QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 153쪽 단권화
2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본
2027학년도 국민대학교 (자연A)
출제 범위: 교과서 기반 교육과정 대수 · 미적분Ⅰ 핵심 범위
📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 153쪽 완결]
• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭
• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (21p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (20문항)
• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (45p): 출제 타당성 보고서(4p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)
• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (81p): 80문항 전수 아코디언 정밀 해설
• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터
📱 스마트폰 실시간 합격진단 & 올인원 대시보드 연동
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발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: QUESTIO-2027-UNIFIED-MASTER
PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS
2022~2026학년도 국민대학교 (자연A)
최근 5개년 기출 핵심 20문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.
📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록
📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공
✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 거듭제곱근과 유리수 지수법칙 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 1】 2026학년도 자연 A형 (기출 1번) [12.5점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04] 두 등식 \(\sqrt[3]{16} \times 2^p = 1\)과 \(\left(3^{\frac{1}{2}}\right)^q = 27\)을 만족시키는 두 유리수 \(p, q\)에 대하여 \(3p + q\)의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]
【유사 연습】 방정식 \(\log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 진수 조건에서 \(x \gt 3\)이고 \(\log_a M + \log_a N = \log_a MN\)을 적용한다. [2줄: 핵심계산] \((x-1)(x-3)=8 \implies x^2-4x-5=0 \implies (x-5)(x+1)=0\). [3줄: 최종결론] \(x \gt 3\)이므로 \(x = 5\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2026 기출 1번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 거듭제곱근과 유리수 지수법칙 \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\), \((a^x)^y = a^{xy}\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2^{\frac{4}{3} + p} = 2^0 \implies p = -\dfrac{4}{3}\)이고, \(3^{\frac{q}{2}} = 3^3 \implies \dfrac{q}{2} = 3 \implies q = 6\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(3p + q = 3 \times \left(-\dfrac{4}{3}\right) + 6 = -4 + 6 = 2\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) 거듭제곱근과 유리수 지수법칙 \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\), \((a^x)^y = a^{xy}\)를 적용한다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) \(2^{\frac{4}{3} + p} = 2^0 \implies p = -\dfrac{4}{3}\)이고, \(3^{\frac{q}{2}} = 3^3 \implies \dfrac{q}{2} = 3 \implies q = 6\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) 따라서 \(3p + q = 3 \times \left(-\dfrac{4}{3}\right) + 6 = -4 + 6 = 2\)이다. 4점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
국민대 자연 A형 [거듭제곱근과 유리수 지수법칙] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(2\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 로그함수의 치환 최대·최소 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 2】 2026학년도 자연 A형 (기출 2번) [12.5점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06] 닫힌구간 \([1, 9]\)에서 함수 \(f(x) = (\log_3 x)^2 - 2a\log_3 x + 3\)의 최솟값이 \(-1\)일 때, 양수 \(a\)의 값과 \(f(x)\)의 최댓값을 각각 구하시오. (단, \(0 \lt a \le 2\))
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]
【유사 연습】 방정식 \(\log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 진수 조건에서 \(x \gt 3\)이고 \(\log_a M + \log_a N = \log_a MN\)을 적용한다. [2줄: 핵심계산] \((x-1)(x-3)=8 \implies x^2-4x-5=0 \implies (x-5)(x+1)=0\). [3줄: 최종결론] \(x \gt 3\)이므로 \(x = 5\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2026 기출 2번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(t = \log_3 x\)로 치환하면 \(1 \le x \le 9\)에서 \(0 \le t \le 2\)이고, \(g(t) = (t - a)^2 + 3 - a^2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(0 \lt a \le 2\)이므로 꼭짓점 \(t = a\)에서 최솟값 \(3 - a^2 = -1\)을 가지며, \(a \gt 0\)이므로 \(a = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(g(t) = (t - 2)^2 - 1 \; (0 \le t \le 2)\)에서 \(t = 0\)일 때 최댓값 \(g(0) = 3\)을 갖는다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) \(t = \log_3 x\)로 치환하면 \(1 \le x \le 9\)에서 \(0 \le t \le 2\)이고, \(g(t) = (t - a)^2 + 3 - a^2\)이다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) \(0 \lt a \le 2\)이므로 꼭짓점 \(t = a\)에서 최솟값 \(3 - a^2 = -1\)을 가지며, \(a \gt 0\)이므로 \(a = 2\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) \(g(t) = (t - 2)^2 - 1 \; (0 \le t \le 2)\)에서 \(t = 0\)일 때 최댓값 \(g(0) = 3\)을 갖는다. 4점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
국민대 자연 A형 [로그함수의 치환 최대·최소] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(a = 2, \quad \text{최댓값 } 3\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 부채꼴의 넓이와 삼각함수 값 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 3】 2026학년도 자연 A형 (기출 3번) [12.5점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 반지름의 길이가 \(4\)이고 넓이가 \(6\pi\)인 부채꼴의 중심각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(8\sin\theta + 4\cos\theta\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2026 기출 3번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 부채꼴의 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta\)에 \(r = 4, \; S = 6\pi\)를 대입한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\dfrac{1}{2} \times 16 \times \theta = 6\pi \implies \theta = \dfrac{3\pi}{4}\)이므로 \(\sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(8\sin\theta + 4\cos\theta = 8\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + 4\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) 부채꼴의 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta\)에 \(r = 4, \; S = 6\pi\)를 대입한다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) \(\dfrac{1}{2} \times 16 \times \theta = 6\pi \implies \theta = \dfrac{3\pi}{4}\)이므로 \(\sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) 따라서 \(8\sin\theta + 4\cos\theta = 8\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + 4\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)이다. 4점
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국민대 자연 A형 [부채꼴의 넓이와 삼각함수 값] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(2\sqrt{2}\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 무리식 함수의 극한과 미정계수 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 4】 2026학년도 자연 A형 (기출 5번) [12.5점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 등식 \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x+a}-b}{x-1} = \dfrac{1}{4}\)이 성립할 때, 두 상수 \(a, b\)의 합 \(a+b\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2026 기출 5번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to 1\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)으로 수렴하여 \(\sqrt{1+a} - b = 0 \implies b = \sqrt{1+a} \; (b \ge 0)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 분자를 유리화하면 \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{(x+a)-(1+a)}{(x-1)(\sqrt{x+a}+\sqrt{1+a})} = \dfrac{1}{2\sqrt{1+a}} = \dfrac{1}{4}\)에서 \(\sqrt{1+a} = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(1+a = 4 \implies a = 3\)이고 \(b = 2\)이므로 \(a + b = 5\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) \(x \to 1\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)으로 수렴하여 \(\sqrt{1+a} - b = 0 \implies b = \sqrt{1+a} \; (b \ge 0)\)이다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) 분자를 유리화하면 \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{(x+a)-(1+a)}{(x-1)(\sqrt{x+a}+\sqrt{1+a})} = \dfrac{1}{2\sqrt{1+a}} = \dfrac{1}{4}\)에서 \(\sqrt{1+a} = 2\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) 따라서 \(1+a = 4 \implies a = 3\)이고 \(b = 2\)이므로 \(a + b = 5\)이다. 4점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
국민대 자연 A형 [무리식 함수의 극한과 미정계수] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(5\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 유리수 지수의 곱셈공식 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 5】 2025학년도 자연 A형 (기출 1번) [12.5점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04] 양수 \(x\)가 \(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3\)을 만족시킬 때, \(x^2 + x^{-2}\)와 \(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}\)의 값을 각각 구하시오.
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]
【유사 연습】 방정식 \(\log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 진수 조건에서 \(x \gt 3\)이고 \(\log_a M + \log_a N = \log_a MN\)을 적용한다. [2줄: 핵심계산] \((x-1)(x-3)=8 \implies x^2-4x-5=0 \implies (x-5)(x+1)=0\). [3줄: 최종결론] \(x \gt 3\)이므로 \(x = 5\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2025 기출 1번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 곱셈공식 \((u+v)^2 = u^2 + v^2 + 2uv\)와 \(u^3 + v^3 = (u+v)^3 - 3uv(u+v)\)에 \(u = x^{\frac{1}{2}}, \; v = x^{-\frac{1}{2}}\) (\(uv=1\))를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x + x^{-1} = 3^2 - 2 = 7\)이므로 \(x^2 + x^{-2} = 7^2 - 2 = 47\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 또한 \(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = 3^3 - 3 \times 1 \times 3 = 27 - 9 = 18\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) 곱셈공식 \((u+v)^2 = u^2 + v^2 + 2uv\)와 \(u^3 + v^3 = (u+v)^3 - 3uv(u+v)\)에 \(u = x^{\frac{1}{2}}, \; v = x^{-\frac{1}{2}}\) (\(uv=1\))를 적용한다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) \(x + x^{-1} = 3^2 - 2 = 7\)이므로 \(x^2 + x^{-2} = 7^2 - 2 = 47\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) 또한 \(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = 3^3 - 3 \times 1 \times 3 = 27 - 9 = 18\)이다. 4점
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국민대 자연 A형 [유리수 지수의 곱셈공식] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(x^2 + x^{-2} = 47, \quad x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = 18\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 로그부등식과 진수 조건 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 6】 2025학년도 자연 A형 (기출 2번) [12.5점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06] 부등식 \(\log_2(x-1) + \log_2(6-x) \le 2\)를 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합을 구하시오.
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]
【유사 연습】 방정식 \(\log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 진수 조건에서 \(x \gt 3\)이고 \(\log_a M + \log_a N = \log_a MN\)을 적용한다. [2줄: 핵심계산] \((x-1)(x-3)=8 \implies x^2-4x-5=0 \implies (x-5)(x+1)=0\). [3줄: 최종결론] \(x \gt 3\)이므로 \(x = 5\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2025 기출 2번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 진수 조건에서 \(x - 1 \gt 0\)이고 \(6 - x \gt 0\)이므로 \(1 \lt x \lt 6\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 밑이 \(2 \gt 1\)이므로 \(\log_2\{(x-1)(6-x)\} \le \log_2 4 \iff (x-1)(6-x) \le 4 \iff x^2 - 7x + 10 \ge 0 \iff (x-2)(x-5) \ge 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 진수 조건 \(1 \lt x \lt 6\)과 연립하면 \(1 \lt x \le 2\) 또는 \(5 \le x \lt 6\)이므로 정수 \(x\)는 \(2, 5\)이고 합은 \(7\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) 진수 조건에서 \(x - 1 \gt 0\)이고 \(6 - x \gt 0\)이므로 \(1 \lt x \lt 6\)이다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) 밑이 \(2 \gt 1\)이므로 \(\log_2\{(x-1)(6-x)\} \le \log_2 4 \iff (x-1)(6-x) \le 4 \iff x^2 - 7x + 10 \ge 0 \iff (x-2)(x-5) \ge 0\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) 진수 조건 \(1 \lt x \lt 6\)과 연립하면 \(1 \lt x \le 2\) 또는 \(5 \le x \lt 6\)이므로 정수 \(x\)는 \(2, 5\)이고 합은 \(7\)이다. 4점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
국민대 자연 A형 [로그부등식과 진수 조건] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(7\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 다항함수의 극한과 차수 결정 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 7】 2025학년도 자연 A형 (기출 5번) [12.5점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 다항함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)-x^3}{x^2}=1\), \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=4\)를 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2025 기출 5번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 무한대 극한 조건에서 \(f(x) - x^3\)은 최고차항이 \(x^2\)인 이차다항식이므로 \(f(x) = x^3 + x^2 + ax + b\)로 놓는다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x \to 1\) 극한에서 \(f(1) = 2 + a + b = 0 \implies b = -a - 2\)이고, \(f'(x) = 3x^2 + 2x + a\)에서 \(f'(1) = 5 + a = 4 \implies a = -1, \; b = -1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(x) = x^3 + x^2 - x - 1\)이므로 \(f(2) = 8 + 4 - 2 - 1 = 9\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) 무한대 극한 조건에서 \(f(x) - x^3\)은 최고차항이 \(x^2\)인 이차다항식이므로 \(f(x) = x^3 + x^2 + ax + b\)로 놓는다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) \(x \to 1\) 극한에서 \(f(1) = 2 + a + b = 0 \implies b = -a - 2\)이고, \(f'(x) = 3x^2 + 2x + a\)에서 \(f'(1) = 5 + a = 4 \implies a = -1, \; b = -1\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) 따라서 \(f(x) = x^3 + x^2 - x - 1\)이므로 \(f(2) = 8 + 4 - 2 - 1 = 9\)이다. 4점
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국민대 자연 A형 [다항함수의 극한과 차수 결정] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(9\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 8】 2025학년도 자연 A형 (기출 6번) [12.5점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 양수 \(a\)에 대하여 삼차함수 \(f(x) = \dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{3}{2}ax^2 + 2\)의 극댓값과 극솟값의 차가 \(16\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2025 기출 6번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = \dfrac{3}{2}x^2 - 3ax = \dfrac{3}{2}x(x - 2a) = 0\)에서 \(a \gt 0\)이므로 \(x = 0\)에서 극대, \(x = 2a\)에서 극소를 갖는다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 극댓값은 \(f(0) = 2\)이고 극솟값은 \(f(2a) = 4a^3 - 6a^3 + 2 = 2 - 2a^3\)이므로 두 극값의 차는 \(f(0) - f(2a) = 2a^3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(2a^3 = 16 \implies a^3 = 8\)이고 \(a \gt 0\)이므로 상수 \(a = 2\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) 도함수 \(f'(x) = \dfrac{3}{2}x^2 - 3ax = \dfrac{3}{2}x(x - 2a) = 0\)에서 \(a \gt 0\)이므로 \(x = 0\)에서 극대, \(x = 2a\)에서 극소를 갖는다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) 극댓값은 \(f(0) = 2\)이고 극솟값은 \(f(2a) = 4a^3 - 6a^3 + 2 = 2 - 2a^3\)이므로 두 극값의 차는 \(f(0) - f(2a) = 2a^3\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) \(2a^3 = 16 \implies a^3 = 8\)이고 \(a \gt 0\)이므로 상수 \(a = 2\)이다. 4점
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국민대 자연 A형 [삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(2\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 치환형 지수방정식의 실근 조건 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 9】 2024학년도 자연 A형 (기출 1번) [12.5점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04] 지수방정식 \(4^x - 4 \cdot 2^x + k = 0\)이 서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]
【유사 연습】 방정식 \(\log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 진수 조건에서 \(x \gt 3\)이고 \(\log_a M + \log_a N = \log_a MN\)을 적용한다. [2줄: 핵심계산] \((x-1)(x-3)=8 \implies x^2-4x-5=0 \implies (x-5)(x+1)=0\). [3줄: 최종결론] \(x \gt 3\)이므로 \(x = 5\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2024 기출 1번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(t = 2^x\)로 치환하면 \(x \gt 0\)일 때 \(t \gt 2^0 = 1\)이므로, 이차방정식 \(g(t) = t^2 - 4t + k = 0\)이 \(t \gt 1\)에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 대칭축이 \(t = 2 \gt 1\)이므로 판별식 \(D/4 = 4 - k \gt 0 \implies k \lt 4\)이고, 경계 함숫값 \(g(1) = 1 - 4 + k \gt 0 \implies k \gt 3\)이어야 한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 두 조건을 연립하면 구하는 실수 \(k\)의 값의 범위는 \(3 \lt k \lt 4\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) \(t = 2^x\)로 치환하면 \(x \gt 0\)일 때 \(t \gt 2^0 = 1\)이므로, 이차방정식 \(g(t) = t^2 - 4t + k = 0\)이 \(t \gt 1\)에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) 대칭축이 \(t = 2 \gt 1\)이므로 판별식 \(D/4 = 4 - k \gt 0 \implies k \lt 4\)이고, 경계 함숫값 \(g(1) = 1 - 4 + k \gt 0 \implies k \gt 3\)이어야 한다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) 두 조건을 연립하면 구하는 실수 \(k\)의 값의 범위는 \(3 \lt k \lt 4\)이다. 4점
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국민대 자연 A형 [치환형 지수방정식의 실근 조건] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(3 \lt k \lt 4\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 사인법칙과 변의 제곱합 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 10】 2024학년도 자연 A형 (기출 3번) [12.5점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03] 외접원의 반지름의 길이가 \(4\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(A = \dfrac{\pi}{3}\), \(B = \dfrac{\pi}{4}\)일 때, \(\overline{\mathrm{BC}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2\)의 값을 구하시오.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
【유사 연습】 삼각형 \(ABC\)에서 \(\overline{AB}=5, \overline{AC}=8, \angle A = \frac{\pi}{3}\)일 때, 변 \(\overline{BC}\)의 길이를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 코사인법칙 \(\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cos A\)를 적용한다. [2줄: 핵심계산] \(\overline{BC}^2 = 25 + 64 - 2\cdot 5\cdot 8\cdot\frac{1}{2} = 49\). [3줄: 최종결론] \(\overline{BC} \gt 0\)이므로 \(\overline{BC} = 7\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2024 기출 3번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(a = \overline{\mathrm{BC}}, \; b = \overline{\mathrm{AC}}\)라 하면 사인법칙에 의하여 \(a = 2R\sin A\), \(b = 2R\sin B\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(R = 4\)이므로 \(a = 8\sin\dfrac{\pi}{3} = 4\sqrt{3}\)이고, \(b = 8\sin\dfrac{\pi}{4} = 4\sqrt{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a^2 + b^2 = (4\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{2})^2 = 48 + 32 = 80\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(a = \overline{\mathrm{BC}}, \; b = \overline{\mathrm{AC}}\)라 하면 사인법칙에 의하여 \(a = 2R\sin A\), \(b = 2R\sin B\)이다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) \(R = 4\)이므로 \(a = 8\sin\dfrac{\pi}{3} = 4\sqrt{3}\)이고, \(b = 8\sin\dfrac{\pi}{4} = 4\sqrt{2}\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) 따라서 \(a^2 + b^2 = (4\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{2})^2 = 48 + 32 = 80\)이다. 4점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
국민대 자연 A형 [사인법칙과 변의 제곱합] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(80\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 등차수열의 부분합의 최솟값 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 11】 2024학년도 자연 A형 (기출 4번) [12.5점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09] 첫째항이 \(-19\)이고 공차가 \(3\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에서 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)의 최솟값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
【유사 연습】 함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)의 합 \(M+m\)을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 도함수 \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)\)의 부호 변화를 조사한다. [2줄: 핵심계산] \(x=1\)에서 극댓값 \(M=f(1)=6\), \(x=3\)에서 극솟값 \(m=f(3)=2\)를 갖는다. [3줄: 최종결론] 따라서 \(M+m = 8\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2024 기출 4번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 일반항 \(a_n = -19 + 3(n-1) = 3n - 22\)의 부호가 음수 이하인 항까지 더할 때 부분합 \(S_n\)이 최소가 된다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_n \le 0 \iff 3n - 22 \le 0 \iff n \le \dfrac{22}{3} = 7.33\cdots\)이므로 제\(7\)항(\(a_7 = -1\))까지 음수이고 \(a_8 = 2 \gt 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 최솟값은 \(S_7 = \dfrac{7\{a_1 + a_7\}}{2} = \dfrac{7 \times (-19 - 1)}{2} = -70\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) 일반항 \(a_n = -19 + 3(n-1) = 3n - 22\)의 부호가 음수 이하인 항까지 더할 때 부분합 \(S_n\)이 최소가 된다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) \(a_n \le 0 \iff 3n - 22 \le 0 \iff n \le \dfrac{22}{3} = 7.33\cdots\)이므로 제\(7\)항(\(a_7 = -1\))까지 음수이고 \(a_8 = 2 \gt 0\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) 따라서 최솟값은 \(S_7 = \dfrac{7\{a_1 + a_7\}}{2} = \dfrac{7 \times (-19 - 1)}{2} = -70\)이다. 4점
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국민대 자연 A형 [등차수열의 부분합의 최솟값] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(-70\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 정적분으로 정의된 함수의 미분 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 12】 2024학년도 자연 A형 (기출 8번) [12.5점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + ax - 2\)를 만족시킬 때, 상수 \(a\)와 \(f(2)\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2024 기출 8번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분의 성질 \(\int_1^1 f(t)\,dt = 0\)을 이용하여 양변에 \(x = 1\)을 대입하고, 양변을 \(x\)에 대하여 미분한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 1\)을 대입하면 \(0 = 1 - 2 + a - 2 \implies a = 3\)이고, 양변을 미분하면 \(f(x) = 3x^2 - 4x + a = 3x^2 - 4x + 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a = 3\)이고 \(f(2) = 3(4) - 4(2) + 3 = 7\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) 정적분의 성질 \(\int_1^1 f(t)\,dt = 0\)을 이용하여 양변에 \(x = 1\)을 대입하고, 양변을 \(x\)에 대하여 미분한다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) \(x = 1\)을 대입하면 \(0 = 1 - 2 + a - 2 \implies a = 3\)이고, 양변을 미분하면 \(f(x) = 3x^2 - 4x + a = 3x^2 - 4x + 3\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) 따라서 \(a = 3\)이고 \(f(2) = 3(4) - 4(2) + 3 = 7\)이다. 4점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
국민대 자연 A형 [정적분으로 정의된 함수의 미분] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(a = 3, \quad f(2) = 7\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 코사인법칙과 삼각형의 넓이 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 13】 2023학년도 자연 A형 (기출 3번) [12.5점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 3, \; \overline{\mathrm{AC}} = 8, \; \angle A = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 변 \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 길이와 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 각각 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2023 기출 3번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cos A\)와 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\sin A\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 9 + 64 - 2 \times 3 \times 8 \times \dfrac{1}{2} = 49\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 삼각형의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cos A\)와 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\sin A\)를 적용한다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 9 + 64 - 2 \times 3 \times 8 \times \dfrac{1}{2} = 49\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) 삼각형의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\)이다. 4점
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국민대 자연 A형 [코사인법칙과 삼각형의 넓이] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(\overline{\mathrm{BC}} = 7, \quad \text{넓이 } 6\sqrt{3}\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 무리식 수열의 유리화와 망원급수 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 14】 2023학년도 자연 A형 (기출 4번) [12.5점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03, 12대수03-05] 일반항이 \(a_n = \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)인 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{m} a_k = 7\)을 만족시키는 자연수 \(m\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03, 12대수03-05]
【유사 연습】 첫째항이 \(3\)이고 공차가 \(2\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+1}}\)의 값을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] \(a_n = 2n+1\)이며 부분분수 항등식 \(\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)\)을 적용한다. [2줄: 핵심계산] 망원급수 소거에 의해 \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{23}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{20}{69}\). [3줄: 최종결론] 구하는 값은 \(\frac{10}{69}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2023 기출 4번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 분모를 유리화하면 \(a_k = \dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 연속 소거(망원급수) 성질에 의하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{m} (\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) = \sqrt{m+1} - 1 = 7\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\sqrt{m+1} = 8 \implies m + 1 = 64\)이므로 자연수 \(m = 63\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) 분모를 유리화하면 \(a_k = \dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}\)이다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) 연속 소거(망원급수) 성질에 의하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{m} (\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) = \sqrt{m+1} - 1 = 7\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) \(\sqrt{m+1} = 8 \implies m + 1 = 64\)이므로 자연수 \(m = 63\)이다. 4점
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국민대 자연 A형 [무리식 수열의 유리화와 망원급수] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(63\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 삼차방정식의 서로 다른 세 실근 조건 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 15】 2023학년도 자연 A형 (기출 6번) [12.5점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 삼차방정식 \(x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2023 기출 6번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k\)라 하면 서로 다른 세 실근을 가질 필요충분조건은 극댓값과 극솟값의 부호가 서로 반대(\(f_{\text{극대}} \cdot f_{\text{극소}} \lt 0\))인 것이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x+1)(x-3) = 0\)에서 극댓값은 \(f(-1) = k + 5\), 극솟값은 \(f(3) = k - 27\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \((k + 5)(k - 27) \lt 0\)을 풀면 \(-5 \lt k \lt 27\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k\)라 하면 서로 다른 세 실근을 가질 필요충분조건은 극댓값과 극솟값의 부호가 서로 반대(\(f_{\text{극대}} \cdot f_{\text{극소}} \lt 0\))인 것이다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x+1)(x-3) = 0\)에서 극댓값은 \(f(-1) = k + 5\), 극솟값은 \(f(3) = k - 27\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) \((k + 5)(k - 27) \lt 0\)을 풀면 \(-5 \lt k \lt 27\)이다. 4점
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국민대 자연 A형 [삼차방정식의 서로 다른 세 실근 조건] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(-5 \lt k \lt 27\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 대칭구간에서 기함수·우함수의 정적분 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 16】 2023학년도 자연 A형 (기출 8번) [12.5점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 정적분 \(\displaystyle\int_{-2}^{2} (2x^3 + 3x^2 - 4x + 1)\,dx\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2023 기출 8번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 대칭구간 \([-2, 2]\)에서 홀수차항 \(2x^3 - 4x\)의 정적분은 \(0\)이고, 짝수차항 \(3x^2 + 1\)의 정적분은 \([0, 2]\) 정적분의 \(2\)배이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 준식은 \(2\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 + 1)\,dx = 2\Big[x^3 + x\Big]_{0}^{2} = 2(8 + 2)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 구하는 정적분의 값은 \(20\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) 대칭구간 \([-2, 2]\)에서 홀수차항 \(2x^3 - 4x\)의 정적분은 \(0\)이고, 짝수차항 \(3x^2 + 1\)의 정적분은 \([0, 2]\) 정적분의 \(2\)배이다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) 준식은 \(2\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 + 1)\,dx = 2\Big[x^3 + x\Big]_{0}^{2} = 2(8 + 2)\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) 따라서 구하는 정적분의 값은 \(20\)이다. 4점
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국민대 자연 A형 [대칭구간에서 기함수·우함수의 정적분] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(20\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 삼각방정식의 치환과 실근의 합 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 17】 2022학년도 자연 A형 (기출 3번) [12.5점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-03] \(0 \le x \lt 2\pi\)일 때, 방정식 \(2\cos^2 x + \sin x - 1 = 0\)의 모든 실근의 합을 구하시오.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
【유사 연습】 삼각형 \(ABC\)에서 \(\overline{AB}=5, \overline{AC}=8, \angle A = \frac{\pi}{3}\)일 때, 변 \(\overline{BC}\)의 길이를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 코사인법칙 \(\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cos A\)를 적용한다. [2줄: 핵심계산] \(\overline{BC}^2 = 25 + 64 - 2\cdot 5\cdot 8\cdot\frac{1}{2} = 49\). [3줄: 최종결론] \(\overline{BC} \gt 0\)이므로 \(\overline{BC} = 7\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2022 기출 3번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 삼각함수 항등식 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 \(\sin x\)에 대한 이차방정식으로 정리한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2(1 - \sin^2 x) + \sin x - 1 = 0 \implies 2\sin^2 x - \sin x - 1 = (2\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0\)에서 \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(0 \le x \lt 2\pi\)에서 해는 \(x = \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{7\pi}{6}, \; \dfrac{11\pi}{6}\)이므로 모든 실근의 합은 \(\dfrac{\pi}{2} + 3\pi = \dfrac{7\pi}{2}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) 삼각함수 항등식 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 \(\sin x\)에 대한 이차방정식으로 정리한다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) \(2(1 - \sin^2 x) + \sin x - 1 = 0 \implies 2\sin^2 x - \sin x - 1 = (2\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0\)에서 \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = 1\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) \(0 \le x \lt 2\pi\)에서 해는 \(x = \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{7\pi}{6}, \; \dfrac{11\pi}{6}\)이므로 모든 실근의 합은 \(\dfrac{\pi}{2} + 3\pi = \dfrac{7\pi}{2}\)이다. 4점
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국민대 자연 A형 [삼각방정식의 치환과 실근의 합] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(\dfrac{7\pi}{2}\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 인수정리와 다항함수의 극한 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 18】 2022학년도 자연 A형 (기출 5번) [12.5점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{f(x)}{(x-1)^2} = 3\)을 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2022 기출 5번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 분모 \((x-1)^2\)이 \(x \to 1\)일 때 \(0\)으로 가고 극한값이 유한하므로 다항함수 \(f(x)\)는 \((x-1)^2\)을 인수로 가져 \(f(x) = (x-1)^2(x - k)\)로 놓을 수 있다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{(x-1)^2(x-k)}{(x-1)^2} = 1 - k = 3\)에서 \(k = -2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(x) = (x-1)^2(x+2)\)이므로 \(f(2) = (2-1)^2(2+2) = 4\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) 분모 \((x-1)^2\)이 \(x \to 1\)일 때 \(0\)으로 가고 극한값이 유한하므로 다항함수 \(f(x)\)는 \((x-1)^2\)을 인수로 가져 \(f(x) = (x-1)^2(x - k)\)로 놓을 수 있다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{(x-1)^2(x-k)}{(x-1)^2} = 1 - k = 3\)에서 \(k = -2\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) 따라서 \(f(x) = (x-1)^2(x+2)\)이므로 \(f(2) = (2-1)^2(2+2) = 4\)이다. 4점
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국민대 자연 A형 [인수정리와 다항함수의 극한] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(4\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 도함수를 활용한 내접 직사각형 넓이 최대 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 19】 2022학년도 자연 A형 (기출 7번) [12.5점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 좌표평면에서 곡선 \(y = 9 - x^2\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 영역에 내접하고 한 변이 \(x\)축 위에 있는 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2022 기출 7번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 제1사분면 위 꼭짓점을 \((t, 9-t^2) \; (0 \lt t \lt 3)\)라 하면 가로 길이는 \(2t\), 세로 길이는 \(9-t^2\)이므로 넓이는 \(S(t) = 2t(9-t^2) = -2t^3 + 18t\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(S'(t) = -6t^2 + 18 = -6(t^2 - 3) = 0\)에서 \(0 \lt t \lt 3\)인 임계점은 \(t = \sqrt{3}\)이며 좌우에서 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 극대이자 최대이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 넓이의 최댓값은 \(S(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}(9 - 3) = 12\sqrt{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) 제1사분면 위 꼭짓점을 \((t, 9-t^2) \; (0 \lt t \lt 3)\)라 하면 가로 길이는 \(2t\), 세로 길이는 \(9-t^2\)이므로 넓이는 \(S(t) = 2t(9-t^2) = -2t^3 + 18t\)이다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) \(S'(t) = -6t^2 + 18 = -6(t^2 - 3) = 0\)에서 \(0 \lt t \lt 3\)인 임계점은 \(t = \sqrt{3}\)이며 좌우에서 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 극대이자 최대이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) 따라서 넓이의 최댓값은 \(S(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}(9 - 3) = 12\sqrt{3}\)이다. 4점
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국민대 자연 A형 [도함수를 활용한 내접 직사각형 넓이 최대] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(12\sqrt{3}\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 수직선 위 점의 속도와 움직인 거리 ⏱️ 권장 시간: 6분
【기출 문제 20】 2022학년도 자연 A형 (기출 8번) [12.5점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t \; (t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 6 - 2t\)일 때, 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 5\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리를 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2022 기출 8번 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 움직인 거리는 속력의 정적분 \(\displaystyle\int_0^5 |6 - 2t|\,dt\)이며, \(v(t) = 0\)인 시각 \(t = 3\)을 기준으로 구간을 분할한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\displaystyle\int_0^3 (6 - 2t)\,dt + \int_3^5 (2t - 6)\,dt = \Big[6t - t^2\Big]_0^3 + \Big[t^2 - 6t\Big]_3^5 = 9 + \{(25-30)-(9-18)\} = 9 + 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리는 \(13\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (30%) 움직인 거리는 속력의 정적분 \(\displaystyle\int_0^5 |6 - 2t|\,dt\)이며, \(v(t) = 0\)인 시각 \(t = 3\)을 기준으로 구간을 분할한다. 4점 2단계: 핵심계산 (40%) \(\displaystyle\int_0^3 (6 - 2t)\,dt + \int_3^5 (2t - 6)\,dt = \Big[6t - t^2\Big]_0^3 + \Big[t^2 - 6t\Big]_3^5 = 9 + \{(25-30)-(9-18)\} = 9 + 4\)이다. 4.5점 3단계: 최종결론 (30%) 따라서 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리는 \(13\)이다. 4점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
국민대 자연 A형 [수직선 위 점의 속도와 움직인 거리] 문항에서는 첫 줄 공식·정의역 선언(4점)과 둘째 줄 동치 계산식(4.5점)을 생략 없이 서술해야 12.5점 만점을 획득합니다.
🎯 [최종 정답] \(13\)
PART 2-1 · 10 FULL-LENGTH MOCK EXAMS
2027학년도 국민대학교 (자연A) 약술형 논술
제1~5회 기출유사 표준 실전편과 제6~10회 킬러 TOP 5 심화편(총 80문항) 및 회차별 종합 분석 매트릭스 리포트로 실전 적응력을 극대화합니다.
📋 출제 타당성 검토 보고서 (4p): 전 문항 교과서 기반 교육과정 성취기준 및 Textbook DB 원천 검증
📝 실전 맞춤형 시험지 포맷: 국민대학교 (자연A) 실제 문항 수·배점·답안지 규격 100% 반영
📈 회차별 종합 분석 매트릭스 (10p): 매 회차 직후 문항별 난이도·배점·합격 전략 리포트 수록
✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)
회차·문항 출제 과목 핵심 출제 테마 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) 배점/난이도 R1-Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 거듭제곱근의 성질과 유리수 지수의 혼합 연산 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 17011 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] 12점/중 R1-Q2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 로그치환 이차함수의 최솟값과 미정계수 결정 (국민대 기출 연계 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.2 탐구 17012 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] 12점/중 R1-Q3 대수 Ⅱ. 삼각함수 호도법 부채꼴의 호의 길이·넓이와 중심각의 삼각비 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.2 탐구 17013 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] 12점/중 R1-Q4 대수 Ⅲ. 수열 수열의 귀납적 정의와 변변 곱하기를 이용한 일반항 도출 [출처: 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.2 탐구 17014 변형 | 성취기준: 12대수03-06] 12점/중 R1-Q5 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 무리함수의 0/0꼴 부정형 극한과 미정계수의 결정 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.2 탐구 17015 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 12점/중 R1-Q6 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 다항식 곱의 미분법과 곡선 위의 접선의 방정식 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 17016 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05] 12점/중 R1-Q7 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 닫힌구간에서의 평균값 정리 만족 상수의 결정 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 17017 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-06] 12점/중 R1-Q8 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 정적분 상수가 포함된 다항함수의 결정과 넓이 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.2 탐구 17018 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-05] 12점/중 R2-Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 유리수 지수의 곱셈공식과 역수 대칭식의 계산 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 탐구 17021 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] 12점/중 R2-Q2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 개수 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 17022 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] 12점/중 R2-Q3 대수 Ⅱ. 삼각함수 삼각함수 사이의 제곱 관계와 탄젠트 대칭식의 값 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 17023 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] 12점/중 R2-Q4 대수 Ⅲ. 수열 등차·등비 혼합 귀납적 정의와 수열의 합 [출처: 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 17024 변형 | 성취기준: 12대수03-06] 12점/중 R2-Q5 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 무한대 극한과 0/0꼴 극한을 동시에 만족하는 다항함수의 결정 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 17025 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 12점/중 R2-Q6 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차와 미정계수 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 17026 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07] 12점/중 R2-Q7 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 롤의 정리의 성립 조건과 도함수의 영점 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 17027 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-06] 12점/중 R2-Q8 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 포물선과 x축 및 직선으로 둘러싸인 넓이의 이등분 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 17028 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 12점/중 R3-Q1 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 지수방정식의 치환과 서로 다른 두 양의 실근 조건 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 17031 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-08] 12점/중 R3-Q2 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 상용로그의 정수부분과 소수부분의 합 조건 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 17032 변형 | 성취기준: 12대수01-04] 12점/중 R3-Q3 대수 Ⅱ. 삼각함수 사인법칙과 외접원의 반지름 및 삼각형의 변의 비 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 17033 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 12점/중 R3-Q4 대수 Ⅲ. 수열 첫째항이 음수인 등차수열의 부분합의 최솟값 [출처: 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 17034 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02] 12점/중
✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)
회차·문항 출제 과목 핵심 출제 테마 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) 배점/난이도 R3-Q5 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 17035 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] 12점/중 R3-Q6 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 곡선 밖의 원점에서 그은 접선의 방정식과 접점 결정 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 17036 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05] 12점/중 R3-Q7 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 삼차함수가 실수 전체의 집합에서 증가하기 위한 조건 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 17037 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07] 12점/중 R3-Q8 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 정적분으로 정의된 함수의 미분과 함숫값 결정 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 17038 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] 12점/중 R4-Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 지수 조건식을 이용한 분수식 변형 계산 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 17041 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] 12점/중 R4-Q2 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 로그의 밑변환 공식과 연쇄 소거 곱셈 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 탐구 17042 변형 | 성취기준: 12대수01-04] 12점/중 R4-Q3 대수 Ⅱ. 삼각함수 코사인법칙을 이용한 변의 길이와 삼각형의 넓이 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 17043 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 12점/중 R4-Q4 대수 Ⅲ. 수열 무리식이 포함된 수열의 유리화와 망원급수의 합 [출처: 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 17044 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] 12점/중 R4-Q5 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 구간별로 정의된 함수의 실수 전체 연속 조건 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 17045 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] 12점/중 R4-Q6 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 상수의 범위 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.11 탐구 17046 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 12점/중 R4-Q7 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 탐구 17047 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-09] 12점/중 R4-Q8 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 대칭 구간에서의 우함수·기함수 정적분 성질 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 탐구 17048 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03] 12점/중 R5-Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 서로 다른 거듭제곱근의 유리수 지수 통분과 대소 비교 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 탐구 17051 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] 12점/중 R5-Q2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 로그방정식의 두 실근의 곱과 근과 계수의 관계 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 17052 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08] 12점/중 R5-Q3 대수 Ⅱ. 삼각함수 삼각함수로 정의된 이차방정식의 치환과 해의 합 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 17053 변형 | 성취기준: 12대수02-02] 12점/중 R5-Q4 대수 Ⅲ. 수열 계차가 일차식인 귀납적 정의와 일반항의 도출 [출처: 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 17054 변형 | 성취기준: 12대수03-06] 12점/중 R5-Q5 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 분모가 이차인수로 0에 수렴하는 유리식 극한과 인수 정리 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 17055 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 12점/중 R5-Q6 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 삼차함수가 열린구간에서 극값을 갖기 위한 조건 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.13 탐구 17056 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07] 12점/중 R5-Q7 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 포물선에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 탐구 17057 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07] 12점/중 R5-Q8 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 수직선 위를 움직이는 점의 위치의 변화량과 실제 움직인 거리 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 17058 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] 12점/중
✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)
회차·문항 출제 과목 핵심 출제 테마 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) 배점/난이도 R6-Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 유리수 지수법칙과 거듭제곱근의 혼합 연산 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 탐구 17061 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] 12점/상 R6-Q2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 닫힌구간에서 로그함수의 최댓값·최솟값과 상수 결정 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 17062 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] 12점/상 R6-Q3 대수 Ⅱ. 삼각함수 코사인법칙을 이용한 변의 길이와 삼각형의 넓이 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 탐구 17063 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 12점/상 R6-Q4 대수 Ⅲ. 수열 등차수열의 부분합의 차와 일반항의 결정 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 17064 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03] 12점/상 R6-Q5 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 무한대·유한 확정 극한 조건을 만족하는 다항함수의 결정 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 17065 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 12점/상 R6-Q6 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 미분계수의 정의를 이용한 극한값의 계산 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.3 탐구 17066 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03] 12점/상 R6-Q7 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 삼차곡선 위의 점에서의 접선과 곡선의 교점 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 17067 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06] 12점/상 R6-Q8 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 17068 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 12점/상 R7-Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 로그의 밑변환 공식과 진수 거듭제곱의 연산 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 탐구 17071 변형 | 성취기준: 12대수01-04] 12점/상 R7-Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수 제2사분면 각의 삼각함수 사이의 관계와 대칭식 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 17072 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] 12점/상 R7-Q3 대수 Ⅲ. 수열 귀납적으로 정의된 수열의 일반항과 제10항의 계산 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 17073 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] 12점/상 R7-Q4 대수 Ⅲ. 수열 등비중항의 성질을 이용한 등비수열의 첫째항과 공비 결정 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 17074 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03] 12점/상 R7-Q5 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 실수 전체에서 연속인 함수의 미정계수와 함숫값 결정 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 탐구 17075 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] 12점/상 R7-Q6 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 17076 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 12점/상 R7-Q7 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 정적분으로 정의된 함수의 미분과 미정계수의 결정 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 탐구 17077 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04] 12점/상 R7-Q8 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 수직선 위를 움직이는 점의 운동 방향 전환과 움직인 거리 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 17078 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 12점/상 R8-Q1 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 치환을 이용한 지수부등식의 풀이와 거듭제곱의 최대·최소 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 17081 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08] 12점/상 R8-Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수 삼각함수의 합성항등식을 이용한 삼각방정식의 실근의 합 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 17082 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] 12점/상 R8-Q3 대수 Ⅱ. 삼각함수 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원의 반지름 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.8 탐구 17083 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 12점/상 R8-Q4 대수 Ⅲ. 수열 부분분수 분해를 이용한 망원급수의 합 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 17084 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] 12점/상
✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)
회차·문항 출제 과목 핵심 출제 테마 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) 배점/난이도 R8-Q5 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 무리식을 포함한 함수의 극한과 미정계수의 결정 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 17085 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 12점/상 R8-Q6 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 구간별로 정의된 함수의 미분가능성과 미정계수 결정 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 17086 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03] 12점/상 R8-Q7 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 닫힌구간에서 삼차함수의 최대·최소와 상수의 결정 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 17087 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 12점/상 R8-Q8 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 대칭구간에서 기함수·우함수의 성질을 이용한 정적분 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 탐구 17088 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04] 12점/상 R9-Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 거듭제곱과 지수법칙을 이용한 지수 역수 합의 계산 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 탐구 17091 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-04] 12점/상 R9-Q2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 로그방정식의 치환과 이차방정식 근과 계수의 관계 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 탐구 17092 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08] 12점/상 R9-Q3 대수 Ⅱ. 삼각함수 외접원의 반지름과 사인법칙을 이용한 삼각형의 둘레의 길이 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 탐구 17093 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 12점/상 R9-Q4 대수 Ⅲ. 수열 수열의 합과 일반항의 관계를 이용한 항의 계산 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.9 탐구 17094 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] 12점/상 R9-Q5 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 사잇값의 정리를 이용한 삼차방정식의 실근 존재 구간 판정 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 17095 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] 12점/상 R9-Q6 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 삼차함수에 대한 평균값 정리를 만족시키는 상수의 결정 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 17096 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06] 12점/상 R9-Q7 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 실수 전체에서 사차부등식이 항상 성립할 조건 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 17097 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 12점/상 R9-Q8 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 두 이차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 17098 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 12점/상 R10-Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 역수 지수 대칭식의 곱셈공식 변형 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 170101 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] 12점/상 R10-Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수 부채꼴의 중심각의 크기와 호의 길이 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 170102 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] 12점/상 R10-Q3 대수 Ⅲ. 수열 등차중항과 연립방정식을 이용한 등차수열의 결정 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 170103 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03] 12점/상 R10-Q4 대수 Ⅲ. 수열 시그마의 선형성과 자연수 거듭제곱의 합 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 탐구 170104 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] 12점/상 R10-Q5 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 곱의 미분법을 이용한 미분계수의 계산 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 170105 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03] 12점/상 R10-Q6 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 기울기가 주어진 삼차곡선의 두 접선과 y절편의 곱 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 170106 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06] 12점/상 R10-Q7 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 정적분과 미분계수의 관계로 정의된 극한값의 계산 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 170107 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04] 12점/상 R10-Q8 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 포물선과 x축으로 둘러싸인 넓이를 이등분하는 직선 [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 170108 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 12점/상
📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (8문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분 (수학 8문항 × 12.5점 = 100점 환산)
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제1회 문항 1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 거듭제곱근의 성질과 유리수 지수의 혼합 연산 12점 중 제1회 문항 2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 로그치환 이차함수의 최솟값과 미정계수 결정 (국민대 기출 연계 12점 중 제1회 문항 3 대수 Ⅱ. 삼각함수 호도법 부채꼴의 호의 길이·넓이와 중심각의 삼각비 12점 중 제1회 문항 4 대수 Ⅲ. 수열 수열의 귀납적 정의와 변변 곱하기를 이용한 일반항 도출 12점 중 제1회 문항 5 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 무리함수의 0/0꼴 부정형 극한과 미정계수의 결정 12점 중 제1회 문항 6 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 다항식 곱의 미분법과 곡선 위의 접선의 방정식 12점 중 제1회 문항 7 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 닫힌구간에서의 평균값 정리 만족 상수의 결정 12점 중 제1회 문항 8 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 정적분 상수가 포함된 다항함수의 결정과 넓이 12점 중
제1회 실전 모의고사는 국민대학교 자연 A형 약술형 수리논술 기출 유사 표준 회차(8문항 × 12.5점 = 100점)입니다. 소문항 [1]·[2] 단계별 배점(6점+6.5점)에 맞춰 중간 유도식을 정확히 명시하십시오.
📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (8문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분 (수학 8문항 × 12.5점 = 100점 환산)
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제2회 문항 1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 유리수 지수의 곱셈공식과 역수 대칭식의 계산 12점 중 제2회 문항 2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 개수 12점 중 제2회 문항 3 대수 Ⅱ. 삼각함수 삼각함수 사이의 제곱 관계와 탄젠트 대칭식의 값 12점 중 제2회 문항 4 대수 Ⅲ. 수열 등차·등비 혼합 귀납적 정의와 수열의 합 12점 중 제2회 문항 5 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 무한대 극한과 0/0꼴 극한을 동시에 만족하는 다항함수의 결정 12점 중 제2회 문항 6 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차와 미정계수 12점 중 제2회 문항 7 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 롤의 정리의 성립 조건과 도함수의 영점 12점 중 제2회 문항 8 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 포물선과 x축 및 직선으로 둘러싸인 넓이의 이등분 12점 중
제2회 실전 모의고사는 국민대학교 자연 A형 약술형 수리논술 기출 유사 표준 회차(8문항 × 12.5점 = 100점)입니다. 소문항 [1]·[2] 단계별 배점(6점+6.5점)에 맞춰 중간 유도식을 정확히 명시하십시오.
📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (8문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분 (수학 8문항 × 12.5점 = 100점 환산)
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제3회 문항 1 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 지수방정식의 치환과 서로 다른 두 양의 실근 조건 12점 중 제3회 문항 2 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 상용로그의 정수부분과 소수부분의 합 조건 12점 중 제3회 문항 3 대수 Ⅱ. 삼각함수 사인법칙과 외접원의 반지름 및 삼각형의 변의 비 12점 중 제3회 문항 4 대수 Ⅲ. 수열 첫째항이 음수인 등차수열의 부분합의 최솟값 12점 중 제3회 문항 5 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리 12점 중 제3회 문항 6 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 곡선 밖의 원점에서 그은 접선의 방정식과 접점 결정 12점 중 제3회 문항 7 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 삼차함수가 실수 전체의 집합에서 증가하기 위한 조건 12점 중 제3회 문항 8 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 정적분으로 정의된 함수의 미분과 함숫값 결정 12점 중
제3회 실전 모의고사는 국민대학교 자연 A형 약술형 수리논술 기출 유사 표준 회차(8문항 × 12.5점 = 100점)입니다. 소문항 [1]·[2] 단계별 배점(6점+6.5점)에 맞춰 중간 유도식을 정확히 명시하십시오.
📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (8문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분 (수학 8문항 × 12.5점 = 100점 환산)
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제4회 문항 1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 지수 조건식을 이용한 분수식 변형 계산 12점 중 제4회 문항 2 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 로그의 밑변환 공식과 연쇄 소거 곱셈 12점 중 제4회 문항 3 대수 Ⅱ. 삼각함수 코사인법칙을 이용한 변의 길이와 삼각형의 넓이 12점 중 제4회 문항 4 대수 Ⅲ. 수열 무리식이 포함된 수열의 유리화와 망원급수의 합 12점 중 제4회 문항 5 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 구간별로 정의된 함수의 실수 전체 연속 조건 12점 중 제4회 문항 6 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 상수의 범위 12점 중 제4회 문항 7 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도 12점 중 제4회 문항 8 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 대칭 구간에서의 우함수·기함수 정적분 성질 12점 중
제4회 실전 모의고사는 국민대학교 자연 A형 약술형 수리논술 기출 유사 표준 회차(8문항 × 12.5점 = 100점)입니다. 소문항 [1]·[2] 단계별 배점(6점+6.5점)에 맞춰 중간 유도식을 정확히 명시하십시오.
📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (8문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분 (수학 8문항 × 12.5점 = 100점 환산)
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제5회 문항 1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 서로 다른 거듭제곱근의 유리수 지수 통분과 대소 비교 12점 중 제5회 문항 2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 로그방정식의 두 실근의 곱과 근과 계수의 관계 12점 중 제5회 문항 3 대수 Ⅱ. 삼각함수 삼각함수로 정의된 이차방정식의 치환과 해의 합 12점 중 제5회 문항 4 대수 Ⅲ. 수열 계차가 일차식인 귀납적 정의와 일반항의 도출 12점 중 제5회 문항 5 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 분모가 이차인수로 0에 수렴하는 유리식 극한과 인수 정리 12점 중 제5회 문항 6 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 삼차함수가 열린구간에서 극값을 갖기 위한 조건 12점 중 제5회 문항 7 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 포물선에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값 12점 중 제5회 문항 8 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 수직선 위를 움직이는 점의 위치의 변화량과 실제 움직인 거리 12점 중
제5회 실전 모의고사는 국민대학교 자연 A형 약술형 수리논술 기출 유사 표준 회차(8문항 × 12.5점 = 100점)입니다. 소문항 [1]·[2] 단계별 배점(6점+6.5점)에 맞춰 중간 유도식을 정확히 명시하십시오.
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회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제6회 문항 1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 유리수 지수법칙과 거듭제곱근의 혼합 연산 12점 상 제6회 문항 2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 닫힌구간에서 로그함수의 최댓값·최솟값과 상수 결정 12점 상 제6회 문항 3 대수 Ⅱ. 삼각함수 코사인법칙을 이용한 변의 길이와 삼각형의 넓이 12점 상 제6회 문항 4 대수 Ⅲ. 수열 등차수열의 부분합의 차와 일반항의 결정 12점 상 제6회 문항 5 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 무한대·유한 확정 극한 조건을 만족하는 다항함수의 결정 12점 상 제6회 문항 6 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 미분계수의 정의를 이용한 극한값의 계산 12점 상 제6회 문항 7 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 삼차곡선 위의 점에서의 접선과 곡선의 교점 12점 상 제6회 문항 8 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 12점 상
제6회 실전 모의고사는 국민대학교 자연 A형 약술형 수리논술 킬러 TOP 5 심화 회차(8문항 × 12.5점 = 100점)입니다. 소문항 [1]·[2] 단계별 배점(6점+6.5점)에 맞춰 중간 유도식을 정확히 명시하십시오.
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회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제7회 문항 1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 로그의 밑변환 공식과 진수 거듭제곱의 연산 12점 상 제7회 문항 2 대수 Ⅱ. 삼각함수 제2사분면 각의 삼각함수 사이의 관계와 대칭식 12점 상 제7회 문항 3 대수 Ⅲ. 수열 귀납적으로 정의된 수열의 일반항과 제10항의 계산 12점 상 제7회 문항 4 대수 Ⅲ. 수열 등비중항의 성질을 이용한 등비수열의 첫째항과 공비 결정 12점 상 제7회 문항 5 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 실수 전체에서 연속인 함수의 미정계수와 함숫값 결정 12점 상 제7회 문항 6 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차 12점 상 제7회 문항 7 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 정적분으로 정의된 함수의 미분과 미정계수의 결정 12점 상 제7회 문항 8 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 수직선 위를 움직이는 점의 운동 방향 전환과 움직인 거리 12점 상
제7회 실전 모의고사는 국민대학교 자연 A형 약술형 수리논술 킬러 TOP 5 심화 회차(8문항 × 12.5점 = 100점)입니다. 소문항 [1]·[2] 단계별 배점(6점+6.5점)에 맞춰 중간 유도식을 정확히 명시하십시오.
📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (8문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분 (수학 8문항 × 12.5점 = 100점 환산)
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제8회 문항 1 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 치환을 이용한 지수부등식의 풀이와 거듭제곱의 최대·최소 12점 상 제8회 문항 2 대수 Ⅱ. 삼각함수 삼각함수의 합성항등식을 이용한 삼각방정식의 실근의 합 12점 상 제8회 문항 3 대수 Ⅱ. 삼각함수 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원의 반지름 12점 상 제8회 문항 4 대수 Ⅲ. 수열 부분분수 분해를 이용한 망원급수의 합 12점 상 제8회 문항 5 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 무리식을 포함한 함수의 극한과 미정계수의 결정 12점 상 제8회 문항 6 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 구간별로 정의된 함수의 미분가능성과 미정계수 결정 12점 상 제8회 문항 7 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 닫힌구간에서 삼차함수의 최대·최소와 상수의 결정 12점 상 제8회 문항 8 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 대칭구간에서 기함수·우함수의 성질을 이용한 정적분 12점 상
제8회 실전 모의고사는 국민대학교 자연 A형 약술형 수리논술 킬러 TOP 5 심화 회차(8문항 × 12.5점 = 100점)입니다. 소문항 [1]·[2] 단계별 배점(6점+6.5점)에 맞춰 중간 유도식을 정확히 명시하십시오.
📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (8문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분 (수학 8문항 × 12.5점 = 100점 환산)
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제9회 문항 1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 거듭제곱과 지수법칙을 이용한 지수 역수 합의 계산 12점 상 제9회 문항 2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 로그방정식의 치환과 이차방정식 근과 계수의 관계 12점 상 제9회 문항 3 대수 Ⅱ. 삼각함수 외접원의 반지름과 사인법칙을 이용한 삼각형의 둘레의 길이 12점 상 제9회 문항 4 대수 Ⅲ. 수열 수열의 합과 일반항의 관계를 이용한 항의 계산 12점 상 제9회 문항 5 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 사잇값의 정리를 이용한 삼차방정식의 실근 존재 구간 판정 12점 상 제9회 문항 6 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 삼차함수에 대한 평균값 정리를 만족시키는 상수의 결정 12점 상 제9회 문항 7 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 실수 전체에서 사차부등식이 항상 성립할 조건 12점 상 제9회 문항 8 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 두 이차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 12점 상
제9회 실전 모의고사는 국민대학교 자연 A형 약술형 수리논술 킬러 TOP 5 심화 회차(8문항 × 12.5점 = 100점)입니다. 소문항 [1]·[2] 단계별 배점(6점+6.5점)에 맞춰 중간 유도식을 정확히 명시하십시오.
📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (8문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분 (수학 8문항 × 12.5점 = 100점 환산)
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제10회 문항 1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 역수 지수 대칭식의 곱셈공식 변형 12점 상 제10회 문항 2 대수 Ⅱ. 삼각함수 부채꼴의 중심각의 크기와 호의 길이 12점 상 제10회 문항 3 대수 Ⅲ. 수열 등차중항과 연립방정식을 이용한 등차수열의 결정 12점 상 제10회 문항 4 대수 Ⅲ. 수열 시그마의 선형성과 자연수 거듭제곱의 합 12점 상 제10회 문항 5 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 곱의 미분법을 이용한 미분계수의 계산 12점 상 제10회 문항 6 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 기울기가 주어진 삼차곡선의 두 접선과 y절편의 곱 12점 상 제10회 문항 7 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 정적분과 미분계수의 관계로 정의된 극한값의 계산 12점 상 제10회 문항 8 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 포물선과 x축으로 둘러싸인 넓이를 이등분하는 직선 12점 상
제10회 실전 모의고사는 국민대학교 자연 A형 약술형 수리논술 킬러 TOP 5 심화 회차(8문항 × 12.5점 = 100점)입니다. 소문항 [1]·[2] 단계별 배점(6점+6.5점)에 맞춰 중간 유도식을 정확히 명시하십시오.
PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS
실전 모의고사 1회 ~ 10회
시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 80문항 전체 원문 요약과 단계별 모범답안·루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.
🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능
⚡ 단계별 채점 기준표 완비: 소문항·단계별 부분점수 배점표를 통해 정밀한 자가 채점 지원
👨🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭
【문제 1】 원문 요약 — 거듭제곱근의 성질과 유리수 지수의 혼합 연산 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 17011 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] 두 실수 \(p = \sqrt[3]{-125} + \sqrt[4]{256}\)과 \(q = 27^{\frac{2}{3}} \times 16^{-\frac{1}{2}}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 거듭제곱근의 정의와 유리수 지수법칙을 이용하여 \(p\)와 \(q\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(p^2 + 4q\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 1 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 홀수차 거듭제곱근 \(\sqrt[3]{-5^3} = -5\)와 양의 네제곱근 \(\sqrt[4]{4^4} = 4\), 지수법칙 \((a^m)^n = a^{mn}\)을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(p = -5 + 4 = -1\)이고, \(q = (3^3)^{\frac{2}{3}} \times (4^2)^{-\frac{1}{2}} = 3^2 \times 4^{-1} = \dfrac{9}{4}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(p^2 + 4q = (-1)^2 + 4 \times \dfrac{9}{4} = 1 + 9 = 10\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [1-1] (6점) • \(\sqrt[3]{-125}=-5,\; \sqrt[4]{256}=4\)로 \(p=-1\) 산출 +3점 / 지수법칙으로 \(q=\dfrac{9}{4}\) 산출 +3점 6점 소문항 [1-2] (6.5점) • \(p^2=1,\; 4q=9\) 대입 +3점 / 최종값 \(10\) 도출 +3.5점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
짝수차 근호 \(\sqrt[4]{256}\)은 양의 네제곱근 \(4\)만을 의미하므로 \(\pm 4\)로 쓰지 않도록 주의합니다.
[1-1] \(p = -1,\; q = \dfrac{9}{4}\) | [1-2] \(10\)
【문제 2】 원문 요약 — 로그치환 이차함수의 최솟값과 미정계수 결정 (국민대 기출 연계 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.2 탐구 17012 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] 닫힌구간 \([1, 16]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = (\log_2 x)^2 - 2k\log_2 x + 5\) (단, \(k\)는 \(1 \le k \le 3\)인 상수)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) \(t = \log_2 x\)로 치환할 때 실수 \(t\)의 값의 범위 \(\alpha \le t \le \beta\)를 구하고, \(f(x)\)를 \(t\)에 대한 이차식 \(g(t)\)로 나타내시오.
[2-2] (6.5점) 닫힌구간 \([1, 16]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값이 \(-4\)일 때, 상수 \(k\)의 값과 최댓값을 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 2 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 밑이 \(2 \gt 1\)인 로그함수는 증가함수이므로 \(1 \le x \le 16 \implies \log_2 1 \le t \le \log_2 16 \iff 0 \le t \le 4\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(g(t) = t^2 - 2kt + 5 = (t - k)^2 + 5 - k^2\)이고, 꼭짓점의 좌표 \(t = k\)가 구간 \([0, 4]\)에 속하므로 최솟값은 \(g(k) = 5 - k^2 = -4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(k^2 = 9\)에서 \(1 \le k \le 3\)이므로 \(k = 3\)이고, 대칭축 \(t = 3\)에서 가장 먼 경계 \(t = 0\)에서 최댓값 \(g(0) = 5\)를 갖는다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [2-1] (6점) • 치환 범위 \(0 \le t \le 4\) 명시 +3점 / \(g(t) = t^2 - 2kt + 5\) 작성 +3점 6점 소문항 [2-2] (6.5점) • 최솟값 \(5 - k^2 = -4\)로 \(k = 3\) 도출 +3.5점 / 최댓값 \(g(0) = 5\) 산출 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
국민대 자연A형 수학 29번 빈출 유형으로, \(\log_2 x = t\) 치환 시 정의역 \([1, 16]\)을 반드시 \([0, 4]\)로 변환해 명시해야 감점이 없습니다.
[2-1] \(0 \le t \le 4,\; g(t) = t^2 - 2kt + 5\) | [2-2] \(k = 3\), 최댓값 \(5\)
【문제 3】 원문 요약 — 호도법 부채꼴의 호의 길이·넓이와 중심각의 삼각비 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.2 탐구 17013 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] 반지름의 길이가 \(r = 6\)이고 넓이가 \(S = 12\pi\)인 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 부채꼴의 중심각의 크기 \(\theta\) (라디안)와 호의 길이 \(l\)을 각각 구하시오.
[3-2] (6.5점) [3-1]에서 구한 중심각 \(\theta\)에 대하여 \(12\sin\theta + 6\cos\theta\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 3 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 부채꼴의 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta\)와 호의 길이 공식 \(l = r\theta\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\dfrac{1}{2} \times 6^2 \times \theta = 18\theta = 12\pi \implies \theta = \dfrac{2\pi}{3}\)이고, 호의 길이는 \(l = 6 \times \dfrac{2\pi}{3} = 4\pi\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\; \cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\)이므로 \(12\sin\theta + 6\cos\theta = 6\sqrt{3} - 3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [3-1] (6점) • 넓이 공식으로 \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\) 산출 +3점 / 호의 길이 \(l = 4\pi\) 도출 +3점 6점 소문항 [3-2] (6.5점) • 제2사분면 삼각비 값 대입 +3점 / 최종값 \(6\sqrt{3} - 3\) 도출 +3.5점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
둔각 \(\dfrac{2\pi}{3}\)에서 코사인 값은 음수(\(-\dfrac{1}{2}\))이므로 부호 실수에 유의합니다.
[3-1] \(\theta = \dfrac{2\pi}{3},\; l = 4\pi\) | [3-2] \(6\sqrt{3} - 3\)
【문제 4】 원문 요약 — 수열의 귀납적 정의와 변변 곱하기를 이용한 일반항 도출 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.2 탐구 17014 변형 | 성취기준: 12대수03-06] 첫째항이 \(a_1 = 3\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 관계식 \((n + 1)a_{n+1} = (n + 3)a_n\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 주어진 귀납적 정의로부터 \(a_2,\; a_3\)의 값을 구하고, 자연수 \(n\)에 대한 일반항 \(a_n\)을 구하시오.
[4-2] (6.5점) \(\sum_{k=1}^{10} \dfrac{6}{a_k}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 4 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 점화식을 \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{n + 3}{n + 1}\)로 변형하여 \(n = 1, 2, \dots, m-1\)을 차례로 대입해 곱한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_2 = \dfrac{4}{2} \cdot 3 = 6,\; a_3 = \dfrac{5}{3} \cdot 6 = 10\)이고, \(a_n = a_1 \cdot \dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{5}{3} \cdots \dfrac{n+2}{n} = 3 \cdot \dfrac{(n+1)(n+2)}{2 \cdot 3} = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\dfrac{6}{a_k} = \dfrac{12}{(k+1)(k+2)} = 12\left(\dfrac{1}{k+1} - \dfrac{1}{k+2}\right)\)이므로 \(\sum_{k=1}^{10} \dfrac{6}{a_k} = 12\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{12}\right) = 12 \times \dfrac{5}{12} = 5\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [4-1] (6점) • \(a_2 = 6,\; a_3 = 10\) 계산 +2점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\) 유도 +4점 6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 부분분수 분해식 \(12\left(\dfrac{1}{k+1}-\dfrac{1}{k+2}\right)\) 제시 +3.5점 / 망원급수 소거 합 \(5\) 산출 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
분자·분모가 두 칸 간격으로 소거될 때 앞의 두 인수와 뒤의 두 인수가 남는다는 점을 정확히 확인합니다.
[4-1] \(a_2 = 6,\; a_3 = 10,\; a_n = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\) | [4-2] \(5\)
【문제 5】 원문 요약 — 무리함수의 0/0꼴 부정형 극한과 미정계수의 결정 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.2 탐구 17015 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 등식 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{2x + a} - b}{x - 2} = \dfrac{1}{3}\)이 성립하도록 하는 두 실수 \(a, b\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 극한의 성질을 이용하여 \(b\)를 \(a\)에 대한 식으로 나타내고, 분자를 유리화하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[5-2] (6.5점) [5-1]에서 구한 \(a, b\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} x\left(\sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - bx}\right)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 5 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)에 수렴하여 \(\sqrt{4 + a} - b = 0 \implies b = \sqrt{4 + a} \gt 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 유리화하면 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{2(x - 2)}{(x - 2)\left(\sqrt{2x + a} + b\right)} = \dfrac{2}{2b} = \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{3}\)이므로 \(b = 3\)이고 \(4 + a = 9 \implies a = 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a = 5,\; b = 3\)을 대입하고 유리화하면 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{x(8x)}{\sqrt{x^2 + 5x} + \sqrt{x^2 - 3x}} = \dfrac{8}{1 + 1} = 4\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [5-1] (6점) • 분자 극한 \(0\) 조건으로 \(b = \sqrt{4+a}\) 도출 +2.5점 / 유리화로 \(a=5,\; b=3\) 산출 +3.5점 6점 소문항 [5-2] (6.5점) • 무한대 무리식 켤레 유리화 +3.5점 / 극한값 \(4\) 산출 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
대학 과정 공식을 배제하고 인수 정리와 영인자 약분으로 극한값을 도출해야 감점이 없습니다.
[5-1] \(a = 5,\; b = 3\) | [5-2] \(4\)
【문제 6】 원문 요약 — 다항식 곱의 미분법과 곡선 위의 접선의 방정식 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 17016 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05] 다항함수 \(f(x) = (x^2 + ax + 1)(3x - 2)\)의 그래프 위의 점 \((1, 2)\)에서의 접선의 기울기가 \(8\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 곱의 미분법을 이용하여 \(f'(x)\)를 구하고, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[6-2] (6.5점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, 2)\)에서의 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 점 \((1, 2)\)가 곡선 위의 점이므로 \(f(1) = (2 + a) \cdot 1 = 2 \implies a = 0\)이고, 곱의 미분법 \(f'(x) = (2x + a)(3x - 2) + 3(x^2 + ax + 1)\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a = 0\)을 대입하면 \(f'(x) = 2x(3x - 2) + 3(x^2 + 1) = 9x^2 - 4x + 3\)이므로 \(f'(1) = 9 - 4 + 3 = 8\)이 성립하고, 점 \((1, 2)\)에서의 접선의 방정식은 \(y - 2 = 8(x - 1)\), 즉 \(y = 8x - 6\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 접선 \(y = 8x - 6\)의 \(x\)절편은 \(\dfrac{3}{4}\), \(y\)절편은 \(-6\)이므로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} \times 6 = \dfrac{9}{4}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [6-1] (6점) • 곱의 미분법 도함수 전개 +3점 / 상수 \(a = 0\) 결정 +3점 6점 소문항 [6-2] (6.5점) • 접선의 방정식 \(y = 8x - 6\) 도출 +3.5점 / 절편으로 삼각형 넓이 \(\dfrac{9}{4}\) 산출 +3점 6.5점
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접선과 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구할 때는 \(y\)절편의 절댓값 \(|-6| = 6\)을 높이에 대입해야 합니다.
[6-1] \(a = 0\) | [6-2] \(\dfrac{9}{4}\)
【문제 7】 원문 요약 — 닫힌구간에서의 평균값 정리 만족 상수의 결정 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 17017 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-06] 함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 4\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c\) (\(0 \lt c \lt 3\))를 구하고자 한다.
[7-1] (6점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 평균변화율을 구하시오.
[7-2] (6.5점) 평균값 정리를 만족시키는 열린구간 \((0, 3)\) 내의 모든 상수 \(c\)의 값과 그 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = f'(c)\)를 만족하는 \(c \in (0, 3)\)가 존재한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(0) = 4,\; f(3) = 27 - 27 + 6 + 4 = 10\)이므로 평균변화율은 \(\dfrac{10 - 4}{3} = 2\)이고, \(f'(c) = 3c^2 - 6c + 2 = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(3c(c - 2) = 0\)에서 \(0 \lt c \lt 3\)을 만족하는 상수는 \(c = 2\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [7-1] (6점) • \(f(0)=4,\; f(3)=10\) 및 평균변화율 \(2\) 산출 +6점 6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(f'(c) = 3c^2 - 6c + 2 = 2\) 방정식 수립 +3.5점 / 열린구간 조건 \(0 \lt c \lt 3\)으로 \(c = 2\) 결정 +3점 6.5점
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\(3c(c - 2) = 0\)의 두 근 \(c = 0, 2\) 중 끝점 \(c = 0\)은 열린구간 \((0, 3)\)에 속하지 않으므로 반드시 제외해야 감점을 피합니다.
[7-1] 평균변화율 \(2\) | [7-2] \(c = 2\), 합 \(2\)
【문제 8】 원문 요약 — 정적분 상수가 포함된 다항함수의 결정과 넓이 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.2 탐구 17018 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-05] 다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = 3x^2 - 2x + \int_{0}^{2} f(t)\,dt\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 상수 \(A = \int_{0}^{2} f(t)\,dt\)로 치환하여 \(A\)의 값을 구하고 함수 \(f(x)\)를 결정하시오.
[8-2] (6.5점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = 4x - 4\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분 \(\int_{0}^{2} f(t)\,dt = A\) (상수)로 두면 \(f(x) = 3x^2 - 2x + A\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A = \int_{0}^{2} (3t^2 - 2t + A)\,dt = \Bigl[t^3 - t^2 + At\Bigr]_{0}^{2} = 8 - 4 + 2A = 4 + 2A \implies A = -4\)이므로 \(f(x) = 3x^2 - 2x - 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(x) = 4x - 4 \iff 3x^2 - 6x = 0 \implies x = 0, 2\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(\int_{0}^{2} |3x^2 - 6x|\,dx = \dfrac{3}{6}(2 - 0)^3 = 4\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [8-1] (6점) • \(A = \int_0^2 f(t)\,dt\) 치환 및 \(A = 4 + 2A\) 수립 +3점 / \(A = -4,\; f(x) = 3x^2 - 2x - 4\) 도출 +3점 6점 소문항 [8-2] (6.5점) • 교점 \(x = 0, 2\) 산출 +3점 / 정적분 넓이 \(4\) 도출 +3.5점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
적분구간이 상수인 정적분은 변수 \(x\)가 아니라 상수 \(A\)로 치환해야 한다는 점을 1줄에 명확히 선언합니다.
[8-1] \(A = -4,\; f(x) = 3x^2 - 2x - 4\) | [8-2] \(4\)
【문제 1】 원문 요약 — 유리수 지수의 곱셈공식과 역수 대칭식의 계산 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 탐구 17021 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] 양수 \(x\)에 대하여 \(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 4\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 곱셈공식을 이용하여 \(x + x^{-1}\)과 \(x^2 + x^{-2}\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 1 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 곱셈공식 \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\)와 \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\)에서 \(a = x^{\frac{1}{2}},\; b = x^{-\frac{1}{2}}\) (\(ab = 1\))을 대입한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x + x^{-1} = 4^2 - 2 = 14\)이고, \(x^2 + x^{-2} = (x + x^{-1})^2 - 2 = 14^2 - 2 = 194\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = \left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)^3 - 3\left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right) = 4^3 - 3 \times 4 = 64 - 12 = 52\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [1-1] (6점) • \(x + x^{-1} = 14\) 산출 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 194\) 산출 +3점 6점 소문항 [1-2] (6.5점) • 세제곱 합 공식 적용 +3.5점 / 최종값 \(52\) 도출 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
제곱할 때 상수항 \(2 x^{\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}} = 2\)를 빼는 과정을 누락하지 않도록 주의합니다.
[1-1] \(x + x^{-1} = 14,\; x^2 + x^{-2} = 194\) | [1-2] \(52\)
【문제 2】 원문 요약 — 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 개수 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 17022 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] 로그부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(7 - x) \le 3\)을 만족시키는 실수 \(x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) 로그의 진수 조건으로부터 실수 \(x\)의 값의 범위를 구하시오.
[2-2] (6.5점) 주어진 로그부등식의 해집합을 구하고, 이를 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 2 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 진수 조건 \(x - 1 \gt 0\)이고 \(7 - x \gt 0\)이므로 \(1 \lt x \lt 7\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log_2\{(x - 1)(7 - x)\} \le \log_2 8\)에서 밑 \(2 \gt 1\)이므로 \((x - 1)(7 - x) \le 8 \iff x^2 - 8x + 15 \ge 0 \iff (x - 3)(x - 5) \ge 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 진수 조건과 공통범위를 구하면 \(1 \lt x \le 3\) 또는 \(5 \le x \lt 7\)이고, 정수 \(x = 2, 3, 5, 6\)의 합은 \(2 + 3 + 5 + 6 = 16\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [2-1] (6점) • 두 진수 양수 조건으로부터 \(1 \lt x \lt 7\) 도출 +6점 6점 소문항 [2-2] (6.5점) • \((x-3)(x-5) \ge 0\)과 진수 조건 교집합 산출 +3.5점 / 정수 \(2, 3, 5, 6\)의 합 \(16\) 도출 +3점 6.5점
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로그부등식에서 진수 조건 \(1 \lt x \lt 7\)을 빠뜨리면 해집합이 무한 구간이 되어 큰 감점을 당합니다.
[2-1] \(1 \lt x \lt 7\) | [2-2] \(1 \lt x \le 3\) 또는 \(5 \le x \lt 7\), 정수 합 \(16\)
【문제 3】 원문 요약 — 삼각함수 사이의 제곱 관계와 탄젠트 대칭식의 값 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 17023 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] \(\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi\)인 각 \(\theta\)에 대하여 \(\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)을 이용하여 \(\sin\theta\cos\theta\)와 \(\sin\theta + \cos\theta\)의 값을 각각 구하시오.
[3-2] (6.5점) \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 3 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 양변을 제곱하면 \((\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{7}{4}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}\)이고, \((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\)인데 \(\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)와 연립하거나 \(2\sin\theta = \dfrac{\sqrt{7} \pm 1}{2} \le 2\)를 확인한다. 특히 \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta} = -\dfrac{8}{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [3-1] (6점) • 제곱 관계로 \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}\) 산출 +3점 / \(\sin\theta + \cos\theta\) 절댓값 \(\dfrac{1}{2}\) 도출 +3점 6점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(\tan\theta + \cot\theta = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}\) 변환 +3.5점 / 최종값 \(-\dfrac{8}{3}\) 산출 +3점 6.5점
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\(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta}\)를 통분하면 분자가 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)이 되어 곧바로 \(\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}\)로 계산됩니다.
[3-1] \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8},\; \sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}\) | [3-2] \(-\dfrac{8}{3}\)
【문제 4】 원문 요약 — 등차·등비 혼합 귀납적 정의와 수열의 합 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 17024 변형 | 성취기준: 12대수03-06] 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = 3a_n - 2\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 수열 \(\{a_n - 1\}\)이 등비수열임을 보이고, 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하시오.
[4-2] (6.5점) 첫째항부터 제\(8\)항까지의 합 \(\sum_{k=1}^{8} a_k\)를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 4 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 주어진 관계식의 양변에서 \(1\)을 빼면 \(a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 따라서 수열 \(\{a_n - 1\}\)은 첫째항이 \(a_1 - 1 = 1\)이고 공비가 \(3\)인 등비수열이므로 \(a_n - 1 = 3^{n-1} \implies a_n = 3^{n-1} + 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\sum_{k=1}^{8} a_k = \sum_{k=1}^{8} (3^{k-1} + 1) = \dfrac{3^8 - 1}{3 - 1} + 8 = \dfrac{6561 - 1}{2} + 8 = 3280 + 8 = 3288\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [4-1] (6점) • \(a_{n+1}-1 = 3(a_n-1)\) 변형 및 공비 \(3\) 제시 +3점 / 일반항 \(a_n = 3^{n-1}+1\) 도출 +3점 6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 등비수열 합 공식과 상수항 \(8\) 분리 계산 +3.5점 / 최종값 \(3288\) 산출 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
\(\sum_{k=1}^{8} 1 = 8\)인데 이를 \(1\)로 잘못 더하지 않도록 항의 개수를 정확히 곱해야 합니다.
[4-1] 공비 \(3\), \(a_n = 3^{n-1} + 1\) | [4-2] \(3288\)
【문제 5】 원문 요약 — 무한대 극한과 0/0꼴 극한을 동시에 만족하는 다항함수의 결정 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 17025 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 다항함수 \(f(x)\)가 두 극한 조건 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2 + 1} = 2\)와 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 4\)를 모두 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 첫 번째 극한 조건을 이용하여 다항함수 \(f(x)\)의 차수와 최고차항·이차항의 계수를 결정하시오.
[5-2] (6.5점) 두 번째 극한 조건을 이용하여 함수 \(f(x)\)를 완전히 결정하고 \(f(3)\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 5 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to \infty\) 극한에서 분모가 이차식이므로 \(f(x) - x^3\)은 최고차항의 계수가 \(2\)인 이차식이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b\)로 놓으면 \(x \to 1\)에서 \(f(1) = 3 + a + b = 0 \implies b = -a - 3\)이고, 인수분해하면 \(f(x) = (x - 1)(x^2 + 3x + a + 3)\)이므로 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 4 + a + 3 = 4 \implies a = -3,\; b = 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x\)이고, \(f(3) = 27 + 18 - 9 = 36\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [5-1] (6점) • \(f(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b\) 형태 도출 +6점 6점 소문항 [5-2] (6.5점) • \(f(1)=0,\; f'(1)=4\)로 \(a=-3,\; b=0\) 산출 +3.5점 / \(f(3)=36\) 도출 +3점 6.5점
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\(x \to \infty\) 극한은 최고차항과 차수를 알려주고, \(x \to 1\) 극한은 \(f(1)=0\)과 \(f'(1)=4\) 두 가지 조건을 동시에 줍니다.
[5-1] \(f(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b\) | [5-2] \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x,\; f(3) = 36\)
【문제 6】 원문 요약 — 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차와 미정계수 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 17026 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07] 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3ax^2 + 4\) (단, \(a \gt 0\))의 극댓값과 극솟값의 차가 \(32\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 도함수 \(f'(x) = 0\)의 두 실근을 \(a\)로 나타내고, 함수 \(f(x)\)가 극대·극소가 되는 \(x\)의 값을 각각 구하시오.
[6-2] (6.5점) 양수 \(a\)의 값과 함수 \(f(x)\)의 극솟값을 각각 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = 3x^2 - 6ax = 3x(x - 2a) = 0\)이고 \(a \gt 0\)이므로 \(x = 0\)과 \(x = 2a\)에서 부호가 바뀐다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 0\)에서 극댓값 \(f(0) = 4\)를 갖고, \(x = 2a\)에서 극솟값 \(f(2a) = 8a^3 - 12a^3 + 4 = 4 - 4a^3\)을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 극댓값과 극솟값의 차가 \(f(0) - f(2a) = 4a^3 = 32 \implies a^3 = 8 \implies a = 2\)이고, 극솟값은 \(4 - 32 = -28\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [6-1] (6점) • \(f'(x) = 3x(x-2a) = 0\) 인수분해 +3점 / \(x=0\) 극대, \(x=2a\) 극소 판정 +3점 6점 소문항 [6-2] (6.5점) • \(4a^3 = 32\)로부터 \(a = 2\) 산출 +3.5점 / 극솟값 \(-28\) 도출 +3점 6.5점
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극대·극소를 판정할 때는 도함수 \(f'(x)\)의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌는지, 음(-)에서 양(+)으로 바뀌는지 명시해야 합니다.
[6-1] \(x = 0\)에서 극대, \(x = 2a\)에서 극소 | [6-2] \(a = 2\), 극솟값 \(-28\)
【문제 7】 원문 요약 — 롤의 정리의 성립 조건과 도함수의 영점 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 17027 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-06] 다항함수 \(f(x) = x^3 - kx^2 - 4x + 5\)가 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 롤의 정리가 적용될 수 있을 때, 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 닫힌구간 \([-1, 3]\)의 양 끝점에서의 함숫값 조건 \(f(-1) = f(3)\)을 이용하여 상수 \(k\)의 값을 구하시오.
[7-2] (6.5점) 롤의 정리를 만족시키는 열린구간 \((-1, 3)\) 내의 상수 \(c\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 다항함수 \(f(x)\)는 실수 전체에서 미분가능하므로 롤의 정리의 전제 조건 \(f(-1) = f(3)\)을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(-1) = -1 - k + 4 + 5 = 8 - k\)이고 \(f(3) = 27 - 9k - 12 + 5 = 20 - 9k\)이므로 \(8 - k = 20 - 9k \implies 8k = 12 \implies k = \dfrac{3}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f'(c) = 3c^2 - 3c - 4 = 0\)에서 근의 공식에 의해 \(c = \dfrac{3 \pm \sqrt{57}}{6}\)이고, \(-1 \lt c \lt 3\)을 만족하는 값은 \(c = \dfrac{3 \pm \sqrt{57}}{6}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [7-1] (6점) • \(f(-1) = 8-k,\; f(3) = 20-9k\) 등식 수립 +3점 / \(k = \dfrac{3}{2}\) 산출 +3점 6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(f'(c) = 3c^2 - 3c - 4 = 0\) 풀이 +3.5점 / 열린구간 \((-1, 3)\) 내부 근 \(c = \dfrac{3\pm\sqrt{57}}{6}\) 도출 +3점 6.5점
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\(\dfrac{3 - \sqrt{57}}{6} \lt \dfrac{3 - 7}{6} \lt -\dfrac{2}{3}\)에서 \(\sqrt{57} \gt 7.5\)이므로 음의 근은 \(-0.75\) 근처여서 구간 \((-1, 3)\) 포함 여부를 부등식으로 정확히 판별합니다: \(9 \gt \sqrt{57} \gt 7 \implies -1 \lt \dfrac{3-\sqrt{57}}{6} \lt 3\)이므로 두 근 모두 구간 안에 속합니다.
[7-1] \(k = \dfrac{3}{2}\) | [7-2] \(c = \dfrac{3 \pm \sqrt{57}}{6}\)
【문제 8】 원문 요약 — 포물선과 x축 및 직선으로 둘러싸인 넓이의 이등분 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 17028 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 \(y = mx\) (\(m \gt 0\))가 이등분할 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1\)을 구하시오.
[8-2] (6.5점) 곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 직선 \(y = mx\)로 둘러싸인 넓이 \(S_2\)를 \(m\)에 대한 식으로 나타내고, \(S_2 = \dfrac{1}{2}S_1\)을 만족하는 상수 \(m\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 이차곡선과 직선의 두 교점이 \(\alpha, \beta\)일 때 둘러싸인 넓이 공식 \(S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x\)축과의 교점은 \(x = 0, 4\)이므로 \(S_1 = \dfrac{1}{6}(4 - 0)^3 = \dfrac{32}{3}\)이다. 또한 \(-x^2 + 4x = mx \implies x = 0, 4 - m\) (\(0 \lt m \lt 4\))이므로 \(S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\dfrac{(4 - m)^3}{6} = \dfrac{16}{3} \implies (4 - m)^3 = 32 \implies 4 - m = 2\sqrt[3]{4}\)이므로 \(m = 4 - 2\sqrt[3]{4}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [8-1] (6점) • 교점 \(x=0, 4\) 및 넓이 \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) 산출 +6점 6점 소문항 [8-2] (6.5점) • \(S_2 = \dfrac{(4-m)^3}{6}\) 도출 +3.5점 / \((4-m)^3 = 32\)로부터 \(m = 4 - 2\sqrt[3]{4}\) 산출 +3점 6.5점
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포물선의 넓이 이등분 문제에서는 적분을 직접 전개하는 것보다 \(\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3\) 공식을 쓰면 계산 시간을 획기적으로 단축할 수 있습니다.
[8-1] \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) | [8-2] \(S_2 = \dfrac{(4 - m)^3}{6},\; m = 4 - 2\sqrt[3]{4}\)
【문제 1】 원문 요약 — 지수방정식의 치환과 서로 다른 두 양의 실근 조건 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 17031 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-08] 실수 \(x\)에 대한 지수방정식 \(9^x - 6 \cdot 3^x + k = 0\)이 서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) \(t = 3^x\)로 치환할 때, \(x \gt 0\)에 대응하는 \(t\)의 값의 범위를 구하고 \(t\)에 대한 이차방정식을 세우시오.
[1-2] (6.5점) 치환된 이차방정식의 근의 분리 조건을 이용하여 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 1 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(t = 3^x\)로 치환하면 밑 \(3 \gt 1\)이므로 \(x \gt 0 \iff t \gt 3^0 = 1\)이고, 주어진 방정식은 \(f(t) = t^2 - 6t + k = 0\)이 된다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 이차함수 \(f(t) = (t - 3)^2 + k - 9\)의 대칭축이 \(t = 3 \gt 1\)이므로, \(t \gt 1\)에서 서로 다른 두 실근을 가질 필요충분조건은 판별식 \(D/4 = 9 - k \gt 0\)과 경계값 \(f(1) = 1 - 6 + k \gt 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(k \lt 9\)이고 \(k \gt 5\)이므로 상수 \(k\)의 값의 범위는 \(5 \lt k \lt 9\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [1-1] (6점) • \(x \gt 0 \iff t \gt 1\) 치환 범위 명시 +3점 / \(t^2 - 6t + k = 0\) 수립 +3점 6점 소문항 [1-2] (6.5점) • \(D/4 \gt 0\) 및 \(f(1) \gt 0\) 두 조건 모두 제시 +3.5점 / \(5 \lt k \lt 9\) 도출 +3점 6.5점
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양의 실근 \(x \gt 0\)을 \(t = 3^x\)로 치환하면 \(t \gt 0\)이 아니라 \(t \gt 1\)이 된다는 점이 핵심 채점 기준입니다.
[1-1] \(t \gt 1,\; t^2 - 6t + k = 0\) | [1-2] \(5 \lt k \lt 9\)
【문제 2】 원문 요약 — 상용로그의 정수부분과 소수부분의 합 조건 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 17032 변형 | 성취기준: 12대수01-04] \(10 \lt x \lt 100\)인 실수 \(x\)에 대하여 \(\log_{10} x\)의 소수부분과 \(\log_{10} x^3\)의 소수부분의 합이 \(1\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) \(\log_{10} x\)의 값의 범위를 구하고, 두 상용로그의 소수부분의 합이 \(1\)일 때 성립하는 정수 조건을 서술하시오.
[2-2] (6.5점) 조건을 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값과 그 곱을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 2 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(10 \lt x \lt 100 \implies 1 \lt \log_{10} x \lt 2\)이고, 두 상용로그의 소수부분을 각각 \(\alpha, \beta\) (\(0 \le \alpha, \beta \lt 1\))라 할 때 \(\alpha + \beta = 1\)이면 \(\alpha \gt 0, \beta \gt 0\)이고 두 로그의 합 \(\log_{10} x + \log_{10} x^3 = 4\log_{10} x\)는 정수이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(4 \lt 4\log_{10} x \lt 8\)이므로 \(4\log_{10} x = 5, 6, 7\)이다. 이때 \(\log_{10} x = \dfrac{5}{4}, \dfrac{6}{4}, \dfrac{7}{4}\)는 모두 소수부분이 \(0\)이 아니므로 조건을 만족한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 모든 실수 \(x\)는 \(10^{\frac{5}{4}},\; 10^{\frac{3}{2}},\; 10^{\frac{7}{4}}\)의 \(3\)개이고, 그 곱은 \(10^{\frac{5+6+7}{4}} = 10^{\frac{9}{2}} = 10000\sqrt{10}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [2-1] (6점) • \(1 \lt \log_{10} x \lt 2\) 및 \(4\log_{10} x\)가 정수이고 \(\alpha \ne 0\) 조건 제시 +6점 6점 소문항 [2-2] (6.5점) • \(4\log_{10} x = 5, 6, 7\) 판정 +3.5점 / 세 실수 \(x\)의 곱 \(10^{9/2}\) 산출 +3점 6.5점
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소수부분의 합이 \(1\)일 때는 반드시 각 로그의 소수부분이 \(0\)이 되는 경우를 제외해야 합니다.
[2-1] \(1 \lt \log_{10} x \lt 2,\; 4\log_{10} x \in \mathbb{Z}\) | [2-2] \(x = 10^{\frac{5}{4}}, 10^{\frac{6}{4}}, 10^{\frac{7}{4}}\), 곱 \(10^{\frac{9}{2}} = 10000\sqrt{10}\)
【문제 3】 원문 요약 — 사인법칙과 외접원의 반지름 및 삼각형의 변의 비 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 17033 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 반지름의 길이가 \(R = 6\)인 원에 내접하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\angle \mathrm{A} = \dfrac{\pi}{3},\; \angle \mathrm{B} = \dfrac{\pi}{4}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 두 변 \(a = \overline{\mathrm{BC}}\)와 \(b = \overline{\mathrm{CA}}\)의 길이를 각각 구하시오.
[3-2] (6.5점) \(a^2 + b^2\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 3 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = 2R\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2R = 12\)이므로 \(a = 12\sin\dfrac{\pi}{3} = 12 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\)이고, \(b = 12\sin\dfrac{\pi}{4} = 12 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a^2 + b^2 = (6\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{2})^2 = 108 + 72 = 180\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [3-1] (6점) • 사인법칙 \(a = 2R\sin A,\; b = 2R\sin B\) 식 명시 +2점 / \(a = 6\sqrt{3},\; b = 6\sqrt{2}\) 산출 +4점 6점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(a^2 = 108,\; b^2 = 72\) 계산 +3점 / 합 \(180\) 도출 +3.5점 6.5점
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사인법칙에서 지름 \(2R = 12\)를 반지름 \(R = 6\)으로 잘못 대입하지 않도록 공식을 먼저 적습니다.
[3-1] \(a = 6\sqrt{3},\; b = 6\sqrt{2}\) | [3-2] \(180\)
【문제 4】 원문 요약 — 첫째항이 음수인 등차수열의 부분합의 최솟값 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 17034 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02] 첫째항이 \(a_1 = -23\)이고 공차가 \(d = 4\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하고, 처음으로 양수가 되는 항은 제몇 항인지 구하시오.
[4-2] (6.5점) 부분합 \(S_n\)이 최소가 되는 자연수 \(n\)과 그때의 최솟값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 4 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 등차수열의 일반항 공식 \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)와 합 공식 \(S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_n = -23 + 4(n - 1) = 4n - 27 \gt 0 \implies n \gt \dfrac{27}{4} = 6.75\)이므로 제\(7\)항부터 양수가 된다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 제\(6\)항까지 음수이므로 \(n = 6\)일 때 \(S_n\)이 최소가 되며, 최솟값은 \(S_6 = \dfrac{6(-23 + (-3))}{2} = 3 \times (-26) = -78\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [4-1] (6점) • 일반항 \(a_n = 4n - 27\) 도출 +3점 / 제\(7\)항 판정 +3점 6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 음수 항들의 합인 \(n = 6\) 결정 +3점 / 최솟값 \(S_6 = -78\) 산출 +3.5점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
등차수열의 합 \(S_n\)을 이차함수로 미분하지 않고 \(a_n \le 0\)인 마지막 항의 번호 \(n = 6\)을 찾으면 훨씬 정확합니다.
[4-1] \(a_n = 4n - 27\), 제\(7\)항 | [4-2] \(n = 6\), 최솟값 \(-78\)
【문제 5】 원문 요약 — 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 17035 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] 모든 양의 실수 \(x\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 부등식 \(4x^2 - 3x + 1 \le (2x + 1)f(x) \le 4x^2 + 5x + 3\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 주어진 부등식으로부터 \(\dfrac{f(x)}{x}\)의 범위를 부등식으로 나타내시오.
[5-2] (6.5점) 함수의 극한의 대소 관계를 이용하여 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 5 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \gt 0\)이므로 \(x(2x + 1) \gt 0\)이고, 부등식의 각 변을 양수 \(x(2x + 1)\)로 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\dfrac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + x} \le \dfrac{f(x)}{x} \le \dfrac{4x^2 + 5x + 3}{2x^2 + x}\)이고, 좌변과 우변의 \(x \to \infty\) 극한은 모두 최고차항의 계수비 \(\dfrac{4}{2} = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리)에 의해 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 2\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [5-1] (6점) • \(x(2x+1) \gt 0\) 근거 명시 및 나눗셈 부등식 작성 +6점 6점 소문항 [5-2] (6.5점) • 양 끝 극한값 \(2\) 산출 +3점 / 조임 정리로 최종 극한 \(2\) 도출 +3.5점 6.5점
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부등식의 변을 나눌 때 나누는 식 \(x(2x+1)\)이 양수임을 언급하는 것이 서술형 감점 방어의 핵심입니다.
[5-1] \(\dfrac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + x} \le \dfrac{f(x)}{x} \le \dfrac{4x^2 + 5x + 3}{2x^2 + x}\) | [5-2] \(2\)
【문제 6】 원문 요약 — 곡선 밖의 원점에서 그은 접선의 방정식과 접점 결정 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 17036 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05] 원점 \((0, 0)\)에서 곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 5x + 9\)에 그은 접선에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 접점의 좌표를 \((t, t^3 - 3t^2 + 5t + 9)\)로 놓고, 접선이 원점 \((0, 0)\)을 지남을 이용하여 \(t\)에 대한 방정식을 세우시오.
[6-2] (6.5점) 실수 \(t\)의 값과 그때의 접선의 방정식을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 9\)에서 \(f'(t) = 3t^2 - 6t + 5\)이므로 접선의 방정식은 \(y - (t^3 - 3t^2 + 5t + 9) = (3t^2 - 6t + 5)(x - t)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 접선이 원점 \((0, 0)\)을 지나므로 \(-(t^3 - 3t^2 + 5t + 9) = -t(3t^2 - 6t + 5) \iff 2t^3 - 3t^2 - 9 = (t - 3)(2t^2 + 3t + 3) = 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(2t^2 + 3t + 3 = 0\)의 판별식은 \(9 - 24 \lt 0\)이므로 유일한 실근은 \(t = 3\)이고, 기울기 \(f'(3) = 27 - 18 + 5 = 14\)이므로 접선의 방정식은 \(y = 14x\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [6-1] (6점) • 접선의 방정식 수립 및 원점 대입 식 \(2t^3 - 3t^2 - 9 = 0\) 유도 +6점 6점 소문항 [6-2] (6.5점) • 인수분해로 \(t = 3\) 산출 +3.5점 / 접선 \(y = 14x\) 도출 +3점 6.5점
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곡선 밖의 점에서 그은 접선은 반드시 접점의 \(x\)좌표를 미지수 \(t\)로 두고 출발해야 합니다.
[6-1] \(2t^3 - 3t^2 - 9 = 0\) | [6-2] \(t = 3\), 접선의 방정식 \(y = 14x\)
【문제 7】 원문 요약 — 삼차함수가 실수 전체의 집합에서 증가하기 위한 조건 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 17037 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07] 삼차함수 \(f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + ax^2 + (2a + 3)x + 1\)이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 \(a\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 삼차함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 증가하기 위한 판별식 조건을 서술하시오.
[7-2] (6.5점) 실수 \(a\)의 값의 범위와 정수 \(a\)의 개수를 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)가 실수 전체에서 증가할 필요충분조건은 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 0\), 즉 이차방정식 \(f'(x) = 0\)의 판별식 \(D \le 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = x^2 + 2ax + 2a + 3\)에서 \(D/4 = a^2 - (2a + 3) = a^2 - 2a - 3 = (a + 1)(a - 3) \le 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(-1 \le a \le 3\)이고, 이를 만족하는 정수 \(a = -1, 0, 1, 2, 3\)의 개수는 \(5\)개이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [7-1] (6점) • \(f'(x) = x^2 + 2ax + 2a + 3 \ge 0\) 및 \(D/4 \le 0\) 조건 명시 +6점 6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(-1 \le a \le 3\) 범위 도출 +3.5점 / 정수 \(5\)개 산출 +3점 6.5점
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삼차함수의 증가 조건에서는 \(D \lt 0\)이 아니라 등호가 포함된 \(D \le 0\)임에 특히 유의합니다.
[7-1] \(f'(x) = x^2 + 2ax + 2a + 3 \ge 0,\; D/4 \le 0\) | [7-2] \(-1 \le a \le 3\), 정수 \(5\)개
【문제 8】 원문 요약 — 정적분으로 정의된 함수의 미분과 함숫값 결정 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 17038 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] 다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 4x^2 + ax - 2\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 주어진 등식의 양변에 적당한 \(x\)의 값을 대입하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[8-2] (6.5점) 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 함수 \(f(x)\)를 구하고 \(f(2)\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분의 성질 \(\int_{1}^{1} f(t)\,dt = 0\)과 정적분과 미분의 관계 \(\dfrac{d}{dx}\int_{1}^{x} f(t)\,dt = f(x)\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 양변에 \(x = 1\)을 대입하면 \(0 = 1 - 4 + a - 2 \implies a = 5\)이고, 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(f(x) = 3x^2 - 8x + 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(2) = 3(4) - 8(2) + 5 = 12 - 16 + 5 = 1\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [8-1] (6점) • \(x = 1\) 대입 식 \(1 - 4 + a - 2 = 0\) 제시 +3점 / \(a = 5\) 산출 +3점 6점 소문항 [8-2] (6.5점) • 미분하여 \(f(x) = 3x^2 - 8x + 5\) 도출 +3.5점 / \(f(2) = 1\) 산출 +3점 6.5점
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위끝과 아래끝이 같아지는 \(x = 1\)을 먼저 대입해 미정계수 \(a\)를 구하는 것이 정석 절차입니다.
[8-1] \(a = 5\) | [8-2] \(f(x) = 3x^2 - 8x + 5,\; f(2) = 1\)
【문제 1】 원문 요약 — 지수 조건식을 이용한 분수식 변형 계산 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 17041 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] 실수 \(x\)에 대하여 \(a^{2x} = 5\) (단, \(a \gt 0\))일 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 분모와 분자에 \(a^x\)를 곱하여 \(\dfrac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값을 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(\dfrac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 1 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 주어진 분수식의 분모와 분자에 각각 \(a^x\)를 곱하여 \(a^{2x} = 5\)와 \(a^{-2x} = \dfrac{1}{5}\)로 정리한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\dfrac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}} = \dfrac{a^{2x} - 1}{a^{2x} + 1} = \dfrac{5 - 1}{5 + 1} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 인수분해 공식 \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)\)에 의해 \(\dfrac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}} = a^{2x} - 1 + a^{-2x} = 5 - 1 + \dfrac{1}{5} = \dfrac{21}{5}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [1-1] (6점) • 분자·분모에 \(a^x\)를 곱한 식 제시 +3점 / 값 \(\dfrac{2}{3}\) 산출 +3점 6점 소문항 [1-2] (6.5점) • \(a^{2x} - 1 + a^{-2x}\) 약분 변형 +3.5점 / 최종값 \(\dfrac{21}{5}\) 도출 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
\(a^x = \sqrt{5}\)를 직접 대입하기보다 분모·분자에 \(a^x\)를 곱하거나 세제곱 인수분해로 약분하면 무리수 연산 없이 깔끔하게 풀립니다.
[1-1] \(\dfrac{2}{3}\) | [1-2] \(\dfrac{21}{5}\)
【문제 2】 원문 요약 — 로그의 밑변환 공식과 연쇄 소거 곱셈 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 탐구 17042 변형 | 성취기준: 12대수01-04] 세 실수 \(A = \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8\)과 \(B = \log_4 9 + \log_2 6 - \log_2 18\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) 로그의 밑변환 공식 \(\log_a b = \dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a}\)를 이용하여 \(A\)의 값을 구하시오.
[2-2] (6.5점) 로그의 성질을 이용하여 \(B\)의 값을 구하고 \(A + B\)를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 2 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 밑변환 공식 \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\)와 \(\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m}\log_a b\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A = \dfrac{\log 3}{\log 2} \cdot \dfrac{\log 5}{\log 3} \cdot \dfrac{3\log 2}{\log 5} = 3\)이고, \(\log_4 9 = \log_{2^2} 3^2 = \log_2 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(B = \log_2 3 + \log_2 6 - \log_2 18 = \log_2\left(\dfrac{3 \times 6}{18}\right) = \log_2 1 = 0\)이므로 \(A + B = 3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [2-1] (6점) • 밑변환 연쇄 약분 과정 서술 +3점 / \(A = 3\) 산출 +3점 6점 소문항 [2-2] (6.5점) • \(\log_4 9 = \log_2 3\) 변환 및 \(B = 0\) 도출 +3.5점 / \(A + B = 3\) 산출 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
밑이 다른 로그를 더하고 뺄 때는 반드시 \(\log_4 9 = \log_2 3\)처럼 밑을 \(2\)로 통일한 뒤 진수끼리 곱하고 나누어야 합니다.
[2-1] \(A = 3\) | [2-2] \(B = 0,\; A + B = 3\)
【문제 3】 원문 요약 — 코사인법칙을 이용한 변의 길이와 삼각형의 넓이 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 17043 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{AC}} = 8\)이고 \(\angle \mathrm{A} = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 길이를 구하시오.
[3-2] (6.5점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)와 외접원의 반지름의 길이 \(R\)를 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 3 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cos A\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \dfrac{1}{2} = 89 - 40 = 49\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin\dfrac{\pi}{3} = 10\sqrt{3}\)이고, 사인법칙에 의해 \(R = \dfrac{7}{2\sin(\pi/3)} = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [3-1] (6점) • 코사인법칙 대입 식 제시 +3점 / \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\) 산출 +3점 6점 소문항 [3-2] (6.5점) • 넓이 \(S = 10\sqrt{3}\) 도출 +3점 / 외접원 반지름 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3.5점 6.5점
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국민대 약술형 삼각함수 문항에서는 코사인법칙으로 마주 보는 변을 구한 뒤 사인법칙으로 외접원 반지름까지 연결하는 2단계 구성이 자주 출제됩니다.
[3-1] \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\) | [3-2] \(S = 10\sqrt{3},\; R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)
【문제 4】 원문 요약 — 무리식이 포함된 수열의 유리화와 망원급수의 합 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 17044 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] 자연수 \(n\)에 대하여 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항이 \(a_n = \dfrac{2}{\sqrt{2n + 1} + \sqrt{2n - 1}}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 분모를 유리화하여 일반항 \(a_n\)을 두 무리식의 차 꼴로 나타내시오.
[4-2] (6.5점) \(\sum_{k=1}^{m} a_k = 8\)을 만족시키는 자연수 \(m\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 4 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 분모와 분자에 켤레 무리식 \(\sqrt{2n + 1} - \sqrt{2n - 1}\)을 곱하여 분모를 유리화한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 분모가 \((2n + 1) - (2n - 1) = 2\)이므로 약분되어 \(a_n = \sqrt{2n + 1} - \sqrt{2n - 1}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\sum_{k=1}^{m} a_k = \sqrt{2m + 1} - 1 = 8 \implies \sqrt{2m + 1} = 9 \implies 2m + 1 = 81 \implies m = 40\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [4-1] (6점) • 분모 유리화 과정 및 \(a_n = \sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}\) 도출 +6점 6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 소거 후 \(\sqrt{2m+1} - 1 = 8\) 도출 +3.5점 / \(m = 40\) 산출 +3점 6.5점
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분모의 차 \((2n+1)-(2n-1) = 2\)가 분자의 \(2\)와 정확히 약분되는지 반드시 확인합니다.
[4-1] \(a_n = \sqrt{2n + 1} - \sqrt{2n - 1}\) | [4-2] \(m = 40\)
【문제 5】 원문 요약 — 구간별로 정의된 함수의 실수 전체 연속 조건 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 17045 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2} & (x \ne 2) \\ b & (x = 2) \end{cases}\)가 \(x = 2\)에서 연속일 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속이기 위한 극한 등식을 세우고, 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[5-2] (6.5점) 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 5 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속이므로 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2} = f(2) = b\)가 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하므로 분자에 \(x = 2\)를 대입하면 \(4 + 2a - 6 = 0 \implies a = 1\)이고, \(f(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = x + 3\) (\(x \ne 2\))이므로 \(b = \lim_{x \to 2} (x + 3) = 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 모든 실수 \(x\)에서 \(f(x) = x + 3\)이므로 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 최솟값은 \(f(0) = 3\), 최댓값은 \(f(4) = 7\)이고 그 합은 \(10\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [5-1] (6점) • 연속 정의 등식 명시 및 \(a = 1\) 산출 +3점 / 인수 약분으로 \(b = 5\) 도출 +3점 6점 소문항 [5-2] (6.5점) • \(f(x) = x + 3\) 확정 +3점 / 최솟값 \(3\)과 최댓값 \(7\)의 합 \(10\) 산출 +3.5점 6.5점
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\(x = 2\)에서 연속성이 확보되면 \(f(x) = x + 3\)은 실수 전체에서 정의된 일차함수와 완전히 일치합니다.
[5-1] \(a = 1,\; b = 5\) | [5-2] \(10\)
【문제 6】 원문 요약 — 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 상수의 범위 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.11 탐구 17046 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 방정식 \(x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.
[6-2] (6.5점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = -k\)가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 방정식을 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x = -k\)로 변형하고 도함수 \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0\)을 푼다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x)\)는 \(x = -1\)에서 극댓값 \(f(-1) = -1 - 3 + 9 = 5\)를 갖고, \(x = 3\)에서 극솟값 \(f(3) = 27 - 27 - 27 = -27\)을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 직선 \(y = -k\)가 극솟값과 극댓값 사이를 지나야 하므로 \(-27 \lt -k \lt 5 \iff -5 \lt k \lt 27\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [6-1] (6점) • \(f'(x) = 3(x+1)(x-3) = 0\) 도출 +2점 / 극댓값 \(5\), 극솟값 \(-27\) 산출 +4점 6점 소문항 [6-2] (6.5점) • \(-27 \lt -k \lt 5\) 조건 수립 +3.5점 / \(-5 \lt k \lt 27\) 도출 +3점 6.5점
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\(f(x) = -k\)로 이항했을 때 우변이 \(k\)가 아니라 \(-k\)이므로 마지막에 양변에 \(-1\)을 곱해 부등호 방향을 바꾸어야 합니다.
[6-1] 극댓값 \(f(-1) = 5\), 극솟값 \(f(3) = -27\) | [6-2] \(-5 \lt k \lt 27\)
【문제 7】 원문 요약 — 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 탐구 17047 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-09] 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\) (\(t \ge 0\))에서의 위치가 \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 시각 \(t\)에서의 속도 \(v(t)\)와 가속도 \(a(t)\)를 구하고, 점 \(\mathrm{P}\)가 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하시오.
[7-2] (6.5점) 점 \(\mathrm{P}\)가 두 번째로 운동 방향을 바꾸는 순간의 위치와 가속도를 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 속도 \(v(t) = x'(t)\)와 가속도 \(a(t) = v'(t)\)를 선언하고, 운동 방향이 바뀌는 시각은 \(v(t) = 0\)에서 부호가 바뀌는 시각이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)이고 \(a(t) = 6t - 12\)이므로 운동 방향을 바꾸는 시각은 \(t = 1\)과 \(t = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 두 번째로 운동 방향을 바꾸는 시각은 \(t = 3\)이며, 이때의 위치는 \(x(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2\)이고 가속도는 \(a(3) = 18 - 12 = 6\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [7-1] (6점) • \(v(t),\; a(t)\) 식 도출 +3점 / 운동 방향 전환 시각 \(t = 1, 3\) 산출 +3점 6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(t = 3\)에서의 위치 \(x(3) = 2\) 산출 +3.5점 / 가속도 \(a(3) = 6\) 산출 +3점 6.5점
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단순히 \(v(t) = 0\)인 것뿐만 아니라 \(t = 1, 3\) 전후에서 \(v(t)\)의 부호가 바뀐다는 점을 함께 언급하면 만점 답안이 됩니다.
[7-1] \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9,\; a(t) = 6t - 12\), 시각 \(t = 1, 3\) | [7-2] 위치 \(2\), 가속도 \(6\)
【문제 8】 원문 요약 — 대칭 구간에서의 우함수·기함수 정적분 성질 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 탐구 17048 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03] 다항함수 \(f(x) = 2x^5 - 4x^3 + 3x^2 + 7x - 1\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 대칭 구간 \([-2, 2]\)에서 홀수차 항과 짝수차 항의 정적분 성질을 서술하고, \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)를 \([0, 2]\) 구간에서의 정적분으로 간단히 나타내시오.
[8-2] (6.5점) 정적분 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 대칭 구간 \([-a, a]\)에서 기함수(\(x^{2k-1}\))의 정적분은 \(0\)이고, 우함수(\(x^{2k}\))의 정적분은 \(2\int_{0}^{a} x^{2k}\,dx\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 홀수차 항 \(2x^5 - 4x^3 + 7x\)의 적분값은 \(0\)이므로 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{2} (3x^2 - 1)\,dx\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(2\Bigl[x^3 - x\Bigr]_{0}^{2} = 2(8 - 2) = 12\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [8-1] (6점) • 기함수 소거 근거 및 \(2\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx\) 변환 +6점 6점 소문항 [8-2] (6.5점) • 부정적분 \(\bigl[x^3 - x\bigr]_0^2 = 6\) 계산 +3점 / 최종값 \(12\) 도출 +3.5점 6.5점
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우함수 성질을 쓸 때 앞의 배수 \(2\)를 빠뜨리지 않도록 주의합니다.
[8-1] \(2\int_{0}^{2} (3x^2 - 1)\,dx\) | [8-2] \(12\)
【문제 1】 원문 요약 — 서로 다른 거듭제곱근의 유리수 지수 통분과 대소 비교 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 탐구 17051 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] 세 양수 \(A = \sqrt{3},\; B = \sqrt[3]{6},\; C = \sqrt[6]{30}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 세 수 \(A, B, C\)를 각각 \(6\)제곱한 \(A^6,\; B^6,\; C^6\)의 값을 구하시오.
[1-2] (6.5점) 세 수 \(A, B, C\)의 대소 관계를 부등호로 나타내고, 가장 큰 수와 가장 작은 수의 곱의 \(6\)제곱을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 1 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 양수 \(x, y\)에 대하여 \(x \lt y \iff x^6 \lt y^6\)이므로 근호의 지수 \(2, 3, 6\)의 최소공배수인 \(6\)제곱을 비교한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A^6 = (3^{\frac{1}{2}})^6 = 3^3 = 27\), \(B^6 = (6^{\frac{1}{3}})^6 = 6^2 = 36\), \(C^6 = (30^{\frac{1}{6}})^6 = 30\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(27 \lt 30 \lt 36\)이므로 \(A \lt C \lt B\)이고, 가장 큰 수 \(B\)와 가장 작은 수 \(A\)에 대하여 \((AB)^6 = A^6 B^6 = 27 \times 36 = 972\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [1-1] (6점) • \(A^6=27,\; B^6=36,\; C^6=30\) 각각 산출 +6점 6점 소문항 [1-2] (6.5점) • 대소 관계 \(A \lt C \lt B\) 판정 +3.5점 / \((AB)^6 = 972\) 산출 +3점 6.5점
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거듭제곱근의 대소 비교에서는 모든 수가 양수임을 먼저 밝힌 뒤 최소공배수 거듭제곱을 취해야 논리적 감점이 없습니다.
[1-1] \(A^6 = 27,\; B^6 = 36,\; C^6 = 30\) | [1-2] \(A \lt C \lt B,\; (AB)^6 = 972\)
【문제 2】 원문 요약 — 로그방정식의 두 실근의 곱과 근과 계수의 관계 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 17052 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08] \(x \gt 0\)에 대한 로그방정식 \((\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + k = 0\)의 두 실근 \(\alpha, \beta\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) \(t = \log_3 x\)로 치환할 때 두 근 \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta\)의 합 \(t_1 + t_2\)를 이용하여 두 실근의 곱 \(\alpha\beta\)의 값을 구하시오.
[2-2] (6.5점) \(\alpha = 27\beta\)일 때, 상수 \(k\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 2 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(t = \log_3 x\)로 치환한 이차방정식 \(t^2 - 4t + k = 0\)의 두 근은 \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 근과 계수의 관계에 의해 \(t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta) = 4\)이므로 \(\alpha\beta = 3^4 = 81\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\alpha = 27\beta\)이면 \(t_1 - t_2 = \log_3\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right) = \log_3 27 = 3\)이므로 \(t_1 = \dfrac{7}{2},\; t_2 = \dfrac{1}{2}\)이고, \(k = t_1 t_2 = \dfrac{7}{4}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [2-1] (6점) • \(\log_3 \alpha + \log_3 \beta = \log_3(\alpha\beta) = 4\) 제시 +3점 / \(\alpha\beta = 81\) 산출 +3점 6점 소문항 [2-2] (6.5점) • \(t_1 - t_2 = 3\) 도출 +3.5점 / \(k = t_1 t_2 = \dfrac{7}{4}\) 산출 +3점 6.5점
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로그방정식의 두 실근 \(\alpha, \beta\)의 곱 \(\alpha\beta\)는 치환된 이차방정식의 두 근의 곱 \(k\)가 아니라 두 근의 합 \(t_1 + t_2\)에서 나온다는 점을 혼동하지 마세요.
[2-1] \(\alpha\beta = 81\) | [2-2] \(k = \dfrac{7}{4}\)
【문제 3】 원문 요약 — 삼각함수로 정의된 이차방정식의 치환과 해의 합 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 17053 변형 | 성취기준: 12대수02-02] \(0 \le x \lt 2\pi\)에서 정의된 삼각방정식 \(2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 \(\sin x\)에 대한 이차방정식으로 인수분해하고 \(\sin x\)의 값을 모두 구하시오.
[3-2] (6.5점) \(0 \le x \lt 2\pi\)에서 주어진 방정식을 만족시키는 모든 실근 \(x\)와 그 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 3 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 삼각함수 항등식 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 삼각함수를 \(\sin x\)로 통일한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0 \iff 2\sin^2 x + \sin x - 1 = (2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0\)이므로 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(0 \le x \lt 2\pi\)에서 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\)인 해는 \(x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\)이고 \(\sin x = -1\)인 해는 \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)이므로 모든 실근의 합은 \(\pi + \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{5\pi}{2}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [3-1] (6점) • \((2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0\) 인수분해 +3점 / \(\sin x = \dfrac{1}{2}, -1\) 산출 +3점 6점 소문항 [3-2] (6.5점) • 세 실근 \(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}\) 도출 +3.5점 / 실근의 합 \(\dfrac{5\pi}{2}\) 산출 +3점 6.5점
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\(0 \le x \lt 2\pi\) 구간에서 \(\sin x = -1\)이 되는 \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)를 빠뜨리지 않도록 단위원이나 그래프를 확인합니다.
[3-1] \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\) | [3-2] \(x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}\), 합 \(\dfrac{5\pi}{2}\)
【문제 4】 원문 요약 — 계차가 일차식인 귀납적 정의와 일반항의 도출 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 17054 변형 | 성취기준: 12대수03-06] 첫째항이 \(a_1 = 2\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} - a_n = 2n + 1\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) \(n = 1, 2, \dots, m-1\)을 차례로 대입하여 변변 더하는 방법으로 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하시오.
[4-2] (6.5점) \(\sum_{k=1}^{6} a_k\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 4 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1) = 2\cdot\dfrac{(n - 1)n}{2} + (n - 1) = n^2 - 1\)이므로 \(a_n = 2 + (n^2 - 1) = n^2 + 1\)이고, 이는 \(n = 1\)일 때도 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\sum_{k=1}^{6} (k^2 + 1) = \dfrac{6 \times 7 \times 13}{6} + 6 = 91 + 6 = 97\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [4-1] (6점) • 축차대입 합의 식 제시 +3점 / 일반항 \(a_n = n^2 + 1\) 도출 +3점 6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 거듭제곱의 합 공식 적용 +3.5점 / 최종값 \(97\) 산출 +3점 6.5점
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\(n \ge 2\)에서 유도한 식 \(a_n = n^2 + 1\)에 \(n = 1\)을 대입하여 첫째항 \(a_1 = 2\)와 일치함을 확인하는 한 줄을 덧붙이면 완벽합니다.
[4-1] \(a_n = n^2 + 1\) | [4-2] \(97\)
【문제 5】 원문 요약 — 분모가 이차인수로 0에 수렴하는 유리식 극한과 인수 정리 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 17055 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\)가 등식 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x - 1)^2} = 5\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 주어진 극한이 수렴하기 위해 \(f(x)\)가 반드시 가져야 하는 인수를 서술하고, \(f(x)\)를 인수분해된 꼴로 나타내시오.
[5-2] (6.5점) 상수 \(a, b, c\)의 값을 각각 구하고 \(f(2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 5 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to 1\)일 때 분모 \((x - 1)^2\)이 이차로 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차식 \(f(x)\)는 \((x - 1)^2\)을 인수로 가져야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x) = (x - 1)^2(x - k)\)로 놓으면 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)^2(x - k)}{(x - 1)^2} = 1 - k = 5 \implies k = -4\)이므로 \(f(x) = (x - 1)^2(x + 4)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 전개하면 \(f(x) = (x^2 - 2x + 1)(x + 4) = x^3 + 2x^2 - 7x + 4\)이므로 \(a = 2,\; b = -7,\; c = 4\)이고 \(f(2) = 1^2 \times 6 = 6\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [5-1] (6점) • \((x-1)^2\) 인수 보유 근거 및 \(f(x) = (x-1)^2(x+4)\) 도출 +6점 6점 소문항 [5-2] (6.5점) • 전개하여 \(a=2,\; b=-7,\; c=4\) 산출 +3.5점 / \(f(2) = 6\) 도출 +3점 6.5점
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\(a, b, c\)를 연립방정식으로 풀지 않고 \(f(x) = (x-1)^2(x-k)\)로 인수분해 꼴을 먼저 세우면 10초 만에 정확히 구할 수 있습니다.
[5-1] \(f(x) = (x - 1)^2(x + 4)\) | [5-2] \(a = 2,\; b = -7,\; c = 4,\; f(2) = 6\)
【문제 6】 원문 요약 — 삼차함수가 열린구간에서 극값을 갖기 위한 조건 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.13 탐구 17056 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07] 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + kx + 2\)가 열린구간 \((0, 3)\)에서 극댓값과 극솟값을 모두 갖도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, \(f'(x) = 0\)이 열린구간 \((0, 3)\)에서 서로 다른 두 실근을 갖기 위한 조건을 서술하시오.
[6-2] (6.5점) 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 삼차함수 \(f(x)\)가 열린구간 \((0, 3)\)에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 이차함수 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + k\)가 \((0, 3)\)에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3(x - 1)^2 + k - 3\)의 대칭축이 \(x = 1 \in (0, 3)\)이므로, 판별식 조건 \(D/4 = 9 - 3k \gt 0 \implies k \lt 3\)과 경계값 조건 \(f'(0) = k \gt 0,\; f'(3) = 9 + k \gt 0\)을 동시에 만족해야 한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 실수 \(k\)의 값의 범위는 \(0 \lt k \lt 3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [6-1] (6점) • \(f'(x) = 3x^2 - 6x + k\) 및 판별식·경계값 조건 명시 +6점 6점 소문항 [6-2] (6.5점) • \(k \lt 3\)과 \(k \gt 0\) 결합 +3.5점 / 최종 범위 \(0 \lt k \lt 3\) 산출 +3점 6.5점
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대칭축 \(x = 1\)에서 먼 쪽 경계가 \(x = 3\)이지만 작은 쪽 경계는 \(x = 0\)이므로 최솟값은 \(f'(0) = k \gt 0\)에서 결정됩니다.
[6-1] \(f'(x) = 3x^2 - 6x + k,\; D/4 \gt 0,\; f'(0) \gt 0,\; f'(3) \gt 0\) | [6-2] \(0 \lt k \lt 3\)
【문제 7】 원문 요약 — 포물선에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 탐구 17057 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07] 곡선 \(y = 12 - x^2\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 영역에 내접하고 한 변이 \(x\)축 위에 있는 직사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 제1사분면 위의 꼭짓점의 \(x\)좌표를 \(t\) (\(0 \lt t \lt 2\sqrt{3}\))라 할 때, 직사각형의 넓이 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 삼차함수로 나타내시오.
[7-2] (6.5점) 도함수 \(S'(t)\)를 이용하여 직사각형의 넓이 \(S(t)\)가 최대가 되는 \(t\)의 값과 그때의 최대 넓이를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 포물선 \(y = 12 - x^2\)은 \(y\)축에 대하여 대칭이므로 직사각형의 가로의 길이는 \(2t\), 세로의 길이는 \(12 - t^2\) (\(0 \lt t \lt 2\sqrt{3}\))이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(S(t) = 2t(12 - t^2) = -2t^3 + 24t\)이고, 미분하면 \(S'(t) = -6t^2 + 24 = -6(t - 2)(t + 2) = 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(0 \lt t \lt 2\sqrt{3}\)에서 \(t = 2\)일 때 \(S(t)\)는 극대이면서 최대가 되므로 최댓값은 \(S(2) = 4 \times (12 - 4) = 32\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [7-1] (6점) • 가로 \(2t\), 세로 \(12-t^2\) 및 정의역 \(0 \lt t \lt 2\sqrt{3}\) 명시하여 \(S(t) = -2t^3 + 24t\) 도출 +6점 6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(S'(t) = -6(t-2)(t+2) = 0\)으로 \(t = 2\) 산출 +3점 / 최대 넓이 \(32\) 도출 +3.5점 6.5점
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도형 활용 문제에서는 반드시 변수 \(t\)의 정의역 \(0 \lt t \lt 2\sqrt{3}\)을 먼저 적어 주어야 서술형 만점을 받습니다.
[7-1] \(S(t) = 2t(12 - t^2) = -2t^3 + 24t\) | [7-2] \(t = 2\), 최대 넓이 \(32\)
【문제 8】 원문 요약 — 수직선 위를 움직이는 점의 위치의 변화량과 실제 움직인 거리 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 17058 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\) (\(t \ge 0\))에서의 속도가 \(v(t) = 2t - 4\)이고 시각 \(t = 0\)에서의 위치가 \(x(0) = 3\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 시각 \(t = 5\)에서의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치 \(x(5)\)를 구하시오.
[8-2] (6.5점) 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 5\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리 \(s\)를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 시각 \(t = 5\)에서의 위치는 \(x(5) = x(0) + \int_{0}^{5} v(t)\,dt\)이고, 실제로 움직인 거리는 \(s = \int_{0}^{5} |v(t)|\,dt\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x(5) = 3 + \int_{0}^{5} (2t - 4)\,dt = 3 + \Bigl[t^2 - 4t\Bigr]_{0}^{5} = 3 + (25 - 20) = 8\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(t = 2\)에서 속도의 부호가 바뀌므로 \(s = \int_{0}^{2} (4 - 2t)\,dt + \int_{2}^{5} (2t - 4)\,dt = 4 + 9 = 13\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [8-1] (6점) • 초기 위치 \(x(0) = 3\) 반영 정적분 식 제시 +3점 / \(x(5) = 8\) 산출 +3점 6점 소문항 [8-2] (6.5점) • 구간 \([0, 2]\)와 \([2, 5]\) 절댓값 분리 적분 +3.5점 / 이동 거리 \(13\) 도출 +3점 6.5점
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시각 \(t = 5\)에서의 위치를 구할 때 초기 위치 \(x(0) = 3\)을 더하는 것을 잊지 않도록 주의합니다.
[8-1] \(x(5) = 8\) | [8-2] \(s = 13\)
【문제 1】 원문 요약 — 유리수 지수법칙과 거듭제곱근의 혼합 연산 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 탐구 17061 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] 두 양수 \(a, b\)가 \(a^{\frac{1}{3}} = 2\), \(b^{\frac{1}{4}} = 3\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) \(a\)와 \(b\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (6.5점) 유리수 지수법칙을 이용하여 \(\left(\dfrac{a^2}{b}\right)^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{5}{2}}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 1 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 거듭제곱과 유리수 지수법칙 \((a^m)^n = a^{mn}\), \(a^m a^n = a^{m+n}\)을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a = 2^3 = 8,\; b = 3^4 = 81\)이고, 주어진 식을 정리하면 \(a^{2 \cdot \frac{3}{2}} b^{-\frac{3}{2} + \frac{5}{2}} = a^3 b\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a^3 b = 8^3 \times 81 = 512 \times 81 = 41472\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [1-1] (6점) • \(a = 2^3 = 8\) 및 \(b = 3^4 = 81\) 산출 +6점 6점 소문항 [1-2] (6.5점) • 주어진 식을 \(a^3 b\)로 간단히 정리 +3.5점 / 최종값 \(41472\) 도출 +3점 6.5점
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지수 밑이 양수일 때만 유리수 지수법칙을 자유롭게 적용할 수 있음을 확인하고 지수를 먼저 정리한 뒤 대입합니다.
[1-1] \(a = 8,\; b = 81\) | [1-2] \(41472\)
【문제 2】 원문 요약 — 닫힌구간에서 로그함수의 최댓값·최솟값과 상수 결정 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 17062 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] 닫힌구간 \([1, 13]\)에서 정의된 로그함수 \(f(x) = \log_3(2x + 1) + m\) (단, \(m\)은 상수)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) 닫힌구간 \([1, 13]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(m\)에 대한 식으로 나타내시오.
[2-2] (6.5점) 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합이 \(10\)일 때, 상수 \(m\)의 값과 \(f(4)\)의 값을 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 2 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 밑이 \(3 \gt 1\)이므로 로그함수 \(f(x) = \log_3(2x + 1) + m\)은 닫힌구간 \([1, 13]\)에서 단조증가함수이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 최솟값은 \(f(1) = \log_3 3 + m = 1 + m\), 최댓값은 \(f(13) = \log_3 27 + m = 3 + m\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \((1 + m) + (3 + m) = 2m + 4 = 10\)에서 \(m = 3\)이고, \(f(4) = \log_3 9 + 3 = 2 + 3 = 5\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [2-1] (6점) • 밑 \(3 \gt 1\) 증가성 근거로 최솟값 \(1+m\), 최댓값 \(3+m\) 표현 +6점 6점 소문항 [2-2] (6.5점) • \(m = 3\) 결정 +3.5점 / \(f(4) = 5\) 산출 +3점 6.5점
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로그함수의 최대·최소 서술 시 밑이 \(1\)보다 크므로 증가함수라는 성질을 1줄에 명시해야 감점이 없습니다.
[2-1] 최댓값 \(3 + m\), 최솟값 \(1 + m\) | [2-2] \(m = 3,\; f(4) = 5\)
【문제 3】 원문 요약 — 코사인법칙을 이용한 변의 길이와 삼각형의 넓이 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 탐구 17063 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 6\), \(\overline{\mathrm{AC}} = 5\), \(\cos A = \dfrac{3}{5}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이를 구하시오.
[3-2] (6.5점) \(\sin A\)의 값과 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)를 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 3 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cos A\)와 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\sin A\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 36 + 25 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \dfrac{3}{5} = 61 - 36 = 25\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(0 \lt A \lt \pi\)에서 \(\sin A = \sqrt{1 - (3/5)^2} = \dfrac{4}{5}\)이므로 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \dfrac{4}{5} = 12\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [3-1] (6점) • 코사인법칙 식 수립 및 \(\overline{\mathrm{BC}} = 5\) 도출 +6점 6점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(\sin A = \dfrac{4}{5}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = 12\) 계산 +3.5점 6.5점
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삼각형의 내각 \(A\)는 \(0 \lt A \lt \pi\)이므로 \(\sin A \gt 0\)임을 명시하여 부호 오류를 예방합니다.
[3-1] \(\overline{\mathrm{BC}} = 5\) | [3-2] \(\sin A = \dfrac{4}{5},\; S = 12\)
【문제 4】 원문 요약 — 등차수열의 부분합의 차와 일반항의 결정 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 17064 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03] 첫째항이 \(a_1 = 5\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(S_7 - S_4 = 75\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) \(S_7 - S_4\)를 제\(6\)항 \(a_6\)에 대한 식으로 나타내고 \(a_6\)의 값을 구하시오.
[4-2] (6.5점) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 공차 \(d\)와 제\(10\)항 \(a_{10}\)의 값을 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 4 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 수열의 합과 일반항의 관계 및 등차중항 성질에 의해 \(S_7 - S_4 = a_5 + a_6 + a_7 = 3a_6\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(3a_6 = 75\)에서 \(a_6 = 25\)이고, \(a_6 = a_1 + 5d = 5 + 5d = 25\)이므로 공차는 \(d = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 일반항은 \(a_n = 4n + 1\)이므로 제\(10\)항은 \(a_{10} = 4(10) + 1 = 41\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [4-1] (6점) • \(S_7 - S_4 = a_5+a_6+a_7 = 3a_6\) 정리 및 \(a_6 = 25\) 산출 +6점 6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 공차 \(d = 4\) 도출 +3점 / \(a_{10} = 41\) 계산 +3.5점 6.5점
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연속된 세 항의 합 \(a_5 + a_6 + a_7\)을 등차중항 성질 \(3a_6\)으로 바꾸면 계산 시간을 크게 단축할 수 있습니다.
[4-1] \(S_7 - S_4 = 3a_6,\; a_6 = 25\) | [4-2] \(d = 4,\; a_{10} = 41\)
【문제 5】 원문 요약 — 무한대·유한 확정 극한 조건을 만족하는 다항함수의 결정 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 17065 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -3\), \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 5\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) \(x \to \infty\)일 때의 극한 조건을 이용하여 \(f(x)\)의 차수와 이차항까지의 계수를 결정하시오.
[5-2] (6.5점) \(x \to 2\)일 때의 극한 조건을 이용하여 다항함수 \(f(x)\)를 구하고, \(f(3)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 5 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to \infty\) 극한이 \(-3\)으로 수렴하므로 \(f(x) - 2x^3 = -3x^2 + ax + b\), 즉 \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 \(f(2) = 4 + 2a + b = 0\)이고, \(f'(2) = 24 - 12 + a = 5 \implies a = -7,\; b = 10\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 7x + 10\)이므로 \(f(3) = 54 - 27 - 21 + 10 = 16\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [5-1] (6점) • \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b\) 형태 설정 +6점 6점 소문항 [5-2] (6.5점) • \(a = -7,\; b = 10\) 결정 +3.5점 / \(f(3) = 16\) 산출 +3점 6.5점
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다항함수에서 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x-2} = 5\)는 \(f(2)=0\)과 \(f'(2)=5\) 두 조건을 동시에 제공합니다.
[5-1] \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b\) | [5-2] \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 7x + 10,\; f(3) = 16\)
【문제 6】 원문 요약 — 미분계수의 정의를 이용한 극한값의 계산 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.3 탐구 17066 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03] 삼차함수 \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x + 3\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고 미분계수 \(f'(1)\)의 값을 구하시오.
[6-2] (6.5점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + 2h) - f(1 - 3h)}{h}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 미분계수의 정의 \(\lim_{t \to 0} \dfrac{f(a+t) - f(a)}{t} = f'(a)\)를 이용하기 위해 분자에 \(f(1)\)을 빼고 더한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 + 4x - 4\)에서 \(f'(1) = 3\)이고, 주어진 식은 \(2\lim_{h \to 0}\dfrac{f(1+2h)-f(1)}{2h} + 3\lim_{h \to 0}\dfrac{f(1-3h)-f(1)}{-3h} = 5f'(1)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 구하는 극한값은 \(5f'(1) = 5 \times 3 = 15\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [6-1] (6점) • \(f'(x) = 3x^2 + 4x - 4\) 및 \(f'(1) = 3\) 도출 +6점 6점 소문항 [6-2] (6.5점) • 극한식을 \(5f'(1)\)로 변형 +3.5점 / 극한값 \(15\) 산출 +3점 6.5점
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객관식 요령이 아닌 \(f(1)\)을 더하고 빼서 미분계수 정의 꼴로 변형하는 식을 한 줄 적어주면 감점을 완벽히 방어합니다.
[6-1] \(f'(x) = 3x^2 + 4x - 4,\; f'(1) = 3\) | [6-2] \(15\)
【문제 7】 원문 요약 — 삼차곡선 위의 점에서의 접선과 곡선의 교점 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 17067 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06] 삼차곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 2x + 4\) 위의 점 \(\mathrm{A}(2, 4)\)에서의 접선 \(l\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 점 \(\mathrm{A}(2, 4)\)에서의 접선 \(l\)의 방정식을 구하시오.
[7-2] (6.5점) 접선 \(l\)이 삼차곡선과 점 \(\mathrm{A}\)가 아닌 다른 점에서 만날 때, 그 교점 \(\mathrm{B}\)의 좌표 \((p, q)\)를 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(y' = 3x^2 - 6x + 2\)에서 \(x = 2\)일 때 접선의 기울기는 \(y'(2) = 12 - 12 + 2 = 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 접선 \(l\)의 방정식은 \(y = 2(x - 2) + 4 = 2x\)이고, 곡선과 연립하면 \(x^3 - 3x^2 + 2x + 4 = 2x \iff x^3 - 3x^2 + 4 = 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \((x - 2)^2(x + 1) = 0\)에서 접점 \(x = 2\)가 아닌 다른 교점의 \(x\)좌표는 \(x = -1\)이므로 \(\mathrm{B}(-1, -2)\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [7-1] (6점) • 기울기 \(y'(2)=2\) 및 접선의 방정식 \(y = 2x\) 도출 +6점 6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \((x-2)^2(x+1)=0\) 인수분해 +3.5점 / 교점 \((-1, -2)\) 산출 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
접점 \(x = 2\)는 연립방정식에서 항상 중근 인자 \((x-2)^2\)를 가진다는 성질을 이용하면 즉시 인수분해됩니다.
[7-1] \(y = 2x\) | [7-2] \((-1, -2)\)
【문제 8】 원문 요약 — 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 17068 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 이차곡선 \(y = x^2 - 4x + 5\)와 직선 \(y = 2x - 3\)으로 둘러싸인 도형에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 이차곡선과 직선의 두 교점의 \(x\)좌표 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha \lt \beta\))를 구하시오.
[8-2] (6.5점) 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 정적분으로 나타내고 그 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 교점 방정식 \(x^2 - 4x + 5 = 2x - 3 \iff x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 따라서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha = 2,\; \beta = 4\)이고, 구간 \([2, 4]\)에서 직선이 곡선보다 위에 위치한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 둘러싸인 넓이는 \(S = \int_{2}^{4} (-x^2 + 6x - 8)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - 2)^3 = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [8-1] (6점) • 연립방정식 수립 및 교점 \(\alpha = 2,\; \beta = 4\) 산출 +6점 6점 소문항 [8-2] (6.5점) • 정적분 넓이식 \(\int_2^4 (-x^2+6x-8)\,dx\) 표현 +3점 / 넓이 \(\dfrac{4}{3}\) 도출 +3.5점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
정적분 넓이 공식을 쓰더라도 피적분함수와 적분구간을 정적분 기호로 먼저 표시해야 과정 점수를 모두 받습니다.
[8-1] \(\alpha = 2,\; \beta = 4\) | [8-2] \(S = \dfrac{4}{3}\)
【문제 1】 원문 요약 — 로그의 밑변환 공식과 진수 거듭제곱의 연산 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 탐구 17071 변형 | 성취기준: 12대수01-04] \(1\)이 아닌 세 양수 \(a, b, c\)가 \(\log_a b = 4\), \(\log_b c = \dfrac{3}{2}\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 로그의 밑변환 공식을 이용하여 \(\log_a c\)의 값을 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(\log_c(a^2 b)\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 1 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 로그의 밑변환 공식 \(\log_x y = \dfrac{\log_a y}{\log_a x}\)에 의해 \(\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log_a c = 4 \times \dfrac{3}{2} = 6\)이고, 구하는 식을 밑이 \(a\)인 로그로 변환하면 \(\log_c(a^2 b) = \dfrac{\log_a(a^2 b)}{\log_a c} = \dfrac{2 + \log_a b}{\log_a c}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\log_a b = 4,\; \log_a c = 6\)을 대입하면 \(\dfrac{2 + 4}{6} = 1\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [1-1] (6점) • 밑변환 공식으로 \(\log_a c = 6\) 산출 +6점 6점 소문항 [1-2] (6.5점) • \(\dfrac{2 + \log_a b}{\log_a c}\) 변형 +3.5점 / 최종값 \(1\) 도출 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
서로 다른 밑을 가진 로그들의 곱과 나눗셈은 공통 밑 \(a\)로 통일하면 일관되게 정리됩니다.
[1-1] \(\log_a c = 6\) | [1-2] \(1\)
【문제 2】 원문 요약 — 제2사분면 각의 삼각함수 사이의 관계와 대칭식 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 17072 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] \(\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi\)인 각 \(\theta\)에 대하여 \(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{3}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)을 이용하여 \(\sin\theta\cos\theta\)의 값을 구하시오.
[2-2] (6.5점) \(\sin\theta - \cos\theta\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 2 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 삼각함수의 기본 항등식 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)과 곱셈공식의 변형을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{9}\)에서 \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{4}{9}\)이고, \((\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{17}{9}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi\)에서 \(\sin\theta \gt 0,\; \cos\theta \lt 0\)이므로 \(\sin\theta - \cos\theta \gt 0\)이고, 구하는 값은 \(\dfrac{\sqrt{17}}{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [2-1] (6점) • 제곱 전개를 통해 \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{4}{9}\) 산출 +6점 6점 소문항 [2-2] (6.5점) • 제2사분면 부호 \(\sin\theta - \cos\theta \gt 0\) 판정 +3점 / \(\dfrac{\sqrt{17}}{3}\) 도출 +3.5점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
제곱근을 취할 때 사분면에 따른 삼각함수의 부호(\(\sin\theta \gt 0, \cos\theta \lt 0\))를 반드시 근거로 적어야 합니다.
[2-1] \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{4}{9}\) | [2-2] \(\dfrac{\sqrt{17}}{3}\)
【문제 3】 원문 요약 — 귀납적으로 정의된 수열의 일반항과 제10항의 계산 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 17073 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] 첫째항이 \(a_1 = 3\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} - a_n = 4n - 1\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) \(n \ge 2\)일 때 일반항 \(a_n\)을 시그마(\(\sum\))를 이용하여 구하시오.
[3-2] (6.5점) \(a_{10}\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 3 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(k = 1, 2, \dots, n-1\)을 대입하여 변끼리 더하면 \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k - 1)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_n = 3 + 4 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} - (n - 1) = 2n^2 - 3n + 4\)이며 \(n = 1\)일 때도 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(n = 10\)을 대입하면 \(a_{10} = 2(100) - 3(10) + 4 = 174\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [3-1] (6점) • 축차대입 합의 식 수립 및 \(a_n = 2n^2 - 3n + 4\) 도출 +6점 6점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(n = 10\) 대입 과정 +3점 / \(a_{10} = 174\) 산출 +3.5점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
시그마의 위끝이 \(n\)이 아니라 \(n-1\)임에 주의하여 \(\sum_{k=1}^{n-1} k = \dfrac{(n-1)n}{2}\)로 계산합니다.
[3-1] \(a_n = 2n^2 - 3n + 4\) | [3-2] \(a_{10} = 174\)
【문제 4】 원문 요약 — 등비중항의 성질을 이용한 등비수열의 첫째항과 공비 결정 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 17074 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03] 모든 항이 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_2 a_4 = 36\), \(a_5 = 54\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 등비중항의 성질을 이용하여 제\(3\)항 \(a_3\)의 값을 구하시오.
[4-2] (6.5점) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 공비 \(r\)와 첫째항 \(a_1\)의 값을 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 4 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 등비중항의 성질에 의해 \(a_2 a_4 = a_3^2 = 36\)이고, 모든 항이 양수이므로 \(a_3 = 6\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_5 = a_3 r^2 = 6r^2 = 54\)에서 \(r^2 = 9\)이고, 모든 항이 양수이므로 공비는 \(r = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 첫째항은 \(a_1 = \dfrac{a_3}{r^2} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [4-1] (6점) • \(a_3^2 = 36\) 및 양수 조건으로 \(a_3 = 6\) 산출 +6점 6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 공비 \(r = 3\) 도출 +3.5점 / 첫째항 \(a_1 = \dfrac{2}{3}\) 산출 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
모든 항이 양수인 등비수열이므로 공비 \(r \gt 0\) 조건을 근거로 \(r = -3\)을 배제해야 합니다.
[4-1] \(a_3 = 6\) | [4-2] \(r = 3,\; a_1 = \dfrac{2}{3}\)
【문제 5】 원문 요약 — 실수 전체에서 연속인 함수의 미정계수와 함숫값 결정 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 탐구 17075 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] 모든 실수 \(x\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 \((x - 2)f(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 상수 \(k\)의 값을 구하고, \(x \ne 2\)일 때 \(f(x)\)의 식을 구하시오.
[5-2] (6.5점) 함수 \(f(x)\)의 연속성을 이용하여 \(f(2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 5 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 항등식 \((x - 2)f(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2\)의 양변에 \(x = 2\)를 대입하면 \(0 = 8 - 4k + 6 - 2\)에서 \(k = 3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(k = 3\)일 때 우변을 인수분해하면 \((x - 2)(x^2 - x + 1)\)이므로 \(x \ne 2\)일 때 \(f(x) = x^2 - x + 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속이므로 \(f(2) = \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - x + 1) = 3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [5-1] (6점) • \(k = 3\) 산출 및 인수분해로 \(f(x) = x^2 - x + 1\) 도출 +6점 6점 소문항 [5-2] (6.5점) • 연속 정의 \(f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)\) 명시 +3점 / \(f(2) = 3\) 산출 +3.5점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
\(x - 2\)로 양변을 나눌 때는 반드시 \(x \ne 2\) 조건을 먼저 밝힌 뒤 극한으로 \(f(2)\)를 구해야 논리적 감점이 없습니다.
[5-1] \(k = 3,\; f(x) = x^2 - x + 1\) (\(x \ne 2\)) | [5-2] \(f(2) = 3\)
【문제 6】 원문 요약 — 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 17076 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고 함수 \(f(x)\)가 극값을 갖는 \(x\)의 값을 모두 구하시오.
[6-2] (6.5점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)을 각각 구하고, \(M - m\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수는 \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)\)이고, \(f'(x) = 0\)의 해는 \(x = 1, 3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 1\) 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값은 \(M = f(1) = 1 - 6 + 9 + 5 = 9\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(x = 3\)에서 극솟값은 \(m = f(3) = 27 - 54 + 27 + 5 = 5\)이므로 \(M - m = 9 - 5 = 4\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [6-1] (6점) • \(f'(x) = 3(x-1)(x-3)\) 및 극점 \(x = 1, 3\) 도출 +6점 6점 소문항 [6-2] (6.5점) • \(M = 9,\; m = 5\) 산출 +3.5점 / \(M - m = 4\) 도출 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
도함수의 부호 변화(\(+\to-\) 극대, \(-\to+\) 극소)를 함께 언급하면 채점 기준표를 완벽히 충족합니다.
[6-1] \(f'(x) = 3(x-1)(x-3),\; x = 1, 3\) | [6-2] \(M = 9,\; m = 5,\; M - m = 4\)
【문제 7】 원문 요약 — 정적분으로 정의된 함수의 미분과 미정계수의 결정 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 탐구 17077 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04] 다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 + ax^2 - 5x + 3\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 위끝과 아래끝이 같아지는 \(x\)의 값을 대입하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[7-2] (6.5점) 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 \(f(x)\)를 구하고, \(f(2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분의 성질 \(\int_1^1 f(t)\,dt = 0\)과 정적분으로 정의된 함수의 미분법 \(\dfrac{d}{dx}\int_1^x f(t)\,dt = f(x)\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 양변에 \(x = 1\)을 대입하면 \(0 = 1 + a - 5 + 3 \implies a = 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5\)이므로 \(f(2) = 12 + 4 - 5 = 11\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [7-1] (6점) • \(x = 1\) 대입으로 \(a = 1\) 산출 +6점 6점 소문항 [7-2] (6.5점) • 미분하여 \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5\) 도출 +3.5점 / \(f(2) = 11\) 계산 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
정적분으로 정의된 함수 항등식은 (1) 위·아래끝 일치 값 대입, (2) 양변 미분의 2단계를 표준 절차로 서술합니다.
[7-1] \(a = 1\) | [7-2] \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5,\; f(2) = 11\)
【문제 8】 원문 요약 — 수직선 위를 움직이는 점의 운동 방향 전환과 움직인 거리 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 17078 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\) (\(t \ge 0\))에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 점 \(\mathrm{P}\)의 운동 방향이 바뀌는 시각 \(t\)를 모두 구하시오.
[8-2] (6.5점) 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리 \(s\)를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 속도 \(v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)에서 부호가 바뀌는 시각 \(t = 1, 3\)에서 운동 방향이 바뀐다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 움직인 거리는 \(s = \int_0^4 |v(t)|\,dt = \int_0^1 v(t)\,dt - \int_1^3 v(t)\,dt + \int_3^4 v(t)\,dt\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(F(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\)라 하면 \(F(0)=0,\; F(1)=4,\; F(3)=0,\; F(4)=4\)이므로 \(s = 4 + 4 + 4 = 12\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [8-1] (6점) • \(v(t) = 3(t-1)(t-3) = 0\)으로부터 \(t = 1, 3\) 도출 +6점 6점 소문항 [8-2] (6.5점) • 구간별 절댓값 적분 분리 +3점 / 총 거리 \(12\) 산출 +3.5점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
위치의 변화량 \(\int_0^4 v(t)\,dt = 4\)와 실제로 움직인 거리 \(\int_0^4 |v(t)|\,dt = 12\)를 혼동하지 않도록 주의합니다.
[8-1] \(t = 1,\; t = 3\) | [8-2] \(s = 12\)
【문제 1】 원문 요약 — 치환을 이용한 지수부등식의 풀이와 거듭제곱의 최대·최소 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 17081 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08] 지수부등식 \(9^x - 10 \cdot 3^x + 9 \le 0\)을 만족시키는 실수 \(x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) \(3^x = t\) (\(t \gt 0\))로 치환하여 실수 \(x\)의 값의 범위를 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(2^{x+1}\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 1 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(3^x = t\) (\(t \gt 0\))로 치환하면 주어진 부등식은 \(t^2 - 10t + 9 = (t - 1)(t - 9) \le 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(1 \le t \le 9 \iff 3^0 \le 3^x \le 3^2\)이고 밑이 \(3 \gt 1\)이므로 \(0 \le x \le 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(2^{x+1}\)의 최솟값은 \(2^{0+1} = 2\), 최댓값은 \(2^{2+1} = 8\)이므로 합은 \(2 + 8 = 10\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [1-1] (6점) • 치환부등식 \(1 \le 3^x \le 9\) 및 \(0 \le x \le 2\) 도출 +6점 6점 소문항 [1-2] (6.5점) • 최솟값 \(2\), 최댓값 \(8\) 산출 +3.5점 / 합 \(10\) 계산 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
지수부등식을 풀 때 밑이 \(1\)보다 큰지 작은지 명시하여 부등호 방향이 유지됨을 밝혀줍니다.
[1-1] \(0 \le x \le 2\) | [1-2] \(10\)
【문제 2】 원문 요약 — 삼각함수의 합성항등식을 이용한 삼각방정식의 실근의 합 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 17082 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] \(0 \le x \lt 2\pi\)일 때, 삼각방정식 \(2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 \(\sin x\)의 값을 모두 구하시오.
[2-2] (6.5점) \(0 \le x \lt 2\pi\)에서 주어진 방정식의 모든 실근을 구하고 그 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 2 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하면 \(2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0 \iff 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \((2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0\)이므로 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(0 \le x \lt 2\pi\)에서 해는 \(x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{3\pi}{2}\)이므로 모든 실근의 합은 \(\dfrac{5\pi}{2}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [2-1] (6점) • 이차방정식 인수분해 및 \(\sin x = \dfrac{1}{2}, -1\) 도출 +6점 6점 소문항 [2-2] (6.5점) • 세 실근 \(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}\) 산출 +3.5점 / 합 \(\dfrac{5\pi}{2}\) 계산 +3점 6.5점
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주어진 정의역 \(0 \le x \lt 2\pi\) 안에서 각 방정식의 근을 빠짐없이 나열한 뒤 합을 구합니다.
[2-1] \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\) | [2-2] 실근 \(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}\), 합 \(\dfrac{5\pi}{2}\)
【문제 3】 원문 요약 — 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원의 반지름 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.8 탐구 17083 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 4\), \(\overline{\mathrm{BC}} = 6\), \(\angle B = \dfrac{2\pi}{3}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\mathrm{AC}\)의 길이를 구하시오.
[3-2] (6.5점) 사인법칙을 이용하여 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이 \(R\)를 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 3 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙에 의해 \(\overline{\mathrm{AC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{BC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{BC}}\cos\dfrac{2\pi}{3}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\overline{\mathrm{AC}}^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 76\)이므로 \(\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{19}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 사인법칙 \(2R = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin(2\pi/3)} = \dfrac{2\sqrt{19}}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{4\sqrt{57}}{3}\)에서 \(R = \dfrac{2\sqrt{57}}{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [3-1] (6점) • 코사인법칙으로 \(\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{19}\) 도출 +6점 6점 소문항 [3-2] (6.5점) • 사인법칙 \(2R = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin B}\) 적용 +3점 / \(R = \dfrac{2\sqrt{57}}{3}\) 산출 +3.5점 6.5점
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둔각 \(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\)의 음수 부호에 유의하여 계산 실수를 방지합니다.
[3-1] \(\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{19}\) | [3-2] \(R = \dfrac{2\sqrt{57}}{3}\)
【문제 4】 원문 요약 — 부분분수 분해를 이용한 망원급수의 합 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 17084 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] 수열의 합 \(S = \sum_{k=1}^{12} \dfrac{2}{(2k - 1)(2k + 1)}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 일반항 \(\dfrac{2}{(2k - 1)(2k + 1)}\)을 부분분수로 분해하시오.
[4-2] (6.5점) 합 \(S = \dfrac{q}{p}\) (단, \(p, q\)는 서로소인 자연수)를 구하고, \(p + q\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 4 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 부분분수 분해 공식 \(\dfrac{B-A}{AB} = \dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\)에 의해 \(\dfrac{2}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 망원급수로 전개하면 \(S = \left(1 - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{23} - \dfrac{1}{25}\right) = 1 - \dfrac{1}{25} = \dfrac{24}{25}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 서로소인 두 자연수는 \(p = 25,\; q = 24\)이므로 \(p + q = 49\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [4-1] (6점) • 부분분수 변형 \(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\) 도출 +6점 6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 소거 후 \(S = \dfrac{24}{25}\) 산출 +3.5점 / \(p + q = 49\) 계산 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
첫 항 \(1\)과 마지막 남는 항 \(-\dfrac{1}{25}\)을 정확히 표시하여 소거 구조를 보여주는 것이 핵심입니다.
[4-1] \(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\) | [4-2] \(S = \dfrac{24}{25},\; p + q = 49\)
【문제 5】 원문 요약 — 무리식을 포함한 함수의 극한과 미정계수의 결정 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 17085 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 등식 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x + 10} - a}{x - 2} = b\)를 만족시키는 두 상수 \(a, b\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) \(x \to 2\)일 때 분모의 극한이 \(0\)임을 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[5-2] (6.5점) 분자를 유리화하여 상수 \(b\)의 값을 구하고, \(ab\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 5 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하고 극한값 \(b\)가 존재하므로 분자도 \(0\)으로 수렴하여 \(\sqrt{16} - a = 0 \implies a = 4\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 분자를 유리화하면 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{3(x - 2)}{(x - 2)(\sqrt{3x + 10} + 4)} = \lim_{x \to 2} \dfrac{3}{\sqrt{3x + 10} + 4} = \dfrac{3}{8} = b\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(ab = 4 \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{2}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [5-1] (6점) • 분자 극한 \(0\) 조건으로 \(a = 4\) 산출 +6점 6점 소문항 [5-2] (6.5점) • 유리화 및 약분으로 \(b = \dfrac{3}{8}\) 도출 +3.5점 / \(ab = \dfrac{3}{2}\) 계산 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
유리화 과정에서 \(3x + 10 - 16 = 3(x - 2)\)의 계수 \(3\)을 누락하지 않도록 주의합니다.
[5-1] \(a = 4\) | [5-2] \(b = \dfrac{3}{8},\; ab = \dfrac{3}{2}\)
【문제 6】 원문 요약 — 구간별로 정의된 함수의 미분가능성과 미정계수 결정 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 17086 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03] 함수 \(f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & (x \lt 1) \\ 4x - 1 & (x \ge 1) \end{cases}\)이 \(x = 1\)에서 미분가능할 때, 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) \(x = 1\)에서의 연속 조건을 이용하여 \(a\)와 \(b\) 사이의 관계식을 구하시오.
[6-2] (6.5점) \(x = 1\)에서의 미분가능 조건을 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고 \(a^2 + b^2\)을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x = 1\)에서 미분가능하면 연속이므로 \(\lim_{x \to 1^-} (x^2 + ax + b) = f(1) \implies 1 + a + b = 3 \iff a + b = 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 좌미분계수와 우미분계수가 같으므로 \(2(1) + a = 4\)에서 \(a = 2\)이고, \(b = 2 - a = 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a^2 + b^2 = 2^2 + 0^2 = 4\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [6-1] (6점) • 연속 조건 \(1 + a + b = 3 \implies a + b = 2\) 수립 +6점 6점 소문항 [6-2] (6.5점) • 좌·우미분계수 일치로 \(a = 2, b = 0\) 도출 +3.5점 / \(a^2 + b^2 = 4\) 산출 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
미분가능성 문제에서는 반드시 (1) 연속 조건, (2) 좌·우미분계수 일치 조건을 순서대로 기술합니다.
[6-1] \(a + b = 2\) | [6-2] \(a = 2,\; b = 0,\; a^2 + b^2 = 4\)
【문제 7】 원문 요약 — 닫힌구간에서 삼차함수의 최대·최소와 상수의 결정 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 17087 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + k\)의 최솟값이 \(4\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) 열린구간 \((0, 3)\)에서 \(f'(x) = 0\)을 만족시키는 \(x\)의 값을 모두 구하시오.
[7-2] (6.5점) 상수 \(k\)의 값과 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값을 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2) = 0\)에서 극점은 \(x = 1, 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 \([0, 3]\)에서 극값과 양 끝점의 함숫값은 \(f(0)=k,\; f(1)=k+5,\; f(2)=k+4,\; f(3)=k+9\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 최솟값은 \(f(0) = k = 4\)이므로 최댓값은 \(f(3) = k + 9 = 4 + 9 = 13\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [7-1] (6점) • \(f'(x) = 6(x-1)(x-2) = 0\)으로 \(x = 1, 2\) 산출 +6점 6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(f(0)=k=4\) 결정 +3점 / 최댓값 \(f(3)=13\) 도출 +3.5점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
닫힌구간 최대·최소는 반드시 극값(\(x=1, 2\))과 구간의 양 끝점(\(x=0, 3\)) 네 값을 모두 비교해야 합니다.
[7-1] \(x = 1,\; x = 2\) | [7-2] \(k = 4\), 최댓값 \(13\)
【문제 8】 원문 요약 — 대칭구간에서 기함수·우함수의 성질을 이용한 정적분 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 탐구 17088 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04] 다항함수 \(g(x) = 3x^3 + 4x^2 - 5x + 2\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 대칭구간 \([-2, 2]\)에서 기함수 부분과 우함수 부분을 분리하여 \(\int_{-2}^{2} g(x)\,dx\)를 \(\int_{0}^{2}\) 꼴의 정적분으로 나타내시오.
[8-2] (6.5점) 정적분 \(\int_{-2}^{2} g(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 대칭구간 \([-a, a]\)에서 기함수의 정적분은 \(0\)이고 우함수의 정적분은 \(2\int_0^a\)와 같다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 기함수 \(3x^3 - 5x\)의 정적분은 \(0\)이므로 \(\int_{-2}^2 g(x)\,dx = 2\int_0^2 (4x^2 + 2)\,dx\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 계산하면 \(2\Bigl[\dfrac{4}{3}x^3 + 2x\Bigr]_0^2 = 2\left(\dfrac{32}{3} + 4\right) = \dfrac{88}{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [8-1] (6점) • 기함수 소거 및 \(2\int_0^2 (4x^2+2)\,dx\) 변형 +6점 6점 소문항 [8-2] (6.5점) • 부정적분 \(\dfrac{4}{3}x^3 + 2x\) 대입 +3점 / 최종값 \(\dfrac{88}{3}\) 도출 +3.5점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
적분구간이 원점에 대하여 대칭일 때는 홀수차항을 먼저 소거하면 계산 실수를 원천 차단할 수 있습니다.
[8-1] \(2\int_{0}^{2} (4x^2 + 2)\,dx\) | [8-2] \(\dfrac{88}{3}\)
【문제 1】 원문 요약 — 거듭제곱과 지수법칙을 이용한 지수 역수 합의 계산 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 탐구 17091 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-04] 두 실수 \(x, y\)가 \(3^x = 7^y = 21\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) \(21^{\frac{1}{x}}\)와 \(21^{\frac{1}{y}}\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 1 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(3^x = 21 \gt 1,\; 7^y = 21 \gt 1\)이므로 \(x \ne 0,\; y \ne 0\)이고 양변에 각각 \(\dfrac{1}{x},\; \dfrac{1}{y}\)제곱을 취한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(21^{\frac{1}{x}} = 3,\; 21^{\frac{1}{y}} = 7\)이므로 두 식을 변끼리 곱하면 \(21^{\frac{1}{x}} \cdot 21^{\frac{1}{y}} = 21^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = 3 \times 7 = 21^1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 지수를 비교하면 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 1\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [1-1] (6점) • \(21^{\frac{1}{x}} = 3\) 및 \(21^{\frac{1}{y}} = 7\) 도출 +6점 6점 소문항 [1-2] (6.5점) • 변변 곱하여 \(21^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} = 21\) 유도 +3.5점 / \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = 1\) 산출 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
로그 변환 \(\dfrac{1}{x} = \log_{21} 3,\; \dfrac{1}{y} = \log_{21} 7\)로 풀어도 동일하게 만점을 받습니다.
[1-1] \(21^{\frac{1}{x}} = 3,\; 21^{\frac{1}{y}} = 7\) | [1-2] \(1\)
【문제 2】 원문 요약 — 로그방정식의 치환과 이차방정식 근과 계수의 관계 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 탐구 17092 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08] 로그방정식 \((\log_3 x)^2 - \log_3 x^4 + 2 = 0\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) 진수 조건 하에서 \(\log_3 x = t\)로 치환한 이차방정식을 구하고, \(\log_3 \alpha + \log_3 \beta\)의 값을 구하시오.
[2-2] (6.5점) 두 실근의 곱 \(\alpha\beta\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 2 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 진수 조건 \(x \gt 0\)에서 \(\log_3 x^4 = 4\log_3 x\)이므로 \(\log_3 x = t\)로 치환하면 \(t^2 - 4t + 2 = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 치환된 이차방정식의 두 실근이 \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta\)이므로 근과 계수의 관계에 의해 \(\log_3 \alpha + \log_3 \beta = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\log_3(\alpha\beta) = 4\)이므로 로그의 정의에 의해 \(\alpha\beta = 3^4 = 81\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [2-1] (6점) • \(t^2 - 4t + 2 = 0\) 및 \(\log_3 \alpha + \log_3 \beta = 4\) 도출 +6점 6점 소문항 [2-2] (6.5점) • \(\log_3(\alpha\beta) = 4\) 변환 +3점 / \(\alpha\beta = 81\) 산출 +3.5점 6.5점
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치환 방정식 \(t^2 - 4t + 2 = 0\)의 두 근의 곱 \(2\)를 \(\alpha\beta\)로 착각하지 않도록 \(t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta)\)임을 명확히 적습니다.
[2-1] \(t^2 - 4t + 2 = 0,\; \log_3 \alpha + \log_3 \beta = 4\) | [2-2] \(\alpha\beta = 81\)
【문제 3】 원문 요약 — 외접원의 반지름과 사인법칙을 이용한 삼각형의 둘레의 길이 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 탐구 17093 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 반지름의 길이가 \(R = 5\)인 원에 내접하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\sin A + \sin B + \sin C = \dfrac{12}{5}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 \(\sin A,\; \sin B,\; \sin C\)를 세 변의 길이 \(a, b, c\)로 나타내시오.
[3-2] (6.5점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 둘레의 길이 \(a + b + c\)를 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 3 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)에서 \(2R = 10\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 따라서 \(\sin A = \dfrac{a}{10},\; \sin B = \dfrac{b}{10},\; \sin C = \dfrac{c}{10}\)이고, 이를 주어진 식에 대입하면 \(\dfrac{a + b + c}{10} = \dfrac{12}{5}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 양변에 \(10\)을 곱하면 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 둘레의 길이는 \(a + b + c = 24\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [3-1] (6점) • 사인법칙으로 \(\sin A = \dfrac{a}{10}\) 등 표현 +6점 6점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(\dfrac{a+b+c}{10} = \dfrac{12}{5}\) 대입 +3점 / 둘레 \(24\) 도출 +3.5점 6.5점
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사인법칙에서 분모는 반지름 \(R=5\)가 아니라 지름 \(2R=10\)임에 주의합니다.
[3-1] \(\sin A = \dfrac{a}{10},\; \sin B = \dfrac{b}{10},\; \sin C = \dfrac{c}{10}\) | [3-2] \(24\)
【문제 4】 원문 요약 — 수열의 합과 일반항의 관계를 이용한 항의 계산 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.9 탐구 17094 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 \(S_n = 2n^2 + 3n\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) 첫째항 \(a_1\)과 일반항 \(a_n\) (\(n \ge 1\))을 구하시오.
[4-2] (6.5점) \(a_1 + a_6\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 4 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 3(1) = 5\)이고, \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_n = (2n^2 + 3n) - \{2(n-1)^2 + 3(n-1)\} = 4n + 1\)이며, \(n = 1\)일 때도 \(a_1 = 5\)로 일치한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a_6 = 4(6) + 1 = 25\)이므로 \(a_1 + a_6 = 5 + 25 = 30\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [4-1] (6점) • \(a_1 = 5\) 및 \(a_n = S_n - S_{n-1} = 4n + 1\) 도출 +6점 6점 소문항 [4-2] (6.5점) • \(a_6 = 25\) 계산 +3점 / \(a_1 + a_6 = 30\) 산출 +3.5점 6.5점
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수열의 합 \(S_n\)으로부터 일반항을 구할 때는 \(a_1 = S_1\)과 \(n \ge 2\)일 때의 식이 \(n=1\)에서 일치하는지 확인합니다.
[4-1] \(a_1 = 5,\; a_n = 4n + 1\) | [4-2] \(30\)
【문제 5】 원문 요약 — 사잇값의 정리를 이용한 삼차방정식의 실근 존재 구간 판정 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 17095 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] 삼차방정식 \(x^3 - 3x - 5 = 0\)의 양의 실근이 열린구간 \((n, n+1)\) (단, \(n\)은 자연수)에 속할 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) \(f(x) = x^3 - 3x - 5\)라 할 때 \(f(1),\; f(2),\; f(3)\)의 값을 각각 구하시오.
[5-2] (6.5점) 사잇값의 정리를 이용하여 양의 실근이 속하는 열린구간 \((n, n+1)\)의 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 5 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 다항함수 \(f(x) = x^3 - 3x - 5\)는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 함숫값을 계산하면 \(f(1) = -7 \lt 0,\; f(2) = 8 - 6 - 5 = -3 \lt 0,\; f(3) = 27 - 9 - 5 = 13 \gt 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 닫힌구간 \([2, 3]\)에서 연속이고 \(f(2)f(3) \lt 0\)이므로 사잇값의 정리에 의해 열린구간 \((2, 3)\)에 실근이 존재하며, \(n = 2\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [5-1] (6점) • \(f(1) = -7,\; f(2) = -3,\; f(3) = 13\) 산출 +6점 6점 소문항 [5-2] (6.5점) • 연속성 및 \(f(2)f(3) \lt 0\) 근거 명시 +3.5점 / \(n = 2\) 결정 +3점 6.5점
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사잇값의 정리를 적용할 때는 (1) 닫힌구간에서 연속, (2) 양 끝점 함숫값의 부호 반대(\(f(2)f(3) \lt 0\)) 두 조건을 모두 적어야 합니다.
[5-1] \(f(1) = -7,\; f(2) = -3,\; f(3) = 13\) | [5-2] \(n = 2\)
【문제 6】 원문 요약 — 삼차함수에 대한 평균값 정리를 만족시키는 상수의 결정 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 17096 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06] 함수 \(f(x) = x^3 - 3x + 1\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c\) (\(0 \lt c \lt 3\))를 구하고자 한다.
[6-1] (6점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 평균변화율을 구하시오.
[6-2] (6.5점) 열린구간 \((0, 3)\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = f'(c)\)를 만족시키는 \(c \in (0, 3)\)가 존재한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(0) = 1,\; f(3) = 19\)이므로 평균변화율은 \(\dfrac{19 - 1}{3} = 6\)이고, \(f'(c) = 3c^2 - 3 = 6\)에서 \(c^2 = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(0 \lt c \lt 3\)이므로 구하는 상수는 \(c = \sqrt{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [6-1] (6점) • \(f(0)=1,\; f(3)=19\) 및 평균변화율 \(6\) 산출 +6점 6점 소문항 [6-2] (6.5점) • \(3c^2 - 3 = 6 \implies c^2 = 3\) 도출 +3.5점 / \(0 \lt c \lt 3\)으로 \(c = \sqrt{3}\) 결정 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
방정식 \(c^2 = 3\)의 해 \(\pm\sqrt{3}\) 중 열린구간 \((0, 3)\)에 속하는 양수 \(\sqrt{3}\)만 선택해야 합니다.
[6-1] 평균변화율 \(6\) | [6-2] \(c = \sqrt{3}\)
【문제 7】 원문 요약 — 실수 전체에서 사차부등식이 항상 성립할 조건 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 17097 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 실수 전체의 집합에서 사차부등식 \(x^4 - 4x + k \ge 0\)이 항상 성립하도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) \(f(x) = x^4 - 4x + k\)라 할 때, \(f(x)\)가 최솟값을 갖는 \(x\)의 값과 그때의 최솟값을 \(k\)로 나타내시오.
[7-2] (6.5점) 주어진 부등식이 모든 실수 \(x\)에서 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f'(x) = 4x^3 - 4 = 4(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0\)에서 \(x^2 + x + 1 \gt 0\)이므로 유일한 극점은 \(x = 1\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x)\)는 \(x = 1\)에서 극소이자 최소이므로 실수 전체에서 최솟값은 \(f(1) = 1 - 4 + k = k - 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 모든 실수에서 \(f(x) \ge 0\)이려면 최솟값 \(k - 3 \ge 0 \implies k \ge 3\)이므로 \(k\)의 최솟값은 \(3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [7-1] (6점) • \(f'(x) = 4(x-1)(x^2+x+1)\) 및 최솟값 \(f(1) = k - 3\) 도출 +6점 6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(k - 3 \ge 0\) 부등식 수립 +3점 / 최솟값 \(3\) 산출 +3.5점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
이차인수 \(x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4 \gt 0\)임을 언급하여 \(x = 1\)이 유일한 극점임을 보이면 완벽합니다.
[7-1] \(x = 1\), 최솟값 \(k - 3\) | [7-2] \(3\)
【문제 8】 원문 요약 — 두 이차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 17098 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 두 이차곡선 \(y = x^2 - 2x\)와 \(y = -x^2 + 4x\)로 둘러싸인 도형에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 두 곡선의 교점의 \(x\)좌표를 모두 구하시오.
[8-2] (6.5점) 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 교점 방정식 \(x^2 - 2x = -x^2 + 4x \iff 2x^2 - 6x = 2x(x - 3) = 0\)에서 교점의 \(x\)좌표는 \(0, 3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 \(-x^2 + 4x \ge x^2 - 2x\)이므로 넓이는 \(S = \int_0^3 (-2x^2 + 6x)\,dx\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 정적분을 계산하면 \(S = \dfrac{2}{6}(3 - 0)^3 = \dfrac{1}{3} \times 27 = 9\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [8-1] (6점) • 교점 방정식 \(2x(x-3)=0\) 및 \(x = 0, 3\) 산출 +6점 6점 소문항 [8-2] (6.5점) • \(\int_0^3 (-2x^2+6x)\,dx\) 수립 +3점 / 넓이 \(9\) 도출 +3.5점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
두 이차곡선의 최고차항 계수의 차가 \(|1 - (-1)| = 2\)이므로 공식 적용 시 분자에 \(2\)를 곱해야 합니다.
[8-1] \(x = 0,\; x = 3\) | [8-2] \(S = 9\)
【문제 1】 원문 요약 — 역수 지수 대칭식의 곱셈공식 변형 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 170101 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] 실수 \(x\)가 \(3^x + 3^{-x} = 5\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 곱셈공식의 변형을 이용하여 \(9^x + 9^{-x}\)의 값을 구하시오.
[1-2] (6.5점) \(27^x + 27^{-x}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 1 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(a = 3^x,\; b = 3^{-x}\)라 하면 \(ab = 1\)이고 \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\), \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(9^x + 9^{-x} = 5^2 - 2 = 23\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(27^x + 27^{-x} = 5^3 - 3(1)(5) = 125 - 15 = 110\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [1-1] (6점) • \(9^x + 9^{-x} = (3^x + 3^{-x})^2 - 2 = 23\) 산출 +6점 6점 소문항 [1-2] (6.5점) • 세제곱 변형 공식 적용 +3.5점 / \(27^x + 27^{-x} = 110\) 도출 +3점 6.5점
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\(3^x \cdot 3^{-x} = 3^0 = 1\)임을 명시하여 대칭식 공식을 깔끔하게 전개합니다.
[1-1] \(23\) | [1-2] \(110\)
【문제 2】 원문 요약 — 부채꼴의 중심각의 크기와 호의 길이 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 170102 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] 반지름의 길이가 \(r = 6\)이고 넓이가 \(S = 15\pi\)인 부채꼴에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) 부채꼴의 넓이 공식을 이용하여 중심각의 크기 \(\theta\) (라디안)를 구하시오.
[2-2] (6.5점) 부채꼴의 호의 길이 \(l\)과 둘레의 길이를 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 2 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 부채꼴의 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta\)와 호의 길이 공식 \(l = r\theta\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\dfrac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \theta = 18\theta = 15\pi\)이므로 중심각의 크기는 \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 호의 길이는 \(l = 6 \times \dfrac{5\pi}{6} = 5\pi\)이고, 부채꼴의 둘레의 길이는 \(l + 2r = 5\pi + 12\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [2-1] (6점) • \(\dfrac{1}{2}r^2\theta = 15\pi\)로부터 \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\) 산출 +6점 6점 소문항 [2-2] (6.5점) • 호의 길이 \(l = 5\pi\) 도출 +3.5점 / 둘레 \(5\pi + 12\) 계산 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
부채꼴의 둘레의 길이는 호의 길이 \(l\)에 두 반지름 \(2r\)을 더한 값임을 놓치지 않습니다.
[2-1] \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\) | [2-2] \(l = 5\pi\), 둘레 \(5\pi + 12\)
【문제 3】 원문 요약 — 등차중항과 연립방정식을 이용한 등차수열의 결정 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 170103 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03] 등차수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_2 + a_8 = 20\), \(a_5 + a_9 = 28\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 등차중항의 성질을 이용하여 제\(5\)항 \(a_5\)와 제\(9\)항 \(a_9\)의 값을 각각 구하시오.
[3-2] (6.5점) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 공차 \(d\)와 첫째항 \(a_1\)의 값을 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 3 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 등차중항의 성질에 의해 \(a_2 + a_8 = 2a_5 = 20\)이므로 \(a_5 = 10\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_5 + a_9 = 10 + a_9 = 28\)에서 \(a_9 = 18\)이고, \(a_9 - a_5 = 4d = 8\)이므로 공차는 \(d = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 첫째항은 \(a_1 = a_5 - 4d = 10 - 8 = 2\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [3-1] (6점) • \(2a_5 = 20 \implies a_5 = 10\) 및 \(a_9 = 18\) 산출 +6점 6점 소문항 [3-2] (6.5점) • \(4d = 8 \implies d = 2\) 도출 +3.5점 / \(a_1 = 2\) 계산 +3점 6.5점
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\(a_1, d\)로 처음부터 연립하기보다 등차중항 \(a_2 + a_8 = 2a_5\)를 먼저 적용하면 암산 수준으로 풀립니다.
[3-1] \(a_5 = 10,\; a_9 = 18\) | [3-2] \(d = 2,\; a_1 = 2\)
【문제 4】 원문 요약 — 시그마의 선형성과 자연수 거듭제곱의 합 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 탐구 170104 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] 수열의 합 \(S = \sum_{k=1}^{6} (k^2 - 3k + 2)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) \(\sum_{k=1}^{6} k^2\)와 \(\sum_{k=1}^{6} k\)의 값을 각각 구하시오.
[4-2] (6.5점) 합 \(S = \sum_{k=1}^{6} (k^2 - 3k + 2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 4 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 거듭제곱의 합 공식 \(\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)과 \(\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\sum_{k=1}^6 k^2 = \dfrac{6 \cdot 7 \cdot 13}{6} = 91\)이고, \(\sum_{k=1}^6 k = \dfrac{6 \cdot 7}{2} = 21\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(S = 91 - 3(21) + 2(6) = 91 - 63 + 12 = 40\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [4-1] (6점) • \(\sum_{k=1}^6 k^2 = 91\) 및 \(\sum_{k=1}^6 k = 21\) 산출 +6점 6점 소문항 [4-2] (6.5점) • 상수항 합 \(\sum_{k=1}^6 2 = 12\) 반영 +3점 / 최종합 \(40\) 도출 +3.5점 6.5점
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상수항 \(\sum_{k=1}^6 2\)를 \(2\)가 아닌 \(2 \times 6 = 12\)로 계산하는 것에 유의합니다.
[4-1] \(\sum_{k=1}^{6} k^2 = 91,\; \sum_{k=1}^{6} k = 21\) | [4-2] \(S = 40\)
【문제 5】 원문 요약 — 곱의 미분법을 이용한 미분계수의 계산 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 170105 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03] 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(f(1) = 4\), \(f'(1) = -3\)을 만족시킬 때, 함수 \(g(x) = (x^2 + 2x)f(x)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 곱의 미분법을 이용하여 도함수 \(g'(x)\)를 \(f(x)\)와 \(f'(x)\)를 포함한 식으로 나타내시오.
[5-2] (6.5점) 미분계수 \(g'(1)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 5 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 곱의 미분법 \(\{u(x)v(x)\}' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(g'(x) = (2x + 2)f(x) + (x^2 + 2x)f'(x)\)이고, 여기에 \(x = 1\)을 대입하면 \(g'(1) = 4f(1) + 3f'(1)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(1) = 4,\; f'(1) = -3\)을 대입하면 \(g'(1) = 4(4) + 3(-3) = 16 - 9 = 7\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [5-1] (6점) • 곱의 미분법 도함수 \(g'(x)\) 정확히 기술 +6점 6점 소문항 [5-2] (6.5점) • \(g'(1) = 4f(1) + 3f'(1)\) 표현 +3점 / \(g'(1) = 7\) 산출 +3.5점 6.5점
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곱의 미분법 공식을 1줄에 먼저 쓴 뒤 \(x=1\)을 대입하면 부분점수 누수를 막을 수 있습니다.
[5-1] \(g'(x) = (2x + 2)f(x) + (x^2 + 2x)f'(x)\) | [5-2] \(g'(1) = 7\)
【문제 6】 원문 요약 — 기울기가 주어진 삼차곡선의 두 접선과 y절편의 곱 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 170106 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06] 곡선 \(y = x^3 - 5x + 2\)에 접하고 기울기가 \(7\)인 두 접선에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 두 접점의 좌표를 모두 구하시오.
[6-2] (6.5점) 두 접선의 방정식을 각각 구하고, 두 접선의 \(y\)절편의 곱을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 접점의 \(x\)좌표를 \(t\)라 하면 \(y' = 3t^2 - 5 = 7\)에서 \(t^2 = 4 \implies t = 2\) 또는 \(t = -2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(t = 2\)일 때 접점 \((2, 0)\)에서의 접선은 \(y = 7x - 14\)이고, \(t = -2\)일 때 접점 \((-2, 4)\)에서의 접선은 \(y = 7(x + 2) + 4 = 7x + 18\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 두 접선의 \(y\)절편은 \(-14\)와 \(18\)이므로 그 곱은 \((-14) \times 18 = -252\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [6-1] (6점) • \(3t^2 - 5 = 7\)로부터 두 접점 \((2, 0),\; (-2, 4)\) 도출 +6점 6점 소문항 [6-2] (6.5점) • 두 접선의 방정식 도출 +3.5점 / \(y\)절편의 곱 \(-252\) 산출 +3점 6.5점
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기울기가 주어진 접선 문제는 접점의 좌표를 \((t, f(t))\)로 설정하는 것이 첫 단계입니다.
[6-1] \((2, 0),\; (-2, 4)\) | [6-2] \(y = 7x - 14,\; y = 7x + 18\), 곱 \(-252\)
【문제 7】 원문 요약 — 정적분과 미분계수의 관계로 정의된 극한값의 계산 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 170107 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04] 다항함수 \(f(x) = 4x^3 - 2x + 5\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) \(F'(x) = f(x)\)인 한 부정적분을 \(F(x)\)라 할 때, 극한 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\int_{1}^{1+2h} f(t)\,dt\)를 \(f(1)\)에 대한 식으로 나타내시오.
[7-2] (6.5점) 주어진 극한값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(F'(x) = f(x)\)인 부정적분 \(F(x)\)를 도입하면 \(\int_1^{1+2h} f(t)\,dt = F(1 + 2h) - F(1)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 미분계수의 정의에 의해 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{F(1 + 2h) - F(1)}{h} = 2\lim_{h \to 0}\dfrac{F(1+2h)-F(1)}{2h} = 2F'(1) = 2f(1)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(1) = 4(1)^3 - 2(1) + 5 = 7\)이므로 구하는 극한값은 \(2f(1) = 14\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [7-1] (6점) • 부정적분 \(F(x)\) 도입 및 \(2f(1)\) 유도 +6점 6점 소문항 [7-2] (6.5점) • \(f(1) = 7\) 계산 +3점 / 극한값 \(14\) 산출 +3.5점 6.5점
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적분 위끝이 \(1 + 2h\)이므로 분모 \(2h\)를 맞춰 \(2F'(1) = 2f(1)\)이 됨을 명확히 서술합니다.
[7-1] \(2f(1)\) | [7-2] \(14\)
【문제 8】 원문 요약 — 포물선과 x축으로 둘러싸인 넓이를 이등분하는 직선 [배점 12점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 170108 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 이차곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 \(y = mx\) (\(0 \lt m \lt 4\))가 이등분할 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1\)을 구하시오.
[8-2] (6.5점) 곡선과 직선 \(y = mx\)로 둘러싸인 넓이 \(S_2\)를 \(m\)에 대한 식으로 나타내고, \((4 - m)^3\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축의 교점은 \(x = 0, 4\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(S_1 = \int_0^4 (-x^2 + 4x)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - 0)^3 = \dfrac{32}{3}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 곡선과 직선 \(y = mx\)의 교점은 \(x = 0,\; 4 - m\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(S_2 = \dfrac{1}{2}S_1\)에서 \(\dfrac{1}{6}(4 - m)^3 = \dfrac{16}{3}\)이므로 \((4 - m)^3 = 32\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 소문항 [8-1] (6점) • 전체 넓이 \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) 산출 +6점 6점 소문항 [8-2] (6.5점) • \(S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3\) 표현 +3.5점 / \((4 - m)^3 = 32\) 도출 +3점 6.5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
이차곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 \(\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)을 활용하면 삼차방정식을 직접 전개하지 않고 즉시 구할 수 있습니다.
[8-1] \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) | [8-2] \(S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3,\; (4 - m)^3 = 32\)
🎯 전형 방식: 논술 100% (또는 논술 80% + 교과 20%, 수능최저 적용) 📌 수능최저 기준: 국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급합 6 이내
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