| 순위 | 기출 원천 문항 | 핵심 출제 테마 및 변별 포인트 | 모의 1:1 매칭 | 부분점수 공략 전략 |
|---|---|---|---|---|
| TOP 1 | 동덕여대 자연 대표기출 · 합성 절댓값 그래프와 실근 개수 | 구간별 꺾은선·삼차·사차 그래프의 합성 실근 개수 및 극값 조건 | 제6~10회 문항 7~9 집중 배치 | 치환 변수 $t = f(x)$의 실근 개수를 수평선 교점으로 먼저 세고, 각 t값에 대응하는 x의 개수를 합산한다. |
| TOP 2 | 동덕여대 자연 대표기출 · 지수·로그 연립부등식 최대·최소 | 진수 조건과 산술·기하 치역 제한($u \ge 2$)이 결합된 지수·로그 최적화 | 제6~10회 문항 1~2 집중 배치 | 첫 줄에 진수 조건과 치환 변수의 범위를 확정하여 무연근과 범위 밖 극값을 원천 배제한다. |
| TOP 3 | 동덕여대 자연 대표기출 · 불연속 함수의 평행이동 곱 연속화 | 구간 경계 불연속점 $x = 0, a$에서 $f(x)f(x - a)$의 연속 조건과 $|f(x)|$ 미분가능성 | 제6회 문항 7 · 제10회 문항 7 집중 배치 | 불연속점에서 곱해지는 상대 인수가 0이 되는 조건과 절댓값 함수의 중근 조건을 동시에 적용한다. |
| TOP 4 | 동덕여대 자연 빈출 · 사인법칙·코사인법칙 결합 도형 | 내접원·외접원 반지름, 내분 선분, 평행사변형 대각선의 코사인법칙 | 제6~10회 문항 3~4 집중 배치 | 보조선으로 삼각형을 분할해 공통각의 cos 값을 먼저 구한 뒤 사인법칙·내접원 넓이 공식과 연결한다. |
| TOP 5 | 동덕여대 2028 예시유형 · 접선과 정적분 넓이·적분방정식 | 곡선 밖에서 그은 세 접선, 이동 구간 정적분 함수 미분, (x - t)f(t) 적분 항등식 | 제6회 문항 9~10 · 제8회 문항 8~10 · 제10회 문항 9~10 배치 | 적분 기호 밖으로 변수 x를 분리해 미분하고, 이차·삼차 넓이 공식으로 분수 계산을 이중 검산한다. |
닫힌구간 \([0, 1]\)에서 정의된 두 함수 \(f(x) = -|2x - 1| + 1\), \(g(x) = -|2f(x) - 1| + 1\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하고, \(0 \lt b \lt 1\)인 상수 \(b\)에 대하여 방정식 \(g(x) = b\)의 서로 다른 실근의 개수와 모든 실근의 합을 각각 구하시오.
닫힌구간 \([0, 2]\)에서 정의된 함수 \(h(x) = -|x - 1| + 1\)에 대하여 \(0 \lt c \lt 1\)일 때 방정식 \(h(h(x)) = c\)의 모든 실근의 합을 구하시오.
\(h(x) = c\; (0 \lt c \lt 1)\)를 만족하는 두 실근을 \(t_1, t_2\)라 하면 \(0 \lt t_1 \lt 1 \lt t_2 \lt 2\)이므로 \(h(x) = t_1\)만 두 실근을 갖고 \(x = 1\) 대칭에 의해 합은 \(2\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 구간 \([0, 1]\)에서 \(y = f(x)\)는 세 점 \((0, 0),\; \left(\dfrac{1}{2}, 1\right),\; (1, 0)\)을 잇는 삼각형 모양이므로 \(x\)축과 둘러싸인 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 1 \times 1 = \dfrac{1}{2}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(0 \lt b \lt 1\)일 때 \(-|2t - 1| + 1 = b\)를 만족시키는 \(t = f(x)\)의 값은 \(0 \lt t_1 \lt \dfrac{1}{2} \lt t_2 \lt 1\)인 두 개이고, 각각의 \(t_i\)에 대하여 \(f(x) = t_i\)는 서로 다른 두 실근을 가지므로 총 실근의 개수는 \(4\)개이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 함수 \(y = g(x)\)의 그래프는 직선 \(x = \dfrac{1}{2}\)에 대하여 대칭이므로 네 실근이 두 쌍씩 중점 \(\dfrac{1}{2}\)을 가져 모든 실근의 합은 \(1 + 1 = 2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(y = f(x)\) 개형 분석으로 넓이 \(S = \dfrac{1}{2}\) 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 합성방정식 \(f(x) = t_1, t_2\) 해의 개수 \(4\)개 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(x = \dfrac{1}{2}\) 선대칭성으로 모든 실근의 합 \(2\) 산출 | 3점 |
다음 두 조건을 만족시키는 두 실수 \(x, y\)에 대하여 \(\log_{\sqrt{3}} x + \left(\sqrt{3}\right)^y\)의 최댓값을 구하시오.
(가) \(\log_3(x - 8) + \log_3(x - 6) \le 1\) (나) \(9^y - 8 \cdot 3^y - 9 \le 0\)
\(\log_2(x - 3) + \log_2(x - 1) \le 3\)이고 \(4^y - 3 \cdot 2^y - 4 \le 0\)일 때, \(\log_2 x + 2^y\)의 최댓값을 구하시오.
진수 조건 \(x \gt 3\)과 \((x-3)(x-1) \le 8 \implies (x-5)(x+1) \le 0\)에서 \(3 \lt x \le 5\)이고, \((2^y - 4)(2^y + 1) \le 0\)에서 \(2^y \le 4\)이므로 최댓값은 \(\log_2 5 + 4\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 조건 (가)에서 진수 조건 \(x \gt 8\)이고 \((x - 8)(x - 6) \le 3 \iff (x - 9)(x - 5) \le 0\)이므로 \(8 \lt x \le 9\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 조건 (나)에서 \(t = 3^y\; (t \gt 0)\)로 놓으면 \((t - 9)(t + 1) \le 0\)에서 \(0 \lt 3^y \le 9\), 즉 \(y \le 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 밑 \(\sqrt{3} \gt 1\)이므로 \(x = 9,\; y = 2\)일 때 각각 최대가 되어 최댓값은 \(\log_{\sqrt{3}} 9 + (\sqrt{3})^2 = 2\log_3 9 + 3 = 4 + 3 = 7\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 진수 조건 \(x \gt 8\) 반영하여 \(8 \lt x \le 9\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 지수 치환 \(3^y \gt 0\)으로 \(y \le 2\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(\log_{\sqrt{3}} 9 = 4\) 및 \((\sqrt{3})^2 = 3\) 합산으로 \(7\) 산출 | 3점 |
함수 \(f(x) = \begin{cases} (x + 2)(x + 4) & (x \lt 0) \\ (x - 2)(x - 6) & (x \ge 0) \end{cases}\)과 양수 \(a\)에 대하여 함수 \(g(x) = f(x)f(x - a)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 양수 \(a\)의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.
함수 \(h(x) = \begin{cases} (x + 3)(x + 5) & (x \lt 0) \\ (x - 1)(x - 3) & (x \ge 0) \end{cases}\)에 대하여 \(h(x)h(x - k)\)가 실수 전체에서 연속이 되도록 하는 양수 \(k\)의 값을 구하시오.
\(x = 0\) 연속 조건 \(h(-k) = (-k+3)(-k+5) = 0 \implies k \in \{3, 5\}\), \(x = k\) 연속 조건 \(h(k) = (k-1)(k-3) = 0 \implies k \in \{1, 3\}\)이므로 공통인 양수는 \(k = 3\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(f(0-) = 8 \ne f(0+) = 12\)이므로 \(f(x)\)는 \(x = 0\)에서만 불연속이고, \(a \gt 0\)이므로 \(g(x) = f(x)f(x - a)\)의 불연속 후보점은 \(x = 0\)과 \(x = a\)뿐이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(x = 0\)에서 연속이려면 연속인 인수 \(f(-a) = (-a + 2)(-a + 4) = 0\)이어야 하므로 \(a \in \{2, 4\}\)이고, \(x = a\)에서 연속이려면 \(f(a) = (a - 2)(a - 6) = 0\)이어야 하므로 \(a \in \{2, 6\}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 실수 전체의 집합에서 연속이려면 두 조건을 동시에 만족시켜야 하므로 \(a = 2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(f(x)\)의 \(x = 0\) 불연속 확인 및 후보점 \(x = 0,\; a\) 제시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f(-a) = 0 \implies a \in \{2, 4\}\), \(f(a) = 0 \implies a \in \{2, 6\}\) 각각 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 교집합으로부터 유일한 양수 \(a = 2\) 산출 | 3점 |
세 정수 \(a, b, c\)에 대하여 이차함수 \(f(x) = (x - 3)^2 + a\)와 삼차함수 \(g(x) = -x^3 + bx^2 + cx\)가 다음 조건을 만족시킬 때, 정수 \(a\)의 개수와 정수 \(b\)의 최댓값을 각각 구하시오.
(가) \(f(0)f(3) \le 0\) (나) 함수 \(g(x)\)는 \(x = 3\)에서 극댓값을 갖는다.
정수 \(p, q\)에 대하여 함수 \(h(x) = -x^3 + px^2 + qx\)가 \(x = 2\)에서 극댓값을 갖도록 하는 정수 \(p\)의 최댓값을 구하시오.
\(h'(2) = -12 + 4p + q = 0 \implies q = 12 - 4p\)이므로 \(h'(x) = -(x - 2)(3x - 2p + 6)\)이다. \(x = 2\)에서 극대이려면 다른 근 \(\dfrac{2p - 6}{3} \lt 2 \implies p \lt 6\)이어야 하므로 정수 \(p\)의 최댓값은 \(5\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 조건 (가)에서 \(f(0) = 9 + a,\; f(3) = a\)이므로 \(a(a + 9) \le 0 \implies -9 \le a \le 0\)이며 정수 \(a\)의 개수는 \(10\)개이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 조건 (나)에서 \(g'(x) = -3x^2 + 2bx + c\)이고 \(g'(3) = -27 + 6b + c = 0\)이므로 \(c = 27 - 6b\), 즉 \(g'(x) = -(x - 3)(3x - 2b + 9)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 최고차항이 음수인 삼차함수가 \(x = 3\)에서 극댓값을 가지려면 \(g'(x) = 0\)의 다른 실근이 \(3\)보다 작아야 하므로 \(\dfrac{2b - 9}{3} \lt 3 \implies b \lt 9\)이며, 정수 \(b\)의 최댓값은 \(8\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(a(a + 9) \le 0\) 풀이로 정수 \(a\) \(10\)개 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(g'(3) = 0\)으로부터 \(g'(x) = -(x - 3)(3x - 2b + 9)\) 인수분해 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 극대 부호 변화 조건 \(\dfrac{2b - 9}{3} \lt 3\)으로 정수 \(b\)의 최댓값 \(8\) 도출 | 3점 |
부등식 \(\log_3(x - 2) + \log_3(x + 4) \le 3\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값과 그 개수를 구하시오.
부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x + 5) \le 4\)를 만족시키는 정수 \(x\)의 개수를 구하시오.
진수 조건 \(x \gt 1\)과 \((x - 1)(x + 5) \le 16 \iff (x + 7)(x - 3) \le 0\)의 공통 범위는 \(1 \lt x \le 3\)이므로 정수는 \(2, 3\)의 \(2\)개이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 진수 조건에서 \(x - 2 \gt 0\)이고 \(x + 4 \gt 0\)이어야 하므로 \(x \gt 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 로그의 성질과 밑 \(3 \gt 1\)의 증가성에 의해 \(\log_3\{(x - 2)(x + 4)\} \le \log_3 27 \iff x^2 + 2x - 35 = (x + 7)(x - 5) \le 0\), 즉 \(-7 \le x \le 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 진수 조건 \(x \gt 2\)와의 공통 범위는 \(2 \lt x \le 5\)이므로 만족하는 정수는 \(x = 3,\; 4,\; 5\)로 총 \(3\)개이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 진수 조건 \(x \gt 2\) 명시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \((x + 7)(x - 5) \le 0\) 이차부등식 해 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 공통 범위 \(2 \lt x \le 5\)에서 정수 \(3, 4, 5\) 및 \(3\)개 산출 | 3점 |
곡선 \(y = x^3 - 3x\) 위의 점 \((2, 2)\)에서의 접선 \(l\)의 방정식을 구하고, 이 곡선과 접선 \(l\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
곡선 \(y = x^3 - 2x\) 위의 점 \((1, -1)\)에서의 접선과 이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
\(y'(1) = 1\)이므로 접선은 \(y = x - 2\)이고 \(x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2) = 0\)에서 교점은 \(-2, 1\)이다. 따라서 넓이는 \(\int_{-2}^{1}(x^3 - 3x + 2)\,dx = \dfrac{27}{4}\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(y' = 3x^2 - 3\)에서 점 \((2, 2)\)에서의 접선의 기울기는 \(3(2)^2 - 3 = 9\)이므로 접선 \(l\)의 방정식은 \(y - 2 = 9(x - 2)\), 즉 \(y = 9x - 16\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 교점 방정식 \(x^3 - 3x = 9x - 16 \iff x^3 - 12x + 16 = (x - 2)^2(x + 4) = 0\)이므로 다른 교점의 \(x\)좌표는 \(-4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구간 \([-4, 2]\)에서 \((x - 2)^2(x + 4) \ge 0\)이므로 넓이는 \(\int_{-4}^{2} (x^3 - 12x + 16)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - 6x^2 + 16x\right]_{-4}^{2} = 12 - (-96) = 108\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 접선 \(y = 9x - 16\) 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \((x - 2)^2(x + 4) = 0\) 인수분해로 교점 \(x = -4,\; 2\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 계산으로 넓이 \(108\) 산출 | 3점 |
\(0\)이 아닌 두 실수 \(x, y\)가 \(12^x = 8,\; 24^y = 16\)을 만족시킬 때, \(\dfrac{3}{x} - \dfrac{4}{y}\)의 값을 구하시오.
두 실수 \(x, y\)가 \(18^x = 9,\; 6^y = 27\)을 만족시킬 때, \(\dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{y}\)의 값을 구하시오.
\(18 = 3^{2/x},\; 6 = 3^{3/y}\)이므로 두 식을 나누면 \(\dfrac{18}{6} = 3 = 3^{2/x - 3/y}\)에서 \(\dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{y} = 1\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(12^x = 2^3\)과 \(24^y = 2^4\)의 양변에 각각 \(\dfrac{1}{x}\)제곱, \(\dfrac{1}{y}\)제곱을 취하면 \(12 = 2^{\frac{3}{x}},\; 24 = 2^{\frac{4}{y}}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 지수법칙 \(\dfrac{a^p}{a^q} = a^{p - q}\)를 적용하여 두 식을 변끼리 나누면 \(2^{\frac{3}{x} - \frac{4}{y}} = \dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{2} = 2^{-1}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 양변의 밑이 \(2\)로 같으므로 지수를 비교하면 \(\dfrac{3}{x} - \dfrac{4}{y} = -1\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(12 = 2^{3/x},\; 24 = 2^{4/y}\) 변환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 나눗셈 지수법칙으로 \(2^{3/x - 4/y} = 2^{-1}\) 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(-1\) 정확히 산출 | 3점 |
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 6,\; \overline{\mathrm{AC}} = 4\)이고 \(\cos A = \dfrac{3}{4}\)일 때, 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이와 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 각각 구하시오.
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{BC}} = 6,\; \cos B = \dfrac{3}{5}\)일 때, 변 \(\mathrm{AC}\)의 길이와 넓이를 구하시오.
\(\overline{\mathrm{AC}}^2 = 25 + 36 - 36 = 25 \implies \overline{\mathrm{AC}} = 5\)이고, \(\sin B = \dfrac{4}{5}\)이므로 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \dfrac{4}{5} = 12\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 6^2 + 4^2 - 2(6)(4)\cos A\)에서 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 36 + 16 - 48 \times \dfrac{3}{4} = 16\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 4\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 삼각형의 내각 \(0 \lt A \lt \pi\)에서 \(\sin A \gt 0\)이므로 \(\sin A = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 4 \times \dfrac{\sqrt{7}}{4} = 3\sqrt{7}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙으로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 4\) 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(0 \lt A \lt \pi\) 부호 확인 후 \(\sin A = \dfrac{\sqrt{7}}{4}\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 삼각형 넓이 \(3\sqrt{7}\) 산출 | 3점 |
닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식 \(2\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0\)의 모든 실근을 구하고, 모든 실근의 합을 구하시오.
구간 \([0, 2\pi]\)에서 \(2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0\)의 모든 실근의 합을 구하시오.
\(2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x - 3 = 0 \iff (2\sin x - 1)(\sin x - 1) = 0\)이므로 실근은 \(\dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{5\pi}{6}\)이고 합은 \(\dfrac{3\pi}{2}\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\)를 대입하여 정리하면 \(2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = (2\cos x - 1)(\cos x - 1) = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\cos x = 1\)이며, 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 실근은 \(x = 0,\; \dfrac{\pi}{3},\; \dfrac{5\pi}{3},\; 2\pi\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 모든 실근의 합은 \(0 + \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{5\pi}{3} + 2\pi = 4\pi\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(\cos x\)에 대한 이차방정식 변환 및 인수분해 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 구간 \([0, 2\pi]\) 내 네 실근 \(0, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}, 2\pi\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 모든 실근의 합 \(4\pi\) 산출 | 3점 |
등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(S_4 = 24,\; S_8 = 80\)일 때, 첫째항 \(a_1\)과 공차 \(d\), 그리고 \(a_{10}\)의 값을 각각 구하시오.
등차수열 \(\{b_n\}\)에서 \(S_3 = 12,\; S_6 = 42\)일 때 \(b_8\)의 값을 구하시오.
\(3b_1 + 3d = 12,\; 6b_1 + 15d = 42\)를 연립하면 \(d = 2,\; b_1 = 2\)이므로 \(b_8 = 2 + 14 = 16\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등차수열의 합 공식에 의해 \(S_4 = \dfrac{4(2a_1 + 3d)}{2} = 24\)이고 \(S_8 = \dfrac{8(2a_1 + 7d)}{2} = 80\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 정리하면 \(2a_1 + 3d = 12\)와 \(2a_1 + 7d = 20\)이며, 두 식을 빼면 \(4d = 8 \implies d = 2\)이고 \(a_1 = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(a_n = 2n + 1\)이므로 \(a_{10} = 2(10) + 1 = 21\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(2a_1 + 3d = 12,\; 2a_1 + 7d = 20\) 두 식 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연립방정식 풀이로 \(a_1 = 3,\; d = 2\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(a_{10} = 21\) 도출 | 3점 |
수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 1\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = a_n + 2n + 1\)을 만족시킬 때, 일반항 \(a_n\)과 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{6} a_k\)의 값을 각각 구하시오.
\(b_1 = 2\)이고 모든 자연수 \(n\)에서 \(b_{n+1} = b_n + 2n\)일 때 \(b_7\)의 값을 구하시오.
\(n \ge 2\)일 때 \(b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 + (n - 1)n = n^2 - n + 2\)이므로 \(b_7 = 44\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(n \ge 2\)일 때 \(a_{k+1} - a_k = 2k + 1\)에 \(k = 1, 2, \dots, n - 1\)을 대입하여 변끼리 더하면 \(a_n - a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(a_n = 1 + 2 \cdot \dfrac{(n - 1)n}{2} + (n - 1) = n^2\)이며, \(n = 1\)일 때도 \(a_1 = 1^2 = 1\)이 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(\sum_{k=1}^{6} a_k = \sum_{k=1}^{6} k^2 = \dfrac{6 \times 7 \times 13}{6} = 91\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 축차 대입 합산식 \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(2k + 1)\) 작성 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 일반항 \(a_n = n^2\) 유도 및 \(n = 1\) 성립 확인 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 거듭제곱 합 공식으로 \(91\) 산출 | 3점 |
두 상수 \(a, b\)에 대하여 등식 \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + ax + b}{\sqrt{x + 3} - 2} = 12\)가 성립할 때, \(a, b\)의 값과 \(a - b\)의 값을 구하시오.
\(\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + px + q}{\sqrt{x + 2} - 2} = 20\)일 때 \(p, q\)의 값을 구하시오.
\(4 + 2p + q = 0 \implies q = -2p - 4\)이고 유리화하면 \((4 + p) \times 4 = 20 \implies p = 1,\; q = -6\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(x \to 1\)일 때 분모 \(\sqrt{x + 3} - 2 \to 0\)이고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)으로 수렴하여 \(1 + a + b = 0 \implies b = -a - 1\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 분자는 \(x^2 + ax - (a + 1) = (x - 1)(x + a + 1)\)이므로 유리화해 \(x - 1\)을 약분하면 \(\lim_{x \to 1}(x + a + 1)(\sqrt{x + 3} + 2) = 4(a + 2) = 12\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(a + 2 = 3\)에서 \(a = 1\)이고 \(b = -2\)이므로 \(a - b = 3\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 수렴 조건 \(1 + a + b = 0\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 인수분해 및 유리화 약분식 \(4(a + 2) = 12\) 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(a = 1,\; b = -2,\; a - b = 3\) 산출 | 3점 |
미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(f(1) = 2,\; f'(1) = -3\)을 만족시킬 때, 함수 \(g(x) = (x^2 + 1)f(x)\)의 그래프 위의 점 \((1, g(1))\)에서의 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.
\(f(2) = 1,\; f'(2) = 2\)일 때 곡선 \(y = (x - 1)f(x)\) 위의 \(x = 2\)인 점에서의 접선의 \(y\)절편을 구하시오.
\(y(2) = 1\)이고 \(y' = f(x) + (x - 1)f'(x)\)에서 \(y'(2) = 1 + 2 = 3\)이므로 접선은 \(y = 3x - 5\)이고 \(y\)절편은 \(-5\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(g(1) = (1^2 + 1)f(1) = 4\)이고, 곱의 미분법에 의해 \(g'(x) = 2xf(x) + (x^2 + 1)f'(x)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(g'(1) = 2(1)(2) + 2(-3) = 4 - 6 = -2\)이므로 점 \((1, 4)\)에서의 접선의 방정식은 \(y - 4 = -2(x - 1)\), 즉 \(y = -2x + 6\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 접선의 \(x\)절편은 \(3\), \(y\)절편은 \(6\)이므로 좌표축과 둘러싸인 직각삼각형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 곱의 미분법 공식 적용 및 \(g(1) = 4\) 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(g'(1) = -2\) 및 접선 \(y = -2x + 6\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 절편 \(3,\; 6\)으로부터 넓이 \(9\) 산출 | 3점 |
양수 \(k\)에 대하여 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3kx^2 + 2\)의 극댓값과 극솟값의 차가 \(32\)일 때, 양수 \(k\)의 값과 극소점의 좌표를 각각 구하시오.
양수 \(m\)에 대하여 함수 \(g(x) = 2x^3 - 3mx^2 + 5\)의 극댓값과 극솟값의 차가 \(8\)일 때 양수 \(m\)의 값을 구하시오.
\(g'(x) = 6x(x - m) = 0\)에서 \(g(0) - g(m) = m^3 = 8\)이므로 \(m = 2\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(f'(x) = 3x^2 - 6kx = 3x(x - 2k) = 0\)이고 \(k \gt 0\)이므로 \(x = 0\)에서 극대, \(x = 2k\)에서 극소이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 극댓값은 \(f(0) = 2\), 극솟값은 \(f(2k) = 8k^3 - 12k^3 + 2 = -4k^3 + 2\)이므로 극값의 차는 \(f(0) - f(2k) = 4k^3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(4k^3 = 32 \implies k^3 = 8\)에서 실수 \(k = 2\)이고, 극소점의 좌표는 \((4, f(4)) = (4, -30)\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(f'(x) = 3x(x - 2k) = 0\) 및 극대·극소 위치 판정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극값의 차 \(4k^3 = 32\) 방정식 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(k = 2\) 및 극소점 \((4, -30)\) 산출 | 3점 |
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \(\displaystyle\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 + ax^2 - 5x + 2\)를 만족시킬 때, 상수 \(a\)의 값과 \(f(2)\)의 값을 각각 구하시오.
모든 실수 \(x\)에서 \(\displaystyle\int_{2}^{x} g(t)\,dt = x^3 - 3x^2 + bx - 4\)일 때 \(b\)와 \(g(3)\)을 구하시오.
\(x = 2\)를 대입하면 \(8 - 12 + 2b - 4 = 0 \implies b = 4\)이고, 미분하면 \(g(x) = 3x^2 - 6x + 4\)에서 \(g(3) = 13\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 항등식의 양변에 \(x = 1\)을 대입하면 좌변은 \(\int_{1}^{1} f(t)\,dt = 0\)이므로 \(1 + a - 5 + 2 = 0\)에서 \(a = 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 미적분학의 기본정리에 의해 \(\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 + 2x^2 - 5x + 2\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(f(x) = 3x^2 + 4x - 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(f(2) = 3(2)^2 + 4(2) - 5 = 12 + 8 - 5 = 15\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(x = 1\) 대입으로 \(a = 2\) 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양변 미분으로 \(f(x) = 3x^2 + 4x - 5\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(f(2) = 15\) 산출 | 3점 |
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\; (t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 6t - 3t^2\)일 때, 출발 후 운동 방향을 바꾸는 순간의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치와 시각 \(t = 0\)부터 \(t = 3\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리를 각각 구하시오.
원점을 출발한 점의 속도가 \(v(t) = 4t - 2t^2\)일 때 시각 \(t = 0\)부터 \(t = 3\)까지 움직인 거리를 구하시오.
\(x(t) = 2t^2 - \dfrac{2}{3}t^3\)에서 \(x(0) = 0,\; x(2) = \dfrac{8}{3},\; x(3) = 0\)이므로 움직인 거리는 \(\dfrac{8}{3} + \dfrac{8}{3} = \dfrac{16}{3}\)이다.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(v(t) = 3t(2 - t) = 0\)에서 \(t \gt 0\)일 때 \(t = 2\) 전후로 속도의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 방향 전환 시각은 \(t = 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 위치 함수는 \(x(t) = \int_{0}^{t} (6s - 3s^2)\,ds = 3t^2 - t^3\)이므로 \(t = 2\)에서의 위치는 \(x(2) = 12 - 8 = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(x(3) = 27 - 27 = 0\)이므로 \(t = 0\)부터 \(t = 3\)까지 움직인 거리는 \(\int_{0}^{2} v(t)\,dt + \int_{2}^{3} (-v(t))\,dt = (4 - 0) + (4 - 0) = 8\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 방향 전환 시각 \(t = 2\) 판정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 위치 함수 적분으로 \(x(2) = 4\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간 분할 적분으로 움직인 거리 \(8\) 산출 | 3점 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R1-Q1 | 대수 | 거듭제곱의 나눗셈과 괄호 지수법칙 연산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] | 10점/중 |
| R1-Q2 | 대수 | 유리수 지수로의 변환과 근호 혼합식의 계산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중 |
| R1-Q3 | 대수 | 로그함수의 단조성을 이용한 세 수의 대소 비교 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/중 |
| R1-Q4 | 대수 | 시초선과 동경의 일반각 표현 및 사분면 판정 | [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-01] | 10점/중상 |
| R1-Q5 | 대수 | 특수각 삼각방정식의 해와 실근의 합 | [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 문제 10 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R1-Q6 | 미적분Ⅰ | 다항함수와 유리함수의 극한값 기본 연산 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R1-Q7 | 미적분Ⅰ | 유리함수가 실수 전체에서 연속이 되기 위한 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.25 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03] | 10점/중상 |
| R1-Q8 | 미적분Ⅰ | 다항함수의 미분법과 미분계수 연립방정식 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.16 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-04] | 10점/중상 |
| R1-Q9 | 미적분Ⅰ | 주어진 기울기를 갖는 삼차곡선의 접선의 방정식 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/중상 |
| R1-Q10 | 미적분Ⅰ | 다항함수의 합·차의 부정적분과 함숫값 계산 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01] | 10점/중상 |
| R2-Q1 | 대수 | 로그의 정의를 이용한 연쇄 로그 방정식의 해 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/중 |
| R2-Q2 | 대수 | 상용로그의 정수 부분과 소수 부분의 활용 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.22 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05] | 10점/중 |
| R2-Q3 | 대수 | 로그함수의 그래프의 평행이동과 최댓값·최솟값 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/중 |
| R2-Q4 | 대수 | 동경의 위치 관계(일치·원점 대칭)를 이용한 각의 결정 | [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-01] | 10점/중상 |
| R2-Q5 | 대수 | 사인함수의 주기와 진폭 변형 그래프의 최대·최소 | [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R2-Q6 | 미적분Ⅰ | 다항식의 인수분해를 이용한 영분의 영 꼴 극한 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.13 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R2-Q7 | 미적분Ⅰ | 무리함수와 유리함수가 결합된 함수의 연속 정의역 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.26 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03] | 10점/중상 |
| R2-Q8 | 미적분Ⅰ | 세 다항식의 곱의 미분법과 접선의 기울기 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.17 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04] | 10점/중상 |
| R2-Q9 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 증가·감소 구간과 극점의 위치 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/중상 |
| R2-Q10 | 미적분Ⅰ | 도함수와 함숫값 조건으로 결정되는 삼차함수 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 문제 7 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01] | 10점/중상 |
| R3-Q1 | 대수 | 로그의 성질을 이용한 합·차의 소거 연산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.19 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/중 |
| R3-Q2 | 대수 | 지수함수 그래프의 평행이동과 점근선·절편 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/중 |
| R3-Q3 | 대수 | 로그방정식의 풀이와 진수 조건에 의한 무연근 제거 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중 |
| R3-Q4 | 대수 | 삼각함수의 평행이동과 대칭성을 이용한 식의 간단화 | [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R3-Q5 | 대수 | 삼각방정식으로 주어지는 이차방정식의 판별식 활용 | [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 문제 11 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R3-Q6 | 미적분Ⅰ | 무한대 마이너스 무한대 꼴 무리식의 극한 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R3-Q7 | 미적분Ⅰ | 사잇값의 정리를 이용한 실근 존재 구간 판정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.33 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/중상 |
| R3-Q8 | 미적분Ⅰ | 점프 불연속점과 첨점에서의 연속성·미분가능성 비교 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/중상 |
| R3-Q9 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/중상 |
| R3-Q10 | 미적분Ⅰ | 정적분의 정의와 위끝·아래끝 성질을 이용한 계산 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03] | 10점/중상 |
| R4-Q1 | 대수 | 상용로그의 소수 부분 조건을 이용한 미지수 결정 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.23 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-05] | 10점/중 |
| R4-Q2 | 대수 | 지수함수와 로그함수의 결합 최댓값·최솟값 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 예제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-06] | 10점/중 |
| R4-Q3 | 대수 | 전파 감쇠 및 빛 투과율 실생활 지수부등식 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중 |
| R4-Q4 | 대수 | 원점과 좌표평면 위의 점을 지나는 동경의 삼각함수 | [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.13 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수02-01] | 10점/중상 |
| R4-Q5 | 대수 | 사인법칙을 이용한 외접원의 반지름과 변의 길이 | [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중상 |
| R4-Q6 | 미적분Ⅰ | 다항함수의 극한 성질을 이용한 함수값 추론 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.13 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R4-Q7 | 미적분Ⅰ | 구간에서의 평균변화율과 미분계수가 같아지는 점 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01] | 10점/중상 |
| R4-Q8 | 미적분Ⅰ | 사차함수의 그래프의 개형과 극댓값·극솟값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.42 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/중상 |
| R4-Q9 | 미적분Ⅰ | 수직선 위를 움직이는 점의 순간속도와 가속도 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/중상 |
| R4-Q10 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 x축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/중상 |
| R5-Q1 | 대수 | 소리의 세기와 데시벨(dB) 상용로그 실생활 모델 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.24 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-05] | 10점/중 |
| R5-Q2 | 대수 | 부채꼴의 호의 길이와 넓이 및 중심각의 호도법 | [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01] | 10점/중 |
| R5-Q3 | 대수 | 삼각함수의 제곱 관계와 네제곱·여섯제곱 대칭식 | [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중 |
| R5-Q4 | 대수 | 등차수열과 등비수열의 귀납적 정의와 일반항 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-06] | 10점/중상 |
| R5-Q5 | 대수 | 수학적 귀납법을 이용한 제곱합 공식 증명 빈칸 추론 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-07] | 10점/중상 |
| R5-Q6 | 미적분Ⅰ | 샌드위치 정리(함수의 극한의 대소 관계)의 활용 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.17 문제 9 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R5-Q7 | 미적분Ⅰ | 곱으로 표현된 함수의 미분계수와 접선의 기울기 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/중상 |
| R5-Q8 | 미적분Ⅰ | 사차부등식이 모든 실수에서 항상 성립할 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/중상 |
| R5-Q9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 함수의 미분과 위끝·아래끝 대입 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중상 |
| R5-Q10 | 미적분Ⅰ | 수직선 운동에서 위치의 변화량과 움직인 거리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.32 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/중상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R6-Q1 | 대수 | 서로 다른 소인수의 거듭제곱근의 곱이 자연수가 될 지수 조건 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/상 |
| R6-Q2 | 대수 | 평행이동된 두 지수곡선과 수평선으로 둘러싸인 도형의 등적 변형 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/최상 |
| R6-Q3 | 대수 | 부채꼴의 넓이에서 삼각형의 넓이를 뺀 활꼴의 넓이 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-01] | 10점/상 |
| R6-Q4 | 대수 | 세 변의 길이가 주어진 삼각형의 내각·넓이와 내접원의 반지름 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/최상 |
| R6-Q5 | 대수 | 부호가 교대하는 홀수 제곱 수열의 두 항 묶음 합산 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/상 |
| R6-Q6 | 미적분Ⅰ | 제곱 인수를 분모로 갖는 극한과 삼차함수의 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/상 |
| R6-Q7 | 미적분Ⅰ | 경계점 $x = 2$에서 미분가능한 구간함수의 계수 연립 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-04] | 10점/상 |
| R6-Q8 | 미적분Ⅰ | 롤의 정리를 만족시키는 모든 상수 c의 합과 곱 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] | 10점/상 |
| R6-Q9 | 미적분Ⅰ | 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이의 최솟값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/최상 |
| R6-Q10 | 미적분Ⅰ | 구간 길이가 2로 이동하는 정적분 함수의 극소와 최솟값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/최상 |
| R7-Q1 | 대수 | 산술·기하평균 치역 제한($u \ge 2$)이 걸린 대칭 지수방정식 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/최상 |
| R7-Q2 | 대수 | y축 평행이동된 두 로그곡선 위의 네 점이 이루는 평행사변형 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/상 |
| R7-Q3 | 대수 | 탄젠트와 역수의 합으로부터 사인·코사인 차의 값 구하기 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] | 10점/상 |
| R7-Q4 | 대수 | 내분점이 주어진 삼각형에서 코사인법칙을 이용한 선분 길이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/최상 |
| R7-Q5 | 대수 | 등차중항과 등비중항이 연립된 양수 수열의 결정 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03] | 10점/상 |
| R7-Q6 | 미적분Ⅰ | $x \to \infty$와 $x \to 0$에서의 분수 극한으로 사차다항함수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/상 |
| R7-Q7 | 미적분Ⅰ | 삼차함수 그래프의 점대칭성을 이용한 연속 정수 함숫값의 합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/최상 |
| R7-Q8 | 미적분Ⅰ | 주어진 직선에 수직인 삼차곡선의 두 접선과 y절편의 합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/상 |
| R7-Q9 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 서로 다른 두 실근만 가질 조건과 상수 곱 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| R7-Q10 | 미적분Ⅰ | 절댓값 이차함수의 부호 경계 분할 정적분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R8-Q1 | 대수 | 상용로그 데시벨(dB) 모델과 다중 음원의 세기 합성 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/상 |
| R8-Q2 | 대수 | 지수부등식의 해집합에서 거듭제곱 함수의 최대·최소 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/상 |
| R8-Q3 | 대수 | 사인·코사인의 차로부터 세제곱 차의 값 유도 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] | 10점/상 |
| R8-Q4 | 대수 | 직각삼각형과 정삼각형이 결합된 볼록사각형의 넓이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R8-Q5 | 대수 | 전개 후 거듭제곱 합 공식을 적용하는 이차 수열의 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R8-Q6 | 미적분Ⅰ | 미분계수의 정의를 위한 분자의 가감 변형 극한 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/상 |
| R8-Q7 | 미적분Ⅰ | 대칭 W형 사차방정식이 서로 다른 네 실근을 가질 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| R8-Q8 | 미적분Ⅰ | 곡선 밖의 한 점에서 그은 세 접선의 기울기의 합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/최상 |
| R8-Q9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 삼차함수의 감소 구간과 극값의 차 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R8-Q10 | 미적분Ⅰ | 원점을 지나는 삼차곡선과 x축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R9-Q1 | 대수 | 거듭제곱 세제곱 합의 약분과 켤레 무리수 역수 대칭 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/상 |
| R9-Q2 | 대수 | 두 상용로그의 소수 부분이 같을 조건(차가 정수) | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05] | 10점/최상 |
| R9-Q3 | 대수 | 이차 삼각부등식의 해 구간과 대칭축 합·차 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R9-Q4 | 대수 | 평행사변형의 두 변과 짧은 대각선으로부터 긴 대각선의 길이 구하기 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R9-Q5 | 대수 | 부호가 바뀌는 등차수열의 절댓값 합의 구간 분할 계산 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03] | 10점/상 |
| R9-Q6 | 미적분Ⅰ | 인수 곱 등식으로 주어진 연속함수의 함숫값 결정 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/상 |
| R9-Q7 | 미적분Ⅰ | 미분법을 이용한 고차다항식의 완전제곱식 나눗셈 나머지 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.17 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04] | 10점/상 |
| R9-Q8 | 미적분Ⅰ | 극댓값과 극솟값의 절댓값이 같고 부호가 반대인 삼차방정식 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/최상 |
| R9-Q9 | 미적분Ⅰ | 접선의 기울기 도함수와 극솟값으로 결정한 함수의 정적분 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/상 |
| R9-Q10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 원점을 지나는 직선이 이루는 넓이로부터 기울기 역산 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R10-Q1 | 대수 | 서로 다른 배율로 증식하는 두 세균 군집의 지수부등식 모델 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/상 |
| R10-Q2 | 대수 | 제한된 구간에서 로그 곱셈 함수의 치환 최대·최소 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/상 |
| R10-Q3 | 대수 | 주기가 6인 코사인함수 그래프와 수평선의 교점 삼각형 넓이 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R10-Q4 | 대수 | 둔각삼각형의 코사인법칙 변의 길이와 사인법칙 외접원의 넓이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R10-Q5 | 대수 | 일차 비동차 점화식 $a_{n+1} = 2a_n + 1$의 평행이동 일반항과 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07] | 10점/상 |
| R10-Q6 | 미적분Ⅰ | 무리식 분모 극한과 무한대 극한을 결합한 이차다항함수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/상 |
| R10-Q7 | 미적분Ⅰ | 원점을 지나고 양수 한 점에서만 |f(x)|가 미분불가능한 삼차함수 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-04] | 10점/최상 |
| R10-Q8 | 미적분Ⅰ | 포물선과 x축 사이에 내접하는 직사각형의 최대 넓이와 최대 둘레 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/상 |
| R10-Q9 | 미적분Ⅰ | 피적분함수에 (x - t)가 곱해진 정적분 항등식의 2회 미분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/최상 |
| R10-Q10 | 미적분Ⅰ | 수직 상방 투사 물체의 최고 높이와 지면 충돌 순간의 속력 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/상 |
\(0\)이 아닌 두 실수 \(a, b\)에 대하여 \(\left(-2a^2 b^3\right)^3 \div \left(4a^4 b^5\right) \times \left(a b^2\right)^2 = c a^p b^q\)이 성립할 때, 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) 지수법칙을 이용하여 상수 \(c\)와 자연수 \(p, q\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (5점) \(a = 2,\; b = \dfrac{1}{2}\)일 때 위 식 \(c a^p b^q\)의 값을 구하시오.
\(a \gt 0,\; b \gt 0\)일 때, \(\sqrt{a\sqrt[3]{a^2}} \times \sqrt[6]{a^5} = a^k\)이고 \(\left(a^{\frac{1}{2}} b^{-\frac{1}{3}}\right)^6 \div \left(a^2 b^{-3}\right) = a^m b^n\)이다. 다음을 구하시오.
[2-1] (5점) 유리수 지수법칙을 이용하여 유리수 \(k\)의 값을 구하시오.
[2-2] (5점) 정수 \(m, n\)의 값을 각각 구하고 \(6k + m + n\)의 값을 구하시오.
세 실수 \(A = 2\log_{\frac{1}{3}} 2,\; B = \log_{\frac{1}{3}} 5,\; C = -\log_{3} 3\sqrt{3}\)에 대하여 다음을 구하시오.
[3-1] (5점) 세 수 \(A, B, C\)를 모두 밑이 \(\dfrac{1}{3}\)인 로그 \(\log_{\frac{1}{3}} N\)의 꼴로 나타내시오.
[3-2] (5점) 밑이 \(\dfrac{1}{3}\)인 로그함수의 감소 성질을 이용하여 \(A, B, C\)의 대소 관계를 부등호로 나타내시오.
크기가 \(-1020^\circ\)인 각의 동경이 나타내는 일반각을 \(360^\circ \times n + \alpha^\circ\) (\(n\)은 정수, \(0^\circ \le \alpha^\circ \lt 360^\circ\))라 할 때, 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 정수 \(n\)과 \(\alpha\)의 값을 각각 구하고, 이 동경이 제몇 사분면에 위치하는지 구하시오.
[4-2] (5점) 각 \(\theta = \alpha^\circ\)일 때 \(\sin\theta + \cos\theta + \tan\theta\)의 값을 구하시오.
\(0 \le x \lt 2\pi\)일 때, 두 삼각방정식 \(2\cos x - \sqrt{3} = 0\)과 \(\tan x + 1 = 0\)에 대하여 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) \(0 \le x \lt 2\pi\)에서 방정식 \(2\cos x - \sqrt{3} = 0\)의 모든 실근을 구하시오.
[5-2] (5점) \(0 \le x \lt 2\pi\)에서 방정식 \(\tan x + 1 = 0\)의 모든 실근을 구하고, 두 방정식의 모든 실근의 총합을 구하시오.
극한값 \(A = \lim_{x \to 2} \left(x^2 - 3x + 5\right)\)와 \(B = \lim_{x \to -1} \dfrac{x^2 + 4x + 3}{x + 1}\)에 대하여 다음을 구하시오.
[6-1] (5점) 극한값 \(A\)와 \(B\)를 각각 구하시오.
[6-2] (5점) \(\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + Ax - (A + 1)}{x - 1} + B\)의 값을 구하시오.
유리함수 \(f(x) = \dfrac{2x + 6}{x^2 - 4x + k}\)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 정수 \(k\)에 대하여 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) 유리함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되기 위한 상수 \(k\)의 값의 범위를 판별식을 이용하여 구하시오.
[7-2] (5점) \(k\)가 위 범위를 만족시키는 최소의 정수일 때, \(f(1) + f(3)\)의 값을 구하시오.
삼차함수 \(f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 5\)가 \(f'(1) = 4\)와 \(f'(-1) = 12\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)
[8-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고 두 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[8-2] (5점) \(f(2) + f'(2)\)의 값을 구하시오.
곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 5x + 1\)에 접하고 기울기가 \(2\)인 직선에 대하여 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 접점의 좌표 \((t, f(t))\)와 이 접선의 방정식을 구하시오.
[9-2] (5점) 이 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.
다항함수 \(f(x)\)가 \(\int \left\{f(x) + 2x\right\}\,dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오. (단, \(C\)는 적분상수이다.)
[10-1] (5점) 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 함수 \(f(x)\)를 구하시오.
[10-2] (5점) \(F'(x) = f(x)\)이고 \(F(0) = 2\)인 함수 \(F(x)\)에 대하여 \(F(2)\)의 값을 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 문항 1 | 대수 | 거듭제곱의 나눗셈과 괄호 지수법칙 연산 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 2 | 대수 | 유리수 지수로의 변환과 근호 혼합식의 계산 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 3 | 대수 | 로그함수의 단조성을 이용한 세 수의 대소 비교 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 4 | 대수 | 시초선과 동경의 일반각 표현 및 사분면 판정 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 5 | 대수 | 특수각 삼각방정식의 해와 실근의 합 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 다항함수와 유리함수의 극한값 기본 연산 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 유리함수가 실수 전체에서 연속이 되기 위한 조건 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 다항함수의 미분법과 미분계수 연립방정식 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 주어진 기울기를 갖는 삼차곡선의 접선의 방정식 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 다항함수의 합·차의 부정적분과 함숫값 계산 | 10점 | 중상 |
\(a \gt 0,\; a \ne 1\)일 때 로그 방정식 \(\log_2\left\{\log_3\left(\log_a 512\right)\right\} = 1\)과 \(\log_{\sqrt{2}} x = 6\)을 만족시키는 양수 \(a, x\)에 대하여 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) 로그의 정의 \(p = \log_b N \iff b^p = N\)을 바깥쪽부터 차례로 적용하여 양수 \(a\)의 값을 구하시오.
[1-2] (5점) 양수 \(x\)의 값을 구하고 \(a + x\)의 값을 구하시오.
\(\log 4.25 = 0.6284\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (5점) 상용로그의 성질을 이용하여 \(\log 4250\)과 \(\log 0.0425\)의 값을 각각 구하시오.
[2-2] (5점) \(\log N = -1.3716\)을 만족시키는 양수 \(N\)의 값을 구하시오.
닫힌구간 \([1, 13]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \log_2 (x + 3) + k\)의 최댓값이 \(7\)일 때, 다음을 구하시오. (단, \(k\)는 상수이다.)
[3-1] (5점) 밑이 \(2 \gt 1\)인 로그함수의 증가 성질을 이용하여 상수 \(k\)의 값을 구하시오.
[3-2] (5점) 닫힌구간 \([1, 13]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값 \(m\)과 그래프의 점근선의 방정식을 각각 구하시오.
\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\)일 때, 각 \(\theta\)를 나타내는 동경과 각 \(7\theta\)를 나타내는 동경이 일직선 위에 있고 방향이 반대(원점 대칭)이다. 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 두 동경이 일직선 위에 있고 방향이 반대일 조건 \(7\theta - \theta = 2n\pi + \pi\) (\(n\)은 정수)를 이용하여 각 \(\theta\)의 값을 모두 구하시오.
[4-2] (5점) 위에서 구한 \(\theta\)에 대하여 \(\sin 2\theta + \cos 2\theta\)의 값을 구하시오.
삼각함수 \(f(x) = -3\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) + 2\)에 대하여 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) 함수 \(f(x)\)의 주기 \(T\), 최댓값 \(M\), 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.
[5-2] (5점) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = k\)가 만나도록 하는 모든 정수 \(k\)의 개수를 구하시오.
두 극한값 \(A = \lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4}\)와 \(B = \lim_{x \to -1} \dfrac{x^3 + 1}{x^2 + 3x + 2}\)에 대하여 다음을 구하시오.
[6-1] (5점) 세제곱 인수분해 공식 \(a^3 \pm b^3\)을 이용하여 \(A\)의 값을 구하시오.
[6-2] (5점) \(B\)의 값을 구하고 \(A + B\)의 값을 구하시오.
함수 \(f(x) = \dfrac{\sqrt{10 - 2x}}{x - 2} + \sqrt{x + 3}\)이 연속인 구간에 속하는 모든 정수 \(x\)에 대하여 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) 근호 안이 \(0\) 이상일 조건과 분모가 \(0\)이 아닐 조건을 모두 구하여, 함수 \(f(x)\)가 연속인 구간을 기호로 나타내시오.
[7-2] (5점) 함수 \(f(x)\)가 연속인 구간에 속하는 모든 정수 \(x\)의 개수와 그 정수들의 합을 구하시오.
다항함수 \(f(x) = (x - 1)(x - 2)(2x + 1)\)과 \(g(x) = (x^2 + 1)(x - 3)\)에 대하여 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 세 함수의 곱의 미분법 \((uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'\)을 이용하여 \(f'(1)\)과 \(f'(2)\)의 값을 각각 구하시오.
[8-2] (5점) 곱의 미분법을 이용하여 \(g'(2)\)의 값을 구하고 \(f'(1) + f'(2) + g'(2)\)를 계산하시오.
삼차함수 \(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 2\)가 닫힌구간 \([\alpha, \beta]\)에서 증가할 때, 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)의 부호를 조사하여 \(f'(x) \ge 0\)을 만족시키는 \(x\)의 값의 범위를 구하시오.
[9-2] (5점) \(\beta - \alpha\)의 최댓값 \(L\)과 그때 \(f(\beta) - f(\alpha)\)의 값을 각각 구하시오.
다항함수 \(f(x)\)의 도함수가 \(f'(x) = 3x^2 - 4x + k\)이고 \(f(0) = 2,\; f(1) = 4\)일 때, 다음을 구하시오. (단, \(k\)는 상수이다.)
[10-1] (5점) 부정적분을 이용하여 \(f(x)\)를 적분상수 \(C\)와 \(k\)로 나타내고, \(C\)와 \(k\)의 값을 각각 구하시오.
[10-2] (5점) \(f(3)\)의 값을 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제2회 | 문항 1 | 대수 | 로그의 정의를 이용한 연쇄 로그 방정식의 해 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 2 | 대수 | 상용로그의 정수 부분과 소수 부분의 활용 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 3 | 대수 | 로그함수의 그래프의 평행이동과 최댓값·최솟값 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 4 | 대수 | 동경의 위치 관계(일치·원점 대칭)를 이용한 각의 결정 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 5 | 대수 | 사인함수의 주기와 진폭 변형 그래프의 최대·최소 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 다항식의 인수분해를 이용한 영분의 영 꼴 극한 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 무리함수와 유리함수가 결합된 함수의 연속 정의역 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 세 다항식의 곱의 미분법과 접선의 기울기 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 증가·감소 구간과 극점의 위치 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 도함수와 함숫값 조건으로 결정되는 삼차함수 | 10점 | 중상 |
로그의 성질을 이용하여 두 식 \(A = \log_3 \dfrac{4}{3} + 2\log_3 \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)와 \(B = \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 16\)에 대하여 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) 진수의 곱셈·거듭제곱 성질을 이용하여 \(A\)의 값을 구하시오.
[1-2] (5점) 밑변환 공식을 이용하여 \(B\)의 값을 구하고 \(A + B\)를 계산하시오.
지수함수 \(y = 3^x\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(m\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(n\)만큼 평행이동한 그래프의 식이 \(y = f(x)\)이다. 이 그래프의 점근선이 직선 \(y = -3\)이고 점 \((2, 6)\)을 지날 때, 다음을 구하시오.
[2-1] (5점) 두 상수 \(m, n\)의 값을 각각 구하고 함수 \(f(x)\)의 식을 구하시오.
[2-2] (5점) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 점의 좌표와 \(y\)축과 만나는 점의 좌표를 각각 구하시오.
로그방정식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) = 3\)에 대하여 다음을 구하시오.
[3-1] (5점) 주어진 방정식의 모든 로그가 정의되기 위한 진수 조건(\(x\)의 값의 범위)을 구하시오.
[3-2] (5점) 로그의 성질을 이용하여 이차방정식을 세우고, 진수 조건을 만족시키는 실근 \(x\)의 값을 구하시오.
실수 \(\theta\)에 대하여 \(f(\theta) = 2\sin(\pi - \theta) + \cos(\pi + \theta) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) - \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)\)라 할 때, 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 각 변환 공식을 이용하여 네 항을 각각 \(\sin\theta\) 또는 \(\cos\theta\)로 나타내고 \(f(\theta)\)를 간단히 정리하시오.
[4-2] (5점) \(0 \le \theta \lt 2\pi\)에서 방정식 \(f(\theta) = \dfrac{1}{2}\)을 만족시키는 모든 실근 \(\theta\)의 합을 구하시오.
\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - (2\cos\theta)x + \sin^2\theta - \dfrac{1}{2} = 0\)이 실근을 갖도록 하는 \(\theta\;(0 \le \theta \le 2\pi)\)에 대하여 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) 판별식 \(\dfrac{D}{4} \ge 0\)과 \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\)를 이용하여 \(\cos\theta\)의 값의 범위를 구하시오.
[5-2] (5점) 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 위 조건을 만족시키는 \(\theta\)의 값의 범위를 구하시오.
극한 등식 \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + ax + 3} - x\right) = 4\)가 성립할 때, 다음을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)
[6-1] (5점) 분자를 유리화하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[6-2] (5점) 위에서 구한 \(a\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^2 + ax + 1} - 2x\right)\)의 값을 구하시오.
연속함수 \(f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x + 2\)에 대하여 방정식 \(f(x) = 0\)의 실근이 존재하는 구간을 조사하려고 한다. 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) 네 정수에서의 함숫값 \(f(-2),\; f(-1),\; f(0),\; f(1)\)의 값을 각각 구하고 부호를 표시하시오.
[7-2] (5점) 사잇값의 정리를 이용하여 세 열린구간 \((-2, -1),\; (-1, 0),\; (0, 1)\) 중 방정식 \(f(x) = 0\)의 실근이 반드시 존재하는 구간을 모두 찾고 그 이유를 쓰시오.
함수 \(f(x) = 3|x - 2| + x^2\)에 대하여 \(x = 2\)에서의 연속성과 미분가능성을 조사하려고 한다. 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) \(\lim_{x \to 2} f(x)\)와 \(f(2)\)를 비교하여 \(x = 2\)에서의 연속성을 판정하시오.
[8-2] (5점) \(x = 2\)에서의 우미분계수 \(\lim_{h \to 0+} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}\)와 좌미분계수를 각각 구하고, \(x = 2\)에서 미분가능한지 판정하시오.
삼차방정식 \(x^3 - 12x - k = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 함수 \(f(x) = x^3 - 12x\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.
[9-2] (5점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = k\)가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위와 정수 \(k\)의 개수를 구하시오.
정적분 \(A = \int_{1}^{3} \left(3x^2 - 4x + 1\right)\,dx\)와 \(B = \int_{2}^{2} \left(x^4 + 5x^2 - 7\right)\,dx + \int_{2}^{0} (2x + 3)\,dx\)에 대하여 다음을 구하시오.
[10-1] (5점) 정적분의 기본 정리를 이용하여 \(A\)의 값을 구하시오.
[10-2] (5점) 위끝과 아래끝이 같은 정적분 및 위끝·아래끝 교환 성질을 이용하여 \(B\)의 값을 구하고 \(A + B\)를 계산하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제3회 | 문항 1 | 대수 | 로그의 성질을 이용한 합·차의 소거 연산 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 2 | 대수 | 지수함수 그래프의 평행이동과 점근선·절편 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 3 | 대수 | 로그방정식의 풀이와 진수 조건에 의한 무연근 제거 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 4 | 대수 | 삼각함수의 평행이동과 대칭성을 이용한 식의 간단화 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 5 | 대수 | 삼각방정식으로 주어지는 이차방정식의 판별식 활용 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 무한대 마이너스 무한대 꼴 무리식의 극한 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 사잇값의 정리를 이용한 실근 존재 구간 판정 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 점프 불연속점과 첨점에서의 연속성·미분가능성 비교 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 정적분의 정의와 위끝·아래끝 성질을 이용한 계산 | 10점 | 중상 |
\(10 \le x \lt 100\)인 실수 \(x\)에 대하여 \(\log x\)의 소수 부분과 \(\log x^3\)의 소수 부분이 서로 같을 때, 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) \(\log x\)의 값의 범위를 구하고, 두 상용로그의 차 \(\log x^3 - \log x = 2\log x\)가 정수가 되어야 함을 이용하여 가능한 \(\log x\)의 값을 모두 구하시오.
[1-2] (5점) 위 조건을 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값의 곱을 구하시오.
닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = 2^{x + 1} \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x - 2}\)에 대하여 다음을 구하시오.
[2-1] (5점) 지수법칙을 이용하여 함수 \(f(x)\)를 \(k \cdot a^x\) (\(k, a\)는 상수)의 꼴로 정리하고 증가·감소를 판정하시오.
[2-2] (5점) 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)의 곱 \(Mm\)을 구하시오.
어떤 특수 필름 \(1\)장을 통과할 때마다 빛의 세기가 통과 전의 \(\dfrac{3}{4}\)배로 줄어든다. 처음 빛의 세기를 \(I_0\)이라 할 때, 다음을 구하시오. (단, \(\log 2 = 0.30,\; \log 3 = 0.48\)로 계산한다.)
[3-1] (5점) 이 필름 \(n\)장을 통과한 후의 빛의 세기 \(I_n\)을 \(I_0\)과 \(n\)에 대한 식으로 나타내고, 빛의 세기가 처음의 \(\dfrac{1}{100}\) 이하가 되기 위한 부등식을 세우시오.
[3-2] (5점) 양변에 상용로그를 취하여 빛의 세기가 처음의 \(\dfrac{1}{100}\) 이하가 되려면 최소 몇 장의 필름을 통과해야 하는지 구하시오.
좌표평면의 원점 \(\mathrm{O}\)와 제\(4\)사분면 위의 점 \(\mathrm{P}(5, -12)\)를 지나는 동경 \(\mathrm{OP}\)가 나타내는 각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 선분 \(\mathrm{OP}\)의 길이 \(r\)를 구하고 \(\sin\theta,\; \cos\theta,\; \tan\theta\)의 값을 각각 구하시오.
[4-2] (5점) \(13(\sin\theta - \cos\theta) + 5\tan\theta\)의 값을 구하시오.
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(A = 45^\circ,\; B = 60^\circ,\; a = 6\sqrt{2}\)일 때, 다음을 구하시오. (단, \(R\)는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이이다.)
[5-1] (5점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름의 길이 \(R\)와 변 \(b\)의 길이를 각각 구하시오.
[5-2] (5점)외접원의 넓이와 반지름이 \(b\)인 원의 둘레의 길이를 각각 구하시오.
함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 4\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오.
[6-1] (5점) \(\lim_{x \to 1} f(x)\)의 값을 구하고, 극한의 성질을 이용하여 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{f(x)}\)의 값을 구하시오.
[6-2] (5점) \(\lim_{x \to 1} \dfrac{3x^2 - 3 + 2f(x)}{x - 1 - f(x)}\)의 값을 구하시오.
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x + 2\)에서 \(x\)의 값이 \(0\)에서 \(3\)까지 변할 때의 평균변화율과 \(x = c\;(c \gt 0)\)에서의 미분계수 \(f'(c)\)가 서로 같을 때, 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) \(x\)의 값이 \(0\)에서 \(3\)까지 변할 때의 평균변화율을 구하시오.
[7-2] (5점) 양수 \(c\)의 값과 그때 \(f(c\sqrt{3})\)의 값을 각각 구하시오.
사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 3\)에 대하여 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하여 함수 \(f(x)\)가 극값을 갖는 모든 \(x\)의 값을 구하시오.
[8-2] (5점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)을 각각 구하고 \(M + m\)의 값을 구하시오.
수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치가 \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2\)일 때, 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 점 \(\mathrm{P}\)의 속도 \(v(t)\)와 가속도 \(a(t)\)를 각각 구하고, 가속도가 \(0\)이 되는 시각 \(t_0\)에서의 속도를 구하시오.
[9-2] (5점) 점 \(\mathrm{P}\)가 운동 방향을 바꾸는 두 시각에서의 가속도의 제곱의 합을 구하시오.
삼차곡선 \(y = x^3 - 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S\)라 할 때, 다음을 구하시오.
[10-1] (5점) 곡선과 \(x\)축의 교점의 \(x\)좌표를 모두 구하고, 구간별 부호를 판정하여 넓이 \(S\)를 정적분 식으로 나타내시오.
[10-2] (5점) 기함수 대칭성을 이용하여 넓이 \(S\)의 값을 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제4회 | 문항 1 | 대수 | 상용로그의 소수 부분 조건을 이용한 미지수 결정 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 2 | 대수 | 지수함수와 로그함수의 결합 최댓값·최솟값 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 3 | 대수 | 전파 감쇠 및 빛 투과율 실생활 지수부등식 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 4 | 대수 | 원점과 좌표평면 위의 점을 지나는 동경의 삼각함수 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 5 | 대수 | 사인법칙을 이용한 외접원의 반지름과 변의 길이 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 다항함수의 극한 성질을 이용한 함수값 추론 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 구간에서의 평균변화율과 미분계수가 같아지는 점 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 사차함수의 그래프의 개형과 극댓값·극솟값 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 수직선 위를 움직이는 점의 순간속도와 가속도 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 x축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 | 10점 | 중상 |
소리의 세기가 \(I\,(\mathrm{W/m^2})\)일 때 소리의 크기 \(L\,(\mathrm{dB})\)은 기준 소리 세기 \(I_0 = 10^{-12}\,(\mathrm{W/m^2})\)에 대하여 \(L = 10\log\dfrac{I}{I_0}\)으로 정의된다. 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) 소리의 세기가 \(I_A = 10^{-5}\,(\mathrm{W/m^2})\)인 곳의 소리의 크기 \(L_A\,(\mathrm{dB})\)를 구하시오.
[1-2] (5점) 소리의 크기가 \(80\,\mathrm{dB}\)인 소리의 세기 \(I_B\)는 소리의 크기가 \(50\,\mathrm{dB}\)인 소리의 세기 \(I_C\)의 몇 배인지 구하시오.
반지름의 길이가 \(r\), 중심각의 크기가 \(\theta\) (라디안)인 부채꼴의 호의 길이가 \(l = 4\pi\)이고 넓이가 \(S = 12\pi\)일 때, 다음을 구하시오.
[2-1] (5점) 부채꼴의 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}rl\)과 호의 길이 공식 \(l = r\theta\)를 이용하여 반지름 \(r\)와 중심각 \(\theta\)를 각각 구하시오.
[2-2] (5점) 둘레의 길이가 \(20\)인 부채꼴 중에서 넓이가 최대인 부채꼴의 중심각의 크기(라디안)와 최대 넓이를 구하시오.
\(\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{1}{2}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (5점) 양변을 제곱하여 \(\sin\theta\cos\theta\)의 값과 \((\sin\theta + \cos\theta)^2\)의 값을 각각 구하시오.
[3-2] (5점) \(\sin^4\theta + \cos^4\theta\)의 값을 구하시오.
두 수열 \(\{a_n\}, \{b_n\}\)이 \(a_1 = 2,\; a_{n+1} - a_n = 3\)과 \(b_1 = 3,\; \dfrac{b_{n+1}}{b_n} = 2\;(n = 1, 2, 3, \ldots)\)로 귀납적으로 정의될 때, 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 두 수열 \(\{a_n\}, \{b_n\}\)의 일반항 \(a_n, b_n\)을 각각 구하시오.
[4-2] (5점) \(a_{10} + b_5\)의 값을 구하시오.
모든 자연수 \(n\)에 대하여 등식 \(1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + \cdots + n(n + 1) = \dfrac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)\)가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명할 때, 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하고 \(n = k + 1\)일 때 성립함을 보이기 위해 양변에 더해야 하는 식 \(f(k)\)를 구하시오.
[5-2] (5점) \(\dfrac{1}{3}k(k + 1)(k + 2) + f(k)\)를 인수분해하여 정리한 식 \(g(k)\)를 구하고, \(f(4) + g(4)\)의 값을 구하시오.
함수 \(f(x)\)가 모든 양의 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(4x - 3 \le x f(x) \le 4x + 5\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오.
[6-1] (5점) 극한의 대소 관계를 이용하여 \(\lim_{x \to \infty} f(x)\)의 값을 구하시오.
[6-2] (5점) \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x^2 + 1)f(x)}{2x^2 - x + 4}\)의 값을 구하시오.
미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(f(2) = 3,\; f'(2) = -2\)를 만족시킬 때, 함수 \(g(x) = (x^2 - 1)f(x)\)에 대하여 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) 극한값 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + 3h) - f(2 - h)}{h}\)를 구하시오.
[7-2] (5점) 곡선 \(y = g(x)\) 위의 점 \((2, g(2))\)에서의 접선의 기울기 \(g'(2)\)를 구하시오.
모든 실수 \(x\)에 대하여 사차부등식 \(3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + k \ge 0\)이 항상 성립하도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 함수 \(f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + k\)의 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하여 극값을 갖는 모든 \(x\)의 값을 구하시오.
[8-2] (5점) 실수 전체의 집합에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값을 구하고, 주어진 부등식이 항상 성립하기 위한 실수 \(k\)의 최솟값을 구하시오.
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \(\int_{a}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 3x^2 + 4\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오. (단, \(a \gt 0\)인 상수이다.)
[9-1] (5점) 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 함수 \(f(x)\)를 구하고, \(f(2)\)의 값을 구하시오.
[9-2] (5점) 양변에 \(x = a\)를 대입하여 양수 \(a\)의 값을 구하시오.
좌표가 \(2\)인 점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 6t - 2t^2\)일 때, 다음을 구하시오.
[10-1] (5점) 시각 \(t = 3\)에서의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치를 구하시오.
[10-2] (5점) 시각 \(t = 0\)부터 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리 \(D\)를 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제5회 | 문항 1 | 대수 | 소리의 세기와 데시벨(dB) 상용로그 실생활 모델 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 2 | 대수 | 부채꼴의 호의 길이와 넓이 및 중심각의 호도법 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 3 | 대수 | 삼각함수의 제곱 관계와 네제곱·여섯제곱 대칭식 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 4 | 대수 | 등차수열과 등비수열의 귀납적 정의와 일반항 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 5 | 대수 | 수학적 귀납법을 이용한 제곱합 공식 증명 빈칸 추론 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 샌드위치 정리(함수의 극한의 대소 관계)의 활용 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 곱으로 표현된 함수의 미분계수와 접선의 기울기 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 사차부등식이 모든 실수에서 항상 성립할 조건 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 함수의 미분과 위끝·아래끝 대입 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 수직선 운동에서 위치의 변화량과 움직인 거리 | 10점 | 중상 |
\(1 \le n \le 150\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \(\left(\sqrt[3]{5} \times \sqrt[4]{7}\right)^n\)이 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 \(n\)의 개수와 \(n\)의 최솟값을 각각 구하시오.
두 지수함수 \(y = 2^x + 1\)과 \(y = 2^{x - 3} + 1\)의 그래프 및 두 직선 \(y = 3,\; y = 9\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 평행이동을 이용하여 구하시오.
반지름의 길이가 \(4\)이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{2\pi}{3}\)인 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\)에서 현 \(\mathrm{AB}\)와 호 \(\mathrm{AB}\)로 둘러싸인 활꼴의 넓이를 구하시오.
세 변의 길이가 \(a = 7,\; b = 8,\; c = 5\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 내각 \(A\)의 크기와 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 내접하는 원의 반지름의 길이 \(r\)를 각각 구하시오.
합 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (-1)^{k+1}(2k - 1)^2 = 1^2 - 3^2 + 5^2 - 7^2 + \cdots + 17^2 - 19^2\)의 값을 구하시오.
다항함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^3 + 1} = 1\)과 \(\displaystyle\lim_{x \to -1} \dfrac{f(x)}{(x + 1)^2} = 4\)를 동시에 만족시킬 때, \(f(1)\)의 값을 구하시오.
함수 \(f(x) = \begin{cases} ax^3 + bx & (x \lt 2) \\ 5x^2 - 2x + 4 & (x \ge 2) \end{cases}\)가 \(x = 2\)에서 미분가능할 때, 두 상수 \(a, b\)의 값과 \(f(-1)\)의 값을 구하시오.
함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 롤의 정리를 만족시키는 모든 상수 \(c\)의 합과 곱을 각각 구하시오.
실수 \(a\)에 대하여 포물선 \(y = x^2 + ax\)와 직선 \(y = 2x + 3\)으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S(a)\)가 최소일 때의 상수 \(a\)의 값과 최소 넓이를 각각 구하시오.
실수 전체에서 정의된 함수 \(g(x) = \displaystyle\int_{x}^{x+2} (3t^2 - 12t + 9)\,dt\)가 \(x = a\)에서 최솟값 \(m\)을 가질 때, \(a\)와 \(m\)의 값을 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제6회 | 문항 1 | 대수 | 서로 다른 소인수의 거듭제곱근의 곱이 자연수가 될 지수 조건 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 2 | 대수 | 평행이동된 두 지수곡선과 수평선으로 둘러싸인 도형의 등적 변형 | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 3 | 대수 | 부채꼴의 넓이에서 삼각형의 넓이를 뺀 활꼴의 넓이 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 4 | 대수 | 세 변의 길이가 주어진 삼각형의 내각·넓이와 내접원의 반지름 | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 5 | 대수 | 부호가 교대하는 홀수 제곱 수열의 두 항 묶음 합산 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 제곱 인수를 분모로 갖는 극한과 삼차함수의 결정 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 경계점 $x = 2$에서 미분가능한 구간함수의 계수 연립 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 롤의 정리를 만족시키는 모든 상수 c의 합과 곱 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이의 최솟값 | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 구간 길이가 2로 이동하는 정적분 함수의 극소와 최솟값 | 10점 | 최상 |
방정식 \(2\left(4^x + 4^{-x}\right) - 7\left(2^x + 2^{-x}\right) + 9 = 0\)의 모든 실근을 구하시오.
두 직선 \(x = 1,\; x = 9\)가 곡선 \(y = \log_3 x\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)라 하고, 곡선 \(y = \log_3(9x)\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{D}, \mathrm{C}\)라 할 때, 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이와 두 대각선의 교점의 좌표를 각각 구하시오.
\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{4}\)인 각 \(\theta\)에 대하여 \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = 4\)일 때, \(\sin\theta\cos\theta\)의 값과 \(\cos\theta - \sin\theta\)의 값을 각각 구하시오.
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 8,\; \overline{\mathrm{AC}} = 7,\; \overline{\mathrm{BC}} = 9\)이고 변 \(\mathrm{BC}\)를 \(2 : 1\)로 내분하는 점을 \(\mathrm{D}\)라 할 때, \(\cos B\)의 값과 선분 \(\mathrm{AD}\)의 길이를 각각 구하시오.
두 양수 \(a, b\)에 대하여 세 수 \(2,\; a,\; b\)는 이 순서대로 등비수열을 이루고, 세 수 \(a,\; b,\; 12\)는 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, \(a, b\)의 값과 \(a + b\)의 값을 각각 구하시오.
다항함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^4}{x^3} = -2\)와 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x^2} = 3\)을 만족시킬 때, 다항함수 \(f(x)\)를 구하고 \(f(2)\)의 값을 구하시오.
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x + 4\)에 대하여 모든 실수 \(t\)에서 \(f(2 + t) + f(2 - t)\)가 일정한 상수임을 보이고, 이를 이용하여 \(\displaystyle\sum_{k=-3}^{7} f(k)\)의 값을 구하시오.
곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 2\)에 접하고 직선 \(x + 9y - 3 = 0\)에 수직인 두 직선의 \(y\)절편의 합을 구하시오.
방정식 \(2x^3 - 9x^2 + 12x = k\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 모든 실수 \(k\)의 값을 구하고 그 곱을 구하시오.
정적분 \(\displaystyle\int_{0}^{4} |x^2 - 3x|\,dx\)의 값을 기약분수로 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제7회 | 문항 1 | 대수 | 산술·기하평균 치역 제한($u \ge 2$)이 걸린 대칭 지수방정식 | 10점 | 최상 |
| 제7회 | 문항 2 | 대수 | y축 평행이동된 두 로그곡선 위의 네 점이 이루는 평행사변형 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 3 | 대수 | 탄젠트와 역수의 합으로부터 사인·코사인 차의 값 구하기 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 4 | 대수 | 내분점이 주어진 삼각형에서 코사인법칙을 이용한 선분 길이 | 10점 | 최상 |
| 제7회 | 문항 5 | 대수 | 등차중항과 등비중항이 연립된 양수 수열의 결정 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | $x \to \infty$와 $x \to 0$에서의 분수 극한으로 사차다항함수 결정 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 삼차함수 그래프의 점대칭성을 이용한 연속 정수 함숫값의 합 | 10점 | 최상 |
| 제7회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 주어진 직선에 수직인 삼차곡선의 두 접선과 y절편의 합 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 서로 다른 두 실근만 가질 조건과 상수 곱 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 절댓값 이차함수의 부호 경계 분할 정적분 | 10점 | 상 |
소리의 세기가 \(I\)일 때 소리의 크기 \(L\,(\mathrm{dB})\)은 기준 세기 \(I_0\)에 대하여 \(L = 10\log\dfrac{I}{I_0}\)로 정의된다. 크기가 \(60\,\mathrm{dB}\)인 동일한 음원 \(32\)개가 동시에 울릴 때 합성된 소리의 세기는 \(32I\)가 된다. 이때 합성된 소리의 크기(단위: \(\mathrm{dB}\))를 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, \(\log 2 = 0.3010\))
지수부등식 \(2^{2x+1} - 9 \cdot 2^x + 4 \le 0\)을 만족시키는 실수 \(x\)에 대하여 함수 \(g(x) = 3^{x+1}\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\)인 각 \(\theta\)에 대하여 \(\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)일 때, \(\sin\theta\cos\theta\)의 값과 \(\sin^3\theta - \cos^3\theta\)의 값을 각각 구하시오.
볼록사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 \(\angle \mathrm{ABC} = \dfrac{\pi}{2},\; \overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{BC}} = 4\)이고 \(\overline{\mathrm{AD}} = \overline{\mathrm{CD}} = 5\)일 때, 대각선 \(\mathrm{AC}\)의 길이와 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이를 각각 구하시오.
합 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{9} k(k + 2)\)의 값을 구하시오.
미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(f(2) = 5\)이고 \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 f(2) - 4f(x)}{x - 2} = 12\)를 만족시킬 때, \(f'(2)\)의 값을 구하시오.
사차방정식 \(x^2(x - 4)^2 + 3 = k\)가 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위와 모든 정수 \(k\)의 개수를 각각 구하시오.
점 \((2, -1)\)에서 곡선 \(y = x^3 - 3x + 1\)에 그은 서로 다른 세 접선의 기울기를 각각 \(m_1, m_2, m_3\)이라 할 때, \(m_1 + m_2 + m_3\)의 값을 구하시오.
실수 전체에서 정의된 함수 \(f(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (t - 1)(t - 4)\,dt\)가 감소하는 \(x\)의 구간 \([a, b]\)를 구하고, \(f(b) - f(a)\)의 값을 구하시오.
삼차곡선 \(y = x^3 - 4x^2 + 3x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 기약분수로 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제8회 | 문항 1 | 대수 | 상용로그 데시벨(dB) 모델과 다중 음원의 세기 합성 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 2 | 대수 | 지수부등식의 해집합에서 거듭제곱 함수의 최대·최소 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 3 | 대수 | 사인·코사인의 차로부터 세제곱 차의 값 유도 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 4 | 대수 | 직각삼각형과 정삼각형이 결합된 볼록사각형의 넓이 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 5 | 대수 | 전개 후 거듭제곱 합 공식을 적용하는 이차 수열의 합 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 미분계수의 정의를 위한 분자의 가감 변형 극한 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 대칭 W형 사차방정식이 서로 다른 네 실근을 가질 조건 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 곡선 밖의 한 점에서 그은 세 접선의 기울기의 합 | 10점 | 최상 |
| 제8회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 삼차함수의 감소 구간과 극값의 차 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 원점을 지나는 삼차곡선과 x축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 합 | 10점 | 상 |
양수 \(a\)와 실수 \(x\)에 대하여 \(a^{2x} = 3 + 2\sqrt{2}\)일 때, \(\dfrac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값을 구하시오.
\(100 \le x \lt 1000\)인 실수 \(x\)에 대하여 \(\log x^2\)의 소수 부분과 \(\log \dfrac{1}{x}\)의 소수 부분이 같을 때, 이를 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값의 곱을 구하시오.
\(0 \le x \le 2\pi\)에서 삼각부등식 \(2\cos^2 x + 3\sin x - 3 \ge 0\)의 해가 \(\alpha \le x \le \beta\)일 때, \(\beta - \alpha\)와 \(\alpha + \beta\)의 값을 각각 구하시오.
평행사변형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 4,\; \overline{\mathrm{AD}} = 6\)이고 대각선 \(\overline{\mathrm{BD}} = 2\sqrt{7}\)일 때, \(\cos A\)의 값과 다른 대각선 \(\overline{\mathrm{AC}}\)의 길이를 각각 구하시오.
첫째항이 \(-13\)이고 공차가 \(3\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} |a_k|\)의 값을 구하시오.
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \((x - 2)f(x) = x^3 - ax^2 + 2x + 4\)를 만족시킬 때, 상수 \(a\)의 값과 \(f(2)\)의 값을 각각 구하시오.
다항식 \(x^{10} - 2x^4 + 3x - 1\)을 \((x - 1)^2\)으로 나누었을 때의 나머지를 \(R(x)\)라 할 때, \(R(x)\)를 구하고 \(R(3)\)의 값을 구하시오.
삼차함수 \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + k\)의 극댓값과 극솟값의 절댓값이 서로 같고 부호가 반대일 때, 상수 \(k\)의 값과 방정식 \(f(x) = 0\)의 서로 다른 모든 실근의 합을 각각 구하시오.
곡선 \(y = f(x)\) 위의 임의의 점 \((x, f(x))\)에서의 접선의 기울기가 \(6x^2 - 6x\)이고 함수 \(f(x)\)의 극솟값이 \(2\)일 때, \(f(x)\)의 극댓값과 \(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 각각 구하시오.
포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = kx\; (k \gt 0)\)로 둘러싸인 도형의 넓이가 \(36\)일 때, 양수 \(k\)의 값을 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제9회 | 문항 1 | 대수 | 거듭제곱 세제곱 합의 약분과 켤레 무리수 역수 대칭 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 2 | 대수 | 두 상용로그의 소수 부분이 같을 조건(차가 정수) | 10점 | 최상 |
| 제9회 | 문항 3 | 대수 | 이차 삼각부등식의 해 구간과 대칭축 합·차 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 4 | 대수 | 평행사변형의 두 변과 짧은 대각선으로부터 긴 대각선의 길이 구하기 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 5 | 대수 | 부호가 바뀌는 등차수열의 절댓값 합의 구간 분할 계산 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 인수 곱 등식으로 주어진 연속함수의 함숫값 결정 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 미분법을 이용한 고차다항식의 완전제곱식 나눗셈 나머지 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 극댓값과 극솟값의 절댓값이 같고 부호가 반대인 삼차방정식 | 10점 | 최상 |
| 제9회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 접선의 기울기 도함수와 극솟값으로 결정한 함수의 정적분 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 원점을 지나는 직선이 이루는 넓이로부터 기울기 역산 | 10점 | 상 |
어떤 배양기에서 세균 \(\mathrm{A}\)는 \(1\)시간마다 \(2\)배씩, 세균 \(\mathrm{B}\)는 \(1\)시간마다 \(4\)배씩 일정하게 증식한다. 처음에 세균 \(\mathrm{A}\)를 \(128\)마리, 세균 \(\mathrm{B}\)를 \(2\)마리 동시에 배양하기 시작했을 때, 세균 \(\mathrm{B}\)의 수가 세균 \(\mathrm{A}\)의 수의 \(8\)배 이상이 되는 것은 배양을 시작한 지 최소 몇 시간 후인지 구하시오. (단, 시간 \(n\)은 자연수이다.)
닫힌구간 \(\left[\dfrac{1}{9}, 27\right]\)에서 함수 \(f(x) = (\log_3 9x)\left(\log_3 \dfrac{x}{3}\right)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)의 합 \(M + m\)을 구하시오.
닫힌구간 \([0, 6]\)에서 함수 \(y = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}x\right)\)의 그래프가 직선 \(y = -1\)과 만나는 두 점을 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)라 하고, 이 그래프가 최솟값을 갖는 점을 \(\mathrm{C}\)라 할 때, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 구하시오.
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{AC}} = 5,\; \angle A = \dfrac{2\pi}{3}\)일 때, 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이와 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 넓이를 각각 구하시오.
수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = 2a_n + 1\)을 만족시킬 때, 일반항 \(a_n\)을 구하고 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{7} a_k\)의 값을 구하시오.
다항함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2} = 2\)와 \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{\sqrt{x + 2} - 2} = 16\)을 만족시킬 때, 다항함수 \(f(x)\)를 구하고 \(f(5)\)의 값을 구하시오.
최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 \(f(0) = 0\)이고, 실수 전체의 집합에서 함수 \(|f(x)|\)가 미분가능하지 않은 점은 \(x = k\; (k \gt 0)\)뿐이다. 닫힌구간 \([0, k]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값이 \(-32\)일 때, 양수 \(k\)의 값과 \(f(k + 1)\)의 값을 각각 구하시오.
좌표평면에서 곡선 \(y = 12 - x^2\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 영역에 내접하고 한 변이 \(x\)축 위에 있는 직사각형에 대하여, 이 직사각형의 넓이의 최댓값과 둘레의 길이의 최댓값을 각각 구하시오.
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{2}^{x} (x - t)f(t)\,dt = x^4 - 4x^3 + ax + b\)를 만족시킬 때, 두 상수 \(a, b\)의 값과 \(f(3)\)의 값을 각각 구하시오.
지면으로부터 \(25\,\mathrm{m}\)의 높이에서 초속 \(20\,\mathrm{m/s}\)로 똑바로 위로 던져 올린 물체의 \(t\)초 후의 속도가 \(v(t) = 20 - 10t\; (\mathrm{m/s})\)일 때, 이 물체가 도달하는 최고 높이와 지면에 떨어지는 순간의 속력을 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제10회 | 문항 1 | 대수 | 서로 다른 배율로 증식하는 두 세균 군집의 지수부등식 모델 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 2 | 대수 | 제한된 구간에서 로그 곱셈 함수의 치환 최대·최소 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 3 | 대수 | 주기가 6인 코사인함수 그래프와 수평선의 교점 삼각형 넓이 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 4 | 대수 | 둔각삼각형의 코사인법칙 변의 길이와 사인법칙 외접원의 넓이 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 5 | 대수 | 일차 비동차 점화식 $a_{n+1} = 2a_n + 1$의 평행이동 일반항과 합 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 무리식 분모 극한과 무한대 극한을 결합한 이차다항함수 결정 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 원점을 지나고 양수 한 점에서만 |f(x)|가 미분불가능한 삼차함수 | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 포물선과 x축 사이에 내접하는 직사각형의 최대 넓이와 최대 둘레 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 피적분함수에 (x - t)가 곱해진 정적분 항등식의 2회 미분 | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 수직 상방 투사 물체의 최고 높이와 지면 충돌 순간의 속력 | 10점 | 상 |
\(0\)이 아닌 두 실수 \(a, b\)에 대하여 \(\left(-2a^2 b^3\right)^3 \div \left(4a^4 b^5\right) \times \left(a b^2\right)^2 = c a^p b^q\)이 성립할 때, 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) 지수법칙을 이용하여 상수 \(c\)와 자연수 \(p, q\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (5점) \(a = 2,\; b = \dfrac{1}{2}\)일 때 위 식 \(c a^p b^q\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 지수법칙 \((ab)^n = a^n b^n\), \(a^m \div a^n = a^{m-n}\), \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(-8a^6 b^9 \div (4a^4 b^5) \times a^2 b^4 = -2 a^{6-4+2} b^{9-5+4} = -2 a^4 b^8\)이므로 \(c = -2,\; p = 4,\; q = 8\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(a = 2,\; b = 2^{-1}\)을 대입하면 \(-2 \times 2^4 \times 2^{-8} = -2 \times 2^{-4} = -\dfrac{1}{8}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 계수 \(c = -8 \div 4 = -2\) 산출 / 지수 \(p = 4,\; q = 8\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(2^4 \times (1/2)^8 = 2^{-4}\) 정리 / 최종값 \(-\dfrac{1}{8}\) 산출 | 3점 |
\(a \gt 0,\; b \gt 0\)일 때, \(\sqrt{a\sqrt[3]{a^2}} \times \sqrt[6]{a^5} = a^k\)이고 \(\left(a^{\frac{1}{2}} b^{-\frac{1}{3}}\right)^6 \div \left(a^2 b^{-3}\right) = a^m b^n\)이다. 다음을 구하시오.
[2-1] (5점) 유리수 지수법칙을 이용하여 유리수 \(k\)의 값을 구하시오.
[2-2] (5점) 정수 \(m, n\)의 값을 각각 구하고 \(6k + m + n\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 근호와 유리수 지수의 관계 \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\) 및 실수 지수법칙을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\sqrt{a \cdot a^{\frac{2}{3}}} = \left(a^{\frac{5}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{6}}\)이므로 \(a^{\frac{5}{6}} \times a^{\frac{5}{6}} = a^{\frac{5}{3}} \implies k = \dfrac{5}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(a^3 b^{-2} \div (a^2 b^{-3}) = a^{3-2} b^{-2-(-3)} = a^1 b^1\)이므로 \(m = 1,\; n = 1\)이고 \(6k + m + n = 10 + 2 = 12\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\sqrt{a\sqrt[3]{a^2}} = a^{\frac{5}{6}}\) 변환 / \(k = \dfrac{5}{3}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(m = 1,\; n = 1\) 도출 / \(6k + m + n = 12\) 산출 | 3점 |
세 실수 \(A = 2\log_{\frac{1}{3}} 2,\; B = \log_{\frac{1}{3}} 5,\; C = -\log_{3} 3\sqrt{3}\)에 대하여 다음을 구하시오.
[3-1] (5점) 세 수 \(A, B, C\)를 모두 밑이 \(\dfrac{1}{3}\)인 로그 \(\log_{\frac{1}{3}} N\)의 꼴로 나타내시오.
[3-2] (5점) 밑이 \(\dfrac{1}{3}\)인 로그함수의 감소 성질을 이용하여 \(A, B, C\)의 대소 관계를 부등호로 나타내시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(0 \lt a \lt 1\)일 때 로그함수 \(y = \log_a x\)는 감소함수이므로 \(p \lt q \iff \log_a p \gt \log_a q\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(A = \log_{\frac{1}{3}} 2^2 = \log_{\frac{1}{3}} 4\), \(B = \log_{\frac{1}{3}} 5\), \(C = \log_{\frac{1}{3}} (3\sqrt{3}) = \log_{\frac{1}{3}} \sqrt{27}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 진수를 비교하면 \(\sqrt{16} \lt \sqrt{25} \lt \sqrt{27}\), 즉 \(4 \lt 5 \lt 3\sqrt{3}\)이고 밑이 \(\dfrac{1}{3} \lt 1\)이므로 \(C \lt B \lt A\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(A = \log_{1/3} 4,\; C = \log_{1/3} \sqrt{27}\) 밑 통일 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 진수 대소 \(4 \lt 5 \lt \sqrt{27}\) 비교 / 부등호 반전 \(C \lt B \lt A\) 결론 | 3점 |
크기가 \(-1020^\circ\)인 각의 동경이 나타내는 일반각을 \(360^\circ \times n + \alpha^\circ\) (\(n\)은 정수, \(0^\circ \le \alpha^\circ \lt 360^\circ\))라 할 때, 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 정수 \(n\)과 \(\alpha\)의 값을 각각 구하고, 이 동경이 제몇 사분면에 위치하는지 구하시오.
[4-2] (5점) 각 \(\theta = \alpha^\circ\)일 때 \(\sin\theta + \cos\theta + \tan\theta\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 일반각의 표현 \(360^\circ \times n + \alpha^\circ\;(0^\circ \le \alpha^\circ \lt 360^\circ)\)에서 양의 최소각 \(\alpha^\circ\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(-1020^\circ = 360^\circ \times (-3) + 60^\circ\)이므로 \(n = -3,\; \alpha = 60\)이고 제\(1\)사분면의 각이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(\theta = 60^\circ\)이므로 \(\sin 60^\circ + \cos 60^\circ + \tan 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} + \sqrt{3} = \dfrac{1 + 3\sqrt{3}}{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(n = -3,\; \alpha = 60\) 산출 / 제\(1\)사분면 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(60^\circ\) 삼각비 대입 / \(\dfrac{1 + 3\sqrt{3}}{2}\) 도출 | 3점 |
\(0 \le x \lt 2\pi\)일 때, 두 삼각방정식 \(2\cos x - \sqrt{3} = 0\)과 \(\tan x + 1 = 0\)에 대하여 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) \(0 \le x \lt 2\pi\)에서 방정식 \(2\cos x - \sqrt{3} = 0\)의 모든 실근을 구하시오.
[5-2] (5점) \(0 \le x \lt 2\pi\)에서 방정식 \(\tan x + 1 = 0\)의 모든 실근을 구하고, 두 방정식의 모든 실근의 총합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 단위원과 삼각함수 그래프의 주기·대칭성을 이용하여 \([0, 2\pi)\)에서의 특수각 실근을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)에서 제\(1, 4\)사분면의 각 \(x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{11\pi}{6}\)이고 합은 \(2\pi\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(\tan x = -1\)에서 제\(2, 4\)사분면의 각 \(x = \dfrac{3\pi}{4},\; \dfrac{7\pi}{4}\)이고 합은 \(\dfrac{5\pi}{2}\)이므로 네 근의 총합은 \(2\pi + \dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{9\pi}{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)로부터 \(\dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{11\pi}{6}\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(\tan x = -1\)의 두 근 \(\dfrac{3\pi}{4},\; \dfrac{7\pi}{4}\) 산출 / 총합 \(\dfrac{9\pi}{2}\) 도출 | 3점 |
극한값 \(A = \lim_{x \to 2} \left(x^2 - 3x + 5\right)\)와 \(B = \lim_{x \to -1} \dfrac{x^2 + 4x + 3}{x + 1}\)에 대하여 다음을 구하시오.
[6-1] (5점) 극한값 \(A\)와 \(B\)를 각각 구하시오.
[6-2] (5점) \(\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + Ax - (A + 1)}{x - 1} + B\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항함수의 극한 대입 성질과 \(\dfrac{0}{0}\) 꼴 유리식의 인수분해 약분 원리를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(A = 4 - 6 + 5 = 3\)이고, \(B = \lim_{x \to -1} \dfrac{(x + 1)(x + 3)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} (x + 3) = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(A = 3\)을 대입하면 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x + 4)}{x - 1} + 2 = 5 + 2 = 7\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(A = 3\) 산출 / 인수분해 약분으로 \(B = 2\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \((x-1)(x+4)\) 인수분해 약분으로 극한 \(5\) 산출 / 합 \(7\) 도출 | 3점 |
유리함수 \(f(x) = \dfrac{2x + 6}{x^2 - 4x + k}\)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 정수 \(k\)에 대하여 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) 유리함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되기 위한 상수 \(k\)의 값의 범위를 판별식을 이용하여 구하시오.
[7-2] (5점) \(k\)가 위 범위를 만족시키는 최소의 정수일 때, \(f(1) + f(3)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 분모가 다항식인 유리함수가 실수 전체에서 연속이려면 모든 실수 \(x\)에서 분모가 \(0\)이 아니어야 함(\(D \lt 0\))을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이차방정식 \(x^2 - 4x + k = 0\)이 실근을 갖지 않아야 하므로 \(\dfrac{D}{4} = (-2)^2 - k = 4 - k \lt 0 \implies k \gt 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 최소 정수 \(k = 5\)일 때 \(f(x) = \dfrac{2x + 6}{x^2 - 4x + 5}\)이므로 \(f(1) = \dfrac{8}{2} = 4,\; f(3) = \dfrac{12}{2} = 6\)이 되어 합은 \(10\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 분모 \(\ne 0\) 조건(\(D/4 = 4 - k \lt 0\)) 수립 / \(k \gt 4\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최소 정수 \(k = 5\) 결정 / \(f(1) + f(3) = 4 + 6 = 10\) 산출 | 3점 |
삼차함수 \(f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 5\)가 \(f'(1) = 4\)와 \(f'(-1) = 12\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)
[8-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고 두 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[8-2] (5점) \(f(2) + f'(2)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 거듭제곱의 도함수 공식 \((x^n)' = n x^{n-1}\)과 선형성을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f'(x) = 6x^2 + 2ax + b\)에서 \(f'(1) = 6 + 2a + b = 4,\; f'(-1) = 6 - 2a + b = 12\)를 연립하면 \(a = -2,\; b = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 2x - 5\)에서 \(f(2) = 7\), \(f'(2) = 24 - 8 + 2 = 18\)이 아닌 \(f'(2) = 6(4) - 4(2) + 2 = 18\)이므로 합은 \(7 + 18 = 25\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f'(x) = 6x^2 + 2ax + b\) 도출 / 연립으로 \(a = -2,\; b = 2\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(f(2) = 7,\; f'(2) = 18\) 각각 계산 / 합 \(25\) 도출 | 3점 |
곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 5x + 1\)에 접하고 기울기가 \(2\)인 직선에 대하여 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 접점의 좌표 \((t, f(t))\)와 이 접선의 방정식을 구하시오.
[9-2] (5점) 이 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(f'(t) = 2\)를 만족시키는 접점의 \(x\)좌표 \(t\)를 구하여 접선 \(y - f(t) = 2(x - t)\)를 세운다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f'(t) = 3t^2 - 6t + 5 = 2 \implies 3(t - 1)^2 = 0\)에서 \(t = 1\)이고 \(f(1) = 4\)이므로 접선은 \(y = 2(x - 1) + 4 = 2x + 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(x\)절편은 \(-1\), \(y\)절편은 \(2\)이므로 삼각형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times |-1| \times 2 = 1\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(3(t-1)^2 = 0 \implies t = 1\) 및 접점 \((1, 4)\) 산출 / 접선 \(y = 2x + 2\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(x\)절편 \(-1\), \(y\)절편 \(2\) 산출 / 넓이 \(1\) 도출 | 3점 |
다항함수 \(f(x)\)가 \(\int \left\{f(x) + 2x\right\}\,dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오. (단, \(C\)는 적분상수이다.)
[10-1] (5점) 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 함수 \(f(x)\)를 구하시오.
[10-2] (5점) \(F'(x) = f(x)\)이고 \(F(0) = 2\)인 함수 \(F(x)\)에 대하여 \(F(2)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부정적분과 미분의 역연산 관계 \(\dfrac{d}{dx}\left(\int g(x)\,dx\right) = g(x)\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양변을 미분하면 \(f(x) + 2x = 3x^2 - 4x + 5\)이므로 \(f(x) = 3x^2 - 6x + 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(F(x) = \int (3x^2 - 6x + 5)\,dx = x^3 - 3x^2 + 5x + 2\)이므로 \(F(2) = 8 - 12 + 10 + 2 = 8\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양변 미분으로 \(f(x) + 2x = 3x^2 - 4x + 5\) 도출 / \(f(x) = 3x^2 - 6x + 5\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(F(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 2\) 결정 / \(F(2) = 8\) 도출 | 3점 |
\(a \gt 0,\; a \ne 1\)일 때 로그 방정식 \(\log_2\left\{\log_3\left(\log_a 512\right)\right\} = 1\)과 \(\log_{\sqrt{2}} x = 6\)을 만족시키는 양수 \(a, x\)에 대하여 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) 로그의 정의 \(p = \log_b N \iff b^p = N\)을 바깥쪽부터 차례로 적용하여 양수 \(a\)의 값을 구하시오.
[1-2] (5점) 양수 \(x\)의 값을 구하고 \(a + x\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그의 정의 \(\log_b N = p \iff N = b^p\)를 바깥쪽 로그부터 순차적으로 적용함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\log_3(\log_a 512) = 2^1 = 2 \implies \log_a 512 = 3^2 = 9\)이므로 \(a^9 = 512 = 2^9\)에서 \(a = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(x = (\sqrt{2})^6 = 2^3 = 8\)이므로 \(a + x = 2 + 8 = 10\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\log_3(\log_a 512) = 2\) 및 \(\log_a 512 = 9\) 유도 / \(a = 2\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(x = (\sqrt{2})^6 = 8\) 산출 / \(a + x = 10\) 도출 | 3점 |
\(\log 4.25 = 0.6284\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (5점) 상용로그의 성질을 이용하여 \(\log 4250\)과 \(\log 0.0425\)의 값을 각각 구하시오.
[2-2] (5점) \(\log N = -1.3716\)을 만족시키는 양수 \(N\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 양수 \(N = a \times 10^n\;(1 \le a \lt 10,\; n\text{은 정수})\)일 때 \(\log N = n + \log a\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\log 4250 = \log(4.25 \times 10^3) = 3 + 0.6284 = 3.6284\)이고, \(\log 0.0425 = \log(4.25 \times 10^{-2}) = -2 + 0.6284 = -1.3716\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(-1.3716 = -2 + 0.6284 = \log(10^{-2} \times 4.25)\)이므로 \(N = 0.0425\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\log 4250 = 3.6284\) 산출 / \(\log 0.0425 = -1.3716\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(-1.3716 = -2 + 0.6284\) 분리 / \(N = 0.0425\) 산출 | 3점 |
닫힌구간 \([1, 13]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \log_2 (x + 3) + k\)의 최댓값이 \(7\)일 때, 다음을 구하시오. (단, \(k\)는 상수이다.)
[3-1] (5점) 밑이 \(2 \gt 1\)인 로그함수의 증가 성질을 이용하여 상수 \(k\)의 값을 구하시오.
[3-2] (5점) 닫힌구간 \([1, 13]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값 \(m\)과 그래프의 점근선의 방정식을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 밑이 \(2 \gt 1\)인 로그함수 \(f(x)\)는 증가함수이므로 구간 \([1, 13]\)에서 \(f(13)\)이 최댓값, \(f(1)\)이 최솟값임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 최댓값은 \(f(13) = \log_2 16 + k = 4 + k = 7\)이므로 \(k = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 최솟값은 \(m = f(1) = \log_2 4 + 3 = 2 + 3 = 5\)이고, 진수가 \(0\)이 되는 경계인 점근선의 방정식은 \(x = -3\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 증가함수 판정 및 \(f(13) = 4 + k = 7\) 수립 / \(k = 3\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최솟값 \(f(1) = 5\) 산출 / 점근선 \(x = -3\) 명시 | 3점 |
\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\)일 때, 각 \(\theta\)를 나타내는 동경과 각 \(7\theta\)를 나타내는 동경이 일직선 위에 있고 방향이 반대(원점 대칭)이다. 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 두 동경이 일직선 위에 있고 방향이 반대일 조건 \(7\theta - \theta = 2n\pi + \pi\) (\(n\)은 정수)를 이용하여 각 \(\theta\)의 값을 모두 구하시오.
[4-2] (5점) 위에서 구한 \(\theta\)에 대하여 \(\sin 2\theta + \cos 2\theta\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 동경이 일직선 위에 있고 방향이 반대이면 두 각의 차가 \(2n\pi + \pi\) (\(n\)은 정수)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(6\theta = (2n + 1)\pi\)에서 \(\theta = \dfrac{2n + 1}{6}\pi\)이고, \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\)를 만족시키는 정수는 \(n = 0\)뿐이므로 \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(2\theta = \dfrac{\pi}{3}\)이므로 \(\sin\dfrac{\pi}{3} + \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(6\theta = (2n+1)\pi\) 관계식 수립 / 범위 적용하여 \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(2\theta = \dfrac{\pi}{3}\) 대입 / \(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\) 산출 | 3점 |
삼각함수 \(f(x) = -3\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) + 2\)에 대하여 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) 함수 \(f(x)\)의 주기 \(T\), 최댓값 \(M\), 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.
[5-2] (5점) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = k\)가 만나도록 하는 모든 정수 \(k\)의 개수를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 \(y = a\sin(bx + c) + d\)의 주기는 \(\dfrac{2\pi}{|b|}\), 최댓값은 \(|a| + d\), 최솟값은 \(-|a| + d\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(a = -3,\; b = 2,\; d = 2\)이므로 주기 \(T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\), 최댓값 \(M = |-3| + 2 = 5\), 최솟값 \(m = -|-3| + 2 = -1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 치역이 \([-1, 5]\)이므로 직선 \(y = k\)와 만나려면 \(-1 \le k \le 5\)이어야 하며, 정수 \(k\)의 개수는 \(5 - (-1) + 1 = 7\)개이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주기 \(T = \pi\) 산출 / \(M = 5,\; m = -1\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 교점 존재 범위 \(-1 \le k \le 5\) 수립 / 정수 \(7\)개 산출 | 3점 |
두 극한값 \(A = \lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4}\)와 \(B = \lim_{x \to -1} \dfrac{x^3 + 1}{x^2 + 3x + 2}\)에 대하여 다음을 구하시오.
[6-1] (5점) 세제곱 인수분해 공식 \(a^3 \pm b^3\)을 이용하여 \(A\)의 값을 구하시오.
[6-2] (5점) \(B\)의 값을 구하고 \(A + B\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\) 및 \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\) 인수분해 약분 원리를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(A = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{4 + 4 + 4}{4} = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(B = \lim_{x \to -1} \dfrac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \dfrac{1 + 1 + 1}{1} = 3\)이므로 \(A + B = 6\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(x - 2\) 인수 약분 후 \(\dfrac{12}{4}\) 계산 / \(A = 3\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(x + 1\) 인수 약분으로 \(B = 3\) 산출 / \(A + B = 6\) 도출 | 3점 |
함수 \(f(x) = \dfrac{\sqrt{10 - 2x}}{x - 2} + \sqrt{x + 3}\)이 연속인 구간에 속하는 모든 정수 \(x\)에 대하여 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) 근호 안이 \(0\) 이상일 조건과 분모가 \(0\)이 아닐 조건을 모두 구하여, 함수 \(f(x)\)가 연속인 구간을 기호로 나타내시오.
[7-2] (5점) 함수 \(f(x)\)가 연속인 구간에 속하는 모든 정수 \(x\)의 개수와 그 정수들의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 무리함수는 근호 안의 식이 \(0\) 이상인 구간에서 연속이고, 유리함수는 분모가 \(0\)이 아닌 점에서 연속임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(10 - 2x \ge 0 \implies x \le 5\), \(x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3\)이고 분모 \(x - 2 \ne 0 \implies x \ne 2\)이므로 연속 구간은 \([-3, 2) \cup (2, 5]\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구간 내 정수는 \(-3, -2, -1, 0, 1, 3, 4, 5\)의 총 \(8\)개이고, 합은 \((-3+3)+(-2+4)+(-1+5)+0+1 = 7\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(-3 \le x \le 5\) 및 \(x \ne 2\) 도출 / 구간 기호 \([-3, 2) \cup (2, 5]\) 표기 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(x = 2\) 제외한 정수 \(8\)개 산출 / 합 \(7\) 도출 | 3점 |
다항함수 \(f(x) = (x - 1)(x - 2)(2x + 1)\)과 \(g(x) = (x^2 + 1)(x - 3)\)에 대하여 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 세 함수의 곱의 미분법 \((uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'\)을 이용하여 \(f'(1)\)과 \(f'(2)\)의 값을 각각 구하시오.
[8-2] (5점) 곱의 미분법을 이용하여 \(g'(2)\)의 값을 구하고 \(f'(1) + f'(2) + g'(2)\)를 계산하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곱의 미분법 \((uv)' = u'v + uv'\) 및 \((uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f'(x) = (x-2)(2x+1) + (x-1)(2x+1) + 2(x-1)(x-2)\)이므로 \(f'(1) = (-1)(3) = -3\), \(f'(2) = (1)(5) = 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(g'(x) = 2x(x - 3) + (x^2 + 1)\)이므로 \(g'(2) = 4(-1) + 5 = 1\)이고, 총합은 \(-3 + 5 + 1 = 3\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 곱의 미분법 전개 / \(f'(1) = -3,\; f'(2) = 5\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(g'(2) = 1\) 산출 / 합 \(3\) 도출 | 3점 |
삼차함수 \(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 2\)가 닫힌구간 \([\alpha, \beta]\)에서 증가할 때, 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)의 부호를 조사하여 \(f'(x) \ge 0\)을 만족시키는 \(x\)의 값의 범위를 구하시오.
[9-2] (5점) \(\beta - \alpha\)의 최댓값 \(L\)과 그때 \(f(\beta) - f(\alpha)\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 구간에서 증가할 조건은 그 구간에서 \(f'(x) \ge 0\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x + 1)(x - 3) \ge 0\)이므로 \(-1 \le x \le 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(\alpha \ge -1,\; \beta \le 3\)이므로 \(\beta - \alpha\)의 최댓값은 \(L = 3 - (-1) = 4\)이고, 그때 \(f(3) - f(-1) = 25 - (-7) = 32\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f'(x) = -3(x+1)(x-3) \ge 0\) 인수분해 / \(-1 \le x \le 3\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최댓값 \(L = 4\) 산출 / \(f(3) - f(-1) = 25 - (-7) = 32\) 도출 | 3점 |
다항함수 \(f(x)\)의 도함수가 \(f'(x) = 3x^2 - 4x + k\)이고 \(f(0) = 2,\; f(1) = 4\)일 때, 다음을 구하시오. (단, \(k\)는 상수이다.)
[10-1] (5점) 부정적분을 이용하여 \(f(x)\)를 적분상수 \(C\)와 \(k\)로 나타내고, \(C\)와 \(k\)의 값을 각각 구하시오.
[10-2] (5점) \(f(3)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부정적분 \(f(x) = \int f'(x)\,dx = x^3 - 2x^2 + kx + C\)에 초기조건을 대입함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f(0) = C = 2\)이고, \(f(1) = 1 - 2 + k + 2 = 4\)에서 \(k = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 2\)이므로 \(f(3) = 27 - 18 + 9 + 2 = 20\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부정적분 작성 및 \(C = 2\) 결정 / \(f(1) = 4\)로 \(k = 3\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 완성된 \(f(x)\)에 \(x = 3\) 대입 / \(f(3) = 20\) 도출 | 3점 |
로그의 성질을 이용하여 두 식 \(A = \log_3 \dfrac{4}{3} + 2\log_3 \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)와 \(B = \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 16\)에 대하여 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) 진수의 곱셈·거듭제곱 성질을 이용하여 \(A\)의 값을 구하시오.
[1-2] (5점) 밑변환 공식을 이용하여 \(B\)의 값을 구하고 \(A + B\)를 계산하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그의 성질 \(\log_a M + k\log_a N = \log_a(M N^k)\)과 밑변환 공식 \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(A = \log_3 \left\{\dfrac{4}{3} \times \left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2\right\} = \log_3 \left(\dfrac{4}{3} \times \dfrac{27}{4}\right) = \log_3 9 = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(B = \dfrac{\log 3}{\log 2} \cdot \dfrac{\log 5}{\log 3} \cdot \dfrac{4\log 2}{\log 5} = 4\)이므로 \(A + B = 6\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(2\log_3 \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = \log_3 \dfrac{27}{4}\) 변형 / \(A = \log_3 9 = 2\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 밑변환 연쇄 약분으로 \(B = 4\) 도출 / \(A + B = 6\) 산출 | 3점 |
지수함수 \(y = 3^x\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(m\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(n\)만큼 평행이동한 그래프의 식이 \(y = f(x)\)이다. 이 그래프의 점근선이 직선 \(y = -3\)이고 점 \((2, 6)\)을 지날 때, 다음을 구하시오.
[2-1] (5점) 두 상수 \(m, n\)의 값을 각각 구하고 함수 \(f(x)\)의 식을 구하시오.
[2-2] (5점) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 점의 좌표와 \(y\)축과 만나는 점의 좌표를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(y = 3^x\)을 평행이동한 함수 \(f(x) = 3^{x - m} + n\)의 점근선은 직선 \(y = n\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 점근선이 \(y = -3\)이므로 \(n = -3\)이고, 점 \((2, 6)\)을 지나므로 \(3^{2 - m} - 3 = 6 \implies 3^{2 - m} = 9 = 3^2\)에서 \(m = 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(f(x) = 3^x - 3\)에서 \(f(x) = 0 \implies x = 1\)이므로 \(x\)절편은 \((1, 0)\), \(f(0) = 1 - 3 = -2\)이므로 \(y\)절편은 \((0, -2)\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 점근선으로 \(n = -3\) 결정 / \((2, 6)\) 대입하여 \(m = 0\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(x\)절편 \((1, 0)\) 산출 / \(y\)절편 \((0, -2)\) 도출 | 3점 |
로그방정식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) = 3\)에 대하여 다음을 구하시오.
[3-1] (5점) 주어진 방정식의 모든 로그가 정의되기 위한 진수 조건(\(x\)의 값의 범위)을 구하시오.
[3-2] (5점) 로그의 성질을 이용하여 이차방정식을 세우고, 진수 조건을 만족시키는 실근 \(x\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그방정식을 풀 때는 먼저 각 로그의 진수가 양수일 조건을 구한 뒤 로그를 결합함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 진수 조건은 \(x - 1 \gt 0\)이고 \(x - 3 \gt 0\)이므로 공통 범위는 \(x \gt 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(\log_2\{(x - 1)(x - 3)\} = 3 \implies (x - 1)(x - 3) = 2^3 = 8 \implies x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1) = 0\)에서 \(x \gt 3\)이므로 \(x = 5\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(x - 1 \gt 0,\; x - 3 \gt 0\) 각각 제시 / 공통 범위 \(x \gt 3\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \((x-1)(x-3) = 8\) 방정식 풀이 / \(x = -1\) 버리고 \(x = 5\) 선택 | 3점 |
실수 \(\theta\)에 대하여 \(f(\theta) = 2\sin(\pi - \theta) + \cos(\pi + \theta) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) - \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)\)라 할 때, 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 각 변환 공식을 이용하여 네 항을 각각 \(\sin\theta\) 또는 \(\cos\theta\)로 나타내고 \(f(\theta)\)를 간단히 정리하시오.
[4-2] (5점) \(0 \le \theta \lt 2\pi\)에서 방정식 \(f(\theta) = \dfrac{1}{2}\)을 만족시키는 모든 실근 \(\theta\)의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 각 변환 공식 \(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta,\; \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta,\; \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right) = \cos\theta,\; \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right) = \sin\theta\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 식 \(f(\theta) = 2\sin(\pi - \theta) + \cos(\pi + \theta) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) - \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)\)에서 \(2\sin\theta - \cos\theta + \cos\theta - \sin\theta = \sin\theta\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(0 \le \theta \lt 2\pi\)에서 \(f(\theta) = \sin\theta = \dfrac{1}{2}\)의 두 근은 \(\theta = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6}\)이므로 합은 \(\pi\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 네 항의 각 변환 정확히 수행 / \(f(\theta) = \sin\theta\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(\sin\theta = \dfrac{1}{2}\)의 두 근 \(\dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6}\) 산출 / 합 \(\pi\) 도출 | 3점 |
\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - (2\cos\theta)x + \sin^2\theta - \dfrac{1}{2} = 0\)이 실근을 갖도록 하는 \(\theta\;(0 \le \theta \le 2\pi)\)에 대하여 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) 판별식 \(\dfrac{D}{4} \ge 0\)과 \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\)를 이용하여 \(\cos\theta\)의 값의 범위를 구하시오.
[5-2] (5점) 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 위 조건을 만족시키는 \(\theta\)의 값의 범위를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 이차방정식이 실근을 가질 조건 \(\dfrac{D}{4} \ge 0\)과 삼각함수 항등식 \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\dfrac{D}{4} = \cos^2\theta - \left(1 - \cos^2\theta - \dfrac{1}{2}\right) = 2\cos^2\theta - \dfrac{1}{2} \ge 0\)에서 \(\cos^2\theta \ge \dfrac{1}{4}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(\cos\theta \le -\dfrac{1}{2}\) 또는 \(\cos\theta \ge \dfrac{1}{2}\)이므로 \(0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{3}\) 또는 \(\dfrac{2\pi}{3} \le \theta \le \dfrac{4\pi}{3}\) 또는 \(\dfrac{5\pi}{3} \le \theta \le 2\pi\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(D/4 = 2\cos^2\theta - \dfrac{1}{2} \ge 0\) 정리 / \(|\cos\theta| \ge \dfrac{1}{2}\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간 \([0, 2\pi]\)에서 세 구간 정확히 작성 | 3점 |
극한 등식 \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + ax + 3} - x\right) = 4\)가 성립할 때, 다음을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)
[6-1] (5점) 분자를 유리화하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[6-2] (5점) 위에서 구한 \(a\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^2 + ax + 1} - 2x\right)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(\infty - \infty\) 꼴 무리식의 극한은 켤레식 \(\sqrt{A} + B\)를 분자·분모에 곱하여 유리화함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{ax + 3}{\sqrt{x^2 + ax + 3} + x} = \dfrac{a}{1 + 1} = \dfrac{a}{2} = 4\)에서 \(a = 8\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(a = 8\)을 대입하고 유리화하면 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{8x + 1}{\sqrt{4x^2 + 8x + 1} + 2x} = \dfrac{8}{2 + 2} = 2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 유리화 식 \(\dfrac{ax+3}{\sqrt{x^2+ax+3}+x}\) 변형 / \(\dfrac{a}{2} = 4 \implies a = 8\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 유리화 후 분모 최고차항 계수 \(2 + 2 = 4\) 확인 / 극한값 \(2\) 도출 | 3점 |
연속함수 \(f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x + 2\)에 대하여 방정식 \(f(x) = 0\)의 실근이 존재하는 구간을 조사하려고 한다. 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) 네 정수에서의 함숫값 \(f(-2),\; f(-1),\; f(0),\; f(1)\)의 값을 각각 구하고 부호를 표시하시오.
[7-2] (5점) 사잇값의 정리를 이용하여 세 열린구간 \((-2, -1),\; (-1, 0),\; (0, 1)\) 중 방정식 \(f(x) = 0\)의 실근이 반드시 존재하는 구간을 모두 찾고 그 이유를 쓰시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 \(f(a)f(b) \lt 0\)이면 열린구간 \((a, b)\)에 실근이 적어도 하나 존재함(사잇값 정리)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f(-2) = -8 - 8 + 8 + 2 = -6 \lt 0\), \(f(-1) = -1 - 2 + 4 + 2 = 3 \gt 0\), \(f(0) = 2 \gt 0\), \(f(1) = 1 - 2 - 4 + 2 = -3 \lt 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(f(-2)f(-1) \lt 0\)이고 \(f(0)f(1) \lt 0\)이므로 사잇값의 정리에 의해 실근이 반드시 존재하는 구간은 \((-2, -1)\)과 \((0, 1)\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 네 함숫값 \(-6, 3, 2, -3\) 정확히 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 양 끝점 함숫값의 곱이 음수인 조건 명시 / 두 구간 \((-2, -1),\; (0, 1)\) 선택 | 3점 |
함수 \(f(x) = 3|x - 2| + x^2\)에 대하여 \(x = 2\)에서의 연속성과 미분가능성을 조사하려고 한다. 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) \(\lim_{x \to 2} f(x)\)와 \(f(2)\)를 비교하여 \(x = 2\)에서의 연속성을 판정하시오.
[8-2] (5점) \(x = 2\)에서의 우미분계수 \(\lim_{h \to 0+} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}\)와 좌미분계수를 각각 구하고, \(x = 2\)에서 미분가능한지 판정하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 연속 조건 \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)와 미분가능 조건(좌·우미분계수 일치)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\lim_{x \to 2} (3|x - 2| + x^2) = 0 + 4 = 4 = f(2)\)이므로 \(x = 2\)에서 연속이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \dfrac{3|h| + 4h + h^2}{h}\)에서 \(h \to 0+\)일 때 우미분계수는 \(3 + 4 = 7\), \(h \to 0-\)일 때 좌미분계수는 \(-3 + 4 = 1\)이므로 서로 달라 미분가능하지 않다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극한값 \(4\)와 함숫값 \(f(2) = 4\) 일치 확인 및 연속 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 우미분계수 \(7\), 좌미분계수 \(1\) 산출 / 불일치로 미분불가능 판정 | 3점 |
삼차방정식 \(x^3 - 12x - k = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 함수 \(f(x) = x^3 - 12x\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.
[9-2] (5점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = k\)가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위와 정수 \(k\)의 개수를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 방정식 \(f(x) = k\)의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = k\)의 교점의 개수와 같음을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x + 2)(x - 2) = 0\)에서 \(x = -2\)일 때 극댓값 \(f(-2) = 16\), \(x = 2\)일 때 극솟값 \(f(2) = -16\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 직선 \(y = k\)가 극솟값과 극댓값 사이를 지나야 하므로 \(-16 \lt k \lt 16\)이고, 정수 \(k\)의 개수는 \(16 - (-16) - 1 = 31\)개이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f'(x) = 3(x+2)(x-2) = 0\) 도출 / 극댓값 \(16\), 극솟값 \(-16\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(-16 \lt k \lt 16\) 범위 도출 / 정수 \(31\)개 산출 | 3점 |
정적분 \(A = \int_{1}^{3} \left(3x^2 - 4x + 1\right)\,dx\)와 \(B = \int_{2}^{2} \left(x^4 + 5x^2 - 7\right)\,dx + \int_{2}^{0} (2x + 3)\,dx\)에 대하여 다음을 구하시오.
[10-1] (5점) 정적분의 기본 정리를 이용하여 \(A\)의 값을 구하시오.
[10-2] (5점) 위끝과 아래끝이 같은 정적분 및 위끝·아래끝 교환 성질을 이용하여 \(B\)의 값을 구하고 \(A + B\)를 계산하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\) 및 \(\int_{b}^{a} f(x)\,dx = -\int_{a}^{b} f(x)\,dx\) 성질을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(A = \left[x^3 - 2x^2 + x\right]_{1}^{3} = (27 - 18 + 3) - (1 - 2 + 1) = 12 - 0 = 12\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(B = 0 - \int_{0}^{2} (2x + 3)\,dx = -\left[x^2 + 3x\right]_{0}^{2} = -(4 + 6) = -10\)이므로 \(A + B = 2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부정적분 \(\left[x^3 - 2x^2 + x\right]_1^3\) 작성 / \(A = 12\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(\int_2^2 = 0\) 처리 및 \(-\int_0^2(2x+3)\,dx = -10\) 산출 / \(A + B = 2\) 도출 | 3점 |
\(10 \le x \lt 100\)인 실수 \(x\)에 대하여 \(\log x\)의 소수 부분과 \(\log x^3\)의 소수 부분이 서로 같을 때, 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) \(\log x\)의 값의 범위를 구하고, 두 상용로그의 차 \(\log x^3 - \log x = 2\log x\)가 정수가 되어야 함을 이용하여 가능한 \(\log x\)의 값을 모두 구하시오.
[1-2] (5점) 위 조건을 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값의 곱을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 상용로그의 소수 부분이 서로 같으면 두 상용로그의 차는 정수임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(10 \le x \lt 100\)에서 \(1 \le \log x \lt 2\)이므로 \(2 \le 2\log x \lt 4\)이고, \(2\log x\)가 정수이므로 \(2\log x = 2, 3 \implies \log x = 1, \dfrac{3}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(x = 10^1,\; 10^{\frac{3}{2}}\)이므로 두 실수 \(x\)의 곱은 \(10^{1 + \frac{3}{2}} = 10^{\frac{5}{2}} = 100\sqrt{10}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(2 \le 2\log x \lt 4\) 범위 도출 / \(\log x = 1,\; \dfrac{3}{2}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(x = 10,\; 10\sqrt{10}\) 도출 / 곱 \(100\sqrt{10}\) 산출 | 3점 |
닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = 2^{x + 1} \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x - 2}\)에 대하여 다음을 구하시오.
[2-1] (5점) 지수법칙을 이용하여 함수 \(f(x)\)를 \(k \cdot a^x\) (\(k, a\)는 상수)의 꼴로 정리하고 증가·감소를 판정하시오.
[2-2] (5점) 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)의 곱 \(Mm\)을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(a^{x+p} b^{x+q} = a^p b^q (ab)^x\) 변형과 밑 \(0 \lt ab \lt 1\)일 때의 감소 성질을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f(x) = 2 \cdot 2^x \cdot 9 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^x = 18 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^x\)이고 밑이 \(\dfrac{2}{3} \lt 1\)이므로 감소함수이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 최댓값은 \(M = f(-1) = 18 \times \dfrac{3}{2} = 27\), 최솟값은 \(m = f(2) = 18 \times \dfrac{4}{9} = 8\)이므로 \(Mm = 27 \times 8 = 216\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f(x) = 18 \cdot (2/3)^x\) 정리 / 밑 \(2/3 \lt 1\) 감소 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(M = 27,\; m = 8\) 각각 산출 / 곱 \(216\) 도출 | 3점 |
어떤 특수 필름 \(1\)장을 통과할 때마다 빛의 세기가 통과 전의 \(\dfrac{3}{4}\)배로 줄어든다. 처음 빛의 세기를 \(I_0\)이라 할 때, 다음을 구하시오. (단, \(\log 2 = 0.30,\; \log 3 = 0.48\)로 계산한다.)
[3-1] (5점) 이 필름 \(n\)장을 통과한 후의 빛의 세기 \(I_n\)을 \(I_0\)과 \(n\)에 대한 식으로 나타내고, 빛의 세기가 처음의 \(\dfrac{1}{100}\) 이하가 되기 위한 부등식을 세우시오.
[3-2] (5점) 양변에 상용로그를 취하여 빛의 세기가 처음의 \(\dfrac{1}{100}\) 이하가 되려면 최소 몇 장의 필름을 통과해야 하는지 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 일정 비율 \(r\)로 감소하는 \(n\)단계 후의 양은 \(I_0 r^n\)이고 상용로그는 증가함수임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(I_n = I_0\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \le \dfrac{1}{100}I_0 \iff \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \le 10^{-2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 상용로그를 취하면 \(n(\log 3 - 2\log 2) \le -2 \implies n(0.48 - 0.60) = -0.12n \le -2 \implies n \ge \dfrac{200}{12} = 16.66\cdots\)이므로 최소 \(17\)장이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(I_n = I_0(3/4)^n\) 표현 / 부등식 \((3/4)^n \le 1/100\) 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 상용로그 변환 \(-0.12n \le -2\) 계산 / 자연수 최소 \(17\)장 도출 | 3점 |
좌표평면의 원점 \(\mathrm{O}\)와 제\(4\)사분면 위의 점 \(\mathrm{P}(5, -12)\)를 지나는 동경 \(\mathrm{OP}\)가 나타내는 각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 선분 \(\mathrm{OP}\)의 길이 \(r\)를 구하고 \(\sin\theta,\; \cos\theta,\; \tan\theta\)의 값을 각각 구하시오.
[4-2] (5점) \(13(\sin\theta - \cos\theta) + 5\tan\theta\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 점 \(\mathrm{P}(x, y)\)와 \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)에 대하여 \(\sin\theta = \dfrac{y}{r},\; \cos\theta = \dfrac{x}{r},\; \tan\theta = \dfrac{y}{x}\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(r = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = 13\)이므로 \(\sin\theta = -\dfrac{12}{13},\; \cos\theta = \dfrac{5}{13},\; \tan\theta = -\dfrac{12}{5}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 대입하면 \(13\left(-\dfrac{12}{13} - \dfrac{5}{13}\right) + 5\left(-\dfrac{12}{5}\right) = -17 - 12 = -29\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(r = 13\) 산출 / 세 삼각함수 값 정확히 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 첫 항 \(-17\), 둘째 항 \(-12\) 계산 / 합 \(-29\) 산출 | 3점 |
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(A = 45^\circ,\; B = 60^\circ,\; a = 6\sqrt{2}\)일 때, 다음을 구하시오. (단, \(R\)는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이이다.)
[5-1] (5점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름의 길이 \(R\)와 변 \(b\)의 길이를 각각 구하시오.
[5-2] (5점)외접원의 넓이와 반지름이 \(b\)인 원의 둘레의 길이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = 2R\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(2R = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = 12\)이므로 \(R = 6\)이고, \(b = 2R\sin 60^\circ = 12 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 외접원의 넓이는 \(\pi R^2 = 36\pi\)이고, 반지름이 \(b\)인 원의 둘레는 \(2\pi b = 12\sqrt{3}\pi\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(2R = 12 \implies R = 6\) 산출 / \(b = 6\sqrt{3}\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 외접원 넓이 \(36\pi\) 산출 / 둘레 \(12\sqrt{3}\pi\) 도출 | 3점 |
함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 4\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오.
[6-1] (5점) \(\lim_{x \to 1} f(x)\)의 값을 구하고, 극한의 성질을 이용하여 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{f(x)}\)의 값을 구하시오.
[6-2] (5점) \(\lim_{x \to 1} \dfrac{3x^2 - 3 + 2f(x)}{x - 1 - f(x)}\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(\lim_{x \to 1}\dfrac{f(x)}{x - 1} = 4\)가 수렴하므로 분자·분모를 \(x - 1\)로 나누어 극한의 사칙연산 성질을 적용함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1}\cdot(x - 1) = 4 \times 0 = 0\)이고, \(\lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{f(x)} = \lim_{x \to 1} \dfrac{x + 1}{\frac{f(x)}{x - 1}} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 분자·분모를 \(x - 1\)로 나누면 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{3(x + 1) + 2\frac{f(x)}{x - 1}}{1 - \frac{f(x)}{x - 1}} = \dfrac{6 + 8}{1 - 4} = -\dfrac{14}{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\lim_{x\to 1} f(x) = 0\) 제시 / \(\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 분자·분모를 \(x - 1\)로 나눈 식 변형 / \(-\dfrac{14}{3}\) 산출 | 3점 |
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x + 2\)에서 \(x\)의 값이 \(0\)에서 \(3\)까지 변할 때의 평균변화율과 \(x = c\;(c \gt 0)\)에서의 미분계수 \(f'(c)\)가 서로 같을 때, 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) \(x\)의 값이 \(0\)에서 \(3\)까지 변할 때의 평균변화율을 구하시오.
[7-2] (5점) 양수 \(c\)의 값과 그때 \(f(c\sqrt{3})\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 평균변화율 \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)과 미분계수 \(f'(c)\)의 정의를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f(0) = 2,\; f(3) = 27 - 9 + 2 = 20\)이므로 평균변화율은 \(\dfrac{20 - 2}{3 - 0} = 6\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(f'(c) = 3c^2 - 3 = 6 \implies c^2 = 3\)에서 \(c \gt 0\)이므로 \(c = \sqrt{3}\)이고, \(f(c\sqrt{3}) = f(3) = 20\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f(0)=2,\; f(3)=20\) 계산 / 평균변화율 \(6\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(3c^2 - 3 = 6 \implies c = \sqrt{3}\) 도출 / \(f(3) = 20\) 산출 | 3점 |
사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 3\)에 대하여 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하여 함수 \(f(x)\)가 극값을 갖는 모든 \(x\)의 값을 구하시오.
[8-2] (5점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)을 각각 구하고 \(M + m\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항함수 \(f(x)\)에서 \(f'(x) = 0\)이고 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 바뀌는 점에서 극값을 가짐을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x - 1)(x - 2) = 0\)이므로 \(x = 0, 1, 2\)에서 부호가 바뀐다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(x = 1\)에서 극댓값 \(M = f(1) = 4\)이고, \(x = 0, 2\)에서 극솟값 \(m = f(0) = f(2) = 3\)이므로 \(M + m = 7\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f'(x) = 4x(x-1)(x-2)\) 인수분해 / 극점 \(x = 0, 1, 2\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 극댓값 \(4\), 극솟값 \(3\) 산출 / 합 \(7\) 도출 | 3점 |
수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치가 \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2\)일 때, 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 점 \(\mathrm{P}\)의 속도 \(v(t)\)와 가속도 \(a(t)\)를 각각 구하고, 가속도가 \(0\)이 되는 시각 \(t_0\)에서의 속도를 구하시오.
[9-2] (5점) 점 \(\mathrm{P}\)가 운동 방향을 바꾸는 두 시각에서의 가속도의 제곱의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 위치 \(x(t)\)에 대하여 속도 \(v(t) = x'(t)\), 가속도 \(a(t) = v'(t)\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3)\), \(a(t) = 6t - 12\)이므로 \(a(t_0) = 0 \implies t_0 = 2\)이고 \(v(2) = -3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 운동 방향을 바꾸는 시각은 \(t = 1, 3\)이고 \(a(1) = -6,\; a(3) = 6\)이므로 제곱의 합은 \((-6)^2 + 6^2 = 72\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(v(t), a(t)\) 도출 / \(t_0 = 2\) 및 \(v(2) = -3\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 방향 전환 시각 \(t = 1, 3\) 및 \(a(1)=-6, a(3)=6\) 산출 / 제곱합 \(72\) 도출 | 3점 |
삼차곡선 \(y = x^3 - 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S\)라 할 때, 다음을 구하시오.
[10-1] (5점) 곡선과 \(x\)축의 교점의 \(x\)좌표를 모두 구하고, 구간별 부호를 판정하여 넓이 \(S\)를 정적분 식으로 나타내시오.
[10-2] (5점) 기함수 대칭성을 이용하여 넓이 \(S\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축 사이의 넓이는 \(\int |f(x)|\,dx\)이며 기함수는 원점 대칭임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(x(x + 2)(x - 2) = 0\)에서 교점은 \(-2, 0, 2\)이고 \([-2, 0]\)에서 \(y \ge 0\), \([0, 2]\)에서 \(y \le 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 원점 대칭에 의해 \(S = 2\int_{0}^{2} (-x^3 + 4x)\,dx = 2\left[-\dfrac{1}{4}x^4 + 2x^2\right]_{0}^{2} = 2(-4 + 8) = 8\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 교점 \(-2, 0, 2\) 도출 / 두 구간 부호 분리 정적분 식 작성 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 한쪽 넓이 \(4\) 계산 / 대칭 \(2\)배로 \(S = 8\) 산출 | 3점 |
소리의 세기가 \(I\,(\mathrm{W/m^2})\)일 때 소리의 크기 \(L\,(\mathrm{dB})\)은 기준 소리 세기 \(I_0 = 10^{-12}\,(\mathrm{W/m^2})\)에 대하여 \(L = 10\log\dfrac{I}{I_0}\)으로 정의된다. 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) 소리의 세기가 \(I_A = 10^{-5}\,(\mathrm{W/m^2})\)인 곳의 소리의 크기 \(L_A\,(\mathrm{dB})\)를 구하시오.
[1-2] (5점) 소리의 크기가 \(80\,\mathrm{dB}\)인 소리의 세기 \(I_B\)는 소리의 크기가 \(50\,\mathrm{dB}\)인 소리의 세기 \(I_C\)의 몇 배인지 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 데시벨 공식 \(L = 10\log\dfrac{I}{I_0}\)와 로그의 차 성질 \(L_B - L_C = 10\log\dfrac{I_B}{I_C}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(L_A = 10\log\dfrac{10^{-5}}{10^{-12}} = 10\log 10^7 = 70\,(\mathrm{dB})\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(80 - 50 = 10\log\dfrac{I_B}{I_C} \implies \log\dfrac{I_B}{I_C} = 3\)이므로 \(\dfrac{I_B}{I_C} = 10^3 = 1000\)배이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\dfrac{10^{-5}}{10^{-12}} = 10^7\) 대입 / \(70\,\mathrm{dB}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(\log(I_B/I_C) = 3\) 유도 / \(1000\)배 도출 | 3점 |
반지름의 길이가 \(r\), 중심각의 크기가 \(\theta\) (라디안)인 부채꼴의 호의 길이가 \(l = 4\pi\)이고 넓이가 \(S = 12\pi\)일 때, 다음을 구하시오.
[2-1] (5점) 부채꼴의 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}rl\)과 호의 길이 공식 \(l = r\theta\)를 이용하여 반지름 \(r\)와 중심각 \(\theta\)를 각각 구하시오.
[2-2] (5점) 둘레의 길이가 \(20\)인 부채꼴 중에서 넓이가 최대인 부채꼴의 중심각의 크기(라디안)와 최대 넓이를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부채꼴의 호의 길이 \(l = r\theta\)와 넓이 \(S = \dfrac{1}{2}rl = \dfrac{1}{2}r^2\theta\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(12\pi = \dfrac{1}{2}r(4\pi)\)에서 \(r = 6\)이고, \(4\pi = 6\theta\)에서 \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 둘레가 \(2R + L = 20\)인 부채꼴의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}R(20 - 2R) = -(R - 5)^2 + 25\)이므로 \(R = 5,\; L = 10\)일 때 최대 넓이는 \(25\)이고 중심각은 \(\dfrac{L}{R} = 2\) 라디안이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(S = \dfrac{1}{2}rl\)로 \(r = 6\) 산출 / \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 둘레 \(20\)에서 \(S = -R^2 + 10R\) 정리 / 중심각 \(2\) 라디안, 최대 넓이 \(25\) 도출 | 3점 |
\(\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{1}{2}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (5점) 양변을 제곱하여 \(\sin\theta\cos\theta\)의 값과 \((\sin\theta + \cos\theta)^2\)의 값을 각각 구하시오.
[3-2] (5점) \(\sin^4\theta + \cos^4\theta\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각함수의 제곱 관계 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)과 곱셈 공식 변형을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(1 - 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\)에서 \(\sin\theta\cos\theta = \dfrac{3}{8}\)이고, \((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{7}{4}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(\sin^4\theta + \cos^4\theta = (\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - 2\left(\dfrac{3}{8}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{32} = \dfrac{23}{32}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\sin\theta\cos\theta = \dfrac{3}{8}\) 산출 / \((\sin\theta+\cos\theta)^2 = \dfrac{7}{4}\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(1 - 2(\sin\theta\cos\theta)^2\) 변형 / \(\dfrac{23}{32}\) 산출 | 3점 |
두 수열 \(\{a_n\}, \{b_n\}\)이 \(a_1 = 2,\; a_{n+1} - a_n = 3\)과 \(b_1 = 3,\; \dfrac{b_{n+1}}{b_n} = 2\;(n = 1, 2, 3, \ldots)\)로 귀납적으로 정의될 때, 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 두 수열 \(\{a_n\}, \{b_n\}\)의 일반항 \(a_n, b_n\)을 각각 구하시오.
[4-2] (5점) \(a_{10} + b_5\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(a_{n+1} - a_n = d\)는 공차 \(d\)인 등차수열이고, \(\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = r\)는 공비 \(r\)인 등비수열임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\{a_n\}\)은 첫째항 \(2\), 공차 \(3\)인 등차수열이므로 \(a_n = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1\)이고, \(\{b_n\}\)은 첫째항 \(3\), 공비 \(2\)인 등비수열이므로 \(b_n = 3\cdot 2^{n-1}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(a_{10} = 30 - 1 = 29\)이고 \(b_5 = 3 \times 2^4 = 48\)이므로 \(a_{10} + b_5 = 29 + 48 = 77\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(a_n = 3n - 1\) 도출 / \(b_n = 3\cdot 2^{n-1}\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(a_{10} = 29,\; b_5 = 48\) 각각 산출 / 합 \(77\) 도출 | 3점 |
모든 자연수 \(n\)에 대하여 등식 \(1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + \cdots + n(n + 1) = \dfrac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)\)가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명할 때, 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하고 \(n = k + 1\)일 때 성립함을 보이기 위해 양변에 더해야 하는 식 \(f(k)\)를 구하시오.
[5-2] (5점) \(\dfrac{1}{3}k(k + 1)(k + 2) + f(k)\)를 인수분해하여 정리한 식 \(g(k)\)를 구하고, \(f(4) + g(4)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 수학적 귀납법에서 \(n = k\) 가정 식의 양변에 제\((k + 1)\)항을 더하여 우변이 \(n = k + 1\)일 때의 식과 일치함을 보임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 제\((k + 1)\)항은 \(f(k) = (k + 1)(k + 2)\)이고, 이를 더하면 \(\dfrac{1}{3}(k + 1)(k + 2)(k + 3) = g(k)\)가 된다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(f(4) = 5 \times 6 = 30\)이고 \(g(4) = \dfrac{1}{3} \times 5 \times 6 \times 7 = 70\)이므로 \(f(4) + g(4) = 100\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양변에 더할 제\((k+1)\)항 \(f(k) = (k+1)(k+2)\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 공통인수 \((k+1)(k+2)\)로 묶어 \(g(k)\) 유도 / \(30 + 70 = 100\) 산출 | 3점 |
함수 \(f(x)\)가 모든 양의 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(4x - 3 \le x f(x) \le 4x + 5\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오.
[6-1] (5점) 극한의 대소 관계를 이용하여 \(\lim_{x \to \infty} f(x)\)의 값을 구하시오.
[6-2] (5점) \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x^2 + 1)f(x)}{2x^2 - x + 4}\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(g(x) \le f(x) \le h(x)\)이고 \(\lim g(x) = \lim h(x) = L\)이면 \(\lim f(x) = L\)임(조임 정리)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(x \gt 0\)으로 나누면 \(4 - \dfrac{3}{x} \le f(x) \le 4 + \dfrac{5}{x}\)이고 양 끝의 \(x \to \infty\) 극한이 모두 \(4\)이므로 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 + 1}{2x^2 - x + 4} \cdot \lim_{x \to \infty} f(x) = \dfrac{3}{2} \times 4 = 6\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양변 \(x\)로 나눈 부등식 제시 / 조임 정리로 극한 \(4\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 유리식 극한 \(\dfrac{3}{2}\) 산출 / 곱 \(\dfrac{3}{2} \times 4 = 6\) 도출 | 3점 |
미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(f(2) = 3,\; f'(2) = -2\)를 만족시킬 때, 함수 \(g(x) = (x^2 - 1)f(x)\)에 대하여 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) 극한값 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + 3h) - f(2 - h)}{h}\)를 구하시오.
[7-2] (5점) 곡선 \(y = g(x)\) 위의 점 \((2, g(2))\)에서의 접선의 기울기 \(g'(2)\)를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 미분계수의 정의 \(\lim_{h \to 0}\dfrac{f(a + ph) - f(a + qh)}{h} = (p - q)f'(a)\)와 곱의 미분법을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f(2)\)를 빼고 더하여 분리하면 \(3f'(2) + f'(2) = 4f'(2) = 4(-2) = -8\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(g'(x) = 2x f(x) + (x^2 - 1)f'(x)\)이므로 \(g'(2) = 4f(2) + 3f'(2) = 4(3) + 3(-2) = 6\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(4f'(2)\) 변형 과정 서술 / \(-8\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 곱의 미분법 \(g'(x) = 2xf(x) + (x^2-1)f'(x)\) 작성 / \(g'(2) = 6\) 도출 | 3점 |
모든 실수 \(x\)에 대하여 사차부등식 \(3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + k \ge 0\)이 항상 성립하도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 함수 \(f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + k\)의 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하여 극값을 갖는 모든 \(x\)의 값을 구하시오.
[8-2] (5점) 실수 전체의 집합에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값을 구하고, 주어진 부등식이 항상 성립하기 위한 실수 \(k\)의 최솟값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 모든 실수 \(x\)에서 \(f(x) \ge 0\)이 성립할 필요충분조건은 함수 \(f(x)\)의 최솟값이 \(0\) 이상임(\(\min f(x) \ge 0\))을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x + 1)(x - 2) = 0\)이므로 \(x = -1, 0, 2\)에서 극값을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 극솟값 \(f(-1) = k - 5\)와 \(f(2) = 48 - 32 - 48 + k = k - 32\)를 비교하면 최솟값은 \(k - 32\)이므로 \(k - 32 \ge 0 \implies k \ge 32\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f'(x) = 12x(x+1)(x-2)\) 인수분해 / 극점 \(-1, 0, 2\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(f(-1)=k-5,\; f(2)=k-32\) 비교하여 최솟값 \(k-32\) 산출 / \(k \ge 32\) 도출 | 3점 |
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \(\int_{a}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 3x^2 + 4\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오. (단, \(a \gt 0\)인 상수이다.)
[9-1] (5점) 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 함수 \(f(x)\)를 구하고, \(f(2)\)의 값을 구하시오.
[9-2] (5점) 양변에 \(x = a\)를 대입하여 양수 \(a\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(\dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = f(x)\) 및 \(\int_{a}^{a} f(t)\,dt = 0\) 성질을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(f(x) = 3x^2 - 6x\)이므로 \(f(2) = 12 - 12 = 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 양변에 \(x = a\)를 대입하면 \(0 = a^3 - 3a^2 + 4 = (a + 1)(a - 2)^2\)이고 \(a \gt 0\)이므로 \(a = 2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양변 미분으로 \(f(x)\) 도출 / \(f(2)\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(x = a\) 대입하여 좌변 \(0\) 적용 / 조립제법으로 양수 \(a = 2\) 도출 | 3점 |
좌표가 \(2\)인 점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 6t - 2t^2\)일 때, 다음을 구하시오.
[10-1] (5점) 시각 \(t = 3\)에서의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치를 구하시오.
[10-2] (5점) 시각 \(t = 0\)부터 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리 \(D\)를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 시각 \(t = a\)에서의 위치는 \(x_0 + \int_{0}^{a} v(t)\,dt\)이고 움직인 거리는 \(\int_{0}^{a} |v(t)|\,dt\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 시각 \(t = 3\)에서의 위치는 \(2 + \int_{0}^{3} (6t - 2t^2)\,dt = 2 + \left[3t^2 - \dfrac{2}{3}t^3\right]_{0}^{3} = 2 + (27 - 18) = 11\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(t = 3\)에서 속도의 부호가 바뀌므로 \(D = \int_{0}^{3} (6t - 2t^2)\,dt + \int_{3}^{4} (2t^2 - 6t)\,dt = 9 + \dfrac{11}{3} = \dfrac{38}{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 핵심 공식 및 정의 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 초기 위치 \(2\) 합산 및 \(\int_0^3(6t-2t^2)\,dt = 9\) 계산 / 위치 \(11\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \([0, 3]\)과 \([3, 4]\) 구간 분리 적분 / \(9 + \dfrac{11}{3} = \dfrac{38}{3}\) 산출 | 3점 |
\(1 \le n \le 150\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \(\left(\sqrt[3]{5} \times \sqrt[4]{7}\right)^n\)이 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 \(n\)의 개수와 \(n\)의 최솟값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 식을 유리수 지수로 나타내면 \(\left(5^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{4}}\right)^n = 5^{\frac{n}{3}} \cdot 7^{\frac{n}{4}}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 밑 \(5\)와 \(7\)은 서로 다른 소수이므로 전체 값이 자연수가 되려면 \(\dfrac{n}{3}\)과 \(\dfrac{n}{4}\)이 모두 자연수여야 하며, 즉 \(n\)은 \(12\)의 배수이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(1 \le n \le 150\)에서 \(12\)의 배수는 \(12 \times 1\)부터 \(12 \times 12 = 144\)까지 \(12\)개이고, \(n\)의 최솟값은 \(12\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 유리수 지수 \(5^{n/3} \cdot 7^{n/4}\) 변환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 최소공배수 조건으로 \(n\)이 \(12\)의 배수임을 논증 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 개수 \(12\)개 및 최솟값 \(12\) 산출 | 3점 |
두 지수함수 \(y = 2^x + 1\)과 \(y = 2^{x - 3} + 1\)의 그래프 및 두 직선 \(y = 3,\; y = 9\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 평행이동을 이용하여 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곡선 \(y = 2^{x - 3} + 1\)은 곡선 \(y = 2^x + 1\)을 \(x\)축의 방향으로 \(3\)만큼 평행이동한 것이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(y = 2^x + 1\)이 \(y = 3,\; y = 9\)와 만나는 점은 \(\mathrm{A}(1, 3),\; \mathrm{D}(3, 9)\)이고, \(y = 2^{x-3} + 1\)과의 교점은 각각 \(x\)축으로 \(3\)만큼 이동한 \(\mathrm{B}(4, 3),\; \mathrm{C}(6, 9)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 곡선 조각 \(\mathrm{AD}\)와 \(\mathrm{BC}\)가 합동이므로 둘러싸인 넓이는 평행사변형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이와 같으며 \(\overline{\mathrm{AB}} \times (9 - 3) = 3 \times 6 = 18\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(x\)축 방향 \(+3\) 평행이동 관계 확인 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 네 교점 \((1, 3), (4, 3), (6, 9), (3, 9)\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 등적 변형으로 평행사변형 넓이 \(18\) 도출 | 3점 |
반지름의 길이가 \(4\)이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{2\pi}{3}\)인 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\)에서 현 \(\mathrm{AB}\)와 호 \(\mathrm{AB}\)로 둘러싸인 활꼴의 넓이를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 활꼴의 넓이는 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이 \(\dfrac{1}{2}r^2\theta\)에서 이등변삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이 \(\dfrac{1}{2}r^2\sin\theta\)를 뺀 값이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부채꼴의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 4^2 \times \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{16\pi}{3}\)이고, 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 4^2 \times \sin\dfrac{2\pi}{3} = 8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 활꼴의 넓이는 \(\dfrac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 활꼴 넓이 \(= (\text{부채꼴}) - (\text{삼각형})\) 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부채꼴 \(\dfrac{16\pi}{3}\) 및 삼각형 \(4\sqrt{3}\) 각각 계산 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 차 \(\dfrac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}\) 도출 | 3점 |
세 변의 길이가 \(a = 7,\; b = 8,\; c = 5\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 내각 \(A\)의 크기와 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 내접하는 원의 반지름의 길이 \(r\)를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 코사인법칙 \(\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)와 내접원 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}r(a + b + c)\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\cos A = \dfrac{64 + 25 - 49}{2 \times 8 \times 5} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}\)이므로 \(A = \dfrac{\pi}{3}\)이고, 삼각형의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \sin\dfrac{\pi}{3} = 10\sqrt{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(S = \dfrac{1}{2}r(7 + 8 + 5) = 10r = 10\sqrt{3}\)이므로 내접원의 반지름은 \(r = \sqrt{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙으로 \(\cos A = \dfrac{1}{2} \implies A = \dfrac{\pi}{3}\) 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 넓이 \(S = 10\sqrt{3}\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(\dfrac{1}{2}r(a+b+c) = S\)로 \(r = \sqrt{3}\) 산출 | 3점 |
합 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (-1)^{k+1}(2k - 1)^2 = 1^2 - 3^2 + 5^2 - 7^2 + \cdots + 17^2 - 19^2\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부호가 교대로 바뀌는 \(10\)개의 항을 이웃한 두 항씩 \(5\)개의 쌍으로 묶어 합차 공식을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(m = 1, 2, 3, 4, 5\)번째 묶음은 \((4m - 3)^2 - (4m - 1)^2 = \{(4m - 3) - (4m - 1)\}\{(4m - 3) + (4m - 1)\} = -2(8m - 4) = -16m + 8\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 전체 합은 \(\sum_{m=1}^{5} (-16m + 8) = -16 \times \dfrac{5 \times 6}{2} + 8 \times 5 = -240 + 40 = -200\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 이웃한 두 항 묶음 합차 공식 적용 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 묶음 일반항 \(-16m + 8\) 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 시그마 합산으로 \(-200\) 산출 | 3점 |
다항함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^3 + 1} = 1\)과 \(\displaystyle\lim_{x \to -1} \dfrac{f(x)}{(x + 1)^2} = 4\)를 동시에 만족시킬 때, \(f(1)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 첫째 극한에서 \(f(x)\)는 최고차항이 \(x^3\)인 삼차식이고, 둘째 극한에서 분모 \((x + 1)^2 \to 0\)이므로 \(f(x)\)는 \((x + 1)^2\)을 인수로 갖는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f(x) = (x + 1)^2(x - k)\)로 놓으면 \(\lim_{x \to -1}\dfrac{(x + 1)^2(x - k)}{(x + 1)^2} = -1 - k = 4\)에서 \(k = -5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(f(x) = (x + 1)^2(x + 5)\)이므로 \(f(1) = 2^2 \times 6 = 24\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 최고차항 계수 \(1\) 및 \((x + 1)^2\) 인수 판정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(-1 - k = 4\)로부터 \(k = -5\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(f(1) = 24\) 도출 | 3점 |
함수 \(f(x) = \begin{cases} ax^3 + bx & (x \lt 2) \\ 5x^2 - 2x + 4 & (x \ge 2) \end{cases}\)가 \(x = 2\)에서 미분가능할 때, 두 상수 \(a, b\)의 값과 \(f(-1)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(x = 2\)에서 미분가능하므로 \(x = 2\)에서 연속이고 좌미분계수와 우미분계수가 일치한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 연속 조건 \(8a + 2b = 20 - 4 + 4 = 20 \implies 4a + b = 10\)이고, 미분계수 일치 \(12a + b = 20 - 2 = 18\)이므로 빼면 \(8a = 8 \implies a = 1,\; b = 6\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(x = -1 \lt 2\)이므로 \(f(-1) = (-1)^3 + 6(-1) = -7\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(x = 2\) 연속 및 좌·우미분계수 일치 식 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연립 풀이로 \(a = 1,\; b = 6\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(f(-1) = -7\) 도출 | 3점 |
함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 롤의 정리를 만족시키는 모든 상수 \(c\)의 합과 곱을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항함수 \(f(x)\)는 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 연속이고 열린구간 \((0, 4)\)에서 미분가능하며 \(f(0) = f(4) = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 롤의 정리에 의해 \(f'(c) = 3c^2 - 12c + 8 = 0\)을 만족시키는 \(c\)가 열린구간 \((0, 4)\)에 존재한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 판별식 \(D/4 = 36 - 24 = 12 \gt 0\)이고 두 근 \(2 \pm \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)이 모두 \((0, 4)\)에 속하므로 모든 \(c\)의 합은 \(4\), 곱은 \(\dfrac{8}{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 연속·미분가능 및 \(f(0) = f(4) = 0\) 전제 확인 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(3c^2 - 12c + 8 = 0\) 방정식 도출 및 두 근의 \((0, 4)\) 포함 확인 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 근과 계수의 관계로 합 \(4\), 곱 \(\dfrac{8}{3}\) 산출 | 3점 |
실수 \(a\)에 대하여 포물선 \(y = x^2 + ax\)와 직선 \(y = 2x + 3\)으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S(a)\)가 최소일 때의 상수 \(a\)의 값과 최소 넓이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 교점 방정식 \(x^2 + (a - 2)x - 3 = 0\)의 판별식이 \(D = (a - 2)^2 + 12 \gt 0\)이므로 모든 실수 \(a\)에서 서로 다른 두 교점 \(\alpha, \beta\; (\alpha \lt \beta)\)를 갖는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 넓이는 \(S(a) = \int_{\alpha}^{\beta} \{-x^2 - (a - 2)x + 3\}\,dx = \dfrac{(\beta - \alpha)^3}{6}\)이고, \((\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (a - 2)^2 + 12\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \((a - 2)^2 + 12\)는 \(a = 2\)일 때 최솟값 \(12\)를 가지므로 \(\beta - \alpha = 2\sqrt{3}\)일 때 최소 넓이는 \(\dfrac{(2\sqrt{3})^3}{6} = 4\sqrt{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 교점 방정식 및 넓이 식 \(\dfrac{(\beta - \alpha)^3}{6}\) 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \((\beta - \alpha)^2 = (a - 2)^2 + 12\) 변형 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(a = 2\) 및 최소 넓이 \(4\sqrt{3}\) 산출 | 3점 |
실수 전체에서 정의된 함수 \(g(x) = \displaystyle\int_{x}^{x+2} (3t^2 - 12t + 9)\,dt\)가 \(x = a\)에서 최솟값 \(m\)을 가질 때, \(a\)와 \(m\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(f(t) = 3t^2 - 12t + 9\)의 한 부정적분을 \(F(t)\)라 하면 \(g(x) = F(x + 2) - F(x)\)이므로 \(g'(x) = f(x + 2) - f(x)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(g'(x) = \{3(x + 2)^2 - 12(x + 2) + 9\} - (3x^2 - 12x + 9) = 12x - 12 = 12(x - 1)\)이므로 \(x = 1\)에서 유일한 극소이자 최솟값을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(a = 1\)이고, \(m = g(1) = \int_{1}^{3} (3t^2 - 12t + 9)\,dt = \left[t^3 - 6t^2 + 9t\right]_{1}^{3} = 0 - 4 = -4\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(g'(x) = f(x + 2) - f(x)\) 미분 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(g'(x) = 12(x - 1) = 0\)으로부터 \(a = 1\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 계산으로 최솟값 \(m = -4\) 산출 | 3점 |
방정식 \(2\left(4^x + 4^{-x}\right) - 7\left(2^x + 2^{-x}\right) + 9 = 0\)의 모든 실근을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(u = 2^x + 2^{-x}\)로 치환하면 \(2^x \gt 0\)이므로 산술·기하평균 부등식에 의해 \(u \ge 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2\)이고 \(4^x + 4^{-x} = u^2 - 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 대입하여 정리하면 \(2(u^2 - 2) - 7u + 9 = 2u^2 - 7u + 5 = (2u - 5)(u - 1) = 0\)이며, \(u \ge 2\)이므로 \(u = \dfrac{5}{2}\)만 가능하다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(2^x + 2^{-x} = \dfrac{5}{2} \iff 2(2^x)^2 - 5(2^x) + 2 = (2 \cdot 2^x - 1)(2^x - 2) = 0\)이므로 \(x = -1\) 또는 \(x = 1\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(u = 2^x + 2^{-x} \ge 2\) 치환 및 \(4^x + 4^{-x} = u^2 - 2\) 변형 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(u = 1\) 무연근 배제 및 \(u = \dfrac{5}{2}\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 실근 \(x = -1,\; 1\) 산출 | 3점 |
두 직선 \(x = 1,\; x = 9\)가 곡선 \(y = \log_3 x\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)라 하고, 곡선 \(y = \log_3(9x)\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{D}, \mathrm{C}\)라 할 때, 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이와 두 대각선의 교점의 좌표를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그의 성질에 의해 \(\log_3(9x) = \log_3 x + 2\)이므로 네 점의 좌표는 \(\mathrm{A}(1, 0),\; \mathrm{B}(9, 2),\; \mathrm{C}(9, 4),\; \mathrm{D}(1, 2)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 선분 \(\mathrm{AD}\)와 \(\mathrm{BC}\)가 모두 \(y\)축에 평행하고 길이가 \(2\)로 같으므로 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)는 밑변이 \(2\), 높이가 \(9 - 1 = 8\)인 평행사변형이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 넓이는 \(2 \times 8 = 16\)이고, 두 대각선의 교점은 선분 \(\mathrm{AC}\)의 중점인 \(\left(\dfrac{1 + 9}{2}, \dfrac{0 + 4}{2}\right) = (5, 2)\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(\log_3(9x) = \log_3 x + 2\) 변형 및 네 꼭짓점 좌표 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 평행사변형 넓이 \(2 \times 8 = 16\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 대각선 중점 \((5, 2)\) 도출 | 3점 |
\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{4}\)인 각 \(\theta\)에 대하여 \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = 4\)일 때, \(\sin\theta\cos\theta\)의 값과 \(\cos\theta - \sin\theta\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)를 대입하여 통분하면 \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 \(\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\)이고, \((\cos\theta - \sin\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{4}\)에서는 \(\cos\theta \gt \sin\theta\)이므로 \(\cos\theta - \sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(\tan\theta + \cot\theta = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}\) 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\) 및 제곱식 \(\dfrac{1}{2}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{4}\) 대소 비교로 양의 값 \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) 도출 | 3점 |
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 8,\; \overline{\mathrm{AC}} = 7,\; \overline{\mathrm{BC}} = 9\)이고 변 \(\mathrm{BC}\)를 \(2 : 1\)로 내분하는 점을 \(\mathrm{D}\)라 할 때, \(\cos B\)의 값과 선분 \(\mathrm{AD}\)의 길이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(\triangle \mathrm{ABC}\)에서 코사인법칙으로 \(\cos B\)를 구한 뒤 \(\overline{\mathrm{BD}} = 9 \times \dfrac{2}{3} = 6\)인 \(\triangle \mathrm{ABD}\)에 다시 코사인법칙을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\cos B = \dfrac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 9} = \dfrac{96}{144} = \dfrac{2}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(\triangle \mathrm{ABD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AD}}^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \times 8 \times 6 \times \dfrac{2}{3} = 64 + 36 - 64 = 36\)이므로 \(\overline{\mathrm{AD}} = 6\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 내분 길이 \(\overline{\mathrm{BD}} = 6\) 및 두 코사인법칙 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\cos B = \dfrac{2}{3}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(\overline{\mathrm{AD}} = 6\) 도출 | 3점 |
두 양수 \(a, b\)에 대하여 세 수 \(2,\; a,\; b\)는 이 순서대로 등비수열을 이루고, 세 수 \(a,\; b,\; 12\)는 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, \(a, b\)의 값과 \(a + b\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등비중항 성질에 의해 \(a^2 = 2b\)이고, 등차중항 성질에 의해 \(2b = a + 12\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 두 식에서 \(2b\)를 소거하면 \(a^2 = a + 12 \iff (a - 4)(a + 3) = 0\)이며 \(a \gt 0\)이므로 \(a = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(2b = 4 + 12 = 16\)에서 \(b = 8\)이므로 \(a + b = 12\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등비중항 \(a^2 = 2b\) 및 등차중항 \(2b = a + 12\) 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(a \gt 0\) 조건으로 \(a = 4\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(b = 8\) 및 \(a + b = 12\) 산출 | 3점 |
다항함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^4}{x^3} = -2\)와 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x^2} = 3\)을 만족시킬 때, 다항함수 \(f(x)\)를 구하고 \(f(2)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 첫째 조건에서 \(f(x) - x^4\)은 최고차항이 \(-2x^3\)인 삼차식 이하이므로 \(f(x) = x^4 - 2x^3 + ax^2 + bx + c\)로 놓는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 둘째 조건에서 \(x \to 0\)일 때 분모 \(x^2 \to 0\)이므로 일차항과 상수항이 모두 \(0\)(\(b = c = 0\))이어야 하며, 약분 극한 \(\lim_{x \to 0}(x^2 - 2x + a) = a = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2\)이고 \(f(2) = 16 - 16 + 12 = 12\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 첫째 극한으로 \(x^4 - 2x^3 + ax^2 + bx + c\) 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 둘째 극한 수렴 조건으로 \(b = c = 0,\; a = 3\) 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(f(2) = 12\) 산출 | 3점 |
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x + 4\)에 대하여 모든 실수 \(t\)에서 \(f(2 + t) + f(2 - t)\)가 일정한 상수임을 보이고, 이를 이용하여 \(\displaystyle\sum_{k=-3}^{7} f(k)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(x = 2 + t\)를 대입하면 \(f(2 + t) = (t + 2)^3 - 6(t + 2)^2 + 5(t + 2) + 4 = t^3 - 7t - 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(t\) 대신 \(-t\)를 대입하면 \(f(2 - t) = -t^3 + 7t - 2\)이므로 모든 실수 \(t\)에서 \(f(2 + t) + f(2 - t) = -4\)로 일정하며 \(f(2) = -2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(k = -3\)부터 \(7\)까지 \(11\)개 정수를 \(2\)를 중심으로 \(5\)쌍 \((-3, 7), (-2, 6), \dots, (1, 3)\)과 \(f(2)\)로 묶으면 합은 \(5 \times (-4) + (-2) = -22\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(f(2 + t) = t^3 - 7t - 2\) 전개 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f(2 + t) + f(2 - t) = -4\) 상수 증명 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 대칭 \(5\)쌍과 중심항 \(f(2) = -2\) 합산으로 \(-22\) 도출 | 3점 |
곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 2\)에 접하고 직선 \(x + 9y - 3 = 0\)에 수직인 두 직선의 \(y\)절편의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 직선 \(x + 9y - 3 = 0\)의 기울기가 \(-\dfrac{1}{9}\)이므로 수직인 접선의 기울기는 \(9\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(y' = 3x^2 - 6x = 9 \iff (x - 3)(x + 1) = 0\)이므로 두 접점은 \((-1, -2)\)와 \((3, 2)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 접선의 방정식은 \(y = 9(x + 1) - 2 = 9x + 7\)과 \(y = 9(x - 3) + 2 = 9x - 25\)이므로 \(y\)절편의 합은 \(7 + (-25) = -18\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 수직 조건으로부터 접선 기울기 \(9\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(3x^2 - 6x = 9\) 풀이로 두 접점 \((-1, -2),\; (3, 2)\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 접선의 \(y\)절편 \(7,\; -25\) 합산으로 \(-18\) 도출 | 3점 |
방정식 \(2x^3 - 9x^2 + 12x = k\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 모든 실수 \(k\)의 값을 구하고 그 곱을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(g(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x\)라 하면 곡선 \(y = g(x)\)와 직선 \(y = k\)가 서로 다른 두 점에서 만날 조건은 \(k\)가 \(g(x)\)의 극댓값 또는 극솟값과 같을 때이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(g'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2) = 0\)에서 \(x = 1\)은 극대점, \(x = 2\)는 극소점이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 극댓값은 \(g(1) = 2 - 9 + 12 = 5\), 극솟값은 \(g(2) = 16 - 36 + 24 = 4\)이므로 \(k = 4\) 또는 \(k = 5\)이고 곱은 \(20\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 곡선과 수평선의 교점 \(2\)개 조건(극값 일치) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(g'(x) = 6(x - 1)(x - 2) = 0\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(k = 4,\; 5\) 및 곱 \(20\) 산출 | 3점 |
정적분 \(\displaystyle\int_{0}^{4} |x^2 - 3x|\,dx\)의 값을 기약분수로 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(x^2 - 3x = x(x - 3)\)이므로 구간 \([0, 3]\)에서는 \(x^2 - 3x \le 0\), 구간 \([3, 4]\)에서는 \(x^2 - 3x \ge 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간을 나누면 \(\int_{0}^{3} (3x - x^2)\,dx + \int_{3}^{4} (x^2 - 3x)\,dx = \dfrac{9}{2} + \left[\dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2\right]_{3}^{4}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 둘째 항은 \(\left(\dfrac{64}{3} - 24\right) - \left(9 - \dfrac{27}{2}\right) = -\dfrac{8}{3} + \dfrac{9}{2} = \dfrac{11}{6}\)이므로 전체 값은 \(\dfrac{9}{2} + \dfrac{11}{6} = \dfrac{19}{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 부호 경계 \(x = 3\) 기준 \([0, 3],\; [3, 4]\) 구간 분할 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 첫 구간 넓이 \(\dfrac{9}{2}\) 및 둘째 구간 \(\dfrac{11}{6}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 합산하여 \(\dfrac{19}{3}\) 도출 | 3점 |
소리의 세기가 \(I\)일 때 소리의 크기 \(L\,(\mathrm{dB})\)은 기준 세기 \(I_0\)에 대하여 \(L = 10\log\dfrac{I}{I_0}\)로 정의된다. 크기가 \(60\,\mathrm{dB}\)인 동일한 음원 \(32\)개가 동시에 울릴 때 합성된 소리의 세기는 \(32I\)가 된다. 이때 합성된 소리의 크기(단위: \(\mathrm{dB}\))를 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, \(\log 2 = 0.3010\))
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 단일 음원의 세기 \(I\)는 \(60 = 10\log\dfrac{I}{I_0}\)을 만족시키고, \(32\)개 합성 음원의 소리의 크기는 \(L' = 10\log\dfrac{32I}{I_0}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 로그의 성질로 분리하면 \(L' = 10\left(\log 32 + \log\dfrac{I}{I_0}\right) = 10\log 2^5 + 60 = 50\log 2 + 60\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(\log 2 = 0.3010\)을 대입하면 \(L' = 50 \times 0.3010 + 60 = 15.05 + 60 = 75.05\,(\mathrm{dB})\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 합성 음원 공식 \(L' = 10\log(32I/I_0)\) 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 로그 분리로 \(50\log 2 + 60\) 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(75.05\,\mathrm{dB}\) 산출 | 3점 |
지수부등식 \(2^{2x+1} - 9 \cdot 2^x + 4 \le 0\)을 만족시키는 실수 \(x\)에 대하여 함수 \(g(x) = 3^{x+1}\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(2^{2x+1} = 2 \cdot (2^x)^2\)로 변형하고 \(t = 2^x\; (t \gt 0)\)로 치환하면 \(2t^2 - 9t + 4 = (2t - 1)(t - 4) \le 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 \(\dfrac{1}{2} \le 2^x \le 4\)이므로 밑 \(2 \gt 1\)의 증가성에 의해 \(-1 \le x \le 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 밑 \(3 \gt 1\)인 \(g(x) = 3^{x+1}\)은 증가함수이므로 최솟값은 \(g(-1) = 3^0 = 1\), 최댓값은 \(g(2) = 3^3 = 27\)이며 합은 \(28\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(t = 2^x\) 치환 및 \((2t - 1)(t - 4) \le 0\) 인수분해 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(-1 \le x \le 2\) 범위 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최솟값 \(1\), 최댓값 \(27\) 및 합 \(28\) 산출 | 3점 |
\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\)인 각 \(\theta\)에 대하여 \(\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)일 때, \(\sin\theta\cos\theta\)의 값과 \(\sin^3\theta - \cos^3\theta\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 항등식 \((\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta\)와 \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(1 - 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{2}\)이므로 \(\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\sin\theta - \cos\theta)(1 + \sin\theta\cos\theta) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{5\sqrt{2}}{8}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 제곱 전개식 및 세제곱 차 인수분해 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(\dfrac{5\sqrt{2}}{8}\) 도출 | 3점 |
볼록사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 \(\angle \mathrm{ABC} = \dfrac{\pi}{2},\; \overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{BC}} = 4\)이고 \(\overline{\mathrm{AD}} = \overline{\mathrm{CD}} = 5\)일 때, 대각선 \(\mathrm{AC}\)의 길이와 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 직각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 피타고라스 정리에 의해 \(\overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 \(\triangle \mathrm{ACD}\)는 세 변의 길이가 모두 \(5\)인 정삼각형이므로 \(\angle \mathrm{ADC} = \dfrac{\pi}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 사각형의 넓이는 \(\triangle \mathrm{ABC} + \triangle \mathrm{ACD} = \dfrac{1}{2}(3)(4) + \dfrac{1}{2}(5)(5)\sin\dfrac{\pi}{3} = 6 + \dfrac{25\sqrt{3}}{4}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 피타고라스 정리로 \(\overline{\mathrm{AC}} = 5\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\triangle \mathrm{ACD}\)가 한 변 \(5\)인 정삼각형임을 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 넓이 합 \(6 + \dfrac{25\sqrt{3}}{4}\) 산출 | 3점 |
합 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{9} k(k + 2)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 일반항을 \(k^2 + 2k\)로 전개하고 시그마의 선형성에 의해 \(\sum_{k=1}^{9} k^2 + 2\sum_{k=1}^{9} k\)로 분리한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 공식에 의해 \(\sum_{k=1}^{9} k^2 = \dfrac{9 \times 10 \times 19}{6} = 285\)이고, \(\sum_{k=1}^{9} k = \dfrac{9 \times 10}{2} = 45\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 합은 \(285 + 2 \times 45 = 285 + 90 = 375\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 전개 및 시그마 분리 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\sum k^2 = 285,\; \sum k = 45\) 각각 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(375\) 도출 | 3점 |
미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(f(2) = 5\)이고 \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 f(2) - 4f(x)}{x - 2} = 12\)를 만족시킬 때, \(f'(2)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 미분계수 \(f'(2) = \lim_{x \to 2}\dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2}\)의 꼴을 만들기 위해 분자에 \(-4f(2) + 4f(2)\)를 더하고 뺀다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 준식은 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{(x^2 - 4)f(2) - 4\{f(x) - f(2)\}}{x - 2} = \lim_{x \to 2}(x + 2)f(2) - 4f'(2) = 4f(2) - 4f'(2)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(f(2) = 5\)를 대입하면 \(20 - 4f'(2) = 12\)이므로 \(f'(2) = 2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 분자에 \(\mp 4f(2)\) 가감 변형 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(4f(2) - 4f'(2) = 12\) 극한 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(f'(2) = 2\) 산출 | 3점 |
사차방정식 \(x^2(x - 4)^2 + 3 = k\)가 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위와 모든 정수 \(k\)의 개수를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(f(x) = x^2(x - 4)^2 + 3\)이라 하면 방정식이 서로 다른 네 실근을 가질 조건은 직선 \(y = k\)가 극솟값과 극댓값 사이를 지나는 것이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 곱의 미분법에 의해 \(f'(x) = 2x(x - 4)^2 + 2x^2(x - 4) = 4x(x - 2)(x - 4) = 0\)이므로 두 극솟값은 \(f(0) = f(4) = 3\), 극댓값은 \(f(2) = 16 + 3 = 19\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(3 \lt k \lt 19\)이고, 만족하는 정수 \(k\)의 개수는 \(19 - 3 - 1 = 15\)개이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(f'(x) = 4x(x - 2)(x - 4) = 0\) 인수분해 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극솟값 \(3\), 극댓값 \(19\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(3 \lt k \lt 19\) 및 정수 \(15\)개 도출 | 3점 |
점 \((2, -1)\)에서 곡선 \(y = x^3 - 3x + 1\)에 그은 서로 다른 세 접선의 기울기를 각각 \(m_1, m_2, m_3\)이라 할 때, \(m_1 + m_2 + m_3\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 접점을 \((t, t^3 - 3t + 1)\)이라 하면 접선의 방정식 \(y - (t^3 - 3t + 1) = (3t^2 - 3)(x - t)\)가 점 \((2, -1)\)을 지난다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 대입하여 정리하면 \(-1 - t^3 + 3t - 1 = (3t^2 - 3)(2 - t) \iff t^3 - 3t^2 + 2 = (t - 1)(t^2 - 2t - 2) = 0\)이므로 서로 다른 세 실근 \(t_1, t_2, t_3\)을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 근과 계수의 관계에서 \(t_1 + t_2 + t_3 = 3,\; t_1 t_2 + t_2 t_3 + t_3 t_1 = 0\)이므로 \(t_1^2 + t_2^2 + t_3^2 = 9\)이고, \(\sum_{i=1}^{3} m_i = 3(t_1^2 + t_2^2 + t_3^2) - 9 = 27 - 9 = 18\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 접점 매개변수 방정식 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(t^3 - 3t^2 + 2 = (t - 1)(t^2 - 2t - 2) = 0\) 유도 및 세 실근 확인 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 근과 계수의 관계로 \(3 \times 9 - 9 = 18\) 산출 | 3점 |
실수 전체에서 정의된 함수 \(f(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (t - 1)(t - 4)\,dt\)가 감소하는 \(x\)의 구간 \([a, b]\)를 구하고, \(f(b) - f(a)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 미적분의 기본정리에 의해 \(f'(x) = (x - 1)(x - 4)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f'(x) \le 0\)을 풀면 \(1 \le x \le 4\)이므로 함수 \(f(x)\)가 감소하는 구간은 \([1, 4]\)(\(a = 1,\; b = 4\))이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(f(4) - f(1) = \int_{1}^{4} (t^2 - 5t + 4)\,dt = -\dfrac{(4 - 1)^3}{6} = -\dfrac{27}{6} = -\dfrac{9}{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(f'(x) = (x - 1)(x - 4)\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f'(x) \le 0\)으로부터 감소 구간 \([1, 4]\) 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 계산으로 \(f(4) - f(1) = -\dfrac{9}{2}\) 산출 | 3점 |
삼차곡선 \(y = x^3 - 4x^2 + 3x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 기약분수로 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(x^3 - 4x^2 + 3x = x(x - 1)(x - 3) = 0\)에서 \(x\)축과의 교점은 \(x = 0,\; 1,\; 3\)이며 \([0, 1]\)에서는 \(y \ge 0\), \([1, 3]\)에서는 \(y \le 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부정적분을 \(F(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{4}{3}x^3 + \dfrac{3}{2}x^2\)이라 하면 \(F(0) = 0,\; F(1) = \dfrac{5}{12},\; F(3) = \dfrac{81}{4} - 36 + \dfrac{27}{2} = -\dfrac{9}{4}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 전체 넓이는 \(\int_{0}^{1} y\,dx - \int_{1}^{3} y\,dx = \left(F(1) - F(0)\right) + \left(F(1) - F(3)\right) = \dfrac{5}{12} + \left(\dfrac{5}{12} + \dfrac{27}{12}\right) = \dfrac{37}{12}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 교점 \(0, 1, 3\) 및 구간별 부호 판정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 원시함수 값 \(F(1) = \dfrac{5}{12},\; F(3) = -\dfrac{9}{4}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 영역 넓이 합산으로 \(\dfrac{37}{12}\) 도출 | 3점 |
양수 \(a\)와 실수 \(x\)에 대하여 \(a^{2x} = 3 + 2\sqrt{2}\)일 때, \(\dfrac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 인수분해 공식 \(u^3 + v^3 = (u + v)(u^2 - uv + v^2)\)에 \(u = a^x,\; v = a^{-x}\)를 대입하여 분모 \(a^x + a^{-x} \gt 0\)을 약분한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 준식은 \(a^{2x} - a^x a^{-x} + a^{-2x} = a^{2x} - 1 + a^{-2x}\)로 간단히 정리된다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(a^{-2x} = \dfrac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}\)이므로 대입하면 \((3 + 2\sqrt{2}) - 1 + (3 - 2\sqrt{2}) = 5\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 세제곱 합 인수분해로 \(a^{2x} - 1 + a^{-2x}\) 약분 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 분모 유리화로 \(a^{-2x} = 3 - 2\sqrt{2}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 대입 계산으로 \(5\) 도출 | 3점 |
\(100 \le x \lt 1000\)인 실수 \(x\)에 대하여 \(\log x^2\)의 소수 부분과 \(\log \dfrac{1}{x}\)의 소수 부분이 같을 때, 이를 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값의 곱을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 실수의 소수 부분이 같을 필요충분조건은 두 실수의 차가 정수인 것이며, \(100 \le x \lt 1000\)에서 \(2 \le \log x \lt 3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 두 로그의 차 \(\log x^2 - \log x^{-1} = 2\log x - (-\log x) = 3\log x\)가 정수여야 하고 \(6 \le 3\log x \lt 9\)이므로 \(3\log x = 6,\; 7,\; 8\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 가능한 \(\log x\)는 \(2,\; \dfrac{7}{3},\; \dfrac{8}{3}\)이며 세 경우 모두 소수 부분이 각각 \(0,\; \dfrac{2}{3},\; \dfrac{1}{3}\)로 일치하므로 모든 \(x\)의 곱은 \(10^{2 + \frac{7}{3} + \frac{8}{3}} = 10^7\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 소수 부분 일치 \(\iff 3\log x\)가 정수 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(6 \le 3\log x \lt 9\)로부터 \(\log x = 2, \dfrac{7}{3}, \dfrac{8}{3}\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 지수 합산으로 곱 \(10^7\) 산출 | 3점 |
\(0 \le x \le 2\pi\)에서 삼각부등식 \(2\cos^2 x + 3\sin x - 3 \ge 0\)의 해가 \(\alpha \le x \le \beta\)일 때, \(\beta - \alpha\)와 \(\alpha + \beta\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 \(\sin x\)에 대한 이차부등식으로 정리한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x - 3 \ge 0 \iff 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = (2\sin x - 1)(\sin x - 1) \le 0\)이므로 \(\dfrac{1}{2} \le \sin x \le 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(0 \le x \le 2\pi\)에서 \(\sin x \ge \dfrac{1}{2}\)인 구간은 \(\dfrac{\pi}{6} \le x \le \dfrac{5\pi}{6}\)이므로 \(\beta - \alpha = \dfrac{2\pi}{3}\), \(\alpha + \beta = \pi\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) 변환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\dfrac{1}{2} \le \sin x \le 1\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \([\alpha, \beta] = \left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\right]\)로부터 차 \(\dfrac{2\pi}{3}\), 합 \(\pi\) 산출 | 3점 |
평행사변형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 4,\; \overline{\mathrm{AD}} = 6\)이고 대각선 \(\overline{\mathrm{BD}} = 2\sqrt{7}\)일 때, \(\cos A\)의 값과 다른 대각선 \(\overline{\mathrm{AC}}\)의 길이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(\triangle \mathrm{ABD}\)에 코사인법칙을 적용하여 \(\cos A\)를 구하고, 평행사변형의 이웃각 성질 \(B = \pi - A\)(\(\cos B = -\cos A\))를 이용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\cos A = \dfrac{4^2 + 6^2 - (2\sqrt{7})^2}{2 \times 4 \times 6} = \dfrac{16 + 36 - 28}{48} = \dfrac{24}{48} = \dfrac{1}{2}\)이므로 \(\cos B = -\dfrac{1}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(\triangle \mathrm{ABC}\)(\(\overline{\mathrm{BC}} = 6\))에서 \(\overline{\mathrm{AC}}^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \times 4 \times 6 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 52 + 24 = 76\)이므로 \(\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{19}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(\triangle \mathrm{ABD}\) 코사인법칙 및 \(\cos B = -\cos A\) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\cos A = \dfrac{1}{2}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(\overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}\) 도출 | 3점 |
첫째항이 \(-13\)이고 공차가 \(3\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} |a_k|\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 일반항 \(a_n = -13 + 3(n - 1) = 3n - 16\)의 부호가 바뀌는 항의 번호를 먼저 찾는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(3n - 16 \lt 0 \iff n \le 5\)이므로 제\(1\)항부터 제\(5\)항까지는 음수(\(a_1 = -13,\dots,a_5 = -1\))이고, 제\(6\)항부터 제\(10\)항까지는 양수(\(a_6 = 2,\dots,a_{10} = 14\))이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(\sum_{k=1}^{10}|a_k| = -\sum_{k=1}^{5} a_k + \sum_{k=6}^{10} a_k = -\dfrac{5(-13 - 1)}{2} + \dfrac{5(2 + 14)}{2} = 35 + 40 = 75\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 일반항 \(a_n = 3n - 16\) 및 부호 경계 \(n = 5\) 판정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 음수 \(5\)개 항 절댓값 합 \(35\), 양수 \(5\)개 항 합 \(40\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 총합 \(75\) 도출 | 3점 |
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \((x - 2)f(x) = x^3 - ax^2 + 2x + 4\)를 만족시킬 때, 상수 \(a\)의 값과 \(f(2)\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 항등식에 \(x = 2\)를 대입하면 좌변이 \(0\)이고, \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속이므로 \(f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(x = 2\) 대입 시 \(0 = 8 - 4a + 4 + 4\)에서 \(a = 4\)이고, \(x \ne 2\)일 때 \(f(x) = \dfrac{x^3 - 4x^2 + 2x + 4}{x - 2} = x^2 - 2x - 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 연속성에 의해 \(f(2) = \lim_{x \to 2} (x^2 - 2x - 2) = 4 - 4 - 2 = -2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 항등식 \(x = 2\) 대입 및 연속 정의 \(f(2) = \lim_{x\to 2} f(x)\) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(a = 4\) 결정 및 \((x - 2)\) 인수분해 약분 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(f(2) = -2\) 산출 | 3점 |
다항식 \(x^{10} - 2x^4 + 3x - 1\)을 \((x - 1)^2\)으로 나누었을 때의 나머지를 \(R(x)\)라 할 때, \(R(x)\)를 구하고 \(R(3)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 이차식 \((x - 1)^2\)으로 나눈 나머지는 일차 이하이므로 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(R(x) = ax + b\)로 놓고 항등식 \(x^{10} - 2x^4 + 3x - 1 = (x - 1)^2 Q(x) + ax + b\)를 세운다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양변에 \(x = 1\)을 대입하면 \(1 - 2 + 3 - 1 = a + b \implies a + b = 1\)이고, 양변을 미분한 \(10x^9 - 8x^3 + 3 = 2(x - 1)Q(x) + (x - 1)^2 Q'(x) + a\)에 \(x = 1\)을 대입하면 \(a = 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(b = 1 - 5 = -4\)이므로 \(R(x) = 5x - 4\)이고, \(R(3) = 15 - 4 = 11\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 나눗셈 항등식 \(P(x) = (x - 1)^2 Q(x) + ax + b\) 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 원식 및 도함수에 \(x = 1\) 대입하여 \(a = 5,\; b = -4\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(R(x) = 5x - 4\) 및 \(R(3) = 11\) 도출 | 3점 |
삼차함수 \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + k\)의 극댓값과 극솟값의 절댓값이 서로 같고 부호가 반대일 때, 상수 \(k\)의 값과 방정식 \(f(x) = 0\)의 서로 다른 모든 실근의 합을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 극댓값과 극솟값의 절댓값이 같고 부호가 반대일 필요충분조건은 \((\text{극댓값}) + (\text{극솟값}) = 0\)이고 두 극값의 곱이 음수인 것이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x + 3)(x - 1) = 0\)에서 극댓값은 \(f(-3) = k + 27\), 극솟값은 \(f(1) = k - 5\)이므로 \((k + 27) + (k - 5) = 2k + 22 = 0 \implies k = -11\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 이때 \(f(-3) = 16 \gt 0,\; f(1) = -16 \lt 0\)이므로 \(f(x) = 0\)은 서로 다른 세 실근을 가지며, 근과 계수의 관계에 의해 세 실근의 합은 \(-3\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(f'(x) = 3(x + 3)(x - 1) = 0\) 및 두 극값 \(k + 27,\; k - 5\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극값의 합 \(0\) 조건으로 \(k = -11\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 세 실근 존재 확인 및 근과 계수의 관계로 합 \(-3\) 도출 | 3점 |
곡선 \(y = f(x)\) 위의 임의의 점 \((x, f(x))\)에서의 접선의 기울기가 \(6x^2 - 6x\)이고 함수 \(f(x)\)의 극솟값이 \(2\)일 때, \(f(x)\)의 극댓값과 \(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 조건에서 \(f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x - 1)\)이므로 \(f(x)\)는 \(x = 0\)에서 극대, \(x = 1\)에서 극소를 갖는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부정적분하면 \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + C\)이고 극솟값 \(f(1) = -1 + C = 2\)에서 \(C = 3\)이므로 극댓값은 \(f(0) = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(\int_{0}^{2} (2x^3 - 3x^2 + 3)\,dx = \left[\dfrac{1}{2}x^4 - x^3 + 3x\right]_{0}^{2} = 8 - 8 + 6 = 6\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(f'(x) = 6x(x - 1)\) 극점 판정 및 부정적분 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f(1) = 2\)로 \(C = 3\) 및 극댓값 \(3\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 값 \(6\) 도출 | 3점 |
포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = kx\; (k \gt 0)\)로 둘러싸인 도형의 넓이가 \(36\)일 때, 양수 \(k\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 교점 방정식 \(x^2 - 2x = kx \iff x(x - (k + 2)) = 0\)에서 \(k \gt 0\)이므로 두 교점의 \(x\)좌표는 \(0\)과 \(k + 2\; (k + 2 \gt 2)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 \([0, k + 2]\)에서 직선이 포물선 위에 있으므로 넓이는 \(\int_{0}^{k+2} \{(k + 2)x - x^2\}\,dx = \dfrac{(k + 2)^3}{6}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(\dfrac{(k + 2)^3}{6} = 36 \implies (k + 2)^3 = 216 = 6^3\)이므로 \(k + 2 = 6\), 즉 \(k = 4\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 두 교점 \(x = 0,\; k + 2\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 정적분 넓이 식 \(\dfrac{(k + 2)^3}{6} = 36\) 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 세제곱근 풀이로 \(k = 4\) 산출 | 3점 |
어떤 배양기에서 세균 \(\mathrm{A}\)는 \(1\)시간마다 \(2\)배씩, 세균 \(\mathrm{B}\)는 \(1\)시간마다 \(4\)배씩 일정하게 증식한다. 처음에 세균 \(\mathrm{A}\)를 \(128\)마리, 세균 \(\mathrm{B}\)를 \(2\)마리 동시에 배양하기 시작했을 때, 세균 \(\mathrm{B}\)의 수가 세균 \(\mathrm{A}\)의 수의 \(8\)배 이상이 되는 것은 배양을 시작한 지 최소 몇 시간 후인지 구하시오. (단, 시간 \(n\)은 자연수이다.)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 배양 시작 \(n\)시간 후 세균 \(\mathrm{A},\; \mathrm{B}\)의 개체 수를 각각 밑 \(2\)의 거듭제곱으로 나타낸다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(N_{\mathrm{A}}(n) = 128 \cdot 2^n = 2^{n+7}\)이고, \(N_{\mathrm{B}}(n) = 2 \cdot 4^n = 2 \cdot 2^{2n} = 2^{2n+1}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 조건 \(N_{\mathrm{B}}(n) \ge 8N_{\mathrm{A}}(n)\)에서 \(2^{2n+1} \ge 2^3 \cdot 2^{n+7} = 2^{n+10}\)이므로 밑 \(2 \gt 1\)에 의해 \(2n + 1 \ge n + 10 \implies n \ge 9\), 즉 최소 \(9\)시간 후이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(N_{\mathrm{A}}(n) = 2^{n+7},\; N_{\mathrm{B}}(n) = 2^{2n+1}\) 모델 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부등식 \(2^{2n+1} \ge 2^{n+10}\) 전환 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최소 자연수 \(n = 9\)시간 도출 | 3점 |
닫힌구간 \(\left[\dfrac{1}{9}, 27\right]\)에서 함수 \(f(x) = (\log_3 9x)\left(\log_3 \dfrac{x}{3}\right)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)의 합 \(M + m\)을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그의 성질로 분리한 뒤 \(t = \log_3 x\)로 치환하면 \(\dfrac{1}{9} \le x \le 27\)에서 \(-2 \le t \le 3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f(x) = (t + 2)(t - 1) = t^2 + t - 2 = \left(t + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구간 \([-2, 3]\) 안에 꼭짓점 \(t = -\dfrac{1}{2}\)이 포함되므로 최솟값은 \(m = -\dfrac{9}{4}\), 꼭짓점에서 가장 먼 \(t = 3\)에서 최댓값은 \(M = 5 \times 2 = 10\)이며 \(M + m = \dfrac{31}{4}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(t = \log_3 x\; (-2 \le t \le 3)\) 치환 및 로그 분리 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(\left(t + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4}\) 완전제곱식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(m = -\dfrac{9}{4},\; M = 10\) 및 합 \(\dfrac{31}{4}\) 산출 | 3점 |
닫힌구간 \([0, 6]\)에서 함수 \(y = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}x\right)\)의 그래프가 직선 \(y = -1\)과 만나는 두 점을 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)라 하고, 이 그래프가 최솟값을 갖는 점을 \(\mathrm{C}\)라 할 때, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 \(y = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}x\right)\)의 주기는 \(\dfrac{2\pi}{\pi/3} = 6\)이고, 구간 \([0, 6]\)에서 최솟값은 \(x = 3\)일 때 \(-2\)이므로 \(\mathrm{C}(3, -2)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 교점 방정식 \(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}x\right) = -\dfrac{1}{2}\)에서 \(0 \le \dfrac{\pi}{3}x \le 2\pi\)이므로 \(\dfrac{\pi}{3}x = \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3}\), 즉 \(x = 2,\; 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(\mathrm{A}(2, -1),\; \mathrm{B}(4, -1)\)에서 밑변 \(\overline{\mathrm{AB}} = 2\), 높이 \(|-1 - (-2)| = 1\)이므로 \(\triangle \mathrm{ABC}\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 주기 \(6\) 및 최솟값 꼭짓점 \(\mathrm{C}(3, -2)\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 삼각방정식 풀이로 \(\mathrm{A}(2, -1),\; \mathrm{B}(4, -1)\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 삼각형 넓이 \(1\) 도출 | 3점 |
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{AC}} = 5,\; \angle A = \dfrac{2\pi}{3}\)일 때, 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이와 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 넓이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(\triangle \mathrm{ABC}\)에 코사인법칙을 적용하여 \(\overline{\mathrm{BC}}\)를 구한 뒤 사인법칙 \(\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = 2R\)로 외접원의 반지름 \(R\)를 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \times 3 \times 5 \times \cos\dfrac{2\pi}{3} = 9 + 25 - 30\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 49\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(2R = \dfrac{7}{\sin\frac{2\pi}{3}} = \dfrac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{14}{\sqrt{3}}\)에서 \(R = \dfrac{7}{\sqrt{3}}\)이므로 외접원의 넓이는 \(\pi R^2 = \dfrac{49}{3}\pi\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙으로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 사인법칙으로 \(R = \dfrac{7}{\sqrt{3}}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 외접원의 넓이 \(\dfrac{49}{3}\pi\) 도출 | 3점 |
수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = 2a_n + 1\)을 만족시킬 때, 일반항 \(a_n\)을 구하고 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{7} a_k\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 점화식의 양변에 \(1\)을 더하면 \(a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)\)이므로 수열 \(\{a_n + 1\}\)은 첫째항이 \(a_1 + 1 = 3\)이고 공비가 \(2\)인 등비수열이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 \(a_n + 1 = 3 \cdot 2^{n-1}\), 즉 일반항은 \(a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 제\(7\)항까지의 합은 \(\sum_{k=1}^{7} (3 \cdot 2^{k-1} - 1) = 3 \cdot \dfrac{2^7 - 1}{2 - 1} - 7 = 3 \times 127 - 7 = 374\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)\) 등비수열 변형 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 일반항 \(a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1\) 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 등비수열 합 공식과 상수항 분리로 \(374\) 산출 | 3점 |
다항함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2} = 2\)와 \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{\sqrt{x + 2} - 2} = 16\)을 만족시킬 때, 다항함수 \(f(x)\)를 구하고 \(f(5)\)의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 첫째 극한에서 \(f(x)\)는 최고차항이 \(2x^2\)인 이차함수이고, 둘째 극한에서 분모가 \(0\)으로 가므로 \(f(2) = 0\)이어서 \(f(x) = 2(x - 2)(x - k)\)로 놓을 수 있다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 둘째 극한의 분모·분자에 \(\sqrt{x + 2} + 2\)를 곱하면 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{2(x - 2)(x - k)(\sqrt{x + 2} + 2)}{x - 2} = 2(2 - k) \times 4 = 8(2 - k) = 16\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(2 - k = 2\)에서 \(k = 0\)이므로 \(f(x) = 2x(x - 2) = 2x^2 - 4x\)이고 \(f(5) = 2 \times 5 \times 3 = 30\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | \(f(x) = 2(x - 2)(x - k)\) 인수꼴 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 유리화 약분으로 \(8(2 - k) = 16 \implies k = 0\) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(f(x) = 2x^2 - 4x\) 및 \(f(5) = 30\) 산출 | 3점 |
최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 \(f(0) = 0\)이고, 실수 전체의 집합에서 함수 \(|f(x)|\)가 미분가능하지 않은 점은 \(x = k\; (k \gt 0)\)뿐이다. 닫힌구간 \([0, k]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값이 \(-32\)일 때, 양수 \(k\)의 값과 \(f(k + 1)\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(|f(x)|\)는 \(f(x) = 0\)의 단순근에서만 미분가능하지 않고 중근 이상에서는 미분가능하다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f(0) = 0\)인데 \(x = 0\)에서 \(|f(x)|\)가 미분가능하고 \(x = k \gt 0\)에서만 미분가능하지 않으므로 \(x = 0\)은 중근, \(x = k\)는 단순근이어서 \(f(x) = x^2(x - k)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(f'(x) = 3x^2 - 2kx = x(3x - 2k) = 0\)에서 \([0, k]\)의 최솟값은 \(f\left(\dfrac{2k}{3}\right) = -\dfrac{4k^3}{27} = -32\)이므로 \(k^3 = 216 \implies k = 6\)이고, \(f(7) = 49 \times 1 = 49\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 절댓값 삼차함수의 미분가능 조건으로 \(f(x) = x^2(x - k)\) 결정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(f'\left(\dfrac{2k}{3}\right) = 0\)으로부터 최솟값 \(-\dfrac{4k^3}{27} = -32\) 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | \(k = 6\) 및 \(f(7) = 49\) 산출 | 3점 |
좌표평면에서 곡선 \(y = 12 - x^2\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 영역에 내접하고 한 변이 \(x\)축 위에 있는 직사각형에 대하여, 이 직사각형의 넓이의 최댓값과 둘레의 길이의 최댓값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 제\(1\)사분면 위의 꼭짓점을 \((t, 12 - t^2)\; (0 \lt t \lt 2\sqrt{3})\)이라 하면 가로의 길이는 \(2t\), 세로의 길이는 \(12 - t^2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 넓이 \(S(t) = 2t(12 - t^2) = 24t - 2t^3\)에서 \(S'(t) = 24 - 6t^2 = 6(2 - t)(2 + t) = 0\)이므로 \(t = 2\)일 때 최대 넓이 \(S(2) = 4 \times 8 = 32\)를 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 둘레의 길이 \(L(t) = 4t + 2(12 - t^2) = -2(t - 1)^2 + 26\)은 \(t = 1\)일 때 최댓값 \(26\)을 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 가로 \(2t\), 세로 \(12 - t^2\; (0 \lt t \lt 2\sqrt{3})\) 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 미분으로 \(t = 2\)에서 최대 넓이 \(32\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 이차함수 완전제곱식으로 \(t = 1\)에서 최대 둘레 \(26\) 산출 | 3점 |
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{2}^{x} (x - t)f(t)\,dt = x^4 - 4x^3 + ax + b\)를 만족시킬 때, 두 상수 \(a, b\)의 값과 \(f(3)\)의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 적분변수 \(t\)에 대하여 \(x\)를 밖으로 분리하면 \(x\int_{2}^{x} f(t)\,dt - \int_{2}^{x} tf(t)\,dt = x^4 - 4x^3 + ax + b\)이고, \(x = 2\)를 대입하면 \(16 - 32 + 2a + b = 0 \implies 2a + b = 16\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 곱의 미분법에 의해 \(\int_{2}^{x} f(t)\,dt = 4x^3 - 12x^2 + a\)이며, 여기에 \(x = 2\)를 대입하면 \(32 - 48 + a = 0 \implies a = 16,\; b = -16\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 한 번 더 \(x\)에 대하여 미분하면 \(f(x) = 12x^2 - 24x\)이므로 \(f(3) = 108 - 72 = 36\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 변수 \(x\) 분리 및 \(x = 2\) 대입식 \(2a + b = 16\) 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 1차 미분 \(\int_{2}^{x} f(t)\,dt = 4x^3 - 12x^2 + a\) 및 \(a = 16,\; b = -16\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 2차 미분 \(f(x) = 12x^2 - 24x\)로부터 \(f(3) = 36\) 도출 | 3점 |
지면으로부터 \(25\,\mathrm{m}\)의 높이에서 초속 \(20\,\mathrm{m/s}\)로 똑바로 위로 던져 올린 물체의 \(t\)초 후의 속도가 \(v(t) = 20 - 10t\; (\mathrm{m/s})\)일 때, 이 물체가 도달하는 최고 높이와 지면에 떨어지는 순간의 속력을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 시각 \(t\)에서의 높이는 \(h(t) = 25 + \int_{0}^{t} (20 - 10s)\,ds = 25 + 20t - 5t^2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 최고 높이에서는 \(v(t) = 20 - 10t = 0\)이므로 \(t = 2\)초일 때 최고 높이 \(h(2) = 25 + 40 - 20 = 45\,(\mathrm{m})\)에 도달한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 지면에 떨어질 때 \(h(t) = -5(t - 5)(t + 1) = 0\)에서 \(t = 5\)초(\(t \gt 0\))이고, \(v(5) = -30\)이므로 그때의 속력은 \(|v(5)| = 30\,(\mathrm{m/s})\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 높이 함수 \(h(t) = 25 + 20t - 5t^2\) 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | \(t = 2\)에서 최고 높이 \(45\,\mathrm{m}\) 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 지면 도달 시각 \(t = 5\) 및 속력 \(|v(5)| = 30\,\mathrm{m/s}\) 도출 | 3점 |
| 모집단위 | 모집인원 | 명목경쟁률 | 실질경쟁률 | 최초합 평균 | 70% 충원컷 | 수능최저 기준 | 실시간 합격 판정 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 약학과 | 20명 | 52.4 : 1 | 15.1 : 1 | 93.0점 | 90.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 3개 합 6 (수학 필수) | 판정 대기 |
| 컴퓨터학과 | 16명 | 24.2 : 1 | 9.1 : 1 | 86.5점 | 83.5점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 데이터사이언스전공 | 14명 | 23.4 : 1 | 8.8 : 1 | 86.0점 | 83.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 화장품학전공 | 15명 | 22.8 : 1 | 8.5 : 1 | 85.5점 | 82.5점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 정보통계학과 | 14명 | 21.6 : 1 | 8.2 : 1 | 85.0점 | 82.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 자율전공학부(자연) | 28명 | 21.9 : 1 | 8.3 : 1 | 85.0점 | 82.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| HCI사이언스전공 | 14명 | 20.8 : 1 | 7.9 : 1 | 84.5점 | 81.5점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 바이오학부(생명과학) | 18명 | 21.1 : 1 | 8.0 : 1 | 84.5점 | 81.5점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 응용화학전공 | 15명 | 19.7 : 1 | 7.5 : 1 | 84.0점 | 81.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 식품영양학과 | 16명 | 18.9 : 1 | 7.2 : 1 | 82.5점 | 79.5점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 보건관리학과 | 15명 | 18.4 : 1 | 7.0 : 1 | 82.0점 | 79.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
| 체육학과(자연) | 12명 | 16.2 : 1 | 6.3 : 1 | 79.5점 | 76.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 2개 합 7 | 판정 대기 |
우측 QR 코드를 스마트폰 카메라로 스캔하거나 아래 버튼을 클릭하면 동덕여자대학교 2027 올인원 인터랙티브 대시보드로 즉시 연결됩니다. 인쇄본 학습 중에도 문항별 루브릭 채점과 모집단위별 합격선 추이를 언제든 확인할 수 있습니다.
🚀 동덕여자대학교 올인원 합격 대시보드 바로가기| 회차 | 실전 응시일 | 소요 시간 | 원점수 / 100점 | 핵심 오답 단원 및 루브릭 보완 메모 |
|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제2회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제3회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제4회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제5회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제6회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제7회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제8회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제9회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제10회 | 2026. . . | 분 | / 100 |