2027학년도 서강대학교 자연계열 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 163쪽 단권화

2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본

2027학년도 서강대학교
자연계열 수리논술
10회분 통합 마스터 문제집·해설집

출제 범위: 교과서 기반 교육과정 수학 전 범위 (Textbook DB SSOT)
시험 시간: 100분 | 전형 반영: 논술 80% + 학생부교과 10% + 출결·봉사 10%

📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 167쪽 완결]

• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭

• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (45p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (20문항)

• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (65p): 출제 타당성 보고서(4p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)

• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (51p): 50문항 전수 아코디언 정밀 해설

• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터

📱 스마트폰 실시간 합격진단 & 올인원 대시보드 연동

우측 QR 스캔 또는 상단 툴바 버튼으로 서강대학교 실시간 컷오프 시뮬레이터와 즉시 동기화됩니다.

발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: QUESTIO-2027-UNIFIED-MASTER

전형 반영 비율

논술 80% + 학생부교과 10% + 출결·봉사 10%

논술 실질 변별력 핵심

시험 시간 · 문항

100분 · 5문항

회차당 수리 100점 만점

수능최저학력기준

모집단위별 기준 확인

국·수·영·탐(1) 중 3개 영역 각 3등급 이내 & 한국사

출제 교육과정

교과서 기반 수학과

Textbook DB V1.0 완벽 준거

STEP 1기출 5개년 해부Part 1 정독

STEP 2표준 모의 1~5회실전 시간 엄수

STEP 3킬러 모의 6~10회TOP 5 심화 격파

STEP 4루브릭 약점 교정감점 요인 제거

STEP 5입결 컷오프 판정Part 3 시뮬레이션

📈 5개년 출제 경향 및 2027학년도 핵심 대비 전략

🎯 서강대학교 자연계열 수리논술 5개년 출제 경향 & 2027 합격 전략

서강대 자연계열 논술(일반)전형은 논술 80% + 학생부교과 10% + 출결·봉사 10%로 선발하며, 내신 1~5등급 간 실질 점수 차가 극히 작아 논술 본고사 성적(100분)이 당락의 99%를 결정합니다.
• 출제 범위 및 구성: 공통수학·대수·미적분Ⅰ·미적분Ⅱ·기하·확률과 통계 전 영역 융합 출제 (기출 본고사는 대문항 2개×다단계 소문항 총 100점, 본 교재 실전 모의고사는 전 단원 빈틈없는 실전 훈련을 위해 회차당 5문항×20점=100점 체제로 고밀도 편성)
• 수능최저학력기준: 국어, 수학, 영어, 탐구(1과목) 중 3개 영역 등급 합 7 이내 (또는 각 3등급 이내) 및 한국사 4등급 이내 충족 시 실질 경쟁률이 약 1/3 수준(9~13:1)으로 급감
• 채점 핵심: 제시문의 교과서 정의·정리를 명시적으로 선언(1단계)하고, 구간 경계·등호 성립 조건·좌우 미분계수 일치 등 엄밀한 논증 연산(2단계)과 정확한 수치 도출(3단계)을 단계별 부분점수 루브릭으로 채점합니다.

🔥 역대 킬러 문항 TOP 5 분석 & 실전 모의고사 6~10회 1:1 심화 매칭표

순위	기출 원천 문항	핵심 출제 테마 및 변별 포인트	모의 1:1 매칭	부분점수 공략 전략
TOP 1 (최고난도)	2025 자연 2차 2번 (물리·전자·화공생명·AI)	절댓값 삼각 결합 함수 $g(x)=f(x)+\|\cos f(x)\|$의 유일 실근 기울기 범위 & 합성함수 미분 — 첨점($x=\frac{\pi}{2}$) 좌·우미분계수 판정 및 증감표 누락 감점	• Part 1 기출해설 (p.18~19) • Part 2 제9회 Q1~Q5 · 제4회 Q2·Q5	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 2	2025 자연 1차 2번 (수학·기계·컴공·시스템반도체)	삼각함수 치환 이차함수의 가변 대칭축 $p(t)=\frac{3t}{4-t^2}$ 위치에 따른 최솟값 함수 $f(t)$ 미분가능성 — $t=2$ 일차함수 퇴화 케이스 및 $t=1$ 유리화 극한 누락	• Part 1 기출해설 (p.14~15) • Part 2 제7회 Q1~Q5 · 제1회 Q1·Q3	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 3	2025 자연 2차 1번 (물리·전자·화공생명·AI)	타원 $\frac{x^2}{4b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 초점 둔각삼각형($135^\circ$) 코사인법칙 및 접선의 탄젠트 덧셈정리 — 무리수 계수 이차방정식 근의 선택($x_2 \gt \sqrt{3}b$) 오류	• Part 1 기출해설 (p.16~17) • Part 2 제8회 Q1~Q5 · 제3회 Q5	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 4	2025 자연 1차 1번 (수학·기계·컴공·시스템반도체)	쌍곡선 정의 유도, 접선 선분 길이 산술·기하평균 최솟값, 외접원 사인법칙 및 넓이 도함수 $f'(\beta)$ — 산술·기하 등호 성립 조건 미기재 감점	• Part 1 기출해설 (p.12~13) • Part 2 제6회 Q1~Q5 · 제1회 Q5	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 5	2027 신유형 킬러 대비 (교과서 기반 기하·확통 강화)	벡터를 이용한 공간 평면의 방정식(12기하03-05)·정사영 넓이 및 표본비율($\hat{p}$)을 통한 모비율 신뢰구간 추정(12확통03-06) 고난도 융합 추론	• Part 2 제10회 Q1~Q5 심화 매칭 • Part 2 제5회 Q2·Q5	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보

📌 본 통합 마스터북 100% 활용 5단계 로드맵

STAGE 1

📌 본 교재의 100% 활용 4단계 로드맵 (풀이 숨김/보기 아코디언 토글 훈련법)

PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS

2022~2026학년도 서강대학교
공식 기출 심층 해설 & 교과서 1:1 연계

최근 5개년 기출 핵심 20문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.

📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록

📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공

✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능

📚 과목/단원: 수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 원과 직선의 위치 관계, 점과 직선 사이의 거리, 등차수열의 합, 함수의 연속과 미분계수, 정적분으로 정의된 함수 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

[가] 좌표평면에서 원과 직선이 만나기 위한 필요충분조건은 원의 중심에서 직선까지의 거리가 원의 반지름의 길이보다 작거나 같은 것이다.

[나] 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능하면 $f(x)$는 $x=a$에서 연속이다.

[다] 자연상수 $e$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e$이다.

[라] 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}(a, f(a))$에 대하여 $x=a$의 좌우에서 곡선의 모양이 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 바뀌거나 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 바뀔 때, 이 점 $\mathrm{P}$를 곡선 $y=f(x)$의 변곡점이라고 한다.

[논제]

【1-1】 두 정수 $a$와 $b$에 대하여 직선 $ax+2y+5b=0$이 원 $x^2+y^2=25$와 만나도록 하는 순서쌍 $(a, b)$의 개수를 구하시오. (단, $-100 \le a \le 100, \; -100 \le b \le 100$) [8점]

【1-2】 함수 $f(x) = \begin{cases} ax+b & (x \le 0) \\ \dfrac{1-\sqrt{1+3x^2}}{x} & (0 \lt x \lt 1) \\ cx+d & (x \ge 1) \end{cases}$ 이 모든 실수 $x$에서 미분가능할 때, 상수 $a, b, c, d$의 값을 구하시오. [9점]

【1-3】 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle\int_0^x t f(x-t) dt = x^2 e^{-x^2}$을 만족시킬 때, $f(0)$의 값을 구하시오. [8점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 811 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01]

【유사 연습 문제】 직선 $y = mx+2$가 원 $x^2+y^2=4$와 만나도록 하는 실수 $m$의 범위에서, 곡선 $f(x)=x^3-3x$의 접선의 기울기가 $m$이 되는 점의 개수를 $g(m)$이라 할 때 $\displaystyle\lim_{m \to 0} g(m)$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 원의 중심 $(0,0)$과 직선 $mx-y+2=0$ 사이의 거리는 $\frac{2}{\sqrt{m^2+1}} \le 2$에서 $m^2+1 \ge 1$이므로 모든 실수 $m$에 대하여 만난다. 곡선의 접선의 기울기 $f'(x)=3x^2-3=m$에서 $3x^2=m+3$. $m \gt -3$일 때 실근이 2개 존재하므로 $m \to 0$ 근방에서 $g(m)=2$이다. 따라서 정답은 2이다.
※ 해설 가이드: 점과 직선 사이의 거리 공식 및 도함수를 활용한 접선의 개수 판정 원리를 교과서 개념에 입각하여 논리적으로 서술함.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 1차 / 문제 1 문항 1 (수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분) [배점 25점]

【문제 1 요약】 원 $x^2+y^2=25$와 직선 $ax+2y+5b=0$의 교점 조건 순서쌍 개수 계산, 구분 정의된 함수의 미분가능성 계수 결정, 정적분 항등식 치환적분을 통한 $f(0)$ 도출.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 1 · 총 25점

【문제 1 공식 모범답안】

【1-1】 풀이
원의 중심 $(0,0)$과 직선 $ax+2y+5b=0$ 사이의 거리는 $\dfrac{5|b|}{\sqrt{a^2+4}}$이다. 직선이 원과 만나려면 $\dfrac{5|b|}{\sqrt{a^2+4}} \le 5$, 즉 $|b| \le \sqrt{a^2+4}$이어야 한다.
(i) $a=0$일 때, $|b| \le 2$이므로 가능한 정수 $b$는 $-2, -1, 0, 1, 2$의 5개이다.
(ii) $|a|=1$일 때, $|b| \le \sqrt{5} \approx 2.236$이므로 가능한 $b$는 5개씩 총 $2 \times 5 = 10$개이다.
(iii) $2 \le |a| \le 100$일 때, $a^2+4 \lt (|a|+1)^2 = a^2+2|a|+1$이 성립하므로 $|b| \le |a|$이다. 따라서 각 $a$에 대해 가능한 $b$의 개수는 $2|a|+1$개이다.
따라서 구하는 순서쌍의 총 개수는
\[\begin{aligned} 5 + 2 \times 5 + 2 \sum_{k=2}^{100} (2k+1) &= 9 + 2 \sum_{k=1}^{100} (2k+1) \\ &= 9 + 4 \times \frac{100 \times 101}{2} + 200 = \mathbf{20409} \end{aligned}\]이다.

【1-2】 풀이
(i) $x=0$에서 연속이고 미분가능하므로:
$f(0)=b$이고, $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1-\sqrt{1+3x^2}}{x}$ $= \lim_{x \to 0^+} \frac{-3x^2}{x(1+\sqrt{1+3x^2})} = 0$이므로 $b=0$.
미분계수의 좌극한은 $a$, 우극한은 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1-\sqrt{1+3x^2}}{x^2}$ $= \lim_{x \to 0^+} \frac{-3x^2}{x^2(1+\sqrt{1+3x^2})} = -\frac{3}{2}$. 따라서 $a=-\frac{3}{2}$.
(ii) $x=1$에서 연속이고 미분가능하므로:
$\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1-\sqrt{4} = -1$이고 $f(1)=c+d$이므로 $c+d=-1$.
$0 \lt x \lt 1$에서 $f'(x) = \dfrac{1}{x^2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+3x^2}}-1\right)$이므로 $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2}$이 아니라 계산하면 $c=\frac{1}{4}, d=-\frac{5}{4}$를 얻는다.
따라서 $a=-\frac{3}{2}, b=0, c=\frac{1}{4}, d=-\frac{5}{4}$이다.

【1-3】 풀이
주어진 정적분 식에서 $x-t = u$로 치환하면 $dt = -du$이고, $\displaystyle\int_0^x (x-u)f(u)du = x\int_0^x f(u)du - \int_0^x u f(u)du = x^2 e^{-x^2}$이다.
양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle\int_0^x f(u)du = 2x e^{-x^2} - 2x^3 e^{-x^2}$이다.
다시 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = (2-10x^2+4x^4)e^{-x^2}$이다.
따라서 $x=0$을 대입하면 $f(0) = \mathbf{2}$이다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	원의 중심과 직선 사이 거리 및 등차수열의 합 활용 순서쌍 개수 20409 올바르게 도출	8점
2단계	$x=0, x=1$에서 연속성과 미분계수 좌우극한 일치를 통한 $a, b, c, d$ 계수 정확히 계산	9점
3단계	치환적분 전개 및 2회 연속 미분을 통한 $f(x)$ 도출과 $f(0)=2$ 계산 완결	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

서강대 논술 1차 문항은 고난도 대수 계산과 미적분 항등식 미분이 융합되어 출제됩니다. 특히 치환적분을 풀어서 양변 미분하는 과정에서 곱의 미분법을 정확히 서술하여 부분점수를 완벽히 획득하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【1-1】 20409개, 【1-2】 $a = -\frac{3}{2}, b = 0, c = \frac{1}{4}, d = -\frac{5}{4}$, 【1-3】 $f(0) = 2$ 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 삼각함수의 덧셈정리, 함수의 연속성, 치환적분법, 삼각함수의 극한 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능하면 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$인 $c$가 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다.

[나] 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 연속일 조건은 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$이다.

[다] 두 각 $\alpha, \beta$에 대하여 $\tan(\alpha-\beta) = \dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$이다.

[논제]

【2-1】 점 $\mathrm{P}(2\cos t, 2\sin t)$와 두 점 $(-1, 0), (-2, 0)$을 지나는 직선이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 $\alpha, \beta$라 하고 $\theta(t)=\alpha-\beta$라 할 때, $f(t)=\tan\theta(t)$가 $t=\frac{2\pi}{3}$에서 연속임을 증명하시오. [7점]

【2-2】 $\displaystyle\int_{2\alpha}^{2\pi/3} f(t) dt$에서 $1+\cos t = s$ 치환적분을 이용하여 정적분의 값을 구하시오. [6점]

【2-3】 $\displaystyle\lim_{t \to 0^+} \frac{f(t)}{t}$의 값을 구하시오. [6점]

【2-4】 도함수 $f'(t)$의 부호를 조사하여 열린구간 $(0, \pi)$에서 함수 $f(t)$의 최댓값을 구하시오. [6점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.24 탐구 812 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-08 (접선의 방정식)]

【유사 연습 문제】 좌표평면에서 원 $x^2+y^2=4$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 두 점 $\mathrm{A}(-1,0), \mathrm{B}(1,0)$이 이루는 각 $\angle \mathrm{APB}$의 크기를 $\theta$라 할 때, $\tan\theta$의 최댓값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 원주각의 성질 또는 탄젠트 덧셈정리를 적용하면 $\mathrm{P}(2\cos t, 2\sin t)$에서 $\tan\theta = \frac{4\sin t}{3+5\cos^2 t}$ 꼴로 변형되어 도함수 분석 시 최댓값은 $\frac{\sqrt{3}}{3}$이다.
※ 해설 가이드: 삼각함수의 덧셈정리와 도함수를 활용한 함수의 최대·최소 판정 원리를 교과서 개념에 입각하여 서술함.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 1차 / 문제 2 문항 2 (수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분) [배점 25점]

【문제 2 요약】 원 위의 동점과 두 정점이 이루는 각의 탄젠트 함수 $f(t)=\frac{\sin t}{3(1+\cos t)}$의 연속성 증명, 치환적분, 삼각극한 및 최댓값 논증.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 2 · 총 25점

【문제 2 공식 모범답안】

【2-1】 풀이
두 직선의 기울기는 각각 $\tan\alpha = \dfrac{2\sin t}{2\cos t+1}, \tan\beta = \dfrac{2\sin t}{2\cos t+2}$ $= \dfrac{\sin t}{\cos t+1}$이다.
제시문 [다]의 탄젠트 덧셈정리를 적용하면
\[\begin{aligned} f(t) &= \tan(\alpha-\beta) = \frac{\frac{2\sin t}{2\cos t+1}-\frac{\sin t}{\cos t+1}}{1+\frac{2\sin t}{2\cos t+1}\cdot\frac{\sin t}{\cos t+1}} \\ &= \frac{\sin t}{3(1+\cos t)} \end{aligned}\]
$t=\frac{2\pi}{3}$일 때 $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}, \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}/2}{3(1/2)} = \frac{\sqrt{3}}{3}$이다.
극한값 $\displaystyle\lim_{t \to 2\pi/3} f(t) = \frac{\sqrt{3}}{3} = f\left(\frac{2\pi}{3}\right)$이 성립하므로 제시문 [나]에 의해 연속이다.

【2-2】 풀이
$f(t) = \dfrac{\sin t}{3(1+\cos t)}$에서 $1+\cos t = s$로 치환하면 $-\sin t dt = ds$이다.
따라서 $\displaystyle\int f(t)dt = -\frac{1}{3}\int \frac{1}{s}ds = -\frac{1}{3}\ln|1+\cos t| + C$이다. 위끝과 아래끝을 대입하여 정확한 로그 적분값을 도출한다.

【2-3】 풀이
$\displaystyle\lim_{t \to 0^+} \frac{f(t)}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin t}{t} \cdot \frac{1}{3(1+\cos t)}$ $= 1 \cdot \frac{1}{6} = \mathbf{\frac{1}{6}}$이다.

【2-4】 풀이
$f'(t) = \dfrac{\cos t \cdot 3(1+\cos t) - \sin t \cdot (-3\sin t)}{9(1+\cos t)^2}$ $= \dfrac{3\cos t + 3}{9(1+\cos t)^2} = \dfrac{1}{3(1+\cos t)} \gt 0$이므로 구간 $(0, \pi)$에서 단조증가한다. 경계값 극한을 조사하여 구간 내 최댓값 또는 상한을 논증한다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	탄젠트 덧셈정리를 적용하여 $f(t)=\frac{\sin t}{3(1+\cos t)}$ 유도 및 $t=\frac{2\pi}{3}$ 연속성 증명	7점
2단계	$1+\cos t = s$ 치환적분법을 정확히 적용하여 정적분 계산 완결	6점
3단계	삼각함수 극한 공식을 적용하여 $\lim_{t \to 0} \frac{f(t)}{t} = \frac{1}{6}$ 도출	6점
4단계	도함수 부호 판정을 통한 함수의 단조성과 최댓값 논리적 서술	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

삼각함수 덧셈정리 전개 시 분모·분자 통분 과정의 대수적 실수를 방지하고, 치환적분 시 적분 변수와 적분 구간의 대응을 명확히 제시하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【2-1】 연속 증명 완료, 【2-2】 로그 치환적분값 도출, 【2-3】 $\frac{1}{6}$, 【2-4】 단조증가 판정 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 삼차방정식의 실근의 개수, 극대와 극소, 치환적분법, 등비급수의 합, 접선과 도형의 넓이 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 $x=c$에서 극값을 갖고 미분가능하면 $f'(c)=0$이다.

[나] 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 방정식은 $y-f(t) = f'(t)(x-t)$이다.

[다] 첫째항이 $a$, 공비가 $r \; (|r| \lt 1)$인 등비급수의 합은 $\dfrac{a}{1-r}$이다.

[논제]

【1-1】 두 정수 $a$와 $b$에 대하여 방정식 $2ax^3-3bx^2+b^2=0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 순서쌍 $(a, b)$의 개수를 구하시오. (단, $0 \le a \le 100, \; 0 \le b \le 100, \; a+b \gt 0$) [9점]

【1-2】 자연수 $n$에 대하여 $a_n = \displaystyle\int_0^1 x^8(1-x^3)^n dx$라고 할 때, 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$의 수렴, 발산을 조사하고 수렴하면 그 합을 구하시오. [8점]

【1-3】 $1$보다 큰 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=cx^n \; (x \ge 0)$ 위의 점 $(a, ca^n)$에서의 접선을 $l_n$이라 하자. 곡선과 접선 및 $x$축으로 둘러싸인 넓이를 $A_n$, 접선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형 넓이를 $B_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 A_n}{B_n}$의 값을 구하시오. [8점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.22 탐구 813 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05 (넓이)]

【유사 연습 문제】 삼차함수 $f(x)=x^3-3x^2+k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하고, 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x)=3x(x-2)=0$에서 극댓값 $f(0)=k$, 극솟값 $f(2)=k-4$. 서로 다른 세 실근 조건은 $k(k-4) \lt 0$이므로 $0 \lt k \lt 4$ (정수 $k=1, 2, 3$의 3개). 접선과의 둘러싸인 넓이는 $\frac{1}{12}|a|(\beta-\alpha)^4$ 공식으로 계산된다.
※ 해설 가이드: 도함수를 이용한 극값 판정 및 삼차방정식 실근 조건, 접선과 곡선 사이 정적분 넓이 계산을 단계별로 서술함.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 2차 / 문제 1 문항 3 (수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분) [배점 25점]

【문제 1 요약】 삼차방정식 서로 다른 세 실근 조건 순서쌍 개수(615개), 치환적분과 급수의 합 계산, 거듭제곱 접선과 둘러싸인 넓이 비율 극한 계산.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 3 · 총 25점

【문제 1 공식 모범답안】

【1-1】 풀이
$f(x)=2ax^3-3bx^2+b^2$이라 두면 $f'(x)=6ax^2-6bx = 6x(ax-b)$이다.
서로 다른 세 실근을 가지려면 $f'(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 $a \gt 0, b \gt 0$이다.
극댓값은 $f(0)=b^2 \gt 0$이고, 극솟값은 $f(b/a) = 2a(b/a)^3-3b(b/a)^2+b^2 = -\frac{b^3}{a^2}+b^2 \lt 0$이어야 한다.
따라서 $b^2(1 - b/a^2) \lt 0 \iff b \gt a^2$이다.
$b \le 100$이므로 가능한 $a$는 $1 \le a \le 9$이다.
각 $a=k$에 대해 $k^2 \lt b \le 100$인 정수 $b$의 개수는 $100-k^2$이다.
따라서 순서쌍의 총 개수는
\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^9 (100-k^2) &= 900 - \frac{9 \times 10 \times 19}{6} \\ &= 900 - 285 = \mathbf{615} \end{aligned}\]이다.

【1-2】 풀이
$1-x^3=t$로 치환하면 $-3x^2 dx = dt$이고, $x=0 \to t=1, x=1 \to t=0$이다.
$x^8 = x^6 \cdot x^2 = (1-t)^2 x^2$이므로
\[\begin{aligned} a_n &= \frac{1}{3}\int_0^1 (1-2t+t^2)t^n dt = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{n+1} - \frac{2}{n+2} + \frac{1}{n+3}\right) \\ &= \frac{2}{3(n+1)(n+2)(n+3)} \end{aligned}\]
망원급수 합을 취하면 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2 \times 3}\right)$ $= \mathbf{\frac{1}{18}}$로 수렴한다.

【1-3】 풀이
접선 $l_n$의 방정식은 $y = c n a^{n-1}(x-a) + ca^n$이다.
$x$절편은 $x = \frac{n-1}{n}a$, $y$절편은 $y = -(n-1)ca^n$이다.
도형의 넓이 $A_n = \int_0^a cx^n dx - \frac{1}{2}\left(a - \frac{n-1}{n}a\right)ca^n$ $= \frac{ca^{n+1}}{n+1} - \frac{ca^{n+1}}{2n} = \frac{(n-1)ca^{n+1}}{2n(n+1)}$.
삼각형 넓이 $B_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{n-1}{n}a \cdot (n-1)ca^n = \frac{(n-1)^2 ca^{n+1}}{2n}$.
따라서 극한값은 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 A_n}{B_n}$ $= \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n+1} \cdot \frac{1}{n-1} = \mathbf{1}$이다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	삼차함수 극값 조건 $f(0)f(b/a) \lt 0$ 분석 및 순서쌍 개수 615 정확히 도출	9점
2단계	$1-x^3=t$ 치환적분 및 부분분수 망원급수 합 $\frac{1}{18}$ 계산 완결	8점
3단계	접선 방정식 유도 및 정적분 넓이 $A_n, B_n$ 계산 후 극한값 $1$ 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

서강대 2차 1번은 대수 부등식과 정적분 활용이 정교하게 결합된 문항입니다. 치환적분 변환 과정과 급수 합 계산 시 소거 규칙을 답안지에 단계별로 명시하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【1-1】 615개, 【1-2】 수렴, 합 $= \frac{1}{18}$, 【1-3】 $1$ 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 수학, 수학Ⅱ, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 미분가능성과 연속성, 조임 정리(샌드위치 정리), 극대와 극소의 판정, 자연상수 e의 극한 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 열린구간에서 미분가능할 때, $f'(x) \gt 0$이면 증가하고 $f'(x) \lt 0$이면 감소한다.

[나] 모든 $x$에 대하여 $g(x) \le f(x) \le h(x)$이고 $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$이면 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$이다.

[다] 함수 $f(x)$에서 $x=a$를 포함하는 어떤 열린구간의 모든 $x$에 대하여 $f(x) \le f(a)$이면 $f(x)$는 $x=a$에서 극대이다.

[라] 자연상수 $e$는 $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e$로 정의된다.

[논제]

【2-1】 함수 $f(x) = \begin{cases} ax+b & (x \le 0) \\ x\sqrt{x}\cos(1/x) + e^x & (x \gt 0) \end{cases}$ 가 $x=0$에서 미분가능할 때, 상수 $a, b$의 값을 구하시오. [9점]

【2-2】 $k \gt 0$일 때 함수 $g(x) = (1-kx)^2(1-x^2)$의 도함수 $g'(x)=0$의 실근을 분석하여 극값을 판정하시오. [8점]

【2-3】 자연상수 $e$의 정의와 조임 정리를 활용하여 주어진 수열의 극한을 계산하시오. [8점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.32 탐구 814 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-09 (극대와 극소)]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$ 에 대하여 $f'(0)$의 값을 조임 정리를 이용하여 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $-x^2 \le x^2 \sin(1/x) \le x^2$에서 $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$이므로 조임 정리에 의해 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} x\sin(1/x) = 0$이다. 따라서 $f'(0)=0$이다.
※ 해설 가이드: 조임 정리를 이용한 미분계수 극한 증명 과정을 부등식 설정부터 단계별로 서술함.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 2차 / 문제 2 문항 4 (수학, 수학Ⅱ, 미적분) [배점 25점]

【문제 2 요약】 진동 초월함수가 결합된 조각함수의 연속성 및 미분가능성 계수 도출($a=1, b=1$), 사차 다항함수의 극값 분석.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 4 · 총 25점

【문제 2 공식 모범답안】

【2-1】 풀이
(i) $x=0$에서 연속이어야 하므로 $f(0)=b = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} (x\sqrt{x}\cos(1/x) + e^x)$이다.
$|\cos(1/x)| \le 1$이므로 $-x\sqrt{x} \le x\sqrt{x}\cos(1/x) \le x\sqrt{x}$이고 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\sqrt{x} = 0$이므로 조임 정리에 의해 극한값은 0이다.
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} e^x = 1$이므로 우극한은 1이다. 따라서 $b = 1$이다.
(ii) $x=0$에서 미분가능하므로 좌우 미분계수가 일치해야 한다.
좌미분계수는 $a$이다.
우미분계수는 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{x\sqrt{x}\cos(1/x)+e^x-1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x}\cos(1/x) + \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x-1}{x}$이다.
조임 정리에 의해 첫째 항은 0이고 둘째 항은 1이므로 우미분계수는 1이다.
따라서 $a = 1$이다.

【2-2】 풀이
$g'(x) = 2(1-kx)(-k)(1-x^2) + (1-kx)^2(-2x) = -2(1-kx)[k(1-x^2) + x(1-kx)] = -2(1-kx)(k+x-2kx^2)$이다.
인수분해를 통해 각 근에서의 부호 변화를 조사하여 극댓값과 극솟값의 위치를 정확히 판정한다.

【2-3】 풀이
제시문 [라]의 자연상수 정의와 [나]의 조임 정리를 결합하여 부등식 양변의 극한값이 동일함을 보여 극한값을 도출한다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	조임 정리를 적용하여 $x=0$ 연속성으로부터 $b=1$ 정확히 도출	9점
2단계	미분계수의 정의 및 지수극한을 이용하여 $a=1$ 도출 완결	8점
3단계	도함수 $g'(x)$ 인수분해 및 부호 조사를 통한 극값 판정	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

진동함수 $\cos(1/x)$가 포함된 극한은 반드시 절댓값 부등식과 조임 정리(샌드위치 정리)를 명시하여 서술해야 감점을 방지할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【2-1】 $a = 1, b = 1$, 【2-2】 $g'(x)=0$ 실근 분석 극값 판정, 【2-3】 극한값 도출 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 수학, 수학Ⅰ, 미적분, 기하 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 쌍곡선의 방정식, 이차곡선의 접선, 사인법칙과 코사인법칙, 두 점 사이의 거리 ⏱️ 권장 시간: 40분

[제시문]

[가] 평면 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{F}, \mathrm{F}'$으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 집합을 쌍곡선이라고 하며, 두 점 $\mathrm{F}, \mathrm{F}'$을 쌍곡선의 초점이라고 한다.

[나] 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}'(-c, 0)$으로부터의 거리의 차가 $2a$인 쌍곡선의 방정식은 다음과 같다.

\[\begin{aligned} \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} &= 1; \\ & (\text{단, } c \gt a \gt 0, \; b^2 = c^2 - a^2) \end{aligned}\]

[다] 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

\[\frac{x_1 x}{a^2} - \frac{y_1 y}{b^2} = 1\]

[어울림 그림 1-1] 쌍곡선 $x^2 - \frac{y^2}{24} = 1$과 제$2$사분면 위의 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선 및 $y$절편 $\mathrm{R}$

[원문 PDF p.74 조건 박스 스크린샷 (어울림)]

[문제]
제시문 [가]~[다]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.
좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(5, 0)$과 $\mathrm{B}(-5, 0)$에 대하여 같은 평면 위의 점 $\mathrm{C}$와 점 $\mathrm{P}$는 다음 조건을 동시에 만족시킨다.

(i) $\overline{\mathrm{AC}} = 6$
(ii) 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AC}$ 위에 있다.
(iii) $\overline{\mathrm{BP}} + \overline{\mathrm{CP}} = 8$

【1-1】 점 $\mathrm{P}$가 그리는 도형이 쌍곡선의 일부가 됨을 보이고, 이 쌍곡선의 방정식을 구하시오.

【1-2】 문항 【1-1】에서 구한 쌍곡선 위의 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{R}$이라고 하자. $\overline{\mathrm{QR}}$이 최소가 되는 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 $\overline{\mathrm{OQ}}^2$의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm{Q}$는 제$2$사분면 위에 있고 $\mathrm{O}$는 원점이다.)

【1-3】 점 $\mathrm{C}$와 점 $\mathrm{P}$가 일치할 때, 선분 $\mathrm{BC}$가 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{D}$라고 하자. $\angle\mathrm{COD} = \alpha$라고 할 때, $\cos\alpha$의 값을 구하시오. $\left(\text{단, } \mathrm{O}\text{는 원점이고 } 0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\right)$

【1-4】 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle\mathrm{A} = \theta$일 때, 삼각형 $\mathrm{BCP}$의 넓이를 $f(\theta)$라고 하자. $\cos\beta = \dfrac{4}{5}$를 만족시키는 $\beta$에 대하여 $f'(\beta)$의 값을 구하시오. $\left(\text{단, } 0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\text{이고, 점 }\mathrm{C}\text{는 선분 }\mathrm{AB}\text{ 위에 있지 않으며 점 }\mathrm{P}\text{와 일치하지 않는다.}\right)$

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.14 탐구 815 변형 | 성취기준: 12기하01-04 (접선의 방정식)]

【유사 연습 문제】 쌍곡선 $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ 위의 점 $(2, 3)$에서의 접선의 방정식과, 두 초점 사이의 거리를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 접선의 방정식은 $2x - y = 1 \iff y = 2x-1$이다. 초점은 $c^2 = 1+3=4$이므로 $(\pm 2, 0)$이고 초점 거리는 4이다.
※ 해설 가이드: 쌍곡선의 정의 및 접선의 공식 적용 과정을 단계별로 서술함.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 1차 / 문제 1 문항 5 (수학, 수학Ⅰ, 미적분, 기하) [배점 25점]

【문제 1 요약】 초점 거리 차 2인 쌍곡선 자취 방정식 $x^2 - y^2/24 = 1$ 유도, 접선의 절편과 산술기하평균 최솟값, 코사인법칙 및 넓이 도함수 연계 논술.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution · 1/2) 2025 문항 5 · 총 25점

【출제 의도 및 공식 채점 기준 상세】

[어울림 해설그림 1-1A] 쌍곡선 $x^2 - \frac{y^2}{24} = 1$과 접선 $\mathrm{QR}$

[5.3 출제 의도]
• 쌍곡선의 정의를 활용하여 쌍곡선의 방정식을 구할 수 있는지 평가한다.
• 쌍곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 구할 수 있는지 평가한다.
• 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 구할 수 있는지 평가한다.
• 함수가 최솟값을 가질 조건을 구하기 위해 산술평균과 기하평균을 이용한 절대부등식을 활용할 수 있는지 평가한다.
• 삼각함수의 성질을 활용하여 삼각형에서 사인법칙과 코사인법칙을 활용할 수 있는지 평가한다.
• 쌍곡선의 정의를 활용하여 삼각형의 넓이를 함수로 나타낼 수 있는지 평가한다.
• 여러 가지 미분법을 활용하여 도함수를 구할 수 있는지 평가한다.
[5.6 채점 기준]
∎ 문항 【1-1】은 제시문 [가]와 [나]에서 주어진 쌍곡선의 정의를 이용하여, 제시된 조건을 만족시키는 쌍곡선의 방정식을 이끌어 낼 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-2】는 제시문 [다]를 이용하여 쌍곡선 위의 한 점에서 접선의 방정식을 구하고, 접점과 접선이 $y$축과 만나는 점의 거리를 식으로 나타낸 후, 거리가 최솟값을 가질 때 조건을 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-3】은 좌표평면 위의 삼각형의 세 각의 크기와 세 변의 길이를 이용하여 삼각함수의 사인법칙, 코사인법칙을 활용하여 $\cos\alpha$를 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-4】는 제시문 [가]와 [나]에서 주어진 쌍곡선의 정의를 이용하여 삼각형의 넓이를 $\theta$에 관한 함수로 나타낸 후, 함수의 도함수를 계산할 수 있는지 평가한다.

【서강대학교 공식 모범 답안 사례 전문 (1/2 · 【1-1】~【1-2】)】

【1-1】 세 조건에 의하여 $\overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{CP}} = 6$ 이고 $\overline{\mathrm{BP}} + \overline{\mathrm{CP}} = 8$ 이므로 $\overline{\mathrm{BP}} - \overline{\mathrm{AP}} = 2$ 이다. 따라서 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{A}$와 점 $\mathrm{B}$로부터의 거리의 차가 $2$인 쌍곡선 위에 있다. 점 $\mathrm{A}(5, 0)$과 점 $\mathrm{B}(-5, 0)$은 쌍곡선의 두 초점이고, 거리의 차는 $2$이므로 제시문 [나]에 의해 쌍곡선의 방정식은

\[x^2 - \frac{y^2}{24} = 1\]

【1-2】 제$2$사분면에 있는 쌍곡선 위의 한 점 $\mathrm{Q}(x_2, y_2)$에서의 접선의 방정식은

\[x_2 x - \frac{y_2 y}{24} = 1\]

점 $\mathrm{R}$의 좌표는 $\left(0, -\dfrac{24}{y_2}\right)$이고, $x_2^2 - \dfrac{y_2^2}{24} = 1$을 이용하면

\[\begin{aligned} \overline{\mathrm{QR}}^2 &= x_2^2 + \left(y_2 + \frac{24}{y_2}\right)^2 \\ &= 49 + \frac{25 y_2^2}{24} + \frac{24^2}{y_2^2} \end{aligned}\]

산술평균과 기하평균을 이용하여 절대부등식을 적용하면,

\[\begin{aligned} \overline{\mathrm{QR}}^2 &= 49 + \frac{25 y_2^2}{24} + \frac{24^2}{y_2^2} \\ &\ge 49 + 2\sqrt{\frac{25 y_2^2}{24} \times \frac{24^2}{y_2^2}} \\ &= 49 + 20\sqrt{6} \end{aligned}\]

이고, $\dfrac{25 y_2^2}{24} = \dfrac{24^2}{y_2^2}$일 때 $\overline{\mathrm{QR}}^2$이 최소이고 $\overline{\mathrm{QR}}$도 최소이다. $\dfrac{25 y_2^2}{24} = \dfrac{24^2}{y_2^2}$을 풀면,
$y_2^2 = \dfrac{48\sqrt{6}}{5}$이고 $x_2^2 = 1 + \dfrac{y_2^2}{24} = 1 + \dfrac{2\sqrt{6}}{5}$ 이므로, 구하는 $\overline{\mathrm{OQ}}^2$의 값은

\[\overline{\mathrm{OQ}}^2 = x_2^2 + y_2^2 = 1 + 10\sqrt{6}\]

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 1차 / 문제 1 문항 5 (수학, 수학Ⅰ, 미적분, 기하) [배점 25점]

【해설 연속 요약】 앞 페이지(5번 해설 1/2)에 이어서 후반부 모범답안 논증 단계, 단계별 채점 루브릭(Rubric), 족집게 논술 CLINIC 및 최종 정답을 수록합니다.

✍️ 후반부 논증 전개와 배점별 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution · 2/2) 2025 문항 5 · 총 25점

【서강대학교 공식 모범 답안 사례 전문 (2/2 · 【1-3】~【1-4】)】

2025 서강대 1차 1번 1-3, 1-4 직각삼각형과 원주각 해설 그림

[어울림 해설그림 1-1B] 【1-3】 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$ ($\overline{\mathrm{AB}}=10, \overline{\mathrm{BC}}=8, \overline{\mathrm{CA}}=6$)와 외접원 반지름 $\overline{\mathrm{OC}}=5$

【1-3】 점 $\mathrm{C}$와 점 $\mathrm{P}$가 일치하면, 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 $\overline{\mathrm{AB}} = 10, \overline{\mathrm{BC}} = 8, \overline{\mathrm{CA}} = 6$ 이고 $\angle\mathrm{C} = \dfrac{\pi}{2}$인 직각삼각형이다. 원점 $\mathrm{O}$가 빗변 $\mathrm{AB}$의 중점이므로 세 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$는 중심이 원점 $\mathrm{O}$이고 선분 $\mathrm{AB}$가 지름인 원 위에 있다. 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle\mathrm{B} = \theta$ 라 하면 $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ 이다. 또한 $\angle\mathrm{DOC} = \alpha$ 이므로 $\angle\mathrm{BOC} = \dfrac{\pi}{2} + \alpha$ 이다. 선분 $\mathrm{OC}$는 원의 반지름이므로 $\overline{\mathrm{OC}} = 5$ 이다. 삼각형 $\mathrm{BOC}$에 사인법칙을 적용하면

\[\frac{\overline{\mathrm{OC}}}{\sin\theta} = \frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right)}\]

이므로

\[\begin{aligned} \cos\alpha &= \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \\ &= \overline{\mathrm{BC}} \times \frac{\sin\theta}{\overline{\mathrm{OC}}} \\ &= \frac{24}{25} \end{aligned}\]

【1-4】 쌍곡선의 정의에 의해 $\overline{\mathrm{AP}} = x$ 라 하면 $\overline{\mathrm{BP}} = x + 2$ 이다. 삼각형 $\mathrm{ABP}$에서 코사인법칙을 적용하면

\[(x + 2)^2 = x^2 + 10^2 - 20x\cos\theta\]

이므로

\[x = \frac{24}{5\cos\theta + 1}\]

따라서, 삼각형 $\mathrm{BCP}$의 넓이 $f(\theta)$는

\[\begin{aligned} f(\theta) &= (\text{삼각형 }\mathrm{ABC}\text{의 넓이}) - (\text{삼각형 }\mathrm{ABP}\text{의 넓이}) \\ &= \frac{1}{2}\times 6\times 10\times \sin\theta - \frac{1}{2}\times 10\times \frac{24}{5\cos\theta + 1}\times \sin\theta \\ &= 30\sin\theta - \frac{120\sin\theta}{5\cos\theta + 1} \end{aligned}\]

$f(\theta)$의 도함수를 구하면,

\[f'(\theta) = 30\cos\theta - 120\frac{\cos\theta + 5}{(5\cos\theta + 1)^2}\]

$\cos\beta = \dfrac{4}{5}$이므로

\[f'(\beta) = -\frac{96}{25}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	쌍곡선의 정의로부터 자취의 방정식 $x^2 - \frac{y^2}{24} = 1$ 정확히 유도	6점
2단계	접선의 절편 및 절대부등식을 활용하여 선분 QR 길이 최솟값 도출	6점
3단계	직각삼각형과 사인·코사인법칙 적용을 통한 $\cos \alpha$ 도출	6점
4단계	쌍곡선의 정의를 이용한 삼각형 BCP 넓이 도함수 계산 완결	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

이차곡선과 초월함수 미분이 결합된 서강대 시그니처 문항입니다. 거리의 차 조건을 쌍곡선 정의와 일치시키고 접선 공식을 정확히 인용하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【1-1】 $x^2 - \frac{y^2}{24} = 1$ ($x \gt 0$), 【1-2】 최솟값 도출, 【1-3】 $\cos\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, 【1-4】 넓이 도함수 완결 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 초월함수의 미분, 거리 함수 최솟값, 구간별 정의 함수, 연속성과 미분가능성 ⏱️ 권장 시간: 40분

[제시문]

[가] $x$의 값의 범위가 $\alpha \le x \le \beta$일 때, 이차함수 $f(x) = a(x - p)^2 + q$의 최댓값과 최솟값은 다음과 같다.
⓵ 꼭짓점의 $x$좌표 $p$가 $x$의 값의 범위 $\alpha \le x \le \beta$에 속하면 $f(\alpha), f(\beta), f(p)$ 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.
⓶ 꼭짓점의 $x$좌표 $p$가 $x$의 값의 범위에 속하지 않으면 $f(\alpha), f(\beta)$ 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.

[나] 함수 $f(x)$의 $x = a$에서의 극한값이 $L$이면 $x = a$에서의 우극한과 좌극한이 모두 존재하고 그 값은 모두 $L$과 같다. 또 그 역도 성립한다. 즉, 다음이 성립한다.

\[\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a+} f(x) = \lim_{x \to a-} f(x) = L\]

[다] 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 정의되어 있고 $\lim\limits_{x \to a} f(x)$가 존재하며 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$일 때, 함수 $f(x)$는 $x = a$에서 연속이라고 한다. 함수 $f(x)$가 어떤 구간에 속하는 모든 $x$에서 연속이면 함수 $f(x)$는 그 구간에서 연속이라고 한다.

[라] 함수 $f(x)$에서 극한값

\[\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\]

가 존재하면 함수 $f(x)$는 $x = a$에서 미분가능하다고 한다. 또한 함수 $f(x)$가 어떤 구간에 속하는 모든 $x$에서 미분가능하면 함수 $f(x)$는 그 구간에서 미분가능하다고 한다.

[어울림 그림 1-2] 양의 실수 $t$의 구간에 따른 최솟값 함수 $y = f(t)$의 그래프 및 $t = 1$에서의 접선 ($f'(1) = -3$)

[문제]
제시문 [가]~[라]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.
양의 실수 $t$에 대하여 함수 $g(\theta) = \sqrt{(4\cos\theta - 3t)^2 + 4t^2\sin^2\theta} \; (0 \le \theta \lt 2\pi)$의 최솟값을 $f(t)$라고 하자.

【2-1】 $f(1)$의 값을 구하시오.

【2-2】 $0 \lt t \lt 1$일 때, $f(t)$를 구하시오.

【2-3】 $t \gt 1$일 때, $f(t)$를 구하시오.

【2-4】 함수 $f(t)$의 $t = 1$에서의 연속성과 미분가능성을 조사하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.18 탐구 816 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-08 (접선의 방정식)]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x)=|x-1|(x+2)$의 $x=1$에서의 연속성과 미분가능성을 조사하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 0$이므로 연속이다. 좌미분계수는 $-3$, 우미분계수는 $3$으로 다르므로 미분불가능하다.
※ 해설 가이드: 절댓값 및 구간별 함수의 미분가능성 판정 절차를 명확히 서술함.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 1차 / 문제 2 문항 6 (수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분) [배점 25점]

【문제 2 요약】 삼각함수를 포함한 거리 제곱근 최솟값 함수 $f(t)$의 구간 정의 및 $t=1$에서의 미분계수 일치 증명.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution · 1/2) 2025 문항 6 · 총 25점

【출제 의도 및 공식 채점 기준 상세】

[어울림 해설그림 1-2A] $x=\cos\theta \in [-1, 1]$에서 꼭짓점 $p(t)=\frac{3t}{4-t^2}$의 위치에 따른 $h(x)$의 최솟값

[6.3 출제 의도]
고등학교 필수 교육과정에 나오는 삼각함수와 이차함수의 최대·최소 문제 및 함수의 연속성과 미분가능성에 대한 기본적인 내용을 이해하고 있는지 평가한다. 구체적인 출제 의도는 다음과 같다.
• 주어진 삼각함수의 최대·최소 문제를 간단한 치환을 통하여 이차함수의 최대·최소 문제로 바꿀 수 있는지 평가한다. 또한 이차함수의 최대·최소 문제를 해결하기 위하여 제시문의 내용을 올바르게 활용하는지 평가한다.
• 구간에서의 이차함수의 최솟값을 구하기 위하여 꼭짓점의 $x$좌표에 따라서 이차함수의 그래프가 어떻게 변하는지 정확하게 이해하고 있는지 평가한다.
• 함수의 연속성과 미분가능성의 개념을 정확하게 이해하고 있는지 평가한다. 이를 위해서 제시문에 주어진 함수의 극한, 연속성 및 미분가능성의 정의를 적절하게 활용할 수 있는지 평가한다.
[6.6 채점 기준]
∎ 문항 【2-1】은 주어진 삼각함수의 최대·최소 문제를 간단한 치환을 통하여 이차함수의 최대·최소 문제로 바꿀 수 있는지를 평가하는 문항이다. 또한 가장 쉬운 경우에 대한 문제를 해결하기 위하여 제시문 [가]의 내용을 올바르게 활용하는지를 평가한다.
∎ 문항 【2-2】에서도 삼각함수의 최대·최소 문제를 치환을 통하여 이차함수의 최대·최소 문제로 바꿀 수 있는지 평가한다. 문항 【2-1】보다는 조금 더 일반적인 상황에서도 제시문 [가]를 활용하여 구간에서의 이차함수의 최솟값을 올바르게 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【2-3】은 구간에서의 이차함수의 최솟값을 구하기 위하여 꼭짓점의 $x$좌표에 따라 이차함수의 그래프가 어떻게 변하는지 정확하게 이해하고 있는지 평가하는 문항이다. 역시 제시문 [가]를 활용하여 꼭짓점의 $x$좌표에 따른 구간에서의 이차함수의 최솟값을 올바르게 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【2-4】는 문항 【2-1】~【2-3】의 결과로 주어지는 함수에 대하여 함수의 연속성과 미분가능성의 개념을 정확하게 이해하고 있는지 평가하는 문항이다. 이를 위해서 제시문 [나]~[라]의 함수의 극한, 연속성 및 미분가능성의 정의를 적절하게 활용할 수 있는지 평가한다.

【서강대학교 공식 모범 답안 사례 전문 (1/2 · 【2-1】~【2-3】)】

$x = \cos\theta$ ($0 \le \theta \lt 2\pi$), $h(x) = \{g(\theta)\}^2$이라 하면, $-1 \le x \le 1$이고

\[h(x) = (4x - 3t)^2 + 4t^2(1 - x^2) = 4(4 - t^2)x^2 - 24tx + 13t^2\]

이므로 구간 $[-1, 1]$에서 함수 $h(x)$의 최솟값의 양의 제곱근이 $f(t)$가 된다. 제시문 [가]를 이용하여, 아래 【2-1】, 【2-2】, 【2-3】의 예시답안에서 $t = 1$, $0 \lt t \lt 1$, $t \gt 1$인 경우에 대하여 $f(t)$를 각각 구한다.

【2-1】 $t = 1$이라고 하면,

\[h(x) = 12x^2 - 24x + 13 = 12(x - 1)^2 + 1\]

이므로 함수 $h(x)$는 꼭짓점의 $x$좌표가 $1$이고 최고차항의 계수가 양인 이차함수이다. 따라서 구간 $[-1, 1]$에서 함수 $h(x)$는 최솟값 $h(1) = 1$을 가진다. 그러므로

\[f(1) = \sqrt{1} = 1\]

【2-2】 $0 \lt t \lt 1$이라고 하자. 그러면 $4 - t^2 \gt 0$이고

\[h(x) = 4(4 - t^2)\left(x - \frac{3t}{4 - t^2}\right)^2 + \frac{t^2(16 - 13t^2)}{4 - t^2}\]

이므로 함수 $h(x)$는 꼭짓점의 $x$좌표가 $\dfrac{3t}{4 - t^2}$이고 최고차항의 계수가 양인 이차함수이다. 또한 $t^2 + 3t - 4 = (t - 1)(t + 4) \lt 0$이므로 $0 \lt \dfrac{3t}{4 - t^2} \lt 1$이다. 따라서 구간 $[-1, 1]$에서 함수 $h(x)$의 최솟값은 $h\left(\dfrac{3t}{4 - t^2}\right) = \dfrac{t^2(16 - 13t^2)}{4 - t^2}$ 따라서

\[f(t) = \frac{t\sqrt{16 - 13t^2}}{\sqrt{4 - t^2}}\]

【2-3】 $t \gt 1$이라고 하자. 이때 $t^2 + 3t - 4 = (t - 1)(t + 4) \gt 0$이다.
(i) $t = 2$인 경우: $h(x) = -48x + 52$이므로 함수 $h(x)$는 기울기가 $-48$인 일차함수이다. 따라서 구간 $[-1, 1]$에서의 함수 $h(x)$는 최솟값 $h(1) = 4$를 가진다. 따라서 $f(2) = \sqrt{4} = 2$
(ii) $1 \lt t \lt 2$인 경우: $h(x) = 4(4 - t^2)\left(x - \dfrac{3t}{4 - t^2}\right)^2 + \dfrac{t^2(16 - 13t^2)}{4 - t^2}$ 이므로 함수 $h(x)$는 꼭짓점의 $x$좌표가 $\dfrac{3t}{4 - t^2}$이고 최고차항의 계수가 양인 이차함수이다. $\dfrac{3t}{4 - t^2} \gt 1$이므로 구간 $[-1, 1]$에서 함수 $h(x)$의 최솟값은 $h(1) = (4 - 3t)^2$이다. 따라서 $f(t) = \sqrt{(4 - 3t)^2} = |4 - 3t|$
(iii) $t \gt 2$인 경우: 함수 $h(x)$는 꼭짓점의 $x$좌표가 $\dfrac{3t}{4 - t^2}$이고 최고차항의 계수가 음인 이차함수이다. $\dfrac{3t}{4 - t^2} \lt 0$이므로 구간 $[-1, 1]$에서 함수 $h(x)$의 최솟값은 $h(1) = (4 - 3t)^2$이다. 그러므로 $f(t) = \sqrt{(4 - 3t)^2} = |4 - 3t|$
(i), (ii), (iii)을 종합하면, $t \gt 1$일 때, $f(t) = |4 - 3t|$

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 1차 / 문제 2 문항 6 (수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분) [배점 25점]

【해설 연속 요약】 앞 페이지(6번 해설 1/2)에 이어서 후반부 모범답안 논증 단계, 단계별 채점 루브릭(Rubric), 족집게 논술 CLINIC 및 최종 정답을 수록합니다.

✍️ 후반부 논증 전개와 배점별 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution · 2/2) 2025 문항 6 · 총 25점

【서강대학교 공식 모범 답안 사례 전문 (2/2 · 【2-4】)】

[어울림 해설그림 1-2B] 【2-4】 $t=1$에서 좌·우극한 $1$ 및 좌·우미분계수 $-3$ 일치 확인

【2-4】 문항 【2-1】~【2-3】의 예시답안으로부터 $f(t) = \begin{cases} \dfrac{t\sqrt{16 - 13t^2}}{\sqrt{4 - t^2}} & (0 \lt t \lt 1) \\quad 4 - 3t & \left(1 \le t \lt \dfrac{4}{3}\right) \end{cases}$
(i) $t = 1$에서의 연속성을 조사하면, $\lim\limits_{t \to 1-} f(t) = \lim\limits_{t \to 1-} \dfrac{t\sqrt{16 - 13t^2}}{\sqrt{4 - t^2}} = 1$, $\lim\limits_{t \to 1+} f(t) = \lim\limits_{t \to 1+} (4 - 3t) = 1$, $f(1) = 1$ 이므로 제시문 [나]와 [다]에 의해, 함수 $f(t)$는 $t = 1$에서 연속이다.
(ii) 함수 $f(t)$의 $t = 1$에서의 미분가능성을 조사한다. 우선 $\lim\limits_{t \to 1+} \dfrac{f(t) - f(1)}{t - 1} = \lim\limits_{t \to 1+} \dfrac{(4 - 3t) - 1}{t - 1}$ $= -3$
또한, $0 \lt t \lt 1$일 때

\[\begin{aligned} \frac{f(t) - f(1)}{t - 1} &= \frac{1}{t - 1}\left(\frac{t\sqrt{16 - 13t^2}}{\sqrt{4 - t^2}} - 1\right) \\ &= \frac{t\sqrt{16 - 13t^2} - \sqrt{4 - t^2}}{(t - 1)\sqrt{4 - t^2}} \\ &= \frac{t^2(16 - 13t^2) - (4 - t^2)}{(t - 1)\sqrt{4 - t^2}\left(t\sqrt{16 - 13t^2} + \sqrt{4 - t^2}\right)} \\ &= \frac{(4 - 13t^2)(t + 1)}{\sqrt{4 - t^2}\left(t\sqrt{16 - 13t^2} + \sqrt{4 - t^2}\right)} \end{aligned}\]

이므로 $\lim\limits_{t \to 1-} \dfrac{f(t) - f(1)}{t - 1} = \lim\limits_{t \to 1-} \dfrac{(4 - 13t^2)(t + 1)}{\sqrt{4 - t^2}\left(t\sqrt{16 - 13t^2} + \sqrt{4 - t^2}\right)}$ $= -3$ 따라서 제시문 [나]와 [라]에 의하여, 함수 $f(t)$는 $t = 1$에서 미분가능하다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$t=1$일 때 삼각치환을 통해 $f(1) = 0$ 정확히 계산	6점
2단계	$0 \lt t \lt 1$ 구간에서 꼭짓점 조건에 따른 $f(t)$ 유도	6점
3단계	$t \gt 1$ 구간에서 $f(t)$ 식 논리적 도출	6점
4단계	$t=1$에서 미분계수 정의를 통한 연속성 및 미분가능성 증명 완결	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

경계점에서의 미분가능성 증명 시 도함수의 극한이 아닌 미분계수의 정의 식을 명시하여 서술해야 감점을 피할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【2-1】 $f(1) = 0$, 【2-2】 $f(t)$ 구간식 유도, 【2-3】 $f(t) = 0$, 【2-4】 $f'(1) = 0$ 미분가능 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 타원의 정의와 초점 거리, 피타고라스 정리, 코사인법칙, 삼각함수의 덧셈정리 ⏱️ 권장 시간: 40분

[제시문]

[가] 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}'(-c, 0)$으로부터의 거리의 합이 $2a$인 타원의 방정식은 다음과 같다.

\[\begin{aligned} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} &= 1; \\ & (\text{단, } a \gt c \gt 0, \; b^2 = a^2 - c^2) \end{aligned}\]

[나] 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

\[\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1\]

[다] $\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$, $\tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$

[어울림 그림 2-1] 타원 $\frac{x^2}{4b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(\angle\mathrm{F'PF}=90^\circ)$와 점 $\mathrm{Q}(\angle\mathrm{F'FQ}=135^\circ)$에서의 접선 및 $\angle\mathrm{FQR}=\theta$

[문제]
제시문 [가]~[다]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

두 초점이 $\mathrm{F}(\sqrt{3}b, 0), \mathrm{F}'(-\sqrt{3}b, 0)$인 타원 $\dfrac{x^2}{4b^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$이 $\angle\mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ$를 만족시킨다. 문항 【1-1】과 【1-2】에 답하시오. (단, $b \gt 0$이고 $x_1 \gt 0, y_1 \gt 0$)

【1-1】 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} = l_1$이고 $\overline{\mathrm{FP}} = l_2$라고 할 때, $l_1$과 $l_2$의 곱 $l_1 l_2$를 구하시오. 또한 $l_1$과 $l_2$를 각각 구하시오.

【1-2】 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$의 좌표를 구하시오.

두 초점이 $\mathrm{F}(\sqrt{3}b, 0), \mathrm{F}'(-\sqrt{3}b, 0)$인 타원 $\dfrac{x^2}{4b^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{Q}(x_2, y_2)$가 $\angle\mathrm{F}'\mathrm{FQ} = 135^\circ$를 만족시킨다. 문항 【1-3】과 【1-4】에 답하시오. (단, $b \gt 0$이고 $x_2 \gt 0, y_2 \gt 0$)

【1-3】 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{Q}} = l_3$이고 $\overline{\mathrm{FQ}} = l_4$라고 할 때, $l_3$과 $l_4$를 각각 구하시오.

【1-4】 타원 $\dfrac{x^2}{4b^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{Q}(x_2, y_2)$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{R}$이라고 하자. $\angle\mathrm{FQR} = \theta$라고 할 때, $\tan\theta$를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03) PDF p.11 탐구 817 변형 | 성취기준: 12대수03-06 (귀납적 정의)]

【유사 연습 문제】 타원 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$의 두 초점 $\mathrm{F, F'}$과 타원 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\angle \mathrm{FPF'}=90^\circ$일 때 삼각형 $\mathrm{PFF'}$의 넓이를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $l_1+l_2=10$, $l_1^2+l_2^2=(2c)^2=36$. $(l_1+l_2)^2 = l_1^2+l_2^2+2l_1 l_2 = 100$ $\implies$ $2l_1 l_2 = 64$ $\implies$ $S = \frac{1}{2}l_1 l_2 = 16$이다.
※ 해설 가이드: 타원의 정의와 피타고라스 정리의 대수적 결합을 통한 삼각형 넓이 계산 서술.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 2차 / 문제 1 문항 7 (수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분) [배점 25점]

【문제 1 요약】 타원의 정의와 초점 삼각형 직각 조건에 따른 거리 계산 및 탄젠트 덧셈정리를 통한 $\tan\theta$ 도출.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution · 1/2) 2025 문항 7 · 총 25점

【출제 의도 및 공식 채점 기준 상세】

[어울림 해설그림 2-1A] 타원 $\frac{x^2}{4b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$와 초점 삼각형

[7.3 출제 의도]
• 주어진 조건에 맞는 타원을 좌표평면 위에 그릴 수 있는지 평가한다.
• 타원에 대한 기본적인 성질을 이용하고 이를 이용하여 타원 위의 점들과의 거리를 구할 수 있는지 평가한다.
• 수직인 두 직선의 기울기의 곱을 알고 있는지 평가한다.
• 삼각함수의 덧셈정리를 이해하고 이를 적절히 구할 수 있는지 평가한다.
[7.6 채점 기준]
∎ 문항 【1-1】은 제시문 [가]의 타원의 정의로부터 타원 위의 점 $\mathrm{P}$에서 두 초점까지의 거리의 합을 구하고 직각삼각형의 피타고라스 정리를 이용하여 두 거리의 곱을 구할 수 있는지 평가한다. 이차방정식의 근과 계수와의 관계로부터 각 거리를 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-2】는 두 직선이 수직일 때 두 직선의 기울기의 곱이 $-1$임을 이용하여 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-3】은 점 $\mathrm{Q}$와 두 초점으로 이루어진 삼각형에 대하여 코사인법칙을 적용하여 점 $\mathrm{Q}$에서 두 초점까지의 거리를 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-4】는 제시문 [나]의 공식을 이용하여 점 $\mathrm{Q}$에서 접선의 방정식을 구하고, 이 접선이 $x$축과 만나는 점, 초점 $\mathrm{F}$, 점 $\mathrm{Q}$로 이루어진 삼각형에 대하여 제시문 [다]의 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 탄젠트 값을 구할 수 있는지 평가한다.

【서강대학교 공식 모범 답안 사례 전문 (1/2 · 【1-1】~【1-3】)】

【1-1】 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$가 직각 삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여 $l_1^2 + l_2^2 = (2\sqrt{3}b)^2 = 12b^2$이다. 따라서

\[(l_1 + l_2)^2 - 2l_1 l_2 = l_1^2 + l_2^2 = 12b^2\]

이다. 타원의 정의에 의하여 $l_1 + l_2 = 4b$이므로, $(4b)^2 - 2l_1 l_2 = 12b^2$이고 $l_1 l_2 = 2b^2$이다. 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 $l_1$과 $l_2$는 $t$에 관한 이차방정식 $t^2 - (4b)t + 2b^2 = 0$의 근이다. 이를 풀면, $t = 2b \pm \sqrt{2}b$이고 $l_1 \gt l_2$이므로

\[l_1 = (2 + \sqrt{2})b, \qquad l_2 = (2 - \sqrt{2})b\]

【1-2】 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$가 타원 $\dfrac{x^2}{4b^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위에 있으므로

\[\frac{x_1^2}{4b^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \quad \text{--- (a)}\]

$\angle\mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ$이므로 두 점 $\mathrm{F}'$와 $\mathrm{P}$를 지나는 직선의 기울기 $\dfrac{y_1}{x_1 + \sqrt{3}b}$과 두 점 $\mathrm{F}$와 $\mathrm{P}$를 지나는 직선의 기울기 $\dfrac{y_1}{x_1 - \sqrt{3}b}$은 $\dfrac{y_1}{x_1 + \sqrt{3}b} \times \dfrac{y_1}{x_1 - \sqrt{3}b} = -1$을 만족시킨다. 따라서

\[x_1^2 = 3b^2 - y_1^2 \quad \text{--- (b)}\]

식 (b)를 식 (a)에 대입하면 $\dfrac{3b^2 - y_1^2}{4b^2} + \dfrac{y_1^2}{b^2} = 1$이므로 $3y_1^2 = b^2$이다. $y_1 \gt 0$이므로 $y_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{3}b$이고 식 (b)에 대입하면 $x_1^2 = 3b^2 - y_1^2 = 3b^2 - \dfrac{1}{3}b^2 = \dfrac{8}{3}b^2$이다. $x_1 \gt 0$이므로 $x_1 = \sqrt{\dfrac{8}{3}}b = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}b$ 이다. 따라서

\[(x_1, y_1) = \left(\frac{2\sqrt{6}}{3}b, \; \frac{\sqrt{3}}{3}b\right)\]

【1-3】 $\angle\mathrm{F}'\mathrm{FQ} = 135^\circ$이다. 삼각형 $\mathrm{QF}'\mathrm{F}$에 코사인법칙을 적용하면

\[\begin{aligned} l_3^2 &= l_4^2 + (2\sqrt{3}b)^2 - 2l_4(2\sqrt{3}b)\cos 135^\circ \\ &= l_4^2 + 12b^2 + 2\sqrt{6}b l_4 \end{aligned}\]

$l_3 + l_4 = 4b$이므로 $l_3 = 4b - l_4$를 위의 식에 대입하면 $(4b - l_4)^2 = l_4^2 + 12b^2 + 2\sqrt{6}b l_4$이고 좌변을 전개한 후 계산하면 $l_4 = \dfrac{4}{8 + 2\sqrt{6}}b = \dfrac{4 - \sqrt{6}}{5}b$이고 $l_3 = \dfrac{16 + \sqrt{6}}{5}b$이다.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 2차 / 문제 1 문항 7 (수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분) [배점 25점]

【해설 연속 요약】 앞 페이지(7번 해설 1/2)에 이어서 후반부 모범답안 논증 단계, 단계별 채점 루브릭(Rubric), 족집게 논술 CLINIC 및 최종 정답을 수록합니다.

✍️ 후반부 논증 전개와 배점별 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution · 2/2) 2025 문항 7 · 총 25점

【서강대학교 공식 모범 답안 사례 전문 (2/2 · 【1-4】)】

2025 서강대 2차 1번 1-3, 1-4 접선과 각도 덧셈정리 해설 그림

[어울림 해설그림 2-1B] 【1-4】 점 $\mathrm{Q}$에서 내린 수선의 발 $\mathrm{S}(x_2,0)$, $\angle\mathrm{QRS}=\alpha$와 $\theta = 135^\circ - \alpha$

【1-4】 두 점 $\mathrm{Q}(x_2, y_2)$와 $\mathrm{F}(c, 0)$을 지나는 직선은 기울기가 $\tan 45^\circ = 1$이므로 $y = x - \sqrt{3}b$이다. 따라서 $y_2 = x_2 - \sqrt{3}b \text{ --- (c)}$
또한 $\mathrm{Q}(x_2, y_2)$는 타원 $\dfrac{x^2}{4b^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위에 있으므로 $\dfrac{x_2^2}{4b^2} + \dfrac{y_2^2}{b^2} = 1 \text{ --- (d)}$을 만족시킨다. 식 (c)를 (d)에 대입하여 정리하면 $5x_2^2 - 8\sqrt{3}b x_2 + 8b^2 = 0$이므로 이차방정식의 근의 공식에 의해 $x_2 = \dfrac{1}{5}(4\sqrt{3} \pm 2\sqrt{2})b$이다. $x_2 \gt \sqrt{3}b$이어야 하므로 $x_2 = \dfrac{2\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{5}b$이고 식 (c)에 대입하면 $y_2 = \dfrac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5}b$이다. 따라서 $\mathrm{Q}(x_2, y_2) = \mathrm{Q}\left(\dfrac{2\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{5}b, \dfrac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5}b\right)$
제시문 [나]에 의하여 점 $\mathrm{Q}$에서 접선의 방정식은 $\dfrac{\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{10b}x + \dfrac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5b}y = 1$
$y = 0$일 때 $x = (2\sqrt{3} - \sqrt{2})b$이므로 점 $\mathrm{R}$의 $x$좌표는 $x_3 = (2\sqrt{3} - \sqrt{2})b$이다. 점 $\mathrm{Q}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 점 $\mathrm{S}(x_2, 0)$라 하고 $\angle\mathrm{QRS} = \alpha$라고 하면 $\tan\alpha = \dfrac{y_2}{x_3 - x_2} = \dfrac{2 + \sqrt{6}}{2}$이다. $\theta = 135^\circ - \alpha$이므로 제시문 [다]로부터

\[\begin{aligned} \tan\theta &= \tan(135^\circ - \alpha) = \frac{\tan 135^\circ - \tan\alpha}{1 + \tan 135^\circ \tan\alpha} \\ &= \frac{-1 - \tan\alpha}{1 - \tan\alpha} = \frac{3 + 2\sqrt{6}}{3} \end{aligned}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	타원의 정의와 피타고라스 정리를 통한 l1, l2 계산	6점
2단계	기울기 수직 조건 및 타원 방정식을 활용하여 점 P의 좌표 결정	6점
3단계	초점 삼각형 코사인법칙 적용을 통한 l3, l4 길이 계산	6점
4단계	접선의 방정식과 탄젠트 덧셈정리를 통한 각도 계산 완결	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

타원의 기하학적 정의와 대수적 방정식을 연립할 때 미지수 소거 과정을 명확히 밝히십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【1-1】 $l_1=(2+\sqrt{2})b, l_2=(2-\sqrt{2})b$, 【1-2】 $\mathrm{P}((\frac{2\sqrt{6}}{3})b, (\frac{\sqrt{3}}{3})b)$, 【1-3】 $l_3, l_4$ 도출, 【1-4】 $\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 수학, 수학Ⅱ, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 삼각함수 절댓값 결합 함수, 정적분의 주기성, 미분불가능성, 합성함수 미분법 ⏱️ 권장 시간: 40분

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 수 $x_1, x_2$에 대하여 $x_1 \lt x_2$일 때 $f(x_1) \lt f(x_2)$이면 함수 $f(x)$는 이 구간에서 증가한다고 한다.
또 $x_1 \lt x_2$일 때 $f(x_1) \gt f(x_2)$이면 함수 $f(x)$는 이 구간에서 감소한다고 한다.

[나] 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때
① 열린구간 $(a, b)$에서 $f'(x) \gt 0$이면 함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[a, b]$에서 증가한다.
② 열린구간 $(a, b)$에서 $f'(x) \lt 0$이면 함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[a, b]$에서 감소한다.

[다] 함수 $y = f(x)$에서 $x$의 값이 $a$에서 $a + \Delta x$까지 변할 때, 평균변화율은

\[\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}\]

이다. 여기서 $\Delta x \to 0$일 때, 평균변화율의 극한값

\[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}\]

가 존재하면 함수 $y = f(x)$는 $x = a$에서 미분가능하다고 한다. 또한 함수 $y = f(x)$가 어떤 구간에 속하는 모든 $x$에서 미분가능하면 함수 $y = f(x)$는 그 구간에서 미분가능하다고 한다.

2025 서강대 자연 2차 2번 g(x)=x+|cos x|와 직선의 교점

[어울림 그림 2-2] $g(x) = x + |\cos x|$의 그래프와 점 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$를 지나는 직선 $y = k\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2}$

[원문 PDF p.99 조건 박스 스크린샷 (어울림)]

[문제]
제시문 [가]~[다]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.
두 함수 $f(x)$와 $g(x)$는 모든 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(i) $f(x) \le g(x)$ (ii) $\{g(x) - f(x)\}^2 + \sin^2 f(x) = 1$

【2-1】 함수 $f(x)$가 $f(x) = 10x$일 때, 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{\pi} g(x)\,dx$의 값을 구하시오.

【2-2】 함수 $f(x)$가 $f(x) = x$일 때, 함수 $g(x)$가 열린구간 $(0, \pi)$에서 미분가능한지 조사하시오. 또한 함수 $g(x)$가 닫힌구간 $[0, \pi]$에서 증가함을 보이시오.

【2-3】 함수 $f(x)$가 $f(x) = x$일 때, 방정식 $g(x) - kx + \dfrac{\pi}{2}(k - 1) = 0$이 $0 \le x \le \pi$에서 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 양의 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

【2-4】 함수 $g(x)$가 $g(x) = x$일 때, $f'(a) = \dfrac{2}{3}$를 만족시키는 실수 $a$의 값을 구하시오. $\left(\text{단, } \dfrac{\pi}{2} \lt a \lt \pi + 1\right)$

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.12 탐구 818 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02 (치환적분)]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x)=x+|\sin x|$에 대하여 $\displaystyle\int_0^{2\pi} f(x)dx$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\int_0^{2\pi} x dx + \int_0^{2\pi} |\sin x|dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{2\pi} + 2\int_0^\pi \sin x dx$ $= 2\pi^2 + 4$이다.
※ 해설 가이드: 절댓값 기호를 포함한 함수의 구간별 적분 및 주기성 활용 원리를 서술함.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 2차 / 문제 2 문항 8 (수학, 수학Ⅱ, 미적분) [배점 25점]

【문제 2 요약】 함수 $g(x)=f(x)+|\cos f(x)|$의 주기적 정적분($5\pi^2+2$), 첨점 미분불가능성, 유일 실근 기울기 범위 및 합성함수 미분.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution · 1/2) 2025 문항 8 · 총 25점

【출제 의도 및 공식 채점 기준 상세】

[어울림 해설그림 2-2A] 【2-1】 주기가 $\frac{\pi}{10}$인 $y=|\cos 10x|$의 $[0, \pi]$ 정적분

[8.3 출제 의도]
• 삼각함수의 주기성을 이용하여 정적분을 구할 수 있는지 평가한다.
• 미분계수의 정의를 이용하여 함수의 미분가능성을 조사할 수 있는지, 도함수를 활용하여 함수의 증가 또는 감소를 판단할 수 있는지 평가한다.
• 도함수를 활용하여 방정식의 실근의 개수를 구할 수 있는지 평가한다.
• 합성함수의 미분법 및 삼각함수 미분을 활용하여 함수 $f(x)$의 미분계수가 특정한 값이 되는 $x$의 값을 구할 수 있는지 평가한다.
[8.6 채점 기준]
∎ 문항 【2-1】은 조건을 만족하는 함수 $g(x)$를 구하고 다항함수 및 삼각함수의 적분법 및 삼각함수의 주기성을 이용하여 정적분을 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【2-2】는 제시문 [다]를 바탕으로 미분계수의 정의로부터 구간에서의 함수의 미분가능성을 조사하고 제시문 [나]를 이용하여 함수 $g(x)$가 증가함수임을 보일 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【2-3】은 도함수를 활용하여 주어진 구간에서 방정식이 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 양의 실수 $k$의 범위를 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【2-4】는 조건을 만족하는 함수 $f(x)$에 대하여 합성함수의 미분법을 활용하여 미분계수 $f'(a)$가 $\dfrac{2}{3}$가 되는 실수 $a$의 값을 구할 수 있는지 평가하는 문항이다. 특히, 함수 $f(x)$를 직접 구하지 않고 합성함수 미분법을 이용하여 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$를 구하고 $f'(a) = \dfrac{2}{3}$의 값을 갖는 $a$의 값을 주어진 범위에서 찾을 수 있는지 평가한다.

【서강대학교 공식 모범 답안 사례 전문 (1/2 · 【2-3】(1))】

[원문 p.105 증감표 스크린샷 (어울림)] $0 \lt k \lt 1$일 때 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$에서 $h(x)$의 증감

【2-3】 $h(x) = g(x) - kx + \dfrac{\pi}{2}(k - 1)$이라고 하자. $h\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = g\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \dfrac{\pi}{2} = 0$이므로 $x = \dfrac{\pi}{2}$는 방정식 $h(x) = 0$의 근이다. 따라서 구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)$와 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 방정식 $h(x) = 0$의 근이 존재하지 않는 양의 실수 $k$의 범위를 구하면 된다.

(1) 구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)$의 경우: $0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$이면 $h'(x) = 1 - \sin x - k$이다.
(1-1) $k \ge 1$일 때, 구간 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$에서 $h'(x) \lt 0$이므로 함수 $h(x)$는 구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$에서 감소한다. 따라서 $0 \le x \lt \dfrac{\pi}{2}$일 때, $h(x) \gt h\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$이므로 방정식 $h(x) = 0$은 구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)$에서 근을 갖지 않는다.
(1-2) $0 \lt k \lt 1$일 때, $h'(\alpha) = 1 - \sin\alpha - k = 0$이 되는 $\alpha$가 구간 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$에 존재하고 구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$에서 함수 $h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$x$	$0$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{2}$
$h'(x)$		$+$	$0$	$-$
$h(x)$	$1 + \dfrac{\pi}{2}(k-1)$	$\nearrow$	$h(\alpha)$	$\searrow$	$0$

$0 \lt k \le 1 - \dfrac{2}{\pi}$이면 $h(0) \le 0$이므로 방정식 $h(x) = 0$이 구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)$에서 근을 갖는다. $1 - \dfrac{2}{\pi} \lt k \lt 1$이면 $h(0) \gt 0$이므로 방정식 $h(x) = 0$이 구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)$에서 근을 갖지 않는다. 따라서 (1-1)과 (1-2)에 의해 $k \gt 1 - \dfrac{2}{\pi}$일 때, 방정식 $h(x) = 0$은 구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)$에서 근을 갖지 않는다.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 2차 / 문제 2 문항 8 (수학, 수학Ⅱ, 미적분) [배점 25점]

【해설 연속 요약】 앞 페이지(8번 해설 1/2)에 이어서 후반부 모범답안 논증 단계, 단계별 채점 루브릭(Rubric), 족집게 논술 CLINIC 및 최종 정답을 수록합니다.

✍️ 후반부 논증 전개와 배점별 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution · 2/2) 2025 문항 8 · 총 25점

【서강대학교 공식 모범 답안 사례 전문 (2/2 · 【2-3】(2)·【2-4】)】

[원문 p.106 증감표 스크린샷 (어울림)] $1 \lt k \lt 2$일 때 $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 $h(x)$의 증감

【2-3】 (이어서)

(2) 구간 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$의 경우: $\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$에서 $h'(x) = 1 + \sin x - k$이다.
(2-1) $0 \lt k \le 1$일 때, 함수 $h(x)$는 구간 $\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 증가하므로 방정식 $h(x) = 0$은 구간 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 근을 갖지 않는다.
(2-2) $k \ge 2$일 때, 함수 $h(x)$는 구간 $\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 감소하므로 방정식 $h(x) = 0$은 구간 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 근을 갖지 않는다.
(2-3) $1 \lt k \lt 2$일 때, $h'(\beta) = 1 + \sin\beta - k = 0$이 되는 $\beta$가 구간 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$에 존재하고 구간 $\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 함수 $h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$x$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\cdots$	$\beta$	$\cdots$	$\pi$
$h'(x)$		$+$	$0$	$-$
$h(x)$	$0$	$\nearrow$	$h(\beta)$	$\searrow$	$1 + \dfrac{\pi}{2}(1-k)$

$1 + \dfrac{2}{\pi} \le k \lt 2$이면 $h(\pi) \le 0$이므로 방정식 $h(x) = 0$은 구간 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 근을 갖는다. $1 \lt k \lt 1 + \dfrac{2}{\pi}$이면 $h(\pi) \gt 0$이므로 방정식 $h(x) = 0$은 구간 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 근을 갖지 않는다. 따라서 (2-1), (2-2), (2-3)에 의해 $0 \lt k \lt 1 + \dfrac{2}{\pi}$ 또는 $k \ge 2$일 때, 방정식 $h(x) = 0$은 구간 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$에서 근을 갖지 않는다.
경우 (1)과 (2)에 의해 방정식 $h(x) = 0$이 구간 $[0, \pi]$에서 오직 한 개의 근을 갖는 양의 실수 $k$의 값의 범위는

\[1 - \frac{2}{\pi} \lt k \lt 1 + \frac{2}{\pi} \quad \text{또는} \quad k \ge 2\]

【2-4】 $g(x) = x$이므로 $x = f(x) + |\cos f(x)|$이다. $\{x - f(x)\}^2 + \sin^2 f(x) = 1$의 양변을 $x$로 미분하면 $2\{x - f(x)\}\{1 - f'(x)\} + 2f'(x)\sin f(x)\cos f(x) = 0$이고, $x - f(x) = |\cos f(x)|$이므로 $|\cos f(x)|\{1 - f'(x)\} + f'(x)\sin f(x)\cos f(x) = 0$이다. 따라서 $x = a$와 $f'(a) = \dfrac{2}{3}$를 대입하면 $|\cos f(a)| + 2\sin f(a)\cos f(a) = 0$이고 만약 $\cos f(x)$가 $0$이 아니면 $f'(x) = \dfrac{|\cos f(x)|}{|\cos f(x)| - \sin f(x)\cos f(x)}$이다.
(1) $\cos f(a) = 0$이면 $f(a) = a - |\cos f(a)| = a$이므로 $\cos a = 0$이 된다. 하지만 $\dfrac{\pi}{2} \lt a \lt \pi + 1$에서 $\cos a = 0$이 되는 $a$는 존재하지 않는다.
(2) $\cos f(a) \gt 0$이면 $\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{1 - \sin f(a)}$이므로 $\sin f(a) = -\dfrac{1}{2}$이고 $\cos f(a) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다. 한편 $\dfrac{\pi}{2} \lt a \lt \pi + 1$이고 $f(a) = a - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \lt f(a) \lt \pi + 1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다. 하지만 이 범위에서 $\sin f(a) = -\dfrac{1}{2}$과 $\cos f(a) \gt 0$을 모두 만족시키는 $f(a)$는 존재하지 않는다.
(3) $\cos f(a) \lt 0$일 때, $\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{1 + \sin f(a)}$이므로 $\sin f(a) = \dfrac{1}{2}$이고 $\cos f(a) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다. 한편 $\dfrac{\pi}{2} \lt a \lt \pi + 1$이고 $f(a) = a - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \lt f(a) \lt \pi + 1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다. 따라서 $f(a) = \dfrac{5\pi}{6}$이고

\[a = f(a) + |\cos f(a)| = \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	주기성을 활용한 치환적분으로 정적분 값 $5\pi^2 + 2$ 계산	6점
2단계	미분계수의 정의 및 도함수를 활용하여 증가함수 및 미분가능성 증명	6점
3단계	도함수 부호 조사 및 증감표를 활용하여 유일 실근 k의 범위 도출	6점
4단계	합성함수 미분법을 올바르게 적용하여 실수 a의 값 계산 완결	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

절댓값이 포함된 함수의 미분가능성은 반드시 좌미분계수와 우미분계수를 각각 수식으로 명시하여 비교하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【2-1】 $5\pi^2 + 2$, 【2-2】 미분불가능 및 증가함수 증명, 【2-3】 $1 - \frac{2}{\pi} \lt k \lt 1 + \frac{2}{\pi}$, 【2-4】 $a = \frac{3\pi}{8}$ 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 수학Ⅱ, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 삼차함수의 그래프, 변곡점에서의 접선, 접선의 개수, 함수의 극대와 극소 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

[가] 삼차함수 $f(x)$의 그래프 밖의 점에서 그은 접선의 개수는 변곡점에서의 접선과 곡선 자체에 의해 영역이 구분된다.

[나] 함수 $f(x)$가 극값을 가질 조건은 도함수 $f'(x)=0$이 서로 다른 실근을 갖고 부호가 바뀌는 것이다.

[논제]

【1-1】 삼차함수 $f(x)=x^3-3x$의 변곡점의 좌표와 변곡점에서의 접선의 방정식을 구하시오. [8점]

【1-2】 점 $(a, b)$에서 곡선 $y=f(x)$에 그은 접선이 오직 1개 존재하기 위한 점 $(a, b)$의 영역을 구하시오. [8점]

【1-3】 점 $(0, k)$에서 그은 접선의 개수가 3개가 되도록 하는 실수 $k$의 범위를 구하시오. [9점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 탐구 819 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07 (극대와 극소)]

【유사 연습 문제】 점 $(0, a)$에서 곡선 $y=x^3-3x^2+2$에 그은 접선의 개수가 3개가 되도록 하는 상수 $a$의 값의 범위를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 접점 $(t, t^3-3t^2+2)$에서의 접선이 $(0,a)$를 지나므로 $a = -2t^3+3t^2+2$. 이 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로 극댓값 3, 극솟값 2 사이인 $2 \lt a \lt 3$이다.
※ 해설 가이드: 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 방정식을 세우고 실근의 개수로 환원하는 과정을 서술함.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 1차 / 문제 1 문항 9 (수학Ⅱ, 미적분) [배점 25점]

【문제 1 요약】 삼차함수 변곡점 접선($y=-3x$), 접선의 개수 영역 판정 및 3개 접선 조건($-2 \lt k \lt 2$).

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 9 · 총 25점

【문제 1 공식 모범답안】

【1-1】 풀이
$f'(x)=3x^2-3, f''(x)=6x$. $f''(x)=0$에서 변곡점은 $(0, 0)$이다.
변곡접선의 기울기는 $f'(0)=-3$이므로 접선의 방정식은 $\mathbf{y = -3x}$이다.

【1-2】 풀이
접점 $(t, t^3-3t)$에서 접선은 $y - (t^3-3t) = (3t^2-3)(x-t)$이다.
점 $(a, b)$를 대입하면 $2t^3 - 3at^2 + (b+3a) = 0$. 이 삼차방정식의 실근이 오직 1개인 조건은 변곡접선과 곡선 사이 영역이다.

【1-3】 풀이
$a=0$일 때 $2t^3 + k = 0 \implies t^3 = -k/2$. 문제 조건에 따라 삼차함수 극대·극소 범위를 분석하면 $\mathbf{-2 <k <2}$를 얻는다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	이계도함수를 활용하여 변곡점 $(0,0)$ 및 변곡접선 $y = -3x$ 정확히 도출	8점
2단계	접점 매개변수 삼차방정식 수립 및 접선 1개 조건 영역 도출	8점
3단계	극대·극소 판정을 통한 실수 $k$의 범위 $-2 \lt k \lt 2$ 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

접선의 개수 문제는 접점의 $x$좌표 $t$에 관한 삼차방정식의 서로 다른 실근의 개수 문제로 환원하여 논리적으로 서술하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【1-1】 변곡점 $(0,0)$, 접선 $y = -3x$, 【1-2】 영역 서술, 【1-3】 $-2 \lt k \lt 2$ 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 지수함수와 로그함수의 미분, 삼각함수의 극한, 치환적분법 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$의 도함수가 연속이면 $\displaystyle\int f'(g(x))g'(x)dx = f(g(x)) + C$이다.

[나] 삼각함수의 극한 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$이다.

[논제]

【2-1】 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - \cos x - 2x}{x^2}$의 값을 구하시오. [8점]

【2-2】 $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\sin x \cos x}{1+\sin^2 x} dx$의 값을 구하시오. [8점]

【2-3】 부등식 $\displaystyle\int_0^x e^{t^2} dt \ge x$가 모든 $x \ge 0$에서 성립함을 도함수를 이용하여 증명하시오. [9점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.16 탐구 820 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02 (치환적분)]

【유사 연습 문제】 $\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}dx$의 값과 극한 $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 치환적분 $\frac{1}{2}\ln 2$와 미분계수와 도함수 정의에 의해 $\frac{1}{2}$이다.
※ 해설 가이드: 치환적분 변수 변환 및 도함수를 이용한 함수의 증감 판정을 서술함.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 1차 / 문제 2 문항 10 (미적분) [배점 25점]

【문제 2 요약】 초월함수 부정형 극한값 계산(5/2), $1+\sin^2 x=t$ 치환적분($\frac{1}{2}\ln 2$), 정적분 함수 부등식 증명.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 10 · 총 25점

【문제 2 공식 모범답안】

【2-1】 풀이
식을 분리하면 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\frac{e^{2x}-1-2x}{x^2} + \frac{1-\cos x}{x^2}\right)$이다.
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1-2x}{x^2} = \frac{4}{2} = 2$이고 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$이므로 합은 $\mathbf{\frac{5}{2}}$이다.

【2-2】 풀이
$1+\sin^2 x = t$로 치환하면 $2\sin x \cos x dx = dt$이다.
$x=0 \to t=1, x=\pi/2 \to t=2$이므로
$\displaystyle\int_1^2 \frac{1}{2t} dt = \left[\frac{1}{2}\ln t\right]_1^2$ $= \mathbf{\frac{1}{2}\ln 2}$이다.

【2-3】 풀이
$h(x) = \displaystyle\int_0^x e^{t^2} dt - x$라 두면 $h(0)=0$이다.
$h'(x) = e^{x^2} - 1$이다. $x \ge 0$일 때 $x^2 \ge 0$이므로 $e^{x^2} \ge 1 \implies h'(x) \ge 0$이다.
따라서 $h(x)$는 $x \ge 0$에서 증가하므로 $h(x) \ge h(0) = 0$이다. 즉 성립한다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	초월함수 극한 식을 분리하여 극한값 $\frac{5}{2}$ 정확히 계산	8점
2단계	$1+\sin^2 x = t$ 치환적분을 적용하여 $\frac{1}{2}\ln 2$ 도출	8점
3단계	차함수 h(x) 설정 및 도함수 부호 조사를 통한 부등식 증명 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

부등식 증명 시 차함수 $h(x)$를 설정하고 $h'(x) \ge 0$과 초기 조건 $h(0)=0$을 연결하는 논리 구조를 명시하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【2-1】 $\frac{5}{2}$, 【2-2】 $\frac{1}{2}\ln 2$, 【2-3】 $h(x) \ge 0$ 증명 완결 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 수열의 극한, 등비급수의 수렴과 발산, 부등식과 샌드위치 정리 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

[가] 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \le b_n \le c_n$이고 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L$이면 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = L$이다.

[나] 등비급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a r^{n-1}$은 $|r| \lt 1$일 때 수렴하고 그 합은 $\dfrac{a}{1-r}$이다.

[논제]

【1-1】 수열 $a_n = \dfrac{2^n + 3^n}{2^{n+1} + 3^{n+1}}$의 극한값 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$을 구하시오. [8점]

【1-2】 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{x-1}{2}\right)^n$이 수렴하기 위한 실수 $x$의 범위를 구하시오. [8점]

【1-3】 부등식 $\dfrac{n^2}{n^3+n} \le x_n \le \dfrac{n^2}{n^3+1}$을 만족하는 수열 $x_n$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n x_n$의 값을 구하시오. [9점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅰ-1. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.8 탐구 821 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01 (수열의 극한)]

【유사 연습 문제】 수열 $a_n$에 대하여 $3n-1 \le n a_n \le 3n+2$일 때 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 양변을 $n$으로 나누면 $3 - 1/n \le a_n \le 3 + 2/n$이고 극한값은 3이다.
※ 해설 가이드: 샌드위치 정리 및 등비급수 수렴 조건 $-1 \lt r \lt 1$ 서술.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 2차 / 문제 1 문항 11 (미적분) [배점 25점]

【문제 1 요약】 등비수열 극한(1/3), 등비급수 수렴조건($-1 \lt x \lt 3$), 샌드위치 정리를 통한 수열 극한(1).

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 11 · 총 25점

【문제 1 공식 모범답안】

【1-1】 풀이
분모·분자를 밑이 가장 큰 $3^{n+1}$로 나누면:
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{3}(2/3)^n + \frac{1}{3}}{2(2/3)^n + 1}$ $= \frac{1/3}{1} = \mathbf{\frac{1}{3}}$이다.

【1-2】 풀이
공비가 $r = \frac{x-1}{2}$이므로 등비급수 수렴 조건은 $-1 \lt \frac{x-1}{2} \lt 1$이다.
양변에 2를 곱하면 $-2 \lt x-1 \lt 2 \iff \mathbf{-1 <x <3}$이다.

【1-3】 풀이
각 변에 $n$을 곱하면 $\dfrac{n^3}{n^3+n} \le n x_n \le \dfrac{n^3}{n^3+1}$이다.
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^3+n} = 1$, $\lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^3+1} = 1$이므로 제시문 [가]에 의해 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n x_n = \mathbf{1}$이다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	최고차항 계수 비를 적용하여 등비수열 극한값 $\frac{1}{3}$ 도출	8점
2단계	등비급수 수렴조건 $-1 \lt r \lt 1$을 정확히 적용하여 $-1 \lt x \lt 3$ 도출	8점
3단계	샌드위치 정리를 적용하여 극한값 1 증명 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

등비급수 수렴 조건에서 등호 제외($-1 \lt r \lt 1$) 여부를 정확히 점검하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【1-1】 $\frac{1}{3}$, 【1-2】 $-1 \lt x \lt 3$, 【1-3】 $1$ 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법, 음함수의 미분법, 접선의 방정식 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

[가] 매개변수 $t$로 나타내어진 함수 $x=f(t), y=g(t)$에 대하여 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{g'(t)}{f'(t)}$ (단, $f'(t) \neq 0$)이다.

[나] 음함수 $F(x, y)=0$에서 $y$를 $x$의 함수로 보고 양변을 $x$에 대하여 미분한다.

[논제]

【2-1】 매개변수 $x=t-\sin t, y=1-\cos t$로 나타내어진 곡선에 대하여 $t=\pi/2$에서의 접선의 방정식을 구하시오. [8점]

【2-2】 음함수 $x^2 + xy + y^2 = 3$ 위의 점 $(1, 1)$에서의 접선의 방정식을 구하시오. [8점]

【2-3】 매개변수 곡선에서 속도 벡터의 크기(속력)가 최대가 되는 순간의 가속도를 구하시오. [9점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅰ-1. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 822 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01]

【유사 연습 문제】 곡선 $x=t^2+1, y=t^3-t$에 대하여 $t=1$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\frac{dx}{dt}=2t=2, \frac{dy}{dt}=3t^2-1=2 \implies \frac{dy}{dx}=1$. 점은 $(2, 0)$이므로 접선은 $y = x-2$이다.
※ 해설 가이드: 매개변수 미분법 공식 및 접선의 방정식 도출을 서술함.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 2차 / 문제 2 문항 12 (미적분) [배점 25점]

【문제 2 요약】 사이클로이드 매개변수 접선($y = x - \pi/2 + 2$), 음함수 미분 접선($y = -x + 2$), 속도와 가속도.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 12 · 총 25점

【문제 2 공식 모범답안】

【2-1】 풀이
$\dfrac{dx}{dt} = 1-\cos t, \dfrac{dy}{dt} = \sin t$이다.
$t=\pi/2$일 때 $x = \pi/2-1, y = 1$이고, 기울기는 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sin(\pi/2)}{1-\cos(\pi/2)} = \dfrac{1}{1} = 1$이다.
따라서 접선은 $y - 1 = 1 \cdot (x - (\pi/2 - 1)) \iff \mathbf{y = x - \frac{\pi}{2} + 2}$이다.

【2-2】 풀이
양변을 $x$에 대하여 미분하면 $2x + y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$이다.
점 $(1, 1)$을 대입하면 $2 + 1 + \frac{dy}{dx} + 2\frac{dy}{dx} = 0$ $\iff$ $3\frac{dy}{dx} = -3$ $\iff$ $\frac{dy}{dx} = -1$.
따라서 접선은 $y - 1 = -1(x - 1) \iff \mathbf{y = -x + 2}$이다.

【2-3】 풀이
속도 벡터 $(1-\cos t, \sin t)$의 크기는 $v(t) = \sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} = \sqrt{2-2\cos t}$이다.
$\cos t = -1$일 때 최대 속력 2를 가지므로 $t=\pi$이다.
가속도 벡터는 $(\sin t, \cos t)$이므로 $t=\pi$일 때 가속도는 $(0, -1)$이다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	매개변수 미분법 공식을 적용하여 사이클로이드 접선 방정식 유도	8점
2단계	음함수 미분법을 적용하여 점 $(1,1)$에서의 접선 $y = -x + 2$ 도출	8점
3단계	속력 최대 조건 분석 및 가속도 벡터 계산 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

매개변수 미분 시 $dx/dt$와 $dy/dt$의 분모·분자 위치를 혼동하지 않도록 주의하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【2-1】 $y = x - \frac{\pi}{2} + 2$, 【2-2】 $y = -x + 2$, 【2-3】 가속도 $(0, -1)$ 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 수학Ⅱ 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 함수의 극한과 연속, 미분계수의 정의, 다항함수의 결정 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 연속일 조건은 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$이다.

[나] 다항함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^n} = \alpha \neq 0$이면 $f(x)$의 최고차항은 $\alpha x^n$이다.

[논제]

【1-1】 다항함수 $f(x)$가 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{2x^2} = 1$, $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 3$을 만족할 때, $f(x)$를 구하시오. [8점]

【1-2】 함수 $g(x) = \begin{cases} f(x) & (x \ge 1) \\ k(x-1) & (x \lt 1) \end{cases}$ 이 $x=1$에서 미분가능하도록 하는 상수 $k$의 값을 구하시오. [8점]

【1-3】 곡선 $y=f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [9점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.30 탐구 823 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-04 (연속함수)]

【유사 연습 문제】 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2}=3, \lim_{x \to 2}\frac{f(x)}{x-2}=4$일 때 $f(3)$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f(x)=3(x-2)(x-k)$. $\lim_{x \to 2} 3(x-k)=4 \implies 3(2-k)=4 \implies k=2/3$. $f(3)=3(1)(7/3)=7$.
※ 해설 가이드: 다항함수의 차수 및 계수 결정 조건을 차례로 서술함.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 1차 / 문제 1 문항 13 (수학Ⅱ) [배점 25점]

【문제 1 요약】 다항함수 결정($f(x)=2x^2-x-1$), 미분가능성 계수($k=3$), 이차곡선 둘러싸인 넓이(9/8).

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 13 · 총 25점

【문제 1 공식 모범답안】

【1-1】 풀이
조건에 의해 $f(x)$는 최고차항이 $2x^2$인 이차함수이다.
$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 3$에서 분모가 0으로 가므로 분자 $f(1)=0$이다. 따라서 $f(x)=2(x-1)(x-c)$로 둘 수 있다.
극한식에 대입하면 $\displaystyle\lim_{x \to 1} 2(x-c) = 2(1-c) = 3$ $\implies$ $1-c = \frac{3}{2}$ $\implies$ $c = -\frac{1}{2}$.
따라서 $f(x) = 2(x-1)\left(x+\frac{1}{2}\right) = \mathbf{2x^2 - x - 1}$이다.

【1-2】 풀이
$f(1)=0$이고 $x \to 1^-$일 때 $g(1)=0$이므로 연속이다.
우미분계수는 $f'(1) = 4(1)-1 = 3$이고, 좌미분계수는 $k$이다.
미분가능하려면 좌우 미분계수가 일치해야 하므로 $\mathbf{k = 3}$이다.

【1-3】 풀이
$f(x)=0$의 두 근은 $x = -1/2$과 $x = 1$이다.
이차곡선과 $x$축으로 둘러싸인 넓이 공식에 의해
$S = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3 = \frac{2}{6}\left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)^3$ $= \frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8}$ $= \mathbf{\frac{9}{8}}$이다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	극한 조건을 분석하여 이차함수 $f(x)=2x^2-x-1$ 정확히 결정	8점
2단계	좌우 미분계수 일치 조건을 통해 상수 $k=3$ 도출	8점
3단계	이차곡선과 $x$축 사이의 정적분 넓이 $\frac{9}{8}$ 계산 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

다항함수 결정 시 0/0 꼴 부정형의 성질과 미분계수의 기하학적 정의를 명시하여 서술하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【1-1】 $f(x) = 2x^2 - x - 1$, 【1-2】 $k = 3$, 【1-3】 넓이 $= \frac{9}{8}$ 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 수학Ⅱ, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 정적분으로 정의된 함수, 평균값 정리, 사잇값 정리 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면 $\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)dx = f(c)$인 $c$가 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다.

[나] 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $f(a)f(b) \lt 0$이면 $f(c)=0$인 $c$가 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다.

[논제]

【2-1】 함수 $F(x) = \displaystyle\int_0^x (t^2-2t)dt$의 극값을 구하시오. [8점]

【2-2】 열린구간 $(0, 3)$에서 정적분의 평균값 정리를 만족하는 상수 $c$의 값을 구하시오. [8점]

【2-3】 방정식 $F(x) = k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 범위를 구하시오. [9점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.15 탐구 824 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06 (평균값 정리)]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x)=x^2$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 평균값 정리를 만족하는 상수 $c$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\frac{f(3)-f(0)}{3-0} = \frac{9}{3}=3 = 2c \implies c = 3/2$.
※ 해설 가이드: 정적분 미분 및 평균값 정리, 실근 개수 판정 서술.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 1차 / 문제 2 문항 14 (수학Ⅱ, 미적분) [배점 25점]

【문제 2 요약】 정적분 함수 극값(극대 0, 극소 -4/3), 적분의 평균값 정리 만족하는 상수 $c$, 서로 다른 세 실근 조건.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 14 · 총 25점

【문제 2 공식 모범답안】

【2-1】 풀이
$F'(x) = x^2-2x = x(x-2)$이다.
$F'(x)=0$에서 $x=0$에서 극댓값 $F(0)=\mathbf{0}$, $x=2$에서 극솟값 $F(2) = \left[\frac{t^3}{3}-t^2\right]_0^2 = \frac{8}{3}-4 = \mathbf{-\frac{4}{3}}$을 갖는다.

【2-2】 풀이
$\frac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 (t^2-2t)dt = \frac{1}{3}\left[\frac{t^3}{3}-t^2\right]_0^3$ $= \frac{1}{3}(9-9) = 0$.
$c^2-2c = 0$에서 $c \in (0, 3)$이므로 $\mathbf{c = 2}$이다.

【2-3】 풀이
$y=F(x)$의 그래프에서 극댓값이 0, 극솟값이 $-4/3$이므로 서로 다른 세 실근 조건은 $\mathbf{-\frac{4}{3} \lt k \lt 0}$이다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	도함수 $F'(x)=x(x-2)$로부터 극댓값 $0$, 극솟값 $-\frac{4}{3}$ 정확히 도출	8점
2단계	적분의 평균값 정리 공식 적용 및 $c=2$ 계산	8점
3단계	극대·극소 조건을 이용한 $k$의 범위 $-\frac{4}{3} \lt k \lt 0$ 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

정적분으로 정의된 함수는 미분과 동시에 아래끝 대입값 $F(0)=0$을 항상 확인하여 그래프를 작성하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【2-1】 극댓값 $0$, 극솟값 $-\frac{4}{3}$, 【2-2】 $c = 2$, 【2-3】 $-\frac{4}{3} \lt k \lt 0$ 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 수학Ⅰ 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 수열의 귀납적 정의, 점화식과 일반항, 시그마의 성질 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

[가] 첫째항과 이웃하는 항들 사이의 관계식(점화식)으로 수열을 정의하는 것을 수열의 귀납적 정의라고 한다.

[나] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$에 대하여 $a_1 = S_1, \; a_n = S_n - S_{n-1} \; (n \ge 2)$이다.

[논제]

【1-1】 $a_1 = 1, \; a_{n+1} = 2a_n + 1$로 정의된 수열의 일반항 $a_n$을 구하시오. [8점]

【1-2】 $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = 1000$을 넘는 최소의 자연수 $n$을 구하시오. [8점]

【1-3】 수열 $\{b_n\}$이 $b_1 = 2, \; b_{n+1} = b_n + 2n$을 만족할 때 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} b_k$를 구하시오. [9점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03) PDF p.14 탐구 825 변형 | 성취기준: 12대수03-06 (귀납적 정의)]

【유사 연습 문제】 수열 $a_1=2, a_{n+1}=3a_n-2$의 일반항을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $a_{n+1}-1 = 3(a_n-1) \implies a_n-1 = 3^{n-1} \implies a_n = 3^{n-1}+1$.
※ 해설 가이드: 점화식 변형 및 등비수열 합 계산 서술.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 2차 / 문제 1 문항 15 (수학Ⅰ) [배점 25점]

【문제 1 요약】 선형 점화식 일반항($a_n = 2^n - 1$), 부분합 부등식($n=10$), 계차수열 합 계산.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 15 · 총 25점

【문제 1 공식 모범답안】

【1-1】 풀이
$a_{n+1}+1 = 2(a_n+1)$로 변형하면, 첫째항이 $a_1+1 = 2$이고 공비가 2인 등비수열이다.
따라서 $a_n+1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n \implies \mathbf{a_n = 2^n - 1}$이다.

【1-2】 풀이
$\displaystyle\sum_{k=1}^n (2^k - 1) = \frac{2(2^n-1)}{2-1} - n = 2^{n+1} - 2 - n$.
$n=9$일 때 $2^{10}-2-9 = 1024-11 = 1013 \gt 1000$이므로 최소 자연수는 $\mathbf{n = 9}$이다.

【1-3】 풀이
계차수열 공식에 의해 $b_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 + n(n-1) = n^2-n+2$.
$\sum_{k=1}^{10} (k^2-k+2) = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} - \frac{10 \times 11}{2} + 20$ $= 385 - 55 + 20 = \mathbf{350}$이다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	점화식을 등비수열 꼴로 변형하여 일반항 $a_n = 2^n - 1$ 도출	8점
2단계	합 공식 적용 및 부등식 만족 최소 자연수 $n=9$ 계산	8점
3단계	계차수열 공식 적용 및 시그마 계산을 통한 합 350 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

점화식 변형 시 특성방정식을 이용한 상수 결정 과정을 생략하지 말고 명시하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【1-1】 $a_n = 2^n - 1$, 【1-2】 $n = 9$, 【1-3】 $350$ 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 초월함수의 그래프, 이계도함수와 변곡점, 점근선과 접선의 개수 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$의 곡선의 오목과 볼록은 $f''(x)$의 부호로 판정한다.

[나] 함수 $f(x)$의 그래프 개형을 그릴 때 점근선 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x)$를 조사한다.

[논제]

【2-1】 함수 $f(x) = x e^{-x}$의 극값과 변곡점을 구하시오. [8점]

【2-2】 곡선 $y=f(x)$의 점근선을 구하고 그래프의 개형을 그리시오. [8점]

【2-3】 원점을 지나는 직선 $y=mx$와 곡선 $y=f(x)$가 서로 다른 두 점에서 만나는 실수 $m$의 범위를 구하시오. [9점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.30 탐구 826 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-09 (극대와 극소)]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x)=x^2 e^{-x}$의 변곡점의 $x$좌표를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}, f''(x)=(x^2-4x+2)e^{-x}=0 \implies x = 2 \pm \sqrt{2}$.
※ 해설 가이드: 도함수와 이계도함수 계산 및 변곡점 판정을 서술함.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 2차 / 문제 2 문항 16 (미적분) [배점 25점]

【문제 2 요약】 함수 $f(x)=x e^{-x}$의 극댓값($\frac{1}{e}$), 변곡점($(2, \frac{2}{e^2})$), 점근선($y=0$), 접선 기울기 범위($0 \lt m \lt 1$).

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 16 · 총 25점

【문제 2 공식 모범답안】

【2-1】 풀이
$f'(x) = (1-x)e^{-x}$이므로 $x=1$에서 극댓값 $f(1) = \mathbf{\frac{1}{e}}$을 갖는다.
$f''(x) = (x-2)e^{-x}$이므로 $x=2$에서 변곡점 $\mathbf{\left(2, \frac{2}{e^2}\right)}$을 갖는다.

【2-2】 풀이
$\displaystyle\lim_{x \to \infty} x e^{-x} = 0$이므로 점근선은 $x$축($y=0$)이다. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x e^{-x} = -\infty$이다.

【2-3】 풀이
원점 $(0,0)$에서의 접선의 기울기는 $f'(0) = 1$이다.
따라서 원점을 지나는 직선 $y=mx$가 제1사분면에서 곡선과 또 다른 교점을 가지려면 $\mathbf{0 <m <1}$이어야 한다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	도함수 및 이계도함수를 통해 극댓값 $\frac{1}{e}$, 변곡점 $(2, \frac{2}{e^2})$ 정확히 도출	8점
2단계	점근선 $y=0$ 조사 및 그래프 개형 올바르게 서술	8점
3단계	원점 접선 기울기 분석을 통한 $m$의 범위 $0 \lt m \lt 1$ 도출	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

지수 결합 함수의 그래프에서는 무한대 극한(점근선) 조사를 누락하지 않도록 주의하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【2-1】 극대 $(1, \frac{1}{e})$, 변곡점 $(2, \frac{2}{e^2})$, 【2-2】 점근선 $y = 0$, 【2-3】 $0 \lt m \lt 1$ 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 합성함수와 역함수의 미분법, 극값의 판정, 최댓값과 최솟값 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

[가] 미분가능한 함수 $f(x)$의 역함수 $g(x)$에 대하여 $g'(f(a)) = \dfrac{1}{f'(a)}$ (단, $f'(a) \neq 0$)이다.

[나] 합성함수 $y=f(g(x))$의 도함수는 $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x))g'(x)$이다.

[논제]

【1-1】 $f(x) = x^3+x+1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $g'(3)$의 값을 구하시오. [8점]

【1-2】 함수 $h(x) = g(x^2+2)$에 대하여 $h'(1)$의 값을 구하시오. [8점]

【1-3】 닫힌구간 $[1, 11]$에서 함수 $g(x)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. [9점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.20 탐구 827 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-08 (접선의 방정식)]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x)=x^3+2x-1$의 역함수 $g(x)$에 대하여 $g'(2)$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f(1)=2 \implies g(2)=1$. $f'(x)=3x^2+2 \implies f'(1)=5$. $g'(2)=1/5$.
※ 해설 가이드: 역함수 미분법 공식 적용 과정을 서술함.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 1차 / 문제 1 문항 17 (미적분) [배점 25점]

【문제 1 요약】 역함수 미분계수($g'(3)=1/4$), 합성함수 미분($h'(1)=1/2$), 단조증가 함수 최댓값과 최솟값.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 17 · 총 25점

【문제 1 공식 모범답안】

【1-1】 풀이
$f(1) = 1+1+1 = 3 \iff g(3) = 1$이다.
$f'(x) = 3x^2+1$이므로 $f'(1) = 4$이다.
역함수 미분법에 의해 $g'(3) = \dfrac{1}{f'(1)} = \mathbf{\frac{1}{4}}$이다.

【1-2】 풀이
합성함수 미분법에 의해 $h'(x) = g'(x^2+2) \cdot 2x$이다.
$x=1$을 대입하면 $h'(1) = g'(3) \cdot 2 = \frac{1}{4} \cdot 2 = \mathbf{\frac{1}{2}}$이다.

【1-3】 풀이
모든 실수에서 $f'(x)=3x^2+1 \gt 0$이므로 $f(x)$는 단조증가하고, 따라서 역함수 $g(x)$도 단조증가한다.
$f(0)=1 \implies g(1)=0$ (최솟값), $f(2)=8+2+1=11 \implies g(11)=2$ (최댓값)이다.
따라서 최댓값은 $\mathbf{2}$, 최솟값은 $\mathbf{0}$이다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	역함수 미분법 공식을 정확히 적용하여 $g'(3)=\frac{1}{4}$ 도출	8점
2단계	합성함수 미분법 공식 적용하여 $h'(1)=\frac{1}{2}$ 계산	8점
3단계	단조증가성 분석을 통한 최댓값 2 및 최솟값 0 도출 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

역함수의 미분계수를 구할 때 원함수의 함숫값 $f(a)=b$를 만족하는 $a$를 먼저 구하는 과정을 명시하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【1-1】 $\frac{1}{4}$, 【1-2】 $\frac{1}{2}$, 【1-3】 최댓값 2, 최솟값 0 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 부분적분법, 정적분 부등식의 증명, 함수의 대칭성 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

[가] 미분가능한 두 함수에 대하여 $\displaystyle\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$이다.

[나] 닫힌구간 $[a, b]$에서 $f(x) \ge g(x)$이면 $\displaystyle\int_a^b f(x)dx \ge \int_a^b g(x)dx$이다.

[논제]

【2-1】 $\displaystyle\int_0^1 x e^x dx$의 값을 구하시오. [8점]

【2-2】 자연수 $n$에 대하여 $I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^x dx$라 할 때, $I_n$과 $I_{n-1}$ 사이의 관계식을 유도하시오. [8점]

【2-3】 부등식 $I_n \le \dfrac{e}{n+1}$이 성립함을 증명하시오. [9점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.20 탐구 828 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-03 (부분적분)]

【유사 연습 문제】 부분적분법을 이용하여 $\displaystyle\int_1^e \ln x dx$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $[x\ln x]_1^e - \int_1^e 1 dx = e - (e-1) = 1$.
※ 해설 가이드: 부분적분 점화식 및 피적분함수 부등식 적분을 서술함.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 1차 / 문제 2 문항 18 (미적분) [배점 25점]

【문제 2 요약】 부분적분 기초($1$), 정적분 점화식($I_n = e - n I_{n-1}$), 피적분함수 상계 부등식 증명.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 18 · 총 25점

【문제 2 공식 모범답안】

【2-1】 풀이
부분적분법에 의해
$\displaystyle\int_0^1 x e^x dx = \left[x e^x\right]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e-1) = \mathbf{1}$이다.

【2-2】 풀이
$u = x^n, v' = e^x$로 두면 $u' = n x^{n-1}, v = e^x$이다.
$I_n = \left[x^n e^x\right]_0^1 - n \displaystyle\int_0^1 x^{n-1} e^x dx = \mathbf{e - n I_{n-1}}$이다.

【2-3】 풀이
$0 \le x \le 1$에서 $e^x \le e$이므로 $x^n e^x \le e x^n$이다.
양변을 0부터 1까지 적분하면 제시문 [나]에 의해
$I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^x dx \le e \int_0^1 x^n dx$ $= e \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 = \mathbf{\frac{e}{n+1}}$이다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	부분적분법을 정확히 적용하여 정적분 값 1 도출	8점
2단계	부분적분 전개를 통해 점화식 $I_n = e - n I_{n-1}$ 유도	8점
3단계	피적분함수 부등식 $e^x \le e$ 설정 및 정적분 비교를 통한 증명 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

정적분 부등식 증명 시 적분 구간에서의 피적분함수의 상계(최댓값)를 먼저 설정하고 적분하는 논리를 명확히 하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【2-1】 $1$, 【2-2】 $I_n = e - n I_{n-1}$, 【2-3】 $I_n \le \frac{e}{n+1}$ 증명 완결 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 수학Ⅰ, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 삼각함수의 덧셈정리와 배각공식, 삼각방정식, 극한값 계산 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

[가] 배각공식 $\sin 2x = 2\sin x \cos x, \; \cos 2x = 2\cos^2 x - 1$이다.

[나] 삼각함수 극한 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$이다.

[논제]

【1-1】 $0 \le x \le \pi$에서 방정식 $\sin 2x = \cos x$의 모든 실근을 구하시오. [8점]

【1-2】 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}$의 값을 구하시오. [8점]

【1-3】 함수 $f(x) = \sin x + \cos x$의 최댓값과 그때의 $x$의 값을 구하시오. (단, $0 \le x \le \pi$) [9점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02) PDF p.6 탐구 829 변형 | 성취기준: 12대수02-01]

【유사 연습 문제】 $\cos 2x + \cos x = 0 \; (0 \le x \le \pi)$의 모든 실근의 합을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $2\cos^2 x + \cos x - 1 = (2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0 \implies x = \pi/3, \pi$. 합은 $4\pi/3$.
※ 해설 가이드: 배각공식 및 삼각방정식 인수분해, 삼각함수 합성을 서술함.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 2차 / 문제 1 문항 19 (수학Ⅰ, 미적분) [배점 25점]

【문제 1 요약】 배각공식 삼각방정식 실근($\pi/6, \pi/2, 5\pi/6$), 삼각극한(2/3), 삼각함수 합성 최댓값($\sqrt{2}$).

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 19 · 총 25점

【문제 1 공식 모범답안】

【1-1】 풀이
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$이므로 $2\sin x \cos x - \cos x = 0 \iff \cos x (2\sin x - 1) = 0$.
$\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}$.
$\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
따라서 실근은 $\mathbf{x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}}$이다.

【1-2】 풀이
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2}{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3}$ $= \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \mathbf{\frac{2}{3}}$이다.

【1-3】 풀이
삼각함수 합성에 의해 $f(x) = \sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$이다.
$0 \le x \le \pi$에서 $\frac{\pi}{4} \le x+\frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$이므로, $x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \iff x = \frac{\pi}{4}$일 때 최댓값 $\mathbf{\sqrt{2}}$를 갖는다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	배각공식 적용 및 삼각방정식 인수분해를 통해 3개 실근 도출	8점
2단계	삼각함수 극한의 기본 정리를 적용하여 극한값 $\frac{2}{3}$ 계산	8점
3단계	삼각함수 합성 및 각의 범위를 고려한 최댓값 $\sqrt{2}$ 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

삼각방정식 풀이 시 $\cos x$로 함부로 나누지 말고 반드시 인수분해하여 $\cos x = 0$의 근을 포함시키십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【1-1】 $x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}$, 【1-2】 $\frac{2}{3}$, 【1-3】 $x = \frac{\pi}{4}$일 때 최댓값 $\sqrt{2}$ 서강대학교 100점 만점 기준 25점

📚 과목/단원: 수학Ⅱ, 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이, 정적분의 응용, 입체도형의 부피 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

[가] 두 곡선 $y=f(x), y=g(x)$ 및 두 직선 $x=a, x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|dx$이다.

[나] 단면의 넓이가 $S(x)$인 입체도형의 부피는 $V = \displaystyle\int_a^b S(x)dx$이다.

[논제]

【2-1】 포물선 $y=x^2$과 직선 $y=2x$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [8점]

【2-2】 포물선 $y=x^2$과 직선 $y=mx \; (m \gt 0)$으로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\frac{4}{3}$일 때 양수 $m$의 값을 구하시오. [8점]

【2-3】 밑면이 이 둘러싸인 도형이고 높이가 $x$에 비례하는 입체도형의 부피를 구하시오. [9점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.26 탐구 830 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05 (넓이)]

【유사 연습 문제】 곡선 $y=-x^2+2x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\int_0^2 (-x^2+2x)dx = \frac{1}{6}(2)^3 = 4/3$.
※ 해설 가이드: 이차곡선과 직선 사이의 넓이 공식 및 입체도형 부피 적분을 서술함.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 2차 / 문제 2 문항 20 (수학Ⅱ, 미적분) [배점 25점]

【문제 2 요약】 포물선과 직선 둘러싸인 넓이(4/3), 넓이 공식으로부터 미지수 $m=2$ 결정, 입체도형 부피 계산.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 20 · 총 25점

【문제 2 공식 모범답안】

【2-1】 풀이
교점의 $x$좌표는 $x^2=2x \iff x=0, 2$이다.
넓이 공식에 의해 $S = \frac{1}{6}(2-0)^3 = \mathbf{\frac{4}{3}}$이다.

【2-2】 풀이
교점은 $x=0, m$이므로 둘러싸인 넓이는 $S = \frac{1}{6}(m-0)^3 = \frac{m^3}{6}$이다.
$\frac{m^3}{6} = \frac{4}{3} \iff m^3 = 8 \iff \mathbf{m = 2}$이다.

【2-3】 풀이
$x$에서의 단면의 한 변의 길이가 $2x-x^2$인 정사각형 단면의 입체도형 부피는
$V = \displaystyle\int_0^2 (2x-x^2)^2 dx = \int_0^2 (4x^2 - 4x^3 + x^4)dx$ $= \left[\frac{4}{3}x^3 - x^4 + \frac{x^5}{5}\right]_0^2$ $= \frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5} = \mathbf{\frac{16}{15}}$이다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	포물선과 직선의 교점 도출 및 둘러싸인 넓이 $\frac{4}{3}$ 정확히 계산	8점
2단계	공식을 활용하여 $m$에 관한 방정식 수립 후 양수 $m=2$ 도출	8점
3단계	단면적 함수 적분을 통한 입체도형의 부피 $\frac{16}{15}$ 계산 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

포물선과 직선 사이 넓이는 $\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$ 공식을 활용하되, 정적분 식 $\int_\alpha^\beta (mx-x^2)dx$을 반드시 병기하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답] 【2-1】 $\frac{4}{3}$, 【2-2】 $m = 2$, 【2-3】 $\frac{16}{15}$ 서강대학교 100점 만점 기준 25점

PART 2-1 · 10 FULL-LENGTH MOCK EXAMS

2027학년도 서강대학교 자연계열 수리논술
실전 모의고사 1회 ~ 10회 문제집

제1~5회 기출유사 표준 실전편과 제6~10회 킬러 TOP 5 심화편(총 50문항) 및 회차별 종합 분석 매트릭스 리포트로 실전 적응력을 극대화합니다.

📋 출제 타당성 검토 보고서 (4p): 전 문항 교과서 기반 교육과정 성취기준 및 Textbook DB 원천 검증

📝 실전 맞춤형 시험지 포맷: 서강대학교 실제 문항 수·배점·답안지 규격 100% 반영

📈 회차별 종합 분석 매트릭스 (10p): 매 회차 직후 문항별 난이도·배점·합격 전략 리포트 수록

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R1-Q1	대수	제1회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-01]	20점/중
R1-Q2	대수	제1회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]	20점/중상
R1-Q3	미적분Ⅰ	제1회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	20점/중상
R1-Q4	미적분Ⅰ	제1회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]	20점/중상
R1-Q5	미적분Ⅰ	제1회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]	20점/중상
R2-Q1	대수	제2회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]	20점/중
R2-Q2	대수	제2회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 문제 2 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]	20점/중상
R2-Q3	미적분Ⅰ	제2회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	20점/중상
R2-Q4	미적분Ⅰ	제2회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.11 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]	20점/중상
R2-Q5	미적분Ⅰ	제2회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]	20점/중상
R3-Q1	대수	제3회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 문제 5 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]	20점/중
R3-Q2	대수	제3회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]	20점/중상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R3-Q3	미적분Ⅰ	제3회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]	20점/중상
R3-Q4	미적분Ⅰ	제3회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.43 문제 3 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	20점/중상
R3-Q5	미적분Ⅰ	제3회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.18 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]	20점/중상
R4-Q1	대수	제4회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-04]	20점/중
R4-Q2	대수	제4회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]	20점/중상
R4-Q3	미적분Ⅰ	제4회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.9 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]	20점/중상
R4-Q4	미적분Ⅰ	제4회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 문제 5 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	20점/중상
R4-Q5	미적분Ⅰ	제4회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.23 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]	20점/중상
R5-Q1	대수	제5회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.10 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]	20점/중
R5-Q2	대수	제5회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]	20점/중상
R5-Q3	미적분Ⅰ	제5회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]	20점/중상
R5-Q4	미적분Ⅰ	제5회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.52 문제 2 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09]	20점/중상
R5-Q5	미적분Ⅰ	제5회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]	20점/중상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R6-Q1	2025 서강대 자연 1차 1번 변형	제6회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-2. 이차곡선과 접선 (2025 서강대 자연 1차 1번 변형)	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.28 탐구 61 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	20점/상
R6-Q2	대수	제6회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 도형의 성질	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 탐구 62 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]	20점/상
R6-Q3	2025 서강대 자연 1차 2번 변형	제6회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (2025 서강대 자연 1차 2번 변형)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 63 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]	20점/상
R6-Q4	2025 서강대 자연 2차 2번 변형	제6회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (2025 서강대 자연 2차 2번 변형)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 64 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]	20점/상
R6-Q5	교과서 기반 12기하03-05	제6회 실전 모의고사 · Q5 기하 Ⅲ-3. 공간도형과 공간좌표 (교과서 기반 12기하03-05)	[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.36 탐구 65 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	20점/상
R7-Q1	2025 서강대 자연 2차 1번 변형	제7회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 2차 1번 변형)	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.18 탐구 71 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	20점/상
R7-Q2	대수	제7회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 탐구 72 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]	20점/상
R7-Q3	2025 서강대 자연 2차 2-3번 변형	제7회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 2차 2-3번 변형)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.36 탐구 73 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]	20점/상
R7-Q4	미적분Ⅰ	제7회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.19 탐구 74 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]	20점/상
R7-Q5	교과서 기반 12확통03-06	제7회 실전 모의고사 · Q5 확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 · Ⅲ-2. 통계적 추정 (교과서 기반 12확통03-06)	[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 (DB: KICE_2028) PDF p.9 탐구 75 변형 \| 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-06]	20점/상
R8-Q1	기하	제8회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-1. 포물선과 접선의 방정식	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.10 탐구 81 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	20점/최상
R8-Q2	대수	제8회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 82 변형 \| 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]	20점/최상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R8-Q3	평균값 정리와 역함수	제8회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.32 탐구 83 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]	20점/최상
R8-Q4	미적분Ⅰ	제8회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.25 탐구 84 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	20점/최상
R8-Q5	기하	제8회 실전 모의고사 · Q5 기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 내적과 위치벡터	[출처: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02_비상) PDF p.22 탐구 85 변형 \| 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]	20점/최상
R9-Q1	2025 서강대 자연 2차 1번 심화	제9회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 성질 (2025 서강대 자연 2차 1번 심화)	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.20 탐구 91 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	20점/최상
R9-Q2	2025 서강대 자연 1차 1-4번 변형	제9회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 미적분 결합 (2025 서강대 자연 1차 1-4번 변형)	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.38 탐구 92 변형 \| 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]	20점/최상
R9-Q3	변곡 접선과 미분가능성	제9회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (변곡 접선과 미분가능성)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.45 탐구 93 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08]	20점/최상
R9-Q4	2025 서강대 자연 1차 2-4번 변형	제9회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질 (2025 서강대 자연 1차 2-4번 변형)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 탐구 94 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]	20점/최상
R9-Q5	기하	제9회 실전 모의고사 · Q5 기하 Ⅲ-2. 삼수선의 정리와 정사영	[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.18 탐구 95 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	20점/최상
R10-Q1	2025 서강대 자연 1차 1번 응용	제10회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 1차 1번 응용)	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.32 탐구 101 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	20점/최상
R10-Q2	대수	제10회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅲ-2. 등비수열의 합과 수열의 귀납적 정의	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 102 변형 \| 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06]	20점/최상
R10-Q3	2025 서강대 자연 1차 2번 심화	제10회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 1차 2번 심화)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.40 탐구 103 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08]	20점/최상
R10-Q4	넓이와 변화율	제10회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (넓이와 변화율)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 104 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	20점/최상
R10-Q5	확률과 통계	제10회 실전 모의고사 · Q5 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 · Ⅲ-2. 통계적 추정	[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 105 변형 \| 성취기준: 12확통03-01, 12확통03-05]	20점/최상

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 제1회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 배점 20점 · 난이도 중

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01]

<제시문 (가)> $2$ 이상의 자연수 $n$과 실수 $A$에 대하여 방정식 $x^n = A$의 실근의 개수 $N(n, A)$는 $n$이 홀수일 때 $A$의 부호에 관계없이 항상 $1$이고, $n$이 짝수일 때는 $A \gt 0$이면 $2$, $A = 0$이면 $1$, $A \lt 0$이면 $0$이다.
<제시문 (나)> 이차함수 $g(k) = k^2 - 7k + 10$의 부호는 근 $k = 2, 5$를 경계로 바뀐다.

🎯 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 · 거듭제곱근의 실수 해의 개수와 매개변수 방정식의 근의 분포

자연수 $n\;(2 \le n \le 9)$과 정수 $k\;(1 \le k \le 6)$에 대하여 실수 $g(k) = k^2 - 7k + 10$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $N(n, g(k))$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$에 대하여 $g(k)$의 부호(양, $0$, 음)를 각각 판정하고, $n$이 짝수일 때 $\sum_{k=1}^{6} N(n, g(k))$의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) $\sum_{n=2}^{9} \sum_{k=1}^{6} N(n, g(k))$의 값을 구하는 과정을 논리적으로 서술하시오.

[문항 1-3] (7점) $k = 1$일 때 $g(1) = 4$의 네제곱근 중 양수인 것을 $\alpha$, 음수인 것을 $\beta$라 하자. $\alpha^6 + |\beta|^6$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 제1회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 중심이 원점 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $1$인 단위원을 $12$등분하는 각을 $\theta_k = \dfrac{k\pi}{6}\;(k = 1, 2, \ldots, 12)$라 하면, 동경 $\mathrm{OP}_k$와 단위원의 교점의 좌표는 $\mathrm{P}_k(\cos\theta_k, \sin\theta_k)$이다.
<제시문 (나)> 임의의 각 $\theta$에 대하여 $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta,\; \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$이고 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$이다.

🎯 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 단위원 위 동경의 좌표와 삼각함수의 대칭 합

단위원 위의 $12$개의 점 $\mathrm{P}_k(\cos\theta_k, \sin\theta_k)\;\left(\theta_k = \dfrac{k\pi}{6},\; k = 1, 2, \ldots, 12\right)$와 점 $\mathrm{A}(2, 0)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (나)의 원점 대칭성을 이용하여 $\sum_{k=1}^{12} \cos\theta_k$와 $\sum_{k=1}^{12} \sin\theta_k$의 값을 각각 구하고 그 이유를 서술하시오.

[문항 2-2] (7점) 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 $\overline{\mathrm{AP}_k}^2$을 $\cos\theta_k$에 대한 일차식으로 나타내고, $\sum_{k=1}^{12} \overline{\mathrm{AP}_k}^2$의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) $\sum_{k=1}^{6} \cos^2\theta_k$의 값을 대칭성 $\cos^2\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin^2\theta$를 이용하여 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 제1회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2} = a$를 만족시키면 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ 꼴이다.
<제시문 (나)> $x \to 1$일 때 분모 $(x - 1)^2 \to 0$이고 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x - 1)^2} = L$이 존재하면, 다항식 $f(x)$는 $(x - 1)^2$을 인수로 갖는다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 다항함수의 차수 결정과 극한 조건을 만족시키는 함수의 유일성

삼차다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -1$과 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x - 1)^2} = 5$를 동시에 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $f(x)$의 삼차항과 이차항의 계수를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 1)^2(2x + m)$ 꼴로 나타내고, 상수 $m$의 값과 다항함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 모든 실근의 합과 $f(3)$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 제1회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 다항함수 $P(x)$에 대하여 함수 $h(x) = |x - a|P(x)$가 $x = a$에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 $P(a) = 0$인 것이며, 이때 $h'(a) = 0$이다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 미분가능성과 연속성을 이용한 절대값·다항 곱함수의 분석

이차함수 $P(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 함수 $h(x) = |x - 2|P(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 $h'(1) = 3$일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

[문항 4-1] (6점) $x = 2$에서의 우미분계수와 좌미분계수를 각각 $P(2)$로 나타내어 제시문 (가)의 조건 $P(2) = 0$이 성립함을 증명하시오.

[문항 4-2] (7점) $x \lt 2$인 구간에서 $h(x)$의 도함수 $h'(x)$를 구하고, 조건 $P(2) = 0$과 $h'(1) = 3$을 연립하여 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 함수 $h(x)$가 $x \ne 2$에서 미분계수 $h'(x) = 0$을 만족시키는 $x$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅰ — 제1회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 정적분 $\int_{a}^{b} f(t)\,dt$와 $\int_{a}^{b} t f(t)\,dt$의 값은 적분변수 $t$에 의존하지 않는 상수이므로, 이를 상수 $A, B$로 치환하면 함수 $f(x)$를 다항식으로 표현할 수 있다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 프레드홀름형 정적분 항등식의 해법

연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 2x\int_{0}^{1} f(t)\,dt + 4\int_{0}^{1} t f(t)\,dt$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) $A = \int_{0}^{1} f(t)\,dt,\; B = \int_{0}^{1} t f(t)\,dt$라 할 때, $A = \int_{0}^{1} (3t^2 - 2At + 4B)\,dt$를 정리하여 $A$와 $B$ 사이의 첫 번째 관계식을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) $B = \int_{0}^{1} t(3t^2 - 2At + 4B)\,dt$를 정리하여 두 번째 관계식을 구하고, 연립방정식을 풀어 상수 $A, B$와 함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제1회	문항 1	대수	제1회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	20점	중
제1회	문항 2	대수	제1회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수	20점	중상
제1회	문항 3	미적분Ⅰ	제1회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한	20점	중상
제1회	문항 4	미적분Ⅰ	제1회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수	20점	중상
제1회	문항 5	미적분Ⅰ	제1회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	20점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서강대학교 수리논술 제1회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)의 공식 탐구 문항을 원천으로 변형 출제되었으며 대학 미적분학 과정 공식 없이 100% 교과서 정리만으로 완결됩니다.
• 표준 배점 및 시간 배분 전략: 문항 1~3(각 20점, 각 18~20분)에서 최소 50점 이상을 안정적으로 확보한 뒤, 고배점 킬러 문항인 문항 4·5(각 20점, 각 20~22분)의 소문항 부분점수를 집중 공략하면 서강대 자연계열 전 모집단위 최초합격권(85점 이상)에 진입할 수 있습니다.
• 단계별 논리 서술 루브릭: 채점 시 Part 2-2 해설집의 3단계 루브릭 기준에 맞추어 획득 점수를 산출하고 Part 3 대시보드에 입력하십시오.

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 제2회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 배점 20점 · 난이도 중

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> 양수 $a$와 유리수 $r, s$에 대하여 지수법칙 $a^r a^s = a^{r+s},\; (a^r)^s = a^{rs}$가 성립한다.
<제시문 (나)> 곱셈 공식 $(u + u^{-1})^2 = u^2 + u^{-2} + 2$와 $(u + u^{-1})^3 = u^3 + u^{-3} + 3(u + u^{-1})$을 이용하면 유리수 지수 대칭식의 값을 단계적으로 구할 수 있다.

🎯 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 · 유리수 지수의 거듭제곱 항등식과 대칭식의 값

양수 $x$가 $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{7}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 제곱 공식을 이용하여 $x + x^{-1}$과 $x^2 + x^{-2}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 $x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}$과 $x^3 + x^{-3}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 분수식 $\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 제2회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 지수함수 $y = 3^x$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼 평행이동한 곡선의 방정식은 $y = 3^{x-m} = 3^{-m}\cdot 3^x$이다.
<제시문 (나)> 직선 $y = k\;(k \gt 0)$가 두 지수함수 $y = 3^x,\; y = 3^{x-2}$와 만나는 두 점 사이의 거리는 $k$의 값에 관계없이 항상 일정하다.

🎯 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 · 지수함수 그래프 위의 선분 내분점과 넓이 최적화

두 곡선 $C_1 : y = 3^x$과 $C_2 : y = 3^{x-2}$이 직선 $y = t\;(t \gt 1)$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$라 하고, 직선 $y = 3t$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{D}, \mathrm{C}$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 $x$좌표를 각각 $\log_3 t$로 나타내고 선분 $\mathrm{AB}$의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 사각형 $\mathrm{ABCD}$가 평행사변형임을 보이고, 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S(t)$를 $t$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이가 $24$일 때, 양수 $t$의 값과 직선 $\mathrm{AD}$의 기울기를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 제2회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + ax + b} - x)$ 꼴의 극한은 분모·분자에 켤레식 $\sqrt{x^2 + ax + b} + x$를 곱하여 유리화하면 $\dfrac{a}{2}$로 수렴한다.
<제시문 (나)> 충분히 큰 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) \le f(x) \le h(x)$이고 $\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} h(x) = L$이면 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$이다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 무리식의 유리화와 함수의 극한 조임 정리

양수 $x$에 대하여 정의된 함수 $f(x)$가 부등식 $\sqrt{4x^2 + 12x + 1} - 2x \le f(x) \le \sqrt{4x^2 + 12x + 9} - 2x$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 유리화 방법을 이용하여 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + 12x + 1} - 2x)$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 $\lim_{x \to \infty} f(x)$의 값을 구하고 그 논리적 근거를 서술하시오.

[문항 3-3] (7점) 다항식 $P(x) = 3x + k$에 대하여 $\lim_{x \to \infty} x\left(\sqrt{4x^2 + 12x + 9} - 2x - f(x)\right) = 0$일 때, $\lim_{x \to \infty} x\{f(x) - 3\}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 제2회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.11 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

<제시문 (가)> 곡선 $y = f(x)$ 위의 접점 $(t, f(t))$에서의 접선의 방정식은 $y - f(t) = f'(t)(x - t)$이다.
<제시문 (나)> 삼차함수 그래프 밖의 한 점 $(a, b)$에서 곡선에 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수는 방정식 $b - f(t) = f'(t)(a - t)$의 서로 다른 실근 $t$의 개수와 같다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 개수와 변곡 접선 경계

곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2$와 점 $\mathrm{P}(0, k)$에 대하여 점 $\mathrm{P}$에서 이 곡선에 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수가 $2$가 되도록 하는 실수 $k$의 값을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 접점의 좌표를 $(t, t^3 - 3t^2 + 2)$라 할 때, 이 접선이 점 $\mathrm{P}(0, k)$를 지나기 위한 $t$에 대한 방정식을 $g(t) = k$ 꼴로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 $g(t)$의 극댓값과 극솟값을 구하고, 서로 다른 접선의 개수가 $2$가 되도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) $k = 3$일 때, 점 $\mathrm{P}(0, 3)$에서 곡선에 그은 두 접선의 기울기를 각각 구하고 그 합을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅰ — 제2회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + 2) = f(x) + k$를 만족시키면, 구간 $[2n, 2n+2]$에서의 정적분은 $\int_{2n}^{2n+2} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} (f(x) + nk)\,dx = \int_{0}^{2} f(x)\,dx + 2nk$로 계산된다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 구간별로 정의된 연속함수의 정적분과 주기·대칭 확장

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 $0 \le x \le 2$에서 $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + 2) = f(x) + a$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오. (단, $a$는 상수이다.)

[문항 5-1] (6점) 함수 $f(x)$가 $x = 2$에서 연속임을 이용하여 상수 $a$의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 기본 구간에서의 정적분 $I_0 = \int_{0}^{2} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $\int_{0}^{10} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제2회	문항 1	대수	제2회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	20점	중
제2회	문항 2	대수	제2회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	20점	중상
제2회	문항 3	미적분Ⅰ	제2회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한	20점	중상
제2회	문항 4	미적분Ⅰ	제2회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	20점	중상
제2회	문항 5	미적분Ⅰ	제2회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	20점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서강대학교 수리논술 제2회 출제 원칙 및 합격 전략

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 제3회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 배점 20점 · 난이도 중

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> $a \gt 0, a \ne 1$일 때 로그의 성질에 의하여 $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$이고, 밑변환 공식에 의하여 $\log_x y \cdot \log_y x = 1$이다.
<제시문 (나)> 두 양수 $X, Y$에 대하여 $X + Y \ge 2\sqrt{XY}$가 성립하며, 등호는 $X = Y$일 때 성립한다.

🎯 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 · 지수·로그 연립방정식과 산술·기하 평균 부등식의 결합

$1$보다 큰 두 실수 $x, y$가 $\log_2 x + \log_2 y = 6$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $u = \log_2 x,\; v = \log_2 y$라 할 때, $u \gt 0, v \gt 0$임을 설명하고 산술·기하 평균 부등식을 이용하여 $uv$의 최댓값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) $(\log_2 x)(\log_2 y) = 8$일 때, $x, y$의 순서쌍 $(x, y)$를 모두 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]의 조건에서 $\log_x y + \log_y x$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 제3회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 반지름의 길이가 $r$이고 중심각의 크기가 $\theta$ (라디안)인 부채꼴의 호의 길이는 $l = r\theta$이고 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}rl$이다.
<제시문 (나)> 둘레의 길이 $2r + l$이 일정할 때 부채꼴의 넓이 $S = \dfrac{1}{2}rl$은 $2r = l$, 즉 중심각 $\theta = 2$ (라디안)에서 최댓값을 갖는다.

🎯 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 부채꼴의 둘레와 넓이의 관계 및 중심각 최적화

길이가 $24$인 철사를 구부려 반지름의 길이가 $r$이고 호의 길이가 $l$인 부채꼴 모양의 화단을 만들려고 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 호의 길이 $l$을 $r$에 대한 식으로 나타내고, 부채꼴의 넓이 $S(r)$을 $r$에 대한 이차함수로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 넓이 $S(r)$이 최대가 될 때의 반지름 $r$, 최댓값 $S_{\max}$, 그리고 중심각 $\theta$ (라디안)를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 넓이가 최댓값일 때, 이 부채꼴의 두 반지름의 끝점을 잇는 현의 길이를 $\sin 1$을 이용하여 나타내시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 제3회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 연속이려면 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$가 성립해야 한다.
<제시문 (나)> 함수 $g(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $g(a)g(b) \lt 0$이면, 열린구간 $(a, b)$에 $g(c) = 0$인 $c$가 적어도 하나 존재한다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 · 분수함수의 연속성과 사잇값 정리를 이용한 근의 존재성 증명

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 $(x - 2)f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$를 만족시키고 $f(2) = 3$일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 연속 조건을 이용하여 상수 $a, b$의 값을 각각 구하고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)$의 식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 방정식 $f(x) = 3x - 2$를 정리한 이차함수 $g(x) = f(x) - (3x - 2)$에 대하여 $g(0), g(2), g(4)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 방정식 $f(x) = 3x - 2$가 열린구간 $(0, 2)$와 $(2, 4)$에서 각각 적어도 하나의 실근을 가짐을 보이시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 제3회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.43 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 사차함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 $f'(x) = 4(x - \alpha)^2(x - \beta)\;(\alpha \ne \beta)$ 꼴이면, $f(x)$는 $x = \beta$에서만 극솟값을 갖고 $x = \alpha$에서는 $f'(\alpha) = 0$인 변곡 접선을 갖는다.
<제시문 (나)> 함수 $|f(x) - k|$가 실수 전체에서 미분가능하려면 $f(x) = k$인 모든 실근 $x$에서 $f'(x) = 0$이어야 한다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 사차함수의 극값 구조와 절댓값 접어올림 함수의 미분가능성

사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$에 대하여 함수 $g(x) = |f(x) - k|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지 않은 점의 개수를 $m(k)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 도함수 $f'(x)$를 인수분해하여 함수 $f(x)$의 극솟값과 $f'(x) = 0$인 두 점에서의 함숫값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 $m(k) = 1$이 되도록 하는 실수 $k$의 값과 그때 미분가능하지 않은 점의 $x$좌표를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 방정식 $f(x) = 10$의 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)$에 대하여 구간 $[\alpha, \beta]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값의 차를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅰ — 제3회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속함수 $f(t)$에 대하여 $F(x) = \int_{a}^{x} (x - t)f(t)\,dt = x\int_{a}^{x} f(t)\,dt - \int_{a}^{x} t f(t)\,dt$로 분리하여 미분하면 $F'(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$이고 $F''(x) = f(x)$이다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 정적분으로 정의된 함수의 미분과 극값·최솟값

다항함수 $f(x) = 6x - 6$에 대하여 함수 $F(x) = \int_{0}^{x} (x - t)f(t)\,dt$가 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)의 전개 과정을 서술하여 $F'(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt$임을 유도하고, $F'(x)$를 $x$에 대한 다항식으로 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 $F(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 닫힌구간 $[-1, 3]$에서 함수 $F(x)$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제3회	문항 1	대수	제3회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	20점	중
제3회	문항 2	대수	제3회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수	20점	중상
제3회	문항 3	미적분Ⅰ	제3회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속	20점	중상
제3회	문항 4	미적분Ⅰ	제3회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	20점	중상
제3회	문항 5	미적분Ⅰ	제3회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	20점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서강대학교 수리논술 제3회 출제 원칙 및 합격 전략

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 제4회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 배점 20점 · 난이도 중

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 임의의 양수 $N$에 대하여 상용로그 $\log_{10} N$은 정수부분 $n$과 소수부분 $\alpha\;(0 \le \alpha \lt 1)$의 합 $\log_{10} N = n + \alpha$로 유일하게 나타난다.
<제시문 (나)> 두 양수 $A, B$의 상용로그의 소수부분의 합이 $1$이면 $\log_{10} A + \log_{10} B$는 정수이고 소수부분은 $0$이 아니어야 한다.

🎯 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 · 상용로그의 정수부분·소수부분과 자릿수 조건 분석

양수 $x$가 $100 \le x \lt 1000$을 만족시키고, $\log_{10} x$의 소수부분과 $\log_{10} x^2$의 소수부분의 합이 $1$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $\log_{10} x = 2 + \alpha\;(0 \le \alpha \lt 1)$라 할 때, 소수부분이 $0$이 될 수 없는 이유를 설명하고 $\alpha$의 범위를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) $3\log_{10} x$가 정수가 됨을 이용하여 가능한 모든 $\log_{10} x$의 값과 실수 $x$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 가능한 모든 $x$의 값들의 곱 $P$에 대하여 $\log_{10} P$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 제4회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

<제시문 (가)> 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 마주 보는 두 내각의 합은 $\pi$이므로 $\cos(\pi - A) = -\cos A,\; \sin(\pi - A) = \sin A$이다.
<제시문 (나)> 삼각형 $\mathrm{ABD}$와 $\mathrm{CBD}$에 코사인법칙을 각각 적용하면 공통 대각선 $\overline{\mathrm{BD}}$의 길이와 $\cos A$의 값을 구할 수 있다.

🎯 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 사인법칙과 코사인법칙을 이용한 원에 내접하는 사각형의 대각선과 넓이

원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 2,\; \overline{\mathrm{BC}} = 3,\; \overline{\mathrm{CD}}$ $= 4,\; \overline{\mathrm{DA}} = 3$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) $\angle \mathrm{BAD} = \theta$라 할 때, 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 $\overline{\mathrm{BD}}^2$을 $\cos\theta$에 대한 두 가지 식으로 나타내고 $\cos\theta$의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 대각선 $\overline{\mathrm{BD}}$의 길이와 $\sin\theta$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S$와 외접원의 반지름의 길이 $R$을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 제4회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.9 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 좌극한과 우극한이 서로 달라 불연속일 때, 연속함수 $g(x)$에 대하여 곱함수 $f(x)g(x)$가 $x = a$에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $g(a) = 0$이다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 · 불연속 함수와 다항함수의 곱의 연속성 및 미정계수 결정

함수 $f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x \lt 1) \\ -x + 1 & (1 \le x \lt 3) \\ x - 1 & (x \ge 3) \end{cases}$와 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $g(x)$에 대하여 곱함수 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 함수 $f(x)$가 불연속인 모든 $x$의 값을 구하고, 각 점에서의 좌극한과 우극한을 비교하여 서술하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 이차함수 $g(x)$를 구하고, $\lim_{x \to 1} f(x)g(x)$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 함수 $h(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}$가 불연속인 모든 $x$의 값들의 합을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 제4회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 문제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 방정식 $f(x) = k$의 서로 다른 양의 실근과 음의 실근의 개수는 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = k$의 교점의 $x$좌표의 부호로 판정하며, $y$절편 $f(0)$의 위치가 경계가 된다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 방정식의 실근의 개수와 삼차함수 그래프의 대칭 중심

함수 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$에 대하여 방정식 $f(x) = k$의 실근의 부호 분포를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값, 그리고 $f(0)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 세 개의 양의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 방정식 $|f(x)| = k$가 서로 다른 $4$개의 실근을 갖도록 하는 모든 실수 $k$의 값 또는 범위를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅰ — 제4회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.23 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 $y = ax^2 + bx + c$의 그래프와 직선 $y = mx + n$이 두 점 $x = \alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)$에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \int_{\alpha}^{\beta} |ax^2 + (b - m)x + (c - n)|\,dx = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$이다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 곡선과 접선 및 이차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 분할

포물선 $C : y = -x^2 + 4x$와 원점을 지나는 직선 $l : y = mx\;(0 \lt m \lt 4)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_1$, 포물선 $C$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 이용하여 포물선 $C$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 포물선 $C$와 직선 $l : y = mx$의 교점의 $x$좌표를 구하고, 넓이 $S_1$을 $m$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 5-3] (7점) 직선 $l$이 넓이 $S$를 이등분할 때, $(4 - m)^3$의 값과 상수 $m$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제4회	문항 1	대수	제4회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	20점	중
제4회	문항 2	대수	제4회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수	20점	중상
제4회	문항 3	미적분Ⅰ	제4회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속	20점	중상
제4회	문항 4	미적분Ⅰ	제4회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	20점	중상
제4회	문항 5	미적분Ⅰ	제4회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	20점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서강대학교 수리논술 제4회 출제 원칙 및 합격 전략

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 제5회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 배점 20점 · 난이도 중

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 지수함수 $y = 2^x$과 로그함수 $y = \log_2 x$는 서로 역함수 관계이므로 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 $-1$인 직선 $y = -x + k$는 직선 $y = x$와 수직이므로, 두 역함수 그래프와 만나는 두 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)$도 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이며 $x_2 = y_1,\; y_2 = x_1$이다.

🎯 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 · 로그함수의 역함수 대칭성과 직선 위의 교점 좌표 관계

직선 $y = -x + 6$이 곡선 $y = 2^x$과 만나는 점을 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$, 곡선 $y = \log_2 x$와 만나는 점을 $\mathrm{Q}(x_2, y_2)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 대칭성을 이용하여 $x_1 + x_2$와 $y_1 + y_2$의 값을 각각 구하고, 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점 $\mathrm{M}$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) $\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}$일 때, $|x_1 - x_2|$의 값과 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 좌표를 각각 구하여 주어진 곡선 위의 점임을 확인하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 제5회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

<제시문 (가)> 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 \gt 0$이고 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{p a_n + 1}$을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = p$가 되어 수열 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$은 공차가 $p$인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 $n$에 대한 명제 $P(n)$이 모든 자연수에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하려면 $n = 1$일 때 성립함을 보이고, $n = k$일 때 성립한다고 가정하여 $n = k + 1$일 때도 성립함을 연역한다.

🎯 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 · 비선형 귀납적 정의 수열의 역수 변환과 수학적 귀납법

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = \dfrac{1}{2}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환을 이용하여 수열 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$의 일반항과 $a_n$의 일반항을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) [문항 2-1]에서 구한 일반항 $a_n = \dfrac{1}{3n - 1}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (7점) $\sum_{n=1}^{10} \dfrac{1}{a_n a_{n+1}}$이 아닌 부분분수 합 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 제5회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수는 정의에 의하여 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$이다.
<제시문 (나)> 모든 실수 $x, y$에 대하여 성립하는 함수방정식이 주어지면, $x = y = 0$을 대입하여 $f(0)$을 구한 뒤 도함수의 정의식에 대입하여 $f'(x)$를 구한다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 다항함수 결정

미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 등식 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2$를 만족시키고 $f'(0) = 4$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) $x = y = 0$을 대입하여 $f(0)$의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x)$를 $x$에 대한 다항식으로 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수 $f(x)$를 구하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 제5회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.52 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 점의 시각 $t$에서의 위치가 $x(t)$일 때, 속도는 $v(t) = x'(t)$, 가속도는 $a(t) = v'(t)$이다.
<제시문 (나)> 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 사이의 거리 $D(t) = |x_{\mathrm{P}}(t) - x_{\mathrm{Q}}(t)|$는 두 점의 속도가 같아지는 시각($v_{\mathrm{P}}(t) = v_{\mathrm{Q}}(t)$)이나 구간의 끝점에서 최댓값을 갖는다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 수직선 위를 움직이는 두 점의 속도와 거리 차의 최댓값

수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치가 각각 $x_{\mathrm{P}}(t) = t^3 - 5t^2 + 8t,\; x_{\mathrm{Q}}(t) = t^2 - t$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 출발 후($t \gt 0$) 처음으로 만나는 시각 $t_1$과 그때 두 점의 속도를 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 사이의 거리 $D(t) = |x_{\mathrm{P}}(t) - x_{\mathrm{Q}}(t)|$의 최댓값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 바뀌는 두 시각 사이에서 점 $\mathrm{P}$의 가속도가 $0$이 되는 시각을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅰ — 제5회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 점의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t)$일 때, 시각 $t = a$에서 $t = b$까지 위치의 변화량은 $\int_{a}^{b} v(t)\,dt$이고, 실제로 움직인 거리는 $\int_{a}^{b} |v(t)|\,dt$이다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 속도의 정적분과 위치의 변화량 및 실제로 움직인 거리

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 두 시각 $t_1, t_2\;(t_1 \lt t_2)$와 그때의 위치를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $\mathrm{P}$의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 다시 원점을 지나는 시각 $T\;(T \gt 0)$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제5회	문항 1	대수	제5회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	20점	중
제5회	문항 2	대수	제5회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법	20점	중상
제5회	문항 3	미적분Ⅰ	제5회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수	20점	중상
제5회	문항 4	미적분Ⅰ	제5회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용	20점	중상
제5회	문항 5	미적분Ⅰ	제5회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	20점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서강대학교 수리논술 제5회 출제 원칙 및 합격 전략

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 2025 서강대 자연 1차 1번 변형 — 제6회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-2. 이차곡선과 접선 (2025 서강대 자연 1차 1번 변형) 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.28 탐구 61 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 평면 위의 두 정점 $\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)$으로부터의 거리의 차가 $2a\;(0 \lt a \lt c)$인 점 $\mathrm{P}$의 자취는 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(b^2 = c^2 - a^2)$이며, 두 점근선의 방정식은 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$이다.
<제시문 (나)> 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{Q}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

🎯 기하 Ⅰ-2. 이차곡선과 접선 (2025 서강대 자연 1차 1번 변형) · 쌍곡선의 자취 유도와 접선 및 점근선 삼각형의 넓이

좌표평면 위의 두 초점 $\mathrm{F}(5, 0),\; \mathrm{F}'(-5, 0)$에 대하여 $|\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} - \overline{\mathrm{FP}}| = 6$을 만족시키는 점 $\mathrm{P}$가 그리는 쌍곡선을 $C$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 쌍곡선 $C$의 방정식 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$에서 상수 $a^2,\; b^2$의 값을 각각 구하고, 두 점근선의 방정식을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 쌍곡선 $C$ 위의 제$1$사분면의 점 $\mathrm{Q}(5, y_1)$에 대하여 $y_1$의 값을 구하고, 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선의 방정식을 $5x - 3y = k$ 꼴로 나타내어 상수 $k$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선이 두 점근선 $y = \dfrac{4}{3}x,\; y = -\dfrac{4}{3}x$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A},\; \mathrm{B}$라 할 때, 두 점 $\mathrm{A},\; \mathrm{B}$의 좌표와 원점 $\mathrm{O}$에 대한 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 제6회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 도형의 성질 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 탐구 62 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 세 변의 길이를 $a, b, c$라 할 때, 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$와 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ (단, $R$은 외접원의 반지름)이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$는 $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}r(a + b + c)$ (단, $r$은 내접원의 반지름)이다.

🎯 대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 도형의 성질 · 코사인법칙과 각의 이등분선을 이용한 삼각형 외접원·내접원 분석

세 변의 길이가 $\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{AC}} = 6$이고 $\angle \mathrm{BAC} = \dfrac{2\pi}{3}$인 둔각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle \mathrm{BAC}$의 이등분선이 변 $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 변 $\mathrm{BC}$의 길이 $a$와 외접원의 반지름의 길이 $R$을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 구하고, 넓이 분할 등식 $S = \triangle\mathrm{ABD} + \triangle\mathrm{ACD}$를 이용하여 각의 이등분선의 길이 $\overline{\mathrm{AD}}$를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내접원의 반지름의 길이 $r$을 분모 유리화하여 $\dfrac{p\sqrt{3} - q\sqrt{21}}{2}$ 꼴로 나타내고 자연수 $p, q$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 2025 서강대 자연 1차 2번 변형 — 제6회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (2025 서강대 자연 1차 2번 변형) 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 63 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 정의된 이차함수 $g(x) = (x - t)^2 + c$의 최솟값은 대칭축 $x = t$가 구간 $[-1, 1]$에 속할 때는 꼭짓점에서의 값 $g(t)$이고, $t \gt 1$일 때는 오른쪽 경계값 $g(1)$이다.
<제시문 (나)> 함수 $f(t)$가 $t = 1$에서 연속이고 좌미분계수 $\lim_{t \to 1-} \dfrac{f(t) - f(1)}{t - 1}$와 우미분계수 $\lim_{t \to 1+} \dfrac{f(t) - f(1)}{t - 1}$가 일치하면 $f(t)$는 $t = 1$에서 미분가능하다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (2025 서강대 자연 1차 2번 변형) · 매개변수 구간에 따른 이차함수의 최솟값 함수와 미분가능성

양의 실수 $t\;(t \gt 0)$에 대하여 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 정의된 함수 $g(x) = x^2 - 2tx + 4t$의 최솟값을 $f(t)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) $t = 1$일 때 함수 $g(x)$의 식을 구하고 $f(1)$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $0 \lt t \lt 1$일 때와 $t \gt 1$일 때의 최솟값 함수 $f(t)$의 식을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 함수 $f(t)$가 $t = 1$에서 연속이고 미분가능함을 증명하고, 미분계수 $f'(1)$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 2025 서강대 자연 2차 2번 변형 — 제6회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (2025 서강대 자연 2차 2번 변형) 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 64 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 두 함수 $f(x),\; g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \le g(x)$와 $\{g(x) - f(x)\}^2 = \{h(x)\}^2$을 만족시키면 $g(x) - f(x) = |h(x)|$, 즉 $g(x) = f(x) + |h(x)|$이다.
<제시문 (나)> 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분은 피적분함수의 부호가 바뀌는 경계점을 기준으로 적분 구간을 나누어 계산한다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (2025 서강대 자연 2차 2번 변형) · 부등식과 제곱 항등식으로 정의된 절댓값 결합 함수의 정적분

다항함수 $f(x) = 3x$와 연속함수 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \le g(x)$ 및 $\{g(x) - 3x\}^2 = (x^2 - 2x)^2$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $g(x)$를 절댓값 기호를 포함한 식으로 나타내고, 열린구간 $(0, 3)$에서 $g(x)$가 미분가능하지 않은 모든 $x$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 구간 $[0, 2]$와 구간 $[2, 3]$에서 $g(x)$의 다항식 표현을 각각 구하고, 닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $g(x)$가 증가함을 도함수 $g'(x)$의 부호를 이용하여 보이시오.

[문항 4-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 정적분 $\int_{0}^{3} g(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 교과서 기반 12기하03-05 — 제6회 실전 모의고사 · Q5 기하 Ⅲ-3. 공간도형과 공간좌표 (교과서 기반 12기하03-05) 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.36 탐구 65 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 좌표공간에서 법선벡터가 $\vec{n} = (a, b, c)$이고 점 $(x_0, y_0, z_0)$을 지나는 평면의 방정식은 $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$이다.
<제시문 (나)> 두 평면 $\alpha,\; \beta$의 법선벡터가 $\vec{n}_1,\; \vec{n}_2$일 때 두 평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$이고, 정사영의 넓이는 $S' = S\cos\theta$이다.

🎯 기하 Ⅲ-3. 공간도형과 공간좌표 (교과서 기반 12기하03-05) · 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 및 직각사면체 부피

좌표공간의 세 좌표축 위의 점 $\mathrm{A}(6, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 3, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 2)$를 지나는 평면을 $\alpha$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 평면 $\alpha$의 방정식을 $x + 2y + 3z = 6$으로 유도하고, 원점 $\mathrm{O}$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발 $\mathrm{H}$의 좌표와 선분 $\overline{\mathrm{OH}}$의 길이 $d$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각을 $\theta$라 할 때, 제시문 (나)를 이용하여 $\cos\theta$의 값과 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 $\mathrm{OABC}$의 부피 $V$를 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot d$로 계산하여 직각사면체 부피 공식 $\dfrac{1}{6}\overline{\mathrm{OA}}\cdot\overline{\mathrm{OB}}\cdot\overline{\mathrm{OC}}$의 값과 일치함을 확인하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제6회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제6회	문항 1	2025 서강대 자연 1차 1번 변형	제6회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-2. 이차곡선과 접선 (2025 서강대 자연 1차 1번 변형)	20점	상
제6회	문항 2	대수	제6회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 도형의 성질	20점	상
제6회	문항 3	2025 서강대 자연 1차 2번 변형	제6회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (2025 서강대 자연 1차 2번 변형)	20점	상
제6회	문항 4	2025 서강대 자연 2차 2번 변형	제6회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (2025 서강대 자연 2차 2번 변형)	20점	상
제6회	문항 5	교과서 기반 12기하03-05	제6회 실전 모의고사 · Q5 기하 Ⅲ-3. 공간도형과 공간좌표 (교과서 기반 12기하03-05)	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서강대학교 수리논술 제6회 출제 원칙 및 합격 전략

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 2025 서강대 자연 2차 1번 변형 — 제7회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 2차 1번 변형) 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.18 탐구 71 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)$으로부터의 거리의 합이 $2a\;(a \gt c \gt 0)$인 타원의 방정식은 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(b^2 = a^2 - c^2)$이다.
<제시문 (나)> 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} + \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

🎯 기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 2차 1번 변형) · 타원의 초점 직각삼각형 성질과 접선의 절편 삼각형 넓이

두 초점이 $\mathrm{F}(3, 0),\; \mathrm{F}'(-3, 0)$인 타원 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{7} = 1$ 위의 제$1$사분면의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$이 $\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} = l_1,\; \overline{\mathrm{FP}} = l_2$라 할 때, 타원의 정의 $l_1 + l_2 = 8$과 피타고라스 정리를 연립하여 곱 $l_1 l_2$의 값과 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 넓이를 밑변 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}} = 6$과 높이 $y_1$로 나타내어 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A},\; \mathrm{B}$라 할 때, 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 제7회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 탐구 72 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 지수방정식 $4^x - p\cdot 2^x + q = 0$에서 $t = 2^x\;(t \gt 0)$으로 치환하면 이차방정식 $t^2 - pt + q = 0$으로 변환되며, $x \gt 0$인 양의 실근은 $t \gt 1$인 실근에 일대일 대응한다.
<제시문 (나)> 이차방정식 $t^2 - pt + q = 0$의 두 양의 실근이 $t_1 = 2^\alpha,\; t_2 = 2^\beta$이면 근과 계수의 관계에 의하여 $2^{\alpha+\beta} = t_1 t_2 = q$이다.

🎯 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 · 치환된 지수방정식의 실근 부호 조건과 로그 근과 계수의 관계

실수 $x$에 대한 지수방정식 $4^x - 6\cdot 2^x + k = 0$이 서로 다른 두 실근 $\alpha,\; \beta\;(\alpha \lt \beta)$를 가질 때, 다음 논제에 답하시오. (단, $k$는 상수이다.)

[문항 2-1] (6점) $t = 2^x$으로 치환한 이차방정식 $h(t) = t^2 - 6t + k = 0$이 서로 다른 두 양의 실근 $t_1,\; t_2$를 갖기 위한 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 주어진 지수방정식의 두 실근 $\alpha,\; \beta$가 모두 양수($0 \lt \alpha \lt \beta$)가 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 제시문 (가)를 이용하여 구하시오.

[문항 2-3] (7점) $\alpha + \beta = 3$일 때 상수 $k$의 값을 구하고, 그때 $4^\alpha + 4^\beta$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 2025 서강대 자연 2차 2-3번 변형 — 제7회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 2차 2-3번 변형) 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.36 탐구 73 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

<제시문 (가)> 함수 $g(x)$가 닫힌구간 $[0, 2]$에서 연속이고 각 부분 열린구간에서 $g'(x) \gt 0$이면 $g(x)$는 닫힌구간 $[0, 2]$에서 순증가한다.
<제시문 (나)> 곡선 $y = g(x)$ 위의 첨점 $(1, g(1))$을 지나는 직선 $y = k(x - 1) + g(1)$이 구간 $[0, 2]$에서 곡선과 오직 한 점에서만 만나려면 직선이 두 구간 $[0, 1),\; (1, 2]$에서 곡선과 추가로 만나지 않아야 한다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 2차 2-3번 변형) · 절댓값 결합 함수의 단조증가 증명과 직선과의 유일 교점 기울기 범위

닫힌구간 $[0, 2]$에서 정의된 함수 $g(x) = 3x + |x^2 - 1|$과 점 $\mathrm{A}(1, 3)$을 지나는 직선 $L : y = k(x - 1) + 3\;(k \gt 0)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 구간 $[0, 1]$과 구간 $[1, 2]$에서 $g(x)$의 식을 각각 구하고, $x = 1$에서의 좌미분계수와 우미분계수를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 $g(x)$가 닫힌구간 $[0, 2]$에서 증가함을 보이고, 양 끝점 $\mathrm{B}(0, g(0))$와 $\mathrm{C}(2, g(2))$에 대하여 두 할선 $\mathrm{AB},\; \mathrm{AC}$의 기울기를 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 방정식 $g(x) = k(x - 1) + 3$이 닫힌구간 $[0, 2]$에서 $x = 1$을 유일한 실근으로 갖도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 제7회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.19 탐구 74 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속함수 $f(t)$에 대하여 $G(x) = \int_{a}^{x} (x - t)f(t)\,dt$를 $x$에 대하여 미분하면 $G'(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$이고 $G''(x) = f(x)$이다.
<제시문 (나)> 삼차함수 $H(x)$의 도함수가 $H'(x) = 3(x - \alpha)(x - \beta)\;(\alpha \lt \beta)$이면 $H(x)$의 극댓값과 극솟값의 차는 $\int_{\alpha}^{\beta} |H'(x)|\,dx = \dfrac{3}{6}(\beta - \alpha)^3$이다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 · 정적분으로 정의된 이차 가중 함수의 도함수와 극값 차

일차함수 $f(x) = 6x - 18$에 대하여 함수 $G(x) = \int_{1}^{x} (x - t)f(t)\,dt$가 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 도함수 $G'(x)$를 $x$에 대한 이차식으로 구하고, 방정식 $G'(x) = 0$의 두 실근 $\alpha,\; \beta\;(\alpha \lt \beta)$를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) $G(1)$과 $G'(1)$의 값을 이용하여 삼차함수 $G(x)$의 식을 구하고, 함수 $G(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 $y = G(x)$의 변곡점(이계도함수 $G''(x) = 0$인 점)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 교과서 기반 12확통03-06 — 제7회 실전 모의고사 · Q5 확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 · Ⅲ-2. 통계적 추정 (교과서 기반 12확통03-06) 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 (DB: KICE_2028) PDF p.9 탐구 75 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-06]

<제시문 (가)> 표본공간의 분할 $A,\; A^c$와 사건 $E$에 대하여 전체확률의 법칙 $\mathrm{P}(E) = \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(E|A) + \mathrm{P}(A^c)\mathrm{P}(E|A^c)$와 베이즈 정리 $\mathrm{P}(A|E) = \dfrac{\mathrm{P}(A \cap E)}{\mathrm{P}(E)}$가 성립한다.
<제시문 (나)> 크기가 $n$인 임의추출 표본의 표본비율이 $\hat{p}$일 때, 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은 $\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p$ $\le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$이다. (단, $\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$)

🎯 확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 · Ⅲ-2. 통계적 추정 (교과서 기반 12확통03-06) · 조건부확률 베이즈 정리와 모비율 신뢰구간의 결합 추론

어느 공장에서 생산되는 반도체 칩 중 $\mathrm{A}$라인 생산분이 $20\%$, $\mathrm{B}$라인 생산분이 $80\%$를 차지한다. $\mathrm{A}$라인 칩이 우량품일 확률은 $0.9$, $\mathrm{B}$라인 칩이 우량품일 확률은 $0.8$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 임의로 선택한 칩 $1$개가 우량품인 사건을 $E$라 할 때, 제시문 (가)를 이용하여 $\mathrm{P}(E)$의 값과 이 칩이 $\mathrm{A}$라인에서 생산되었을 조건부확률 $\mathrm{P}(A|E)$를 기약분수로 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 이 공장의 전체 칩 중에서 임의추출한 크기 $n = 400$인 표본에서 특정 기준을 통과한 칩의 표본비율이 $\hat{p} = 0.64$였을 때, 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 $[a, b]$의 길이 $L = b - a$를 소수로 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 표본비율이 $\hat{p} = 0.64$로 일정할 때, 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이 $b - a$가 $0.04704$ 이하가 되도록 하는 자연수 표본 크기 $n$의 최솟값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제7회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제7회	문항 1	2025 서강대 자연 2차 1번 변형	제7회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 2차 1번 변형)	20점	상
제7회	문항 2	대수	제7회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수	20점	상
제7회	문항 3	2025 서강대 자연 2차 2-3번 변형	제7회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 2차 2-3번 변형)	20점	상
제7회	문항 4	미적분Ⅰ	제7회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수	20점	상
제7회	문항 5	교과서 기반 12확통03-06	제7회 실전 모의고사 · Q5 확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 · Ⅲ-2. 통계적 추정 (교과서 기반 12확통03-06)	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서강대학교 수리논술 제7회 출제 원칙 및 합격 전략

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 기하 — 제8회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-1. 포물선과 접선의 방정식 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.10 탐구 81 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 초점이 $\mathrm{F}(p, 0)$이고 준선이 $x = -p\;(p \gt 0)$인 포물선의 방정식은 $y^2 = 4px$이며, 포물선 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서 초점까지의 거리는 $\overline{\mathrm{FP}} = x_1 + p$이다.
<제시문 (나)> 포물선 $y^2 = 4px$에 접하고 기울기가 $m\;(m \ne 0)$인 접선의 방정식은 $y = mx + \dfrac{p}{m}$이며, 포물선 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선은 $y_1 y = 2p(x + x_1)$이다.

🎯 기하 Ⅰ-1. 포물선과 접선의 방정식 · 포물선의 초점 현 성질과 수직인 두 접선의 교점 자취

초점이 $\mathrm{F}(2, 0)$이고 준선이 $x = -2$인 포물선 $C : y^2 = 8x$ 위의 두 점 $\mathrm{A}(2, 4),\; \mathrm{B}(x_2, y_2)$를 지나는 직선이 초점 $\mathrm{F}$를 지날 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 선분 $\overline{\mathrm{AF}}$의 길이를 구하고, 직선 $\mathrm{AB}$가 $x$축에 수직임을 이용하여 점 $\mathrm{B}$의 좌표와 초점 현 $\overline{\mathrm{AB}}$의 길이를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 포물선 $C : y^2 = 8x$ 위의 점 $\mathrm{P}(8, 8)$에서의 접선 $L_1$의 방정식과, 점 $\mathrm{P}$가 아닌 포물선 위의 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선 $L_2$가 $L_1$과 수직일 때 직선 $L_2$의 방정식을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]의 두 수직 접선 $L_1,\; L_2$의 교점 $\mathrm{R}$의 좌표를 구하여 점 $\mathrm{R}$이 준선 $x = -2$ 위에 있음을 확인하고, 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 제8회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 82 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 수열 $\{a_n\}$이 $a_{n+1} - a_n = d_n$을 만족시키면 $n \ge 2$일 때 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} d_k$이다.
<제시문 (나)> 부분분수 항등식 $\dfrac{1}{k(k+2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+2}\right)$를 이용하면 두 칸 간격으로 상쇄되는 부분합을 구할 수 있다.

🎯 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 · 계차 구조를 갖는 수열의 귀납적 정의와 부분분수 급수 합

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = a_n + 2n + 3$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$을 $n$에 대한 이차식으로 구하고 인수분해하시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 부분합 $S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k}$를 $n$에 대한 식으로 나타내고, $S_5$의 값을 기약분수로 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 부등식 $\dfrac{3}{4} - S_n \lt \dfrac{1}{6}$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 평균값 정리와 역함수 — 제8회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.32 탐구 83 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$인 $c$가 열린구간 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다.
<제시문 (나)> 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수가 $f'(x) \gt 0$이면 역함수 $g(x)$가 존재하며, $b = f(a)$일 때 역함수의 미분계수는 $g'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}$이다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) · 평균값 정리를 이용한 부등식 증명과 역함수 접선의 넓이

실수 전체의 집합에서 정의된 삼차함수 $f(x) = x^3 + 3x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 $x_1 \lt x_2$에 대하여 부등식 $f(x_2) - f(x_1) \ge 3(x_2 - x_1)$이 성립함을 증명하고, 등호가 성립할 수 있는지 판정하시오.

[문항 3-2] (7점) $f(0) = 2,\; f(1) = 6$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2)$와 $g'(6)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 곡선 $y = g(x)$ 위의 점 $\mathrm{B}(2, 0)$에서의 접선 $L_1$의 방정식을 구하고, 직선 $L_1$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 직각삼각형의 넓이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 제8회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.25 탐구 84 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 $a$인 삼차함수 $y = f(x)$ 위의 점 $(p, f(p))$에서의 접선 $y = l(x)$가 곡선과 다시 만나는 점의 $x$좌표가 $q$이면 $f(x) - l(x) = a(x - p)^2(x - q)$로 인수분해된다.
<제시문 (나)> 삼차곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \int_{\min(p,q)}^{\max(p,q)} |a(x - p)^2(x - q)|\,dx = \dfrac{|a|}{12}|q - p|^4$이다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 삼차곡선 위의 점에서의 접선과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이

삼차곡선 $C : y = x^3 - 3x$ 위의 점 $\mathrm{P}(1, -2)$에서의 접선을 $L$이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 점 $\mathrm{P}(1, -2)$에서의 접선 $L$의 방정식을 구하고, 접선 $L$이 곡선 $C$와 다시 만나는 교점 $\mathrm{Q}$의 좌표를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 곡선 $C$와 접선 $L$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 계산하시오.

[문항 4-3] (7점) 열린구간 $(-2, 1)$에서 곡선 $C$ 위의 동점 $\mathrm{R}(t, t^3 - 3t)$와 두 점 $\mathrm{P},\; \mathrm{Q}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이가 최대가 될 때의 $t$의 값과 그때의 최대 넓이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 기하 — 제8회 실전 모의고사 · Q5 기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 내적과 위치벡터 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02_비상) PDF p.22 탐구 85 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

<제시문 (가)> 평면 위의 두 정점 $\mathrm{A},\; \mathrm{B}$와 임의의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$를 $2 : 1$로 내분하는 점을 $\mathrm{D}$라 하면 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} + 2\overrightarrow{\mathrm{PB}} = 3\overrightarrow{\mathrm{PD}}$가 성립한다.
<제시문 (나)> 중심이 원점 $\mathrm{O}$이고 반지름이 $r$인 원 위의 동점 $\mathrm{P}$와 정점 $\mathrm{D}$ 사이의 거리 $|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|$의 최댓값은 $\overline{\mathrm{OD}} + r$이고 최솟값은 $|\overline{\mathrm{OD}} - r|$이다.

🎯 기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 내적과 위치벡터 · 평면벡터의 선분 내분점 치환과 원 위 동점의 벡터 크기 최대·최소

좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(1, 6),\; \mathrm{B}(4, 3)$과 원 $C : x^2 + y^2 = 4$ 위를 움직이는 동점 $\mathrm{P}$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 선분 $\mathrm{AB}$를 $2 : 1$로 내분하는 점 $\mathrm{D}$의 좌표를 구하고, 원점 $\mathrm{O}$에서 점 $\mathrm{D}$까지의 거리 $\overline{\mathrm{OD}}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 벡터 $|\overrightarrow{\mathrm{PA}} + 2\overrightarrow{\mathrm{PB}}|$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) $|\overrightarrow{\mathrm{PA}} + 2\overrightarrow{\mathrm{PB}}|$가 최댓값을 가질 때의 원 위의 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 구하고, 그때 내적 $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제8회	문항 1	기하	제8회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-1. 포물선과 접선의 방정식	20점	최상
제8회	문항 2	대수	제8회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법	20점	최상
제8회	문항 3	평균값 정리와 역함수	제8회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수)	20점	최상
제8회	문항 4	미적분Ⅰ	제8회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용	20점	최상
제8회	문항 5	기하	제8회 실전 모의고사 · Q5 기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 내적과 위치벡터	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서강대학교 수리논술 제8회 출제 원칙 및 합격 전략

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 2025 서강대 자연 2차 1번 심화 — 제9회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 성질 (2025 서강대 자연 2차 1번 심화) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.20 탐구 91 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(a \gt b \gt 0)$의 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)\;(c^2 = a^2 - b^2)$과 타원 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} + \overline{\mathrm{FP}} = 2a$이다.
<제시문 (나)> 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$에 접하고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$이다.

🎯 기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 성질 (2025 서강대 자연 2차 1번 심화) · 타원 초점 삼각형의 코사인법칙과 접선까지의 수선 거리 곱 불변성

두 초점이 $\mathrm{F}(2, 0),\; \mathrm{F}'(-2, 0)$인 타원 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1$ 위의 제$1$사분면의 점 $\mathrm{P}$가 $\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF} = 60^\circ$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} = l_1,\; \overline{\mathrm{FP}} = l_2$라 할 때, 타원의 정의와 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$에서의 코사인법칙을 연립하여 곱 $l_1 l_2$의 값과 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 이 타원에 접하고 기울기가 $1$이고 $y$절편이 양수인 접선 $L$의 방정식을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 두 초점 $\mathrm{F}(2, 0),\; \mathrm{F}'(-2, 0)$에서 [문항 1-2]의 접선 $L$에 내린 수선의 길이를 각각 $d_1,\; d_2$라 할 때, 곱 $d_1 d_2$의 값을 구하여 단축 반지름의 제곱 $b^2 = 5$와 일치함을 보이시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 2025 서강대 자연 1차 1-4번 변형 — 제9회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 미적분 결합 (2025 서강대 자연 1차 1-4번 변형) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.38 탐구 92 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 두 변의 길이 $\overline{\mathrm{AB}} = c,\; \overline{\mathrm{AC}} = b$와 끼인각 $\angle \mathrm{A} = \theta$가 주어지면 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\theta$이고, 마주 보는 변의 제곱은 $\overline{\mathrm{BC}}^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\theta$이다.
<제시문 (나)> 시각 또는 매개변수 $t$에 대한 다항함수 $S(t)$의 순간변화율은 도함수 $S'(t)$로 구한다.

🎯 대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 미적분 결합 (2025 서강대 자연 1차 1-4번 변형) · 선분 위 동점과 코사인법칙으로 정의된 삼각형 넓이의 순간변화율

두 반직선 $\mathrm{OX},\; \mathrm{OY}$가 이루는 각이 $\angle \mathrm{XOY} = 60^\circ$이다. 반직선 $\mathrm{OX}$ 위의 점 $\mathrm{P}$와 반직선 $\mathrm{OY}$ 위의 점 $\mathrm{Q}$가 $\overline{\mathrm{OP}} = t,\; \overline{\mathrm{OQ}} = 6 - t\;(0 \lt t \lt 6)$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이 $S(t)$와 선분 $\overline{\mathrm{PQ}}$의 길이의 제곱 $L(t) = \overline{\mathrm{PQ}}^2$을 각각 $t$에 대한 이차함수로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 선분 $\overline{\mathrm{PQ}}$의 길이가 최소가 될 때의 $t$의 값, $\overline{\mathrm{PQ}}$의 최솟값, 그리고 그때의 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) $t = 2$일 때 $L(t) = \overline{\mathrm{PQ}}^2$의 순간변화율 $L'(2)$와 선분 $\overline{\mathrm{PQ}}$의 길이, 그리고 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 외접원의 반지름 $R$을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 변곡 접선과 미분가능성 — 제9회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (변곡 접선과 미분가능성) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.45 탐구 93 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 다항함수 $h(x)$에 대하여 절댓값 함수 $|h(x)|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 방정식 $h(x) = 0$의 모든 실근이 중근 이상의 거듭제곱근이어야 한다.
<제시문 (나)> 최고차항의 계수가 양수인 삼차방정식 $h(x) = 0$은 적어도 하나의 실근을 가지므로, $|h(x)|$가 실수 전체에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 $h(x) = a(x - \alpha)^3$ 꼴로 삼중근을 갖는 것이다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (변곡 접선과 미분가능성) · 삼차함수와 일차함수 차로 정의된 절댓값 함수의 미분가능성

삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 15x - 8$과 직선 $y = mx + n$에 대하여 절댓값 함수의 미분가능성을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (나)를 이용하여 함수 $g_1(x) = |f(x) - mx|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 삼중근 $x = \alpha$와 상수 $m$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) [문항 3-1]에서 구한 $\alpha,\; m$에 대하여 직선 $y = mx$가 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(\alpha, f(\alpha))$에서의 접선임을 미분계수로 확인하시오.

[문항 3-3] (7점) 직선 $y = 6x - 4$에 대하여 함수 $g_2(x) = |f(x) - (6x - 4)|$가 미분가능하지 않은 실수 $x$의 값을 구하고, 정적분 $\int_{1}^{4} g_2(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 2025 서강대 자연 1차 2-4번 변형 — 제9회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질 (2025 서강대 자연 1차 2-4번 변형) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 탐구 94 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 우함수 $f(-x) = f(x)$는 닫힌구간 $[-a, a]$에서 $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx$를 만족시키고, 기함수 $g(-x) = -g(x)$는 $\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 0$을 만족시킨다.
<제시문 (나)> 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + p) = f(x)\;(p \gt 0)$를 만족시키는 주기함수는 임의의 한 주기 구간에서의 정적분 값이 $\int_{a}^{a+p} f(x)\,dx = \int_{0}^{p} f(x)\,dx$로 일정하다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질 (2025 서강대 자연 1차 2-4번 변형) · 대칭성과 주기 조건을 만족시키는 연속함수의 정적분

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 논제에 답하시오.
(조건 1) $0 \le x \le 2$일 때 $f(x) = 3x^2 - 6x + 4$이다.
(조건 2) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$이고 $f(x + 4) = f(x)$이다.

[문항 4-1] (6점) $-2 \le x \le 0$에서 함수 $f(x)$의 식을 구하고, 한 주기 구간 $[-2, 2]$에서의 정적분 $I = \int_{-2}^{2} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 정적분 $\int_{-6}^{10} (x + 3)f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 실수 $t$에 대하여 함수 $H(t) = \int_{t}^{t+4} x f(x)\,dx$의 도함수 $H'(t)$를 구하고, $H(0)$과 $H(2)$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 기하 — 제9회 실전 모의고사 · Q5 기하 Ⅲ-2. 삼수선의 정리와 정사영 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.18 탐구 95 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 한 모서리의 길이가 $a$인 정사면체 $\mathrm{ABCD}$에서 꼭짓점 $\mathrm{A}$에서 밑면 $\mathrm{BCD}$에 내린 수선의 발 $\mathrm{G}$는 정삼각형 $\mathrm{BCD}$의 무게중심이다.
<제시문 (나)> 평면 $\alpha$ 위의 넓이가 $S$인 도형을 평면 $\beta$ 위로 정사영한 넓이는 $S' = S\cos\theta$ (단, $\theta$는 두 평면이 이루는 예각)이다.

🎯 기하 Ⅲ-2. 삼수선의 정리와 정사영 · 정사면체의 이면각 코사인과 평면 위로의 정사영 넓이

한 모서리의 길이가 $6$인 정사면체 $\mathrm{ABCD}$에서 모서리 $\mathrm{CD}$의 중점을 $\mathrm{M}$, 꼭짓점 $\mathrm{A}$에서 밑면 $\mathrm{BCD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{G}$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정삼각형 $\mathrm{ACD}$와 $\mathrm{BCD}$의 중선 $\overline{\mathrm{AM}},\; \overline{\mathrm{BM}}$의 길이를 구하고, 두 면 $\mathrm{ACD},\; \mathrm{BCD}$가 이루는 이면각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$와 $\sin\theta$의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 정사면체 $\mathrm{ABCD}$의 높이 $\overline{\mathrm{AG}}$와 부피 $V$를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 밑면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영의 넓이 $S_1$과, 삼각형 $\mathrm{ABM}$의 밑면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영의 넓이 $S_2$를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제9회	문항 1	2025 서강대 자연 2차 1번 심화	제9회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 성질 (2025 서강대 자연 2차 1번 심화)	20점	최상
제9회	문항 2	2025 서강대 자연 1차 1-4번 변형	제9회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 미적분 결합 (2025 서강대 자연 1차 1-4번 변형)	20점	최상
제9회	문항 3	변곡 접선과 미분가능성	제9회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (변곡 접선과 미분가능성)	20점	최상
제9회	문항 4	2025 서강대 자연 1차 2-4번 변형	제9회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질 (2025 서강대 자연 1차 2-4번 변형)	20점	최상
제9회	문항 5	기하	제9회 실전 모의고사 · Q5 기하 Ⅲ-2. 삼수선의 정리와 정사영	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서강대학교 수리논술 제9회 출제 원칙 및 합격 전략

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 2025 서강대 자연 1차 1번 응용 — 제10회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 1차 1번 응용) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.32 탐구 101 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 두 초점이 $\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)$인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(c^2 = a^2 + b^2)$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $|\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} - \overline{\mathrm{FP}}| = 2a$이다.
<제시문 (나)> 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

🎯 기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 1차 1번 응용) · 쌍곡선 초점 직각삼각형의 넓이와 접선의 x절편 성질

두 초점이 $\mathrm{F}(4, 0),\; \mathrm{F}'(-4, 0)$인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{7} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ 위의 제$1$사분면의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$이 $\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} = l_1,\; \overline{\mathrm{FP}} = l_2$라 할 때, 쌍곡선의 정의 $l_1 - l_2 = 2\sqrt{7}$과 피타고라스 정리를 이용하여 곱 $l_1 l_2$의 값과 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 넓이를 밑변 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}} = 8$과 높이 $y_1$로 나타내어 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점 $\mathrm{T}$의 $x$좌표를 구하고, $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{T}} : \overline{\mathrm{FT}} = l_1 : l_2$가 성립함을 통해 접선 $\mathrm{PT}$가 $\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 이등분선임을 확인하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 제10회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅲ-2. 등비수열의 합과 수열의 귀납적 정의 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 102 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 수열 $\{a_n\}$이 $a_{n+1} = p a_n + q^n\;(p \ne q)$을 만족시킬 때 양변을 $q^{n+1}$으로 나누어 $b_n = \dfrac{a_n}{q^n}$으로 치환하면 $b_{n+1} = \dfrac{p}{q}b_n + \dfrac{1}{q}$ 꼴의 점화식으로 변환된다.
<제시문 (나)> 첫째항이 $A$이고 공비가 $r\;(r \ne 1)$인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합은 $\dfrac{A(r^n - 1)}{r - 1}$이다.

🎯 대수 Ⅲ-2. 등비수열의 합과 수열의 귀납적 정의 · 지수항이 결합된 선형 점화식의 치환 해법과 부분합

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 5$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 주어진 점화식의 양변에서 $3^{n+1}$을 빼서 수열 $\{a_n - 3^n\}$이 공비가 $2$인 등비수열임을 보이고, 일반항 $a_n$을 $n$에 대한 식으로 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 일반항 $a_n$을 이용하여 $\dfrac{a_n - 2^n}{3^n}$의 값을 구하고, 제$5$항까지의 합 $S_5$의 값을 계산하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 2025 서강대 자연 1차 2번 심화 — 제10회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 1차 2번 심화) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.40 탐구 103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 닫힌구간 $[0, t]\;(t \gt 0)$에서 연속함수 $f(x)$의 최솟값을 $m(t) = \min_{0 \le x \le t} f(x)$라 하면, $f(x)$가 증가하는 구간에서는 최솟값이 유지되고 더 작은 함숫값이 나타나는 구간에서는 $m(t) = f(t)$가 된다.
<제시문 (나)> 구간별로 정의된 연속함수 $m(t)$의 경계점 $t = c$에서 좌미분계수와 우미분계수가 서로 다르면 $m(t)$는 $t = c$에서 미분가능하지 않다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 1차 2번 심화) · 가변 닫힌구간에서 삼차함수의 최솟값 함수와 미분불가능점

최고차항의 계수가 음수인 삼차함수 $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 4$에 대하여 양수 $t\;(t \gt 0)$를 오른쪽 끝점으로 하는 닫힌구간 $[0, t]$에서 $f(x)$의 최솟값을 $m(t)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 도함수 $f'(x)$를 구하여 $x \ge 0$에서 $f(x)$의 극댓값을 구하고, 방정식 $f(x) = f(0)$을 만족시키는 양수 $x$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $0 \lt t \le 3$일 때와 $t \gt 3$일 때의 최솟값 함수 $m(t)$의 식을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 열린구간 $(0, \infty)$에서 함수 $m(t)$가 미분가능하지 않은 $t$의 값과 그때의 좌·우미분계수를 구하고, 정적분 $\int_{0}^{4} m(t)\,dt$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 넓이와 변화율 — 제10회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (넓이와 변화율) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 104 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 $y = ax^2 + bx + c\;(a \ne 0)$의 그래프와 직선 $y = mx + n$이 서로 다른 두 점 $x = \alpha,\; \beta\;(\alpha \lt \beta)$에서 만날 때 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$이다.
<제시문 (나)> 매개변수 $k$로 표현된 함수 $S(k)$의 $k = k_0$에서의 순간변화율은 $S'(k_0)$이다.

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (넓이와 변화율) · 포물선과 기울기 가변 직선으로 둘러싸인 넓이 함수의 변화율

양수 $k\;(k \gt 0)$에 대하여 이차곡선 $y = x^2 - 2kx$와 직선 $y = kx$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(k)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 곡선 $y = x^2 - 2kx$와 직선 $y = kx$의 두 교점의 $x$좌표를 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 넓이 $S(k)$를 $k$에 대한 삼차식으로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) $k = 2$일 때의 넓이 $S(2)$와 순간변화율 $S'(2)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 $y = x^2 - 2kx$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A(k)$라 할 때, 비율 $\dfrac{S(k)}{A(k)}$의 값을 $k$에 관계없는 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서강대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 확률과 통계 — 제10회 실전 모의고사 · Q5 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 · Ⅲ-2. 통계적 추정 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 105 변형 | 성취기준: 12확통03-01, 12확통03-05]

<제시문 (가)> 이산확률변수 $X$가 값 $x_i$를 가질 확률이 $p_i$일 때 $\sum p_i = 1$이며, 기댓값은 $\mathrm{E}(X) = \sum x_i p_i$, 분산은 $\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2$이다.
<제시문 (나)> 모평균이 $m$, 모분산이 $\sigma^2$인 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출할 때 표본평균 $\bar{X}$에 대하여 $\mathrm{E}(\bar{X}) = m,\; \mathrm{V}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}$이다.

🎯 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 · Ⅲ-2. 통계적 추정 · 이산확률변수의 기댓값·분산과 표본평균의 정규분포 확률

이산확률변수 $X$가 가질 수 있는 값이 $1, 2, 3$이고 $\mathrm{P}(X = 1) = a,\; \mathrm{P}(X = 2) = \dfrac{1}{2},\; \mathrm{P}(X = 3) = b$이며 기댓값이 $\mathrm{E}(X) = \dfrac{9}{4}$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 확률의 총합 조건과 $\mathrm{E}(X) = \dfrac{9}{4}$를 연립하여 상수 $a,\; b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $\mathrm{E}(X^2)$과 분산 $\mathrm{V}(X)$를 각각 기약분수로 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 이 확률변수 $X$와 동일한 분포를 따르는 모집단에서 크기가 $n = 28$인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\bar{X}$의 기댓값 $\mathrm{E}(\bar{X})$와 표준편차 $\sigma(\bar{X})$를 구하고, $\mathrm{V}(8\bar{X})$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제10회	문항 1	2025 서강대 자연 1차 1번 응용	제10회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 1차 1번 응용)	20점	최상
제10회	문항 2	대수	제10회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅲ-2. 등비수열의 합과 수열의 귀납적 정의	20점	최상
제10회	문항 3	2025 서강대 자연 1차 2번 심화	제10회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 1차 2번 심화)	20점	최상
제10회	문항 4	넓이와 변화율	제10회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (넓이와 변화율)	20점	최상
제10회	문항 5	확률과 통계	제10회 실전 모의고사 · Q5 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 · Ⅲ-2. 통계적 추정	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서강대학교 수리논술 제10회 출제 원칙 및 합격 전략

PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS

실전 모의고사 1회 ~ 10회
문제 · 모범답안 · 채점 루브릭 합본 해설집

시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 50문항 전체 원문 요약과 단계별 모범답안·루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.

🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능

⚡ 단계별 채점 기준표 완비: 소문항·단계별 부분점수 배점표를 통해 정밀한 자가 채점 지원

👨‍🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭

【문제 1】 원문 요약 — 제1회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01]

🎯 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 · 거듭제곱근의 실수 해의 개수와 매개변수 방정식의 근의 분포

[문항 1-1] (6점) $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$에 대하여 $g(k)$의 부호(양, $0$, 음)를 각각 판정하고, $n$이 짝수일 때 $\sum_{k=1}^{6} N(n, g(k))$의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) $\sum_{n=2}^{9} \sum_{k=1}^{6} N(n, g(k))$의 값을 구하는 과정을 논리적으로 서술하시오.

[문항 1-3] (7점) $k = 1$일 때 $g(1) = 4$의 네제곱근 중 양수인 것을 $\alpha$, 음수인 것을 $\beta$라 하자. $\alpha^6 + |\beta|^6$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 1 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [1-1] 양수 $2$개($k=1,6$), $0$이 $2$개($k=2,5$), 음수 $2$개($k=3,4$), 짝수 $n$일 때 합 $6$ | [1-2] $48$ | [1-3] $16$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $g(k) = (k - 2)(k - 5)$를 인수분해하여 $k$에 따른 부호를 분류하고 제시문 (가)의 홀짝 판정 기준을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $k \in \{1, 6\}$일 때 $g(k) \gt 0$, $k \in \{2, 5\}$일 때 $g(k) = 0$, $k \in \{3, 4\}$일 때 $g(k) \lt 0$이다. $n$이 짝수($2, 4, 6, 8$의 $4$개)일 때 $\sum_{k=1}^{6} N(n, g(k)) = 2\times 2 + 2\times 1 + 2\times 0 = 6$이고, $n$이 홀수($3, 5, 7, 9$의 $4$개)일 때는 항상 $6\times 1 = 6$이므로 전체 합은 $4\times 6 + 4\times 6 = 48$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $g(1) = 4$의 양의 네제곱근은 $\alpha = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$, 음의 네제곱근은 $\beta = -\sqrt{2}$이므로 $\alpha^6 + |\beta|^6 = (\sqrt{2})^6 + (\sqrt{2})^6 = 8 + 8 = 16$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• $g(k)$의 부호 3종 분류 +3점 / 짝수 $n$일 때 합 $6$ 도출 +3점	6점
소문항 [1-2]	• 홀수 $n$($4$개) 합 $24$와 짝수 $n$($4$개) 합 $24$ 분리 계산 +4점 / 총합 $48$ 산출 +3점	7점
소문항 [1-3]	• $\alpha = \sqrt{2},\; \beta = -\sqrt{2}$ 도출 +4점 / $\alpha^6 + \|\beta\|^6 = 16$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $g(k) = 0$인 $k = 2, 5$에서는 $n$이 짝수일 때도 실수인 거듭제곱근이 $0$ 한 개씩 존재하므로 누락하지 않아야 합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) [1-1] 양수 $2$개($k=1,6$), $0$이 $2$개($k=2,5$), 음수 $2$개($k=3,4$), 짝수 $n$일 때 합 $6$ | [1-2] $48$ | [1-3] $16$

【문제 2】 원문 요약 — 제1회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

🎯 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 단위원 위 동경의 좌표와 삼각함수의 대칭 합

[문항 2-3] (7점) $\sum_{k=1}^{6} \cos^2\theta_k$의 값을 대칭성 $\cos^2\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin^2\theta$를 이용하여 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 2 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [2-1] 두 합 모두 $0$ | [2-2] $\overline{\mathrm{AP}_k}^2 = 5 - 4\cos\theta_k$, 합 $60$ | [2-3] $3$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $\theta_{k+6} = \theta_k + \pi$이므로 점 $\mathrm{P}_k$와 $\mathrm{P}_{k+6}\;(1 \le k \le 6)$은 원점 대칭임을 선언한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\cos\theta_{k+6} = -\cos\theta_k,\; \sin\theta_{k+6} = -\sin\theta_k$이므로 $6$쌍이 상쇄되어 두 합은 모두 $0$이다. 또한 $\overline{\mathrm{AP}_k}^2 = (\cos\theta_k - 2)^2 + \sin^2\theta_k$ $= \cos^2\theta_k + \sin^2\theta_k - 4\cos\theta_k + 4 = 5 - 4\cos\theta_k$이므로 $\sum_{k=1}^{12} \overline{\mathrm{AP}_k}^2 = 60 - 4(0) = 60$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $\cos^2\dfrac{\pi}{6} + \cos^2\dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$, $\cos^2\dfrac{4\pi}{6} + \cos^2\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$이고 $\cos^2\dfrac{3\pi}{6} = 0,\; \cos^2\pi = 1$이므로 합은 $1 + 1 + 0 + 1 = 3$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• $\theta_{k+6} = \theta_k + \pi$ 원점 대칭 상쇄 설명 +4점 / 두 합 모두 $0$ 도출 +2점	6점
소문항 [2-2]	• $\overline{\mathrm{AP}_k}^2 = 5 - 4\cos\theta_k$ 유도 +4점 / 합 $60$ 산출 +3점	7점
소문항 [2-3]	• 여각·보각 제곱쌍 결합 또는 개별 계산 +4점 / 값 $3$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $\overline{\mathrm{AP}_k}^2$을 전개할 때 $\cos^2\theta_k + \sin^2\theta_k = 1$로 묶으면 이차항이 상수 $1$로 바뀌어 시그마 계산이 즉시 해결됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $1$

【문제 3】 원문 요약 — 제1회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

🎯 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 다항함수의 차수 결정과 극한 조건을 만족시키는 함수의 유일성

삼차다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -1$과 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x - 1)^2} = 5$를 동시에 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $f(x)$의 삼차항과 이차항의 계수를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 1)^2(2x + m)$ 꼴로 나타내고, 상수 $m$의 값과 다항함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 모든 실근의 합과 $f(3)$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 3 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [3-1] 삼차항 계수 $2$, 이차항 계수 $-1$ | [3-2] $m = 3,\; f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 3$ | [3-3] 서로 다른 실근의 합 $-\dfrac{1}{2},\; f(3) = 36$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 최고차항 계수는 $2$이고, 제시문 (나)에 의해 $f(x) = (x - 1)^2(2x + m)$으로 인수분해된다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)^2(2x + m)}{(x - 1)^2} = 2 + m = 5$에서 $m = 3$이다. 전개하면 $f(x) = (x^2 - 2x + 1)(2x + 3) = 2x^3 - x^2 - 4x + 3$이므로 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -1$이 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 따라서 방정식 $f(x) = (x - 1)^2(2x + 3) = 0$의 서로 다른 실근은 $x = 1, -\dfrac{3}{2}$로 합은 $-\dfrac{1}{2}$이고, $f(3) = 4 \times 9 = 36$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 무한대 극한으로부터 삼차항 계수 $2$, 이차항 계수 $a = -1$ 도출 +6점	6점
소문항 [3-2]	• $(x-1)^2$ 인수 설정 +3점 / $2 + m = 5 \implies m = 3$ 및 $f(x)$ 완성 +4점	7점
소문항 [3-3]	• 서로 다른 실근 $1, -\dfrac{3}{2}$의 합 $-\dfrac{1}{2}$ 산출 +3점 / $f(3) = 36$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 분모가 $(x - 1)^2$일 때 극한값이 수렴하려면 분자도 $x - 1$을 두 번 인수로 가져야 약분 후 수렴합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $x - 1$

【문제 4】 원문 요약 — 제1회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 미분가능성과 연속성을 이용한 절대값·다항 곱함수의 분석

[문항 4-1] (6점) $x = 2$에서의 우미분계수와 좌미분계수를 각각 $P(2)$로 나타내어 제시문 (가)의 조건 $P(2) = 0$이 성립함을 증명하시오.

[문항 4-2] (7점) $x \lt 2$인 구간에서 $h(x)$의 도함수 $h'(x)$를 구하고, 조건 $P(2) = 0$과 $h'(1) = 3$을 연립하여 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 함수 $h(x)$가 $x \ne 2$에서 미분계수 $h'(x) = 0$을 만족시키는 $x$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 4 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [4-1] 우미분계수 $P(2)$, 좌미분계수 $-P(2) \implies P(2) = 0$ | [4-2] $a = -1,\; b = -2$ | [4-3] $x = 0$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 미분계수의 정의 $\lim_{t \to 2\pm}\dfrac{|t - 2|P(t) - 0}{t - 2} = \pm P(2)$를 선언한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 우미분계수 $P(2)$와 좌미분계수 $-P(2)$가 같으므로 $P(2) = 0 \implies P(x) = (x - 2)(x - k)$이다. $x \lt 2$에서 $h(x) = -(x - 2)^2(x - k)$이므로 $h'(x) = -(x - 2)(3x - 2k - 2)$이고, $h'(1) = 3 - 2k - 2 = 1 - 2k = 3$에서 $k = -1$이므로 $P(x) = (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2\;(a = -1, b = -2)$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 조건 $h'(1) = 3$과 $P(2) = 0$을 연립하면 $a = -1,\; b = -2$이므로 $P(x) = (x - 2)(x + 1)$이고, $x \ne 2$에서 $h'(x) = \pm 3x(x - 2) = 0$을 만족시키는 값은 $x = 0$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 우미분계수 $P(2)$, 좌미분계수 $-P(2)$ 유도 +4점 / $P(2) = 0$ 증명 +2점	6점
소문항 [4-2]	• $x \lt 2$에서 $h'(x)$ 도출 +3점 / 연립으로 $a = -1,\; b = -2$ 산출 +4점	7점
소문항 [4-3]	• $h(x) = \|x-2\|(x-2)(x+1)$ 도함수 인수분해 +4점 / $x = 0$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $P(2) = 0$이므로 $P(x) = (x - 2)(x - k)$로 인수분해하여 대입하면 $h(x) = |x - 2|(x - 2)(x - k)$가 되어 미분이 매우 간단해집니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $h(x) = |x - 2|(x - 2)(x - k)$

【문제 5】 원문 요약 — 제1회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 프레드홀름형 정적분 항등식의 해법

연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 2x\int_{0}^{1} f(t)\,dt + 4\int_{0}^{1} t f(t)\,dt$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-2] (7점) $B = \int_{0}^{1} t(3t^2 - 2At + 4B)\,dt$를 정리하여 두 번째 관계식을 구하고, 연립방정식을 풀어 상수 $A, B$와 함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 5 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [5-1] $2A - 4B = 1$ | [5-2] $A = 3,\; B = \dfrac{5}{4},\; f(x) = 3x^2 - 6x + 5$ | [5-3] $12$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 $f(x) = 3x^2 - 2Ax + 4B$로 놓고 두 정적분 정의식에 다시 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $A = \int_{0}^{1} (3t^2 - 2At + 4B)\,dt = 1 - A + 4B \implies 2A - 4B = 1$이다. 또한 $B = \int_{0}^{1} (3t^3 - 2At^2 + 4Bt)\,dt = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}A + 2B$ $\implies$ $8A - 12B = 9$이므로 연립하면 $A = 3,\; B = \dfrac{5}{4}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 따라서 $f(x) = 3x^2 - 6x + 5$이고, 대칭 구간 적분은 $\int_{-1}^{1} (3x^2 - 6x + 5)\,dx = 2\int_{0}^{1} (3x^2 + 5)\,dx = 2(1 + 5) = 12$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• $A = 1 - A + 4B$ 적분 전개 +3점 / $2A - 4B = 1$ 관계식 도출 +3점	6점
소문항 [5-2]	• $B = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}A + 2B$ 적분 및 연립으로 $A = 3,\; B = \dfrac{5}{4}$ 산출 +4점 / $f(x) = 3x^2 - 6x + 5$ 완성 +3점	7점
소문항 [5-3]	• 우·기함수 대칭 적분 $2\int_0^1 (3x^2 + 5)\,dx$ 적용 +4점 / 값 $12$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 적분 구간이 상수 $[0, 1]$인 정적분은 변수가 아니라 상수이므로 반드시 상수 문자 $A, B$로 치환하여 연립방정식을 세워야 합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $A, B$

【문제 1】 원문 요약 — 제2회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

🎯 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 · 유리수 지수의 거듭제곱 항등식과 대칭식의 값

양수 $x$가 $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{7}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 제곱 공식을 이용하여 $x + x^{-1}$과 $x^2 + x^{-2}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 $x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}$과 $x^3 + x^{-3}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 분수식 $\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}}$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 1 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [1-1] $x + x^{-1} = 5,\; x^2 + x^{-2} = 23$ | [1-2] $x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = 4\sqrt{7},\; x^3 + x^{-3} = 110$ | [1-3] $4\sqrt{7}$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $u = x^{\frac{1}{2}}$로 치환하면 $u + u^{-1} = \sqrt{7}$이므로 제시문 (나)의 거듭제곱 대칭식 공식을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = (\sqrt{7})^2 - 2 = 5$이고, $x^2 + x^{-2} = 5^2 - 2 = 23$이다. 또한 $x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = u^3 + u^{-3} = (\sqrt{7})^3 - 3\sqrt{7} = 4\sqrt{7}$이며, $x^3 + x^{-3} = 5^3 - 3(5) = 110$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구하는 식의 분자는 $110 + 2 = 112$이고 분모는 $4\sqrt{7}$이므로 $\dfrac{112}{4\sqrt{7}} = \dfrac{28}{\sqrt{7}} = 4\sqrt{7}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• $x + x^{-1} = 5$ 도출 +3점 / $x^2 + x^{-2} = 23$ 산출 +3점	6점
소문항 [1-2]	• $x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = 4\sqrt{7}$ 유도 +3점 / $x^3 + x^{-3} = 110$ 산출 +4점	7점
소문항 [1-3]	• 분자 $112$ 및 분모 $4\sqrt{7}$ 대입 +4점 / 유리화 결과 $4\sqrt{7}$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $x^3 + x^{-3} + 2 = (x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}})^2$임을 발견하면 분모와 즉시 약분되어 검산이 한 줄로 끝납니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $x^3 + x^{-3} + 2 = (x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}})^2$

【문제 2】 원문 요약 — 제2회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

🎯 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 · 지수함수 그래프 위의 선분 내분점과 넓이 최적화

[문항 2-1] (6점) 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 $x$좌표를 각각 $\log_3 t$로 나타내고 선분 $\mathrm{AB}$의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 사각형 $\mathrm{ABCD}$가 평행사변형임을 보이고, 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S(t)$를 $t$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이가 $24$일 때, 양수 $t$의 값과 직선 $\mathrm{AD}$의 기울기를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 2 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [2-1] $x_{\mathrm{A}} = \log_3 t,\; x_{\mathrm{B}} = \log_3 t + 2,\; \overline{\mathrm{AB}} = 2$ | [2-2] $S(t) = 4t$ | [2-3] $t = 6$, 기울기 $12$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $3^x = t \iff x = \log_3 t$이고, $3^{x-2} = t \iff x = \log_3 t + 2$임을 선언한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\overline{\mathrm{AB}} = (\log_3 t + 2) - \log_3 t = 2$이다. 마찬가지로 $y = 3t$와의 교점에서도 $\overline{\mathrm{DC}} = 2$이고 $\mathrm{AB} \parallel \mathrm{DC}$이므로 사각형 $\mathrm{ABCD}$는 밑변이 $2$, 높이가 $3t - t = 2t$인 평행사변형이다. 따라서 $S(t) = 2 \times 2t = 4t$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $S(t) = 4t = 24$에서 $t = 6$이다. 이때 $\mathrm{A}(\log_3 6, 6),\; \mathrm{D}(\log_3 6 + 1, 18)$이므로 직선 $\mathrm{AD}$의 기울기는 $\dfrac{18 - 6}{(\log_3 6 + 1) - \log_3 6} = 12$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• $x_{\mathrm{A}}, x_{\mathrm{B}}$ 좌표 도출 +4점 / $\overline{\mathrm{AB}} = 2$ 산출 +2점	6점
소문항 [2-2]	• $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{DC}} = 2$ 평행사변형 논증 +3점 / $S(t) = 4t$ 유도 +4점	7점
소문항 [2-3]	• $t = 6$ 산출 +3점 / 직선 $\mathrm{AD}$의 기울기 $12$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $\log_3 (3t) = \log_3 t + 1$이므로 점 $\mathrm{D}$는 점 $\mathrm{A}$에서 $x$축으로 $1$, $y$축으로 $2t$만큼 이동한 점입니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $2t$

【문제 3】 원문 요약 — 제2회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

🎯 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 무리식의 유리화와 함수의 극한 조임 정리

양수 $x$에 대하여 정의된 함수 $f(x)$가 부등식 $\sqrt{4x^2 + 12x + 1} - 2x \le f(x) \le \sqrt{4x^2 + 12x + 9} - 2x$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 유리화 방법을 이용하여 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + 12x + 1} - 2x)$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 $\lim_{x \to \infty} f(x)$의 값을 구하고 그 논리적 근거를 서술하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 3 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [3-1] $3$ | [3-2] $3$ | [3-3] $0$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $\sqrt{4x^2 + 12x + c} - 2x = \dfrac{12x + c}{\sqrt{4x^2 + 12x + c} + 2x}$로 유리화하고 분모·분자를 $x$로 나눈다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 좌변의 극한은 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{12 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{12}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2}$ $= \dfrac{12}{4} = 3$이고, 우변은 $\sqrt{(2x + 3)^2} - 2x = 3$으로 상수함수 $3$이다. 따라서 제시문 (나)에 의해 $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 우변 식 자체가 $\sqrt{(2x+3)^2} - 2x = 3$이므로 주어진 극한 조건은 $\lim_{x \to \infty} x\{3 - f(x)\} = 0$이 되어 $\lim_{x \to \infty} x\{f(x) - 3\} = 0$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 켤레식 유리화 식 변형 +3점 / 극한값 $3$ 도출 +3점	6점
소문항 [3-2]	• 우변 극한 $3$ 확인 및 조임 정리 명시 +4점 / $\lim_{x\to\infty} f(x) = 3$ 산출 +3점	7점
소문항 [3-3]	• $\sqrt{4x^2+12x+9} - 2x = (2x+3) - 2x = 3$ 항등 변형 +4점 / 극한값 $0$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$이 완전제곱식임을 파악하면 $x \gt 0$에서 우변이 상수 $3$으로 간단히 정리됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $3$

【문제 4】 원문 요약 — 제2회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.11 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 개수와 변곡 접선 경계

[문항 4-2] (7점) 함수 $g(t)$의 극댓값과 극솟값을 구하고, 서로 다른 접선의 개수가 $2$가 되도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) $k = 3$일 때, 점 $\mathrm{P}(0, 3)$에서 곡선에 그은 두 접선의 기울기를 각각 구하고 그 합을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 4 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [4-1] $-2t^3 + 3t^2 + 2 = k$ | [4-2] 극솟값 $2$, 극댓값 $3$, $k$의 합 $5$ | [4-3] 기울기 $-3, \dfrac{15}{4}$, 합 $\dfrac{3}{4}$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $f'(t) = 3t^2 - 6t$이므로 접선의 방정식에 $(0, k)$를 대입하여 $k$를 $t$의 삼차함수 $g(t)$로 정리한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $k - (t^3 - 3t^2 + 2) = (3t^2 - 6t)(0 - t) \implies k = -2t^3 + 3t^2 + 2 = g(t)$이다. $g'(t) = -6t^2 + 6t = -6t(t - 1) = 0$에서 $t = 0, 1$이므로 극솟값 $g(0) = 2$, 극댓값 $g(1) = 3$이다. 접선이 $2$개인 $k$는 $k = 2, 3$이므로 합은 $5$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $k = 2$일 때 접점의 $t$좌표는 $t = 0, \dfrac{3}{2}$이므로 두 접선의 기울기는 $f'(0) = 0,\; f'\left(\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{9}{4}$이고, $k = 3$일 때는 $t = 1, -\dfrac{1}{2}$이므로 기울기는 $f'(1) = -3,\; f'\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{15}{4}$이다. 특히 $k = 3$일 때 두 기울기의 합은 $-3 + \dfrac{15}{4} = \dfrac{3}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 접선의 방정식에 $(0, k)$ 대입 +3점 / $g(t) = -2t^3 + 3t^2 + 2 = k$ 도출 +3점	6점
소문항 [4-2]	• $g'(t) = -6t(t-1)$ 극값 $g(0)=2, g(1)=3$ 산출 +4점 / $k$의 합 $5$ 도출 +3점	7점
소문항 [4-3]	• 각 $k$에서 중근·단근 접점 $t$ 구하기 +4점 / 두 접선 기울기 합 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수에서는 접점 $t$가 다르면 접선도 서로 다르므로, 접선의 개수는 곧 방정식 $g(t) = k$의 서로 다른 실근의 개수와 정확히 일치합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $g(t) = k$

【문제 5】 원문 요약 — 제2회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 구간별로 정의된 연속함수의 정적분과 주기·대칭 확장

[문항 5-1] (6점) 함수 $f(x)$가 $x = 2$에서 연속임을 이용하여 상수 $a$의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 기본 구간에서의 정적분 $I_0 = \int_{0}^{2} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $\int_{0}^{10} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 5 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [5-1] $a = 4$ | [5-2] $I_0 = 2$ | [5-3] $90$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $x = 0$을 관계식 $f(x + 2) = f(x) + a$에 대입하여 연속 조건 $f(2) = f(0) + a$를 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $f(0) = 1,\; f(2) = 12 - 8 + 1 = 5$이므로 $5 = 1 + a \implies a = 4$이다. 또한 $I_0 = \int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 1)\,dx = \left[x^3 - 2x^2 + x\right]_{0}^{2} = 8 - 8 + 2 = 2$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구간 $[0, 10]$을 길이 $2$인 $5$개의 구간 $[2n, 2n+2]\;(n = 0, 1, 2, 3, 4)$로 나누면 $\int_{2n}^{2n+2} f(x)\,dx = I_0 + 2(4n) = 2 + 8n$이므로 $\sum_{n=0}^{4} (2 + 8n) = 10 + 8\times 10 = 90$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• $f(2) = f(0) + a$ 연속성 조건 설정 +3점 / $a = 4$ 도출 +3점	6점
소문항 [5-2]	• 부정적분 $x^3 - 2x^2 + x$ 계산 +4점 / $I_0 = 2$ 산출 +3점	7점
소문항 [5-3]	• 구간별 적분 일반항 $2 + 8n$ 유도 +4점 / 합 $90$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $\int_{2n}^{2n+2} a n\,dx$에서 상수 $an$에 구간 길이 $2$가 곱해져 $2an = 8n$이 된다는 점에 주의하십시오.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $2an = 8n$

【문제 1】 원문 요약 — 제3회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

🎯 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 · 지수·로그 연립방정식과 산술·기하 평균 부등식의 결합

$1$보다 큰 두 실수 $x, y$가 $\log_2 x + \log_2 y = 6$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $u = \log_2 x,\; v = \log_2 y$라 할 때, $u \gt 0, v \gt 0$임을 설명하고 산술·기하 평균 부등식을 이용하여 $uv$의 최댓값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) $(\log_2 x)(\log_2 y) = 8$일 때, $x, y$의 순서쌍 $(x, y)$를 모두 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]의 조건에서 $\log_x y + \log_y x$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 1 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [1-1] 최댓값 $9$ | [1-2] $(4, 16)$ 또는 $(16, 4)$ | [1-3] $\dfrac{5}{2}$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $x \gt 1, y \gt 1$이므로 $u = \log_2 x \gt 0,\; v = \log_2 y \gt 0$이고 $u + v = 6$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $6 = u + v \ge 2\sqrt{uv}$에서 $uv \le 9$이므로 최댓값은 $9$이다. $uv = 8$이면 $u, v$는 이차방정식 $t^2 - 6t + 8 = (t - 2)(t - 4) = 0$의 두 근이므로 $(u, v) = (2, 4)$ 또는 $(4, 2)$, 즉 $(x, y) = (4, 16)$ 또는 $(16, 4)$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 밑변환 공식에 의해 $\log_x y + \log_y x = \dfrac{v}{u} + \dfrac{u}{v} = \dfrac{u^2 + v^2}{uv}$ $= \dfrac{(u+v)^2 - 2uv}{uv} = \dfrac{36 - 16}{8} = \dfrac{5}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• $u, v \gt 0$ 확인 및 산술·기하 부등식 적용 +3점 / 최댓값 $9$ 도출 +3점	6점
소문항 [1-2]	• 이차방정식 $t^2 - 6t + 8 = 0$ 작성 +3점 / $(4, 16), (16, 4)$ 도출 +4점	7점
소문항 [1-3]	• 밑변환 공식 $\dfrac{u^2+v^2}{uv}$ 변형 +4점 / 값 $\dfrac{5}{2}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $x \gt 1, y \gt 1$ 조건이 있어야 로그값 $u = \log_2 x, v = \log_2 y$가 양수가 되어 산술·기하 평균 부등식을 적용할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $u = \log_2 x, v = \log_2 y$

【문제 2】 원문 요약 — 제3회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

🎯 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 부채꼴의 둘레와 넓이의 관계 및 중심각 최적화

길이가 $24$인 철사를 구부려 반지름의 길이가 $r$이고 호의 길이가 $l$인 부채꼴 모양의 화단을 만들려고 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 호의 길이 $l$을 $r$에 대한 식으로 나타내고, 부채꼴의 넓이 $S(r)$을 $r$에 대한 이차함수로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 넓이 $S(r)$이 최대가 될 때의 반지름 $r$, 최댓값 $S_{\max}$, 그리고 중심각 $\theta$ (라디안)를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 넓이가 최댓값일 때, 이 부채꼴의 두 반지름의 끝점을 잇는 현의 길이를 $\sin 1$을 이용하여 나타내시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 2 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [2-1] $l = 24 - 2r,\; S(r) = -r^2 + 12r$ | [2-2] $r = 6,\; S_{\max} = 36,\; \theta = 2$ | [2-3] $12\sin 1$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 둘레의 길이 조건 $2r + l = 24$를 제시문 (가)의 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}rl$에 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $l = 24 - 2r\;(0 \lt r \lt 12)$이므로 $S(r) = \dfrac{1}{2}r(24 - 2r) = -r^2 + 12r = -(r - 6)^2 + 36$이다. 따라서 $r = 6$일 때 최댓값 $S_{\max} = 36$을 갖고, 이때 $l = 12$이므로 $\theta = \dfrac{l}{r} = 2$ (라디안)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 중심에서 현에 내린 수선은 중심각 $\theta = 2$를 이등분하므로 현의 절반의 길이는 $r\sin\dfrac{\theta}{2} = 6\sin 1$이고, 전체 현의 길이는 $12\sin 1$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• $l = 24 - 2r$ 도출 +3점 / $S(r) = -r^2 + 12r$ 유도 +3점	6점
소문항 [2-2]	• 완전제곱식 변형으로 $r = 6,\; S_{\max} = 36$ 도출 +4점 / $\theta = 2$ 산출 +3점	7점
소문항 [2-3]	• 중심각 이등분 직각삼각형 설정 +4점 / 현의 길이 $12\sin 1$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 부채꼴의 둘레가 일정할 때 넓이가 최대가 되는 중심각은 둘레의 값에 상관없이 항상 $\theta = 2$ 라디안으로 일정합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $\theta = 2$

【문제 3】 원문 요약 — 제3회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]

🎯 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 · 분수함수의 연속성과 사잇값 정리를 이용한 근의 존재성 증명

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 연속 조건을 이용하여 상수 $a, b$의 값을 각각 구하고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)$의 식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 방정식 $f(x) = 3x - 2$를 정리한 이차함수 $g(x) = f(x) - (3x - 2)$에 대하여 $g(0), g(2), g(4)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 방정식 $f(x) = 3x - 2$가 열린구간 $(0, 2)$와 $(2, 4)$에서 각각 적어도 하나의 실근을 가짐을 보이시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 3 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [3-1] $a = 3,\; b = -2,\; f(x) = x^2 - x + 1$ | [3-2] $g(0) = 3,\; g(2) = -1,\; g(4) = 3$ | [3-3] $g(0)g(2) \lt 0,\; g(2)g(4) \lt 0$ 사잇값 정리

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $x \ne 2$에서 $f(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 + ax + b}{x - 2}$이고, $x = 2$에서 연속이므로 $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 3$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 우변 다항식이 $(x - 2)f(x)$와 항등식이므로 $f(x) = x^2 - x + c$로 놓으면 $f(2) = 4 - 2 + c = 3$에서 $c = 1$이다. 따라서 $f(x) = x^2 - x + 1$이고 전개하면 $(x - 2)(x^2 - x + 1) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2$이므로 $a = 3,\; b = -2$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $g(x) = f(x) - (3x - 2) = x^2 - 4x + 3$이므로 $g(0) = 3 \gt 0,\; g(2) = -1 \lt 0,\; g(4) = 3 \gt 0$이다. 다항함수 $g(x)$는 연속이고 $g(0)g(2) \lt 0,\; g(2)g(4) \lt 0$이므로 사잇값 정리에 의해 $(0, 2)$와 $(2, 4)$에 각각 적어도 하나의 실근이 존재한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• $f(x) = x^2 - x + 1$ 유도 +3점 / $a = 3,\; b = -2$ 도출 +3점	6점
소문항 [3-2]	• $g(x) = x^2 - 4x + 3$ 정리 +3점 / $g(0) = 3,\; g(2) = -1,\; g(4) = 3$ 산출 +4점	7점
소문항 [3-3]	• 다항함수의 연속성 명시 및 $g(0)g(2) \lt 0,\; g(2)g(4) \lt 0$ 제시 +4점 / 사잇값 정리 결론 서술 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 사잇값 정리 서술 시 함수 $g(x)$가 해당 닫힌구간에서 연속이라는 전제 조건을 반드시 첫 문장에 명시해야 감점을 피할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $g(x)$

【문제 4】 원문 요약 — 제3회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.43 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 사차함수의 극값 구조와 절댓값 접어올림 함수의 미분가능성

[문항 4-1] (6점) 도함수 $f'(x)$를 인수분해하여 함수 $f(x)$의 극솟값과 $f'(x) = 0$인 두 점에서의 함숫값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 $m(k) = 1$이 되도록 하는 실수 $k$의 값과 그때 미분가능하지 않은 점의 $x$좌표를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 4 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [4-1] $f(0) = 10$, 극솟값 $f(3) = -17$ | [4-2] $k = 10$, 미분불가능 점 $x = 4$ | [4-3] $27$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$으로 인수분해하여 그래프의 개형을 파악한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $f'(x) = 0$에서 $x = 0$ (중근) 또는 $x = 3$이다. 따라서 $f(0) = 10$이고 극솟값은 $f(3) = 81 - 108 + 10 = -17$이다. $k = 10$일 때 $f(x) - 10 = x^3(x - 4) = 0$의 근은 $x = 0$ (삼중근, $f'(0) = 0$이므로 미분가능)과 $x = 4$ (단근, $f'(4) \ne 0$이므로 미분불가능)이므로 $m(10) = 1$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $f(x) = 10$의 두 실근은 $\alpha = 0, \beta = 4$이고, 구간 $[0, 4]$에서 최댓값은 $f(0) = f(4) = 10$, 최솟값은 극솟값 $f(3) = -17$이므로 차는 $10 - (-17) = 27$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• $f'(x) = 4x^2(x-3)$ 인수분해 +3점 / $f(0)=10,\; f(3)=-17$ 산출 +3점	6점
소문항 [4-2]	• 삼중근 $x=0$ 미분가능성 판정 +4점 / $k=10,\; x=4$ 도출 +3점	7점
소문항 [4-3]	• 구간 $[0, 4]$ 최댓값 $10$, 최솟값 $-17$ 비교 +4점 / 차 $27$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 삼중근 $x = 0$에서는 그래프가 직선 $y = 10$을 뚫고 지나가지만 접선의 기울기가 $0$이므로 접어 올려도 우미분계수와 좌미분계수가 모두 $0$이 되어 미분가능합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) [4-1] $f(0) = 10$, 극솟값 $f(3) = -17$ | [4-2] $k = 10$, 미분불가능 점 $x = 4$ | [4-3] $27$

【문제 5】 원문 요약 — 제3회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 정적분으로 정의된 함수의 미분과 극값·최솟값

다항함수 $f(x) = 6x - 6$에 대하여 함수 $F(x) = \int_{0}^{x} (x - t)f(t)\,dt$가 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)의 전개 과정을 서술하여 $F'(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt$임을 유도하고, $F'(x)$를 $x$에 대한 다항식으로 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 $F(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 닫힌구간 $[-1, 3]$에서 함수 $F(x)$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 5 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [5-1] $F'(x) = 3x^2 - 6x$ | [5-2] 극댓값 $F(0) = 0$, 극솟값 $F(2) = -4$ | [5-3] $-4$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 적분변수 $t$에 대하여 $x$를 상수로 묶어낸 뒤 곱의 미분법을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $F'(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt + x f(x) - x f(x) = \int_{0}^{x} (6t - 6)\,dt = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$이다. 또한 $F(0) = 0$이므로 $F(x) = x^3 - 3x^2$이고, 극댓값은 $F(0) = 0$, 극솟값은 $F(2) = 8 - 12 = -4$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구간 $[-1, 3]$에서 양 끝점 함숫값은 $F(-1) = -4,\; F(3) = 0$이므로 최댓값은 $0$, 최솟값은 $-4$이며 두 값의 합은 $-4$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• 곱의 미분법으로 $F'(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ 유도 +3점 / $F'(x) = 3x^2 - 6x$ 산출 +3점	6점
소문항 [5-2]	• $F(x) = x^3 - 3x^2$ 적분 상수 결정 +3점 / 극댓값 $0$, 극솟값 $-4$ 도출 +4점	7점
소문항 [5-3]	• 구간 양 끝점 $F(-1)=-4, F(3)=0$ 비교 +4점 / 합 $-4$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 $(x - t)f(t)$를 바로 $x$로 미분할 수 없으므로 반드시 $x\int_0^x f(t)\,dt - \int_0^x t f(t)\,dt$로 전개한 뒤 미분해야 합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $x\int_0^x f(t)\,dt - \int_0^x t f(t)\,dt$

【문제 1】 원문 요약 — 제4회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-04]

🎯 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 · 상용로그의 정수부분·소수부분과 자릿수 조건 분석

양수 $x$가 $100 \le x \lt 1000$을 만족시키고, $\log_{10} x$의 소수부분과 $\log_{10} x^2$의 소수부분의 합이 $1$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $\log_{10} x = 2 + \alpha\;(0 \le \alpha \lt 1)$라 할 때, 소수부분이 $0$이 될 수 없는 이유를 설명하고 $\alpha$의 범위를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) $3\log_{10} x$가 정수가 됨을 이용하여 가능한 모든 $\log_{10} x$의 값과 실수 $x$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 가능한 모든 $x$의 값들의 곱 $P$에 대하여 $\log_{10} P$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 1 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [1-1] $\alpha = 0$이면 소수부분 합이 $0 \ne 1$이므로 $0 \lt \alpha \lt 1$ | [1-2] $x = 10^{\frac{7}{3}}, 10^{\frac{8}{3}}$ | [1-3] $5$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $100 \le x \lt 1000 \iff 2 \le \log_{10} x \lt 3$이므로 $\log_{10} x = 2 + \alpha$로 놓는다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\alpha = 0$이면 $\log_{10} x^2 = 4$의 소수부분도 $0$이어서 합이 $0 \ne 1$이므로 $0 \lt \alpha \lt 1$이다. 두 소수부분의 합이 $1$이므로 $\log_{10} x + \log_{10} x^2 = 3\log_{10} x = 6 + 3\alpha$가 정수가 되어야 하며, $0 \lt 3\alpha \lt 3$에서 $3\alpha = 1, 2$, 즉 $\alpha = \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 따라서 $\log_{10} x = \dfrac{7}{3}, \dfrac{8}{3}$이고 $x = 10^{\frac{7}{3}}, 10^{\frac{8}{3}}$이며, 곱 $P = 10^5$이므로 $\log_{10} P = 5$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• $\alpha = 0$ 모순 검증 +3점 / $0 \lt \alpha \lt 1$ 범위 도출 +3점	6점
소문항 [1-2]	• $3\log_{10} x$ 정수 조건으로 $\alpha = \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}$ 도출 +4점 / $x = 10^{\frac{7}{3}}, 10^{\frac{8}{3}}$ 산출 +3점	7점
소문항 [1-3]	• $\log_{10} P = \dfrac{7}{3} + \dfrac{8}{3}$ 계산 +4점 / 값 $5$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 소수부분의 합이 $1$인 문제에서는 반드시 소수부분이 $0$이 되는 경계값($\alpha = 0$ 또는 $\alpha = \dfrac{1}{2}$)을 대입하여 조건 위배 여부를 검증해야 합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $\alpha = \dfrac{1}{2}$

【문제 2】 원문 요약 — 제4회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ. 삼각함수 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

🎯 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 사인법칙과 코사인법칙을 이용한 원에 내접하는 사각형의 대각선과 넓이

[문항 2-2] (7점) 대각선 $\overline{\mathrm{BD}}$의 길이와 $\sin\theta$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S$와 외접원의 반지름의 길이 $R$을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 2 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [2-1] $\cos\theta = -\dfrac{1}{3}$ | [2-2] $\overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{17},\; \sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ | [2-3] $S = 6\sqrt{2},\; R = \dfrac{3\sqrt{34}}{8}$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $\angle \mathrm{BCD} = \pi - \theta$이므로 두 삼각형 $\mathrm{ABD}, \mathrm{CBD}$에서 코사인법칙을 연립한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\overline{\mathrm{BD}}^2 = 2^2 + 3^2 - 12\cos\theta = 13 - 12\cos\theta$이고, $\overline{\mathrm{BD}}^2 = 3^2 + 4^2 - 24\cos(\pi - \theta) = 25 + 24\cos\theta$이다. 연립하면 $36\cos\theta = -12 \implies \cos\theta = -\dfrac{1}{3}$이므로 $\overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{13 + 4} = \sqrt{17}$이고 $\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}(2\cdot 3 + 3\cdot 4)\sin\theta = 9 \times \dfrac{2\sqrt{2}}{3} = 6\sqrt{2}$이고, 사인법칙에 의해 $R = \dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{2\sin\theta} = \dfrac{\sqrt{17}}{\frac{4\sqrt{2}}{3}}$ $= \dfrac{3\sqrt{34}}{8}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 두 코사인법칙 식 수립 +3점 / $\cos\theta = -\dfrac{1}{3}$ 도출 +3점	6점
소문항 [2-2]	• $\overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{17}$ 산출 +3점 / $\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ 도출 +4점	7점
소문항 [2-3]	• 넓이 $S = 6\sqrt{2}$ 계산 +3점 / 사인법칙으로 $R = \dfrac{3\sqrt{34}}{8}$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 원에 내접하는 사각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2}(ab + cd)\sin\theta$로 묶어 한 번에 계산하면 실수를 크게 줄일 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $\dfrac{1}{2}(ab + cd)\sin\theta$

【문제 3】 원문 요약 — 제4회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.9 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]

🎯 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 · 불연속 함수와 다항함수의 곱의 연속성 및 미정계수 결정

[문항 3-1] (6점) 함수 $f(x)$가 불연속인 모든 $x$의 값을 구하고, 각 점에서의 좌극한과 우극한을 비교하여 서술하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 이차함수 $g(x)$를 구하고, $\lim_{x \to 1} f(x)g(x)$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 함수 $h(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}$가 불연속인 모든 $x$의 값들의 합을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 3 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [3-1] $x = 1, 3$에서 불연속 | [3-2] $g(x) = x^2 - 4x + 3$, 극한값 $0$ | [3-3] 불연속점 $x = -2, 1$, 합 $-1$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 구간 경계점 $x = 1, 3$에서의 좌·우극한을 조사하여 불연속점을 찾는다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $x = 1$에서 좌극한 $3 \ne$ 우극한 $0$이고, $x = 3$에서 좌극한 $-2 \ne$ 우극한 $2$이므로 $f(x)$는 $x = 1, 3$에서 불연속이다. 따라서 $g(1) = g(3) = 0$이므로 $g(x) = (x - 1)(x - 3)$이고 $\lim_{x \to 1} f(x)g(x) = 0$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $h(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}$는 $f(x)$가 불연속이거나 $f(x) = 0$인 점에서 불연속이 된다. $x \lt 1$에서 $f(x) = x + 2 = 0 \implies x = -2$, $1 \le x \lt 3$에서 $f(x) = -x + 1 = 0 \implies x = 1$, $x = 3$에서는 좌·우극한이 모두 $0$이고 $h(3) = 0$이어서 연속이므로 불연속점은 $x = -2, 1$이며 합은 $-1$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• $x = 1$ (좌 $3$, 우 $0$) 및 $x = 3$ (좌 $-2$, 우 $2$) 조사 +6점	6점
소문항 [3-2]	• $g(1)=g(3)=0$으로부터 $g(x)=(x-1)(x-3)$ 도출 +4점 / 극한값 $0$ 산출 +3점	7점
소문항 [3-3]	• 분모 $f(x)=0$인 $x=-2, 1$ 및 $x=3$ 연속성 판정 +4점 / 불연속점 합 $-1$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $h(x) = \dfrac{(x-1)(x-3)}{f(x)}$에서 $x = 3$은 분자가 $0$이고 분모가 $\pm 2 \ne 0$이므로 연속이지만, $x = 1$은 우극한에서 분모 $f(1) = 0$이 되어 정의되지 않으므로 불연속입니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $f(1) = 0$

【문제 4】 원문 요약 — 제4회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 문제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 방정식의 실근의 개수와 삼차함수 그래프의 대칭 중심

함수 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$에 대하여 방정식 $f(x) = k$의 실근의 부호 분포를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값, 그리고 $f(0)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 세 개의 양의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 방정식 $|f(x)| = k$가 서로 다른 $4$개의 실근을 갖도록 하는 모든 실수 $k$의 값 또는 범위를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 4 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [4-1] 극댓값 $f(1) = 5$, 극솟값 $f(2) = 4,\; f(0) = 0$ | [4-2] $4 \lt k \lt 5$ | [4-3] $4 \lt k \lt 5$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2) = 0$으로부터 극값과 개형을 조사한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 극댓값은 $f(1) = 5$, 극솟값은 $f(2) = 4$이고 $f(0) = 0$이다. $x \gt 0$에서 $f(x) \gt 0$이므로 $f(x) = k$가 서로 다른 세 양의 실근을 가질 범위는 $4 \lt k \lt 5$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $|f(x)|$의 그래프는 $x \lt 0$에서 감소만 하고 $x \gt 0$에서 극댓값 $5$, 극솟값 $4$를 갖는다. 따라서 직선 $y = k$와 서로 다른 $4$개의 점에서 만나려면 $x \lt 0$에서 $1$개, $x \gt 0$에서 $3$개의 교점을 가져야 하므로 $4 \lt k \lt 5$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• $f'(x) = 6(x-1)(x-2)$ 인수분해 +2점 / $f(1)=5, f(2)=4, f(0)=0$ 산출 +4점	6점
소문항 [4-2]	• $x \gt 0$ 구간 그래프 개형 분석 +4점 / $4 \lt k \lt 5$ 범위 도출 +3점	7점
소문항 [4-3]	• $\|f(x)\|$의 $x \lt 0$ 단조감소와 $x \gt 0$ 교점 개수 결합 +4점 / $4 \lt k \lt 5$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $x \lt 0$에서 $f(x) \lt 0$이므로 접어 올린 $|f(x)|$는 $x \lt 0$에서 모든 양수 $k \gt 0$에 대해 항상 $1$개의 교점을 추가로 갖습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $1$

【문제 5】 원문 요약 — 제4회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.23 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 곡선과 접선 및 이차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 분할

[문항 5-1] (6점) 정적분을 이용하여 포물선 $C$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 포물선 $C$와 직선 $l : y = mx$의 교점의 $x$좌표를 구하고, 넓이 $S_1$을 $m$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 5-3] (7점) 직선 $l$이 넓이 $S$를 이등분할 때, $(4 - m)^3$의 값과 상수 $m$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 5 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [5-1] $S = \dfrac{32}{3}$ | [5-2] $x = 0, 4 - m,\; S_1 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3$ | [5-3] $(4 - m)^3 = 32,\; m = 4 - 2\sqrt[3]{4}$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 포물선 $y = -x(x - 4)$와 $x$축의 교점은 $x = 0, 4$이고, 직선 $y = mx$와의 교점은 $x = 0, 4 - m$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - 0)^3 = \dfrac{32}{3}$이고, $S_1 = \int_{0}^{4-m} (-x^2 + (4 - m)x)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $S_1 = \dfrac{1}{2}S$에서 $\dfrac{1}{6}(4 - m)^3 = \dfrac{16}{3} \implies (4 - m)^3 = 32$이므로 $4 - m = 2\sqrt[3]{4}$, 즉 $m = 4 - 2\sqrt[3]{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• $\int_0^4 (-x^2+4x)\,dx$ 계산 +3점 / $S = \dfrac{32}{3}$ 도출 +3점	6점
소문항 [5-2]	• 교점 $x = 0, 4-m$ 산출 +3점 / $S_1 = \dfrac{1}{6}(4-m)^3$ 유도 +4점	7점
소문항 [5-3]	• $(4-m)^3 = 32$ 도출 +4점 / $m = 4 - 2\sqrt[3]{4}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 $\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 적분 계산 과정과 함께 병기하면 서술형 배점과 계산 정확도를 동시에 확보할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$

【문제 1】 원문 요약 — 제5회 실전 모의고사 · Q1 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

🎯 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 · 로그함수의 역함수 대칭성과 직선 위의 교점 좌표 관계

[문항 1-3] (7점) 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 1 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [1-1] $x_1 + x_2 = 6,\; y_1 + y_2 = 6,\; \mathrm{M}(3, 3)$ | [1-2] $|x_1 - x_2| = 2,\; \mathrm{P}(2, 4),\; \mathrm{Q}(4, 2)$ | [1-3] $6$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$는 직선 $y = x$에 대칭이므로 $x_2 = y_1$이고, 직선 $y = -x + 6$ 위의 점이므로 $x_1 + y_1 = 6$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $x_1 + x_2 = x_1 + y_1 = 6,\; y_1 + y_2 = 6$이므로 중점은 $\mathrm{M}(3, 3)$이다. 기울기가 $-1$인 직선 위의 두 점 사이 거리는 $\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{2}|x_1 - x_2| = 2\sqrt{2}$에서 $|x_1 - x_2| = 2$이다. $x_1 \lt x_2$이므로 $x_1 = 2, x_2 = 4$이고 실제로 $2^2 = 4,\; \log_2 4 = 2$가 성립하여 $\mathrm{P}(2, 4),\; \mathrm{Q}(4, 2)$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원점 $\mathrm{O}$에서 직선 $x + y - 6 = 0$까지의 거리는 $h = \dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$이므로 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} = 6$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• $x_2 = y_1$ 대칭성으로 $x_1 + x_2 = 6$ 유도 +3점 / 중점 $\mathrm{M}(3, 3)$ 도출 +3점	6점
소문항 [1-2]	• $\|x_1 - x_2\| = 2$ 도출 +3점 / $\mathrm{P}(2, 4), \mathrm{Q}(4, 2)$ 확인 +4점	7점
소문항 [1-3]	• 높이 $3\sqrt{2}$ 또는 사선식 계산 +4점 / 넓이 $6$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 $-1$인 직선 위에서 두 점의 $x$좌표 차가 $d$이면 두 점 사이의 거리는 항상 $\sqrt{2}d$가 됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $\sqrt{2}d$

【문제 2】 원문 요약 — 제5회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

🎯 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 · 비선형 귀납적 정의 수열의 역수 변환과 수학적 귀납법

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = \dfrac{1}{2}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환을 이용하여 수열 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$의 일반항과 $a_n$의 일반항을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) $\sum_{n=1}^{10} \dfrac{1}{a_n a_{n+1}}$이 아닌 부분분수 합 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1}$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 2 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [2-1] $\dfrac{1}{a_n} = 3n - 1,\; a_n = \dfrac{1}{3n - 1}$ | [2-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [2-3] $\dfrac{5}{32}$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 치환하면 $b_1 = 2$이고 $b_{n+1} = b_n + 3$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $b_n = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1$이므로 $a_n = \dfrac{1}{3n - 1}$이다. (i) $n = 1$일 때 $a_1 = \dfrac{1}{2}$ 성립. (ii) $n = k$일 때 $a_k = \dfrac{1}{3k - 1}$이라 가정하면 $a_{k+1} = \dfrac{\frac{1}{3k-1}}{\frac{3}{3k-1} + 1} = \dfrac{1}{3 + 3k - 1} = \dfrac{1}{3(k+1) - 1}$이므로 $n = k + 1$일 때도 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \sum_{n=1}^{10} \dfrac{1}{(3n - 1)(3n + 2)}$ $= \dfrac{1}{3}\sum_{n=1}^{10} \left(\dfrac{1}{3n - 1} - \dfrac{1}{3n + 2}\right)$ $= \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{32}\right) = \dfrac{5}{32}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 역수 등차수열 $b_{n+1} - b_n = 3$ 유도 +3점 / $a_n = \dfrac{1}{3n-1}$ 도출 +3점	6점
소문항 [2-2]	• $n=1$ 확인 +2점 / $n=k$ 가정 후 $a_{k+1}$ 대입 증명 +5점	7점
소문항 [2-3]	• 부분분수 변형 $\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3n-1}-\dfrac{1}{3n+2}\right)$ +4점 / 값 $\dfrac{5}{32}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}$을 변형하면 $3a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$이 되어 부분분수 분해가 점화식 자체에서 바로 유도됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $3a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$

【문제 3】 원문 요약 — 제5회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 다항함수 결정

미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 등식 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2$를 만족시키고 $f'(0) = 4$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) $x = y = 0$을 대입하여 $f(0)$의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x)$를 $x$에 대한 다항식으로 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수 $f(x)$를 구하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 3 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [3-1] $f(0) = 2,\; f'(x) = 3x^2 + 4$ | [3-2] $f(x) = x^3 + 4x + 2$, 접선 $y = 7x$ | [3-3] $4$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $x = y = 0$을 대입하면 $f(0) = 2f(0) - 2 \implies f(0) = 2$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 2 + 3xh(x + h)}{h}$ $= \lim_{h \to 0}\dfrac{f(h) - f(0)}{h} + 3x^2 = f'(0) + 3x^2 = 3x^2 + 4$이다. 적분하면 $f(x) = x^3 + 4x + 2$이고, $f(1) = 7,\; f'(1) = 7$이므로 접선은 $y = 7x$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{16}{4} = 4$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• $f(0) = 2$ 산출 +2점 / 도함수 정의로 $f'(x) = 3x^2 + 4$ 유도 +4점	6점
소문항 [3-2]	• $f(x) = x^3 + 4x + 2$ 적분 완성 +4점 / 접선 $y = 7x$ 도출 +3점	7점
소문항 [3-3]	• 미분계수 변형 $\dfrac{1}{4}f'(2)$ +4점 / 값 $4$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 함수방정식에서 도함수 정의를 쓸 때 반드시 상수 $-2$를 $-f(0)$으로 바꾸어 $\dfrac{f(h) - f(0)}{h} \to f'(0)$ 꼴을 명시해야 만점을 받습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $\dfrac{f(h) - f(0)}{h} \to f'(0)$

【문제 4】 원문 요약 — 제5회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.52 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09]

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 수직선 위를 움직이는 두 점의 속도와 거리 차의 최댓값

[문항 4-1] (6점) 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 출발 후($t \gt 0$) 처음으로 만나는 시각 $t_1$과 그때 두 점의 속도를 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 사이의 거리 $D(t) = |x_{\mathrm{P}}(t) - x_{\mathrm{Q}}(t)|$의 최댓값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 바뀌는 두 시각 사이에서 점 $\mathrm{P}$의 가속도가 $0$이 되는 시각을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 4 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [4-1] $t_1 = 3,\; v_{\mathrm{P}}(3) = 5,\; v_{\mathrm{Q}}(3) = 5$ | [4-2] $4$ | [4-3] $t = \dfrac{5}{3}$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 위치의 차 함수를 $h(t) = x_{\mathrm{P}}(t) - x_{\mathrm{Q}}(t) = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t - 3)^2$으로 정의한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $h(t) = 0\;(t \gt 0)$에서 $t_1 = 3$이다. 이때 $v_{\mathrm{P}}(t) = 3t^2 - 10t + 8,\; v_{\mathrm{Q}}(t) = 2t - 1$이므로 $v_{\mathrm{P}}(3) = 5,\; v_{\mathrm{Q}}(3) = 5$이다. 또한 $h'(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$에서 $t = 1$일 때 $D(1) = h(1) = 4$가 구간 $[0, 3]$에서의 최댓값이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $v_{\mathrm{P}}(t) = (3t - 4)(t - 2) = 0$이므로 운동 방향이 바뀌는 시각은 $t = \dfrac{4}{3}, 2$이고, 가속도 $a_{\mathrm{P}}(t) = 6t - 10 = 0$이 되는 시각은 $t = \dfrac{5}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• $t(t-3)^2 = 0$으로부터 $t_1 = 3$ 도출 +3점 / $v_{\mathrm{P}}(3)=v_{\mathrm{Q}}(3)=5$ 산출 +3점	6점
소문항 [4-2]	• $h'(t) = 3(t-1)(t-3) = 0$ 극점 조사 +4점 / 최댓값 $D(1) = 4$ 도출 +3점	7점
소문항 [4-3]	• 운동 방향 전환 시각 $\dfrac{4}{3}, 2$ 확인 +3점 / $a_{\mathrm{P}}(t)=6t-10=0 \implies t=\dfrac{5}{3}$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $t = 3$에서 $h(t) = t(t - 3)^2$이 중근을 가지므로 두 점은 만나는 순간 속도도 똑같이 $5$가 되어 스치듯 접하고 지나갑니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $5$

【문제 5】 원문 요약 — 제5회 실전 모의고사 · Q5 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 속도의 정적분과 위치의 변화량 및 실제로 움직인 거리

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 두 시각 $t_1, t_2\;(t_1 \lt t_2)$와 그때의 위치를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $\mathrm{P}$의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 다시 원점을 지나는 시각 $T\;(T \gt 0)$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 5 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [5-1] $t_1 = 1$ (위치 $4$), $t_2 = 3$ (위치 $0$) | [5-2] 위치 변화량 $4$, 움직인 거리 $12$ | [5-3] $T = 3$

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$으로부터 속도의 부호 변화와 위치 함수 $x(t) = \int_{0}^{t} v(s)\,ds$를 구한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t - 3)^2$이므로 $t_1 = 1$에서 위치는 $x(1) = 4$, $t_2 = 3$에서 위치는 $x(3) = 0$이다. $t = 0$에서 $t = 4$까지 위치 변화량은 $x(4) - x(0) = 4$이고, 움직인 거리는 $\int_{0}^{1} v(t)\,dt - \int_{1}^{3} v(t)\,dt + \int_{3}^{4} v(t)\,dt = 4 + 4 + 4 = 12$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $x(T) = T(T - 3)^2 = 0\;(T \gt 0)$을 만족시키는 시각은 $T = 3$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• $t_1 = 1, t_2 = 3$ 도출 +3점 / 위치 $x(1) = 4,\; x(3) = 0$ 산출 +3점	6점
소문항 [5-2]	• 위치 변화량 $x(4) = 4$ 산출 +3점 / 구간별 절댓값 적분으로 거리 $12$ 도출 +4점	7점
소문항 [5-3]	• $x(T) = T(T-3)^2 = 0$ 인수분해 +4점 / $T = 3$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 실제로 움직인 거리는 각 운동 방향 전환 시각에서의 위치의 차의 절댓값의 합 $|x(1)-x(0)| + |x(3)-x(1)| + |x(4)-x(3)| = 4 + 4 + 4 = 12$로도 빠르게 검산할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $|x(1)-x(0)| + |x(3)-x(1)| + |x(4)-x(3)| = 4 + 4 + 4 = 12$

【문제 1】 원문 요약 — 제6회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-2. 이차곡선과 접선 (2025 서강대 자연 1차 1번 변형) [배점 20점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.28 탐구 61 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

🎯 기하 Ⅰ-2. 이차곡선과 접선 (2025 서강대 자연 1차 1번 변형) · 쌍곡선의 자취 유도와 접선 및 점근선 삼각형의 넓이

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 1 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [1-1] $a^2 = 9,\; b^2 = 16$, 점근선 $y = \pm\dfrac{4}{3}x$ | [1-2] $y_1 = \dfrac{16}{3},\; k = 9$ | [1-3] $\mathrm{A}(9, 12),\; \mathrm{B}\left(1, -\dfrac{4}{3}\right),\; S = 12$

[소문항 1-1 풀이 (6점)] 거리의 차 $2a = 6$에서 $a = 3\;(a^2 = 9)$이고, $c = 5$이므로 $b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16\;(b = 4)$이다. 따라서 쌍곡선의 방정식은 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$이고 두 점근선은 $y = \pm\dfrac{4}{3}x$이다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] $x_1 = 5$를 쌍곡선 방정식에 대입하면 $\dfrac{25}{9} - \dfrac{y_1^2}{16} = 1 \implies \dfrac{y_1^2}{16} = \dfrac{16}{9}$이고 $y_1 \gt 0$이므로 $y_1 = \dfrac{16}{3}$이다. 제시문 (나)에 의해 접선은 $\dfrac{5x}{9} - \dfrac{(16/3)y}{16} = 1 \iff 5x - 3y = 9$이므로 $k = 9$이다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] 접선 $5x - 3y = 9$와 $y = \dfrac{4}{3}x$를 연립하면 $5x - 4x = 9 \implies x = 9,\; y = 12$이므로 $\mathrm{A}(9, 12)$이다. 또한 $y = -\dfrac{4}{3}x$와 연립하면 $5x + 4x = 9 \implies x = 1,\; y = -\dfrac{4}{3}$이므로 $\mathrm{B}\left(1, -\dfrac{4}{3}\right)$이다. 따라서 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\left|9\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right) - 12\cdot 1\right| = \dfrac{1}{2}|-24| = 12$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• $a^2 = 9,\; b^2 = 16$ 산출 +3점 / 점근선 $y = \pm\dfrac{4}{3}x$ 도출 +3점	6점
소문항 [1-2]	• $y_1 = \dfrac{16}{3}$ 계산 +3점 / 접선 $5x - 3y = 9\;(k=9)$ 유도 +4점	7점
소문항 [1-3]	• 교점 $\mathrm{A}(9, 12),\; \mathrm{B}\left(1, -\dfrac{4}{3}\right)$ 도출 +4점 / 넓이 $S = 12$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 임의의 점에서의 접선과 두 점근선으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 항상 $ab = 3\times 4 = 12$로 일정합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $ab = 3\times 4 = 12$

【문제 2】 원문 요약 — 제6회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 도형의 성질 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 탐구 62 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

🎯 대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 도형의 성질 · 코사인법칙과 각의 이등분선을 이용한 삼각형 외접원·내접원 분석

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 변 $\mathrm{BC}$의 길이 $a$와 외접원의 반지름의 길이 $R$을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 2 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [2-1] $a = 3\sqrt{7},\; R = \sqrt{21}$ | [2-2] $S = \dfrac{9\sqrt{3}}{2},\; \overline{\mathrm{AD}} = 2$ | [2-3] $r = \dfrac{9\sqrt{3} - 3\sqrt{21}}{2}\;(p = 9,\; q = 3)$

[소문항 2-1 풀이 (6점)] 코사인법칙에 의해 $a^2 = 3^2 + 6^2 - 2\cdot 3\cdot 6\cos\dfrac{2\pi}{3} = 9 + 36 + 18 = 63$이므로 $a = 3\sqrt{7}$이다. 사인법칙에 의해 $2R = \dfrac{3\sqrt{7}}{\sin(2\pi/3)} = \dfrac{3\sqrt{7}}{\sqrt{3}/2} = 2\sqrt{21}$이므로 $R = \sqrt{21}$이다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] 전체 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 6\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$이다. 또한 $\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{CAD} = \dfrac{\pi}{3}$이므로 $\dfrac{9\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{2}(3 + 6)\overline{\mathrm{AD}}\sin\dfrac{\pi}{3}$ $= \dfrac{9\sqrt{3}}{4}\overline{\mathrm{AD}}$에서 $\overline{\mathrm{AD}} = 2$이다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] 내접원의 반지름 $r$은 $\dfrac{1}{2}r(9 + 3\sqrt{7}) = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$에서 $r = \dfrac{9\sqrt{3}}{9 + 3\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{3}(3 - \sqrt{7})}{9 - 7}$ $= \dfrac{9\sqrt{3} - 3\sqrt{21}}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 코사인법칙으로 $a = 3\sqrt{7}$ 산출 +3점 / 사인법칙으로 $R = \sqrt{21}$ 도출 +3점	6점
소문항 [2-2]	• 넓이 $S = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$ 계산 +3점 / 넓이 분할로 $\overline{\mathrm{AD}} = 2$ 유도 +4점	7점
소문항 [2-3]	• 둘레 $9 + 3\sqrt{7}$ 대입 +3점 / 분모 유리화로 $r = \dfrac{9\sqrt{3} - 3\sqrt{21}}{2}$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 내각의 이등분선 $\overline{\mathrm{AD}}$의 길이는 두 삼각형 $\triangle\mathrm{ABD},\; \triangle\mathrm{ACD}$의 넓이의 합이 전체 넓이와 같다는 등식을 세우면 가장 빠르게 구할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $\triangle\mathrm{ABD},\; \triangle\mathrm{ACD}$

【문제 3】 원문 요약 — 제6회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (2025 서강대 자연 1차 2번 변형) [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 63 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (2025 서강대 자연 1차 2번 변형) · 매개변수 구간에 따른 이차함수의 최솟값 함수와 미분가능성

양의 실수 $t\;(t \gt 0)$에 대하여 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 정의된 함수 $g(x) = x^2 - 2tx + 4t$의 최솟값을 $f(t)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) $t = 1$일 때 함수 $g(x)$의 식을 구하고 $f(1)$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $0 \lt t \lt 1$일 때와 $t \gt 1$일 때의 최솟값 함수 $f(t)$의 식을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 함수 $f(t)$가 $t = 1$에서 연속이고 미분가능함을 증명하고, 미분계수 $f'(1)$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 3 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [3-1] $f(1) = 3$ | [3-2] $0 \lt t \lt 1$일 때 $f(t) = -t^2 + 4t$, $t \gt 1$일 때 $f(t) = 2t + 1$ | [3-3] 좌·우미분계수 모두 $2$로 일치하여 미분가능, $f'(1) = 2$

[소문항 3-1 풀이 (6점)] $g(x) = (x - t)^2 - t^2 + 4t$로 완전제곱식으로 변형한다. $t = 1$일 때 $g(x) = (x - 1)^2 + 3$이므로 구간 $[-1, 1]$에서의 최솟값은 $x = 1$일 때 $f(1) = 3$이다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] (i) $0 \lt t \lt 1$일 때는 꼭짓점 $x = t$가 구간 $[-1, 1]$ 안에 속하므로 최솟값은 $f(t) = g(t) = -t^2 + 4t$이다. (ii) $t \gt 1$일 때는 꼭짓점 $x = t$가 구간의 오른쪽에 있으므로 구간 $[-1, 1]$에서 $g(x)$는 감소하여 $x = 1$에서 최솟값 $f(t) = g(1) = 1 - 2t + 4t = 2t + 1$을 갖는다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] $\lim_{t \to 1-} (-t^2 + 4t) = 3 = \lim_{t \to 1+} (2t + 1) = f(1)$이므로 $t = 1$에서 연속이다. 또한 좌미분계수는 $\lim_{t \to 1-} (-2t + 4) = 2$이고 우미분계수는 $2$로 서로 일치하므로 $t = 1$에서 미분가능하며 $f'(1) = 2$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• $g(x) = (x-1)^2 + 3$ 변형 +3점 / $f(1) = 3$ 도출 +3점	6점
소문항 [3-2]	• $0 \lt t \lt 1$에서 $f(t) = -t^2 + 4t$ 도출 +4점 / $t \gt 1$에서 $f(t) = 2t + 1$ 산출 +3점	7점
소문항 [3-3]	• $t=1$ 연속성 확인 +3점 / 좌·우미분계수 $2$ 일치 증명 및 $f'(1) = 2$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 2025학년도 서강대 자연계열 1차 2번 기출과 동일한 구조로, 이차함수의 대칭축 $x = t$가 구간 경계 $x = 1$을 통과할 때 곡선 $-t^2 + 4t$에 접선 $2t + 1$이 매끄럽게 이어지므로 경계점에서 미분가능합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $2t + 1$

【문제 4】 원문 요약 — 제6회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (2025 서강대 자연 2차 2번 변형) [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 64 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (2025 서강대 자연 2차 2번 변형) · 부등식과 제곱 항등식으로 정의된 절댓값 결합 함수의 정적분

다항함수 $f(x) = 3x$와 연속함수 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \le g(x)$ 및 $\{g(x) - 3x\}^2 = (x^2 - 2x)^2$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 정적분 $\int_{0}^{3} g(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 4 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [4-1] $g(x) = 3x + |x^2 - 2x|$, 미분불가능점 $x = 2$ | [4-2] $[0, 2]$에서 $-x^2 + 5x$, $[2, 3]$에서 $x^2 + x$, $g'(x) \gt 0$이므로 증가 | [4-3] $\dfrac{97}{6}$

[소문항 4-1 풀이 (6점)] $g(x) - 3x \ge 0$이므로 $g(x) = 3x + |x^2 - 2x| = 3x + |x(x - 2)|$이다. 열린구간 $(0, 3)$에서 $x^2 - 2x = 0$의 단근인 $x = 2$에서 좌미분계수는 $3 - 2 = 1$, 우미분계수는 $3 + 2 = 5$로 서로 달라 미분가능하지 않다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] $0 \le x \le 2$에서는 $x^2 - 2x \le 0$이므로 $g(x) = 3x - (x^2 - 2x) = -x^2 + 5x$이고 $g'(x) = -2x + 5 \ge 1 \gt 0$이다. $2 \le x \le 3$에서는 $x^2 - 2x \ge 0$이므로 $g(x) = x^2 + x$이고 $g'(x) = 2x + 1 \ge 5 \gt 0$이다. 따라서 $[0, 3]$에서 연속이고 각 구간에서 증가하므로 $[0, 3]$ 전체에서 증가한다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] $\int_{0}^{3} g(x)\,dx = \int_{0}^{2} (-x^2 + 5x)\,dx + \int_{2}^{3} (x^2 + x)\,dx$ $= \left[-\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{5}{2}x^2\right]_{0}^{2} + \left[\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2}\right]_{2}^{3}$ $= \left(-\dfrac{8}{3} + 10\right) + \left(\dfrac{19}{3} + \dfrac{5}{2}\right)$ $= \dfrac{22}{3} + \dfrac{53}{6} = \dfrac{97}{6}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• $g(x) = 3x + \|x^2 - 2x\|$ 유도 +3점 / 첨점 $x = 2$ 미분불가능 판정 +3점	6점
소문항 [4-2]	• 두 구간 다항식 표현 도출 +3점 / 각 구간 $g'(x) \gt 0$ 및 연속성으로 증가 증명 +4점	7점
소문항 [4-3]	• 구간 $[0, 2]$ 적분값 $\dfrac{22}{3}$ 및 $[2, 3]$ 적분값 $\dfrac{53}{6}$ 계산 +4점 / 합 $\dfrac{97}{6}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 점 $x = 2$에서 함수 $g(x)$는 미분가능하지 않지만 연속이고 좌·우 구간에서 모두 도함수가 양수이므로 닫힌구간 $[0, 3]$ 전체에서 순증가함수가 됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $[0, 3]$

【문제 5】 원문 요약 — 제6회 실전 모의고사 · Q5 기하 Ⅲ-3. 공간도형과 공간좌표 (교과서 기반 12기하03-05) [배점 20점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.36 탐구 65 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

🎯 기하 Ⅲ-3. 공간도형과 공간좌표 (교과서 기반 12기하03-05) · 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 및 직각사면체 부피

좌표공간의 세 좌표축 위의 점 $\mathrm{A}(6, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 3, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 2)$를 지나는 평면을 $\alpha$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 5 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [5-1] $\mathrm{H}\left(\dfrac{3}{7}, \dfrac{6}{7}, \dfrac{9}{7}\right),\; d = \dfrac{6}{\sqrt{14}}$ | [5-2] $\cos\theta = \dfrac{3}{\sqrt{14}},\; S = 3\sqrt{14}$ | [5-3] $V = 6$

[소문항 5-1 풀이 (6점)] 세 절편이 $6, 3, 2$이므로 평면 $\alpha$의 방정식은 $\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{2} = 1 \iff x + 2y + 3z = 6$이고 법선벡터는 $\vec{n} = (1, 2, 3)$이다. 수선의 발 $\mathrm{H}(t, 2t, 3t)$를 평면에 대입하면 $14t = 6 \implies t = \dfrac{3}{7}$이므로 $\mathrm{H}\left(\dfrac{3}{7}, \dfrac{6}{7}, \dfrac{9}{7}\right)$이고 $d = \dfrac{6}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{14}}$이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] $xy$평면의 법선벡터는 $\vec{e}_3 = (0, 0, 1)$이므로 $\cos\theta = \dfrac{|(1,2,3)\cdot(0,0,1)|}{\sqrt{14}\cdot 1} = \dfrac{3}{\sqrt{14}}$이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 $xy$평면 위로의 정사영인 직각삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $S' = \dfrac{1}{2}\times 6\times 3 = 9$이므로 $S = \dfrac{S'}{\cos\theta} = \dfrac{9}{3/\sqrt{14}} = 3\sqrt{14}$이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] 사면체 $\mathrm{OABC}$의 부피는 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = \dfrac{1}{3}\times 3\sqrt{14} \times \dfrac{6}{\sqrt{14}} = 6$이며, 이는 직각사면체 부피 공식 $\dfrac{1}{6}\times 6\times 3\times 2 = 6$과 정확히 일치한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• 평면 $x+2y+3z=6$ 및 $\mathrm{H}\left(\dfrac{3}{7}, \dfrac{6}{7}, \dfrac{9}{7}\right)$ 도출 +3점 / $d = \dfrac{6}{\sqrt{14}}$ 산출 +3점	6점
소문항 [5-2]	• $\cos\theta = \dfrac{3}{\sqrt{14}}$ 계산 +3점 / 정사영 공식으로 $S = 3\sqrt{14}$ 유도 +4점	7점
소문항 [5-3]	• $V = \dfrac{1}{3} S\cdot d = 6$ 계산 +4점 / 직각사면체 부피 $6$ 일치 검증 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 세 좌표축의 절편이 $a, b, c$인 직각사면체 $\mathrm{OABC}$의 부피는 항상 $V = \dfrac{1}{6}abc$이므로 정사영으로 구한 $S$와 $d$의 곱을 즉시 검산할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $d$

【문제 1】 원문 요약 — 제7회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 2차 1번 변형) [배점 20점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.18 탐구 71 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

🎯 기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 2차 1번 변형) · 타원의 초점 직각삼각형 성질과 접선의 절편 삼각형 넓이

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 1 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [1-1] $l_1 l_2 = 14$, 넓이 $7$ | [1-2] $\mathrm{P}\left(\dfrac{4\sqrt{2}}{3}, \dfrac{7}{3}\right)$ | [1-3] $S = 9\sqrt{2}$

[소문항 1-1 풀이 (6점)] 타원의 장축 길이는 $2a = 8$이므로 $l_1 + l_2 = 8$이고, 직각삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$에서 $l_1^2 + l_2^2 = \overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}}^2 = 6^2 = 36$이다. 따라서 $2l_1 l_2 = 8^2 - 36 = 28 \implies l_1 l_2 = 14$이고 넓이는 $\dfrac{1}{2}l_1 l_2 = 7$이다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times 6\times y_1 = 3y_1 = 7$이므로 $y_1 = \dfrac{7}{3}$이다. 타원 방정식에 대입하면 $\dfrac{x_1^2}{16} = 1 - \dfrac{49/9}{7} = \dfrac{2}{9}$이고 $x_1 \gt 0$이므로 $x_1 = \dfrac{4\sqrt{2}}{3}$, 즉 $\mathrm{P}\left(\dfrac{4\sqrt{2}}{3}, \dfrac{7}{3}\right)$이다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{16} + \dfrac{y_1 y}{7} = 1$이므로 $x$절편은 $x_{\mathrm{A}} = \dfrac{16}{x_1} = \dfrac{16}{4\sqrt{2}/3} = 6\sqrt{2}$, $y$절편은 $y_{\mathrm{B}} = \dfrac{7}{y_1} = 3$이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\times 6\sqrt{2}\times 3 = 9\sqrt{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• $l_1 + l_2 = 8,\; l_1^2 + l_2^2 = 36$ 연립 +3점 / $l_1 l_2 = 14$ 및 넓이 $7$ 산출 +3점	6점
소문항 [1-2]	• 높이 $y_1 = \dfrac{7}{3}$ 도출 +3점 / 타원 식 대입으로 $x_1 = \dfrac{4\sqrt{2}}{3}$ 산출 +4점	7점
소문항 [1-3]	• 절편 $x_{\mathrm{A}} = 6\sqrt{2},\; y_{\mathrm{B}} = 3$ 도출 +4점 / 넓이 $S = 9\sqrt{2}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 타원 위의 초점 직각삼각형 $\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ$의 넓이는 항상 $b^2 = 7$과 같다는 성질을 알고 있으면 $y_1 = \dfrac{b^2}{c} = \dfrac{7}{3}$을 즉시 검산할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $y_1 = \dfrac{b^2}{c} = \dfrac{7}{3}$

【문제 2】 원문 요약 — 제7회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 탐구 72 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

🎯 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 · 치환된 지수방정식의 실근 부호 조건과 로그 근과 계수의 관계

[문항 2-3] (7점) $\alpha + \beta = 3$일 때 상수 $k$의 값을 구하고, 그때 $4^\alpha + 4^\beta$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 2 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [2-1] $0 \lt k \lt 9$ | [2-2] $5 \lt k \lt 9$ | [2-3] $k = 8,\; 4^\alpha + 4^\beta = 20$

[소문항 2-1 풀이 (6점)] 치환된 방정식 $t^2 - 6t + k = 0$은 대칭축이 $t = 3 \gt 0$이므로 서로 다른 두 양의 실근을 가질 필요충분조건은 판별식 $D/4 = 9 - k \gt 0$과 $h(0) = k \gt 0$, 즉 $0 \lt k \lt 9$이다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] 두 실근 $\alpha,\; \beta$가 모두 양수가 되려면 $t_1 = 2^\alpha \gt 1,\; t_2 = 2^\beta \gt 1$이어야 한다. 대칭축 $t = 3 \gt 1$이고 $D/4 = 9 - k \gt 0$이므로 경계 조건 $h(1) = 1 - 6 + k = k - 5 \gt 0$을 연립하면 $5 \lt k \lt 9$이다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] 제시문 (나)에 의해 $t_1 t_2 = 2^{\alpha+\beta} = 2^3 = 8$이므로 $k = 8$이다. 또한 $t_1 + t_2 = 6$이므로 $4^\alpha + 4^\beta = t_1^2 + t_2^2 = (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 = 36 - 16 = 20$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 판별식 $9 - k \gt 0$ 및 $h(0) = k \gt 0$ 설정 +3점 / $0 \lt k \lt 9$ 도출 +3점	6점
소문항 [2-2]	• $x \gt 0 \iff t \gt 1$ 변환 및 $h(1) = k - 5 \gt 0$ 도출 +4점 / $5 \lt k \lt 9$ 산출 +3점	7점
소문항 [2-3]	• $k = 2^3 = 8$ 도출 +3점 / $t_1^2 + t_2^2 = 36 - 16 = 20$ 계산 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $x \gt 0$이라는 조건을 치환 변수 $t = 2^x$에 적용할 때 $t \gt 0$이 아니라 $t \gt 2^0 = 1$로 경계가 바뀐다는 점이 근의 분리의 핵심입니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $t \gt 2^0 = 1$

【문제 3】 원문 요약 — 제7회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 2차 2-3번 변형) [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.36 탐구 73 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 2차 2-3번 변형) · 절댓값 결합 함수의 단조증가 증명과 직선과의 유일 교점 기울기 범위

[문항 3-1] (6점) 구간 $[0, 1]$과 구간 $[1, 2]$에서 $g(x)$의 식을 각각 구하고, $x = 1$에서의 좌미분계수와 우미분계수를 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 방정식 $g(x) = k(x - 1) + 3$이 닫힌구간 $[0, 2]$에서 $x = 1$을 유일한 실근으로 갖도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 3 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [3-1] 좌미분계수 $1$, 우미분계수 $5$ | [3-2] 할선 $\mathrm{AB}$ 기울기 $2$, 할선 $\mathrm{AC}$ 기울기 $6$ | [3-3] $2 \lt k \lt 5$ 또는 $k \gt 6$ (경계 포함 조건 분석)

[소문항 3-1 풀이 (6점)] $0 \le x \le 1$에서는 $g(x) = -x^2 + 3x + 1$이므로 $g'(x) = -2x + 3$이고 좌미분계수는 $g'_{-}(1) = 1$이다. $1 \le x \le 2$에서는 $g(x) = x^2 + 3x - 1$이므로 $g'(x) = 2x + 3$이고 우미분계수는 $g'_{+}(1) = 5$이다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] $[0, 1)$에서 $g'(x) = -2x + 3 \gt 1 \gt 0$이고 $(1, 2]$에서 $g'(x) = 2x + 3 \gt 5 \gt 0$이므로 $g(x)$는 $[0, 2]$에서 증가한다. 또한 $\mathrm{B}(0, 1),\; \mathrm{A}(1, 3),\; \mathrm{C}(2, 9)$이므로 할선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $\dfrac{3 - 1}{1 - 0} = 2$, 할선 $\mathrm{AC}$의 기울기는 $\dfrac{9 - 3}{2 - 1} = 6$이다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] (i) $0 \le x \lt 1$에서 $-x^2 + 3x + 1 = k(x - 1) + 3 \iff (x - 1)(x + k - 2) = 0$이므로 $x = 2 - k$가 $[0, 1)$에 속하지 않으려면 $2 - k \lt 0$ 또는 $2 - k \ge 1$, 즉 $k \gt 2$ 또는 $0 \lt k \le 1$이다. (ii) $1 \lt x \le 2$에서 $x^2 + 3x - 1 = k(x - 1) + 3 \iff (x - 1)(x + 4 - k) = 0$이므로 $x = k - 4$가 $(1, 2]$에 속하지 않으려면 $k - 4 \le 1$ 또는 $k - 4 \gt 2$, 즉 $k \le 5$ 또는 $k \gt 6$이다. (i)과 (ii)의 공통범위는 $0 \lt k \le 1$ 또는 $2 \lt k \le 5$ 또는 $k \gt 6$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 구간별 다항식 정리 +2점 / 좌미분계수 $1$, 우미분계수 $5$ 도출 +4점	6점
소문항 [3-2]	• $g'(x) \gt 0$ 증가 논증 +3점 / 할선 $\mathrm{AB}$ 기울기 $2$, 할선 $\mathrm{AC}$ 기울기 $6$ 산출 +4점	7점
소문항 [3-3]	• $[0, 1)$ 조건($0 \lt k \le 1$ 또는 $k \gt 2$) 및 $(1, 2]$ 조건($k \le 5$ 또는 $k \gt 6$) 도출 +4점 / 공통범위 완성 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 2025학년도 서강대 자연 2차 2-3번 기출의 핵심 아이디어를 다항함수로 구현한 문항으로, 첨점 $\mathrm{A}(1, 3)$에서의 접선 기울기($1, 5$)와 양 끝점 할선 기울기($2, 6$)가 유일 교점의 경계가 됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $2, 6$

【문제 4】 원문 요약 — 제7회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.19 탐구 74 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 · 정적분으로 정의된 이차 가중 함수의 도함수와 극값 차

일차함수 $f(x) = 6x - 18$에 대하여 함수 $G(x) = \int_{1}^{x} (x - t)f(t)\,dt$가 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-2] (7점) $G(1)$과 $G'(1)$의 값을 이용하여 삼차함수 $G(x)$의 식을 구하고, 함수 $G(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 $y = G(x)$의 변곡점(이계도함수 $G''(x) = 0$인 점)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 4 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [4-1] $G'(x) = 3x^2 - 18x + 15,\; \alpha = 1,\; \beta = 5$ | [4-2] 극댓값 $G(1) = 0$, 극솟값 $G(5) = -32$ | [4-3] $y = -12x + 20$

[소문항 4-1 풀이 (6점)] 제시문 (가)에 의해 $G'(x) = \int_{1}^{x} (6t - 18)\,dt = \left[3t^2 - 18t\right]_{1}^{x} = 3x^2 - 18x + 15$ $= 3(x - 1)(x - 5)$이다. 따라서 $G'(x) = 0$의 두 실근은 $\alpha = 1,\; \beta = 5$이다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] $G'(x) = 3x^2 - 18x + 15$를 적분하고 $G(1) = 0$을 대입하면 $G(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7$이다. 따라서 극댓값은 $G(1) = 0$이고, 극솟값은 $G(5) = 125 - 225 + 75 - 7 = -32$이다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] $G''(x) = f(x) = 6x - 18 = 0$에서 $x = 3$이다. 이때 $G(3) = 27 - 81 + 45 - 7 = -16$이고 접선의 기울기는 $G'(3) = 27 - 54 + 15 = -12$이므로 접선의 방정식은 $y - (-16) = -12(x - 3) \implies y = -12x + 20$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• $G'(x) = 3x^2 - 18x + 15$ 유도 +3점 / $\alpha = 1,\; \beta = 5$ 산출 +3점	6점
소문항 [4-2]	• $G(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7$ 완성 +3점 / 극댓값 $0$, 극솟값 $-32$ 도출 +4점	7점
소문항 [4-3]	• $G''(3) = 0$으로부터 $(3, -16)$ 및 $G'(3) = -12$ 계산 +4점 / 접선 $y = -12x + 20$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 정적분 아래끝이 $1$이므로 적분 계산 없이도 $G(1) = 0$과 $G'(1) = 0$이 성립하여 $G(x)$는 $(x - 1)^2$을 인수로 갖는 삼차함수 $G(x) = (x - 1)^2(x - 7)$이 됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $G(x) = (x - 1)^2(x - 7)$

【문제 5】 원문 요약 — 제7회 실전 모의고사 · Q5 확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 · Ⅲ-2. 통계적 추정 (교과서 기반 12확통03-06) [배점 20점]

[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 (DB: KICE_2028) PDF p.9 탐구 75 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-06]

🎯 확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 · Ⅲ-2. 통계적 추정 (교과서 기반 12확통03-06) · 조건부확률 베이즈 정리와 모비율 신뢰구간의 결합 추론

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 5 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [5-1] $\mathrm{P}(E) = \dfrac{41}{50},\; \mathrm{P}(A|E) = \dfrac{9}{41}$ | [5-2] $L = 0.09408$ | [5-3] $n = 1600$

[소문항 5-1 풀이 (6점)] $\mathrm{P}(A \cap E) = 0.2\times 0.9 = 0.18$이고 $\mathrm{P}(B \cap E) = 0.8\times 0.8 = 0.64$이므로 $\mathrm{P}(E) = 0.18 + 0.64 = 0.82 = \dfrac{41}{50}$이다. 따라서 $\mathrm{P}(A|E) = \dfrac{0.18}{0.82} = \dfrac{9}{41}$이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] $\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})} = \sqrt{0.64\times 0.36} = 0.8\times 0.6 = 0.48$이고 $\sqrt{n} = 20$이므로 신뢰구간의 길이는 $L = 2\times 1.96\times \dfrac{0.48}{20} = 3.92\times 0.024 = 0.09408$이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] 신뢰구간의 길이 $2\times 1.96\times \dfrac{0.48}{\sqrt{n}} = \dfrac{1.8816}{\sqrt{n}} \le 0.04704$에서 $\sqrt{n} \ge \dfrac{1.8816}{0.04704} = 40$이므로 $n \ge 1600$, 즉 최솟값은 $1600$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• $\mathrm{P}(E) = \dfrac{41}{50}$ 산출 +3점 / 베이즈 정리로 $\mathrm{P}(A\|E) = \dfrac{9}{41}$ 도출 +3점	6점
소문항 [5-2]	• 표준오차 $\dfrac{0.48}{20} = 0.024$ 계산 +3점 / 길이 $L = 0.09408$ 산출 +4점	7점
소문항 [5-3]	• 부등식 $\dfrac{1.8816}{\sqrt{n}} \le 0.04704$ 수립 +4점 / $\sqrt{n} \ge 40 \implies n = 1600$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 모비율 신뢰구간의 길이는 $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$에 비례하므로, 신뢰구간의 길이를 절반($0.09408 \to 0.04704$)으로 줄이려면 표본의 크기 $n$은 $4$배($400 \to 1600$)가 되어야 합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $400 \to 1600$

【문제 1】 원문 요약 — 제8회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-1. 포물선과 접선의 방정식 [배점 20점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.10 탐구 81 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

🎯 기하 Ⅰ-1. 포물선과 접선의 방정식 · 포물선의 초점 현 성질과 수직인 두 접선의 교점 자취

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 1 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [1-1] $\overline{\mathrm{AF}} = 4,\; \mathrm{B}(2, -4),\; \overline{\mathrm{AB}} = 8$ | [1-2] $L_1 : y = \dfrac{1}{2}x + 4,\; L_2 : y = -2x - 1$ | [1-3] $\mathrm{R}(-2, 3)$, 넓이 $\dfrac{125}{4}$

[소문항 1-1 풀이 (6점)] $p = 2$이므로 $\overline{\mathrm{AF}} = x_1 + p = 2 + 2 = 4$이다. $\mathrm{A}(2, 4)$와 $\mathrm{F}(2, 0)$의 $x$좌표가 같으므로 직선 $\mathrm{AB}$는 $x = 2$이고, 대칭점 $\mathrm{B}(2, -4)$이므로 $\overline{\mathrm{AB}} = 8$이다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] 점 $\mathrm{P}(8, 8)$에서의 접선 $L_1$은 $8y = 4(x + 8) \iff y = \dfrac{1}{2}x + 4$로 기울기가 $m_1 = \dfrac{1}{2}$이다. $L_1$과 수직인 접선 $L_2$의 기울기는 $m_2 = -2$이므로 제시문 (나)에 의해 $L_2 : y = -2x + \dfrac{2}{-2} = -2x - 1$이다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] $L_1$과 $L_2$를 연립하면 $\dfrac{1}{2}x + 4 = -2x - 1 \implies \dfrac{5}{2}x = -5 \implies x = -2,\; y = 3$이므로 $\mathrm{R}(-2, 3)$은 준선 $x = -2$ 위에 있다. 접점 $\mathrm{Q}$는 $-2y = 4(x + x_2)$에서 $\mathrm{Q}\left(\dfrac{1}{2}, -2\right)$이고, 직각삼각형 $\mathrm{PQR}$에서 $\overline{\mathrm{PR}} = \sqrt{10^2 + 5^2} = 5\sqrt{5},\; \overline{\mathrm{QR}}$ $= \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + (-5)^2} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2}$이므로 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times 5\sqrt{5}\times \dfrac{5\sqrt{5}}{2} = \dfrac{125}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• $\overline{\mathrm{AF}} = 4$ 산출 +2점 / $\mathrm{B}(2, -4)$ 및 $\overline{\mathrm{AB}} = 8$ 도출 +4점	6점
소문항 [1-2]	• $L_1 : y = \dfrac{1}{2}x + 4$ 유도 +3점 / 수직 기울기 $-2$로부터 $L_2 : y = -2x - 1$ 도출 +4점	7점
소문항 [1-3]	• 교점 $\mathrm{R}(-2, 3)$ 및 $\mathrm{Q}\left(\dfrac{1}{2}, -2\right)$ 도출 +4점 / 직각삼각형 넓이 $\dfrac{125}{4}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 포물선 $y^2 = 4px$에 그은 서로 수직인 두 접선의 교점은 항상 준선 $x = -p$ 위에 존재하며, 두 접점을 잇는 현은 초점 $\mathrm{F}(p, 0)$를 지납니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $\mathrm{F}(p, 0)$

【문제 2】 원문 요약 — 제8회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 82 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]

🎯 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 · 계차 구조를 갖는 수열의 귀납적 정의와 부분분수 급수 합

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = a_n + 2n + 3$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$을 $n$에 대한 이차식으로 구하고 인수분해하시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 부분합 $S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k}$를 $n$에 대한 식으로 나타내고, $S_5$의 값을 기약분수로 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 부등식 $\dfrac{3}{4} - S_n \lt \dfrac{1}{6}$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 2 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [2-1] $a_n = n(n + 2)$ | [2-2] $S_n = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2n + 3}{2(n + 1)(n + 2)},\; S_5 = \dfrac{25}{42}$ | [2-3] $n = 5$

[소문항 2-1 풀이 (6점)] $n \ge 2$일 때 $a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 3) = 3 + (n - 1)n + 3(n - 1) = n^2 + 2n = n(n + 2)$이며, $n = 1$일 때도 $a_1 = 1\times 3 = 3$으로 성립한다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] $\dfrac{1}{a_k} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 2}\right)$이므로 $S_n = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{n + 1} - \dfrac{1}{n + 2}\right)$ $= \dfrac{3}{4} - \dfrac{2n + 3}{2(n + 1)(n + 2)}$이다. $n = 5$를 대입하면 $S_5 = \dfrac{3}{4} - \dfrac{13}{84} = \dfrac{50}{84} = \dfrac{25}{42}$이다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] $\dfrac{3}{4} - S_n = \dfrac{2n + 3}{2(n + 1)(n + 2)} \lt \dfrac{1}{6}$ $\iff$ $(n + 1)(n + 2) \gt 3(2n + 3)$ $\iff$ $n^2 - 3n - 7 \gt 0$이다. $n = 4$일 때 $16 - 12 - 7 = -3 \lt 0$이고 $n = 5$일 때 $25 - 15 - 7 = 3 \gt 0$이므로 자연수 $n$의 최솟값은 $5$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 계차 합 $\sum_{k=1}^{n-1}(2k+3)$ 계산 +3점 / $a_n = n(n+2)$ 도출 +3점	6점
소문항 [2-2]	• $S_n = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}$ 유도 +4점 / $S_5 = \dfrac{25}{42}$ 산출 +3점	7점
소문항 [2-3]	• $\dfrac{2n+3}{2(n+1)(n+2)} \lt \dfrac{1}{6}$ 정리 +4점 / 최솟값 $n = 5$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 분모가 $k(k+2)$인 부분분수 합에서는 앞의 두 항 $1 + \dfrac{1}{2}$과 뒤의 두 항 $-\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+2}$이 남는다는 점을 기억하십시오.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $-\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+2}$

【문제 3】 원문 요약 — 제8회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.32 탐구 83 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) · 평균값 정리를 이용한 부등식 증명과 역함수 접선의 넓이

실수 전체의 집합에서 정의된 삼차함수 $f(x) = x^3 + 3x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-2] (7점) $f(0) = 2,\; f(1) = 6$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2)$와 $g'(6)$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 3 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [3-1] $f'(c) = 3c^2 + 3 \ge 3$ 증명, $x_1 \lt x_2$에서 항상 등호 불성립 | [3-2] $g'(2) = \dfrac{1}{3},\; g'(6) = \dfrac{1}{6}$ | [3-3] $L_1 : y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}$, 넓이 $\dfrac{2}{3}$

[소문항 3-1 풀이 (6점)] 평균값 정리에 의해 $\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c) = 3c^2 + 3 \ge 3\;(x_1 \lt c \lt x_2)$이므로 양변에 $x_2 - x_1 \gt 0$을 곱하면 $f(x_2) - f(x_1) \ge 3(x_2 - x_1)$이다. 특히 $(x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2 x_1 + x_1^2) \gt 0$이므로 실제로는 항상 $f(x_2) - f(x_1) \gt 3(x_2 - x_1)$이 성립한다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] $f'(x) = 3x^2 + 3$이므로 $f'(0) = 3,\; f'(1) = 6$이다. 제시문 (나)에 의해 $g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{3}$이고 $g'(6) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{6}$이다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] 점 $\mathrm{B}(2, 0)$에서의 접선 $L_1$은 $y = \dfrac{1}{3}(x - 2) = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}$이고, 점 $\mathrm{A}(6, 1)$에서의 접선 $L_2$는 $y - 1 = \dfrac{1}{6}(x - 6) \implies y = \dfrac{1}{6}x$이다. $L_1$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 직각삼각형의 절편은 $(2, 0),\; \left(0, -\dfrac{2}{3}\right)$이므로 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times 2\times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 평균값 정리 $f'(c) = 3c^2 + 3 \ge 3$ 적용 +4점 / 부등식 유도 및 등호 판정 +2점	6점
소문항 [3-2]	• $g'(2) = \dfrac{1}{3}$ 산출 +3점 / $g'(6) = \dfrac{1}{6}$ 도출 +4점	7점
소문항 [3-3]	• 접선 $y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}$ 유도 +4점 / 넓이 $\dfrac{2}{3}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 역함수 $y = g(x)$의 그래프를 직접 구하지 않고도 $g(b) = a \iff f(a) = b$와 $g'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}$만으로 역함수 위의 모든 접선을 정확히 구할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $g'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}$

【문제 4】 원문 요약 — 제8회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.25 탐구 84 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 삼차곡선 위의 점에서의 접선과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이

삼차곡선 $C : y = x^3 - 3x$ 위의 점 $\mathrm{P}(1, -2)$에서의 접선을 $L$이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 점 $\mathrm{P}(1, -2)$에서의 접선 $L$의 방정식을 구하고, 접선 $L$이 곡선 $C$와 다시 만나는 교점 $\mathrm{Q}$의 좌표를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 곡선 $C$와 접선 $L$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 계산하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 4 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [4-1] $L : y = -2,\; \mathrm{Q}(-2, -2)$ | [4-2] $S = \dfrac{27}{4}$ | [4-3] $t = -1$, 최대 넓이 $6$

[소문항 4-1 풀이 (6점)] $f'(x) = 3x^2 - 3$이므로 $f'(1) = 0$이어서 접선 $L$의 방정식은 $y = -2$이다. $x^3 - 3x = -2 \iff (x - 1)^2(x + 2) = 0$이므로 다시 만나는 교점은 $\mathrm{Q}(-2, -2)$이다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] 구간 $[-2, 1]$에서 $x^3 - 3x \ge -2$이므로 둘러싸인 넓이는 $S = \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2)\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{-2}^{1}$ $= \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 2\right) - (4 - 6 - 4) = \dfrac{3}{4} - (-6)$ $= \dfrac{27}{4}$이다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] 선분 $\mathrm{PQ}$는 직선 $y = -2$ 위의 길이 $1 - (-2) = 3$인 수평선분이므로, 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이가 최대가 되려면 높이 $(t^3 - 3t) - (-2)$가 최대가 되어야 한다. 구간 $(-2, 1)$에서 $f'(t) = 3(t + 1)(t - 1) = 0$인 극대점은 $t = -1$이고 이때 $f(-1) = 2$이므로 최대 높이는 $2 - (-2) = 4$, 최대 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times 3\times 4 = 6$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 접선 $L : y = -2$ 유도 +3점 / 인수분해로 $\mathrm{Q}(-2, -2)$ 도출 +3점	6점
소문항 [4-2]	• 정적분 $\int_{-2}^{1}(x^3-3x+2)\,dx$ 전개 +4점 / 넓이 $S = \dfrac{27}{4}$ 산출 +3점	7점
소문항 [4-3]	• 극대점 $t = -1,\; f(-1) = 2$ 도출 +4점 / 최대 넓이 $\dfrac{1}{2}\times 3\times 4 = 6$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 점 $\mathrm{P}(1, -2)$는 극소점이므로 접선 $L : y = -2$는 $x$축에 평행한 수평접선이 되어 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 밑변 $\overline{\mathrm{PQ}} = 3$과 높이 계산이 매우 직관적입니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $\overline{\mathrm{PQ}} = 3$

【문제 5】 원문 요약 — 제8회 실전 모의고사 · Q5 기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 내적과 위치벡터 [배점 20점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02_비상) PDF p.22 탐구 85 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

🎯 기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 내적과 위치벡터 · 평면벡터의 선분 내분점 치환과 원 위 동점의 벡터 크기 최대·최소

좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(1, 6),\; \mathrm{B}(4, 3)$과 원 $C : x^2 + y^2 = 4$ 위를 움직이는 동점 $\mathrm{P}$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 벡터 $|\overrightarrow{\mathrm{PA}} + 2\overrightarrow{\mathrm{PB}}|$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 5 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [5-1] $\mathrm{D}(3, 4),\; \overline{\mathrm{OD}} = 5$ | [5-2] $M = 21,\; m = 9$ | [5-3] $\mathrm{P}\left(-\dfrac{6}{5}, -\dfrac{8}{5}\right)$, 내적 $-10$

[소문항 5-1 풀이 (6점)] 선분 $\mathrm{AB}$를 $2 : 1$로 내분하는 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\left(\dfrac{2\cdot 4 + 1\cdot 1}{3}, \dfrac{2\cdot 3 + 1\cdot 6}{3}\right) = (3, 4)$이고, $\overline{\mathrm{OD}} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] $|\overrightarrow{\mathrm{PA}} + 2\overrightarrow{\mathrm{PB}}| = 3|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|$이고 원 $C$의 반지름은 $r = 2$이다. 따라서 $|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|$의 최댓값은 $5 + 2 = 7$, 최솟값은 $5 - 2 = 3$이므로 $M = 3\times 7 = 21,\; m = 3\times 3 = 9$이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] $|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|$가 최대일 때 점 $\mathrm{P}$는 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 점 $\mathrm{D}(3, 4)$의 정반대 방향에 있으므로 $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = -\dfrac{2}{5}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ $= \left(-\dfrac{6}{5}, -\dfrac{8}{5}\right)$이다. 이때 두 벡터는 반대 방향이므로 $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} = -2\times 5 = -10$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• 내분점 $\mathrm{D}(3, 4)$ 산출 +3점 / $\overline{\mathrm{OD}} = 5$ 도출 +3점	6점
소문항 [5-2]	• $3\|\overrightarrow{\mathrm{PD}}\|$ 변형 및 $r = 2$ 적용 +3점 / $M = 21,\; m = 9$ 산출 +4점	7점
소문항 [5-3]	• 반대 방향 단위벡터로 $\mathrm{P}\left(-\dfrac{6}{5}, -\dfrac{8}{5}\right)$ 도출 +4점 / 내적 $-10$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 시점이 동점 $\mathrm{P}$인 일차결합 벡터 $p\overrightarrow{\mathrm{PA}} + q\overrightarrow{\mathrm{PB}}$는 항상 내분점 $\mathrm{D}$를 도입하여 $(p + q)\overrightarrow{\mathrm{PD}}$로 단일 벡터화하면 기하학적 최대·최소가 즉시 해결됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $(p + q)\overrightarrow{\mathrm{PD}}$

【문제 1】 원문 요약 — 제9회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 성질 (2025 서강대 자연 2차 1번 심화) [배점 20점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.20 탐구 91 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

🎯 기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 성질 (2025 서강대 자연 2차 1번 심화) · 타원 초점 삼각형의 코사인법칙과 접선까지의 수선 거리 곱 불변성

[문항 1-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 이 타원에 접하고 기울기가 $1$이고 $y$절편이 양수인 접선 $L$의 방정식을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 1 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [1-1] $l_1 l_2 = \dfrac{20}{3}$, 넓이 $\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$ | [1-2] $L : y = x + \sqrt{14}$ | [1-3] $d_1 d_2 = 5$

[소문항 1-1 풀이 (6점)] 장축 길이가 $2a = 6$이므로 $l_1 + l_2 = 6$이다. 코사인법칙에 의해 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}}^2 = 16 = l_1^2 + l_2^2 - l_1 l_2$ $= (l_1 + l_2)^2 - 3l_1 l_2 = 36 - 3l_1 l_2$이므로 $l_1 l_2 = \dfrac{20}{3}$이고, 넓이는 $\dfrac{1}{2}l_1 l_2 \sin 60^\circ = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}$이다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] $a^2 = 9,\; b^2 = 5,\; m = 1$을 제시문 (나)의 접선 공식에 대입하면 $\sqrt{a^2 m^2 + b^2} = \sqrt{9 + 5} = \sqrt{14}$이고 $y$절편이 양수이므로 $L : y = x + \sqrt{14}$이다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] 직선 $x - y + \sqrt{14} = 0$에서 두 초점 $(2, 0),\; (-2, 0)$까지의 거리는 $d_1 = \dfrac{|2 + \sqrt{14}|}{\sqrt{2}},\; d_2 = \dfrac{|-2 + \sqrt{14}|}{\sqrt{2}}$이다. 따라서 $d_1 d_2 = \dfrac{(\sqrt{14})^2 - 2^2}{2} = \dfrac{14 - 4}{2} = 5 = b^2$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• $36 - 3l_1 l_2 = 16$으로부터 $l_1 l_2 = \dfrac{20}{3}$ 도출 +3점 / 넓이 $\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$ 산출 +3점	6점
소문항 [1-2]	• $\sqrt{9(1)^2 + 5} = \sqrt{14}$ 계산 +3점 / $L : y = x + \sqrt{14}$ 도출 +4점	7점
소문항 [1-3]	• 점과 직선 거리 $d_1,\; d_2$ 식 수립 +4점 / 합차공식으로 $d_1 d_2 = 5$ 유도 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 타원의 두 초점에서 임의의 접선에 내린 두 수선의 길이의 곱 $d_1 d_2$는 접선의 기울기 $m$에 관계없이 항상 $b^2$으로 일정합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $b^2$

【문제 2】 원문 요약 — 제9회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 미적분 결합 (2025 서강대 자연 1차 1-4번 변형) [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.38 탐구 92 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

🎯 대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 미적분 결합 (2025 서강대 자연 1차 1-4번 변형) · 선분 위 동점과 코사인법칙으로 정의된 삼각형 넓이의 순간변화율

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 2 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [2-1] $S(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(6t - t^2),\; L(t) = 3t^2 - 18t + 36$ | [2-2] $t = 3,\; \overline{\mathrm{PQ}}_{\min} = 3,\; S(3) = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}$ | [2-3] $L'(2) = -6,\; \overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{3},\; R = 2$

[소문항 2-1 풀이 (6점)] $S(t) = \dfrac{1}{2}t(6 - t)\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(6t - t^2)$이다. 또한 코사인법칙에 의해 $L(t) = t^2 + (6 - t)^2 - 2t(6 - t)\cos 60^\circ = 2t^2 - 12t + 36 - (6t - t^2) = 3t^2 - 18t + 36$이다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] $L(t) = 3(t - 3)^2 + 9$이므로 $t = 3$일 때 $L(t)$는 최솟값 $9$, 즉 $\overline{\mathrm{PQ}}$의 최솟값은 $3$이고, 이때 넓이는 $S(3) = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}$이다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] $L'(t) = 6t - 18$이므로 $L'(2) = -6$이다. $t = 2$일 때 $L(2) = 12 - 36 + 36 = 12$이므로 $\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{3}$이고, 사인법칙에 의해 $2R = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 4 \implies R = 2$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• $S(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(6t - t^2)$ 도출 +3점 / 코사인법칙으로 $L(t) = 3t^2 - 18t + 36$ 유도 +3점	6점
소문항 [2-2]	• 완전제곱식 $3(t-3)^2 + 9$ 변형 +3점 / $t=3,\; \overline{\mathrm{PQ}}_{\min}=3,\; S(3)=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$ 산출 +4점	7점
소문항 [2-3]	• $L'(2) = -6$ 및 $\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{3}$ 계산 +4점 / 사인법칙으로 $R = 2$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 두 변의 길이의 합 $t + (6 - t) = 6$이 일정할 때 $t = 3$에서 삼각형 $\mathrm{OPQ}$는 한 변의 길이가 $3$인 정삼각형이 되어 넓이는 최대, 마주 보는 변의 길이는 최소가 됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $3$

【문제 3】 원문 요약 — 제9회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (변곡 접선과 미분가능성) [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.45 탐구 93 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08]

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (변곡 접선과 미분가능성) · 삼차함수와 일차함수 차로 정의된 절댓값 함수의 미분가능성

삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 15x - 8$과 직선 $y = mx + n$에 대하여 절댓값 함수의 미분가능성을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 3 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [3-1] $\alpha = 2,\; m = 3$ | [3-2] $f(2) = 6,\; f'(2) = 3$이므로 접선 $y = 3x$ 일치 | [3-3] $x = 4$에서만 미분불가능, 정적분 $\dfrac{27}{4}$

[소문항 3-1 풀이 (6점)] $(x - \alpha)^3 = x^3 - 3\alpha x^2 + 3\alpha^2 x - \alpha^3$를 $f(x) - mx = x^3 - 6x^2 + (15 - m)x - 8$과 계수 비교하면 $-3\alpha = -6 \implies \alpha = 2$이고 $-\alpha^3 = -8$이 성립한다. 일차항 계수 비교 $15 - m = 3\alpha^2 = 12$에서 $m = 3$이다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] $\alpha = 2$일 때 $f(2) = 8 - 24 + 30 - 8 = 6$이고, $f'(x) = 3x^2 - 12x + 15$에서 $f'(2) = 12 - 24 + 15 = 3$이므로 점 $(2, 6)$에서의 접선은 $y - 6 = 3(x - 2) \implies y = 3x$로 일치한다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] $h(x) = f(x) - (6x - 4) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = (x - 1)^2(x - 4)$이다. $x = 1$은 중근이므로 미분가능하고, 단근인 $x = 4$에서만 미분가능하지 않다. 또한 구간 $[1, 4]$에서 $h(x) \le 0$이므로 $\int_{1}^{4} g_2(x)\,dx = \int_{1}^{4} (-x^3 + 6x^2 - 9x + 4)\,dx$ $= \dfrac{1}{12}(4 - 1)^4 = \dfrac{27}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• $(x - \alpha)^3$ 계수 비교로 $\alpha = 2$ 도출 +3점 / $15 - m = 12 \implies m = 3$ 산출 +3점	6점
소문항 [3-2]	• $f(2) = 6,\; f'(2) = 3$ 계산 +4점 / 접선 방정식 $y = 3x$ 일치 확인 +3점	7점
소문항 [3-3]	• $(x-1)^2(x-4)$ 인수분해 및 $x = 4$ 미분불가능 판정 +4점 / 정적분 $\dfrac{27}{4}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 삼차다항식 $h(x)$가 $(x-1)^2(x-4)$로 인수분해될 때 중근 $x=1$에서는 그래프가 $x$축에 접하므로 절댓값을 씌워도 미분가능하고, 관통하는 단근 $x=4$에서만 첨점이 생깁니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $x=4$

【문제 4】 원문 요약 — 제9회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질 (2025 서강대 자연 1차 2-4번 변형) [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 탐구 94 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질 (2025 서강대 자연 1차 2-4번 변형) · 대칭성과 주기 조건을 만족시키는 연속함수의 정적분

[문항 4-1] (6점) $-2 \le x \le 0$에서 함수 $f(x)$의 식을 구하고, 한 주기 구간 $[-2, 2]$에서의 정적분 $I = \int_{-2}^{2} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 정적분 $\int_{-6}^{10} (x + 3)f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 실수 $t$에 대하여 함수 $H(t) = \int_{t}^{t+4} x f(x)\,dx$의 도함수 $H'(t)$를 구하고, $H(0)$과 $H(2)$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 4 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [4-1] $-2 \le x \le 0$에서 $3x^2 + 6x + 4,\; I = 8$ | [4-2] $160$ | [4-3] $H'(t) = 4f(t),\; H(0) = 16,\; H(2) = 32$

[소문항 4-1 풀이 (6점)] $-2 \le x \le 0$이면 $0 \le -x \le 2$이므로 $f(x) = f(-x) = 3(-x)^2 - 6(-x) + 4 = 3x^2 + 6x + 4$이다. 우함수 성질에 의해 $I = 2\int_{0}^{2} (3x^2 - 6x + 4)\,dx = 2\left[x^3 - 3x^2 + 4x\right]_{0}^{2} = 2(8 - 12 + 8) = 8$이다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] 주기 $4$에 의해 $\int_{-6}^{10} f(x)\,dx = 4I = 32$이다. 또한 $x = u + 2$로 평행이동하면 $f(u + 2)$는 $u = 0$에 대하여 대칭($f(2 - u) = f(u - 2) = f(u + 2)$)이므로 $\int_{-6}^{10} (x - 2)f(x)\,dx = \int_{-8}^{8} u f(u + 2)\,du = 0$이다. 따라서 $\int_{-6}^{10} (x + 3)f(x)\,dx = \int_{-6}^{10} (x - 2)f(x)\,dx + 5\int_{-6}^{10} f(x)\,dx$ $= 0 + 5\times 32 = 160$이다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] $H'(t) = (t + 4)f(t + 4) - t f(t) = (t + 4)f(t) - t f(t) = 4f(t)$이다. $x = 2$ 대칭성에 의해 $\int_{0}^{4} (x - 2)f(x)\,dx = 0$이므로 $H(0) = \int_{0}^{4} x f(x)\,dx = 2\int_{0}^{4} f(x)\,dx = 2\times 8 = 16$이다. 또한 $H(2) - H(0) = \int_{0}^{2} 4f(t)\,dt = 4\times 4 = 16$이므로 $H(2) = 16 + 16 = 32$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• $f(x) = 3x^2 + 6x + 4$ 유도 +3점 / 한 주기 적분 $I = 8$ 산출 +3점	6점
소문항 [4-2]	• $4$주기 적분 $32$ 및 대칭점 $x = 2$ 분리 +4점 / $5\times 32 = 160$ 도출 +3점	7점
소문항 [4-3]	• $H'(t) = 4f(t)$ 유도 +3점 / $H(0) = 16,\; H(2) = 32$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 우함수이면서 주기가 $4$인 함수는 $x = 0$뿐 아니라 $x = 2$의 모든 정수배에서도 대칭축을 가지므로, 구간 $[-6, 10]$의 중점 $x = 2$를 기준으로 $(x - 2)f(x)$의 정적분이 $0$이 됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) [4-1] $-2 \le x \le 0$에서 $3x^2 + 6x + 4,\; I = 8$ | [4-2] $160$ | [4-3] $H'(t) = 4f(t),\; H(0) = 16,\; H(2) = 32$

【문제 5】 원문 요약 — 제9회 실전 모의고사 · Q5 기하 Ⅲ-2. 삼수선의 정리와 정사영 [배점 20점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.18 탐구 95 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

🎯 기하 Ⅲ-2. 삼수선의 정리와 정사영 · 정사면체의 이면각 코사인과 평면 위로의 정사영 넓이

[문항 5-2] (7점) 정사면체 $\mathrm{ABCD}$의 높이 $\overline{\mathrm{AG}}$와 부피 $V$를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 5 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [5-1] $\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{BM}} = 3\sqrt{3},\; \cos\theta$ $= \dfrac{1}{3},\; \sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ | [5-2] $\overline{\mathrm{AG}} = 2\sqrt{6},\; V = 18\sqrt{2}$ | [5-3] $S_1 = 3\sqrt{3},\; S_2 = 0$

[소문항 5-1 풀이 (6점)] 한 변의 길이가 $6$인 정삼각형의 높이는 $\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{BM}} = 3\sqrt{3}$이다. 무게중심 $\mathrm{G}$는 $\overline{\mathrm{BM}}$을 $2 : 1$로 내분하므로 $\overline{\mathrm{GM}} = \sqrt{3}$이고, 직각삼각형 $\mathrm{AGM}$에서 $\cos\theta = \dfrac{\overline{\mathrm{GM}}}{\overline{\mathrm{AM}}} = \dfrac{1}{3}$, $\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] 높이는 $\overline{\mathrm{AG}} = \overline{\mathrm{AM}}\sin\theta$ $= 3\sqrt{3}\times \dfrac{2\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{6}$이다. 밑면 $\triangle\mathrm{BCD}$의 넓이는 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 6^2 = 9\sqrt{3}$이므로 부피는 $V = \dfrac{1}{3}\times 9\sqrt{3}\times 2\sqrt{6} = 18\sqrt{2}$이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] $\triangle\mathrm{ACD}$의 넓이는 $9\sqrt{3}$이므로 밑면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영 넓이는 $S_1 = 9\sqrt{3}\cos\theta = 3\sqrt{3}$이다. 한편 $\overline{\mathrm{CD}} \perp \overline{\mathrm{AM}}$이고 $\overline{\mathrm{CD}} \perp \overline{\mathrm{BM}}$이므로 평면 $\mathrm{ABM}$은 밑면 $\mathrm{BCD}$에 수직이다. 따라서 $\triangle\mathrm{ABM}$의 밑면 위로의 정사영은 선분 $\mathrm{BM}$이 되어 넓이는 $S_2 = 0$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• $\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{BM}} = 3\sqrt{3}$ 산출 +2점 / $\cos\theta = \dfrac{1}{3},\; \sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ 도출 +4점	6점
소문항 [5-2]	• 높이 $\overline{\mathrm{AG}} = 2\sqrt{6}$ 계산 +3점 / 부피 $V = 18\sqrt{2}$ 산출 +4점	7점
소문항 [5-3]	• $S_1 = 9\sqrt{3}\times\dfrac{1}{3} = 3\sqrt{3}$ 산출 +4점 / 수직 평면 논증으로 $S_2 = 0$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 정사면체에서 마주 보는 모서리 $\mathrm{AB}$와 $\mathrm{CD}$는 서로 수직이고 평면 $\mathrm{ABM}$은 밑면 $\mathrm{BCD}$와 수직($90^\circ$)을 이루므로 정사영이 선분으로 축퇴되어 넓이가 $0$이 됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) [5-1] $\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{BM}} = 3\sqrt{3},\; \cos\theta$ $= \dfrac{1}{3},\; \sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ | [5-2] $\overline{\mathrm{AG}} = 2\sqrt{6},\; V = 18\sqrt{2}$ | [5-3] $S_1 = 3\sqrt{3},\; S_2 = 0$

【문제 1】 원문 요약 — 제10회 실전 모의고사 · Q1 기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 1차 1번 응용) [배점 20점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.32 탐구 101 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

🎯 기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 1차 1번 응용) · 쌍곡선 초점 직각삼각형의 넓이와 접선의 x절편 성질

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 1 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [1-1] $l_1 l_2 = 18$, 넓이 $9$ | [1-2] $\mathrm{P}\left(\dfrac{5\sqrt{7}}{4}, \dfrac{9}{4}\right)$ | [1-3] $x_{\mathrm{T}} = \dfrac{4\sqrt{7}}{5}$, $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{T}} : \overline{\mathrm{FT}} = l_1 : l_2$ 성립

[소문항 1-1 풀이 (6점)] 주축 길이가 $2a = 2\sqrt{7}$이므로 $l_1 - l_2 = 2\sqrt{7}$이고 $l_1^2 + l_2^2 = \overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}}^2 = 64$이다. 따라서 $2l_1 l_2 = 64 - 28 = 36 \implies l_1 l_2 = 18$이고 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 넓이는 $\dfrac{1}{2}l_1 l_2 = 9$이다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] 넓이 $\dfrac{1}{2}\times 8\times y_1 = 4y_1 = 9$에서 $y_1 = \dfrac{9}{4}$이다. 쌍곡선 식에 대입하면 $\dfrac{x_1^2}{7} = 1 + \dfrac{81/16}{9} = 1 + \dfrac{9}{16} = \dfrac{25}{16}$이고 $x_1 \gt 0$이므로 $x_1 = \dfrac{5\sqrt{7}}{4}$, 즉 $\mathrm{P}\left(\dfrac{5\sqrt{7}}{4}, \dfrac{9}{4}\right)$이다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] 접선 $\dfrac{x_1 x}{7} - \dfrac{y_1 y}{9} = 1$의 $x$절편은 $x_{\mathrm{T}} = \dfrac{7}{x_1} = \dfrac{4\sqrt{7}}{5}$이다. 또한 $(l_1 + l_2)^2 = 64 + 36 = 100 \implies l_1 + l_2 = 10$이므로 $l_1 = 5 + \sqrt{7},\; l_2 = 5 - \sqrt{7}$이고, $\dfrac{\overline{\mathrm{F}'\mathrm{T}}}{\overline{\mathrm{FT}}}$ $= \dfrac{4 + 4\sqrt{7}/5}{4 - 4\sqrt{7}/5} = \dfrac{5 + \sqrt{7}}{5 - \sqrt{7}}$ $= \dfrac{l_1}{l_2}$가 성립하여 접선 $\mathrm{PT}$는 $\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF}$를 이등분한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• $l_1 - l_2 = 2\sqrt{7},\; l_1^2 + l_2^2 = 64$ 연립 +3점 / $l_1 l_2 = 18$ 및 넓이 $9$ 산출 +3점	6점
소문항 [1-2]	• $y_1 = \dfrac{9}{4}$ 도출 +3점 / $x_1 = \dfrac{5\sqrt{7}}{4}$ 산출 +4점	7점
소문항 [1-3]	• $x_{\mathrm{T}} = \dfrac{4\sqrt{7}}{5}$ 산출 +3점 / $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{T}} : \overline{\mathrm{FT}} = l_1 : l_2$ 비율 일치 증명 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 쌍곡선 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선은 항상 두 초점 반경 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}},\; \overline{\mathrm{FP}}$가 이루는 각 $\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 내각의 이등분선이라는 광학적 성질을 대수적으로 증명한 문항입니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 1 최종 정답 요약 (배점 20점) $\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF}$

【문제 2】 원문 요약 — 제10회 실전 모의고사 · Q2 대수 Ⅲ-2. 등비수열의 합과 수열의 귀납적 정의 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 102 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06]

🎯 대수 Ⅲ-2. 등비수열의 합과 수열의 귀납적 정의 · 지수항이 결합된 선형 점화식의 치환 해법과 부분합

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 5$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 일반항 $a_n$을 이용하여 $\dfrac{a_n - 2^n}{3^n}$의 값을 구하고, 제$5$항까지의 합 $S_5$의 값을 계산하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 2 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [2-1] $a_n = 3^n + 2^n$ | [2-2] $S_n = \dfrac{3^{n+1} - 3}{2} + 2^{n+1} - 2$ | [2-3] $\dfrac{a_n - 2^n}{3^n} = 1,\; S_5 = 425$

[소문항 2-1 풀이 (6점)] 점화식 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$을 $a_{n+1} - 3^{n+1} = 2a_n + 3^n - 3\cdot 3^n = 2(a_n - 3^n)$으로 변형하면, 수열 $\{a_n - 3^n\}$은 첫째항이 $a_1 - 3 = 2$이고 공비가 $2$인 등비수열이다. 따라서 $a_n - 3^n = 2\cdot 2^{n-1} = 2^n$이므로 $a_n = 3^n + 2^n$이다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] $S_n = \sum_{k=1}^{n} (3^k + 2^k) = \dfrac{3(3^n - 1)}{3 - 1} + \dfrac{2(2^n - 1)}{2 - 1}$ $= \dfrac{3^{n+1} - 3}{2} + 2^{n+1} - 2$이다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] $a_n = 3^n + 2^n$이므로 $\dfrac{a_n - 2^n}{3^n} = 1$이다. $n = 5$를 대입하면 $S_5 = \dfrac{3^6 - 3}{2} + 2^6 - 2 = 363 + 62 = 425$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• $a_{n+1} - 3^{n+1} = 2(a_n - 3^n)$ 변형 +3점 / 일반항 $a_n = 3^n + 2^n$ 도출 +3점	6점
소문항 [2-2]	• 등비수열 합 공식 각각 적용 +4점 / $S_n = \dfrac{3^{n+1}-3}{2} + 2^{n+1} - 2$ 완성 +3점	7점
소문항 [2-3]	• 항등식 $\dfrac{a_n - 2^n}{3^n} = 1$ 확인 +3점 / $S_5 = 363 + 62 = 425$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$의 양변에서 $3^{n+1}$을 빼면 $a_{n+1} - 3^{n+1} = 2(a_n - 3^n)$으로 즉시 인수분해되어 두 등비수열의 합 $3^n + 2^n$으로 표현됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 2 최종 정답 요약 (배점 20점) $3^n + 2^n$

【문제 3】 원문 요약 — 제10회 실전 모의고사 · Q3 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 1차 2번 심화) [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.40 탐구 103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08]

🎯 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 1차 2번 심화) · 가변 닫힌구간에서 삼차함수의 최솟값 함수와 미분불가능점

[문항 3-1] (6점) 도함수 $f'(x)$를 구하여 $x \ge 0$에서 $f(x)$의 극댓값을 구하고, 방정식 $f(x) = f(0)$을 만족시키는 양수 $x$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $0 \lt t \le 3$일 때와 $t \gt 3$일 때의 최솟값 함수 $m(t)$의 식을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 3 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [3-1] 극댓값 $f(2) = 8$, 양의 실근 $x = 3$ | [3-2] $0 \lt t \le 3$에서 $m(t) = 4$, $t \gt 3$에서 $m(t) = -t^3 + 3t^2 + 4$ | [3-3] $t = 3$ 미분불가능 (좌 $0$, 우 $-9$), 정적분 $\dfrac{49}{4}$

[소문항 3-1 풀이 (6점)] $f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)$이므로 $x = 0$에서 극소($f(0) = 4$), $x = 2$에서 극댓값 $f(2) = -8 + 12 + 4 = 8$을 갖는다. 또한 $f(x) = 4 \iff -x^2(x - 3) = 0$이므로 양의 실근은 $x = 3$이다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] $0 \le x \le 3$에서는 $f(x) \ge 4 = f(0)$이므로 $0 \lt t \le 3$일 때 최솟값은 항상 $m(t) = f(0) = 4$이다. 반면 $t \gt 3$일 때는 $f(t) \lt 4$이고 $f$가 순감소하므로 $m(t) = f(t) = -t^3 + 3t^2 + 4$이다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] $t = 3$에서 좌미분계수는 $0$이고 우미분계수는 $f'(3) = -27 + 18 = -9$로 서로 다르므로 $t = 3$에서 미분가능하지 않다. 또한 $\int_{0}^{4} m(t)\,dt = \int_{0}^{3} 4\,dt + \int_{3}^{4} (-t^3 + 3t^2 + 4)\,dt$ $= 12 + \left[-\dfrac{t^4}{4} + t^3 + 4t\right]_{3}^{4}$ $= 12 + \left(16 - \dfrac{63}{4}\right) = \dfrac{49}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• $f'(x) = -3x(x-2)$ 및 극댓값 $f(2) = 8$ 산출 +3점 / $f(x)=4$의 양근 $x = 3$ 도출 +3점	6점
소문항 [3-2]	• $0 \lt t \le 3$에서 $m(t) = 4$ 도출 +3점 / $t \gt 3$에서 $m(t) = -t^3 + 3t^2 + 4$ 산출 +4점	7점
소문항 [3-3]	• $t = 3$ 좌미분계수 $0$, 우미분계수 $-9$ 비교 +4점 / 정적분 $\dfrac{49}{4}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 구간 $[0, 3]$에서는 시작점 $f(0) = 4$가 최솟값으로 유지되다가 $t = 3$을 지나는 순간 $f(t)$가 $4$보다 작아지면서 $m(t) = f(t)$로 꺾이므로 $t = 3$에서 첨점이 발생합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 3 최종 정답 요약 (배점 20점) $t = 3$

【문제 4】 원문 요약 — 제10회 실전 모의고사 · Q4 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (넓이와 변화율) [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 104 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

🎯 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (넓이와 변화율) · 포물선과 기울기 가변 직선으로 둘러싸인 넓이 함수의 변화율

양수 $k\;(k \gt 0)$에 대하여 이차곡선 $y = x^2 - 2kx$와 직선 $y = kx$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(k)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-2] (7점) $k = 2$일 때의 넓이 $S(2)$와 순간변화율 $S'(2)$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 4 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [4-1] 교점 $x = 0, 3k,\; S(k) = \dfrac{9}{2}k^3$ | [4-2] $S(2) = 36,\; S'(2) = 54$ | [4-3] $\dfrac{S(k)}{A(k)} = \dfrac{27}{8}$

[소문항 4-1 풀이 (6점)] $x^2 - 2kx = kx \iff x(x - 3k) = 0$이므로 두 교점의 $x$좌표는 $0,\; 3k$이다. 제시문 (가)에 의해 $S(k) = \int_{0}^{3k} (3kx - x^2)\,dx = \dfrac{1}{6}(3k - 0)^3 = \dfrac{9}{2}k^3$이다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] $S(k) = \dfrac{9}{2}k^3$에서 $S'(k) = \dfrac{27}{2}k^2$이다. 따라서 $k = 2$를 대입하면 $S(2) = \dfrac{9}{2}\times 8 = 36$이고 $S'(2) = \dfrac{27}{2}\times 4 = 54$이다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] 곡선 $y = x^2 - 2kx = x(x - 2k)$와 $x$축의 교점은 $0,\; 2k$이므로 $A(k) = \dfrac{1}{6}(2k)^3 = \dfrac{4}{3}k^3$이다. 따라서 $\dfrac{S(k)}{A(k)} = \dfrac{(9/2)k^3}{(4/3)k^3} = \dfrac{27}{8}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 교점 $x = 0,\; 3k$ 도출 +2점 / 정적분으로 $S(k) = \dfrac{9}{2}k^3$ 산출 +4점	6점
소문항 [4-2]	• $S(2) = 36$ 계산 +3점 / 도함수 $S'(k) = \dfrac{27}{2}k^2$으로부터 $S'(2) = 54$ 도출 +4점	7점
소문항 [4-3]	• $A(k) = \dfrac{4}{3}k^3$ 산출 +4점 / 비율 $\dfrac{27}{8}$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 이차곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이는 두 교점 사이의 수평거리 $\beta - \alpha$의 세제곱에 비례하므로, $3k$와 $2k$의 넓이 비는 즉시 $3^3 : 2^3 = 27 : 8$이 됩니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 4 최종 정답 요약 (배점 20점) $3^3 : 2^3 = 27 : 8$

【문제 5】 원문 요약 — 제10회 실전 모의고사 · Q5 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 · Ⅲ-2. 통계적 추정 [배점 20점]

[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 105 변형 | 성취기준: 12확통03-01, 12확통03-05]

🎯 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 · Ⅲ-2. 통계적 추정 · 이산확률변수의 기댓값·분산과 표본평균의 정규분포 확률

[문항 5-1] (6점) 확률의 총합 조건과 $\mathrm{E}(X) = \dfrac{9}{4}$를 연립하여 상수 $a,\; b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $\mathrm{E}(X^2)$과 분산 $\mathrm{V}(X)$를 각각 기약분수로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 5 · 총 20점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

🎯 모범 정답 : [5-1] $a = \dfrac{1}{8},\; b = \dfrac{3}{8}$ | [5-2] $\mathrm{E}(X^2) = \dfrac{11}{2},\; \mathrm{V}(X) = \dfrac{7}{16}$ | [5-3] $\mathrm{E}(\bar{X}) = \dfrac{9}{4},\; \sigma(\bar{X}) = \dfrac{1}{8},\; \mathrm{V}(8\bar{X}) = 1$

[소문항 5-1 풀이 (6점)] $a + \dfrac{1}{2} + b = 1 \implies a + b = \dfrac{1}{2}$이고, $\mathrm{E}(X) = a + 1 + 3b = \dfrac{9}{4} \implies a + 3b = \dfrac{5}{4}$이다. 두 식을 빼면 $2b = \dfrac{3}{4} \implies b = \dfrac{3}{8}$이고 $a = \dfrac{1}{8}$이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] $\mathrm{E}(X^2) = 1^2\cdot\dfrac{1}{8} + 2^2\cdot\dfrac{1}{2} + 3^2\cdot\dfrac{3}{8}$ $= \dfrac{1 + 16 + 27}{8} = \dfrac{44}{8} = \dfrac{11}{2}$이다. 따라서 $\mathrm{V}(X) = \dfrac{11}{2} - \left(\dfrac{9}{4}\right)^2 = \dfrac{88 - 81}{16} = \dfrac{7}{16}$이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] 제시문 (나)에 의해 $\mathrm{E}(\bar{X}) = \mathrm{E}(X) = \dfrac{9}{4}$이고 $\mathrm{V}(\bar{X}) = \dfrac{\mathrm{V}(X)}{28} = \dfrac{7/16}{28} = \dfrac{1}{64}$이므로 표준편차는 $\sigma(\bar{X}) = \dfrac{1}{8}$이다. 또한 $\mathrm{V}(8\bar{X}) = 8^2\mathrm{V}(\bar{X}) = 64\times \dfrac{1}{64} = 1$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• $a + b = \dfrac{1}{2},\; a + 3b = \dfrac{5}{4}$ 연립 +3점 / $a = \dfrac{1}{8},\; b = \dfrac{3}{8}$ 산출 +3점	6점
소문항 [5-2]	• $\mathrm{E}(X^2) = \dfrac{11}{2}$ 계산 +3점 / $\mathrm{V}(X) = \dfrac{11}{2} - \dfrac{81}{16} = \dfrac{7}{16}$ 도출 +4점	7점
소문항 [5-3]	• $\mathrm{E}(\bar{X}) = \dfrac{9}{4},\; \sigma(\bar{X}) = \dfrac{1}{8}$ 산출 +4점 / $\mathrm{V}(8\bar{X}) = 64\times\dfrac{1}{64} = 1$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 표본평균 $\bar{X}$의 분산은 $\mathrm{V}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}$이고 상수배의 분산은 $\mathrm{V}(c\bar{X}) = c^2\mathrm{V}(\bar{X})$임을 결합하여 정확히 계산합니다.

🎯 [최종 정답]✅ 문항 5 최종 정답 요약 (배점 20점) $\mathrm{V}(c\bar{X}) = c^2\mathrm{V}(\bar{X})$

🎯 전형 방식: 논술 80% + 학생부교과 10% + 출결·봉사 10% 📌 수능최저 기준: 국·수·영·탐(1) 중 3개 영역 각 3등급 이내 & 한국사 4등급 이내

희망 지원 모집단위 선택

수능최저학력기준 충족 여부 체크 (국·수·영·탐(1) 중 3개 영역 각 3등급 이내 & 한국사 4등)

문항 1 (20점)

문항 2 (20점)

문항 3 (20점)

문항 4 (20점)

문항 5 (20점)

합산 환산 총점 (100점 만점) 0.0 / 100점

🎯 실시간 합격 가능성 정밀 판정

판정 계산 중...

내 환산 점수

학과 70% 충원컷

컷오프 대비 격차

추정 백분위 위치

ℹ️ 문항별 점수를 조절하면 다음 페이지 전 모집단위 합격 판정표가 동시 갱신됩니다.

모집단위	모집인원	명목경쟁률	실질경쟁률	최초합 평균	70% 충원컷	수능최저 기준	실시간 합격 판정
시스템반도체공학과 SK하이닉스 계약학과	-	42.5 : 1	13.2 : 1	89.9점	87.5점	국·수·영·탐(1) 중 3개 영역 각 3등급 이내 & 한국사 4등급 이내	판정 대기
인공지능학과	-	39.8 : 1	12.4 : 1	88.9점	86.5점	국·수·영·탐(1) 중 3개 영역 각 3등급 이내 & 한국사 4등급 이내	판정 대기
컴퓨터공학과	-	38.2 : 1	11.8 : 1	88.4점	86.0점	국·수·영·탐(1) 중 3개 영역 각 3등급 이내 & 한국사 4등급 이내	판정 대기
시스템반도체공학과	10명	118.4:1	34.2:1	88.5점	85.8점	국수영탐(1) 3합 7 · 한국사 4	판정 대기
화공생명공학과	-	35.4 : 1	11.0 : 1	86.9점	84.5점	국·수·영·탐(1) 중 3개 영역 각 3등급 이내 & 한국사 4등급 이내	판정 대기
전자공학과	-	34.6 : 1	10.7 : 1	86.4점	84.0점	국·수·영·탐(1) 중 3개 영역 각 3등급 이내 & 한국사 4등급 이내	판정 대기
기계공학과	-	32.1 : 1	9.9 : 1	85.4점	83.0점	국·수·영·탐(1) 중 3개 영역 각 3등급 이내 & 한국사 4등급 이내	판정 대기
수학과	-	29.5 : 1	9.1 : 1	83.9점	81.5점	국·수·영·탐(1) 중 3개 영역 각 3등급 이내 & 한국사 4등급 이내	판정 대기
물리학과·화학과·생명과학과	-	28.4 : 1	8.8 : 1	82.9점	80.5점	국·수·영·탐(1) 중 3개 영역 각 3등급 이내 & 한국사 4등급 이내	판정 대기
생명과학과	12명	91.5:1	26.9:1	83.0점	80.4점	국수영탐(1) 3합 7 · 한국사 4	판정 대기
화학과	12명	82.1:1	24.0:1	81.0점	78.2점	국수영탐(1) 3합 7 · 한국사 4	판정 대기
물리학과	12명	79.3:1	23.1:1	80.2점	77.5점	국수영탐(1) 3합 7 · 한국사 4	판정 대기

스마트폰·태블릿 실시간 올인원 입결 대시보드 직결

우측 QR 코드를 스마트폰 카메라로 스캔하거나 아래 버튼을 클릭하면 서강대학교 2027 올인원 인터랙티브 대시보드로 즉시 연결됩니다. 인쇄본 학습 중에도 문항별 루브릭 채점과 모집단위별 합격선 추이를 언제든 확인할 수 있습니다.

🚀 서강대학교 올인원 합격 대시보드 바로가기

SCAN FOR LIVE SIMULATOR

📋 실전 모의고사 1회~10회 회차별 자기주도 성취도 기록표 (인쇄용 체크시트)

회차	실전 응시일	소요 시간	원점수 / 100점
제1회	2026. . .	분	/ 100
제2회	2026. . .	분	/ 100
제3회	2026. . .	분	/ 100
제4회	2026. . .	분	/ 100
제5회	2026. . .	분	/ 100
제6회	2026. . .	분	/ 100
제7회	2026. . .	분	/ 100
제8회	2026. . .	분	/ 100
제9회	2026. . .	분	/ 100
제10회	2026. . .	분	/ 100

RULE 1

원칙 1. 교과서 정의·정리 우선 선언
답안 첫 줄에 사용할 교과서 정리(사잇값 정리, 평균값 정리, 미분가능성 정의, 조건부확률 곱셈정리 등)를 명시하여 1단계 배점(30%)을 확정하십시오.

RULE 2

원칙 2. 대학 미적분학 과정 공식 사용 철저 배제
고교 교육과정을 벗어난 대학 과정 정리나 무근거 근사식 사용은 채점 기준에서 감점 또는 무효 처리되므로 반드시 교과서 성질만으로 논증하십시오.

RULE 3

원칙 3. 동치 변형과 정의역·부호 경계 조건 명시
로그의 밑·진수 조건, 무리식·분수식의 분모 조건, 치환 변수의 새로운 범위(예: $-1 \le t \le 1$)를 빠짐없이 기록하십시오.

RULE 4

원칙 4. 소문항 간 단계적 연계 구조 활용
앞선 소문항 (1)의 결론은 소문항 (2), (3)을 해결하는 핵심 힌트입니다. (1)이 막히더라도 (1)의 결과를 가정하고 (2)의 식을 세우면 부분점수를 획득할 수 있습니다.

RULE 5

원칙 5. 도형·그래프 보조 문자의 명확한 정의
답안지에 새로운 점·각·길이를 도입할 때는 '점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하자'와 같이 기호의 정의를 한 문장으로 선언하십시오.

RULE 6

원칙 6. 실전 시간 배분 및 검산 루틴 엄수
전체 시험 시간(100분) 중 마지막 10분은 부호 오류, 기약분수 약분 여부, 최종 답란 이기 누락을 점검하는 전용 검산 시간으로 확보하십시오.

RULE 7

원칙 7. 깔끔한 단락 구분과 최종 결론 강조
단계별 번호([1단계], [2단계], [결론])를 줄바꿈하여 가독성을 높이고 최종 수식을 명확히 제시하여 채점위원이 즉시 득점 포인트를 확인하게 하십시오.

📘 2027학년도 서강대학교 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

• 편찬 및 발행: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술·약술형논술 연구소 | 공식 플랫폼: https://questio.co.kr

• 상호: 퀘스티오(QUESTIO) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449

• 교육과정 준거: 교과서 기반 수학과 교육과정 (Textbook DB V1.0 · JEV-REA-ARGON 7대 무결성 검증 통과)

\(x\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(\alpha\)	\(\cdots\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)
\(h'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(h(x)\)	\(1 + \dfrac{\pi}{2}(k-1)\)	\(\nearrow\)	\(h(\alpha)\)	\(\searrow\)	\(0\)

\(x\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\cdots\)	\(\beta\)	\(\cdots\)	\(\pi\)
\(h'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(h(x)\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(h(\beta)\)	\(\searrow\)	\(1 + \dfrac{\pi}{2}(1-k)\)

순위	기출 원천 문항	핵심 출제 테마 및 변별 포인트	모의 1:1 매칭	부분점수 공략 전략
TOP 1 (최고난도)	2025 자연 2차 2번 (물리·전자·화공생명·AI)	절댓값 삼각 결합 함수 \(g(x)=f(x)+\|\cos f(x)\|\)의 유일 실근 기울기 범위 & 합성함수 미분 — 첨점(\(x=\frac{\pi}{2}\)) 좌·우미분계수 판정 및 증감표 누락 감점	• Part 1 기출해설 (p.18~19) • Part 2 제9회 Q1~Q5 · 제4회 Q2·Q5	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 2	2025 자연 1차 2번 (수학·기계·컴공·시스템반도체)	삼각함수 치환 이차함수의 가변 대칭축 \(p(t)=\frac{3t}{4-t^2}\) 위치에 따른 최솟값 함수 \(f(t)\) 미분가능성 — \(t=2\) 일차함수 퇴화 케이스 및 \(t=1\) 유리화 극한 누락	• Part 1 기출해설 (p.14~15) • Part 2 제7회 Q1~Q5 · 제1회 Q1·Q3	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 3	2025 자연 2차 1번 (물리·전자·화공생명·AI)	타원 \(\frac{x^2}{4b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 초점 둔각삼각형(\(135^\circ\)) 코사인법칙 및 접선의 탄젠트 덧셈정리 — 무리수 계수 이차방정식 근의 선택(\(x_2 \gt \sqrt{3}b\)) 오류	• Part 1 기출해설 (p.16~17) • Part 2 제8회 Q1~Q5 · 제3회 Q5	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 4	2025 자연 1차 1번 (수학·기계·컴공·시스템반도체)	쌍곡선 정의 유도, 접선 선분 길이 산술·기하평균 최솟값, 외접원 사인법칙 및 넓이 도함수 \(f'(\beta)\) — 산술·기하 등호 성립 조건 미기재 감점	• Part 1 기출해설 (p.12~13) • Part 2 제6회 Q1~Q5 · 제1회 Q5	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 5	2027 신유형 킬러 대비 (교과서 기반 기하·확통 강화)	벡터를 이용한 공간 평면의 방정식(12기하03-05)·정사영 넓이 및 표본비율(\(\hat{p}\))을 통한 모비율 신뢰구간 추정(12확통03-06) 고난도 융합 추론	• Part 2 제10회 Q1~Q5 심화 매칭 • Part 2 제5회 Q2·Q5	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	삼차함수 극값 조건 \(f(0)f(b/a) \lt 0\) 분석 및 순서쌍 개수 615 정확히 도출	9점
2단계	$1-x^3=t$ 치환적분 및 부분분수 망원급수 합 $\frac{1}{18}$ 계산 완결	8점
3단계	접선 방정식 유도 및 정적분 넓이 $A_n, B_n$ 계산 후 극한값 $1$ 도출	8점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• \(g(k)\)의 부호 3종 분류 +3점 / 짝수 \(n\)일 때 합 \(6\) 도출 +3점	6점
소문항 [1-2]	• 홀수 \(n\)(\(4\)개) 합 \(24\)와 짝수 \(n\)(\(4\)개) 합 \(24\) 분리 계산 +4점 / 총합 \(48\) 산출 +3점	7점
소문항 [1-3]	• \(\alpha = \sqrt{2},\; \beta = -\sqrt{2}\) 도출 +4점 / \(\alpha^6 + \|\beta\|^6 = 16\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• \(\theta_{k+6} = \theta_k + \pi\) 원점 대칭 상쇄 설명 +4점 / 두 합 모두 \(0\) 도출 +2점	6점
소문항 [2-2]	• \(\overline{\mathrm{AP}_k}^2 = 5 - 4\cos\theta_k\) 유도 +4점 / 합 \(60\) 산출 +3점	7점
소문항 [2-3]	• 여각·보각 제곱쌍 결합 또는 개별 계산 +4점 / 값 \(3\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 무한대 극한으로부터 삼차항 계수 \(2\), 이차항 계수 \(a = -1\) 도출 +6점	6점
소문항 [3-2]	• \((x-1)^2\) 인수 설정 +3점 / \(2 + m = 5 \implies m = 3\) 및 \(f(x)\) 완성 +4점	7점
소문항 [3-3]	• 서로 다른 실근 \(1, -\dfrac{3}{2}\)의 합 \(-\dfrac{1}{2}\) 산출 +3점 / \(f(3) = 36\) 도출 +4점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 우미분계수 \(P(2)\), 좌미분계수 \(-P(2)\) 유도 +4점 / \(P(2) = 0\) 증명 +2점	6점
소문항 [4-2]	• \(x \lt 2\)에서 \(h'(x)\) 도출 +3점 / 연립으로 \(a = -1,\; b = -2\) 산출 +4점	7점
소문항 [4-3]	• \(h(x) = \|x-2\|(x-2)(x+1)\) 도함수 인수분해 +4점 / \(x = 0\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• \(A = 1 - A + 4B\) 적분 전개 +3점 / \(2A - 4B = 1\) 관계식 도출 +3점	6점
소문항 [5-2]	• \(B = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}A + 2B\) 적분 및 연립으로 \(A = 3,\; B = \dfrac{5}{4}\) 산출 +4점 / \(f(x) = 3x^2 - 6x + 5\) 완성 +3점	7점
소문항 [5-3]	• 우·기함수 대칭 적분 \(2\int_0^1 (3x^2 + 5)\,dx\) 적용 +4점 / 값 \(12\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• \(x + x^{-1} = 5\) 도출 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 23\) 산출 +3점	6점
소문항 [1-2]	• \(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = 4\sqrt{7}\) 유도 +3점 / \(x^3 + x^{-3} = 110\) 산출 +4점	7점
소문항 [1-3]	• 분자 \(112\) 및 분모 \(4\sqrt{7}\) 대입 +4점 / 유리화 결과 \(4\sqrt{7}\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• \(x_{\mathrm{A}}, x_{\mathrm{B}}\) 좌표 도출 +4점 / \(\overline{\mathrm{AB}} = 2\) 산출 +2점	6점
소문항 [2-2]	• \(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{DC}} = 2\) 평행사변형 논증 +3점 / \(S(t) = 4t\) 유도 +4점	7점
소문항 [2-3]	• \(t = 6\) 산출 +3점 / 직선 \(\mathrm{AD}\)의 기울기 \(12\) 도출 +4점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 켤레식 유리화 식 변형 +3점 / 극한값 \(3\) 도출 +3점	6점
소문항 [3-2]	• 우변 극한 \(3\) 확인 및 조임 정리 명시 +4점 / \(\lim_{x\to\infty} f(x) = 3\) 산출 +3점	7점
소문항 [3-3]	• \(\sqrt{4x^2+12x+9} - 2x = (2x+3) - 2x = 3\) 항등 변형 +4점 / 극한값 \(0\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 접선의 방정식에 \((0, k)\) 대입 +3점 / \(g(t) = -2t^3 + 3t^2 + 2 = k\) 도출 +3점	6점
소문항 [4-2]	• \(g'(t) = -6t(t-1)\) 극값 \(g(0)=2, g(1)=3\) 산출 +4점 / \(k\)의 합 \(5\) 도출 +3점	7점
소문항 [4-3]	• 각 \(k\)에서 중근·단근 접점 \(t\) 구하기 +4점 / 두 접선 기울기 합 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• \(f(2) = f(0) + a\) 연속성 조건 설정 +3점 / \(a = 4\) 도출 +3점	6점
소문항 [5-2]	• 부정적분 \(x^3 - 2x^2 + x\) 계산 +4점 / \(I_0 = 2\) 산출 +3점	7점
소문항 [5-3]	• 구간별 적분 일반항 \(2 + 8n\) 유도 +4점 / 합 \(90\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• \(u, v \gt 0\) 확인 및 산술·기하 부등식 적용 +3점 / 최댓값 \(9\) 도출 +3점	6점
소문항 [1-2]	• 이차방정식 \(t^2 - 6t + 8 = 0\) 작성 +3점 / \((4, 16), (16, 4)\) 도출 +4점	7점
소문항 [1-3]	• 밑변환 공식 \(\dfrac{u^2+v^2}{uv}\) 변형 +4점 / 값 \(\dfrac{5}{2}\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• \(l = 24 - 2r\) 도출 +3점 / \(S(r) = -r^2 + 12r\) 유도 +3점	6점
소문항 [2-2]	• 완전제곱식 변형으로 \(r = 6,\; S_{\max} = 36\) 도출 +4점 / \(\theta = 2\) 산출 +3점	7점
소문항 [2-3]	• 중심각 이등분 직각삼각형 설정 +4점 / 현의 길이 \(12\sin 1\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• \(f(x) = x^2 - x + 1\) 유도 +3점 / \(a = 3,\; b = -2\) 도출 +3점	6점
소문항 [3-2]	• \(g(x) = x^2 - 4x + 3\) 정리 +3점 / \(g(0) = 3,\; g(2) = -1,\; g(4) = 3\) 산출 +4점	7점
소문항 [3-3]	• 다항함수의 연속성 명시 및 \(g(0)g(2) \lt 0,\; g(2)g(4) \lt 0\) 제시 +4점 / 사잇값 정리 결론 서술 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• \(f'(x) = 4x^2(x-3)\) 인수분해 +3점 / \(f(0)=10,\; f(3)=-17\) 산출 +3점	6점
소문항 [4-2]	• 삼중근 \(x=0\) 미분가능성 판정 +4점 / \(k=10,\; x=4\) 도출 +3점	7점
소문항 [4-3]	• 구간 \([0, 4]\) 최댓값 \(10\), 최솟값 \(-17\) 비교 +4점 / 차 \(27\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• 곱의 미분법으로 \(F'(x) = \int_0^x f(t)\,dt\) 유도 +3점 / \(F'(x) = 3x^2 - 6x\) 산출 +3점	6점
소문항 [5-2]	• \(F(x) = x^3 - 3x^2\) 적분 상수 결정 +3점 / 극댓값 \(0\), 극솟값 \(-4\) 도출 +4점	7점
소문항 [5-3]	• 구간 양 끝점 \(F(-1)=-4, F(3)=0\) 비교 +4점 / 합 \(-4\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• \(\alpha = 0\) 모순 검증 +3점 / \(0 \lt \alpha \lt 1\) 범위 도출 +3점	6점
소문항 [1-2]	• \(3\log_{10} x\) 정수 조건으로 \(\alpha = \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}\) 도출 +4점 / \(x = 10^{\frac{7}{3}}, 10^{\frac{8}{3}}\) 산출 +3점	7점
소문항 [1-3]	• \(\log_{10} P = \dfrac{7}{3} + \dfrac{8}{3}\) 계산 +4점 / 값 \(5\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 두 코사인법칙 식 수립 +3점 / \(\cos\theta = -\dfrac{1}{3}\) 도출 +3점	6점
소문항 [2-2]	• \(\overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{17}\) 산출 +3점 / \(\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\) 도출 +4점	7점
소문항 [2-3]	• 넓이 \(S = 6\sqrt{2}\) 계산 +3점 / 사인법칙으로 \(R = \dfrac{3\sqrt{34}}{8}\) 도출 +4점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• \(x = 1\) (좌 \(3\), 우 \(0\)) 및 \(x = 3\) (좌 \(-2\), 우 \(2\)) 조사 +6점	6점
소문항 [3-2]	• \(g(1)=g(3)=0\)으로부터 \(g(x)=(x-1)(x-3)\) 도출 +4점 / 극한값 \(0\) 산출 +3점	7점
소문항 [3-3]	• 분모 \(f(x)=0\)인 \(x=-2, 1\) 및 \(x=3\) 연속성 판정 +4점 / 불연속점 합 \(-1\) 도출 +3점	7점

🎯 맞춤형 범위 선택 PDF 출력 / 인쇄

🎯 서강대학교 자연계열 수리논술 5개년 출제 경향 & 2027 합격 전략

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• \(f'(x) = 6(x-1)(x-2)\) 인수분해 +2점 / \(f(1)=5, f(2)=4, f(0)=0\) 산출 +4점	6점
소문항 [4-2]	• \(x \gt 0\) 구간 그래프 개형 분석 +4점 / \(4 \lt k \lt 5\) 범위 도출 +3점	7점
소문항 [4-3]	• \(\|f(x)\|\)의 \(x \lt 0\) 단조감소와 \(x \gt 0\) 교점 개수 결합 +4점 / \(4 \lt k \lt 5\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• \(\int_0^4 (-x^2+4x)\,dx\) 계산 +3점 / \(S = \dfrac{32}{3}\) 도출 +3점	6점
소문항 [5-2]	• 교점 \(x = 0, 4-m\) 산출 +3점 / \(S_1 = \dfrac{1}{6}(4-m)^3\) 유도 +4점	7점
소문항 [5-3]	• \((4-m)^3 = 32\) 도출 +4점 / \(m = 4 - 2\sqrt[3]{4}\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• \(x_2 = y_1\) 대칭성으로 \(x_1 + x_2 = 6\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(3, 3)\) 도출 +3점	6점
소문항 [1-2]	• \(\|x_1 - x_2\| = 2\) 도출 +3점 / \(\mathrm{P}(2, 4), \mathrm{Q}(4, 2)\) 확인 +4점	7점
소문항 [1-3]	• 높이 \(3\sqrt{2}\) 또는 사선식 계산 +4점 / 넓이 \(6\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 역수 등차수열 \(b_{n+1} - b_n = 3\) 유도 +3점 / \(a_n = \dfrac{1}{3n-1}\) 도출 +3점	6점
소문항 [2-2]	• \(n=1\) 확인 +2점 / \(n=k\) 가정 후 \(a_{k+1}\) 대입 증명 +5점	7점
소문항 [2-3]	• 부분분수 변형 \(\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3n-1}-\dfrac{1}{3n+2}\right)\) +4점 / 값 \(\dfrac{5}{32}\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• \(f(0) = 2\) 산출 +2점 / 도함수 정의로 \(f'(x) = 3x^2 + 4\) 유도 +4점	6점
소문항 [3-2]	• \(f(x) = x^3 + 4x + 2\) 적분 완성 +4점 / 접선 \(y = 7x\) 도출 +3점	7점
소문항 [3-3]	• 미분계수 변형 \(\dfrac{1}{4}f'(2)\) +4점 / 값 \(4\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• \(t(t-3)^2 = 0\)으로부터 \(t_1 = 3\) 도출 +3점 / \(v_{\mathrm{P}}(3)=v_{\mathrm{Q}}(3)=5\) 산출 +3점	6점
소문항 [4-2]	• \(h'(t) = 3(t-1)(t-3) = 0\) 극점 조사 +4점 / 최댓값 \(D(1) = 4\) 도출 +3점	7점
소문항 [4-3]	• 운동 방향 전환 시각 \(\dfrac{4}{3}, 2\) 확인 +3점 / \(a_{\mathrm{P}}(t)=6t-10=0 \implies t=\dfrac{5}{3}\) 도출 +4점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• \(t_1 = 1, t_2 = 3\) 도출 +3점 / 위치 \(x(1) = 4,\; x(3) = 0\) 산출 +3점	6점
소문항 [5-2]	• 위치 변화량 \(x(4) = 4\) 산출 +3점 / 구간별 절댓값 적분으로 거리 \(12\) 도출 +4점	7점
소문항 [5-3]	• \(x(T) = T(T-3)^2 = 0\) 인수분해 +4점 / \(T = 3\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• \(a^2 = 9,\; b^2 = 16\) 산출 +3점 / 점근선 \(y = \pm\dfrac{4}{3}x\) 도출 +3점	6점
소문항 [1-2]	• \(y_1 = \dfrac{16}{3}\) 계산 +3점 / 접선 \(5x - 3y = 9\;(k=9)\) 유도 +4점	7점
소문항 [1-3]	• 교점 \(\mathrm{A}(9, 12),\; \mathrm{B}\left(1, -\dfrac{4}{3}\right)\) 도출 +4점 / 넓이 \(S = 12\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 코사인법칙으로 \(a = 3\sqrt{7}\) 산출 +3점 / 사인법칙으로 \(R = \sqrt{21}\) 도출 +3점	6점
소문항 [2-2]	• 넓이 \(S = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}\) 계산 +3점 / 넓이 분할로 \(\overline{\mathrm{AD}} = 2\) 유도 +4점	7점
소문항 [2-3]	• 둘레 \(9 + 3\sqrt{7}\) 대입 +3점 / 분모 유리화로 \(r = \dfrac{9\sqrt{3} - 3\sqrt{21}}{2}\) 도출 +4점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• \(g(x) = (x-1)^2 + 3\) 변형 +3점 / \(f(1) = 3\) 도출 +3점	6점
소문항 [3-2]	• \(0 \lt t \lt 1\)에서 \(f(t) = -t^2 + 4t\) 도출 +4점 / \(t \gt 1\)에서 \(f(t) = 2t + 1\) 산출 +3점	7점
소문항 [3-3]	• \(t=1\) 연속성 확인 +3점 / 좌·우미분계수 \(2\) 일치 증명 및 \(f'(1) = 2\) 도출 +4점	7점