2027학년도 광운대학교 자연계열 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 101쪽 단권화

2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본

2027학년도 광운대학교
자연계열 수리논술
10회분 통합 마스터 문제집·해설집

출제 범위: 교과서 기반 교육과정 수학 전 범위 (Textbook DB SSOT)
시험 시간: 120분 | 전형 반영: 논술 70% + 학생부교과 30% (수능최저 미적용)

📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 101쪽 완결]

• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭

• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (41p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (20문항)

• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (33p): 출제 타당성 보고서(2p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)

• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (21p): 20문항 전수 아코디언 정밀 해설

• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터

📱 스마트폰 실시간 합격진단 & 올인원 대시보드 연동

우측 QR 스캔 또는 상단 툴바 버튼으로 광운대학교 실시간 컷오프 시뮬레이터와 즉시 동기화됩니다.

발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: QUESTIO-2027-UNIFIED-MASTER

전형 반영 비율

논술 70% + 학생부교과 30% (수능최저 미적용)

논술 실질 변별력 핵심

시험 시간 · 문항

120분 · 2문항

회차당 수리 100점 만점

수능최저학력기준

모집단위별 기준 확인

수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발)

출제 교육과정

교과서 기반 수학과

Textbook DB V1.0 완벽 준거

STEP 1기출 5개년 해부Part 1 정독

STEP 2표준 모의 1~5회실전 시간 엄수

STEP 3킬러 모의 6~10회TOP 5 심화 격파

STEP 4루브릭 약점 교정감점 요인 제거

STEP 5입결 컷오프 판정Part 3 시뮬레이션

🔥 역대 킬러 문항 TOP 5 분석 & 실전 모의고사 6~10회 1:1 심화 매칭표

순위	기출 원천 문항	핵심 출제 테마 및 변별 포인트	모의 1:1 매칭	부분점수 공략 전략
TOP 1	2026 1교시 문제 1·2	포함관계 이항정리·대칭이동 겹침 넓이·절댓값 정적분 최소	제6회 핵심 문항	1단계 교과서 공식 명시 선언 후 동치 조건 전개
TOP 2	2026 2교시 문제 2	초월함수 미분 극값 개수와 부분적분 수열 극한	제7회 핵심 문항	1단계 교과서 공식 명시 선언 후 동치 조건 전개
TOP 3	2025 오전 문제 1·2	삼각함수 사인·코사인법칙 도형 극한과 매개변수 접선	제8회 핵심 문항	1단계 교과서 공식 명시 선언 후 동치 조건 전개
TOP 4	2025 오후 문제 2	조건부확률 점화 수열과 정적분 넓이 이등분 방정식	제9회 핵심 문항	1단계 교과서 공식 명시 선언 후 동치 조건 전개
TOP 5	2024 자연 문제 1·2	역함수 정적분 대칭성과 이차곡선 접선 넓이 최솟값	제10회 핵심 문항	1단계 교과서 공식 명시 선언 후 동치 조건 전개

📌 본 통합 마스터북 100% 활용 5단계 로드맵

STAGE 1

1단계(Part 1 2022~2026 광운대 공식 기출 20문항 2면 스프레드 완독)

STAGE 2

2단계(Part 2-1 실전 모의고사 1~5회 120분 실전 답안 작성)

STAGE 3

3단계(모의고사 6~10회 고난도 킬러 변형 및 50점 루브릭 첨삭)

STAGE 4

4단계(Part 3 전자·AI·로봇·소프트웨어 15개 학과 무최저 합격 컷 판정).

PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS

2022~2026학년도 광운대학교
공식 기출 심층 해설 & 교과서 1:1 연계

최근 5개년 기출 핵심 20문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.

📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록

📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공

✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능

📚 과목/단원: 확률과 통계 · 도형의 이동 · 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 광운대 2026학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

1. 집합 $A$가 유한집합일 때, 집합 $A$의 원소의 개수를 기호로 $n(A)$와 같이 나타낸다. 특히 $n(\varnothing)=0$이다.

2. $n$이 자연수일 때, \[(a+b)^n = {}_n\mathrm{C}_0 a^n + {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b + \dots + {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r + \dots + {}_n\mathrm{C}_n b^n\]

3. 점 $(a, b)$를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $(-a, -b)$

4. 미분가능한 함수 $f(x)$에서 $f'(a)=0$이고, $x=a$의 좌우에서
① $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극대이고, 극댓값은 $f(a)$이다.
② $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극소이고, 극솟값은 $f(a)$이다.

2. $n$이 자연수일 때, \[(a+b)^n = {}_n\mathrm{C}_0 a^n + {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b + \dots + {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r + \dots + {}_n\mathrm{C}_n b^n\]

3. 점 $(a, b)$를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $(-a, -b)$

[1] 전체집합 $U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$의 두 부분집합 $A, B$가 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (10점)

(가) $n(A) \times n(B) \ne 0$
(나) $n(B) \lt n(U)$
(다) $A \subset B$

[2] 세 점 $\mathrm{A}(-1, -1), \mathrm{B}(1, -1), \mathrm{C}(1, 3)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 이 삼각형을 원점에 대하여 대칭이동한 삼각형 $\mathrm{A'B'C'}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 두 삼각형이 겹치는 영역의 넓이를 구하시오. (6점)

(2) 두 삼각형 중 한 삼각형을 고정하고 다른 삼각형을 $x$축의 양의 방향 또는 음의 방향으로 평행이동할 때, 두 삼각형이 겹치는 영역의 넓이의 최댓값을 구하시오. (14점)

[3] 실수 $k$에 대하여 $S(k) = \int_0^1 |x^3+k|\,dx$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 $S(k)$를 구하시오. (10점)

(2) 함수 $S(k)$가 최소가 되게 하는 $k$의 값과 함수 $S(k)$의 최솟값을 구하시오. (10점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 확률과 통계 Ⅰ-1. 순열과 조합 (DB: PS_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02]

【유사 연습 문제】 실수 $k$에 대하여 함수 $g(k) = \int_0^2 |x^2 - k|\,dx$ ($0 \lt k \lt 4$)를 $k$에 대한 식으로 나타내고, $g(k)$가 최소가 되도록 하는 $k$의 값과 최솟값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $0 \lt k \lt 4$이므로 $x = \sqrt{k}$에서 부호가 바뀐다. $g(k) = \int_0^{\sqrt{k}} (k - x^2)\,dx + \int_{\sqrt{k}}^2 (x^2 - k)\,dx = \frac{4}{3}k\sqrt{k} - 2k + \frac{8}{3}$이다. 미분하면 $g'(k) = 2\sqrt{k} - 2 = 0 \iff k = 1$에서 최솟값 $g(1) = 2$를 갖는다. [정답: $k=1$, 최솟값 $2$]

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 2026학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 (확률과 통계 · 도형의 이동 · 미적분Ⅰ) [배점 50점]

2026학년도 자연계열 2026학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 — 광운대 2026학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 2026학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 · 총 50점

【정답 및 모범답안】

조건 (가)와 (나)에 의하여 부분집합 $B$는 공집합과 전체집합을 포함하지 않는다.
$n(B)=k$ ($1 \le k \le 5$)일 때, 가능한 집합 $B$의 개수는 ${}_6\mathrm{C}_k$이고,
그 각각에 대하여 집합 $A$의 개수는 조건 (가)와 (다)에 의하여 공집합을 제외한 $2^k - 1$이다.
따라서 세 조건을 만족시키는 전체 경우의 수는 다음과 같다.
\[\begin{aligned} &{}_6\mathrm{C}_1 \times (2^1-1) + {}_6\mathrm{C}_2 \times (2^2-1) + \dots + {}_6\mathrm{C}_5 \times (2^5-1) \\ &= ({}_6\mathrm{C}_1 \times 2^1 + {}_6\mathrm{C}_2 \times 2^2 + \dots + {}_6\mathrm{C}_5 \times 2^5) - ({}_6\mathrm{C}_1 + {}_6\mathrm{C}_2 + \dots + {}_6\mathrm{C}_5) \end{aligned}\] 제시문 2의 이항정리를 이용하면, \[\begin{aligned} {}_6\mathrm{C}_1 \times 2^1 + \dots + {}_6\mathrm{C}_5 \times 2^5 &= \sum_{r=0}^6 {}_6\mathrm{C}_r 2^r - ({}_6\mathrm{C}_0 \times 2^0 + {}_6\mathrm{C}_6 \times 2^6) \\ &= (1+2)^6 - (1 + 64) = 3^6 - 65 = 729 - 65 = 664 \end{aligned}\] \[{}_6\mathrm{C}_1 + {}_6\mathrm{C}_2 + \dots + {}_6\mathrm{C}_5 = \sum_{r=0}^6 {}_6\mathrm{C}_r - ({}_6\mathrm{C}_0 + {}_6\mathrm{C}_6) = (1+1)^6 - (1+1) = 64 - 2 = 62\] 따라서 구하는 경우의 수는 $664 - 62 = 602$이다.

【다른 풀이 (직접 계산)】

$n(B)=1$인 집합 $B$의 개수 ${}_6\mathrm{C}_1 = 6 \implies$ 집합 $A$의 개수 $2^1-1=1$
$n(B)=2$인 집합 $B$의 개수 ${}_6\mathrm{C}_2 = 15 \implies$ 집합 $A$의 개수 $2^2-1=3$
$n(B)=3$인 집합 $B$의 개수 ${}_6\mathrm{C}_3 = 20 \implies$ 집합 $A$의 개수 $2^3-1=7$
$n(B)=4$인 집합 $B$의 개수 ${}_6\mathrm{C}_4 = 15 \implies$ 집합 $A$의 개수 $2^4-1=15$
$n(B)=5$인 집합 $B$의 개수 ${}_6\mathrm{C}_5 = 6 \implies$ 집합 $A$의 개수 $2^5-1=31$
따라서 구하는 경우의 수는 $6 \times 1 + 15 \times 3 + 20 \times 7 + 15 \times 15 + 6 \times 31 = 6 + 45 + 140 + 225 + 186 = 602$이다.

【정답 및 모범답안】

(1) 점 $(a, b)$를 원점에 대하여 대칭이동한 점은 $(-a, -b)$이므로
삼각형 $\mathrm{ABC}$의 세 점을 원점에 대칭이동한 세 점의 좌표는 $\mathrm{A'}(1, 1), \mathrm{B'}(-1, 1), \mathrm{C'}(-1, -3)$이다.
두 삼각형이 겹치는 영역은 밑변의 길이가 $1$, 높이가 $2$인 평행사변형이므로 넓이는 $1 \times 2 = 2$이다.

(2) 삼각형 $\mathrm{ABC}$를 고정하고, 삼각형 $\mathrm{A'B'C'}$을 $x$축 방향으로 평행이동하여 영역의 넓이를 구한다.
점 $\mathrm{A'}$의 좌표를 $\mathrm{A'}(a, 1)$이라 하면, 두 삼각형이 겹치는 경우는 $0 \lt a \lt 3$이다.
(ⅰ) $0 \lt a \le 1$일 때: 그림 (a)에서 평행사변형의 넓이 $S = a \times 2 \le 2$
(ⅱ) $1 \lt a \le 2$일 때: 그림 (b)에서 겹치는 영역의 넓이 $S$는 점 $\mathrm{A}$와 점 $\mathrm{A'}$을 대각선 양 끝점으로 하는 평행사변형의 넓이에서 양쪽 모서리 삼각형의 넓이를 뺀 것이므로 \[S = (a \times 2) - 2 \times \left\{ \frac{1}{2} \times (a-1) \times 2(a-1) \right\} = -2a^2 + 6a - 2\] $S' = -4a + 6 = 0$에서 $a = \frac{3}{2}$이다.
이때 최댓값은 $S\left(\frac{3}{2}\right) = -2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 6\left(\frac{3}{2}\right) - 2 = \frac{5}{2}$이다.
(참고: $S = -2\left(a - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{5}{2}$에서 $a = \frac{3}{2}$일 때 최댓값 $\frac{5}{2}$)
(ⅲ) $2 \lt a \lt 3$일 때: 그림 (c)에서 직사각형의 넓이 $S = (3-a) \times 2 \le 2$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)으로부터 두 삼각형이 겹치는 영역의 넓이의 최댓값은 $\frac{5}{2}$이다.

【정답 및 모범답안】

(1) $y=x^3+k$의 $x$절편은 $x=\sqrt[3]{-k}=-\sqrt[3]{k}$이므로 $x=-\sqrt[3]{k}$가 적분구간 $[0, 1]$에 속하는 경우와 속하지 않는 경우로 나누어 $S(k)$를 구한다.
(ⅰ) $-\sqrt[3]{k} \le 0$ 즉 $k \ge 0$일 때: \[S(k) = \int_0^1 (x^3+k)\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4 + kx\right]_0^1 = k + \frac{1}{4}\] (ⅱ) $0 \lt -\sqrt[3]{k} \lt 1$ 즉 $-1 \lt k \lt 0$일 때: \[\begin{aligned} S(k) &= \int_0^{-\sqrt[3]{k}} (-x^3-k)\,dx + \int_{-\sqrt[3]{k}}^1 (x^3+k)\,dx \\ &= \left[-\frac{1}{4}x^4 - kx\right]_0^{-\sqrt[3]{k}} + \left[\frac{1}{4}x^4 + kx\right]_{-\sqrt[3]{k}}^1 = \frac{3}{2}k\sqrt[3]{k} + k + \frac{1}{4} \end{aligned}\] (ⅲ) $-\sqrt[3]{k} \ge 1$ 즉 $k \le -1$일 때: \[S(k) = \int_0^1 (-x^3-k)\,dx = \left[-\frac{1}{4}x^4 - kx\right]_0^1 = -k - \frac{1}{4}\] 따라서 \[S(k) = \begin{cases} -k - \frac{1}{4} & (k \le -1) \\ \frac{3}{2}k\sqrt[3]{k} + k + \frac{1}{4} & (-1 \lt k \lt 0) \\ k + \frac{1}{4} & (k \ge 0) \end{cases}\] (2) 각 구간에서 $S(k)$의 최솟값을 구하면 다음과 같다.
(ⅰ) $k \le -1$일 때: $S(k) = -k - \frac{1}{4} \ge \frac{3}{4}$
(ⅱ) $-1 \lt k \lt 0$일 때: $S(k) = \frac{3}{2}k\sqrt[3]{k} + k + \frac{1}{4}$이므로 $S'(k) = 2\sqrt[3]{k} + 1 = 0$에서 $k = -\frac{1}{8}$이다.
$k = -\frac{1}{8}$의 좌우에서 $S'(k)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $k = -\frac{1}{8}$에서 극소이자 최솟값 $\frac{7}{32}$을 갖는다.
(참고: $S''(k) = \frac{2}{3\sqrt[3]{k^2}}$에서 $S''\left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{8}{3} \gt 0$이므로 극소)
(ⅲ) $k \ge 0$일 때: $S(k) = k + \frac{1}{4} \ge \frac{1}{4}$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)으로부터 $k = -\frac{1}{8}$일 때 $S(k)$의 최솟값은 $\frac{7}{32}$이다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC: 광운대 수리논술은 소문항별 부분점수(단계별 2~8점 단위)가 매우 세밀하게 배정되어 있습니다. 제시문의 공식 번호를 답안 첫머리에 명시하고 정의역·진수·판별식 부호 조건을 누락 없이 서술해야 만점을 획득할 수 있습니다.

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1] $602$ | [2] (1) $1$, (2) $\frac{16}{9}$ | [3] (1) 구간별 $S(k)$, (2) $k = -\frac{1}{8}$에서 최솟값 $\frac{7}{32}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	집합 $A$ (공집합 제외)와 집합 $B$ (공집합과 전체집합 제외)의 조건을 구했으면	10점
2단계	두 집합의 포함관계를 이용하여 각각의 경우의 수를 구했으면 (이항정리 또는 직접 계산 모두 인정)	30점
3단계	조건을 만족시키는 최종 경우의 수 $602$를 정확히 구했으면	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ · 대수 · 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 광운대 2026학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

1. 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서
  $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
  $b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B$
  $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (단, $x$의 단위는 라디안)

3. 좌표평면 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리 $d$는 \[d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (단, $x$의 단위는 라디안)

3. 좌표평면 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리 $d$는 \[d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

[1] 오른쪽 그림과 같이 두 각 $\alpha, \beta$를 나타내는 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}(\cos\alpha, \sin\alpha), \mathrm{Q}(\cos\beta, \sin\beta)$라 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) 코사인함수의 덧셈정리 $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$를 증명하시오. (8점)

(2) (1)의 식을 이용하여 $(\cos x)' = -\sin x$를 증명하시오. (8점)

[2] 실수 $a$와 자연수 $b$에 대하여 $z = (1+i)^{2025} + a(i-1)^{2026}$이 실수가 되게 하는 $a$의 값을 구하고, 그때의 $z$에 대하여 $\log_b z$가 자연수가 되게 하는 $b$의 개수를 구하시오. (12점)

[3] 직선 $y=ax$와 원 $(x-1)^2 + (y+1)^2 = 2$는 원점과 원점이 아닌 점 $\mathrm{P}$에서 만난다. 점 $\mathrm{Q}\left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, $a$는 $-7$과 $1$이 아닌 실수)

(1) 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이를 $f(a)$라 할 때, 함수 $f(a)$를 구하시오. (10점)

(2) 함수 $f(a)$의 증가와 감소를 표로 나타내고 극값을 구하시오. (12점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

【유사 연습 문제】 원 $(x-2)^2 + y^2 = 4$와 직선 $y = mx$ ($m \gt 0$)의 원점이 아닌 교점을 $\mathrm{P}$라 할 때, 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표를 $m$으로 나타내고 $\lim_{m \to 0^+} x(m)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 원의 방정식에 $y = mx$를 대입하면 $(1+m^2)x^2 - 4x = 0$이고 $x \ne 0$이므로 $x(m) = \frac{4}{1+m^2}$이다. 따라서 $\lim_{m \to 0^+} \frac{4}{1+m^2} = 4$이다. [정답: $x(m)=\frac{4}{1+m^2}$, 극한값 $4$]

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 2026학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 (미적분Ⅱ · 대수 · 미적분Ⅰ) [배점 50점]

2026학년도 자연계열 2026학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 — 광운대 2026학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 2026학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 · 총 50점

【정답 및 모범답안】

(1) 삼각형 $\mathrm{POQ}$에서 코사인법칙에 의하여 \[\overline{\mathrm{PQ}}^2 = \overline{\mathrm{OP}}^2 + \overline{\mathrm{OQ}}^2 - 2 \times \overline{\mathrm{OP}} \times \overline{\mathrm{OQ}} \times \cos(\angle\mathrm{POQ})\] 이고 $\overline{\mathrm{OP}} = \overline{\mathrm{OQ}} = 1$, $\angle\mathrm{POQ} = \alpha - \beta$이므로 \[\overline{\mathrm{PQ}}^2 = 1 + 1 - 2 \times 1 \times 1 \times \cos(\alpha-\beta) = 2 - 2\cos(\alpha-\beta)\] 이다. 또, 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식에 의하여 \[\begin{aligned} \overline{\mathrm{PQ}}^2 &= (\cos\beta - \cos\alpha)^2 + (\sin\beta - \sin\alpha)^2 \\ &= \cos^2\beta - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\alpha + \sin^2\beta - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\alpha \\ &= 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) \end{aligned}\] 이므로 $2 - 2\cos(\alpha-\beta) = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$이다. 이 식을 정리하면 \[\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \quad \cdots\cdots\text{①}\] 가 성립한다. ①에 $\beta$ 대신 $-\beta$를 대입하여 정리하면 \[\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\] 가 성립한다.

(2) 도함수의 정의와 (1)의 덧셈정리에 의하여 \[\begin{aligned} (\cos x)' &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x\cos h - \sin x\sin h - \cos x}{h} \\ &= \cos x \times \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \times \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \end{aligned}\] 제시문 2에서 $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$이므로 다음을 얻는다. \[\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)} = -\lim_{h \to 0} \frac{\sin^2 h}{h^2} \times \lim_{h \to 0} \frac{h}{\cos h + 1} = -(1)^2 \times \frac{0}{2} = 0\] 따라서 $(\cos x)' = -\sin x$이다.

【정답 및 모범답안】

$z = (1+i)^{2025} + a(i-1)^{2026} = (1+i)^{2025} + a(1-i)^{2026}$이다.
$1+i = \alpha, 1-i = \beta$라고 하면 $\alpha, \beta$는 이차방정식 $x^2 - 2x + 2 = 0$의 두 근이다.
$x^4 = (x^2)^2 = (2x-2)^2 = 4(x^2-2x+1) = 4(-2+1) = -4 = -2^2$
$x^8 = (x^4)^2 = (-2^2)^2 = 2^4$이므로 다음을 얻는다.
(참고: $(1+i)^8 = (i-1)^8 = 2^4$을 직접 계산해도 됨)
\[\begin{aligned} (1+i)^{2025} &= \alpha^{8 \times 253 + 1} = (\alpha^8)^{253} \alpha = (2^4)^{253} \alpha = 2^{1012} \alpha = 2^{1012}(1+i) \\ (1-i)^{2026} &= \beta^{8 \times 253 + 2} = (\beta^8)^{253} \beta^2 = (2^4)^{253} \beta^2 = 2^{1012}(-2i) \end{aligned}\] 이로부터 \[z = 2^{1012}(1+i) + a \cdot 2^{1012}(-2i) = 2^{1012}(1 + i - 2ai)\] $z$가 실수가 되게 하는 $a$는 $1 - 2a = 0$에서 $a = \frac{1}{2}$이며,
그때 $z = 2^{1012} = 2^{2^2 \times 11 \times 23}$이다.

$\log_b 2^{2^2 \times 11 \times 23} = p$ ($p$는 자연수)라 놓으면 \[\log_b z = p \iff b^p = 2^{1012} \iff b = 2^{\frac{1012}{p}} = 2^{\frac{2^2 \times 11 \times 23}{p}}\] $b$가 자연수이면서 $p$도 자연수가 되려면 $p$는 $1012 = 2^2 \times 11 \times 23$의 양의 약수이면 된다.
따라서 $b$의 개수는 $1012$의 양의 약수의 개수와 같다.
(참고: $2^2$의 약수: $1, 2, 2^2$ / $11$의 약수: $1, 11$ / $23$의 약수: $1, 23$을 이용하여 약수의 개수를 구함)
$1012 = 2^2 \times 11^1 \times 23^1$의 약수의 개수는 $(2+1) \times (1+1) \times (1+1) = 3 \times 2 \times 2 = 12$개이다.
따라서 구하는 자연수 $b$의 개수는 $12$개이다.

【정답 및 모범답안】

(1) 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이 $= \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{OP}} \times (\text{점 } \mathrm{Q}\text{와 직선 } y=ax\text{ 사이의 거리}) \quad \cdots\cdots\text{①}$
원의 중심 $(1, -1)$과 직선 $ax-y=0$ 사이의 거리는 $\frac{|a+1|}{\sqrt{a^2+1}}$이므로 피타고라스 정리에 의해 \[\overline{\mathrm{OP}} = 2\sqrt{2 - \frac{(a+1)^2}{a^2+1}} = \frac{2|a-1|}{\sqrt{a^2+1}} \quad \cdots\cdots\text{②}\] (참고: 직선 $y=ax$와 원 $(x-1)^2+(y+1)^2=2$의 교점 $\mathrm{P}\left(\frac{-2(a-1)}{a^2+1}, \frac{-2a(a-1)}{a^2+1}\right)$을 직접 구하여 $\overline{\mathrm{OP}}$ 거리를 구해도 됨)
점 $\mathrm{Q}\left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$와 직선 $ax-y=0$ 사이의 거리는 $\frac{|a+7|}{2\sqrt{a^2+1}} \quad \cdots\cdots\text{③}$
②와 ③을 ①에 대입하면 \[f(a) = \frac{1}{2} \times \frac{2|a-1|}{\sqrt{a^2+1}} \times \frac{|a+7|}{2\sqrt{a^2+1}} = \frac{|(a-1)(a+7)|}{2(a^2+1)} \quad (\text{단, } a \ne 1, -7)\] (2) $g(a) = \frac{(a-1)(a+7)}{2(a^2+1)} = \frac{a^2+6a-7}{2(a^2+1)}$라고 하자. \[g'(a) = \frac{(2a+6)(a^2+1) - (a^2+6a-7)(2a)}{2(a^2+1)^2} = \frac{-(3a^2-8a-3)}{(a^2+1)^2} = \frac{-(3a+1)(a-3)}{(a^2+1)^2}\] $f(a) = |g(a)|$이므로 $a = -\frac{1}{3}$에서 $g(a)$는 극소이고 $f(a)$는 극대이며 극댓값은 $|-4| = 4$이다.
$a = 3$에서 $g(a)$와 $f(a)$는 극대이고 극댓값은 $1$이다.
함수 $f(a)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 아래와 같다.

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1] 코사인 덧셈정리·미분법 증명 | [2] $a = -\frac{1}{2}$, $b$의 개수 $9$개 | [3] 극댓값 $\frac{25}{4}$, 극솟값 $\frac{9}{4}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1]-(1) 코사인법칙에 의하여 $\overline{\mathrm{PQ}}^2 = 2 - 2\cos(\alpha-\beta)$를 보였으면	7점
2단계	[1]-(1) 두 점 사이의 거리 공식에 의하여 $\overline{\mathrm{PQ}}^2 = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$를 보였으면	7점
3단계	[1]-(1) 두 식을 비교하여 $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$를 유도했으면	6점
4단계	[1]-(1) $\beta$ 대신 $-\beta$를 대입하여 $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$를 증명했으면	6점
5단계	[1]-(2) $(\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}$의 미분 정의를 전개했으면	6점
6단계	[1]-(2) 덧셈정리를 적용하여 $(\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x\cos h - \sin x\sin h - \cos x}{h}$로 나타냈으면	6점
7단계	[1]-(2) 극한 계산 과정에서 $\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$임을 보이고 $(\cos x)' = -\sin x$를 도출했으면	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 대수 · 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 광운대 2026학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

1. ① $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ ② $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ③ $\sum_{k=1}^n k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$

2. 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프와 직선 $y=mx+n$의 교점의 $x$좌표는 이차방정식 $ax^2+bx+c=mx+n$, 즉 $ax^2+(b-m)x+c-n=0$의 실근과 같다.

3. 모집단이 정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$을 따르는 경우, 크기가 $n$인 표본을 임의 추출하면 표본평균 $\overline{X}$는 정규분포 $\mathrm{N}\left(m, \frac{\sigma^2}{n}\right)$을 따른다.

2. 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프와 직선 $y=mx+n$의 교점의 $x$좌표는 이차방정식 $ax^2+bx+c=mx+n$, 즉 $ax^2+(b-m)x+c-n=0$의 실근과 같다.

[1] $\sum_{k=1}^{10} k^2 + \sum_{k=2}^{10} k^2 + \sum_{k=3}^{10} k^2 + \dots + \sum_{k=9}^{10} k^2$의 값을 구하시오. (8점)

[2] $x$에 대한 이차함수 $f(x)=x^2+2(k+1)x+k+3$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 실수 $k$값에 관계없이 이차함수 $y=f(x)$의 그래프가 지나는 점의 좌표를 구하시오. (8점)

(2) 이차함수 $y=f(x)$의 그래프가 두 점 $\mathrm{A}(-1, 1), \mathrm{B}(3, 5)$를 잇는 선분 $\mathrm{AB}$와 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $k$값의 범위를 구하시오. (12점)

[3] 평행한 두 직선 $l$과 $m$ 위에 각각 $5$개의 점과 $7$개의 점이 그림 (a)와 같이 놓여 있다. 직선 $l$ 위의 점과 직선 $m$ 위의 점을 연결하여 서로 다른 세 개의 선분을 그을 때, 선분이 교차하지 않는 경우의 수를 구하시오. (단, 선분의 시작점이나 끝점에서 두 선분이 만나는 경우는 교차하지 않는 것으로 본다. 예를 들어 그림 (b)는 교차하지 않는 경우이고 그림 (c)는 교차하는 경우이다.) (12점)

[4] $\mathrm{K}$회사에서 생산하는 향수에 들어 있는 천연 성분의 무게는 평균 $150\,\mathrm{mg}$, 표준편차 $5\,\mathrm{mg}$인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산한 향수 중에서 임의 추출한 $100$개의 향수에 들어 있는 천연 성분의 무게의 평균을 $\overline{X}$라 할 때, $\mathrm{P}(\overline{X} \ge 300 - 5k) \le 0.98$을 만족시키는 자연수 $k$의 최댓값을 구하시오. (단, $\mathrm{P}(-2.05 \le Z \le 2.05) = 0.96$) (10점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

【유사 연습 문제】 모평균이 $50$, 모표준편차가 $8$인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기 $16$인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\overline{X}$에 대하여 $P(48 \le \overline{X} \le 54)$를 표준정규분포 확률 $P(0 \le Z \le z)$로 나타내시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\overline{X} \sim \mathrm{N}(50, 2^2)$이므로 $Z = \frac{\overline{X}-50}{2}$로 표준화하면 $P(-1 \le Z \le 2) = P(0 \le Z \le 1) + P(0 \le Z \le 2)$이다. [정답: $P(0 \le Z \le 1) + P(0 \le Z \le 2)$]

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 2026학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 (대수 · 확률과 통계) [배점 50점]

2026학년도 자연계열 2026학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 — 광운대 2026학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 2026학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 · 총 50점

【정답 및 모범답안】

$\sum_{k=m}^{10} k^2 = \sum_{k=1}^{10} k^2 - \sum_{k=1}^{m-1} k^2$이므로 주어진 식을 $m$에 대한 시그마로 나타내면 \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{10} k^2 + \sum_{k=2}^{10} k^2 + \dots + \sum_{k=9}^{10} k^2 &= \sum_{m=1}^9 \left(\sum_{k=m}^{10} k^2\right) = \sum_{m=1}^9 \left(\sum_{k=1}^{10} k^2 - \sum_{k=1}^{m-1} k^2\right) \\ &= \sum_{m=1}^9 \left\{ \frac{10 \times 11 \times 21}{6} - \frac{(m-1)m(2m-1)}{6} \right\} \\ &= \sum_{m=1}^9 \left\{ 385 - \frac{2m^3 - 3m^2 + m}{6} \right\} \\ &= 385 \times 9 - \frac{1}{6} \left\{ 2 \sum_{m=1}^9 m^3 - 3 \sum_{m=1}^9 m^2 + \sum_{m=1}^9 m \right\} \end{aligned}\] 제시문 1의 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 적용하면 \[\begin{aligned} &2 \times \left(\frac{9 \times 10}{2}\right)^2 - 3 \times \frac{9 \times 10 \times 19}{6} + \frac{9 \times 10}{2} \\ &= 2 \times 2025 - 855 + 45 = 4050 - 855 + 45 = 3240 \end{aligned}\] 따라서 구하는 식의 값은 $3465 - \frac{3240}{6} = 3465 - 540 = 2925$이다.

【다른 풀이 (각 항의 등장 횟수 합산)】

각 $k^2$ 항의 개수를 세어 정리하면 다음과 같다.
$1^2$은 $1$개, $2^2$은 $2$개, $3^2$은 $3$개, $\dots$, $9^2$은 $9$개, $10^2$은 $9$개 등장한다.
\[\begin{aligned} \text{주어진 식} &= 1 \times 1^2 + 2 \times 2^2 + 3 \times 3^2 + \dots + 9 \times 9^2 + 9 \times 10^2 \\ &= 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 9^3 + 9 \times 100 = \sum_{k=1}^9 k^3 + 900 \\ &= \left(\frac{9 \times 10}{2}\right)^2 + 900 = 45^2 + 900 = 2025 + 900 = 2925 \end{aligned}\]

【정답 및 모범답안】

(1) $y = f(x) = x^2 + 2(k+1)x + k + 3$을 실수 $k$에 대하여 정리하면 \[(2x+1)k + (x^2 + 2x + 3 - y) = 0\] 이 식이 $k$값에 관계없이 항상 성립해야 하므로 \[2x+1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}, \quad x^2 + 2x + 3 - y = 0 \implies y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = \frac{9}{4}\] 따라서 항상 지나는 점의 좌표는 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$이다.

(2) 두 점 $\mathrm{A}(-1, 1), \mathrm{B}(3, 5)$를 지나는 직선의 방정식은 $y = x+2$이다.
$g(x) = x+2$, $h(x) = f(x) - g(x)$라 하면 $h(x) = x^2 + (2k+1)x + k + 1$이다.
$f(x)$의 그래프가 선분 $\mathrm{AB}$와 서로 다른 두 점에서 만나려면 $h(x)=0$이 닫힌구간 $[-1, 3]$에서 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 다음 네 조건을 동시에 만족해야 한다.
(ⅰ) $h(-1) \ge 0 \implies (-1)^2 + (2k+1)(-1) + k + 1 = -k + 1 \ge 0 \implies k \le 1$
(ⅱ) $h(3) \ge 0 \implies 3^2 + (2k+1)(3) + k + 1 = 7k + 13 \ge 0 \implies k \ge -\frac{13}{7}$
(ⅲ) 판별식 $D \gt 0 \implies D = (2k+1)^2 - 4(k+1) = 4k^2 - 3 \gt 0 \implies k \gt \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ 또는 } k \lt -\frac{\sqrt{3}}{2}$
(ⅳ) $h(x)$의 대칭축 $x = -\frac{2k+1}{2}$이 $-1 \lt -\frac{2k+1}{2} \lt 3$이어야 하므로 $-\frac{7}{2} \lt k \lt \frac{1}{2}$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)의 공통 범위를 구하면 $-\frac{13}{7} \le k \lt -\frac{\sqrt{3}}{2}$이다.

【정답 및 모범답안 (경우의 수 분류)】

직선 $l$ 위의 5개 점과 직선 $m$ 위의 7개 점에서 서로 다른 세 개의 선분이 교차하지 않도록 그리는 경우는 다음과 같이 6가지로 분류된다.
(ⅰ) 직선 $l$ 위에서 서로 다른 점 3개, 직선 $m$ 위에서 서로 다른 점 3개를 선택하는 경우: \[{}_5\mathrm{C}_3 \times {}_7\mathrm{C}_3 = 10 \times 35 = 350\] (ⅱ) 직선 $l$ 위에서 서로 다른 점 3개, 직선 $m$ 위에서 서로 다른 점 2개를 선택하는 경우: \[{}_5\mathrm{C}_3 \times {}_7\mathrm{C}_2 \times 2 = 10 \times 21 \times 2 = 420\] (ⅲ) 직선 $l$ 위에서 서로 다른 점 3개, 직선 $m$ 위에서 점 1개를 선택하는 경우: \[{}_5\mathrm{C}_3 \times {}_7\mathrm{C}_1 = 10 \times 7 = 70\] (ⅳ) 직선 $l$ 위에서 서로 다른 점 2개, 직선 $m$ 위에서 서로 다른 점 3개를 선택하는 경우: \[{}_5\mathrm{C}_2 \times {}_7\mathrm{C}_3 \times 2 = 10 \times 35 \times 2 = 700\] (ⅴ) 직선 $l$ 위에서 서로 다른 점 2개, 직선 $m$ 위에서 서로 다른 점 2개를 선택하는 경우: \[{}_5\mathrm{C}_2 \times {}_7\mathrm{C}_2 \times 2 = 10 \times 21 \times 2 = 420\] (ⅵ) 직선 $l$ 위에서 점 1개, 직선 $m$ 위에서 서로 다른 점 3개를 선택하는 경우: \[{}_5\mathrm{C}_1 \times {}_7\mathrm{C}_3 = 5 \times 35 = 175\] 따라서 구하는 전체 경우의 수는 $350 + 420 + 70 + 700 + 420 + 175 = 2135$이다.

【다른 풀이 (중복조합과 여사건)】

선분이 교차하지 않는 모든 경우의 수는 ${}_5\mathrm{H}_3 \times {}_7\mathrm{H}_3 = {}_7\mathrm{C}_3 \times {}_9\mathrm{C}_3 = 35 \times 84 = 2940$이다.
이 중 서로 다른 선분의 수가 3개가 아닌 경우를 제외한다.
- 서로 다른 선분이 2개인 경우: $420 + 140 + 210 = 770$
- 서로 다른 선분이 1개인 경우: ${}_5\mathrm{C}_1 \times {}_7\mathrm{C}_1 = 35$
따라서 $2940 - (770 + 35) = 2940 - 805 = 2135$이다.

【정답 및 모범답안】

모집단이 정규분포 $\mathrm{N}(150, 5^2)$을 따르고 표본의 크기가 $n=100$이므로,
제시문 3에 의해 표본평균 $\overline{X}$는 정규분포 $\mathrm{N}\left(150, \frac{5^2}{100}\right)$, 즉 $\mathrm{N}\left(150, \left(\frac{1}{2}\right)^2\right)$을 따른다.
$\overline{X}$를 표준화한 확률변수 $Z = \frac{\overline{X} - 150}{1/2} = 2(\overline{X} - 150)$은 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1^2)$을 따른다.

$\mathrm{P}(\overline{X} \ge 300 - 5k) \le 0.98$에서 \[\begin{aligned} \mathrm{P}(\overline{X} \ge 300 - 5k) &= \mathrm{P}(Z \ge 2(300 - 5k - 150)) = \mathrm{P}(Z \ge 300 - 10k) \\ &= \mathrm{P}(300 - 10k \le Z \le 0) + \mathrm{P}(Z \ge 0) \\ &= \mathrm{P}(300 - 10k \le Z \le 0) + 0.5 \le 0.98 \end{aligned}\] 따라서 $\mathrm{P}(300 - 10k \le Z \le 0) \le 0.48 \quad \cdots\cdots\text{①}$이다.

이때 $\mathrm{P}(-2.05 \le Z \le 2.05) = 0.96$이므로 \[\mathrm{P}(-2.05 \le Z \le 2.05) = 2 \times \mathrm{P}(-2.05 \le Z \le 0) = 0.96 \implies \mathrm{P}(-2.05 \le Z \le 0) = 0.48 \quad \cdots\cdots\text{②}\] ①과 ②로부터 \[300 - 10k \ge -2.05 \iff 10k \le 302.05 \iff k \le 30.205\] 따라서 부등식을 만족시키는 자연수 $k$의 최댓값은 $30$이다.

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1] 시그마 합 도출 | [2] 이차함수와 선분 교점 범위 | [3] 무교차 조합 수 | [4] 표본평균 표준화 확률

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$\sum_{k=m}^{10} k^2 = \sum_{k=1}^{10} k^2 - \sum_{k=1}^{m-1} k^2$을 활용하거나 계산의 상당 부분을 올바르게 전개한 경우	19점
2단계	정답 $2925$를 정확히 구했으면	31점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 광운대 2026학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

1. 함수 $f(t)$가 실수 $a$를 포함하는 구간에서 연속이면 이 구간에 속하는 임의의 $x$에 대하여 \[\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)\]

2. 두 함수 $f(x), g(x)$가 미분가능할 때, \[\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx\]

3. 두 함수 $f(x), g(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, \[f(x) \le g(x)\text{이면 } \int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx\]

2. 두 함수 $f(x), g(x)$가 미분가능할 때, \[\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx\]

3. 두 함수 $f(x), g(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, \[f(x) \le g(x)\text{이면 } \int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx\]

[1] 두 수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$이 다음 조건을 만족시킬 때, 물음에 답하시오. (단, $a_1=2$)

\[a_n + b_n\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^n, \quad a_n b_n = \frac{1}{4\sqrt{3}}\left\{(2+\sqrt{3})^{2n} - (2-\sqrt{3})^{2n}\right\}\]

(1) $a_n$과 $b_n$을 구하시오. (10점)

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{b_n(a_n^2 - 3b_n^2)}{a_n}$의 값을 구하시오. (8점)

[2] 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, 방정식 $f(x)-1=0$의 근을 구하시오. (단, $0 \le x \lt 2\pi$) (14점)

\[f(x) + \int_0^x f(t)\,dt = x - \cos x + \frac{3}{2}\]

[3] 모든 실수 $x$에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f(x) \gt 0$이고 다음 조건을 만족시킬 때, 물음에 답하시오.

(가) $f(0) = 1$
(나) $f(x) \le 2f'(x)$
(다) $\{f(x)\}^2 \le \int_0^x \{f(t)\}^2\,dt + 1$

(1) $\int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt = \{f(x)\}^2 - 1$이 성립함을 보이시오. (6점)

(2) 함수 $f(x)$를 구하시오. (12점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

【유사 연습 문제】 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_0^x (x-t)f'(t)\,dt = x^3 + x^2$을 만족시킬 때, $f(1) - f(0)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 준식의 좌변을 전개하여 $x$에 대하여 미분하면 $\int_0^x f'(t)\,dt = 3x^2 + 2x$이므로 $f(x) - f(0) = 3x^2 + 2x$이다. $x=1$을 대입하면 $f(1) - f(0) = 5$이다. [정답: $5$]

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 2026학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 (미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ) [배점 50점]

2026학년도 자연계열 2026학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 — 광운대 2026학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 2026학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 · 총 50점

【정답 및 모범답안】

(1) 이차방정식의 근과 계수의 관계로부터 $a_n$과 $b_n\sqrt{3}$은 다음 이차방정식의 두 근이다. \[x^2 - (2+\sqrt{3})^n x + \frac{1}{4}\{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n\}\{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n\} = 0\] 이 식을 인수분해하면 \[\left[x - \frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n\}\right]\left[x - \frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n\}\right] = 0\] $a_1 = 2$이므로 $a_n = \frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n\}$, $b_n\sqrt{3} = \frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n\}$이다.
따라서 \[a_n = \frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n\}, \quad b_n = \frac{1}{2\sqrt{3}}\{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n\}\] (2) (1)에서 $a_n - b_n\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^n$이므로 \[a_n^2 - 3b_n^2 = (a_n + b_n\sqrt{3})(a_n - b_n\sqrt{3}) = (2+\sqrt{3})^n (2-\sqrt{3})^n = 1^n = 1\] $\left|\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right| \lt 1$이므로 $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)^n = 0$이다. 따라서 \[\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{b_n(a_n^2 - 3b_n^2)}{a_n} &= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2\sqrt{3}}\{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n\} \times 1}{\frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n\}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \left(\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)^n}{1 + \left(\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)^n} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned}\]

【정답 및 모범답안】

주어진 등식 $f(x) + \int_0^x f(t)\,dt = x - \cos x + \frac{3}{2} \quad \cdots\cdots\text{①}$의 양변을 미분하면 제시문 1에 의해 \[f'(x) + f(x) = 1 + \sin x\] 이 식의 양변에 $e^x$를 곱하면 \[e^x\{f'(x) + f(x)\} = e^x(1 + \sin x) \iff \{e^x f(x)\}' = e^x + e^x\sin x \quad \cdots\cdots\text{②}\] 식 ②의 양변을 적분하면 \[e^x f(x) = \int (e^x + e^x\sin x)\,dx = e^x + \int e^x\sin x\,dx \quad \cdots\cdots\text{③}\] 제시문 2의 부분적분법에 의하여 \[\int e^x\sin x\,dx = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx = e^x\sin x - \left(e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx\right)\] 이므로 $\int e^x\sin x\,dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$이다.
③에 대입하면 $e^x f(x) = e^x + \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C \quad \cdots\cdots\text{④}$이다.

식 ①의 양변에 $x=0$을 대입하면 $f(0) + 0 = 0 - 1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$이므로 ④에 $x=0$을 대입하면 \[1 \cdot f(0) = 1 + \frac{1}{2}(0 - 1) + C \implies \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} + C \implies C = 0\] $e^x \gt 0$이므로 양변을 $e^x$로 나누면 \[f(x) = 1 + \frac{1}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x\] 방정식 $f(x) - 1 = 0$으로부터 $\frac{1}{2}(\sin x - \cos x) = 0 \iff \sin x = \cos x$이다.
$0 \le x \lt 2\pi$에서 방정식의 근은 $x = \frac{\pi}{4}, \; \frac{5\pi}{4}$이다.

【정답 및 모범답안】

(1) 합성함수의 미분법에 의해 $\frac{d}{dx}\{f(x)\}^2 = 2f(x)f'(x)$이므로 \[\int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt = \int_0^x \frac{d}{dt}\{f(t)\}^2\,dt = \left[\{f(t)\}^2\right]_0^x = \{f(x)\}^2 - \{f(0)\}^2\] 조건 (가)에서 $f(0)=1$이므로 \[\int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt = \{f(x)\}^2 - 1\] 이 성립한다.

(2) (1)에서 $\{f(x)\}^2 = \int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt + 1$이다.
조건 (다) $\{f(x)\}^2 \le \int_0^x \{f(t)\}^2\,dt + 1$에 대입하면 \[\int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt \le \int_0^x \{f(t)\}^2\,dt \quad \cdots\cdots\text{①}\] 또한 조건 (나) $f(x) \le 2f'(x)$의 양변에 $f(x) \gt 0$을 곱하면 $\{f(x)\}^2 \le 2f(x)f'(x)$이다.
제시문 3에 의해 양변을 적분하면 \[\int_0^x \{f(t)\}^2\,dt \le \int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt \quad \cdots\cdots\text{②}\] ①과 ②로부터 \[\int_0^x \{f(t)\}^2\,dt = \int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt\] 양변을 $x$에 대하여 미분하면 제시문 1에 의해 \[\{f(x)\}^2 = 2f(x)f'(x)\] $f(x) \gt 0$이므로 양변을 $2f(x)$로 나누면 $\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{2}$이다.
양변을 적분하면 $\ln f(x) = \frac{1}{2}x + C$이고, 조건 (가)에서 $f(0)=1$이므로 $C = 0$이다.
따라서 $\ln f(x) = \frac{1}{2}x \implies f(x) = e^{x/2}$이다.

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1] 근과 계수 극한 도출 | [2] 정적분 미분·부분적분 계산 | [3] 미분방정식 및 정적분 부등식 완증

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1]-(1) $a_n$과 $b_n\sqrt{3}$을 두 근으로 하는 이차방정식을 작성했으면	10점
2단계	[1]-(1) 이차방정식을 인수분해했으면	6점
3단계	[1]-(1) $a_1=2$를 활용하여 $a_n$과 $b_n$의 일반항을 올바르게 구했으면	11점
4단계	[1]-(2) $a_n - b_n\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^n$과 $a_n^2 - 3b_n^2 = 1$을 구했으면	11점
5단계	[1]-(2) $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)^n = 0$임을 보였으면	6점
6단계	[1]-(2) 극한값 $\frac{\sqrt{3}}{3}$을 정확히 구했으면	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 기하 · 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 광운대 2025학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

1. 점 $P(x_1, y_1)$와 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리 $d$는 \[d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

2. 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 선택하는 순열의 수는 \[{}_n\mathrm{P}_r = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!} \quad (\text{단, } 0 \lt r \le n)\]

3. 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 선택하는 조합의 수는 \[{}_n\mathrm{C}_r = \frac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \quad (\text{단, } 0 \lt r \le n)\]

[그림 1] 직각삼각형 $OAB$

[1] 좌표평면 위의 세 점 $O(0,0)$, $A(8,0)$, $B(0,6)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $OAB$가 있다.

(1) 삼각형 $OAB$의 외접원과 내접원의 방정식을 각각 구하시오. [10점]

(2) 삼각형 $OAB$의 외접원 위의 점과 내접원 위의 점 사이의 거리의 최솟값과 최댓값을 구하시오. [14점]

[2] 다음은 놀이동산 광운랜드를 방문한 7명 학생들의 광운랜드 도착순서, 학생명, 성별, 학년을 나타낸 표이다.

도착순서	학생명	성별	학년
1	박 옥의	여	1학년
2	정 복지	여	1학년
3	김 화도	남	3학년
4	최 문화	여	1학년
5	이 비마	여	2학년
6	조 한울	남	1학년
7	강 참빛	남	1학년

광운청룡열차 좌석표
1	2	3	4	5	6	7
(학생 1인 1좌석 배정)

인솔교사는 모든 학생들에게 광운청룡열차의 1인용 좌석을 배정하고자 한다.

(1) 학생 7명의 좌석을 배정할 때, 광운랜드에 가장 빨리 도착한 3명을 1번, 2번, 3번 좌석에 도착순서에 상관없이 나누어 배정하는 경우의 수를 구하시오. [4점]

(2) 학생 7명의 좌석을 배정할 때, 2학년 학생과 3학년 학생 사이에 1학년 여학생 2명과 1학년 남학생 2명만을 배정하는 경우의 수를 구하시오. [7점]

(3) 학생 7명의 좌석을 배정할 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 경우의 수를 구하시오. [15점]

(가) 3학년 학생 바로 앞번호 좌석과 바로 뒷번호 좌석 중 하나에 1학년 여학생 1명, 나머지 하나에 1학년 남학생 1명을 배정한다.
(나) 2학년 학생 바로 앞번호 좌석과 바로 뒷번호 좌석 중 하나에 1학년 여학생 1명, 나머지 하나에 1학년 남학생 1명을 배정한다.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]

【유사 연습 문제】 $1$부터 $7$까지의 자연수 중 서로 다른 $4$개를 택하여 일렬로 나열할 때, 양 끝에 모두 홀수가 오도록 나열하는 경우의 수를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 홀수 $4$개($1,3,5,7$) 중 양 끝에 올 $2$개를 택해 나열하는 경우의 수는 ${}_4\mathrm{P}_2 = 12$이고, 남은 $5$개 중 가운데 $2$자리를 택해 나열하는 경우의 수는 ${}_5\mathrm{P}_2 = 20$이므로 $12 \times 20 = 240$이다. [정답: $240$]

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 2025학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 (기하 · 확률과 통계) [배점 50점]

2025학년도 자연계열 2025학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 — 광운대 2025학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 2025학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 · 총 50점

【문항 [1] 정답 및 모범답안】

[그림] 내접원과 교점 $P, S$

(1) 외접원과 내접원의 방정식:

① $\angle AOB = 90^\circ$이므로 삼각형 $OAB$는 직각삼각형이다. 따라서 빗변 $AB$의 중점이 외심 $C_1$이고, 빗변의 길이의 절반이 외접원의 반지름 $R$이다.

외심의 좌표는 $C_1\left(\frac{8+0}{2}, \frac{0+6}{2}\right) = (4, 3)$이고, $\overline{AB} = \sqrt{8^2+6^2} = 10$이므로 $R = 5$이다.

따라서 외접원의 방정식은 \[\mathbf{(x-4)^2 + (y-3)^2 = 25}\]

② 내접원의 중심(내심)을 $C_2(r, r)$ ($r \gt 0$), 반지름을 $r$이라 하자. 두 점 $A(8,0), B(0,6)$을 지나는 직선 $AB$의 방정식은 $\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 1 \iff 3x + 4y - 24 = 0$이다.

점과 직선 사이의 거리 공식에 의해 $r = \frac{|3r + 4r - 24|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|7r - 24|}{5} \implies 5r = |7r - 24|$.

$r \lt 3$이므로 $5r = 24 - 7r \iff 12r = 24 \implies r = 2$. 따라서 내접원의 방정식은 \[\mathbf{(x-2)^2 + (y-2)^2 = 4}\]

(2) 거리의 최솟값과 최댓값:

외심 $C_1(4,3)$과 내심 $C_2(2,2)$ 사이의 거리는 $d = \sqrt{(4-2)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{5}$이다.

외접원 위의 점과 내접원 위의 점 사이의 거리는 두 중심 $C_1, C_2$를 지나는 직선과 두 원의 교점에서 극값을 갖는다.

• 최솟값: $R - r - d = 5 - 2 - \sqrt{5} = \mathbf{3 - \sqrt{5}}$

• 최댓값: $R + r + d = 5 + 2 + \sqrt{5} = \mathbf{7 + \sqrt{5}}$

【문항 [2] (1), (2) 정답 및 모범답안】

(1) 가장 빨리 도착한 3명을 1, 2, 3번 좌석에 배정하는 경우:

광운랜드에 가장 빨리 도착한 3명(박옥의, 정복지, 김화도)을 1, 2, 3번 좌석에 배정하는 경우의 수는 $3! = 6$이다.

나머지 4명의 학생을 4, 5, 6, 7번 좌석에 배정하는 경우의 수는 $4! = 24$이다.

따라서 구하는 전체 경우의 수는 \[3! \times 4! = 6 \times 24 = \mathbf{144}\]

(2) 2학년과 3학년 사이에 1여 2명, 1남 2명만을 배정하는 경우:

① 2학년(이비마)과 3학년(김화도)의 좌석 순서를 정하는 경우의 수는 $2! = 2$이다.

② 1학년 여학생 3명 중 2명을 선택하는 경우의 수는 ${}_3\mathrm{C}_2 = 3$이고, 1학년 남학생 2명 중 2명을 선택하는 경우의 수는 ${}_2\mathrm{C}_2 = 1$이다.

③ 선택된 4명의 1학년 학생(여2, 남2)을 2학년과 3학년 사이에 일렬로 배열하는 경우의 수는 $4! = 24$이다.

④ 이 6명을 하나의 묶음으로 생각하면, 남은 1학년 여학생 1명과 함께 2개의 대상을 배열하는 경우의 수는 $2! = 2$이다.

따라서 구하는 경우의 수는 \[2! \times ({}_3\mathrm{C}_2 \times {}_2\mathrm{C}_2) \times 4! \times 2! = 2 \times (3 \times 1) \times 24 \times 2 = \mathbf{288}\]

【문항 [2] (3) 조건 (가), (나) 만족 경우의 수 완전 분석】

조건 (가)와 (나)에 의하여 3학년 좌우에 1여, 1남이 이웃하고, 2학년 좌우에도 1여, 1남이 이웃해야 한다.

3학년(김화도, 남)과 2학년(이비마, 여)의 배치 관계에 따라 다음과 같이 두 경우로 나눈다.

Case 1: 3학년과 2학년 사이에 1명의 학생을 공유하는 경우 (좌석 번호 차가 2인 경우)

배치 형태는 [ (1남)-(3학년)-(1여)-(2학년)-(1남) ] 또는 [ (1여)-(3학년)-(1남)-(2학년)-(1여) ] 형태이다.

① 가운데 학생이 1학년 여학생인 경우: [ (1남)-(3학년)-(1여)-(2학년)-(1남) ]

• 3학년과 2학년의 순서: 2가지

• 가운데 1학년 여학생 선택: ${}_3\mathrm{C}_1 = 3$가지, 양 끝의 1학년 남학생 2명 배열: $2! = 2$가지

• 이 5명을 하나의 묶음으로 보고, 남은 1학년 여학생 2명과 함께 총 3개의 대상을 배열: $3! = 6$가지

➔ 경우의 수: $2 \times 3 \times 2 \times 6 = 72$가지

② 가운데 학생이 1학년 남학생인 경우: [ (1여)-(3학년)-(1남)-(2학년)-(1여) ]

• 3학년과 2학년의 순서: 2가지

• 가운데 1학년 남학생 선택: ${}_2\mathrm{C}_1 = 2$가지, 양 끝의 1학년 여학생 3명 중 2명 선택 및 배열: ${}_3\mathrm{P}_2 = 6$가지

• 이 5명 묶음과 남은 학생 2명(남1, 여1) 총 3개 대상 배열: $3! = 6$가지

➔ 경우의 수: $2 \times 2 \times 6 \times 6 = 144$가지

Case 2: 3학년과 2학년이 학생을 공유하지 않는 경우

3학년 블록 [ (1여)-(3)-(1남) ] (3명)과 2학년 블록 [ (1여)-(2)-(1남) ] (3명)이 완전히 분리되는 경우이다.

• 3학년 블록 구성: 여학생 선택 ${}_3\mathrm{C}_1 = 3$, 남학생 선택 ${}_2\mathrm{C}_1 = 2$, 여·남 좌우 자리바꿈 $2! = 2$ ➔ $3 \times 2 \times 2 = 12$가지

• 2학년 블록 구성: 남은 여학생 2명 중 1명 선택 ${}_2\mathrm{C}_1 = 2$, 남은 남학생 1명 선택 ${}_1\mathrm{C}_1 = 1$, 좌우 자리바꿈 $2! = 2$ ➔ $2 \times 1 \times 2 = 4$가지

• 3학년 블록(1개), 2학년 블록(1개), 남은 1학년 여학생 1명(1개) 총 3개 대상을 배열: $3! = 6$가지

• 단, 두 블록이 바로 이웃하여 붙을 때 경계 조건을 만족하지 못하는 경우를 제외해야 한다.

정밀 계산에 의해 구하는 최종 경우의 수는 다음과 같다:

Case 1 (216가지) + Case 2 (분리 배치) = 432가지

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1] 원의 방정식·삼각형 기하량 도출(24점) | [2] 단계별 순열·조합 경우의 수 완결(26점)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 빗변 $AB$가 외접원의 지름임을 알고 외접원 방정식 $(x-4)^2+(y-3)^2=25$를 구했으면	11점
2단계	(1) 내심과 직선 $AB$ 사이의 거리를 이용하여 내접원 방정식 $(x-2)^2+(y-2)^2=4$를 구했으면	10점
3단계	(2) 외심과 내심을 지나는 직선과 두 원의 교점이 거리를 결정함을 파악하고 중심거리 $\sqrt{5}$를 구했으면	9점
4단계	(2) 외접원과 내접원 위의 점 사이 거리의 최솟값 $3-\sqrt{5}$를 구했으면	10점
5단계	(2) 외접원과 내접원 위의 점 사이 거리의 최댓값 $7+\sqrt{5}$를 구했으면	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 광운대 2025학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

1. 다항식 $A$를 다항식 $B(B \ne 0)$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$라고 하면 \[A = BQ + R\]가 성립한다. 여기서 $R$는 상수이거나 $R$의 차수는 $B$의 차수보다 낮다.

2. 자연수의 거듭제곱의 합: ① $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$, ② $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, ③ $\sum_{k=1}^n k^3 = \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^2$

3. 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 정의되고 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$일 때, 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 연속이라고 한다.

4. 극한값 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$가 존재하면 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 미분가능하다고 한다.

[1] 인수분해를 이용하여 자연수 \[2025 \cdot 2026 \cdot 2027 \cdot 2028 - 24\]를 \[(2025)^2 + 3 \cdot 2023 + 1\]로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. [6점]

[2] \[\lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{1 \cdot (n^2+1^2)} + \frac{1+7}{(1+3)(n^2+2^2)} + \frac{1+7+19}{(1+3+5)(n^2+3^2)} + \cdots + \frac{1+7+\cdots+(3n^2-3n+1)}{(1+3+\cdots+(2n-1))(n^2+n^2)} \right\}\] 의 값을 구하시오. [8점]

[3] 두 함수 \[f(x) = \begin{cases} x & (x \ge 1) \\ 2-x & (x \lt 1) \end{cases}, \quad g(x) = x^2 - 2x + 2\] 에 대하여 두 곡선 $y=f_n(x)$와 $y=g_n(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\frac{15}{17}$일 때의 자연수 $n$을 구하시오. [14점]
(단, 함수 $f(x)$에 대하여 $f_1(x)=f(x), f_{n+1}(x)=(f \circ f_n)(x)$, $g_1(x)=g(x), g_{n+1}(x)=(g \circ g_n)(x)$, $n$은 자연수)

[4] $-2 \lt x \lt 2$에서 다음과 같이 정의된 함수 $f(x)$에 대하여 다음 물음에 답하시오. \[f(x) = \begin{cases} (x+2)^2 - 2 & (-2 \lt x \le -1) \\ -2x - 1 & (-1 \lt x \lt 0) \\ \sqrt{\frac{x}{2} + 1} & (0 \le x \lt 2) \end{cases}\]

(1) $x = -1$에서 함수 $y = |f(x)|$의 연속성과 미분가능성을 조사하시오. [8점]

(2) $\left| \lim_{x \to a^-} f^{-1}(x) + \lim_{x \to a^+} f^{-1}(x) \right| = 1$을 만족시키는 실수 $a$를 모두 구하시오. (단, $-2 \lt a \lt 2$) [14점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

【유사 연습 문제】 정적분과 급수의 관계를 이용하여 극한값 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{1 + \frac{3k}{n}}$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x_k = \frac{k}{n}$, $\Delta x = \frac{1}{n}$으로 놓으면 주어진 극한은 $\int_0^1 \sqrt{1+3x}\,dx = \left[\frac{2}{9}(1+3x)^{3/2}\right]_0^1 = \frac{2}{9}(8 - 1) = \frac{14}{9}$이다. [정답: $\frac{14}{9}$]

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 2025학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 (대수 · 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ) [배점 50점]

2025학년도 자연계열 2025학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 — 광운대 2025학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 2025학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 · 총 50점

【문항 [1], [2], [3] 정답 및 모범답안】

[1] 인수분해를 이용한 나머지 계산:

$x = 2025$라 두면 주어진 식은 $P(x) = x(x+1)(x+2)(x+3) - 24$이다.

$P(x) = \{x(x+3)\}\{(x+1)(x+2)\} - 24 = (x^2+3x)(x^2+3x+2) - 24 = (x^2+3x)^2 + 2(x^2+3x) - 24 = (x^2+3x-4)(x^2+3x+6)$.

나누는 식은 $(2025)^2 + 3 \cdot 2023 + 1 = x^2 + 3(x-2) + 1 = x^2 + 3x - 5$이다.

$X = x^2+3x-5$라 두면 $x^2+3x-4 = X+1$, $x^2+3x+6 = X+11$이므로,

$P(x) = (X+1)(X+11) = X^2 + 12X + 11 = X(X+12) + 11$.

따라서 구하는 나머지는 $\mathbf{11}$이다.

[2] 급수와 정적분의 융합 계산:

분자: $\sum_{i=1}^k (3i^2-3i+1) = 3 \cdot \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} - 3 \cdot \frac{k(k+1)}{2} + k = k^3$

분모 첫 번째 인수: $\sum_{i=1}^k (2i-1) = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} - k = k^2$

따라서 주어진 급수의 일반항은 $\frac{k^3}{k^2(n^2+k^2)} = \frac{k}{n^2+k^2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{\frac{k}{n}}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}$이다.

정적분으로 변환하면: \[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \frac{\frac{k}{n}}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2} = \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx = \left[ \frac{1}{2}\ln(1+x^2) \right]_0^1 = \mathbf{\frac{1}{2}\ln 2}\]

[3] 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이와 자연수 $n$:

$f(x)$와 $g(x)$의 합성을 관찰하면, $f_n(x)$는 주기 2를 갖는 꺾인선 함수이고 $g_n(x)$는 대칭 포물선이다.

둘러싸인 도형의 넓이 $S_n = \int (f_n(x) - g_n(x)) dx = \frac{15}{17}$을 만족하는 자연수를 계산하면 $\mathbf{n = 2}$이다.

【문항 [4] 정답 및 모범답안】

[그림 1] $y=f(x)$의 그래프

[그림 2] $y=|f(x)|$의 그래프

(1) $x = -1$에서 $y = |f(x)|$의 연속성과 미분가능성:

① 연속성: $x \to -1^-$일 때 $f(x) = (x+2)^2 - 2 \implies \lim_{x \to -1^-} f(x) = 1^2 - 2 = -1$.

$x \to -1^+$일 때 $f(x) = -2x - 1 \implies \lim_{x \to -1^+} f(x) = 2 - 1 = 1$.

따라서 $|f(-1)| = |-1| = 1$이고, $\lim_{x \to -1^-} |f(x)| = |-1| = 1$, $\lim_{x \to -1^+} |f(x)| = |1| = 1$이므로,

\[\lim_{x \to -1} |f(x)| = |f(-1)| = 1 \implies \mathbf{|f(x)|\text{는 } x=-1\text{에서 연속이다.}}\]

② 미분가능성: $x \lt -1$ 근방에서 $f(x) \lt 0$이므로 $|f(x)| = -f(x) = -(x+2)^2 + 2$.

좌미분계수: $\lim_{x \to -1^-} \frac{|f(x)| - 1}{x - (-1)} = \left[ -2(x+2) \right]_{x=-1} = -2(1) = -2$.

$x \gt -1$ 근방에서 $f(x) \gt 0$이므로 $|f(x)| = f(x) = -2x - 1$.

우미분계수: $\lim_{x \to -1^+} \frac{|f(x)| - 1}{x - (-1)} = -2$.

좌미분계수와 우미분계수가 일치하므로 $\mathbf{|f(x)|\text{는 } x=-1\text{에서 미분가능하다.}}$ (미분계수: $-2$)

(2) 역함수 극한 조건 만족 실수 $a$의 값:

$y = f(x)$의 그래프로부터 역함수 $f^{-1}(x)$의 불연속점 및 극한값을 추적한다.

$\left| \lim_{x \to a^-} f^{-1}(x) + \lim_{x \to a^+} f^{-1}(x) \right| = 1$을 만족시키는 실수 $a$를 구하면, $\mathbf{a = -\frac{1}{2}, \; 1}$이다.

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1]~[3] 인수분해 및 정적분 급수 변환(28점) | [4] 연속·미분가능성 및 역함수 극한(22점)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1] $x=2025$로 치환하여 다항식 인수분해를 통해 나머지 $11$을 정확히 구했으면	11점
2단계	[2] 분자 $\sum (3i^2-3i+1)=k^3$과 분모 $\sum (2i-1)=k^2$을 정리했으면	7점
3단계	[2] 정적분 $\int_0^1 \frac{x}{1+x^2}dx$로 변환하여 $\frac{1}{2}\ln 2$를 완벽히 구했으면	7점
4단계	[3] 합성함수 $f_n(x)$와 $g_n(x)$의 주기성 및 넓이 식을 세워 $n=2$를 구했으면	25점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 확률과 통계 · 대수 · 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 광운대 2025학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

1. 함수 $f: X \to Y$에서 정의역 $X$의 두 원소 $x_1, x_2$에 대하여 $x_1 \ne x_2$이면 $f(x_1) \ne f(x_2)$일 때, 함수 $f$를 일대일함수라고 한다.

2. 확률변수 $X$가 정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$을 따를 때, 확률변수 $Z = \frac{X-m}{\sigma}$은 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1)$을 따르고 다음이 성립한다.

$\mathrm{P}(-1 \le Z \le 1) = 0.6826, \quad \mathrm{P}(-2 \le Z \le 2) = 0.9544, \quad \mathrm{P}(-3 \le Z \le 3) = 0.9974$

[1] 집합 $X=\{1, 2, 3\}$에서 집합 $Y=\{3, 4, 5, 6, 7\}$로의 모든 일대일함수 $f$ 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 이 함수가 다음 조건을 모두 만족시킬 확률을 구하시오. [8점]

(가) $f(1) \lt f(2) \lt f(3)$이다.
(나) $f(1) + f(2) + f(3)$은 홀수이다.

[2] 함수 $f(x) = x^2 + 2x\sin\theta + 2\cos\theta$에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, $0 \le \theta \le \pi$)

(1) 함수 $f(x)$의 최솟값을 $\theta$에 대한 함수 $m(\theta)$라고 하자. 이때, 함수 $m(\theta)$의 최댓값을 구하시오. [8점]

(2) 방정식 $f(x)=0$이 실근을 갖게 하는 $\theta$의 최솟값을 $\alpha$, 최댓값을 $\beta$라고 할 때, $\sin^2\alpha + \sin^2\beta$의 값을 구하시오. [10점]

[3] 수직선 위의 점 $P$를 한 개의 주사위를 던져 $6$의 약수가 나올 때만 양의 방향으로 $2$만큼 이동시킨다. 한 개의 주사위를 연속으로 $450$번 던졌을 때, 점 $P$의 좌표가 $580$ 이상 $640$ 이하에 있을 확률을 구하시오. [14점]
(단, 점 $P$의 처음 좌표는 $0$)

[4] 원 $x^2 + y^2 = 2n$이 곡선 $y = \frac{n}{x}$과 만나는 점의 양의 $x$좌표를 $a_n$, 곡선 $y = \sqrt{2nx}$와 만나는 점의 $x$좌표를 $b_n$이라고 하자. 이때, \[\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{(a_n)^2}\] 의 값을 구하시오. (단, $n$은 자연수) [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

【유사 연습 문제】 집합 $X=\{1,2,3,4\}$에서 집합 $Y=\{1,2,3,4,5\}$로의 모든 함수 $f$ 중에서 임의로 하나를 택할 때, $f$가 일대일함수일 확률을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 전체 함수의 개수는 $5^4 = 625$이고, 일대일함수의 개수는 ${}_5\mathrm{P}_4 = 120$이므로 구하는 확률은 $\frac{120}{625} = \frac{24}{125}$이다. [정답: $\frac{24}{125}$]

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 2025학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 (확률과 통계 · 대수 · 미적분Ⅰ) [배점 50점]

2025학년도 자연계열 2025학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 — 광운대 2025학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 2025학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 · 총 50점

【문항 [1], [2] 정답 및 모범답안】

[1] 일대일함수 조건부 확률:

집합 $X=\{1,2,3\}$에서 $Y=\{3,4,5,6,7\}$로의 일대일함수 전체의 개수는 $n(S) = {}_5\mathrm{P}_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$이다.

조건 (가)에 의해 치역의 원소 3개를 선택하면 대소관계가 유일하게 결정되며, (나)에 의해 3수의 합이 홀수이어야 한다.

홀수가 되는 조합: (홀수 3개) 또는 (홀수 1개, 짝수 2개)

• 홀수 3개 선택: $\{3, 5, 7\} \implies 1$가지

• 홀수 1개, 짝수 2개 선택: 짝수는 $\{4, 6\}$뿐이므로 홀수 3개 중 1개 선택 $\implies {}_3\mathrm{C}_1 = 3$가지

따라서 조건을 만족시키는 함수의 개수는 $1 + 3 = 4$가지이다. 구하는 확률은 \[P = \frac{4}{60} = \mathbf{\frac{1}{15}}\]

[2] 함수 $f(x)$의 최솟값과 실근 조건:

(1) $f(x) = (x + \sin\theta)^2 - \sin^2\theta + 2\cos\theta$이므로 최솟값은 \[m(\theta) = -\sin^2\theta + 2\cos\theta = \cos^2\theta + 2\cos\theta - 1 = (\cos\theta + 1)^2 - 2\]

$0 \le \theta \le \pi$에서 $-1 \le \cos\theta \le 1$이므로, $\cos\theta = 1$ (즉 $\theta = 0$)일 때 최댓값은 $(1+1)^2 - 2 = \mathbf{2}$이다.

(2) $f(x)=0$이 실근을 가지려면 판별식 $D/4 = \sin^2\theta - 2\cos\theta \ge 0$이어야 한다.

$1 - \cos^2\theta - 2\cos\theta \ge 0 \iff \cos^2\theta + 2\cos\theta - 1 \le 0 \iff -1 - \sqrt{2} \le \cos\theta \le -1 + \sqrt{2}$.

$-1 \le \cos\theta \le \sqrt{2}-1$이므로, $\cos\beta = -1 \implies \beta = \pi$, $\cos\alpha = \sqrt{2}-1$.

따라서 $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (3 - 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2$, $\sin^2\beta = 0$.

\[\sin^2\alpha + \sin^2\beta = \mathbf{2\sqrt{2} - 2}\]

【문항 [3], [4] 정답 및 모범답안】

[3] 독립시행과 정규분포를 이용한 확률:

주사위를 한 번 던져 $6$의 약수($1, 2, 3, 6$)가 나올 확률은 $p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$이다.

$450$번의 독립시행 중 $6$의 약수가 나오는 횟수를 확률변수 $K$라 하면, $K \sim \mathrm{B}\left(450, \frac{2}{3}\right)$이다.

시행 횟수 $n=450$이 충분히 크므로 $K$는 근사적으로 정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$을 따른다.

• 평균: $m = 450 \times \frac{2}{3} = 300$, 분산: $\sigma^2 = 450 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = 100 = 10^2 \implies \sigma = 10$.

점 $P$의 좌표는 $2K$이므로, 구하는 확률은 $\mathrm{P}(580 \le 2K \le 640) = \mathrm{P}(290 \le K \le 320)$이다.

표준화: $Z = \frac{K - 300}{10}$을 적용하면,

\[\mathrm{P}\left(\frac{290-300}{10} \le Z \le \frac{320-300}{10}\right) = \mathrm{P}(-1 \le Z \le 2) = \frac{\mathrm{P}(-1 \le Z \le 1)}{2} + \frac{\mathrm{P}(-2 \le Z \le 2)}{2}\]

\[= \frac{0.6826}{2} + \frac{0.9544}{2} = 0.3413 + 0.4772 = \mathbf{0.8185}\]

[4] 원과 곡선의 교점 및 극한값:

① $x^2 + y^2 = 2n$과 $y = \frac{n}{x}$ 연립: $x^2 + \frac{n^2}{x^2} = 2n \iff (x^2)^2 - 2n(x^2) + n^2 = 0 \iff (x^2 - n)^2 = 0$.

양의 $x$좌표이므로 $(a_n)^2 = n \implies a_n = \sqrt{n}$.

② $x^2 + y^2 = 2n$과 $y = \sqrt{2nx}$ 연립: $x^2 + 2nx = 2n \iff x^2 + 2nx - 2n = 0$.

근의 공식: $b_n = -n + \sqrt{n^2 + 2n} = n\left(\sqrt{1 + \frac{2}{n}} - 1\right)$.

따라서 구하는 극한값은 \[\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{(a_n)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(\sqrt{1+2/n}-1)}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2/n}{\sqrt{1+2/n}+1} \cdot n = \mathbf{1}\]

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1]~[2] 일대일함수 확률·삼각방정식(26점) | [3]~[4] 정규분포 확률·수열의 극한(24점)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1] 전체 일대일함수 경우의 수 ${}_5\mathrm{P}_3 = 60$을 구했으면	4점
2단계	[1] 조건 (가), (나)를 만족시키는 경우의 수 $4$를 구하고 확률 $\frac{1}{15}$을 구했으면	12점
3단계	[2] (1) 완전제곱식 변형을 통해 $m(\theta) = \cos^2\theta + 2\cos\theta - 1$을 유도하고 최댓값 $2$를 구했으면	15점
4단계	[2] (2) 판별식 $D/4 \ge 0$으로부터 $\alpha, \beta$의 범위를 구하고 $\sin^2\alpha + \sin^2\beta = 4\sqrt{2}-4$를 구했으면	19점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ · 기하 · 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 광운대 2025학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

1. 미분가능한 함수 $f(x)$에서 $f'(a)=0$이고, $x=a$의 좌우에서
① $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극대이고, 극댓값은 $f(a)$이다.
② $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극소이고, 극솟값은 $f(a)$이다.

2. 삼각형 $ABC$에서 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ (코사인법칙)가 성립한다.

3. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (단, $x$의 단위는 라디안)

[전개도]

[원뿔과 최단거리 l]

[1] 두 함수 $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 24x$, $g(x) = -x^2 - 2x + k$가 임의의 두 실수 $x_1, x_2$에 대하여 $f(x_1) \ge g(x_2)$를 만족시킬 때, 상수 $k$의 최댓값을 구하시오. [10점]

[그림 1] 원뿔 전개도 및 입체

[2] 그림과 같이 반지름의 길이가 $1$인 원 모양의 종이에서 중심각의 크기가 $\theta$인 부채꼴을 잘라내고 남은 부분으로 (밑면이 없는) 원뿔을 만들려고 한다. 다음 물음에 답하시오.

(1) 이 원뿔의 부피가 최대가 되기 위한 $\theta$의 값을 구하시오. [10점]

(2) (1)에서 만든 원뿔에 대하여 원 $C$의 지름 $AA'$의 점 $A$에서 출발하여 원뿔의 옆면을 따라 점 $A'$에 이르는 최단 거리를 $l$이라고 할 때, $l^2$의 값을 구하시오. [10점]

[3] 함수 $f(x) = \tan\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$에 대하여 점 $P_1\left(\frac{2\pi}{3}, 0\right)$을 지나고 $y$축과 평행한 직선이 곡선 $y=f(x)$와 만나는 점을 $Q_1$, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $Q_1$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $P_2$라고 하자.
점 $P_2$를 지나고 $y$축과 평행한 직선이 곡선 $y=f(x)$와 만나는 점을 $Q_2$, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $Q_2$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $P_3$라고 하자.
이와 같은 과정을 한없이 반복할 때, 점 $P_n$의 $x$좌표를 $a_n$이라고 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, $n$은 자연수)

(1) $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$일 때, $\alpha$의 값을 구하시오. $\left(\text{단, } \frac{\pi}{4} \lt \alpha \lt \frac{3\pi}{4}\right)$ [10점]

(2) (1)에서 구한 $\alpha$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_{n+1} - \alpha}{a_n - \alpha} \right)$의 값을 구하시오. (단, $a_n - \alpha \ne 0$) [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

【유사 연습 문제】 밑면의 반지름의 길이가 $2$이고 모선의 길이가 $6$인 원뿔에서 밑면의 둘레 위의 한 점 $\mathrm{A}$에서 출발하여 원뿔의 옆면을 한 바퀴 돌아 다시 점 $\mathrm{A}$로 돌아오는 최단거리를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 원뿔의 옆면 전개도인 부채꼴의 중심각 $\theta$는 $6\theta = 2\pi \cdot 2 \implies \theta = \frac{2\pi}{3}$이다. 코사인법칙에 의해 최단거리는 $\sqrt{6^2 + 6^2 - 2\cdot 6\cdot 6\cos\frac{2\pi}{3}} = 6\sqrt{3}$이다. [정답: $6\sqrt{3}$]

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 2025학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 (미적분Ⅰ · 기하 · 미적분Ⅱ) [배점 50점]

2025학년도 자연계열 2025학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 — 광운대 2025학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

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📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 2025학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 · 총 50점

【문항 [1], [2] 정답 및 모범답안】

[그림] 전개도에서의 최단경로 $l$

[1] 사차함수와 이차함수의 절대부등식:

모든 $x_1, x_2$에 대하여 $f(x_1) \ge g(x_2)$가 성립하려면, $f(x)$의 최솟값이 $g(x)$의 최댓값 이상이어야 한다.

• $f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 12x - 24 = 12(x-2)(x^2+x+1) = 0 \implies x=2$.

최솟값: $f(2) = 3(16) - 4(8) - 6(4) - 24(2) = 48 - 32 - 24 - 48 = -56$.

• $g(x) = -(x+1)^2 + k + 1$이므로 최댓값은 $k + 1$이다.

따라서 $k + 1 \le -56 \iff k \le -57$. 구하는 상수 $k$의 최댓값은 $\mathbf{-57}$이다.

[2] 원뿔의 부피 최적화 및 옆면 최단거리:

(1) 원뿔의 모선의 길이는 $R = 1$이다. 밑면 둘레는 $2\pi(1) - \theta = 2\pi - \theta$이다.

밑면의 반지름을 $r$이라 하면 $2\pi r = 2\pi - \theta \implies r = \frac{2\pi - \theta}{2\pi}$. 높이는 $h = \sqrt{1 - r^2}$이다.

원뿔의 부피 $V = \frac{1}{3}\pi r^2 \sqrt{1-r^2}$. $f(t) = t^2(1-t) = t^2 - t^3$ ($t = r^2$)를 미분하면 $f'(t) = 2t - 3t^2 = 0 \implies t = \frac{2}{3}$.

따라서 $r = \sqrt{\frac{2}{3}}$일 때 부피가 최대이다. 이때 $\theta = 2\pi(1-r) = \mathbf{2\pi\left(1 - \sqrt{\frac{2}{3}}\right)}$.

(2) 전개도에서 지름 $AA'$의 양 끝점은 원뿔 밑면 둘레의 절반에 대응하므로, 전개도에서의 중심각은 $\beta = \frac{2\pi - \theta}{2} = \pi r = \sqrt{\frac{2}{3}}\pi$이다.

코사인법칙에 의해 점 $A$와 $A'$ 사이의 최단거리 $l$의 제곱은 다음과 같다:

\[l^2 = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1)\cos\beta = \mathbf{2 - 2\cos\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\pi\right)}\]

【문항 [3] 정답 및 모범답안】

[3] 점렬 접선의 $x$절편 점화식과 수열의 극한:

$f(x) = \tan\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cot x$이다. $f'(x) = \sec^2\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \csc^2 x$.

곡선 위의 점 $Q_n(a_n, f(a_n))$에서의 접선의 방정식은 \[y - f(a_n) = f'(a_n)(x - a_n)\]

접선이 $x$축과 만나는 점 $P_{n+1}(a_{n+1}, 0)$을 대입하면 $0 - f(a_n) = f'(a_n)(a_{n+1} - a_n)$이므로,

\[a_{n+1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} = a_n - \frac{\tan(a_n - \pi/2)}{\sec^2(a_n - \pi/2)} = a_n - \sin\left(a_n - \frac{\pi}{2}\right)\cos\left(a_n - \frac{\pi}{2}\right) = a_n - \frac{1}{2}\sin(2a_n - \pi)\]

\[a_{n+1} = a_n + \frac{1}{2}\sin(2a_n)\]

(1) 극한값 $\alpha$:

$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$라 하면, $\alpha = \alpha + \frac{1}{2}\sin(2\alpha) \iff \sin(2\alpha) = 0$.

문제의 조건 $\frac{\pi}{4} \lt \alpha \lt \frac{3\pi}{4}$에서 $2\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$이므로, $2\alpha = \pi \implies \mathbf{\alpha = \frac{\pi}{2}}$이다.

(2) 극한값 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-\alpha}{a_n-\alpha}$:

$a_{n+1} - \alpha = a_n - \alpha + \frac{1}{2}\sin(2a_n) = a_n - \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(2a_n)$.

$t_n = a_n - \frac{\pi}{2}$라 두면 $t_n \to 0$이고, $2a_n = 2t_n + \pi$이므로 $\sin(2a_n) = \sin(2t_n + \pi) = -\sin(2t_n)$.

\[a_{n+1} - \frac{\pi}{2} = t_n - \frac{1}{2}\sin(2t_n)\]

\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - \alpha}{a_n - \alpha} = \lim_{t_n \to 0} \frac{t_n - \frac{1}{2}\sin(2t_n)}{t_n} = \lim_{t_n \to 0} \left( 1 - \frac{\sin(2t_n)}{2t_n} \right) = 1 - 1 = \mathbf{0}\]

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1]~[2] 사차함수 최적화·원뿔 최단거리(30점) | [3] 삼각함수 접선 수열 극한(20점)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1] $f(x)$의 최솟값 $-56$과 $g(x)$의 최댓값 $k+1$을 구하고 $k \le -57$을 도출했으면	16점
2단계	[2] (1) 원뿔의 밑면 반지름 $r$, 높이 $h$를 구하고 부피 최댓값의 $\theta = 2\pi\left(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$를 구했으면	17점
3단계	[2] (2) 전개도에서 점 $A, A'$ 사이의 중심각 $\beta = \sqrt{\frac{2}{3}}\pi$를 구하고 코사인법칙으로 $l^2$을 구했으면	17점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ · 대수 · 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 광운대 2024학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

1. 수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$, $\lim_{n \to \infty} b_n = \beta$ ($\alpha, \beta$는 실수)일 때,

① $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n = \alpha + \beta$

② $\lim_{n \to \infty} a_n b_n = \lim_{n \to \infty} a_n \times \lim_{n \to \infty} b_n = \alpha \beta$

2. 유리함수 $y = \frac{k}{x-p} + q$ ($k \ne 0$)의 그래프의 점근선은 두 직선 $x=p, y=q$이다.

3. 집합 $A$의 원소가 유한개일 때, 집합 $A$의 원소의 개수를 기호 $n(A)$로 나타낸다.

[1] 수열 $\{a_n\}$의 일반항이 $a_n = \ln\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)$일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 극한값 $\lim_{n \to \infty} (2n+1)a_n$을 구하시오. [6점]

(2) 수열 $\{b_n\}$의 일반항이 $b_n = -\frac{a_n}{2n+1}$일 때, 자연수 $n$에 대하여 $b_n \lt b_{n+1}$임을 증명하시오. [8점]

[2] 함수 $f(x) = ax(x-2\pi)$가 다음 조건을 만족시킬 때, 물음에 답하시오. (단, $a$는 $0$이 아닌 실수)

$0 \le x \le 2\pi$에서 $f(x)$의 최댓값은 $1$이다.

(1) $0 \le x \le 2\pi$에서 방정식 $f(x) + |\cos x| = -\frac{x}{\pi}$의 실근이 없음을 증명하시오. [8점]

(2) 함수 $g(x) = \frac{x-p}{x+2p}$에 대하여 $0 \le x \le 2\pi$에서 합성함수 $(g \circ f)(x)$의 최댓값과 최솟값이 모두 존재하도록 하는 실수 $p$의 범위를 구하시오. $\left(\text{단, } p\text{는 } 0\text{과 } -\frac{1}{2}\text{이 아닌 실수}\right)$ [12점]

[3] 다음 두 집합 $A, B$에 대하여 물음에 답하시오.

$A = \{ a \mid a\text{는 } 4\text{의 배수인 자연수} \}$
$B = \{ b \mid b\text{는 } 7\text{개의 숫자 } 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\text{을 중복 없이 사용하여 만든 일곱 자리 자연수} \}$

(1) $n(A \cap B)$를 구하시오. [8점]

(2) 집합 $B$의 원소를 큰 수부터 차례로 $b_1, b_2, \cdots, b_{n(B)}$라고 할 때, $b_{1000}$의 값을 구하시오. [8점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

【유사 연습 문제】 모든 실수 $x$에 대하여 삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$이 증가함수가 되도록 하는 실수 $a, b$의 관계식을 구하고, $a = 3$일 때 $b$의 최솟값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b \ge 0$이 모든 실수 $x$에서 성립해야 하므로 판별식 $D/4 = a^2 - 3b \le 0 \iff b \ge \frac{a^2}{3}$이다. $a=3$일 때 $b$의 최솟값은 $3$이다. [정답: $b \ge \frac{a^2}{3}$, 최솟값 $3$]

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 2024학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 (미적분Ⅰ · 대수 · 확률과 통계) [배점 50점]

2024학년도 자연계열 2024학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 — 광운대 2024학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

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📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 2024학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 · 총 50점

💡 【문항 [1] 모범 답안 및 해설】

(1) 극한값 계산 (6점):

\[\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} (2n+1)a_n &= \lim_{n \to \infty} \left\{ (2n+1)\ln\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right) \right\} = \lim_{n \to \infty} \left\{ (2n+1)\ln\left(1 + \frac{2}{2n-1}\right) \right\} \\ &= \lim_{n \to \infty} \ln\left\{ \left(1 + \frac{2}{2n-1}\right)^{\frac{2n-1}{2}} \right\}^{\frac{2(2n+1)}{2n-1}} = \ln(e^2) = 2 \end{aligned}\]

(2) 부등식 $b_n \lt b_{n+1}$ 증명 (8점):

$b_n = -\frac{a_n}{2n+1}$에 대하여 함수 $f(x) = -\frac{\ln(2x+1) - \ln(2x-1)}{2x+1}$ ($x \ge 1$)로 정의하자. 양변에 $(2x+1)^2$을 곱하여 미분하면

\[f'(x) = -\frac{\left(\frac{2}{2x+1} - \frac{2}{2x-1}\right)(2x+1) - 2\left\{\ln(2x+1) - \ln(2x-1)\right\}}{(2x+1)^2} = \frac{\frac{4}{2x-1} + 2\ln\left(1 - \frac{2}{2x+1}\right)}{(2x+1)^2}\]

함수 $h(t) = \frac{4t}{1-t} + 2\ln(1-t)$ ($t = \frac{1}{2x+1} \in (0, \frac{1}{3}]$)라 두면, $h'(t) = \frac{4}{(1-t)^2} - \frac{2}{1-t} = \frac{2(1+t)}{(1-t)^2} \gt 0$이므로 $h(t) \gt h(0) = 0$이다. 따라서 $f'(x) \gt 0$이므로 $f(x)$는 구간 $[1, \infty)$에서 엄격히 증가한다. 그러므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $f(n) \lt f(n+1)$, 즉 $b_n \lt b_{n+1}$이 성립한다.

(다른 풀이): $n \ge 1$일 때 $b_n \lt 0$이므로, $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2n+1}{2n+3}\frac{\ln(1 + \frac{2}{2n+1})}{\ln(1 + \frac{2}{2n-1})}$을 조사한다. $\frac{2n+1}{2n+3} \lt 1$이고 $\ln(1 + \frac{2}{2n+1}) \lt \ln(1 + \frac{2}{2n-1})$이므로 $\frac{b_{n+1}}{b_n} \lt 1$이다. 양변에 음수 $b_n$을 곱하면 부등호 방향이 바뀌어 $b_{n+1} \gt b_n$이 성립한다.

💡 【문항 [2](1) 모범 답안】

(1) 실근 부존재 증명 (8점):

$f(x) = ax(x-2\pi) = a\left\{(x-\pi)^2 - \pi^2\right\}$는 $x=\pi$에서 최댓값 $f(\pi) = -a\pi^2$을 갖는다. 조건에서 최댓값이 $1$이므로 $-a\pi^2 = 1 \implies a = -\frac{1}{\pi^2}$이다.

따라서 주어진 방정식은 $-\frac{1}{\pi^2}x^2 + \frac{2}{\pi}x + |\cos x| = -\frac{x}{\pi}$, 즉 $f(x) + |\cos x| = -\frac{x}{\pi}$이다.

$0 \le x \le 2\pi$에서 좌변과 우변을 분석하면:

① $0 \lt x \lt 2\pi$일 때 $f(x) \gt 0$이고 $|\cos x| \ge 0$이므로 좌변 $f(x) + |\cos x| \gt 0$이다. $x=0$일 때 좌변은 $0 + 1 = 1 \gt 0$, $x=2\pi$일 때 좌변은 $0 + 1 = 1 \gt 0$이므로 모든 $x \in [0, 2\pi]$에서 (좌변) $ \gt 0$이다.

② 우변은 $-\frac{x}{\pi} \le 0$이다. 따라서 (좌변) $ \gt 0 \ge$ (우변)이므로 두 식은 만날 수 없으며 실근이 존재하지 않는다.

💡 【문항 [2](2) 모범 답안 및 개형 분석】

$0 \le x \le 2\pi$에서 $f(x) = -\frac{1}{\pi^2}x(x-2\pi)$의 치역은 $[0, 1]$이다. 따라서 $f(x) = t$ ($0 \le t \le 1$)로 치환하면 합성함수는

\[g(t) = \frac{t-p}{t+2p} = 1 - \frac{3p}{t+2p}\]

유리함수 $g(t)$의 점근선은 $y = 1$과 $t = -2p$이다. 닫힌구간 $[0, 1]$에서 $g(t)$가 연속이어야 최댓값과 최솟값이 모두 존재하므로, 점근선 $t = -2p$가 닫힌구간 $[0, 1]$에 포함되지 않아야 한다. 즉 $-2p \lt 0$ 또는 $-2p \gt 1$이어야 한다.

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[그림 1] $p \gt 0$ ($-2p \lt 0$)

(ⅰ) $-2p \lt 0$, 즉 $p \gt 0$인 경우:

$-3p \lt 0$이므로 점근선 $t = -2p$의 오른쪽인 $t \ge 0$에서 $g(t)$는 단조증가 함수이다.

따라서 닫힌구간 $[0, 1]$에서 $g(t)$는 연속이며, $t=0$에서 최솟값 $g(0) = -\frac{1}{2}$, $t=1$에서 최댓값 $g(1) = \frac{1-p}{1+2p}$가 모두 존재한다.

[그림 2] $-\frac{1}{2} \lt p \lt 0$ ($0 \lt -2p \lt 1$)

(ⅱ) $0 \lt -2p \lt 1$, 즉 $-\frac{1}{2} \lt p \lt 0$인 경우:

점근선 $t = -2p$가 열린구간 $(0, 1)$ 내부에 존재한다.

$\lim_{t \to (-2p)^-} g(t) = -\infty$, $\lim_{t \to (-2p)^+} g(t) = \infty$이므로 닫힌구간 $[0, 1]$에서 최댓값과 최솟값이 모두 존재하지 않는다.

[그림 3] $p \lt -\frac{1}{2}$ ($1 \lt -2p$)

(ⅲ) $1 \lt -2p$, 즉 $p \lt -\frac{1}{2}$인 경우:

$-3p \gt \frac{3}{2} \gt 0$이며 점근선 $t = -2p$가 $1$보다 오른쪽에 위치한다.

구간 $[0, 1]$은 점근선의 왼쪽 영역에 완전히 포함되므로 $g(t)$는 단조감소 함수이다. 따라서 $t=0$에서 최댓값 $g(0) = -\frac{1}{2}$, $t=1$에서 최솟값 $g(1) = \frac{1-p}{1+2p}$가 모두 존재한다.

결론: (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)으로부터 $(g \circ f)(x)$의 최댓값과 최솟값이 모두 존재하는 실수 $p$의 범위는 \[p \lt -\frac{1}{2} \quad \text{또는} \quad p \gt 0\]

💡 【문항 [3] 모범 답안 및 상세 해설】

(1) $n(A \cap B)$ 계산 (8점):

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$으로 만든 일곱 자리 자연수가 $4$의 배수가 되려면 끝의 두 자리가 $4$의 배수이어야 한다. 가능한 끝 두 자리는 $04, 12, 16, 20, 24, 32, 36, 40, 52, 56, 60, 64$의 총 12가지이다.

① 끝의 두 자리에 $0$이 포함되는 경우 ($04, 20, 40, 60$의 4가지):
맨 앞자리(백만 자리)에 $0$이 올 걱정이 없으므로, 나머지 5개의 숫자를 앞 5자리에 일렬로 나열하면 된다. 즉 $5! \times 4 = 120 \times 4 = 480$가지.

② 끝의 두 자리에 $0$이 포함되지 않는 경우 ($12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64$의 8가지):
맨 앞자리에 $0$이 올 수 없으므로, 남은 5개 숫자 중 $0$을 제외한 4가지가 맨 앞에 올 수 있고, 나머지 4자리는 남은 4개 숫자를 배열하면 된다. 즉 $4 \times 4! \times 8 = 4 \times 24 \times 8 = 768$가지.
따라서 $n(A \cap B) = 480 + 768 = 1248$이다.

(2) $b_{1000}$의 값 계산 (8점):

집합 $B$의 원소를 큰 수부터 순차적으로 추적한다:

• $6\square\square\square\square\square\square$ 형태: $6! = 720$개
• $5\square\square\square\square\square\square$ 형태: $6! = 720$개 (누적 1440개이므로 $b_{1000}$은 $5$로 시작)
• $56\square\square\square\square\square$ 형태: $5! = 120$개 (누적 $720 + 120 = 840$개)
• $54\square\square\square\square\square$ 형태: $5! = 120$개 (누적 $840 + 120 = 960$개)
• $536\square\square\square\square$ 형태: $4! = 24$개 (누적 $960 + 24 = 984$개)
• $5346\square\square\square$ 형태: $3! = 6$개 (누적 $984 + 6 = 990$개)
• $5342\square\square\square$ 형태: $3! = 6$개 (누적 $990 + 6 = 996$개)
• $53416\square\square$ 형태: $2! = 2$개 (누적 $996 + 2 = 998$개)
• $53412\square\square$ 형태: $2! = 2$개 (누적 $998 + 2 = 1000$개)
따라서 1000번째 수 $b_{1000}$은 $53412\square\square$ 형태 중 남은 숫자 $\{0, 6\}$으로 만드는 가장 작은 수이므로 \[b_{1000} = 5341206\]

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1] 수열의 극한 | [2] 도함수 부등식·유리함수 개형 | [3] 경우의 수(총 50점)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[[1](1)] $\lim_{n \to \infty} \left\{ (2n+1)\ln\left(1 + \frac{2}{2n-1}\right) \right\} = \lim_{n \to \infty} \ln\left(1 + \frac{2}{2n-1}\right)^{2n+1}$을 얻으면	6점
2단계	극한값 $2$를 얻으면	3점
3단계	[[1](2)] $b_n = f(n)$으로 놓고 함수 $f(x) = -\frac{a_x}{2x+1}$을 미분하여 $f'(x) \gt 0$임을 보이면	6점
4단계	$f(x)$가 증가함수임을 보이면	3점
5단계	$f(n) \lt f(n+1)$이므로 $b_n \lt b_{n+1}$임을 얻으면	3점
6단계	[[2](1)] $a = -\frac{1}{\pi^2}$을 구하면	3점
7단계	방정식을 $-\frac{1}{\pi^2}x^2 + \frac{2}{\pi}x + \|\cos x\| = -\frac{x}{\pi}$로 나타내면	3점
8단계	$0 \le x \le 2\pi$에서 (좌변) $ \gt 0$이고 (우변) $\le 0$이므로 실근이 없음을 보이면	6점
9단계	[[2](2)] $f(x) = t$ ($0 \le t \le 1$)로 치환하고 $g(t) = 1 - \frac{3p}{t+2p}$의 점근선 $t = -2p$를 구하면	4점
10단계	$-2p \lt 0$ 또는 $-2p \gt 1$일 때 최댓값과 최솟값이 모두 존재함을 보이면	9점
11단계	실수 $p$의 범위 $p \lt -\frac{1}{2}$ 또는 $p \gt 0$을 구하면	4점

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광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 공통수학 · 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 광운대 2024학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

1. 어떤 명제가 참임을 증명할 때, 주어진 명제의 결론을 부정하여 가정 또는 이미 알려진 수학적 사실 등에 모순됨을 보여 원래의 명제가 참임을 증명하는 방법을 귀류법이라고 한다.

2. 함수 $f(x)$가 어떤 열린구간에서 미분가능할 때

① 그 구간의 모든 $x$에 대하여 $f'(x) \gt 0$이면 $f(x)$는 그 구간에서 증가한다.

② 그 구간의 모든 $x$에 대하여 $f'(x) \lt 0$이면 $f(x)$는 그 구간에서 감소한다.

3. 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x = g(t)$의 도함수 $g'(t)$가 $a = g(\alpha), b = g(\beta)$일 때, $\alpha, \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면 \[\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)\,dt\]

4. 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 도함수를 갖는 두 함수 $f(x), g(x)$에 대하여 \[\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx\]

[1] 다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 함수 $f(x)$를 구하시오. [6점]

(가) $f(0) = 1$
(나) 모든 실수 $x$에서 $f(3x) = f(x) + x^3$이다.

[2] 방정식 $8x^3 - 6x + 1 = 0$의 실근이 유리수가 아님을 증명하시오. [12점]

[3] 다음 물음에 답하시오.

(1) 정적분 $\int_0^1 \frac{1-x^8}{1+x^2}\,dx$를 구하시오. [6점]

(2) (1)에서 구한 값을 $I$라고 할 때, 부등식 $\left| I - \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx \right| \le \frac{1}{9}$이 성립함을 증명하시오. [8점]

[4] 함수 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $n \ge 3$인 자연수 $n$에 대하여 $n^{n+1}$과 $(n+1)^n$의 크기를 비교하시오. [8점]

(2) 함수 $g(x) = \frac{f(x+1)}{x+1}$일 때, 곡선 $y = g(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x=0, x=e^2-1$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

【유사 연습 문제】 곡선 $y = e^x$와 직선 $y = ex$ 및 $y$축($x=0$)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 곡선 $y=e^x$ 위의 점 $(1, e)$에서의 접선이 $y=ex$이고 $[0, 1]$에서 $e^x \ge ex$이므로 구하는 넓이는 $\int_0^1 (e^x - ex)\,dx = \left[e^x - \frac{e}{2}x^2\right]_0^1 = e - \frac{e}{2} - 1 = \frac{e}{2} - 1$이다. [정답: $\frac{e}{2} - 1$]

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 2024학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 (공통수학 · 미적분Ⅱ) [배점 50점]

2024학년도 자연계열 2024학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 — 광운대 2024학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 2024학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 · 총 50점

💡 【문항 [1], [2] 모범 답안】

[1] 다항함수 $f(x)$ 구하기 (6점):

$f(x) = a_m x^m + a_{m-1}x^{m-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ ($m \ge 3, a_m \ne 0$)으로 놓으면

\[f(3x) - f(x) = (3^m - 1)a_m x^m + \cdots + (3^3 - 1)a_3 x^3 + \cdots + (3 - 1)a_1 x = x^3\]

항등식의 성질에 의하여 $(3^3 - 1)a_3 = 26a_3 = 1 \implies a_3 = \frac{1}{26}$이고, $k \ne 3$인 모든 $1 \le k \le m$에 대하여 $(3^k - 1)a_k = 0 \implies a_k = 0$이다. 조건 (가)에서 $a_0 = f(0) = 1$이므로 \[f(x) = \frac{1}{26}x^3 + 1\]

[2] 귀류법을 이용한 무리수 실근 증명 (12점):

방정식 $8x^3 - 6x + 1 = 0$의 실근 $x$가 유리수라고 가정하자. $x = \frac{a}{b}$ ($b \gt 0$, $a$와 $b$는 서로소인 정수)라 두면

\[8\left(\frac{a}{b}\right)^3 - 6\left(\frac{a}{b}\right) + 1 = 0 \iff 8a^3 - 6ab^2 + b^3 = 0 \iff b^3 = 2(3ab^2 - 4a^3)\]

우변이 $2$의 배수이므로 $b^3$은 짝수이고, 따라서 $b$는 짝수이다. $a$와 $b$는 서로소이므로 $a$는 반드시 홀수이어야 한다.

$b$가 짝수이므로 $b = 2k$ ($k$는 정수)로 둘 수 있다. 이를 대입하면

\[8a^3 - 6a(4k^2) + 8k^3 = 0 \iff 8a^3 - 24ak^2 + 8k^3 = 0 \iff a^3 = 3ak^2 - k^3 = k^2(3a - k)\]

여기서 $k$의 홀짝성을 조사하면:

• $k$가 짝수이면 $k^2$이 짝수이므로 $k^2(3a-k)$는 짝수이다.
• $k$가 홀수이면 $a$가 홀수이므로 $3a$는 홀수이고, $3a-k$는 (홀수 - 홀수) = 짝수가 되어 $k^2(3a-k)$는 짝수이다.

따라서 어떤 경우든 우변 $k^2(3a-k)$는 짝수이므로, $a^3$은 짝수이고 $a$ 또한 짝수이어야 한다. 이는 $a$가 홀수라는 사실에 모순이다. 따라서 주어진 방정식의 실근은 유리수가 아니다.

💡 【문항 [3], [4] 모범 답안】

[3](1) 정적분 계산:

\[\int_0^1 \frac{1-x^8}{1+x^2}\,dx = \int_0^1 (1 - x^2 + x^4 - x^6)\,dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} = \frac{76}{105}\]

[3](2) 부등식 증명:

$I - \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx = \int_0^1 \frac{(1-x^8) - 1}{1+x^2}\,dx = -\int_0^1 \frac{x^8}{1+x^2}\,dx$이다. $0 \le x \le 1$에서 $1+x^2 \ge 1$이므로 $0 \le \frac{x^8}{1+x^2} \le x^8$이다.

\[\left| I - \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx \right| = \int_0^1 \frac{x^8}{1+x^2}\,dx \le \int_0^1 x^8\,dx = \left[ \frac{x^9}{9} \right]_0^1 = \frac{1}{9}\]

[4](1) 대소 비교:

$f(x) = \frac{\ln x}{x}$ ($x \gt 0$)의 도함수는 $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$이다. $x \gt e$일 때 $f'(x) \lt 0$이므로 $f(x)$는 구간 $[e, \infty)$에서 엄격히 감소한다.

$n \ge 3$인 자연수 $n$에 대하여 $e \lt 3 \le n \lt n+1$이므로 $f(n) \gt f(n+1)$, 즉 $\frac{\ln n}{n} \gt \frac{\ln(n+1)}{n+1}$이다.

양변에 $n(n+1)$을 곱하면 $(n+1)\ln n \gt n\ln(n+1) \implies \ln(n^{n+1}) \gt \ln((n+1)^n) \implies n^{n+1} \gt (n+1)^n$

[4](2) 둘러싸인 도형의 넓이:

$g(x) = \frac{f(x+1)}{x+1} = \frac{\ln(x+1)}{(x+1)^2}$이며 $x \ge 0$에서 $g(x) \ge 0$이다. 따라서 넓이 $S$는

\[S = \int_0^{e^2-1} \frac{\ln(x+1)}{(x+1)^2}\,dx\]

$t = \ln(x+1)$로 치환하면 $dt = \frac{1}{x+1}dx$, $x+1 = e^t$이고, $x=0 \implies t=0$, $x=e^2-1 \implies t=2$이다.

\[S = \int_0^2 t e^{-t}\,dt = \left[ -t e^{-t} \right]_0^2 - \int_0^2 (-e^{-t})\,dt = -2e^{-2} - \left[ e^{-t} \right]_0^2 = -2e^{-2} - (e^{-2} - 1) = 1 - \frac{3}{e^2}\]

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1]~[2] 항등식·귀류법 증명(18점) | [3]~[4] 정적분 부등식·초월함수 넓이(32점)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[[1]] $f(x) = a_m x^m + \cdots + a_0$ ($m \ge 3$)으로 놓고 $f(3x)-f(x) = x^3$에 대입하면	3점
2단계	$a_3 = \frac{1}{26}$, $a_k = 0$ ($1 \le k \le m, k \ne 3$)을 얻으면	8점
3단계	$f(0)=1$을 이용하여 $f(x) = \frac{1}{26}x^3 + 1$을 구하면	6점
4단계	[[2]] 귀류법을 이용하여 실근 $x$가 유리수라고 가정하면	6점
5단계	$x = \frac{a}{b}$ ($b \ne 0, a, b$ 서로소 정수)로 놓고 $b$는 짝수, $a$는 홀수임을 보이면	10점
6단계	$b = 2k$로 놓고 $a^3 = k^2(3a-k)$가 짝수임을 얻으면	11점
7단계	$a$가 짝수가 되어 $a$가 홀수라는 전제에 모순임을 보이면	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 광운대 2024학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

1. 로그함수 $y = \log_a x$ ($a \gt 0, a \ne 1$)는

① $a \gt 1$일 때 $x$의 값이 커지면 $y$의 값도 커진다.

② $0 \lt a \lt 1$일 때 $x$의 값이 커지면 $y$의 값은 작아진다.

2. 함수 $f : X \to Y$에서 정의역 $X$의 두 원소 $x_1, x_2$에 대하여 $x_1 \ne x_2$이면 $f(x_1) \ne f(x_2)$일 때, 함수 $f$를 일대일함수라고 한다.

3. 함수 $f(x)$에 대하여 $f^1(x) = f(x)$, $f^{n+1}(x) = (f \circ f^n)(x)$ ($n$은 자연수)이다.

[1] 두 함수 $f(x) = \log_k x$, $g(x) = x+1$에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, $k \gt 1$)

(1) 두 곡선 $y = f(x)$, $y = f(x^2)$과 직선 $x = k^n$이 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}_n, \mathrm{B}_n$이라고 하고 선분 $\mathrm{A}_n\mathrm{B}_n$의 길이를 $a_n$이라고 할 때, 극한값 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n^2}}$을 구하시오. (단, $n$은 자연수) [8점]

(2) $m_1, m_2, \cdots, m_{10}$은 $1$이 아닌 $5^{10}$의 서로 다른 약수들이라고 할 때, $t$에 대한 다음 방정식의 양의 실근의 개수를 구하시오. [12점]

$f(m_1) + f(m_2) + \cdots + f(m_{10}) = f(t^2 + 3t + 4)$

[1 계속] 앞 페이지의 함수 $f(x), g(x)$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(3) 함수 $g^{10}(x)$가 일대일함수임을 증명하시오. [10점]

(4) 합성함수 $(g^{10} \circ f)(x)$에 대하여 다음의 값을 구하시오. [10점]

$(g^{10} \circ f)(k) + (g^{10} \circ f)(k^2) + \cdots + (g^{10} \circ f)(k^{100})$

[2] $a$가 $0$이 아닌 실수일 때, 함수 $f(x) = \sin(ax - 1)$을 이용하여 다음 등식을 만족시키는 실수 $t$가 열린구간 $(a, a+1)$에 존재함을 증명하시오. [10점]

$\sin(a^2 + a - 1) - \sin(a^2 - 1) = a\cos(at - 1)$

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x^3 - 3x + 1$에 대하여 닫힌구간 $[0, 2]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c \in (0, 2)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\frac{f(2)-f(0)}{2-0} = \frac{3 - 1}{2} = 1$이고 $f'(c) = 3c^2 - 3 = 1 \implies c^2 = \frac{4}{3}$이다. $c \in (0, 2)$이므로 $c = \frac{2\sqrt{3}}{3}$이다. [정답: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$]

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 2024학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 (대수 · 미적분Ⅰ) [배점 50점]

2024학년도 자연계열 2024학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 — 광운대 2024학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 2024학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 · 총 50점

💡 【문항 [1](1), (2) 모범 답안 및 상세 해설】

(1) 선분 길이의 극한값 계산 (8점):

$x = k^n$일 때 $y = f(x) = \log_k(k^n) = n$, $y = f(x^2) = \log_k(k^{2n}) = 2n$이다.

두 점의 좌표는 $\mathrm{A}_n(k^n, n)$, $\mathrm{B}_n(k^n, 2n)$이므로 선분의 길이는 $a_n = |2n - n| = n$이다.

따라서 $a_{n^2} = n^2$이며, 구하는 극한값은 \[\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2} = 0\]

(2) 약수 방정식의 양의 실근 개수 (12점):

$5^{10}$의 양의 약수는 $5^0, 5^1, 5^2, \cdots, 5^{10}$의 총 11개이다. 이 중 $1$이 아닌 약수 10개는 $5^1, 5^2, \cdots, 5^{10}$이다.

로그의 성질에 의하여 좌변은

\[f(m_1) + f(m_2) + \cdots + f(m_{10}) = \sum_{i=1}^{10} \log_k(5^i) = \log_k\left(5^{1+2+\cdots+10}\right) = \log_k\left(5^{55}\right)\]

우변은 $f(t^2+3t+4) = \log_k(t^2+3t+4)$이므로, 로그함수의 일대일 성질에 의해 \[t^2 + 3t + 4 = 5^{55} \iff t^2 + 3t + (4 - 5^{55}) = 0\]

이차방정식 $h(t) = t^2 + 3t + (4 - 5^{55}) = 0$에서 $5^{55} \gt 4$이므로 상수항 $4 - 5^{55} \lt 0$이다. 두 실근의 곱이 음수이므로 서로 다른 부호의 두 실근을 갖는다. 따라서 양의 실근의 개수는 1개이다.

💡 【문항 [1](3), (4) 및 [2] 모범 답안】

[1](3) 일대일함수 증명 (10점):

$g(x) = x+1$이므로 $g^2(x) = (x+1)+1 = x+2$, $g^3(x) = x+3$, $\cdots$, $g^{10}(x) = x+10$이다.

임의의 실수 $x_1, x_2$에 대하여 $x_1 \ne x_2$이면 $x_1 + 10 \ne x_2 + 10$, 즉 $g^{10}(x_1) \ne g^{10}(x_2)$이므로 제시문 2에 의하여 $g^{10}(x)$는 일대일함수이다.

[1](4) 합성함수의 합 계산 (10점):

$(g^{10} \circ f)(x) = g^{10}(f(x)) = \log_k x + 10$이다. $x = k^i$를 대입하면 $(g^{10} \circ f)(k^i) = \log_k(k^i) + 10 = i + 10$이다.

\[\sum_{i=1}^{100} (g^{10} \circ f)(k^i) = \sum_{i=1}^{100} (i + 10) = \sum_{i=1}^{100} i + \sum_{i=1}^{100} 10 = \frac{100 \times 101}{2} + 1000 = 5050 + 1000 = 6050\]

[2] 평균값 정리를 이용한 존재 증명 (10점):

함수 $f(x) = \sin(ax - 1)$은 모든 실수에서 연속이고 미분가능하며, 도함수는 $f'(x) = a\cos(ax - 1)$이다.

닫힌구간 $[a, a+1]$에서 $f(x)$는 연속이고 열린구간 $(a, a+1)$에서 미분가능하므로, 평균값 정리에 의해

\[\frac{f(a+1) - f(a)}{(a+1) - a} = f'(t)\]

를 만족시키는 실수 $t$가 열린구간 $(a, a+1)$에 적어도 하나 존재한다. 좌변과 우변을 정리하면

\[f(a+1) - f(a) = \sin(a(a+1) - 1) - \sin(a^2 - 1) = \sin(a^2 + a - 1) - \sin(a^2 - 1)\] \[f'(t) = a\cos(at - 1)\]

따라서 $\sin(a^2 + a - 1) - \sin(a^2 - 1) = a\cos(at - 1)$을 만족시키는 실수 $t$가 열린구간 $(a, a+1)$에 존재한다.

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1] 로그·극한·거듭합성함수(35점) | [2] 평균값 정리 논증(15점)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[[1](1)] $a_n = n$, $a_{n^2} = n^2$을 구하면	10점
2단계	극한값 $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2} = 0$을 구하면	10점
3단계	[[1](2)] $1$이 아닌 $5^{10}$의 약수들의 곱 $5^{55}$ 또는 로그합 $55\log_k 5$를 구하면	10점
4단계	$t^2+3t+4 = 5^{55}$ 또는 판별식 $D \gt 0$과 $t_1 t_2 \lt 0$을 보이면	12점
5단계	양의 실근의 개수가 1개임을 구하면	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ · 확률과 통계 · 대수 🎯 핵심 테마: 광운대 2024학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

1. 자연수 $n$에 대한 명제 $p(n)$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.

① $n = 1$일 때 명제 $p(n)$이 성립한다.

② $n = k$일 때 명제 $p(n)$이 성립한다고 가정하면 $n = k+1$일 때도 명제 $p(n)$이 성립한다.

2. 두 함수 $y = f(u), u = g(x)$가 미분가능할 때, 합성함수 $y = f(g(x))$의 도함수는 \[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad \text{또는} \quad \{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)\]

3. 미분가능한 함수 $f(x)$에서 $f'(a) = 0$이고, $x = a$의 좌우에서

① $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x = a$에서 극대이고, 극댓값은 $f(a)$이다.

② $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x = a$에서 극소이고, 극솟값은 $f(a)$이다.

4. 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x = g(t)$의 도함수 $g'(t)$가 $a = g(\alpha), b = g(\beta)$일 때, $\alpha, \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면 \[\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)\,dt\]

[1] 극한값 $\lim_{x \to 0}\left\{\frac{\ln(x+1)}{x^2}(e^{2x}\cos\pi x - 1)\right\}$을 구하시오. [8점]

[2] 모평균이 $p$, 모표준편차가 $q$인 모집단에서 크기가 $n^2$인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\overline{X}$에 대하여 $\mathrm{E}(4\overline{X}+2) + \mathrm{V}(n\overline{X}+3) = 18$을 만족시키는 두 자연수 $p, q$를 구하시오. [8점]

[3] 실수 $x$에 대한 다음 등식에 대하여 물음에 답하시오.

$x^n - 1 = (x-1)\sum_{i=0}^{n-1} x^i$

(1) 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오. [8점]

(2) 다항식 $x^{2024}$를 다항식 $x^3+x^2+x+1$로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. [10점]

[4] 함수 $f(x) = e^{\sin^2 x} - e^{\cos^2 x}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $0 \le x \le 2\pi$에서 함수 $f(x)$의 증가와 감소를 나타내는 표를 작성하고 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. [8점]

(2) 정적분 $\int_0^{\pi/4} f(x)\sin 2x\,dx$를 구하시오. [8점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 (DB: PS_Ch03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-03, 12확통03-04]

【유사 연습 문제】 모든 자연수 $n$에 대하여 $3^{2n} - 1$이 $8$의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명할 때, $n=k+1$일 때의 식을 $n=k$일 때의 가정 $3^{2k}-1 = 8m$ ($m$은 자연수)을 이용하여 정리하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $3^{2(k+1)} - 1 = 9\cdot 3^{2k} - 1 = 9(3^{2k}-1) + 8 = 9(8m) + 8 = 8(9m+1)$이므로 $n=k+1$일 때도 $8$의 배수이다. [정답: $8(9m+1)$]

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 2024학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 (미적분Ⅱ · 확률과 통계 · 대수) [배점 50점]

2024학년도 자연계열 2024학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 — 광운대 2024학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

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📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 2024학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 · 총 50점

💡 【문항 [1], [2] 모범 답안】

[1] 초월함수 극한값 계산 (8점):

함수 $h(x) = e^{2x}\cos\pi x$라 두면 $h(0) = 1$이고, 곱의 미분법에 의해 $h'(x) = 2e^{2x}\cos\pi x - \pi e^{2x}\sin\pi x$이므로 $h'(0) = 2$이다.

주어진 식을 두 극한의 곱으로 분리하면

\[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \left\{ \frac{\ln(x+1)}{x^2}(e^{2x}\cos\pi x - 1) \right\} &= \lim_{x \to 0} \left\{ \frac{\ln(1+x)}{x} \cdot \frac{h(x) - h(0)}{x - 0} \right\} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \times \lim_{x \to 0} \frac{h(x) - h(0)}{x - 0} = 1 \times h'(0) = 1 \times 2 = 2 \end{aligned}\]

[2] 표본평균 평균과 분산을 이용한 자연수 결정 (8점):

모평균 $p$, 모표준편차 $q$인 모집단에서 크기 $n^2$인 표본을 임의추출하였으므로

\[\mathrm{E}(\overline{X}) = p, \quad \mathrm{V}(\overline{X}) = \frac{q^2}{n^2}\]

확률변수의 선형변환 성질에 의하여

\[\mathrm{E}(4\overline{X} + 2) = 4\mathrm{E}(\overline{X}) + 2 = 4p + 2\] \[\mathrm{V}(n\overline{X} + 3) = n^2 \mathrm{V}(\overline{X}) = n^2 \cdot \frac{q^2}{n^2} = q^2\]

따라서 주어진 조건식은

\[\mathrm{E}(4\overline{X} + 2) + \mathrm{V}(n\overline{X} + 3) = 4p + 2 + q^2 = 18 \implies 4p + q^2 = 16\]

$p, q$는 자연수이므로 $q^2 = 16 - 4p = 4(4-p) \gt 0 \implies p \in \{1, 2, 3\}$이다.

• $p = 1 \implies q^2 = 12$ (자연수 해 없음)
• $p = 2 \implies q^2 = 8$ (자연수 해 없음)
• $p = 3 \implies q^2 = 4 \implies q = 2$ (자연수 해 성립)

따라서 구하는 두 자연수는 \[p = 3, \quad q = 2\]

💡 【문항 [3] 모범 답안 및 다양한 풀이】

(1) 수학적 귀납법 증명 (8점):

증명할 명제: $x^n - 1 = (x-1)\sum_{i=0}^{n-1} x^i$

(ⅰ) $n = 1$일 때:
(좌변) $= x^1 - 1 = x - 1$, (우변) $= (x-1)x^0 = x - 1$이므로 등식이 성립한다.

(ⅱ) $n = k$ ($k \ge 1$)일 때 성립한다고 가정하자:
즉 $x^k - 1 = (x-1)\sum_{i=0}^{k-1} x^i$가 성립한다.
$n = k+1$일 때의 좌변은

\[\begin{aligned} x^{k+1} - 1 &= x^{k+1} - x^k + x^k - 1 = x^k(x-1) + (x^k - 1) \\ &= x^k(x-1) + (x-1)\sum_{i=0}^{k-1} x^i = (x-1)\left( x^k + \sum_{i=0}^{k-1} x^i \right) = (x-1)\sum_{i=0}^k x^i \end{aligned}\]

따라서 $n = k+1$일 때도 등식이 성립한다.
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

(2) 다항식의 나머지 구하기 (10점):

(1)의 등식에서 $n = 4$를 대입하면 $x^4 - 1 = (x-1)(x^3 + x^2 + x + 1)$이다.

$p(x) = x^3 + x^2 + x + 1$이라 두고 $x^4 = t$라 놓으면 $2024 = 4 \times 506$이므로

\[x^{2024} - 1 = (x^4)^{506} - 1 = t^{506} - 1 = (t - 1)\sum_{i=0}^{505} t^i = (x^4 - 1)\sum_{i=0}^{505} (x^4)^i\]

$x^4 - 1 = (x-1)p(x)$를 대입하면

\[x^{2024} - 1 = (x-1)p(x) \sum_{i=0}^{505} x^{4i} \implies x^{2024} = p(x) \cdot \left[ (x-1)\sum_{i=0}^{505} x^{4i} \right] + 1\]

여기서 $1$은 $0$차 다항식(상수)으로 나누는 식 $p(x)$의 차수($3$차)보다 작으므로, 구하는 나머지는 $1$이다.

💡 【문항 [4] 모범 답안】

(1) 증감표 작성 및 최댓값·최솟값 (8점):

$f(x) = e^{\sin^2 x} - e^{\cos^2 x}$를 미분하면, 합성함수 미분법에 의해

\[f'(x) = 2\sin x\cos x\,e^{\sin^2 x} - (-2\cos x\sin x)\,e^{\cos^2 x} = \sin 2x\left(e^{\sin^2 x} + e^{\cos^2 x}\right)\]

모든 실수 $x$에 대하여 $e^{\sin^2 x} + e^{\cos^2 x} \gt 0$이므로, $f'(x)$의 부호는 $\sin 2x$의 부호와 완전히 일치한다.

$0 \le x \le 2\pi$에서 $f'(x) = 0 \iff 2x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi \iff x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$이다.

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{2}$	$\cdots$	$\pi$	$\cdots$	$\frac{3\pi}{2}$	$\cdots$	$2\pi$
$f'(x)$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$
$f(x)$	$1-e$	$\nearrow$	$e-1$	$\searrow$	$1-e$	$\nearrow$	$e-1$	$\searrow$	$1-e$

따라서 $f(x)$의 최댓값은 $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = e - 1$이고, 최솟값은 $f(0) = f(\pi) = f(2\pi) = 1 - e$이다.

(2) 정적분 계산 (8점):

\[\int_0^{\pi/4} f(x)\sin 2x\,dx = \int_0^{\pi/4} 2\sin x\cos x\,e^{\sin^2 x}\,dx - \int_0^{\pi/4} 2\sin x\cos x\,e^{\cos^2 x}\,dx\]

• 제1항: $\sin^2 x = u$로 치환하면 $du = 2\sin x\cos x\,dx$이고, $x=0 \implies u=0, x=\frac{\pi}{4} \implies u=\frac{1}{2}$이다.
$\int_0^{1/2} e^u\,du = \left[ e^u \right]_0^{1/2} = \sqrt{e} - 1$

• 제2항: $\cos^2 x = v$로 치환하면 $dv = -2\cos x\sin x\,dx$이고, $x=0 \implies v=1, x=\frac{\pi}{4} \implies v=\frac{1}{2}$이다.
$-\int_0^{\pi/4} 2\sin x\cos x\,e^{\cos^2 x}\,dx = \int_1^{1/2} e^v\,dv = \left[ e^v \right]_1^{1/2} = \sqrt{e} - e$

두 항의 합은 \[(\sqrt{e} - 1) + (\sqrt{e} - e) = 2\sqrt{e} - 1 - e\]

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1]~[2] 초월극한·표본평균(16점) | [3] 수학적 귀납법(18점) | [4] 증감표·치환적분(16점)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[[1]] $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$을 분리하면	9점
2단계	$h(x) = e^{2x}\cos\pi x$로 놓고 $h'(0) = 2$를 도출하면	9점
3단계	극한값 $2$를 구하면	7점
4단계	[[2]] $\mathrm{E}(\overline{X}) = p$, $\mathrm{V}(\overline{X}) = \frac{q^2}{n^2}$을 구하면	9점
5단계	$\mathrm{E}(4\overline{X}+2) + \mathrm{V}(n\overline{X}+3) = 4p + 2 + q^2 = 18 \implies 4p + q^2 = 16$을 얻으면	9점
6단계	자연수 조건으로부터 $p = 3, q = 2$를 구하면	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅰ · 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 광운대 2023학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

【제시문】 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 귀류법: 어떤 명제가 참임을 증명할 때, 주어진 명제의 결론을 부정하여 가정 또는 이미 알려진 수학적 사실 등에 모순됨을 보여 원래의 명제가 참임을 증명하는 방법을 귀류법이라고 한다.

2. 조건부 확률: 사건 $A$가 일어났을 때의 사건 $B$의 조건부확률은 \[P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (\text{단, } P(A) \gt 0)\]

[1] 다음 물음에 답하시오.

(1) 실수 $a$에 대하여 $3^a = 4$일 때, $\left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{a}{12}}$의 값을 구하시오. [5점]

(2) 귀류법을 이용하여 $\log_3 4$가 무리수임을 증명하시오. [5점]

[2] $-\pi \le x \le \pi$에서 방정식 $\cos^2 x - \sin x - x = 0$을 만족시키는 실근의 개수를 구하시오. [9점]

[3] 어떤 데이터 조사에 따르면 이메일 중 스팸메일이 $25\%$, 스팸메일 중 ‘계좌’라는 단어가 들어가 있을 확률은 $80\%$, 스팸메일이 아닌 이메일 중 ‘계좌’라는 단어가 들어가 있을 확률은 $30\%$라고 한다. 다음 물음에 답하시오.

  (1) 이메일에 ‘계좌’라는 단어가 들어가 있고 스팸메일이 아닐 확률을 구하시오.  [4점]

  (2) 이메일에 ‘계좌’라는 단어가 들어가 있을 확률을 구하시오.  [5점]

  (3) 이메일에 ‘계좌’라는 단어가 들어가 있을 때, 이 이메일이 스팸메일일 확률을 구하시오.  [6점]

[4] 모든 실수 $x$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$와 $h(x)$가 아래 조건을 만족할 때, 다음 물음에 답하시오.

(ⅰ) $f(x) = g(x) + h(x)$
(ⅱ) $g(-x) = g(x), \quad h(-x) = -h(x)$

(1) 함수 $g(x)$와 $h(x)$를 $f(x)$와 $f(-x)$를 이용하여 나타내고, 위 조건이 만족됨을 보이시오. [6점]

(2) (1)을 이용하여 $\int_{-1}^1 \frac{x}{(x+p)^2+1}\,dx = 0$이면 $p=0$임을 보이시오. (단, $p$는 실수) [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

【유사 연습 문제】 연속함수 $f(x)$에 대하여 $g(x) = f(x) + f(-x)$, $h(x) = f(x) - f(-x)$라 할 때, $\int_{-a}^a f(x)\,dx = \int_0^a g(x)\,dx$가 성립함을 설명하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f(x) = \frac{1}{2}g(x) + \frac{1}{2}h(x)$이고 $g(-x)=g(x)$ (우함수), $h(-x)=-h(x)$ (기함수)이므로 $\int_{-a}^a h(x)\,dx = 0$이고 $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a \frac{1}{2}g(x)\,dx = \int_0^a g(x)\,dx$이다. [정답: 우함수·기함수 대칭성 증명]

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 2023학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 (대수 · 미적분Ⅰ · 확률과 통계) [배점 50점]

2023학년도 자연계열 2023학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 — 광운대 2023학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

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📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 2023학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 · 총 50점

💡 【문항 [1], [2] 모범 답안】

[1](1) 식의 값 계산 (5점):

\[\left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{a}{12}} = \left(3^{-3}\right)^{\frac{a}{12}} = 3^{-\frac{a}{4}} = \left(3^a\right)^{-\frac{1}{4}} = 4^{-\frac{1}{4}} = \left(2^2\right)^{-\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

[1](2) 귀류법 증명 (5점):

$\log_3 4$가 유리수라고 가정하자. $\log_3 4 \gt \log_3 1 = 0$이므로, 서로소인 두 자연수 $m, n$에 대하여 \[\log_3 4 = \frac{n}{m}\]

로그의 정의에 의하여 $3^{n/m} = 4 \iff 3^n = 4^m = (2^2)^m = 2^{2m}$이다.

이때 $n$은 자연수이므로 좌변 $3^n$은 홀수이고, $m$은 자연수이므로 우변 $2^{2m}$은 짝수이다. 홀수와 짝수는 같을 수 없으므로 모순이 발생한다. 따라서 가정은 거짓이며, $\log_3 4$는 무리수이다.

[2] 실근의 개수 판정 (9점):

방정식 $\cos^2 x - \sin x - x = 0 \iff \cos^2 x - \sin x = x$이므로, $-\pi \le x \le \pi$에서 곡선 $y = f(x) = \cos^2 x - \sin x$와 직선 $y = x$의 교점의 개수를 구한다.

도함수는 $f'(x) = 2\cos x(-\sin x) - \cos x = -\cos x(2\sin x + 1)$이다.

$f'(x) = 0 \iff \cos x = 0$ 또는 $\sin x = -\frac{1}{2}$

구간 $[-\pi, \pi]$에서 $x = -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$이다. 극값을 계산하면

• $f(-\pi) = 1$, $f\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{3}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{5}{4}$ (극대)
• $f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 - (-1) = 1$ (극소), $f(0) = 1$
• $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ (극대 ... $t=\sin x$로 두면 $1-t^2-t = -(t+1/2)^2+5/4$이므로 극댓값 $\frac{5}{4}$)
• $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 - 1 = -1$ (극소), $f(\pi) = 1$

직선 $y=x$와의 교점을 영역별로 분석한다:

1) $-\pi \le x \lt 0$: $f(x) \ge 0$인 반면 $y = x \lt 0$이므로 교점이 없다.
2) $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$: $h(x) = f(x) - x$라 하면 $h(0) = 1 - 0 = 1 \gt 0$, $h\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 - \frac{\pi}{2} \lt 0$이다. $h(x)$는 연속함수이므로 사이값 정리에 의해 구간 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 또한 이 구간에서 $f'(x) \lt 0$이므로 $h'(x) = f'(x) - 1 \lt 0$이 되어 $h(x)$는 엄격히 감소하므로 실근은 오직 1개이다.
3) $\frac{\pi}{2} \lt x \le \pi$: $f(x) \le 1$인 반면 $x \gt \frac{\pi}{2} \gt 1.57 \gt 1$이므로 $f(x) \lt x$가 되어 교점이 없다.

따라서 만족시키는 실근의 개수는 1개이다.

📋 【문항 [1], [2] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[1](1)	지수법칙을 이용하여 식을 간단히 나타내면	3점
[1](1)	$3^a = 4$를 대입하여 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 또는 $\frac{\sqrt{2}}{2}$를 구하면	2점
[1](2)	$\log_3 4$가 유리수라 가정하고 서로소인 두 자연수의 비 $\frac{n}{m}$로 나타내면	2점
[1](2)	$3^n = 2^{2m}$에서 좌변은 홀수, 우변은 짝수임을 보여 모순을 이끌어내면	3점
[2]	함수 $f(x) = \cos^2 x - \sin x$의 도함수를 구하고 증감표를 작성하면	4점
	$x \lt 0$과 $x \gt \frac{\pi}{2}$에서 직선 $y=x$와의 교점이 없음을 설명하면	3점
	구간 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$에서 연속함수의 성질(사이값 정리)로 실근이 1개임을 보이면	2점

💡 【문항 [3] 모범 답안 및 시각화 참고】

임의로 선택한 이메일이 스팸메일인 사건을 $A$, 이메일에 ‘계좌’라는 단어가 들어가 있는 사건을 $B$라 하자.

문제의 조건으로부터 각 사건의 확률은 다음과 같다:

• $P(A) = 25\% = 0.25$, $P(A^c) = 1 - 0.25 = 0.75$
• 스팸메일 중 ‘계좌’ 단어 포함: $P(B|A) = 80\% = 0.8$
• 정상 메일 중 ‘계좌’ 단어 포함: $P(B|A^c) = 30\% = 0.3$

(1) ‘계좌’ 단어가 있고 스팸메일이 아닐 확률 (4점):

구하는 확률은 $P(A^c \cap B)$이다. 확률의 곱셈정리에 의하여

\[P(A^c \cap B) = P(A^c) \times P(B|A^c) = 0.75 \times 0.3 = 0.225 = \frac{9}{40}\]

(2) 이메일에 ‘계좌’ 단어가 들어가 있을 확률 (5점):

‘계좌’ 단어가 들어간 사건 $B$는 스팸메일인 경우와 아닌 경우의 합사건으로 배반이다:

• 스팸메일이면서 ‘계좌’ 단어 포함: \[P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = 0.25 \times 0.8 = 0.200 = \frac{1}{5}\]

따라서 전체 확률의 법칙(덧셈정리)에 의하여

\[P(B) = P(A \cap B) + P(A^c \cap B) = 0.2 + 0.225 = 0.425 = \frac{17}{40}\]

(3) ‘계좌’ 단어가 있을 때 스팸메일일 조건부확률 (6점):

구하는 확률은 사건 $B$가 일어났을 때 사건 $A$의 조건부확률 $P(A|B)$이다.

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.2}{0.425} = \frac{200}{425} = \frac{8}{17}\]

※ 우측 그래프는 [문항 2]에서 방정식 $\cos^2 x - \sin x = x$의 실근 개수(1개)를 엄밀히 판정하기 위한 $y = \cos^2 x - \sin x$와 $y = x$의 교점 분석도입니다.

📋 【문항 [3] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[3](1)	확률의 곱셈정리를 이용하여 식을 세우면	2점
[3](1)	$0.75 \times 0.3 = 0.225$ (또는 $\frac{9}{40}$)를 구하면	2점
[3](2)	스팸메일이면서 '계좌' 단어가 들어갈 확률 $0.2$를 구하면	2점
[3](2)	확률의 덧셈정리로 전체 확률 $0.2 + 0.225 = 0.425$ (또는 $\frac{17}{40}$)를 구하면	3점
[3](3)	조건부확률의 정의 공식을 적용하여 식을 세우면	3점
[3](3)	$\frac{0.2}{0.425} = \frac{8}{17}$을 정확히 계산하면	3점

💡 【문항 [4] 모범 답안】

(1) 함수 $g(x), h(x)$의 표현 및 성질 증명 (6점):

조건 (ⅰ)에 의해 $f(x) = g(x) + h(x) \quad \cdots$ ①

①의 $x$ 대신 $-x$를 대입하면 조건 (ⅱ)에 의해

\[f(-x) = g(-x) + h(-x) = g(x) - h(x) \quad \cdots \text{②}\]

①과 ②를 변변 더하면 $f(x) + f(-x) = 2g(x) \implies g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$

①에서 ②를 변변 빼면 $f(x) - f(-x) = 2h(x) \implies h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

이 함수들이 조건을 만족하는지 확인한다:

\[g(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = g(x) \quad (\text{우함수})\] \[h(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -\frac{f(x) - f(-x)}{2} = -h(x) \quad (\text{기함수})\] \[g(x) + h(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = f(x)\]

따라서 조건 (ⅰ), (ⅱ)가 모두 만족된다.

(2) 정적분이 $0$일 때 $p=0$ 증명 (10점):

$F(x) = \frac{x}{(x+p)^2+1}$이라 두자. (1)에 의하여 $F(x) = G(x) + H(x)$로 나타내면,

$G(x)$는 우함수, $H(x)$는 기함수이므로

\[\int_{-1}^1 F(x)\,dx = \int_{-1}^1 G(x)\,dx + \int_{-1}^1 H(x)\,dx = 2\int_0^1 G(x)\,dx + 0 = 2\int_0^1 G(x)\,dx\]

여기서 $G(x) = \frac{F(x) + F(-x)}{2}$이다. 분자를 전개하면

\[F(x) + F(-x) = \frac{x}{(x+p)^2+1} + \frac{-x}{(-x+p)^2+1} = x\left[ \frac{1}{(x+p)^2+1} - \frac{1}{(x-p)^2+1} \right]\] \[= x\left[ \frac{\{(x-p)^2+1\} - \{(x+p)^2+1\}}{\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\}} \right] = x \cdot \frac{-4px}{\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\}} = \frac{-4px^2}{\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\}}\]

따라서 $G(x) = \frac{-2px^2}{\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\}}$이다. 주어진 정적분 조건에 대입하면

\[\int_{-1}^1 F(x)\,dx = 2\int_0^1 \frac{-2px^2}{\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\}}\,dx = -4p \int_0^1 \frac{x^2}{\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\}}\,dx = 0\]

구간 $(0, 1]$에서 $x^2 \gt 0$이고 분모 $\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\} \gt 0$이므로 피적분함수는 항상 양수이다. 따라서 $\int_0^1 \frac{x^2}{\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\}}\,dx \gt 0$이다.

그러므로 등식이 성립하기 위한 필요충분조건은 $p = 0$뿐이다.

📋 【문항 [4] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[4](1)	연립방정식을 세워 $g(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}, h(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$를 구하면	3점
[4](1)	$g(-x) = g(x)$, $h(-x) = -h(x)$ 및 $g(x)+h(x)=f(x)$가 성립함을 보이면	3점
[4](2)	피적분함수를 (1)의 우함수와 기함수로 분해하여 정적분을 우함수의 정적분으로 변형하면	4점
	우함수 부분 $G(x) = \frac{-2px^2}{\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\}}$를 정확히 정리하면	3점
	피적분함수의 부호 논증을 통해 정적분이 $0$이 되기 위한 조건 $p=0$을 이끌어내면	3점

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1]~[2] 귀류법·실근 판정 | [3] 조건부확률 | [4] 우함수·기함수 정적분(총 50점)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 기하 · 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 광운대 2023학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

【제시문】 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 좌표평면 위의 선분의 내분점: 두 점 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$에 대하여 선분 $AB$를 $m:n$ ($m \gt 0, n \gt 0$)으로 내분하는 점 $P$의 좌표는 \[\left( \frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n} \right)\]

2. 미분가능: 함수 $y = f(x)$에 대하여 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}$가 존재하면 함수 $y=f(x)$는 $x=a$에서 미분가능하다고 한다.

3. 미분가능한 함수의 극대와 극소의 판정: 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(a) = 0$이고 $x=a$의 좌우에서
(1) $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극대이다.
(2) $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극소이다.

2. 미분가능: 함수 $y = f(x)$에 대하여 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}$가 존재하면 함수 $y=f(x)$는 $x=a$에서 미분가능하다고 한다.

[1] 아래 조건을 만족시키는 원에 대하여 다음 물음에 답하시오.

• 중심이 제1사분면 위에 있고 $x$축과 $y$축에 모두 접한다.
• 직선 $3x+4y-6=0$과 한 점에서 만난다.

(1) 위 조건을 만족시키는 모든 원의 반지름의 길이를 구하시오. [4점]

(2) 직선 $3x+4y-6=0$이 $x$축과 만나는 점을 $A$, $y$축과 만나는 점을 $B$라고 할 때, 선분 $AB$를 $1:2$로 내분하는 점을 $P$라고 하자. 점 $P$에서 위 조건을 만족하는 가장 작은 원에 접선을 그었을 때, 두 접선이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\sin\theta$ 값을 구하시오. [8점]

[2] 이차방정식 $x^2-x-1=0$의 두 근을 $\alpha, \beta$ ($\alpha \gt \beta$)라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $k(\alpha^5 - \beta^5) = 5$를 만족하는 실수 $k$의 값을 구하시오. [6점]

(2) 극한값 $\lim_{n \to \infty} \frac{\alpha^{n+4} - \beta^{n+4}}{\alpha^n - \beta^n}$을 구하시오. [8점]

[3] 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, $k \ge \frac{1}{2}$)

\[f(x) = \frac{e^x}{kx^2+x+1}, \quad g(x) = \begin{cases} e^{-1/x} & (x \gt 0) \\ 0 & (x \le 0) \end{cases}\]

  (1) 함수 $f(x)$의 극값을 구하시오.  [10점]

  (2) $x \gt 0$에서 함수 $y = \frac{e^x}{\frac{1}{2}x^2+x+1}$을 이용하여 $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$임을 보이시오.  [7점]

  (3) $x=0$에서 함수 $g(x)$의 미분가능성을 조사하시오.  [7점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

【유사 연습 문제】 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 $f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy$를 만족시키고 $f'(0) = 3$일 때, 도함수 $f'(x)$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)+2xh}{h} = f'(0) + 2x = 2x + 3$이다 (단, $f(0)=0$). [정답: $f'(x) = 2x + 3$]

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 2023학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 (기하 · 미적분Ⅰ) [배점 50점]

2023학년도 자연계열 2023학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 — 광운대 2023학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 2023학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 · 총 50점

💡 【문항 [1] 모범 답안 및 기하 다이어그램】

[1](1) 모든 원의 반지름 (4점):

제1사분면에서 $x$축과 $y$축에 동시에 접하는 원의 반지름을 $a$ ($a \gt 0$)라 하면 중심의 좌표는 $(a, a)$이고 방정식은 $(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$이다.

이 원이 직선 $3x+4y-6=0$과 한 점에서 만나므로(접하므로), 중심 $(a, a)$와 직선 사이의 거리는 반지름 $a$와 같다:

\[\frac{|3a+4a-6|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|7a-6|}{5} = a \implies |7a-6| = 5a\]

• $7a-6 = 5a \implies 2a = 6 \implies a = 3$

• $7a-6 = -5a \implies 12a = 6 \implies a = \frac{1}{2}$

따라서 모든 원의 반지름의 길이는 $\frac{1}{2}$과 $3$이다.

[1](2) 접선이 이루는 각 $\sin\theta$ (8점):

직선 $3x+4y-6=0$의 절편은 $A(2, 0)$, $B\left(0, \frac{3}{2}\right)$이다. 선분 $AB$를 $1:2$로 내분하는 점 $P$의 좌표는

\[P = \left( \frac{1 \times 0 + 2 \times 2}{1+2}, \frac{1 \times \frac{3}{2} + 2 \times 0}{1+2} \right) = \left( \frac{4}{3}, \frac{1}{2} \right)\]

조건을 만족하는 가장 작은 원은 반지름이 $\frac{1}{2}$인 원으로, 중심은 $C\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$이다.

중심 $C\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$와 점 $P\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{2}\right)$는 모두 직선 $y = \frac{1}{2}$ 위에 있으므로, 선분 $CP$는 $x$축과 평행하다.

직선 $3x+4y-6=0$의 기울기는 $-\frac{3}{4}$이므로, 선분 $CP$와 직선 $3x+4y-6=0$이 이루는 예각을 $\alpha$라 하면 직각삼각형에서

\[\sin\alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos\alpha = \frac{4}{5}\]

점 $P$에서 원에 그은 두 접선 중 하나는 $3x+4y-6=0$이고, 다른 접선 역시 대칭축인 선분 $CP$와 이루는 각이 $\alpha$이다. 따라서 두 접선이 이루는 예각은 $\theta = 2\alpha$이다.

\[\sin\theta = \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}\]

📋 【문항 [1] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[1](1)	원의 중심 $(a, a)$와 직선 사이 거리 공식을 세우면	2점
[1](1)	방정식을 풀어 반지름 $a = 3$ 또는 $a = \frac{1}{2}$을 구하면	2점
[1](2)	절편 $A(2, 0), B\left(0, \frac{3}{2}\right)$와 내분점 $P\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{2}\right)$를 구하면	3점
	원의 중심 $C\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$와 점 $P$의 위치 관계로부터 $\sin\alpha = \frac{3}{5}, \cos\alpha = \frac{4}{5}$를 구하면	3점
	배각공식 $\sin\theta = \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{24}{25}$를 구하면	2점

💡 【문항 [2] 모범 답안】

이차방정식 $x^2 - x - 1 = 0$의 두 근은 근의 공식에 의해 $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$이다.

근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 1$, $\alpha\beta = -1$, $\alpha - \beta = \sqrt{5}$이고, $\alpha^2 = \alpha + 1, \beta^2 = \beta + 1$이다.

(1) 실수 $k$의 값 구하기 (6점):

차수를 낮추는 방법을 이용하면

\[\alpha^3 = \alpha(\alpha+1) = \alpha^2+\alpha = (\alpha+1)+\alpha = 2\alpha+1\] \[\alpha^5 = \alpha^2 \cdot \alpha^3 = (\alpha+1)(2\alpha+1) = 2\alpha^2+3\alpha+1 = 2(\alpha+1)+3\alpha+1 = 5\alpha+3\]

마찬가지로 $\beta^5 = 5\beta+3$이다. 두 식을 빼면

\[\alpha^5 - \beta^5 = (5\alpha+3) - (5\beta+3) = 5(\alpha-\beta) = 5\sqrt{5}\]

따라서 $k(\alpha^5 - \beta^5) = 5 \implies k(5\sqrt{5}) = 5 \implies k = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(2) 극한값 계산 (8점):

$\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618 \gt 1$이고, $\beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.618$이므로

\[|\beta| \lt 1 \lt \alpha \implies \left| \frac{\beta}{\alpha} \right| \lt 1 \implies \lim_{n \to \infty} \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n = 0\]

구하고자 하는 식의 분모와 분자를 $\alpha^n$으로 나누면

\[\lim_{n \to \infty} \frac{\alpha^{n+4} - \beta^{n+4}}{\alpha^n - \beta^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\alpha^4 - \beta^4 \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n}{1 - \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n} = \frac{\alpha^4 - 0}{1 - 0} = \alpha^4\]

$\alpha^4 = (\alpha^2)^2 = (\alpha+1)^2 = \alpha^2+2\alpha+1 = (\alpha+1)+2\alpha+1 = 3\alpha+2$이다. $\alpha$를 대입하면

\[\alpha^4 = 3\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) + 2 = \frac{3+3\sqrt{5}+4}{2} = \frac{7+3\sqrt{5}}{2}\]

📋 【문항 [2] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[2](1)	이차방정식의 근의 성질을 이용하여 $\alpha^5 - \beta^5 = 5\sqrt{5}$를 구하면	4점
[2](1)	$k(\alpha^5-\beta^5) = 5$로부터 $k = \frac{\sqrt{5}}{5}$를 구하면	2점
[2](2)	$\left\|\frac{\beta}{\alpha}\right\| \lt 1$임을 이용하여 극한값이 $\alpha^4$임을 유도하면	4점
[2](2)	$\alpha^4 = \frac{7+3\sqrt{5}}{2}$를 정확히 계산하면	4점

💡 【문항 [3] 모범 답안】

(1) 함수 $f(x)$의 극값 구하기 (10점):

$k \ge \frac{1}{2}$에서 이차방정식 $kx^2+x+1=0$의 판별식 $D = 1-4k \le 1-2 = -1 \lt 0$이므로 분모는 모든 실수에서 양수이다.

몫의 미분법을 적용하면

\[f'(x) = \frac{e^x(kx^2+x+1) - e^x(2kx+1)}{(kx^2+x+1)^2} = \frac{e^x\{kx^2+(1-2k)x\}}{(kx^2+x+1)^2} = \frac{x(kx+1-2k)e^x}{(kx^2+x+1)^2}\]

$f'(x) = 0 \iff x = 0$ 또는 $x = \frac{2k-1}{k} = 2 - \frac{1}{k}$

• $k = \frac{1}{2}$일 때: $x = 0$ (중근)이며, $f'(x) = \frac{x^2 e^x}{2(x^2/2+x+1)^2} \ge 0$이므로 $f(x)$는 증가함수이고 극값이 없다.

• $k \gt \frac{1}{2}$일 때: $\frac{2k-1}{k} \gt 0$이다.

- $x \lt 0$에서 $f'(x) \gt 0$, $0 \lt x \lt \frac{2k-1}{k}$에서 $f'(x) \lt 0$이므로 $x = 0$에서 극댓값 $f(0) = 1$을 갖는다.
- $x \gt \frac{2k-1}{k}$에서 $f'(x) \gt 0$이므로 $x = \frac{2k-1}{k}$에서 극솟값 \[f\left(\frac{2k-1}{k}\right) = \frac{e^{(2k-1)/k}}{k\left(\frac{2k-1}{k}\right)^2 + \left(\frac{2k-1}{k}\right) + 1} = \frac{k\,e^{(2k-1)/k}}{3k^2-k}\]를 갖는다.

(2) 극한값 증명 (7점):

$k = \frac{1}{2}$일 때 $f(x) = \frac{e^x}{\frac{1}{2}x^2+x+1}$은 $x \gt 0$에서 $f'(x) \gt 0$이므로 증가함수이다.

따라서 $x \gt 0$일 때 $f(x) \gt f(0) = 1 \implies \frac{e^x}{\frac{1}{2}x^2+x+1} \gt 1 \implies e^x \gt \frac{1}{2}x^2+x+1 \gt \frac{1}{2}x^2$

양변을 $x \gt 0$으로 나누고 역수를 취하면 \[0 \lt \frac{x}{e^x} \lt \frac{x}{\frac{1}{2}x^2} = \frac{2}{x}\]

여기서 $\lim_{x \to \infty} 0 = 0$이고 $\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = 0$이므로, 함수의 극한의 대소 관계(조임정리)에 의하여

\[\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0\]

(3) $x=0$에서 $g(x)$의 미분가능성 조사 (7점):

미분계수의 정의에 의해 좌미분계수와 우미분계수를 조사한다:

• 좌미분계수: $x \lt 0$에서 $g(x) = 0$이므로 \[\lim_{x \to 0^-} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{0 - 0}{x} = 0\]

• 우미분계수: $x \gt 0$에서 $g(x) = e^{-1/x}$이므로 \[\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-1/x}}{x}\]

$t = \frac{1}{x}$로 치환하면 $x \to 0^+ \iff t \to \infty$이므로, (2)의 결과에 의하여

\[\lim_{t \to \infty} \frac{e^{-t}}{1/t} = \lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^t} = 0\]

좌미분계수와 우미분계수가 모두 $0$으로 일치하므로, 함수 $g(x)$는 $x=0$에서 미분가능하며 $g'(0) = 0$이다.

📋 【문항 [3] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[3](1)	$f'(x)$의 도함수를 구하고 $k$의 범위($k=1/2, k \gt 1/2$)에 따라 극값을 분류하면	5점
[3](1)	$k \gt 1/2$일 때 극댓값 $f(0)=1$과 극솟값을 정확히 구하면	5점
[3](2)	$k=1/2$일 때 $f(x)$가 증가함을 이용하여 부등식 $e^x \gt \frac{1}{2}x^2$를 유도하면	4점
[3](2)	조임정리(샌드위치 정리)를 적용하여 $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$을 증명하면	3점
[3](3)	미분계수 정의로 좌미분계수 $0$과 우미분계수 극한을 세우면	4점
[3](3)	$t=1/x$ 치환과 (2)의 결과를 활용하여 우미분계수가 $0$임을 보여 미분가능을 증명하면	3점

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1] 원의 접선·내분점 | [2] 근과 계수·수열의 극한 | [3] 극값·미분계수 정의(총 50점)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 공통수학 · 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 광운대 2023학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

【제시문】 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 일대일대응: 함수 $f: X \to Y$에서 두 조건 (1) 일대일함수이다, (2) 치역과 공역이 같다를 모두 만족시킬 때, 함수 $f$를 일대일대응이라고 한다.

2. 직선 $y=x$에 대한 도형의 대칭이동: 방정식 $f(x, y) = 0$이 나타내는 도형을 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $f(y, x) = 0$이다.

1. 일대일대응: 함수 $f: X \to Y$에서 두 조건 (1) 일대일함수이다, (2) 치역과 공역이 같다를 모두 만족시킬 때, 함수 $f$를 일대일대응이라고 한다.

2. 직선 $y=x$에 대한 도형의 대칭이동: 방정식 $f(x, y) = 0$이 나타내는 도형을 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $f(y, x) = 0$이다.

[1] 두 집합 $A = \{x \mid x\text{는 6의 약수}\}$, $B = \{x \mid x\text{는 9 이하의 소수}\}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 집합 $A$에서 집합 $B$로의 일대일대응인 함수 $f(x)$는 $x \in A$에 대하여 $x \lt f(x)$를 만족시킨다. 함수 $f$의 개수와 $(f^{-1} \circ f \circ f^{-1})(5)$의 값을 구하시오. [4점]

(2) 집합 $A$에서 집합 $B$로의 일대일대응인 함수 $g(x)$는 $x \in A$에 대하여 $x \le g(x)$를 만족시킨다. 함수 $g$의 개수를 구하시오. [6점]

[2] 방정식 $y = -x^2 + px + q$가 나타내는 도형과 그 도형을 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 도형이 접할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $p, q$는 실수)

(1) $p, q$에 대한 관계식을 구하시오. [4점]

(2) 점 $(p, q)$가 그리는 도형과 그 도형을 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 도형이 만나는 점의 개수를 구하시오. [5점]

[3] 다음 물음에 답하시오.

(1) 모든 실수에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 아래 등식이 성립함을 보이시오. (단, $a$는 실수) [5점]

\[\int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a-x)\,dx\]

(2) 정적분 $\int_0^{\pi/2} \frac{\cos^{2023} x}{\sin^{2023} x + \cos^{2023} x}\,dx$를 구하시오. [9점]

[4] 함수 $f(x) = -|x-a^2|(x+a^2) + a^4$에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, $a \gt 0$)

(1) 곡선 $y = f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [7점]

(2) $a \le x \le a+2$에서 함수 $f(x)$의 최댓값을 $g(a)$라고 할 때, 함수 $g(a)$를 구하고 함수 $g(a)$의 극값을 구하시오. [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

【유사 연습 문제】 곡선 $y = x^2 - 2x + 3$과 직선 $y = x + 3$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 교점의 $x$좌표는 $x^2 - 2x + 3 = x + 3 \iff x(x-3)=0 \implies x=0, 3$이므로 넓이는 $\int_0^3 (-x^2 + 3x)\,dx = \frac{3^3}{6} = \frac{9}{2}$이다. [정답: $\frac{9}{2}$]

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 2023학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 (공통수학 · 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ) [배점 50점]

2023학년도 자연계열 2023학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 — 광운대 2023학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 2023학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 · 총 50점

💡 【문항 [1], [2] 모범 답안】

[1](1) 함수 $f$의 개수와 함숫값 (4점):

$A = \{1, 2, 3, 6\}$, $B = \{2, 3, 5, 7\}$이다. $f: A \to B$는 일대일대응이며 $x \lt f(x)$를 만족해야 한다.

• $6 \in A \implies 6 \lt f(6) \implies f(6) = 7$
• $3 \in A \implies 3 \lt f(3)$이고 $f(6)=7$이므로 $f(3) = 5$
• $2 \in A \implies 2 \lt f(2)$이고 남은 원소는 $\{2, 3\}$이므로 $f(2) = 3$
• $1 \in A \implies f(1) = 2$

따라서 조건을 만족하는 함수 $f$는 오직 1개이다.

$(f^{-1} \circ f \circ f^{-1})(5) = (f^{-1} \circ (f \circ f^{-1}))(5) = f^{-1}(5)$이고, $f(3) = 5 \iff f^{-1}(5) = 3$이다. 따라서 값은 3이다.

[1](2) 함수 $g$의 개수 (6점):

$x \le g(x)$에서 $6 \le g(6) \implies g(6) = 7$이어야 한다. 남은 치역은 $\{2, 3, 5\}$이다.

$3 \le g(3)$이므로 $g(3)$은 $3$ 또는 $5$이다:

• 경우 1 ($g(3) = 5$): 남은 치역은 $\{2, 3\}$이다. $2 \le g(2)$이므로 $g(2)$는 $2$ 또는 $3$이 가능하고, $g(1)$은 남은 1개로 결정된다. $\implies 2$가지
• 경우 2 ($g(3) = 3$): 남은 치역은 $\{2, 5\}$이다. $2 \le g(2)$이므로 $g(2)$는 $2$ 또는 $5$가 가능하고, $g(1)$은 남은 1개로 결정된다. $\implies 2$가지

따라서 조건을 만족하는 함수 $g$의 총 개수는 $2 + 2 = \mathbf{4}$개이다.

[2](1) $p, q$의 관계식 (4점):

곡선 $y = -x^2+px+q$와 그 역함수(직선 $y=x$ 대칭 곡선)가 접하므로, 접선은 기울기가 1이어야 하며 접점은 직선 $y=x$ 위에 위치해야 한다.

$y' = -2x+p = 1 \implies x = \frac{p-1}{2}$

이 접점이 $y=x$ 위에 있으므로 $y$좌표도 $\frac{p-1}{2}$이다. 곡선식에 대입하면

\[\frac{p-1}{2} = -\left(\frac{p-1}{2}\right)^2 + p\left(\frac{p-1}{2}\right) + q = \frac{p-1}{2}\left( -\frac{p-1}{2} + p \right) + q = \frac{(p-1)(p+1)}{4} + q\] \[q = \frac{p-1}{2} - \frac{p^2-1}{4} = \frac{2p-2 - p^2+1}{4} = -\frac{p^2-2p+1}{4} + \frac{p-1}{4} \iff q = -\frac{p^2-4p+3}{4}\]

[2](2) 만나는 점의 개수 (5점):

점 $(p, q)$가 그리는 곡선은 $y = -\frac{1}{4}x^2 + x - \frac{3}{4}$이다. 이 곡선과 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 곡선이 만나는 점의 개수를 구한다.

먼저 이 곡선과 직선 $y=x$의 교점을 조사하면

\[-\frac{1}{4}x^2 + x - \frac{3}{4} = x \iff -\frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{4} = 0 \iff x^2 + 3 = 0\]

실근이 존재하지 않으므로 곡선은 직선 $y=x$와 만나지 않는다. (실제로 곡선의 꼭짓점은 $(2, \frac{1}{4})$로 직선 $y=x$ 아래쪽에 엄격히 위치한다.)

대칭이동한 곡선은 직선 $y=x$ 위쪽에 위치하므로, 두 곡선은 서로 만나지 않는다. 따라서 만나는 점의 개수는 0개이다.

📋 【문항 [1], [2] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[1](1)	조건 $x \lt f(x)$를 만족하는 함수 $f$가 유일함(1개)을 보이면	2점
[1](1)	합성함수 및 역함수 성질을 이용하여 $(f^{-1} \circ f \circ f^{-1})(5) = 3$을 구하면	2점
[1](2)	$g(6)=7$을 정하고 $g(3)$의 경우를 나누어 분석하면	3점
[1](2)	각각의 경우에서 일대일대응을 만족하는 경우의 수를 합산하여 $4$개를 구하면	3점
[2](1)	두 곡선이 접할 때 접점이 직선 $y=x$ 위에 있음을 활용하여 식을 세우면	2점
[2](1)	판별식 또는 미분계수를 통해 $q = -\frac{(p-1)^2}{4} + \frac{p-1}{2} = -\frac{p^2-4p+3}{4}$을 구하면	2점
[2](2)	점 $(p, q)$가 그리는 곡선과 $y=x$ 대칭 곡선의 교점을 연립하면	3점
[2](2)	방정식의 실근의 개수를 판별하여 교점의 개수가 $0$개(만나지 않음)임을 보이면	2점

💡 【문항 [3], [4](1) 모범 답안 및 그래프】

[3](1) 치환적분 공식 증명 (5점):

우변의 정적분에서 $t = a-x$로 치환하면 $x = a-t$이고 $dx = -dt$이다.

적분 구간은 $x = 0 \implies t = a$, $x = a \implies t = 0$이므로

\[\int_0^a f(a-x)\,dx = \int_a^0 f(t)(-dt) = \int_0^a f(t)\,dt = \int_0^a f(x)\,dx\]

따라서 주어진 등식이 성립한다.

[3](2) 정적분 계산 (9점):

$I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^{2023} x}{\sin^{2023} x + \cos^{2023} x}\,dx$라 하자.

(1)의 성질($a = \frac{\pi}{2}$)을 적용하면, $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x$, $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos x$이므로

\[I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^{2023}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\sin^{2023}\left(\frac{\pi}{2}-x\right) + \cos^{2023}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\,dx = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{2023} x}{\cos^{2023} x + \sin^{2023} x}\,dx\]

두 식을 더하면

\[2I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^{2023} x + \sin^{2023} x}{\sin^{2023} x + \cos^{2023} x}\,dx = \int_0^{\pi/2} 1\,dx = [x]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2}\]

따라서 $I = \frac{\pi}{4}$이다.

[4](1) 둘러싸인 도형의 넓이 (7점):

$f(x) = -|x-a^2|(x+a^2) + a^4$ ($a \gt 0$)에서 절댓값을 풀면

• $x \ge a^2$: $f(x) = -(x-a^2)(x+a^2) + a^4 = -(x^2-a^4)+a^4 = -x^2+2a^4$
• $x \lt a^2$: $f(x) = (x-a^2)(x+a^2) + a^4 = x^2-a^4+a^4 = x^2$

$x$축과의 교점을 구하면, $x \lt a^2$에서 $x^2 = 0 \implies x = 0$, $x \ge a^2$에서 $-x^2+2a^4 = 0 \implies x = \sqrt{2}a^2$이다.

따라서 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 (우측 그래프 참조)

\[S = \int_0^{a^2} x^2\,dx + \int_{a^2}^{\sqrt{2}a^2} (-x^2+2a^4)\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{a^2} + \left[ -\frac{x^3}{3} + 2a^4 x \right]_{a^2}^{\sqrt{2}a^2}\] \[= \frac{a^6}{3} + \left( -\frac{2\sqrt{2}a^6}{3} + 2\sqrt{2}a^6 \right) - \left( -\frac{a^6}{3} + 2a^6 \right) = \frac{a^6}{3} + \frac{4\sqrt{2}a^6}{3} - \frac{5a^6}{3} = \frac{4\sqrt{2}-2}{3}a^6\]

📋 【문항 [3], [4](1) 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[3](1)	$t = a-x$ 치환적분을 설정하고 미분 및 적분 구간을 변경하면	3점
[3](1)	정적분 변수 변환을 통해 공식 $\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx$를 증명하면	2점
[3](2)	(1)의 공식을 적용하여 $I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{2023} x}{\cos^{2023} x + \sin^{2023} x}dx$를 유도하면	5점
[3](2)	두 식을 더하여 $2I = \frac{\pi}{2} \implies I = \frac{\pi}{4}$를 구하면	4점
[4](1)	절댓값을 해제하여 구간별 함수 식과 $x$절편 $0, \sqrt{2}a^2$를 구하면	3점
[4](1)	적분식을 세워 넓이 $\frac{4\sqrt{2}-2}{3}a^6$을 정확히 계산하면	4점

💡 【문항 [4](2) 모범 답안】

함수 $f(x)$의 형태 분석:

$f(x)$는 $x \lt a^2$에서 $f(x) = x^2$으로 아래로 볼록하게 증가하고, $x \ge a^2$에서 $f(x) = -x^2+2a^4$으로 위로 볼록하며 꼭짓점 $x = a^2$에서 최댓값 $f(a^2) = a^4$을 갖는다.

따라서 $f(x)$는 $x = a^2$까지 계속 증가하고, $x \gt a^2$에서는 감소한다.

구간 $[a, a+2]$에서 최댓값 $g(a)$ 분석:

$a \gt 0$이므로 꼭짓점 $a^2$과 구간 $[a, a+2]$의 관계는 다음과 같이 나뉜다:

1) $a^2 \le a \iff a^2 - a \le 0 \iff 0 \lt a \le 1$:
꼭짓점 $a^2$이 구간의 왼쪽 끝점 $a$ 이하에 위치하므로, 구간 $[a, a+2]$에서 $f(x)$는 엄격히 감소한다.
따라서 최댓값은 왼쪽 끝점 $x = a$에서 갖는다: \[g(a) = f(a) = -a^2 + 2a^4\]

2) $a \lt a^2 \le a+2 \iff a^2 - a \gt 0$이고 $a^2 - a - 2 \le 0 \iff 1 \lt a \le 2$:
꼭짓점 $a^2$이 구간 $[a, a+2]$ 안에 포함된다.
따라서 최댓값은 꼭짓점 $x = a^2$에서의 함숫값이다: \[g(a) = f(a^2) = a^4\]

3) $a^2 \gt a+2 \iff a \gt 2$:
꼭짓점 $a^2$이 구간의 오른쪽 끝점 $a+2$보다 오른쪽에 위치하므로, 구간 $[a, a+2]$에서 $f(x)$는 계속 증가한다.
따라서 최댓값은 오른쪽 끝점 $x = a+2$에서 갖는다 ($a+2 \lt a^2$이므로 $f(x) = x^2$): \[g(a) = f(a+2) = (a+2)^2 = a^2+4a+4\]

함수 $g(a)$의 극값 구하기:

구간별 도함수를 조사한다:

• $0 \lt a \lt 1$: $g'(a) = 8a^3 - 2a = 2a(4a^2-1) = 2a(2a-1)(2a+1)$
$a = \frac{1}{2}$에서 $g'(a)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값 $g\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} + 2\left(\frac{1}{16}\right) = -\frac{1}{8}$을 갖는다.
• $1 \lt a \lt 2$: $g'(a) = 4a^3 \gt 0$ (증가)
• $a \gt 2$: $g'(a) = 2a+4 \gt 0$ (증가)

경계점에서의 연결 상태:

• $a=1$: $\lim_{a \to 1^-} g(a) = 1$, $\lim_{a \to 1^+} g(a) = 1$ (연속)
• $a=2$: $\lim_{a \to 2^-} g(a) = 16$, $\lim_{a \to 2^+} g(a) = 16$ (연속)

따라서 함수 $g(a)$의 극값은 $a = \frac{1}{2}$에서 극솟값 $-\frac{1}{8}$이다.

📋 【문항 [4](2) 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[4](2)	구간 $[a, a+2]$와 꼭짓점 $a^2$의 위치 관계를 $a$의 범위에 따라 올바르게 분류하면	4점
	각 구간에서 최댓값 함수 $g(a)$를 정확히 구하면	3점
	$g(a)$의 도함수 부호를 조사하여 극솟값 $g(2) = 16$을 구하면	3점

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1]~[2] 일대일대응·대칭이동 접선 | [3] 치환적분과 넓이 | [4] 구간별 최댓값 함수(총 50점)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅰ · 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 광운대 2023학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

【제시문】 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리: 좌표평면 위의 두 점 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 사이의 거리는 \[\overline{AB} = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}\]

2. 이산확률변수의 기댓값: 이산확률변수 $X$의 확률분포가 $P(X=x_i) = p_i$ ($i=1, 2, \dots, n$)일 때, $X$의 기댓값은 \[E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n\]

3. 나머지정리: $x$에 대한 다항식 $P(x)$를 일차식 $x-\alpha$로 나누었을 때의 나머지를 $R$라고 하면 $R = P(\alpha)$이다.

1. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리: 좌표평면 위의 두 점 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 사이의 거리는 \[\overline{AB} = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}\]

3. 나머지정리: $x$에 대한 다항식 $P(x)$를 일차식 $x-\alpha$로 나누었을 때의 나머지를 $R$라고 하면 $R = P(\alpha)$이다.

[1] 함수 $f(x) = \log_{|a-2|}(x^2+2ax+4a+5)$에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, $a$는 실수)

(1) 함수 $f(x)$가 정의되기 위한 실수 $a$의 값 중 정수를 모두 구하시오. [5점]

(2) $x \ge 0$에서 정의된 두 함수 $g(x) = \log_2(x^2+5), h(x) = \sqrt{x}$라고 할 때, $(g \circ h)^{-1}(x) \gt \frac{6}{2^x}$를 만족하는 $x$값의 범위를 구하시오. [8점]

[2] 극한값 $\lim_{n \to \infty} n^{1/3} \left\{ (n^2+n)^{1/3} - (n^2+1)^{1/3} \right\}$을 구하시오. [8점]

[3] 자연수 $n$에 대하여 $x+y=n$ ($x \ge 0, y \ge 0$)를 만족시키고, 점 $(x, y)$의 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점들의 집합을 $A_n$이라고 하자. 집합 $A_n$에서 임의로 택한 한 점과 원점과의 거리의 제곱을 확률변수 $X_n$이라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 집합 $A_n$에서 임의로 택한 한 점의 $x$좌표가 $k$일 때, 이 점과 원점과의 거리의 제곱을 구하시오. [4점]

(2) 확률변수 $X_n$의 기댓값을 구하시오. [8점]

[4] 모든 실수 $x$에 대하여 다항식 $f(x)$는 아래 조건을 만족시킨다. 다음 물음에 답하시오.

\[x\{f'(x)+x\}\{f'(x)-x\} = f(x) + px^3 + qx^2 \quad (p, q\text{는 실수})\]

(1) 위 조건을 만족시키는 일차 이상의 다항식 $f(x)$를 구하고, 이때 실수 $p, q$의 값 또는 $p, q$에 대한 관계식을 구하시오. [12점]

(2) $p=0$일 때, (1)에서 구한 각각의 다항식 $f(x)$를 일차식 $x-2023$으로 나눈 나머지들의 합을 구하시오. [5점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 (DB: PS_Ch02) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통02-05]

【유사 연습 문제】 로그 $\log_{x-1}(-x^2 + 6x - 5)$가 정의되도록 하는 모든 정수 $x$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 밑 조건에서 $x-1 \gt 0,\; x-1 \ne 1 \implies x \gt 1,\; x \ne 2$이고, 진수 조건에서 $-(x-1)(x-5) \gt 0 \implies 1 \lt x \lt 5$이다. 따라서 정수 $x$는 $3, 4$이다. [정답: $3, 4$]

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 2023학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 (대수 · 미적분Ⅰ · 확률과 통계) [배점 50점]

2023학년도 자연계열 2023학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 — 광운대 2023학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 2023학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 · 총 50점

💡 【문항 [1] 모범 답안】

[1](1) 로그가 정의되기 위한 정수 $a$ (5점):

함수 $f(x) = \log_{|a-2|}(x^2+2ax+4a+5)$가 모든 실수 $x$에서 정의되기 위해서는 밑 조건과 진수 조건을 모두 만족해야 한다.

1) 진수 조건: 모든 실수 $x$에 대하여 $x^2+2ax+4a+5 \gt 0$이어야 하므로, 이차방정식의 판별식 $D/4 \lt 0$이다. \[D/4 = a^2 - (4a+5) = a^2 - 4a - 5 = (a+1)(a-5) \lt 0 \implies -1 \lt a \lt 5 \quad \cdots \text{①}\] 2) 밑 조건: $|a-2| \gt 0$이고 $|a-2| \ne 1$이어야 한다. \[|a-2| \gt 0 \iff a \ne 2\] \[|a-2| \ne 1 \iff a-2 \ne \pm 1 \iff a \ne 1 \text{ 이고 } a \ne 3 \quad \cdots \text{②}\]

①과 ②를 동시에 만족하는 정수 $a$는 $a = 0$ 또는 $a = 4$이다.

[1](2) 역함수와 지수부등식 (8점):

$x \ge 0$에서 $(g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(\sqrt{x}) = \log_2((\sqrt{x})^2+5) = \log_2(x+5)$이다.

역함수를 구하기 위해 $y = \log_2(x+5)$라 두면 ($x \ge 0$이므로 $y \ge \log_2 5$)

\[x+5 = 2^y \implies x = 2^y - 5\]

따라서 $(g \circ h)^{-1}(x) = 2^x - 5$이다.

주어진 부등식은 \[2^x - 5 \gt \frac{6}{2^x}\]

$X = 2^x$라 하면 $X \gt 0$이므로 양변에 $X$를 곱하여 정리하면

\[X^2 - 5X - 6 \gt 0 \iff (X+1)(X-6) \gt 0\]

$X \gt 0$이므로 $X \gt 6$이다. 즉,

\[2^x \gt 6 \iff x \gt \log_2 6\]

($\log_2 6 \gt \log_2 5$이므로 역함수의 정의역 조건도 만족한다.)

따라서 구하는 $x$값의 범위는 $x \gt \log_2 6$이다.

📋 【문항 [1] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[1](1)	진수 조건(판별식 $D \lt 0$)과 밑 조건($\|a-2\| \gt 0, \|a-2\| \ne 1$)을 세우면	3점
[1](1)	조건을 만족하는 정수 $a = 0, 4$를 모두 구하면	2점
[1](2)	합성함수 $(g \circ h)(x) = \log_2(x+5)$의 역함수 $(g \circ h)^{-1}(x) = 2^x - 5$를 구하면	4점
[1](2)	$X = 2^x \gt 0$ 치환을 통해 부등식을 풀고 $x \gt \log_2 6$을 구하면	4점

💡 【문항 [2], [3] 모범 답안】

[2] 극한값 계산 (8점):

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$이므로 $a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$이다.

$a = (n^2+n)^{1/3}, b = (n^2+1)^{1/3}$이라 두면

\[(n^2+n)^{1/3} - (n^2+1)^{1/3} = \frac{(n^2+n) - (n^2+1)}{(n^2+n)^{2/3} + (n^2+n)^{1/3}(n^2+1)^{1/3} + (n^2+1)^{2/3}} = \frac{n-1}{(n^2+n)^{2/3} + (n^2+n)^{1/3}(n^2+1)^{1/3} + (n^2+1)^{2/3}}\]

준식에 $n^{1/3}$을 곱하면

\[\lim_{n \to \infty} \frac{n^{1/3}(n-1)}{(n^2+n)^{2/3} + (n^2+n)^{1/3}(n^2+1)^{1/3} + (n^2+1)^{2/3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{4/3} - n^{1/3}}{(n^2+n)^{2/3} + (n^2+n)^{1/3}(n^2+1)^{1/3} + (n^2+1)^{2/3}}\]

분모와 분자를 $n^{4/3}$으로 나누면

\[= \lim_{n \to \infty} \frac{1 - n^{-1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2/3} + \left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/3}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{1/3} + \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{2/3}} = \frac{1 - 0}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3}\]

[3](1) 거리의 제곱 구하기 (4점):

$x+y = n$ ($x \ge 0, y \ge 0$)에서 $x = k$이면 $y = n-k$이다. 따라서 택한 점은 $(k, n-k)$이다.

이 점과 원점 $(0, 0)$과의 거리의 제곱은

\[(k-0)^2 + (n-k-0)^2 = k^2 + (n^2 - 2nk + k^2) = 2k^2 - 2nk + n^2\]

[3](2) 확률변수 $X_n$의 기댓값 (8점):

$x, y$가 정수이므로 $k$는 $0, 1, 2, \dots, n$의 값을 가질 수 있어 집합 $A_n$의 원소의 총 개수는 $n+1$개이다.

임의로 한 점을 택하므로 각 점이 선택될 확률은 모두 $\frac{1}{n+1}$이다.

확률변수 $X_n$의 기댓값 $E(X_n)$은 제시문 2에 의하여

\[E(X_n) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{n+1}(2k^2 - 2nk + n^2) = \frac{1}{n+1}\left[ 2\sum_{k=0}^n k^2 - 2n\sum_{k=0}^n k + n^2\sum_{k=0}^n 1 \right]\] \[= \frac{1}{n+1}\left[ 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2n \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n^2(n+1) \right]\]

$(n+1)$로 약분하면

\[= \frac{n(2n+1)}{3} - n^2 + n^2 = \frac{2n^2+n}{3}\]

📋 【문항 [2], [3] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[2]	세제곱 차 인수분해 공식을 이용하여 식을 유리화(분수 변형)하면	4점
[2]	최고차항의 계수를 비교하여 극한값 $\frac{1}{3}$을 구하면	4점
[3](1)	$x=k$일 때 $y=n-k$를 구하고 두 점 사이 거리 공식으로 식을 세우면	2점
[3](1)	거리의 제곱 $k^2+(n-k)^2 = 2k^2-2nk+n^2$을 구하면	2점
[3](2)	점의 개수가 $n+1$개이고 각 점이 선택될 확률이 $\frac{1}{n+1}$임을 구하면	3점
[3](2)	자연수 거듭제곱 합 공식을 적용하여 기댓값 $\frac{2n^2+n}{3}$을 구하면	5점

💡 【문항 [4] 모범 답안】

주어진 항등식은 \[x\{f'(x)+x\}\{f'(x)-x\} = f(x) + px^3 + qx^2 \iff x\{(f'(x))^2 - x^2\} = f(x) + px^3 + qx^2\]

[4](1) 다항식 $f(x)$와 $p, q$ 구하기 (12점):

$f(x)$를 $n$차 다항식이라 하자 ($n \ge 1$).

$n \ge 3$이면 좌변의 최고차항은 $x \cdot (f'(x))^2$으로 차수가 $1 + 2(n-1) = 2n-1$이고, 우변의 차수는 $n$이다. $2n-1 = n \iff n = 1$이므로 모순이다. 따라서 $f(x)$는 3차 이상일 수 없으며, $n=1$ 또는 $n=2$이다.

(i) $f(x)$가 1차 다항식인 경우: $f(x) = ax+b$ ($a \ne 0$)라 두면 $f'(x) = a$이다.
좌변: $x(a^2 - x^2) = -x^3 + a^2 x$
우변: $(ax+b) + px^3 + qx^2 = px^3 + qx^2 + ax + b$
계수를 비교하면 $p = -1, q = 0, a^2 = a, b = 0$
$a \ne 0$이므로 $a = 1$이다.
따라서 $f(x) = x$이고 $p = -1, q = 0$이다.

(ii) $f(x)$가 2차 다항식인 경우: $f(x) = rx^2+sx+t$ ($r \ne 0$)라 두면 $f'(x) = 2rx+s$이다.
$(f'(x))^2 - x^2 = (4r^2-1)x^2 + 4rsx + s^2$
좌변: $x\{(f'(x))^2-x^2\} = (4r^2-1)x^3 + 4rsx^2 + s^2 x$
우변: $px^3 + (q+r)x^2 + sx + t$
계수를 비교하면
• $x^3$ 계수: $4r^2-1 = p \implies 4r^2 = p+1$
• $x^2$ 계수: $4rs = q+r \implies r(4s-1) = q$
• $x$ 계수: $s^2 = s \implies s(s-1) = 0 \implies s = 0$ 또는 $s = 1$
• 상수항: $t = 0$

- $s = 0$일 때: $4r^2 = p+1$ ($p \gt -1$), $q = -r \implies q^2 = r^2 = \frac{p+1}{4} \implies 4q^2 = p+1$
이때 $f(x) = rx^2 = \pm\frac{\sqrt{p+1}}{2}x^2$
- $s = 1$일 때: $4r^2 = p+1$, $q = 3r \implies q^2 = 9r^2 = \frac{9(p+1)}{4} \implies 4q^2 = 9(p+1)$
이때 $f(x) = rx^2+x = \pm\frac{\sqrt{p+1}}{2}x^2 + x$

[4](2) $p=0$일 때 나머지들의 합 (5점):

제시문 3(나머지정리)에 의하여 다항식 $f(x)$를 $x-2023$으로 나눈 나머지는 $f(2023)$이다.

$p = 0$일 때 (1)의 결과에서 가능한 다항식들을 구한다:

• 1차식은 $p = -1$일 때만 가능하므로 $p=0$에서는 존재하지 않는다.
• 2차식에서 $p=0$이면 $4r^2 = 0+1 = 1 \implies r^2 = \frac{1}{4} \implies r = \pm\frac{1}{2}$이다.
1) $s = 0$일 때: $r = \frac{1}{2} \implies f_1(x) = \frac{1}{2}x^2$, $r = -\frac{1}{2} \implies f_2(x) = -\frac{1}{2}x^2$
2) $s = 1$일 때: $r = \frac{1}{2} \implies f_3(x) = \frac{1}{2}x^2+x$, $r = -\frac{1}{2} \implies f_4(x) = -\frac{1}{2}x^2+x$

따라서 $p=0$을 만족하는 다항식은 총 4개이다. 각각의 나머지는

\[R_1 = f_1(2023) = \frac{1}{2}(2023)^2\] \[R_2 = f_2(2023) = -\frac{1}{2}(2023)^2\] \[R_3 = f_3(2023) = \frac{1}{2}(2023)^2 + 2023\] \[R_4 = f_4(2023) = -\frac{1}{2}(2023)^2 + 2023\]

구하는 나머지들의 합은

\[R_1 + R_2 + R_3 + R_4 = \left[ \frac{1}{2}(2023)^2 - \frac{1}{2}(2023)^2 \right] + \left[ \left(\frac{1}{2}(2023)^2 + 2023\right) + \left(-\frac{1}{2}(2023)^2 + 2023\right) \right]\] \[= 0 + 2 \times 2023 = 4046\]

따라서 나머지들의 합은 4046이다.

📋 【문항 [4] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[4](1)	차수 비교를 통해 $f(x)$가 1차 또는 2차 다항식임을 규명하면	4점
	1차식인 경우 $f(x)=x$이고 $p=-1, q=0$임을 구하면	4점
	2차식인 경우 계수비교로 $f(x) = \frac{p+1}{4}x^2 + \frac{q}{p}x$ 및 관계식을 구하면	4점
[4](2)	$p=0$일 때 가능한 다항식 $f(x)$들을 특정하면	2점
[4](2)	나머지정리를 적용하여 $x=2023$을 대입한 나머지들의 합을 구하면	3점

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1] 로그 정의조건·지수부등식 | [2]~[3] 무리식 극한·기댓값 | [4] 항등식·나머지정리(총 50점)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 공통수학 · 미적분Ⅰ · 기하 🎯 핵심 테마: 광운대 2022학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

【제시문】 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 함수의 증가와 감소: 함수 $f(x)$가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 그 구간에 속하는 모든 $x$에서 $f'(x) \gt 0$이면 $f(x)$는 그 구간에서 증가한다. $f'(x) \lt 0$이면 $f(x)$는 그 구간에서 감소한다.

2. 타원: 평면의 두 점 $F$와 $F'$로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 타원이라고 한다. 이때 두 점 $F$와 $F'$을 타원의 초점이라고 한다.

3. 치환적분법을 이용한 정적분: 미분가능한 함수 $g(x)$의 도함수 $g'(x)$가 닫힌구간 $[a,b]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $g(a)=\alpha$와 $g(b)=\beta$에 대하여 함수 $f(x)$가 $\alpha$와 $\beta$를 포함한 구간에서 연속일 때 다음이 성립한다. \[\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(t)\,dt\]

2. 타원: 평면의 두 점 $F$와 $F'$로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 타원이라고 한다. 이때 두 점 $F$와 $F'$을 타원의 초점이라고 한다.

[1] 다항식의 인수분해를 이용하여 자연수 $N = (11 \times 13 \times 15 \times 17 - 9) + (11^3 + 5 \times 11^2 + 3 \times 11 - 9)$를 소인수분해하시오. [7점]

[2] 좌표평면에서 점 $A(-1, 3)$과 원점 $O(0, 0)$ 및 포물선 $y = x^2 - 7x + 12$ 위의 점 $B(b, c)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $AOB$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 $B(b, c)$와 직선 $AO$ 사이의 거리를 $b$에 관한 식으로 나타내시오. [4점]

(2) 삼각형 $AOB$의 넓이를 $b$에 관한 식으로 나타내고, 삼각형 $AOB$의 넓이의 최솟값을 찾으시오. [4점]

[3] 두 함수 $f(x) = x^2 + 4$와 $g(x) = kx + 1$에 대하여 다음을 찾으시오.

(1) 함수 $\frac{1}{f(x) - g(x)}$가 모든 실수 $x$에서 정의되기 위한 상수 $k$의 값의 범위 [4점]

(2) 함수 $h(x) = f(x)g(x)$가 구간 $(0, \infty)$에서 증가하도록 하는 상수 $k$의 값의 범위 [6점]

[4] 태양 $S$를 한 초점으로 하는 타원 궤도를 따라 행성 $E$가 공전하고 있다고 하자. 오른쪽 그림과 같이 이 타원을 좌표평면에 나타내어 타원의 중심은 원점 $O$에 장축 $AB$는 $x$축에 놓인다고 하자. 태양 $S$는 원점 $O$와 꼭짓점 $A$ 사이에 있다. 선분 $AS$의 길이가 $2$, 선분 $SB$의 길이가 $18$이라고 할 때, 다음을 찾으시오.

  (1) 좌표평면에서 행성 $E$의 궤도를 나타내는 타원의 방정식  [5점]

  (2) 선분 $OE$와 $x$축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 $\theta$라고 할 때, 매개변수 $\theta$로 (1)의 타원의 방정식을 $x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$ ($0 \le \theta \lt 2\pi$)로 나타낼 수 있다. 이때, 두 양수 $a$와 $b$의 값과 $\theta = \frac{\pi}{3}$에 대응하는 점에서의 타원의 접선의 방정식  [7점]

  (3) 선분 $SE$의 길이를 $l(\theta)$라고 할 때, $l(\theta)$의 최솟값과 그때의 $\theta$의 값  [6점]

  (4) $\theta$가 $0$에서 $\frac{\pi}{4}$까지 증가하는 동안 선분 $OE$가 지나가는 영역의 넓이  [7점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

【유사 연습 문제】 타원 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}$와 두 초점 $\mathrm{F}, \mathrm{F}'$에 대하여 $\overline{\mathrm{PF}}\cdot\overline{\mathrm{PF}'}$의 최댓값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 타원의 정의에 의해 $\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF}'} = 2a = 6$이므로 산술·기하평균 부등식에 의해 $\overline{\mathrm{PF}}\cdot\overline{\mathrm{PF}'} \le \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$이다. [정답: $9$]

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 2022학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 (공통수학 · 미적분Ⅰ · 기하) [배점 50점]

2022학년도 자연계열 2022학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 — 광운대 2022학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 2022학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 1 · 총 50점

💡 【문항 [1], [2] 모범 답안】

[1] 치환을 이용한 다항식 인수분해 및 소인수분해 (7점):

$x = 11$이라 두면 $13 = x+2$, $15 = x+4$, $17 = x+6$이다.

\[N = \{x(x+2)(x+4)(x+6) - 9\} + (x^3 + 5x^2 + 3x - 9)\]

첫 번째 항: $\{x(x+6)\}\{(x+2)(x+4)\} - 9 = (x^2+6x)(x^2+6x+8) - 9$

$X = x^2+6x$라 하면 $X(X+8) - 9 = X^2+8X-9 = (X-1)(X+9) = (x^2+6x-1)(x^2+6x+9) = (x^2+6x-1)(x+3)^2$

두 번째 항: 인수정리에 의해 $x=1$을 대입하면 $1+5+3-9=0$이므로 $(x-1)$을 인수로 갖는다. 조립제법으로 $(x-1)(x^2+6x+9) = (x-1)(x+3)^2$

따라서 $N = (x^2+6x-1)(x+3)^2 + (x-1)(x+3)^2 = (x+3)^2 (x^2+6x-1 + x - 1) = (x+3)^2 (x^2+7x-2)$

$x=11$을 대입하면 $(11+3)^2 (11^2 + 7\times 11 - 2) = 14^2 (121 + 77 - 2) = 14^2 \times 196 = 14^4 = (2 \times 7)^4 = 2^4 \times 7^4$

따라서 소인수분해 결과는 $2^4 \times 7^4$이다.

[2](1) 점 $B$와 직선 $AO$ 사이의 거리 (4점):

직선 $AO$의 기울기는 $\frac{3-0}{-1-0} = -3$이므로 직선의 방정식은 $3x + y = 0$이다.

점 $B(b, b^2-7b+12)$와 직선 $3x+y=0$ 사이의 거리를 $d(b)$라 하면

\[d(b) = \frac{|3b + (b^2-7b+12)|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|b^2-4b+12|}{\sqrt{10}}\]

이때 $b^2-4b+12 = (b-2)^2 + 8 \gt 0$이므로 절댓값을 풀면 \[d(b) = \frac{b^2-4b+12}{\sqrt{10}}\]

[2](2) 삼각형 $AOB$의 넓이 및 최솟값 (4점):

선분 $AO$의 길이는 $\sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10}$이다.

삼각형 $AOB$의 넓이를 $S(b)$라 하면

\[S(b) = \frac{1}{2} \times \overline{AO} \times d(b) = \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times \frac{b^2-4b+12}{\sqrt{10}} = \frac{1}{2}(b^2-4b+12) = \frac{1}{2}(b-2)^2 + 4\]

따라서 $b=2$일 때 삼각형 $AOB$의 넓이의 최솟값은 $4$이다.

📋 【문항 [1], [2] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[1]	치환하여 $(x+3)^2$ 공통인수로 묶어 인수분해 식 $(x+3)^2(x^2+7x-2)$를 유도하면	4점
[1]	$x=11$을 대입하여 $14^4 = 2^4 \times 7^4$로 정확히 소인수분해하면	3점
[2](1)	직선 $3x+y=0$을 구하고 점과 직선 사이의 거리 공식으로 $\frac{b^2-4b+12}{\sqrt{10}}$을 구하면	4점
[2](2)	넓이 식 $S(b) = \frac{1}{2}(b^2-4b+12)$를 세우고 완전제곱식으로 최솟값 $4$를 도출하면	4점

💡 【문항 [3] 모범 답안】

[3](1) 모든 실수에서 정의되기 위한 $k$의 범위 (4점):

분수함수 $\frac{1}{f(x)-g(x)} = \frac{1}{x^2 - kx + 3}$이 모든 실수 $x$에서 정의되려면 분모가 $0$이 되지 않아야 한다.

즉, 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 - kx + 3 \neq 0$이어야 하므로 이차방정식 $x^2 - kx + 3 = 0$이 실근을 갖지 않아야 한다.

판별식 $D = k^2 - 12 \lt 0 \implies -2\sqrt{3} \lt k \lt 2\sqrt{3}$

[3](2) 구간 $(0, \infty)$에서 $h(x)$가 증가하기 위한 $k$의 범위 (6점):

$h(x) = f(x)g(x) = (x^2+4)(kx+1) = kx^3 + x^2 + 4kx + 4$

도함수는 $h'(x) = 3kx^2 + 2x + 4k$이다.

구간 $(0, \infty)$에서 $h(x)$가 증가하려면 $x \gt 0$인 모든 $x$에 대해 $h'(x) \ge 0$이어야 한다.

1) $k \lt 0$이면 $\lim_{x\to\infty} h'(x) = -\infty$가 되어 모순이므로 $k \ge 0$이어야 한다.

2) $k = 0$이면 $h'(x) = 2x \gt 0$ ($x \gt 0$)이므로 성립한다.

3) $k \gt 0$일 때, 이차함수 $y = 3kx^2 + 2x + 4k$의 축은 $x = -\frac{2}{6k} = -\frac{1}{3k} \lt 0$이다.

축이 음수이므로 구간 $(0, \infty)$에서 $h'(x)$는 단조증가 함수이다.

따라서 $x \gt 0$에서 $h'(x) \gt 0$이기 위한 필요충분조건은 $y$절편 $h'(0) \ge 0$이다.

$h'(0) = 4k \ge 0 \implies k \ge 0$

따라서 구하는 상수 $k$의 값의 범위는 \[k \ge 0\]

📋 【문항 [3] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[3](1)	분모가 $0$이 아님을 판별식 $D=k^2-12 \lt 0$으로 연결하여 $-2\sqrt{3} \lt k \lt 2\sqrt{3}$을 구하면	4점
[3](2)	도함수 $h'(x) = 3kx^2+2x+4k$를 구하고 $k \lt 0$일 때 모순임을 밝히면	3점
[3](2)	대칭축이 음수임을 확인하고 $h'(0)=4k \ge 0$으로부터 최종 $k \ge 0$을 도출하면	3점

💡 【문항 [4] 모범 답안】

[4](1) 행성 궤도의 타원 방정식 (5점):

장축의 길이는 $\overline{AB} = \overline{AS} + \overline{SB} = 2 + 18 = 20 = 2a \implies a = 10$이다.

중심이 원점이므로 $A(-10, 0), B(10, 0)$이다. 초점 $S$는 선분 $OA$ 위에 있고 $\overline{AS}=2$이므로 $S(-8, 0)$, 즉 $c = 8$이다.

타원의 기본 관계식에서 $b^2 = a^2 - c^2 = 10^2 - 8^2 = 36 \implies b = 6$이다.

따라서 타원의 방정식은 \[\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{36} = 1\]

[4](2) 매개변수와 접선의 방정식 (7점):

$a=10, b=6$이므로 $x = 10\cos\theta, y = 6\sin\theta$이다. $\theta = \frac{\pi}{3}$일 때 접점의 좌표는

\[P\left(10\cos\frac{\pi}{3}, 6\sin\frac{\pi}{3}\right) = \left(5, 3\sqrt{3}\right)\]

타원 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식 공식 $\frac{x_1 x}{100} + \frac{y_1 y}{36} = 1$에 대입하면

\[\frac{5x}{100} + \frac{3\sqrt{3}y}{36} = 1 \implies \frac{x}{20} + \frac{\sqrt{3}y}{12} = 1 \implies 3x + 5\sqrt{3}y = 60\]

[4](3) 선분 $SE$의 길이 $l(\theta)$의 최솟값 (6점):

$E(10\cos\theta, 6\sin\theta)$, $S(-8, 0)$이므로

\[l(\theta)^2 = (10\cos\theta + 8)^2 + (6\sin\theta)^2 = 100\cos^2\theta + 160\cos\theta + 64 + 36(1-\cos^2\theta) = 64\cos^2\theta + 160\cos\theta + 100 = (8\cos\theta + 10)^2\]

$8\cos\theta + 10 \gt 0$이므로 $l(\theta) = 8\cos\theta + 10$이다. $\cos\theta$의 최솟값은 $\theta = \pi$일 때 $-1$이다.

따라서 $\theta = \pi$일 때 $l(\theta)$의 최솟값은 $8(-1) + 10 = 2$이다.

[4](4) 선분 $OE$가 지나가는 영역의 넓이 (7점):

$\theta = \frac{\pi}{4}$일 때 점 $E$의 좌표는 $(10\cos(\pi/4), 6\sin(\pi/4)) = (5\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$이다. $x$좌표는 $5\sqrt{2}$이다.

선분 $OE$가 지나는 영역은 삼각형 영역과 타원 곡선 아래의 넓이의 합으로 구하거나 치환적분법을 적용한다.

원점과 점 $(5\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$를 잇는 직선과 타원호가 이루는 부채꼴 형태의 넓이는 타원의 비례 압축 성질에 의해 $S = \frac{b}{a} \times (\text{원에서의 부채꼴 넓이}) = \frac{6}{10} \times \left(\frac{1}{2} \times 10^2 \times \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{5} \times \frac{25\pi}{2} = \frac{15\pi}{2}$이다.

📋 【문항 [4] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[4](1)	$a=10, c=8$로부터 $b=6$을 구하여 타원 방정식 $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$을 구하면	5점
[4](2)	접점 $(5, 3\sqrt{3})$을 구하고 접선 공식으로 $3x + 5\sqrt{3}y = 60$을 도출하면	7점
[4](3)	거리 식 $l(\theta) = 8\cos\theta+10$을 유도하여 $\theta=\pi$일 때 최솟값 $2$를 구하면	6점
[4](4)	치환적분 또는 원과의 비례 관계를 적용하여 영역의 넓이 $\frac{15\pi}{2}$를 정확히 구하면	7점

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1]~[2] 인수분해·최단거리 | [3] 판별식·삼차함수 증가 | [4] 타원 접선·영역 넓이(총 50점)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 광운대 2022학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

【제시문】 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 함수 극한의 대소 관계: 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 $\lim_{x\to a} f(x) = L$이고 $\lim_{x\to a} g(x) = M$ ($L, M$은 실수)일 때, $a$에 가까운 $x$의 모든 값과 함수 $h(x)$에 대하여 $f(x) \le h(x) \le g(x)$이고 $L=M$이면 $\lim_{x\to a} h(x) = L$이다.

2. 확률밀도함수의 성질: 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$ ($\alpha \le x \le \beta$)에 대하여
① $f(x) \ge 0$
② $f(x)$의 그래프와 $x$축 및 두 직선 $x=\alpha$와 $x=\beta$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $1$이다.
③ 두 상수 $a$와 $b$ ($\alpha \le a \le b \le \beta$)에 대하여 $P(a \le X \le b)$는 $f(x)$의 그래프와 $x$축 및 두 직선 $x=a$와 $x=b$로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.

3. 부분적분법을 이용한 정적분: 미분가능한 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 $f'(x)$와 $g'(x)$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속일 때 다음이 성립한다. \[\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx\]

[1] 삼차방정식 $x^3 - 9x^2 + cx - 12 = 0$의 세 실근은 등차수열을 이룬다. 이때 다음을 찾으시오.

  (1) 등차수열을 이루는 세 실근의 등차중항  [4점]

  (2) 상수 $c$의 값  [3점]

  (3) 주어진 방정식의 세 실근  [4점]

[2] $n$이 자연수일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $\frac{n+2}{n! + (n+1)! + (n+2)!} = \frac{n+1}{(n+2)!}$임을 증명하시오. [6점]

(2) $\sum_{n=1}^{2022} \frac{n+2}{n! + (n+1)! + (n+2)!}$의 값을 찾으시오. [7점]

[3] 양수 $k$에 대하여 함수 $f(x) = kx \ln|x|$라 하자. 곡선 $y=f(x)$와 실수 $t$에 대하여 $x$축에 평행한 직선 $y=t$가 만나는 점의 개수를 $g(t)$라 하자. 다음 물음에 답하시오.

  (1) 구간 $0 \lt x \lt 1$에서 두 함수 $\ln|x|$와 $-\frac{1}{\sqrt{x}}$의 대소 관계를 판정하시오.  [7점]

  (2) (1)을 이용하여 두 극한값 $\lim_{x\to 0+} f(x)$와 $\lim_{x\to 0-} f(x)$를 찾으시오.  [6점]

  (3) 함수 $f(x)$의 증가와 감소를 나타내는 표를 만들고, 함수 $g(t)$가 불연속인 $t$의 값과 그 함숫값 $g(t)$의 순서쌍 $(t, g(t))$를 찾으시오.  [7점]

  (4) 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수가 $f(x) = kx\ln|x|$ $\left(-1 \le x \le -\frac{1}{\sqrt{e}}\right)$일 때, 양수 $k$의 값을 찾으시오.  [6점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-04]

【유사 연습 문제】 부분적분법을 이용하여 정적분 $\int_1^e x \ln x\,dx$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $u = \ln x$, $v' = x$로 놓으면 $\int_1^e x\ln x\,dx = \left[\frac{1}{2}x^2\ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{1}{2}x\,dx = \frac{1}{2}e^2 - \left[\frac{1}{4}x^2\right]_1^e = \frac{e^2 + 1}{4}$이다. [정답: $\frac{e^2+1}{4}$]

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 2022학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 (대수 · 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ) [배점 50점]

2022학년도 자연계열 2022학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 — 광운대 2022학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

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📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 2022학년도 자연계열 1교시 기출 — 문제 2 · 총 50점

💡 【문항 [1], [2] 모범 답안】

[1] 삼차방정식과 등차수열 (11점):

(1) 세 실근을 $a-d, a, a+d$라 하면 근과 계수의 관계에 의해 세 근의 합은 $(a-d) + a + (a+d) = 3a = 9 \implies a = 3$이다. 따라서 등차중항은 $3$이다. (4점)

(2) 세 근의 곱은 $(3-d) \times 3 \times (3+d) = 3(9-d^2) = 12 \implies 9-d^2 = 4 \implies d^2 = 5$이다.

두 근끼리의 곱의 합은 $c$이므로 $c = (3-d)\times 3 + 3\times (3+d) + (3-d)(3+d) = (9-3d) + (9+3d) + (9-d^2) = 27 - d^2 = 27 - 5 = 22$이다. (3점)

(3) $d^2 = 5 \implies d = \pm\sqrt{5}$이므로 주어진 방정식의 세 실근은 $3-\sqrt{5}, \; 3, \; 3+\sqrt{5}$이다. (4점)

[2] 팩토리얼 분수 변형 및 급수의 합 (13점):

(1) 분모를 $n!$으로 묶으면:

\[n! + (n+1)! + (n+2)! = n!\{1 + (n+1) + (n+2)(n+1)\} = n!(n^2+3n+2+n+2) = n!(n^2+4n+4) = n!(n+2)^2\]

따라서 분수 식은:

\[\frac{n+2}{n! + (n+1)! + (n+2)!} = \frac{n+2}{n!(n+2)^2} = \frac{1}{n!(n+2)} = \frac{n+1}{n!(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{(n+2)!} \quad \text{[증명 완료]} \text{ (6점)}\]

(2) (1)의 식을 부분분수 형태로 분해하면:

\[\frac{n+1}{(n+2)!} = \frac{(n+2) - 1}{(n+2)!} = \frac{n+2}{(n+2)!} - \frac{1}{(n+2)!} = \frac{1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+2)!}\]

따라서 망원급수(소거형 합)를 적용하면:

\[\sum_{n=1}^{2022} \left( \frac{1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+2)!} \right) = \left(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}\right) + \left(\frac{1}{3!} - \frac{1}{4!}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2023!} - \frac{1}{2024!}\right) = \frac{1}{2!} - \frac{1}{2024!} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2024!} \text{ (7점)}\]

📋 【문항 [1], [2] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[1](1)	세 근의 합 $3a=9$로부터 등차중항 $a=3$을 구하면	4점
[1](2)	세 근의 곱으로 $d^2=5$를 찾고 두 근 곱의 합 공식으로 $c=22$를 계산하면	3점
[1](3)	세 실근 $3-\sqrt{5}, 3, 3+\sqrt{5}$를 정확히 제시하면	4점
[2](1)	분모를 $n!(n+2)^2$으로 인수분해하여 약분 후 $\frac{n+1}{(n+2)!}$을 완벽히 증명하면	6점
[2](2)	$\frac{1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+2)!}$로 분해하여 소거하고 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2024!}$를 구하면	7점

💡 【문항 [3] 모범 답안】

[3](1) 구간 $0 \lt x \lt 1$에서의 대소 관계 (7점):

$h(x) = \ln|x| + \frac{1}{\sqrt{x}} = \ln x + x^{-1/2}$ ($0 \lt x \lt 1$)라 하면

$h'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2}x^{-3/2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}-1}{2x\sqrt{x}}$이다. $h'(x) = 0 \iff x = \frac{1}{4}$이다.

$0 \lt x \lt \frac{1}{4}$에서 $h'(x) \lt 0$ (감소), $\frac{1}{4} \lt x \lt 1$에서 $h'(x) \gt 0$ (증가)하므로 최솟값은 $h\left(\frac{1}{4}\right) = \ln\left(\frac{1}{4}\right) + 2 = -2\ln 2 + 2 = 2(1-\ln 2) \gt 0$이다.

따라서 모든 $0 \lt x \lt 1$에서 $h(x) \gt 0$이므로 $\ln|x| \gt -\frac{1}{\sqrt{x}}$이다.

[3](2) 두 극한값 $\lim_{x\to 0+} f(x)$와 $\lim_{x\to 0-} f(x)$ (6점):

$0 \lt x \lt 1$에서 $-\frac{1}{\sqrt{x}} \lt \ln x \lt 0$이므로 양변에 $x \gt 0$을 곱하면 $-\sqrt{x} \lt x\ln x \lt 0$이다.

$\lim_{x\to 0+} (-\sqrt{x}) = 0$이므로 조임정리에 의해 $\lim_{x\to 0+} x\ln x = 0$이다. 따라서 $\lim_{x\to 0+} f(x) = 0$이다.

$x = -t$ ($t \gt 0$)로 치환하면 $f(-t) = -kt\ln|-t| = -kt\ln t = -f(t)$ (기함수)이므로 $\lim_{x\to 0-} f(x) = \lim_{t\to 0+} (-f(t)) = 0$이다.

[3](3) 증감표 및 불연속 순서쌍 $(t, g(t))$ (7점):

$f'(x) = k(\ln|x| + 1)$이므로 $f'(x) = 0 \iff |x| = e^{-1} \iff x = \pm e^{-1}$

극댓값 $f(-e^{-1}) = ke^{-1}$, 극솟값 $f(e^{-1}) = -ke^{-1}$, 원점 극한값 $0$이다.

직선 $y=t$와의 교점 개수 $g(t)$는 $t = \pm ke^{-1}$일 때 2개, $t=0$일 때 2개(원점 제외 양수/음수 1개씩 교점), 그 사이에서 3개, 바깥에서 1개이다.

따라서 불연속점과 함숫값 순서쌍은 $(-ke^{-1}, 2), \; (0, 2), \; (ke^{-1}, 2)$이다.

[3](4) 확률밀도함수 정적분과 $k$의 값 (6점):

구간 $\left[-1, -\frac{1}{\sqrt{e}}\right]$에서 $x \lt 0$이므로 $\ln|x| = \ln(-x) \lt 0$, $x \lt 0$에서 $f(x) \ge 0$이다.

\[\int_{-1}^{-1/\sqrt{e}} kx\ln(-x)\,dx = k \left[ \frac{1}{2}x^2\ln(-x) - \frac{1}{4}x^2 \right]_{-1}^{-1/\sqrt{e}} = k \left\{ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{e}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{4e} - \left(0 - \frac{1}{4}\right) \right\} = k\left(-\frac{1}{4e} - \frac{1}{4e} + \frac{1}{4}\right) = \frac{k(e-2)}{4e} = 1\]

따라서 $k = \frac{4e}{e-2}$이다.

📋 【문항 [3] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[3](1)	도함수를 통해 최솟값 $2(1-\ln 2) \gt 0$을 찾아 부등식 $\ln\|x\| \gt -\frac{1}{\sqrt{x}}$를 입증하면	7점
[3](2)	조임정리로 우극한 $0$, 기함수 대칭성으로 좌극한 $0$을 도출하면	6점
[3](3)	극값과 그래프를 통해 불연속 순서쌍 $(-ke^{-1}, 2), (0, 2), (ke^{-1}, 2)$를 제시하면	7점
[3](4)	부분적분 $\int kx\ln(-x)\,dx$를 계산하여 $\frac{k(e-2)}{4e}=1$로부터 $k = \frac{4e}{e-2}$를 구하면	6점

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1]~[2] 등차수열 근과 계수·망원급수 | [3] 로그부등식·극한·부분적분(총 50점)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 공통수학 · 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 광운대 2022학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

【제시문】 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 이차방정식의 근의 판별: 계수가 실수인 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$)에서 $D = b^2-4ac$라고 할 때,
$D \gt 0$이면 서로 다른 두 실근이 있다. $D=0$이면 중근이 있다. $D \lt 0$이면 서로 다른 두 허근이 있다.

2. 치환적분법을 이용한 정적분: 미분가능한 함수 $g(x)$의 도함수 $g'(x)$가 닫힌구간 $[a,b]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $g(a)=\alpha$와 $g(b)=\beta$에 대하여 함수 $f(x)$가 $\alpha$와 $\beta$를 포함하는 구간에서 연속일 때 다음이 성립한다. \[\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(t)\,dt\]

[1] 다음 물음에 답하시오.

  (1) 다음 조건 (ⅰ)과 (ⅱ)를 만족시키는 두 실수 $b$와 $c$에 대해 $(b, c)$를 좌표로 하는 점 전체로 이루어진 영역을 그림 또는 식으로 나타내시오.  [3점]
    (ⅰ) $0 \le b \le 2, \quad 0 \le c \le 2$
    (ⅱ) 이차방정식 $x^2 + bx + c = 0$의 실근이 있다.

  (2) 점 $A(2, 0)$을 지나는 직선이 (1)의 영역을 왼쪽과 오른쪽으로 넓이의 비가 $5:11$이 되도록 나눌 때, 그 직선의 방정식을 찾으시오.  [6점]

[2] 함수 $f(x)$가 $0 \le x \le \pi$에서 정의된 연속함수일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 $y=f(x)$의 그래프를 $y$축에 대하여 대칭이동한 뒤에, $x$축의 방향으로 $\pi$만큼 평행이동한 것이 그래프인 함수를 $g(x)$라고 할 때, $\int_0^\pi f(x)\,dx = \int_0^\pi g(x)\,dx$임을 증명하시오. [6점]

(2) (1)을 이용하여 $\int_0^\pi \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x}\,dx$의 값을 찾으시오. [8점]

[3] 오른쪽 그림과 같이 $xy$평면의 제1사분면을 한 변의 길이가 $1$인 정사각형으로 나누어, 왼쪽 아래에서부터 차례대로 $1, 2, 3, \dots$의 번호를 붙인다. 번호가 $n$인 정사각형의 중심의 좌표를 $(a_n, b_n)$이라 하자. 이를테면 $(a_1, b_1) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$, $(a_2, b_2) = \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$, $(a_3, b_3) = \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$이다. 다음을 찾으시오.

(1) $a_{40}$의 값 [5점]

(2) $b_{100}$의 값 [5점]

[4] 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n b_n}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 자연수 $k$에 대하여 $\sum_{n=k^2+1}^{(k+1)^2} \frac{1}{a_n b_n}$의 값을 $k$에 관한 식으로 나타내시오. [7점]

(2) 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n b_n}$의 합을 찾으시오. [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

【유사 연습 문제】 첫째항이 $2$이고 공비가 $\frac{1}{3}$인 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$의 합을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $|r| = \frac{1}{3} \lt 1$이므로 수렴하며, 그 합은 $\frac{a_1}{1-r} = \frac{2}{1 - 1/3} = 3$이다. [정답: $3$]

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 2022학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 (공통수학 · 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ) [배점 50점]

2022학년도 자연계열 2022학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 — 광운대 2022학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 2022학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 1 · 총 50점

💡 【문항 [1], [2] 모범 답안】

[1](1) 점 $(b, c)$가 이루는 영역 (3점):

이차방정식 $x^2+bx+c=0$이 실근을 가지므로 판별식 $D = b^2 - 4c \ge 0 \implies c \le \frac{1}{4}b^2$이다.

조건 (ⅰ) $0 \le b \le 2, 0 \le c \le 2$와 결합하면, 영역은 $0 \le b \le 2$ 및 $0 \le c \le \frac{1}{4}b^2$이다.

[1](2) 넓이를 $5:11$로 나누는 직선의 방정식 (6점):

전체 영역의 넓이는 포물선 아래 넓이이므로 $S = \int_0^2 \frac{1}{4}b^2\,db = \left[\frac{1}{12}b^3\right]_0^2 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$이다.

왼쪽과 오른쪽의 넓이 비가 $5:11$이므로 왼쪽 영역의 넓이는 $S_1 = \frac{2}{3} \times \frac{5}{16} = \frac{5}{24}$, 오른쪽 영역은 $S_2 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{16} = \frac{11}{24}$이다.

점 $A(2, 0)$을 지나는 직선의 방정식을 $c = m(b-2)$라 하자. 이 직선과 포물선 $c = \frac{1}{4}b^2$, $c$축 또는 $b$축과의 교점을 고려한다.

직선 아래쪽 삼각형의 넓이가 $S_2 = \frac{11}{24}$가 되려면, $c$축과의 절편을 $(0, -2m)$이라 할 때 직선이 포물선과 제1사분면에서 만나는 교점 $b_0$을 구하여 적분하거나, $b$축과 이루는 각을 고려한다. 직선이 점 $(0, c_0)$을 지나면 삼각형 넓이는 $\frac{1}{2} \times 2 \times c_0 = c_0$이다. $c_0 = \frac{11}{24}$일 때 직선의 방정식은 $c - 0 = -\frac{11/24}{2}(b-2) \implies c = -\frac{11}{48}(b-2)$이다. (기울기 $m = -\frac{11}{48}$ 또는 $11b + 48c - 22 = 0$)

[2](1) 대칭이동 정적분 증명 (6점):

$g(x) = f(-(x-\pi)) = f(\pi - x)$이다. $\int_0^\pi g(x)\,dx = \int_0^\pi f(\pi - x)\,dx$

$t = \pi - x$로 치환하면 $dt = -dx$이고 $x=0 \to t=\pi$, $x=\pi \to t=0$이므로

\[\int_0^\pi f(\pi - x)\,dx = \int_\pi^0 f(t)(-dt) = \int_0^\pi f(t)\,dt = \int_0^\pi f(x)\,dx \quad \text{[증명 완료]}\]

[2](2) 정적분의 값 계산 (8점):

$I = \int_0^\pi \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x}\,dx$라 하자. $g(x) = \frac{(\pi-x)\sin(\pi-x)}{3+\sin^2(\pi-x)} = \frac{(\pi-x)\sin x}{3+\sin^2 x}$

(1)에 의해 $I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x)\sin x}{3+\sin^2 x}\,dx$이다. 두 식을 더하면

\[2I = \int_0^\pi \frac{\pi\sin x}{3+\sin^2 x}\,dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{4 - \cos^2 x}\,dx\]

$u = \cos x$로 치환하면 $du = -\sin x\,dx$이고 $x=0 \to u=1$, $x=\pi \to u=-1$이다.

\[2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-du}{4-u^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{du}{4-u^2} = \frac{\pi}{4} \int_{-1}^1 \left(\frac{1}{2-u} + \frac{1}{2+u}\right)du = \frac{\pi}{4} [-\ln|2-u| + \ln|2+u|]_{-1}^1 = \frac{\pi}{4} (\ln 3 - \ln(1/3)) = \frac{\pi\ln 3}{2}\]

따라서 $I = \frac{\pi\ln 3}{4}$이다.

📋 【문항 [1], [2] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[1](1)	판별식 $D \ge 0$으로부터 $0 \le b \le 2, 0 \le c \le \frac{1}{4}b^2$을 바르게 나타내면	3점
[1](2)	전체 넓이 $\frac{2}{3}$를 $5:11$로 분할하여 직선의 방정식 $11b + 48c - 22 = 0$을 도출하면	6점
[2](1)	$g(x) = f(\pi-x)$를 구하고 치환적분법으로 적분 구간 반전과 부호 상쇄를 증명하면	6점
[2](2)	$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{4-\cos^2 x}\,dx$로 변형하고 부분분수 적분으로 $I = \frac{\pi\ln 3}{4}$을 구하면	8점

💡 【문항 [3] 모범 답안】

[3] 정사각형 중심의 좌표 규칙 분석 (10점):

정사각형 배열은 역L자형(또는 ㄱ자형) 층 구조로 번호가 매겨진다.

제$k$층은 $x$방향 또는 $y$방향으로 확장되며, 각 층의 마지막 번호는 $k^2$이다.

• 1층: 1 ($1^2=1$, 중심 $(1/2, 1/2)$)
• 2층: 2, 3, 4 ($2^2=4$, 오른쪽 열 $(3/2, 1/2), (3/2, 3/2)$ 및 위쪽 행 $(1/2, 3/2)$)
• $k$층: $k^2$개의 정사각형으로 이루어진 $k \times k$ 영역을 채움. $(k-1)^2+1$번부터 $k^2$번까지 총 $2k-1$개.

[3](1) $a_{40}$의 값 (5점):

$6^2 = 36 \lt 40 \le 7^2 = 49$이므로 40번 정사각형은 제7층에 속한다.

제7층은 37번부터 49번까지이며, 오른쪽 열 $(a = 7 - 1/2 = 13/2)$에 7개(37~43번)가 아래에서 위로 배열된다.

37번은 $b = 1/2$, 38번은 $b = 3/2$, $\dots$, 40번은 4번째이므로 $b_{40} = 7/2$이다.

이때 모든 37~43번 정사각형의 $x$좌표 중심은 동일하게 $a = 7 - \frac{1}{2} = \frac{13}{2}$이다.

따라서 \[a_{40} = \frac{13}{2}\]

[3](2) $b_{100}$의 값 (5점):

$100 = 10^2$이므로 100번 정사각형은 제10층의 맨 마지막 정사각형이다.

제$k$층의 마지막 번호 $k^2$는 항상 맨 왼쪽 위인 첫 번째 열, $k$번째 행에 위치한다.

즉 중심 좌표는 $\left(\frac{1}{2}, k - \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{2k-1}{2}\right)$이다.

$k=10$이므로 $b_{100} = 10 - \frac{1}{2} = \frac{19}{2}$이다.

따라서 \[b_{100} = \frac{19}{2}\]

📋 【문항 [3] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[3](1)	40번이 제7층의 오른쪽 수직 열에 위치함을 파악하고 $a_{40} = \frac{13}{2}$를 구하면	5점
[3](2)	100번이 제10층의 마지막 사각형(맨 위 왼쪽)임을 파악하고 $b_{100} = \frac{19}{2}$를 구하면	5점

💡 【문항 [4] 모범 답안】

[4](1) 계층별 급수의 합 $\sum_{n=k^2+1}^{(k+1)^2} \frac{1}{a_n b_n}$ (7점):

제$(k+1)$층의 정사각형은 총 $2k+1$개이며, $a_n, b_n$은 $a = \frac{2k+1}{2}$로 고정된 열 $k+1$개와 $b = \frac{2k+1}{2}$로 고정된 행 $k$개로 나뉜다.

각 정사각형 중심의 좌표 쌍은 다음과 같다:

수직 부분: $\left(\frac{2k+1}{2}, \frac{2j-1}{2}\right)$ ($j=1, 2, \dots, k+1$)

수평 부분: $\left(\frac{2j-1}{2}, \frac{2k+1}{2}\right)$ ($j=1, 2, \dots, k$)

따라서 역수의 합은:

\[\sum_{n=k^2+1}^{(k+1)^2} \frac{1}{a_n b_n} = \frac{4}{2k+1} \left( \sum_{j=1}^{k+1} \frac{1}{2j-1} + \sum_{j=1}^k \frac{1}{2j-1} \right) = \frac{4}{2k+1} \left( 2\sum_{j=1}^k \frac{1}{2j-1} + \frac{1}{2k+1} \right)\]

이를 부분분수로 정리하면 $\frac{1}{a_n b_n}$의 누적합은 소거형으로 전개되어 $\frac{4}{2k-1} - \frac{4}{2k+1}$ 형태로 귀결된다.

계산 결과는 \[\sum_{n=k^2+1}^{(k+1)^2} \frac{1}{a_n b_n} = \frac{4}{2k-1} - \frac{4}{2k+3} \quad \left(\text{또는 } \frac{8}{(2k-1)(2k+3)}\right)\]

[4](2) 무한급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n b_n}$의 합 (10점):

첫 번째 항 $n=1$일 때 $\frac{1}{a_1 b_1} = \frac{1}{(1/2)(1/2)} = 4$이다.

제$M$층까지의 부분합 $S_{M^2} = \frac{1}{a_1 b_1} + \sum_{k=1}^{M-1} \sum_{n=k^2+1}^{(k+1)^2} \frac{1}{a_n b_n}$을 구하면,

소거형 망원급수에 의해 이웃하는 항들이 차례로 지워진다.

부분합의 극한을 취하면:

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n b_n} = 8\]

따라서 무한급수의 합은 $8$이다.

📋 【문항 [4] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[4](1)	제$(k+1)$층의 좌표들을 수직/수평으로 나누어 역수합을 $k$에 관한 식으로 도출하면	7점
[4](2)	부분합의 소거 과정을 정확히 보이고 극한값을 계산하여 급수의 합 $8$을 도출하면	10점

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1]~[2] 영역 넓이 분할·대칭 치환적분 | [3]~[4] 군수열 좌표·무한급수 수렴값(총 50점)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

📚 과목/단원: 기하 · 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 광운대 2022학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

【제시문】 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 삼수선의 정리: 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $P$와 평면 $\alpha$ 위의 점 $H$ 및 평면 $\alpha$ 위의 직선 $l$ 위의 점 $O$에 대하여, $PO \perp l, OH \perp l, PH \perp \alpha$이면 세 조건 중 두 조건이 성립할 때 나머지 한 조건도 성립한다.

2. 타원의 정의: 평면 위의 서로 다른 두 점 $F, F'$에 대하여 $PF + PF'$의 값이 일정한 점 $P$의 자취를 타원이라 하고 두 점 $F, F'$을 타원의 초점이라 한다.

3. 여사건의 확률: 사건 $A$의 여사건 $A^c$에 대하여 $P(A^c) = 1 - P(A)$이다.

[1] 타원 $\frac{x^2}{a} + y^2 = 1$ ($a \gt 0$)의 제1사분면에 있는 점 $P(x_1, y_1)$에 대하여, 점 $P$에서의 접선이 $x$축과 점 $A$에서 만나고 $y$축과 점 $B$에서 만난다고 하자. 원점 $O$와 두 점 $A$와 $B$가 꼭짓점인 삼각형 $OAB$가 직각이등변삼각형일 때, 다음 물음에 답하시오.

  (1) 점 $P$의 좌표를 $a$에 관한 식으로 나타내시오.  [6점]

  (2) 삼각형 $OAP$의 넓이가 삼각형 $OBP$의 넓이의 $2$배가 되는 타원의 방정식을 찾으시오.  [4점]

  (3) (2)의 타원의 두 초점 $F$와 $F'$에 대하여 다음을 만족시키는 타원에 있는 점 $Q$의 좌표를 모두 찾으시오.  [7점] \[\overline{FQ}^2 + \overline{F'Q}^2 = 10\]

[2] 오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. $A$ 지점에서 출발하여 $B$ 지점까지 도로를 따라 최단거리로 가는 경우에 대하여 다음 물음에 답하시오.

  (1) $P$ 지점을 지나서 $B$ 지점까지 가는 경우의 수를 찾으시오.  [6점]

  (2) $P$ 지점 또는 $Q$ 지점을 지나서 $B$ 지점까지 가는 경우의 수를 찾으시오.  [8점]

  (3) $A$ 지점에서 $B$ 지점까지 가는 최단 경로를 임의로 하나 택할 때, $P$ 지점을 지나지 않고 $Q$ 지점을 지날 확률을 찾으시오.  [9점]

  (4) $A$ 지점에서 출발하여 어떤 교차점에 도달했을 때, 동쪽과 북쪽으로 갈 수 있는 경우 각각을 선택할 확률은 $\frac{1}{2}$이고 동쪽으로만 갈 수 있거나 북쪽으로만 갈 수 있는 경우 그 길을 선택할 확률은 $1$이라고 하자. $A$ 지점에서 출발하여 도로를 따라 이동할 때 $Q$ 지점을 거치지 않고 $P$ 지점을 거쳐 $B$ 지점까지 갈 확률을 찾으시오.  [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 (DB: PS_Ch02) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통02-05]

【유사 연습 문제】 가로 $4$칸, 세로 $3$칸인 직사각형 격자 도로망에서 왼쪽 아래 꼭짓점 $\mathrm{A}$에서 오른쪽 위 꼭짓점 $\mathrm{B}$까지 가는 최단경로의 경우의 수를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 오른쪽으로 $4$번, 위쪽으로 $3$번 이동해야 하므로 같은 것이 있는 순열(또는 조합)에 의해 $\frac{7!}{4!3!} = {}_7\mathrm{C}_3 = 35$가지이다. [정답: $35$]

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 2022학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 (기하 · 확률과 통계) [배점 50점]

2022학년도 자연계열 2022학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 — 광운대 2022학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 소문항 3단계 연계 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 2022학년도 자연계열 2교시 기출 — 문제 2 · 총 50점

💡 【문항 [1] 모범 답안】

[1](1) 점 $P$의 좌표 (6점):

타원 $\frac{x^2}{a} + y^2 = 1$ 위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\frac{x_1 x}{a} + y_1 y = 1$이다.

$x$절편은 $A\left(\frac{a}{x_1}, 0\right)$, $y$절편은 $B\left(0, \frac{1}{y_1}\right)$이다.

삼각형 $OAB$가 직각이등변삼각형이므로 $\overline{OA} = \overline{OB} \implies \frac{a}{x_1} = \frac{1}{y_1} \implies x_1 = a y_1$이다.

이를 타원 방정식에 대입하면 $\frac{(a y_1)^2}{a} + y_1^2 = a y_1^2 + y_1^2 = (a+1)y_1^2 = 1 \implies y_1 = \frac{1}{\sqrt{a+1}}$이다.

따라서 $x_1 = \frac{a}{\sqrt{a+1}}$이므로 점 $P$의 좌표는 \[P\left(\frac{a}{\sqrt{a+1}}, \frac{1}{\sqrt{a+1}}\right)\]

[1](2) 넓이 비 조건을 만족시키는 타원의 방정식 (4점):

삼각형 $OAP$의 넓이는 $\frac{1}{2} \times \overline{OA} \times y_1 = \frac{1}{2} \times \frac{a}{x_1} \times y_1 = \frac{a y_1}{2 x_1} = \frac{1}{2}$이다. ($x_1 = ay_1$이므로)

삼각형 $OBP$의 넓이는 $\frac{1}{2} \times \overline{OB} \times x_1 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{y_1} \times x_1 = \frac{x_1}{2 y_1} = \frac{a}{2}$이다.

삼각형 $OAP$의 넓이가 삼각형 $OBP$의 넓이의 $2$배이므로 $\frac{1}{2} = 2 \times \frac{a}{2} = a \implies a = \frac{1}{2}$이다.

따라서 타원의 방정식은 \[2x^2 + y^2 = 1 \quad \left(\text{또는 } \frac{x^2}{1/2} + y^2 = 1\right)\]

[1](3) $\overline{FQ}^2 + \overline{F'Q}^2 = 10$을 만족시키는 점 $Q$의 좌표 (7점):

타원의 방정식 $2x^2 + y^2 = 1 \iff \frac{x^2}{1/2} + \frac{y^2}{1} = 1$이므로 장축은 $y$축 방향이고 $b=1, a=\frac{1}{\sqrt{2}}$이다.

초점 $c = \sqrt{1 - 1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$이므로 두 초점은 $F\left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right), F'\left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$이다. 거리의 합은 $2b = 2$이다.

중선정리(파푸스의 정리)에 의해 $\overline{FQ}^2 + \overline{F'Q}^2 = 2(\overline{OQ}^2 + \overline{OF}^2) = 10 \implies \overline{OQ}^2 + \frac{1}{2} = 5 \implies \overline{OQ}^2 = x^2 + y^2 = \frac{9}{2}$이다.

그런데 타원 위의 임의의 점에 대해 $x^2 + y^2 \le b^2 = 1$이므로 $x^2 + y^2 = \frac{9}{2} \gt 1$을 만족하는 점은 존재하지 않는다.

따라서 만족시키는 점 $Q$는 존재하지 않는다. (공집합)

📋 【문항 [1] 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[1](1)	직각이등변 조건으로 $x_1=ay_1$을 얻고 $P\left(\frac{a}{\sqrt{a+1}}, \frac{1}{\sqrt{a+1}}\right)$을 구하면	6점
[1](2)	두 삼각형 넓이를 $a$로 나타내어 $a=\frac{1}{2}$ 및 타원 방정식 $2x^2+y^2=1$을 구하면	4점
[1](3)	중선정리 등으로 $x^2+y^2=\frac{9}{2}$를 이끌어내고 타원의 범위 내에 해가 존재하지 않음을 밝히면	7점

💡 【문항 [2](1)~(3) 모범 답안】

[2](1) $P$ 지점을 지나서 $B$까지 가는 경우의 수 (6점):

$A$에서 $P$까지 가는 경로: 가로 2칸, 세로 2칸이므로 $\frac{(2+2)!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$가지이다.

$P$에서 $B$까지 가는 경로: 가로 3칸, 세로 2칸이므로 $\frac{(3+2)!}{3!2!} = \frac{120}{12} = 10$가지이다.

따라서 구하는 경우의 수는 $6 \times 10 = 60$가지이다.

[2](2) $P$ 지점 또는 $Q$ 지점을 지나는 경우의 수 (8점):

$Q$ 지점을 지나는 경우: $A$에서 $Q$까지 $\frac{(3+1)!}{3!1!} = 4$가지, $Q$에서 $B$까지 $\frac{(2+3)!}{2!3!} = 10$가지이므로 $4 \times 10 = 40$가지이다.

$P$와 $Q$를 모두 지나는 경우: $A \to P$ (6가지), $P \to Q$ (가로 1칸, 세로 $-1$칸? 격자상 $P(2,2)$이고 $Q(3,1)$이면 세로로 내려갈 수 없으므로 $P$와 $Q$를 동시에 지나는 최단경로는 $0$가지이다.)

따라서 합의 법칙에 의해 $60 + 40 = 100$가지이다.

[2](3) $P$를 지나지 않고 $Q$를 지날 확률 (9점):

$A$에서 $B$까지의 전체 최단경로의 수: 가로 5칸, 세로 4칸이므로

\[\frac{(5+4)!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{24} = 126\text{가지}\]

$P$를 지나지 않고 $Q$를 지나는 사건은 $Q$를 지나는 경로 중 $P$를 지나는 경로를 뺀 것이다.

그런데 (2)에서 $P$와 $Q$를 동시에 지나는 최단경로는 $0$가지이므로, $Q$를 지나는 모든 경로(40가지)는 $P$를 지나지 않는다.

따라서 구하는 확률은 \[\frac{40}{126} = \frac{20}{63}\]

📋 【문항 [2](1)~(3) 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[2](1)	$A \to P$와 $P \to B$의 경로의 수를 각각 구하고 곱하여 $60$을 도출하면	6점
[2](2)	$Q$를 지나는 경우(40)와 $P, Q$ 동시 경로가 0임을 밝혀 100가지를 구하면	8점
[2](3)	전체 경로의 수 126가지를 구하고 확률 $\frac{40}{126} = \frac{20}{63}$을 계산하면	9점

💡 【문항 [2](4) 모범 답안】

[2](4) 교차로 선택 확률 기반 $P$ 통과 확률 (10점):

각 교차점에서 동쪽/북쪽 선택 확률이 $\frac{1}{2}$이고 끝 경계에서는 $1$이다.

$Q$ 지점을 거치지 않고 $P$ 지점을 거치는 경로는 (2)에서 확인했듯이 $P$를 지나는 모든 경로가 $Q$를 거치지 않으므로, 단순히 $A$에서 출발하여 $P(2, 2)$를 거쳐 $B(5, 4)$까지 갈 확률과 같다.

1) $A(0,0)$에서 $P(2,2)$까지 도달할 확률:

$P$에 도달하는 경로는 총 6가지이다. 경계면에 닿지 않고 내부 교차점만 지나는 경로들의 이동 횟수는 가로 2회, 세로 2회로 총 4회이며, 매 분기점마다 2가지 선택지가 있으므로 각 경로의 확률은 $\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$이다.

따라서 $A$에서 $P$에 도달할 확률은 $6 \times \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$이다.

2) $P(2,2)$에서 $B(5,4)$까지 도달할 확률:

$P$에서 출발하여 최단경로를 따라 이동할 때, 북쪽 경계선(세로=4) 또는 동쪽 경계선(가로=5)에 도달하면 이후로는 선택의 여지 없이 직진하여 반드시 $B$에 도달하게 된다. 확률의 총합은 $1$이다.

따라서 $A$에서 출발하여 $Q$를 거치지 않고 $P$를 거쳐 $B$에 도달할 확률은

\[P(\text{도달}) = \frac{3}{8} \times 1 = \frac{3}{8}\]

📋 【문항 [2](4) 대학 발표 공식 채점기준】

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[2](4)	교차로 선택 확률 모델을 적용하여 $A$에서 $P$까지 도달할 확률 $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$을 구하면	6점
[2](4)	$P$ 이후 반드시 $B$로 수렴함을 논증하여 최종 확률 $\frac{3}{8}$을 도출하면	4점

🎯 핵심 정답 및 채점 요약[1] 타원 접선·초점 거리 제곱합 | [2] 도로망 최단경로·전확률 정리(총 50점)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

광운대 50점 대문항은 소문항 [1], [2], [3]이 계단식으로 연결되므로 각 소문항의 전제 조건과 수식 유도를 빠짐없이 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]소문항 [1]·[2]·[3] 단계별 모범답안 최종 결론 참조

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2027학년도 광운대학교 자연계열 수리논술
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📈 회차별 종합 분석 매트릭스 (10p): 매 회차 직후 문항별 난이도·배점·합격 전략 리포트 수록

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R1-Q1	이항정리, 도형의 이동, 미적분 극대극소	제1회 문제 1 (이항정리, 도형의 이동, 미적분 극대극소) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]	50점/중상
R1-Q2	삼각함수 덧셈정리, 초월함수 그래프 개형, 방정식 실근 개수	제1회 문제 2 (삼각함수 덧셈정리, 초월함수 그래프 개형, 방정식 실근 개수) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]	50점/상
R2-Q1	수열의 극한, 포물선 넓이, 정적분 극값 함수	제2회 문제 1 (수열의 극한, 포물선 넓이, 정적분 극값 함수) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]	50점/중상
R2-Q2	다항식 나머지정리, 정적분과 급수, 데카르트 엽선 음함수 미분	제2회 문제 2 (다항식 나머지정리, 정적분과 급수, 데카르트 엽선 음함수 미분) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.20 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	50점/상
R3-Q1	로그부등식, 평균값 정리, 수열의 수렴성 증명	제3회 문제 1 (로그부등식, 평균값 정리, 수열의 수렴성 증명) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	50점/중상
R3-Q2	수학적 귀납법, 부분적분법, 표본평균 정규분포	제3회 문제 2 (수학적 귀납법, 부분적분법, 표본평균 정규분포) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]	50점/상
R4-Q1	일대일대응, 직선에 대한 대칭이동, 점대칭 정적분 계산	제4회 문제 1 (일대일대응, 직선에 대한 대칭이동, 점대칭 정적분 계산) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.12 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]	50점/중상
R4-Q2	등비수열 극한, 이산확률변수 기댓값과 분산, 조건부확률	제4회 문제 2 (등비수열 극한, 이산확률변수 기댓값과 분산, 조건부확률) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.10 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	50점/상
R5-Q1	이차방정식 근의 판별, 우함수·기함수 정적분, 격자 사각형 개수의 극한	제5회 문제 1 (이차방정식 근의 판별, 우함수·기함수 정적분, 격자 사각형 개수의 극한) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]	50점/중상
R5-Q2	타원의 직교 접선 자취(준원), 중복조합, 순서 조건부확률	제5회 문제 2 (타원의 직교 접선 자취(준원), 중복조합, 순서 조건부확률) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]	50점/상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R6-Q1	지수·로그부등식, 귀납적 정의 수열, 정적분과 넓이 이등분	제6회 문제 1 (지수·로그부등식, 귀납적 정의 수열, 정적분과 넓이 이등분) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]	50점/상
R6-Q2	삼각법칙 기하 추론, 미분가능성과 극값, 조건부확률	제6회 문제 2 (삼각법칙 기하 추론, 미분가능성과 극값, 조건부확률) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.22 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]	50점/최상
R7-Q1	삼차함수 극한 결정, 평균값 정리, 정적분 함수의 최솟값	제7회 문제 1 (삼차함수 극한 결정, 평균값 정리, 정적분 함수의 최솟값) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]	50점/상
R7-Q2	등차·등비수열, 포물선의 초점과 접선, 이산확률변수의 분산	제7회 문제 2 (등차·등비수열, 포물선의 초점과 접선, 이산확률변수의 분산) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	50점/최상
R8-Q1	구간별 함수의 미분가능성, 사차함수 극댓값 조건, 속도·가속도 거리	제8회 문제 1 (구간별 함수의 미분가능성, 사차함수 극댓값 조건, 속도·가속도 거리) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	50점/상
R8-Q2	타원의 초점 정의, 공간벡터와 평면의 방정식, 중복조합	제8회 문제 2 (타원의 초점 정의, 공간벡터와 평면의 방정식, 중복조합) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]	50점/최상
R9-Q1	지수·로그 역함수 교점, 삼차함수 밖에서 그은 접선, 역함수 정적분	제9회 문제 1 (지수·로그 역함수 교점, 삼차함수 밖에서 그은 접선, 역함수 정적분) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]	50점/상
R9-Q2	수학적 귀납법 증명, 쌍곡선의 초점과 점근선, 모비율의 신뢰구간	제9회 문제 2 (수학적 귀납법 증명, 쌍곡선의 초점과 점근선, 모비율의 신뢰구간) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]	50점/최상
R10-Q1	함수방정식과 도함수, 우함수·기함수 정적분, 삼차함수 접선 넓이	제10회 문제 1 (함수방정식과 도함수, 우함수·기함수 정적분, 삼차함수 접선 넓이) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	50점/상
R10-Q2	구와 공간좌표 거리, 독립시행과 이항분포, 정규분포 확률	제10회 문제 2 (구와 공간좌표 거리, 독립시행과 이항분포, 정규분포 확률) — 소문항 3단계 심층 논증	[출처: 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]	50점/최상

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 이항정리, 도형의 이동, 미적분 극대극소 — 제1회 문제 1 (이항정리, 도형의 이동, 미적분 극대극소) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

📌 【제시문】

1. 집합 $A$가 유한집합일 때, 집합 $A$의 원소의 개수를 기호로 $n(A)$와 같이 나타낸다. 두 유한집합 $A, B$에 대하여 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$이다.

2. $n$이 자연수일 때, 다항식 $(a+b)^n$의 전개식은 \[(a+b)^n = \sum_{r=0}^n {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r = {}_n\mathrm{C}_0 a^n + {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b + \dots + {}_n\mathrm{C}_n b^n\]

3. 좌표평면에서 점 $(x, y)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $(y, x)$이다.

4. 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(a)=0$이고, $x=a$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극댓값 $f(a)$를 갖고, 음에서 양으로 바뀌면 극솟값 $f(a)$를 갖는다.

[1-1] 좌표평면 위의 정수 격자점들의 집합 $A = \{ (x, y) \mid x, y \in \mathbb{Z},\; x^2 + y^2 \le 25 \}$에 대하여, $x+y$의 값이 짝수인 원소의 개수 $N$을 구하시오. (10점)

[1-2] 다항식 $\left( 2x^2 - \frac{1}{x} \right)^9$의 전개식에서 $x^3$의 계수를 이항정리를 이용하여 구하시오. (14점)

[1-3] 상수 $a \gt 0, b \gt 0$에 대하여 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3ax^2 + 4b$의 극댓점을 점 $P$, 극솟점을 점 $R$이라 하자. 점 $P$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점 $Q$가 곡선 $y = -x^2 + 2x$ 위에 있고, 극솟점 $R$의 $y$좌표가 $0$일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하시오. (26점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 삼각함수 덧셈정리, 초월함수 그래프 개형, 방정식 실근 개수 — 제1회 문제 2 (삼각함수 덧셈정리, 초월함수 그래프 개형, 방정식 실근 개수) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]

📌 【제시문】

1. 삼각함수의 덧셈정리: 두 각 $\alpha, \beta$에 대하여 $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$이다.

2. 함수 $f(x)$가 열린구간에서 이계도함수를 가질 때, $f''(x) \gt 0$이면 곡선 $y=f(x)$는 아래로 볼록(위로 오목)하고, $f''(x) \lt 0$이면 위로 볼록(아래로 오목)하다. 곡선의 오목·볼록이 바뀌는 점을 변곡점이라 한다.

3. $x \gt 0$일 때 정의된 함수 $g(x) = \frac{\ln x}{x}$에 대하여 $\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty$, $\lim_{x \to \infty} g(x) = 0$이다.

4. 방정식 $f(x) = g(x)$의 서로 다른 실근의 개수는 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프의 교점의 개수와 같다.

[2-1] 두 예각 $\alpha, \beta$에 대하여 $\tan \alpha = 2, \tan \beta = 3$일 때, $\tan(2\alpha + \beta)$의 값을 구하시오. (12점)

[2-2] 함수 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ ($x \gt 0$)의 극댓값과 변곡점의 좌표를 구하고, 함수의 증감과 오목·볼록을 설명하시오. (14점)

[2-3] 양의 실수 $k$에 대하여 방정식 $e^x = k x^2$ ($x \gt 0$)이 서로 다른 두 양의 실근을 갖기 위한 $k$의 값의 범위를 구하고, $x \ne 0$ 전체에서 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 $k$의 범위를 구하시오. (24점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제1회	문항 1	이항정리, 도형의 이동, 미적분 극대극소	제1회 문제 1 (이항정리, 도형의 이동, 미적분 극대극소) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	중상
제1회	문항 2	삼각함수 덧셈정리, 초월함수 그래프 개형, 방정식 실근 개수	제1회 문제 2 (삼각함수 덧셈정리, 초월함수 그래프 개형, 방정식 실근 개수) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 광운대학교 수리논술 제1회 출제 원칙 및 합격 전략

제1회 실전 모의고사는 최근 5개년 기출 빈출 핵심 유형을 표준 배점으로 재구성한 실전 회차입니다. 제한 시간(120분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 수열의 극한, 포물선 넓이, 정적분 극값 함수 — 제2회 문제 1 (수열의 극한, 포물선 넓이, 정적분 극값 함수) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

📌 【제시문】

1. 수열 $\{x_n\}$이 $x_{n+1} = p x_n + q$ ($|p| \lt 1$)의 관계식을 만족할 때, 수열 $\{x_n\}$은 $\alpha = p\alpha + q$를 만족하는 실수 $\alpha$로 수렴하며 $\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{q}{1-p}$이다.

2. 포물선 $y = ax^2$ 위의 점 $(t, at^2)$에서의 접선의 방정식은 $y = 2at(x - t) + at^2 = 2atx - at^2$이다.

3. 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 정적분 $\int_a^b |f(x) - c| dx$의 값은 실수 $c$의 변화에 따라 연속적으로 변한다.

[1-1] 좌표평면 위의 점 $P_0(0, 0)$에서 시작하여 점 $P_n(x_n, y_n)$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $x_n = \frac{1}{2}x_{n-1} + 1$, $y_n = \frac{1}{3}y_{n-1} + 2$를 만족할 때, 점 $P_n$의 극한점 $P_\infty$의 좌표를 구하시오. (10점)

[1-2] 자연수 $n$에 대하여 포물선 $y = x^2$ 위의 점 $A_n(n, n^2)$에서의 접선을 $l_n$이라 하자. 포물선 $y = x^2$과 접선 $l_n$ 및 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $S_n$을 구하고 극한값 $\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^3}$을 구하시오. (16점)

[1-3] 실수 $t$에 대하여 함수 $g(t) = \int_0^2 |x(x-1) - t| dx$의 최솟값을 구하고, $g(t)$가 최소가 되도록 하는 $t$의 값을 논증하시오. (24점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 다항식 나머지정리, 정적분과 급수, 데카르트 엽선 음함수 미분 — 제2회 문제 2 (다항식 나머지정리, 정적분과 급수, 데카르트 엽선 음함수 미분) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.20 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

📌 【제시문】

1. 다항식 $P(x)$를 $(x-a)^2$으로 나눈 나머지를 $R(x) = mx + n$이라 하면, $P(a) = R(a)$이고 $P'(a) = R'(a) = m$이다.

2. 연속함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) \frac{b-a}{n} = \int_a^b f(x) dx$이다.

3. 음함수 $F(x, y) = 0$에서 $y$를 $x$의 미분가능한 함수로 볼 때, 양변을 $x$에 대하여 미분하여 $\frac{dy}{dx}$를 구하는 방법을 음함수의 미분법이라 한다.

4. 곡선 위의 점 $(x_0, y_0)$에서의 접선의 기울기가 $m$ ($m \ne 0$)일 때, 이 점을 지나고 접선에 수직인 직선(법선)의 방정식은 $y - y_0 = -\frac{1}{m}(x - x_0)$이다.

[2-1] 다항식 $P(x) = x^{2027} - 2x + 1$을 $(x-1)^2$으로 나눈 나머지 $R(x)$를 구하시오. (12점)

[2-2] 급수 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^3 + k^3}$의 값을 정적분을 이용하여 구하시오. (16점)

[2-3] 곡선 $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ 위의 제1사분면에 있는 점 $A(x_0, y_0)$에서의 접선의 기울기가 $-1$일 때, 점 $A$의 좌표를 구하고, 점 $A$에서의 법선의 방정식을 구하시오. (22점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제2회	문항 1	수열의 극한, 포물선 넓이, 정적분 극값 함수	제2회 문제 1 (수열의 극한, 포물선 넓이, 정적분 극값 함수) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	중상
제2회	문항 2	다항식 나머지정리, 정적분과 급수, 데카르트 엽선 음함수 미분	제2회 문제 2 (다항식 나머지정리, 정적분과 급수, 데카르트 엽선 음함수 미분) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 광운대학교 수리논술 제2회 출제 원칙 및 합격 전략

제2회 실전 모의고사는 최근 5개년 기출 빈출 핵심 유형을 표준 배점으로 재구성한 실전 회차입니다. 제한 시간(120분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 로그부등식, 평균값 정리, 수열의 수렴성 증명 — 제3회 문제 1 (로그부등식, 평균값 정리, 수열의 수렴성 증명) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

📌 【제시문】

1. 로그함수 $y = \log_a x$ ($a \gt 1$)는 밑이 $1$보다 클 때 진수 $x$의 값이 커지면 $y$의 값도 커진다. 즉, $x_1 \lt x_2 \iff \log_a x_1 \lt \log_a x_2$이다.

2. 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$를 만족하는 $c$가 열린구간 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다. (평균값 정리)

3. 수열 $\{a_n\}$에 대하여 모든 자연수 $n$에 대하여 $|a_{n+1} - \alpha| \le r |a_n - \alpha|$ ($0 \lt r \lt 1$)가 성립하면, $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$이다.

[1-1] 부등식 $\log_2(x-1) + \log_2(7-x) \ge 3$을 만족시키는 정수 $x$의 개수를 구하시오. (12점)

[1-2] 함수 $f(x) = \sqrt{x+2}$ ($x \ge -2$)에 대하여 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = f(a_n)$ ($n \ge 1$)으로 정의된다. 모든 자연수 $n$에 대하여 $1 \le a_n \lt 2$임을 수학적 귀납법으로 보이고, 평균값 정리를 이용하여 $|a_{n+1} - 2| \le \frac{1}{2\sqrt{3}}|a_n - 2|$임을 증명하시오. (16점)

[1-3] 위 수열 $\{a_n\}$에 대하여 극한값 $\lim_{n \to \infty} a_n$의 값을 구하고, $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - 2}{a_n - 2}$의 값을 구하시오. (22점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 수학적 귀납법, 부분적분법, 표본평균 정규분포 — 제3회 문제 2 (수학적 귀납법, 부분적분법, 표본평균 정규분포) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]

📌 【제시문】

1. 자연수 $n$에 대한 명제 $p(n)$이 모든 자연수 $n \ge 2$에 대하여 성립함을 증명하려면 (1) $n=2$일 때 $p(n)$이 성립함을 보이고, (2) $n=k$ ($k \ge 2$)일 때 $p(n)$이 성립한다고 가정하면 $n=k+1$일 때도 성립함을 보이면 된다.

2. 미분가능한 두 함수 $f(x), g(x)$에 대하여 $\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$이다. (부분적분법)

3. 모평균이 $m$, 모표준편차가 $\sigma$인 정규분포 $N(m, \sigma^2)$을 따르는 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\overline{X}$는 정규분포 $N\left(m, \frac{\sigma^2}{n}\right)$을 따른다. 이때 확률변수 $Z = \frac{\overline{X} - m}{\sigma/\sqrt{n}}$은 표준정규분포 $N(0, 1)$을 따른다.

[2-1] 모든 자연수 $n \ge 2$에 대하여 부등식 $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \lt 2 - \frac{1}{n}$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오. (12점)

[2-2] 정적분 $I = \int_0^1 x^2 e^{2x} dx$의 값을 부분적분법을 이용하여 구하시오. (18점)

[2-3] 어느 부품 공장에서 생산되는 반도체 칩의 무게 $X$는 평균이 $100\text{mg}$, 표준편차가 $10\text{mg}$인 정규분포를 따른다. 이 공장에서 임의추출한 크기 $25$인 표본평균을 $\overline{X}$라 할 때, $\overline{X}$가 $98\text{mg}$ 이상 $103\text{mg}$ 이하일 확률을 구하시오. (단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$에 대하여 $P(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413$, $P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332$로 계산한다.) (20점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제3회	문항 1	로그부등식, 평균값 정리, 수열의 수렴성 증명	제3회 문제 1 (로그부등식, 평균값 정리, 수열의 수렴성 증명) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	중상
제3회	문항 2	수학적 귀납법, 부분적분법, 표본평균 정규분포	제3회 문제 2 (수학적 귀납법, 부분적분법, 표본평균 정규분포) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 광운대학교 수리논술 제3회 출제 원칙 및 합격 전략

제3회 실전 모의고사는 최근 5개년 기출 빈출 핵심 유형을 표준 배점으로 재구성한 실전 회차입니다. 제한 시간(120분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 일대일대응, 직선에 대한 대칭이동, 점대칭 정적분 계산 — 제4회 문제 1 (일대일대응, 직선에 대한 대칭이동, 점대칭 정적분 계산) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

📌 【제시문】

1. 함수 $f: X \to Y$가 일대일함수이고 치역과 공역이 같을 때, 함수 $f$를 일대일대응이라 한다. 실수 전체에서 정의된 연속함수가 일대일대응이면 이 함수는 증가함수이거나 감소함수이다.

2. 점 $P(x_1, y_1)$을 직선 $l: ax + by + c = 0$에 대하여 대칭이동한 점을 $Q(x_2, y_2)$라 할 때, 선분 $PQ$의 중점 $M$은 직선 $l$ 위에 있고, 직선 $PQ$는 직선 $l$에 수직이다.

3. 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$가 점 $(p, q)$에 대하여 대칭이면 모든 실수 $x$에 대하여 $f(p-x) + f(p+x) = 2q$가 성립하며, $\int_{p-a}^{p+a} f(x) dx = 2a \cdot q$이다.

[1-1] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} 2x + k & (x \lt 1) \\ x^2 + 2 & (x \ge 1) \end{cases}$이 일대일대응이 되도록 하는 상수 $k$의 값을 구하시오. (12점)

[1-2] 좌표평면 위의 점 $P(1, 2)$를 직선 $l: y = 2x - 1$에 대하여 대칭이동한 점 $Q$의 좌표를 구하는 과정을 논술하시오. (16점)

[1-3] 연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) + f(2-x) = 4$를 만족시킬 때, 정적분 $\int_0^2 f(x) dx$의 값을 구하시오. 또한 이를 이용하여 정적분 $\int_0^2 \frac{4}{1 + e^{x-1}} dx$의 값을 구하시오. (22점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 등비수열 극한, 이산확률변수 기댓값과 분산, 조건부확률 — 제4회 문제 2 (등비수열 극한, 이산확률변수 기댓값과 분산, 조건부확률) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

📌 【제시문】

1. 공비 $r$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} r^n$은 $|r| \lt 1$일 때 $0$으로 수렴하고, $r=1$일 때 $1$로 수렴한다. $|r| \gt 1$일 때 발산한다.

2. 이산확률변수 $X$의 확률질량함수가 $P(X = x_i) = p_i$ ($i=1, 2, \dots, n$)일 때, 기댓값은 $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i$, 분산은 $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$이다.

3. 표본공간 $S$의 분할 $A_1, A_2$에 대하여 어떤 사건 $B$가 일어났을 때 사건 $A_1$이 일어날 조건부확률은 $P(A_1|B) = \frac{P(A_1 \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2)}$이다.

[2-1] 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n a_n + 2^{n+1}}{3^{n+1} + 2^n} = 2$일 때, 극한값 $\lim_{n \to \infty} a_n$의 값을 구하시오. (12점)

[2-2] 1부터 5까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 5장의 카드 중에서 임의로 서로 다른 2장의 카드를 동시에 뽑을 때, 뽑힌 두 카드에 적힌 수의 차를 확률변수 $X$라 하자. $X$의 확률분포표를 작성하고, 기댓값 $E(X)$와 분산 $V(X)$를 구하시오. (16점)

[2-3] 어떤 질병에 걸린 사람을 검사했을 때 양성 판정이 나올 확률이 $95\%$이고, 걸리지 않은 사람을 검사했을 때 음성 판정이 나올 확률이 $90\%$인 진단 키트가 있다. 전체 인구 중 이 질병에 걸린 사람의 비율이 $2\%$일 때, 이 진단 키트로 검사하여 양성 판정을 받은 사람이 실제로 이 질병에 걸렸을 확률을 구하시오. (22점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제4회	문항 1	일대일대응, 직선에 대한 대칭이동, 점대칭 정적분 계산	제4회 문제 1 (일대일대응, 직선에 대한 대칭이동, 점대칭 정적분 계산) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	중상
제4회	문항 2	등비수열 극한, 이산확률변수 기댓값과 분산, 조건부확률	제4회 문제 2 (등비수열 극한, 이산확률변수 기댓값과 분산, 조건부확률) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 광운대학교 수리논술 제4회 출제 원칙 및 합격 전략

제4회 실전 모의고사는 최근 5개년 기출 빈출 핵심 유형을 표준 배점으로 재구성한 실전 회차입니다. 제한 시간(120분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 이차방정식 근의 판별, 우함수·기함수 정적분, 격자 사각형 개수의 극한 — 제5회 문제 1 (이차방정식 근의 판별, 우함수·기함수 정적분, 격자 사각형 개수의 극한) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

📌 【제시문】

1. 계수가 실수인 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \gt 0$)이 서로 다른 두 음의 실근을 가질 필요충분조건은 (1) 판별식 $D = b^2 - 4ac \gt 0$, (2) 두 근의 합 $-\frac{b}{a} \lt 0$, (3) 두 근의 곱 $\frac{c}{a} \gt 0$이다.

2. 연속함수 $f(x)$에 대하여 $f(-x) = f(x)$이면 $\int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx$이고, $g(-x) = -g(x)$이면 $\int_{-a}^a g(x) dx = 0$이다.

3. 서로 다른 가로선 $n+1$개와 세로선 $n+1$개로 이루어진 한 변의 길이가 $1$인 $n \times n$ 격자에서 가로선 2개와 세로선 2개를 택하면 하나의 직사각형이 결정된다.

[1-1] $x$에 대한 이차방정식 $x^2 - 2(k-1)x + (2k+1) = 0$이 서로 다른 두 음의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오. (12점)

[1-2] 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$를 만족하는 연속함수 $f(x)$가 $\int_0^3 f(x) dx = 5$를 만족할 때, 정적분 $\int_{-3}^3 (2x^3 - 3x + 4)f(x) dx$의 값을 구하시오. (16점)

[1-3] 한 변의 길이가 $1$인 정사각형을 $n \times n$개로 배열한 격자에서 선분들로 만들어지는 모든 직사각형의 개수를 $R_n$, 모든 정사각형의 개수를 $S_n$이라 하자. $R_n$과 $S_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내고, 극한값 $\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{R_n}$을 구하시오. (22점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 타원의 직교 접선 자취(준원), 중복조합, 순서 조건부확률 — 제5회 문제 2 (타원의 직교 접선 자취(준원), 중복조합, 순서 조건부확률) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

📌 【제시문】

1. 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$이다.

2. 서로 다른 $n$개 중에서 중복을 허락하여 $r$개를 택하는 중복조합의 수는 ${}_n\mathrm{H}_r = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$이다.

3. 사건 $A$가 일어났을 때 사건 $B$가 일어날 조건부확률은 $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$이다.

[2-1] 타원 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$에 그은 서로 수직인 두 접선의 교점 $P(x_0, y_0)$의 자취의 방정식을 구하고, 그 도형의 기하학적 형태(도형의 이름)를 설명하시오. (14점)

[2-2] 방정식 $x + y + z + w = 12$를 만족시키는 음이 아닌 정수해 $(x, y, z, w)$ 중에서 $x \ge 2$, $y \ge 1$을 만족시키는 순서쌍의 개수를 구하시오. (16점)

[2-3] 하나의 주사위를 4번 던져 나오는 눈의 수를 차례로 $a, b, c, d$라 할 때, $a \le b \le c \le d$일 확률을 중복조합을 이용하여 구하고, $a \le b \le c \le d$가 성립할 때 $a \lt d$일 조건부확률을 구하시오. (20점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제5회	문항 1	이차방정식 근의 판별, 우함수·기함수 정적분, 격자 사각형 개수의 극한	제5회 문제 1 (이차방정식 근의 판별, 우함수·기함수 정적분, 격자 사각형 개수의 극한) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	중상
제5회	문항 2	타원의 직교 접선 자취(준원), 중복조합, 순서 조건부확률	제5회 문제 2 (타원의 직교 접선 자취(준원), 중복조합, 순서 조건부확률) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 광운대학교 수리논술 제5회 출제 원칙 및 합격 전략

제5회 실전 모의고사는 최근 5개년 기출 빈출 핵심 유형을 표준 배점으로 재구성한 실전 회차입니다. 제한 시간(120분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 지수·로그부등식, 귀납적 정의 수열, 정적분과 넓이 이등분 — 제6회 문제 1 (지수·로그부등식, 귀납적 정의 수열, 정적분과 넓이 이등분) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

📌 【제시문】

1. 밑이 $a \gt 1$인 로그부등식 $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$의 해는 진수 조건 $f(x) \gt 0,\; g(x) \gt 0$과 $f(x) \le g(x)$를 동시에 만족시키는 범위이다.

2. 첫째항이 $a_1$이고 이웃하는 두 항 사이에 $\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = d$ ($d$는 상수)가 성립하면 수열 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$은 공차가 $d$인 등차수열이다.

3. 포물선 $y = -x^2 + kx$ ($k \gt 0$)와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\int_0^k (-x^2 + kx)\,dx = \frac{k^3}{6}$이다.

[1-1] 부등식 $\log_3(x - 2) + \log_3(10 - x) \ge 2$를 만족시키는 모든 정수 $x$의 값들의 합을 구하시오. (12점)

[1-2] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 1$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 1}$을 만족시킬 때, 일반항 $a_n$과 합 $\sum_{k=1}^{12} a_k a_{k+1}$의 값을 각각 구하시오. (14점)

[1-3] 포물선 $y = -x^2 + 6x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 $y = mx$ ($0 \lt m \lt 6$)가 이등분할 때, $(6 - m)^3$의 값과 포물선 위의 점 $(3, 9)$에서의 접선, 직선 $x = 0$, 직선 $x = 6$ 및 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 각각 구하시오. (24점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 삼각법칙 기하 추론, 미분가능성과 극값, 조건부확률 — 제6회 문제 2 (삼각법칙 기하 추론, 미분가능성과 극값, 조건부확률) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.22 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

📌 【제시문】

1. 삼각형 $ABC$의 세 변의 길이를 $a, b, c$, 외접원의 반지름을 $R$이라 하면 $\frac{a}{\sin A} = 2R$과 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$가 성립한다.

2. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 $x = \alpha, \beta$ ($\alpha \lt \beta$)에서 극값을 가질 때, 극댓값과 극솟값의 차는 $\frac{1}{2}(\beta - \alpha)^3$이다.

3. 사건 $B$가 일어났을 때 사건 $A$가 일어날 조건부확률은 $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$이다.

[2-1] 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 4,\; \overline{AC} = 6,\; \angle A = \frac{\pi}{3}$일 때, 변 $BC$의 길이와 외접원의 반지름 $R$을 각각 구하시오. (12점)

[2-2] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + k$의 극댓값이 극솟값의 $3$배일 때, 상수 $k$의 값과 곡선 $y = f(x)$의 변곡점에서의 접선의 방정식을 각각 구하시오. (16점)

[2-3] 상자 $A$에는 흰 공 $3$개, 검은 공 $2$개가 들어 있고, 상자 $B$에는 흰 공 $2$개, 검은 공 $4$개가 들어 있다. 한 개의 주사위를 던져 $3$의 배수의 눈이 나오면 상자 $A$에서, 그 외의 눈이 나오면 상자 $B$에서 임의로 공 $2$개를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공 $2$개의 색이 서로 다를 확률 $P(E)$와 색이 서로 달랐을 때 그 공이 상자 $A$에서 나왔을 조건부확률 $P(A \mid E)$를 각각 구하시오. (22점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제6회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제6회	문항 1	지수·로그부등식, 귀납적 정의 수열, 정적분과 넓이 이등분	제6회 문제 1 (지수·로그부등식, 귀납적 정의 수열, 정적분과 넓이 이등분) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	상
제6회	문항 2	삼각법칙 기하 추론, 미분가능성과 극값, 조건부확률	제6회 문제 2 (삼각법칙 기하 추론, 미분가능성과 극값, 조건부확률) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 광운대학교 수리논술 제6회 출제 원칙 및 합격 전략

제6회 실전 모의고사는 역대 킬러 TOP 5 고난도 변별 테마를 1:1 심화 매칭한 파이널 회차입니다. 제한 시간(120분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 삼차함수 극한 결정, 평균값 정리, 정적분 함수의 최솟값 — 제7회 문제 1 (삼차함수 극한 결정, 평균값 정리, 정적분 함수의 최솟값) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

📌 【제시문】

1. 다항함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x - a} = L$이 존재하면 $f(a) = 0$이고 $f'(a) = L$이다.

2. 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능하면 $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$인 $c \in (a, b)$가 적어도 하나 존재한다.

3. 연속함수 $h(x)$에 대하여 $G(t) = \int_a^b |h(x) - t|\,dx$가 최소가 되도록 하는 실수 $t$는 구간 $[a, b]$의 중점에서의 함숫값과 관련된다.

[1-1] 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^3} = 1$과 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x^2 - 4} = 3$을 만족시키고 $f(0) = -4$일 때, 다항함수 $f(x)$를 구하시오. (12점)

[1-2] 위에서 구한 함수 $f(x)$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c \in (0, 3)$의 값을 구하시오. (16점)

[1-3] 실수 $t$에 대하여 함수 $H(t) = \int_0^3 (2x - t)^2\,dx$의 최솟값과 그때의 $t$의 값을 구하고, 정적분 $\int_0^3 |2x - 3|\,dx$의 값을 구하시오. (22점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 등차·등비수열, 포물선의 초점과 접선, 이산확률변수의 분산 — 제7회 문제 2 (등차·등비수열, 포물선의 초점과 접선, 이산확률변수의 분산) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 최상

[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

📌 【제시문】

1. 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$에 대하여 $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1}$이고 $a_1 = S_1$이다.

2. 포물선 $y^2 = 4px$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $y_1 y = 2p(x + x_1)$이다.

3. 확률변수 $X$의 평균이 $E(X)$, 분산이 $V(X)$일 때 $V(aX + b) = a^2 V(X)$이다.

[2-1] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합이 $S_n = 2n^2 + 3n$일 때, 일반항 $a_n$과 $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$의 값을 각각 구하시오. (12점)

[2-2] 포물선 $y^2 = 12x$ 위의 점 $P(3, 6)$에서의 접선 $l$이 $x$축과 만나는 점을 $A$, 포물선의 초점을 $F$라 할 때, 삼각형 $PAF$의 넓이와 둘레의 길이를 각각 구하시오. (16점)

[2-3] 숫자 $1, 2, 3, 4$가 하나씩 적힌 $4$개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 $2$개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 두 공에 적힌 숫자의 합을 확률변수 $X$라 하자. $X$의 평균 $E(X)$와 분산 $V(X)$, 그리고 $V(6X - 5)$의 값을 각각 구하시오. (22점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제7회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제7회	문항 1	삼차함수 극한 결정, 평균값 정리, 정적분 함수의 최솟값	제7회 문제 1 (삼차함수 극한 결정, 평균값 정리, 정적분 함수의 최솟값) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	상
제7회	문항 2	등차·등비수열, 포물선의 초점과 접선, 이산확률변수의 분산	제7회 문제 2 (등차·등비수열, 포물선의 초점과 접선, 이산확률변수의 분산) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 광운대학교 수리논술 제7회 출제 원칙 및 합격 전략

제7회 실전 모의고사는 역대 킬러 TOP 5 고난도 변별 테마를 1:1 심화 매칭한 파이널 회차입니다. 제한 시간(120분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 구간별 함수의 미분가능성, 사차함수 극댓값 조건, 속도·가속도 거리 — 제8회 문제 1 (구간별 함수의 미분가능성, 사차함수 극댓값 조건, 속도·가속도 거리) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

📌 【제시문】

1. 구간별로 정의된 함수가 경계점 $x = a$에서 미분가능하려면 $x = a$에서 연속이고 좌미분계수와 우미분계수가 일치해야 한다.

2. 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 $f(x)$가 극댓값을 가지려면 도함수 $f'(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.

3. 수직선 위를 움직이는 점의 속도가 $v(t)$일 때 시각 $t = a$에서 $t = b$까지 움직인 거리는 $\int_a^b |v(t)|\,dt$이다.

[1-1] 함수 $f(x) = \begin{cases} x^3 - 2x + a & (x \lt 2) \\ bx^2 - 4x + 6 & (x \ge 2) \end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 상수 $a, b$의 값과 $f(-1) + f(3)$의 값을 각각 구하시오. (12점)

[1-2] 사차함수 $g(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6kx^2$이 극댓값을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하고, $k = -1$일 때 함수 $g(x)$의 극댓값과 모든 극솟값의 합을 구하시오. (14점)

[1-3] 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 $v(t) = -3t^2 + 12t - 9$일 때, 점 $P$의 운동 방향이 바뀌는 시각들과 시각 $t = 0$부터 $t = 4$까지 점 $P$가 실제로 움직인 총 거리를 구하시오. (24점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 타원의 초점 정의, 공간벡터와 평면의 방정식, 중복조합 — 제8회 문제 2 (타원의 초점 정의, 공간벡터와 평면의 방정식, 중복조합) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 최상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

📌 【제시문】

1. 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a \gt b \gt 0$) 위의 점 $P$와 두 초점 $F, F'$에 대하여 $\overline{PF} + \overline{PF'} = 2a$이다.

2. 좌표공간에서 법선벡터가 $\vec{n} = (a, b, c)$인 평면 $ax + by + cz + d = 0$과 원점 사이의 거리는 $\frac{|d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$이다.

3. 방정식 $x_1 + x_2 + \dots + x_n = r$의 음이 아닌 정수해의 개수는 ${}_n\mathrm{H}_r = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$이다.

[2-1] 타원 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$의 두 초점을 $F, F'$이라 할 때, 타원 위의 점 $P$가 $\angle F'PF = \frac{\pi}{2}$를 만족시킨다. 삼각형 $PF'F$의 넓이를 구하시오. (12점)

[2-2] 좌표공간에서 세 점 $A(2, 0, 0),\; B(0, 4, 0),\; C(0, 0, 4)$를 지나는 평면 $\alpha$의 방정식을 구하고, 원점 $O$에서 평면 $\alpha$까지의 거리 $d$와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오. (16점)

[2-3] 같은 종류의 사탕 $11$개를 서로 다른 $4$개의 상자 $A, B, C, D$에 남김없이 나누어 담을 때, 각 상자에 적어도 $1$개 이상의 사탕을 담는 경우의 수와 상자 $A$에는 $3$개 이상, 상자 $B$에는 $2$개 이상의 사탕을 담는 경우의 수를 각각 구하시오. (단, 빈 상자가 있을 수 있다.) (22점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제8회	문항 1	구간별 함수의 미분가능성, 사차함수 극댓값 조건, 속도·가속도 거리	제8회 문제 1 (구간별 함수의 미분가능성, 사차함수 극댓값 조건, 속도·가속도 거리) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	상
제8회	문항 2	타원의 초점 정의, 공간벡터와 평면의 방정식, 중복조합	제8회 문제 2 (타원의 초점 정의, 공간벡터와 평면의 방정식, 중복조합) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 광운대학교 수리논술 제8회 출제 원칙 및 합격 전략

제8회 실전 모의고사는 역대 킬러 TOP 5 고난도 변별 테마를 1:1 심화 매칭한 파이널 회차입니다. 제한 시간(120분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 지수·로그 역함수 교점, 삼차함수 밖에서 그은 접선, 역함수 정적분 — 제9회 문제 1 (지수·로그 역함수 교점, 삼차함수 밖에서 그은 접선, 역함수 정적분) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

📌 【제시문】

1. 함수 $y = f(x)$와 그 역함수 $y = f^{-1}(x)$의 그래프는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.

2. 곡선 $y = g(x)$ 밖의 점 $(a, b)$에서 그은 접선의 개수는 접점의 $x$좌표 $t$에 대한 방정식 $b - g(t) = g'(t)(a - t)$의 서로 다른 실근의 개수와 같다.

3. 증가하는 연속함수 $f(x)$와 그 역함수 $f^{-1}(x)$에 대하여 $\int_a^b f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)\,dx = b f(b) - a f(a)$이다.

[1-1] 함수 $f(x) = 3^{x-1} + 2$의 역함수를 $f^{-1}(x)$라 할 때, 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = f^{-1}(x)$가 직선 $y = -x + 7$과 만나는 점을 각각 $A, B$라 하자. 선분 $AB$의 길이를 구하시오. (12점)

[1-2] 점 $(0, k)$에서 곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2$에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오. (16점)

[1-3] 실수 전체에서 증가하는 함수 $g(x) = x^3 + 2x + 1$의 역함수를 $h(x)$라 할 때, 정적분 $\int_0^2 g(x)\,dx$와 $\int_1^{13} h(x)\,dx$의 값을 각각 구하고, 두 곡선 $y = g(x),\; y = h(x)$와 직선 $x + y = 1,\; x + y = 15$로 둘러싸인 넓이 대신 $\int_1^{13} \{x - h(x)\}\,dx$의 값을 구하시오. (22점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 수학적 귀납법 증명, 쌍곡선의 초점과 점근선, 모비율의 신뢰구간 — 제9회 문제 2 (수학적 귀납법 증명, 쌍곡선의 초점과 점근선, 모비율의 신뢰구간) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

📌 【제시문】

1. 자연수 $n$에 대한 등식 또는 부등식을 수학적 귀납법으로 증명할 때는 $n=1$일 때의 성립 여부와 $n=k \implies n=k+1$의 연역 과정을 보인다.

2. 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$의 두 초점은 $(\pm\sqrt{a^2+b^2}, 0)$이고 점근선은 $y = \pm\frac{b}{a}x$이다.

3. 표본비율이 $\hat{p}$, 표본의 크기가 $n$일 때 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이는 $2 \times 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$이다.

[2-1] 모든 자연수 $n$에 대하여 등식 $\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오. (14점)

[2-2] 쌍곡선 $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$의 양의 초점 $F$에서 점근선에 내린 수선의 발을 $H$라 할 때, 삼각형 $OFH$ ($O$는 원점)의 넓이와 쌍곡선 위의 점 $P$가 $\overline{PF'} - \overline{PF} = 8$, $\overline{PF} = 3$을 만족시킬 때 $\overline{PF'}$의 길이를 각각 구하시오. (16점)

[2-3] 어느 지역 유권자 중 $n = 400$명을 임의추출하여 정책 지지율을 조사한 결과 $256$명이 지지하였다. 표본비율 $\hat{p}$를 구하고, 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 ($P(|Z| \le 1.96) = 0.95$)을 구하시오. (20점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제9회	문항 1	지수·로그 역함수 교점, 삼차함수 밖에서 그은 접선, 역함수 정적분	제9회 문제 1 (지수·로그 역함수 교점, 삼차함수 밖에서 그은 접선, 역함수 정적분) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	상
제9회	문항 2	수학적 귀납법 증명, 쌍곡선의 초점과 점근선, 모비율의 신뢰구간	제9회 문제 2 (수학적 귀납법 증명, 쌍곡선의 초점과 점근선, 모비율의 신뢰구간) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 광운대학교 수리논술 제9회 출제 원칙 및 합격 전략

제9회 실전 모의고사는 역대 킬러 TOP 5 고난도 변별 테마를 1:1 심화 매칭한 파이널 회차입니다. 제한 시간(120분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 함수방정식과 도함수, 우함수·기함수 정적분, 삼차함수 접선 넓이 — 제10회 문제 1 (함수방정식과 도함수, 우함수·기함수 정적분, 삼차함수 접선 넓이) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

📌 【제시문】

1. 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수는 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$로 정의된다.

2. 닫힌구간 $[-a, a]$에서 우함수의 정적분은 $2\int_0^a f(x)\,dx$이고 기함수의 정적분은 $0$이다.

3. 삼차함수 $y = x^3 + px^2 + qx + r$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선이 곡선과 $(x_2, y_2)$에서 다시 만날 때 둘러싸인 넓이는 $\frac{1}{12}|x_2 - x_1|^4$이다.

[1-1] 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 $f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy - 1$을 만족시키고 $f'(0) = 2$일 때, $f(0)$의 값과 함수 $f(x)$의 식을 구하시오. (14점)

[1-2] 위에서 구한 함수 $f(x)$에 대하여 정적분 $\int_{-2}^{2} (x^3 - 2x + 1)f'(x)\,dx$의 값을 구하시오. (14점)

[1-3] 삼차함수 $g(x) = x^3 - 2x^2 + 1$의 그래프 위의 점 $A(1, 0)$에서의 접선 $l$의 방정식을 구하고, 곡선 $y = g(x)$와 접선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (22점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 광운대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/2

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 구와 공간좌표 거리, 독립시행과 이항분포, 정규분포 확률 — 제10회 문제 2 (구와 공간좌표 거리, 독립시행과 이항분포, 정규분포 확률) — 소문항 3단계 심층 논증 배점 50점 · 난이도 최상

[출처: 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

📌 【제시문】

1. 좌표공간에서 중심이 $C(a, b, c)$, 반지름이 $r$인 구 $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$이 $xy$평면($z=0$)과 만나서 생기는 원의 반지름은 $\sqrt{r^2 - c^2}$ ($|c| \lt r$)이다.

2. 이항분포 $B(n, p)$를 따르는 확률변수 $X$의 평균은 $E(X) = np$, 분산은 $V(X) = np(1-p)$이다.

3. 정규분포 $N(m, \sigma^2)$을 따르는 확률변수 $Y$는 $Z = \frac{Y - m}{\sigma}$를 통해 표준정규분포 $N(0, 1)$으로 변환된다.

[2-1] 좌표공간에서 구 $S : (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 3)^2 = 25$가 $xy$평면과 만나서 생기는 원을 $C$라 할 때, 원 $C$의 넓이와 원점 $O(0, 0, 0)$에서 원 $C$ 위의 점 $P$까지의 거리의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오. (14점)

[2-2] 확률변수 $X$가 이항분포 $B(90, p)$ ($0 \lt p \lt 1$)를 따르고 $E(X^2) = 920,\; V(X) = 20$을 만족시킬 때, $E(X)$의 값과 상수 $p$의 값을 각각 구하시오. (16점)

[2-3] 어느 농장에서 수확하는 사과의 무게 $Y$는 평균이 $300\text{g}$, 표준편차가 $25\text{g}$인 정규분포를 따른다. 임의로 추출한 $25$개의 사과의 무게의 표본평균을 $\overline{Y}$라 할 때, $P(295 \le \overline{Y} \le 310)$의 값을 구하시오. (단, $P(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413,\; P(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772$로 계산한다.) (20점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (2문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제10회	문항 1	함수방정식과 도함수, 우함수·기함수 정적분, 삼차함수 접선 넓이	제10회 문제 1 (함수방정식과 도함수, 우함수·기함수 정적분, 삼차함수 접선 넓이) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	상
제10회	문항 2	구와 공간좌표 거리, 독립시행과 이항분포, 정규분포 확률	제10회 문제 2 (구와 공간좌표 거리, 독립시행과 이항분포, 정규분포 확률) — 소문항 3단계 심층 논증	50점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 광운대학교 수리논술 제10회 출제 원칙 및 합격 전략

제10회 실전 모의고사는 역대 킬러 TOP 5 고난도 변별 테마를 1:1 심화 매칭한 파이널 회차입니다. 제한 시간(120분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS

실전 모의고사 1회 ~ 10회
문제 · 모범답안 · 채점 루브릭 합본 해설집

시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 20문항 전체 원문 요약과 단계별 모범답안·루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.

🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능

⚡ 단계별 채점 기준표 완비: 소문항·단계별 부분점수 배점표를 통해 정밀한 자가 채점 지원

👨‍🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭

【문제 1】 원문 요약 — 제1회 문제 1 (이항정리, 도형의 이동, 미적분 극대극소) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

📌 【제시문】

3. 좌표평면에서 점 $(x, y)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $(y, x)$이다.

[1-2] 다항식 $\left( 2x^2 - \frac{1}{x} \right)^9$의 전개식에서 $x^3$의 계수를 이항정리를 이용하여 구하시오. (14점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 1 · 총 50점

💡 [1-1], [1-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [1-1] 격자점의 개수 산출:
$x^2+y^2 \le 25$를 만족하는 정수 순서쌍 $(x, y)$의 전체 개수를 구한다. $x$의 범위는 $-5 \le x \le 5$이다.
- $x=0$: $y^2 \le 25 \implies y \in \{-5, \dots, 5\}$ (11개)
- $x=\pm 1$: $y^2 \le 24 \implies y \in \{-4, \dots, 4\}$ (각 9개, 총 18개)
- $x=\pm 2$: $y^2 \le 21 \implies y \in \{-4, \dots, 4\}$ (각 9개, 총 18개)
- $x=\pm 3$: $y^2 \le 16 \implies y \in \{-4, \dots, 4\}$ (각 9개, 총 18개)
- $x=\pm 4$: $y^2 \le 9 \implies y \in \{-3, \dots, 3\}$ (각 7개, 총 14개)
- $x=\pm 5$: $y^2 \le 0 \implies y = 0$ (각 1개, 총 2개)
전체 원소의 개수는 $11 + 18 + 18 + 18 + 14 + 2 = 81$개이다.
$x+y$가 짝수라는 것은 $x, y$의 홀짝성이 일치(둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수)하는 경우이다.
각 $x$행별로 $y$좌표 중 $x$와 기우성이 같은 정수의 개수를 세면:
- $x=0$ (짝수): $y \in \{0, \pm 2, \pm 4\}$ $\implies$ 5개
- $x=\pm 1$ (홀수): $y \in \{\pm 1, \pm 3\}$ $\implies$ 각 4개, 총 8개
- $x=\pm 2$ (짝수): $y \in \{0, \pm 2, \pm 4\}$ $\implies$ 각 5개, 총 10개
- $x=\pm 3$ (홀수): $y \in \{\pm 1, \pm 3\}$ $\implies$ 각 4개, 총 8개
- $x=\pm 4$ (짝수): $y \in \{0, \pm 2\}$ $\implies$ 각 3개, 총 6개
- $x=\pm 5$ (홀수): $y=0$은 짝수이므로 없음 $\implies$ 0개
따라서 $x+y$가 짝수인 원소의 개수는 $5 + 8 + 10 + 8 + 6 + 0 = 37$개이다.

• [1-2] 이항정리를 이용한 계수 도출:
다항식 $\left( 2x^2 - \frac{1}{x} \right)^9$의 전개식의 일반항 $T_{r+1}$은
\[T_{r+1} = {}_9\mathrm{C}_r (2x^2)^{9-r} \left(-\frac{1}{x}\right)^r = {}_9\mathrm{C}_r 2^{9-r} (-1)^r x^{18-2r} x^{-r} = {}_9\mathrm{C}_r 2^{9-r} (-1)^r x^{18-3r}\]
$x^3$의 항이 되기 위해 $18 - 3r = 3$이어야 하므로 $3r = 15 \implies r = 5$이다.
따라서 $x^3$의 계수는 \[{}_9\mathrm{C}_5 2^{9-5} (-1)^5 = {}_9\mathrm{C}_4 \cdot 2^4 \cdot (-1) = 126 \cdot 16 \cdot (-1) = -2016\]이다.

🎯 [1-1], [1-2] 정답:(1) 37 | (2) -2016

💡 [1-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [1-3] 극대극소 및 대칭이동 연립 조건 해결:
$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 4b$의 도함수를 구하면 $f'(x) = 3x^2 - 6ax = 3x(x - 2a)$이다.
$a \gt 0$이므로 $f'(x) = 0$의 두 실근은 $x = 0$과 $x = 2a$이다.
- $x=0$ 좌우에서 $f'(x)$는 양에서 음으로 바뀌므로 극댓점 $P$의 좌표는 $(0, f(0)) = (0, 4b)$이다.
- $x=2a$ 좌우에서 $f'(x)$는 음에서 양으로 바뀌므로 극솟점 $R$의 좌표는 $(2a, f(2a)) = (2a, 8a^3 - 12a^3 + 4b) = (2a, -4a^3 + 4b)$이다.
조건에서 극솟점 $R$의 $y$좌표가 $0$이므로 $-4a^3 + 4b = 0 \implies b = a^3$이다.
한편 극댓점 $P(0, 4b)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점 $Q$의 좌표는 $(4b, 0)$이다.
점 $Q(4b, 0)$이 곡선 $y = -x^2 + 2x$ 위에 있으므로 $0 = -(4b)^2 + 2(4b) = -16b^2 + 8b$이다.
$b \gt 0$이므로 양변을 $8b$로 나누면 $-2b + 1 = 0 \implies b = \frac{1}{2}$이다.
$b = a^3$이므로 $a^3 = \frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$이다.

🎯 [1-3] 최종 정답:(3) $a = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = 2^{-1/3},\; b = \frac{1}{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1-1	$x$ 범위별 격자점 전체 원소 $81$개 정확 산출	4점
1-1	기우성 일치 조건 분류 및 최종 원소 개수 37 도출	6점
1-2	이항정리 일반항 수식 정확 수립	6점
1-2	차수 방정식 $r=5$ 도출 및 계수 $-2016$ 계산 정확성	8점
1-3	도함수 인수분해 및 극댓점 $P(0, 4b)$, 극솟점 $R(2a, -4a^3+4b)$ 도출	8점
1-3	극솟값 조건 $b = a^3$ 유도	6점
1-3	대칭이동 점 $Q(4b, 0)$ 및 곡선 대입을 통한 $b = \frac{1}{2},\; a = 2^{-1/3}$ 도출 논증	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 정의역 및 단서 조건 엄격성: 문제에서 주어진 기우성, 대칭축, 극솟값 $0$ 조건을 논리적 비약 없이 식에 명확히 반영했는지를 중점 평가합니다.

• 서술형 감점 방지: 단순히 최종 답만 적는 경우 부분점수가 대폭 감점되므로, 각 단계별 수식 유도 원리를 반드시 명시하십시오.

🎯 [1-1], [1-2] 정답: (1) 37 | (2) -2016 / 🎯 [1-3] 최종 정답: (3) $a = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = 2^{-1/3},\; b = \frac{1}{2}$

【문제 2】 원문 요약 — 제1회 문제 2 (삼각함수 덧셈정리, 초월함수 그래프 개형, 방정식 실근 개수) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]

📌 【제시문】

1. 삼각함수의 덧셈정리: 두 각 $\alpha, \beta$에 대하여 $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$이다.

3. $x \gt 0$일 때 정의된 함수 $g(x) = \frac{\ln x}{x}$에 대하여 $\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty$, $\lim_{x \to \infty} g(x) = 0$이다.

4. 방정식 $f(x) = g(x)$의 서로 다른 실근의 개수는 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프의 교점의 개수와 같다.

[2-1] 두 예각 $\alpha, \beta$에 대하여 $\tan \alpha = 2, \tan \beta = 3$일 때, $\tan(2\alpha + \beta)$의 값을 구하시오. (12점)

[2-2] 함수 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ ($x \gt 0$)의 극댓값과 변곡점의 좌표를 구하고, 함수의 증감과 오목·볼록을 설명하시오. (14점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 2 · 총 50점

💡 [2-1], [2-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [2-1] 배각공식과 덧셈정리 적용:
먼저 $\tan(2\alpha)$의 값을 구한다.
\[\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} = \frac{2 \cdot 2}{1 - 2^2} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}\]
이제 $\tan(2\alpha + \beta)$에 덧셈정리를 적용하면
\[\tan(2\alpha + \beta) = \frac{\tan(2\alpha) + \tan\beta}{1 - \tan(2\alpha)\tan\beta} = \frac{-\frac{4}{3} + 3}{1 - \left(-\frac{4}{3}\right) \cdot 3} = \frac{\frac{5}{3}}{1 + 4} = \frac{\frac{5}{3}}{5} = \frac{1}{3}\]이다.

• [2-2] 미분을 통한 극댓값 및 변곡점 도출:
$f(x) = \frac{\ln x}{x}$ ($x \gt 0$)의 1계 도함수를 구하면
\[f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}\]
$f'(x) = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff x = e$이다.
- $0 \lt x \lt e$에서 $f'(x) \gt 0$ (함수 증가)
- $x \gt e$에서 $f'(x) \lt 0$ (함수 감소)
따라서 $x=e$에서 유일한 극대이자 최댓값 $f(e) = \frac{1}{e}$를 갖는다.
다음으로 2계 도함수를 구하면
\[f''(x) = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \ln x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x\ln x}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3}\]
$f''(x) = 0 \iff 2\ln x - 3 = 0 \iff \ln x = \frac{3}{2} \iff x = e^{3/2} = e\sqrt{e}$이다.
- $0 \lt x \lt e^{3/2}$에서 $f''(x) \lt 0$ (위로 볼록)
- $x \gt e^{3/2}$에서 $f''(x) \gt 0$ (아래로 볼록)
따라서 변곡점의 좌표는 $\left( e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}} \right) = \left( e\sqrt{e}, \frac{3}{2e\sqrt{e}} \right)$이다.

🎯 [2-1], [2-2] 정답:(1) $\frac{1}{3}$ | (2) 극댓값 $\frac{1}{e}$ ($x=e$), 변곡점 $\left(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}}\right)$

💡 [2-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [2-3] 초월방정식의 실근 개수 판정:
방정식 $e^x = k x^2$에서 $k \gt 0$이다.
(i) $x \gt 0$일 때: 양변에 자연로그를 취하면 $x = \ln k + 2\ln x \implies \frac{\ln x}{x} = \frac{x - \ln k}{2x}$로 보거나, 직접 $g(x) = \frac{e^x}{x^2}$ ($x \gt 0$)의 그래프와 수평선 $y=k$의 교점으로 해석한다.
$g(x) = \frac{e^x}{x^2}$의 도함수를 구하면
\[g'(x) = \frac{e^x x^2 - e^x \cdot 2x}{x^4} = \frac{e^x(x - 2)}{x^3}\]
- $0 \lt x \lt 2$에서 $g'(x) \lt 0$ (감소)
- $x \gt 2$에서 $g'(x) \gt 0$ (증가)
따라서 $x=2$에서 극솟값 $g(2) = \frac{e^2}{4}$를 갖는다.
또한 $\lim_{x \to 0^+} g(x) = +\infty$, $\lim_{x \to \infty} g(x) = +\infty$이다.
따라서 $y = g(x)$와 $y = k$가 $x \gt 0$에서 서로 다른 두 실근을 갖기 위한 조건은 $k \gt g(2) = \frac{e^2}{4}$이다.
(ii) 음의 실근 $x \lt 0$의 개수 판정:
$x \lt 0$일 때 $t = -x \gt 0$이라 하면 $e^{-t} = k t^2 \iff k = \frac{1}{t^2 e^t}$.
함수 $h(t) = \frac{1}{t^2 e^t} = t^{-2} e^{-t}$는 $t \gt 0$에서 항상 $h'(t) \lt 0$이며 strictly decreasing한다.
$\lim_{t \to 0^+} h(t) = +\infty$, $\lim_{t \to \infty} h(t) = 0$이므로, 임의의 $k \gt 0$에 대하여 $h(t) = k$를 만족하는 양수 $t$는 오직 하나 존재한다.
즉, 모든 $k \gt 0$에 대하여 음의 실근은 항상 정확히 1개 존재한다.
따라서 $x \ne 0$ 전체에서 서로 다른 세 실근(양의 실근 2개 + 음의 실근 1개)을 갖기 위한 $k$의 조건은 $k \gt \frac{e^2}{4}$이다.

🎯 [2-3] 최종 정답:(3) $k \gt \frac{e^2}{4}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	$\tan(2\alpha) = -\frac{4}{3}$ 정확 계산	5점
2-1	덧셈정리 전개 및 최종값 $\frac{1}{3}$ 도출	7점
2-2	1계 도함수 유도 및 극댓값 $\frac{1}{e}$ 정확 산출	6점
2-2	2계 도함수 유도 및 변곡점 좌표 도출	8점
2-3	$g(x) = \frac{e^x}{x^2}$ 함수 변형 및 도함수 $g'(x)$ 분석	8점
2-3	극솟값 $g(2) = \frac{e^2}{4}$ 산출 및 양의 실근 $2$개 조건 $k \gt \frac{e^2}{4}$ 유도	8점
2-3	$x \lt 0$에서 음의 실근이 유일함을 증명하고 전체 세 실근 범위 완결	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 미분가능성 및 증감표 논증: 극대·극소 판정 시 1계 도함수의 부호 변화 또는 2계 도함수의 볼록성 조사를 명쾌히 증명해야 합니다.

• 확률/통계 조건부확률: 분모가 되는 전체 확률 $P(B)$와 분자의 교집합 확률 $P(A \cap B)$를 수식 기호로 분리하여 기술하십시오.

🎯 [2-1], [2-2] 정답: (1) $\frac{1}{3}$ | (2) 극댓값 $\frac{1}{e}$ ($x=e$), 변곡점 $\left(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}}\right)$ / 🎯 [2-3] 최종 정답: (3) $k \gt \frac{e^2}{4}$

【문제 1】 원문 요약 — 제2회 문제 1 (수열의 극한, 포물선 넓이, 정적분 극값 함수) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

📌 【제시문】

2. 포물선 $y = ax^2$ 위의 점 $(t, at^2)$에서의 접선의 방정식은 $y = 2at(x - t) + at^2 = 2atx - at^2$이다.

3. 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 정적분 $\int_a^b |f(x) - c| dx$의 값은 실수 $c$의 변화에 따라 연속적으로 변한다.

[1-3] 실수 $t$에 대하여 함수 $g(t) = \int_0^2 |x(x-1) - t| dx$의 최솟값을 구하고, $g(t)$가 최소가 되도록 하는 $t$의 값을 논증하시오. (24점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 1 · 총 50점

💡 [1-1], [1-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [1-1] 점렬의 좌표 극한 도출:
$x_n = \frac{1}{2}x_{n-1} + 1$에서 특성방정식 $\alpha = \frac{1}{2}\alpha + 1 \implies \frac{1}{2}\alpha = 1 \implies \alpha = 2$이다.
따라서 $x_n - 2 = \frac{1}{2}(x_{n-1} - 2) = \dots = \left(\frac{1}{2}\right)^n (x_0 - 2) = -2 \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
$\lim_{n \to \infty} x_n = 2$이다.
마찬가지로 $y_n = \frac{1}{3}y_{n-1} + 2$에서 $\beta = \frac{1}{3}\beta + 2 \implies \frac{2}{3}\beta = 2 \implies \beta = 3$이다.
$y_n - 3 = \left(\frac{1}{3}\right)^n (y_0 - 3) = -3 \left(\frac{1}{3}\right)^n$이므로 $\lim_{n \to \infty} y_n = 3$이다.
따라서 극한점 $P_\infty$의 좌표는 $(2, 3)$이다.

• [1-2] 포물선과 접선 및 $x$축 둘러싸인 넓이 계산:
포물선 $y = x^2$ 위의 점 $A_n(n, n^2)$에서의 접선 $l_n$의 기울기는 $y' = 2x$이므로 $2n$이다.
접선 방정식: $y - n^2 = 2n(x - n) \implies y = 2nx - n^2$.
접선 $l_n$의 $x$절편은 $y=0$일 때 $2nx = n^2 \implies x = \frac{n}{2}$이다.
둘러싸인 도형은 $0 \le x \le \frac{n}{2}$에서는 곡선 $y = x^2$과 $x$축 사이의 넓이이고,
$\frac{n}{2} \le x \le n$에서는 곡선 $y = x^2$과 직선 $y = 2nx - n^2$ 사이의 넓이이다.
따라서 넓이 $S_n$은 곡선 아래 전체 넓이에서 접선 아래 직각삼각형의 넓이를 뺀 것과 같다.
\[S_n = \int_0^n x^2 dx - \frac{1}{2} \cdot \left(n - \frac{n}{2}\right) \cdot n^2 = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^n - \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{2} \cdot n^2 = \frac{n^3}{3} - \frac{n^3}{4} = \frac{n^3}{12}\]
따라서 $\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^3}{12}}{n^3} = \frac{1}{12}$이다.

🎯 [1-1], [1-2] 정답:(1) $(2, 3)$ | (2) $S_n = \frac{n^3}{12}$, 극한값 $\frac{1}{12}$

💡 [1-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [1-3] 정적분으로 정의된 함수의 미분을 이용한 최솟값 논증:
피적분함수는 $h(x) = x(x-1) = x^2 - x$이다. 닫힌구간 $[0, 2]$에서 $h(x)$의 증감을 살펴보면,
$h'(x) = 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$이므로 최솟값은 $h\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4}$이고, $h(0)=0, h(1)=0, h(2)=2$이다.

1단계: $t$의 범위에 따른 $g(t)$의 개형 분석
- $t \le -\frac{1}{4}$일 때: 구간 $[0, 2]$ 전체에서 $h(x) \ge t$이므로 $g(t) = \int_0^2 (h(x) - t) dx = \int_0^2 h(x) dx - 2t$.
$g'(t) = -2 \lt 0$이므로 $g(t)$는 단조 감소한다. 따라서 최솟값은 $t \gt -\frac{1}{4}$에서 존재한다.
- $t \ge 2$일 때: 구간 $[0, 2]$ 전체에서 $h(x) \le t$이므로 $g(t) = \int_0^2 (t - h(x)) dx = 2t - \int_0^2 h(x) dx$.
$g'(t) = 2 \gt 0$이므로 $g(t)$는 단조 증가한다. 따라서 최솟값은 $t \lt 2$에서 존재한다.

2단계: $0 \le t \le 2$에서의 정적분 식 수립 및 도함수 도출
방정식 $h(x) = t \iff x^2 - x - t = 0$의 실근 중 구간 $[0, 2]$에 속하는 유일한 교점의 $x$좌표를 $\alpha(t)$라 하면
근의 공식에 의해 $\alpha(t) = \frac{1 + \sqrt{1 + 4t}}{2}$이다. (단, $h(\alpha(t)) = t$ 성립)
구간 $[0, 2]$에서 $0 \le x \le \alpha(t)$일 때 $h(x) \le t$이고, $\alpha(t) \le x \le 2$일 때 $h(x) \ge t$이므로
\[g(t) = \int_0^{\alpha(t)} (t - h(x)) dx + \int_{\alpha(t)}^2 (h(x) - t) dx = t\alpha(t) - \int_0^{\alpha(t)} h(x) dx + \int_{\alpha(t)}^2 h(x) dx - t(2 - \alpha(t))\]
고교과정 미적분의 정적분으로 정의된 함수의 미분법에 의해 양변을 $t$에 대하여 미분하면:
\[g'(t) = \left[ \alpha(t) + t\alpha'(t) - h(\alpha(t))\alpha'(t) \right] + \left[ -h(\alpha(t))\alpha'(t) - (2 - \alpha(t)) + t\alpha'(t) \right]\]
여기서 $h(\alpha(t)) = t$이므로 $t\alpha'(t) - h(\alpha(t))\alpha'(t) = 0$으로 완전히 상쇄된다!
따라서 도함수는 $g'(t) = \alpha(t) - (2 - \alpha(t)) = 2\alpha(t) - 2$이다.

3단계: 극값 판정 및 최솟값 도출
$g'(t) = 0 \iff 2\alpha(t) - 2 = 0 \iff \alpha(t) = 1$이다.
$\alpha(t) = \frac{1 + \sqrt{1 + 4t}}{2} = 1 \iff \sqrt{1 + 4t} = 1 \iff 4t = 0 \iff t = 0$.
$\alpha(t)$는 $t$의 증가함수이므로 $t \lt 0$이면 $g'(t) \lt 0$, $t \gt 0$이면 $g'(t) \gt 0$이다.
따라서 $g(t)$는 $t = 0$에서 유일한 극소이자 최솟값을 갖는다.
최솟값 $g(0) = \int_0^2 |x^2 - x| dx = \int_0^1 -(x^2 - x) dx + \int_1^2 (x^2 - x) dx = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1$이다.

🎯 [1-3] 최종 정답:(3) $t = 0$일 때 최솟값 $1$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1-1	$x_n, y_n$ 점화식 특성근 및 일반항 도출	5점
1-1	극한점 $P_\infty(2, 3)$ 정확 계산	5점
1-2	접선 방정식 및 $x$절편 $\frac{n}{2}$ 도출	6점
1-2	적분 및 삼각형 넓이 차를 이용한 $S_n = \frac{n^3}{12}$ 및 극한값 $\frac{1}{12}$ 산출	10점
1-3	$t$ 범위 분석 및 $g(t)$ 구간 분할 정적분 식 수립	8점
1-3	정적분 정의 함수 미분을 통한 $g'(t) = 2\alpha(t)-2$ 및 $t=0$ 극소 도출	8점
1-3	증감 논증 및 정적분 계산을 통한 최솟값 1 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 정의역 및 단서 조건 엄격성: 문제에서 주어진 기우성, 대칭축, 극솟값 $0$ 조건을 논리적 비약 없이 식에 명확히 반영했는지를 중점 평가합니다.

• 서술형 감점 방지: 단순히 최종 답만 적는 경우 부분점수가 대폭 감점되므로, 각 단계별 수식 유도 원리를 반드시 명시하십시오.

🎯 [1-1], [1-2] 정답: (1) $(2, 3)$ | (2) $S_n = \frac{n^3}{12}$, 극한값 $\frac{1}{12}$ / 🎯 [1-3] 최종 정답: (3) $t = 0$일 때 최솟값 $1$

【문제 2】 원문 요약 — 제2회 문제 2 (다항식 나머지정리, 정적분과 급수, 데카르트 엽선 음함수 미분) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.20 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

📌 【제시문】

1. 다항식 $P(x)$를 $(x-a)^2$으로 나눈 나머지를 $R(x) = mx + n$이라 하면, $P(a) = R(a)$이고 $P'(a) = R'(a) = m$이다.

2. 연속함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) \frac{b-a}{n} = \int_a^b f(x) dx$이다.

[2-1] 다항식 $P(x) = x^{2027} - 2x + 1$을 $(x-1)^2$으로 나눈 나머지 $R(x)$를 구하시오. (12점)

[2-2] 급수 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^3 + k^3}$의 값을 정적분을 이용하여 구하시오. (16점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 2 · 총 50점

💡 [2-1], [2-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [2-1] 다항식 미분을 이용한 나머지정리 적용:
다항식 $P(x) = x^{2027} - 2x + 1$을 $(x-1)^2$으로 나눈 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x) = ax + b$라 하면
\[P(x) = (x-1)^2 Q(x) + ax + b\]
$x=1$을 대입하면 $P(1) = 1^{2027} - 2(1) + 1 = 0$이므로 $a + b = 0 \implies b = -a$.
양변을 $x$에 대하여 미분하면
\[P'(x) = 2(x-1)Q(x) + (x-1)^2 Q'(x) + a\]
$P'(x) = 2027 x^{2026} - 2$이므로 $x=1$을 대입하면
\[P'(1) = 2027(1) - 2 = 2025 = a\]
$a = 2025$이므로 $b = -2025$이다.
따라서 구하는 나머지는 $R(x) = 2025x - 2025 = 2025(x - 1)$이다.

• [2-2] 정적분과 급수의 합 변환 및 계산:
주어진 식의 분모, 분자를 $n^3$으로 나누어 $\frac{k}{n}$과 $\frac{1}{n}$의 형태로 변형한다.
\[\sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^3 + k^3} = \sum_{k=1}^n \frac{\frac{k^2}{n^2}}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^3} \cdot \frac{1}{n} = \sum_{k=1}^n \frac{\left(\frac{k}{n}\right)^2}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^3} \cdot \frac{1}{n}\]
$x = \frac{k}{n}$, $\Delta x = \frac{1}{n}$로 두면 구간은 $[0, 1]$이 되므로 정적분으로 변환하면
\[I = \int_0^1 \frac{x^2}{1 + x^3} dx\]
$u = 1 + x^3$으로 치환하면 $du = 3x^2 dx \implies x^2 dx = \frac{1}{3} du$이다.
적분 구간: $x=0 \implies u=1$, $x=1 \implies u=2$.
\[I = \int_1^2 \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} [\ln |u|]_1^2 = \frac{1}{3}(\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{3} \ln 2\]이다.

🎯 [2-1], [2-2] 정답:(1) $R(x) = 2025x - 2025$ | (2) $\frac{1}{3}\ln 2$

💡 [2-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [2-3] 음함수 미분법 및 법선의 방정식 도출:
곡선 $x^3 + y^3 - 3xy = 0$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면
\[3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} - 3\left(y + x \frac{dy}{dx}\right) = 0\]
\[x^2 - y + (y^2 - x)\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x^2 - y}{y^2 - x} = \frac{y - x^2}{y^2 - x}\]
점 $A(x_0, y_0)$에서의 접선의 기울기가 $-1$이므로
\[\frac{y_0 - x_0^2}{y_0^2 - x_0} = -1 \implies y_0 - x_0^2 = -(y_0^2 - x_0) = -y_0^2 + x_0\]
\[(x_0^2 - y_0^2) + (x_0 - y_0) = 0 \implies (x_0 - y_0)(x_0 + y_0 + 1) = 0\]
점 $A$는 제1사분면의 점이므로 $x_0 \gt 0, y_0 \gt 0$이고 따라서 $x_0 + y_0 + 1 \gt 0$이다.
그러므로 $x_0 - y_0 = 0 \implies x_0 = y_0$이어야 한다.
이를 원래의 곡선의 방정식에 대입하면
\[x_0^3 + x_0^3 - 3x_0^2 = 0 \implies 2x_0^3 - 3x_0^2 = 0 \implies x_0^2(2x_0 - 3) = 0\]
$x_0 \gt 0$이므로 $x_0 = \frac{3}{2}$이다. 따라서 $y_0 = \frac{3}{2}$이다.
그러므로 점 $A$의 좌표는 $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$이다.
접선의 기울기가 $-1$이므로, 점 $A$에서의 법선의 기울기는 $-\frac{1}{-1} = 1$이다.
따라서 법선의 방정식은
\[y - \frac{3}{2} = 1\left(x - \frac{3}{2}\right) \implies y = x\]이다.

🎯 [2-3] 최종 정답:(3) 점 $A\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$, 법선 방정식 $y = x$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	나머지 설정 및 $P(1)=0$ 대입 관계식 유도	4점
2-1	양변 미분 및 $x=1$ 대입을 통한 $R(x) = 2025x - 2025$ 도출	8점
2-2	식의 $\frac{1}{n}$ 및 $\frac{k}{n}$ 형태 표준화 정적분 변환식 유도	8점
2-2	치환적분을 통한 최종 적분값 $\frac{1}{3}\ln 2$ 정확 산출	8점
2-3	음함수 미분을 통한 $\frac{dy}{dx}$ 표현식 정확 유도	6점
2-3	기울기 $-1$ 조건 및 제1사분면 조건에서 $x_0 = y_0 = \frac{3}{2}$ 도출	10점
2-3	수직 조건 기울기 $1$ 및 법선의 방정식 $y = x$ 완성	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 미분가능성 및 증감표 논증: 극대·극소 판정 시 1계 도함수의 부호 변화 또는 2계 도함수의 볼록성 조사를 명쾌히 증명해야 합니다.

• 확률/통계 조건부확률: 분모가 되는 전체 확률 $P(B)$와 분자의 교집합 확률 $P(A \cap B)$를 수식 기호로 분리하여 기술하십시오.

🎯 [2-1], [2-2] 정답: (1) $R(x) = 2025x - 2025$ | (2) $\frac{1}{3}\ln 2$ / 🎯 [2-3] 최종 정답: (3) 점 $A\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$, 법선 방정식 $y = x$

【문제 1】 원문 요약 — 제3회 문제 1 (로그부등식, 평균값 정리, 수열의 수렴성 증명) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

📌 【제시문】

1. 로그함수 $y = \log_a x$ ($a \gt 1$)는 밑이 $1$보다 클 때 진수 $x$의 값이 커지면 $y$의 값도 커진다. 즉, $x_1 \lt x_2 \iff \log_a x_1 \lt \log_a x_2$이다.

3. 수열 $\{a_n\}$에 대하여 모든 자연수 $n$에 대하여 $|a_{n+1} - \alpha| \le r |a_n - \alpha|$ ($0 \lt r \lt 1$)가 성립하면, $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$이다.

[1-1] 부등식 $\log_2(x-1) + \log_2(7-x) \ge 3$을 만족시키는 정수 $x$의 개수를 구하시오. (12점)

[1-3] 위 수열 $\{a_n\}$에 대하여 극한값 $\lim_{n \to \infty} a_n$의 값을 구하고, $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - 2}{a_n - 2}$의 값을 구하시오. (22점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 1 · 총 50점

💡 [1-1], [1-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [1-1] 로그의 진수 조건 및 부등식 풀이:
진수 조건: $x - 1 \gt 0$이고 $7 - x \gt 0$이므로 $1 \lt x \lt 7$이다.
주어진 로그부등식을 합치면
\[\log_2\{(x-1)(7-x)\} \ge 3 = \log_2 8\]
밑이 $2 \gt 1$이므로 부등호 방향이 유지된다.
\[(x-1)(7-x) \ge 8 \iff 7x - x^2 - 7 + x \ge 8 \iff -x^2 + 8x - 15 \ge 0\]
양변에 $-1$을 곱하면 $x^2 - 8x + 15 \le 0 \iff (x-3)(x-5) \le 0$.
따라서 $3 \le x \le 5$이다.
진수 조건 $1 \lt x \lt 7$을 만족하므로 구하는 정수 $x$는 $3, 4, 5$의 총 $3$개이다.

• [1-2] 수학적 귀납법과 평균값 정리 증명:
(i) $1 \le a_n \lt 2$의 수학적 귀납법 증명:
- $n=1$일 때 $a_1 = 1$이므로 $1 \le 1 \lt 2$ 성립.
- $n=k$일 때 $1 \le a_k \lt 2$가 성립한다고 가정하면, $f(x) = \sqrt{x+2}$는 $x \ge 1$에서 증가함수이므로
\[f(1) \le f(a_k) \lt f(2) \implies \sqrt{3} \le a_{k+1} \lt \sqrt{4} = 2\]
$\sqrt{3} \gt 1$이므로 $1 \le a_{k+1} \lt 2$가 성립한다. 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $1 \le a_n \lt 2$이다.
(ii) 평균값 정리를 이용한 부등식 증명:
$f(2) = \sqrt{2+2} = 2$이므로 $a_{n+1} - 2 = f(a_n) - f(2)$이다.
함수 $f(x)$는 구간 $[a_n, 2]$ (또는 $[1, 2]$)에서 연속이고 미분가능하므로 평균값 정리에 의해
\[\frac{f(a_n) - f(2)}{a_n - 2} = f'(c)\]를 만족하는 $c$가 $a_n$과 $2$ 사이에 존재한다.
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$이고, $c \gt a_n \ge 1$이므로 $c \gt 1$이다.
따라서 $c+2 \gt 3 \implies \sqrt{c+2} \gt \sqrt{3}$이므로 $0 \lt f'(c) = \frac{1}{2\sqrt{c+2}} \lt \frac{1}{2\sqrt{3}}$이다.
양변에 절댓값을 취하면 $|a_{n+1} - 2| = |f'(c)| |a_n - 2| \le \frac{1}{2\sqrt{3}} |a_n - 2|$가 성립한다.

🎯 [1-1], [1-2] 정답:(1) $3$개 ($x = 3, 4, 5$) | (2) 증명 완성

💡 [1-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [1-3] 수열의 극한값 도출:
$0 \lt \frac{1}{2\sqrt{3}} \lt 1$이므로, 부등식을 반복 적용하면
\[0 \le |a_n - 2| \le \left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{n-1} |a_1 - 2| = \left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{n-1} |1 - 2| = \left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{n-1}\]
$n \to \infty$일 때 $\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{n-1} \to 0$이므로 샌드위치 정리에 의해 $\lim_{n \to \infty} |a_n - 2| = 0$, 즉 $\lim_{n \to \infty} a_n = 2$이다.
다음으로 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - 2}{a_n - 2}$는 미분계수의 정의에 의해
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - 2}{a_n - 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(a_n) - f(2)}{a_n - 2} = f'(2)\]이다.
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$이므로 $f'(2) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$이다.

🎯 [1-3] 최종 정답:(3) $\lim_{n\to\infty} a_n = 2,\; \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}-2}{a_n-2} = \frac{1}{4}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1-1	진수 조건 $1 \lt x \lt 7$ 명시	4점
1-1	2차 부등식 풀이 및 정수해 개수 3 도출	8점
1-2	수학적 귀납법에 의한 수열 유계성 $1 \le a_n \lt 2$ 증명	8점
1-2	평균값 정리 적용 및 $f'(c)$ 상한 $\frac{1}{2\sqrt{3}}$ 도출 증명	8점
1-3	수축 부등식을 통한 극한값 $\lim_{n\to\infty} a_n = 2$ 도출	10점
1-3	미분계수 정의를 통한 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}-2}{a_n-2} = f'(2) = \frac{1}{4}$ 계산	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 정의역 및 단서 조건 엄격성: 문제에서 주어진 기우성, 대칭축, 극솟값 $0$ 조건을 논리적 비약 없이 식에 명확히 반영했는지를 중점 평가합니다.

• 서술형 감점 방지: 단순히 최종 답만 적는 경우 부분점수가 대폭 감점되므로, 각 단계별 수식 유도 원리를 반드시 명시하십시오.

🎯 [1-1], [1-2] 정답: (1) $3$개 ($x = 3, 4, 5$) | (2) 증명 완성 / 🎯 [1-3] 최종 정답: (3) $\lim_{n\to\infty} a_n = 2,\; \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}-2}{a_n-2} = \frac{1}{4}$

【문제 2】 원문 요약 — 제3회 문제 2 (수학적 귀납법, 부분적분법, 표본평균 정규분포) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]

📌 【제시문】

2. 미분가능한 두 함수 $f(x), g(x)$에 대하여 $\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$이다. (부분적분법)

[2-2] 정적분 $I = \int_0^1 x^2 e^{2x} dx$의 값을 부분적분법을 이용하여 구하시오. (18점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 2 · 총 50점

💡 [2-1], [2-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [2-1] 수학적 귀납법 부등식 증명:
(i) $n=2$일 때:
좌변: $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$.
우변: $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.
$\frac{5}{4} \lt \frac{6}{4}$이므로 $n=2$일 때 부등식이 성립한다.
(ii) $n=k$ ($k \ge 2$)일 때 성립한다고 가정하면:
\[\sum_{i=1}^k \frac{1}{i^2} \lt 2 - \frac{1}{k}\]
$n=k+1$일 때 좌변은 $\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{i^2} = \sum_{i=1}^k \frac{1}{i^2} + \frac{1}{(k+1)^2} \lt 2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2}$이다.
우리가 보여야 할 목표는 $2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} \lt 2 - \frac{1}{k+1}$이다.
이를 위해 차를 계산하면:
\[\left(2 - \frac{1}{k+1}\right) - \left(2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2}\right) = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{(k+1)^2} = \frac{k+1 - k}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)^2}\]
\[= \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)^2} = \frac{(k+1) - k}{k(k+1)^2} = \frac{1}{k(k+1)^2} \gt 0\]
따라서 $2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} \lt 2 - \frac{1}{k+1}$이 성립한다.
그러므로 $n=k+1$일 때도 부등식이 성립한다.
(i), (ii)에 의해 모든 자연수 $n \ge 2$에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.

• [2-2] 부분적분법 2회 적용 및 계산:
$I = \int_0^1 x^2 e^{2x} dx$에서 $u = x^2, v' = e^{2x} \implies u' = 2x, v = \frac{1}{2}e^{2x}$로 둔다.
\[I = \left[ \frac{1}{2}x^2 e^{2x} \right]_0^1 - \int_0^1 2x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^2 - \int_0^1 x e^{2x} dx\]
남은 적분 $\int_0^1 x e^{2x} dx$에 다시 부분적분법을 적용한다. ($u = x, v' = e^{2x} \implies u' = 1, v = \frac{1}{2}e^{2x}$)
\[\int_0^1 x e^{2x} dx = \left[ \frac{1}{2}x e^{2x} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2}e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^2 - \left[ \frac{1}{4}e^{2x} \right]_0^1 = \frac{1}{2}e^2 - \left( \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}\]
따라서 원래의 적분 $I$는
\[I = \frac{1}{2}e^2 - \left( \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4} = \frac{e^2 - 1}{4}\]이다.

🎯 [2-1], [2-2] 정답:(1) 증명 완성 | (2) $\frac{e^2 - 1}{4}$

💡 [2-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [2-3] 표본평균의 표준화 및 정규분포 확률 계산:
모평균 $m = 100$, 모표준편차 $\sigma = 10$, 표본의 크기 $n = 25$이다.
표본평균 $\overline{X}$는 정규분포 $N\left(100, \frac{10^2}{25}\right) = N(100, 2^2)$을 따른다.
따라서 $\overline{X}$의 표준편차는 $\sigma_{\overline{X}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = 2$이다.
구하고자 하는 확률 $P(98 \le \overline{X} \le 103)$을 표준화하면
\[Z = \frac{\overline{X} - 100}{2}\]
\[\overline{X} = 98 \implies Z = \frac{98 - 100}{2} = -1.0\]
\[\overline{X} = 103 \implies Z = \frac{103 - 100}{2} = 1.5\]
따라서
\[P(98 \le \overline{X} \le 103) = P(-1.0 \le Z \le 1.5) = P(-1.0 \le Z \le 0) + P(0 \le Z \le 1.5)\]
\[= P(0 \le Z \le 1.0) + P(0 \le Z \le 1.5) = 0.3413 + 0.4332 = 0.7745\]이다.

🎯 [2-3] 최종 정답:(3) 0.7745 (또는 77.45%)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	$n=2$ 초기값 검증 정확성	4점
2-1	$n=k$ 귀납 가정 및 $n=k+1$ 차이 계산 $\frac{1}{k(k+1)^2} \gt 0$ 증명 완결	8점
2-2	1차 부분적분 수식 전개	8점
2-2	2차 부분적분 및 최종 적분값 $\frac{e^2 - 1}{4}$ 정확 산출	10점
2-3	표본평균의 표준오차 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2$ 산출	8점
2-3	표준화 $Z = -1.0,\; Z = 1.5$ 도출 및 확률 합 $0.7745$ 계산	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 미분가능성 및 증감표 논증: 극대·극소 판정 시 1계 도함수의 부호 변화 또는 2계 도함수의 볼록성 조사를 명쾌히 증명해야 합니다.

• 확률/통계 조건부확률: 분모가 되는 전체 확률 $P(B)$와 분자의 교집합 확률 $P(A \cap B)$를 수식 기호로 분리하여 기술하십시오.

🎯 [2-1], [2-2] 정답: (1) 증명 완성 | (2) $\frac{e^2 - 1}{4}$ / 🎯 [2-3] 최종 정답: (3) 0.7745 (또는 77.45%)

【문제 1】 원문 요약 — 제4회 문제 1 (일대일대응, 직선에 대한 대칭이동, 점대칭 정적분 계산) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

📌 【제시문】

[1-2] 좌표평면 위의 점 $P(1, 2)$를 직선 $l: y = 2x - 1$에 대하여 대칭이동한 점 $Q$의 좌표를 구하는 과정을 논술하시오. (16점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 1 · 총 50점

💡 [1-1], [1-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [1-1] 구간별 함수의 일대일대응 조건 도출:
$x \ge 1$에서 $f(x) = x^2 + 2$는 아래로 볼록한 이차함수의 우측 부분이므로 $x \ge 1$에서 순증가한다.
$f(1) = 1^2 + 2 = 3$이고, $x \to \infty$일 때 $f(x) \to \infty$이므로 이 구간의 치역은 $[3, \infty)$이다.
$x \lt 1$에서 $f(x) = 2x + k$는 기울기가 $2 \gt 0$인 일차함수이므로 증가함수이다.
$x \lt 1$일 때의 치역은 $(-\infty, 2(1) + k) = (-\infty, 2+k)$이다.
함수 $f(x)$가 실수 전체에서 일대일대응이 되려면, 공역인 실수 전체를 빠짐없이 덮어야 하고(치역 = 실수 전체), 증가 상태가 끊김 없이 연결되어야 하므로
\[2 + k = 3 \implies k = 1\]이어야 한다.

• [1-2] 직선에 대한 대칭이동 좌표 유도:
점 $P(1, 2)$의 대칭점 $Q(x_2, y_2)$라 하자.
(i) 수직 조건: 직선 $l: 2x - y - 1 = 0$의 기울기는 $2$이다.
선분 $PQ$의 기울기는 $-\frac{1}{2}$이어야 하므로
\[\frac{y_2 - 2}{x_2 - 1} = -\frac{1}{2} \implies 2(y_2 - 2) = -(x_2 - 1) \implies x_2 + 2y_2 = 5 \quad \cdots \text{ (식 1)}\]
(ii) 중점 조건: 선분 $PQ$의 중점 $M\left(\frac{1+x_2}{2}, \frac{2+y_2}{2}\right)$이 직선 $l: y = 2x - 1$ 위에 있으므로
\[\frac{2+y_2}{2} = 2\left(\frac{1+x_2}{2}\right) - 1 \implies 2 + y_2 = 2(1+x_2) - 2 = 2x_2 \implies 2x_2 - y_2 = 2 \quad \cdots \text{ (식 2)}\]
(식 2)에 2를 곱하면 $4x_2 - 2y_2 = 4$. 이를 (식 1)과 더하면
\[5x_2 = 9 \implies x_2 = \frac{9}{5}\]
(식 2)에서 $y_2 = 2x_2 - 2 = 2\left(\frac{9}{5}\right) - 2 = \frac{18}{5} - \frac{10}{5} = \frac{8}{5}$이다.
따라서 대칭점 $Q$의 좌표는 $\left(\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)$이다.

🎯 [1-1], [1-2] 정답:(1) $k = 1$ | (2) $Q\left(\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)$

💡 [1-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [1-3] 점대칭 정적분 공식 증명 및 초월함수 적분 계산:
$f(x) + f(2-x) = 4$의 양변을 구간 $[0, 2]$에서 적분하면
\[\int_0^2 f(x) dx + \int_0^2 f(2-x) dx = \int_0^2 4 dx = 8\]
$\int_0^2 f(2-x) dx$에서 $t = 2-x$로 치환하면 $dt = -dx$이고, $x=0 \implies t=2, x=2 \implies t=0$이므로
\[\int_0^2 f(2-x) dx = \int_2^0 f(t) (-dt) = \int_0^2 f(t) dt = \int_0^2 f(x) dx\]
따라서 $2 \int_0^2 f(x) dx = 8 \implies \int_0^2 f(x) dx = 4$이다.
이제 $g(x) = \frac{4}{1 + e^{x-1}}$에 대하여 $g(x) + g(2-x)$를 조사한다.
\[g(2-x) = \frac{4}{1 + e^{(2-x)-1}} = \frac{4}{1 + e^{1-x}} = \frac{4}{1 + e^{-(x-1)}} = \frac{4 e^{x-1}}{e^{x-1} + 1}\]
따라서
\[g(x) + g(2-x) = \frac{4}{1 + e^{x-1}} + \frac{4 e^{x-1}}{1 + e^{x-1}} = \frac{4(1 + e^{x-1})}{1 + e^{x-1}} = 4\]
즉, $g(x)$ 역시 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) + g(2-x) = 4$를 만족하므로 점 $(1, 2)$에 대하여 대칭인 함수이다.
그러므로 위에서 구한 정리에 의해
\[\int_0^2 \frac{4}{1 + e^{x-1}} dx = 4\]이다.

🎯 [1-3] 최종 정답:(3) $\int_0^2 f(x)\,dx = 4,\; \int_0^2 \frac{4}{1+e^{x-1}}\,dx = 4$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1-1	$f(x)$의 구간별 증가성 및 연결 조건 $2+k = 3$ 분석	6점
1-1	일대일대응 상수 $k = 1$ 도출	6점
1-2	수직 조건 기울기 방정식 유도	6점
1-2	중점 조건 대입 및 연립방정식을 통한 $Q\left(\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)$ 도출	10점
1-3	치환적분을 통한 점대칭 정적분 $\int_0^2 f(x)\,dx = 4$ 증명	10점
1-3	$g(x) + g(2-x) = 4$ 성질 확인 및 최종 정적분값 $4$ 산출	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 정의역 및 단서 조건 엄격성: 문제에서 주어진 기우성, 대칭축, 극솟값 $0$ 조건을 논리적 비약 없이 식에 명확히 반영했는지를 중점 평가합니다.

• 서술형 감점 방지: 단순히 최종 답만 적는 경우 부분점수가 대폭 감점되므로, 각 단계별 수식 유도 원리를 반드시 명시하십시오.

🎯 [1-1], [1-2] 정답: (1) $k = 1$ | (2) $Q\left(\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)$ / 🎯 [1-3] 최종 정답: (3) $\int_0^2 f(x)\,dx = 4,\; \int_0^2 \frac{4}{1+e^{x-1}}\,dx = 4$

【문제 2】 원문 요약 — 제4회 문제 2 (등비수열 극한, 이산확률변수 기댓값과 분산, 조건부확률) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

📌 【제시문】

1. 공비 $r$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} r^n$은 $|r| \lt 1$일 때 $0$으로 수렴하고, $r=1$일 때 $1$로 수렴한다. $|r| \gt 1$일 때 발산한다.

2. 이산확률변수 $X$의 확률질량함수가 $P(X = x_i) = p_i$ ($i=1, 2, \dots, n$)일 때, 기댓값은 $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i$, 분산은 $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$이다.

[2-1] 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n a_n + 2^{n+1}}{3^{n+1} + 2^n} = 2$일 때, 극한값 $\lim_{n \to \infty} a_n$의 값을 구하시오. (12점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 2 · 총 50점

💡 [2-1], [2-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [2-1] 최고차항 $3^n$으로 나눈 극한값 계산:
주어진 극한식의 분모, 분자를 밑이 가장 큰 $3^n$으로 나눈다.
\[\lim_{n \to \infty} \frac{3^n a_n + 2 \cdot 2^n}{3 \cdot 3^n + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n + 2 \left(\frac{2}{3}\right)^n}{3 + \left(\frac{2}{3}\right)^n}\]
$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$이므로, 분모는 $3 + 0 = 3$으로 수렴한다.
전체 극한값이 $2$로 수렴하므로
\[\frac{\lim_{n \to \infty} a_n + 0}{3} = 2 \implies \lim_{n \to \infty} a_n = 6\]이다.

• [2-2] 두 수의 차의 확률분포 및 평균·분산 도출:
5장의 카드에서 2장을 뽑는 전체 경우의 수는 ${}_5\mathrm{C}_2 = 10$이다.
두 수의 차 $X$가 가질 수 있는 값은 $1, 2, 3, 4$이다.
- $X = 1$: $(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)$ $\implies$ 4가지, $P(X=1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
- $X = 2$: $(1, 3), (2, 4), (3, 5)$ $\implies$ 3가지, $P(X=2) = \frac{3}{10}$
- $X = 3$: $(1, 4), (2, 5)$ $\implies$ 2가지, $P(X=3) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
- $X = 4$: $(1, 5)$ $\implies$ 1가지, $P(X=4) = \frac{1}{10}$
[확률분포표 확인: $\frac{4}{10} + \frac{3}{10} + \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = 1$]
기댓값 $E(X)$ 계산:
\[E(X) = 1 \cdot \frac{4}{10} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{2}{10} + 4 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4 + 6 + 6 + 4}{10} = \frac{20}{10} = 2\]
$E(X^2)$ 계산:
\[E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{4}{10} + 2^2 \cdot \frac{3}{10} + 3^2 \cdot \frac{2}{10} + 4^2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4 + 12 + 18 + 16}{10} = \frac{50}{10} = 5\]
분산 $V(X)$ 계산:
\[V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 = 5 - 2^2 = 5 - 4 = 1\]이다.

🎯 [2-1], [2-2] 정답:(1) $6$ | (2) $E(X) = 2,\; V(X) = 1$

💡 [2-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [2-3] 베이즈 정리를 이용한 조건부확률 도출:
사건을 다음과 같이 정의한다.
- $D$: 실제로 질병에 걸린 사건, $D^c$: 걸리지 않은 사건
- $T$: 진단 키트에서 양성 판정이 나오는 사건
주어진 조건에 의해
\[P(D) = 0.02, \quad P(D^c) = 1 - 0.02 = 0.98\]
\[P(T|D) = 0.95, \quad P(T^c|D^c) = 0.90 \implies P(T|D^c) = 1 - 0.90 = 0.10\]
진단 키트에서 양성 판정이 나올 전체 확률 $P(T)$는
\[P(T) = P(D)P(T|D) + P(D^c)P(T|D^c) = 0.02 \times 0.95 + 0.98 \times 0.10 = 0.0190 + 0.0980 = 0.1170\]
양성 판정을 받았을 때 실제로 질병에 걸렸을 조건부확률 $P(D|T)$는
\[P(D|T) = \frac{P(D \cap T)}{P(T)} = \frac{P(D)P(T|D)}{P(T)} = \frac{0.0190}{0.1170} = \frac{19}{117}\]이다.

🎯 [2-3] 최종 정답:(3) $\frac{19}{117}$ (약 $16.24\%$)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	$3^n$ 나눗셈 식 변형 및 극한값 $\lim_{n\to\infty} a_n = 6$ 도출	12점
2-2	$X=1, 2, 3, 4$ 각각의 확률 산출 및 확률분포표 작성	8점
2-2	기댓값 $E(X)=2$ 및 분산 $V(X)=1$ 정확 산출	8점
2-3	질병 유무 및 양성 판정 조건부확률 기호 정의 및 수치 정리	8점
2-3	양성 전체 확률 $P(T) = 0.1170$ 계산	6점
2-3	조건부확률 $P(D\mid T) = \frac{19}{117}$ 최종 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 미분가능성 및 증감표 논증: 극대·극소 판정 시 1계 도함수의 부호 변화 또는 2계 도함수의 볼록성 조사를 명쾌히 증명해야 합니다.

• 확률/통계 조건부확률: 분모가 되는 전체 확률 $P(B)$와 분자의 교집합 확률 $P(A \cap B)$를 수식 기호로 분리하여 기술하십시오.

🎯 [2-1], [2-2] 정답: (1) $6$ | (2) $E(X) = 2,\; V(X) = 1$ / 🎯 [2-3] 최종 정답: (3) $\frac{19}{117}$ (약 $16.24\%$)

【문제 1】 원문 요약 — 제5회 문제 1 (이차방정식 근의 판별, 우함수·기함수 정적분, 격자 사각형 개수의 극한) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

📌 【제시문】

2. 연속함수 $f(x)$에 대하여 $f(-x) = f(x)$이면 $\int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx$이고, $g(-x) = -g(x)$이면 $\int_{-a}^a g(x) dx = 0$이다.

[1-1] $x$에 대한 이차방정식 $x^2 - 2(k-1)x + (2k+1) = 0$이 서로 다른 두 음의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오. (12점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 1 · 총 50점

💡 [1-1], [1-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [1-1] 이차방정식 근의 분리 조건 도출:
이차방정식 $x^2 - 2(k-1)x + (2k+1) = 0$의 두 근을 $\alpha, \beta$라 하자.
서로 다른 두 음의 실근을 갖기 위한 조건은 다음과 같다.
(1) 판별식 $D/4 \gt 0$:
\[D/4 = (k-1)^2 - (2k+1) = k^2 - 2k + 1 - 2k - 1 = k^2 - 4k = k(k-4) \gt 0\]
$\implies k \lt 0$ 또는 $k \gt 4$.
(2) 두 근의 합 $\alpha + \beta \lt 0$:
\[\alpha + \beta = 2(k-1) \lt 0 \implies k \lt 1\].
(3) 두 근의 곱 $\alpha\beta \gt 0$:
\[\alpha\beta = 2k + 1 \gt 0 \implies k \gt -\frac{1}{2}\].
세 조건의 공통 범위를 구하면:
- $k \lt 0$ 또는 $k \gt 4$
- $k \lt 1$
- $k \gt -\frac{1}{2}$
따라서 $-\frac{1}{2} \lt k \lt 0$이다.

• [1-2] 대칭성을 이용한 정적분의 계산:
피적분함수를 전개하면
\[(2x^3 - 3x + 4)f(x) = (2x^3 - 3x)f(x) + 4f(x)\]
함수 $f(x)$는 우함수($f(-x) = f(x)$)이고, $g(x) = 2x^3 - 3x$는 기함수($g(-x) = -g(x)$)이다.
기함수와 우함수의 곱 $(2x^3 - 3x)f(x)$는 기함수이다.
따라서 대칭구간 $[-3, 3]$에서의 기함수의 정적분은 $0$이다.
\[\int_{-3}^3 (2x^3 - 3x)f(x) dx = 0\]
우함수 $4f(x)$의 정적분은
\[\int_{-3}^3 4f(x) dx = 4 \times 2 \int_0^3 f(x) dx = 8 \int_0^3 f(x) dx\]
조건에서 $\int_0^3 f(x) dx = 5$이므로
\[\int_{-3}^3 (2x^3 - 3x + 4)f(x) dx = 8 \times 5 = 40\]이다.

🎯 [1-1], [1-2] 정답:(1) $-\frac{1}{2} \lt k \lt 0$ | (2) $40$

💡 [1-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [1-3] 격자 위 직사각형 및 정사각형 개수와 극한 계산:
$n \times n$ 격자에는 가로 방향 선분이 $n+1$개, 세로 방향 선분이 $n+1$개 있다.
(1) 모든 직사각형의 개수 $R_n$:
가로 선분 $n+1$개 중 2개를 고르고, 세로 선분 $n+1$개 중 2개를 고르면 직사각형 1개가 결정된다.
\[R_n = {}_{n+1}\mathrm{C}_2 \times {}_{n+1}\mathrm{C}_2 = \left( \frac{(n+1)n}{2} \right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\]
(2) 모든 정사각형의 개수 $S_n$:
한 변의 길이가 $k$ ($1 \le k \le n$)인 정사각형의 개수는 가로 방향으로 $n-k+1$개, 세로 방향으로 $n-k+1$개 배치될 수 있으므로 $(n-k+1)^2$개이다.
\[S_n = \sum_{k=1}^n (n-k+1)^2 = \sum_{m=1}^n m^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
(3) 비율의 극한 $\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{R_n}$ 계산:
\[\frac{S_n}{R_n} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n^2(n+1)^2}{4}} = \frac{4 n(n+1)(2n+1)}{6 n^2(n+1)^2} = \frac{2(2n+1)}{3 n(n+1)} = \frac{4n + 2}{3n^2 + 3n}\]
분모는 $n$에 대한 2차식이고 분자는 1차식이므로,
\[\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{R_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n+2}{3n^2+3n} = 0\]이다.

🎯 [1-3] 최종 정답:(3) $R_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4},\; S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, 극한값 $0$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1-1	판별식 $D \gt 0$, 두 근의 합·곱 부등식 $3$가지 수립	6점
1-1	공통 범위 $-\frac{1}{2} \lt k \lt 0$ 정확 도출	6점
1-2	기함수$\times$우함수 기함수 증명 및 적분값 $0$ 소거	8점
1-2	우함수 대칭 정적분 계산을 통한 최종값 $40$ 도출	8점
1-3	직사각형 개수 $R_n = \left({}_{n+1}\mathrm{C}_2\right)^2$ 공식 도출	6점
1-3	정사각형 개수 $S_n = \sum_{m=1}^n m^2$ 시그마 계산식 유도	8점
1-3	분모·분자 최고차항 차수 비교를 통한 극한값 $0$ 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 정의역 및 단서 조건 엄격성: 문제에서 주어진 기우성, 대칭축, 극솟값 $0$ 조건을 논리적 비약 없이 식에 명확히 반영했는지를 중점 평가합니다.

• 서술형 감점 방지: 단순히 최종 답만 적는 경우 부분점수가 대폭 감점되므로, 각 단계별 수식 유도 원리를 반드시 명시하십시오.

🎯 [1-1], [1-2] 정답: (1) $-\frac{1}{2} \lt k \lt 0$ | (2) $40$ / 🎯 [1-3] 최종 정답: (3) $R_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4},\; S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, 극한값 $0$

【문제 2】 원문 요약 — 제5회 문제 2 (타원의 직교 접선 자취(준원), 중복조합, 순서 조건부확률) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

📌 【제시문】

1. 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$이다.

2. 서로 다른 $n$개 중에서 중복을 허락하여 $r$개를 택하는 중복조합의 수는 ${}_n\mathrm{H}_r = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$이다.

3. 사건 $A$가 일어났을 때 사건 $B$가 일어날 조건부확률은 $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$이다.

[2-2] 방정식 $x + y + z + w = 12$를 만족시키는 음이 아닌 정수해 $(x, y, z, w)$ 중에서 $x \ge 2$, $y \ge 1$을 만족시키는 순서쌍의 개수를 구하시오. (16점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 2 · 총 50점

💡 [2-1], [2-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [2-1] 타원의 직교하는 두 접선의 자취(준원) 유도:
점 $P(x_0, y_0)$을 지나고 기울기가 $m$인 타원 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$의 접선의 방정식은
\[y_0 - m x_0 = \pm \sqrt{9m^2 + 4}\]
양변을 제곱하여 정리하면
\[(y_0 - m x_0)^2 = 9m^2 + 4 \iff y_0^2 - 2x_0 y_0 m + x_0^2 m^2 = 9m^2 + 4\]
\[m^2(x_0^2 - 9) - 2x_0 y_0 m + (y_0^2 - 4) = 0\]
이 방정식은 점 $P$에서 타원에 그은 두 접선의 기울기 $m_1, m_2$를 두 근으로 하는 $m$에 대한 이차방정식이다.
두 접선이 서로 수직이므로 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 곱은 $-1$이어야 한다.
\[m_1 m_2 = \frac{y_0^2 - 4}{x_0^2 - 9} = -1\]
\[y_0^2 - 4 = -(x_0^2 - 9) = -x_0^2 + 9 \iff x_0^2 + y_0^2 = 13\]
(접선 중 하나가 축에 평행하여 기울기가 정의되지 않는 경우 점 $(\pm 3, \pm 2)$ 역시 $x_0^2 + y_0^2 = 9 + 4 = 13$을 만족한다.)
따라서 구하는 점 $P$의 자취의 방정식은 $x^2 + y^2 = 13$이며, 이는 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $\sqrt{13}$인 원(준원, Director Circle)이다.

• [2-2] 중복조합을 이용한 정수해 개수 계산:
$x + y + z + w = 12$에서 $x \ge 2, y \ge 1, z \ge 0, w \ge 0$이다.
$x' = x - 2 \ge 0$, $y' = y - 1 \ge 0$, $z' = z \ge 0$, $w' = w \ge 0$으로 치환하면
\[(x' + 2) + (y' + 1) + z' + w' = 12 \iff x' + y' + z' + w' = 9\]
이 방정식의 음이 아닌 정수해의 개수는 서로 다른 4개($x', y', z', w'$)에서 중복을 허락하여 9개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
\[{}_4\mathrm{H}_9 = {}_{4+9-1}\mathrm{C}_9 = {}_{12}\mathrm{C}_9 = {}_{12}\mathrm{C}_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220\]이다.

🎯 [2-1], [2-2] 정답:(1) $x^2 + y^2 = 13$ (원) | (2) $220$

💡 [2-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [2-3] 순서 조건 확률 및 조건부확률 도출:
주사위를 4번 던져 나오는 전체 경우의 수는 $6^4 = 1296$이다.
(1) $a \le b \le c \le d$인 경우의 수 $N(A)$:
1부터 6까지의 6개의 눈 중에서 중복을 허락하여 4개를 택하면 크기순으로 자동 배열된다.
\[N(A) = {}_6\mathrm{H}_4 = {}_{6+4-1}\mathrm{C}_4 = {}_9\mathrm{C}_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126\]가지이다.
따라서 사건 $A$의 확률은 $P(A) = \frac{126}{6^4} = \frac{126}{1296} = \frac{7}{72}$이다.
(2) $a \le b \le c \le d$이면서 $a \lt d$인 경우의 수 $N(A \cap B)$:
사건 $A$의 여사건 관점에서 $a = d$인 경우를 생각하면, $a \le b \le c \le d$이므로 $a = b = c = d$이어야 한다.
$a = b = c = d$가 되는 경우는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$의 6가지뿐이다.
따라서 $a \lt d$가 되는 경우의 수는 전체 126가지에서 6가지를 뺀 $126 - 6 = 120$가지이다.
그러므로 구하는 조건부확률은
\[P(a \lt d \mid a \le b \le c \le d) = \frac{N(A \cap B)}{N(A)} = \frac{120}{126} = \frac{20}{21}\]이다.

🎯 [2-3] 최종 정답:(3) $P(A) = \frac{7}{72}$, 조건부확률 $= \frac{20}{21}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	점 $P$를 지나는 접선의 $m$에 대한 이차방정식 유도	6점
2-1	수직 조건 $m_1 m_2 = -1$ 적용 및 원의 방정식 $x^2 + y^2 = 13$ 도출	8점
2-2	치환을 통한 음이 아닌 정수해 $x'+y'+z'+w'=9$ 방정식 변환	6점
2-2	중복조합 ${}_4\mathrm{H}_9 = {}_{12}\mathrm{C}_3 = 220$ 계산 완결	10점
2-3	중복조합 ${}_6\mathrm{H}_4 = 126$ 및 $P(A) = \frac{7}{72}$ 정확 계산	10점
2-3	$a=d$인 $6$가지 제외 및 조건부확률 $\frac{120}{126} = \frac{20}{21}$ 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 미분가능성 및 증감표 논증: 극대·극소 판정 시 1계 도함수의 부호 변화 또는 2계 도함수의 볼록성 조사를 명쾌히 증명해야 합니다.

• 확률/통계 조건부확률: 분모가 되는 전체 확률 $P(B)$와 분자의 교집합 확률 $P(A \cap B)$를 수식 기호로 분리하여 기술하십시오.

🎯 [2-1], [2-2] 정답: (1) $x^2 + y^2 = 13$ (원) | (2) $220$ / 🎯 [2-3] 최종 정답: (3) $P(A) = \frac{7}{72}$, 조건부확률 $= \frac{20}{21}$

【문제 1】 원문 요약 — 제6회 문제 1 (지수·로그부등식, 귀납적 정의 수열, 정적분과 넓이 이등분) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

📌 【제시문】

1. 밑이 $a \gt 1$인 로그부등식 $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$의 해는 진수 조건 $f(x) \gt 0,\; g(x) \gt 0$과 $f(x) \le g(x)$를 동시에 만족시키는 범위이다.

3. 포물선 $y = -x^2 + kx$ ($k \gt 0$)와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\int_0^k (-x^2 + kx)\,dx = \frac{k^3}{6}$이다.

[1-1] 부등식 $\log_3(x - 2) + \log_3(10 - x) \ge 2$를 만족시키는 모든 정수 $x$의 값들의 합을 구하시오. (12점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 1 · 총 50점

💡 [1-1], [1-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [1-1] 진수 조건 및 로그부등식 풀이:
진수 조건에서 $x - 2 \gt 0,\; 10 - x \gt 0 \implies 2 \lt x \lt 10$이다.
부등식을 정리하면 $\log_3\{(x - 2)(10 - x)\} \ge \log_3 9$이므로 $(x - 2)(10 - x) \ge 9 \iff x^2 - 12x + 29 \le 0$이다.
근의 공식에서 $6 - \sqrt{7} \le x \le 6 + \sqrt{7}$이고 $2 \lt \sqrt{7} \lt 3$이므로 $3.xx \le x \le 8.xx$이다.
따라서 정수 $x$는 $4, 5, 6, 7, 8$ ($5$개)이며 그 합은 $4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30$이다.

• [1-2] 역수 치환 등차수열과 부분분수 급수:
양변의 역수를 취하면 $\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 2$이고 $\frac{1}{a_1} = 1$이므로 $\frac{1}{a_n} = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1 \implies a_n = \frac{1}{2n - 1}$이다.
따라서 $\sum_{k=1}^{12} a_k a_{k+1} = \sum_{k=1}^{12} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{25}\right) = \frac{12}{25}$이다.

🎯 [1-1], [1-2] 정답:(1) 30 | (2) $a_n = \frac{1}{2n-1},\; \text{합 } \frac{12}{25}$

💡 [1-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [1-3] 포물선 넓이 이등분과 접선 넓이 계산:
포물선 $y = -x^2 + 6x$와 $x$축으로 둘러싸인 넓이는 $S_1 = \frac{6^3}{6} = 36$이다.
직선 $y = mx$와의 교점은 $x = 0,\; 6 - m$이므로 둘러싸인 넓이는 $S_2 = \frac{(6 - m)^3}{6}$이다.
$S_2 = \frac{1}{2}S_1 = 18$에서 $(6 - m)^3 = 108$이다.
한편 점 $(3, 9)$는 포물선의 꼭짓점이므로 접선은 $y = 9$이고, 피적분함수는 $9 - (-x^2 + 6x) = (x - 3)^2$이다.
따라서 둘러싸인 넓이는 $\int_0^6 (x - 3)^2\,dx = 2\int_0^3 u^2\,du = 2\left[\frac{1}{3}u^3\right]_0^3 = 18$이다.

🎯 [1-3] 정답:$(6 - m)^3 = 108$, 접선과 둘러싸인 넓이 $18$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1-1	진수 조건 $2 \lt x \lt 10$ 명시 및 이차부등식 $x^2 - 12x + 29 \le 0$ 수립	6점
1-1	정수 $x = 4, 5, 6, 7, 8$ 판별 및 합 $30$ 산출	6점
1-2	역수 등차수열 변환으로 일반항 $a_n = \frac{1}{2n-1}$ 도출	7점
1-2	부분분수 분해 및 합 $\frac{12}{25}$ 계산	7점
1-3	포물선 전체 넓이 $36$ 및 직선 분할 넓이 $\frac{(6-m)^3}{6}$ 수립	8점
1-3	이등분 조건으로부터 $(6-m)^3 = 108$ 도출	8점
1-3	꼭짓점 접선 $y = 9$ 및 정적분 넓이 $18$ 계산 완결	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 정의역 및 단서 조건 엄격성: 문제에서 주어진 정의역·등호 조건과 기하적 대칭성을 논리적 비약 없이 식에 명확히 반영했는지를 중점 평가합니다.

• 서술형 감점 방지: 단순히 최종 답만 적는 경우 부분점수가 대폭 감점되므로, 각 단계별 수식 유도 원리를 반드시 명시하십시오.

🎯 [1-1], [1-2] 정답: (1) 30 | (2) $a_n = \frac{1}{2n-1},\; \text{합 } \frac{12}{25}$ / 🎯 [1-3] 정답: $(6 - m)^3 = 108$, 접선과 둘러싸인 넓이 $18$

【문제 2】 원문 요약 — 제6회 문제 2 (삼각법칙 기하 추론, 미분가능성과 극값, 조건부확률) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.22 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

📌 【제시문】

1. 삼각형 $ABC$의 세 변의 길이를 $a, b, c$, 외접원의 반지름을 $R$이라 하면 $\frac{a}{\sin A} = 2R$과 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$가 성립한다.

3. 사건 $B$가 일어났을 때 사건 $A$가 일어날 조건부확률은 $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$이다.

[2-1] 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 4,\; \overline{AC} = 6,\; \angle A = \frac{\pi}{3}$일 때, 변 $BC$의 길이와 외접원의 반지름 $R$을 각각 구하시오. (12점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 2 · 총 50점

💡 [2-1], [2-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [2-1] 코사인법칙과 사인법칙 적용:
$\overline{BC}^2 = 4^2 + 6^2 - 2\cdot 4\cdot 6\cos\frac{\pi}{3} = 16 + 36 - 24 = 28$이므로 $\overline{BC} = 2\sqrt{7}$이다.
사인법칙에서 $2R = \frac{2\sqrt{7}}{\sin(\pi/3)} = \frac{4\sqrt{21}}{3}$이므로 $R = \frac{2\sqrt{21}}{3}$이다.

• [2-2] 삼차함수의 극값과 변곡접선:
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0$에서 극댓값은 $f(1) = k + 4$, 극솟값은 $f(3) = k$이다.
$k + 4 = 3k \implies k = 2$이므로 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$이다.
변곡점의 $x$좌표는 $x = 2$이고 $f(2) = 4,\; f'(2) = -3$이므로 변곡접선은 $y - 4 = -3(x - 2) \implies y = -3x + 10$이다.

🎯 [2-1], [2-2] 정답:(1) $\overline{BC} = 2\sqrt{7},\; R = \frac{2\sqrt{21}}{3}$ | (2) $k = 2,\; y = -3x + 10$

💡 [2-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [2-3] 전체확률의 법칙과 베이즈 정리 적용:
주사위에서 $3$의 배수가 나올 확률은 $P(A) = \frac{1}{3}$, 그 외의 확률은 $P(B) = \frac{2}{3}$이다.
상자 $A$에서 꺼낸 $2$개의 공의 색이 다를 확률은 $P(E \mid A) = \frac{{}_3\mathrm{C}_1 \cdot {}_2\mathrm{C}_1}{{}_5\mathrm{C}_2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$이다.
상자 $B$에서 꺼낸 $2$개의 공의 색이 다를 확률은 $P(E \mid B) = \frac{{}_2\mathrm{C}_1 \cdot {}_4\mathrm{C}_1}{{}_6\mathrm{C}_2} = \frac{8}{15}$이다.
따라서 $P(E) = \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5} + \frac{2}{3}\cdot\frac{8}{15} = \frac{3}{15} + \frac{16}{45} = \frac{25}{45} = \frac{5}{9}$이고, $P(A \mid E) = \frac{9/45}{25/45} = \frac{9}{25}$이다.

🎯 [2-3] 정답:$P(E) = \frac{5}{9},\; P(A \mid E) = \frac{9}{25}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	코사인법칙으로 $\overline{BC} = 2\sqrt{7}$ 정확 산출	6점
2-1	사인법칙으로 외접원 반지름 $R = \frac{2\sqrt{21}}{3}$ 도출	6점
2-2	도함수 인수분해 및 $k = 2$ 확정	8점
2-2	변곡점 $(2, 4)$ 및 접선 $y = -3x + 10$ 도출	8점
2-3	조건부확률 $P(E\mid A) = \frac{3}{5}$ 및 $P(E\mid B) = \frac{8}{15}$ 산출	8점
2-3	전체확률 $P(E) = \frac{5}{9}$ 계산	7점
2-3	사후확률 $P(A\mid E) = \frac{9}{25}$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 서술형 감점 방지: 단순히 최종 답만 적는 경우 부분점수가 대폭 감점되므로, 각 단계별 수식 유도 원리를 반드시 명시하십시오.

🎯 [2-1], [2-2] 정답: (1) $\overline{BC} = 2\sqrt{7},\; R = \frac{2\sqrt{21}}{3}$ | (2) $k = 2,\; y = -3x + 10$ / 🎯 [2-3] 정답: $P(E) = \frac{5}{9},\; P(A \mid E) = \frac{9}{25}$

【문제 1】 원문 요약 — 제7회 문제 1 (삼차함수 극한 결정, 평균값 정리, 정적분 함수의 최솟값) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

📌 【제시문】

1. 다항함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x - a} = L$이 존재하면 $f(a) = 0$이고 $f'(a) = L$이다.

3. 연속함수 $h(x)$에 대하여 $G(t) = \int_a^b |h(x) - t|\,dx$가 최소가 되도록 하는 실수 $t$는 구간 $[a, b]$의 중점에서의 함숫값과 관련된다.

[1-2] 위에서 구한 함수 $f(x)$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c \in (0, 3)$의 값을 구하시오. (16점)

[1-3] 실수 $t$에 대하여 함수 $H(t) = \int_0^3 (2x - t)^2\,dx$의 최솟값과 그때의 $t$의 값을 구하고, 정적분 $\int_0^3 |2x - 3|\,dx$의 값을 구하시오. (22점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 1 · 총 50점

💡 [1-1], [1-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [1-1] 다항함수의 차수 및 계수 결정:
$f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 4$로 놓으면 $f(2) = 0$에서 $8 + 4a + 2b - 4 = 0 \implies 2a + b = -2$이다.
$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{(x-2)(x+2)} = \frac{f'(2)}{4} = 3 \implies f'(2) = 12$이다.
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$에서 $12 + 4a + b = 12 \implies 4a + b = 0$이므로 연립하면 $a = 1,\; b = -4$이다. 따라서 $f(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4$이다.

• [1-2] 평균값 정리 만족점 산출:
$f(3) = 27 + 9 - 12 - 4 = 20,\; f(0) = -4$이므로 평균변화율은 $\frac{20 - (-4)}{3 - 0} = 8$이다.
$f'(c) = 3c^2 + 2c - 4 = 8 \implies 3c^2 + 2c - 12 = 0$에서 $c \gt 0$이므로 $c = \frac{-1 + \sqrt{37}}{3}$이다.

🎯 [1-1], [1-2] 정답:(1) $f(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4$ | (2) $c = \frac{-1 + \sqrt{37}}{3}$

💡 [1-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [1-3] 정적분으로 정의된 이차함수와 절댓값 정적분:
$H(t) = \int_0^3 (4x^2 - 4tx + t^2)\,dx = \left[\frac{4}{3}x^3 - 2tx^2 + t^2 x\right]_0^3 = 36 - 18t + 3t^2 = 3(t - 3)^2 + 9$이다.
따라서 $t = 3$일 때 최솟값 $9$를 갖는다.
또한 $\int_0^3 |2x - 3|\,dx = \int_0^{3/2} (3 - 2x)\,dx + \int_{3/2}^3 (2x - 3)\,dx = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$이다.

🎯 [1-3] 정답:$t = 3$일 때 최솟값 $9$, 절댓값 정적분 $\frac{9}{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1-1	$f(2) = 0$ 및 $f'(2) = 12$ 조건 도출	6점
1-1	연립방정식 풀이로 $f(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4$ 확정	6점
1-2	평균변화율 $8$ 계산 및 도함수 방정식 $3c^2 + 2c - 12 = 0$ 수립	8점
1-2	구간 $(0, 3)$ 내의 해 $c = \frac{-1 + \sqrt{37}}{3}$ 도출	8점
1-3	$H(t) = 3t^2 - 18t + 36$ 전개	8점
1-3	완전제곱 변형으로 $t = 3$에서 최솟값 $9$ 도출	7점
1-3	구간 분할로 절댓값 정적분 $\frac{9}{2}$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 서술형 감점 방지: 단순히 최종 답만 적는 경우 부분점수가 대폭 감점되므로, 각 단계별 수식 유도 원리를 반드시 명시하십시오.

🎯 [1-1], [1-2] 정답: (1) $f(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4$ | (2) $c = \frac{-1 + \sqrt{37}}{3}$ / 🎯 [1-3] 정답: $t = 3$일 때 최솟값 $9$, 절댓값 정적분 $\frac{9}{2}$

【문제 2】 원문 요약 — 제7회 문제 2 (등차·등비수열, 포물선의 초점과 접선, 이산확률변수의 분산) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

📌 【제시문】

1. 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$에 대하여 $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1}$이고 $a_1 = S_1$이다.

2. 포물선 $y^2 = 4px$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $y_1 y = 2p(x + x_1)$이다.

3. 확률변수 $X$의 평균이 $E(X)$, 분산이 $V(X)$일 때 $V(aX + b) = a^2 V(X)$이다.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 2 · 총 50점

💡 [2-1], [2-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [2-1] 부분합으로부터 일반항 및 망원급수 도출:
$a_1 = S_1 = 5$이고 $n \ge 2$일 때 $a_n = (2n^2 + 3n) - \{2(n-1)^2 + 3(n-1)\} = 4n + 1$ ($n=1$에서도 성립)이다.
따라서 $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{45}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{45} = \frac{2}{45}$이다.

• [2-2] 포물선의 접선과 초점 기하:
$y^2 = 12x = 4\cdot 3 x$이므로 초점은 $F(3, 0)$이다.
점 $P(3, 6)$에서의 접선 $l$은 $6y = 6(x + 3) \implies y = x + 3$이므로 $x$절편은 $A(-3, 0)$이다.
삼각형 $PAF$에서 밑변 $\overline{AF} = 6$, 높이 $y_P = 6$이고 $x_P = x_F = 3$이므로 $\angle PFA = \frac{\pi}{2}$인 직각이등변삼각형이다.
따라서 넓이는 $\frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$이고, $\overline{PA} = 6\sqrt{2}$이므로 둘레의 길이는 $12 + 6\sqrt{2}$이다.

🎯 [2-1], [2-2] 정답:(1) $a_n = 4n + 1,\; \text{합 } \frac{2}{45}$ | (2) 넓이 $18$, 둘레 $12 + 6\sqrt{2}$

💡 [2-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [2-3] 이산확률변수의 확률분포와 분산:
전체 경우의 수는 ${}_4\mathrm{C}_2 = 6$이고 가능한 합은 $X \in \{3, 4, 5, 6, 7\}$이다.
$P(X=3) = \frac{1}{6},\; P(X=4) = \frac{1}{6},\; P(X=5) = \frac{2}{6},\; P(X=6) = \frac{1}{6},\; P(X=7) = \frac{1}{6}$이다.
대칭성에 의해 $E(X) = 5$이고, $V(X) = \frac{1}{6}\{(-2)^2 + (-1)^2 + 0 + 1^2 + 2^2\} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$이다.
따라서 $V(6X - 5) = 36 V(X) = 36 \times \frac{5}{3} = 60$이다.

🎯 [2-3] 정답:$E(X) = 5,\; V(X) = \frac{5}{3},\; V(6X - 5) = 60$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	일반항 $a_n = 4n + 1$ 정확 도출	6점
2-1	부분분수 망원합 $\frac{2}{45}$ 산출	6점
2-2	초점 $F(3, 0)$ 및 접선 $y = x + 3,\; A(-3, 0)$ 도출	8점
2-2	넓이 $18$ 및 둘레 $12 + 6\sqrt{2}$ 계산	8점
2-3	확률변수 $X = 3, 4, 5, 6, 7$ 확률분포표 작성	8점
2-3	기댓값 $E(X) = 5$ 및 분산 $V(X) = \frac{5}{3}$ 도출	7점
2-3	선형 변환 분산 $V(6X - 5) = 60$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 서술형 감점 방지: 단순히 최종 답만 적는 경우 부분점수가 대폭 감점되므로, 각 단계별 수식 유도 원리를 반드시 명시하십시오.

🎯 [2-1], [2-2] 정답: (1) $a_n = 4n + 1,\; \text{합 } \frac{2}{45}$ | (2) 넓이 $18$, 둘레 $12 + 6\sqrt{2}$ / 🎯 [2-3] 정답: $E(X) = 5,\; V(X) = \frac{5}{3},\; V(6X - 5) = 60$

【문제 1】 원문 요약 — 제8회 문제 1 (구간별 함수의 미분가능성, 사차함수 극댓값 조건, 속도·가속도 거리) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

📌 【제시문】

1. 구간별로 정의된 함수가 경계점 $x = a$에서 미분가능하려면 $x = a$에서 연속이고 좌미분계수와 우미분계수가 일치해야 한다.

2. 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 $f(x)$가 극댓값을 가지려면 도함수 $f'(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.

3. 수직선 위를 움직이는 점의 속도가 $v(t)$일 때 시각 $t = a$에서 $t = b$까지 움직인 거리는 $\int_a^b |v(t)|\,dt$이다.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 1 · 총 50점

💡 [1-1], [1-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [1-1] 연속 조건과 미분가능 조건 연립:
$x = 2$에서 미분계수가 일치하므로 $3(2)^2 - 2 = 2b(2) - 4 \implies 10 = 4b - 4 \implies b = \frac{7}{2}$이다.
연속 조건에서 $8 - 4 + a = \frac{7}{2}(4) - 8 + 6 \implies 4 + a = 12 \implies a = 8$이다.
따라서 $f(-1) = -1 + 2 + 8 = 9,\; f(3) = \frac{63}{2} - 12 + 6 = \frac{51}{2}$이므로 합은 $\frac{69}{2}$이다.

• [1-2] 사차함수의 도함수 근의 판별:
$g'(x) = 12x^3 - 24x^2 + 12kx = 12x(x^2 - 2x + k)$이다.
서로 다른 세 실근을 가지려면 $k \ne 0$이고 판별식 $D/4 = 1 - k \gt 0 \implies k \lt 1$ ($k \ne 0$)이다.
$k = -1$이면 $g'(x) = 12x(x^2 - 2x - 1)$이 아닌 정수 근을 위해 $g(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$ ($k = -2$)에서는 $x=0$에서 극대 $0$, $k=-1$일 때는 근과 계수의 관계로 계산하거나 $g(0)=0$이 극댓값이다.

🎯 [1-1], [1-2] 정답:(1) $a = 8,\; b = \frac{7}{2},\; \text{합 } \frac{69}{2}$ | (2) $k \lt 1$ ($k \ne 0$), 극댓값 $g(0) = 0$

💡 [1-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [1-3] 운동 방향 전환 시각과 절댓값 정적분 거리:
$v(t) = -3(t - 1)(t - 3) = 0$에서 운동 방향이 바뀌는 시각은 $t = 1$과 $t = 3$이다.
부정적분 $x(t) = -t^3 + 6t^2 - 9t$에 대하여 $x(0) = 0,\; x(1) = -4,\; x(3) = 0,\; x(4) = -4$이다.
따라서 $t = 0$부터 $t = 4$까지 실제로 움직인 총 거리는 $|-4 - 0| + |0 - (-4)| + |-4 - 0| = 4 + 4 + 4 = 12$이다.

🎯 [1-3] 정답:방향 전환 시각 $t = 1, 3$, 총 움직인 거리 $12$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1-1	좌·우미분계수 일치로 $b = \frac{7}{2}$ 도출	6점
1-1	연속 조건으로 $a = 8$ 및 함숫값 합 $\frac{69}{2}$ 산출	6점
1-2	도함수 $12x(x^2 - 2x + k)$ 인수분해 및 $k \lt 1$ ($k \ne 0$) 도출	7점
1-2	극댓값 $g(0) = 0$ 및 극솟값 성질 산출	7점
1-3	$v(t) = 0$ 인수분해로 운동 방향 전환 시각 $t = 1, 3$ 도출	8점
1-3	구간별 위치 변화량 $x(1) = -4,\; x(3) = 0,\; x(4) = -4$ 계산	8점
1-3	절댓값 합산으로 총 이동 거리 $12$ 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 서술형 감점 방지: 단순히 최종 답만 적는 경우 부분점수가 대폭 감점되므로, 각 단계별 수식 유도 원리를 반드시 명시하십시오.

🎯 [1-1], [1-2] 정답: (1) $a = 8,\; b = \frac{7}{2},\; \text{합 } \frac{69}{2}$ | (2) $k \lt 1$ ($k \ne 0$), 극댓값 $g(0) = 0$ / 🎯 [1-3] 정답: 방향 전환 시각 $t = 1, 3$, 총 움직인 거리 $12$

【문제 2】 원문 요약 — 제8회 문제 2 (타원의 초점 정의, 공간벡터와 평면의 방정식, 중복조합) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

📌 【제시문】

1. 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a \gt b \gt 0$) 위의 점 $P$와 두 초점 $F, F'$에 대하여 $\overline{PF} + \overline{PF'} = 2a$이다.

2. 좌표공간에서 법선벡터가 $\vec{n} = (a, b, c)$인 평면 $ax + by + cz + d = 0$과 원점 사이의 거리는 $\frac{|d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$이다.

3. 방정식 $x_1 + x_2 + \dots + x_n = r$의 음이 아닌 정수해의 개수는 ${}_n\mathrm{H}_r = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$이다.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 2 · 총 50점

💡 [2-1], [2-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [2-1] 타원의 정의와 직각삼각형 피타고라스 정리:
$a = 4,\; b = \sqrt{7}$이므로 $c = \sqrt{16 - 7} = 3$이고 $\overline{F'F} = 6,\; \overline{PF} + \overline{PF'} = 8$이다.
$\overline{PF}^2 + \overline{PF'}^2 = 6^2 = 36$이므로 $2\overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 8^2 - 36 = 28 \implies \overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 14$이다.
따라서 삼각형 $PF'F$의 넓이는 $\frac{1}{2}\overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 7$이다.

• [2-2] 평면의 방정식과 정사영 넓이:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1 \implies 2x + y + z - 4 = 0$이다.
법선벡터 $\vec{n} = (2, 1, 1)$의 크기는 $\sqrt{6}$이므로 원점 거리는 $d = \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$이다.
$\operatorname{Area}(\triangle OAB) = 4$이고 $xy$평면과의 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{6}}$이므로 $\operatorname{Area}(\triangle ABC) = 4\sqrt{6}$이다.

🎯 [2-1], [2-2] 정답:(1) 넓이 $7$ | (2) $2x + y + z - 4 = 0,\; d = \frac{2\sqrt{6}}{3},\; S = 4\sqrt{6}$

💡 [2-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [2-3] 중복조합을 이용한 분배 경우의 수:
(i) 각 상자에 적어도 $1$개 이상 담는 경우: $x + y + z + w = 11$ ($x, y, z, w \ge 1$)에서 $x' + y' + z' + w' = 7$이므로 ${}_4\mathrm{H}_7 = {}_{10}\mathrm{C}_7 = {}_{10}\mathrm{C}_3 = 120$가지이다.
(ii) $x \ge 3,\; y \ge 2,\; z \ge 0,\; w \ge 0$인 경우: $x'' = x - 3,\; y'' = y - 2$로 치환하면 $x'' + y'' + z + w = 6$이므로 ${}_4\mathrm{H}_6 = {}_9\mathrm{C}_6 = {}_9\mathrm{C}_3 = 84$가지이다.

🎯 [2-3] 정답:적어도 1개 이상: $120$가지 | $A \ge 3, B \ge 2$: $84$가지

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	$\overline{PF} + \overline{PF'} = 8$ 및 $\overline{FF'} = 6$ 도출	6점
2-1	곱셈 공식으로 $\overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 14$ 및 넓이 $7$ 산출	6점
2-2	평면 방정식 $2x + y + z - 4 = 0$ 및 원점 거리 $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ 도출	8점
2-2	정사영 공식으로 삼각형 $ABC$ 넓이 $4\sqrt{6}$ 계산	8점
2-3	자연수 해 치환 ${}_4\mathrm{H}_7$ 수립 및 $120$가지 산출	11점
2-3	하한 치환 ${}_4\mathrm{H}_6$ 수립 및 $84$가지 산출	11점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 서술형 감점 방지: 단순히 최종 답만 적는 경우 부분점수가 대폭 감점되므로, 각 단계별 수식 유도 원리를 반드시 명시하십시오.

🎯 [2-1], [2-2] 정답: (1) 넓이 $7$ | (2) $2x + y + z - 4 = 0,\; d = \frac{2\sqrt{6}}{3},\; S = 4\sqrt{6}$ / 🎯 [2-3] 정답: 적어도 1개 이상: $120$가지 | $A \ge 3, B \ge 2$: $84$가지

【문제 1】 원문 요약 — 제9회 문제 1 (지수·로그 역함수 교점, 삼차함수 밖에서 그은 접선, 역함수 정적분) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

📌 【제시문】

1. 함수 $y = f(x)$와 그 역함수 $y = f^{-1}(x)$의 그래프는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.

2. 곡선 $y = g(x)$ 밖의 점 $(a, b)$에서 그은 접선의 개수는 접점의 $x$좌표 $t$에 대한 방정식 $b - g(t) = g'(t)(a - t)$의 서로 다른 실근의 개수와 같다.

3. 증가하는 연속함수 $f(x)$와 그 역함수 $f^{-1}(x)$에 대하여 $\int_a^b f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)\,dx = b f(b) - a f(a)$이다.

[1-2] 점 $(0, k)$에서 곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2$에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오. (16점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 1 · 총 50점

💡 [1-1], [1-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [1-1] 역함수 대칭과 교점 거리:
$3^{x-1} + 2 = -x + 7$에서 좌변은 증가하고 우변은 감소하며 $x = 2$를 대입하면 $3^1 + 2 = 5 = -2 + 7$로 성립하므로 $A(2, 5)$이다.
역함수 대칭성에 의해 $B(5, 2)$이므로 $\overline{AB} = \sqrt{(5-2)^2 + (2-5)^2} = 3\sqrt{2}$이다.

• [1-2] 접점 방정식의 실근의 개수:
접점을 $(t, t^3 - 3t^2 + 2)$라 하면 접선의 $y$절편은 $k = (t^3 - 3t^2 + 2) - t(3t^2 - 6t) = -2t^3 + 3t^2 + 2 = \phi(t)$이다.
$\phi'(t) = -6t(t - 1) = 0$에서 극솟값은 $\phi(0) = 2$, 극댓값은 $\phi(1) = 3$이므로 서로 다른 세 접선을 그을 조건은 $2 \lt k \lt 3$이다.

🎯 [1-1], [1-2] 정답:(1) $\overline{AB} = 3\sqrt{2}$ | (2) $2 \lt k \lt 3$

💡 [1-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [1-3] 원래 함수와 역함수의 정적분 관계:
$g(0) = 1,\; g(2) = 8 + 4 + 1 = 13$이다.
$\int_0^2 (x^3 + 2x + 1)\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4 + x^2 + x\right]_0^2 = 4 + 4 + 2 = 10$이다.
따라서 $\int_1^{13} h(x)\,dx = 2 \times 13 - 0 \times 1 - 10 = 16$이다.
또한 $\int_1^{13} \{x - h(x)\}\,dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_1^{13} - 16 = \frac{169 - 1}{2} - 16 = 84 - 16 = 68$이다.

🎯 [1-3] 정답:$\int_0^2 g(x)\,dx = 10,\; \int_1^{13} h(x)\,dx = 16,\; \int_1^{13} \{x - h(x)\}\,dx = 68$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1-1	단조성을 이용한 교점 $A(2, 5),\; B(5, 2)$ 확정	6점
1-1	선분 $AB$의 길이 $3\sqrt{2}$ 도출	6점
1-2	접점 방정식 $k = -2t^3 + 3t^2 + 2$ 수립	8점
1-2	극값 계산으로 $2 \lt k \lt 3$ 확정	8점
1-3	정적분 $\int_0^2 g(x)\,dx = 10$ 계산	7점
1-3	직사각형 차 공식으로 $\int_1^{13} h(x)\,dx = 16$ 도출	8점
1-3	정적분 차 $84 - 16 = 68$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 서술형 감점 방지: 단순히 최종 답만 적는 경우 부분점수가 대폭 감점되므로, 각 단계별 수식 유도 원리를 반드시 명시하십시오.

🎯 [1-1], [1-2] 정답: (1) $\overline{AB} = 3\sqrt{2}$ | (2) $2 \lt k \lt 3$ / 🎯 [1-3] 정답: $\int_0^2 g(x)\,dx = 10,\; \int_1^{13} h(x)\,dx = 16,\; \int_1^{13} \{x - h(x)\}\,dx = 68$

【문제 2】 원문 요약 — 제9회 문제 2 (수학적 귀납법 증명, 쌍곡선의 초점과 점근선, 모비율의 신뢰구간) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

📌 【제시문】

1. 자연수 $n$에 대한 등식 또는 부등식을 수학적 귀납법으로 증명할 때는 $n=1$일 때의 성립 여부와 $n=k \implies n=k+1$의 연역 과정을 보인다.

2. 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$의 두 초점은 $(\pm\sqrt{a^2+b^2}, 0)$이고 점근선은 $y = \pm\frac{b}{a}x$이다.

3. 표본비율이 $\hat{p}$, 표본의 크기가 $n$일 때 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이는 $2 \times 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$이다.

[2-1] 모든 자연수 $n$에 대하여 등식 $\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오. (14점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 2 · 총 50점

💡 [2-1], [2-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [2-1] 수학적 귀납법 증명:
(i) $n = 1$일 때 좌변 $= 1\cdot 2 = 2$, 우변 $= \frac{1\cdot 2\cdot 3}{3} = 2$이므로 성립한다.
(ii) $n = m$일 때 성립한다고 가정하면 $\sum_{k=1}^{m+1} k(k+1) = \frac{m(m+1)(m+2)}{3} + (m+1)(m+2) = \frac{(m+1)(m+2)(m+3)}{3}$이므로 $n = m + 1$일 때도 성립한다.

• [2-2] 쌍곡선의 초점·점근선과 정의:
$a = 4, b = 3 \implies c = 5$이므로 $F(5, 0)$이고 점근선은 $3x \pm 4y = 0$이다.
점 $F(5, 0)$에서 $3x - 4y = 0$까지의 거리는 $\overline{FH} = \frac{15}{5} = 3$이고 $\overline{OH} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$이므로 $\operatorname{Area}(\triangle OFH) = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$이다.
주축의 길이가 $2a = 8$이고 $\overline{PF} = 3$이므로 $\overline{PF'} = 8 + 3 = 11$이다.

🎯 [2-1], [2-2] 정답:(1) 수학적 귀납법 증명 완결 | (2) 넓이 $6,\; \overline{PF'} = 11$

💡 [2-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [2-3] 표본비율과 모비율의 신뢰구간 추정:
표본비율은 $\hat{p} = \frac{256}{400} = 0.64$이고 $1 - \hat{p} = 0.36$이다.
표준오차는 $\sqrt{\frac{0.64 \times 0.36}{400}} = \frac{0.8 \times 0.6}{20} = 0.024$이다.
신뢰도 $95\%$ 오차한계는 $1.96 \times 0.024 = 0.04704$이므로 모비율 $p$의 신뢰구간은 $[0.64 - 0.04704,\; 0.64 + 0.04704] = [0.59296,\; 0.68704]$이다.

🎯 [2-3] 정답:$\hat{p} = 0.64$, 신뢰구간 $[0.59296,\; 0.68704]$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	초기조건 $n = 1$ 성립 확인	5점
2-1	귀납 가정 및 공통인수 $(m+1)(m+2)$ 묶기로 $n = m+1$ 유도	9점
2-2	초점 $F(5, 0)$ 및 수선의 길이 $\overline{FH} = 3,\; \overline{OH} = 4$ 산출	8점
2-2	넓이 $6$ 및 쌍곡선 정의로 $\overline{PF'} = 11$ 도출	8점
2-3	표본비율 $\hat{p} = 0.64$ 및 표준오차 $0.024$ 산출	10점
2-3	$95\%$ 오차한계 $0.04704$ 및 신뢰구간 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 서술형 감점 방지: 단순히 최종 답만 적는 경우 부분점수가 대폭 감점되므로, 각 단계별 수식 유도 원리를 반드시 명시하십시오.

🎯 [2-1], [2-2] 정답: (1) 수학적 귀납법 증명 완결 | (2) 넓이 $6,\; \overline{PF'} = 11$ / 🎯 [2-3] 정답: $\hat{p} = 0.64$, 신뢰구간 $[0.59296,\; 0.68704]$

【문제 1】 원문 요약 — 제10회 문제 1 (함수방정식과 도함수, 우함수·기함수 정적분, 삼차함수 접선 넓이) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

📌 【제시문】

1. 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수는 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$로 정의된다.

2. 닫힌구간 $[-a, a]$에서 우함수의 정적분은 $2\int_0^a f(x)\,dx$이고 기함수의 정적분은 $0$이다.

3. 삼차함수 $y = x^3 + px^2 + qx + r$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선이 곡선과 $(x_2, y_2)$에서 다시 만날 때 둘러싸인 넓이는 $\frac{1}{12}|x_2 - x_1|^4$이다.

[1-2] 위에서 구한 함수 $f(x)$에 대하여 정적분 $\int_{-2}^{2} (x^3 - 2x + 1)f'(x)\,dx$의 값을 구하시오. (14점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 1 · 총 50점

💡 [1-1], [1-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [1-1] 함수방정식과 도함수의 정의:
$x = y = 0$을 대입하면 $f(0) = 2f(0) - 1 \implies f(0) = 1$이다.
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1 + 2xh}{h} = f'(0) + 2x = 2x + 2$이므로 적분하면 $f(x) = x^2 + 2x + 1$이다.

• [1-2] 대칭구간에서 기함수·우함수 분리 적분:
$(x^3 - 2x + 1)(2x + 2) = 2x^4 + 2x^3 - 4x^2 + 2$에서 홀수차 항 $2x^3$의 정적분은 $0$이다.
따라서 $\int_{-2}^{2} (2x^4 - 4x^2 + 2)\,dx = 2\int_0^2 (2x^4 - 4x^2 + 2)\,dx = 2\left[\frac{2}{5}x^5 - \frac{4}{3}x^3 + 2x\right]_0^2 = 2\left(\frac{64}{5} - \frac{32}{3} + 4\right) = \frac{184}{15}$이다.

🎯 [1-1], [1-2] 정답:(1) $f(0) = 1,\; f(x) = x^2 + 2x + 1$ | (2) $\frac{184}{15}$

💡 [1-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [1-3] 삼차함수의 접선과 둘러싸인 도형의 넓이:
$g'(x) = 3x^2 - 4x$에서 $g'(1) = -1$이므로 점 $A(1, 0)$에서의 접선 $l$은 $y = -(x - 1) = -x + 1$이다.
$x^3 - 2x^2 + 1 = -x + 1 \implies x(x - 1)^2 = 0$이므로 접선 $l$은 곡선과 원점 $(0, 1)$에서 다시 만난다.
따라서 둘러싸인 도형의 넓이는 $\int_0^1 x(x - 1)^2\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right]_0^1 = \frac{1}{12}$이다.

🎯 [1-3] 정답:접선 $l : y = -x + 1$, 넓이 $\frac{1}{12}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1-1	$f(0) = 1$ 및 도함수 정의로 $f'(x) = 2x + 2$ 유도	7점
1-1	적분상수 결정으로 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 확정	7점
1-2	우함수·기함수 항 분리	7점
1-2	대칭구간 정적분 $\frac{184}{15}$ 계산	7점
1-3	점 $A(1, 0)$에서의 접선 $y = -x + 1$ 도출	7점
1-3	교점 $x = 0, 1$ 인수분해 확인	7점
1-3	정적분 계산으로 넓이 $\frac{1}{12}$ 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 서술형 감점 방지: 단순히 최종 답만 적는 경우 부분점수가 대폭 감점되므로, 각 단계별 수식 유도 원리를 반드시 명시하십시오.

🎯 [1-1], [1-2] 정답: (1) $f(0) = 1,\; f(x) = x^2 + 2x + 1$ | (2) $\frac{184}{15}$ / 🎯 [1-3] 정답: 접선 $l : y = -x + 1$, 넓이 $\frac{1}{12}$

【문제 2】 원문 요약 — 제10회 문제 2 (구와 공간좌표 거리, 독립시행과 이항분포, 정규분포 확률) — 소문항 3단계 심층 논증 [배점 50점]

[출처: 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

📌 【제시문】

2. 이항분포 $B(n, p)$를 따르는 확률변수 $X$의 평균은 $E(X) = np$, 분산은 $V(X) = np(1-p)$이다.

3. 정규분포 $N(m, \sigma^2)$을 따르는 확률변수 $Y$는 $Z = \frac{Y - m}{\sigma}$를 통해 표준정규분포 $N(0, 1)$으로 변환된다.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 2 · 총 50점

💡 [2-1], [2-2] 논리 전개 유도 및 핵심 수식 과정

• [2-1] 구와 평면의 교선 원 및 최대·최소 거리:
$z = 0$을 대입하면 $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 - 9 = 16$이므로 원 $C$의 중심은 $M(3, 4, 0)$, 반지름은 $r' = 4$, 넓이는 $16\pi$이다.
원점 $O(0, 0, 0)$에서 원 $C$의 중심 $M(3, 4, 0)$까지의 거리는 $\overline{OM} = 5$이고 원 $C$와 원점 $O$는 같은 $xy$평면 위에 있으므로, 거리의 최댓값은 $5 + 4 = 9$, 최솟값은 $5 - 4 = 1$이다.

• [2-2] 이항분포의 평균과 분산 관계:
$V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 \implies 20 = 920 - \{E(X)\}^2$에서 $\{E(X)\}^2 = 900$이고 $E(X) \gt 0$이므로 $E(X) = 30$이다.
$E(X) = 90p = 30$이므로 $p = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$이다 (검산: $V(X) = 90 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = 20$).

🎯 [2-1], [2-2] 정답:(1) 넓이 $16\pi$, 최댓값 $9$, 최솟값 $1$ | (2) $E(X) = 30,\; p = \frac{1}{3}$

💡 [2-3] 논리 전개 유도 및 최종 결론

• [2-3] 표본평균의 정규분포 표준화:
표본의 크기 $n = 25$에 대하여 $\overline{Y} \sim N\left(300, \left(\frac{25}{\sqrt{25}}\right)^2\right) = N(300, 5^2)$이다.
따라서 $P(295 \le \overline{Y} \le 310) = P\left(\frac{295 - 300}{5} \le Z \le \frac{310 - 300}{5}\right) = P(-1.0 \le Z \le 2.0) = 0.3413 + 0.4772 = 0.8185$이다.

🎯 [2-3] 정답:$0.8185$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	교선 원 $C$의 반지름 $4$ 및 넓이 $16\pi$ 산출	7점
2-1	중심 거리 $\overline{OM} = 5$를 이용한 최댓값 $9$, 최솟값 $1$ 도출	7점
2-2	$V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$ 관계식으로 $E(X) = 30$ 도출	8점
2-2	이항분포 평균 공식 $90p = 30$으로부터 $p = \frac{1}{3}$ 산출	8점
2-3	표본평균의 표준편차 $\frac{25}{\sqrt{25}} = 5$ 도출	10점
2-3	표준정규분포 구간 $[-1.0, 2.0]$ 변환 및 $0.8185$ 계산	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

• 서술형 감점 방지: 단순히 최종 답만 적는 경우 부분점수가 대폭 감점되므로, 각 단계별 수식 유도 원리를 반드시 명시하십시오.

🎯 [2-1], [2-2] 정답: (1) 넓이 $16\pi$, 최댓값 $9$, 최솟값 $1$ | (2) $E(X) = 30,\; p = \frac{1}{3}$ / 🎯 [2-3] 정답: $0.8185$

🎯 전형 방식: 논술 70% + 학생부교과 30% (수능최저 미적용) 📌 수능최저 기준: 수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발)

희망 지원 모집단위 선택

수능최저학력기준 충족 여부 체크 (수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발))

문항 1 (50점)

문항 2 (50점)

합산 환산 총점 (100점 만점) 0.0 / 100점

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모집단위	모집인원	명목경쟁률	실질경쟁률	최초합 평균	70% 충원컷	수능최저 기준	실시간 합격 판정
전자공학과	-	-	-	87.0점	84.5점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발)	판정 대기
소프트웨어학부	-	-	-	86.5점	84.0점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발)	판정 대기
컴퓨터정보공학부	-	-	-	86.0점	83.5점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발)	판정 대기
로봇학부	-	-	-	85.5점	83.0점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발)	판정 대기
전자통신공학과	-	-	-	84.5점	82.0점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발)	판정 대기
전자융합공학과	-	-	-	84.0점	81.5점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발)	판정 대기
정보융합학부	-	-	-	83.8점	81.5점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발)	판정 대기
전기공학과	-	-	-	83.5점	81.0점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발)	판정 대기
전자재료공학과	-	-	-	83.0점	80.5점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발)	판정 대기
화학공학과	-	-	-	82.8점	80.5점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발)	판정 대기
환경공학과	-	-	-	81.5점	79.0점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발)	판정 대기
건축공학과	-	-	-	81.0점	78.5점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발)	판정 대기
수학과	-	-	-	80.5점	78.0점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발)	판정 대기
전자바이오물리학과	-	-	-	80.2점	78.0점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발)	판정 대기
화학과	-	-	-	80.0점	77.5점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 선발)	판정 대기

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📋 실전 모의고사 1회~10회 회차별 자기주도 성취도 기록표 (인쇄용 체크시트)

회차	실전 응시일	소요 시간	원점수 / 100점
제1회	2026. . .	분	/ 100
제2회	2026. . .	분	/ 100
제3회	2026. . .	분	/ 100
제4회	2026. . .	분	/ 100
제5회	2026. . .	분	/ 100
제6회	2026. . .	분	/ 100
제7회	2026. . .	분	/ 100
제8회	2026. . .	분	/ 100
제9회	2026. . .	분	/ 100
제10회	2026. . .	분	/ 100

RULE 1

원칙 1. 교과서 정의·정리 우선 선언
답안 첫 줄에 사용할 교과서 정리(사잇값 정리, 평균값 정리, 미분가능성 정의, 조건부확률 곱셈정리 등)를 명시하여 1단계 배점(30%)을 확정하십시오.

RULE 2

원칙 2. 대학 미적분학 과정 공식 사용 철저 배제
고교 교육과정을 벗어난 대학 과정 정리나 무근거 근사식 사용은 채점 기준에서 감점 또는 무효 처리되므로 반드시 교과서 성질만으로 논증하십시오.

RULE 3

원칙 3. 동치 변형과 정의역·부호 경계 조건 명시
로그의 밑·진수 조건, 무리식·분수식의 분모 조건, 치환 변수의 새로운 범위(예: $-1 \le t \le 1$)를 빠짐없이 기록하십시오.

RULE 4

원칙 4. 소문항 간 단계적 연계 구조 활용
앞선 소문항 (1)의 결론은 소문항 (2), (3)을 해결하는 핵심 힌트입니다. (1)이 막히더라도 (1)의 결과를 가정하고 (2)의 식을 세우면 부분점수를 획득할 수 있습니다.

RULE 5

원칙 5. 도형·그래프 보조 문자의 명확한 정의
답안지에 새로운 점·각·길이를 도입할 때는 '점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하자'와 같이 기호의 정의를 한 문장으로 선언하십시오.

RULE 6

원칙 6. 실전 시간 배분 및 검산 루틴 엄수
전체 시험 시간(120분) 중 마지막 10분은 부호 오류, 기약분수 약분 여부, 최종 답란 이기 누락을 점검하는 전용 검산 시간으로 확보하십시오.

RULE 7

원칙 7. 깔끔한 단락 구분과 최종 결론 강조
단계별 번호([1단계], [2단계], [결론])를 줄바꿈하여 가독성을 높이고 최종 수식을 명확히 제시하여 채점위원이 즉시 득점 포인트를 확인하게 하십시오.

📘 2027학년도 광운대학교 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

• 편찬 및 발행: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술·약술형논술 연구소 | 공식 플랫폼: https://questio.co.kr

• 상호: 퀘스티오(QUESTIO) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449

• 교육과정 준거: 교과서 기반 수학과 교육과정 (Textbook DB V1.0 · JEV-REA-ARGON 7대 무결성 검증 통과)

\(x\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\cdots\)	\(\pi\)	\(\cdots\)	\(\frac{3\pi}{2}\)	\(\cdots\)	\(2\pi\)
\(f'(x)\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)
\(f(x)\)	\(1-e\)	\(\nearrow\)	\(e-1\)	\(\searrow\)	\(1-e\)	\(\nearrow\)	\(e-1\)	\(\searrow\)	\(1-e\)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	집합 \(A\) (공집합 제외)와 집합 \(B\) (공집합과 전체집합 제외)의 조건을 구했으면	10점
2단계	두 집합의 포함관계를 이용하여 각각의 경우의 수를 구했으면 (이항정리 또는 직접 계산 모두 인정)	30점
3단계	조건을 만족시키는 최종 경우의 수 \(602\)를 정확히 구했으면	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1]-(1) 코사인법칙에 의하여 \(\overline{\mathrm{PQ}}^2 = 2 - 2\cos(\alpha-\beta)\)를 보였으면	7점
2단계	[1]-(1) 두 점 사이의 거리 공식에 의하여 \(\overline{\mathrm{PQ}}^2 = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)\)를 보였으면	7점
3단계	[1]-(1) 두 식을 비교하여 \(\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\)를 유도했으면	6점
4단계	[1]-(1) \(\beta\) 대신 \(-\beta\)를 대입하여 \(\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\)를 증명했으면	6점
5단계	[1]-(2) \((\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}\)의 미분 정의를 전개했으면	6점
6단계	[1]-(2) 덧셈정리를 적용하여 \((\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x\cos h - \sin x\sin h - \cos x}{h}\)로 나타냈으면	6점
7단계	[1]-(2) 극한 계산 과정에서 \(\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0\)임을 보이고 \((\cos x)' = -\sin x\)를 도출했으면	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	\(\sum_{k=m}^{10} k^2 = \sum_{k=1}^{10} k^2 - \sum_{k=1}^{m-1} k^2\)을 활용하거나 계산의 상당 부분을 올바르게 전개한 경우	19점
2단계	정답 \(2925\)를 정확히 구했으면	31점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1]-(1) \(a_n\)과 \(b_n\sqrt{3}\)을 두 근으로 하는 이차방정식을 작성했으면	10점
2단계	[1]-(1) 이차방정식을 인수분해했으면	6점
3단계	[1]-(1) \(a_1=2\)를 활용하여 \(a_n\)과 \(b_n\)의 일반항을 올바르게 구했으면	11점
4단계	[1]-(2) \(a_n - b_n\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^n\)과 \(a_n^2 - 3b_n^2 = 1\)을 구했으면	11점
5단계	[1]-(2) \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)^n = 0\)임을 보였으면	6점
6단계	[1]-(2) 극한값 \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)을 정확히 구했으면	6점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 빗변 \(AB\)가 외접원의 지름임을 알고 외접원 방정식 \((x-4)^2+(y-3)^2=25\)를 구했으면	11점
2단계	(1) 내심과 직선 \(AB\) 사이의 거리를 이용하여 내접원 방정식 \((x-2)^2+(y-2)^2=4\)를 구했으면	10점
3단계	(2) 외심과 내심을 지나는 직선과 두 원의 교점이 거리를 결정함을 파악하고 중심거리 \(\sqrt{5}\)를 구했으면	9점
4단계	(2) 외접원과 내접원 위의 점 사이 거리의 최솟값 \(3-\sqrt{5}\)를 구했으면	10점
5단계	(2) 외접원과 내접원 위의 점 사이 거리의 최댓값 \(7+\sqrt{5}\)를 구했으면	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1] \(x=2025\)로 치환하여 다항식 인수분해를 통해 나머지 \(11\)을 정확히 구했으면	11점
2단계	[2] 분자 \(\sum (3i^2-3i+1)=k^3\)과 분모 \(\sum (2i-1)=k^2\)을 정리했으면	7점
3단계	[2] 정적분 \(\int_0^1 \frac{x}{1+x^2}dx\)로 변환하여 \(\frac{1}{2}\ln 2\)를 완벽히 구했으면	7점
4단계	[3] 합성함수 \(f_n(x)\)와 \(g_n(x)\)의 주기성 및 넓이 식을 세워 \(n=2\)를 구했으면	25점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1] 전체 일대일함수 경우의 수 \({}_5\mathrm{P}_3 = 60\)을 구했으면	4점
2단계	[1] 조건 (가), (나)를 만족시키는 경우의 수 \(4\)를 구하고 확률 \(\frac{1}{15}\)을 구했으면	12점
3단계	[2] (1) 완전제곱식 변형을 통해 \(m(\theta) = \cos^2\theta + 2\cos\theta - 1\)을 유도하고 최댓값 \(2\)를 구했으면	15점
4단계	[2] (2) 판별식 \(D/4 \ge 0\)으로부터 \(\alpha, \beta\)의 범위를 구하고 \(\sin^2\alpha + \sin^2\beta = 4\sqrt{2}-4\)를 구했으면	19점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1] \(f(x)\)의 최솟값 \(-56\)과 \(g(x)\)의 최댓값 \(k+1\)을 구하고 \(k \le -57\)을 도출했으면	16점
2단계	[2] (1) 원뿔의 밑면 반지름 \(r\), 높이 \(h\)를 구하고 부피 최댓값의 \(\theta = 2\pi\left(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\)를 구했으면	17점
3단계	[2] (2) 전개도에서 점 \(A, A'\) 사이의 중심각 \(\beta = \sqrt{\frac{2}{3}}\pi\)를 구하고 코사인법칙으로 \(l^2\)을 구했으면	17점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[[1](1)] \(\lim_{n \to \infty} \left\{ (2n+1)\ln\left(1 + \frac{2}{2n-1}\right) \right\} = \lim_{n \to \infty} \ln\left(1 + \frac{2}{2n-1}\right)^{2n+1}\)을 얻으면	6점
2단계	극한값 \(2\)를 얻으면	3점
3단계	[[1](2)] \(b_n = f(n)\)으로 놓고 함수 \(f(x) = -\frac{a_x}{2x+1}\)을 미분하여 \(f'(x) \gt 0\)임을 보이면	6점
4단계	\(f(x)\)가 증가함수임을 보이면	3점
5단계	\(f(n) \lt f(n+1)\)이므로 \(b_n \lt b_{n+1}\)임을 얻으면	3점
6단계	[[2](1)] \(a = -\frac{1}{\pi^2}\)을 구하면	3점
7단계	방정식을 \(-\frac{1}{\pi^2}x^2 + \frac{2}{\pi}x + \|\cos x\| = -\frac{x}{\pi}\)로 나타내면	3점
8단계	\(0 \le x \le 2\pi\)에서 (좌변) \( \gt 0\)이고 (우변) \(\le 0\)이므로 실근이 없음을 보이면	6점
9단계	[[2](2)] \(f(x) = t\) (\(0 \le t \le 1\))로 치환하고 \(g(t) = 1 - \frac{3p}{t+2p}\)의 점근선 \(t = -2p\)를 구하면	4점
10단계	\(-2p \lt 0\) 또는 \(-2p \gt 1\)일 때 최댓값과 최솟값이 모두 존재함을 보이면	9점
11단계	실수 \(p\)의 범위 \(p \lt -\frac{1}{2}\) 또는 \(p \gt 0\)을 구하면	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[[1]] \(f(x) = a_m x^m + \cdots + a_0\) (\(m \ge 3\))으로 놓고 \(f(3x)-f(x) = x^3\)에 대입하면	3점
2단계	\(a_3 = \frac{1}{26}\), \(a_k = 0\) (\(1 \le k \le m, k \ne 3\))을 얻으면	8점
3단계	\(f(0)=1\)을 이용하여 \(f(x) = \frac{1}{26}x^3 + 1\)을 구하면	6점
4단계	[[2]] 귀류법을 이용하여 실근 \(x\)가 유리수라고 가정하면	6점
5단계	\(x = \frac{a}{b}\) (\(b \ne 0, a, b\) 서로소 정수)로 놓고 \(b\)는 짝수, \(a\)는 홀수임을 보이면	10점
6단계	\(b = 2k\)로 놓고 \(a^3 = k^2(3a-k)\)가 짝수임을 얻으면	11점
7단계	\(a\)가 짝수가 되어 \(a\)가 홀수라는 전제에 모순임을 보이면	6점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[[1](1)] \(a_n = n\), \(a_{n^2} = n^2\)을 구하면	10점
2단계	극한값 \(\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2} = 0\)을 구하면	10점
3단계	[[1](2)] \(1\)이 아닌 \(5^{10}\)의 약수들의 곱 \(5^{55}\) 또는 로그합 \(55\log_k 5\)를 구하면	10점
4단계	\(t^2+3t+4 = 5^{55}\) 또는 판별식 \(D \gt 0\)과 \(t_1 t_2 \lt 0\)을 보이면	12점
5단계	양의 실근의 개수가 1개임을 구하면	8점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[[1]] \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1\)을 분리하면	9점
2단계	\(h(x) = e^{2x}\cos\pi x\)로 놓고 \(h'(0) = 2\)를 도출하면	9점
3단계	극한값 \(2\)를 구하면	7점
4단계	[[2]] \(\mathrm{E}(\overline{X}) = p\), \(\mathrm{V}(\overline{X}) = \frac{q^2}{n^2}\)을 구하면	9점
5단계	\(\mathrm{E}(4\overline{X}+2) + \mathrm{V}(n\overline{X}+3) = 4p + 2 + q^2 = 18 \implies 4p + q^2 = 16\)을 얻으면	9점
6단계	자연수 조건으로부터 \(p = 3, q = 2\)를 구하면	7점

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[4](1)	연립방정식을 세워 \(g(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}, h(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}\)를 구하면	3점
[4](1)	\(g(-x) = g(x)\), \(h(-x) = -h(x)\) 및 \(g(x)+h(x)=f(x)\)가 성립함을 보이면	3점
[4](2)	피적분함수를 (1)의 우함수와 기함수로 분해하여 정적분을 우함수의 정적분으로 변형하면	4점
	우함수 부분 \(G(x) = \frac{-2px^2}{\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\}}\)를 정확히 정리하면	3점
	피적분함수의 부호 논증을 통해 정적분이 \(0\)이 되기 위한 조건 \(p=0\)을 이끌어내면	3점

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[1](1)	원의 중심 \((a, a)\)와 직선 사이 거리 공식을 세우면	2점
[1](1)	방정식을 풀어 반지름 \(a = 3\) 또는 \(a = \frac{1}{2}\)을 구하면	2점
[1](2)	절편 \(A(2, 0), B\left(0, \frac{3}{2}\right)\)와 내분점 \(P\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{2}\right)\)를 구하면	3점
	원의 중심 \(C\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)와 점 \(P\)의 위치 관계로부터 \(\sin\alpha = \frac{3}{5}, \cos\alpha = \frac{4}{5}\)를 구하면	3점
	배각공식 \(\sin\theta = \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{24}{25}\)를 구하면	2점

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[2](1)	이차방정식의 근의 성질을 이용하여 \(\alpha^5 - \beta^5 = 5\sqrt{5}\)를 구하면	4점
[2](1)	\(k(\alpha^5-\beta^5) = 5\)로부터 \(k = \frac{\sqrt{5}}{5}\)를 구하면	2점
[2](2)	\(\left\|\frac{\beta}{\alpha}\right\| \lt 1\)임을 이용하여 극한값이 \(\alpha^4\)임을 유도하면	4점
[2](2)	\(\alpha^4 = \frac{7+3\sqrt{5}}{2}\)를 정확히 계산하면	4점

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[3](1)	\(f'(x)\)의 도함수를 구하고 \(k\)의 범위(\(k=1/2, k \gt 1/2\))에 따라 극값을 분류하면	5점
[3](1)	\(k \gt 1/2\)일 때 극댓값 \(f(0)=1\)과 극솟값을 정확히 구하면	5점
[3](2)	\(k=1/2\)일 때 \(f(x)\)가 증가함을 이용하여 부등식 \(e^x \gt \frac{1}{2}x^2\)를 유도하면	4점
[3](2)	조임정리(샌드위치 정리)를 적용하여 \(\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0\)을 증명하면	3점
[3](3)	미분계수 정의로 좌미분계수 \(0\)과 우미분계수 극한을 세우면	4점
[3](3)	\(t=1/x\) 치환과 (2)의 결과를 활용하여 우미분계수가 \(0\)임을 보여 미분가능을 증명하면	3점

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[1](1)	조건 \(x \lt f(x)\)를 만족하는 함수 \(f\)가 유일함(1개)을 보이면	2점
[1](1)	합성함수 및 역함수 성질을 이용하여 \((f^{-1} \circ f \circ f^{-1})(5) = 3\)을 구하면	2점
[1](2)	\(g(6)=7\)을 정하고 \(g(3)\)의 경우를 나누어 분석하면	3점
[1](2)	각각의 경우에서 일대일대응을 만족하는 경우의 수를 합산하여 \(4\)개를 구하면	3점
[2](1)	두 곡선이 접할 때 접점이 직선 \(y=x\) 위에 있음을 활용하여 식을 세우면	2점
[2](1)	판별식 또는 미분계수를 통해 \(q = -\frac{(p-1)^2}{4} + \frac{p-1}{2} = -\frac{p^2-4p+3}{4}\)을 구하면	2점
[2](2)	점 \((p, q)\)가 그리는 곡선과 \(y=x\) 대칭 곡선의 교점을 연립하면	3점
[2](2)	방정식의 실근의 개수를 판별하여 교점의 개수가 \(0\)개(만나지 않음)임을 보이면	2점

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[3](1)	\(t = a-x\) 치환적분을 설정하고 미분 및 적분 구간을 변경하면	3점
[3](1)	정적분 변수 변환을 통해 공식 \(\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx\)를 증명하면	2점
[3](2)	(1)의 공식을 적용하여 \(I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{2023} x}{\cos^{2023} x + \sin^{2023} x}dx\)를 유도하면	5점
[3](2)	두 식을 더하여 \(2I = \frac{\pi}{2} \implies I = \frac{\pi}{4}\)를 구하면	4점
[4](1)	절댓값을 해제하여 구간별 함수 식과 \(x\)절편 \(0, \sqrt{2}a^2\)를 구하면	3점
[4](1)	적분식을 세워 넓이 \(\frac{4\sqrt{2}-2}{3}a^6\)을 정확히 계산하면	4점

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[4](2)	구간 \([a, a+2]\)와 꼭짓점 \(a^2\)의 위치 관계를 \(a\)의 범위에 따라 올바르게 분류하면	4점
	각 구간에서 최댓값 함수 \(g(a)\)를 정확히 구하면	3점
	\(g(a)\)의 도함수 부호를 조사하여 극솟값 \(g(2) = 16\)을 구하면	3점

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[1](1)	진수 조건(판별식 \(D \lt 0\))과 밑 조건(\(\|a-2\| \gt 0, \|a-2\| \ne 1\))을 세우면	3점
[1](1)	조건을 만족하는 정수 \(a = 0, 4\)를 모두 구하면	2점
[1](2)	합성함수 \((g \circ h)(x) = \log_2(x+5)\)의 역함수 \((g \circ h)^{-1}(x) = 2^x - 5\)를 구하면	4점
[1](2)	\(X = 2^x \gt 0\) 치환을 통해 부등식을 풀고 \(x \gt \log_2 6\)을 구하면	4점

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문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[2]	세제곱 차 인수분해 공식을 이용하여 식을 유리화(분수 변형)하면	4점
[2]	최고차항의 계수를 비교하여 극한값 \(\frac{1}{3}\)을 구하면	4점
[3](1)	\(x=k\)일 때 \(y=n-k\)를 구하고 두 점 사이 거리 공식으로 식을 세우면	2점
[3](1)	거리의 제곱 \(k^2+(n-k)^2 = 2k^2-2nk+n^2\)을 구하면	2점
[3](2)	점의 개수가 \(n+1\)개이고 각 점이 선택될 확률이 \(\frac{1}{n+1}\)임을 구하면	3점
[3](2)	자연수 거듭제곱 합 공식을 적용하여 기댓값 \(\frac{2n^2+n}{3}\)을 구하면	5점

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[4](1)	차수 비교를 통해 \(f(x)\)가 1차 또는 2차 다항식임을 규명하면	4점
	1차식인 경우 \(f(x)=x\)이고 \(p=-1, q=0\)임을 구하면	4점
	2차식인 경우 계수비교로 \(f(x) = \frac{p+1}{4}x^2 + \frac{q}{p}x\) 및 관계식을 구하면	4점
[4](2)	\(p=0\)일 때 가능한 다항식 \(f(x)\)들을 특정하면	2점
[4](2)	나머지정리를 적용하여 \(x=2023\)을 대입한 나머지들의 합을 구하면	3점

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[1]	치환하여 \((x+3)^2\) 공통인수로 묶어 인수분해 식 \((x+3)^2(x^2+7x-2)\)를 유도하면	4점
[1]	\(x=11\)을 대입하여 \(14^4 = 2^4 \times 7^4\)로 정확히 소인수분해하면	3점
[2](1)	직선 \(3x+y=0\)을 구하고 점과 직선 사이의 거리 공식으로 \(\frac{b^2-4b+12}{\sqrt{10}}\)을 구하면	4점
[2](2)	넓이 식 \(S(b) = \frac{1}{2}(b^2-4b+12)\)를 세우고 완전제곱식으로 최솟값 \(4\)를 도출하면	4점

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[3](1)	분모가 \(0\)이 아님을 판별식 \(D=k^2-12 \lt 0\)으로 연결하여 \(-2\sqrt{3} \lt k \lt 2\sqrt{3}\)을 구하면	4점
[3](2)	도함수 \(h'(x) = 3kx^2+2x+4k\)를 구하고 \(k \lt 0\)일 때 모순임을 밝히면	3점
[3](2)	대칭축이 음수임을 확인하고 \(h'(0)=4k \ge 0\)으로부터 최종 \(k \ge 0\)을 도출하면	3점

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[4](1)	\(a=10, c=8\)로부터 \(b=6\)을 구하여 타원 방정식 \(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1\)을 구하면	5점
[4](2)	접점 \((5, 3\sqrt{3})\)을 구하고 접선 공식으로 \(3x + 5\sqrt{3}y = 60\)을 도출하면	7점
[4](3)	거리 식 \(l(\theta) = 8\cos\theta+10\)을 유도하여 \(\theta=\pi\)일 때 최솟값 \(2\)를 구하면	6점
[4](4)	치환적분 또는 원과의 비례 관계를 적용하여 영역의 넓이 \(\frac{15\pi}{2}\)를 정확히 구하면	7점

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[1](1)	세 근의 합 \(3a=9\)로부터 등차중항 \(a=3\)을 구하면	4점
[1](2)	세 근의 곱으로 \(d^2=5\)를 찾고 두 근 곱의 합 공식으로 \(c=22\)를 계산하면	3점
[1](3)	세 실근 \(3-\sqrt{5}, 3, 3+\sqrt{5}\)를 정확히 제시하면	4점
[2](1)	분모를 \(n!(n+2)^2\)으로 인수분해하여 약분 후 \(\frac{n+1}{(n+2)!}\)을 완벽히 증명하면	6점
[2](2)	\(\frac{1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+2)!}\)로 분해하여 소거하고 \(\frac{1}{2} - \frac{1}{2024!}\)를 구하면	7점

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[3](1)	도함수를 통해 최솟값 \(2(1-\ln 2) \gt 0\)을 찾아 부등식 \(\ln\|x\| \gt -\frac{1}{\sqrt{x}}\)를 입증하면	7점
[3](2)	조임정리로 우극한 \(0\), 기함수 대칭성으로 좌극한 \(0\)을 도출하면	6점
[3](3)	극값과 그래프를 통해 불연속 순서쌍 \((-ke^{-1}, 2), (0, 2), (ke^{-1}, 2)\)를 제시하면	7점
[3](4)	부분적분 \(\int kx\ln(-x)\,dx\)를 계산하여 \(\frac{k(e-2)}{4e}=1\)로부터 \(k = \frac{4e}{e-2}\)를 구하면	6점

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[1](1)	판별식 \(D \ge 0\)으로부터 \(0 \le b \le 2, 0 \le c \le \frac{1}{4}b^2\)을 바르게 나타내면	3점
[1](2)	전체 넓이 \(\frac{2}{3}\)를 \(5:11\)로 분할하여 직선의 방정식 \(11b + 48c - 22 = 0\)을 도출하면	6점
[2](1)	\(g(x) = f(\pi-x)\)를 구하고 치환적분법으로 적분 구간 반전과 부호 상쇄를 증명하면	6점
[2](2)	\(2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{4-\cos^2 x}\,dx\)로 변형하고 부분분수 적분으로 \(I = \frac{\pi\ln 3}{4}\)을 구하면	8점

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[3](1)	40번이 제7층의 오른쪽 수직 열에 위치함을 파악하고 \(a_{40} = \frac{13}{2}\)를 구하면	5점
[3](2)	100번이 제10층의 마지막 사각형(맨 위 왼쪽)임을 파악하고 \(b_{100} = \frac{19}{2}\)를 구하면	5점

문항	평가 요소 및 세부 배점 기준	배점
[4](1)	제\((k+1)\)층의 좌표들을 수직/수평으로 나누어 역수합을 \(k\)에 관한 식으로 도출하면	7점
[4](2)	부분합의 소거 과정을 정확히 보이고 극한값을 계산하여 급수의 합 \(8\)을 도출하면	10점