 + 9x^3 - \frac{5}{3}x\right)\,dx = \left[-\frac{9}{10}x^5 + \frac{9}{4}x^4 - \frac{5}{6}x^2\right]_{0}^{1} \] \[ = -\frac{9}{10} + \frac{9}{4} - \frac{5}{6} = \frac{-54 + 135 - 50}{60} = \frac{31}{60} \]

[3단계] 정적분과 급수의 관계 및 치환적분 계산 (9점)

\(x_k = \dfrac{k\pi}{2n}\), \(\Delta x = \dfrac{\pi}{2n}\)으로 놓으면 주어진 급수의 극한 \(L\)은

\[ L = 2 \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} g\!\left(\sin\frac{k\pi}{2n}\right)\cos\frac{k\pi}{2n} \cdot \frac{\pi}{2n} = 2 \int_{0}^{\pi/2} g(\sin\theta)\cos\theta\,d\theta \]

\(u = \sin\theta\)로 치환하면 \(du = \cos\theta\,d\theta\)이고 적분 구간은 \([0, 1]\)이 되므로

\[ L = 2 \int_{0}^{1} g(u)\,du = 2 \int_{0}^{1} \left(-\frac{9}{2}u^3 + 9u^2 - \frac{5}{3}\right)\,du = 2\left[-\frac{9}{8} + 3 - \frac{5}{3}\right] = 2 \cdot \frac{5}{24} = \frac{5}{12} \]

[1단계] 기함수 미분을 통한 우함수 성질 \(g(-x) = g(x)\) 증명 (10점)

조건 (가)에서 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) + f(-x) = 0\)이므로 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 연쇄법칙에 의하여

\[ f'(x) - f'(-x) = 0 \implies f'(-x) = f'(x) \]

이를 다시 한 번 \(x\)에 대하여 미분하면

\[ -f''(-x) = f''(x) \implies f''(x) + f''(-x) = 0 \]

조건 (가)에서 \(g'(x) = f''(x)\)이므로 \(g'(x) + g'(-x) = 0\)이다. 이제 \(G(x) = g(x) - g(-x)\)라 정의하면

\[ G'(x) = g'(x) + g'(-x) = 0 \]

이므로 \(G(x)\)는 실수 전체에서 상수함수이다. \(x = 0\)을 대입하면 \(G(0) = g(0) - g(0) = 0\)이므로 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(G(x) = 0\), 즉 \(g(-x) = g(x)\)가 성립한다.

[2단계] 치환적분을 통한 적분 구간 \([-1, 1]\) 통합 및 1차 부분적분 (10점)

구하는 정적분을 \(I = \int_{0}^{1} g(x)h'(x)\,dx + \int_{0}^{1} g(x)h'(-x)\,dx\)로 나누자. 두 번째 적분에서 \(t = -x\)로 치환하면 \(dt = -dx\)이고, [1단계]에 의해 \(g(-t) = g(t)\)이므로

\[ \int_{0}^{1} g(x)h'(-x)\,dx = \int_{0}^{-1} g(-t)h'(t)(-dt) = \int_{-1}^{0} g(t)h'(t)\,dt = \int_{-1}^{0} g(x)h'(x)\,dx \]

따라서 두 적분을 합치면 \(I = \int_{-1}^{1} g(x)h'(x)\,dx\)이다. 부분적분법을 적용하면 \(g(-1) = g(1) = 4\)이므로

\[ I = \bigl[g(x)h(x)\bigr]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} g'(x)h(x)\,dx = g(1)h(1) - g(-1)h(-1) - \int_{-1}^{1} f''(x)h(x)\,dx \] \[ = 4 \times 5 - 4 \times 1 - \int_{-1}^{1} f''(x)h(x)\,dx = 16 - \int_{-1}^{1} f''(x)h(x)\,dx \]

[3단계] 2차 부분적분을 통한 최종 정적분 값 도출 (10점)

[1단계]에서 \(f'(-x) = f'(x)\)이고 조건 (나)에서 \(f'(1) = 0\)이므로 \(f'(-1) = f'(1) = 0\)이다. 따라서 \(\int_{-1}^{1} f''(x)h(x)\,dx\)에 부분적분법을 한 번 더 적용하면

\[ \int_{-1}^{1} f''(x)h(x)\,dx = \bigl[f'(x)h(x)\bigr]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} f'(x)h'(x)\,dx = \bigl(f'(1)h(1) - f'(-1)h(-1)\bigr) - 6 = 0 - 6 = -6 \]

이를 [2단계]의 식에 대입하면

\[ I = 16 - (-6) = 22 \]

[1단계] 벡터 \(\overrightarrow{MN}\)을 \(\vec{a}, \vec{b}\)로 표현하기 (6점)

점 \(M\)은 선분 \(OA\)의 중점이므로 \(\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OA} = \dfrac{1}{2}\vec{a}\)이다.

점 \(N\)은 선분 \(OB\)를 \(1 : 2\)로 내분하는 점이므로 \(\overrightarrow{ON} = \dfrac{1}{1+2}\overrightarrow{OB} = \dfrac{1}{3}\vec{b}\)이다.

따라서 벡터의 뺄셈에 의하여

\[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} \]

[2단계] 기본 벡터의 내적 및 선분 \(AB\)의 길이 계산 (7점)

주어진 조건에서 \(|\vec{a}| = 4\), \(|\vec{b}| = 6\), \(\angle AOB = \dfrac{\pi}{3}\)이므로 두 벡터의 내적은

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\frac{\pi}{3} = 4 \times 6 \times \frac{1}{2} = 12 \]

\(\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}\)이므로 선분 \(AB\)의 길이의 제곱은

\[ |\overrightarrow{AB}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = 16 - 24 + 36 = 28 \implies \overline{AB} = 2\sqrt{7} \]

[3단계] 수선의 발 \(H\)에 대한 선분 \(MH\)의 길이 도출 (7점)

[방법 1: 벡터의 직교 조건 활용] 점 \(H\)가 직선 \(AB\) 위의 점이므로 실수 \(t\)에 대하여 \(\overrightarrow{AH} = t\overrightarrow{AB} = t(\vec{b} - \vec{a})\)로 놓을 수 있다. 한편 \(\overrightarrow{MA} = \dfrac{1}{2}\vec{a}\)이므로

\[ \overrightarrow{MH} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AH} = \left(\frac{1}{2} - t\right)\vec{a} + t\vec{b} \]

\(\overrightarrow{MH} \perp \overrightarrow{AB}\)이므로 \(\overrightarrow{MH} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0\)이다. 이를 전개하면

\[ \left(\frac{1}{2} - t\right)(\vec{a}\cdot\vec{b} - |\vec{a}|^2) + t(|\vec{b}|^2 - \vec{a}\cdot\vec{b}) = 0 \implies \left(\frac{1}{2} - t\right)(12 - 16) + t(36 - 12) = 0 \] \[ -2 + 4t + 24t = 0 \implies 28t = 2 \implies t = \frac{1}{14} \]

따라서 \(\overrightarrow{MH} = \dfrac{6}{14}\vec{a} + \dfrac{1}{14}\vec{b} = \dfrac{1}{14}(6\vec{a} + \vec{b})\)이고, 그 크기의 제곱은

\[ |\overrightarrow{MH}|^2 = \frac{1}{196}\left(36|\vec{a}|^2 + 12\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2\right) = \frac{1}{196}(36 \times 16 + 12 \times 12 + 36) = \frac{756}{196} = \frac{27}{7} \] \[ \therefore \overline{MH} = \sqrt{\frac{27}{7}} = \frac{3\sqrt{21}}{7} \]

[방법 2: 삼각형 넓이 활용 검산] \(\triangle MAB\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\triangle OAB = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\times 4\times 6\sin\dfrac{\pi}{3}\right) = 3\sqrt{3}\)이다. 한편 \(\triangle MAB = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{MH} = \sqrt{7}\,\overline{MH}\)이므로 \(\overline{MH} = \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{21}}{7}\)로 완벽히 일치한다.

[1단계] 전확률 공식을 이용한 \(p_2, p_3\)의 도출 (8점)

\(k\)일차(\(k=1, 2, 3\))에 미션에 성공하는 사건을 \(A_k\)라 하고 \(P(A_k) = p_k\) (\(p_1 = p\))라 하자. 조건 (나), (다)에 의하여

\[ P(A_{k+1} \mid A_k) = \frac{3}{4}, \quad P(A_{k+1} \mid A_k^c) = \frac{1}{4} \]

확률의 곱셈정리와 덧셈정리(전확률 공식)에 의하여

\[ p_{k+1} = P(A_k)P(A_{k+1} \mid A_k) + P(A_k^c)P(A_{k+1} \mid A_k^c) = \frac{3}{4}p_k + \frac{1}{4}(1 - p_k) = \frac{1}{2}p_k + \frac{1}{4} \]

따라서 \(k = 1\)을 대입하면

\[ p_2 = \frac{1}{2}p + \frac{1}{4} \]

\(k = 2\)를 대입하면

\[ p_3 = \frac{1}{2}p_2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}p + \frac{1}{4}\right) + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}p + \frac{3}{8} \]

[2단계] 사건 \(A_1 \cap A_3\)의 확률 계산 (6점)

1일차와 3일차에 모두 미션에 성공하는 사건 \(A_1 \cap A_3\)은 2일차의 성공 여부에 따라 서로 배반인 두 사건 \(A_1 \cap A_2 \cap A_3\)과 \(A_1 \cap A_2^c \cap A_3\)의 합사건이다.

• \(P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = p \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{16}p\)
• \(P(A_1 \cap A_2^c \cap A_3) = p \times \left(1 - \dfrac{3}{4}\right) \times \dfrac{1}{4} = p \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16}p\)

따라서

\[ P(A_1 \cap A_3) = \frac{9}{16}p + \frac{1}{16}p = \frac{10}{16}p = \frac{5}{8}p \]

[3단계] 조건부확률 방정식 풀이와 \(p\)의 값 도출 (6점)

3일차 미션에 성공했을 때 1일차 미션에도 성공했을 조건부확률은

\[ P(A_1 \mid A_3) = \frac{P(A_1 \cap A_3)}{P(A_3)} = \frac{\frac{5}{8}p}{\frac{1}{4}p + \frac{3}{8}} = \frac{5p}{2p + 3} \]

문제의 조건에서 이 값이 \(\dfrac{9}{14}\)이므로

\[ \frac{5p}{2p + 3} = \frac{9}{14} \implies 70p = 18p + 27 \implies 52p = 27 \implies p = \frac{27}{52} \]

이는 \(0 \lt p \lt 1\) 조건을 만족시킨다.

[1단계] 매개변수 미분법을 이용한 접선 \(\ell_a\)의 방정식 및 절편 도출 (10점)

\(x'(t) = -6\cos^2 t \sin t\), \(y'(t) = 12\sin^2 t \cos t\)이므로 \(t = a\) (\(0 \lt a \lt \dfrac{\pi}{2}\))에서의 접선의 기울기는

\[ \frac{dy}{dx}\bigg|_{t=a} = \frac{12\sin^2 a \cos a}{-6\cos^2 a \sin a} = -2\tan a = -\frac{2\sin a}{\cos a} \]

따라서 점 \(P(2\cos^3 a, 4\sin^3 a)\)에서의 접선 \(\ell_a\)의 방정식은

\[ y - 4\sin^3 a = -\frac{2\sin a}{\cos a}(x - 2\cos^3 a) \implies 2\sin a \cdot x + \cos a \cdot y = 4\sin a \cos a(\cos^2 a + \sin^2 a) = 4\sin a \cos a \]

양변을 \(4\sin a \cos a\)로 나누면

\[ \frac{x}{2\cos a} + \frac{y}{4\sin a} = 1 \]

이므로 접선 \(\ell_a\)의 \(x\)절편은 \(X = 2\cos a\), \(y\)절편은 \(Y = 4\sin a\)이다.

[2단계] 삼각형의 넓이 \(S(a)\)의 최댓값 도출 (5점)

\(0 \lt a \lt \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(X \gt 0, Y \gt 0\)이므로 넓이 \(S(a)\)는

\[ S(a) = \frac{1}{2} X Y = \frac{1}{2} (2\cos a)(4\sin a) = 4\sin a \cos a = 2\sin(2a) \]

\(0 \lt 2a \lt \pi\)이므로 \(\sin(2a)\)는 \(2a = \dfrac{\pi}{2}\), 즉 \(a = \dfrac{\pi}{4}\)일 때 최댓값 \(1\)을 갖는다. 따라서 \(S(a)\)의 최댓값은 \(2\)이다.

[3단계] 탄젠트 덧셈정리와 산술·기하 평균을 이용한 \(\tan\bigl(\theta(a)\bigr)\)의 최댓값 계산 (15점)

직선 \(\ell_a\)의 기울기는 \(m_1 = -2\tan a\)이고, 직선 \(L_a : y = -(\tan a)x\)의 기울기는 \(m_2 = -\tan a\)이다. \(u = \tan a \gt 0\)이라 하면 두 직선이 이루는 예각 \(\theta(a)\)에 대하여 삼각함수 탄젠트 덧셈정리에 의하여

\[ \tan\bigl(\theta(a)\bigr) = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right| = \frac{|-2u - (-u)|}{1 + (-2u)(-u)} = \frac{u}{1 + 2u^2} = \frac{1}{\dfrac{1}{u} + 2u} \]

\(u \gt 0\)이므로 산술·기하 평균 부등식에 의하여

\[ \frac{1}{u} + 2u \ge 2\sqrt{\frac{1}{u} \cdot 2u} = 2\sqrt{2} \implies \tan\bigl(\theta(a)\bigr) \le \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \]

등호는 \(\dfrac{1}{u} = 2u\), 즉 \(u^2 = \dfrac{1}{2}\)에서 \(u = \tan a = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)일 때 성립한다.

[1단계] 변곡점 조건 및 접선 개수 조건을 이용한 \(f(x)\)와 \(a, b\) 결정 (15점)

조건 (나)에서 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)의 변곡점이 \((1, 2)\)이므로 \(f''(1) = 0, f(1) = 2\)이다. 따라서 상수 \(p\)에 대하여

\[ f(x) = (x - 1)^3 + p(x - 1) + 2 \]

로 놓을 수 있다. 이때 \(f(0) = -1 - p + 2 = 1 - p\)이고, \(f'(x) = 3(x-1)^2 + p\)에서 \(f'(0) = 3 + p\)이다.

조건 (가)에서 \(g(x)\)가 \(x = 0\)에서 연속이고 미분가능하므로

\[ b = f(0) = 1 - p, \quad a = f'(0) = 3 + p \]

따라서 \(x \lt 0\)일 때 \(g(x) = ax + b\)는 곡선 \(y = f(x)\) (\(x \ge 0\))의 점 \((0, b)\)에서의 접선과 일치한다!

점 \((0, k)\)에서 곡선 \(y = f(x)\) (\(x \gt 0\))의 점 \((t, f(t))\) (\(t \gt 0\))에 그은 접선의 방정식은 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)이고, 여기에 \((0, k)\)를 대입하면

\[ k = f(t) - t f'(t) = \bigl(t^3 - 3t^2 + (3+p)t + (1-p)\bigr) - t\bigl(3t^2 - 6t + 3 + p\bigr) = -2t^3 + 3t^2 + (1 - p) \]

\(h(t) = -2t^3 + 3t^2 + (1 - p)\) (\(t \gt 0\))라 하면 \(h'(t) = -6t^2 + 6t = -6t(t - 1)\)이므로 \(t \gt 0\)에서 \(h(t)\)는 \(t = 1\)에서 극댓값 \(h(1) = 1 + (1 - p) = 2 - p\)를 갖고, \(\lim_{t \to 0^+} h(t) = 1 - p = b\)이다.

점 \((0, k)\)에서 그을 수 있는 접선이 \(3\)개가 되려면 \(h(t) = k\)의 양의 실근이 \(2\)개이고 추가 접선이 존재해야 하므로 \(k\)의 범위는 \(h(0) \lt k \lt h(1)\) (또는 변곡점 접선 기준 범위)이다. 조건 (다)에서 하한이 \(k = 4\)이므로

\[ b = 1 - p = 4 \implies p = -3 \]

이때 \(a = 3 + p = 0\), \(b = 4\)이고, 삼차함수 \(f(x)\)는

\[ f(x) = (x - 1)^3 - 3(x - 1) + 2 = x^3 - 3x^2 + 4 \]

[2단계] 부정적분 \(F(x)\)의 결정 및 치환적분 계산 (15점)

\(F'(x) = f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)이고 \(F(0) = 0\)이므로

\[ F(x) = \int_{0}^{x} (t^3 - 3t^2 + 4)\,dt = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x \]

\(x = 2\)를 대입하면

\[ F(2) = \frac{1}{4}(16) - 8 + 8 = 4 \]

따라서 치환적분법(\(u = F(x), du = f(x)\,dx\))에 의하여 구하는 정적분은

\[ \int_{0}^{2} f(x) e^{F(x)}\,dx = \Bigl[e^{F(x)}\Bigr]_{0}^{2} = e^{F(2)} - e^{F(0)} = e^4 - e^0 = e^4 - 1 \]

[1단계] 가중중심 정점 \(G\)의 도입 및 단일 벡터 \(6\overrightarrow{GP}\)로의 변환 (8점)

원점 \(O\)에 대하여 각 점의 위치벡터를 분해하면

\[ \overrightarrow{A_1 P} + 3\overrightarrow{A_2 P} + 2\overrightarrow{A_3 P} = (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA_1}) + 3(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA_2}) + 2(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA_3}) \] \[ = 6\overrightarrow{OP} - \bigl(\overrightarrow{OA_1} + 3\overrightarrow{OA_2} + 2\overrightarrow{OA_3}\bigr) \]

여기서 정점 \(G\)의 위치벡터를

\[ \overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA_1} + 3\overrightarrow{OA_2} + 2\overrightarrow{OA_3}}{6} \]

라 정의하면, 세 정점 \(A_1(-2, 1)\), \(A_2(2, -1)\), \(A_3(4, 7)\)의 좌표로부터 점 \(G\)의 좌표는

\[ G = \left(\frac{-2 + 3(2) + 2(4)}{6},\, \frac{1 + 3(-1) + 2(7)}{6}\right) = \left(\frac{12}{6},\, \frac{12}{6}\right) = (2, 2) \]

따라서 주어진 벡터 합의 크기의 제곱은 다음과 같이 간단히 정리된다.

\[ \bigl|\overrightarrow{A_1 P} + 3\overrightarrow{A_2 P} + 2\overrightarrow{A_3 P}\bigr|^2 = \bigl|6(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OG})\bigr|^2 = 36\,\overline{GP}^2 \]

[2단계] 정점 \(G\)와 원 \(C\)의 중심 사이의 거리 및 \(\overline{GP}\)의 범위 도출 (7점)

원 \(C : (x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 4\)의 중심은 \(M(5, 5)\)이고 반지름의 길이는 \(r = 2\)이다.

정점 \(G(2, 2)\)와 원의 중심 \(M(5, 5)\) 사이의 거리 \(d\)는

\[ d = \overline{GM} = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2} \]

\(d = 3\sqrt{2} \gt 2 = r\)이므로 점 \(G\)는 원 \(C\)의 외부에 있다. 따라서 원 \(C\) 위의 점 \(P\)에 대하여 선분 \(GP\)의 길이의 범위는 삼각부등식에 의하여

\[ d - r \le \overline{GP} \le d + r \implies 3\sqrt{2} - 2 \le \overline{GP} \le 3\sqrt{2} + 2 \]

[3단계] 최솟값과 최댓값 계산 (5점)

• 최솟값: \(\overline{GP} = 3\sqrt{2} - 2\)일 때 \[ 36(3\sqrt{2} - 2)^2 = 36(18 - 12\sqrt{2} + 4) = 36(22 - 12\sqrt{2}) = 792 - 432\sqrt{2} \]
• 최댓값: \(\overline{GP} = 3\sqrt{2} + 2\)일 때 \[ 36(3\sqrt{2} + 2)^2 = 36(22 + 12\sqrt{2}) = 792 + 432\sqrt{2} \]

[1단계] 조합을 이용한 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 유도 (8점)

꺼낸 \(2\)개의 공이 서로 같은 색인 경우는 (모두 흰 공), (모두 검은 공), (모두 붉은 공)인 세 가지 배반사건으로 나뉜다.

• 흰 공 \(2\)개를 꺼내는 경우의 수 : \({}_{n}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}\) (단, \(n=1\)일 때도 \(0\)으로 성립)
• 검은 공 \(2\)개를 꺼내는 경우의 수 : \({}_{n+2}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{(n+2)(n+1)}{2}\)
• 붉은 공 \(2\)개를 꺼내는 경우의 수 : \({}_{n+4}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{(n+4)(n+3)}{2}\)

합의 법칙에 의하여

\[ a_n = \frac{n(n-1) + (n+2)(n+1) + (n+4)(n+3)}{2} = \frac{(n^2 - n) + (n^2 + 3n + 2) + (n^2 + 7n + 12)}{2} \] \[ \therefore a_n = \frac{3n^2 + 9n + 14}{2} \]

[2단계] 일반항의 분모 인수분해 및 부분분수 분해 (6점)

급수의 일반항의 분모에 \(a_n\)을 대입하여 정리하면

\[ a_n + 6n + 11 = \frac{3n^2 + 9n + 14}{2} + \frac{12n + 22}{2} = \frac{3n^2 + 21n + 36}{2} = \frac{3(n^2 + 7n + 12)}{2} = \frac{3(n+3)(n+4)}{2} \]

따라서 급수의 일반항은 부분분수 공식에 의하여 다음과 같이 분해된다.

\[ \frac{1}{a_n + 6n + 11} = \frac{2}{3(n+3)(n+4)} = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{n+3} - \frac{1}{n+4}\right) \]

[3단계] 부분합 \(S_N\) 계산 및 무한급수의 합 도출 (6점)

첫째항부터 제\(N\)항까지의 부분합 \(S_N\)을 구하면 연쇄 소거(망원급수)에 의하여

\[ S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{2}{3}\left(\frac{1}{n+3} - \frac{1}{n+4}\right) = \frac{2}{3}\left[\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N+3} - \frac{1}{N+4}\right)\right] \] \[ = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{N+4}\right) \]

따라서 구하는 무한급수의 합은

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n + 6n + 11} = \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \frac{2}{3}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{N+4}\right) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{6} \]

[1단계] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 \(\overline{A_n C_n}\) 및 \(R_n\) 도출 (10점)

삼각형 \(A_n B_n C_n\)에서 \(\overline{A_n B_n} = 2^n\), \(\overline{B_n C_n} = 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n\), \(\angle A_n B_n C_n = \dfrac{2\pi}{3}\)이므로 코사인법칙에 의하여

\[ \overline{A_n C_n}^2 = (2^n)^2 + (2 \cdot 2^n)^2 - 2 \cdot 2^n \cdot (2 \cdot 2^n)\cos\frac{2\pi}{3} = 4^n + 4 \cdot 4^n - 4 \cdot 4^n \left(-\frac{1}{2}\right) = 7 \cdot 4^n \] \[ \therefore \overline{A_n C_n} = \sqrt{7} \cdot 2^n \]

삼각형 \(A_n B_n C_n\)의 외접원이 곧 원 \(C_n\)이므로 사인법칙에 의하여

\[ 2R_n = \frac{\overline{A_n C_n}}{\sin\frac{2\pi}{3}} = \frac{\sqrt{7} \cdot 2^n}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{21}}{3} \cdot 2^n \implies R_n = \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 2^n \]

[2단계] 원에 내접하는 사각형의 성질을 이용한 \(S_n\) 도출 (12점)

사각형 \(A_n B_n C_n D_n\)이 원 \(C_n\)에 내접하므로 마주 보는 두 내각의 크기의 합은 \(\pi\)이다. 따라서

\[ \angle A_n D_n C_n = \pi - \angle A_n B_n C_n = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \]

조건 (나)에서 \(\overline{C_n D_n} = \overline{D_n A_n}\)인 이등변삼각형 \(A_n C_n D_n\)의 꼭짓각이 \(\dfrac{\pi}{3}\)이므로, 삼각형 \(A_n C_n D_n\)은 한 변의 길이가 \(\overline{A_n C_n} = \sqrt{7} \cdot 2^n\)인 정삼각형이다!

• \(\triangle A_n B_n C_n\)의 넓이 : \(\dfrac{1}{2} \cdot 2^n \cdot 2^{n+1} \sin\dfrac{2\pi}{3} = 4^n \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4^n\)
• \(\triangle A_n C_n D_n\)의 넓이 : \(\dfrac{\sqrt{3}}{4} \overline{A_n C_n}^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 7 \cdot 4^n = \dfrac{7\sqrt{3}}{4} \cdot 4^n\)

따라서 사각형 \(A_n B_n C_n D_n\)의 넓이 \(S_n\)은

\[ S_n = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4^n + \frac{7\sqrt{3}}{4} \cdot 4^n = \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot 4^n \]

[3단계] 극한값 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{R_n^2}\) 계산 (8점)

\(R_n^2 = \left(\dfrac{\sqrt{21}}{3} \cdot 2^n\right)^2 = \dfrac{21}{9} \cdot 4^n = \dfrac{7}{3} \cdot 4^n\)이므로

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{R_n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot 4^n}{\frac{7}{3} \cdot 4^n} = \frac{27\sqrt{3}}{28} \]

[1단계] 우함수 대칭성 증명 및 정적분 계산 (12점)

임의의 실수 \(x\)에 대하여

\[ f(-x) = \ln(1 + e^{-2x}) - (-x) = \ln\!\left(\frac{e^{2x} + 1}{e^{2x}}\right) + x = \ln(1 + e^{2x}) - \ln(e^{2x}) + x = \ln(1 + e^{2x}) - 2x + x = f(x) \]

이므로 \(f(-x) = f(x)\)가 성립한다 (우함수).

한편 곱의 미분법에 의하여 \(\dfrac{d}{dx}\bigl(x f(x)\bigr) = f(x) + x f'(x)\)이므로

\[ \int_{-1}^{1} \bigl(x f'(x) + f(x)\bigr)\,dx = \Bigl[x f(x)\Bigr]_{-1}^{1} = 1 \cdot f(1) - (-1) \cdot f(-1) = 2f(1) \]

\(f(1) = \ln(1 + e^2) - 1\)이므로 구하는 정적분의 값은 \(2\ln(1 + e^2) - 2\)이다.

[2단계] 구간 \([0, 1]\)에서의 단조증가성 증명 (8점)

\(f(x) = \ln(1 + e^{2x}) - x\)를 미분하면

\[ f'(x) = \frac{2e^{2x}}{1 + e^{2x}} - 1 = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} \]

\(x \in [0, 1]\)일 때 \(e^{2x} \ge 1\)이므로 \(f'(x) \ge 0\)이다. 따라서 \(f(x)\)는 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 증가하므로

\[ f(0) \le f(x) \le f(1) \implies \ln 2 \le f(x) \le \ln(1 + e^2) - 1 \]

이 성립한다.

[3단계] 부분적분법과 조임정리(샌드위치 정리)를 이용한 \(\lim_{n \to \infty} n I_n\) 도출 (10점)

\(n I_n = \int_{0}^{1} n x^{n-1} f(x)\,dx\)에서 \((x^n)' = n x^{n-1}\)이므로 부분적분법을 적용하면

\[ n I_n = \Bigl[x^n f(x)\Bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^n f'(x)\,dx = f(1) - \int_{0}^{1} x^n f'(x)\,dx \]

구간 \([0, 1]\)에서 \(0 \le f'(x) = \dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} \lt 1\)이므로 모든 \(x \in [0, 1]\)에 대하여 \(0 \le x^n f'(x) \le x^n\)이다. 각 변을 \(0\)부터 \(1\)까지 정적분하면

\[ 0 \le \int_{0}^{1} x^n f'(x)\,dx \le \int_{0}^{1} x^n\,dx = \frac{1}{n + 1} \]

\(\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n+1} = 0\)이므로 함수의 극한의 대소 관계(조임정리)에 의하여 \(\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} x^n f'(x)\,dx = 0\)이다.

따라서

\[ \lim_{n \to \infty} n I_n = f(1) - 0 = \ln(1 + e^2) - 1 \]

[1단계] 구 \(S\)와 평면 \(\alpha : z = 2\)의 교선인 원 \(C_1\)의 넓이 계산 (7점)

구 \(S\)의 중심 \(C(0, 0, 5)\)에서 평면 \(\alpha : z = 2\)에 내린 수선의 발을 \(H(0, 0, 2)\)라 하면, 중심과 평면 사이의 거리는

\[ d = \overline{CH} = |5 - 2| = 3 \]

구 \(S\)의 반지름의 길이가 \(R = 5\)이므로 피타고라스 정리에 의하여 단면 원 \(C_1\)의 반지름의 길이 \(r_1\)은

\[ r_1 = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 \]

따라서 원 \(C_1\)의 넓이 \(S_1\)은

\[ S_1 = \pi r_1^2 = 16\pi \]

[2단계] 평면 \(\alpha\)와 접평면 \(\gamma\)가 이루는 이면각 \(\theta\)의 코사인값 도출 (8점)

점 \(A(0, 4, 2)\)는 \(0^2 + 4^2 + (2 - 5)^2 = 16 + 9 = 25\)를 만족하므로 구 \(S\) 위의 점이자 동시에 원 \(C_1\) (\(z = 2\)) 위의 점이다.

구 \(S\) 위의 점 \(A(0, 4, 2)\)에서의 접평면 \(\gamma\)는 구의 반지름 선분 \(CA\)에 수직이다. 한편 평면 \(\alpha : z = 2\)는 수선 \(CH\)에 수직이다.

따라서 두 평면 \(\alpha\)와 \(\gamma\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 하면, \(\theta\)는 두 직선 \(CH\)와 \(CA\)가 이루는 예각 \(\angle HCA\)와 같다! 직각삼각형 \(CHA\) (\(\angle CHA = \dfrac{\pi}{2}\))에서 \(\overline{CH} = 3\), \(\overline{CA} = 5\)이므로

\[ \cos\theta = \frac{\overline{CH}}{\overline{CA}} = \frac{3}{5} \]

[3단계] 정사영의 넓이 계산 (5점)

원 \(C_1\)을 포함하는 평면 \(\alpha\)와 평면 \(\gamma\)가 이루는 예각이 \(\theta\) (\(\cos\theta = \dfrac{3}{5}\))이므로, 원 \(C_1\)의 평면 \(\gamma\) 위로의 정사영의 넓이 \(S'\)는

\[ S' = S_1 \cos\theta = 16\pi \times \frac{3}{5} = \frac{48}{5}\pi \]

[1단계] 이항분포 \(\mathrm{B}\!\left(72, \dfrac{1}{3}\right)\) 설정 및 \(Y\)의 평균·표준편차 계산 (10점)

주사위를 한 번 던질 때 \(3\)의 배수의 눈(\(3, 6\))이 나올 확률은 \(p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)이고, 나오지 않을 확률은 \(q = 1 - p = \dfrac{2}{3}\)이다. 따라서 확률변수 \(X\)는 이항분포 \(\mathrm{B}\!\left(72, \dfrac{1}{3}\right)\)을 따르므로

\[ \mathrm{E}(X) = np = 72 \times \frac{1}{3} = 24, \quad \mathrm{V}(X) = npq = 72 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = 16, \quad \sigma(X) = \sqrt{16} = 4 \]

\(72\)번 중 \(3\)의 배수가 \(X\)번 나오면 \(3\)의 배수가 아닌 눈은 \((72 - X)\)번 나오므로 총점수 \(Y\)는

\[ Y = 3X + (-1)(72 - X) = 4X - 72 \]

기댓값과 표준편차의 성질에 의하여

\[ \mathrm{E}(Y) = 4\mathrm{E}(X) - 72 = 4(24) - 72 = 24 \] \[ \sigma(Y) = |4|\sigma(X) = 4 \times 4 = 16 \]

[2단계] 정규분포 근사 및 표준화를 통한 \(\mathrm{P}(Y \ge 48)\) 계산 (10점)

시행 횟수 \(n = 72\)가 충분히 크므로 확률변수 \(X\)는 근사적으로 정규분포 \(\mathrm{N}(24, 4^2)\)을 따르고, 그 일차식인 \(Y = 4X - 72\)는 근사적으로 정규분포 \(\mathrm{N}(24, 16^2)\)을 따른다.

표준정규확률변수 \(Z = \dfrac{Y - 24}{16}\) (또는 \(Y \ge 48 \iff 4X - 72 \ge 48 \iff X \ge 30\)에서 \(Z = \dfrac{X - 24}{4}\))로 표준화하면

\[ \mathrm{P}(Y \ge 48) = \mathrm{P}\!\left(Z \ge \frac{48 - 24}{16}\right) = \mathrm{P}(Z \ge 1.5) \]

표준정규분포 곡선의 대칭성과 주어진 표(\(\mathrm{P}(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332\))에 의하여

\[ \mathrm{P}(Z \ge 1.5) = 0.5 - \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.5) = 0.5 - 0.4332 = 0.0668 \]

[1단계] 소문항 (1) — 구간별 \(f_1(x)\)의 식과 \(b, c\)의 관계식 도출 (10점)

정의에 따라 \(\sigma(g_1(x))\)와 \(\sigma(h_1(x))\)를 구간별로 정리하면

\[ \sigma(g_1(x)) = \begin{cases} 0 & (x \lt b-2) \\ x-b+2 & (b-2 \le x \lt b) \\ 2 & (x \ge b) \end{cases}, \qquad \sigma(h_1(x)) = \begin{cases} 3 & (x \lt c) \\ -x+c+3 & (c \le x \lt c+3) \\ 0 & (x \ge c+3) \end{cases} \]

\(b \le c\)이므로 \(b \lt c\)일 때 두 함수를 더한 \(f_1(x)\)는 구간별로

\[ f_1(x) = \begin{cases} 3 & (x \lt b-2) \\ x-b+5 & (b-2 \le x \lt b) \\ 5 & (b \le x \lt c) \\ -x+c+5 & (c \le x \lt c+3) \\ 2 & (x \ge c+3) \end{cases} \]

이 경우 좌·우미분계수가 다른 점은 \(x = b-2, b, c, c+3\)의 \(4\)개이다. 미분가능하지 않은 점이 정확히 \(3\)개가 되려면 \(b = c\)가 되어 상수 구간 \([b, c]\)가 한 점으로 합쳐지면서 \(x = b-2, b(=c), b+3\)의 \(3\)개 점에서만 기울기가 변해야 한다. 따라서 구하는 조건은 \(b = c\)이다.

[2단계] 소문항 (2) — 미분불가능점 상쇄 조건과 순서쌍 \((p, q)\) 결정 (10점)

\(g(x) = -\sigma(-x-2)+2\)에 대하여 \(\sigma(g(x))\)는 \(x \lt -4\)일 때 \(0\), \(-4 \le x \lt -2\)일 때 \(x+4\), \(x \ge -2\)일 때 \(2\)이다. 대칭성에 의해 \(H(x) = \sigma(g(x)) + \sigma(g(-x)) - 2\)를 정리하면

\[ H(x) = \begin{cases} 0 & (|x| \ge 4) \\ x+4 & (-4 \le x \lt -2) \\ 2 & (-2 \le x \le 2) \\ -x+4 & (2 \lt x \le 4) \end{cases} \]

이므로 \(H(x)\)는 \(x = -4, -2, 2, 4\)의 네 점에서 미분불가능하다. 연속함수 \(H(x)\)가 \(x = x_0\)에서 좌·우미분계수가 유한하고 서로 다를 때, 다항함수 \(P(x) = (x-p)(x-q)\)를 곱한 \(f_2(x) = P(x)H(x)\)가 \(x = x_0\)에서 미분가능할 필요충분조건은 \(P(x_0) = 0\)이다. \(f_2(x)\)가 정확히 두 점에서만 미분불가능하려면 \(p, q\)는 집합 \(\{-4, -2, 2, 4\}\)의 서로 다른 두 원소여야 한다. 또한 \(f_2(0) = pq\,H(0) = 2pq \gt 0\)에서 \(pq \gt 0\)이므로 \(p, q\)의 부호가 같아야 한다. 따라서 가능한 순서쌍은

\[ (p, q) \in \{(-4, -2),\; (-2, -4),\; (2, 4),\; (4, 2)\} \]

의 \(4\)개이다.

[3단계] 소문항 (3) — 직선 \(y = mx + n\)과 세 점에서 만날 \((m, n)\) 영역의 넓이 (10점)

차함수 \(d(x) = H(x) - (mx+n)\)은 구간 \((-\infty, -4]\), \([-4, -2]\), \([-2, 2]\), \([2, 4]\), \([4, \infty)\)에서 각각 일차함수이다. \(m \gt 0\)일 때 \(\lim_{x\to-\infty} d(x) = +\infty\), \(\lim_{x\to+\infty} d(x) = -\infty\)이며, \(x \le -4\)와 \(x \ge -2\)에서는 \(d(x)\)가 감소하므로 증가할 수 있는 구간은 \([-4, -2]\) (단, \(0 \lt m \lt 1\))뿐이다. 따라서 \(d(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가지려면 \(0 \lt m \lt 1\)이고 \(d(-4) = 4m - n \lt 0\), \(d(-2) = 2 + 2m - n \gt 0\)이어야 한다. 즉

\[ 4m \lt n \lt 2m + 2 \quad (0 \lt m \lt 1) \]

이고, 우함수 대칭성에 의해 \(m \lt 0\)일 때의 조건은

\[ -4m \lt n \lt -2m + 2 \quad (-1 \lt m \lt 0) \]

이다. 좌표평면 \((m, n)\)에서 \(0 \lt m \lt 1\), \(4m \lt n \lt 2m+2\)는 세 점 \((0, 0)\), \((0, 2)\), \((1, 4)\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형이므로 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1\)이다. \(m \lt 0\)인 영역도 대칭인 삼각형으로 넓이가 \(1\)이므로, 전체 영역의 넓이는 \(1 + 1 = 2\)이다.

[1단계] 변곡점 접선 조건을 이용한 \(p, q, r\)의 정수 매개변수 표현 및 \(pqr\) 최솟값 (12점)

\(f(x) = x^3 + px^2 + qx + r\)를 두 번 미분하면 \(f'(x) = 3x^2 + 2px + q\), \(f''(x) = 6x + 2p\)이다. \(f''(x) = 0\)에서 변곡점의 \(x\)좌표는 \(x = -\dfrac{p}{3}\)이다.

조건 (나)에서 변곡점에서의 접선이 \(y = -2x\)이므로 \(f'\left(-\dfrac{p}{3}\right) = -2\)이고 \(f\left(-\dfrac{p}{3}\right) = \dfrac{2p}{3}\)이다.

\[ f'\left(-\frac{p}{3}\right) = \frac{p^2}{3} - \frac{2p^2}{3} + q = -\frac{p^2}{3} + q = -2 \implies p^2 = 3(q + 2) \]

\(p, q\)가 정수이고 \(p^2\)이 \(3\)의 배수이므로 \(p\)도 \(3\)의 배수이다. \(p \ne 0\)이므로 \(0\)이 아닌 정수 \(k\)에 대하여 \(p = 3k\)로 놓으면

\[ q = 3k^2 - 2 \]

이고, 변곡점의 \(x\)좌표는 \(-k\)이다. \(f(-k) = 2k\)에 대입하면

\[ (-k)^3 + 3k(-k)^2 + (3k^2-2)(-k) + r = 2k \implies -k^3 + 3k^3 - 3k^3 + 2k + r = 2k \implies r = k^3 \]

따라서 세 계수의 곱은 \(pqr = (3k)(3k^2-2)(k^3) = 3k^4(3k^2-2)\)이다. \(k\)는 \(0\)이 아닌 정수이므로 \(k^2 \ge 1\)이고, \(k^2 = 1\) (\(k = \pm 1\))일 때 \(pqr\)은 최솟값 \(3 \times 1 \times 1 = 3\)을 갖는다. 이때의 삼차함수 \(f(x)\)는

\[ f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 1 \quad (k=1), \qquad f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1 \quad (k=-1) \]

이다.

[2단계] 극한값 \(\lim_{p \to \infty} \dfrac{pq}{r}\)의 계산 (8점)

\(p = 3k \to \infty\)일 때 \(k \to \infty\)이므로

\[ \lim_{p \to \infty} \frac{pq}{r} = \lim_{k \to \infty} \frac{3k(3k^2 - 2)}{k^3} = \lim_{k \to \infty} \left(9 - \frac{6}{k^2}\right) = 9 \]

이다.

[3단계] 점 \((-3, 2)\)에서 그은 접선이 \(3\)개가 되도록 하는 자연수 \(p\)의 결정 (10점)

\(f(x) = (x+k)^3 - 2x\)이므로 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 방정식은

\[ y - \{(t+k)^3 - 2t\} = \{3(t+k)^2 - 2\}(x - t) \]

이 직선이 점 \((-3, 2)\)를 지나므로 \(x = -3, y = 2\)를 대입하고 \(u = t + k\) (\(-3 - t = k - 3 - u\))로 치환하면

\[ 2 - u^3 + 2(u-k) = (3u^2 - 2)(k - 3 - u) = 3(k-3)u^2 - 3u^3 - 2(k-3) + 2u \] \[ \implies 2u^3 - 3(k-3)u^2 - 4 = 0 \]

삼차함수 \(g(u) = 2u^3 - 3(k-3)u^2 - 4\)가 서로 다른 세 실근을 가지려면 \(g'(u) = 6u\{u - (k-3)\} = 0\)의 두 극점 \(u = 0\)과 \(u = k-3\) (\(k \ne 3\))에서 극댓값과 극솟값의 부호가 서로 반대여야 한다. \(g(0) = -4 \lt 0\)이므로 다른 극값 \(g(k-3)\)이 양수(\( \gt 0\))여야 한다.

\[ g(k-3) = 2(k-3)^3 - 3(k-3)^3 - 4 = -(k-3)^3 - 4 \gt 0 \iff (k-3)^3 \lt -4 \]

\(k\)는 자연수(\(p = 3k \ge 3\))이므로 \((k-3)^3 \lt -4\)를 만족하는 자연수 \(k\)는 \(k - 3 \le -2\), 즉 \(k = 1\) (\((-2)^3 = -8 \lt -4\))뿐이다. (\(k = 2\)일 때는 \((-1)^3 = -1 \gt -4\)이므로 불만족.) 따라서 구하는 자연수 \(p\)의 값은 \(p = 3k = 3\)이다.

[1단계] 현 벡터 \(\vec{b}_i\)의 크기와 사이각 공식 유도 및 \(n=7\)일 때 \(\vec{b}_2 \cdot \vec{b}_5\) 계산 (8점)

원의 중심을 \(O\), 반지름을 \(R = 2\)라 하면 점 \(A, B_1, \dots, B_n\)은 원주를 \((n+1)\)등분하므로 중심각은 \(\angle AOB_i = \dfrac{2i\pi}{n+1}\)이다. 이등변삼각형 \(OAB_i\)에서 현 \(AB_i\)의 길이는

\[ |\vec{b}_i| = 2R\sin\frac{i\pi}{n+1} = 4\sin\frac{i\pi}{n+1} \quad (1 \le i \le n) \]

또한 원주각의 성질에 의하여 두 벡터 \(\vec{b}_i = \overrightarrow{AB_i}\)와 \(\vec{b}_j = \overrightarrow{AB_j}\) (\(i \le j\))가 이루는 각의 크기 \(\theta_{ij}\)는 호 \(B_i B_j\)에 대한 원주각이므로 \(\theta_{ij} = \dfrac{(j-i)\pi}{n+1}\)이다. 따라서 내적은

\[ \vec{b}_i \cdot \vec{b}_j = 16\sin\frac{i\pi}{n+1}\sin\frac{j\pi}{n+1}\cos\frac{(j-i)\pi}{n+1} \]

이다. \(n = 7\)일 때 \(n+1 = 8\)이므로 \(i = 2, j = 5\)를 대입하면

\[ \vec{b}_2 \cdot \vec{b}_5 = 16\sin\frac{2\pi}{8}\sin\frac{5\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8} = 16\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{3\pi}{8}\sin\frac{3\pi}{8} \]

배각공식 \(2\sin\dfrac{3\pi}{8}\cos\dfrac{3\pi}{8} = \sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)과 \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)를 대입하면

\[ \vec{b}_2 \cdot \vec{b}_5 = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \]

이다.

[2단계] 정적분과 급수의 합 및 조임정리를 이용한 극한값 계산 (12점)

일반항 \(\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_i = 16\sin\dfrac{\pi}{n+1}\sin\dfrac{i\pi}{n+1}\cos\dfrac{(i-1)\pi}{n+1}\)에서 덧셈정리 \(\cos\dfrac{(i-1)\pi}{n+1} = \cos\dfrac{i\pi}{n+1}\cos\dfrac{\pi}{n+1} + \sin\dfrac{i\pi}{n+1}\sin\dfrac{\pi}{n+1}\)를 대입하여 정리하면

\[ \vec{b}_1 \cdot \vec{b}_i = 4\sin\frac{2\pi}{n+1}\sin\frac{2i\pi}{n+1} + 16\sin^2\frac{\pi}{n+1}\sin^2\frac{i\pi}{n+1} \]

이다. 이를 \(i = 1\)부터 \(n\)까지 합하면

\[ \vec{b}_1 \cdot \left(\sum_{i=1}^{n} \vec{b}_i\right) = 4(n+1)\sin\frac{2\pi}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}\sin\frac{2i\pi}{n+1} + 16\sin^2\frac{\pi}{n+1}\sum_{i=1}^{n}\sin^2\frac{i\pi}{n+1} \]

첫째 항에서 \(\lim_{n\to\infty} 4(n+1)\sin\dfrac{2\pi}{n+1} = 8\pi\)이고, 정적분과 급수의 합에 의하여

\[ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}\sin\frac{2i\pi}{n+1} = \int_0^1 \sin(2\pi x)\,dx = \left[-\frac{\cos(2\pi x)}{2\pi}\right]_0^1 = 0 \]

이므로 첫째 항의 극한은 \(8\pi \times 0 = 0\)이다. 둘째 항을 \(T_n\)이라 하면 \(0 \le \sin^2\dfrac{i\pi}{n+1} \le 1\)이므로

\[ 0 \le T_n \le 16n\sin^2\frac{\pi}{n+1} = \frac{16n\pi^2}{(n+1)^2}\left(\frac{\sin\frac{\pi}{n+1}}{\frac{\pi}{n+1}}\right)^2 \xrightarrow{n\to\infty} 0 \]

조임정리에 의하여 \(\lim_{n\to\infty} T_n = 0\)이다. 따라서 구하는 극한값은 \(0 + 0 = 0\)이다.

[1단계] 비복원추출에서 네 번째 기회에 진홍색 공을 뽑을 확률 (8점)

\(10\)개의 공에 \(1\)부터 \(10\)까지 번호를 붙여 비복원추출로 \(4\)개를 순서대로 뽑는 모든 경우의 수는 \(\_{10}\mathrm{P}_4\)이고 각 근원사건은 동등하게 일어날 가능성이 있다. 네 번째 자리에 진홍색 공(\(5\)개 중 하나)이 오고 나머지 첫째, 둘째, 셋째 자리에 남은 \(9\)개의 공 중 \(3\)개가 순서대로 나열되는 경우의 수는 \(5 \times \_9\mathrm{P}_3\)이다. 따라서 구하는 확률은

\[ P(\text{4번째 진홍색}) = \frac{5 \times \_9\mathrm{P}_3}{\_{10}\mathrm{P}_4} = \frac{5 \times 9 \times 8 \times 7}{10 \times 9 \times 8 \times 7} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]

이다.

[2단계] 총상금액 \(X\)의 확률분포와 기댓값 \(\mathrm{E}(X)\) 계산 (12점)

첫 번째 기회에 진홍색 공을 뽑는 사건을 \(A\), 네 번째 기회에 진홍색 공을 뽑는 사건을 \(B\)라 하자. 확률변수 \(X\)가 가질 수 있는 값은 \(0, 100, 300, 400\) (단위: 만 원)이다. 첫 번째와 네 번째 자리에 놓이는 공의 순서쌍 경우의 수는 전체 \(10\)개 중 \(2\)개를 뽑아 나열하는 \(\_{10}\mathrm{P}_2 = 10 \times 9 = 90\)가지와 동등하므로,

• \(P(X = 0) = P(A^c \cap B^c) = \dfrac{5 \times 4}{10 \times 9} = \dfrac{20}{90} = \dfrac{2}{9}\)
• \(P(X = 100) = P(A \cap B^c) = \dfrac{5 \times 5}{10 \times 9} = \dfrac{25}{90} = \dfrac{5}{18}\)
• \(P(X = 300) = P(A^c \cap B) = \dfrac{5 \times 5}{10 \times 9} = \dfrac{25}{90} = \dfrac{5}{18}\)
• \(P(X = 400) = P(A \cap B) = \dfrac{5 \times 4}{10 \times 9} = \dfrac{20}{90} = \dfrac{2}{9}\)

(검산: \(\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{18} + \dfrac{5}{18} + \dfrac{2}{9} = 1\).) 따라서 확률변수 \(X\)의 기댓값 \(\mathrm{E}(X)\)는

\[ \mathrm{E}(X) = 0 \times \frac{2}{9} + 100 \times \frac{5}{18} + 300 \times \frac{5}{18} + 400 \times \frac{2}{9} = \frac{500 + 1500 + 1600}{18} = \frac{3600}{18} = 200\text{ (만 원)} \]

이다.

[1단계] 극한 조건 (가)를 이용한 이차함수 \(f(x)\)의 결정 (15점)

조건 (가)-(i)에서 \(\ln(h+2) - \ln h = \ln\left(1 + \dfrac{2}{h}\right)\)이고, \(t = \dfrac{2}{h}\)로 치환하면 \(h \to \infty\)일 때 \(t \to 0+\)이므로

\[ \lim_{h \to \infty} h\bigl\{\ln(h+2) - \ln h\bigr\} = \lim_{t \to 0+} \frac{2\ln(1+t)}{t} = 2 \]

이다. 따라서

\[ \lim_{h \to \infty} \frac{f(h)}{h}\bigl\{\ln(h+2) - \ln h\bigr\} = \lim_{h \to \infty} \frac{f(h)}{h^2} \cdot h\ln\left(1+\frac{2}{h}\right) = 2 \lim_{h \to \infty} \frac{f(h)}{h^2} = 2 \implies \lim_{h \to \infty} \frac{f(h)}{h^2} = 1 \]

이므로 \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수이다. \(f(x) = x^2 + px + q\) (\(p, q\)는 상수)라 하자. 조건 (가)-(ii)의 정적분을 계산하면

\[ \int_{h}^{h+\sin h} (x^2 + px + q)\,dx = \frac{(h+\sin h)^3 - h^3}{3} + \frac{p\bigl\{(h+\sin h)^2 - h^2\bigr\}}{2} + q\sin h \]

양변을 \(h^2\)으로 나누어 \(h \to 0\)의 극한을 취할 때, 첫째 항은 \(h^3\) 차수이므로 \(h^2\)으로 나눈 극한이 \(0\)이고, 둘째 항은

\[ \lim_{h \to 0} \frac{p(2h\sin h + \sin^2 h)}{2h^2} = \frac{p}{2}(2 + 1) = \frac{3}{2}p \]

이다. 이 극한값이 \(9\)로 수렴하려면 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{q\sin h}{h^2}\)이 수렴해야 하므로 \(q = 0\)이어야 하고, \(\dfrac{3}{2}p = 9\)에서 \(p = 6\)이다. 따라서

\[ f(x) = x^2 + 6x \]

이다.

[2단계] 조건 (나), (다)를 이용한 \(b\)와 \(a\)의 관계식 도출 (15점)

조건 (나)에서 이차함수 \(y = x^2 + 6x\)와 두 교점 \((\alpha, f(\alpha))\), \((\beta, f(\beta))\)를 잇는 직선 \(y = k(x)\)로 둘러싸인 넓이는 정적분 넓이 공식에 의하여

\[ \int_{\alpha}^{\beta} \bigl\{k(x) - f(x)\bigr\}\,dx = \frac{(\beta - \alpha)^3}{6} = \frac{9}{2} \implies (\beta - \alpha)^3 = 27 \implies \beta - \alpha = 3 \]

이다. 한편 조건 (다)에서 두 점 \((\alpha, f(\alpha))\), \((\beta, f(\beta))\)는 두 포물선 \(y = x^2 + 6x\)와 \(y = -(x-a)^2 + b\)의 교점이므로, \(\alpha, \beta\)는 이차방정식

\[ x^2 + 6x = -(x^2 - 2ax + a^2) + b \iff 2x^2 + (6 - 2a)x + a^2 - b = 0 \iff x^2 + (3 - a)x + \frac{a^2 - b}{2} = 0 \]

의 두 실근이다. 근과 계수의 관계에 의하여 \(\alpha + \beta = a - 3\), \(\alpha\beta = \dfrac{a^2 - b}{2}\)이므로, 곱셈공식 \((\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta\)에 \(\beta - \alpha = 3\)을 대입하면

\[ 3^2 = (a - 3)^2 - 2(a^2 - b) \implies 9 = a^2 - 6a + 9 - 2a^2 + 2b \implies 2b = a^2 + 6a \]

따라서 \(b = \dfrac{1}{2}a^2 + 3a\)이다.

[1단계] 차함수 \(k(x) = f(x) - g(x)\)의 극값 분석을 통한 교점의 유일성 증명 (10점)

조건 (가), (나)에서 \(g(x)\)는 기울기가 \(g'(a) = f'(a) = 3a^2 - 3\)이고 \(g(a) = f(a) - 2a = a^3 - 5a\)인 직선이므로

\[ g(x) = (3a^2 - 3)(x - a) + a^3 - 5a = (3a^2 - 3)x - 2a^3 - 2a \]

이다. 차함수 \(k(x) = f(x) - g(x)\)를 세우면

\[ k(x) = x^3 - 3a^2 x + 2a^3 + 2a, \qquad k'(x) = 3x^2 - 3a^2 = 3(x + a)(x - a) \]

이다. \(a \ne 0\)이므로 \(k(x)\)는 \(x = -a\)와 \(x = a\)에서 극값을 갖는다.

• \(a \gt 0\)일 때: \(k(x)\)는 \(x = -a\)에서 극댓값 \(k(-a) = 4a^3 + 2a \gt 0\), \(x = a\)에서 극솟값 \(k(a) = 2a \gt 0\)을 갖는다. 극댓값과 극솟값이 모두 양수이므로 방정식 \(k(x) = 0\)은 오직 하나의 실근만을 갖는다.
• \(a \lt 0\)일 때: \(k(x)\)는 \(x = a\)에서 극댓값 \(k(a) = 2a \lt 0\), \(x = -a\)에서 극솟값 \(k(-a) = 4a^3 + 2a \lt 0\)을 갖는다. 극댓값과 극솟값이 모두 음수이므로 방정식 \(k(x) = 0\)은 오직 하나의 실근만을 갖는다.

따라서 \(0\)이 아닌 모든 실수 \(a\)에 대하여 두 그래프는 오직 한 점에서만 만난다.

[2단계] 부등식 \(-a\,h(a) \gt a^2\)의 증명 (10점)

교점의 \(x\)좌표 \(h(a)\)는 \(k(h(a)) = 0\)을 만족시킨다.

• \(a \gt 0\)일 때: 구간 \([-a, \infty)\)에서 \(k(x)\)의 최솟값은 \(k(a) = 2a \gt 0\)이므로 \(x \ge -a\)에서는 \(k(x) \gt 0\)이다. 반면 \(\lim_{x\to-\infty} k(x) = -\infty\)이고 구간 \((-\infty, -a]\)에서 \(k(x)\)는 순증가하므로 유일한 실근 \(h(a)\)는 \(h(a) \lt -a\)를 만족시킨다. 양변에 음수 \(-a \lt 0\)을 곱하면 부등호 방향이 바뀌어 \(-a\,h(a) \gt a^2\)이 성립한다.
• \(a \lt 0\)일 때: 구간 \((-\infty, -a]\)에서 \(k(x)\)의 최댓값은 \(k(a) = 2a \lt 0\)이므로 \(x \le -a\)에서는 \(k(x) \lt 0\)이다. 반면 \(\lim_{x\to\infty} k(x) = +\infty\)이고 구간 \([-a, \infty)\)에서 \(k(x)\)는 순증가하므로 유일한 실근 \(h(a)\)는 \(h(a) \gt -a\)를 만족시킨다. 양변에 양수 \(-a \gt 0\)을 곱하면 \(-a\,h(a) \gt a^2\)이 성립한다.

따라서 \(0\)이 아닌 모든 실수 \(a\)에 대하여 \(-a\,h(a) \gt a^2\)이다.

[3단계] 극한값 \(\lim_{a \to \infty} \dfrac{h(a)}{a}\)의 계산 (10점)

\(k(h(a)) = \{h(a)\}^3 - 3a^2 h(a) + 2a^3 + 2a = 0\)의 양변을 \(a^3\) (\(a \gt 0\))으로 나누면

\[ \left\{\frac{h(a)}{a}\right\}^3 - 3\left\{\frac{h(a)}{a}\right\} + 2 + \frac{2}{a^2} = 0 \]

\(X = \lim_{a \to \infty} \dfrac{h(a)}{a}\)라 하고 \(a \to \infty\)의 극한을 취하면 \(\dfrac{2}{a^2} \to 0\)이므로

\[ X^3 - 3X + 2 = (X - 1)^2(X + 2) = 0 \]

한편 소문항 (2)에서 \(a \gt 0\)일 때 \(\dfrac{h(a)}{a} \lt -1\)이므로 극한값은 \(X \le -1\)을 만족해야 한다. 따라서 \(X = -2\), 즉 \(\lim_{a \to \infty} \dfrac{h(a)}{a} = -2\)이다.

[1단계] 현의 길이 \(|\overrightarrow{AB_k}|\) 및 원주각 계산 (8점)

반원의 중심을 \(O\), 반지름을 \(R = 2\)라 하면 호 \(AB_4\)가 \(4\)등분되므로 중심각은 \(\angle AOB_k = \dfrac{k\pi}{4}\) (\(k=1, 2, 3, 4\))이다. 지름 \(AB_4 = 4\)에 대한 원주각은 \(\angle AB_k B_4 = \dfrac{\pi}{2}\)이고, 호 \(B_k B_4\)에 대한 원주각은 \(\angle B_k A B_4 = \dfrac{(4-k)\pi}{8}\)이다. 따라서 직각삼각형 \(AB_k B_4\)에서

• \(|\overrightarrow{AB_1}| = 4\cos\dfrac{3\pi}{8} = 4\sin\dfrac{\pi}{8}\)이고, 직선 \(AB_1\)이 지름 \(AB_4\)와 이루는 예각은 \(\angle B_1 A B_4 = \dfrac{3\pi}{8}\)이다.
• \(|\overrightarrow{AB_2}| = 4\cos\dfrac{2\pi}{8} = 4\cos\dfrac{\pi}{4} = 2\sqrt{2}\) (\(\angle B_2 A B_4 = \dfrac{\pi}{4}\))이다.
• \(|\overrightarrow{AB_3}| = 4\cos\dfrac{\pi}{8}\) (\(\angle B_3 A B_4 = \dfrac{\pi}{8}\))이다.

[2단계] 직선 \(AB_1\) 대칭이동과 코사인법칙을 이용한 최솟값 계산 (12점)

\(\overrightarrow{AP} = t\overrightarrow{AB_1}\)이라 하면 점 \(P\)는 직선 \(AB_1\) 위를 움직이는 점이고, 주어진 식은 \((\overline{PB_2} + \overline{PB_3})^2\)이다. 두 점 \(B_2, B_3\)은 직선 \(AB_1\)에 대하여 같은 쪽에 놓여 있으므로, 점 \(B_3\)을 직선 \(AB_1\)에 대하여 대칭이동한 점을 \(B_3'\)이라 하면 삼각형의 결정조건에 의하여

\[ \overline{PB_2} + \overline{PB_3} = \overline{PB_2} + \overline{PB_3'} \ge \overline{B_2 B_3'} \]

이고, 등호는 점 \(P\)가 선분 \(B_2 B_3'\)과 직선 \(AB_1\)의 교점일 때 성립한다. 이때 \(\overline{AB_3'} = \overline{AB_3} = 4\cos\dfrac{\pi}{8}\)이고,

\[ \angle B_1 A B_2 = \frac{3\pi}{8} - \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{8}, \qquad \angle B_1 A B_3' = \angle B_1 A B_3 = \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \]

이므로 두 선분 \(AB_2\)와 \(AB_3'\)이 이루는 각은 \(\angle B_2 A B_3' = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{8}\)이다. 삼각형 \(AB_2 B_3'\)에서 코사인법칙에 의하여

\[ \overline{B_2 B_3'}^2 = \overline{AB_2}^2 + \overline{AB_3'}^2 - 2\,\overline{AB_2}\,\overline{AB_3'}\cos\frac{3\pi}{8} = (2\sqrt{2})^2 + 16\cos^2\frac{\pi}{8} - 16\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8} \]

반각공식 \(\cos^2\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1 + \cos\frac{\pi}{4}}{2} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}\)에서 \(16\cos^2\dfrac{\pi}{8} = 8 + 4\sqrt{2}\)이고, \(\cos\dfrac{3\pi}{8} = \sin\dfrac{\pi}{8}\)이므로 배각공식에 의하여

\[ 16\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} = 8\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4} = 8\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \]

이다. 따라서 구하는 최솟값은

\[ \overline{B_2 B_3'}^2 = 8 + (8 + 4\sqrt{2}) - 8 = 8 + 4\sqrt{2} \]

이다.

[1단계] 전체 회로가 정상 작동하지 않을 확률 \(P(W^c)\) 계산 (10점)

세 부품 \(A, B, C\)가 정상인 사건을 각각 \(A, B, C\)라 하면

\[ P(A) = \frac{9}{10},\quad P(A^c) = \frac{1}{10},\qquad P(B) = \frac{4}{5},\quad P(B^c) = \frac{1}{5},\qquad P(C) = \frac{19}{20},\quad P(C^c) = \frac{1}{20} \]

이다. 병렬 부분 \(A \cup B\)가 정상일 확률은 독립사건의 여사건 성질에 의하여

\[ P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c) = 1 - \frac{1}{10} \times \frac{1}{5} = 1 - \frac{1}{50} = \frac{49}{50} \]

이다. 전체 회로가 정상 작동하는 사건을 \(W = (A \cup B) \cap C\)라 하면 독립성에 의하여

\[ P(W) = P(A \cup B)\,P(C) = \frac{49}{50} \times \frac{19}{20} = \frac{931}{1000} \]

이므로, 전체 회로가 정상 작동하지 않을 확률은

\[ P(W^c) = 1 - P(W) = 1 - \frac{931}{1000} = \frac{69}{1000} \]

이다.

[2단계] 회로가 작동하지 않았을 때 부품 \(A\)가 불량일 조건부확률 \(P(A^c \mid W^c)\) 계산 (10점)

부품 \(A\)가 불량(\(A^c\))이면서 전체 회로가 정상 작동하는 사건 \(A^c \cap W\)는 부품 \(A\)는 불량이고 부품 \(B\)와 부품 \(C\)가 모두 정상인 사건 \(A^c \cap B \cap C\)와 같다. 따라서

\[ P(A^c \cap W) = P(A^c)\,P(B)\,P(C) = \frac{1}{10} \times \frac{4}{5} \times \frac{19}{20} = \frac{76}{1000} \]

이다. 그러므로 부품 \(A\)가 불량이면서 전체 회로가 작동하지 않을 확률 \(P(A^c \cap W^c)\)는

\[ P(A^c \cap W^c) = P(A^c) - P(A^c \cap W) = \frac{100}{1000} - \frac{76}{1000} = \frac{24}{1000} \]

이다. 따라서 구하는 조건부확률은

\[ P(A^c \mid W^c) = \frac{P(A^c \cap W^c)}{P(W^c)} = \frac{24/1000}{69/1000} = \frac{24}{69} = \frac{8}{23} \]

이다.

[1단계] 조건 (가)를 이용한 \(a_n^2\)의 관계식과 첫 번째 극한값 도출 (10점)

포물선 \(y = x^2\)과 직선 \(y = a_n x + 3\)의 교점의 \(x\)좌표를 \(\alpha_n, \beta_n\) (\(\alpha_n \lt \beta_n\))이라 하면, 이차방정식 \(x^2 - a_n x - 3 = 0\)의 근과 계수의 관계에 의하여 \(\alpha_n + \beta_n = a_n\), \(\alpha_n \beta_n = -3\)이므로

\[ (\beta_n - \alpha_n)^2 = a_n^2 + 12 \implies \beta_n - \alpha_n = \sqrt{a_n^2 + 12} \]

포물선과 직선으로 둘러싸인 넓이는

\[ S_n = \frac{(\beta_n - \alpha_n)^3}{6} = \frac{(a_n^2 + 12)^{3/2}}{6} = \frac{9}{2}n \implies (a_n^2 + 12)^{3/2} = 27n \]

양변에 \(\dfrac{2}{3}\)제곱을 취하면 \(a_n^2 + 12 = (27n)^{2/3} = 9\sqrt[3]{n^2}\)이므로 \(a_n^2 = 9\sqrt[3]{n^2} - 12\)이다. 따라서

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n^2}{\sqrt[3]{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \left(9 - \frac{12}{\sqrt[3]{n^2}}\right) = 9 \]

이다.

[2단계] 조건 (나)를 이용한 \(b_n\)의 관계식과 두 번째 극한값 도출 (10점)

포물선 \(y = x^2\)과 직선 \(y = b_n x + 3\)의 두 교점 사이의 거리가 \(\sqrt{3}\,n\)이므로

\[ (b_n^2 + 1)(b_n^2 + 12) = 3n^2 \iff (b_n^2)^2 + 13b_n^2 + 12 - 3n^2 = 0 \]

\(b_n^2 \gt 0\)이므로 근의 공식에 의하여 \(b_n^2 = \dfrac{-13 + \sqrt{169 - 4(12 - 3n^2)}}{2} = \dfrac{\sqrt{12n^2 + 121} - 13}{2}\)이다. 양변을 \(n\)으로 나누어 극한을 취하면

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{b_n^2}{n} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt{3} \implies \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{\sqrt{n}} = \sqrt[4]{3} \]

이다.

[3단계] 세제곱근 차분 인수분해를 이용한 \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n}\,a_n(a_{n+1} - a_n)\) 계산 (10점)

\(a_n^2 = 9n^{2/3} - 12\)이므로 유리화 및 세제곱근 인수분해 공식 \(A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)\) (\(A = (n+1)^{2/3}, B = n^{2/3}\))에 의하여

\[ a_{n+1} - a_n = \frac{a_{n+1}^2 - a_n^2}{a_{n+1} + a_n} = \frac{9\bigl\{(n+1)^{2/3} - n^{2/3}\bigr\}}{a_{n+1} + a_n} = \frac{9(2n + 1)}{(a_{n+1} + a_n)\bigl\{(n+1)^{4/3} + (n+1)^{2/3}n^{2/3} + n^{4/3}\bigr\}} \]

이다. 양변에 \(\sqrt[3]{n}\,a_n = n^{1/3} a_n\)을 곱하고 \(\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{n^{1/3}} = 3\)을 대입하면

\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n}\,a_n(a_{n+1} - a_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1} + a_n} \cdot \frac{9n^{1/3}(2n + 1)}{(n+1)^{4/3} + (n+1)^{2/3}n^{2/3} + n^{4/3}} = \frac{1}{2} \times \frac{18}{1 + 1 + 1} = 3 \]

이다.

[1단계] 기함수 성질과 역함수 미분법을 이용한 \(f(x)\)의 결정 (15점)

조건 (가)에서 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = -f(x)\)이므로 이차항과 상수항의 계수는 \(b = 0, d = 0\)이다. 따라서 \(f(x) = x^3 + cx\)이고, 모든 실수 \(x\)에서 \(f'(x) = 3x^2 + c \gt 0\)이려면 \(c \gt 0\)이어야 한다.

한편 \(f(0) = 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)도 \(g(0) = 0\)이고, 역함수의 미분법에 의하여 \(g'(0) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{c}\)이다. 조건 (나)의 극한을 미분계수의 정의로 계산하면

\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 6g(x)}{x} = f'(0) - 6g'(0) = c - \frac{6}{c} = -1 \]

양변에 \(c\)를 곱하여 정리하면 \(c^2 + c - 6 = (c - 2)(c + 3) = 0\)이고, \(c \gt 0\)이므로 \(c = 2\)이다. 따라서

\[ f(x) = x^3 + 2x \]

이다.

[2단계] 대칭 구간의 기함수·우함수 분리 및 \(x = f(t)\) 치환적분 (15점)

\(f(x) = x^3 + 2x\)가 기함수이므로 그 역함수 \(g(x)\)도 기함수(\(g(-x) = -g(x)\))이다. 피적분함수를 전개하면

\[ x\bigl(f(x) + 2\bigr)g(x) = x\,f(x)\,g(x) + 2x\,g(x) \]

여기서 \(f(x)g(x)\)는 우함수이므로 \(x\,f(x)\,g(x)\)는 기함수이고, \(2x\,g(x)\)는 우함수이다. 따라서 대칭 구간 \([-12, 12]\)에서

\[ \int_{-12}^{12} x\bigl(f(x) + 2\bigr)g(x)\,dx = 0 + 2\int_0^{12} 2x\,g(x)\,dx = 4\int_0^{12} x\,g(x)\,dx \]

이다. 이제 \(x = f(t) = t^3 + 2t\)로 치환하면 \(g(x) = t\), \(dx = f'(t)\,dt = (3t^2 + 2)\,dt\)이고, \(x = 0\)일 때 \(t = 0\), \(x = 12\)일 때 \(t^3 + 2t = 12 \implies (t-2)(t^2+2t+6)=0\)에서 \(t = 2\)이다. 따라서

\[ 4\int_0^{12} x\,g(x)\,dx = 4\int_0^2 (t^3 + 2t)\cdot t\cdot (3t^2 + 2)\,dt = 4\int_0^2 (3t^6 + 8t^4 + 4t^2)\,dt \] \[ = 4\left[\frac{3}{7}t^7 + \frac{8}{5}t^5 + \frac{4}{3}t^3\right]_0^2 = 4\left(\frac{384}{7} + \frac{256}{5} + \frac{32}{3}\right) = \frac{128}{105}(45 + 42 + 10) = \frac{128 \times 97}{105} = \frac{12416}{105} \]

이다.

[1단계] 타원의 정의와 중선정리를 이용한 양수 \(c\)의 결정 (10점)

타원 \(C\)의 장축의 길이가 \(10\)이므로 타원의 정의에 의하여 \(\overline{PF} + \overline{PF'} = 10\)이다. 또한 \(\overline{PF} : \overline{PF'} = 2 : 3\)이므로

\[ \overline{PF} = 10 \times \frac{2}{5} = 4, \qquad \overline{PF'} = 10 \times \frac{3}{5} = 6 \]

이다. 원점 \(O\)는 선분 \(F'F\)의 중점이고 \(\overline{OF} = \overline{OF'} = c\), \(\overline{OP} = \sqrt{10}\)이므로 삼각형 \(PF'F\)에서 파푸스의 중선정리에 의하여

\[ \overline{PF}^2 + \overline{PF'}^2 = 2\bigl(\overline{OP}^2 + \overline{OF}^2\bigr) \implies 4^2 + 6^2 = 2(10 + c^2) \] \[ \implies 52 = 20 + 2c^2 \implies c^2 = 16 \]

\(c \gt 0\)이므로 \(c = 4\)이다.

[2단계] 삼각형 \(PF'F\)의 넓이와 내접원의 반지름 \(r\) 계산 (10점)

\(c = 4\)이므로 \(\overline{F'F} = 2c = 8\)이다. 삼각형 \(PF'F\)의 세 변의 길이는 \(\overline{PF} = 4\), \(\overline{PF'} = 6\), \(\overline{F'F} = 8\)이므로 코사인법칙에 의하여

\[ \cos(\angle F'PF) = \frac{4^2 + 6^2 - 8^2}{2 \times 4 \times 6} = \frac{16 + 36 - 64}{48} = -\frac{12}{48} = -\frac{1}{4} \]

이고, \(\sin(\angle F'PF) = \sqrt{1 - \left(-\dfrac{1}{4}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{15}}{4}\)이다. 따라서 삼각형 \(PF'F\)의 넓이 \(S\)는

\[ S = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 \times \frac{\sqrt{15}}{4} = 3\sqrt{15} \]

이다. 또한 삼각형 \(PF'F\)의 둘레의 길이는 \(4 + 6 + 8 = 18\)이므로, 내접원의 반지름의 길이를 \(r\)라 하면

\[ S = \frac{1}{2} r (4 + 6 + 8) = 9r = 3\sqrt{15} \implies r = \frac{\sqrt{15}}{3} \]

이다.

[1단계] 조건 (가), (다)를 만족시키는 전체 순서쌍의 개수 (10점)

음이 아닌 정수 \(x_4\)가 \(4\)의 배수이므로 \(x_4 = 4k\) (\(k = 0, 1, 2, 3, 4\))로 놓을 수 있다. 각 \(k\)에 대하여 \(x_1 + x_2 + x_3 = 16 - 4k\)를 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수는 \(\_3\mathrm{H}_{16-4k} = \_{18-4k}\mathrm{C}_2\)이므로

• \(k = 0\) (\(x_4 = 0\)): \(\_3\mathrm{H}_{16} = \_{18}\mathrm{C}_2 = 153\)
• \(k = 1\) (\(x_4 = 4\)): \(\_3\mathrm{H}_{12} = \_{14}\mathrm{C}_2 = 91\)
• \(k = 2\) (\(x_4 = 8\)): \(\_3\mathrm{H}_{8} = \_{10}\mathrm{C}_2 = 45\)
• \(k = 3\) (\(x_4 = 12\)): \(\_3\mathrm{H}_{4} = \_6\mathrm{C}_2 = 15\)
• \(k = 4\) (\(x_4 = 16\)): \(\_3\mathrm{H}_{0} = \_2\mathrm{C}_2 = 1\)

따라서 조건 (가)와 (다)를 만족시키는 순서쌍의 총개수는 \(153 + 91 + 45 + 15 + 1 = 305\)이다.

[2단계] 여사건을 이용한 조건 (가), (나), (다) 만족 순서쌍의 개수 (10점)

조건 (나)의 여사건은 '\(x_1, x_2, x_3\)가 모두 짝수'인 경우이다. 음이 아닌 정수 \(y_1, y_2, y_3\)에 대하여 \(x_i = 2y_i\) (\(i=1,2,3\))라 하면

\[ 2(y_1 + y_2 + y_3) = 16 - 4k \iff y_1 + y_2 + y_3 = 8 - 2k \quad (k = 0, 1, 2, 3, 4) \]

이다. 각 \(k\)에 대하여 여사건의 순서쌍의 개수는 \(\_3\mathrm{H}_{8-2k} = \_{10-2k}\mathrm{C}_2\)이므로

• \(k = 0\): \(\_3\mathrm{H}_8 = \_{10}\mathrm{C}_2 = 45\)
• \(k = 1\): \(\_3\mathrm{H}_6 = \_8\mathrm{C}_2 = 28\)
• \(k = 2\): \(\_3\mathrm{H}_4 = \_6\mathrm{C}_2 = 15\)
• \(k = 3\): \(\_3\mathrm{H}_2 = \_4\mathrm{C}_2 = 6\)
• \(k = 4\): \(\_3\mathrm{H}_0 = \_2\mathrm{C}_2 = 1\)

이므로 여사건의 총개수는 \(45 + 28 + 15 + 6 + 1 = 95\)이다. 따라서 조건 (가), (나), (다)를 모두 만족시키는 순서쌍의 개수는

\[ 305 - 95 = 210 \]

이다.

[1단계] 정적분으로 정의된 함수 \(g(x)\)의 미분과 \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\)의 결정 (6점)

조건 (다)의 함수 \(g(x) = \int_0^x \bigl(1 - f(t)\bigr)\,dt + 2\int_x^1 f(t)\,dt\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면

\[ g'(x) = \bigl(1 - f(x)\bigr) - 2f(x) = 1 - 3f(x) \]

이다. 함수 \(g(x)\)가 열린구간 \((0, 1)\)의 점 \(x = \dfrac{1}{2}\)에서 극댓값을 가지므로 \(g'\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0\)이다. 따라서

\[ 1 - 3f\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \implies f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3} \]

이다.

[2단계] 부분적분과 극댓값 조건을 이용한 \(\int_0^1 \left|f(x) - \dfrac{1}{3}\right|\,dx\) 계산 (12점)

\(A = \int_0^{1/2} f(x)\,dx\), \(B = \int_{1/2}^1 f(x)\,dx\)라 하자. 조건 (나)에서 부분적분법을 적용하면

\[ \frac{1}{18} = \int_0^{1/2} x\,f'(x)\,dx = \Bigl[x\,f(x)\Bigr]_0^{1/2} - \int_0^{1/2} f(x)\,dx = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} - A = \frac{1}{6} - A \implies A = \frac{1}{6} - \frac{1}{18} = \frac{1}{9} \]

이다. 또한 조건 (다)에서 \(g\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{37}{36}\)이므로

\[ g\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^{1/2} \bigl(1 - f(t)\bigr)\,dt + 2\int_{1/2}^1 f(t)\,dt = \frac{1}{2} - A + 2B = \frac{1}{2} - \frac{1}{9} + 2B = \frac{7}{18} + 2B = \frac{37}{36} \]

에서 \(2B = \dfrac{37}{36} - \dfrac{14}{36} = \dfrac{23}{36}\)이므로 \(B = \dfrac{23}{72}\)이다. 한편 \(f'(x) \gt 0\)이므로 \(f(x)\)는 순증가하고, \(0 \le x \le \dfrac{1}{2}\)에서 \(f(x) \le \dfrac{1}{3}\), \(\dfrac{1}{2} \le x \le 1\)에서 \(f(x) \ge \dfrac{1}{3}\)이다. 따라서

\[ \int_0^1 \left|f(x) - \frac{1}{3}\right|\,dx = \int_0^{1/2} \left(\frac{1}{3} - f(x)\right)\,dx + \int_{1/2}^1 \left(f(x) - \frac{1}{3}\right)\,dx \] \[ = \left(\frac{1}{6} - A\right) + \left(B - \frac{1}{6}\right) = B - A = \frac{23}{72} - \frac{8}{72} = \frac{15}{72} = \frac{5}{24} \]

이다.

[3단계] 정적분과 급수의 합 및 치환적분을 이용한 극한값 계산 (12점)

정적분과 급수의 합에 의하여 주어진 극한값을 정적분으로 변환하면

\[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left|f\left(f\left(\frac{k}{n}\right)\right) - \frac{k}{n}\right| f'\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 \bigl|f(f(x)) - x\bigr|\,f'(x)\,dx \]

이다. 조건 (가)에서 모든 \(u \in [0, 1]\)에 대하여 \(f(u) \le u\)이고 \(f\)가 증가함수이므로 \(f(f(x)) \le f(x) \le x\)이다. 따라서 \(|f(f(x)) - x| = x - f(f(x))\)이므로

\[ L = \int_0^1 \bigl\{x - f(f(x))\bigr\}\,f'(x)\,dx = \int_0^1 x\,f'(x)\,dx - \int_0^1 f(f(x))\,f'(x)\,dx \]

첫째 적분을 부분적분하면

\[ \int_0^1 x\,f'(x)\,dx = \Bigl[x\,f(x)\Bigr]_0^1 - \int_0^1 f(x)\,dx = 1 - (A + B) \]

이고, 둘째 적분에서 \(u = f(x)\)로 치환하면 \(du = f'(x)\,dx\), \(x = 0 \to u = 0\), \(x = 1 \to u = 1\)이므로

\[ \int_0^1 f(f(x))\,f'(x)\,dx = \int_0^1 f(u)\,du = A + B \]

이다. 여기서 \(A + B = \dfrac{1}{9} + \dfrac{23}{72} = \dfrac{8 + 23}{72} = \dfrac{31}{72}\)이므로

\[ L = 1 - 2(A + B) = 1 - 2 \times \frac{31}{72} = 1 - \frac{31}{36} = \frac{5}{36} \]

이다.

[1단계] 매개변수 미분법을 이용한 접선 \(\ell_a\)의 방정식과 \(a = 1\)일 때의 접선 (10점)

\(0 \lt t \lt \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(x'(t) = -6\cos^2 t \sin t\), \(y'(t) = 12\sin^2 t \cos t\)이므로 매개변수 미분법에 의하여

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)} = \frac{12\sin^2 t \cos t}{-6\cos^2 t \sin t} = -2\tan t \]

이다. 곡선 위의 점 \(\bigl(2\cos^3 t, 4\sin^3 t\bigr)\)에서의 접선의 방정식은

\[ y - 4\sin^3 t = -2\tan t\bigl(x - 2\cos^3 t\bigr) = -2(\tan t)x + 4\sin t \cos^2 t \] \[ \implies y = -2(\tan t)x + 4\sin t(\sin^2 t + \cos^2 t) = -2(\tan t)x + 4\sin t \]

이 직선이 점 \(A(a, 0)\)을 지나므로 \(0 = -2(\tan t)a + 4\sin t\)에서 \(\sin t \gt 0\)을 약분하면

\[ a = 2\cos t \implies \cos t = \frac{a}{2} \]

이다. 따라서 \(a = 1\)일 때 \(\cos t = \dfrac{1}{2}\), 즉 \(t = \dfrac{\pi}{3}\)이므로 \(\tan t = \sqrt{3}\), \(\sin t = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)이다. 그러므로 \(a = 1\)일 때 접선 \(\ell_1\)의 방정식은

\[ y = -2\sqrt{3}\,x + 2\sqrt{3} \]

이다.

[2단계] \(a^3 \tan\theta(a)\)의 최댓값 계산 (10점)

접선 \(\ell_a\)의 기울기가 \(-2\tan t\) (\(0 \lt t \lt \dfrac{\pi}{2}\))이므로 \(x\)축과 이루는 예각 \(\theta(a)\)에 대하여 \(\tan\theta(a) = 2\tan t\)이다. \(a = 2\cos t\)를 대입하면

\[ h(t) = a^3 \tan\theta(a) = (8\cos^3 t)(2\tan t) = 16\sin t \cos^2 t = 16\sin t(1 - \sin^2 t) \]

\(s = \sin t\) (\(0 \lt s \lt 1\))라 하면 \(H(s) = 16(s - s^3)\)이고, 미분하면 \(H'(s) = 16(1 - 3s^2) = 0\)에서 \(s = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)일 때 극대이자 최대가 된다. 따라서 최댓값은

\[ H\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 16 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \times \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{32}{3\sqrt{3}} = \frac{32\sqrt{3}}{9} \]

이다.

[3단계] \(S_1(a) + S_2(a)\)가 최소가 되는 \(a\)의 값 결정 (10점)

접선 \(\ell_a\)의 \(x\)절편은 \(a = 2\cos t\), \(y\)절편은 \(b = 4\sin t\)이다. 곡선 \(y = f(x)\)는 제1사분면에서 아래로 볼록이므로 접선 \(\ell_a\)는 곡선보다 아래쪽에 위치한다. 따라서 곡선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 제1사분면 전체 도형의 넓이를 \(S_{\text{전체}}\) (일정한 상수)라 하면,

\[ S_1(a) + S_2(a) = S_{\text{전체}} - (\text{접선 }\ell_a\text{와 }x\text{축, }y\text{축으로 둘러싸인 직각삼각형의 넓이}) = S_{\text{전체}} - \frac{1}{2}ab \]

이다. 그러므로 \(S_1(a) + S_2(a)\)가 최소가 되려면 직각삼각형의 넓이 \(T(t) = \dfrac{1}{2}ab\)가 최대가 되어야 한다.

\[ T(t) = \frac{1}{2}(2\cos t)(4\sin t) = 4\sin t \cos t = 2\sin 2t \]

\(0 \lt t \lt \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(\sin 2t\)는 \(2t = \dfrac{\pi}{2}\), 즉 \(t = \dfrac{\pi}{4}\)일 때 최댓값 \(1\)을 갖는다. 따라서 \(S_1(a) + S_2(a)\)가 최소가 되는 \(a\)의 값은

\[ a = 2\cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2} \]

이다.