| 순위 | 기출 원천 문항 | 핵심 출제 테마 및 변별 포인트 | 모의 1:1 매칭 | 부분점수 공략 전략 |
|---|---|---|---|---|
| TOP 1 | Part 1 문항 15 (2026 외접원·코사인법칙) | 사인법칙·코사인법칙 복합 외접원·반원·내접원·평행사변형 추론 | 모의 6~10회 4번 | 코사인법칙으로 기준 각을 먼저 확정한 뒤 사인법칙 외접원 반지름·내접원 넓이 등식과 연쇄 결합 |
| TOP 2 | Part 1 문항 5·7 (부분합·망원급수) | 선형·역수 점화식 치환, 상수항 Sn 초항 분리 및 수학적 귀납법 | 모의 6~10회 5번 | 보조 등차·등비수열 치환과 $S_n$의 $n=1$ 분리 검증, 귀납 단계 차의 부호 판정을 명확히 서술 |
| TOP 3 | Part 1 문항 9·10 (삼차곡선 접선·극값) | 곡선 밖 접선·공통접선·절댓값 삼차함수 미분가능성과 중근 정리 | 모의 6~10회 7번 | 접점 매개변수 t 설정 및 |f(x)| 미분가능 조건(중근 인수 (x-a)^2)으로 미정계수 즉시 결정 |
| TOP 4 | Part 1 문항 12·16 (대칭 적분·정적분 함수) | 정적분 함수 $\int (x-t)f(t)\,dt$, 이동구간 적분 및 상수 치환 적분방정식 | 모의 6~10회 9번 | 적분 변수 t와 상수 x를 분리해 미분하거나 고정 구간 적분을 상수 k로 치환해 대입 풀이 |
| TOP 5 | Part 1 문항 13·14 (곡선 넓이·속력 정적분) | 삼차곡선 접선 넓이·등넓이 조건 및 방향 전환 실제 이동거리 | 모의 6~10회 10번 | 교점 인수분해와 속도 부호 전환 시각을 명시하여 절댓값 정적분 구간을 오차 없이 분할 계산 |
지수부등식 $4^x - 5\cdot 2^{x+1} + 16 \le 0$을 만족시키는 실수 $x$의 값의 범위를 구하고, 이를 만족시키는 모든 정수 $x$의 개수와 합을 각각 구하시오.
【유사 연습 문제】 부등식 $9^x - 4\cdot 3^{x+1} + 27 \le 0$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 개수를 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $3^x=t\;(t\gt 0)$로 놓으면 $(t-3)(t-9)\le 0 \implies 3\le 3^x \le 9 \implies 1 \le x \le 2$이므로 정수 $x$는 $1, 2$의 $2$개이다. [정답: $2$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $2^{x+1} = 2\cdot 2^x$로 변형하고 $2^x = t\;(t \gt 0)$로 치환하면 주어진 부등식은 $t^2 - 10t + 16 \le 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 인수분해하면 $(t - 2)(t - 8) \le 0$이므로 $2 \le t \le 8$, 즉 $2^1 \le 2^x \le 2^3$이고 밑 $2 \gt 1$이므로 $1 \le x \le 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 만족시키는 정수 $x$는 $1, 2, 3$의 $3$개이며, 모든 정수 $x$의 합은 $1 + 2 + 3 = 6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $2^x = t\;(t \gt 0)$ 치환 및 이차부등식 $t^2 - 10t + 16 \le 0$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $2 \le t \le 8$ 및 밑 $2 \gt 1$ 성질로 $1 \le x \le 3$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정수 개수 $3$개 및 정수의 합 $6$ 산출 | 3점 |
$5\cdot 2^{x+1}$을 $5t$로 잘못 치환하는 실수가 잦으므로 반드시 $2^{x+1} = 2\cdot 2^x$를 먼저 분리해 $10t$로 정리하십시오.
닫힌구간 $[2, 6]$에서 정의된 함수 $f(x) = \log_2(x + 2) + 3$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하고, $M + m$의 값을 구하시오. (단, 로그의 밑은 $2$이다.)
【유사 연습 문제】 닫힌구간 $[1, 7]$에서 함수 $g(x) = \log_2(x + 1) - 1$의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 밑 $2 \gt 1$이므로 최솟값은 $g(1)=0$, 최댓값은 $g(7)=2$이며 곱은 $0$이다. [정답: $0$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 진수 조건 $x + 2 \gt 0$은 구간 $[2, 6]$에서 성립하며, 밑이 $2 \gt 1$이므로 함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[2, 6]$에서 증가함수이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 증가함수이므로 $x = 2$에서 최솟값 $m = \log_2 4 + 3 = 2 + 3 = 5$를 갖고, $x = 6$에서 최댓값 $M = \log_2 8 + 3 = 3 + 3 = 6$을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $M = 6,\; m = 5$이며 $M + m = 11$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 밑 $2 \gt 1$에 따른 단조증가성 및 진수 조건 확인 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 최솟값 $m = f(2) = 5$ 및 최댓값 $M = f(6) = 6$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $M + m = 11$ 최종 도출 | 3점 |
명지대 약술형 채점 기준상 단순 대입 수치만 적기보다 '밑이 $2 \gt 1$이므로 증가함수이다'라는 한 문장을 첫 줄에 적어야 논리 배점 3점을 온전히 확보합니다.
로그방정식 $(\log_2 x)^2 - 4\log_2 x + 3 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha + \beta$의 값과 $\alpha\beta$의 값을 각각 구하시오. (단, $x \gt 0$이다.)
【유사 연습 문제】 방정식 $(\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 2 = 0$의 두 실근의 곱을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\log_2\alpha + \log_2\beta = 5$이므로 $\log_2(\alpha\beta)=5$에서 $\alpha\beta = 2^5 = 32$이다. [정답: $32$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 진수 조건 $x \gt 0$을 확인하고 $\log_2 x = t$ (실수 전체)로 치환하면 $t^2 - 4t + 3 = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $(t - 1)(t - 3) = 0$에서 $t = 1$ 또는 $t = 3$이므로 $\log_2 x = 1$ 또는 $\log_2 x = 3$, 즉 두 실근은 $2$와 $8$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 근 모두 $x \gt 0$을 만족시키므로 $\alpha + \beta = 2 + 8 = 10$이고 $\alpha\beta = 2\times 8 = 16$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 진수 조건 $x \gt 0$ 및 치환 방정식 $t^2 - 4t + 3 = 0$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 인수분해로 두 실근 $2,\; 8$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\alpha + \beta = 10,\; \alpha\beta = 16$ 산출 | 3점 |
$t$에 대한 근과 계수의 관계에서 $t_1 t_2 = 3$을 $\alpha\beta = 3$으로 착각하면 오답이 됩니다. $\log_2(\alpha\beta) = t_1 + t_2 = 4 \implies \alpha\beta = 2^4 = 16$임을 명심하십시오.
$0 \le x \lt 2\pi$일 때, 삼각방정식 $2\cos^2 x - 3\sin x - 3 = 0$의 서로 다른 모든 실근을 구하고, 그 모든 실근의 합을 구하시오. (단, $x$는 라디안 단위의 실수이다.)
【유사 연습 문제】 $0 \le x \lt 2\pi$에서 방정식 $2\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0$의 모든 실근의 합을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $(2\cos x - 1)(\cos x - 1) = 0$에서 $\cos x = \dfrac{1}{2}$ ($x=\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}$) 또는 $\cos x = 1$ ($x=0$)이므로 합은 $2\pi$이다. [정답: $2\pi$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각함수의 관계식 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$를 대입하여 $\sin x$에 대한 이차방정식으로 변환한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2(1 - \sin^2 x) - 3\sin x - 3 = 0 \implies 2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = (2\sin x + 1)(\sin x + 1) = 0$이므로 $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ 또는 $\sin x = -1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \le x \lt 2\pi$에서 해는 $x = \dfrac{7\pi}{6},\; \dfrac{3\pi}{2},\; \dfrac{11\pi}{6}$이며, 모든 실근의 합은 $\dfrac{7\pi}{6} + \dfrac{9\pi}{6} + \dfrac{11\pi}{6} = \dfrac{9\pi}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 변환 및 $2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\sin x = -\dfrac{1}{2},\; -1$로부터 세 실근 $\dfrac{7\pi}{6},\; \dfrac{3\pi}{2},\; \dfrac{11\pi}{6}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 모든 실근의 합 $\dfrac{9\pi}{2}$ 산출 | 3점 |
$\sin x = -1$은 직선 $y=-1$이 사인곡선의 최솟값에 접하는 중근 위치이므로 $x = \dfrac{3\pi}{2}$ 한 개만 존재함을 정확히 반영하십시오.
첫째항이 $2$인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_{10} - S_5 = 150$일 때, 일반항 $a_n$을 구하고 $a_{15}$의 값을 구하시오. (단, 공차 $d$는 상수이다.)
【유사 연습 문제】 첫째항이 $3$인 등차수열 $\{a_n\}$에서 $S_8 - S_3 = 90$일 때, 공차 $d$와 $a_{10}$의 값을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $S_8-S_3 = a_4+\cdots+a_8 = 5a_6 = 5(3+5d)=90 \implies d=3$이므로 $a_{10}=3+27=30$이다. [정답: $d=3,\; a_{10}=30$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등차수열의 부분합 성질 $S_{10} - S_5 = a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = 5a_8$과 일반항 공식 $a_n = 2 + (n - 1)d$를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $5a_8 = 5(2 + 7d) = 150$에서 $2 + 7d = 30$이므로 공차 $d = 4$이고, 일반항은 $a_n = 2 + 4(n - 1) = 4n - 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $a_n = 4n - 2$이며, $n = 15$를 대입하면 $a_{15} = 4\times 15 - 2 = 58$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $S_{10} - S_5 = \sum_{k=6}^{10} a_k = 5a_8$ 관계식 및 일반항 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 공차 $d = 4$ 산출 및 일반항 $a_n = 4n - 2$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a_{15} = 58$ 최종 값 도출 | 3점 |
$S_{10}$과 $S_5$ 공식을 각각 전개해도 되지만, $a_6+\cdots+a_{10}=5a_8$ 등차중항 성질을 사용하면 30초 내에 무오류로 공차를 구할 수 있습니다.
세 양수 $2, a, b$는 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 양수 $a, b, 9$는 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 두 양수 $a, b$의 값을 각각 구하시오. (단, $a \gt 0,\; b \gt 0$이다.)
【유사 연습 문제】 세 양수 $4, x, y$가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 양수 $x, y, 18$이 이 순서대로 등비수열을 이룰 때 $x + y$의 값을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $y = 2x - 4 \gt 0\;(x \gt 2)$와 $y^2 = 18x$를 연립하면 $4x^2 - 34x + 16 = 2(x - 8)(2x - 1) = 0$에서 $x = 8,\; y = 12$이므로 $x + y = 20$이다. [정답: $20$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등차중항 성질에 의하여 $2a = 2 + b$이고, 등비중항 성질에 의하여 $b^2 = 9a$가 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $b = 2a - 2 \gt 0$에서 $a \gt 1$이며, 등비중항 식에 대입하면 $(2a - 2)^2 = 9a \implies 4a^2 - 17a + 4 = (a - 4)(4a - 1) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a \gt 1$이므로 $a = 4$이고, 이를 $b = 2a - 2$에 대입하면 $b = 6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등차중항 $2a = 2 + b$ 및 등비중항 $b^2 = 9a$ 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $b \gt 0 \implies a \gt 1$ 범위 확인 및 $(a-4)(4a-1)=0$ 인수분해 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 양수 조건으로 무연근 $\dfrac{1}{4}$을 배제하여 $a = 4,\; b = 6$ 도출 | 3점 |
$a = \dfrac{1}{4}$이면 $a \gt 0$이지만 $b = 2a - 2 = -\dfrac{3}{2} \lt 0$이 되어 양수 조건 $b \gt 0$에 위배되므로 반드시 배제 근거를 적으십시오.
수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $\sum_{k=1}^{n} a_k = n^2 + 2n$을 만족시킬 때, 일반항 $a_n$을 구하고 $\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}$의 값을 구하시오.
【유사 연습 문제】 $\sum_{k=1}^n a_k = n^2$을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{9} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}$의 값을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $a_n = 2n - 1$이므로 $\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^9\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right) = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{19}\right) = \dfrac{9}{19}$이다. [정답: $\dfrac{9}{19}$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $S_n = n^2 + 2n$이라 하면 $a_1 = S_1$이고 $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1}$이며, 부분분수 공식 $\dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{B-A}\left(\dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\right)$를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_1 = S_1 = 3$이고, $n \ge 2$일 때 $a_n = (n^2 + 2n) - \{(n-1)^2 + 2(n-1)\} = 2n + 1$인데 $n=1$을 대입해도 $3$으로 일치하므로 모든 자연수에서 $a_n = 2n + 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{10}\left(\dfrac{1}{2k+1} - \dfrac{1}{2k+3}\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{23}\right) = \dfrac{10}{69}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a_1 = S_1 = 3$ 검증 및 $a_n = S_n - S_{n-1}$과 부분분수 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 모든 자연수에서 $a_n = 2n + 1$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 계수 $\dfrac{1}{2}$을 포함한 망원급수 소거로 $\dfrac{10}{69}$ 산출 | 3점 |
명지대 치트시트 필수 수칙에 따라 $n \ge 2$에서 $a_n=2n+1$을 구한 뒤 '$n=1$일 때 $S_1=3$과 일치한다'는 검산 문구를 반드시 넣으십시오.
극한 등식 $\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + a} - 2}{x - 2} = b$가 성립할 때, 두 상수 $a, b$의 값과 곱 $ab$의 값을 각각 구하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)
【유사 연습 문제】 $\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x + a} - 3}{x - 1} = b$일 때, $a + 6b$의 값을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\sqrt{1+a}=3 \implies a=8$이고 유리화 극한에서 $b = \dfrac{1}{6}$이므로 $a + 6b = 9$이다. [정답: $9$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to 2$일 때 분모가 $0$으로 수렴하고 극한값 $b$가 존재하므로 분자도 $0$으로 수렴하여 $\lim_{x \to 2}(\sqrt{x + a} - 2) = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\sqrt{2 + a} = 2$에서 $a = 2$이고, 분자를 유리화하면 $\lim_{x \to 2}\dfrac{(x + 2) - 4}{(x - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)} = \lim_{x \to 2}\dfrac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} = \dfrac{1}{4} = b$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $a = 2,\; b = \dfrac{1}{4}$이며 두 상수의 곱은 $ab = \dfrac{1}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 분자 수렴 조건 $\sqrt{2+a} - 2 = 0$ 선언 및 $a = 2$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 켤레 무리식을 곱한 유리화 및 약분으로 $b = \dfrac{1}{4}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $ab = \dfrac{1}{2}$ 최종 값 도출 | 3점 |
명지대 감점 클리닉 Case 1에 따라 분모·분자를 미분하는 대학 과정 대신 반드시 분자 유리화와 $(x-2)$ 약분 과정을 명시해야 만점을 받습니다.
오른쪽 그림과 같은 개형의 곡선 $y = x^3 - 2x + 4$ 위의 점 $(1, 3)$에서의 접선 $l$의 방정식을 구하고, 접선 $l$이 점 $(3, k)$를 지날 때 상수 $k$의 값을 구하시오.
【유사 연습 문제】 곡선 $y = x^3 - 4x + 5$ 위의 점 $(2, 5)$에서의 접선의 $y$절편을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $y'=3x^2-4$에서 기울기는 $8$이므로 접선은 $y-5=8(x-2) \implies y=8x-11$이고 $y$절편은 $-11$이다. [정답: $-11$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 - 2x + 4$를 미분하면 $f'(x) = 3x^2 - 2$이며, 점 $(1, 3)$에서의 접선의 기울기는 $f'(1)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(1) = 3(1)^2 - 2 = 1$이므로 접선 $l$의 방정식은 $y - 3 = 1(x - 1)$, 즉 $y = x + 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 접선 $y = x + 2$가 점 $(3, k)$를 지나므로 $x = 3$을 대입하면 $k = 3 + 2 = 5$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 도함수 $f'(x) = 3x^2 - 2$ 및 접선 기울기 $f'(1) = 1$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 접선의 방정식 $y = x + 2$ 완성 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $(3, k)$ 대입으로 $k = 5$ 산출 | 3점 |
접선의 방정식 공식 $y - f(a) = f'(a)(x - a)$를 명확히 한 줄로 제시하면 계산 검산과 부분점수 확보가 동시에 이루어집니다.
삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + 5$가 $x = 1$에서 극댓값을 가질 때, 상수 $a$의 값을 구하고 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(2, f(2))$에서의 접선의 방정식을 구하시오. (단, $a$는 실수이다.)
【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x^3 + 3x^2 + bx + 2$가 $x = -2$에서 극댓값을 가질 때, 상수 $b$와 극솟값을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(-2)=12-12+b=0 \implies b=0$이고 $f'(x)=3x(x+2)$이므로 $x=0$에서 극솟값 $f(0)=2$를 갖는다. [정답: $b=0$, 극솟값 $2$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 미분가능한 함수 $f(x)$가 $x = 1$에서 극댓값을 가지므로 $f'(1) = 0$이며, 도함수는 $f'(x) = 3x^2 - 12x + a$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(1) = 3 - 12 + a = 0$에서 $a = 9$이고, 이때 $f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)$으로 $x = 1$ 좌우에서 부호가 양에서 음으로 바뀌어 극댓값을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5$에서 $f(2) = 7,\; f'(2) = -3$이므로 점 $(2, 7)$에서의 접선의 방정식은 $y - 7 = -3(x - 2)$, 즉 $y = -3x + 13$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f'(1) = 0$ 극값 필요조건 및 도함수 $f'(x) = 3x^2 - 12x + a$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a = 9$ 도출 및 $f'(x)=3(x-1)(x-3)$ 부호 변화 확인 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(2) = 7,\; f'(2) = -3$으로부터 접선 $y = -3x + 13$ 완성 | 3점 |
$f'(1)=0$만 확인하고 끝내지 말고 $f'(x)=3(x-1)(x-3)$으로 중근이 아닌 단순근임을 한 줄 덧붙이면 서술의 엄밀성이 크게 높아집니다.
삼차함수 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1$의 극댓값을 $M$, 극솟값을 $m$이라 할 때, $M, m$의 값과 $M - m$의 값을 각각 구하시오.
【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4$의 극댓값과 극솟값의 차를 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x)=3(x+1)(x-3)$이므로 극댓값 $f(-1)=9$, 극솟값 $f(3)=-23$이고 차는 $32$이다. [정답: $32$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항함수 $f(x)$를 미분하여 인수분해하면 $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x)=0$에서 $x = 1$ 좌우의 도함수 부호는 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값 $M = f(1) = 2 - 9 + 12 + 1 = 6$이고, $x = 2$에서는 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값 $m = f(2) = 16 - 36 + 24 + 1 = 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $M = 6,\; m = 5$이며 극댓값과 극솟값의 차는 $M - m = 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 도함수 $f'(x) = 6(x - 1)(x - 2)$ 인수분해 제시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 증감 부호 판정으로 $M = f(1) = 6,\; m = f(2) = 5$ 각각 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $M - m = 1$ 최종 결론 도출 | 3점 |
삼차함수 극값의 차 공식 $\dfrac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^3 = \dfrac{2}{2}(2-1)^3 = 1$을 검산에 활용하면 함숫값 대입 계산 실수를 즉시 잡아낼 수 있습니다.
모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$를 만족시키는 연속함수 $f(x)$에 대하여 $\int_{0}^{3} f(x)\,dx = 5$일 때, 정적분 $\int_{-3}^{3} \left(2x^3 + 3x^2 + f(x)\right)\,dx$의 값을 구하시오.
【유사 연습 문제】 $f(-x) = -f(x)$인 연속함수 $f(x)$와 $\int_0^2 g(x)\,dx = 4$인 우함수 $g(x)$에 대하여 $\int_{-2}^2 (f(x) + 3x^2 + g(x))\,dx$를 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 기함수 $f(x)$ 적분은 $0$이고 $2\int_0^2 (3x^2+g(x))\,dx = 2(8+4) = 24$이다. [정답: $24$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 원점 대칭 구간 $[-3, 3]$에서 기함수 $2x^3$의 정적분은 $0$이고, 우함수 $3x^2$과 $f(x)$의 정적분은 구간 $[0, 3]$ 정적분의 $2$배이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\int_{-3}^3 (2x^3 + 3x^2 + f(x))\,dx = 0 + 2\int_0^3 (3x^2 + f(x))\,dx = 2\left(\left[x^3\right]_0^3 + \int_0^3 f(x)\,dx\right)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\left[x^3\right]_0^3 = 27$과 $\int_0^3 f(x)\,dx = 5$를 대입하면 구하는 값은 $2\times(27 + 5) = 64$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 기함수 $\int_{-3}^3 2x^3\,dx = 0$ 및 우함수 $2\int_0^3$ 대칭 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $2\left(\int_0^3 3x^2\,dx + \int_0^3 f(x)\,dx\right)$ 변형 및 $\int_0^3 3x^2\,dx = 27$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $2(27 + 5) = 64$ 최종 값 도출 | 3점 |
우함수 성질에서 앞의 계수 $2$를 $\int_0^3 3x^2\,dx$에만 곱하고 $\int_0^3 f(x)\,dx$에는 빠뜨려 $59$로 쓰는 실수를 주의하십시오.
오른쪽 그림과 같이 곡선 $y = x^2 - 2x$와 직선 $y = x$가 만나는 두 점을 $\mathrm{O}, \mathrm{A}$라 할 때, 선분 $\mathrm{OA}$의 길이와 곡선 및 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 각각 구하시오.
【유사 연습 문제】 곡선 $y = x^2 - 3x$와 직선 $y = x$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 교점은 $x=0, 4$이므로 $S = \int_0^4 (4x - x^2)\,dx = 32 - \dfrac{64}{3} = \dfrac{32}{3}$이다. [정답: $\dfrac{32}{3}$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 교점 방정식 $x^2 - 2x = x$에서 $x(x - 3) = 0$이므로 두 교점은 $\mathrm{O}(0, 0),\; \mathrm{A}(3, 3)$이고 넓이는 $S = \int_0^3 |x - (x^2 - 2x)|\,dx$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 선분 $\mathrm{OA}$의 길이는 $\sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$이고, 구간 $[0, 3]$에서 $3x - x^2 \ge 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 넓이는 $S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \left[\dfrac{3}{2}x^2 - \dfrac{1}{3}x^3\right]_0^3 = \dfrac{27}{2} - 9 = \dfrac{9}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 두 교점 $(0, 0),\; (3, 3)$ 도출 및 정적분 넓이 식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\overline{\mathrm{OA}} = 3\sqrt{2}$ 산출 및 구간 $[0, 3]$ 부호 확인 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 계산으로 $S = \dfrac{9}{2}$ 도출 | 3점 |
명지대 치트시트 공식 $\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3 = \dfrac{1}{6}(3-0)^3 = \dfrac{9}{2}$만 단독 기재하면 풀이 감점이 발생하므로 반드시 정적분 식을 먼저 적으십시오.
오른쪽 그림의 속력 그래프 개형과 같이 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 6t$일 때, 출발 후 운동 방향이 바뀌는 시각 $t_1$과 시각 $t = 0$에서 $t = 3$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 총 거리 $s$를 각각 구하시오.
【유사 연습 문제】 속도가 $v(t) = 2t - 4$인 점 $\mathrm{P}$가 $t = 0$에서 $t = 5$까지 움직인 거리를 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\int_0^2 (4-2t)\,dt + \int_2^5 (2t-4)\,dt = 4 + 9 = 13$이다. [정답: $13$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 운동 방향이 바뀌는 시각은 $v(t) = 0$에서 부호가 바뀌는 시각이며, 움직인 거리는 속력의 정적분 $s = \int_0^3 |v(t)|\,dt$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $v(t) = 3t(t - 2) = 0\;(t \gt 0)$에서 $t_1 = 2$이고, $[0, 2]$에서 $v(t) \le 0$, $[2, 3]$에서 $v(t) \ge 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $s = \int_0^2 (6t - 3t^2)\,dt + \int_2^3 (3t^2 - 6t)\,dt = \left[3t^2 - t^3\right]_0^2 + \left[t^3 - 3t^2\right]_2^3 = 4 + (0 - (-4)) = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 운동 방향 전환 조건 및 속력 정적분 $s = \int_0^3 |v(t)|\,dt$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 방향 전환 시각 $t_1 = 2$ 도출 및 구간 $[0,2], [2,3]$ 부호 분리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간별 정적분 합산으로 총 거리 $s = 8$ 산출 | 3점 |
절댓값 없이 $\int_0^3 (3t^2-6t)\,dt = [t^3-3t^2]_0^3 = 0$을 구하면 변위($0$)가 되어 오답이므로 반드시 $t=2$에서 부호를 나누어 적분하십시오.
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $R = 3$인 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle\mathrm{ACB} = \dfrac{\pi}{3}$이고 두 변의 길이의 합이 $\overline{\mathrm{BC}} + \overline{\mathrm{CA}} = 6\sqrt{2}$일 때, 선분 $\mathrm{AB}$의 길이와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.
【유사 연습 문제】 반지름 $R = 2$인 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $C = \dfrac{\pi}{3}$이고 $a + b = 5$일 때, 곱 $ab$의 값을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $c = 4\sin\dfrac{\pi}{3} = 2\sqrt{3}$이므로 $12 = 25 - 3ab$에서 $ab = \dfrac{13}{3}$이다. [정답: $\dfrac{13}{3}$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 사인법칙 $\overline{\mathrm{AB}} = 2R\sin C$와 코사인법칙 $\overline{\mathrm{AB}}^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ (단, $a=\overline{\mathrm{BC}},\; b=\overline{\mathrm{CA}}$)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\overline{\mathrm{AB}} = 2\times 3\sin\dfrac{\pi}{3} = 3\sqrt{3}$이고, $27 = (a + b)^2 - 3ab = (6\sqrt{2})^2 - 3ab = 72 - 3ab$에서 $ab = 15$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}ab\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\times 15\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 사인법칙 및 코사인법칙 곱셈 변형식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\overline{\mathrm{AB}} = 3\sqrt{3}$ 및 $72 - 3ab = 27$로부터 $ab = 15$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 넓이 공식 대입으로 $S = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}$ 도출 | 3점 |
개별 변 $a, b$를 근의 공식으로 구하지 않고 $(a+b)^2 - 3ab = c^2$ 곱셈 공식 변형으로 곱 $ab = 15$를 바로 도출하는 것이 시간 단축의 핵심입니다.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $\int_{1}^{x} (x - t)f'(t)\,dt = x^3 - 3x^2 + ax + b$를 만족시키고 $f(1) = 5$이다. 두 상수 $a, b$의 값을 구하고, 오른쪽 그림과 같은 좌표평면에서 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(0, f(0))$에서의 접선의 방정식을 구하시오.
【유사 연습 문제】 다항함수 $f(x)$가 $\int_0^x (x - t)f'(t)\,dt = x^3 + 2x^2$ 및 $f(0) = 1$을 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 미분하면 $\int_0^x f'(t)\,dt = f(x)-f(0) = 3x^2+4x$이므로 $f(x)=3x^2+4x+1$이고 $f(2)=21$이다. [정답: $21$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 좌변을 $x\int_1^x f'(t)\,dt - \int_1^x tf'(t)\,dt$로 분리한 뒤 초기조건 $x = 1$ 대입과 양변 미분을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x=1$일 때 $0 = -2 + a + b$이고, 미분하면 $\int_1^x f'(t)\,dt = f(x) - f(1) = 3x^2 - 6x + a$인데 다시 $x=1$을 대입하면 $0 = -3 + a$이므로 $a = 3,\; b = -1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(x) = 3x^2 - 6x + 3 + 5 = 3x^2 - 6x + 8$에서 $f(0) = 8,\; f'(0) = -6$이므로 점 $(0, 8)$에서의 접선의 방정식은 $y = -6x + 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 적분 변수 분리 식 및 초기조건 $a + b = 2$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양변 미분과 $x=1$ 재대입으로 $a = 3,\; b = -1$ 및 $f(x) = 3x^2 - 6x + 8$ 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(0) = 8,\; f'(0) = -6$으로부터 접선 $y = -6x + 8$ 완성 | 3점 |
명지대 치트시트 2번 수칙대로 $(x-t)f'(t)$를 분리하지 않고 미분하면 오답이 되며, $\int_1^x f'(t)\,dt = f(x)-f(1)$에서 초기값 $f(1)=5$를 더하는 것을 잊지 마십시오.
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R1-Q1 | 대수 | 거듭제곱근의 부호와 유리수 지수 계산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 거듭제곱근의 성질 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-01] | 10점/중 |
| R1-Q2 | 대수 | 밑변환 공식을 이용한 로그 연립방정식 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 로그의 밑변환 공식 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.21 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/중상 |
| R1-Q3 | 대수 | 부채꼴의 넓이로부터 호의 길이와 중심각 계산 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 호도법과 부채꼴의 호의 길이 및 중심각 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-01] | 10점/중 |
| R1-Q4 | 대수 | 세 변이 주어진 삼각형의 최대 내각과 외접원 반지름 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 코사인법칙과 도형의 활용 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중상 |
| R1-Q5 | 대수 | 보조수열 치환을 이용한 지수형 귀납적 정의의 일반항 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 일반항 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/상 |
| R1-Q6 | 미적분Ⅰ | 무한대·유한 극한을 이용한 이차함수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한에 대한 성질 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.13 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R1-Q7 | 미적분Ⅰ | 두 극점 구간에서의 평균값 정리 상수 도출 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 롤의 정리와 평균값 정리 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] | 10점/상 |
| R1-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 방정식의 실근의 개수와 극값 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/중상 |
| R1-Q9 | 미적분Ⅰ | 도함수와 최솟값 조건을 이용한 사차함수 복원 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 원함수 결정 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02] | 10점/중상 |
| R1-Q10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 직선으로 둘러싸인 넓이로부터 기울기 역추적 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/중상 |
| R2-Q1 | 대수 | 조건부 지수 분수식의 변형 계산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수의 확장과 지수법칙 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중 |
| R2-Q2 | 대수 | 상용로그 문자로 다른 밑의 로그 표현하기 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 로그의 성질과 계산 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/중 |
| R2-Q3 | 대수 | 코사인함수의 주기·최대최소와 방정식 실근의 합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수의 주기와 최대·최소 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R2-Q4 | 대수 | 사인법칙을 이용한 내각 결정과 직각삼각형 넓이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 외접원 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중상 |
| R2-Q5 | 대수 | 등차수열의 부분합이 최소가 되는 항 번호와 최솟값 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 등차수열과 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-06] | 10점/중상 |
| R2-Q6 | 미적분Ⅰ | 분수함수로 정의된 함수의 한 점 연속 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 조건 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03] | 10점/중 |
| R2-Q7 | 미적분Ⅰ | 함수 방정식과 미분계수의 정의를 이용한 도함수 유도 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수의 정의와 극한 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01] | 10점/중상 |
| R2-Q8 | 미적분Ⅰ | 닫힌구간에서 삼차함수의 최대·최소를 이용한 미정계수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 최대와 최소 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/중상 |
| R2-Q9 | 미적분Ⅰ | 피적분함수 tf(t)의 정적분 항등식과 연속함수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수와 미분의 관계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중상 |
| R2-Q10 | 미적분Ⅰ | 삼차함수와 x축으로 둘러싸인 비대칭 두 영역의 넓이 합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선과 좌표축 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/중상 |
| R3-Q1 | 대수 | 밑과 진수에 모두 미지수가 있는 로그의 정의 조건 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 로그의 정의 조건 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/중 |
| R3-Q2 | 대수 | 지수함수의 점근선과 지나는 점을 이용한 계수 결정 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수의 그래프와 평행이동 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/중상 |
| R3-Q3 | 대수 | 탄젠트 값과 사분면 조건을 이용한 각 변환 계산 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수의 뜻과 부호 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.13 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R3-Q4 | 대수 | 대각선 길이가 주어진 평행사변형의 넓이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 종합 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중상 |
| R3-Q5 | 대수 | 이웃한 항의 제곱 차 시그마 망원 소거 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 여러 가지 수열의 합과 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/중상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R3-Q6 | 미적분Ⅰ | 절댓값 유리함수의 좌극한과 우극한 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 우극한과 좌극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.10 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01] | 10점/중상 |
| R3-Q7 | 미적분Ⅰ | 두 곡선이 한 점에서 공통접선을 가질 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/중상 |
| R3-Q8 | 미적분Ⅰ | 가속도가 0이 되는 시각에서의 속도와 위치 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 직선 운동의 속도와 가속도 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-10] | 10점/중상 |
| R3-Q9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 표현된 극한값과 미분계수 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질과 대칭구간 계산 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중상 |
| R3-Q10 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 직선으로 둘러싸인 점대칭 두 영역의 넓이 합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 두 곡선 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R4-Q1 | 대수 | 유리수 지수 대칭식의 제곱 변형 공식 활용 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 유리수 지수와 대칭식 연산 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중 |
| R4-Q2 | 대수 | 평행이동한 두 로그함수 그래프와 수평선의 교점 거리 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그함수의 그래프와 역함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/중 |
| R4-Q3 | 대수 | 제2사분면 각에서 삼각함수 합·곱·차 관계식 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 사이의 관계식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R4-Q4 | 대수 | 둘레의 길이가 일정한 부채꼴의 최대 넓이와 중심각 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 호도법과 부채꼴의 호의 길이 및 중심각 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-01] | 10점/중 |
| R4-Q5 | 대수 | 시그마의 선형성을 이용한 완전제곱식의 합 계산 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 여러 가지 수열의 합과 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/중 |
| R4-Q6 | 미적분Ⅰ | 무한대 극한과 한 점 극한을 결합한 삼차다항함수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 미정계수의 결정과 다항함수 추론 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중상 |
| R4-Q7 | 미적분Ⅰ | 열린구간 조건으로 끝점을 배제하는 평균값 정리 상수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 롤의 정리와 평균값 정리 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] | 10점/중 |
| R4-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 상수 범위와 정수합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 방정식의 실근의 개수와 극값 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/중상 |
| R4-Q9 | 미적분Ⅰ | 정적분의 구간 가감성과 대칭구간 기함수 성질 결합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질과 대칭구간 계산 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R4-Q10 | 미적분Ⅰ | 등감속도 직선 운동을 하는 열차의 정지 시각과 제동 거리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 제동 시각과 정지 거리 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.35 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/중 |
| R5-Q1 | 대수 | 반감기 지수부등식을 이용한 방사성 물질의 최소 경과 시간 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수의 활용 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중 |
| R5-Q2 | 대수 | 로그 치환 합성함수의 최대·최소 지점과 값의 합 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그함수의 최대와 최소 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/중상 |
| R5-Q3 | 대수 | 삼각부등식의 인수분해 해집합과 구간의 길이 합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각방정식과 삼각부등식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R5-Q4 | 대수 | 원에 내접하는 사각형의 대각선 길이와 마주보는 내각의 크기 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 코사인법칙과 도형의 활용 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중상 |
| R5-Q5 | 대수 | 계승 항등식의 수학적 귀납법 귀납 단계와 급수 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 등식 증명 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-07] | 10점/상 |
| R5-Q6 | 미적분Ⅰ | 사잇값 정리를 이용한 단조증가 삼차방정식 실근 위치 판정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 사잇값 정리와 실근의 존재성 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/중 |
| R5-Q7 | 미적분Ⅰ | 구간별로 정의된 이차함수의 경계점 미분가능 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분가능성과 연속성 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/중상 |
| R5-Q8 | 미적분Ⅰ | 반직선 구간에서 삼차부등식이 항상 성립할 상수의 최솟값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 부등식에의 미분 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/중상 |
| R5-Q9 | 미적분Ⅰ | 부정적분과 도함수가 혼합된 항등식의 미분 풀이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 원함수 결정 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02] | 10점/중상 |
| R5-Q10 | 미적분Ⅰ | 두 이차곡선의 교점 판정과 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 두 곡선 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/중상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R6-Q1 | 대수 | 지수 치환 이차함수의 비대칭 구간 최대·최소 합 조건 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수의 최대와 최소 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/상 |
| R6-Q2 | 대수 | 지수 관계식의 로그 변환과 산술·기하평균 부등식 최대화 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 로그의 밑변환 공식 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.21 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/상 |
| R6-Q3 | 대수 | 절댓값 배각 주기 삼각방정식의 실근 개수와 대칭 합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수의 주기와 최대·최소 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R6-Q4 | 대수 | 삼각형의 세 변으로부터 내각·외접원 반지름·내접원 반지름 동시 도출 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 종합 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/최상 |
| R6-Q5 | 대수 | 선형 점화식의 평행이동 등비치환과 부분합 계산 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 일반항 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/상 |
| R6-Q6 | 미적분Ⅰ | 두 점에서 불연속인 구간 함수와 이차함수의 곱의 실수 전체 연속 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 연속함수의 성질 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.29 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/상 |
| R6-Q7 | 미적분Ⅰ | 곡선 밖의 점에서 삼차곡선에 그은 모든 접선의 방정식과 기울기 합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 곡선 밖의 점에서 그은 접선 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/최상 |
| R6-Q8 | 미적분Ⅰ | 도함수가 주어진 비대칭 사차함수의 두 극솟값과 최솟값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 극대와 극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/상 |
| R6-Q9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 (x-t)f(t) 항등식의 2회 미분과 함숫값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수의 극값 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 문제 7 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R6-Q10 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 극대 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/최상 |
| R7-Q1 | 대수 | 홀짝 지수와 밑의 부호에 따른 실수 거듭제곱근 개수 합산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 거듭제곱과 거듭제곱근 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-01] | 10점/상 |
| R7-Q2 | 대수 | 두 상용로그의 소수부분 일치 조건과 실수 해들의 곱 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 상용로그의 활용 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.24 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-05] | 10점/상 |
| R7-Q3 | 대수 | 모든 실수에서 성립하는 삼각절대부등식의 상수 최솟값 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각방정식과 삼각부등식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R7-Q4 | 대수 | 반원의 원주각 직각삼각형과 지름 내분점 코사인법칙 결합 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 코사인법칙과 도형의 활용 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/최상 |
| R7-Q5 | 대수 | 분수 꼴 점화식의 역수 등차치환과 역수 급수의 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 일반항 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/상 |
| R7-Q6 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한의 대소 관계를 이용한 유리식 극한값 산출 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한의 대소 관계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/상 |
| R7-Q7 | 미적분Ⅰ | 절댓값 삼차함수의 영점 미분가능성과 중근 인수정리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분가능성과 연속성 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/최상 |
| R7-Q8 | 미적분Ⅰ | 정사각형 골판지 네 귀퉁이를 잘라 만든 직육면체 상자의 최대 부피 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 최대와 최소 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/중상 |
| R7-Q9 | 미적분Ⅰ | 우함수 조건과 정적분으로 정의된 함수의 계수 및 극솟값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수와 미분의 관계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R7-Q10 | 미적분Ⅰ | 원점을 동시에 출발한 두 점의 재회 시각과 방향 전환 실제 이동거리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 수직선 운동의 위치와 움직인 거리 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/상 |
| R8-Q1 | 대수 | 양수 치환 정의역에서 대칭축 부호 분기 지수절대부등식 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수방정식과 지수부등식 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/최상 |
| R8-Q2 | 대수 | 지수에 로그를 포함한 방정식의 양변 로그 변환과 실근의 곱 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그방정식과 로그부등식 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/상 |
| R8-Q3 | 대수 | 제4사분면 동경의 좌표 결정과 삼각함수 값의 선형 결합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수의 뜻과 부호 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.13 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R8-Q4 | 대수 | 외접원 반지름과 사인 비가 주어진 삼각형의 최대 내각과 넓이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 종합 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/최상 |
| R8-Q5 | 대수 | 상수항을 포함한 이차식 부분합의 초항 분리와 특정 항의 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 등차수열과 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-06] | 10점/상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R8-Q6 | 미적분Ⅰ | 무한대 빼기 무한대 무리식 극한의 수렴 조건과 미정계수 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 무리식의 부정형 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중상 |
| R8-Q7 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 이차곡선이 한 점에서 접할 공통접선 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/상 |
| R8-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 한 양근과 서로 다른 두 음근을 가질 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 방정식의 실근의 개수와 극값 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| R8-Q9 | 미적분Ⅰ | 정적분 상수 치환을 이용한 함수 방정식 해법과 정적분 계산 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수와 미분의 관계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R8-Q10 | 미적분Ⅰ | 이차곡선과 원점 직선으로 둘러싸인 넓이로부터 기울기 역산 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 두 곡선 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R9-Q1 | 대수 | 지수함수 그래프의 절편·수평선 교점으로 만든 사다리꼴 넓이 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수의 그래프와 평행이동 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/중상 |
| R9-Q2 | 대수 | 밑이 1보다 작은 로그부등식의 진수 조건 교집합과 정수해 합 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그방정식과 로그부등식 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/상 |
| R9-Q3 | 대수 | 삼각형 세 내각 합에 의한 여각 변환과 반각 방정식 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 사이의 관계식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R9-Q4 | 대수 | 평행사변형의 이웃 두 변과 한 대각선으로 내각·다른 대각선 도출 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 코사인법칙과 도형의 활용 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R9-Q5 | 대수 | 등차수열 근호 분모의 유리화 연쇄 소거와 항 번호 역산 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 여러 가지 수열의 합과 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/상 |
| R9-Q6 | 미적분Ⅰ | 절댓값 유리식 함수의 좌극한·우극한 부호 분리 계산 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 우극한과 좌극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.10 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01] | 10점/중상 |
| R9-Q7 | 미적분Ⅰ | 완전제곱 인수로 나누어떨어지는 사차다항식의 미분 판정과 몫 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 다항함수의 도함수와 곱의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.17 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-04] | 10점/상 |
| R9-Q8 | 미적분Ⅰ | 포물선과 x축 사이에 내접하는 직사각형의 최대 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 최대와 최소 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/상 |
| R9-Q9 | 미적분Ⅰ | 이동 구간 [x, x+2] 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 차 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수의 극값 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 문제 7 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/최상 |
| R9-Q10 | 미적분Ⅰ | 삼차함수와 x축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 일치 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선과 좌표축 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R10-Q1 | 대수 | 거듭제곱 등식에서 역수 지수 합 조건을 이용한 밑 상수 결정 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수의 확장과 지수법칙 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/상 |
| R10-Q2 | 대수 | 연쇄 밑변환 공식으로 통일한 복합 밑·진수 로그의 합 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 로그의 성질과 계산 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/상 |
| R10-Q3 | 대수 | 주기·최댓값·특정 함숫값 조건으로 사인함수 계수 결정 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수의 주기와 최대·최소 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R10-Q4 | 대수 | 코사인법칙·사인법칙 외접원 넓이·삼각형 높이 동시 추론 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 외접원 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/최상 |
| R10-Q5 | 대수 | 지수식과 이차다항식의 대소 비교 수학적 귀납법과 예외 자연수 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 부등식 증명 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-07] | 10점/최상 |
| R10-Q6 | 미적분Ⅰ | 곱의 미분법과 미분계수의 정의를 결합한 극한값 계산 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한에 대한 성질 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.13 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/상 |
| R10-Q7 | 미적분Ⅰ | 절댓값 이동 삼차함수가 오직 한 점에서만 미분불가능할 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분가능성과 연속성 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/최상 |
| R10-Q8 | 미적분Ⅰ | 구에 내접하는 직원기둥의 최대 부피와 그때의 높이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 최대와 최소 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/상 |
| R10-Q9 | 미적분Ⅰ | 도함수를 포함한 (x-t)f'(t) 정적분 항등식과 삼차함수 극값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수의 극값 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 문제 7 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/최상 |
| R10-Q10 | 미적분Ⅰ | 수직선 운동의 두 방향 전환 위치 차와 총 이동거리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 직선 운동의 속도와 가속도 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-10] | 10점/상 |
두 실수 $A = \sqrt[4]{81} + \sqrt[3]{-64}$와 $B = 27^{\frac{2}{3}} \times 9^{-\frac{1}{2}}$에 대하여 $A, B$의 값을 각각 구하고 $A + B$의 값을 구하시오.
$1$보다 큰 세 실수 $a, b, c$가 $\log_a b + 2\log_b c = 4$와 $\log_b a + 2\log_c b = \dfrac{5}{2}$를 만족시키고 $\log_a b \gt 1$일 때, $\log_a b,\; \log_b c,\; \log_a c$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $8$이고 넓이가 $24\pi$인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$의 호 $\mathrm{AB}$의 길이 $l$과 중심각의 크기 $\theta$ (라디안)를 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{BC}} = 7,\; \overline{\mathrm{CA}} = 5$일 때, 가장 큰 내각의 크기와 외접원의 반지름의 길이 $R$를 각각 구하시오.
첫째항이 $a_1 = 7$인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$을 만족시킨다. 수열 $b_n = \dfrac{a_n + c\cdot 3^n}{2^n}$이 모든 자연수 $n$에서 $b_{n+1} = b_n$을 만족시키도록 하는 상수 $c$의 값과 일반항 $a_n$, 그리고 $a_5$의 값을 각각 구하시오.
다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2 + 3x} = 2$와 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x^2 - 1} = 3$을 만족시킬 때, 다항함수 $f(x)$와 $f(4)$의 값을 각각 구하시오.
삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$에 대하여 방정식 $f'(x) = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)$라 할 때, 닫힌구간 $[\alpha, \beta]$에서 평균값 정리를 만족시키는 모든 상수 $c$의 값을 구하시오.
삼차방정식 $2x^3 - 3x^2 - 12x + k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.
사차함수 $f(x)$의 도함수가 $f'(x) = 4x^3 - 4x$이고 함수 $f(x)$의 최솟값이 $5$일 때, 상수항 $f(0)$과 $f(2)$의 값을 각각 구하시오.
포물선 $y = -x^2 + 5x$와 원점을 지나는 직선 $y = mx\;(0 \lt m \lt 5)$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\dfrac{9}{2}$일 때, 양수 $m$의 값을 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 문항 1 | 대수 | 거듭제곱근의 부호와 유리수 지수 계산 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 2 | 대수 | 밑변환 공식을 이용한 로그 연립방정식 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 3 | 대수 | 부채꼴의 넓이로부터 호의 길이와 중심각 계산 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 4 | 대수 | 세 변이 주어진 삼각형의 최대 내각과 외접원 반지름 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 5 | 대수 | 보조수열 치환을 이용한 지수형 귀납적 정의의 일반항 | 10점 | 상 |
| 제1회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 무한대·유한 극한을 이용한 이차함수 결정 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 두 극점 구간에서의 평균값 정리 상수 도출 | 10점 | 상 |
| 제1회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 도함수와 최솟값 조건을 이용한 사차함수 복원 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 직선으로 둘러싸인 넓이로부터 기울기 역추적 | 10점 | 중상 |
양수 $a$와 실수 $x$에 대하여 $a^{2x} = 5$일 때, $\dfrac{a^{3x} - a^{-3x}}{a^x + a^{-x}}$의 값을 구하시오.
$\log_{10} 2 = a,\; \log_{10} 3 = b$라 할 때, $\log_{10} 72$와 $\log_5 12$를 각각 $a, b$에 대한 식으로 나타내시오.
함수 $f(x) = 3\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x\right) + 2$의 주기를 $p$, 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $p + M + m$의 값과 닫힌구간 $[0, 8]$에서 $f(x) = 2$를 만족시키는 모든 실수 $x$의 값의 합을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같은 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 4,\; \overline{\mathrm{BC}} = 4\sqrt{3},\; \angle\mathrm{C} = \dfrac{\pi}{6}$이고 $\angle\mathrm{A}$가 예각일 때, $\angle\mathrm{A}$의 크기와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.
첫째항이 $-25$이고 공차가 $3$인 등차수열 $\{a_n\}$에서 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 최소가 되도록 하는 자연수 $n$의 값과 그때의 최솟값 $S_{\min}$을 각각 구하시오.
함수 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + ax - 12}{x - 3} & (x \ne 3) \\ b & (x = 3) \end{cases}$이 $x = 3$에서 연속일 때, 두 상수 $a, b$의 값과 $a + b$의 값을 각각 구하시오.
미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 등식 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy$를 만족시키고 $f'(0) = 4$일 때, $f(0)$의 값과 도함수 $f'(x)$를 구하시오.
닫힌구간 $[-2, 2]$에서 정의된 삼차함수 $f(x) = ax^3 - 3ax + b\;(a \gt 0)$의 최댓값이 $11$, 최솟값이 $3$일 때, 두 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $\int_{1}^{x} tf(t)\,dt = x^4 - 2x^3 + a$를 만족시킬 때, 상수 $a$의 값과 $f(3)$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같은 좌표평면에서 삼차함수 $f(x) = x^3 - 5x^2 + 6x$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 $S$를 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제2회 | 문항 1 | 대수 | 조건부 지수 분수식의 변형 계산 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 2 | 대수 | 상용로그 문자로 다른 밑의 로그 표현하기 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 3 | 대수 | 코사인함수의 주기·최대최소와 방정식 실근의 합 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 4 | 대수 | 사인법칙을 이용한 내각 결정과 직각삼각형 넓이 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 5 | 대수 | 등차수열의 부분합이 최소가 되는 항 번호와 최솟값 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 분수함수로 정의된 함수의 한 점 연속 조건 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 함수 방정식과 미분계수의 정의를 이용한 도함수 유도 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 닫힌구간에서 삼차함수의 최대·최소를 이용한 미정계수 결정 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 피적분함수 tf(t)의 정적분 항등식과 연속함수 결정 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 삼차함수와 x축으로 둘러싸인 비대칭 두 영역의 넓이 합 | 10점 | 중상 |
로그 $\log_{x-2}(-x^2 + 9x - 14)$가 정의되도록 하는 모든 정수 $x$의 값을 구하고 그 합을 구하시오.
오른쪽 그림과 같은 개형의 지수함수 $f(x) = 3^{x-a} + b$의 그래프의 점근선이 직선 $y = -2$이고, 이 그래프가 두 점 $(2, 1),\; (4, k)$를 지날 때 세 상수 $a, b, k$의 값을 각각 구하시오.
$\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi$인 각 $\theta$에 대하여 $\tan\theta = -\dfrac{3}{4}$일 때, $5(\sin\theta - \cos\theta)$의 값과 $\sin(\pi + \theta)\cos(\pi - \theta)$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같은 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{BC}} = 6$이고 대각선 $\overline{\mathrm{AC}} = 7$일 때, $\cos B$의 값과 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.
첫째항이 $3$이고 공차가 $2$인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{10} \left(a_{k+1}^2 - a_k^2\right)$의 값을 구하시오.
함수 $f(x) = \dfrac{|x - 2|}{x^2 - 4}\;(x \ne \pm 2)$에 대하여 $L_1 = \lim_{x \to 2^-} f(x)$와 $L_2 = \lim_{x \to 2^+} f(x)$의 값을 각각 구하고, $L_2 - L_1$의 값을 구하시오.
두 곡선 $y = x^3 + ax + 2$와 $y = 2x^2 + b$가 $x = 1$인 점에서 만나고 그 점에서 공통인 접선을 가질 때, 두 상수 $a, b$의 값과 공통접선의 방정식을 각각 구하시오.
수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치가 $x(t) = t^3 - 9t^2 + 15t + 2$일 때, 점 $\mathrm{P}$의 가속도가 $0$이 되는 시각에서의 속도와 위치를 각각 구하시오.
다항함수 $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$에 대하여 극한값 $\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \int_{2 - h}^{2 + 2h} f(t)\,dt$를 구하시오.
곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 3x$와 직선 $y = x$로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 $S$를 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제3회 | 문항 1 | 대수 | 밑과 진수에 모두 미지수가 있는 로그의 정의 조건 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 2 | 대수 | 지수함수의 점근선과 지나는 점을 이용한 계수 결정 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 3 | 대수 | 탄젠트 값과 사분면 조건을 이용한 각 변환 계산 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 4 | 대수 | 대각선 길이가 주어진 평행사변형의 넓이 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 5 | 대수 | 이웃한 항의 제곱 차 시그마 망원 소거 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 절댓값 유리함수의 좌극한과 우극한 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 두 곡선이 한 점에서 공통접선을 가질 조건 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 가속도가 0이 되는 시각에서의 속도와 위치 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 표현된 극한값과 미분계수 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 직선으로 둘러싸인 점대칭 두 영역의 넓이 합 | 10점 | 상 |
양수 $x$가 $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{11}$을 만족시킬 때, $x + x^{-1}$의 값과 $x^2 + x^{-2}$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 두 로그함수 $y = \log_3(x + 2)$와 $y = \log_3(x - 10) + 1$의 그래프가 직선 $y = 2$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$라 할 때, 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 $x$좌표와 선분 $\mathrm{AB}$의 길이를 각각 구하시오.
$\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi$인 각 $\theta$에 대하여 $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{3}$일 때, $\sin\theta\cos\theta$의 값과 $\sin\theta - \cos\theta$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 둘레의 길이가 $28$인 부채꼴 중에서 그 넓이가 최대인 부채꼴의 반지름의 길이 $r$, 중심각의 크기 $\theta$ (라디안), 최대 넓이 $S_{\max}$를 각각 구하시오.
수열 $\{a_n\}$이 $\sum_{k=1}^{12} a_k = 15,\; \sum_{k=1}^{12} a_k^2 = 43$을 만족시킬 때, $\sum_{k=1}^{12} (2a_k - 3)^2$의 값을 구하시오.
다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -5$와 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 4$를 동시에 만족시킬 때, 함수 $f(x)$의 식과 $f(3)$의 값을 각각 구하시오.
함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x + 2$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c\;(0 \lt c \lt 3)$의 값을 구하시오.
삼차방정식 $x^3 - 9x^2 + 24x - 10 = k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하고, 그 범위에 속하는 모든 정수 $k$의 값의 합을 구하시오.
연속함수 $f(x)$가 $\int_{-1}^{2} f(x)\,dx = 8,\; \int_{1}^{2} f(x)\,dx = 3$을 만족시킬 때, 정적분 $\int_{-1}^{1} (3f(x) - 4x + 2)\,dx$의 값을 구하시오.
직선 선로 위를 $24\,\mathrm{m/s}$의 속도로 달리는 열차가 제동을 건 지 $t$초 후의 속도가 $v(t) = 24 - 4t\;(\mathrm{m/s})$라 할 때, 제동을 건 순간부터 열차가 정지할 때까지 걸린 시간과 달린 제동 거리를 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제4회 | 문항 1 | 대수 | 유리수 지수 대칭식의 제곱 변형 공식 활용 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 2 | 대수 | 평행이동한 두 로그함수 그래프와 수평선의 교점 거리 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 3 | 대수 | 제2사분면 각에서 삼각함수 합·곱·차 관계식 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 4 | 대수 | 둘레의 길이가 일정한 부채꼴의 최대 넓이와 중심각 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 5 | 대수 | 시그마의 선형성을 이용한 완전제곱식의 합 계산 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 무한대 극한과 한 점 극한을 결합한 삼차다항함수 결정 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 열린구간 조건으로 끝점을 배제하는 평균값 정리 상수 결정 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 상수 범위와 정수합 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 정적분의 구간 가감성과 대칭구간 기함수 성질 결합 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 등감속도 직선 운동을 하는 열차의 정지 시각과 제동 거리 | 10점 | 중 |
어느 방사성 물질의 질량은 매 $15$년마다 처음 질량의 $\dfrac{1}{2}$로 줄어든다고 한다. 처음 질량이 $160\,\mathrm{g}$인 이 물질의 질량이 $5\,\mathrm{g}$ 이하가 되는 것은 최소 몇 년 후부터인지 구하시오.
정의역이 $\{x \mid 1 \le x \le 27\}$인 함수 $f(x) = (\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 7$이 $x = a$에서 최댓값 $M$, $x = b$에서 최솟값 $m$을 가질 때, $a + b + M + m$의 값을 구하시오.
$0 \le x \le \pi$일 때, 삼각부등식 $2\cos^2 x - 3\sin x \ge 0$을 만족시키는 실수 $x$의 값의 범위를 구하고, 해가 이루는 두 닫힌구간의 길이의 합을 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{BC}} = 5,\; \angle\mathrm{ABC} = \dfrac{2\pi}{3}$일 때, 대각선 $\overline{\mathrm{AC}}$의 길이와 $\angle\mathrm{ADC}$의 크기를 각각 구하시오.
모든 자연수 $n$에 대하여 등식 $\sum_{i=1}^{n} i \cdot i! = (n + 1)! - 1$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명할 때, $n = k$일 때의 가정에 $(k + 1)\cdot(k + 1)!$을 더하여 $n = k + 1$일 때의 우변을 유도하는 식을 서술하고 $\sum_{i=1}^{6} i \cdot i!$의 값을 구하시오.
방정식 $x^3 + 2x - 9 = 0$은 오직 하나의 실근 $\alpha$를 갖는다. 사잇값 정리를 이용하여 실근 $\alpha$가 열린구간 $(n, n + 1)$에 속하도록 하는 정수 $n$의 값을 근거와 함께 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & (x \lt 2) \\ -x^2 + 6x - 3 & (x \ge 2) \end{cases}$가 $x = 2$에서 미분가능할 때, 두 상수 $a, b$의 값과 미분계수 $f'(2)$의 값을 각각 구하시오.
$x \ge 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x^3 - 3x^2 - 9x + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하시오.
다항함수 $f(x)$의 한 부정적분 $F(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $F(x) = xf(x) - 2x^3 + 3x^2$을 만족시키고 $f(2) = 5$일 때, 함수 $f(x)$와 $f(-1)$의 값을 각각 구하시오.
두 이차함수 $f(x) = x^2 - 3x + 4$와 $g(x) = -x^2 + 5x - 2$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제5회 | 문항 1 | 대수 | 반감기 지수부등식을 이용한 방사성 물질의 최소 경과 시간 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 2 | 대수 | 로그 치환 합성함수의 최대·최소 지점과 값의 합 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 3 | 대수 | 삼각부등식의 인수분해 해집합과 구간의 길이 합 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 4 | 대수 | 원에 내접하는 사각형의 대각선 길이와 마주보는 내각의 크기 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 5 | 대수 | 계승 항등식의 수학적 귀납법 귀납 단계와 급수 합 | 10점 | 상 |
| 제5회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 사잇값 정리를 이용한 단조증가 삼차방정식 실근 위치 판정 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 구간별로 정의된 이차함수의 경계점 미분가능 조건 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 반직선 구간에서 삼차부등식이 항상 성립할 상수의 최솟값 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 부정적분과 도함수가 혼합된 항등식의 미분 풀이 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 두 이차곡선의 교점 판정과 둘러싸인 도형의 넓이 | 10점 | 중상 |
닫힌구간 $[-1, 2]$에서 정의된 함수 $f(x) = 9^x - 2\cdot 3^{x+1} + k$의 최댓값과 최솟값의 합이 $34$일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.
$a \gt 1,\; b \gt 1$인 두 실수 $a, b$가 $a^2 b^4 = 3^8$을 만족시킬 때, $\log_3 a \cdot \log_3 b$의 최댓값과 그때의 $a, b$의 값을 각각 구하시오.
닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 삼각방정식 $|\sin 2x| = \dfrac{1}{2}$의 서로 다른 모든 실근의 개수 $n$과 모든 실근의 값의 합 $S$를 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 세 변의 길이가 $\overline{\mathrm{AB}} = 10,\; \overline{\mathrm{BC}} = 16,\; \overline{\mathrm{CA}} = 14$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 대하여 $\angle\mathrm{B}$의 크기, 외접원의 반지름의 길이 $R$, 내접원의 반지름의 길이 $r$를 각각 구하시오.
첫째항이 $a_1 = 5$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 귀납적 관계식 $a_{n+1} = 2a_n - 3$을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$에 대하여 일반항 $a_n$을 구하고, $\sum_{k=1}^{8} a_k$의 값을 구하시오.
함수 $f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x \lt -1) \\ x^2 - 4 & (-1 \le x \lt 3) \\ 2x + 1 & (x \ge 3) \end{cases}$와 이차함수 $g(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 곱함수 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 $a, b$의 값과 $g(5)$의 값을 각각 구하시오.
곡선 밖의 점 $(0, 8)$에서 삼차곡선 $y = x^3 - 6x^2 + 9x$에 그은 서로 다른 모든 접선의 방정식을 구하고, 모든 접선의 기울기의 합을 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 사차함수 $f(x)$의 도함수가 $f'(x) = 12x(x + 2)(x - 1)$이고 함수 $f(x)$의 극댓값이 $7$일 때, 함수 $f(x)$의 두 극솟값과 실수 전체에서의 최솟값을 각각 구하시오.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $\int_{0}^{x} (x - t)f(t)\,dt = x^4 - 2x^3 + 3x^2$을 만족시킬 때, 함수 $f(x)$의 식과 $f(4)$의 값을 각각 구하시오.
삼차곡선 $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$과 이 곡선 위의 점 $(1, 5)$에서의 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제6회 | 문항 1 | 대수 | 지수 치환 이차함수의 비대칭 구간 최대·최소 합 조건 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 2 | 대수 | 지수 관계식의 로그 변환과 산술·기하평균 부등식 최대화 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 3 | 대수 | 절댓값 배각 주기 삼각방정식의 실근 개수와 대칭 합 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 4 | 대수 | 삼각형의 세 변으로부터 내각·외접원 반지름·내접원 반지름 동시 도출 | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 5 | 대수 | 선형 점화식의 평행이동 등비치환과 부분합 계산 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 두 점에서 불연속인 구간 함수와 이차함수의 곱의 실수 전체 연속 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 곡선 밖의 점에서 삼차곡선에 그은 모든 접선의 방정식과 기울기 합 | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 도함수가 주어진 비대칭 사차함수의 두 극솟값과 최솟값 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 (x-t)f(t) 항등식의 2회 미분과 함숫값 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 극대 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | 10점 | 최상 |
$2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 $-n^2 + 13n - 30$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$이라 할 때, $\sum_{n=2}^{11} f(n)$의 값을 구하시오.
$10 \lt x \lt 1000$인 실수 $x$에 대하여 $\log_{10} x^2$의 소수부분과 $\log_{10}\dfrac{1}{x}$의 소수부분이 서로 같을 때, 조건을 만족시키는 모든 실수 $x$의 값의 곱을 구하시오.
$0 \le x \lt 2\pi$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $\cos^2 x - 4\sin x + k - 3 \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 지름의 길이가 $\overline{\mathrm{AB}} = 10$인 반원의 호 위에 $\overline{\mathrm{AC}} = 8$인 점 $\mathrm{C}$를 잡고, 지름 $\mathrm{AB}$를 $2 : 3$으로 내분하는 점을 $\mathrm{D}$라 할 때, 선분 $\overline{\mathrm{BC}}$의 길이와 선분 $\overline{\mathrm{CD}}$의 길이를 각각 구하시오.
첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{2}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 점화식 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}$을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$에 대하여 일반항 $a_n$을 구하고, $\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k}$의 값을 구하시오.
모든 양의 실수 $x$에 대하여 부등식 $6x^2 - 2x \le xf(x) \le 6x^2 + 5x$를 만족시키는 함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{2f(x) + 3x}{3x - 1}$의 값을 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x) = (x - 1)(x^2 + ax + b)$에 대하여 함수 $g(x) = |f(x)|$가 $x = 1$에서 미분가능하고 $g(0) = 4,\; g(2) = 2$일 때, 두 상수 $a, b$의 값과 $f(3)$의 값을 각각 구하시오.
한 변의 길이가 $18$인 정사각형 모양의 골판지의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 $x$인 합동인 정사각형을 잘라 내고 남은 부분을 접어 뚜껑이 없는 직육면체 상자를 만들 때, 부피가 최대가 되는 $x$의 값과 최대 부피 $V_{\max}$를 각각 구하시오.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 우함수 조건 $f(-x) = f(x)$를 만족시키고, 함수 $g(x) = \int_{-1}^{x} f(t)\,dt$가 $g(x) = x^3 + ax^2 - 12x + b$일 때, 두 상수 $a, b$의 값과 함수 $g(x)$의 극솟값을 각각 구하시오.
원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 속도가 각각 $v_1(t) = 3t^2 - 6t,\; v_2(t) = 2t - 4$일 때, 출발 후 두 점이 처음으로 다시 만나는 시각 $t_0$와 $t = 0$부터 $t = 3$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리 $L$을 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제7회 | 문항 1 | 대수 | 홀짝 지수와 밑의 부호에 따른 실수 거듭제곱근 개수 합산 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 2 | 대수 | 두 상용로그의 소수부분 일치 조건과 실수 해들의 곱 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 3 | 대수 | 모든 실수에서 성립하는 삼각절대부등식의 상수 최솟값 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 4 | 대수 | 반원의 원주각 직각삼각형과 지름 내분점 코사인법칙 결합 | 10점 | 최상 |
| 제7회 | 문항 5 | 대수 | 분수 꼴 점화식의 역수 등차치환과 역수 급수의 합 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한의 대소 관계를 이용한 유리식 극한값 산출 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 절댓값 삼차함수의 영점 미분가능성과 중근 인수정리 | 10점 | 최상 |
| 제7회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 정사각형 골판지 네 귀퉁이를 잘라 만든 직육면체 상자의 최대 부피 | 10점 | 중상 |
| 제7회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 우함수 조건과 정적분으로 정의된 함수의 계수 및 극솟값 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 원점을 동시에 출발한 두 점의 재회 시각과 방향 전환 실제 이동거리 | 10점 | 상 |
모든 실수 $x$에 대하여 지수부등식 $4^x - k\cdot 2^{x+1} + 3k + 4 \gt 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 값의 범위와 정수 $k$의 최댓값을 각각 구하시오.
$x \gt 0$에서 정의된 방정식 $x^{\log_2 x} = 64x$의 서로 다른 모든 실근을 구하고, 모든 실근의 곱을 구하시오.
좌표평면에서 원점 $\mathrm{O}$와 제4사분면의 점 $\mathrm{P}(a, -8)\;(a \gt 0)$을 지나는 동경 $\mathrm{OP}$가 나타내는 각의 크기를 $\theta$라 하자. $\cos\theta = \dfrac{3}{5}$일 때, 양수 $a$의 값과 $15\sin\theta + 6\tan\theta$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $7$인 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$일 때, 가장 큰 내각 $\angle\mathrm{C}$의 크기와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.
수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = 2n^2 - 3n + 4$일 때, $a_1$의 값과 $n \ge 2$일 때의 일반항 $a_n$을 각각 구하고, $a_1 + a_5 + a_{10}$의 값을 구하시오.
극한 등식 $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^2 + ax + 3} - bx\right) = 3$이 성립할 때, 두 실수 $a, b$의 값과 $a + b$의 값을 각각 구하시오.
두 곡선 $y = x^3 - ax + 9$와 $y = 2x^2 + 1$이 한 점에서 서로 접할 때, 상수 $a$의 값과 그 접점에서의 공통접선의 방정식을 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 삼차방정식 $2x^3 - 3x^2 - 12x - k = 0$이 한 개의 양의 실근과 서로 다른 두 개의 음의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위와 정수 $k$의 개수를 각각 구하시오.
연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 6x + \int_{0}^{2} tf(t)\,dt$를 만족시킬 때, 상수 $k = \int_{0}^{2} tf(t)\,dt$의 값과 정적분 $\int_{0}^{3} f(x)\,dx$의 값을 각각 구하시오.
이차함수 $y = -x^2 + 4x$의 그래프와 직선 $y = mx\;(0 \lt m \lt 4)$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\dfrac{9}{2}$일 때, 상수 $m$의 값을 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제8회 | 문항 1 | 대수 | 양수 치환 정의역에서 대칭축 부호 분기 지수절대부등식 | 10점 | 최상 |
| 제8회 | 문항 2 | 대수 | 지수에 로그를 포함한 방정식의 양변 로그 변환과 실근의 곱 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 3 | 대수 | 제4사분면 동경의 좌표 결정과 삼각함수 값의 선형 결합 | 10점 | 중상 |
| 제8회 | 문항 4 | 대수 | 외접원 반지름과 사인 비가 주어진 삼각형의 최대 내각과 넓이 | 10점 | 최상 |
| 제8회 | 문항 5 | 대수 | 상수항을 포함한 이차식 부분합의 초항 분리와 특정 항의 합 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 무한대 빼기 무한대 무리식 극한의 수렴 조건과 미정계수 | 10점 | 중상 |
| 제8회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 이차곡선이 한 점에서 접할 공통접선 조건 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 한 양근과 서로 다른 두 음근을 가질 조건 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 정적분 상수 치환을 이용한 함수 방정식 해법과 정적분 계산 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 이차곡선과 원점 직선으로 둘러싸인 넓이로부터 기울기 역산 | 10점 | 상 |
오른쪽 그림과 같이 지수함수 $y = 2^{x+1} + 1$의 그래프가 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 직선 $y = 17$과 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하고, 점 $\mathrm{B}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 할 때, 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 사다리꼴 $\mathrm{AOHB}$의 넓이 $S$를 구하시오.
로그부등식 $\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + \log_{\frac{1}{2}}(x - 4) \ge -3$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 값을 구하고 그 합을 구하시오.
삼각형 $\mathrm{ABC}$의 세 내각 $A, B, C$에 대하여 등식 $\sin^2\left(\dfrac{A + B}{2}\right) + \cos\dfrac{C}{2} = \dfrac{3}{4}$이 성립할 때, $\cos\dfrac{C}{2}$의 값과 내각 $C$의 크기를 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 4,\; \overline{\mathrm{BC}} = 6$이고 대각선 $\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{19}$일 때, $\angle\mathrm{ABC}$의 크기와 다른 대각선 $\overline{\mathrm{BD}}$의 길이를 각각 구하시오.
첫째항이 $4$이고 공차가 $3$인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = 2$를 만족시키는 자연수 $n$의 값을 구하시오.
함수 $f(x) = \dfrac{|x^2 - 9|}{x - 3} + 2x$에 대하여 좌극한 $L = \lim_{x \to 3^-} f(x)$와 우극한 $R = \lim_{x \to 3^+} f(x)$의 값을 각각 구하고, $R - L$의 값을 구하시오.
사차다항식 $P(x) = x^4 + ax^2 + b$가 $(x - 2)^2$으로 나누어떨어질 때, 미분법을 이용하여 두 상수 $a, b$의 값과 몫 $Q(x)$에 대한 $Q(2)$의 값을 각각 구하시오.
이차함수 $y = -x^2 + 12$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 영역에 내접하고 한 변이 $x$축 위에 있는 직사각형의 넓이의 최댓값 $S_{\max}$와 그때 직사각형의 가로·세로 길이를 각각 구하시오.
삼차함수 $f(x) = x^3 - 13x$에 대하여 정적분으로 정의된 함수 $g(x) = \int_{x}^{x+2} f(t)\,dt$가 $x = \alpha$에서 극댓값, $x = \beta$에서 극솟값을 가질 때, $\alpha, \beta$의 값과 $g(\alpha) - g(\beta)$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 삼차함수 $f(x) = x(x - 2)(x - a)\;(a \gt 2)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 서로 같을 때, 상수 $a$의 값과 한쪽 도형의 넓이 $S_1$을 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제9회 | 문항 1 | 대수 | 지수함수 그래프의 절편·수평선 교점으로 만든 사다리꼴 넓이 | 10점 | 중상 |
| 제9회 | 문항 2 | 대수 | 밑이 1보다 작은 로그부등식의 진수 조건 교집합과 정수해 합 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 3 | 대수 | 삼각형 세 내각 합에 의한 여각 변환과 반각 방정식 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 4 | 대수 | 평행사변형의 이웃 두 변과 한 대각선으로 내각·다른 대각선 도출 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 5 | 대수 | 등차수열 근호 분모의 유리화 연쇄 소거와 항 번호 역산 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 절댓값 유리식 함수의 좌극한·우극한 부호 분리 계산 | 10점 | 중상 |
| 제9회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 완전제곱 인수로 나누어떨어지는 사차다항식의 미분 판정과 몫 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 포물선과 x축 사이에 내접하는 직사각형의 최대 넓이 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 이동 구간 [x, x+2] 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 차 | 10점 | 최상 |
| 제9회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 삼차함수와 x축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 일치 조건 | 10점 | 상 |
세 실수 $x, y, z$가 $4^x = 9^y = 36^z = k\;(k \gt 1)$와 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}$를 만족시킬 때, 실수 $z$의 값과 상수 $k$의 값을 각각 구하시오.
$1$이 아닌 세 양수 $a, b, c$가 $\log_a b = 3,\; \log_b c = 2$를 만족시킬 때, $\log_{ab}(bc) + \log_{bc}(ca)$의 값을 구하시오.
함수 $f(x) = a\sin(bx) + c$ (단, $a \gt 0,\; b \gt 0$)의 주기가 $6$, 최댓값이 $7$이고 $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 5$일 때, 세 상수 $a, b, c$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}} = 8,\; \overline{\mathrm{AC}} = 5,\; \angle\mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3}$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 변 $\mathrm{BC}$의 길이, 외접원의 넓이 $S$, 꼭짓점 $\mathrm{A}$에서 변 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 길이 $h$를 각각 구하시오.
$n \ge 5$인 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $2^n \gt n^2$이 성립함을 수학적 귀납법의 귀납 단계($2k^2 - (k + 1)^2 \gt 0$)를 포함하여 설명하고, 모든 자연수 $n$ 중에서 부등식 $2^n \le n^2$을 만족시키는 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오.
다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - 3}{x - 2} = 5$를 만족시킬 때, 함수 $g(x) = (x^2 + 1)f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to 2} \dfrac{g(x) - 15}{x^2 - 4}$의 값을 구하시오.
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x) = |f(x) - 2|$가 오직 한 점 $x = -1$에서만 미분가능하지 않고 $f(0) = 2,\; f'(0) = 0$일 때, 함수 $f(x)$의 식과 $f(2)$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $6$인 구에 내접하는 직원기둥의 부피가 최대일 때, 그 직원기둥의 높이 $H$와 최대 부피 $V_{\max}$를 각각 구하시오.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $\int_{1}^{x} (x - t)f'(t)\,dt = x^4 - 4x^3 + 8x - 5$를 만족시키고 $f(1) = -3$일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치가 $x(t) = t^3 - 9t^2 + 15t$일 때, 점 $\mathrm{P}$가 운동 방향을 바꾸는 두 시각에서의 위치 사이의 거리와 $t = 0$부터 $t = 6$까지 실제로 움직인 총 거리 $L$을 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제10회 | 문항 1 | 대수 | 거듭제곱 등식에서 역수 지수 합 조건을 이용한 밑 상수 결정 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 2 | 대수 | 연쇄 밑변환 공식으로 통일한 복합 밑·진수 로그의 합 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 3 | 대수 | 주기·최댓값·특정 함숫값 조건으로 사인함수 계수 결정 | 10점 | 중상 |
| 제10회 | 문항 4 | 대수 | 코사인법칙·사인법칙 외접원 넓이·삼각형 높이 동시 추론 | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 5 | 대수 | 지수식과 이차다항식의 대소 비교 수학적 귀납법과 예외 자연수 합 | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 곱의 미분법과 미분계수의 정의를 결합한 극한값 계산 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 절댓값 이동 삼차함수가 오직 한 점에서만 미분불가능할 조건 | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 구에 내접하는 직원기둥의 최대 부피와 그때의 높이 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 도함수를 포함한 (x-t)f'(t) 정적분 항등식과 삼차함수 극값 | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 수직선 운동의 두 방향 전환 위치 차와 총 이동거리 | 10점 | 상 |
두 실수 $A = \sqrt[4]{81} + \sqrt[3]{-64}$와 $B = 27^{\frac{2}{3}} \times 9^{-\frac{1}{2}}$에 대하여 $A, B$의 값을 각각 구하고 $A + B$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 짝수 거듭제곱근 $\sqrt[4]{3^4} = 3$과 홀수 거듭제곱근 $\sqrt[3]{(-4)^3} = -4$ 및 밑을 $3$으로 통일하는 지수법칙을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $A = 3 + (-4) = -1$이고, $B = (3^3)^{\frac{2}{3}} \times (3^2)^{-\frac{1}{2}} = 3^2 \times 3^{-1} = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $A = -1,\; B = 3$이며 $A + B = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 거듭제곱근 성질 및 밑 $3$ 지수법칙 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $A = -1$ 및 $B = 3$ 각각 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $A + B = 2$ 도출 | 3점 |
음수의 세제곱근 $\sqrt[3]{-64}$는 실수 $-4$로 정의됨을 정확히 계산하십시오.
$1$보다 큰 세 실수 $a, b, c$가 $\log_a b + 2\log_b c = 4$와 $\log_b a + 2\log_c b = \dfrac{5}{2}$를 만족시키고 $\log_a b \gt 1$일 때, $\log_a b,\; \log_b c,\; \log_a c$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x = \log_a b,\; y = \log_b c$라 놓으면 밑변환 역수 관계에 의하여 $x + 2y = 4$이고 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} = \dfrac{5}{2}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x = 4 - 2y$를 둘째 식에 대입해 정리하면 $y + 2(4 - 2y) = \dfrac{5}{2}y(4 - 2y) \implies 5y^2 - 13y + 8 = (y - 1)(5y - 8) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x \gt 1$ 조건에서 $y = \dfrac{8}{5}$일 때 $x = \dfrac{4}{5} \lt 1$로 부적합하므로 $y = 1,\; x = 2$이며, $\log_a c = xy = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 치환 $x=\log_a b,\; y=\log_b c$ 및 역수 연립방정식 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $(y - 1)(5y - 8) = 0$ 인수분해 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x \gt 1$ 조건으로 $x = 2,\; y = 1,\; \log_a c = 2$ 확정 | 3점 |
조건 $\log_a b \gt 1$을 대조하여 무연근 $(x, y) = \left(\dfrac{4}{5}, \dfrac{8}{5}\right)$를 배제하는 과정을 반드시 서술하십시오.
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $8$이고 넓이가 $24\pi$인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$의 호 $\mathrm{AB}$의 길이 $l$과 중심각의 크기 $\theta$ (라디안)를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 반지름이 $r = 8$인 부채꼴의 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}rl$과 호의 길이 공식 $l = r\theta$를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $24\pi = \dfrac{1}{2}\times 8\times l = 4l$에서 호의 길이는 $l = 6\pi$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $6\pi = 8\theta$에서 중심각의 크기는 $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$ (라디안)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 부채꼴 넓이 $S=\dfrac{1}{2}rl$ 및 호도법 $l=r\theta$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 호의 길이 $l = 6\pi$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 중심각 $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$ 도출 | 3점 |
중심각을 육십분법($135^\circ$)이 아닌 호도법(라디안) $\dfrac{3\pi}{4}$으로 표기하십시오.
오른쪽 그림과 같이 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{BC}} = 7,\; \overline{\mathrm{CA}} = 5$일 때, 가장 큰 내각의 크기와 외접원의 반지름의 길이 $R$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 가장 긴 변 $\overline{\mathrm{BC}} = 7$의 대각인 $\angle\mathrm{A}$가 최대 내각이며, 코사인법칙과 사인법칙 $2R = \dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A}$를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\cos A = \dfrac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2\times 3\times 5} = \dfrac{-15}{30} = -\dfrac{1}{2}$이고 $0 \lt A \lt \pi$이므로 최대 내각은 $A = \dfrac{2\pi}{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $2R = \dfrac{7}{\sin\frac{2\pi}{3}} = \dfrac{14}{\sqrt{3}}$이므로 외접원의 반지름은 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 최대 변 $\overline{\mathrm{BC}}=7$에 대응하는 최대 내각 $A$ 판정 및 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\cos A = -\dfrac{1}{2}$로부터 $A = \dfrac{2\pi}{3}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 사인법칙으로 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ 산출 | 3점 |
삼각형에서 가장 큰 내각은 항상 가장 긴 변의 대각이라는 기하적 성질을 첫 줄에 명시하십시오.
첫째항이 $a_1 = 7$인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$을 만족시킨다. 수열 $b_n = \dfrac{a_n + c\cdot 3^n}{2^n}$이 모든 자연수 $n$에서 $b_{n+1} = b_n$을 만족시키도록 하는 상수 $c$의 값과 일반항 $a_n$, 그리고 $a_5$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $b_{n+1} = b_n$은 $a_{n+1} + c\cdot 3^{n+1} = 2(a_n + c\cdot 3^n)$, 즉 $a_{n+1} = 2a_n - c\cdot 3^n$과 동치이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 주어진 식과 비교하면 $c = -1$이고, 모든 자연수 $n$에서 $b_n = b_1 = \dfrac{7 - 3}{2} = 2$이므로 $\dfrac{a_n - 3^n}{2^n} = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 일반항은 $a_n = 3^n + 2^{n+1}$이며, $a_5 = 3^5 + 2^6 = 243 + 64 = 307$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $b_{n+1} = b_n$ 동치 변형식 수립 및 $c = -1$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 상수수열 $b_n = b_1 = 2$로부터 $a_n = 3^n + 2^{n+1}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a_5 = 307$ 계산 완료 | 3점 |
$2\cdot 2^n = 2^{n+1}$에서 지수 덧셈을 정확히 정리하고 $n=2$일 때 $a_2 = 9 + 8 = 17 = 2(7)+3$으로 검산하십시오.
다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2 + 3x} = 2$와 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x^2 - 1} = 3$을 만족시킬 때, 다항함수 $f(x)$와 $f(4)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to \infty$ 극한으로부터 $f(x)$는 최고차항이 $2x^2$인 이차함수이고, $x \to 1$에서 분모가 $0$으로 수렴하므로 $f(1) = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(x) = 2(x - 1)(x - k)$로 놓으면 $\lim_{x \to 1}\dfrac{2(x - 1)(x - k)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{2(1 - k)}{2} = 1 - k = 3$에서 $k = -2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = 2(x - 1)(x + 2) = 2x^2 + 2x - 4$이며 $f(4) = 2\times 3\times 6 = 36$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 차수·최고차항 판정 및 $f(1)=0$ 인수 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $(x-1)$ 약분 극한으로 $k = -2$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(x) = 2x^2 + 2x - 4$ 및 $f(4) = 36$ 산출 | 3점 |
미정계수 $ax+b$로 놓는 것보다 $f(1)=0$을 이용해 $2(x-1)(x-k)$로 인수 설정하면 계산이 훨씬 간결합니다.
삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$에 대하여 방정식 $f'(x) = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)$라 할 때, 닫힌구간 $[\alpha, \beta]$에서 평균값 정리를 만족시키는 모든 상수 $c$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0$에서 $\alpha = 1,\; \beta = 3$이며, 다항함수 $f(x)$는 $[1, 3]$에서 연속이고 $(1, 3)$에서 미분가능하다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 평균변화율은 $\dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{1 - 5}{2} = -2$이므로 $f'(c) = 3c^2 - 12c + 9 = -2$에서 $3(c - 2)^2 = 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $c = 2 \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$이며, 두 값 모두 열린구간 $(1, 3)$에 속한다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 극점 $\alpha=1,\; \beta=3$ 산출 및 연속·미분가능 전제 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 평균변화율 $-2$ 계산 및 방정식 $3(c-2)^2 = 1$ 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 열린구간 $(1, 3)$ 내부 확인과 함께 $c = 2 \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 도출 | 3점 |
명지대 치트시트 1번 수칙에 따라 평균값 정리 전제(닫힌구간 연속·열린구간 미분가능)를 첫 줄에 반드시 포함하십시오.
삼차방정식 $2x^3 - 3x^2 - 12x + k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$라 놓으면 방정식 $g(x) = -k$가 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 $-k$가 $g(x)$의 극솟값과 극댓값 사이에 놓이는 것이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $g'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x + 1)(x - 2) = 0$에서 극댓값은 $g(-1) = 7$, 극솟값은 $g(2) = -20$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $-20 \lt -k \lt 7$의 양변에 $-1$을 곱하면 구하는 범위는 $-7 \lt k \lt 20$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $g(x) = -k$ 상수 분리 및 극값 사이 교점 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $g(-1) = 7,\; g(2) = -20$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 부등호 반전 정리로 $-7 \lt k \lt 20$ 도출 | 3점 |
상수를 우변으로 넘길 때 $+k$가 아니라 $-k$가 되므로 마지막에 부등호 반전($-7 \lt k \lt 20$)을 잊지 마십시오.
사차함수 $f(x)$의 도함수가 $f'(x) = 4x^3 - 4x$이고 함수 $f(x)$의 최솟값이 $5$일 때, 상수항 $f(0)$과 $f(2)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부정적분하면 $f(x) = \int (4x^3 - 4x)\,dx = x^4 - 2x^2 + C$ (단, $C = f(0)$는 적분상수)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x) = 4x(x + 1)(x - 1)$의 증감표에서 $x = \pm 1$일 때 동일한 극솟값이자 최솟값 $f(\pm 1) = 1 - 2 + C = C - 1$을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $C - 1 = 5$에서 $f(0) = C = 6$이며, $f(2) = 16 - 8 + 6 = 14$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 부정적분으로 $f(x) = x^4 - 2x^2 + C$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x = \pm 1$에서 최솟값 $C - 1 = 5$ 판정 및 $f(0) = 6$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(2) = 14$ 계산 완료 | 3점 |
$x=0$은 극댓값($C$) 지점이고 $x=\pm 1$이 극솟값이자 최솟값 지점임을 도함수 부호로 확인하십시오.
포물선 $y = -x^2 + 5x$와 원점을 지나는 직선 $y = mx\;(0 \lt m \lt 5)$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\dfrac{9}{2}$일 때, 양수 $m$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 교점 방정식 $-x^2 + 5x = mx$, 즉 $x\{x - (5 - m)\} = 0$에서 두 교점의 $x$좌표는 $0$과 $5 - m\;(5 - m \gt 0)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 둘러싸인 넓이는 $S = \int_0^{5-m} \{-x^2 + (5 - m)x\}\,dx = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{5 - m}{2}x^2\right]_0^{5-m} = \dfrac{(5 - m)^3}{6}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\dfrac{(5 - m)^3}{6} = \dfrac{9}{2}$에서 $(5 - m)^3 = 27$이므로 $5 - m = 3$, 즉 $m = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 두 교점 $x = 0,\; 5 - m$ 도출 및 양수 조건 확인 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 정적분으로 넓이 식 $\dfrac{(5-m)^3}{6}$ 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $(5-m)^3 = 27$로부터 $m = 2$ 산출 | 3점 |
넓이 식을 정적분으로 한 번 유도해 보이면 풀이 배점과 계산 속도를 동시에 챙길 수 있습니다.
양수 $a$와 실수 $x$에 대하여 $a^{2x} = 5$일 때, $\dfrac{a^{3x} - a^{-3x}}{a^x + a^{-x}}$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 분수식의 분모와 분자에 각각 양수 $a^x$를 곱하여 모든 항을 $a^{2x}$의 거듭제곱 꼴로 변형한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\dfrac{(a^{3x} - a^{-3x})\cdot a^x}{(a^x + a^{-x})\cdot a^x} = \dfrac{a^{4x} - a^{-2x}}{a^{2x} + 1} = \dfrac{(a^{2x})^2 - (a^{2x})^{-1}}{a^{2x} + 1}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a^{2x} = 5$를 대입하면 $\dfrac{25 - \frac{1}{5}}{5 + 1} = \dfrac{\frac{124}{5}}{6} = \dfrac{62}{15}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 분모·분자에 $a^x$를 곱하는 지수법칙 변형 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\dfrac{a^{4x}-a^{-2x}}{a^{2x}+1}$ 식 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a^{2x}=5$ 대입 및 번분수 약분으로 $\dfrac{62}{15}$ 산출 | 3점 |
$a^x = \sqrt{5}$를 직접 대입하면 무리수 연산이 복잡해지므로 반드시 분모·분자에 $a^x$를 곱해 유리수 연산으로 바꾸십시오.
$\log_{10} 2 = a,\; \log_{10} 3 = b$라 할 때, $\log_{10} 72$와 $\log_5 12$를 각각 $a, b$에 대한 식으로 나타내시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그의 진수 소인수분해 성질과 밑을 $10$으로 바꾸는 밑변환 공식 및 $\log_{10} 5 = \log_{10}\dfrac{10}{2} = 1 - \log_{10} 2$를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $72 = 2^3\times 3^2$이므로 $\log_{10} 72 = 3\log_{10} 2 + 2\log_{10} 3 = 3a + 2b$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\log_5 12 = \dfrac{\log_{10}(2^2\times 3)}{\log_{10} 5} = \dfrac{2\log_{10} 2 + \log_{10} 3}{1 - \log_{10} 2} = \dfrac{2a + b}{1 - a}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 밑변환 공식 및 $\log_{10} 5 = 1 - a$ 변환 원리 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\log_{10} 72 = 3a + 2b$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\log_5 12 = \dfrac{2a + b}{1 - a}$ 도출 | 3점 |
상용로그에서 $\log_{10} 5$는 $\dfrac{1}{2}$이 아니라 $1 - \log_{10} 2 = 1 - a$임에 각별히 주의하십시오.
함수 $f(x) = 3\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x\right) + 2$의 주기를 $p$, 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $p + M + m$의 값과 닫힌구간 $[0, 8]$에서 $f(x) = 2$를 만족시키는 모든 실수 $x$의 값의 합을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 코사인함수의 주기 공식 $p = \dfrac{2\pi}{\frac{\pi}{4}}$와 최대·최소 범위 $-1 \le \cos\left(\dfrac{\pi}{4}x\right) \le 1$을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $p = 8,\; M = 3 + 2 = 5,\; m = -3 + 2 = -1$이므로 $p + M + m = 12$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(x) = 2$에서 $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x\right) = 0$이고 $0 \le \dfrac{\pi}{4}x \le 2\pi$이므로 $\dfrac{\pi}{4}x = \dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{3\pi}{2}$에서 $x = 2, 6$이며 합은 $8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 주기 및 최대·최소 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $p=8,\; M=5,\; m=-1$로부터 $p+M+m = 12$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)=0$ 풀이로 $x=2, 6$ 및 합 $8$ 도출 | 3점 |
$0 \le x \le 8$을 치환 각 $0 \le \dfrac{\pi}{4}x \le 2\pi$로 바꾸면 기본 코사인 그래프 한 주기로 즉시 해가 구해집니다.
오른쪽 그림과 같은 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 4,\; \overline{\mathrm{BC}} = 4\sqrt{3},\; \angle\mathrm{C} = \dfrac{\pi}{6}$이고 $\angle\mathrm{A}$가 예각일 때, $\angle\mathrm{A}$의 크기와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 사인법칙 $\dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C} = \dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A}$와 세 내각의 합 $A + B + C = \pi$를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\dfrac{4}{\sin\frac{\pi}{6}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{\sin A}$에서 $8 = \dfrac{4\sqrt{3}}{\sin A} \implies \sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이고, $\angle\mathrm{A}$가 예각이므로 $A = \dfrac{\pi}{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $B = \pi - \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$이므로 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\cdot\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{BC}}\sin B = \dfrac{1}{2}\times 4\times 4\sqrt{3}\times 1 = 8\sqrt{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 사인법칙 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 예각 조건을 적용하여 $A = \dfrac{\pi}{3}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $B = \dfrac{\pi}{2}$ 확정 및 넓이 $S = 8\sqrt{3}$ 산출 | 3점 |
$\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$의 해는 $\dfrac{\pi}{3}$와 $\dfrac{2\pi}{3}$ 두 개이므로 문제의 '예각' 단서 조항을 명시하여 $A=\dfrac{\pi}{3}$를 확정하십시오.
첫째항이 $-25$이고 공차가 $3$인 등차수열 $\{a_n\}$에서 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 최소가 되도록 하는 자연수 $n$의 값과 그때의 최솟값 $S_{\min}$을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 첫째항이 음수이고 공차가 양수인 등차수열의 부분합 $S_n$은 음수인 항만을 빠짐없이 더할 때 최소가 된다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_n = -25 + 3(n - 1) = 3n - 28 \lt 0$에서 $n \lt \dfrac{28}{3} = 9.33\cdots$이므로 제$9$항($a_9 = -1$)까지 음수이고 $a_{10} = 2 \gt 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $n = 9$일 때 최소이며, 최솟값은 $S_{\min} = S_9 = \dfrac{9(-25 + (-1))}{2} = -117$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 음수 항 판정 부등식 $a_n = 3n - 28 \lt 0$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a_9 = -1 \lt 0,\; a_{10} = 2 \gt 0$ 확인으로 $n = 9$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 등차수열 합 공식으로 $S_{\min} = -117$ 산출 | 3점 |
$S_n$을 이차함수로 정리해 대칭축을 구하는 방법보다 일반항의 부호 변화 지점($a_9 \lt 0 \lt a_{10}$)을 찾는 것이 훨씬 정확합니다.
함수 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + ax - 12}{x - 3} & (x \ne 3) \\ b & (x = 3) \end{cases}$이 $x = 3$에서 연속일 때, 두 상수 $a, b$의 값과 $a + b$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 $f(x)$가 $x = 3$에서 연속이려면 연속의 정의에 의하여 $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 + ax - 12}{x - 3} = b$여야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x \to 3$일 때 분모가 $0$으로 가므로 분자도 $0$으로 수렴하여 $9 + 3a - 12 = 0 \implies a = 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $b = \lim_{x \to 3}\dfrac{(x - 3)(x + 4)}{x - 3} = \lim_{x \to 3}(x + 4) = 7$이므로 $a + b = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 연속의 정의 $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = b$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 분자 극한 $0$ 조건으로 $a = 1$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 인수분해 약분으로 $b = 7$ 및 $a + b = 8$ 산출 | 3점 |
$x \ne 3$ 조건 덕분에 분모·분자의 $(x-3)$을 $0$이 아닌 수로 적법하게 약분할 수 있습니다.
미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 등식 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy$를 만족시키고 $f'(0) = 4$일 때, $f(0)$의 값과 도함수 $f'(x)$를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 항등식에 $x = 0,\; y = 0$을 대입하여 $f(0)$을 구하고, 도함수의 정의 $f'(x) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(0) = f(0) + f(0) + 0$에서 $f(0) = 0$이고, $f(x + h) - f(x) = f(h) + 2xh$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f'(x) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(h) + 2xh}{h} = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(h) - f(0)}{h} + 2x = f'(0) + 2x = 2x + 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x=y=0$ 대입으로 $f(0) = 0$ 도출 및 도함수 정의식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 함수 방정식을 대입해 차분몫 $\dfrac{f(h)}{h} + 2x$ 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f'(0) = 4$를 적용하여 $f'(x) = 2x + 4$ 산출 | 3점 |
한 문자를 상수로 고정하고 미분하는 대학 과정 풀이는 감점 대상이므로 반드시 고교 교과서 도함수의 정의 $\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$로 서술하십시오.
닫힌구간 $[-2, 2]$에서 정의된 삼차함수 $f(x) = ax^3 - 3ax + b\;(a \gt 0)$의 최댓값이 $11$, 최솟값이 $3$일 때, 두 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a \gt 0$이므로 $f'(x) = 3a(x^2 - 1) = 3a(x + 1)(x - 1) = 0$에서 극점은 $x = -1,\; 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 극값과 구간 양 끝점 함숫값을 구하면 $f(-1) = f(2) = 2a + b$이고, $f(1) = f(-2) = -2a + b$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a \gt 0$이므로 최댓값 $2a + b = 11$, 최솟값 $-2a + b = 3$이며, 연립하면 $a = 2,\; b = 7$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f'(x) = 3a(x+1)(x-1)$ 및 극점 $x = \pm 1$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극값과 끝점 비교로 최댓값 $2a+b$, 최솟값 $-2a+b$ 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 연립방정식 풀이로 $a = 2,\; b = 7$ 산출 | 3점 |
문제의 부호 조건 $a \gt 0$을 근거로 $2a+b \gt -2a+b$ 대소를 명확히 밝히십시오.
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $\int_{1}^{x} tf(t)\,dt = x^4 - 2x^3 + a$를 만족시킬 때, 상수 $a$의 값과 $f(3)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 양변에 $x = 1$을 대입하여 $a$를 구하고, 미적분학의 기본정리 $\dfrac{d}{dx}\int_1^x tf(t)\,dt = xf(x)$를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x = 1$일 때 $0 = 1 - 2 + a$에서 $a = 1$이고, 양변을 미분하면 $xf(x) = 4x^3 - 6x^2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x \ne 0$일 때 $f(x) = 4x^2 - 6x$이고 연속성에 의해 모든 실수에서 성립하므로 $f(3) = 36 - 18 = 18$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x = 1$ 대입으로 $a = 1$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양변 미분으로 $xf(x) = 4x^3 - 6x^2$ 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 연속성을 이용해 $f(3) = 18$ 산출 | 3점 |
$\int_1^x tf(t)\,dt$를 $x$로 미분하면 $f(x)$가 아니라 피적분함수에 $x$를 대입한 $xf(x)$가 나옴에 주의하십시오.
오른쪽 그림과 같은 좌표평면에서 삼차함수 $f(x) = x^3 - 5x^2 + 6x$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 $S$를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x(x - 2)(x - 3) = 0$에서 $x$축과의 교점은 $0, 2, 3$이며, $[0, 2]$에서 $f(x) \ge 0$, $[2, 3]$에서 $f(x) \le 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $F(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{5}{3}x^3 + 3x^2$라 하면 $F(0) = 0,\; F(2) = \dfrac{8}{3},\; F(3) = \dfrac{81}{4} - 18 = \dfrac{9}{4}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $S = \int_0^2 f(x)\,dx - \int_2^3 f(x)\,dx = (F(2) - F(0)) - (F(3) - F(2)) = \dfrac{16}{3} - \dfrac{9}{4} = \dfrac{37}{12}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 세 교점 $x = 0, 2, 3$ 및 구간별 부호 판정 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 원함수 $F(x)$를 이용한 $F(2) = \dfrac{8}{3},\; F(3) = \dfrac{9}{4}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $2F(2) - F(3) = \dfrac{37}{12}$ 넓이 합 도출 | 3점 |
두 구간의 적분을 따로 계산하기보다 부정적분 $F(x)$를 하나 정해 $2F(2) - F(0) - F(3)$으로 묶으면 분수 계산 실수가 줄어듭니다.
로그 $\log_{x-2}(-x^2 + 9x - 14)$가 정의되도록 하는 모든 정수 $x$의 값을 구하고 그 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그가 정의되려면 밑 조건 $x - 2 \gt 0,\; x - 2 \ne 1$과 진수 조건 $-x^2 + 9x - 14 \gt 0$을 동시에 만족시켜야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 밑 조건에서 $x \gt 2,\; x \ne 3$이고, 진수 조건 $(x - 2)(x - 7) \lt 0$에서 $2 \lt x \lt 7$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 공통범위에 속하는 정수는 $3$을 제외한 $x = 4, 5, 6$이며, 그 합은 $4 + 5 + 6 = 15$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 밑 조건($x-2 \gt 0, x-2 \ne 1$) 및 진수 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $2 \lt x \lt 7,\; x \ne 3$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정수 $4, 5, 6$ 판정 및 합 $15$ 산출 | 3점 |
진수 조건 $(2, 7)$을 구한 뒤 밑이 $1$이 되는 $x = 3$을 제외하는 것이 감점 방어의 핵심입니다.
오른쪽 그림과 같은 개형의 지수함수 $f(x) = 3^{x-a} + b$의 그래프의 점근선이 직선 $y = -2$이고, 이 그래프가 두 점 $(2, 1),\; (4, k)$를 지날 때 세 상수 $a, b, k$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 지수함수 $y = 3^{x-a} + b$에서 모든 실수 $x$에 대하여 $3^{x-a} \gt 0$이므로 점근선의 방정식은 $y = b$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 점근선이 $y = -2$이므로 $b = -2$이고, 점 $(2, 1)$을 대입하면 $3^{2-a} - 2 = 1 \implies 3^{2-a} = 3^1$에서 $a = 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = 3^{x-1} - 2$이며, 점 $(4, k)$를 지나므로 $k = f(4) = 3^3 - 2 = 25$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 지수함수 점근선 성질로 $b = -2$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $(2, 1)$ 대입으로 $a = 1$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $k = f(4) = 25$ 계산 완료 | 3점 |
$x$축 평행이동 $a$는 지수함수의 수평 점근선 위치에 영향을 주지 않고 오직 $y$축 평행이동 $b$만 점근선을 결정합니다.
$\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi$인 각 $\theta$에 대하여 $\tan\theta = -\dfrac{3}{4}$일 때, $5(\sin\theta - \cos\theta)$의 값과 $\sin(\pi + \theta)\cos(\pi - \theta)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 제$2$사분면에서 $\sin\theta \gt 0,\; \cos\theta \lt 0$이며, $1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$와 각 변환 공식을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\cos^2\theta = \dfrac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \dfrac{16}{25}$이므로 $\cos\theta = -\dfrac{4}{5},\; \sin\theta = \dfrac{3}{5}$이고 $5(\sin\theta - \cos\theta) = 3 - (-4) = 7$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\sin(\pi + \theta)\cos(\pi - \theta) = (-\sin\theta)(-\cos\theta) = \sin\theta\cos\theta = -\dfrac{12}{25}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 제$2$사분면 부호 판정 및 $\sin\theta = \dfrac{3}{5},\; \cos\theta = -\dfrac{4}{5}$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $5(\sin\theta - \cos\theta) = 7$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 각 변환 $(-\sin\theta)(-\cos\theta)$ 적용으로 $-\dfrac{12}{25}$ 도출 | 3점 |
$\sin(\pi+\theta) = -\sin\theta$와 $\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta$ 두 음수의 곱이 $+\sin\theta\cos\theta$가 되며, $\cos\theta$ 자체가 음수이므로 최종 부호는 음수입니다.
오른쪽 그림과 같은 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{BC}} = 6$이고 대각선 $\overline{\mathrm{AC}} = 7$일 때, $\cos B$의 값과 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 세 변 $5, 6, 7$에 코사인법칙을 적용하여 $\cos B$를 구하고, 평행사변형의 넓이 $S = \overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{BC}}\sin B$를 이용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\cos B = \dfrac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2\times 5\times 6} = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5}$이고, $0 \lt B \lt \pi$에서 $\sin B = \sqrt{1 - \dfrac{1}{25}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 평행사변형의 넓이는 $S = 5\times 6\times\dfrac{2\sqrt{6}}{5} = 12\sqrt{6}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙 및 평행사변형 넓이 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\cos B = \dfrac{1}{5}$ 및 $\sin B = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 넓이 $S = 12\sqrt{6}$ 도출 | 3점 |
평행사변형의 넓이는 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 넓이의 $2$배이므로 $\dfrac{1}{2}$이 약분된 $ab\sin B$를 적용하십시오.
첫째항이 $3$이고 공차가 $2$인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{10} \left(a_{k+1}^2 - a_k^2\right)$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 시그마의 연쇄 소거 성질 $\sum_{k=1}^{10} (a_{k+1}^2 - a_k^2) = (a_2^2 - a_1^2) + (a_3^2 - a_2^2) + \cdots + (a_{11}^2 - a_{10}^2) = a_{11}^2 - a_1^2$을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 일반항 $a_n = 3 + 2(n - 1) = 2n + 1$에서 $a_1 = 3,\; a_{11} = 23$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 합은 $a_{11}^2 - a_1^2 = 23^2 - 3^2 = (23 - 3)(23 + 3) = 20\times 26 = 520$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 제곱 차 망원 소거 등식 $a_{11}^2 - a_1^2$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a_1 = 3,\; a_{11} = 23$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 합차 공식을 적용하여 $520$ 도출 | 3점 |
일반항을 대입해 이차식을 전개하지 말고 이웃한 항의 차 구조를 그대로 살려 소거하면 10초 만에 검산까지 완료됩니다.
함수 $f(x) = \dfrac{|x - 2|}{x^2 - 4}\;(x \ne \pm 2)$에 대하여 $L_1 = \lim_{x \to 2^-} f(x)$와 $L_2 = \lim_{x \to 2^+} f(x)$의 값을 각각 구하고, $L_2 - L_1$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x = 2$를 기준으로 $x \lt 2$일 때 $|x - 2| = -(x - 2)$이고 $x \gt 2$일 때 $|x - 2| = x - 2$로 절댓값 부호를 나누어 약분한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $L_1 = \lim_{x \to 2^-} \dfrac{-(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x \to 2^-}\left(-\dfrac{1}{x + 2}\right) = -\dfrac{1}{4}$이고, $L_2 = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{1}{4}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $L_2 - L_1 = \dfrac{1}{4} - \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x \lt 2,\; x \gt 2$에서의 절댓값 부호 분리 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $L_1 = -\dfrac{1}{4}$ 및 $L_2 = \dfrac{1}{4}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $L_2 - L_1 = \dfrac{1}{2}$ 도출 | 3점 |
절댓값이 포함된 $\dfrac{0}{0}$ 꼴 극한에서는 반드시 좌극한과 우극한 식을 별도로 적어 부호 차이를 명시하십시오.
두 곡선 $y = x^3 + ax + 2$와 $y = 2x^2 + b$가 $x = 1$인 점에서 만나고 그 점에서 공통인 접선을 가질 때, 두 상수 $a, b$의 값과 공통접선의 방정식을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 + ax + 2,\; g(x) = 2x^2 + b$라 하면 $x = 1$에서 공통접선을 가질 필요충분조건은 $f(1) = g(1)$이고 $f'(1) = g'(1)$인 것이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(1) = 3 + a = g'(1) = 4$에서 $a = 1$이고, $f(1) = 1 + 1 + 2 = 4 = 2 + b$에서 $b = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 접점은 $(1, 4)$, 기울기는 $4$이므로 공통접선의 방정식은 $y - 4 = 4(x - 1)$, 즉 $y = 4x$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 공통접선 조건 $f(1)=g(1),\; f'(1)=g'(1)$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a = 1,\; b = 2$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 공통접선의 방정식 $y = 4x$ 완성 | 3점 |
미분계수 일치 조건 $f'(1)=g'(1)$을 먼저 풀면 $a$가 바로 구해져 연립 계산이 빨라집니다.
수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치가 $x(t) = t^3 - 9t^2 + 15t + 2$일 때, 점 $\mathrm{P}$의 가속도가 $0$이 되는 시각에서의 속도와 위치를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 위치를 미분하여 속도 $v(t) = x'(t) = 3t^2 - 18t + 15$와 가속도 $a(t) = v'(t) = 6t - 18$을 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 가속도가 $0$인 시각은 $6t - 18 = 0$에서 $t = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 시각 $t = 3$에서의 속도는 $v(3) = 27 - 54 + 15 = -12$이고, 위치는 $x(3) = 27 - 81 + 45 + 2 = -7$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 속도 $v(t)$ 및 가속도 $a(t) = 6t - 18$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 가속도가 $0$인 시각 $t = 3$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $v(3) = -12,\; x(3) = -7$ 계산 완료 | 3점 |
속력은 $|-12| = 12$이지만 문제에서 물은 것은 방향(부호)을 포함한 '속도'이므로 음수 부호 $-12$를 그대로 적어야 합니다.
다항함수 $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$에 대하여 극한값 $\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \int_{2 - h}^{2 + 2h} f(t)\,dt$를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(t)$의 한 부정적분을 $F(t)$라 하면 $F'(x) = f(x)$이고 준식은 $\lim_{h \to 0}\dfrac{F(2 + 2h) - F(2 - h)}{h}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $F(2)$를 빼고 더하여 미분계수의 정의를 적용하면 $\lim_{h \to 0}\left\{2\cdot\dfrac{F(2 + 2h) - F(2)}{2h} + \dfrac{F(2 - h) - F(2)}{-h}\right\} = 3F'(2) = 3f(2)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(2) = 12 - 8 + 5 = 9$이므로 구하는 극한값은 $3\times 9 = 27$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 부정적분 $F(t)$ 설정 및 차분몫 변형 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 미분계수의 정의로 $3F'(2) = 3f(2)$ 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $3f(2) = 27$ 산출 | 3점 |
삼차식 부정적분을 실제로 구해 대입하지 말고 부정적분 기호 $F(t)$를 도입해 미분계수 정의로 처리하는 것이 핵심입니다.
곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 3x$와 직선 $y = x$로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 $S$를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 교점 방정식 $x^3 - 3x^2 + 3x = x \implies x(x - 1)(x - 2) = 0$에서 세 교점의 $x$좌표는 $0, 1, 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 차 함수 $h(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$는 등간격 세 근 $0, 1, 2$를 가지므로 점 $(1, 0)$에 대칭이어서 $[0, 1]$과 $[1, 2]$의 넓이가 같고 $[0, 1]$에서 $h(x) \ge 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $S = 2\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x)\,dx = 2\left[\dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\right]_0^1 = 2\times\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 세 교점 $x = 0, 1, 2$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 등간격 교점 대칭성 및 $[0, 1]$ 부호 확인으로 $2\int_0^1 h(x)\,dx$ 설정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 계산으로 $S = \dfrac{1}{2}$ 산출 | 3점 |
삼차함수와 직선의 세 교점 간격이 $1$로 같을 때는 가운데 교점 $(1,0)$에 대한 대칭성에 의해 두 부분의 넓이가 정확히 일치합니다.
양수 $x$가 $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{11}$을 만족시킬 때, $x + x^{-1}$의 값과 $x^2 + x^{-2}$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 유리수 지수의 곱셈 공식 $(a + a^{-1})^2 = a^2 + a^{-2} + 2$를 단계별로 연속 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = x + x^{-1} + 2 = 11$이므로 $x + x^{-1} = 9$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 다시 양변을 제곱하면 $(x + x^{-1})^2 = x^2 + x^{-2} + 2 = 81$이므로 $x^2 + x^{-2} = 79$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 유리수 지수 대칭식의 제곱 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x + x^{-1} = 11 - 2 = 9$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x^2 + x^{-2} = 81 - 2 = 79$ 산출 | 3점 |
$x \cdot x^{-1} = 1$이므로 전개할 때마다 상수항 $+2$를 우변에서 빼 주어야 함에 유의하십시오.
오른쪽 그림과 같이 두 로그함수 $y = \log_3(x + 2)$와 $y = \log_3(x - 10) + 1$의 그래프가 직선 $y = 2$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$라 할 때, 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 $x$좌표와 선분 $\mathrm{AB}$의 길이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 각 로그함수의 식에 $y = 2$를 대입하고 로그의 정의 $\log_a N = k \iff N = a^k$를 적용하여 교점의 $x$좌표를 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 점 $\mathrm{A}$에서 $\log_3(x + 2) = 2 \implies x + 2 = 3^2 = 9$이므로 $x_{\mathrm{A}} = 7$이고, 점 $\mathrm{B}$에서 $\log_3(x - 10) + 1 = 2 \implies \log_3(x - 10) = 1 \implies x - 10 = 3$이므로 $x_{\mathrm{B}} = 13$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 점 모두 직선 $y = 2$ 위에 있으므로 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는 $13 - 7 = 6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $y = 2$ 대입 및 로그의 정의 적용 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x_{\mathrm{A}} = 7,\; x_{\mathrm{B}} = 13$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 선분 길이 $\overline{\mathrm{AB}} = 6$ 산출 | 3점 |
두 번째 함수는 $x$축 방향으로 $+12$, $y$축 방향으로 $+1$만큼 평행이동된 그래프이지만 직선 $y=2$를 직접 대입해 푸는 것이 가장 빠릅니다.
$\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi$인 각 $\theta$에 대하여 $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{3}$일 때, $\sin\theta\cos\theta$의 값과 $\sin\theta - \cos\theta$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각함수의 기본 항등식 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$과 제2사분면에서의 부호 $\sin\theta \gt 0,\; \cos\theta \lt 0$을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{9}$에서 $\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{4}{9}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 1 + \dfrac{8}{9} = \dfrac{17}{9}$이고 $\sin\theta - \cos\theta \gt 0$이므로 $\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{17}}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 항등식 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 및 사분면 부호 판정 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양변 제곱으로 $\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{4}{9}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\sin\theta - \cos\theta \gt 0$ 근거로 $\dfrac{\sqrt{17}}{3}$ 산출 | 3점 |
제곱근을 씌울 때 $\sin\theta \gt 0,\; \cos\theta \lt 0 \implies \sin\theta - \cos\theta \gt 0$ 부호 근거를 반드시 명시하십시오.
오른쪽 그림과 같이 둘레의 길이가 $28$인 부채꼴 중에서 그 넓이가 최대인 부채꼴의 반지름의 길이 $r$, 중심각의 크기 $\theta$ (라디안), 최대 넓이 $S_{\max}$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부채꼴의 반지름을 $r$, 호의 길이를 $l$이라 하면 둘레 조건 $2r + l = 28\;(0 \lt r \lt 14)$과 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}rl$이 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $l = 28 - 2r$를 대입하면 $S = \dfrac{1}{2}r(28 - 2r) = -r^2 + 14r = -(r - 7)^2 + 49$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \lt r \lt 14$이므로 $r = 7$일 때 최대 넓이 $S_{\max} = 49$를 가지며, 이때 $l = 14$이므로 중심각은 $\theta = \dfrac{l}{r} = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 둘레 식 $l = 28 - 2r\;(0 \lt r \lt 14)$ 및 넓이 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 완전제곱식 변형 $S = -(r - 7)^2 + 49$ 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $r = 7,\; \theta = 2,\; S_{\max} = 49$ 도출 | 3점 |
둘레가 일정한 부채꼴의 넓이가 최대일 때 중심각의 크기는 둘레 값과 무관하게 항상 $2$ 라디안이 됩니다.
수열 $\{a_n\}$이 $\sum_{k=1}^{12} a_k = 15,\; \sum_{k=1}^{12} a_k^2 = 43$을 만족시킬 때, $\sum_{k=1}^{12} (2a_k - 3)^2$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 일반항 $(2a_k - 3)^2 = 4a_k^2 - 12a_k + 9$를 전개하고 합의 기호 $\sum$의 선형성과 상수합 공식 $\sum_{k=1}^{n} c = nc$를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\sum_{k=1}^{12} (2a_k - 3)^2 = 4\sum_{k=1}^{12} a_k^2 - 12\sum_{k=1}^{12} a_k + \sum_{k=1}^{12} 9$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 주어진 값을 대입하면 $4\times 43 - 12\times 15 + 12\times 9 = 172 - 180 + 108 = 100$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 식 전개 및 $\sum$ 선형성 분리 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 상수항 합 $\sum_{k=1}^{12} 9 = 108$ 반영 대입 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 값 $100$ 산출 | 3점 |
마지막 상수항 $\sum_{k=1}^{12} 9$를 $9$로 적는 실수가 가장 빈번하므로 반드시 항의 개수 $12$를 곱하십시오.
다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -5$와 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 4$를 동시에 만족시킬 때, 함수 $f(x)$의 식과 $f(3)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to \infty$ 극한으로부터 $f(x) - 2x^3$이 최고차항이 $-5x^2$인 이차 이하의 다항식임을 파악하고, $x \to 1$에서 분모가 $0$이므로 $f(1) = 0$임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + ax + b$이고 $f(1) = 0$이므로 인수정리에 의해 $f(x) = (x - 1)(2x^2 - 3x + c)$로 놓을 수 있으며, $\lim_{x \to 1}(2x^2 - 3x + c) = c - 1 = 4 \implies c = 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = (x - 1)(2x^2 - 3x + 5) = 2x^3 - 5x^2 + 8x - 5$이고 $f(3) = 2\times(18 - 9 + 5) = 28$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 차수 조건 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + \cdots$ 및 $f(1) = 0$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 인수분해 약분으로 $f(x) = (x-1)(2x^2 - 3x + 5)$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 전개식 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 8x - 5$ 및 $f(3) = 28$ 산출 | 3점 |
$f(1)=0$을 이용해 $(x-1)$을 인수로 묶어내면 미정계수가 $c$ 하나로 줄어들어 계산이 대폭 간결해집니다.
함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x + 2$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c\;(0 \lt c \lt 3)$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항함수 $f(x)$는 $[0, 3]$에서 연속이고 $(0, 3)$에서 미분가능하므로 $\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = f'(c)$인 $c$가 열린구간 $(0, 3)$에 존재한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(0) = 2,\; f(3) = 27 - 54 + 15 + 2 = -10$이므로 평균변화율은 $\dfrac{-10 - 2}{3} = -4$이고, $f'(c) = 3c^2 - 12c + 5 = -4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $3c^2 - 12c + 9 = 3(c - 1)(c - 3) = 0$에서 $c = 1$ 또는 $c = 3$이나, 열린구간 조건 $0 \lt c \lt 3$에 의하여 $c = 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 연속·미분가능 확인 및 평균값 정리 등식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 평균변화율 $-4$와 방정식 $3(c - 1)(c - 3) = 0$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 끝점 $c = 3$ 배제 근거로 $c = 1$ 확정 | 3점 |
구간 끝점 $c = 3$을 함께 답으로 적으면 감점되므로 반드시 열린구간 $(0, 3)$ 조건으로 배제하십시오.
삼차방정식 $x^3 - 9x^2 + 24x - 10 = k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하고, 그 범위에 속하는 모든 정수 $k$의 값의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 좌변을 $g(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 10$이라 하면 방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 $g(x)$의 극솟값 $\lt k \lt$ 극댓값이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $g'(x) = 3x^2 - 18x + 24 = 3(x - 2)(x - 4) = 0$에서 극댓값은 $g(2) = 8 - 36 + 48 - 10 = 10$, 극솟값은 $g(4) = 64 - 144 + 96 - 10 = 6$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 실수 $k$의 범위는 $6 \lt k \lt 10$이며, 이에 속하는 정수 $k = 7, 8, 9$의 합은 $24$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 상수 분리 후 극솟값 $\lt k \lt$ 극댓값 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $g(2) = 10,\; g(4) = 6$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $6 \lt k \lt 10$ 확정 및 정수 합 $24$ 도출 | 3점 |
$k = 6$ 또는 $k = 10$일 때는 직선 $y = k$가 극점에 접하여 중근을 가지므로 서로 다른 실근이 $2$개뿐입니다.
연속함수 $f(x)$가 $\int_{-1}^{2} f(x)\,dx = 8,\; \int_{1}^{2} f(x)\,dx = 3$을 만족시킬 때, 정적분 $\int_{-1}^{1} (3f(x) - 4x + 2)\,dx$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 정적분의 구간 분할 성질 $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \int_{-1}^{2} f(x)\,dx - \int_{1}^{2} f(x)\,dx$와 대칭구간 $[-1, 1]$에서의 기함수·상수함수 적분 성질을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 8 - 3 = 5$이고, 대칭구간에서 기함수 적분 $\int_{-1}^{1} (-4x)\,dx = 0$, 상수 적분 $\int_{-1}^{1} 2\,dx = 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 정적분의 값은 $3\times 5 + 0 + 4 = 19$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 구간 가감성 및 대칭구간 적분 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 5$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $3\times 5 + 4 = 19$ 산출 | 3점 |
정적분의 선형성으로 항을 분리한 뒤 대칭구간에서 홀수 차수 항을 즉시 소거하면 계산이 빠릅니다.
직선 선로 위를 $24\,\mathrm{m/s}$의 속도로 달리는 열차가 제동을 건 지 $t$초 후의 속도가 $v(t) = 24 - 4t\;(\mathrm{m/s})$라 할 때, 제동을 건 순간부터 열차가 정지할 때까지 걸린 시간과 달린 제동 거리를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 열차가 정지하는 시각은 속도 $v(t) = 0$이 되는 시각이며, 제동 거리는 그때까지 속도를 정적분한 값이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $v(t) = 24 - 4t = 0$에서 정지할 때까지 걸린 시간은 $t = 6$초이며, 구간 $[0, 6]$에서 $v(t) \ge 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 제동 거리는 $\int_{0}^{6} (24 - 4t)\,dt = \left[24t - 2t^2\right]_{0}^{6} = 144 - 72 = 72\,(\mathrm{m})$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정지 조건 $v(t) = 0$ 및 정적분 거리 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 정지 시각 $t = 6$초 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분으로 제동 거리 $72\,\mathrm{m}$ 산출 | 3점 |
구간 $[0, 6]$에서 속도가 음수가 되지 않음을 언급하면 $|v(t)| = v(t)$ 적분 근거가 완벽해집니다.
어느 방사성 물질의 질량은 매 $15$년마다 처음 질량의 $\dfrac{1}{2}$로 줄어든다고 한다. 처음 질량이 $160\,\mathrm{g}$인 이 물질의 질량이 $5\,\mathrm{g}$ 이하가 되는 것은 최소 몇 년 후부터인지 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $t$년 후 남아 있는 물질의 질량을 $M(t) = 160\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{15}}$으로 세우고 지수부등식 $M(t) \le 5$를 푼다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $160\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{15}} \le 5$의 양변을 $160$으로 나누면 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{15}} \le \dfrac{1}{32} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 밑 $\dfrac{1}{2}$이 $0 \lt \dfrac{1}{2} \lt 1$이므로 부등호 방향이 바뀌어 $\dfrac{t}{15} \ge 5 \implies t \ge 75$이며, 최소 $75$년 후부터이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 반감기 지수 모델 식 수립 및 부등식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{15}} \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^5$ 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 밑 조건 $0 \lt \dfrac{1}{2} \lt 1$ 적용으로 최소 $75$년 도출 | 3점 |
밑이 $1$보다 작은 지수부등식에서는 지수끼리 비교할 때 부등호 방향이 반대로 바뀜을 꼭 명시하십시오.
정의역이 $\{x \mid 1 \le x \le 27\}$인 함수 $f(x) = (\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 7$이 $x = a$에서 최댓값 $M$, $x = b$에서 최솟값 $m$을 가질 때, $a + b + M + m$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $t = \log_3 x$로 치환하면 밑 $3 \gt 1$이므로 $1 \le x \le 27$에서 치환 변수의 범위는 $0 \le t \le 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $g(t) = t^2 - 4t + 7 = (t - 2)^2 + 3\;(0 \le t \le 3)$이므로 꼭짓점 $t = 2$에서 최솟값 $m = 3$, 끝점 $t = 0$에서 최댓값 $M = 7$을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\log_3 a = 0 \implies a = 1$이고 $\log_3 b = 2 \implies b = 9$이므로 $a + b + M + m = 1 + 9 + 7 + 3 = 20$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $t = \log_3 x$ 치환 및 범위 $0 \le t \le 3$ 확정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $g(t) = (t - 2)^2 + 3$으로부터 $M = 7,\; m = 3$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x$의 값 $a = 1,\; b = 9$ 역변환 및 합 $20$ 산출 | 3점 |
$t = 0, 2$를 그대로 $a, b$로 오인하지 않도록 반드시 $x = 3^t$으로 역변환하여 $a = 1,\; b = 9$를 구하십시오.
$0 \le x \le \pi$일 때, 삼각부등식 $2\cos^2 x - 3\sin x \ge 0$을 만족시키는 실수 $x$의 값의 범위를 구하고, 해가 이루는 두 닫힌구간의 길이의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각함수 항등식 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$를 대입하여 $\sin x$에 대한 이차부등식으로 정리한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2(1 - \sin^2 x) - 3\sin x \ge 0 \implies 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = (2\sin x - 1)(\sin x + 2) \le 0$이고, $\sin x + 2 \gt 0$이므로 $\sin x \le \dfrac{1}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \le x \le \pi$에서 $\sin x \le \dfrac{1}{2}$의 해는 $0 \le x \le \dfrac{\pi}{6}$ 또는 $\dfrac{5\pi}{6} \le x \le \pi$이며, 두 구간 길이의 합은 $\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 변환 및 인수분해 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\sin x + 2 \gt 0$ 근거로 $\sin x \le \dfrac{1}{2}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 해 범위 및 두 구간 길이의 합 $\dfrac{\pi}{3}$ 산출 | 3점 |
양 끝점 $x = 0$과 $x = \pi$가 문제의 정의역 $0 \le x \le \pi$에 포함되는지 등호 여부를 꼼꼼히 확인하십시오.
오른쪽 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{BC}} = 5,\; \angle\mathrm{ABC} = \dfrac{2\pi}{3}$일 때, 대각선 $\overline{\mathrm{AC}}$의 길이와 $\angle\mathrm{ADC}$의 크기를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 코사인법칙을 적용하고, 원에 내접하는 사각형의 마주보는 두 내각의 합이 $\pi$임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\overline{\mathrm{AC}}^2 = 3^2 + 5^2 - 2\cdot 3\cdot 5\cos\dfrac{2\pi}{3} = 9 + 25 - 30\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 49$이고 $\overline{\mathrm{AC}} \gt 0$이므로 $\overline{\mathrm{AC}} = 7$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 사각형 $\mathrm{ABCD}$가 원에 내접하므로 $\angle\mathrm{ADC} = \pi - \angle\mathrm{ABC} = \pi - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙 및 내접사각형 대각 합 $\pi$ 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\overline{\mathrm{AC}}^2 = 49$로부터 $\overline{\mathrm{AC}} = 7$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\angle\mathrm{ADC} = \dfrac{\pi}{3}$ 산출 | 3점 |
둔각 $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$이므로 코사인법칙의 마지막 항이 $+15$로 더해짐에 주의하십시오.
모든 자연수 $n$에 대하여 등식 $\sum_{i=1}^{n} i \cdot i! = (n + 1)! - 1$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명할 때, $n = k$일 때의 가정에 $(k + 1)\cdot(k + 1)!$을 더하여 $n = k + 1$일 때의 우변을 유도하는 식을 서술하고 $\sum_{i=1}^{6} i \cdot i!$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $n = 1$일 때 좌변 $1\cdot 1! = 1$, 우변 $2! - 1 = 1$로 성립함을 확인하고, $n = k$일 때 $\sum_{i=1}^{k} i \cdot i! = (k + 1)! - 1$이 성립한다고 가정한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $n = k + 1$일 때 좌변은 $\{(k + 1)! - 1\} + (k + 1)\cdot(k + 1)! = (k + 1)!(1 + k + 1) - 1 = (k + 2)! - 1$이 되어 $n = k + 1$일 때도 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 등식이 성립하며, $n = 6$을 대입하면 $\sum_{i=1}^{6} i \cdot i! = 7! - 1 = 5040 - 1 = 5039$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 초기조건 $n = 1$ 성립 확인 및 $n = k$ 귀납 가정 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 공통인수 $(k + 1)!$ 묶기로 $(k + 2)! - 1$ 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $n = 6$ 대입으로 $7! - 1 = 5039$ 산출 | 3점 |
$(k+1)! + (k+1)\cdot(k+1)!$에서 공통인수 $(k+1)!$로 묶어 $(k+2)\cdot(k+1)! = (k+2)!$을 이끌어내는 과정이 핵심 채점 요소입니다.
방정식 $x^3 + 2x - 9 = 0$은 오직 하나의 실근 $\alpha$를 갖는다. 사잇값 정리를 이용하여 실근 $\alpha$가 열린구간 $(n, n + 1)$에 속하도록 하는 정수 $n$의 값을 근거와 함께 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 + 2x - 9$라 하면 다항함수이므로 실수 전체에서 연속이고, $f'(x) = 3x^2 + 2 \gt 0$이므로 순증가 함수이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 정수에서의 함숫값을 대입해 부호를 조사하면 $f(1) = 1 + 2 - 9 = -6 \lt 0$이고 $f(2) = 8 + 4 - 9 = 3 \gt 0$이어서 $f(1)f(2) \lt 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 사잇값 정리에 의하여 $f(\alpha) = 0$인 실근 $\alpha$가 열린구간 $(1, 2)$에 존재하므로 정수 $n = 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f(x)$의 연속성 선언 및 부호 조사 계획 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f(1) = -6 \lt 0,\; f(2) = 3 \gt 0$ 부호 교차 확인 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 사잇값 정리 적용으로 구간 $(1, 2)$ 및 $n = 1$ 도출 | 3점 |
사잇값 정리 서술 시 ① 닫힌구간 $[1, 2]$에서의 연속성, ② $f(1)f(2) \lt 0$ 두 가지 조건을 모두 적어야 만점 처리됩니다.
오른쪽 그림과 같이 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & (x \lt 2) \\ -x^2 + 6x - 3 & (x \ge 2) \end{cases}$가 $x = 2$에서 미분가능할 때, 두 상수 $a, b$의 값과 미분계수 $f'(2)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x = 2$에서 미분가능하려면 $x = 2$에서 연속($\lim_{x\to 2^-}f(x) = f(2)$)이고 좌미분계수와 우미분계수가 일치해야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 우미분계수는 $\left.(-2x + 6)\right|_{x=2} = 2$, 좌미분계수는 $\left.(2x + a)\right|_{x=2} = 4 + a$이므로 $4 + a = 2$에서 $a = -2,\; f'(2) = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 연속 조건에서 $f(2) = -4 + 12 - 3 = 5$이고 $\lim_{x\to 2^-}(x^2 - 2x + b) = b$이므로 $b = 5$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x = 2$ 연속 조건 및 좌·우미분계수 일치 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 미분계수 비교로 $a = -2,\; f'(2) = 2$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 연속 조건 대입으로 $b = 5$ 산출 | 3점 |
미분가능성 문제에서 미분계수만 맞추고 연속 조건을 생략하면 $b$를 결정할 수 없으며 논리 감점을 받습니다.
$x \ge 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x^3 - 3x^2 - 9x + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k$라 하면 구간 $[0, \infty)$에서 $f(x)$의 최솟값이 $0$ 이상이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0$이고, $x \ge 0$에서 $0 \le x \lt 3$일 때 $f'(x) \lt 0$, $x \gt 3$일 때 $f'(x) \gt 0$이므로 $x = 3$에서 극소이자 최소이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 최솟값 $f(3) = 27 - 27 - 27 + k = k - 27 \ge 0$에서 $k \ge 27$이므로 실수 $k$의 최솟값은 $27$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $[0, \infty)$ 최솟값 조건 설정 및 도함수 인수분해 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x \ge 0$에서 $x = 3$이 유일한 극소·최소 지점임을 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(3) = k - 27 \ge 0$으로부터 최솟값 $27$ 산출 | 3점 |
$x = -1$은 주어진 구간 $x \ge 0$ 밖의 점이므로 증감 분석에서 제외됨을 명확히 밝히십시오.
다항함수 $f(x)$의 한 부정적분 $F(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $F(x) = xf(x) - 2x^3 + 3x^2$을 만족시키고 $f(2) = 5$일 때, 함수 $f(x)$와 $f(-1)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부정적분의 정의 $F'(x) = f(x)$와 곱의 미분법 $(xf(x))' = f(x) + xf'(x)$를 이용하여 주어진 항등식의 양변을 $x$에 대하여 미분한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(x) = f(x) + xf'(x) - 6x^2 + 6x$에서 $xf'(x) = 6x^2 - 6x$이고, 다항함수의 연속성에 의해 $f'(x) = 6x - 6$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 적분하면 $f(x) = 3x^2 - 6x + C$이고 $f(2) = 12 - 12 + C = 5 \implies C = 5$이므로 $f(x) = 3x^2 - 6x + 5,\; f(-1) = 14$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $F'(x) = f(x)$ 및 곱의 미분법 적용 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f'(x) = 6x - 6$ 도출 및 부정적분 $f(x) = 3x^2 - 6x + C$ 계산 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(2) = 5$ 대입으로 $f(x) = 3x^2 - 6x + 5,\; f(-1) = 14$ 산출 | 3점 |
$xf(x)$를 미분할 때 $f(x) + xf'(x)$로 두 항이 나와 좌변의 $f(x)$와 정확히 소거되는 구조를 기억하십시오.
두 이차함수 $f(x) = x^2 - 3x + 4$와 $g(x) = -x^2 + 5x - 2$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 곡선의 교점의 $x$좌표를 구하기 위해 $f(x) = g(x)$를 풀고 구간 내 상하 관계를 판정한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(x) - g(x) = 2x^2 - 8x + 6 = 2(x - 1)(x - 3) = 0$에서 교점은 $x = 1, 3$이며, 닫힌구간 $[1, 3]$에서 $g(x) \ge f(x)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $S = \int_{1}^{3} (-2x^2 + 8x - 6)\,dx = \left[-\dfrac{2}{3}x^3 + 4x^2 - 6x\right]_{1}^{3} = (0) - \left(-\dfrac{8}{3}\right) = \dfrac{8}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 차함수 $2(x - 1)(x - 3) = 0$으로 교점 $x = 1, 3$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 구간 $[1, 3]$에서 $g(x) \ge f(x)$ 판정 및 정적분 식 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 계산으로 넓이 $S = \dfrac{8}{3}$ 산출 | 3점 |
이차함수 넓이 공식 $\dfrac{|a|(\beta - \alpha)^3}{6} = \dfrac{2\cdot 2^3}{6} = \dfrac{8}{3}$으로 검산하면 분수 계산 실수를 100% 방지할 수 있습니다.
닫힌구간 $[-1, 2]$에서 정의된 함수 $f(x) = 9^x - 2\cdot 3^{x+1} + k$의 최댓값과 최솟값의 합이 $34$일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $t = 3^x$로 치환하면 $-1 \le x \le 2$에서 치환 변수의 범위는 $\dfrac{1}{3} \le t \le 9$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $g(t) = t^2 - 6t + k = (t - 3)^2 + k - 9$이므로 대칭축 $t = 3$에서 최솟값 $m = g(3) = k - 9$, 대칭축에서 가장 먼 $t = 9$에서 최댓값 $M = g(9) = k + 27$을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $M + m = (k + 27) + (k - 9) = 2k + 18 = 34$이므로 $2k = 16 \implies k = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $t = 3^x$ 치환 및 범위 $\dfrac{1}{3} \le t \le 9$ 확정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 최솟값 $k - 9$와 최댓값 $k + 27$ 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $2k + 18 = 34$ 풀이로 $k = 8$ 도출 | 3점 |
$3^{x+1} = 3\cdot 3^x$이므로 일차항 계수가 $-2$가 아니라 $-6$이 됨에 주의하십시오.
$a \gt 1,\; b \gt 1$인 두 실수 $a, b$가 $a^2 b^4 = 3^8$을 만족시킬 때, $\log_3 a \cdot \log_3 b$의 최댓값과 그때의 $a, b$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등식의 양변에 밑이 $3$인 로그를 취하고, $a \gt 1,\; b \gt 1$에서 $\log_3 a \gt 0,\; \log_3 b \gt 0$임을 확인한 뒤 산술·기하평균 부등식을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2\log_3 a + 4\log_3 b = 8 \implies \log_3 a + 2\log_3 b = 4$이고, 양수 조건에 의해 $4 = \log_3 a + 2\log_3 b \ge 2\sqrt{2\log_3 a\cdot\log_3 b}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 양변을 제곱하여 정리하면 $\log_3 a\cdot\log_3 b \le 2$이므로 최댓값은 $2$이며, 등호는 $\log_3 a = 2\log_3 b = 2$일 때 성립하여 $a = 3^2 = 9,\; b = 3^1 = 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 양변 로그 변환 $\log_3 a + 2\log_3 b = 4$ 및 양수 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 산술·기하평균 부등식으로 최댓값 $2$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 등호 성립 조건으로 $a = 9,\; b = 3$ 확정 | 3점 |
산술·기하평균 부등식을 적용하기 전 $a \gt 1, b \gt 1 \implies \log_3 a \gt 0, \log_3 b \gt 0$ 양수 조건과 등호 성립 조건을 모두 서술해야 감점이 없습니다.
닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 삼각방정식 $|\sin 2x| = \dfrac{1}{2}$의 서로 다른 모든 실근의 개수 $n$과 모든 실근의 값의 합 $S$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $u = 2x$로 치환하면 $0 \le u \le 4\pi$에서 $|\sin u| = \dfrac{1}{2} \iff \sin u = \dfrac{1}{2}$ 또는 $\sin u = -\dfrac{1}{2}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 $[0, 4\pi]$는 $\sin u$의 두 주기에 해당하고 한 주기마다 $\sin u = \pm\dfrac{1}{2}$의 실근이 $4$개씩 대칭으로 존재하므로 총 실근의 개수는 $n = 8$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 열린구간 $(0, 4\pi)$에서 $8$개의 해는 직선 $u = 2\pi$에 대하여 $4$쌍씩 대칭이므로 $\sum u = 4\times 4\pi = 16\pi$이고, $S = \sum x = \dfrac{16\pi}{2} = 8\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $u = 2x\;(0 \le u \le 4\pi)$ 치환 및 $\sin u = \pm\dfrac{1}{2}$ 분리 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 두 주기 교점 분석으로 실근 개수 $n = 8$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $u = 2\pi$ 대칭성을 이용한 실근의 합 $S = 8\pi$ 산출 | 3점 |
8개의 근을 일일이 통분해 더해도 되지만, $y = |\sin u|$ 그래프의 대칭축 $u = 2\pi$ 성질을 이용하면 암산 수준으로 정확히 검증됩니다.
오른쪽 그림과 같이 세 변의 길이가 $\overline{\mathrm{AB}} = 10,\; \overline{\mathrm{BC}} = 16,\; \overline{\mathrm{CA}} = 14$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 대하여 $\angle\mathrm{B}$의 크기, 외접원의 반지름의 길이 $R$, 내접원의 반지름의 길이 $r$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 코사인법칙으로 $\cos B$를 구한 뒤 사인법칙 $\dfrac{\overline{\mathrm{CA}}}{\sin B} = 2R$와 내접원 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}r(\overline{\mathrm{AB}} + \overline{\mathrm{BC}} + \overline{\mathrm{CA}})$를 순차 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\cos B = \dfrac{10^2 + 16^2 - 14^2}{2\cdot 10\cdot 16} = \dfrac{160}{320} = \dfrac{1}{2}$이므로 $B = \dfrac{\pi}{3}$이고, $2R = \dfrac{14}{\sin\frac{\pi}{3}} = \dfrac{28}{\sqrt{3}}$에서 $R = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 삼각형의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 16\sin\dfrac{\pi}{3} = 40\sqrt{3}$이고 둘레의 절반이 $20$이므로 $20r = 40\sqrt{3}$에서 $r = 2\sqrt{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙·사인법칙·내접원 넓이 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $B = \dfrac{\pi}{3}$ 및 외접원 반지름 $R = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $S = 40\sqrt{3} = 20r$로부터 내접원 반지름 $r = 2\sqrt{3}$ 산출 | 3점 |
외접원 반지름 $R$는 사인법칙과 연결되고, 내접원 반지름 $r$는 둘레와 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}r(a+b+c)$와 연결됨을 세트로 정리하십시오.
첫째항이 $a_1 = 5$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 귀납적 관계식 $a_{n+1} = 2a_n - 3$을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$에 대하여 일반항 $a_n$을 구하고, $\sum_{k=1}^{8} a_k$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 점화식을 $a_{n+1} - \alpha = 2(a_n - \alpha)$ 꼴로 변형하여 보조 등비수열 $b_n = a_n - \alpha$를 도입한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\alpha = 2\alpha - 3$에서 $\alpha = 3$이므로 $a_{n+1} - 3 = 2(a_n - 3)$이고, 수열 $\{a_n - 3\}$은 첫째항 $a_1 - 3 = 2$, 공비 $2$인 등비수열이어서 $a_n - 3 = 2\cdot 2^{n-1} = 2^n \implies a_n = 2^n + 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\sum_{k=1}^{8} (2^k + 3) = \dfrac{2(2^8 - 1)}{2 - 1} + 3\times 8 = 510 + 24 = 534$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a_{n+1} - 3 = 2(a_n - 3)$ 등비치환 변형 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 일반항 $a_n = 2^n + 3$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 등비급수 및 상수합 공식으로 $\sum_{k=1}^{8} a_k = 534$ 산출 | 3점 |
구한 일반항 $a_n = 2^n + 3$에 $n = 1, 2$를 대입해 $a_1 = 5,\; a_2 = 7 = 2(5)-3$이 성립하는지 즉시 검산하십시오.
함수 $f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x \lt -1) \\ x^2 - 4 & (-1 \le x \lt 3) \\ 2x + 1 & (x \ge 3) \end{cases}$와 이차함수 $g(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 곱함수 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 $a, b$의 값과 $g(5)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 $f(x)$의 불연속 후보점인 $x = -1$과 $x = 3$에서의 좌·우극한을 조사하고, 연속함수 $g(x)$가 불연속점에서 $0$이 되어야 함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x = -1$에서 좌극한 $1 \ne$ 함숫값 $-3$으로 불연속이고, $x = 3$에서 좌극한 $5 \ne$ 함숫값 $7$로 불연속이므로 $f(x)g(x)$가 연속이려면 $g(-1) = 0,\; g(3) = 0$이어야 한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $g(x) = (x + 1)(x - 3) = x^2 - 2x - 3$이므로 $a = -2,\; b = -3$이고 $g(5) = 6\times 2 = 12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x = -1, 3$에서 $f(x)$의 불연속 확인 및 곱의 연속 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $g(-1) = 0,\; g(3) = 0$으로부터 $g(x) = (x + 1)(x - 3)$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a = -2,\; b = -3,\; g(5) = 12$ 산출 | 3점 |
경계점 중 실제로는 $f(x)$가 이미 연속인 함정이 출제될 수 있으므로 반드시 좌극한과 우극한이 서로 다름을 먼저 확인하십시오.
곡선 밖의 점 $(0, 8)$에서 삼차곡선 $y = x^3 - 6x^2 + 9x$에 그은 서로 다른 모든 접선의 방정식을 구하고, 모든 접선의 기울기의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 접점의 좌표를 $(t, t^3 - 6t^2 + 9t)$로 설정하면 접선의 방정식은 $y - (t^3 - 6t^2 + 9t) = (3t^2 - 12t + 9)(x - t)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이 접선이 점 $(0, 8)$을 지나므로 $8 - t^3 + 6t^2 - 9t = -3t^3 + 12t^2 - 9t \implies 2t^3 - 6t^2 + 8 = 2(t + 1)(t - 2)^2 = 0$에서 $t = -1$ 또는 $t = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $t = -1$일 때 접선은 $y = 24x + 8$, $t = 2$일 때 접선은 $y = -3x + 8$이며, 두 접선의 기울기의 합은 $24 + (-3) = 21$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 접점 $(t, f(t))$ 설정 및 일반 접선 방정식 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $(0, 8)$ 대입 후 $2(t + 1)(t - 2)^2 = 0$ 인수분해로 $t = -1, 2$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 접선 $y = 24x + 8,\; y = -3x + 8$ 및 기울기 합 $21$ 산출 | 3점 |
점 $(0, 8)$은 곡선 위의 점이 아니므로 $f'(0) = 9$를 접선 기울기로 쓰는 실수를 절대 범해서는 안 됩니다.
오른쪽 그림과 같이 사차함수 $f(x)$의 도함수가 $f'(x) = 12x(x + 2)(x - 1)$이고 함수 $f(x)$의 극댓값이 $7$일 때, 함수 $f(x)$의 두 극솟값과 실수 전체에서의 최솟값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 도함수 $f'(x) = 12x^3 + 12x^2 - 24x$의 부호 변화를 조사하여 극대·극소 지점을 판정하고 부정적분으로 $f(x)$를 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x) = 0$의 해 $x = -2, 0, 1$에서 부호 변화에 의해 $x = 0$에서 극대, $x = -2, 1$에서 극소이며, $f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + C$에서 극댓값 $f(0) = C = 7$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 두 극솟값은 $f(-2) = 48 - 32 - 48 + 7 = -25$와 $f(1) = 3 + 4 - 12 + 7 = 2$이며, 최솟값은 더 작은 값인 $-25$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 극점 부호 판정($x=0$ 극대, $x=-2, 1$ 극소) 및 부정적분 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극댓값 $f(0) = 7$을 적용하여 $f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 7$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 극솟값 $-25, 2$ 및 최솟값 $-25$ 산출 | 3점 |
최고차항 계수가 양수인 사차함수의 실수 전체 최솟값은 두 극솟값 중 더 작은 값과 일치합니다.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $\int_{0}^{x} (x - t)f(t)\,dt = x^4 - 2x^3 + 3x^2$을 만족시킬 때, 함수 $f(x)$의 식과 $f(4)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 적분 변수 $t$에 대하여 상수인 $x$를 적분 기호 밖으로 분리하여 $x\int_{0}^{x} f(t)\,dt - \int_{0}^{x} tf(t)\,dt = x^4 - 2x^3 + 3x^2$으로 변형한 뒤 양변을 미분한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양변을 $x$에 대하여 한 번 미분하면 $\int_{0}^{x} f(t)\,dt + xf(x) - xf(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt = 4x^3 - 6x^2 + 6x$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 다시 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 12x^2 - 12x + 6$이며, $f(4) = 192 - 48 + 6 = 150$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x$와 $t$ 분리 변형 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 1차 미분으로 $\int_{0}^{x} f(t)\,dt = 4x^3 - 6x^2 + 6x$ 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 2차 미분으로 $f(x) = 12x^2 - 12x + 6$ 및 $f(4) = 150$ 산출 | 3점 |
$\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,dt$를 변수 분리 없이 곧바로 $(x-x)f(x) = 0$으로 쓰는 오류를 범하지 않도록 반드시 전개 후 곱의 미분법을 적용하십시오.
삼차곡선 $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$과 이 곡선 위의 점 $(1, 5)$에서의 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$이라 할 때 점 $(1, 5)$에서의 접선의 방정식을 구하고 곡선과의 다른 교점을 인수분해로 찾는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$에서 $f'(1) = 0$이므로 접선은 $y = 5$이고, $5 - f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 4 = -(x - 1)^2(x - 4) = 0$에서 교점은 $x = 1$ (중근), $x = 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 닫힌구간 $[1, 4]$에서 $5 \ge f(x)$이므로 넓이는 $S = \int_{1}^{4} (-x^3 + 6x^2 - 9x + 4)\,dx = \left[-\dfrac{1}{4}x^4 + 2x^3 - \dfrac{9}{2}x^2 + 4x\right]_{1}^{4} = 8 - \dfrac{5}{4} = \dfrac{27}{4}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f'(1) = 0$ 확인으로 접선 $y = 5$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $-(x - 1)^2(x - 4) = 0$ 인수분해로 적분구간 $[1, 4]$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 계산으로 넓이 $S = \dfrac{27}{4}$ 산출 | 3점 |
삼차곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이 공식 $\dfrac{|a|(\beta - \alpha)^4}{12} = \dfrac{1\cdot 3^4}{12} = \dfrac{27}{4}$를 검산용으로 활용하면 정확도를 극대화할 수 있습니다.
$2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 $-n^2 + 13n - 30$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$이라 할 때, $\sum_{n=2}^{11} f(n)$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $g(n) = -(n - 3)(n - 10)$으로 인수분해한 뒤, $n$이 홀수이면 부호와 무관하게 $f(n) = 1$이고 $n$이 짝수이면 $g(n) \gt 0, = 0, \lt 0$에 따라 $f(n) = 2, 1, 0$임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 홀수 $n = 3, 5, 7, 9, 11$ ($5$개)에서는 모두 $f(n) = 1$이고, 짝수에서는 $g(2) \lt 0 \implies f(2) = 0$, $g(4), g(6), g(8) \gt 0 \implies f(4) = f(6) = f(8) = 2$, $g(10) = 0 \implies f(10) = 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 합은 $5\times 1 + (0 + 2 + 2 + 2 + 1) = 5 + 7 = 12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 거듭제곱근 실수 개수 판정 기준(홀수 $1$개, 짝수 부호 분기) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 홀수항 합 $5$와 짝수항 $f(2)=0,\; f(4)=f(6)=f(8)=2,\; f(10)=1$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 총합 $\sum_{n=2}^{11} f(n) = 12$ 산출 | 3점 |
$n = 10$일 때 밑 $g(10) = 0$이므로 짝수 제곱근이라도 $2$개가 아니라 $0$ 하나뿐($f(10) = 1$)임에 각별히 유의하십시오.
$10 \lt x \lt 1000$인 실수 $x$에 대하여 $\log_{10} x^2$의 소수부분과 $\log_{10}\dfrac{1}{x}$의 소수부분이 서로 같을 때, 조건을 만족시키는 모든 실수 $x$의 값의 곱을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 상용로그의 소수부분이 서로 같기 위한 필요충분조건은 두 상용로그의 차가 정수인 것이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\log_{10} x^2 - \log_{10}\dfrac{1}{x} = 2\log_{10} x - (-\log_{10} x) = 3\log_{10} x$가 정수이고, $10 \lt x \lt 1000$에서 $1 \lt \log_{10} x \lt 3 \implies 3 \lt 3\log_{10} x \lt 9$이므로 $3\log_{10} x \in \{4, 5, 6, 7, 8\}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 가능한 모든 $\log_{10} x$의 값의 합은 $\dfrac{4 + 5 + 6 + 7 + 8}{3} = 10$이므로 모든 실수 $x$의 값의 곱은 $10^{10}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 소수부분 일치 조건 $3\log_{10} x = k$ ($k$는 정수) 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 범위 $3 \lt 3\log_{10} x \lt 9$로부터 정수 $4, 5, 6, 7, 8$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 로그 합의 성질로 모든 $x$의 곱 $10^{10}$ 산출 | 3점 |
'소수부분의 합이 $1$'인 문제와 달리 '소수부분이 서로 같다'는 조건에서는 소수부분이 둘 다 $0$인 경우($3\log_{10} x = 6$)도 적법하게 포함됩니다.
$0 \le x \lt 2\pi$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $\cos^2 x - 4\sin x + k - 3 \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$를 대입하고 $t = \sin x$로 치환하면 제한된 범위 $-1 \le t \le 1$에서의 이차부등식 문제로 귀착된다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $(1 - t^2) - 4t + k - 3 \ge 0 \iff k \ge t^2 + 4t + 2 = (t + 2)^2 - 2$이고, 함수 $h(t) = (t + 2)^2 - 2$는 구간 $[-1, 1]$에서 순증가한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구간 $[-1, 1]$에서 $h(t)$의 최댓값은 $h(1) = 1 + 4 + 2 = 7$이므로 $k \ge 7$이어야 하며, 실수 $k$의 최솟값은 $7$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $t = \sin x\;(-1 \le t \le 1)$ 치환 및 상수 분리 $k \ge t^2 + 4t + 2$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 대칭축 $t = -2$ 위치 확인으로 $[-1, 1]$ 순증가 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최댓값 $h(1) = 7$로부터 $k$의 최솟값 $7$ 도출 | 3점 |
이차식의 판별식 $D \le 0$을 쓰면 제한 범위 $-1 \le t \le 1$을 무시한 오답이 나오므로 반드시 치환 구간의 최댓값으로 접근하십시오.
오른쪽 그림과 같이 지름의 길이가 $\overline{\mathrm{AB}} = 10$인 반원의 호 위에 $\overline{\mathrm{AC}} = 8$인 점 $\mathrm{C}$를 잡고, 지름 $\mathrm{AB}$를 $2 : 3$으로 내분하는 점을 $\mathrm{D}$라 할 때, 선분 $\overline{\mathrm{BC}}$의 길이와 선분 $\overline{\mathrm{CD}}$의 길이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 반원의 지름에 대한 원주각 성질 $\angle\mathrm{ACB} = \dfrac{\pi}{2}$로 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\cos(\angle\mathrm{CAB})$를 구한 뒤 삼각형 $\mathrm{ACD}$에 코사인법칙을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 피타고라스 정리에 의해 $\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$이고 $\cos(\angle\mathrm{CAB}) = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$이며, 내분 조건에서 $\overline{\mathrm{AD}} = 10\times\dfrac{2}{5} = 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 삼각형 $\mathrm{ACD}$에서 $\overline{\mathrm{CD}}^2 = 8^2 + 4^2 - 2\cdot 8\cdot 4\cdot\dfrac{4}{5} = 80 - \dfrac{256}{5} = \dfrac{144}{5}$이므로 $\overline{\mathrm{CD}} = \dfrac{12\sqrt{5}}{5}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 지름 원주각 $\angle\mathrm{ACB} = \dfrac{\pi}{2}$ 및 코사인법칙 적용 계획 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\overline{\mathrm{BC}} = 6,\; \cos(\angle\mathrm{CAB}) = \dfrac{4}{5},\; \overline{\mathrm{AD}} = 4$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\overline{\mathrm{CD}}^2 = \dfrac{144}{5}$로부터 $\overline{\mathrm{CD}} = \dfrac{12\sqrt{5}}{5}$ 산출 | 3점 |
큰 직각삼각형에서 먼저 $\cos A$ 값을 확보한 뒤 작은 부분 삼각형에 코사인법칙을 적용하는 2단계 알고리즘은 도형 킬러의 핵심 해법입니다.
첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{2}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 점화식 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}$을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$에 대하여 일반항 $a_n$을 구하고, $\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k}$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a_1 \gt 0$으로부터 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \gt 0$임을 확인하고, 주어진 점화식의 양변에 역수를 취하여 보조수열 $b_n = \dfrac{1}{a_n}$을 도입한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{3a_n + 1}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 3$이므로 수열 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$은 첫째항 $2$, 공차 $3$인 등차수열이어서 $\dfrac{1}{a_n} = 3n - 1 \implies a_n = \dfrac{1}{3n - 1}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{10} (3k - 1) = \dfrac{10(2 + 29)}{2} = 155$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a_n \ne 0$ 확인 및 양변 역수 취하기 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 등차수열 $\dfrac{1}{a_n} = 3n - 1$로부터 $a_n = \dfrac{1}{3n - 1}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 등차수열 합 공식으로 $\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k} = 155$ 산출 | 3점 |
양변의 역수를 취할 때는 반드시 $a_n \ne 0$ ($a_n \gt 0$)임이 귀납적으로 보장된다는 한 문장을 덧붙여야 논리 감점이 없습니다.
모든 양의 실수 $x$에 대하여 부등식 $6x^2 - 2x \le xf(x) \le 6x^2 + 5x$를 만족시키는 함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{2f(x) + 3x}{3x - 1}$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \gt 0$이므로 부등식의 각 변을 $x^2 \gt 0$으로 나눈 뒤 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리)를 적용하여 $\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{x}$를 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $6 - \dfrac{2}{x} \le \dfrac{f(x)}{x} \le 6 + \dfrac{5}{x}$이고 $\lim_{x \to \infty}\left(6 - \dfrac{2}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(6 + \dfrac{5}{x}\right) = 6$이므로 $\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{x} = 6$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구하는 식의 분모·분자를 $x$로 나누면 $\lim_{x \to \infty}\dfrac{2\cdot\frac{f(x)}{x} + 3}{3 - \frac{1}{x}} = \dfrac{2\times 6 + 3}{3 - 0} = 5$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 양변을 $x^2 \gt 0$으로 나누고 극한의 대소 관계 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{x} = 6$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 분모·분자 $x$ 나눗셈 변형으로 극한값 $5$ 산출 | 3점 |
$f(x) = 6x$라고 단정하여 대입하면 감점되므로 반드시 $\dfrac{f(x)}{x}$ 꼴로 식을 변형해 극한의 성질을 적용하십시오.
오른쪽 그림과 같이 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x) = (x - 1)(x^2 + ax + b)$에 대하여 함수 $g(x) = |f(x)|$가 $x = 1$에서 미분가능하고 $g(0) = 4,\; g(2) = 2$일 때, 두 상수 $a, b$의 값과 $f(3)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(1) = 0$인 점 $x = 1$에서 $g(x) = |f(x)|$가 미분가능하려면 $f'(1) = 0$이어야 하므로 $f(x)$는 $(x - 1)^2$을 인수로 가진다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(x) = (x - 1)^2(x - c)$로 놓으면 $g(0) = |-c| = 4$에서 $c = \pm 4$이고, $g(2) = |2 - c| = 2$에서 $c = 0$ 또는 $c = 4$이므로 공통인 상수는 $c = 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = (x - 1)^2(x - 4) = (x - 1)(x^2 - 5x + 4)$이므로 $a = -5,\; b = 4$이고 $f(3) = 2^2\times(3 - 4) = -4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $|f(x)|$의 $x = 1$ 미분가능 조건 $f'(1) = 0$으로부터 $(x - 1)^2$ 인수 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $g(0) = 4,\; g(2) = 2$ 연립으로 $c = 4$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a = -5,\; b = 4$ 및 $f(3) = -4$ 산출 | 3점 |
다항함수 $f(x)$에 대하여 $f(\alpha) = 0$일 때 $|f(x)|$가 $x = \alpha$에서 미분가능할 필요충분조건은 $f'(\alpha) = 0$ (즉 $(x-\alpha)^2$ 인수 보유)입니다.
한 변의 길이가 $18$인 정사각형 모양의 골판지의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 $x$인 합동인 정사각형을 잘라 내고 남은 부분을 접어 뚜껑이 없는 직육면체 상자를 만들 때, 부피가 최대가 되는 $x$의 값과 최대 부피 $V_{\max}$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 상자의 밑면은 한 변의 길이가 $18 - 2x$인 정사각형이고 높이는 $x$이므로 정의역 $0 \lt x \lt 9$에서 부피 함수 $V(x) = x(18 - 2x)^2$을 세운다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $V(x) = 4x(x - 9)^2$을 미분하면 $V'(x) = 4\left\{(x - 9)^2 + 2x(x - 9)\right\} = 12(x - 3)(x - 9) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 열린구간 $(0, 9)$에서 $x = 3$일 때 유일한 극대이자 최대이므로 $x = 3$이고, 최대 부피는 $V_{\max} = V(3) = 3\times 12^2 = 432$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정의역 $0 \lt x \lt 9$ 명시 및 부피 함수 $V(x) = x(18 - 2x)^2$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $V'(x) = 12(x - 3)(x - 9) = 0$ 도출 및 극대 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x = 3,\; V_{\max} = 432$ 산출 | 3점 |
도형 활용 문제에서는 변의 길이가 양수라는 조건으로부터 정의역 $0 \lt x \lt 9$를 첫 줄에 선언하는 것이 필수 채점 기준입니다.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 우함수 조건 $f(-x) = f(x)$를 만족시키고, 함수 $g(x) = \int_{-1}^{x} f(t)\,dt$가 $g(x) = x^3 + ax^2 - 12x + b$일 때, 두 상수 $a, b$의 값과 함수 $g(x)$의 극솟값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 미적분학의 기본정리 $g'(x) = f(x)$와 초기조건 $g(-1) = 0$, 그리고 우함수의 홀수 차수 계수 소거 성질을 결합한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(x) = g'(x) = 3x^2 + 2ax - 12$에서 $f(-x) = f(x)$이므로 $2a = 0 \implies a = 0$이고, $g(-1) = -1 + 12 + b = 0$에서 $b = -11$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $g'(x) = 3(x + 2)(x - 2) = 0$이므로 $g(x) = x^3 - 12x - 11$은 $x = 2$에서 극솟값 $g(2) = 8 - 24 - 11 = -27$을 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $g'(x) = f(x)$ 미분 및 초기조건 $g(-1) = 0$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 우함수 성질로 $a = 0$ 및 $g(-1) = 0$으로 $b = -11$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x = 2$에서 극솟값 $g(2) = -27$ 산출 | 3점 |
적분 아래끝이 $0$이 아니라 $-1$이므로 상수항 $b$는 $0$이 아니며 반드시 $g(-1) = 0$으로 결정해야 합니다.
원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 속도가 각각 $v_1(t) = 3t^2 - 6t,\; v_2(t) = 2t - 4$일 때, 출발 후 두 점이 처음으로 다시 만나는 시각 $t_0$와 $t = 0$부터 $t = 3$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리 $L$을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 원점 출발이므로 각 속도를 $[0, t]$에서 정적분하여 위치 $x_1(t), x_2(t)$를 구하고 $x_1(t) = x_2(t)\;(t \gt 0)$와 $\int_0^3 |v_1(t)|\,dt$를 계산한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x_1(t) = t^3 - 3t^2,\; x_2(t) = t^2 - 4t$에서 $t^3 - 3t^2 = t^2 - 4t \implies t(t - 2)^2 = 0$이므로 출발 후 다시 만나는 시각은 $t_0 = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $v_1(t) = 3t(t - 2)$는 $[0, 2]$에서 음수, $[2, 3]$에서 양수이므로 $L = \int_{0}^{2} (-3t^2 + 6t)\,dt + \int_{2}^{3} (3t^2 - 6t)\,dt = 4 + 4 = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 위치 함수 $x_1(t) = t^3 - 3t^2,\; x_2(t) = t^2 - 4t$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $t(t - 2)^2 = 0\;(t \gt 0)$ 풀이로 재회 시각 $t_0 = 2$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간 $[0, 2], [2, 3]$ 부호 분리 적분으로 이동거리 $L = 8$ 산출 | 3점 |
점 $\mathrm{P}$는 $t = 3$일 때 원점($x_1(3) = 0$)으로 돌아오지만, 위치 변화량 $0$이 아니라 실제 이동거리 $4 + 4 = 8$을 답해야 합니다.
모든 실수 $x$에 대하여 지수부등식 $4^x - k\cdot 2^{x+1} + 3k + 4 \gt 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 값의 범위와 정수 $k$의 최댓값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $t = 2^x \gt 0$으로 치환하면 $t \gt 0$인 모든 실수 $t$에 대하여 이차함수 $g(t) = t^2 - 2kt + 3k + 4 = (t - k)^2 - k^2 + 3k + 4 \gt 0$이 성립해야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 대칭축 $t = k \le 0$일 때는 $t \gt 0$에서 순증가하므로 경계 조건 $g(0) = 3k + 4 \ge 0$에서 $-\dfrac{4}{3} \le k \le 0$이고, 대칭축 $t = k \gt 0$일 때는 최솟값 $g(k) = -k^2 + 3k + 4 \gt 0 \implies (k - 4)(k + 1) \lt 0$에서 $0 \lt k \lt 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 경우를 합치면 실수 $k$의 값의 범위는 $-\dfrac{4}{3} \le k \lt 4$이며, 정수 $k$의 최댓값은 $3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $t = 2^x \gt 0$ 치환 및 대칭축 $t = k$ 기준 케이스 분리 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $k \le 0$일 때 $g(0) \ge 0$과 $k \gt 0$일 때 $g(k) \gt 0$ 풀이 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 합집합 범위 $-\dfrac{4}{3} \le k \lt 4$ 및 최대 정수 $3$ 도출 | 3점 |
$k \le 0$일 때 $t = 0$은 정의역 $t \gt 0$에 포함되지 않으므로 $g(0) = 0$ ($k = -\dfrac{4}{3}$)이어도 $t \gt 0$에서는 $g(t) \gt 0$이 성립합니다.
$x \gt 0$에서 정의된 방정식 $x^{\log_2 x} = 64x$의 서로 다른 모든 실근을 구하고, 모든 실근의 곱을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 진수 조건 $x \gt 0$을 확인하고 지수에 포함된 로그를 내려보내기 위해 등식의 양변에 밑이 $2$인 로그를 취한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\log_2\left(x^{\log_2 x}\right) = \log_2(64x)$에서 $(\log_2 x)^2 = 6 + \log_2 x \implies (\log_2 x - 3)(\log_2 x + 2) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\log_2 x = 3$ 또는 $\log_2 x = -2$이므로 두 실근은 $x = 8,\; \dfrac{1}{4}$이며, 두 실근의 곱은 $8\times\dfrac{1}{4} = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x \gt 0$ 확인 및 양변 밑 $2$인 로그 취하기 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $(\log_2 x - 3)(\log_2 x + 2) = 0$ 인수분해 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x = 8,\; \dfrac{1}{4}$ 및 두 실근의 곱 $2$ 도출 | 3점 |
지수 자리에 로그 $\log_a x$가 올라가 있는 방정식은 밑이 $a$인 로그를 양변에 취하는 것이 표준 해법입니다.
좌표평면에서 원점 $\mathrm{O}$와 제4사분면의 점 $\mathrm{P}(a, -8)\;(a \gt 0)$을 지나는 동경 $\mathrm{OP}$가 나타내는 각의 크기를 $\theta$라 하자. $\cos\theta = \dfrac{3}{5}$일 때, 양수 $a$의 값과 $15\sin\theta + 6\tan\theta$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 점 $\mathrm{P}(a, -8)$과 원점 사이의 거리 $r = \sqrt{a^2 + 64}$를 이용하여 삼각함수의 정의 $\cos\theta = \dfrac{a}{r},\; \sin\theta = \dfrac{-8}{r},\; \tan\theta = \dfrac{-8}{a}$를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + 64}} = \dfrac{3}{5}$에서 $25a^2 = 9a^2 + 576 \implies a^2 = 36$이고 $a \gt 0$이므로 $a = 6,\; r = 10$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\sin\theta = -\dfrac{4}{5},\; \tan\theta = -\dfrac{4}{3}$이므로 $15\sin\theta + 6\tan\theta = -12 - 8 = -20$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 동경 거리 $r = \sqrt{a^2 + 64}$ 및 삼각함수 정의식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a = 6,\; r = 10$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $15\left(-\dfrac{4}{5}\right) + 6\left(-\dfrac{4}{3}\right) = -20$ 산출 | 3점 |
제4사분면에서는 코사인만 양수이고 사인과 탄젠트는 모두 음수임을 검산 단계에서 반드시 확인하십시오.
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $7$인 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$일 때, 가장 큰 내각 $\angle\mathrm{C}$의 크기와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 사인법칙에 의해 세 변의 길이의 비가 $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$이므로 $a = 3k,\; b = 5k,\; c = 7k\;(k \gt 0)$로 놓는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 코사인법칙에서 $\cos C = \dfrac{9k^2 + 25k^2 - 49k^2}{2\cdot 3k\cdot 5k} = -\dfrac{1}{2}$이므로 $\angle\mathrm{C} = \dfrac{2\pi}{3}$이고, 사인법칙 $c = 2R\sin C$에서 $7k = 14\sin\dfrac{2\pi}{3} = 7\sqrt{3} \implies k = \sqrt{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $a = 3\sqrt{3},\; b = 5\sqrt{3}$이므로 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2}\cdot 3\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{45\sqrt{3}}{4}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 사인법칙 비례식 $a = 3k,\; b = 5k,\; c = 7k\;(k \gt 0)$ 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 코사인법칙으로 $\angle\mathrm{C} = \dfrac{2\pi}{3}$ 및 외접원 조건으로 $k = \sqrt{3}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 넓이 공식으로 $S = \dfrac{45\sqrt{3}}{4}$ 산출 | 3점 |
$3 : 5 : 7$ 변의 비를 가지는 삼각형은 가장 큰 내각이 항상 $120^\circ\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$가 되는 빈출 둔각삼각형입니다.
수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = 2n^2 - 3n + 4$일 때, $a_1$의 값과 $n \ge 2$일 때의 일반항 $a_n$을 각각 구하고, $a_1 + a_5 + a_{10}$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부분합 $S_n$에 상수항 $+4 \ne 0$이 있으므로 $n = 1$일 때 $a_1 = S_1$과 $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1}$을 반드시 분리하여 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_1 = S_1 = 2 - 3 + 4 = 3$이고, $n \ge 2$일 때 $a_n = (2n^2 - 3n + 4) - \left\{2(n - 1)^2 - 3(n - 1) + 4\right\} = 4n - 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $a_5 = 15,\; a_{10} = 35$이므로 $a_1 + a_5 + a_{10} = 3 + 15 + 35 = 53$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a_1 = S_1$과 $n \ge 2$에서 $a_n = S_n - S_{n-1}$ 분리 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a_1 = 3$ 및 $a_n = 4n - 5\;(n \ge 2)$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a_1 + a_5 + a_{10} = 3 + 15 + 35 = 53$ 산출 | 3점 |
$4n - 5$에 무심코 $n = 1$을 대입해 $a_1 = -1$로 쓰면 $4$점 이상 감점되므로 상수항 유무를 가장 먼저 점검하십시오.
극한 등식 $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^2 + ax + 3} - bx\right) = 3$이 성립할 때, 두 실수 $a, b$의 값과 $a + b$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $b \le 0$이면 좌변이 $+\infty$로 발산하므로 $b \gt 0$이어야 하며, 켤레식을 곱해 유리화하여 최고차항 소거 조건을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\lim_{x \to \infty}\dfrac{(4 - b^2)x^2 + ax + 3}{\sqrt{4x^2 + ax + 3} + bx} = 3$이 수렴하려면 분자의 $x^2$ 계수가 $0$이어야 하므로 $4 - b^2 = 0,\; b \gt 0$에서 $b = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $b = 2$를 대입하면 $\lim_{x \to \infty}\dfrac{ax + 3}{\sqrt{4x^2 + ax + 3} + 2x} = \dfrac{a}{2 + 2} = 3$에서 $a = 12$이므로 $a + b = 14$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 부호 조건 $b \gt 0$ 확인 및 분자의 유리화 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $4 - b^2 = 0$으로부터 $b = 2$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\dfrac{a}{4} = 3$으로부터 $a = 12$ 및 $a + b = 14$ 산출 | 3점 |
$b = -2$일 때는 $\infty + \infty = \infty$ 꼴이 되어 수렴하지 않으므로 $b \gt 0$ 근거를 반드시 서술하십시오.
두 곡선 $y = x^3 - ax + 9$와 $y = 2x^2 + 1$이 한 점에서 서로 접할 때, 상수 $a$의 값과 그 접점에서의 공통접선의 방정식을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 - ax + 9,\; g(x) = 2x^2 + 1$이라 하고 접점의 $x$좌표를 $t$라 하면 공통접선 조건 $f(t) = g(t)$와 $f'(t) = g'(t)$가 동시에 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(t) = g'(t)$에서 $3t^2 - a = 4t \implies a = 3t^2 - 4t$를 $t^3 - at + 9 = 2t^2 + 1$에 대입하면 $2t^3 - 2t^2 - 8 = 2(t - 2)(t^2 + t + 2) = 0$이고 $t^2 + t + 2 \gt 0$이므로 $t = 2,\; a = 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 접점은 $(2, 9)$이고 접선의 기울기는 $g'(2) = 8$이므로 공통접선의 방정식은 $y - 9 = 8(x - 2)$, 즉 $y = 8x - 7$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 공통접선 연립 조건 $f(t) = g(t),\; f'(t) = g'(t)$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $2(t - 2)(t^2 + t + 2) = 0$ 풀이로 유일 실근 $t = 2,\; a = 4$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 접점 $(2, 9)$, 기울기 $8$로부터 공통접선 $y = 8x - 7$ 산출 | 3점 |
이차인수 $t^2 + t + 2 = \left(t + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{7}{4} \gt 0$이 실근을 갖지 않음을 명시하면 $t = 2$의 유일성이 완벽히 증명됩니다.
오른쪽 그림과 같이 삼차방정식 $2x^3 - 3x^2 - 12x - k = 0$이 한 개의 양의 실근과 서로 다른 두 개의 음의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위와 정수 $k$의 개수를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$로 놓고 직선 $y = k$와의 교점 부호를 판별하기 위해 극값과 $y$절편 $g(0)$을 함께 조사한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $g'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x + 1)(x - 2) = 0$에서 극댓값은 $g(-1) = 7$, 극솟값은 $g(2) = -20$이며 $y$절편은 $g(0) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x \lt 0$에서 두 번, $x \gt 0$에서 한 번 만나려면 $g(0) \lt k \lt g(-1)$이어야 하므로 $0 \lt k \lt 7$이며, 정수 $k$는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$의 $6$개이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $g(x) = k$ 분리 후 극값 및 $y$절편 $g(0)$ 조사 기준 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $g(-1) = 7,\; g(0) = 0,\; g(2) = -20$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 부호 조건 $0 \lt k \lt 7$ 확정 및 정수 $6$개 도출 | 3점 |
단순 세 실근 조건($-20 \lt k \lt 7$)이 아니라 근의 부호가 지정되어 있으므로 반드시 $y$축과의 교점 $g(0) = 0$을 경계로 제한하십시오.
연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 6x + \int_{0}^{2} tf(t)\,dt$를 만족시킬 때, 상수 $k = \int_{0}^{2} tf(t)\,dt$의 값과 정적분 $\int_{0}^{3} f(x)\,dx$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 위끝과 아래끝이 모두 상수인 정적분 $k = \int_{0}^{2} tf(t)\,dt$는 상수이므로 $f(x) = 3x^2 - 6x + k$로 놓고 다시 정적분 식에 대입한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $k = \int_{0}^{2} t(3t^2 - 6t + k)\,dt = \left[\dfrac{3}{4}t^4 - 2t^3 + \dfrac{k}{2}t^2\right]_{0}^{2} = 12 - 16 + 2k = 2k - 4$이므로 $k = 4$이고 $f(x) = 3x^2 - 6x + 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\int_{0}^{3} (3x^2 - 6x + 4)\,dx = \left[x^3 - 3x^2 + 4x\right]_{0}^{3} = 27 - 27 + 12 = 12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정적분 상수 치환 $k = \int_{0}^{2} tf(t)\,dt,\; f(x) = 3x^2 - 6x + k$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 대입 적분 $k = 2k - 4$로부터 $k = 4$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\int_{0}^{3} (3x^2 - 6x + 4)\,dx = 12$ 산출 | 3점 |
적분 구간이 $[0, 2]$로 고정된 정적분을 미분하면 $0$이 되어 정보 일부가 사라지므로 반드시 상수 $k$로 치환하여 대입 풀이해야 합니다.
이차함수 $y = -x^2 + 4x$의 그래프와 직선 $y = mx\;(0 \lt m \lt 4)$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\dfrac{9}{2}$일 때, 상수 $m$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곡선과 직선의 교점 방정식 $-x^2 + 4x = mx$를 풀어 적분 구간을 구하고 정적분 넓이 식을 세운다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x^2 - (4 - m)x = 0$이고 $0 \lt m \lt 4$이므로 교점은 $x = 0$과 $x = 4 - m \gt 0$이며, 넓이는 $\int_{0}^{4-m} \left\{-x^2 + (4 - m)x\right\}dx = \dfrac{(4 - m)^3}{6}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\dfrac{(4 - m)^3}{6} = \dfrac{9}{2}$에서 $(4 - m)^3 = 27 \implies 4 - m = 3$이므로 $m = 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 교점 $x = 0,\; 4 - m\;(4 - m \gt 0)$ 도출 및 정적분 식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 정적분 계산으로 넓이 식 $\dfrac{(4 - m)^3}{6} = \dfrac{9}{2}$ 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $(4 - m)^3 = 27$로부터 $m = 1$ 산출 | 3점 |
$0 \lt m \lt 4$ 조건 덕분에 $4 - m \gt 0$이 보장되어 적분 아래끝이 $0$, 위끝이 $4 - m$으로 유일하게 정해집니다.
오른쪽 그림과 같이 지수함수 $y = 2^{x+1} + 1$의 그래프가 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 직선 $y = 17$과 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하고, 점 $\mathrm{B}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 할 때, 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 사다리꼴 $\mathrm{AOHB}$의 넓이 $S$를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x = 0$을 대입하여 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 구하고, $2^{x+1} + 1 = 17$을 풀어 점 $\mathrm{B}, \mathrm{H}$의 좌표를 확정한 뒤 사다리꼴 넓이 공식을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x = 0$일 때 $y = 2^1 + 1 = 3$이므로 $\mathrm{A}(0, 3)$이고, $2^{x+1} = 16 = 2^4 \implies x = 3$이므로 $\mathrm{B}(3, 17),\; \mathrm{H}(3, 0)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 평행한 두 밑변 $\overline{\mathrm{OA}} = 3,\; \overline{\mathrm{HB}} = 17$과 높이 $\overline{\mathrm{OH}} = 3$을 대입하면 $S = \dfrac{1}{2}\times(3 + 17)\times 3 = 30$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $y$절편 대입 및 지수방정식 $2^{x+1} + 1 = 17$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 꼭짓점 좌표 $\mathrm{A}(0, 3),\; \mathrm{B}(3, 17),\; \mathrm{H}(3, 0)$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 사다리꼴 넓이 $S = 30$ 산출 | 3점 |
점근선이 $y = 1$로 평행이동되어 있으므로 $2^{x+1} = 17$이 아니라 상수항 $1$을 먼저 이항해 $2^{x+1} = 16$으로 풀어야 합니다.
로그부등식 $\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + \log_{\frac{1}{2}}(x - 4) \ge -3$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 값을 구하고 그 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 먼저 진수 조건 $x - 2 \gt 0,\; x - 4 \gt 0$을 구하고, 밑 $0 \lt \dfrac{1}{2} \lt 1$인 로그부등식의 부등호 반전 성질을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 진수 조건에서 $x \gt 4$이고, $\log_{\frac{1}{2}}\{(x - 2)(x - 4)\} \ge \log_{\frac{1}{2}} 8$에서 부등호 방향이 바뀌어 $(x - 2)(x - 4) \le 8 \implies x(x - 6) \le 0$, 즉 $0 \le x \le 6$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 진수 조건 $x \gt 4$와의 공통범위는 $4 \lt x \le 6$이므로 정수해는 $x = 5, 6$이며 그 합은 $11$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 진수 조건 $x \gt 4$ 선행 도출 및 로그 합 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 밑 조건 반전으로 이차부등식 $0 \le x \le 6$ 풀이 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 교집합 $4 \lt x \le 6$ 확정 및 정수 합 $5 + 6 = 11$ 산출 | 3점 |
진수 조건 $x \gt 4$를 누락하면 $x = 0, 1, 2, 3, 4$가 섞여 완전히 다른 답($21$)이 나오므로 항상 첫 줄에 진수 조건부터 고정하십시오.
삼각형 $\mathrm{ABC}$의 세 내각 $A, B, C$에 대하여 등식 $\sin^2\left(\dfrac{A + B}{2}\right) + \cos\dfrac{C}{2} = \dfrac{3}{4}$이 성립할 때, $\cos\dfrac{C}{2}$의 값과 내각 $C$의 크기를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각형 세 내각의 합 $A + B + C = \pi$로부터 $\dfrac{A + B}{2} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{C}{2}$이므로 여각 공식 $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{C}{2}\right) = \cos\dfrac{C}{2}$가 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $t = \cos\dfrac{C}{2}$로 놓으면 $0 \lt \dfrac{C}{2} \lt \dfrac{\pi}{2}$에서 $0 \lt t \lt 1$이고, $t^2 + t = \dfrac{3}{4} \implies 4t^2 + 4t - 3 = (2t - 1)(2t + 3) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $t \gt 0$이므로 $\cos\dfrac{C}{2} = \dfrac{1}{2}$이고, $\dfrac{C}{2} = \dfrac{\pi}{3}$에서 $C = \dfrac{2\pi}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $A + B + C = \pi$ 및 여각 변환 $\sin\left(\dfrac{A + B}{2}\right) = \cos\dfrac{C}{2}$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $4t^2 + 4t - 3 = 0\;(t \gt 0)$ 풀이로 $\cos\dfrac{C}{2} = \dfrac{1}{2}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 내각 $C = \dfrac{2\pi}{3}$ 산출 | 3점 |
$0 \lt C \lt \pi$에서 $\dfrac{C}{2}$는 항상 제1사분면 예각이므로 $\cos\dfrac{C}{2} \gt 0$ 조건이 음근 $-\dfrac{3}{2}$을 즉시 제거합니다.
오른쪽 그림과 같이 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 4,\; \overline{\mathrm{BC}} = 6$이고 대각선 $\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{19}$일 때, $\angle\mathrm{ABC}$의 크기와 다른 대각선 $\overline{\mathrm{BD}}$의 길이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 코사인법칙을 적용하여 $\angle\mathrm{ABC}$를 구하고, 평행사변형의 이웃한 두 내각의 합 $\angle\mathrm{BAD} = \pi - \angle\mathrm{ABC}$를 삼각형 $\mathrm{ABD}$에 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\cos(\angle\mathrm{ABC}) = \dfrac{4^2 + 6^2 - (2\sqrt{19})^2}{2\cdot 4\cdot 6} = \dfrac{52 - 76}{48} = -\dfrac{1}{2}$이므로 $\angle\mathrm{ABC} = \dfrac{2\pi}{3}$이고 $\angle\mathrm{BAD} = \dfrac{\pi}{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 $\overline{\mathrm{AD}} = 6$이므로 $\overline{\mathrm{BD}}^2 = 4^2 + 6^2 - 2\cdot 4\cdot 6\cos\dfrac{\pi}{3} = 52 - 24 = 28$에서 $\overline{\mathrm{BD}} = 2\sqrt{7}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 코사인법칙 및 이웃 내각 보각 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\cos(\angle\mathrm{ABC}) = -\dfrac{1}{2}$로부터 $\angle\mathrm{ABC} = \dfrac{2\pi}{3}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 삼각형 $\mathrm{ABD}$ 코사인법칙으로 $\overline{\mathrm{BD}} = 2\sqrt{7}$ 산출 | 3점 |
평행사변형 대각선 제곱합 항등식 $\overline{\mathrm{AC}}^2 + \overline{\mathrm{BD}}^2 = 2(\overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{BC}}^2)$에 대입해 $76 + 28 = 104$로 빠르게 검산할 수 있습니다.
첫째항이 $4$이고 공차가 $3$인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = 2$를 만족시키는 자연수 $n$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등차수열의 성질 $a_{k+1} - a_k = 3$과 일반항 $a_k = 3k + 1$을 이용하여 일반항의 분모를 유리화한 뒤 망원급수로 소거한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\dfrac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \dfrac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k} = \dfrac{1}{3}\left(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}\right)$이므로 좌변의 합은 $\dfrac{1}{3}\left(\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1}\right)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a_1 = 4,\; a_{n+1} = 3n + 4$를 대입하면 $\dfrac{1}{3}\left(\sqrt{3n + 4} - 2\right) = 2 \implies \sqrt{3n + 4} = 8 \implies 3n + 4 = 64$에서 $n = 20$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a_{k+1} - a_k = 3$을 이용한 분모 유리화 식 변형 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연쇄 소거로 부분합 $\dfrac{1}{3}\left(\sqrt{3n + 4} - 2\right)$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 방정식 $\sqrt{3n + 4} = 8$ 풀이로 $n = 20$ 산출 | 3점 |
유리화할 때 큰 항 $\sqrt{a_{k+1}}$에서 작은 항 $\sqrt{a_k}$를 빼는 순서로 통일해야 분모가 양수 공차 $+3$으로 깔끔히 정리됩니다.
함수 $f(x) = \dfrac{|x^2 - 9|}{x - 3} + 2x$에 대하여 좌극한 $L = \lim_{x \to 3^-} f(x)$와 우극한 $R = \lim_{x \to 3^+} f(x)$의 값을 각각 구하고, $R - L$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x = 3$ 근방에서 $x \lt 3$일 때와 $x \gt 3$일 때 $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$의 부호에 따라 절댓값을 분리하여 약분한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x \to 3^-$일 때 $x^2 - 9 \lt 0$이므로 $L = \lim_{x \to 3^-}\{-(x + 3) + 2x\} = -6 + 6 = 0$이고, $x \to 3^+$일 때 $x^2 - 9 \gt 0$이므로 $R = \lim_{x \to 3^+}\{(x + 3) + 2x\} = 6 + 6 = 12$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $L = 0,\; R = 12$이며 $R - L = 12 - 0 = 12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x = 3$ 좌·우에서 $|x^2 - 9|$의 부호 분리 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 약분 계산으로 $L = 0,\; R = 12$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $R - L = 12$ 산출 | 3점 |
절댓값 기호를 포함한 $0/0$ 꼴 극한은 좌극한과 우극한의 부호가 반대로 갈라지므로 반드시 분리하여 서술하십시오.
사차다항식 $P(x) = x^4 + ax^2 + b$가 $(x - 2)^2$으로 나누어떨어질 때, 미분법을 이용하여 두 상수 $a, b$의 값과 몫 $Q(x)$에 대한 $Q(2)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $P(x) = (x - 2)^2 Q(x)$로 놓고 곱의 미분법을 적용하면 $P(2) = 0$과 $P'(2) = 0$이 동시에 성립함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $P'(x) = 4x^3 + 2ax$에서 $P'(2) = 32 + 4a = 0 \implies a = -8$이고, $P(2) = 16 + 4(-8) + b = 0 \implies b = 16$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $P(x) = x^4 - 8x^2 + 16 = (x^2 - 4)^2 = (x - 2)^2(x + 2)^2$이므로 몫은 $Q(x) = (x + 2)^2$이고 $Q(2) = 16$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $P(x) = (x - 2)^2 Q(x)$로부터 $P(2) = 0,\; P'(2) = 0$ 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 미분 조건으로 $a = -8,\; b = 16$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 인수분해로 $Q(x) = (x + 2)^2$ 및 $Q(2) = 16$ 산출 | 3점 |
다항식의 나눗셈을 직접 수행하는 것보다 $P(\alpha) = P'(\alpha) = 0$ 중근 정리를 활용하면 고차 다항식 계수가 즉시 결정됩니다.
이차함수 $y = -x^2 + 12$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 영역에 내접하고 한 변이 $x$축 위에 있는 직사각형의 넓이의 최댓값 $S_{\max}$와 그때 직사각형의 가로·세로 길이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 제1사분면 위의 꼭짓점 좌표를 $(t, -t^2 + 12)$라 하면 정의역 $0 \lt t \lt 2\sqrt{3}$에서 가로 길이는 $2t$, 세로 길이는 $12 - t^2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 넓이 함수 $S(t) = 2t(12 - t^2) = -2t^3 + 24t$를 미분하면 $S'(t) = -6t^2 + 24 = -6(t - 2)(t + 2) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \lt t \lt 2\sqrt{3}$에서 $t = 2$일 때 극대이자 최대이므로 가로 길이는 $4$, 세로 길이는 $8$이며 최대 넓이는 $S_{\max} = 32$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 꼭짓점 $(t, 12 - t^2)\;(0 \lt t \lt 2\sqrt{3})$ 설정 및 넓이 $S(t) = -2t^3 + 24t$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $S'(t) = -6(t - 2)(t + 2) = 0$으로부터 $t = 2$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 가로 $4$, 세로 $8$, 최대 넓이 $S_{\max} = 32$ 산출 | 3점 |
$y$축 대칭 포물선에 내접하는 직사각형의 가로 길이는 $t$가 아니라 양쪽을 합친 $2t$임에 주의하십시오.
삼차함수 $f(x) = x^3 - 13x$에 대하여 정적분으로 정의된 함수 $g(x) = \int_{x}^{x+2} f(t)\,dt$가 $x = \alpha$에서 극댓값, $x = \beta$에서 극솟값을 가질 때, $\alpha, \beta$의 값과 $g(\alpha) - g(\beta)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(t)$의 한 부정적분을 $F(t)$라 하면 $g(x) = F(x + 2) - F(x)$이므로 양변을 미분하면 $g'(x) = f(x + 2) - f(x)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $g'(x) = \left\{(x + 2)^3 - 13(x + 2)\right\} - (x^3 - 13x) = 6x^2 + 12x - 18 = 6(x + 3)(x - 1) = 0$에서 $\alpha = -3$ (극대), $\beta = 1$ (극소)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $g(-3) = \int_{-3}^{-1} (t^3 - 13t)\,dt = \left[\dfrac{1}{4}t^4 - \dfrac{13}{2}t^2\right]_{-3}^{-1} = -20 + 52 = 32$이고, 기함수 성질로 $g(1) = \int_{1}^{3} f(t)\,dt = -g(-3) = -32$이므로 $g(\alpha) - g(\beta) = 64$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분학의 기본정리 변형 $g'(x) = f(x + 2) - f(x)$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $6(x + 3)(x - 1) = 0$으로부터 $\alpha = -3,\; \beta = 1$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 및 기함수 대칭성으로 $g(-3) = 32,\; g(1) = -32$ 및 차 $64$ 산출 | 3점 |
$f(t) = t^3 - 13t$가 원점 대칭 기함수임을 눈여겨보면 $\int_{1}^{3} f(t)\,dt = -\int_{-3}^{-1} f(t)\,dt$로 적분 계산량을 절반으로 줄일 수 있습니다.
오른쪽 그림과 같이 삼차함수 $f(x) = x(x - 2)(x - a)\;(a \gt 2)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 서로 같을 때, 상수 $a$의 값과 한쪽 도형의 넓이 $S_1$을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $[0, 2]$에서 $f(x) \ge 0$이고 $[2, a]$에서 $f(x) \le 0$이므로 두 도형의 넓이가 같을 조건은 전체 구간의 정적분 $\int_{0}^{a} f(x)\,dx = 0$인 것이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\int_{0}^{a} \left\{x^3 - (a + 2)x^2 + 2ax\right\}dx = \dfrac{1}{4}a^4 - \dfrac{a + 2}{3}a^3 + a^3 = \dfrac{a^3(4 - a)}{12} = 0$이고 $a \gt 2$이므로 $a = 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 한쪽 도형의 넓이는 $S_1 = \int_{0}^{2} (x^3 - 6x^2 + 8x)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 4x^2\right]_{0}^{2} = 4 - 16 + 16 = 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 두 영역 넓이 일치 조건 $\int_{0}^{a} f(x)\,dx = 0$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\dfrac{a^3(4 - a)}{12} = 0\;(a \gt 2)$으로부터 $a = 4$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간 $[0, 2]$ 정적분으로 $S_1 = 4$ 산출 | 3점 |
삼차함수의 변곡점 대칭성에 의해 세 실근이 등차수열($0, 2, 4$)을 이룰 때 두 영역의 넓이가 같아진다는 성질로 검산하십시오.
세 실수 $x, y, z$가 $4^x = 9^y = 36^z = k\;(k \gt 1)$와 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}$를 만족시킬 때, 실수 $z$의 값과 상수 $k$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $k \gt 1$에 대하여 각 지수 등식을 $4 = k^{\frac{1}{x}},\; 9 = k^{\frac{1}{y}},\; 36 = k^{\frac{1}{z}}$로 변형하고 지수법칙을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $4\times 9 = 36$이므로 $k^{\frac{1}{x}}\cdot k^{\frac{1}{y}} = k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = k^{\frac{1}{z}}$이고, $k \gt 1$이므로 $\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}$에서 $z = \dfrac{3}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $k = 36^z = (6^2)^{\frac{3}{2}} = 6^3 = 216$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 역수 지수 표현 $4 = k^{\frac{1}{x}},\; 9 = k^{\frac{1}{y}},\; 36 = k^{\frac{1}{z}}$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 지수법칙 비교로 $\dfrac{1}{z} = \dfrac{2}{3} \implies z = \dfrac{3}{2}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $k = 36^{\frac{3}{2}} = 216$ 산출 | 3점 |
로그로 바꾸어 풀어도 동일하지만, 공통 상수 $k$의 유리수 거듭제곱으로 통일하는 풀이가 가장 간결하고 직관적입니다.
$1$이 아닌 세 양수 $a, b, c$가 $\log_a b = 3,\; \log_b c = 2$를 만족시킬 때, $\log_{ab}(bc) + \log_{bc}(ca)$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 밑변환 공식 $\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c$로 모든 로그를 밑이 $a$인 로그로 통일하여 대입한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\log_a b = 3$이고 $\log_a c = 3\times 2 = 6$이므로 $\log_{ab}(bc) = \dfrac{\log_a b + \log_a c}{1 + \log_a b} = \dfrac{3 + 6}{1 + 3} = \dfrac{9}{4}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 또한 $\log_{bc}(ca) = \dfrac{\log_a c + 1}{\log_a b + \log_a c} = \dfrac{6 + 1}{3 + 6} = \dfrac{7}{9}$이므로 두 식의 합은 $\dfrac{9}{4} + \dfrac{7}{9} = \dfrac{109}{36}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 밑 $a$로의 통일 및 $\log_a c = 6$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 밑변환 분리로 $\log_{ab}(bc) = \dfrac{9}{4},\; \log_{bc}(ca) = \dfrac{7}{9}$ 계산 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 통분 합산으로 $\dfrac{109}{36}$ 산출 | 3점 |
밑에 곱 $ab$나 $bc$가 들어 있을 때는 진수와 밑의 위치를 바꾸거나 공통 밑 $a$로 일괄 분해하면 실수가 사라집니다.
함수 $f(x) = a\sin(bx) + c$ (단, $a \gt 0,\; b \gt 0$)의 주기가 $6$, 최댓값이 $7$이고 $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 5$일 때, 세 상수 $a, b, c$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a \gt 0,\; b \gt 0$ 조건 아래 사인함수의 주기 공식 $\dfrac{2\pi}{b} = 6$과 최댓값 공식 $a + c = 7$을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 주기 조건에서 $b = \dfrac{\pi}{3}$이고, $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = a\sin\dfrac{\pi}{6} + c = \dfrac{1}{2}a + c = 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a + c = 7$과 $\dfrac{1}{2}a + c = 5$를 연립하면 $\dfrac{1}{2}a = 2 \implies a = 4$이고 $c = 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a \gt 0, b \gt 0$ 기반 주기 $\dfrac{2\pi}{b} = 6$ 및 최댓값 $a + c = 7$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $b = \dfrac{\pi}{3}$ 확정 및 $\dfrac{1}{2}a + c = 5$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 연립방정식 풀이로 $a = 4,\; c = 3$ 산출 | 3점 |
만약 $a$의 부호 조건이 없다면 최댓값이 $|a| + c$가 되므로 문제의 양수 조건 $a \gt 0, b \gt 0$을 첫 줄에 명시하십시오.
오른쪽 그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}} = 8,\; \overline{\mathrm{AC}} = 5,\; \angle\mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3}$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 변 $\mathrm{BC}$의 길이, 외접원의 넓이 $S$, 꼭짓점 $\mathrm{A}$에서 변 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 길이 $h$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 코사인법칙으로 $\overline{\mathrm{BC}}$를 구한 뒤 사인법칙 $2R = \dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A}$로 외접원 반지름 $R$를 구하고, 넓이 등식 $\dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\sin A = \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{BC}}\cdot h$로 $h$를 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\overline{\mathrm{BC}}^2 = 64 + 25 - 2\cdot 8\cdot 5\cdot\dfrac{1}{2} = 49 \implies \overline{\mathrm{BC}} = 7$이고, $2R = \dfrac{7}{\sin\frac{\pi}{3}} = \dfrac{14}{\sqrt{3}} \implies R = \dfrac{7}{\sqrt{3}}$이므로 $S = \pi R^2 = \dfrac{49}{3}\pi$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 삼각형 넓이는 $\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} = \dfrac{1}{2}\cdot 7\cdot h$이므로 수선의 길이는 $h = \dfrac{20\sqrt{3}}{7}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙·사인법칙·삼각형 넓이 등식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\overline{\mathrm{BC}} = 7$ 및 외접원 넓이 $S = \dfrac{49}{3}\pi$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 넓이 비교로 높이 $h = \dfrac{20\sqrt{3}}{7}$ 산출 | 3점 |
삼각형의 높이를 구할 때 수선의 발 위치를 코사인으로 분할하기보다 삼각형 넓이를 두 가지 방식으로 표현해 비교하는 것이 훨씬 빠릅니다.
$n \ge 5$인 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $2^n \gt n^2$이 성립함을 수학적 귀납법의 귀납 단계($2k^2 - (k + 1)^2 \gt 0$)를 포함하여 설명하고, 모든 자연수 $n$ 중에서 부등식 $2^n \le n^2$을 만족시키는 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $n = 5$일 때 $2^5 = 32 \gt 5^2 = 25$로 성립함을 확인하고, $n = k\;(k \ge 5)$일 때 $2^k \gt k^2$이 성립한다고 가정한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양변에 $2$를 곱하면 $2^{k+1} \gt 2k^2$이고, $k \ge 5$일 때 $2k^2 - (k + 1)^2 = (k - 1)^2 - 2 \ge 16 - 2 = 14 \gt 0$이므로 $2^{k+1} \gt 2k^2 \gt (k + 1)^2$이 성립하여 모든 $n \ge 5$에서 $2^n \gt n^2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $1 \le n \le 4$를 직접 대입하면 $n = 1\;(2 \gt 1)$은 불성립, $n = 2\;(4 \le 4),\; n = 3\;(8 \le 9),\; n = 4\;(16 \le 16)$은 성립하므로 구하는 자연수의 합은 $2 + 3 + 4 = 9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 초기값 $n = 5\;(32 \gt 25)$ 확인 및 $n = k\;(k \ge 5)$ 귀납 가정 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $2k^2 - (k + 1)^2 = (k - 1)^2 - 2 \gt 0$ 보임으로 $n \ge 5$ 증명 완료 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $n = 1$ 배제 및 $n = 2, 3, 4$ 확인으로 합 $9$ 도출 | 3점 |
$n = 1$일 때 $2^1 = 2 \gt 1^2 = 1$이어서 $2^n \le n^2$을 만족하지 않는다는 함정을 놓치지 마십시오!
다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - 3}{x - 2} = 5$를 만족시킬 때, 함수 $g(x) = (x^2 + 1)f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to 2} \dfrac{g(x) - 15}{x^2 - 4}$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 극한에서 분모가 $0$으로 가므로 다항함수의 연속성과 미분계수의 정의에 의해 $f(2) = 3,\; f'(2) = 5$임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $g(2) = 5\times 3 = 15$이고, 곱의 미분법 $g'(x) = 2xf(x) + (x^2 + 1)f'(x)$에서 $g'(2) = 4\times 3 + 5\times 5 = 37$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\lim_{x \to 2}\dfrac{g(x) - g(2)}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x \to 2}\left(\dfrac{g(x) - g(2)}{x - 2}\cdot\dfrac{1}{x + 2}\right) = \dfrac{g'(2)}{4} = \dfrac{37}{4}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f(2) = 3,\; f'(2) = 5$ 도출 및 미분계수 극한 변형 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 곱의 미분법으로 $g(2) = 15,\; g'(2) = 37$ 계산 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\dfrac{g'(2)}{4} = \dfrac{37}{4}$ 산출 | 3점 |
분모 $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$에서 $(x + 2)$ 인수가 $x \to 2$일 때 $\dfrac{1}{4}$을 곱해 줌을 빠뜨리지 마십시오.
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x) = |f(x) - 2|$가 오직 한 점 $x = -1$에서만 미분가능하지 않고 $f(0) = 2,\; f'(0) = 0$일 때, 함수 $f(x)$의 식과 $f(2)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $h(x) = f(x) - 2$라 하면 $g(x) = |h(x)|$가 미분불가능한 점은 $h(x) = 0$의 홀수 중복도(단근) 실근뿐임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(0) = 2,\; f'(0) = 0$에서 $h(0) = 0,\; h'(0) = 0$이므로 $h(x)$는 $x^2$을 인수로 가지며, $x = -1$에서만 미분가능하지 않으므로 $h(x) = x^2(x + 1)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = x^3 + x^2 + 2$이며, $x = 2$를 대입하면 $f(2) = 8 + 4 + 2 = 14$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $h(x) = f(x) - 2$ 치환 및 단근 미분불가능 원리 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $h(0) = h'(0) = 0$과 $x = -1$ 단근 조건으로 $h(x) = x^2(x + 1)$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(x) = x^3 + x^2 + 2$ 및 $f(2) = 14$ 산출 | 3점 |
삼차함수 $h(x)$에 절댓값을 씌웠을 때 미분불가능한 점이 $1$개뿐이려면 실근이 하나뿐이거나 한 중근과 한 단근을 가져야 합니다.
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $6$인 구에 내접하는 직원기둥의 부피가 최대일 때, 그 직원기둥의 높이 $H$와 최대 부피 $V_{\max}$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 구의 중심에서 직원기둥 밑면까지의 거리를 $t\;(0 \lt t \lt 6)$라 하면 직원기둥의 높이는 $H = 2t$이고 피타고라스 정리에 의해 밑면 반지름의 제곱은 $r^2 = 36 - t^2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부피 함수 $V(t) = \pi(36 - t^2)\cdot 2t = 2\pi(36t - t^3)$을 미분하면 $V'(t) = 6\pi(12 - t^2) = 0$이고 $0 \lt t \lt 6$이므로 $t = 2\sqrt{3}$에서 극대이자 최대이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 직원기둥의 높이는 $H = 2t = 4\sqrt{3}$이고 최대 부피는 $V_{\max} = 2\pi\cdot 2\sqrt{3}\cdot(36 - 12) = 96\sqrt{3}\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 변수 $t\;(0 \lt t \lt 6)$ 설정으로 $H = 2t,\; r^2 = 36 - t^2$ 및 부피 식 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $V'(t) = 6\pi(12 - t^2) = 0$으로부터 $t = 2\sqrt{3}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 높이 $H = 4\sqrt{3}$ 및 최대 부피 $V_{\max} = 96\sqrt{3}\pi$ 산출 | 3점 |
밑면 반지름 $r$를 변수로 잡으면 $H = 2\sqrt{36 - r^2}$ 무리식이 등장하므로, 높이의 절반 $t$를 변수로 잡아 다항함수로 미분하십시오.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $\int_{1}^{x} (x - t)f'(t)\,dt = x^4 - 4x^3 + 8x - 5$를 만족시키고 $f(1) = -3$일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 좌변을 $x\int_{1}^{x} f'(t)\,dt - \int_{1}^{x} tf'(t)\,dt$로 분리한 뒤 양변을 $x$에 대하여 미분하고 미적분학의 기본정리 $\int_{1}^{x} f'(t)\,dt = f(x) - f(1)$을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양변을 한 번 미분하면 $\int_{1}^{x} f'(t)\,dt = f(x) - f(1) = 4x^3 - 12x^2 + 8$이고, $f(1) = -3$이므로 $f(x) = 4x^3 - 12x^2 + 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f'(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2) = 0$이므로 함수 $f(x)$는 $x = 0$에서 극댓값 $f(0) = 5$, $x = 2$에서 극솟값 $f(2) = 32 - 48 + 5 = -11$을 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 적분 기호 밖 $x$ 분리 및 1차 미분 원리 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f(x) - f(1) = 4x^3 - 12x^2 + 8$과 $f(1) = -3$으로부터 $f(x) = 4x^3 - 12x^2 + 5$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f'(x) = 12x(x - 2)$ 분석으로 극댓값 $5$, 극솟값 $-11$ 산출 | 3점 |
피적분함수에 $f(t)$ 대신 $f'(t)$가 들어 있을 때 1차 미분 결과가 $\int_{1}^{x} f'(t)\,dt = f(x) - f(1)$이 되어 $f(1)$을 반드시 더해주어야 합니다.
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치가 $x(t) = t^3 - 9t^2 + 15t$일 때, 점 $\mathrm{P}$가 운동 방향을 바꾸는 두 시각에서의 위치 사이의 거리와 $t = 0$부터 $t = 6$까지 실제로 움직인 총 거리 $L$을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 속도 $v(t) = x'(t) = 0$이고 좌·우 부호가 바뀌는 시각이 운동 방향 전환 시각이며, 구간별 위치 변화량의 절댓값을 합산하여 총 이동거리를 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $v(t) = 3t^2 - 18t + 15 = 3(t - 1)(t - 5) = 0$에서 방향 전환 시각은 $t = 1, 5$이고, $x(1) = 7,\; x(5) = -25$이므로 두 위치 사이의 거리는 $|7 - (-25)| = 32$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x(0) = 0,\; x(6) = -18$이므로 총 이동거리는 $L = |x(1) - x(0)| + |x(5) - x(1)| + |x(6) - x(5)| = 7 + 32 + 7 = 46$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $v(t) = 3(t - 1)(t - 5) = 0$으로 방향 전환 시각 $t = 1, 5$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x(1) = 7,\; x(5) = -25$로부터 두 위치 사이의 거리 $32$ 계산 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 세 구간 변위 절댓값 합산으로 총 이동거리 $L = 46$ 산출 | 3점 |
위치 함수 $x(t)$가 이미 주어져 있을 때는 $|v(t)|$를 다시 적분할 필요 없이 방향 전환 시각의 위치를 연결해 구간별 변위의 절댓값을 더하면 됩니다.
| 모집단위 | 모집인원 | 명목경쟁률 | 실질경쟁률 | 최초합 평균 | 70% 충원컷 | 수능최저 기준 | 실시간 합격 판정 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 반도체공학부 | 12명 | 26.4:1 | 21.8:1 | 86.0점 | 82.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 컴퓨터공학과 | 14명 | 25.1:1 | 20.7:1 | 85.2점 | 82.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 전자공학과 | 12명 | 23.8:1 | 19.6:1 | 84.5점 | 81.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 전기공학과 | 11명 | 22.5:1 | 18.5:1 | 83.8점 | 80.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 정보통신공학과 | 10명 | 21.9:1 | 18.0:1 | 83.2점 | 80.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 화학공학과 | 11명 | 21.4:1 | 17.6:1 | 82.8점 | 79.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 신소재공학과 | 10명 | 20.6:1 | 17.0:1 | 82.2점 | 79.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 기계공학과 | 12명 | 20.2:1 | 16.6:1 | 81.8점 | 78.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 로봇공학과 | 8명 | 20.9:1 | 17.2:1 | 81.5점 | 78.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 에너지융합공학과 | 8명 | 19.4:1 | 16.0:1 | 80.8점 | 77.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 생명과학정보학과 | 9명 | 19.8:1 | 16.3:1 | 80.5점 | 77.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 산업경영공학과 | 9명 | 18.7:1 | 15.4:1 | 79.8점 | 76.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 식품영양학과 | 8명 | 18.1:1 | 14.9:1 | 79.2점 | 75.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 환경시스템공학과 | 8명 | 17.5:1 | 14.4:1 | 78.5점 | 75.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
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| 제2회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제3회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제4회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제5회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제6회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제7회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제8회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제9회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제10회 | 2026. . . | 분 | / 100 |