2027학년도 동국대학교 자연계열 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 111쪽 단권화

2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본

2027학년도 동국대학교
자연계열 수리논술
10회분 통합 마스터 문제집·해설집

출제 범위: 교과서 기반 교육과정 수학 전 범위 (Textbook DB SSOT)
시험 시간: 90분 | 전형 반영: 논술 70% + 학생부 30%

📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 111쪽 완결]

• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭

• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (31p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (15문항)

• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (43p): 출제 타당성 보고서(2p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)

• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (31p): 30문항 전수 아코디언 정밀 해설

• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터

📱 스마트폰 실시간 합격진단 & 올인원 대시보드 연동

우측 QR 스캔 또는 상단 툴바 버튼으로 동국대학교 실시간 컷오프 시뮬레이터와 즉시 동기화됩니다.

발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: QUESTIO-2027-UNIFIED-MASTER

전형 반영 비율

논술 70% + 학생부 30%

논술 실질 변별력 핵심

시험 시간 · 문항

90분 · 3문항

회차당 수리 100점 만점

수능최저학력기준

모집단위별 기준 확인

국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내

출제 교육과정

교과서 기반 수학과

Textbook DB V1.0 완벽 준거

STEP 1기출 5개년 해부Part 1 정독

STEP 2표준 모의 1~5회실전 시간 엄수

STEP 3킬러 모의 6~10회TOP 5 심화 격파

STEP 4루브릭 약점 교정감점 요인 제거

STEP 5입결 컷오프 판정Part 3 시뮬레이션

📈 5개년 출제 경향 및 2027학년도 핵심 대비 전략

🎯 동국대학교 자연계열 수리논술 5개년 출제 경향 & 2027 합격 전략

동국대 자연계열 수리논술은 시험시간 90분, 대문항 3문항(문제 1: 30점/15줄, 문제 2: 30점/15줄, 문제 3: 40점/23줄, 총 100점)으로 구성됩니다.
• 출제 범위: 공통수학, 대수(수학Ⅰ), 미적분Ⅰ(수학Ⅱ), 미적분Ⅱ, 확률과 통계, 기하 전 영역 골고루 출제 (교과서 개념 제시문 활용)
• 수능최저학력기준: 국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (수학 미/기 또는 과탐 1개 이상 포함, AI소프트웨어융합학부 2합 4, 약학과 3합 4)
• 채점 핵심: 노트 형식의 줄글 답안지(15줄/23줄 이내)에 제시문의 교과서 정리를 명시적으로 인용(1단계)하고, 단계별 수식 전개(2단계)와 정확한 결론 수치(3단계)를 압축 서술하는 S~F 등급제 및 부분점수 루브릭으로 채점합니다.

🔥 역대 킬러 문항 TOP 5 분석 & 실전 모의고사 6~10회 1:1 심화 매칭표

순위	기출 원천 문항	핵심 출제 테마 및 변별 포인트	모의 1:1 매칭	부분점수 공략 전략
TOP 1 (최고난도)	2026학년도 문제 3 (변곡점과 수직 접선, 넓이)	접선이 곡선과 다시 만나는 점에서의 수직 조건과 변곡점 접선 기울기 최대화 (정답률 19%)	제10회 문제 1·2 심화 매칭 (p.64, 95~96)	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 2	2025학년도 문제 2 (독립시행·정규분포·추정)	정규분포 확률의 독립시행 결합 및 표준정규분포표를 이용한 모수 관계식 도출 (정답률 23%)	제9회 문제 3 · 제10회 문제 3 매칭 (p.62~65)	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 3	2023학년도 문제 1 (포물선·쌍곡선 빛 반사)	이차곡선 초점의 광학적 성질과 접선의 대칭성을 이용한 목표 좌표 추론 (정답률 27%)	제8회 문제 3 심화 매칭 (p.59, 91)	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 4	2022학년도 문제 2 (수직선 운동과 접선 절편)	두 점의 위치-시각 그래프의 접선 절편 일치 조건과 이동 거리 정적분 (정답률 31%)	제7회 문제 2·3 심화 매칭 (p.55~56, 87~88)	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 5	2026학년도 문제 1 (공간도형과 코사인법칙)	이면각의 코사인 값 도출 및 $\alpha+\gamma=\pi$를 통한 평면 일치 논증 (정답률 34%)	제6회 문제 1 · 제8회 문제 1 매칭 (p.52, 58)	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보

📌 본 통합 마스터북 100% 활용 5단계 로드맵

STAGE 1

Step 1 (Part 1 기출 정복): 동국대학교 최근 5개년 공식 기출문항을 스스로 논술한 뒤 교과서 기반 1:1 유사 연습문제로 기본기를 다집니다.

STAGE 2

Step 2 (Part 2-1 실전 시험지 훈련): 실제 시험시간(90분)을 엄수하여 제1~5회(표준) 및 제6~10회(킬러 심화) 답안지를 작성합니다.

STAGE 3

Step 3 (Part 2-2 아코디언 루브릭 첨삭 & Part 3 합격 진단): 단계별 채점 루브릭으로 자가채점한 점수를 Part 3 대시보드에 입력하여 목표 학과 합격 가능성을 실시간 점검합니다.

PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS

2022~2026학년도 동국대학교
공식 기출 심층 해설 & 교과서 1:1 연계

최근 5개년 기출 핵심 15문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.

📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록

📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공

✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능

📚 과목/단원: 기하 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 이면각의 크기, 직선과 평면의 수직, 수선의 발 (성취기준 12기하03-01~03) ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

【가】 직선 $l$을 공유하는 두 반평면 $\alpha, \beta$로 이루어진 도형을 이면각이라 한다. 이때 직선 $l$을 이면각의 변, 두 반평면 $\alpha, \beta$를 각각 이면각의 면이라고 한다. 이면각의 변 $l$ 위의 한 점 $\mathrm{O}$를 지나고 직선 $l$에 수직인 두 반직선 $\mathrm{OA}, \mathrm{OB}$를 두 반평면 $\alpha, \beta$ 위에 각각 그을 때, $\angle\mathrm{AOB}$의 크기는 점 $\mathrm{O}$의 위치에 관계없이 일정하고 이 각의 크기를 이면각의 크기라고 한다.

- 『고등학교 기하』

【나】 공간에서 직선 $l$과 평면 $\alpha$ 위의 모든 직선이 수직일 때, 직선 $l$과 평면 $\alpha$는 서로 수직이라고 하고, 기호로 $l \perp \alpha$와 같이 나타낸다. 이때 직선 $l$을 평면 $\alpha$의 수선이라 하고, 직선 $l$과 평면 $\alpha$가 만나는 점 $\mathrm{O}$를 수선의 발이라고 한다.

- 『고등학교 기하』

【다】 평면 $\alpha$와 한 점 $\mathrm{O}$에서 만나는 직선 $l$이 있다. 이때 직선 $l$이 평면 $\alpha$ 위의 점 $\mathrm{O}$를 지나는 서로 다른 두 직선 $m, n$과 서로 수직이면 직선 $l$이 평면 $\alpha$에 수직이다.

- 『고등학교 기하』

[문제 1] 모든 변의 길이가 $1$인 오른쪽 그림의 정팔면체와 정사면체에 대해서 다음 물음에 답하시오.

(1) 정팔면체에서 평면 $\mathrm{ABC}$와 평면 $\mathrm{FBC}$가 이루는 이면각 중 둔각의 크기를 $\alpha$라고 할 때 $\cos\alpha$의 값을 구하시오.

(2) 정팔면체에서 평면 $\mathrm{ABC}$와 평면 $\mathrm{AED}$가 이루는 이면각 중 예각의 크기를 $\beta$라고 할 때 $\cos\beta$의 값을 구하시오.

(3) 정사면체에서 평면 $\mathrm{JGH}$와 평면 $\mathrm{IGH}$가 이루는 이면각 중 예각의 크기를 $\gamma$라고 할 때 $\cos\gamma$의 값을 구하시오.

(4) 점 $\mathrm{G}$와 점 $\mathrm{B}$, 점 $\mathrm{H}$와 점 $\mathrm{C}$, 점 $\mathrm{I}$와 점 $\mathrm{F}$를 일치시켰을 때, 평면 $\mathrm{ABC}$와 평면 $\mathrm{JGH}$가 일치함을 이면각을 이용하여 보이시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상 기하 Ⅲ-1. 공간도형 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.10 탐구 801 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

【유사 연습 문제】 한 모서리의 길이가 $2$인 정사면체 $\mathrm{ABCD}$에서 모서리 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하자. 두 평면 $\mathrm{ABC}$와 $\mathrm{DBC}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos\theta$의 값과 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 평면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영의 넓이를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 정삼각형 $\mathrm{ABC}, \mathrm{DBC}$에서 $\overline{\mathrm{AM}} \perp \overline{\mathrm{BC}}, \; \overline{\mathrm{DM}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$이고 $\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{DM}} = \sqrt{3}$이다. $\triangle\mathrm{AMD}$에서 코사인법칙에 의하여 $\cos\theta = \dfrac{3+3-4}{2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$. 또한 $\operatorname{Area}(\triangle\mathrm{ABD}) = \sqrt{3}$이므로 정사영의 넓이는 $S' = \sqrt{3}\cos\theta = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$이다.
※ 해설 가이드: 2026학년도 동국대 기출 문제 1의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 논리적으로 서술함.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문제 1 [배점 30점]

한 모서리의 길이가 $1$인 정팔면체와 정사면체에서 두 평면이 이루는 이면각 $\alpha, \beta, \gamma$에 대하여 $\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$를 각각 구하고, 모서리를 붙여 놓았을 때 $\alpha + \gamma = \pi$로부터 두 평면 $\mathrm{ABC}$와 $\mathrm{JGH}$가 일치함을 증명하기

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 1 · 총 30점

💡 동국대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

1단계 · 소문항 (1) 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라고 하면, 정삼각형의 성질에 의하여 $\overline{\mathrm{AM}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$, $\overline{\mathrm{MF}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$이다. 따라서 두 평면 $\mathrm{ABC}, \mathrm{FBC}$가 이루는 이면각의 크기는 $\alpha = \angle\mathrm{AMF}$이다.
한 변의 길이가 $1$인 정삼각형의 높이에 의하여 $\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{MF}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이고, 한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $\mathrm{BCDE}$의 대각선의 길이와 같은 $\overline{\mathrm{AF}} = \sqrt{2}$이다. 삼각형 $\mathrm{AMF}$에서 코사인법칙에 의하여 \[\cos\alpha = \frac{\overline{\mathrm{AM}}^2 + \overline{\mathrm{MF}}^2 - \overline{\mathrm{AF}}^2}{2 \cdot \overline{\mathrm{AM}} \cdot \overline{\mathrm{MF}}} = \frac{\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4} - 2}{\dfrac{3}{2}} = \mathbf{-\frac{1}{3}}\]

2단계 · 소문항 (2) 두 평면 $\mathrm{ABC}, \mathrm{AED}$는 점 $\mathrm{A}$를 공유하고, 직선 $\mathrm{BC}$와 직선 $\mathrm{ED}$가 서로 평행하므로 두 평면의 교선 $l$은 점 $\mathrm{A}$를 지나고 직선 $\mathrm{BC}$(및 $\mathrm{ED}$)에 평행하다.
선분 $\mathrm{ED}$의 중점을 $\mathrm{L}$(오른쪽 그림의 $\mathrm{Q}$)이라 하면 $\overline{\mathrm{AM}} \perp l$, $\overline{\mathrm{AL}} \perp l$이므로 두 평면 $\mathrm{ABC}, \mathrm{AED}$가 이루는 이면각의 예각의 크기는 $\beta = \angle\mathrm{MAL}$이다. 이때 $\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{AL}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\overline{\mathrm{ML}} = 1$이므로 삼각형 $\mathrm{AML}$에서 코사인법칙에 의하여 \[\cos\beta = \frac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 1^2}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\dfrac{3}{2} - 1}{\dfrac{3}{2}} = \mathbf{\frac{1}{3}}\]

3단계 · 소문항 (3) 선분 $\mathrm{GH}$의 중점을 $\mathrm{K}$(오른쪽 그림의 $\mathrm{O}$)라 하면 $\overline{\mathrm{JK}} \perp \overline{\mathrm{GH}}$, $\overline{\mathrm{IK}} \perp \overline{\mathrm{GH}}$이므로 두 평면 $\mathrm{JGH}, \mathrm{IGH}$가 이루는 이면각의 크기는 $\gamma = \angle\mathrm{JKI}$이다. $\overline{\mathrm{JK}} = \overline{\mathrm{IK}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\overline{\mathrm{JI}} = 1$이므로 삼각형 $\mathrm{JKI}$에서 코사인법칙에 의하여 \[\cos\gamma = \frac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 1^2}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \mathbf{\frac{1}{3}}\]

4단계 · 소문항 (4) 점 $\mathrm{G}$와 $\mathrm{B}$, 점 $\mathrm{H}$와 $\mathrm{C}$, 점 $\mathrm{I}$와 $\mathrm{F}$를 일치시키면 평면 $\mathrm{IGH}$는 평면 $\mathrm{FBC}$와 일치하고 교선 $\mathrm{GH}$는 직선 $\mathrm{BC}$와 일치한다.
(1)과 (3)에서 $\cos\alpha = -\dfrac{1}{3} = -\cos\gamma = \cos(\pi - \gamma)$이고, $0 \lt \alpha \lt \pi, \; 0 \lt \pi - \gamma \lt \pi$에서 코사인함수는 일대일대응이므로 $\alpha = \pi - \gamma$, 즉 $\mathbf{\alpha + \gamma = \pi}$이다. 따라서 두 반평면 $\mathrm{ABC}$와 $\mathrm{JGH}$는 직선 $\mathrm{BC}$를 경계로 이루는 각의 합이 $\pi$($180^\circ$)가 되어 한 평면을 이루므로 평면 $\mathrm{ABC}$와 평면 $\mathrm{JGH}$는 일치한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계]	정팔면체에서 두 평면 $\mathrm{ABC}$와 $\mathrm{FBC}$가 이루는 둔각 $\alpha$에 대하여 $\cos\alpha = -\dfrac{1}{3}$을 정확히 구한다.	7점
[2단계]	정팔면체에서 두 평면 $\mathrm{ABC}$와 $\mathrm{AED}$의 교선을 찾고 이면각의 예각 $\beta$에 대하여 $\cos\beta = \dfrac{1}{3}$을 구한다.	7점
[3단계]	정사면체에서 두 평면 $\mathrm{JGH}$와 $\mathrm{IGH}$가 이루는 예각 $\gamma$에 대하여 $\cos\gamma = \dfrac{1}{3}$을 구한다.	8점
[4단계]	$\cos\alpha = -\cos\gamma$로부터 $\alpha + \gamma = \pi$임을 논리적으로 보여 두 평면 $\mathrm{ABC}$와 $\mathrm{JGH}$가 일치함을 증명한다.	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

소문항 (1)에서 $\alpha$는 둔각이므로 $\cos\alpha = -\dfrac{1}{3}$의 음수 부호를 누락하면 감점됩니다. 소문항 (2)에서는 두 평면 $\mathrm{ABC}, \mathrm{AED}$가 점 $\mathrm{A}$를 지나고 직선 $\mathrm{BC} \parallel \mathrm{ED}$에 평행한 교선 $l$을 공유함을 명시해야 [2단계] 만점을 받습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) $\cos\alpha = -\dfrac{1}{3}$ | (2) $\cos\beta = \dfrac{1}{3}$ | (3) $\cos\gamma = \dfrac{1}{3}$ | (4) $\alpha+\gamma=\pi$이므로 두 평면 일치 동국대학교 공식 기준 (30점)

📚 과목/단원: 수학I, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 등차수열의 일반항과 합, 수열의 합과 극한 (성취기준 12수학Ⅰ03-02·04·05, 12미적01-02) ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

【가】 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라고 하면
\[a_n = a + (n-1)d, \qquad S_n = \frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2} \quad (\text{단, } n = 1, 2, 3, \cdots)\]

- 『고등학교 수학I』

【나】 두 수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$에 대하여
① $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k) = \sum_{k=1}^{n}a_k + \sum_{k=1}^{n}b_k$ ② $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k-b_k) = \sum_{k=1}^{n}a_k - \sum_{k=1}^{n}b_k$
③ $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ca_k = c\sum_{k=1}^{n}a_k$ (단, $c$는 상수) ④ $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c = cn$ (단, $c$는 상수)

- 『고등학교 수학I』

【다】 두 수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$이 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = L, \; \lim_{n\to\infty}b_n = M$ ($L, M$은 실수)일 때
① $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) = \lim_{n\to\infty}a_n + \lim_{n\to\infty}b_n = L + M$ ② $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n) = \lim_{n\to\infty}a_n - \lim_{n\to\infty}b_n = L - M$
③ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}ca_n = c\lim_{n\to\infty}a_n = cL$ (단, $c$는 상수) ④ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n b_n = \lim_{n\to\infty}a_n \cdot \lim_{n\to\infty}b_n = LM$
⑤ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n} = \frac{L}{M}$ (단, $b_n \neq 0, \; M \neq 0$)

- 『고등학교 미적분』

[문제 2] 공차가 자연수인 두 등차수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$이 다음 〈조건〉을 만족한다.

〈조건〉

① $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n - b_n}{n} = 2, \quad \sum_{n=1}^{10}(a_n - b_n) = 180$

② $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k + b_k)$는 $n = 7$일 때만 최솟값을 갖는다.

③ $\displaystyle\sum_{n=1}^{4}|b_n| = 88$

(1) 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$의 일반항을 각각 구하시오.

(2) 수열 $\{c_n\}$이 $c_n = |a_n| - |b_n|$일 때, $c_n$의 최솟값을 구하시오.

(3) $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}c_k$일 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}$을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 802 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-03]

【유사 연습 문제】 첫째항이 $-15$이고 공차가 자연수 $d$인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. 모든 자연수 $n$에 대하여 $S_n \ge S_6$이고 $S_5 \gt S_6$, $S_7 \gt S_6$이 성립할 때, 자연수 $d$의 값과 $S_{10}$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $S_n$이 $n=6$에서 유일한 최솟값을 가지려면 $a_6 \lt 0$이고 $a_7 \gt 0$이어야 한다. $a_6 = -15 + 5d \lt 0 \implies d \lt 3$이고, $a_7 = -15 + 6d \gt 0 \implies d \gt \dfrac{5}{2} = 2.5$이므로 자연수 $d$는 조건을 만족하는 정수 경계에서 $a_1=-16$일 때 $d=3$ (본 문제에서 첫째항 $-16$ 기준 $a_6=-1, a_7=2$). $a_1=-15$이고 $S_6 = S_5$를 허용하면 $d = \mathbf{3}$, $S_{10} = \dfrac{10(-30 + 27)}{2} = \mathbf{-15}$이다.
※ 해설 가이드: 2026학년도 동국대 기출 문제 2의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 논리적으로 서술함.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문제 2 [배점 30점]

공차가 자연수인 두 등차수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$에 대하여 극한 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n-b_n}{n}=2$와 부분합 조건 및 $\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)$가 $n=7$에서 최솟값을 가질 때 두 수열의 일반항을 구하기

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 2 · 총 30점

💡 동국대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

1단계 · 차수열 $a_n - b_n$ 도출 두 수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$이 등차수열이므로 수열 $\{a_n - b_n\}$도 등차수열이다. 그 공차를 $d_1$이라 하면 $a_n - b_n = d_1 n + c$ ($c$는 상수)로 놓을 수 있다. 〈조건〉 ①에서 \[\lim_{n\to\infty}\frac{a_n - b_n}{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{d_1 n + c}{n} = d_1 = 2\] 이므로 $a_n - b_n = 2n + c$이다. 다시 〈조건〉 ①의 두 번째 식과 제시문 【가】의 등차수열의 합 공식을 이용하면 \[\sum_{n=1}^{10}(a_n - b_n) = \frac{10\{(2+c) + (20+c)\}}{2} = 5(22 + 2c) = 180 \implies 22 + 2c = 36 \implies c = 7\] 따라서 $\mathbf{a_n - b_n = 2n + 7}$이다. $\cdots\cdots$ ㉠

2단계 · 합수열 $a_n + b_n$과 공차 조건 수열 $\{a_n + b_n\}$도 등차수열이며, 수열 $\{b_n\}$의 공차를 $d_3$ ($d_3$은 자연수)이라 하면 $a_n - b_n = 2n + 7$로부터 수열 $\{a_n\}$의 공차는 $d_3 + 2$이고, 수열 $\{a_n + b_n\}$의 공차는 $d_2 = (d_3 + 2) + d_3 = 2d_3 + 2$ ($4$ 이상의 짝수)이다.
〈조건〉 ②에서 부분합 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k + b_k)$가 $n = 7$일 때만 유일한 최솟값을 가지려면 제$7$항까지는 음수이고 제$8$항부터 양수여야 하므로 \[a_7 + b_7 \lt 0, \qquad a_8 + b_8 \gt 0 \quad \cdots\cdots \text{㉡}\] 이어야 한다. 또한 $a_7 - b_7 = 2\cdot 7 + 7 = 21$이므로 $a_7 + b_7 = (a_7 - b_7) + 2b_7 = 21 + 2b_7$이다.

3단계 · $a_n, b_n$의 일반항 확정 $1 \le n \le 7$일 때 $a_n + b_n \le a_7 + b_7 \lt 0$이고 $a_n - b_n = 2n + 7 \gt 0$이므로 $2b_n = (a_n + b_n) - (a_n - b_n) \lt 0$, 즉 $b_n \lt 0$이다. 따라서 $1 \le n \le 4$일 때 $|b_n| = -b_n$이고, $b_n = b_7 + (n - 7)d_3$을 〈조건〉 ③에 대입하면 \[\sum_{n=1}^{4}|b_n| = -(b_1 + b_2 + b_3 + b_4) = -\left\{4b_7 - (6 + 5 + 4 + 3)d_3\right\} = -4b_7 + 18d_3 = 88 \implies 2b_7 = 9d_3 - 44\] 이다. 이를 부등식 ㉡에 대입하면 \[a_7 + b_7 = 21 + 2b_7 = 9d_3 - 23 \lt 0 \implies d_3 \lt \frac{23}{9}\] \[a_8 + b_8 = (a_7 + b_7) + (2d_3 + 2) = 11d_3 - 21 \gt 0 \implies d_3 \gt \frac{21}{11}\] 이고, $\dfrac{21}{11} \lt d_3 \lt \dfrac{23}{9}$를 만족하는 자연수는 $\mathbf{d_3 = 2}$뿐이다. $d_3 = 2$를 대입하면 $2b_7 = -26 \implies b_7 = -13$이므로 \[b_n = -13 + 2(n - 7) = \mathbf{2n - 27}, \qquad a_n = b_n + (2n + 7) = \mathbf{4n - 20}\]

4단계 · 소문항 (2) $c_n$의 최솟값 $a_n = 4n - 20, \; b_n = 2n - 27$이므로 $c_n = |4n - 20| - |2n - 27|$을 $n$의 구간에 따라 나누면 다음과 같다. \[c_n = \begin{cases} (-4n+20) - (-2n+27) = -2n - 7 & (1 \le n \le 5) \\ (4n-20) - (-2n+27) = 6n - 47 & (6 \le n \le 13) \\ (4n-20) - (2n-27) = 2n + 7 & (n \ge 14) \end{cases}\] • $1 \le n \le 5$일 때 $c_n = -2n - 7$은 감소하므로 $n = 5$에서 최솟값 $c_5 = -17$을 갖는다.
• $6 \le n \le 13$일 때 $c_n = 6n - 47$은 증가하므로 $n = 6$에서 최솟값 $c_6 = -11$을 갖는다.
• $n \ge 14$일 때 $c_n = 2n + 7$은 증가하므로 $n = 14$에서 최솟값 $c_{14} = 35$를 갖는다.
따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $c_n$의 최솟값은 $n = 5$일 때 $\mathbf{-17}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계]	〈조건〉 ①과 등차수열의 합 공식을 이용하여 $a_n - b_n = 2n + 7$을 정확히 구한다.	6점
[2단계]	〈조건〉 ②를 이용하여 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k + b_k)$가 $n=7$에서만 최솟값을 가질 조건으로부터 $a_n + b_n$의 식을 세운다.	6점
[3단계]	〈조건〉 ③의 $\displaystyle\sum_{n=1}^{4}\|b_n\| = 88$을 이용하여 공차를 구하고 $a_n = 4n - 20, \; b_n = 2n - 27$을 도출한다.	6점
[4단계]	$c_n = \|a_n\| - \|b_n\|$을 $n$의 범위에 따라 나누어 정리하고, $n=5$일 때 최솟값 $-17$을 구한다.	6점
[5단계]	$n \ge 14$일 때 $S_n$을 $n$에 대한 이차식으로 나타내고 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2} = 1$을 구한다.	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

1) 〈조건〉 ②에서 "$n=7$일 때만 최솟값을 갖는다"이므로 $a_7 + b_7 = 0$이면 $n=6$과 $n=7$에서 동시에 최솟값을 갖게 됩니다. 반드시 $a_7 + b_7 \lt 0$이고 $a_8 + b_8 \gt 0$임을 이용하여 $\dfrac{21}{11} \lt d_3 \lt \dfrac{23}{9} \implies d_3 = 2$를 확정해야 합니다.
2) 소문항 (3)에서 $n \ge 14$일 때 $c_k = 2k + 7$임을 명시하고 $\displaystyle\sum_{k=14}^{n}(2k+7)$로부터 최고차항 $n^2$의 계수가 $1$임을 서술하세요.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] $a_n = 3n - 20,\; b_n = n - 27$ (또는 순서쌍 조건에 따른 공차 $d_1 = 3, d_2 = 1$ 확정) 동국대학교 공식 기준 (30점)

📚 과목/단원: 수학II, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 접선의 방정식, 이계도함수와 변곡점 (성취기준 12수학II02-06, 12미적02-12) ⏱️ 권장 시간: 40분

[제시문]

【가】 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 \[y - f(a) = f'(a)(x - a)\] 이다.

- 『고등학교 수학II』

【나】 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}(a, f(a))$에 대하여 $x=a$의 좌우에서 곡선의 모양이 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 바뀌거나 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 바뀔 때, 점 $\mathrm{P}$를 곡선 $y=f(x)$의 변곡점이라고 한다.

- 『고등학교 미적분』

【다】 이계도함수가 존재하는 함수 $f(x)$에 대하여 $f''(a)=0$이고 $x=a$의 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 바뀌면, 점 $(a, f(a))$는 곡선 $y=f(x)$의 변곡점이다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 다음 〈조건〉을 만족하는 점 $\mathrm{P}$가 존재하는 삼차함수 $f(x)$에 대하여 곡선 $y=f(x)$의 변곡점에서 접선의 기울기의 최댓값 $M$을 다음 순서에 따라 구하시오. (단, $f(x)$의 최고차항의 계수는 양수)

〈조건〉

곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선 $l$이 점 $\mathrm{P}$가 아닌 곡선 위의 점 $\mathrm{Q}$에서 만나고, 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선 $m$이 직선 $l$과 수직이다.

(1) 곡선 $y=f(x)$를 $x$축 및 $y$축의 방향으로 적절히 평행이동하여 항의 개수가 최소가 되는 곡선 $y=g(x)$를 구하시오.

(2) 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}_0(t, g(t))$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

(3) (2)에서 구한 접선과 곡선 $y=g(x)$가 만나는 점 $\mathrm{Q}_0(\neq \mathrm{P}_0)$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

(4) $M$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 803 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

【유사 연습 문제】 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$의 그래프의 변곡점을 $\mathrm{A}$라 하고, 점 $\mathrm{A}$에서의 접선을 $l$이라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$ ($t \ne 1$)에서의 접선이 직선 $l$과 평행하지 않을 때, 점 $(0, 0)$에서의 접선이 곡선과 다시 만나는 점의 좌표와 변곡점 $\mathrm{A}$에서의 접선의 기울기를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2,\; f''(x) = 6x - 6 = 0$에서 변곡점은 $\mathrm{A}(1, 0)$이고 변곡점 접선의 기울기는 $f'(1) = \mathbf{-1}$이다. 원점 $(0,0)$에서의 접선은 $y = 2x$이고 $x^3 - 3x^2 + 2x = 2x \implies x^2(x-3)=0$에서 다시 만나는 점의 좌표는 $\mathbf{(3, 6)}$이다.
※ 해설 가이드: 2026학년도 동국대 기출 문제 3의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 논리적으로 서술함.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문제 3 [배점 40점]

곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선이 곡선과 다시 만나는 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선과 서로 수직일 때, 삼차함수 $f(x)$의 변곡점에서의 접선의 기울기의 최댓값 $M$을 구하기

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 3 · 총 40점

💡 동국대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

1단계 · 소문항 (1) 삼차함수 $f(x)$의 최고차항의 계수를 $a$ ($a \gt 0$)라 하자. 곡선 $y = f(x)$를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 곡선 $y = f(x-p) + q$에서 이차항과 상수항이 모두 $0$이 되도록 $p, q$를 정하면 항의 개수가 최소가 된다.
따라서 항의 개수가 최소가 되는 함수는 $\mathbf{g(x) = ax^3 + bx}$ ($a \gt 0, \; b$는 실수)이다.
• 별해 (1)': 삼차함수 $y = f(x)$는 변곡점에 대하여 대칭이므로 변곡점을 원점 $(0, 0)$으로 평행이동한 함수를 $g(x)$라 하면 $g(0) = 0, \; g''(0) = 0$이므로 $g(x) = ax^3 + bx$ ($a \gt 0$)이다. (단, $b = 0$이면 $g'(x) = 3ax^2 \ge 0$이어서 두 접선이 수직이 될 수 없으므로 $b \neq 0$이다.)

2단계 · 소문항 (2) $g'(x) = 3ax^2 + b$이므로 제시문 【가】에 의하여 곡선 $y = g(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}_0(t, g(t))$에서의 접선 $l_0$의 방정식은 \[y - (at^3 + bt) = (3at^2 + b)(x - t) \implies \mathbf{y = (3at^2 + b)x - 2at^3}\]

3단계 · 소문항 (3) 접선 $y = (3at^2 + b)x - 2at^3$과 곡선 $y = ax^3 + bx$의 교점의 $x$좌표는 \[ax^3 + bx = (3at^2 + b)x - 2at^3 \iff a(x^3 - 3t^2 x + 2t^3) = 0 \iff a(x - t)^2(x + 2t) = 0\] 이다. 점 $\mathrm{Q}_0 \neq \mathrm{P}_0$이므로 $t \neq 0$이고 점 $\mathrm{Q}_0$의 $x$좌표는 $-2t$, 즉 $\mathrm{Q}_0(-2t, -8at^3 - 2bt)$이다.
따라서 점 $\mathrm{Q}_0$에서의 접선 $m_0$의 기울기는 $g'(-2t) = 12at^2 + b$이고, 접선의 방정식은 다음과 같다. \[y - (-8at^3 - 2bt) = (12at^2 + b)(x + 2t) \implies \mathbf{y = (12at^2 + b)x + 16at^3}\]

4단계 · 소문항 (4) 평행이동에 의하여 접선의 기울기는 변하지 않으므로 곡선 $y = f(x)$의 변곡점에서의 접선의 기울기는 곡선 $y = g(x)$의 변곡점 $(0, 0)$에서의 접선의 기울기 $g'(0) = b$와 같다.
점 $\mathrm{P}_0$에서의 접선과 점 $\mathrm{Q}_0$에서의 접선이 서로 수직이므로 두 기울기의 곱이 $-1$이다. \[(3at^2 + b)(12at^2 + b) = -1 \iff 36a^2 t^4 + 15abt^2 + b^2 + 1 = 0\] 여기서 $a \gt 0, \; t \neq 0$이므로 $s = at^2 \gt 0$으로 치환하면 $s$에 대한 이차방정식 \[36s^2 + 15bs + b^2 + 1 = 0\] 이 양의 실근 $s \gt 0$을 가져야 한다. 먼저 실근이 존재하기 위한 판별식 $D \ge 0$ 조건에서 \[D = (15b)^2 - 4 \cdot 36 \cdot (b^2 + 1) = 225b^2 - 144b^2 - 144 = 81b^2 - 144 \ge 0 \implies b^2 \ge \frac{16}{9}\] 이고, 두 근의 곱 $\dfrac{b^2+1}{36} \gt 0$이므로 양의 실근을 가지려면 두 근의 합 $-\dfrac{15b}{36} \gt 0$, 즉 $b \lt 0$이어야 한다.
따라서 $b \le -\dfrac{4}{3}$이며, 변곡점에서의 접선의 기울기 $b$의 최댓값은 $\mathbf{M = -\frac{4}{3}}$이다.
[참고사항] 실제로 $b = -\dfrac{4}{3}$일 때 중근 $s = at^2 = -\dfrac{15b}{72} = \dfrac{5}{18} \gt 0$이 존재한다 (예: $a = 1, \; t = \dfrac{\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}$).

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계]	평행이동을 통해 항의 개수가 최소가 되는 삼차함수 $g(x) = ax^3 + bx$ (또는 $g(x) = ax^3 + bx^2$, $a \gt 0$)를 구한다.	10점
[2단계]	곡선 $y = g(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}_0(t, g(t))$에서의 접선의 방정식을 정확히 구한다.	10점
[3단계]	접선과 곡선의 교점 $\mathrm{Q}_0(\neq \mathrm{P}_0)$의 좌표를 구하고, 점 $\mathrm{Q}_0$에서의 접선의 방정식을 정확히 구한다.	10점
[4단계]	두 접선의 수직 조건과 실근(양근) 존재 조건을 이용하여 변곡점에서의 접선의 기울기의 최댓값 $M = -\dfrac{4}{3}$을 구한다.	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

1) 삼차함수 $y=f(x)$의 변곡점을 원점으로 평행이동하면 이차항과 상수항이 동시에 소거되어 $g(x) = ax^3 + bx$가 되므로 계산량이 절반 이하로 줄어듭니다.
2) $36s^2 + 15bs + b^2 + 1 = 0$에서 판별식 $D \ge 0$만 쓰고 $s = at^2 \gt 0$(양근 조건 $\implies b \lt 0$)을 언급하지 않으면 감점됩니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) $t$와 $s$의 관계식 $s-b = -2(t-b)$ | (2) 수직 조건 판별식 | (3) 최댓값 $M = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$ (교과서 정규화 기준) 동국대학교 공식 기준 (40점)

📚 과목/단원: 수학, 기하 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 평면벡터의 내적, 이차방정식의 근과 계수의 관계, 이차함수의 최대·최소 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

【가】 $x$가 모든 실수의 값을 가질 때, 이차함수 $y = a(x-p)^2 + q$ ($a \neq 0$)의 최댓값과 최솟값은
$a \gt 0$이면 $x = p$에서 최솟값 $q$를 갖고, 최댓값은 없다.
$a \lt 0$이면 $x = p$에서 최댓값 $q$를 갖고, 최솟값은 없다.

- 『고등학교 수학』

【나】 $a, b, c$가 실수일 때, 방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$)의 두 근을 $\alpha, \beta$라고 하면 \[\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}\]

- 『고등학교 수학』

【다】 영벡터가 아닌 두 평면벡터 $\vec{a} = (a_1, a_2)$와 $\vec{b} = (b_1, b_2)$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라고 할 때, \[\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\]

- 『고등학교 기하』

[문제 1] 좌표평면 위의 점 $\mathrm{P}(0, 1)$가 주어져 있고 이차함수 $y = x^2 + \left(\dfrac{1}{3} - 2k\right)x + k$와 직선 $y = x$의 두 교점을 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$라고 하자. 점 $\mathrm{P}$와 점 $\mathrm{Q}_1$, 점 $\mathrm{P}$와 점 $\mathrm{Q}_2$를 지나는 직선을 각각 $l_1, l_2$라고 하자. 두 직선 $l_1, l_2$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라고 할 때, 제시문을 이용하여 다음을 구하시오. (단, $0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$) [30점]

(1) $\cos\theta$를 실수 $k$를 이용하여 나타내시오.

(2) $\theta$가 최솟값을 가질 때의 실수 $k$의 값과 그때의 $\theta$를 구하시오.

(3) $\theta$가 최솟값을 가질 때의 점 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$의 좌표를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상 기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 성분과 내적 (DB: GEOM_Ch02_비상) PDF p.10 탐구 804 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

【유사 연습 문제】 좌표평면 위의 점 $\mathrm{P}(0, 1)$과 포물선 $y = x^2 - 2kx + k$가 직선 $y = x$와 만나는 두 점을 $\mathrm{A}(\alpha, \alpha), \mathrm{B}(\beta, \beta)$라 하자. 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}, \overrightarrow{\mathrm{PB}}$의 내적 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$를 $k$에 대한 식으로 나타내고, 두 벡터가 서로 수직일 때의 상수 $k$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x^2 - (2k+1)x + k = 0$에서 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha+\beta = 2k+1,\; \alpha\beta = k$이다. $\overrightarrow{\mathrm{PA}} = (\alpha, \alpha-1),\; \overrightarrow{\mathrm{PB}} = (\beta, \beta-1)$이므로 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}} = 2\alpha\beta - (\alpha+\beta) + 1 = 2k - (2k+1) + 1 = \mathbf{0}$이다. 따라서 실수 $k$의 값에 관계없이(판별식 $D = (2k+1)^2 - 4k = 4k^2 + 1 \gt 0$인 모든 실수 $k$) 항상 수직이다.
※ 해설 가이드: 2025학년도 동국대 기출 문제 1의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 논리적으로 서술함.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 문제 1 [배점 30점]

점 $\mathrm{P}(0,1)$과 이차함수 $y=x^2+(\frac{1}{3}-2k)x+k$ 및 직선 $y=x$의 두 교점 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$에 대하여 $\angle\mathrm{Q}_1\mathrm{PQ}_2$가 최소가 되도록 하는 상수 $k$와 삼각형 $\mathrm{PQ}_1\mathrm{Q}_2$의 넓이 구하기

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 4 · 총 30점

💡 동국대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

단계 1 · 교점의 존재성과 좌표 설정 이차함수 $y = x^2 + \left(\dfrac{1}{3} - 2k\right)x + k$와 직선 $y = x$의 교점의 $x$좌표는 두 식을 연립한 이차방정식 \[x^2 - 2\left(\frac{1}{3} + k\right)x + k = 0\] 의 해이다. 이 방정식의 판별식은 \[\frac{D}{4} = \left(k + \frac{1}{3}\right)^2 - k = \left(k - \frac{1}{6}\right)^2 + \frac{1}{12} \gt 0\] 이므로 모든 실수 $k$에 대하여 서로 다른 두 실수해 $\alpha, \beta$를 가진다. 이때 두 교점은 $\mathrm{Q}_1(\alpha, \alpha)$와 $\mathrm{Q}_2(\beta, \beta)$이다.

단계 2 · 평면벡터의 내적을 이용한 $\cos\theta$ 표현 점 $\mathrm{P}(0, 1)$에 대하여 두 직선 $l_1, l_2$의 방향벡터를 각각 \[\vec{a} = \overrightarrow{\mathrm{PQ}_1} = (\alpha, \; \alpha - 1), \qquad \vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{PQ}_2} = (\beta, \; \beta - 1)\] 이라고 놓으면, 제시문 【다】에 의하여 다음을 얻는다. \[\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{\alpha\beta + (\alpha - 1)(\beta - 1)}{\sqrt{\alpha^2 + (\alpha - 1)^2}\sqrt{\beta^2 + (\beta - 1)^2}}\]

단계 3 · 소문항 (1) 근과 계수의 관계를 이용한 $\cos\theta$ 정리 두 수 $\alpha, \beta$는 이차방정식 $x^2 - 2\left(\dfrac{1}{3} + k\right)x + k = 0$의 두 근이므로, 제시문 【나】에 의하여 \[\alpha + \beta = 2k + \frac{2}{3}, \qquad \alpha\beta = k\] 이다. 이를 $\cos\theta$의 식에 대입하여 정리하면 분자는 $2\alpha\beta - (\alpha + \beta) + 1 = 2k - \left(2k + \dfrac{2}{3}\right) + 1 = \dfrac{1}{3}$이고, \[\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\alpha\beta + (\alpha - 1)(\beta - 1)}{\sqrt{\alpha^2 + (\alpha - 1)^2}\sqrt{\beta^2 + (\beta - 1)^2}} = \frac{2\alpha\beta - \alpha - \beta + 1}{\sqrt{4\alpha^2\beta^2 - 2(2\alpha\beta - \alpha - \beta + 1)(\alpha + \beta) + 1}} \\ &= \frac{\dfrac{1}{3}}{\sqrt{4k^2 - \dfrac{2}{3}\left(2k + \dfrac{2}{3}\right) + 1}} = \mathbf{\frac{1}{\sqrt{(6k - 1)^2 + 4}}} \end{aligned}\] 이다. 이때 $\cos\theta \gt 0$이므로 $0 \le \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$임을 확인할 수 있다.

단계 4 · 소문항 (2) $\theta$의 최솟값과 $k$의 값 $\dfrac{1}{4\cos^2\theta} = 9\left(k - \dfrac{1}{6}\right)^2 + 1$이므로 제시문 【가】에 의하여 $\mathbf{k = \frac{1}{6}}$일 때 $\dfrac{1}{4\cos^2\theta}$는 최솟값 $1$을 가진다. $\cos\theta \gt 0$이므로 그때 $\cos\theta$의 최댓값은 $\dfrac{1}{2}$이고, $\theta$의 최솟값은 $\mathbf{\theta = \frac{\pi}{3}}$이다.

단계 5 · 소문항 (3) 점 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$의 좌표 $k = \dfrac{1}{6}$일 때 이차방정식 $x^2 - x + \dfrac{1}{6} = 0$을 풀면 $\alpha = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{6}, \; \beta = \dfrac{3 - \sqrt{3}}{6}$ (또는 $\alpha = \dfrac{3 - \sqrt{3}}{6}, \; \beta = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{6}$)이므로 두 교점 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$의 좌표는 $\mathbf{\left(\frac{3+\sqrt{3}}{6}, \frac{3+\sqrt{3}}{6}\right), \; \left(\frac{3-\sqrt{3}}{6}, \frac{3-\sqrt{3}}{6}\right)}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[단계 1]	이차함수와 직선 $y=x$를 연립한 방정식 $x^2 - 2\left(\dfrac{1}{3}+k\right)x + k = 0$의 판별식 $\dfrac{D}{4} \gt 0$을 보이고 두 교점 $\mathrm{Q}_1(\alpha, \alpha), \mathrm{Q}_2(\beta, \beta)$를 설정한다.	6점
[단계 2]	벡터 $\vec{a} = \overrightarrow{\mathrm{PQ}_1} = (\alpha, \alpha-1), \; \vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{PQ}_2} = (\beta, \beta-1)$를 설정하고 내적 공식으로 $\cos\theta$를 나타낸다.	6점
[단계 3]	근과 계수의 관계 $\alpha + \beta = 2k + \dfrac{2}{3}, \; \alpha\beta = k$를 대입하여 $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{(6k-1)^2 + 4}}$를 유도한다.	6점
[단계 4]	이차함수의 최솟값 성질을 이용하여 $k = \dfrac{1}{6}$일 때 $\cos\theta$의 최댓값 $\dfrac{1}{2}$과 $\theta$의 최솟값 $\dfrac{\pi}{3}$를 구한다.	6점
[단계 5]	$k = \dfrac{1}{6}$을 대입한 방정식 $x^2 - x + \dfrac{1}{6} = 0$을 풀어 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$의 좌표 $\left(\dfrac{3\pm\sqrt{3}}{6}, \dfrac{3\pm\sqrt{3}}{6}\right)$을 구한다.	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

1) 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 원점 $(0,0)$이 아니라 $\mathbf{\mathrm{P}(0, 1)}$이므로 방향벡터를 $(\alpha, \alpha)$가 아닌 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1} = (\alpha, \alpha - 1)$로 정확히 설정해야 합니다.
2) 두 직선이 이루는 예각 $\theta$ ($0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$)가 최소가 되려면 코사인함수 $\cos\theta$는 감소함수이므로 $\cos\theta$가 최대가 되어야 함을 명시하세요.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] 내적과 코사인 값을 최대화하는 $k$ 값 및 $\triangle\mathrm{PQ}_1\mathrm{Q}_2$의 넓이 도출 동국대학교 공식 기준 (30점)

📚 과목/단원: 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 독립시행과 이항분포 $B(n, p)$, 정규분포와 표준정규분포표 활용 (성취기준 12확통03-03·04) ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

【가】 한 번의 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$로 일정할 때, $n$번의 독립시행에서 사건 $A$가 일어나는 횟수를 $X$라고 하자. 이때 확률변수 $X$가 가질 수 있는 값은 $0, 1, 2, \cdots, n$이고, $X$의 확률질량함수는 다음과 같고, 이와 같은 분포를 이항분포 $\mathrm{B}(n, p)$라 한다. \[\mathrm{P}(X = x) = {}_n\mathrm{C}_x\, p^x q^{n-x} \quad (\text{단, } x = 0, 1, 2, \cdots, n, \; q = 1 - p)\]

- 『고등학교 확률과 통계』

【나】 실수 전체의 집합에서 정의된 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수가 \[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}\] 일 때, $X$의 확률분포를 정규분포라고 한다. 여기서 $m$과 $\sigma(\sigma \gt 0)$는 각각 연속확률변수 $X$의 평균과 표준편차를 나타내는 상수이고, $e$는 값이 $2.71828\cdots$인 무리수이다. 또한, $Z = \dfrac{X-m}{\sigma}$는 표준정규분포를 따른다.

- 『고등학교 확률과 통계』

【다】 확률변수 $Z$가 표준정규분포를 따를 때 $\mathrm{P}(0 \le Z \le z)$의 값을 소수점 이하 셋째 자리에서 반올림한 값은 오른쪽 표와 같다.

- 『고등학교 확률과 통계』

[문제 2] 체질량지수($\mathrm{kg/m^2}$)는 체중을 키의 제곱으로 나눈 값으로 비만의 정도를 나타내는 지표이다. 체질량지수가 $23$ 이상에서 $25$ 미만이면 과체중, $25$ 이상이면 비만으로 판정한다. 어느 고등학교 학생들의 체질량지수는 정규분포를 따른다고 한다. 과체중 또는 비만일 확률은 $\dfrac{1}{2}$ 미만인 것으로 알려져 있다. 임의로 $3$명을 뽑았을 때 과체중(원문 표기: 비만)이 $1$명일 확률이 $0.75^3$이고, 임의로 $3$명을 뽑았을 때 비만(원문 표기: 과체중)이 $1$명일 확률은 $\dfrac{48}{125}$이라면 체질량지수가 $23$ 초과 $27$ 이하일 확률을 제시문을 이용하여 구하시오. [30점]

※ 동국대학교 공식 안내: 자연계열 2번 문제는 '비만'과 '과체중'이라는 단어의 위치가 바뀐 오류 문제로 확인되어, 본교 대학입학전형관리위원회를 통해 해당 문제 응시자 답안을 모두 정답처리 하였습니다.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 (DB: PS_Ch03) PDF p.14 탐구 805 변형 | 성취기준: 12확통03-03, 12확통03-04]

【유사 연습 문제】 어느 공장에서 생산되는 제품의 무게는 평균이 $m$, 표준편차가 $10$인 정규분포를 따르고, 무게가 $m + 8.4$ 이상인 제품을 특등품으로 분류한다. 임의로 추출한 $400$개의 제품 중 특등품의 개수를 확률변수 $X$라 할 때, $\mathrm{P}(Z \le 0.84) = 0.80$을 이용하여 $\mathrm{P}(X \ge 88)$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{P}(0 \le Z \le 1) = 0.3413$)

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 특등품일 확률은 $p = \mathrm{P}\left(Z \ge \dfrac{8.4}{10}\right) = \mathrm{P}(Z \ge 0.84) = 1 - 0.80 = 0.20$이다. $X \sim \mathrm{B}(400, 0.2)$이므로 $\mathrm{E}(X) = 80,\; \sigma(X) = \sqrt{400 \times 0.2 \times 0.8} = 8$이다. 정규분포 $\mathrm{N}(80, 8^2)$으로 근사하면 $\mathrm{P}(X \ge 88) = \mathrm{P}\left(Z \ge \dfrac{88-80}{8}\right) = \mathrm{P}(Z \ge 1) = 0.5 - 0.3413 = \mathbf{0.1587}$이다.
※ 해설 가이드: 2025학년도 동국대 기출 문제 2의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 논리적으로 서술함.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 문제 2 [배점 30점]

정규분포를 따르는 체질량지수에서 과체중·비만 확률 $p$를 독립시행 확률 조건으로부터 구하고, $1500$명의 학생 중 과체중 학생 수의 이항분포 정규근사를 통해 평균 $m$과 표준편차 $\sigma$의 관계식을 구하기

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 5 · 총 30점

💡 동국대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

1단계 · 확률변수 정의 체질량지수 $X$는 평균과 분산이 각각 $m, \sigma^2$인 정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$을 따른다. 과체중일 확률을 $p_1 = \mathrm{P}(23 \le X \lt 25)$, 비만일 확률을 $p_2 = \mathrm{P}(X \ge 25)$라 하자.

2단계 · $p_1$ 산정 $3$명 중 과체중인 사람 수 $Y_1$은 이항분포 $\mathrm{B}(3, p_1)$을 따르므로 $1$명이 과체중일 확률은 제시문 【가】에 의해 \[\mathrm{P}(Y_1 = 1) = {}_3\mathrm{C}_1 p_1(1 - p_1)^2 = 3p_1(1 - p_1)^2 = 0.75^3 = 3 \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{3}{4}\right)^2\] 이다. $3p_1(1-p_1)^2 - \dfrac{27}{64} = \dfrac{3}{64}(4p_1 - 1)(16p_1^2 - 28p_1 + 9) = 0$을 풀면 $p_1 = \dfrac{1}{4}, \; \dfrac{7 \pm \sqrt{13}}{8}$이다.

3단계 · $p_2$ 산정 $3$명 중 비만인 사람 수 $Y_2$는 이항분포 $\mathrm{B}(3, p_2)$를 따르므로 $1$명이 비만일 확률은 \[\mathrm{P}(Y_2 = 1) = {}_3\mathrm{C}_1 p_2(1 - p_2)^2 = 3p_2(1 - p_2)^2 = \frac{48}{125} = 3 \times \frac{1}{5} \times \left(\frac{4}{5}\right)^2\] 이다. $3p_2(1-p_2)^2 - \dfrac{48}{125} = \dfrac{3}{125}(5p_2 - 1)(25p_2^2 - 45p_2 + 16) = 0$을 풀면 $p_2 = \dfrac{1}{5}, \; \dfrac{9 \pm \sqrt{17}}{10}$이다.

4단계 · 확률 조건으로 $p_1, p_2$ 확정 $p_1, p_2$는 $0$과 $1$ 사이의 값이고, 과체중 또는 비만일 확률이 $\dfrac{1}{2}$ 미만이므로 $p_1 + p_2 \lt \dfrac{1}{2}$을 만족해야 한다. $\dfrac{7 - \sqrt{13}}{8} \gt \dfrac{7 - 4}{8} = \dfrac{3}{8}, \; \dfrac{9 - \sqrt{17}}{10} \gt \dfrac{9 - 5}{10} = \dfrac{2}{5}$이므로 $p_1 + p_2 \lt \dfrac{1}{2}$을 만족하는 값은 $\mathbf{p_1 = \frac{1}{4}, \; p_2 = \frac{1}{5}}$이다.

5단계 · 표준정규분포표를 이용한 표준화 값 도출 $\mathrm{P}(X \ge 23) = \mathrm{P}(23 \le X \lt 25) + \mathrm{P}(X \ge 25) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{9}{20}$이므로 \[\frac{1}{5} = \frac{1}{2} - \mathrm{P}\left(0 \le Z \le \frac{25 - m}{\sigma}\right), \qquad \frac{9}{20} = \frac{1}{2} - \mathrm{P}\left(0 \le Z \le \frac{23 - m}{\sigma}\right)\] 이다. 제시문 【다】의 표준정규분포표에서 $\mathrm{P}(0 \le Z \le 0.84) = 0.30, \; \mathrm{P}(0 \le Z \le 0.13) = 0.05$이므로 \[\frac{25 - m}{\sigma} = 0.84, \qquad \frac{23 - m}{\sigma} = 0.13 \quad \left(\implies \frac{2}{\sigma} = 0.71, \; \sigma^2 = \left(\frac{2}{0.71}\right)^2\right)\]

6단계 · $\mathrm{P}(23 \lt X \le 27)$ 계산 $27$을 표준화하면 $\dfrac{27 - m}{\sigma} = \dfrac{25 - m}{\sigma} + \dfrac{2}{\sigma} = 0.84 + 0.71 = 1.55$이므로 구하는 확률은 다음과 같다. \[\mathrm{P}(23 \lt X \le 27) = \mathrm{P}(0.13 \lt Z \le 1.55) = \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.55) - \mathrm{P}(0 \le Z \le 0.13) = 0.44 - 0.05 = \mathbf{0.39}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[상]	S	4점
A	[1단계]부터 [6단계]까지 모두 작성하고 다섯 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	4점
[중]	B	4점
C	[1단계]부터 [6단계] 중 네 단계를 작성하고 세 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	4점
D	[1단계]부터 [6단계] 중 세 단계를 작성하고 두 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	4점
[하]	E	5점
F	어느 단계의 일부분도 논증이 매끄럽게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

동국대 수리논술 채점관은 제시문에 주어진 고교 교육과정 기본 정리(핵심개념: 독립시행과 이항분포 $B(n, p)$, 정규분포와 표준정규분포표 활용 (성취기준 12확통03-03·04))의 인용 여부를 가장 중요하게 평가합니다. 결론 도출 과정에서 사용된 공식을 명시하고, 논리적 비약 없이 중간 전개식을 충실히 기재하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] $p = 0.2$, 이항분포 $\mathrm{B}(1500, p)$의 정규근사 표준화를 통한 $m, \sigma$ 관계식 도출 동국대학교 공식 기준 (30점)

📚 과목/단원: 수학II, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 여러 가지 함수의 적분, 정적분과 급수의 합 ⏱️ 권장 시간: 40분

[제시문]

【가】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $f(x) \ge 0$일 때, 정적분 \[\int_{a}^{b} f(x)\,dx\] 는 곡선 $y = f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x = a, x = b$로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

- 『고등학교 수학II』

【나】 함수 $y = x^r$ ($r$은 실수)의 부정적분은
1) $r \neq -1$일 때, $\displaystyle\int x^r\,dx = \frac{1}{r+1}x^{r+1} + C$ 2) $r = -1$일 때, $\displaystyle\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$

- 『고등학교 미적분』

【다】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, \[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x \quad \left(\text{단, } \Delta x = \frac{b-a}{n}, \; x_k = a + k\Delta x\right)\]

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 실수 $\alpha, \beta$는 $\dfrac{\alpha\beta}{\alpha - \beta} = 20n, \; \alpha + \beta = 9n, \; \alpha \gt \beta \gt 0$을 만족한다. 두 곡선 $y = (x - \alpha)(x - \beta)$와 $y = \dfrac{3\alpha\beta(\alpha - \beta)}{5x}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_n$이라 하자. (단, $n$은 자연수) [40점]

(1) 두 곡선의 교점의 $x$좌표를 $n$을 이용하여 나타내시오.

(2) 교점을 꼭짓점으로 하는 다각형의 넓이를 $A_n$이라 할 때, $A_n$을 구하시오.

(3) $S_n$을 구하시오.

(4) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^7}\sum_{k=1}^{n} S_k A_{2k}$를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 806 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

【유사 연습 문제】 자연수 $n$에 대하여 포물선 $y = (x - n)(x - 3n)$과 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $S_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내고 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n^3}$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 포물선과 $x$축의 교점은 $x = n, 3n$이고 구간 $[n, 3n]$에서 $y \le 0$이므로 $S_n = \displaystyle\int_{n}^{3n} -(x-n)(x-3n)\,dx = \frac{1}{6}(3n - n)^3 = \mathbf{\frac{4}{3}n^3}$이다. 따라서 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n^3} = \mathbf{\frac{4}{3}}$이다.
※ 해설 가이드: 2025학년도 동국대 기출 문제 3의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 논리적으로 서술함.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 문제 3 [배점 40점]

관계식 $\dfrac{\alpha\beta}{\alpha-\beta}=20n,\; \alpha+\beta=9n$을 만족하는 $\alpha, \beta$에 대하여 이차함수와 유리함수 그래프 및 두 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_n$을 구하고 무한급수와 정적분의 관계를 계산하기

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 6 · 총 40점

💡 동국대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

1단계 · 두 곡선의 방정식 도출 주어진 조건 $\dfrac{\alpha\beta}{\alpha - \beta} = 20n, \; \alpha + \beta = 9n$으로부터 $\alpha\beta = 20n(\alpha - \beta)$이므로 곱셈공식의 변형에 의하여 \[(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 81n^2 - 80n(\alpha - \beta) \iff (\alpha - \beta)^2 + 80n(\alpha - \beta) - 81n^2 = 0\] 을 만족한다. $\alpha - \beta \gt 0$이므로 인수분해 $(\alpha - \beta + 81n)(\alpha - \beta - n) = 0$에서 $\alpha - \beta = n$이고 $\alpha\beta = 20n^2$이다.
따라서 두 곡선의 방정식은 각각 다음과 같다. \[y = x^2 - 9nx + 20n^2, \qquad y = \frac{12n^3}{x}\]

2단계 · 소문항 (1) 두 곡선의 교점의 $x$좌표 두 곡선의 교점을 찾기 위하여 $x^2 - 9nx + 20n^2 = \dfrac{12n^3}{x}$라 두자. 양변에 $x$ ($x \neq 0$)를 곱하여 정리하면 \[x^3 - 9nx^2 + 20n^2 x - 12n^3 = 0 \iff (x - n)(x - 2n)(x - 6n) = 0\] 이다. 따라서 두 곡선의 교점의 $x$좌표는 $\mathbf{x = n \text{ 또는 } x = 2n \text{ 또는 } x = 6n}$이다.

3단계 · 소문항 (2) 삼각형의 넓이 $A_n$ 세 교점의 좌표는 $\mathrm{P}_1(n, 12n^2), \; \mathrm{P}_2(2n, 6n^2), \; \mathrm{P}_3(6n, 2n^2)$이다. 두 점 $(n, 12n^2)$과 $(6n, 2n^2)$을 지나는 직선의 방정식은 \[y - 12n^2 = \frac{2n^2 - 12n^2}{6n - n}(x - n) \implies y = -2nx + 14n^2 \iff 2nx + y - 14n^2 = 0\] 이다. 점 $(2n, 6n^2)$에서 이 직선까지의 거리 $d$와 두 점 $(n, 12n^2), (6n, 2n^2)$ 사이의 거리 $h$는 각각 \[d = \frac{|2n(2n) + 1(6n^2) - 14n^2|}{\sqrt{(2n)^2 + 1^2}} = \frac{4n^2}{\sqrt{4n^2 + 1}}, \qquad h = \sqrt{(6n - n)^2 + (2n^2 - 12n^2)^2} = 5n\sqrt{1 + 4n^2}\] 이다. 그러므로 세 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 $\mathbf{A_n = \frac{dh}{2} = 10n^3}$이다.

4단계 · 소문항 (3) 둘러싸인 도형의 넓이 $S_n$ 제시문 【가】와 【나】에 의하여 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_n$은 다음과 같다. \[\begin{aligned} S_n &= \int_{n}^{6n} \left|x^2 - 9nx + 20n^2 - \frac{12n^3}{x}\right| dx \\ &= \int_{n}^{2n}\left(x^2 - 9nx + 20n^2 - \frac{12n^3}{x}\right)dx - \int_{2n}^{6n}\left(x^2 - 9nx + 20n^2 - \frac{12n^3}{x}\right)dx \\ &= \left[\frac{x^3}{3}\right]_{n}^{2n} - 9n\left[\frac{x^2}{2}\right]_{n}^{2n} + 20n^2[x]_{n}^{2n} - 12n^3[\ln|x|]_{n}^{2n} - \left[\frac{x^3}{3}\right]_{2n}^{6n} + 9n\left[\frac{x^2}{2}\right]_{2n}^{6n} - 20n^2[x]_{2n}^{6n} + 12n^3[\ln|x|]_{2n}^{6n} \\ &= \frac{7}{3}n^3 - \frac{27}{2}n^3 + 20n^3 - 12n^3\ln 2 - \frac{208}{3}n^3 + 144n^3 - 80n^3 + 12n^3\ln 3 \\ &= \frac{7}{2}n^3 + 12n^3\ln\frac{3}{2} = \mathbf{\left(\frac{7}{2} + 12\ln\frac{3}{2}\right)n^3} \end{aligned}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계]	주어진 조건으로부터 $(\alpha - \beta)^2 + 80n(\alpha - \beta) - 81n^2 = 0$을 세워 $\alpha - \beta = n, \; \alpha\beta = 20n^2$ 및 두 곡선의 방정식을 구한다.	8점
[2단계]	두 곡선의 방정식을 연립한 삼차방정식 $(x-n)(x-2n)(x-6n) = 0$을 풀어 교점의 $x$좌표 $n, 2n, 6n$을 구한다.	8점
[3단계]	세 교점 $(n, 12n^2), (2n, 6n^2), (6n, 2n^2)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이 $A_n = 10n^3$을 구한다.	8점
[4단계]	구간 $[n, 2n]$과 $[2n, 6n]$으로 나누어 정적분을 계산하여 $S_n = \left(\dfrac{7}{2} + 12\ln\dfrac{3}{2}\right)n^3$을 구한다.	8점
[5단계]	제시문 【다】를 이용하여 급수의 극한을 정적분 $\displaystyle\int_0^1 x^6\,dx$로 바꾸어 $40 + \dfrac{960}{7}\ln\dfrac{3}{2}$를 구한다.	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

1) 소문항 (3)에서 $x \in [n, 2n]$일 때는 이차함수 $x^2 - 9nx + 20n^2$이 유리함수 $\dfrac{12n^3}{x}$보다 위에 있고, $x \in [2n, 6n]$일 때는 유리함수가 위에 있으므로 반드시 구간을 $2n$에서 나누어 부호를 반대로 적분해야 합니다.
2) 소문항 (4)에서 구하는 식은 $A_k$가 아니라 $\mathbf{A_{2k} = 10(2k)^3 = 80k^3}$이므로 $2^3 = 8$ 배수를 누락하지 않도록 주의하세요.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] $\alpha = 5n,\; \beta = 4n$, 넓이 $S_n$ 적분 계산 및 극한 도출 동국대학교 공식 기준 (40점)

📚 과목/단원: 기하 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 타원, 포물선, 쌍곡선, 초점, 꼭짓점, 준선, 점근선 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

【가】 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}'(-c, 0)$으로부터의 거리의 합이 $2a$인 타원의 방정식은 \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (\text{단, } a \gt c \gt 0, \; b^2 = a^2 - c^2)\] 이다. 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$을 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동하면 타원의 방정식은 $\dfrac{(x - m)^2}{a^2} + \dfrac{(y - n)^2}{b^2} = 1$이다. 이때 타원의 초점, 꼭짓점은 각각 오른쪽 표와 같다.

- 『고등학교 기하』

【나】 초점이 $\mathrm{F}(p, 0)$이고 준선이 $x = -p$인 포물선 $y^2 = 4px$를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동한 포물선의 방정식은 다음과 같다. \[(y - n)^2 = 4p(x - m)\] 이때 포물선의 초점의 좌표는 $(p + m, n)$, 준선의 방정식은 $x = -p + m$이다.

- 『고등학교 기하』

【다】 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}'(-c, 0)$으로부터의 거리의 차가 $2a$인 쌍곡선의 방정식은 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ (단, $c \gt a \gt 0, \; b^2 = c^2 - a^2$)이다. 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$을 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동하면 쌍곡선의 방정식은 $\dfrac{(x - m)^2}{a^2} - \dfrac{(y - n)^2}{b^2} = 1$이다. 이때 중심, 꼭짓점, 초점, 점근선은 각각 오른쪽 표와 같다.

- 『고등학교 기하』

[문제 1] 다음 방정식에 대하여 물음에 답하시오. (단, $k$는 실수이다.) \[x^2 + y^2 = (kx + 1)^2\]

(1) $k = 0$이면 주어진 방정식은 원의 방정식이다. 이 원의 중심과 반지름을 각각 구하시오.

(2) $k = \dfrac{1}{2}$이면 주어진 방정식은 타원의 방정식이다. 이 타원의 초점의 좌표와 꼭짓점의 좌표를 각각 구하시오.

(3) $k = 1$이면 주어진 방정식은 포물선의 방정식이다. 이 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 각각 구하시오.

(4) $k = 2$이면 주어진 방정식은 쌍곡선의 방정식이다. 이 쌍곡선의 초점의 좌표와 점근선의 방정식을 각각 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 807 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

【유사 연습 문제】 좌표평면 위의 점 $\mathrm{P}(x, y)$에서 원점 $\mathrm{O}(0, 0)$까지의 거리와 직선 $x = -2$까지의 거리가 서로 같을 때, 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 이차곡선의 방정식을 구하고, 그 초점의 좌표와 꼭짓점의 좌표를 각각 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 점 $\mathrm{P}(x,y)$에 대하여 $\sqrt{x^2+y^2} = |x+2|$의 양변을 제곱하여 정리하면 $y^2 = 4(x + 1)$이다. 이는 포물선 $y^2 = 4x$를 $x$축 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 것이므로 꼭짓점의 좌표는 $\mathbf{(-1, 0)}$, 초점의 좌표는 $\mathbf{(0, 0)}$이다.
※ 해설 가이드: 2024학년도 동국대 기출 문제 1의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 논리적으로 서술함.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 문제 1 [배점 30점]

방정식 $x^2 + y^2 = (kx + 1)^2$에서 상수 $k$의 값($k=0,\; \frac{1}{2},\; 1,\; 2$)에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선의 중심·초점·꼭짓점·준선·점근선의 방정식을 각각 구하기

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 7 · 총 30점

💡 동국대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

1단계 · 소문항 (1) 원의 중심과 반지름 ($k = 0$) (1) $k = 0$이면 주어진 방정식은 $x^2 + y^2 = 1$ 이므로 중심이 $\mathbf{(0, 0)}$이고, 반지름이 $\mathbf{1}$인 원이다.

2단계 · 소문항 (2) 타원의 초점과 꼭짓점 ($k = 1/2$) (2) $k = \dfrac{1}{2}$이면 주어진 방정식은 $x^2 + y^2 = \left(\dfrac{1}{2}x + 1\right)^2$이므로 이를 전개하여 표준형으로 정리하면 \[\frac{3}{4}x^2 - x + y^2 = 1 \iff \frac{3}{4}\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{4}{3} \iff \frac{\left(x - \dfrac{2}{3}\right)^2}{\dfrac{16}{9}} + \frac{y^2}{\dfrac{4}{3}} = 1\] 이다. 따라서 $k = \dfrac{1}{2}$이면 주어진 방정식은 타원 $\dfrac{x^2}{\dfrac{16}{9}} + \dfrac{y^2}{\dfrac{4}{3}} = 1$을 $x$축의 양의 방향으로 $\dfrac{2}{3}$만큼 평행이동한 타원의 방정식이 된다.
제시문 【가】에서 $a = \dfrac{4}{3}, \; b = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}, \; c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{\dfrac{16}{9} - \dfrac{12}{9}} = \dfrac{2}{3}$이므로,
• 초점: $\mathbf{\left(\frac{4}{3}, 0\right), (0, 0)}$, • 꼭짓점: $\mathbf{(2, 0), \; \left(-\frac{2}{3}, 0\right), \; \left(\frac{2}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}\right), \; \left(\frac{2}{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)}$이 된다.

3단계 · 소문항 (3) 포물선의 초점과 준선 ($k = 1$) (3) $k = 1$이면 주어진 방정식은 $x^2 + y^2 = (x + 1)^2$이므로 $y^2 = 2x + 1 = 2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)$ 이다. 따라서 $k = 1$이면 주어진 방정식은 포물선 $y^2 = 2x$를 $x$축의 방향으로 $-\dfrac{1}{2}$만큼 평행이동한 포물선이 된다.
제시문 【나】에서 $4p = 2 \implies p = \dfrac{1}{2}$이고 $m = -\dfrac{1}{2}, \; n = 0$이므로,
• 초점의 좌표: $(p + m, n) = \mathbf{(0, 0)}$, • 준선의 방정식: $x = -p + m = \mathbf{-1}$이다.

4단계 · 소문항 (4) 쌍곡선의 초점과 점근선 ($k = 2$) (4) $k = 2$이면 주어진 방정식은 $x^2 + y^2 = (2x + 1)^2$이므로 \[3x^2 + 4x - y^2 = -1 \iff 3\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 - y^2 = \frac{1}{3} \iff \frac{\left(x + \dfrac{2}{3}\right)^2}{\dfrac{1}{9}} - \frac{y^2}{\dfrac{1}{3}} = 1\] 이다. 따라서 $k = 2$이면 주어진 방정식은 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{\dfrac{1}{9}} - \dfrac{y^2}{\dfrac{1}{3}} = 1$을 $x$축의 방향으로 $-\dfrac{2}{3}$만큼 평행이동한 쌍곡선이 된다.
제시문 【다】에서 $a = \dfrac{1}{3}, \; b = \dfrac{\sqrt{3}}{3}, \; c = \sqrt{a^2 + b^2} = \dfrac{2}{3}$이고 $m = -\dfrac{2}{3}, \; n = 0$이므로,
• 초점의 좌표: $\mathbf{(0, 0), \; \left(-\frac{4}{3}, 0\right)}$, • 점근선의 방정식: $\mathbf{y = \pm\sqrt{3}\left(x + \frac{2}{3}\right)}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
(1단계)	$k = 0$일 때 $x^2 + y^2 = 1$로부터 중심 $(0, 0)$, 반지름 $1$인 원임을 도출함 (6점)	7점
(2단계)	$k = \frac{1}{2}$일 때 표준형 $\frac{(x - 2/3)^2}{16/9} + \frac{y^2}{4/3} = 1$로 정리하여 초점 $(\frac{4}{3}, 0), (0, 0)$ 및 네 꼭짓점 좌표를 구함 (8점)	7점
(3단계)	$k = 1$일 때 $y^2 = 2(x + \frac{1}{2})$로 정리하여 포물선의 초점 $(0, 0)$과 준선 $x = -1$을 구함 (8점)	8점
(4단계)	$k = 2$일 때 표준형 $\frac{(x + 2/3)^2}{1/9} - \frac{y^2}{1/3} = 1$로 정리하여 초점 $(0, 0), (-\frac{4}{3}, 0)$과 점근선 $y = \pm\sqrt{3}(x + \frac{2}{3})$을 구함 (8점)	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 QUESTIO 감점 방지 클리닉 (이차곡선의 이심률 $k$에 따른 통합적 이해):
주어진 방정식 $\sqrt{x^2 + y^2} = |kx + 1| = |k|\left|x + \dfrac{1}{k}\right|$ ($k \neq 0$)는 사실 원점 $(0, 0)$을 한 초점으로 하고 직선 $x = -\dfrac{1}{k}$을 준선으로 하며 이심률이 $e = |k|$인 이차곡선의 방정식입니다. 따라서 $k = \dfrac{1}{2}, 1, 2$인 세 경우 모두 한 초점이 항상 원점 $(0, 0)$이 됨을 검산에 활용하면 계산 실수를 완벽히 예방할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) 중심 $(0,0)$, 반지름 $1$ | (2) 타원 초점·꼭짓점 | (3) 포물선 초점 $(\frac{1}{2},0)$, 준선 $x=-\frac{1}{2}$ | (4) 쌍곡선 초점·점근선 동국대학교 공식 기준 (30점)

📚 과목/단원: 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 탄젠트함수의 덧셈정리, 역함수 미분법, 치환적분법 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

【가】 코사인함수와 탄젠트함수의 덧셈정리는 각각 다음과 같다. \[\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta, \qquad \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}\]

- 『고등학교 미적분』

【나】 미분가능한 함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 존재하고 미분가능할 때, \[y = f^{-1}(x)\text{의 도함수는 } (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]

- 『고등학교 미적분』

【다】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x = g(t)$의 도함수 $g'(t)$가 $a = g(\alpha), \; b = g(\beta)$일 때 $\alpha, \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면 \[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g'(t)\,dt\]

- 『고등학교 미적분』

[문제 2] 함수 $f(x) = \sin x + 4x + 1$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 존재하고 미분가능하다. 실수 $t$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선을 $l_1$, 곡선 $y = f^{-1}(x)$ 위의 점 $(f(t), t)$에서의 접선을 $l_2$라 하고, $l_1$과 $l_2$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때, $g(t) = \tan\theta$라고 하자. 다음 물음에 답하시오. [30점]

(1) $g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$의 값을 구하시오.

(2) 함수 $g(t)$의 최솟값을 구하시오.

(3) $\displaystyle\int_{f(0)}^{f(2\pi)} g(f^{-1}(x))\,dx$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-1. 여러 가지 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.8 탐구 808 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-08]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x^3 + 2x + 1$의 역함수를 $g(x)$라 하자. 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, 4)$에서의 접선의 기울기를 $m_1$, 곡선 $y = g(x)$ 위의 점 $(4, 1)$에서의 접선의 기울기를 $m_2$라 할 때, 두 접선이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\tan\theta$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x) = 3x^2 + 2$이므로 $m_1 = f'(1) = 5$이고, 역함수의 미분법에 의해 $m_2 = g'(4) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{5}$이다. 탄젠트 덧셈정리에 의하여 $\tan\theta = \left|\dfrac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right| = \dfrac{5 - \frac{1}{5}}{1 + 1} = \mathbf{\dfrac{12}{5}}$이다.
※ 해설 가이드: 2024학년도 동국대 기출 문제 2의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 논리적으로 서술함.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 문제 2 [배점 30점]

함수 $f(x) = \sin x + 4x + 1$과 그 역함수 $f^{-1}(x)$에 대하여 대응하는 두 점에서의 접선 $l_1, l_2$가 이루는 예각 $\theta_t$의 $\tan\theta_t$를 구하고 정적분 $\int_0^\pi \tan\theta_t\,dt$를 계산하기

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 8 · 총 30점

💡 동국대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

1단계 ~ 2단계 · 소문항 (1) $g(\pi/2)$의 값 (1) 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 기울기는 $f'(t) = \cos t + 4$이고, 이 접선과 $x$축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 $\alpha$라고 하면 $\tan\alpha = f'(t) = \cos t + 4$이다. 또한 제시문 【나】의 역함수 미분법에 의해 곡선 $y = f^{-1}(x)$ 위의 점 $(f(t), t)$에서의 접선의 기울기는 $\dfrac{1}{f'(t)}$이고, 이 접선과 $x$축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 $\beta$라고 하면 $\tan\beta = \dfrac{1}{f'(t)}$이다.
그러므로 $f'(t) = \cos t + 4 \ge 3 \gt 1$에서 $\alpha \gt \beta$이고, 제시문 【가】에 의하여 \[g(t) = \tan\theta = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} = \frac{(f'(t))^2 - 1}{2f'(t)}\] 이다. $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\dfrac{\pi}{2} + 4 = 4$이므로 $\mathbf{g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{4^2 - 1}{2 \cdot 4} = \frac{15}{8}}$이다.

3단계 ~ 4단계 · 소문항 (2) 함수 $g(t)$의 최솟값 (2) $g(t) = \dfrac{(\cos t + 4)^2 - 1}{2(\cos t + 4)}$에서 $\cos t + 4 = s$ ($3 \le s \le 5$)로 치환하면 $g(t)$의 최솟값은 $h(s) = \dfrac{s^2 - 1}{2s}$ ($3 \le s \le 5$)의 최솟값과 같다. $h'(s) = \dfrac{1 + s^2}{2s^2} \gt 0$ 이므로 $h(s)$는 구간 $[3, 5]$에서 증가함수이다. 따라서 $s = 3$일 때, 함수 $g(t)$의 최솟값은 $\mathbf{h(3) = \frac{3^2 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{3}}$이다.

5단계 ~ 6단계 · 소문항 (3) 정적분의 값 (3) $x = f(t)$ ($0 \le t \le 2\pi$)와 제시문 【다】의 치환적분법을 이용하면 $\displaystyle\int_{f(0)}^{f(2\pi)} g(f^{-1}(x))\,dx = \int_{0}^{2\pi} g(t)f'(t)\,dt$이다. 그런데 $g(t) = \dfrac{(f'(t))^2 - 1}{2f'(t)}$이고 $f'(t) = \cos t + 4$이므로 \[\int_{f(0)}^{f(2\pi)} g(f^{-1}(x))\,dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}\left((\cos t + 4)^2 - 1\right)dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} (\cos^2 t + 8\cos t + 15)\,dt\] 이고, $\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \cos^2 t\,dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{\cos 2t + 1}{2}\,dt = \left[\frac{\sin 2t}{4} + \frac{t}{2}\right]_{0}^{2\pi} = \pi$, $\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \cos t\,dt = [\sin t]_{0}^{2\pi} = 0$이다.
따라서 $\displaystyle\int_{f(0)}^{f(2\pi)} g(f^{-1}(x))\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} (\cos^2 t + 8\cos t + 15)\,dt = \frac{1}{2}(\pi + 0 + 30\pi) = \mathbf{\frac{31\pi}{2}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[상 (S·A)]	25~30점	10점
[중 (B·C·D)]	15~24점	10점
[하 (E·F)]	0~14점	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

동국대 수리논술 채점관은 제시문에 주어진 고교 교육과정 기본 정리(핵심개념: 탄젠트함수의 덧셈정리, 역함수 미분법, 치환적분법)의 인용 여부를 가장 중요하게 평가합니다. 결론 도출 과정에서 사용된 공식을 명시하고, 논리적 비약 없이 중간 전개식을 충실히 기재하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] $\tan\theta_t = \dfrac{(f'(t))^2 - 1}{2f'(t)}$, 치환적분을 통한 정적분 값 도출 동국대학교 공식 기준 (30점)

📚 과목/단원: 수학II, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 함수의 증가와 감소, 음함수의 미분법, 속도와 가속도 ⏱️ 권장 시간: 40분

[제시문]

【가】 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $(x, y)$가 $x = f(t), \; y = g(t)$일 때, 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도는 $\left(\dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}\right)$, 즉 $(f'(t), g'(t))$이고, 속도의 크기 또는 속력은 $\sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2}$이다.

- 『고등학교 미적분』

【나】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면 함수 $f(x)$는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.

- 『고등학교 수학II』

【다】 $t$의 함수 $s$가 방정식 $f(t, s) = 0$의 꼴로 주어졌을 때, 이를 $s$의 $t$에 대한 음함수 표현이라고 한다. 음함수 표현 $f(t, s) = 0$에서 $s$를 $t$의 함수로 보고, 양변의 각 항을 $t$에 대하여 미분하여 $\dfrac{ds}{dt}$를 구할 수 있다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 원점 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $1$인 원과 $x$축 위의 점 $\mathrm{A}(a, 0)$가 있다. (단, $2 \le a \le 3$) 점 $\mathrm{P}$는 점 $(1, 0)$에서 출발하여, 시각 $t$가 $0 \le t \lt \dfrac{\pi}{3}$일 때 $\angle\mathrm{POA} = t$를 만족하도록 원 위를 반시계방향으로 움직인다. 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{P}$를 잇는 직선이 원과 만나는 점 중 $\mathrm{P}$가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 시각 $t = t_0$일 때, 점 $\mathrm{Q}$의 위치는 $(0, 1)$이다. 다음 물음에 답하시오. [40점]

(1) $t = t_0$일 때, 점 $\mathrm{Q}$의 속력을 $a$를 이용하여 나타내시오.

(2) $t = t_0$일 때, 점 $\mathrm{Q}$의 속력이 최대가 되도록 하는 $a$의 값과 그 때의 점 $\mathrm{Q}$의 속력을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.18 탐구 809 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-06, 12미적Ⅱ-02-11]

【유사 연습 문제】 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}(x, y)$의 시각 $t$에서의 위치가 $x = 2\cos(t^2 + t),\; y = 2\sin(t^2 + t)$ ($t \ge 0$)로 주어질 때, 시각 $t = 1$에서의 점 $\mathrm{P}$의 속력과 가속도의 크기를 각각 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\theta(t) = t^2 + t$라 하면 $\theta'(t) = 2t + 1$이므로 속도벡터는 $\vec{v}(t) = (-2(2t+1)\sin\theta, \; 2(2t+1)\cos\theta)$이고 속력은 $|\vec{v}(t)| = 2(2t+1)$이다. 따라서 $t=1$일 때 속력은 $2(3) = \mathbf{6}$이고, 접선가속도 $a_T = 4$, 법선가속도 $a_N = 2(3)^2 = 18$이므로 가속도의 크기는 $\sqrt{4^2 + 18^2} = \mathbf{2\sqrt{85}}$이다.
※ 해설 가이드: 2024학년도 동국대 기출 문제 3의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 논리적으로 서술함.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 문제 3 [배점 40점]

단위원 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$와 정점 $\mathrm{A}(a, 0)$에 대하여 $\angle\mathrm{POA} = \sqrt{3}\,\overline{\mathrm{AP}} - \sqrt{3}a + 3t$를 만족할 때, 음함수 미분법으로 점 $\mathrm{P}$의 속력 $v(t)$의 최댓값을 구하기

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 9 · 총 40점

💡 동국대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

1단계 · 각 $s(t)$와 $t$ 사이의 관계식 유도 오른쪽 그림과 같이 시각 $t$에 원점 $\mathrm{O}$와 점 $\mathrm{Q}$를 잇는 직선 $\mathrm{OQ}$와 $x$축의 양의 방향이 이루는 각을 $s(t)$라 하자. $\mathrm{Q}$는 원 위를 움직이므로, $\mathrm{Q}$의 좌표는 $(\cos s(t), \sin s(t))$이고, 제시문 【가】에 의하여 속력은 $\sqrt{(\sin^2 s(t) + \cos^2 s(t))(ds/dt)^2} = |ds/dt|$ 이다. 점 $\mathrm{Q}, \mathrm{P}$로부터 각각 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{h}_{\mathrm{Q}}, \mathrm{h}_{\mathrm{P}}$라 하면, $\angle\mathrm{QAh}_{\mathrm{Q}} = \angle\mathrm{PAh}_{\mathrm{P}}$이므로 $\tan(\angle\mathrm{QAh}_{\mathrm{Q}}) = \tan(\angle\mathrm{PAh}_{\mathrm{P}})$이고 다음을 얻는다. $\dfrac{\sin s(t)}{a - \cos s(t)} = \dfrac{\sin t}{a - \cos t}$

2단계 · 음함수의 미분법 적용 이를 정리하면 $(a - \cos t)\sin s(t) - \sin t(a - \cos s(t)) = 0$이고, 제시문 【다】의 음함수의 미분법에 의해 양변을 $t$에 대하여 미분하면 \[\sin t\sin s(t) + (a - \cos t)\cos s(t)\frac{ds}{dt} - \cos t(a - \cos s(t)) - \sin t\sin s(t)\frac{ds}{dt} = 0\] 이다. 점 $\mathrm{Q}$가 점 $(0, 1)$을 지날 때, $s(t) = \dfrac{\pi}{2}$이므로 $\sin s(t) = 1, \; \cos s(t) = 0$이고, $t = t_0$이므로 이를 위 식에 대입하고 정리하면 $t = t_0$에서 $\mathrm{Q}$의 속력은 $\left|\dfrac{ds}{dt}\right| = \left|1 - a\dfrac{\cos t_0}{\sin t_0}\right|$ 이다.

3단계 · 삼각함수의 덧셈정리와 $t = t_0$에서의 속력 오른쪽 그림과 같이 점 $\mathrm{Q}$의 위치가 $(0, 1)$인 상황에서 $\angle\mathrm{AQO} = \alpha$라 하면 직각삼각형 $\mathrm{AQO}$에서 $\tan\alpha = a$이다.
한편, 이등변삼각형 $\mathrm{OPQ}$에서 직선 $\mathrm{OQ}$와 직선 $\mathrm{OP}$의 길이가 같으므로 $\angle\mathrm{QPO} = \alpha$이고, 삼각형의 내각의 합에 의하여 $t_0 + \dfrac{\pi}{2} = 2\alpha$가 성립한다. 따라서 \[\frac{\cos t_0}{\sin t_0} = \frac{\cos\left(2\alpha - \dfrac{\pi}{2}\right)}{\sin\left(2\alpha - \dfrac{\pi}{2}\right)} = \frac{\sin(2\alpha)}{-\cos(2\alpha)} = -\tan 2\alpha = -\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} = \frac{2a}{a^2 - 1}\] 이고, $a \ge 2$이므로 $t = t_0$일 때 점 $\mathrm{Q}$의 속력은 $\left|1 - \dfrac{2a^2}{a^2 - 1}\right| = \left|-1 - \dfrac{2}{a^2 - 1}\right| = \mathbf{1 + \dfrac{2}{a^2 - 1}}$ (감소함수이므로 $a=2$에서 최댓값 $\mathbf{\dfrac{5}{3}}$) 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계]	점 $\mathrm{Q}$의 좌표를 $(\cos s(t), \sin s(t))$로 두어 속력이 $\left\|\dfrac{ds}{dt}\right\|$임을 밝히고, 직선의 기울기(또는 $\tan$)를 이용하여 $\dfrac{\sin s(t)}{a - \cos s(t)} = \dfrac{\sin t}{a - \cos t}$를 얻는다.	10점
[2단계]	음함수의 미분법을 적용하고 $s(t_0) = \dfrac{\pi}{2}$ ($\sin s(t_0)=1, \cos s(t_0)=0$)를 대입하여 $t = t_0$에서의 속력 $\left\|\dfrac{ds}{dt}\right\| = \left\|1 - a\dfrac{\cos t_0}{\sin t_0}\right\|$을 구한다.	10점
[3단계]	$\angle\mathrm{AQO} = \alpha$ ($\tan\alpha = a$)와 $t_0 + \dfrac{\pi}{2} = 2\alpha$를 이용하여 $\dfrac{\cos t_0}{\sin t_0} = \dfrac{2a}{a^2 - 1}$을 구하고, 속력 $\left\|1 - \dfrac{2a^2}{a^2 - 1}\right\| = 1 + \dfrac{2}{a^2 - 1}$을 도출한다.	10점
[4단계]	$1 + \dfrac{2}{a^2 - 1}$이 $2 \le a \le 3$에서 감소함수임을 보여 $a = 2$일 때 최댓값 $\dfrac{5}{3}$임을 구한다.	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

동국대학교 공식 채점 기준의 A등급 감점 사유에 명시된 바와 같이, [3단계]에서 속력은 항상 양수($\ge 0$)이므로 $1 - \dfrac{2a^2}{a^2 - 1} = -1 - \dfrac{2}{a^2 - 1} \lt 0$에 반드시 절댓값 기호를 씌워 $1 + \dfrac{2}{a^2 - 1}$로 양수화해야 S등급 만점을 받을 수 있습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] 코사인법칙과 음함수 미분법을 통해 $\dfrac{d\theta}{dt}$를 $\theta$로 표현하고 속력 최댓값 산출 동국대학교 공식 기준 (40점)

📚 과목/단원: 기하 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 이차곡선(포물선과 쌍곡선), 이차곡선과 직선(쌍곡선의 접선) ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

【가】 평면 위의 한 점 $\mathrm{F}$와 이 점을 지나지 않은 한 직선 $k$가 주어질 때, 점 $\mathrm{F}$에 이르는 거리와 직선 $k$에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라고 한다. 이때 점 $\mathrm{F}$를 포물선의 초점, 직선 $k$를 포물선의 준선이라고 한다. 또, 포물선의 초점을 지나고 준선에 수직인 직선을 포물선의 축, 축과 포물선의 교점을 포물선의 꼭짓점이라고 한다.

- 『고등학교 기하』

【나】 위성 방송 안테나는 포물선의 축에 평행하게 들어오는 전파가 포물선의 초점에 모이는 성질을 이용하여 약한 전파를 증폭하여 수신할 수 있게 한다. 또한, 자동차의 전조등이나 무대의 조명등은 포물선의 이런 성질을 거꾸로 적용한 것이다. 이제 포물선이 갖는 이와 같은 성질을 다음과 같이 증명해 보자. (중략) 전파가 곡선 위의 한 점에서 반사된다는 것은, 그 점을 지나는 곡선의 접선에 대하여 입사각과 반사각의 크기가 같게 된다는 뜻이다. 따라서 포물선의 축에 평행하게 들어온 전파는 포물선에 반사되어 초점에 모이게 됨을 알 수 있다.

- 『고등학교 기하』

【다】 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

- 『고등학교 기하』

[문제 1] 그림과 같이 단면이 포물선 모양인 거울 $y^2 = 4x$ ($0 \le x \le 4$)의 초점 $\mathrm{F}(1, 0)$에서 쏜 빛이 포물선 위의 점 $\mathrm{G}(2, 2\sqrt{2})$에 반사되어 직진한다. 또한, 이 빛은 단면이 쌍곡선 모양인 거울 $\dfrac{x^2}{18} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ ($3\sqrt{2} \le x \le 9$) 위의 점 $\mathrm{P}$에 반사되어 직진한다. 이때, 직선 $l$은 단면이 쌍곡선 모양인 거울 $\dfrac{x^2}{18} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선이고, 빛이 점 $\mathrm{P}$에서 반사되기 전과 후 직선 $l$과 이루는 각의 크기 $\alpha$와 $\beta$는 같다. 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 직선 $l$의 $x$절편을 구하시오.

(2) 직선 $l$과 $x$축이 이루는 예각 $\gamma$의 크기를 구하시오.

(3) 반사된 후 빛이 지나가는 반직선의 연장선 $m$이 $x$축과 이루는 예각 $\delta$의 크기를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.10 탐구 810 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

【유사 연습 문제】 포물선 $y^2 = 8x$ 위의 점 $\mathrm{P}(2, 4)$에서의 접선을 $l$이라 하고 포물선의 초점을 $\mathrm{F}$라 하자. 접선 $l$이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 할 때, $\overline{\mathrm{FP}} = \overline{\mathrm{FQ}}$가 성립함을 보이고 삼각형 $\mathrm{FPQ}$의 넓이를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 초점은 $\mathrm{F}(2, 0)$이고 점 $\mathrm{P}(2, 4)$에서의 접선의 방정식은 $4y = 4(x + 2) \iff y = x + 2$이므로 $x$절편은 $\mathrm{Q}(-2, 0)$이다. 이때 $\overline{\mathrm{FP}} = 4,\; \overline{\mathrm{FQ}} = 2 - (-2) = 4$이므로 $\overline{\mathrm{FP}} = \overline{\mathrm{FQ}}$가 성립하며, $\operatorname{Area}(\triangle\mathrm{FPQ}) = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = \mathbf{8}$이다.
※ 해설 가이드: 2023학년도 동국대 기출 문제 1의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 논리적으로 서술함.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 문제 1 [배점 30점]

포물선 $y^2 = 4x$의 초점 $\mathrm{F}(1,0)$에서 쏜 빛이 점 $\mathrm{G}(2, 2\sqrt{2})$에서 반사된 후 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{18}-\dfrac{y^2}{4}=1$ 위의 점 $\mathrm{H}$에서 다시 반사될 때 빛이 향하는 목표 지점의 좌표 구하기

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 10 · 총 30점

💡 동국대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

1단계 · 소문항 (1) 점 $\mathrm{P}$의 좌표와 직선 $l$의 $x$절편 (1) 제시문 【나】에 의해 포물선 $y^2 = 4x$의 초점 $\mathrm{F}(1, 0)$에서 출발하여 포물선 위의 점 $\mathrm{G}(2, 2\sqrt{2})$에 부딪쳐 반사되어 진행하는 빛은 포물선의 축인 $x$축과 평행하게 직선 $y = 2\sqrt{2}$를 따라 진행한다.
이 빛이 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{18} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ ($3\sqrt{2} \le x \le 9$)과 만나는 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $y = 2\sqrt{2}$를 대입하면 $\dfrac{x^2}{18} - \dfrac{8}{4} = 1 \implies x^2 = 54$이고 $x \gt 0$이므로 $\mathrm{P}(3\sqrt{6}, 2\sqrt{2})$이다.
제시문 【다】에 의해 점 $\mathrm{P}(3\sqrt{6}, 2\sqrt{2})$에서의 접선 $l$의 방정식은 \[\frac{3\sqrt{6}\,x}{18} - \frac{2\sqrt{2}\,y}{4} = 1 \iff \frac{\sqrt{6}}{6}x - \frac{\sqrt{2}}{2}y = 1\] 이고, $y = 0$을 대입하면 직선 $l$의 $x$절편은 $\mathbf{\sqrt{6}}$이다.

2단계 · 소문항 (2) 직선 $l$과 $x$축이 이루는 예각 $\gamma$ (2) 접선 $l$의 방정식을 $y$에 관하여 정리하면 \[y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - \sqrt{2}\] 이고, 직선 $l$의 기울기는 $\tan\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$이므로 예각 $\gamma$의 크기는 $\mathbf{\gamma = \frac{\pi}{6}}$이다.

3단계 · 소문항 (3) 반사 후 연장선 $m$이 $x$축과 이루는 예각 $\delta$ (3) 점 $\mathrm{P}$에 반사되기 전 빛의 직진 방향(직선 $y = 2\sqrt{2}$)은 $x$축과 평행하므로, 이 빛과 접선 $l$이 이루는 각 $\alpha$는 접선 $l$이 $x$축과 이루는 각 $\gamma$와 엇각으로 같아 $\alpha = \gamma = \dfrac{\pi}{6}$이다. 또한 입사각과 반사각의 크기가 같으므로 $\beta = \alpha = \dfrac{\pi}{6}$이다.
반사되기 전 빛의 진행 직선과 $x$축이 평행하므로 직선 $m$과 $x$축이 이루는 예각 $\delta$는 각 $\beta + \gamma$와 동위각으로 같다. 따라서 \[\mathbf{\delta = \beta + \gamma = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}}\] 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[상]	S	4점
A	[1단계]부터 [3단계]까지 모든 단계를 작성하고 2개 소문항의 답을 정확하게 얻은 경우	4점
[중]	B	4점
C	[1단계]부터 [3단계] 중 두 단계를 작성하고 1개 소문항의 답을 정확하게 얻은 경우	4점
D	[1단계]부터 [3단계] 중 한 단계를 작성하고 1개 소문항의 답을 정확하게 얻은 경우	4점
[하]	E	5점
F	어느 단계의 일부분도 논증이 매끄럽게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

동국대 수리논술 채점관은 제시문에 주어진 고교 교육과정 기본 정리(핵심개념: 이차곡선(포물선과 쌍곡선), 이차곡선과 직선(쌍곡선의 접선))의 인용 여부를 가장 중요하게 평가합니다. 결론 도출 과정에서 사용된 공식을 명시하고, 논리적 비약 없이 중간 전개식을 충실히 기재하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] 포물선 축 평행 반사 성질 $y = 2\sqrt{2}$ 및 쌍곡선 초점 반사 성질을 통해 $(12, 0)$ 도출 동국대학교 공식 기준 (30점)

📚 과목/단원: 확률과 통계, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 이산확률변수의 기댓값과 분산, 정적분과 급수의 합, 수열의 극한 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

【가】 이산확률변수 $X$의 확률질량함수가 $\mathrm{P}(X = x_i) = p_i$ ($i = 1, 2, 3, \cdots, n$)일 때, $X$의 기댓값(평균)과 분산은 다음과 같이 정의된다.
① 기댓값(평균) $\mathrm{E}(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$
② 분산 $\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}((X - m)^2) = (x_1 - m)^2 p_1 + (x_2 - m)^2 p_2 + \cdots + (x_n - m)^2 p_n$ (단, $m = \mathrm{E}(X)$)
위 분산은 다음과 같은 방법으로도 간단하게 구할 수 있다. \[\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2 = (x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + \cdots + x_n^2 p_n) - m^2\]

- 『고등학교 확률과 통계』

【나】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$를 포함하는 열린구간에서 연속일 때 \[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x = \int_{a}^{b} f(x)\,dx \qquad \left(\text{단, } \Delta x = \frac{b-a}{n}, \; x_k = a + k\Delta x\right)\]

- 『고등학교 미적분』

【다】 두 수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$이 $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = L, \; \lim\limits_{n\to\infty} b_n = M$ ($L, M$은 실수)일 때
① $\lim\limits_{n\to\infty} ca_n = cL$ (단, $c$는 상수) ② $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n + b_n) = L + M$ ③ $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n - b_n) = L - M$
④ $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n b_n) = LM$ ⑤ $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{L}{M}$ (단, $b_n \neq 0, M \neq 0$)

- 『고등학교 미적분』

[문제 2] 이산확률변수 $X$의 확률질량함수 $\mathrm{P}(X)$가 다음과 같이 정의되었다고 가정할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}\mathrm{E}(X)$와 $\lim\limits_{n\to\infty}\mathrm{V}(X)$를 구하시오. <15줄 이내> [30점]

① $\mathrm{P}(X = x_i) = \dfrac{g(x_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n} g(x_j)}$ ($i = 1, 2, 3, \cdots, n$)

② $g(x) = e^{-ax}$ $\left(\text{단, } e = \lim\limits_{x\to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}}\text{이다. } a\text{는 상수이고, } a \gt 0\text{이다.}\right)$

③ $\Delta x = \dfrac{1}{n}, \; x_i = i\Delta x$ ($i = 1, 2, 3, \cdots, n$)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 (DB: PS_Ch03) PDF p.6 탐구 811 변형 | 성취기준: 12확통03-01, 12확통03-02]

【유사 연습 문제】 자연수 $n$에 대하여 $1$부터 $n$까지의 자연수가 하나씩 적힌 $n$장의 카드 중에서 임의로 한 장을 뽑을 때 적힌 수를 $X_n$이라 하자. 확률변수 $Y_n = \dfrac{X_n}{n}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \mathrm{E}(Y_n)$과 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \mathrm{V}(Y_n)$의 값을 각각 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\mathrm{P}(Y_n = \frac{k}{n}) = \frac{1}{n}$이므로 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(Y_n) = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n}\cdot\frac{1}{n} = \int_0^1 x\,dx = \mathbf{\frac{1}{2}}$이고, $\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(Y_n^2) = \int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$이므로 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{V}(Y_n) = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \mathbf{\frac{1}{12}}$이다.
※ 해설 가이드: 2023학년도 동국대 기출 문제 2의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 논리적으로 서술함.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 문제 2 [배점 30점]

이산확률변수 $X$가 $x_i = 1 + \frac{2}{n}i$에서 확률 $\mathrm{P}(X=x_i) = \frac{1}{c}(1+\frac{2}{n}i)^3$을 가질 때, 정적분과 급수의 합을 이용하여 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X)$와 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{V}(X)$를 구하기

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 11 · 총 30점

💡 동국대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

1단계 · 기댓값 $\mathrm{E}(X)$의 정적분 표현 제시문 【가】에 의하여 이산확률변수 $X$의 기댓값은 $\mathrm{E}(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i\mathrm{P}(X = x_i) = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i g(x_i)\Delta x}{\sum_{j=1}^{n} g(x_j)\Delta x}$ 이고, 제시문 【나】의 정적분과 급수의 합 사이의 관계 및 제시문 【다】의 수열의 극한의 기본 성질에 의하여 (단, $a \gt 0$이므로 $\displaystyle\int_0^1 e^{-ax}\,dx = \left[-\frac{1}{a}e^{-ax}\right]_0^1 = \frac{1 - e^{-a}}{a} \neq 0$) \[\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X) = \frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} x_i g(x_i)\Delta x}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^{n} g(x_j)\Delta x} = \frac{\displaystyle\int_{0}^{1} x g(x)\,dx}{\displaystyle\int_{0}^{1} g(x)\,dx} = \frac{\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{-ax}\,dx}{\displaystyle\int_{0}^{1} e^{-ax}\,dx} = \frac{\displaystyle\int_{0}^{1} a x e^{-ax}\,dx}{1 - e^{-a}}\]

2단계 · 부분적분법을 이용한 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X)$ 계산 부분적분법을 이용하여 분자의 정적분을 계산하면 \[\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X) = \frac{1}{1 - e^{-a}}\left\{\left[-x e^{-ax}\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (-e^{-ax})\,dx\right\} = \frac{1}{1 - e^{-a}}\left(-e^{-a} + \left[-\frac{1}{a}e^{-ax}\right]_{0}^{1}\right) = \frac{1}{1 - e^{-a}}\left(-e^{-a} - \frac{1}{a}e^{-a} + \frac{1}{a}\right) = \mathbf{\frac{1}{a} - \frac{e^{-a}}{1 - e^{-a}}}\]

3단계 · 분산 $\mathrm{V}(X)$와 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X^2)$의 정적분 표현 제시문 【가】에 의하여 $\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2$이고, $\mathrm{E}(X^2) = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^2 g(x_i)\Delta x}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n} g(x_j)\Delta x}$이므로 제시문 【나】, 【다】에 의해 $\lim\limits_{n\to\infty}\mathrm{E}(X^2) = \frac{\int_{0}^{1} x^2 e^{-ax}\,dx}{\int_{0}^{1} e^{-ax}\,dx} = \frac{\int_{0}^{1} a x^2 e^{-ax}\,dx}{1 - e^{-a}}$

4단계 · 부분적분법을 이용한 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X^2)$ 계산 부분적분법과 [2단계]의 결과를 이용하면 \[\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X^2) = \frac{1}{1 - e^{-a}}\left\{\left[-x^2 e^{-ax}\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (-2x e^{-ax})\,dx\right\} = \frac{-e^{-a}}{1 - e^{-a}} + \frac{2}{a}\cdot\frac{\displaystyle\int_{0}^{1} a x e^{-ax}\,dx}{1 - e^{-a}} = -\frac{e^{-a}}{1 - e^{-a}} + \frac{2}{a}\left\{\frac{1}{a} - \frac{e^{-a}}{1 - e^{-a}}\right\}\]

5단계 ~ 6단계 · $\lim_{n\to\infty}\{\mathrm{E}(X)\}^2$ 및 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{V}(X)$ 도출 제시문 【다】와 [2단계]에 의하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{\mathrm{E}(X)\}^2 = \left\{\frac{1}{a} - \frac{e^{-a}}{1 - e^{-a}}\right\}^2 = \frac{1}{a^2} - \frac{2}{a}\cdot\frac{e^{-a}}{1 - e^{-a}} + \left(\frac{e^{-a}}{1 - e^{-a}}\right)^2$이다. 따라서 \[\lim_{n\to\infty}\mathrm{V}(X) = \lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X^2) - \lim_{n\to\infty}\{\mathrm{E}(X)\}^2 = \frac{1}{a^2} - \frac{e^{-a}}{1 - e^{-a}}\left(1 + \frac{e^{-a}}{1 - e^{-a}}\right) = \mathbf{\frac{1}{a^2} - \frac{e^{-a}}{(1 - e^{-a})^2}}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1~2단계]	정적분과 급수의 합으로 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X) = \frac{\int_0^1 ax e^{-ax}dx}{1 - e^{-a}}$를 세우고 부분적분으로 $\frac{1}{a} - \frac{e^{-a}}{1 - e^{-a}}$를 구함 (10점)	10점
[3~4단계]	$\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X^2) = \frac{\int_0^1 ax^2 e^{-ax}dx}{1 - e^{-a}}$를 세우고 부분적분으로 $-\frac{e^{-a}}{1 - e^{-a}} + \frac{2}{a}\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X)$를 구함 (10점)	10점
[5~6단계]	$\lim_{n\to\infty}\mathrm{V}(X) = \lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X^2) - \{\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X)\}^2 = \frac{1}{a^2} - \frac{e^{-a}}{(1 - e^{-a})^2}$를 정확히 도출함 (10점)	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

1) [1단계]에서 $\mathrm{P}(X = x_i) = \dfrac{g(x_i)}{\sum_{j=1}^n g(x_j)}$의 분모·분자에 동시에 $\Delta x = \dfrac{1}{n}$을 곱하여 정적분으로 바꾸고, 제시문 【다】의 ⑤번 성질($\lim \dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{L}{M}$)을 적용하기 위해 분모의 극한값 $\displaystyle\int_0^1 e^{-ax}\,dx = \dfrac{1-e^{-a}}{a} \neq 0$임을 명시하면 논증이 완벽해집니다.
2) [4단계]에서 $\displaystyle\int_0^1 x^2 e^{-ax}\,dx$를 처음부터 끝까지 다시 적분하기보다 부분적분 1회 후 [2단계]의 $\lim\limits_{n\to\infty}\mathrm{E}(X)$ 값을 그대로 대입하면 $\dfrac{2}{a}\lim\limits_{n\to\infty}\mathrm{E}(X)$ 항이 [5단계]의 전개식과 깔끔하게 소거되어 계산 실수를 원천 차단할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] 정적분 변환 $\int_1^3 x^k\,dx$를 이용하여 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X) = \dfrac{121}{50}$, $\lim_{n\to\infty}\mathrm{V}(X)$ 산출 동국대학교 공식 기준 (30점)

📚 과목/단원: 수학II, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 등비급수, 평면운동의 속도와 가속도, 정적분과 넓이·입체도형의 부피 ⏱️ 권장 시간: 40분

[제시문]

【가】 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$의 부분합으로 이루어진 수열 $\{S_n\}$이 일정한 값 $S$에 수렴할 때, 즉 $\lim\limits_{n\to\infty} S_n = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n} a_k = S$일 때, 이 급수는 $S$에 수렴한다고 하고 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$와 같이 나타낸다.

- 『고등학교 미적분』

【나】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $f(x) \ge 0$일 때, 정적분 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx$는 곡선 $y = f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x = a, \; x = b$로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

- 『고등학교 수학II』

【다】 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치가 $x = x(t), \; y = y(t)$일 때, 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도는 $(x'(t), y'(t))$이고 가속도는 $(x''(t), y''(t))$이다.

- 『고등학교 미적분』

【라】 닫힌구간 $[a, b]$의 임의의 점 $x$에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S(x)$인 입체도형의 부피 $V$는 $V = \displaystyle\int_{a}^{b} S(x)\,dx$이다. 단, $S(x)$는 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수이다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 시각 $t = 0$일 때 좌표평면 상의 원점 $\mathrm{O}$에서 $(a, b)$의 속도로 쏘아올린 물체 $\mathrm{M}$은 다음과 같은 규칙에 따라 움직인다. (단, $a$와 $b$는 상수이고, $a \gt 0, \; b \gt 0$이다.) <27줄 이내> [40점]

■ $\mathrm{M}$은 크기를 무시할 수 있을 만큼 아주 작으며, 시각 $t$에서 $\mathrm{M}$의 위치가 함수 $x = x(t), \; y = y(t)$로 나타내어질 때 항상 $x(t) \ge 0, \; y(t) \ge 0$이다.

■ $y(t) \gt 0$인 시각 $t \gt 0$에서는 항상 $\mathrm{M}$의 가속도는 $(0, -g)$이다. (단, $g$는 상수이고, $g \gt 0$이다.)

■ $\mathrm{M}$이 $x$축에 충돌하는 시각을 순서대로 $t = t_1, t_2, \cdots$ ($0 \lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots$)라 할 때, 각각의 충돌 시각 $t = t_n$에 대해 충돌 전후 $\mathrm{M}$의 속도의 $x$성분은 변화가 없고, 충돌 직후 $\mathrm{M}$의 속도의 $y$성분은 충돌 직전 $\mathrm{M}$의 속도의 $y$성분의 $-\dfrac{1}{2}$배이다.

(1) $\lim\limits_{n\to\infty} t_n$의 값을 구하시오.

(2) $\mathrm{M}$이 그리는 곡선과 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

(3) 위 (2)번에서 기술한 도형을 밑면으로 하고 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅰ-2. 급수 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 812 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-05]

【유사 연습 문제】 높이 $16\,\mathrm{m}$인 곳에서 가만히 떨어뜨린 공이 지면에 충돌할 때마다 직전 낙하 높이의 $\dfrac{1}{4}$만큼 수직으로 튀어 오른다고 한다. 공이 처음 지면에 닿는 순간부터 완전히 멈출 때까지 공이 움직인 총 거리를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 처음 낙하 거리는 $16$이고, 이후 튀어 오르고 내려오는 왕복 거리는 첫째항이 $2 \times 16 \times \dfrac{1}{4} = 8$, 공비가 $\dfrac{1}{4}$인 등비급수를 이룬다. 따라서 총 이동 거리는 $16 + \dfrac{8}{1 - \frac{1}{4}} = 16 + \dfrac{32}{3} = \mathbf{\dfrac{80}{3}\,(\mathrm{m})}$이다.
※ 해설 가이드: 2023학년도 동국대 기출 문제 3의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 논리적으로 서술함.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 문제 3 [배점 40점]

원점에서 속도 $(a, b)$로 쏘아올린 물체가 지면과 충돌할 때마다 수직 속도가 반감하며 포물선 궤적을 그릴 때, 정지할 때까지의 이동 거리, 소요 시간 및 포물선 아래 정사각형 단면 입체도형의 부피 합을 등비급수로 구하기

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 12 · 총 40점

💡 동국대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

1단계 · $0 \le t \le t_1$에서 물체 $\mathrm{M}$의 위치 $(x(t), y(t))$ 도출 제시문 【다】와 문제의 규칙으로부터 시각 $0 \lt t \lt t_1$에서 $x''(t) = 0, \; y''(t) = -g$이고 $x'(0) = a, \; y'(0) = b$이므로 $x'(t) = a, \; y'(t) = b - gt$ 이다. 또한 $x(0) = 0, \; y(0) = 0$이므로 $0 \le t \le t_1$일 때 $\mathrm{M}$의 위치는 $\mathbf{x(t) = at, \; y(t) = bt - \frac{1}{2}gt^2}$ 이다. (단, 충돌 전후 속도의 $x$성분은 변화가 없으므로 모든 $t \ge 0$에서 $x(t) = at$이다.)

2단계 · 소문항 (1) $\lim_{n\to\infty} t_n$의 값 (1) $y(t_1) = bt_1 - \dfrac{1}{2}gt_1^2 = 0$ ($t_1 \gt 0$)으로부터 $t_1 = \dfrac{2b}{g}$이고, $t = t_1$에서 충돌 직전 속도의 $y$성분은 $y'(t_1-) = b - gt_1 = -b$이므로 충돌 직후 속도의 $y$성분은 $(-b)\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{b}{2}$이다. 일반적으로 $n$번째 포물선 구간 $[t_{n-1}, t_n]$ ($t_0 = 0$)이 시작될 때 속도의 $y$성분은 $b_n = \dfrac{b}{2^{n-1}}$이므로 구간 $[t_{n-1}, t_n]$의 비행 시간은 $\Delta t_n = t_n - t_{n-1} = \frac{2b_n}{g} = \frac{2b}{g}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ 이다. 수열 $\{\Delta t_n\}$은 첫째항이 $\dfrac{2b}{g}$이고 공비가 $\dfrac{1}{2}$인 등비수열이므로 제시문 【가】에 의하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} t_n = \sum_{n=1}^{\infty}\Delta t_n = \frac{2b/g}{1 - 1/2} = \mathbf{\frac{4b}{g}}$

3단계 · 소문항 (2) 곡선과 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 (2) $0 \le t \le t_1$일 때 $t = \dfrac{x}{a}$를 $y(t)$에 대입하면 $\mathrm{M}$이 그리는 곡선의 방정식은 $y = \dfrac{b}{a}x - \dfrac{g}{2a^2}x^2$ ($0 \le x \le \dfrac{2ab}{g}$)이다. 제시문 【나】에 의하여 이 구간에서 곡선과 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $A_1$은 \[A_1 = \int_{0}^{\frac{2ab}{g}}\left(\frac{b}{a}x - \frac{g}{2a^2}x^2\right)dx = \left[\frac{b}{2a}x^2 - \frac{g}{6a^2}x^3\right]_{0}^{\frac{2ab}{g}} = \frac{2ab^3}{g^2} - \frac{4ab^3}{3g^2} = \frac{2ab^3}{3g^2}\] 이다. 마찬가지 방법으로 구간 $[t_{n-1}, t_n]$에서 $\mathrm{M}$이 그리는 곡선과 $x$축으로 둘러싸인 넓이 $A_n$은 $b$ 대신 $b_n = \dfrac{b}{2^{n-1}}$을 대입한 값과 같으므로 $A_n = \dfrac{2ab_n^3}{3g^2} = \dfrac{2ab^3}{3g^2}\left(\dfrac{1}{8}\right)^{n-1}$이다. 즉, 수열 $\{A_n\}$은 첫째항이 $\dfrac{2ab^3}{3g^2}$이고 공비가 $\dfrac{1}{8}$인 등비수열이므로 구하는 전체 넓이는 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} A_n = \frac{2ab^3/(3g^2)}{1 - 1/8} = \mathbf{\frac{16ab^3}{21g^2}}$

4단계 · 소문항 (3) 정사각형 단면을 갖는 입체도형의 부피 (3) 제시문 【라】에 의하여 $0 \le t \le t_1$ 구간에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 정사각형 단면의 넓이는 $S(x) = y^2 = \left(\dfrac{b}{a}x - \dfrac{g}{2a^2}x^2\right)^2$이므로 첫 번째 구간의 입체도형의 부피 $V_1$은 \[V_1 = \int_{0}^{\frac{2ab}{g}}\left(\frac{b}{a}x - \frac{g}{2a^2}x^2\right)^2 dx = \left[\frac{g^2}{20a^4}x^5 - \frac{bg}{4a^3}x^4 + \frac{b^2}{3a^2}x^3\right]_{0}^{\frac{2ab}{g}} = \left(\frac{32}{20} - \frac{16}{4} + \frac{8}{3}\right)\frac{ab^5}{g^3} = \frac{4ab^5}{15g^3}\] 이다. 마찬가지로 구간 $[t_{n-1}, t_n]$에서의 부피 $V_n = \dfrac{4ab_n^5}{15g^3} = \dfrac{4ab^5}{15g^3}\left(\dfrac{1}{32}\right)^{n-1}$은 첫째항이 $\dfrac{4ab^5}{15g^3}$이고 공비가 $\dfrac{1}{32}$인 등비수열이므로 구하는 입체도형의 전체 부피는 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} V_n = \frac{4ab^5/(15g^3)}{1 - 1/32} = \mathbf{\frac{128ab^5}{465g^3}}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계]	가속도 $(0, -g)$와 초기속도 $(a, b)$를 적분하여 $0 \le t \le t_1$일 때 $\mathrm{M}$의 위치 $x(t) = at, \; y(t) = bt - \dfrac{1}{2}gt^2$을 구한다.	10점
[2단계]	$t_1 = \dfrac{2b}{g}$를 구하고, $t_n - t_{n-1}$이 첫째항 $\dfrac{2b}{g}$, 공비 $\dfrac{1}{2}$인 등비수열임을 이용하여 $\lim\limits_{n\to\infty} t_n = \dfrac{4b}{g}$를 구한다.	10점
[3단계]	$0 \le t \le t_1$에서 곡선 $y = \dfrac{b}{a}x - \dfrac{g}{2a^2}x^2$과 $x$축으로 둘러싸인 넓이 $\dfrac{2ab^3}{3g^2}$를 구하고, 공비 $\dfrac{1}{8}$인 등비급수의 합으로 전체 넓이 $\dfrac{16ab^3}{21g^2}$를 구한다.	10점
[4단계]	$0 \le t \le t_1$에서 정사각형 단면의 입체도형 부피 $\dfrac{4ab^5}{15g^3}$를 구하고, 공비 $\dfrac{1}{32}$인 등비급수의 합으로 전체 부피 $\dfrac{128ab^5}{465g^3}$를 구한다.	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

소문항 (2)와 (3)에서 $t$에 대한 적분이 아니라 $x$에 대한 정적분($dx = a\,dt$)이므로, 매개변수 $t$로 적분할 때는 반드시 $dx = a\,dt$를 곱하여 $A_1 = \displaystyle\int_0^{t_1} y(t)\cdot a\,dt = \dfrac{2ab^3}{3g^2}$, $V_1 = \displaystyle\int_0^{t_1} \{y(t)\}^2\cdot a\,dt = \dfrac{4ab^5}{15g^3}$로 계산해야 상수 $a$가 누락되지 않습니다!

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] 등비급수 공식 $\dfrac{A}{1-r}$과 단면 적분을 통한 총 시간, 수평 도달 거리 및 부피 합 도출 동국대학교 공식 기준 (40점)

📚 과목/단원: 수학, 수학II, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 미분계수, 정적분, 이계도함수 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

【가】 미분가능한 함수 $y = f(x)$의 도함수는 \[f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\]

- 『고등학교 수학 II』

【나】 임의의 두 실수 $a, b$를 포함하는 구간에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C$ ($C$는 적분상수)일 때 \[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

- 『고등학교 수학 II』

【다】 $y = f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 미분가능할 때 함수 $f'(x)$의 도함수 \[\lim_{h\to 0}\frac{f'(x + h) - f'(x)}{h}\] 를 함수 $y = f(x)$의 이계도함수라 하고, 이것을 기호로 \[f''(x), \quad y'', \quad \frac{d^2 y}{dx^2}, \quad \frac{d^2}{dx^2}f(x)\] 와 같이 나타낸다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 1] 실수 전체에서 도함수와 이계도함수가 존재하는 함수 $f$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 \[f(x + y) - f(x - y) = 2f(y)f'(x), \qquad f(0) = 0, \qquad f(1) = a \; (a \gt 0)\] 를 만족한다고 하자. 이 때, $f'(0), \; f''(0), \; \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx$를 각각 구하시오. <15줄 이내> [30점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 813 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

【유사 연습 문제】 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 $f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy$를 만족시키고 $f'(0) = 3$일 때, 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x)$를 구하고 정적분 $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x=y=0$을 대입하면 $f(0)=0$이다. $f'(x) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(h)+2xh}{h} = f'(0) + 2x = 2x + 3$이므로 $f(x) = x^2 + 3x$이다. 따라서 $\displaystyle\int_0^2 (x^2+3x)\,dx = \left[\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2\right]_0^2 = \frac{8}{3} + 6 = \mathbf{\frac{26}{3}}$이다.
※ 해설 가이드: 2022학년도 동국대 기출 문제 1의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 논리적으로 서술함.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 문제 1 [배점 30점]

함수방정식 $f(x+y) - f(x-y) = 2f(y)f'(x)$와 $f(0)=0,\; f(1)=a\;(a \gt 0)$를 만족하는 이계도함수 존재 함수 $f$에 대하여 $f'(0),\; f''(0),\; \int_0^2 f(x)\,dx$를 $a$로 나타내기

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 13 · 총 30점

💡 동국대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

모든 실수 $x, y$에 대해 만족하는 다음 식 $f(x + y) - f(x - y) = 2f(y)f'(x)$을 식 (1)이라고 하자.

1단계 · $f'(0)$의 값 구하기 식 (1)을 $0$이 아닌 실수 $y$로 나누고 $f(0) = 0$임을 이용하면 $\dfrac{f(x + y) - f(x - y)}{2y} = \dfrac{f(y) - f(0)}{y}f'(x)$이다. $y$가 $0$으로 가까이 가면 미분계수의 정의에 의해 \[\lim_{y\to 0}\frac{f(x + y) - f(x - y)}{2y} = \lim_{y\to 0}\frac{f(y) - f(0)}{y}f'(x) \implies f'(x) = f'(0)f'(x)\] 이므로 $f'(0) = 1$ 또는 $f'(x)$는 상수함수 $0$이다. 그런데 $f(0) = 0$이고 $f(1) = a \gt 0$이므로 $f'(x)$는 상수함수 $0$이 될 수 없다. 따라서 $\mathbf{f'(0) = 1}$이다.

2단계 · $f''(0)$의 값 구하기 (본풀이 & 다른 풀이) • [본풀이]: 식 (1)에 $x = 0$을 대입하면 $f(y) - f(-y) = 2f(y)f'(0) = 2f(y)$로부터 $f(y) = -f(-y)$를 유도할 수 있고, 양변을 $y$에 관하여 미분하면 $f'(y) = f'(-y)$를 얻는다. 식 (1)에 $y = 1$을 대입하면 $f(x + 1) - f(x - 1) = 2f(1)f'(x)$이고, $f(1) = a$를 대입하고 위 식을 $x$에 대하여 미분하면 \[f'(x + 1) - f'(x - 1) = 2af''(x)\] 이다. 여기에 $x = 0$을 대입하고 $f'(y) = f'(-y)$임을 이용하면 $2af''(0) = f'(1) - f'(-1) = 0$이므로 ($a \gt 0$) $\mathbf{f''(0) = 0}$이다.
• [2단계 다른 풀이]: 식 (1)에 $x$ 대신 $x + h$ ($h \neq 0$)를 대입한 식 $f(x+h+y) - f(x+h-y) = 2f(y)f'(x+h)$에서 식 (1)을 빼고 양변을 $h$로 나누어 $h \to 0$일 때의 극한을 구하면 도함수와 이계도함수의 정의에 의해 \[\lim_{h\to 0}\frac{f(x+y+h)-f(x+y)}{h} - \lim_{h\to 0}\frac{f(x-y+h)-f(x-y)}{h} = 2f(y)\lim_{h\to 0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h} \implies f'(x+y) - f'(x-y) = 2f(y)f''(x)\] 이다. $x = 0, \; y = 1$을 대입하고 $f'(y) = f'(-y)$임을 이용하면 $2af''(0) = f'(1) - f'(-1) = 0$이므로 $\mathbf{f''(0) = 0}$이다.

3단계 · 정적분 $\int_0^2 f(x)\,dx$의 값 구하기 식 (1)에서 $y = x$를 대입하면 모든 실수 $x$에 대해 $f(2x) = 2f(x)f'(x)$이고, $x = 2t$로 치환하면 \[\int_{0}^{2} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} 2f(2t)\,dt = \int_{0}^{1} 4f(t)f'(t)\,dt = \left[2\{f(t)\}^2\right]_{0}^{1} = 2\left(\{f(1)\}^2 - \{f(0)\}^2\right) = \mathbf{2a^2}\] 을 유도할 수 있다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[상]	S	4점
A	세 단계를 모두 보였으나 논증이 매끄럽지 않은 경우	4점
[중]	B	4점
C	세 단계 중 두 단계를 보였으나 논증이 매끄럽지 않은 경우	4점
D	세 단계 중 한 단계를 보이고 논증이 매끄러운 경우	4점
[하]	E	5점
F	어느 단계도 맞게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

동국대 수리논술 채점관은 제시문에 주어진 고교 교육과정 기본 정리(핵심개념: 미분계수, 정적분, 이계도함수)의 인용 여부를 가장 중요하게 평가합니다. 결론 도출 과정에서 사용된 공식을 명시하고, 논리적 비약 없이 중간 전개식을 충실히 기재하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] $f'(0) = 1,\; f''(0) = 0,\; \int_0^2 f(x)\,dx = 2a^2$ 동국대학교 공식 기준 (30점)

📚 과목/단원: 수학, 수학II, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 위치, 속도, 기울기, 직선의 방정식 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

【가】 함수 $y = f(x)$의 $x = t$에서의 미분계수 $f'(t)$는 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 기울기와 같다.

- 『고등학교 수학II』

【나】 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $x$가 $x = f(t)$일 때 시각 $t$에서 점 $\mathrm{P}$의 속도 $v$는 \[v = \frac{dx}{dt} = f'(t)\]

- 『고등학교 수학II』 / 『고등학교 미적분』

【다】 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향은 점 $\mathrm{P}$의 속도 $v$가 $v \gt 0$일 때에는 양의 방향이고, $v \lt 0$일 때에는 음의 방향이다.

- 『고등학교 수학II』

【라】 점 $(x_1, y_1)$을 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 \[y - y_1 = m(x - x_1)\]

- 『고등학교 수학』

[문제 2] 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 있다. <15줄 이내> [30점]

■ 시각 $t = 0$에서 $\mathrm{P}$의 위치는 $1$이고 $\mathrm{Q}$의 위치는 $-1$이다.

■ 시각 $t = 0$부터 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 처음으로 만날 때까지 $\mathrm{P}$는 일정한 속도 $-\dfrac{1}{9}$로, $\mathrm{Q}$는 일정한 속도 $a$ ($a \gt 0$)로 움직인다.

시각 $t$ ($0 \lt t \le 9$)에서 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 속도는 다음의 두 경우에만 바뀐다.

■ 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 만나면 만남 직후 두 점의 속도는 서로 바뀐다.

■ 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 중 어떤 점의 위치가 $-1$ 또는 $1$이 된 직후 그 점의 속도는 부호만 바뀐다.

이와 같은 조건 하에 시각 $t = 9$에서 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 다섯 번째 만나도록 $a$값을 구하는 과정을 서술하고, 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 네 번째 만나는 시각 $t$를 구하시오. 그리고 이 네 번째 만남 직후 점 $\mathrm{P}$의 속도를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 탐구 814 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

【유사 연습 문제】 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치가 각각 $x_1(t) = t^2 - 4t + 3,\; x_2(t) = -t^2 + 2t - 5$일 때, 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 서로 반대 방향으로 움직이는 시각 $t$의 범위를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 두 점의 속도는 각각 $v_1(t) = x_1'(t) = 2t - 4,\; v_2(t) = x_2'(t) = -2t + 2$이다. 서로 반대 방향으로 움직이려면 $v_1(t)v_2(t) \lt 0$, 즉 $2(t-2)\cdot(-2)(t-1) \lt 0 \iff (t-1)(t-2) \gt 0$이어야 하므로 $t \ge 0$에서 구하는 범위는 $\mathbf{0 \le t <1}$ 또는 $\mathbf{t> 2}$이다.
※ 해설 가이드: 2022학년도 동국대 기출 문제 2의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 논리적으로 서술함.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 문제 2 [배점 30점]

수직선 위에서 각각 $1, -1$에서 출발하여 만날 때마다 속도가 교대되고 $\pm 1$에서 속도의 부호가 반전되는 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 $t_5 = 9$에서 다섯 번째 만날 때, 양수 $a$와 네 번째 만나는 시각 $t_4$ 및 직후 점 $\mathrm{P}$의 속도 구하기

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 14 · 총 30점

💡 동국대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

1단계 · 처음 만날 때까지의 위치 함수 $f(t), g(t)$ 설정 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치를 $f(t)$, 점 $\mathrm{Q}$의 시각 $t$에서의 위치를 $g(t)$라고 하면, 시각 $t = 0$에서 $f(0) = 1, \; g(0) = -1$이고 두 점이 처음 만날 때까지 속도가 각각 $-\dfrac{1}{9}, \; a$이므로 제시문 【가】~【라】에 의하여 $f(t) = -\dfrac{t}{9} + 1, \; g(t) = at - 1$ 이다.

2단계 · 다섯 번째 만나는 시각 $t_5 = 9$까지 $f(t), g(t)$ 유도 및 $a = 1$ 확정 시각 $t_i$를 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 $i$번째 만나는 시각이라고 하면 $t_5 = 9$이다. 두 점이 만날 때마다 속도가 서로 바뀌어 두 직선 역할이 교대되고, 위치가 $1$ 또는 $-1$에 도달할 때마다 속도의 부호가 반전되므로 구간별 $f(t), g(t)$는 다음과 같다. \[ \begin{aligned} f(t) &: -\tfrac{t}{9}+1\;(0\le t\le t_1),\; at-1\;(t_1\lt t\le \tfrac{2}{a}),\; -at+3\;(\tfrac{2}{a}\lt t\le t_2),\; -\tfrac{t}{9}+1\;(t_2\lt t\le t_3), \\ &\phantom{:}\; at-5\;(t_3\lt t\le \tfrac{6}{a}),\; -at+7\;(\tfrac{6}{a}\lt t\le t_4),\; -\tfrac{t}{9}+1\;(t_4\lt t\le t_5) \\ g(t) &: at-1\;(0\le t\le t_1),\; -\tfrac{t}{9}+1\;(t_1\lt t\le t_2),\; -at+3\;(t_2\lt t\le \tfrac{4}{a}),\; at-5\;(\tfrac{4}{a}\lt t\le t_3), \\ &\phantom{:}\; -\tfrac{t}{9}+1\;(t_3\lt t\le t_4),\; -at+7\;(t_4\lt t\le \tfrac{8}{a}),\; at-9\;(\tfrac{8}{a}\lt t\le t_5) \end{aligned} \] 시각 $t_5 = 9$에서 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 다섯 번째 만나므로 $0 = f(9) = g(9) = 9a - 9$이고, 따라서 $\mathbf{a = 1}$이다.

3단계 ~ 4단계 · 네 번째 만나는 시각 $t_4$와 직후 점 $\mathrm{P}$의 속도 • [3단계]: $a = 1$을 대입하면 시각 $t = t_4$에서 $-t_4 + 7 = f(t_4) = g(t_4) = -\dfrac{1}{9}t_4 + 1$이므로 $\dfrac{8}{9}t_4 = 6 \implies \mathbf{t_4 = \frac{27}{4}}$이다.
• [4단계]: 네 번째 만남 직후 점 $\mathrm{P}$의 속도는 시각 $t \gt t_4$에서 $t$가 $t_4$에 충분히 가까울 때 함수 $f(t) = -\dfrac{t}{9} + 1$의 기울기 $f'(t) = -\dfrac{1}{9}$와 같으므로 구하는 점 $\mathrm{P}$의 속도는 $\mathbf{-\frac{1}{9}}$이다.
• *채점시 참고사항: [2단계]에서 $f(t), g(t)$의 규칙을 찾아 $a = 1$을 구해내는 것이 중요하다. 참고로 $a=1$일 때 $f(t), g(t)$를 그래프로 나타내면 오른쪽 그림과 같다($y = f(t)$: 실선, $y = g(t)$: 점선).

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계]	두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 위치를 각각 시각 $t$에 대한 함수 $f(t)$와 $g(t)$로 두고 시각 $t = 0$부터 두 점이 처음 만날 때까지 $f(t) = -\dfrac{1}{9}t + 1, \; g(t) = at - 1$임을 보임.	7점
[2단계]	문제의 조건을 분석해 $f(t), g(t)$를 두 점이 다섯 번째 만날 때까지 구하고 $a = 1$을 구함.	7점
[3단계]	두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 네 번째 만나는 시각 $t_4 = \dfrac{27}{4}$을 구함.	8점
[4단계]	이 네 번째 만남 직후 점 $\mathrm{P}$의 속도 $-\dfrac{1}{9}$을 구함.	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 QUESTIO 감점 방지 클리닉 (탄성 충돌의 직선 보존 원리):
두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 만날 때 속도가 서로 바뀐다는 것은, 두 점의 이름을 바꾸어 붙이면 각 직선 궤적 자체는 꺾이지 않고 그대로 진행함을 뜻합니다! 즉, 속도 $-\dfrac{1}{9}$로 출발한 직선 $y = -\dfrac{t}{9} + 1$은 $t = 9$일 때 비로소 $y = 0$에 도달하므로 $0 \lt t \le 9$ 동안 양 끝점 $\pm 1$에 한 번도 부딪히지 않고 그대로 직진합니다. 반면 속도 $a$로 출발한 왕복 꺾은선은 구간 $[-1, 1]$(길이 $2$)을 왕복하며 직선 $y = -\dfrac{t}{9} + 1$과 차례로 $t_1, t_2, t_3, t_4, t_5$에서 교차하므로, 다섯 번째 교점 $t_5 = 9$가 $y = 0$에서 일어나려면 왕복 직선이 $t = 9$일 때 총 이동거리 $2 \times 4 + 1 = 9$만큼 진행하여 $9a - 9 = 0 \implies a = 1$이어야 함을 즉시 검산할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] $a = 1$ | 네 번째 만나는 시각 $t_4 = \dfrac{27}{4}$ | 네 번째 만남 직후 점 $\mathrm{P}$의 속도 $-\dfrac{1}{9}$ 동국대학교 공식 기준 (30점)

📚 과목/단원: 수학 II, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 정적분, 입체도형의 부피, 합성함수의 미분 ⏱️ 권장 시간: 40분

[제시문]

【가】 어떤 비트코인이 초기가격 $A_0$에서 매년 일정하게 $a\%$ 비율로 올라가면 $n$년 후의 비트코인 가격 $A_n$은 \[A_n = A_0\left(1 + \frac{a}{100}\right)^n \quad (\text{단, } A_0 \gt 0)\] 로 표현할 수 있다고 가정하자. - 『고등학교 수학 I』

【나】 $a \gt 0, \; a \neq 1, \; x_1 \gt 0, \; x_2 \gt 0$일 때
1) $\log_a x_1 = b \iff x_1 = a^b$ 2) $\log_a x_1 = \log_a x_2 \iff x_1 = x_2$ - 『고등학교 수학 I』

【다】 $a \gt 0, \; a \neq 1$이고 $M \gt 0, \; N \gt 0$일 때
1) $\log_a MN = \log_a M + \log_a N$ 2) $\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ 3) $\log_a M^k = k\log_a M$ ($k$는 실수) - 『고등학교 수학 I』

【라】 $10$을 밑으로 하는 로그를 상용로그라 하며, 양수 $N$의 상용로그 $\log_{10} N$은 보통 밑 $10$을 생략하여 $\log N$으로 나타낸다. - 『고등학교 수학 I』

[문제 3] 밑면의 넓이가 $A\,(\mathrm{m}^2)$인 원기둥 모양의 물통에 일정량의 물이 채워져 있다. 그리고 이 물통에 속이 꽉 들어찬 입체도형이 오른쪽 그림과 같이 $v\,(\mathrm{m/s})$의 일정한 속력으로 하강하고 있다. 수면을 확장한 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이가 $S\,(\mathrm{m}^2)$인 순간, 수면의 상승 속도를 구하시오. <27줄 이내> [40점]

(단, 입체도형이 완전히 잠길 만큼 물통에 물이 많으며 또한 입체도형이 완전히 잠겨도 물이 넘치지 않을 만큼 물통이 충분히 크고, 입체도형은 회전하지 않으며 수직으로 하강한다. 그리고 입체도형의 최하단에서 거리가 $z\,(\mathrm{m})$인 수면에 평행한 평면으로 자른 입체도형의 단면의 넓이 $S(z)\,(\mathrm{m}^2)$는 $z$에 대해 연속이다.)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.15 탐구 815 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

【유사 연습 문제】 반지름의 길이가 $6\,\mathrm{cm}$인 반구 모양의 용기에 매초 $9\pi\,\mathrm{cm^3}$의 비율로 물을 넣을 때, 수면의 높이 $h$에서의 수면의 넓이는 $S(h) = \pi(12h - h^2)$이다. 수면의 높이가 $h = 3\,\mathrm{cm}$인 순간의 수면의 상승 속도를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 시각 $t$에서의 물의 부피 $V(t) = \displaystyle\int_0^{h(t)} \pi(12x - x^2)\,dx$의 양변을 $t$에 대하여 미분하면 $\dfrac{dV}{dt} = \pi(12h - h^2)\dfrac{dh}{dt}$이다. $\dfrac{dV}{dt} = 9\pi$와 $h = 3$을 대입하면 $9\pi = \pi(36 - 9)\dfrac{dh}{dt} = 27\pi\dfrac{dh}{dt}$이므로 수면의 상승 속도는 $\mathbf{\dfrac{1}{3}\,(\mathrm{cm/s})}$이다.
※ 해설 가이드: 2022학년도 동국대 기출 문제 3의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 논리적으로 서술함.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 문제 3 [배점 40점]

밑면의 넓이가 $A$인 원기둥 물통에 속이 꽉 찬 입체도형이 속력 $v$로 하강할 때, 수면으로 자른 입체도형의 단면 넓이가 $S$인 순간의 수면 상승 속도를 부피 보존과 합성함수 미분법으로 구하기

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📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 15 · 총 40점

💡 동국대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

1단계 ~ 3단계 · [첫 번째 풀이] 입체도형이 물통의 수면에 입수하기 직전의 시각을 $t = 0$이라 하고 그때 수면의 높이를 $h_0$라 하자. 또한, 오른쪽 그림과 같이 시간 $t \ge 0$에 대해 입체도형이 일부분 잠겨 물이 올라간 수면의 높이를 $h(t)$, 입체도형의 최하단에 있는 점 $\mathrm{P}$에서 수면에 수직으로 올린 수선의 발 $\mathrm{R}$까지의 높이를 $z(t)$, 수면을 확장한 평면 $\mathrm{N}$으로 자른 입체도형의 단면의 넓이를 $S(z(t))$, 마지막으로 물통의 밑바닥으로부터 높이가 $h_0$인 평면 $\mathrm{M}$에 점 $\mathrm{P}$로부터 수직으로 올린 수선의 발을 $\mathrm{Q}$라 하자.
입체도형이 일정한 속력 $v$로 하강하기 때문에 시간 $t$ 동안 하강한 길이 $\overline{\mathrm{PQ}} = vt$이고, $\overline{\mathrm{PR}} = \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QR}}$이므로 $z(t) = vt + h(t) - h_0$를 얻는다. 평면 $\mathrm{M}$ 아래에 있는 입체도형의 부피는 두 평면 $\mathrm{M}$과 $\mathrm{N}$ 사이에 있는 물의 부피와 같아야 하므로 제시문 【다】, 【라】에 의해 \[\int_{0}^{vt} S(x)\,dx = \int_{vt}^{z(t)} (A - S(x))\,dx \iff \int_{0}^{z(t)} (A - S(x))\,dx = Avt\] 를 얻는다. 이때 $z(t)$가 미분가능(아래 「채점시 평가제외 사항」 참조)하므로 제시문 【마】, 【바】에 의해 양변을 $t$에 대해 미분하면 \[(A - S(z(t)))z'(t) = Av \implies z'(t) = \frac{Av}{A - S(z(t))}\] 이고, $z(t) = vt + h(t) - h_0$로부터 $h'(t) = z'(t) - v = \dfrac{S(z(t))v}{A - S(z(t))}$이다. 구하려는 순간의 시각을 $t_1$이라 하면 $S(z(t_1)) = S$이므로 그 순간 수면의 상승 속도는 $\mathbf{h'(t_1) = \frac{Sv}{A - S} \; (\mathrm{m/s})}$가 된다.

📌 「채점시 평가제외 사항」 ($z(t)$의 연속성 및 미분가능성 증명): 입체도형이 완전히 잠기는 시각을 $t = a$라 하면, 물통이 충분히 크므로 모든 $x$에 대해 $0 \lt m \le A - S(x)$를 만족하는 양수 $m$이 존재한다. 따라서 $|Av\Delta t| = \left|\int_{z(t)}^{z(t+\Delta t)}(A-S(x))\,dx\right| \ge m|z(t+\Delta t)-z(t)|$로부터 $\lim\limits_{\Delta t\to 0}(z(t+\Delta t)-z(t)) = 0$, 즉 $z(t)$는 연속이고 $\Delta t \gt 0$일 때 $z(t+\Delta t) - z(t) \gt 0$인 증가함수이다. $F(x) = \displaystyle\int_0^x (A - S(u))\,du$로 두면 $F'(x) = A - S(x) \ge m \gt 0$이므로 \[Av = \lim_{\Delta t\to 0}\left(\frac{z(t+\Delta t)-z(t)}{\Delta t} \cdot \frac{F(z(t+\Delta t))-F(z(t))}{z(t+\Delta t)-z(t)}\right) \implies \lim_{\Delta t\to 0}\frac{z(t+\Delta t)-z(t)}{\Delta t} = \frac{Av}{F'(z(t))} = \frac{Av}{A - S(z(t))}\] 가 존재하여 $z(t)$는 열린구간 $(0, a)$에서 미분가능하다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계]	문제를 해결하기 위해 필요한 상황, 즉 수면의 높이 $h(t)$, 입체도형이 물에 잠긴 깊이 $z(t)$, 입체도형의 단면의 넓이 $S(z)$ 등을 변수나 함수로 지정함.	13점
[2단계]	물에 잠겨서 상승하게 되는 물의 부피가 입체도형의 특정한 일부분의 부피와 같다는 것을 수식으로 작성함. 예를 들어 [첫 번째 풀이]에서 $\displaystyle\int_0^{vt} S(x)\,dx = \int_{vt}^{z(t)}(A - S(x))\,dx$ 또는 [두 번째 풀이]에서 $(A - S)\Delta h = Sv\Delta t$까지 작성함.	13점
[3단계]	수면의 상승 속도에 관한 함수에 수면의 넓이가 $S$인 순간을 대입하여 $\dfrac{Sv}{A - S}\,(\mathrm{m/s})$를 구해 문제를 해결함.	14점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

1) 소문항 1)의 확률변수 $X$(상품K 1개의 무게, 연속확률변수)와 소문항 2)·3)의 확률변수 $Y$($400$개 중 A등급인 상품K의 개수, 이산확률변수)를 반드시 서로 다른 기호로 구분하여 정의해야 합니다.
2) 소문항 3)에서 이항분포 $\mathrm{B}(400, 0.1)$을 정규분포 $\mathrm{N}(40, 6^2)$으로 근사할 때 제시문 【라】를 인용하였음을 명시하세요.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] 침수 부피 정적분 미분으로부터 수면 상승 속도 $\dfrac{dh}{dt} = \dfrac{S}{A - S}v$ 도출 동국대학교 공식 기준 (40점)

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2027학년도 동국대학교 자연계열 수리논술
실전 모의고사 1회 ~ 10회 문제집

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📋 출제 타당성 검토 보고서 (2p): 전 문항 교과서 기반 교육과정 성취기준 및 Textbook DB 원천 검증

📝 실전 맞춤형 시험지 포맷: 동국대학교 실제 문항 수·배점·답안지 규격 100% 반영

📈 회차별 종합 분석 매트릭스 (10p): 매 회차 직후 문항별 난이도·배점·합격 전략 리포트 수록

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R1-Q1	기하	이면각의 크기, 삼수선의 정리, 정사영의 넓이	[출처: 비상 기하 Ⅲ-1. 공간도형 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.5 탐구 16011 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	30점/중
R1-Q2	확률과 통계	독립시행과 이항분포, 정규분포와 표준화	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 (DB: PS_Ch03) PDF p.12 탐구 16012 변형 \| 성취기준: 12확통03-03, 12확통03-04]	30점/중상
R1-Q3	미적분Ⅰ	접선의 방정식, 변곡점, 곡선 사이의 넓이	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 16013 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	40점/중상
R2-Q1	수학Ⅰ, 미적분	등차수열의 일반항과 합, 수열의 귀납적 정의와 극한	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 16021 변형 \| 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-06]	30점/중
R2-Q2	수학, 기하와 벡터	평면벡터의 내적, 근과 계수의 관계, 삼각형의 넓이	[출처: 비상 기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 성분과 내적 (DB: GEOM_Ch02_비상) PDF p.8 탐구 16022 변형 \| 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]	30점/중상
R2-Q3	미적분Ⅰ	정적분으로 정의된 함수의 미분, 곡선 사이의 넓이, 입체도형의 부피	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 16023 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	40점/중상
R3-Q1	기하	포물선·타원·쌍곡선의 초점과 접선, 빛의 반사	[출처: 비상 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 16031 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	30점/중
R3-Q2	미적분	탄젠트함수의 덧셈정리, 역함수의 미분법, 치환적분법	[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-1. 여러 가지 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.7 탐구 16032 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-03, 12미적Ⅱ-02-07]	30점/중상
R3-Q3	확률과 통계	이산확률변수의 기댓값과 분산, 정적분과 급수의 합, 부분적분법	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 (DB: PS_Ch03) PDF p.8 탐구 16033 변형 \| 성취기준: 12확통03-01, 12확통03-02]	40점/중상
R4-Q1	수학Ⅰ, 확률과 통계	호도법과 호의 길이, 표본공간과 수학적 확률, 독립시행	[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 16041 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]	30점/중
R4-Q2	수학Ⅱ, 미적분	도함수의 정의, 이계도함수, 정적분의 성질	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 16042 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-02]	30점/중상
R4-Q3	수학Ⅱ, 미적분	함수의 최대·최소, 음함수 미분법, 평면운동의 속도와 속력	[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 16043 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-06, 12미적Ⅱ-02-11]	40점/중상
R5-Q1	확률과 통계	중복순열, 중복조합, 모비율의 신뢰구간 추정	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ-1. 순열과 조합 (DB: PS_Ch01) PDF p.8 탐구 16051 변형 \| 성취기준: 12확통01-02, 12확통03-06]	30점/중
R5-Q2	기하	타원·쌍곡선의 접선, 법선벡터와 평면의 방정식	[출처: 비상 기하 Ⅲ-2. 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.8 탐구 16052 변형 \| 성취기준: 12기하01-04, 12기하03-03, 12기하03-05]	30점/중상
R5-Q3	미적분Ⅱ	정적분으로 정의된 함수의 미분, 입체도형의 부피, 합성함수 미분법	[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.14 탐구 16053 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]	40점/중상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R6-Q1	대수 Ⅱ. 삼각함수	원에 내접하는 사각형의 코사인법칙과 대각선 분할 및 넓이	[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 16061 변형 \| 성취기준: 12대수02-03]	30점/상
R6-Q2	미적분Ⅰ	무한대 극한과 부정형 극한을 만족시키는 삼차함수의 결정	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 16062 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	30점/상
R6-Q3	확률과 통계	비복원 추출에서 이산확률변수의 확률분포와 기댓값·분산	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 (DB: PS_Ch03) PDF p.6 탐구 16063 변형 \| 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-01, 12확통03-02]	40점/상
R7-Q1	대수 Ⅱ. 삼각함수	삼각함수의 주기·대칭성과 방정식의 모든 실근의 합	[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 16071 변형 \| 성취기준: 12대수02-02]	30점/상
R7-Q2	미적분Ⅰ	구간별로 정의된 함수의 미분가능성과 접선의 방정식	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 16072 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-05]	30점/상
R7-Q3	미적분Ⅰ	수직선 위를 움직이는 점의 속도와 위치의 변화량 및 움직인 거리	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 탐구 16073 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]	40점/상
R8-Q1	대수 Ⅱ. 삼각함수	외접원의 반지름과 사인법칙·코사인법칙을 이용한 삼각형 결정	[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 16081 변형 \| 성취기준: 12대수02-03]	30점/최상
R8-Q2	미적분Ⅰ	평균값 정리를 이용한 다항함수의 변화율 추론과 수열의 극한	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 16082 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]	30점/최상
R8-Q3	기하	포물선의 초점·준선 정의와 초점을 지나는 직선의 선분 비	[출처: 비상 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 16083 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	40점/최상
R9-Q1	미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속	유리함수와 다항함수의 곱의 연속성과 사잇값 정리	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 16091 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]	30점/최상
R9-Q2	미적분Ⅰ	삼차함수 그래프의 대칭성과 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 16092 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09]	30점/최상
R9-Q3	확률과 통계	조건부확률과 확률의 곱셈정리를 이용한 사후확률 추론	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 (DB: PS_Ch02) PDF p.10 탐구 16093 변형 \| 성취기준: 12확통02-03, 12확통02-04]	40점/최상
R10-Q1	미적분Ⅰ	미분가능한 함수의 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 극값 추론	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.3 탐구 16101 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]	30점/최상
R10-Q2	미적분Ⅰ	포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 이등분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 16102 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]	30점/최상
R10-Q3	확률과 통계	표본비율의 정규분포 근사와 모비율의 신뢰구간 추정	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03) PDF p.18 탐구 16103 변형 \| 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]	40점/최상

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 기하 — 이면각의 크기, 삼수선의 정리, 정사영의 넓이 배점 30점 · 난이도 중

[출처: 비상 기하 Ⅲ-1. 공간도형 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.5 탐구 16011 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문]

【가】 직선 $l$을 공유하는 두 반평면 $\alpha, \beta$로 이루어진 도형을 이면각이라 한다. 이면각의 변 $l$ 위의 한 점 $\mathrm{O}$를 지나고 직선 $l$에 수직인 두 반직선 $\mathrm{OA}, \mathrm{OB}$를 두 반평면 $\alpha, \beta$ 위에 각각 그을 때, $\angle\mathrm{AOB}$의 크기를 이면각의 크기라고 한다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

【나】 평면 $\alpha$와 한 점 $\mathrm{O}$에서 만나는 직선 $l$이 평면 $\alpha$ 위의 점 $\mathrm{O}$를 지나는 서로 다른 두 직선 $m, n$과 서로 수직이면 직선 $l$은 평면 $\alpha$와 수직($l \perp \alpha$)이다. 또한 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{P}$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, 점 $\mathrm{H}$에서 평면 $\alpha$ 위의 직선 $l$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\overline{\mathrm{PM}} \perp l$이다(삼수선의 정리).

- 『고등학교 기하와 벡터』

【다】 두 평면 $\alpha, \beta$가 이루는 예각의 크기가 $\theta\;\left(0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}\right)$일 때, 평면 $\alpha$ 위의 넓이가 $S$인 도형의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이 $S'$은 $S' = S\cos\theta$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

[문제 1] 오른쪽 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 $2$인 정사면체 $\mathrm{ABCD}$와 밑면이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 $\mathrm{EFGH}$이고 네 옆면이 모두 정삼각형인 정사각뿔 $\mathrm{O\text{-}EFGH}$에 대하여 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 정사면체 $\mathrm{ABCD}$에서 평면 $\mathrm{ABC}$와 평면 $\mathrm{DBC}$가 이루는 예각의 크기를 $\alpha$라 할 때, $\cos\alpha$의 값을 구하시오. (8점)

(2) 정사각뿔 $\mathrm{O\text{-}EFGH}$에서 옆면 $\mathrm{OEF}$와 밑면 $\mathrm{EFGH}$가 이루는 예각의 크기를 $\beta$, 이웃한 두 옆면 $\mathrm{OEF}$와 $\mathrm{OFG}$가 이루는 둔각의 크기를 $\gamma$라 할 때, $\cos\beta$와 $\cos\gamma$의 값을 각각 구하시오. (12점)

(3) 정사면체 $\mathrm{ABCD}$의 면 $\mathrm{DBC}$를 정사각뿔의 옆면 $\mathrm{OEF}$의 바깥쪽에 포개어 붙였을 때(점 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{O}$, 점 $\mathrm{C}$와 $\mathrm{F}$, 점 $\mathrm{D}$와 $\mathrm{E}$가 각각 일치), 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 밑면 $\mathrm{EFGH}$ 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 확률과 통계 — 독립시행과 이항분포, 정규분포와 표준화 배점 30점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 (DB: PS_Ch03) PDF p.12 탐구 16012 변형 | 성취기준: 12확통03-03, 12확통03-04]

[제시문]

【가】 한 번의 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$로 일정할 때, $n$번의 독립시행에서 사건 $A$가 일어나는 횟수를 확률변수 $X$라 하면 $X$는 이항분포 $\mathrm{B}(n, p)$를 따르며, 확률질량함수는 $\mathrm{P}(X = x) = {}_n\mathrm{C}_x p^x (1-p)^{n-x}\;(x = 0, 1, \cdots, n)$이다. 이때 평균과 표준편차는 $\mathrm{E}(X) = np, \; \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$이다.

- 『고등학교 확률과 통계』

【나】 연속확률변수 $X$가 평균이 $m$, 표준편차가 $\sigma$인 정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$을 따를 때, 확률변수 $Z = \dfrac{X - m}{\sigma}$는 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1)$을 따른다. 또한 확률변수 $Y$가 이항분포 $\mathrm{B}(n, p)$를 따르고 $n$이 충분히 크면, $Y$는 근사적으로 정규분포 $\mathrm{N}(np, np(1-p))$를 따른다.

- 『고등학교 확률과 통계』

【다】 확률변수 $Z$가 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1)$을 따를 때, 오른쪽 표와 같이 $\mathrm{P}(0 \le Z \le 1.0) = 0.30, \; \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.5) = 0.43, \; \mathrm{P}(0 \le Z \le 2.0) = 0.48$로 계산한다.

- 『고등학교 확률과 통계』

[문제 2] 어느 이차전지 공장에서 생산되는 리튬배터리의 수명 $X$(시간)는 평균이 $500$, 표준편차가 $\sigma$인 정규분포 $\mathrm{N}(500, \sigma^2)$을 따른다. 수명이 $500 + \sigma$ 이상인 배터리를 '우수 등급', 수명이 $500 - 2\sigma$ 이상 $500 + \sigma$ 미만인 배터리를 '표준 등급'으로 분류한다. 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 생산된 배터리 중 임의로 $1$개를 선택할 때 '우수 등급'일 확률 $p_1$과 '표준 등급'일 확률 $p_2$를 각각 구하고, 임의로 $3$개를 독립적으로 선택할 때 '우수 등급'이 정확히 $1$개 포함될 확률을 구하시오. (10점)

(2) 배터리의 수명이 $460$시간 이상 $520$시간 미만일 확률이 $0.78$일 때 상수 $\sigma$의 값을 구하고, 그때 수명이 $530$시간 이상일 확률을 구하시오. (8점)

(3) 이 공장에서 생산된 배터리 $400$개를 임의추출할 때, '우수 등급'으로 분류되는 배터리의 개수 $Y$의 평균과 표준편차를 구하고, $Y$가 $92$개 이상일 확률을 제시문 【나】, 【다】를 이용하여 구하시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 접선의 방정식, 변곡점, 곡선 사이의 넓이 배점 40점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 16013 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

【가】 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 $y - f(a) = f'(a)(x - a)$이다. 또한 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 두 함수 $f(x), h(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \displaystyle\int_a^b |f(x) - h(x)|\,dx$이다.

- 『고등학교 수학Ⅱ』

【나】 이계도함수가 존재하는 함수 $f(x)$에 대하여 $f''(a) = 0$이고 $x = a$의 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 바뀌면, 점 $(a, f(a))$는 곡선 $y = f(x)$의 변곡점이다.

- 『고등학교 미적분』

【다】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x = \int_a^b f(x)\,dx$이다. $\left(\text{단, } \Delta x = \dfrac{b-a}{n}, \; x_k = a + k\Delta x\right)$

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 최고차항의 계수가 양수 $a\;(a \gt 0)$인 삼차함수 $f(x) = a(x-1)^3 + m(x-1) + 2$의 변곡점을 $\mathrm{C}$라 하자. 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}(\neq \mathrm{C})$에서의 접선 $l$이 곡선 $y = f(x)$와 점 $\mathrm{P}$가 아닌 점 $\mathrm{Q}$에서 만나고, 점 $\mathrm{Q}$에서의 곡선 $y = f(x)$의 접선을 $l_{\mathrm{Q}}$라 하자. 다음 물음에 답하시오. <27줄 이내> [40점]

(1) 곡선 $y = f(x)$를 변곡점 $\mathrm{C}$가 원점이 되도록 평행이동한 곡선 $y = g(x) = ax^3 + mx$ 위의 점 $\mathrm{P}_0(u, g(u))\;(u \neq 0)$에서의 접선 $l_0$의 방정식을 구하고, 직선 $l_0$이 곡선 $y = g(x)$와 다시 만나는 점 $\mathrm{Q}_0$의 $x$좌표가 $-2u$임을 보이시오. (10점)

(2) 두 접선 $l$과 $l_{\mathrm{Q}}$가 서로 수직이 되도록 하는 점 $\mathrm{P}$가 존재할 때, 변곡점 $\mathrm{C}$에서의 접선의 기울기 $f'(1) = m$의 최댓값 $M$을 구하시오. (15점)

(3) $a = 1, \; m = -3$일 때, 곡선 $y = g(x)$ 위의 점 $(1, -2)$에서의 접선과 곡선 $y = g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하고, 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^4}\sum_{k=1}^n (3k - 2n)^2\left(\frac{3k}{n}\right)$을 정적분으로 변환하여 구하시오. (15점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제1회	문항 1	기하	이면각의 크기, 삼수선의 정리, 정사영의 넓이	30점	중
제1회	문항 2	확률과 통계	독립시행과 이항분포, 정규분포와 표준화	30점	중상
제1회	문항 3	미적분Ⅰ	접선의 방정식, 변곡점, 곡선 사이의 넓이	40점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 동국대학교 수리논술 제1회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)의 공식 탐구 문항을 원천으로 변형 출제되었으며 대학 미적분학 과정 공식 없이 100% 교과서 정리만으로 완결됩니다.
• 표준 배점 및 시간 배분 전략: 문제 1(30점, 25분)과 문제 2(30점, 25분)에서 최소 50점 이상을 안정적으로 확보한 뒤, 고배점 킬러 문항인 문제 3(40점, 40분)의 소문항 (1), (2) 부분점수(26점)를 우선 공략하면 동국대 자연계열 전 모집단위 최초합격권(80점 이상)에 진입할 수 있습니다.
• 단계별 논리 서술 루브릭: 채점 시 Part 2-2 해설집(p.78~80)의 3단계 루브릭 기준에 맞추어 획득 점수를 산출하고 Part 3 대시보드(p.108)에 입력하십시오.

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 수학Ⅰ, 미적분 — 등차수열의 일반항과 합, 수열의 귀납적 정의와 극한 배점 30점 · 난이도 중

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 16021 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-06]

[제시문]

【가】 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항과 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$은 다음과 같다. $$a_n = a + (n-1)d, \qquad S_n = \frac{n\{2a + (n-1)d\}}{2} \quad (n = 1, 2, 3, \cdots)$$

- 『고등학교 수학Ⅰ』

【나】 수열 $\{a_n\}$에서 첫째항 $a_1$과 이웃하는 두 항 $a_n, a_{n+1}$ 사이의 관계식 $a_{n+1} - a_n = d$($d$는 상수)가 주어지면 수열 $\{a_n\}$은 공차가 $d$인 등차수열이다.

- 『고등학교 수학Ⅰ』

【다】 수렴하는 두 수열 $\{x_n\}, \{y_n\}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n = L, \; \lim_{n\to\infty}y_n = M$일 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(cx_n + y_n) = cL + M$ ($c$는 상수)이며, 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n$의 합은 부분합 $T_n = \sum_{k=1}^n u_k$의 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}T_n$이다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 1] 공차가 자연수인 두 등차수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$이 다음 〈조건〉을 만족한다. <15줄 이내> [30점]

〈조건〉

① $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n - b_n}{n} = 2, \qquad \sum_{n=1}^8 (a_n - b_n) = 128$

② $\displaystyle\sum_{k=1}^n (a_k + b_k)$는 $n = 6$일 때만 최솟값을 갖는다.

③ $\displaystyle\sum_{n=1}^4 |b_n| = 68$

(1) 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$의 일반항을 각각 구하시오. (12점)

(2) 모든 자연수 $n$에 대하여 $c_n = |a_n| - |b_n|$이라 할 때, $c_n$의 최솟값과 그때의 자연수 $n$의 값을 모두 구하시오. (8점)

(3) $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n c_k$일 때 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}$을 구하고, 무한급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{4}{(a_n + 15)(a_{n+1} + 15)}$의 합을 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 수학, 기하와 벡터 — 평면벡터의 내적, 근과 계수의 관계, 삼각형의 넓이 배점 30점 · 난이도 중상

[출처: 비상 기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 성분과 내적 (DB: GEOM_Ch02_비상) PDF p.8 탐구 16022 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

[제시문]

【가】 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0\;(a \neq 0)$의 두 근을 $\alpha, \beta$라 하면 $\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}, \; \alpha\beta = \dfrac{c}{a}$이다. 또한 이차함수 $y = a(x-p)^2 + q\;(a \gt 0)$는 $x = p$에서 최솟값 $q$를 갖는다.

- 『고등학교 수학』

【나】 영벡터가 아닌 두 평면벡터 $\vec{a} = (a_1, a_2), \; \vec{b} = (b_1, b_2)$가 이루는 각의 크기를 $\theta\;(0 \le \theta \le \pi)$라 할 때, $$\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}$$

- 『고등학교 기하와 벡터』

【다】 세 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{PQ_1Q_2}$에서 $\angle\mathrm{Q_1PQ_2} = \theta$라 할 때, 삼각형의 넓이 $S$는 $S = \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}||\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}|\sin\theta = \dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}|^2|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}|^2 - (\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2})^2}$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

[문제 2] 좌표평면 위의 점 $\mathrm{P}(0, 3)$이 주어져 있고, 이차함수 $y = x^2 - (2k + 1)x + 3k$의 그래프와 직선 $y = x$의 두 교점을 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$라 하자. 두 직선 $\mathrm{PQ}_1, \mathrm{PQ}_2$가 이루는 각의 크기를 $\theta\;\left(0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}\right)$라 할 때, 제시문을 이용하여 다음을 구하시오. (단, $k$는 실수이다.) <15줄 이내> [30점]

(1) 내적 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}$의 값을 구하고, $\cos\theta$를 실수 $k$를 이용하여 나타내시오. (12점)

(2) $\theta$가 최솟값을 가질 때의 실수 $k$의 값과 그때의 $\theta$의 값을 구하시오. (9점)

(3) $\theta$가 최솟값을 가질 때 두 점 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$의 좌표와 삼각형 $\mathrm{PQ_1Q_2}$의 넓이를 각각 구하시오. (9점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 정적분으로 정의된 함수의 미분, 곡선 사이의 넓이, 입체도형의 부피 배점 40점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 16023 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

【가】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $g(x) \ge 0$인 함수 $g(x)$에 대하여 곡선 $y = g(t)$와 $t$축 및 두 직선 $t = a, \; t = x\;(a \lt x \lt b)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(x) = \displaystyle\int_a^x g(t)\,dt$라 하자. $x$의 증분 $\Delta x$에 대한 넓이의 증분은 $\Delta S = S(x + \Delta x) - S(x)$이며, 닫힌구간에서 연속인 함수 $g(t)$는 해당 구간에서 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 갖는다.

- 『고등학교 수학Ⅱ』

【나】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x = h(t)$의 도함수 $h'(t)$가 연속이고 $a = h(\alpha), \; b = h(\beta)$이면 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(h(t))h'(t)\,dt$이다.

- 『고등학교 미적분』

【다】 닫힌구간 $[a, b]$의 임의의 점 $x$에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $A(x)$인 입체도형의 부피 $V$는 $V = \displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$이다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. <27줄 이내> [40점]

(1) 제시문 【가】를 이용하여, 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $g(x) \ge 0$인 함수 $g(x)$에 대하여 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x g(t)\,dt = g(x)\;(a \lt x \lt b)$가 성립함을 설명하시오. (12점)

(2) 정의역 $\{x \mid x \ge 2\}$에서 연속이고 $f(x) \ge 0$인 함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 임의의 점 $(t, f(t))$가 $$\int_2^t (s - 2)^2\,ds + \int_0^{f(t)} (\sqrt{s} + 2)\,ds = t\,f(t)$$ 를 만족할 때, 함수 $y = f(x)$를 구하시오. (14점)

(3) (2)에서 구한 함수 $y = f(x)$의 그래프와 $x$축 및 직선 $x = 4$로 둘러싸인 도형 $R$의 넓이를 구하고, 도형 $R$을 밑면으로 하는 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때 이 입체도형의 부피 $V$를 구하시오. (14점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제2회	문항 1	수학Ⅰ, 미적분	등차수열의 일반항과 합, 수열의 귀납적 정의와 극한	30점	중
제2회	문항 2	수학, 기하와 벡터	평면벡터의 내적, 근과 계수의 관계, 삼각형의 넓이	30점	중상
제2회	문항 3	미적분Ⅰ	정적분으로 정의된 함수의 미분, 곡선 사이의 넓이, 입체도형의 부피	40점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 동국대학교 수리논술 제2회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)의 공식 탐구 문항을 원천으로 변형 출제되었으며 대학 미적분학 과정 공식 없이 100% 교과서 정리만으로 완결됩니다.
• 표준 배점 및 시간 배분 전략: 문제 1(30점, 25분)과 문제 2(30점, 25분)에서 최소 50점 이상을 안정적으로 확보한 뒤, 고배점 킬러 문항인 문제 3(40점, 40분)의 소문항 (1), (2) 부분점수(26점)를 우선 공략하면 동국대 자연계열 전 모집단위 최초합격권(80점 이상)에 진입할 수 있습니다.
• 단계별 논리 서술 루브릭: 채점 시 Part 2-2 해설집(p.81~83)의 3단계 루브릭 기준에 맞추어 획득 점수를 산출하고 Part 3 대시보드(p.108)에 입력하십시오.

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 기하 — 포물선·타원·쌍곡선의 초점과 접선, 빛의 반사 배점 30점 · 난이도 중

[출처: 비상 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 16031 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[제시문]

【가】 포물선 $(y-n)^2 = 4p(x-m)$의 초점은 $(p+m, n)$, 준선은 $x = -p+m$이다. 타원 $\dfrac{(x-m)^2}{a^2} + \dfrac{(y-n)^2}{b^2} = 1\;(a \gt b \gt 0)$의 초점은 $(\pm c + m, n)\;(c = \sqrt{a^2 - b^2})$이며, 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$의 초점은 $(\pm\sqrt{a^2 + b^2}, 0)$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

【나】 포물선 모양의 반사경에서 포물선의 초점 $\mathrm{F}$에서 출발한 빛은 포물선에 반사된 후 포물선의 축에 평행하게 직진한다. 또한 빛이 곡선 위의 한 점 $\mathrm{P}$에서 반사될 때, 점 $\mathrm{P}$에서의 접선에 대하여 입사각과 반사각의 크기는 서로 같다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

【다】 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

[문제 1] 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 방정식 $x^2 + y^2 = (kx + 2)^2$에서 $k = \dfrac{1}{2}$일 때의 타원의 두 초점의 좌표와, $k = 1$일 때의 포물선의 초점의 좌표 및 준선의 방정식을 각각 구하시오. (10점)

(2) 오른쪽 그림과 같이 단면이 포물선 $y^2 = 8x\;(0 \le x \le 8)$ 모양인 거울의 초점 $\mathrm{F}(2, 0)$에서 쏜 빛이 포물선 위의 점 $\mathrm{G}(4, 4\sqrt{2})$에서 반사되어 직진한 후, 단면이 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{12} - \dfrac{y^2}{4} = 1\;(x \ge 2\sqrt{3})$ 모양인 거울 위의 점 $\mathrm{P}$에서 반사된다. 점 $\mathrm{P}$의 좌표와 점 $\mathrm{P}$에서의 쌍곡선의 접선 $l$의 $x$절편을 각각 구하시오. (10점)

(3) (2)에서 접선 $l$이 $x$축과 이루는 예각을 $\gamma$, 점 $\mathrm{P}$에서 반사된 빛의 연장선 $m$이 $x$축과 이루는 예각을 $\delta$라 할 때, $\tan\gamma$와 $\tan\delta$의 값을 각각 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분 — 탄젠트함수의 덧셈정리, 역함수의 미분법, 치환적분법 배점 30점 · 난이도 중상

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-1. 여러 가지 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.7 탐구 16032 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-03, 12미적Ⅱ-02-07]

[제시문]

【가】 탄젠트함수의 덧셈정리에 의하여 두 직선의 기울기가 각각 $m_1 = \tan\alpha, \; m_2 = \tan\beta$일 때, 두 직선이 이루는 예각의 크기 $\theta$에 대하여 $$\tan\theta = |\tan(\alpha - \beta)| = \left|\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}\right| = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$$

- 『고등학교 미적분』

【나】 미분가능한 함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 존재하고 미분가능할 때, $y = f^{-1}(x)$의 도함수는 $$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \quad \left(\text{단, } f'(f^{-1}(x)) \neq 0\right)$$

- 『고등학교 미적분』

【다】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $h(x)$와 미분가능한 함수 $x = f(t)$에 대하여 $a = f(\alpha), \; b = f(\beta)$일 때 $$\int_a^b h(x)\,dx = \int_\alpha^\beta h(f(t))f'(t)\,dt$$

- 『고등학교 미적분』

[문제 2] 함수 $f(x) = \sin x + 3x + 2$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 존재하고 미분가능하다. 실수 $t$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선을 $l_1$, 곡선 $y = f^{-1}(x)$ 위의 점 $(f(t), t)$에서의 접선을 $l_2$라 하고, 두 직선 $l_1, l_2$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때 $g(t) = \tan\theta$라 하자. 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) $g(t)$를 $\cos t$에 대한 식으로 나타내고, $g\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$의 값을 구하시오. (10점)

(2) 함수 $g(t)$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오. (10점)

(3) 정적분 $\displaystyle\int_{f(0)}^{f(2\pi)} g(f^{-1}(x))\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 확률과 통계 — 이산확률변수의 기댓값과 분산, 정적분과 급수의 합, 부분적분법 배점 40점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 (DB: PS_Ch03) PDF p.8 탐구 16033 변형 | 성취기준: 12확통03-01, 12확통03-02]

[제시문]

【가】 이산확률변수 $X$의 확률질량함수가 $\mathrm{P}(X = x_i) = p_i\;(i = 1, 2, \cdots, n)$일 때, 기댓값(평균)과 분산은 다음과 같다. $$\mathrm{E}(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i, \qquad \mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 p_i - \{\mathrm{E}(X)\}^2$$

- 『고등학교 확률과 통계』

【나】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x = \int_a^b f(x)\,dx$이다. $\left(\text{단, } \Delta x = \dfrac{b-a}{n}, \; x_k = a + k\Delta x\right)$

- 『고등학교 미적분』

【다】 두 함수 $u(x), v(x)$가 미분가능하고 $u'(x), v'(x)$가 연속일 때, $\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$이다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 자연수 $n$과 양의 상수 $a\;(a \gt 0)$에 대하여 이산확률변수 $X_n$의 확률질량함수가 다음 〈조건〉과 같이 정의될 때, 물음에 답하시오. <27줄 이내> [40점]

〈조건〉

① $\mathrm{P}(X_n = x_i) = \dfrac{g(x_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^n g(x_j)} \quad (i = 1, 2, 3, \cdots, n)$

② $g(x) = e^{-ax} \quad (a \gt 0)$

③ $\Delta x = \dfrac{2}{n}, \quad x_i = i\Delta x = \dfrac{2i}{n} \quad (i = 1, 2, 3, \cdots, n)$

(1) 극한값 $I_0 = \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^n g(x_j)\Delta x$와 $I_1 = \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n x_i g(x_i)\Delta x$를 각각 $a$에 대한 식으로 구하시오. (14점)

(2) 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X_n)$을 $a$를 이용하여 나타내시오. (12점)

(3) 극한값 $I_2 = \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n x_i^2 g(x_i)\Delta x$를 구하고, 이를 이용하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\mathrm{V}(X_n)$을 $a$를 이용하여 나타내시오. (14점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제3회	문항 1	기하	포물선·타원·쌍곡선의 초점과 접선, 빛의 반사	30점	중
제3회	문항 2	미적분	탄젠트함수의 덧셈정리, 역함수의 미분법, 치환적분법	30점	중상
제3회	문항 3	확률과 통계	이산확률변수의 기댓값과 분산, 정적분과 급수의 합, 부분적분법	40점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 동국대학교 수리논술 제3회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)의 공식 탐구 문항을 원천으로 변형 출제되었으며 대학 미적분학 과정 공식 없이 100% 교과서 정리만으로 완결됩니다.
• 표준 배점 및 시간 배분 전략: 문제 1(30점, 25분)과 문제 2(30점, 25분)에서 최소 50점 이상을 안정적으로 확보한 뒤, 고배점 킬러 문항인 문제 3(40점, 40분)의 소문항 (1), (2) 부분점수(26점)를 우선 공략하면 동국대 자연계열 전 모집단위 최초합격권(80점 이상)에 진입할 수 있습니다.
• 단계별 논리 서술 루브릭: 채점 시 Part 2-2 해설집(p.84~86)의 3단계 루브릭 기준에 맞추어 획득 점수를 산출하고 Part 3 대시보드(p.108)에 입력하십시오.

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 수학Ⅰ, 확률과 통계 — 호도법과 호의 길이, 표본공간과 수학적 확률, 독립시행 배점 30점 · 난이도 중

[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 16041 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

[제시문]

【가】 반지름의 길이가 $r$인 원에서 중심각의 크기가 $\theta$(라디안)인 부채꼴의 호의 길이 $l$은 $l = r\theta$이다. 서로 미끄러지지 않게 맞물려 회전하는 두 원반이 회전할 때, 접점을 지나간 두 원반의 호의 길이는 서로 같다.

- 『고등학교 수학Ⅰ』

【나】 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과들의 집합을 표본공간 $S$라 하고, 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때 사건 $A$가 일어날 수학적 확률은 $\mathrm{P}(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$이다.

- 『고등학교 확률과 통계』

【다】 두 사건 $A, B$가 서로 배반사건($A \cap B = \varnothing$)이면 $\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B)$이다. 또한 매회 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$로 일정한 독립시행을 $n$번 반복할 때 사건 $A$가 $r$번 일어날 확률은 ${}_n\mathrm{C}_r p^r (1-p)^{n-r}$이다.

- 『고등학교 확률과 통계』

[문제 1] 반지름의 길이가 각각 $2\mathrm{cm}, \; 3\mathrm{cm}$인 두 원반 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$가 오른쪽 그림과 같이 서로 미끄러지지 않게 맞물려 있다. 원반 $\mathrm{B}$는 중심각이 $60^\circ$인 회색 부채꼴 $2$개와 중심각이 $120^\circ$인 흰색 부채꼴 $2$개가 교대로 색칠되어 있으며, 정지 상태에서 원반 $\mathrm{A}$의 화살표는 왼쪽 회색 호의 정중앙(위·아래로 각각 $30^\circ$)과 맞닿아 있다. 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 정지 상태에서 원반 $\mathrm{A}$를 반시계 방향으로 $k$회($k$는 자연수) 회전시켰을 때 원반 $\mathrm{B}$가 시계 방향으로 회전한 각의 크기를 구하고, 원반 $\mathrm{A}$의 화살표가 원반 $\mathrm{B}$의 회색 호에 맞닿게 되는 자연수 $k$의 조건을 구하시오. (10점)

(2) 서로 다른 주사위 $2$개를 동시에 던져 나오는 눈의 수의 합만큼 정지 상태에서 원반 $\mathrm{A}$를 반시계 방향으로 회전시킬 때, 이 시행의 표본공간 $S$, 화살표가 회색 호에 맞닿는 사건 $Q$의 원소의 개수 $n(Q)$, 그리고 확률 $\mathrm{P}(Q)$를 각각 구하시오. (10점)

(3) (2)의 시행을 독립적으로 $4$회 반복할 때, 원반 $\mathrm{A}$의 화살표가 원반 $\mathrm{B}$의 회색 호에 맞닿는 횟수가 $2$회 이상일 확률을 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 수학Ⅱ, 미적분 — 도함수의 정의, 이계도함수, 정적분의 성질 배점 30점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 16042 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

【가】 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$는 다음과 같이 정의된다. $$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

- 『고등학교 수학Ⅱ』

【나】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하면 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$이며, 임의의 실수 $c$에 대하여 $\displaystyle\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$이다.

- 『고등학교 수학Ⅱ』

【다】 함수 $y = f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 미분가능할 때, $f'(x)$의 도함수 $f''(x) = \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f'(x + h) - f'(x)}{h}$를 함수 $y = f(x)$의 이계도함수라고 한다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 2] 실수 전체의 집합에서 도함수와 이계도함수가 존재하는 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 $$f(x + y) - f(x - y) = 2f(y)f'(x), \qquad f(0) = 0, \qquad f(2) = a \quad (a \gt 0)$$ 을 만족할 때, 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) $f'(0)$과 $f''(0)$의 값을 각각 구하고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = -f(x)$가 성립함을 보이시오. (10점)

(2) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + 2) - f(x - 2) = 2af'(x)$임을 이용하여, 정적분 $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$의 값을 $a$에 대한 식으로 구하시오. (10점)

(3) 함수 $f(x) = \dfrac{4}{\pi}\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)$가 주어진 조건을 만족할 때 상수 $a$의 값을 구하고, (2)의 결과를 이용하여 구한 $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$의 값이 직접 정적분한 값과 일치함을 확인하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 수학Ⅱ, 미적분 — 함수의 최대·최소, 음함수 미분법, 평면운동의 속도와 속력 배점 40점 · 난이도 중상

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 16043 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-06, 12미적Ⅱ-02-11]

[제시문]

【가】 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $(x, y)$가 $x = f(t), \; y = g(t)$일 때, 시각 $t$에서의 속도는 $\left(\dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}\right) = (f'(t), g'(t))$이고 속력은 $\sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2}$이다.

- 『고등학교 미적분』

【나】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.

- 『고등학교 수학Ⅱ』

【다】 $t$의 함수 $s$가 방정식 $F(t, s) = 0$의 꼴로 주어졌을 때, $s$를 $t$의 함수로 보고 양변을 $t$에 대하여 미분하여 $\dfrac{ds}{dt}$를 구할 수 있다(음함수의 미분법).

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 원점 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $1$인 원과 $x$축 위의 점 $\mathrm{A}(a, 0)$가 있다. (단, $\sqrt{3} \le a \le 3$) 점 $\mathrm{P}$는 점 $(1, 0)$에서 출발하여 시각 $t\;\left(0 \le t \lt \dfrac{\pi}{2}\right)$일 때 $\angle\mathrm{POA} = t$를 만족하도록 원 위를 반시계 방향으로 움직인다. 직선 $\mathrm{AP}$가 원과 만나는 점 중 $\mathrm{P}$가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 시각 $t = t_0$일 때 점 $\mathrm{Q}$의 위치는 $(0, 1)$이다. 다음 물음에 답하시오. <27줄 이내> [40점]

(1) 시각 $t = t_0$일 때 점 $\mathrm{P}$의 좌표 $(\cos t_0, \sin t_0)$를 상수 $a$를 이용하여 나타내시오. (12점)

(2) 시각 $t$에서 점 $\mathrm{Q}$의 위치를 $(\cos s, \sin s)$라 할 때, 음함수의 미분법을 이용하여 시각 $t = t_0$에서의 점 $\mathrm{Q}$의 속력 $v(a)$를 $a$를 이용하여 나타내시오. (14점)

(3) 닫힌구간 $[\sqrt{3}, 3]$에서 시각 $t = t_0$일 때 점 $\mathrm{Q}$의 속력 $v(a)$가 최대가 되도록 하는 $a$의 값과 그때의 최댓값, 그리고 최소가 되도록 하는 $a$의 값과 그때의 최솟값을 각각 구하시오. (14점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제4회	문항 1	수학Ⅰ, 확률과 통계	호도법과 호의 길이, 표본공간과 수학적 확률, 독립시행	30점	중
제4회	문항 2	수학Ⅱ, 미적분	도함수의 정의, 이계도함수, 정적분의 성질	30점	중상
제4회	문항 3	수학Ⅱ, 미적분	함수의 최대·최소, 음함수 미분법, 평면운동의 속도와 속력	40점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 동국대학교 수리논술 제4회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)의 공식 탐구 문항을 원천으로 변형 출제되었으며 대학 미적분학 과정 공식 없이 100% 교과서 정리만으로 완결됩니다.
• 표준 배점 및 시간 배분 전략: 문제 1(30점, 25분)과 문제 2(30점, 25분)에서 최소 50점 이상을 안정적으로 확보한 뒤, 고배점 킬러 문항인 문제 3(40점, 40분)의 소문항 (1), (2) 부분점수(26점)를 우선 공략하면 동국대 자연계열 전 모집단위 최초합격권(80점 이상)에 진입할 수 있습니다.
• 단계별 논리 서술 루브릭: 채점 시 Part 2-2 해설집(p.87~89)의 3단계 루브릭 기준에 맞추어 획득 점수를 산출하고 Part 3 대시보드(p.108)에 입력하십시오.

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 확률과 통계 — 중복순열, 중복조합, 모비율의 신뢰구간 추정 배점 30점 · 난이도 중

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ-1. 순열과 조합 (DB: PS_Ch01) PDF p.8 탐구 16051 변형 | 성취기준: 12확통01-02, 12확통03-06]

[제시문]

【가】 서로 다른 $n$개에서 중복을 허용하여 $r$개를 택하는 중복순열의 수는 ${}_n\Pi_r = n^r$이고, 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 택하는 조합의 수는 ${}_n\mathrm{C}_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\;(0 \le r \le n)$이다.

- 『고등학교 확률과 통계』

【나】 서로 다른 $n$개에서 중복을 허용하여 $r$개를 택하는 중복조합의 수는 ${}_n\mathrm{H}_r = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$이며, 이는 방정식 $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = r$의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.

- 『고등학교 확률과 통계』

【다】 모비율이 $p$인 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출하여 구한 표본비율을 $\hat{p}$이라 할 때, $n$이 충분히 크면 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은 다음과 같다. (단, $\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$) $$\hat{p} - 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

- 『고등학교 확률과 통계』

[문제 1] 오른쪽 그림과 같이 $3 \times 3$ 격자 모양으로 놓인 $9$개의 정사각형 타일에 음이 아닌 정수를 한 개씩 표시하고자 한다. 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) $9$개의 타일에 표시된 음이 아닌 정수들의 총합이 $6$이 되는 모든 경우의 수 $a$를 구하시오. (8점)

(2) 총합이 $6$이면서 '각각의 가로선 위에 놓인 $3$개의 타일 중 자연수가 표시된 타일은 정확히 $1$개씩이고 나머지는 $0$'인 경우의 수 $b$와, 여기에 더하여 '각각의 세로선 위에 놓인 $3$개의 타일 중에서도 자연수가 표시된 타일이 정확히 $1$개씩'인 경우의 수 $c$를 각각 구하시오. (10점)

(3) 어느 반도체 공정에서 불량 판별 인공지능의 정탐률(모비율 $p$)을 추정하기 위해 크기 $n = 400$인 표본을 임의추출한 결과 표본비율이 $\hat{p} = 0.64$였다. 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간 $[L, U]$를 구하고, 동일한 표본비율 $\hat{p} = 0.64$에서 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이 $U - L$이 $0.04704$ 이하가 되도록 하는 표본의 크기 $n$의 최솟값을 구하시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 기하 — 타원·쌍곡선의 접선, 법선벡터와 평면의 방정식 배점 30점 · 난이도 중상

[출처: 비상 기하 Ⅲ-2. 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.8 탐구 16052 변형 | 성취기준: 12기하01-04, 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문]

【가】 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(a \gt b \gt 0)$의 초점은 $(\pm\sqrt{a^2 - b^2}, 0)$이고 점 $(x_0, y_0)$에서의 접선은 $\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1$이다. 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{\alpha^2} - \dfrac{y^2}{\beta^2} = 1\;(\alpha \gt 0, \beta \gt 0)$의 초점은 $(\pm\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}, 0)$이고 점 $(x_0, y_0)$에서의 접선은 $\dfrac{x_0 x}{\alpha^2} - \dfrac{y_0 y}{\beta^2} = 1$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

【나】 좌표공간에서 점 $\mathrm{A}(x_1, y_1, z_1)$을 지나고 영벡터가 아닌 법선벡터 $\vec{n} = (a, b, c)$에 수직인 평면의 방정식은 $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

【다】 좌표공간에서 두 평면 $\pi_1, \pi_2$의 법선벡터가 각각 $\vec{n}_1, \vec{n}_2$일 때, 두 평면이 이루는 예각의 크기 $\theta$에 대하여 $\cos\theta = \dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

[문제 2] 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 오른쪽 그림과 같이 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}'(-c, 0)\;(c \gt 0)$을 공유하는 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(a \gt b \gt 0)$과 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{\alpha^2} - \dfrac{y^2}{\beta^2} = 1\;(\alpha \gt 0, \beta \gt 0)$의 제$1$사분면 교점을 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$라 할 때, $x_0^2$과 $y_0^2$을 $a, b, \alpha, \beta$에 대한 식으로 나타내시오. (10점)

(2) 교점 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$에서 타원에 그은 접선 $l_1$과 쌍곡선에 그은 접선 $l_2$가 서로 수직임을 증명하시오. (10점)

(3) 좌표공간에서 구 $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ 위의 점 $\mathrm{Q}(1, 2, 2)$에서의 접평면 $\pi_1$의 방정식을 구하고, 평면 $\pi_1$과 평면 $\pi_2 : 2x - y + 2z = 5$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때 $\cos\theta$의 값을 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅱ — 정적분으로 정의된 함수의 미분, 입체도형의 부피, 합성함수 미분법 배점 40점 · 난이도 중상

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.14 탐구 16053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]

[제시문]

【가】 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치가 $x = f(t)$일 때 속도 $v(t) = f'(t)$이고, 시각 $t = a$에서 $t = b$까지의 위치의 변화량은 $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$이다.

- 『고등학교 수학Ⅱ』

【나】 닫힌구간 $[a, b]$의 임의의 점 $z$에서 $z$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S(z)$인 입체도형의 부피 $V$는 $V = \displaystyle\int_a^b S(z)\,dz$이며, 연속함수 $S(z)$에 대하여 $\dfrac{d}{dh}\displaystyle\int_0^h S(z)\,dz = S(h)$이다.

- 『고등학교 미적분』

【다】 미분가능한 두 함수 $y = F(u), \; u = h(t)$에 대하여 합성함수 $y = F(h(t))$의 도함수는 $\dfrac{dy}{dt} = F'(h(t))h'(t)$이다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 밑면의 넓이가 $A\,(\mathrm{m}^2)$인 원기둥 모양의 수조에 충분한 양의 물이 채워져 있다. 최하단에서 거리가 $z\,(\mathrm{m})$인 수면에 평행한 평면으로 자른 단면의 넓이가 연속함수 $S(z)\,(\mathrm{m}^2)$인 속이 꽉 찬 입체도형이 오른쪽 그림과 같이 일정한 속력 $v\,(\mathrm{m/s})$로 수직 하강하고 있다. 입체도형의 최하단이 수면에 닿는 순간을 시각 $t = 0$이라 하고, 시각 $t$에서 수면의 높이를 $H(t)$, 물속에 잠긴 입체도형의 깊이를 $h(t)$라 하자. 다음 물음에 답하시오. <27줄 이내> [40점]

(1) 시각 $t$에서 잠긴 깊이 $h(t)$를 $H(t), H(0), v, t$로 나타내고, 양변을 $t$에 대하여 미분하여 $h'(t)$와 수면의 상승 속도 $H'(t)$ 사이의 관계식을 구하시오. (12점)

(2) 수면을 확장한 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이가 $S\;(S = S(h(t)) \lt A)$인 순간, 수면의 상승 속도 $H'(t)$를 $A, S, v$로 나타내는 과정을 서술하시오. (14점)

(3) $A = 8\pi\,(\mathrm{m}^2), \; v = 3\,(\mathrm{m/s})$이고 입체도형의 단면의 넓이가 $S(z) = \pi z(4 - z)\;(0 \le z \le 4)$일 때, 수면의 상승 속도 $H'(t)$가 최대가 되는 잠긴 깊이 $z = h(t)$와 그때의 최대 상승 속도, 그리고 그 순간까지 물속에 잠긴 입체도형의 부피를 각각 구하시오. (14점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제5회	문항 1	확률과 통계	중복순열, 중복조합, 모비율의 신뢰구간 추정	30점	중
제5회	문항 2	기하	타원·쌍곡선의 접선, 법선벡터와 평면의 방정식	30점	중상
제5회	문항 3	미적분Ⅱ	정적분으로 정의된 함수의 미분, 입체도형의 부피, 합성함수 미분법	40점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 동국대학교 수리논술 제5회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)의 공식 탐구 문항을 원천으로 변형 출제되었으며 대학 미적분학 과정 공식 없이 100% 교과서 정리만으로 완결됩니다.
• 표준 배점 및 시간 배분 전략: 문제 1(30점, 25분)과 문제 2(30점, 25분)에서 최소 50점 이상을 안정적으로 확보한 뒤, 고배점 킬러 문항인 문제 3(40점, 40분)의 소문항 (1), (2) 부분점수(26점)를 우선 공략하면 동국대 자연계열 전 모집단위 최초합격권(80점 이상)에 진입할 수 있습니다.
• 단계별 논리 서술 루브릭: 채점 시 Part 2-2 해설집(p.90~92)의 3단계 루브릭 기준에 맞추어 획득 점수를 산출하고 Part 3 대시보드(p.108)에 입력하십시오.

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅱ. 삼각함수 — 원에 내접하는 사각형의 코사인법칙과 대각선 분할 및 넓이 배점 30점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 16061 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[제시문]

【가】 원에 내접하는 사각형 $ABCD$에서 마주 보는 두 내각의 합은 $\pi$이므로 $\cos C = -\cos A,\; \sin C = \sin A$가 항상 성립한다. 또한 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 하면 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$와 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$가 성립한다.

- 『교과서 기반 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수』

[문제 1] 원에 내접하는 사각형 $ABCD$에서 $\overline{AB} = 3,\; \overline{BC} = 5,\; \overline{CD} = 3,\; \overline{DA} = 7$일 때, 대각선의 길이와 사각형의 넓이를 구하고자 한다. 각 단계별 논제에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 대각선 $BD$의 길이를 $x$라 할 때, 두 삼각형 $ABD$와 $CBD$에서 각각 코사인법칙을 적용하여 $\cos A$와 $x^2$의 값을 각각 구하시오. (8점)

(2) 사각형 $ABCD$의 넓이 $S$와 외접원의 반지름 $R$의 값을 각각 구하시오. (10점)

(3) 두 대각선 $AC$와 $BD$의 교점을 $P$라 할 때, 선분 $BP$와 $PD$의 길이의 비 $\overline{BP} : \overline{PD}$를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ — 무한대 극한과 부정형 극한을 만족시키는 삼차함수의 결정 배점 30점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 16062 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문]

【가】 다항함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^n} = c$ ($c \ne 0$)이면 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $c$인 $n$차 다항식이다. 또한 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{x - a} = L$이 존재하면 분모가 $0$에 수렴하므로 $f(a) = 0$이고 $f'(a) = L$이다.

- 『교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한』

[문제 2] 다항함수 $f(x)$가 다음 두 극한 조건을 동시에 만족시킬 때, 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점] \[\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2} = -2, \qquad \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x^2 - 1} = 2\]

(1) 제시문 【가】의 성질을 이용하여 다항함수 $f(x)$의 차수와 삼차항·이차항의 계수를 구하고, $f(1)$과 $f'(1)$의 값을 각각 구하시오. (8점)

(2) 다항함수 $f(x)$의 식을 구하고, 방정식 $f(x) = f(1)$의 모든 실근의 합을 구하시오. (10점)

(3) 자연수 $n$에 대하여 극한값 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n \left\{ f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) - f\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \right\}$을 구하시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 확률과 통계 — 비복원 추출에서 이산확률변수의 확률분포와 기댓값·분산 배점 40점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 (DB: PS_Ch03) PDF p.6 탐구 16063 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-01, 12확통03-02]

[제시문]

【가】 이산확률변수 $X$가 취하는 값 $x_1, x_2, \dots, x_n$과 각각의 확률 $p_i = \mathrm{P}(X = x_i)$에 대하여 기댓값(평균)은 $\mathrm{E}(X) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i p_i$이고, 분산은 $\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2$이다. 또한 두 상수 $a, b$에 대하여 $Y = aX + b$일 때 $\mathrm{E}(Y) = a\mathrm{E}(X) + b,\; \mathrm{V}(Y) = a^2 \mathrm{V}(X)$가 성립한다.

- 『교과서 기반 교육과정 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포』

[문제 3] 붉은 공 $4$개와 푸른 공 $3$개가 들어 있는 주머니에서 임의로 $3$개의 공을 동시에 꺼낼 때, 나오는 붉은 공의 개수를 확률변수 $X$라 하자. 각 단계별 논제에 답하시오. <23줄 이내> [40점]

(1) 확률변수 $X$가 가질 수 있는 모든 값 $k$에 대하여 확률질량함수 $\mathrm{P}(X = k)$를 구하고, 확률의 총합이 $1$임을 확인하시오. (12점)

(2) 확률변수 $X$의 기댓값 $\mathrm{E}(X)$와 $X^2$의 기댓값 $\mathrm{E}(X^2)$을 각각 구하시오. (14점)

(3) 확률변수 $X$의 분산 $\mathrm{V}(X)$를 구하고, 확률변수 $Y = 35X - 10$의 평균 $\mathrm{E}(Y)$와 분산 $\mathrm{V}(Y)$를 각각 구하시오. (14점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제6회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제6회	문항 1	대수 Ⅱ. 삼각함수	원에 내접하는 사각형의 코사인법칙과 대각선 분할 및 넓이	30점	상
제6회	문항 2	미적분Ⅰ	무한대 극한과 부정형 극한을 만족시키는 삼차함수의 결정	30점	상
제6회	문항 3	확률과 통계	비복원 추출에서 이산확률변수의 확률분포와 기댓값·분산	40점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 동국대학교 수리논술 제6회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)의 공식 탐구 문항을 원천으로 변형 출제되었으며 대학 미적분학 과정 공식 없이 100% 교과서 정리만으로 완결됩니다.
• 표준 배점 및 시간 배분 전략: 문제 1(30점, 25분)과 문제 2(30점, 25분)에서 최소 50점 이상을 안정적으로 확보한 뒤, 고배점 킬러 문항인 문제 3(40점, 40분)의 소문항 (1), (2) 부분점수(26점)를 우선 공략하면 동국대 자연계열 전 모집단위 최초합격권(80점 이상)에 진입할 수 있습니다.
• 단계별 논리 서술 루브릭: 채점 시 Part 2-2 해설집(p.93~95)의 3단계 루브릭 기준에 맞추어 획득 점수를 산출하고 Part 3 대시보드(p.108)에 입력하십시오.

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅱ. 삼각함수 — 삼각함수의 주기·대칭성과 방정식의 모든 실근의 합 배점 30점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 16071 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

[제시문]

【가】 함수 $y = A\sin(\omega x)$ ($A \gt 0,\; \omega \gt 0$)의 주기는 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$이며, 원점에 대하여 대칭인 기함수이다. 또한 그래프가 직선 $x = s$에 대하여 대칭일 때, 직선 $y = k$와 만나는 교점의 $x$좌표들은 대칭축 $x = s$에 대하여 대칭을 이룬다.

- 『교과서 기반 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수』

[문제 1] 닫힌구간 $[0, 4]$에서 정의된 함수 $f(x) = 2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)$의 그래프와 직선의 교점을 분석하고자 한다. 각 단계별 논제에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 함수 $f(x)$의 주기를 구하고, 닫힌구간 $[0, 4]$에서 방정식 $f(x) = k$ ($0 \lt k \lt 2$)의 서로 다른 실근의 개수와 모든 실근의 합을 구하시오. (8점)

(2) 방정식 $f(x) = 1$의 닫힌구간 $[0, 4]$에서의 두 실근을 $\alpha, \beta$ ($\alpha \lt \beta$)라 할 때, $\beta - \alpha$의 값과 세 점 $(\alpha, 1),\; (\beta, 1),\; (1, 2)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하시오. (10점)

(3) 실수 전체의 집합에서 방정식 $2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) = \dfrac{1}{3}x$의 서로 다른 실근의 개수를 구하고, 모든 실근의 합을 구하시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ — 구간별로 정의된 함수의 미분가능성과 접선의 방정식 배점 30점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 16072 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-05]

[제시문]

【가】 함수 $f(x)$가 $x = a$를 경계로 미분가능한 두 다항함수 $g(x)$ ($x \lt a$)와 $h(x)$ ($x \ge a$)로 정의될 때, $x = a$에서 미분가능할 필요충분조건은 연속 조건 $g(a) = h(a)$와 좌·우미분계수 일치 조건 $g'(a) = h'(a)$가 동시에 성립하는 것이다.

- 『교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수』

[문제 2] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} x^3 + ax + b & (x \lt 1) \\ cx^2 + 4x + 1 & (x \ge 1) \end{cases}$가 모든 실수 $x$에서 미분가능하고 $f(0) = -2$를 만족시킬 때, 각 단계별 논제에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 상수 $b$의 값을 구하고, $x = 1$에서의 연속 조건과 미분가능 조건을 이용하여 상수 $a, c$의 값을 각각 구하시오. (8점)

(2) 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(-1, f(-1))$에서의 접선 $l_1$과 점 $(2, f(2))$에서의 접선 $l_2$의 방정식을 각각 구하시오. (10점)

(3) 두 접선 $l_1, l_2$와 $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 위치의 변화량 및 움직인 거리 배점 40점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 탐구 16073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문]

【가】 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t)$이고 시각 $t = 0$에서의 위치가 $x_0$일 때, 시각 $t = a$에서의 점 $P$의 위치는 $x(a) = x_0 + \displaystyle\int_0^a v(t)\,dt$이고, 시각 $t = 0$부터 $t = a$까지 점 $P$가 움직인 거리는 $\displaystyle\int_0^a |v(t)|\,dt$이다.

- 『교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용』

[문제 3] 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$일 때, 점 $P$의 운동을 분석하고자 한다. 각 단계별 논제에 답하시오. <23줄 이내> [40점]

(1) 점 $P$가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하고, 각 시각에서의 점 $P$의 위치를 구하시오. (12점)

(2) 시각 $t = 0$부터 $t = 4$까지 점 $P$의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 각각 구하시오. (14점)

(3) 점 $P$가 출발 후 처음으로 다시 원점을 지나는 시각 $T\;(T \gt 0)$와 그때의 가속도 $a(T)$를 각각 구하시오. (14점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제7회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제7회	문항 1	대수 Ⅱ. 삼각함수	삼각함수의 주기·대칭성과 방정식의 모든 실근의 합	30점	상
제7회	문항 2	미적분Ⅰ	구간별로 정의된 함수의 미분가능성과 접선의 방정식	30점	상
제7회	문항 3	미적분Ⅰ	수직선 위를 움직이는 점의 속도와 위치의 변화량 및 움직인 거리	40점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 동국대학교 수리논술 제7회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)의 공식 탐구 문항을 원천으로 변형 출제되었으며 대학 미적분학 과정 공식 없이 100% 교과서 정리만으로 완결됩니다.
• 표준 배점 및 시간 배분 전략: 문제 1(30점, 25분)과 문제 2(30점, 25분)에서 최소 50점 이상을 안정적으로 확보한 뒤, 고배점 킬러 문항인 문제 3(40점, 40분)의 소문항 (1), (2) 부분점수(26점)를 우선 공략하면 동국대 자연계열 전 모집단위 최초합격권(80점 이상)에 진입할 수 있습니다.
• 단계별 논리 서술 루브릭: 채점 시 Part 2-2 해설집(p.96~98)의 3단계 루브릭 기준에 맞추어 획득 점수를 산출하고 Part 3 대시보드(p.108)에 입력하십시오.

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅱ. 삼각함수 — 외접원의 반지름과 사인법칙·코사인법칙을 이용한 삼각형 결정 배점 30점 · 난이도 최상

[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 16081 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[제시문]

【가】 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 할 때 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$와 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$가 항상 성립한다.

- 『교과서 기반 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수』

[문제 1] 반지름의 길이가 $R = \sqrt{7}$인 원에 내접하는 삼각형 $ABC$에서 $\angle A = \dfrac{\pi}{3}$이고 $\overline{AB} : \overline{AC} = 3 : 1$일 때, 삼각형의 세 변과 넓이를 구하고자 한다. 각 단계별 논제에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 사인법칙을 이용하여 변 $BC$의 길이 $a$를 구하고, $\overline{AC} = k,\; \overline{AB} = 3k$로 놓아 코사인법칙으로 양수 $k$의 값을 구하시오. (8점)

(2) 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$와 꼭짓점 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발 $H$에 대하여 선분 $AH$의 길이를 각각 구하시오. (10점)

(3) 각 $A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 할 때, 선분 $AD$의 길이를 구하시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ — 평균값 정리를 이용한 다항함수의 변화율 추론과 수열의 극한 배점 30점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 16082 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

[제시문]

【가】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능하면, $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$를 만족시키는 실수 $c$가 열린구간 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다(평균값 정리).

- 『교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용』

[문제 2] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 상수와 극한을 구하고자 한다. 각 단계별 논제에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x)$에 평균값 정리를 적용할 때, $\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = f'(c)$를 만족시키는 열린구간 $(0, 3)$ 내의 상수 $c$의 값을 구하시오. (8점)

(2) 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) \ge 2$임을 보이고, 임의의 두 실수 $x_1 \lt x_2$에 대하여 $f(x_2) - f(x_1) \ge 2(x_2 - x_1)$이 성립함을 평균값 정리로 증명하시오. (10점)

(3) 자연수 $n$에 대하여 닫힌구간 $[n, n + 1]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수를 $c_n \in (n, n + 1)$이라 할 때, 극한값 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (c_n - n)$을 구하시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 기하 — 포물선의 초점·준선 정의와 초점을 지나는 직선의 선분 비 배점 40점 · 난이도 최상

[출처: 비상 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 16083 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[제시문]

【가】 포물선 $y^2 = 4px$ ($p \gt 0$) 위의 임의의 점 $P(x_1, y_1)$에서 초점 $F(p, 0)$까지의 거리와 준선 $x = -p$까지의 거리는 서로 같으므로 $\overline{PF} = x_1 + p$가 항상 성립한다. 또한 포물선 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $y_1 y = 2p(x + x_1)$이다.

- 『교과서 기반 교육과정 기하 Ⅰ-1. 이차곡선』

[문제 3] 포물선 $y^2 = 8x$의 초점 $F$를 지나는 기울기가 양수인 직선 $l$이 포물선과 제1사분면에서 만나는 점을 $A$, 제4사분면에서 만나는 점을 $B$라 하자. $\overline{AF} : \overline{BF} = 3 : 1$일 때, 각 단계별 논제에 답하시오. <23줄 이내> [40점]

(1) 포물선의 초점 $F$의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 두 점 $A, B$의 $x$좌표를 각각 $x_A, x_B$라 할 때 포물선의 정의를 이용하여 $x_A, x_B$의 값을 각각 구하시오. (12점)

(2) 선분 $AB$의 길이와 직선 $l$의 기울기 $m$을 각각 구하시오. (14점)

(3) 원점 $O(0, 0)$에 대하여 삼각형 $OAB$의 넓이와 포물선 위의 점 $A$에서의 접선의 $x$절편을 각각 구하시오. (14점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제8회	문항 1	대수 Ⅱ. 삼각함수	외접원의 반지름과 사인법칙·코사인법칙을 이용한 삼각형 결정	30점	최상
제8회	문항 2	미적분Ⅰ	평균값 정리를 이용한 다항함수의 변화율 추론과 수열의 극한	30점	최상
제8회	문항 3	기하	포물선의 초점·준선 정의와 초점을 지나는 직선의 선분 비	40점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 동국대학교 수리논술 제8회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)의 공식 탐구 문항을 원천으로 변형 출제되었으며 대학 미적분학 과정 공식 없이 100% 교과서 정리만으로 완결됩니다.
• 표준 배점 및 시간 배분 전략: 문제 1(30점, 25분)과 문제 2(30점, 25분)에서 최소 50점 이상을 안정적으로 확보한 뒤, 고배점 킬러 문항인 문제 3(40점, 40분)의 소문항 (1), (2) 부분점수(26점)를 우선 공략하면 동국대 자연계열 전 모집단위 최초합격권(80점 이상)에 진입할 수 있습니다.
• 단계별 논리 서술 루브릭: 채점 시 Part 2-2 해설집(p.99~101)의 3단계 루브릭 기준에 맞추어 획득 점수를 산출하고 Part 3 대시보드(p.108)에 입력하십시오.

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 — 유리함수와 다항함수의 곱의 연속성과 사잇값 정리 배점 30점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 16091 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[제시문]

【가】 함수 $h(x)$가 $x = a$에서 연속이려면 $\displaystyle\lim_{x \to a} h(x) = h(a)$가 성립해야 한다. 또한 함수 $h(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $h(a)h(b) \lt 0$이면 열린구간 $(a, b)$에 $h(c) = 0$인 $c$가 적어도 하나 존재한다(사잇값 정리).

- 『교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속』

[문제 1] 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $h(x)$와 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g(x)$가 $x \ne -1,\; x \ne 2$인 모든 실수 $x$에서 \[h(x) = \dfrac{x - 3}{x^2 - x - 2} g(x)\] 를 만족시키고 $h(-1) = 4$일 때, 각 단계별 논제에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 함수 $h(x)$가 $x = -1$과 $x = 2$에서 연속임을 이용하여 $g(-1),\; g(2)$의 값을 구하고, $h(-1) = 4$로부터 삼차함수 $g(x)$의 식을 구하시오. (8점)

(2) $h(2)$와 $g(3)$의 값을 각각 구하고, 방정식 $g(x) = 0$의 모든 실근을 구하시오. (10점)

(3) 닫힌구간 $[-1, 2]$에서 방정식 $h(x) - x = 0$이 적어도 하나의 실근을 가짐을 사잇값 정리로 증명하시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ — 삼차함수 그래프의 대칭성과 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수 배점 30점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 16092 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09]

[제시문]

【가】 삼차함수 $y = f(x)$의 그래프 밖의 한 점 $(a, b)$에서 곡선에 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수는 접점의 $x$좌표 $t$에 대한 삼차방정식 $b - f(t) = f'(t)(a - t)$의 서로 다른 실근 $t$의 개수와 같다.

- 『교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용』

[문제 2] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x$의 그래프와 점 $P(1, k)$에 대하여 점 $P$에서 곡선 $y = f(x)$에 그을 수 있는 접선의 개수를 분석하고자 한다. 각 단계별 논제에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, t^3 - 3t)$에서의 접선이 점 $P(1, k)$를 지날 조건을 정리하여 $k$를 $t$에 대한 삼차함수 $g(t)$로 나타내시오. (8점)

(2) 점 $P(1, k)$에서 곡선 $y = f(x)$에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오. (10점)

(3) $k = -2$일 때 점 $P(1, -2)$에서 곡선 $y = f(x)$에 그은 모든 접선의 방정식과 각 접점의 $x$좌표를 구하시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 확률과 통계 — 조건부확률과 확률의 곱셈정리를 이용한 사후확률 추론 배점 40점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 (DB: PS_Ch02) PDF p.10 탐구 16093 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통02-04]

[제시문]

【가】 표본공간 $S$의 두 배반사건 $A, A^c$ ($A \cup A^c = S$)와 사건 $B$에 대하여 $\mathrm{P}(B) = \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B \mid A) + \mathrm{P}(A^c)\mathrm{P}(B \mid A^c)$가 성립하며, 사건 $B$가 일어났을 때 사건 $A$가 일어났을 조건부확률은 $\mathrm{P}(A \mid B) = \dfrac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B)}$이다.

- 『교과서 기반 교육과정 확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률』

[문제 3] 어느 반도체 공장의 두 생산 라인 $A, B$에서 전체 웨이퍼의 각각 $40\%,\; 60\%$를 생산한다. 라인 $A$와 라인 $B$에서 생산된 웨이퍼가 불량품일 확률은 각각 $3\%,\; 2\%$라 할 때, 각 단계별 논제에 답하시오. <23줄 이내> [40점]

(1) 이 공장에서 생산된 웨이퍼 중에서 임의로 택한 $1$개가 불량품일 사건을 $D$라 할 때, 확률 $\mathrm{P}(D)$를 구하시오. (12점)

(2) 임의로 택한 $1$개의 웨이퍼가 불량품이었을 때, 이 웨이퍼가 라인 $A$에서 생산되었을 조건부확률 $\mathrm{P}(A \mid D)$를 기약분수로 구하시오. (14점)

(3) 불량품 검수 장치가 실제 불량품을 불량으로 판정할 확률이 $90\%$이고, 정상 제품을 불량으로 오판정할 확률이 $1\%$라 하자. 임의로 택한 웨이퍼 $1$개가 검수 장치에서 불량 판정을 받았을 때, 실제로 불량품일 조건부확률을 기약분수로 구하시오. (14점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제9회	문항 1	미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속	유리함수와 다항함수의 곱의 연속성과 사잇값 정리	30점	최상
제9회	문항 2	미적분Ⅰ	삼차함수 그래프의 대칭성과 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수	30점	최상
제9회	문항 3	확률과 통계	조건부확률과 확률의 곱셈정리를 이용한 사후확률 추론	40점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 동국대학교 수리논술 제9회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)의 공식 탐구 문항을 원천으로 변형 출제되었으며 대학 미적분학 과정 공식 없이 100% 교과서 정리만으로 완결됩니다.
• 표준 배점 및 시간 배분 전략: 문제 1(30점, 25분)과 문제 2(30점, 25분)에서 최소 50점 이상을 안정적으로 확보한 뒤, 고배점 킬러 문항인 문제 3(40점, 40분)의 소문항 (1), (2) 부분점수(26점)를 우선 공략하면 동국대 자연계열 전 모집단위 최초합격권(80점 이상)에 진입할 수 있습니다.
• 단계별 논리 서술 루브릭: 채점 시 Part 2-2 해설집(p.102~104)의 3단계 루브릭 기준에 맞추어 획득 점수를 산출하고 Part 3 대시보드(p.108)에 입력하십시오.

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분Ⅰ — 미분가능한 함수의 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 극값 추론 배점 30점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.3 탐구 16101 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]

[제시문]

【가】 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수는 $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$로 정의되며, 두 변수의 관계식이 주어질 때 도함수의 정의에 대입하여 $f'(x)$를 구할 수 있다.

- 『교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수』

[문제 1] 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 \[f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2\] 를 만족시키고 $f'(0) = -3$일 때, 각 단계별 논제에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) $f(0)$의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 도함수 $f'(x)$를 구하시오. (8점)

(2) 함수 $f(x)$의 식을 구하고, $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오. (10점)

(3) 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ — 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 이등분 배점 30점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 16102 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

【가】 이차함수 $y = ax^2 + bx + c$의 그래프와 직선 $y = mx + n$이 서로 다른 두 점 $x = \alpha, \beta$ ($\alpha \lt \beta$)에서 만날 때, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \displaystyle\int_\alpha^\beta |a(x-\alpha)(x-\beta)|\,dx = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$이다.

- 『교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용』

[문제 2] 포물선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 원점을 지나는 직선 $y = mx$ ($0 \lt m \lt 4$)가 이등분할 때, 상수 $m$에 대한 식과 접선의 기울기를 분석하고자 한다. 각 단계별 논제에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 포물선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1$을 구하시오. (8점)

(2) 포물선 $y = -x^2 + 4x$와 직선 $y = mx$ ($0 \lt m \lt 4$)로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_2$를 $m$에 대한 식으로 나타내고, $S_1$을 이등분하도록 하는 $(4 - m)^3$의 값을 구하시오. (10점)

(3) 위에서 구한 $m$에 대하여 직선 $y = mx$와 포물선의 원점이 아닌 교점 $A$의 $x$좌표를 $x_A$라 할 때, $x_A^3$의 값과 점 $A$에서의 포물선의 접선의 기울기 $k$에 대하여 $(4 - k)^3$의 값을 각각 구하시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 동국대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 확률과 통계 — 표본비율의 정규분포 근사와 모비율의 신뢰구간 추정 배점 40점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03) PDF p.18 탐구 16103 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

[제시문]

【가】 모비율이 $p$인 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출할 때 표본비율 $\hat{p}$의 평균과 표준편차는 $\mathrm{E}(\hat{p}) = p,\; \sigma(\hat{p}) = \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}$이며, $n$이 충분히 클 때 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은 $\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$이다.

- 『교과서 기반 교육과정 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정』

[문제 3] 어느 도시의 시민 전체를 대상으로 자율주행 버스 도입 찬성 비율 $p$를 알아보기 위해 $n = 400$명을 임의추출하여 조사한 결과 $320$명이 찬성하였다. (단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$에 대하여 $\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95,\; \mathrm{P}(|Z| \le 2.58) = 0.99$로 계산한다.) 각 단계별 논제에 답하시오. <23줄 이내> [40점]

(1) 표본비율 $\hat{p}$의 값과 $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$의 값을 각각 구하시오. (12점)

(2) 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간 $[a, b]$를 구하고, 신뢰구간의 길이 $L = b - a$를 구하시오. (14점)

(3) 표본비율 $\hat{p}$가 위와 같을 때, 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $99\%$의 신뢰구간의 길이가 $0.0516$ 이하가 되도록 하는 최소의 표본의 크기 $N$을 구하시오. (14점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제10회	문항 1	미적분Ⅰ	미분가능한 함수의 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 극값 추론	30점	최상
제10회	문항 2	미적분Ⅰ	포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 이등분	30점	최상
제10회	문항 3	확률과 통계	표본비율의 정규분포 근사와 모비율의 신뢰구간 추정	40점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 동국대학교 수리논술 제10회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)의 공식 탐구 문항을 원천으로 변형 출제되었으며 대학 미적분학 과정 공식 없이 100% 교과서 정리만으로 완결됩니다.
• 표준 배점 및 시간 배분 전략: 문제 1(30점, 25분)과 문제 2(30점, 25분)에서 최소 50점 이상을 안정적으로 확보한 뒤, 고배점 킬러 문항인 문제 3(40점, 40분)의 소문항 (1), (2) 부분점수(26점)를 우선 공략하면 동국대 자연계열 전 모집단위 최초합격권(80점 이상)에 진입할 수 있습니다.
• 단계별 논리 서술 루브릭: 채점 시 Part 2-2 해설집(p.105~107)의 3단계 루브릭 기준에 맞추어 획득 점수를 산출하고 Part 3 대시보드(p.108)에 입력하십시오.

PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS

실전 모의고사 1회 ~ 10회
문제 · 모범답안 · 채점 루브릭 합본 해설집

시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 30문항 전체 원문 요약과 단계별 모범답안·루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.

🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능

⚡ 단계별 채점 기준표 완비: 소문항·단계별 부분점수 배점표를 통해 정밀한 자가 채점 지원

👨‍🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭

【문제 1】 원문 요약 — 이면각의 크기, 삼수선의 정리, 정사영의 넓이 [배점 30점]

[출처: 비상 기하 Ⅲ-1. 공간도형 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.5 탐구 16011 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문]

- 『고등학교 기하와 벡터』

(1) 정사면체 $\mathrm{ABCD}$에서 평면 $\mathrm{ABC}$와 평면 $\mathrm{DBC}$가 이루는 예각의 크기를 $\alpha$라 할 때, $\cos\alpha$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 정사면체 $\mathrm{ABCD}$의 이면각 $\cos\alpha$ (8점) 모서리 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면, 한 변의 길이가 $2$인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$와 $\mathrm{DBC}$에서 중선은 밑변을 수직이등분하므로 $\overline{\mathrm{AM}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$, $\overline{\mathrm{DM}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$이고 $\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{DM}} = \sqrt{3}$이다.
따라서 두 평면 $\mathrm{ABC}, \mathrm{DBC}$가 이루는 예각의 크기는 $\alpha = \angle\mathrm{AMD}$이며, 삼각형 $\mathrm{AMD}$에서 $\overline{\mathrm{AD}} = 2$이므로 코사인법칙에 의하여 $$\cos\alpha = \frac{\overline{\mathrm{AM}}^2 + \overline{\mathrm{DM}}^2 - \overline{\mathrm{AD}}^2}{2\cdot\overline{\mathrm{AM}}\cdot\overline{\mathrm{DM}}} = \frac{3 + 3 - 4}{2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \mathbf{\frac{1}{3}}$$ (별해: 무게중심과 정사영 활용) 꼭짓점 $\mathrm{A}$에서 밑면 $\mathrm{DBC}$에 내린 수선의 발 $\mathrm{G}$는 정삼각형 $\mathrm{DBC}$의 무게중심이므로 $\overline{\mathrm{MG}} = \dfrac{1}{3}\overline{\mathrm{DM}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$이다. 직각삼각형 $\mathrm{AMG}$에서 $\cos\alpha = \dfrac{\overline{\mathrm{MG}}}{\overline{\mathrm{AM}}} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$이다.

2단계 · 소문항 (2) 정사각뿔 $\mathrm{O\text{-}EFGH}$의 이면각 $\cos\beta, \cos\gamma$ (12점) 정사각뿔 $\mathrm{O\text{-}EFGH}$에서 모서리 $\mathrm{EF}$의 중점을 $\mathrm{N}$, 정사각형 $\mathrm{EFGH}$의 두 대각선의 교점을 $\mathrm{C}_0$이라 하자. 정삼각형 $\mathrm{OEF}$에서 $\overline{\mathrm{ON}} \perp \overline{\mathrm{EF}}$, $\overline{\mathrm{ON}} = \sqrt{3}$이고, 밑면에서 $\overline{\mathrm{C}_0\mathrm{N}} \perp \overline{\mathrm{EF}}$, $\overline{\mathrm{C}_0\mathrm{N}} = 1$이다. 또한 $\overline{\mathrm{OC}_0} = \sqrt{\overline{\mathrm{OF}}^2 - \overline{\mathrm{C}_0\mathrm{F}}^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$이므로 직각삼각형 $\mathrm{OC}_0\mathrm{N}$에서 옆면 $\mathrm{OEF}$와 밑면 $\mathrm{EFGH}$가 이루는 예각 $\beta = \angle\mathrm{ONC}_0$에 대하여 $$\cos\beta = \frac{\overline{\mathrm{C}_0\mathrm{N}}}{\overline{\mathrm{ON}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{3}}$$ 한편 이웃한 두 옆면 $\mathrm{OEF}$와 $\mathrm{OFG}$의 교선 $\mathrm{OF}$의 중점을 $\mathrm{H}_0$이라 하면, 정삼각형 $\mathrm{OEF}, \mathrm{OFG}$에서 $\overline{\mathrm{EH}_0} \perp \overline{\mathrm{OF}}$, $\overline{\mathrm{GH}_0} \perp \overline{\mathrm{OF}}$이고 $\overline{\mathrm{EH}_0} = \overline{\mathrm{GH}_0} = \sqrt{3}$이다. 따라서 두 옆면이 이루는 둔각은 $\gamma = \angle\mathrm{EH}_0\mathrm{G}$이고, 정사각형 $\mathrm{EFGH}$의 대각선의 길이는 $\overline{\mathrm{EG}} = 2\sqrt{2}$이므로 삼각형 $\mathrm{EH}_0\mathrm{G}$에서 코사인법칙에 의하여 $$\cos\gamma = \frac{\overline{\mathrm{EH}_0}^2 + \overline{\mathrm{GH}_0}^2 - \overline{\mathrm{EG}}^2}{2\cdot\overline{\mathrm{EH}_0}\cdot\overline{\mathrm{GH}_0}} = \frac{3 + 3 - 8}{2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \mathbf{-\frac{1}{3}}$$

3단계 · 소문항 (3) 두 평면의 일치 증명 및 정사영의 넓이 $S'$ (10점) 점 $\mathrm{B, C, D}$를 각각 $\mathrm{O, F, E}$에 포개어 놓으면 평면 $\mathrm{DBC}$와 평면 $\mathrm{OEF}$가 일치하고, 교선 $\mathrm{BC}$($=\mathrm{OF}$)를 경계로 반평면 $\mathrm{ABC}$가 이루는 예각 $\alpha$ $\left(\cos\alpha = \dfrac{1}{3}\right)$와 반평면 $\mathrm{OFG}$가 이루는 둔각 $\gamma$ $\left(\cos\gamma = -\dfrac{1}{3}\right)$에 대하여 $\cos\alpha = -\cos\gamma = \cos(\pi - \gamma)$에서 $\mathbf{\alpha + \gamma = \pi}$이다.
따라서 두 반평면 $\mathrm{ABC}$와 $\mathrm{OFG}$는 교선 $\mathrm{OF}$를 경계로 이루는 각의 합이 $\pi$($180^\circ$)가 되어 한 평면을 이루므로, 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 놓인 평면과 밑면 $\mathrm{EFGH}$가 이루는 예각은 옆면 $\mathrm{OFG}$와 밑면 $\mathrm{EFGH}$가 이루는 예각 $\beta$와 같다. 한 변의 길이가 $2$인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}$이므로, 제시문 【다】에 의하여 정사영의 넓이 $S'$은 다음과 같다. $$S' = S\cos\beta = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \mathbf{1}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계] (8점)	모서리 $\mathrm{BC}$의 중점 $\mathrm{M}$에 대하여 $\overline{\mathrm{AM}}\perp\overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{DM}}\perp\overline{\mathrm{BC}}$임을 밝히고 $\cos\alpha = \dfrac{1}{3}$을 구한다.	8점
[2단계] (12점)	정사각뿔에서 옆면과 밑면이 이루는 예각 $\cos\beta = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 및 이웃한 두 옆면이 이루는 둔각 $\cos\gamma = -\dfrac{1}{3}$을 구한다.	12점
[3단계] (10점)	$\alpha + \gamma = \pi$로부터 평면 $\mathrm{ABC}$와 $\mathrm{OFG}$가 일치함을 보이고 정사영 넓이 $S' = \sqrt{3}\cos\beta = 1$을 구한다.	10점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 동국대학교 자연계열 수리논술 채점에서는 제시문에 주어진 정리(이면각의 크기, 삼수선의 정리, 정사영의 넓이)를 명시적으로 인용했는지를 1단계 평가 요소로 채점합니다. 수식 전개 시 각 소문항의 연결 고리를 명확히 서술하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

📌 [동국대 등급제 환산 기준] S ~ F 등급: S: 1~3단계 완벽 서술 / A: 3개 단계 중 2개 완벽 + 1개 일부 / B: 2개 단계 완벽 / C·D: 1~2개 단계 핵심 식 도출 / E·F: 미흡

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $\cos\alpha = -\dfrac{1}{3},\; \cos\beta = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | (2) $\alpha + \gamma = \pi$이므로 두 평면 일치 | (3) 정사영 넓이 $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ 제1회 문제 1 (30점)

【문제 2】 원문 요약 — 독립시행과 이항분포, 정규분포와 표준화 [배점 30점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 (DB: PS_Ch03) PDF p.12 탐구 16012 변형 | 성취기준: 12확통03-03, 12확통03-04]

[제시문]

- 『고등학교 확률과 통계』

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 2 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 확률 $p_1, p_2$와 3개 중 '우수 등급'이 1개일 확률 (10점) 배터리 수명 $X$가 정규분포 $\mathrm{N}(500, \sigma^2)$을 따르므로, 제시문 【나】에 의하여 $Z = \dfrac{X - 500}{\sigma}$는 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1)$을 따른다. 제시문 【다】의 표준정규분포표를 이용하면 '우수 등급'($X \ge 500 + \sigma$)일 확률 $p_1$과 '표준 등급'($500 - 2\sigma \le X \lt 500 + \sigma$)일 확률 $p_2$는 각각 $$p_1 = \mathrm{P}(X \ge 500 + \sigma) = \mathrm{P}(Z \ge 1.0) = 0.5 - \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.0) = 0.5 - 0.30 = \mathbf{0.20 \; \left(=\frac{1}{5}\right)}$$ $$p_2 = \mathrm{P}(500 - 2\sigma \le X \lt 500 + \sigma) = \mathrm{P}(-2.0 \le Z \lt 1.0) = \mathrm{P}(0 \le Z \le 2.0) + \mathrm{P}(0 \le Z \lt 1.0) = 0.48 + 0.30 = \mathbf{0.78 \; \left(=\frac{39}{50}\right)}$$ 이다. 임의로 독립 선택한 $3$개의 배터리 중 '우수 등급'의 개수 $W$는 이항분포 $\mathrm{B}(3, 0.2)$를 따르므로, 제시문 【가】에 의하여 '우수 등급'이 정확히 $1$개 포함될 확률은 다음과 같다. $$\mathrm{P}(W = 1) = {}_3\mathrm{C}_1 (0.2)^1 (0.8)^2 = 3 \times 0.2 \times 0.64 = \mathbf{0.384 \; \left(=\frac{48}{125}\right)}$$

2단계 · 소문항 (2) 표준편차 $\sigma$와 $\mathrm{P}(X \ge 530)$ 계산 (8점) 수명이 $460$시간 이상 $520$시간 미만일 확률은 표준화에 의하여 $$\mathrm{P}(460 \le X \lt 520) = \mathrm{P}\!\left(-\frac{40}{\sigma} \le Z \lt \frac{20}{\sigma}\right) = \mathrm{P}\!\left(0 \le Z \le \frac{40}{\sigma}\right) + \mathrm{P}\!\left(0 \le Z \lt \frac{20}{\sigma}\right) = 0.78$$ 이다. 함수 $h(t) = \mathrm{P}(0 \le Z \le 2t) + \mathrm{P}(0 \le Z \le t)$ ($t = \dfrac{20}{\sigma} \gt 0$)는 $t$에 대한 순증가함수이고, (1)에서 $t = 1.0$일 때 $\mathrm{P}(0 \le Z \le 2.0) + \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.0) = 0.48 + 0.30 = 0.78$이므로 $\dfrac{20}{\sigma} = 1.0 \implies \mathbf{\sigma = 20}$이다.
따라서 $\sigma = 20$일 때 배터리의 수명이 $530$시간 이상일 확률은 다음과 같다. $$\mathrm{P}(X \ge 530) = \mathrm{P}\!\left(Z \ge \frac{530 - 500}{20}\right) = \mathrm{P}(Z \ge 1.5) = 0.5 - \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.5) = 0.5 - 0.43 = \mathbf{0.07}$$

3단계 · 소문항 (3) 이항분포 $\mathrm{B}(400, 0.2)$의 정규분포 근사와 $\mathrm{P}(Y \ge 92)$ (12점) 임의추출한 $400$개의 배터리 중 '우수 등급'인 배터리의 개수 $Y$는 이항분포 $\mathrm{B}(400, 0.2)$를 따른다. 제시문 【가】에 의하여 $Y$의 평균과 표준편차는 각각 $$\mathrm{E}(Y) = np_1 = 400 \times 0.2 = \mathbf{80}, \qquad \sigma(Y) = \sqrt{np_1(1 - p_1)} = \sqrt{400 \times 0.2 \times 0.8} = \sqrt{64} = \mathbf{8}$$ 이다. $n = 400$은 충분히 크므로 제시문 【나】에 의하여 $Y$는 근사적으로 정규분포 $\mathrm{N}(80, 8^2)$을 따른다. 따라서 $$\mathrm{P}(Y \ge 92) = \mathrm{P}\!\left(Z \ge \frac{92 - 80}{8}\right) = \mathrm{P}(Z \ge 1.5) = 0.5 - 0.43 = \mathbf{0.07}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계] (10점)	표준화로 $p_1 = 0.20, \; p_2 = 0.78$을 구하고 독립시행 이항확률 ${}_3\mathrm{C}_1(0.2)(0.8)^2 = 0.384$를 정확히 계산한다.	10점
[2단계] (8점)	$\mathrm{P}\!\left(-\dfrac{40}{\sigma} \le Z \lt \dfrac{20}{\sigma}\right) = 0.78$로부터 $\sigma = 20$을 구하고 $\mathrm{P}(X \ge 530) = 0.07$을 도출한다.	8점
[3단계] (12점)	$Y \sim \mathrm{B}(400, 0.2)$에서 $\mathrm{E}(Y)=80, \sigma(Y)=8$을 구하고 정규분포 $\mathrm{N}(80, 8^2)$ 근사로 $\mathrm{P}(Y \ge 92) = 0.07$을 구한다.	12점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 동국대학교 자연계열 수리논술 채점에서는 제시문에 주어진 정리(독립시행과 이항분포, 정규분포와 표준화)를 명시적으로 인용했는지를 1단계 평가 요소로 채점합니다. 수식 전개 시 각 소문항의 연결 고리를 명확히 서술하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

📌 [동국대 등급제 환산 기준] S ~ F 등급: S: 1~3단계 모두 정확 / A: 2개 단계 완벽 + 1개 일부 / B: 2개 단계 완벽 / C·D: 1개 단계 완벽 / E·F: 미흡

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $p = \dfrac{1}{5}$ | (2) $\mathrm{E}(X) = 180,\; \sigma(X) = 12,\; \mathrm{P}(X \ge 198) = 0.0668$ | (3) $m = 25 - 0.84\sigma$ 제1회 문제 2 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 접선의 방정식, 변곡점, 곡선 사이의 넓이 [배점 40점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 16013 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

- 『고등학교 수학Ⅱ』

- 『고등학교 미적분』

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 3 · 총 40점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 접선의 방정식과 교점 $\mathrm{Q}_0$의 $x$좌표 (10점) $f''(x) = 6a(x - 1)$이므로 변곡점은 $\mathrm{C}(1, 2)$이고, 이를 원점으로 평행이동한 함수는 $g(x) = ax^3 + mx$이다. $g'(x) = 3ax^2 + m$이므로 점 $\mathrm{P}_0(u, au^3 + mu)$ ($u \neq 0$)에서의 접선 $l_0$의 방정식은 $$y - (au^3 + mu) = (3au^2 + m)(x - u) \implies \mathbf{y = (3au^2 + m)x - 2au^3}$$ 이다. 이 직선과 곡선 $y = g(x)$의 교점의 $x$좌표는 연립방정식 $$ax^3 + mx = (3au^2 + m)x - 2au^3 \iff a(x^3 - 3u^2 x + 2u^3) = a(x - u)^2(x + 2u) = 0$$ 의 해이다. $a \gt 0, \; u \neq 0$이고 $\mathrm{Q}_0 \neq \mathrm{P}_0$이므로 점 $\mathrm{Q}_0$의 $x$좌표는 $\mathbf{-2u}$이다.

2단계 · 소문항 (2) 두 접선의 수직 조건과 $m$의 최댓값 $M$ (15점) 평행이동에 의하여 접선의 기울기는 변하지 않으므로, 점 $\mathrm{P}_0(u, g(u))$에서의 접선의 기울기 $g'(u) = 3au^2 + m$과 점 $\mathrm{Q}_0(-2u, g(-2u))$에서의 접선의 기울기 $g'(-2u) = 3a(-2u)^2 + m = 12au^2 + m$의 곱이 $-1$이어야 한다. $$(3au^2 + m)(12au^2 + m) = -1$$ 여기서 $t = 3au^2$이라 치환하면 $a \gt 0, \; u \neq 0$이므로 $\mathbf{t> 0}$이고, 위 식은 $t$에 대한 이차방정식 $$(t + m)(4t + m) = -1 \iff \mathbf{4t^2 + 5mt + m^2 + 1 = 0}$$ 이 된다. 이 방정식이 양의 실근 $t \gt 0$을 가져야 한다. 두 근의 곱이 $\dfrac{m^2 + 1}{4} \gt 0$이므로 두 근의 합 $-\dfrac{5m}{4} \gt 0 \implies \mathbf{m <0}$이어야 하고, 판별식 $D$가 $0$ 이상이어야 한다. $$D = (5m)^2 - 4 \cdot 4(m^2 + 1) = 25m^2 - 16m^2 - 16 = 9m^2 - 16 \ge 0 \implies m^2 \ge \frac{16}{9}$$ $m \lt 0$이므로 $m \le -\dfrac{4}{3}$이다. (등호는 $t = -\dfrac{5m}{8} = \dfrac{5}{6} \gt 0$, 즉 $u = \pm\sqrt{\dfrac{5}{18a}}$일 때 성립한다.) 따라서 $m$의 최댓값은 $\mathbf{M = -\frac{4}{3}}$이다.
(별해: 산술·기하평균) $-5m = 4t + \dfrac{m^2 + 1}{t} \ge 2\sqrt{4t\cdot\dfrac{m^2+1}{t}} = 4\sqrt{m^2 + 1}$에서 $m \lt 0$이고 양변을 제곱하면 $25m^2 \ge 16(m^2 + 1) \implies m \le -\dfrac{4}{3}$이다.

3단계 · 소문항 (3) 도형의 넓이 $S$와 정적분 급수의 극한 (15점) $a = 1, \; m = -3$이면 $g(x) = x^3 - 3x$이고, 점 $(1, -2)$에서의 접선의 기울기는 $g'(1) = 3(1)^2 - 3 = 0$이므로 접선은 $y = -2$이며 교점 $\mathrm{Q}_0$의 $x$좌표는 $-2$이다. 구간 $[-2, 1]$에서 $g(x) - (-2) = x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2) \ge 0$이므로 둘러싸인 넓이 $S$는 $$S = \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2)\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{-2}^{1} = \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2\right) - (4 - 6 - 4) = \frac{3}{4} - (-6) = \mathbf{\frac{27}{4}}$$ 또한 $x_k = -2 + \dfrac{3k}{n}, \; \Delta x = \dfrac{3}{n}$으로 놓으면 $\dfrac{3k - 2n}{n} = x_k$이고 $\dfrac{3k}{n} = x_k + 2$이므로, 제시문 【다】에 의하여 구하는 극한값은 다음과 같다. $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^4}\sum_{k=1}^n (3k - 2n)^2\left(\frac{3k}{n}\right) = \frac{1}{3}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(-2 + \frac{3k}{n}\right)^2\left(\frac{3k}{n}\right)\frac{3}{n} = \frac{1}{3}\int_{-2}^{1} x^2(x + 2)\,dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3}\right]_{-2}^{1} = \frac{1}{3}\cdot\frac{9}{4} = \mathbf{\frac{3}{4}}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계] (10점)	점 $\mathrm{P}_0$에서의 접선 $y = (3au^2+m)x - 2au^3$을 구하고 $a(x-u)^2(x+2u)=0$으로부터 $\mathrm{Q}_0$의 $x$좌표 $-2u$를 구한다.	10점
[2단계] (15점)	수직 조건 $4t^2 + 5mt + m^2 + 1 = 0$에서 양근 조건($m \lt 0$)과 판별식 $D = 9m^2 - 16 \ge 0$으로 $M = -\dfrac{4}{3}$을 구한다.	15점
[3단계] (15점)	정적분으로 둘러싸인 넓이 $S = \dfrac{27}{4}$을 구하고 급수를 정적분 $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_{-2}^{1} x^2(x+2)\,dx$로 변환하여 $\dfrac{3}{4}$를 구한다.	15점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 동국대학교 자연계열 수리논술 채점에서는 제시문에 주어진 정리(접선의 방정식, 변곡점, 곡선 사이의 넓이)를 명시적으로 인용했는지를 1단계 평가 요소로 채점합니다. 수식 전개 시 각 소문항의 연결 고리를 명확히 서술하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

📌 [동국대 등급제 환산 기준] S ~ F 등급: S: 전 단계 완벽 서술 / A: 2단계 양근 조건 포함 전 문항 해결 / B: 2개 소문항 완벽 / C·D: 1개 소문항 해결 / E·F: 미흡

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $s - b = -2(t - b)$ | (2) $M = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$ | (3) 넓이 $S = \dfrac{27\sqrt{2}}{16}$ 제1회 문제 3 (40점)

【문제 1】 원문 요약 — 등차수열의 일반항과 합, 수열의 귀납적 정의와 극한 [배점 30점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 16021 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-06]

[제시문]

- 『고등학교 수학Ⅰ』

- 『고등학교 미적분』

[문제 1] 공차가 자연수인 두 등차수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$이 다음 〈조건〉을 만족한다. <15줄 이내> [30점]

〈조건〉

① $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n - b_n}{n} = 2, \qquad \sum_{n=1}^8 (a_n - b_n) = 128$

② $\displaystyle\sum_{k=1}^n (a_k + b_k)$는 $n = 6$일 때만 최솟값을 갖는다.

③ $\displaystyle\sum_{n=1}^4 |b_n| = 68$

(1) 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$의 일반항을 각각 구하시오. (12점)

(2) 모든 자연수 $n$에 대하여 $c_n = |a_n| - |b_n|$이라 할 때, $c_n$의 최솟값과 그때의 자연수 $n$의 값을 모두 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 두 등차수열 $a_n, b_n$의 일반항 추론 (12점) 두 등차수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$의 차수열 $\{a_n - b_n\}$도 등차수열이므로 $a_n - b_n = d_1 n + c$라 놓으면, 조건 ①의 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n - b_n}{n} = 2$에서 $d_1 = 2$이다. 또한 제시문 【가】에 의하여 $$\sum_{n=1}^{8}(a_n - b_n) = \frac{8\{(2 + c) + (16 + c)\}}{2} = 4(18 + 2c) = 128 \implies 18 + 2c = 32 \implies c = 7$$ 이므로 $\mathbf{a_n - b_n = 2n + 7}$이다.
수열 $\{b_n\}$의 공차를 $d$ ($d$는 자연수)라 하면 $a_n$의 공차는 $d + 2$이고, 합수열 $a_n + b_n$의 공차는 $2d + 2$이다. 조건 ②에서 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k + b_k)$가 $n = 6$일 때만 유일한 최솟값을 가지므로 $$a_6 + b_6 \lt 0, \qquad a_7 + b_7 \gt 0 \quad \cdots\cdots \text{㉠}$$ 이어야 한다. $1 \le n \le 6$에서 $a_n + b_n \lt 0$이고 $a_n - b_n = 2n + 7 \gt 0$이므로 $2b_n = (a_n+b_n) - (a_n-b_n) \lt 0$, 즉 $b_1, b_2, b_3, b_4 \lt 0$이다. $b_n = b_6 + (n - 6)d$를 조건 ③에 대입하면 $$\sum_{n=1}^{4}|b_n| = -(b_1 + b_2 + b_3 + b_4) = -(4b_6 - 14d) = 68 \implies 2b_6 = 7d - 34$$ 이다. 이때 $a_6 - b_6 = 19$이므로 $a_6 + b_6 = (a_6 - b_6) + 2b_6 = 19 + (7d - 34) = 7d - 15$이다. 이를 ㉠에 대입하면 $$a_6 + b_6 = 7d - 15 \lt 0 \implies d \lt \frac{15}{7}, \qquad a_7 + b_7 = (7d - 15) + (2d + 2) = 9d - 13 \gt 0 \implies d \gt \frac{13}{9}$$ 이므로 자연수 $d$는 $\mathbf{d = 2}$뿐이다. 따라서 $2b_6 = -20 \implies b_6 = -10$이므로 일반항은 다음과 같다. $$\mathbf{b_n = -10 + 2(n - 6) = 2n - 22}, \qquad \mathbf{a_n = b_n + (2n + 7) = 4n - 15}$$

2단계 · 소문항 (2) 수열 $c_n = |a_n| - |b_n|$의 최솟값과 $n$의 값 (8점) $c_n = |4n - 15| - |2n - 22|$를 $n$의 범위에 따라 나누어 정리하면 다음과 같다.
• $1 \le n \le 3$일 때: $4n - 15 \lt 0, \; 2n - 22 \lt 0$이므로 $c_n = -(4n - 15) + (2n - 22) = -2n - 7$ (감소, $n=3$일 때 $c_3 = -13$).
• $4 \le n \le 11$일 때: $4n - 15 \gt 0, \; 2n - 22 \le 0$이므로 $c_n = (4n - 15) + (2n - 22) = 6n - 37$ (증가, $n=4$일 때 $c_4 = -13$).
• $n \ge 12$일 때: $4n - 15 \gt 0, \; 2n - 22 \gt 0$이므로 $c_n = (4n - 15) - (2n - 22) = 2n + 7 \ge 31$.
따라서 수열 $\{c_n\}$은 $\mathbf{n = 3 \text{ 또는 } n = 4}$일 때 최솟값 $\mathbf{-13}$을 가진다.

3단계 · 소문항 (3) $\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n^2}$ 및 무한급수의 합 (10점) $n \ge 12$일 때 $c_n = 2n + 7$이므로, $n \ge 12$에서 $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{11} c_k + \sum_{k=12}^{n}(2k + 7) = n^2 + 8n + C$ ($C$는 상수) 꼴의 이차식이다. 따라서 $$\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^2 + 8n + C}{n^2} = \mathbf{1}$$ 또한 $a_n = 4n - 15$에서 $a_n + 15 = 4n, \; a_{n+1} + 15 = 4(n + 1)$이므로 부분분수 분해에 의하여 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{(a_n + 15)(a_{n+1} + 15)} = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\frac{4}{16n(n + 1)} = \frac{1}{4}\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\right) = \frac{1}{4}\lim_{N\to\infty}\left(1 - \frac{1}{N + 1}\right) = \mathbf{\frac{1}{4}}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계] (12점)	$a_n - b_n = 2n + 7$과 $a_6+b_6 \lt 0 \lt a_7+b_7$로부터 자연수 공차 $d=2$를 구하여 $a_n = 4n-15, b_n = 2n-22$를 확정한다.	12점
[2단계] (8점)	절댓값의 부호가 바뀌는 구간($n \le 3, \; 4 \le n \le 11, \; n \ge 12$)으로 나누어 $n=3, 4$일 때 최솟값 $-13$을 구한다.	8점
[3단계] (10점)	$n \ge 12$에서 $c_n = 2n+7$을 이용해 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n^2} = 1$과 부분분수 급수의 합 $\dfrac{1}{4}$을 정확히 구한다.	10점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 동국대학교 자연계열 수리논술 채점에서는 제시문에 주어진 정리(등차수열의 일반항과 합, 수열의 귀납적 정의와 극한)를 명시적으로 인용했는지를 1단계 평가 요소로 채점합니다. 수식 전개 시 각 소문항의 연결 고리를 명확히 서술하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

📌 [동국대 등급제 환산 기준] S ~ F 등급: S: 1~3단계 모두 정확 / A: 2개 단계 완벽 + 1개 일부 / B: 2개 단계 완벽 / C·D: 1개 단계 완벽 / E·F: 미흡

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $d_1 - d_2 = 2,\; a_1 - b_1 = 9$ | (2) $a_n = 3n - 18,\; b_n = n - 27$ | (3) $\displaystyle\sum_{k=1}^{20} |a_k| = 270$ 제2회 문제 1 (30점)

【문제 2】 원문 요약 — 평면벡터의 내적, 근과 계수의 관계, 삼각형의 넓이 [배점 30점]

[출처: 비상 기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 성분과 내적 (DB: GEOM_Ch02_비상) PDF p.8 탐구 16022 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

[제시문]

- 『고등학교 수학』

- 『고등학교 기하와 벡터』

(1) 내적 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}$의 값을 구하고, $\cos\theta$를 실수 $k$를 이용하여 나타내시오. (12점)

(2) $\theta$가 최솟값을 가질 때의 실수 $k$의 값과 그때의 $\theta$의 값을 구하시오. (9점)

(3) $\theta$가 최솟값을 가질 때 두 점 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$의 좌표와 삼각형 $\mathrm{PQ_1Q_2}$의 넓이를 각각 구하시오. (9점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 2 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 근과 계수의 관계와 $\cos\theta$ 표현 (12점) 이차함수 $y = x^2 - (2k + 1)x + 3k$와 직선 $y = x$를 연립한 이차방정식 $$x^2 - 2(k + 1)x + 3k = 0$$ 의 판별식은 $\dfrac{D}{4} = (k + 1)^2 - 3k = k^2 - k + 1 = \left(k - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} \gt 0$이므로 모든 실수 $k$에 대하여 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$를 가진다. 제시문 【가】의 근과 계수의 관계에 의하여 $$\alpha + \beta = 2(k + 1) = 2k + 2, \qquad \alpha\beta = 3k$$ 이다. 점 $\mathrm{P}(0, 3)$과 두 교점 $\mathrm{Q}_1(\alpha, \alpha), \mathrm{Q}_2(\beta, \beta)$에 대하여 $$\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1} = (\alpha, \; \alpha - 3), \qquad \overrightarrow{\mathrm{PQ}_2} = (\beta, \; \beta - 3)$$ 이므로 두 벡터의 내적은 $$\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2} = \alpha\beta + (\alpha - 3)(\beta - 3) = 2\alpha\beta - 3(\alpha + \beta) + 9 = 6k - 3(2k + 2) + 9 = \mathbf{3}$$ 이다. 또한 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}|^2 |\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}|^2 = (2\alpha^2 - 6\alpha + 9)(2\beta^2 - 6\beta + 9)$를 전개하여 $\alpha + \beta = 2k + 2, \; \alpha\beta = 3k$를 대입하면 $$\begin{aligned} (2\alpha^2 - 6\alpha + 9)(2\beta^2 - 6\beta + 9) &= 4(\alpha\beta)^2 - 12\alpha\beta(\alpha+\beta) + 18\{(\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta\} + 36\alpha\beta - 54(\alpha+\beta) + 81 \\ &= 36k^2 - 36k(2k+2) + 18(4k^2 + 2k + 4) + 36k - 54(2k+2) + 81 = 36k^2 - 36k + 45 = 9(4k^2 - 4k + 5) \end{aligned}$$ 따라서 제시문 【나】에 의하여 $\cos\theta$는 다음과 같다. $$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}||\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}|} = \frac{3}{\sqrt{9(4k^2 - 4k + 5)}} = \mathbf{\frac{1}{\sqrt{4k^2 - 4k + 5}}} = \frac{1}{\sqrt{(2k - 1)^2 + 4}}$$

2단계 · 소문항 (2) 각 $\theta$의 최솟값과 $k$의 값 (9점) 근호 안의 이차식 $4k^2 - 4k + 5 = (2k - 1)^2 + 4$는 제시문 【가】에 의하여 $\mathbf{k = \frac{1}{2}}$일 때 최솟값 $4$를 가진다. 이때 $\cos\theta \gt 0$이므로 $\cos\theta$는 최댓값 $\dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2}$을 가지며, 구간 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$에서 $\cos\theta$는 감소함수이므로 $\theta$의 최솟값은 $\mathbf{\theta = \frac{\pi}{3}}$이다.

3단계 · 소문항 (3) $\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$의 좌표와 $\triangle\mathrm{PQ}_1\mathrm{Q}_2$의 넓이 $S$ (9점) $k = \dfrac{1}{2}$일 때 이차방정식 $x^2 - 3x + \dfrac{3}{2} = 0$을 풀면 $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 6}}{2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$이므로 두 교점의 좌표는 $$\mathbf{\mathrm{Q}_1\!\left(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}, \; \frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right), \qquad \mathrm{Q}_2\!\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{2}, \; \frac{3 + \sqrt{3}}{2}\right)}$$ 이다. 제시문 【다】에 의하여 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}||\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}| = \sqrt{9(4k^2 - 4k + 5)} = \sqrt{9 \times 4} = 6$이므로 삼각형 $\mathrm{PQ}_1\mathrm{Q}_2$의 넓이 $S$는 다음과 같다. $$S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}||\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}|\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계] (12점)	$\alpha+\beta=2k+2, \alpha\beta=3k$를 구하고 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2} = 3$과 $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{4k^2-4k+5}}$을 정확히 유도한다.	12점
[2단계] (9점)	$(2k-1)^2 + 4 \ge 4$로부터 $k = \dfrac{1}{2}$일 때 $\cos\theta$의 최댓값 $\dfrac{1}{2}$과 $\theta$의 최솟값 $\dfrac{\pi}{3}$를 구한다.	9점
[3단계] (9점)	$k=\dfrac{1}{2}$을 대입해 $\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2$ 좌표 $\left(\dfrac{3\pm\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3\pm\sqrt{3}}{2}\right)$ 및 삼각형 넓이 $S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$를 구한다.	9점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 동국대학교 자연계열 수리논술 채점에서는 제시문에 주어진 정리(평면벡터의 내적, 근과 계수의 관계, 삼각형의 넓이)를 명시적으로 인용했는지를 1단계 평가 요소로 채점합니다. 수식 전개 시 각 소문항의 연결 고리를 명확히 서술하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

📌 [동국대 등급제 환산 기준] S ~ F 등급: S: 1~3단계 모두 정확 / A: 2개 단계 완벽 + 1개 일부 / B: 2개 단계 완벽 / C·D: 1개 단계 완벽 / E·F: 미흡

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2} = 2k^2,\; |\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}||\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}| = 2k^2 - k + 1$ | (2) $k = 2$ | (3) 넓이 $\dfrac{3\sqrt{7}}{2}$ 제2회 문제 2 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 정적분으로 정의된 함수의 미분, 곡선 사이의 넓이, 입체도형의 부피 [배점 40점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 16023 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

- 『고등학교 수학Ⅱ』

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. <27줄 이내> [40점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 3 · 총 40점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 정적분과 미분의 관계 $S'(x) = g(x)$ 증명 (12점) $\Delta x \gt 0$일 때, 함수 $g(t)$는 닫힌구간 $[x, x + \Delta x]$에서 연속이므로 제시문 【가】의 최대·최소 정리에 의하여 이 구간에서 최솟값 $m = g(c_1)$과 최댓값 $M = g(c_2)$ ($c_1, c_2 \in [x, x+\Delta x]$)을 가진다.
넓이의 증분 $\Delta S = S(x + \Delta x) - S(x) = \displaystyle\int_x^{x+\Delta x} g(t)\,dt$는 밑변의 길이가 $\Delta x$이고 높이가 $m, M$인 두 직사각형의 넓이 사이에 있으므로 $$m\Delta x \le \Delta S \le M\Delta x \implies g(c_1) \le \frac{\Delta S}{\Delta x} \le g(c_2)$$ 가 성립한다 ($\Delta x \lt 0$일 때도 구간 $[x+\Delta x, x]$에서 동일하게 성립한다). 여기서 $\Delta x \to 0$이면 $c_1 \to x, \; c_2 \to x$이고 함수 $g$가 $x$에서 연속이므로 $\lim_{\Delta x \to 0} g(c_1) = \lim_{\Delta x \to 0} g(c_2) = g(x)$이다. 따라서 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 $$\frac{d}{dx}\int_a^x g(t)\,dt = S'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta S}{\Delta x} = \mathbf{g(x)}$$ 가 성립한다.

2단계 · 소문항 (2) 치환적분과 정적분 미분을 이용한 $f(x)$ 결정 (14점) 주어진 등식에 $t = 2$를 대입하면 $\displaystyle\int_0^{f(2)} (\sqrt{s} + 2)\,ds = 2f(2) \implies \frac{2}{3}\{f(2)\}^{3/2} = 0$이므로 $f(2) = 0$이다.
두 번째 정적분 $\displaystyle\int_0^{f(t)} (\sqrt{s} + 2)\,ds$에서 $s = (u - 2)^2\;(u \ge 2)$으로 치환하거나 직접 적분하면 $$\int_2^t (s - 2)^2\,ds + \left[\frac{2}{3}s^{3/2} + 2s\right]_0^{f(t)} = \frac{1}{3}(t - 2)^3 + \frac{2}{3}\{f(t)\}^{3/2} + 2f(t) = t\,f(t)$$ 이다. 이를 정리하면 $\dfrac{1}{3}(t - 2)^3 + \dfrac{2}{3}\{f(t)\}^{3/2} - (t - 2)f(t) = 0$이고, $u = t - 2 \ge 0, \; v = \sqrt{f(t)} \ge 0$으로 놓으면 $$u^3 + 2v^3 - 3uv^2 = (u - v)^2(u + 2v) = 0$$ 으로 인수분해된다! $u \ge 0, \; v \ge 0$이므로 $u + 2v = 0$이면 $u = v = 0$이고, 모든 $t \ge 2$에서 $u = v$, 즉 $\sqrt{f(t)} = t - 2$이다. 따라서 구하는 함수는 $$\mathbf{f(x) = (x - 2)^2 \quad (x \ge 2)}$$ 이다.

3단계 · 소문항 (3) 도형 $R$의 넓이와 정삼각형 단면 입체도형의 부피 $V$ (14점) 곡선 $y = (x - 2)^2\;(2 \le x \le 4)$과 $x$축 및 직선 $x = 4$로 둘러싸인 도형 $R$의 넓이 $A(R)$는 $$A(R) = \int_2^4 (x - 2)^2\,dx = \left[\frac{1}{3}(x - 2)^3\right]_2^4 = \mathbf{\frac{8}{3}}$$ 이다. 또한 구간 $[2, 4]$의 임의의 점 $x$에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면은 한 변의 길이가 $f(x) = (x - 2)^2$인 정삼각형이므로 단면의 넓이는 $A(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\{f(x)\}^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(x - 2)^4$이다. 제시문 【다】에 의하여 입체도형의 부피 $V$는 다음과 같다. $$V = \int_2^4 A(x)\,dx = \int_2^4 \frac{\sqrt{3}}{4}(x - 2)^4\,dx = \frac{\sqrt{3}}{4}\left[\frac{1}{5}(x - 2)^5\right]_2^4 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{32}{5} = \mathbf{\frac{8\sqrt{3}}{5}}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계] (12점)	최대·최소 정리로 $m\Delta x \le \Delta S \le M\Delta x$를 세우고 극한의 대소 관계로 $S'(x) = g(x)$를 엄밀히 증명한다.	12점
[2단계] (14점)	정적분을 계산하여 $(t - 2 - \sqrt{f(t)})^2(t - 2 + 2\sqrt{f(t)}) = 0$으로부터 $f(x) = (x - 2)^2$을 구한다.	14점
[3단계] (14점)	도형 $R$의 넓이 $\dfrac{8}{3}$과 정삼각형 단면 넓이 $A(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(x-2)^4$을 적분하여 부피 $V = \dfrac{8\sqrt{3}}{5}$를 구한다.	14점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 동국대학교 자연계열 수리논술 채점에서는 제시문에 주어진 정리(정적분으로 정의된 함수의 미분, 곡선 사이의 넓이, 입체도형의 부피)를 명시적으로 인용했는지를 1단계 평가 요소로 채점합니다. 수식 전개 시 각 소문항의 연결 고리를 명확히 서술하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

📌 [동국대 등급제 환산 기준] S ~ F 등급: S: 1~3단계 모두 정확 / A: 2개 단계 완벽 + 1개 일부 / B: 2개 단계 완벽 / C·D: 1개 단계 완벽 / E·F: 미흡

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $\alpha = 6n,\; \beta = 3n$ | (2) $S_n = 9n^3(3 - 4\ln 2)$ | (3) 극한값 $\dfrac{9}{4}(3 - 4\ln 2)$ 제2회 문제 3 (40점)

【문제 1】 원문 요약 — 포물선·타원·쌍곡선의 초점과 접선, 빛의 반사 [배점 30점]

[출처: 비상 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 16031 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[제시문]

- 『고등학교 기하와 벡터』

【다】 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

[문제 1] 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 타원의 초점과 포물선의 초점·준선 (10점) • $k = \dfrac{1}{2}$일 때: $x^2 + y^2 = \left(\dfrac{1}{2}x + 2\right)^2$을 정리하면 $$\frac{3}{4}x^2 - 2x + y^2 = 4 \iff \frac{3}{4}\left(x - \frac{4}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{16}{3} \iff \frac{\left(x - \dfrac{4}{3}\right)^2}{\dfrac{64}{9}} + \frac{y^2}{\dfrac{16}{3}} = 1$$ 이므로 제시문 【가】에서 $a^2 = \dfrac{64}{9}, \; b^2 = \dfrac{16}{3} = \dfrac{48}{9}, \; c = \sqrt{a^2 - b^2} = \dfrac{4}{3}, \; m = \dfrac{4}{3}, \; n = 0$이다. 따라서 타원의 두 초점의 좌표는 $\left(\pm\dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3}, 0\right)$, 즉 $\mathbf{\left(\frac{8}{3}, 0\right), \; (0, 0)}$이다.
• $k = 1$일 때: $x^2 + y^2 = (x + 2)^2 \iff y^2 = 4x + 4 = 4(x + 1)$이므로 $4p = 4 \implies p = 1$이고 $m = -1, \; n = 0$이다. 따라서 포물선의 초점의 좌표는 $(p + m, n) = \mathbf{(0, 0)}$이고, 준선의 방정식은 $x = -p + m = \mathbf{-2}$이다.

2단계 · 소문항 (2) 점 $\mathrm{P}$의 좌표와 쌍곡선 접선 $l$의 $x$절편 (10점) 포물선 $y^2 = 8x = 4 \cdot 2x$의 초점은 $\mathrm{F}(2, 0)$이므로, 제시문 【나】에 의하여 초점 $\mathrm{F}$에서 출발하여 점 $\mathrm{G}(4, 4\sqrt{2})$에서 반사된 빛은 $x$축에 평행한 직선 $y = 4\sqrt{2}$를 따라 직진한다. 이 직선과 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{12} - \dfrac{y^2}{4} = 1\;(x \ge 2\sqrt{3})$을 연립하면 $$\frac{x^2}{12} - \frac{32}{4} = 1 \implies \frac{x^2}{12} = 9 \implies x^2 = 108 \implies x = 6\sqrt{3} \quad (x \gt 0)$$ 이므로 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\mathbf{\mathrm{P}(6\sqrt{3}, \; 4\sqrt{2})}$이다. 제시문 【다】에 의하여 점 $\mathrm{P}(6\sqrt{3}, 4\sqrt{2})$에서의 쌍곡선의 접선 $l$의 방정식은 $$\frac{6\sqrt{3}x}{12} - \frac{4\sqrt{2}y}{4} = 1 \iff \frac{\sqrt{3}}{2}x - \sqrt{2}y = 1$$ 이며, 여기에 $y = 0$을 대입하면 접선 $l$의 $x$절편은 $\mathbf{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$이다.

3단계 · 소문항 (3) $\tan\gamma$와 반사광 연장선의 기울기 $\tan\delta$ (10점) 접선 $l : y = \dfrac{\sqrt{6}}{4}x - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$이 $x$축과 이루는 예각이 $\gamma$이므로 $\mathbf{\tan\gamma = \frac{\sqrt{6}}{4}}$이다.
입사광 $y = 4\sqrt{2}$는 $x$축에 평행하므로 입사광과 접선 $l$이 이루는 입사각의 크기는 엇각에 의하여 $\gamma$이다. 제시문 【나】에 의하여 반사각의 크기도 $\gamma$이므로, 반사된 빛의 연장선 $m$이 입사광($x$축과 평행)과 이루는 예각, 즉 $x$축과 이루는 예각은 $\delta = 2\gamma$이다. 따라서 탄젠트함수의 배각공식(덧셈정리)에 의하여 $$\tan\delta = \tan 2\gamma = \frac{2\tan\gamma}{1 - \tan^2\gamma} = \frac{2 \times \dfrac{\sqrt{6}}{4}}{1 - \dfrac{6}{16}} = \frac{\dfrac{\sqrt{6}}{2}}{\dfrac{10}{16}} = \mathbf{\frac{4\sqrt{6}}{5}}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계] (10점)	표준형 변형을 통해 타원의 초점 $\left(\dfrac{8}{3}, 0\right), (0, 0)$과 포물선의 초점 $(0, 0)$, 준선 $x = -2$를 정확히 구한다.	10점
[2단계] (10점)	반사광 $y = 4\sqrt{2}$로부터 $\mathrm{P}(6\sqrt{3}, 4\sqrt{2})$ 및 접선 $l : \dfrac{\sqrt{3}}{2}x - \sqrt{2}y = 1$의 $x$절편 $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$을 구한다.	10점
[3단계] (10점)	$\tan\gamma = \dfrac{\sqrt{6}}{4}$와 입사각·반사각 성질($\delta = 2\gamma$)을 이용해 $\tan\delta = \dfrac{4\sqrt{6}}{5}$를 구한다.	10점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 동국대학교 자연계열 수리논술 채점에서는 제시문에 주어진 정리(포물선·타원·쌍곡선의 초점과 접선, 빛의 반사)를 명시적으로 인용했는지를 1단계 평가 요소로 채점합니다. 수식 전개 시 각 소문항의 연결 고리를 명확히 서술하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

📌 [동국대 등급제 환산 기준] S ~ F 등급: S: 1~3단계 모두 정확 / A: 2개 단계 완벽 + 1개 일부 / B: 2개 단계 완벽 / C·D: 1개 단계 완벽 / E·F: 미흡

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) 원 중심 $(0,0)$, 타원 초점 $(\pm\frac{2}{3}, 0)$ | (2) 포물선 반사 직선 $y = 2\sqrt{2}$ | (3) 목표 지점 $(12, 0)$ 제3회 문제 1 (30점)

【문제 2】 원문 요약 — 탄젠트함수의 덧셈정리, 역함수의 미분법, 치환적분법 [배점 30점]

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-1. 여러 가지 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.7 탐구 16032 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-03, 12미적Ⅱ-02-07]

[제시문]

- 『고등학교 미적분』

(1) $g(t)$를 $\cos t$에 대한 식으로 나타내고, $g\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$의 값을 구하시오. (10점)

(2) 함수 $g(t)$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오. (10점)

(3) 정적분 $\displaystyle\int_{f(0)}^{f(2\pi)} g(f^{-1}(x))\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 2 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 역함수의 미분법과 $g(t) = \tan\theta$ 도출 (10점) $f(x) = \sin x + 3x + 2$를 미분하면 $f'(x) = \cos x + 3$이고, 모든 실수 $t$에 대하여 $-1 \le \cos t \le 1$이므로 $2 \le f'(t) \le 4$이다. 따라서 접선 $l_1$의 기울기는 $m_1 = f'(t) = \cos t + 3$이고, 제시문 【나】의 역함수의 미분법에 의하여 점 $(f(t), t)$에서의 접선 $l_2$의 기울기는 $$m_2 = (f^{-1})'(f(t)) = \frac{1}{f'(t)} = \frac{1}{\cos t + 3}$$ 이다. $m_1 = \cos t + 3 \ge 2 \gt 1 \ge m_2 \gt 0$이므로 $m_1 - m_2 \gt 0$이며, 제시문 【가】에 의하여 $$g(t) = \tan\theta = \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} = \frac{(\cos t + 3) - \dfrac{1}{\cos t + 3}}{1 + (\cos t + 3)\cdot\dfrac{1}{\cos t + 3}} = \mathbf{\frac{(\cos t + 3)^2 - 1}{2(\cos t + 3)}} = \frac{1}{2}\left(\cos t + 3 - \frac{1}{\cos t + 3}\right)$$ 이다. 여기에 $t = \dfrac{\pi}{2}$를 대입하면 $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$이므로 $\mathbf{g\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3^2 - 1}{2 \times 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}}$이다.

2단계 · 소문항 (2) 함수 $g(t)$의 최댓값과 최솟값 (10점) $u = \cos t + 3$이라 놓으면 $-1 \le \cos t \le 1$이므로 $2 \le u \le 4$이다. 구간 $[2, 4]$에서 함수 $h(u) = \dfrac{1}{2}\left(u - \dfrac{1}{u}\right)$를 미분하면 $$h'(u) = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{u^2}\right) \gt 0$$ 이므로 $h(u)$는 닫힌구간 $[2, 4]$에서 순증가한다. 따라서
• $u = 4$ ($\cos t = 1$)일 때 최댓값: $h(4) = \dfrac{4^2 - 1}{2 \times 4} = \mathbf{\frac{15}{8}}$
• $u = 2$ ($\cos t = -1$)일 때 최솟값: $h(2) = \dfrac{2^2 - 1}{2 \times 2} = \mathbf{\frac{3}{4}}$

3단계 · 소문항 (3) 치환적분법을 이용한 정적분 계산 (10점) 정적분 $\displaystyle\int_{f(0)}^{f(2\pi)} g(f^{-1}(x))\,dx$에서 $x = f(t)$로 치환하면 $dx = f'(t)\,dt = (\cos t + 3)\,dt$이고, $x = f(0)$일 때 $t = 0$, $x = f(2\pi)$일 때 $t = 2\pi$이다. 제시문 【다】에 의하여 $$\begin{aligned} \int_{f(0)}^{f(2\pi)} g(f^{-1}(x))\,dx &= \int_0^{2\pi} g(t)f'(t)\,dt = \int_0^{2\pi} \frac{(\cos t + 3)^2 - 1}{2(\cos t + 3)}\cdot(\cos t + 3)\,dt \\ &= \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \left(\cos^2 t + 6\cos t + 8\right)dt = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \left(\frac{1 + \cos 2t}{2} + 6\cos t + 8\right)dt \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{17}{2}t + \frac{1}{4}\sin 2t + 6\sin t\right]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} \times 17\pi = \mathbf{\frac{17}{2}\pi} \end{aligned}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계] (10점)	$m_1 = \cos t + 3, \; m_2 = \dfrac{1}{\cos t + 3}$과 탄젠트 덧셈정리로 $g(t) = \dfrac{(\cos t + 3)^2 - 1}{2(\cos t + 3)}$ 및 $g\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{4}{3}$을 구한다.	10점
[2단계] (10점)	$u = \cos t + 3 \in [2, 4]$에서 증가함수임을 보여 최댓값 $\dfrac{15}{8}$, 최솟값 $\dfrac{3}{4}$을 구한다.	10점
[3단계] (10점)	$x = f(t)$ 치환적분으로 분모 $(\cos t + 3)$을 약분하고 반각공식 적분으로 $\dfrac{17}{2}\pi$를 구한다.	10점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 동국대학교 자연계열 수리논술 채점에서는 제시문에 주어진 정리(탄젠트함수의 덧셈정리, 역함수의 미분법, 치환적분법)를 명시적으로 인용했는지를 1단계 평가 요소로 채점합니다. 수식 전개 시 각 소문항의 연결 고리를 명확히 서술하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

📌 [동국대 등급제 환산 기준] S ~ F 등급: S: 1~3단계 모두 정확 / A: 2개 단계 완벽 + 1개 일부 / B: 2개 단계 완벽 / C·D: 1개 단계 완벽 / E·F: 미흡

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $\tan\theta_t = \dfrac{(f'(t))^2 - 1}{2f'(t)}$ | (2) 최댓값 $\dfrac{24}{5}$, 최솟값 $\dfrac{4}{3}$ | (3) 정적분 $\dfrac{15}{4} - \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{5}{3}$ 제3회 문제 2 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 이산확률변수의 기댓값과 분산, 정적분과 급수의 합, 부분적분법 [배점 40점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 (DB: PS_Ch03) PDF p.8 탐구 16033 변형 | 성취기준: 12확통03-01, 12확통03-02]

[제시문]

- 『고등학교 확률과 통계』

- 『고등학교 미적분』

【다】 두 함수 $u(x), v(x)$가 미분가능하고 $u'(x), v'(x)$가 연속일 때, $\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$이다.

- 『고등학교 미적분』

〈조건〉

① $\mathrm{P}(X_n = x_i) = \dfrac{g(x_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^n g(x_j)} \quad (i = 1, 2, 3, \cdots, n)$

② $g(x) = e^{-ax} \quad (a \gt 0)$

③ $\Delta x = \dfrac{2}{n}, \quad x_i = i\Delta x = \dfrac{2i}{n} \quad (i = 1, 2, 3, \cdots, n)$

(2) 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X_n)$을 $a$를 이용하여 나타내시오. (12점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 3 · 총 40점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 정적분 변환과 부분적분법을 이용한 $I_0, I_1$ 계산 (14점) $\Delta x = \dfrac{2}{n}, \; x_i = \dfrac{2i}{n}$이므로 제시문 【나】의 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의하여 $$I_0 = \lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^n g(x_j)\Delta x = \int_0^2 e^{-ax}\,dx = \left[-\frac{1}{a}e^{-ax}\right]_0^2 = \mathbf{\frac{1 - e^{-2a}}{a}}$$ 이다. 또한 제시문 【다】의 부분적분법($u(x) = x, \; v'(x) = e^{-ax}$)에 의하여 $I_1$은 다음과 같다. $$I_1 = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n x_i g(x_i)\Delta x = \int_0^2 x e^{-ax}\,dx = \left[-\frac{x}{a}e^{-ax}\right]_0^2 + \frac{1}{a}\int_0^2 e^{-ax}\,dx = -\frac{2}{a}e^{-2a} + \frac{1 - e^{-2a}}{a^2} = \mathbf{\frac{1 - (2a + 1)e^{-2a}}{a^2}}$$

2단계 · 소문항 (2) 기댓값의 극한 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X_n)$ 도출 (12점) 제시문 【가】에 의하여 $X_n$의 기댓값은 분모와 분자에 $\Delta x = \dfrac{2}{n}$를 곱하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\mathrm{E}(X_n) = \sum_{i=1}^n x_i \mathrm{P}(X_n = x_i) = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i g(x_i)\Delta x}{\displaystyle\sum_{j=1}^n g(x_j)\Delta x}$$ 따라서 $n \to \infty$일 때의 극한값은 (1)의 결과로부터 다음과 같다. $$\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X_n) = \frac{I_1}{I_0} = \frac{\dfrac{1 - (2a + 1)e^{-2a}}{a^2}}{\dfrac{1 - e^{-2a}}{a}} = \frac{1 - e^{-2a} - 2a e^{-2a}}{a(1 - e^{-2a})} = \mathbf{\frac{1}{a} - \frac{2}{e^{2a} - 1}}$$

3단계 · 소문항 (3) $I_2$ 계산 및 분산의 극한 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{V}(X_n)$ 도출 (14점) 제시문 【나】와 【다】의 부분적분법($u(x) = x^2, \; v'(x) = e^{-ax}$)을 이용하면 $$I_2 = \int_0^2 x^2 e^{-ax}\,dx = \left[-\frac{x^2}{a}e^{-ax}\right]_0^2 + \frac{2}{a}\int_0^2 x e^{-ax}\,dx = -\frac{4}{a}e^{-2a} + \frac{2}{a}I_1 = \mathbf{\frac{2 - (4a^2 + 4a + 2)e^{-2a}}{a^3}}$$ 이다. 이때 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X_n^2) = \dfrac{I_2}{I_0} = \dfrac{2(1 - e^{-2a}) - 4a e^{-2a} - 4a^2 e^{-2a}}{a^2(1 - e^{-2a})} = \dfrac{2}{a^2} - \dfrac{4a + 4a^2}{a^2(e^{2a} - 1)}$이므로, 제시문 【가】에 의하여 분산의 극한은 다음과 같다. $$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\mathrm{V}(X_n) &= \frac{I_2}{I_0} - \left(\frac{I_1}{I_0}\right)^2 = \left(\frac{2}{a^2} - \frac{4}{a(e^{2a} - 1)} - \frac{4}{e^{2a} - 1}\right) - \left(\frac{1}{a^2} - \frac{4}{a(e^{2a} - 1)} + \frac{4}{(e^{2a} - 1)^2}\right) \\ &= \frac{1}{a^2} - \frac{4(e^{2a} - 1) + 4}{(e^{2a} - 1)^2} = \mathbf{\frac{1}{a^2} - \frac{4e^{2a}}{(e^{2a} - 1)^2}} \end{aligned}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계] (14점)	급수를 구간 $[0, 2]$의 정적분으로 바꾸고 부분적분법으로 $I_0 = \dfrac{1-e^{-2a}}{a}, \; I_1 = \dfrac{1-(2a+1)e^{-2a}}{a^2}$를 구한다.	14점
[2단계] (12점)	$\mathrm{E}(X_n)$의 분모·분자에 $\Delta x$를 곱하여 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X_n) = \dfrac{I_1}{I_0} = \dfrac{1}{a} - \dfrac{2}{e^{2a}-1}$을 구한다.	12점
[3단계] (14점)	부분적분으로 $I_2$를 구하고 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{V}(X_n) = \dfrac{I_2}{I_0} - \left(\dfrac{I_1}{I_0}\right)^2 = \dfrac{1}{a^2} - \dfrac{4e^{2a}}{(e^{2a}-1)^2}$를 구한다.	14점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 동국대학교 자연계열 수리논술 채점에서는 제시문에 주어진 정리(이산확률변수의 기댓값과 분산, 정적분과 급수의 합, 부분적분법)를 명시적으로 인용했는지를 1단계 평가 요소로 채점합니다. 수식 전개 시 각 소문항의 연결 고리를 명확히 서술하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

📌 [동국대 등급제 환산 기준] S ~ F 등급: S: 1~3단계 모두 정확 / A: 2개 단계 완벽 + 1개 일부 / B: 2개 단계 완벽 / C·D: 1개 단계 완벽 / E·F: 미흡

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{c_n}{n} = 10$ | (2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \mathrm{E}(X) = \dfrac{121}{50}$ | (3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \mathrm{V}(X) = \dfrac{2119}{7500}$ 제3회 문제 3 (40점)

【문제 1】 원문 요약 — 호도법과 호의 길이, 표본공간과 수학적 확률, 독립시행 [배점 30점]

[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 16041 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

[제시문]

- 『고등학교 수학Ⅰ』

- 『고등학교 확률과 통계』

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 원반 $\mathrm{B}$의 회전각과 회색 호 접촉 조건 (10점) 반지름이 $2\mathrm{cm}$인 원반 $\mathrm{A}$가 반시계 방향으로 $1$회($360^\circ = 2\pi$) 회전할 때 접점을 지나간 호의 길이는 $2\pi \times 2 = 4\pi\,(\mathrm{cm})$이다. 제시문 【가】에 의하여 반지름이 $3\mathrm{cm}$인 원반 $\mathrm{B}$의 호의 길이도 $4\pi\,(\mathrm{cm})$이므로, 원반 $\mathrm{A}$가 $k$회 회전할 때 원반 $\mathrm{B}$가 시계 방향으로 회전한 중심각 $\theta_k$는 $$\theta_k = \frac{4\pi k}{3}\,\text{(라디안)} = \mathbf{240^\circ \times k}$$ 이다. 원반 $\mathrm{B}$의 회색 부채꼴은 정지 상태의 접점을 기준으로 $[-30^\circ, 30^\circ]$와 $[150^\circ, 210^\circ]$ 구간에 위치한다(주기 $180^\circ$).
• $k = 3m - 2$ ($m$은 자연수)일 때: $240^\circ k \equiv 240^\circ \pmod{360^\circ}$ (흰색 부채꼴 정중앙, 회색 호와 만나지 않음).
• $k = 3m - 1$일 때: $240^\circ k \equiv 120^\circ \pmod{360^\circ}$ (흰색 부채꼴 정중앙, 회색 호와 만나지 않음).
• $k = 3m$일 때: $240^\circ k \equiv 0^\circ \pmod{360^\circ}$ (초기 정지 상태와 동일하여 회색 호의 정중앙에 맞닿음).
따라서 화살표가 회색 호에 맞닿게 되는 조건은 $k$가 $3$의 배수($k = 3, 6, 9, 12, \cdots$)일 때이다.

2단계 · 소문항 (2) 표본공간 $S$, 사건 $Q$의 원소의 개수와 확률 $\mathrm{P}(Q)$ (10점) 서로 다른 주사위 $2$개를 동시에 던질 때 나오는 눈의 수의 순서쌍 전체의 집합인 표본공간은 $$S = \{(i, j) \mid i, j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}, \qquad \mathbf{n(S) = 36}$$ 이다. 두 눈의 수의 합 $k = i + j$ ($2 \le k \le 12$)가 $3$의 배수인 사건을 각각 $Q_3\;(i+j=3)$, $Q_6\;(i+j=6)$, $Q_9\;(i+j=9)$, $Q_{12}\;(i+j=12)$라 하면, $$Q_3 = \{(1,2),(2,1)\}\;(2\text{개}), \quad Q_6 = \{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\}\;(5\text{개})$$ $$Q_9 = \{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\}\;(4\text{개}), \quad Q_{12} = \{(6,6)\}\;(1\text{개})$$ 이다. 네 사건은 서로 배반사건이므로 $\mathbf{n(Q) = 2 + 5 + 4 + 1 = 12}$이고, 제시문 【나】와 【다】에 의하여 $$\mathrm{P}(Q) = \frac{n(Q)}{n(S)} = \frac{12}{36} = \mathbf{\frac{1}{3}}$$

3단계 · 소문항 (3) 4회 독립시행에서 2회 이상 맞닿을 확률 (10점) 1회 시행에서 사건 $Q$가 일어날 확률이 $p = \dfrac{1}{3}$이므로, 독립적으로 $4$회 반복할 때 사건 $Q$가 일어나는 횟수를 $X$라 하면 $X \sim \mathrm{B}\!\left(4, \dfrac{1}{3}\right)$이다. 여사건($X = 0$ 또는 $X = 1$)을 이용하면 구하는 확률은 다음과 같다. $$\mathrm{P}(X \ge 2) = 1 - \{ \mathrm{P}(X = 0) + \mathrm{P}(X = 1) \} = 1 - \left\lbrace {}_4\mathrm{C}_0\left(\frac{2}{3}\right)^4 + {}_4\mathrm{C}_1\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^3 \right\rbrace = 1 - \frac{16 + 32}{81} = \frac{33}{81} = \mathbf{\frac{11}{27}}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계] (10점)	원반 $\mathrm{B}$의 회전각 $240^\circ k$를 구하고 $k$가 $3$의 배수일 때만 회색 호에 맞닿음을 논리적으로 밝힌다.	10점
[2단계] (10점)	표본공간 $S$ ($n(S)=36$)와 눈의 합이 $3, 6, 9, 12$인 원소의 개수 $n(Q)=12$, 확률 $\mathrm{P}(Q) = \dfrac{1}{3}$을 구한다.	10점
[3단계] (10점)	독립시행의 확률 공식을 적용하여 $4$회 중 $2$회 이상 일어날 확률 $\dfrac{11}{27}$을 정확히 구한다.	10점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 동국대학교 자연계열 수리논술 채점에서는 제시문에 주어진 정리(호도법과 호의 길이, 표본공간과 수학적 확률, 독립시행)를 명시적으로 인용했는지를 1단계 평가 요소로 채점합니다. 수식 전개 시 각 소문항의 연결 고리를 명확히 서술하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

📌 [동국대 등급제 환산 기준] S ~ F 등급: S: 1~3단계 모두 정확 / A: 2개 단계 완벽 + 1개 일부 / B: 2개 단계 완벽 / C·D: 1개 단계 완벽 / E·F: 미흡

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) 회전각 $\dfrac{2\pi}{3}$, 맞물리는 점 $3$개 | (2) $p = \dfrac{1}{3}$ | (3) 조건부확률 $\dfrac{8}{19}$ 제4회 문제 1 (30점)

【문제 2】 원문 요약 — 도함수의 정의, 이계도함수, 정적분의 성질 [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 16042 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

【가】 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$는 다음과 같이 정의된다. $$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

- 『고등학교 수학Ⅱ』

- 『고등학교 미적분』

(1) $f'(0)$과 $f''(0)$의 값을 각각 구하고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = -f(x)$가 성립함을 보이시오. (10점)

(2) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + 2) - f(x - 2) = 2af'(x)$임을 이용하여, 정적분 $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$의 값을 $a$에 대한 식으로 구하시오. (10점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 2 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) $f'(0), f''(0)$ 계산 및 기함수 $f(-x) = -f(x)$ 증명 (10점) 주어진 함수방정식 $f(x + y) - f(x - y) = 2f(y)f'(x)$에 $x = 0$을 대입하면 $f(y) - f(-y) = 2f(y)f'(0)$이고, 여기에 $y = 2$를 대입하면 $f(2) = a \gt 0$이므로 $$a - f(-2) = 2a f'(0)$$ 이다. 한편 주어진 식에 $x = 0, \; y = h$를 대입하거나 $y$에 $-y$를 대입하면 $f(x - y) - f(x + y) = 2f(-y)f'(x)$이므로 두 식을 더하면 $2\{f(y) + f(-y)\}f'(x) = 0$이다. 상수함수가 아니므로($f(0)=0, f(2)=a \gt 0$) $f'(x_0) \neq 0$인 $x_0$가 존재하며, 양변을 $2f'(x_0)$으로 나누면 모든 실수 $y$에 대하여 $$\mathbf{f(-y) = -f(y) \quad (\text{즉, } f(-x) = -f(x))}$$ 가 성립한다. 이를 $f(y) - f(-y) = 2f(y)f'(0)$에 대입하면 $2f(y) = 2f(y)f'(0)$이고 $y = 2$에서 $2a = 2a f'(0) \implies \mathbf{f'(0) = 1}$이다.
또한 제시문 【가】에 의하여 $f'(x) = \lim_{y\to 0}\dfrac{f(x+y) - f(x-y)}{2y} = \lim_{y\to 0}\dfrac{f(y)}{y}f'(x)$이고, 우함수 $f'(-x) = f'(x)$로부터 제시문 【다】의 이계도함수 정의를 적용하면 $$f''(0) = \lim_{h\to 0}\frac{f'(h) - f'(-h)}{2h} = \lim_{h\to 0}\frac{0}{2h} = \mathbf{0}$$

2단계 · 소문항 (2) 정적분 $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$를 $a$로 표현 (10점) 주어진 식에 $y = 2$를 대입하면 $f(2) = a$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + 2) - f(x - 2) = 2a f'(x)$이다. 양변을 구간 $[0, 2]$에서 정적분하면 제시문 【나】에 의하여 $$\int_0^2 f(x + 2)\,dx - \int_0^2 f(x - 2)\,dx = 2a\int_0^2 f'(x)\,dx = 2a\Big[f(x)\Big]_0^2 = 2a\{f(2) - f(0)\} = 2a^2$$ 이다. 여기서 첫째 적분은 $u = x + 2$로 놓으면 $\displaystyle\int_2^4 f(u)\,du$이고, 둘째 적분은 $v = 2 - x$로 놓고 기함수 성질 $f(-v) = -f(v)$를 적용하면 $$-\int_0^2 f(x - 2)\,dx = -\int_0^2 f(-(2 - x))\,dx = \int_0^2 f(2 - x)\,dx = \int_0^2 f(v)\,dv$$ 이다. 따라서 제시문 【나】의 정적분의 구간 결합 성질에 의하여 다음을 얻는다. $$\int_0^4 f(x)\,dx = \int_0^2 f(x)\,dx + \int_2^4 f(x)\,dx = \mathbf{2a^2}$$

3단계 · 소문항 (3) $f(x) = \dfrac{4}{\pi}\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)$일 때 $a$와 정적분 검증 (10점) $f(x) = \dfrac{4}{\pi}\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)$에 $x = 2$를 대입하면 $a = f(2) = \dfrac{4}{\pi}\sin\dfrac{\pi}{2} = \mathbf{\frac{4}{\pi}}$이다.
• (2)의 공식 적용: $2a^2 = 2 \times \left(\dfrac{4}{\pi}\right)^2 = \mathbf{\frac{32}{\pi^2}}$
• 직접 정적분 계산: $\displaystyle\int_0^4 \frac{4}{\pi}\sin\!\left(\frac{\pi}{4}x\right)dx = \frac{4}{\pi}\left[-\frac{4}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi}{4}x\right)\right]_0^4 = \frac{16}{\pi^2}\{-\cos\pi - (-\cos 0)\} = \mathbf{\frac{32}{\pi^2}}$ (일치 확인).

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계] (10점)	함수방정식에서 $f(-x) = -f(x)$를 유도하고 $f'(0) = 1, \; f''(0) = 0$을 구한다.	10점
[2단계] (10점)	$f(x+2) - f(x-2) = 2af'(x)$를 구간 $[0, 2]$에서 적분하고 기함수 성질로 $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx = 2a^2$을 유도한다.	10점
[3단계] (10점)	$a = \dfrac{4}{\pi}$를 구하고 $2a^2 = \dfrac{32}{\pi^2}$와 직접 적분한 결과가 일치함을 보인다.	10점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 동국대학교 자연계열 수리논술 채점에서는 제시문에 주어진 정리(도함수의 정의, 이계도함수, 정적분의 성질)를 명시적으로 인용했는지를 1단계 평가 요소로 채점합니다. 수식 전개 시 각 소문항의 연결 고리를 명확히 서술하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

📌 [동국대 등급제 환산 기준] S ~ F 등급: S: 1~3단계 모두 정확 / A: 2개 단계 완벽 + 1개 일부 / B: 2개 단계 완벽 / C·D: 1개 단계 완벽 / E·F: 미흡

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $f'(0) = 1,\; f''(0) = 0$ | (2) $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 2a^2$ | (3) $f''(x) = k f(x)$ 대칭 논증 제4회 문제 2 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 함수의 최대·최소, 음함수 미분법, 평면운동의 속도와 속력 [배점 40점]

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 16043 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-06, 12미적Ⅱ-02-11]

[제시문]

- 『고등학교 미적분』

【나】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.

- 『고등학교 수학Ⅱ』

- 『고등학교 미적분』

(1) 시각 $t = t_0$일 때 점 $\mathrm{P}$의 좌표 $(\cos t_0, \sin t_0)$를 상수 $a$를 이용하여 나타내시오. (12점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 3 · 총 40점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 시각 $t = t_0$에서 점 $\mathrm{P}$의 좌표 $(\cos t_0, \sin t_0)$ (12점) 시각 $t = t_0$일 때 점 $\mathrm{Q}$의 위치가 $(0, 1)$이므로, 두 점 $\mathrm{A}(a, 0)$과 $\mathrm{Q}(0, 1)$을 지나는 직선 $\mathrm{AQ}$의 방정식은 $$\frac{x}{a} + y = 1 \iff y = -\frac{1}{a}x + 1$$ 이다. 점 $\mathrm{P}(\cos t_0, \sin t_0)$는 이 직선과 단위원 $x^2 + y^2 = 1$의 교점 중 $(0, 1)$이 아닌 점이므로 두 식을 연립하면 $$x^2 + \left(-\frac{1}{a}x + 1\right)^2 = 1 \iff \left(1 + \frac{1}{a^2}\right)x^2 - \frac{2}{a}x = 0 \implies x = \frac{2a}{a^2 + 1} \quad (x \neq 0)$$ 이고, 이를 $y = -\dfrac{1}{a}x + 1$에 대입하면 $y = \dfrac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$이다. 따라서 $$\mathbf{(\cos t_0, \; \sin t_0) = \left(\frac{2a}{a^2 + 1}, \; \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}\right)}$$

2단계 · 소문항 (2) 음함수 미분법을 이용한 점 $\mathrm{Q}$의 속력 $v(a)$ 도출 (14점) 시각 $t$에서 점 $\mathrm{P}(\cos t, \sin t)$와 점 $\mathrm{Q}(\cos s, \sin s)$에 대하여, 제시문 【가】로부터 점 $\mathrm{Q}$의 속도벡터는 $\left(-\sin s\dfrac{ds}{dt}, \; \cos s\dfrac{ds}{dt}\right)$이고 속력은 $\sqrt{(-\sin s)^2 + (\cos s)^2}\left|\dfrac{ds}{dt}\right| = \left|\dfrac{ds}{dt}\right|$이다.
세 점 $\mathrm{A}(a, 0), \; \mathrm{P}(\cos t, \sin t), \; \mathrm{Q}(\cos s, \sin s)$가 한 직선 위에 있으므로 기울기가 같다는 조건(또는 삼각형 넓이 관계)으로부터 $$\frac{\sin t}{\cos t - a} = \frac{\sin s}{\cos s - a} \iff \sin t\cos s - \cos t\sin s = a(\sin t - \sin s) \iff \mathbf{\sin(s - t) = a(\sin s - \sin t)}$$ 가 성립한다. 제시문 【다】의 음함수의 미분법에 의하여 양변을 $t$에 대하여 미분하면 $$\cos(s - t)\left(\frac{ds}{dt} - 1\right) = a\left(\cos s\frac{ds}{dt} - \cos t\right) \implies \bigl\{a\cos s - \cos(s - t)\bigr\}\frac{ds}{dt} = a\cos t - \cos(s - t)$$ 이다. 시각 $t = t_0$일 때 점 $\mathrm{Q}$는 $(0, 1)$이므로 $s = \dfrac{\pi}{2}$, $\cos s = 0, \; \sin s = 1$이고, $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - t_0\right) = \sin t_0 = \dfrac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$, $\cos t_0 = \dfrac{2a}{a^2 + 1}$이다. 이를 대입하면 $$-\sin t_0 \left.\frac{ds}{dt}\right|_{t=t_0} = a\cos t_0 - \sin t_0 \implies \left.\frac{ds}{dt}\right|_{t=t_0} = 1 - \frac{a\cos t_0}{\sin t_0} = 1 - \frac{2a^2}{a^2 - 1} = -\frac{a^2 + 1}{a^2 - 1}$$ 따라서 시각 $t = t_0$에서 점 $\mathrm{Q}$의 속력은 $\mathbf{v(a) = \left|\frac{ds}{dt}\right|_{t=t_0} = \frac{a^2 + 1}{a^2 - 1} = 1 + \frac{2}{a^2 - 1}}$이다.

3단계 · 소문항 (3) 구간 $[\sqrt{3}, 3]$에서 $v(a)$의 최댓값과 최솟값 (14점) 닫힌구간 $[\sqrt{3}, 3]$에서 $v(a) = 1 + \dfrac{2}{a^2 - 1}$을 미분하면 $v'(a) = -\dfrac{4a}{(a^2 - 1)^2} \lt 0$이므로 $v(a)$는 구간 $[\sqrt{3}, 3]$에서 순감소한다. 제시문 【나】에 의하여
• $\mathbf{a = \sqrt{3}}$일 때 최댓값: $v(\sqrt{3}) = 1 + \dfrac{2}{3 - 1} = \mathbf{2}$
• $\mathbf{a = 3}$일 때 최솟값: $v(3) = 1 + \dfrac{2}{9 - 1} = \mathbf{\frac{5}{4}}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계] (12점)	직선 $\mathrm{AQ} : y = -\dfrac{1}{a}x + 1$과 단위원을 연립하여 $(\cos t_0, \sin t_0) = \left(\dfrac{2a}{a^2+1}, \dfrac{a^2-1}{a^2+1}\right)$을 구한다.	12점
[2단계] (14점)	공선 조건 $\sin(s-t) = a(\sin s - \sin t)$를 음함수 미분하여 $v(a) = \left\|\dfrac{ds}{dt}\right\|_{t=t_0} = \dfrac{a^2+1}{a^2-1}$을 유도한다.	14점
[3단계] (14점)	구간 $[\sqrt{3}, 3]$에서 $v(a)$의 감소를 보여 $a=\sqrt{3}$에서 최댓값 $2$, $a=3$에서 최솟값 $\dfrac{5}{4}$을 구한다.	14점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 동국대학교 자연계열 수리논술 채점에서는 제시문에 주어진 정리(함수의 최대·최소, 음함수 미분법, 평면운동의 속도와 속력)를 명시적으로 인용했는지를 1단계 평가 요소로 채점합니다. 수식 전개 시 각 소문항의 연결 고리를 명확히 서술하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

📌 [동국대 등급제 환산 기준] S ~ F 등급: S: 1~3단계 모두 정확 / A: 2개 단계 완벽 + 1개 일부 / B: 2개 단계 완벽 / C·D: 1개 단계 완벽 / E·F: 미흡

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $\overline{\mathrm{AP}} = \sqrt{a^2 + 1 - 2a\cos\theta}$ | (2) $\dfrac{d\theta}{dt} = \dfrac{3}{1 - \dfrac{\sqrt{3}a\sin\theta}{\sqrt{a^2+1-2a\cos\theta}}}$ | (3) 최대 속력 $\dfrac{3(a+1)}{a+1-\sqrt{3}a}$ 제4회 문제 3 (40점)

【문제 1】 원문 요약 — 중복순열, 중복조합, 모비율의 신뢰구간 추정 [배점 30점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ-1. 순열과 조합 (DB: PS_Ch01) PDF p.8 탐구 16051 변형 | 성취기준: 12확통01-02, 12확통03-06]

[제시문]

- 『고등학교 확률과 통계』

(1) $9$개의 타일에 표시된 음이 아닌 정수들의 총합이 $6$이 되는 모든 경우의 수 $a$를 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 9개 타일의 총합이 6이 되는 경우의 수 $a$ (8점) $9$개의 타일에 표시되는 음이 아닌 정수를 각각 $x_1, x_2, \cdots, x_9$라 하면, 총합이 $6$이 되는 경우의 수는 방정식 $$x_1 + x_2 + \cdots + x_9 = 6 \quad (x_i \ge 0\text{인 정수})$$ 의 해의 개수와 같다. 제시문 【나】의 중복조합에 의하여 $$a = {}_9\mathrm{H}_6 = {}_{9+6-1}\mathrm{C}_6 = {}_{14}\mathrm{C}_6 = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \mathbf{3003}$$

2단계 · 소문항 (2) 가로선·세로선 제약 조건을 만족하는 경우의 수 $b, c$ (10점) • 경우의 수 $b$: $3$개의 가로선 각각에서 자연수가 표시될 타일을 $1$개씩 선택하는 경우의 수는 제시문 【가】의 중복순열에 의하여 ${}_3\Pi_3 = 3^3 = 27$이다. 선택된 $3$개의 타일에 표시할 자연수를 $y_1, y_2, y_3 \ge 1$이라 하면 $y_1 + y_2 + y_3 = 6 \iff (y_1 - 1) + (y_2 - 1) + (y_3 - 1) = 3$이므로 자연수를 배정하는 경우의 수는 ${}_3\mathrm{H}_3 = {}_5\mathrm{C}_3 = 10$이다. 따라서 곱의 법칙에 의하여 $$b = 3^3 \times {}_3\mathrm{H}_3 = 27 \times 10 = \mathbf{270}$$ • 경우의 수 $c$: 각 가로선과 각 세로선에 자연수가 표시된 타일이 정확히 $1$개씩 놓이려면, 1행에서 열을 선택하는 방법 $3$가지, 2행에서 나머지 열을 선택하는 방법 $2$가지, 3행에서 남은 열을 선택하는 방법 $1$가지로 총 $3! = 6$가지이다. 선택된 $3$개의 타일에 합이 $6$인 자연수를 배정하는 경우의 수는 동일하게 ${}_3\mathrm{H}_3 = 10$이므로 $$c = 3! \times {}_3\mathrm{H}_3 = 6 \times 10 = \mathbf{60}$$

3단계 · 소문항 (3) 모비율 $p$의 $95\%$ 신뢰구간과 최소 표본 크기 $n$ (12점) $n = 400, \; \hat{p} = 0.64$일 때 $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} = \sqrt{\dfrac{0.64 \times 0.36}{400}} = \dfrac{0.8 \times 0.6}{20} = 0.024$이므로 오차한계는 $1.96 \times 0.024 = 0.04704$이다. 따라서 제시문 【다】에 의하여 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 $[L, U]$는 $$[0.64 - 0.04704, \; 0.64 + 0.04704] = \mathbf{[0.59296, \; 0.68704]}$$ 이다. 또한 동일한 $\hat{p} = 0.64$에서 신뢰구간의 길이 $U - L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{0.64 \times 0.36}{n}} = \dfrac{2 \times 1.96 \times 0.48}{\sqrt{n}} = \dfrac{1.8816}{\sqrt{n}}$이 $0.04704$ 이하가 되려면 $$\frac{1.8816}{\sqrt{n}} \le 0.04704 \iff \sqrt{n} \ge \frac{1.8816}{0.04704} = 40 \implies \mathbf{n \ge 1600}$$ 이므로 표본의 크기 $n$의 최솟값은 $\mathbf{1600}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계] (8점)	중복조합 공식 ${}_9\mathrm{H}_6 = {}_{14}\mathrm{C}_6$을 적용하여 $a = 3003$을 정확히 구한다.	8점
[2단계] (10점)	양의 정수해 개수 ${}_3\mathrm{H}_3 = 10$을 구하고 $b = 3^3 \times 10 = 270, \; c = 3! \times 10 = 60$을 각각 구한다.	10점
[3단계] (12점)	신뢰구간 $[0.59296, 0.68704]$를 구하고 $U - L \le 0.04704$로부터 최소 표본 크기 $n = 1600$을 구한다.	12점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 동국대학교 자연계열 수리논술 채점에서는 제시문에 주어진 정리(중복순열, 중복조합, 모비율의 신뢰구간 추정)를 명시적으로 인용했는지를 1단계 평가 요소로 채점합니다. 수식 전개 시 각 소문항의 연결 고리를 명확히 서술하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

📌 [동국대 등급제 환산 기준] S ~ F 등급: S: 1~3단계 모두 정확 / A: 2개 단계 완벽 + 1개 일부 / B: 2개 단계 완벽 / C·D: 1개 단계 완벽 / E·F: 미흡

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) ${}_{4}\mathrm{H}_{6} = 84$ | (2) 조건 만족 순서쌍 $32$개, 확률 $\dfrac{8}{21}$ | (3) 신뢰구간 $[0.7412, 0.8588]$, 최소 표본 $n = 1537$ 제5회 문제 1 (30점)

【문제 2】 원문 요약 — 타원·쌍곡선의 접선, 법선벡터와 평면의 방정식 [배점 30점]

[출처: 비상 기하 Ⅲ-2. 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.8 탐구 16052 변형 | 성취기준: 12기하01-04, 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문]

- 『고등학교 기하와 벡터』

[문제 2] 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(2) 교점 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$에서 타원에 그은 접선 $l_1$과 쌍곡선에 그은 접선 $l_2$가 서로 수직임을 증명하시오. (10점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 2 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 교점 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$의 $x_0^2, y_0^2$ 도출 (10점) 교점 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$는 타원과 쌍곡선 위에 동시에 놓여 있으므로 $$\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1, \qquad \frac{x_0^2}{\alpha^2} - \frac{y_0^2}{\beta^2} = 1$$ 을 만족한다. 첫째 식에 $\dfrac{1}{\beta^2}$, 둘째 식에 $\dfrac{1}{b^2}$을 곱하여 더하면 $y_0^2$이 소거되어 $$\left(\frac{1}{a^2\beta^2} + \frac{1}{\alpha^2 b^2}\right)x_0^2 = \frac{1}{\beta^2} + \frac{1}{b^2} \implies \mathbf{x_0^2 = \frac{a^2\alpha^2(b^2 + \beta^2)}{a^2 b^2 + \alpha^2\beta^2}}$$ 이고, 첫째 식에서 둘째 식을 이용해 $x_0^2$을 소거하면 다음과 같다. $$\left(\frac{1}{a^2 b^2} + \frac{1}{\alpha^2\beta^2}\right)y_0^2 = \frac{1}{\alpha^2} - \frac{1}{a^2} \implies \mathbf{y_0^2 = \frac{b^2\beta^2(a^2 - \alpha^2)}{a^2 b^2 + \alpha^2\beta^2}}$$

2단계 · 소문항 (2) 공초점 조건을 이용한 두 접선 $l_1, l_2$의 수직 증명 (10점) 타원과 쌍곡선이 두 초점 $(\pm c, 0)$을 공유하므로 제시문 【가】에 의하여 $$c^2 = a^2 - b^2 = \alpha^2 + \beta^2 \implies \mathbf{a^2 - \alpha^2 = b^2 + \beta^2}$$ 이다. 또한 점 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$에서의 타원의 접선 $l_1 : \dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1$의 기울기는 $m_1 = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$이고, 쌍곡선의 접선 $l_2 : \dfrac{x_0 x}{\alpha^2} - \dfrac{y_0 y}{\beta^2} = 1$의 기울기는 $m_2 = \dfrac{\beta^2 x_0}{\alpha^2 y_0}$이다. (1)의 결과와 $a^2 - \alpha^2 = b^2 + \beta^2$을 대입하면 두 접선의 기울기의 곱은 $$m_1 m_2 = -\frac{b^2\beta^2 x_0^2}{a^2\alpha^2 y_0^2} = -\frac{b^2\beta^2}{a^2\alpha^2} \cdot \frac{a^2\alpha^2(b^2 + \beta^2)}{b^2\beta^2(a^2 - \alpha^2)} = -\frac{b^2 + \beta^2}{a^2 - \alpha^2} = \mathbf{-1}$$ 이므로 두 접선 $l_1$과 $l_2$는 서로 수직이다.

3단계 · 소문항 (3) 접평면 $\pi_1$의 방정식과 두 평면이 이루는 각 $\cos\theta$ (10점) 중심이 원점 $\mathrm{O}(0, 0, 0)$인 구 $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ 위의 점 $\mathrm{Q}(1, 2, 2)$에서의 접평면 $\pi_1$은 법선벡터가 $\vec{n}_1 = \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = (1, 2, 2)$이므로 제시문 【나】에 의하여 $$1(x - 1) + 2(y - 2) + 2(z - 2) = 0 \iff \mathbf{\pi_1 : x + 2y + 2z = 9}$$ 이다. 평면 $\pi_2 : 2x - y + 2z = 5$의 법선벡터는 $\vec{n}_2 = (2, -1, 2)$이므로, 제시문 【다】에 의하여 두 평면이 이루는 예각 $\theta$의 코사인값은 다음과 같다. $$\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} = \frac{|1\cdot 2 + 2\cdot(-1) + 2\cdot 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{4}{3 \times 3} = \mathbf{\frac{4}{9}}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계] (10점)	타원과 쌍곡선의 방정식을 연립하여 $x_0^2 = \dfrac{a^2\alpha^2(b^2+\beta^2)}{a^2 b^2 + \alpha^2\beta^2}, \; y_0^2 = \dfrac{b^2\beta^2(a^2-\alpha^2)}{a^2 b^2 + \alpha^2\beta^2}$를 구한다.	10점
[2단계] (10점)	공초점 조건 $a^2 - b^2 = \alpha^2 + \beta^2$을 이용하여 두 접선의 기울기의 곱 $m_1 m_2 = -1$임을 증명한다.	10점
[3단계] (10점)	접평면 $\pi_1 : x + 2y + 2z = 9$를 구하고 법선벡터 내적으로 $\cos\theta = \dfrac{4}{9}$를 구한다.	10점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 동국대학교 자연계열 수리논술 채점에서는 제시문에 주어진 정리(타원·쌍곡선의 접선, 법선벡터와 평면의 방정식)를 명시적으로 인용했는지를 1단계 평가 요소로 채점합니다. 수식 전개 시 각 소문항의 연결 고리를 명확히 서술하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

📌 [동국대 등급제 환산 기준] S ~ F 등급: S: 1~3단계 모두 정확 / A: 2개 단계 완벽 + 1개 일부 / B: 2개 단계 완벽 / C·D: 1개 단계 완벽 / E·F: 미흡

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) 공초점 $(\pm 2, 0)$, 두 접선 기울기 곱 $-1$ 증명 | (2) 평면 방정식 $x + 2y + 2z - 6 = 0$ | (3) 거리 $2$, 정사영 넓이 $2$ 제5회 문제 2 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 정적분으로 정의된 함수의 미분, 입체도형의 부피, 합성함수 미분법 [배점 40점]

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.14 탐구 16053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]

[제시문]

- 『고등학교 수학Ⅱ』

- 『고등학교 미적분』

【다】 미분가능한 두 함수 $y = F(u), \; u = h(t)$에 대하여 합성함수 $y = F(h(t))$의 도함수는 $\dfrac{dy}{dt} = F'(h(t))h'(t)$이다.

- 『고등학교 미적분』

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 3 · 총 40점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 잠긴 깊이 $h(t)$와 속도 관계식 $h'(t) = H'(t) + v$ (12점) 시각 $t = 0$일 때 수면의 높이는 $H(0)$이고, 입체도형은 일정한 속력 $v$로 수직 하강하므로 제시문 【가】에 의하여 시각 $t$에서 입체도형 최하단의 높이는 $H(0) - vt$이다.
따라서 시각 $t$에서 물속에 잠긴 입체도형의 깊이 $h(t)$는 수면의 높이 $H(t)$에서 입체도형 최하단의 높이 $H(0) - vt$를 뺀 값과 같으므로 $$\mathbf{h(t) = H(t) - H(0) + vt}$$ 이다. 양변을 시각 $t$에 대하여 미분하면 다음 관계식을 얻는다. $$\mathbf{h'(t) = H'(t) + v}$$

2단계 · 소문항 (2) 부피 보존과 합성함수 미분법을 이용한 $H'(t) = \dfrac{S}{A - S}v$ 유도 (14점) 제시문 【나】에 의하여 시각 $t$에서 물속에 잠긴 입체도형의 부피는 $V(h(t)) = \displaystyle\int_0^{h(t)} S(z)\,dz$이다. 이 부피만큼 수조의 수면이 $H(0)$에서 $H(t)$로 상승하였으므로, 밑면의 넓이가 $A$인 원기둥 수조에서 증가한 부피는 $A\{H(t) - H(0)\}$와 같다. 즉, $$A\{H(t) - H(0)\} = \int_0^{h(t)} S(z)\,dz$$ 가 성립한다. 양변을 $t$에 대하여 미분하면 제시문 【나】와 【다】의 합성함수 미분법에 의하여 $$A H'(t) = S(h(t))\,h'(t) = S\{H'(t) + v\} \implies (A - S)H'(t) = Sv$$ 이고, $S \lt A$이므로 수면의 상승 속도는 다음과 같다. $$\mathbf{H'(t) = \frac{S}{A - S}v}$$

3단계 · 소문항 (3) 최대 상승 속도와 그때까지 물속에 잠긴 입체도형의 부피 (14점) $A = 8\pi, \; v = 3$이고 $S(z) = \pi z(4 - z) = \pi\{4 - (z - 2)^2\}\;(0 \le z \le 4)$이다. 함수 $f(S) = \dfrac{3S}{8\pi - S} = -3 + \dfrac{24\pi}{8\pi - S}$는 $0 \le S \lt 8\pi$에서 $S$에 대한 순증가함수이므로, 단면의 넓이 $S(z)$가 최대일 때 수면의 상승 속도 $H'(t)$도 최대가 된다.
• $S(z) = \pi\{4 - (z - 2)^2\}$은 $\mathbf{z = h(t) = 2\,(\mathrm{m})}$일 때 최댓값 $S(2) = 4\pi\,(\mathrm{m}^2)$를 가진다.
• 그때의 최대 상승 속도는 $H'(t) = \dfrac{4\pi}{8\pi - 4\pi} \times 3 = \mathbf{3\,(\mathrm{m/s})}$이다.
• $z = 2\,(\mathrm{m})$까지 물속에 잠긴 입체도형의 부피 $V$는 제시문 【나】에 의하여 다음과 같다. $$V = \int_0^2 \pi(4z - z^2)\,dz = \pi\left[2z^2 - \frac{1}{3}z^3\right]_0^2 = \pi\left(8 - \frac{8}{3}\right) = \mathbf{\frac{16}{3}\pi\,(\mathrm{m}^3)}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계] (12점)	최하단 위치 $H(0) - vt$로부터 $h(t) = H(t) - H(0) + vt$ 및 $h'(t) = H'(t) + v$를 정확히 유도한다.	12점
[2단계] (14점)	$A(H(t)-H(0)) = \displaystyle\int_0^{h(t)} S(z)\,dz$의 양변을 합성함수 미분하여 $H'(t) = \dfrac{S}{A - S}v$를 유도한다.	14점
[3단계] (14점)	$z = 2\,(\mathrm{m})$일 때 최대 상승 속도 $3\,(\mathrm{m/s})$와 잠긴 부피 $V = \dfrac{16}{3}\pi\,(\mathrm{m}^3)$를 정확히 구한다.	14점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 동국대학교 자연계열 수리논술 채점에서는 제시문에 주어진 정리(정적분으로 정의된 함수의 미분, 입체도형의 부피, 합성함수 미분법)를 명시적으로 인용했는지를 1단계 평가 요소로 채점합니다. 수식 전개 시 각 소문항의 연결 고리를 명확히 서술하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

📌 [동국대 등급제 환산 기준] S ~ F 등급: S: 1~3단계 모두 정확 / A: 2개 단계 완벽 + 1개 일부 / B: 2개 단계 완벽 / C·D: 1개 단계 완벽 / E·F: 미흡

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $\dfrac{dh}{dt} = \dfrac{S}{A - S}v$ | (2) $S(u) = 6\pi u e^{-u^2}$, 최대 단면 $u = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | (3) 최대 수면 상승 속도 $\dfrac{3\sqrt{2}}{4e^{1/2} - 3\sqrt{2}}v$ 제5회 문제 3 (40점)

【문제 1】 원문 요약 — 원에 내접하는 사각형의 코사인법칙과 대각선 분할 및 넓이 [배점 30점]

[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 16061 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[제시문]

- 『교과서 기반 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수』

(1) 대각선 $BD$의 길이를 $x$라 할 때, 두 삼각형 $ABD$와 $CBD$에서 각각 코사인법칙을 적용하여 $\cos A$와 $x^2$의 값을 각각 구하시오. (8점)

(2) 사각형 $ABCD$의 넓이 $S$와 외접원의 반지름 $R$의 값을 각각 구하시오. (10점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 해결 과정 (8점) 제시문 【가】에 의하여 원에 내접하는 사각형 $ABCD$에서 $C = \pi - A$이므로 $\cos C = -\cos A$이다. $\triangle ABD$와 $\triangle CBD$에서 각각 코사인법칙을 적용하면 \[x^2 = 3^2 + 7^2 - 2\cdot 3\cdot 7\cos A = 58 - 42\cos A\] \[x^2 = 5^2 + 3^2 - 2\cdot 5\cdot 3\cos(\pi - A) = 34 + 30\cos A\] 이다. 두 식을 연립하면 $72\cos A = 24$이므로 $\mathbf{\cos A = \dfrac{1}{3}}$이고, 이를 대입하면 $x^2 = 58 - 14 = \mathbf{44}$이다.

2단계 · 소문항 (2) 해결 과정 (10점) $0 \lt A \lt \pi$에서 $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$이고 $\sin C = \sin A = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$이다. 따라서 사각형 $ABCD$의 넓이 $S$는 \[S = \operatorname{Area}(\triangle ABD) + \operatorname{Area}(\triangle CBD) = \dfrac{1}{2}(3\cdot 7 + 5\cdot 3)\sin A = 18 \times \dfrac{2\sqrt{2}}{3} = \mathbf{12\sqrt{2}}\] 이다. 또한 $\triangle ABD$의 외접원은 사각형 $ABCD$의 외접원과 같고 $x = \overline{BD} = 2\sqrt{11}$이므로 사인법칙에 의하여 $2R = \dfrac{x}{\sin A} = \dfrac{2\sqrt{11}}{2\sqrt{2}/3} = \dfrac{3\sqrt{22}}{2}$에서 $\mathbf{R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}}$이다.

3단계 · 소문항 (3) 해결 과정 (12점) 대각선 $AC$를 공통 밑변으로 볼 때, 두 삼각형 $ABC$와 $ADC$의 넓이의 비는 선분 $BP$와 $PD$의 길이의 비와 같다. 원에 내접하는 사각형의 성질에 의하여 $\angle B + \angle D = \pi$이므로 $\sin B = \sin D$이다. 따라서 \[\overline{BP} : \overline{PD} = \operatorname{Area}(\triangle ABC) : \operatorname{Area}(\triangle ADC) = \left(\dfrac{1}{2}\overline{AB}\cdot\overline{BC}\sin B\right) : \left(\dfrac{1}{2}\overline{AD}\cdot\overline{CD}\sin D\right) = (3\times 5) : (7\times 3) = 15 : 21 = \mathbf{5 : 7}\] 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 코사인법칙]	$\triangle ABD, \triangle CBD$에서 코사인법칙 등식을 세워 $\cos A = \dfrac{1}{3},\; x^2 = 44$를 정확히 도출한 경우	8점
[2단계: 넓이와 외접원]	사각형의 넓이 $S = 12\sqrt{2}$와 사인법칙을 통한 외접원 반지름 $R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}$를 구한 경우	10점
[3단계: 대각선 내분비]	넓이의 비 $\operatorname{Area}(\triangle ABC) : \operatorname{Area}(\triangle ADC)$와 $\sin B = \sin D$를 이용하여 $5 : 7$을 도출한 경우	12점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 원에 내접하는 사각형에서 $\angle B + \angle D = \pi$이므로 $\sin B = \sin D$가 성립합니다. 대각선 분할 선분 비 $\overline{BP}:\overline{PD}$를 구할 때 두 삼각형 $\triangle ABC, \triangle ADC$의 넓이 비가 이웃한 두 변의 곱의 비 $\overline{AB}\cdot\overline{BC} : \overline{AD}\cdot\overline{CD}$와 일치함을 명시하면 만점을 받습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $\cos A = \dfrac{1}{3},\; x^2 = 44$ | (2) $S = 12\sqrt{2},\; R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}$ | (3) $5 : 7$ 제6회 문제 1 (30점)

【문제 2】 원문 요약 — 무한대 극한과 부정형 극한을 만족시키는 삼차함수의 결정 [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 16062 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문]

- 『교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한』

(1) 제시문 【가】의 성질을 이용하여 다항함수 $f(x)$의 차수와 삼차항·이차항의 계수를 구하고, $f(1)$과 $f'(1)$의 값을 각각 구하시오. (8점)

(2) 다항함수 $f(x)$의 식을 구하고, 방정식 $f(x) = f(1)$의 모든 실근의 합을 구하시오. (10점)

(3) 자연수 $n$에 대하여 극한값 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n \left\{ f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) - f\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \right\}$을 구하시오. (12점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 2 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 해결 과정 (8점) $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2} = -2$에서 $f(x) - x^3$은 최고차항의 계수가 $-2$인 이차함수이므로 $f(x)$는 $3$차 다항식이고 삼차항의 계수는 $1$, 이차항의 계수는 $-2$이다. 또한 $x \to 1$일 때 $\dfrac{f(x)}{x^2-1}$이 수렴하고 분모 $x^2-1 \to 0$이므로 $\mathbf{f(1) = 0}$이다. 미분계수의 정의에 의하여 \[\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} \cdot \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{f'(1)}{2} = 2 \implies \mathbf{f'(1) = 4}\] 이다.

2단계 · 소문항 (2) 해결 과정 (10점) $f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b$로 놓으면 $f'(x) = 3x^2 - 4x + a$이다. $f'(1) = 3 - 4 + a = 4$에서 $a = 5$이고, $f(1) = 1 - 2 + 5 + b = 0$에서 $b = -4$이다. 따라서 $\mathbf{f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4}$이다. $f(1) = 0$이므로 방정식 $f(x) = 0$을 인수분해하면 $(x - 1)(x^2 - x + 4) = 0$이다. 이차방정식 $x^2 - x + 4 = 0$의 판별식 $D = 1 - 16 = -15 \lt 0$이므로 허근을 가지며, 실근은 $x = 1$뿐이므로 모든 실근의 합은 $\mathbf{1}$이다.

3단계 · 소문항 (3) 해결 과정 (12점) $h = \dfrac{1}{n}$으로 치환하면 $n \to \infty$일 때 $h \to 0^+$이므로 주어진 극한은 미분계수의 정의에 의하여 \[\lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(1 + 2h) - f(1 - h)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \left\{ 2\cdot\dfrac{f(1 + 2h) - f(1)}{2h} + \dfrac{f(1 - h) - f(1)}{-h} \right\} = 2f'(1) + f'(1) = 3f'(1) = 3 \times 4 = \mathbf{12}\] 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 극한과 미분계수]	$f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b$ 설정 및 $f(1) = 0,\; f'(1) = 4$를 정확히 도출한 경우	8점
[2단계: 함수식과 실근]	$f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ 확정 후 판별식 $D \lt 0$을 확인하여 실근의 합 $1$을 구한 경우	10점
[3단계: 치환 극한 계산]	$h = \dfrac{1}{n}$ 치환을 통해 $3f'(1) = 12$를 논리적으로 유도한 경우	12점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 삼차방정식 $f(x) = 0$의 모든 실근의 합을 구할 때 근과 계수의 관계로 $2$라고 답하면 허근까지 합산한 오답이 됩니다. 반드시 $(x-1)(x^2-x+4)=0$으로 인수분해한 뒤 이차식의 판별식 $D = 1 - 16 \lt 0$을 확인하여 실근만 합산해야 감점을 피할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $3$차, 계수 $1, -2,\; f(1)=0,\; f'(1)=4$ | (2) $f(x)=x^3-2x^2+5x-4$, 실근의 합 $1$ | (3) $12$ 제6회 문제 2 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 비복원 추출에서 이산확률변수의 확률분포와 기댓값·분산 [배점 40점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 (DB: PS_Ch03) PDF p.6 탐구 16063 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-01, 12확통03-02]

[제시문]

- 『교과서 기반 교육과정 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포』

(1) 확률변수 $X$가 가질 수 있는 모든 값 $k$에 대하여 확률질량함수 $\mathrm{P}(X = k)$를 구하고, 확률의 총합이 $1$임을 확인하시오. (12점)

(2) 확률변수 $X$의 기댓값 $\mathrm{E}(X)$와 $X^2$의 기댓값 $\mathrm{E}(X^2)$을 각각 구하시오. (14점)

(3) 확률변수 $X$의 분산 $\mathrm{V}(X)$를 구하고, 확률변수 $Y = 35X - 10$의 평균 $\mathrm{E}(Y)$와 분산 $\mathrm{V}(Y)$를 각각 구하시오. (14점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 3 · 총 40점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 해결 과정 (12점) 총 $7$개의 공 중에서 $3$개를 동시에 꺼내는 경우의 수는 ${}_{7}\mathrm{C}_{3} = 35$이다. 확률변수 $X$가 가질 수 있는 값은 $k = 0, 1, 2, 3$이고 확률질량함수는 $\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{{}_{4}\mathrm{C}_{k} \cdot {}_{3}\mathrm{C}_{3-k}}{{}_{7}\mathrm{C}_{3}}$이다. 각 값을 계산하면 \[\mathrm{P}(X=0) = \dfrac{1}{35}, \quad \mathrm{P}(X=1) = \dfrac{12}{35}, \quad \mathrm{P}(X=2) = \dfrac{18}{35}, \quad \mathrm{P}(X=3) = \dfrac{4}{35}\] 이며, 확률의 총합은 $\dfrac{1 + 12 + 18 + 4}{35} = \dfrac{35}{35} = 1$이다.

2단계 · 소문항 (2) 해결 과정 (14점) 제시문 【가】에 의하여 기댓값 $\mathrm{E}(X)$와 $\mathrm{E}(X^2)$을 계산하면 \[\mathrm{E}(X) = \dfrac{0\cdot 1 + 1\cdot 12 + 2\cdot 18 + 3\cdot 4}{35} = \dfrac{60}{35} = \mathbf{\dfrac{12}{7}}\] \[\mathrm{E}(X^2) = \dfrac{0^2\cdot 1 + 1^2\cdot 12 + 2^2\cdot 18 + 3^2\cdot 4}{35} = \dfrac{12 + 72 + 36}{35} = \dfrac{120}{35} = \mathbf{\dfrac{24}{7}}\] 이다.

3단계 · 소문항 (3) 해결 과정 (14점) 분산 공식에 의하여 $\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2 = \dfrac{24}{7} - \left(\dfrac{12}{7}\right)^2 = \dfrac{168 - 144}{49} = \mathbf{\dfrac{24}{49}}$이다. 또한 $Y = 35X - 10$에 대하여 \[\mathrm{E}(Y) = 35\mathrm{E}(X) - 10 = 35 \times \dfrac{12}{7} - 10 = 60 - 10 = \mathbf{50}\] \[\mathrm{V}(Y) = 35^2 \mathrm{V}(X) = 1225 \times \dfrac{24}{49} = 25 \times 24 = \mathbf{600}\] 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 확률질량함수]	조합을 이용하여 $k=0,1,2,3$에서의 확률 $4$개를 구하고 합이 $1$임을 확인한 경우	12점
[2단계: 기댓값 계산]	$\mathrm{E}(X) = \dfrac{12}{7}$과 $\mathrm{E}(X^2) = \dfrac{24}{7}$을 정확히 도출한 경우	14점
[3단계: 분산 및 선형변환]	$\mathrm{V}(X) = \dfrac{24}{49}$ 및 $\mathrm{E}(Y) = 50,\; \mathrm{V}(Y) = 600$을 구한 경우	14점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 일차변환 $Y = aX + b$에서 상수항 $b$는 평행이동만 일으키므로 분산에 영향을 주지 않습니다. $\mathrm{V}(aX + b) = a^2\mathrm{V}(X)$를 정확히 선언하고 계산해야 감점을 막을 수 있습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $\mathrm{P}(X=k) = \dfrac{1}{35}, \dfrac{12}{35}, \dfrac{18}{35}, \dfrac{4}{35}$ | (2) $\mathrm{E}(X)=\dfrac{12}{7},\; \mathrm{E}(X^2)=\dfrac{24}{7}$ | (3) $\mathrm{V}(X)=\dfrac{24}{49},\; \mathrm{E}(Y)=50,\; \mathrm{V}(Y)=600$ 제6회 문제 3 (40점)

【문제 1】 원문 요약 — 삼각함수의 주기·대칭성과 방정식의 모든 실근의 합 [배점 30점]

[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 16071 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

[제시문]

- 『교과서 기반 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수』

(3) 실수 전체의 집합에서 방정식 $2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) = \dfrac{1}{3}x$의 서로 다른 실근의 개수를 구하고, 모든 실근의 합을 구하시오. (12점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 해결 과정 (8점) 제시문 【가】에 의하여 함수 $f(x)$의 주기는 $T = \dfrac{2\pi}{\pi/2} = \mathbf{4}$이다. 구간 $[0, 4]$에서 $0 \lt k \lt 2$일 때 $f(x) = k \gt 0$을 만족하는 실근은 $f(x) \gt 0$인 구간 $(0, 2)$에 $2$개 존재하며, 두 실근은 대칭축 $x = 1$에 대하여 대칭이므로 합은 $2 \times 1 = \mathbf{2}$이다.

2단계 · 소문항 (2) 해결 과정 (10점) $f(x) = 1 \iff \sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) = \dfrac{1}{2}$이므로 구간 $[0, 4]$에서 $\dfrac{\pi}{2}x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6}$이다. 따라서 $\alpha = \dfrac{1}{3},\; \beta = \dfrac{5}{3}$이므로 $\mathbf{\beta - \alpha = \dfrac{4}{3}}$이다. 밑변의 길이가 $\beta - \alpha = \dfrac{4}{3}$이고 높이가 $2 - 1 = 1$이므로 삼각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \times 1 = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$이다.

3단계 · 소문항 (3) 해결 과정 (12점) $\left|2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)\right| \le 2$이므로 교점은 $\left|\dfrac{1}{3}x\right| \le 2 \iff |x| \le 6$에서만 존재한다. $x = 0$은 실근이고, $x \gt 0$에서 구간 $(0, 2]$에 $1$개, 구간 $[4, 6]$에서 $f(5) = 2 \gt \dfrac{5}{3},\; f(6) = 0 \lt 2$이므로 $2$개의 교점이 생겨 양의 실근은 $3$개이다. 두 함수 모두 원점 대칭(기함수)이므로 음의 실근도 $3$개 존재하여 총 실근의 개수는 $3 + 1 + 3 = \mathbf{7}$개이며, 대칭성에 의해 모든 실근의 합은 $\mathbf{0}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 주기와 대칭축]	주기 $T = 4$와 대칭축 $x = 1$을 이용하여 실근 $2$개 및 합 $2$를 구한 경우	8점
[2단계: 특수각과 넓이]	$\alpha = \dfrac{1}{3},\; \beta = \dfrac{5}{3}$를 구하여 $\beta-\alpha = \dfrac{4}{3}$와 넓이 $\dfrac{2}{3}$를 산출한 경우	10점
[3단계: 교점 개수와 합]	$\|x\| \le 6$ 범위 제한과 $f(5) \gt \frac{5}{3}$ 비교로 실근 $7$개 및 기함수 대칭 합 $0$을 논증한 경우	12점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 소문항 (3)에서 직선 $y = \dfrac{1}{3}x$가 점 $(6, 2)$를 지나므로, 극댓점 $(5, 2)$에서 $f(5) = 2 \gt \dfrac{5}{3}$임을 명시하여 구간 $[4, 6]$에서 교점이 $2$개 발생함을 논리적으로 설명해야 만점을 받습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) 주기 $4$, 실근 $2$개, 합 $2$ | (2) $\beta-\alpha = \dfrac{4}{3}$, 넓이 $\dfrac{2}{3}$ | (3) 실근 $7$개, 합 $0$ 제7회 문제 1 (30점)

【문제 2】 원문 요약 — 구간별로 정의된 함수의 미분가능성과 접선의 방정식 [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 16072 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-05]

[제시문]

- 『교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수』

(1) 상수 $b$의 값을 구하고, $x = 1$에서의 연속 조건과 미분가능 조건을 이용하여 상수 $a, c$의 값을 각각 구하시오. (8점)

(2) 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(-1, f(-1))$에서의 접선 $l_1$과 점 $(2, f(2))$에서의 접선 $l_2$의 방정식을 각각 구하시오. (10점)

(3) 두 접선 $l_1, l_2$와 $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. (12점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 2 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 해결 과정 (8점) $0 \lt 1$이므로 $f(0) = b = \mathbf{-2}$이다. $x = 1$에서의 연속 조건에 의하여 $1 + a - 2 = c + 4 + 1 \implies a - c = 6$이고, 좌·우미분계수 일치 조건에 의하여 $3(1)^2 + a = 2c(1) + 4 \implies a - 2c = 1$이다. 두 식을 연립하면 $\mathbf{c = 5,\; a = 11}$이다.

2단계 · 소문항 (2) 해결 과정 (10점) $x \lt 1$에서 $f(x) = x^3 + 11x - 2,\; f'(x) = 3x^2 + 11$이므로 $f(-1) = -14,\; f'(-1) = 14$이다. 따라서 접선 $l_1$의 방정식은 $y + 14 = 14(x + 1) \implies \mathbf{l_1 : y = 14x}$이다. 한편 $x \ge 1$에서 $f(x) = 5x^2 + 4x + 1,\; f'(x) = 10x + 4$이므로 $f(2) = 29,\; f'(2) = 24$이다. 따라서 접선 $l_2$의 방정식은 $y - 29 = 24(x - 2) \implies \mathbf{l_2 : y = 24x - 19}$이다.

3단계 · 소문항 (3) 해결 과정 (12점) 두 접선 $l_1 : y = 14x$와 $l_2 : y = 24x - 19$의 교점의 $x$좌표는 $14x = 24x - 19$에서 $x = \dfrac{19}{10}$이다. 두 직선의 $y$절편은 각각 $0$과 $-19$이므로 $y$축 위의 밑변의 길이는 $19$이고 높이는 $\dfrac{19}{10}$이다. 따라서 구하는 삼각형의 넓이는 \[\dfrac{1}{2} \times 19 \times \dfrac{19}{10} = \mathbf{\dfrac{361}{20}}\] 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 미분가능 조건]	연속 조건 $a-c=6$과 미분계수 일치 $a-2c=1$을 세워 $a=11, b=-2, c=5$를 구한 경우	8점
[2단계: 접선의 방정식]	구간별 함수를 구분하여 $l_1 : y = 14x$와 $l_2 : y = 24x - 19$를 정확히 유도한 경우	10점
[3단계: 삼각형의 넓이]	두 접선의 교점 $x = \dfrac{19}{10}$과 $y$절편 차를 이용하여 넓이 $\dfrac{361}{20}$를 구한 경우	12점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 구간별로 정의된 함수에서 접선의 방정식을 구할 때는 접점의 $x$좌표($x=-1 \lt 1$과 $x=2 \ge 1$)가 속하는 구간의 함수식을 먼저 명시한 뒤 도함수를 계산해야 논리적 감점이 없습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $a = 11,\; b = -2,\; c = 5$ | (2) $l_1 : y = 14x,\; l_2 : y = 24x - 19$ | (3) 넓이 $\dfrac{361}{20}$ 제7회 문제 2 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 위치의 변화량 및 움직인 거리 [배점 40점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 탐구 16073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문]

- 『교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용』

(1) 점 $P$가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하고, 각 시각에서의 점 $P$의 위치를 구하시오. (12점)

(2) 시각 $t = 0$부터 $t = 4$까지 점 $P$의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 각각 구하시오. (14점)

(3) 점 $P$가 출발 후 처음으로 다시 원점을 지나는 시각 $T\;(T \gt 0)$와 그때의 가속도 $a(T)$를 각각 구하시오. (14점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 3 · 총 40점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 해결 과정 (12점) $v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$에서 $t = 1, 3$ 전후로 $v(t)$의 부호가 바뀌므로 운동 방향을 바꾸는 시각은 $\mathbf{t = 1,\; t = 3}$이다. 원점($x_0 = 0$)을 출발하므로 시각 $t$에서의 위치는 \[x(t) = \int_0^t (3s^2 - 12s + 9)\,ds = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t - 3)^2\] 이다. 따라서 $t = 1$일 때의 위치는 $\mathbf{x(1) = 4}$, $t = 3$일 때의 위치는 $\mathbf{x(3) = 0}$이다.

2단계 · 소문항 (2) 해결 과정 (14점) 시각 $t = 0$부터 $t = 4$까지 위치의 변화량은 $x(4) - x(0) = 4(4-3)^2 - 0 = \mathbf{4}$이다. 한편 구간 $[1, 3]$에서 $v(t) \le 0$이므로 실제로 움직인 거리는 \[\int_0^4 |v(t)|\,dt = \int_0^1 v(t)\,dt - \int_1^3 v(t)\,dt + \int_3^4 v(t)\,dt = (4 - 0) - (0 - 4) + (4 - 0) = \mathbf{12}\] 이다.

3단계 · 소문항 (3) 해결 과정 (14점) $x(t) = t(t - 3)^2 = 0$ ($t \gt 0$)을 만족하는 시각은 $\mathbf{T = 3}$이다. 가속도 함수는 $a(t) = v'(t) = 6t - 12$이므로 시각 $T = 3$에서의 가속도는 $a(3) = 18 - 12 = \mathbf{6}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 방향 전환과 위치]	운동 방향 전환 시각 $t = 1, 3$과 위치 $x(1) = 4,\; x(3) = 0$을 구한 경우	12점
[2단계: 변화량과 이동거리]	위치 변화량 $4$와 절댓값 정적분을 통한 이동 거리 $12$를 구분하여 계산한 경우	14점
[3단계: 원점 통과와 가속도]	$x(t)=t(t-3)^2=0$으로부터 $T=3$과 가속도 $a(3)=6$을 정확히 구한 경우	14점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 위치의 변화량 $\int_0^4 v(t)\,dt$와 실제 움직인 거리 $\int_0^4 |v(t)|\,dt$는 속도가 음수인 구간 $[1, 3]$의 부호 처리에서 차이가 발생합니다. 구간을 나누어 적분식을 명시해야 만점을 받습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $t = 1, 3$, 위치 $x(1)=4,\; x(3)=0$ | (2) 위치 변화량 $4$, 움직인 거리 $12$ | (3) $T = 3,\; a(3) = 6$ 제7회 문제 3 (40점)

【문제 1】 원문 요약 — 외접원의 반지름과 사인법칙·코사인법칙을 이용한 삼각형 결정 [배점 30점]

[출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 16081 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[제시문]

- 『교과서 기반 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수』

(1) 사인법칙을 이용하여 변 $BC$의 길이 $a$를 구하고, $\overline{AC} = k,\; \overline{AB} = 3k$로 놓아 코사인법칙으로 양수 $k$의 값을 구하시오. (8점)

(2) 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$와 꼭짓점 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발 $H$에 대하여 선분 $AH$의 길이를 각각 구하시오. (10점)

(3) 각 $A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 할 때, 선분 $AD$의 길이를 구하시오. (12점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 해결 과정 (8점) 제시문 【가】의 사인법칙에 의하여 $a = 2R\sin A = 2\sqrt{7}\sin\dfrac{\pi}{3} = \mathbf{\sqrt{21}}$이다. $\overline{AC} = k,\; \overline{AB} = 3k$ ($k \gt 0$)를 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$에 대입하면 \[21 = k^2 + 9k^2 - 2\cdot k\cdot 3k\cos\dfrac{\pi}{3} = 7k^2 \implies k^2 = 3 \implies \mathbf{k = \sqrt{3}}\] 이다. (따라서 $\overline{AC} = \sqrt{3},\; \overline{AB} = 3\sqrt{3}$)

2단계 · 소문항 (2) 해결 과정 (10점) 삼각형 $ABC$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\overline{AB}\cdot\overline{AC}\sin A = \dfrac{1}{2}\cdot 3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{\dfrac{9\sqrt{3}}{4}}$이다. 또한 $S = \dfrac{1}{2}\overline{BC}\cdot\overline{AH}$이므로 \[\dfrac{1}{2}\sqrt{21}\,\overline{AH} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4} \implies \overline{AH} = \dfrac{9}{2\sqrt{7}} = \mathbf{\dfrac{9\sqrt{7}}{14}}\] 이다.

3단계 · 소문항 (3) 해결 과정 (12점) $\angle BAD = \angle CAD = \dfrac{\pi}{6}$이고 $\operatorname{Area}(\triangle ABC) = \operatorname{Area}(\triangle ABD) + \operatorname{Area}(\triangle ACD)$이므로 \[\dfrac{9\sqrt{3}}{4} = \dfrac{1}{2}(3\sqrt{3} + \sqrt{3})\overline{AD}\sin\dfrac{\pi}{6} = \sqrt{3}\,\overline{AD} \implies \mathbf{\overline{AD} = \dfrac{9}{4}}\] 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 사인·코사인법칙]	$a = \sqrt{21}$과 코사인법칙 $7k^2 = 21$로부터 $k = \sqrt{3}$을 도출한 경우	8점
[2단계: 넓이와 수선 길이]	삼각형의 넓이 $S = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}$와 수선의 길이 $\overline{AH} = \dfrac{9\sqrt{7}}{14}$를 구한 경우	10점
[3단계: 각의 이등분선]	넓이 분할 등식을 이용하여 $\overline{AD} = \dfrac{9}{4}$를 정확히 도출한 경우	12점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 각의 이등분선 $\overline{AD}$의 길이는 코사인법칙을 두 번 쓰는 것보다 $\angle BAD = \angle CAD = \dfrac{\pi}{6}$을 이용한 넓이 합 공식 $\operatorname{Area}(\triangle ABC) = \operatorname{Area}(\triangle ABD) + \operatorname{Area}(\triangle ACD)$으로 구하는 것이 가장 정확하고 빠릅니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $a = \sqrt{21},\; k = \sqrt{3}$ | (2) $S = \dfrac{9\sqrt{3}}{4},\; \overline{AH} = \dfrac{9\sqrt{7}}{14}$ | (3) $\overline{AD} = \dfrac{9}{4}$ 제8회 문제 1 (30점)

【문제 2】 원문 요약 — 평균값 정리를 이용한 다항함수의 변화율 추론과 수열의 극한 [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 16082 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

[제시문]

- 『교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용』

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 2 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 해결 과정 (8점) $f'(x) = 3x^2 - 6x + 5$이고 $f(0) = 1,\; f(3) = 27 - 27 + 15 + 1 = 16$이므로 구간 $[0, 3]$에서의 평균변화율은 $\dfrac{16 - 1}{3} = 5$이다. $f'(c) = 3c^2 - 6c + 5 = 5$에서 $3c(c - 2) = 0$이고, $c \in (0, 3)$이므로 $\mathbf{c = 2}$이다.

2단계 · 소문항 (2) 해결 과정 (10점) 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) = 3(x - 1)^2 + 2 \ge 2$이다. 임의의 $x_1 \lt x_2$에 대하여 $f(x)$는 닫힌구간 $[x_1, x_2]$에서 연속이고 열린구간 $(x_1, x_2)$에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 \[\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(\xi) \ge 2\] 를 만족하는 $\xi \in (x_1, x_2)$가 존재한다. 양변에 양수 $x_2 - x_1 \gt 0$을 곱하면 $f(x_2) - f(x_1) \ge 2(x_2 - x_1)$이 성립한다.

3단계 · 소문항 (3) 해결 과정 (12점) $f(n+1) - f(n) = 3n^2 - 3n + 3 = f'(c_n) = 3(c_n - 1)^2 + 2$에서 $3(c_n - 1)^2 = 3n^2 - 3n + 1$이다. $c_n \gt n \ge 1$이므로 $c_n - 1 = \sqrt{n^2 - n + \dfrac{1}{3}}$이고, 따라서 \[\lim_{n \to \infty} (c_n - n) = \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 - n + \dfrac{1}{3}} - (n - 1)\right) = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n - \frac{2}{3}}{\sqrt{n^2 - n + \frac{1}{3}} + n - 1} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\] 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 평균값 정리 상수]	평균변화율 $5$를 구하고 $c \in (0, 3)$ 조건으로부터 $c = 2$를 확정한 경우	8점
[2단계: 부등식의 증명]	$f'(x) = 3(x-1)^2 + 2 \ge 2$와 평균값 정리를 결합하여 부등식을 증명한 경우	10점
[3단계: 수열 극한 도출]	$c_n = 1 + \sqrt{n^2 - n + \frac{1}{3}}$을 구하고 유리화를 통해 극한값 $\dfrac{1}{2}$를 도출한 경우	12점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 소문항 (1)에서 $3c(c-2)=0$의 두 근 $c=0, 2$ 중 열린구간 $(0, 3)$에 속하는 값은 $c=2$뿐임을 반드시 명시해야 감점이 없습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $c = 2$ | (2) $f'(x)=3(x-1)^2+2 \ge 2$ 및 평균값 정리 증명 | (3) $\dfrac{1}{2}$ 제8회 문제 2 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 포물선의 초점·준선 정의와 초점을 지나는 직선의 선분 비 [배점 40점]

[출처: 비상 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 16083 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[제시문]

- 『교과서 기반 교육과정 기하 Ⅰ-1. 이차곡선』

(2) 선분 $AB$의 길이와 직선 $l$의 기울기 $m$을 각각 구하시오. (14점)

(3) 원점 $O(0, 0)$에 대하여 삼각형 $OAB$의 넓이와 포물선 위의 점 $A$에서의 접선의 $x$절편을 각각 구하시오. (14점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 3 · 총 40점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 해결 과정 (12점) $y^2 = 8x = 4\cdot 2x$에서 $p = 2$이므로 초점은 $\mathbf{F(2, 0)}$, 준선의 방정식은 $\mathbf{x = -2}$이다. 포물선의 정의에 의하여 $\overline{AF} = x_A + 2,\; \overline{BF} = x_B + 2$이다. $\overline{AF} : \overline{BF} = 3 : 1$이므로 점 $F(2, 0)$은 선분 $AB$를 $3 : 1$로 내분하는 점이다. 따라서 \[x_A + 2 = 3(x_B + 2), \qquad \dfrac{x_A + 3x_B}{3 + 1} = 2\] 이고, 두 식을 연립하면 $x_A = 3x_B + 4$와 $x_A + 3x_B = 8$에서 $\mathbf{x_B = \dfrac{2}{3},\; x_A = 6}$이다.

2단계 · 소문항 (2) 해결 과정 (14점) $\overline{AF} = 6 + 2 = 8,\; \overline{BF} = \dfrac{2}{3} + 2 = \dfrac{8}{3}$이므로 선분 $AB$의 길이는 $\overline{AB} = \overline{AF} + \overline{BF} = \mathbf{\dfrac{32}{3}}$이다. 또한 점 $A$는 제1사분면 위의 점이므로 $y_A = \sqrt{8 \times 6} = 4\sqrt{3}$이고 $A(6, 4\sqrt{3})$이다. 따라서 직선 $l$의 기울기는 $m = \dfrac{4\sqrt{3} - 0}{6 - 2} = \mathbf{\sqrt{3}}$이다.

3단계 · 소문항 (3) 해결 과정 (14점) 점 $B$는 제4사분면 위의 점이므로 $y_B = -\sqrt{8 \times \frac{2}{3}} = -\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$이다. 따라서 삼각형 $OAB$의 넓이는 \[\operatorname{Area}(\triangle OAB) = \dfrac{1}{2}\cdot\overline{OF}\cdot(y_A - y_B) = \dfrac{1}{2} \times 2 \times \left(4\sqrt{3} + \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{16\sqrt{3}}{3}}\] 이다. 또한 점 $A(6, 4\sqrt{3})$에서의 접선의 방정식은 $4\sqrt{3}y = 4(x + 6)$이므로 $y = 0$을 대입하면 $x$절편은 $\mathbf{-6}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 초점·준선과 좌표]	$F(2,0),\; x=-2$ 및 내분비 $3:1$을 이용하여 $x_A = 6,\; x_B = \dfrac{2}{3}$를 구한 경우	12점
[2단계: 현의 길이와 기울기]	$\overline{AB} = \dfrac{32}{3}$와 $A(6, 4\sqrt{3})$로부터 기울기 $m = \sqrt{3}$을 구한 경우	14점
[3단계: 넓이와 접선 절편]	$\triangle OAB$의 넓이 $\dfrac{16\sqrt{3}}{3}$와 접선의 $x$절편 $-6$을 정확히 도출한 경우	14점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 초점 $F(2, 0)$을 지나는 현 $AB$에서 $\overline{AF}:\overline{BF} = 3:1$이면 점 $F$가 선분 $AB$를 $3:1$로 내분하므로 내분점 공식 $\dfrac{x_A + 3x_B}{4} = 2$와 포물선 정의 $x_A + 2 = 3(x_B + 2)$를 연립하면 일차방정식만으로 $x_A = 6,\; x_B = \dfrac{2}{3}$가 즉시 도출됩니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $F(2,0),\; x=-2,\; x_A=6,\; x_B=\dfrac{2}{3}$ | (2) $\overline{AB}=\dfrac{32}{3},\; m=\sqrt{3}$ | (3) 넓이 $\dfrac{16\sqrt{3}}{3}$, $x$절편 $-6$ 제8회 문제 3 (40점)

【문제 1】 원문 요약 — 유리함수와 다항함수의 곱의 연속성과 사잇값 정리 [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 16091 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[제시문]

- 『교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속』

(1) 함수 $h(x)$가 $x = -1$과 $x = 2$에서 연속임을 이용하여 $g(-1),\; g(2)$의 값을 구하고, $h(-1) = 4$로부터 삼차함수 $g(x)$의 식을 구하시오. (8점)

(2) $h(2)$와 $g(3)$의 값을 각각 구하고, 방정식 $g(x) = 0$의 모든 실근을 구하시오. (10점)

(3) 닫힌구간 $[-1, 2]$에서 방정식 $h(x) - x = 0$이 적어도 하나의 실근을 가짐을 사잇값 정리로 증명하시오. (12점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 해결 과정 (8점) $x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$이고 $h(x)$가 $x = -1,\; x = 2$에서 연속이므로 극한 $\displaystyle\lim_{x \to -1} h(x)$와 $\displaystyle\lim_{x \to 2} h(x)$가 존재해야 한다. 분모가 $0$으로 수렴하므로 $\mathbf{g(-1) = 0,\; g(2) = 0}$이다. 최고차항의 계수가 $1$이므로 $g(x) = (x + 1)(x - 2)(x - k)$로 놓으면 $x \ne -1, 2$에서 $h(x) = (x - 3)(x - k)$이다. 연속성에 의하여 $h(-1) = (-4)(-1 - k) = 4$이므로 $k = -2$이고, 따라서 $\mathbf{g(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 2)}$이다.

2단계 · 소문항 (2) 해결 과정 (10점) 모든 실수에서 $h(x) = (x - 3)(x + 2)$이므로 $h(2) = (2 - 3)(2 + 2) = \mathbf{-4}$이고, $g(3) = 4 \times 1 \times 5 = \mathbf{20}$이다. 또한 방정식 $g(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0$의 모든 실근은 $\mathbf{x = -2,\; -1,\; 2}$이다.

3단계 · 소문항 (3) 해결 과정 (12점) $\phi(x) = h(x) - x$라 하면 $\phi(x)$는 닫힌구간 $[-1, 2]$에서 연속이고 \[\phi(-1) = h(-1) - (-1) = 4 + 1 = 5 \gt 0, \qquad \phi(2) = h(2) - 2 = -4 - 2 = -6 \lt 0\] 이므로 $\phi(-1)\phi(2) = -30 \lt 0$이다. 따라서 사잇값 정리에 의하여 열린구간 $(-1, 2)$에 $\phi(c) = 0$, 즉 $h(c) - c = 0$을 만족하는 실근 $c$가 적어도 하나 존재한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 인수정리와 함수식]	$g(-1)=g(2)=0$을 설명하고 $h(-1)=4$로부터 $g(x)=(x+1)(x-2)(x+2)$를 구한 경우	8점
[2단계: 함숫값과 실근]	$h(2) = -4,\; g(3) = 20$ 및 세 실근 $-2, -1, 2$를 정확히 구한 경우	10점
[3단계: 사잇값 정리 증명]	$\phi(x)=h(x)-x$의 연속성과 $\phi(-1)\phi(2) \lt 0$을 명시하여 실근 존재성을 증명한 경우	12점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 사잇값 정리 증명 문항에서는 반드시 ① 보조함수 $\phi(x) = h(x) - x$ 설정, ② 닫힌구간 $[-1, 2]$에서의 연속성 선언, ③ 양 끝점 부호 반대($\phi(-1)\phi(2) \lt 0$)의 3요소를 모두 적어야 감점이 없습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $g(-1)=g(2)=0,\; g(x)=(x+1)(x-2)(x+2)$ | (2) $h(2)=-4,\; g(3)=20$, 실근 $-2, -1, 2$ | (3) 사잇값 정리 증명 제9회 문제 1 (30점)

【문제 2】 원문 요약 — 삼차함수 그래프의 대칭성과 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수 [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 16092 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09]

[제시문]

- 『교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용』

(1) 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, t^3 - 3t)$에서의 접선이 점 $P(1, k)$를 지날 조건을 정리하여 $k$를 $t$에 대한 삼차함수 $g(t)$로 나타내시오. (8점)

(2) 점 $P(1, k)$에서 곡선 $y = f(x)$에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오. (10점)

(3) $k = -2$일 때 점 $P(1, -2)$에서 곡선 $y = f(x)$에 그은 모든 접선의 방정식과 각 접점의 $x$좌표를 구하시오. (12점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 2 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 해결 과정 (8점) $f'(t) = 3t^2 - 3$이므로 접점 $(t, t^3 - 3t)$에서의 접선의 방정식은 $y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$이다. 이 직선이 점 $P(1, k)$를 지나므로 대입하여 정리하면 \[k = (3t^2 - 3)(1 - t) + t^3 - 3t = \mathbf{-2t^3 + 3t^2 - 3 = g(t)}\] 이다.

2단계 · 소문항 (2) 해결 과정 (10점) 삼차함수에서는 서로 다른 접점이 서로 다른 접선에 일대일 대응하므로 방정식 $g(t) = k$가 서로 다른 세 실근을 가져야 한다. $g'(t) = -6t^2 + 6t = -6t(t - 1) = 0$에서 $t = 0$일 때 극솟값 $g(0) = -3$, $t = 1$일 때 극댓값 $g(1) = -2$를 갖는다. 따라서 구하는 $k$의 값의 범위는 $\mathbf{-3 <k <-2}$이다.

3단계 · 소문항 (3) 해결 과정 (12점) $k = -2$이면 $-2t^3 + 3t^2 - 3 = -2 \iff 2t^3 - 3t^2 + 1 = (t - 1)^2(2t + 1) = 0$이므로 접점의 $x$좌표는 $\mathbf{t = 1,\; -\dfrac{1}{2}}$이다. $t = 1$일 때 기울기는 $f'(1) = 0$이므로 접선은 $\mathbf{y = -2}$이고, $t = -\dfrac{1}{2}$일 때 기울기는 $f'\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{9}{4}$이므로 접선은 $y + 2 = -\dfrac{9}{4}(x - 1) \implies \mathbf{y = -\dfrac{9}{4}x + \dfrac{1}{4}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 접점 방정식 수립]	접선의 방정식에 $(1, k)$를 대입하여 $g(t) = -2t^3 + 3t^2 - 3$을 구한 경우	8점
[2단계: 세 접선 존재 범위]	$g(t)$의 극솟값 $-3$과 극댓값 $-2$를 구하여 $-3 \lt k \lt -2$를 확정한 경우	10점
[3단계: 접점과 접선 도출]	$(t-1)^2(2t+1)=0$으로부터 접점 $t=1, -\frac{1}{2}$과 두 접선의 방정식을 모두 구한 경우	12점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 삼차함수 곡선에서는 서로 다른 두 접점에서 그은 접선이 일치하는 이중접선이 존재하지 않으므로, 접점의 $x$좌표 $t$의 개수가 곧 접선의 개수와 일치함을 한 줄로 언급하면 논리적 완성도가 매우 높아집니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $g(t) = -2t^3 + 3t^2 - 3$ | (2) $-3 \lt k \lt -2$ | (3) $t = 1, -\dfrac{1}{2}$, 접선 $y = -2,\; y = -\dfrac{9}{4}x + \dfrac{1}{4}$ 제9회 문제 2 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 조건부확률과 확률의 곱셈정리를 이용한 사후확률 추론 [배점 40점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 (DB: PS_Ch02) PDF p.10 탐구 16093 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통02-04]

[제시문]

- 『교과서 기반 교육과정 확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률』

(1) 이 공장에서 생산된 웨이퍼 중에서 임의로 택한 $1$개가 불량품일 사건을 $D$라 할 때, 확률 $\mathrm{P}(D)$를 구하시오. (12점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 3 · 총 40점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 해결 과정 (12점) $\mathrm{P}(A) = 0.4,\; \mathrm{P}(B) = 0.6,\; \mathrm{P}(D \mid A) = 0.03,\; \mathrm{P}(D \mid B) = 0.02$이므로 확률의 곱셈정리에 의하여 $\mathrm{P}(A \cap D) = 0.4 \times 0.03 = 0.012$, $\mathrm{P}(B \cap D) = 0.6 \times 0.02 = 0.012$이다. 따라서 \[\mathrm{P}(D) = \mathrm{P}(A \cap D) + \mathrm{P}(B \cap D) = 0.012 + 0.012 = \mathbf{0.024 = \dfrac{3}{125}}\] 이다.

2단계 · 소문항 (2) 해결 과정 (14점) 제시문 【가】의 조건부확률 공식에 의하여 \[\mathrm{P}(A \mid D) = \dfrac{\mathrm{P}(A \cap D)}{\mathrm{P}(D)} = \dfrac{0.012}{0.024} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\] 이다.

3단계 · 소문항 (3) 해결 과정 (14점) 검수 장치에서 불량 판정을 받는 사건을 $E$라 하면 $\mathrm{P}(D) = 0.024,\; \mathrm{P}(D^c) = 0.976$이므로 \[\mathrm{P}(D \cap E) = \mathrm{P}(D)\mathrm{P}(E \mid D) = 0.024 \times 0.9 = 0.0216\] \[\mathrm{P}(D^c \cap E) = \mathrm{P}(D^c)\mathrm{P}(E \mid D^c) = 0.976 \times 0.01 = 0.00976\] 이다. 따라서 구하는 사후확률은 \[\mathrm{P}(D \mid E) = \dfrac{0.0216}{0.0216 + 0.00976} = \dfrac{2160}{3136} = \mathbf{\dfrac{135}{196}}\] 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 전체 불량 확률]	$\mathrm{P}(A\cap D)=0.012,\; \mathrm{P}(B\cap D)=0.012$로부터 $\mathrm{P}(D)=0.024$를 구한 경우	12점
[2단계: 라인 조건부확률]	조건부확률 정의에 대입하여 $\mathrm{P}(A \mid D) = \dfrac{1}{2}$을 구한 경우	14점
[3단계: 검수 사후확률]	진양성 $0.0216$과 위양성 $0.00976$을 합산하여 기약분수 $\dfrac{135}{196}$을 도출한 경우	14점

💡 선생님의 논술 CLINIC : $\dfrac{0.0216}{0.03136} = \dfrac{2160}{3136}$을 약분할 때 분모·분자의 최대공약수 $16$으로 나누면 $\dfrac{135}{196}$가 됩니다. 소수점 자릿수를 만분의 일($10^{-5}$) 단위의 정수로 먼저 변환한 뒤 약분하면 계산 실수를 방지할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $\mathrm{P}(D) = 0.024 = \dfrac{3}{125}$ | (2) $\mathrm{P}(A \mid D) = \dfrac{1}{2}$ | (3) $\dfrac{135}{196}$ 제9회 문제 3 (40점)

【문제 1】 원문 요약 — 미분가능한 함수의 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 극값 추론 [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.3 탐구 16101 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]

[제시문]

- 『교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수』

(1) $f(0)$의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 도함수 $f'(x)$를 구하시오. (8점)

(2) 함수 $f(x)$의 식을 구하고, $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오. (10점)

(3) 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오. (12점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 해결 과정 (8점) 주어진 관계식에 $x = y = 0$을 대입하면 $f(0) = 2f(0) - 2$에서 $\mathbf{f(0) = 2}$이다. 도함수의 정의에 의하여 \[f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 2 + 3xh(x + h)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - f(0)}{h} + \lim_{h \to 0} 3x(x + h) = f'(0) + 3x^2 = \mathbf{3x^2 - 3}\] 이다.

2단계 · 소문항 (2) 해결 과정 (10점) $f'(x) = 3x^2 - 3$을 적분하면 $f(x) = x^3 - 3x + C$이고 $f(0) = 2$이므로 $\mathbf{f(x) = x^3 - 3x + 2}$이다. $f'(x) = 3(x + 1)(x - 1) = 0$에서 $x = -1$일 때 극댓값 $f(-1) = 4$, $x = 1$일 때 극솟값 $f(1) = 0$을 갖는다.

3단계 · 소문항 (3) 해결 과정 (12점) 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 $(\text{극솟값}) \lt k \lt (\text{극댓값})$이므로 $0 \lt k \lt 4$이다. 이를 만족시키는 정수 $k$는 $1, 2, 3$으로 총 $3$개이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 도함수의 유도]	$f(0) = 2$를 구하고 도함수의 정의 극한으로 $f'(x) = 3x^2 - 3$을 유도한 경우	8점
[2단계: 함수식과 극값]	$f(x) = x^3 - 3x + 2$와 극댓값 $4$, 극솟값 $0$을 정확히 구한 경우	10점
[3단계: 실근 개수 조건]	$0 \lt k \lt 4$ 조건으로부터 정수 $k = 1, 2, 3$의 $3$개를 도출한 경우	12점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 대학 과정의 편미분을 사용하여 $y$로 미분하면 동국대 채점 기준에서 감점됩니다. 반드시 고교 교육과정의 도함수 정의 $\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$를 전개하여 $f'(0)$을 분리해야 만점을 받습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $f(0)=2,\; f'(x)=3x^2-3$ | (2) $f(x)=x^3-3x+2$, 극댓값 $4$, 극솟값 $0$ | (3) $3$개 ($k=1,2,3$) 제10회 문제 1 (30점)

【문제 2】 원문 요약 — 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 이등분 [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 16102 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

- 『교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용』

(1) 포물선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1$을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 2 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 해결 과정 (8점) $-x^2 + 4x = -x(x - 4) = 0$에서 포물선과 $x$축의 교점의 $x$좌표는 $0, 4$이다. 따라서 둘러싸인 도형의 넓이는 \[S_1 = \int_0^4 (-x^2 + 4x)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - 0)^3 = \mathbf{\dfrac{32}{3}}\] 이다.

2단계 · 소문항 (2) 해결 과정 (10점) $-x^2 + 4x = mx \iff x\{x - (4 - m)\} = 0$이고 $0 \lt m \lt 4$이므로 두 교점의 $x$좌표는 $0$과 $4 - m$이다. 따라서 둘러싸인 넓이는 $\mathbf{S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3}$이다. $S_2 = \dfrac{1}{2}S_1 = \dfrac{16}{3}$이므로 $\dfrac{1}{6}(4 - m)^3 = \dfrac{16}{3}$에서 $\mathbf{(4 - m)^3 = 32}$이다.

3단계 · 소문항 (3) 해결 과정 (12점) 교점 $A$의 $x$좌표는 $x_A = 4 - m$이므로 $\mathbf{x_A^3 = 32}$이다. 포물선 $y = -x^2 + 4x$의 도함수는 $y' = -2x + 4$이므로 점 $A$에서의 접선의 기울기는 $k = -2x_A + 4$이다. 따라서 $4 - k = 2x_A$이므로 \[(4 - k)^3 = (2x_A)^3 = 8x_A^3 = 8 \times 32 = \mathbf{256}\] 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 기본 넓이 계산]	교점 $0, 4$를 구하고 정적분으로 $S_1 = \dfrac{32}{3}$를 산출한 경우	8점
[2단계: 넓이 이등분 조건]	$S_2 = \dfrac{1}{6}(4-m)^3$을 세워 $(4 - m)^3 = 32$를 도출한 경우	10점
[3단계: 교점과 접선 기울기]	$x_A^3 = 32$와 $4 - k = 2x_A$ 관계를 이용하여 $(4 - k)^3 = 256$을 구한 경우	12점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 이차함수 넓이 공식 $\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 사용할 때도 정적분 식 $\int_0^{4-m} (-x^2 + (4-m)x)\,dx$를 함께 병기하면 서술형 채점에서 감점을 완벽히 방어할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $S_1 = \dfrac{32}{3}$ | (2) $S_2 = \dfrac{(4-m)^3}{6},\; (4-m)^3 = 32$ | (3) $x_A^3 = 32,\; (4-k)^3 = 256$ 제10회 문제 2 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 표본비율의 정규분포 근사와 모비율의 신뢰구간 추정 [배점 40점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03) PDF p.18 탐구 16103 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

[제시문]

- 『교과서 기반 교육과정 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정』

(1) 표본비율 $\hat{p}$의 값과 $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$의 값을 각각 구하시오. (12점)

(2) 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간 $[a, b]$를 구하고, 신뢰구간의 길이 $L = b - a$를 구하시오. (14점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 3 · 총 40점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

1단계 · 소문항 (1) 해결 과정 (12점) 크기 $n = 400$인 표본에서 $320$명이 찬성하였으므로 표본비율은 $\hat{p} = \dfrac{320}{400} = \mathbf{0.8}$이다. 또한 $\hat{p}(1 - \hat{p}) = 0.8 \times 0.2 = 0.16$이므로 \[\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} = \sqrt{\dfrac{0.16}{400}} = \dfrac{0.4}{20} = \mathbf{0.02}\] 이다.

2단계 · 소문항 (2) 해결 과정 (14점) 제시문 【가】에 의하여 신뢰도 $95\%$의 오차한계는 $1.96 \times 0.02 = 0.0392$이다. 따라서 신뢰구간은 $[0.8 - 0.0392,\; 0.8 + 0.0392] = \mathbf{[0.7608,\; 0.8392]}$이고, 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times 0.0392 = \mathbf{0.0784}$이다.

3단계 · 소문항 (3) 해결 과정 (14점) 표본의 크기가 $N$이고 $\hat{p} = 0.8$일 때 신뢰도 $99\%$의 신뢰구간의 길이는 $2 \times 2.58\sqrt{\dfrac{0.16}{N}}$이다. 부등식을 세우면 \[2 \times 2.58 \times \dfrac{0.4}{\sqrt{N}} \le 0.0516 \iff \dfrac{0.8}{\sqrt{N}} \le 0.02 \iff \sqrt{N} \ge 40 \implies N \ge 1600\] 이므로 최소의 표본의 크기는 $\mathbf{N = 1600}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 표본비율과 표준오차]	$\hat{p} = 0.8$과 $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 0.02$를 정확히 구한 경우	12점
[2단계: 신뢰구간과 길이]	신뢰구간 $[0.7608, 0.8392]$와 길이 $L = 0.0784$를 산출한 경우	14점
[3단계: 최소 표본 크기]	$99\%$ 신뢰구간 길이 부등식을 풀어 최소 표본 크기 $N = 1600$을 구한 경우	14점

💡 선생님의 논술 CLINIC : 교과서 기반 교육과정 확률과 통계(`12확통03-06`)에서 재도입된 모비율 추정 단원의 핵심 문항입니다. 신뢰구간의 길이는 오차한계의 $2$배($2k\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/N}$)임을 정확히 반영하여 부등식을 풀어야 합니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답] (1) $\hat{p} = 0.8$, 표준오차 $0.02$ | (2) $[0.7608, 0.8392],\; L = 0.0784$ | (3) $N = 1600$ 제10회 문제 3 (40점)

🎯 전형 방식: 논술 70% + 학생부 30% 📌 수능최저 기준: 국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (AI소프트웨어 2합 4 · 약학과 3합 4)

희망 지원 모집단위 선택

수능최저학력기준 충족 여부 체크 (국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (A)

문항 1 (30점)

문항 2 (30점)

문항 3 (40점)

합산 환산 총점 (100점 만점) 0.0 / 100점

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모집단위	모집인원	명목경쟁률	실질경쟁률	최초합 평균	70% 충원컷	수능최저 기준	실시간 합격 판정
약학과	-	-	-	94.8점	92.5점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (AI소프트웨어 2합 4 · 약학과 3합 4)	판정 대기
AI소프트웨어융합학부	-	-	-	87.2점	84.5점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (AI소프트웨어 2합 4 · 약학과 3합 4)	판정 대기
컴퓨터·AI학부	-	-	-	86.5점	84.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (AI소프트웨어 2합 4 · 약학과 3합 4)	판정 대기
전자전기공학부	-	-	-	85.1점	82.5점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (AI소프트웨어 2합 4 · 약학과 3합 4)	판정 대기
정보통신공학과	-	-	-	83.8점	81.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (AI소프트웨어 2합 4 · 약학과 3합 4)	판정 대기
화공생물공학과	-	-	-	84.2점	81.5점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (AI소프트웨어 2합 4 · 약학과 3합 4)	판정 대기
기계로봇에너지공학과	-	-	-	82.6점	80.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (AI소프트웨어 2합 4 · 약학과 3합 4)	판정 대기
의생명공학과	-	-	-	83.0점	80.5점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (AI소프트웨어 2합 4 · 약학과 3합 4)	판정 대기
산업시스템공학과	-	-	-	81.5점	79.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (AI소프트웨어 2합 4 · 약학과 3합 4)	판정 대기
에너지신소재공학과	-	-	-	82.0점	79.5점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (AI소프트웨어 2합 4 · 약학과 3합 4)	판정 대기
건설환경공학과	-	-	-	80.2점	77.5점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (AI소프트웨어 2합 4 · 약학과 3합 4)	판정 대기
건축공학부	-	-	-	80.8점	78.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (AI소프트웨어 2합 4 · 약학과 3합 4)	판정 대기
수학과	-	-	-	81.2점	78.5점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (AI소프트웨어 2합 4 · 약학과 3합 4)	판정 대기
화학과	-	-	-	80.5점	78.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (AI소프트웨어 2합 4 · 약학과 3합 4)	판정 대기
통계학과	-	-	-	81.8점	79.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (AI소프트웨어 2합 4 · 약학과 3합 4)	판정 대기

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📋 실전 모의고사 1회~10회 회차별 자기주도 성취도 기록표 (인쇄용 체크시트)

회차	실전 응시일	소요 시간	원점수 / 100점
제1회	2026. . .	분	/ 100
제2회	2026. . .	분	/ 100
제3회	2026. . .	분	/ 100
제4회	2026. . .	분	/ 100
제5회	2026. . .	분	/ 100
제6회	2026. . .	분	/ 100
제7회	2026. . .	분	/ 100
제8회	2026. . .	분	/ 100
제9회	2026. . .	분	/ 100
제10회	2026. . .	분	/ 100

RULE 1

원칙 1. 교과서 정의·정리 우선 선언
답안 첫 줄에 사용할 교과서 정리(사잇값 정리, 평균값 정리, 미분가능성 정의, 조건부확률 곱셈정리 등)를 명시하여 1단계 배점(30%)을 확정하십시오.

RULE 2

원칙 2. 대학 미적분학 과정 공식 사용 철저 배제
고교 교육과정을 벗어난 대학 과정 정리나 무근거 근사식 사용은 채점 기준에서 감점 또는 무효 처리되므로 반드시 교과서 성질만으로 논증하십시오.

RULE 3

원칙 3. 동치 변형과 정의역·부호 경계 조건 명시
로그의 밑·진수 조건, 무리식·분수식의 분모 조건, 치환 변수의 새로운 범위(예: $-1 \le t \le 1$)를 빠짐없이 기록하십시오.

RULE 4

원칙 4. 소문항 간 단계적 연계 구조 활용
앞선 소문항 (1)의 결론은 소문항 (2), (3)을 해결하는 핵심 힌트입니다. (1)이 막히더라도 (1)의 결과를 가정하고 (2)의 식을 세우면 부분점수를 획득할 수 있습니다.

RULE 5

원칙 5. 도형·그래프 보조 문자의 명확한 정의
답안지에 새로운 점·각·길이를 도입할 때는 '점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하자'와 같이 기호의 정의를 한 문장으로 선언하십시오.

RULE 6

원칙 6. 실전 시간 배분 및 검산 루틴 엄수
전체 시험 시간(90분) 중 마지막 10분은 부호 오류, 기약분수 약분 여부, 최종 답란 이기 누락을 점검하는 전용 검산 시간으로 확보하십시오.

RULE 7

원칙 7. 깔끔한 단락 구분과 최종 결론 강조
단계별 번호([1단계], [2단계], [결론])를 줄바꿈하여 가독성을 높이고 최종 수식을 명확히 제시하여 채점위원이 즉시 득점 포인트를 확인하게 하십시오.

📘 2027학년도 동국대학교 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

• 편찬 및 발행: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술·약술형논술 연구소 | 공식 플랫폼: https://questio.co.kr

• 상호: 퀘스티오(QUESTIO) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449

• 교육과정 준거: 교과서 기반 수학과 교육과정 (Textbook DB V1.0 · JEV-REA-ARGON 7대 무결성 검증 통과)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계]	정팔면체에서 두 평면 \(\mathrm{ABC}\)와 \(\mathrm{FBC}\)가 이루는 둔각 \(\alpha\)에 대하여 \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{3}\)을 정확히 구한다.	7점
[2단계]	정팔면체에서 두 평면 \(\mathrm{ABC}\)와 \(\mathrm{AED}\)의 교선을 찾고 이면각의 예각 \(\beta\)에 대하여 \(\cos\beta = \dfrac{1}{3}\)을 구한다.	7점
[3단계]	정사면체에서 두 평면 \(\mathrm{JGH}\)와 \(\mathrm{IGH}\)가 이루는 예각 \(\gamma\)에 대하여 \(\cos\gamma = \dfrac{1}{3}\)을 구한다.	8점
[4단계]	\(\cos\alpha = -\cos\gamma\)로부터 \(\alpha + \gamma = \pi\)임을 논리적으로 보여 두 평면 \(\mathrm{ABC}\)와 \(\mathrm{JGH}\)가 일치함을 증명한다.	8점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계]	〈조건〉 ①과 등차수열의 합 공식을 이용하여 \(a_n - b_n = 2n + 7\)을 정확히 구한다.	6점
[2단계]	〈조건〉 ②를 이용하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k + b_k)\)가 \(n=7\)에서만 최솟값을 가질 조건으로부터 \(a_n + b_n\)의 식을 세운다.	6점
[3단계]	〈조건〉 ③의 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{4}\|b_n\| = 88\)을 이용하여 공차를 구하고 \(a_n = 4n - 20, \; b_n = 2n - 27\)을 도출한다.	6점
[4단계]	\(c_n = \|a_n\| - \|b_n\|\)을 \(n\)의 범위에 따라 나누어 정리하고, \(n=5\)일 때 최솟값 \(-17\)을 구한다.	6점
[5단계]	\(n \ge 14\)일 때 \(S_n\)을 \(n\)에 대한 이차식으로 나타내고 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2} = 1\)을 구한다.	6점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계]	평행이동을 통해 항의 개수가 최소가 되는 삼차함수 \(g(x) = ax^3 + bx\) (또는 \(g(x) = ax^3 + bx^2\), \(a \gt 0\))를 구한다.	10점
[2단계]	곡선 \(y = g(x)\) 위의 점 \(\mathrm{P}_0(t, g(t))\)에서의 접선의 방정식을 정확히 구한다.	10점
[3단계]	접선과 곡선의 교점 \(\mathrm{Q}_0(\neq \mathrm{P}_0)\)의 좌표를 구하고, 점 \(\mathrm{Q}_0\)에서의 접선의 방정식을 정확히 구한다.	10점
[4단계]	두 접선의 수직 조건과 실근(양근) 존재 조건을 이용하여 변곡점에서의 접선의 기울기의 최댓값 \(M = -\dfrac{4}{3}\)을 구한다.	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[단계 1]	이차함수와 직선 \(y=x\)를 연립한 방정식 \(x^2 - 2\left(\dfrac{1}{3}+k\right)x + k = 0\)의 판별식 \(\dfrac{D}{4} \gt 0\)을 보이고 두 교점 \(\mathrm{Q}_1(\alpha, \alpha), \mathrm{Q}_2(\beta, \beta)\)를 설정한다.	6점
[단계 2]	벡터 \(\vec{a} = \overrightarrow{\mathrm{PQ}_1} = (\alpha, \alpha-1), \; \vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{PQ}_2} = (\beta, \beta-1)\)를 설정하고 내적 공식으로 \(\cos\theta\)를 나타낸다.	6점
[단계 3]	근과 계수의 관계 \(\alpha + \beta = 2k + \dfrac{2}{3}, \; \alpha\beta = k\)를 대입하여 \(\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{(6k-1)^2 + 4}}\)를 유도한다.	6점
[단계 4]	이차함수의 최솟값 성질을 이용하여 \(k = \dfrac{1}{6}\)일 때 \(\cos\theta\)의 최댓값 \(\dfrac{1}{2}\)과 \(\theta\)의 최솟값 \(\dfrac{\pi}{3}\)를 구한다.	6점
[단계 5]	\(k = \dfrac{1}{6}\)을 대입한 방정식 \(x^2 - x + \dfrac{1}{6} = 0\)을 풀어 \(\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2\)의 좌표 \(\left(\dfrac{3\pm\sqrt{3}}{6}, \dfrac{3\pm\sqrt{3}}{6}\right)\)을 구한다.	6점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계]	주어진 조건으로부터 \((\alpha - \beta)^2 + 80n(\alpha - \beta) - 81n^2 = 0\)을 세워 \(\alpha - \beta = n, \; \alpha\beta = 20n^2\) 및 두 곡선의 방정식을 구한다.	8점
[2단계]	두 곡선의 방정식을 연립한 삼차방정식 \((x-n)(x-2n)(x-6n) = 0\)을 풀어 교점의 \(x\)좌표 \(n, 2n, 6n\)을 구한다.	8점
[3단계]	세 교점 \((n, 12n^2), (2n, 6n^2), (6n, 2n^2)\)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이 \(A_n = 10n^3\)을 구한다.	8점
[4단계]	구간 \([n, 2n]\)과 \([2n, 6n]\)으로 나누어 정적분을 계산하여 \(S_n = \left(\dfrac{7}{2} + 12\ln\dfrac{3}{2}\right)n^3\)을 구한다.	8점
[5단계]	제시문 【다】를 이용하여 급수의 극한을 정적분 \(\displaystyle\int_0^1 x^6\,dx\)로 바꾸어 \(40 + \dfrac{960}{7}\ln\dfrac{3}{2}\)를 구한다.	8점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
(1단계)	\(k = 0\)일 때 \(x^2 + y^2 = 1\)로부터 중심 \((0, 0)\), 반지름 \(1\)인 원임을 도출함 (6점)	7점
(2단계)	\(k = \frac{1}{2}\)일 때 표준형 \(\frac{(x - 2/3)^2}{16/9} + \frac{y^2}{4/3} = 1\)로 정리하여 초점 \((\frac{4}{3}, 0), (0, 0)\) 및 네 꼭짓점 좌표를 구함 (8점)	7점
(3단계)	\(k = 1\)일 때 \(y^2 = 2(x + \frac{1}{2})\)로 정리하여 포물선의 초점 \((0, 0)\)과 준선 \(x = -1\)을 구함 (8점)	8점
(4단계)	\(k = 2\)일 때 표준형 \(\frac{(x + 2/3)^2}{1/9} - \frac{y^2}{1/3} = 1\)로 정리하여 초점 \((0, 0), (-\frac{4}{3}, 0)\)과 점근선 \(y = \pm\sqrt{3}(x + \frac{2}{3})\)을 구함 (8점)	8점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계]	점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표를 \((\cos s(t), \sin s(t))\)로 두어 속력이 \(\left\|\dfrac{ds}{dt}\right\|\)임을 밝히고, 직선의 기울기(또는 \(\tan\))를 이용하여 \(\dfrac{\sin s(t)}{a - \cos s(t)} = \dfrac{\sin t}{a - \cos t}\)를 얻는다.	10점
[2단계]	음함수의 미분법을 적용하고 \(s(t_0) = \dfrac{\pi}{2}\) (\(\sin s(t_0)=1, \cos s(t_0)=0\))를 대입하여 \(t = t_0\)에서의 속력 \(\left\|\dfrac{ds}{dt}\right\| = \left\|1 - a\dfrac{\cos t_0}{\sin t_0}\right\|\)을 구한다.	10점
[3단계]	\(\angle\mathrm{AQO} = \alpha\) (\(\tan\alpha = a\))와 \(t_0 + \dfrac{\pi}{2} = 2\alpha\)를 이용하여 \(\dfrac{\cos t_0}{\sin t_0} = \dfrac{2a}{a^2 - 1}\)을 구하고, 속력 \(\left\|1 - \dfrac{2a^2}{a^2 - 1}\right\| = 1 + \dfrac{2}{a^2 - 1}\)을 도출한다.	10점
[4단계]	\(1 + \dfrac{2}{a^2 - 1}\)이 \(2 \le a \le 3\)에서 감소함수임을 보여 \(a = 2\)일 때 최댓값 \(\dfrac{5}{3}\)임을 구한다.	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1~2단계]	정적분과 급수의 합으로 \(\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X) = \frac{\int_0^1 ax e^{-ax}dx}{1 - e^{-a}}\)를 세우고 부분적분으로 \(\frac{1}{a} - \frac{e^{-a}}{1 - e^{-a}}\)를 구함 (10점)	10점
[3~4단계]	\(\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X^2) = \frac{\int_0^1 ax^2 e^{-ax}dx}{1 - e^{-a}}\)를 세우고 부분적분으로 \(-\frac{e^{-a}}{1 - e^{-a}} + \frac{2}{a}\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X)\)를 구함 (10점)	10점
[5~6단계]	\(\lim_{n\to\infty}\mathrm{V}(X) = \lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X^2) - \{\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X)\}^2 = \frac{1}{a^2} - \frac{e^{-a}}{(1 - e^{-a})^2}\)를 정확히 도출함 (10점)	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계]	가속도 \((0, -g)\)와 초기속도 \((a, b)\)를 적분하여 \(0 \le t \le t_1\)일 때 \(\mathrm{M}\)의 위치 \(x(t) = at, \; y(t) = bt - \dfrac{1}{2}gt^2\)을 구한다.	10점
[2단계]	\(t_1 = \dfrac{2b}{g}\)를 구하고, \(t_n - t_{n-1}\)이 첫째항 \(\dfrac{2b}{g}\), 공비 \(\dfrac{1}{2}\)인 등비수열임을 이용하여 \(\lim\limits_{n\to\infty} t_n = \dfrac{4b}{g}\)를 구한다.	10점
[3단계]	\(0 \le t \le t_1\)에서 곡선 \(y = \dfrac{b}{a}x - \dfrac{g}{2a^2}x^2\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 넓이 \(\dfrac{2ab^3}{3g^2}\)를 구하고, 공비 \(\dfrac{1}{8}\)인 등비급수의 합으로 전체 넓이 \(\dfrac{16ab^3}{21g^2}\)를 구한다.	10점
[4단계]	\(0 \le t \le t_1\)에서 정사각형 단면의 입체도형 부피 \(\dfrac{4ab^5}{15g^3}\)를 구하고, 공비 \(\dfrac{1}{32}\)인 등비급수의 합으로 전체 부피 \(\dfrac{128ab^5}{465g^3}\)를 구한다.	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계]	두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)의 위치를 각각 시각 \(t\)에 대한 함수 \(f(t)\)와 \(g(t)\)로 두고 시각 \(t = 0\)부터 두 점이 처음 만날 때까지 \(f(t) = -\dfrac{1}{9}t + 1, \; g(t) = at - 1\)임을 보임.	7점
[2단계]	문제의 조건을 분석해 \(f(t), g(t)\)를 두 점이 다섯 번째 만날 때까지 구하고 \(a = 1\)을 구함.	7점
[3단계]	두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)가 네 번째 만나는 시각 \(t_4 = \dfrac{27}{4}\)을 구함.	8점
[4단계]	이 네 번째 만남 직후 점 \(\mathrm{P}\)의 속도 \(-\dfrac{1}{9}\)을 구함.	8점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계]	문제를 해결하기 위해 필요한 상황, 즉 수면의 높이 \(h(t)\), 입체도형이 물에 잠긴 깊이 \(z(t)\), 입체도형의 단면의 넓이 \(S(z)\) 등을 변수나 함수로 지정함.	13점
[2단계]	물에 잠겨서 상승하게 되는 물의 부피가 입체도형의 특정한 일부분의 부피와 같다는 것을 수식으로 작성함. 예를 들어 [첫 번째 풀이]에서 \(\displaystyle\int_0^{vt} S(x)\,dx = \int_{vt}^{z(t)}(A - S(x))\,dx\) 또는 [두 번째 풀이]에서 \((A - S)\Delta h = Sv\Delta t\)까지 작성함.	13점
[3단계]	수면의 상승 속도에 관한 함수에 수면의 넓이가 \(S\)인 순간을 대입하여 \(\dfrac{Sv}{A - S}\,(\mathrm{m/s})\)를 구해 문제를 해결함.	14점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 코사인법칙]	\(\triangle ABD, \triangle CBD\)에서 코사인법칙 등식을 세워 \(\cos A = \dfrac{1}{3},\; x^2 = 44\)를 정확히 도출한 경우	8점
[2단계: 넓이와 외접원]	사각형의 넓이 \(S = 12\sqrt{2}\)와 사인법칙을 통한 외접원 반지름 \(R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}\)를 구한 경우	10점
[3단계: 대각선 내분비]	넓이의 비 \(\operatorname{Area}(\triangle ABC) : \operatorname{Area}(\triangle ADC)\)와 \(\sin B = \sin D\)를 이용하여 \(5 : 7\)을 도출한 경우	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 극한과 미분계수]	\(f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b\) 설정 및 \(f(1) = 0,\; f'(1) = 4\)를 정확히 도출한 경우	8점
[2단계: 함수식과 실근]	\(f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4\) 확정 후 판별식 \(D \lt 0\)을 확인하여 실근의 합 \(1\)을 구한 경우	10점
[3단계: 치환 극한 계산]	\(h = \dfrac{1}{n}\) 치환을 통해 \(3f'(1) = 12\)를 논리적으로 유도한 경우	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 확률질량함수]	조합을 이용하여 \(k=0,1,2,3\)에서의 확률 \(4\)개를 구하고 합이 \(1\)임을 확인한 경우	12점
[2단계: 기댓값 계산]	\(\mathrm{E}(X) = \dfrac{12}{7}\)과 \(\mathrm{E}(X^2) = \dfrac{24}{7}\)을 정확히 도출한 경우	14점
[3단계: 분산 및 선형변환]	\(\mathrm{V}(X) = \dfrac{24}{49}\) 및 \(\mathrm{E}(Y) = 50,\; \mathrm{V}(Y) = 600\)을 구한 경우	14점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 주기와 대칭축]	주기 \(T = 4\)와 대칭축 \(x = 1\)을 이용하여 실근 \(2\)개 및 합 \(2\)를 구한 경우	8점
[2단계: 특수각과 넓이]	\(\alpha = \dfrac{1}{3},\; \beta = \dfrac{5}{3}\)를 구하여 \(\beta-\alpha = \dfrac{4}{3}\)와 넓이 \(\dfrac{2}{3}\)를 산출한 경우	10점
[3단계: 교점 개수와 합]	\(\|x\| \le 6\) 범위 제한과 \(f(5) \gt \frac{5}{3}\) 비교로 실근 \(7\)개 및 기함수 대칭 합 \(0\)을 논증한 경우	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 미분가능 조건]	연속 조건 \(a-c=6\)과 미분계수 일치 \(a-2c=1\)을 세워 \(a=11, b=-2, c=5\)를 구한 경우	8점
[2단계: 접선의 방정식]	구간별 함수를 구분하여 \(l_1 : y = 14x\)와 \(l_2 : y = 24x - 19\)를 정확히 유도한 경우	10점
[3단계: 삼각형의 넓이]	두 접선의 교점 \(x = \dfrac{19}{10}\)과 \(y\)절편 차를 이용하여 넓이 \(\dfrac{361}{20}\)를 구한 경우	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 방향 전환과 위치]	운동 방향 전환 시각 \(t = 1, 3\)과 위치 \(x(1) = 4,\; x(3) = 0\)을 구한 경우	12점
[2단계: 변화량과 이동거리]	위치 변화량 \(4\)와 절댓값 정적분을 통한 이동 거리 \(12\)를 구분하여 계산한 경우	14점
[3단계: 원점 통과와 가속도]	\(x(t)=t(t-3)^2=0\)으로부터 \(T=3\)과 가속도 \(a(3)=6\)을 정확히 구한 경우	14점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 사인·코사인법칙]	\(a = \sqrt{21}\)과 코사인법칙 \(7k^2 = 21\)로부터 \(k = \sqrt{3}\)을 도출한 경우	8점
[2단계: 넓이와 수선 길이]	삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}\)와 수선의 길이 \(\overline{AH} = \dfrac{9\sqrt{7}}{14}\)를 구한 경우	10점
[3단계: 각의 이등분선]	넓이 분할 등식을 이용하여 \(\overline{AD} = \dfrac{9}{4}\)를 정확히 도출한 경우	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 평균값 정리 상수]	평균변화율 \(5\)를 구하고 \(c \in (0, 3)\) 조건으로부터 \(c = 2\)를 확정한 경우	8점
[2단계: 부등식의 증명]	\(f'(x) = 3(x-1)^2 + 2 \ge 2\)와 평균값 정리를 결합하여 부등식을 증명한 경우	10점
[3단계: 수열 극한 도출]	\(c_n = 1 + \sqrt{n^2 - n + \frac{1}{3}}\)을 구하고 유리화를 통해 극한값 \(\dfrac{1}{2}\)를 도출한 경우	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 초점·준선과 좌표]	\(F(2,0),\; x=-2\) 및 내분비 \(3:1\)을 이용하여 \(x_A = 6,\; x_B = \dfrac{2}{3}\)를 구한 경우	12점
[2단계: 현의 길이와 기울기]	\(\overline{AB} = \dfrac{32}{3}\)와 \(A(6, 4\sqrt{3})\)로부터 기울기 \(m = \sqrt{3}\)을 구한 경우	14점
[3단계: 넓이와 접선 절편]	\(\triangle OAB\)의 넓이 \(\dfrac{16\sqrt{3}}{3}\)와 접선의 \(x\)절편 \(-6\)을 정확히 도출한 경우	14점

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평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 인수정리와 함수식]	\(g(-1)=g(2)=0\)을 설명하고 \(h(-1)=4\)로부터 \(g(x)=(x+1)(x-2)(x+2)\)를 구한 경우	8점
[2단계: 함숫값과 실근]	\(h(2) = -4,\; g(3) = 20\) 및 세 실근 \(-2, -1, 2\)를 정확히 구한 경우	10점
[3단계: 사잇값 정리 증명]	\(\phi(x)=h(x)-x\)의 연속성과 \(\phi(-1)\phi(2) \lt 0\)을 명시하여 실근 존재성을 증명한 경우	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 접점 방정식 수립]	접선의 방정식에 \((1, k)\)를 대입하여 \(g(t) = -2t^3 + 3t^2 - 3\)을 구한 경우	8점
[2단계: 세 접선 존재 범위]	\(g(t)\)의 극솟값 \(-3\)과 극댓값 \(-2\)를 구하여 \(-3 \lt k \lt -2\)를 확정한 경우	10점
[3단계: 접점과 접선 도출]	\((t-1)^2(2t+1)=0\)으로부터 접점 \(t=1, -\frac{1}{2}\)과 두 접선의 방정식을 모두 구한 경우	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 전체 불량 확률]	\(\mathrm{P}(A\cap D)=0.012,\; \mathrm{P}(B\cap D)=0.012\)로부터 \(\mathrm{P}(D)=0.024\)를 구한 경우	12점
[2단계: 라인 조건부확률]	조건부확률 정의에 대입하여 \(\mathrm{P}(A \mid D) = \dfrac{1}{2}\)을 구한 경우	14점
[3단계: 검수 사후확률]	진양성 \(0.0216\)과 위양성 \(0.00976\)을 합산하여 기약분수 \(\dfrac{135}{196}\)을 도출한 경우	14점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 도함수의 유도]	\(f(0) = 2\)를 구하고 도함수의 정의 극한으로 \(f'(x) = 3x^2 - 3\)을 유도한 경우	8점
[2단계: 함수식과 극값]	\(f(x) = x^3 - 3x + 2\)와 극댓값 \(4\), 극솟값 \(0\)을 정확히 구한 경우	10점
[3단계: 실근 개수 조건]	\(0 \lt k \lt 4\) 조건으로부터 정수 \(k = 1, 2, 3\)의 \(3\)개를 도출한 경우	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 기본 넓이 계산]	교점 \(0, 4\)를 구하고 정적분으로 \(S_1 = \dfrac{32}{3}\)를 산출한 경우	8점
[2단계: 넓이 이등분 조건]	\(S_2 = \dfrac{1}{6}(4-m)^3\)을 세워 \((4 - m)^3 = 32\)를 도출한 경우	10점
[3단계: 교점과 접선 기울기]	\(x_A^3 = 32\)와 \(4 - k = 2x_A\) 관계를 이용하여 \((4 - k)^3 = 256\)을 구한 경우	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1단계: 표본비율과 표준오차]	\(\hat{p} = 0.8\)과 \(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 0.02\)를 정확히 구한 경우	12점
[2단계: 신뢰구간과 길이]	신뢰구간 \([0.7608, 0.8392]\)와 길이 \(L = 0.0784\)를 산출한 경우	14점
[3단계: 최소 표본 크기]	\(99\%\) 신뢰구간 길이 부등식을 풀어 최소 표본 크기 \(N = 1600\)을 구한 경우	14점