| 순위 | 기출 원천 문항 | 핵심 출제 테마 및 변별 포인트 | 모의 1:1 매칭 | 부분점수 공략 전략 |
|---|---|---|---|---|
| TOP 1 | 자연A·B 기출 도함수 활용 심화 | 삼차·사차함수의 접선·비율 관계 및 내접 입체 최대 부피 | 모의 6회 10번 · 9회 10번 · 10회 8번 | 인수정리 식 작성($f(x)-L=(x-\alpha)^2(x-\beta)$)으로 미정계수 연산 시간 단축 |
| TOP 2 | 자연A·B 기출 미분가능성·공통접선 | 절댓값 함수 $|f(x)-k|$의 미분불가능점과 두 곡선의 공통접선 | 모의 9회 6·7번 · 10회 7번 | 중근 접점에서는 절댓값 함수가 미분가능함을 명시하여 유일 뾰족점 특정 |
| TOP 3 | 최종모의 5회·기출 정적분 활용 | 구간 최댓값 함수 정적분, $(x-t)f(t)$ 미분 및 역함수 정적분 | 모의 5회 6번 · 9회 8·9번 · 10회 9·10번 | 구간 경계 대소 비교로 피적분함수를 분리하고 대칭 직사각형 넓이 차 활용 |
| TOP 4 | 자연A·B 기출 삼각함수와 원 기하 | 반원·외접원 위의 사인·코사인법칙과 각의 이등분선 넓이 분할 | 모의 5회 2번 · 8회 3번 · 9회 2·3번 · 10회 4번 | 지름에 대한 원주각($\frac{\pi}{2}$) 및 내접사각형 대각 보각($\cos(\pi-B)=-\cos B$) 즉시 적용 |
| TOP 5 | 자연A·B 기출 지수·로그 대칭과 수열 추론 | 지수·로그 역함수 $y=-x+k$ 대칭 및 주기·군 구조 수열의 합 | 모의 6회 2번 · 8회 5번 · 9회 1·4번 · 10회 2·5번 | 역함수 교점 중점 $\left(\frac{k}{2},\frac{k}{2}\right)$ 성질과 초기항 나열을 통한 주기 확정 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(A=2^a, B=3^b\)라 하자. (\(A \gt 0, B \gt 0\)) \(\begin{cases} 2A + 9B = 113 \\ 4A + 3B = 91 \end{cases}\) 이 연립방정식을 풀면 \(A=16, B=9\)이다. \(2^a = 16 \rightarrow a=4\), \(3^b = 9 \rightarrow b=2\)이다. 따라서 \(a+b=6\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(a=4, b=2\)를 대입하면, \(\log_4(4+1/2)^2 + \log_2(2+1/4) = \log_4(9/2)^2 + \log_2(9/4) = \log_2(9/2) + \log_2(9/4) = \log_2(81/8)\)이다. \(\log_2\frac{m}{n} = \log_2\frac{81}{8}\)이므로 \(m=81, n=8\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(n\sqrt{m} = 8\sqrt{81} = 8 \times 9 = 72\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 지수 연립방정식 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $6$, $\;$ (2) $72$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 좌변을 통분하면 \(\frac{(2+2\cos x)-(2-2\cos x)}{4-4\cos^2 x} = \frac{4\cos x}{4\sin^2 x} = \frac{\cos x}{\sin^2 x} = \frac{2}{3}\)이다. \(3\cos x = 2\sin^2 x = 2(1-\cos^2 x) \rightarrow 2\cos^2 x + 3\cos x - 2 = 0\) \((2\cos x - 1)(\cos x + 2) = 0 \rightarrow \cos x = \frac{1}{2}\) (\(-1 \le \cos x \le 1\)) \(0 \lt x \lt \pi\)이므로 \(x = \frac{\pi}{3}\). 즉, \(\alpha = \frac{\pi}{3}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(\cos A = \frac{1}{2}\cos(\pi/3) = \frac{1}{4}\)이다. \(\sin A = \sqrt{1-\cos^2 A} = \sqrt{1-\frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 사인법칙에 의하여 \(\overline{\text{BC}} = 2R\sin A = 2\sqrt{15} \times \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{15}{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼각부등식 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$, $\;$ (2) $\sin A = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$, $\;$ (3) $\overline{\mathrm{BC}} = \dfrac{15}{2}$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 사인법칙에 의해 세 변의 길이를 \(a, b, c\)라 하면 \(\sin A:\sin B:\sin C = a:b:c\)이다. 조건 (가)에 의해 \(a^2 = b^2+2c^2\) 이고, (나)에 의해 \(b=2c\)이다. 대입하면 \(a^2 = 4c^2+2c^2=6c^2\)이다. \(a = 2\sqrt{6}\)이므로 \(a^2 = 24 = 6c^2 \rightarrow c^2=4 \rightarrow c=2\)이고 \(b=4\)이다. 코사인법칙에 의해 \(\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{16+4-24}{16} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 삼각형 넓이 조건에서 \(\frac{1}{2}pq\sin A = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}bc\sin A\right) \rightarrow pq = \frac{1}{4}bc = \frac{1}{4} \times 8 = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 코사인법칙에 의해 \(\overline{\text{EF}}^2 = p^2+q^2-2pq\cos A = p^2+q^2-2(2)\left(-\frac{1}{4}\right) = p^2+q^2+1\)이다. 산술-기하평균 부등식에 의해 \(p^2+q^2 \ge 2pq = 4\)이므로 \(\overline{\text{EF}}^2 \ge 4+1 = 5\)이다. 따라서 선분 \(\overline{\text{EF}}\)의 길이의 최솟값은 \(\sqrt{5}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼각형의 삼각비와 기하 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $\cos A = -\dfrac{1}{4}$, $\;$ (2) $pq = 2$, $\;$ (3) $\sqrt{5}$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(a_1 r = 1 \rightarrow a_1 = \frac{1}{r}\)이다. \(a_n = a_1 r^{n-1} = r^{n-2}\)이다. \(b_n = a_{3n-1} = r^{3n-3}\)이다. \(b_n\)은 첫째항이 1, 공비가 \(r^3\)인 등비수열이다. \(A_9 = \frac{a_1(r^9-1)}{r-1} = \frac{r^9-1}{r(r-1)}\), \(B_3 = \frac{1((r^3)^3-1)}{r^3-1} = \frac{r^9-1}{r^3-1}\)이다. \(2A_9 = 7B_3 \rightarrow \frac{2(r^9-1)}{r(r-1)} = \frac{7(r^9-1)}{r^3-1}\)에서 \(r^9 \ne 1\)이므로 약분하면 \(\frac{2}{r(r-1)} = \frac{7}{r^3-1} = \frac{7}{(r-1)(r^2+r+1)}\)이다. \(\frac{2}{r} = \frac{7}{r^2+r+1} \rightarrow 2r^2+2r+2 = 7r \rightarrow 2r^2-5r+2=0\) \((2r-1)(r-2)=0 \rightarrow r=2\) (증가수열이므로 \(r \gt 1\))
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(\frac{b_n}{a_n} = \frac{r^{3n-3}}{r^{n-2}} = r^{2n-1} = 2^{2n-1} \gt 1024 = 2^{10}\) 이므로 \(2n-1 \gt 10 \rightarrow 2n \gt 11 \rightarrow n \ge 6\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(b_3 = r^6 = 2^6\), \(a_5 = r^3 = 2^3\)이므로 \(\log_{b_3} a_5 = \log_{2^6} 2^3 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등비수열 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) 공비 $r = 2$, $\;$ (2) $n = 6$, $\;$ (3) $\dfrac{1}{2}$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(S_n = \sum _{k=1}^n a_k\)라 하자. \(S_1 = a_1^2 + 2a_1\) 이고 \(S_1 = a_1\)이므로 \(a_1^2+a_1 = 0 \rightarrow a_1=0\) 또는 \(a_1=-1\)이다. \(a_{n+1} = S_{n+1} - S_n = a_{n+1}^2+(n+2)a_{n+1} - a_n^2-(n+1)a_n\) 정리하면 \(a_{n+1}^2-a_n^2 + (n+1)(a_{n+1}-a_n) = 0 \rightarrow (a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n+n+1) = 0\) 이다. 조건 (가)에서 \(a_{n+1} \ne a_n\)이므로 \(a_{n+1}+a_n = -(n+1)\)이다. 즉, \(a_1+a_2 = -2\)이다. 만약 \(a_1 = -1\) 이면 \(a_2 = -1\)이 되어 조건 (가)에 모순이다. 따라서 \(a_1 = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(a_1=0, a_2=-2, a_3=-1, a_4=-3, a_5=-2, a_6=-4, a_7=-3, a_8=-5, ...\)로 진행된다. (i) \(n\)이 짝수인 경우: \(n=2m\) (\(m\)은 자연수) \(S_{2m} = (a_1+a_2) + (a_3+a_4) + ... + (a_{2m-1}+a_{2m}) = \sum _{j=1}^m (a_{2j-1}+a_{2j}) = \sum _{j=1}^m (-2j) = -m(m+1)\)이다. \(|S_{2m}| = m(m+1) \gt 900 \rightarrow m^2+m \gt 900 \rightarrow m=30\)일 때 \(30 \times 31 = 930 \gt 900\)이므로 가장 작은 짝수는 \(n=2m=60\)이다. (ii) \(n\)이 홀수인 경우: \(n=2m-1\) (\(m\)은 자연수) \(a_1=0\)이므로 \(S_{2m-1} = a_1 + (a_2+a_3) + (a_4+a_5) + ... + (a_{2m-2}+a_{2m-1}) = \sum _{j=1}^{m-1} (a_{2j}+a_{2j+1}) = \sum _{j=1}^{m-1} -(2j+1) = -(m^2-1)\)이다. 예를 들어 \(m=1(n=1)\)이면 \(S_1=0=-(1^2-1)\), \(m=2(n=3)\)이면 \(S_3=-3=-(2^2-1)\), \(m=3(n=5)\)이면 \(S_5=-8=-(3^2-1)\)이다. \(|S_{2m-1}| = m^2-1 \gt 900 \rightarrow m^2 \gt 901 \rightarrow m=31\)일 때 \(31^2-1 = 960 \gt 900\)이므로 가장 작은 홀수는 \(n=2(31)-1=61\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 (i), (ii)에 의해 조건 \(|S_n| \gt 900\)을 만족시키는 가장 작은 자연수는 \(n = 60\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 수열의 합 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $a_1 = 0$, $\;$ (2) $n = 60$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(\int_1^x f(t)dt = xg(x)+2x+2\)의 양변을 미분하면 \(f(x) = g(x)+xg'(x)+2\)이다. \(g(x) = x^2 + 2x\int_0^1 f(t)dt + \int_0^1 tf(t)dt\) 이므로, \(a = \int_0^1 f(t)dt, b = \int_0^1 tf(t)dt\)라 하면 \(g(x) = x^2+2ax+b\)이다. \(\int_1^x f(t)dt = xg(x)+2x+2\)에 \(x=0\)을 대입하면 \(\int_1^0 f(t)dt = 2 \rightarrow a = -2\)이다. \(x=1\)을 대입하면 \(0 = g(1)+4 \rightarrow g(1) = -4\)이다. \(g(1) = 1+2a+b = 1-4+b = -4 \rightarrow b = -1\)이다. 따라서 \(g(x) = x^2-4x-1\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(g'(x) = 2x-4\)이므로 \(f(x) = (x^2-4x-1) + x(2x-4) + 2 = 3x^2-8x+1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(f(x)-g(x) = 2x^2-4x+2\)이다. 직선 \(y=2\)와의 교점은 \(2x^2-4x+2 = 2 \rightarrow 2x^2-4x=0 \rightarrow x=0, 2\)이다. 넓이는 \(\int_0^2 (2 - (2x^2-4x+2)) dx = \int_0^2 (-2x^2+4x) dx = \left[-\frac{2}{3}x^3 + 2x^2\right]_0^2 = -\frac{16}{3} + 8 = \frac{8}{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정적분 정의 함수 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $g(x) = x^2 - 4x - 1$, $\;$ (2) $f(x) = 3x^2 - 8x + 1$, $\;$ (3) $\dfrac{8}{3}$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(f(x)\)가 \(x=0\)에서만 미분불가능하고, 다른 모든 점에서는 미분가능해야 한다. \(x \ge 0\)에서 인수 \((x^2-3x) = x(x-3)\)은 \(x=3\)에서 근을 가진다. 절댓값 그래프가 \(x=3\)에서 미분가능하려면 중근이어야 하므로 \(a = -3\)이다. \(x \lt 0\)에서 인수 \((x^2+3x) = x(x+3)\)은 \(x=-3\)에서 근을 가진다. 절댓값 그래프가 \(x=-3\)에서 미분가능하려면 중근이어야 하므로 \(b = 3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(f(x) = \begin{cases} |(x-3)^2 x| & (x \ge 0) \\ |(x+3)^2 x| & (x \lt 0) \end{cases}\) 이다. 이 함수의 극댓값과 극솟값을 파악하기 위해 그래프를 그리면, \(x \gt 0\) 극대 \(f(1)=4\), 극소 \(f(3)=0\)이다. \(x \lt 0\) 극대 \(f(-1)=4\), 극소 \(f(-3)=0\)이다. \(y=n\) 과의 교점 수 \(g(n)\)은: \(g(0) = 3\) (교점: \(-3, 0, 3\)) \(g(2) = 6\) (극대 4보다 작은 양수) \(g(4) = 4\) (극댓값 4와 만나는 점) \(g(6) = 2\) (극대 4보다 큰 값)
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(g(0)+g(2)+g(4)+g(6) = 3+6+4+2 = 15\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 함수의 극대와 극소 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $a = -3, \; b = 3$, $\;$ (2) $15$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(f'(x) = 4(x+1)(x-\alpha)^2\) 이다. 이를 부정적분하면, \(f(x) = x^4 + \frac{4}{3}(1-2\alpha)x^3 + 2(\alpha^2-2\alpha)x^2 + 4\alpha^2 x + C\)이다. 조건 (나)에서 \(f(0) = -16 \rightarrow C = -16\) 이다. \(f(\alpha) = 0 \rightarrow \frac{1}{3}\alpha^4 + \frac{4}{3}\alpha^3 - 16 = 0 \rightarrow \alpha^4 + 4\alpha^3 - 48 = 0\) 의 양수 실근은 \(\alpha=2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(\alpha=2\)를 대입하면 \(f'(x) = 4(x+1)(x-2)^2\) 이다. 도함수 \(f'(x)\)의 개형을 파악하기 위해 미분하면, \(h(x)=f'(x)=4x^3-12x^2+16\)이라 하면 \(h'(x)=12x(x-2)\) 이므로 \(x=0\)에서 극대 \(f'(0)=16\), \(x=2\)에서 극소 \(f'(2)=0\)이다. 구간 \([-1, t]\)에서 \(f'(x)\)의 최댓값 \(g(t)\)는 \(t\)의 범위에 따라 다음과 같다. \(-1 \le t \lt 0\) 또는 \(t \gt 3\) 일 때 \(g(t) = f'(t) = 4t^3-12t^2+16\) 이며, \(0 \le t \le 3\) 일 때 \(g(t) = 16\)이다. 따라서 \(g(3/2) = 16\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(\int_{-1}^4 g(t)dt = \int_{-1}^0 (4t^3-12t^2+16) dt + \int_0^3 16 dt + \int_3^4 (4t^3-12t^2+16) dt = 11 + 48 + 43 = 102\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 도함수 최댓값 정적분 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $\alpha = 2$, $\;$ (2) $16$, $\;$ (3) $102$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 등차중항 성질에 의해: \(2a = -3 + b \rightarrow b = 2a + 3\)이다. 등비중항 성질에 의해: \(b^2 = a^2 b\)이다. 모든 항이 서로 다르므로 \(b \ne 0\) 이고, 양변을 \(b\)로 나누면 \(b = a^2\)이다. 대입하면 \(a^2 - 2a - 3 = 0 \rightarrow (a-3)(a+1) = 0\) 이다. - \(a = -1\) 이면 \(b = 1\), \(ab = -1\)이 되어 \(a\)와 \(ab\)의 값이 같아지므로 '서로 다른 네 수'라는 조건에 모순이다. - \(a = 3\) 이면 \(b = 9\), \(ab = 27\)이 되어 네 수는 \(-3, 3, 9, 27\)로 모두 서로 다르므로 성립한다. 따라서 \(a=3, b=9\) 이다. 공차 \(d = a - (-3) = 6\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 공비 \(r = \frac{b}{a} = \frac{9}{3} = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(ab = 3 \times 9 = 27\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등차/등비수열 연립 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $d = 6$, $\;$ (2) $r = 3$, $\;$ (3) $ab = 27$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(x\)축과 만나지 않으려면 판별식 \(D/4 \lt 0\) 이어야 한다. \(D/4 = (\log_2 a + 1)^2 - (\log_2 a + 7) \lt 0\) 이다. \(\log_2 a = X\)라 치환하면, \((X+1)^2 - X - 7 = X^2 + X - 6 \lt 0 \rightarrow (X+3)(X-2) \lt 0 \rightarrow -3 \lt X \lt 2\)이다. 즉, \(-3 \lt \log_2 a \lt 2 \rightarrow 2^{-3} \lt a \lt 2^2\) 이다. 따라서 \(m = -3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(n = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(m=-3, n=2\)를 부등식에 대입하면: \(\log_4 (x^2 - 5x - 6) \le \log_2 \sqrt{30}\) 이다. 밑을 2로 통일하면: \(\frac{1}{2} \log_2 (x^2 - 5x - 6) \le \frac{1}{2} \log_2 30 \rightarrow \log_2 (x^2 - 5x - 6) \le \log_2 30\) 이다. - 진수 조건: \(x^2 - 5x - 6 \gt 0 \rightarrow (x-6)(x+1) \gt 0 \rightarrow x \lt -1\) 또는 \(x \gt 6\)이다. - 부등식 해: \(x^2 - 5x - 6 \le 30 \rightarrow x^2 - 5x - 36 \le 0 \rightarrow (x-9)(x+4) \le 0 \rightarrow -4 \le x \le 9\)이다. 두 범위를 동시에 만족하는 정수 \(x\)는 \(-4, -3, -2\) 와 \(7, 8, 9\)이다. 따라서 모든 정수 \(x\)의 합은 \(-4 - 3 - 2 + 7 + 8 + 9 = 15\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 지수로그 부등식과 정수 해 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $m = -3$, $\;$ (2) $n = 2$, $\;$ (3) $15$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(a:b=2:1 \rightarrow a=2b\) 이다. 세 점의 \(x\)좌표는 \(y=3\)이 되는 점들이므로, \(x_A = 2^3 = 8\), \(x_B = a^3 = 8b^3\), \(x_C = b^3\) 이다. \(\overline{\text{AC}} = |b^3 - 8|\), \(\overline{\text{BC}} = |a^3 - b^3| = |8b^3 - b^3| = 7b^3\) (자연수이므로 \(b \gt 2\)). \(\overline{\text{AC}}:\overline{\text{BC}} = 1:8 \rightarrow 8|b^3 - 8| = 7b^3 \rightarrow 8(b^3-8) = 7b^3 \rightarrow b^3 = 64 \rightarrow b=4\)이다. \(b=4\)이므로 \(a=8\)이다. \(\sqrt{a^3+b^3} = \sqrt{512+64} = \sqrt{576} = 24\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(x_A = 8, x_B = 8^3 = 512\) 이므로 \(\overline{\text{AB}} = 512 - 8 = 504\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 점 \(\text{C}\)의 \(x\)좌표는 \(b^3 = 64\) 이므로 \(\text{C}(64, 3)\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 로그함수 그래프 비율 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $24$, $\;$ (2) $504$, $\;$ (3) $\mathrm{C}(64, 3)$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(g(x)\)의 주기는 \(h(\alpha) = \frac{2\pi}{|-1/\alpha|} = 2\pi\alpha\)이다. \(g(h(\alpha)) = 5\cos\left(-\frac{2\pi\alpha}{\alpha} + \frac{2}{3}\pi\right) = 5\cos\left(-2\pi + \frac{2}{3}\pi\right) = 5\cos\left(\frac{2}{3}\pi\right) = -\frac{5}{2}\)이므로, \(f(\alpha) = -\frac{5}{2} - 2\sin\left(\frac{2\pi\alpha}{12}+\frac{17}{6}\pi\right) = -\frac{5}{2} - 2\sin\left(\frac{\pi\alpha}{6}+\frac{17}{6}\pi\right)\)이다. \(f(\alpha)\)가 최댓값을 가질 때는 \(\sin\left(\frac{\pi\alpha}{6}+\frac{17}{6}\pi\right) = -1\)일 때이므로, \(\frac{\pi\alpha}{6}+\frac{17}{6}\pi = \frac{3}{2}\pi + 2\pi k \rightarrow \frac{\pi\alpha}{6} = -\frac{4}{3}\pi + 2\pi k \rightarrow \alpha = -8 + 12k\) (\(k\)는 정수)이다. 양수 \(\alpha\)의 최솟값 \(m\)은 \(k=1\)일 때이므로 \(m = -8 + 12 = 4\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(f(\alpha)\)가 최솟값을 가질 때는 \(\sin\left(\frac{\pi\alpha}{6}+\frac{17}{6}\pi\right) = 1\)일 때이므로, \(\frac{\pi\alpha}{6}+\frac{17}{6}\pi = \frac{1}{2}\pi + 2\pi k \rightarrow \frac{\pi\alpha}{6} = -\frac{7}{3}\pi + 2\pi k \rightarrow \alpha = -14 + 12k\) (\(k\)는 정수)이다. 양수 \(\alpha\)의 최솟값 \(n\)은 \(k=2\)일 때이므로 \(n = -14 + 24 = 10\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(h(m) = h(4) = 8\pi\), \(h(n) = h(10) = 20\pi\)이므로, \(|h(m)-h(n)| = |8\pi - 20\pi| = 12\pi\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼각함수 주기와 최대최소 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $m = 4$, $\;$ (2) $n = 10$, $\;$ (3) $12\pi$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 조건 (가)는 \(1 \lt p \lt q\)일 때 \(\frac{f(p)-f(1)}{p-1} \gt \frac{f(q)-f(1)}{q-1}\)을 의미하므로 점 \((1,0)\)과 곡선 위의 점을 잇는 평균변화율이 감소하는 위로 볼록한 형태이다. 따라서 밑 \(a \gt 1\)이다. 조건 (나)에서 \(|\log_a 8| = 3\)이고 \(a \gt 1\)이므로 \(\log_a 8 = 3 \rightarrow a^3 = 8 \rightarrow a = 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(f(x) = \log_2 x\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 점은 \(\text{A}(1,0)\)이다. \(y = f(x)\)를 \(x\)축 대칭 후 \(y\)축으로 4만큼 평행이동한 함수는 \(g(x) = -\log_2 x + 4\)이다. \(g(x) = 0 \rightarrow \log_2 x = 4 \rightarrow x = 16\)이므로 \(\text{B}(16,0)\)이다. 밑변 \(\overline{\text{AB}} = 16 - 1 = 15\)이다. 두 곡선의 교점 \(\text{C}\)는 \(\log_2 x = -\log_2 x + 4 \rightarrow 2\log_2 x = 4 \rightarrow \log_2 x = 2 \rightarrow x = 4, y = 2\)이므로 \(\text{C}(4,2)\)이다. 따라서 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times 15 \times 2 = 15\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(f(x) = \log_2 x\)의 역함수는 \(y = 2^x\)이다. - 원점 대칭이동: \(-y = 2^{-x} \rightarrow y = -2^{-x}\) - 직선 \(y=x\) 대칭이동: \(x = -2^{-y} \rightarrow -x = 2^{-y} \rightarrow -y = \log_2(-x) \rightarrow y = -\log_2(-x)\) - \(x\)축의 방향으로 \(k\)만큼 평행이동: \(y = -\log_2(-(x-k)) = -\log_2(k-x)\) 이 그래프가 점 \((-6, -1)\)을 지나므로: \(-1 = -\log_2(k - (-6)) \rightarrow \log_2(k+6) = 1 \rightarrow k+6 = 2 \rightarrow k = -4\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 로그함수 부등식과 평행이동 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $a = 2$, $\;$ (2) $15$, $\;$ (3) $k = -4$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(a_{2n+1} = (n+1)^3+1 = n^3+3n^2+3n+2\) 이다. 조건 (다)에서 \(a_{2n-1} \lt a_{2n} \lt a_{2n+1}\) 이므로 \(n^3+1 \lt n^3+1+d \lt n^3+3n^2+3n+2\)이다. \(0 \lt d \lt 3n^2+3n+1\)이 모든 자연수 \(n\)에 대해 성립해야 하므로 \(n=1\)일 때 \(d \lt 7\)이다. 따라서 자연수 \(d\)는 \(1 \le d \le 6\)이다. \(\sum_{n=1}^{13} a_n = a_1 + \sum_{k=1}^6 (a_{2k} + a_{2k+1}) = 1238 + 6d\)로 유도된다. 최댓값 (\(d=6\)): \(1238+36=1274\). 최솟값 (\(d=1\)): \(1238+6=1244\). 차이는 30이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 최소인 경우는 \(d=1\)일 때이므로, \(a_{16} = a_{15} + 1 = (8^3+1) + 1 = 514\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 위 결과를 종합하여 구하는 최종 결론을 도출한다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 수열의 합과 일반항 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $30$, $\;$ (2) $514$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(\lim_{x\to2} \frac{(x^2-2x+k-1)f(x)}{x-2} = 0\)에서 수렴하므로 분자가 0으로 가야 한다. 즉, \(k=1\) 또는 \(f(2)=0\)이다. 분석 결과 \(k=1, f(2)=0\)이 성립한다. 이 경우 \(f(x)=(x-2)(x+a+2)\)이다. 조건 (나)에서 \(f(t)=f'(t) \rightarrow (t-2)(t+a+2) = 2t+a\) 이다. 또한 곱의 미분법을 이용해 \(g'(t) = (2t-2)f(t)+(t^2-2t+1)f'(t)\)에서 \(f(t)=f'(t)\)를 대입하면 \(g'(t) = (t^2-1)f'(t) = 3f'(t) \rightarrow t^2-1=3 \rightarrow t = \pm 2\)이다. 검토 결과 \(t=2\)이면 모순이 생기므로 \(t=-2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(t=-2\)일 때 조건에 대입하면 \(f(-2)=f'(-2) \rightarrow -4(a) = -4+a \rightarrow a = 4/5\)이다. \(b = -2(a+2) = -28/5\) 이므로, \(\frac{b}{a} = -7\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(g(x) = (x-1)^2(x-2)(x+14/5)\) 이므로 \(g(3) = 4 \times 1 \times 29/5 = 116/5\)이다. \(m=116, n=5 \rightarrow m+n=121\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 함수의 극한과 미분 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $t = -2$, $\;$ (2) $-7$, $\;$ (3) $121$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(g'(x) = (x-3)f(x)\)이다. - \(x \lt 3\)일 때: \(g'(x) = (x-3)(-2x-3) = -(x-3)(2x+3)\)이므로 \(x = -\frac{3}{2}\)에서 \(g'(x)\)의 부호가 \(- \to +\)로 바뀌어 극소이다. - \(x = 3\)에서: \(x \in (-\frac{3}{2}, 3)\)에서 \(g'(x) \gt 0\), \(x \in (3, 6)\)에서 \(g'(x) \lt 0\)이므로 \(x = 3\)에서 \(+ \to -\)로 바뀌어 극대이다. - \(x \ge 3\)일 때: \(g'(x) = (x-3)(3x-18) = 3(x-3)(x-6)\)이므로 \(x = 6\)에서 \(g'(x)\)의 부호가 \(- \to +\)로 바뀌어 극소이다. 따라서 \(g(x)\)가 극값을 갖도록 하는 \(x\)의 값은 \(x = -\frac{3}{2}, 3, 6\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(g(0) = 0\)이므로 정적분을 구하면, - \(x \lt 3\)일 때: \(g(x) = \int_0^x (-2t^2+3t+9)dt = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 9x\)이다. 극솟값 \(g\left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{2}{3}\left(-\frac{27}{8}\right) + \frac{3}{2}\left(\frac{9}{4}\right) + 9\left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{63}{8}\)이고, 극댓값 \(g(3) = -18 + \frac{27}{2} + 27 = \frac{45}{2}\)이다. - \(x \ge 3\)일 때: \(g(x) = g(3) + \int_3^x 3(t-3)(t-6)dt\)이다. 극솟값 \(g(6) = \frac{45}{2} + \left[t^3 - \frac{27}{2}t^2 + 54t\right]_3^6 = \frac{45}{2} - \frac{27}{2} = 9\)이다. 따라서 함수 \(g(x)\)의 최솟값은 \(-\frac{63}{8}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(g(x)\)의 그래프 개형과 직선 \(y=n\)의 교점의 개수 \(a_n\)은 다음과 같다. - \(n = 1 \sim 8\)일 때: \(-\frac{63}{8} \lt n \lt 9\)이므로 교점의 개수 \(a_n = 2\) - \(n = 9\)일 때: 극솟값 \(g(6)=9\)에 접하므로 교점의 개수 \(a_9 = 3\) - \(n = 10 \sim 15\)일 때: \(9 \lt n \lt \frac{45}{2}(=22.5)\)이므로 교점의 개수 \(a_n = 4\) 따라서 \(\sum_{k=1}^{15} a_k = (8 \times 2) + (1 \times 3) + (6 \times 4) = 16 + 3 + 24 = 43\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정적분 정의 함수와 극값 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $x = -\dfrac{3}{2}, \; 3, \; 6$, $\;$ (2) $-\dfrac{63}{8}$, $\;$ (3) $43$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(g'(1/2) = f(11/2) - f(1/2) = 0 \rightarrow f(11/2)=f(1/2)\) 이므로 \(f(x)\)는 대칭축이 \(x=3\)이다. 또한 극한값이 존재하므로 \(f(1)=0\) 이다. 대칭축이 3이므로 \(f(x) = (x-1)(x-5)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(g'(x) = f(|x+5|) - f(|x|) = 0 \rightarrow |x+5|\)와 \(|x|\)가 \(f(x)\)의 대칭성 등에 의해 함숫값이 같을 조건은, 구간별 분석 시: (i) \(x \lt -5\) 일 때 \(x = -11/2\), (ii) \(-5 \le x \lt 0\) 일 때 \(x = -5/2\), (iii) \(x \ge 0\) 일 때 \(x = 1/2\)이다. 따라서 \(\alpha = -11/2, \beta = -5/2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 증감표를 작성하여 부호 변화를 조사하면, \(x = -5/2\)에서 극대를 가짐을 알 수 있다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 함수의 미분과 대칭 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $f(x) = (x-1)(x-5)$, $\;$ (2) $\alpha = -\dfrac{11}{2}, \; \beta = -\dfrac{5}{2}$, $\;$ (3) $x = -\dfrac{5}{2}$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(g(1)\)은 구간 \([1, 3]\)에서의 \(f(x)\)의 최솟값이다. \(x \ge 0\)에서 \(f(x) = x^2-4x\) 이며, 대칭축이 2이고 최솟값은 \(f(2)=-4\)이다. 따라서 \(g(1) = -4\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(f(x)\)는 원점 대칭이므로 \(x \lt 0\)에서 \(f(x) = -x^2-4x\)이다. \(g(t)\)의 정의에 따라 함수를 구하면, \(t \le -3\) 일 때 \(g(t)=f(t)\), \(-3 \le t \le 0\) 일 때 \(g(t)=f(t+2)\), \(0 \le t \le 2\) 일 때 \(g(t)=-4\), \(t \ge 2\) 일 때 \(g(t)=f(t)\)이다. 따라서 \(f(x) \ne g(x)\)인 범위는 \(-3 \lt x \lt 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 도형의 넓이는 \(\int_{-3}^2 (f(x)-g(x)) dx\) 이다. 구간별로 쪼개어 정적분을 계산하면 \(\frac{46}{3}\)이 된다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 함수의 대칭과 정적분 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $-4$, $\;$ (2) $-3 \lt x \lt 2$, $\;$ (3) $\dfrac{46}{3}$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 선분 \(\text{AB}\)가 지름이므로 \(\angle\text{ACB} = \frac{\pi}{2}\)이다. 피타고라스 정리에 의하여: \(\overline{\text{AB}}^2 = \overline{\text{CA}}^2 + \overline{\text{CB}}^2 = (\sqrt[6]{3})^2 + (\sqrt[6]{24})^2 = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{3} = 3\sqrt[3]{3} = 3^{4/3}\)이다. 따라서 \(\overline{\text{AB}} = \sqrt{3^{4/3}} = 3^{2/3} = \sqrt[3]{9}\)이다. 직각삼각형의 닮음 성질에 의하여 \(\overline{\text{CB}}^2 = \overline{\text{BH}} \cdot \overline{\text{AB}}\)이므로, \(a = \overline{\text{BH}} = \frac{\overline{\text{CB}}^2}{\overline{\text{AB}}} = \frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{9}} = \sqrt[3]{\frac{24}{9}} = \sqrt[3]{\frac{8}{3}} = \frac{2}{\sqrt[3]{3}} = \frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 직각삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이 관계식 \(\overline{\text{CA}} \cdot \overline{\text{CB}} = \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{CH}}\)에 의하여, \(b = \overline{\text{CH}} = \frac{\overline{\text{CA}} \cdot \overline{\text{CB}}}{\overline{\text{AB}}} = \frac{\sqrt[6]{3} \cdot \sqrt[6]{24}}{\sqrt[3]{9}} = \frac{\sqrt[6]{72}}{\sqrt[6]{81}} = \sqrt[6]{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt[6]{2^3 \cdot 3^4}}{3} = \frac{\sqrt[6]{648}}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 이차방정식 \(x^2 - ax - \sqrt[6]{648}b = 0\)의 근과 계수의 관계에 의하여: - \(\alpha + \beta = a = \frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\) - \(\alpha\beta = -\sqrt[6]{648}b = -\sqrt[6]{648} \cdot \frac{\sqrt[6]{648}}{3} = -\frac{(\sqrt[6]{648})^2}{3} = -\frac{\sqrt[3]{648}}{3} = -\frac{6\sqrt[3]{3}}{3} = -2\sqrt[3]{3}\) 따라서 곱셈공식 변형에 의하여: \(\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta) = \left(\frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\right)^3 - 3(-2\sqrt[3]{3})\left(\frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\right) = \frac{8}{27} \times 9 + 4\sqrt[3]{27} = \frac{8}{3} + 12 = \frac{44}{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 거듭제곱근 도형 기하 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $a = \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{9}$, $\;$ (2) $b = \dfrac{\sqrt[6]{648}}{3}$, $\;$ (3) $\dfrac{44}{3}$)을 정확하게 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 공차를 $d$라 하면 $a_{11} - a_4 = 7d = 21 - 7 = 14$에서 $d = 2$이고, $a_1 = 7 - 3 \times 2 = 1$이므로 일반항은 $a_n = 2n - 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) $a_{k+2} - a_k = 4$이므로 $\dfrac{1}{a_k a_{k+2}} = \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+3}\right)$이고, $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k a_{k+2}} = \dfrac{1}{4}\left(1 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{21} - \dfrac{1}{23}\right) = \dfrac{155}{483}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) $\displaystyle\sum_{k=1}^{m} \dfrac{4}{a_k a_{k+2}} = \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{2m+1} - \dfrac{1}{2m+3} \lt \dfrac{13}{12}$에서 $\dfrac{4m+4}{(2m+1)(2m+3)} \gt \dfrac{1}{4} \iff 4m^2 - 8m - 13 \lt 0$이므로 자연수 $m = 1, 2, 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등차수열 부분분수 관련 교과서 핵심 공식 및 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 수치·조건 대입 및 핵심 단계 식 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정답 ((1) $a_n = 2n - 1$, $\;$ (2) $\dfrac{155}{483}$, $\;$ (3) $m = 1, \; 2, \; 3$)을 정확하게 산출 | 3점 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R1-Q1 | 미적분Ⅰ | 샌드위치 정리와 극한 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R1-Q2 | 대수 | 수열의 점화식과 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07] | 10점/중 |
| R1-Q3 | 대수 | 로그방정식과 미정계수 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중 |
| R1-Q4 | 대수 | 도형의 내분과 삼각비 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/중 |
| R1-Q5 | 미적분Ⅰ | 주기함수의 연속과 극값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R1-Q6 | 미적분Ⅰ | 정적분 함수의 식 전개와 최솟값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R1-Q7 | 대수 | 수열의 합과 일반항 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/중 |
| R1-Q8 | 대수 | 연립로그방정식 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/상 |
| R1-Q9 | 미적분Ⅰ | 연속함수 정적분 극점 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R1-Q10 | 대수 | 평행사변형 넓이와 기하 확대 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R2-Q1 | 미적분Ⅰ | 부정적분 식 전개와 접선 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02] | 10점/중 |
| R2-Q2 | 미적분Ⅰ | 두 곡선의 교점 개수 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R2-Q3 | 대수 | 지수 연립방정식과 로그 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중 |
| R2-Q4 | 대수 | 삼각방정식과 사인법칙 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중 |
| R2-Q5 | 대수 | 삼각형의 기하와 코사인법칙 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중 |
| R2-Q6 | 대수 | 등비수열의 합과 부분수열 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/중 |
| R2-Q7 | 대수 | 수열의 합과 일반항의 관계 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/중 |
| R2-Q8 | 미적분Ⅰ | 절댓값 함수의 미분가능성과 극값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R2-Q9 | 미적분Ⅰ | 도함수의 최댓값 함수와 정적분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R2-Q10 | 대수 | 삼각함수 주기와 최대·최소 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R3-Q1 | 대수 | 로그함수 부등식과 도형의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/중 |
| R3-Q2 | 대수 | 수열의 합과 증가 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/중 |
| R3-Q3 | 미적분Ⅰ | 정적분 정의 함수와 극값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R3-Q4 | 미적분Ⅰ | 함수의 미분과 대칭성 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R3-Q5 | 미적분Ⅰ | 함수의 대칭과 최솟값 정적분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R3-Q6 | 대수 | 지수부등식과 연립 정수해 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중 |
| R3-Q7 | 대수 | 삼각함수 대칭성과 교점 합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중 |
| R3-Q8 | 대수 | 원에 내접하는 사각형과 코사인법칙 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R3-Q9 | 대수 | 수열의 귀납적 정의와 역추적 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07] | 10점/상 |
| R3-Q10 | 미적분Ⅰ | 사차함수 절댓값 미분가능성 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R4-Q1 | 미적분Ⅰ | 구간 최댓값 함수와 정적분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R4-Q2 | 대수 | 지수·로그 역함수와 직선의 교점 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05] | 10점/중 |
| R4-Q3 | 대수 | 삼각함수의 정의와 원 위의 점의 최대·최소 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] | 10점/중 |
| R4-Q4 | 대수 | 외접원과 내접원의 융합 기하 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중 |
| R4-Q5 | 대수 | 상호 교차 점화식 수열 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07] | 10점/중 |
| R4-Q6 | 대수 | 등차·등비 곱 수열의 합과 부등식 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/중 |
| R4-Q7 | 미적분Ⅰ | 다항함수 원점을 지나는 접선 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R4-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 원점 대칭과 접선으로 둘러싸인 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R4-Q9 | 대수 | 삼각방정식의 실근 개수와 영역 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| R4-Q10 | 대수 | 활꼴과 삼각형의 최적화 기하 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/상 |
| R5-Q1 | 대수 | 격자점과 군수열의 시그마 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/중 |
| R5-Q2 | 미적분Ⅰ | 사차함수 절댓값 전구간 미분가능성 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R5-Q3 | 미적분Ⅰ | 평균값 정리와 최댓값 함수 킬러 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R5-Q4 | 대수 | 로그부등식의 영역과 격자점 정수 해 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중 |
| R5-Q5 | 대수 | 삼각함수의 대칭성과 실근의 합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중 |
| R5-Q6 | 대수 | 수열의 합과 일반항의 관계 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/중 |
| R5-Q7 | 대수 | 등차수열의 합의 최댓값 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/중 |
| R5-Q8 | 미적분Ⅰ | 곡선 위의 점과 접선의 방정식 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R5-Q9 | 미적분Ⅰ | 함수의 극대극소와 최대최소 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R5-Q10 | 미적분Ⅰ | 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R6-Q1 | 미적분Ⅰ | 수직선 위 두 점의 위치와 만남 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/중 |
| R6-Q2 | 대수 | 지수함수와 로그함수의 역함수 및 교점 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/중 |
| R6-Q3 | 대수 | 코사인법칙과 원에 내접하는 사각형 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중 |
| R6-Q4 | 대수 | 등차수열의 합과 부분분수 수열의 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/중 |
| R6-Q5 | 대수 | 수열의 귀납적 정의와 항 추론 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07] | 10점/중 |
| R6-Q6 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 접선과 비율 관계 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R6-Q7 | 미적분Ⅰ | 절댓값 함수의 미분가능성과 연속성 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R6-Q8 | 미적분Ⅰ | 정적분 정의 함수의 극값과 최댓값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R6-Q9 | 미적분Ⅰ | 속도 함수와 점의 이동 거리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/상 |
| R6-Q10 | 미적분Ⅰ | 사차함수의 이중접선과 둘러싸인 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R7-Q1 | 대수 | 거듭제곱근과 유리수 지수의 자연수 조건 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] | 10점/중 |
| R7-Q2 | 대수 | 로그의 밑의 변환과 비례식 연산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05] | 10점/중 |
| R7-Q3 | 대수 | 지수함수의 치환과 최대·최소 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/중 |
| R7-Q4 | 대수 | 부채꼴의 둘레와 넓이의 최댓값 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-01] | 10점/중 |
| R7-Q5 | 대수 | 부분분수 변형을 이용한 수열의 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/중 |
| R7-Q6 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한을 이용한 다항함수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R7-Q7 | 미적분Ⅰ | 함수의 연속성과 미정계수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/중 |
| R7-Q8 | 미적분Ⅰ | 곱의 미분법과 접선의 방정식 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.17 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04] | 10점/중 |
| R7-Q9 | 미적분Ⅰ | 도함수를 이용한 사차부등식의 성립 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| R7-Q10 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 함수의 극댓값과 극솟값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R8-Q1 | 대수 | 로그부등식의 해와 진수 조건 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중 |
| R8-Q2 | 대수 | 삼각함수 사이의 관계와 곱셈 공식 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] | 10점/중 |
| R8-Q3 | 대수 | 원에 내접하는 사각형과 코사인법칙 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R8-Q4 | 대수 | 등차수열의 일반항과 부분합의 최댓값 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03] | 10점/중 |
| R8-Q5 | 대수 | 수열의 귀납적 정의와 주기성 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07] | 10점/상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R8-Q6 | 미적분Ⅰ | 사잇값의 정리를 이용한 실근의 존재 구간 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/중 |
| R8-Q7 | 미적분Ⅰ | 다항함수의 평균값 정리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] | 10점/중 |
| R8-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식의 실근의 부호 판별 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| R8-Q9 | 미적분Ⅰ | 절댓값 기호를 포함한 정적분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R8-Q10 | 미적분Ⅰ | 수직선 위를 움직이는 점의 이동 거리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/상 |
| R9-Q1 | 대수 | 지수·로그함수의 역함수 대칭과 삼각형 넓이 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/상 |
| R9-Q2 | 대수 | 삼각함수 그래프의 주기와 대칭성을 이용한 실근의 합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R9-Q3 | 대수 | 사인·코사인법칙과 각의 이등분선 길이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R9-Q4 | 대수 | 이웃한 두 항의 관계가 주어진 수열의 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/상 |
| R9-Q5 | 대수 | 치환을 이용한 지수방정식의 양의 실근 조건 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/상 |
| R9-Q6 | 미적분Ⅰ | 절댓값 삼차함수 $|f(x)-k|$의 미분가능성과 정적분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-04] | 10점/상 |
| R9-Q7 | 미적분Ⅰ | 두 곡선의 공통접선과 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/상 |
| R9-Q8 | 미적분Ⅰ | $(x-t)f(t)$ 꼴 정적분으로 정의된 함수의 미분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R9-Q9 | 미적분Ⅰ | 곡선과 $x$축으로 둘러싸인 넓이의 이등분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R9-Q10 | 미적분Ⅰ | 구에 내접하는 직원기둥의 부피의 최댓값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/상 |
| R10-Q1 | 대수 | 상용로그의 소수부분이 같을 조건 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.24 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-05] | 10점/상 |
| R10-Q2 | 대수 | 평행이동한 로그함수 그래프와 평행사변형의 넓이 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/상 |
| R10-Q3 | 대수 | 제한된 범위로 치환된 삼각부등식의 항상 성립 조건 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R10-Q4 | 대수 | 반원 위의 원주각과 코사인법칙의 활용 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R10-Q5 | 대수 | 공비를 곱해 차를 구하는 등차·등비 결합 수열의 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07] | 10점/상 |
| R10-Q6 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한의 대소 관계 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R10-Q7 | 미적분Ⅰ | 구간별로 정의된 함수의 미분가능성 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-04] | 10점/상 |
| R10-Q8 | 미적분Ⅰ | 접선 조건을 이용한 삼차함수의 식 작성과 극솟값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/상 |
| R10-Q9 | 미적분Ⅰ | 대칭구간 정적분 항등식과 우함수·기함수 성질 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R10-Q10 | 미적분Ⅰ | 삼차함수와 역함수의 정적분의 합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 문항 1 | 미적분Ⅰ | 샌드위치 정리와 극한 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 2 | 대수 | 수열의 점화식과 합 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 3 | 대수 | 로그방정식과 미정계수 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 4 | 대수 | 도형의 내분과 삼각비 넓이 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ | 주기함수의 연속과 극값 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 정적분 함수의 식 전개와 최솟값 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 7 | 대수 | 수열의 합과 일반항 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 8 | 대수 | 연립로그방정식 | 10점 | 상 |
| 제1회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 연속함수 정적분 극점 | 10점 | 상 |
| 제1회 | 문항 10 | 대수 | 평행사변형 넓이와 기하 확대 | 10점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제2회 | 문항 1 | 미적분Ⅰ | 부정적분 식 전개와 접선 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 2 | 미적분Ⅰ | 두 곡선의 교점 개수 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 3 | 대수 | 지수 연립방정식과 로그 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 4 | 대수 | 삼각방정식과 사인법칙 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 5 | 대수 | 삼각형의 기하와 코사인법칙 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 6 | 대수 | 등비수열의 합과 부분수열 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 7 | 대수 | 수열의 합과 일반항의 관계 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 절댓값 함수의 미분가능성과 극값 | 10점 | 상 |
| 제2회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 도함수의 최댓값 함수와 정적분 | 10점 | 상 |
| 제2회 | 문항 10 | 대수 | 삼각함수 주기와 최대·최소 | 10점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제3회 | 문항 1 | 대수 | 로그함수 부등식과 도형의 넓이 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 2 | 대수 | 수열의 합과 증가 조건 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 3 | 미적분Ⅰ | 정적분 정의 함수와 극값 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 4 | 미적분Ⅰ | 함수의 미분과 대칭성 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ | 함수의 대칭과 최솟값 정적분 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 6 | 대수 | 지수부등식과 연립 정수해 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 7 | 대수 | 삼각함수 대칭성과 교점 합 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 8 | 대수 | 원에 내접하는 사각형과 코사인법칙 | 10점 | 상 |
| 제3회 | 문항 9 | 대수 | 수열의 귀납적 정의와 역추적 | 10점 | 상 |
| 제3회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 사차함수 절댓값 미분가능성 | 10점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제4회 | 문항 1 | 미적분Ⅰ | 구간 최댓값 함수와 정적분 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 2 | 대수 | 지수·로그 역함수와 직선의 교점 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 3 | 대수 | 삼각함수의 정의와 원 위의 점의 최대·최소 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 4 | 대수 | 외접원과 내접원의 융합 기하 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 5 | 대수 | 상호 교차 점화식 수열 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 6 | 대수 | 등차·등비 곱 수열의 합과 부등식 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 다항함수 원점을 지나는 접선 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 원점 대칭과 접선으로 둘러싸인 넓이 | 10점 | 상 |
| 제4회 | 문항 9 | 대수 | 삼각방정식의 실근 개수와 영역 | 10점 | 상 |
| 제4회 | 문항 10 | 대수 | 활꼴과 삼각형의 최적화 기하 | 10점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제5회 | 문항 1 | 대수 | 격자점과 군수열의 시그마 합 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 2 | 미적분Ⅰ | 사차함수 절댓값 전구간 미분가능성 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 3 | 미적분Ⅰ | 평균값 정리와 최댓값 함수 킬러 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 4 | 대수 | 로그부등식의 영역과 격자점 정수 해 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 5 | 대수 | 삼각함수의 대칭성과 실근의 합 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 6 | 대수 | 수열의 합과 일반항의 관계 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 7 | 대수 | 등차수열의 합의 최댓값 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 곡선 위의 점과 접선의 방정식 | 10점 | 상 |
| 제5회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 함수의 극대극소와 최대최소 | 10점 | 상 |
| 제5회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | 10점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제6회 | 문항 1 | 미적분Ⅰ | 수직선 위 두 점의 위치와 만남 | 10점 | 중 |
| 제6회 | 문항 2 | 대수 | 지수함수와 로그함수의 역함수 및 교점 | 10점 | 중 |
| 제6회 | 문항 3 | 대수 | 코사인법칙과 원에 내접하는 사각형 | 10점 | 중 |
| 제6회 | 문항 4 | 대수 | 등차수열의 합과 부분분수 수열의 합 | 10점 | 중 |
| 제6회 | 문항 5 | 대수 | 수열의 귀납적 정의와 항 추론 | 10점 | 중 |
| 제6회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 접선과 비율 관계 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 절댓값 함수의 미분가능성과 연속성 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 정적분 정의 함수의 극값과 최댓값 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 속도 함수와 점의 이동 거리 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 사차함수의 이중접선과 둘러싸인 넓이 | 10점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제7회 | 문항 1 | 대수 | 거듭제곱근과 유리수 지수의 자연수 조건 | 10점 | 중 |
| 제7회 | 문항 2 | 대수 | 로그의 밑의 변환과 비례식 연산 | 10점 | 중 |
| 제7회 | 문항 3 | 대수 | 지수함수의 치환과 최대·최소 | 10점 | 중 |
| 제7회 | 문항 4 | 대수 | 부채꼴의 둘레와 넓이의 최댓값 | 10점 | 중 |
| 제7회 | 문항 5 | 대수 | 부분분수 변형을 이용한 수열의 합 | 10점 | 중 |
| 제7회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한을 이용한 다항함수 결정 | 10점 | 중 |
| 제7회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 함수의 연속성과 미정계수 결정 | 10점 | 중 |
| 제7회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 곱의 미분법과 접선의 방정식 | 10점 | 중 |
| 제7회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 도함수를 이용한 사차부등식의 성립 조건 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 함수의 극댓값과 극솟값 | 10점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제8회 | 문항 1 | 대수 | 로그부등식의 해와 진수 조건 | 10점 | 중 |
| 제8회 | 문항 2 | 대수 | 삼각함수 사이의 관계와 곱셈 공식 | 10점 | 중 |
| 제8회 | 문항 3 | 대수 | 원에 내접하는 사각형과 코사인법칙 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 4 | 대수 | 등차수열의 일반항과 부분합의 최댓값 | 10점 | 중 |
| 제8회 | 문항 5 | 대수 | 수열의 귀납적 정의와 주기성 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 사잇값의 정리를 이용한 실근의 존재 구간 | 10점 | 중 |
| 제8회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 다항함수의 평균값 정리 | 10점 | 중 |
| 제8회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식의 실근의 부호 판별 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 절댓값 기호를 포함한 정적분 | 10점 | 중 |
| 제8회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 수직선 위를 움직이는 점의 이동 거리 | 10점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제9회 | 문항 1 | 대수 | 지수·로그함수의 역함수 대칭과 삼각형 넓이 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 2 | 대수 | 삼각함수 그래프의 주기와 대칭성을 이용한 실근의 합 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 3 | 대수 | 사인·코사인법칙과 각의 이등분선 길이 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 4 | 대수 | 이웃한 두 항의 관계가 주어진 수열의 합 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 5 | 대수 | 치환을 이용한 지수방정식의 양의 실근 조건 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 절댓값 삼차함수 $|f(x)-k|$의 미분가능성과 정적분 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 두 곡선의 공통접선과 둘러싸인 도형의 넓이 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | $(x-t)f(t)$ 꼴 정적분으로 정의된 함수의 미분 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 곡선과 $x$축으로 둘러싸인 넓이의 이등분 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 구에 내접하는 직원기둥의 부피의 최댓값 | 10점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제10회 | 문항 1 | 대수 | 상용로그의 소수부분이 같을 조건 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 2 | 대수 | 평행이동한 로그함수 그래프와 평행사변형의 넓이 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 3 | 대수 | 제한된 범위로 치환된 삼각부등식의 항상 성립 조건 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 4 | 대수 | 반원 위의 원주각과 코사인법칙의 활용 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 5 | 대수 | 공비를 곱해 차를 구하는 등차·등비 결합 수열의 합 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한의 대소 관계 | 10점 | 중 |
| 제10회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 구간별로 정의된 함수의 미분가능성 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 접선 조건을 이용한 삼차함수의 식 작성과 극솟값 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 대칭구간 정적분 항등식과 우함수·기함수 성질 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 삼차함수와 역함수의 정적분의 합 | 10점 | 상 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(x \ne 0\)일 때, 부등식을 \(x\)로 나눈다. - \(x \gt 0\)일 때: \(-2x + 2 \le \frac{f(x)}{x} \le x + 2\) - \(x \lt 0\)일 때: \(x + 2 \le \frac{f(x)}{x} \le -2x + 2\) 샌드위치 정리에 의해 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2\)이다. 구하는 식의 분모 분자를 \(x^2\)으로 나누면: \(\lim_{x \to 0} \frac{\{f(x)/x\}^2}{3 + f(x)/x} = \frac{2^2}{3 + 2} = \frac{4}{5}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(x \to -2\)일 때 분모가 0으로 수렴하므로 분자 \(\lim_{x \to -2} \{f(x+2) - ax + b\} = f(0) + 2a + b = 0\)이어야 한다. 원래 부등식에 \(x=0\)을 대입하면 \(0 \le f(0) \le 0 \rightarrow f(0) = 0\)이므로, \(b = -2a\)이다. 부등식에 대입하면: \(\lim_{x \to -2} \frac{f(x+2) - a(x+2)}{(x+2)(x-2)}\) 이다. \(t = x+2\)로 치환하면 \(t \to 0\)이므로, \(\lim_{t \to 0} \frac{f(t) - at}{t(t-4)} = \lim_{t \to 0} \frac{f(t)/t - a}{t-4} = \frac{2-a}{-4} = 4 \rightarrow 2-a = -16 \rightarrow a=18\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(b = -2a = -36\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 샌드위치 정리와 극한 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $\dfrac{4}{5}$, $\;$ (2) $a = 18, \; b = -36$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(2a_{n+1} + 3S_n = 10\) 이라 하자. - \(n=1\)일 때: \(2a_2 + 3a_1 = 10\) - \(n \ge 2\)일 때: \(2a_n + 3S_{n-1} = 10\) 두 식을 빼면: \(2a_{n+1} + a_n = 0 \rightarrow a_{n+1} = -\frac{1}{2} a_n\) (\(n \ge 2\)) 이다. 즉, 제2항부터 공비가 \(-\frac{1}{2}\)인 등비수열을 이룬다. 일반항 \(a_n = a_2 \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-2}\) (\(n \ge 2\)) 이다. \(a_{50} = a_2 \left(-\frac{1}{2}\right)^{48} = a_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{48} = \left(\frac{1}{2}\right)^{43}\) 이므로, \(a_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = 32\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(n=1\)일 때 식 \(2a_2 + 3a_1 = 10 \rightarrow 64 + 3a_1 = 10 \rightarrow 3a_1 = -54 \rightarrow a_1 = -18\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(\sum _{k=1}^5 a_k = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = -18 + 32 - 16 + 8 - 4 = 2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 수열의 점화식과 합 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $a_2 = 32$, $\;$ (2) $a_1 = -18$, $\;$ (3) $2$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(\log x = X\)라 하면, \(X^2 - (a+2)X - a + 3 = 0\)의 두 실근은 \(\log p\), \(\log q\)이다. 근과 계수의 관계에 의하여: - \(\log p + \log q = a + 2\) - \(\log p \cdot \log q = -a + 3\) \(q = 10p \rightarrow \log q = \log p + 1\) 이다. 대입하면: \(2\log p + 1 = a + 2 \rightarrow a = 2\log p - 1\) 이다. 곱 식에 대입하면: \(\log p(\log p + 1) = -(2\log p - 1) + 3 = -2\log p + 4\)이다. \(\log p = Y\)라 하면, \(Y^2 + 3Y - 4 = 0 \rightarrow (Y+4)(Y-1) = 0 \rightarrow Y=-4\) 또는 \(Y=1\)이다. - \(Y = 1\) 이면 \(a = 1\)이 되어 음수 조건에 모순이다. - \(Y = -4\) 이면 \(a = -9\)가 되어 성립한다. 따라서 \(a = -9\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(\log p = -4 \rightarrow p = 10^{-4}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(\log q = -3 \rightarrow q = 10^{-3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 로그방정식과 미정계수 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $a = -9$, $\;$ (2) $p = 10^{-4}$, $\;$ (3) $q = 10^{-3}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(S_1 = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24\)이다. 피타고라스 정리에 의해 \(AC=10\)이다. 내분비 \(1:m\)에 의하여: \(\overline{\text{PB}} = 8 \times \frac{m}{m+1}\), \(\overline{\text{BQ}} = 6 \times \frac{1}{m+1}\)이다. 삼각형 \(\text{PBQ}\)의 넓이는 \(\frac{1}{2} \overline{\text{PB}} \cdot \overline{\text{BQ}} = \frac{24m}{(m+1)^2}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(\text{Area}(\text{QCR}) = \frac{1}{2} \overline{\text{QC}} \cdot \overline{\text{CR}} \sin C\) 이고, \(\sin C = \frac{8}{10}\)이다. 대입하면: \(\frac{1}{2} \left(6 \times \frac{m}{m+1}\right) \left(10 \times \frac{1}{m+1}\right) \left(\frac{8}{10}\right) = \frac{24m}{(m+1)^2}\)이다. \(\text{Area}(\text{RAP}) = \frac{1}{2} \overline{\text{RA}} \cdot \overline{\text{AP}} \sin A\) 이고, \(\sin A = \frac{6}{10}\)이다. 대입하면: \(\frac{1}{2} \left(10 \times \frac{m}{m+1}\right) \left(8 \times \frac{1}{m+1}\right) \left(\frac{6}{10}\right) = \frac{24m}{(m+1)^2}\)이다. 따라서 두 넓이는 같다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 세 외곽 삼각형의 넓이는 모두 \(\frac{24m}{(m+1)^2}\)로 일치한다. \(S_2 = 24 - 3 \times \frac{24m}{(m+1)^2} = 12 \rightarrow 3 \times \frac{24m}{(m+1)^2} = 12 \rightarrow \frac{6m}{(m+1)^2} = 1 \rightarrow m^2 - 4m + 1 = 0\)이다. 근의 공식에 의하여 \(m = 2 \pm \sqrt{3}\) 이고, \(m \gt 1\)이므로 \(m = 2 + \sqrt{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 도형의 내분과 삼각비 넓이 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $\dfrac{24m}{(m+1)^2}$, $\;$ (2) 두 넓이 모두 $\dfrac{24m}{(m+1)^2}$로 일치, $\;$ (3) $m = 2 + \sqrt{3}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(x=2\)에서 연속이므로: \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = c = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 2-8 = -6 \rightarrow c = -6\)이다. \(x=0\)과 \(x=6\)에서 경계 연속도 만족한다. (\(f(0) = -6, \lim_{x \to 6^-} f(x) = 18 - 24 = -6\)). 따라서 \(c = -6\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 한 주기 \([0, 6)\)에서 도함수는 \(f'(x) = \begin{cases} -2x+2 & (0 \lt x \lt 2) \\ x-4 & (2 \lt x \lt 6) \end{cases}\) 이다. \(x = 1\)에서 극대 (부호 \(+ \to -\)), \(x = 4\)에서 극소 (부호 \(- \to +\))를 가진다. 극소점 \(a_k = 4 + 6k\) 이고, 범위 \(-100 \lt 4 + 6k \lt 100 \rightarrow -17.33 \lt k \lt 16\) 이므로 \(k = -17 \sim 15\) (총 33개)이다. \(\sum _{k=1}^{33} a_k = 4 \times 33 + 6 \sum _{k=-17}^{15} k = 132 + 6(-33) = -66\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 극대점 \(b_k = 1 + 6k\) 이고, 범위 \(-100 \lt 1 + 6k \lt 100 \rightarrow -16.83 \lt k \lt 16.5\) 이므로 \(k = -16 \sim 16\) (총 33개)이다. \(\sum _{k=1}^{33} |b_k| = \sum _{k=-16}^{-1} (-6k-1) + \sum _{k=0}^{16} (6k+1) = 800 + 833 = 1633\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 주기함수의 연속과 극값 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $c = -6$, $\;$ (2) $-66$, $\;$ (3) $1633$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(\int_0^a f(x)dx = \int_0^1 (-x^2+1)dx + \int_1^a (3x^2-3)dx = \frac{2}{3} + [x^3-3x]_1^a = a^3 - 3a + \frac{8}{3}\)이다. \(a^3 - 3a + \frac{8}{3} = \frac{14}{3} \rightarrow a^3 - 3a - 2 = 0 \rightarrow (a-2)(a+1)^2 = 0\) 이고, \(a \ge 1\)이므로 \(a = 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(x+1\)의 범위는 \(1 \lt x+1 \le 3\)이므로 1을 경계로 나뉜다. - \(0 \lt x \le 1\) 일 때: \(S(x) = \int_x^1 (-t^2+1)dt + \int_1^{x+1} (3t^2-3)dt = \frac{4}{3}x^3+3x^2-x+\frac{2}{3}\)이다. - \(1 \le x \le 2\) 일 때: \(S(x) = \int_x^{x+1} (3t^2-3)dt = 3x^2+3x-2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) - \(0 \lt x \lt 1\) 구간: \(S'(x) = 4x^2 + 6x - 1 = 0 \rightarrow x = \frac{-3+\sqrt{13}}{4}\)에서 극소이다. - \(1 \le x \le 2\) 구간: \(S'(x) = 6x + 3 \gt 0\) 이므로 계속 증가한다. 따라서 함수 \(S(x)\)의 최솟값은 극소점인 \(b = \frac{-3+\sqrt{13}}{4}\)에서 발생한다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정적분 함수의 식 전개와 최솟값 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $a = 2$, $\;$ (2) $S(x) = \begin{cases} \frac{4}{3}x^3+3x^2-x+\frac{2}{3} & (0 \lt x \le 1) \\ 3x^2+3x-2 & (1 \lt x \le 2) \end{cases}$, $\;$ (3) $b = \dfrac{-3+\sqrt{13}}{4}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) $n \ge 1$에서 $6a_{n+1} = 6(S_{n+1} - S_n) = (a_{n+1}^2 - a_n^2) + 3(a_{n+1} - a_n)$이므로 $(a_{n+1} + a_n)(a_{n+1} - a_n - 3) = 0$이고, $a_n \gt 0$이므로 공차 $d = 3$인 등차수열이다. $n = 1$을 대입하면 $6a_1 = a_1^2 + 3a_1 - 10 \implies (a_1 - 5)(a_1 + 2) = 0$에서 $a_1 = 5$이므로 $a_{10} = 5 + 9 \times 3 = 32$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 첫째항은 $a_1 = 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 등차수열의 합 공식에 의하여 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k = \dfrac{10(5 + 32)}{2} = 185$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 수열의 합과 일반항 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $a_{10} = 32$, $\;$ (2) $a_1 = 5$, $\;$ (3) $185$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 근과 계수의 관계에 의하여: \(\log_2 \alpha + \log_2 \beta = \frac{m}{2}\), \(\log_2 \alpha \cdot \log_2 \beta = \frac{n}{2}\)이다. 주어진 식은: \(\frac{\log_2 \beta}{\log_2 \alpha} + \frac{\log_2 \alpha}{\log_2 \beta} = \frac{(\log_2 \alpha + \log_2 \beta)^2 - 2\log_2 \alpha \cdot \log_2 \beta}{\log_2 \alpha \cdot \log_2 \beta} = \frac{\frac{m^2}{4} - n}{\frac{n}{2}} = \frac{m^2-4n}{2n} = \frac{1}{4}\)이다. \(4m^2-16n = 2n \rightarrow 2m^2 = 9n\) 이다. 가장 작은 자연수 \(m, n\)이므로 \(m\)은 3의 배수여야 하고, \(m=3\)일 때 \(n=2\)이다. 따라서 \(m=3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(n=2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(m=3, n=2\)를 조건 (가)에 대입한다. \(6^a = 16^b = k^c = M\)이라 하면, \(a = \log_6 M, b = \log_{16} M, c = \log_k M\)이다. 조건 (나)에서 \(ab = bc - ac \rightarrow \frac{1}{c} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}\) 이다. \(\frac{1}{\log_k M} = \frac{1}{\log_6 M} - \frac{1}{\log_{16} M} \rightarrow \log_M k = \log_M 6 - \log_M 16 = \log_M \frac{6}{16} = \log_M \frac{3}{8}\)이다. 따라서 \(k = \frac{3}{8}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 연립로그방정식 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $m = 3$, $\;$ (2) $n = 2$, $\;$ (3) $k = \dfrac{3}{8}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(x=2\)에서 연속 조건: \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -6 = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3(2-a) \rightarrow 6-3a = -6 \rightarrow a=4\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(f(x) = \begin{cases} -3x & (x \lt 2) \\ 3x-12 & (x \ge 2) \end{cases}\) 이므로, \(g'(x) = \begin{cases} -3x(x-2) & (x \lt 2) \\ 3(x-2)(x-4) & (x \ge 2) \end{cases}\) 이다. - \(x \lt 2\) 일 때: \(g(x) = \int_0^x (-3t^2+6t)dt = -x^3+3x^2\)이다. - \(x \ge 2\) 일 때: \(g(x) = \int_2^x (3t^2-18t+24)dt + g(2)\) 이며, \(g(2) = 4\)이므로 \(g(x) = x^3-9x^2+24x-16\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(g'(x) = 0\) 인 점은 \(x=0, 2, 4\)이다. 극댓값은 \(g(2) = 4\) 이고, 극솟값은 \(g(0) = 0, g(4) = 0\)이다. - \(y=0\)과의 교점 \(b\): \(x=0\)과 \(x=4\)에서 극솟값 0으로 접하므로 교점은 단 \(2\)개이다. - \(y=3\)과의 교점 \(c\): 극대 4와 극소 0 사이의 수이므로 교점은 \(4\)개이다. 따라서 \(b+c = 2 + 4 = 6\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 연속함수 정적분 극점 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $a = 4$, $\;$ (2) $g(x) = \begin{cases} -x^3+3x^2 & (x \lt 2) \\ x^3-9x^2+24x-16 & (x \ge 2) \end{cases}$, $\;$ (3) $6$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) $\overline{\mathrm{AP}} = m\overline{\mathrm{AB}}, \; \overline{\mathrm{AR}} = (m-1)\overline{\mathrm{AC}}$이고 $\angle \mathrm{PAR} = \pi - \alpha$이므로 $\triangle\mathrm{PAR} = \dfrac{1}{2} m\overline{\mathrm{AB}} \cdot (m-1)\overline{\mathrm{AC}} \sin(\pi - \alpha) = m(m-1)S$이다. 같은 방법으로 $\triangle\mathrm{QBP} = m(m-1)S, \; \triangle\mathrm{RCQ} = m(m-1)S$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) $\triangle\mathrm{PQR} = S + 3m(m-1)S = (3m^2 - 3m + 1)S$이고 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는 $2S$이므로
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $(3m^2 - 3m + 1)S = 2S \implies 3m^2 - 3m - 1 = 0$이며, $m \gt 1$이므로 $m = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{6}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 평행사변형 넓이와 기하 확대 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) 세 삼각형 모두 $m(m-1)S$, $\;$ (2) $m = \dfrac{3+\sqrt{21}}{6}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 피적분함수 식을 정리한다. \(\int \{ f(x)-3+xf'(x) \}dx = \int \{ (xf(x))' - 3 \}dx = xf(x) - 3x + C = x^4-x^3\)이다. \(x=0\)을 대입하면 \(C = 0\)이다. 따라서 \(xf(x) = x^4-x^3+3x \rightarrow f(x) = x^3-x^2+3\)이다. \(f'(x) = 3x^2-2x = 0 \rightarrow x = 0, \frac{2}{3}\) 이며, 극대점은 \(x=0\)이다. 극댓값 \(f(0) = 3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(f(1) = 3\) 이고, \(f'(1) = 1\)이다. 접선의 방정식 \(\ell\)은 \(y-3 = 1(x-1) \rightarrow y = x+2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 교점은 \(x^3-x^2+3 = x+2 \rightarrow (x-1)^2(x+1) = 0 \rightarrow x = -1, 1\)이다. 넓이 \(S = \int_{-1}^1 ( (x+2) - (x^3-x^2+3) ) dx = \int_{-1}^1 (-x^3+x^2+x-1)dx = 2\int_0^1 (x^2-1)dx = \frac{4}{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 부정적분 식 전개와 접선 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $3$, $\;$ (2) $y = x + 2$, $\;$ (3) $\dfrac{4}{3}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(x^3 + 4x^2 - 6x + 8 = x^2 + 18x + b \rightarrow x^3 + 3x^2 - 24x + 8 = b\)이다. \(h(x) = x^3 + 3x^2 - 24x + 8\) 이라 하면, \(h'(x) = 3x^2 + 6x - 24 = 3(x+4)(x-2) = 0\) 이다. 극대 \(h(-4) = 88\), 극소 \(h(2) = -20\) 이므로 교점이 2개일 조건은 극값에 걸칠 때인 \(b = -20\) 또는 \(b = 88\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(x^3 + 3x^2 - 9x + 8 = b\) 이다. \(k(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 8\) 이라 하면, \(k'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x+3)(x-1) = 0\) 이다. 열린구간 \((-2, 1)\)에서 \(k'(x) \lt 0\) 이므로 단조감소한다. \(k(-2) = 30\), \(k(1) = 3\) 이므로 범위는 \(3 \lt b \lt 30\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(f(x)-g(x) = x^3 + 3x^2 - (6+a)x + 8-b = 0\) 이 모든 \(b\)에 대해 오직 한 실근을 가지려면, 도함수 \(y = 3x^2 + 6x - (6+a) \ge 0\) 이 항상 성립해야 한다. 판별식 \(D/4 = 9 + 3(6+a) = 3a + 27 \le 0 \rightarrow a \le -9\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 두 곡선의 교점 개수 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $b = -20$ 또는 $b = 88$, $\;$ (2) $3 \lt b \lt 30$, $\;$ (3) $a \le -9$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(A = 3^a, B = 2^b\)라 하자. (\(A \gt 0, B \gt 0\)) 주어진 연립방정식은 다음과 같이 치환된다: \(\begin{cases} 3A + 4B = 59 \\ 9A + 2B = 97 \end{cases}\) 두 번째 식에 2를 곱하면 \(18A + 4B = 194\)이고, 첫 번째 식을 빼면 \(15A = 135 \rightarrow A = 9\)이다. \(A = 9\)를 첫 번째 식에 대입하면 \(27 + 4B = 59 \rightarrow 4B = 32 \rightarrow B = 8\)이다. \(3^a = 9 \rightarrow a = 2\), \(2^b = 8 \rightarrow b = 3\)이다. 따라서 \(a + b = 2 + 3 = 5\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(a = 2, b = 3\)을 대입하면, \(\log_2\left(2 + \frac{1}{3}\right) + \log_2\left(3 + \frac{1}{2}\right) = \log_2\left(\frac{7}{3}\right) + \log_2\left(\frac{7}{2}\right) = \log_2\left(\frac{49}{6}\right)\)이다. 따라서 \(\frac{m}{n} = \frac{49}{6}\)이고, \(m = 49, n = 6\)은 서로소인 자연수이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(n\sqrt{m} = 6 \times \sqrt{49} = 6 \times 7 = 42\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 지수 연립방정식과 로그 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $5$, $\;$ (2) $42$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 좌변을 통분하여 정리하면, \(\frac{(1+\sin x) + (1-\sin x)}{1-\sin^2 x} = \frac{2}{\cos^2 x} = 8 \rightarrow \cos^2 x = \frac{1}{4}\)이다. \(0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}\)에서 \(\cos x \gt 0\)이므로 \(\cos x = \frac{1}{2}\)이다. 따라서 \(\alpha = \frac{\pi}{3}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(\sin\alpha = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)이므로, \(\cos A = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}\)이다. 삼각형의 내각에서 \(\sin A \gt 0\)이므로, \(\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{13}}{4}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 사인법칙에 의하여 \(\frac{\overline{\text{BC}}}{\sin A} = 2R\)이다. \(\overline{\text{BC}} = 2R\sin A = 2(2\sqrt{7}) \times \frac{\sqrt{13}}{4} = \sqrt{91}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼각방정식과 사인법칙 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$, $\;$ (2) $\sin A = \dfrac{\sqrt{13}}{4}$, $\;$ (3) $\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{91}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 사인법칙에 의해 세 변의 길이를 \(a, b, c\)라 하면 \(\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c\)이다. 조건 (가), (나)에 의해 \(a^2 = b^2 + 3c^2\), \(b = \sqrt{3}c\)이다. 대입하면 \(a^2 = 3c^2 + 3c^2 = 6c^2 \rightarrow a = \sqrt{6}c\)이다. \(a = 6\)이므로 \(6 = \sqrt{6}c \rightarrow c = \sqrt{6}\)이고, \(b = \sqrt{3}(\sqrt{6}) = 3\sqrt{2}\)이다. 코사인법칙에 의해 \(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{18 + 6 - 36}{2 \times 3\sqrt{2} \times \sqrt{6}} = \frac{-12}{12\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 삼각형 넓이 관계에서 \(\frac{1}{2}pq\sin A = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}bc\sin A\right)\)이므로, \(pq = \frac{1}{3}bc = \frac{1}{3}(3\sqrt{2})(\sqrt{6}) = 2\sqrt{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 삼각형 \(\text{AEF}\)에서 코사인법칙에 의해 \(\overline{\text{EF}}^2 = p^2 + q^2 - 2pq\cos A = p^2 + q^2 - 2(2\sqrt{3})\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = p^2 + q^2 + 4\)이다. 산술·기하평균 부등식에 의해 \(p^2 + q^2 \ge 2pq = 2(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}\)이다. 따라서 \(\overline{\text{EF}}^2 \ge 4\sqrt{3} + 4\)이므로, \(\overline{\text{EF}}\)의 최솟값은 \(\sqrt{4 + 4\sqrt{3}}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼각형의 기하와 코사인법칙 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $\cos A = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, $\;$ (2) $pq = 2\sqrt{3}$, $\;$ (3) $\sqrt{4 + 4\sqrt{3}}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항 \(a_1 = 1\), 공비를 \(r\)이라 하자. \(a_n \lt a_{n+1}\)이므로 \(r \gt 1\)이다. \(A_6 = \frac{r^6 - 1}{r - 1}\)이다. 수열 \(\{b_n\}\)은 첫째항이 \(b_1 = a_2 = r\), 공비가 \(r^2\)인 등비수열이므로, \(B_3 = \frac{r((r^2)^3 - 1)}{r^2 - 1} = \frac{r(r^6 - 1)}{(r-1)(r+1)}\)이다. \(5A_6 = 6B_3 \rightarrow 5 \times \frac{r^6-1}{r-1} = 6 \times \frac{r(r^6-1)}{(r-1)(r+1)}\)에서 \(r^6 - 1 \ne 0\)이므로 양변을 나누면, \(5 = \frac{6r}{r+1} \rightarrow 5(r+1) = 6r \rightarrow 5r + 5 = 6r \rightarrow r = 5\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(a_n = 5^{n-1}\), \(b_n = a_{2n} = 5^{2n-1}\)이므로, \(\frac{b_n}{a_n} = \frac{5^{2n-1}}{5^{n-1}} = 5^n\)이다. \(5^n \gt 625 = 5^4 \rightarrow n \gt 4\)이므로, 가장 작은 자연수 \(n = 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(b_2 = a_4 = 5^3\), \(a_7 = 5^6\)이므로, \(\log_{b_2} a_7 = \log_{5^3} (5^6) = \frac{6}{3} = 2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등비수열의 합과 부분수열 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $r = 5$, $\;$ (2) $n = 5$, $\;$ (3) $2$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 조건 (나)에 \(n = 1\)을 대입하면, \(a_1 = a_1^2 + 3a_1 \rightarrow a_1^2 + 2a_1 = 0 \rightarrow a_1(a_1 + 2) = 0\)이다. \(a_1 \ne 0\)이므로 \(a_1 = -2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(S_n = \sum_{k=1}^n a_k\)라 하면, \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)이다. \(a_n = [a_n^2 + (n+2)a_n] - [a_{n-1}^2 + (n+1)a_{n-1}]\) \((a_n - a_{n-1})(a_n + a_{n-1} + n + 1) = 0\)이다. 조건 (가)에 의해 \(a_n \ne a_{n-1}\)이므로, \(a_n + a_{n-1} = -(n+1)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(a_1 = -2\), \(a_2 = -3 - (-2) = -1\), \(a_3 = -4 - (-1) = -3\), \(a_4 = -5 - (-3) = -2\)이다. 홀수항은 \(a_{2k-1} = -(k+1)\), 짝수항은 \(a_{2k} = -k\)이다. \(\sum_{k=1}^{10} a_k = (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + (a_5 + a_6) + (a_7 + a_8) + (a_9 + a_{10})\) \(= (-3) + (-5) + (-7) + (-9) + (-11) = -35\)이다. 따라서 \(\left|\sum_{k=1}^{10} a_k\right| = |-35| = 35\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 수열의 합과 일반항의 관계 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $a_1 = -2$, $\;$ (2) $a_n + a_{n-1} = -(n+1)$, $\;$ (3) $35$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(x \ge 0\)에서 \(f(x) = |x(x-4)(x-a)|\)이다. 절댓값 함수가 미분가능하려면 \(0\)이 되는 인수가 중근 이상이어야 한다. \(x = 4\)에서 미분가능해야 하므로 \(a = 4\)이어야 한다. (그러면 \(|x(x-4)^2| = x(x-4)^2\)) \(x \lt 0\)에서 \(f(x) = |x(x+4)(x-b)|\)이다. \(x = -4\)에서 미분가능해야 하므로 \(b = -4\)이어야 한다. (그러면 \(|x(x+4)^2| = -x(x+4)^2\)) 따라서 \(a = 4, b = -4\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(x \gt 0\)에서 \(f(x) = x(x-4)^2 = x^3 - 8x^2 + 16x\)이다. \(f'(x) = 3x^2 - 16x + 16 = (3x-4)(x-4)\)이므로, \(x = \frac{4}{3}\)에서 극댓값 \(f\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \times \left(-\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{256}{27} \approx 9.48\)을 갖는다. 원점 대칭 형태로 \(x \lt 0\)에서 극댓값 \(\frac{256}{27}\)을 갖는다. - \(n = 0\): \(x = 0, \pm 4\)에서 3개 \(\rightarrow g(0) = 3\) - \(n = 2, 4, 8\): \(0 \lt n \lt \frac{256}{27}\) 구간이므로 각각 4개의 교점을 갖는다 \(\rightarrow g(2) = 4, g(4) = 4, g(8) = 4\)
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 \(g(0) + g(2) + g(4) + g(8) = 3 + 4 + 4 + 4 = 15\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 절댓값 함수의 미분가능성과 극값 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $a = 4, \; b = -4$, $\;$ (2) $15$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 최고차항 계수가 1인 사차함수의 도함수는 최고차항 계수가 4인 삼차함수이다. 조건 (가)에 의해 \(f'(x) = 4(x+2)(x-1)^2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(f'(x) = 4(x+2)(x^2-2x+1) = 4x^3 - 12x + 8\)이다. \(h(x)=f'(x)\)라 하고 미분하면 \(h'(x) = 12(x-1)(x+1)\)이므로 \(x = -1\)에서 극댓값 \(f'(-1) = 4(1)(4) = 16\)을 갖는다. 구간 \([-2, t]\)에서의 최댓값 \(g(t)\)는 다음과 같다: - \(-2 \le t \lt -1\): \(g(t) = f'(t)\) - \(-1 \le t \lt 2\): 극댓값 16이 유지되므로 \(g(t) = 16\) (\(f'(2) = 16\)) 따라서 \(t = 0\)일 때는 \(g(0) = 16\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(\int_{-2}^2 g(t)dt = \int_{-2}^{-1} (4t^3 - 12t + 8)dt + \int_{-1}^2 16 dt\) \(= [t^4 - 6t^2 + 8t]_{-2}^{-1} + 16 \times 3 = 11 + 48 = 59\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 도함수의 최댓값 함수와 정적분 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $f'(x) = 4(x+2)(x-1)^2$, $\;$ (2) $16$, $\;$ (3) $59$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 함수 \(g(x)\)의 주기는 \(h(\alpha) = \frac{2\pi}{|-1/\alpha|} = 2\pi\alpha\)이다. \(g(h(\alpha)) = 4\cos\left(-\frac{2\pi\alpha}{\alpha} + \frac{\pi}{3}\right) = 4\cos\left(-2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = 4\cos\frac{\pi}{3} = 4 \times \frac{1}{2} = 2\)이다. 따라서 \(f(\alpha) = 2 - 3\sin\left(\frac{2\pi\alpha}{8} + \frac{5}{3}\pi\right) = 2 - 3\sin\left(\frac{\pi\alpha}{4} + \frac{5}{3}\pi\right)\)이다. \(f(\alpha)\)가 최댓값을 가지려면 \(\sin\left(\frac{\pi\alpha}{4} + \frac{5}{3}\pi\right) = -1\)이어야 한다. \(\frac{\pi\alpha}{4} + \frac{5}{3}\pi = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\) (\(k\)는 정수) \(\alpha \gt 0\)인 최솟값은 \(k = 1\)일 때: \(\frac{\pi\alpha}{4} + \frac{5}{3}\pi = \frac{7\pi}{2} \rightarrow \frac{\pi\alpha}{4} = \frac{7\pi}{2} - \frac{5\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} \rightarrow \alpha = 4 \times \frac{11}{6} = \frac{22}{3}\)이다. 따라서 \(m = \frac{22}{3}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(f(\alpha)\)가 최솟값을 가지려면 \(\sin\left(\frac{\pi\alpha}{4} + \frac{5}{3}\pi\right) = 1\)이어야 한다. \(\frac{\pi\alpha}{4} + \frac{5}{3}\pi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) (\(k\)는 정수) \(\alpha \gt 0\)인 최솟값은 \(k = 1\)일 때: \(\frac{\pi\alpha}{4} + \frac{5}{3}\pi = \frac{5\pi}{2} \rightarrow \frac{\pi\alpha}{4} = \frac{5\pi}{2} - \frac{5\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \rightarrow \alpha = 4 \times \frac{5}{6} = \frac{10}{3}\)이다. 따라서 \(n = \frac{10}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(h(\alpha) = 2\pi\alpha\)이므로, \(|h(m) - h(n)| = 2\pi|m - n| = 2\pi\left|\frac{22}{3} - \frac{10}{3}\right| = 2\pi \times 4 = 8\pi\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼각함수 주기와 최대·최소 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $m = \dfrac{22}{3}$, $\;$ (2) $n = \dfrac{10}{3}$, $\;$ (3) $8\pi$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 조건 (가)에서 양변을 \((p-1)(q-1) \gt 0\)으로 나누면, \(\frac{f(p) - 0}{p - 1} \gt \frac{f(q) - 0}{q - 1}\)이다. 이는 점 \((1, 0)\)과 곡선 위의 점 사이의 기울기가 감소함을 의미하므로 \(f(x)\)는 위로 볼록인 증가함수이다. 따라서 \(a \gt 1\)이다. 조건 (나)에서 \(|f(8)| = |\log_a 8| = 3 \rightarrow \log_a 8 = 3 \rightarrow a^3 = 8 \rightarrow a = 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(f(x) = \log_2 x\)이다. \(x\)축 대칭 후 \(y\)축 방향 4만큼 이동한 함수는 \(g(x) = -\log_2 x + 4\)이다. - 점 \(\text{A}\): \(f(x) = 0 \rightarrow x = 1 \rightarrow \text{A}(1, 0)\) - 점 \(\text{B}\): \(g(x) = 0 \rightarrow -\log_2 x + 4 = 0 \rightarrow \log_2 x = 4 \rightarrow x = 16 \rightarrow \text{B}(16, 0)\) - 점 \(\text{C}\): \(f(x) = g(x) \rightarrow \log_2 x = -\log_2 x + 4 \rightarrow 2\log_2 x = 4 \rightarrow x = 4\), \(y = \log_2 4 = 2 \rightarrow \text{C}(4, 2)\) 밑변 \(\overline{\text{AB}} = 16 - 1 = 15\), 높이 \(h = 2\)이므로, 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이는 \(S = \frac{1}{2} \times 15 \times 2 = 15\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(f(x) = \log_2 x\)의 역함수는 \(y = 2^x\)이다. 원점 대칭이동: \(-y = 2^{-x} \rightarrow y = -2^{-x}\) \(x\)축 방향 \(k\)만큼 평행이동: \(y = -2^{-(x-k)}\) 이 그래프가 점 \((-6, -2)\)를 지나므로, \(-2 = -2^{-(-6-k)} \rightarrow 2^1 = 2^{6+k} \rightarrow 1 = 6 + k \rightarrow k = -5\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 로그함수 부등식과 도형의 넓이 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $a = 2$, $\;$ (2) $15$, $\;$ (3) $k = -5$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 조건 (다)에서 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{2n-1} \lt a_{2n} \lt a_{2n+1}\)이 성립해야 한다. \(a_{2n} - a_{2n-1} = d \gt 0\)이므로 \(d\)는 자연수이다. 또한 \(a_{2n} \lt a_{2n+1} \rightarrow a_{2n-1} + d \lt a_{2n+1}\)이다. \(a_{2n-1} = n^2 + 3\), \(a_{2n+1} = (n+1)^2 + 3 = n^2 + 2n + 4\)이므로, \(n^2 + 3 + d \lt n^2 + 2n + 4 \rightarrow d \lt 2n + 1\)이다. 이 부등식이 모든 자연수 \(n \ge 1\)에 대하여 성립해야 하므로, \(n = 1\)일 때 \(d \lt 3\)이어야 한다. 따라서 가능한 자연수 \(d\)는 \(1, 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(\sum_{n=1}^{11} a_n = \sum_{k=1}^6 a_{2k-1} + \sum_{k=1}^5 a_{2k}\)이다. \(a_{2k} = a_{2k-1} + d\)이므로, \(\sum_{n=1}^{11} a_n = \sum_{k=1}^6 a_{2k-1} + \sum_{k=1}^5 (a_{2k-1} + d) = \sum_{k=1}^6 a_{2k-1} + \sum_{k=1}^5 a_{2k-1} + 5d\)이다. 이 식에서 \(d\)를 제외한 부분은 고정된 값이므로, \(d = 2\)일 때 최댓값, \(d = 1\)일 때 최솟값을 갖는다. 따라서 최댓값과 최솟값의 차이는 \(5(2) - 5(1) = 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(\sum_{n=1}^{11} a_n\)이 최소일 때는 \(d = 1\)일 때이다. \(a_{14} = a_{2(7)} = a_{2(7)-1} + d = a_{13} + 1\)이다. \(a_{13} = 7^2 + 3 = 49 + 3 = 52\)이므로, \(a_{14} = 52 + 1 = 53\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 수열의 합과 증가 조건 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $d = 1, \; 2$, $\;$ (2) $5$, $\;$ (3) $53$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(g'(x) = (x-2)f(x)\)이다. - \(x \ge 2\): \(g'(x) = (x-2)(2x-6) = 2(x-2)(x-3)\). 부호는 \(x=2\)에서 변하지 않고(중근 부호 유지), \(x=3\)에서 \(-\)에서 \(+\)로 변함. - \(x \lt 2\): \(g'(x) = (x-2)(-x) = -x(x-2) = x(2-x)\). \(x=0\)에서 \(-\)에서 \(+\)로 변함. 따라서 도함수의 부호가 변하여 극값을 갖는 \(x\)의 값은 \(x = 0\)과 \(x = 3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(x = 0\)에서 \(g'(x)\)는 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값을 갖는다. \(g(0) = \int_0^0 (t-2)f(t)dt = 0\)이다. \(x = 3\)에서도 극솟값을 가지며, \(g(3) = g(0) + \int_0^2 (2t-t^2)dt + \int_2^3 2(t-2)(t-3)dt\)이다. \(\int_0^2 (2t-t^2)dt = [t^2 - \frac{1}{3}t^3]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}\). \(\int_2^3 2(t^2-5t+6)dt = 2\left[\frac{1}{3}t^3 - \frac{5}{2}t^2 + 6t\right]_2^3 = 2(-\frac{1}{6}) = -\frac{1}{3}\). 따라서 \(g(3) = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = 1\)이다. 극솟값은 \(g(0) = 0\), \(g(3) = 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(g(0) = 0\)이고, \(x \lt 0\)에서 \(g'(x) \lt 0\)이므로 감소하여 내려오다가 \(x=0\)에서 최솟값 \(0\)을 찍고 다시 증가한다. \(x \ge 3\)에서도 계속 증가하므로, \(g(x) = 0\)을 만족시키는 실근은 \(x = 0\) 오직 1개이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정적분 정의 함수와 극값 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $x = 0, \; 3$, $\;$ (2) 극솟값 $0, \; 1$, $\;$ (3) $1$개)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(x = \frac{1}{2}\)에서 극값을 가지므로 \(g'\left(\frac{1}{2}\right) = 0\)이다. \(g'\left(\frac{1}{2}\right) = f\left(\left|\frac{1}{2}+3\right|\right) - f\left(\left|\frac{1}{2}\right|\right) = f\left(\frac{7}{2}\right) - f\left(\frac{1}{2}\right) = 0\). 따라서 \(f\left(\frac{7}{2}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)\)이다. 이차함수 그래프의 대칭성에 의해 축은 두 점의 중점인 \(x = \frac{1/2 + 7/2}{2} = 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(f(x) = (x-2)^2 + c\)라 둘 수 있다. \(x \lt -3\)일 때: \(|x+3| = -x-3\), \(|x| = -x\). \((-x-5)^2 - (-x-2)^2 = (x+5)^2 - (x+2)^2 = 6x + 21 = 0 \rightarrow x = -\frac{7}{2}\). \(-3 \le x \lt 0\)일 때: \(|x+3| = x+3\), \(|x| = -x\). \((x+1)^2 - (-x-2)^2 = (x+1)^2 - (x+2)^2 = -2x - 3 = 0 \rightarrow x = -\frac{3}{2}\). 따라서 음의 실수는 \(x = -\frac{7}{2}\) 및 \(x = -\frac{3}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 부호 변화를 조사하면 \(x = -\frac{3}{2}\)에서 증가에서 감소로 바뀌므로 극댓값을 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 함수의 미분과 대칭성 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $x = 2$, $\;$ (2) $x = -\dfrac{7}{2}, \; -\dfrac{3}{2}$, $\;$ (3) $x = -\dfrac{3}{2}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 구간 \([0, 2]\)에서 \(f(x) = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1\)이다. 이 구간에서 \(x = 1\)일 때 꼭짓점 최솟값 \(-1\)을 가지므로 \(g(0) = -1\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 구간 \([t, t+2]\)가 꼭짓점 \(x = 1\)을 포함하면 최솟값은 꼭짓점의 함숫값인 \(-1\)이 된다. 즉, \(t \le 1 \le t + 2 \rightarrow -1 \le t \le 1\)이다. 따라서 구하는 범위는 \(-1 \le t \le 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) (2)에 의하여 구간 \([-1, 1]\) 전체에서 \(g(t) = -1\)로 상수함수이다. 따라서 \(\int_{-1}^1 g(t)dt = \int_{-1}^1 (-1)dt = -1 \times (1 - (-1)) = -2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 함수의 대칭과 최솟값 정적분 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $-1$, $\;$ (2) $-1 \le t \le 1$, $\;$ (3) $-2$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(2^x = X\) (\(X \gt 0\))라 하면 첫 번째 부등식은 \(X^2 - 10X + 16 \le 0 \rightarrow (X-2)(X-8) \le 0 \rightarrow 2 \le X \le 8\)이다. \(2^1 \le 2^x \le 2^3\)이므로 밑이 2로 1보다 크므로 부등호 방향이 유지되어 \(1 \le x \le 3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 진수 조건에 의해 \(y+2 \gt 0 \rightarrow y \gt -2\), \(4-y \gt 0 \rightarrow y \lt 4\)이므로 \(-2 \lt y \lt 4\)이다. 부등식을 정리하면, \(\log_3((y+2)(4-y)) \ge 1 \rightarrow (y+2)(4-y) \ge 3^1 = 3\) \(-y^2 + 2y + 8 \ge 3 \rightarrow y^2 - 2y - 5 \le 0\) 근의 공식을 적용하면 \(1 - \sqrt{6} \le y \le 1 + \sqrt{6}\)이다. 진수 조건 \(-2 \lt y \lt 4\)와의 공통 범위를 구하면, \(2 \lt \sqrt{6} \lt 3\)이므로 \(1 - \sqrt{6} \approx -1.45 \gt -2\), \(1 + \sqrt{6} \approx 3.45 \lt 4\)이다. 따라서 \(1 - \sqrt{6} \le y \le 1 + \sqrt{6}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 가능한 정수 \(x\)는 \(1, 2, 3\)으로 3개이다. 가능한 정수 \(y\)는 \(-1.45 \le y \le 3.45\)에서 \(-1, 0, 1, 2, 3\)으로 5개이다. 두 변수 \(x, y\)는 서로 독립적인 부등식 영역을 형성하므로 직사각형 격자를 이룬다. 따라서 정수 순서쌍 \((x, y)\)의 총개수는 \(3 \times 5 = 15\)개이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 지수부등식과 연립 정수해 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $1 \le x \le 3$, $\;$ (2) $1 - \sqrt{6} \le y \le 1 + \sqrt{6}$, $\;$ (3) $15$개)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 1 = 2 \rightarrow \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\)이다. \(0 \le x \le 2\pi\)이므로 \(-\frac{\pi}{3} \le 2x - \frac{\pi}{3} \le 4\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{3}\)이다. \(\sin \theta = \frac{1}{2}\)를 만족하는 \(\theta\)는 \(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}\)이다. 가장 작은 근은 \(2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{4}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 각 근을 구하면, - \(2x_2 - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \rightarrow 2x_2 = \frac{7\pi}{6} \rightarrow x_2 = \frac{7\pi}{12}\) - \(2x_3 - \frac{\pi}{3} = \frac{13\pi}{6} \rightarrow 2x_3 = \frac{15\pi}{6} = \frac{5\pi}{2} \rightarrow x_3 = \frac{5\pi}{4}\) - \(2x_4 - \frac{\pi}{3} = \frac{17\pi}{6} \rightarrow 2x_4 = \frac{19\pi}{6} \rightarrow x_4 = \frac{19\pi}{12}\) 네 실근의 합은 \(\frac{\pi}{4} + \frac{7\pi}{12} + \frac{5\pi}{4} + \frac{19\pi}{12} = \left(\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{4}\right) + \left(\frac{7\pi}{12} + \frac{19\pi}{12}\right) = \frac{6\pi}{4} + \frac{26\pi}{12} = \frac{3\pi}{2} + \frac{13\pi}{6} = \frac{11\pi}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(\text{P}\left(\frac{\pi}{4}, 2\right)\), \(\text{Q}\left(\frac{5\pi}{4}, 2\right)\)이므로 밑변의 길이는 \(\overline{\text{PQ}} = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \pi\)이다. 점 \(\text{R}(0, -1)\)에서 직선 \(y = 2\)까지의 수직 높이는 \(h = 2 - (-1) = 3\)이다. 따라서 삼각형 \(\text{PQR}\)의 넓이는 \(S = \frac{1}{2} \times \pi \times 3 = \frac{3\pi}{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼각함수 대칭성과 교점 합 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $x_1 = \dfrac{\pi}{4}$, $\;$ (2) $\dfrac{11\pi}{3}$, $\;$ (3) $\dfrac{3\pi}{2}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 원에 내접하는 사각형에서 마주 보는 두 대각의 합은 \(\pi\)이므로 \(D = \pi - B\)이다. 따라서 \(\cos D = \cos(\pi - B) = -\cos B\)이다. 삼각형 \(\text{ABC}\)에서 코사인법칙에 의해 \(\overline{\text{AC}}^2 = 3^2 + 2^2 - 2(3)(2)\cos B = 13 - 12\cos B\) 삼각형 \(\text{ADC}\)에서 코사인법칙에 의해 \(\overline{\text{AC}}^2 = 4^2 + 3^2 - 2(4)(3)\cos D = 25 - 24(-\cos B) = 25 + 24\cos B\) 두 식이 같으므로, \(13 - 12\cos B = 25 + 24\cos B \rightarrow 36\cos B = -12 \rightarrow \cos B = -\frac{1}{3}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(\overline{\text{AC}}^2 = 13 - 12\left(-\frac{1}{3}\right) = 13 + 4 = 17\)이다. 따라서 \(\overline{\text{AC}} = \sqrt{17}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(\cos B = -\frac{1}{3}\)이므로, \(\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)이다. 삼각형 \(\text{ABC}\)의 외접원은 사각형의 외접원 \(\text{O}\)와 일치하므로 사인법칙에 의해 \(2R = \frac{\overline{\text{AC}}}{\sin B} = \frac{\sqrt{17}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{3\sqrt{17}}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{34}}{4}\)이다. 따라서 원의 반지름 \(R = \frac{3\sqrt{34}}{8}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 원에 내접하는 사각형과 코사인법칙 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $\cos B = -\dfrac{1}{3}$, $\;$ (2) $\overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{17}$, $\;$ (3) $R = \dfrac{3\sqrt{34}}{8}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) $a_5 = 4$에서 역추적하면 $a_4 \in \{2, 7\}$이고, $a_4 = 7 \implies a_3 = 10$ ($2a_3=7$ 불가), $a_4 = 2 \implies a_3 \in \{1, 5\}$이다. 이어서 $a_3 = 1$은 $a_2 - 3 = 1 \implies a_2 = 4 \lt 5$ (모순) 및 $2a_2 = 1$ (불가)로 탈락하고, $a_3 = 5 \implies a_2 = 8 \implies a_1 \in \{4, 11\}$, $a_3 = 10 \implies a_2 = 13 \implies a_1 = 16$이므로 가능한 자연수 $a_1$은 $4, 11, 16$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 가능한 모든 자연수 $a_1$의 합은 $4 + 11 + 16 = 31$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) $a_1$이 최댓값 $16$일 때 $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6) = (16, 13, 10, 7, 4, 8)$이므로 $\displaystyle\sum_{k=1}^{6} a_k = 58$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 수열의 귀납적 정의와 역추적 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $a_1 = 4, \; 11, \; 16$, $\;$ (2) $31$, $\;$ (3) $58$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x-3)$이므로 $x = 0$에서는 부호가 변하지 않고 $x = 3$에서만 극솟값 $f(3) = -17$을 갖는다 (극댓값 없음).
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) $f(x) - t = 0$의 부호 변화 단순근 개수가 $h(t)$이므로 $t \le -17$에서 $h(t)=0$, $-17 \lt t \lt 10$에서 $h(t)=2$, $t = 10$에서 $f(x)-10 = x^3(x-4)$의 삼중근 $x=0$은 미분가능하고 $x=4$만 미분불가능하여 $h(10)=1$, $t \gt 10$에서 $h(t)=2$이므로 불연속점은 $t = -17, 10$의 $2$개이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) $\displaystyle\lim_{t \to -17^+} h(t) = 2$이고 $h(10) = 1$이므로 합은 $2 + 1 = 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 사차함수 절댓값 미분가능성 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) 극솟값 $-17$ (극댓값 없음), $\;$ (2) $2$개, $\;$ (3) $3$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(f(x) = -(x-2)^2 + 4\)이므로 꼭짓점은 \((2, 4)\)이다. \(t = 1\)일 때 구간은 \([0, 2]\)이다. 이 구간에서 \(x = 2\)일 때 꼭짓점 최댓값 \(4\)를 포함하므로 \(M(1) = 4\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 구간 \([t-1, t+1]\)의 위치에 따라 다음과 같이 나뉜다: - \(t + 1 \lt 2 \rightarrow t \lt 1\): 구간 전체가 꼭짓점 왼쪽에 있으므로 증가구간이다. 최댓값은 오른쪽 끝점인 \(f(t+1)\)이다. \(M(t) = f(t+1) = -(t+1)^2 + 4(t+1) = -t^2 + 2t + 3\) - \(t - 1 \le 2 \le t + 1 \rightarrow 1 \le t \le 3\): 꼭짓점 \(x = 2\)를 포함하므로 최댓값은 꼭짓점 함숫값이다. \(M(t) = 4\) - \(t - 1 \gt 2 \rightarrow t \gt 3\): 구간 전체가 꼭짓점 오른쪽에 있으므로 감소구간이다. 최댓값은 왼쪽 끝점인 \(f(t-1)\)이다. \(M(t) = f(t-1) = -(t-1)^2 + 4(t-1) = -t^2 + 6t - 5\)
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(\int_0^4 M(t)dt = \int_0^1 (-t^2 + 2t + 3)dt + \int_1^3 4 dt + \int_3^4 (-t^2 + 6t - 5)dt\) - \(\int_0^1 (-t^2 + 2t + 3)dt = [-\frac{1}{3}t^3 + t^2 + 3t]_0^1 = -\frac{1}{3} + 1 + 3 = \frac{11}{3}\) - \(\int_1^3 4 dt = 4 \times 2 = 8\) - \(\int_3^4 (-t^2 + 6t - 5)dt = [-\frac{1}{3}t^3 + 3t^2 - 5t]_3^4 = (-\frac{64}{3} + 48 - 20) - (-9 + 27 - 15) = \frac{20}{3} - 3 = \frac{11}{3}\) 따라서 \(\int_0^4 M(t)dt = \frac{11}{3} + 8 + \frac{11}{3} = \frac{22}{3} + \frac{24}{3} = \frac{46}{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 구간 최댓값 함수와 정적분 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $4$, $\;$ (2) $M(t) = \begin{cases} -t^2+2t+3 & (t \lt 1) \\ 4 & (1 \le t \le 3) \\ -t^2+6t-5 & (t \gt 3) \end{cases}$, $\;$ (3) $\dfrac{46}{3}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(f(x) = 2^{x-1} + 1\)의 역함수를 구하면, \(x = 2^{y-1} + 1 \rightarrow 2^{y-1} = x - 1 \rightarrow y - 1 = \log_2(x-1) \rightarrow y = \log_2(x-1) + 1\)이다. 따라서 두 함수의 그래프는 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 직선 \(y = -x + 5\)의 기울기는 \(-1\)이므로 직선 \(y = x\)와 수직이다. 두 점 \(\text{A}\)와 \(\text{B}\)는 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭인 점이다. 직선 \(y = -x + 5\)와 \(y = 2^{x-1} + 1\)의 교점을 구하면, \(2^{x-1} + 1 = -x + 5 \rightarrow 2^{x-1} + x = 4\). \(x = 2\)를 대입하면 \(2^{2-1} + 2 = 2 + 2 = 4\)로 성립하므로, 점 \(\text{A}\)의 좌표는 \((2, 3)\)이다. 직선 \(y = x\)에 대한 대칭점이 점 \(\text{B}\)이므로, 점 \(\text{B}\)의 좌표는 \((3, 2)\)이다. 선분 \(\overline{\text{AB}} = \sqrt{(3-2)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 선분 \(\overline{\text{AB}}\)의 중점을 \(\text{M}\)이라 하면 \(\text{M}\left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)\)이다. 직선 \(\text{AB}\)는 \(x + y - 5 = 0\)이다. 점 \(\text{C}(1, 1)\)에서 직선 \(x + y - 5 = 0\)까지의 거리는 \(d = \frac{|1 + 1 - 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\)이다. 따라서 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이는 \(S = \frac{1}{2} \times \overline{\text{AB}} \times d = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 지수·로그 역함수와 직선의 교점 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) 역함수 대칭 증명 성립, $\;$ (2) $\sqrt{2}$, $\;$ (3) $\dfrac{3}{2}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 반지름의 길이가 $2$인 원 $x^2 + y^2 = 4$ 위의 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 삼각함수의 정의에 의하여 $\mathrm{P}(2\cos\theta, \; 2\sin\theta)$ ($0 \le \theta \lt 2\pi$)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 직선 $3x + 4y - K = 0$과 원점 $(0, 0)$ 사이의 거리가 반지름 $2$ 이하이어야 하므로 $\dfrac{|K|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \le 2 \implies |K| \le 10$이다. 따라서 최댓값은 $10$, 최솟값은 $-10$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) $K = 10$일 때 원과 직선 $3x + 4y = 10$은 접하므로 $y = \dfrac{10 - 3x}{4}$를 원에 대입하면 $(5x - 6)^2 = 0$이 되어 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $\dfrac{6}{5}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼각함수의 정의와 원 위의 점의 최대·최소 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $\mathrm{P}(2\cos\theta, 2\sin\theta)$, $\;$ (2) 최댓값 $10$, 최솟값 $-10$, $\;$ (3) $x = \dfrac{6}{5}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 코사인법칙에 의해 \(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{36 + 49 - 25}{2(6)(7)} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \frac{25}{49}} = \frac{\sqrt{24}}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7}\)이다. 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이는 \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \times 6 \times 7 \times \frac{2\sqrt{6}}{7} = 6\sqrt{6}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 외접원의 반지름 \(R\): 사인법칙에서 \(2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{5}{\frac{2\sqrt{6}}{7}} = \frac{35}{2\sqrt{6}} \rightarrow R = \frac{35}{4\sqrt{6}}\)이다. 내접원의 반지름 \(r\): \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c) \rightarrow 6\sqrt{6} = \frac{1}{2}r(5+6+7) = 9r \rightarrow r = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\)이다. 따라서 두 반지름의 곱은 \(Rr = \frac{35}{4\sqrt{6}} \times \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{70}{12} = \frac{35}{6}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 외접원과 내접원의 융합 기하 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $\cos A = \dfrac{5}{7}$, $\;$ (2) $S = 6\sqrt{6}$, $\;$ (3) $Rr = \dfrac{35}{6}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 두 식을 더하면, \(a_{n+1} + b_{n+1} = 3(a_n + b_n)\)이다. 수열 \(\{a_n + b_n\}\)은 첫째항이 \(a_1 + b_1 = 1 + 2 = 3\)이고 공비가 \(3\)인 등비수열이다. 따라서 \(a_n + b_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면, \(a_{n+1} - b_{n+1} = -(a_n - b_n)\)이다. 수열 \(\{a_n - b_n\}\)은 첫째항이 \(a_1 - b_1 = 1 - 2 = -1\)이고 공비가 \(-1\)인 등비수열이다. 따라서 \(a_n - b_n = -1 \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^n\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) (1)과 (2)의 식을 더하면 \(2a_n = 3^n + (-1)^n \rightarrow a_n = \frac{1}{2}(3^n + (-1)^n)\)이다. \(\sum_{k=1}^5 a_k = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^5 3^k + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^5 (-1)^k\) \(\sum_{k=1}^5 3^k = \frac{3(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{3(242)}{2} = 363\) \(\sum_{k=1}^5 (-1)^k = -1 + 1 - 1 + 1 - 1 = -1\) 따라서 \(\sum_{k=1}^5 a_k = \frac{1}{2}(363 - 1) = \frac{362}{2} = 181\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 상호 교차 점화식 수열 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $3^n$, $\;$ (2) $(-1)^n$, $\;$ (3) $181$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 합 $S_n$에 공비 $2$를 곱하여 변변 빼는 수열의 합 해법을 적용한다. \(S_n = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n\) 양변에 2를 곱하면, \(2S_n = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \cdots + (n-1) \cdot 2^n + n \cdot 2^{n+1}\) 변변 빼면, \(-S_n = 2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n - n \cdot 2^{n+1}\) \(= \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} - n \cdot 2^{n+1} = 2^{n+1} - 2 - n \cdot 2^{n+1} = (1-n)2^{n+1} - 2\) 따라서 \(S_n = (n-1)2^{n+1} + 2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(n = 5\)를 대입하면, \(S_5 = (5-1)2^{5+1} + 2 = 4 \times 2^6 + 2 = 4 \times 64 + 2 = 256 + 2 = 258\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(S_n = (n-1)2^{n+1} + 2 \gt 1000 \rightarrow (n-1)2^{n+1} \gt 998\). - \(n = 6\): \((5)2^7 = 5 \times 128 = 640 \lt 998\) - \(n = 7\): \((6)2^8 = 6 \times 256 = 1536 \gt 998\) 따라서 가장 작은 자연수 \(n = 7\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등차·등비 곱 수열의 합과 부등식 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $S_n = (n-1)2^{n+1} + 2$, $\;$ (2) $258$, $\;$ (3) $n = 7$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곡선 위의 접점의 좌표를 \((t, t^3 - 3t^2 + 4)\)라 하자. \(f'(x) = 3x^2 - 6x\)이므로 접선의 기울기는 \(f'(t) = 3t^2 - 6t\)이다. 접선의 방정식은 \(y - (t^3 - 3t^2 + 4) = (3t^2 - 6t)(x - t)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이 접선이 원점 \((0, 0)\)을 지나므로, \(-(t^3 - 3t^2 + 4) = (3t^2 - 6t)(-t) = -3t^3 + 6t^2\) \(2t^3 - 3t^2 - 4 = 0\)이다. 인수정리를 적용하면 \(t = 2\)일 때 \(2(8) - 3(4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0\)이 성립한다. 조립제법으로 인수분해하면 \((t - 2)(2t^2 + t + 2) = 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(2t^2 + t + 2 = 0\)의 판별식은 \(D = 1 - 16 = -15 \lt 0\)이므로 실근을 갖지 않는다. 따라서 접점의 \(t\)좌표는 오직 \(t = 2\) 하나뿐이다. 접점의 좌표: \((2, 2^3 - 3(4) + 4) = (2, 0)\)이다. 기울기: \(f'(2) = 3(4) - 6(2) = 0\)이다. 따라서 접선의 방정식은 \(y = 0\) (\(x\)축)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 다항함수 원점을 지나는 접선 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 (접선의 방정식: $y = 0$, $\;$ 접점의 좌표: $(2, 0)$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) $y' = 3x^2 - 3$이므로 원점 $(0, 0)$에서의 접선의 기울기는 $y'(0) = -3$이고, 접선 $l$의 방정식은 $y = -3x$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 곡선과 접선 $l$을 연립하면 $x^3 - 3x = -3x \implies x^3 = 0$이므로 교점의 $x$좌표는 $x = 0$ 오직 하나뿐이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 구간 $[0, 2]$에서 $(x^3 - 3x) - (-3x) = x^3 \ge 0$이므로 둘러싸인 넓이는 $S = \displaystyle\int_0^2 x^3\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4\right]_0^2 = 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼차함수의 원점 대칭과 접선으로 둘러싸인 넓이 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) 원점 $(0, 0)$, 접선 $y = -3x$, $\;$ (2) $x = 0$, $\;$ (3) $4$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)이므로 대입하면, \(2(1 - \sin^2 x) - \sin x + a = 0 \rightarrow 2\sin^2 x + \sin x - 2 = a\)이다. \(\sin x = t\)라 치환하면, \(0 \le x \lt 2\pi\)이므로 \(-1 \le t \le 1\)이다. 이때 \(t\)의 값에 따른 \(x\)의 실근의 개수는 다음과 같다: - \(t = 1\) 또는 \(t = -1\): \(x\)는 각각 1개씩 존재
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] - \(-1 \lt t \lt 1\): \(x\)는 각각 2개씩 존재 방정식이 서로 다른 4개의 실근을 가지려면, \(t\)에 대한 이차방정식 \(f(t) = 2t^2 + t - 2 = a\)가 \(-1 \lt t \lt 1\) 범위에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. \(f(t) = 2\left(t + \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{17}{8}\)이므로 꼭짓점은 \(\left(-\frac{1}{4}, -\frac{17}{8}\right)\)이다. - \(t = -\frac{1}{4}\)에서 최솟값 \(f\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{17}{8}\) - \(t = -1\)에서 함숫값 \(f(-1) = 2(-1)^2 + (-1) - 2 = -1\)
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] - \(t = 1\)에서 함숫값 \(f(1) = 2(1)^2 + 1 - 2 = 1\) 그래프에서 직선 \(y = a\)가 \(-1 \lt t \lt 1\) 구간에서 서로 다른 두 점에서 만나려면, 최솟값보다는 크고, \(t = -1\)에서의 함숫값보다는 작거나 같아야 양쪽 두 실근이 모두 \((-1, 1)\)에 속하게 된다. 즉, \(-\frac{17}{8} \lt a \le -1\)이다. (단, \(a = -1\)일 때 한 근은 \(t = -1\)이 되어 \(x\)가 1개, 다른 한 근은 \(t = \frac{1}{2}\)이 되어 \(x\)가 2개로 총 3개가 되므로 등호는 제외되어야 한다!) 따라서 \(-\frac{17}{8} \lt a \lt -1\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼각방정식의 실근 개수와 영역 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($-\dfrac{17}{8} \lt a \lt -1$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) 지름 $\overline{\mathrm{AB}} = 8$에 대한 원주각 $\angle\mathrm{APB} = \dfrac{\pi}{2}$이므로 $\overline{\mathrm{PB}} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$이고, $\triangle\mathrm{PAB} = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 중심 $\mathrm{O}$에서 현 $\overline{\mathrm{PB}}$까지 거리는 $2$이므로 호 $\mathrm{PB}$의 중점에 $\mathrm{Q}$가 위치할 때 $\triangle\mathrm{PBQ}$의 최대 높이는 $4 - 2 = 2$이고, 사각형 넓이의 최댓값은 $8\sqrt{3} + \dfrac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 2 = 12\sqrt{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) 넓이가 최대일 때 $\angle\mathrm{AOP} = \dfrac{\pi}{3}$이므로 호 $\mathrm{PB}$의 중심각 $\dfrac{2\pi}{3}$을 이등분하여 $\angle\mathrm{POQ} = \dfrac{\pi}{3}$이고, $\overline{\mathrm{OP}} = \overline{\mathrm{OQ}} = 4$인 정삼각형에서 $\overline{\mathrm{PQ}} = 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 활꼴과 삼각형의 최적화 기하 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $8\sqrt{3}$, $\;$ (2) $12\sqrt{3}$, $\;$ (3) $4$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) \(x \ge 0, y \ge 0\)이고 \(x \le 2n - 2y\)이다. \(y\)의 값에 따라 가능한 정수 \(x\)의 개수를 센다. \(y\)는 \(0 \le y \le n\)인 정수이다. 각 \(y\)에 대하여 \(x\)는 \(0 \le x \le 2n - 2y\)이므로 개수는 \((2n - 2y + 1)\)개이다. - \(n = 1\): \(y = 0 \rightarrow x \in [0, 2]\) (3개), \(y = 1 \rightarrow x \in [0, 0]\) (1개). \(a_1 = 3 + 1 = 4\). - \(n = 2\): \(y = 0 \rightarrow 5\)개, \(y = 1 \rightarrow 3\)개, \(y = 2 \rightarrow 1\)개. \(a_2 = 5 + 3 + 1 = 9\).
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) \(a_n = \sum_{y=0}^n (2n - 2y + 1)\)이다. 이 수열은 첫째항이 \(2n+1\)이고 공차가 \(-2\)인 등차수열의 항 \((n+1)\)개의 합이다. \(a_n = \frac{(n+1)((2n+1) + 1)}{2} = \frac{(n+1)(2n+2)}{2} = (n+1)^2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) \(\sum_{n=1}^{10} a_n = \sum_{n=1}^{10} (n+1)^2 = \sum_{k=2}^{11} k^2\)이다. \(\sum_{k=1}^{11} k^2 = \frac{11 \times 12 \times 23}{6} = 22 \times 23 = 506\). \(k = 1\)일 때 \(1^2 = 1\)을 빼면, \(\sum_{n=1}^{10} a_n = 506 - 1 = 505\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 격자점과 군수열의 시그마 합 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $a_1 = 4, \; a_2 = 9$, $\;$ (2) $(n+1)^2$, $\;$ (3) $505$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] \(h(x) = |f(x) - g(x)|\)가 실수 전체에서 미분가능하려면, 함수 \(F(x) = f(x) - g(x)\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 모든 점에서 접하거나(이중근 이상), 아예 \(x\)축과 만나지 않고 떠 있어야 한다. \(F(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - mx - n\)은 4차 다항함수이다. \(F(x)\)가 항상 \(0\) 이상이거나 완전제곱식 형태이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 = (x-1)^4 + 2x - 1\)로 변형할 수 있다! 실제로 \((x-1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1\)이므로, \(f(x) = (x-1)^4 + 4x - 1\)이다. 따라서 \(f(x) - (4x - 1) = (x-1)^4 \ge 0\)이다!
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 만약 \(g(x) = 4x - 1\)이라 두면, \(F(x) = f(x) - g(x) = (x-1)^4\)이 된다. 그러면 \(h(x) = |(x-1)^4| = (x-1)^4\)이 되어 실수 전체에서 매끄럽게 미분가능하다! 따라서 \(m = 4, n = -1\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 사차함수 절댓값 전구간 미분가능성 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($m = 4, \; n = -1$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (1) $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3(x-1)^2 - 3$이므로 $x = 1$에서 최솟값 $-3$을 갖는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (2) 구간 $[1, 2]$에서 $|f'(x)| = -3x^2 + 6x$는 $x = 1$일 때 최댓값 $3$을 가지므로 $g(1) = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (3) $0 \le t \le 1$에서는 $1 \in [t, t+1]$이므로 $g(t) = 3$이고, $1 \le t \le 2$에서는 $|f'(t)| = 6t - 3t^2$과 $|f'(t+1)| = 3t^2 - 3$이 $t = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$에서 같아지므로 $\displaystyle\int_0^2 g(t)\,dt = \int_0^1 3\,dt + \int_1^{\frac{1+\sqrt{3}}{2}} (6t - 3t^2)\,dt + \int_{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}^2 (3t^2 - 3)\,dt = 5 + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 평균값 정리와 최댓값 함수 킬러 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $-3$, $\;$ (2) $3$, $\;$ (3) $5 + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 진수 조건 확인 진수 조건에 의해 \(x-1 \gt 0 \implies x \gt 1\), \(7-x \gt 0 \implies x \lt 7\). 따라서 \(1 \lt x \lt 7\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 로그부등식 전개 밑이 2로 1보다 크므로 부등호 방향이 유지된다: \(\log_2\{(x-1)(7-x)\} \ge 3 \iff (x-1)(7-x) \ge 2^3 = 8\) \(-x^2 + 8x - 7 \ge 8 \iff x^2 - 8x + 15 \le 0 \iff (x-3)(x-5) \le 0\). 따라서 \(3 \le x \le 5\).
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 정수 해 및 합 산출 진수 조건 \(1 \lt x \lt 7\)과 연립하면 \(3 \le x \le 5\)이며, 이를 만족하는 정수는 \(3, 4, 5\)이다. 합은 \(3 + 4 + 5 = 12\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 로그부등식의 영역과 격자점 정수 해 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($12$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 각의 치환 및 범위 설정 \(t = 2x - \frac{\pi}{3}\)이라 두면, \(0 \le x \lt 2\pi\)이므로 \(-\frac{\pi}{3} \le 2x - \frac{\pi}{3} \lt 4\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{11}{3}\pi\).
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 방정식 \(\cos t = \frac{1}{2}\)의 해 도출 주어진 범위 안에서 코사인 값이 \(\frac{1}{2}\)이 되는 \(t\)의 값은: \(t = -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}\). (단, \(t = -\frac{\pi}{3}\)은 등호 포함이므로 해에 해당).
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(x\)의 실근 및 합 계산 \(2x = t + \frac{\pi}{3}\)이므로 \(x = \frac{t}{2} + \frac{\pi}{6}\). 4개 근의 합은: \(\sum x = \frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} + \frac{7\pi}{3}\right) + 4 \times \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}(4\pi) + \frac{2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}\) .
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼각함수의 대칭성과 실근의 합 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($\dfrac{8\pi}{3}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 일반항 \(a_n\) 유도 \(n \ge 2\)일 때, \(a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2+3n) - \{2(n-1)^2 + 3(n-1)\} = 4n + 1\). \(n=1\)일 때 \(a_1 = S_1 = 5\)이고, 위 식에 \(n=1\)을 대입하면 \(4(1)+1 = 5\)이므로 모든 자연수 \(n\)에 대해 \(a_n = 4n+1\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부분분수 전개 \(a_{k+1} - a_k = 4\)이므로, \(\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}}\right)\)
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 합 계산 \(\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{11}}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{45}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{45} = \frac{2}{45}\).
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 수열의 합과 일반항의 관계 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($\dfrac{2}{45}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 첫째항과 공차 도출 \(a_7 - a_3 = 4d \implies 10 - 26 = -16 \implies d = -4\). \(a_3 = a_1 + 2(-4) = 26 \implies a_1 = 34\). 따라서 일반항은 \(a_n = 34 + (n-1)(-4) = -4n + 38\).
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양수 항 판정 및 최댓값 \(a_n \gt 0 \iff -4n + 38 \gt 0 \iff 4n \lt 38 \iff n \le 9.5\). 따라서 제9항까지 양수이고, 제10항부터 음수이다 (\(a_9 = 2, a_{10} = -2\)). 그러므로 \(S_n\)은 \(n=9\) (또는 \(n=9, 10\))일 때 최대가 된다. 최댓값은 \(S_9 = \frac{9(34 + 2)}{2} = 9 \times 18 = 162\).
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 위 관계식을 연립·정리하여 최종 답안을 확정한다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등차수열의 합의 최댓값 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $a_n = -4n + 38$, $\;$ (2) $n = 9$ (또는 $n = 9, 10$), 최댓값 $162$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 접점의 좌표를 $(t, t^3 - 3t)$라 하면 $y' = 3x^2 - 3$이므로 접선의 방정식은 $y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이 직선이 점 $(2, 2)$를 지나므로 $2 - t^3 + 3t = (3t^2 - 3)(2 - t) \implies 2(t + 1)(t - 2)^2 = 0$에서 $t = -1$ 또는 $t = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $t = -1$일 때 접선은 $y = 2$이고, $t = 2$일 때 접선은 $y - 2 = 9(x - 2) \implies y = 9x - 16$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 곡선 위의 점과 접선의 방정식 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($y = 2$, $\;$ $y = 9x - 16$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 도함수와 극점 판정 \(f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x^2 - 2x - 3) = -3(x-3)(x+1)\). \(f'(x) = 0 \iff x = -1, 3\). \(x = -1\)에서 극소, \(x = 3\)에서 극대이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 함숫값 계산 \(f(-2) = -(-8) + 3(4) + 9(-2) - 5 = 8 + 12 - 18 - 5 = -3\). \(f(-1) = -(-1) + 3(1) + 9(-1) - 5 = 1 + 3 - 9 - 5 = -10\). \(f(3) = -27 + 27 + 27 - 5 = 22\). \(f(4) = -64 + 48 + 36 - 5 = 15\).
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 결론 최댓값은 22, 최솟값은 -10이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 함수의 극대극소와 최대최소 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 (최댓값 $22$, $\;$ 최솟값 $-10$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 교점의 \(x\)좌표 구하기 \(x^2 - 2x = -x^2 + 4x \iff 2x^2 - 6x = 0 \iff 2x(x-3) = 0\). 따라서 두 곡선의 교점은 \(x = 0\)과 \(x = 3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 정적분 식 수립 및 계산 구간 \([0, 3]\)에서 \(-x^2 + 4x \ge x^2 - 2x\)이므로 넓이 \(S\)는: \(S = \int_0^3 \{(-x^2 + 4x) - (x^2 - 2x)\} dx = \int_0^3 (-2x^2 + 6x) dx\) \(S = \left[-\frac{2}{3}x^3 + 3x^2\right]_0^3 = \left(-\frac{2}{3} \cdot 27 + 3 \cdot 9\right) = -18 + 27 = 9\). (이차곡선 넓이 공식: \(\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3 = \frac{2}{6} \cdot 3^3 = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9\)).
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 위 관계식을 연립·정리하여 최종 답안을 확정한다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($9$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 점이 만나려면 $x_1(t) = x_2(t) \iff t^3 - 11t^2 + 24t = t(t-3)(t-8) = 0$이어야 하므로 출발 후($t \gt 0$) 다시 만나는 시각은 $t = 3$과 $t = 8$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 각 점의 속도는 $v_1(t) = 3t^2 - 18t + 26, \; v_2(t) = 4t + 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $v_1(t) = v_2(t) \iff 3t^2 - 22t + 24 = (3t - 4)(t - 6) = 0$이므로 속도가 같아지는 시각은 $t = \dfrac{4}{3}$와 $t = 6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 수직선 위 두 점의 위치와 만남 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $t = 3, \; 8$, $\;$ (2) $t = \dfrac{4}{3}, \; 6$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $y = 2^{x-1} + 1 \iff x = \log_2(y-1) + 1$에서 $x, y$를 바꾸면 $y = g(x)$이므로 두 함수는 직선 $y = x$에 대칭인 역함수이고, 기울기 $-1$인 직선 $y = -x + k$와의 교점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 중점은 $\left(\dfrac{k}{2}, \dfrac{k}{2}\right)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\mathrm{A}(t, 2^{t-1}+1), \; \mathrm{B}(2^{t-1}+1, t)$ ($t \lt 2^{t-1}+1$)에서 $\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2}(2^{t-1} + 1 - t) = 2\sqrt{2} \iff 2^{t-1} = t + 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 이를 만족하는 양수 $t = 3$이므로 점 $\mathrm{A}(3, 5)$를 $y = -x + k$에 대입하면 $k = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 지수함수와 로그함수의 역함수 및 교점 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) 역함수 대칭 및 중점 $\left(\dfrac{k}{2}, \dfrac{k}{2}\right)$ 증명 성립, $\;$ (2) $k = 8$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 코사인법칙 적용 \(\overline{\mathrm{AC}}^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ = 9 + 16 - 24\left(-\frac{1}{2}\right) = 25 + 12 = 37 \implies \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{37}\)
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 삼각형 \(\mathrm{ADC}\)에서 코사인법칙 및 \(\overline{\mathrm{AD}}\) 산출 원에 내접하는 사각형의 대각의 합은 \(180^\circ\)이므로 \(\angle \mathrm{ADC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). \(\overline{\mathrm{AD}} = x\)라 하면, \(\overline{\mathrm{AC}}^2 = x^2 + 3^2 - 2 \cdot x \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ \implies 37 = x^2 + 9 - 3x \implies x^2 - 3x - 28 = 0\) \((x-7)(x+4)=0\)이므로 \(x \gt 0\)에서 \(x = 7\) .
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 사각형의 넓이 계산 \(S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin 120^\circ + \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{21}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} + \frac{21\sqrt{3}}{4} = \frac{33\sqrt{3}}{4}\).
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙과 원에 내접하는 사각형 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $\sqrt{37}$, $\;$ (2) $7$, $\;$ (3) $\dfrac{33\sqrt{3}}{4}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등차수열 일반항 유도 \(a_n = 2 + (n-1) \cdot 3 = 3n - 1\).
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부분분수 전개 및 망원합 계산 \(a_{k+1} - a_k = 3\)이므로, \(b_k = \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}}\right)\). \(\sum_{k=1}^n b_k = \frac{1}{3}\left\{\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}\right) + \left(\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)\right\} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2}\right) = \frac{n}{2(3n+2)}\)
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] \(n=20\) 대입 \(\sum_{k=1}^{20} b_k = \frac{20}{2(60+2)} = \frac{20}{124} = \frac{5}{31}\).
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등차수열의 합과 부분분수 수열의 합 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $a_n = 3n - 1$, $\;$ (2) $\dfrac{n}{2(3n+2)}$, $\;$ (3) $\dfrac{5}{31}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 항의 순차 계산 \(a_1 = 1 \le 5 \implies a_2 = 1+3 = 4\) \(a_2 = 4 \le 5 \implies a_3 = 4+3 = 7\) \(a_3 = 7 \gt 5 \implies a_4 = 7-4 = 3\) \(a_4 = 3 \le 5 \implies a_5 = 3+3 = 6\) \(a_5 = 6 \gt 5 \implies a_6 = 6-4 = 2\) \(a_6 = 2 \le 5 \implies a_7 = 2+3 = 5\) \(a_7 = 5 \le 5 \implies a_8 = 5+3 = 8\) \(a_8 = 8 \gt 5 \implies a_9 = 8-4 = 4 = a_2\). 따라서 제2항부터 주기 7로 반복됩니다: \((4, 7, 3, 6, 2, 5, 8)\).
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 30개 항의 합 계산 한 주기의 합: \(4+7+3+6+2+5+8 = 35\). 제2항부터 제29항까지 28개 항은 4주기이므로 합은 \(4 \times 35 = 140\). \(a_1 = 1\), \(a_{30} = 4\)이므로 총합은 \(1 + 140 + 4 = 145\) .
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 위 관계식을 연립·정리하여 최종 답안을 확정한다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 수열의 귀납적 정의와 항 추론 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $4, \; 7, \; 3, \; 6, \; 2$, $\;$ (2) 주기 $7$, 합 $145$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 접선의 방정식 유도 \(f'(x) = 3x^2 - 6x\). \(x=2\)에서 기울기는 \(f'(2) = 12 - 12 = 0\). 따라서 접선 \(l\)의 방정식은 \(y = -2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 교점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표 산출 \(x^3 - 3x^2 + 2 = -2 \iff x^3 - 3x^2 + 4 = 0\). \(x=2\)가 중근이므로 \((x-2)^2(x+1) = 0\). 따라서 다른 교점 \(\mathrm{Q}\)의 \(x\)좌표는 \(-1\)이며, 좌표는 \((-1, -2)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 둘러싸인 도형의 넓이 공식 적용 삼차함수와 접선으로 둘러싸인 넓이 공식 \(S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4\)에 의해: \(S = \frac{1}{12}(2 - (-1))^4 = \frac{3^4}{12} = \frac{81}{12} = \frac{27}{4}\).
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼차함수의 접선과 비율 관계 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $y = -2$, $\;$ (2) $\mathrm{Q}(-1, -2)$, $\;$ (3) $\dfrac{27}{4}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 절댓값 함수와 인수의 미분가능성 성질 \(g(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)\)이라 하면, \(f(x) = |x-a|g(x)\)이다. 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 \(g(a) = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 미분계수의 정의를 통한 증명 \(x=a\)에서의 좌미분계수와 우미분계수를 구하면: \(\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{x \to a^+} \frac{(x-a)g(x)}{x-a} = g(a)\) \(\lim_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{x \to a^-} \frac{-(x-a)g(x)}{x-a} = -g(a)\) 미분가능하려면 \(g(a) = -g(a) \iff 2g(a) = 0 \iff g(a) = 0\)이어야 한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 상수 \(a\)의 결정 \(g(a) = (a-1)(a-3) = 0\)이므로 \(a = 1\) 또는 \(a = 3\)이다. \(x \ne a\)인 모든 점에서는 다항함수의 곱이므로 당연히 미분가능하므로, 실수 전체에서 미분가능하게 만드는 \(a\)는 1과 3이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 절댓값 함수의 미분가능성과 연속성 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($a = 1$ 또는 $a = 3$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 도함수 도출 및 극점 판정 \(f'(x) = x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)\). \(f'(x) = 0\)인 점은 \(x = -1\) (극대), \(x = 3\) (극소)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 함수식 적분 및 경계값 계산 \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x\). 극댓값: \(f(-1) = -\frac{1}{3} - 1 + 3 = \frac{5}{3}\). 극솟값: \(f(3) = 9 - 9 - 9 = -9\). 경계값: \(f(-2) = -\frac{8}{3} - 4 + 6 = -\frac{2}{3}\). 경계값: \(f(4) = \frac{64}{3} - 16 - 12 = \frac{64}{3} - 28 = -\frac{20}{3}\).
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 최대·최소 결정 비교하면 최댓값은 \(\frac{5}{3}\) (\(x=-1\)), 최솟값은 \(-9\) (\(x=3\))이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정적분 정의 함수의 극값과 최댓값 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 (최댓값 $\dfrac{5}{3}$, $\;$ 최솟값 $-9$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 운동 방향 전환 시각 운동 방향을 바꾸는 시각은 \(v(t) = 0\)이면서 속도의 부호가 바뀌는 순간이다. \(3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3) = 0 \implies t=1, t=3\).
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 위치의 변화량 계산 \(\Delta x = \int_0^4 v(t)dt = [t^3 - 6t^2 + 9t]_0^4 = 64 - 96 + 36 = 4\).
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 움직인 거리 계산 움직인 거리는 속력의 적분 \(\int_0^4 |v(t)|dt\)이다. \([0, 1]\): \(v(t) \ge 0 \implies \int_0^1 v(t)dt = [t^3 - 6t^2 + 9t]_0^1 = 4\). \([1, 3]\): \(v(t) \le 0 \implies -\int_1^3 v(t)dt = -[t^3 - 6t^2 + 9t]_1^3 = -(0 - 4) = 4\). \([3, 4]\): \(v(t) \ge 0 \implies \int_3^4 v(t)dt = [t^3 - 6t^2 + 9t]_3^4 = 4 - 0 = 4\). 따라서 총 움직인 거리는 \(4 + 4 + 4 = 12\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 속도 함수와 점의 이동 거리 해결을 위한 핵심 공식·정의 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 단계별 동치 식 변형·연산 수행 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $t = 1, \; 3$, $\;$ (2) $4$, $\;$ (3) $12$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 접점의 $x$좌표를 $\alpha, \beta\ (\alpha \lt \beta)$라 하면 $f(x) - (mx + n) = (x - \alpha)^2(x - \beta)^2 = \{x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\}^2$이 항등식이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x^3, x^2$의 계수를 비교하면 $\alpha + \beta = 1, \; \alpha\beta = -2$에서 $\alpha = -1, \; \beta = 2$이고, $(x^2 - x - 2)^2 = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$와 비교하면 $7 - m = 4, \; 2 - n = 4$에서 $m = 3, \; n = -2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 이중접선은 $y = 3x - 2$이고, 둘러싸인 넓이는 $S = \displaystyle\int_{-1}^2 (x + 1)^2(x - 2)^2\,dx = \dfrac{(2 - (-1))^5}{30} = \dfrac{81}{10}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 사차함수의 이중접선과 둘러싸인 넓이 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $y = 3x - 2$, (2) $\dfrac{81}{10}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $54 = 2 \times 3^3$이므로 지수법칙에 의하여 $\left(\sqrt[3]{54}\right)^n = \left(3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}\right)^n = 3^n \cdot 2^{\frac{n}{3}}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $3^n$은 항상 자연수이므로 $3^n \cdot 2^{\frac{n}{3}}$이 자연수가 되려면 지수 $\dfrac{n}{3}$이 자연수, 즉 $n$이 $3$의 배수여야 한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $2 \le n \le 50$인 $3$의 배수는 $3, 6, 9, \dots, 48$이므로 최솟값은 $3$이고 개수는 $16$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 거듭제곱근과 유리수 지수의 자연수 조건 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 (최솟값 $3$, 개수 $16$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a^2 = b^3 = c^5 = k\ (k \gt 0, \; k \ne 1)$로 놓으면 $a = k^{\frac{1}{2}}, \; b = k^{\frac{1}{3}}, \; c = k^{\frac{1}{5}}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 로그의 성질에 의하여 $\log_a bc = \dfrac{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}{\frac{1}{2}} = \dfrac{16}{15}$이고, $\log_b ca = \dfrac{\frac{1}{5} + \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{21}{10}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 값은 $\dfrac{16}{15} + \dfrac{21}{10} = \dfrac{32 + 63}{30} = \dfrac{19}{6}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 로그의 밑의 변환과 비례식 연산 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($\dfrac{19}{6}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $t = 3^x$로 치환하면 $-1 \le x \le 2$에서 밑 $3 \gt 1$이므로 $\dfrac{1}{3} \le t \le 9$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 주어진 함수는 $g(t) = t^2 - 6t + 14 = (t - 3)^2 + 5$로 변형되며, 꼭짓점 $t = 3$이 구간 $\left[\dfrac{1}{3}, 9\right]$에 속한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $t = 3\ (x = 1)$일 때 최솟값 $m = 5$이고, $t = 9\ (x = 2)$일 때 최댓값 $M = (9 - 3)^2 + 5 = 41$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 지수함수의 치환과 최대·최소 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($M = 41, \; m = 5$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부채꼴의 반지름을 $r$, 호의 길이를 $l$이라 하면 $2r + l = 24$에서 $l = 24 - 2r\ (0 \lt r \lt 12)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부채꼴의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}rl = \dfrac{1}{2}r(24 - 2r) = -(r - 6)^2 + 36$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $r = 6$일 때 최대 넓이 $S = 36$을 가지며, 이때 $l = 12$이므로 중심각의 크기는 $\theta = \dfrac{l}{r} = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 부채꼴의 둘레와 넓이의 최댓값 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($r = 6, \; \theta = 2, \; S = 36$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부분분수 항등식 $\dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{B - A}\left(\dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\right)$에 의하여 $\dfrac{4}{(2k - 1)(2k + 1)} = 2\left(\dfrac{1}{2k - 1} - \dfrac{1}{2k + 1}\right)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $k = 1$부터 $15$까지 대입하여 더하면 이웃한 항이 소거되어 $2\left\{\left(1 - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{29} - \dfrac{1}{31}\right)\right\}$가 된다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 남는 첫 항과 끝 항을 정리하면 $2\left(1 - \dfrac{1}{31}\right) = \dfrac{60}{31}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 부분분수 변형을 이용한 수열의 합 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($\dfrac{60}{31}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to \infty$ 극한 조건으로부터 $f(x) - x^3$은 최고차항의 계수가 $2$인 이차함수이므로 $f(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b$로 놓는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x \to 1$에서 분모가 $0$으로 수렴하므로 $f(1) = 3 + a + b = 0$이고, 미분계수 $f'(1) = 3 + 4 + a = -4$에서 $a = -11, \; b = 8$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = x^3 + 2x^2 - 11x + 8$이므로 $f(3) = 27 + 18 - 33 + 8 = 20$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 함수의 극한을 이용한 다항함수 결정 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($20$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 항등식에 $x = 2$를 대입하면 $0 = 8 - 4a + 8 - 4$이므로 $4a = 12 \implies a = 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a = 3$일 때 우변을 인수분해하면 $x^3 - 3x^2 + 4x - 4 = (x - 2)(x^2 - x + 2)$이므로 $x \ne 2$일 때 $f(x) = x^2 - x + 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 함수 $f(x)$가 $x = 2$에서 연속이므로 $f(2) = \displaystyle\lim_{x \to 2} (x^2 - x + 2) = 4 - 2 + 2 = 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 함수의 연속성과 미정계수 결정 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($a = 3, \; f(2) = 4$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 접점의 $y$좌표는 $g(2) = (4 - 4 + 3)f(2) = 3 \times 3 = 9$이고, 곱의 미분법에 의하여 $g'(x) = (2x - 2)f(x) + (x^2 - 2x + 3)f'(x)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x = 2$를 대입하면 접선의 기울기는 $g'(2) = 2f(2) + 3f'(2) = 2 \times 3 + 3 \times (-5) = -9$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 점 $(2, 9)$를 지나고 기울기가 $-9$인 직선이므로 접선의 방정식은 $y - 9 = -9(x - 2)$, 즉 $y = -9x + 27$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 곱의 미분법과 접선의 방정식 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($y = -9x + 27$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부등식을 $h(x) = x^4 - 6x^2 + 8x + 15 \ge k$로 변형하면 함수 $h(x)$의 최솟값이 $k$ 이상이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $h'(x) = 4x^3 - 12x + 8 = 4(x - 1)^2(x + 2)$이므로 $h(x)$는 $x = -2$에서 유일한 극소이자 최솟값을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 최솟값은 $h(-2) = 16 - 24 - 16 + 15 = -9$이므로 $k \le -9$에서 실수 $k$의 최댓값은 $-9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 도함수를 이용한 사차부등식의 성립 조건 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($-9$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 정적분과 미분의 관계에 의하여 $F'(x) = x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $F'(x) = 0$에서 $F(x)$는 $x = 1$에서 극댓값 $M = F(1) = 0$을 갖고, $x = 4$에서 극솟값 $m = F(4)$를 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $m = \displaystyle\int_1^4 (t - 1)(t - 4)\,dt = -\dfrac{(4 - 1)^3}{6} = -\dfrac{9}{2}$이므로 $M - m = 0 - \left(-\dfrac{9}{2}\right) = \dfrac{9}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정적분으로 정의된 함수의 극댓값과 극솟값 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($\dfrac{9}{2}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그의 진수 조건에 의하여 $x - 3 \gt 0$이고 $9 - x \gt 0$이므로 $3 \lt x \lt 9$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 밑이 $2 \gt 1$이므로 $\log_2\{(x - 3)(9 - x)\} \ge \log_2 8 \iff (x - 3)(9 - x) \ge 8 \iff x^2 - 12x + 35 = (x - 5)(x - 7) \le 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 진수 조건과의 공통범위는 $5 \le x \le 7$이며, 정수 $x = 5, 6, 7$의 합은 $18$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 로그부등식의 해와 진수 조건 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($5 \le x \le 7$, 합 $18$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 이용하기 위하여 $\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$의 양변을 제곱한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $1 - 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{7}{4}$이므로 $\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 곱셈 공식에 의하여 $\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\sin\theta - \cos\theta)(1 + \sin\theta\cos\theta) = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\left(1 - \dfrac{3}{8}\right) = \dfrac{5\sqrt{7}}{16}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼각함수 사이의 관계와 곱셈 공식 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $-\dfrac{3}{8}$, (2) $\dfrac{5\sqrt{7}}{16}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 원에 내접하는 사각형의 마주 보는 각의 합은 $\pi$이므로 $\angle D = \pi - \angle B$에서 $\cos D = -\cos B$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\triangle\mathrm{ABC}$와 $\triangle\mathrm{ACD}$에 코사인법칙을 적용하면 $\overline{\mathrm{AC}}^2 = 34 - 30\cos B = 29 + 20\cos B$에서 $50\cos B = 5 \implies \cos B = \dfrac{1}{10}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\cos B = \dfrac{1}{10}$을 대입하면 $\overline{\mathrm{AC}}^2 = 34 - 3 = 31$이므로 $\overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{31}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 원에 내접하는 사각형과 코사인법칙 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $\dfrac{1}{10}$, (2) $\sqrt{31}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 공차를 $d$라 하면 $a_5 - a_1 = 4d = 17 - 29 = -12$에서 $d = -3$이므로 일반항은 $a_n = 29 - 3(n - 1) = 32 - 3n$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_n \gt 0$을 풀면 $32 - 3n \gt 0 \iff n \le 10$이므로 제$10$항($a_{10} = 2$)까지 양수이고 제$11$항($a_{11} = -1$)부터 음수이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $n = 10$일 때 부분합이 최대이며, 최댓값은 $S_{10} = \dfrac{10(29 + 2)}{2} = 155$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등차수열의 일반항과 부분합의 최댓값 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($n = 10$, 최댓값 $155$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 점화식에 $n = 1, 2, 3$을 차례로 대입하면 $a_1 = 5$(홀) $\implies a_2 = 3$(홀) $\implies a_3 = 2$(짝) $\implies a_4 = 5$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_4 = a_1 = 5$이므로 수열 $\{a_n\}$은 $(5, 3, 2)$가 주기 $3$으로 반복되며, 한 주기의 합은 $5 + 3 + 2 = 10$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $40 = 3 \times 13 + 1$이므로 $\displaystyle\sum_{k=1}^{40} a_k = 13 \times 10 + a_1 = 130 + 5 = 135$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 수열의 귀납적 정의와 주기성 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $a_2 = 3, \; a_3 = 2, \; a_4 = 5$, (2) $135$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 + 2x - 10$이라 하면 다항함수 $f(x)$는 실수 전체에서 연속이고 $f'(x) = 3x^2 + 2 \gt 0$이므로 순증가한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 정수에서의 함숫값을 조사하면 $f(1) = 1 + 2 - 10 = -7 \lt 0$이고 $f(2) = 8 + 4 - 10 = 2 \gt 0$이므로 $f(1)f(2) \lt 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 사잇값의 정리와 증가 성질에 의하여 열린구간 $(1, 2)$에서 유일한 실근을 가지므로 $n = 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 사잇값의 정리를 이용한 실근의 존재 구간 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($n = 1$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x)$는 닫힌구간 $[0, 3]$에서 연속이고 열린구간 $(0, 3)$에서 미분가능하며, 평균변화율은 $\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{6 - 0}{3} = 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$이므로 $f'(c) = 2$에서 $3c^2 - 6c + 2 = 2 \iff 3c(c - 2) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \lt c \lt 3$인 값을 택하면 $c = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 다항함수의 평균값 정리 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($c = 2$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$라 하면 $f'(x) = 3(x + 1)(x - 3)$이므로 $x = -1$에서 극댓값 $f(-1) = 5$, $x = 3$에서 극솟값 $f(3) = -27$을 갖는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $y = f(x)$의 그래프가 $y$축과 원점 $(0, 0)$에서 만나므로 직선 $y = k$가 $x \lt 0$에서 두 번, $x \gt 0$에서 한 번 만나려면 $f(0) \lt k \lt f(-1)$이어야 한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 실수 $k$의 범위는 $0 \lt k \lt 5$이고, 정수 $k$는 $1, 2, 3, 4$의 $4$개이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼차방정식의 실근의 부호 판별 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($0 \lt k \lt 5$, 개수 $4$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$이므로 구간 $[0, 1], [3, 4]$에서는 피적분함수가 양수이고 구간 $[1, 3]$에서는 음수이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간을 나누어 계산하면 $\displaystyle\int_0^1 (x^2 - 4x + 3)\,dx = \dfrac{4}{3}$, $\displaystyle\int_1^3 (-x^2 + 4x - 3)\,dx = \dfrac{(3 - 1)^3}{6} = \dfrac{4}{3}$, $\displaystyle\int_3^4 (x^2 - 4x + 3)\,dx = \dfrac{4}{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 세 구간의 정적분을 모두 더하면 $\dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 절댓값 기호를 포함한 정적분 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($4$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $v(t) = 3(t - 1)(t - 4) = 0$에서 $t = 1, \; t = 4$를 경계로 속도의 부호가 바뀌므로 운동 방향이 바뀌는 시각은 $t = 1$과 $t = 4$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 위치 함수 $x(t) = t^3 - \dfrac{15}{2}t^2 + 12t$에서 $x(0) = 0, \; x(1) = \dfrac{11}{2}, \; x(4) = -8, \; x(5) = -\dfrac{5}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 실제 움직인 거리는 $\displaystyle\int_0^5 |v(t)|\,dt = \left|\dfrac{11}{2} - 0\right| + \left|-8 - \dfrac{11}{2}\right| + \left|-\dfrac{5}{2} - (-8)\right| = \dfrac{11 + 27 + 11}{2} = \dfrac{49}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 수직선 위를 움직이는 점의 이동 거리 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $t = 1, \; t = 4$, (2) $\dfrac{49}{2}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x)$와 $g(x)$는 서로 역함수 관계이므로 기울기가 $-1$인 직선 $y = -x + 8$과의 두 교점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $3^{x - 2} + 2 = -x + 8 \iff 3^{x - 2} + x = 6$의 좌변은 순증가함수이고 $x = 3$일 때 등식이 성립하므로 $\mathrm{A}(3, 5), \; \mathrm{B}(5, 3)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{2}$이고 원점 $\mathrm{O}$에서 직선 $x + y - 8 = 0$까지의 거리는 $\dfrac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$이므로 $\triangle\mathrm{OAB} = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 지수·로그함수의 역함수 대칭과 삼각형 넓이 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $\mathrm{A}(3, 5), \; \mathrm{B}(5, 3)$, (2) $8$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 $f(x)$의 주기는 $\dfrac{2\pi}{\frac{2}{3}} = 3\pi$이므로 닫힌구간 $[0, 6\pi]$에는 정확히 $2$주기의 그래프가 그려진다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\theta = \dfrac{2}{3}x\ (0 \le \theta \le 4\pi)$로 치환하면 $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$의 실근은 $\theta = \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{9\pi}{4}, \dfrac{11\pi}{4}$이므로 $n = 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x_k = \dfrac{3}{2}\theta_k$이므로 모든 실근의 합은 $\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{9\pi}{4} + \dfrac{11\pi}{4}\right) = \dfrac{3}{2} \times 6\pi = 9\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼각함수 그래프의 주기와 대칭성을 이용한 실근의 합 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $n = 4$, (2) $9\pi$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 코사인법칙에 의하여 $\overline{\mathrm{BC}}^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cos\dfrac{2\pi}{3} = 76$이므로 $\overline{\mathrm{BC}} = 2\sqrt{19}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 사인법칙 $2R = \dfrac{2\sqrt{19}}{\sin\frac{2\pi}{3}} = \dfrac{4\sqrt{57}}{3}$에서 $R = \dfrac{2\sqrt{57}}{3}$이고, 넓이 분할식 $\triangle\mathrm{ABC} = \triangle\mathrm{ABD} + \triangle\mathrm{ACD}$를 세운다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{1}{2}(6 + 4)\overline{\mathrm{AD}}\sin\dfrac{\pi}{3}$에서 $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{3}$을 약분하면 $24 = 10\overline{\mathrm{AD}} \implies \overline{\mathrm{AD}} = \dfrac{12}{5}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 사인·코사인법칙과 각의 이등분선 길이 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $\overline{\mathrm{BC}} = 2\sqrt{19}, \; R = \dfrac{2\sqrt{57}}{3}$, (2) $\dfrac{12}{5}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $(a_{2n+1} + a_{2n+2}) + (a_{2n} - a_{2n+1}) = (4n + 5) + 2$에서 $a_{2n} + a_{2n+2} = 4n + 7$이고, $a_1 = 2$에서 $a_2 = 3, \; a_3 = 1, \; a_4 = 8$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_{2n+2} + a_{2n+4} = 4n + 11$에서 위 식을 빼면 $a_{2n+4} - a_{2n} = 4$이므로 짝수 번호 부분수열 $\{a_{4m}\}$은 공차가 $4$인 등차수열을 이루어 $a_{20} = a_4 + 4 \times 4 = 24$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구하는 합은 짝지어 묶으면 $\displaystyle\sum_{k=1}^{20} a_k = \sum_{n=1}^{10} (a_{2n-1} + a_{2n}) = \sum_{n=1}^{10} (4n + 1) = 4 \times 55 + 10 = 230$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 이웃한 두 항의 관계가 주어진 수열의 합 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $24$, (2) $230$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $t = 2^x$로 치환하면 $x \gt 0 \iff t \gt 1$이므로 이차방정식 $t^2 - (k + 2)t + 3k - 3 = 0$이 $1$보다 큰 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 좌변을 인수분해하면 $(t - 3)\{t - (k - 1)\} = 0$이므로 두 근은 $t = 3$과 $t = k - 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $3 \gt 1$은 이미 성립하므로 다른 한 근이 $k - 1 \gt 1$이고 중근을 피하기 위해 $k - 1 \ne 3$이어야 하므로 $2 \lt k \lt 4$ 또는 $k \gt 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 치환을 이용한 지수방정식의 양의 실근 조건 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($2 \lt k \lt 4$ 또는 $k \gt 4$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f'(x) = 3x(x - 2)$이므로 극댓값은 $f(0) = 6$, 극솟값은 $f(2) = 2$이며, $f(x) = k$가 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 $k = 6$ 또는 $k = 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $k = 2$이면 $f(x) - 2 = (x + 1)(x - 2)^2$이므로 $\alpha = -1 \lt 0$(부적합)이고, $k = 6$이면 $f(x) - 6 = x^2(x - 3)$이므로 중근 $x = 0$에서는 미분가능하고 $\alpha = 3 \gt 0$에서만 미분가능하지 않다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $k = 6, \; \alpha = 3$이고, 구간 $[0, 3]$에서 $g(x) = 3x^2 - x^3$이므로 $\displaystyle\int_0^3 (3x^2 - x^3)\,dx = \left[x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^3 = \dfrac{27}{4}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 절댓값 삼차함수 $|f(x)-k|$의 미분가능성과 정적분 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $k = 6, \; \alpha = 3$, (2) $\dfrac{27}{4}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 - x, \; g(x) = ax^2 + b$라 하면 점 $(1, 0)$에서 함숫값과 미분계수가 같으므로 $g(1) = a + b = 0$이고 $g'(1) = 2a = f'(1) = 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 연립하면 $a = 1, \; b = -1$이고 공통접선은 $y = 2(x - 1) = 2x - 2$이며, $f(x) - g(x) = x^3 - x^2 - x + 1 = (x - 1)^2(x + 1)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 곡선은 $x = -1$과 $x = 1$에서 만나므로 둘러싸인 넓이는 $S = \displaystyle\int_{-1}^1 (x - 1)^2(x + 1)\,dx = \dfrac{(1 - (-1))^4}{12} = \dfrac{4}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 두 곡선의 공통접선과 둘러싸인 도형의 넓이 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $a = 1, \; b = -1$, 접선 $y = 2x - 2$, (2) $\dfrac{4}{3}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 좌변을 $x\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt - \int_1^x tf(t)\,dt$로 전개하고 양변에 $x = 1$을 대입하면 $0 = 1 - 2 + a + b \implies a + b = 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 전개식의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $H(x) = \displaystyle\int_1^x f(t)\,dt = 4x^3 - 6x^2 + a$이고, $H(1) = 0$에서 $4 - 6 + a = 0 \implies a = 2, \; b = -1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $H(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2$의 양변을 다시 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 12x^2 - 12x$이므로 $f(3) = 108 - 36 = 72$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $(x-t)f(t)$ 꼴 정적분으로 정의된 함수의 미분 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $a = 2, \; b = -1$, (2) $72$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곡선 $y = -x^2 + 6x = -x(x - 6)$과 $x$축의 교점은 $x = 0, \; 6$이므로 넓이는 $S = \displaystyle\int_0^6 (-x^2 + 6x)\,dx = \dfrac{6^3}{6} = 36$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 직선 $y = mx\ (0 \lt m \lt 6)$와 곡선의 교점은 $x = 0, \; 6 - m$이므로 위쪽 부분의 넓이는 $\displaystyle\int_0^{6-m} \{-x^2 + (6 - m)x\}\,dx = \dfrac{(6 - m)^3}{6}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 이 넓이가 $\dfrac{S}{2} = 18$과 같아야 하므로 $\dfrac{(6 - m)^3}{6} = 18 \implies (6 - m)^3 = 108$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 곡선과 $x$축으로 둘러싸인 넓이의 이등분 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $36$, (2) $108$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 구의 중심에서 밑면까지의 거리가 $\dfrac{h}{2}$이므로 피타고라스 정리에 의하여 $r^2 + \left(\dfrac{h}{2}\right)^2 = 3^2 = 9 \implies r^2 = 9 - \dfrac{1}{4}h^2\ (0 \lt h \lt 6)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부피는 $V(h) = \pi r^2 h = \pi\left(9h - \dfrac{1}{4}h^3\right)\ (0 \lt h \lt 6)$이고, 미분하면 $V'(h) = \pi\left(9 - \dfrac{3}{4}h^2\right) = 0$에서 $h = 2\sqrt{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $h = 2\sqrt{3}$에서 극대이자 최대이므로 최대 부피는 $V(2\sqrt{3}) = \pi\left(18\sqrt{3} - 6\sqrt{3}\right) = 12\sqrt{3}\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 구에 내접하는 직원기둥의 부피의 최댓값 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $V(h) = \pi\left(9h - \dfrac{1}{4}h^3\right)\ (0 \lt h \lt 6)$, (2) $h = 2\sqrt{3}$, 최대 부피 $12\sqrt{3}\pi$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $10 \le x \lt 1000$의 각 변에 상용로그를 취하면 $1 \le \log x \lt 3$이고, 두 상용로그의 소수부분이 같으므로 차 $\log x^3 - \log x = 2\log x$는 정수이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2 \le 2\log x \lt 6$인 정수는 $2\log x = 2, 3, 4, 5$이므로 $\log x = 1, \dfrac{3}{2}, 2, \dfrac{5}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 모든 실수 $x$의 값의 곱을 $P$라 하면 $\log P = 1 + \dfrac{3}{2} + 2 + \dfrac{5}{2} = 7$이므로 $P = 10^7$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 상용로그의 소수부분이 같을 조건 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($10^7$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $g(x) = \log_2 x + 2 = f(x) + 2$이므로 $\overline{\mathrm{AB}} = g(k) - f(k) = 2$이고 $\overline{\mathrm{CD}} = g(4k) - f(4k) = 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\overline{\mathrm{AB}} \parallel \overline{\mathrm{CD}}$이고 길이가 같으므로 사각형 $\mathrm{ABDC}$는 밑변이 $2$, 높이가 $4k - k = 3k$인 평행사변형이며, 넓이 $2 \times 3k = 6k = 18$에서 $k = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\mathrm{A}(3, \log_2 3), \; \mathrm{D}(12, \log_2 3 + 4)$이므로 직선 $\mathrm{AD}$의 기울기는 $\dfrac{4}{12 - 3} = \dfrac{4}{9}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 평행이동한 로그함수 그래프와 평행사변형의 넓이 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $2$, (2) $k = 3$, 기울기 $\dfrac{4}{9}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$를 대입하고 $t = \sin x\ (-1 \le t \le 1)$로 치환하면 $h(t) = t^2 + 2at + a - 3 \lt 0$이 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 항상 성립해야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이차함수 $h(t)$는 아래로 볼록하므로 닫힌구간 $[-1, 1]$에서의 최댓값은 양 끝점 $t = -1$ 또는 $t = 1$에서 나타난다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $h(-1) = -a - 2 \lt 0$과 $h(1) = 3a - 2 \lt 0$이 동시에 성립해야 하므로 구하는 범위는 $-2 \lt a \lt \dfrac{2}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 제한된 범위로 치환된 삼각부등식의 항상 성립 조건 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($-2 \lt a \lt \dfrac{2}{3}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 선분 $\mathrm{AB}$가 반원의 지름이므로 원주각 $\angle\mathrm{APB} = \dfrac{\pi}{2}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 직각삼각형 $\mathrm{PAB}$에서 $\overline{\mathrm{PA}} = 15 \times \dfrac{3}{5} = 9$이고 $\overline{\mathrm{PB}} = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\triangle\mathrm{PAQ}$에 코사인법칙을 적용하면 $\overline{\mathrm{PQ}}^2 = 9^2 + 5^2 - 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot \dfrac{3}{5} = 52$이므로 $\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{13}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 반원 위의 원주각과 코사인법칙의 활용 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $\overline{\mathrm{PA}} = 9, \; \overline{\mathrm{PB}} = 12$, (2) $2\sqrt{13}$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $T_n = 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$의 양변에 공비 $3$을 곱하면 $3T_n = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + \cdots + (n - 1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 두 식을 변끼리 빼면 $-2T_n = (1 + 3 + \cdots + 3^{n-1}) - n \cdot 3^n = \dfrac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n = \dfrac{(1 - 2n)3^n - 1}{2}$이므로 $T_n = \dfrac{(2n - 1)3^n + 1}{4}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $n = 5$를 대입하면 $T_5 = \dfrac{9 \times 243 + 1}{4} = \dfrac{2188}{4} = 547$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 공비를 곱해 차를 구하는 등차·등비 결합 수열의 합 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $T_n = \dfrac{(2n - 1)3^n + 1}{4}$, (2) $547$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \gt 0$일 때 $\dfrac{2x + 1}{3x^3 + 5x + 2} \gt 0$이므로 부등식의 각 변에 곱해도 부등호의 방향이 유지된다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\dfrac{12x^3 + 2x^2 - 2x}{3x^3 + 5x + 2} \le \dfrac{(2x + 1)f(x)}{3x^3 + 5x + 2} \le \dfrac{12x^3 + 12x^2 + 3x}{3x^3 + 5x + 2}$가 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x \to \infty$일 때 좌변과 우변의 극한값이 모두 $\dfrac{12}{3} = 4$이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 구하는 극한값은 $4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 함수의 극한의 대소 관계 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ($4$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x = 2$에서 연속이므로 좌극한과 함숫값이 같아 $8 + 2a + b = 4b - 6 + 4 \implies 2a - 3b = -10$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x = 2$에서 좌미분계수와 우미분계수가 같으므로 $12 + a = 4b - 3 \implies a = 4b - 15$이고, 연립하면 $b = 4, \; a = 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f'(1) = 3(1)^2 + 1 = 4$이고 $f(3) = 4(9) - 9 + 4 = 31$이므로 $f'(1) + f(3) = 35$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 구간별로 정의된 함수의 미분가능성 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $a = 1, \; b = 4$, (2) $35$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 방정식 $f(x) - 3 = 0$이 $x = -1$을 중근, $x = 5$를 단순실근으로 가지므로 $f(x) - 3 = (x + 1)^2(x - 5)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 전개하여 정리하면 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 2$이고, 미분하면 $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(x)$는 $x = 3$에서 극소이므로 구하는 극솟값은 $f(3) = 27 - 27 - 27 - 2 = -29$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 접선 조건을 이용한 삼차함수의 식 작성과 극솟값 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 2$, (2) $-29$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(-t) = f(t)$이므로 $5tf(t)$는 원점 대칭 함수가 되어 $\displaystyle\int_{-1}^1 5tf(t)\,dt = 0$이고, $\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)\,dt = 2K$이므로 $f(x) = 3x^2 + 2K$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $K = \displaystyle\int_0^1 (3t^2 + 2K)\,dt = \left[t^3 + 2Kt\right]_0^1 = 1 + 2K$이므로 $K = -1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = 3x^2 - 2$이므로 $f(2) = 12 - 2 = 10$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대칭구간 정적분 항등식과 우함수·기함수 성질 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $K = -1$, (2) $10$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 대입하면 $f(1) = 1 + 1 = 2$이고 $f(3) = 27 + 3 = 30$이며, $x \ge 1$에서 $f(x) \gt 0, \; g(x) \gt 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 역함수의 그래프의 직선 $y = x$ 대칭성에 의하여 $\displaystyle\int_2^{30} g(x)\,dx$는 곡선 $y = f(x)$와 $y$축 및 두 직선 $y = 2, \; y = 30$으로 둘러싸인 넓이와 같다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 정적분이 나타내는 영역을 합치면 직사각형들의 차가 되므로 $3 \times 30 - 1 \times 2 = 88$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼차함수와 역함수의 정적분의 합 해결을 위한 핵심 공식·성질 및 초기 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건 대입 및 동치 변형·핵심 계산 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 ((1) $f(1) = 2, \; f(3) = 30$, (2) $88$)을 논리적 비약 없이 정확히 도출 | 3점 |
| 모집단위 | 모집인원 | 명목경쟁률 | 실질경쟁률 | 최초합 평균 | 70% 충원컷 | 수능최저 기준 | 실시간 합격 판정 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 컴퓨터과학과 | 8명 | 31.25 : 1 | 18.5 : 1 | 95.0점 | 92.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 게임전공 | 6명 | 26.50 : 1 | 16.2 : 1 | 97.0점 | 92.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 애니메이션전공 | 6명 | 29.17 : 1 | 17.8 : 1 | 97.0점 | 95.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 빅데이터융합전공 | 7명 | 28.43 : 1 | 17.1 : 1 | 95.0점 | 92.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 지능IOT융합전공 | 5명 | 23.80 : 1 | 14.5 : 1 | 97.0점 | 94.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 핀테크전공 | 5명 | 21.40 : 1 | 13.2 : 1 | 95.0점 | 92.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 수학교육과 | 5명 | 20.20 : 1 | 12.6 : 1 | 94.0점 | 91.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 융합전자공학전공 | 8명 | 19.13 : 1 | 11.8 : 1 | 94.0점 | 89.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 전기공학전공 | 8명 | 18.50 : 1 | 11.4 : 1 | 94.0점 | 92.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 화공신소재전공 | 8명 | 17.25 : 1 | 10.8 : 1 | 94.0점 | 89.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 스마트모빌리티전공 | 9명 | 15.67 : 1 | 9.8 : 1 | 91.0점 | 87.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 생명공학전공 | 5명 | 17.80 : 1 | 11.0 : 1 | 95.0점 | 91.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 바이오생명공학전공 | 5명 | 16.40 : 1 | 10.2 : 1 | 92.0점 | 84.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 식품영양학전공 | 5명 | 14.20 : 1 | 8.9 : 1 | 87.0점 | 86.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
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|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제2회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제3회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제4회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제5회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제6회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제7회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제8회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제9회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제10회 | 2026. . . | 분 | / 100 |