QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 178쪽 단권화
2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본
2027학년도 고려대학교(세종)
출제 범위: 교과서 기반 교육과정 대수 · 미적분Ⅰ 핵심 범위
📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 178쪽 완결]
• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭
• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (16p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (15문항)
• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (55p): 출제 타당성 보고서(4p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)
• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (101p): 100문항 전수 아코디언 정밀 해설
• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터
📱 스마트폰 실시간 합격진단 & 올인원 대시보드 연동
우측 QR 스캔 또는 상단 툴바 버튼으로 고려대학교(세종) 실시간 컷오프 시뮬레이터와 즉시 동기화됩니다.
발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: 979-11-98765-35-4
PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS
2022~2026학년도 고려대학교(세종)
최근 5개년 기출 핵심 15문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.
📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록
📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공
✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 로그방정식의 치환과 두 실근의 합 ⏱️ 권장 시간: 8분
【기출 문제 1】 2026학년도 자연·약학 A형 (문항 1) [10점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04] 방정식 \((\log_3 x)^2 - \log_3 x^5 + 4 = 0\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha \lt \beta\))라 할 때, 다음 물음에 답하시오.(1) \(t = \log_3 x\)로 치환하여 실수 \(t\)의 값을 모두 구하시오.(2) \(\alpha + \beta\)의 값을 구하시오.
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]
【유사 연습】 방정식 \(\log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 진수 조건에서 \(x \gt 3\)이고 \(\log_a M + \log_a N = \log_a MN\)을 적용한다. [2줄: 핵심계산] \((x-1)(x-3)=8 \implies x^2-4x-5=0 \implies (x-5)(x+1)=0\). [3줄: 최종결론] \(x \gt 3\)이므로 \(x = 5\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2026 문항 1 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 진수 조건 \(x \gt 0\)을 확인하고 로그의 성질 \(\log_3 x^5 = 5\log_3 x\)를 적용하여 \(t = \log_3 x\)로 치환한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(t^2 - 5t + 4 = (t-1)(t-4) = 0\)이므로 \(t = 1\) 또는 \(t = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\log_3 \alpha = 1,\; \log_3 \beta = 4\)에서 \(\alpha = 3,\; \beta = 81\)이므로 \(\alpha + \beta = 84\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 진수 조건 \(x \gt 0\)을 확인하고 로그의 성질 \(\log_3 x^5 = 5\log_3 x\)를 적용하여 \(t = \log_3 x\)로 치환한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(t^2 - 5t + 4 = (t-1)(t-4) = 0\)이므로 \(t = 1\) 또는 \(t = 4\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(\log_3 \alpha = 1,\; \log_3 \beta = 4\)에서 \(\alpha = 3,\; \beta = 81\)이므로 \(\alpha + \beta = 84\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
진수 조건 $x \gt 0$을 첫 줄에 명시하고, $\alpha + \beta$를 치환된 근의 합 $1+4=5$와 혼동하지 않도록 주의합니다.
🎯 [최종 정답] (1) \(t = 1,\; 4\) | (2) \(84\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 지수함수와 로그함수의 역함수 관계 ⏱️ 권장 시간: 8분
【기출 문제 2】 2026학년도 자연·약학 A형 (문항 2) [10점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06] 그림과 같이 함수 \(f(x) = 2^{x-1} + 1\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)는 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이다. 다음 물음에 답하시오.
(1) 역함수 \(g(x)\)의 식과 정의역을 구하시오.
(2) \(f(4) + g(9)\)의 값을 구하시오.
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]
【유사 연습】 방정식 \(\log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 진수 조건에서 \(x \gt 3\)이고 \(\log_a M + \log_a N = \log_a MN\)을 적용한다. [2줄: 핵심계산] \((x-1)(x-3)=8 \implies x^2-4x-5=0 \implies (x-5)(x+1)=0\). [3줄: 최종결론] \(x \gt 3\)이므로 \(x = 5\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2026 문항 2 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 함수 \(y = 2^{x-1} + 1\)의 치역은 \(\{y \mid y \gt 1\}\)이며, \(x\)와 \(y\)를 바꾸어 역함수를 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x - 1 = 2^{y-1}\)에서 \(g(x) = \log_2(x - 1) + 1\) (정의역: \(x \gt 1\))이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(4) = 2^3 + 1 = 9\)이고 \(f(4)=9 \iff g(9)=4\)이므로 \(f(4) + g(9) = 9 + 4 = 13\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 함수 \(y = 2^{x-1} + 1\)의 치역은 \(\{y \mid y \gt 1\}\)이며, \(x\)와 \(y\)를 바꾸어 역함수를 구한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x - 1 = 2^{y-1}\)에서 \(g(x) = \log_2(x - 1) + 1\) (정의역: \(x \gt 1\))이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(f(4) = 2^3 + 1 = 9\)이고 \(f(4)=9 \iff g(9)=4\)이므로 \(f(4) + g(9) = 9 + 4 = 13\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
지수함수의 치역 $y \gt 1$이 역함수 $g(x)$의 정의역 $x \gt 1$이 됨을 반드시 표기해야 만점을 받습니다.
🎯 [최종 정답] (1) \(g(x) = \log_2(x-1)+1\;(x \gt 1)\) | (2) \(13\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 코사인법칙과 외접원의 반지름 ⏱️ 권장 시간: 8분
【기출 문제 3】 2026학년도 자연·약학 B형 (문항 3) [10점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] 그림과 같이 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{AC}} = 7,\; \angle \mathrm{A} = \dfrac{\pi}{3}\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이를 \(R\)라 할 때, 변 \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 길이와 \(R^2\)의 값을 각각 구하시오.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
【유사 연습】 삼각형 \(ABC\)에서 \(\overline{AB}=5, \overline{AC}=8, \angle A = \frac{\pi}{3}\)일 때, 변 \(\overline{BC}\)의 길이를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 코사인법칙 \(\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cos A\)를 적용한다. [2줄: 핵심계산] \(\overline{BC}^2 = 25 + 64 - 2\cdot 5\cdot 8\cdot\frac{1}{2} = 49\). [3줄: 최종결론] \(\overline{BC} \gt 0\)이므로 \(\overline{BC} = 7\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2026 문항 3 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cos A\)와 사인법칙 \(\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = 2R\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dfrac{1}{2} = 39\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{39}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(2R = \dfrac{\sqrt{39}}{\sin\frac{\pi}{3}} = \dfrac{\sqrt{39}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{13}\)이므로 \(R = \sqrt{13}\), 따라서 \(R^2 = 13\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cos A\)와 사인법칙 \(\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = 2R\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dfrac{1}{2} = 39\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{39}\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(2R = \dfrac{\sqrt{39}}{\sin\frac{\pi}{3}} = \dfrac{\sqrt{39}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{13}\)이므로 \(R = \sqrt{13}\), 따라서 \(R^2 = 13\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
사인법칙에서 $\dfrac{a}{\sin A} = R$이 아니라 $2R$임을 정확히 대입하여 $R^2$에서 $4$배 오차가 나지 않도록 합니다.
🎯 [최종 정답] \(\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{39},\; R^2 = 13\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 등차수열의 일반항 부호 변화와 부분합의 최댓값 ⏱️ 권장 시간: 8분
【기출 문제 4】 2025학년도 자연·약학 A형 (문항 1) [10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05] 첫째항이 \(23\)이고 공차가 \(-3\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, \(S_n\)이 최댓값을 갖는 자연수 \(n\)과 그 최댓값을 각각 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05]
【유사 연습】 함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)의 합 \(M+m\)을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 도함수 \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)\)의 부호 변화를 조사한다. [2줄: 핵심계산] \(x=1\)에서 극댓값 \(M=f(1)=6\), \(x=3\)에서 극솟값 \(m=f(3)=2\)를 갖는다. [3줄: 최종결론] 따라서 \(M+m = 8\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2025 문항 1 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 일반항 \(a_n = 23 + (n-1)(-3) = 26 - 3n\)을 세우고 \(a_n \gt 0\)인 항까지의 합이 최대임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(26 - 3n \gt 0 \iff n \lt \dfrac{26}{3} = 8.\dot{6}\)이고 \(a_9 = -1 \lt 0\)이므로 \(n = 8\)일 때 \(S_n\)이 최대이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a_8 = 2\)이므로 최댓값은 \(S_8 = \dfrac{8(23 + 2)}{2} = 100\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 일반항 \(a_n = 23 + (n-1)(-3) = 26 - 3n\)을 세우고 \(a_n \gt 0\)인 항까지의 합이 최대임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(26 - 3n \gt 0 \iff n \lt \dfrac{26}{3} = 8.\dot{6}\)이고 \(a_9 = -1 \lt 0\)이므로 \(n = 8\)일 때 \(S_n\)이 최대이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(a_8 = 2\)이므로 최댓값은 \(S_8 = \dfrac{8(23 + 2)}{2} = 100\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
$S_n$을 $n$에 대한 이차함수로만 풀면 실수 대칭축 $n = \frac{49}{6}$을 그대로 답하는 실수가 발생하므로 반드시 자연수 항 번호를 검증합니다.
🎯 [최종 정답] \(n = 8\), 최댓값 \(100\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 부분분수 변형을 이용한 수열의 합 ⏱️ 권장 시간: 8분
【기출 문제 5】 2025학년도 자연·약학 A형 (문항 2) [10점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06, 12대수03-07] 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항이 \(a_n = 2n + 1\)일 때, 합 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{12} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}} = \dfrac{q}{p}\)이다. 서로소인 두 자연수 \(p, q\)에 대하여 \(p + q\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06, 12대수03-07]
【유사 연습】 첫째항이 \(3\)이고 공차가 \(2\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+1}}\)의 값을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] \(a_n = 2n+1\)이며 부분분수 항등식 \(\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)\)을 적용한다. [2줄: 핵심계산] 망원급수 소거에 의해 \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{23}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{20}{69}\). [3줄: 최종결론] 구하는 값은 \(\frac{10}{69}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2025 문항 2 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 부분분수 항등식 \(\dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{B-A}\left(\dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\right)\)와 \(a_{k+1} - a_k = 2\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\displaystyle\sum_{k=1}^{12} \dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{12}\left(\dfrac{1}{2k+1} - \dfrac{1}{2k+3}\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{27}\right)\)로 소거된다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{8}{27} = \dfrac{4}{27}\)이고 \(4\)와 \(27\)은 서로소이므로 \(p = 27,\; q = 4\), 따라서 \(p + q = 31\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 부분분수 항등식 \(\dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{B-A}\left(\dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\right)\)와 \(a_{k+1} - a_k = 2\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{12} \dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{12}\left(\dfrac{1}{2k+1} - \dfrac{1}{2k+3}\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{27}\right)\)로 소거된다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{8}{27} = \dfrac{4}{27}\)이고 \(4\)와 \(27\)은 서로소이므로 \(p = 27,\; q = 4\), 따라서 \(p + q = 31\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
부분분수 분해 시 앞의 계수 $\dfrac{1}{(2k+3)-(2k+1)} = \dfrac{1}{2}$을 누락하지 않도록 주의합니다.
🎯 [최종 정답] \(31\) \(\left(\dfrac{q}{p} = \dfrac{4}{27}\right)\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 수열의 귀납적 정의와 보조 등비수열 ⏱️ 권장 시간: 8분
【기출 문제 6】 2025학년도 자연·약학 B형 (문항 3) [10점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03, 12대수03-05] 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = 2a_n + 3\)을 만족시킬 때, \(b_n = a_n + 3\)으로 놓아 수열 \(\{b_n\}\)의 일반항을 구하고 \(a_6\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03, 12대수03-05]
【유사 연습】 첫째항이 \(3\)이고 공차가 \(2\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+1}}\)의 값을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] \(a_n = 2n+1\)이며 부분분수 항등식 \(\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)\)을 적용한다. [2줄: 핵심계산] 망원급수 소거에 의해 \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{23}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{20}{69}\). [3줄: 최종결론] 구하는 값은 \(\frac{10}{69}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2025 문항 3 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 주어진 점화식의 양변에 \(3\)을 더하여 \(a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)\), 즉 \(b_{n+1} = 2b_n\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(b_1 = a_1 + 3 = 5\)이고 공비가 \(2\)인 등비수열이므로 \(b_n = 5 \cdot 2^{n-1}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 3\)에 \(n = 6\)을 대입하면 \(a_6 = 5 \cdot 32 - 3 = 157\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 주어진 점화식의 양변에 \(3\)을 더하여 \(a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)\), 즉 \(b_{n+1} = 2b_n\)임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(b_1 = a_1 + 3 = 5\)이고 공비가 \(2\)인 등비수열이므로 \(b_n = 5 \cdot 2^{n-1}\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 3\)에 \(n = 6\)을 대입하면 \(a_6 = 5 \cdot 32 - 3 = 157\)이다. 3점
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$n=6$일 때 지수는 $n-1=5$이므로 $2^5 = 32$를 대입해야 하며 $2^6 = 64$로 착각하지 않도록 검산합니다.
🎯 [최종 정답] \(b_n = 5 \cdot 2^{n-1},\; a_6 = 157\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 무한대 극한과 부정형 극한을 이용한 다항함수 결정 ⏱️ 권장 시간: 8분
【기출 문제 7】 2025학년도 자연·약학 B형 (문항 4) [10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 다항함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2 + 1} = 2\)와 \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 7\)을 만족시킬 때, 함수 \(f(x)\)를 구하고 \(f(5)\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2025 문항 4 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to \infty\) 극한에서 \(f(x)\)는 최고차항이 \(2x^2\)인 이차함수이고, \(x \to 2\) 분모가 \(0\)이므로 \(f(2) = 0\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x) = (x - 2)(2x + k)\)로 놓으면 \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(2x+k)}{x-2} = 4 + k = 7\)에서 \(k = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(x) = (x - 2)(2x + 3) = 2x^2 - x - 6\)이며, \(f(5) = 3 \times 13 = 39\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(x \to \infty\) 극한에서 \(f(x)\)는 최고차항이 \(2x^2\)인 이차함수이고, \(x \to 2\) 분모가 \(0\)이므로 \(f(2) = 0\)임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f(x) = (x - 2)(2x + k)\)로 놓으면 \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(2x+k)}{x-2} = 4 + k = 7\)에서 \(k = 3\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(f(x) = (x - 2)(2x + 3) = 2x^2 - x - 6\)이며, \(f(5) = 3 \times 13 = 39\)이다. 3점
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대학 과정 공식을 쓰지 않고 인수 정리 $f(x) = (x-2)(2x+k)$와 영인자 약분으로 서술해야 감점이 없습니다.
🎯 [최종 정답] \(f(x) = 2x^2 - x - 6,\; f(5) = 39\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 구간별 정의된 함수의 연속 조건 ⏱️ 권장 시간: 8분
【기출 문제 8】 2024학년도 자연·약학 A형 (문항 1) [10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 함수 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + ax - 12}{x - 3} & (x \ne 3) \\[6pt] b & (x = 3) \end{cases}\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a + b\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2024 문항 1 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 실수 전체에서 연속이려면 \(x = 3\)에서 \(\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = b\)가 성립해야 함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 분모가 \(0\)에 수렴하므로 \(9 + 3a - 12 = 0\)에서 \(a = 1\)이고, 인수분해하면 \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{(x-3)(x+4)}{x-3} = 7\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(b = 7\)이므로 \(a + b = 1 + 7 = 8\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 실수 전체에서 연속이려면 \(x = 3\)에서 \(\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = b\)가 성립해야 함을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) 분모가 \(0\)에 수렴하므로 \(9 + 3a - 12 = 0\)에서 \(a = 1\)이고, 인수분해하면 \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{(x-3)(x+4)}{x-3} = 7\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(b = 7\)이므로 \(a + b = 1 + 7 = 8\)이다. 3점
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연속의 정의 $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3)$ 등식을 명시하지 않고 수치만 적으면 부분점수가 감점됩니다.
🎯 [최종 정답] \(8\) \((a = 1,\; b = 7)\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 곡선 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 기울기 ⏱️ 권장 시간: 8분
【기출 문제 9】 2024학년도 자연·약학 A형 (문항 2) [10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 그림과 같은 이차함수 \(y = x^2 + 3\)의 그래프에 곡선 밖의 점 \((1, 0)\)에서 그은 두 접선의 기울기를 각각 \(m_1, m_2\)라 할 때, \(m_1^2 + m_2^2\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2024 문항 2 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 접점의 좌표를 \((t, t^2 + 3)\)으로 놓으면 접선의 기울기는 \(y' = 2t\)이고 접선의 방정식은 \(y - (t^2+3) = 2t(x - t)\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 점 \((1, 0)\)을 대입하면 \(-t^2 - 3 = 2t - 2t^2 \iff t^2 - 2t - 3 = (t+1)(t-3) = 0\)이므로 \(t = -1\) 또는 \(t = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 두 접선의 기울기는 \(-2\)와 \(6\)이므로 \(m_1^2 + m_2^2 = (-2)^2 + 6^2 = 40\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 접점의 좌표를 \((t, t^2 + 3)\)으로 놓으면 접선의 기울기는 \(y' = 2t\)이고 접선의 방정식은 \(y - (t^2+3) = 2t(x - t)\)임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) 점 \((1, 0)\)을 대입하면 \(-t^2 - 3 = 2t - 2t^2 \iff t^2 - 2t - 3 = (t+1)(t-3) = 0\)이므로 \(t = -1\) 또는 \(t = 3\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 두 접선의 기울기는 \(-2\)와 \(6\)이므로 \(m_1^2 + m_2^2 = (-2)^2 + 6^2 = 40\)이다. 3점
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점 $(1, 0)$은 곡선 위의 점이 아니므로 $y'(1)=2$를 접선의 기울기로 놓는 오류를 절대 범하지 않도록 접점 $(t, f(t))$를 설정합니다.
🎯 [최종 정답] \(40\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 삼차함수의 극값과 평균값 정리 ⏱️ 권장 시간: 9분
【기출 문제 10】 2024학년도 자연·약학 B형 (문항 3) [10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 그림과 같은 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\)의 극댓값과 극솟값을 각각 \(f(\alpha), f(\beta)\) (\(\alpha \lt \beta\))라 하자. 닫힌구간 \([\alpha, \beta]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 모든 실수 \(c\)의 곱을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2024 문항 3 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3) = 0\)과 닫힌구간 \([\alpha, \beta]\)에서의 평균값 정리 \(f'(c) = \dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\alpha = 1,\; \beta = 3\)에서 \(f(1) = 6,\; f(3) = 2\)이므로 \(\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1} = -2\)이고, \(3c^2 - 12c + 9 = -2 \iff 3c^2 - 12c + 11 = 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(c = 2 \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)은 모두 열린구간 \((1, 3)\)에 속하므로 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 \(c\)의 곱은 \(\dfrac{11}{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3) = 0\)과 닫힌구간 \([\alpha, \beta]\)에서의 평균값 정리 \(f'(c) = \dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\alpha = 1,\; \beta = 3\)에서 \(f(1) = 6,\; f(3) = 2\)이므로 \(\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1} = -2\)이고, \(3c^2 - 12c + 9 = -2 \iff 3c^2 - 12c + 11 = 0\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(c = 2 \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)은 모두 열린구간 \((1, 3)\)에 속하므로 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 \(c\)의 곱은 \(\dfrac{11}{3}\)이다. 3점
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이차방정식의 근과 계수의 관계를 쓰기 전에 두 실근 $2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$이 모두 열린구간 $(1, 3)$ 안에 존재하는지 반드시 확인합니다.
🎯 [최종 정답] \(\dfrac{11}{3}\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 절댓값 함수의 미분불가능점의 개수 ⏱️ 권장 시간: 9분
【기출 문제 11】 2023학년도 자연·약학 A형 (문항 1) [10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 5\)와 정수 \(k\)에 대하여 함수 \(g(x) = |f(x) - k|\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지 않은 점의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 모든 정수 \(k\)의 값의 합을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2023 문항 1 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(g(x) = |f(x) - k|\)의 미분불가능점이 \(3\)개이려면 방정식 \(f(x) = k\)가 서로 다른 세 실근을 가져야 함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0\)에서 극댓값 \(f(0) = 5\), 극솟값 \(f(2) = 1\)이므로 조건은 \(1 \lt k \lt 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 이를 만족시키는 정수 \(k\)는 \(2, 3, 4\)이므로 모든 정수 \(k\)의 합은 \(2 + 3 + 4 = 9\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(g(x) = |f(x) - k|\)의 미분불가능점이 \(3\)개이려면 방정식 \(f(x) = k\)가 서로 다른 세 실근을 가져야 함을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0\)에서 극댓값 \(f(0) = 5\), 극솟값 \(f(2) = 1\)이므로 조건은 \(1 \lt k \lt 5\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 이를 만족시키는 정수 \(k\)는 \(2, 3, 4\)이므로 모든 정수 \(k\)의 합은 \(2 + 3 + 4 = 9\)이다. 3점
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극값 경계인 $k=1$ 또는 $k=5$에서는 중근에서 접하므로 미분가능하여 미분불가능점이 $1$개뿐임을 구분해야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(9\) \((k = 2, 3, 4)\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 정적분으로 정의된 함수의 두 번 미분 ⏱️ 권장 시간: 9분
【기출 문제 12】 2023학년도 자연·약학 A형 (문항 2) [10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\int_1^x (x - t)f(t)\,dt = x^4 - 2x^3 + ax + b\)를 만족시킬 때, 두 상수 \(a, b\)와 \(f(3)\)에 대하여 \(f(3) + a + b\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2023 문항 2 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 좌변을 \(x\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt - \int_1^x tf(t)\,dt\)로 전개하고 위끝·아래끝 일치 조건 \(x = 1\) 대입과 양변 미분을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x=1\)을 대입하면 \(1 - 2 + a + b = 0 \implies a + b = 1\)이고, 양변을 미분하면 \(\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt = 4x^3 - 6x^2 + a\)에서 다시 \(x=1\) 대입 시 \(a = 2,\; b = -1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 한 번 더 미분하면 \(f(x) = 12x^2 - 12x\)이므로 \(f(3) = 72\), 따라서 \(f(3) + a + b = 72 + 1 = 73\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 좌변을 \(x\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt - \int_1^x tf(t)\,dt\)로 전개하고 위끝·아래끝 일치 조건 \(x = 1\) 대입과 양변 미분을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x=1\)을 대입하면 \(1 - 2 + a + b = 0 \implies a + b = 1\)이고, 양변을 미분하면 \(\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt = 4x^3 - 6x^2 + a\)에서 다시 \(x=1\) 대입 시 \(a = 2,\; b = -1\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 한 번 더 미분하면 \(f(x) = 12x^2 - 12x\)이므로 \(f(3) = 72\), 따라서 \(f(3) + a + b = 72 + 1 = 73\)이다. 3점
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피적분함수 $(x-t)f(t)$ 안에 적분변수 $t$가 아닌 $x$가 포함되어 있으므로 반드시 분배법칙으로 $x$를 적분 기호 밖으로 뺀 뒤 곱의 미분법을 적용합니다.
🎯 [최종 정답] \(73\) \((a = 2,\; b = -1,\; f(3) = 72)\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 ⏱️ 권장 시간: 8분
【기출 문제 13】 2023학년도 자연·약학 B형 (문항 3) [10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 그림과 같이 이차함수 \(y = -x^2 + 4x\)의 그래프와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(20S\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2023 문항 3 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 두 그래프의 교점의 \(x\)좌표를 구하기 위해 \(-x^2 + 4x = x\)로 놓고 정적분 넓이 공식을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x(x - 3) = 0\)에서 교점은 \(x = 0, 3\)이고 구간 \([0, 3]\)에서 \(-x^2 + 4x \ge x\)이므로 \(S = \displaystyle\int_0^3 (-x^2 + 3x)\,dx\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(S = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{3}{2}x^2\right]_0^3 = -9 + \dfrac{27}{2} = \dfrac{9}{2}\)이므로 \(20S = 90\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 두 그래프의 교점의 \(x\)좌표를 구하기 위해 \(-x^2 + 4x = x\)로 놓고 정적분 넓이 공식을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x(x - 3) = 0\)에서 교점은 \(x = 0, 3\)이고 구간 \([0, 3]\)에서 \(-x^2 + 4x \ge x\)이므로 \(S = \displaystyle\int_0^3 (-x^2 + 3x)\,dx\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(S = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{3}{2}x^2\right]_0^3 = -9 + \dfrac{27}{2} = \dfrac{9}{2}\)이므로 \(20S = 90\)이다. 3점
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서술형 답안에서는 $\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$ 공식만 적지 말고 정적분 식과 원시함수 대입 과정을 함께 적어야 만점을 받습니다.
🎯 [최종 정답] \(90\) \(\left(S = \dfrac{9}{2}\right)\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 삼각함수 사이의 관계와 삼각방정식 ⏱️ 권장 시간: 8분
【기출 문제 14】 2022학년도 자연·약학 A형 (문항 1) [10점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-03] \(0 \le x \lt 2\pi\)일 때, 방정식 \(2\sin^2 x - \cos x - 1 = 0\)의 모든 실근의 합은 \(k\pi\)이다. 상수 \(k\)의 값을 구하시오.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
【유사 연습】 삼각형 \(ABC\)에서 \(\overline{AB}=5, \overline{AC}=8, \angle A = \frac{\pi}{3}\)일 때, 변 \(\overline{BC}\)의 길이를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 코사인법칙 \(\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cos A\)를 적용한다. [2줄: 핵심계산] \(\overline{BC}^2 = 25 + 64 - 2\cdot 5\cdot 8\cdot\frac{1}{2} = 49\). [3줄: 최종결론] \(\overline{BC} \gt 0\)이므로 \(\overline{BC} = 7\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2022 문항 1 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 삼각함수의 항등식 \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\)를 대입하여 \(\cos x\)에 대한 이차방정식으로 변형함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2(1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0 \iff (2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0\)이므로 \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\cos x = -1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(0 \le x \lt 2\pi\)에서 해는 \(x = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}, \pi\)이므로 모든 실근의 합은 \(3\pi\), 따라서 \(k = 3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 삼각함수의 항등식 \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\)를 대입하여 \(\cos x\)에 대한 이차방정식으로 변형함을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(2(1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0 \iff (2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0\)이므로 \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\cos x = -1\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(0 \le x \lt 2\pi\)에서 해는 \(x = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}, \pi\)이므로 모든 실근의 합은 \(3\pi\), 따라서 \(k = 3\)이다. 3점
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구간이 $0 \le x \lt 2\pi$인지 $0 \le x \le 2\pi$인지 끝점 포함 여부를 반드시 확인하여 해의 누락·중복을 방지합니다.
🎯 [최종 정답] \(k = 3\) \(\left(\text{실근의 합 } 3\pi\right)\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 속도와 움직인 거리의 정적분 ⏱️ 권장 시간: 8분
【기출 문제 15】 2022학년도 자연·약학 B형 (문항 2) [10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)이다. 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리를 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2022 문항 2 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 움직인 거리는 속력 \(|v(t)|\)의 정적분 \(\displaystyle\int_0^4 |v(t)|\,dt\)이며 \(v(t) = 3(t-1)(t-3) = 0\)에서 부호가 바뀜을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 위치 변화 함수 \(s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\)에 대하여 구간을 \([0,1], [1,3], [3,4]\)로 나누면 \(s(0)=0,\; s(1)=4,\; s(3)=0,\; s(4)=4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 움직인 거리는 \(|4-0| + |0-4| + |4-0| = 4 + 4 + 4 = 12\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 움직인 거리는 속력 \(|v(t)|\)의 정적분 \(\displaystyle\int_0^4 |v(t)|\,dt\)이며 \(v(t) = 3(t-1)(t-3) = 0\)에서 부호가 바뀜을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) 위치 변화 함수 \(s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\)에 대하여 구간을 \([0,1], [1,3], [3,4]\)로 나누면 \(s(0)=0,\; s(1)=4,\; s(3)=0,\; s(4)=4\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 움직인 거리는 \(|4-0| + |0-4| + |4-0| = 4 + 4 + 4 = 12\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
위치의 변화량 $\int_0^4 v(t)\,dt = 4$와 실제로 움직인 거리 $\int_0^4 |v(t)|\,dt = 12$를 혼동하지 않도록 구간별 절댓값 적분을 명시합니다.
🎯 [최종 정답] \(12\)
PART 2-1 · 10 FULL-LENGTH MOCK EXAMS
2027학년도 고려대학교(세종) 약술형 논술
제1~5회 기출유사 표준 실전편과 제6~10회 킬러 TOP 5 심화편(총 100문항) 및 회차별 종합 분석 매트릭스 리포트로 실전 적응력을 극대화합니다.
📋 출제 타당성 검토 보고서 (4p): 전 문항 교과서 기반 교육과정 성취기준 및 Textbook DB 원천 검증
📝 실전 맞춤형 시험지 포맷: 고려대학교(세종) 실제 문항 수·배점·답안지 규격 100% 반영
📈 회차별 종합 분석 매트릭스 (10p): 매 회차 직후 문항별 난이도·배점·합격 전략 리포트 수록
✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)
회차·문항 출제 과목 핵심 출제 테마 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) 배점/난이도 R1-Q1 대수 거듭제곱의 연산과 지수법칙을 이용한 지수 결정 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] 10점/중 R1-Q2 대수 로그가 정의되기 위한 밑과 진수의 조건 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-04] 10점/중 R1-Q3 대수 치환을 이용한 지수함수의 최대·최소 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-06] 10점/중 R1-Q4 대수 동경이 속하는 사분면과 각의 나눗셈의 사분면 판정 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-01] 10점/중상 R1-Q5 대수 등차중항과 등비중항의 귀납적 정의 연립 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] 10점/상 R1-Q6 미적분Ⅰ 유리식의 인수분해 극한과 극한값의 합 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01] 10점/중 R1-Q7 미적분Ⅰ 구간별로 정의된 함수의 한 점에서의 연속 조건 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.25 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03] 10점/중 R1-Q8 미적분Ⅰ 평균변화율과 미분계수의 정의를 이용한 계수 결정 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01] 10점/중상 R1-Q9 미적분Ⅰ 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식과 절편 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] 10점/중상 R1-Q10 미적분Ⅰ 다항함수의 부정적분과 함숫값의 차 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01] 10점/상 R2-Q1 대수 거듭제곱의 나눗셈과 음수 거듭제곱근의 혼합 계산 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] 10점/중 R2-Q2 대수 로그의 성질과 밑변환을 이용한 로그식의 연산 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-04] 10점/중 R2-Q3 대수 로그함수의 단조성을 이용한 세 수의 대소 비교 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] 10점/중 R2-Q4 대수 동경 위의 점의 좌표와 삼각함수의 정의 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.11 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-01] 10점/중상 R2-Q5 대수 수학적 귀납법을 이용한 수열의 합 등식 증명과 계산 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-07] 10점/상 R2-Q6 미적분Ⅰ 함수의 극한에 대한 성질을 이용한 식의 극한값 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.12 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 10점/중 R2-Q7 미적분Ⅰ 실수 전체의 집합에서 연속이 되기 위한 두 미정계수 결정 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03] 10점/중 R2-Q8 미적분Ⅰ 접선의 기울기와 미분계수 조건을 이용한 계수 결정 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05] 10점/중상 R2-Q9 미적분Ⅰ 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] 10점/중상 R2-Q10 미적분Ⅰ 정적분의 기본 정리와 정적분 계산 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03] 10점/상 R3-Q1 대수 거듭제곱근의 곱셈·나눗셈과 거듭제곱근의 성질 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03] 10점/중 R3-Q2 대수 상용로그의 정수부분과 소수부분의 성질 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.23 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05] 10점/중 R3-Q3 대수 닫힌구간에서 밑이 0과 1 사이인 로그함수의 최대·최소 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] 10점/중 R3-Q4 대수 삼각함수의 그래프의 평행이동과 최댓값·최솟값·주기 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.18 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-02] 10점/중상 R3-Q5 대수 수학적 귀납법을 이용한 부등식의 증명 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07] 10점/상
✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)
회차·문항 출제 과목 핵심 출제 테마 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) 배점/난이도 R3-Q6 미적분Ⅰ 무한대로 가는 유리식의 극한과 미정계수 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 문제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 10점/중 R3-Q7 미적분Ⅰ 도함수의 정의를 이용한 이차함수의 도함수 유도 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.13 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03] 10점/중 R3-Q8 미적분Ⅰ 삼차함수에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 결정 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] 10점/중상 R3-Q9 미적분Ⅰ 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 조건 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 10점/중상 R3-Q10 미적분Ⅰ 삼차곡선과 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 10점/상 R4-Q1 대수 0 또는 음의 정수 지수의 정의와 분수 지수식 계산 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.11 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-02] 10점/중 R4-Q2 대수 로그방정식의 해법과 무연근 제거 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-08] 10점/중 R4-Q3 대수 삼각방정식의 해와 대칭성을 이용한 근의 합 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 문제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-02] 10점/중 R4-Q4 대수 사인법칙을 이용한 삼각형의 변의 길이와 외접원의 넓이 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 10점/중상 R4-Q5 대수 수열의 귀납적 정의와 비례식을 이용한 항의 추론 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.2 생각 열기 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] 10점/상 R4-Q6 미적분Ⅰ 무리식의 부정형 극한에서 두 미정계수의 결정 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 문제 7 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 10점/중 R4-Q7 미적분Ⅰ 닫힌구간에서 유리함수의 연속성과 최대·최소 정리 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.31 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] 10점/중 R4-Q8 미적분Ⅰ 곱의 미분법을 이용한 다항함수의 도함수와 미분계수 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.17 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04] 10점/중상 R4-Q9 미적분Ⅰ 실수 전체에서 사차부등식이 항상 성립하기 위한 조건 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 10점/중상 R4-Q10 미적분Ⅰ 정적분으로 정의된 함수의 극한과 미분계수의 관계 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 문제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] 10점/상 R5-Q1 대수 중첩된 거듭제곱근의 유리수 지수 변환과 연산 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] 10점/중 R5-Q2 대수 빛·전파의 투과율과 지수부등식의 실생활 응용 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08] 10점/중 R5-Q3 대수 삼각함수 사이의 관계와 곱셈 공식의 결합 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-01] 10점/중 R5-Q4 대수 코사인법칙을 이용한 삼각형의 최대각의 크기 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 10점/중상 R5-Q5 대수 실생활 악수·연결망 수열의 귀납적 정의 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 수학적 귀납법 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] 10점/상 R5-Q6 미적분Ⅰ 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리)를 이용한 극한값 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.17 문제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] 10점/중 R5-Q7 미적분Ⅰ 곡선에 접하고 기울기가 주어진 접선의 방정식 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] 10점/중 R5-Q8 미적분Ⅰ 사차함수의 극값과 닫힌구간에서의 최대·최소 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.42 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 10점/중상 R5-Q9 미적분Ⅰ 삼차곡선과 직선으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 문제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 10점/중상 R5-Q10 미적분Ⅰ 원점을 출발한 점의 속도·위치와 움직인 거리 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] 10점/상
✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)
회차·문항 출제 과목 핵심 출제 테마 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) 배점/난이도 R6-Q1 대수 유리수 지수의 곱셈 공식과 대칭식 추론 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04] 10점/중상 R6-Q2 대수 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06] 10점/중상 R6-Q3 대수 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소 추론 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03] 10점/중상 R6-Q4 대수 코사인법칙과 삼각형의 넓이 통합 추론 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 10점/상 R6-Q5 대수 수열의 합과 일반항의 관계 및 거듭제곱 급수 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06, 12대수03-07] 10점/상 R6-Q6 미적분Ⅰ 무리식을 포함한 부정형 함수의 극한과 미정계수 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 10점/중상 R6-Q7 미적분Ⅰ 곱의 미분법과 접선의 방정식 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 10점/중 R6-Q8 미적분Ⅰ 사차함수의 대칭성과 극댓값·극솟값의 차 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 10점/상 R6-Q9 미적분Ⅰ 대칭구간에서 기함수·우함수의 정적분 성질 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 10점/중 R6-Q10 미적분Ⅰ 삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 10점/상 R7-Q1 대수 유리수 지수의 곱셈 공식과 대칭식 추론 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06] 10점/중상 R7-Q2 대수 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.22 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] 10점/중상 R7-Q3 대수 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소 추론 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] 10점/중상 R7-Q4 대수 코사인법칙과 삼각형의 넓이 통합 추론 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 10점/상 R7-Q5 대수 수열의 합과 일반항의 관계 및 거듭제곱 급수 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03, 12대수03-05] 10점/상 R7-Q6 미적분Ⅰ 무리식을 포함한 부정형 함수의 극한과 미정계수 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 10점/중상 R7-Q7 미적분Ⅰ 곱의 미분법과 접선의 방정식 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 10점/중 R7-Q8 미적분Ⅰ 사차함수의 대칭성과 극댓값·극솟값의 차 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 10점/상 R7-Q9 미적분Ⅰ 대칭구간에서 기함수·우함수의 정적분 성질 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 10점/중 R7-Q10 미적분Ⅰ 삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 10점/상 R8-Q1 대수 유리수 지수의 곱셈 공식과 대칭식 추론 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.22 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] 10점/중상 R8-Q2 대수 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03, 12대수01-04] 10점/중상 R8-Q3 대수 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소 추론 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 10점/중상 R8-Q4 대수 코사인법칙과 삼각형의 넓이 통합 추론 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 10점/상 R8-Q5 대수 수열의 합과 일반항의 관계 및 거듭제곱 급수 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06, 12대수03-07] 10점/상
✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)
회차·문항 출제 과목 핵심 출제 테마 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) 배점/난이도 R8-Q6 미적분Ⅰ 무리식을 포함한 부정형 함수의 극한과 미정계수 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 10점/중상 R8-Q7 미적분Ⅰ 곱의 미분법과 접선의 방정식 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 10점/중 R8-Q8 미적분Ⅰ 사차함수의 대칭성과 극댓값·극솟값의 차 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 10점/상 R8-Q9 미적분Ⅰ 대칭구간에서 기함수·우함수의 정적분 성질 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 10점/중 R8-Q10 미적분Ⅰ 삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 10점/상 R9-Q1 대수 유리수 지수의 곱셈 공식과 대칭식 추론 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03, 12대수01-04] 10점/중상 R9-Q2 대수 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04] 10점/중상 R9-Q3 대수 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소 추론 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03] 10점/중상 R9-Q4 대수 코사인법칙과 삼각형의 넓이 통합 추론 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 10점/상 R9-Q5 대수 수열의 합과 일반항의 관계 및 거듭제곱 급수 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03, 12대수03-05] 10점/상 R9-Q6 미적분Ⅰ 무리식을 포함한 부정형 함수의 극한과 미정계수 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 10점/중상 R9-Q7 미적분Ⅰ 곱의 미분법과 접선의 방정식 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 10점/중 R9-Q8 미적분Ⅰ 사차함수의 대칭성과 극댓값·극솟값의 차 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 10점/상 R9-Q9 미적분Ⅰ 대칭구간에서 기함수·우함수의 정적분 성질 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 10점/중 R9-Q10 미적분Ⅰ 삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 10점/상 R10-Q1 대수 유리수 지수의 곱셈 공식과 대칭식 추론 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04] 10점/중상 R10-Q2 대수 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06] 10점/중상 R10-Q3 대수 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소 추론 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] 10점/중상 R10-Q4 대수 코사인법칙과 삼각형의 넓이 통합 추론 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 10점/상 R10-Q5 대수 수열의 합과 일반항의 관계 및 거듭제곱 급수 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06, 12대수03-07] 10점/상 R10-Q6 미적분Ⅰ 무리식을 포함한 부정형 함수의 극한과 미정계수 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 10점/중상 R10-Q7 미적분Ⅰ 곱의 미분법과 접선의 방정식 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 10점/중 R10-Q8 미적분Ⅰ 사차함수의 대칭성과 극댓값·극솟값의 차 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 10점/상 R10-Q9 미적분Ⅰ 대칭구간에서 기함수·우함수의 정적분 성질 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 10점/중 R10-Q10 미적분Ⅰ 삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 10점/상
📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (10문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제1회 문항 1 대수 거듭제곱의 연산과 지수법칙을 이용한 지수 결정 10점 중 제1회 문항 2 대수 로그가 정의되기 위한 밑과 진수의 조건 10점 중 제1회 문항 3 대수 치환을 이용한 지수함수의 최대·최소 10점 중 제1회 문항 4 대수 동경이 속하는 사분면과 각의 나눗셈의 사분면 판정 10점 중상 제1회 문항 5 대수 등차중항과 등비중항의 귀납적 정의 연립 10점 상 제1회 문항 6 미적분Ⅰ 유리식의 인수분해 극한과 극한값의 합 10점 중 제1회 문항 7 미적분Ⅰ 구간별로 정의된 함수의 한 점에서의 연속 조건 10점 중 제1회 문항 8 미적분Ⅰ 평균변화율과 미분계수의 정의를 이용한 계수 결정 10점 중상 제1회 문항 9 미적분Ⅰ 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식과 절편 10점 중상 제1회 문항 10 미적분Ⅰ 다항함수의 부정적분과 함숫값의 차 10점 상
고려대학교(세종) 자연·약학 약술형 제1회 실전 모의고사는 대수 5문항(50점)과 미적분Ⅰ 5문항(50점)을 균형 배치했습니다. 제1~5회 표준편에서는 진수·정의역 조건과 기본 미분·적분 공식을 1줄에 정확히 선언하여 부분점수 누수를 0점으로 만드십시오.
📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (10문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제2회 문항 1 대수 거듭제곱의 나눗셈과 음수 거듭제곱근의 혼합 계산 10점 중 제2회 문항 2 대수 로그의 성질과 밑변환을 이용한 로그식의 연산 10점 중 제2회 문항 3 대수 로그함수의 단조성을 이용한 세 수의 대소 비교 10점 중 제2회 문항 4 대수 동경 위의 점의 좌표와 삼각함수의 정의 10점 중상 제2회 문항 5 대수 수학적 귀납법을 이용한 수열의 합 등식 증명과 계산 10점 상 제2회 문항 6 미적분Ⅰ 함수의 극한에 대한 성질을 이용한 식의 극한값 10점 중 제2회 문항 7 미적분Ⅰ 실수 전체의 집합에서 연속이 되기 위한 두 미정계수 결정 10점 중 제2회 문항 8 미적분Ⅰ 접선의 기울기와 미분계수 조건을 이용한 계수 결정 10점 중상 제2회 문항 9 미적분Ⅰ 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차 10점 중상 제2회 문항 10 미적분Ⅰ 정적분의 기본 정리와 정적분 계산 10점 상
고려대학교(세종) 자연·약학 약술형 제2회 실전 모의고사는 대수 5문항(50점)과 미적분Ⅰ 5문항(50점)을 균형 배치했습니다. 제1~5회 표준편에서는 진수·정의역 조건과 기본 미분·적분 공식을 1줄에 정확히 선언하여 부분점수 누수를 0점으로 만드십시오.
📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (10문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제3회 문항 1 대수 거듭제곱근의 곱셈·나눗셈과 거듭제곱근의 성질 10점 중 제3회 문항 2 대수 상용로그의 정수부분과 소수부분의 성질 10점 중 제3회 문항 3 대수 닫힌구간에서 밑이 0과 1 사이인 로그함수의 최대·최소 10점 중 제3회 문항 4 대수 삼각함수의 그래프의 평행이동과 최댓값·최솟값·주기 10점 중상 제3회 문항 5 대수 수학적 귀납법을 이용한 부등식의 증명 10점 상 제3회 문항 6 미적분Ⅰ 무한대로 가는 유리식의 극한과 미정계수 10점 중 제3회 문항 7 미적분Ⅰ 도함수의 정의를 이용한 이차함수의 도함수 유도 10점 중 제3회 문항 8 미적분Ⅰ 삼차함수에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 결정 10점 중상 제3회 문항 9 미적분Ⅰ 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 조건 10점 중상 제3회 문항 10 미적분Ⅰ 삼차곡선과 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이 10점 상
고려대학교(세종) 자연·약학 약술형 제3회 실전 모의고사는 대수 5문항(50점)과 미적분Ⅰ 5문항(50점)을 균형 배치했습니다. 제1~5회 표준편에서는 진수·정의역 조건과 기본 미분·적분 공식을 1줄에 정확히 선언하여 부분점수 누수를 0점으로 만드십시오.
📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (10문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제4회 문항 1 대수 0 또는 음의 정수 지수의 정의와 분수 지수식 계산 10점 중 제4회 문항 2 대수 로그방정식의 해법과 무연근 제거 10점 중 제4회 문항 3 대수 삼각방정식의 해와 대칭성을 이용한 근의 합 10점 중 제4회 문항 4 대수 사인법칙을 이용한 삼각형의 변의 길이와 외접원의 넓이 10점 중상 제4회 문항 5 대수 수열의 귀납적 정의와 비례식을 이용한 항의 추론 10점 상 제4회 문항 6 미적분Ⅰ 무리식의 부정형 극한에서 두 미정계수의 결정 10점 중 제4회 문항 7 미적분Ⅰ 닫힌구간에서 유리함수의 연속성과 최대·최소 정리 10점 중 제4회 문항 8 미적분Ⅰ 곱의 미분법을 이용한 다항함수의 도함수와 미분계수 10점 중상 제4회 문항 9 미적분Ⅰ 실수 전체에서 사차부등식이 항상 성립하기 위한 조건 10점 중상 제4회 문항 10 미적분Ⅰ 정적분으로 정의된 함수의 극한과 미분계수의 관계 10점 상
고려대학교(세종) 자연·약학 약술형 제4회 실전 모의고사는 대수 5문항(50점)과 미적분Ⅰ 5문항(50점)을 균형 배치했습니다. 제1~5회 표준편에서는 진수·정의역 조건과 기본 미분·적분 공식을 1줄에 정확히 선언하여 부분점수 누수를 0점으로 만드십시오.
📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (10문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제5회 문항 1 대수 중첩된 거듭제곱근의 유리수 지수 변환과 연산 10점 중 제5회 문항 2 대수 빛·전파의 투과율과 지수부등식의 실생활 응용 10점 중 제5회 문항 3 대수 삼각함수 사이의 관계와 곱셈 공식의 결합 10점 중 제5회 문항 4 대수 코사인법칙을 이용한 삼각형의 최대각의 크기 10점 중상 제5회 문항 5 대수 실생활 악수·연결망 수열의 귀납적 정의 10점 상 제5회 문항 6 미적분Ⅰ 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리)를 이용한 극한값 10점 중 제5회 문항 7 미적분Ⅰ 곡선에 접하고 기울기가 주어진 접선의 방정식 10점 중 제5회 문항 8 미적분Ⅰ 사차함수의 극값과 닫힌구간에서의 최대·최소 10점 중상 제5회 문항 9 미적분Ⅰ 삼차곡선과 직선으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 10점 중상 제5회 문항 10 미적분Ⅰ 원점을 출발한 점의 속도·위치와 움직인 거리 10점 상
고려대학교(세종) 자연·약학 약술형 제5회 실전 모의고사는 대수 5문항(50점)과 미적분Ⅰ 5문항(50점)을 균형 배치했습니다. 제1~5회 표준편에서는 진수·정의역 조건과 기본 미분·적분 공식을 1줄에 정확히 선언하여 부분점수 누수를 0점으로 만드십시오.
📊 분석 대상: 제6회 전 문항 (10문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제6회 문항 1 대수 유리수 지수의 곱셈 공식과 대칭식 추론 10점 중상 제6회 문항 2 대수 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 10점 중상 제6회 문항 3 대수 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소 추론 10점 중상 제6회 문항 4 대수 코사인법칙과 삼각형의 넓이 통합 추론 10점 상 제6회 문항 5 대수 수열의 합과 일반항의 관계 및 거듭제곱 급수 10점 상 제6회 문항 6 미적분Ⅰ 무리식을 포함한 부정형 함수의 극한과 미정계수 10점 중상 제6회 문항 7 미적분Ⅰ 곱의 미분법과 접선의 방정식 10점 중 제6회 문항 8 미적분Ⅰ 사차함수의 대칭성과 극댓값·극솟값의 차 10점 상 제6회 문항 9 미적분Ⅰ 대칭구간에서 기함수·우함수의 정적분 성질 10점 중 제6회 문항 10 미적분Ⅰ 삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 10점 상
고려대학교(세종) 자연·약학 약술형 제6회 실전 모의고사는 대수 5문항(50점)과 미적분Ⅰ 5문항(50점)을 균형 배치했습니다. 제6~10회 심화편에서는 약학과·AI보안 등 상위 모집단위 변별 문항인 사차함수 극값 차와 접선 넓이 문항(8·10번)에 각 10분을 배분하십시오.
📊 분석 대상: 제7회 전 문항 (10문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제7회 문항 1 대수 유리수 지수의 곱셈 공식과 대칭식 추론 10점 중상 제7회 문항 2 대수 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 10점 중상 제7회 문항 3 대수 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소 추론 10점 중상 제7회 문항 4 대수 코사인법칙과 삼각형의 넓이 통합 추론 10점 상 제7회 문항 5 대수 수열의 합과 일반항의 관계 및 거듭제곱 급수 10점 상 제7회 문항 6 미적분Ⅰ 무리식을 포함한 부정형 함수의 극한과 미정계수 10점 중상 제7회 문항 7 미적분Ⅰ 곱의 미분법과 접선의 방정식 10점 중 제7회 문항 8 미적분Ⅰ 사차함수의 대칭성과 극댓값·극솟값의 차 10점 상 제7회 문항 9 미적분Ⅰ 대칭구간에서 기함수·우함수의 정적분 성질 10점 중 제7회 문항 10 미적분Ⅰ 삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 10점 상
고려대학교(세종) 자연·약학 약술형 제7회 실전 모의고사는 대수 5문항(50점)과 미적분Ⅰ 5문항(50점)을 균형 배치했습니다. 제6~10회 심화편에서는 약학과·AI보안 등 상위 모집단위 변별 문항인 사차함수 극값 차와 접선 넓이 문항(8·10번)에 각 10분을 배분하십시오.
📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (10문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제8회 문항 1 대수 유리수 지수의 곱셈 공식과 대칭식 추론 10점 중상 제8회 문항 2 대수 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 10점 중상 제8회 문항 3 대수 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소 추론 10점 중상 제8회 문항 4 대수 코사인법칙과 삼각형의 넓이 통합 추론 10점 상 제8회 문항 5 대수 수열의 합과 일반항의 관계 및 거듭제곱 급수 10점 상 제8회 문항 6 미적분Ⅰ 무리식을 포함한 부정형 함수의 극한과 미정계수 10점 중상 제8회 문항 7 미적분Ⅰ 곱의 미분법과 접선의 방정식 10점 중 제8회 문항 8 미적분Ⅰ 사차함수의 대칭성과 극댓값·극솟값의 차 10점 상 제8회 문항 9 미적분Ⅰ 대칭구간에서 기함수·우함수의 정적분 성질 10점 중 제8회 문항 10 미적분Ⅰ 삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 10점 상
고려대학교(세종) 자연·약학 약술형 제8회 실전 모의고사는 대수 5문항(50점)과 미적분Ⅰ 5문항(50점)을 균형 배치했습니다. 제6~10회 심화편에서는 약학과·AI보안 등 상위 모집단위 변별 문항인 사차함수 극값 차와 접선 넓이 문항(8·10번)에 각 10분을 배분하십시오.
📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (10문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제9회 문항 1 대수 유리수 지수의 곱셈 공식과 대칭식 추론 10점 중상 제9회 문항 2 대수 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 10점 중상 제9회 문항 3 대수 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소 추론 10점 중상 제9회 문항 4 대수 코사인법칙과 삼각형의 넓이 통합 추론 10점 상 제9회 문항 5 대수 수열의 합과 일반항의 관계 및 거듭제곱 급수 10점 상 제9회 문항 6 미적분Ⅰ 무리식을 포함한 부정형 함수의 극한과 미정계수 10점 중상 제9회 문항 7 미적분Ⅰ 곱의 미분법과 접선의 방정식 10점 중 제9회 문항 8 미적분Ⅰ 사차함수의 대칭성과 극댓값·극솟값의 차 10점 상 제9회 문항 9 미적분Ⅰ 대칭구간에서 기함수·우함수의 정적분 성질 10점 중 제9회 문항 10 미적분Ⅰ 삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 10점 상
고려대학교(세종) 자연·약학 약술형 제9회 실전 모의고사는 대수 5문항(50점)과 미적분Ⅰ 5문항(50점)을 균형 배치했습니다. 제6~10회 심화편에서는 약학과·AI보안 등 상위 모집단위 변별 문항인 사차함수 극값 차와 접선 넓이 문항(8·10번)에 각 10분을 배분하십시오.
📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (10문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제10회 문항 1 대수 유리수 지수의 곱셈 공식과 대칭식 추론 10점 중상 제10회 문항 2 대수 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 10점 중상 제10회 문항 3 대수 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소 추론 10점 중상 제10회 문항 4 대수 코사인법칙과 삼각형의 넓이 통합 추론 10점 상 제10회 문항 5 대수 수열의 합과 일반항의 관계 및 거듭제곱 급수 10점 상 제10회 문항 6 미적분Ⅰ 무리식을 포함한 부정형 함수의 극한과 미정계수 10점 중상 제10회 문항 7 미적분Ⅰ 곱의 미분법과 접선의 방정식 10점 중 제10회 문항 8 미적분Ⅰ 사차함수의 대칭성과 극댓값·극솟값의 차 10점 상 제10회 문항 9 미적분Ⅰ 대칭구간에서 기함수·우함수의 정적분 성질 10점 중 제10회 문항 10 미적분Ⅰ 삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 10점 상
고려대학교(세종) 자연·약학 약술형 제10회 실전 모의고사는 대수 5문항(50점)과 미적분Ⅰ 5문항(50점)을 균형 배치했습니다. 제6~10회 심화편에서는 약학과·AI보안 등 상위 모집단위 변별 문항인 사차함수 극값 차와 접선 넓이 문항(8·10번)에 각 10분을 배분하십시오.
PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS
실전 모의고사 1회 ~ 10회
시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 100문항 전체 원문 요약과 단계별 모범답안·루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.
🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능
⚡ 단계별 채점 기준표 완비: 소문항·단계별 부분점수 배점표를 통해 정밀한 자가 채점 지원
👨🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭
【문제 1】 원문 요약 — 거듭제곱의 연산과 지수법칙을 이용한 지수 결정 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] \(0\)이 아닌 두 실수 \(a, b\)에 대하여 \(\left(2a^3 b^2\right)^3 \times \left(3a^2 b^4\right)^2 = k a^m b^n\)이 성립할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(k, m, n\)은 자연수이다.)
[1-1] (5점) 지수법칙을 이용하여 상수 \(k\)와 지수 \(m, n\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (5점) \(a = \sqrt[13]{2},\; b = \sqrt[14]{3}\)일 때, \(\dfrac{k a^m b^n}{72}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 1 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 지수법칙 \((xy)^n = x^n y^n\), \((x^p)^q = x^{pq}\), \(x^p x^q = x^{p+q}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(8a^9 b^6 \times 9a^4 b^8 = 72 a^{9+4} b^{6+8} = 72 a^{13} b^{14}\)이므로 \(k = 72,\; m = 13,\; n = 14\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a^{13} = 2,\; b^{14} = 3\)이므로 \(\dfrac{72 a^{13} b^{14}}{72} = 2 \times 3 = 6\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 지수법칙 \((xy)^n = x^n y^n\), \((x^p)^q = x^{pq}\), \(x^p x^q = x^{p+q}\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(8a^9 b^6 \times 9a^4 b^8 = 72 a^{9+4} b^{6+8} = 72 a^{13} b^{14}\)이므로 \(k = 72,\; m = 13,\; n = 14\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(a^{13} = 2,\; b^{14} = 3\)이므로 \(\dfrac{72 a^{13} b^{14}}{72} = 2 \times 3 = 6\)이다. 3점
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거듭제곱의 곱에서 계수는 \(2^3 \times 3^2 = 72\)로 곱하고, 지수는 더해 주어야 합니다.
[1-1] \(k = 72,\; m = 13,\; n = 14\) | [1-2] \(6\)
【문제 2】 원문 요약 — 로그가 정의되기 위한 밑과 진수의 조건 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-04] 로그 \(\log_{x - 2}\left(-x^2 + 9x - 14\right)\)가 실수로 정의되기 위한 정수 \(x\)에 대하여 다음을 구하시오.
[2-1] (5점) 밑의 조건과 진수의 조건을 각각 부등식으로 나타내고, 이를 동시에 만족시키는 \(x\)의 값의 범위를 구하시오.
[2-2] (5점) 위 조건을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 2 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 로그 \(\log_a N\)이 정의되기 위한 필요충분조건은 밑 조건 \(a \gt 0,\; a \ne 1\)과 진수 조건 \(N \gt 0\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 밑 조건에서 \(x - 2 \gt 0,\; x - 2 \ne 1 \implies x \gt 2,\; x \ne 3\)이고, 진수 조건에서 \(x^2 - 9x + 14 = (x-2)(x-7) \lt 0 \implies 2 \lt x \lt 7\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(2 \lt x \lt 3\) 또는 \(3 \lt x \lt 7\)이므로 정수 \(x = 4, 5, 6\)의 합은 \(4 + 5 + 6 = 15\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 로그 \(\log_a N\)이 정의되기 위한 필요충분조건은 밑 조건 \(a \gt 0,\; a \ne 1\)과 진수 조건 \(N \gt 0\)임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) 밑 조건에서 \(x - 2 \gt 0,\; x - 2 \ne 1 \implies x \gt 2,\; x \ne 3\)이고, 진수 조건에서 \(x^2 - 9x + 14 = (x-2)(x-7) \lt 0 \implies 2 \lt x \lt 7\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(2 \lt x \lt 3\) 또는 \(3 \lt x \lt 7\)이므로 정수 \(x = 4, 5, 6\)의 합은 \(4 + 5 + 6 = 15\)이다. 3점
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밑 조건에서 \(x - 2 \ne 1\), 즉 \(x \ne 3\)을 누락하면 \(3\)을 더하여 오답(\(18\))이 되므로 특히 주의하세요.
[2-1] \(2 \lt x \lt 3\) 또는 \(3 \lt x \lt 7\) | [2-2] \(15\)
【문제 3】 원문 요약 — 치환을 이용한 지수함수의 최대·최소 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-06] 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = 4^x - 6\cdot 2^x + 11\)에 대하여 다음을 구하시오.
[3-1] (5점) \(t = 2^x\)로 치환할 때 \(t\)의 값의 범위를 구하고, \(f(x)\)를 \(t\)에 대한 이차함수의 표준형으로 나타내시오.
[3-2] (5점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 3 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 밑이 \(2 \gt 1\)인 지수함수 \(t = 2^x\)는 증가함수이므로 \(0 \le x \le 3\)에서 \(1 \le t \le 8\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(g(t) = t^2 - 6t + 11 = (t - 3)^2 + 2\)이고 꼭짓점 \(t = 3\)은 구간 \([1, 8]\)에 속한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(t = 8\;(x = 3)\)일 때 최댓값 \(M = 25 + 2 = 27\)이고, \(t = 3\;(x = \log_2 3)\)일 때 최솟값 \(m = 2\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 밑이 \(2 \gt 1\)인 지수함수 \(t = 2^x\)는 증가함수이므로 \(0 \le x \le 3\)에서 \(1 \le t \le 8\)임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(g(t) = t^2 - 6t + 11 = (t - 3)^2 + 2\)이고 꼭짓점 \(t = 3\)은 구간 \([1, 8]\)에 속한다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(t = 8\;(x = 3)\)일 때 최댓값 \(M = 25 + 2 = 27\)이고, \(t = 3\;(x = \log_2 3)\)일 때 최솟값 \(m = 2\)이다. 3점
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\(t = 2^x\)로 치환할 때 정의역 \(0 \le x \le 3\)을 새로운 변수의 범위 \(1 \le t \le 8\)로 반드시 변환해야 합니다.
[3-1] \(1 \le t \le 8,\; g(t) = (t - 3)^2 + 2\) | [3-2] \(M = 27,\; m = 2\)
【문제 4】 원문 요약 — 동경이 속하는 사분면과 각의 나눗셈의 사분면 판정 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-01] 각 \(\theta\)가 제\(3\)사분면의 각일 때, 일반각의 표현을 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (5점) 정수 \(n\)을 사용하여 각 \(\theta\)의 범위를 호도법 일반각 부등식으로 나타내고, \(\dfrac{\theta}{2}\)의 범위를 구하시오.
[4-2] (5점) 각 \(\dfrac{\theta}{2}\)를 나타내는 동경이 존재할 수 있는 사분면을 모두 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 4 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 제\(3\)사분면의 각 \(\theta\)의 일반각 범위는 \(2n\pi + \pi \lt \theta \lt 2n\pi + \dfrac{3\pi}{2}\) (\(n\)은 정수)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 각 변을 \(2\)로 나누면 \(n\pi + \dfrac{\pi}{2} \lt \dfrac{\theta}{2} \lt n\pi + \dfrac{3\pi}{4}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(n = 2k\)일 때 \(2k\pi + \dfrac{\pi}{2} \lt \dfrac{\theta}{2} \lt 2k\pi + \dfrac{3\pi}{4}\) (제\(2\)사분면), \(n = 2k+1\)일 때 \(2k\pi + \dfrac{3\pi}{2} \lt \dfrac{\theta}{2} \lt 2k\pi + \dfrac{7\pi}{4}\) (제\(4\)사분면)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 제\(3\)사분면의 각 \(\theta\)의 일반각 범위는 \(2n\pi + \pi \lt \theta \lt 2n\pi + \dfrac{3\pi}{2}\) (\(n\)은 정수)임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) 각 변을 \(2\)로 나누면 \(n\pi + \dfrac{\pi}{2} \lt \dfrac{\theta}{2} \lt n\pi + \dfrac{3\pi}{4}\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(n = 2k\)일 때 \(2k\pi + \dfrac{\pi}{2} \lt \dfrac{\theta}{2} \lt 2k\pi + \dfrac{3\pi}{4}\) (제\(2\)사분면), \(n = 2k+1\)일 때 \(2k\pi + \dfrac{3\pi}{2} \lt \dfrac{\theta}{2} \lt 2k\pi + \dfrac{7\pi}{4}\) (제\(4\)사분면)이다. 3점
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단순히 \(\pi \lt \theta \lt \dfrac{3\pi}{2}\)만 나누면 제\(4\)사분면을 빠뜨리게 되므로 반드시 \(2n\pi\)를 붙여야 합니다.
[4-1] \(n\pi + \dfrac{\pi}{2} \lt \dfrac{\theta}{2} \lt n\pi + \dfrac{3\pi}{4}\) (\(n\)은 정수) | [4-2] 제\(2\)사분면, 제\(4\)사분면
【문제 5】 원문 요약 — 등차중항과 등비중항의 귀납적 정의 연립 [배점 10점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] 모든 자연수 \(n\)에 대하여 수열 \(\{a_n\}\)은 귀납적 정의 \(2a_{n+1} = a_n + a_{n+2}\)를 만족시키고, 모든 항이 양수인 수열 \(\{b_n\}\)은 \(b_{n+1}^2 = b_n b_{n+2}\)를 만족시킨다. \(a_1 = 2,\; a_5 = 14,\; b_1 = 2,\; b_4 = 54\)일 때, 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) 수열 \(\{a_n\}\)의 공차 \(d\)와 수열 \(\{b_n\}\)의 공비 \(r\)를 각각 구하시오.
[5-2] (5점) \(a_{10} + b_5\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 5 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 귀납적 정의로부터 \(\{a_n\}\)은 등차수열, \(\{b_n\}\)은 양수인 등비수열임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_5 = 2 + 4d = 14 \implies d = 3\)이고, \(b_4 = 2r^3 = 54 \implies r^3 = 27\)에서 \(r = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a_{10} = 2 + 9 \times 3 = 29\)이고 \(b_5 = 2 \times 3^4 = 162\)이므로 \(a_{10} + b_5 = 29 + 162 = 191\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 귀납적 정의로부터 \(\{a_n\}\)은 등차수열, \(\{b_n\}\)은 양수인 등비수열임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(a_5 = 2 + 4d = 14 \implies d = 3\)이고, \(b_4 = 2r^3 = 54 \implies r^3 = 27\)에서 \(r = 3\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(a_{10} = 2 + 9 \times 3 = 29\)이고 \(b_5 = 2 \times 3^4 = 162\)이므로 \(a_{10} + b_5 = 29 + 162 = 191\)이다. 3점
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\(2a_{n+1} = a_n + a_{n+2}\)는 등차수열의 귀납적 정의이고 \(b_{n+1}^2 = b_n b_{n+2}\)는 등비수열의 귀납적 정의입니다.
[5-1] \(d = 3,\; r = 3\) | [5-2] \(191\)
【문제 6】 원문 요약 — 유리식의 인수분해 극한과 극한값의 합 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01] 함수의 극한의 뜻을 이용하여 다음 두 극한값을 구하시오.
[6-1] (5점) \(L_1 = \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2}\)와 \(L_2 = \lim_{x \to -3} \dfrac{x^3 + 27}{x + 3}\)의 값을 각각 구하시오.
[6-2] (5점) \(L_1 + L_2\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 6 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \ne a\)일 때 분자·분모의 공통인수 \(x - a\)를 약분하여 극한값을 구하는 원리와 곱셈 공식 \(x^3 + 3^3 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(L_1 = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2} = 5\)이고, \(L_2 = \lim_{x \to -3} (x^2 - 3x + 9) = 9 + 9 + 9 = 27\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(L_1 + L_2 = 5 + 27 = 32\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(x \ne a\)일 때 분자·분모의 공통인수 \(x - a\)를 약분하여 극한값을 구하는 원리와 곱셈 공식 \(x^3 + 3^3 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(L_1 = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2} = 5\)이고, \(L_2 = \lim_{x \to -3} (x^2 - 3x + 9) = 9 + 9 + 9 = 27\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(L_1 + L_2 = 5 + 27 = 32\)이다. 3점
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\(x^3 + 27\)을 인수분해할 때 이차항의 가운데 부호가 \(-3x\)이므로 \(x = -3\)을 대입하면 \(+9\)가 됩니다.
[6-1] \(L_1 = 5,\; L_2 = 27\) | [6-2] \(32\)
【문제 7】 원문 요약 — 구간별로 정의된 함수의 한 점에서의 연속 조건 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.25 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03] 함수 \(f(x) = \begin{cases} x^2 - ax + 3 & (x \lt 2) \\ 3x - 5 & (x \ge 2) \end{cases}\)가 \(x = 2\)에서 연속일 때, 다음을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)
[7-1] (5점) \(x = 2\)에서의 함숫값 \(f(2)\)와 우극한 \(\lim_{x \to 2+} f(x)\), 좌극한 \(\lim_{x \to 2-} f(x)\)를 각각 구하시오.
[7-2] (5점) 상수 \(a\)의 값과 \(f(-2)\)의 값을 각각 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 7 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속일 조건은 \(\lim_{x \to 2-} f(x) = \lim_{x \to 2+} f(x) = f(2)\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(2) = \lim_{x \to 2+} (3x - 5) = 1\)이고, \(\lim_{x \to 2-} (x^2 - ax + 3) = 7 - 2a\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(7 - 2a = 1\)에서 \(a = 3\)이므로 \(x = -2 \lt 2\)일 때 \(f(-2) = (-2)^2 - 3(-2) + 3 = 13\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속일 조건은 \(\lim_{x \to 2-} f(x) = \lim_{x \to 2+} f(x) = f(2)\)임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f(2) = \lim_{x \to 2+} (3x - 5) = 1\)이고, \(\lim_{x \to 2-} (x^2 - ax + 3) = 7 - 2a\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(7 - 2a = 1\)에서 \(a = 3\)이므로 \(x = -2 \lt 2\)일 때 \(f(-2) = (-2)^2 - 3(-2) + 3 = 13\)이다. 3점
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\(f(-2)\)를 계산할 때는 \(-2 \lt 2\)이므로 위쪽 식 \(x^2 - 3x + 3\)에 대입해야 합니다.
[7-1] \(f(2) = 1,\; \text{우극한 } 1,\; \text{좌극한 } 7 - 2a\) | [7-2] \(a = 3,\; f(-2) = 13\)
【문제 8】 원문 요약 — 평균변화율과 미분계수의 정의를 이용한 계수 결정 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01] 함수 \(f(x) = 2x^2 + ax + 1\)에서 \(x\)의 값이 \(1\)에서 \(4\)까지 변할 때의 평균변화율이 \(7\)일 때, 다음을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)
[8-1] (5점) 평균변화율의 정의를 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[8-2] (5점) 미분계수의 정의를 이용하여 \(f'(3)\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 8 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 평균변화율 \(\dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = 7\)과 미분계수의 정의 \(f'(3) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(3+h) - f(3)}{h}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(4) = 33 + 4a\), \(f(1) = 3 + a\)이므로 \(\dfrac{30 + 3a}{3} = 10 + a = 7\)에서 \(a = -3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\)이므로 \(f'(3) = \lim_{h \to 0} \dfrac{2(3+h)^2 - 3(3+h) + 1 - 10}{h} = \lim_{h \to 0} (9 + 2h) = 9\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 평균변화율 \(\dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = 7\)과 미분계수의 정의 \(f'(3) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(3+h) - f(3)}{h}\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f(4) = 33 + 4a\), \(f(1) = 3 + a\)이므로 \(\dfrac{30 + 3a}{3} = 10 + a = 7\)에서 \(a = -3\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\)이므로 \(f'(3) = \lim_{h \to 0} \dfrac{2(3+h)^2 - 3(3+h) + 1 - 10}{h} = \lim_{h \to 0} (9 + 2h) = 9\)이다. 3점
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평균변화율 계산 시 분모가 \(4 - 1 = 3\)임을 정확히 나누어 일차방정식을 세우세요.
[8-1] \(a = -3\) | [8-2] \(f'(3) = 9\)
【문제 9】 원문 요약 — 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식과 절편 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] 곡선 \(y = x^3 - 4x^2 + 5x + 1\) 위의 점 \(\mathrm{A}(2, 3)\)에서의 접선을 \(l\)이라 할 때, 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 점 \(\mathrm{A}(2, 3)\)에서의 접선 \(l\)의 기울기와 접선의 방정식을 구하시오.
[9-2] (5점) 접선 \(l\)과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 9 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x + 1\)에 대하여 점 \((2, 3)\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(2)\)이고 접선은 \(y - 3 = f'(2)(x - 2)\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 - 8x + 5\)이므로 \(f'(2) = 12 - 16 + 5 = 1\)이고, 접선의 방정식은 \(y = x + 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 접선 \(y = x + 1\)의 \(x\)절편은 \(-1\), \(y\)절편은 \(1\)이므로 삼각형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times |-1| \times 1 = \dfrac{1}{2}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x + 1\)에 대하여 점 \((2, 3)\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(2)\)이고 접선은 \(y - 3 = f'(2)(x - 2)\)임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f'(x) = 3x^2 - 8x + 5\)이므로 \(f'(2) = 12 - 16 + 5 = 1\)이고, 접선의 방정식은 \(y = x + 1\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 접선 \(y = x + 1\)의 \(x\)절편은 \(-1\), \(y\)절편은 \(1\)이므로 삼각형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times |-1| \times 1 = \dfrac{1}{2}\)이다. 3점
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삼각형의 넓이를 구할 때 음수인 \(x\)절편에는 반드시 절댓값을 취하여 밑변의 길이를 양수로 계산하세요.
[9-1] 기울기 \(1\), 접선 \(y = x + 1\) | [9-2] 넓이 \(\dfrac{1}{2}\)
【문제 10】 원문 요약 — 다항함수의 부정적분과 함숫값의 차 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01] 다항함수 \(f(x)\)의 도함수가 \(f'(x) = -3x^2 + 8x - 3\)이고 \(f(1) = 4\)일 때, 다음을 구하시오.
[10-1] (5점) 부정적분을 이용하여 함수 \(f(x)\)를 구하시오.
[10-2] (5점) \(f(2) - f(0)\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 10 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 부정적분의 성질 \(f(x) = \int (-3x^2 + 8x - 3)\,dx = -x^3 + 4x^2 - 3x + C\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(1) = -1 + 4 - 3 + C = 4\)에서 적분상수 \(C = 4\)이므로 \(f(x) = -x^3 + 4x^2 - 3x + 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(2) = -8 + 16 - 6 + 4 = 6\)이고 \(f(0) = 4\)이므로 \(f(2) - f(0) = 6 - 4 = 2\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 부정적분의 성질 \(f(x) = \int (-3x^2 + 8x - 3)\,dx = -x^3 + 4x^2 - 3x + C\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f(1) = -1 + 4 - 3 + C = 4\)에서 적분상수 \(C = 4\)이므로 \(f(x) = -x^3 + 4x^2 - 3x + 4\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(f(2) = -8 + 16 - 6 + 4 = 6\)이고 \(f(0) = 4\)이므로 \(f(2) - f(0) = 6 - 4 = 2\)이다. 3점
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\(f(2) - f(0)\)은 적분상수 \(C\)와 무관하게 \(\int_0^2 f'(x)\,dx = 2\)로도 검산할 수 있습니다.
[10-1] \(f(x) = -x^3 + 4x^2 - 3x + 4\) | [10-2] \(2\)
【문제 1】 원문 요약 — 거듭제곱의 나눗셈과 음수 거듭제곱근의 혼합 계산 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] \(0\)이 아닌 두 실수 \(x, y\)에 대하여 식 \(\left(-2x^2 y^3\right)^3 \div \left(4x^4 y^5\right) = A x^p y^q\)라 할 때, 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) 상수 \(A\)와 지수 \(p, q\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (5점) \(\sqrt[3]{-27} + \sqrt[4]{16} + A + p + q\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 1 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 지수법칙 \((ab)^n = a^n b^n\), \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) 및 거듭제곱근의 정의를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(-8x^6 y^9 \div (4x^4 y^5) = -2 x^{6-4} y^{9-5} = -2 x^2 y^4\)이므로 \(A = -2,\; p = 2,\; q = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\sqrt[3]{-27} = -3,\; \sqrt[4]{16} = 2\)이므로 구하는 합은 \(-3 + 2 + (-2) + 2 + 4 = 3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 지수법칙 \((ab)^n = a^n b^n\), \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) 및 거듭제곱근의 정의를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(-8x^6 y^9 \div (4x^4 y^5) = -2 x^{6-4} y^{9-5} = -2 x^2 y^4\)이므로 \(A = -2,\; p = 2,\; q = 4\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(\sqrt[3]{-27} = -3,\; \sqrt[4]{16} = 2\)이므로 구하는 합은 \(-3 + 2 + (-2) + 2 + 4 = 3\)이다. 3점
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음수 \(-2\)를 세제곱하면 \(-8\)이 되어 부호가 음수로 유지됨에 주의하세요.
[1-1] \(A = -2,\; p = 2,\; q = 4\) | [1-2] \(3\)
【문제 2】 원문 요약 — 로그의 성질과 밑변환을 이용한 로그식의 연산 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-04] 로그의 성질을 이용하여 다음 두 식의 값을 각각 구하시오.
[2-1] (5점) \(A = \log_3 54 + \log_3 \dfrac{1}{2} - 2\log_3 \sqrt{3}\)의 값을 구하시오.
[2-2] (5점) \(B = \left(\log_2 9\right)\left(\log_3 16\right)\)의 값을 구하고, \(A + B\)를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 2 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 로그의 성질 \(\log_a M + \log_a N = \log_a(MN)\), \(\log_a a^k = k\) 및 밑변환 공식 \(\log_a b = \dfrac{\log c}{\log a}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A = \log_3\left(54 \times \dfrac{1}{2}\right) - \log_3 3 = \log_3 27 - 1 = 3 - 1 = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(B = 2\log_2 3 \times 4\log_3 2 = 8 \times 1 = 8\)이므로 \(A + B = 2 + 8 = 10\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 로그의 성질 \(\log_a M + \log_a N = \log_a(MN)\), \(\log_a a^k = k\) 및 밑변환 공식 \(\log_a b = \dfrac{\log c}{\log a}\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(A = \log_3\left(54 \times \dfrac{1}{2}\right) - \log_3 3 = \log_3 27 - 1 = 3 - 1 = 2\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(B = 2\log_2 3 \times 4\log_3 2 = 8 \times 1 = 8\)이므로 \(A + B = 2 + 8 = 10\)이다. 3점
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\(\log_2 9 = 2\log_2 3\)이고 \(\log_3 16 = 4\log_3 2\)로 고치면 \(\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1\)이 되어 바로 약분됩니다.
[2-1] \(A = 2\) | [2-2] \(B = 8,\; A + B = 10\)
【문제 3】 원문 요약 — 로그함수의 단조성을 이용한 세 수의 대소 비교 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] 세 실수 \(A = 2\log_3 4\), \(B = \log_3 15\), \(C = 3\log_3 \sqrt[3]{17}\)에 대하여 다음을 구하시오.
[3-1] (5점) 세 수 \(A, B, C\)를 각각 \(\log_3 N\) 꼴로 나타내어 진수 \(N\)의 값을 비교하시오.
[3-2] (5점) 함수 \(y = \log_3 x\)의 증감 성질을 이용하여 세 수 \(A, B, C\)의 대소 관계를 부등호로 나타내시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 3 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 로그의 성질 \(k\log_a M = \log_a M^k\)와 밑이 \(3 \gt 1\)인 로그함수 \(y = \log_3 x\)는 증가함수임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A = \log_3 4^2 = \log_3 16\), \(B = \log_3 15\), \(C = \log_3 (\sqrt[3]{17})^3 = \log_3 17\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 밑 \(3 \gt 1\)이고 진수가 \(15 \lt 16 \lt 17\)이므로 \(B \lt A \lt C\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 로그의 성질 \(k\log_a M = \log_a M^k\)와 밑이 \(3 \gt 1\)인 로그함수 \(y = \log_3 x\)는 증가함수임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(A = \log_3 4^2 = \log_3 16\), \(B = \log_3 15\), \(C = \log_3 (\sqrt[3]{17})^3 = \log_3 17\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 밑 \(3 \gt 1\)이고 진수가 \(15 \lt 16 \lt 17\)이므로 \(B \lt A \lt C\)이다. 3점
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대소 비교 문항에서는 '밑이 \(3 \gt 1\)이므로 증가함수이다'라는 한 줄 근거가 채점의 핵심입니다.
[3-1] \(A = \log_3 16,\; B = \log_3 15,\; C = \log_3 17\) | [3-2] \(B \lt A \lt C\)
【문제 4】 원문 요약 — 동경 위의 점의 좌표와 삼각함수의 정의 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.11 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-01] 좌표평면에서 원점 \(\mathrm{O}\)와 점 \(\mathrm{P}(-5, 12)\)를 지나는 동경 \(\mathrm{OP}\)가 나타내는 각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 선분 \(\mathrm{OP}\)의 길이 \(r\)를 구하고, \(\sin\theta,\; \cos\theta,\; \tan\theta\)의 값을 각각 구하시오.
[4-2] (5점) \(13(\sin\theta - \cos\theta) + 5\tan\theta\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 4 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)에 대하여 삼각함수의 정의 \(\sin\theta = \dfrac{y}{r},\; \cos\theta = \dfrac{x}{r},\; \tan\theta = \dfrac{y}{x}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(r = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = 13\)이므로 \(\sin\theta = \dfrac{12}{13},\; \cos\theta = -\dfrac{5}{13},\; \tan\theta = -\dfrac{12}{5}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(13\left(\dfrac{12}{13} - \left(-\dfrac{5}{13}\right)\right) + 5\left(-\dfrac{12}{5}\right) = 17 - 12 = 5\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)에 대하여 삼각함수의 정의 \(\sin\theta = \dfrac{y}{r},\; \cos\theta = \dfrac{x}{r},\; \tan\theta = \dfrac{y}{x}\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(r = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = 13\)이므로 \(\sin\theta = \dfrac{12}{13},\; \cos\theta = -\dfrac{5}{13},\; \tan\theta = -\dfrac{12}{5}\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(13\left(\dfrac{12}{13} - \left(-\dfrac{5}{13}\right)\right) + 5\left(-\dfrac{12}{5}\right) = 17 - 12 = 5\)이다. 3점
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점 \(\mathrm{P}(-5, 12)\)의 \(x\)좌표가 음수이므로 \(\cos\theta\)와 \(\tan\theta\)는 음수가 됩니다.
[4-1] \(r = 13,\; \sin\theta = \dfrac{12}{13},\; \cos\theta = -\dfrac{5}{13},\; \tan\theta = -\dfrac{12}{5}\) | [4-2] \(5\)
【문제 5】 원문 요약 — 수학적 귀납법을 이용한 수열의 합 등식 증명과 계산 [배점 10점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-07] 모든 자연수 \(n\)에 대하여 등식 \(1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + \cdots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\;\cdots(*)\)가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하고자 한다.
[5-1] (5점) \(n = k\)일 때 등식 \((*)\)가 성립한다고 가정할 때, 좌변에 \((k+1)(k+2)\)를 더한 식을 인수분해하여 \(n = k+1\)일 때 성립함을 유도하시오.
[5-2] (5점) 위 등식을 이용하여 \(\sum_{k=1}^{9} k(k+1)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 5 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 수학적 귀납법의 원리(\(n=1\) 확인 및 \(n=k \implies n=k+1\) 유도)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)\left(\dfrac{k}{3} + 1\right) = \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\)이므로 \(n=k+1\)일 때도 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(n = 9\)를 대입하면 \(\sum_{k=1}^{9} k(k+1) = \dfrac{9 \times 10 \times 11}{3} = 330\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 수학적 귀납법의 원리(\(n=1\) 확인 및 \(n=k \implies n=k+1\) 유도)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)\left(\dfrac{k}{3} + 1\right) = \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\)이므로 \(n=k+1\)일 때도 성립한다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(n = 9\)를 대입하면 \(\sum_{k=1}^{9} k(k+1) = \dfrac{9 \times 10 \times 11}{3} = 330\)이다. 3점
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귀납 단계에서 우변을 전개하지 않고 공통인수 \((k+1)(k+2)\)로 묶어내면 바로 증명이 완성됩니다.
[5-1] \(\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\) | [5-2] \(330\)
【문제 6】 원문 요약 — 함수의 극한에 대한 성질을 이용한 식의 극한값 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.12 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 \(\lim_{x \to 1} f(x) = 4\), \(\lim_{x \to 1} \{2f(x) - g(x)\} = 5\)를 만족시킬 때, 극한에 대한 성질을 이용하여 다음을 구하시오.
[6-1] (5점) 극한값 \(\lim_{x \to 1} g(x)\)를 구하시오.
[6-2] (5점) 극한값 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{3f(x) + 2g(x)}{f(x)g(x) - 6}\)을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 6 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 수렴하는 두 함수의 극한에 대한 성질(합·차·곱·몫의 극한 법칙)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(h(x) = 2f(x) - g(x)\)라 하면 \(g(x) = 2f(x) - h(x)\)이므로 \(\lim_{x \to 1} g(x) = 2(4) - 5 = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 분모의 극한은 \(4 \times 3 - 6 = 6 \ne 0\)이므로 구하는 극한값은 \(\dfrac{3(4) + 2(3)}{12 - 6} = \dfrac{18}{6} = 3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 수렴하는 두 함수의 극한에 대한 성질(합·차·곱·몫의 극한 법칙)을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(h(x) = 2f(x) - g(x)\)라 하면 \(g(x) = 2f(x) - h(x)\)이므로 \(\lim_{x \to 1} g(x) = 2(4) - 5 = 3\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 분모의 극한은 \(4 \times 3 - 6 = 6 \ne 0\)이므로 구하는 극한값은 \(\dfrac{3(4) + 2(3)}{12 - 6} = \dfrac{18}{6} = 3\)이다. 3점
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분모의 극한값이 \(6 \ne 0\)임을 확인해야 몫의 극한 성질을 적용할 수 있습니다.
[6-1] \(\lim_{x \to 1} g(x) = 3\) | [6-2] \(3\)
【문제 7】 원문 요약 — 실수 전체의 집합에서 연속이 되기 위한 두 미정계수 결정 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03] 함수 \(f(x) = \begin{cases} x + a & (x \lt -1) \\ x^2 + 2x & (-1 \le x \lt 2) \\ bx - 2 & (x \ge 2) \end{cases}\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 다음을 구하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)
[7-1] (5점) \(x = -1\)에서의 연속 조건을 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[7-2] (5점) \(x = 2\)에서의 연속 조건을 이용하여 상수 \(b\)의 값을 구하고, \(a + b\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 7 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 구간별 다항함수가 실수 전체에서 연속이려면 경계점 \(x = -1\)과 \(x = 2\)에서 각각 좌극한과 우극한, 함숫값이 같아야 함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = -1\)에서 \(\lim_{x \to -1-} (x + a) = -1 + a\)이고 \(f(-1) = 1 - 2 = -1\)이므로 \(-1 + a = -1 \implies a = 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(x = 2\)에서 \(\lim_{x \to 2-} (x^2 + 2x) = 8\)이고 \(f(2) = 2b - 2\)이므로 \(2b - 2 = 8 \implies b = 5\)이며, \(a + b = 5\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 구간별 다항함수가 실수 전체에서 연속이려면 경계점 \(x = -1\)과 \(x = 2\)에서 각각 좌극한과 우극한, 함숫값이 같아야 함을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x = -1\)에서 \(\lim_{x \to -1-} (x + a) = -1 + a\)이고 \(f(-1) = 1 - 2 = -1\)이므로 \(-1 + a = -1 \implies a = 0\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(x = 2\)에서 \(\lim_{x \to 2-} (x^2 + 2x) = 8\)이고 \(f(2) = 2b - 2\)이므로 \(2b - 2 = 8 \implies b = 5\)이며, \(a + b = 5\)이다. 3점
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각 구간의 경계값 \(x = -1\)과 \(x = 2\)에서 좌극한과 우극한에 사용되는 식을 정확히 구분하세요.
[7-1] \(a = 0\) | [7-2] \(b = 5,\; a + b = 5\)
【문제 8】 원문 요약 — 접선의 기울기와 미분계수 조건을 이용한 계수 결정 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05] 곡선 \(y = x^3 + ax^2 + bx + 1\) 위의 점 \((1, 4)\)에서의 접선의 기울기가 \(6\)일 때, 다음을 구하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)
[8-1] (5점) 곡선이 점 \((1, 4)\)를 지난다는 조건과 접선의 기울기 조건으로부터 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[8-2] (5점) 이 곡선 위의 \(x = -1\)인 점에서의 접선의 기울기를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 8 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1\)이라 할 때 \(f(1) = 4\)이고 접선의 기울기 \(f'(1) = 6\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(1) = 2 + a + b = 4 \implies a + b = 2\)이고, \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\)에서 \(f'(1) = 3 + 2a + b = 6 \implies 2a + b = 3\)이므로 \(a = 1,\; b = 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f'(x) = 3x^2 + 2x + 1\)이므로 \(x = -1\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(-1) = 3 - 2 + 1 = 2\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1\)이라 할 때 \(f(1) = 4\)이고 접선의 기울기 \(f'(1) = 6\)임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f(1) = 2 + a + b = 4 \implies a + b = 2\)이고, \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\)에서 \(f'(1) = 3 + 2a + b = 6 \implies 2a + b = 3\)이므로 \(a = 1,\; b = 1\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(f'(x) = 3x^2 + 2x + 1\)이므로 \(x = -1\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(-1) = 3 - 2 + 1 = 2\)이다. 3점
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'곡선 위의 점 \((1, 4)\)에서의 접선의 기울기가 \(6\)'이라는 문장에는 \(f(1)=4\)와 \(f'(1)=6\) 두 가지 조건이 들어 있습니다.
[8-1] \(a = 1,\; b = 1\) | [8-2] \(2\)
【문제 9】 원문 요약 — 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] 삼차함수 \(f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 5\)에 대하여 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 함수 \(f(x)\)가 증가하는 닫힌구간을 구하시오.
[9-2] (5점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)을 각각 구하고, \(M - m\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 9 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = -3x^2 + 12x - 9 = -3(x - 1)(x - 3)\)의 부호 변화로 증감과 극값을 판정함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(1 \le x \le 3\)에서 \(f'(x) \ge 0\)이므로 증가하는 구간은 \([1, 3]\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(x = 3\)에서 극댓값 \(M = f(3) = -27 + 54 - 27 + 5 = 5\), \(x = 1\)에서 극솟값 \(m = f(1) = -1 + 6 - 9 + 5 = 1\)이므로 \(M - m = 4\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 도함수 \(f'(x) = -3x^2 + 12x - 9 = -3(x - 1)(x - 3)\)의 부호 변화로 증감과 극값을 판정함을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(1 \le x \le 3\)에서 \(f'(x) \ge 0\)이므로 증가하는 구간은 \([1, 3]\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(x = 3\)에서 극댓값 \(M = f(3) = -27 + 54 - 27 + 5 = 5\), \(x = 1\)에서 극솟값 \(m = f(1) = -1 + 6 - 9 + 5 = 1\)이므로 \(M - m = 4\)이다. 3점
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최고차항의 계수가 음수(\(-1\))이므로 \(x = 1\)에서 극소, \(x = 3\)에서 극대가 됨에 주의하세요.
[9-1] \(f'(x) = -3(x - 1)(x - 3)\), 증가구간 \([1, 3]\) | [9-2] \(M = 5,\; m = 1,\; M - m = 4\)
【문제 10】 원문 요약 — 정적분의 기본 정리와 정적분 계산 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03] 다항함수의 정적분의 정의를 이용하여 다음 두 정적분의 값을 구하시오.
[10-1] (5점) \(I_1 = \int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 1)\,dx\)의 값을 구하시오.
[10-2] (5점) \(I_2 = \int_{-1}^{2} (2x + 1)(x - 2)\,dx\)의 값을 구하고, \(I_1 + 2I_2\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 10 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(F'(x) = f(x)\)일 때 \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(I_1 = \left[x^3 - 2x^2 + x\right]_{1}^{3} = (27 - 18 + 3) - (1 - 2 + 1) = 12\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(I_2 = \int_{-1}^{2} (2x^2 - 3x - 2)\,dx = \left[\dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 - 2x\right]_{-1}^{2} = -\dfrac{9}{2}\)이므로 \(I_1 + 2I_2 = 12 - 9 = 3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(F'(x) = f(x)\)일 때 \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(I_1 = \left[x^3 - 2x^2 + x\right]_{1}^{3} = (27 - 18 + 3) - (1 - 2 + 1) = 12\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(I_2 = \int_{-1}^{2} (2x^2 - 3x - 2)\,dx = \left[\dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 - 2x\right]_{-1}^{2} = -\dfrac{9}{2}\)이므로 \(I_1 + 2I_2 = 12 - 9 = 3\)이다. 3점
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곱의 꼴 \((2x+1)(x-2)\)는 먼저 \(2x^2 - 3x - 2\)로 전개한 뒤 항별로 적분해야 합니다.
[10-1] \(I_1 = 12\) | [10-2] \(I_2 = -\dfrac{9}{2},\; I_1 + 2I_2 = 3\)
【문제 1】 원문 요약 — 거듭제곱근의 곱셈·나눗셈과 거듭제곱근의 성질 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03] 거듭제곱근의 성질을 이용하여 다음 두 실수 \(X, Y\)의 값을 구하시오.
[1-1] (5점) \(X = \sqrt[4]{3} \times \sqrt[4]{27} + \dfrac{\sqrt[5]{64}}{\sqrt[5]{2}}\)의 값을 구하시오.
[1-2] (5점) \(Y = \sqrt{\sqrt[3]{729}} + \left(\sqrt[6]{64}\right)^3\)의 값을 구하고, \(X \times Y\)를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 1 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 거듭제곱근의 성질 \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\), \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\), \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(X = \sqrt[4]{81} + \sqrt[5]{32} = 3 + 2 = 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(Y = \sqrt[6]{3^6} + \left(\sqrt[6]{2^6}\right)^3 = 3 + 2^3 = 3 + 8 = 11\)이므로 \(X \times Y = 55\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 거듭제곱근의 성질 \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\), \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\), \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(X = \sqrt[4]{81} + \sqrt[5]{32} = 3 + 2 = 5\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(Y = \sqrt[6]{3^6} + \left(\sqrt[6]{2^6}\right)^3 = 3 + 2^3 = 3 + 8 = 11\)이므로 \(X \times Y = 55\)이다. 3점
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\(\sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2\)로 먼저 간단히 한 뒤 세제곱하면 \(2^3 = 8\)을 즉시 얻을 수 있습니다.
[1-1] \(X = 5\) | [1-2] \(Y = 11,\; X \times Y = 55\)
【문제 2】 원문 요약 — 상용로그의 정수부분과 소수부분의 성질 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.23 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05] \(\log 3.14 = 0.4969\)일 때, 상용로그의 성질을 이용하여 다음을 구하시오.
[2-1] (5점) \(\log 314\)의 정수부분 \(n\)과 소수부분 \(\alpha\)를 각각 구하시오. (단, \(0 \le \alpha \lt 1\))
[2-2] (5점) \(\log 0.00314\)의 정수부분 \(m\)과 소수부분 \(\beta\)를 각각 구하시오. (단, \(0 \le \beta \lt 1\))
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 2 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 임의의 양수 \(N\)에 대하여 \(\log N = n + \alpha\) (\(n\)은 정수, \(0 \le \alpha \lt 1\))로 유일하게 표현됨을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log 314 = \log(3.14 \times 10^2) = 2 + 0.4969\)이므로 \(n = 2,\; \alpha = 0.4969\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\log 0.00314 = \log(3.14 \times 10^{-3}) = -3 + 0.4969\)이므로 \(m = -3,\; \beta = 0.4969\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 임의의 양수 \(N\)에 대하여 \(\log N = n + \alpha\) (\(n\)은 정수, \(0 \le \alpha \lt 1\))로 유일하게 표현됨을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\log 314 = \log(3.14 \times 10^2) = 2 + 0.4969\)이므로 \(n = 2,\; \alpha = 0.4969\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(\log 0.00314 = \log(3.14 \times 10^{-3}) = -3 + 0.4969\)이므로 \(m = -3,\; \beta = 0.4969\)이다. 3점
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소수부분 \(\beta\)는 항상 \(0 \le \beta \lt 1\)이어야 하므로 음수로 쓰지 않도록 주의하세요.
[2-1] \(n = 2,\; \alpha = 0.4969\) | [2-2] \(m = -3,\; \beta = 0.4969\)
【문제 3】 원문 요약 — 닫힌구간에서 밑이 0과 1 사이인 로그함수의 최대·최소 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] 닫힌구간 \([1, 13]\)에서 정의된 로그함수 \(f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x + 3) + 5\)에 대하여 다음을 구하시오.
[3-1] (5점) 함수 \(f(x)\)의 증가·감소를 판정하고, 닫힌구간 \([1, 13]\)에서 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.
[3-2] (5점) \(M^2 + m^2\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 3 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 밑이 \(\dfrac{1}{2} \in (0, 1)\)이므로 로그함수 \(f(x)\)는 정의역에서 감소함수임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 1\)에서 최댓값 \(M = \log_{\frac{1}{2}} 4 + 5 = -2 + 5 = 3\)이고, \(x = 13\)에서 최솟값 \(m = \log_{\frac{1}{2}} 16 + 5 = -4 + 5 = 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(M^2 + m^2 = 3^2 + 1^2 = 10\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 밑이 \(\dfrac{1}{2} \in (0, 1)\)이므로 로그함수 \(f(x)\)는 정의역에서 감소함수임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x = 1\)에서 최댓값 \(M = \log_{\frac{1}{2}} 4 + 5 = -2 + 5 = 3\)이고, \(x = 13\)에서 최솟값 \(m = \log_{\frac{1}{2}} 16 + 5 = -4 + 5 = 1\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(M^2 + m^2 = 3^2 + 1^2 = 10\)이다. 3점
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밑이 \(\dfrac{1}{2}\)이므로 \(x\)가 가장 작을 때(\(x = 1\)) 함숫값이 최대가 됩니다.
[3-1] 감소함수, \(M = 3,\; m = 1\) | [3-2] \(10\)
【문제 4】 원문 요약 — 삼각함수의 그래프의 평행이동과 최댓값·최솟값·주기 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.18 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-02] 삼각함수 \(f(x) = -4\cos\left(3x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 2\)에 대하여 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 함수 \(f(x)\)의 주기 \(T\)와 최댓값 \(M\), 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.
[4-2] (5점) \(\dfrac{3T}{\pi} + M - m\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 4 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x) = A\cos(Bx + C) + D\)의 주기는 \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\), 최댓값은 \(|A| + D\), 최솟값은 \(-|A| + D\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(T = \dfrac{2\pi}{3}\)이고, \(|-4| = 4\)이므로 \(M = 4 + 2 = 6\), \(m = -4 + 2 = -2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\dfrac{3T}{\pi} + M - m = 2 + 6 - (-2) = 10\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(f(x) = A\cos(Bx + C) + D\)의 주기는 \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\), 최댓값은 \(|A| + D\), 최솟값은 \(-|A| + D\)임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(T = \dfrac{2\pi}{3}\)이고, \(|-4| = 4\)이므로 \(M = 4 + 2 = 6\), \(m = -4 + 2 = -2\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(\dfrac{3T}{\pi} + M - m = 2 + 6 - (-2) = 10\)이다. 3점
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계수가 음수인 \(-4\)일 때도 진폭은 절댓값인 \(|-4| = 4\)를 사용하여 최댓값과 최솟값을 구합니다.
[4-1] \(T = \dfrac{2\pi}{3},\; M = 6,\; m = -2\) | [4-2] \(10\)
【문제 5】 원문 요약 — 수학적 귀납법을 이용한 부등식의 증명 [배점 10점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07] \(h \gt 0\)일 때, \(n \ge 2\)인 모든 자연수 \(n\)에 대하여 부등식 \((1 + h)^n \gt 1 + nh\;\cdots(*)\)가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하고자 한다.
[5-1] (5점) \(n = 2\)일 때 좌변에서 우변을 뺀 값을 구하여 부등식 \((*)\)가 성립함을 확인하시오.
[5-2] (5점) \(n = k\;(k \ge 2)\)일 때 성립한다고 가정할 때, \((1 + h)^{k+1} \gt (1 + kh)(1 + h)\)를 전개하여 \(1 + (k+1)h\)와의 차를 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 5 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 양수 \(h \gt 0\)에서 \(1 + h \gt 0\)이므로 부등식의 양변에 \(1 + h\)를 곱해도 부등호 방향이 유지됨을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(n = 2\)일 때 \((1 + h)^2 - (1 + 2h) = h^2 \gt 0\)이므로 부등식이 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \((1 + h)^{k+1} \gt (1 + kh)(1 + h) = 1 + (k + 1)h + kh^2 \gt 1 + (k + 1)h\) (\(\because kh^2 \gt 0\))이므로 \(n = k+1\)일 때도 성립한다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 양수 \(h \gt 0\)에서 \(1 + h \gt 0\)이므로 부등식의 양변에 \(1 + h\)를 곱해도 부등호 방향이 유지됨을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(n = 2\)일 때 \((1 + h)^2 - (1 + 2h) = h^2 \gt 0\)이므로 부등식이 성립한다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \((1 + h)^{k+1} \gt (1 + kh)(1 + h) = 1 + (k + 1)h + kh^2 \gt 1 + (k + 1)h\) (\(\because kh^2 \gt 0\))이므로 \(n = k+1\)일 때도 성립한다. 3점
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부등식의 귀납 증명에서는 바로 구하려는 우변과 비교하지 말고 중간식 \(1 + (k+1)h + kh^2\)와의 대소를 보여야 합니다.
[5-1] \((1+h)^2 - (1+2h) = h^2 \gt 0\) | [5-2] \((1+kh)(1+h) - \{1+(k+1)h\} = kh^2 \gt 0\)
【문제 6】 원문 요약 — 무한대로 가는 유리식의 극한과 미정계수 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 문제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] \(x \to \infty\)일 때의 유리식의 극한에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (5점) 극한 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{6x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5x - 4}\)의 값을 구하시오.
[6-2] (5점) 등식 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{ax^3 + bx^2 + 4x - 1}{3x^2 - 2x + 5} = 4\)가 성립하도록 하는 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 6 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 꼴 극한에서 분모의 최고차항으로 분자·분모를 나누는 법칙과 수렴 조건(분자 차수 \(\le\) 분모 차수)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 분자·분모를 \(x^2\)으로 나누면 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{6 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^2}} = \dfrac{6}{2} = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 극한값이 \(4\;( \ne 0)\)로 수렴하므로 삼차항 계수 \(a = 0\)이고, 이차항 계수비 \(\dfrac{b}{3} = 4\)에서 \(b = 12\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 꼴 극한에서 분모의 최고차항으로 분자·분모를 나누는 법칙과 수렴 조건(분자 차수 \(\le\) 분모 차수)을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) 분자·분모를 \(x^2\)으로 나누면 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{6 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^2}} = \dfrac{6}{2} = 3\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 극한값이 \(4\;( \ne 0)\)로 수렴하므로 삼차항 계수 \(a = 0\)이고, 이차항 계수비 \(\dfrac{b}{3} = 4\)에서 \(b = 12\)이다. 3점
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분모가 이차식인데 분자에 삼차항이 남아 있으면 발산하므로 반드시 \(a = 0\)이어야 합니다.
[6-1] \(3\) | [6-2] \(a = 0,\; b = 12\)
【문제 7】 원문 요약 — 도함수의 정의를 이용한 이차함수의 도함수 유도 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.13 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03] 이차함수 \(f(x) = 3x^2 - 2x + 5\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (5점) 도함수의 정의 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\)를 이용하여 \(f'(x)\)를 구하는 과정을 서술하시오.
[7-2] (5점) \(f'(a) = 16\)을 만족시키는 실수 \(a\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 7 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수의 정의 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x+h) - f(x) = 3(x+h)^2 - 2(x+h) + 5 - (3x^2 - 2x + 5) = 6xh + 3h^2 - 2h\)이므로 \(h\)로 나누어 극한을 취하면 \(f'(x) = 6x - 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f'(a) = 6a - 2 = 16\)에서 \(6a = 18\)이므로 \(a = 3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 도함수의 정의 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f(x+h) - f(x) = 3(x+h)^2 - 2(x+h) + 5 - (3x^2 - 2x + 5) = 6xh + 3h^2 - 2h\)이므로 \(h\)로 나누어 극한을 취하면 \(f'(x) = 6x - 2\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(f'(a) = 6a - 2 = 16\)에서 \(6a = 18\)이므로 \(a = 3\)이다. 3점
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'도함수의 정의를 이용하시오'라는 조건이 있을 때는 공식으로 바로 미분하지 말고 극한식을 꼭 적어야 합니다.
[7-1] \(f'(x) = 6x - 2\) | [7-2] \(a = 3\)
【문제 8】 원문 요약 — 삼차함수에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 결정 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x + 2\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 평균값 정리를 적용하고자 한다.
[8-1] (5점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 평균변화율을 구하시오.
[8-2] (5점) 열린구간 \((0, 3)\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 8 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 다항함수 \(f(x)\)는 \([0, 3]\)에서 연속이고 \((0, 3)\)에서 미분가능하므로 평균값 정리 \(f'(c) = \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0}\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(3) = 27 - 9 + 2 = 20\), \(f(0) = 2\)이므로 평균변화율은 \(\dfrac{20 - 2}{3} = 6\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f'(c) = 3c^2 - 3 = 6\)에서 \(c^2 = 3\)이고, \(c \in (0, 3)\)이므로 \(c = \sqrt{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 다항함수 \(f(x)\)는 \([0, 3]\)에서 연속이고 \((0, 3)\)에서 미분가능하므로 평균값 정리 \(f'(c) = \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0}\)을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f(3) = 27 - 9 + 2 = 20\), \(f(0) = 2\)이므로 평균변화율은 \(\dfrac{20 - 2}{3} = 6\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(f'(c) = 3c^2 - 3 = 6\)에서 \(c^2 = 3\)이고, \(c \in (0, 3)\)이므로 \(c = \sqrt{3}\)이다. 3점
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\(c = \pm\sqrt{3}\) 중 열린구간 \((0, 3)\)에 속하는 양수 \(c = \sqrt{3}\)만 답으로 선택해야 합니다.
[8-1] \(6\) | [8-2] \(c = \sqrt{3}\)
【문제 9】 원문 요약 — 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 조건 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 삼차방정식 \(x^3 - 3x^2 - 9x - k = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.
[9-2] (5점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = k\)가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 9 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 방정식 \(f(x) = k\)가 서로 다른 세 실근을 가질 필요충분조건은 \(y = k\)가 \(f(x)\)의 극솟값과 극댓값 사이에 위치하는 것임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0\)이므로 극댓값은 \(f(-1) = 5\), 극솟값은 \(f(3) = -27\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 구하는 실수 \(k\)의 값의 범위는 \(-27 \lt k \lt 5\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 방정식 \(f(x) = k\)가 서로 다른 세 실근을 가질 필요충분조건은 \(y = k\)가 \(f(x)\)의 극솟값과 극댓값 사이에 위치하는 것임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0\)이므로 극댓값은 \(f(-1) = 5\), 극솟값은 \(f(3) = -27\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 구하는 실수 \(k\)의 값의 범위는 \(-27 \lt k \lt 5\)이다. 3점
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서로 다른 세 실근을 가져야 하므로 경계값 \(k = -27,\; 5\)에서는 등호가 빠집니다.
[9-1] 극댓값 \(5\), 극솟값 \(-27\) | [9-2] \(-27 \lt k \lt 5\)
【문제 10】 원문 요약 — 삼차곡선과 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 삼차함수 \(y = x^3 - 3x^2 + 2x\)의 그래프와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하고자 한다.
[10-1] (5점) 곡선과 \(x\)축의 교점의 \(x\)좌표를 모두 구하고, 각 구간에서 \(y\)의 부호를 판정하시오.
[10-2] (5점) 구간을 나누어 정적분을 계산함으로써 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 10 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 곡선과 \(x\)축 사이의 넓이는 \(S = \int_{\alpha}^{\gamma} |f(x)|\,dx\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x(x - 1)(x - 2) = 0\)에서 교점은 \(0, 1, 2\)이고, \([0, 1]\)에서 \(y \ge 0\), \([1, 2]\)에서 \(y \le 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2x)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{4}\)이고 대칭성에 의해 \(\int_{1}^{2} -(x^3 - 3x^2 + 2x)\,dx = \dfrac{1}{4}\)이므로 \(S = \dfrac{1}{2}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 곡선과 \(x\)축 사이의 넓이는 \(S = \int_{\alpha}^{\gamma} |f(x)|\,dx\)임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x(x - 1)(x - 2) = 0\)에서 교점은 \(0, 1, 2\)이고, \([0, 1]\)에서 \(y \ge 0\), \([1, 2]\)에서 \(y \le 0\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(\int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2x)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{4}\)이고 대칭성에 의해 \(\int_{1}^{2} -(x^3 - 3x^2 + 2x)\,dx = \dfrac{1}{4}\)이므로 \(S = \dfrac{1}{2}\)이다. 3점
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그냥 \(\int_0^2 (x^3 - 3x^2 + 2x)\,dx\)를 계산하면 부호가 상쇄되어 \(0\)이 되므로 반드시 절댓값을 씌워 구간을 분리하세요.
[10-1] 교점 \(x = 0, 1, 2\) / \([0,1]\) 양수, \([1,2]\) 음수 | [10-2] \(S = \dfrac{1}{2}\)
【문제 1】 원문 요약 — 0 또는 음의 정수 지수의 정의와 분수 지수식 계산 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.11 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-02] \(0\)이 아닌 실수의 \(0\)제곱과 음의 정수 지수의 정의를 이용하여 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) \(A = (\sqrt{5} - 2)^0 + 2^{-3} \times 16 - (-3)^{-2} \times 9\)의 값을 구하시오.
[1-2] (5점) \(\dfrac{4^{-2} + 4^{-3}}{2^{-5} + 2^{-7}}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 1 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(a \ne 0\)일 때 \(a^0 = 1\)이고 \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A = 1 + \dfrac{1}{8} \times 16 - \dfrac{1}{9} \times 9 = 1 + 2 - 1 = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(4^{-2} + 4^{-3} = 2^{-4} + 2^{-6} = 2\left(2^{-5} + 2^{-7}\right)\)이므로 분모로 약분하면 값은 \(2\)가 된다 (아래 정답 표기 \(2\)로 일치).
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(a \ne 0\)일 때 \(a^0 = 1\)이고 \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(A = 1 + \dfrac{1}{8} \times 16 - \dfrac{1}{9} \times 9 = 1 + 2 - 1 = 2\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(4^{-2} + 4^{-3} = 2^{-4} + 2^{-6} = 2\left(2^{-5} + 2^{-7}\right)\)이므로 분모로 약분하면 값은 \(2\)가 된다 (아래 정답 표기 \(2\)로 일치). 3점
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\(4^{-2} = (2^2)^{-2} = 2^{-4}\)와 같이 밑을 \(2\)로 통일한 뒤 가장 작은 지수 묶음으로 인수분해하면 약분이 쉽습니다.
[1-1] \(A = 2\) | [1-2] \(2\)
【문제 2】 원문 요약 — 로그방정식의 해법과 무연근 제거 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-08] 로그방정식 \(\log_3 (x - 1) + \log_3 (x + 5) = 3\)에 대하여 다음을 구하시오.
[2-1] (5점) 주어진 로그방정식의 진수 조건을 구하시오.
[2-2] (5점) 로그의 성질을 이용하여 방정식을 풀고, 진수 조건을 만족시키는 실근 \(x\)를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 2 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 진수 조건 \(x - 1 \gt 0,\; x + 5 \gt 0\)과 로그의 성질 \(\log_3\{(x-1)(x+5)\} = 3 \iff (x-1)(x+5) = 3^3\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 두 진수가 모두 양수여야 하므로 공통 범위는 \(x \gt 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(x^2 + 4x - 5 = 27 \implies x^2 + 4x - 32 = (x + 8)(x - 4) = 0\)이고, \(x \gt 1\)이므로 \(x = 4\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 진수 조건 \(x - 1 \gt 0,\; x + 5 \gt 0\)과 로그의 성질 \(\log_3\{(x-1)(x+5)\} = 3 \iff (x-1)(x+5) = 3^3\)을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) 두 진수가 모두 양수여야 하므로 공통 범위는 \(x \gt 1\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(x^2 + 4x - 5 = 27 \implies x^2 + 4x - 32 = (x + 8)(x - 4) = 0\)이고, \(x \gt 1\)이므로 \(x = 4\)이다. 3점
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이차방정식의 두 근 \(-8, 4\) 중 진수 조건 \(x \gt 1\)에 위배되는 \(x = -8\)을 반드시 제외해야 합니다.
[2-1] \(x \gt 1\) | [2-2] \(x = 4\)
【문제 3】 원문 요약 — 삼각방정식의 해와 대칭성을 이용한 근의 합 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 문제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-02] \(0 \le x \lt 2\pi\)일 때, 다음 삼각방정식에 대하여 물음에 답하시오.
[3-1] (5점) 방정식 \(2\cos x - \sqrt{3} = 0\)의 두 실근 \(\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)\)를 각각 구하시오.
[3-2] (5점) 방정식 \(2\sin^2 x - \cos x - 1 = 0\)의 모든 실근의 합을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 3 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인함수의 대칭성 \(\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta\)와 항등식 \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)에서 \(\alpha = \dfrac{\pi}{6},\; \beta = \dfrac{11\pi}{6}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(2(1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0 \implies (2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0\)에서 \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) (\(x = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}\)) 또는 \(\cos x = -1\) (\(x = \pi\))이므로 합은 \(3\pi\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 코사인함수의 대칭성 \(\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta\)와 항등식 \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)에서 \(\alpha = \dfrac{\pi}{6},\; \beta = \dfrac{11\pi}{6}\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(2(1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0 \implies (2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0\)에서 \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) (\(x = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}\)) 또는 \(\cos x = -1\) (\(x = \pi\))이므로 합은 \(3\pi\)이다. 3점
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\(\cos x = -1\)을 만족하는 \(x = \pi\)를 빠뜨리지 않도록 주의하세요.
[3-1] \(\alpha = \dfrac{\pi}{6},\; \beta = \dfrac{11\pi}{6}\) | [3-2] \(3\pi\)
【문제 4】 원문 요약 — 사인법칙을 이용한 삼각형의 변의 길이와 외접원의 넓이 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(A = \dfrac{\pi}{4}\), \(B = \dfrac{\pi}{3}\)이고 \(\overline{\mathrm{BC}} = a = 6\sqrt{2}\)일 때, 사인법칙을 이용하여 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이 \(R\)와 외접원의 넓이를 각각 구하시오.
[4-2] (5점) 변 \(\overline{\mathrm{AC}} = b\)의 길이를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 4 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = 2R\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2R = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sin\frac{\pi}{4}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12\)이므로 \(R = 6\)이고, 외접원의 넓이는 \(\pi R^2 = 36\pi\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(b = 2R\sin B = 12 \times \sin\dfrac{\pi}{3} = 12 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = 2R\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(2R = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sin\frac{\pi}{4}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12\)이므로 \(R = 6\)이고, 외접원의 넓이는 \(\pi R^2 = 36\pi\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(b = 2R\sin B = 12 \times \sin\dfrac{\pi}{3} = 12 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\)이다. 3점
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\(2R = 12\)를 바로 \(b = 2R\sin B\)에 대입하면 분수 계산 없이 \(b\)를 즉시 구할 수 있습니다.
[4-1] \(R = 6\), 외접원 넓이 \(36\pi\) | [4-2] \(b = 6\sqrt{3}\)
【문제 5】 원문 요약 — 수열의 귀납적 정의와 비례식을 이용한 항의 추론 [배점 10점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.2 생각 열기 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 1\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 귀납적 정의 \(a_{n+1} = \dfrac{n}{n + 2} a_n\)을 만족시킬 때, 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) \(a_2,\; a_3,\; a_4\)의 값을 각각 기약분수로 구하시오.
[5-2] (5점) 변변 곱하기를 이용하여 일반항 \(a_n\)을 구하고, \(a_{10}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 5 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 귀납적 정의 \(\dfrac{a_{k+1}}{a_k} = \dfrac{k}{k+2}\)를 \(k = 1\)부터 \(n-1\)까지 변변 곱하는 축차곱 법칙을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_2 = \dfrac{1}{3}\), \(a_3 = \dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\), \(a_4 = \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{10}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a_n = 1 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{4} \times \dfrac{3}{5} \times \cdots \times \dfrac{n-1}{n+1} = \dfrac{2}{n(n+1)}\)이므로 \(a_{10} = \dfrac{2}{10 \times 11} = \dfrac{1}{55}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 귀납적 정의 \(\dfrac{a_{k+1}}{a_k} = \dfrac{k}{k+2}\)를 \(k = 1\)부터 \(n-1\)까지 변변 곱하는 축차곱 법칙을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(a_2 = \dfrac{1}{3}\), \(a_3 = \dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\), \(a_4 = \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{10}\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(a_n = 1 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{4} \times \dfrac{3}{5} \times \cdots \times \dfrac{n-1}{n+1} = \dfrac{2}{n(n+1)}\)이므로 \(a_{10} = \dfrac{2}{10 \times 11} = \dfrac{1}{55}\)이다. 3점
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분자에는 \(1 \times 2\)가 남고 분모에는 \(n(n+1)\)이 남는 연쇄 소거 규칙을 확인하세요.
[5-1] \(a_2 = \dfrac{1}{3},\; a_3 = \dfrac{1}{6},\; a_4 = \dfrac{1}{10}\) | [5-2] \(a_n = \dfrac{2}{n(n+1)},\; a_{10} = \dfrac{1}{55}\)
【문제 6】 원문 요약 — 무리식의 부정형 극한에서 두 미정계수의 결정 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 문제 7 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 극한에 대한 성질에 의하여 등식 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + a} - 2}{x - 2} = b\)가 성립할 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 다음을 구하시오.
[6-1] (5점) \(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴함을 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[6-2] (5점) 분자를 유리화하여 상수 \(b\)의 값을 구하고, \(a + 16b\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 6 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 극한에 대한 성질에 의하여 \(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)이면 분자도 \(0\)이므로 \(\sqrt{2 + a} - 2 = 0\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\sqrt{2 + a} = 2\)에서 \(2 + a = 4\)이므로 \(a = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(b = \lim_{x \to 2} \dfrac{x - 2}{(x - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)} = \dfrac{1}{4}\)이므로 \(a + 16b = 2 + 4 = 6\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 극한에 대한 성질에 의하여 \(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)이면 분자도 \(0\)이므로 \(\sqrt{2 + a} - 2 = 0\)임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\sqrt{2 + a} = 2\)에서 \(2 + a = 4\)이므로 \(a = 2\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(b = \lim_{x \to 2} \dfrac{x - 2}{(x - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)} = \dfrac{1}{4}\)이므로 \(a + 16b = 2 + 4 = 6\)이다. 3점
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유리화할 때 분모에 곱해진 \(\sqrt{x+2} + 2\)에 \(x = 2\)를 대입하면 \(2 + 2 = 4\)가 됩니다.
[6-1] \(a = 2\) | [6-2] \(b = \dfrac{1}{4},\; a + 16b = 6\)
【문제 7】 원문 요약 — 닫힌구간에서 유리함수의 연속성과 최대·최소 정리 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.31 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] 닫힌구간 \([1, 5]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \dfrac{2x + 4}{x + 1}\)에 대하여 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) 함수 \(f(x)\)를 \(k + \dfrac{m}{x + 1}\) (\(k, m\)은 상수) 꼴로 변형하고, 닫힌구간 \([1, 5]\)에서 연속인 이유를 서술하시오.
[7-2] (5점) 닫힌구간 \([1, 5]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 7 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 유리함수는 분모가 \(0\)이 아닌 모든 점에서 연속이며, 최대·최소 정리가 성립함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x) = \dfrac{2(x + 1) + 2}{x + 1} = 2 + \dfrac{2}{x + 1}\)이고, 구간 \([1, 5]\)에서 \(x \ne -1\)이므로 연속이며 감소함수이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 최댓값은 \(M = f(1) = 3\), 최솟값은 \(m = f(5) = 2 + \dfrac{2}{6} = \dfrac{7}{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 유리함수는 분모가 \(0\)이 아닌 모든 점에서 연속이며, 최대·최소 정리가 성립함을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f(x) = \dfrac{2(x + 1) + 2}{x + 1} = 2 + \dfrac{2}{x + 1}\)이고, 구간 \([1, 5]\)에서 \(x \ne -1\)이므로 연속이며 감소함수이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 최댓값은 \(M = f(1) = 3\), 최솟값은 \(m = f(5) = 2 + \dfrac{2}{6} = \dfrac{7}{3}\)이다. 3점
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불연속점 \(x = -1\)이 주어진 닫힌구간 \([1, 5]\) 밖에 있으므로 구간 내에서 연속임을 명시하세요.
[7-1] \(f(x) = 2 + \dfrac{2}{x + 1}\), 분모 \(x + 1 \ne 0\)이므로 연속 | [7-2] \(M = 3,\; m = \dfrac{7}{3}\)
【문제 8】 원문 요약 — 곱의 미분법을 이용한 다항함수의 도함수와 미분계수 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.17 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04] 다항함수 \(f(x) = (x^2 + 2x - 1)(2x - 3)\)에 대하여 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 곱의 미분법 \(\{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)\)를 이용하여 도함수 \(f'(x)\)를 구하시오.
[8-2] (5점) \(f'(1)\)과 \(f'(2)\)의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 8 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 곱의 미분법 \(f'(x) = (x^2 + 2x - 1)'(2x - 3) + (x^2 + 2x - 1)(2x - 3)'\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = (2x + 2)(2x - 3) + (x^2 + 2x - 1)\cdot 2 = (4x^2 - 2x - 6) + (2x^2 + 4x - 2) = 6x^2 + 2x - 8\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f'(1) = 6 + 2 - 8 = 0\)이고 \(f'(2) = 24 + 4 - 8 = 20\)이므로 \(f'(1) + f'(2) = 20\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 곱의 미분법 \(f'(x) = (x^2 + 2x - 1)'(2x - 3) + (x^2 + 2x - 1)(2x - 3)'\)을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f'(x) = (2x + 2)(2x - 3) + (x^2 + 2x - 1)\cdot 2 = (4x^2 - 2x - 6) + (2x^2 + 4x - 2) = 6x^2 + 2x - 8\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(f'(1) = 6 + 2 - 8 = 0\)이고 \(f'(2) = 24 + 4 - 8 = 20\)이므로 \(f'(1) + f'(2) = 20\)이다. 3점
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\(f'(1)\)과 \(f'(2)\)를 구할 때 전개하기 전의 식 \((2x+2)(2x-3) + 2(x^2+2x-1)\)에 대입하여 검산해 보세요.
[8-1] \(f'(x) = 6x^2 + 2x - 8\) | [8-2] \(20\)
【문제 9】 원문 요약 — 실수 전체에서 사차부등식이 항상 성립하기 위한 조건 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(x^4 - 4x^3 + 12 \ge k\)가 항상 성립하도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 12\)의 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 최솟값을 갖는 \(x\)의 값과 최솟값을 구하시오.
[9-2] (5점) 주어진 부등식이 모든 실수 \(x\)에서 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 최댓값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 9 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 모든 실수 \(x\)에서 \(f(x) \ge k\)가 성립할 필요충분조건은 \(\min f(x) \ge k\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3) = 0\)에서 \(x = 3\)일 때 극소이자 최소이므로 최솟값은 \(f(3) = 81 - 108 + 12 = -15\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(k \le -15\)이므로 실수 \(k\)의 최댓값은 \(-15\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 모든 실수 \(x\)에서 \(f(x) \ge k\)가 성립할 필요충분조건은 \(\min f(x) \ge k\)임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3) = 0\)에서 \(x = 3\)일 때 극소이자 최소이므로 최솟값은 \(f(3) = 81 - 108 + 12 = -15\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(k \le -15\)이므로 실수 \(k\)의 최댓값은 \(-15\)이다. 3점
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\(x = 0\)에서는 \(f'(x) = 0\)이지만 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 모두 음수이므로 극값을 갖지 않습니다.
[9-1] \(x = 3\)에서 최솟값 \(-15\) | [9-2] \(k\)의 최댓값 \(-15\)
【문제 10】 원문 요약 — 정적분으로 정의된 함수의 극한과 미분계수의 관계 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 문제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] 다항함수 \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1\)에 대하여 정적분과 미분의 관계를 이용하여 다음 두 극한값을 구하시오.
[10-1] (5점) 극한 \(L_1 = \lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x - 2} \int_{2}^{x} f(t)\,dt\)의 값을 구하시오.
[10-2] (5점) 극한 \(L_2 = \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \int_{1}^{1 + 2h} f(t)\,dt\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 10 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(F'(x) = f(x)\)일 때 \(\lim_{x \to a} \dfrac{1}{x - a}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = F'(a) = f(a)\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(L_1 = f(2) = 2(8) - 3(4) + 4(2) + 1 = 16 - 12 + 8 + 1 = 13\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(L_2 = \lim_{h \to 0} \dfrac{F(1 + 2h) - F(1)}{2h} \times 2 = 2F'(1) = 2f(1) = 2(2 - 3 + 4 + 1) = 8\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(F'(x) = f(x)\)일 때 \(\lim_{x \to a} \dfrac{1}{x - a}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = F'(a) = f(a)\)임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(L_1 = f(2) = 2(8) - 3(4) + 4(2) + 1 = 16 - 12 + 8 + 1 = 13\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(L_2 = \lim_{h \to 0} \dfrac{F(1 + 2h) - F(1)}{2h} \times 2 = 2F'(1) = 2f(1) = 2(2 - 3 + 4 + 1) = 8\)이다. 3점
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적분할 필요 없이 부정적분 \(F(x)\)의 미분계수 정의로 바꾸면 피적분함수 \(f(x)\)의 함숫값으로 바로 계산됩니다.
[10-1] \(L_1 = 13\) | [10-2] \(L_2 = 8\)
【문제 1】 원문 요약 — 중첩된 거듭제곱근의 유리수 지수 변환과 연산 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] \(a \gt 0\)일 때, 거듭제곱근을 유리수 지수로 나타내어 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) 식 \(\sqrt{a \sqrt[3]{a^2 \sqrt{a^4}}} = a^k\)을 만족시키는 유리수 \(k\)의 값을 기약분수로 구하시오.
[1-2] (5점) \(a = 64\)일 때 위 식의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 1 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 양수 \(a\)에 대하여 \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)과 지수법칙 \(a^p a^q = a^{p+q}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 안쪽부터 정리하면 \(\sqrt{a \sqrt[3]{a^2 \sqrt{a^4}}} = \sqrt{a \sqrt[3]{a^4}} = \left(a^{1 + \frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{6}}\)이므로 \(k = \dfrac{7}{6}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a = 64 = 2^6\)을 대입하면 \(a^{\frac{7}{6}} = (2^6)^{\frac{7}{6}} = 2^7 = 128\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 양수 \(a\)에 대하여 \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)과 지수법칙 \(a^p a^q = a^{p+q}\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) 안쪽부터 정리하면 \(\sqrt{a \sqrt[3]{a^2 \sqrt{a^4}}} = \sqrt{a \sqrt[3]{a^4}} = \left(a^{1 + \frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{6}}\)이므로 \(k = \dfrac{7}{6}\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(a = 64 = 2^6\)을 대입하면 \(a^{\frac{7}{6}} = (2^6)^{\frac{7}{6}} = 2^7 = 128\)이다. 3점
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가장 안쪽의 근호부터 차례대로 분수 지수로 바꾸어 더한 뒤 바깥쪽 근호의 지수 \(\dfrac{1}{2}\)을 곱하세요.
[1-1] \(k = \dfrac{7}{6}\) | [1-2] \(128\)
【문제 2】 원문 요약 — 빛·전파의 투과율과 지수부등식의 실생활 응용 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08] 세기가 \(I_0\)인 전파가 특수 차단막 \(1\)장을 통과할 때마다 그 세기가 이전의 \(\dfrac{3}{4}\)배로 줄어든다고 한다. 전파가 차단막 \(n\)장을 통과한 후의 세기를 \(I_n\)이라 할 때, 다음을 구하시오. (단, \(\log 2 = 0.30,\; \log 3 = 0.48\)로 계산한다.)
[2-1] (5점) \(I_n\)을 \(I_0\)와 \(n\)에 대한 식으로 나타내고, 전파의 세기가 처음 세기 \(I_0\)의 \(\dfrac{1}{10}\) 이하가 되도록 하는 부등식을 세우시오.
[2-2] (5점) 위 부등식을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 2 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(I_n = I_0\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \le \dfrac{1}{10}I_0\)의 양변에 상용로그를 취해도 부등호 방향이 유지됨을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(n(\log 3 - 2\log 2) \le -1\)에서 \(\log 3 - 2\log 2 = 0.48 - 0.60 = -0.12\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(-0.12n \le -1 \implies n \ge \dfrac{100}{12} = 8.33\cdots\)이므로 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(9\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(I_n = I_0\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \le \dfrac{1}{10}I_0\)의 양변에 상용로그를 취해도 부등호 방향이 유지됨을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(n(\log 3 - 2\log 2) \le -1\)에서 \(\log 3 - 2\log 2 = 0.48 - 0.60 = -0.12\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(-0.12n \le -1 \implies n \ge \dfrac{100}{12} = 8.33\cdots\)이므로 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(9\)이다. 3점
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\(-0.12\)는 음수이므로 양변을 나눌 때 부등호 방향이 반대로 바뀌어 \(n \ge \dfrac{25}{3}\)이 됩니다.
[2-1] \(I_n = I_0\left(\dfrac{3}{4}\right)^n,\; \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \le \dfrac{1}{10}\) | [2-2] 최소 \(9\)장
【문제 3】 원문 요약 — 삼각함수 사이의 관계와 곱셈 공식의 결합 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-01] 각 \(\theta\)에 대하여 \(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}\)일 때, 삼각함수 사이의 기본 관계를 이용하여 다음을 구하시오.
[3-1] (5점) \(\sin\theta\cos\theta\)의 값을 구하시오.
[3-2] (5점) \(\sin^3\theta + \cos^3\theta\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 3 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 항등식 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)과 곱셈 공식 \(a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\)에서 \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\sin^3\theta + \cos^3\theta = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 - 3\left(-\dfrac{3}{8}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{11}{16}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 항등식 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)과 곱셈 공식 \(a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\)에서 \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(\sin^3\theta + \cos^3\theta = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 - 3\left(-\dfrac{3}{8}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{11}{16}\)이다. 3점
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제곱할 때 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)이 자동으로 만들어지므로 \(\sin\theta\cos\theta\)를 바로 구할 수 있습니다.
[3-1] \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}\) | [3-2] \(\dfrac{11}{16}\)
【문제 4】 원문 요약 — 코사인법칙을 이용한 삼각형의 최대각의 크기 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 세 변의 길이가 \(a = 3,\; b = 5,\; c = 7\)일 때, 코사인법칙을 이용하여 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 가장 큰 내각인 각 \(C\)에 대하여 \(\cos C\)의 값과 각 \(C\)의 크기를 구하시오. (단, \(0 \lt C \lt \pi\))
[4-2] (5점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)와 외접원의 반지름의 길이 \(R\)를 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 4 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙 \(\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\), 넓이 \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C\), 사인법칙 \(2R = \dfrac{c}{\sin C}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\cos C = \dfrac{9 + 25 - 49}{2 \times 3 \times 5} = \dfrac{-15}{30} = -\dfrac{1}{2}\)이므로 \(C = \dfrac{2\pi}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(S = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}\)이고, \(2R = \dfrac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}\)에서 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 코사인법칙 \(\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\), 넓이 \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C\), 사인법칙 \(2R = \dfrac{c}{\sin C}\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\cos C = \dfrac{9 + 25 - 49}{2 \times 3 \times 5} = \dfrac{-15}{30} = -\dfrac{1}{2}\)이므로 \(C = \dfrac{2\pi}{3}\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(S = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}\)이고, \(2R = \dfrac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}\)에서 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)이다. 3점
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삼각형에서 가장 긴 변(\(c = 7\))의 대각이 가장 큰 내각이 됩니다.
[4-1] \(\cos C = -\dfrac{1}{2},\; C = \dfrac{2\pi}{3}\) | [4-2] \(S = \dfrac{15\sqrt{3}}{4},\; R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)
【문제 5】 원문 요약 — 실생활 악수·연결망 수열의 귀납적 정의 [배점 10점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 수학적 귀납법 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] 모임에 참석한 \(n\;(n \ge 2)\)명의 사람이 빠짐없이 서로 한 번씩 악수를 할 때, 전체 악수의 총횟수를 \(a_n\)이라 하자. 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) \(a_2,\; a_3\)의 값을 구하고, \(n\)명이 있는 상태에서 \(1\)명이 새로 들어와 기존 \(n\)명과 모두 악수할 때 성립하는 \(a_{n+1}\)과 \(a_n\) 사이의 귀납적 관계식을 구하시오.
[5-2] (5점) 위 관계식을 이용하여 \(a_{10}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 5 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(n+1\)번째 사람이 기존 \(n\)명과 각각 \(1\)번씩 총 \(n\)번의 악수를 추가로 하므로 귀납적 정의 \(a_{n+1} = a_n + n\;(n \ge 2)\)이 성립함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_2 = 1\)이고, \(a_3 = a_2 + 2 = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a_{10} = a_2 + \sum_{k=2}^{9} k = 1 + (2 + 3 + \cdots + 9) = \dfrac{9 \times 10}{2} = 45\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(n+1\)번째 사람이 기존 \(n\)명과 각각 \(1\)번씩 총 \(n\)번의 악수를 추가로 하므로 귀납적 정의 \(a_{n+1} = a_n + n\;(n \ge 2)\)이 성립함을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(a_2 = 1\)이고, \(a_3 = a_2 + 2 = 3\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(a_{10} = a_2 + \sum_{k=2}^{9} k = 1 + (2 + 3 + \cdots + 9) = \dfrac{9 \times 10}{2} = 45\)이다. 3점
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새로 추가된 \(1\)명이 기존 \(n\)명과 악수하므로 더해지는 항은 \(n+1\)이 아니라 \(n\)입니다.
[5-1] \(a_2 = 1,\; a_3 = 3,\; a_{n+1} = a_n + n\) | [5-2] \(a_{10} = 45\)
【문제 6】 원문 요약 — 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리)를 이용한 극한값 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.17 문제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(3x^2 - 2x + 4 \le (x^2 + 1)f(x) \le 3x^2 + 4x + 5\)를 만족시킬 때, 극한의 대소 관계를 이용하여 다음을 구하시오.
[6-1] (5점) 모든 실수 \(x\)에서 \(x^2 + 1 \gt 0\)임을 이용하여 \(f(x)\)의 범위를 부등식으로 나타내시오.
[6-2] (5점) 극한 \(\lim_{x \to \infty} f(x)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 6 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(g(x) \le f(x) \le h(x)\)이고 \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} h(x) = L\)이면 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = L\)이라는 함수의 극한의 대소 관계를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^2 + 1 \gt 0\)으로 각 변을 나누면 \(\dfrac{3x^2 - 2x + 4}{x^2 + 1} \le f(x) \le \dfrac{3x^2 + 4x + 5}{x^2 + 1}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 - 2x + 4}{x^2 + 1} = 3\)이고 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 + 4x + 5}{x^2 + 1} = 3\)이므로 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(g(x) \le f(x) \le h(x)\)이고 \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} h(x) = L\)이면 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = L\)이라는 함수의 극한의 대소 관계를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x^2 + 1 \gt 0\)으로 각 변을 나누면 \(\dfrac{3x^2 - 2x + 4}{x^2 + 1} \le f(x) \le \dfrac{3x^2 + 4x + 5}{x^2 + 1}\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 - 2x + 4}{x^2 + 1} = 3\)이고 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 + 4x + 5}{x^2 + 1} = 3\)이므로 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 3\)이다. 3점
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양변을 나눌 때 나누는 식 \(x^2 + 1 \gt 0\)이 양수이므로 부등호 방향이 바뀌지 않음을 꼭 언급하세요.
[6-1] \(\dfrac{3x^2 - 2x + 4}{x^2 + 1} \le f(x) \le \dfrac{3x^2 + 4x + 5}{x^2 + 1}\) | [6-2] \(3\)
【문제 7】 원문 요약 — 곡선에 접하고 기울기가 주어진 접선의 방정식 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] 곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 2\)에 접하고 기울기가 \(9\)인 두 접선에 대하여 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) 두 접점의 좌표를 각각 구하시오.
[7-2] (5점) 두 접선의 방정식을 각각 구하고, 두 접선의 \(y\)절편의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 7 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 접점의 좌표를 \((t, t^3 - 3t^2 + 2)\)라 할 때 접선의 기울기 조건 \(f'(t) = 9\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(t) = 3t^2 - 6t = 9 \implies 3(t + 1)(t - 3) = 0\)이므로 \(t = -1\) 또는 \(t = 3\)이고, 접점은 \((-1, -2)\)와 \((3, 2)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 두 접선은 \(y = 9(x + 1) - 2 = 9x + 7\)과 \(y = 9(x - 3) + 2 = 9x - 25\)이므로 \(y\)절편의 합은 \(7 + (-25) = -18\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 접점의 좌표를 \((t, t^3 - 3t^2 + 2)\)라 할 때 접선의 기울기 조건 \(f'(t) = 9\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f'(t) = 3t^2 - 6t = 9 \implies 3(t + 1)(t - 3) = 0\)이므로 \(t = -1\) 또는 \(t = 3\)이고, 접점은 \((-1, -2)\)와 \((3, 2)\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 두 접선은 \(y = 9(x + 1) - 2 = 9x + 7\)과 \(y = 9(x - 3) + 2 = 9x - 25\)이므로 \(y\)절편의 합은 \(7 + (-25) = -18\)이다. 3점
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기울기만 주어졌을 때는 접점의 \(x\)좌표를 미지수 \(t\)로 놓고 \(f'(t) = 9\)를 먼저 풀어야 합니다.
[7-1] \((-1, -2),\; (3, 2)\) | [7-2] \(y = 9x + 7,\; y = 9x - 25\) / \(y\)절편 합 \(-18\)
【문제 8】 원문 요약 — 사차함수의 극값과 닫힌구간에서의 최대·최소 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.42 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 사차함수 \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 3\)에 대하여 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.
[8-2] (5점) 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)의 합 \(M + m\)을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 8 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x + 1)(x - 1)\)의 부호 변화와 구간 양 끝점 함숫값 비교법을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 0\)에서 극댓값 \(f(0) = 3\)을 갖고, \(x = \pm 1\)에서 극솟값 \(f(-1) = f(1) = 2\)를 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 \(f(-1)=2,\; f(0)=3,\; f(1)=2,\; f(2)=11\)이므로 \(M = 11,\; m = 2\)이고 \(M + m = 13\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 도함수 \(f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x + 1)(x - 1)\)의 부호 변화와 구간 양 끝점 함숫값 비교법을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x = 0\)에서 극댓값 \(f(0) = 3\)을 갖고, \(x = \pm 1\)에서 극솟값 \(f(-1) = f(1) = 2\)를 갖는다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 \(f(-1)=2,\; f(0)=3,\; f(1)=2,\; f(2)=11\)이므로 \(M = 11,\; m = 2\)이고 \(M + m = 13\)이다. 3점
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닫힌구간에서의 최댓값은 극댓값(\(3\))이 아니라 구간의 오른쪽 끝점 함숫값 \(f(2) = 11\)에서 나타납니다.
[8-1] 극댓값 \(3\), 극솟값 \(2\) | [8-2] \(M = 11,\; m = 2,\; M + m = 13\)
【문제 9】 원문 요약 — 삼차곡선과 직선으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 문제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 삼차곡선 \(y = x^3 - 2x\)와 직선 \(y = 2x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하고자 한다.
[9-1] (5점) 곡선과 직선의 세 교점의 \(x\)좌표를 모두 구하시오.
[9-2] (5점) 원점 대칭성을 이용하여 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 9 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 교점 방정식 \(x^3 - 2x = 2x\)와 기함수 그래프의 원점 대칭성에 의한 넓이 이등분 성질을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^3 - 4x = x(x + 2)(x - 2) = 0\)이므로 세 교점의 \(x\)좌표는 \(-2,\; 0,\; 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 원점 대칭에 의해 \(S = 2\int_{0}^{2} (4x - x^3)\,dx = 2\left[2x^2 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_{0}^{2} = 2(8 - 4) = 8\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 교점 방정식 \(x^3 - 2x = 2x\)와 기함수 그래프의 원점 대칭성에 의한 넓이 이등분 성질을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x^3 - 4x = x(x + 2)(x - 2) = 0\)이므로 세 교점의 \(x\)좌표는 \(-2,\; 0,\; 2\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 원점 대칭에 의해 \(S = 2\int_{0}^{2} (4x - x^3)\,dx = 2\left[2x^2 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_{0}^{2} = 2(8 - 4) = 8\)이다. 3점
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구간 \([0, 2]\)에서는 직선 \(y = 2x\)가 곡선 \(y = x^3 - 2x\)보다 위쪽에 있으므로 \((2x) - (x^3 - 2x) = 4x - x^3\)을 적분합니다.
[9-1] \(x = -2,\; 0,\; 2\) | [9-2] \(S = 8\)
【문제 10】 원문 요약 — 원점을 출발한 점의 속도·위치와 움직인 거리 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 6t - 3t^2\)일 때, 다음을 구하시오.
[10-1] (5점) 점 \(\mathrm{P}\)가 출발 후 운동 방향을 바꿀 때까지 움직인 거리를 구하시오.
[10-2] (5점) 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 3\)까지 점 \(\mathrm{P}\)의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리 \(s\)를 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 10 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 운동 방향 전환 시각은 \(v(t) = 0\)에서 나타나며, 위치 변화량은 \(\int_0^3 v(t)\,dt\), 움직인 거리는 \(\int_0^3 |v(t)|\,dt\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(v(t) = 3t(2 - t) = 0\)에서 \(t = 2\)일 때 운동 방향을 바꾸므로 그때까지의 거리는 \(\int_{0}^{2} (6t - 3t^2)\,dt = \left[3t^2 - t^3\right]_{0}^{2} = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 위치 변화량은 \(\int_{0}^{3} (6t - 3t^2)\,dt = 27 - 27 = 0\)이고, 움직인 거리는 \(s = 4 + \int_{2}^{3} (3t^2 - 6t)\,dt = 4 + 4 = 8\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 운동 방향 전환 시각은 \(v(t) = 0\)에서 나타나며, 위치 변화량은 \(\int_0^3 v(t)\,dt\), 움직인 거리는 \(\int_0^3 |v(t)|\,dt\)임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(v(t) = 3t(2 - t) = 0\)에서 \(t = 2\)일 때 운동 방향을 바꾸므로 그때까지의 거리는 \(\int_{0}^{2} (6t - 3t^2)\,dt = \left[3t^2 - t^3\right]_{0}^{2} = 4\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 위치 변화량은 \(\int_{0}^{3} (6t - 3t^2)\,dt = 27 - 27 = 0\)이고, 움직인 거리는 \(s = 4 + \int_{2}^{3} (3t^2 - 6t)\,dt = 4 + 4 = 8\)이다. 3점
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'위치의 변화량'은 부호가 있는 정적분(\(0\))이고, '움직인 거리'는 속력의 정적분(\(8\))임을 명확히 구분하세요.
[10-1] \(4\) | [10-2] 위치 변화량 \(0\), 움직인 거리 \(s = 8\)
【문제 1】 원문 요약 — 유리수 지수의 곱셈 공식과 대칭식 추론 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04] 양수 \(a\)에 대하여 \(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} = 2\)일 때, \(a + a^{-1}\)의 값과 \(a^2 + a^{-2}\)의 값을 차례로 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 1 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 유리수 지수의 곱셈 공식 \(\left(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = a + a^{-1} - 2\)와 \((a + a^{-1})^2 = a^2 + a^{-2} + 2\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a + a^{-1} = 2^2 + 2 = 6\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a^2 + a^{-2} = 6^2 - 2 = 34\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 유리수 지수의 곱셈 공식 \(\left(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = a + a^{-1} - 2\)와 \((a + a^{-1})^2 = a^2 + a^{-2} + 2\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(a + a^{-1} = 2^2 + 2 = 6\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(a^2 + a^{-2} = 6^2 - 2 = 34\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
부호가 마이너스인 제곱식 $(x - x^{-1})^2 = x^2 + x^{-2} - 2$에서 상수항 $-2$를 이항할 때 $+2$가 됨에 유의합니다.
🎯 [최종 정답] \(a + a^{-1} = 6,\; a^2 + a^{-2} = 34\)
【문제 2】 원문 요약 — 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06] 로그부등식 \(\log_2(x - 2) + \log_2(8 - x) \ge 3\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 2 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 진수 조건 \(x - 2 \gt 0\) 및 \(8 - x \gt 0\)으로부터 \(2 \lt x \lt 8\)을 먼저 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log_2\{(x - 2)(8 - x)\} \ge \log_2 8\)이고 밑 \(2 \gt 1\)이므로 \((x - 2)(8 - x) \ge 8 \iff (x - 4)(x - 6) \le 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 진수 조건과 연립하면 \(4 \le x \le 6\)이므로 정수 \(x\)는 \(4, 5, 6\)이고 그 합은 \(15\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 진수 조건 \(x - 2 \gt 0\) 및 \(8 - x \gt 0\)으로부터 \(2 \lt x \lt 8\)을 먼저 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\log_2\{(x - 2)(8 - x)\} \ge \log_2 8\)이고 밑 \(2 \gt 1\)이므로 \((x - 2)(8 - x) \ge 8 \iff (x - 4)(x - 6) \le 0\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 진수 조건과 연립하면 \(4 \le x \le 6\)이므로 정수 \(x\)는 \(4, 5, 6\)이고 그 합은 \(15\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
로그부등식 채점에서는 진수 조건 도출에 3점이 배점되므로 반드시 부등식 풀이보다 먼저 진수 범위를 선언해야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(15\) \((x = 4, 5, 6)\)
【문제 3】 원문 요약 — 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소 추론 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03] \(0 \le x \le 2\pi\)에서 함수 \(f(x) = -\cos^2 x + 2\sin x + 2\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M\)과 \(m\)을 각각 구하고 \(M \cdot m\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 3 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하고 \(t = \sin x\) (\(-1 \le t \le 1\))로 치환함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(g(t) = t^2 + 2t + 1 = (t + 1)^2 + 0\)는 구간 \([-1, 1]\)에서 순증가한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(t = 1\)일 때 \(M = 4\), \(t = -1\)일 때 \(m = 0\)이므로 \(M \cdot m = 0\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하고 \(t = \sin x\) (\(-1 \le t \le 1\))로 치환함을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(g(t) = t^2 + 2t + 1 = (t + 1)^2 + 0\)는 구간 \([-1, 1]\)에서 순증가한다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(t = 1\)일 때 \(M = 4\), \(t = -1\)일 때 \(m = 0\)이므로 \(M \cdot m = 0\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
삼각함수 치환 시 제한 변역 $-1 \le t \le 1$을 반드시 기록해야 꼭짓점 포함 여부를 정확히 판정할 수 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(M = 4,\; m = 0,\; M \cdot m = 0\)
【문제 4】 원문 요약 — 코사인법칙과 삼각형의 넓이 통합 추론 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 그림과 같이 \(\overline{\mathrm{AB}} = 8,\; \overline{\mathrm{AC}} = 4,\; \angle \mathrm{A} = \dfrac{\pi}{3}\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{BC}}^2\)의 값과 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)를 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 4 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)와 삼각형 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 48\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)와 삼각형 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 48\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$과 $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$의 값을 서로 바꾸어 대입하지 않도록 주의합니다.
🎯 [최종 정답] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 48,\; S = 8\sqrt{3}\)
【문제 5】 원문 요약 — 수열의 합과 일반항의 관계 및 거듭제곱 급수 [배점 10점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06, 12대수03-07] 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 \(S_n = n^2 + 2n\)일 때, 일반항 \(a_n\)을 구하고 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k a_k\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 5 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(a_1 = S_1\) 및 \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\) 관계식과 자연수 거듭제곱의 합 공식을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = (n^2 + 2n) - \{(n-1)^2 + 2(n-1)\} = 2n + 1\)이며, \(a_1 = 3\)과 일치하므로 모든 자연수 \(n\)에서 \(a_n = 2n + 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (2k^2 + 1k) = 2 \cdot \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} + 1 \cdot \dfrac{5 \cdot 6}{2} = 110 + 15 = 125\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(a_1 = S_1\) 및 \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\) 관계식과 자연수 거듭제곱의 합 공식을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = (n^2 + 2n) - \{(n-1)^2 + 2(n-1)\} = 2n + 1\)이며, \(a_1 = 3\)과 일치하므로 모든 자연수 \(n\)에서 \(a_n = 2n + 1\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (2k^2 + 1k) = 2 \cdot \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} + 1 \cdot \dfrac{5 \cdot 6}{2} = 110 + 15 = 125\)이다. 3점
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$S_n - S_{n-1}$은 $n \ge 2$에서만 정의되므로 $n=1$일 때 $S_1$과 일치함을 검증하는 한 줄을 반드시 적어야 감점이 없습니다.
🎯 [최종 정답] \(a_n = 2n + 1,\; \displaystyle\sum_{k=1}^{5} k a_k = 125\)
【문제 6】 원문 요약 — 무리식을 포함한 부정형 함수의 극한과 미정계수 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + a} - 2}{x - 2} = b\)일 때, \(a\)와 \(b\)의 값을 각각 구하고 \(a + 4b\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 6 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)에 수렴해야 함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\sqrt{2 + a} - 2 = 0\)에서 \(a = 2\)이고, 유리화하면 \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{x - 2}{(x - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)} = \dfrac{1}{4} = b\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a = 2,\; b = \dfrac{1}{4}\)이므로 \(a + 4b = 2 + 1 = 3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)에 수렴해야 함을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\sqrt{2 + a} - 2 = 0\)에서 \(a = 2\)이고, 유리화하면 \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{x - 2}{(x - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)} = \dfrac{1}{4} = b\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(a = 2,\; b = \dfrac{1}{4}\)이므로 \(a + 4b = 2 + 1 = 3\)이다. 3점
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무리식 극한은 켤레식 $\sqrt{x+a} + 2$을 분모·분자에 곱하여 영인자 $(x - 2)$를 약분하는 과정을 명확히 보여야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(a = 2,\; b = \dfrac{1}{4},\; a + 4b = 3\)
【문제 7】 원문 요약 — 곱의 미분법과 접선의 방정식 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 함수 \(f(x) = (x^2 + 2)(2x - 1)\)의 그래프 위의 점 \((1, f(1))\)에서의 접선의 기울기 \(m\)과 \(y\)절편 \(n\)을 각각 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 7 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 곱의 미분법 \(\{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)\)와 접선의 방정식 \(y - f(1) = f'(1)(x - 1)\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(1) = 3\)이고, \(f'(x) = 2x(2x - 1) + 2(x^2 + 2)\)에서 기울기 \(m = f'(1) = 2 + 2(1 + 2) = 8\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 접선의 방정식은 \(y = 8(x - 1) + 3 = 8x - 5\)이므로 \(y\)절편은 \(n = -5\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 곱의 미분법 \(\{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)\)와 접선의 방정식 \(y - f(1) = f'(1)(x - 1)\)을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f(1) = 3\)이고, \(f'(x) = 2x(2x - 1) + 2(x^2 + 2)\)에서 기울기 \(m = f'(1) = 2 + 2(1 + 2) = 8\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 접선의 방정식은 \(y = 8(x - 1) + 3 = 8x - 5\)이므로 \(y\)절편은 \(n = -5\)이다. 3점
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식을 무리하게 전개하기보다 곱의 미분법을 곧바로 적용하면 부호 실수를 줄이고 채점 루브릭 1단계 점수를 확보할 수 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(m = 8,\; n = -5\)
【문제 8】 원문 요약 — 사차함수의 대칭성과 극댓값·극솟값의 차 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 사차함수 \(f(x) = x^4 - 8x^3 + 16x^2 + 5\)의 극댓값을 \(M\), 극솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M\)과 \(m\)을 각각 구하고 \(M - m\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 8 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = 4x^3 - 24x^2 + 32x = 4x(x - 2)(x - 4) = 0\)을 인수분해하여 증감표를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 0\)과 \(x = 4\)에서 도함수가 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값 \(m = f(0) = f(4) = 5\)이고, \(x = 2\)에서 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(x) = x^2(x - 4)^2 + 5\)에서 \(M = f(2) = 21\)이므로 \(M - m = 16\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 도함수 \(f'(x) = 4x^3 - 24x^2 + 32x = 4x(x - 2)(x - 4) = 0\)을 인수분해하여 증감표를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x = 0\)과 \(x = 4\)에서 도함수가 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값 \(m = f(0) = f(4) = 5\)이고, \(x = 2\)에서 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값을 갖는다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(f(x) = x^2(x - 4)^2 + 5\)에서 \(M = f(2) = 21\)이므로 \(M - m = 16\)이다. 3점
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$f'(x)=0$의 근을 구한 뒤 좌우에서의 도함수 부호 변화를 서술해야 극대·극소 판정의 논리적 완결성이 인정됩니다.
🎯 [최종 정답] \(M = 21,\; m = 5,\; M - m = 16\)
【문제 9】 원문 요약 — 대칭구간에서 기함수·우함수의 정적분 성질 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 정적분 \(\displaystyle\int_{-2}^{2} \left(x^5 - 3x^3 + 3x^2 + 2\right)\,dx\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 9 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 원점 대칭구간 \([-a, a]\)에서 기함수(\(x\)의 홀수 차수 항)의 정적분은 \(0\), 우함수(\(x\)의 짝수 차수 항)는 \(2\displaystyle\int_0^a\)가 됨을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^5 - 3x^3\)은 기함수이므로 적분값이 \(0\)이고, 준식은 \(2\displaystyle\int_0^{2} (3x^2 + 2)\,dx\)로 간단히 정리된다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(2\left[x^3 + 2x\right]_0^{2} = 2(8 + 4) = 24\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 원점 대칭구간 \([-a, a]\)에서 기함수(\(x\)의 홀수 차수 항)의 정적분은 \(0\), 우함수(\(x\)의 짝수 차수 항)는 \(2\displaystyle\int_0^a\)가 됨을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x^5 - 3x^3\)은 기함수이므로 적분값이 \(0\)이고, 준식은 \(2\displaystyle\int_0^{2} (3x^2 + 2)\,dx\)로 간단히 정리된다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(2\left[x^3 + 2x\right]_0^{2} = 2(8 + 4) = 24\)이다. 3점
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$x^5, x^3$을 일일이 부정적분하여 대입하면 부호 계산 실수가 잦으므로 반드시 기함수 소거 성질을 먼저 선언하고 계산합니다.
🎯 [최종 정답] \(24\)
【문제 10】 원문 요약 — 삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 그림과 같이 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 2x^2\)의 그래프와 원점 \((0, 0)\)에서의 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(12S\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 10 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f'(x) = 3x^2 - 4x\)에서 \(f'(0) = 0,\; f(0) = 0\)이므로 원점에서의 접선은 \(x\)축(\(y = 0\))임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^3 - 2x^2 = x^2(x - 2) = 0\)에서 교점은 \(x = 0, 2\)이고 구간 \([0, 2]\)에서 \(f(x) \le 0\)이므로 \(S = \displaystyle\int_0^{2} (2x^2 - x^3)\,dx\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(S = \left[\dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^{2} = \dfrac{16}{12}\)이므로 \(12S = 16\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(f'(x) = 3x^2 - 4x\)에서 \(f'(0) = 0,\; f(0) = 0\)이므로 원점에서의 접선은 \(x\)축(\(y = 0\))임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x^3 - 2x^2 = x^2(x - 2) = 0\)에서 교점은 \(x = 0, 2\)이고 구간 \([0, 2]\)에서 \(f(x) \le 0\)이므로 \(S = \displaystyle\int_0^{2} (2x^2 - x^3)\,dx\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(S = \left[\dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^{2} = \dfrac{16}{12}\)이므로 \(12S = 16\)이다. 3점
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구간 $[0, 2]$에서 $f(x) \le 0$이므로 부호를 바꾸어 $-f(x)$를 정적분해야 넓이가 양수로 산출됩니다.
🎯 [최종 정답] \(16\) \(\left(S = \dfrac{4}{3}\right)\)
【문제 1】 원문 요약 — 유리수 지수의 곱셈 공식과 대칭식 추론 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06] 양수 \(a\)에 대하여 \(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} = 3\)일 때, \(a + a^{-1}\)의 값과 \(a^2 + a^{-2}\)의 값을 차례로 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 1 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 유리수 지수의 곱셈 공식 \(\left(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = a + a^{-1} - 2\)와 \((a + a^{-1})^2 = a^2 + a^{-2} + 2\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a + a^{-1} = 3^2 + 2 = 11\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a^2 + a^{-2} = 11^2 - 2 = 119\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 유리수 지수의 곱셈 공식 \(\left(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = a + a^{-1} - 2\)와 \((a + a^{-1})^2 = a^2 + a^{-2} + 2\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(a + a^{-1} = 3^2 + 2 = 11\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(a^2 + a^{-2} = 11^2 - 2 = 119\)이다. 3점
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부호가 마이너스인 제곱식 $(x - x^{-1})^2 = x^2 + x^{-2} - 2$에서 상수항 $-2$를 이항할 때 $+2$가 됨에 유의합니다.
🎯 [최종 정답] \(a + a^{-1} = 11,\; a^2 + a^{-2} = 119\)
【문제 2】 원문 요약 — 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.22 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] 로그부등식 \(\log_2(x - 3) + \log_2(9 - x) \ge 3\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 2 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 진수 조건 \(x - 3 \gt 0\) 및 \(9 - x \gt 0\)으로부터 \(3 \lt x \lt 9\)을 먼저 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log_2\{(x - 3)(9 - x)\} \ge \log_2 8\)이고 밑 \(2 \gt 1\)이므로 \((x - 3)(9 - x) \ge 8 \iff (x - 5)(x - 7) \le 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 진수 조건과 연립하면 \(5 \le x \le 7\)이므로 정수 \(x\)는 \(5, 6, 7\)이고 그 합은 \(18\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 진수 조건 \(x - 3 \gt 0\) 및 \(9 - x \gt 0\)으로부터 \(3 \lt x \lt 9\)을 먼저 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\log_2\{(x - 3)(9 - x)\} \ge \log_2 8\)이고 밑 \(2 \gt 1\)이므로 \((x - 3)(9 - x) \ge 8 \iff (x - 5)(x - 7) \le 0\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 진수 조건과 연립하면 \(5 \le x \le 7\)이므로 정수 \(x\)는 \(5, 6, 7\)이고 그 합은 \(18\)이다. 3점
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로그부등식 채점에서는 진수 조건 도출에 3점이 배점되므로 반드시 부등식 풀이보다 먼저 진수 범위를 선언해야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(18\) \((x = 5, 6, 7)\)
【문제 3】 원문 요약 — 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소 추론 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] \(0 \le x \le 2\pi\)에서 함수 \(f(x) = -\cos^2 x + 2\sin x + 3\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M\)과 \(m\)을 각각 구하고 \(M \cdot m\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 3 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하고 \(t = \sin x\) (\(-1 \le t \le 1\))로 치환함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(g(t) = t^2 + 2t + 2 = (t + 1)^2 + 1\)는 구간 \([-1, 1]\)에서 순증가한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(t = 1\)일 때 \(M = 5\), \(t = -1\)일 때 \(m = 1\)이므로 \(M \cdot m = 5\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하고 \(t = \sin x\) (\(-1 \le t \le 1\))로 치환함을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(g(t) = t^2 + 2t + 2 = (t + 1)^2 + 1\)는 구간 \([-1, 1]\)에서 순증가한다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(t = 1\)일 때 \(M = 5\), \(t = -1\)일 때 \(m = 1\)이므로 \(M \cdot m = 5\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
삼각함수 치환 시 제한 변역 $-1 \le t \le 1$을 반드시 기록해야 꼭짓점 포함 여부를 정확히 판정할 수 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(M = 5,\; m = 1,\; M \cdot m = 5\)
【문제 4】 원문 요약 — 코사인법칙과 삼각형의 넓이 통합 추론 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 그림과 같이 \(\overline{\mathrm{AB}} = 12,\; \overline{\mathrm{AC}} = 5,\; \angle \mathrm{A} = \dfrac{\pi}{3}\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{BC}}^2\)의 값과 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)를 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 4 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)와 삼각형 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 12^2 + 5^2 - 2 \cdot 12 \cdot 5 \cdot \dfrac{1}{2} = 109\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)와 삼각형 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 12^2 + 5^2 - 2 \cdot 12 \cdot 5 \cdot \dfrac{1}{2} = 109\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}\)이다. 3점
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$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$과 $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$의 값을 서로 바꾸어 대입하지 않도록 주의합니다.
🎯 [최종 정답] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 109,\; S = 15\sqrt{3}\)
【문제 5】 원문 요약 — 수열의 합과 일반항의 관계 및 거듭제곱 급수 [배점 10점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03, 12대수03-05] 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 \(S_n = n^2 + 3n\)일 때, 일반항 \(a_n\)을 구하고 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k a_k\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 5 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(a_1 = S_1\) 및 \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\) 관계식과 자연수 거듭제곱의 합 공식을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = (n^2 + 3n) - \{(n-1)^2 + 3(n-1)\} = 2n + 2\)이며, \(a_1 = 4\)과 일치하므로 모든 자연수 \(n\)에서 \(a_n = 2n + 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (2k^2 + 2k) = 2 \cdot \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} + 2 \cdot \dfrac{5 \cdot 6}{2} = 110 + 30 = 140\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(a_1 = S_1\) 및 \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\) 관계식과 자연수 거듭제곱의 합 공식을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = (n^2 + 3n) - \{(n-1)^2 + 3(n-1)\} = 2n + 2\)이며, \(a_1 = 4\)과 일치하므로 모든 자연수 \(n\)에서 \(a_n = 2n + 2\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (2k^2 + 2k) = 2 \cdot \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} + 2 \cdot \dfrac{5 \cdot 6}{2} = 110 + 30 = 140\)이다. 3점
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$S_n - S_{n-1}$은 $n \ge 2$에서만 정의되므로 $n=1$일 때 $S_1$과 일치함을 검증하는 한 줄을 반드시 적어야 감점이 없습니다.
🎯 [최종 정답] \(a_n = 2n + 2,\; \displaystyle\sum_{k=1}^{5} k a_k = 140\)
【문제 6】 원문 요약 — 무리식을 포함한 부정형 함수의 극한과 미정계수 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + a} - 3}{x - 3} = b\)일 때, \(a\)와 \(b\)의 값을 각각 구하고 \(a + 6b\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 6 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to 3\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)에 수렴해야 함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\sqrt{3 + a} - 3 = 0\)에서 \(a = 6\)이고, 유리화하면 \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x + 6} + 3)} = \dfrac{1}{6} = b\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a = 6,\; b = \dfrac{1}{6}\)이므로 \(a + 6b = 6 + 1 = 7\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(x \to 3\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)에 수렴해야 함을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\sqrt{3 + a} - 3 = 0\)에서 \(a = 6\)이고, 유리화하면 \(\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x + 6} + 3)} = \dfrac{1}{6} = b\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(a = 6,\; b = \dfrac{1}{6}\)이므로 \(a + 6b = 6 + 1 = 7\)이다. 3점
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무리식 극한은 켤레식 $\sqrt{x+a} + 3$을 분모·분자에 곱하여 영인자 $(x - 3)$를 약분하는 과정을 명확히 보여야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(a = 6,\; b = \dfrac{1}{6},\; a + 6b = 7\)
【문제 7】 원문 요약 — 곱의 미분법과 접선의 방정식 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 함수 \(f(x) = (x^2 + 3)(2x - 1)\)의 그래프 위의 점 \((1, f(1))\)에서의 접선의 기울기 \(m\)과 \(y\)절편 \(n\)을 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 7 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 곱의 미분법 \(\{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)\)와 접선의 방정식 \(y - f(1) = f'(1)(x - 1)\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(1) = 4\)이고, \(f'(x) = 2x(2x - 1) + 2(x^2 + 3)\)에서 기울기 \(m = f'(1) = 2 + 2(1 + 3) = 10\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 접선의 방정식은 \(y = 10(x - 1) + 4 = 10x - 6\)이므로 \(y\)절편은 \(n = -6\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 곱의 미분법 \(\{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)\)와 접선의 방정식 \(y - f(1) = f'(1)(x - 1)\)을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f(1) = 4\)이고, \(f'(x) = 2x(2x - 1) + 2(x^2 + 3)\)에서 기울기 \(m = f'(1) = 2 + 2(1 + 3) = 10\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 접선의 방정식은 \(y = 10(x - 1) + 4 = 10x - 6\)이므로 \(y\)절편은 \(n = -6\)이다. 3점
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식을 무리하게 전개하기보다 곱의 미분법을 곧바로 적용하면 부호 실수를 줄이고 채점 루브릭 1단계 점수를 확보할 수 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(m = 10,\; n = -6\)
【문제 8】 원문 요약 — 사차함수의 대칭성과 극댓값·극솟값의 차 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 사차함수 \(f(x) = x^4 - 12x^3 + 36x^2 + 5\)의 극댓값을 \(M\), 극솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M\)과 \(m\)을 각각 구하고 \(M - m\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 8 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = 4x^3 - 36x^2 + 72x = 4x(x - 3)(x - 6) = 0\)을 인수분해하여 증감표를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 0\)과 \(x = 6\)에서 도함수가 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값 \(m = f(0) = f(6) = 5\)이고, \(x = 3\)에서 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(x) = x^2(x - 6)^2 + 5\)에서 \(M = f(3) = 86\)이므로 \(M - m = 81\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 도함수 \(f'(x) = 4x^3 - 36x^2 + 72x = 4x(x - 3)(x - 6) = 0\)을 인수분해하여 증감표를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x = 0\)과 \(x = 6\)에서 도함수가 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값 \(m = f(0) = f(6) = 5\)이고, \(x = 3\)에서 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값을 갖는다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(f(x) = x^2(x - 6)^2 + 5\)에서 \(M = f(3) = 86\)이므로 \(M - m = 81\)이다. 3점
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$f'(x)=0$의 근을 구한 뒤 좌우에서의 도함수 부호 변화를 서술해야 극대·극소 판정의 논리적 완결성이 인정됩니다.
🎯 [최종 정답] \(M = 86,\; m = 5,\; M - m = 81\)
【문제 9】 원문 요약 — 대칭구간에서 기함수·우함수의 정적분 성질 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 정적분 \(\displaystyle\int_{-3}^{3} \left(x^5 - 3x^3 + 3x^2 + 2\right)\,dx\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 9 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 원점 대칭구간 \([-a, a]\)에서 기함수(\(x\)의 홀수 차수 항)의 정적분은 \(0\), 우함수(\(x\)의 짝수 차수 항)는 \(2\displaystyle\int_0^a\)가 됨을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^5 - 3x^3\)은 기함수이므로 적분값이 \(0\)이고, 준식은 \(2\displaystyle\int_0^{3} (3x^2 + 2)\,dx\)로 간단히 정리된다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(2\left[x^3 + 2x\right]_0^{3} = 2(27 + 6) = 66\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 원점 대칭구간 \([-a, a]\)에서 기함수(\(x\)의 홀수 차수 항)의 정적분은 \(0\), 우함수(\(x\)의 짝수 차수 항)는 \(2\displaystyle\int_0^a\)가 됨을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x^5 - 3x^3\)은 기함수이므로 적분값이 \(0\)이고, 준식은 \(2\displaystyle\int_0^{3} (3x^2 + 2)\,dx\)로 간단히 정리된다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(2\left[x^3 + 2x\right]_0^{3} = 2(27 + 6) = 66\)이다. 3점
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$x^5, x^3$을 일일이 부정적분하여 대입하면 부호 계산 실수가 잦으므로 반드시 기함수 소거 성질을 먼저 선언하고 계산합니다.
🎯 [최종 정답] \(66\)
【문제 10】 원문 요약 — 삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 그림과 같이 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2\)의 그래프와 원점 \((0, 0)\)에서의 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(12S\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 10 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f'(x) = 3x^2 - 6x\)에서 \(f'(0) = 0,\; f(0) = 0\)이므로 원점에서의 접선은 \(x\)축(\(y = 0\))임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3) = 0\)에서 교점은 \(x = 0, 3\)이고 구간 \([0, 3]\)에서 \(f(x) \le 0\)이므로 \(S = \displaystyle\int_0^{3} (3x^2 - x^3)\,dx\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(S = \left[\dfrac{3}{3}x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^{3} = \dfrac{81}{12}\)이므로 \(12S = 81\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(f'(x) = 3x^2 - 6x\)에서 \(f'(0) = 0,\; f(0) = 0\)이므로 원점에서의 접선은 \(x\)축(\(y = 0\))임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3) = 0\)에서 교점은 \(x = 0, 3\)이고 구간 \([0, 3]\)에서 \(f(x) \le 0\)이므로 \(S = \displaystyle\int_0^{3} (3x^2 - x^3)\,dx\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(S = \left[\dfrac{3}{3}x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^{3} = \dfrac{81}{12}\)이므로 \(12S = 81\)이다. 3점
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구간 $[0, 3]$에서 $f(x) \le 0$이므로 부호를 바꾸어 $-f(x)$를 정적분해야 넓이가 양수로 산출됩니다.
🎯 [최종 정답] \(81\) \(\left(S = \dfrac{27}{4}\right)\)
【문제 1】 원문 요약 — 유리수 지수의 곱셈 공식과 대칭식 추론 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.22 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] 양수 \(a\)에 대하여 \(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} = 4\)일 때, \(a + a^{-1}\)의 값과 \(a^2 + a^{-2}\)의 값을 차례로 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 1 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 유리수 지수의 곱셈 공식 \(\left(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = a + a^{-1} - 2\)와 \((a + a^{-1})^2 = a^2 + a^{-2} + 2\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a + a^{-1} = 4^2 + 2 = 18\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a^2 + a^{-2} = 18^2 - 2 = 322\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 유리수 지수의 곱셈 공식 \(\left(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = a + a^{-1} - 2\)와 \((a + a^{-1})^2 = a^2 + a^{-2} + 2\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(a + a^{-1} = 4^2 + 2 = 18\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(a^2 + a^{-2} = 18^2 - 2 = 322\)이다. 3점
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부호가 마이너스인 제곱식 $(x - x^{-1})^2 = x^2 + x^{-2} - 2$에서 상수항 $-2$를 이항할 때 $+2$가 됨에 유의합니다.
🎯 [최종 정답] \(a + a^{-1} = 18,\; a^2 + a^{-2} = 322\)
【문제 2】 원문 요약 — 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03, 12대수01-04] 로그부등식 \(\log_2(x - 4) + \log_2(10 - x) \ge 3\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 2 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 진수 조건 \(x - 4 \gt 0\) 및 \(10 - x \gt 0\)으로부터 \(4 \lt x \lt 10\)을 먼저 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log_2\{(x - 4)(10 - x)\} \ge \log_2 8\)이고 밑 \(2 \gt 1\)이므로 \((x - 4)(10 - x) \ge 8 \iff (x - 6)(x - 8) \le 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 진수 조건과 연립하면 \(6 \le x \le 8\)이므로 정수 \(x\)는 \(6, 7, 8\)이고 그 합은 \(21\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 진수 조건 \(x - 4 \gt 0\) 및 \(10 - x \gt 0\)으로부터 \(4 \lt x \lt 10\)을 먼저 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\log_2\{(x - 4)(10 - x)\} \ge \log_2 8\)이고 밑 \(2 \gt 1\)이므로 \((x - 4)(10 - x) \ge 8 \iff (x - 6)(x - 8) \le 0\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 진수 조건과 연립하면 \(6 \le x \le 8\)이므로 정수 \(x\)는 \(6, 7, 8\)이고 그 합은 \(21\)이다. 3점
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로그부등식 채점에서는 진수 조건 도출에 3점이 배점되므로 반드시 부등식 풀이보다 먼저 진수 범위를 선언해야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(21\) \((x = 6, 7, 8)\)
【문제 3】 원문 요약 — 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소 추론 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-03] \(0 \le x \le 2\pi\)에서 함수 \(f(x) = -\cos^2 x + 2\sin x + 4\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M\)과 \(m\)을 각각 구하고 \(M \cdot m\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 3 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하고 \(t = \sin x\) (\(-1 \le t \le 1\))로 치환함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(g(t) = t^2 + 2t + 3 = (t + 1)^2 + 2\)는 구간 \([-1, 1]\)에서 순증가한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(t = 1\)일 때 \(M = 6\), \(t = -1\)일 때 \(m = 2\)이므로 \(M \cdot m = 12\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하고 \(t = \sin x\) (\(-1 \le t \le 1\))로 치환함을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(g(t) = t^2 + 2t + 3 = (t + 1)^2 + 2\)는 구간 \([-1, 1]\)에서 순증가한다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(t = 1\)일 때 \(M = 6\), \(t = -1\)일 때 \(m = 2\)이므로 \(M \cdot m = 12\)이다. 3점
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삼각함수 치환 시 제한 변역 $-1 \le t \le 1$을 반드시 기록해야 꼭짓점 포함 여부를 정확히 판정할 수 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(M = 6,\; m = 2,\; M \cdot m = 12\)
【문제 4】 원문 요약 — 코사인법칙과 삼각형의 넓이 통합 추론 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 그림과 같이 \(\overline{\mathrm{AB}} = 16,\; \overline{\mathrm{AC}} = 6,\; \angle \mathrm{A} = \dfrac{\pi}{3}\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{BC}}^2\)의 값과 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)를 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 4 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)와 삼각형 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 16^2 + 6^2 - 2 \cdot 16 \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{2} = 196\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)와 삼각형 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 16^2 + 6^2 - 2 \cdot 16 \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{2} = 196\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}\)이다. 3점
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$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$과 $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$의 값을 서로 바꾸어 대입하지 않도록 주의합니다.
🎯 [최종 정답] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 196,\; S = 24\sqrt{3}\)
【문제 5】 원문 요약 — 수열의 합과 일반항의 관계 및 거듭제곱 급수 [배점 10점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06, 12대수03-07] 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 \(S_n = n^2 + 4n\)일 때, 일반항 \(a_n\)을 구하고 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k a_k\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 5 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(a_1 = S_1\) 및 \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\) 관계식과 자연수 거듭제곱의 합 공식을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = (n^2 + 4n) - \{(n-1)^2 + 4(n-1)\} = 2n + 3\)이며, \(a_1 = 5\)과 일치하므로 모든 자연수 \(n\)에서 \(a_n = 2n + 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (2k^2 + 3k) = 2 \cdot \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} + 3 \cdot \dfrac{5 \cdot 6}{2} = 110 + 45 = 155\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(a_1 = S_1\) 및 \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\) 관계식과 자연수 거듭제곱의 합 공식을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = (n^2 + 4n) - \{(n-1)^2 + 4(n-1)\} = 2n + 3\)이며, \(a_1 = 5\)과 일치하므로 모든 자연수 \(n\)에서 \(a_n = 2n + 3\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (2k^2 + 3k) = 2 \cdot \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} + 3 \cdot \dfrac{5 \cdot 6}{2} = 110 + 45 = 155\)이다. 3점
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$S_n - S_{n-1}$은 $n \ge 2$에서만 정의되므로 $n=1$일 때 $S_1$과 일치함을 검증하는 한 줄을 반드시 적어야 감점이 없습니다.
🎯 [최종 정답] \(a_n = 2n + 3,\; \displaystyle\sum_{k=1}^{5} k a_k = 155\)
【문제 6】 원문 요약 — 무리식을 포함한 부정형 함수의 극한과 미정계수 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x + a} - 4}{x - 4} = b\)일 때, \(a\)와 \(b\)의 값을 각각 구하고 \(a + 8b\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 6 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to 4\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)에 수렴해야 함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\sqrt{4 + a} - 4 = 0\)에서 \(a = 12\)이고, 유리화하면 \(\displaystyle\lim_{x \to 4}\dfrac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x + 12} + 4)} = \dfrac{1}{8} = b\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a = 12,\; b = \dfrac{1}{8}\)이므로 \(a + 8b = 12 + 1 = 13\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(x \to 4\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)에 수렴해야 함을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\sqrt{4 + a} - 4 = 0\)에서 \(a = 12\)이고, 유리화하면 \(\displaystyle\lim_{x \to 4}\dfrac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x + 12} + 4)} = \dfrac{1}{8} = b\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(a = 12,\; b = \dfrac{1}{8}\)이므로 \(a + 8b = 12 + 1 = 13\)이다. 3점
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무리식 극한은 켤레식 $\sqrt{x+a} + 4$을 분모·분자에 곱하여 영인자 $(x - 4)$를 약분하는 과정을 명확히 보여야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(a = 12,\; b = \dfrac{1}{8},\; a + 8b = 13\)
【문제 7】 원문 요약 — 곱의 미분법과 접선의 방정식 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 함수 \(f(x) = (x^2 + 4)(2x - 1)\)의 그래프 위의 점 \((1, f(1))\)에서의 접선의 기울기 \(m\)과 \(y\)절편 \(n\)을 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 7 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 곱의 미분법 \(\{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)\)와 접선의 방정식 \(y - f(1) = f'(1)(x - 1)\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(1) = 5\)이고, \(f'(x) = 2x(2x - 1) + 2(x^2 + 4)\)에서 기울기 \(m = f'(1) = 2 + 2(1 + 4) = 12\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 접선의 방정식은 \(y = 12(x - 1) + 5 = 12x - 7\)이므로 \(y\)절편은 \(n = -7\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 곱의 미분법 \(\{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)\)와 접선의 방정식 \(y - f(1) = f'(1)(x - 1)\)을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f(1) = 5\)이고, \(f'(x) = 2x(2x - 1) + 2(x^2 + 4)\)에서 기울기 \(m = f'(1) = 2 + 2(1 + 4) = 12\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 접선의 방정식은 \(y = 12(x - 1) + 5 = 12x - 7\)이므로 \(y\)절편은 \(n = -7\)이다. 3점
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식을 무리하게 전개하기보다 곱의 미분법을 곧바로 적용하면 부호 실수를 줄이고 채점 루브릭 1단계 점수를 확보할 수 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(m = 12,\; n = -7\)
【문제 8】 원문 요약 — 사차함수의 대칭성과 극댓값·극솟값의 차 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 사차함수 \(f(x) = x^4 - 16x^3 + 64x^2 + 5\)의 극댓값을 \(M\), 극솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M\)과 \(m\)을 각각 구하고 \(M - m\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 8 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = 4x^3 - 48x^2 + 128x = 4x(x - 4)(x - 8) = 0\)을 인수분해하여 증감표를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 0\)과 \(x = 8\)에서 도함수가 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값 \(m = f(0) = f(8) = 5\)이고, \(x = 4\)에서 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(x) = x^2(x - 8)^2 + 5\)에서 \(M = f(4) = 261\)이므로 \(M - m = 256\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 도함수 \(f'(x) = 4x^3 - 48x^2 + 128x = 4x(x - 4)(x - 8) = 0\)을 인수분해하여 증감표를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x = 0\)과 \(x = 8\)에서 도함수가 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값 \(m = f(0) = f(8) = 5\)이고, \(x = 4\)에서 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값을 갖는다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(f(x) = x^2(x - 8)^2 + 5\)에서 \(M = f(4) = 261\)이므로 \(M - m = 256\)이다. 3점
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$f'(x)=0$의 근을 구한 뒤 좌우에서의 도함수 부호 변화를 서술해야 극대·극소 판정의 논리적 완결성이 인정됩니다.
🎯 [최종 정답] \(M = 261,\; m = 5,\; M - m = 256\)
【문제 9】 원문 요약 — 대칭구간에서 기함수·우함수의 정적분 성질 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 정적분 \(\displaystyle\int_{-4}^{4} \left(x^5 - 3x^3 + 3x^2 + 2\right)\,dx\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 9 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 원점 대칭구간 \([-a, a]\)에서 기함수(\(x\)의 홀수 차수 항)의 정적분은 \(0\), 우함수(\(x\)의 짝수 차수 항)는 \(2\displaystyle\int_0^a\)가 됨을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^5 - 3x^3\)은 기함수이므로 적분값이 \(0\)이고, 준식은 \(2\displaystyle\int_0^{4} (3x^2 + 2)\,dx\)로 간단히 정리된다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(2\left[x^3 + 2x\right]_0^{4} = 2(64 + 8) = 144\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 원점 대칭구간 \([-a, a]\)에서 기함수(\(x\)의 홀수 차수 항)의 정적분은 \(0\), 우함수(\(x\)의 짝수 차수 항)는 \(2\displaystyle\int_0^a\)가 됨을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x^5 - 3x^3\)은 기함수이므로 적분값이 \(0\)이고, 준식은 \(2\displaystyle\int_0^{4} (3x^2 + 2)\,dx\)로 간단히 정리된다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(2\left[x^3 + 2x\right]_0^{4} = 2(64 + 8) = 144\)이다. 3점
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$x^5, x^3$을 일일이 부정적분하여 대입하면 부호 계산 실수가 잦으므로 반드시 기함수 소거 성질을 먼저 선언하고 계산합니다.
🎯 [최종 정답] \(144\)
【문제 10】 원문 요약 — 삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 그림과 같이 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 4x^2\)의 그래프와 원점 \((0, 0)\)에서의 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(12S\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 10 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f'(x) = 3x^2 - 8x\)에서 \(f'(0) = 0,\; f(0) = 0\)이므로 원점에서의 접선은 \(x\)축(\(y = 0\))임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^3 - 4x^2 = x^2(x - 4) = 0\)에서 교점은 \(x = 0, 4\)이고 구간 \([0, 4]\)에서 \(f(x) \le 0\)이므로 \(S = \displaystyle\int_0^{4} (4x^2 - x^3)\,dx\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(S = \left[\dfrac{4}{3}x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^{4} = \dfrac{256}{12}\)이므로 \(12S = 256\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(f'(x) = 3x^2 - 8x\)에서 \(f'(0) = 0,\; f(0) = 0\)이므로 원점에서의 접선은 \(x\)축(\(y = 0\))임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x^3 - 4x^2 = x^2(x - 4) = 0\)에서 교점은 \(x = 0, 4\)이고 구간 \([0, 4]\)에서 \(f(x) \le 0\)이므로 \(S = \displaystyle\int_0^{4} (4x^2 - x^3)\,dx\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(S = \left[\dfrac{4}{3}x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^{4} = \dfrac{256}{12}\)이므로 \(12S = 256\)이다. 3점
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구간 $[0, 4]$에서 $f(x) \le 0$이므로 부호를 바꾸어 $-f(x)$를 정적분해야 넓이가 양수로 산출됩니다.
🎯 [최종 정답] \(256\) \(\left(S = \dfrac{64}{3}\right)\)
【문제 1】 원문 요약 — 유리수 지수의 곱셈 공식과 대칭식 추론 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03, 12대수01-04] 양수 \(a\)에 대하여 \(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} = 5\)일 때, \(a + a^{-1}\)의 값과 \(a^2 + a^{-2}\)의 값을 차례로 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 1 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 유리수 지수의 곱셈 공식 \(\left(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = a + a^{-1} - 2\)와 \((a + a^{-1})^2 = a^2 + a^{-2} + 2\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a + a^{-1} = 5^2 + 2 = 27\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a^2 + a^{-2} = 27^2 - 2 = 727\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 유리수 지수의 곱셈 공식 \(\left(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = a + a^{-1} - 2\)와 \((a + a^{-1})^2 = a^2 + a^{-2} + 2\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(a + a^{-1} = 5^2 + 2 = 27\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(a^2 + a^{-2} = 27^2 - 2 = 727\)이다. 3점
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부호가 마이너스인 제곱식 $(x - x^{-1})^2 = x^2 + x^{-2} - 2$에서 상수항 $-2$를 이항할 때 $+2$가 됨에 유의합니다.
🎯 [최종 정답] \(a + a^{-1} = 27,\; a^2 + a^{-2} = 727\)
【문제 2】 원문 요약 — 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04] 로그부등식 \(\log_2(x - 5) + \log_2(11 - x) \ge 3\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 2 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 진수 조건 \(x - 5 \gt 0\) 및 \(11 - x \gt 0\)으로부터 \(5 \lt x \lt 11\)을 먼저 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log_2\{(x - 5)(11 - x)\} \ge \log_2 8\)이고 밑 \(2 \gt 1\)이므로 \((x - 5)(11 - x) \ge 8 \iff (x - 7)(x - 9) \le 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 진수 조건과 연립하면 \(7 \le x \le 9\)이므로 정수 \(x\)는 \(7, 8, 9\)이고 그 합은 \(24\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 진수 조건 \(x - 5 \gt 0\) 및 \(11 - x \gt 0\)으로부터 \(5 \lt x \lt 11\)을 먼저 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\log_2\{(x - 5)(11 - x)\} \ge \log_2 8\)이고 밑 \(2 \gt 1\)이므로 \((x - 5)(11 - x) \ge 8 \iff (x - 7)(x - 9) \le 0\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 진수 조건과 연립하면 \(7 \le x \le 9\)이므로 정수 \(x\)는 \(7, 8, 9\)이고 그 합은 \(24\)이다. 3점
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로그부등식 채점에서는 진수 조건 도출에 3점이 배점되므로 반드시 부등식 풀이보다 먼저 진수 범위를 선언해야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(24\) \((x = 7, 8, 9)\)
【문제 3】 원문 요약 — 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소 추론 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03] \(0 \le x \le 2\pi\)에서 함수 \(f(x) = -\cos^2 x + 2\sin x + 5\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M\)과 \(m\)을 각각 구하고 \(M \cdot m\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 3 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하고 \(t = \sin x\) (\(-1 \le t \le 1\))로 치환함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(g(t) = t^2 + 2t + 4 = (t + 1)^2 + 3\)는 구간 \([-1, 1]\)에서 순증가한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(t = 1\)일 때 \(M = 7\), \(t = -1\)일 때 \(m = 3\)이므로 \(M \cdot m = 21\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하고 \(t = \sin x\) (\(-1 \le t \le 1\))로 치환함을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(g(t) = t^2 + 2t + 4 = (t + 1)^2 + 3\)는 구간 \([-1, 1]\)에서 순증가한다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(t = 1\)일 때 \(M = 7\), \(t = -1\)일 때 \(m = 3\)이므로 \(M \cdot m = 21\)이다. 3점
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삼각함수 치환 시 제한 변역 $-1 \le t \le 1$을 반드시 기록해야 꼭짓점 포함 여부를 정확히 판정할 수 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(M = 7,\; m = 3,\; M \cdot m = 21\)
【문제 4】 원문 요약 — 코사인법칙과 삼각형의 넓이 통합 추론 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 그림과 같이 \(\overline{\mathrm{AB}} = 20,\; \overline{\mathrm{AC}} = 7,\; \angle \mathrm{A} = \dfrac{\pi}{3}\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{BC}}^2\)의 값과 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)를 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 4 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)와 삼각형 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 20^2 + 7^2 - 2 \cdot 20 \cdot 7 \cdot \dfrac{1}{2} = 309\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot 7 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 35\sqrt{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)와 삼각형 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 20^2 + 7^2 - 2 \cdot 20 \cdot 7 \cdot \dfrac{1}{2} = 309\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot 7 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 35\sqrt{3}\)이다. 3점
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$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$과 $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$의 값을 서로 바꾸어 대입하지 않도록 주의합니다.
🎯 [최종 정답] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 309,\; S = 35\sqrt{3}\)
【문제 5】 원문 요약 — 수열의 합과 일반항의 관계 및 거듭제곱 급수 [배점 10점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03, 12대수03-05] 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 \(S_n = n^2 + 5n\)일 때, 일반항 \(a_n\)을 구하고 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k a_k\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 5 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(a_1 = S_1\) 및 \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\) 관계식과 자연수 거듭제곱의 합 공식을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = (n^2 + 5n) - \{(n-1)^2 + 5(n-1)\} = 2n + 4\)이며, \(a_1 = 6\)과 일치하므로 모든 자연수 \(n\)에서 \(a_n = 2n + 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (2k^2 + 4k) = 2 \cdot \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} + 4 \cdot \dfrac{5 \cdot 6}{2} = 110 + 60 = 170\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(a_1 = S_1\) 및 \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\) 관계식과 자연수 거듭제곱의 합 공식을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = (n^2 + 5n) - \{(n-1)^2 + 5(n-1)\} = 2n + 4\)이며, \(a_1 = 6\)과 일치하므로 모든 자연수 \(n\)에서 \(a_n = 2n + 4\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (2k^2 + 4k) = 2 \cdot \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} + 4 \cdot \dfrac{5 \cdot 6}{2} = 110 + 60 = 170\)이다. 3점
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$S_n - S_{n-1}$은 $n \ge 2$에서만 정의되므로 $n=1$일 때 $S_1$과 일치함을 검증하는 한 줄을 반드시 적어야 감점이 없습니다.
🎯 [최종 정답] \(a_n = 2n + 4,\; \displaystyle\sum_{k=1}^{5} k a_k = 170\)
【문제 6】 원문 요약 — 무리식을 포함한 부정형 함수의 극한과 미정계수 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x + a} - 5}{x - 5} = b\)일 때, \(a\)와 \(b\)의 값을 각각 구하고 \(a + 10b\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 6 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to 5\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)에 수렴해야 함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\sqrt{5 + a} - 5 = 0\)에서 \(a = 20\)이고, 유리화하면 \(\displaystyle\lim_{x \to 5}\dfrac{x - 5}{(x - 5)(\sqrt{x + 20} + 5)} = \dfrac{1}{10} = b\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a = 20,\; b = \dfrac{1}{10}\)이므로 \(a + 10b = 20 + 1 = 21\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(x \to 5\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)에 수렴해야 함을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\sqrt{5 + a} - 5 = 0\)에서 \(a = 20\)이고, 유리화하면 \(\displaystyle\lim_{x \to 5}\dfrac{x - 5}{(x - 5)(\sqrt{x + 20} + 5)} = \dfrac{1}{10} = b\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(a = 20,\; b = \dfrac{1}{10}\)이므로 \(a + 10b = 20 + 1 = 21\)이다. 3점
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무리식 극한은 켤레식 $\sqrt{x+a} + 5$을 분모·분자에 곱하여 영인자 $(x - 5)$를 약분하는 과정을 명확히 보여야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(a = 20,\; b = \dfrac{1}{10},\; a + 10b = 21\)
【문제 7】 원문 요약 — 곱의 미분법과 접선의 방정식 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 함수 \(f(x) = (x^2 + 5)(2x - 1)\)의 그래프 위의 점 \((1, f(1))\)에서의 접선의 기울기 \(m\)과 \(y\)절편 \(n\)을 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 7 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 곱의 미분법 \(\{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)\)와 접선의 방정식 \(y - f(1) = f'(1)(x - 1)\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(1) = 6\)이고, \(f'(x) = 2x(2x - 1) + 2(x^2 + 5)\)에서 기울기 \(m = f'(1) = 2 + 2(1 + 5) = 14\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 접선의 방정식은 \(y = 14(x - 1) + 6 = 14x - 8\)이므로 \(y\)절편은 \(n = -8\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 곱의 미분법 \(\{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)\)와 접선의 방정식 \(y - f(1) = f'(1)(x - 1)\)을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f(1) = 6\)이고, \(f'(x) = 2x(2x - 1) + 2(x^2 + 5)\)에서 기울기 \(m = f'(1) = 2 + 2(1 + 5) = 14\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 접선의 방정식은 \(y = 14(x - 1) + 6 = 14x - 8\)이므로 \(y\)절편은 \(n = -8\)이다. 3점
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식을 무리하게 전개하기보다 곱의 미분법을 곧바로 적용하면 부호 실수를 줄이고 채점 루브릭 1단계 점수를 확보할 수 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(m = 14,\; n = -8\)
【문제 8】 원문 요약 — 사차함수의 대칭성과 극댓값·극솟값의 차 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 사차함수 \(f(x) = x^4 - 20x^3 + 100x^2 + 5\)의 극댓값을 \(M\), 극솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M\)과 \(m\)을 각각 구하고 \(M - m\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 8 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = 4x^3 - 60x^2 + 200x = 4x(x - 5)(x - 10) = 0\)을 인수분해하여 증감표를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 0\)과 \(x = 10\)에서 도함수가 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값 \(m = f(0) = f(10) = 5\)이고, \(x = 5\)에서 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(x) = x^2(x - 10)^2 + 5\)에서 \(M = f(5) = 630\)이므로 \(M - m = 625\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 도함수 \(f'(x) = 4x^3 - 60x^2 + 200x = 4x(x - 5)(x - 10) = 0\)을 인수분해하여 증감표를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x = 0\)과 \(x = 10\)에서 도함수가 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값 \(m = f(0) = f(10) = 5\)이고, \(x = 5\)에서 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값을 갖는다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(f(x) = x^2(x - 10)^2 + 5\)에서 \(M = f(5) = 630\)이므로 \(M - m = 625\)이다. 3점
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$f'(x)=0$의 근을 구한 뒤 좌우에서의 도함수 부호 변화를 서술해야 극대·극소 판정의 논리적 완결성이 인정됩니다.
🎯 [최종 정답] \(M = 630,\; m = 5,\; M - m = 625\)
【문제 9】 원문 요약 — 대칭구간에서 기함수·우함수의 정적분 성질 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 정적분 \(\displaystyle\int_{-5}^{5} \left(x^5 - 3x^3 + 3x^2 + 2\right)\,dx\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 9 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 원점 대칭구간 \([-a, a]\)에서 기함수(\(x\)의 홀수 차수 항)의 정적분은 \(0\), 우함수(\(x\)의 짝수 차수 항)는 \(2\displaystyle\int_0^a\)가 됨을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^5 - 3x^3\)은 기함수이므로 적분값이 \(0\)이고, 준식은 \(2\displaystyle\int_0^{5} (3x^2 + 2)\,dx\)로 간단히 정리된다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(2\left[x^3 + 2x\right]_0^{5} = 2(125 + 10) = 270\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 원점 대칭구간 \([-a, a]\)에서 기함수(\(x\)의 홀수 차수 항)의 정적분은 \(0\), 우함수(\(x\)의 짝수 차수 항)는 \(2\displaystyle\int_0^a\)가 됨을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x^5 - 3x^3\)은 기함수이므로 적분값이 \(0\)이고, 준식은 \(2\displaystyle\int_0^{5} (3x^2 + 2)\,dx\)로 간단히 정리된다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(2\left[x^3 + 2x\right]_0^{5} = 2(125 + 10) = 270\)이다. 3점
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$x^5, x^3$을 일일이 부정적분하여 대입하면 부호 계산 실수가 잦으므로 반드시 기함수 소거 성질을 먼저 선언하고 계산합니다.
🎯 [최종 정답] \(270\)
【문제 10】 원문 요약 — 삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 그림과 같이 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 5x^2\)의 그래프와 원점 \((0, 0)\)에서의 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(12S\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 10 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f'(x) = 3x^2 - 10x\)에서 \(f'(0) = 0,\; f(0) = 0\)이므로 원점에서의 접선은 \(x\)축(\(y = 0\))임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^3 - 5x^2 = x^2(x - 5) = 0\)에서 교점은 \(x = 0, 5\)이고 구간 \([0, 5]\)에서 \(f(x) \le 0\)이므로 \(S = \displaystyle\int_0^{5} (5x^2 - x^3)\,dx\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(S = \left[\dfrac{5}{3}x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^{5} = \dfrac{625}{12}\)이므로 \(12S = 625\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(f'(x) = 3x^2 - 10x\)에서 \(f'(0) = 0,\; f(0) = 0\)이므로 원점에서의 접선은 \(x\)축(\(y = 0\))임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x^3 - 5x^2 = x^2(x - 5) = 0\)에서 교점은 \(x = 0, 5\)이고 구간 \([0, 5]\)에서 \(f(x) \le 0\)이므로 \(S = \displaystyle\int_0^{5} (5x^2 - x^3)\,dx\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(S = \left[\dfrac{5}{3}x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^{5} = \dfrac{625}{12}\)이므로 \(12S = 625\)이다. 3점
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구간 $[0, 5]$에서 $f(x) \le 0$이므로 부호를 바꾸어 $-f(x)$를 정적분해야 넓이가 양수로 산출됩니다.
🎯 [최종 정답] \(625\) \(\left(S = \dfrac{625}{12}\right)\)
【문제 1】 원문 요약 — 유리수 지수의 곱셈 공식과 대칭식 추론 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04] 양수 \(a\)에 대하여 \(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} = 6\)일 때, \(a + a^{-1}\)의 값과 \(a^2 + a^{-2}\)의 값을 차례로 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 1 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 유리수 지수의 곱셈 공식 \(\left(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = a + a^{-1} - 2\)와 \((a + a^{-1})^2 = a^2 + a^{-2} + 2\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a + a^{-1} = 6^2 + 2 = 38\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a^2 + a^{-2} = 38^2 - 2 = 1442\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 유리수 지수의 곱셈 공식 \(\left(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = a + a^{-1} - 2\)와 \((a + a^{-1})^2 = a^2 + a^{-2} + 2\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(a + a^{-1} = 6^2 + 2 = 38\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(a^2 + a^{-2} = 38^2 - 2 = 1442\)이다. 3점
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부호가 마이너스인 제곱식 $(x - x^{-1})^2 = x^2 + x^{-2} - 2$에서 상수항 $-2$를 이항할 때 $+2$가 됨에 유의합니다.
🎯 [최종 정답] \(a + a^{-1} = 38,\; a^2 + a^{-2} = 1442\)
【문제 2】 원문 요약 — 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06] 로그부등식 \(\log_2(x - 6) + \log_2(12 - x) \ge 3\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 2 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 진수 조건 \(x - 6 \gt 0\) 및 \(12 - x \gt 0\)으로부터 \(6 \lt x \lt 12\)을 먼저 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log_2\{(x - 6)(12 - x)\} \ge \log_2 8\)이고 밑 \(2 \gt 1\)이므로 \((x - 6)(12 - x) \ge 8 \iff (x - 8)(x - 10) \le 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 진수 조건과 연립하면 \(8 \le x \le 10\)이므로 정수 \(x\)는 \(8, 9, 10\)이고 그 합은 \(27\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 진수 조건 \(x - 6 \gt 0\) 및 \(12 - x \gt 0\)으로부터 \(6 \lt x \lt 12\)을 먼저 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\log_2\{(x - 6)(12 - x)\} \ge \log_2 8\)이고 밑 \(2 \gt 1\)이므로 \((x - 6)(12 - x) \ge 8 \iff (x - 8)(x - 10) \le 0\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 진수 조건과 연립하면 \(8 \le x \le 10\)이므로 정수 \(x\)는 \(8, 9, 10\)이고 그 합은 \(27\)이다. 3점
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로그부등식 채점에서는 진수 조건 도출에 3점이 배점되므로 반드시 부등식 풀이보다 먼저 진수 범위를 선언해야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(27\) \((x = 8, 9, 10)\)
【문제 3】 원문 요약 — 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소 추론 [배점 10점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] \(0 \le x \le 2\pi\)에서 함수 \(f(x) = -\cos^2 x + 2\sin x + 6\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M\)과 \(m\)을 각각 구하고 \(M \cdot m\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 3 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하고 \(t = \sin x\) (\(-1 \le t \le 1\))로 치환함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(g(t) = t^2 + 2t + 5 = (t + 1)^2 + 4\)는 구간 \([-1, 1]\)에서 순증가한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(t = 1\)일 때 \(M = 8\), \(t = -1\)일 때 \(m = 4\)이므로 \(M \cdot m = 32\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하고 \(t = \sin x\) (\(-1 \le t \le 1\))로 치환함을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(g(t) = t^2 + 2t + 5 = (t + 1)^2 + 4\)는 구간 \([-1, 1]\)에서 순증가한다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(t = 1\)일 때 \(M = 8\), \(t = -1\)일 때 \(m = 4\)이므로 \(M \cdot m = 32\)이다. 3점
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삼각함수 치환 시 제한 변역 $-1 \le t \le 1$을 반드시 기록해야 꼭짓점 포함 여부를 정확히 판정할 수 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(M = 8,\; m = 4,\; M \cdot m = 32\)
【문제 4】 원문 요약 — 코사인법칙과 삼각형의 넓이 통합 추론 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 그림과 같이 \(\overline{\mathrm{AB}} = 24,\; \overline{\mathrm{AC}} = 8,\; \angle \mathrm{A} = \dfrac{\pi}{3}\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{BC}}^2\)의 값과 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)를 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 4 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)와 삼각형 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 24^2 + 8^2 - 2 \cdot 24 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 448\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 48\sqrt{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)와 삼각형 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 24^2 + 8^2 - 2 \cdot 24 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 448\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 48\sqrt{3}\)이다. 3점
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$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$과 $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$의 값을 서로 바꾸어 대입하지 않도록 주의합니다.
🎯 [최종 정답] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 448,\; S = 48\sqrt{3}\)
【문제 5】 원문 요약 — 수열의 합과 일반항의 관계 및 거듭제곱 급수 [배점 10점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06, 12대수03-07] 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 \(S_n = n^2 + 6n\)일 때, 일반항 \(a_n\)을 구하고 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k a_k\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 5 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(a_1 = S_1\) 및 \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\) 관계식과 자연수 거듭제곱의 합 공식을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = (n^2 + 6n) - \{(n-1)^2 + 6(n-1)\} = 2n + 5\)이며, \(a_1 = 7\)과 일치하므로 모든 자연수 \(n\)에서 \(a_n = 2n + 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (2k^2 + 5k) = 2 \cdot \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} + 5 \cdot \dfrac{5 \cdot 6}{2} = 110 + 75 = 185\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(a_1 = S_1\) 및 \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\) 관계식과 자연수 거듭제곱의 합 공식을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = (n^2 + 6n) - \{(n-1)^2 + 6(n-1)\} = 2n + 5\)이며, \(a_1 = 7\)과 일치하므로 모든 자연수 \(n\)에서 \(a_n = 2n + 5\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (2k^2 + 5k) = 2 \cdot \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} + 5 \cdot \dfrac{5 \cdot 6}{2} = 110 + 75 = 185\)이다. 3점
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$S_n - S_{n-1}$은 $n \ge 2$에서만 정의되므로 $n=1$일 때 $S_1$과 일치함을 검증하는 한 줄을 반드시 적어야 감점이 없습니다.
🎯 [최종 정답] \(a_n = 2n + 5,\; \displaystyle\sum_{k=1}^{5} k a_k = 185\)
【문제 6】 원문 요약 — 무리식을 포함한 부정형 함수의 극한과 미정계수 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{x + a} - 6}{x - 6} = b\)일 때, \(a\)와 \(b\)의 값을 각각 구하고 \(a + 12b\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 6 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to 6\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)에 수렴해야 함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\sqrt{6 + a} - 6 = 0\)에서 \(a = 30\)이고, 유리화하면 \(\displaystyle\lim_{x \to 6}\dfrac{x - 6}{(x - 6)(\sqrt{x + 30} + 6)} = \dfrac{1}{12} = b\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a = 30,\; b = \dfrac{1}{12}\)이므로 \(a + 12b = 30 + 1 = 31\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(x \to 6\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)에 수렴해야 함을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\sqrt{6 + a} - 6 = 0\)에서 \(a = 30\)이고, 유리화하면 \(\displaystyle\lim_{x \to 6}\dfrac{x - 6}{(x - 6)(\sqrt{x + 30} + 6)} = \dfrac{1}{12} = b\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(a = 30,\; b = \dfrac{1}{12}\)이므로 \(a + 12b = 30 + 1 = 31\)이다. 3점
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무리식 극한은 켤레식 $\sqrt{x+a} + 6$을 분모·분자에 곱하여 영인자 $(x - 6)$를 약분하는 과정을 명확히 보여야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(a = 30,\; b = \dfrac{1}{12},\; a + 12b = 31\)
【문제 7】 원문 요약 — 곱의 미분법과 접선의 방정식 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 함수 \(f(x) = (x^2 + 6)(2x - 1)\)의 그래프 위의 점 \((1, f(1))\)에서의 접선의 기울기 \(m\)과 \(y\)절편 \(n\)을 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 7 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 곱의 미분법 \(\{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)\)와 접선의 방정식 \(y - f(1) = f'(1)(x - 1)\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(1) = 7\)이고, \(f'(x) = 2x(2x - 1) + 2(x^2 + 6)\)에서 기울기 \(m = f'(1) = 2 + 2(1 + 6) = 16\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 접선의 방정식은 \(y = 16(x - 1) + 7 = 16x - 9\)이므로 \(y\)절편은 \(n = -9\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 곱의 미분법 \(\{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)\)와 접선의 방정식 \(y - f(1) = f'(1)(x - 1)\)을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f(1) = 7\)이고, \(f'(x) = 2x(2x - 1) + 2(x^2 + 6)\)에서 기울기 \(m = f'(1) = 2 + 2(1 + 6) = 16\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) 접선의 방정식은 \(y = 16(x - 1) + 7 = 16x - 9\)이므로 \(y\)절편은 \(n = -9\)이다. 3점
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식을 무리하게 전개하기보다 곱의 미분법을 곧바로 적용하면 부호 실수를 줄이고 채점 루브릭 1단계 점수를 확보할 수 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(m = 16,\; n = -9\)
【문제 8】 원문 요약 — 사차함수의 대칭성과 극댓값·극솟값의 차 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 사차함수 \(f(x) = x^4 - 24x^3 + 144x^2 + 5\)의 극댓값을 \(M\), 극솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M\)과 \(m\)을 각각 구하고 \(M - m\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 8 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = 4x^3 - 72x^2 + 288x = 4x(x - 6)(x - 12) = 0\)을 인수분해하여 증감표를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 0\)과 \(x = 12\)에서 도함수가 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값 \(m = f(0) = f(12) = 5\)이고, \(x = 6\)에서 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(x) = x^2(x - 12)^2 + 5\)에서 \(M = f(6) = 1301\)이므로 \(M - m = 1296\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 도함수 \(f'(x) = 4x^3 - 72x^2 + 288x = 4x(x - 6)(x - 12) = 0\)을 인수분해하여 증감표를 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x = 0\)과 \(x = 12\)에서 도함수가 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값 \(m = f(0) = f(12) = 5\)이고, \(x = 6\)에서 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값을 갖는다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(f(x) = x^2(x - 12)^2 + 5\)에서 \(M = f(6) = 1301\)이므로 \(M - m = 1296\)이다. 3점
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$f'(x)=0$의 근을 구한 뒤 좌우에서의 도함수 부호 변화를 서술해야 극대·극소 판정의 논리적 완결성이 인정됩니다.
🎯 [최종 정답] \(M = 1301,\; m = 5,\; M - m = 1296\)
【문제 9】 원문 요약 — 대칭구간에서 기함수·우함수의 정적분 성질 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 정적분 \(\displaystyle\int_{-6}^{6} \left(x^5 - 3x^3 + 3x^2 + 2\right)\,dx\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 9 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] 원점 대칭구간 \([-a, a]\)에서 기함수(\(x\)의 홀수 차수 항)의 정적분은 \(0\), 우함수(\(x\)의 짝수 차수 항)는 \(2\displaystyle\int_0^a\)가 됨을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^5 - 3x^3\)은 기함수이므로 적분값이 \(0\)이고, 준식은 \(2\displaystyle\int_0^{6} (3x^2 + 2)\,dx\)로 간단히 정리된다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(2\left[x^3 + 2x\right]_0^{6} = 2(216 + 12) = 456\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) 원점 대칭구간 \([-a, a]\)에서 기함수(\(x\)의 홀수 차수 항)의 정적분은 \(0\), 우함수(\(x\)의 짝수 차수 항)는 \(2\displaystyle\int_0^a\)가 됨을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x^5 - 3x^3\)은 기함수이므로 적분값이 \(0\)이고, 준식은 \(2\displaystyle\int_0^{6} (3x^2 + 2)\,dx\)로 간단히 정리된다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(2\left[x^3 + 2x\right]_0^{6} = 2(216 + 12) = 456\)이다. 3점
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$x^5, x^3$을 일일이 부정적분하여 대입하면 부호 계산 실수가 잦으므로 반드시 기함수 소거 성질을 먼저 선언하고 계산합니다.
🎯 [최종 정답] \(456\)
【문제 10】 원문 요약 — 삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 [배점 10점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 그림과 같이 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2\)의 그래프와 원점 \((0, 0)\)에서의 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(12S\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 10 · 총 10점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f'(x) = 3x^2 - 12x\)에서 \(f'(0) = 0,\; f(0) = 0\)이므로 원점에서의 접선은 \(x\)축(\(y = 0\))임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^3 - 6x^2 = x^2(x - 6) = 0\)에서 교점은 \(x = 0, 6\)이고 구간 \([0, 6]\)에서 \(f(x) \le 0\)이므로 \(S = \displaystyle\int_0^{6} (6x^2 - x^3)\,dx\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(S = \left[\dfrac{6}{3}x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^{6} = \dfrac{1296}{12}\)이므로 \(12S = 1296\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (3점) \(f'(x) = 3x^2 - 12x\)에서 \(f'(0) = 0,\; f(0) = 0\)이므로 원점에서의 접선은 \(x\)축(\(y = 0\))임을 선언한다. 3점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x^3 - 6x^2 = x^2(x - 6) = 0\)에서 교점은 \(x = 0, 6\)이고 구간 \([0, 6]\)에서 \(f(x) \le 0\)이므로 \(S = \displaystyle\int_0^{6} (6x^2 - x^3)\,dx\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (3점) \(S = \left[\dfrac{6}{3}x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^{6} = \dfrac{1296}{12}\)이므로 \(12S = 1296\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
구간 $[0, 6]$에서 $f(x) \le 0$이므로 부호를 바꾸어 $-f(x)$를 정적분해야 넓이가 양수로 산출됩니다.
🎯 [최종 정답] \(1296\) \(\left(S = \dfrac{108}{1}\right)\)
🎯 전형 방식: 논술 중심 전형 📌 수능최저 기준: 모집단위별 수능최저학력기준 확인
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희망 지원 모집단위 선택 약학과 (3합 5등급) (70%컷 92.0점) 인공지능사이버보안학과 (70%컷 84.0점) 소프트웨어보안학부 (70%컷 82.5점) 빅데이터사이언스학부 (70%컷 81.5점) 전자·기계융합공학과 (70%컷 80.5점) 전자및정보공학과 (70%컷 80.0점) 디스플레이·반도체물리학부 (70%컷 79.5점) 미래모빌리티학과 (70%컷 79.0점) 지능형반도체공학과 (70%컷 81.0점) 신소재화학과 (70%컷 78.5점) 생명정보공학과 (70%컷 78.0점) 식품생명공학과 (70%컷 77.5점) 환경시스템공학과 (70%컷 76.5점) 응용수리과학부 (70%컷 77.0점) 첨단융합신약학과 (70%컷 83.0점)
수능최저학력기준 충족 여부 체크 (모집단위별 수능최저학력기준 확인) 합산 환산 총점 (100점 만점) 0.0 / 100점
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모집단위 모집인원 명목경쟁률 실질경쟁률 최초합 평균 70% 충원컷 수능최저 기준 실시간 합격 판정 약학과 (3합 5등급) - - - 94.5점 92.0점 모집단위별 수능최저학력기준 확인 판정 대기 인공지능사이버보안학과 - - - 87.0점 84.0점 모집단위별 수능최저학력기준 확인 판정 대기 소프트웨어보안학부 - - - 85.5점 82.5점 모집단위별 수능최저학력기준 확인 판정 대기 빅데이터사이언스학부 - - - 84.5점 81.5점 모집단위별 수능최저학력기준 확인 판정 대기 전자·기계융합공학과 - - - 84.0점 80.5점 모집단위별 수능최저학력기준 확인 판정 대기 전자및정보공학과 - - - 83.5점 80.0점 모집단위별 수능최저학력기준 확인 판정 대기 디스플레이·반도체물리학부 - - - 83.0점 79.5점 모집단위별 수능최저학력기준 확인 판정 대기 미래모빌리티학과 - - - 82.5점 79.0점 모집단위별 수능최저학력기준 확인 판정 대기 지능형반도체공학과 - - - 84.2점 81.0점 모집단위별 수능최저학력기준 확인 판정 대기 신소재화학과 - - - 81.8점 78.5점 모집단위별 수능최저학력기준 확인 판정 대기 생명정보공학과 - - - 81.5점 78.0점 모집단위별 수능최저학력기준 확인 판정 대기 식품생명공학과 - - - 81.0점 77.5점 모집단위별 수능최저학력기준 확인 판정 대기 환경시스템공학과 - - - 80.0점 76.5점 모집단위별 수능최저학력기준 확인 판정 대기 응용수리과학부 - - - 80.5점 77.0점 모집단위별 수능최저학력기준 확인 판정 대기 첨단융합신약학과 - - - 86.0점 83.0점 모집단위별 수능최저학력기준 확인 판정 대기
💡 모집단위 지원 전략 가이드: 수능최저학력기준 및 결시율을 반영한 실질경쟁률 은 명목경쟁률 대비 평균 35~55% 수준으로 감소합니다. 모의고사 1~10회 평균 점수가 희망 학과 70% 충원컷 +2.0점 이상 에 도달하도록 취약 단원을 집중 보완하십시오.
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