【1단계: 배각 공식·덧셈정리 변형과 최댓값·최솟값】
\(f(x) = (1 + \cos 2x) + \sqrt{3}\sin 2x + 1 = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{2}\cos 2x\right) + 2 = 2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) + 2\)이며 주기는 \(\dfrac{2\pi}{2} = \pi\)이다.
\(0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}\)일 때 \(\dfrac{\pi}{6} \le 2x + \dfrac{\pi}{6} \le \dfrac{7\pi}{6}\)이므로 \(-\dfrac{1}{2} \le \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) \le 1\)이다. 따라서 최댓값은 \(x = \dfrac{\pi}{6}\)에서 \(4\), 최솟값은 \(x = \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(1\)이다.

【2단계: $[0, 2\pi]$에서 $f(x) = 5/2$의 실근 개수와 합】
\(f(x) = \dfrac{5}{2} \iff \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{4}\)이다. \(\sin\alpha = \dfrac{1}{4}\)인 예각 \(\alpha\)는 \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{6}\)을 만족시킨다.
\(\theta = 2x + \dfrac{\pi}{6} \in \left[\dfrac{\pi}{6},\; 4\pi + \dfrac{\pi}{6}\right]\)에서 \(\sin\theta = \dfrac{1}{4}\)인 해는 \(\theta_1 = \pi - \alpha,\; \theta_2 = 2\pi + \alpha,\; \theta_3 = 3\pi - \alpha,\; \theta_4 = 4\pi + \alpha\)로 총 \(4\)개이다 (\(4\pi + \alpha \lt 4\pi + \dfrac{\pi}{6}\)이므로 포함).
\(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4 = 10\pi = 2(x_1+x_2+x_3+x_4) + \dfrac{2\pi}{3}\)이므로 모든 실근의 합은 \(\dfrac{14\pi}{3}\)이다.

【3단계: 정적분 계산】
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\left\{2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) + 2\right\}dx = \left[-\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) + 2x\right]_0^{\pi/2} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \pi\right) - \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi + \sqrt{3}\)이다.

【1단계: \(b_n\)과 \(a_n\)의 일반항 도출】
\(b_1 = \log_2 2 = 1\)이고 \(b_{n+1} + 1 = 2(b_n + 1)\)이므로 \(b_n + 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n\), 즉 \(b_n = 2^n - 1\)이며 \(a_n = 2^{2^n - 1}\)이다.

【2단계: 망원 항등식 증명 및 무한급수 합】
\(b_{k+1} - b_k = (2^{k+1} - 1) - (2^k - 1) = 2^k\)이므로 \(\dfrac{1}{b_k} - \dfrac{1}{b_{k+1}} = \dfrac{b_{k+1} - b_k}{b_k b_{k+1}} = \dfrac{2^k}{b_k b_{k+1}}\)이다.
제\(N\)항까지의 부분합은 \(\dfrac{1}{b_1} - \dfrac{1}{b_{N+1}} = 1 - \dfrac{1}{2^{N+1} - 1}\)이므로 \(N \to \infty\)일 때 급수의 합은 \(1\)이다.

【3단계: $\log_2 P_{10}$ 계산】
\(\log_2 P_{10} = \displaystyle\sum_{k=1}^{10} b_k = \sum_{k=1}^{10} (2^k - 1) = \dfrac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} - 10 = 2046 - 10 = 2036\)이다.

【1단계: 도함수와 극댓값·극솟값】
\(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)\)이므로 \(x = -1\)에서 극댓값 \(f(-1) = k + 5\), \(x = 3\)에서 극솟값 \(f(3) = k - 27\)을 갖는다.

【2단계: \((0, \infty)\)에서 \(h(t)\)의 불연속점이 1개일 양수 \(k\)의 조건】
\(t \gt 0\)에서 \(h(t)\)의 불연속점 후보는 \(|f(-1)|\)과 \(|f(3)|\) 중 양수인 값들이다. \(k \gt 0\)이므로 \(|f(-1)| = k + 5 \gt 5 \gt 0\)은 항상 양의 불연속점이다.
따라서 양의 불연속점이 오직 \(1\)개이려면 ① \(|f(3)| = 0\)이거나 ② \(|f(3)| = |f(-1)|\)이어야 한다.
① \(k - 27 = 0 \implies k = 27\) (불연속점 \(t = 32\) 하나뿐).
② \(|k - 27| = k + 5 \implies 27 - k = k + 5 \implies k = 11\) (불연속점 \(t = 16\) 하나뿐). 그러므로 \(k = 11\) 또는 \(k = 27\)이다.

【3단계: $k = 11$일 때 대칭중심 치환 정적분】
작은 값 \(k = 11\)일 때 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 11\)이며 변곡점 \(x = 1\)에서 \(f(1) = 0\)이다.
\(u = x - 1\)로 치환하면 \(f(1 + u) = u^3 - 12u\)는 기함수이고 \([-1, 3]\)은 \(u \in [-2, 2]\)로 대응한다.
따라서 \(\displaystyle\int_{-1}^{3} |f(x)|\,dx = \int_{-2}^{2} |u^3 - 12u|\,du = 2\int_0^2 (12u - u^3)\,du = 2\left[6u^2 - \dfrac{u^4}{4}\right]_0^2 = 2(24 - 4) = 40\)이다.

【1단계: 최댓값과 변곡점 좌표】
\(f'(x) = \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3}\)이므로 \(x = e^{1/2}\)에서 유일한 극대이자 최댓값 \(f(e^{1/2}) = \dfrac{1}{2e}\)을 갖는다.
\(f''(x) = \dfrac{-2x^2 - 3x^2(1 - 2\ln x)}{x^6} = \dfrac{6\ln x - 5}{x^4}\)이므로 \(x = e^{5/6}\) 좌우에서 부호가 \(- \to +\)로 바뀌어 변곡점은 \(\left(e^{5/6},\; \dfrac{5}{6}e^{-5/3}\right)\)이다.

【2단계: 거듭제곱근 세 수 A, B, C의 대소 비교】
양변에 자연로그를 취하면 \(\ln A = \dfrac{\ln 3}{6} = \dfrac{\ln\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = f(\sqrt{3})\), \(\ln B = \dfrac{\ln 2}{4} = f(2)\), \(\ln C = \dfrac{\ln 5}{10} = \dfrac{\ln\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = f(\sqrt{5})\)이다.
\(e \lt 3 \lt 4 \lt 5\)이므로 \(e^{1/2} \lt \sqrt{3} \lt 2 \lt \sqrt{5}\)이고, 구간 \([e^{1/2}, \infty)\)에서 \(f'(x) \lt 0\)으로 \(f(x)\)가 순감소하므로 \(f(\sqrt{5}) \lt f(2) \lt f(\sqrt{3})\), 즉 \(\ln C \lt \ln B \lt \ln A\)이다. \(\ln x\)는 순증가하므로 \(C \lt B \lt A\)이다.

【3단계: 부분적분 $I_n$ 및 극한 계산】
부분적분법에 의해 \(I_n = \left[-\dfrac{\ln x}{x}\right]_1^{e^n} + \displaystyle\int_1^{e^n} \dfrac{1}{x^2}\,dx = -\dfrac{n}{e^n} + \left(1 - \dfrac{1}{e^n}\right) = 1 - \dfrac{n + 1}{e^n}\)이다.
\(\dfrac{n}{e^n} = \dfrac{\ln(e^n)}{e^n} \to 0\)이므로 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} I_n = 1\)이다.

【1단계: 두 초점 수선 길이의 곱 불변성 증명】
접선 \(mx - y + \sqrt{25m^2+9} = 0\)까지의 거리는 \(\overline{\mathrm{FH}} = \dfrac{|4m + \sqrt{25m^2+9}|}{\sqrt{m^2+1}}\), \(\overline{\mathrm{F'H'}} = \dfrac{|-4m + \sqrt{25m^2+9}|}{\sqrt{m^2+1}}\)이다.
\(\sqrt{25m^2+9} \gt 4m \ge 0\)이므로 곱은 \(\overline{\mathrm{FH}}\cdot\overline{\mathrm{F'H'}} = \dfrac{(25m^2+9) - 16m^2}{m^2+1} = \dfrac{9(m^2+1)}{m^2+1} = 9\)로 일정하다.

【2단계: 수선의 발 $H$의 보조원 $x^2 + y^2 = 25$ 자취 증명】
\(m = 0\)일 때 접선은 \(y = 3\)이고 \(\mathrm{H}(4, 3)\)은 \(4^2 + 3^2 = 25\)를 만족한다. \(m \gt 0\)일 때 \(\mathrm{H}(x, y)\)는 접선 \(mx - y = -\sqrt{25m^2+9}\)와 수선 \(x + my = 4\)의 교점이다.
두 식을 각각 제곱하여 더하면 \((mx - y)^2 + (x + my)^2 = (25m^2 + 9) + 16\), 즉 \((m^2 + 1)(x^2 + y^2) = 25(m^2 + 1)\)이므로 \(x^2 + y^2 = 25\)이다.

【3단계: 직각사다리꼴 F'FHH' 넓이의 최댓값】
\(\overline{\mathrm{FH}} + \overline{\mathrm{F'H'}} = \dfrac{2\sqrt{25m^2+9}}{\sqrt{m^2+1}}\)이고, 높이 \(\overline{\mathrm{HH'}} = \sqrt{8^2 - (\overline{\mathrm{FH}}-\overline{\mathrm{F'H'}})^2} = \sqrt{64 - \dfrac{64m^2}{m^2+1}} = \dfrac{8}{\sqrt{m^2+1}}\)이다.
따라서 \(S(m) = \dfrac{1}{2}(\overline{\mathrm{FH}}+\overline{\mathrm{F'H'}})\overline{\mathrm{HH'}} = \dfrac{8\sqrt{25m^2+9}}{m^2+1}\)이다. \(u = \sqrt{25m^2+9} \ge 3\)으로 치환하면 \(m^2+1 = \dfrac{u^2+16}{25}\)이므로 \(S = \dfrac{200}{u + \frac{16}{u}}\)이다. 산술·기하평균 부등식에 의해 \(u + \dfrac{16}{u} \ge 8\) (등호는 \(u = 4 \ge 3\), 즉 \(25m^2+9=16 \implies m = \dfrac{\sqrt{7}}{5}\))이므로 최댓값은 \(\dfrac{200}{8} = 25\)이다.

【1단계: 이항계수 흡수 항등식 증명 및 합 계산】
\(k(k-1)\binom{8}{k} = k(k-1)\cdot\dfrac{8!}{k!(8-k)!} = \dfrac{8 \times 7 \times 6!}{(k-2)!(6-(k-2))!} = 56\binom{6}{k-2}\)이다.
양변을 \(k = 2\)부터 \(8\)까지 합하면 \(\displaystyle\sum_{k=2}^{8} k(k-1)\binom{8}{k} = 56\sum_{j=0}^{6}\binom{6}{j} = 56 \times 2^6 = 3584\)이다.

【2단계: 전확률 $P(W)$ 계산】
\(\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{\binom{8}{k}}{2^8}\)이고 \(k \ge 2\)일 때 \(\mathrm{P}(W \mid X = k) = \dfrac{\binom{k}{2}}{\binom{8}{2}} = \dfrac{k(k-1)}{56}\)이다.
따라서 \(\mathrm{P}(W) = \displaystyle\sum_{k=2}^{8} \dfrac{\binom{8}{k}}{2^8}\cdot\dfrac{k(k-1)}{56} = \dfrac{3584}{256 \times 56} = \dfrac{64}{256} = \dfrac{1}{4}\)이다.

【3단계: 베이즈 사후분포와 조건부 기댓값 $E(X \mid W)$】
\(2 \le k \le 8\)에서 \(\mathrm{P}(X = k \mid W) = \dfrac{\mathrm{P}(X=k)\mathrm{P}(W\mid X=k)}{\mathrm{P}(W)} = \dfrac{56\binom{6}{k-2} / (256 \times 56)}{1/4} = \dfrac{\binom{6}{k-2}}{2^6}\)이다.
따라서 \(\mathrm{P}(X = 8 \mid W) = \dfrac{\binom{6}{6}}{64} = \dfrac{1}{64}\)이며, \(j = k - 2\)로 치환하면 사후분포에서 \(j \sim \mathrm{B}\left(6, \dfrac{1}{2}\right)\)이므로 \(\mathrm{E}(X \mid W) = \displaystyle\sum_{j=0}^{6} (j + 2)\dfrac{\binom{6}{j}}{2^6} = 6 \times \dfrac{1}{2} + 2 = 5\)이다.

【1단계: 교점 유일성·단조증가 증명 및 특수항 계산】
\(g_n(x) = 2^x + x - n\)은 실수 전체에서 연속이고 순증가하며 \(g_n(0) = 1 - n \lt 0\), \(g_n(n) = 2^n \gt 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 \(g_n(x_n) = 0\)인 유일한 양의 실근 \(x_n\)이 존재한다.
\(2^{x_{n+1}} + x_{n+1} = n + 1 \gt n = 2^{x_n} + x_n\)이고 \(2^x + x\)가 순증가하므로 \(x_n \lt x_{n+1}\)이며, 직접 대입하면 \(x_3 = 1,\; x_6 = 2,\; x_{11} = 3\)이다.

【2단계: $\lfloor x_n \rfloor = k$ 구간 분류와 합 계산】
\(h(x) = 2^x + x\)가 순증가이므로 \(k \le x_n \lt k + 1 \iff h(k) \le h(x_n) \lt h(k+1) \iff 2^k + k \le n \lt 2^{k+1} + k + 1\)이다.
• \(k=1\): \(3 \le n \le 5\) (\(3\)개) \(\implies 3 \times 1 = 3\)
• \(k=2\): \(6 \le n \le 10\) (\(5\)개) \(\implies 5 \times 2 = 10\)
• \(k=3\): \(11 \le n \le 19\) (\(9\)개) \(\implies 9 \times 3 = 27\)
• \(n=20\): \(2^4 + 4 = 20 \implies x_{20} = 4\)
따라서 \(\displaystyle\sum_{n=3}^{20} \lfloor x_n \rfloor = 3 + 10 + 27 + 4 = 44\)이다.

【3단계: 로그 상·하계 부등식과 조임정리 극한】
\(x_n \gt 0\)이므로 \(2^{x_n} = n - x_n \lt n \implies x_n \lt \log_2 n\)이다. 또한 \(n \ge 4\)일 때 귀납적으로 \(2^{n/2} \ge n\), 즉 \(\log_2 n \le \dfrac{n}{2}\)이므로 \(x_n \lt \log_2 n \le \dfrac{n}{2}\)이고 \(2^{x_n} = n - x_n \gt \dfrac{n}{2}\)에서 \(x_n \gt \log_2\dfrac{n}{2} = \log_2 n - 1\)이다.
양변을 \(\log_2 n \gt 0\)으로 나누면 \(1 - \dfrac{1}{\log_2 n} \lt \dfrac{x_n}{\log_2 n} \lt 1\)이므로 조임정리에 의해 극한값은 \(1\)이다.

【1단계: g(t)의 전 구간 미분가능성과 도함수】
\(h(x) = |x^2 - 4|\)는 실수 전체에서 연속이므로 \(H(x) = \displaystyle\int_0^x h(u)\,du\)는 실수 전체에서 미분가능하고 \(H'(x) = |x^2 - 4|\)이다.
\(g(t) = H(t + 2) - H(t)\)는 미분가능한 함수의 합성·차이므로 실수 전체에서 미분가능하며 \(g'(t) = |(t+2)^2 - 4| - |t^2 - 4| = |t^2 + 4t| - |t^2 - 4|\)이다.

【2단계: 대칭성 $g(-t-2)=g(t)$ 증명 및 $g'(t)=0$의 실근】
\(g(-t-2) = \displaystyle\int_{-t-2}^{-t} |x^2 - 4|\,dx\)에서 \(x = -u\)로 치환하면 \(dx = -du\)이고 우함수 성질에 의해 \(\displaystyle\int_t^{t+2} |u^2 - 4|\,du = g(t)\)이므로 직선 \(t = -1\)에 대하여 대칭이다.
\(g'(t) = 0 \iff |t^2 + 4t| = |t^2 - 4| \iff t^2 + 4t = t^2 - 4\) 또는 \(t^2 + 4t = -(t^2 - 4)\)이다. 첫째 식에서 \(t = -1\), 둘째 식 \(t^2 + 2t - 2 = 0\)에서 \(t = -1 \pm \sqrt{3}\)이다.

【3단계: 극댓값과 최솟값 계산】
부호를 조사하면 \(g'(t)\)는 \(t = -1 - \sqrt{3}\)에서 \(- \to +\) (극소), \(t = -1\)에서 \(+ \to -\) (극대), \(t = -1 + \sqrt{3}\)에서 \(- \to +\) (극소)이고 \(t \to \pm\infty\)일 때 \(g(t) \to \infty\)이다.
극댓값은 \(g(-1) = \displaystyle\int_{-1}^{1} (4 - x^2)\,dx = 2\left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{22}{3}\)이다.
대칭성에 의해 최솟값은 \(a = \sqrt{3} - 1 \in (0, 2)\)일 때 \(g(a) = \displaystyle\int_a^2 (4 - x^2)\,dx + \int_2^{a+2} (x^2 - 4)\,dx = \dfrac{32}{3} + \dfrac{(a+2)^3 + a^3}{3} - 4(2a + 2)\)이다. \(a + 1 = \sqrt{3}\)을 대입하면 \(( \sqrt{3}+1 )^3 + ( \sqrt{3}-1 )^3 = 12\sqrt{3}\)이므로 \(g_{\min} = \dfrac{32}{3} + 4\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = \dfrac{32}{3} - 4\sqrt{3}\)이다.

【1단계: 점화식 $T_n + T_{n+2} = 1/(n+1)$ 증명과 초기항】
\(T_n + T_{n+2} = \displaystyle\int_0^{\pi/4} \tan^n x(1 + \tan^2 x)\,dx = \int_0^{\pi/4} \tan^n x\sec^2 x\,dx = \left[\dfrac{\tan^{n+1} x}{n + 1}\right]_0^{\pi/4} = \dfrac{1}{n + 1}\)이다.
\(T_1 = \left[-\ln(\cos x)\right]_0^{\pi/4} = \dfrac{1}{2}\ln 2\), \(T_2 = \displaystyle\int_0^{\pi/4}(\sec^2 x - 1)\,dx = 1 - \dfrac{\pi}{4}\), \(T_3 = \dfrac{1}{2} - T_1 = \dfrac{1 - \ln 2}{2}\)이다.

【2단계: 단조감소 부등식과 $\lim n T_n$ 도출】
\(x \in \left(0, \dfrac{\pi}{4}\right)\)에서 \(0 \lt \tan^{n+2} x \lt \tan^n x\)이므로 정적분의 부등식 성질에 의해 \(0 \lt T_{n+2} \lt T_n\)이다.
\(n \ge 2\)일 때 \(\dfrac{1}{n+1} = T_n + T_{n+2} \lt 2T_n\)이고 \(\dfrac{1}{n-1} = T_{n-2} + T_n \gt 2T_n\)이므로 \(\dfrac{1}{2(n+1)} \lt T_n \lt \dfrac{1}{2(n-1)}\)이며, \(n\)을 곱해 조임정리를 적용하면 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n T_n = \dfrac{1}{2}\)이다.

【3단계: 교대 망원합과 라이프니츠형 조화급수 합】
\(k = 1, 2, \dots, m\)에 대하여 \(\dfrac{(-1)^{k-1}}{2k} = (-1)^{k-1}(T_{2k-1} + T_{2k+1})\)을 합하면 중간항이 교대 소거되어 \(T_1 + (-1)^{m-1} T_{2m+1}\)이 된다.
문항 3-2에 의해 \(0 \lt T_{2m+1} \lt \dfrac{1}{4m} \to 0\)이므로 \(m \to \infty\)일 때 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}}{2k} = T_1 = \dfrac{1}{2}\ln 2\)이며, 양변에 \(2\)를 곱하면 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2\)이다.

【1단계: 준선에서 그은 두 접선의 직교 증명】
기울기가 \(m \neq 0\)인 접선 \(y = mx + \dfrac{3}{m}\)이 점 \(\mathrm{P}(-3, a)\)를 지나므로 \(a = -3m + \dfrac{3}{m}\), 즉 \(3m^2 + am - 3 = 0\)이다.
판별식 \(D = a^2 + 36 \gt 0\)이므로 서로 다른 두 실근 \(m_1, m_2\)를 가지며 근과 계수의 관계에 의해 \(m_1 m_2 = -1\)이므로 두 접선은 항상 수직이다.

【2단계: 극선 AB의 초점 통과와 현 AB의 길이】
접점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)에서의 접선 \(y_1 y = 6(x + x_1),\; y_2 y = 6(x + x_2)\)가 모두 \(\mathrm{P}(-3, a)\)를 지나므로 \(a y_1 = 6(x_1 - 3),\; a y_2 = 6(x_2 - 3)\)이다. 따라서 직선 \(\mathrm{AB}\)의 방정식은 \(6x - ay - 18 = 0\)이며 항상 초점 \(\mathrm{F}(3, 0)\)을 지난다.
\(x = \dfrac{y^2}{12}\)을 대입하면 \(y^2 - 2ay - 36 = 0\)에서 \(y_1 + y_2 = 2a,\; y_1 y_2 = -36\)이므로 \(x_1 + x_2 = \dfrac{(2a)^2 - 2(-36)}{12} = \dfrac{a^2}{3} + 6\)이다. 포물선의 정의에 의해 \(\overline{\mathrm{AB}} = (x_1 + 3) + (x_2 + 3) = \dfrac{a^2 + 36}{3}\)이다.

【3단계: 삼각형 PAB의 넓이 S(a)와 최솟값】
점 \(\mathrm{P}(-3, a)\)에서 직선 \(6x - ay - 18 = 0\)까지의 거리는 \(h = \dfrac{|-18 - a^2 - 18|}{\sqrt{36 + a^2}} = \sqrt{a^2 + 36}\)이다.
따라서 \(S(a) = \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}}\cdot h = \dfrac{(a^2 + 36)^{3/2}}{6}\)이며, \(a = 0\)일 때 최솟값 \(S(0) = \dfrac{216}{6} = 36\)을 갖는다.

【1단계: 법선벡터 이면각 코사인과 정사영 넓이】
두 평면의 법선벡터는 \(\vec{n}_1 = (1, 2, 2),\; \vec{n}_2 = (2, 2, 1)\)이고 \(|\vec{n}_1| = |\vec{n}_2| = 3\)이므로 \(\cos\theta = \dfrac{|1\cdot 2 + 2\cdot 2 + 2\cdot 1|}{3 \times 3} = \dfrac{8}{9}\)이다.
정사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이는 \((3\sqrt{2})^2 = 18\)이므로 정사영의 넓이는 \(18 \times \dfrac{8}{9} = 16\)이다.

【2단계: 수선의 발 $H_1$, $H_2$ 좌표와 선분 길이】
\(\mathrm{H}_1(8+s, 2+2s, 3+2s)\)를 \(\alpha\)에 대입하면 \(8 + 4 + 6 + 9s - 9 = 0 \implies s = -1\)이므로 \(\mathrm{H}_1(7, 0, 1)\)이다.
\(\mathrm{H}_2(8+2u, 2+2u, 3+u)\)를 \(\beta\)에 대입하면 \(16 + 4 + 3 + 9u - 5 = 0 \implies u = -2\)이므로 \(\mathrm{H}_2(4, -2, 1)\)이다.
따라서 \(\overline{\mathrm{H}_1\mathrm{H}_2} = \sqrt{(7-4)^2 + (0-(-2))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 0} = \sqrt{13}\)이다.

【3단계: 두 평면에 동시에 접하는 구의 중심과 반지름】
\(d(\mathrm{C}, \alpha) = d(\mathrm{C}, \beta)\)이므로 \(\dfrac{|t + 2 + 10 - 9|}{3} = \dfrac{|2t + 2 + 5 - 5|}{3}\), 즉 \(|t + 3| = |2t + 2|\)이다.
\(t \gt 0\)이므로 \(t + 3 = 2t + 2 \implies t = 1\)이며, 중심은 \(\mathrm{C}(1, 1, 5)\), 반지름은 \(r = \dfrac{1 + 3}{3} = \dfrac{4}{3}\)이다.

【1단계: 비감소 함수 전체 개수와 치역 크기 2인 개수】
\(1 \le f(1) \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 5\)이므로 \(|S| = {}_{5}\mathrm{H}_{5} = \binom{9}{5} = 126\)이다.
치역의 원소가 \(2\)개이려면 공역에서 두 원소 \(u \lt v\)를 고르는 방법 \(\binom{5}{2} = 10\)가지 각각에 대하여 \(f(r) = u,\; f(r+1) = v\)가 되는 경계 \(r \in \{1, 2, 3, 4\}\)가 \(4\)가지이므로 \(10 \times 4 = 40\)개이다.

【2단계: $P(A)$ 계산】
\(f(3) = 3\)이면 \(1 \le f(1) \le f(2) \le 3\)인 순서쌍 개수가 \({}_{3}\mathrm{H}_{2} = \binom{4}{2} = 6\)이고, \(3 \le f(4) \le f(5) \le 5\)인 순서쌍 개수도 \({}_{3}\mathrm{H}_{2} = 6\)이므로 \(|A| = 6 \times 6 = 36\), \(\mathrm{P}(A) = \dfrac{36}{126} = \dfrac{2}{7}\)이다.

【3단계: 고정점 3개일 조건부확률 $P(B \mid A)$】
사건 \(A\)에서 이미 \(f(3) = 3\)이므로 \(\{1, 2\}\)와 \(\{4, 5\}\)에서 고정점이 합쳐서 \(2\)개 나와야 한다.
\((f(1), f(2))\) \(6\)가지 중 고정점 개수가 \(0\)개인 것은 \((2,3), (3,3)\) \(2\)개, \(1\)개인 것은 \((1,1), (1,3), (2,2)\) \(3\)개, \(2\)개인 것은 \((1,2)\) \(1\)개이다. 대칭성에 의해 \((f(4), f(5))\)에서도 \(0, 1, 2\)개인 경우가 각각 \(2, 3, 1\)개이다.
따라서 합이 \(2\)인 경우의 수는 \(1\times 2 + 3\times 3 + 2\times 1 = 13\)이므로 \(\mathrm{P}(B \mid A) = \dfrac{13}{36}\)이다.

【1단계: 극점과 변곡점 좌표】
\(f'(x) = (1 - x^2)e^{-x^2/2} = 0\)에서 \(x = \pm 1\)이므로 두 극점은 \(\mathrm{A}\left(1, e^{-1/2}\right),\; \mathrm{B}\left(-1, -e^{-1/2}\right)\)이다.
\(f''(x) = (-2x - x(1-x^2))e^{-x^2/2} = x(x^2 - 3)e^{-x^2/2} = 0\)에서 좌우 부호가 모두 바뀌므로 세 변곡점은 \((0, 0),\; \left(\sqrt{3}, \sqrt{3}e^{-3/2}\right),\; \left(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}e^{-3/2}\right)\)이다.

【2단계: 삼각형 ABP의 넓이】
두 극점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)가 원점 \(\mathrm{O}\)에 대하여 대칭이므로 \(\mathrm{Area}(\triangle\mathrm{ABP}) = 2\,\mathrm{Area}(\triangle\mathrm{OAP})\)이다.
신발끈 공식에 의해 \(2 \times \dfrac{1}{2}\left|1 \cdot \sqrt{3}e^{-3/2} - \sqrt{3}\cdot e^{-1/2}\right| = \sqrt{3}\left(e^{-1/2} - e^{-3/2}\right) = \dfrac{\sqrt{3}(e - 1)}{e\sqrt{e}}\)이다.

【3단계: 곡선과 직선 $y = e^{-2} x$ 사이의 넓이】
\(x \ge 0\)에서 \(x e^{-x^2/2} = e^{-2}x \iff x = 0\) 또는 \(x^2 = 4 \iff x = 2\)이며, \(0 \lt x \lt 2\)에서 \(f(x) \gt e^{-2}x\)이다.
\(\left(-e^{-x^2/2}\right)' = x e^{-x^2/2}\)이므로 \(S = \displaystyle\int_0^2 \left(x e^{-x^2/2} - e^{-2}x\right)dx = \left[-e^{-x^2/2} - \dfrac{1}{2}e^{-2}x^2\right]_0^2 = \left(-e^{-2} - 2e^{-2}\right) - (-1) = 1 - \dfrac{3}{e^2}\)이다.

【1단계: 평균값 정리 이차방정식의 두 실근】
\(f(0) = 0\)이므로 \(3c^2 - 6c + 2 = x^2 - 3x + 2\), 즉 \(3(c - 1)^2 = x^2 - 3x + 3\)이다. \(x^2 - 3x + 3 = \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} \gt 0\)이므로 두 실근은 \(c_1 = 1 - \sqrt{\dfrac{x^2 - 3x + 3}{3}}\), \(c_2 = 1 + \sqrt{\dfrac{x^2 - 3x + 3}{3}}\)이다.

【2단계: 열린구간 (0, x) 포함 판별과 불연속점 분석】
큰 근 \(c_2 \lt x\)가 성립할 조건은 \(x \gt 1\)이고 \(\dfrac{x^2 - 3x + 3}{3} \lt (x - 1)^2 \iff 2x^2 - 3x \gt 0 \iff x \gt \dfrac{3}{2}\)이다.
• \(0 \lt x \le \dfrac{3}{2}\)일 때: \(c_2 \ge x\)이므로 \(c_2 \notin (0, x)\)이고 \(0 \lt c_1 \lt x\)만 성립하여 \(g(x) = 1 - \sqrt{\dfrac{x^2 - 3x + 3}{3}}\)이다.
• \(x \gt \dfrac{3}{2}\)일 때: \(1 \lt c_2 \lt x\)이므로 \(g(x) = 1 + \sqrt{\dfrac{x^2 - 3x + 3}{3}}\)이다.
따라서 \(a = \dfrac{3}{2}\)에서 불연속이며 \(g\left(\dfrac{3}{2}\right) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\), \(\displaystyle\lim_{x \to \frac{3}{2}+} g(x) = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\)이다.

【3단계: \(x \to 0^+\) 및 \(x \to \infty\)에서의 비율 극한】
\(x \to 0+\)일 때 유리화하면 \(\dfrac{g(x)}{x} = \dfrac{3 - (x^2 - 3x + 3)}{3x\left(1 + \sqrt{\frac{x^2-3x+3}{3}}\right)} = \dfrac{3 - x}{3\left(1 + \sqrt{\frac{x^2-3x+3}{3}}\right)} \longrightarrow \dfrac{3}{3(1 + 1)} = \dfrac{1}{2}\)이다.
\(x \to \infty\)일 때 \(\dfrac{g(x)}{x} = \dfrac{1}{x} + \sqrt{\dfrac{1 - 3/x + 3/x^2}{3}} \longrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)이다.

【1단계: 구분구적 정적분 변환 및 L 계산】
\(S_n = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} h\left(\dfrac{k}{n}\right)\)이므로 \(L = \displaystyle\int_0^1 x\ln(1 + x^2)\,dx\)이다.
\(u = 1 + x^2\) (\(du = 2x\,dx\))로 치환하고 부분적분하면 \(L = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^2 \ln u\,du = \dfrac{1}{2}\left[u\ln u - u\right]_1^2 = \dfrac{1}{2}(2\ln 2 - 2 + 1) = \ln 2 - \dfrac{1}{2}\)이다.

【2단계: 순증가성 증명 및 리만합 양방향 오차 부등식】
\(x \in (0, 1)\)에서 \(h'(x) = \ln(1 + x^2) + \dfrac{2x^2}{1 + x^2} \gt 0\)이므로 \(h(x)\)는 \([0, 1]\)에서 순증가한다.
각 소구간 \(\left[\dfrac{k-1}{n}, \dfrac{k}{n}\right]\)에서 \(\dfrac{1}{n}h\left(\dfrac{k-1}{n}\right) \lt \displaystyle\int_{(k-1)/n}^{k/n} h(x)\,dx \lt \dfrac{1}{n}h\left(\dfrac{k}{n}\right)\)이 성립한다. \(k = 1\)부터 \(n\)까지 합하면 \(h(0) = 0,\; h(1) = \ln 2\)이므로 \(S_n - \dfrac{\ln 2}{n} \lt L \lt S_n\), 즉 \(L \lt S_n \lt L + \dfrac{\ln 2}{n}\)이다.

【3단계: 사다리꼴 보정 수열 \(T_n\)의 오차 한계와 최소 \(n\)】
문항 4-2의 부등식 \(0 \lt S_n - L \lt \dfrac{\ln 2}{n}\)의 각 변에서 \(\dfrac{\ln 2}{2n}\)을 빼면 \(-\dfrac{\ln 2}{2n} \lt T_n - L \lt \dfrac{\ln 2}{2n}\), 즉 \(|T_n - L| \lt \dfrac{\ln 2}{2n}\)이다.
\(n = 100\)이면 \(|T_{100} - L| \lt \dfrac{\ln 2}{200}\)이 보장되며, \(n \le 99\)에서는 상계 \(\dfrac{\ln 2}{2n} \gt \dfrac{\ln 2}{200}\)이므로 부등식으로부터 보장되는 최소 자연수는 \(n = 100\)이다.

【1단계: 둘레 불변성과 $r = Y = \frac{3}{7} y_0$ 유도】
장축 길이가 \(2a = 8\), 초점 거리가 \(\overline{\mathrm{F'F}} = 6\)이므로 \(\triangle\mathrm{PF'F}\)의 둘레는 \(8 + 6 = 14\)이다.
넓이 \(\dfrac{1}{2} \times 6 \times y_0 = \dfrac{1}{2} \times 14 \times r\)에서 \(r = \dfrac{3}{7}y_0\)이고, \(y_0 \gt 0\)이고 밑변 \(\mathrm{F'F}\)가 \(x\)축 위에 있으므로 \(Y = r = \dfrac{3}{7}y_0\)이다.

【2단계: 접선의 길이 성질을 통한 $X = \frac{3}{4} x_0$ 증명】
\(\overline{\mathrm{PF'}}^2 - \overline{\mathrm{PF}}^2 = [(x_0+3)^2 + y_0^2] - [(x_0-3)^2 + y_0^2] = 12x_0\)이고 \(\overline{\mathrm{PF'}} + \overline{\mathrm{PF}} = 8\)이므로 \(\overline{\mathrm{PF'}} - \overline{\mathrm{PF}} = \dfrac{3}{2}x_0\)이다.
내접원이 변 \(\mathrm{F'F}\)에 접하는 점을 \(\mathrm{T}(X, 0)\)이라 하면 \(\overline{\mathrm{F'T}} = \dfrac{\overline{\mathrm{F'F}} + \overline{\mathrm{PF'}} - \overline{\mathrm{PF}}}{2} = \dfrac{6 + \frac{3}{2}x_0}{2} = 3 + \dfrac{3}{4}x_0\)이므로 \(X = -3 + \overline{\mathrm{F'T}} = \dfrac{3}{4}x_0\)이다.

【3단계: 내심 I(X, Y)의 자취 방정식과 내접원 최대 넓이】
\(x_0 = \dfrac{4}{3}X,\; y_0 = \dfrac{7}{3}Y\)를 \(\dfrac{x_0^2}{16} + \dfrac{y_0^2}{7} = 1\)에 대입하면 \(\dfrac{X^2}{9} + \dfrac{7Y^2}{9} = 1\) (단, \(Y \gt 0\))이다.
\(0 \lt y_0 \le \sqrt{7}\)이므로 \(x_0 = 0,\; y_0 = \sqrt{7}\)일 때 \(r_{\max} = \dfrac{3\sqrt{7}}{7}\)이고 내접원 넓이의 최댓값은 \(\pi r_{\max}^2 = \dfrac{9}{7}\pi\)이다.

【1단계: $S_n$ 유도 및 양항 무한급수 합 $S$】
\(\dfrac{2}{3}S_n = S_n - \dfrac{1}{3}S_n = 1 + 2\left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{3^{n-1}}\right) - \dfrac{2n - 1}{3^n} = 1 + \left(1 - \dfrac{1}{3^{n-1}}\right) - \dfrac{2n - 1}{3^n} = 2 - \dfrac{2n + 2}{3^n}\)이다.
양변에 \(\dfrac{3}{2}\)을 곱하면 \(S_n = 3 - \dfrac{n + 1}{3^{n-1}}\)이며, \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{3^{n-1}} = 0\)이므로 \(S = 3\)이다.

【2단계: $T_n$ 유도 및 교대 무한급수 합 $T$】
\(\dfrac{4}{3}T_n = T_n + \dfrac{1}{3}T_n = 1 + 2\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^j + (-1)^{n-1}\dfrac{2n - 1}{3^n} = 1 - \dfrac{1}{2}\left\{1 - \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\right\} + (-1)^{n-1}\dfrac{2n - 1}{3^n} = \dfrac{1}{2} + (-1)^{n-1}\dfrac{4n + 1}{2\cdot 3^n}\)이다.
따라서 \(T_n = \dfrac{3}{8} + (-1)^{n-1}\dfrac{4n + 1}{8\cdot 3^{n-1}}\)이며 \(n \to \infty\)일 때 \(T = \dfrac{3}{8}\)이다.

【3단계: 홀수 번째 급수와 짝수 번째 급수의 합】
\(a_n \gt 0\)이고 \(\sum a_n\)이 수렴하므로 부분급수 \(U = \sum_{m=1}^{\infty} a_{2m-1}\)과 \(V = \sum_{m=1}^{\infty} a_{2m}\)도 각각 수렴하며 \(U + V = S = 3,\; U - V = T = \dfrac{3}{8}\)을 만족한다.
두 식을 연립하면 \(U = \dfrac{3 + 3/8}{2} = \dfrac{27}{16}\), \(V = \dfrac{3 - 3/8}{2} = \dfrac{21}{16}\)이다.

【1단계: 극댓값·극솟값과 두 변곡점 좌표】
\(f'(x) = 4x^3 - 12x = 4x(x^2 - 3) = 0\)에서 \(x = 0\)일 때 극댓값 \(f(0) = 5\), \(x = \pm\sqrt{3}\)일 때 극솟값 \(f(\pm\sqrt{3}) = 9 - 18 + 5 = -4\)를 갖는다.
\(f''(x) = 12(x^2 - 1) = 0\)에서 \(x = \pm 1\) 좌우로 부호가 바뀌며 \(f(\pm 1) = 0\)이므로 두 변곡점은 \((-1, 0),\; (1, 0)\)이다.

【2단계: 중앙 영역 \(S_1\)과 오른쪽 영역 \(S_2\)의 넓이 비】
두 변곡점을 지나는 직선은 \(y = 0\)이고 \(f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 5) = 0\)의 네 교점은 \(x = \pm 1,\; \pm\sqrt{5}\)이다.
원시함수 \(F(x) = \dfrac{x^5}{5} - 2x^3 + 5x = x\left(\dfrac{x^4}{5} - 2x^2 + 5\right)\)는 \(F(0) = 0,\; F(1) = \dfrac{16}{5},\; F(\sqrt{5}) = \sqrt{5}(5 - 10 + 5) = 0\)을 만족한다!
따라서 \(S_1 = 2F(1) = \dfrac{32}{5}\)이고 \(S_2 = -\left\{F(\sqrt{5}) - F(1)\right\} = \dfrac{16}{5}\)이므로 \(S_1 : S_2 = 2 : 1\)이다.

【3단계: 일반 우함수 사차함수에서의 2:1 불변성 증명】
\(g''(x) = 12(x^2 - a^2) = 0\)에서 두 변곡점의 \(x\)좌표는 \(\pm a\)이고 직선은 상수함수 \(y = g(a) = -5a^4 + C\)이다.
차함수는 \(g(x) - g(a) = x^4 - 6a^2 x^2 + 5a^4 = a^4\left\{\left(\dfrac{x}{a}\right)^4 - 6\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + 5\right\} = a^4 f\left(\dfrac{x}{a}\right)\)이다.
치환적분 \(u = \dfrac{x}{a}\) (\(dx = a\,du\))를 적용하면 중앙 넓이는 \(a^5 S_1\), 한쪽 바깥 넓이는 \(a^5 S_2\)가 되어 \(a^5\)이 약분되므로 넓이의 비는 항상 \(2 : 1\)로 일정하다.

【1단계: 속력 |v(t)|와 위치·속도 사이각 불변성 증명】
\(x'(t) = -e^{-t}(\cos t + \sin t)\), \(y'(t) = e^{-t}(\cos t - \sin t)\)이므로 \(|\vec{v}(t)| = \sqrt{e^{-2t}\left\{(\cos t+\sin t)^2 + (\cos t-\sin t)^2\right\}} = \sqrt{2}e^{-t}\)이다.
\(|\overrightarrow{\mathrm{OP}}(t)| = e^{-t}\)이고 내적 \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}(t)\cdot\vec{v}(t) = e^{-2t}\left(-\cos^2 t - \cos t\sin t + \sin t\cos t - \sin^2 t\right) = -e^{-2t}\)이므로 \(\cos\theta = \dfrac{-e^{-2t}}{e^{-t}\cdot\sqrt{2}e^{-t}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)로 일정하며 \(\theta = \dfrac{3\pi}{4}\)이다.

【2단계: 이동 거리 L(T)와 무한 시간 총 이동 거리】
\(L(T) = \displaystyle\int_0^T \sqrt{2}e^{-t}\,dt = \sqrt{2}\left(1 - e^{-T}\right)\)이며, \(\displaystyle\lim_{T \to \infty} L(T) = \sqrt{2}\)이다.

【3단계: x축 양의 부분 통과 시각에서의 접선 y절편 등비급수】
\(y(t) = 0,\; x(t) \gt 0 \iff \sin t = 0,\; \cos t = 1\)이므로 \(t_n = 2(n - 1)\pi\) (\(n = 1, 2, \dots\))이고 점의 좌표는 \(\left(e^{-2(n-1)\pi},\; 0\right)\)이다.
\(t = t_n\)에서 접선의 기울기는 \(\dfrac{y'(t_n)}{x'(t_n)} = \dfrac{e^{-t_n}}{-e^{-t_n}} = -1\)이므로 접선 방정식은 \(y = -x + e^{-2(n-1)\pi}\), 즉 \(b_n = e^{-2(n-1)\pi}\)이다.
공비가 \(r = e^{-2\pi} \in (0, 1)\)인 등비급수이므로 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \dfrac{1}{1 - e^{-2\pi}} = \dfrac{e^{2\pi}}{e^{2\pi} - 1}\)이다.

【1단계: 고정 폭 구간 확률 g(t)의 최대화】
\(X \sim \mathrm{N}(10, 2^2)\)의 확률밀도함수는 직선 \(x = 10\)에 대하여 대칭이고 \(x = 10\)에서 유일한 최댓값을 가진 뒤 양쪽으로 감소한다.
따라서 길이 \(4\)인 구간 \([t, t+4]\)의 중점이 \(10\)일 때, 즉 \(\dfrac{t + (t+4)}{2} = 10 \implies t = 8\)일 때 \(g(t)\)가 최대이며, 최댓값은 \(\mathrm{P}(8 \le X \le 12) = \mathrm{P}(-1 \le Z \le 1) = 2 \times 0.3413 = 0.6826\)이다.

【2단계: 표준화 비교를 통한 \(\sigma\)의 범위】
표준화하면 \(\mathrm{P}\left(Z \ge \dfrac{2k}{\sigma}\right) \ge \mathrm{P}\left(Z \ge \dfrac{k}{2}\right) \ge \mathrm{P}\left(Z \ge \dfrac{3k}{\sigma}\right)\)이다.
함수 \(u \mapsto \mathrm{P}(Z \ge u)\)는 순감소함수이므로 \(k \gt 0\)에서 \(\dfrac{2k}{\sigma} \le \dfrac{k}{2} \le \dfrac{3k}{\sigma}\), 즉 \(4 \le \sigma \le 6\)이다.

【3단계: 두 표본평균의 확률 합 계산】
\(\overline{X} \sim \mathrm{N}\left(10, \left(\dfrac{2}{\sqrt{4}}\right)^2\right) = \mathrm{N}(10, 1^2)\)이고 \(\overline{Y} \sim \mathrm{N}\left(16, \left(\dfrac{4}{\sqrt{16}}\right)^2\right) = \mathrm{N}(16, 1^2)\)이다.
\(\mathrm{P}(\overline{X} \ge 11.5) = \mathrm{P}(Z \ge 1.5) = 0.5 - 0.4332 = 0.0668\), \(\mathrm{P}(\overline{Y} \le 14) = \mathrm{P}(Z \le -2) = 0.5 - 0.4772 = 0.0228\)이므로 합은 \(0.0668 + 0.0228 = 0.0896\)이다.

【1단계: 아폴로니우스 원 \(C_0\)의 중심과 반지름】
\(|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|^2 = 4|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|^2\)에서 \((x + 2)^2 + y^2 = 4\left\{(x - 4)^2 + y^2\right\}\)이다.
정리하면 \(3x^2 - 36x + 3y^2 + 60 = 0 \iff (x - 6)^2 + y^2 = 16\)이므로 중심은 \(\mathrm{M}(6, 0)\), 반지름은 \(R = 4\)이다.

【2단계: 두 접점 위치벡터의 내적 \(\vec{OQ}_1 \cdot \vec{OQ}_2\)】
\(\overline{\mathrm{OM}} = 6,\; R = 4\)이므로 직각삼각형 \(\mathrm{OQ_1M}\)에서 \(|\overrightarrow{\mathrm{OQ}_1}| = |\overrightarrow{\mathrm{OQ}_2}| = \sqrt{6^2 - 4^2} = 2\sqrt{5}\)이고 \(\sin(\angle\mathrm{MOQ}_1) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)이다.
\(\angle\mathrm{Q_1OQ_2} = 2\alpha\)라 하면 \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{8}{9} = \dfrac{1}{9}\)이므로 \(\overrightarrow{\mathrm{OQ}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}_2} = (2\sqrt{5})^2 \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{20}{9}\)이다.

【3단계: |OC + OP|의 최댓값과 최솟값】
\(\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OM}} + \overrightarrow{\mathrm{MP}}\)로 분해하면 \(\overrightarrow{\mathrm{OC}} + \overrightarrow{\mathrm{OP}} = (0, 8) + (6, 0) + \overrightarrow{\mathrm{MP}} = (6, 8) + \overrightarrow{\mathrm{MP}}\)이다.
고정 벡터 \(\vec{w} = (6, 8)\)의 크기는 \(|\vec{w}| = \sqrt{36 + 64} = 10\)이고 \(|\overrightarrow{\mathrm{MP}}| = 4\)는 모든 방향을 취하므로, 최댓값은 \(10 + 4 = 14\), 최솟값은 \(10 - 4 = 6\)이다.

【1단계: 수학적 귀납법을 이용한 카시니 항등식 증명】
① \(n = 2\)일 때 \(a_3 = 3\)이므로 \(a_3 a_1 - a_2^2 = 3 \times 1 - 2^2 = -1 = (-1)^{2-1}\)로 성립한다.
② \(n = m\) (\(m \ge 2\))일 때 \(a_{m+1} a_{m-1} - a_m^2 = (-1)^{m-1}\)이라 가정하자. \(n = m + 1\)일 때 \(a_{m+2} a_m - a_{m+1}^2 = (a_{m+1} + a_m)a_m - a_{m+1}(a_m + a_{m-1}) = -(a_{m+1} a_{m-1} - a_m^2) = -(-1)^{m-1} = (-1)^m\)이므로 성립한다. 따라서 모든 \(n \ge 2\)에서 성립한다.

【2단계: 제곱합 공식 증명 및 $n = 6$ 대입 계산】
\(n = 1\)일 때 \(a_1^2 = 1 = 1 \times 2 - 1 = a_1 a_2 - 1\)이다. \(k \ge 2\)일 때 \(a_k = a_{k+1} - a_{k-1}\)을 양변에 \(a_k\)를 곱해 정리하면 \(a_k^2 = a_k a_{k+1} - a_{k-1} a_k\)이다.
\(k = 2\)부터 \(n\)까지 변변 더하고 \(a_1^2 = a_1 a_2 - 1\)을 합하면 중간항이 소거되어 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k^2 = a_n a_{n+1} - 1\)이다. \(a_1=1, a_2=2, a_3=3, a_4=5, a_5=8, a_6=13, a_7=21\)이므로 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{6} a_k^2 = 13 \times 21 - 1 = 272\)이다.

【3단계: 2칸 망원 분해와 무한급수 합】
\(a_{n+1} - a_{n-1} = a_n\)이므로 \(\dfrac{1}{a_{n-1}} - \dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{a_{n+1} - a_{n-1}}{a_{n-1} a_{n+1}} = \dfrac{a_n}{a_{n-1} a_{n+1}}\)이다.
제\(N\)항(\(N \ge 3\))까지의 부분합은 \(\left(\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2}\right) - \left(\dfrac{1}{a_N} + \dfrac{1}{a_{N+1}}\right) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{a_N} - \dfrac{1}{a_{N+1}}\)이며, \(a_N \ge N \to \infty\)이므로 급수의 합은 \(\dfrac{3}{2}\)이다.