| 순위 | 기출 원천 문항 | 핵심 출제 테마 및 변별 포인트 | 모의 1:1 매칭 | 부분점수 공략 전략 |
|---|---|---|---|---|
| TOP 1 | 2026 모의논술 자연 문항 1 · 지수·로그 치환 심화 | 제한된 치환 정의역에서의 지수·로그 방정식과 최대·최소 | 제6~10회 문항 1~2 집중 배치 | 치환 직후 양수·구간 범위를 먼저 확정하고 이차함수의 대칭축과 경계값을 비교하여 감점을 원천 차단한다. |
| TOP 2 | 2025 자연계열 기출유형 · 삼각함수와 도형 법칙 | 사인법칙·코사인법칙 결합 도형 분석 및 대칭 삼각방정식 | 제6~10회 문항 3~4 집중 배치 | 내접사각형 대각 합 $\pi$, 외접원 반지름 2R, 주기·대칭축 성질을 선언한 뒤 미지수 소거로 길이를 도출한다. |
| TOP 3 | 2024 자연계열 기출유형 · 수열의 합과 귀납적 정의 | 소거형 급수(부분분수·무리식·로그)와 조건부 점화식 주기성 | 제6~10회 문항 5 집중 배치 | 부분분수·유리화 후 남는 첫 항과 끝 항의 대칭성을 검산하고, 점화식은 초기 항 나열로 주기를 포착한다. |
| TOP 4 | 2025~2026 자연계열 핵심 · 연속성과 미분가능성 | 불연속 함수 곱의 연속화 및 절댓값 삼차·사차함수의 미분가능성 | 제6~10회 문항 6~7 집중 배치 | 불연속 경계에서 곱해지는 다항인수의 영점 조건과 절댓값 첨점(단순근 vs 중근) 판별식을 명확히 서술한다. |
| TOP 5 | 2026 모의논술 자연 문항 2~3 · 정적분 함수와 넓이 | 정적분으로 정의된 함수의 미분, 넓이 분할, 수직선 이동거리 | 제6~10회 문항 8~10 집중 배치 | 적분 기호 밖으로 변수 x를 분리해 미분하고, 정적분 넓이 공식으로 최종 수치 계산 오류를 이중 검산한다. |
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = 4^x - 2^{x+2} + 5\)가 \(x = a\)에서 최솟값 \(b\)를 가질 때, 두 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고 그 풀이 과정을 서술하시오.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(g(x) = 9^x - 2 \cdot 3^{x+1} + 13\)이 \(x = p\)에서 최솟값 \(q\)를 가질 때, \(p + q\)의 값을 구하시오.
\(t = 3^x\; (t \gt 0)\)으로 치환하면 \(y = t^2 - 6t + 13 = (t - 3)^2 + 4\)이므로 \(t = 3\), 즉 \(3^x = 3 \implies p = 1\)에서 최솟값 \(q = 4\)를 갖는다. 따라서 \(p + q = 5\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(4^x = (2^x)^2\), \(2^{x+2} = 4 \cdot 2^x\)로 변형하고 \(t = 2^x\)으로 치환하면 지수함수의 치역에 의해 \(t \gt 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 주어진 함수를 \(t\)에 대한 이차함수로 나타내면 \(y = t^2 - 4t + 5 = (t - 2)^2 + 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 정의역 \(t \gt 0\)에 꼭짓점 \(t = 2\)가 포함되므로 \(2^x = 2 \implies a = 1\)일 때 최솟값 \(b = 1\)을 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(t = 2^x\) 치환 및 양수 범위 \(t \gt 0\) 명시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 완전제곱식 \((t - 2)^2 + 1\) 변형 완료 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(a = 1,\; b = 1\) 정확히 도출 | 3점 |
좌표평면에서 두 곡선 \(y = x^2 - 2\)와 \(y = -x^2 + 2x + 2\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하고 그 풀이 과정을 서술하시오.
두 포물선 \(y = x^2 - 3\)과 \(y = -x^2 + 4x + 3\)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
\(x^2 - 3 = -x^2 + 4x + 3 \iff 2(x + 1)(x - 3) = 0\)이므로 교점은 \(x = -1, 3\)이다. 따라서 넓이는 \(\int_{-1}^{3} (-2x^2 + 4x + 6)\,dx = \dfrac{2(3 - (-1))^3}{6} = \dfrac{64}{3}\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 곡선의 교점의 \(x\)좌표는 \(x^2 - 2 = -x^2 + 2x + 2 \iff 2(x + 1)(x - 2) = 0\)에서 \(x = -1,\; 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 \([-1, 2]\)에서 \(-x^2 + 2x + 2 \ge x^2 - 2\)이므로 \(S = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4)\,dx\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 부정적분을 계산하면 \(S = \left[-\dfrac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x\right]_{-1}^{2} = \left(-\dfrac{16}{3} + 4 + 8\right) - \left(\dfrac{2}{3} + 1 - 4\right) = 9\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 교점 방정식 풀이로 \(x = -1,\; 2\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 정적분 식 \(\int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4)\,dx\) 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 연산을 완료하여 넓이 \(S = 9\) 도출 | 3점 |
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \(\displaystyle\int_{3}^{x} (x - t)f'(t)\,dt = x^3 - 9x^2 + ax + b\)를 만족시키고 \(f(3) = 11\)일 때, 두 상수 \(a, b\)의 값과 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((0, f(0))\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에서 \(\displaystyle\int_{1}^{x} (x - t)f(t)\,dt = x^3 - 4x^2 + cx + d\)를 만족시킬 때, 두 상수 \(c, d\)의 값과 \(f(2)\)의 값을 구하시오.
양변을 미분하면 \(\int_{1}^{x} f(t)\,dt = 3x^2 - 8x + c\)이고 \(x = 1\)을 대입하면 \(3 - 8 + c = 0 \implies c = 5\)이다. 원식에 \(x = 1\)을 대입하면 \(1 - 4 + 5 + d = 0 \implies d = -2\)이고, 한 번 더 미분하면 \(f(x) = 6x - 8\)이므로 \(f(2) = 4\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 좌변을 \(x\int_{3}^{x} f'(t)\,dt - \int_{3}^{x} t f'(t)\,dt\)로 분리하고 \(x = 3\)을 대입하면 \(27 - 81 + 3a + b = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(\int_{3}^{x} f'(t)\,dt = 3x^2 - 18x + a\)이므로 \(x = 3\)에서 \(27 - 54 + a = 0 \implies a = 27,\; b = -27\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 다시 미분하면 \(f'(x) = 6x - 18\)이고 \(f(3) = 11\)에서 \(f(x) = 3x^2 - 18x + 38\)이므로, 점 \((0, 38)\)에서의 접선은 \(y = -18x + 38\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 적분식 분리 및 \(x = 3\) 대입 조건 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 1회 미분으로 \(a = 27,\; b = -27\) 정확히 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(f(x) = 3x^2 - 18x + 38\) 결정 및 접선 \(y = -18x + 38\) 도출 | 3점 |
로그방정식 \((\log_2 x)^2 - 3\log_2 x - 4 = 0\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(\alpha\beta\)의 값과 \(\alpha + \beta\)의 값을 각각 구하시오.
방정식 \((\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 2 = 0\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(\alpha\beta\)의 값을 구하시오.
\(t = \log_3 x\)로 치환하면 \(t^2 - 4t + 2 = 0\)의 두 실근의 합이 \(\log_3 \alpha + \log_3 \beta = 4\)이므로 \(\log_3(\alpha\beta) = 4 \implies \alpha\beta = 3^4 = 81\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 진수 조건 \(x \gt 0\)을 확인하고 \(t = \log_2 x\) (\(t\)는 모든 실수)로 치환한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(t^2 - 3t - 4 = (t + 1)(t - 4) = 0\)이므로 \(t = -1\) 또는 \(t = 4\), 즉 두 실근은 \(2^{-1} = \dfrac{1}{2}\)과 \(2^4 = 16\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 값 모두 \(x \gt 0\)을 만족시키므로 \(\alpha\beta = \dfrac{1}{2} \times 16 = 8\)이고, \(\alpha + \beta = \dfrac{1}{2} + 16 = \dfrac{33}{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 진수 조건 \(x \gt 0\) 확인 및 \(t = \log_2 x\) 치환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 인수분해를 통해 두 실근 \(\dfrac{1}{2},\; 16\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(\alpha\beta = 8\) 및 \(\alpha + \beta = \dfrac{33}{2}\) 산출 | 3점 |
그림과 같이 원에 내접하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{AC}} = 8,\; \angle \mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이와 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이 \(R\)를 각각 구하시오.
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{AC}} = 5,\; \angle \mathrm{BAC} = \dfrac{2\pi}{3}\)일 때, 외접원의 반지름의 길이 \(R\)를 구하시오.
코사인법칙에 의해 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 9 + 25 - 2(3)(5)\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 49 \implies \overline{\mathrm{BC}} = 7\)이다. 사인법칙에 의해 \(2R = \dfrac{7}{\sin(2\pi/3)} = \dfrac{14}{\sqrt{3}}\)이므로 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cos A\)와 사인법칙 \(\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = 2R\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times \cos\dfrac{\pi}{3} = 25 + 64 - 40 = 49\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 사인법칙에 의해 \(2R = \dfrac{7}{\sin(\pi/3)} = \dfrac{7}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}\)이므로 외접원의 반지름은 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙 및 사인법칙 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 코사인법칙 계산으로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 사인법칙으로 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\) 유리화 완료 | 3점 |
등차수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_3 = 19,\; a_7 = 3\)을 만족시킬 때, 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 최댓값을 갖도록 하는 자연수 \(n\)의 값과 그때의 최댓값을 각각 구하시오.
첫째항이 \(25\)이고 공차가 \(-3\)인 등차수열 \(\{b_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합의 최댓값을 구하시오.
\(b_n = 25 - 3(n - 1) = -3n + 28 \gt 0\)에서 \(n \le 9\)이므로 제\(9\)항까지 양수(\(b_9 = 1\))이다. 따라서 최댓값은 \(S_9 = \dfrac{9(25 + 1)}{2} = 117\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등차수열의 일반항 \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)에서 \(a_7 - a_3 = 4d = 3 - 19 = -16\)이므로 공차 \(d = -4\), 첫째항 \(a_1 = 27\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(a_n = 27 - 4(n - 1) = -4n + 31 \gt 0\)을 풀면 \(n \lt \dfrac{31}{4} = 7.75\)이므로 제\(7\)항(\(a_7 = 3\))까지 양수이고 \(a_8 = -1 \lt 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(S_n\)은 \(n = 7\)일 때 최댓값을 가지며, 최댓값은 \(S_7 = \dfrac{7(a_1 + a_7)}{2} = \dfrac{7(27 + 3)}{2} = 105\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 공차 \(d = -4\) 및 일반항 \(a_n = -4n + 31\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(a_n \gt 0\) 부등식 풀이로 \(n = 7\) 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 등차수열의 합 공식으로 최댓값 \(S_7 = 105\) 산출 | 3점 |
다항함수 \(f(x)\)가 \(f(0) = -6\)이고 다음 두 조건을 만족시킬 때, \(f(3)\)의 값을 구하시오.
(가) \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2} = -3\) (나) \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 5\)
다항함수 \(g(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{g(x) - x^3}{x^2} = 2\)와 \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{g(x)}{x - 1} = 4\)를 만족시키고 \(g(0) = 0\)일 때, \(g(2)\)의 값을 구하시오.
\(g(x) = x^3 + 2x^2 + px\)로 놓으면 \(g(1) = 1 + 2 + p = 0 \implies p = -3\)이고 \(g(x) = x(x - 1)(x + 3)\)에서 \(\lim_{x \to 1}\dfrac{g(x)}{x - 1} = 1 \times 4 = 4\)가 성립한다. 따라서 \(g(2) = 8 + 8 - 6 = 10\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 조건 (가)와 \(f(0) = -6\)에 의해 \(f(x) - x^3\)은 최고차항이 \(-3x^2\)인 이차 이하의 다항식이므로 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + px - 6\)으로 놓는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 조건 (나)에서 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 \(f(2) = 8 - 12 + 2p - 6 = 0 \implies p = 5\)이다. 이때 \(f(x) = (x - 2)(x^2 - x + 3)\)이므로 \(\lim_{x \to 2}\dfrac{f(x)}{x-2} = 4 - 2 + 3 = 5\)가 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 6\)이므로 \(f(3) = 27 - 27 + 15 - 6 = 9\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 조건 (가)와 \(f(0)=-6\)으로 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + px - 6\) 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f(2) = 0\)으로부터 \(p = 5\) 산출 및 극한값 \(5\) 성립 확인 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(f(3) = 9\) 정확히 도출 | 3점 |
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} x^3 + ax + b & (x \lt 1) \\ 4x^2 - x + 2 & (x \ge 1) \end{cases}\)가 \(x = 1\)에서 미분가능할 때, 두 상수 \(a, b\)의 값과 \(f(-2)\)의 값을 구하시오.
함수 \(g(x) = \begin{cases} x^2 + px + q & (x \lt 2) \\ x^3 - 5x & (x \ge 2) \end{cases}\)가 \(x = 2\)에서 미분가능할 때, \(p + q\)의 값을 구하시오.
연속 조건에서 \(4 + 2p + q = 8 - 10 = -2\)이고, 미분계수 일치에서 \(4 + p = 12 - 5 = 7 \implies p = 3\)이므로 \(q = -12\)가 되어 \(p + q = -9\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 \(f(x)\)가 \(x = 1\)에서 미분가능하므로 \(x = 1\)에서 연속이며 좌미분계수와 우미분계수가 일치한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 연속 조건에서 \(1 + a + b = 4 - 1 + 2 = 5\)이고, 미분계수 일치에서 \(3(1)^2 + a = 8(1) - 1 = 7\)이므로 \(a = 4,\; b = 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(x \lt 1\)에서 \(f(x) = x^3 + 4x\)이므로 \(f(-2) = (-2)^3 + 4(-2) = -16\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(x = 1\)에서의 연속 조건과 미분계수 일치 조건 동시 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연립방정식을 풀어 \(a = 4,\; b = 0\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(x = -2 \lt 1\) 구간 식에 대입하여 \(f(-2) = -16\) 산출 | 3점 |
그림과 같이 둘레의 길이가 \(24\)인 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이가 최대일 때, 이 부채꼴의 반지름의 길이 \(r\), 넓이의 최댓값 \(S_{\max}\), 중심각의 크기 \(\theta\) (라디안)를 각각 구하시오.
둘레의 길이가 \(16\)인 부채꼴의 넓이가 최대일 때 반지름 \(r\)와 넓이의 최댓값을 구하시오.
\(l = 16 - 2r\;(0 \lt r \lt 8)\)이므로 \(S = \dfrac{1}{2}r(16 - 2r) = -(r - 4)^2 + 16\)에서 \(r = 4\)일 때 넓이의 최댓값은 \(16\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부채꼴의 반지름을 \(r\), 호의 길이를 \(l\)이라 하면 \(2r + l = 24\)이므로 \(l = 24 - 2r\; (0 \lt r \lt 12)\)이고 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}rl\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(S(r) = \dfrac{1}{2}r(24 - 2r) = -r^2 + 12r = -(r - 6)^2 + 36\)이므로 \(r = 6\)일 때 넓이의 최댓값 \(S_{\max} = 36\)을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(r = 6\)일 때 \(l = 24 - 12 = 12\)이고 \(l = r\theta\)이므로 중심각의 크기는 \(\theta = \dfrac{12}{6} = 2\) (라디안)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(l = 24 - 2r\;(0 \lt r \lt 12)\) 및 넓이 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 완전제곱식 변형으로 \(r = 6,\; S_{\max} = 36\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(l = r\theta\)로부터 중심각 \(\theta = 2\) 산출 | 3점 |
수열 \(\{a_n\}\)의 일반항이 \(a_n = 2n + 1\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{12} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}\)의 값을 기약분수로 구하시오.
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{15} \dfrac{1}{(3k - 1)(3k + 2)}\)의 값을 기약분수로 구하시오.
\(\dfrac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3k-1} - \dfrac{1}{3k+2}\right)\)이므로 합은 \(\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{47}\right) = \dfrac{15}{94}\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(a_k = 2k + 1,\; a_{k+1} = 2k + 3\)이고 부분분수 공식에 의해 \(\dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k+1} - \dfrac{1}{2k+3}\right)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 합을 전개하여 연쇄 소거하면 \(\dfrac{1}{2}\left\{\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{25} - \dfrac{1}{27}\right)\right\} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{27}\right)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 통분하여 계산하면 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{8}{27} = \dfrac{4}{27}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 부분분수 분해 및 계수 \(\dfrac{1}{2}\) 정확히 명시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연쇄 소거 후 첫 항 \(\dfrac{1}{3}\)과 끝 항 \(-\dfrac{1}{27}\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 기약분수 \(\dfrac{4}{27}\) 산출 | 3점 |
닫힌구간 \([0, 4]\)에서 정의된 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + k\)의 최댓값과 최솟값의 합이 \(14\)일 때, 상수 \(k\)의 값과 함수 \(f(x)\)의 극댓값을 각각 구하시오.
닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 함수 \(g(x) = x^3 - 3x^2 + c\)의 최댓값과 최솟값의 차를 구하시오.
\(g'(x) = 3x(x - 2) = 0\)에서 \(x = 0, 2\)이고 \(g(-1) = c - 4,\; g(0) = c,\; g(2) = c - 4,\; g(3) = c\)이므로 최댓값 \(c\)와 최솟값 \(c - 4\)의 차는 \(4\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0\)이므로 구간 \([0, 4]\) 안에서 \(x = 1\)에서 극대, \(x = 3\)에서 극소이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 네 점의 함숫값을 비교하면 \(f(0) = k,\; f(1) = k + 4,\; f(3) = k,\; f(4) = k + 4\)이므로 최댓값은 \(k + 4\), 최솟값은 \(k\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \((k + 4) + k = 14\)에서 \(k = 5\)이고, 함수 \(f(x)\)의 극댓값은 \(f(1) = 5 + 4 = 9\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(f'(x) = 3(x - 1)(x - 3) = 0\)으로 극점 \(x = 1, 3\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극값 및 양 끝점 함숫값 비교로 최댓값 \(k + 4\), 최솟값 \(k\) 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(k = 5\) 및 극댓값 \(9\) 산출 | 3점 |
함수 \(f(x) = 2^{x-2} + 1\)의 그래프와 그 역함수 \(y = f^{-1}(x)\)의 그래프가 만나는 두 점을 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)라 할 때, 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)의 좌표와 선분 \(\mathrm{PQ}\)의 길이를 구하시오.
함수 \(g(x) = \log_3(2x - 5) + 3\)의 그래프와 그 역함수 \(y = g^{-1}(x)\)의 그래프의 두 교점 사이의 거리를 구하시오.
증가함수이므로 \(\log_3(2x - 5) + 3 = x\)의 실근을 찾으면 \(x = 3\)과 \(x = 4\)이다. 따라서 두 교점 \((3, 3),\; (4, 4)\) 사이의 거리는 \(\sqrt{2}\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 \(f(x) = 2^{x-2} + 1\)은 실수 전체에서 증가함수이므로 역함수 \(y = f^{-1}(x)\)와의 교점은 직선 \(y = x\) 위에 있다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 방정식 \(2^{x-2} + 1 = x\), 즉 \(2^{x-2} = x - 1\)에서 \(y = 2^{x-2}\)은 아래로 볼록이므로 직선 \(y = x - 1\)과 최대 두 점에서 만나며 \(x = 2,\; x = 3\)이 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 두 교점은 \((2, 2),\; (3, 3)\)이고 선분 \(\mathrm{PQ}\)의 길이는 \(\sqrt{(3 - 2)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 증가함수 성질로 교점 방정식 \(f(x) = x\) 전환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 볼록성 및 대입으로 두 교점 \((2, 2),\; (3, 3)\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 점 사이의 거리 \(\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{2}\) 산출 | 3점 |
원점 \((0, 0)\)에서 곡선 \(y = x^3 - 2x^2 + 8\)에 그은 접선의 접점의 좌표와 그 접선의 방정식을 각각 구하시오.
점 \((0, 2)\)에서 곡선 \(y = x^3 - 3x + 4\)에 그은 접선의 방정식을 구하시오.
접점을 \((t, t^3 - 3t + 4)\)라 하면 \(2 - (t^3 - 3t + 4) = (3t^2 - 3)(-t) \iff 2t^3 = 2 \implies t = 1\)이다. 따라서 기울기는 \(0\)이고 접선의 방정식은 \(y = 2\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 접점의 좌표를 \((t, t^3 - 2t^2 + 8)\)이라 하면 \(y' = 3x^2 - 4x\)이므로 접선의 방정식은 \(y - (t^3 - 2t^2 + 8) = (3t^2 - 4t)(x - t)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이 직선이 원점 \((0, 0)\)을 지나므로 \(-(t^3 - 2t^2 + 8) = -t(3t^2 - 4t) \iff 2t^3 - 2t^2 - 8 = 2(t - 2)(t^2 + t + 2) = 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(t^2 + t + 2 = 0\)은 허근만 가지므로 실수 \(t = 2\)뿐이며, 접점은 \((2, 8)\), 접선의 기울기는 \(4\)이므로 접선의 방정식은 \(y = 4x\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 접점 \((t, t^3 - 2t^2 + 8)\) 및 접선 방정식 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 원점 대입 후 인수분해 \(2(t - 2)(t^2 + t + 2) = 0\)으로 \(t = 2\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 접점 \((2, 8)\) 및 접선 \(y = 4x\) 산출 | 3점 |
첫째항이 \(a_1 = 2\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = 2a_n - 1\)을 만족시키는 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 일반항 \(a_n\)과 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{8} a_k\)의 값을 각각 구하시오.
\(b_1 = 4\)이고 모든 자연수 \(n\)에서 \(b_{n+1} = 3b_n - 4\)일 때, \(b_5\)의 값을 구하시오.
\(b_{n+1} - 2 = 3(b_n - 2)\)이므로 \(b_n - 2 = (4 - 2) \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}\)이다. 따라서 \(b_5 = 2 \cdot 3^4 + 2 = 164\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 식의 양변에서 \(1\)을 빼면 \(a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)\)이므로 수열 \(\{a_n - 1\}\)은 첫째항이 \(a_1 - 1 = 1\), 공비가 \(2\)인 등비수열이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 \(a_n - 1 = 1 \cdot 2^{n-1}\)이므로 일반항은 \(a_n = 2^{n-1} + 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 제\(8\)항까지의 합은 \(\sum_{k=1}^{8} (2^{k-1} + 1) = \dfrac{2^8 - 1}{2 - 1} + 8 = 255 + 8 = 263\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등비수열 변형 \(a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)\) 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 일반항 \(a_n = 2^{n-1} + 1\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 등비수열 합 공식과 상수항 합산으로 \(263\) 산출 | 3점 |
\(0 \le a \le 6\)인 실수 \(a\)에 대하여 함수 \(g(a) = \displaystyle\int_{0}^{3} |2x - a|\,dx\)가 최솟값을 가질 때의 상수 \(a\)의 값과 \(g(a)\)의 최솟값을 각각 구하시오.
\(0 \le k \le 4\)일 때 \(h(k) = \displaystyle\int_{0}^{4} |x - k|\,dx\)의 최솟값을 구하시오.
\(h(k) = \int_{0}^{k} (k - x)\,dx + \int_{k}^{4} (x - k)\,dx = \dfrac{k^2}{2} + \dfrac{(4 - k)^2}{2} = (k - 2)^2 + 4\)이므로 \(k = 2\)일 때 최솟값 \(4\)를 갖는다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(0 \le a \le 6\)에서 \(0 \le \dfrac{a}{2} \le 3\)이므로 \(g(a) = \int_{0}^{a/2} (a - 2x)\,dx + \int_{a/2}^{3} (2x - a)\,dx\)로 구간을 분할한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 각 정적분을 계산하면 \(\left[ax - x^2\right]_{0}^{a/2} + \left[x^2 - ax\right]_{a/2}^{3} = \dfrac{a^2}{4} + \left(9 - 3a + \dfrac{a^2}{4}\right) = \dfrac{1}{2}a^2 - 3a + 9\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(g(a) = \dfrac{1}{2}(a - 3)^2 + \dfrac{9}{2}\)이므로 \(a = 3\)일 때 최솟값 \(\dfrac{9}{2}\)를 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 부호 경계 \(x = \dfrac{a}{2}\) 기준 정적분 구간 분할 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 정적분 계산으로 \(g(a) = \dfrac{1}{2}a^2 - 3a + 9\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(a = 3\) 및 최솟값 \(\dfrac{9}{2}\) 산출 | 3점 |
시각 \(t = 0\)일 때 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)의 시각 \(t\; (t \ge 0)\)에서의 속도가 각각 \(v_{\mathrm{P}}(t) = 3t^2 - 4t\), \(v_{\mathrm{Q}}(t) = 2t + 10\)이다. 출발 후 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)가 다시 만나는 시각 \(t_0\; (t_0 \gt 0)\)과 그 순간 두 점의 속력의 차 \(|v_{\mathrm{P}}(t_0) - v_{\mathrm{Q}}(t_0)|\)를 구하시오.
원점을 동시에 출발한 두 점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)의 속도가 \(v_{\mathrm{A}}(t) = 2t,\; v_{\mathrm{B}}(t) = 6 - t\)일 때, 출발 후 다시 만나는 시각 \(t\;(t \gt 0)\)를 구하시오.
\(x_{\mathrm{A}}(t) = t^2\), \(x_{\mathrm{B}}(t) = 6t - \dfrac{1}{2}t^2\)이므로 \(t^2 = 6t - \dfrac{1}{2}t^2 \iff \dfrac{3}{2}t(t - 4) = 0\)에서 \(t = 4\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 원점 출발이므로 시각 \(t\)에서의 위치는 \(x_{\mathrm{P}}(t) = \int_{0}^{t} (3s^2 - 4s)\,ds = t^3 - 2t^2\), \(x_{\mathrm{Q}}(t) = \int_{0}^{t} (2s + 10)\,ds = t^2 + 10t\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 다시 만날 조건 \(t^3 - 2t^2 = t^2 + 10t\)를 정리하면 \(t(t - 5)(t + 2) = 0\)이고 \(t_0 \gt 0\)이므로 \(t_0 = 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(t_0 = 5\)일 때 \(v_{\mathrm{P}}(5) = 75 - 20 = 55\), \(v_{\mathrm{Q}}(5) = 10 + 10 = 20\)이므로 두 점의 속력의 차는 \(|55 - 20| = 35\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정적분으로 위치 함수 \(x_{\mathrm{P}}(t) = t^3 - 2t^2,\; x_{\mathrm{Q}}(t) = t^2 + 10t\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 위치 방정식 인수분해로 \(t_0 = 5\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(v_{\mathrm{P}}(5) = 55,\; v_{\mathrm{Q}}(5) = 20\) 계산 및 차 \(35\) 도출 | 3점 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R1-Q1 | 대수 | 거듭제곱근의 성질과 혼합 근호식의 연산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] | 10점/중 |
| R1-Q2 | 대수 | 유리수 지수의 세제곱 곱셈 공식 변형과 합차 약분 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중상 |
| R1-Q3 | 대수 | 사분면에서 삼각함수의 부호 판정과 근호·절댓값 정리 | [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.12 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-01] | 10점/중 |
| R1-Q4 | 대수 | 제2사분면 각의 삼각함수 사이의 관계와 탄젠트 산출 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] | 10점/중 |
| R1-Q5 | 미적분Ⅰ | 절댓값 기호를 포함한 유리식의 좌·우극한 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R1-Q6 | 미적분Ⅰ | 불연속 부호 함수와 다항함수 곱의 극한 존재 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.13 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중상 |
| R1-Q7 | 미적분Ⅰ | 이차함수의 평균변화율(할선 기울기)과 미분계수(접선 기울기) 대소 비교 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/중 |
| R1-Q8 | 미적분Ⅰ | 이차함수에서 평균변화율과 미분계수 일치점(중점 성질) | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] | 10점/중 |
| R1-Q9 | 미적분Ⅰ | 접선의 방정식과 부정적분을 결합한 사차함수의 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/중 |
| R1-Q10 | 대수 | 등비수열의 항의 비와 부분합의 계산 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03] | 10점/중상 |
| R2-Q1 | 대수 | 지수법칙을 이용한 대칭 분수 지수식의 유리식 변환 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.11 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중 |
| R2-Q2 | 대수 | 거듭제곱 지수식의 제곱 변형과 역수 합 계산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중 |
| R2-Q3 | 대수 | 사인함수 그래프의 주기·최댓값·최솟값과 미정계수 결정 | [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.18 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중 |
| R2-Q4 | 대수 | 주기가 축소된 사인함수가 제한된 구간에서 최댓값을 갖는 시각 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R2-Q5 | 미적분Ⅰ | 합성함수의 극한에서 내부 함수의 우극한·좌극한 방향성 판정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중상 |
| R2-Q6 | 미적분Ⅰ | 도함수 항등식을 만족시키는 삼차다항함수의 차수와 계수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.15 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-04] | 10점/중상 |
| R2-Q7 | 미적분Ⅰ | 구간별로 도함수가 주어진 연속함수의 부정적분과 적분상수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 문제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-01-03] | 10점/중상 |
| R2-Q8 | 대수 | 밑의 변환 공식을 활용한 연쇄 로그 곱셈식의 정리 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05] | 10점/중 |
| R2-Q9 | 대수 | 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 이용한 시그마 계산 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/중 |
| R2-Q10 | 미적분Ⅰ | 사잇값 정리를 이용한 방정식의 열린구간 실근 존재 증명 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/중상 |
| R3-Q1 | 대수 | 유리수 지수 대칭식의 제곱·네제곱 점화 계산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.13 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중 |
| R3-Q2 | 대수 | 유리수 지수의 세제곱 대칭식과 분수식의 값 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중 |
| R3-Q3 | 대수 | 코사인함수의 주기와 대칭성을 활용한 급수 합 소거 | [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R3-Q4 | 미적분Ⅰ | 무한대 분수 극한과 유한점 0/0 꼴 극한의 결합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.10 문제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03] | 10점/중 |
| R3-Q5 | 미적분Ⅰ | 평균값 정리를 이용한 도함수 일치 두 함수의 상수 차 증명 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.29 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] | 10점/중상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R3-Q6 | 미적분Ⅰ | 평균값 정리를 이용한 미분가능 함수의 함숫값 하한 산출 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] | 10점/중상 |
| R3-Q7 | 미적분Ⅰ | 정적분의 구간 결합 성질과 대칭 구간 기함수·우함수 적분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 문제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03] | 10점/중 |
| R3-Q8 | 미적분Ⅰ | 우함수와 다항식의 곱으로 이루어진 대칭 구간 정적분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중상 |
| R3-Q9 | 대수 | 로그가 정의되기 위한 밑 조건과 진수 조건의 연립 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/중 |
| R3-Q10 | 대수 | 부분합 $S_n$이 이차식으로 주어진 수열의 일반항과 급수 계산 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/중상 |
| R4-Q1 | 대수 | 공통 상수 k 치환을 이용한 실수 지수의 역수 합 관계 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.14 문제 7 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중 |
| R4-Q2 | 대수 | 지수 역수 등식과 이차방정식 근과 계수의 결합 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중상 |
| R4-Q3 | 대수 | 삼각방정식과 삼각부등식의 인수분해 해법 | [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.21 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중 |
| R4-Q4 | 대수 | 코사인 그래프의 대칭축을 이용한 비특수각 방정식 실근의 합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중 |
| R4-Q5 | 미적분Ⅰ | 무리식을 포함한 0/0 꼴 극한의 유리화와 미정계수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.12 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R4-Q6 | 미적분Ⅰ | 무리함수의 극한과 연속함수 연장을 위한 함숫값 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/중상 |
| R4-Q7 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 실수 전체 증가(역함수 존재) 조건과 최소 기울기 접선 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.31 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/상 |
| R4-Q8 | 미적분Ⅰ | 단조증가 삼차함수의 유일한 실근과 미분계수 계산 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/중상 |
| R4-Q9 | 미적분Ⅰ | 곡선과 x축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이가 같을 조건(정적분 0 원리) | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.25 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/중상 |
| R4-Q10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 원점을 지나는 직선으로 둘러싸인 넓이와 기울기 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/중상 |
| R5-Q1 | 대수 | 실생활 방사성 동위원소의 반감기와 지수부등식 모델링 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 문제 9 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중 |
| R5-Q2 | 대수 | 지수 모델의 시간 평행이동과 비례 감쇠 성질 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중 |
| R5-Q3 | 대수 | 코사인법칙과 삼각형 넓이를 이용한 수선의 발 길이 산출 | [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중상 |
| R5-Q4 | 대수 | 삼각형의 넓이 분할을 이용한 내각의 이등분선의 길이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중상 |
| R5-Q5 | 미적분Ⅰ | 사차함수가 극댓값을 갖기 위한 도함수의 서로 다른 세 실근 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/상 |
| R5-Q6 | 미적분Ⅰ | 사차함수가 극댓값을 갖지 않을 조건과 최솟값 계산 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/중상 |
| R5-Q7 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건과 정수 계수의 개수 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.43 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/중상 |
| R5-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식의 양근·음근의 개수와 y절편 부호 판정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| R5-Q9 | 미적분Ⅰ | 수직선 위를 움직이는 점의 운동 방향 전환 시각과 위치 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/중 |
| R5-Q10 | 미적분Ⅰ | 수직선 운동에서 속도의 절댓값 정적분과 실제 이동거리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/중상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R6-Q1 | 대수 | 거듭제곱근의 곱이 자연수가 되도록 하는 지수 배수 조건 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/상 |
| R6-Q2 | 대수 | 제한된 정의역에서 로그 치환 이차함수의 최대·최소 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/상 |
| R6-Q3 | 대수 | 원에 내접하는 사각형의 코사인법칙과 넓이 합산 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/최상 |
| R6-Q4 | 대수 | 절댓값 기호를 포함한 삼각방정식의 실근의 개수와 합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R6-Q5 | 대수 | 진수의 합차 인수분해를 이용한 로그 급수의 연쇄 소거 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05] | 10점/상 |
| R6-Q6 | 미적분Ⅰ | 불연속 구간함수와 대칭 이동 함수 곱의 연속성 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/최상 |
| R6-Q7 | 미적분Ⅰ | 절댓값 삼차함수 |f(x)|의 미분불가능 점의 개수 판정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-04] | 10점/최상 |
| R6-Q8 | 미적분Ⅰ | 완전제곱 인수로 나누어떨어지는 사차다항식과 미분법 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/상 |
| R6-Q9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 삼차함수의 극값과 구간 최대·최소 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R6-Q10 | 미적분Ⅰ | 직원뿔에 내접하는 직원기둥의 부피의 최댓값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/최상 |
| R7-Q1 | 대수 | 상용로그의 소수 부분의 합이 1일 조건과 진수의 곱 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.24 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-05] | 10점/상 |
| R7-Q2 | 대수 | 기울기가 -1인 직선과 지수·로그함수 교점의 대칭성 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/상 |
| R7-Q3 | 대수 | 모든 실수 x에 대하여 성립하는 이차부등식과 삼각부등식 결합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R7-Q4 | 대수 | 평행사변형의 두 대각선의 길이와 넓이 공식 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R7-Q5 | 대수 | 짝수·홀수 조건부 귀납적 정의 수열의 주기성 탐색 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07] | 10점/최상 |
| R7-Q6 | 미적분Ⅰ | 두 다항곡선이 한 점에서 공통인 접선을 가질 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/상 |
| R7-Q7 | 미적분Ⅰ | 모든 실수에서 사차부등식이 성립하기 위한 최솟값 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/최상 |
| R7-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 원점에서의 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R7-Q9 | 미적분Ⅰ | 포물선과 x축으로 둘러싸인 넓이를 1 : 7로 분할하는 원점 직선 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/최상 |
| R7-Q10 | 미적분Ⅰ | 제동을 건 열차의 정지 시각과 정지할 때까지 달린 거리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/상 |
| R8-Q1 | 대수 | 지수방정식이 서로 다른 두 개의 양의 실근을 가질 조건 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/최상 |
| R8-Q2 | 대수 | 로그부등식의 진수 조건과 이차부등식 해의 교집합 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/상 |
| R8-Q3 | 대수 | 사인값의 비가 주어진 삼각형의 최대 내각과 둘레의 길이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R8-Q4 | 대수 | 제곱 관계 치환을 이용한 삼각함수의 최댓값과 최솟값 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R8-Q5 | 대수 | 부분합 $S_n$과 일반항 $a_n$의 혼합 관계식으로 정의된 등비수열 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07] | 10점/상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R8-Q6 | 미적분Ⅰ | 두 점에서의 극한 조건으로 최고차항 계수가 1인 삼차함수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/상 |
| R8-Q7 | 미적분Ⅰ | 곡선 밖의 정점과 포물선 위의 동점 사이의 최소 거리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/상 |
| R8-Q8 | 미적분Ⅰ | 미분계수의 정의를 이용한 이변수 함수방정식의 도함수 유도 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/최상 |
| R8-Q9 | 미적분Ⅰ | 상수 정적분을 포함한 함수방정식의 상수 치환 해법 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R8-Q10 | 미적분Ⅰ | 정적분과 미분계수 극한이 결합된 다항함수의 미정계수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R9-Q1 | 대수 | 실수인 n제곱근의 개수의 홀짝 판정과 수열 합산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] | 10점/최상 |
| R9-Q2 | 대수 | 세 로그함수 그래프와 수직선의 교점 선분 길이 비와 넓이 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/상 |
| R9-Q3 | 대수 | 삼각함수의 제곱 관계와 세제곱 곱셈 공식 변형 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] | 10점/상 |
| R9-Q4 | 대수 | 부채꼴 전개도를 말아 만든 직원뿔의 밑면 반지름과 부피 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-01] | 10점/상 |
| R9-Q5 | 대수 | 분모의 유리화를 이용한 무리식 수열의 연쇄 소거 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/상 |
| R9-Q6 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한의 대소 관계(샌드위치 정리)의 유한점·무한대 결합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/상 |
| R9-Q7 | 미적분Ⅰ | 삼차함수 그래프가 x축에 접할 조건과 두 x절편 사이의 거리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| R9-Q8 | 미적분Ⅰ | 정사각형 판지의 네 귀퉁이를 잘라 만든 뚜껑 없는 상자의 최대 부피 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/상 |
| R9-Q9 | 미적분Ⅰ | 우함수 대칭성과 주기성을 동시에 만족시키는 함수의 정적분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R9-Q10 | 미적분Ⅰ | 역함수가 존재하는 삼차함수와 그 역함수로 둘러싸인 전체 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/최상 |
| R10-Q1 | 대수 | 상용로그를 이용한 빛 투과율 감쇠 필터 장수 결정 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.24 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-05] | 10점/상 |
| R10-Q2 | 대수 | 지수방정식과 로그방정식이 결합된 연립방정식의 해 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/상 |
| R10-Q3 | 대수 | 삼각함수 그래프와 원점 직선의 교점의 개수와 대칭 합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/최상 |
| R10-Q4 | 대수 | 코사인법칙의 두 번 적용을 통한 삼각형 중선의 길이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R10-Q5 | 대수 | 공비를 곱해 빼는 방법으로 구하는 (등차)×(등비) 꼴 급수의 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/상 |
| R10-Q6 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식의 실근의 개수 함수의 불연속점과 다항함수 곱 연속 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/최상 |
| R10-Q7 | 미적분Ⅰ | 차함수 인수분해를 이용한 삼차곡선과 접선의 교점 관계 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/상 |
| R10-Q8 | 미적분Ⅰ | 제한된 반직선 구간에서 두 곡선의 위치 관계와 삼차부등식 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| R10-Q9 | 미적분Ⅰ | 제곱식 정적분을 매개변수에 대한 이차함수로 최소화하기 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R10-Q10 | 미적분Ⅰ | 수직선 위를 움직이는 두 점 사이의 거리의 최댓값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-10] | 10점/최상 |
거듭제곱근의 성질을 이용하여 \(A = \sqrt[3]{2}\times\sqrt[3]{32} - \dfrac{\sqrt[4]{162}}{\sqrt[4]{2}} + \sqrt{\sqrt[3]{64}}\)의 값을 구하시오.
양수 \(x\)에 대하여 \(x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}} = 2\)일 때, \(x^{\frac{2}{3}} + x^{-\frac{2}{3}}\)의 값과 \(\dfrac{x^2 - x^{-2}}{x + x^{-1}}\)의 값을 각각 구하시오.
\(0\)이 아닌 삼각함수 값에 대하여 \(\sin\theta\cos\theta \lt 0\)이고 \(\sin\theta\tan\theta \lt 0\)일 때, 각 \(\theta\)가 제몇 사분면의 각인지 구하고, 식 \(E = \sqrt{\sin^2\theta} - \sqrt{(\sin\theta - \cos\theta)^2} + \sqrt{(\cos\theta + \tan\theta)^2}\)을 근호와 절댓값 기호 없이 간단히 정리하시오.
제\(2\)사분면의 각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta = -\dfrac{5}{13}\)일 때, \(\sin\theta\)와 \(\tan\theta\)의 값을 각각 구하고 \(\dfrac{1 + \sin\theta}{\cos\theta} - \tan\theta\)의 값을 구하시오.
\(x \ne 2\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \dfrac{|x^2 - 4|}{x - 2}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{x \to 2+} f(x)\)와 \(\displaystyle\lim_{x \to 2-} f(x)\)를 각각 구하고, 함수 \(g(x) = (x - 2)f(x) + b\dfrac{|x - 2|}{x - 2}\)가 \(x = 2\)에서 극한값을 갖도록 하는 상수 \(b\)의 값을 구하시오.
\(x \ne 2\)인 실수 \(x\)에 대하여 함수 \(h(x) = (x^2 + kx - 2)\dfrac{|x^2 - 4|}{x - 2}\)의 \(x = 2\)에서의 극한값 \(\displaystyle\lim_{x \to 2} h(x)\)가 존재하도록 하는 상수 \(k\)의 값과 그때의 극한값을 각각 구하시오.
아래로 볼록한 이차함수 \(f(x) = x^2 - 2x + 3\)과 두 실수 \(a, b\; (1 \lt a \lt b)\)에 대하여 닫힌구간 \([a, b]\)에서의 평균변화율 \(M\)과 미분계수 \(f'(a),\; f'(b)\)를 각각 \(a, b\)로 나타내고, 세 값 \(f'(a),\; M,\; f'(b)\)의 대소 관계를 차를 이용하여 증명하시오.
이차함수 \(f(x) = x^2 - 2x + 3\)에 대하여 닫힌구간 \([2, 6]\)에서의 평균변화율과 \(x = c\)에서의 미분계수 \(f'(c)\)가 같도록 하는 상수 \(c\)의 값을 구하고, \(\dfrac{f'(2) + f'(6)}{2}\)의 값과 평균변화율을 비교하시오.
다항함수 \(f(x)\)의 도함수가 \(f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + ax\)이고, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, 2)\)에서의 접선의 방정식이 \(y = 2x\)일 때, 상수 \(a\)의 값과 \(f(-1) + f(2)\)의 값을 구하시오.
모든 항이 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_2 = 6,\; a_5 = 48\)을 만족시킬 때, 공비 \(r\)의 값과 첫째항부터 제\(7\)항까지의 합 \(S_7\)을 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 문항 1 | 대수 | 거듭제곱근의 성질과 혼합 근호식의 연산 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 2 | 대수 | 유리수 지수의 세제곱 곱셈 공식 변형과 합차 약분 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 3 | 대수 | 사분면에서 삼각함수의 부호 판정과 근호·절댓값 정리 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 4 | 대수 | 제2사분면 각의 삼각함수 사이의 관계와 탄젠트 산출 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ | 절댓값 기호를 포함한 유리식의 좌·우극한 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 불연속 부호 함수와 다항함수 곱의 극한 존재 조건 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 이차함수의 평균변화율(할선 기울기)과 미분계수(접선 기울기) 대소 비교 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 이차함수에서 평균변화율과 미분계수 일치점(중점 성질) | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 접선의 방정식과 부정적분을 결합한 사차함수의 결정 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 10 | 대수 | 등비수열의 항의 비와 부분합의 계산 | 10점 | 중상 |
양수 \(a\)와 실수 \(x\)에 대하여 \(a^{2x} = 5\)일 때, \(\dfrac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값과 \(\dfrac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값을 각각 기약분수로 구하시오.
양수 \(a\)와 실수 \(x\)에 대하여 \(a^{2x} = 5\)일 때, \(a^{4x} + a^{-4x}\)의 값과 \(\left(a^x + a^{-x}\right)^2\)의 값을 각각 기약분수로 구하시오.
양수 \(a, b\)와 상수 \(d\)에 대하여 함수 \(f(x) = a\sin\left(bx - \dfrac{\pi}{3}\right) + d\)의 최댓값이 \(7\), 최솟값이 \(-1\)이고 주기가 \(\dfrac{\pi}{2}\)일 때, \(a, b, d\)의 값과 \(f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)의 값을 구하시오.
닫힌구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)에서 함수 \(f(x) = 4\sin\left(4x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 3\)이 최댓값 \(7\)을 가질 때의 \(x\)의 값과 최솟값 \(-1\)을 가질 때의 \(x\)의 값을 각각 구하시오.
함수 \(f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & (x \lt 1) \\ 4 & (x = 1) \\ -x + 6 & (x \gt 1) \end{cases}\)와 두 이차함수 \(g(x) = x^2 + 1,\; h(x) = -x^2 + 1\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(g(x))\)와 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(h(x))\)의 값을 각각 구하시오.
이차항의 계수가 \(2\)인 다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \(x f'(x) - 2f(x) = x^3 + 4x - 6\)을 만족시킬 때, 다항함수 \(f(x)\)를 구하고 \(f(1) + f'(1)\)의 값을 구하시오.
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 \(x \ne 1\)인 모든 실수 \(x\)에서 \(f'(x) = \begin{cases} 3x^2 - 2 & (x \lt 1) \\ 4x + 1 & (x \gt 1) \end{cases}\)를 만족시키고 \(f(0) = 3\)일 때, \(f(-2) + f(3)\)의 값을 구하시오.
\(\left(\log_2 9 + \log_4 3\right)\left(\log_3 4 + \log_9 8\right)\)의 값을 구하시오.
수열의 합 공식을 이용하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{8} (3k^2 - 5k + 2)\)의 값을 구하시오.
방정식 \(x^3 + 2x^2 - 5x - 3 = 0\)이 열린구간 \((-1, 0)\)과 \((1, 2)\)에서 각각 적어도 하나의 실근을 가짐을 사잇값 정리를 이용하여 서술하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제2회 | 문항 1 | 대수 | 지수법칙을 이용한 대칭 분수 지수식의 유리식 변환 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 2 | 대수 | 거듭제곱 지수식의 제곱 변형과 역수 합 계산 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 3 | 대수 | 사인함수 그래프의 주기·최댓값·최솟값과 미정계수 결정 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 4 | 대수 | 주기가 축소된 사인함수가 제한된 구간에서 최댓값을 갖는 시각 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ | 합성함수의 극한에서 내부 함수의 우극한·좌극한 방향성 판정 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 도함수 항등식을 만족시키는 삼차다항함수의 차수와 계수 결정 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 구간별로 도함수가 주어진 연속함수의 부정적분과 적분상수 결정 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 8 | 대수 | 밑의 변환 공식을 활용한 연쇄 로그 곱셈식의 정리 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 9 | 대수 | 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 이용한 시그마 계산 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 사잇값 정리를 이용한 방정식의 열린구간 실근 존재 증명 | 10점 | 중상 |
양수 \(a\)에 대하여 \(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3\)일 때, \(a + a^{-1}\)의 값과 \(a^2 + a^{-2}\)의 값을 각각 구하시오.
양수 \(a\)에 대하여 \(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3\)일 때, \(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}\)의 값과 분수식 \(\dfrac{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 2}{a + a^{-1} + 3}\)의 값을 각각 구하시오.
주기함수 \(f(x) = 3\cos\left(\dfrac{\pi}{3}x\right)\)의 주기 \(T\)와 한 주기 함숫값의 합 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{6} f(k)\)를 구하고, 이를 이용하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20} f(k)\)의 값을 구하시오.
다항함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2 + 2x} = 2\)와 \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 6\)을 동시에 만족시킬 때, 다항함수 \(f(x)\)를 구하고 \(\displaystyle\lim_{x \to -2} \dfrac{f(x)}{x + 2}\)의 값을 구하시오.
실수 전체에서 미분가능한 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 모든 실수 \(x\)에서 \(f'(x) = g'(x)\)를 만족시킬 때, \(h(x) = f(x) - g(x)\)에 평균값 정리를 적용하여 \(h(x)\)가 상수함수임을 증명하고, \(g(x) = 3x^2 - 4x\)이고 \(f(0) = 5\)일 때 \(f(2)\)의 값을 구하시오.
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(p(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(p'(x) \ge 2\)이고 \(p(1) = 3\)일 때, 닫힌구간 \([1, 4]\)에서 평균값 정리를 이용하여 \(p(4)\)의 최솟값을 구하시오.
다항함수 \(f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 6x - 2\)에 대하여 \(I = \displaystyle\int_{-3}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{3} f(x)\,dx\)의 값을 정적분의 구간 결합과 대칭성을 이용하여 구하시오.
모든 실수 \(x\)에서 \(g(-x) = g(x)\)를 만족시키는 연속함수 \(g(x)\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{0}^{2} g(x)\,dx = 5\)이고 \(\displaystyle\int_{0}^{2} x^2 g(x)\,dx = 7\)일 때, \(\displaystyle\int_{-2}^{2} (3x^3 + 2x^2 - 4x + 1)g(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
로그 \(\log_{x - 2} (-x^2 + 9x - 14)\)가 정의되도록 하는 모든 정수 \(x\)의 값의 합을 구하시오.
수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합이 \(S_n = n^2 + 2n\)일 때, 일반항 \(a_n\)을 구하고 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{9} \dfrac{4}{a_k a_{k+1}}\)의 값을 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제3회 | 문항 1 | 대수 | 유리수 지수 대칭식의 제곱·네제곱 점화 계산 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 2 | 대수 | 유리수 지수의 세제곱 대칭식과 분수식의 값 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 3 | 대수 | 코사인함수의 주기와 대칭성을 활용한 급수 합 소거 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 4 | 미적분Ⅰ | 무한대 분수 극한과 유한점 0/0 꼴 극한의 결합 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ | 평균값 정리를 이용한 도함수 일치 두 함수의 상수 차 증명 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 평균값 정리를 이용한 미분가능 함수의 함숫값 하한 산출 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 정적분의 구간 결합 성질과 대칭 구간 기함수·우함수 적분 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 우함수와 다항식의 곱으로 이루어진 대칭 구간 정적분 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 9 | 대수 | 로그가 정의되기 위한 밑 조건과 진수 조건의 연립 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 10 | 대수 | 부분합 $S_n$이 이차식으로 주어진 수열의 일반항과 급수 계산 | 10점 | 중상 |
\(0\)이 아닌 세 실수 \(x, y, z\)가 \(2^x = 5^y = 10^z\)를 만족시킬 때, \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{z}\)의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.
두 양수 \(a, b\; (a \lt b)\)와 \(0\)이 아닌 세 실수 \(x, y, z\)가 \(a^x = b^y = 6^z\) 및 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{z}\)를 만족시킨다. \(a + b = 13\)일 때, 두 양수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식 \(2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0\)의 모든 실근과 부등식 \(2\cos^2 x - \cos x - 1 \le 0\)의 해를 각각 구하시오.
닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식 \(\cos x = -\dfrac{1}{3}\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\; (\alpha \lt \beta)\)라 할 때, \(\alpha + \beta\)의 값과 \(\cos\left(\dfrac{\alpha + \beta}{3}\right) + \sin\left(\dfrac{\alpha + \beta}{4}\right)\)의 값을 각각 구하시오.
두 상수 \(a, b\)에 대하여 극한 등식 \(\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + a} - b}{x - 3} = \dfrac{1}{4}\)이 성립할 때, \(a, b\)의 값과 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} x\left(\sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - bx}\right)\)의 값을 각각 구하시오.
\(x \ge -2\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 \(x \ne 2\)일 때 \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{\sqrt{x + 2} - 2}\)이고 \(x = 2\)에서 연속일 때, 상수 \(f(2)\)의 값을 구하시오.
삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + (a + 6)x + 1\)이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하고, \(a\)가 최댓값을 가질 때 곡선 \(y = f(x)\) 위의 접선 중 기울기가 최소인 접선의 접점 좌표와 방정식을 구하시오.
삼차함수 \(g(x) = x^3 + 6x + 1\)이 실수 전체의 집합에서 일대일대응임을 도함수로 보이고, 방정식 \(g(x) = 8\)의 유일한 실근 \(\alpha\)와 \(g'(\alpha)\)의 값을 각각 구하시오.
이차함수 \(f(x) = x^2 - 4x\)의 그래프와 \(x\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S_1\), \(x = 4\)부터 \(x = k\; (k \gt 4)\)까지 곡선과 \(x\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S_2\)라 하자. \(S_1 = S_2\)일 때, \(S_1\)의 값과 상수 \(k\)의 값을 각각 구하시오.
곡선 \(y = x^2 - 4x\)와 직선 \(y = mx\; (m \gt -4)\)로 둘러싸인 도형의 넓이가 \(36\)이 되도록 하는 상수 \(m\)의 값을 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제4회 | 문항 1 | 대수 | 공통 상수 k 치환을 이용한 실수 지수의 역수 합 관계 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 2 | 대수 | 지수 역수 등식과 이차방정식 근과 계수의 결합 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 3 | 대수 | 삼각방정식과 삼각부등식의 인수분해 해법 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 4 | 대수 | 코사인 그래프의 대칭축을 이용한 비특수각 방정식 실근의 합 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ | 무리식을 포함한 0/0 꼴 극한의 유리화와 미정계수 결정 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 무리함수의 극한과 연속함수 연장을 위한 함숫값 결정 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 실수 전체 증가(역함수 존재) 조건과 최소 기울기 접선 | 10점 | 상 |
| 제4회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 단조증가 삼차함수의 유일한 실근과 미분계수 계산 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 곡선과 x축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이가 같을 조건(정적분 0 원리) | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 원점을 지나는 직선으로 둘러싸인 넓이와 기울기 결정 | 10점 | 중상 |
초기 질량이 \(M_0 = 64\,\mathrm{g}\)이고 반감기가 \(15\)년인 어떤 방사성 물질의 \(t\)년 후 질량이 \(M(t) = 64\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{15}}\)일 때, \(45\)년 후 남아 있는 질량 \(M(45)\)와 질량이 초기 질량의 \(\dfrac{1}{16}\) 이하가 되기 위한 최소 경과 시간(년)을 각각 구하시오.
반감기가 \(15\)년인 방사성 물질의 \(t\)년 후 질량이 \(M(t) = M_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{15}}\)일 때, 어느 시점 \(t_1\)년 후의 질량이 \(M(t_1) = 24\,\mathrm{g}\)이었다. \((t_1 + 30)\)년 후의 질량 \(M(t_1 + 30)\)과 \((t_1 - 15)\)년 후의 질량 \(M(t_1 - 15)\)를 각각 구하시오. (단, \(t_1 \ge 15\))
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 6,\; \overline{\mathrm{AC}} = 4,\; \angle \mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이와 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)에서 변 \(\mathrm{BC}\)에 내린 수선의 발 \(\mathrm{H}\)에 대하여 선분 \(\mathrm{AH}\)의 길이를 각각 구하시오.
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 6,\; \overline{\mathrm{AC}} = 4,\; \angle \mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, \(\angle \mathrm{BAC}\)의 이등분선이 변 \(\mathrm{BC}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{D}\)라 하자. 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이와 선분 \(\mathrm{AD}\)의 길이를 각각 구하시오.
사차함수 \(f(x) = x^4 - 2(a + 1)x^2 + 4ax + 3\)이 극댓값을 갖도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하고, \(a = 0\)일 때 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.
사차함수 \(g(x) = x^4 - 6x^2 + 8x + 5\)가 극댓값을 갖지 않음을 도함수의 인수분해로 설명하고, 실수 전체의 집합에서 \(g(x)\)의 최솟값을 구하시오.
삼차방정식 \(x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위와 정수 \(k\)의 개수를 각각 구하시오.
삼차방정식 \(x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0\)이 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\; (t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하고 두 번째로 운동 방향을 바꾸는 순간의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치를 구하시오.
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\; (t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, 시각 \(t = 0\)부터 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리 \(L\)을 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제5회 | 문항 1 | 대수 | 실생활 방사성 동위원소의 반감기와 지수부등식 모델링 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 2 | 대수 | 지수 모델의 시간 평행이동과 비례 감쇠 성질 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 3 | 대수 | 코사인법칙과 삼각형 넓이를 이용한 수선의 발 길이 산출 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 4 | 대수 | 삼각형의 넓이 분할을 이용한 내각의 이등분선의 길이 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ | 사차함수가 극댓값을 갖기 위한 도함수의 서로 다른 세 실근 조건 | 10점 | 상 |
| 제5회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 사차함수가 극댓값을 갖지 않을 조건과 최솟값 계산 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건과 정수 계수의 개수 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식의 양근·음근의 개수와 y절편 부호 판정 | 10점 | 상 |
| 제5회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 수직선 위를 움직이는 점의 운동 방향 전환 시각과 위치 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 수직선 운동에서 속도의 절댓값 정적분과 실제 이동거리 | 10점 | 중상 |
\(1 \le n \le 100\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \(\left(\sqrt{3} \times \sqrt[3]{2}\right)^n\)의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 \(n\)의 개수를 구하고, 그때 만들어지는 자연수 중 가장 작은 값을 구하시오.
닫힌구간 \(\left[\dfrac{1}{4}, 8\right]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = (\log_2 x)^2 - 2\log_2 x + 5\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하고, 그때의 \(x\)의 값을 구하시오.
원에 내접하는 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{BC}} = 5,\; \overline{\mathrm{CD}} = 5\)이고 \(\angle \mathrm{ABC} = \dfrac{2\pi}{3}\)일 때, 대각선 \(\mathrm{AC}\)의 길이와 변 \(\mathrm{AD}\)의 길이 및 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이를 각각 구하시오.
닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식 \(|2\sin x - 1| = 1\)의 서로 다른 모든 실근의 개수와 모든 실근의 합을 각각 구하시오.
로그의 성질을 이용하여 \(\displaystyle\sum_{k=2}^{8} \log_2 \left(1 - \dfrac{1}{k^2}\right) - 2\log_2 3\)의 값을 구하시오.
함수 \(f(x) = \begin{cases} x + 1 & (x \lt 1) \\ x^2 - ax + 4 & (x \ge 1) \end{cases}\)에 대하여 함수 \(g(x) = f(x)f(2 - x)\)가 \(x = 1\)에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값의 합을 구하시오.
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + k\)에 대하여 함수 \(y = |f(x)|\)가 미분가능하지 않은 실수 \(x\)의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 모든 정수 \(k\)의 값의 합을 구하시오.
사차다항식 \(P(x) = x^4 + ax^2 + b\)가 \((x - 2)^2\)으로 나누어떨어질 때, 두 상수 \(a, b\)의 값을 구하고 몫 \(Q(x)\)를 구하시오.
함수 \(g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (t^2 - 4t + 3)\,dt\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 \(g(x)\)의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.
그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 \(6\)이고 높이가 \(12\)인 직원뿔에 내접하는 직원기둥의 부피가 최대일 때, 직원기둥의 밑면의 반지름 \(r\)와 부피의 최댓값 \(V_{\max}\)를 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제6회 | 문항 1 | 대수 | 거듭제곱근의 곱이 자연수가 되도록 하는 지수 배수 조건 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 2 | 대수 | 제한된 정의역에서 로그 치환 이차함수의 최대·최소 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 3 | 대수 | 원에 내접하는 사각형의 코사인법칙과 넓이 합산 | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 4 | 대수 | 절댓값 기호를 포함한 삼각방정식의 실근의 개수와 합 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 5 | 대수 | 진수의 합차 인수분해를 이용한 로그 급수의 연쇄 소거 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 불연속 구간함수와 대칭 이동 함수 곱의 연속성 | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 절댓값 삼차함수 |f(x)|의 미분불가능 점의 개수 판정 | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 완전제곱 인수로 나누어떨어지는 사차다항식과 미분법 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 삼차함수의 극값과 구간 최대·최소 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 직원뿔에 내접하는 직원기둥의 부피의 최댓값 | 10점 | 최상 |
\(1 \lt N \lt 10\)인 실수 \(N\)에 대하여 \(\log N\)의 소수 부분과 \(\log N^2\)의 소수 부분의 합이 \(1\)일 때, 조건을 만족시키는 모든 실수 \(N\)의 값을 구하고 그 곱을 구하시오.
직선 \(y = -x + 6\)이 곡선 \(y = 2^x\)과 만나는 점을 \(\mathrm{A}(x_1, y_1)\), 곡선 \(y = \log_2 x\)와 만나는 점을 \(\mathrm{B}(x_2, y_2)\)라 할 때, 선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점 \(\mathrm{M}\)의 좌표와 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이를 각각 구하시오. (단, \(\mathrm{O}\)는 원점이다.)
\(0 \le \theta \le 2\pi\)일 때, 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(x^2 - 2(\cos\theta)x + 2\cos\theta \gt 0\)이 항상 성립하도록 하는 \(\theta\)의 값의 범위를 구하시오.
평행사변형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 4,\; \overline{\mathrm{AD}} = 6,\; \angle \mathrm{BAD} = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 두 대각선 \(\mathrm{AC},\; \mathrm{BD}\)의 길이와 평행사변형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이를 각각 구하시오.
수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 7\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{a_n}{2} & (a_n\text{이 짝수인 경우}) \\ a_n + 5 & (a_n\text{이 홀수인 경우}) \end{cases}\)로 정의될 때, \(a_9\)의 값과 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20} a_k\)의 값을 각각 구하시오.
두 곡선 \(y = x^3 - 4x + 1\)과 \(y = ax^2 + b\)가 \(x = 2\)인 점에서 서로 접할 때, 두 상수 \(a, b\)의 값과 그 점에서의 공통접선의 방정식을 구하시오.
모든 실수 \(x\)에 대하여 사차부등식 \(x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + k \ge 0\)이 항상 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값을 구하시오.
곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 2x\) 위의 원점 \((0, 0)\)에서의 접선 \(l\)의 방정식을 구하고, 곡선과 접선 \(l\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
곡선 \(y = -x^2 + 3x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 직선 \(y = mx\; (0 \lt m \lt 3)\)에 의하여 위쪽 부분과 아래쪽 부분의 넓이의 비가 \(1 : 7\)이 되도록 나누어질 때, 상수 \(m\)의 값을 구하시오.
직선 철로 위를 \(27\,\mathrm{m/s}\)의 속도로 달리는 열차가 제동을 건 지 \(t\)초 후의 속도가 \(v(t) = 27 - 3t^2\; (\mathrm{m/s})\)라 할 때, 제동을 건 후 열차가 완전히 정지할 때까지 걸린 시간과 그 동안 달린 거리를 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제7회 | 문항 1 | 대수 | 상용로그의 소수 부분의 합이 1일 조건과 진수의 곱 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 2 | 대수 | 기울기가 -1인 직선과 지수·로그함수 교점의 대칭성 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 3 | 대수 | 모든 실수 x에 대하여 성립하는 이차부등식과 삼각부등식 결합 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 4 | 대수 | 평행사변형의 두 대각선의 길이와 넓이 공식 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 5 | 대수 | 짝수·홀수 조건부 귀납적 정의 수열의 주기성 탐색 | 10점 | 최상 |
| 제7회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 두 다항곡선이 한 점에서 공통인 접선을 가질 조건 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 모든 실수에서 사차부등식이 성립하기 위한 최솟값 조건 | 10점 | 최상 |
| 제7회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 원점에서의 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 포물선과 x축으로 둘러싸인 넓이를 1 : 7로 분할하는 원점 직선 | 10점 | 최상 |
| 제7회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 제동을 건 열차의 정지 시각과 정지할 때까지 달린 거리 | 10점 | 상 |
방정식 \(3^x + 3^{2 - x} = k\)가 서로 다른 두 개의 양의 실근을 갖도록 하는 모든 정수 \(k\)의 값의 합을 구하시오.
로그부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(7 - x) \ge 3\)을 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값의 범위와 모든 정수 \(x\)의 합을 구하시오.
반지름의 길이가 \(R = 7\sqrt{3}\)인 원에 내접하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7\)이 성립할 때, 최대 내각 \(C\)의 크기와 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 둘레의 길이를 각각 구하시오.
닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 함수 \(f(x) = \cos^2 x - 2\sin x + 2\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\), 그리고 그때의 \(x\)의 값을 각각 구하시오.
첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(S_n = 2a_n - 3\)을 만족시키는 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 일반항 \(a_n\)을 구하고, \(\log_2\left(\dfrac{a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6}{3^6}\right)\)의 값을 구하시오.
최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - x^2}{x} = 3\)과 \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = -2\)를 만족시킬 때, \(f(4)\)의 값을 구하시오.
좌표평면 위의 점 \(\mathrm{A}\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\)과 포물선 \(y = x^2 - 1\) 위의 동점 \(\mathrm{P}(t, t^2 - 1)\) 사이의 거리의 최솟값과 그때의 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표를 모두 구하시오.
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy - 1\)을 만족시키고 \(f'(1) = 5\)일 때, \(f'(0)\)의 값과 \(f(2)\)의 값을 각각 구하시오.
연속함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 2\displaystyle\int_{0}^{1} f(t)\,dt\)를 만족시킬 때, \(\displaystyle\int_{0}^{1} f(t)\,dt\)의 값과 \(f(3)\)의 값을 각각 구하시오.
삼차함수 \(f(x) = x^3 - ax + 5\)가 \(\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\int_{1 - h}^{1 + 2h} f(t)\,dt = 12\)를 만족시킬 때, 상수 \(a\)의 값과 \(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제8회 | 문항 1 | 대수 | 지수방정식이 서로 다른 두 개의 양의 실근을 가질 조건 | 10점 | 최상 |
| 제8회 | 문항 2 | 대수 | 로그부등식의 진수 조건과 이차부등식 해의 교집합 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 3 | 대수 | 사인값의 비가 주어진 삼각형의 최대 내각과 둘레의 길이 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 4 | 대수 | 제곱 관계 치환을 이용한 삼각함수의 최댓값과 최솟값 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 5 | 대수 | 부분합 $S_n$과 일반항 $a_n$의 혼합 관계식으로 정의된 등비수열 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 두 점에서의 극한 조건으로 최고차항 계수가 1인 삼차함수 결정 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 곡선 밖의 정점과 포물선 위의 동점 사이의 최소 거리 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 미분계수의 정의를 이용한 이변수 함수방정식의 도함수 유도 | 10점 | 최상 |
| 제8회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 상수 정적분을 포함한 함수방정식의 상수 치환 해법 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 정적분과 미분계수 극한이 결합된 다항함수의 미정계수 결정 | 10점 | 상 |
\(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 실수 \((n - 5)(n - 10)\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{n=2}^{12} f(n)\)의 값을 구하시오.
직선 \(x = k\; (k \gt 1)\)가 세 곡선 \(y = \log_2 x,\; y = \log_4 x,\; y = -\log_2 x\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\)라 하자. \(\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\overline{\mathrm{AB}}}\)의 값을 구하고, 삼각형 \(\mathrm{OAC}\)의 넓이가 \(8\)일 때 상수 \(k\)의 값을 구하시오. (단, \(\mathrm{O}\)는 원점이다.)
\(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}\)일 때, \(\sin\theta\cos\theta\)의 값과 \(\sin^3\theta + \cos^3\theta\)의 값을 각각 기약분수로 구하시오.
반지름의 길이가 \(6\)이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{2\pi}{3}\)인 부채꼴 모양의 종이를 반지름끼리 맞붙여 밑면이 없는 직원뿔 모양의 용기를 만들 때, 이 직원뿔의 밑면의 반지름 \(r\)와 부피 \(V\)를 각각 구하시오.
수열의 합 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{12} \dfrac{2}{\sqrt{2k + 1} + \sqrt{2k - 1}}\)의 값을 구하시오.
양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 모든 양수 \(x\)에 대하여 \(6x - 3 \le f(x) \le x^2 + 4x - 2\)와 \(3x^2 - 2x \le (x + 1)f(x) \le 3x^2 + 4x\)를 만족시킬 때, \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) + \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}\)의 값을 구하시오.
양수 \(a\)에 대하여 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3ax^2 + 4\)의 그래프가 \(x\)축과 서로 다른 두 점에서만 만날 때, 양수 \(a\)의 값과 두 교점 사이의 거리를 각각 구하시오.
한 변의 길이가 \(12\)인 정사각형 모양의 철판의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 \(x\)인 정사각형을 잘라 내고 남은 부분을 접어 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들 때, 상자의 부피가 최대가 되도록 하는 \(x\)의 값과 최대 부피를 구하시오.
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\)와 \(f(x + 4) = f(x)\)를 만족시킨다. \(0 \le x \le 2\)에서 \(f(x) = 3x^2\)일 때, \(\displaystyle\int_{-2}^{14} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
실수 전체에서 증가하는 함수 \(f(x) = \dfrac{1}{2}x^3 + \dfrac{1}{2}x\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제9회 | 문항 1 | 대수 | 실수인 n제곱근의 개수의 홀짝 판정과 수열 합산 | 10점 | 최상 |
| 제9회 | 문항 2 | 대수 | 세 로그함수 그래프와 수직선의 교점 선분 길이 비와 넓이 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 3 | 대수 | 삼각함수의 제곱 관계와 세제곱 곱셈 공식 변형 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 4 | 대수 | 부채꼴 전개도를 말아 만든 직원뿔의 밑면 반지름과 부피 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 5 | 대수 | 분모의 유리화를 이용한 무리식 수열의 연쇄 소거 합 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한의 대소 관계(샌드위치 정리)의 유한점·무한대 결합 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 삼차함수 그래프가 x축에 접할 조건과 두 x절편 사이의 거리 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 정사각형 판지의 네 귀퉁이를 잘라 만든 뚜껑 없는 상자의 최대 부피 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 우함수 대칭성과 주기성을 동시에 만족시키는 함수의 정적분 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 역함수가 존재하는 삼차함수와 그 역함수로 둘러싸인 전체 넓이 | 10점 | 최상 |
빛이 유리판 한 장을 통과할 때마다 빛의 세기가 통과 전의 \(20\%\)씩 감소한다고 한다. 처음 빛의 세기의 \(\dfrac{1}{10}\) 이하가 되도록 하려면 이 유리판을 최소 몇 장 이상 겹쳐야 하는지 구하시오. (단, \(\log 2 = 0.3010\)으로 계산한다.)
연립방정식 \(\begin{cases} 2^x \cdot 4^y = 32 \\ \log_3 x + \log_3 y = 1 \end{cases}\)을 만족시키는 두 실수 \(x, y\)의 순서쌍 \((x, y)\)를 모두 구하시오.
실수 전체의 집합에서 방정식 \(\sin(\pi x) = \dfrac{1}{3}x\)의 서로 다른 실근의 개수와 모든 실근의 합을 각각 구하시오.
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 7,\; \overline{\mathrm{AC}} = 5,\; \overline{\mathrm{BC}} = 6\)이고 변 \(\mathrm{BC}\)의 중점을 \(\mathrm{M}\)이라 할 때, \(\cos B\)의 값과 선분 \(\mathrm{AM}\)의 길이를 각각 구하시오.
합 \(S = \displaystyle\sum_{k=1}^{8} k \cdot 2^{k-1}\)에 대하여 \(S - 2S\)를 계산하는 과정을 서술하여 \(S\)의 값을 구하시오.
실수 \(t\)에 대하여 방정식 \(x^3 - 3x + 2 = t\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(h(t)\)라 하자. 함수 \(h(t)\)가 불연속인 모든 \(t\)의 값을 구하고, 최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(p(t)\)에 대하여 \(p(t)h(t)\)가 실수 전체에서 연속일 때 \(p(6)\)의 값을 구하시오.
최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프가 직선 \(y = 2x + 1\)과 \(x = -1\)인 점에서 만나고 \(x = 2\)인 점에서 접할 때, \(f(3)\)의 값과 \(f'(3)\)의 값을 각각 구하시오.
\(x \ge -2\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 곡선 \(y = x^3 + 2x^2\)이 곡선 \(y = 5x^2 + 24x - k\)보다 항상 위쪽에 있거나 만나도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값을 구하시오.
실수 \(a\)에 대하여 함수 \(I(a) = \displaystyle\int_{0}^{1} (3x^2 + 2x - a)^2\,dx\)가 최솟값을 가질 때의 상수 \(a\)의 값과 \(I(a)\)의 최솟값을 각각 구하시오.
수직선 위를 움직이는 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)의 시각 \(t\; (0 \le t \le 3)\)에서의 위치가 각각 \(x_{\mathrm{P}}(t) = t^3 - 5t^2 + 3t + 2\), \(x_{\mathrm{Q}}(t) = t^2 - 6t + 2\)일 때, 구간 \([0, 3]\)에서 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\) 사이의 거리가 최대가 되는 시각과 그때의 최대 거리를 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제10회 | 문항 1 | 대수 | 상용로그를 이용한 빛 투과율 감쇠 필터 장수 결정 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 2 | 대수 | 지수방정식과 로그방정식이 결합된 연립방정식의 해 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 3 | 대수 | 삼각함수 그래프와 원점 직선의 교점의 개수와 대칭 합 | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 4 | 대수 | 코사인법칙의 두 번 적용을 통한 삼각형 중선의 길이 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 5 | 대수 | 공비를 곱해 빼는 방법으로 구하는 (등차)×(등비) 꼴 급수의 합 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식의 실근의 개수 함수의 불연속점과 다항함수 곱 연속 | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 차함수 인수분해를 이용한 삼차곡선과 접선의 교점 관계 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 제한된 반직선 구간에서 두 곡선의 위치 관계와 삼차부등식 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 제곱식 정적분을 매개변수에 대한 이차함수로 최소화하기 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 수직선 위를 움직이는 두 점 사이의 거리의 최댓값 | 10점 | 최상 |
거듭제곱근의 성질을 이용하여 \(A = \sqrt[3]{2}\times\sqrt[3]{32} - \dfrac{\sqrt[4]{162}}{\sqrt[4]{2}} + \sqrt{\sqrt[3]{64}}\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 양수 \(a, b\)와 \(2\) 이상의 자연수 \(m, n\)에 대하여 \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\), \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\), \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\)가 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 각 항을 정리하면 \(\sqrt[3]{2}\times\sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{64} = 4\), \(\dfrac{\sqrt[4]{162}}{\sqrt[4]{2}} = \sqrt[4]{81} = 3\), \(\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[6]{2^6} = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(A = 4 - 3 + 2 = 3\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 거듭제곱근 결합·분리 법칙 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 세 항의 값 \(4,\; 3,\; 2\) 각각 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(A = 3\) 도출 | 3점 |
양수 \(x\)에 대하여 \(x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}} = 2\)일 때, \(x^{\frac{2}{3}} + x^{-\frac{2}{3}}\)의 값과 \(\dfrac{x^2 - x^{-2}}{x + x^{-1}}\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(t = x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}} = 2\)로 놓으면 \(x^{\frac{2}{3}} + x^{-\frac{2}{3}} = t^2 + 2\)이고 \(x - x^{-1} = t^3 + 3t\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(t = 2\)를 대입하면 \(x^{\frac{2}{3}} + x^{-\frac{2}{3}} = 2^2 + 2 = 6\)이고, \(x - x^{-1} = 2^3 + 3 \times 2 = 14\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 또한 \(x + x^{-1} \gt 0\)이므로 합차 공식으로 약분하면 \(\dfrac{x^2 - x^{-2}}{x + x^{-1}} = x - x^{-1} = 14\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 유리수 지수의 제곱·세제곱 곱셈 공식 변형 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(x^{\frac{2}{3}} + x^{-\frac{2}{3}} = 6\) 및 \(x - x^{-1} = 14\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 합차 약분으로 최종값 \(14\) 도출 | 3점 |
\(0\)이 아닌 삼각함수 값에 대하여 \(\sin\theta\cos\theta \lt 0\)이고 \(\sin\theta\tan\theta \lt 0\)일 때, 각 \(\theta\)가 제몇 사분면의 각인지 구하고, 식 \(E = \sqrt{\sin^2\theta} - \sqrt{(\sin\theta - \cos\theta)^2} + \sqrt{(\cos\theta + \tan\theta)^2}\)을 근호와 절댓값 기호 없이 간단히 정리하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(\sin\theta\cos\theta \lt 0\)과 \(\sin\theta\tan\theta \lt 0\)을 동시에 만족시키려면 \(\sin\theta \gt 0,\; \cos\theta \lt 0,\; \tan\theta \lt 0\)이어야 하므로 \(\theta\)는 제\(2\)사분면의 각이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 임의의 실수 \(A\)에 대하여 \(\sqrt{A^2} = |A|\)이고, \(\sin\theta \gt 0\), \(\sin\theta - \cos\theta \gt 0\), \(\cos\theta + \tan\theta \lt 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(E = \sin\theta - (\sin\theta - \cos\theta) - (\cos\theta + \tan\theta) = -\tan\theta\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼각함수 부호 판정으로 제\(2\)사분면 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 세 절댓값 내부 식의 부호 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(E = -\tan\theta\) 정리 완료 | 3점 |
제\(2\)사분면의 각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta = -\dfrac{5}{13}\)일 때, \(\sin\theta\)와 \(\tan\theta\)의 값을 각각 구하고 \(\dfrac{1 + \sin\theta}{\cos\theta} - \tan\theta\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각함수 사이의 관계 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\), \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) 및 제\(2\)사분면 부호 \(\sin\theta \gt 0\)을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\sin^2\theta = 1 - \left(-\dfrac{5}{13}\right)^2 = \dfrac{144}{169}\)에서 \(\sin\theta = \dfrac{12}{13}\)이고, \(\tan\theta = \dfrac{12/13}{-5/13} = -\dfrac{12}{5}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 대입하면 \(\dfrac{1 + 12/13}{-5/13} - \left(-\dfrac{12}{5}\right) = -\dfrac{25}{5} + \dfrac{12}{5} = -\dfrac{13}{5}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 제\(2\)사분면 부호 및 제곱 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\sin\theta = \dfrac{12}{13},\; \tan\theta = -\dfrac{12}{5}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 주어진 식에 대입해 \(-\dfrac{13}{5}\) 도출 | 3점 |
\(x \ne 2\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \dfrac{|x^2 - 4|}{x - 2}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{x \to 2+} f(x)\)와 \(\displaystyle\lim_{x \to 2-} f(x)\)를 각각 구하고, 함수 \(g(x) = (x - 2)f(x) + b\dfrac{|x - 2|}{x - 2}\)가 \(x = 2\)에서 극한값을 갖도록 하는 상수 \(b\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(x \to 2+\)일 때 \(|x^2 - 4| = (x - 2)(x + 2)\)이고, \(x \to 2-\)일 때 \(|x^2 - 4| = -(x - 2)(x + 2)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 \(\lim_{x \to 2+} f(x) = \lim_{x \to 2+}(x + 2) = 4\)이고, \(\lim_{x \to 2-} f(x) = \lim_{x \to 2-}-(x + 2) = -4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 또한 \(\lim_{x \to 2}(x - 2)f(x) = 0\)이므로 \(g(x)\)의 \(x = 2\)에서의 우극한은 \(b\), 좌극한은 \(-b\)가 되어 \(b = -b \implies b = 0\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(x \to 2\pm\)에서의 절댓값 부호 분리 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 우극한 \(4\), 좌극한 \(-4\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(g(x)\) 좌·우극한 비교로 \(b = 0\) 도출 | 3점 |
\(x \ne 2\)인 실수 \(x\)에 대하여 함수 \(h(x) = (x^2 + kx - 2)\dfrac{|x^2 - 4|}{x - 2}\)의 \(x = 2\)에서의 극한값 \(\displaystyle\lim_{x \to 2} h(x)\)가 존재하도록 하는 상수 \(k\)의 값과 그때의 극한값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(\lim_{x \to 2+}\dfrac{|x^2 - 4|}{x - 2} = 4\)이고 \(\lim_{x \to 2-}\dfrac{|x^2 - 4|}{x - 2} = -4\)이므로 극한이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(h(x)\)의 \(x = 2\)에서의 우극한은 \(4(4 + 2k - 2) = 4(2k + 2)\)이고, 좌극한은 \(-4(2k + 2)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(4(2k + 2) = -4(2k + 2)\)에서 \(2k + 2 = 0 \implies k = -1\)이며, 이때 극한값은 \(0\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(\dfrac{|x^2 - 4|}{x - 2}\)의 좌·우극한 \(\pm 4\) 제시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 우극한 \(4(2k+2)\)와 좌극한 \(-4(2k+2)\) 일치 방정식 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(k = -1\) 및 극한값 \(0\) 도출 | 3점 |
아래로 볼록한 이차함수 \(f(x) = x^2 - 2x + 3\)과 두 실수 \(a, b\; (1 \lt a \lt b)\)에 대하여 닫힌구간 \([a, b]\)에서의 평균변화율 \(M\)과 미분계수 \(f'(a),\; f'(b)\)를 각각 \(a, b\)로 나타내고, 세 값 \(f'(a),\; M,\; f'(b)\)의 대소 관계를 차를 이용하여 증명하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 평균변화율 \(M = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)이고 도함수는 \(f'(x) = 2x - 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(M = \dfrac{(b^2 - 2b + 3) - (a^2 - 2a + 3)}{b - a} = a + b - 2\)이고, \(f'(a) = 2a - 2,\; f'(b) = 2b - 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(a \lt b\)이므로 \(M - f'(a) = b - a \gt 0\)이고 \(f'(b) - M = b - a \gt 0\)이 성립하여 \(f'(a) \lt M \lt f'(b)\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 평균변화율 정의 및 \(f'(x) = 2x - 2\) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(M = a + b - 2\) 및 \(f'(a),\; f'(b)\) 식 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(M - f'(a) = b - a \gt 0,\; f'(b) - M = b - a \gt 0\)으로 대소 증명 | 3점 |
이차함수 \(f(x) = x^2 - 2x + 3\)에 대하여 닫힌구간 \([2, 6]\)에서의 평균변화율과 \(x = c\)에서의 미분계수 \(f'(c)\)가 같도록 하는 상수 \(c\)의 값을 구하고, \(\dfrac{f'(2) + f'(6)}{2}\)의 값과 평균변화율을 비교하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 구간 \([2, 6]\)에서의 평균변화율은 \(M = \dfrac{f(6) - f(2)}{6 - 2}\)이고 \(f'(x) = 2x - 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f(2) = 3,\; f(6) = 27\)이므로 \(M = \dfrac{27 - 3}{4} = 6\)이고, \(f'(c) = 2c - 2 = 6\)에서 \(c = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 또한 \(f'(2) = 2,\; f'(6) = 10\)이므로 \(\dfrac{f'(2) + f'(6)}{2} = \dfrac{12}{2} = 6 = M\)으로 서로 일치한다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 평균변화율 식 및 도함수 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(M = 6\) 및 \(c = 4\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 산술평균 \(\dfrac{f'(2)+f'(6)}{2} = 6\) 일치 확인 | 3점 |
다항함수 \(f(x)\)의 도함수가 \(f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + ax\)이고, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, 2)\)에서의 접선의 방정식이 \(y = 2x\)일 때, 상수 \(a\)의 값과 \(f(-1) + f(2)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 점 \((1, 2)\)에서의 접선이 \(y = 2x\)이므로 \(f(1) = 2\)이고 \(f'(1) = 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f'(1) = 4 - 6 + a = 2\)에서 \(a = 4\)이고, 부정적분을 구하면 \(f(x) = x^4 - 2x^3 + 2x^2 + C\)이며 \(f(1) = 1 + C = 2\)에서 \(C = 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(f(x) = x^4 - 2x^3 + 2x^2 + 1\)이므로 \(f(-1) + f(2) = 6 + 9 = 15\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 접선 조건으로부터 \(f(1) = 2,\; f'(1) = 2\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(a = 4\) 및 적분상수 \(C = 1\) 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(f(-1) = 6,\; f(2) = 9\) 합산으로 \(15\) 산출 | 3점 |
모든 항이 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_2 = 6,\; a_5 = 48\)을 만족시킬 때, 공비 \(r\)의 값과 첫째항부터 제\(7\)항까지의 합 \(S_7\)을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 첫째항을 \(a\), 공비를 \(r\; (r \gt 0)\)라 하면 \(a_n = a r^{n-1}\)이고 \(\dfrac{a_5}{a_2} = r^3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(r^3 = \dfrac{48}{6} = 8\)이고 \(r \gt 0\)이므로 \(r = 2\)이며, \(a_2 = 2a = 6\)에서 첫째항 \(a = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 등비수열의 합 공식에 의해 \(S_7 = \dfrac{3(2^7 - 1)}{2 - 1} = 3 \times 127 = 381\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등비수열 일반항 비 \(\dfrac{a_5}{a_2} = r^3\) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(r = 2,\; a = 3\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(S_7 = 3(2^7 - 1) = 381\) 도출 | 3점 |
양수 \(a\)와 실수 \(x\)에 대하여 \(a^{2x} = 5\)일 때, \(\dfrac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값과 \(\dfrac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값을 각각 기약분수로 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 분수식의 분자·분모에 \(a^x\; (a^x \gt 0)\)을 곱하거나 세제곱 인수분해 \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\dfrac{a^x(a^x - a^{-x})}{a^x(a^x + a^{-x})} = \dfrac{a^{2x} - 1}{a^{2x} + 1} = \dfrac{5 - 1}{5 + 1} = \dfrac{2}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 또한 \(\dfrac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}} = a^{2x} - 1 + a^{-2x} = 5 - 1 + \dfrac{1}{5} = \dfrac{21}{5}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 지수법칙 및 세제곱 인수분해 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 첫째 분수식 값 \(\dfrac{2}{3}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 둘째 분수식 약분으로 \(\dfrac{21}{5}\) 도출 | 3점 |
양수 \(a\)와 실수 \(x\)에 대하여 \(a^{2x} = 5\)일 때, \(a^{4x} + a^{-4x}\)의 값과 \(\left(a^x + a^{-x}\right)^2\)의 값을 각각 기약분수로 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 지수법칙 \((a^{2x})^2 = a^{4x}\), \((a^{2x})^{-2} = a^{-4x}\) 및 완전제곱 전개식 \((a^x + a^{-x})^2 = a^{2x} + 2 + a^{-2x}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(a^{4x} + a^{-4x} = 5^2 + 5^{-2} = 25 + \dfrac{1}{25} = \dfrac{626}{25}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 또한 \(\left(a^x + a^{-x}\right)^2 = 5 + 2 + \dfrac{1}{5} = \dfrac{36}{5}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 지수법칙 및 완전제곱 전개 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(a^{4x} + a^{-4x} = \dfrac{626}{25}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \((a^x + a^{-x})^2 = \dfrac{36}{5}\) 도출 | 3점 |
양수 \(a, b\)와 상수 \(d\)에 대하여 함수 \(f(x) = a\sin\left(bx - \dfrac{\pi}{3}\right) + d\)의 최댓값이 \(7\), 최솟값이 \(-1\)이고 주기가 \(\dfrac{\pi}{2}\)일 때, \(a, b, d\)의 값과 \(f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(a \gt 0,\; b \gt 0\)이므로 최댓값은 \(a + d = 7\), 최솟값은 \(-a + d = -1\), 주기는 \(\dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{\pi}{2}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 연립하면 \(a = 4,\; d = 3,\; b = 4\)이므로 \(f(x) = 4\sin\left(4x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 4\sin\dfrac{\pi}{3} + 3 = 3 + 2\sqrt{3}\), \(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 4\sin\pi + 3 = 3\)이므로 합은 \(6 + 2\sqrt{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 최대·최소 및 주기 관계식 3개 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(a = 4,\; b = 4,\; d = 3\) 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 특수각 대입으로 합 \(6 + 2\sqrt{3}\) 도출 | 3점 |
닫힌구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)에서 함수 \(f(x) = 4\sin\left(4x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 3\)이 최댓값 \(7\)을 가질 때의 \(x\)의 값과 최솟값 \(-1\)을 가질 때의 \(x\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}\)일 때 합성각 \(\theta = 4x - \dfrac{\pi}{3}\)의 범위는 \(-\dfrac{\pi}{3} \le \theta \le \dfrac{5\pi}{3}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 최댓값 \(7\)은 \(\sin\theta = 1\)일 때이므로 위 범위에서 \(4x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} \implies x = \dfrac{5\pi}{24}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 최솟값 \(-1\)은 \(\sin\theta = -1\)일 때이므로 위 범위에서 \(4x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{3\pi}{2} \implies x = \dfrac{11\pi}{24}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 합성각 \(4x - \dfrac{\pi}{3}\)의 범위 \(\left[-\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}\right]\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 최댓값 조건 \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(x = \dfrac{5\pi}{24}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최솟값 조건 \(\theta = \dfrac{3\pi}{2}\)에서 \(x = \dfrac{11\pi}{24}\) 산출 | 3점 |
함수 \(f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & (x \lt 1) \\ 4 & (x = 1) \\ -x + 6 & (x \gt 1) \end{cases}\)와 두 이차함수 \(g(x) = x^2 + 1,\; h(x) = -x^2 + 1\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(g(x))\)와 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(h(x))\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(\lim_{x \to 1-} f(x) = 3\)이고 \(\lim_{x \to 1+} f(x) = 5\)이며, 합성함수의 극한은 내부 함수가 \(1\)에 다가가는 방향을 판정하여 계산한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(x \to 0\; (x \ne 0)\)일 때 \(x^2 \gt 0\)이므로 \(t = g(x) = x^2 + 1 \to 1+\)가 되어 \(\lim_{x \to 0} f(g(x)) = \lim_{t \to 1+} f(t) = 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 반면 \(x \to 0\; (x \ne 0)\)일 때 \(s = h(x) = -x^2 + 1 \lt 1\)이므로 \(s \to 1-\)가 되어 \(\lim_{x \to 0} f(h(x)) = \lim_{s \to 1-} f(s) = 3\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(f(x)\)의 \(x = 1\) 좌·우극한 \(3,\; 5\) 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(g(x) \to 1+\) 판정 및 극한값 \(5\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(h(x) \to 1-\) 판정 및 극한값 \(3\) 도출 | 3점 |
이차항의 계수가 \(2\)인 다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \(x f'(x) - 2f(x) = x^3 + 4x - 6\)을 만족시킬 때, 다항함수 \(f(x)\)를 구하고 \(f(1) + f'(1)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(f(x)\)의 최고차항을 \(a x^n\; (a \ne 0)\)이라 하면 \(x f'(x) - 2f(x)\)의 최고차항은 \((n - 2)a x^n\)이므로 우변 \(x^3\)과 비교하면 \(n = 3,\; a = 1\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이차항 계수가 \(2\)이므로 \(f(x) = x^3 + 2x^2 + bx + c\)를 대입하면 좌변은 \(x^3 - bx - 2c\)가 되어 계수 비교로 \(b = -4,\; c = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x + 3\), \(f'(x) = 3x^2 + 4x - 4\)이므로 \(f(1) + f'(1) = 2 + 3 = 5\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 최고차항 비교로 \(3\)차식 및 최고차항 계수 \(1\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 항등식 계수 비교로 \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x + 3\) 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(f(1) + f'(1) = 5\) 산출 | 3점 |
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 \(x \ne 1\)인 모든 실수 \(x\)에서 \(f'(x) = \begin{cases} 3x^2 - 2 & (x \lt 1) \\ 4x + 1 & (x \gt 1) \end{cases}\)를 만족시키고 \(f(0) = 3\)일 때, \(f(-2) + f(3)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 구간별로 부정적분을 구하면 \(x \lt 1\)일 때 \(f(x) = x^3 - 2x + C_1\), \(x \ge 1\)일 때 \(f(x) = 2x^2 + x + C_2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f(0) = C_1 = 3\)이고, \(x = 1\)에서 연속이므로 \(\lim_{x \to 1-}(x^3 - 2x + 3) = 2 = 2(1)^2 + 1 + C_2\)에서 \(C_2 = -1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(f(-2) = (-2)^3 - 2(-2) + 3 = -1\)이고 \(f(3) = 2(9) + 3 - 1 = 20\)이므로 \(f(-2) + f(3) = 19\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 두 구간의 부정적분 및 서로 다른 적분상수 \(C_1, C_2\) 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f(0) = 3\) 및 \(x = 1\) 연속 조건으로 \(C_1 = 3,\; C_2 = -1\) 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(f(-2) + f(3) = 19\) 산출 | 3점 |
\(\left(\log_2 9 + \log_4 3\right)\left(\log_3 4 + \log_9 8\right)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그의 밑의 변환 성질 \(\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m}\log_a b\) 및 역수 관계 \(\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 첫째 괄호는 \(2\log_2 3 + \dfrac{1}{2}\log_2 3 = \dfrac{5}{2}\log_2 3\)이고, 둘째 괄호는 \(2\log_3 2 + \dfrac{3}{2}\log_3 2 = \dfrac{7}{2}\log_3 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 식을 곱하면 \(\dfrac{5}{2} \times \dfrac{7}{2} \times (\log_2 3 \cdot \log_3 2) = \dfrac{35}{4}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 거듭제곱 밑·진수의 로그 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 각 괄호를 \(\dfrac{5}{2}\log_2 3\), \(\dfrac{7}{2}\log_3 2\)로 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 역수 곱 소거로 \(\dfrac{35}{4}\) 산출 | 3점 |
수열의 합 공식을 이용하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{8} (3k^2 - 5k + 2)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 거듭제곱의 합 공식 \(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\), \(\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(n = 8\)일 때 \(\sum_{k=1}^{8} k^2 = \dfrac{8 \times 9 \times 17}{6} = 204\)이고 \(\sum_{k=1}^{8} k = \dfrac{8 \times 9}{2} = 36\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 선형성에 의해 \(3(204) - 5(36) + 2(8) = 612 - 180 + 16 = 448\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 시그마 선형성 및 거듭제곱 합 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\sum k^2 = 204,\; \sum k = 36\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 선형 결합 계산으로 \(448\) 도출 | 3점 |
방정식 \(x^3 + 2x^2 - 5x - 3 = 0\)이 열린구간 \((-1, 0)\)과 \((1, 2)\)에서 각각 적어도 하나의 실근을 가짐을 사잇값 정리를 이용하여 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항함수 \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 3\)은 실수 전체에서 연속이므로 닫힌구간 \([-1, 0]\)과 \([1, 2]\)에서 연속이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 끝점의 함숫값을 계산하면 \(f(-1) = 3 \gt 0,\; f(0) = -3 \lt 0\)이므로 \(f(-1)f(0) \lt 0\)이고, \(f(1) = -5 \lt 0,\; f(2) = 3 \gt 0\)이므로 \(f(1)f(2) \lt 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 사잇값 정리에 의해 \(f(x) = 0\)은 열린구간 \((-1, 0)\)과 \((1, 2)\)에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(f(x)\) 설정 및 닫힌구간 연속성 명시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f(-1)=3,\; f(0)=-3,\; f(1)=-5,\; f(2)=3\) 부호 반전 확인 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 사잇값 정리에 의한 실근 존재 결론 도출 | 3점 |
양수 \(a\)에 대하여 \(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3\)일 때, \(a + a^{-1}\)의 값과 \(a^2 + a^{-2}\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(a \gt 0\)일 때 \(a^{\frac{1}{2}} a^{-\frac{1}{2}} = 1\)이므로 곱셈 공식 변형 \(a + a^{-1} = \left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 - 2\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(a + a^{-1} = 3^2 - 2 = 7\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 다시 제곱 변형을 적용하면 \(a^2 + a^{-2} = (a + a^{-1})^2 - 2 = 7^2 - 2 = 47\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 역수 지수 곱 \(1\) 및 제곱 변형 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(a + a^{-1} = 7\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(a^2 + a^{-2} = 47\) 도출 | 3점 |
양수 \(a\)에 대하여 \(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3\)일 때, \(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}\)의 값과 분수식 \(\dfrac{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 2}{a + a^{-1} + 3}\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(k = a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3\)이라 하면 \(a + a^{-1} = k^2 - 2\)이고 \(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = k^3 - 3k\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(k = 3\)을 대입하면 \(a + a^{-1} = 7\)이고, \(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = 3^3 - 3 \times 3 = 18\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 주어진 분수식의 값은 \(\dfrac{18 + 2}{7 + 3} = \dfrac{20}{10} = 2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 세제곱 곱셈 공식 변형 \(k^3 - 3k\) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = 18\) 및 \(a + a^{-1} = 7\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 분수식에 대입하여 \(2\) 도출 | 3점 |
주기함수 \(f(x) = 3\cos\left(\dfrac{\pi}{3}x\right)\)의 주기 \(T\)와 한 주기 함숫값의 합 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{6} f(k)\)를 구하고, 이를 이용하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20} f(k)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주기 공식에 의해 \(T = \dfrac{2\pi}{\pi/3} = 6\)이며, 모든 정수 \(k\)에 대하여 \(f(k + 6) = f(k)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f(1) = \dfrac{3}{2},\; f(2) = -\dfrac{3}{2},\; f(3) = -3,\; f(4) = -\dfrac{3}{2},\; f(5) = \dfrac{3}{2},\; f(6) = 3\)이므로 한 주기의 합은 \(\sum_{k=1}^{6} f(k) = 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(20 = 6 \times 3 + 2\)이므로 \(\sum_{k=1}^{20} f(k) = 3 \times 0 + f(1) + f(2) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2} = 0\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 주기 \(T = 6\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 한 주기 \(6\)개 항의 합 \(\sum_{k=1}^{6} f(k) = 0\) 계산 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 주기 분할 \(20 = 6 \times 3 + 2\)로 최종 합 \(0\) 도출 | 3점 |
다항함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2 + 2x} = 2\)와 \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 6\)을 동시에 만족시킬 때, 다항함수 \(f(x)\)를 구하고 \(\displaystyle\lim_{x \to -2} \dfrac{f(x)}{x + 2}\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 첫째 극한에 의해 \(f(x)\)는 최고차항이 \(2x^2\)인 이차식이고, 둘째 극한에서 \(f(1) = 0\)이므로 \(f(x) = 2(x - 1)(x - k)\)로 놓는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\lim_{x \to 1} \dfrac{2(x - 1)(x - k)}{x - 1} = 2(1 - k) = 6\)에서 \(k = -2\)이므로 \(f(x) = 2(x - 1)(x + 2) = 2x^2 + 2x - 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(\lim_{x \to -2} \dfrac{2(x - 1)(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2} 2(x - 1) = -6\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 차수 비교 및 \(f(1)=0\)으로 \(f(x) = 2(x - 1)(x - k)\) 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(k = -2\) 결정 및 \(f(x) = 2x^2 + 2x - 4\) 완성 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(x + 2\) 약분 후 극한값 \(-6\) 산출 | 3점 |
실수 전체에서 미분가능한 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 모든 실수 \(x\)에서 \(f'(x) = g'(x)\)를 만족시킬 때, \(h(x) = f(x) - g(x)\)에 평균값 정리를 적용하여 \(h(x)\)가 상수함수임을 증명하고, \(g(x) = 3x^2 - 4x\)이고 \(f(0) = 5\)일 때 \(f(2)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(h(x) = f(x) - g(x)\)는 모든 실수에서 미분가능하며 \(h'(x) = f'(x) - g'(x) = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 임의의 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 구간 \([x_1, x_2]\)에서 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{h(x_2) - h(x_1)}{x_2 - x_1} = h'(c) = 0\)인 \(c \in (x_1, x_2)\)가 존재하므로 \(h(x_1) = h(x_2) = C\) (상수)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(f(x) = 3x^2 - 4x + C\)에서 \(f(0) = C = 5\)이므로 \(f(2) = 12 - 8 + 5 = 9\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(h(x) = f(x) - g(x)\) 및 \(h'(x) = 0\) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 구간 \([x_1, x_2]\) 평균값 정리로 \(h(x_1) = h(x_2)\) 증명 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(C = 5\) 결정 및 \(f(2) = 9\) 산출 | 3점 |
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(p(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(p'(x) \ge 2\)이고 \(p(1) = 3\)일 때, 닫힌구간 \([1, 4]\)에서 평균값 정리를 이용하여 \(p(4)\)의 최솟값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 \(p(x)\)는 닫힌구간 \([1, 4]\)에서 연속이고 열린구간 \((1, 4)\)에서 미분가능하므로 평균값 정리를 적용할 수 있다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{p(4) - p(1)}{4 - 1} = p'(c)\)를 만족시키는 \(c\)가 열린구간 \((1, 4)\)에 적어도 하나 존재한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 모든 실수에서 \(p'(c) \ge 2\)이므로 \(\dfrac{p(4) - 3}{3} \ge 2 \implies p(4) \ge 9\)이며, 일차함수 \(p(x) = 2x + 1\)일 때 등호가 성립하므로 최솟값은 \(9\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 구간 \([1, 4]\) 연속·미분가능 조건 및 평균값 정리 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\dfrac{p(4) - 3}{3} = p'(c) \ge 2\) 부등식 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 등호 성립 확인 및 최솟값 \(9\) 산출 | 3점 |
다항함수 \(f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 6x - 2\)에 대하여 \(I = \displaystyle\int_{-3}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{3} f(x)\,dx\)의 값을 정적분의 구간 결합과 대칭성을 이용하여 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 정적분의 구간 결합 성질에 의해 \(I = \int_{-3}^{3} (4x^3 - 3x^2 + 6x - 2)\,dx\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 대칭 구간 \([-3, 3]\)에서 홀수차 기함수 \(4x^3 + 6x\)의 정적분은 \(0\)이고, 짝수차 우함수 \(-3x^2 - 2\)의 정적분은 \(2\int_{0}^{3} (-3x^2 - 2)\,dx\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 계산하면 \(I = 2\left[-x^3 - 2x\right]_{0}^{3} = 2(-27 - 6) = -66\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 구간 결합 \(\int_{-3}^{3} f(x)\,dx\) 변형 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 기함수 소거 및 우함수 \(2\int_{0}^{3}(-3x^2 - 2)\,dx\) 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 계산으로 \(I = -66\) 산출 | 3점 |
모든 실수 \(x\)에서 \(g(-x) = g(x)\)를 만족시키는 연속함수 \(g(x)\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{0}^{2} g(x)\,dx = 5\)이고 \(\displaystyle\int_{0}^{2} x^2 g(x)\,dx = 7\)일 때, \(\displaystyle\int_{-2}^{2} (3x^3 + 2x^2 - 4x + 1)g(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(g(-x) = g(x)\)이므로 \((3x^3 - 4x)g(x)\)는 기함수이고, \((2x^2 + 1)g(x)\)는 우함수이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 대칭 구간 \([-2, 2]\)에서 기함수의 적분은 \(0\)이므로 주어진 식은 \(2\int_{0}^{2} (2x^2 + 1)g(x)\,dx = 4\int_{0}^{2} x^2 g(x)\,dx + 2\int_{0}^{2} g(x)\,dx\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 주어진 값을 대입하면 \(4 \times 7 + 2 \times 5 = 28 + 10 = 38\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 우함수·기함수 곱의 홀짝성 판정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 기함수 항 소거 및 \(4\int_0^2 x^2 g(x)\,dx + 2\int_0^2 g(x)\,dx\) 분리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 값 대입으로 \(38\) 산출 | 3점 |
로그 \(\log_{x - 2} (-x^2 + 9x - 14)\)가 정의되도록 하는 모든 정수 \(x\)의 값의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그 \(\log_a N\)이 정의되기 위한 조건은 밑 조건 \(a \gt 0,\; a \ne 1\)과 진수 조건 \(N \gt 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 밑 조건에서 \(x - 2 \gt 0,\; x - 2 \ne 1 \implies x \gt 2,\; x \ne 3\)이고, 진수 조건에서 \(x^2 - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7) \lt 0 \implies 2 \lt x \lt 7\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 공통 범위에 속하는 정수 \(x\)는 \(4,\; 5,\; 6\)이므로 모든 정수 \(x\)의 합은 \(4 + 5 + 6 = 15\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 밑 조건(\(x \gt 2,\; x \ne 3\))과 진수 조건(\(N \gt 0\)) 동시 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 진수 이차부등식 풀이로 \(2 \lt x \lt 7\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(x = 3\) 제외 후 정수 \(4, 5, 6\)의 합 \(15\) 산출 | 3점 |
수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합이 \(S_n = n^2 + 2n\)일 때, 일반항 \(a_n\)을 구하고 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{9} \dfrac{4}{a_k a_{k+1}}\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)이고 \(a_1 = S_1\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(n \ge 2\)에서 \(a_n = (n^2 + 2n) - \{(n-1)^2 + 2(n-1)\} = 2n + 1\)이며, \(S_1 = 3\)이므로 모든 자연수 \(n\)에서 \(a_n = 2n + 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(\sum_{k=1}^{9} \dfrac{4}{(2k+1)(2k+3)} = 2\sum_{k=1}^{9}\left(\dfrac{1}{2k+1} - \dfrac{1}{2k+3}\right) = 2\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{21}\right) = \dfrac{4}{7}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(a_1 = S_1\) 확인 및 \(a_n = S_n - S_{n-1} = 2n + 1\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부분분수 분해 \(2\left(\dfrac{1}{2k+1} - \dfrac{1}{2k+3}\right)\) 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 연쇄 소거로 \(\dfrac{4}{7}\) 산출 | 3점 |
\(0\)이 아닌 세 실수 \(x, y, z\)가 \(2^x = 5^y = 10^z\)를 만족시킬 때, \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{z}\)의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(2^x = 5^y = 10^z = k\)라 하면 \(x, y, z \ne 0\)이므로 \(k \gt 0,\; k \ne 1\)이고 \(2 = k^{\frac{1}{x}},\; 5 = k^{\frac{1}{y}},\; 10 = k^{\frac{1}{z}}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(2 \times 5 = 10\)이므로 지수법칙에 의해 \(k^{\frac{1}{x}} \cdot k^{\frac{1}{y}} = k^{\frac{1}{z}}\), 즉 \(k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = k^{\frac{1}{z}}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(k \ne 1\)인 양수이므로 지수를 비교하면 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{z}\), 즉 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{z} = 0\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 공통 상수 \(k\;(k \gt 0, k \ne 1)\) 도입 및 거듭제곱 변환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(2 \times 5 = 10\)으로부터 \(k^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} = k^{\frac{1}{z}}\) 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 지수 비교로 \(0\) 도출 | 3점 |
두 양수 \(a, b\; (a \lt b)\)와 \(0\)이 아닌 세 실수 \(x, y, z\)가 \(a^x = b^y = 6^z\) 및 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{z}\)를 만족시킨다. \(a + b = 13\)일 때, 두 양수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(a^x = b^y = 6^z = m\; (m \gt 0, m \ne 1)\)이라 하면 \(a = m^{\frac{1}{x}},\; b = m^{\frac{1}{y}},\; 6 = m^{\frac{1}{z}}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(ab = m^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = m^{\frac{2}{z}} = \left(m^{\frac{1}{z}}\right)^2 = 6^2 = 36\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(a + b = 13,\; ab = 36\)이므로 이차방정식 \(t^2 - 13t + 36 = (t - 4)(t - 9) = 0\)과 \(a \lt b\)로부터 \(a = 4,\; b = 9\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(a = m^{1/x},\; b = m^{1/y},\; 6 = m^{1/z}\) 변환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(ab = 36\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 이차방정식 풀이로 \(a = 4,\; b = 9\) 산출 | 3점 |
닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식 \(2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0\)의 모든 실근과 부등식 \(2\cos^2 x - \cos x - 1 \le 0\)의 해를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 좌변을 인수분해하면 \((2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0\)이므로 방정식의 조건은 \(\cos x = 1\) 또는 \(\cos x = -\dfrac{1}{2}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식의 모든 실근은 \(x = 0,\; \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3},\; 2\pi\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 부등식은 \(-\dfrac{1}{2} \le \cos x \le 1\)과 동치이므로 구간 \([0, 2\pi]\)에서 해는 \(0 \le x \le \dfrac{2\pi}{3}\) 또는 \(\dfrac{4\pi}{3} \le x \le 2\pi\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \((2\cos x + 1)(\cos x - 1)\) 인수분해 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 방정식의 네 실근 \(0, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}, 2\pi\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 부등식의 해 \(0 \le x \le \dfrac{2\pi}{3}\) 또는 \(\dfrac{4\pi}{3} \le x \le 2\pi\) 도출 | 3점 |
닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식 \(\cos x = -\dfrac{1}{3}\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\; (\alpha \lt \beta)\)라 할 때, \(\alpha + \beta\)의 값과 \(\cos\left(\dfrac{\alpha + \beta}{3}\right) + \sin\left(\dfrac{\alpha + \beta}{4}\right)\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 구간 \([0, 2\pi]\)에서 함수 \(y = \cos x\)의 그래프는 직선 \(x = \pi\)에 대하여 선대칭이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 직선 \(y = -\dfrac{1}{3}\)과의 두 교점의 \(x\)좌표 \(\alpha, \beta\)의 중점이 \(\pi\)이므로 \(\dfrac{\alpha + \beta}{2} = \pi \implies \alpha + \beta = 2\pi\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 대입하면 \(\cos\dfrac{2\pi}{3} + \sin\dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(y = \cos x\)의 직선 \(x = \pi\) 선대칭성 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 중점 관계로 \(\alpha + \beta = 2\pi\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 특수각 삼각함수 계산으로 \(\dfrac{1}{2}\) 산출 | 3점 |
두 상수 \(a, b\)에 대하여 극한 등식 \(\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + a} - b}{x - 3} = \dfrac{1}{4}\)이 성립할 때, \(a, b\)의 값과 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} x\left(\sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - bx}\right)\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(x \to 3\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 분자도 \(0\)으로 수렴하여 \(\sqrt{3 + a} - b = 0 \implies b = \sqrt{3 + a}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 분자를 유리화하여 약분하면 \(\lim_{x \to 3} \dfrac{1}{\sqrt{x + a} + b} = \dfrac{1}{2b} = \dfrac{1}{4}\)이므로 \(b = 2\)이고 \(\sqrt{3 + a} = 2 \implies a = 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(a = 1,\; b = 2\)를 둘째 식에 대입해 유리화하면 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{x(3x)}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - 2x}} = \dfrac{3}{1 + 1} = \dfrac{3}{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 분자 수렴 조건 \(b = \sqrt{3 + a}\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 유리화 극한으로 \(a = 1,\; b = 2\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 무한대 무리식 유리화로 \(\dfrac{3}{2}\) 도출 | 3점 |
\(x \ge -2\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 \(x \ne 2\)일 때 \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{\sqrt{x + 2} - 2}\)이고 \(x = 2\)에서 연속일 때, 상수 \(f(2)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속이므로 \(f(2) = \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{\sqrt{x + 2} - 2}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 분모와 분자에 켤레식 \(\sqrt{x + 2} + 2\)를 곱하고 \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\)로 인수분해하면 \(\dfrac{(x - 2)(x + 2)(\sqrt{x + 2} + 2)}{x - 2} = (x + 2)(\sqrt{x + 2} + 2)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(x \to 2\) 극한을 취하면 \(f(2) = (2 + 2)(\sqrt{4} + 2) = 4 \times 4 = 16\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 연속의 정의 \(f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)\) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 분모 유리화 및 \(x - 2\) 인수 약분 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(f(2) = 16\) 산출 | 3점 |
삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + (a + 6)x + 1\)이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하고, \(a\)가 최댓값을 가질 때 곡선 \(y = f(x)\) 위의 접선 중 기울기가 최소인 접선의 접점 좌표와 방정식을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 최고차항 계수가 양수인 삼차함수가 실수 전체에서 증가할 필요충분조건은 모든 실수 \(x\)에서 \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + (a + 6) \ge 0\), 즉 판별식 \(D/4 \le 0\)인 것이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(D/4 = a^2 - 3(a + 6) = (a + 3)(a - 6) \le 0\)이므로 \(-3 \le a \le 6\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(a\)의 최댓값 \(6\)을 대입하면 \(f(x) = x^3 + 6x^2 + 12x + 1\), \(f'(x) = 3(x + 2)^2 \ge 0\)이므로 기울기가 최소(\(0\))인 접점은 \((-2, -7)\), 접선의 방정식은 \(y = -7\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(f'(x) \ge 0\) 및 판별식 \(D/4 \le 0\) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(-3 \le a \le 6\) 범위 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(a = 6\)에서 접점 \((-2, -7)\) 및 접선 \(y = -7\) 산출 | 3점 |
삼차함수 \(g(x) = x^3 + 6x + 1\)이 실수 전체의 집합에서 일대일대응임을 도함수로 보이고, 방정식 \(g(x) = 8\)의 유일한 실근 \(\alpha\)와 \(g'(\alpha)\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g'(x) = 3x^2 + 6 \gt 0\)이고 \(\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = \pm\infty\)이므로 \(g(x)\)는 실수 전체에서 순증가하는 일대일대응이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 방정식 \(x^3 + 6x + 1 = 8\)을 이항하여 인수분해하면 \(x^3 + 6x - 7 = (x - 1)(x^2 + x + 7) = 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(x^2 + x + 7 = 0\)의 판별식이 \(1 - 28 = -27 \lt 0\)이므로 유일한 실근은 \(\alpha = 1\)이고, \(g'(1) = 3(1)^2 + 6 = 9\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(g'(x) = 3x^2 + 6 \gt 0\)으로 일대일대응 설명 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 인수분해 \((x - 1)(x^2 + x + 7) = 0\)으로 \(\alpha = 1\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(g'(1) = 9\) 산출 | 3점 |
이차함수 \(f(x) = x^2 - 4x\)의 그래프와 \(x\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S_1\), \(x = 4\)부터 \(x = k\; (k \gt 4)\)까지 곡선과 \(x\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S_2\)라 하자. \(S_1 = S_2\)일 때, \(S_1\)의 값과 상수 \(k\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 구간 \((0, 4)\)에서 \(f(x) \lt 0\)이고 구간 \((4, k)\)에서 \(f(x) \gt 0\)이므로 \(S_1 = S_2 \iff \int_{0}^{k} (x^2 - 4x)\,dx = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(S_1 = -\int_{0}^{4} (x^2 - 4x)\,dx = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + 2x^2\right]_{0}^{4} = \dfrac{32}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 또한 \(\int_{0}^{k} (x^2 - 4x)\,dx = \dfrac{1}{3}k^3 - 2k^2 = \dfrac{1}{3}k^2(k - 6) = 0\)에서 \(k \gt 4\)이므로 \(k = 6\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(S_1 = S_2 \iff \int_0^k f(x)\,dx = 0\) 원리 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(\dfrac{1}{3}k^2(k - 6) = 0\)에서 \(k = 6\) 도출 | 3점 |
곡선 \(y = x^2 - 4x\)와 직선 \(y = mx\; (m \gt -4)\)로 둘러싸인 도형의 넓이가 \(36\)이 되도록 하는 상수 \(m\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 교점 방정식 \(x^2 - 4x = mx \iff x\{x - (m + 4)\} = 0\)에서 \(m + 4 \gt 0\)이므로 두 교점의 \(x\)좌표는 \(0\)과 \(m + 4\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 \([0, m + 4]\)에서 직선이 포물선 위에 있으므로 넓이는 \(S = \int_{0}^{m+4} \{(m + 4)x - x^2\}\,dx = \left[\dfrac{m+4}{2}x^2 - \dfrac{1}{3}x^3\right]_{0}^{m+4} = \dfrac{(m + 4)^3}{6}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(\dfrac{(m + 4)^3}{6} = 36\)에서 \((m + 4)^3 = 216 = 6^3\)이므로 \(m + 4 = 6 \implies m = 2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 교점의 \(x\)좌표 \(0,\; m + 4\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 정적분으로 넓이 식 \(\dfrac{(m + 4)^3}{6}\) 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \((m + 4)^3 = 216\)을 풀어 \(m = 2\) 산출 | 3점 |
초기 질량이 \(M_0 = 64\,\mathrm{g}\)이고 반감기가 \(15\)년인 어떤 방사성 물질의 \(t\)년 후 질량이 \(M(t) = 64\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{15}}\)일 때, \(45\)년 후 남아 있는 질량 \(M(45)\)와 질량이 초기 질량의 \(\dfrac{1}{16}\) 이하가 되기 위한 최소 경과 시간(년)을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 지수 모델 \(M(t) = 64\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{15}}\)에 \(t = 45\)를 대입하고, 밑이 \(1\)보다 작은 지수부등식의 부등호 반전을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(M(45) = 64 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{45}{15}} = 64 \times \dfrac{1}{8} = 8\,(\mathrm{g})\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 또한 \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{15}} \le \dfrac{1}{16} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^4\)에서 밑 \(\dfrac{1}{2} \lt 1\)이므로 \(\dfrac{t}{15} \ge 4 \implies t \ge 60\)년이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 반감기 지수 모델 대입 및 감소 지수부등식 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(M(45) = 8\,\mathrm{g}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(\dfrac{t}{15} \ge 4\)로부터 최소 \(60\)년 도출 | 3점 |
반감기가 \(15\)년인 방사성 물질의 \(t\)년 후 질량이 \(M(t) = M_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{15}}\)일 때, 어느 시점 \(t_1\)년 후의 질량이 \(M(t_1) = 24\,\mathrm{g}\)이었다. \((t_1 + 30)\)년 후의 질량 \(M(t_1 + 30)\)과 \((t_1 - 15)\)년 후의 질량 \(M(t_1 - 15)\)를 각각 구하시오. (단, \(t_1 \ge 15\))
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 실수 지수법칙 \(a^{p + q} = a^p \cdot a^q\)에 의해 \(M(t_1 + \Delta t) = M(t_1) \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{\Delta t}{15}}\)가 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\Delta t = 30\)을 대입하면 \(M(t_1 + 30) = M(t_1) \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 24 \times \dfrac{1}{4} = 6\,(\mathrm{g})\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(\Delta t = -15\)를 대입하면 \(M(t_1 - 15) = M(t_1) \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1} = 24 \times 2 = 48\,(\mathrm{g})\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 지수법칙 분리 \(M(t_1 + \Delta t) = M(t_1)(1/2)^{\Delta t / 15}\) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(M(t_1 + 30) = 6\,\mathrm{g}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(M(t_1 - 15) = 48\,\mathrm{g}\) 산출 | 3점 |
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 6,\; \overline{\mathrm{AC}} = 4,\; \angle \mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이와 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)에서 변 \(\mathrm{BC}\)에 내린 수선의 발 \(\mathrm{H}\)에 대하여 선분 \(\mathrm{AH}\)의 길이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 6^2 + 4^2 - 2(6)(4)\cos\dfrac{\pi}{3}\)과 삼각형 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 6 \cdot 4 \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{BC}}\cdot\overline{\mathrm{AH}}\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 36 + 16 - 24 = 28\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 2\sqrt{7}\)이고, 넓이는 \(S = 12 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(\dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{7} \times \overline{\mathrm{AH}} = 6\sqrt{3}\)에서 \(\overline{\mathrm{AH}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \dfrac{6\sqrt{21}}{7}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙 및 삼각형 넓이 등식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\overline{\mathrm{BC}} = 2\sqrt{7}\) 및 \(S = 6\sqrt{3}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(\overline{\mathrm{AH}} = \dfrac{6\sqrt{21}}{7}\) 유리화 도출 | 3점 |
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 6,\; \overline{\mathrm{AC}} = 4,\; \angle \mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, \(\angle \mathrm{BAC}\)의 이등분선이 변 \(\mathrm{BC}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{D}\)라 하자. 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이와 선분 \(\mathrm{AD}\)의 길이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{CAD} = \dfrac{\pi}{6}\)이며, 전체 넓이는 두 삼각형의 넓이의 합 \(\triangle \mathrm{ABC} = \triangle \mathrm{ABD} + \triangle \mathrm{ACD}\)와 같다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\triangle \mathrm{ABC} = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 4 \times \sin\dfrac{\pi}{3} = 6\sqrt{3}\)이고, \(\overline{\mathrm{AD}} = x\)라 하면 우변은 \(\dfrac{1}{2}(6)x\sin\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{1}{2}(4)x\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5}{2}x\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(\dfrac{5}{2}x = 6\sqrt{3}\)이므로 \(\overline{\mathrm{AD}} = x = \dfrac{12\sqrt{3}}{5}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 이등분각 \(\dfrac{\pi}{6}\) 및 넓이 합 등식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 전체 넓이 \(6\sqrt{3}\) 및 우변 \(\dfrac{5}{2}x\) 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(\overline{\mathrm{AD}} = \dfrac{12\sqrt{3}}{5}\) 도출 | 3점 |
사차함수 \(f(x) = x^4 - 2(a + 1)x^2 + 4ax + 3\)이 극댓값을 갖도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하고, \(a = 0\)일 때 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 최고차항 계수가 양수인 사차함수가 극댓값을 가질 필요충분조건은 \(f'(x) = 4x^3 - 4(a + 1)x + 4a = 4(x - 1)(x^2 + x - a) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖는 것이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 이차방정식 \(x^2 + x - a = 0\)이 \(x \ne 1\)인 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식 \(D = 1 + 4a \gt 0\)이고 \(1^2 + 1 - a \ne 0\), 즉 \(a \gt -\dfrac{1}{4}\)이고 \(a \ne 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(a = 0\)일 때 \(f'(x) = 4x(x + 1)(x - 1) = 0\)이므로 극댓값은 \(f(0) = 3\), 극솟값은 \(f(-1) = f(1) = 2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(f'(x) = 4(x - 1)(x^2 + x - a)\) 인수분해 및 서로 다른 세 실근 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(a \gt -\dfrac{1}{4}\) 및 중근 제외 \(a \ne 2\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(a = 0\)에서 극댓값 \(3\), 극솟값 \(2\) 산출 | 3점 |
사차함수 \(g(x) = x^4 - 6x^2 + 8x + 5\)가 극댓값을 갖지 않음을 도함수의 인수분해로 설명하고, 실수 전체의 집합에서 \(g(x)\)의 최솟값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 도함수를 구해 조립제법으로 인수분해하면 \(g'(x) = 4x^3 - 12x + 8 = 4(x - 1)^2(x + 2)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(g'(x) = 0\)에서 \(x = 1\)은 중근이어서 부호가 바뀌지 않고, \(x = -2\)에서만 도함수의 부호가 음($-$)에서 양($+$)으로 바뀌므로 극댓값은 존재하지 않는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 실수 전체에서 유일한 극솟값 \(g(-2) = 16 - 24 - 16 + 5 = -19\)가 함수 \(g(x)\)의 최솟값이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(g'(x) = 4(x - 1)^2(x + 2)\) 인수분해 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(x = 1\) 부호 불변 및 \(x = -2\) 유일한 극소 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최솟값 \(g(-2) = -19\) 산출 | 3점 |
삼차방정식 \(x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위와 정수 \(k\)의 개수를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k\)라 하면 \(g'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0\)에서 극대점은 \(x = -1\), 극소점은 \(x = 3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 극댓값은 \(g(-1) = k + 5\), 극솟값은 \(g(3) = k - 27\)이며 서로 다른 세 실근 조건은 \(g(-1)g(3) \lt 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \((k + 5)(k - 27) \lt 0\)에서 \(-5 \lt k \lt 27\)이고, 정수 \(k\)의 개수는 \(27 - (-5) - 1 = 31\)개이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(g'(x) = 3(x + 1)(x - 3) = 0\) 및 극점 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극댓값 \(k + 5\), 극솟값 \(k - 27\)의 곱 음수 부등식 풀이 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(-5 \lt k \lt 27\) 및 정수 \(31\)개 산출 | 3점 |
삼차방정식 \(x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0\)이 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x\)라 하면 방정식은 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = -k\)의 교점 방정식이며, \(f'(x) = 3(x + 1)(x - 3)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f(-1) = 5,\; f(0) = 0,\; f(3) = -27\)이므로 \(y = -k\)가 \(x \lt 0\)에서 \(1\)번, \(x \gt 0\)에서 \(2\)번 만나려면 \(-27 \lt -k \lt 0\)이어야 한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 부등식의 각 변에 \(-1\)을 곱하면 \(0 \lt k \lt 27\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 상수 분리 \(x^3 - 3x^2 - 9x = -k\) 및 극값·원점 확인 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양근 \(2\)개·음근 \(1\)개 조건 \(-27 \lt -k \lt 0\) 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(0 \lt k \lt 27\) 도출 | 3점 |
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\; (t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하고 두 번째로 운동 방향을 바꾸는 순간의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 운동 방향이 바뀌는 시각은 \(v(t) = 0\)이면서 \(v(t)\)의 부호가 바뀌는 시각이고, 원점 출발 시 시각 \(a\)에서의 위치는 \(\int_{0}^{a} v(t)\,dt\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)에서 \(t = 1\)과 \(t = 3\) 전후로 부호가 바뀌므로 운동 방향 전환 시각은 \(t = 1,\; t = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 번째 전환 시각 \(t = 3\)에서의 위치는 \(x(3) = \int_{0}^{3} (3t^2 - 12t + 9)\,dt = \left[t^3 - 6t^2 + 9t\right]_{0}^{3} = 27 - 54 + 27 = 0\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0\) 및 부호 변화 확인 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 방향 전환 시각 \(t = 1,\; t = 3\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분으로 \(x(3) = 0\) 산출 | 3점 |
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\; (t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, 시각 \(t = 0\)부터 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리 \(L\)을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 위치의 변화량은 \(\int_{0}^{4} v(t)\,dt\)이고, 실제로 움직인 거리는 \(L = \int_{0}^{4} |v(t)|\,dt\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부정적분을 \(F(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\)라 하면 \(F(0) = 0,\; F(1) = 4,\; F(3) = 0,\; F(4) = 4\)이므로 위치의 변화량은 \(F(4) - F(0) = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구간 \([1, 3]\)에서 \(v(t) \le 0\)이므로 \(L = (F(1) - F(0)) + (F(1) - F(3)) + (F(4) - F(3)) = 4 + 4 + 4 = 12\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 위치 변화량과 이동거리(\(\int |v(t)|\,dt\)) 정의 구분 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 원시함수 함숫값으로 위치 변화량 \(4\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 세 구간 분할 합산으로 \(L = 12\) 도출 | 3점 |
\(1 \le n \le 100\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \(\left(\sqrt{3} \times \sqrt[3]{2}\right)^n\)의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 \(n\)의 개수를 구하고, 그때 만들어지는 자연수 중 가장 작은 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 식을 유리수 지수로 변환하면 \(\left(3^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}\right)^n = 3^{\frac{n}{2}} \cdot 2^{\frac{n}{3}}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 서로소인 두 소수 \(2, 3\)의 거듭제곱의 곱이 자연수가 되려면 \(\dfrac{n}{2}\)과 \(\dfrac{n}{3}\)이 모두 음이 아닌 정수여야 하므로 \(n\)은 \(2\)와 \(3\)의 최소공배수인 \(6\)의 배수이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(1 \le n \le 100\)에서 \(6\)의 배수는 \(16\)개이고, 가장 작은 값은 \(n = 6\)일 때 \(3^3 \times 2^2 = 27 \times 4 = 108\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 유리수 지수 \(3^{n/2} \cdot 2^{n/3}\) 변환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 최소공배수 조건으로 \(n\)이 \(6\)의 배수임을 논증 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(16\)개 및 최솟값 \(108\) 산출 | 3점 |
닫힌구간 \(\left[\dfrac{1}{4}, 8\right]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = (\log_2 x)^2 - 2\log_2 x + 5\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하고, 그때의 \(x\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(t = \log_2 x\)로 치환하면 밑 \(2 \gt 1\)이므로 \(\dfrac{1}{4} \le x \le 8\)에서 \(-2 \le t \le 3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 치환된 함수는 \(y = t^2 - 2t + 5 = (t - 1)^2 + 4\)이며 대칭축 \(t = 1\)이 구간 \([-2, 3]\)에 포함된다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(t = 1\)(\(x = 2\))일 때 최솟값 \(m = 4\)를 갖고, 대칭축에서 가장 먼 \(t = -2\)(\(x = \dfrac{1}{4}\))일 때 최댓값 \(M = (-3)^2 + 4 = 13\)을 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(t = \log_2 x\) 치환 및 범위 \(-2 \le t \le 3\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \((t - 1)^2 + 4\) 완전제곱식 변형 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(x = \dfrac{1}{4}\)에서 \(M = 13\), \(x = 2\)에서 \(m = 4\) 산출 | 3점 |
원에 내접하는 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{BC}} = 5,\; \overline{\mathrm{CD}} = 5\)이고 \(\angle \mathrm{ABC} = \dfrac{2\pi}{3}\)일 때, 대각선 \(\mathrm{AC}\)의 길이와 변 \(\mathrm{AD}\)의 길이 및 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 원에 내접하는 사각형의 대각의 합은 \(\pi\)이므로 \(\angle \mathrm{ADC} = \pi - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\triangle \mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AC}}^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)\cos\dfrac{2\pi}{3} = 49 \implies \overline{\mathrm{AC}} = 7\)이고, \(\triangle \mathrm{ACD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AD}} = x\)라 하면 \(49 = x^2 + 25 - 5x \iff (x - 8)(x + 3) = 0\)에서 \(x = 8\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 사각형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}(3)(5)\sin\dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{1}{2}(8)(5)\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4} + \dfrac{40\sqrt{3}}{4} = \dfrac{55\sqrt{3}}{4}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 내접사각형 성질 \(\angle D = \dfrac{\pi}{3}\) 및 코사인법칙 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\overline{\mathrm{AC}} = 7\) 및 \(\overline{\mathrm{AD}} = 8\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 삼각형 넓이 합산으로 \(\dfrac{55\sqrt{3}}{4}\) 산출 | 3점 |
닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식 \(|2\sin x - 1| = 1\)의 서로 다른 모든 실근의 개수와 모든 실근의 합을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 절댓값 방정식 \(|2\sin x - 1| = 1\)을 풀면 \(2\sin x - 1 = 1\) 또는 \(2\sin x - 1 = -1\), 즉 \(\sin x = 1\) 또는 \(\sin x = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 \([0, 2\pi]\)에서 \(\sin x = 1\)의 실근은 \(x = \dfrac{\pi}{2}\)이고, \(\sin x = 0\)의 실근은 \(x = 0,\; \pi,\; 2\pi\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 서로 다른 실근의 개수는 \(4\)개이고, 모든 실근의 합은 \(0 + \dfrac{\pi}{2} + \pi + 2\pi = \dfrac{7\pi}{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 절댓값 해제로 \(\sin x = 1\) 또는 \(\sin x = 0\) 분리 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 구간 \([0, 2\pi]\) 내 네 실근 \(0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, 2\pi\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 실근 \(4\)개 및 합 \(\dfrac{7\pi}{2}\) 산출 | 3점 |
로그의 성질을 이용하여 \(\displaystyle\sum_{k=2}^{8} \log_2 \left(1 - \dfrac{1}{k^2}\right) - 2\log_2 3\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(1 - \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{k^2 - 1}{k^2} = \dfrac{(k - 1)(k + 1)}{k^2}\)로 인수분해하고 로그의 합을 진수의 곱으로 결합한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\prod_{k=2}^{8} \dfrac{(k - 1)(k + 1)}{k^2} = \left(\dfrac{1 \cdot 3}{2^2}\right)\left(\dfrac{2 \cdot 4}{3^2}\right)\cdots\left(\dfrac{7 \cdot 9}{8^2}\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{8} = \dfrac{9}{16}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 준식은 \(\log_2 \dfrac{9}{16} - \log_2 9 = \log_2 \dfrac{1}{16} = -4\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(1 - \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{(k-1)(k+1)}{k^2}\) 인수분해 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연쇄 약분으로 진수의 곱 \(\dfrac{9}{16}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(\log_2(1/16) = -4\) 도출 | 3점 |
함수 \(f(x) = \begin{cases} x + 1 & (x \lt 1) \\ x^2 - ax + 4 & (x \ge 1) \end{cases}\)에 대하여 함수 \(g(x) = f(x)f(2 - x)\)가 \(x = 1\)에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(f(1-) = 2\)이고 \(f(1+) = f(1) = 5 - a\)이며, \(x \to 1-\)일 때 \(2 - x \to 1+\)이고 \(x \to 1+\)일 때 \(2 - x \to 1-\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 \(\lim_{x \to 1-} g(x) = f(1-)f(1+) = 2(5 - a)\), \(\lim_{x \to 1+} g(x) = f(1+)f(1-) = 2(5 - a)\)이고 함숫값은 \(g(1) = \{f(1)\}^2 = (5 - a)^2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 연속 조건 \((5 - a)^2 = 2(5 - a)\)에서 \((5 - a)(3 - a) = 0\)이므로 \(a = 3\) 또는 \(a = 5\)이고, 모든 \(a\)의 합은 \(8\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(2 - x\)의 좌·우극한 방향 역전 관계 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극한값 \(2(5 - a)\)와 함숫값 \((5 - a)^2\) 등식 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(a = 3,\; 5\) 도출 및 합 \(8\) 산출 | 3점 |
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + k\)에 대하여 함수 \(y = |f(x)|\)가 미분가능하지 않은 실수 \(x\)의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 모든 정수 \(k\)의 값의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(|f(x)|\)가 \(x = \alpha\)에서 미분불가능할 필요충분조건은 \(f(\alpha) = 0\)이고 \(f'(\alpha) \ne 0\)(단순 실근)인 것이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 미분불가능한 점이 \(3\)개이려면 \(f(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가져야 하며, \(f'(x) = 3(x - 1)(x - 3) = 0\)에서 극댓값 \(f(1) = k + 4\), 극솟값 \(f(3) = k\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \((k + 4)k \lt 0 \implies -4 \lt k \lt 0\)이므로 조건을 만족하는 정수 \(k\)는 \(-3,\; -2,\; -1\)이고 합은 \(-6\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 절댓값 다항함수의 미분불가능 조건(\(f(\alpha)=0,\; f'(\alpha)\ne 0\)) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극댓값 \(k + 4\)와 극솟값 \(k\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(-4 \lt k \lt 0\)에서 정수 합 \(-6\) 도출 | 3점 |
사차다항식 \(P(x) = x^4 + ax^2 + b\)가 \((x - 2)^2\)으로 나누어떨어질 때, 두 상수 \(a, b\)의 값을 구하고 몫 \(Q(x)\)를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항식 \(P(x)\)가 \((x - 2)^2\)으로 나누어떨어질 필요충분조건은 \(P(2) = 0\)이고 \(P'(2) = 0\)인 것이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(P'(x) = 4x^3 + 2ax\)에서 \(P'(2) = 32 + 4a = 0 \implies a = -8\)이고, \(P(2) = 16 + 4(-8) + b = 0 \implies b = 16\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(P(x) = x^4 - 8x^2 + 16 = (x^2 - 4)^2 = (x - 2)^2(x + 2)^2\)이므로 몫은 \(Q(x) = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 완전제곱 인수정리 \(P(2) = 0,\; P'(2) = 0\) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(a = -8,\; b = 16\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 인수분해로 몫 \(Q(x) = x^2 + 4x + 4\) 도출 | 3점 |
함수 \(g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (t^2 - 4t + 3)\,dt\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 \(g(x)\)의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 미적분학의 기본정리에 의해 \(g'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)\)이므로 구간 \([0, 4]\)에서 \(x = 1\)은 극대점, \(x = 3\)은 극소점이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 정적분을 수행하면 \(g(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 함숫값을 비교하면 \(g(0) = 0,\; g(1) = \dfrac{4}{3},\; g(3) = 0,\; g(4) = \dfrac{4}{3}\)이므로 최댓값은 \(\dfrac{4}{3}\), 최솟값은 \(0\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(g'(x) = (x - 1)(x - 3)\) 도출 및 극점 판정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(g(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x\) 적분식 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 극값·끝점 비교로 최댓값 \(\dfrac{4}{3}\), 최솟값 \(0\) 산출 | 3점 |
그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 \(6\)이고 높이가 \(12\)인 직원뿔에 내접하는 직원기둥의 부피가 최대일 때, 직원기둥의 밑면의 반지름 \(r\)와 부피의 최댓값 \(V_{\max}\)를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 축을 포함하는 단면의 직각삼각형 닮음비에 의해 원기둥의 밑면 반지름을 \(r\; (0 \lt r \lt 6)\), 높이를 \(h\)라 하면 \(\dfrac{12 - h}{r} = \dfrac{12}{6} = 2 \implies h = 12 - 2r\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 원기둥의 부피는 \(V(r) = \pi r^2(12 - 2r) = 2\pi(-r^3 + 6r^2)\)이고, \(V'(r) = 2\pi(-3r^2 + 12r) = -6\pi r(r - 4)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(0 \lt r \lt 6\)에서 \(r = 4\)일 때 극대이자 최대이므로 반지름 \(r = 4\), 부피의 최댓값은 \(V(4) = \pi \cdot 16 \cdot 4 = 64\pi\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 단면 닮음비로 \(h = 12 - 2r\; (0 \lt r \lt 6)\) 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(V'(r) = -6\pi r(r - 4) = 0\)으로 극대점 \(r = 4\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(r = 4\) 및 \(V_{\max} = 64\pi\) 산출 | 3점 |
\(1 \lt N \lt 10\)인 실수 \(N\)에 대하여 \(\log N\)의 소수 부분과 \(\log N^2\)의 소수 부분의 합이 \(1\)일 때, 조건을 만족시키는 모든 실수 \(N\)의 값을 구하고 그 곱을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 상용로그의 소수 부분의 합이 \(1\)이려면 두 상용로그의 합 \(\log N + \log N^2 = 3\log N\)이 정수이고 각각의 소수 부분이 \(0\)이 아니어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(1 \lt N \lt 10\)에서 \(0 \lt \log N \lt 1\)이므로 \(0 \lt 3\log N \lt 3\)이며, \(3\log N = 1\) 또는 \(3\log N = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(\log N = \dfrac{1}{3},\; \dfrac{2}{3}\)일 때 \(\log N^2 = \dfrac{2}{3},\; \dfrac{4}{3}\)으로 모두 소수 부분이 \(0\)이 아니므로 \(N = 10^{\frac{1}{3}},\; 10^{\frac{2}{3}}\)이고 곱은 \(10\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 소수 부분 합 \(1\) 조건으로부터 \(3\log N\) 정수 조건 및 \(0\) 제외 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(0 \lt 3\log N \lt 3\)에서 \(\log N = \dfrac{1}{3},\; \dfrac{2}{3}\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 소수 부분 비영(\(\ne 0\)) 검산 및 두 값의 곱 \(10\) 산출 | 3점 |
직선 \(y = -x + 6\)이 곡선 \(y = 2^x\)과 만나는 점을 \(\mathrm{A}(x_1, y_1)\), 곡선 \(y = \log_2 x\)와 만나는 점을 \(\mathrm{B}(x_2, y_2)\)라 할 때, 선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점 \(\mathrm{M}\)의 좌표와 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이를 각각 구하시오. (단, \(\mathrm{O}\)는 원점이다.)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 함수 \(y = 2^x\)와 \(y = \log_2 x\), 그리고 직선 \(y = -x + 6\)은 모두 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이므로 두 교점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)도 \(y = x\) 대칭이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 중점 \(\mathrm{M}\)은 \(y = -x + 6\)과 \(y = x\)의 교점인 \((3, 3)\)이며, \(2^x = -x + 6\)에서 단조성에 의해 유일한 실근 \(x_1 = 2\)를 얻어 \(\mathrm{A}(2, 4),\; \mathrm{B}(4, 2)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(\overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{2}\)이고 원점 \(\mathrm{O}\)에서 직선 \(x + y - 6 = 0\)까지의 거리는 \(\dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\)이므로 \(\triangle \mathrm{OAB} = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} = 6\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(y = x\) 대칭성으로 중점 \(\mathrm{M}(3, 3)\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 단조성으로 교점 \(\mathrm{A}(2, 4),\; \mathrm{B}(4, 2)\) 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 밑변 \(2\sqrt{2}\)와 높이 \(3\sqrt{2}\)로 넓이 \(6\) 산출 | 3점 |
\(0 \le \theta \le 2\pi\)일 때, 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(x^2 - 2(\cos\theta)x + 2\cos\theta \gt 0\)이 항상 성립하도록 하는 \(\theta\)의 값의 범위를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 최고차항 계수가 양수인 \(x\)에 대한 이차부등식이 모든 실수 \(x\)에서 \(0\)보다 크려면 판별식 \(D/4 \lt 0\)이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(D/4 = \cos^2\theta - 2\cos\theta = \cos\theta(\cos\theta - 2) \lt 0\)을 풀면 \(0 \lt \cos\theta \lt 2\)이고, \(|\cos\theta| \le 1\)이므로 \(0 \lt \cos\theta \le 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 \(\cos\theta \gt 0\)인 범위는 \(0 \le \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) 또는 \(\dfrac{3\pi}{2} \lt \theta \le 2\pi\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(x\)에 대한 판별식 \(D/4 = \cos^2\theta - 2\cos\theta \lt 0\) 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(0 \lt \cos\theta \le 1\) 범위 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(0 \le \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) 또는 \(\dfrac{3\pi}{2} \lt \theta \le 2\pi\) 산출 | 3점 |
평행사변형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 4,\; \overline{\mathrm{AD}} = 6,\; \angle \mathrm{BAD} = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 두 대각선 \(\mathrm{AC},\; \mathrm{BD}\)의 길이와 평행사변형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 평행사변형에서 \(\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{AD}} = 6\)이고 이웃한 내각 \(\angle \mathrm{ABC} = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 코사인법칙에 의해 \(\overline{\mathrm{BD}}^2 = 4^2 + 6^2 - 2(4)(6)\cos\dfrac{\pi}{3} = 28 \implies \overline{\mathrm{BD}} = 2\sqrt{7}\), \(\overline{\mathrm{AC}}^2 = 4^2 + 6^2 - 2(4)(6)\cos\dfrac{2\pi}{3} = 76 \implies \overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{19}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 평행사변형의 넓이는 \(S = \overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AD}}\sin\dfrac{\pi}{3} = 4 \times 6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 이웃각 \(\angle B = \dfrac{2\pi}{3}\) 및 코사인법칙 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{19},\; \overline{\mathrm{BD}} = 2\sqrt{7}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 넓이 \(S = 12\sqrt{3}\) 도출 | 3점 |
수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 7\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{a_n}{2} & (a_n\text{이 짝수인 경우}) \\ a_n + 5 & (a_n\text{이 홀수인 경우}) \end{cases}\)로 정의될 때, \(a_9\)의 값과 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20} a_k\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 초기 항을 차례로 구하여 같은 값이 반복되는 주기를 찾는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(a_1 = 7,\; a_2 = 12,\; a_3 = 6,\; a_4 = 3,\; a_5 = 8,\; a_6 = 4,\; a_7 = 2,\; a_8 = 1,\; a_9 = 6\)이므로 \(n \ge 3\)부터 \(6\)개 항 \((6, 3, 8, 4, 2, 1)\)이 주기로 반복된다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 한 주기의 합은 \(6 + 3 + 8 + 4 + 2 + 1 = 24\)이고 \(20 - 2 = 18 = 6 \times 3\)이므로 \(\sum_{k=1}^{20} a_k = (7 + 12) + 3 \times 24 = 19 + 72 = 91\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 초기 항 나열로 \(a_9 = 6\) 및 \(n \ge 3\) 주기 \(6\) 발견 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주기 블록 \((6, 3, 8, 4, 2, 1)\)의 합 \(24\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 비주기 첫 두 항 \(7 + 12\)와 \(3\)주기 합산으로 \(91\) 도출 | 3점 |
두 곡선 \(y = x^3 - 4x + 1\)과 \(y = ax^2 + b\)가 \(x = 2\)인 점에서 서로 접할 때, 두 상수 \(a, b\)의 값과 그 점에서의 공통접선의 방정식을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(f(x) = x^3 - 4x + 1,\; g(x) = ax^2 + b\)라 하면 \(x = 2\)에서 접할 조건은 \(f(2) = g(2)\)이고 \(f'(2) = g'(2)\)인 것이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f'(x) = 3x^2 - 4,\; g'(x) = 2ax\)이므로 \(f'(2) = 8 = 4a \implies a = 2\)이고, \(f(2) = 1 = 4(2) + b \implies b = -7\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 접점은 \((2, 1)\)이고 접선의 기울기는 \(8\)이므로 공통접선의 방정식은 \(y - 1 = 8(x - 2)\), 즉 \(y = 8x - 15\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 공통접선 조건 \(f(2)=g(2),\; f'(2)=g'(2)\) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(a = 2,\; b = -7\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 공통접선 \(y = 8x - 15\) 도출 | 3점 |
모든 실수 \(x\)에 대하여 사차부등식 \(x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + k \ge 0\)이 항상 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(f(x) = x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + k\)라 하면 모든 실수에서 \(f(x) \ge 0\)일 필요충분조건은 \(f(x)\)의 최솟값이 \(0\) 이상인 것이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 4x + 12 = 4(x^2 - 1)(x - 3) = 4(x + 1)(x - 1)(x - 3) = 0\)에서 극소점은 \(x = -1,\; 3\)이고 극대점은 \(x = 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 극솟값을 구하면 \(f(-1) = k - 9\), \(f(3) = 81 - 108 - 18 + 36 + k = k - 9\)로 같으므로 \(k - 9 \ge 0 \implies k \ge 9\), 즉 최솟값은 \(9\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 최솟값 \(\ge 0\) 원리 및 \(f'(x) = 4(x+1)(x-1)(x-3)\) 인수분해 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 두 극솟값 \(f(-1) = f(3) = k - 9\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(k \ge 9\)로부터 최솟값 \(9\) 도출 | 3점 |
곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 2x\) 위의 원점 \((0, 0)\)에서의 접선 \(l\)의 방정식을 구하고, 곡선과 접선 \(l\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)에서 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)이므로 \(f'(0) = 2\)이고 원점에서의 접선 \(l\)은 \(y = 2x\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 교점 방정식 \(x^3 - 3x^2 + 2x = 2x \iff x^2(x - 3) = 0\)에서 \(x = 0\)(중근)과 \(x = 3\)이 교점이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구간 \([0, 3]\)에서 \(2x \ge x^3 - 3x^2 + 2x\)이므로 넓이는 \(\int_{0}^{3} (3x^2 - x^3)\,dx = \left[x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_{0}^{3} = 27 - \dfrac{81}{4} = \dfrac{27}{4}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 접선 \(y = 2x\) 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 교점 방정식 \(x^2(x - 3) = 0\) 풀이 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분으로 넓이 \(\dfrac{27}{4}\) 산출 | 3점 |
곡선 \(y = -x^2 + 3x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 직선 \(y = mx\; (0 \lt m \lt 3)\)에 의하여 위쪽 부분과 아래쪽 부분의 넓이의 비가 \(1 : 7\)이 되도록 나누어질 때, 상수 \(m\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곡선 \(y = -x^2 + 3x\)와 \(x\)축(\(0 \le x \le 3\))으로 둘러싸인 전체 넓이는 \(S = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x)\,dx = \dfrac{3^3}{6} = \dfrac{9}{2}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 직선 \(y = mx\)와 곡선의 교점은 \(x = 0,\; 3 - m\)이므로 위쪽 영역의 넓이는 \(S_1 = \int_{0}^{3-m} (-x^2 + (3 - m)x)\,dx = \dfrac{(3 - m)^3}{6}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 넓이의 비가 \(1 : 7\)이므로 \(S_1 = \dfrac{1}{8}S\), 즉 \(\dfrac{(3 - m)^3}{6} = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{27}{6}\)에서 \((3 - m)^3 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^3 \implies m = \dfrac{3}{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 전체 넓이 \(S = \dfrac{9}{2}\) 및 위쪽 넓이 비율 \(\dfrac{1}{8}S\) 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 교점 \(3 - m\)과 위쪽 넓이 \(\dfrac{(3 - m)^3}{6}\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 세제곱근 비교로 \(m = \dfrac{3}{2}\) 산출 | 3점 |
직선 철로 위를 \(27\,\mathrm{m/s}\)의 속도로 달리는 열차가 제동을 건 지 \(t\)초 후의 속도가 \(v(t) = 27 - 3t^2\; (\mathrm{m/s})\)라 할 때, 제동을 건 후 열차가 완전히 정지할 때까지 걸린 시간과 그 동안 달린 거리를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 열차가 정지하는 순간의 속도는 \(v(t) = 0\)이며, 그 시각까지 달린 거리는 \(\int_{0}^{t_0} v(t)\,dt\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(27 - 3t^2 = 3(9 - t^2) = 0\)에서 \(t \ge 0\)이므로 정지할 때까지 걸린 시간은 \(t = 3\)초이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(0 \le t \le 3\)에서 \(v(t) \ge 0\)이므로 정지 거리는 \(\int_{0}^{3} (27 - 3t^2)\,dt = \left[27t - t^3\right]_{0}^{3} = 81 - 27 = 54\,(\mathrm{m})\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정지 조건 \(v(t) = 0\) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 정지 시각 \(t = 3\)초 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분으로 정지 거리 \(54\,\mathrm{m}\) 산출 | 3점 |
방정식 \(3^x + 3^{2 - x} = k\)가 서로 다른 두 개의 양의 실근을 갖도록 하는 모든 정수 \(k\)의 값의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(t = 3^x\)으로 치환하면 \(x \gt 0\)일 필요충분조건은 \(t \gt 3^0 = 1\)이며, 방정식은 \(t + \dfrac{9}{t} = k \iff t^2 - kt + 9 = 0\)이 \(t \gt 1\)에서 서로 다른 두 실근을 갖는 것과 동치이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(h(t) = t^2 - kt + 9\)라 하면 판별식 \(D = k^2 - 36 \gt 0 \implies k \gt 6\)(대칭축 \(\dfrac{k}{2} \gt 1\)을 위해 \(k \gt 2\))이고, 경계값 \(h(1) = 10 - k \gt 0 \implies k \lt 10\)이어야 한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(6 \lt k \lt 10\)이므로 정수 \(k\)는 \(7,\; 8,\; 9\)이고 그 합은 \(24\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(t = 3^x\) 치환 및 양근 조건 \(t \gt 1\) 전환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 실근의 위치(판별식 \(D \gt 0\), 축 \(\gt 1\), \(h(1) \gt 0\)) 연립으로 \(6 \lt k \lt 10\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정수 \(7, 8, 9\)의 합 \(24\) 산출 | 3점 |
로그부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(7 - x) \ge 3\)을 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값의 범위와 모든 정수 \(x\)의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 진수 조건에서 \(x - 1 \gt 0\)이고 \(7 - x \gt 0\)이므로 \(1 \lt x \lt 7\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 밑이 \(2 \gt 1\)이므로 부등식은 \(\log_2\{(x - 1)(7 - x)\} \ge \log_2 8 \iff (x - 1)(7 - x) \ge 8\), 즉 \(x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5) \le 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 진수 조건 \(1 \lt x \lt 7\)과의 공통 범위는 \(3 \le x \le 5\)이며, 정수 \(x\)의 합은 \(3 + 4 + 5 = 12\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 진수 조건 \(1 \lt x \lt 7\) 명시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 로그 결합 및 \((x - 3)(x - 5) \le 0\) 풀이 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(3 \le x \le 5\) 및 정수 합 \(12\) 산출 | 3점 |
반지름의 길이가 \(R = 7\sqrt{3}\)인 원에 내접하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7\)이 성립할 때, 최대 내각 \(C\)의 크기와 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 둘레의 길이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 사인법칙에 의해 \(a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7\)이므로 \(a = 3k,\; b = 5k,\; c = 7k\; (k \gt 0)\)로 놓는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 코사인법칙에 의해 \(\cos C = \dfrac{9k^2 + 25k^2 - 49k^2}{2(3k)(5k)} = -\dfrac{15}{30} = -\dfrac{1}{2}\)이므로 \(C = \dfrac{2\pi}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 다시 사인법칙 \(c = 2R\sin C\)에서 \(7k = 14\sqrt{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 21 \implies k = 3\)이므로 둘레의 길이는 \(15k = 45\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 사인법칙으로 \(a = 3k,\; b = 5k,\; c = 7k\) 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 코사인법칙으로 \(C = \dfrac{2\pi}{3}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(k = 3\) 결정 및 둘레 \(45\) 도출 | 3점 |
닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 함수 \(f(x) = \cos^2 x - 2\sin x + 2\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\), 그리고 그때의 \(x\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하고 \(s = \sin x\)로 치환하면 \(0 \le x \le 2\pi\)에서 \(-1 \le s \le 1\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f(x) = -s^2 - 2s + 3 = -(s + 1)^2 + 4\)이므로 구간 \([-1, 1]\)에서 감소한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(s = -1\)(\(x = \dfrac{3\pi}{2}\))일 때 최댓값 \(M = 4\)를 갖고, \(s = 1\)(\(x = \dfrac{\pi}{2}\))일 때 최솟값 \(m = 0\)을 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) 변환 및 \(-1 \le s \le 1\) 치환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(-(s + 1)^2 + 4\) 완전제곱식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)에서 \(M = 4\), \(x = \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(m = 0\) 도출 | 3점 |
첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(S_n = 2a_n - 3\)을 만족시키는 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 일반항 \(a_n\)을 구하고, \(\log_2\left(\dfrac{a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6}{3^6}\right)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(n = 1\)을 대입하면 \(a_1 = 2a_1 - 3 \implies a_1 = 3\)이고, \(n \ge 1\)에서 \(a_{n+1} = S_{n+1} - S_n\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(a_{n+1} = (2a_{n+1} - 3) - (2a_n - 3)\)을 정리하면 \(a_{n+1} = 2a_n\)이므로 \(a_n = 3 \cdot 2^{n-1}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(\dfrac{a_1 a_2 \cdots a_6}{3^6} = 2^{0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5} = 2^{15}\)이므로 주어진 로그의 값은 \(15\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(n = 1\) 대입으로 \(a_1 = 3\) 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 차분으로 등비점화식 \(a_{n+1} = 2a_n\) 및 \(a_n = 3 \cdot 2^{n-1}\) 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 지수 합 \(0 + 1 + \cdots + 5 = 15\) 산출 | 3점 |
최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - x^2}{x} = 3\)과 \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = -2\)를 만족시킬 때, \(f(4)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 첫째 극한에서 \(f(0) = 0\)이고 \(\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{f(x)}{x} - x\right) = f'(0) = 3\)이므로 \(f(x) = x^3 + ax^2 + 3x\)로 놓을 수 있다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 둘째 극한에서 분모가 \(0\)으로 가므로 \(f(1) = 1 + a + 3 = 0 \implies a = -4\)이며, 이때 \(f(x) = x(x - 1)(x - 3)\)에서 \(\lim_{x \to 1}\dfrac{f(x)}{x-1} = 1 \times (-2) = -2\)가 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(f(4) = 4 \times 3 \times 1 = 12\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(f(0) = 0,\; f'(0) = 3\)으로부터 \(f(x) = x^3 + ax^2 + 3x\) 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f(1) = 0\)으로 \(a = -4\) 결정 및 극한값 \(-2\) 검산 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(f(4) = 12\) 산출 | 3점 |
좌표평면 위의 점 \(\mathrm{A}\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\)과 포물선 \(y = x^2 - 1\) 위의 동점 \(\mathrm{P}(t, t^2 - 1)\) 사이의 거리의 최솟값과 그때의 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표를 모두 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 점 사이의 거리의 제곱을 \(D(t) = \overline{\mathrm{AP}}^2\)이라 하면 \(D(t) = t^2 + \left(t^2 - \dfrac{3}{2}\right)^2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 전개하여 정리하면 \(D(t) = t^4 - 2t^2 + \dfrac{9}{4} = (t^2 - 1)^2 + \dfrac{5}{4}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(t^2 \ge 0\)이므로 \(t^2 = 1\)(\(t = \pm 1\))일 때 \(D(t)\)는 최솟값 \(\dfrac{5}{4}\)를 가지며, 최소 거리는 \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\), 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표는 \((-1, 0),\; (1, 0)\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 거리 제곱 함수 \(D(t) = t^4 - 2t^2 + \dfrac{9}{4}\) 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \((t^2 - 1)^2 + \dfrac{5}{4}\) 변형(또는 미분)으로 \(t = \pm 1\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최소 거리 \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) 및 \(\mathrm{P}(\pm 1, 0)\) 산출 | 3점 |
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy - 1\)을 만족시키고 \(f'(1) = 5\)일 때, \(f'(0)\)의 값과 \(f(2)\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(x = y = 0\)을 대입하면 \(f(0) = 2f(0) - 1 \implies f(0) = 1\)이고, 미분계수의 정의 \(f'(x) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f'(x) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(h) + 2xh - 1}{h} = 2x + \lim_{h \to 0}\dfrac{f(h) - f(0)}{h} = 2x + f'(0)\)이므로 \(f'(1) = 2 + f'(0) = 5 \implies f'(0) = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(f'(x) = 2x + 3\)을 부정적분하고 \(f(0) = 1\)을 적용하면 \(f(x) = x^2 + 3x + 1\)이므로 \(f(2) = 4 + 6 + 1 = 11\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(f(0) = 1\) 산출 및 도함수 정의식 작성 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f'(x) = 2x + f'(0)\) 유도 및 \(f'(0) = 3\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 부정적분으로 \(f(x) = x^2 + 3x + 1\) 및 \(f(2) = 11\) 산출 | 3점 |
연속함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 2\displaystyle\int_{0}^{1} f(t)\,dt\)를 만족시킬 때, \(\displaystyle\int_{0}^{1} f(t)\,dt\)의 값과 \(f(3)\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 정적분 \(\int_{0}^{1} f(t)\,dt\)는 적분 구간이 상수이므로 상수 \(K\)로 치환하면 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 2K\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이를 \(K = \int_{0}^{1} f(t)\,dt\)에 대입하면 \(K = \int_{0}^{1} (3t^2 - 4t + 2K)\,dt = \left[t^3 - 2t^2 + 2Kt\right]_{0}^{1} = 1 - 2 + 2K = 2K - 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(K = 1\)이고 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 2\)이므로 \(f(3) = 27 - 12 + 2 = 17\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 상수 정적분 \(K = \int_0^1 f(t)\,dt\) 치환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 정적분 재대입 방정식으로 \(K = 1\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(f(3) = 17\) 산출 | 3점 |
삼차함수 \(f(x) = x^3 - ax + 5\)가 \(\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\int_{1 - h}^{1 + 2h} f(t)\,dt = 12\)를 만족시킬 때, 상수 \(a\)의 값과 \(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(f(t)\)의 한 부정적분을 \(F(t)\)라 하면 \(F'(t) = f(t)\)이고 준식은 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{F(1 + 2h) - F(1 - h)}{h}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 미분계수의 정의에 의해 \(\lim_{h \to 0}\left\{2\cdot\dfrac{F(1+2h)-F(1)}{2h} + \dfrac{F(1-h)-F(1)}{-h}\right\} = 3F'(1) = 3f(1) = 12\)이므로 \(f(1) = 6 - a = 4 \implies a = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(\int_{0}^{2} (x^3 - 2x + 5)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - x^2 + 5x\right]_{0}^{2} = 4 - 4 + 10 = 10\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 원시함수 \(F(t)\) 도입 및 \(3F'(1) = 3f(1)\) 극한 변환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f(1) = 4\)로부터 \(a = 2\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 계산으로 \(10\) 도출 | 3점 |
\(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 실수 \((n - 5)(n - 10)\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{n=2}^{12} f(n)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 실수 \(A\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수는 \(n\)이 홀수이면 \(A\)의 부호와 관계없이 \(1\)개이고, \(n\)이 짝수이면 \(A \gt 0\)일 때 \(2\)개, \(A = 0\)일 때 \(1\)개, \(A \lt 0\)일 때 \(0\)개이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(2 \le n \le 12\)에서 홀수 \(n = 3, 5, 7, 9, 11\)(\(5\)개)일 때 각각 \(f(n) = 1\)이고, 짝수 \(n = 2, 4, 12\)에서는 \((n-5)(n-10) \gt 0\)이므로 \(f(n) = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 짝수 \(n = 6, 8\)에서는 \(A \lt 0\)이므로 \(f(n) = 0\)이고, \(n = 10\)에서는 \(A = 0\)이므로 \(f(10) = 1\)이어서 총합은 \(5 \times 1 + 3 \times 2 + 0 + 1 = 12\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 홀수·짝수 \(n\)에 따른 실수 \(n\)제곱근 개수 원리 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 홀수 \(5\)개 항과 짝수 \(6\)개 항의 부호별 \(f(n)\) 분류 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 총합 \(5 + 6 + 1 = 12\) 산출 | 3점 |
직선 \(x = k\; (k \gt 1)\)가 세 곡선 \(y = \log_2 x,\; y = \log_4 x,\; y = -\log_2 x\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\)라 하자. \(\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\overline{\mathrm{AB}}}\)의 값을 구하고, 삼각형 \(\mathrm{OAC}\)의 넓이가 \(8\)일 때 상수 \(k\)의 값을 구하시오. (단, \(\mathrm{O}\)는 원점이다.)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(k \gt 1\)이므로 \(\log_2 k \gt 0\)이고 \(\log_4 k = \dfrac{1}{2}\log_2 k\)이므로 세 점의 \(y\)좌표는 \(y_{\mathrm{A}} \gt y_{\mathrm{B}} \gt y_{\mathrm{C}}\) 순서이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\overline{\mathrm{AB}} = \log_2 k - \dfrac{1}{2}\log_2 k = \dfrac{1}{2}\log_2 k\)이고 \(\overline{\mathrm{BC}} = \dfrac{1}{2}\log_2 k - (-\log_2 k) = \dfrac{3}{2}\log_2 k\)이므로 \(\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\overline{\mathrm{AB}}} = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 또한 \(\overline{\mathrm{AC}} = 2\log_2 k\)이므로 \(\triangle \mathrm{OAC} = \dfrac{1}{2} \cdot k \cdot 2\log_2 k = k\log_2 k = 8\)이며, \(k \gt 1\)에서 \(k\log_2 k\)는 순증가하므로 \(k = 4\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(\log_4 k = \dfrac{1}{2}\log_2 k\) 변환 및 좌표 대소 정렬 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 선분 비 \(\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\overline{\mathrm{AB}}} = 3\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(k\log_2 k = 8\)과 단조성으로 \(k = 4\) 도출 | 3점 |
\(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}\)일 때, \(\sin\theta\cos\theta\)의 값과 \(\sin^3\theta + \cos^3\theta\)의 값을 각각 기약분수로 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 항등식 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)과 세제곱 공식 \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\)이므로 \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta\cos\theta) = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{3}{8}\right) = \dfrac{11}{16}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\) 등식 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 세제곱 인수분해 대입으로 \(\dfrac{11}{16}\) 도출 | 3점 |
반지름의 길이가 \(6\)이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{2\pi}{3}\)인 부채꼴 모양의 종이를 반지름끼리 맞붙여 밑면이 없는 직원뿔 모양의 용기를 만들 때, 이 직원뿔의 밑면의 반지름 \(r\)와 부피 \(V\)를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부채꼴의 호의 길이 \(l = 6 \times \dfrac{2\pi}{3} = 4\pi\)는 만들어지는 직원뿔의 밑면의 둘레의 길이 \(2\pi r\)와 같다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(2\pi r = 4\pi\)에서 밑면 반지름은 \(r = 2\)이고, 모선의 길이가 \(6\)이므로 직원뿔의 높이는 \(h = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 직원뿔의 부피는 \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \times 4 \times 4\sqrt{2} = \dfrac{16\sqrt{2}}{3}\pi\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 호의 길이 \(4\pi = 2\pi r\) 등식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(r = 2\) 및 피타고라스 정리로 높이 \(h = 4\sqrt{2}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 원뿔 부피 공식으로 \(\dfrac{16\sqrt{2}}{3}\pi\) 도출 | 3점 |
수열의 합 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{12} \dfrac{2}{\sqrt{2k + 1} + \sqrt{2k - 1}}\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 분모와 분자에 켤레 무리식 \(\sqrt{2k + 1} - \sqrt{2k - 1}\)을 곱하여 분모를 유리화한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 분모는 \((2k + 1) - (2k - 1) = 2\)가 되어 분자의 \(2\)와 약분되므로 일반항은 \(\sqrt{2k + 1} - \sqrt{2k - 1}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(k = 1\)부터 \(12\)까지 대입해 더하면 \((\sqrt{3} - \sqrt{1}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{25} - \sqrt{23}) = \sqrt{25} - 1 = 4\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 켤레식 곱셈으로 분모 유리화 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 일반항 \(\sqrt{2k + 1} - \sqrt{2k - 1}\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 연쇄 소거로 \(\sqrt{25} - 1 = 4\) 산출 | 3점 |
양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 모든 양수 \(x\)에 대하여 \(6x - 3 \le f(x) \le x^2 + 4x - 2\)와 \(3x^2 - 2x \le (x + 1)f(x) \le 3x^2 + 4x\)를 만족시킬 때, \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) + \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수의 극한의 대소 관계에 의해 양 끝 함수의 극한값이 같으면 가운데 함수도 같은 값으로 수렴한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 첫째 부등식에서 \(\lim_{x \to 1}(6x - 3) = 3\)이고 \(\lim_{x \to 1}(x^2 + 4x - 2) = 3\)이므로 \(\lim_{x \to 1} f(x) = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 둘째 부등식의 각 변을 양수 \(x(x + 1)\)로 나누면 \(\lim_{x \to \infty}\dfrac{3x^2 - 2x}{x^2 + x} = 3 = \lim_{x \to \infty}\dfrac{3x^2 + 4x}{x^2 + x}\)이므로 \(\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{x} = 3\)이며 합은 \(6\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\lim_{x \to 1} f(x) = 3\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{x} = 3\) 도출 및 합 \(6\) 산출 | 3점 |
양수 \(a\)에 대하여 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3ax^2 + 4\)의 그래프가 \(x\)축과 서로 다른 두 점에서만 만날 때, 양수 \(a\)의 값과 두 교점 사이의 거리를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼차함수의 그래프가 \(x\)축과 서로 다른 두 점에서만 만나려면 극댓값과 극솟값 중 하나가 \(0\)이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f'(x) = 3x^2 - 6ax = 3x(x - 2a) = 0\; (a \gt 0)\)에서 극댓값은 \(f(0) = 4 \ne 0\)이므로 극솟값 \(f(2a) = 8a^3 - 12a^3 + 4 = -4a^3 + 4 = 0\)이어야 하며 \(a = 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 = (x - 2)^2(x + 1) = 0\)이므로 두 교점은 \((-1, 0),\; (2, 0)\)이고 두 점 사이의 거리는 \(3\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 극값 중 하나가 \(0\)이 될 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f(2a) = -4a^3 + 4 = 0\)으로부터 \(a = 1\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 인수분해로 두 교점 \(-1,\; 2\) 및 거리 \(3\) 도출 | 3점 |
한 변의 길이가 \(12\)인 정사각형 모양의 철판의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 \(x\)인 정사각형을 잘라 내고 남은 부분을 접어 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들 때, 상자의 부피가 최대가 되도록 하는 \(x\)의 값과 최대 부피를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 상자의 밑면은 한 변의 길이가 \(12 - 2x\)인 정사각형이고 높이는 \(x\)이므로 정의역은 \(0 \lt x \lt 6\), 부피는 \(V(x) = x(12 - 2x)^2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 전개하여 미분하면 \(V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x\)에서 \(V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x - 2)(x - 6)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(0 \lt x \lt 6\)에서 \(x = 2\)일 때 유일한 극대이자 최대이므로 \(x = 2\)일 때 최대 부피 \(V(2) = 2 \times 8^2 = 128\)을 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정의역 \(0 \lt x \lt 6\) 및 부피 식 \(V(x) = x(12 - 2x)^2\) 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(V'(x) = 12(x - 2)(x - 6) = 0\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(x = 2\) 및 최대 부피 \(128\) 산출 | 3점 |
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\)와 \(f(x + 4) = f(x)\)를 만족시킨다. \(0 \le x \le 2\)에서 \(f(x) = 3x^2\)일 때, \(\displaystyle\int_{-2}^{14} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 우함수 성질 \(f(-x) = f(x)\)에 의해 한 주기 \([-2, 2]\)의 적분은 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{2} f(x)\,dx\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\int_{0}^{2} 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_{0}^{2} = 8\)이므로 한 주기(길이 \(4\))의 정적분 값은 \(2 \times 8 = 16\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구간 \([-2, 14]\)의 길이는 \(16 = 4 \times 4\)(정확히 \(4\)주기)이므로 \(\int_{-2}^{14} f(x)\,dx = 4 \times 16 = 64\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 우함수 성질로 한 주기 \([-2, 2]\) 적분식 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 한 주기 적분값 \(16\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(4\)주기 반복으로 \(64\) 도출 | 3점 |
실수 전체에서 증가하는 함수 \(f(x) = \dfrac{1}{2}x^3 + \dfrac{1}{2}x\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(f'(x) = \dfrac{3}{2}x^2 + \dfrac{1}{2} \gt 0\)인 증가함수이므로 \(y = f(x)\)와 역함수 \(y = g(x)\)로 둘러싸인 넓이는 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 넓이의 \(2\)배이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 교점 방정식 \(\dfrac{1}{2}x^3 + \dfrac{1}{2}x = x \iff \dfrac{1}{2}x(x + 1)(x - 1) = 0\)에서 교점은 \(x = -1,\; 0,\; 1\)이며 원점 대칭이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 전체 넓이는 \(2 \times 2\int_{0}^{1} \left(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}x^3\right)dx = 4\left[\dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{8}x^4\right]_{0}^{1} = 4 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 역함수 대칭성으로 \(y = x\)와의 넓이의 \(2\)배 관계 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 교점 \(x = -1, 0, 1\) 및 기함수 원점 대칭 확인 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 계산으로 전체 넓이 \(\dfrac{1}{2}\) 산출 | 3점 |
빛이 유리판 한 장을 통과할 때마다 빛의 세기가 통과 전의 \(20\%\)씩 감소한다고 한다. 처음 빛의 세기의 \(\dfrac{1}{10}\) 이하가 되도록 하려면 이 유리판을 최소 몇 장 이상 겹쳐야 하는지 구하시오. (단, \(\log 2 = 0.3010\)으로 계산한다.)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 유리판 \(1\)장을 통과할 때마다 빛의 세기는 \(\dfrac{80}{100} = \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{10}\)배가 되므로 \(n\)장 통과 후 조건은 \(\left(\dfrac{8}{10}\right)^n \le \dfrac{1}{10}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양변에 상용로그를 취하면 \(n(\log 8 - 1) \le -1\)이고, \(\log 8 = 3\log 2 = 0.9030\)이므로 \(-0.0970 n \le -1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(n \ge \dfrac{1}{0.0970} = \dfrac{1000}{97} = 10.309\cdots\)이므로 유리판은 최소 \(11\)장 이상 필요하다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 부등식 \((8/10)^n \le 1/10\) 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 상용로그 변환 \(\log(8/10) = 3\log 2 - 1 = -0.0970\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(n \ge 10.309\cdots\)로부터 최소 \(11\)장 도출 | 3점 |
연립방정식 \(\begin{cases} 2^x \cdot 4^y = 32 \\ \log_3 x + \log_3 y = 1 \end{cases}\)을 만족시키는 두 실수 \(x, y\)의 순서쌍 \((x, y)\)를 모두 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 둘째 식의 진수 조건에 의해 \(x \gt 0,\; y \gt 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 첫째 식 \(2^{x + 2y} = 2^5\)에서 \(x + 2y = 5\)이고, 둘째 식 \(\log_3(xy) = 1\)에서 \(xy = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(x = 5 - 2y\)를 대입하면 \((5 - 2y)y = 3 \iff (2y - 3)(y - 1) = 0\)이므로 양수 해는 \(\left(2, \dfrac{3}{2}\right)\) 또는 \((3, 1)\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 진수 조건 \(x \gt 0,\; y \gt 0\) 명시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(x + 2y = 5,\; xy = 3\) 다항 연립식 변환 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 순서쌍 \(\left(2, \dfrac{3}{2}\right),\; (3, 1)\) 도출 | 3점 |
실수 전체의 집합에서 방정식 \(\sin(\pi x) = \dfrac{1}{3}x\)의 서로 다른 실근의 개수와 모든 실근의 합을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 함수 \(y = \sin(\pi x)\)(주기 \(2\))와 \(y = \dfrac{1}{3}x\)는 모두 원점 대칭 기함수이며, \(|\sin(\pi x)| \le 1\)이므로 모든 실근은 \(|x| \le 3\)에만 존재한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(x \gt 0\)에서 조사하면 구간 \((0, 1]\)에서 \(1\)개, 구간 \((1, 2]\)에서는 \(\sin(\pi x) \le 0 \lt \dfrac{1}{3}x\)이므로 \(0\)개, 구간 \((2, 3]\)에서는 \(x = \dfrac{5}{2}\)일 때 \(1 \gt \dfrac{5}{6}\)이고 \(x = 3\)일 때 \(0 \lt 1\)이므로 \(2\)개의 교점을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 원점 대칭에 의해 음의 실근도 \(3\)개이고 \(x = 0\)을 포함하여 총 \(3 + 1 + 3 = 7\)개이며, 양·음 실근이 쌍으로 상쇄되어 합은 \(0\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 원점 대칭성 및 실근 존재 범위 \(|x| \le 3\) 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양수 구간별 교점 수 \(1 + 0 + 2 = 3\)개 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 총 \(7\)개 및 대칭 합 \(0\) 도출 | 3점 |
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 7,\; \overline{\mathrm{AC}} = 5,\; \overline{\mathrm{BC}} = 6\)이고 변 \(\mathrm{BC}\)의 중점을 \(\mathrm{M}\)이라 할 때, \(\cos B\)의 값과 선분 \(\mathrm{AM}\)의 길이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 전체 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)와 부분 삼각형 \(\mathrm{ABM}\)에 각각 각 \(B\)에 대한 코사인법칙을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\triangle \mathrm{ABC}\)에서 \(\cos B = \dfrac{7^2 + 6^2 - 5^2}{2 \times 7 \times 6} = \dfrac{60}{84} = \dfrac{5}{7}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(\overline{\mathrm{BM}} = 3\)이므로 \(\triangle \mathrm{ABM}\)에서 \(\overline{\mathrm{AM}}^2 = 7^2 + 3^2 - 2 \times 7 \times 3 \times \dfrac{5}{7} = 58 - 30 = 28\)이 되어 \(\overline{\mathrm{AM}} = 2\sqrt{7}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 두 삼각형 \(\triangle\mathrm{ABC},\; \triangle\mathrm{ABM}\)에 대한 코사인법칙 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\cos B = \dfrac{5}{7}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(\overline{\mathrm{AM}} = 2\sqrt{7}\) 도출 | 3점 |
합 \(S = \displaystyle\sum_{k=1}^{8} k \cdot 2^{k-1}\)에 대하여 \(S - 2S\)를 계산하는 과정을 서술하여 \(S\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(S = 1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + \cdots + 8 \cdot 2^7\)의 양변에 공비 \(2\)를 곱하여 항을 한 칸씩 밀어 뺀다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(S - 2S = (1 + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^7) - 8 \cdot 2^8 = \dfrac{2^8 - 1}{2 - 1} - 8 \cdot 256\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(-S = 255 - 2048 = -1793\)이므로 \(S = 1793\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 공비 \(2\)를 곱한 \(2S\) 식 작성 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(S - 2S = (2^8 - 1) - 8 \cdot 2^8\) 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(S = 1793\) 산출 | 3점 |
실수 \(t\)에 대하여 방정식 \(x^3 - 3x + 2 = t\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(h(t)\)라 하자. 함수 \(h(t)\)가 불연속인 모든 \(t\)의 값을 구하고, 최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(p(t)\)에 대하여 \(p(t)h(t)\)가 실수 전체에서 연속일 때 \(p(6)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(f(x) = x^3 - 3x + 2\)라 하면 \(f'(x) = 3(x + 1)(x - 1) = 0\)에서 극댓값 \(f(-1) = 4\), 극솟값 \(f(1) = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 직선 \(y = t\)와의 교점 개수 \(h(t)\)는 \(t \lt 0\) 또는 \(t \gt 4\)일 때 \(1\), \(t = 0\) 또는 \(t = 4\)일 때 \(2\), \(0 \lt t \lt 4\)일 때 \(3\)이므로 불연속점은 \(t = 0,\; 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 연속인 이차함수 \(p(t)\)를 곱해 \(t = 0, 4\)에서 연속이 되려면 \(p(0) = 0,\; p(4) = 0\)이어야 하므로 \(p(t) = t(t - 4)\)이고 \(p(6) = 6 \times 2 = 12\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(f(x)\)의 극댓값 \(4\), 극솟값 \(0\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(h(t)\) 구간별 값 조사로 불연속점 \(t = 0,\; 4\) 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(p(t) = t(t - 4)\) 결정 및 \(p(6) = 12\) 산출 | 3점 |
최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프가 직선 \(y = 2x + 1\)과 \(x = -1\)인 점에서 만나고 \(x = 2\)인 점에서 접할 때, \(f(3)\)의 값과 \(f'(3)\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 차함수 \(d(x) = f(x) - (2x + 1)\)은 최고차항 계수가 \(1\)인 삼차다항식이며 \(x = -1\)을 근, \(x = 2\)를 중근으로 갖는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 \(f(x) - (2x + 1) = (x + 1)(x - 2)^2\), 즉 \(f(x) = (x + 1)(x - 2)^2 + 2x + 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(f(3) = 4 \cdot 1^2 + 7 = 11\)이고, 곱의 미분법으로 \(f'(x) = (x - 2)^2 + 2(x + 1)(x - 2) + 2\)에서 \(f'(3) = 1 + 8 + 2 = 11\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 차함수 \(f(x) - (2x + 1) = (x + 1)(x - 2)^2\) 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f(3) = 11\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 곱의 미분법으로 \(f'(3) = 11\) 산출 | 3점 |
\(x \ge -2\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 곡선 \(y = x^3 + 2x^2\)이 곡선 \(y = 5x^2 + 24x - k\)보다 항상 위쪽에 있거나 만나도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 조건은 \(x \ge -2\)인 모든 실수에서 \(h(x) = (x^3 + 2x^2) - (5x^2 + 24x - k) = x^3 - 3x^2 - 24x + k \ge 0\)인 것과 동치이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(h'(x) = 3x^2 - 6x - 24 = 3(x + 2)(x - 4) = 0\)이므로 \(x \ge -2\)에서 \(h(x)\)는 \([-2, 4]\)에서 감소하고 \([4, \infty)\)에서 증가한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(x \ge -2\)에서 \(h(x)\)의 최솟값은 \(h(4) = 64 - 48 - 96 + k = k - 80\)이며, \(k - 80 \ge 0\)에서 \(k\)의 최솟값은 \(80\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 차함수 부등식 \(h(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + k \ge 0\) 전환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(h'(x) = 3(x + 2)(x - 4)\)로 \(x = 4\) 최솟값 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(h(4) = k - 80 \ge 0\)에서 최솟값 \(80\) 산출 | 3점 |
실수 \(a\)에 대하여 함수 \(I(a) = \displaystyle\int_{0}^{1} (3x^2 + 2x - a)^2\,dx\)가 최솟값을 가질 때의 상수 \(a\)의 값과 \(I(a)\)의 최솟값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 피적분함수를 \(a\)에 대하여 내림차순으로 전개하면 \((3x^2 + 2x - a)^2 = a^2 - 2a(3x^2 + 2x) + (9x^4 + 12x^3 + 4x^2)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(0\)부터 \(1\)까지 정적분하면 \(\int_{0}^{1} (3x^2 + 2x)\,dx = 1 + 1 = 2\)이고, \(\int_{0}^{1} (9x^4 + 12x^3 + 4x^2)\,dx = \dfrac{9}{5} + 3 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{92}{15}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(I(a) = a^2 - 4a + \dfrac{92}{15} = (a - 2)^2 + \dfrac{32}{15}\)이므로 \(a = 2\)일 때 최솟값 \(\dfrac{32}{15}\)를 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(a\)에 대한 이차식 전개 및 선형 분리 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 각 항의 정적분 계산으로 \(I(a) = a^2 - 4a + \dfrac{92}{15}\) 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 완전제곱식 변형으로 \(a = 2\), 최솟값 \(\dfrac{32}{15}\) 산출 | 3점 |
수직선 위를 움직이는 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)의 시각 \(t\; (0 \le t \le 3)\)에서의 위치가 각각 \(x_{\mathrm{P}}(t) = t^3 - 5t^2 + 3t + 2\), \(x_{\mathrm{Q}}(t) = t^2 - 6t + 2\)일 때, 구간 \([0, 3]\)에서 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\) 사이의 거리가 최대가 되는 시각과 그때의 최대 거리를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 시각 \(t\)에서 두 점 사이의 거리는 \(D(t) = |x_{\mathrm{P}}(t) - x_{\mathrm{Q}}(t)| = |t^3 - 6t^2 + 9t|\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(0 \le t \le 3\)에서 \(t^3 - 6t^2 + 9t = t(t - 3)^2 \ge 0\)이므로 \(D(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\)이고, \(D'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구간 \([0, 3]\)에서 \(D(0) = 0,\; D(1) = 4,\; D(3) = 0\)이므로 시각 \(t = 1\)일 때 최대 거리 \(4\)를 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 거리 함수 \(D(t) = |t^3 - 6t^2 + 9t| = t(t - 3)^2\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(D'(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)으로 극대 시각 \(t = 1\) 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 시각 \(t = 1\) 및 최대 거리 \(4\) 산출 | 3점 |
| 모집단위 | 모집인원 | 명목경쟁률 | 실질경쟁률 | 최초합 평균 | 70% 충원컷 | 수능최저 기준 | 실시간 합격 판정 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 약학과 | 25명 | 48.6 : 1 | 14.2 : 1 | 92.5점 | 89.5점 | 국·수·영·탐(1) 중 3개 합 6 (수학 필수) | 판정 대기 |
| AI신약학과 | 12명 | 24.8 : 1 | 9.4 : 1 | 87.5점 | 84.5점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 과학기술대학 자유전공학부 | 38명 | 22.4 : 1 | 8.6 : 1 | 86.0점 | 83.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 컴퓨터공학전공 | 15명 | 23.5 : 1 | 8.9 : 1 | 86.5점 | 83.5점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 데이터사이언스학과 | 14명 | 21.8 : 1 | 8.3 : 1 | 85.5점 | 82.5점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 소프트웨어전공 | 14명 | 21.2 : 1 | 8.1 : 1 | 85.0점 | 82.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 사이버보안전공 | 12명 | 20.4 : 1 | 7.8 : 1 | 84.5점 | 81.5점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 가상현실융합학과 | 12명 | 19.6 : 1 | 7.5 : 1 | 83.5점 | 80.5점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 바이오공학전공 | 15명 | 20.9 : 1 | 8.0 : 1 | 84.5점 | 81.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| IT미디어공학전공 | 12명 | 18.8 : 1 | 7.2 : 1 | 82.5점 | 79.5점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 수학·정보통계학전공 | 12명 | 17.5 : 1 | 6.8 : 1 | 81.5점 | 78.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 화학·식품영양학전공 | 14명 | 16.9 : 1 | 6.5 : 1 | 80.5점 | 77.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
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|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제2회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제3회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제4회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제5회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제6회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제7회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제8회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제9회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제10회 | 2026. . . | 분 | / 100 |