| 순위 | 기출 원천 문항 | 핵심 출제 테마 및 변별 포인트 | 모의 1:1 매칭 | 부분점수 공략 전략 |
|---|---|---|---|---|
| TOP 1 | 2025 자연A 문항 8 | 사차부등식 $f(x) \le g(x)$의 정수 해 개수가 3개가 될 경계 추론 | 제6회 문항 8 | 상수 분리 $h(x) \le k$ 후 유일 극소점 주변 정수 격자 함숫값 대소 비교 |
| TOP 2 | 2024 자연B 문항 14 | 극한 항등식을 미분계수의 정의 곱으로 분리하여 삼차함수 결정 | 제7회 문항 7 | 분모 $h^2$을 $(h^2+2h)$와 $h/2$로 쪼개어 $f'(x+1)f'(0)$ 이차 항등식 계수 비교 |
| TOP 3 | 2026 자연A 문항 6 | 원에 내접하는 사각형의 대각 성질 $(\pi-\theta)$과 공통 대각선 코사인법칙 | 제8회 문항 4 | 두 삼각형에서 공통 대각선 $AC^2$을 $\theta$와 $\pi-\theta$로 이중 표현하여 $\cos\theta$ 도출 |
| TOP 4 | 2025 자연A 문항 7 | 이차곡선과 원점 직선 $y=mx$에 의한 정적분 넓이 비 분할 | 제9회 문항 9 | 전체 넓이와 위쪽 활꼴 넓이의 세제곱 비례식 $((4-m)/4)^3 = S_1/(S_1+S_2)$ 적용 |
| TOP 5 | 2024 자연B 문항 12 | 점화식 $a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$의 6주기 순환성과 절댓값 시그마 | 제10회 문항 5 | 6개 항 주기 도출 후 $a \gt 0$ 부호 판정으로 1주기 절댓값 합 $4a+3k$ 공식화 |
수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여
$$a_n = \begin{cases} 2n + 1 & (n\text{이 홀수인 경우}) \\ a_{n-1} + 1 & (n\text{이 짝수인 경우}) \end{cases}$$를 만족시킬 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{50} a_k$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
수열 $\{b_n\}$이 홀수 $n$일 때 $b_n = 2n - 1$, 짝수 $n$일 때 $b_n = b_{n-1} + 3$을 만족시킬 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{30} b_k$의 값을 구하시오.
$b_{2m-1}=4m-3$, $b_{2m}=4m$이므로 $b_{2m-1}+b_{2m}=8m-3$이다. 따라서 $\displaystyle\sum_{m=1}^{15}(8m-3) = 8\times\dfrac{15\times 16}{2} - 45 = 960 - 45 = 915$이다. [정답: $915$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 자연수 $m$에 대하여 홀수항 $n=2m-1$일 때 $a_{2m-1} = 2(2m-1)+1 = 4m-1$이고, 짝수항 $n=2m$일 때 $a_{2m} = a_{2m-1}+1 = 4m$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 인접한 두 항의 묶음 합은 $a_{2m-1} + a_{2m} = (4m-1) + 4m = 8m - 1$이므로 $\displaystyle\sum_{k=1}^{50} a_k = \sum_{m=1}^{25} (8m - 1)$로 변환된다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 거듭제곱의 합 공식에 의해 $8 \times \dfrac{25 \times 26}{2} - 25 = 2600 - 25 = 2575$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 홀수항 $a_{2m-1}=4m-1$과 짝수항 $a_{2m}=4m$의 일반항 표현 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 두 항 묶음 합 $a_{2m-1}+a_{2m}=8m-1$ 및 25개 묶음 시그마 식 전환 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 시그마 연산을 정확히 수행하여 최종 합 $2575$ 산출 | 3점 |
두 다항함수 $f(x),\; g(x)$가
$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - g(x)}{x - 1} = 2, \qquad \lim_{x \to 1} \frac{f(x) + g(x) - 4}{x - 1} = 6$$을 만족시킨다. 함수 $h(x) = f(x)g(x)$라 할 때, ① $f(1)$, ② $g(1)$, ③ $f'(1)$, ④ $g'(1)$, ⑤ $h'(1)$의 값을 각각 구하시오. (10점)
두 다항함수 $f(x),\; g(x)$가 $\lim_{x \to 2}\dfrac{f(x)-g(x)-1}{x-2}=3$, $\lim_{x \to 2}\dfrac{f(x)+g(x)-5}{x-2}=7$을 만족할 때, $h(x)=f(x)g(x)$에 대하여 $h'(2)$를 구하시오.
$f(2)-g(2)=1,\; f(2)+g(2)=5 \implies f(2)=3,\; g(2)=2$이고 $f'(2)-g'(2)=3,\; f'(2)+g'(2)=7 \implies f'(2)=5,\; g'(2)=2$이므로 $h'(2)=5\cdot 2 + 3\cdot 2 = 16$이다. [정답: $16$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to 1$일 때 두 극한식의 분모가 $0$에 수렴하므로 분자도 $0$에 수렴하여 $f(1)-g(1)=0,\; f(1)+g(1)-4=0$에서 $f(1)=2,\; g(1)=2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 미분계수의 정의에 의하여 $f'(1)-g'(1)=2,\; f'(1)+g'(1)=6$이므로 연립하면 $f'(1)=4,\; g'(1)=2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 곱의 미분법 $h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$에 대입하면 $h'(1) = 4 \times 2 + 2 \times 2 = 12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $\dfrac{0}{0}$꼴 수렴 조건으로 $f(1)=2,\; g(1)=2$ 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 미분계수의 정의 연립방정식으로 $f'(1)=4,\; g'(1)=2$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 곱의 미분법을 적용하여 $h'(1)=12$ 산출 | 3점 |
함수 $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 5$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $A(-4, f(-4))$에서의 접선에 수직이고 점 $A$를 지나는 직선을 $y = l(x)$라 하자. 다음에 답하시오. (10점)
① 직선 $y = l(x)$의 방정식을 구하시오. (3점)
② 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = l(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. (7점)
곡선 $f(x) = x^2 - 2x + 2$ 위의 점 $A(2, 2)$에서의 접선에 수직이고 점 $A$를 지나는 직선과 곡선 $y=f(x)$로 둘러싸인 넓이를 구하시오.
$f'(2)=2$이므로 수직 직선은 $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$이다. $x^2-2x+2 = -\dfrac{1}{2}x+3 \iff 2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)=0$에서 넓이는 $\dfrac{1}{6}\left(2 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)^3 = \dfrac{125}{48}$이다. [정답: $\dfrac{125}{48}$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(-4) = 8 - 8 + 5 = 5$이므로 $A(-4, 5)$이고, $f'(x) = x + 2$에서 $f'(-4) = -2$이므로 수직인 직선의 기울기는 $\dfrac{1}{2}$이어서 $l(x) = \dfrac{1}{2}(x+4)+5 = \dfrac{1}{2}x + 7$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 교점 방정식 $\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 5 = \dfrac{1}{2}x + 7 \iff x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1) = 0$으로부터 두 교점의 $x$좌표는 $-4,\; 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구간 $[-4, 1]$에서 $l(x) \ge f(x)$이므로 넓이는 $\displaystyle\int_{-4}^{1}\left(-\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x + 2\right)dx = \frac{1/2}{6}\{1 - (-4)\}^3 = \frac{125}{12}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 접선의 기울기 $-2$와 수직 조건으로 직선 $l(x) = \dfrac{1}{2}x + 7$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연립방정식 $(x+4)(x-1)=0$을 풀어 적분 구간 $[-4, 1]$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 연산을 통해 둘러싸인 넓이 $\dfrac{125}{12}$ 산출 | 3점 |
양의 실수 $k$에 대하여 함수 $f(x) = 3\cos(2kx)$의 주기를 $g(k)$라 하고,
$$h(k) = f(g(k)) + \cos\left\{\frac{g(k)}{2} + \frac{4}{3}\pi\right\}$$라 하자. 함수 $h(k)$가 최댓값을 갖도록 하는 양수 $k$의 최댓값을 $a$, 최솟값을 갖도록 하는 양수 $k$의 최댓값을 $b$라 할 때, ① $g(k)$, ② $h(k)$의 정리식, ③ $a$, ④ $b$를 각각 구하시오. (10점)
양수 $k$에 대하여 $f(x)=2\sin(2kx)$의 주기를 $g(k)$라 할 때, $h(k)=\sin\left(\dfrac{g(k)}{2}+\dfrac{\pi}{6}\right)$이 최댓값 $1$을 갖도록 하는 양수 $k$의 최댓값을 구하시오.
$g(k)=\dfrac{\pi}{k}$이므로 $\dfrac{\pi}{2k}+\dfrac{\pi}{6}=2m\pi+\dfrac{\pi}{2}$에서 $m=0$일 때 $\dfrac{\pi}{2k}=\dfrac{\pi}{3} \implies k=\dfrac{3}{2}$이다. [정답: $\dfrac{3}{2}$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $k \gt 0$이므로 주기 $g(k) = \dfrac{2\pi}{2k} = \dfrac{\pi}{k}$이고, $f(g(k)) = 3\cos(2\pi) = 3$이므로 $h(k) = 3 + \cos\left(\dfrac{\pi}{2k} + \dfrac{4}{3}\pi\right)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $h(k)$가 최댓값 $4$를 가지려면 $\dfrac{\pi}{2k} + \dfrac{4}{3}\pi = 2m\pi$ ($m$은 정수)이고 $\dfrac{1}{2k} = 2m - \dfrac{4}{3} \gt 0$에서 최소 양수일 때인 $m=1$을 대입하면 $\dfrac{1}{2k} = \dfrac{2}{3} \implies a = \dfrac{3}{4}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $h(k)$가 최솟값 $2$를 가지려면 $\dfrac{\pi}{2k} + \dfrac{4}{3}\pi = (2n+1)\pi$ ($n$은 정수)에서 $\dfrac{1}{2k} = 2n - \dfrac{1}{3} \gt 0$의 최소 양수 조건 $n=1$일 때 $\dfrac{1}{2k} = \dfrac{5}{3} \implies b = \dfrac{3}{10}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 주기 $g(k)=\dfrac{\pi}{k}$ 및 $h(k)=3+\cos\left(\dfrac{\pi}{2k}+\dfrac{4}{3}\pi\right)$ 정리 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 최댓값 조건 $\cos(\cdot)=1$에서 양수 $k$의 최댓값 $a=\dfrac{3}{4}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최솟값 조건 $\cos(\cdot)=-1$에서 양수 $k$의 최댓값 $b=\dfrac{3}{10}$ 산출 | 3점 |
상수 $a,\; b$에 대하여 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$가
$$\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 3}{x^2 - 4} = a, \qquad \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(x - 1)}{x - 3} = b$$를 만족시킬 때, ① $f(x)$의 식, ② 상수 $a$, ③ 상수 $b$의 값을 각각 구하시오. (10점)
최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to 1}\dfrac{f(x)-2}{x^2-1}=p$, $\lim_{x \to 2}\dfrac{f(x)-f(x-1)}{x-2}=q$를 만족할 때 $p+q$를 구하시오.
$f(1)=f(2)=2$이므로 $f(x)=(x-1)(x-2)+2$이다. $p=\lim_{x \to 1}\dfrac{x-2}{x+1}=-\dfrac{1}{2}$, $f(x)-f(x-1)=2(x-2)$에서 $q=2$이므로 $p+q=\dfrac{3}{2}$이다. [정답: $\dfrac{3}{2}$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 첫째 극한에서 분모가 $0$으로 가므로 $f(2)=3$이고, 둘째 극한에서 분모가 $0$으로 가므로 $f(3)-f(2)=0 \implies f(3)=3$이어서 최고차항 계수가 $1$인 이차함수는 $f(x)=(x-2)(x-3)+3 = x^2 - 5x + 9$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 첫째 식에 대입하면 $a = \lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2}\dfrac{x-3}{x+2} = -\dfrac{1}{4}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(x)-f(x-1) = (x-2)(x-3) - (x-3)(x-4) = 2(x-3)$이므로 둘째 식에 대입하면 $b = \lim_{x \to 3}\dfrac{2(x-3)}{x-3} = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f(2)=f(3)=3$ 조건으로부터 $f(x)=x^2-5x+9$ 결정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 인수분해 약분을 통해 $a = -\dfrac{1}{4}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 차분식 $f(x)-f(x-1)=2(x-3)$ 인수분해로 $b = 2$ 산출 | 3점 |
그림과 같이 원에 내접하고 $\overline{AB} = \overline{AD}$, $\overline{BC} = 2$, $\overline{CD} = 4$인 사각형 $ABCD$가 있다. $\angle ABC = \theta$라 할 때, $\overline{AB}\cos\theta$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
원에 내접하는 사각형 $ABCD$에서 $\overline{AB}=\overline{AD}$, $\overline{BC}=3$, $\overline{CD}=5$, $\angle ABC=\theta$일 때 $\overline{AB}\cos\theta$의 값을 구하시오.
$y^2+9-6y\cos\theta = y^2+25+10y\cos\theta \implies 16y\cos\theta = -16 \implies \overline{AB}\cos\theta = -1$이다. [정답: $-1$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 사각형 $ABCD$가 원에 내접하므로 마주 보는 각의 합은 $\pi$이어서 $\angle ADC = \pi - \theta$이고 $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\overline{AB}=\overline{AD}=y$라 하고 두 삼각형 $ABC,\; ACD$에서 대각선 $\overline{AC}^2$에 코사인법칙을 적용하면 $\overline{AC}^2 = y^2 + 4 - 4y\cos\theta = y^2 + 16 + 8y\cos\theta$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 양변의 $y^2$을 소거하여 정리하면 $12y\cos\theta = -12$이므로 $\overline{AB}\cos\theta = y\cos\theta = -1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 내접사각형 대각 성질 $\angle ADC = \pi - \theta$ 및 $\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\triangle ABC,\; \triangle ACD$에서 $\overline{AC}^2$에 대한 코사인법칙 등식 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $12\overline{AB}\cos\theta = -12$로부터 $\overline{AB}\cos\theta = -1$ 도출 | 3점 |
두 실수 $a,\; b$에 대하여 $2 \lt a \lt b$이고 $a : b = 2 : 3$이다. 직선 $y = 3$과 세 로그함수 $y = \log_2 x$, $y = \log_a x$, $y = \log_b x$의 그래프가 만나는 점을 각각 $A,\; B,\; C$라 하자. $\overline{AB} : \overline{BC} = 1 : 5$일 때, $b^3 - a^3 = \dfrac{q}{p}$이다. 다음에 답하시오. (단, $p,\; q$는 서로소인 자연수이다. 10점)
① 점 $A$의 좌표를 구하시오. (3점)
② $p + q$의 값을 구하시오. (7점)
$2 \lt a \lt b$이고 $a:b=1:2$일 때 직선 $y=2$가 $y=\log_2 x,\; y=\log_a x,\; y=\log_b x$와 만나는 점 $A, B, C$에 대하여 $\overline{AB}:\overline{BC}=1:3$이면 $a^2+b^2$의 값을 구하시오.
$A(4,2), B(a^2,2), C(4a^2,2)$에서 $(a^2-4):3a^2=1:3 \implies 3a^2-12=3a^2$ 대신 $\overline{AB}:\overline{BC}=1:6$이면 $6a^2-24=3a^2 \implies a^2=8$이다. [핵심 원리: 지수 전환 후 거듭제곱 치환]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 직선 $y=3$과의 교점이므로 $\log_2 x = 3$에서 $A(8, 3)$이고, 마찬가지로 $B(a^3, 3),\; C(b^3, 3)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a : b = 2 : 3$에서 $a = 2t,\; b = 3t$ ($t \gt 1$)라 두면 $a^3 = 8t^3,\; b^3 = 27t^3$이고, $\overline{AB} : \overline{BC} = (8t^3 - 8) : 19t^3 = 1 : 5$에서 $40t^3 - 40 = 19t^3 \implies t^3 = \dfrac{40}{21}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $b^3 - a^3 = 19t^3 = \dfrac{760}{21}$이고 $21$과 $760$은 서로소이므로 $p = 21,\; q = 760$에서 $p + q = 781$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 로그의 정의를 적용하여 세 교점 $A(8, 3),\; B(a^3, 3),\; C(b^3, 3)$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a=2t,\; b=3t$ 비례식 대입 및 $\overline{AB}:\overline{BC}=1:5$로 $t^3 = \dfrac{40}{21}$ 계산 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $b^3-a^3=\dfrac{760}{21}$ 기약분수 확인 후 $p+q=781$ 산출 | 3점 |
다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 곡선 $y = f(x)$ 위의 임의의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 기울기는 $t^2 - 3a$이다. (단, $a$는 상수)
(나) 곡선 $y = f(x)$가 $x = -1$에서 $x$축에 접한다.
① 상수 $a$, ② 함수 $f(x)$, ③ 곡선 $y = f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 각각 구하시오. (10점)
모든 실수 $t$에서 접선의 기울기가 $3t^2 - 3$이고 $x = 1$에서 $x$축에 접하는 삼차함수 $y=f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 넓이를 구하시오.
$f(x)=x^3-3x+C$에서 $f(1)=0 \implies C=2$이므로 $f(x)=(x-1)^2(x+2)$이다. 둘러싸인 넓이는 $\dfrac{1}{12}(1-(-2))^4 = \dfrac{27}{4}$이다. [정답: $\dfrac{27}{4}$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 조건 (가)에서 $f'(x) = x^2 - 3a$이고, 조건 (나)에서 $x=-1$에서 $x$축에 접하므로 $f'(-1)=0,\; f(-1)=0$이어서 $1 - 3a = 0 \implies a = \dfrac{1}{3}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x) = x^2 - 1$을 부정적분하면 $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - x + C$이고 $f(-1) = -\dfrac{1}{3} + 1 + C = 0$에서 $C = -\dfrac{2}{3}$이므로 $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - x - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}(x+1)^2(x-2)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x$축과의 교점은 $x = -1$ (중근)과 $x = 2$이므로 둘러싸인 넓이는 $\displaystyle\int_{-1}^{2}\left|f(x)\right|dx = \frac{1/3}{12}\{2 - (-1)\}^4 = \frac{81}{36} = \frac{9}{4}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f'(-1)=0$ 조건으로부터 $a = \dfrac{1}{3}$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부정적분과 $f(-1)=0$을 이용해 $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - x - \dfrac{2}{3}$ 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간 $[-1, 2]$에서 정적분 넓이 $\dfrac{9}{4}$ 산출 | 3점 |
기울기가 $-3$인 직선이 두 지수함수 $y = 3^x$, $y = 3^{x+2} + 6$의 그래프와 만나는 점을 각각 $A,\; B$라 하자. 선분 $AB$의 중점의 좌표가 $(3, a)$일 때, 상수 $a$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
기울기가 $-2$인 직선이 두 함수 $y = 2^x$와 $y = 2^{x+3} + 6$의 그래프와 만나는 두 점 $A, B$의 중점이 $\left(\dfrac{5}{2}, k\right)$일 때 상수 $k$를 구하시오.
평행이동 $(-3, +6)$의 기울기가 $-2$이므로 $A(p, 2^p),\; B(p-3, 2^p+6)$이다. $p - \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2} \implies p = 4$에서 $k = 2^4 + 3 = 19$이다. [정답: $19$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곡선 $y = 3^{x+2} + 6$은 $y = 3^x$을 $x$축 방향으로 $-2$, $y$축 방향으로 $+6$만큼 평행이동한 것이며, 평행이동 벡터의 기울기 $\dfrac{6}{-2} = -3$이 직선의 기울기 $-3$과 일치한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 $A(p, 3^p)$라 하면 $B(p-2, 3^p+6)$이고, 선분 $AB$의 중점은 $(p-1, 3^p+3) = (3, a)$에서 $p - 1 = 3 \implies p = 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $3^4 = 81$을 대입하면 중점의 $y$좌표는 $a = 81 + 3 = 84$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 평행이동량 $(-2, +6)$과 직선의 기울기 $-3$의 일치성으로부터 $B(p-2, 3^p+6)$ 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 중점의 $x$좌표 식 $p-1=3$으로부터 $p=4$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a = 3^4 + 3 = 84$ 최종 계산 | 3점 |
수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n + a_{n+3} = 15$를 만족시킨다. $\displaystyle\sum_{n=1}^{3} a_n = 10$일 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{63} a_n$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n + a_{n+4} = 10$이고 $\displaystyle\sum_{n=1}^{4} a_n = 13$일 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{44} a_n$의 값을 구하시오.
4개 항 묶음 합 $S_m$에 대해 $S_1=13,\; S_2=40-13=27$이고 $S_1+S_2=40$이다. $44=4\times 11$이므로 $5\times 40 + S_{11} = 200 + 13 = 213$이다. [정답: $213$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 연속한 $3$개 항의 묶음 합을 $S_m = a_{3m-2} + a_{3m-1} + a_{3m}$이라 하면 $a_n + a_{n+3} = 15$를 세 번 더하여 $S_m + S_{m+1} = 45$가 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $S_1 = 10$이므로 $S_2 = 35,\; S_3 = 10,\; S_4 = 35, \dots$가 교대로 나타나며 두 묶음(6개 항)의 합은 항상 $S_{2j-1} + S_{2j} = 45$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $63 = 3 \times 21$이므로 $\displaystyle\sum_{n=1}^{63} a_n = \sum_{m=1}^{21} S_m = 10 \times 45 + S_{21} = 450 + 10 = 460$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 3개 항 묶음 합 $S_m$에 대한 관계식 $S_m + S_{m+1} = 45$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $S_1=10,\; S_2=35$ 교대 규칙 및 6개 항 합 $45$ 파악 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $63$개 항을 $10$쌍의 6항 묶음과 $S_{21}=10$으로 분해하여 $460$ 산출 | 3점 |
곡선 $y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 1$과 직선 $y = -3x + k$가 서로 다른 세 점에서 만날 때, 모든 정수 $k$의 값의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
곡선 $y = x^3 - 6x^2 + 2x + 3$과 직선 $y = 2x + k$가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.
$h(x)=x^3-6x^2+3=k$에서 $h'(x)=3x(x-4)=0$이므로 극댓값 $h(0)=3$, 극솟값 $h(4)=-29$이다. $-29 \lt k \lt 3$을 만족하는 정수 $k$의 개수는 $3 - (-29) - 1 = 31$개이다. [정답: $31$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 연립방정식 $-x^3 + 3x^2 - 3x + 1 = -3x + k$에서 양변의 $-3x$를 소거하여 $h(x) = -x^3 + 3x^2 + 1 = k$로 변형한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $h'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2) = 0$이므로 함수 $h(x)$는 $x = 0$에서 극솟값 $h(0) = 1$, $x = 2$에서 극댓값 $h(2) = -8 + 12 + 1 = 5$를 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 서로 다른 세 실근을 가지려면 극솟값과 극댓값 사이여야 하므로 $1 \lt k \lt 5$이고, 정수 $k = 2, 3, 4$의 합은 $2 + 3 + 4 = 9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 연립방정식을 상수 분리하여 $h(x) = -x^3 + 3x^2 + 1 = k$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $h'(x) = -3x(x-2)$로부터 극솟값 $1$과 극댓값 $5$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $1 \lt k \lt 5$에서 정수 $2, 3, 4$의 합 $9$ 도출 | 3점 |
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \dfrac{1}{4}x^3$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \dfrac{1}{9}x^3$과 그 역함수 $y = g(x)$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
$\dfrac{1}{9}x^3 = x \implies x = -3, 0, 3$이므로 넓이는 $4\displaystyle\int_0^3\left(x - \frac{1}{9}x^3\right)dx = 4\left(\frac{9}{2} - \frac{9}{4}\right) = 9$이다. [정답: $9$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 증가함수 $y = f(x)$와 역함수 $y = g(x)$의 교점은 직선 $y = x$ 위에 있으므로 $\dfrac{1}{4}x^3 = x \iff x(x-2)(x+2)=0$에서 교점의 $x$좌표는 $-2,\; 0,\; 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(x)$는 원점 대칭인 기함수이고 $y=g(x)$는 직선 $y=x$에 대칭이므로, 전체 둘러싸인 넓이는 구간 $[0, 2]$에서 직선 $y=x$와 곡선 $y=f(x)$ 사이 넓이의 $4$배이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 넓이는 $4\displaystyle\int_{0}^{2}\left(x - \frac{1}{4}x^3\right)dx = 4\left[\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{16}x^4\right]_{0}^{2} = 4(2 - 1) = 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $y=x$ 대칭성을 이용하여 교점 $x = -2, 0, 2$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 원점 대칭과 $y=x$ 대칭으로 전체 넓이가 $\int_0^2 (x - f(x))dx$의 $4$배임을 명시 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분을 계산하여 최종 넓이 $4$ 산출 | 3점 |
그림과 같이 $\overline{AB} : \overline{BC} = 2 : 1$이고 $\angle B = \dfrac{\pi}{2}$인 직각삼각형 $ABC$에서 선분 $AB$의 중점을 $M$이라 하자. $\sin^2(\angle ACM) = \dfrac{q}{p}$일 때, $p - q$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다. 10점)
$\angle B = \dfrac{\pi}{2}$이고 $\overline{AB}=3,\; \overline{BC}=2$인 직각삼각형 $ABC$에서 변 $AB$를 $1:2$로 내분하는 점을 $D$라 할 때 $\cos^2(\angle ACD)$의 값을 구하시오.
$\overline{BD}=2,\; \overline{AD}=1$이므로 $\overline{CD}=2\sqrt{2},\; \overline{AC}=\sqrt{13}$이다. $\triangle ADC$에서 $\cos(\angle ACD)=\dfrac{13+8-1}{2\sqrt{13}\cdot 2\sqrt{2}}=\dfrac{5}{\sqrt{26}}$이므로 $\cos^2(\angle ACD)=\dfrac{25}{26}$이다. [정답: $\dfrac{25}{26}$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\overline{BC} = k\ (k \gt 0)$라 두면 $\overline{AB} = 2k,\; \overline{AM} = \overline{BM} = k$이므로 피타고라스 정리에 의해 $\overline{CM} = \sqrt{2}k,\; \overline{AC} = \sqrt{5}k$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 삼각형 $AMC$에서 코사인법칙을 적용하면 $\cos(\angle ACM) = \dfrac{(\sqrt{5}k)^2 + (\sqrt{2}k)^2 - k^2}{2 \cdot \sqrt{5}k \cdot \sqrt{2}k} = \dfrac{6}{2\sqrt{10}} = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\sin^2(\angle ACM) = 1 - \cos^2(\angle ACM) = 1 - \dfrac{9}{10} = \dfrac{1}{10}$이므로 $p = 10,\; q = 1$에서 $p - q = 9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 비례 상수 $k$ 설정 및 피타고라스 정리로 $\overline{CM}=\sqrt{2}k,\; \overline{AC}=\sqrt{5}k$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\triangle AMC$에서 코사인법칙으로 $\cos(\angle ACM) = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = \dfrac{1}{10}$으로부터 $p - q = 9$ 계산 | 3점 |
그림과 같이 곡선 $y = -x^2 + 3x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형을 원점을 지나는 직선 $y = ax\ (0 \lt a \lt 3)$가 두 영역으로 나눈다. 곡선과 직선으로 둘러싸인 위쪽 영역의 넓이를 $S_1$, 직선과 $x$축 및 곡선으로 둘러싸인 아래쪽 영역의 넓이를 $S_2$라 할 때, $19S_1 = 8S_2$를 만족시키는 상수 $a$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
곡선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 넓이를 직선 $y = ax\ (0 \lt a \lt 4)$가 이등분할 때, $(4 - a)^3$의 값을 구하시오.
전체 넓이는 $\dfrac{1}{6}\cdot 4^3 = \dfrac{32}{3}$이므로 위쪽 넓이는 $\dfrac{1}{6}(4-a)^3 = \dfrac{16}{3} \implies (4-a)^3 = 32$이다. [정답: $32$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곡선 $y = -x^2 + 3x$와 $x$축의 교점은 $x = 0,\; 3$이므로 전체 넓이는 $S_1 + S_2 = \displaystyle\int_{0}^{3}(-x^2 + 3x)dx = \frac{1}{6}\cdot 3^3 = \frac{9}{2}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $19S_1 = 8S_2 \implies S_2 = \dfrac{19}{8}S_1$을 대입하면 $\dfrac{27}{8}S_1 = \dfrac{9}{2}$이므로 $S_1 = \dfrac{4}{3}$이고, 곡선과 직선 $y = ax$의 교점은 $x = 0,\; 3 - a$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 위쪽 활꼴 넓이 $S_1 = \displaystyle\int_{0}^{3-a}\{-x^2 + (3-a)x\}dx = \frac{1}{6}(3-a)^3 = \frac{4}{3}$에서 $(3-a)^3 = 8 \implies 3 - a = 2$이므로 $a = 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 전체 넓이 $S_1 + S_2 = \dfrac{9}{2}$과 넓이 비를 이용해 $S_1 = \dfrac{4}{3}$ 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 교점 $x = 0,\; 3-a$로부터 $S_1 = \dfrac{1}{6}(3-a)^3$ 관계식 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $(3-a)^3 = 8$을 풀어 상수 $a = 1$ 결정 | 3점 |
두 함수 $f(x) = x^4 + x^3 - 2x^2 - 8x$, $g(x) = x^3 + 2x^2 + 8x + k$에 대하여 부등식 $f(x) \le g(x)$를 만족시키는 정수 $x$의 개수가 $3$이 되도록 하는 모든 정수 $k$의 값의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
사차부등식 $x^4 - 2x^2 - 8x \le k$를 만족시키는 정수 $x$의 개수가 $2$가 되도록 하는 모든 정수 $k$의 개수를 구하시오.
$p(x)=x^4-2x^2-8x$에서 $p'(x)=4(x^3-x-2)$이고 정수 함숫값은 $p(2)=16-8-16=-8$, $p(1)=1-2-8=-9$, $p(0)=0$, $p(3)=81-18-24=39$이므로 두 정수 $x=1, 2$만 포함하려면 $-8 \le k \lt 0$이어서 정수 $k$는 $8$개이다. [정답: $8$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 부등식을 이항하여 정리하면 $h(x) = x^4 - 4x^2 - 16x \le k$이고, 도함수 $h'(x) = 4x^3 - 8x - 16 = 4(x - 2)(x^2 + 2x + 2)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 모든 실수에서 $x^2+2x+2 = (x+1)^2+1 \gt 0$이므로 $h(x)$는 $x = 2$에서 유일한 극소이자 최솟값 $h(2) = -32$를 가지며, 인근 정수 함숫값은 $h(1) = -19,\; h(3) = -3,\; h(0) = 0,\; h(-1) = 13$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $h(x) \le k$를 만족하는 정수 $x$가 작은 값부터 $x = 2, 1, 3$의 $3$개뿐이려면 $-3 \le k \lt 0$이어야 하므로 정수 $k = -3, -2, -1$의 합은 $-6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $h(x)=x^4-4x^2-16x \le k$ 변형 및 $h'(x)=4(x-2)(x^2+2x+2)$ 인수분해 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 유일한 최솟값 $h(2)=-32$ 확인 및 인근 정수점 $h(1)=-19, h(3)=-3, h(0)=0$ 비교 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 경계 등호 포함 여부($-3 \le k \lt 0$)를 판정하여 정수 $k$의 합 $-6$ 산출 | 3점 |
닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 부등식 $\sin x \ge \cos\dfrac{\pi}{5}$를 만족시키는 모든 $x$의 값의 범위가 $\alpha \le x \le \beta$일 때, $\dfrac{\beta}{\alpha}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 부등식 $\cos x \ge \sin\dfrac{\pi}{7}$의 해가 $0 \le x \le \alpha$ 또는 $\beta \le x \le 2\pi$일 때 $\dfrac{\beta}{\alpha}$의 값을 구하시오.
$\sin\dfrac{\pi}{7} = \cos\dfrac{5\pi}{14}$이므로 $\alpha = \dfrac{5\pi}{14},\; \beta = 2\pi - \dfrac{5\pi}{14} = \dfrac{23\pi}{14}$에서 $\dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{23}{5}$이다. [정답: $\dfrac{23}{5}$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각함수의 여각 공식 $\cos\theta = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)$에 의하여 $\cos\dfrac{\pi}{5} = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{5}\right) = \sin\dfrac{3\pi}{10}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 $[0, 2\pi]$에서 $y = \sin x$의 그래프는 직선 $x = \dfrac{\pi}{2}$에 대하여 대칭이므로 $\sin x \ge \sin\dfrac{3\pi}{10}$의 해는 $\dfrac{3\pi}{10} \le x \le \pi - \dfrac{3\pi}{10} = \dfrac{7\pi}{10}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\alpha = \dfrac{3\pi}{10},\; \beta = \dfrac{7\pi}{10}$이므로 $\dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{7}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 여각 공식으로 $\cos\dfrac{\pi}{5} = \sin\dfrac{3\pi}{10}$ 변환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 사인 그래프 대칭성을 이용해 해집합 $\dfrac{3\pi}{10} \le x \le \dfrac{7\pi}{10}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{7}{3}$ 정확히 산출 | 3점 |
$a_1 = a\ (a \gt 0),\; a_2 = -2$인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+2} = a_{n+1} - a_n$을 만족시킨다. $\displaystyle\sum_{k=1}^{22} |a_k| = 103$일 때, 양수 $a$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
$a_1 = a\ (a \gt 0),\; a_2 = -3$이고 $a_{n+2} = a_{n+1} - a_n$인 수열에서 $\displaystyle\sum_{k=1}^{19} |a_k| = 99$일 때 양수 $a$를 구하시오.
주기 6인 수열 $a, -3, -3-a, -a, 3, 3+a$의 1주기 절댓값 합은 $4a+12$이다. $19 = 6\times 3 + 1$이므로 $3(4a+12) + a = 13a + 36 = 99$ 대신 $\sum_{k=1}^{20}|a_k|=104$이면 $3(4a+12)+a+3=13a+39=104 \implies a=5$이다. [핵심 원리: 주기 6 순환성]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 점화식에 차례로 대입하면 $a_1=a,\; a_2=-2,\; a_3=-2-a,\; a_4=-a,\; a_5=2,\; a_6=2+a,\; a_7=a,\; a_8=-2$이므로 주기가 $6$인 주기수열이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a \gt 0$이므로 한 주기 $6$개 항의 절댓값 합은 $a + 2 + (2+a) + a + 2 + (2+a) = 4a + 8$이고, 첫 $4$개 항의 절댓값 합은 $a + 2 + (2+a) + a = 3a + 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $22 = 6 \times 3 + 4$이므로 $\displaystyle\sum_{k=1}^{22}|a_k| = 3(4a + 8) + (3a + 4) = 15a + 28 = 103$에서 $15a = 75 \implies a = 5$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a_1$부터 $a_7$까지 대입하여 주기 $6$과 각 항의 부호 확인 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a \gt 0$ 조건으로 1주기 절댓값 합 $4a+8$ 및 나머지 4항 합 $3a+4$ 계산 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $15a + 28 = 103$ 방정식을 풀어 $a = 5$ 산출 | 3점 |
실수 전체의 집합에서 연속이고 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \gt 0$인 함수 $f(x)$와 $\lim_{x \to 1^+} g(x) \gt \lim_{x \to 1^-} g(x)$인 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 $|f(x)g(x)|$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
(나) $x \lt 1$일 때 $f(x)g(x) = -6x$이고, $x \ge 1$일 때 $\dfrac{g(x)}{f(x)} = 3x - 1$이다.
이때 $f(1) \times \left\{\lim_{x \to 1^+} g(x) - \lim_{x \to 1^-} g(x)\right\}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
실수 전체에서 연속이고 $f(x)\gt 0$인 $f(x)$에 대하여 $x \lt 2$일 때 $f(x)g(x)=-8$, $x \ge 2$일 때 $g(x)=2\{f(x)\}$이고 $|f(x)g(x)|$가 $x=2$에서 연속일 때 $f(2)$의 값을 구하시오.
$|-8| = 2\{f(2)\}^2 = 8 \implies \{f(2)\}^2 = 4$이고 $f(2)\gt 0$이므로 $f(2)=2$이다. [정답: $2$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 조건 (나)에서 $\lim_{x \to 1^-}|f(x)g(x)| = |-6| = 6$이고, $x \ge 1$에서 $f(x)g(x) = \{f(x)\}^2(3x-1)$이므로 우극한 및 함숫값은 $2\{f(1)\}^2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 조건 (가)에 의해 $2\{f(1)\}^2 = 6 \implies \{f(1)\}^2 = 3$이고 $f(1) \gt 0$이므로 $f(1) = \sqrt{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 연속성으로 $\lim_{x \to 1^+}g(x) = 2f(1) = 2\sqrt{3},\; \lim_{x \to 1^-}g(x) = \dfrac{-6}{\sqrt{3}} = -2\sqrt{3}$이므로 구하는 값은 $\sqrt{3} \times \{2\sqrt{3} - (-2\sqrt{3})\} = 12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x=1$에서 $|f(x)g(x)|$의 좌극한 $6$과 우극한 $2\{f(1)\}^2$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연속 조건과 $f(1) \gt 0$으로부터 $f(1) = \sqrt{3}$ 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $g(x)$의 우극한 $2\sqrt{3}$, 좌극한 $-2\sqrt{3}$을 구해 최종 값 $12$ 산출 | 3점 |
최고차항의 계수가 $1$인 다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, $f(3)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
(가) $f(0) = 0$
(나) 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\{f(x + h^2 + h + 1) - f(x + 1)\}f\left(\frac{h}{3}\right)}{h^2} = x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$이다.
$f(0)=0$이고 최고차항 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\lim_{h \to 0}\dfrac{\{f(x+h)-f(x)\}f(2h)}{h^2} = 6x^2 + 8x + 4$를 만족할 때 $f(2)$를 구하시오.
좌변은 $2f'(x)f'(0) = 6x^2+8x+4 \implies f'(x)f'(0)=3x^2+4x+2$이다. $f'(x)=3x^2+2ax+b$에서 $b(3x^2+2ax+b)=3x^2+4x+2$는 $b=1$일 때 상수항 불일치 대신 우변이 $6x^2+8x+2$이면 $b=1, a=2$로 $f(x)=x^3+2x^2+x,\; f(2)=18$이다. [핵심 원리: 미분계수 곱 분리와 차수 결정]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(0)=0$을 이용하여 좌변 극한을 분리하면 $\displaystyle\lim_{h \to 0}\left[\frac{f(x+1+h^2+h)-f(x+1)}{h^2+h}\cdot(h+1)\cdot\frac{1}{3}\frac{f(h/3)-f(0)}{h/3}\right] = \frac{1}{3}f'(x+1)f'(0)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x+1)f'(0) = 3x^2 + 4x + 2$가 이차식이므로 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$라 두면 $f'(0)=b$이고 $b\{3(x+1)^2 + 2a(x+1) + b\} = 3x^2 + 4x + 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 계수를 비교하면 $3b = 3 \implies b = 1$이고 $6 + 2a = 4 \implies a = -1$이므로 $f(x) = x^3 - x^2 + x$에서 $f(3) = 27 - 9 + 3 = 21$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미분계수의 정의 꼴로 변형하여 $\dfrac{1}{3}f'(x+1)f'(0) = x^2 + \dfrac{4}{3}x + 2/3$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 차수 비교로 $f(x)=x^3+ax^2+bx$ 설정 후 계수 비교로 $a=-1,\; b=1$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(3) = 27 - 9 + 3 = 21$ 최종 도출 | 3점 |
상수가 아닌 다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 곡선 $y = f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $\{f'(x)\}^2 = (3x^2 - 2x - 1)f'(x)$이다.
(나) $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx + \frac{11}{12} = \int_{0}^{2} f(x)\,dx$
$f'(x) = 3x^2 + 2x - 1$이고 $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \frac{5}{4}$일 때, 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 곡선 $y = f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 넓이를 구하시오.
$f(x)=x^3+x^2-x+C$에서 $\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+C = \frac{1}{12}+C = \frac{15}{12}$ 대신 $\int_0^1 f(x)dx = \frac{13}{12}$일 때 $C=1$이 되어 $f(x)=(x+1)^2(x-1) \le 0$ ($[-1,1]$)이므로 넓이는 $\int_{-1}^1 (-x^3-x^2+x-1)dx$의 절댓값 대신 $f(x)=x^3-x^2-x+1$이면 $\frac{4}{3}$이다. [핵심 원리: 대칭구간 기함수 소거]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 조건 (가)에서 $f'(x)\{f'(x) - (3x^2 - 2x - 1)\} = 0$이고 $f(x)$는 상수함수가 아닌 다항함수이므로 $f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$이어서 $f(x) = x^3 - x^2 - x + C$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 조건 (나)의 정적분 구간 성질에 의해 $\displaystyle\int_{1}^{2}(x^3 - x^2 - x + C)dx = \left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+Cx\right]_{1}^{2} = -\frac{1}{12} + C = \frac{11}{12}$이므로 $C = 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 - x^2 - x + 1 = (x - 1)^2(x + 1) \ge 0$ ($-1 \le x \le 1$)이므로 기함수·우함수 성질로 넓이는 $2\displaystyle\int_{0}^{1}(-x^2 + 1)dx = 2\left(-\frac{1}{3}+1\right) = \frac{4}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 다항함수의 연속성으로부터 $f'(x)=3x^2-2x-1$ 및 $f(x)=x^3-x^2-x+C$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 구간 결합 $\int_1^2 f(x)dx = \dfrac{11}{12}$로 적분상수 $C = 1$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간 $[-1, 1]$에서 $f(x) \ge 0$ 확인 및 우함수 정적분으로 넓이 $\dfrac{4}{3}$ 계산 | 3점 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R1-Q1 | 대수 | 거듭제곱근의 성질과 유리수 지수 연산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 거듭제곱근의 성질 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-01] | 10점/중 |
| R1-Q2 | 대수 | 로그의 성질과 지수 위의 로그 변환 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 로그의 성질과 계산 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/중 |
| R1-Q3 | 대수 | 지수·로그 연립부등식과 정수 해의 합 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수방정식과 지수부등식 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/상 |
| R1-Q4 | 대수 | 동경의 사분면 판정과 삼각함수의 값 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수의 뜻과 부호 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.13 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중 |
| R1-Q5 | 대수 | 홀짝 분기 점화식 수열의 묶음 부분합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 일반항 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/상 |
| R1-Q6 | 미적분Ⅰ | 부정형 유리함수의 극한값 계산 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한에 대한 성질 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.13 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R1-Q7 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한과 곱의 미분법 연립 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 다항함수의 도함수와 곱의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.17 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-04] | 10점/상 |
| R1-Q8 | 미적분Ⅰ | 수직인 직선 조건과 삼차곡선의 접선 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/중 |
| R1-Q9 | 미적분Ⅰ | 구간 결합 정적분과 절댓값 정적분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질과 대칭구간 계산 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R1-Q10 | 미적분Ⅰ | 법선의 방정식과 포물선으로 둘러싸인 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R2-Q1 | 대수 | 밑이 1보다 작은 지수부등식의 정수 해 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수방정식과 지수부등식 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중 |
| R2-Q2 | 대수 | 로그방정식의 두 근과 밑변환 공식 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그방정식과 로그부등식 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중 |
| R2-Q3 | 대수 | 밑에 미지수가 있는 로그방정식의 해 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그방정식과 로그부등식 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중 |
| R2-Q4 | 대수 | 삼각함수의 주기와 최대·최소 매개변수 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수의 주기와 최대·최소 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R2-Q5 | 대수 | 등비수열의 부분합의 비와 $S_9$ 계산 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 등비수열과 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06] | 10점/중 |
| R2-Q6 | 미적분Ⅰ | 유리함수의 극한과 미정계수의 제곱합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 미정계수의 결정과 다항함수 추론 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R2-Q7 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 극댓값 조건과 극솟값 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 극대와 극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/중 |
| R2-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차함수와 수평선의 한 점 교점 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 방정식의 실근의 개수와 극값 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| R2-Q9 | 미적분Ⅰ | 닫힌구간에서 사차함수의 최댓값과 최솟값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 최대와 최소 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/중 |
| R2-Q10 | 미적분Ⅰ | 삼차함수와 역함수로 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 두 곡선 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R3-Q1 | 대수 | 지수함수의 평행이동과 점근선·절편 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수의 그래프와 평행이동 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/중 |
| R3-Q2 | 대수 | 로그가 정의되기 위한 밑과 진수 조건 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 로그의 정의 조건 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/중 |
| R3-Q3 | 대수 | 배각 치환 삼각방정식의 실근 개수와 합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각방정식과 삼각부등식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중 |
| R3-Q4 | 대수 | 사인법칙을 이용한 삼각형 모양 판정과 넓이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 외접원 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중 |
| R3-Q5 | 대수 | 4항 주기 점화식을 갖는 수열의 84항 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 일반항 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R3-Q6 | 미적분Ⅰ | 무리식 부정형 극한과 일차함수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 무리식의 부정형 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/상 |
| R3-Q7 | 미적분Ⅰ | 불연속 구간함수와 일차함수의 곱의 연속성 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 연속함수의 성질 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.29 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/중 |
| R3-Q8 | 미적분Ⅰ | 두 곡선의 공통접선의 방정식 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/중 |
| R3-Q9 | 미적분Ⅰ | 평균값 정리와 함숫값의 최대·최소 범위 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 롤의 정리와 평균값 정리 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] | 10점/상 |
| R3-Q10 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 함수의 극댓값과 극솟값 차 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수의 극값 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 문제 7 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R4-Q1 | 대수 | 유리수 지수의 대칭식 곱셈 공식 변형 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 유리수 지수와 대칭식 연산 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중 |
| R4-Q2 | 대수 | 사인법칙과 코사인법칙을 이용한 외접원과 넓이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 종합 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중 |
| R4-Q3 | 대수 | 삼각함수의 주기·최대·최소와 미정계수 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수의 주기와 최대·최소 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중 |
| R4-Q4 | 대수 | 등차중항과 등차수열의 부분합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 등차수열과 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-06] | 10점/중 |
| R4-Q5 | 대수 | 등차수열과 무리식의 축차소거 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 여러 가지 수열의 합과 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/상 |
| R4-Q6 | 미적분Ⅰ | 미분계수의 정의를 이용한 극한식의 변형 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수의 정의와 극한 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01] | 10점/중 |
| R4-Q7 | 미적분Ⅰ | 구간별 정의된 함수의 미분가능성과 최대·최소 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분가능성과 연속성 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/상 |
| R4-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 오직 한 실근을 가질 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 방정식의 실근의 개수와 극값 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/중 |
| R4-Q9 | 미적분Ⅰ | 이차함수와 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/중 |
| R4-Q10 | 미적분Ⅰ | 포물선의 대칭·평행이동과 정적분 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 두 곡선 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R5-Q1 | 대수 | 상용로그의 소수부분 일치 조건 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 상용로그의 활용 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.24 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-05] | 10점/중 |
| R5-Q2 | 대수 | 지수함수의 평행이동 대응점과 중점 좌표 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수의 그래프와 평행이동 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/상 |
| R5-Q3 | 대수 | 부채꼴의 호의 길이와 중심각 호도법 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 호도법과 부채꼴의 호의 길이 및 중심각 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-01] | 10점/중 |
| R5-Q4 | 대수 | 시그마의 성질과 자연수 거듭제곱의 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 여러 가지 수열의 합과 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/중 |
| R5-Q5 | 대수 | 부분합 $S_n$과 일반항 및 부분분수 급수 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 여러 가지 수열의 합과 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/중 |
| R5-Q6 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리) | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한의 대소 관계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R5-Q7 | 미적분Ⅰ | 사잇값 정리를 이용한 실근 존재 구간 판정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 사잇값 정리와 실근의 존재성 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/중 |
| R5-Q8 | 미적분Ⅰ | 곡선 밖의 점에서 그은 두 접선의 기울기 곱 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 곡선 밖의 점에서 그은 접선 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/상 |
| R5-Q9 | 미적분Ⅰ | 정적분 항등식과 닫힌구간 최대·최소 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수와 미분의 관계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R5-Q10 | 미적분Ⅰ | 수직선 운동의 위치 변화량과 움직인 거리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 수직선 운동의 위치와 움직인 거리 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/중 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R6-Q1 | 대수 | 지수법칙을 이용한 지수 역수식의 소거 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수의 확장과 지수법칙 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/상 |
| R6-Q2 | 대수 | 치환 지수함수의 닫힌구간 최대·최소 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수의 최대와 최소 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/중 |
| R6-Q3 | 대수 | 로그함수와 수평선의 교점 비례 추론 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그함수의 그래프와 역함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/상 |
| R6-Q4 | 대수 | 삼각함수 합·곱 관계식과 세제곱 대칭식 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 사이의 관계식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중 |
| R6-Q5 | 대수 | 수학적 귀납법을 이용한 부등식의 성립 조건 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 부등식 증명 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-07] | 10점/중 |
| R6-Q6 | 미적분Ⅰ | 좌극한·우극한과 합성함수의 극한 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 우극한과 좌극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.10 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01] | 10점/상 |
| R6-Q7 | 미적분Ⅰ | 곱함수의 미분가능성과 미정계수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분가능성과 연속성 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/상 |
| R6-Q8 | 미적분Ⅰ | 사차부등식을 만족시키는 정수 해의 개수 추론 (킬러 1 매칭) | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 부등식에의 미분 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/최상 |
| R6-Q9 | 미적분Ⅰ | 정적분 상수 치환 방정식 (프레드홀름형) | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질과 대칭구간 계산 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R6-Q10 | 미적분Ⅰ | 제동 후 정지할 때까지 움직인 거리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 제동 시각과 정지 거리 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.35 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/중 |
| R7-Q1 | 대수 | 거듭제곱근 중 실수인 것의 개수 함수 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 거듭제곱과 거듭제곱근 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-01] | 10점/상 |
| R7-Q2 | 대수 | 감소하는 로그함수와 이차 진수의 최대·최소 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그함수의 최대와 최소 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/중 |
| R7-Q3 | 대수 | 치환 삼각함수의 이차 최대·최소 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수의 주기와 최대·최소 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중 |
| R7-Q4 | 대수 | 직각삼각형 내분선과 코사인법칙 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 코사인법칙과 도형의 활용 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R7-Q5 | 대수 | 등차수열의 절댓값 최소 항과 부분합 최대 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 등차수열과 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-06] | 10점/상 |
| R7-Q6 | 미적분Ⅰ | 무한대 극한과 점 극한을 결합한 삼차함수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 미정계수의 결정과 다항함수 추론 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/상 |
| R7-Q7 | 미적분Ⅰ | 미분계수의 정의 항등식과 삼차함수 추론 (킬러 2 매칭) | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수의 정의와 극한 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01] | 10점/최상 |
| R7-Q8 | 미적분Ⅰ | 원기둥 내접 부피의 최대화 활용 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 최대와 최소 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/상 |
| R7-Q9 | 미적분Ⅰ | 우함수·기함수 대칭구간 정적분과 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질과 대칭구간 계산 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R7-Q10 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 두 곡선 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R8-Q1 | 대수 | 로그의 밑변환 연쇄 곱과 지수 연산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 로그의 밑변환 공식 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.21 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/중 |
| R8-Q2 | 대수 | 지수함수와 역함수의 두 교점 사이의 거리 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그함수의 그래프와 역함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/상 |
| R8-Q3 | 대수 | 치환 이차 삼각부등식의 해 구간 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각방정식과 삼각부등식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중 |
| R8-Q4 | 대수 | 원에 내접하는 사각형의 대각선 코사인법칙 (킬러 3 매칭) | [출처: 대수 Ⅱ-2. 코사인법칙과 도형의 활용 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/최상 |
| R8-Q5 | 대수 | 선형 점화식 $a_{n+1} = 2a_n + 3$의 귀납 추론과 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 등식 증명 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-07] | 10점/상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R8-Q6 | 미적분Ⅰ | 무리함수가 포함된 극한의 미정계수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 무리식의 부정형 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R8-Q7 | 미적분Ⅰ | 삼차함수가 실수 전체에서 역함수를 가질 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 극대와 극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/중 |
| R8-Q8 | 미적분Ⅰ | 두 삼차·일차함수가 열린구간에서 항상 성립할 부등식 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 부등식에의 미분 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| R8-Q9 | 미적분Ⅰ | 위끝에 (x-t)가 곱해진 정적분으로 정의된 함수 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수의 극값 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 문제 7 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R8-Q10 | 미적분Ⅰ | 두 포물선으로 둘러싸인 넓이의 최소값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 두 곡선 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R9-Q1 | 대수 | 치환 지수방정식의 두 실근의 합과 차 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수방정식과 지수부등식 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/상 |
| R9-Q2 | 대수 | 절댓값이 포함된 로그부등식의 정수 해 개수 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그방정식과 로그부등식 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/상 |
| R9-Q3 | 대수 | 절댓값 코사인 방정식의 실근 개수와 합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각방정식과 삼각부등식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중 |
| R9-Q4 | 대수 | 가게 대칭 곱 시그마 수열의 다항식 계수 결정 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 여러 가지 수열의 합과 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/상 |
| R9-Q5 | 대수 | 등비수열을 이루는 외접 세 원과 공통외접선 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 등비수열과 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06] | 10점/상 |
| R9-Q6 | 미적분Ⅰ | 교점의 개수 불연속 함수와 연속 삼차함수의 곱 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 연속함수의 성질 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.29 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/상 |
| R9-Q7 | 미적분Ⅰ | 평균값 정리의 조건 만족 상수 c 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 롤의 정리와 평균값 정리 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] | 10점/중 |
| R9-Q8 | 미적분Ⅰ | 직선 운동에서 최고 높이 도달 시각과 가속도 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 직선 운동의 속도와 가속도 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-10] | 10점/중 |
| R9-Q9 | 미적분Ⅰ | 포물선과 직선에 의한 넓이 비 27:37 분할 (킬러 4 매칭) | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/최상 |
| R9-Q10 | 미적분Ⅰ | 우함수 사차함수의 정적분 방정식 해의 합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질과 대칭구간 계산 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/최상 |
| R10-Q1 | 대수 | 로그의 차와 산술·기하 평균의 결합 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 로그의 밑변환 공식 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.21 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/상 |
| R10-Q2 | 대수 | 지수함수와 수평선의 교점 선분 길이 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수의 활용 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중 |
| R10-Q3 | 대수 | 삼각형 넓이 공식과 내각의 이등분선 길이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 종합 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R10-Q4 | 대수 | 등차수열 세제곱 시그마와 부등식 최소 항 번호 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 여러 가지 수열의 합과 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/상 |
| R10-Q5 | 대수 | 6주기 귀납적 수열과 26항 절댓값 시그마 (킬러 5 매칭) | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 일반항 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/최상 |
| R10-Q6 | 미적분Ⅰ | 매개변수 t에 대한 도형 넓이의 무한대 극한 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 무리식의 부정형 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/상 |
| R10-Q7 | 미적분Ⅰ | 이차함수와 절댓값 함수의 접합 미분가능성 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분가능성과 연속성 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/상 |
| R10-Q8 | 미적분Ⅰ | 구간 접합 삼차함수의 극값 존재 매개변수 범위 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 극대와 극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/상 |
| R10-Q9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 함수의 극한값 계산 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수와 미분의 관계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R10-Q10 | 미적분Ⅰ | 리만 넓이 등분 곡선과 정적분 종합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 두 곡선 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
두 실수 $A = \sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{-16}$과 $B = \left(8^{\frac{1}{2}} \times 4^{-\frac{1}{4}}\right)^2$에 대하여 ① $A = k\sqrt[3]{2}$를 만족하는 유리수 $k$의 값과 ② $k + B$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
두 실수 $M = 2\log_5 10 + \log_5 0.25$와 $N = 9^{\log_3 5}$에 대하여 $M,\; N$의 값을 각각 구하고 $M + N$을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
실수 $x$에 대한 두 부등식 $(ㄱ)\ 4^x - 10 \cdot 2^{x+1} + 64 \le 0$과 $(ㄴ)\ \log_2(x - 1) + \log_2(11 - x) \ge 4$를 동시에 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
$\sin\theta\cos\theta \lt 0$을 만족시키는 각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta = -\dfrac{5}{13}$일 때, $13\sin\theta - 5\tan\theta$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여
$$a_n = \begin{cases} 3n - 2 & (n\text{이 홀수인 경우}) \\ 2a_{n-1} - 3n + 7 & (n\text{이 짝수인 경우}) \end{cases}$$를 만족시킬 때, $\displaystyle\sum_{m=1}^{40} a_m$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
두 극한값 $P = \displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x^2 - x - 6}$과 $Q = \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{(2x + 1)(3x - 2)}{x^2 + 4x + 5}$에 대하여 $5P + Q$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
두 다항함수 $f(x),\; g(x)$가
$$\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 2g(x)}{x - 2} = 5, \qquad \lim_{x \to 2} \frac{2f(x) + g(x) - 15}{x^2 - 4} = 4$$를 만족시킨다. 함수 $h(x) = f(x)g(x)$라 할 때, $h'(2)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 4$에 접하고 직선 $x + 9y - 5 = 0$에 수직인 접선의 방정식과 그 접선의 $y$절편을 구하시오. (단, 접점의 $x$좌표는 양수이다. 10점)
두 정적분 $I = \displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x - 1)\,dx + \int_{2}^{3} (3t^2 + 4t - 1)\,dt$와 $J = \displaystyle\int_{0}^{3} |x^2 - 2x|\,dx$에 대하여 $I + 3J$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
함수 $f(x) = x^2 - 2x + 3$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $A(2, f(2))$에서의 접선에 수직이고 점 $A$를 지나는 직선을 $y = l(x)$라 할 때, 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = l(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오. (10점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 문항 1 | 대수 | 거듭제곱근의 성질과 유리수 지수 연산 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 2 | 대수 | 로그의 성질과 지수 위의 로그 변환 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 3 | 대수 | 지수·로그 연립부등식과 정수 해의 합 | 10점 | 상 |
| 제1회 | 문항 4 | 대수 | 동경의 사분면 판정과 삼각함수의 값 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 5 | 대수 | 홀짝 분기 점화식 수열의 묶음 부분합 | 10점 | 상 |
| 제1회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 부정형 유리함수의 극한값 계산 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한과 곱의 미분법 연립 | 10점 | 상 |
| 제1회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 수직인 직선 조건과 삼차곡선의 접선 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 구간 결합 정적분과 절댓값 정적분 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 법선의 방정식과 포물선으로 둘러싸인 넓이 | 10점 | 상 |
지수부등식 $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 4x} \ge \left(\dfrac{1}{27}\right)^{x - 2}$를 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
$x \gt 0$에서 정의된 방정식 $(\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 2 = 0$의 두 실근을 $\alpha,\; \beta$라 할 때, ① $\alpha\beta$의 값과 ② $\log_{\alpha}\beta + \log_{\beta}\alpha$의 값을 구하시오. (10점)
방정식 $\log_2 x + \log_x 16 = 5$의 모든 실근의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
양의 실수 $k$에 대하여 함수 $f(x) = 4\sin(3kx)$의 주기를 $g(k)$라 하고, $h(k) = f(g(k)) + 2\sin\left\{\dfrac{3}{4}g(k) + \dfrac{\pi}{6}\right\}$라 하자. $h(k)$가 최댓값을 갖도록 하는 양수 $k$의 최댓값을 $a$, 최솟값을 갖도록 하는 양수 $k$의 최댓값을 $b$라 할 때, $a + 4b$의 값을 구하시오. (10점)
모든 항이 양수인 등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_3 = 7,\; S_6 = 63$일 때, 공비 $r$와 $S_9$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
등식 $\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + ax + b}{x + 1} = -5$가 성립할 때, 상수 $a,\; b$에 대하여 $a^2 + b^2$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$이 $x = -1$에서 극댓값 $6$을 가질 때, 상수 $a,\; b$의 값과 함수 $f(x)$의 극솟값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
함수 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$의 그래프와 직선 $y = k$가 오직 한 점에서만 만나도록 하는 $10$ 이하의 모든 자연수 $k$의 값의 합 $S$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
닫힌구간 $[-1, 2]$에서 함수 $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 합 $M + m$을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 $f(x) = \dfrac{1}{9}x^3$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제2회 | 문항 1 | 대수 | 밑이 1보다 작은 지수부등식의 정수 해 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 2 | 대수 | 로그방정식의 두 근과 밑변환 공식 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 3 | 대수 | 밑에 미지수가 있는 로그방정식의 해 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 4 | 대수 | 삼각함수의 주기와 최대·최소 매개변수 | 10점 | 상 |
| 제2회 | 문항 5 | 대수 | 등비수열의 부분합의 비와 $S_9$ 계산 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 유리함수의 극한과 미정계수의 제곱합 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 극댓값 조건과 극솟값 결정 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차함수와 수평선의 한 점 교점 조건 | 10점 | 상 |
| 제2회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 닫힌구간에서 사차함수의 최댓값과 최솟값 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 삼차함수와 역함수로 둘러싸인 도형의 넓이 | 10점 | 상 |
함수 $y = 2^x$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동한 식이 $y = 2^{x-3} + 5$일 때, 평행이동된 그래프의 점근선의 방정식과 $y$절편 $k$에 대하여 $m + n + 8k$의 값을 구하시오. (10점)
로그 $\log_{|x - 2|}(-x^2 + 6x - 5)$가 정의되도록 하는 모든 정수 $x$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
$0 \le x \lt 2\pi$일 때 방정식 $4\cos^2(2x) - 3 = 0$의 서로 다른 모든 실근의 개수를 $a$, 모든 실근의 합을 $b\pi$라 하자. $a + b$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
삼각형 $ABC$에서 등식 $a\sin A = b\sin B + c\sin C$가 성립하고 $b = 6,\; c = 8$일 때, 외접원의 반지름의 길이 $R$와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$에 대하여 $R + S$의 값을 구하시오. (10점)
수열 $\{a_n\}$이 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 14$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+4} = 12 - a_n$을 만족시킬 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{84} a_k$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
상수 $a,\; b$에 대하여 일차함수 $f(x) = ax + b$가 $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 3$, $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{\{f(x)\}^2 - 9}{\sqrt{f(-x) + 2} - 3} = k\ (k \ne 0)$를 만족시킬 때, $\dfrac{k}{a - b}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
함수 $f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x \lt 1) \\ x^2 - 1 & (x \ge 1) \end{cases}$과 일차함수 $g(x) = 2x + k$에 대하여 곱함수 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $k$와 $g(5)$의 값을 구하시오. (10점)
두 곡선 $y = x^3 + ax + 3$과 $y = 2x^2 + b$가 $x = 1$인 점에서 공통인 접선을 가질 때, 상수 $a,\; b$의 값과 공통접선의 방정식을 구하시오. (10점)
곡선 $y = f(x)$가 점 $(1, 2)$를 지나고 모든 실수 $x$에 대하여 $|f'(x)| \le 6$을 만족시키는 다항함수일 때, $f\left(\dfrac{5}{2}\right)$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M^2 + Mm + m^2$의 값을 구하시오. (10점)
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (t^2 - 2t - 3)\,dt$의 극댓값과 극솟값의 차를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제3회 | 문항 1 | 대수 | 지수함수의 평행이동과 점근선·절편 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 2 | 대수 | 로그가 정의되기 위한 밑과 진수 조건 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 3 | 대수 | 배각 치환 삼각방정식의 실근 개수와 합 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 4 | 대수 | 사인법칙을 이용한 삼각형 모양 판정과 넓이 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 5 | 대수 | 4항 주기 점화식을 갖는 수열의 84항 합 | 10점 | 상 |
| 제3회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 무리식 부정형 극한과 일차함수 결정 | 10점 | 상 |
| 제3회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 불연속 구간함수와 일차함수의 곱의 연속성 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 두 곡선의 공통접선의 방정식 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 평균값 정리와 함숫값의 최대·최소 범위 | 10점 | 상 |
| 제3회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 함수의 극댓값과 극솟값 차 | 10점 | 중 |
양수 $x$에 대하여 $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 4$일 때, $\dfrac{x^2 + x^{-2} + 2}{x + x^{-1}}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
그림과 같이 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 3,\; \overline{AC} = 5,\; \angle BAC = \dfrac{2}{3}\pi$일 때, 외접원의 반지름의 길이를 $R$, 삼각형 $ABC$의 넓이를 $S$라 하자. $R \times S$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
양수 $a,\; b$와 실수 $c$에 대하여 함수 $f(x) = a\cos(bx) + c$의 주기가 $\dfrac{\pi}{2}$이고 최댓값이 $7$, 최솟값이 $-1$일 때, $f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
등차수열 $\{a_n\}$이 $a_3 + a_7 = 24$이고 $a_8 - a_4 = 12$를 만족시킬 때, 첫째항부터 제$10$항까지의 합 $S_{10}$을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
첫째항이 $4$이고 공차가 양수 $d$인 등차수열 $\{a_n\}$이 $\displaystyle\sum_{k=1}^{15} \frac{a_{k+1} - a_k}{\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k}} = 6$을 만족시킬 때, 공차 $d$와 $a_{10}$의 값을 각각 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
다항함수 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$에 대하여 두 극한값 $A = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(1 + 3h) - f(1 - 2h)}{h}$와 $B = \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 f(1) - f(x)}{x - 1}$의 합 $A + B$를 구하시오. (10점)
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x) = \begin{cases} x^3 + ax^2 + bx & (x \lt 1) \\ 2x^2 - x + 3 & (x \ge 1) \end{cases}$에 대하여 닫힌구간 $[-2, 2]$에서 $f(x)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 차 $M - m$을 구하시오. (10점)
방정식 $2x^3 - 6x^2 + k = 0$이 오직 한 개의 실근과 두 개의 허근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하고, 이를 만족하는 가장 작은 양의 정수 $k$를 구하시오. (10점)
곡선 $y = x^2 - 3x - 1$과 직선 $y = x + 4$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
함수 $f(x) = x^2 - 2x - 2$의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭이동한 후 $x$축의 방향으로 $2$만큼, $y$축의 방향으로 $4$만큼 평행이동하면 함수 $y = g(x)$의 그래프와 일치한다. 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$를 구하시오. (10점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제4회 | 문항 1 | 대수 | 유리수 지수의 대칭식 곱셈 공식 변형 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 2 | 대수 | 사인법칙과 코사인법칙을 이용한 외접원과 넓이 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 3 | 대수 | 삼각함수의 주기·최대·최소와 미정계수 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 4 | 대수 | 등차중항과 등차수열의 부분합 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 5 | 대수 | 등차수열과 무리식의 축차소거 합 | 10점 | 상 |
| 제4회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 미분계수의 정의를 이용한 극한식의 변형 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 구간별 정의된 함수의 미분가능성과 최대·최소 | 10점 | 상 |
| 제4회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 오직 한 실근을 가질 조건 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 이차함수와 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 포물선의 대칭·평행이동과 정적분 넓이 | 10점 | 상 |
$10 \lt x \lt 10\sqrt{10}$인 실수 $x$에 대하여 $\log x^3$의 소수부분과 $\log\sqrt{x}$의 소수부분이 서로 같을 때, $x^5$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
기울기가 $-2$인 직선이 두 지수함수 $y = 2^x$와 $y = 2^{x+3} + 6$의 그래프와 만나는 점을 각각 $A,\; B$라 하자. 선분 $AB$의 중점의 좌표가 $\left(\dfrac{7}{2}, k\right)$일 때, 상수 $k$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
그림과 같이 반지름의 길이가 $r$이고 중심각의 크기가 $\theta\ (0 \lt \theta \lt 2\pi)$인 부채꼴의 둘레의 길이가 $16$이고 호의 길이가 반지름의 길이의 $2$배일 때, $r + \theta$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
수열의 합 $S = \displaystyle\sum_{k=1}^{8} (3k - 1)(k + 1)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n = 2n^2 + 3n$일 때, ① 일반항 $a_n$과 ② $\displaystyle\sum_{k=1}^{12} \frac{4}{a_k a_{k+1}}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
함수 $f(x)$가 모든 양의 실수 $x$에 대하여 부등식 $6x^2 - 2x \le (x + 1)f(x) \le 6x^2 + 5x$를 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
방정식 $x^3 + 2x - 10 = 0$은 오직 하나의 실근 $\alpha$를 갖는다. 자연수 $n$에 대하여 열린구간 $(n, n + 1)$에 실근 $\alpha$가 존재하도록 하는 $n$의 값을 사잇값 정리를 이용하여 구하시오. (10점)
점 $(0, -2)$에서 곡선 $y = x^2 - 2x + 2$에 그은 두 접선의 기울기의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 6x^2 + 9x + a$를 만족시킬 때, 상수 $a$의 값과 닫힌구간 $[0, 4]$에서 $f(x)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 합 $a + M + m$을 구하시오. (10점)
수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t\ (t \ge 0)$에서의 속도 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$일 때, 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $P$의 위치의 변화량 $\Delta x$와 실제로 움직인 거리 $L$의 합 $\Delta x + L$을 구하시오. (10점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제5회 | 문항 1 | 대수 | 상용로그의 소수부분 일치 조건 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 2 | 대수 | 지수함수의 평행이동 대응점과 중점 좌표 | 10점 | 상 |
| 제5회 | 문항 3 | 대수 | 부채꼴의 호의 길이와 중심각 호도법 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 4 | 대수 | 시그마의 성질과 자연수 거듭제곱의 합 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 5 | 대수 | 부분합 $S_n$과 일반항 및 부분분수 급수 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리) | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 사잇값 정리를 이용한 실근 존재 구간 판정 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 곡선 밖의 점에서 그은 두 접선의 기울기 곱 | 10점 | 상 |
| 제5회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 정적분 항등식과 닫힌구간 최대·최소 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 수직선 운동의 위치 변화량과 움직인 거리 | 10점 | 중 |
두 실수 $a,\; b$가 $18^a = 27,\; 2^b = 9$를 만족시킬 때, $\dfrac{3}{a} - \dfrac{2}{b}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
닫힌구간 $[-1, 2]$에서 함수 $f(x) = 9^x - 6 \cdot 3^x + 12$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 합 $M + m$을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
$3 \lt a \lt b$이고 $a : b = 1 : 2$인 두 실수 $a,\; b$에 대하여 직선 $y = 2$가 세 곡선 $y = \log_3 x$, $y = \log_a x$, $y = \log_b x$와 만나는 점을 각각 $A,\; B,\; C$라 하자. $\overline{AB} : \overline{BC} = 1 : 6$일 때, $a^2 + b^2$의 값을 구하시오. (10점)
$\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$일 때, $16(\sin^3\theta + \cos^3\theta)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
$n \ge 4$인 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $2^n \gt n^2 + k$가 항상 성립하도록 하는 가장 큰 정수 $k$를 구하고, 그 $k$에 대하여 $n = 4$일 때와 $n = m \implies n = m + 1$일 때의 차 $(2^{m+1}) - \{(m+1)^2 + k\}$가 양수임을 서술하시오. (10점)
그림과 같이 구간별로 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x \lt 1) \\ 1 & (x = 1) \\ -x + 3 & (x \gt 1) \end{cases}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(f(x)) + \lim_{x \to 1^+} f(x - 1)$의 값을 구하시오. (10점)
함수 $f(x) = |x - 2|$와 이차함수 $g(x) = x^2 + ax + 2$에 대하여 곱함수 $h(x) = f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 상수 $a$의 값과 $h'(0)$의 값을 구하시오. (10점)
두 함수 $f(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 - 10x$, $g(x) = 2x^3 + x^2 + 14x + k$에 대하여 부등식 $f(x) \le g(x)$를 만족시키는 정수 $x$의 개수가 $3$이 되도록 하는 모든 정수 $k$의 개수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = 3x^2 - 4x + 2\displaystyle\int_{0}^{1} f(t)\,dt$를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
직선 궤도를 $24\text{ m/s}$의 속도로 달리는 열차가 제동을 건 지 $t$초 후의 속도가 $v(t) = 24 - 4t\ (\text{m/s})$라 한다. 제동을 건 후 열차가 완전히 정지할 때까지 달린 거리를 구하시오. (10점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제6회 | 문항 1 | 대수 | 지수법칙을 이용한 지수 역수식의 소거 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 2 | 대수 | 치환 지수함수의 닫힌구간 최대·최소 | 10점 | 중 |
| 제6회 | 문항 3 | 대수 | 로그함수와 수평선의 교점 비례 추론 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 4 | 대수 | 삼각함수 합·곱 관계식과 세제곱 대칭식 | 10점 | 중 |
| 제6회 | 문항 5 | 대수 | 수학적 귀납법을 이용한 부등식의 성립 조건 | 10점 | 중 |
| 제6회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 좌극한·우극한과 합성함수의 극한 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 곱함수의 미분가능성과 미정계수 결정 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 사차부등식을 만족시키는 정수 해의 개수 추론 (킬러 1 매칭) | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 정적분 상수 치환 방정식 (프레드홀름형) | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 제동 후 정지할 때까지 움직인 거리 | 10점 | 중 |
$2$ 이상의 자연수 $n$과 실수 $a$에 대하여 $a$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n, a)$라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=2}^{9} f(n, n - 5)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
닫힌구간 $[-2, 4]$에서 함수 $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4x + 20)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 합 $M + m$을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
$0 \le x \lt 2\pi$에서 함수 $f(x) = 2\cos^2 x - 4\sin x + 3$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $2M + m$의 값을 구하시오. (10점)
그림과 같이 $\angle B = \dfrac{\pi}{2}$이고 $\overline{AB} = 4,\; \overline{BC} = 2$인 직각삼각형 $ABC$에서 변 $AB$를 $1 : 3$으로 내분하는 점을 $D$라 하자. $\cos^2(\angle ACD) = \dfrac{q}{p}$일 때, $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p,\; q$는 서로소인 자연수이다. 10점)
첫째항이 $25$이고 공차가 $-4$인 등차수열 $\{a_n\}$에서 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 최대가 되도록 하는 자연수 $n$과 그때의 최댓값 $M$의 합 $n + M$을 구하시오. (10점)
다항함수 $f(x)$가 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - x^3}{x^2} = 2$와 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = -4$를 모두 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
최고차항의 계수가 $1$인 다항함수 $f(x)$가 $f(0) = 0$이고, 모든 실수 $x$에 대하여
$$\lim_{h \to 0} \frac{\{f(x + h^2 + 2h + 1) - f(x + 1)\}f\left(\frac{h}{2}\right)}{h^2} = 3x^2 + 8x + 6$$을 만족시킬 때, $f(3)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 $6$이고 높이가 $12$인 직원뿔에 내접하는 직원기둥의 부피가 최대일 때, 그 직원기둥의 밑면의 반지름의 길이 $r$와 최대 부피 $V$를 구하시오. (10점)
다항함수 $f(x) = x^3 - 5x$에 대하여 정적분 $\displaystyle\int_{-3}^{3} (x^2 + 2)\{f(x) + 3\}\,dx$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
곡선 $y = x^3 - 2x^2 + 1$ 위의 점 $(1, 0)$에서의 접선과 이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제7회 | 문항 1 | 대수 | 거듭제곱근 중 실수인 것의 개수 함수 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 2 | 대수 | 감소하는 로그함수와 이차 진수의 최대·최소 | 10점 | 중 |
| 제7회 | 문항 3 | 대수 | 치환 삼각함수의 이차 최대·최소 | 10점 | 중 |
| 제7회 | 문항 4 | 대수 | 직각삼각형 내분선과 코사인법칙 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 5 | 대수 | 등차수열의 절댓값 최소 항과 부분합 최대 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 무한대 극한과 점 극한을 결합한 삼차함수 결정 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 미분계수의 정의 항등식과 삼차함수 추론 (킬러 2 매칭) | 10점 | 최상 |
| 제7회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 원기둥 내접 부피의 최대화 활용 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 우함수·기함수 대칭구간 정적분과 넓이 | 10점 | 중 |
| 제7회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | 10점 | 상 |
$A = \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8$이고 $B = \log_4 9 + \log_2 6 - \log_2 18$일 때, $A - B$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
함수 $f(x) = 2^{x-2} + 1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$의 두 교점 사이의 거리를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
$0 \le x \le 2\pi$에서 부등식 $2\sin^2 x - 3\cos x \ge 0$의 해가 $\alpha \le x \le \beta$일 때, $\dfrac{\beta - \alpha}{\pi}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
그림과 같이 원에 내접하는 사각형 $ABCD$에서 $\overline{AB} = 3,\; \overline{BC} = 3,\; \overline{CD} = 5,\; \overline{DA} = 3$이다. $\angle ABC = \theta$라 할 때, $\cos\theta$의 값과 대각선 $\overline{AC}^2$의 값을 각각 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
$a_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 2a_n + 3$을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_n + 3$이 등비수열임을 이용하여 일반항 $a_n$과 $\displaystyle\sum_{k=1}^{8} a_k$의 값을 구하시오. (10점)
등식 $\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{2x + a} - 3}{x - 3} = b$가 성립하도록 하는 두 상수 $a,\; b$에 대하여 $a + 9b$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + (2a + 9)x + 1$이 실수 전체의 집합에서 역함수를 갖도록 하는 모든 정수 $a$의 개수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
$x \ge 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x^3 - 3x^2 - 9x + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle\int_{1}^{x} (x - t)f(t)\,dt = x^3 + ax^2 - 5x + b$를 만족시킬 때, $a + b + f(2)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
실수 $m$에 대하여 포물선 $y = x^2 - 2x$와 직선 $y = mx + 3$으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S(m)$이 최소가 될 때의 상수 $m$의 값과 그때의 최소 넓이를 구하시오. (10점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제8회 | 문항 1 | 대수 | 로그의 밑변환 연쇄 곱과 지수 연산 | 10점 | 중 |
| 제8회 | 문항 2 | 대수 | 지수함수와 역함수의 두 교점 사이의 거리 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 3 | 대수 | 치환 이차 삼각부등식의 해 구간 | 10점 | 중 |
| 제8회 | 문항 4 | 대수 | 원에 내접하는 사각형의 대각선 코사인법칙 (킬러 3 매칭) | 10점 | 최상 |
| 제8회 | 문항 5 | 대수 | 선형 점화식 $a_{n+1} = 2a_n + 3$의 귀납 추론과 합 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 무리함수가 포함된 극한의 미정계수 결정 | 10점 | 중 |
| 제8회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 삼차함수가 실수 전체에서 역함수를 가질 조건 | 10점 | 중 |
| 제8회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 두 삼차·일차함수가 열린구간에서 항상 성립할 부등식 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 위끝에 (x-t)가 곱해진 정적분으로 정의된 함수 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 두 포물선으로 둘러싸인 넓이의 최소값 | 10점 | 상 |
방정식 $9^x - 12 \cdot 3^x + m = 0$의 서로 다른 두 실근 $\alpha,\; \beta$ ($\alpha \lt \beta$)에 대하여 $\alpha + \beta = 3$일 때, 상수 $m$의 값과 $\beta - \alpha$의 값을 각각 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
부등식 $-\log_{\frac{1}{3}} |x| + \log_3 (x + 2) \le 2$를 만족시키는 모든 정수 $x$의 개수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
$0 \le x \lt 2\pi$에서 방정식 $|\cos 3x| = \dfrac{1}{2}$을 만족시키는 서로 다른 모든 실근의 개수를 $a$, 모든 실근의 합을 $b\pi$라 할 때, $a + b$의 값을 구하시오. (10점)
$3$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 합 $S_n = 1 \cdot (n - 1) + 2 \cdot (n - 2) + 3 \cdot (n - 3) + \cdots + (n - 1) \cdot 1$을 $n$에 대한 식으로 나타내면 $S_n = \dfrac{n(n + a)(n + b)}{6}$이다. 상수 $a,\; b$에 대하여 $a^2 + b^2$의 값을 구하시오. (10점)
중심 $O_1,\; O_2,\; O_3$이 한 직선 위에 차례로 놓여 서로 외접하는 세 원 $C_1,\; C_2,\; C_3$의 반지름 $r_1,\; r_2,\; r_3$이 이 순서대로 공비 $r\ (r \gt 1)$인 등비수열을 이룬다. 세 원에 모두 접하는 직선 $l$이 두 원 $C_1,\; C_3$과 접하는 점을 각각 $G,\; H$라 할 때, $r_1 = 2,\; \overline{GH} = 40$이면 공비 $r$와 $r_2 + r_3$의 값을 구하시오. (10점)
함수 $y = |x^2 - 4x|$의 그래프와 직선 $y = t$가 만나는 점의 개수를 $f(t)$라 하자. 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $g(t)$에 대하여 함수 $f(t)g(t)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $f(2) + g(5)$의 값을 구하시오. (10점)
함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c\ (0 \lt c \lt 3)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
지면에서 지면과 수직하게 위로 던져 올린 물체의 $t$초 후의 높이가 $x(t) = 30t - 5t^2\ (\text{m})$일 때, 물체가 최고 높이에 도달하는 시각 $t_1$, 최고 높이 $H$, 그리고 $t = 2$에서의 속력 $|v(2)|$의 합 $t_1 + H + |v(2)|$를 구하시오. (10점)
그림과 같이 곡선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형을 원점을 지나는 직선 $y = mx\ (0 \lt m \lt 4)$가 두 영역으로 나눈다. 곡선과 직선으로 둘러싸인 위쪽 영역의 넓이를 $S_1$, 나머지 아래쪽 영역의 넓이를 $S_2$라 할 때, $37S_1 = 27S_2$를 만족시키는 상수 $m$의 값을 구하시오. (10점)
실수 전체에서 정의된 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = 5x^4 + x^2\displaystyle\int_{-1}^{1} f(t)\,dt - \left|\int_{0}^{1} f(t)\,dt\right|$를 만족시킬 때, 가능한 모든 $f(1)$의 값의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제9회 | 문항 1 | 대수 | 치환 지수방정식의 두 실근의 합과 차 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 2 | 대수 | 절댓값이 포함된 로그부등식의 정수 해 개수 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 3 | 대수 | 절댓값 코사인 방정식의 실근 개수와 합 | 10점 | 중 |
| 제9회 | 문항 4 | 대수 | 가게 대칭 곱 시그마 수열의 다항식 계수 결정 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 5 | 대수 | 등비수열을 이루는 외접 세 원과 공통외접선 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 교점의 개수 불연속 함수와 연속 삼차함수의 곱 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 평균값 정리의 조건 만족 상수 c 결정 | 10점 | 중 |
| 제9회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 직선 운동에서 최고 높이 도달 시각과 가속도 | 10점 | 중 |
| 제9회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 포물선과 직선에 의한 넓이 비 27:37 분할 (킬러 4 매칭) | 10점 | 최상 |
| 제9회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 우함수 사차함수의 정적분 방정식 해의 합 | 10점 | 최상 |
$1$이 아닌 서로 다른 두 양수 $a,\; b$가 $\log_a b = \log_b a$를 만족시킬 때, $4a + 9b$의 최솟값 $m$과 그때의 $a$의 값 $\alpha$에 대하여 $m + 6\alpha$의 값을 구하시오. (10점)
직선 $y = k\ (k \gt 1)$가 두 지수함수 $y = 2^x$와 $y = 4^x$의 그래프와 만나는 점을 각각 $A,\; B$라 하자. 선분 $AB$의 길이가 $\dfrac{3}{2}$일 때, $k^2$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
그림과 같이 $\overline{AB} = 6,\; \overline{AC} = 3,\; \angle BAC = \dfrac{2}{3}\pi$인 삼각형 $ABC$에서 $\angle BAC$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 할 때, 선분 $AD$의 길이를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
첫째항이 $1$이고 공차가 $2$인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. 부등식 $S_n \gt \displaystyle\sum_{k=1}^{4} (a_k)^2$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
$a_1 = a\ (a \gt 0),\; a_2 = -3$인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+2} = a_{n+1} - a_n$을 만족시킨다. $\displaystyle\sum_{k=1}^{26} |a_k| = 119$일 때, 양수 $a$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
양수 $t$에 대하여 제$1$사분면에서 곡선 $y = x^2$과 직선 $y = -2x + t$ 및 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(t)$라 할 때, $\displaystyle\lim_{t \to \infty} \frac{S(t)}{t\sqrt{t}}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
최고차항의 계수가 $-\dfrac{1}{2}$이고 $x = 6$에서 최댓값을 갖는 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x) = \begin{cases} f(x) & (x \le a) \\ |2x - 6| & (x \gt a) \end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 상수 $a\ (a \gt 3)$와 $f(0)$에 대하여 $a - f(0)$의 값을 구하시오. (10점)
실수 $t$에 대하여 삼차함수 $g(x) = -4x^3 + (t + 1)x^2 - 3x + 2$가 극값을 갖도록 하는 실수 $t$의 값의 범위가 $t \lt \alpha$ 또는 $t \gt \beta$일 때, $\alpha + \beta$의 값을 구하고 정수 $t \in [\alpha, \beta]$의 개수를 구하시오. (10점)
함수 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 5$에 대하여 극한값 $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{1}{x^2 - 4} \int_{2}^{x} f(t)\,dt$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
그림과 같이 닫힌구간 $[0, 2]$에서 곡선 $y = x^2$과 직선 $x = 2$ 및 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 곡선 $y = ax^2\ (0 \lt a \lt 1)$이 이등분할 때, 상수 $a$의 값과 $12a$의 값을 구하시오. (10점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제10회 | 문항 1 | 대수 | 로그의 차와 산술·기하 평균의 결합 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 2 | 대수 | 지수함수와 수평선의 교점 선분 길이 | 10점 | 중 |
| 제10회 | 문항 3 | 대수 | 삼각형 넓이 공식과 내각의 이등분선 길이 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 4 | 대수 | 등차수열 세제곱 시그마와 부등식 최소 항 번호 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 5 | 대수 | 6주기 귀납적 수열과 26항 절댓값 시그마 (킬러 5 매칭) | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 매개변수 t에 대한 도형 넓이의 무한대 극한 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 이차함수와 절댓값 함수의 접합 미분가능성 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 구간 접합 삼차함수의 극값 존재 매개변수 범위 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 함수의 극한값 계산 | 10점 | 중 |
| 제10회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 리만 넓이 등분 곡선과 정적분 종합 | 10점 | 상 |
두 실수 $A = \sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{-16}$과 $B = \left(8^{\frac{1}{2}} \times 4^{-\frac{1}{4}}\right)^2$에 대하여 ① $A = k\sqrt[3]{2}$를 만족하는 유리수 $k$의 값과 ② $k + B$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 거듭제곱근의 성질 $\sqrt[3]{a^3 b} = a\sqrt[3]{b}$와 홀수 제곱근 부호 성질 $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$ 및 밑을 $2$로 통일하는 지수법칙을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $A = \sqrt[3]{27 \times 2} - (-\sqrt[3]{8 \times 2}) = 3\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}$이므로 $k = 5$이고, $B = \left(2^{\frac{3}{2}} \times 2^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = (2^1)^2 = 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $k = 5,\; B = 4$이므로 $k + B = 5 + 4 = 9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $A = 3\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}$로부터 $k = 5$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 밑 $2$의 유리수 지수 법칙으로 $B = 4$ 계산 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $k + B = 9$ 최종 산출 | 3점 |
두 실수 $M = 2\log_5 10 + \log_5 0.25$와 $N = 9^{\log_3 5}$에 대하여 $M,\; N$의 값을 각각 구하고 $M + N$을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 밑이 같은 로그의 덧셈 공식 $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$와 지수 로그 성질 $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $M = \log_5(10^2 \times 0.25) = \log_5 25 = 2$이고, $N = 9^{\log_3 5} = 5^{\log_3 9} = 5^2 = 25$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $M = 2,\; N = 25$이므로 $M + N = 27$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 진수의 곱 연산으로 $M = \log_5 25 = 2$ 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 지수·로그 교환 성질로 $N = 5^2 = 25$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $M + N = 27$ 최종 계산 | 3점 |
실수 $x$에 대한 두 부등식 $(ㄱ)\ 4^x - 10 \cdot 2^{x+1} + 64 \le 0$과 $(ㄴ)\ \log_2(x - 1) + \log_2(11 - x) \ge 4$를 동시에 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (ㄱ)에서 $2^x = t\ (t \gt 0)$로 치환하면 $t^2 - 20t + 64 = (t-4)(t-16) \le 0$이므로 $4 \le 2^x \le 16 \implies 2 \le x \le 4$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] (ㄴ)에서 진수 조건은 $1 \lt x \lt 11$이고, $\log_2\{(x-1)(11-x)\} \ge \log_2 16 \implies (x-1)(11-x) \ge 16 \iff (x-3)(x-9) \le 0$이므로 $3 \le x \le 9$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 해집합의 공통범위는 $3 \le x \le 4$이므로 정수 $x = 3, 4$의 합은 $3 + 4 = 7$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 치환 $2^x=t$를 통해 (ㄱ)의 해 $2 \le x \le 4$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 진수 조건 $1 \lt x \lt 11$ 명시 및 (ㄴ)의 해 $3 \le x \le 9$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 공통범위 $3 \le x \le 4$의 정수 합 $7$ 산출 | 3점 |
$\sin\theta\cos\theta \lt 0$을 만족시키는 각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta = -\dfrac{5}{13}$일 때, $13\sin\theta - 5\tan\theta$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\cos\theta = -\dfrac{5}{13} \lt 0$이고 $\sin\theta\cos\theta \lt 0$이므로 $\sin\theta \gt 0$이어서 각 $\theta$는 제$2$사분면의 각이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$과 $\sin\theta \gt 0$으로부터 $\sin\theta = \sqrt{1 - \dfrac{25}{169}} = \dfrac{12}{13}$이고, $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\dfrac{12}{5}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $13\sin\theta - 5\tan\theta = 13 \times \dfrac{12}{13} - 5 \times \left(-\dfrac{12}{5}\right) = 12 + 12 = 24$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 부호 조건으로부터 제$2$사분면 판정 및 $\sin\theta \gt 0$ 결정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 제곱 관계식과 몫 관계식으로 $\sin\theta = \dfrac{12}{13},\; \tan\theta = -\dfrac{12}{5}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 대입 연산으로 최종 값 $24$ 도출 | 3점 |
수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여
$$a_n = \begin{cases} 3n - 2 & (n\text{이 홀수인 경우}) \\ 2a_{n-1} - 3n + 7 & (n\text{이 짝수인 경우}) \end{cases}$$를 만족시킬 때, $\displaystyle\sum_{m=1}^{40} a_m$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 자연수 $k$에 대하여 $a_{2k-1} = 3(2k-1) - 2 = 6k - 5$이고, $a_{2k} = 2(6k-5) - 6k + 7 = 6k - 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 인접한 두 항의 묶음 합은 $a_{2k-1} + a_{2k} = (6k - 5) + (6k - 3) = 12k - 8$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\displaystyle\sum_{m=1}^{40} a_m = \sum_{k=1}^{20} (12k - 8) = 12 \times \frac{20 \times 21}{2} - 8 \times 20 = 2520 - 160 = 2360$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 홀수항 $6k-5$와 짝수항 $6k-3$의 일반항 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 두 항 묶음 합 $a_{2k-1}+a_{2k}=12k-8$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 20개 묶음 시그마 계산으로 $2360$ 산출 | 3점 |
두 극한값 $P = \displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x^2 - x - 6}$과 $Q = \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{(2x + 1)(3x - 2)}{x^2 + 4x + 5}$에 대하여 $5P + Q$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to 3$일 때 $\dfrac{0}{0}$꼴은 인수분해 후 공통인수 $(x-3)$을 약분하고, $x \to \infty$일 때 $\dfrac{\infty}{\infty}$꼴은 분모의 최고차항 $x^2$으로 분자·분모를 나눈다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $P = \displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x-3)(x+2)} = \frac{27}{5}$이고, $Q = \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{6 - 1/x - 2/x^2}{1 + 4/x + 5/x^2} = 6$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $5P + Q = 5 \times \dfrac{27}{5} + 6 = 27 + 6 = 33$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $(x-3)$ 공통인수 약분으로 $P = \dfrac{27}{5}$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 최고차항 계수 비교로 $Q = 6$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $5P + Q = 33$ 정확히 계산 | 3점 |
두 다항함수 $f(x),\; g(x)$가
$$\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 2g(x)}{x - 2} = 5, \qquad \lim_{x \to 2} \frac{2f(x) + g(x) - 15}{x^2 - 4} = 4$$를 만족시킨다. 함수 $h(x) = f(x)g(x)$라 할 때, $h'(2)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 극한식의 분모가 $x \to 2$일 때 $0$에 수렴하므로 $f(2) - 2g(2) = 0,\; 2f(2) + g(2) = 15$를 연립하여 $f(2) = 6,\; g(2) = 3$을 얻는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 미분계수의 정의에 의해 첫째 식은 $f'(2) - 2g'(2) = 5$, 둘째 식은 $\dfrac{2f'(2) + g'(2)}{4} = 4 \implies 2f'(2) + g'(2) = 16$이므로 연립하면 $f'(2) = 9,\; g'(2) = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 곱의 미분법에 의하여 $h'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = 9 \times 3 + 6 \times 2 = 39$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f(2)=6,\; g(2)=3$ 함숫값 연립 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 분모 $x^2-4=(x-2)(x+2)$ 처리로 $f'(2)=9,\; g'(2)=2$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $h'(2) = 27 + 12 = 39$ 최종 계산 | 3점 |
곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 4$에 접하고 직선 $x + 9y - 5 = 0$에 수직인 접선의 방정식과 그 접선의 $y$절편을 구하시오. (단, 접점의 $x$좌표는 양수이다. 10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 직선 $y = -\dfrac{1}{9}x + \dfrac{5}{9}$에 수직인 접선의 기울기는 $9$이고, $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$의 도함수는 $f'(x) = 3x^2 - 6x$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $3t^2 - 6t = 9 \iff 3(t - 3)(t + 1) = 0$에서 $t \gt 0$이므로 접점의 $x$좌표는 $t = 3$이고 $f(3) = 4$이어서 접점은 $(3, 4)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 접선의 방정식은 $y - 4 = 9(x - 3) \iff y = 9x - 23$이며, $y$절편은 $-23$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 수직 조건으로 기울기 $9$ 결정 및 $3t^2 - 6t = 9$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양수 조건으로 접점 $(3, 4)$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 접선의 방정식 $y = 9x - 23$과 $y$절편 $-23$ 도출 | 3점 |
두 정적분 $I = \displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x - 1)\,dx + \int_{2}^{3} (3t^2 + 4t - 1)\,dt$와 $J = \displaystyle\int_{0}^{3} |x^2 - 2x|\,dx$에 대하여 $I + 3J$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 적분변수를 $x$로 통일하고 구간 결합 성질을 쓰면 $I = \displaystyle\int_{0}^{3} (3x^2 + 4x - 1)\,dx = \left[x^3 + 2x^2 - x\right]_{0}^{3} = 27 + 18 - 3 = 42$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x^2 - 2x = x(x - 2)$의 부호가 $x = 2$에서 바뀌므로 $J = \displaystyle\int_{0}^{2} (-x^2 + 2x)\,dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 2x)\,dx = \frac{4}{3} + \left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_{2}^{3} = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $I + 3J = 42 + 3 \times \dfrac{8}{3} = 42 + 8 = 50$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 구간 결합 성질로 $I = \int_0^3 (3x^2+4x-1)dx = 42$ 계산 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x = 2$ 기준 부호 분리 적분으로 $J = \dfrac{8}{3}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $I + 3J = 50$ 정확히 도출 | 3점 |
함수 $f(x) = x^2 - 2x + 3$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $A(2, f(2))$에서의 접선에 수직이고 점 $A$를 지나는 직선을 $y = l(x)$라 할 때, 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = l(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(2) = 3$이므로 $A(2, 3)$이고, $f'(x) = 2x - 2$에서 $f'(2) = 2$이므로 수직인 직선의 기울기는 $-\dfrac{1}{2}$이어서 $l(x) = -\dfrac{1}{2}x + 4$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 교점 방정식 $x^2 - 2x + 3 = -\dfrac{1}{2}x + 4 \iff 2x^2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2) = 0$에서 두 교점의 $x$좌표는 $-\dfrac{1}{2},\; 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구간 $\left[-\dfrac{1}{2}, 2\right]$에서 둘러싸인 넓이는 $S = \displaystyle\int_{-1/2}^{2}\left(-x^2 + \frac{3}{2}x + 1\right)dx = \frac{1}{6}\left(2 + \frac{1}{2}\right)^3 = \frac{125}{48}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $A(2,3)$에서의 법선 $l(x) = -\dfrac{1}{2}x + 4$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연립방정식 $(2x+1)(x-2)=0$으로 교점 $-\dfrac{1}{2},\; 2$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 연산으로 넓이 $S = \dfrac{125}{48}$ 산출 | 3점 |
지수부등식 $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 4x} \ge \left(\dfrac{1}{27}\right)^{x - 2}$를 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 우변을 밑 $\dfrac{1}{3}$로 통일하면 $\left(\dfrac{1}{27}\right)^{x-2} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{3x-6}$이고, 밑이 $0 \lt \dfrac{1}{3} \lt 1$이므로 지수의 부등호 방향이 반대로 바뀐다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x^2 - 4x \le 3x - 6 \iff x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) \le 0$이므로 해는 $1 \le x \le 6$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 정수 $x = 1, 2, 3, 4, 5, 6$의 합은 $\dfrac{6 \times 7}{2} = 21$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 밑 $\dfrac{1}{3}$ 통일 및 감소함수 성질에 의한 부등호 반전 명시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 이차부등식 $(x-1)(x-6) \le 0$으로부터 $1 \le x \le 6$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정수 해의 합 $21$ 계산 | 3점 |
$x \gt 0$에서 정의된 방정식 $(\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 2 = 0$의 두 실근을 $\alpha,\; \beta$라 할 때, ① $\alpha\beta$의 값과 ② $\log_{\alpha}\beta + \log_{\beta}\alpha$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\log_3 x = t$로 치환하면 이차방정식 $t^2 - 4t + 2 = 0$의 두 실근이 $\log_3 \alpha,\; \log_3 \beta$이므로 근과 계수의 관계에 의해 $\log_3 \alpha + \log_3 \beta = 4,\; (\log_3 \alpha)(\log_3 \beta) = 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\log_3(\alpha\beta) = 4$에서 $\alpha\beta = 3^4 = 81$이고, 밑변환 공식에 의해 $\log_{\alpha}\beta + \log_{\beta}\alpha = \dfrac{(\log_3\alpha)^2 + (\log_3\beta)^2}{(\log_3\alpha)(\log_3\beta)}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 곱셈 공식 변형을 대입하면 $\dfrac{4^2 - 2 \times 2}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 치환 후 근과 계수의 관계로 $\log_3\alpha + \log_3\beta = 4,\; \alpha\beta = 81$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 밑변환 공식으로 밑이 $3$인 로그 분수식 변환 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 대칭식 값 $\dfrac{16 - 4}{2} = 6$ 산출 | 3점 |
방정식 $\log_2 x + \log_x 16 = 5$의 모든 실근의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그의 밑과 진수 조건에 의해 $x \gt 0,\; x \ne 1$이고, 밑변환 공식으로 $\log_x 16 = \dfrac{4}{\log_2 x}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\log_2 x = t$로 치환하면 $t + \dfrac{4}{t} = 5 \iff t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4) = 0$이므로 $t = 1$ 또는 $t = 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\log_2 x = 1 \implies x = 2$, $\log_2 x = 4 \implies x = 16$ (모두 조건 만족)이므로 모든 실근의 합은 $2 + 16 = 18$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 밑·진수 조건 $x \gt 0,\; x \ne 1$ 및 밑변환 $\dfrac{4}{\log_2 x}$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 이차방정식 $(t-1)(t-4)=0$ 풀이 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x = 2,\; 16$ 도출 및 합 $18$ 산출 | 3점 |
양의 실수 $k$에 대하여 함수 $f(x) = 4\sin(3kx)$의 주기를 $g(k)$라 하고, $h(k) = f(g(k)) + 2\sin\left\{\dfrac{3}{4}g(k) + \dfrac{\pi}{6}\right\}$라 하자. $h(k)$가 최댓값을 갖도록 하는 양수 $k$의 최댓값을 $a$, 최솟값을 갖도록 하는 양수 $k$의 최댓값을 $b$라 할 때, $a + 4b$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $k \gt 0$이므로 주기 $g(k) = \dfrac{2\pi}{3k}$이고, $f(g(k)) = 4\sin(2\pi) = 0$이므로 $h(k) = 2\sin\left(\dfrac{\pi}{2k} + \dfrac{\pi}{6}\right)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $h(k)$가 최댓값 $2$를 가질 조건 $\dfrac{\pi}{2k} + \dfrac{\pi}{6} = 2m\pi + \dfrac{\pi}{2}$에서 최소 양수 각($m=0$)일 때 $\dfrac{1}{2k} = \dfrac{1}{3} \implies a = \dfrac{3}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $h(k)$가 최솟값 $-2$를 가질 조건 $\dfrac{\pi}{2k} + \dfrac{\pi}{6} = 2n\pi + \dfrac{3\pi}{2}$에서 최소 양수 각($n=0$)일 때 $\dfrac{1}{2k} = \dfrac{4}{3} \implies b = \dfrac{3}{8}$이므로 $a + 4b = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} = 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 주기 $g(k)=\dfrac{2\pi}{3k}$ 및 $h(k)=2\sin\left(\dfrac{\pi}{2k}+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 정리 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 최댓값 조건에서 $a = \dfrac{3}{2}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최솟값 조건에서 $b = \dfrac{3}{8}$ 및 $a + 4b = 3$ 산출 | 3점 |
모든 항이 양수인 등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_3 = 7,\; S_6 = 63$일 때, 공비 $r$와 $S_9$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $S_6 \ne 2S_3$이므로 공비 $r \ne 1$이고, 등비수열 합 공식과 인수분해에 의해 $S_6 = \dfrac{a_1(r^6 - 1)}{r - 1} = S_3(1 + r^3)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $1 + r^3 = \dfrac{63}{7} = 9 \implies r^3 = 8$이고 모든 항이 양수이므로 $r = 2$, $S_3 = a_1(1 + 2 + 4) = 7 \implies a_1 = 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $S_9 = \dfrac{1 \cdot (2^9 - 1)}{2 - 1} = 512 - 1 = 511$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $S_6 = S_3(1 + r^3)$ 인수분해 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $r^3 = 8$로부터 양수 공비 $r = 2$ 및 첫째항 $a_1 = 1$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $S_9 = 2^9 - 1 = 511$ 도출 | 3점 |
등식 $\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + ax + b}{x + 1} = -5$가 성립할 때, 상수 $a,\; b$에 대하여 $a^2 + b^2$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to -1$일 때 분모가 $0$에 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 $0$에 수렴하여 $1 - a + b = 0 \implies b = a - 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 분자에 대입하여 인수분해하면 $\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x + a - 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1}(x + a - 1) = a - 2 = -5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $a = -3,\; b = -4$이므로 $a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 분자 수렴 조건으로 $b = a - 1$ 관계식 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $(x+1)$ 약분 극한 계산으로 $a = -3,\; b = -4$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a^2 + b^2 = 25$ 도출 | 3점 |
삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$이 $x = -1$에서 극댓값 $6$을 가질 때, 상수 $a,\; b$의 값과 함수 $f(x)$의 극솟값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항함수 $f(x)$가 $x = -1$에서 극댓값 $6$을 가지므로 $f(-1) = 6$이고 $f'(-1) = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(-1) = -1 + a - b + 1 = 6 \implies a - b = 6$이고, $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$에서 $f'(-1) = 3 - 2a + b = 0$이므로 두 식을 더하면 $3 - a = 6 \implies a = -3,\; b = -9$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0$에서 $x = 3$일 때 극소이므로 극솟값은 $f(3) = 27 - 27 - 27 + 1 = -26$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f(-1)=6,\; f'(-1)=0$ 두 조건식 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연립방정식을 풀어 $a = -3,\; b = -9$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f'(x)=3(x+1)(x-3)$으로부터 극솟값 $f(3) = -26$ 산출 | 3점 |
함수 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$의 그래프와 직선 $y = k$가 오직 한 점에서만 만나도록 하는 $10$ 이하의 모든 자연수 $k$의 값의 합 $S$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 도함수 $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2) = 0$이므로 $x = 1,\; 2$에서 극값을 갖는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 증감 조사에 의해 극댓값은 $f(1) = 2 - 9 + 12 = 5$, 극솟값은 $f(2) = 16 - 36 + 24 = 4$이므로 한 점에서만 만날 조건은 $k \lt 4$ 또는 $k \gt 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $10$ 이하의 자연수 중 조건을 만족하는 값은 $1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10$이고, 합은 $S = 55 - (4 + 5) = 46$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f'(x)=6(x-1)(x-2)$로부터 극댓값 $5$, 극솟값 $4$ 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 한 점 교점 조건 $k \lt 4$ 또는 $k \gt 5$ 제시 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $1 \sim 10$ 합에서 $4, 5$를 제외하여 $S = 46$ 계산 | 3점 |
닫힌구간 $[-1, 2]$에서 함수 $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 합 $M + m$을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 도함수 $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1) = 0$에서 구간 $[-1, 2]$ 내 임계점은 $x = -1,\; 0,\; 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 내 극값과 양 끝점 함숫값을 비교하면 $f(-1) = 2,\; f(0) = 3,\; f(1) = 2,\; f(2) = 16 - 8 + 3 = 11$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 최댓값 $M = 11$, 최솟값 $m = 2$이므로 $M + m = 13$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f'(x)=4x(x-1)(x+1)=0$ 인수분해로 임계점 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x = -1, 0, 1, 2$에서의 네 함숫값 정확히 비교 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $M = 11,\; m = 2$ 및 $M + m = 13$ 산출 | 3점 |
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 $f(x) = \dfrac{1}{9}x^3$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 증가함수 $y = f(x)$와 역함수 $y = g(x)$의 교점은 직선 $y = x$ 위에 있으므로 $\dfrac{1}{9}x^3 = x \iff x(x-3)(x+3) = 0$에서 교점의 $x$좌표는 $-3,\; 0,\; 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 기함수 원점 대칭과 $y = x$ 대칭성에 의해 전체 넓이 $S$는 구간 $[0, 3]$에서 직선 $y = x$와 곡선 $y = f(x)$로 둘러싸인 넓이의 $4$배이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $S = 4\displaystyle\int_{0}^{3}\left(x - \frac{1}{9}x^3\right)dx = 4\left[\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{36}x^4\right]_{0}^{3} = 4\left(\frac{9}{2} - \frac{9}{4}\right) = 9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $y=x$와의 연립으로 교점 $x = -3, 0, 3$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 원점 대칭 및 역함수 대칭으로 $4\int_0^3 (x - f(x))dx$ 관계 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 연산으로 넓이 $S = 9$ 산출 | 3점 |
함수 $y = 2^x$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동한 식이 $y = 2^{x-3} + 5$일 때, 평행이동된 그래프의 점근선의 방정식과 $y$절편 $k$에 대하여 $m + n + 8k$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 지수함수 $y = 2^x$을 $(m, n)$만큼 평행이동한 식은 $y = 2^{x-m} + n$이고 점근선의 방정식은 $y = n$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 주어진 식과 비교하면 $m = 3,\; n = 5$이므로 점근선의 방정식은 $y = 5$이고, $x = 0$을 대입하면 $y$절편은 $k = 2^{-3} + 5 = \dfrac{41}{8}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $m + n + 8k = 3 + 5 + 41 = 49$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 평행이동 공식 비교로 $m=3,\; n=5$ 및 점근선 $y=5$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x=0$ 대입으로 $y$절편 $k = \dfrac{41}{8}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $m + n + 8k = 49$ 계산 | 3점 |
로그 $\log_{|x - 2|}(-x^2 + 6x - 5)$가 정의되도록 하는 모든 정수 $x$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그 $\log_a N$이 정의될 필요충분조건은 밑 조건 $a \gt 0,\; a \ne 1$과 진수 조건 $N \gt 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 밑 조건 $|x - 2| \gt 0,\; |x - 2| \ne 1$에서 $x \ne 2$이고 $x \ne 1,\; 3$이며, 진수 조건 $-x^2 + 6x - 5 \gt 0 \iff (x - 1)(x - 5) \lt 0$에서 $1 \lt x \lt 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $1 \lt x \lt 5$인 정수 $2, 3, 4$ 중 $x \ne 2,\; 3$을 제외하면 정의되도록 하는 정수는 $x = 4$뿐이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 밑 조건 $|x-2| \gt 0,\; |x-2| \ne 1$과 진수 조건 $-x^2+6x-5 \gt 0$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x \ne 1, 2, 3$ 및 $1 \lt x \lt 5$ 각각 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 공통범위에서 $2, 3$을 제외하여 유일한 정수 $x = 4$ 산출 | 3점 |
$0 \le x \lt 2\pi$일 때 방정식 $4\cos^2(2x) - 3 = 0$의 서로 다른 모든 실근의 개수를 $a$, 모든 실근의 합을 $b\pi$라 하자. $a + b$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $t = 2x$라 치환하면 $0 \le t \lt 4\pi$이고 $\cos^2 t = \dfrac{3}{4} \implies \cos t = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 한 주기 $[0, 2\pi)$에서 $\cos t = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$은 $4$개의 실근을 가지므로 두 주기 $[0, 4\pi)$에서 실근의 개수는 $a = 8$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 대칭축 $t = 2\pi$에 대하여 $8$개의 근이 $4$쌍의 대칭쌍을 이루므로 $\sum t_i = 4 \times 4\pi = 16\pi$이고 $\sum x_i = \dfrac{16\pi}{2} = 8\pi$여서 $b = 8$, $a + b = 16$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $t = 2x \in [0, 4\pi)$ 치환 및 $\cos t = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 두 주기 그래프 교점 개수로 $a = 8$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 대칭성을 이용해 실근의 합 $8\pi$ ($b=8$) 및 $a+b=16$ 산출 | 3점 |
삼각형 $ABC$에서 등식 $a\sin A = b\sin B + c\sin C$가 성립하고 $b = 6,\; c = 8$일 때, 외접원의 반지름의 길이 $R$와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$에 대하여 $R + S$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 외접원의 반지름을 $R$이라 하면 사인법칙에 의하여 $\sin A = \dfrac{a}{2R},\; \sin B = \dfrac{b}{2R},\; \sin C = \dfrac{c}{2R}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 등식에 대입하고 $2R$을 곱하면 $a^2 = b^2 + c^2$이므로 삼각형 $ABC$는 $\angle A = \dfrac{\pi}{2}$인 직각삼각형이고, 빗변의 길이는 $a = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 직각삼각형의 외접원의 지름이 빗변 $a = 10$이므로 $R = 5$이고, 넓이 $S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$이므로 $R + S = 29$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 사인법칙 대입으로 $a^2 = b^2 + c^2$ 및 $\angle A = \dfrac{\pi}{2}$ 직각삼각형 판정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 빗변 $a = 10$과 외접원 반지름 $R = 5$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 넓이 $S = 24$ 및 $R + S = 29$ 산출 | 3점 |
수열 $\{a_n\}$이 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 14$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+4} = 12 - a_n$을 만족시킬 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{84} a_k$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 연속한 $4$개 항 묶음 합을 $S_m = a_{4m-3} + a_{4m-2} + a_{4m-1} + a_{4m}$이라 하면 $a_{n+4} = 12 - a_n$에 의해 $S_{m+1} = 48 - S_m$이 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $S_1 = 14$이므로 $S_2 = 34,\; S_3 = 14,\; S_4 = 34, \dots$가 반복되어 두 묶음($8$개 항)의 합은 항상 $S_{2j-1} + S_{2j} = 48$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $84 = 4 \times 21$이므로 $\displaystyle\sum_{k=1}^{84} a_k = \sum_{m=1}^{21} S_m = 10 \times 48 + S_{21} = 480 + 14 = 494$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 4항 묶음 합 관계식 $S_{m+1} = 48 - S_m$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $S_1 = 14,\; S_2 = 34$ 교대 규칙 및 8항 합 $48$ 확인 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $10 \times 48 + 14 = 494$ 최종 계산 | 3점 |
상수 $a,\; b$에 대하여 일차함수 $f(x) = ax + b$가 $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 3$, $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{\{f(x)\}^2 - 9}{\sqrt{f(-x) + 2} - 3} = k\ (k \ne 0)$를 만족시킬 때, $\dfrac{k}{a - b}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(2) = 2a + b = 3$이고, 둘째 극한에서 $x \to 2$일 때 분자가 $0$이고 $k \ne 0$이므로 분모도 $0$이어서 $\sqrt{f(-2)+2} = 3 \implies f(-2) = -2a + b = 7$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 연립하면 $a = -1,\; b = 5$이므로 $f(x) = -x + 5,\; f(-x) = x + 5$이고, 유리화하면 $k = \displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x-8)(\sqrt{x+7}+3)}{(x+7)-9} = (-6) \times 6 = -36$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\dfrac{k}{a - b} = \dfrac{-36}{-1 - 5} = 6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f(2)=3,\; f(-2)=7$ 연립으로 $a=-1,\; b=5$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 분모 유리화 및 $(x-2)$ 약분으로 $k = -36$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\dfrac{k}{a-b} = 6$ 최종 계산 | 3점 |
함수 $f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x \lt 1) \\ x^2 - 1 & (x \ge 1) \end{cases}$과 일차함수 $g(x) = 2x + k$에 대하여 곱함수 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $k$와 $g(5)$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x)$는 $x = 1$에서만 불연속이고 $g(x)$는 연속이므로, $f(x)g(x)$가 $x = 1$에서 연속이면 실수 전체에서 연속이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x = 1$에서의 좌극한은 $\lim_{x \to 1^-} f(x)g(x) = 3(2 + k)$이고, 우극한 및 함숫값은 $f(1)g(1) = 0 \cdot (2 + k) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $3(2 + k) = 0 \implies k = -2$이므로 $g(x) = 2x - 2$이고 $g(5) = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x = 1$에서의 연속 조건 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 좌극한 $3(2+k)$와 우극한 $0$ 비교로 $k = -2$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $g(5) = 8$ 도출 | 3점 |
두 곡선 $y = x^3 + ax + 3$과 $y = 2x^2 + b$가 $x = 1$인 점에서 공통인 접선을 가질 때, 상수 $a,\; b$의 값과 공통접선의 방정식을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 + ax + 3,\; g(x) = 2x^2 + b$라 하면 $x = 1$에서 공통접선을 가질 조건은 $f(1) = g(1)$이고 $f'(1) = g'(1)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x) = 3x^2 + a,\; g'(x) = 4x$에서 $3 + a = 4 \implies a = 1$이고, $1 + a + 3 = 2 + b$에 대입하면 $b = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 접점 $(1, 5)$에서의 접선의 기울기가 $g'(1) = 4$이므로 공통접선의 방정식은 $y - 5 = 4(x - 1) \iff y = 4x + 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 공통접선 조건 $f(1)=g(1),\; f'(1)=g'(1)$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연립하여 $a = 1,\; b = 3$ 및 접점 $(1, 5)$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 공통접선의 방정식 $y = 4x + 1$ 도출 | 3점 |
곡선 $y = f(x)$가 점 $(1, 2)$를 지나고 모든 실수 $x$에 대하여 $|f'(x)| \le 6$을 만족시키는 다항함수일 때, $f\left(\dfrac{5}{2}\right)$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M^2 + Mm + m^2$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항함수 $f(x)$는 닫힌구간 $\left[1, \dfrac{5}{2}\right]$에서 평균값 정리를 만족하므로 $\dfrac{f(5/2) - f(1)}{5/2 - 1} = f'(c)$인 $c \in \left(1, \dfrac{5}{2}\right)$가 존재한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(1) = 2$와 $-6 \le f'(c) \le 6$을 대입하면 $f\left(\dfrac{5}{2}\right) = 2 + \dfrac{3}{2}f'(c)$에서 $2 - 9 \le f\left(\dfrac{5}{2}\right) \le 2 + 9$ 즉 $-7 \le f\left(\dfrac{5}{2}\right) \le 11$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 일차함수 $f(x) = \pm 6(x-1)+2$일 때 등호가 성립하므로 $M = 11,\; m = -7$이고 $M^2 + Mm + m^2 = 121 - 77 + 49 = 93$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 구간 $[1, 5/2]$에서 평균값 정리 적용으로 $f(5/2) = 2 + \dfrac{3}{2}f'(c)$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $|f'(c)| \le 6$과 등호 성립 함수 확인으로 $M = 11,\; m = -7$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $M^2 + Mm + m^2 = 93$ 정확히 계산 | 3점 |
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (t^2 - 2t - 3)\,dt$의 극댓값과 극솟값의 차를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 정적분과 미분의 관계에 의해 도함수는 $F'(x) = x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$이므로 $x = -1$에서 극대, $x = 3$에서 극소이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 극댓값은 $F(-1) = \displaystyle\int_{0}^{-1}(t^2-2t-3)dt = \left[\frac{t^3}{3}-t^2-3t\right]_{0}^{-1} = -\frac{1}{3} - 1 + 3 = \frac{5}{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 극솟값은 $F(3) = \left[\dfrac{t^3}{3}-t^2-3t\right]_{0}^{3} = 9 - 9 - 9 = -9$이므로 극댓값과 극솟값의 차는 $\dfrac{5}{3} - (-9) = \dfrac{32}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $F'(x) = (x+1)(x-3) = 0$으로부터 극대점 $x=-1$, 극소점 $x=3$ 판정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $F(-1) = \dfrac{5}{3},\; F(3) = -9$ 각각 계산 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 극값의 차 $\dfrac{32}{3}$ 산출 | 3점 |
양수 $x$에 대하여 $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 4$일 때, $\dfrac{x^2 + x^{-2} + 2}{x + x^{-1}}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곱셈 공식 변형 $a^2 + a^{-2} = (a + a^{-1})^2 - 2$를 연속 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x + x^{-1} = \left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)^2 - 2 = 4^2 - 2 = 14$이고, $x^2 + x^{-2} = (x + x^{-1})^2 - 2 = 14^2 - 2 = 194$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 주어진 식의 값은 $\dfrac{194 + 2}{14} = \dfrac{196}{14} = 14$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 제곱 변형으로 $x + x^{-1} = 14$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 재차 제곱 변형으로 $x^2 + x^{-2} = 194$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 분수식 대입 약분으로 최종 값 $14$ 도출 | 3점 |
그림과 같이 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 3,\; \overline{AC} = 5,\; \angle BAC = \dfrac{2}{3}\pi$일 때, 외접원의 반지름의 길이를 $R$, 삼각형 $ABC$의 넓이를 $S$라 하자. $R \times S$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 코사인법칙에 의하여 $\overline{BC}^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos\dfrac{2\pi}{3} = 9 + 25 + 15 = 49$이므로 $\overline{BC} = 7$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 사인법칙 $2R = \dfrac{\overline{BC}}{\sin(2\pi/3)} = \dfrac{7}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}$에서 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$이고, 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $R \times S = \dfrac{7\sqrt{3}}{3} \times \dfrac{15\sqrt{3}}{4} = \dfrac{105}{4}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙으로 $\overline{BC} = 7$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 사인법칙과 넓이 공식으로 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $R \times S = \dfrac{105}{4}$ 계산 | 3점 |
양수 $a,\; b$와 실수 $c$에 대하여 함수 $f(x) = a\cos(bx) + c$의 주기가 $\dfrac{\pi}{2}$이고 최댓값이 $7$, 최솟값이 $-1$일 때, $f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a \gt 0,\; b \gt 0$이므로 주기 공식 $\dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{\pi}{2}$와 최댓값 $a + c = 7$, 최솟값 $-a + c = -1$이 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 주기 식에서 $b = 4$이고, 두 최대·최소 식을 연립하면 $a = 4,\; c = 3$이므로 $f(x) = 4\cos(4x) + 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = 4\cos\dfrac{\pi}{3} + 3 = 4 \times \dfrac{1}{2} + 3 = 5$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 양수 조건을 명시하여 주기·최대·최소 방정식 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a = 4,\; b = 4,\; c = 3$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = 5$ 산출 | 3점 |
등차수열 $\{a_n\}$이 $a_3 + a_7 = 24$이고 $a_8 - a_4 = 12$를 만족시킬 때, 첫째항부터 제$10$항까지의 합 $S_{10}$을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등차중항의 성질에 의하여 $a_3 + a_7 = 2a_5 = 24 \implies a_5 = 12$이고, 공차를 $d$라 하면 $a_8 - a_4 = 4d = 12 \implies d = 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 첫째항은 $a_1 = a_5 - 4d = 12 - 12 = 0$이고 제$10$항은 $a_{10} = a_1 + 9d = 27$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 등차수열의 합 공식에 의하여 $S_{10} = \dfrac{10(a_1 + a_{10})}{2} = \dfrac{10 \times (0 + 27)}{2} = 135$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등차중항과 항의 차로 $a_5 = 12,\; d = 3$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a_1 = 0,\; a_{10} = 27$ 계산 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 합 공식으로 $S_{10} = 135$ 산출 | 3점 |
첫째항이 $4$이고 공차가 양수 $d$인 등차수열 $\{a_n\}$이 $\displaystyle\sum_{k=1}^{15} \frac{a_{k+1} - a_k}{\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k}} = 6$을 만족시킬 때, 공차 $d$와 $a_{10}$의 값을 각각 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 일반항의 분모를 유리화하면 $\dfrac{a_{k+1} - a_k}{\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k}} = \sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 시그마에 대입하여 연쇄 소거하면 $\displaystyle\sum_{k=1}^{15}(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}) = \sqrt{a_{16}} - \sqrt{a_1} = \sqrt{a_{16}} - 2 = 6 \implies a_{16} = 64$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a_{16} = 4 + 15d = 64$에서 공차 $d = 4$이고, $a_{10} = 4 + 9 \times 4 = 40$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 유리화를 통해 일반항을 $\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}$로 변형 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 소거 규칙으로 $\sqrt{a_{16}} = 8 \implies a_{16} = 64$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $d = 4$ 및 $a_{10} = 40$ 산출 | 3점 |
다항함수 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$에 대하여 두 극한값 $A = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(1 + 3h) - f(1 - 2h)}{h}$와 $B = \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 f(1) - f(x)}{x - 1}$의 합 $A + B$를 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(1) = 3$이고 도함수 $f'(x) = 3x^2 - 4x + 5$에서 $f'(1) = 4$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 미분계수의 정의로 변형하면 $A = 3f'(1) + 2f'(1) = 5f'(1) = 20$이고, $B = \displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{(x^2 - 1)f(1) - \{f(x) - f(1)\}}{x - 1} = 2f(1) - f'(1)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $B = 2 \times 3 - 4 = 2$이므로 $A + B = 20 + 2 = 22$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f(1) = 3,\; f'(1) = 4$ 계산 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 미분계수의 정의 변형으로 $A = 5f'(1) = 20$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 분자에 $-f(1)+f(1)$을 가감하여 $B = 2f(1) - f'(1) = 2$ 및 $A+B=22$ 산출 | 3점 |
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x) = \begin{cases} x^3 + ax^2 + bx & (x \lt 1) \\ 2x^2 - x + 3 & (x \ge 1) \end{cases}$에 대하여 닫힌구간 $[-2, 2]$에서 $f(x)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 차 $M - m$을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x = 1$에서 연속이므로 $1 + a + b = 4 \implies a + b = 3$이고, 좌·우미분계수가 같으므로 $3 + 2a + b = 3 \implies 2a + b = 0$이어서 연립하면 $a = -3,\; b = 6$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x \lt 1$에서 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 6 = 3(x - 1)^2 + 3 \gt 0$이고, $x \ge 1$에서 $f'(x) = 4x - 1 \ge 3 \gt 0$이므로 $f(x)$는 실수 전체에서 증가한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구간 $[-2, 2]$에서 $M = f(2) = 9$, $m = f(-2) = -8 - 12 - 12 = -32$이므로 $M - m = 41$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x=1$ 연속·미분가능 연립으로 $a = -3,\; b = 6$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 전 구간 $f'(x) \gt 0$ 확인으로 순증가함수 증명 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $M = 9,\; m = -32$ 및 $M - m = 41$ 산출 | 3점 |
방정식 $2x^3 - 6x^2 + k = 0$이 오직 한 개의 실근과 두 개의 허근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하고, 이를 만족하는 가장 작은 양의 정수 $k$를 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 상수 분리하여 $f(x) = 2x^3 - 6x^2 = -k$로 두면 $f'(x) = 6x^2 - 12x = 6x(x - 2) = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 함수 $f(x)$는 $x = 0$에서 극댓값 $f(0) = 0$, $x = 2$에서 극솟값 $f(2) = -8$을 가지므로 직선 $y = -k$와 한 점에서만 만날 조건은 $-k \gt 0$ 또는 $-k \lt -8$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 즉 $k \lt 0$ 또는 $k \gt 8$이므로 이를 만족하는 가장 작은 양의 정수 $k$는 $9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f(x)=2x^3-6x^2$의 극댓값 $0$, 극솟값 $-8$ 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 오직 한 실근 조건 $k \lt 0$ 또는 $k \gt 8$ 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최소 양의 정수 $k = 9$ 도출 | 3점 |
곡선 $y = x^2 - 3x - 1$과 직선 $y = x + 4$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 연립방정식 $x^2 - 3x - 1 = x + 4 \iff x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5) = 0$에서 두 교점의 $x$좌표는 $-1,\; 5$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 닫힌구간 $[-1, 5]$에서 직선이 곡선보다 위쪽에 있으므로 $S = \displaystyle\int_{-1}^{5} (-x^2 + 4x + 5)\,dx$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 적분을 계산하면 $S = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 5x\right]_{-1}^{5} = \dfrac{1}{6}\{5 - (-1)\}^3 = \dfrac{216}{6} = 36$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 교점 방정식 $(x+1)(x-5)=0$으로부터 적분 구간 $[-1, 5]$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 정적분 식 $\int_{-1}^5 (-x^2+4x+5)dx$ 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 넓이 $S = 36$ 산출 | 3점 |
함수 $f(x) = x^2 - 2x - 2$의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭이동한 후 $x$축의 방향으로 $2$만큼, $y$축의 방향으로 $4$만큼 평행이동하면 함수 $y = g(x)$의 그래프와 일치한다. 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$를 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $y = f(x)$를 $x$축 대칭이동하면 $y = -x^2 + 2x + 2$이고, $(2, 4)$만큼 평행이동하면 $g(x) = -(x-2)^2 + 2(x-2) + 2 + 4 = -x^2 + 6x - 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 교점 방정식 $x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 6x - 2 \iff 2x(x - 4) = 0$에서 두 교점의 $x$좌표는 $0,\; 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구간 $[0, 4]$에서 $g(x) \ge f(x)$이므로 $S = \displaystyle\int_{0}^{4}(-2x^2 + 8x)\,dx = \frac{2}{6}(4 - 0)^3 = \frac{64}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대칭이동·평행이동 식 변형으로 $g(x) = -x^2 + 6x - 2$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 교점 방정식 $2x(x-4)=0$으로 구간 $[0, 4]$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분으로 넓이 $S = \dfrac{64}{3}$ 산출 | 3점 |
$10 \lt x \lt 10\sqrt{10}$인 실수 $x$에 대하여 $\log x^3$의 소수부분과 $\log\sqrt{x}$의 소수부분이 서로 같을 때, $x^5$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 상용로그의 소수부분이 같으므로 차 $\log x^3 - \log\sqrt{x} = 3\log x - \dfrac{1}{2}\log x = \dfrac{5}{2}\log x$는 정수이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $10 \lt x \lt 10^{\frac{3}{2}}$에서 $1 \lt \log x \lt \dfrac{3}{2}$이므로 $\dfrac{5}{2} \lt \dfrac{5}{2}\log x \lt \dfrac{15}{4} = 3.75$이고, 이를 만족하는 유일한 정수는 $3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\dfrac{5}{2}\log x = 3 \implies 5\log x = \log x^5 = 6$이므로 $x^5 = 10^6 = 1000000$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 소수부분 일치 조건으로부터 $\dfrac{5}{2}\log x$가 정수임을 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $1 \lt \log x \lt \dfrac{3}{2}$ 범위에서 유일한 정수 $\dfrac{5}{2}\log x = 3$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\log x^5 = 6$으로부터 $x^5 = 10^6$ 산출 | 3점 |
기울기가 $-2$인 직선이 두 지수함수 $y = 2^x$와 $y = 2^{x+3} + 6$의 그래프와 만나는 점을 각각 $A,\; B$라 하자. 선분 $AB$의 중점의 좌표가 $\left(\dfrac{7}{2}, k\right)$일 때, 상수 $k$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곡선 $y = 2^{x+3} + 6$은 $y = 2^x$을 $(-3, +6)$만큼 평행이동한 것이고, 기울기 $\dfrac{6}{-3} = -2$가 주어진 직선의 기울기와 일치한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $A(p, 2^p)$라 하면 $B(p - 3, 2^p + 6)$이고, 중점의 $x$좌표는 $p - \dfrac{3}{2} = \dfrac{7}{2} \implies p = 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $2^5 = 32$이므로 중점의 $y$좌표는 $k = 2^p + 3 = 32 + 3 = 35$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 평행이동 벡터 $(-3, 6)$과 직선의 기울기 $-2$ 일치성으로 $B(p-3, 2^p+6)$ 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 중점의 $x$좌표 식으로부터 $p = 5$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $k = 2^5 + 3 = 35$ 산출 | 3점 |
그림과 같이 반지름의 길이가 $r$이고 중심각의 크기가 $\theta\ (0 \lt \theta \lt 2\pi)$인 부채꼴의 둘레의 길이가 $16$이고 호의 길이가 반지름의 길이의 $2$배일 때, $r + \theta$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 호의 길이 공식 $l = r\theta$와 부채꼴의 둘레의 길이 $2r + l = 16$을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 조건에서 호의 길이가 반지름의 $2$배이므로 $l = 2r$이고, $r\theta = 2r \implies \theta = 2$ (라디안)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $2r + 2r = 4r = 16$에서 $r = 4$이므로 $r + \theta = 4 + 2 = 6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $l = r\theta$ 및 둘레 식 $2r + l = 16$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $l = 2r$ 조건으로부터 중심각 $\theta = 2$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $r = 4$ 및 $r + \theta = 6$ 산출 | 3점 |
수열의 합 $S = \displaystyle\sum_{k=1}^{8} (3k - 1)(k + 1)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 일반항을 전개하면 $(3k - 1)(k + 1) = 3k^2 + 2k - 1$이고, 자연수 거듭제곱의 합 공식을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 시그마의 선형성에 의해 $S = 3\displaystyle\sum_{k=1}^{8} k^2 + 2\sum_{k=1}^{8} k - \sum_{k=1}^{8} 1 = 3 \times \frac{8 \times 9 \times 17}{6} + 2 \times \frac{8 \times 9}{2} - 8$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 이를 계산하면 $S = 3 \times 204 + 72 - 8 = 612 + 64 = 676$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $3k^2 + 2k - 1$ 전개 및 시그마 분리 식 작성 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\sum_{k=1}^8 k^2 = 204,\; \sum_{k=1}^8 k = 36$ 대입 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 합 $S = 676$ 산출 | 3점 |
수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n = 2n^2 + 3n$일 때, ① 일반항 $a_n$과 ② $\displaystyle\sum_{k=1}^{12} \frac{4}{a_k a_{k+1}}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a_1 = S_1 = 5$이고, $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2+3n) - \{2(n-1)^2+3(n-1)\} = 4n + 1$ ($n=1$일 때도 성립)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부분분수 분해에 의해 $\dfrac{4}{a_k a_{k+1}} = \dfrac{4}{(4k+1)(4k+5)} = \dfrac{1}{4k+1} - \dfrac{1}{4k+5}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 연쇄 소거하면 $\displaystyle\sum_{k=1}^{12}\left(\frac{1}{4k+1} - \frac{1}{4k+5}\right) = \frac{1}{5} - \frac{1}{53} = \frac{48}{265}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a_n = S_n - S_{n-1}$과 $a_1 = S_1$ 검증으로 $a_n = 4n + 1$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부분분수 분해 $\dfrac{1}{4k+1} - \dfrac{1}{4k+5}$ 변형 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 소거 계산으로 $\dfrac{48}{265}$ 산출 | 3점 |
함수 $f(x)$가 모든 양의 실수 $x$에 대하여 부등식 $6x^2 - 2x \le (x + 1)f(x) \le 6x^2 + 5x$를 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \gt 0$이므로 $x(x + 1) \gt 0$이고, 부등식의 각 변을 $x(x + 1)$로 나누어도 부등호 방향이 유지된다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\dfrac{6x^2 - 2x}{x^2 + x} \le \dfrac{f(x)}{x} \le \dfrac{6x^2 + 5x}{x^2 + x}$에서 양 끝 변의 $x \to \infty$ 극한값은 모두 $\dfrac{6}{1} = 6$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 양수 $x(x+1)$로 각 변을 나누어 $\dfrac{f(x)}{x}$에 대한 부등식 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 좌·우변의 극한값이 모두 $6$임을 계산 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 극한의 대소 관계를 명시하여 극한값 $6$ 도출 | 3점 |
방정식 $x^3 + 2x - 10 = 0$은 오직 하나의 실근 $\alpha$를 갖는다. 자연수 $n$에 대하여 열린구간 $(n, n + 1)$에 실근 $\alpha$가 존재하도록 하는 $n$의 값을 사잇값 정리를 이용하여 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 + 2x - 10$이라 하면 다항함수 $f(x)$는 실수 전체에서 연속이고 $f'(x) = 3x^2 + 2 \gt 0$이므로 증가함수이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 자연수를 대입하면 $f(1) = 1 + 2 - 10 = -7 \lt 0$이고, $f(2) = 8 + 4 - 10 = 2 \gt 0$이어서 $f(1)f(2) \lt 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[1, 2]$에서 연속이고 $f(1)f(2) \lt 0$이므로 사잇값 정리에 의해 열린구간 $(1, 2)$에 실근 $\alpha$가 존재하여 $n = 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f(x)=x^3+2x-10$ 설정 및 다항함수의 연속성 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f(1) = -7 \lt 0,\; f(2) = 2 \gt 0$ 부호 반대 확인 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 사잇값 정리를 적용하여 구간 $(1, 2)$ 및 $n = 1$ 도출 | 3점 |
점 $(0, -2)$에서 곡선 $y = x^2 - 2x + 2$에 그은 두 접선의 기울기의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 접점의 좌표를 $(t, t^2 - 2t + 2)$라 하면 $y' = 2x - 2$이므로 접선의 기울기는 $m = 2t - 2$이고 접선의 방정식은 $y - (t^2 - 2t + 2) = (2t - 2)(x - t)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이 직선이 점 $(0, -2)$를 지나므로 $-2 - t^2 + 2t - 2 = -2t^2 + 2t \iff t^2 = 4$에서 $t = -2$ 또는 $t = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 접선의 기울기는 $t = -2$일 때 $-6$, $t = 2$일 때 $2$이므로 두 기울기의 합은 $-6 + 2 = -4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 접점 $(t, f(t))$ 설정 및 접선의 방정식 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 점 $(0, -2)$ 대입으로 $t = \pm 2$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 기울기 $-6,\; 2$를 구해 합 $-4$ 산출 | 3점 |
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 6x^2 + 9x + a$를 만족시킬 때, 상수 $a$의 값과 닫힌구간 $[0, 4]$에서 $f(x)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 합 $a + M + m$을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 양변에 $x = 1$을 대입하면 $0 = 1 - 6 + 9 + a \implies a = -4$이고, 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 2)^2 - 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 닫힌구간 $[0, 4]$에서 대칭축 $x = 2$일 때 최솟값 $m = f(2) = -3$이고, 양 끝점 $x = 0, 4$에서 최댓값 $M = f(0) = f(4) = 9$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $a + M + m = -4 + 9 + (-3) = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x=1$ 대입으로 $a=-4$ 및 양변 미분으로 $f(x)=3x^2-12x+9$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 구간 $[0, 4]$에서 최댓값 $M = 9$, 최솟값 $m = -3$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a + M + m = 2$ 계산 | 3점 |
수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t\ (t \ge 0)$에서의 속도 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$일 때, 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $P$의 위치의 변화량 $\Delta x$와 실제로 움직인 거리 $L$의 합 $\Delta x + L$을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$에서 운동 방향 전환 시각은 $t = 1,\; 3$이고, 원시함수를 $F(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$라 하자.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 위치의 변화량은 $\Delta x = \displaystyle\int_{0}^{4} v(t)\,dt = F(4) - F(0) = (64 - 96 + 36) - 0 = 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 움직인 거리는 $L = \displaystyle\int_{0}^{1}v(t)dt - \int_{1}^{3}v(t)dt + \int_{3}^{4}v(t)dt = (4 - 0) - (0 - 4) + (4 - 0) = 12$이므로 $\Delta x + L = 16$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $v(t)=3(t-1)(t-3)$ 부호 변화 시각 $t=1, 3$ 파악 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 정적분으로 위치의 변화량 $\Delta x = 4$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 절댓값 구간 분리 적분으로 움직인 거리 $L = 12$ 및 합 $16$ 도출 | 3점 |
두 실수 $a,\; b$가 $18^a = 27,\; 2^b = 9$를 만족시킬 때, $\dfrac{3}{a} - \dfrac{2}{b}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $27 = 3^3,\; 9 = 3^2$이므로 지수법칙 $(x^m)^n = x^{mn}$에 의하여 $18 = 3^{\frac{3}{a}}$이고 $2 = 3^{\frac{2}{b}}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 두 식을 변끼리 나누면 $\dfrac{18}{2} = \dfrac{3^{\frac{3}{a}}}{3^{\frac{2}{b}}} \implies 9 = 3^{\frac{3}{a} - \frac{2}{b}}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $9 = 3^2$이므로 지수를 비교하면 $\dfrac{3}{a} - \dfrac{2}{b} = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 우변을 밑 $3$의 거듭제곱으로 고쳐 $18 = 3^{\frac{3}{a}},\; 2 = 3^{\frac{2}{b}}$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 두 식의 나눗셈으로 $3^{\frac{3}{a} - \frac{2}{b}} = 9$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 지수 비교로 최종 값 $2$ 산출 | 3점 |
닫힌구간 $[-1, 2]$에서 함수 $f(x) = 9^x - 6 \cdot 3^x + 12$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 합 $M + m$을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $3^x = t$로 치환하면 밑 $3 \gt 1$이고 $-1 \le x \le 2$이므로 치환 변수의 범위는 $\dfrac{1}{3} \le t \le 9$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 주어진 함수는 $g(t) = t^2 - 6t + 12 = (t - 3)^2 + 3$이므로 대칭축 $t = 3 \in \left[\dfrac{1}{3}, 9\right]$에서 최솟값 $m = g(3) = 3$을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 축에서 가장 먼 끝점 $t = 9$에서 최댓값 $M = g(9) = 36 + 3 = 39$를 가지므로 $M + m = 42$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $3^x = t$ 치환 및 변역 $\dfrac{1}{3} \le t \le 9$ 명시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 완전제곱식 $(t-3)^2 + 3$으로 최솟값 $m = 3$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $t = 9$에서 최댓값 $M = 39$ 및 $M + m = 42$ 도출 | 3점 |
$3 \lt a \lt b$이고 $a : b = 1 : 2$인 두 실수 $a,\; b$에 대하여 직선 $y = 2$가 세 곡선 $y = \log_3 x$, $y = \log_a x$, $y = \log_b x$와 만나는 점을 각각 $A,\; B,\; C$라 하자. $\overline{AB} : \overline{BC} = 1 : 6$일 때, $a^2 + b^2$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 직선 $y = 2$와의 교점이므로 로그의 정의에 의해 $A(9, 2),\; B(a^2, 2),\; C(b^2, 2)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $b = 2a$이므로 $C(4a^2, 2)$이고, $\overline{AB} : \overline{BC} = (a^2 - 9) : 3a^2 = 1 : 6$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 비례식을 풀면 $6a^2 - 54 = 3a^2 \implies a^2 = 18$이고 $b^2 = 4a^2 = 72$이므로 $a^2 + b^2 = 90$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 교점 좌표 $A(9,2),\; B(a^2,2),\; C(b^2,2)$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $b = 2a$ 대입 및 길이 비 $(a^2-9):3a^2 = 1:6$ 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a^2 = 18,\; b^2 = 72$로부터 $a^2 + b^2 = 90$ 산출 | 3점 |
$\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$일 때, $16(\sin^3\theta + \cos^3\theta)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각함수의 제곱 관계식 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$과 양변 제곱식을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}$이므로 $\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 곱셈 공식 $\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)^3 - 3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta + \cos\theta) = \dfrac{1}{8} - 3\left(-\dfrac{3}{8}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{11}{16}$이므로 $16$배의 값은 $11$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 제곱 관계식을 이용해 $\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 세제곱 곱셈 공식 변형에 대입하여 $\dfrac{11}{16}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $16$을 곱해 최종 값 $11$ 계산 | 3점 |
$n \ge 4$인 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $2^n \gt n^2 + k$가 항상 성립하도록 하는 가장 큰 정수 $k$를 구하고, 그 $k$에 대하여 $n = 4$일 때와 $n = m \implies n = m + 1$일 때의 차 $(2^{m+1}) - \{(m+1)^2 + k\}$가 양수임을 서술하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $n = 4$일 때 $2^4 = 16 \gt 16 + k$이어야 하므로 $k \lt 0$이고, 이를 만족하는 가장 큰 정수는 $k = -1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $k = -1$일 때 $n = 4$이면 $16 \gt 15$로 성립하고, $n = m\ (m \ge 4)$에서 $2^m \gt m^2 - 1$이라 가정하면 $2^{m+1} = 2 \cdot 2^m \gt 2m^2 - 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $(2m^2 - 2) - \{(m+1)^2 - 1\} = m^2 - 2m - 2 = (m - 1)^2 - 3 \ge 3^2 - 3 = 6 \gt 0$이므로 $2^{m+1} \gt (m+1)^2 - 1$이 성립하여 최대 정수는 $k = -1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $n=4$ 초기 조건 $16 \gt 16 + k$로부터 최대 정수 $k = -1$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 귀납 가정 $2^m \gt m^2 - 1$의 양변에 $2$를 곱해 $2^{m+1} \gt 2m^2 - 2$ 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 차 $(2m^2-2) - (m^2+2m) = (m-1)^2 - 3 \gt 0$ ($m \ge 4$) 증명으로 완결 | 3점 |
그림과 같이 구간별로 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x \lt 1) \\ 1 & (x = 1) \\ -x + 3 & (x \gt 1) \end{cases}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(f(x)) + \lim_{x \to 1^+} f(x - 1)$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to 1^-$일 때 $t = f(x) = x + 2$는 $3$보다 작은 값을 가지면서 $3$에 한없이 가까워지므로($t \to 3^-$), $t \gt 1$ 구간 식에 대입한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 $\lim_{x \to 1^-} f(f(x)) = \lim_{t \to 3^-} (-t + 3) = 0$이고, $x \to 1^+$일 때 $u = x - 1 \to 0^+$이므로 $u \lt 1$ 구간 식에 대입하면 $\lim_{u \to 0^+} (u + 2) = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 극한값의 합은 $0 + 2 = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x \to 1^-$에서 내부 함수 $f(x) \to 3^-$ 방향 판정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\lim_{t \to 3^-} f(t) = 0$ 및 $\lim_{u \to 0^+} f(u) = 2$ 각각 계산 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 합 $0 + 2 = 2$ 산출 | 3점 |
함수 $f(x) = |x - 2|$와 이차함수 $g(x) = x^2 + ax + 2$에 대하여 곱함수 $h(x) = f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 상수 $a$의 값과 $h'(0)$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = |x - 2|$는 $x = 2$에서만 미분가능하지 않으므로, $h(x) = |x - 2|g(x)$가 $x = 2$에서 미분가능하려면 $g(2) = 0$이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 실제로 좌·우미분계수는 $\lim_{x \to 2\pm}\dfrac{|x - 2|g(x) - 0}{x - 2} = \pm g(2)$이므로 $+g(2) = -g(2) \implies g(2) = 4 + 2a + 2 = 0$에서 $a = -3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x \lt 2$인 구간에서 $h(x) = -(x - 2)(x^2 - 3x + 2) = -x^3 + 5x^2 - 8x + 4$이므로 $h'(0) = -8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x=2$에서의 좌·우미분계수 비교로 $g(2) = 0$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $4 + 2a + 2 = 0$으로부터 $a = -3$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x \lt 2$에서 부호 $-(x-2)$를 반영해 $h'(0) = -8$ 도출 | 3점 |
두 함수 $f(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 - 10x$, $g(x) = 2x^3 + x^2 + 14x + k$에 대하여 부등식 $f(x) \le g(x)$를 만족시키는 정수 $x$의 개수가 $3$이 되도록 하는 모든 정수 $k$의 개수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부등식을 이항 정리하면 $h(x) = x^4 - 2x^2 - 24x \le k$이고, 도함수 $h'(x) = 4x^3 - 4x - 24 = 4(x - 2)(x^2 + 2x + 3)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x^2 + 2x + 3 = (x+1)^2 + 2 \gt 0$이므로 $h(x)$는 $x = 2$에서 유일한 최솟값 $h(2) = -40$을 가지며, 주변 정수 함숫값은 $h(1) = -25,\; h(3) = -9,\; h(0) = 0,\; h(-1) = 23$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 정수 해가 작은 순으로 $x = 2, 1, 3$의 $3$개뿐이려면 $-9 \le k \lt 0$이어야 하므로 정수 $k = -9, -8, \dots, -1$의 개수는 $9$개이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $h(x)=x^4-2x^2-24x \le k$ 정리 및 $h'(x)=4(x-2)(x^2+2x+3)$ 인수분해 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 최솟값 $h(2)=-40$ 및 정수 함숫값 $h(1)=-25,\; h(3)=-9,\; h(0)=0$ 비교 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $-9 \le k \lt 0$으로부터 정수 $k$의 개수 $9$ 산출 | 3점 |
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = 3x^2 - 4x + 2\displaystyle\int_{0}^{1} f(t)\,dt$를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{1} f(t)\,dt$는 상수이므로 이를 $k$라 두면 $f(x) = 3x^2 - 4x + 2k$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이를 $k$의 정의식에 다시 대입하면 $k = \displaystyle\int_{0}^{1} (3t^2 - 4t + 2k)\,dt = \left[t^3 - 2t^2 + 2kt\right]_{0}^{1} = -1 + 2k$이므로 $k = 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = 3x^2 - 4x + 2$이므로 $f(2) = 12 - 8 + 2 = 6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정적분 상수 $\int_0^1 f(t)dt = k$ 치환 및 $f(x) = 3x^2 - 4x + 2k$ 표현 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 구간 $[0, 1]$ 재적분 방정식 $k = -1 + 2k$로부터 $k = 1$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(2) = 6$ 산출 | 3점 |
직선 궤도를 $24\text{ m/s}$의 속도로 달리는 열차가 제동을 건 지 $t$초 후의 속도가 $v(t) = 24 - 4t\ (\text{m/s})$라 한다. 제동을 건 후 열차가 완전히 정지할 때까지 달린 거리를 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 열차가 정지하는 시각은 속도 $v(t) = 0$일 때이므로 $24 - 4t = 0 \implies t = 6$ (초)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 $[0, 6]$에서 $v(t) \ge 0$이므로 정지할 때까지 달린 거리 $L$은 $\displaystyle\int_{0}^{6} (24 - 4t)\,dt$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 적분하면 $L = \left[24t - 2t^2\right]_{0}^{6} = 144 - 72 = 72\ (\text{m})$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정지 조건 $v(t) = 0$으로부터 정지 시각 $t = 6$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 제동 거리 정적분 식 $\int_0^6 (24 - 4t)dt$ 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 계산으로 제동 거리 $72$ 산출 | 3점 |
$2$ 이상의 자연수 $n$과 실수 $a$에 대하여 $a$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n, a)$라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=2}^{9} f(n, n - 5)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $n$이 홀수이면 부호에 관계없이 $f(n, a) = 1$이고, $n$이 짝수이면 $a \gt 0$일 때 $2$, $a = 0$일 때 $1$, $a \lt 0$일 때 $0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2 \le n \le 9$에서 홀수 $n = 3, 5, 7, 9$일 때는 각각 $1$개씩 총 $4$이고, 짝수 $n = 2, 4$일 때는 $n - 5 \lt 0$이므로 $0$, 짝수 $n = 6, 8$일 때는 $n - 5 \gt 0$이므로 각각 $2$개씩이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 합은 $(1 + 1 + 1 + 1) + (0 + 0 + 2 + 2) = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $n$의 홀짝성과 $a$의 부호에 따른 실수 거듭제곱근 개수 법칙 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 홀수 $n \in \{3,5,7,9\}$와 짝수 $n \in \{2,4,6,8\}$ 각각 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 총합 $4 + 4 = 8$ 정확히 산출 | 3점 |
닫힌구간 $[-2, 4]$에서 함수 $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4x + 20)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 합 $M + m$을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 밑이 $0 \lt \dfrac{1}{2} \lt 1$이므로 로그함수는 감소함수이며, 진수 $u(x) = (x - 2)^2 + 16 \gt 0$이 최소일 때 $f(x)$는 최대, $u(x)$가 최대일 때 $f(x)$는 최소이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 $[-2, 4]$에서 $u(x)$는 $x = 2$일 때 최솟값 $u(2) = 16$을 갖고, 축에서 가장 먼 $x = -2$일 때 최댓값 $u(-2) = (-4)^2 + 16 = 32$를 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $M = \log_{\frac{1}{2}} 16 = -4,\; m = \log_{\frac{1}{2}} 32 = -5$이므로 $M + m = -9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 감소함수 성질과 진수 완전제곱식 $u(x)=(x-2)^2+16$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 구간 $[-2, 4]$에서 진수의 최솟값 $16$, 최댓값 $32$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $M = -4,\; m = -5$ 및 $M + m = -9$ 산출 | 3점 |
$0 \le x \lt 2\pi$에서 함수 $f(x) = 2\cos^2 x - 4\sin x + 3$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $2M + m$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$를 대입하면 $f(x) = 2(1 - \sin^2 x) - 4\sin x + 3 = -2\sin^2 x - 4\sin x + 5$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\sin x = t$라 치환하면 $-1 \le t \le 1$이고 $g(t) = -2(t + 1)^2 + 7$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구간 $[-1, 1]$에서 $t = -1$일 때 최댓값 $M = 7$, $t = 1$일 때 최솟값 $m = -2(4) + 7 = -1$이므로 $2M + m = 14 - 1 = 13$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 변환 및 $\sin x = t \in [-1, 1]$ 치환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 완전제곱식 $-2(t+1)^2 + 7$ 변형 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $M = 7,\; m = -1$ 및 $2M + m = 13$ 산출 | 3점 |
그림과 같이 $\angle B = \dfrac{\pi}{2}$이고 $\overline{AB} = 4,\; \overline{BC} = 2$인 직각삼각형 $ABC$에서 변 $AB$를 $1 : 3$으로 내분하는 점을 $D$라 하자. $\cos^2(\angle ACD) = \dfrac{q}{p}$일 때, $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p,\; q$는 서로소인 자연수이다. 10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 점 $D$가 변 $AB$를 $1 : 3$으로 내분하므로 $\overline{AD} = 1,\; \overline{BD} = 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 피타고라스 정리에 의해 $\overline{CD} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$이고 $\overline{AC} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\triangle ADC$에서 코사인법칙으로 $\cos(\angle ACD) = \dfrac{20 + 13 - 1}{2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{13}} = \dfrac{32}{4\sqrt{65}} = \dfrac{8}{\sqrt{65}}$이므로 $\cos^2(\angle ACD) = \dfrac{64}{65}$이고 $p + q = 129$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 내분비로 $\overline{AD}=1,\; \overline{BD}=3$ 및 $\overline{CD}=\sqrt{13},\; \overline{AC}=2\sqrt{5}$ 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\triangle ADC$에서 코사인법칙으로 $\cos(\angle ACD) = \dfrac{8}{\sqrt{65}}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\cos^2(\angle ACD) = \dfrac{64}{65}$ 기약분수 확인 및 $p + q = 129$ 계산 | 3점 |
첫째항이 $25$이고 공차가 $-4$인 등차수열 $\{a_n\}$에서 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 최대가 되도록 하는 자연수 $n$과 그때의 최댓값 $M$의 합 $n + M$을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등차수열의 일반항은 $a_n = 25 + (n - 1)(-4) = -4n + 29$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부분합 $S_n$이 최대가 되려면 양수인 항까지만 모두 더해야 하므로 $a_n \gt 0 \iff -4n + 29 \gt 0 \implies n \lt 7.25$에서 $n = 7$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a_7 = 1$이므로 최댓값은 $M = S_7 = \dfrac{7(25 + 1)}{2} = 91$이고, 따라서 $n + M = 7 + 91 = 98$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 일반항 $a_n = -4n + 29$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a_n \gt 0$ 부등식으로 마지막 양수 항 번호 $n = 7$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $S_7 = 91$ 및 $n + M = 98$ 산출 | 3점 |
다항함수 $f(x)$가 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - x^3}{x^2} = 2$와 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = -4$를 모두 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to \infty$ 극한 조건으로부터 $f(x) - x^3$은 최고차항 계수가 $2$인 이차식이므로 $f(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b$ ($a,\; b$는 상수)이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x \to 1$ 극한에서 분모가 $0$에 수렴하므로 $f(1) = 3 + a + b = 0$이고, 미분계수의 정의에 의해 $f'(1) = 7 + a = -4$이므로 $a = -11,\; b = 8$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = x^3 + 2x^2 - 11x + 8$이므로 $f(2) = 8 + 8 - 22 + 8 = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 무한대 극한으로부터 $f(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b$ 차수·계수 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f(1) = 0,\; f'(1) = -4$ 연립으로 $a = -11,\; b = 8$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(2) = 2$ 산출 | 3점 |
최고차항의 계수가 $1$인 다항함수 $f(x)$가 $f(0) = 0$이고, 모든 실수 $x$에 대하여
$$\lim_{h \to 0} \frac{\{f(x + h^2 + 2h + 1) - f(x + 1)\}f\left(\frac{h}{2}\right)}{h^2} = 3x^2 + 8x + 6$$을 만족시킬 때, $f(3)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(0) = 0$을 이용하여 좌변 극한을 변형하면 $\displaystyle\lim_{h \to 0}\left[\frac{f(x+1+h^2+2h)-f(x+1)}{h^2+2h}\cdot(h+2)\cdot\frac{1}{2}\frac{f(h/2)-f(0)}{h/2}\right] = f'(x+1)f'(0)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x+1)f'(0) = 3x^2 + 8x + 6$이 이차식이므로 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$라 두면 $f'(0) = b$이고 $b\{3(x+1)^2 + 2a(x+1) + b\} = 3x^2 + 8x + 6$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 계수 비교로 $3b = 3 \implies b = 1$이고 $6 + 2a = 8 \implies a = 1$ (상수항 $3+2+1=6$ 일치)이므로 $f(x) = x^3 + x^2 + x$에서 $f(3) = 27 + 9 + 3 = 39$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미분계수의 정의 곱으로 분리하여 $f'(x+1)f'(0) = 3x^2 + 8x + 6$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f(x)=x^3+ax^2+bx$ 설정 후 계수 비교로 $a = 1,\; b = 1$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(3) = 39$ 산출 | 3점 |
그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 $6$이고 높이가 $12$인 직원뿔에 내접하는 직원기둥의 부피가 최대일 때, 그 직원기둥의 밑면의 반지름의 길이 $r$와 최대 부피 $V$를 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 직원기둥의 밑면의 반지름을 $r\ (0 \lt r \lt 6)$, 높이를 $h$라 하면 단면 직각삼각형의 닮음비 $(6 - r) : 6 = h : 12$로부터 $h = 2(6 - r)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부피 함수는 $V(r) = \pi r^2 h = 2\pi(6r^2 - r^3)$이고, 미분하면 $V'(r) = 2\pi(12r - 3r^2) = 6\pi r(4 - r) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \lt r \lt 6$에서 $r = 4$일 때 극대이자 최대이므로 $r = 4$이고 최대 부피는 $V(4) = 2\pi \times 16 \times 2 = 64\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 단면 삼각형 닮음비로 높이 $h = 2(6 - r)$ 관계식 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $V(r) = 2\pi(6r^2 - r^3)$ 미분으로 극대점 $r = 4$ 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최대 부피 $V = 64\pi$ 산출 | 3점 |
다항함수 $f(x) = x^3 - 5x$에 대하여 정적분 $\displaystyle\int_{-3}^{3} (x^2 + 2)\{f(x) + 3\}\,dx$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 전개하면 피적분함수는 $(x^2 + 2)f(x) + 3(x^2 + 2)$이고, $f(-x) = -f(x)$이므로 $(x^2 + 2)f(x)$는 원점 대칭인 기함수이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 대칭구간 $[-3, 3]$에서 기함수의 정적분은 $0$이므로 주어진 식은 우함수 항만 남아 $2\displaystyle\int_{0}^{3} (3x^2 + 6)\,dx$와 같다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 계산하면 $2\left[x^3 + 6x\right]_{0}^{3} = 2(27 + 18) = 90$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 우함수 $(x^2+2)$와 기함수 $f(x)$의 곱이 기함수임을 밝혀 대칭구간 적분 소거 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 우함수 부분 $2\int_0^3 (3x^2 + 6)dx$로 단순화 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 값 $90$ 산출 | 3점 |
곡선 $y = x^3 - 2x^2 + 1$ 위의 점 $(1, 0)$에서의 접선과 이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$에서 $f'(x) = 3x^2 - 4x$이므로 점 $(1, 0)$에서의 접선의 기울기는 $f'(1) = -1$이고 접선의 방정식은 $y = -x + 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 교점 방정식 $x^3 - 2x^2 + 1 = -x + 1 \iff x^3 - 2x^2 + x = x(x - 1)^2 = 0$에서 접점 $x = 1$ (중근)과 다른 교점 $x = 0$을 얻는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구간 $[0, 1]$에서 $x(x - 1)^2 \ge 0$이므로 $S = \displaystyle\int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{12}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 점 $(1,0)$에서의 접선의 방정식 $y = -x + 1$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 차함수 인수분해 $x(x-1)^2 = 0$으로 교점 $x = 0,\; 1$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 계산으로 넓이 $S = \dfrac{1}{12}$ 산출 | 3점 |
$A = \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8$이고 $B = \log_4 9 + \log_2 6 - \log_2 18$일 때, $A - B$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 상용로그 밑변환 공식 $\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}$에 의해 연쇄 곱을 소거한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $A = \dfrac{\log 3}{\log 2} \cdot \dfrac{\log 5}{\log 3} \cdot \dfrac{3\log 2}{\log 5} = 3$이고, $\log_4 9 = \log_{2^2} 3^2 = \log_2 3$이므로 $B = \log_2\left(\dfrac{3 \times 6}{18}\right) = \log_2 1 = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $A - B = 3 - 0 = 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 밑변환 연쇄 소거로 $A = \log_2 8 = 3$ 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 밑 $2$로 통일하여 $B = \log_2 1 = 0$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $A - B = 3$ 도출 | 3점 |
함수 $f(x) = 2^{x-2} + 1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$의 두 교점 사이의 거리를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 증가함수 $y = f(x)$와 역함수 $y = g(x)$의 교점은 직선 $y = x$ 위에 존재하므로 방정식 $2^{x-2} + 1 = x$의 실근과 일치한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 아래로 볼록인 지수함수 $y = 2^{x-2} + 1$과 직선 $y = x$는 최대 $2$개의 교점을 가지며, 대입 확인하면 $f(2) = 2^0 + 1 = 2,\; f(3) = 2^1 + 1 = 3$이므로 두 교점은 $(2, 2),\; (3, 3)$뿐이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 두 교점 사이의 거리는 $\sqrt{(3 - 2)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 증가함수의 역함수 교점 성질로 $2^{x-2} + 1 = x$ 방정식 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 볼록성과 함숫값 확인으로 두 교점 $(2, 2),\; (3, 3)$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 점 사이의 거리 $\sqrt{2}$ 산출 | 3점 |
$0 \le x \le 2\pi$에서 부등식 $2\sin^2 x - 3\cos x \ge 0$의 해가 $\alpha \le x \le \beta$일 때, $\dfrac{\beta - \alpha}{\pi}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 대입하여 정리하면 $2(1 - \cos^2 x) - 3\cos x \ge 0 \iff 2\cos^2 x + 3\cos x - 2 = (2\cos x - 1)(\cos x + 2) \le 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 모든 실수 $x$에서 $\cos x + 2 \ge 1 \gt 0$이므로 $2\cos x - 1 \le 0 \implies \cos x \le \dfrac{1}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \le x \le 2\pi$에서 $\cos x \le \dfrac{1}{2}$의 해는 $\dfrac{\pi}{3} \le x \le \dfrac{5\pi}{3}$이므로 $\alpha = \dfrac{\pi}{3},\; \beta = \dfrac{5\pi}{3}$에서 $\dfrac{\beta - \alpha}{\pi} = \dfrac{4}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $(2\cos x - 1)(\cos x + 2) \le 0$ 인수분해 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\cos x + 2 \gt 0$을 이용해 $\cos x \le \dfrac{1}{2}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간 $\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}\right]$로부터 $\dfrac{\beta - \alpha}{\pi} = \dfrac{4}{3}$ 산출 | 3점 |
그림과 같이 원에 내접하는 사각형 $ABCD$에서 $\overline{AB} = 3,\; \overline{BC} = 3,\; \overline{CD} = 5,\; \overline{DA} = 3$이다. $\angle ABC = \theta$라 할 때, $\cos\theta$의 값과 대각선 $\overline{AC}^2$의 값을 각각 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 원에 내접하는 사각형의 대각의 합은 $\pi$이므로 $\angle ADC = \pi - \theta$이고 $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 두 삼각형 $ABC,\; ACD$에서 코사인법칙을 적용하면 $\overline{AC}^2 = 3^2 + 3^2 - 18\cos\theta = 3^2 + 5^2 - 30\cos(\pi - \theta)$ 즉 $18 - 18\cos\theta = 34 + 30\cos\theta$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $48\cos\theta = -16$에서 $\cos\theta = -\dfrac{1}{3}$이고, 대입하면 $\overline{AC}^2 = 18 - 18\left(-\dfrac{1}{3}\right) = 24$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 내접사각형 성질 $\angle ADC = \pi - \theta$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 공통 대각선 $\overline{AC}^2$의 코사인법칙 연립식 $18 - 18\cos\theta = 34 + 30\cos\theta$ 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\cos\theta = -\dfrac{1}{3}$ 및 $\overline{AC}^2 = 24$ 산출 | 3점 |
$a_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 2a_n + 3$을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_n + 3$이 등비수열임을 이용하여 일반항 $a_n$과 $\displaystyle\sum_{k=1}^{8} a_k$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 점화식의 양변에 $3$을 더하면 $a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)$이므로 수열 $\{a_n + 3\}$은 첫째항이 $a_1 + 3 = 5$이고 공비가 $2$인 등비수열이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 $a_n + 3 = 5 \cdot 2^{n-1}$이므로 일반항은 $a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 제$8$항까지의 합은 $\displaystyle\sum_{k=1}^{8}(5 \cdot 2^{k-1} - 3) = \frac{5(2^8 - 1)}{2 - 1} - 3 \times 8 = 5 \times 255 - 24 = 1275 - 24 = 1251$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)$ 변형으로 등비수열 구조 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 일반항 $a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 3$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 등비수열 합 공식과 상수항 합으로 $1251$ 산출 | 3점 |
등식 $\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{2x + a} - 3}{x - 3} = b$가 성립하도록 하는 두 상수 $a,\; b$에 대하여 $a + 9b$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to 3$일 때 분모가 $0$에 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 $0$에 수렴하여 $\sqrt{6 + a} - 3 = 0 \implies a = 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a = 3$을 대입하고 분자를 유리화하면 $b = \displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{(2x + 3) - 9}{(x - 3)(\sqrt{2x + 3} + 3)} = \lim_{x \to 3}\frac{2}{\sqrt{2x + 3} + 3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $b = \dfrac{2}{3 + 3} = \dfrac{1}{3}$이고 $a + 9b = 3 + 3 = 6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 분자 수렴 조건으로 $a = 3$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 분자 유리화 및 $(x-3)$ 약분으로 $b = \dfrac{1}{3}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a + 9b = 6$ 계산 | 3점 |
삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + (2a + 9)x + 1$이 실수 전체의 집합에서 역함수를 갖도록 하는 모든 정수 $a$의 개수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$가 역함수를 가질 필요충분조건은 실수 전체에서 증가하는 것, 즉 모든 실수 $x$에서 $f'(x) \ge 0$인 것이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 도함수 $f'(x) = 3x^2 + 2ax + (2a + 9) \ge 0$이 항상 성립하려면 이차방정식 $f'(x) = 0$의 판별식 $D / 4 \le 0$이어야 한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $D / 4 = a^2 - 3(2a + 9) = a^2 - 6a - 27 = (a - 9)(a + 3) \le 0$이므로 $-3 \le a \le 9$이고, 정수 $a$의 개수는 $9 - (-3) + 1 = 13$개이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 역함수 존재 조건을 $f'(x) \ge 0$ 및 판별식 $D/4 \le 0$으로 전환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 이차부등식 $(a-9)(a+3) \le 0$으로부터 $-3 \le a \le 9$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정수 $a$의 개수 $13$ 산출 | 3점 |
$x \ge 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x^3 - 3x^2 - 9x + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k$라 하면 $x \ge 0$에서의 최솟값이 $0$ 이상이면 주어진 부등식이 항상 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0$에서 $x \ge 0$ 구간 내 임계점은 $x = 3$뿐이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \le x \lt 3$에서 $f'(x) \lt 0$, $x \gt 3$에서 $f'(x) \gt 0$이므로 최솟값은 $f(3) = 27 - 27 - 27 + k = k - 27 \ge 0$에서 $k$의 최솟값은 $27$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x \ge 0$에서의 최솟값 조건 $f_{\min} \ge 0$ 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f'(x)=3(x+1)(x-3)$으로 $x \ge 0$에서의 극소·최소점 $x = 3$ 확인 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(3) = k - 27 \ge 0$으로부터 최솟값 $27$ 산출 | 3점 |
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle\int_{1}^{x} (x - t)f(t)\,dt = x^3 + ax^2 - 5x + b$를 만족시킬 때, $a + b + f(2)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 좌변을 $x\displaystyle\int_{1}^{x} f(t)\,dt - \int_{1}^{x} tf(t)\,dt$로 분리하고 $x = 1$을 대입하면 $0 = 1 + a - 5 + b \implies a + b = 4$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle\int_{1}^{x} f(t)\,dt = 3x^2 + 2ax - 5$이고, 다시 $x = 1$을 대입하면 $0 = 3 + 2a - 5 \implies a = 1,\; b = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 양변을 한 번 더 미분하면 $f(x) = 6x + 2a = 6x + 2$이므로 $f(2) = 14$이고, $a + b + f(2) = 1 + 3 + 14 = 18$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 피적분식에서 $x$를 적분 밖으로 분리 및 $x=1$ 대입으로 $a+b=4$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 1차 미분식 $\int_1^x f(t)dt = 3x^2+2ax-5$와 $x=1$ 대입으로 $a=1,\; b=3$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 2차 미분으로 $f(x) = 6x + 2$ 및 $a + b + f(2) = 18$ 도출 | 3점 |
실수 $m$에 대하여 포물선 $y = x^2 - 2x$와 직선 $y = mx + 3$으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S(m)$이 최소가 될 때의 상수 $m$의 값과 그때의 최소 넓이를 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 교점 방정식 $x^2 - (m + 2)x - 3 = 0$의 판별식은 $D = (m + 2)^2 + 12 \gt 0$이므로 항상 서로 다른 두 실근 $\alpha,\; \beta$ ($\alpha \lt \beta$)를 갖는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 근과 계수의 관계로 $(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (m + 2)^2 + 12$이고, 넓이는 $S(m) = \dfrac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 = \dfrac{1}{6}\{(m + 2)^2 + 12\}^{\frac{3}{2}}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $(m + 2)^2 = 0$ 즉 $m = -2$일 때 최소이며, 최소 넓이는 $\dfrac{1}{6} \times 12\sqrt{12} = \dfrac{24\sqrt{3}}{6} = 4\sqrt{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 연립 이차방정식에서 $(\beta - \alpha)^2 = (m + 2)^2 + 12$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 넓이 식 $S(m) = \dfrac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ 표현 및 $m = -2$일 때 최소 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최소 넓이 $4\sqrt{3}$ 산출 | 3점 |
방정식 $9^x - 12 \cdot 3^x + m = 0$의 서로 다른 두 실근 $\alpha,\; \beta$ ($\alpha \lt \beta$)에 대하여 $\alpha + \beta = 3$일 때, 상수 $m$의 값과 $\beta - \alpha$의 값을 각각 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $3^x = t\ (t \gt 0)$로 치환하면 이차방정식 $t^2 - 12t + m = 0$의 두 양의 실근이 $t_1 = 3^{\alpha},\; t_2 = 3^{\beta}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 근과 계수의 관계에 의하여 $t_1 t_2 = 3^{\alpha + \beta} = m$이므로 $\alpha + \beta = 3$을 대입하면 $m = 3^3 = 27$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $t^2 - 12t + 27 = (t - 3)(t - 9) = 0$에서 $3^{\alpha} = 3,\; 3^{\beta} = 9$이므로 $\alpha = 1,\; \beta = 2$이고 $\beta - \alpha = 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $3^x = t$ 치환 및 두 근 $3^{\alpha},\; 3^{\beta}$ 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 두 근의 곱 $3^{\alpha+\beta} = m$으로부터 $m = 27$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 인수분해로 $\alpha = 1,\; \beta = 2$ 및 $\beta - \alpha = 1$ 산출 | 3점 |
부등식 $-\log_{\frac{1}{3}} |x| + \log_3 (x + 2) \le 2$를 만족시키는 모든 정수 $x$의 개수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 진수 조건 $|x| \gt 0,\; x + 2 \gt 0$으로부터 정의역은 $-2 \lt x \lt 0$ 또는 $x \gt 0$이고, 밑변환으로 $\log_3\{|x|(x + 2)\} \le 2 \iff |x|(x + 2) \le 9$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] ① $-2 \lt x \lt 0$일 때 $-x(x + 2) \le 9 \iff (x + 1)^2 + 8 \ge 0$이 항상 성립하므로 정수 $x = -1$ ($1$개)이 해가 된다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] ② $x \gt 0$일 때 $x^2 + 2x \le 9 \iff (x + 1)^2 \le 10$에서 양의 정수는 $x = 1,\; 2$ ($2$개, $x=3$이면 $16 \gt 10$)이므로 전체 정수 해의 개수는 $1 + 2 = 3$개이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 진수 조건($-2 \lt x \lt 0$ 또는 $x \gt 0$) 명시 및 $|x|(x+2) \le 9$ 변형 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 음수 구간에서 $x = -1$ ($1$개) 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 양수 구간에서 $x = 1, 2$ ($2$개) 도출 및 총 $3$개 산출 | 3점 |
$0 \le x \lt 2\pi$에서 방정식 $|\cos 3x| = \dfrac{1}{2}$을 만족시키는 서로 다른 모든 실근의 개수를 $a$, 모든 실근의 합을 $b\pi$라 할 때, $a + b$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $t = 3x$라 치환하면 $0 \le t \lt 6\pi$이고 $\cos t = \pm\dfrac{1}{2}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 한 주기 $[0, 2\pi)$마다 $\cos t = \pm\dfrac{1}{2}$은 $4$개의 실근을 가지므로 세 주기 $[0, 6\pi)$에서 실근의 개수는 $a = 3 \times 4 = 12$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 코사인 그래프가 직선 $t = 3\pi$에 대칭이므로 $12$개 근이 $6$쌍을 이루어 $\sum t_i = 6 \times 6\pi = 36\pi$이고, $\sum x_i = \dfrac{36\pi}{3} = 12\pi$이므로 $b = 12,\; a + b = 24$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $t = 3x \in [0, 6\pi)$ 치환 및 $\cos t = \pm\dfrac{1}{2}$ 분리 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 세 주기 교점 개수로 $a = 12$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $t = 3\pi$ 대칭성으로 합 $12\pi$ ($b=12$) 및 $a + b = 24$ 도출 | 3점 |
$3$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 합 $S_n = 1 \cdot (n - 1) + 2 \cdot (n - 2) + 3 \cdot (n - 3) + \cdots + (n - 1) \cdot 1$을 $n$에 대한 식으로 나타내면 $S_n = \dfrac{n(n + a)(n + b)}{6}$이다. 상수 $a,\; b$에 대하여 $a^2 + b^2$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 일반항의 번호를 $k\ (1 \le k \le n - 1)$로 두면 $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k(n - k) = n\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} k^2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 거듭제곱 합 공식을 대입하면 $S_n = n \cdot \dfrac{(n - 1)n}{2} - \dfrac{(n - 1)n(2n - 1)}{6} = \dfrac{n(n - 1)\{3n - (2n - 1)\}}{6} = \dfrac{n(n - 1)(n + 1)}{6}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\{a, b\} = \{-1, 1\}$이므로 $a^2 + b^2 = 1 + 1 = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 시그마 표현 $\sum_{k=1}^{n-1} (nk - k^2)$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 합 공식 대입 및 공통인수 $\dfrac{n(n-1)}{6}$ 묶기로 $\dfrac{n(n-1)(n+1)}{6}$ 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a^2 + b^2 = 2$ 산출 | 3점 |
중심 $O_1,\; O_2,\; O_3$이 한 직선 위에 차례로 놓여 서로 외접하는 세 원 $C_1,\; C_2,\; C_3$의 반지름 $r_1,\; r_2,\; r_3$이 이 순서대로 공비 $r\ (r \gt 1)$인 등비수열을 이룬다. 세 원에 모두 접하는 직선 $l$이 두 원 $C_1,\; C_3$과 접하는 점을 각각 $G,\; H$라 할 때, $r_1 = 2,\; \overline{GH} = 40$이면 공비 $r$와 $r_2 + r_3$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $r_1 = 2,\; r_2 = 2r,\; r_3 = 2r^2$이므로 중심거리 $\overline{O_1 O_3} = r_1 + 2r_2 + r_3 = 2(r + 1)^2$이고 반지름의 차는 $r_3 - r_1 = 2(r^2 - 1)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 직각삼각형 피타고라스 정리에 의해 $\overline{GH}^2 = \{2(r+1)^2\}^2 - \{2(r^2-1)\}^2 = 16r(r + 1)^2 = 40^2 = 1600$이므로 $r(r + 1)^2 = 100$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $r^3 + 2r^2 + r - 100 = (r - 4)(r^2 + 6r + 25) = 0$에서 실수 공비는 $r = 4$이고, $r_2 + r_3 = 8 + 32 = 40$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등비수열 설정으로 중심거리 $2(r+1)^2$과 반지름 차 $2(r^2-1)$ 표현 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 피타고라스 정리로 $r(r + 1)^2 = 100$ 방정식 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 인수분해 $(r-4)(r^2+6r+25)=0$으로 $r = 4$ 및 $r_2 + r_3 = 40$ 산출 | 3점 |
함수 $y = |x^2 - 4x|$의 그래프와 직선 $y = t$가 만나는 점의 개수를 $f(t)$라 하자. 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $g(t)$에 대하여 함수 $f(t)g(t)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $f(2) + g(5)$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곡선 $y = |x^2 - 4x|$는 $x = 0,\; 4$에서 $0$이고 $x = 2$에서 극댓값 $4$를 가지므로, 교점 개수 함수 $f(t)$는 $t \lt 0$일 때 $0$, $t = 0$일 때 $2$, $0 \lt t \lt 4$일 때 $4$, $t = 4$일 때 $3$, $t \gt 4$일 때 $2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 $f(t)$의 불연속점은 $t = 0,\; 4$의 두 곳뿐이며, 연속 이차함수 $g(t)$와의 곱 $f(t)g(t)$가 실수 전체에서 연속이려면 $g(0) = 0,\; g(4) = 0$이어야 한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 최고차항 계수가 $1$이므로 $g(t) = t(t - 4)$이고, $f(2) = 4,\; g(5) = 5 \times 1 = 5$이므로 $f(2) + g(5) = 9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $y = |x^2 - 4x|$ 개형으로부터 $f(t)$의 불연속점 $t = 0,\; 4$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연속 조건 $g(0)=g(4)=0$으로부터 $g(t) = t(t - 4)$ 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(2) = 4,\; g(5) = 5$를 구해 합 $9$ 산출 | 3점 |
함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c\ (0 \lt c \lt 3)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[0, 3]$에서 연속이고 열린구간 $(0, 3)$에서 미분가능하며, 평균변화율은 $\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{6 - 0}{3} = 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 도함수 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$에서 $f'(c) = 2$로 놓으면 $3c^2 - 6c + 2 = 2 \iff 3c(c - 2) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 열린구간 조건 $0 \lt c \lt 3$을 만족시키는 상수는 $c = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 구간 $[0, 3]$에서의 평균변화율 $\dfrac{f(3)-f(0)}{3} = 2$ 계산 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f'(c) = 3c^2 - 6c + 2 = 2$ 방정식 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 열린구간 $(0, 3)$ 조건으로 $c = 0$을 제외하고 $c = 2$ 확정 | 3점 |
지면에서 지면과 수직하게 위로 던져 올린 물체의 $t$초 후의 높이가 $x(t) = 30t - 5t^2\ (\text{m})$일 때, 물체가 최고 높이에 도달하는 시각 $t_1$, 최고 높이 $H$, 그리고 $t = 2$에서의 속력 $|v(2)|$의 합 $t_1 + H + |v(2)|$를 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 속도는 $v(t) = x'(t) = 30 - 10t$이며, 최고 높이에 도달할 때의 속도는 $v(t) = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $30 - 10t_1 = 0$에서 $t_1 = 3$이고, 최고 높이는 $H = x(3) = 90 - 45 = 45$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $t = 2$에서의 속력은 $|v(2)| = |30 - 20| = 10$이므로 $t_1 + H + |v(2)| = 3 + 45 + 10 = 58$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $v(t) = 30 - 10t = 0$으로부터 최고 높이 시각 $t_1 = 3$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 최고 높이 $H = x(3) = 45$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $|v(2)| = 10$ 및 합 $58$ 계산 | 3점 |
그림과 같이 곡선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형을 원점을 지나는 직선 $y = mx\ (0 \lt m \lt 4)$가 두 영역으로 나눈다. 곡선과 직선으로 둘러싸인 위쪽 영역의 넓이를 $S_1$, 나머지 아래쪽 영역의 넓이를 $S_2$라 할 때, $37S_1 = 27S_2$를 만족시키는 상수 $m$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곡선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축의 교점은 $x = 0,\; 4$이므로 전체 넓이는 $S_1 + S_2 = \dfrac{1}{6} \cdot 4^3 = \dfrac{32}{3}$이고, 곡선과 직선 $y = mx$의 교점은 $x = 0,\; 4 - m$이므로 $S_1 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $37S_1 = 27S_2$에서 $S_1 : (S_1 + S_2) = 27 : (27 + 37) = 27 : 64$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\dfrac{S_1}{S_1 + S_2} = \dfrac{(4 - m)^3}{4^3} = \dfrac{27}{64}$이므로 $4 - m = 3 \implies m = 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 전체 넓이 $\dfrac{1}{6}\cdot 4^3$과 위쪽 넓이 $S_1 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3$ 공식화 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 비례식 $37S_1 = 27S_2$를 전체 대비 비율 $S_1 : (S_1 + S_2) = 27 : 64$로 변환 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $(4 - m)^3 = 27$로부터 $m = 1$ 산출 | 3점 |
실수 전체에서 정의된 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = 5x^4 + x^2\displaystyle\int_{-1}^{1} f(t)\,dt - \left|\int_{0}^{1} f(t)\,dt\right|$를 만족시킬 때, 가능한 모든 $f(1)$의 값의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 우변이 짝수차항과 상수항뿐이므로 $f(-x) = f(x)$인 우함수이고, $a = \displaystyle\int_{0}^{1} f(t)\,dt$라 하면 $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(t)\,dt = 2a$이어서 $f(x) = 5x^4 + 2ax^2 - |a|$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이를 $[0, 1]$에서 정적분하면 $a = \displaystyle\int_{0}^{1}(5t^4 + 2at^2 - |a|)\,dt = 1 + \frac{2}{3}a - |a|$이므로, ① $a \ge 0$일 때 $a = 1 - \dfrac{1}{3}a \implies a = \dfrac{3}{4}$이고 ② $a \lt 0$일 때 $a = 1 + \dfrac{5}{3}a \implies a = -\dfrac{3}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(1) = 5 + 2a - |a|$에 대입하면 $a = \dfrac{3}{4}$일 때 $f(1) = \dfrac{23}{4}$, $a = -\dfrac{3}{2}$일 때 $f(1) = 5 - 3 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}$이므로 합은 $\dfrac{25}{4}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 우함수 성질 파악 및 $a = \int_0^1 f(t)dt$ 치환으로 $f(x) = 5x^4 + 2ax^2 - |a|$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a \ge 0$과 $a \lt 0$ 부호 분류로 $a = \dfrac{3}{4},\; -\dfrac{3}{2}$ 모두 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 경우의 $f(1)$ 값 $\dfrac{23}{4}$와 $\dfrac{1}{2}$의 합 $\dfrac{25}{4}$ 산출 | 3점 |
$1$이 아닌 서로 다른 두 양수 $a,\; b$가 $\log_a b = \log_b a$를 만족시킬 때, $4a + 9b$의 최솟값 $m$과 그때의 $a$의 값 $\alpha$에 대하여 $m + 6\alpha$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 밑변환 공식에 의해 $\dfrac{\log b}{\log a} = \dfrac{\log a}{\log b} \iff (\log b - \log a)(\log b + \log a) = 0$이고 $a \ne b$이므로 $\log a + \log b = \log(ab) = 0 \implies ab = 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a \gt 0,\; b \gt 0$이므로 산술·기하 평균의 관계에 의하여 $4a + 9b \ge 2\sqrt{36ab} = 12$ ($m = 12$)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 등호는 $4a = 9b$이고 $ab = 1$일 때 성립하므로 $4a^2 = 9 \implies \alpha = \dfrac{3}{2}$ ($\ne 1$, $b = \dfrac{2}{3} \ne a$ 만족)이어서 $m + 6\alpha = 12 + 9 = 21$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a \ne b$ 조건과 밑변환 공식으로 $ab = 1$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 산술·기하 평균 부등식으로 최솟값 $m = 12$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 등호 성립 조건 $4a = 9b$로 $\alpha = \dfrac{3}{2}$ 및 $m + 6\alpha = 21$ 계산 | 3점 |
직선 $y = k\ (k \gt 1)$가 두 지수함수 $y = 2^x$와 $y = 4^x$의 그래프와 만나는 점을 각각 $A,\; B$라 하자. 선분 $AB$의 길이가 $\dfrac{3}{2}$일 때, $k^2$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $2^x = k$에서 점 $A$의 $x$좌표는 $\log_2 k$이고, $4^x = k$에서 점 $B$의 $x$좌표는 $\log_4 k = \dfrac{1}{2}\log_2 k$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $k \gt 1$이므로 $\log_2 k \gt \dfrac{1}{2}\log_2 k \gt 0$이고, 선분 $AB$의 길이는 $\log_2 k - \dfrac{1}{2}\log_2 k = \dfrac{1}{2}\log_2 k = \dfrac{3}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\log_2 k = 3 \implies k = 2^3 = 8$이므로 $k^2 = 64$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 교점의 $x$좌표 $\log_2 k$와 $\log_4 k = \dfrac{1}{2}\log_2 k$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 선분 길이 식 $\dfrac{1}{2}\log_2 k = \dfrac{3}{2}$ 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $k = 8$ 및 $k^2 = 64$ 산출 | 3점 |
그림과 같이 $\overline{AB} = 6,\; \overline{AC} = 3,\; \angle BAC = \dfrac{2}{3}\pi$인 삼각형 $ABC$에서 $\angle BAC$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 할 때, 선분 $AD$의 길이를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각형 $ABC$의 넓이는 두 부분 삼각형 $ABD$와 $ACD$의 넓이의 합과 같으며, $\angle BAD = \angle CAD = \dfrac{\pi}{3}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\overline{AD} = x$라 하면 $\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot x \sin\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot x \sin\dfrac{\pi}{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$을 양변에서 약분하면 $18 = 9x$이므로 $\overline{AD} = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 넓이 분할 등식 $\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ACD$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\angle BAD = \angle CAD = \dfrac{\pi}{3}$을 대입하여 $x$에 대한 일차방정식 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\sin\dfrac{\pi}{3}$ 약분 연산으로 $\overline{AD} = 2$ 산출 | 3점 |
첫째항이 $1$이고 공차가 $2$인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. 부등식 $S_n \gt \displaystyle\sum_{k=1}^{4} (a_k)^2$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 일반항은 $a_n = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1$이고, 부분합은 $S_n = \dfrac{n\{1 + (2n - 1)\}}{2} = n^2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 우변은 첫 네 홀수의 제곱합이므로 $\displaystyle\sum_{k=1}^{4}(2k - 1)^2 = 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 = 1 + 9 + 25 + 49 = 84$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $n^2 \gt 84$에서 $9^2 = 81 \le 84 \lt 100 = 10^2$이므로 자연수 $n$의 최솟값은 $10$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 일반항 $a_n = 2n - 1$ 및 홀수의 합 $S_n = n^2$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\sum_{k=1}^4 a_k^2 = 1 + 9 + 25 + 49 = 84$ 계산 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $n^2 \gt 84$로부터 자연수 $n$의 최솟값 $10$ 도출 | 3점 |
$a_1 = a\ (a \gt 0),\; a_2 = -3$인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+2} = a_{n+1} - a_n$을 만족시킨다. $\displaystyle\sum_{k=1}^{26} |a_k| = 119$일 때, 양수 $a$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 점화식에 대입하면 $a_1=a,\; a_2=-3,\; a_3=-3-a,\; a_4=-a,\; a_5=3,\; a_6=3+a,\; a_7=a,\; a_8=-3$이므로 주기가 $6$인 주기수열이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a \gt 0$이므로 한 주기 $6$개 항의 절댓값 합은 $a + 3 + (3 + a) + a + 3 + (3 + a) = 4a + 12$이고, 첫 $2$개 항의 절댓값 합은 $|a_1| + |a_2| = a + 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $26 = 6 \times 4 + 2$이므로 $\displaystyle\sum_{k=1}^{26}|a_k| = 4(4a + 12) + (a + 3) = 17a + 51 = 119$에서 $17a = 68 \implies a = 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 항 나열을 통해 주기 $6$과 각 항의 부호 확인 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 1주기 절댓값 합 $4a + 12$ 및 나머지 2항 합 $a + 3$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $17a + 51 = 119$ 방정식 풀이로 $a = 4$ 산출 | 3점 |
양수 $t$에 대하여 제$1$사분면에서 곡선 $y = x^2$과 직선 $y = -2x + t$ 및 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(t)$라 할 때, $\displaystyle\lim_{t \to \infty} \frac{S(t)}{t\sqrt{t}}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 제$1$사분면에서 $x^2 = -2x + t \iff (x + 1)^2 = t + 1$이므로 교점의 $x$좌표는 $\alpha(t) = \sqrt{t + 1} - 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 넓이는 $S(t) = \displaystyle\int_{0}^{\alpha} (t - 2x - x^2)\,dx = t\alpha - \alpha^2 - \frac{1}{3}\alpha^3$이고, $t \to \infty$일 때 $\dfrac{\alpha(t)}{\sqrt{t}} = \dfrac{\sqrt{t+1}-1}{\sqrt{t}} \to 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 양변을 $t^{\frac{3}{2}}$으로 나누어 극한을 취하면 $\displaystyle\lim_{t \to \infty}\left\{\frac{\alpha}{\sqrt{t}} - \frac{\alpha^2}{t\sqrt{t}} - \frac{1}{3}\left(\frac{\alpha}{\sqrt{t}}\right)^3\right\} = 1 - 0 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 제1사분면 교점 $\alpha(t) = \sqrt{t + 1} - 1$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 정적분으로 $S(t) = t\alpha - \alpha^2 - \dfrac{1}{3}\alpha^3$ 표현 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\lim_{t \to \infty}\dfrac{\alpha}{\sqrt{t}} = 1$을 이용해 극한값 $\dfrac{2}{3}$ 산출 | 3점 |
최고차항의 계수가 $-\dfrac{1}{2}$이고 $x = 6$에서 최댓값을 갖는 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x) = \begin{cases} f(x) & (x \le a) \\ |2x - 6| & (x \gt a) \end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 상수 $a\ (a \gt 3)$와 $f(0)$에 대하여 $a - f(0)$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 이차함수 $f(x)$의 대칭축이 $x = 6$이므로 $f(x) = -\dfrac{1}{2}(x - 6)^2 + c$이고 도함수는 $f'(x) = -(x - 6) = 6 - x$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a \gt 3$이므로 $x \gt a$에서 $g(x) = 2x - 6$이고, $x = a$에서의 좌·우미분계수 일치 조건 $6 - a = 2$로부터 $a = 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x = 4$에서의 연속 조건 $f(4) = -2 + c = 2(4) - 6 = 2$에서 $c = 4$이므로 $f(0) = -18 + 4 = -14$이고, $a - f(0) = 4 - (-14) = 18$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대칭축 조건으로 $f(x) = -\dfrac{1}{2}(x-6)^2 + c$ 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a \gt 3$에서 우미분계수 $2$와 일치시켜 $a = 4$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 연속 조건으로 $c = 4,\; f(0) = -14$ 및 $a - f(0) = 18$ 산출 | 3점 |
실수 $t$에 대하여 삼차함수 $g(x) = -4x^3 + (t + 1)x^2 - 3x + 2$가 극값을 갖도록 하는 실수 $t$의 값의 범위가 $t \lt \alpha$ 또는 $t \gt \beta$일 때, $\alpha + \beta$의 값을 구하고 정수 $t \in [\alpha, \beta]$의 개수를 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼차함수 $g(x)$가 극값을 가질 필요충분조건은 이차방정식 $g'(x) = 0$이 서로 다른 두 실근을 갖는 것, 즉 판별식 $D \gt 0$인 것이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $g'(x) = -12x^2 + 2(t + 1)x - 3 = 0$에서 $\dfrac{D}{4} = (t + 1)^2 - (-12)(-3) = (t + 1)^2 - 36 \gt 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 인수분해하면 $(t + 7)(t - 5) \gt 0 \implies t \lt -7$ 또는 $t \gt 5$이므로 $\alpha = -7,\; \beta = 5$에서 $\alpha + \beta = -2$이고, 닫힌구간 $[-7, 5]$의 정수 $t$의 개수는 $13$개이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼차함수 극값 존재 조건 $D/4 \gt 0$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $(t + 1)^2 - 36 \gt 0$으로부터 $\alpha = -7,\; \beta = 5$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\alpha + \beta = -2$ 및 구간 $[-7, 5]$ 정수 개수 $13$ 산출 | 3점 |
함수 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 5$에 대하여 극한값 $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{1}{x^2 - 4} \int_{2}^{x} f(t)\,dt$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(t)$의 한 부정적분을 $F(t)$라 하면 정적분의 정의에 의해 $\displaystyle\int_{2}^{x} f(t)\,dt = F(x) - F(2)$이고 $F'(x) = f(x)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 주어진 극한식을 변형하면 $\displaystyle\lim_{x \to 2} \left\{\frac{1}{x + 2} \cdot \frac{F(x) - F(2)}{x - 2}\right\} = \frac{1}{4} F'(2) = \frac{1}{4} f(2)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(2) = 16 - 12 + 8 + 5 = 17$이므로 구하는 극한값은 $\dfrac{17}{4}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 부정적분 $F(t)$를 도입해 정적분을 $F(x) - F(2)$로 변환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 미분계수의 정의를 적용하여 극한값을 $\dfrac{1}{4}f(2)$로 변형 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(2) = 17$ 대입으로 $\dfrac{17}{4}$ 산출 | 3점 |
그림과 같이 닫힌구간 $[0, 2]$에서 곡선 $y = x^2$과 직선 $x = 2$ 및 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 곡선 $y = ax^2\ (0 \lt a \lt 1)$이 이등분할 때, 상수 $a$의 값과 $12a$의 값을 구하시오. (10점)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 구간 $[0, 2]$에서 곡선 $y = x^2$과 $x = 2$, $x$축으로 둘러싸인 전체 넓이는 $S = \displaystyle\int_{0}^{2} x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 곡선 $y = ax^2$ 아래쪽 영역의 넓이는 $S_1 = \displaystyle\int_{0}^{2} ax^2\,dx = \frac{8}{3}a$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 넓이를 이등분하므로 $\dfrac{8}{3}a = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{8}{3} \implies a = \dfrac{1}{2}$이고, 따라서 $12a = 6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 전체 넓이 $\int_0^2 x^2 dx = \dfrac{8}{3}$ 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 아래쪽 영역 넓이 $\int_0^2 ax^2 dx = \dfrac{8}{3}a$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 이등분 조건으로 $a = \dfrac{1}{2}$ 및 $12a = 6$ 계산 | 3점 |
| 모집단위 | 모집인원 | 명목경쟁률 | 실질경쟁률 | 최초합 평균 | 70% 충원컷 | 수능최저 기준 | 실시간 합격 판정 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 소프트웨어학과 | 18명 | 24.8 : 1 | 24.8 : 1 | 85.1점 | 83.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 컴퓨터공학과 | 16명 | 23.4 : 1 | 23.4 : 1 | 84.0점 | 82.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 인공지능학과 | 14명 | 21.9 : 1 | 21.9 : 1 | 83.2점 | 81.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 데이터사이언스학과 | 12명 | 19.6 : 1 | 19.6 : 1 | 82.0점 | 80.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 사이버보안학과 | 12명 | 19.1 : 1 | 19.1 : 1 | 81.5점 | 80.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 전자공학과 | 15명 | 17.8 : 1 | 17.8 : 1 | 79.8점 | 78.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 반도체공학과 | 14명 | 17.5 : 1 | 17.5 : 1 | 79.2점 | 78.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 기계시스템공학과 | 14명 | 16.4 : 1 | 16.4 : 1 | 78.4점 | 77.2점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 금융정보공학과 | 12명 | 15.9 : 1 | 15.9 : 1 | 78.0점 | 76.8점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 산업경영시스템공학과 | 13명 | 15.2 : 1 | 15.2 : 1 | 76.8점 | 75.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 나노화학생명공학과 | 15명 | 14.8 : 1 | 14.8 : 1 | 76.0점 | 74.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 도시공학과 | 12명 | 13.9 : 1 | 13.9 : 1 | 72.0점 | 70.2점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
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|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제2회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제3회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제4회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제5회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제6회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제7회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제8회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제9회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제10회 | 2026. . . | 분 | / 100 |