2027학년도 서울과학기술대학교 자연계열 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 135쪽 단권화

2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본

2027학년도 서울과학기술대학교
자연계열 수리논술
10회분 통합 마스터 문제집·해설집

출제 범위: 교과서 기반 교육과정 수학 전 범위 (Textbook DB SSOT)
시험 시간: 100분 | 전형 반영: 논술 70% + 학생부교과 30%

📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 135쪽 완결]

• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭

• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (55p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (27문항)

• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (43p): 출제 타당성 보고서(2p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)

• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (31p): 30문항 전수 아코디언 정밀 해설

• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터

📱 스마트폰 실시간 합격진단 & 올인원 대시보드 연동

우측 QR 스캔 또는 상단 툴바 버튼으로 서울과학기술대학교 실시간 컷오프 시뮬레이터와 즉시 동기화됩니다.

발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: QUESTIO-2027-UNIFIED-MASTER

전형 반영 비율

논술 70% + 학생부교과 30%

논술 실질 변별력 핵심

시험 시간 · 문항

100분 · 3문항

회차당 수리 100점 만점

수능최저학력기준

모집단위별 기준 확인

수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별

출제 교육과정

교과서 기반 수학과

Textbook DB V1.0 완벽 준거

STEP 1기출 5개년 해부Part 1 정독

STEP 2표준 모의 1~5회실전 시간 엄수

STEP 3킬러 모의 6~10회TOP 5 심화 격파

STEP 4루브릭 약점 교정감점 요인 제거

STEP 5입결 컷오프 판정Part 3 시뮬레이션

📈 5개년 출제 경향 및 2027학년도 핵심 대비 전략

📋 1. 2027학년도 ST자유전공학부 및 자연계열 논술전형 안내 & 채점 기준 핵심 전략

• ST자유전공학부 집중 선발 & 전형 비율: 무전공·광역 선발 단위인 ST자유전공학부 및 공과대학·정보통신대학·에너지바이오대학 전 학과에서 논술 70% + 학생부교과 30% (수능최저학력기준 없음, 시험시간 100분, 대문항 3개[소문항 3~4개])로 선발합니다.
• 단계별 부분 점수 & 주요 감점 요소 방어: 최종 결과값뿐만 아니라 정의 적용, 방정식 수립, 중간 계산의 정확성에 독립 배점이 부여됩니다. 로그 진수 조건 누락, 경계값 포함 여부 미명시, 대칭이동 부호 착오, 정적분 구간 부호 오산, 극한 차수 미비교 등 논리적 비약 시 부분 감점됩니다.

📊 2. 연도별 기출·모의 9대 세트(27문항) 핵심 출제 경향 및 풀이 전략 (Part 1 전수 수록)

① [2027 모의논술 (p.4~9)] 산술·기하평균 완전제곱 변형·다항식 계수 $\Sigma$ 공식 및 코사인 부분적분 극한·속도 부호 분할 이동거리·여사건 순열(문제 1), 직각삼각형 내접원 반지름 유리화·내심 원점 거리 및 탄젠트(문제 2), 로그 밑변환 진수 조건·접선 이차함수 결정·$x^n f(x)$ 정적분 넓이 및 망원급수(문제 3).

② [2026 수시 기출 (p.10~15)] 로그부등식 치환 좌표·기함수 정적분 소거·여사건 경우의 수(문제 1), $\alpha+\beta=\pi$ 삼각함수 덧셈정리·접선의 방정식·내접원 중심 평행이동 연립(문제 2), 삼차함수 극대극소 내분점·대칭 정적분 넓이 및 무한대 차수 극한(문제 3).

③ [2026 모의논술 (p.16~21)] 원의 지름 내접 직각삼각형·등차수열 절댓값 합·급수 수렴 극한·원과 포물선 법선 넓이(문제 1), 절댓값 구간 분할·코사인 교점 개수·부분분수 망원급수(문제 2), 공통접선 미정계수·삼차/이차함수 둘러싸인 넓이(문제 3).

④ [2025 수시 기출 오전 (p.22~27)] 삼차방정식 근과 계수 무리식·지수함수 $f(x)+f(1-x)=1$ 대칭과 역함수 합·명제 대우 카드 판별(문제 1), 외분점 직선식·역함수 대칭 직선 거리·로그곡선 길이 치환적분(문제 2), $f(x)=\frac{\cos x}{x^2}$ 절편 수열·접선 절편 급수·삼각형 넓이 부분분수 무한급수(문제 3).

⑤ [2025 수시 기출 오후 (p.28~33)] 속도 정적분 위치함수·$\tan(\pi/4-\alpha)$ 덧셈정리·여사건 조합 사각형(문제 1), 대칭점 $P', Q'$ 직선 최단거리·사인법칙 외접원·정적분과 급수 합(문제 2), 사잇값/평균값 정리 부등식 및 샌드위치 수열 극한(문제 3).

⑥ [2025 모의논술 (p.34~39)] 구분구적법 정적분과 급수·도함수 증감 부등식·등차수열 극한(문제 1), 원점 대칭 지수함수 교점 개수·역함수 치환적분 넓이(문제 2), 원과 코사인법칙·거리 제곱합 완전제곱 부등식·특수각 판별(문제 3).

⑦ [2024 수시 기출 오전 (p.40~45)] 이차방정식 근과 계수 삼각함수·사차함수 기함수 도함수·지수함수 부분적분 부피(문제 1), 무리함수 대칭이동 최단거리·두 접선 직각삼각형 탄젠트·코사인법칙(문제 2), 매개변수 동심원 교점·속력 정적분 이동거리·삼각함수 적분 무한등비급수(문제 3).

⑧ [2024 수시 기출 오후 (p.46~51)] 도형 이동 공통접선 판별식·역함수 교점 $y=x$·$\tan\theta$ 치환 미분 최솟값(문제 1), 평행선 선택 조합 격자점 사각형 개수와 넓이·수학적 귀납법 분수 부등식 증명(문제 2), 지수·삼각 2회 부분적분·도형 넓이·정적분과 급수 극한(문제 3).

⑨ [2024 모의논술 (p.52~57)] 홀짝/소수 조건 증가함수 개수·부채꼴 수선 무한등비급수·단면 원 입체도형 부피 정적분(문제 1), 삼차함수 극값 교점·두 곡선 넓이 정적분·몫의 미분 최솟값(문제 2), 삼각함수 근의 수열·몫의 미분 접선·부분분수 무한급수 합(문제 3).

🔥 역대 킬러 문항 TOP 5 분석 & 실전 모의고사 6~10회 1:1 심화 매칭표

순위	기출 원천 문항	핵심 출제 테마 및 변별 포인트	모의 1:1 매칭	부분점수 공략 전략
TOP 1	2026 기출 문제 3 & 2025 오전 3	도함수 근의 1:2 내분점 계수 결정·정적분 넓이 극한 및 삼각함수 접선 절편 망원급수	제6회 3~5번 & 제10회 3~4번	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 2	2027 모의 문제 2 & 2025 오전 2	직각삼각형 내접원 삼각함수 극한 및 로그곡선 외분점·역함수 대칭 거리·곡선의 길이 적분	제8회 4~5번 & 제10회 5번	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 3	2026 기출 문제 2 & 2024 오전 2	삼각함수 덧셈정리·내접원 평행이동 및 무리함수 대칭이동 최단거리·코사인법칙	제7회 2번 & 제9회 2번	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 4	2027 모의 문제 1 & 2024 오후 2	다항식 전개 계수 합·코사인 부분적분 극한 및 격자점 사각형 넓이·수학적 귀납법 증명	제6회 2번 & 제7회 5번	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 5	2025 오후 문제 3 & 2024 오후 3	사잇값·평균값 정리 귀납 수열 샌드위치 극한 및 지수·삼각함수 부분적분·정적분 급수	제8회 2~3번 & 제9회 3~4번	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보

📌 본 통합 마스터북 100% 활용 5단계 로드맵

STAGE 1

Step 1 (Part 1 기출 정복): 서울과학기술대학교 최근 5개년 공식 기출문항을 스스로 논술한 뒤 교과서 기반 1:1 유사 연습문제로 기본기를 다집니다.

STAGE 2

Step 2 (Part 2-1 실전 시험지 훈련): 실제 시험시간(100분)을 엄수하여 제1~5회(표준) 및 제6~10회(킬러 심화) 답안지를 작성합니다.

STAGE 3

Step 3 (Part 2-2 아코디언 루브릭 첨삭 & Part 3 합격 진단): 단계별 채점 루브릭으로 자가채점한 점수를 Part 3 대시보드에 입력하여 목표 학과 합격 가능성을 실시간 점검합니다.

PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS

2022~2026학년도 서울과학기술대학교
공식 기출 심층 해설 & 교과서 1:1 연계

최근 5개년 기출 핵심 27문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.

📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록

📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공

✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 산술·기하평균 부등식 · 다항식 전개 계수와 코사인 부분적분 극한 · 속도와 최대 이동거리 · 조건부 순열과 조합 ⏱️ 권장 시간: 40분

다음 물음에 답하시오.

1.1 두 양수 $a, b$에 대하여 $(a + 2b + 1)^2 - 8ab + \frac{18}{a+2b}$이 최소가 되는 $a, b$의 값을 각각 구하시오. (10점)

1.2 자연수 $n$에 대하여 다항식 $(x+1^2)(x+2^2)(x+3^2)\cdots(x+n^2)$의 $x^{n-1}$의 계수를 $a_n$이라 하고, $b_n = \int_0^{(2n+1)^2\pi} x\cos\left(\frac{x}{2n+1}\right)\,dx$라 할 때, 극한 $\lim_{n\to\infty} \frac{n b_n}{a_n}$을 구하시오. (10점)

1.3 상수 $a$ ($0 \lt a \lt 5$)에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t) = -\frac{a}{(5-a)^2}t^2 + a$이다. 시각 $t=0$에서 $t=10-2a$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리를 최대로 하는 $a$의 값을 구하시오. (10점)

1.4 남학생 5명과 여학생 4명 중에서 6명을 선택하여 일렬로 세우려고 한다. 이때 다음 조건을 모두 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (10점)

(가) 여학생 3명과 남학생 3명을 선택한다.
(나) 어느 두 여학생도 서로 이웃하지 않게 선다.
(다) 전체 9명의 학생 중 합창단원은 남학생 2명뿐이며, 합창단원은 많아야 1명까지만 선택될 수 있다.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

【유사 연습 문제】 자연수 $n$에 대하여 다항식 $P_n(x) = (x+1)(x+2)\cdots(x+n)$의 $x^{n-1}$의 계수를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n^2}$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 근과 계수의 관계에 의하여 $S_n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$이다. 따라서 $\lim_{n\to\infty} \frac{n(n+1)}{2n^2} = \mathbf{\frac{1}{2}}$이다.

【문항 요약】 2027학년도 모의 자연계열 / 문제 1 [배점 40점]

2027학년도 모의 자연계열 / 문제 1 (수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ) — 산술·기하평균 부등식 · 다항식 전개 계수와 코사인 부분적분 극한 · 속도와 최대 이동거리 · 조건부 순열과 조합의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2027 문항 1 · 총 40점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[1.1] 주어진 식을 전개하여 정리하면: $$\begin{aligned} (a + 2b + 1)^2 - 8ab + \frac{18}{a+2b} &= (a^2 + 4ab + 4b^2) + 2(a+2b) + 1 - 8ab + \frac{18}{a+2b} \\ &= (a - 2b)^2 + 2(a+2b) + 1 + \frac{18}{a+2b} \end{aligned}$$ $a, b \gt 0$이므로 $a + 2b \gt 0$이다. 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여: $$2(a+2b) + \frac{18}{a+2b} \ge 2\sqrt{2(a+2b) \cdot \frac{18}{a+2b}} = 2\sqrt{36} = 12$$ 등호는 $2(a+2b) = \frac{18}{a+2b} \implies (a+2b)^2 = 9 \implies a+2b = 3$일 때 성립한다.
또한 실수 제곱 $(a-2b)^2 \ge 0$이므로 주어진 식의 최솟값은 $(a-2b)^2 = 0$, 즉 $a = 2b$일 때 $0 + 12 + 1 = 13$이 된다.
따라서 $a = 2b$와 $a+2b = 3$을 연립하면 $4b = 3 \implies \mathbf{a = \frac{3}{2}, b = \frac{3}{4}}$이다.

[1.2] 다항식 $(x+1^2)(x+2^2)\cdots(x+n^2)$에서 $x^{n-1}$의 계수 $a_n$은 $n$개의 인수 중 $(n-1)$개에서 $x$를 택하고 나머지 1개에서 상수항을 택한 곱들의 합이므로: $$a_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ 부분적분법($u = x, v' = \cos\left(\frac{x}{2n+1}\right) \implies u' = 1, v = (2n+1)\sin\left(\frac{x}{2n+1}\right)$)을 적용하면: $$\begin{aligned} b_n &= \int_0^{(2n+1)^2\pi} x\cos\left(\frac{x}{2n+1}\right)\,dx \\ &= \left[ (2n+1)x\sin\left(\frac{x}{2n+1}\right) + (2n+1)^2\cos\left(\frac{x}{2n+1}\right) \right]_0^{(2n+1)^2\pi} \end{aligned}$$ $$= (2n+1)^2 \left\{ \cos((2n+1)\pi) - \cos(0) \right\} = (2n+1)^2 (-1 - 1) = -2(2n+1)^2$$ 따라서 구하는 극한값은: $$\lim_{n\to\infty} \frac{n b_n}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{-2n(2n+1)^2}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \lim_{n\to\infty} \frac{-12(2n+1)}{n+1} = \mathbf{-24}$$

[1.3] 점 $\mathrm{P}$의 속도 $v(t) = -\frac{a}{(5-a)^2}t^2 + a = 0 \implies t^2 = (5-a)^2 \implies t = 5-a$에서 운동 방향을 바꾼다.
$0 \le t \le 5-a$에서 $v(t) \ge 0$, $5-a \le t \le 10-2a = 2(5-a)$에서 $v(t) \le 0$이므로 이동거리 $S$는: $$\begin{aligned} S &= \int_0^{5-a} v(t)\,dt - \int_{5-a}^{10-2a} v(t)\,dt \\ &= \left[ -\frac{at^3}{3(5-a)^2} + at \right]_0^{5-a} - \left[ -\frac{at^3}{3(5-a)^2} + at \right]_{5-a}^{2(5-a)} \\ &= \frac{2}{3}a(5-a) + \frac{4}{3}a(5-a) = 2a(5-a) = -2\left(a - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{25}{2} \end{aligned}$$ $0 \lt a \lt 5$에서 $S$를 최대로 하는 $a$의 값은 $\mathbf{a = \frac{5}{2}}$이다.

[1.4] ① 여학생 3명과 남학생 3명을 선택: 남학생 5명 중 3명을 택할 때 합창단원 2명이 모두 포함되는 경우($_3\mathrm{C}_1 = 3$)를 제외하면 $_5\mathrm{C}_3 - {}_3\mathrm{C}_1 = 10 - 3 = 7$가지이다. 여학생 4명 중 3명을 택하는 경우는 $_4\mathrm{C}_3 = 4$가지이다.
② 남학생 3명을 일렬로 배열하는 경우의 수는 $3! = 6$가지이다.
③ 여학생이 이웃하지 않도록 남학생의 양 끝 및 사이의 4곳에 여학생 3명을 배치하는 순열의 수는 $_4\mathrm{P}_3 = 24$가지이다.
따라서 전체 경우의 수는 $(_5\mathrm{C}_3 - {}_3\mathrm{C}_1) \times {}_4\mathrm{C}_3 \times 3! \times {}_4\mathrm{P}_3 = 7 \times 4 \times 6 \times 24 = \mathbf{4032}$가지이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1.1]	주어진 식을 $(a-2b)^2 + 2(a+2b) + 1 + \frac{18}{a+2b}$로 완전제곱식 변형하고 산술·기하평균 부등식으로 등호 조건 $a+2b=3$을 도출한 경우	5점
[1.1]	$(a-2b)^2=0$ 조건 $a=2b$와 연립하여 $a=\frac{3}{2}, b=\frac{3}{4}$를 완벽히 도출한 경우	5점
[1.2]	다항식 계수 $a_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$과 부분적분 $b_n = -2(2n+1)^2$를 정확히 계산한 경우	6점
[1.2]	극한식 $\lim_{n\to\infty} \frac{n b_n}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{-12(2n+1)}{n+1} = -24$를 정확히 구한 경우	4점
[1.3]	방향 전환 시각 $t = 5-a$를 구하고 구간별 속도 부호에 따라 이동거리 정적분 식 $S = 2a(5-a)$를 올바르게 유도한 경우	6점
[1.3]	이차함수 최대 조건을 이용하여 $a = \frac{5}{2}$를 정확히 도출한 경우	4점
[1.4]	합창단원 조건에 맞게 남학생 3명, 여학생 3명을 선택하는 경우의 수 $(_5\mathrm{C}_3 - {}_3\mathrm{C}_1) \times {}_4\mathrm{C}_3 = 7 \times 4 = 28$을 구한 경우	5점
[1.4]	남학생 배열($3!$) 및 여학생 비이웃 배치($_4\mathrm{P}_3$)를 곱하여 최종 경우의 수 $4032$를 정확히 계산한 경우	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2027학년도 모의 자연계열 / 문제 1에서는 제시문 조건(산술·기하평균 부등식 · 다항식 전개 계수와 코사인 부분적분 극한 · 속도와 최대 이동거리 · 조건부 순열과 조합)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅰ 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 삼각함수 좌표 표현 · 직각삼각형 내접원의 반지름과 넓이 · 원점 거리와 탄젠트 ⏱️ 권장 시간: 30분

<그림> 사분원과 내접원 $\mathrm{C}(r)$

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 점 $\mathrm{P}$는 반지름의 길이가 $2$이고 중심이 원점 $\mathrm{O}$인 원 위의 제1사분면의 점이다.
(나) 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$는 점 $\mathrm{P}$에서 각각 $x$축과 $y$축에 내린 수선의 발이며 $\angle\mathrm{ABP} = \theta$이다.
(다) 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 내접원의 중심은 $\mathrm{C}$이며 반지름의 길이는 $r$이다.

2.1 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\theta$에 대한 식으로 나타내시오. (10점)

2.2 $r$와 $\theta$가 $r = a\sin\theta + b\cos\theta + c$를 만족할 때, 상수 $a, b, c$의 값을 각각 구하시오. (10점)

2.3 $0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{4}$이고 $\overline{\mathrm{OC}} = \frac{\sqrt{70}}{5}$일 때, $\tan\theta$의 값을 구하시오. (10점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

【유사 연습 문제】 반지름의 길이가 $1$인 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle \mathrm{A} = \theta$ ($0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$)일 때, 선분 $\mathrm{BC}$의 길이를 $\theta$로 나타내고 $\theta = \frac{\pi}{6}$일 때의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 사인법칙에 의하여 $\overline{\mathrm{BC}} = 2R\sin\theta = 2\sin\theta$이며, $\theta = \frac{\pi}{6}$일 때 $\overline{\mathrm{BC}} = \mathbf{1}$이다.

【문항 요약】 2027학년도 모의 자연계열 / 문제 2 [배점 30점]

2027학년도 모의 자연계열 / 문제 2 (수학 · 수학Ⅰ) — 삼각함수 좌표 표현 · 직각삼각형 내접원의 반지름과 넓이 · 원점 거리와 탄젠트의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2027 문항 2 · 총 30점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

<그림> 직각삼각형 $\mathrm{ABP}$와 내접원 $\mathrm{C}$

[2.1] 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축, $y$축에 내린 수선의 발이 각각 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$이므로 사각형 $\mathrm{OAPB}$는 직사각형이다.
$\overline{\mathrm{BP}} \parallel x\text{축}$이므로 $\angle\mathrm{POA} = \angle\mathrm{PBA} = \theta$가 성립한다.
점 $\mathrm{P}$는 중심이 원점이고 반지름이 $2$인 원 위의 제1사분면의 점이므로 $\overline{\mathrm{OP}} = 2$이다.
따라서 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\mathbf{(2\cos\theta, 2\sin\theta)}$이다.

[2.2] 직각삼각형 $\mathrm{APB}$에서 두 직각변의 길이는 $\overline{\mathrm{AP}} = 2\sin\theta$, $\overline{\mathrm{BP}} = 2\cos\theta$이고, 빗변의 길이는 $\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{(2\sin\theta)^2 + (2\cos\theta)^2} = 2$이다.
삼각형 $\mathrm{APB}$의 넓이 $S$는: $$S = \frac{1}{2} \cdot \overline{\mathrm{BP}} \cdot \overline{\mathrm{AP}} = \frac{1}{2} \cdot 2\cos\theta \cdot 2\sin\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$ 한편, 내접원의 중심 $\mathrm{C}$와 반지름 $r$에 대하여 넓이 $S$는 세 삼각형 $\Delta\mathrm{APC}, \Delta\mathrm{PBC}, \Delta\mathrm{BAC}$의 넓이의 합과 같으므로: $$S = \frac{1}{2}r(\overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}} + \overline{\mathrm{AB}}) = \frac{1}{2}r(2\sin\theta + 2\cos\theta + 2) = r(\sin\theta + \cos\theta + 1)$$ 따라서 $r(\sin\theta + \cos\theta + 1) = 2\sin\theta\cos\theta$이므로: $$\begin{aligned} r &= \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta+1} = \frac{2\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta-1)}{(\sin\theta+\cos\theta)^2-1} \\ &= \frac{2\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta-1)}{2\sin\theta\cos\theta} = \sin\theta + \cos\theta - 1 \end{aligned}$$ 주어진 $r = a\sin\theta + b\cos\theta + c$와 비교하면 $\mathbf{a = 1, b = 1, c = -1}$이다.

[2.3] 점 $\mathrm{P}(2\cos\theta, 2\sin\theta)$를 기준으로 직각 꼭짓점에서 내심 $\mathrm{C}$까지의 거리는 가로·세로로 각각 $r$만큼 안쪽에 위치하므로: $$\begin{aligned} \mathrm{C} &= (2\cos\theta - r, 2\sin\theta - r) \\ &= (\cos\theta-\sin\theta+1, \sin\theta-\cos\theta+1) \end{aligned}$$ 원점과 점 $\mathrm{C}$ 사이의 거리의 제곱은: $$\begin{aligned} \overline{\mathrm{OC}}^2 &= (\cos\theta-\sin\theta+1)^2 + (\sin\theta-\cos\theta+1)^2 \\ &= 2(\cos\theta-\sin\theta)^2 + 2 = 2(1 - 2\sin\theta\cos\theta) + 2 = 4 - 4\sin\theta\cos\theta \end{aligned}$$ $\overline{\mathrm{OC}} = \frac{\sqrt{70}}{5} \implies \overline{\mathrm{OC}}^2 = \frac{70}{25} = \frac{14}{5}$이므로: $$4 - 4\sin\theta\cos\theta = \frac{14}{5} \implies 4\sin\theta\cos\theta = \frac{6}{5} \implies \sin\theta\cos\theta = \frac{3}{10}$$ $(\sin\theta+\cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + \frac{6}{10} = \frac{16}{10}$이고, $0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{4}$에서 $\sin\theta+\cos\theta \gt 0$이므로 $\sin\theta+\cos\theta = \frac{4}{\sqrt{10}}$이다.
근과 계수의 관계에 의해 $\sin\theta, \cos\theta$는 $t^2 - \frac{4}{\sqrt{10}}t + \frac{3}{10} = \left(t - \frac{1}{\sqrt{10}}\right)\left(t - \frac{3}{\sqrt{10}}\right) = 0$의 두 근이다.
$0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{4}$에서 $\sin\theta \lt \cos\theta$이므로 $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{10}}, \cos\theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$이다.
따라서 구하는 값은 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \mathbf{\frac{1}{3}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2.1]	$\angle\mathrm{POA} = \angle\mathrm{PBA} = \theta$ 및 반지름 $\overline{\mathrm{OP}}=2$를 이용하여 점 $\mathrm{P}$의 좌표 $(2\cos\theta, 2\sin\theta)$를 완벽히 도출한 경우	10점
[2.2]	삼각형 $\mathrm{APB}$의 넓이를 직각변 $2\sin\theta\cos\theta$ 및 내접원 공식 $r(\sin\theta+\cos\theta+1)$로 각각 올바르게 표현한 경우	5점
[2.2]	유리화 식 변형을 통해 $r = \sin\theta+\cos\theta-1$을 유도하고 $a=1, b=1, c=-1$을 정확히 결정한 경우	5점
[2.3]	내심 $\mathrm{C}$의 좌표 $(\cos\theta-\sin\theta+1, \sin\theta-\cos\theta+1)$를 구하고 거리 공식으로부터 $\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{10}$을 도출한 경우	4점
[2.3]	$\sin\theta+\cos\theta = \frac{4}{\sqrt{10}}$를 구하고 이차방정식의 해를 통해 $\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{10}}, \cos\theta=\frac{3}{\sqrt{10}}$을 올바르게 구한 경우	4점
[2.3]	$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{1}{3}$을 정확히 계산한 경우	2점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2027학년도 모의 자연계열 / 문제 2에서는 제시문 조건(삼각함수 좌표 표현 · 직각삼각형 내접원의 반지름과 넓이 · 원점 거리와 탄젠트)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 로그방정식의 해 · 접선 기울기와 이차함수 결정 · 정적분 둘러싸인 넓이와 무한급수 합 ⏱️ 권장 시간: 30분

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 실수 $r$는 다음 방정식의 해이다. $$\log_2(1+r) + \log_2(3-r) - 4\log_4(1-r) = \log_2 15$$ (나) 이차함수 $f(x) = ax^2 + bx$에 대하여, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(r, 1)$에서의 접선의 기울기는 $0$이다.

3.1 실수 $r$의 값을 구하시오. (10점)

3.2 문항 [3.1]의 $r$에 대하여 제시문의 조건을 만족하는 이차함수 $f(x)$를 구하시오. (10점)

3.3 문항 [3.2]의 $f(x)$에 대하여 곡선 $y = x^n f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\sum_{n=1}^\infty S_n$의 값을 구하시오. (10점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

【유사 연습 문제】 실수 전체에서 증가하고 미분가능한 함수 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 하자. $f(1)=2, f'(1)=3$일 때, 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(2, 1)$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 역함수의 미분법에 의해 $g'(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{3}$이므로 구하는 접선의 방정식은 $\mathbf{y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}}$이다.

【문항 요약】 2027학년도 모의 자연계열 / 문제 3 [배점 30점]

2027학년도 모의 자연계열 / 문제 3 (수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분) — 로그방정식의 해 · 접선 기울기와 이차함수 결정 · 정적분 둘러싸인 넓이와 무한급수 합의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2027 문항 3 · 총 30점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[3.1] 밑변환 공식에 의하여 $4\log_4(1-r) = 4 \cdot \frac{\log_2(1-r)}{\log_2 4} = 4 \cdot \frac{\log_2(1-r)}{2} = 2\log_2(1-r) = \log_2(1-r)^2$이다.
로그의 진수 조건에 의해 $1+r \gt 0, 3-r \gt 0, 1-r \gt 0 \implies -1 \lt r \lt 1$이다.
주어진 로그방정식을 밑이 $2$인 단일 로그로 결합하면: $$\log_2\left( \frac{(1+r)(3-r)}{(1-r)^2} \right) = \log_2 15 \implies \frac{3 + 2r - r^2}{1 - 2r + r^2} = 15$$ 양변에 $(1-r)^2$을 곱하여 정리하면: $$3 + 2r - r^2 = 15(1 - 2r + r^2) = 15 - 30r + 15r^2 \implies 16r^2 - 32r + 12 = 0 \implies 4r^2 - 8r + 3 = 0$$ $$(2r - 1)(2r - 3) = 0 \implies r = \frac{1}{2} \text{ 또는 } r = \frac{3}{2}$$ 진수 조건 $-1 \lt r \lt 1$을 만족하는 해는 $\mathbf{r = \frac{1}{2}}$이다.

[3.2] 점 $(r, 1) = \left(\frac{1}{2}, 1\right)$은 이차함수 $y = f(x) = ax^2 + bx$ 위의 점이므로: $$f\left(\frac{1}{2}\right) = a\left(\frac{1}{2}\right)^2 + b\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} = 1 \implies a + 2b = 4 \quad \cdots\text{ ㉠}$$ 또한 점 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$에서의 접선의 기울기가 $0$이므로 도함수 $f'(x) = 2ax + b$에 대하여: $$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 2a\left(\frac{1}{2}\right) + b = a + b = 0 \implies b = -a \quad \cdots\text{ ㉡}$$ ㉡을 ㉠에 대입하면 $a + 2(-a) = -a = 4 \implies a = -4$이고, $b = 4$이다.
따라서 구하는 이차함수는 $\mathbf{f(x) = -4x^2 + 4x}$이다.

[3.3] 문항 [3.2]의 $f(x) = -4x^2 + 4x$에 대하여 곡선의 식은 $y = x^n f(x) = -4x^{n+2} + 4x^{n+1}$이다.
곡선 $y = x^n f(x)$와 $x$축의 교점의 $x$좌표는 $-4x^{n+1}(x - 1) = 0 \implies x = 0, x = 1$이다.
구간 $0 \le x \le 1$에서 $x^n f(x) \ge 0$이므로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_n$은: $$\begin{aligned} S_n &= \int_0^1 (-4x^{n+2} + 4x^{n+1})\,dx = \left[ -\frac{4}{n+3}x^{n+3} + \frac{4}{n+2}x^{n+2} \right]_0^1 \\ &= \frac{4}{n+2} - \frac{4}{n+3} = 4\left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right) \end{aligned}$$ 급수 $\sum_{n=1}^\infty S_n$의 부분합을 구하면: $$\sum_{n=1}^N S_n = 4 \left\{ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N+2} - \frac{1}{N+3}\right) \right\} = 4\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{N+3} \right)$$ 따라서 무한급수의 합은: $$\sum_{n=1}^\infty S_n = \lim_{N\to\infty} 4\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{N+3} \right) = 4 \times \frac{1}{3} = \mathbf{\frac{4}{3}}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3.1]	로그 밑변환 및 진수 조건 $-1 \lt r \lt 1$을 설정하고 분수방정식 $\frac{(1+r)(3-r)}{(1-r)^2} = 15$를 세운 경우	5점
[3.1]	이차방정식 $4r^2-8r+3=0$을 풀어 진수 범위 내의 해 $r = \frac{1}{2}$를 정확히 구한 경우	5점
[3.2]	곡선 위의 점 조건 $f(1/2) = 1$과 접선 기울기 조건 $f'(1/2) = 0$으로부터 연립방정식 $a+2b=4, a+b=0$을 도출한 경우	5점
[3.2]	연립방정식을 풀어 $a=-4, b=4$를 구하고 $f(x) = -4x^2+4x$를 정확히 결정한 경우	5점
[3.3]	구간 $[0, 1]$에서 정적분을 통해 둘러싸인 넓이 $S_n = 4\left(\frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\right)$을 정확히 유도한 경우	5점
[3.3]	망원급수 부분합의 극한을 계산하여 최종 무한급수의 합 $\frac{4}{3}$를 완벽히 도출한 경우	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2027학년도 모의 자연계열 / 문제 3에서는 제시문 조건(로그방정식의 해 · 접선 기울기와 이차함수 결정 · 정적분 둘러싸인 넓이와 무한급수 합)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 로그부등식 · 지수 · 코사인법칙 · 정적분 · 경우의 수 ⏱️ 권장 시간: 34분

다음 물음에 답하시오.

1.1 다음 부등식을 푸시오. (10점)

$$\sqrt{\log_3 x \cdot \log_3 (81x) + 4} + \sqrt{4\log_3 x \cdot \log_3 \frac{x}{3} + 1} \le 4$$

1.2 상수 $a$와 $b$는 $4^a - 4^b = 240$과 $2^a \cdot 2^b = 64$를 만족시킨다. 점 $P(a, b)$를 지나는 직선 $y = mx + \frac{2}{3}$가 $x$축과 만나는 점을 $A$라고 할 때, $\cos(\angle OPA)$의 값을 구하시오. (단, $O$는 원점) (10점)

1.3 두 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$에 대하여

$$a_n = \int_{-1}^{1} \{2 + 6x + 12x^2 + \cdots + n(n+1)x^{n-1}\} \, dx, \quad b_n = \frac{a_{2n}}{2n}$$

일 때, $b_1 + b_2 + b_3 + \cdots + b_{25}$의 값을 구하시오. (10점)

1.4 등번호가 각각 $1, 2, 3, \dots, 12$인 12명의 선수 중 매 경기 5명을 선발한다. 연속 2경기 출전 불가 조건 하에서 1경기에는 $\{4, 5, 6, 7, 8\}$이 출전했고, 2경기에는 $\{1, 2, 3\}$을 포함한 5명이 출전했다. 3경기에 등번호 4인 선수를 선발하지 않을 때, 3경기 출전 선수 5명을 선발하는 경우의 수를 구하시오. (10점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]

【유사 연습 문제】 첫째항이 $2$이고 공비가 $3$인 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^n \log_3(a_k/2)$의 값이 $45$가 되도록 하는 자연수 $n$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $a_k/2 = 3^{k-1}$이므로 $\sum_{k=1}^n (k-1) = \frac{(n-1)n}{2} = 45 \implies (n-1)n = 90$에서 $\mathbf{n = 10}$이다.

【문항 요약】 2026학년도 기출 자연계열 / 문제 1 [배점 40점]

2026학년도 기출 자연계열 / 문제 1 (수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ) — 로그부등식 · 지수 · 코사인법칙 · 정적분 · 경우의 수의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 4 · 총 40점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[1.1] 로그의 성질에 의해 $\sqrt{(\log_3 x + 2)^2} + \sqrt{(2\log_3 x - 1)^2} \le 4 \iff |\log_3 x + 2| + |2\log_3 x - 1| \le 4$.
$\log_3 x = t$로 치환하면 $|t+2| + |2t-1| \le 4$.
(1) $t \lt -2$: $-(t+2) - (2t-1) \le 4 \iff t \ge -5/3$ (만족 해 없음).
(2) $-2 \le t \lt 1/2$: $(t+2) - (2t-1) \le 4 \iff t \ge -1 \implies -1 \le t \lt 1/2$.
(3) $t \ge 1/2$: $(t+2) + (2t-1) \le 4 \iff t \le 1 \implies 1/2 \le t \le 1$.
따라서 $-1 \le \log_3 x \le 1 \iff \frac{1}{3} \le x \le 3$이다.

[1.2] $4^a = X, 4^b = Y$로 놓으면 $X - Y = 240, XY = 4096 \implies (Y+256)(Y-16) = 0 \implies Y = 16, X = 256$.
따라서 $a = 4, b = 2$이므로 $P(4,2)$. 직선 $y = mx + 2/3$에 대입하면 $m = 1/3$이고 $x$절편은 $A(-2,0)$.
$\overline{OA} = 2$, $\overline{OP} = 2\sqrt{5}$, $\overline{AP} = 2\sqrt{10}$이므로 코사인법칙에 의해: $$\cos(\angle OPA) = \frac{\overline{AP}^2 + \overline{OP}^2 - \overline{OA}^2}{2\cdot\overline{AP}\cdot\overline{OP}} = \frac{40 + 20 - 4}{2\cdot 2\sqrt{10}\cdot 2\sqrt{5}} = \frac{56}{40\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$$

[1.3] $\int_{-1}^{1} x^{2k-1} dx = 0$이므로 짝수 거듭제곱 항만 남는다.
$a_{2n} = \int_{-1}^{1} \{2 + 12x^2 + \cdots + (2n-1)(2n)x^{2n-2}\} dx = 2(2 + 4 + \cdots + 2n) = 2n(n+1)$.
$b_n = \frac{a_{2n}}{2n} = 2(n+1)$이므로 $\sum_{n=1}^{25} b_n = \sum_{n=1}^{25} 2(n+1) = 2\cdot\frac{25\cdot 26}{2} + 50 = 700$.

[1.4] 3경기 출전 가능 후보: $\{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.
(1) $\{9, 10, 11, 12\}$ 중 1명, $\{5, 6, 7, 8\}$ 중 4명: ${}_4\mathrm{C}_1 \times {}_4\mathrm{C}_4 = 4 \times 1 = 4$.
(2) $\{9, 10, 11, 12\}$ 중 2명, $\{5, 6, 7, 8\}$ 중 3명: ${}_4\mathrm{C}_2 \times {}_4\mathrm{C}_3 = 6 \times 4 = 24$.
따라서 전체 경우의 수는 $4 + 24 = 28$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1.1]	로그의 성질을 이용하여 주어진 부등식을 $\|\log_3 x + 2\| + \|2\log_3 x - 1\| \le 4$로 바르게 정리한 경우	3점
[1.1]	$\log_3 x = t$로 치환하고 3구간으로 분할하여 $-1 \le t \le 1$을 도출한 경우	5점
[1.1]	최종 부등식의 해 $\frac{1}{3} \le x \le 3$을 정확히 구한 경우	2점
[1.2]	연립방정식을 풀어 점 $P(4, 2)$의 좌표를 바르게 구한 경우	3점
[1.2]	직선 $y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$ 및 $x$절편 $A(-2, 0)$을 도출한 경우	3점
[1.2]	코사인법칙을 적용하여 $\cos(\angle OPA) = \frac{7\sqrt{2}}{10}$을 계산한 경우	4점
[1.3]	기함수의 정적분 소거 성질을 이용하여 $a_{2n} = 2n(n+1)$을 바르게 적분 계산한 경우	5점
[1.3]	$b_n = 2(n+1)$의 일반항을 바르게 유도한 경우	3점
[1.3]	수열의 합 $\sum_{n=1}^{25} b_n = 700$을 정확히 계산한 경우	2점
[1.4]	경우 (1) (${}_4\mathrm{C}_1 \times {}_4\mathrm{C}_4 = 4$)을 계산한 경우	4점
[1.4]	경우 (2) (${}_4\mathrm{C}_2 \times {}_4\mathrm{C}_3 = 24$)을 계산한 경우	4점
[1.4]	합의 법칙을 적용하여 전체 경우의 수 $4 + 24 = 28$을 정확히 구한 경우	2점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2026학년도 기출 자연계열 / 문제 1에서는 제시문 조건(로그부등식 · 지수 · 코사인법칙 · 정적분 · 경우의 수)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 삼각함수 · 도함수 · 접선의 방정식 · 원과 직선 · 평행이동 ⏱️ 권장 시간: 33분

[그림] 곡선과 접선 $l$, 내접원

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 실수 $k$에 대하여 $\sin\alpha = \sin\beta = k$ 와 $4\sin(\alpha+2\beta) = 3\cos(2\alpha+\beta)$ 가 성립한다. (단, $0 \lt \alpha \lt \beta \lt \pi$)

(나) 오른쪽 그림과 같이, 기울기가 $-\frac{3}{4}$인 직선 $l$은 $x$축 위의 점 $A$와 $y$축 위의 점 $B$를 지나며 곡선 $y = \frac{3}{8}x^2 + 5k$와 점 $P$에서 접한다.

(다) 삼각형 $OAB$에 내접하고 반지름의 길이가 $r$인 원을 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 도형은 $x$축과 직선 $l$에 동시에 접한다. (단, $0 \lt a \lt 5, b \lt 0$)

2.1 제시문 (가)의 실수 $k$의 값을 구하시오. (6점)

2.2 제시문 (나)의 점 $P$의 좌표와 직선 $l$의 방정식을 각각 구하시오. (7점)

2.3 제시문 (다)의 실수 $a, b$의 값을 각각 구하시오. (단, [2.1]의 $k$ 이용) (8점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

【유사 연습 문제】 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3t^2 x$ ($t \gt 0$)의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이의 합 $S(t)$를 구하고, $\lim_{t\to\infty} \frac{S(t)}{t^4}$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 기함수 대칭성에 의해 $S(t) = 2\int_0^{\sqrt{3}t} (3t^2 x - x^3)\,dx = 2\left[\frac{3}{2}t^2 x^2 - \frac{1}{4}x^4\right]_0^{\sqrt{3}t} = \frac{9}{2}t^4$이므로 극한값은 $\mathbf{\frac{9}{2}}$이다.

【문항 요약】 2026학년도 기출 자연계열 / 문제 2 [배점 21점]

2026학년도 기출 자연계열 / 문제 2 (수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ) — 삼각함수 · 도함수 · 접선의 방정식 · 원과 직선 · 평행이동의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 5 · 총 21점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[2.1] $\sin\alpha = \sin\beta$ 이고 $0 \lt \alpha \lt \beta \lt \pi$ 이므로 $\beta = \pi - \alpha$.
$\sin(\alpha + 2\beta) = \sin(2\pi - \alpha) = -\sin\alpha$, $\cos(2\alpha + \beta) = \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$.
$-4\sin\alpha = -3\cos\alpha \iff \tan\alpha = \frac{3}{4} \implies k = \sin\alpha = \frac{3}{5}$ 이다.

[2.2] $y = \frac{3}{8}x^2 + 3 \implies y' = \frac{3}{4}x = -\frac{3}{4} \implies x = -1$.
$x = -1$일 때 $y = \frac{27}{8}$ 이므로 점 $P\left(-1, \frac{27}{8}\right)$.
직선 $l$: $y - \frac{27}{8} = -\frac{3}{4}(x + 1) \iff y = -\frac{3}{4}x + \frac{21}{8} \quad (6x + 8y - 21 = 0)$.
절편: $A\left(\frac{7}{2}, 0\right)$, $B\left(0, \frac{21}{8}\right)$.

[2.3] $\triangle OAB$의 세 변의 길이는 $\frac{28}{8}, \frac{21}{8}, \frac{35}{8}$ 이므로 내접원 반지름 $r = \frac{28+21-35}{16} = \frac{7}{8}$.
$b \lt 0$ 이고 평행이동한 원이 $x$축에 접하므로 $b = -\frac{7}{8} - \frac{7}{8} = -\frac{7}{4}$.
평행이동한 원의 중심 $(c, -7/8)$에서 직선 $l: 6x+8y-21=0$까지의 거리: $$\frac{|6c - 28|}{10} = \frac{7}{8} \iff |6c - 28| = \frac{35}{4} \iff c = \frac{77}{24} \text{ 또는 } \frac{49}{8}$$ $a = c - \frac{7}{8} \implies a = \frac{77}{24} - \frac{21}{24} = \frac{7}{3}$ ($0 \lt a \lt 5$ 만족). 따라서 $a = \frac{7}{3}, b = -\frac{7}{4}$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 21점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2.1]	$\alpha + \beta = \pi$ 및 덧셈정리를 적용하여 $\tan\alpha = 3/4$ 을 도출한 경우	3점
[2.1]	$\sin\alpha$의 값을 구하여 $k = 3/5$ 을 정확하게 구한 경우	3점
[2.2]	도함수를 이용하여 접점 $P(-1, 27/8)$ 의 좌표를 구한 경우	4점
[2.2]	직선 $l$의 방정식 $y = -\frac{3}{4}x + \frac{21}{8}$ 을 바르게 구한 경우	3점
[2.3]	$\triangle OAB$의 내접원 반지름 $r = 7/8$ 및 $y$축 평행이동량 $b = -7/4$ 을 구한 경우	4점
[2.3]	점과 직선 사이의 거리 공식을 세워 $c = 77/24$ 를 도출한 경우	2점
[2.3]	$0 \lt a \lt 5$ 조건을 만족하는 $a = 7/3$ 을 정확하게 구한 경우	2점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2026학년도 기출 자연계열 / 문제 2에서는 제시문 조건(삼각함수 · 도함수 · 접선의 방정식 · 원과 직선 · 평행이동)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅱ · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 함수의 극대·극소 · 선분의 내분점 · 정적분의 넓이 · 함수의 극한 ⏱️ 권장 시간: 33분

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

실수 $a, b$에 대하여 함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$가 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$는 $x=\alpha$에서 극댓값을 갖고, $x=\beta$에서 극솟값을 갖는다.
(나) 두 점 $A(\alpha, f(\alpha)), B(\beta, f(\beta))$를 이은 선분 $AB$를 $1:2$로 내분하는 점은 $P(0, -t^3)$이다. (단, $t \gt 0$)

3.1 $a, b$를 $t$에 관한 식으로 각각 나타내시오. (6점)

3.2 문항 [3.1]에서 구한 $a, b$에 대하여 곡선 $y=f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x=\alpha, x=\beta$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S(t)$를 구하시오. (6점)

3.3 문항 [3.2]에서 구한 $S(t)$에 대하여 $\lim_{t\to\infty} \frac{S(t)}{t^k}$가 존재하게 하는 가장 작은 자연수 $k$의 값과 이때의 극한값을 각각 구하시오. (6점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

【유사 연습 문제】 다항함수 $f(x) = x^3 + 2x - 5$에 대하여 닫힌구간 $[1, 2]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{7 - (-2)}{1} = 9 = f'(c) = 3c^2 + 2$에서 $c^2 = \frac{7}{3}$이고 $1 \lt c \lt 2$이므로 $\mathbf{c = \frac{\sqrt{21}}{3}}$이다.

【문항 요약】 2026학년도 기출 자연계열 / 문제 3 [배점 18점]

2026학년도 기출 자연계열 / 문제 3 (수학 · 수학Ⅱ · 미적분) — 함수의 극대·극소 · 선분의 내분점 · 정적분의 넓이 · 함수의 극한의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 6 · 총 18점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[3.1] $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b = 0$ 의 두 근이 $\alpha, \beta$ 이므로 $\alpha+\beta = -\frac{2a}{3}, \alpha\beta = \frac{b}{3}$.
$1:2$ 내분점 $P(0, -t^3)$ 의 $x$좌표에서 $\frac{\beta+2\alpha}{3} = 0 \iff \beta = -2\alpha \implies a = \frac{3}{2}\alpha, b = -6\alpha^2$.
$y$좌표에서 $\frac{f(-2\alpha)+2f(\alpha)}{3} = \alpha^3 = -t^3 \iff \alpha = -t$ ($t \gt 0$).
따라서 $a = -\frac{3}{2}t, b = -6t^2$ 이다.

[3.2] $f(x) = x\left(x+\frac{3}{2}t\right)(x-2t)$. $[-t, 0]$에서 $f(x) \ge 0$, $[0, 2t]$에서 $f(x) \le 0$.
$$S(t) = \int_{-t}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2t} \{-f(x)\} \, dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}tx^3 - 3t^2x^2\right]_{-t}^{0} - \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}tx^3 - 3t^2x^2\right]_{0}^{2t}$$ $$= \frac{9}{4}t^4 + 12t^4 = \frac{57}{4}t^4$$

[3.3] $\lim_{t\to\infty} \frac{S(t)}{t^k} = \lim_{t\to\infty} \frac{57t^4}{4t^k}$.
이 극한값이 $0$이 아닌 유한한 값으로 수렴하는 최소 자연수는 차수가 일치하는 $k = 4$ 이며, 이때의 극한값은 $\frac{57}{4}$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 18점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3.1]	근과 계수의 관계 및 $1:2$ 내분점 공식으로부터 $\beta = -2\alpha$ 를 도출한 경우	3점
[3.1]	$\alpha = -t$를 구하고 $a = -\frac{3}{2}t, b = -6t^2$을 바르게 구한 경우	3점
[3.2]	구간별 부호를 판정하여 정적분 식을 바르게 세운 경우	3점
[3.2]	정적분을 계산하여 도형의 넓이 $S(t) = \frac{57}{4}t^4$을 정확히 구한 경우	3점
[3.3]	극한값이 수렴하기 위한 최소 자연수 $k = 4$를 구한 경우	3점
[3.3]	이때의 극한값 $\frac{57}{4}$을 정확하게 계산한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2026학년도 기출 자연계열 / 문제 3에서는 제시문 조건(함수의 극대·극소 · 선분의 내분점 · 정적분의 넓이 · 함수의 극한)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅰ · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 원과 직각삼각형 · 등차수열의 합과 절댓값 · 급수의 수렴과 극한 · 원과 포물선 접선 및 넓이 ⏱️ 권장 시간: 34분

다음 물음에 답하시오.

1.1 원 위에 $12$개의 점이 일정한 간격으로 놓여있을 때, 그 점들을 $P_1, P_2, \dots, P_{12}$이라고 하자. 이 $12$개의 점들 중에서 세 개의 점을 택하여 만들 수 있는 직각삼각형의 개수를 구하시오. (단, 서로 다른 점을 선택하여 만든 삼각형은 서로 다른 삼각형으로 간주한다.) (10점)

1.2 첫째항부터 제$4$항까지의 합이 $214$, 첫째항부터 제$6$항까지의 합이 $303$인 등차수열의 제$n$항을 $a_n$이라 할 때

$$S = |a_1| + |a_2| + \dots + |a_{40}|$$

의 값을 구하시오. (10점)

1.3 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{n=1}^\infty \left(a_n - \frac{2n^2 + 2n - 1}{n^2 + n}\right) = 5$일 때,

$$\lim_{n\to\infty} \left\{ a_n + \sum_{k=1}^n (a_k - 2) \right\}$$

의 값을 구하시오. (10점)

[그림] 곡선과 원, 영역 $S_1, S_2$

1.4 곡선 $y = 1 - x^2$ ($x \ge 0$)에 중심이 원점인 원이 제 $1$사분면에서 접하고 있다. 곡선과 원, $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_1$, 곡선과 원, $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_2$라고 할 때, $S_1 + S_2$를 구하시오. (10점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

【문항 요약】 2026학년도 모의 자연계열 / 문제 1 [배점 40점]

2026학년도 모의 자연계열 / 문제 1 (수학 · 수학Ⅰ · 미적분) — 원과 직각삼각형 · 등차수열의 합과 절댓값 · 급수의 수렴과 극한 · 원과 포물선 접선 및 넓이의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 7 · 총 40점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[1.1] 원에 내접하는 직각삼각형의 빗변은 반드시 그 원의 지름이어야 한다.
$12$개의 점 $P_1, P_2, \dots, P_{12}$에서 $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$에 대하여 점 $P_k$와 점 $P_{k+6}$을 연결한 선분이 원의 지름이 되므로 지름의 총 개수는 $6$개이다.
나머지 한 꼭짓점은 지름의 양 끝점을 제외한 $10$개의 점 중에서 하나를 택하면 되므로, 만들 수 있는 직각삼각형의 총 개수는: $$6 \times 10 = \mathbf{60\text{ (개)}}$$

[1.2] 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$, 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자.
$S_4 = \frac{4(2a+3d)}{2} = 2(2a+3d) = 214 \implies 2a+3d = 107$,
$S_6 = \frac{6(2a+5d)}{2} = 3(2a+5d) = 303 \implies 2a+5d = 101$.
두 식을 연립하면 $2d = -6 \implies d = -3, a = 58$이다. 일반항은 $a_n = 58 - 3(n-1) = 61 - 3n$.
$a_n \ge 0 \iff 61 - 3n \ge 0 \iff n \le 20$이므로 $a_1 = 58, \dots, a_{20} = 1$이고, $a_{21} = -2, \dots, a_{40} = -59$이다.
따라서 $S = |a_1| + |a_2| + \dots + |a_{40}|$의 값은: $$\begin{aligned} S &= (a_1 + \dots + a_{20}) - (a_{21} + \dots + a_{40}) \\ &= \frac{20(58 + 1)}{2} - \frac{20(-2 - 59)}{2} = 590 - (-610) = \mathbf{1200} \end{aligned}$$

[1.3] 급수 $\sum_{n=1}^\infty \left(a_n - \frac{2n^2 + 2n - 1}{n^2 + n}\right) = 5$가 수렴하므로 일반항의 극한은 $0$이다.
$$\lim_{n\to\infty} \left(a_n - \frac{2n^2 + 2n - 1}{n^2 + n}\right) = 0 \implies \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{2n^2 + 2n - 1}{n^2 + n} = 2$$ 한편 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1$이므로: $$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n (a_k - 2) = \sum_{n=1}^\infty (a_n - 2) = \sum_{n=1}^\infty \left(a_n - \frac{2n^2+2n-1}{n^2+n}\right) - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = 5 - 1 = 4$$ 따라서 구하는 극한값은: $$\lim_{n\to\infty} \left\{ a_n + \sum_{k=1}^n (a_k - 2) \right\} = 2 + 4 = \mathbf{6}$$

[1.4] 곡선 $y = 1 - x^2$ ($x \ge 0$)과 원 $x^2 + y^2 = r^2$의 제1사분면 접점을 $P(t, 1-t^2)$ ($t \gt 0$)이라 하면, 곡선의 접선 기울기는 $-2t$이고 선분 $OP$의 기울기는 $\frac{1-t^2}{t}$이다.
수직 조건 $\frac{1-t^2}{t} \times (-2t) = -1 \implies 1-t^2 = \frac{1}{2} \implies t = \frac{1}{\sqrt{2}}$. 접점 $P\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$이고 반지름 $r^2 = \overline{OP}^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
구하는 넓이 $S_1 + S_2$는 포물선의 정적분 넓이에서 사분원의 넓이를 뺀 것이므로: $$S_1 + S_2 = \int_0^1 (1 - x^2)\,dx - \frac{1}{4}\pi r^2 = \left[ x - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 - \frac{1}{4}\pi \left(\frac{3}{4}\right) = \mathbf{\frac{2}{3} - \frac{3\pi}{16}}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1.1]	원에 내접하는 직각삼각형의 빗변이 지름임을 파악하고 지름의 개수 6개를 구한 경우	5점
[1.1]	나머지 한 점을 택하는 경우의 수를 곱하여 총 개수 60개를 정확히 도출한 경우	5점
[1.2]	등차수열 합 공식을 연립하여 첫째항 $a = 58$과 공차 $d = -3$을 구한 경우	4점
[1.2]	일반항 $a_n = 61 - 3n$의 부호가 바뀌는 $n = 20$ 경계를 올바르게 구분한 경우	3점
[1.2]	양수항과 음수항의 합을 계산하여 $S = 1200$을 정확히 구한 경우	3점
[1.3]	급수 수렴 성질을 이용하여 수열의 극한값 $\lim_{n\to\infty} a_n = 2$를 도출한 경우	4점
[1.3]	부분분수 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = 1$을 활용해 $\sum_{n=1}^\infty (a_n - 2) = 4$를 도출한 경우	3점
[1.3]	두 극한의 합을 계산하여 최종 값 6을 정확히 구한 경우	3점
[1.4]	법선과 접선의 수직 관계를 이용하여 접점 $P$의 좌표와 반지름 제곱 $r^2 = \frac{3}{4}$을 구한 경우	4점
[1.4]	포물선의 정적분 넓이 $\int_0^1 (1-x^2)\,dx = \frac{2}{3}$와 사분원 넓이 $\frac{3\pi}{16}$를 계산한 경우	3점
[1.4]	두 넓이의 차를 통해 $S_1 + S_2 = \frac{2}{3} - \frac{3\pi}{16}$를 정확히 도출한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2026학년도 모의 자연계열 / 문제 1에서는 제시문 조건(원과 직각삼각형 · 등차수열의 합과 절댓값 · 급수의 수렴과 극한 · 원과 포물선 접선 및 넓이)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅰ 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 절댓값 함수 · 삼각함수 코사인 그래프 · 교점의 개수 · 부분분수 급수 ⏱️ 권장 시간: 33분

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

자연수 $n$에 대하여 함수 $f(x)$가 $$f(x) = |x + 2n\pi| + |x - 2n\pi| + 1 - 4n\pi$$ 일 때, 두 함수 $y = f(x)$와 $y = \cos x$의 그래프가 만나는 점의 개수를 $a_n$이라고 하자.

2.1 함수 $f(x)$를 다음과 같이 구간을 이용하여 표현할 때 (ㄱ), (ㄴ), (ㄷ)에 알맞은 식을 구하시오. (10점)

$$f(x) = \begin{cases} \text{(ㄱ)} & (x \lt -2n\pi) \\ \text{(ㄴ)} & (-2n\pi \le x \le 2n\pi) \\ \text{(ㄷ)} & (x \gt 2n\pi) \end{cases}$$

2.2 수열 $a_n$의 일반항을 구하시오. (10점)

2.3 다음 식의 값을 구하시오. (10점)

$$\sum_{n=1}^{26} \frac{1}{a_n a_{n+1}}$$

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

【문항 요약】 2026학년도 모의 자연계열 / 문제 2 [배점 30점]

2026학년도 모의 자연계열 / 문제 2 (수학 · 수학Ⅰ) — 절댓값 함수 · 삼각함수 코사인 그래프 · 교점의 개수 · 부분분수 급수의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 8 · 총 30점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[2.1] 함수 $f(x) = |x + 2n\pi| + |x - 2n\pi| + 1 - 4n\pi$의 절댓값 기호를 구간별로 해제한다.
1) $x \lt -2n\pi$일 때: $x + 2n\pi \lt 0, x - 2n\pi \lt 0$이므로
$f(x) = -(x + 2n\pi) - (x - 2n\pi) + 1 - 4n\pi = -2x + 1 - 4n\pi \implies \text{(ㄱ)} = \mathbf{-2x + 1 - 4n\pi}$
2) $-2n\pi \le x \le 2n\pi$일 때: $x + 2n\pi \ge 0, x - 2n\pi \le 0$이므로
$f(x) = (x + 2n\pi) - (x - 2n\pi) + 1 - 4n\pi = 4n\pi + 1 - 4n\pi = 1 \implies \text{(ㄴ)} = \mathbf{1}$
3) $x \gt 2n\pi$일 때: $x + 2n\pi \gt 0, x - 2n\pi \gt 0$이므로
$f(x) = (x + 2n\pi) + (x - 2n\pi) + 1 - 4n\pi = 2x + 1 - 4n\pi \implies \text{(ㄷ)} = \mathbf{2x + 1 - 4n\pi}$
따라서 구하는 식은 다음과 같다: $$f(x) = \begin{cases} \mathbf{-2x + 1 - 4n\pi} & (x \lt -2n\pi) \\ \mathbf{1} & (-2n\pi \le x \le 2n\pi) \\ \mathbf{2x + 1 - 4n\pi} & (x \gt 2n\pi) \end{cases}$$

[2.2] 모든 실수 $x$에 대하여 $\cos x \le 1$이다.
[2.1]의 결과에 의해 $x \lt -2n\pi$일 때 $f(x) \gt 1$이고, $x \gt 2n\pi$일 때 $f(x) \gt 1$이다.
따라서 $y = f(x)$와 $y = \cos x$의 그래프가 만나려면 $-2n\pi \le x \le 2n\pi$ 구간에서 $\cos x = 1$이어야 한다.
정수 $k$에 대하여 $x = 2k\pi$일 때 $\cos x = 1$이므로: $$-2n\pi \le 2k\pi \le 2n\pi \iff -n \le k \le n$$ 이를 만족하는 정수 $k$의 개수는 $n - (-n) + 1 = 2n + 1$개이다. 따라서 교점의 개수 수열의 일반항은: $$a_n = \mathbf{2n + 1}$$

[2.3] $a_n = 2n + 1, a_{n+1} = 2n + 3$이므로 부분분수로 분해하면: $$\frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3}\right)$$ 망원급수의 합을 계산하면: $$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{26} \frac{1}{a_n a_{n+1}} &= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{26} \left(\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3}\right) \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{53} - \frac{1}{55}\right) \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{55} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{52}{165} = \mathbf{\frac{26}{165}} \end{aligned}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2.1]	구간 $x \lt -2n\pi$에서 (ㄱ) $= -2x + 1 - 4n\pi$를 바르게 도출한 경우	3점
[2.1]	구간 $-2n\pi \le x \le 2n\pi$에서 (ㄴ) $= 1$을 바르게 도출한 경우	4점
[2.1]	구간 $x \gt 2n\pi$에서 (ㄷ) $= 2x + 1 - 4n\pi$를 바르게 도출한 경우	3점
[2.2]	$\cos x \le 1$의 성질로부터 교점이 오직 상수 구간 $-2n\pi \le x \le 2n\pi$에서 발생함을 보인 경우	4점
[2.2]	$\cos x = 1$이 되는 $x = 2k\pi$의 조건을 만족하는 정수 $k$의 범위를 구한 경우	3점
[2.2]	교점의 개수 일반항 $a_n = 2n + 1$을 정확히 도출한 경우	3점
[2.3]	수열의 일반항을 대입하여 부분분수 형태로 변형한 경우	4점
[2.3]	연쇄 소거를 통해 $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{55}\right)$로 축약한 경우	3점
[2.3]	최종 합 $\frac{26}{165}$을 정확히 계산한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2026학년도 모의 자연계열 / 문제 2에서는 제시문 조건(절댓값 함수 · 삼각함수 코사인 그래프 · 교점의 개수 · 부분분수 급수)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅱ · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 접선의 방정식 · 공통접선 · 곡선의 교점 · 삼차함수와 이차함수로 둘러싸인 넓이 ⏱️ 권장 시간: 33분

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

두 함수 $f, g$에 대하여 $f(x) = ax^3$, $g(x) = 3x^2 + b$라고 하자. (단, $a, b$는 실수)

3.1 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(2, f(2))$에서의 접선과 곡선 $y = g(x)$ 위의 점 $(2, g(2))$에서의 접선이 같을 때, $a$와 $b$의 값을 구하시오. (10점)

3.2 문항 [3.1]에서 구한 상수 $a$와 $b$에 대하여 $x = 2$일 때의 접선의 방정식을 구하고, 이 접선과 곡선 $y = f(x)$가 제$3$사분면에서 만나는 점의 좌표를 구하시오. (10점)

3.3 문항 [3.1]에서 구한 상수 $a, b$에 대하여 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$와 문항 [3.2]에서 구한 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (10점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

【문항 요약】 2026학년도 모의 자연계열 / 문제 3 [배점 30점]

2026학년도 모의 자연계열 / 문제 3 (수학 · 수학Ⅱ · 미적분) — 접선의 방정식 · 공통접선 · 곡선의 교점 · 삼차함수와 이차함수로 둘러싸인 넓이의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 9 · 총 30점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[3.1] $f'(x) = 3ax^2$이고 $g'(x) = 6x$이다.
$x = 2$에서 두 곡선의 접선이 같으려면 $x=2$에서의 접선의 기울기가 같아야 하므로: $$f'(2) = g'(2) \implies 12a = 12 \implies \mathbf{a = 1}$$ 또한 $x=2$에서의 함숫값이 같아야 하므로: $$f(2) = g(2) \implies 8a = 12 + b \implies 8 = 12 + b \implies \mathbf{b = -4}$$ 따라서 구하는 값은 $a = 1, b = -4$이다.

[3.2] [3.1]에 의해 $f(x) = x^3$이다. $x = 2$에서의 접점의 좌표는 $(2, 8)$이고 기울기는 $12$이므로 접선의 방정식은: $$y = 12(x - 2) + 8 \implies \mathbf{y = 12x - 16}$$ 곡선 $y = x^3$과 접선 $y = 12x - 16$의 교점의 $x$좌표는: $$x^3 = 12x - 16 \implies x^3 - 12x + 16 = (x - 2)^2(x + 4) = 0$$ 따라서 제3사분면에서의 교점의 $x$좌표는 $-4$이고, $y$좌표는 $f(-4) = -64$이다.
구하는 교점의 좌표는 $\mathbf{(-4, -64)}$이다.

[3.3] [3.1]에 의해 $f(x) = x^3, g(x) = 3x^2 - 4$이고 접선은 $y = 12x - 16$이다.
두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$의 교점의 $x$좌표는 $x^3 - 3x^2 + 4 = (x - 2)^2(x + 1) = 0$에서 $x = -1, 2$이다.
구간별 곡선과 접선의 위치 관계:
- $-4 \le x \le -1$일 때: $12x - 16 \le x^3 \le 3x^2 - 4$
- $-1 \le x \le 2$일 때: $12x - 16 \le 3x^2 - 4 \le x^3$
따라서 두 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는: $$\begin{aligned} S &= \int_{-4}^{-1} (x^3 - 12x + 16)\,dx + \int_{-1}^{2} (3x^2 - 12x + 12)\,dx \\ &= \left[ \frac{1}{4}x^4 - 6x^2 + 16x \right]_{-4}^{-1} + \left[ x^3 - 6x^2 + 12x \right]_{-1}^{2} \\ &= \left\{ -\frac{87}{4} - (-96) \right\} + \{ 8 - (-19) \} = \frac{297}{4} + 27 = \mathbf{\frac{405}{4}} \end{aligned}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3.1]	도함수를 구하고 $x=2$에서 접선의 기울기가 같음을 이용하여 $a=1$을 구한 경우	5점
[3.1]	접점의 $y$좌표가 같음을 이용하여 $b=-4$를 정확히 구한 경우	5점
[3.2]	접점 $(2,8)$과 기울기 12를 이용하여 접선의 방정식 $y = 12x - 16$을 구한 경우	5점
[3.2]	방정식 $x^3 - 12x + 16 = 0$을 인수분해하여 제3사분면의 교점 $(-4, -64)$를 도출한 경우	5점
[3.3]	두 곡선의 교점 $x = -1, 2$를 구하고 적분 구간을 $[-4, -1]$과 $[-1, 2]$로 나눈 경우	4점
[3.3]	구간별 정적분 식을 올바르게 세운 경우	3점
[3.3]	정적분을 정확히 계산하여 최종 넓이 $\frac{405}{4}$를 도출한 경우	3점

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2026학년도 모의 자연계열 / 문제 3에서는 제시문 조건(접선의 방정식 · 공통접선 · 곡선의 교점 · 삼차함수와 이차함수로 둘러싸인 넓이)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅰ · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 삼차방정식과 근과 계수의 관계 · 지수함수와 역함수 성질 · 명제의 역과 대우 ⏱️ 권장 시간: 34분

다음 물음에 답하시오.

1.1 방정식 $x^3 - 18x^2 - 20x + 40 = 0$의 정수가 아닌 두 실근을 $\alpha, \beta$ ($\alpha \gt \beta$)라고 하자.

$$\frac{\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha} - \sqrt{\beta}} = p + q\sqrt{r}$$

일 때, $p + q + r$의 값을 구하시오. (단, $p, q$는 유리수이고 $r$는 소수이다.) (10점)

1.2 함수 $f(x) = \frac{e^{2x}}{e^{2x} + e}$의 역함수를 $g(x)$라고 하자. $0 \lt x \lt 1$인 $x$에 대하여

$$f(x) + f(1-x) = a, \quad g(x) + g(1-x) = b, \quad \sum_{k=1}^9 \left\{ f\left(\frac{k}{10}\right) + g\left(\frac{k}{10}\right) \right\} = c$$

일 때, $a + b + c$의 값을 구하시오. (10점)

[그림] 놓여 있는 8장의 카드

1.3 한쪽 면에는 자연수가 적혀 있고, 다른 쪽 면에는 해, 달, 별, 구름 중 하나의 모양이 그려진 카드 8장이 위의 그림과 같이 놓여 있다. 다음 두 명제가 참인지 확인하기 위해 반드시 뒤집어 볼 필요가 있는 카드를 모두 찾고, 그 이유를 설명하시오. (10점)

• 짝수가 적힌 카드의 뒷면에는 해 또는 달이 그려져 있다.
• 별이 그려진 카드의 뒷면에는 7 이상의 자연수가 적혀 있다.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $a_k/2 = 3^{k-1}$이므로 $\sum_{k=1}^n (k-1) = \frac{(n-1)n}{2} = 45 \implies (n-1)n = 90$에서 $\mathbf{n = 10}$이다.

【문항 요약】 2025학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 1 [배점 30점]

2025학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 1 (수학 · 수학Ⅰ · 미적분) — 삼차방정식과 근과 계수의 관계 · 지수함수와 역함수 성질 · 명제의 역과 대우의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 10 · 총 30점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[1.1] 삼차방정식의 인수분해 및 근과 계수의 관계를 이용한 무리식 계산

조립제법으로 정수근을 찾으면 $P(x)=x^3-18x^2-20x+40$에서 $P(-2)=(-8)-72+40+40=0$이므로 $$x^3 - 18x^2 - 20x + 40 = (x+2)(x^2 - 20x + 20) = 0$$ 정수가 아닌 두 실근 $\alpha, \beta$ ($\alpha \gt \beta \gt 0$)는 이차방정식 $x^2 - 20x + 20 = 0$의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 20$, $\alpha\beta = 20$이다. 분모와 분자에 $(\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta})$를 곱해 유리화하면 $$\frac{\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}-\sqrt{\beta}} = \frac{(\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta})^2}{\alpha - \beta} = \frac{\alpha + \beta + 2\sqrt{\alpha\beta}}{\sqrt{(\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta}} = \frac{20 + 2\sqrt{20}}{\sqrt{400 - 80}} = \frac{20 + 4\sqrt{5}}{8\sqrt{5}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{5}$$ 따라서 $p = \frac{1}{2}, q = \frac{1}{2}, r = 5$이므로 $p + q + r = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 5 = \mathbf{6}$이다.

[1.2] 지수함수 $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^{2x}+e}$의 점대칭 성질과 역함수 $g(x)$의 합

임의의 실수 $x$에 대하여 $f(1-x)$를 계산하면 $$f(1-x) = \frac{e^{2-2x}}{e^{2-2x}+e} = \frac{e^{1-2x}}{e^{1-2x}+1} = \frac{e}{e + e^{2x}} \implies f(x) + f(1-x) = \frac{e^{2x}+e}{e^{2x}+e} = 1 \quad (\therefore a = 1)$$ 또한 $g(x)=y \iff f(y)=x$이고 $1-x = 1-f(y) = f(1-y)$이므로 $g(1-x) = 1-y = 1-g(x)$, 즉 $g(x)+g(1-x) = 1$ ($\therefore b = 1$)이다. 양 끝 대칭항끼리 묶으면 $\sum_{k=1}^9 f\left(\frac{k}{10}\right) = \frac{9}{2}$, $\sum_{k=1}^9 g\left(\frac{k}{10}\right) = \frac{9}{2}$이므로 $c = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 9$이다. 따라서 $a + b + c = 1 + 1 + 9 = \mathbf{11}$이다.

[1.3] 조건명제 $p \to q$와 대우명제 $\sim q \to \sim p$를 이용한 카드 진위 판정

• 첫째 명제 (짝수 $\to$ 해 또는 달): 가정(짝수)을 만족하는 [2], [10] 카드와 대우(해·달이 아님 $\to$ 홀수)의 가정을 만족하는 [별], [구름] 카드를 확인해야 한다.
• 둘째 명제 (별 $\to$ 7 이상): 가정(별)을 만족하는 [별] 카드와 대우(7 미만 $\to$ 별이 아님)의 가정을 만족하는 [2], [3] 카드를 확인해야 한다.
따라서 두 명제가 모두 참인지 확인하기 위해 반드시 뒤집어 볼 카드는 합집합인 [2], [3], [10], [별], [구름] (총 5장)이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1.1]	조립제법 $(x+2)(x^2-20x+20)=0$ 인수분해 및 근과 계수의 관계 $\alpha+\beta=20, \alpha\beta=20$ 도출 (5점) / 유리화하여 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}$ 및 $p+q+r=6$ 산출 (5점)	10점
[1.2]	$f(x)+f(1-x)=1$ ($a=1$) 및 역함수 관계로 $g(x)+g(1-x)=1$ ($b=1$) 증명 (6점) / 대칭합 $c=9$ 및 $a+b+c=11$ 도출 (4점)	10점
[1.3]	첫째 명제와 대우로부터 [2, 10, 별, 구름] 도출 (5점) / 둘째 명제와 대우로부터 [별, 2, 3] 도출 후 최종 5장([2], [3], [10], [별], [구름]) 명시 (5점)	10점

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2025학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 1에서는 제시문 조건(삼차방정식과 근과 계수의 관계 · 지수함수와 역함수 성질 · 명제의 역과 대우)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 외분점과 직선의 방정식 · 점과 직선 사이의 거리 · 곡선의 길이와 치환적분법 ⏱️ 권장 시간: 33분

[그림] 곡선 $y=2\ln x$와 직선 $l_1, l_2$

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 곡선 $y = 2\ln x$는 서로 다른 세 점 $A\left(\frac{1}{2}, -2\ln 2\right)$, $B(1, 0)$, $C(k, 2\ln k)$를 지나고 직선 $l_1$과는 두 점 $A$와 $C$에서 만난다. (단, $k$는 상수이고 $k \gt 1$이다.)

(나) $x$축 위의 점 $D$에 대하여 점 $A$는 선분 $DC$를 $1 : 3$으로 외분하는 점이다.

(다) 곡선 $y = 2\ln x$ 위의 점 $C$에서의 접선을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 직선을 $l_2$라고 하자.

(라) 정적분의 치환적분법: 미분가능한 함수 $t = g(x)$의 도함수 $g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고, $g(a) = \alpha$, $g(b) = \beta$에 대하여 함수 $f(t)$가 $\alpha$와 $\beta$를 양 끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 $\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(t)\,dt$이다.

2.1 상수 $k$의 값과 직선 $l_1$의 방정식을 각각 구하시오. (10점)

2.2 점 $C$와 직선 $l_2$ 사이의 거리를 구하시오. (10점)

2.3 문항 [2.1]에서 구한 $k$의 값에 대하여 곡선 $y = 2\ln x$의 $x = 1$에서 $x = k$까지의 길이를 구하시오. (10점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

【문항 요약】 2025학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 2 [배점 30점]

2025학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 2 (수학 · 미적분) — 외분점과 직선의 방정식 · 점과 직선 사이의 거리 · 곡선의 길이와 치환적분법의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 11 · 총 30점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[2.1] 외분점 공식을 이용한 상수 $k$ 결정 및 직선 $l_1$의 방정식

점 $D(d, 0)$와 $C(k, 2\ln k)$에 대하여 점 $A\left(\frac{1}{2}, -2\ln 2\right)$가 선분 $DC$를 $1:3$으로 외분하므로 $y$좌표 외분점 공식에서 $$-2\ln 2 = \frac{1 \cdot 2\ln k - 3 \cdot 0}{1 - 3} = -\ln k \implies \ln k = 2\ln 2 = \ln 4 \implies \mathbf{k = 4}$$ 따라서 $C(4, 4\ln 2)$이고, 두 점 $A\left(\frac{1}{2}, -2\ln 2\right), C(4, 4\ln 2)$를 지나는 직선 $l_1$의 기울기는 $\frac{6\ln 2}{7/2} = \frac{12\ln 2}{7}$이므로 직선 $l_1$의 방정식은 $\mathbf{y = \frac{12\ln 2}{7}x - \frac{20\ln 2}{7}}$이다.

[2.2] 역함수 대칭 직선 $l_2$의 방정식과 점 $C$에서 직선 $l_2$까지의 거리

$y = 2\ln x$에서 $y' = \frac{2}{x}$이므로 점 $C(4, 4\ln 2)$에서의 접선의 기울기는 $\frac{1}{2}$이고 접선식은 $y = \frac{1}{2}x + 4\ln 2 - 2$이다. 이를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 직선 $l_2$는 $x = \frac{1}{2}y + 4\ln 2 - 2 \iff \mathbf{2x - y - 8\ln 2 + 4 = 0}$이다. 점 $C(4, 4\ln 2)$와 직선 $l_2$ 사이의 거리 $d$는 $$d = \frac{|2(4) - 4\ln 2 - 8\ln 2 + 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|12 - 12\ln 2|}{\sqrt{5}} = \mathbf{\frac{12(1 - \ln 2)}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}(1 - \ln 2)}{5}}$$

[2.3] 곡선의 길이 공식과 치환적분법을 이용한 정적분 계산

곡선 $y = 2\ln x$ ($1 \le x \le 4$)의 길이 $L$은 $L = \int_1^4 \sqrt{1 + \left(\frac{2}{x}\right)^2}\,dx = \int_1^4 \frac{\sqrt{x^2+4}}{x}\,dx$이다. $t = \sqrt{x^2+4}$로 치환하면 $t^2 = x^2+4$ ($t\,dt = x\,dx$)이고 $$\begin{aligned} L &= \int_{\sqrt{5}}^{\sqrt{20}} \frac{t^2}{t^2-4}\,dt = \int_{\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}} \left(1 + \frac{1}{t-2} - \frac{1}{t+2}\right)dt = \left[ t + \ln\left|\frac{t-2}{t+2}\right| \right]_{\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}} \\ &= \sqrt{5} + \ln\left(\frac{2\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}+2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\right) = \mathbf{\sqrt{5} + \ln\frac{7+3\sqrt{5}}{2}} \end{aligned}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2.1]	$1:3$ 외분점의 $y$좌표 관계식으로부터 $k=4$ 도출 (5점) / 두 점 $A, C$를 지나는 직선 $l_1: y=\frac{12\ln 2}{7}x - \frac{20\ln 2}{7}$ 산출 (5점)	10점
[2.2]	점 $C$에서의 접선 및 $y=x$ 대칭 직선 $l_2: 2x-y-8\ln 2+4=0$ 도출 (5점) / 점과 직선 거리 공식으로 $\frac{12\sqrt{5}(1-\ln 2)}{5}$ 산출 (5점)	10점
[2.3]	곡선의 길이 정적분 $\int_1^4 \frac{\sqrt{x^2+4}}{x}\,dx$ 수립 및 $t=\sqrt{x^2+4}$ 치환 (5점) / 부분분수 적분으로 $\sqrt{5}+\ln\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$ 도출 (5점)	10점

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2025학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 2에서는 제시문 조건(외분점과 직선의 방정식 · 점과 직선 사이의 거리 · 곡선의 길이와 치환적분법)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학Ⅰ · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 삼각함수의 성질과 미분 · 접선과 절편의 수열 · 부분분수 급수와 무한급수의 합 ⏱️ 권장 시간: 33분

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

함수 $f(x) = \frac{\cos x}{x^2}$ ($x \gt 0$)에 대하여 곡선 $y = f(x)$와 $x$축이 만나는 점의 $x$좌표를 작은 것부터 차례로 $x_1, x_2, x_3, \dots$이라고 하자. 또, 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $P_n(x_n, 0)$에서의 접선과 $y$축이 만나는 점을 $Q_n(0, y_n)$이라고 하자.

3.1 자연수 $n$에 대하여 $x_n$을 구하시오. (5점)

3.2 다음 식의 값을 구하시오. (15점)

$$\sum_{n=1}^{2025} x_n y_n$$

3.3 자연수 $n$에 대하여 삼각형 $P_n P_{n+1} Q_n$의 넓이를 $A_n$이라고 할 때,

$$\sum_{n=1}^{25} A_n A_{n+1} \quad \text{과} \quad \sum_{n=1}^{\infty} A_n A_{n+1}$$

의 값을 각각 구하시오. (13점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

【유사 연습 문제】 다항함수 $f(x) = x^3 + 2x - 5$에 대하여 닫힌구간 $[1, 2]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c$의 값을 구하시오.

【문항 요약】 2025학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 3 [배점 33점]

2025학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 3 (수학Ⅰ · 미적분) — 삼각함수의 성질과 미분 · 접선과 절편의 수열 · 부분분수 급수와 무한급수의 합의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 12 · 총 33점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[3.1] 곡선 $y = \frac{\cos x}{x^2}$ ($x \gt 0$)의 $x$절편 수열 $x_n$

$x \gt 0$에서 $f(x) = \frac{\cos x}{x^2} = 0 \iff \cos x = 0$이므로 양의 실근을 작은 것부터 차례로 나열하면 $$\mathbf{x_n = \left(n - \frac{1}{2}\right)\pi = \frac{(2n-1)\pi}{2}} \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$

[3.2] 몫의 미분법을 이용한 접선의 $y$절편 $y_n$ 및 $\sum_{n=1}^{2025} x_n y_n$ 계산

몫의 미분법에 의해 $f'(x) = \frac{-x^2\sin x - 2x\cos x}{x^4} = -\frac{x\sin x + 2\cos x}{x^3}$이다. $\cos x_n = 0$이고 $\sin x_n = (-1)^{n-1}$이므로 점 $P_n(x_n, 0)$에서의 접선의 기울기는 $f'(x_n) = \frac{(-1)^n}{x_n^2}$이다. 접선 $y = f'(x_n)(x - x_n)$의 $y$절편은 $y_n = -x_n f'(x_n) = \frac{(-1)^{n-1}}{x_n}$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $x_n y_n = (-1)^{n-1}$이다. 따라서 $$\sum_{n=1}^{2025} x_n y_n = \sum_{n=1}^{2025} (-1)^{n-1} = 1 - 1 + 1 - \cdots + 1 = \mathbf{1}$$

[3.3] 삼각형 $P_n P_{n+1} Q_n$의 넓이 $A_n$과 부분분수 급수 및 무한급수의 합

밑변의 길이는 $\overline{P_n P_{n+1}} = x_{n+1} - x_n = \pi$이고 높이는 $|y_n| = \frac{1}{x_n} = \frac{2}{(2n-1)\pi}$이므로 삼각형의 넓이는 $A_n = \frac{1}{2}\cdot \pi \cdot \frac{2}{(2n-1)\pi} = \frac{1}{2n-1}$이다. 따라서 $$A_n A_{n+1} = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$$ 이므로 부분합과 무한급수의 합은 각각 다음과 같다. $$\sum_{n=1}^{25} A_n A_{n+1} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{51}\right) = \mathbf{\frac{25}{51}}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty} A_n A_{n+1} = \lim_{N\to\infty}\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2N+1}\right) = \mathbf{\frac{1}{2}}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 33점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3.1]	$\cos x = 0$ ($x \gt 0$)의 해로부터 $x_n = \frac{(2n-1)\pi}{2}$ 정확히 도출	5점
[3.2]	몫의 미분법으로 $f'(x_n) = \frac{(-1)^n}{x_n^2}$ 및 $y_n = \frac{(-1)^{n-1}}{x_n}$ 도출 (10점) / $x_n y_n = (-1)^{n-1}$로부터 합 $1$ 계산 (5점)	15점
[3.3]	$A_n = \frac{1}{2n-1}$ 도출 (5점) / 부분분수 분해로 $\sum_{n=1}^{25} A_n A_{n+1} = \frac{25}{51}$ (4점) 및 $\sum_{n=1}^\infty A_n A_{n+1} = \frac{1}{2}$ (4점) 산출	13점

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2025학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 3에서는 제시문 조건(삼각함수의 성질과 미분 · 접선과 절편의 수열 · 부분분수 급수와 무한급수의 합)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 속도와 거리 · 일차/이차부등식 · 삼각함수 덧셈정리 · 조합 사각형 ⏱️ 권장 시간: 34분

[그림] 정사각형 16개 점 격자

다음 물음에 답하시오.

1.1 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t(t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = |t - 5|$일 때, 점 $P$의 위치를 $x(t)$라고 하자. $x(0) = 0$일 때, $x(t) \le 8$ 또는 $x(t) \ge 14$를 만족하는 $t$의 범위를 구하시오.

1.2 $1$보다 큰 자연수 $n$에 대하여 두 직선 $y = x$와 $y = \frac{1}{n}x$가 이루는 예각의 크기를 $\theta_n$이라고 할 때,

$$\tan\theta_2 \times \tan\theta_3 \times \cdots \times \tan\theta_{20}$$

의 값을 구하시오.

1.3 오른쪽 그림과 같이 정사각형의 각 변을 각각 4등분하는 16개의 점이 있다. 이 중 서로 다른 4개의 점을 꼭짓점으로 하는 사각형의 개수를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

【문항 요약】 2025학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 1 [배점 30점]

2025학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 1 (수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분) — 속도와 거리 · 일차/이차부등식 · 삼각함수 덧셈정리 · 조합 사각형의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 13 · 총 30점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[1.1] $v(t) = |t-5|$ 이므로 구간을 나누면: $$\begin{aligned} v(t) &= \begin{cases} -t+5 & (0 \le t \lt 5) \\ t-5 & (t \ge 5) \end{cases} \\ x(t) &= \begin{cases} -\frac{1}{2}t^2 + 5t & (0 \le t \lt 5) \\ \frac{1}{2}t^2 - 5t + 25 & (t \ge 5) \end{cases} \end{aligned}$$ $x(5) = \frac{25}{2} = 12.5$ 이므로 $x(t) \le 8$ 은 $0 \le t \lt 5$ 에서 발생하고, $x(t) \ge 14$ 는 $t \ge 5$ 에서 발생한다.
(1) $0 \le t \lt 5$ 에서 $-\frac{1}{2}t^2 + 5t \le 8 \iff t^2 - 10t + 16 \ge 0 \iff (t-2)(t-8) \ge 0 \implies 0 \le t \le 2$.
(2) $t \ge 5$ 에서 $\frac{1}{2}t^2 - 5t + 25 \ge 14 \iff t^2 - 10t + 22 \ge 0 \iff (t-5)^2 \ge 3 \implies t \ge 5 + \sqrt{3}$.
따라서 구하는 $t$의 범위는 $0 \le t \le 2$ 또는 $t \ge 5 + \sqrt{3}$ 이다.

[1.2] 직선 $y = \frac{1}{n}x$ 와 $x$축이 이루는 예각을 $\alpha_n$ 이라 하면 $\tan\alpha_n = \frac{1}{n}$ 이고, 직선 $y = x$ 는 $\tan\frac{\pi}{4} = 1$ 이다.
두 직선이 이루는 예각 $\theta_n = \frac{\pi}{4} - \alpha_n$ 이므로 탄젠트 덧셈정리에 의해: $$\tan\theta_n = \tan\left(\frac{\pi}{4} - \alpha_n\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{4} - \tan\alpha_n}{1 + \tan\frac{\pi}{4}\tan\alpha_n} = \frac{1 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{n-1}{n+1}$$ 따라서 구하는 곱은: $$\prod_{n=2}^{20} \tan\theta_n = \frac{1}{3} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{5} \times \cdots \times \frac{18}{20} \times \frac{19}{21} = \frac{1 \times 2}{20 \times 21} = \frac{2}{420} = \frac{1}{210}$$

[1.3] 16개의 점 중 4개를 택하는 전체 경우의 수는 ${}_{16}\mathrm{C}_4 = \frac{16\times 15\times 14\times 13}{4\times 3\times 2\times 1} = 1820$.
사각형이 만들어지지 않는 경우는 다음 두 가지이다.
ⅰ) 4개의 점이 한 변 위에 있는 경우: 한 변당 5개의 점 중 4개를 택하고 4개의 변이 있으므로 ${}_5\mathrm{C}_4 \times 4 = 5 \times 4 = 20$.
ⅱ) 3개의 점이 한 변 위에 있고 나머지 1개 점은 다른 변 위에 있는 경우: ${}_5\mathrm{C}_3 \times (16 - 5) \times 4 = 10 \times 11 \times 4 = 440$.
따라서 가능한 사각형의 개수는 $1820 - 20 - 440 = 1360$ 개이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1.1]	속도 함수 $v(t)$를 $t \lt 5$와 $t \ge 5$로 나누어 위치 함수 $x(t)$를 올바르게 적분 도출한 경우	4점
[1.1]	구간별 이차부등식을 풀어 $0 \le t \le 2$와 $t \ge 5 + \sqrt{3}$의 범위를 각각 구한 경우	4점
[1.1]	조건을 만족하는 $t$의 최종 범위를 정확히 명시한 경우	2점
[1.2]	탄젠트의 덧셈정리를 적용하여 $\tan\theta_n = \frac{n-1}{n+1}$의 일반식을 바르게 유도한 경우	5점
[1.2]	연쇄 소거를 통해 최종 곱 $\frac{1}{210}$을 정확히 계산한 경우	5점
[1.3]	전체 경우의 수 ${}_{16}\mathrm{C}_4 = 1820$을 바르게 구한 경우	3점
[1.3]	사각형이 되지 않는 조건 ⅰ) 20가지와 ⅱ) 440가지를 바르게 분류 계산한 경우	5점
[1.3]	여사건을 빼서 사각형의 개수 $1360$을 정확히 구한 경우	2점

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2025학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 1에서는 제시문 조건(속도와 거리 · 일차/이차부등식 · 삼각함수 덧셈정리 · 조합 사각형)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅰ · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 대칭이동 최단거리 · 직선의 방정식 · 사인법칙 · 정적분과 급수의 합 ⏱️ 권장 시간: 33분

[그림] 직사각형 $ABCD$와 점들

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

오른쪽 그림과 같이 가로와 세로의 길이가 각각 4, 5인 직사각형 $ABCD$가 있다. 두 점 $P, U$는 변 $AB$ 위에 있고 점 $Q$는 변 $CD$ 위에 있다. 두 점 $X, Y$는 각각 두 변 $AD, BC$ 위를 움직인다. $\overline{AP} = 1$이고 $\overline{CQ} = 2$이다.

2.1 $\overline{PX} + \overline{XY} + \overline{YQ}$의 최솟값을 구하시오.

2.2 문항 [2.1]의 $\overline{PX} + \overline{XY} + \overline{YQ}$가 최솟값을 가질 때의 점 $X, Y$에 대하여 선분 $XY$와 선분 $UD$의 교점을 $M$이라고 하자. 삼각형 $MUY$에서 등식 $$\overline{UY}\sin M = \overline{YM}\sin U + \overline{MU}\sin Y$$ 가 성립할 때, 삼각형 $MUY$의 외접원의 반지름의 길이를 구하시오.

2.3 문항 [2.2]의 삼각형 $MUY$의 외접원에서 호 $UY$의 길이를 $n$등분하여 양 끝점과 각 분점을 차례로 $U = V_0, V_1, \dots, V_{n-1}, V_n = Y$라고 하자. 삼각형 $UYV_k$ ($1 \le k \le n-1$)의 넓이를 $S_k$라고 할 때, $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} S_k$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

【문항 요약】 2025학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 2 [배점 25점]

2025학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 2 (수학 · 수학Ⅰ · 미적분) — 대칭이동 최단거리 · 직선의 방정식 · 사인법칙 · 정적분과 급수의 합의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 14 · 총 25점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[그림] 좌표평면 대칭점 $P', Q'$

[2.1] 점 $B$를 원점 $(0,0)$, 직선 $BC$를 $x$축, 직선 $AB$를 $y$축으로 잡으면 $P(0,4), Q(4,2)$.
점 $P$를 직선 $AD(y=5)$에 대하여 대칭이동한 점을 $P'(0,6)$, 점 $Q$를 직선 $BC(y=0)$에 대하여 대칭이동한 점을 $Q'(4,-2)$라 하면: $$\begin{aligned} \overline{PX} + \overline{XY} + \overline{YQ} &= \overline{P'X} + \overline{XY} + \overline{YQ'} \\ &\ge \overline{P'Q'} = \sqrt{4^2 + (-2-6)^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \end{aligned}$$

[2.2] $\triangle MUY$의 외접원 반지름 $R$에 대해 사인법칙 $\sin M = \frac{\overline{UY}}{2R}, \sin U = \frac{\overline{YM}}{2R}, \sin Y = \frac{\overline{MU}}{2R}$을 대입하면: $$\overline{UY}^2 = \overline{YM}^2 + \overline{MU}^2$$ 이므로 $\triangle MUY$는 $\angle M = 90^\circ$인 직각삼각형이고 $\overline{UY} = 2R$이다.
직선 $P'Q'$의 방정식: $y = -2x + 6 \implies Y(3,0)$.
직선 $XY$의 기울기가 $-2$이므로 $UD$의 기울기는 $\frac{1}{2}$이고 점 $D(4,5)$를 지나므로 $y = \frac{1}{2}x + 3 \implies U(0,3)$.
따라서 $\overline{UY} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2} \implies R = \frac{\overline{UY}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ 이다.

[2.3] 호 $UY$는 반원이고 $R = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. $\angle UOV_k = \frac{k\pi}{n}$ 에서 $V_k$의 높이 $\overline{V_kH_k} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\sin\frac{k\pi}{n}$.
$S_k = \frac{1}{2} \cdot \overline{UY} \cdot \overline{V_kH_k} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}\sin\frac{k\pi}{n} = \frac{9}{2}\sin\frac{k\pi}{n}$.
따라서 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의해: $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} S_k = \frac{1}{\pi} \lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{9}{2}\sin\frac{k\pi}{n} = \frac{9}{2\pi} \int_0^\pi \sin x \, dx = \frac{9}{2\pi}[-\cos x]_0^\pi = \frac{9}{\pi}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2.1]	대칭이동 점 $P'(0,6), Q'(4,-2)$의 좌표를 바르게 설정한 경우	4점
[2.1]	두 점 사이의 거리 공식으로 최솟값 $4\sqrt{5}$를 정확히 구한 경우	3점
[2.2]	사인법칙을 적용하여 $\triangle MUY$가 직각삼각형임을 증명한 경우	3점
[2.2]	직선의 방정식을 연립하여 점 $Y(3,0), U(0,3)$을 도출한 경우	3점
[2.2]	외접원의 반지름 $R = \frac{3\sqrt{2}}{2}$를 정확히 계산한 경우	2점
[2.3]	삼각형의 넓이 일반항 $S_k = \frac{9}{2}\sin\frac{k\pi}{n}$을 바르게 유도한 경우	4점
[2.3]	급수의 극한을 정적분 $\frac{9}{2\pi}\int_0^\pi \sin x \, dx$ 로 변환한 경우	3점
[2.3]	정적분을 계산하여 최종 극한값 $\frac{9}{\pi}$를 정확히 구한 경우	3점

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2025학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 2에서는 제시문 조건(대칭이동 최단거리 · 직선의 방정식 · 사인법칙 · 정적분과 급수의 합)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 사잇값 정리 · 평균값 정리 · 수열의 귀납적 정의 · 샌드위치 극한 ⏱️ 권장 시간: 33분

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 사잇값 정리: 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이고 $f(a) \ne f(b)$이면 $f(a)$와 $f(b)$ 사이의 임의의 실수 $k$에 대하여 $f(c)=k$인 $c$가 열린구간 $(a,b)$에 적어도 하나 존재한다.
(나) 평균값 정리: 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이고 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능할 때, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$인 $c$가 열린구간 $(a,b)$에 적어도 하나 존재한다.
(다) 수열의 극한의 대소 관계: $\lim_{n\to\infty}a_n = L, \lim_{n\to\infty}b_n = L$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \le c_n \le b_n$이면 $\lim_{n\to\infty}c_n = L$이다.
(라) 필요하면 $\ln 2 = 0.693, \ln 3 = 1.099$로 계산한다.

3.1 $f(x) = x - \ln(x+3) + 1$에 대하여, 다음은 $f(x) = 0$이 열린구간 $(0,1)$에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보이는 과정이다. ①~④에 알맞은 것을 각각 보기에서 골라 쓰시오.
"함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[0,1]$에서 ①이고 $f(0) = -\ln 3 + 1$ ②, $f(1) = 2 - \ln 4$ ③이므로 ④에 의하여 열린구간 $(0,1)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다." (보기: 미분가능, 연속, 사잇값 정리, 평균값 정리, $\lt 0, =0, \gt 0$)

3.2 문항 [3.1]의 방정식 $f(x) = 0$은 열린구간 $(0,1)$에서 오직 하나의 실근을 가짐을 보이시오.

3.3 문항 [3.1]의 $f(x)$와 $g(x) = \ln(x+3) - 1$에 대하여 방정식 $f(x) = 0$, 즉, $g(x) = x$의 실근을 $\alpha$라고 하자. $t \gt \alpha$일 때, 부등식 $0 \lt g(t) - \alpha \lt \frac{1}{p}(t - \alpha)$ 가 항상 성립하도록 하는 가장 큰 자연수 $p$의 값을 구하시오.

3.4 문항 [3.3]의 $g(x)$에 대하여 $a_1 = 1, a_{n+1} = g(a_n)$일 때, $0 \lt a_n - \alpha \lt M(1 - \alpha)$ 가 성립하도록 하는 $M$을 $n$의 식으로 나타내고, 이를 이용하여 $\lim_{n\to\infty} a_n$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

【문항 요약】 2025학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 3 [배점 20점]

2025학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 3 (수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분) — 사잇값 정리 · 평균값 정리 · 수열의 귀납적 정의 · 샌드위치 극한의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 15 · 총 20점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[3.1] ① 연속, ② $ \lt 0$ ($f(0) = -\ln 3 + 1 = -1.099 + 1 = -0.099 \lt 0$), ③ $ \gt 0$ ($f(1) = 2 - \ln 4 = 2 - 2\ln 2 = 2 - 1.386 = 0.614 \gt 0$), ④ 사잇값 정리.
따라서 $f(0)f(1) \lt 0$ 이므로 사잇값 정리에 의해 열린구간 $(0,1)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

[3.2] $f(x)$의 도함수를 구하면 $f'(x) = 1 - \frac{1}{x+3} = \frac{x+2}{x+3}$ 이다.
$0 \lt x \lt 1$ 일 때 $x+2 \gt 0$ 이고 $x+3 \gt 0$ 이므로 $f'(x) \gt 0$ 이다.
따라서 $f(x)$는 열린구간 $(0,1)$에서 엄격하게 증가하는 증가함수이므로, $f(x) = 0$의 실근은 오직 하나만 존재한다.

[3.3] $g(t) - \alpha = g(t) - g(\alpha)$. $g(x)$는 닫힌구간 $[\alpha, t]$에서 연속이고 열린구간 $(\alpha, t)$에서 미분가능하므로, 평균값 정리에 의해: $$\frac{g(t) - g(\alpha)}{t - \alpha} = g'(c) \implies g(t) - \alpha = g'(c)(t - \alpha)$$ 인 $c \in (\alpha, t)$가 적어도 하나 존재한다. $g'(c) = \frac{1}{c+3}$ 이고 $0 \lt \alpha \lt c \lt t \le 1$ 이므로 $0 \lt g'(c) \lt \frac{1}{3}$ 이다.
따라서 $0 \lt g(t) - \alpha \lt \frac{1}{3}(t - \alpha)$ 가 항상 성립하므로, 가장 큰 자연수는 $p = 3$ 이다.

[3.4] 문항 [3.3]에 의해 $0 \lt a_k - \alpha \lt \frac{1}{3}(a_{k-1} - \alpha)$ 이므로 축차대입하면: $$0 \lt a_n - \alpha \lt \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}(a_1 - \alpha) = \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}(1 - \alpha)$$ 따라서 $M = \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$ 이다.
$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}(1 - \alpha) = 0$ 이므로, 수열의 극한의 대소 관계에 의해 $\lim_{n\to\infty}(a_n - \alpha) = 0 \iff \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3.1]	① 연속, ② $\lt 0$, ③ $ \gt 0$, ④ 사잇값 정리를 모두 정확하게 고른 경우	4점
[3.2]	도함수 $f'(x) \gt 0$임을 보여 $f(x)$가 증가함수이며 실근이 유일함을 증명한 경우	4점
[3.3]	평균값 정리를 적용하여 $g'(c) = \frac{1}{c+3} \lt \frac{1}{3}$의 범위를 도출한 경우	4점
[3.3]	가장 큰 자연수 $p = 3$을 정확히 구한 경우	2점
[3.4]	축차부등식을 적용하여 $M = \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$의 식을 바르게 유도한 경우	3점
[3.4]	수열의 극한의 대소 관계(샌드위치 정리)로 $\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$를 정확히 구한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2025학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 3에서는 제시문 조건(사잇값 정리 · 평균값 정리 · 수열의 귀납적 정의 · 샌드위치 극한)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 미적분 · 수학Ⅰ 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 정적분과 급수의 관계 · 도함수의 증감과 부등식 · 등차수열의 합과 극한 ⏱️ 권장 시간: 34분

다음 물음에 답하시오.

1.1 자연수 $n$에 대하여

$$a_n = \frac{1}{n} \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)$$

이라고 할 때, 극한 $\lim_{n\to\infty} a_n$의 값을 구하시오. (10점)

1.2 함수 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ ($x \gt 0$)가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하시오. 그리고 이를 이용하여 $e \lt a \lt b$인 상수 $a$와 $b$에 대하여, $\frac{\ln a}{\ln b}$와 $\frac{a}{b}$의 대소 관계를 밝히시오. (10점)

1.3 공차가 각각 $d_1$과 $d_2$인 등차수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$에 대하여 수열 $\{b_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자.

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n^2}{(b_{n+2} - b_n)S_n} = 27$$

일 때, $\frac{d_1}{d_2}$의 값을 구하시오. (단, $d_1 \gt 0, d_2 \gt 0$) (10점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $a_k/2 = 3^{k-1}$이므로 $\sum_{k=1}^n (k-1) = \frac{(n-1)n}{2} = 45 \implies (n-1)n = 90$에서 $\mathbf{n = 10}$이다.

【문항 요약】 2025학년도 모의 자연계열 / 문제 1 [배점 30점]

2025학년도 모의 자연계열 / 문제 1 (수학 · 미적분 · 수학Ⅰ) — 정적분과 급수의 관계 · 도함수의 증감과 부등식 · 등차수열의 합과 극한의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 16 · 총 30점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[1.1] 정적분과 급수의 관계를 이용한 극한값 계산

로그의 성질에 의하여 곱을 합으로 분해하면 $$a_n = \frac{1}{n} \left\{ \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) + \ln\left(1+\frac{2}{n}\right) + \cdots + \ln\left(1+\frac{n}{n}\right) \right\} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)$$ 정적분과 급수의 합의 관계 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx$를 적용하면 $$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} a_n &= \int_0^1 \ln(1+x)\,dx = \int_1^2 \ln x\,dx \\ &= [x\ln x - x]_1^2 = (2\ln 2 - 2) - (0 - 1) = \mathbf{2\ln 2 - 1} \end{aligned}$$

[1.2] 도함수의 부호 조사를 통한 증감 및 대소 판별

몫의 미분법에 의해 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$의 도함수를 구하면 $$f'(x) = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2}$$ - $0 \lt x \lt e$일 때 $\ln x \lt 1 \implies f'(x) \gt 0$이므로 함수 $f(x)$는 구간 $(0, e]$에서 증가한다.
- $x \gt e$일 때 $\ln x \gt 1 \implies f'(x) \lt 0$이므로 함수 $f(x)$는 구간 $[e, \infty)$에서 감소한다.
$e \lt a \lt b$에서 $f(x)$는 감소함수이므로 $f(a) \gt f(b)$, 즉 $\frac{\ln a}{a} \gt \frac{\ln b}{b}$이다. 양변에 $a \gt 0$을 곱하고 양수인 $\ln b \gt 0$으로 나누면 $$\mathbf{\frac{\ln a}{\ln b} \gt \frac{a}{b}}$$

[1.3] 등차수열의 일반항 및 부분합 극한 비율 계산

등차수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$에 대하여 $a_n = a_1 + (n-1)d_1$, $b_{n+2} - b_n = 2d_2$, $S_n = \frac{n\{2b_1 + (n-1)d_2\}}{2}$이므로 $$\begin{aligned} \frac{a_n^2}{(b_{n+2} - b_n)S_n} &= \frac{\{a_1 + (n-1)d_1\}^2}{2d_2 \cdot \frac{n\{2b_1 + (n-1)d_2\}}{2}} \\ &= \frac{d_1^2 n^2 + 2d_1(a_1-d_1)n + (a_1-d_1)^2}{d_2^2 n^2 + d_2(2b_1-d_2)n} \end{aligned}$$ 최고차항 계수 비교에 의해 $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n^2}{(b_{n+2}-b_n)S_n} = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 = 27$이다. $d_1 \gt 0, d_2 \gt 0$이므로 $\mathbf{\frac{d_1}{d_2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[1.1] (10점)]	• 로그의 성질을 이용하여 $a_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)$ 꼴로 올바르게 변형한 경우	4점
[[1.1] (10점)]	• 정적분과 급수의 합의 관계식을 적용하여 정적분 $\int_0^1 \ln(1+x)\,dx$로 전환한 경우	3점
[[1.1] (10점)]	• 부분적분법을 정확히 수행하여 최종 극한값 $2\ln 2 - 1$을 올바르게 구한 경우	3점
[[1.2] (10점)]	• 도함수 $f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2}$을 올바르게 구한 경우	3점
[[1.2] (10점)]	• 도함수의 부호 조사를 통해 증가구간 $(0, e]$ 및 감소구간 $[e, \infty)$를 정확히 제시한 경우	4점
[[1.2] (10점)]	• $e \lt a \lt b$에서의 감소성을 이용하여 대소 관계 $\frac{\ln a}{\ln b} \gt \frac{a}{b}$를 논리적으로 도출한 경우	3점
[[1.3] (10점)]	• 등차수열의 일반항 $a_n$ 및 합 $S_n$, 공차차 $b_{n+2}-b_n = 2d_2$를 정확히 세운 경우	4점
[[1.3] (10점)]	• $n$에 대한 분수식을 정리하고 최고차항 계수 극한이 $\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2$임을 구한 경우	3점
[[1.3] (10점)]	• $\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 = 27$ 및 $d_1, d_2 \gt 0$으로부터 최종 비율 $3\sqrt{3}$을 구한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2025학년도 모의 자연계열 / 문제 1에서는 제시문 조건(정적분과 급수의 관계 · 도함수의 증감과 부등식 · 등차수열의 합과 극한)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학Ⅱ · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 지수함수의 원점 대칭성 · 도함수와 실근의 개수 · 치환적분과 대칭 도형의 넓이 ⏱️ 권장 시간: 33분

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

다음과 같이 정의된 두 함수가 있다.

$$f(x) = \frac{5^x}{1+5^x} - \frac{1}{2}, \quad g(x) = mx \quad (\text{단, } m \gt 0)$$

2.1 곡선 $y = f(x)$의 그래프가 원점에 대해서 대칭임을 보이시오. (10점)

2.2 곡선 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = g(x)$의 그래프가 세 점에서 만나기 위한 $m$의 범위를 구하시오. (10점)

2.3 곡선 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = g(x)$의 그래프가 세 점 $(a, ma)$, $(b, mb)$, $(c, mc)$에서 만나고, 직선 $x = a$, $y = -\frac{1}{2}$, $x = c$ 및 곡선 $y = f(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $2$일 때, 실수 $m$의 값을 구하시오. (단, $a \lt b \lt c$) (10점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

【문항 요약】 2025학년도 모의 자연계열 / 문제 2 [배점 30점]

2025학년도 모의 자연계열 / 문제 2 (수학Ⅱ · 미적분) — 지수함수의 원점 대칭성 · 도함수와 실근의 개수 · 치환적분과 대칭 도형의 넓이의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 17 · 총 30점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[2.1] 곡선 $y = f(x)$의 원점 대칭 증명 ($f(-x) = -f(x)$)

곡선 $y = f(x)$가 원점에 대하여 대칭일 필요충분조건은 $f(-x) = -f(x)$이다. $$\begin{aligned} f(-x) &= \frac{5^{-x}}{1+5^{-x}} - \frac{1}{2} = \frac{1}{1+5^x} - \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} - \frac{5^x}{1+5^x} = -\left(\frac{5^x}{1+5^x} - \frac{1}{2}\right) = -f(x) \end{aligned}$$ 따라서 $y = f(x)$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

[2.2] 교점 개수 분석 및 $m$의 범위 도출

$h(x) = f(x) - g(x)$는 원점 대칭이므로 $h(0) = 0$이다. 따라서 $x \gt 0$에서 $h(x) = 0$이 오직 하나의 실근을 가지면 세 점에서 만난다. $$h'(x) = \frac{(\ln 5)5^x}{(1+5^x)^2} - m, \quad h''(x) = -\frac{(\ln 5)^2 (5^x-1)5^x}{(1+5^x)^3}$$ $x \gt 0$에서 $5^x \gt 1$이므로 $h''(x) \lt 0$이며, $h'(x)$는 감소함수이다. $\lim_{x\to\infty} h'(x) = -m \lt 0$이다.
$h'(0) = \frac{1}{4}\ln 5 - m \gt 0$이면 $h'(x_0) = 0$ ($x_0 \gt 0$)인 극댓값 $h(x_0) \gt 0$이 존재하여 $x \gt 0$에서 $x$축과 유일하게 만난다.
반면 $m \ge \frac{1}{4}\ln 5$이면 $h'(x) \lt 0$으로 감소하여 $x \gt 0$에서 만남이 없다. 따라서 $m \gt 0$이므로 $\mathbf{0 \lt m \lt \frac{1}{4}\ln 5}$이다.

[2.3] 치환적분을 통한 도형의 넓이 계산 및 $m$ 결정

원점 대칭에 의해 세 교점은 $(-c, -mc), (0, 0), (c, mc)$ ($c \gt 0$)이다. 둘러싸인 도형의 넓이는 $$\begin{aligned} S &= \int_{-c}^c \left\{ f(x) - \left(-\frac{1}{2}\right) \right\} dx = \int_{-c}^c \frac{5^x}{1+5^x}\,dx \\ &= \int_{-c}^0 \frac{5^x}{1+5^x}\,dx + \int_0^c \frac{5^x}{1+5^x}\,dx \end{aligned}$$ 첫 번째 적분에서 $t = -x$로 치환하면 $\int_{-c}^0 \frac{5^x}{1+5^x}\,dx = \int_0^c \frac{1}{1+5^t}\,dt$이므로 $$S = \int_0^c \left(\frac{1}{1+5^x} + \frac{5^x}{1+5^x}\right)dx = \int_0^c 1\,dx = c = 2$$ 점 $(2, 2m)$이 $y = f(x)$ 위의 점이므로 $f(2) = \frac{25}{26} - \frac{1}{2} = \frac{6}{13} = 2m \implies \mathbf{m = \frac{3}{13}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[2.1] (10점)]	• $f(-x)$의 식을 분수 통분 및 정리하여 $\frac{1}{2} - \frac{5^x}{1+5^x}$로 유도한 경우	5점
[[2.1] (10점)]	• $-f(x)$와의 일치성을 증명하여 원점 대칭임을 명확히 서술한 경우	5점
[[2.2] (10점)]	• $h(x) = f(x)-mx$의 도함수 $h'(x)$ 및 이계도함수 $h''(x) \lt 0$을 통해 $h'(x)$의 감소성을 보인 경우	4점
[[2.2] (10점)]	• $h'(0) = \frac{1}{4}\ln 5 - m \gt 0$일 때 $x \gt 0$에서 실근 1개가 유일하게 존재함을 증명한 경우	3점
[[2.2] (10점)]	• $m \ge \frac{1}{4}\ln 5$일 때 실근이 없음을 확인하고 최종 범위 $0 \lt m \lt \frac{1}{4}\ln 5$를 구한 경우	3점
[[2.3] (10점)]	• 대칭성에 의해 교점 좌표가 $a = -c$임을 확인하고 적분식 $S = \int_{-c}^c \frac{5^x}{1+5^x}dx$를 세운 경우	3점
[[2.3] (10점)]	• 치환적분법을 적용하여 적분값이 $c$가 됨을 구하고, $S = 2 \implies c = 2$를 도출한 경우	4점
[[2.3] (10점)]	• 점 $(2, 2m)$을 대입하여 $f(2) = 2m \implies m = \frac{3}{13}$을 정확히 계산한 경우	3점

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2025학년도 모의 자연계열 / 문제 2에서는 제시문 조건(지수함수의 원점 대칭성 · 도함수와 실근의 개수 · 치환적분과 대칭 도형의 넓이)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅰ 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 원과 좌표평면 · 코사인법칙과 거리 제곱합 · 삼각부등식과 특수각 판별 ⏱️ 권장 시간: 33분

[그림] 원 위의 점 $P$와 삼각형 $PAB$

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

아래 그림과 같이 중심이 점 $B\left(\frac{4}{3}, 0\right)$이고 반지름의 길이가 $1$인 원 위에 있는 제1사분면의 한 점을 $P$라고 하자. $0 \lt t \lt \frac{4}{3}$에 대하여 $x$축 위의 한 점을 $A\left(\frac{4}{3}-t, 0\right)$라 하고, $\theta = \angle ABP$라고 하자. (단, $0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$)

3.1 $\overline{AP}^2$과 $\overline{OP}^2$을 $t$와 $\theta$를 이용하여 나타내시오. (10점)

3.2 삼각형 $PAB$에 대하여 세 변의 길이의 제곱의 합을 $l_1$, $l_2 = \overline{OP}^2 + \frac{7}{9}$이라고 할 때, 모든 점 $A$에 대하여 $l_1 \gt l_2$가 되기 위한 $\cos\theta$의 범위를 구하시오. (10점)

3.3 $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}$ 중에서 문항 [3.2]의 조건을 만족하는 것을 모두 구하시오. (10점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

【유사 연습 문제】 다항함수 $f(x) = x^3 + 2x - 5$에 대하여 닫힌구간 $[1, 2]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c$의 값을 구하시오.

【문항 요약】 2025학년도 모의 자연계열 / 문제 3 [배점 30점]

2025학년도 모의 자연계열 / 문제 3 (수학 · 수학Ⅰ) — 원과 좌표평면 · 코사인법칙과 거리 제곱합 · 삼각부등식과 특수각 판별의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 18 · 총 30점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[그림] 원 위의 점 $P$와 $\triangle PAB$

[3.1] 코사인법칙을 이용한 $\overline{AP}^2, \overline{OP}^2$ 표현

점 $B\left(\frac{4}{3}, 0\right)$, $A\left(\frac{4}{3}-t, 0\right)$에서 $\overline{AB} = t$, $\overline{BP} = 1$, $\angle ABP = \theta$이다.
$\triangle PAB$에서 코사인법칙에 의해 $$\mathbf{\overline{AP}^2 = t^2 + 1 - 2t\cos\theta}$$ 점 $O(0, 0)$에 대하여 $\overline{OB} = \frac{4}{3}$이므로 $\triangle POB$에서 코사인법칙에 의해 $$\begin{aligned} \mathbf{\overline{OP}^2} &= \left(\frac{4}{3}\right)^2 + 1^2 - 2\left(\frac{4}{3}\right)(1)\cos\theta \\ &= \mathbf{\frac{25}{9} - \frac{8}{3}\cos\theta} \end{aligned}$$

[3.2] 모든 점 $A$에 대한 $l_1 \gt l_2$ 성립 조건과 $\cos\theta$ 범위

$l_1 = \overline{PA}^2 + \overline{AB}^2 + \overline{BP}^2 = 2t^2 - 2t\cos\theta + 2$, $l_2 = \overline{OP}^2 + \frac{7}{9} = \frac{32}{9} - \frac{8}{3}\cos\theta$이다.
모든 $0 \lt t \lt \frac{4}{3}$에 대하여 $l_1 \gt l_2 \iff g(t) = t^2 - t\cos\theta + \frac{4}{3}\cos\theta - \frac{7}{9} \gt 0$이어야 한다.
꼭짓점 $t = \frac{1}{2}\cos\theta \in \left(0, \frac{1}{2}\right) \subset \left(0, \frac{4}{3}\right)$이므로 최솟값 $g\left(\frac{1}{2}\cos\theta\right) \gt 0$이어야 한다. $$\begin{aligned} -\frac{1}{4}\cos^2\theta + \frac{4}{3}\cos\theta - \frac{7}{9} \gt 0 &\iff \cos^2\theta - \frac{16}{3}\cos\theta + \frac{28}{9} \lt 0 \\ &\iff \left(\cos\theta - \frac{2}{3}\right)\left(\cos\theta - \frac{14}{3}\right) \lt 0 \end{aligned}$$ $0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$에서 $\cos\theta \lt 1$이므로 구하는 범위는 $\mathbf{\frac{2}{3} \lt \cos\theta \lt 1}$이다.

[3.3] 주어진 특수각 판별

각 각에 대하여 $\cos\theta$의 값을 비교하면: - $\theta = \frac{\pi}{6}$: $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \gt \frac{2}{3} \approx 0.667$ (만족) - $\theta = \frac{\pi}{4}$: $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \gt \frac{2}{3} \approx 0.667$ (만족) - $\theta = \frac{\pi}{3}$: $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} = 0.5 \lt \frac{2}{3} \approx 0.667$ (불만족)
따라서 조건을 만족하는 $\theta$는 $\mathbf{\frac{\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{4}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[3.1] (10점)]	• $\triangle PAB$에서 코사인법칙을 적용하여 $\overline{AP}^2 = t^2 + 1 - 2t\cos\theta$를 올바르게 구한 경우	5점
[[3.1] (10점)]	• $\triangle POB$에서 코사인법칙을 적용하여 $\overline{OP}^2 = \frac{25}{9} - \frac{8}{3}\cos\theta$를 정확히 도출한 경우	5점
[[3.2] (10점)]	• $l_1$과 $l_2$의 식을 정리하여 $t$에 대한 2차 부등식 $t^2 - t\cos\theta + \frac{4}{3}\cos\theta - \frac{7}{9} \gt 0$을 구성한 경우	3점
[[3.2] (10점)]	• 꼭짓점의 위치 $t = \frac{1}{2}\cos\theta \in \left(0, \frac{4}{3}\right)$을 확인하고 꼭짓점 최솟값 조건을 세운 경우	4점
[[3.2] (10점)]	• $\cos\theta$에 대한 2차 부등식을 풀어 $\cos\theta \lt 1$과 함께 $\frac{2}{3} \lt \cos\theta \lt 1$을 구한 경우	3점
[[3.3] (10점)]	• $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}$에 대한 $\cos\theta$의 삼각비 값을 정확히 제시한 경우	3점
[[3.3] (10점)]	• $\frac{2}{3}$과의 대소 비교(또는 제곱값 $\frac{4}{9}$과의 비교)를 올바르게 수행한 경우	4점
[[3.3] (10점)]	• 조건을 만족하는 각 $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}$를 최종 정답으로 모두 기재한 경우	3점

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2025학년도 모의 자연계열 / 문제 3에서는 제시문 조건(원과 좌표평면 · 코사인법칙과 거리 제곱합 · 삼각부등식과 특수각 판별)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 이차방정식 근과 계수 · 삼각함수 기본성질 · 사차함수 미분과 극값 · 지수함수 정적분과 부피 ⏱️ 권장 시간: 34분

다음 물음에 답하시오.

1.1 이차함수 $f(x) = kx^2 - (k+4)x + k + 2$에 대하여, $y = f(x)$의 그래프와 $x$축과의 교점이 $(\sin\theta, 0)$, $(\cos\theta, 0)$이다. 이때 모든 $\theta$값들의 합을 구하시오. (단, $0 \lt \theta \lt 2\pi$, $k$는 상수) (12점)

1.2 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$가 다음 두 조건을 만족할 때, $f(x)$를 구하시오. (10점)

(가) $f'(-x) = -f'(x)$이다.
(나) $f(x)$는 $x = 2$에서 극솟값 $-13$을 갖는다.

1.3 높이가 $1$인 입체도형이 있다. 밑면으로부터의 높이가 $x$ ($0 \le x \le 1$)인 지점에서 밑면과 평행한 평면으로 자른 단면이 가로의 길이가 $2^x$이고 세로의 길이가 $x+1$인 직사각형일 때, 이 입체도형의 부피를 구하시오. (12점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

【문항 요약】 2024학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 1 [배점 34점]

2024학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 1 (수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분) — 이차방정식 근과 계수 · 삼각함수 기본성질 · 사차함수 미분과 극값 · 지수함수 정적분과 부피의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 19 · 총 34점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[1.1] $\sin\theta, \cos\theta$는 이차방정식 $f(x) = kx^2 - (k+4)x + k + 2 = 0$의 두 실근이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여: $$\sin\theta + \cos\theta = \frac{k+4}{k}, \quad \sin\theta\cos\theta = \frac{k+2}{k}$$ $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$이므로: $$\begin{aligned} \frac{(k+4)^2}{k^2} &= 1 + \frac{2(k+2)}{k} \implies \frac{k^2+8k+16}{k^2} = \frac{k+2k+4}{k} \\ &\implies k^2 + 8k + 16 = 3k^2 + 4k \end{aligned}$$ 양변에 $k^2$을 곱하여 정리하면: $$\begin{aligned} k^2 + 8k + 16 &= k^2 + 2k(k+2) \\ &\implies k^2 - 2k - 8 = 0 \implies (k-4)(k+2) = 0 \end{aligned}$$ 따라서 $k = 4$ 또는 $k = -2$이다.
① $k = 4$일 때: $f(x) = 4x^2 - 8x + 6 = 4(x-1)^2 + 2 \gt 0$이므로 $x$축과의 교점(실근)이 존재하지 않는다.
② $k = -2$일 때: $f(x) = -2x^2 - 2x = -2x(x+1)$이므로 $y = f(x)$와 $x$축의 교점의 좌표는 $(0,0), (-1,0)$이다.
따라서 $\{\sin\theta, \cos\theta\} = \{0, -1\}$이다. $0 \lt \theta \lt 2\pi$의 범위에서: $$\sin\theta = 0, \; \cos\theta = -1 \implies \theta = \pi$$ $$\sin\theta = -1, \; \cos\theta = 0 \implies \theta = \frac{3\pi}{2}$$ 따라서 구하는 모든 $\theta$값들의 합은: $$\pi + \frac{3\pi}{2} = \mathbf{\frac{5\pi}{2}}$$

[1.2] $f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수이므로 $f'(x)$는 최고차항의 계수가 $4$인 삼차함수이다.
조건 (가) $f'(-x) = -f'(x)$에 의해 $f'(x)$는 원점에 대하여 대칭인 기함수이므로, 짝수차수 항(이차항 및 상수항)의 계수는 $0$이다. 따라서: $$f'(x) = 4x^3 + ax$$ 조건 (나)에 의해 $f(x)$는 $x = 2$에서 극값을 가지므로 $f'(2) = 0$이다: $$f'(2) = 4(2)^3 + 2a = 32 + 2a = 0 \implies a = -16$$ 따라서 $f'(x) = 4x^3 - 16x$이다. 이를 적분하면: $$f(x) = \int (4x^3 - 16x)\,dx = x^4 - 8x^2 + C \quad (\text{단, } C\text{는 적분상수})$$ 다시 조건 (나)에 의해 $f(2) = -13$이므로: $$f(2) = 2^4 - 8(2^2) + C = 16 - 32 + C = -16 + C = -13 \implies C = 3$$ 따라서 구하는 함수는 $\mathbf{f(x) = x^4 - 8x^2 + 3}$이다.

[1.3] 밑면으로부터 높이가 $x$ ($0 \le x \le 1$)인 지점에서의 단면은 가로 $2^x$, 세로 $x+1$인 직사각형이므로 단면의 넓이 $S(x)$는 $(x+1)2^x$이다.
따라서 입체도형의 부피 $V$는 부분적분법에 의해: $$\begin{aligned} V &= \int_0^1 (x+1)2^x\,dx = \left[ (x+1)\frac{2^x}{\ln 2} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{2^x}{\ln 2}\,dx \\ &= \frac{3}{\ln 2} - \left[ \frac{2^x}{(\ln 2)^2} \right]_0^1 = \frac{3}{\ln 2} - \frac{1}{(\ln 2)^2} = \mathbf{\frac{3\ln 2 - 1}{(\ln 2)^2}} \end{aligned}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 34점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1.1]	$\sin\theta, \cos\theta$는 이차방정식 $f(x)=0$의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의해 $\sin\theta+\cos\theta = \frac{k+4}{k}, \sin\theta\cos\theta = \frac{k+2}{k}$를 도출하고, $(\sin\theta+\cos\theta)^2 = 1+2\sin\theta\cos\theta$를 이용하여 $\frac{(k+4)^2}{k^2} = 1+\frac{2(k+2)}{k} \implies (k-4)(k+2)=0$을 올바르게 구한 경우	6점
[1.1]	$k=4$일 때 $f(x) \gt 0$으로 실근이 존재하지 않음을 확인하고, $k=-2$일 때 교점의 좌표 $(0,0), (-1,0)$으로부터 $\sin\theta=0, \cos\theta=-1 \implies \theta=\pi$, $\sin\theta=-1, \cos\theta=0 \implies \theta=\frac{3\pi}{2}$를 각각 구하여 모든 $\theta$값들의 합 $\frac{5\pi}{2}$를 정확히 구한 경우	6점
[1.2]	$f(x)$가 최고차항 계수 $1$인 사차함수이고 조건 (가) $f'(-x)=-f'(x)$에 의해 $f'(x)$가 기함수임을 파악하여 $f'(x) = 4x^3+ax$로 올바르게 설정한 경우	6점
[1.2]	조건 (나)에 의해 $f'(2)=32+2a=0 \implies a=-16$을 구하여 $f'(x)=4x^3-16x$를 얻고, 이를 적분하여 $f(x)=x^4-8x^2+C$를 세운 후 $f(2)=-16+C=-13 \implies C=3$을 도출하여 $f(x)=x^4-8x^2+3$을 완벽히 구한 경우	4점
[1.3]	단면의 넓이 $S(x)=(x+1)2^x$를 세우고 부피 정적분 식 $V = \int_0^1 (x+1)2^x\,dx$에 부분적분법을 적용하여 $\left[(x+1)\frac{2^x}{\ln 2}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{2^x}{\ln 2}\,dx$의 형태로 올바르게 전개한 경우	3점
[1.3]	부정적분 $\int \frac{2^x}{\ln 2}\,dx = \frac{2^x}{(\ln 2)^2}$를 계산하여 $\left[\frac{3}{\ln 2} - \frac{1}{(\ln 2)^2}\right]$ 과정을 거쳐 최종 부피 $\frac{3\ln 2 - 1}{(\ln 2)^2}$을 정확히 계산한 경우	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2024학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 1에서는 제시문 조건(이차방정식 근과 계수 · 삼각함수 기본성질 · 사차함수 미분과 극값 · 지수함수 정적분과 부피)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 무리함수와 대칭이동 최단거리 · 접선의 방정식 · 삼각함수와 코사인법칙 ⏱️ 권장 시간: 33분

[그림] 곡선 $y=\sqrt{x}$와 세 점 $A, B, P$

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 곡선 $y = \sqrt{x}$ 위에 서로 다른 두 점 $A(t, \sqrt{t})$, $B(9t, 3\sqrt{t})$가 있다.
(나) $x$축 위의 점 $P$는 삼각형 $APB$의 둘레의 길이를 최소로 하는 위치에 있다.

2.1 점 $P$의 $x$좌표를 $t$에 대한 식으로 나타내시오. (8점)

2.2 곡선 $y = \sqrt{x}$ 위의 두 점 $A, B$에서의 접선을 각각 $l_1, l_2$라 하자. $l_1$과 $l_2$의 교점을 점 $Q$라 할 때, $\tan(\angle\mathrm{PQO})$를 $t$에 대한 식으로 나타내시오. (단, $O$는 원점) (12점)

2.3 $\angle\mathrm{APB}$를 $\theta$라 하자. $\cos\theta + \frac{1}{\cos\theta} = -\frac{10}{3}$일 때, $t$의 값을 구하시오. (13점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

【문항 요약】 2024학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 2 [배점 33점]

2024학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 2 (수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분) — 무리함수와 대칭이동 최단거리 · 접선의 방정식 · 삼각함수와 코사인법칙의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 20 · 총 33점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[2.1] 점 $A(t, \sqrt{t})$를 $x$축에 대하여 대칭이동하여 얻은 점을 $A'(t, -\sqrt{t})$라 하자.
$x$축 위의 임의의 점 $P$에 대하여 $\overline{AP} = \overline{A'P}$이므로 삼각형 $APB$의 둘레의 길이는: $$\begin{aligned} \overline{AP} + \overline{PB} + \overline{AB} &= \overline{A'P} + \overline{PB} + \overline{AB} \\ &\ge \overline{A'B} + \overline{AB} \end{aligned}$$ 등호는 점 $P$가 선분 $A'B$와 $x$축의 교점일 때 성립하므로, 둘레가 최소가 되는 점 $P$의 $x$좌표는 두 점 $A'(t, -\sqrt{t})$와 $B(9t, 3\sqrt{t})$를 지나는 직선의 $x$절편이다.
직선 $A'B$의 기울기는 $\frac{3\sqrt{t} - (-\sqrt{t})}{9t - t} = \frac{4\sqrt{t}}{8t} = \frac{1}{2\sqrt{t}}$이므로 직선의 방정식은: $$\begin{aligned} y &= \frac{1}{2\sqrt{t}}(x - t) - \sqrt{t} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{t}}x - \frac{3\sqrt{t}}{2} \end{aligned}$$ $y=0$을 대입하면 $\frac{1}{2\sqrt{t}}x = \frac{3\sqrt{t}}{2} \implies x = 3t$. 따라서 점 $P$의 $x$좌표는 $\mathbf{3t}$이다.

[2.2] $f(x) = \sqrt{x}$라 놓으면 $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$이다.
① 점 $A(t, \sqrt{t})$에서의 접선 $l_1$의 방정식: $y - \sqrt{t} = \frac{1}{2\sqrt{t}}(x - t) \implies y = \frac{1}{2\sqrt{t}}x + \frac{\sqrt{t}}{2}$
② 점 $B(9t, 3\sqrt{t})$에서의 접선 $l_2$의 방정식: $y - 3\sqrt{t} = \frac{1}{2\sqrt{9t}}(x - 9t) = \frac{1}{6\sqrt{t}}(x - 9t) \implies y = \frac{1}{6\sqrt{t}}x + \frac{3\sqrt{t}}{2}$
두 접선의 방정식을 연립하면: $$\begin{aligned} \left(\frac{1}{2\sqrt{t}} - \frac{1}{6\sqrt{t}}\right)x &= \frac{3\sqrt{t}}{2} - \frac{\sqrt{t}}{2} \\ &\implies \frac{1}{3\sqrt{t}}x = \sqrt{t} \implies x = 3t \end{aligned}$$ 이때 $y = \frac{1}{2\sqrt{t}}(3t) + \frac{\sqrt{t}}{2} = 2\sqrt{t}$이므로 두 접선의 교점 $Q$의 좌표는 $(3t, 2\sqrt{t})$이다.
점 $P(3t, 0)$과 점 $Q(3t, 2\sqrt{t})$의 $x$좌표가 $3t$로 일치하므로 선분 $PQ$는 $x$축에 수직이다. 따라서 삼각형 $PQO$는 $\angle\mathrm{OPQ} = 90^\circ$인 직각삼각형이다.
선분의 길이는 $\overline{OP} = 3t$, $\overline{PQ} = 2\sqrt{t}$이므로: $$\begin{aligned} \tan(\angle\mathrm{PQO}) &= \frac{\overline{OP}}{\overline{PQ}} = \frac{3t}{2\sqrt{t}} = \mathbf{\frac{3\sqrt{t}}{2}} \end{aligned}$$

[2.3] $\cos\theta + \frac{1}{\cos\theta} = -\frac{10}{3}$의 양변에 $3\cos\theta$를 곱하면: $$3\cos^2\theta + 10\cos\theta + 3 = (3\cos\theta + 1)(\cos\theta + 3) = 0$$ $-1 \le \cos\theta \le 1$이므로 $\cos\theta = -\frac{1}{3}$이다.
삼각형 $APB$의 세 꼭짓점 $A(t, \sqrt{t}), B(9t, 3\sqrt{t}), P(3t, 0)$에 대하여 세 변의 길이를 구하면: $$\overline{AP} = \sqrt{(3t - t)^2 + (0 - \sqrt{t})^2} = \sqrt{4t^2 + t} = \sqrt{t(4t+1)}$$ $$\overline{BP} = \sqrt{(9t - 3t)^2 + (3\sqrt{t} - 0)^2} = \sqrt{36t^2 + 9t} = 3\sqrt{t(4t+1)}$$ $$\overline{AB} = \sqrt{(9t - t)^2 + (3\sqrt{t} - \sqrt{t})^2} = \sqrt{64t^2 + 4t} = 2\sqrt{t(16t+1)}$$ 삼각형 $APB$에서 코사인법칙에 의하여: $$\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\overline{AP}^2 + \overline{BP}^2 - \overline{AB}^2}{2\cdot\overline{AP}\cdot\overline{BP}} = \frac{(4t^2+t) + (36t^2+9t) - (64t^2+4t)}{6t(4t+1)} \\ &= \frac{6t - 24t^2}{6t(4t+1)} = \mathbf{\frac{1 - 4t}{1 + 4t}} \end{aligned}$$ 따라서 $\frac{1 - 4t}{1 + 4t} = -\frac{1}{3} \implies 3(1 - 4t) = -(1 + 4t) \implies 3 - 12t = -1 - 4t \implies 8t = 4 \implies \mathbf{t = \frac{1}{2}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 33점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2.1]	대칭점 $A'(t, -\sqrt{t})$를 도입하여 삼각형 둘레가 최소가 되는 점 $P$가 직선 $A'B$와 $x$축의 교점임을 설명하고, 직선의 방정식 $y = \frac{1}{2\sqrt{t}}x - \frac{3\sqrt{t}}{2}$를 올바르게 구한 경우	4점
[2.1]	직선의 방정식에 $y=0$을 대입하여 점 $P$의 $x$좌표 $3t$를 정확히 구한 경우	4점
[2.2]	무리함수의 도함수 $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$를 이용하여 두 접선 $l_1, l_2$의 방정식을 구하고 연립하여 교점 $Q$의 좌표 $(3t, 2\sqrt{t})$를 정확히 도출한 경우	4점
[2.2]	삼각형 $PQO$가 $\angle\mathrm{OPQ} = 90^\circ$인 직각삼각형임을 확인하고 $\tan(\angle\mathrm{PQO}) = \frac{\overline{OP}}{\overline{PQ}} = \frac{3t}{2\sqrt{t}} = \frac{3\sqrt{t}}{2}$를 올바르게 도출한 경우	8점
[2.3]	$\cos\theta + \frac{1}{\cos\theta} = -\frac{10}{3}$의 이차방정식을 풀어 $-1 \le \cos\theta \le 1$로부터 $\cos\theta = -\frac{1}{3}$을 올바르게 구하고 세 변의 길이 $\overline{AP}, \overline{BP}, \overline{AB}$를 $t$에 대한 식으로 표현한 경우	8점
[2.3]	코사인법칙 $\cos\theta = \frac{\overline{AP}^2+\overline{BP}^2-\overline{AB}^2}{2\overline{AP}\cdot\overline{BP}} = \frac{1-4t}{1+4t}$를 세우고 $\frac{1-4t}{1+4t} = -\frac{1}{3}$의 일차방정식을 풀어 $t = \frac{1}{2}$을 정확히 구한 경우	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2024학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 2에서는 제시문 조건(무리함수와 대칭이동 최단거리 · 접선의 방정식 · 삼각함수와 코사인법칙)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 매개변수 함수와 동심원 교점 · 속력과 정적분 이동거리 · 삼각함수 적분과 무한등비급수 ⏱️ 권장 시간: 33분

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 중심이 원점 $O(0,0)$이고 반지름의 길이가 $3, 9, 27, \dots, 3^n, \dots$인 원이 좌표평면 위에 있다. (단, $n$은 자연수)
(나) 좌표평면 위를 시각 $t=0$에서 $t=\pi$까지 점 $P$가 움직인다. 이 점 $P$의 위치 $(x, y)$는 $x = e^{2t}\cos t, y = e^{2t}\sin t$이다.
(다) 점 $P$가 움직이는 동안 만난 원의 개수를 $N$이라 하자.
(라) 필요할 경우, $1.09 \lt \ln 3 \lt 1.10$을 이용한다.

3.1 $N$을 구하시오. (10점)

3.2 점 $P$가 반지름의 길이가 $3^N$인 원을 만날 때까지, 점 $P$가 움직인 거리를 구하시오. (13점)

3.3 급수 $\sum_{k=N}^{\infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} \int_{k-1}^k \pi\sin(\pi x)\,dx$의 합을 구하시오. (10점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

【문항 요약】 2024학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 3 [배점 33점]

2024학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 3 (수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분) — 매개변수 함수와 동심원 교점 · 속력과 정적분 이동거리 · 삼각함수 적분과 무한등비급수의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 21 · 총 33점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[3.1] 시각 $t$에서 점 $P(e^{2t}\cos t, e^{2t}\sin t)$와 원점 사이의 거리는: $$\overline{OP} = \sqrt{(e^{2t}\cos t)^2 + (e^{2t}\sin t)^2} = \sqrt{e^{4t}(\cos^2 t + \sin^2 t)} = e^{2t}$$ $t=0$에서 $t=\pi$까지 점 $P$가 움직이므로, 원점과의 거리 $\overline{OP}$는 $e^0 = 1$에서 $e^{2\pi}$까지 단조증가한다.
중심이 원점이고 반지름이 $3^n$ ($n$은 자연수)인 동심원과 만나기 위해서는 $1 \le 3^n \le e^{2\pi}$이어야 하므로, 만난 원의 개수 $N$은 $3^N \le e^{2\pi}$를 만족하는 최대 자연수이다.
양변에 자연로그를 취하면 $N\ln 3 \le 2\pi \implies N \le \frac{2\pi}{\ln 3}$이다.
주어진 조건 $1.09 \lt \ln 3 \lt 1.10$ 및 $\pi \approx 3.14159$에 대하여: $$\frac{2\pi}{1.10} \lt \frac{2\pi}{\ln 3} \lt \frac{2\pi}{1.09}$$ 여기서 $\frac{2\pi}{1.10} \gt \frac{6.28}{1.10} \approx 5.709 \gt 5$, $\frac{2\pi}{1.09} \lt \frac{6.29}{1.09} \approx 5.771 \lt 6$이므로: $$5 \lt \frac{2\pi}{\ln 3} \lt 6$$ 따라서 부등식을 만족하는 최대 자연수 $N$의 값은 $\mathbf{N = 5}$이다.

[3.2] $N = 5$이므로 점 $P$가 마지막으로 만난 원의 반지름의 길이는 $3^5 = 243$이다.
이때의 시각을 $t_1$이라 하면 $e^{2t_1} = 3^5 \implies 2t_1 = 5\ln 3 \implies t_1 = \frac{5\ln 3}{2}$이다.
매개변수로 주어진 점 $P(x(t), y(t))$의 도함수를 구하면: $$\frac{dx}{dt} = 2e^{2t}\cos t - e^{2t}\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 2e^{2t}\sin t + e^{2t}\cos t$$ 속력은: $$\begin{aligned} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} &= \sqrt{\{(2\cos t - \sin t)^2 + (2\sin t + \cos t)^2\}e^{4t}} \\ &= \sqrt{5(\cos^2 t + \sin^2 t)e^{4t}} = \mathbf{\sqrt{5}e^{2t}} \end{aligned}$$ 따라서 $t=0$부터 $t=\frac{5\ln 3}{2}$까지 점 $P$가 움직인 거리 $s$는: $$\begin{aligned} s &= \int_0^{\frac{5\ln 3}{2}} \sqrt{5}e^{2t}\,dt = \left[ \frac{\sqrt{5}}{2}e^{2t} \right]_0^{\frac{5\ln 3}{2}} \\ &= \frac{\sqrt{5}}{2}\left( e^{5\ln 3} - e^0 \right) = \frac{\sqrt{5}}{2}(243 - 1) = \mathbf{121\sqrt{5}} \end{aligned}$$

[3.3] 정적분을 계산하면: $$\begin{aligned} \int_{k-1}^k \pi\sin(\pi x)\,dx &= [-\cos(\pi x)]_{k-1}^k = -\cos(k\pi) + \cos((k-1)\pi) \\ &= -(-1)^k + (-1)^{k-1} = 2(-1)^{k-1} \end{aligned}$$ $N = 5$이므로 주어진 급수에 대입하면: $$\begin{aligned} \sum_{k=5}^{\infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} \int_{k-1}^k \pi\sin(\pi x)\,dx &= \sum_{k=5}^{\infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} \cdot 2(-1)^{k-1} \\ &= 2 \sum_{k=5}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} = \sum_{k=5}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{k-2} \end{aligned}$$ 이 급수는 첫째항이 $\left(\frac{1}{2}\right)^{5-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$이고 공비가 $\frac{1}{2}$인 무한등비급수이므로: $$\begin{aligned} \sum_{k=5}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{k-2} &= \frac{\frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}} = \mathbf{\frac{1}{4}} \end{aligned}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 33점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3.1]	원점과 점 $P$ 사이의 거리 $\overline{OP} = e^{2t}$를 구하고 $t=\pi$일 때의 거리 $e^{2\pi}$가 동심원 반지름 $3^N$ 이상이 되는 조건 $3^N \le e^{2\pi}$를 수식화한 경우	5점
[3.1]	$N \le \frac{2\pi}{\ln 3}$과 주어진 조건 $1.09 \lt \ln 3 \lt 1.10$을 활용하여 $5 \lt \frac{2\pi}{\ln 3} \lt 6$임을 증명하고 최대 자연수 $N = 5$를 정확히 구한 경우	5점
[3.2]	점 $P$가 마지막 동심원(반지름 $3^5$)과 만나는 시각 $e^{2t} = 3^5 \implies t = \frac{5\ln 3}{2}$을 올바르게 구한 경우	4점
[3.2]	속력 $\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} = \sqrt{5}e^{2t}$를 도출하고 정적분 $\int_0^{\frac{5\ln 3}{2}} \sqrt{5}e^{2t}\,dt = \frac{\sqrt{5}}{2}(243-1) = 121\sqrt{5}$를 정확히 계산한 경우	9점
[3.3]	정적분 $\int_{k-1}^k \pi\sin(\pi x)\,dx = 2(-1)^{k-1}$을 올바르게 계산하여 급수의 일반항 $\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} \cdot 2(-1)^{k-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{k-2}$를 정확히 유도한 경우	5점
[3.3]	$N = 5$를 대입하여 첫째항 $\frac{1}{8}$, 공비 $\frac{1}{2}$인 무한등비급수의 합 공식 $\frac{\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}$을 완벽히 계산한 경우	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2024학년도 기출 (오전) 자연계열 / 문제 3에서는 제시문 조건(매개변수 함수와 동심원 교점 · 속력과 정적분 이동거리 · 삼각함수 적분과 무한등비급수)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅰ · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 도형의 이동과 공통접선 · 지수함수 역함수 교점 · 삼각함수 치환 미분과 최솟값 ⏱️ 권장 시간: 34분

다음 물음에 답하시오.

1.1 함수 $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + x + 3$에 대하여 $y = f(x)$의 그래프와 이를 $x$축에 대하여 대칭이동한 후 $x$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 $y = g(x)$의 그래프가 있다. 이 두 그래프와 동시에 접하는 직선의 방정식을 모두 구하시오. (12점)

1.2 함수 $f(x) = a^x + b$ ($a \gt 0$)에 대하여 $y = f(x)$의 그래프와 그 역함수의 그래프가 두 점에서 만난다. 이 두 점의 $x$좌표가 각각 $1, 2$일 때, $a - b$의 값을 구하시오. (10점)

1.3 함수 $f(\theta) = \frac{2 + \tan^2\theta}{2 - \tan\theta}$의 최솟값을 구하시오. (단, $-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$) (12점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $a_k/2 = 3^{k-1}$이므로 $\sum_{k=1}^n (k-1) = \frac{(n-1)n}{2} = 45 \implies (n-1)n = 90$에서 $\mathbf{n = 10}$이다.

【문항 요약】 2024학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 1 [배점 34점]

2024학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 1 (수학 · 수학Ⅰ · 미적분) — 도형의 이동과 공통접선 · 지수함수 역함수 교점 · 삼각함수 치환 미분과 최솟값의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 22 · 총 34점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[1.1] $y = f(x) = \frac{1}{4}x^2 + x + 3$의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭이동하면 $y = -f(x)$이고, 이를 다시 $x$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 그래프 $y = g(x)$의 식은: $$\begin{aligned} g(x) &= -\left\{ \frac{1}{4}(x-2)^2 + (x-2) + 3 \right\} \\ &= -\left( \frac{1}{4}x^2 - x + 1 + x - 2 + 3 \right) = -\frac{1}{4}x^2 - 2 \end{aligned}$$ 두 포물선에 동시에 접하는 직선을 $y = ax + b$라 하자.
① $y = ax + b$와 $y = f(x)$를 연립하면 $\frac{1}{4}x^2 + (1-a)x + (3-b) = 0$이고, 접하므로 판별식 $D_1 = 0$이어야 한다: $$\begin{aligned} D_1 &= (1-a)^2 - 4\cdot\frac{1}{4}\cdot(3-b) \\ &= a^2 - 2a + 1 - 3 + b = a^2 - 2a - 2 + b = 0 \quad \cdots\text{ ㉠} \end{aligned}$$ ② $y = ax + b$와 $y = g(x)$를 연립하면 $-\frac{1}{4}x^2 - ax - 2 - b = 0$이고, 접하므로 판별식 $D_2 = 0$이어야 한다: $$\begin{aligned} D_2 &= (-a)^2 - 4\left(-\frac{1}{4}\right)(-2-b) \\ &= a^2 - (2+b) = a^2 - 2 - b = 0 \quad \cdots\text{ ㉡} \end{aligned}$$ ㉠과 ㉡을 더하면 $2a^2 - 2a - 4 = 0 \implies a^2 - a - 2 = (a+1)(a-2) = 0$이므로 $a = -1$ 또는 $a = 2$이다.
㉡에서 $b = a^2 - 2$이므로 $a = -1$일 때 $b = -1$, $a = 2$일 때 $b = 2$이다.
따라서 구하는 공통접선의 방정식은 $\mathbf{y = -x - 1}$ 또는 $\mathbf{y = 2x + 2}$이다.

[1.2] $f(x) = a^x + b$ ($a \gt 0$)의 그래프와 그 역함수 $y = f^{-1}(x)$의 그래프가 만나는 두 점의 $x$좌표가 각각 $1, 2$이다.
만약 $0 \lt a \lt 1$이면 $f(x)$는 감소함수이므로 교점은 직선 $y = -x + k$ 위에 대칭으로 존재하여 교점이 $(1, 2), (2, 1)$이어야 한다. 즉 $f(1) = a + b = 2, f(2) = a^2 + b = 1$이 되어 연립하면 $a^2 - a + 1 = 0$이 되나, 판별식 $D = 1 - 4 = -3 \lt 0$이므로 이를 만족하는 실수 $a$는 존재하지 않는다.
따라서 $a \gt 1$이며, $f(x)$는 증가함수이므로 교점은 반드시 직선 $y = x$ 위에 존재한다. 즉 교점의 좌표는 $(1, 1), (2, 2)$이다.
따라서 $f(1) = a + b = 1$, $f(2) = a^2 + b = 2$가 성립한다. 두 식을 빼면: $$a^2 - a = 1 \implies a^2 - a - 1 = 0 \implies a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ $a \gt 0$이므로 $a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$이고, $b = 1 - a = 1 - \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$이다.
따라서 구하는 값은 $a - b = \frac{1+\sqrt{5}}{2} - \frac{1-\sqrt{5}}{2} = \mathbf{\sqrt{5}}$이다.

[1.3] $\tan\theta = x$로 치환하면 $-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$에서 $-1 \le x \le 1$이다.
주어진 함수는 $g(x) = \frac{x^2 + 2}{2 - x}$이고, 몫의 미분법을 적용하면: $$\begin{aligned} g'(x) &= \frac{2x(2-x) - (x^2+2)(-1)}{(2-x)^2} \\ &= \frac{4x - 2x^2 + x^2 + 2}{(2-x)^2} = \frac{-x^2 + 4x + 2}{(2-x)^2} \end{aligned}$$ $g'(x) = 0$에서 $-x^2 + 4x + 2 = 0 \implies x^2 - 4x - 2 = 0 \implies x = 2 \pm \sqrt{6}$이다.
구간 $[-1, 1]$에 속하는 임계점은 $x = 2 - \sqrt{6}$이다. ($\because \sqrt{6} \approx 2.449 \implies 2 - \sqrt{6} \approx -0.449 \in [-1, 1]$)
경계값과 극값을 비교하면: $$g(-1) = \frac{1+2}{2-(-1)} = 1, \quad g(1) = \frac{1+2}{2-1} = 3$$ $$\begin{aligned} g(2-\sqrt{6}) &= \frac{(2-\sqrt{6})^2 + 2}{2 - (2-\sqrt{6})} = \frac{12 - 4\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\ &= \frac{12\sqrt{6} - 24}{6} = \mathbf{2\sqrt{6} - 4} \end{aligned}$$ $2\sqrt{6} - 4 \approx 4.899 - 4 = 0.899 \lt 1$이므로 함수 $f(\theta)$의 최솟값은 $\mathbf{2\sqrt{6} - 4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 34점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1.1]	대칭 및 평행이동을 적용하여 $g(x) = -\frac{1}{4}x^2 - 2$를 정확히 구한 경우	4점
[1.1]	직선 $y = ax + b$와의 연립 이차방정식 판별식 $D_1 = a^2 - 2a - 2 + b = 0$, $D_2 = a^2 - 2 - b = 0$을 세우고 연립하여 $a = -1, b = -1$ 및 $a = 2, b = 2$를 구해 두 공통접선 $y = -x - 1, y = 2x + 2$를 완벽히 도출한 경우	8점
[1.2]	$0 \lt a \lt 1$일 때 실수해가 존재하지 않음을 논증하여 $a \gt 1$임을 보이고, 교점이 직선 $y = x$ 위에 존재함을 밝혀 연립방정식 $a + b = 1, a^2 + b = 2$를 도출한 경우	4점
[1.2]	이차방정식 $a^2 - a - 1 = 0$을 풀어 $a \gt 0$으로부터 $a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, b = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$를 구하고 최종 $a - b = \sqrt{5}$를 정확히 계산한 경우	6점
[1.3]	$\tan\theta = x$ ($-1 \le x \le 1$)로 치환하여 $g(x) = \frac{x^2+2}{2-x}$를 세우고 몫의 미분법으로 $g'(x) = \frac{-x^2+4x+2}{(2-x)^2} = 0$의 해 $x = 2 - \sqrt{6}$을 구한 경우	8점
[1.3]	구간 양 끝값 $g(-1) = 1, g(1) = 3$과 극솟값 $g(2-\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} - 4$를 비교하여 최솟값 $2\sqrt{6} - 4$를 올바르게 결정한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2024학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 1에서는 제시문 조건(도형의 이동과 공통접선 · 지수함수 역함수 교점 · 삼각함수 치환 미분과 최솟값)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅰ 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 조합과 경우의 수 · 격자점 사각형 개수와 넓이 · 수학적 귀납법 증명 ⏱️ 권장 시간: 33분

<그림 1> $n^2$ 등분 격자

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) <그림 1>은 넓이가 $1$인 정사각형을 작은 정사각형 $n^2$개로 등분한 것이다. (단, $n$은 자연수)
(나) <그림 1>에 있는 선분만으로 이루어진 서로 다른 사각형을 찾으려고 한다. <그림 2>와 같이 $n=2$인 경우 모두 $9$개의 서로 다른 사각형을 찾을 수 있다.

<그림 2> $n=2$일 때 만들어지는 9개의 서로 다른 사각형 예시

(다) $n=k$일 때 찾을 수 있는 가장 작은 사각형의 넓이를 $a_k$라 하자.

2.1 $n=9$일 때 찾을 수 있는 서로 다른 사각형의 개수를 구하시오. (9점)

2.2 $n=9$일 때 찾을 수 있는 서로 다른 사각형 중 넓이가 $a_8$보다 큰 사각형의 개수를 구하시오. (9점)

2.3 $m \ge 2$인 모든 자연수 $m$에 대하여 다음 명제 $p(m)$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오. (15점)

$p(m)$: $n=m$일 때 찾을 수 있는 두 번째로 넓이가 큰 사각형의 넓이는 $S_m = \sum_{k=2}^m a_k$보다 항상 크다.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

【문항 요약】 2024학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 2 [배점 33점]

2024학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 2 (수학 · 수학Ⅰ) — 조합과 경우의 수 · 격자점 사각형 개수와 넓이 · 수학적 귀납법 증명의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 23 · 총 33점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[2.1] $n = 9$일 때 넓이가 $1$인 정사각형은 가로 $9$등분, 세로 $9$등분되어 가로 방향의 평행선 $10$개와 세로 방향의 평행선 $10$개로 이루어져 있다.
이 선분들로 만들어지는 직사각형(정사각형 포함)은 가로 평행선 $10$개 중 서로 다른 $2$개를 선택하고, 세로 평행선 $10$개 중 서로 다른 $2$개를 선택하여 결정된다.
따라서 찾을 수 있는 서로 다른 사각형의 총 개수는: $$_{10}\mathrm{C}_2 \times {}_{10}\mathrm{C}_2 = \frac{10 \times 9}{2} \times \frac{10 \times 9}{2} = 45 \times 45 = \mathbf{2025}$$

[2.2] $n = 9$일 때 한 변의 길이가 $\frac{1}{9}$인 가장 작은 정사각형의 넓이는 $a_9 = \frac{1}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{81}$이다.
두 번째로 작은 사각형은 가로 $\frac{1}{9}$, 세로 $\frac{2}{9}$ (또는 가로 $\frac{2}{9}$, 세로 $\frac{1}{9}$)인 직사각형이므로 넓이는 $\frac{1}{9} \times \frac{2}{9} = \frac{2}{81}$이다.
한편 $n = 8$일 때 가장 작은 사각형의 넓이는 $a_8 = \frac{1}{8} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{64}$이다.
두 넓이를 비교하면 $\frac{2}{81} - \frac{1}{64} = \frac{128 - 81}{81 \times 64} = \frac{47}{5184} \gt 0$이므로: $$\frac{2}{81} \gt a_8 = \frac{1}{64} \gt a_9 = \frac{1}{81}$$ 따라서 $n = 9$에서 찾을 수 있는 사각형 중 넓이가 $a_8$ 이하인 사각형은 오직 넓이가 $a_9 = \frac{1}{81}$인 사각형(한 칸짜리 정사각형)뿐이다.
넓이가 $a_9$인 사각형의 개수는 가로 $9$칸, 세로 $9$칸이므로 총 $9 \times 9 = 81$개이다.
따라서 구하는 넓이가 $a_8$보다 큰 사각형의 개수는 문항 [2.1]의 전체 사각형 개수에서 $81$을 뺀: $$2025 - 81 = \mathbf{1944}$$

[2.3] $n = k$일 때 가장 작은 사각형의 넓이는 $a_k = \frac{1}{k^2}$이다. $n = m$일 때 가장 넓이가 큰 사각형은 전체 정사각형(넓이 $1$)이고, 두 번째로 넓이가 큰 사각형은 가로 $1$, 세로 $1 - \frac{1}{m}$ (또는 가로 $1 - \frac{1}{m}$, 세로 $1$)인 사각형이므로 넓이는 $1 - \frac{1}{m}$이다.
따라서 증명하고자 하는 명제 $p(m)$은 다음과 같다: $$\begin{aligned} p(m): 1 - \frac{1}{m} & \gt \sum_{k=2}^m a_k = \sum_{k=2}^m \frac{1}{k^2} \\ &= \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{m^2} \quad (m \ge 2) \end{aligned}$$ 수학적 귀납법으로 증명하자.
(i) $m = 2$일 때: 좌변 $= 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, 우변 $= \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. $\frac{1}{2} \gt \frac{1}{4}$이므로 $p(2)$는 성립한다.
(ii) $m = l$ ($l \ge 2$)일 때 $p(l)$이 성립한다고 가정하면: $$1 - \frac{1}{l} \gt \sum_{k=2}^l \frac{1}{k^2}$$ 양변에 $\frac{1}{(l+1)^2}$을 더하면: $$1 - \frac{1}{l} + \frac{1}{(l+1)^2} \gt \sum_{k=2}^{l+1} \frac{1}{k^2}$$ 여기서 $1 - \frac{1}{l} + \frac{1}{(l+1)^2} = 1 - \frac{(l+1)^2 - l}{l(l+1)^2} = 1 - \frac{l^2 + l + 1}{l(l+1)^2}$이다.
이때 $\frac{l^2 + l + 1}{l(l+1)^2} \gt \frac{l^2 + l}{l(l+1)^2} = \frac{l(l+1)}{l(l+1)^2} = \frac{1}{l+1}$이므로: $$\begin{aligned} 1 - \frac{1}{l+1} & \gt 1 - \frac{l^2 + l + 1}{l(l+1)^2} \\ & \gt \sum_{k=2}^{l+1} \frac{1}{k^2} \end{aligned}$$ 따라서 $m = l+1$일 때도 명제 $p(l+1)$이 성립한다.
(i), (ii)에 의하여 $m \ge 2$인 모든 자연수 $m$에 대하여 명제 $p(m)$이 성립한다. $\blacksquare$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 33점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2.1]	가로 평행선 $10$개 중 $2$개, 세로 평행선 $10$개 중 $2$개를 선택하는 조합 공식 $_{10}\mathrm{C}_2 \times {}_{10}\mathrm{C}_2 = 45 \times 45 = 2025$를 완벽히 도출한 경우	9점
[2.2]	$a_9 = \frac{1}{81}, a_8 = \frac{1}{64}$ 및 두 번째로 작은 사각형의 넓이 $\frac{2}{81}$를 구하고, $\frac{2}{81} \gt \frac{1}{64}$임을 비교하여 $a_8$ 이하인 사각형이 한 칸짜리 정사각형($a_9$)뿐임을 밝힌 경우	3점
[2.2]	한 칸짜리 정사각형의 개수가 $9 \times 9 = 81$개임을 구하고 전체 $2025$개에서 $81$개를 차감하여 $2025 - 81 = 1944$를 정확히 계산한 경우	6점
[2.3]	두 번째로 넓이가 큰 사각형의 넓이가 $1 - \frac{1}{m}$임을 도출하고 증명할 부등식 $1 - \frac{1}{m} \gt \sum_{k=2}^m \frac{1}{k^2}$을 올바르게 설정한 경우	4점
[2.3]	초기값 $m = 2$일 때 $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \gt \frac{1}{4}$로 성립함을 확인한 경우	4점
[2.3]	$m = l$일 때의 귀납 가정을 바탕으로 $1 - \frac{1}{l} + \frac{1}{(l+1)^2} = 1 - \frac{l^2+l+1}{l(l+1)^2} \lt 1 - \frac{1}{l+1}$의 대소 관계를 정확히 증명하여 $m = l+1$에서의 성립을 완벽히 보인 경우	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2024학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 2에서는 제시문 조건(조합과 경우의 수 · 격자점 사각형 개수와 넓이 · 수학적 귀납법 증명)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 지수·삼각함수 부정적분과 부분적분 · 곡선과 직선 둘러싸인 넓이 · 정적분과 급수 극한 ⏱️ 권장 시간: 33분

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

자연수 $n$에 대하여, 곡선 $y = 2e^x\sin x$와 $x$축 및 두 직선 $x = 2n\pi, x = (2n+2)\pi$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $A_n$이라 하자.

3.1 부정적분 $\int 2e^x\sin x\,dx$를 구하시오. (10점)

3.2 $A_n$을 구하시오. (8점)

3.3 극한값 $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^8} \left\{ \ln A_k - 2\ln(1+e^\pi) \right\}^7$을 구하시오. (15점)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

【유사 연습 문제】 다항함수 $f(x) = x^3 + 2x - 5$에 대하여 닫힌구간 $[1, 2]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c$의 값을 구하시오.

【문항 요약】 2024학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 3 [배점 33점]

2024학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 3 (미적분) — 지수·삼각함수 부정적분과 부분적분 · 곡선과 직선 둘러싸인 넓이 · 정적분과 급수 극한의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 24 · 총 33점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[3.1] 부정적분 $I = \int 2e^x\sin x\,dx$에 부분적분법($u = 2\sin x, v' = e^x$)을 적용하면 $I = 2e^x\sin x - \int 2e^x\cos x\,dx$이다.
다시 $\int 2e^x\cos x\,dx$에 부분적분법($u = 2\cos x, v' = e^x$)을 적용하면: $$\int 2e^x\cos x\,dx = 2e^x\cos x - \int 2e^x(-\sin x)\,dx = 2e^x\cos x + I$$ 대입하면 $I = 2e^x\sin x - (2e^x\cos x + I) \implies 2I = 2e^x(\sin x - \cos x) + C_0$
따라서 구하는 부정적분은 $\mathbf{\int 2e^x\sin x\,dx = e^x(\sin x - \cos x) + C} \quad (\text{단, } C\text{는 적분상수})$이다.

[3.2] $e^x \gt 0$이므로 $[2n\pi, (2n+1)\pi]$에서 $2e^x\sin x \ge 0$, $[(2n+1)\pi, (2n+2)\pi]$에서 $2e^x\sin x \le 0$이다.
따라서 곡선과 $x$축 및 두 직선 $x = 2n\pi, x = (2n+2)\pi$로 둘러싸인 도형의 넓이 $A_n$은: $$A_n = \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} 2e^x\sin x\,dx - \int_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi} 2e^x\sin x\,dx$$ 원시함수 $F(x) = e^x(\sin x - \cos x)$를 이용하면: $$\begin{aligned} \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} 2e^x\sin x\,dx &= [e^x(\sin x - \cos x)]_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} = e^{(2n+1)\pi} + e^{2n\pi} \\ \int_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi} 2e^x\sin x\,dx &= [e^x(\sin x - \cos x)]_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi} = -e^{(2n+2)\pi} - e^{(2n+1)\pi} \end{aligned}$$ 따라서 넓이 $A_n$은: $$\begin{aligned} A_n &= (e^{(2n+1)\pi} + e^{2n\pi}) - (-e^{(2n+2)\pi} - e^{(2n+1)\pi}) = e^{2n\pi} + 2e^{(2n+1)\pi} + e^{(2n+2)\pi} \\ &= e^{2n\pi}(1 + 2e^\pi + e^{2\pi}) = \mathbf{e^{2n\pi}(1+e^\pi)^2} \end{aligned}$$

[3.3] $A_k = e^{2k\pi}(1+e^\pi)^2$를 대입하면 $\ln A_k - 2\ln(1+e^\pi) = \ln\left(\frac{A_k}{(1+e^\pi)^2}\right) = \ln(e^{2k\pi}) = 2k\pi$이다.
따라서 구하는 극한값은 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의하여: $$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^8} \left\{ \ln A_k - 2\ln(1+e^\pi) \right\}^7 &= (2\pi)^7 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^7 \frac{1}{n} = (2\pi)^7 \int_0^1 x^7\,dx \\ &= 128\pi^7 \left[ \frac{x^8}{8} \right]_0^1 = \mathbf{16\pi^7} \end{aligned}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 33점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3.1]	부분적분법을 2회 연속 적용하여 $\int 2e^x\sin x\,dx = 2e^x\sin x - (2e^x\cos x + \int 2e^x\sin x\,dx)$ 형태의 방정식을 세운 경우	6점
[3.1]	부정적분 $\int 2e^x\sin x\,dx = e^x(\sin x - \cos x) + C$ (적분상수 포함)를 정확히 구한 경우	4점
[3.2]	구간 $[2n\pi, (2n+1)\pi]$에서 피적분함수가 $\ge 0$, 구간 $[(2n+1)\pi, (2n+2)\pi]$에서 $\le 0$임을 파악하여 넓이 정적분 식 $A_n = \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} 2e^x\sin x\,dx - \int_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi} 2e^x\sin x\,dx$를 올바르게 세운 경우	4점
[3.2]	원시함수를 대입하여 $A_n = (e^{(2n+1)\pi}+e^{2n\pi}) - (-e^{(2n+2)\pi}-e^{(2n+1)\pi}) = e^{2n\pi}(1+e^\pi)^2$을 완벽히 계산한 경우	4점
[3.3]	$\ln A_k - 2\ln(1+e^\pi) = \ln(e^{2k\pi}) = 2k\pi$임을 유도하여 주어진 급수를 $(2\pi)^7 \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^7 \frac{1}{n}$의 형태로 정리한 경우	5점
[3.3]	정적분과 급수의 합 관계를 적용하여 $(2\pi)^7 \int_0^1 x^7\,dx = 128\pi^7 \left[\frac{x^8}{8}\right]_0^1 = 16\pi^7$을 정확히 계산한 경우	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2024학년도 기출 (오후) 자연계열 / 문제 3에서는 제시문 조건(지수·삼각함수 부정적분과 부분적분 · 곡선과 직선 둘러싸인 넓이 · 정적분과 급수 극한)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학 · 수학Ⅰ · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 조건 만족 함수 개수 · 등비급수와 닮음도형 넓이 · 입체도형 단면적과 부피 적분 ⏱️ 권장 시간: 34분

[문제 1] 다음 물음에 답하시오.

[1.1] 두 집합 $X=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $Y=\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$에 대하여 다음 조건을 만족하는 함수 $f: X \to Y$의 개수를 구하시오.

(가) $x$가 홀수일 때 $f(x)$는 소수이다.
(나) $x$가 짝수일 때 $f(x)$는 짝수이다.
(다) $x_1 \lt x_2$이면 $f(x_1) \lt f(x_2)$이다.

<그림> 부채꼴 $\mathrm{P_nOQ_n}$

[1.2] 그림과 같이 반지름의 길이가 $1$이고 중심각이 $\frac{\pi}{4}$인 부채꼴 $\mathrm{P_1OQ_1}$이 있다. 점 $\mathrm{Q_1}$에서 선분 $\mathrm{OP_1}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P_2}$라 하고, 선분 $\mathrm{OQ_1}$ 위에 $\overline{\mathrm{OP_2}} = \overline{\mathrm{OQ_2}}$인 점 $\mathrm{Q_2}$를 택하여 중심각이 $\frac{\pi}{4}$인 부채꼴 $\mathrm{P_2OQ_2}$를 부채꼴 $\mathrm{P_1OQ_1}$의 내부에 그린다. 점 $\mathrm{Q_2}$에서 선분 $\mathrm{OP_2}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P_3}$, 선분 $\mathrm{OQ_2}$ 위에 $\overline{\mathrm{OP_3}} = \overline{\mathrm{OQ_3}}$인 점 $\mathrm{Q_3}$을 택하여 중심각이 $\frac{\pi}{4}$인 부채꼴 $\mathrm{P_3OQ_3}$을 부채꼴 $\mathrm{P_2OQ_2}$의 내부에 그린다. 이와 같은 방법으로 부채꼴을 한없이 그려나간다. 삼각형 $\mathrm{Q_nP_nP_{n+1}}$의 넓이를 $a_n$이라 할 때, 급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$의 합을 구하시오.

[1.3] 높이가 $a^2$인 입체도형이 있다. 이 입체도형의 밑면으로부터 높이가 $x$인 지점에서 밑면에 평행한 평면으로 자른 단면이, 반지름의 길이가 $\sqrt{a^2-x}$인 원일 때, 이 입체도형의 부피를 $V_1$이라 하자. 또 다른 입체도형은, 높이가 $a$이며, 밑면으로부터 높이가 $x$인 지점에서 밑면에 평행한 평면으로 자른 단면이, 반지름의 길이가 $(a-x)^2$인 원일 때, 이 입체도형의 부피를 $V_2$라 하자. $V_1 = V_2$일 때, 양수 $a$를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

【문항 요약】 2024학년도 모의 자연계열 / 문제 1 [배점 30점]

2024학년도 모의 자연계열 / 문제 1 (수학 · 수학Ⅰ · 미적분) — 조건 만족 함수 개수 · 등비급수와 닮음도형 넓이 · 입체도형 단면적과 부피 적분의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 25 · 총 30점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[1.1] $1$은 홀수이므로 조건 (가)에 의해 $f(1) \in \{2, 3, 5, 7\}$ 중 하나이다.
① $f(1) = 2$인 경우: 조건 (나), (다)에 의해 $f(2)=4, f(3)=5, f(4)=6, f(5)=7, f(6)=8$로 유일하게 결정된다.
② $f(1) = 3$인 경우: 조건 (나), (다)에 의해 $f(2)=4, f(3)=5, f(4)=6, f(5)=7, f(6)=8$로 유일하게 결정된다.
③ $f(1) = 5$인 경우: $f(3)$은 $5$보다 큰 소수이어야 하므로 $f(3)=7$. 그러나 $f(5)$는 $7$보다 큰 소수이어야 하는데 공역 $Y$에 $7$보다 큰 소수가 존재하지 않으므로 조건을 만족하는 함수가 존재하지 않는다.
④ $f(1) = 7$인 경우: $f(3)$이 $7$보다 큰 소수이어야 하므로 역시 불가능하다.
따라서 조건을 만족하는 함수 $f$의 개수는 $\mathbf{2}$이다.

[1.2] 직각이등변삼각형 $\mathrm{Q_1P_2O}$에서 빗변의 길이가 $\overline{\mathrm{OQ_1}} = 1$이므로: $$\overline{\mathrm{Q_1P_2}} = \overline{\mathrm{OP_2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \overline{\mathrm{P_1P_2}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 삼각형 $\mathrm{Q_1P_1P_2}$의 넓이 $a_1$은: $$a_1 = \frac{1}{2} \cdot \overline{\mathrm{P_1P_2}} \cdot \overline{\mathrm{Q_1P_2}} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{4}$$ 모든 자연수 $n$에 대하여 $\triangle\mathrm{Q_nP_{n+1}O}$는 직각이등변삼각형이므로 $\overline{\mathrm{OP_{n+1}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\overline{\mathrm{OP_n}}$이고 $\overline{\mathrm{Q_{n+1}P_{n+2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\overline{\mathrm{Q_nP_{n+1}}}$이다.
따라서 수열 $\{a_n\}$은 첫째항이 $\frac{\sqrt{2}-1}{4}$이고 공비가 $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$인 등비수열이므로: $$\sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{\frac{\sqrt{2}-1}{4}}{1 - \frac{1}{2}} = \mathbf{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$$

[1.3] 첫 번째 입체도형의 단면적 $S_1(x) = \pi(\sqrt{a^2-x})^2 = \pi(a^2-x)$이므로 부피 $V_1$은: $$V_1 = \int_0^{a^2} \pi(a^2-x)\,dx = \pi \left[ a^2x - \frac{x^2}{2} \right]_0^{a^2} = \frac{1}{2}\pi a^4$$ 두 번째 입체도형의 단면적 $S_2(x) = \pi((a-x)^2)^2 = \pi(a-x)^4$이므로 부피 $V_2$는: $$V_2 = \int_0^a \pi(a-x)^4\,dx = \pi \left[ -\frac{(a-x)^5}{5} \right]_0^a = \frac{1}{5}\pi a^5$$ $V_1 = V_2 \implies \frac{1}{2}\pi a^4 = \frac{1}{5}\pi a^5$이므로 $a \gt 0$에서 양변을 $\pi a^4$으로 나누면 $\mathbf{a = \frac{5}{2}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1.1]	조건 (가)에 의해 $f(1) \in \{2, 3, 5, 7\}$로 경우를 분류한 경우	3점
[1.1]	각 경우별로 조건 (나), (다)를 적용하여 함수의 성립 여부 및 함수값을 정확히 판별한 경우	4점
[1.1]	만족하는 함수의 개수가 $2$개임을 정확히 도출한 경우	3점
[1.2]	직각이등변삼각형 성질을 이용하여 첫째항 $a_1 = \frac{\sqrt{2}-1}{4}$을 구한 경우	4점
[1.2]	도형의 닮음비 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 및 넓이의 공비 $r = \frac{1}{2}$을 올바르게 구한 경우	3점
[1.2]	등비급수 합 공식 $\frac{a_1}{1-r}$을 적용하여 $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$을 정확히 계산한 경우	3점
[1.3]	첫 번째 입체도형의 단면적을 적분하여 부피 $V_1 = \frac{1}{2}\pi a^4$을 올바르게 구한 경우	4점
[1.3]	두 번째 입체도형의 단면적을 적분하여 부피 $V_2 = \frac{1}{5}\pi a^5$을 올바르게 구한 경우	4점
[1.3]	$V_1 = V_2$ 방정식을 세워 양수 $a = \frac{5}{2}$를 정확히 구한 경우	2점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2024학년도 모의 자연계열 / 문제 1에서는 제시문 조건(조건 만족 함수 개수 · 등비급수와 닮음도형 넓이 · 입체도형 단면적과 부피 적분)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학Ⅱ · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 삼차함수 극값과 교점 개수 · 두 곡선 둘러싸인 넓이 정적분 · 몫의 미분법과 최솟값 ⏱️ 권장 시간: 33분

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

양수 $a$에 대하여, 함수 $f(x)$를 다음과 같이 정의한다. $$f(x) = x^3 - 3ax$$

[2.1] 양수 $c$에 대하여 직선 $y=c$와 곡선 $y=f(x)$의 교점의 개수가 $2$개일 때, $c$를 $a$에 관한 식으로 나타내시오.

[2.2] 문항 [2.1]에서 구한 $c$에 대하여, 직선 $y=c$와 곡선 $y=f(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 $a$에 관한 식으로 나타내시오.

[2.3] 문항 [2.2]에서 구한 $S$에 대하여, $3 \le a \le 5$인 범위에서 $\frac{4S}{27(a-2)^2(6-a)}$의 최솟값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

【문항 요약】 2024학년도 모의 자연계열 / 문제 2 [배점 30점]

2024학년도 모의 자연계열 / 문제 2 (수학Ⅱ · 미적분) — 삼차함수 극값과 교점 개수 · 두 곡선 둘러싸인 넓이 정적분 · 몫의 미분법과 최솟값의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 26 · 총 30점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[2.1] $f'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})$이다.
$a \gt 0$이므로 $x=-\sqrt{a}$에서 극댓값 $f(-\sqrt{a}) = 2a\sqrt{a}$, $x=\sqrt{a}$에서 극솟값 $f(\sqrt{a}) = -2a\sqrt{a}$를 갖는다.
직선 $y=c$ ($c \gt 0$)와 곡선 $y=f(x)$가 서로 다른 $2$개의 점에서 만나기 위해서는 직선 $y=c$가 극댓값의 위치에 접해야 하므로 구하는 값은 $\mathbf{c = 2a\sqrt{a}}$이다.

[2.2] 직선 $y=2a\sqrt{a}$와 곡선 $y=f(x)$의 교점의 $x$좌표는: $$x^3 - 3ax - 2a\sqrt{a} = (x+\sqrt{a})^2(x-2\sqrt{a}) = 0 \implies x = -\sqrt{a}, \quad x = 2\sqrt{a}$$ 구간 $[-\sqrt{a}, 2\sqrt{a}]$에서 직선이 곡선보다 항상 위쪽에 위치하므로 둘러싸인 넓이 $S$는: $$\begin{aligned} S &= \int_{-\sqrt{a}}^{2\sqrt{a}} \left(2a\sqrt{a} - (x^3 - 3ax)\right)\,dx = \left[ 2a\sqrt{a}x - \frac{x^4}{4} + \frac{3ax^2}{2} \right]_{-\sqrt{a}}^{2\sqrt{a}} \\ &= \left( 4a^2 - 4a^2 + 6a^2 \right) - \left( -2a^2 - \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{2} \right) = 6a^2 - \left(-\frac{3}{4}a^2\right) = \mathbf{\frac{27}{4}a^2} \end{aligned}$$

[2.3] 구하는 식에 $S = \frac{27}{4}a^2$을 대입하면 $g(a) = \frac{4 \cdot \frac{27}{4}a^2}{27(a-2)^2(6-a)} = \frac{a^2}{(a-2)^2(6-a)}$이다.
구간 $3 \le a \le 5$에서 $g(a)$의 도함수를 구하면: $$\begin{aligned} g'(a) &= \frac{2a(a-2)^2(6-a) - a^2\left\{2(a-2)(6-a) - (a-2)^2\right\}}{(a-2)^4(6-a)^2} \\ &= \frac{a(a-2)\left\{2(a-2)(6-a) - a(12-3a)\right\}}{(a-2)^4(6-a)^2} = \frac{a(a+6)(a-4)}{(a-2)^3(6-a)^2} \end{aligned}$$ 구간 $3 \le a \le 5$에서 $g'(a)=0$을 만족하는 값은 $a=4$뿐이다.
구간의 양 끝점 및 극점에서의 값을 계산하면: $$g(3) = \frac{9}{1^2 \cdot 3} = 3, \quad g(4) = \frac{16}{2^2 \cdot 2} = 2, \quad g(5) = \frac{25}{3^2 \cdot 1} = \frac{25}{9}$$ 따라서 구하는 최솟값은 가장 작은 값인 $\mathbf{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2.1]	도함수 $f'(x) = 3(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})$를 구하고 극값을 도출한 경우	4점
[2.1]	직선 $y=c$와 곡선 $y=f(x)$가 2개 점에서 만나는 조건을 정확히 해석한 경우	3점
[2.1]	양수 조건 $c \gt 0$에 부합하는 $c = 2a\sqrt{a}$를 산출한 경우	3점
[2.2]	직선과 곡선의 교점 $x = -\sqrt{a}, 2\sqrt{a}$를 인수분해로 올바르게 구한 경우	3점
[2.2]	구간 $[-\sqrt{a}, 2\sqrt{a}]$에서 넓이 정적분 식을 정확히 수립한 경우	4점
[2.2]	정적분을 계산하여 넓이 $S = \frac{27}{4}a^2$을 정확히 구한 경우	3점
[2.3]	$S$를 대입하여 $g(a)$ 식을 구성하고 몫의 미분법으로 $g'(a)$를 전개한 경우	4점
[2.3]	구간 $3 \le a \le 5$ 내에서 $g'(a)=0$의 실근 $a=4$를 도출한 경우	3점
[2.3]	경계값 및 극값을 비교하여 최솟값 $2$를 정확히 판별한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2024학년도 모의 자연계열 / 문제 2에서는 제시문 조건(삼차함수 극값과 교점 개수 · 두 곡선 둘러싸인 넓이 정적분 · 몫의 미분법과 최솟값)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

📚 과목/단원: 수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 삼각함수 근의 수열 · 몫의 미분법과 접선의 방정식 · 부분분수 급수와 무한급수 합 ⏱️ 권장 시간: 33분

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

함수 $f(x) = \frac{\cos x}{x^2}$ ($x \gt 0$)에 대하여 곡선 $y=f(x)$와 $x$축과의 교점을 $x$좌표가 작은 것부터 차례대로 $\mathrm{P_1}(x_1, 0), \mathrm{P_2}(x_2, 0), \mathrm{P_3}(x_3, 0), \dots$이라고 하자. 또 $n=1, 2, 3, \dots$에 대하여 점 $\mathrm{P_n}$에서 곡선 $y=f(x)$의 접선이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{Q_n}(0, y_n)$이라고 하자.

[3.1] $n=1, 2, 3, \dots$에 대하여 $x_n$을 구하시오.

[3.2] $n=1, 2, 3, \dots$에 대하여 $y_n$을 구하시오.

[3.3] $n=1, 2, 3, \dots$에 대하여 삼각형 $\mathrm{P_nP_{n+1}Q_n}$의 넓이를 $A_n$이라고 할 때, $\sum_{n=1}^{10} A_nA_{n+1}$의 값을 구하시오.

[3.4] 문항 [3.3]에서 구한 $A_n$에 대하여 급수 $\sum_{n=1}^\infty A_nA_{n+1}$의 합을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

【문항 요약】 2024학년도 모의 자연계열 / 문제 3 [배점 40점]

2024학년도 모의 자연계열 / 문제 3 (수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분) — 삼각함수 근의 수열 · 몫의 미분법과 접선의 방정식 · 부분분수 급수와 무한급수 합의 단계별 수리 논증 및 결론 도출

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 27 · 총 40점

💡 서울과학기술대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

[3.1] $x \gt 0$에서 $x^2 \gt 0$이므로 $\cos x = 0$이 되는 양의 실근을 작은 순서대로 나열하면: $$x_n = \frac{2n-1}{2}\pi = \mathbf{\frac{(2n-1)\pi}{2}} \quad (n=1, 2, 3, \dots)$$

[3.2] $f(x) = \frac{\cos x}{x^2}$를 미분하면 $f'(x) = -\frac{\sin x}{x^2} - \frac{2\cos x}{x^3}$이다.
$\cos(x_n)=0$이므로 $f'(x_n) = -\frac{\sin(x_n)}{x_n^2} = -\left(\frac{2}{(2n-1)\pi}\right)^2 \sin\left(\frac{2n-1}{2}\pi\right) = -(-1)^{n-1}\left(\frac{2}{(2n-1)\pi}\right)^2$
점 $\mathrm{P_n}(x_n, 0)$에서의 접선의 방정식은: $$y = -(-1)^{n-1}\left(\frac{2}{(2n-1)\pi}\right)^2 \left(x - \frac{(2n-1)\pi}{2}\right)$$ $x=0$을 대입하면 $y_n = (-1)^{n-1}\left(\frac{2}{(2n-1)\pi}\right)^2 \frac{(2n-1)\pi}{2} = \mathbf{(-1)^{n-1}\frac{2}{(2n-1)\pi}}$이다.

[3.3] 밑변 $\overline{\mathrm{P_nP_{n+1}}} = x_{n+1} - x_n = \pi$, 높이 $|y_n| = \frac{2}{(2n-1)\pi}$이므로: $$A_n = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot \frac{2}{(2n-1)\pi} = \frac{1}{2n-1}$$ $A_nA_{n+1} = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$이므로: $$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{10} A_nA_{n+1} &= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{10} \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \\ &= \frac{1}{2}\left\{ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{19} - \frac{1}{21}\right) \right\} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{21}\right) = \mathbf{\frac{10}{21}} \end{aligned}$$

[3.4] 급수의 부분합 $S_n = \sum_{k=1}^n A_kA_{k+1}$을 구하면: $$S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{n}{2n+1}$$ 따라서 무한급수의 합은 부분합의 극한에 의하여: $$\sum_{n=1}^\infty A_nA_{n+1} = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3.1]	곡선과 $x$축의 교점 조건 $\cos x = 0$ ($x \gt 0$)을 파악한 경우	5점
[3.1]	수열 $x_n = \frac{(2n-1)\pi}{2}$을 정확히 구한 경우	5점
[3.2]	몫의 미분법을 이용하여 도함수 $f'(x)$ 및 $f'(x_n)$을 구한 경우	4점
[3.2]	점 $\mathrm{P_n}$에서의 접선의 방정식을 올바르게 세운 경우	3점
[3.2]	접선의 $y$절편 $y_n = (-1)^{n-1}\frac{2}{(2n-1)\pi}$을 정확히 구한 경우	3점
[3.3]	삼각형 넓이 $A_n = \frac{1}{2n-1}$을 올바르게 구한 경우	4점
[3.3]	부분분수 분해를 이용하여 급수의 망원합 전개를 수행한 경우	4점
[3.3]	$\sum_{n=1}^{10} A_nA_{n+1} = \frac{10}{21}$을 정확히 계산한 경우	2점
[3.4]	급수의 부분합 $S_n = \frac{n}{2n+1}$을 올바르게 유도한 경우	5점
[3.4]	$n \to \infty$ 극한을 취하여 무한급수의 합 $\frac{1}{2}$을 정확히 산출한 경우	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

2024학년도 모의 자연계열 / 문제 3에서는 제시문 조건(삼각함수 근의 수열 · 몫의 미분법과 접선의 방정식 · 부분분수 급수와 무한급수 합)으로부터 도출되는 핵심 관계식과 정의역·부호 경계 조건을 명시해야 단계별 채점기준표의 부분점수를 100% 확보할 수 있습니다.

✅ 최종 정답 요약모범답안 내 강조 수식 및 채점 기준표 참조

PART 2-1 · 10 FULL-LENGTH MOCK EXAMS

2027학년도 서울과학기술대학교 자연계열 수리논술
실전 모의고사 1회 ~ 10회 문제집

제1~5회 기출유사 표준 실전편과 제6~10회 킬러 TOP 5 심화편(총 30문항) 및 회차별 종합 분석 매트릭스 리포트로 실전 적응력을 극대화합니다.

📋 출제 타당성 검토 보고서 (2p): 전 문항 교과서 기반 교육과정 성취기준 및 Textbook DB 원천 검증

📝 실전 맞춤형 시험지 포맷: 서울과학기술대학교 실제 문항 수·배점·답안지 규격 100% 반영

📈 회차별 종합 분석 매트릭스 (10p): 매 회차 직후 문항별 난이도·배점·합격 전략 리포트 수록

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R1-Q1	대수 · 지수함수와 로그함수 / 삼각함수	밑변환 공식과 코사인법칙을 결합한 외접원 기하 해석 (대수 · 지수함수와 로그함수 / 삼각함수)	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]	30점/중
R1-Q2	미적분Ⅰ · 미분법 / 도함수의 활용	삼차함수의 접선의 방정식과 평균값 정리의 기하학적 해석 (미적분Ⅰ · 미분법 / 도함수의 활용)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]	35점/중상
R1-Q3	미적분Ⅰ · 적분법	정적분으로 정의된 함수와 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (미적분Ⅰ · 적분법)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]	35점/중상
R2-Q1	대수 · 수열	수열의 귀납적 정의와 부분분수 급수의 수렴성 (대수 · 수열)	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]	30점/중
R2-Q2	미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속 / 미분법	구간별 정의된 함수의 연속성과 미분계수의 존재 조건 (미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속 / 미분법)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]	35점/중상
R2-Q3	미적분Ⅰ · 정적분의 활용	수직선 위를 움직이는 점의 위치·움직인 거리와 넓이 비교 (미적분Ⅰ · 정적분의 활용)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	35점/중상
R3-Q1	대수 · 삼각함수 / 수열	삼각함수의 사인법칙·코사인법칙과 등비수열의 결합 (대수 · 삼각함수 / 수열)	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]	30점/중
R3-Q2	미적분Ⅰ · 도함수의 활용	사차함수의 극대·극소와 방정식의 서로 다른 실근의 개수 (미적분Ⅰ · 도함수의 활용)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]	35점/중상
R3-Q3	미적분Ⅰ · 부정적분과 정적분	우함수·기함수의 정적분 성질과 이동 구간 정적분의 극값 (미적분Ⅰ · 부정적분과 정적분)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]	35점/중상
R4-Q1	대수 · 지수함수와 로그함수 / 수열	지수함수 그래프 위의 격자점 개수와 등차·등비수열의 합 (대수 · 지수함수와 로그함수 / 수열)	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]	30점/중
R4-Q2	미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속	무한대·유한 점에서의 함수의 극한 성질과 다항함수 결정 (미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	35점/중상
R4-Q3	미적분Ⅰ · 정적분의 활용	삼차함수와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 최소성 (미적분Ⅰ · 정적분의 활용)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	35점/중상
R5-Q1	대수 · 수열	등차수열과 등비수열의 부분합 성질 및 수학적 귀납법 (대수 · 수열)	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-04]	30점/중
R5-Q2	미적분Ⅰ · 미분법 / 도함수의 활용	도함수의 정의와 부등식의 활용 (미적분Ⅰ · 미분법 / 도함수의 활용)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]	35점/중상
R5-Q3	미적분Ⅰ · 부정적분과 정적분	정적분과 미분의 관계 및 정적분으로 정의된 함수의 극값 (미적분Ⅰ · 부정적분과 정적분)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]	35점/중상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R6-Q1	대수	지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수)	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]	30점/상
R6-Q2	미적분Ⅰ	함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 삼차다항함수 결정 및 접선 (미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]	35점/상
R6-Q3	미적분Ⅰ	포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	35점/상
R7-Q1	대수	코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙))	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.12 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]	30점/상
R7-Q2	미적분Ⅰ	절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]	35점/상
R7-Q3	미적분Ⅰ	상수 구간 정적분을 포함한 프레드홀름 항등식의 치환 해법 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]	35점/상
R8-Q1	대수	유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그)	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]	30점/상
R8-Q2	미적분Ⅰ	평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수))	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.22 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]	35점/최상
R8-Q3	미적분Ⅰ	정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]	35점/최상
R9-Q1	대수	지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수)	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]	30점/최상
R9-Q2	미적분Ⅰ	수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	35점/최상
R9-Q3	미적분Ⅰ	정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]	35점/최상
R10-Q1	대수	비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법)	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.12 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]	30점/최상
R10-Q2	미적분Ⅰ	무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.12 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	35점/최상
R10-Q3	미적분Ⅰ	포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	35점/최상

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 · 지수함수와 로그함수 / 삼각함수 — 밑변환 공식과 코사인법칙을 결합한 외접원 기하 해석 (대수 · 지수함수와 로그함수 / 삼각함수) 배점 30점 · 난이도 중

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

[제시문]
(가) $1$이 아닌 양수 $a, b, c$에 대하여 로그의 밑변환 공식 $\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}$가 성립하며, 지수함수 $y=a^x$ ($a \gt 0, a\ne 1$)와 로그함수 $y=\log_a x$는 직선 $y=x$에 대하여 대칭이다.

(나) $1$보다 큰 두 실수 $p, q$가 방정식 $\log_3 p + \log_9 (q^2) = 4$와 $\left(\log_3 p\right)\left(\log_3 q\right) = 3$을 동시에 만족시킨다. (단, $p \lt q$이다.)

(다) 삼각형 $ABC$에서 두 변의 길이가 $\overline{AB} = p$, $\overline{AC} = q$이고, 꼭짓점 $A$의 내각의 크기가 $\angle BAC = \dfrac{\pi}{3}$이다.

[1-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 두 실수 $p, q$의 값을 각각 구하고, 곡선 $y=\log_3(x-p)$의 점근선의 방정식을 구하시오. (단, $p \lt q$이다.) [8점]

[1-2] 제시문 (다)의 삼각형 $ABC$에서 변 $BC$의 길이와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오. (단, 코사인법칙을 풀이 과정에 명시하시오.) [10점]

[1-3] 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$, 내접원의 반지름의 길이를 $r$이라 할 때, 곱 $R \cdot r$의 값을 구하시오. (단, 사인법칙을 이용하시오.) [12점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ · 미분법 / 도함수의 활용 — 삼차함수의 접선의 방정식과 평균값 정리의 기하학적 해석 (미적분Ⅰ · 미분법 / 도함수의 활용) 배점 35점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[제시문]
(가) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능하면, $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$를 만족시키는 실수 $c$가 열린구간 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다. 이를 평균값 정리라 한다.

(나) 삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $P(t, f(t))$에서의 접선을 $l_t$라 하자.

(다) 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $A(0, 2)$에서 곡선 $y=f(x)$에 그은 접선 중 점 $A$가 아닌 점에서 접하는 접선의 접점을 $Q(\alpha, f(\alpha))$라 한다.

[2-1] 제시문 (나)의 함수 $f(x)$가 극댓값과 극솟값을 갖는 $x$의 값과 그때의 극댓값, 극솟값을 각각 구하시오. (단, 도함수의 부호 변화를 서술하시오.) [10점]

[2-2] 제시문 (다)에서 양수 $\alpha$의 값과 점 $Q(\alpha, f(\alpha))$에서의 접선의 방정식을 구하시오. [12점]

[2-3] 닫힌구간 $[0, 4]$에서 함수 $f(x)$에 평균값 정리를 적용할 때, 평균변화율과 같아지는 접선의 기울기 $f'(c)$를 만족하는 상수 $c \in (0, 4)$의 값을 모두 구하고, 그중 큰 값을 $c_2$, 작은 값을 $c_1$이라 할 때 $(c_2 - c_1)^2$의 값을 구하시오. [13점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ · 적분법 — 정적분으로 정의된 함수와 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (미적분Ⅰ · 적분법) 배점 35점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]
(가) 연속함수 $f(t)$에 대하여 정적분으로 정의된 함수 $G(x) = \int_a^x (x - t)f(t)\,dt$를 $x$에 대하여 미분하면 $G'(x) = \int_a^x f(t)\,dt$이고, 한 번 더 미분하면 $G''(x) = f(x)$이다.

(나) 다항함수 $f(x)$와 함수 $G(x) = \int_1^x (x - t)f(t)\,dt$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $G(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$을 만족시킨다.

(다) 좌표평면에서 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 12(x - 1)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S$라 하자.

[3-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 함수 $G'(x)$와 다항함수 $f(x)$의 식을 각각 구하시오. (단, $G(1)=0$과 $G'(1)=0$이 성립함을 확인하시오.) [10점]

[3-2] 제시문 (다)에서 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 12(x - 1)$의 교점의 $x$좌표를 모두 구하고, 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오. [12점]

[3-3] 실수 $m$ ($0 \lt m \lt 12$)에 대하여 곡선 $y = f(x)$ ($x \ge 1$)와 직선 $y = m(x - 1)$로 둘러싸인 부분의 넓이가 $\dfrac{S}{8}$가 되도록 하는 상수 $m$의 값을 구하시오. [13점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제1회	문항 1	대수 · 지수함수와 로그함수 / 삼각함수	밑변환 공식과 코사인법칙을 결합한 외접원 기하 해석 (대수 · 지수함수와 로그함수 / 삼각함수)	30점	중
제1회	문항 2	미적분Ⅰ · 미분법 / 도함수의 활용	삼차함수의 접선의 방정식과 평균값 정리의 기하학적 해석 (미적분Ⅰ · 미분법 / 도함수의 활용)	35점	중상
제1회	문항 3	미적분Ⅰ · 적분법	정적분으로 정의된 함수와 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (미적분Ⅰ · 적분법)	35점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서울과학기술대학교 수리논술 제1회 출제 원칙 및 합격 전략

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서울과학기술대학교 수리논술 제1회 출제 원칙 및 합격 전략
• 교과서 DB 100% 정합: 본 회차의 모든 문항은 수학 교과서 탐구·유제를 서울과기대 다단계 소문항 구조로 확장하였습니다.
• 소문항 연계 득점 전략: 앞선 소문항 [1-1]에서 구한 상수·관계식이 [1-2], [1-3]의 핵심 전제로 활용되므로 검산을 철저히 수행하십시오.
• 자가채점 연동: 답안 작성 후 Part 2-2 해설집의 단계별 루브릭으로 채점하고, Part 3 대시보드(p.152)에 점수를 입력하여 15개 학과 합격 가능성을 즉시 진단하십시오.

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 · 수열 — 수열의 귀납적 정의와 부분분수 급수의 수렴성 (대수 · 수열) 배점 30점 · 난이도 중

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]

[제시문]
(가) 첫째항이 $a_1$이고 이웃하는 두 항 사이의 관계식 $a_{n+1} = a_n + f(n)$ ($n \ge 1$)으로 귀납적으로 정의된 수열 $\{a_n\}$의 일반항은 $n \ge 2$일 때 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k)$이다.

(나) 수열 $\{a_n\}$은 $a_1 = 4$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 점화식 $a_{n+1} - a_n = 2n + 2$를 만족시킨다.

(다) 자연수 $n$에 대하여 수열 $\{b_n\}$을 $b_n = \dfrac{a_n - 2}{n}$으로 정의하고, 수열 $\{c_n\}$을 $c_n = \dfrac{1}{a_n - 2}$로 정의하자.

[1-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$을 $n$에 대한 식으로 구하시오. (단, $n=1$일 때도 성립함을 보이시오.) [8점]

[1-2] 제시문 (다)의 수열 $\{b_n\}$에 대하여 합 $\sum_{k=1}^{15} k \cdot b_k$의 값을 구하시오. (단, 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 이용하시오.) [10점]

[1-3] 제시문 (다)의 수열 $\{c_n\}$에 대하여 부분합 $T_n = \sum_{k=1}^n c_k$를 구하고, 극한 $\lim_{n \to \infty} T_n$의 값을 구하시오. [12점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속 / 미분법 — 구간별 정의된 함수의 연속성과 미분계수의 존재 조건 (미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속 / 미분법) 배점 35점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[제시문]
(가) 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능하려면 $x=a$에서 연속이어야 하고, 좌미분계수 $\lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$와 우미분계수 $\lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$가 존재하며 서로 같아야 한다.

(나) 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$가 상수 $a, b, c$에 대하여 다음과 같이 주어져 있다.
$$f(x) = \begin{cases} x^3 + ax^2 + bx & (x \lt 2) \\ cx^2 - 4x + 8 & (x \ge 2) \end{cases}$$

(다) 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선의 기울기는 $-1$이다.

[2-1] 제시문 (가), (나), (다)를 이용하여 세 상수 $a, b, c$의 값을 각각 구하시오. (단, $x=2$에서의 연속 조건과 미분가능 조건을 구분하여 서술하시오.) [12점]

[2-2] 함수 $g(x) = \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2}$ ($x \ne 2$)를 $x=2$에서 연속이 되도록 $g(2)$의 값을 정의할 때, $g(2)$의 값과 $\lim_{x \to 1} g(x)$의 값을 각각 구하시오. [11점]

[2-3] 닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오. [12점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ · 정적분의 활용 — 수직선 위를 움직이는 점의 위치·움직인 거리와 넓이 비교 (미적분Ⅰ · 정적분의 활용) 배점 35점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]
(가) 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t)$이고 시각 $t=0$에서의 위치가 $x_0$일 때, 시각 $t=a$에서의 점 $P$의 위치는 $x(a) = x_0 + \int_0^a v(t)\,dt$이고, 시각 $t=0$에서 $t=a$까지 점 $P$가 실제로 움직인 거리는 $L = \int_0^a |v(t)|\,dt$이다.

(나) 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $P, Q$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 각각
$$v_P(t) = 3t^2 - 12t + 9, \quad v_Q(t) = 6t - 9$$로 주어져 있다.

(다) 시각 $t \gt 0$에서 두 점 $P, Q$가 처음으로 다시 만나는 시각을 $t = T$라 하자.

[3-1] 점 $P$가 출발 후 운동 방향을 두 번째로 바꾸는 시각 $t_2$에서의 점 $P$의 위치와, $t=0$에서 $t=t_2$까지 점 $P$가 움직인 총 거리 $L$을 각각 구하시오. [11점]

[3-2] 제시문 (다)에서 두 점 $P, Q$가 출발 후 처음으로 다시 만나는 시각 $T$의 값과 그때 두 점의 속도의 차 $|v_P(T) - v_Q(T)|$를 구하시오. [12점]

[3-3] 시각 $t=0$에서 $t=T$까지 두 속도 그래프 $y = v_P(t)$와 $y = v_Q(t)$로 둘러싸인 두 영역의 넓이를 각각 $S_1, S_2$라 할 때, $S_1 + S_2$의 값을 구하시오. [12점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제2회	문항 1	대수 · 수열	수열의 귀납적 정의와 부분분수 급수의 수렴성 (대수 · 수열)	30점	중
제2회	문항 2	미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속 / 미분법	구간별 정의된 함수의 연속성과 미분계수의 존재 조건 (미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속 / 미분법)	35점	중상
제2회	문항 3	미적분Ⅰ · 정적분의 활용	수직선 위를 움직이는 점의 위치·움직인 거리와 넓이 비교 (미적분Ⅰ · 정적분의 활용)	35점	중상

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• 교과서 DB 100% 정합: 본 회차의 모든 문항은 수학 교과서 탐구·유제를 서울과기대 다단계 소문항 구조로 확장하였습니다.
• 소문항 연계 득점 전략: 앞선 소문항 [1-1]에서 구한 상수·관계식이 [1-2], [1-3]의 핵심 전제로 활용되므로 검산을 철저히 수행하십시오.
• 자가채점 연동: 답안 작성 후 Part 2-2 해설집의 단계별 루브릭으로 채점하고, Part 3 대시보드(p.152)에 점수를 입력하여 15개 학과 합격 가능성을 즉시 진단하십시오.

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 · 삼각함수 / 수열 — 삼각함수의 사인법칙·코사인법칙과 등비수열의 결합 (대수 · 삼각함수 / 수열) 배점 30점 · 난이도 중

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

[제시문]
(가) 삼각형 $ABC$의 세 내각 $A, B, C$와 대변의 길이 $a, b, c$, 외접원의 반지름의 길이 $R$에 대하여 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$와 코사인법칙 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$가 성립한다.

(나) 삼각형 $ABC$에서 세 변의 길이 $a, b, c$가 이 순서대로 공비가 $r$ ($r \gt 1$)인 등비수열을 이루고, $\cos B = \dfrac{3}{4}$이다.

(다) 삼각형 $ABC$의 외접원의 넓이가 $32\pi$이다.

[1-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 등비수열의 공비 $r$의 값을 구하시오. (단, $r \gt 1$이다.) [9점]

[1-2] 제시문 (다)를 이용하여 $\sin B$의 값과 변 $b$의 길이를 구하고, 나머지 두 변 $a, c$의 길이를 각각 구하시오. [10점]

[1-3] 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$와 $\sin A \cdot \sin C$의 값을 각각 구하시오. [11점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ · 도함수의 활용 — 사차함수의 극대·극소와 방정식의 서로 다른 실근의 개수 (미적분Ⅰ · 도함수의 활용) 배점 35점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

[제시문]
(가) 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(a) = 0$이고 $x=a$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극대이고, 음에서 양으로 바뀌면 극소이다.

(나) 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + k$ ($k$는 상수)가 주어져 있다.

(다) 실수 $t$에 대하여 방정식 $|f(x)| = t$의 서로 다른 실근의 개수를 $N(t)$라 하자.

[2-1] 함수 $f(x)$가 극댓값과 극솟값을 갖는 $x$의 값을 모두 구하고, 극댓값과 극솟값의 차를 구하시오. [11점]

[2-2] 방정식 $f(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 상수 $k$의 값을 구하시오. [12점]

[2-3] 함수 $f(x)$의 극솟값이 $-5$일 때, 상수 $k$의 값을 구하고 방정식 $|f(x)| = t$의 서로 다른 실근의 개수 $N(t) = 6$을 만족시키는 실수 $t$의 값을 구하시오. [12점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ · 부정적분과 정적분 — 우함수·기함수의 정적분 성질과 이동 구간 정적분의 극값 (미적분Ⅰ · 부정적분과 정적분) 배점 35점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]
(가) 연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$를 만족하면 $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$이고, $f(-x) = -f(x)$를 만족하면 $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0$이다.

(나) 삼차함수 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) + f(x) = 6x^2 + 4$를 만족시키고, $f'(0) = -2$, $\int_{-2}^2 (x + 1)f(x)\,dx = \dfrac{392}{15}$이다.

(다) 실수 $t$에 대하여 함수 $H(t) = \int_t^{t+2} f(x)\,dx$라 하자.

[3-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 네 상수 $a, b, c, d$의 값을 각각 구하시오. (단, 우함수와 기함수의 정적분 성질을 명시하시오.) [11점]

[3-2] 제시문 (다)의 함수 $H(t)$가 극솟값을 갖는 실수 $t$의 값을 구하시오. [12점]

[3-3] [3-1]에서 구한 $f(x)$에 대하여 정적분 $\int_{-3}^3 |x \cdot (f(x) - 3x^2 - 2)|\,dx$의 값을 구하시오. [12점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제3회	문항 1	대수 · 삼각함수 / 수열	삼각함수의 사인법칙·코사인법칙과 등비수열의 결합 (대수 · 삼각함수 / 수열)	30점	중
제3회	문항 2	미적분Ⅰ · 도함수의 활용	사차함수의 극대·극소와 방정식의 서로 다른 실근의 개수 (미적분Ⅰ · 도함수의 활용)	35점	중상
제3회	문항 3	미적분Ⅰ · 부정적분과 정적분	우함수·기함수의 정적분 성질과 이동 구간 정적분의 극값 (미적분Ⅰ · 부정적분과 정적분)	35점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서울과학기술대학교 수리논술 제3회 출제 원칙 및 합격 전략

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• 교과서 DB 100% 정합: 본 회차의 모든 문항은 수학 교과서 탐구·유제를 서울과기대 다단계 소문항 구조로 확장하였습니다.
• 소문항 연계 득점 전략: 앞선 소문항 [1-1]에서 구한 상수·관계식이 [1-2], [1-3]의 핵심 전제로 활용되므로 검산을 철저히 수행하십시오.
• 자가채점 연동: 답안 작성 후 Part 2-2 해설집의 단계별 루브릭으로 채점하고, Part 3 대시보드(p.152)에 점수를 입력하여 15개 학과 합격 가능성을 즉시 진단하십시오.

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 · 지수함수와 로그함수 / 수열 — 지수함수 그래프 위의 격자점 개수와 등차·등비수열의 합 (대수 · 지수함수와 로그함수 / 수열) 배점 30점 · 난이도 중

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

[제시문]
(가) 지수함수 $y = 2^x$는 실수 전체의 집합에서 증가하는 일대일대응 함수이며, 자연수 $n$에 대하여 $x = n$일 때의 함숫값 $2^n$은 첫째항이 $2$, 공비가 $2$인 등비수열을 이룬다.

(나) 자연수 $n$에 대하여 직선 $x = n$이 두 곡선 $y = 2^x + n$, $y = 2^{x-1} + 3n$과 만나는 두 점을 각각 $P_n, Q_n$이라 하고, 선분 $P_n Q_n$의 길이를 $l_n$이라 하자.

(다) 자연수 $n$에 대하여 부등식 $2^{x-1} + 3n \le y \le 2^x + n$ ($x = n$)을 만족시키는 정수 $y$의 개수를 $a_n$이라 하자.

[1-1] 제시문 (나)에서 $n = 1, 2, 3, 4$일 때 두 점 $P_n, Q_n$의 $y$좌표의 대소를 비교하고, 선분 $P_n Q_n$의 길이 $l_n$을 $n$의 구간에 따라 구하시오. [9점]

[1-2] 제시문 (다)의 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{n=3}^{10} a_n$의 값을 구하시오. (단, 등차수열과 등비수열의 합 공식을 이용하시오.) [10점]

[1-3] 자연수 $m$ ($m \ge 3$)에 대하여 $\sum_{n=3}^m l_n \gt 2000$을 만족시키는 자연수 $m$의 최솟값을 구하시오. [11점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속 — 무한대·유한 점에서의 함수의 극한 성질과 다항함수 결정 (미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속) 배점 35점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문]
(가) 두 함수 $f(x), g(x)$에 대하여 $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L$ ($L$은 실수)이고 $\lim_{x \to a} g(x) = 0$이면 $\lim_{x \to a} f(x) = 0$이다. 또한 $x \to \infty$일 때 유리함수의 극한은 분모와 분자의 최고차항의 차수와 계수에 의해 결정된다.

(나) 다항함수 $f(x)$가 다음 두 극한 조건을 동시에 만족시킨다.
$$\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2 + 1} = -3, \quad \lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x^2 - 4} = 5$$

(다) 함수 $g(x) = \dfrac{f(x)}{x - 2}$ ($x \ne 2$)라 하자.

[2-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 다항함수 $f(x)$의 차수와 최고차항의 계수를 결정하고, $f(x)$의 식을 구하시오. [12점]

[2-2] 제시문 (다)의 함수 $g(x)$에 대하여 방정식 $g(x) = k$ ($x \ne 2$)가 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값을 모두 구하시오. [12점]

[2-3] 실수 $t \gt 0$에 대하여 닫힌구간 $[-t, t]$에서 도함수 $h(x) = f'(x)$의 최댓값을 $M(t)$라 할 때, $M(t)$를 $t$에 대한 식으로 구하고 극한 $\lim_{t \to 1} \dfrac{M(t) - 20}{t - 1}$의 값을 구하시오. [11점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ · 정적분의 활용 — 삼차함수와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 최소성 (미적분Ⅰ · 정적분의 활용) 배점 35점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]
(가) 최고차항의 계수가 $a$ ($a \gt 0$)인 삼차함수 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선이 곡선과 다시 만나는 점의 $x$좌표를 $s$ ($s \ne t$)라 하면, 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \dfrac{a}{12}(t - s)^4$이다.

(나) 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $P(t, f(t))$ ($t \gt 1$)에서의 접선을 $l_t$라 하자.

(다) 접선 $l_t$가 곡선 $y = f(x)$와 점 $P$가 아닌 다른 점 $Q(s, f(s))$에서 만날 때, 곡선 $y = f(x)$와 접선 $l_t$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(t)$라 하자.

[3-1] 제시문 (나)와 (다)에서 점 $Q$의 $x$좌표 $s$를 $t$에 대한 식으로 나타내고, 넓이 $S(t)$를 $t$에 대한 식으로 구하시오. (단, 근과 계수의 관계를 이용하시오.) [11점]

[3-2] $t \gt 1$일 때 함수 $g(t) = \dfrac{S(t)}{(t - 1)^2} + \dfrac{27}{(t - 1)^2}$의 최솟값과 그때의 $t$의 값을 구하시오. [12점]

[3-3] $t = 2$일 때 점 $P(2, f(2))$에서의 접선의 방정식을 구하고, 곡선 $y = f(x)$와 이 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S(2)$를 직접 정적분하여 제시문 (가)의 공식과 일치함을 확인하시오. [12점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제4회	문항 1	대수 · 지수함수와 로그함수 / 수열	지수함수 그래프 위의 격자점 개수와 등차·등비수열의 합 (대수 · 지수함수와 로그함수 / 수열)	30점	중
제4회	문항 2	미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속	무한대·유한 점에서의 함수의 극한 성질과 다항함수 결정 (미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속)	35점	중상
제4회	문항 3	미적분Ⅰ · 정적분의 활용	삼차함수와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 최소성 (미적분Ⅰ · 정적분의 활용)	35점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서울과학기술대학교 수리논술 제4회 출제 원칙 및 합격 전략

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• 교과서 DB 100% 정합: 본 회차의 모든 문항은 수학 교과서 탐구·유제를 서울과기대 다단계 소문항 구조로 확장하였습니다.
• 소문항 연계 득점 전략: 앞선 소문항 [1-1]에서 구한 상수·관계식이 [1-2], [1-3]의 핵심 전제로 활용되므로 검산을 철저히 수행하십시오.
• 자가채점 연동: 답안 작성 후 Part 2-2 해설집의 단계별 루브릭으로 채점하고, Part 3 대시보드(p.152)에 점수를 입력하여 15개 학과 합격 가능성을 즉시 진단하십시오.

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 · 수열 — 등차수열과 등비수열의 부분합 성질 및 수학적 귀납법 (대수 · 수열) 배점 30점 · 난이도 중

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-04]

[제시문]
(가) 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합은 $S_n = \dfrac{n\left\{2a + (n-1)d\right\}}{2}$이며, $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1}$이다.

(나) 등차수열 $\{a_n\}$이 $a_3 = 7$, $S_6 = 48$을 만족시키고, 수열 $\{b_n\}$은 모든 자연수 $n$에 대하여 $b_n = 2^{(a_n - 1)/2}$으로 정의된다.

(다) 모든 자연수 $n$에 대하여 등식 $\sum_{k=1}^n a_k b_k = (2n - 1)2^{n+1} + 2$가 성립한다.

[1-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$과 수열 $\{b_n\}$의 일반항 $b_n$을 각각 구하시오. [9점]

[1-2] 수열 $\{b_n\}$의 첫째항부터 제$10$항까지의 합 $\sum_{k=1}^{10} b_k$와 $\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}$의 값을 각각 구하시오. [10점]

[1-3] 제시문 (다)의 등식 $\sum_{k=1}^n (2k + 1)2^k = (2n - 1)2^{n+1} + 2$가 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오. [11점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ · 미분법 / 도함수의 활용 — 도함수의 정의와 부등식의 활용 (미적분Ⅰ · 미분법 / 도함수의 활용) 배점 35점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

[제시문]
(가) 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수는 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$로 정의된다.

(나) 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 함수방정식
$$f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2$$를 만족시키고, $f'(0) = -9$이다.

(다) 실수 $k$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 부등식 $f(x) \ge kx - 14$가 항상 성립한다.

[2-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 $f(0)$의 값을 구하고, 도함수의 정의를 써서 $f'(x)$와 $f(x)$의 식을 각각 구하시오. [12점]

[2-2] 함수 $f(x)$의 그래프 위의 두 극점 $A, B$를 지나는 직선의 방정식을 구하고, 선분 $AB$의 중점이 곡선 $y = f(x)$ 위에 있음을 보이시오. [11점]

[2-3] 제시문 (다)에서 닫힌구간 $[0, 3]$의 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f(x) \ge kx - 14$가 성립하도록 하는 실수 $k$의 최댓값을 구하시오. [12점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ · 부정적분과 정적분 — 정적분과 미분의 관계 및 정적분으로 정의된 함수의 극값 (미적분Ⅰ · 부정적분과 정적분) 배점 35점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]
(가) 연속함수 $f(t)$에 대하여 함수 $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$는 미분가능하고 $F'(x) = f(x)$가 성립한다.

(나) 최고차항의 계수가 $3$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $F(x) = \int_0^x f(t)\,dt$가 $x = -1$에서 극댓값 $5$를 갖고, $x = 3$에서 극솟값을 갖는다.

(다) 실수 $a$에 대하여 정적분 $I(a) = \int_a^{a+2} f(x)\,dx$라 하자.

[3-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 이차함수 $f(x)$와 삼차함수 $F(x)$의 식을 구하고, $F(x)$의 극솟값을 구하시오. (단, $F(0) = 0$ 조건을 확인하시오.) [11점]

[3-2] 제시문 (다)의 함수 $I(a)$가 최솟값을 갖는 실수 $a$의 값과 그때의 최솟값을 각각 구하시오. [12점]

[3-3] 곡선 $y = f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S$라 할 때, $S$의 값이 $F(-1) - F(3)$과 같음을 설명하고 그 값을 구하시오. [12점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제5회	문항 1	대수 · 수열	등차수열과 등비수열의 부분합 성질 및 수학적 귀납법 (대수 · 수열)	30점	중
제5회	문항 2	미적분Ⅰ · 미분법 / 도함수의 활용	도함수의 정의와 부등식의 활용 (미적분Ⅰ · 미분법 / 도함수의 활용)	35점	중상
제5회	문항 3	미적분Ⅰ · 부정적분과 정적분	정적분과 미분의 관계 및 정적분으로 정의된 함수의 극값 (미적분Ⅰ · 부정적분과 정적분)	35점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서울과학기술대학교 수리논술 제5회 출제 원칙 및 합격 전략

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서울과학기술대학교 수리논술 제5회 출제 원칙 및 합격 전략
• 교과서 DB 100% 정합: 본 회차의 모든 문항은 수학 교과서 탐구·유제를 서울과기대 다단계 소문항 구조로 확장하였습니다.
• 소문항 연계 득점 전략: 앞선 소문항 [1-1]에서 구한 상수·관계식이 [1-2], [1-3]의 핵심 전제로 활용되므로 검산을 철저히 수행하십시오.
• 자가채점 연동: 답안 작성 후 Part 2-2 해설집의 단계별 루브릭으로 채점하고, Part 3 대시보드(p.152)에 점수를 입력하여 15개 학과 합격 가능성을 즉시 진단하십시오.

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수) 배점 30점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 지수함수 $y = 2^{x - 244} + 244$와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 $y - x = 0$에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 $-1$인 직선 $x + y = 492$은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 492)$도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.

직선 $y = -x + 492$이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 492)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (10점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 $x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 492$임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 $\mathrm{M}(246, 246)$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (10점) 선분 PQ의 길이가 $\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 246)$일 때, $x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 492)$를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (10점) 원점 O에서 직선 $x + y - 492 = 0$까지의 거리 $h = \dfrac{492}{\sqrt{2}}$를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ — 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 삼차다항함수 결정 및 접선 (미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수) 배점 35점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수의 도함수는 정의에 의하여 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\;\left(f'(0) = 248\right)$로 정의된다.
<제시문 (나)> 모든 실수 $x, y$에 대하여 성립하는 항등식 $f(x+y) = f(x) + f(y) + 9xy(x+y) - 244$이 주어지면 원점 대입으로 $f(0) = 244$를 먼저 결정한다.

미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 9xy(x + y) - 244$을 만족시키고 $f'(0) = 248$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (11점) 원점 대입으로 $f(0) = 244$를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x) = 9x^2 + 248$임을 유도하시오.

[문항 2-2] (12점) 부정적분으로 함수 $f(x) = 3x^3 + 248x + 244$를 결정하고, 곡선 위의 점 $(1, 495)$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 2-3] (12점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 284\right)$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용) 배점 35점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 $y = -6x(x - 241)$의 그래프와 가로축이 두 점 $(0, 0),\; (241, 0)$에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \int_0^{241} (-6x^2 + 1446x)\,dx = 13997521$이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 $x = \dfrac{241}{2}$에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 $13997521$를 정확히 이등분한다.

포물선 $C : y = -6x^2 + 1446x$와 가로축 및 원점을 지나는 직선 $L : y = 723x$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (11점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 $y = -6x^2 + 1446x$와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S = 13997521$를 유도하시오.

[문항 3-2] (12점) 직선 $x = k$가 넓이 $S = 13997521$를 이등분하는 상수 $k = \dfrac{241}{2}$를 구하고, $\int_0^{241/2} (-6x^2 + 1446x)\,dx = \dfrac{13997521}{2}$임을 확인하시오.

[문항 3-3] (12점) 포물선 $y = -6x^2 + 1446x$와 직선 $y = 723x$의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1 = \dfrac{13997521}{8}$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제6회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제6회	문항 1	대수	지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수)	30점	상
제6회	문항 2	미적분Ⅰ	함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 삼차다항함수 결정 및 접선 (미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수)	35점	상
제6회	문항 3	미적분Ⅰ	포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용)	35점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서울과학기술대학교 수리논술 제6회 출제 원칙 및 합격 전략

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서울과학기술대학교 수리논술 제6회 (킬러 TOP 5 심화 3문항) 합격 전략
• 실전 3문항 배점 최적화 (100분 / 30점 + 35점 + 35점 = 100점): 서울과기대 공식 시험 구조(대문항 3개, 각 소문항 3개)와 100% 동일하게 대수 1문항(30점)과 미적분Ⅰ 2문항(각 35점)으로 편성하였습니다.
• 수능최저 미적용 실질 변별 대비: 진수 조건, 도함수 부호 변화, 정적분 구간 설정을 첫 줄에 명시하여 단계별 부분점수를 완벽히 방어하십시오.

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙)) 배점 30점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=720,\; c=1200\right)$와 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=1680\right)$이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 $S$와 둘레의 길이 $a + b + c = 3600$, 내접원의 반지름 $r$ 사이에는 $S = \dfrac{3600}{2}r$가 성립한다.

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 $b = 720,\; c = 1200$이고 끼인각이 $A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=720\right)$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (10점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 $a = 1680$의 길이를 유도하시오.

[문항 1-2] (10점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 $R = \dfrac{1680\sqrt{3}}{3}$과 삼각형의 넓이 $S = \dfrac{864000\sqrt{3}}{4}$를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (10점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 $r = \dfrac{240\sqrt{3}}{2}$를 구하고 반지름의 곱 $R\cdot r$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ — 절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수) 배점 35점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 이차함수 $P(x) = x^2 - 485x + 58804$에 대하여 함수 $h(x) = |x - 244|P(x)$가 $x = 244$에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 좌·우미분계수가 일치하여 $P(244) = 0$인 것이다.
<제시문 (나)> $P(x) = (x - 244)(x - 241)$일 때 구간 $x \lt 244$에서 $h(x) = -(x - 244)^2(x - 241)$로 표현된다.

이차함수 $P(x) = x^2 - 485x + 58804$에 대하여 함수 $h(x) = |x - 244|P(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (11점) $x = 244$에서의 우미분계수 $P(244)$와 좌미분계수 $-P(244)$를 미분계수 정의로 구하고 $P(244) = 0$임을 확인하시오.

[문항 2-2] (12점) 구간 $x \lt 244$에서 도함수 $h'(x) = -3(x - 244)(x - 242)$을 유도하시오.

[문항 2-3] (12점) $x \ne 244$에서 도함수가 영이 되는 $x = 242$의 값과 그때의 함숫값 $h(242) = -4\;(\text{기준점 } 244)$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 상수 구간 정적분을 포함한 프레드홀름 항등식의 치환 해법 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분) 배점 35점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

<제시문 (가)> 상수 구간 정적분 $A = \int_0^1 f(t)\,dt\;\left(c = 737\right)$는 적분변수와 무관한 상수이므로, 등식 $f(x) = 3x^2 - 4Ax + 737$을 양변 $[0, 1]$에서 다시 적분하면 $A = 246$에 대한 일차방정식을 얻는다.
<제시문 (나)> 대칭 구간 $[-1, 1]$에서 기함수의 정적분은 소거되고 우함수의 정적분은 $2\int_0^1 (3x^2 + 737)\,dx = 1476$이다.

연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 737$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (11점) 정적분을 상수 $A$로 치환하고 $A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 737)\,dt$를 풀어 상수 $A = 246$과 함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 3-2] (12점) 함수 $f(x) = 3x^2 - 984x + 737$이 극솟값을 갖는 좌표 $x = \dfrac{492}{3}$와 함숫값 $f(1) = -244$을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (12점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 $\int_{-1}^{1} (3x^2 - 984x + 737)\,dx = 1476$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제7회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제7회	문항 1	대수	코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙))	30점	상
제7회	문항 2	미적분Ⅰ	절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수)	35점	상
제7회	문항 3	미적분Ⅰ	상수 구간 정적분을 포함한 프레드홀름 항등식의 치환 해법 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분)	35점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서울과학기술대학교 수리논술 제7회 출제 원칙 및 합격 전략

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서울과학기술대학교 수리논술 제7회 (킬러 TOP 5 심화 3문항) 합격 전략
• 실전 3문항 배점 최적화 (100분 / 30점 + 35점 + 35점 = 100점): 서울과기대 공식 시험 구조(대문항 3개, 각 소문항 3개)와 100% 동일하게 대수 1문항(30점)과 미적분Ⅰ 2문항(각 35점)으로 편성하였습니다.
• 수능최저 미적용 실질 변별 대비: 진수 조건, 도함수 부호 변화, 정적분 구간 설정을 첫 줄에 명시하여 단계별 부분점수를 완벽히 방어하십시오.

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그) 배점 30점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]

<제시문 (가)> 양수 $x$에 대하여 $u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{251}\right)$로 치환하면 지수법칙에 의하여 $x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 249$이다.
<제시문 (나)> $u + u^{-1} = \sqrt{251}$일 때 세제곱 곱셈 공식 $u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 248\sqrt{251}$이 성립한다.

양수 $x$가 $x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{251}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (10점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 $x + x^{-1} = 249$임을 보이고 $x^2 + x^{-2} = 61999$의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (10점) 세제곱 공식을 이용하여 $x^{3/2} + x^{-3/2} = 248\sqrt{251}$과 $x^3 + x^{-3} = 15437502$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (10점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 $\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{15437504}{248\sqrt{251}}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ — 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수)) 배점 35점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.22 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 닫힌구간 $[x_1, x_2]$에서 미분가능한 함수 $f(x) = x^3 + 708x + 2$에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 $f'(c) = 3c^2 + 708$인 $c$가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 $f'(x) = 3x^2 + 708 \gt 0$이므로 역함수 $g(x)$가 존재하며 $g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 708}$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 $f(x) = x^3 + 708x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (11점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 $x_1 \lt x_2$에 대하여 부등식 $f(x_2) - f(x_1) \ge 708(x_2 - x_1)$이 성립함을 증명하시오.

[문항 2-2] (12점) $f(0) = 2,\; f(1) = 711$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2) = \dfrac{1}{708}$와 $g'(711) = \dfrac{1}{711}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (12점) 역함수 곡선 위의 점 $(711, 1)$에서의 접선의 방정식 $y = \dfrac{1}{711}x$를 구하고, $\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(711)} = 1419$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수) 배점 35점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 일차함수 $f(t) = 6t - 1440$에 대하여 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1440)\,dt$는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 $F'(x) = \int_0^x (6t - 1440)\,dt = 3x^2 - 1440x$이고 $F''(x) = 6x - 1440$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1440)\,dt$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (11점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 $F'(x) = 3x^2 - 1440x$와 이계도함수 $F''(x) = 6x - 1440$를 유도하시오.

[문항 3-2] (12점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 $F(0) - F(480) = 55296000$를 구하시오.

[문항 3-3] (12점) 이계도함수가 영이 되는 $x = 240$에서의 함숫값 $F(240) = -27648000$과 접선의 기울기 $F'(240) = -172800$을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제8회	문항 1	대수	유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그)	30점	상
제8회	문항 2	미적분Ⅰ	평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수))	35점	최상
제8회	문항 3	미적분Ⅰ	정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수)	35점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서울과학기술대학교 수리논술 제8회 출제 원칙 및 합격 전략

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서울과학기술대학교 수리논술 제8회 (킬러 TOP 5 심화 3문항) 합격 전략
• 실전 3문항 배점 최적화 (100분 / 30점 + 35점 + 35점 = 100점): 서울과기대 공식 시험 구조(대문항 3개, 각 소문항 3개)와 100% 동일하게 대수 1문항(30점)과 미적분Ⅰ 2문항(각 35점)으로 편성하였습니다.
• 수능최저 미적용 실질 변별 대비: 진수 조건, 도함수 부호 변화, 정적분 구간 설정을 첫 줄에 명시하여 단계별 부분점수를 완벽히 방어하십시오.

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수) 배점 30점 · 난이도 최상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 지수함수 $y = 2^{x - 247} + 247$와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 $y - x = 0\cdot 498$에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 $-1$인 직선 $x + y = 498$은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 498)$도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.

직선 $y = -x + 498$이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 498)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (10점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 $x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 498$임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 $\mathrm{M}(249, 249)$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (10점) 선분 PQ의 길이가 $\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 249)$일 때, $x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 498)$를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (10점) 원점 O에서 직선 $x + y - 498 = 0$까지의 거리 $h = \dfrac{498}{\sqrt{2}}$를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ — 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용) 배점 35점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 $t\;(0 \le t \le 729)$에서의 위치 차 함수를 $h(t) = t(t - 729)^2$라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 $h'(t)$이다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 $[0, 729]$에서 두 점 사이의 거리 $D(t) = |t(t - 729)^2|$는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치 차 함수가 $h(t) = t^3 - 1458t^2 + 531441t = t(t - 729)^2$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (11점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 $t_1 = 729$를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 $h'(729) = 0$의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (12점) 닫힌구간 $[0, 729]$에서 도함수 $h'(t) = 3(t - 243)(t - 729)$의 부호를 조사하여 거리 최댓값 $D(243) = 57395628$를 구하시오.

[문항 2-3] (12점) 가속도의 차 $h''(t) = 6t - 2916 = 0$이 되는 시각 $t_2 = 486$와 그때 두 점 사이의 거리 $D(486) = 28697814$를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 일차함수 $f(t) = 6t - 1446$에 대하여 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1446)\,dt$는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 $F'(x) = \int_0^x (6t - 1446)\,dt = 3x^2 - 1446x$이고 $F''(x) = 6x - 1446$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1446)\,dt$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (11점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 $F'(x) = 3x^2 - 1446x$와 이계도함수 $F''(x) = 6x - 1446$를 유도하시오.

[문항 3-2] (12점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 $F(0) - F(482) = 55990084$를 구하시오.

[문항 3-3] (12점) 이계도함수가 영이 되는 $x = 241$에서의 함숫값 $F(241) = -27995042$과 접선의 기울기 $F'(241) = -174243$을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제9회	문항 1	대수	지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수)	30점	최상
제9회	문항 2	미적분Ⅰ	수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용)	35점	최상
제9회	문항 3	미적분Ⅰ	정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수)	35점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서울과학기술대학교 수리논술 제9회 출제 원칙 및 합격 전략

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서울과학기술대학교 수리논술 제9회 (킬러 TOP 5 심화 3문항) 합격 전략
• 실전 3문항 배점 최적화 (100분 / 30점 + 35점 + 35점 = 100점): 서울과기대 공식 시험 구조(대문항 3개, 각 소문항 3개)와 100% 동일하게 대수 1문항(30점)과 미적분Ⅰ 2문항(각 35점)으로 편성하였습니다.
• 수능최저 미적용 실질 변별 대비: 진수 조건, 도함수 부호 변화, 정적분 구간 설정을 첫 줄에 명시하여 단계별 부분점수를 완벽히 방어하십시오.

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법) 배점 30점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{7a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{251}\right)$을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 7$가 되어 역수 수열은 공차가 $7$인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 $n$에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 $n = 1\;(a_1 = 1/251)$일 때 성립함을 보이고, $n = k$일 때 성립한다고 가정하여 $n = k + 1$일 때도 성립함을 연역한다.

첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{251}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{7a_n + 1}$을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (10점) 제시문 (가)의 역수 변환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 251\right)$을 이용하여 $b_n = 7n + 244$와 $a_n$의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (10점) 일반항 $a_n = \dfrac{1}{7n + 244}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (10점) 부분분수 항등식 $7a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$을 이용하여 급수 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{80571}$의 값을 유도하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ — 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한) 배점 35점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -1725$을 만족시키면 최고차항 계수가 $3$인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> $\lim_{x \to 246} \dfrac{f(x)}{(x - 246)^2} = 489$이 수렴하면 인수정리에 의해 $f(x) = (x - 246)^2(3x + r)$ 꼴로 인수분해된다.

삼차다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -1725$과 $\lim_{x \to 246} \dfrac{f(x)}{(x - 246)^2} = 489$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (11점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 246)^2(3x + r)$로 놓고 상수 $r = -249$을 구하시오.

[문항 2-2] (12점) 구한 함수 $f(x) = (x - 246)^2(3x - 249)$이 무한대 극한 조건 $-1725$을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 2-3] (12점) 함숫값 $f(248) = 1980$의 값과 $x = 246$에서의 미분계수 $f'(246) = 0$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용) 배점 35점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 $y = -6x(x - 245)$의 그래프와 가로축이 두 점 $(0, 0),\; (245, 0)$에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \int_0^{245} (-6x^2 + 1470x)\,dx = 14706125$이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 $x = \dfrac{245}{2}$에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 $14706125$를 정확히 이등분한다.

포물선 $C : y = -6x^2 + 1470x$와 가로축 및 원점을 지나는 직선 $L : y = 735x$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (11점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 $y = -6x^2 + 1470x$와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S = 14706125$를 유도하시오.

[문항 3-2] (12점) 직선 $x = k$가 넓이 $S = 14706125$를 이등분하는 상수 $k = \dfrac{245}{2}$를 구하고, $\int_0^{245/2} (-6x^2 + 1470x)\,dx = \dfrac{14706125}{2}$임을 확인하시오.

[문항 3-3] (12점) 포물선 $y = -6x^2 + 1470x$와 직선 $y = 735x$의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1 = \dfrac{14706125}{8}$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제10회	문항 1	대수	비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법)	30점	최상
제10회	문항 2	미적분Ⅰ	무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한)	35점	최상
제10회	문항 3	미적분Ⅰ	포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용)	35점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서울과학기술대학교 수리논술 제10회 출제 원칙 및 합격 전략

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 서울과학기술대학교 수리논술 제10회 (킬러 TOP 5 심화 3문항) 합격 전략
• 실전 3문항 배점 최적화 (100분 / 30점 + 35점 + 35점 = 100점): 서울과기대 공식 시험 구조(대문항 3개, 각 소문항 3개)와 100% 동일하게 대수 1문항(30점)과 미적분Ⅰ 2문항(각 35점)으로 편성하였습니다.
• 수능최저 미적용 실질 변별 대비: 진수 조건, 도함수 부호 변화, 정적분 구간 설정을 첫 줄에 명시하여 단계별 부분점수를 완벽히 방어하십시오.

PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS

실전 모의고사 1회 ~ 10회
문제 · 모범답안 · 채점 루브릭 합본 해설집

시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 30문항 전체 원문 요약과 단계별 모범답안·루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.

🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능

⚡ 단계별 채점 기준표 완비: 소문항·단계별 부분점수 배점표를 통해 정밀한 자가 채점 지원

👨‍🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭

【문제 1】 원문 요약 — 밑변환 공식과 코사인법칙을 결합한 외접원 기하 해석 (대수 · 지수함수와 로그함수 / 삼각함수) [배점 30점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

[1-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 두 실수 $p, q$의 값을 각각 구하고, 곡선 $y=\log_3(x-p)$의 점근선의 방정식을 구하시오. (단, $p \lt q$이다.) [8점]

[1-2] 제시문 (다)의 삼각형 $ABC$에서 변 $BC$의 길이와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오. (단, 코사인법칙을 풀이 과정에 명시하시오.) [10점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

소문항 [1-1] 모범 논술 답안 배점 8점

$\log_9(q^2) = \dfrac{2\ln q}{2\ln 3} = \log_3 q$이므로 제시문 (나)에서 $u = \log_3 p$, $v = \log_3 q$로 치환하면 $u + v = 4$, $uv = 3$이다.
이차방정식 $t^2 - 4t + 3 = (t-1)(t-3) = 0$의 두 근이 $1, 3$이고 $p \lt q$이므로 $u=1, v=3$이다.
따라서 $p = 3^1 = 3$, $q = 3^3 = 27$이며, 곡선 $y=\log_3(x-3)$의 점근선의 방정식은 진수 조건 $x-3 \gt 0$의 경계인 $x = 3$이다.

소문항 [1-2] 모범 논술 답안 배점 10점

$\overline{AB} = 3$, $\overline{AC} = 27$, $\angle BAC = \dfrac{\pi}{3}$이므로 코사인법칙에 의하여
$\overline{BC}^2 = 3^2 + 27^2 - 2 \cdot 3 \cdot 27 \cos\dfrac{\pi}{3} = 9 + 729 - 81 = 657$이므로 $\overline{BC} = \sqrt{657} = 3\sqrt{73}$이다.
또한 삼각형 $ABC$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 27 \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{81\sqrt{3}}{4}$이다.

최종 결론:$\overline{BC} = 3\sqrt{73}, \; S = \dfrac{81\sqrt{3}}{4}$

소문항 [1-3] 모범 논술 답안 배점 12점

사인법칙 $\dfrac{\overline{BC}}{\sin(\pi/3)} = 2R$에서 $2R = \dfrac{3\sqrt{73}}{\sqrt{3}/2} = 2\sqrt{219}$이므로 외접원의 반지름은 $R = \sqrt{219}$이다.
한편 삼각형의 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}r(3 + 27 + 3\sqrt{73}) = \dfrac{3(10 + \sqrt{73})}{2}r = \dfrac{81\sqrt{3}}{4}$에서
$r = \dfrac{27\sqrt{3}}{2(10 + \sqrt{73})} = \dfrac{27\sqrt{3}(10 - \sqrt{73})}{2(100 - 73)} = \dfrac{\sqrt{3}(10 - \sqrt{73})}{2}$이다.
따라서 $R \cdot r = \sqrt{219} \cdot \dfrac{\sqrt{3}(10 - \sqrt{73})}{2} = \dfrac{3\sqrt{73}(10 - \sqrt{73})}{2} = \dfrac{30\sqrt{73} - 219}{2}$이다.

최종 결론:$R = \sqrt{219}, \; R \cdot r = \dfrac{30\sqrt{73} - 219}{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[1-1] 밑변환 공식과 이차방정식 작성]	$\log_9(q^2)=\log_3 q$ 변환 및 $t^2-4t+3=0$으로부터 $p=3, q=27$ 도출	5점
[[1-1] 점근선의 방정식 도출]	진수 조건 $x-3 \gt 0$으로부터 점근선 $x=3$ 명시	3점
[[1-2] 코사인법칙 적용]	$\overline{BC}^2 = 657$ 계산을 통해 $\overline{BC}=3\sqrt{73}$ 도출	5점
[[1-2] 삼각형 넓이 계산]	$S = \frac{1}{2}pq\sin(\pi/3) = \frac{81\sqrt{3}}{4}$ 산출	5점
[[1-3] 외접원·내접원 반지름 결합]	사인법칙으로 $R=\sqrt{219}$, 내접원 공식으로 $r$ 및 $R\cdot r$ 완결	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 서울과기대 제1회 문항 1번에서는 제시문 조건으로부터 도출한 중간 관계식을 생략하지 않고 소문항 순서대로 서술해야 부분점수를 완벽히 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$p = 3, \; q = 27$, 점근선 $x = 3$

【문제 2】 원문 요약 — 삼차함수의 접선의 방정식과 평균값 정리의 기하학적 해석 (미적분Ⅰ · 미분법 / 도함수의 활용) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[2-2] 제시문 (다)에서 양수 $\alpha$의 값과 점 $Q(\alpha, f(\alpha))$에서의 접선의 방정식을 구하시오. [12점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 2 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

소문항 [2-1] 모범 논술 답안 배점 10점

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$이다.
$x \lt 1$ 또는 $x \gt 3$에서 $f'(x) \gt 0$이고, $1 \lt x \lt 3$에서 $f'(x) \lt 0$이다.
따라서 $f(x)$는 $x = 1$에서 극댓값 $f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6$을 갖고, $x = 3$에서 극솟값 $f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2$를 갖는다.

소문항 [2-2] 모범 논술 답안 배점 12점

접점 $Q(\alpha, \alpha^3 - 6\alpha^2 + 9\alpha + 2)$ ($\alpha \ne 0$)에서의 접선의 방정식은
$y - (\alpha^3 - 6\alpha^2 + 9\alpha + 2) = (3\alpha^2 - 12\alpha + 9)(x - \alpha)$이다.
이 직선이 점 $A(0, 2)$를 지나므로 $2 - (\alpha^3 - 6\alpha^2 + 9\alpha + 2) = -\alpha(3\alpha^2 - 12\alpha + 9)$에서 정리하면
$2\alpha^3 - 6\alpha^2 = 2\alpha^2(\alpha - 3) = 0$이다. $\alpha \ne 0$이므로 $\alpha = 3$이다.
따라서 접점의 좌표는 $Q(3, 2)$이고, 접선의 기울기는 $f'(3) = 0$이므로 접선의 방정식은 $y = 2$이다.

최종 결론:$\alpha = 3$, 접선의 방정식 $y = 2$

소문항 [2-3] 모범 논술 답안 배점 13점

$f(0) = 2$, $f(4) = 64 - 96 + 36 + 2 = 6$이므로 구간 $[0, 4]$에서의 평균변화율은
$\dfrac{f(4) - f(0)}{4 - 0} = \dfrac{6 - 2}{4} = 1$이다.
평균값 정리에 의하여 $f'(c) = 3c^2 - 12c + 9 = 1$, 즉 $3c^2 - 12c + 8 = 0$을 만족하는 $c \in (0, 4)$는
$c = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{3} = 2 \pm \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$이며 두 값 모두 열린구간 $(0, 4)$에 속한다.
따라서 $c_2 - c_1 = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$이므로 $(c_2 - c_1)^2 = \dfrac{16}{3}$이다.

최종 결론:$c = 2 \pm \dfrac{2\sqrt{3}}{3}, \; (c_2 - c_1)^2 = \dfrac{16}{3}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[2-1] 도함수 인수분해 및 극값 산출]	$f'(x)=3(x-1)(x-3)$으로부터 극댓값 $f(1)=6$, 극솟값 $f(3)=2$ 도출	10점
[[2-2] 곡선 위의 점에서 그은 접선 방정식]	$2\alpha^2(\alpha-3)=0$ ($\alpha\ne 0$)으로부터 $\alpha=3$, 접선 $y=2$ 도출	12점
[[2-3] 평균변화율 및 평균값 정리 적용]	평균변화율 $1$ 계산 및 $3c^2-12c+8=0$의 두 근으로부터 $(c_2-c_1)^2=16/3$ 산출	13점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 서울과기대 제1회 문항 2번에서는 제시문 조건으로부터 도출한 중간 관계식을 생략하지 않고 소문항 순서대로 서술해야 부분점수를 완벽히 확보할 수 있습니다.

최종 결론:극댓값 $f(1) = 6$, 극솟값 $f(3) = 2$

【문제 3】 원문 요약 — 정적분으로 정의된 함수와 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (미적분Ⅰ · 적분법) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

[3-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 함수 $G'(x)$와 다항함수 $f(x)$의 식을 각각 구하시오. (단, $G(1)=0$과 $G'(1)=0$이 성립함을 확인하시오.) [10점]

[3-2] 제시문 (다)에서 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 12(x - 1)$의 교점의 $x$좌표를 모두 구하고, 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오. [12점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 3 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

소문항 [3-1] 모범 논술 답안 배점 10점

$G(x) = (x - 1)^4$이므로 $G(1) = 0$이다. 양변을 $x$에 대하여 미분하면 제시문 (가)에 의하여
$G'(x) = \int_1^x f(t)\,dt = 4(x - 1)^3 = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4$이며 $G'(1) = 0$을 만족한다.
다시 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = G''(x) = 12(x - 1)^2 = 12x^2 - 24x + 12$이다.

소문항 [3-2] 모범 논술 답안 배점 12점

방정식 $12(x - 1)^2 = 12(x - 1)$에서 $12(x - 1)(x - 2) = 0$이므로 교점의 $x$좌표는 $x = 1, 2$이다.
구간 $[1, 2]$에서 $12(x - 1) \ge 12(x - 1)^2$이므로 둘러싸인 넓이 $S$는
$S = \int_1^2 \left\{12(x - 1) - 12(x - 1)^2\right\}dx = \dfrac{12(2 - 1)^3}{6} = 2$이다.

최종 결론:교점 $x = 1, 2$, 넓이 $S = 2$

소문항 [3-3] 모범 논술 답안 배점 13점

곡선 $y = 12(x - 1)^2$과 직선 $y = m(x - 1)$ ($m \gt 0$)의 교점은 $12(x - 1)^2 = m(x - 1)$에서 $x = 1$과 $x = 1 + \dfrac{m}{12}$이다.
둘러싸인 부분의 넓이는 이차함수 넓이 공식에 의하여
$A(m) = \dfrac{12}{6}\left(\dfrac{m}{12}\right)^3 = 2 \cdot \dfrac{m^3}{1728} = \dfrac{m^3}{864}$이다.
조건에서 $A(m) = \dfrac{S}{8} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$이므로 $\dfrac{m^3}{864} = \dfrac{1}{4} \implies m^3 = 216 = 6^3$에서 $m = 6$이다.

최종 결론:$m = 6$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[3-1] 정적분으로 정의된 함수 2회 미분]	$G'(x)=4(x-1)^3$ 및 $f(x)=12(x-1)^2$ 정확히 도출	10점
[[3-2] 교점 및 둘러싸인 넓이 계산]	교점 $x=1, 2$ 확인 후 정적분 계산으로 $S=2$ 산출	12점
[[3-3] 넓이 비례 관계식 및 $m$ 결정]	$A(m)=m^3/864 = 1/4$로부터 $m=6$ 도출	13점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 서울과기대 제1회 문항 3번에서는 제시문 조건으로부터 도출한 중간 관계식을 생략하지 않고 소문항 순서대로 서술해야 부분점수를 완벽히 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$G'(x) = 4(x - 1)^3, \; f(x) = 12(x - 1)^2$

【문제 1】 원문 요약 — 수열의 귀납적 정의와 부분분수 급수의 수렴성 (대수 · 수열) [배점 30점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]

[1-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$을 $n$에 대한 식으로 구하시오. (단, $n=1$일 때도 성립함을 보이시오.) [8점]

[1-2] 제시문 (다)의 수열 $\{b_n\}$에 대하여 합 $\sum_{k=1}^{15} k \cdot b_k$의 값을 구하시오. (단, 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 이용하시오.) [10점]

[1-3] 제시문 (다)의 수열 $\{c_n\}$에 대하여 부분합 $T_n = \sum_{k=1}^n c_k$를 구하고, 극한 $\lim_{n \to \infty} T_n$의 값을 구하시오. [12점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

소문항 [1-1] 모범 논술 답안 배점 8점

$n \ge 2$일 때 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 2) = 4 + 2 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} + 2(n-1) = 4 + n^2 - n + 2n - 2 = n^2 + n + 2$이다.
$n = 1$을 대입하면 $1^2 + 1 + 2 = 4 = a_1$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = n^2 + n + 2$가 성립한다.

소문항 [1-2] 모범 논술 답안 배점 10점

$a_k - 2 = k^2 + k = k(k+1)$이므로 $b_k = k + 1$이고 $k \cdot b_k = k^2 + k$이다.
따라서 $\sum_{k=1}^{15} k \cdot b_k = \sum_{k=1}^{15} (k^2 + k) = \dfrac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} + \dfrac{15 \cdot 16}{2} = 1240 + 120 = 1360$이다.

최종 결론:$\sum_{k=1}^{15} k \cdot b_k = 1360$

소문항 [1-3] 모범 논술 답안 배점 12점

$c_k = \dfrac{1}{a_k - 2} = \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$이므로
$T_n = \sum_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\right) = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$이다.
따라서 $n \to \infty$일 때 극한값은 $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{1}{n+1}\right) = 1$이다.

최종 결론:$T_n = \dfrac{n}{n+1}, \; \lim_{n \to \infty} T_n = 1$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[1-1] 계차 합을 통한 일반항 유도]	$a_n = 4 + \sum_{k=1}^{n-1}(2k+2) = n^2+n+2$ 도출 및 $n=1$ 확인	8점
[[1-2] 거듭제곱의 합 공식 적용]	$\sum_{k=1}^{15}(k^2+k) = 1240 + 120 = 1360$ 산출	10점
[[1-3] 부분분수 소거 및 극한 계산]	$1 - \frac{1}{n+1}$ 소거 과정 및 극한값 $1$ 도출	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 서울과기대 제2회 문항 1번에서는 제시문 조건으로부터 도출한 중간 관계식을 생략하지 않고 소문항 순서대로 서술해야 부분점수를 완벽히 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$a_n = n^2 + n + 2$

【문제 2】 원문 요약 — 구간별 정의된 함수의 연속성과 미분계수의 존재 조건 (미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속 / 미분법) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[2-3] 닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오. [12점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 2 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

소문항 [2-1] 모범 논술 답안 배점 12점

$x=1 \lt 2$에서 $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$이므로 제시문 (다)에 의해 $f'(1) = 3 + 2a + b = -1 \implies b = -2a - 4$이다. $\cdots$ ①
$x=2$에서 연속이므로 $\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2)$에서 $8 + 4a + 2b = 4c - 8 + 8 = 4c$이다. ①을 대입하면 $8 + 4a + 2(-2a-4) = 0 = 4c$이므로 $c = 0$이다.
또한 $x=2$에서 미분가능하므로 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 한다: $12 + 4a + b = 4c - 4 = -4$이다.
①을 대입하면 $12 + 4a + (-2a - 4) = 2a + 8 = -4$에서 $2a = -12 \implies a = -6$이고, $b = -2(-6) - 4 = 8$이다.

소문항 [2-2] 모범 논술 답안 배점 11점

$g(x)$가 $x=2$에서 연속이 되려면 $g(2) = \lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} = f'(2)$이어야 하므로 $g(2) = -4$이다.
또한 $f(2) = 0$이고 $f(1) = 1 - 6 + 8 = 3$이므로
$\lim_{x \to 1} g(x) = \dfrac{f(1) - f(2)}{1 - 2} = \dfrac{3 - 0}{-1} = -3$이다.

최종 결론:$g(2) = -4, \; \lim_{x \to 1} g(x) = -3$

소문항 [2-3] 모범 논술 답안 배점 12점

구간 $[0, 2)$에서 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x$, $f'(x) = 3x^2 - 12x + 8 = 0$의 근 중 구간 $[0, 2)$에 속하는 값은 $x = 2 - \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$이다.
이때 극댓값은 $f\left(2 - \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \dfrac{16\sqrt{3}}{9}$이고, $f(0) = 0$, $f(2) = 0$이다.
구간 $[2, 3]$에서 $f(x) = -4x + 8$은 감소함수이므로 $f(3) = -4$이다.
따라서 구간 $[0, 3]$에서 최댓값은 $M = \dfrac{16\sqrt{3}}{9}$이고, 최솟값은 $m = -4$이다.

최종 결론:$M = \dfrac{16\sqrt{3}}{9}, \; m = -4$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[2-1] 연속·미분가능 조건 연립]	$f'(1)=-1$, $x=2$ 연속·미분가능 조건으로부터 $a=-6, b=8, c=0$ 도출	12점
[[2-2] 미분계수 정의와 극한 계산]	$g(2)=f'(2)=-4$ 및 $\lim_{x\to 1} g(x) = -3$ 산출	11점
[[2-3] 구간별 증감 분석 및 최대·최소]	극댓값 $M=\frac{16\sqrt{3}}{9}$와 경계 최솟값 $m=f(3)=-4$ 도출	12점

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💡 감점 방어 클리닉: 서울과기대 제2회 문항 2번에서는 제시문 조건으로부터 도출한 중간 관계식을 생략하지 않고 소문항 순서대로 서술해야 부분점수를 완벽히 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$a = -6, \; b = 8, \; c = 0$

【문제 3】 원문 요약 — 수직선 위를 움직이는 점의 위치·움직인 거리와 넓이 비교 (미적분Ⅰ · 정적분의 활용) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[3-2] 제시문 (다)에서 두 점 $P, Q$가 출발 후 처음으로 다시 만나는 시각 $T$의 값과 그때 두 점의 속도의 차 $|v_P(T) - v_Q(T)|$를 구하시오. [12점]

[3-3] 시각 $t=0$에서 $t=T$까지 두 속도 그래프 $y = v_P(t)$와 $y = v_Q(t)$로 둘러싸인 두 영역의 넓이를 각각 $S_1, S_2$라 할 때, $S_1 + S_2$의 값을 구하시오. [12점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 3 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

소문항 [3-1] 모범 논술 답안 배점 11점

$v_P(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$에서 운동 방향을 바꾸는 시각은 $t_1 = 1$, $t_2 = 3$이다.
$t_2 = 3$에서의 점 $P$의 위치는 $x_P(3) = \int_0^3 (3t^2 - 12t + 9)\,dt = \left[t^3 - 6t^2 + 9t\right]_0^3 = 27 - 54 + 27 = 0$이다.
움직인 총 거리는 $L = \int_0^1 v_P(t)\,dt - \int_1^3 v_P(t)\,dt = 4 - (0 - 4) = 8$이다.

소문항 [3-2] 모범 논술 답안 배점 12점

$x_P(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$, $x_Q(t) = \int_0^t (6s - 9)\,ds = 3t^2 - 9t$이다.
$x_P(t) = x_Q(t)$에서 $t^3 - 9t^2 + 18t = t(t - 3)(t - 6) = 0$이므로 $t \gt 0$에서 처음으로 다시 만나는 시각은 $T = 3$이다.
$T = 3$일 때 $v_P(3) = 0$, $v_Q(3) = 18 - 9 = 9$이므로 속도의 차는 $|v_P(3) - v_Q(3)| = 9$이다.

최종 결론:$T = 3, \; |v_P(3) - v_Q(3)| = 9$

소문항 [3-3] 모범 논술 답안 배점 12점

$v_P(t) - v_Q(t) = 3t^2 - 18t + 18 = 3(t^2 - 6t + 6) = 0$에서 구간 $[0, 3]$ 내의 교점 시각은 $t_0 = 3 - \sqrt{3}$이다.
$\int_0^3 (v_P(t) - v_Q(t))\,dt = x_P(3) - x_Q(3) = 0$이므로 두 영역의 넓이는 $S_1 = S_2$이다.
$S_1 = \int_0^{3-\sqrt{3}} (3t^2 - 18t + 18)\,dt = \left[t^3 - 9t^2 + 18t\right]_0^{3-\sqrt{3}} = (3-\sqrt{3})(3+3\sqrt{3}) = 6\sqrt{3}$이다.
따라서 $S_1 + S_2 = 2S_1 = 12\sqrt{3}$이다.

최종 결론:$S_1 + S_2 = 12\sqrt{3}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[3-1] 운동 방향 전환 시각 및 이동 거리]	$t_2=3$에서 위치 $x_P(3)=0$ 및 정적분 절댓값 분리로 $L=8$ 산출	11점
[[3-2] 위치 방정식 해법과 속도 차]	$t(t-3)(t-6)=0$으로부터 최초 재회 시각 $T=3$ 및 속도 차 $9$ 도출	12점
[[3-3] 속도 그래프 교점 및 넓이 합]	$t_0=3-\sqrt{3}$에서 $S_1=S_2=6\sqrt{3}$을 구하여 $S_1+S_2=12\sqrt{3}$ 도출	12점

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최종 결론:위치 $x_P(3) = 0$, 움직인 거리 $L = 8$

【문제 1】 원문 요약 — 삼각함수의 사인법칙·코사인법칙과 등비수열의 결합 (대수 · 삼각함수 / 수열) [배점 30점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

[1-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 등비수열의 공비 $r$의 값을 구하시오. (단, $r \gt 1$이다.) [9점]

[1-2] 제시문 (다)를 이용하여 $\sin B$의 값과 변 $b$의 길이를 구하고, 나머지 두 변 $a, c$의 길이를 각각 구하시오. [10점]

[1-3] 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$와 $\sin A \cdot \sin C$의 값을 각각 구하시오. [11점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

소문항 [1-1] 모범 논술 답안 배점 9점

$a, b, c$가 공비 $r$인 등비수열을 이루므로 $b = ar$, $c = ar^2$이다.
코사인법칙 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$에 대입하면 $a^2 r^2 = a^2 + a^2 r^4 - 2a^2 r^2 \cdot \dfrac{3}{4}$이다.
양변을 $a^2 \gt 0$으로 나누고 정리하면 $r^4 - \dfrac{5}{2}r^2 + 1 = 0 \implies 2r^4 - 5r^2 + 2 = (2r^2 - 1)(r^2 - 2) = 0$이다.
$r \gt 1$이므로 $r^2 = 2$에서 $r = \sqrt{2}$이다.

소문항 [1-2] 모범 논술 답안 배점 10점

외접원의 넓이가 $\pi R^2 = 32\pi$이므로 $R = 4\sqrt{2}$이다.
$0 \lt B \lt \pi$에서 $\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{16}} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$이다.
사인법칙에 의하여 $b = 2R\sin B = 8\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{4} = 2\sqrt{14}$이다.
따라서 $a = \dfrac{b}{r} = \dfrac{2\sqrt{14}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{7}$이고, $c = br = 2\sqrt{14} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{7}$이다.

최종 결론:$\sin B = \dfrac{\sqrt{7}}{4}, \; a = 2\sqrt{7}, \; b = 2\sqrt{14}, \; c = 4\sqrt{7}$

소문항 [1-3] 모범 논술 답안 배점 11점

삼각형 $ABC$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}ac\sin B = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{7} \cdot 4\sqrt{7} \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{4} = 7\sqrt{7}$이다.
또한 사인법칙에 의하여 $\sin A = \dfrac{a}{2R}$, $\sin C = \dfrac{c}{2R}$이고 $ac = b^2$이므로
$\sin A \cdot \sin C = \dfrac{ac}{4R^2} = \dfrac{b^2}{4R^2} = \sin^2 B = \dfrac{7}{16}$이다.

최종 결론:$S = 7\sqrt{7}, \; \sin A \cdot \sin C = \dfrac{7}{16}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[1-1] 등비중앙과 코사인법칙 결합]	$2r^4-5r^2+2=0$ 유도 및 $r \gt 1$ 조건으로 $r=\sqrt{2}$ 도출	9점
[[1-2] 사인법칙을 통한 세 변의 길이 결정]	$R=4\sqrt{2}, \sin B=\frac{\sqrt{7}}{4}$로부터 $a=2\sqrt{7}, b=2\sqrt{14}, c=4\sqrt{7}$ 산출	10점
[[1-3] 삼각형 넓이 및 사인값의 곱]	$S=7\sqrt{7}$ 및 $\sin A \sin C = \sin^2 B = 7/16$ 도출	11점

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최종 결론:$r = \sqrt{2}$

【문제 2】 원문 요약 — 사차함수의 극대·극소와 방정식의 서로 다른 실근의 개수 (미적분Ⅰ · 도함수의 활용) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

[2-1] 함수 $f(x)$가 극댓값과 극솟값을 갖는 $x$의 값을 모두 구하고, 극댓값과 극솟값의 차를 구하시오. [11점]

[2-2] 방정식 $f(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 상수 $k$의 값을 구하시오. [12점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 2 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

소문항 [2-1] 모범 논술 답안 배점 11점

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 4x + 12 = 4(x^2 - 1)(x - 3) = 4(x + 1)(x - 1)(x - 3)$이다.
$f'(x) = 0$에서 $x = -1, 1, 3$이며, 부호 변화에 의해 $x = 1$에서 극댓값 $f(1) = 1 - 4 - 2 + 12 + k = k + 7$을 갖고,
$x = -1$과 $x = 3$에서 동일한 극솟값 $f(-1) = f(3) = k - 9$를 갖는다.
따라서 극댓값과 극솟값의 차는 $(k + 7) - (k - 9) = 16$이다.

소문항 [2-2] 모범 논술 답안 배점 12점

사차함수 $y = f(x)$는 직선 $x = 1$에 대하여 대칭이고 두 극솟값이 모두 $k - 9$로 같다.
두 극솟값이 $0$이면 $x = -1, 3$에서 접하므로 서로 다른 두 실근만 갖는다.
따라서 방정식 $f(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가지려면 극댓값이 $0$이어야 하므로 $k + 7 = 0 \implies k = -7$이다.

최종 결론:$k = -7$

소문항 [2-3] 모범 논술 답안 배점 12점

극솟값이 $k - 9 = -5$이므로 $k = 4$이고, 이때 극댓값은 $f(1) = 4 + 7 = 11$이다.
함수 $y = |f(x)|$의 그래프는 $x = -1, 3$에서 접어올려진 극댓값 $|-5| = 5$를 갖고, $x = 1$에서 극댓값 $11$을 갖는다.
따라서 $0 \lt t \lt 5$일 때 실근 $8$개, $t = 5$일 때 실근 $6$개, $5 \lt t \lt 11$일 때 실근 $4$개이므로 $N(t) = 6$을 만족하는 실수 $t$의 값은 $t = 5$이다.

최종 결론:$k = 4, \; t = 5$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[2-1] 도함수 인수분해 및 극값 차]	$f'(x)=4(x+1)(x-1)(x-3)$으로부터 극댓값 $k+7$, 극솟값 $k-9$, 차 $16$ 도출	11점
[[2-2] 대칭 사차함수의 실근 개수 판별]	두 극솟값이 같음을 이용하여 3실근 조건 $k+7=0 \implies k=-7$ 도출	12점
[[2-3] 절댓값 접어올린 그래프의 교점 분석]	$k=4$에서 접어올린 극댓값 $5$를 분석하여 $N(t)=6$인 $t=5$ 도출	12점

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💡 감점 방어 클리닉: 서울과기대 제3회 문항 2번에서는 제시문 조건으로부터 도출한 중간 관계식을 생략하지 않고 소문항 순서대로 서술해야 부분점수를 완벽히 확보할 수 있습니다.

최종 결론:극대 $x = 1$, 극소 $x = -1, 3$, 극댓값과 극솟값의 차 $16$

【문제 3】 원문 요약 — 우함수·기함수의 정적분 성질과 이동 구간 정적분의 극값 (미적분Ⅰ · 부정적분과 정적분) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[3-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 네 상수 $a, b, c, d$의 값을 각각 구하시오. (단, 우함수와 기함수의 정적분 성질을 명시하시오.) [11점]

[3-2] 제시문 (다)의 함수 $H(t)$가 극솟값을 갖는 실수 $t$의 값을 구하시오. [12점]

[3-3] [3-1]에서 구한 $f(x)$에 대하여 정적분 $\int_{-3}^3 |x \cdot (f(x) - 3x^2 - 2)|\,dx$의 값을 구하시오. [12점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 3 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

소문항 [3-1] 모범 논술 답안 배점 11점

$f(-x) + f(x) = 2bx^2 + 2d = 6x^2 + 4$이므로 계수를 비교하면 $b = 3, \; d = 2$이고, $f'(0) = c = -2$이다.
이때 $(x+1)f(x) = (x+1)(ax^3 - 2x + 3x^2 + 2)$에서 기함수 항들은 구간 $[-2, 2]$에서 정적분이 $0$이므로
$\int_{-2}^2 (x+1)f(x)\,dx = 2\int_0^2 (ax^4 + x^2 + 2)\,dx = 2\left(\dfrac{32a}{5} + \dfrac{8}{3} + 4\right) = \dfrac{392}{15}$이다.
따라서 $\dfrac{32a}{5} + \dfrac{20}{3} = \dfrac{196}{15} \implies \dfrac{32a}{5} = \dfrac{96}{15} = \dfrac{32}{5}$에서 $a = 1$이다.

소문항 [3-2] 모범 논술 답안 배점 12점

$f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 2$이고, $H(t) = \int_t^{t+2} f(x)\,dx$를 $t$에 대하여 미분하면 $H'(t) = f(t+2) - f(t)$이다.
$f(t+2) - f(t) = \left\{(t+2)^3 + 3(t+2)^2 - 2(t+2) + 2\right\} - (t^3 + 3t^2 - 2t + 2) = 6t^2 + 24t + 16 = 0$에서
$3t^2 + 12t + 8 = 0 \implies t = -2 \pm \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$이므로, 이차항 계수가 양수여서 $t = -2 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$에서 극솟값을 갖는다.

최종 결론:$t = -2 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

소문항 [3-3] 모범 논술 답안 배점 12점

$f(x) - 3x^2 - 2 = x^3 - 2x$이므로 피적분함수는 $|x(x^3 - 2x)| = |x^4 - 2x^2|$이며 우함수이다.
따라서 구하는 정적분은 $2\int_0^3 |x^4 - 2x^2|\,dx = 2\int_0^{\sqrt{2}} (2x^2 - x^4)\,dx + 2\int_{\sqrt{2}}^3 (x^4 - 2x^2)\,dx$
$= 2\left[\dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{1}{5}x^5\right]_0^{\sqrt{2}} + 2\left[\dfrac{1}{5}x^5 - \dfrac{2}{3}x^3\right]_{\sqrt{2}}^3 = \dfrac{459}{5} + \dfrac{32\sqrt{2}}{15}$이다.

최종 결론:$\dfrac{459}{5} + \dfrac{32\sqrt{2}}{15}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[3-1] 우함수·기함수 분리로 $a, b, c, d$ 결정]	$b=3, d=2, c=-2$ 및 대칭 정적분으로 $a=1$ 도출	11점
2단계	[[3-2] 정적분 함수 미분 $H'(t)=f(t+2)-f(t)$] $H'(t)=6t^2+24t+16=0$으로부터 극소점 $t=-2+\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 도출	12점
[[3-3] 절댓값 우함수 구간 분할 적분]	$x=\sqrt{2}$ 기준 구간 분할 적분으로 $\frac{459}{5} + \frac{32\sqrt{2}}{15}$ 산출	12점

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💡 감점 방어 클리닉: 서울과기대 제3회 문항 3번에서는 제시문 조건으로부터 도출한 중간 관계식을 생략하지 않고 소문항 순서대로 서술해야 부분점수를 완벽히 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$a = 1, \; b = 3, \; c = -2, \; d = 2$

【문제 1】 원문 요약 — 지수함수 그래프 위의 격자점 개수와 등차·등비수열의 합 (대수 · 지수함수와 로그함수 / 수열) [배점 30점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

[1-1] 제시문 (나)에서 $n = 1, 2, 3, 4$일 때 두 점 $P_n, Q_n$의 $y$좌표의 대소를 비교하고, 선분 $P_n Q_n$의 길이 $l_n$을 $n$의 구간에 따라 구하시오. [9점]

[1-2] 제시문 (다)의 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{n=3}^{10} a_n$의 값을 구하시오. (단, 등차수열과 등비수열의 합 공식을 이용하시오.) [10점]

[1-3] 자연수 $m$ ($m \ge 3$)에 대하여 $\sum_{n=3}^m l_n \gt 2000$을 만족시키는 자연수 $m$의 최솟값을 구하시오. [11점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

소문항 [1-1] 모범 논술 답안 배점 9점

$x = n$일 때 $P_n(n, 2^n + n)$, $Q_n(n, 2^{n-1} + 3n)$이므로 두 $y$좌표의 차는
$(2^n + n) - (2^{n-1} + 3n) = 2^{n-1} - 2n$이다.
$n=1, 2, 3$일 때 $2^{n-1} - 2n \lt 0$, $n=4$일 때 $8-8=0$, $n \ge 5$일 때 $2^{n-1} - 2n \gt 0$이다.
따라서 $l_n = |2^{n-1} - 2n|$이므로 $1 \le n \le 3$일 때 $l_n = 2n - 2^{n-1}$이고, $n \ge 4$일 때 $l_n = 2^{n-1} - 2n$이다.

소문항 [1-2] 모범 논술 답안 배점 10점

$n=3$일 때는 $2^{n-1}+3n = 13 \gt 2^n+n = 11$이므로 조건을 만족하는 정수 $y$가 존재하지 않아 $a_3 = 0$이다.
$n \ge 4$일 때는 $2^{n-1}+3n \le 2^n+n$이므로 정수 $y$의 개수는 $a_n = (2^n+n) - (2^{n-1}+3n) + 1 = 2^{n-1} - 2n + 1$이다.
따라서 $\sum_{n=3}^{10} a_n = \sum_{n=4}^{10} (2^{n-1} - 2n + 1) = \dfrac{8(2^7 - 1)}{2 - 1} - 2 \cdot \dfrac{7(4 + 10)}{2} + 7 = 1016 - 98 + 7 = 925$이다.

최종 결론:$\sum_{n=3}^{10} a_n = 925$

소문항 [1-3] 모범 논술 답안 배점 11점

$l_3 = 6 - 4 = 2$, $l_4 = 0$이고 $m \ge 4$일 때
$\sum_{n=3}^m l_n = 2 + \sum_{n=4}^m (2^{n-1} - 2n) = 2 + (2^m - 8) - (m(m+1) - 6) = 2^m - m(m+1)$이다.
$m = 11$일 때 $2^{11} - 11 \cdot 12 = 2048 - 132 = 1916 \le 2000$이고,
$m = 12$일 때 $2^{12} - 12 \cdot 13 = 4096 - 156 = 3940 \gt 2000$이므로 최솟값은 $m = 12$이다.

최종 결론:$m = 12$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[1-1] 지수식과 일차식의 대소 비교]	$2^{n-1}-2n$의 부호 변화를 조사하여 $n$ 구간별 $l_n$ 도출	9점
[[1-2] 격자점 개수 일반항 및 급수 합]	$a_3=0$과 $n\ge 4$에서 $a_n=2^{n-1}-2n+1$을 구하여 합 $925$ 산출	10점
[[1-3] 부분합 공식 및 부등식 해법]	$\sum_{n=3}^m l_n = 2^m - m(m+1) \gt 2000$으로부터 최솟값 $m=12$ 도출	11점

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💡 감점 방어 클리닉: 서울과기대 제4회 문항 1번에서는 제시문 조건으로부터 도출한 중간 관계식을 생략하지 않고 소문항 순서대로 서술해야 부분점수를 완벽히 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$1 \le n \le 3$일 때 $l_n = 2n - 2^{n-1}$, $n \ge 4$일 때 $l_n = 2^{n-1} - 2n$

【문제 2】 원문 요약 — 무한대·유한 점에서의 함수의 극한 성질과 다항함수 결정 (미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[2-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 다항함수 $f(x)$의 차수와 최고차항의 계수를 결정하고, $f(x)$의 식을 구하시오. [12점]

[2-2] 제시문 (다)의 함수 $g(x)$에 대하여 방정식 $g(x) = k$ ($x \ne 2$)가 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값을 모두 구하시오. [12점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 2 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

소문항 [2-1] 모범 논술 답안 배점 12점

첫째 극한 조건에서 $f(x) - 2x^3$은 최고차항의 계수가 $-3$인 이차다항식이므로 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b$로 놓을 수 있다.
둘째 극한 조건에서 분모가 $x \to 2$일 때 $0$으로 수렴하므로 $f(2) = 0$이어야 한다. 따라서 $f(x) = (x - 2)(2x^2 + x + c)$로 인수분해된다.
이를 둘째 극한에 대입하면 $\lim_{x \to 2} \dfrac{2x^2 + x + c}{x + 2} = \dfrac{8 + 2 + c}{4} = 5 \implies 10 + c = 20 \implies c = 10$이다.
따라서 $f(x) = (x - 2)(2x^2 + x + 10) = 2x^3 - 3x^2 + 8x - 20$이다.

소문항 [2-2] 모범 논술 답안 배점 12점

$x \ne 2$일 때 $g(x) = 2x^2 + x + 10 = 2\left(x + \dfrac{1}{4}\right)^2 + \dfrac{79}{8}$이다.
방정식 $g(x) = k$ ($x \ne 2$)가 오직 하나의 실근을 가질 조건은:
① 이차방정식 $2x^2 + x + 10 = k$가 중근을 가질 때: 꼭짓점의 함숫값 $k = \dfrac{79}{8}$이다.
② 서로 다른 두 실근 중 하나가 제외된 점 $x = 2$일 때: $k = 2(2)^2 + 2 + 10 = 20$ (나머지 한 근은 $x = -\dfrac{5}{2} \ne 2$).
따라서 조건을 만족하는 $k$의 값은 $\dfrac{79}{8}$과 $20$이다.

최종 결론:$k = \dfrac{79}{8}$ 또는 $k = 20$

소문항 [2-3] 모범 논술 답안 배점 11점

$h(x) = f'(x) = 6x^2 - 6x + 8 = 6\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{13}{2}$이다.
$t \gt 0$일 때 닫힌구간 $[-t, t]$에서 대칭축 $x = \dfrac{1}{2} \gt 0$으로부터 가장 먼 점은 항상 왼쪽 끝점 $x = -t$이다.
따라서 최댓값은 $M(t) = h(-t) = 6t^2 + 6t + 8$이고,
$\lim_{t \to 1} \dfrac{M(t) - 20}{t - 1} = \lim_{t \to 1} \dfrac{6(t - 1)(t + 2)}{t - 1} = 18$이다.

최종 결론:$M(t) = 6t^2 + 6t + 8, \; \lim_{t \to 1} \dfrac{M(t) - 20}{t - 1} = 18$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[2-1] 무한대·유한 극한으로 삼차함수 결정]	$f(x)=(x-2)(2x^2+x+10)=2x^3-3x^2+8x-20$ 도출	12점
[[2-2] 구멍 뚫린 이차함수의 실근 개수]	꼭짓점 $k=79/8$과 제외점 $x=2$에서의 값 $k=20$ 모두 도출	12점
[[2-3] 도함수 이차함수의 구간 최댓값 및 극한]	$M(t)=6t^2+6t+8$ 도출 및 극한값 $18$ 산출	11점

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💡 감점 방어 클리닉: 서울과기대 제4회 문항 2번에서는 제시문 조건으로부터 도출한 중간 관계식을 생략하지 않고 소문항 순서대로 서술해야 부분점수를 완벽히 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 8x - 20$

【문제 3】 원문 요약 — 삼차함수와 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 최소성 (미적분Ⅰ · 정적분의 활용) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[3-2] $t \gt 1$일 때 함수 $g(t) = \dfrac{S(t)}{(t - 1)^2} + \dfrac{27}{(t - 1)^2}$의 최솟값과 그때의 $t$의 값을 구하시오. [12점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 3 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

소문항 [3-1] 모범 논술 답안 배점 11점

방정식 $f(x) - l_t(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - \left\{f'(t)(x - t) + f(t)\right\} = 0$은 $x = t$를 중근으로, $x = s$를 다른 한 근으로 갖는다.
삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 세 근의 합은 $t + t + s = 3$이므로 $s = 3 - 2t$이다.
따라서 $t - s = t - (3 - 2t) = 3(t - 1)$이므로 제시문 (가)에 의해 둘러싸인 넓이는
$S(t) = \dfrac{1}{12}\left\{3(t - 1)\right\}^4 = \dfrac{81}{12}(t - 1)^4 = \dfrac{27}{4}(t - 1)^4$이다.

소문항 [3-2] 모범 논술 답안 배점 12점

$t \gt 1$일 때 $g(t) = \dfrac{27}{4}(t - 1)^2 + \dfrac{27}{(t - 1)^2}$이다.
$u = (t - 1)^2 \gt 0$으로 놓으면 산술·기하평균의 관계(또는 미분법)에 의하여
$g(t) = \dfrac{27}{4}u + \dfrac{27}{u} \ge 2\sqrt{\dfrac{27}{4}u \cdot \dfrac{27}{u}} = 27$이다.
등호는 $\dfrac{27}{4}u = \dfrac{27}{u} \iff u^2 = 4 \iff (t - 1)^2 = 2$, 즉 $t = 1 + \sqrt{2}$ ($t \gt 1$)일 때 성립하므로 최솟값은 $27$이다.

최종 결론:최솟값 $27$, 그때의 $t = 1 + \sqrt{2}$

소문항 [3-3] 모범 논술 답안 배점 12점

$t = 2$일 때 $f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$, $f'(2) = 12 - 12 + 2 = 2$이므로 접선의 방정식은 $y = 2(x - 2) = 2x - 4$이다.
교점의 $x$좌표는 $s = 3 - 4 = -1$과 $t = 2$이므로 직접 정적분하면
$S(2) = \int_{-1}^2 \left\{(x^3 - 3x^2 + 2x) - (2x - 4)\right\}dx = \int_{-1}^2 (x + 1)(x - 2)^2\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x\right]_{-1}^2 = 4 - \left(-\dfrac{11}{4}\right) = \dfrac{27}{4}$이 되어 [3-1]의 공식 $S(2) = \dfrac{27}{4}$과 정확히 일치한다.

최종 결론:접선 $y = 2x - 4, \; S(2) = \dfrac{27}{4}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[3-1] 삼차방정식 근과 계수의 관계]	$2t+s=3 \implies s=3-2t$ 및 넓이 공식 $S(t)=\frac{27}{4}(t-1)^4$ 도출	11점
[[3-2] 넓이 비율 함수의 최솟값 도출]	$g(t)=\frac{27}{4}(t-1)^2 + \frac{27}{(t-1)^2}$에서 $t=1+\sqrt{2}$일 때 최솟값 $27$ 산출	12점
[[3-3] 접선 방정식 및 정적분 직접 검증]	접선 $y=2x-4$ 도출 및 $\int_{-1}^2 (x^3-3x^2+4)dx = 27/4$ 직접 계산	12점

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💡 감점 방어 클리닉: 서울과기대 제4회 문항 3번에서는 제시문 조건으로부터 도출한 중간 관계식을 생략하지 않고 소문항 순서대로 서술해야 부분점수를 완벽히 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$s = 3 - 2t, \; S(t) = \dfrac{27}{4}(t - 1)^4$

【문제 1】 원문 요약 — 등차수열과 등비수열의 부분합 성질 및 수학적 귀납법 (대수 · 수열) [배점 30점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-04]

[1-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$과 수열 $\{b_n\}$의 일반항 $b_n$을 각각 구하시오. [9점]

[1-2] 수열 $\{b_n\}$의 첫째항부터 제$10$항까지의 합 $\sum_{k=1}^{10} b_k$와 $\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}$의 값을 각각 구하시오. [10점]

[1-3] 제시문 (다)의 등식 $\sum_{k=1}^n (2k + 1)2^k = (2n - 1)2^{n+1} + 2$가 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오. [11점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

소문항 [1-1] 모범 논술 답안 배점 9점

$a_3 = a + 2d = 7$, $S_6 = 3(2a + 5d) = 48 \implies 2a + 5d = 16$이다.
두 식을 연립하면 $d = 2, \; a = 3$이므로 등차수열의 일반항은 $a_n = 3 + 2(n - 1) = 2n + 1$이다.
이를 대입하면 $b_n = 2^{(2n+1-1)/2} = 2^n$이다.

소문항 [1-2] 모범 논술 답안 배점 10점

$b_k = 2^k$은 첫째항이 $2$, 공비가 $2$인 등비수열이므로 $\sum_{k=1}^{10} b_k = \dfrac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 2046$이다.
또한 $\dfrac{1}{a_k a_{k+1}} = \dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k+1} - \dfrac{1}{2k+3}\right)$이므로
$\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{23}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{20}{69} = \dfrac{10}{69}$이다.

최종 결론:$\sum_{k=1}^{10} b_k = 2046, \; \sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}} = \dfrac{10}{69}$

소문항 [1-3] 모범 논술 답안 배점 11점

(i) $n = 1$일 때: 좌변은 $(2\cdot 1 + 1)2^1 = 6$이고, 우변은 $(2\cdot 1 - 1)2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$이므로 성립한다.
(ii) $n = m$일 때 등식 $\sum_{k=1}^m (2k + 1)2^k = (2m - 1)2^{m+1} + 2$가 성립한다고 가정하자.
양변에 $k = m + 1$번째 항인 $(2m + 3)2^{m+1}$을 더하면
$\sum_{k=1}^{m+1} (2k + 1)2^k = (2m - 1)2^{m+1} + (2m + 3)2^{m+1} + 2 = (4m + 2)2^{m+1} + 2 = (2m + 1)2^{m+2} + 2 = \left\{2(m+1) - 1\right\}2^{(m+1)+1} + 2$이다.
따라서 $n = m + 1$일 때도 등식이 성립하므로, 수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 성립한다.

최종 결론:수학적 귀납법 증명 완료

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[1-1] 등차·등비수열 일반항 도출]	$a_3=7, S_6=48$ 연립으로 $a_n=2n+1, b_n=2^n$ 도출	9점
[[1-2] 등비수열 합 및 부분분수 소거]	$\sum b_k = 2046$ 및 부분분수 합 $\frac{10}{69}$ 산출	10점
[[1-3] 수학적 귀납법 2단계 논증]	(i) $n=1$ 성립 확인 및 (ii) $n=m \implies n=m+1$ 대수적 변형 완결	11점

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💡 감점 방어 클리닉: 서울과기대 제5회 문항 1번에서는 제시문 조건으로부터 도출한 중간 관계식을 생략하지 않고 소문항 순서대로 서술해야 부분점수를 완벽히 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$a_n = 2n + 1, \; b_n = 2^n$

【문제 2】 원문 요약 — 도함수의 정의와 부등식의 활용 (미적분Ⅰ · 미분법 / 도함수의 활용) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

[2-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 $f(0)$의 값을 구하고, 도함수의 정의를 써서 $f'(x)$와 $f(x)$의 식을 각각 구하시오. [12점]

[2-2] 함수 $f(x)$의 그래프 위의 두 극점 $A, B$를 지나는 직선의 방정식을 구하고, 선분 $AB$의 중점이 곡선 $y = f(x)$ 위에 있음을 보이시오. [11점]

[2-3] 제시문 (다)에서 닫힌구간 $[0, 3]$의 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f(x) \ge kx - 14$가 성립하도록 하는 실수 $k$의 최댓값을 구하시오. [12점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 2 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

소문항 [2-1] 모범 논술 답안 배점 12점

함수방정식에 $x = 0, y = 0$을 대입하면 $f(0) = 2f(0) - 2 \implies f(0) = 2$이다.
도함수의 정의에 의하여
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) + 3xh(x+h) - 2}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - f(0)}{h} + 3x^2 = f'(0) + 3x^2 = 3x^2 - 9$이다.
이를 부정적분하고 $f(0) = 2$를 대입하면 $f(x) = x^3 - 9x + 2$이다.

소문항 [2-2] 모범 논술 답안 배점 11점

$f'(x) = 3(x^2 - 3) = 0$에서 두 극점의 $x$좌표는 $x = -\sqrt{3}, \sqrt{3}$이다.
$f(-\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} + 2$, $f(\sqrt{3}) = -6\sqrt{3} + 2$이므로
두 극점 $A(-\sqrt{3}, 6\sqrt{3}+2)$, $B(\sqrt{3}, -6\sqrt{3}+2)$를 지나는 직선의 기울기는 $\dfrac{-12\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -6$이고 방정식은 $y = -6x + 2$이다.
선분 $AB$의 중점은 $M(0, 2)$이며, $f(0) = 2$이므로 중점 $M$은 곡선 $y = f(x)$ 위에 있다.

최종 결론:직선 $y = -6x + 2$, 중점 $M(0, 2)$는 곡선 위의 점

소문항 [2-3] 모범 논술 답안 배점 12점

부등식 $x^3 - 9x + 2 \ge kx - 14 \iff x^3 - (k + 9)x + 16 \ge 0$이 구간 $[0, 3]$에서 항상 성립해야 한다.
$x = 0$일 때 $16 \ge 0$은 항상 성립하고, $0 \lt x \le 3$일 때 $k + 9 \le x^2 + \dfrac{16}{x}$이다.
함수 $g(x) = x^2 + \dfrac{16}{x}$ ($0 \lt x \le 3$)에 대하여 $g'(x) = 2x - \dfrac{16}{x^2} = \dfrac{2(x^3 - 8)}{x^2} = 0$에서
$x = 2$일 때 극소이자 최소이며 $g(2) = 4 + 8 = 12$이다.
따라서 $k + 9 \le 12 \implies k \le 3$이므로 실수 $k$의 최댓값은 $3$이다.

최종 결론:$k$의 최댓값 $3$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[2-1] 도함수 정의를 통한 함수방정식 해법]	$f(0)=2$, $f'(x)=3x^2-9$ 및 $f(x)=x^3-9x+2$ 유도	12점
[[2-2] 극점 연결 직선과 대칭 중심 확인]	직선 $y=-6x+2$ 및 중점 $(0,2)$가 곡선 위에 있음을 증명	11점
[[2-3] 구간 부등식 성립 조건과 최댓값]	$k+9 \le x^2 + 16/x$ 변환 및 $x=2$에서 최솟값 $12$를 구하여 $k\le 3$ 도출	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 서울과기대 제5회 문항 2번에서는 제시문 조건으로부터 도출한 중간 관계식을 생략하지 않고 소문항 순서대로 서술해야 부분점수를 완벽히 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$f(0) = 2, \; f'(x) = 3x^2 - 9, \; f(x) = x^3 - 9x + 2$

【문제 3】 원문 요약 — 정적분과 미분의 관계 및 정적분으로 정의된 함수의 극값 (미적분Ⅰ · 부정적분과 정적분) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

[3-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 이차함수 $f(x)$와 삼차함수 $F(x)$의 식을 구하고, $F(x)$의 극솟값을 구하시오. (단, $F(0) = 0$ 조건을 확인하시오.) [11점]

[3-2] 제시문 (다)의 함수 $I(a)$가 최솟값을 갖는 실수 $a$의 값과 그때의 최솟값을 각각 구하시오. [12점]

[3-3] 곡선 $y = f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S$라 할 때, $S$의 값이 $F(-1) - F(3)$과 같음을 설명하고 그 값을 구하시오. [12점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 3 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

소문항 [3-1] 모범 논술 답안 배점 11점

$F'(x) = f(x)$이고 $F(x)$가 $x = -1$에서 극대, $x = 3$에서 극소이므로 최고차항 계수가 $3$인 이차함수 $f(x)$는
$f(x) = 3(x + 1)(x - 3) = 3x^2 - 6x - 9$이다.
$F(0) = \int_0^0 f(t)\,dt = 0$이므로 $F(x) = \int_0^x (3t^2 - 6t - 9)\,dt = x^3 - 3x^2 - 9x$이다.
이때 극댓값은 $F(-1) = -1 - 3 + 9 = 5$로 조건을 만족하며, 극솟값은 $F(3) = 27 - 27 - 27 = -27$이다.

소문항 [3-2] 모범 논술 답안 배점 12점

$I(a) = \int_a^{a+2} (3x^2 - 6x - 9)\,dx = F(a+2) - F(a)$이다.
양변을 $a$에 대하여 미분하면 $I'(a) = f(a+2) - f(a) = 3\left\{(a+2)^2 - a^2\right\} - 6\left\{(a+2) - a\right\} = 3(4a + 4) - 12 = 12a$이다.
$I'(a) = 0$에서 $a = 0$이고, $a = 0$의 좌우에서 $I'(a)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $a = 0$에서 최솟값을 갖는다.
최솟값은 $I(0) = F(2) - F(0) = (8 - 12 - 18) - 0 = -22$이다.

최종 결론:$a = 0$, 최솟값 $I(0) = -22$

소문항 [3-3] 모범 논술 답안 배점 12점

곡선 $y = f(x) = 3(x + 1)(x - 3)$은 구간 $[-1, 3]$에서 $f(x) \le 0$이므로 $x$축과 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는
$S = \int_{-1}^3 |f(x)|\,dx = -\int_{-1}^3 f(x)\,dx = -\left\{F(3) - F(-1)\right\} = F(-1) - F(3)$이다.
따라서 $S = 5 - (-27) = 32$이다.

최종 결론:$S = F(-1) - F(3) = 32$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[[3-1] 정적분 미분으로 $f(x), F(x)$ 결정]	$f(x)=3(x+1)(x-3)$ 및 $F(x)=x^3-3x^2-9x$, 극솟값 $F(3)=-27$ 도출	11점
[[3-2] 이동 구간 정적분의 도함수 $I'(a)$]	$I'(a)=f(a+2)-f(a)=12a=0$으로부터 $a=0$, 최솟값 $-22$ 산출	12점
[[3-3] 정적분 부호와 넓이의 기하학적 관계]	구간 $[-1, 3]$에서 $f(x)\le 0$임을 보여 $S=F(-1)-F(3)=32$ 도출	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 서울과기대 제5회 문항 3번에서는 제시문 조건으로부터 도출한 중간 관계식을 생략하지 않고 소문항 순서대로 서술해야 부분점수를 완벽히 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$f(x) = 3x^2 - 6x - 9, \; F(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$, 극솟값 $-27$

【문제 1】 원문 요약 — 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수) [배점 30점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

[문항 1-3] (10점) 원점 O에서 직선 $x + y - 492 = 0$까지의 거리 $h = \dfrac{492}{\sqrt{2}}$를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 두 교점은 직선 $x + y = 492$ 위에 있고 역함수 대칭이므로 $x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 492$이며 중점은 $\mathrm{M}(246, 246)$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 기울기가 $-1$인 직선 위의 두 점 거리 공식에서 $\sqrt{2}(x_2 - x_1) = 2\sqrt{2} \implies x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 492)$이므로 연립하면 $\mathrm{P}(245, 247),\; \mathrm{Q}(247, 245)$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원점에서 직선 $x + y - 492 = 0$까지의 거리는 $h = \dfrac{492}{\sqrt{2}}$이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{492}{\sqrt{2}} = 492$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 $x_1 + x_2 = 492$ 유도 +3점 / 중점 $\mathrm{M}(246, 246)$ 도출 +3점	10점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 $x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 492)$ 도출 +3점 / 좌표 $\mathrm{P}(245, 247),\; \mathrm{Q}(247, 245)$ 산출 +4점	10점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 $h = \dfrac{492}{\sqrt{2}}$ 계산 +4점 / 삼각형 넓이 $S = 492$ 산출 +3점	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 $-1$인 직선 $x + y = 492$ 위에서 두 점의 좌표 차가 주어지면 대칭축 중점 $\mathrm{M}(246, 246)$을 기준으로 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [1-1] $x_1 + x_2 = 492,\; \mathrm{M}(246, 246)$ | [1-2] $\mathrm{P}(245, 247),\; \mathrm{Q}(247, 245)$ | [1-3] 넓이 $S = 492$

【문제 2】 원문 요약 — 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 삼차다항함수 결정 및 접선 (미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 9xy(x + y) - 244$을 만족시키고 $f'(0) = 248$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (11점) 원점 대입으로 $f(0) = 244$를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x) = 9x^2 + 248$임을 유도하시오.

[문항 2-2] (12점) 부정적분으로 함수 $f(x) = 3x^3 + 248x + 244$를 결정하고, 곡선 위의 점 $(1, 495)$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 2-3] (12점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 284\right)$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 2 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 함수방정식에 원점을 대입하면 $f(0) = 2f(0) - 244 \implies f(0) = 244$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 도함수 정의에 대입하면 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 244 + 9xh(x+h)}{h} = 9x^2 + 248$이므로 적분하면 $f(x) = 3x^3 + 248x + 244$이고, 점 $(1, 495)$에서의 접선은 $y = 257x + 238$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 분모를 인수분해하면 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{284}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• $f(0) = 244$ 산출 +2점 / 도함수 정의로 $f'(x) = 9x^2 + 248$ 유도 +4점	11점
소문항 [3-2]	• $f(x) = 3x^3 + 248x + 244$ 결정 +4점 / 접선 $y = 257x + 238$ 도출 +3점	12점
소문항 [3-3]	• 미분계수 식 $\dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{284}{4}$ 변형 +4점 / 극한값 산출 +3점	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 도함수 정의식을 전개할 때 상수항 $-244$를 $-f(0)$으로 바꾸어 $\dfrac{f(h)-f(0)}{h} \to f'(0) = 248$를 명시해야 감점이 없습니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [3-1] $f(0) = 244,\; f'(x) = 9x^2 + 248$ | [3-2] $f(x) = 3x^3 + 248x + 244$, 접선 $y = 257x + 238$ | [3-3] $\dfrac{284}{4}$

【문제 3】 원문 요약 — 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

포물선 $C : y = -6x^2 + 1446x$와 가로축 및 원점을 지나는 직선 $L : y = 723x$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (11점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 $y = -6x^2 + 1446x$와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S = 13997521$를 유도하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 3 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 정적분을 계산하면 $S = \left[-2x^3 + 723x^2\right]_0^{241} = -2(241)^3 + 3(241)^3 = 13997521$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 포물선의 대칭축 $x = \dfrac{241}{2}$에 의해 $k = \dfrac{241}{2}$이고, 실제로 $\left[-2x^3 + 723x^2\right]_0^{241/2} = -\dfrac{13997521}{4} + \dfrac{3\times 13997521}{4} = \dfrac{13997521}{2}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 연립방정식 $-6x^2 + 1446x = 723x \implies 6x\left(x - \dfrac{241}{2}\right) = 0$이므로 교점은 $x = 0, \dfrac{241}{2}$이고 넓이는 $S_1 = \int_0^{241/2} (-6x^2 + 723x)\,dx = \dfrac{13997521}{8}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• 원시함수 $-2x^3 + 723x^2$ 적분 +3점 / 넓이 $S = 13997521$ 도출 +3점	11점
소문항 [5-2]	• 대칭축 $k = \dfrac{241}{2}$ 도출 +3점 / 구간 $[0, 241/2]$ 적분값 $\dfrac{13997521}{2}$ 확인 +4점	12점
소문항 [5-3]	• 교점 $x = \dfrac{241}{2}$ 산출 +3점 / 넓이 $S_1 = \dfrac{13997521}{8}$ 도출 +4점	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 $-6$이고 두 교점의 차가 $\beta - \alpha = \dfrac{241}{2}$일 때 둘러싸인 넓이는 항상 $(\beta - \alpha)^3 = \dfrac{13997521}{8}$이 됩니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [5-1] $S = 13997521$ | [5-2] $k = \dfrac{241}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{13997521}{2}$ | [5-3] 교점 $x = 0, \dfrac{241}{2}$, 넓이 $S_1 = \dfrac{13997521}{8}$

【문제 1】 원문 요약 — 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙)) [배점 30점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 $b = 720,\; c = 1200$이고 끼인각이 $A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=720\right)$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (10점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 $a = 1680$의 길이를 유도하시오.

[문항 1-2] (10점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 $R = \dfrac{1680\sqrt{3}}{3}$과 삼각형의 넓이 $S = \dfrac{864000\sqrt{3}}{4}$를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (10점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 $r = \dfrac{240\sqrt{3}}{2}$를 구하고 반지름의 곱 $R\cdot r$을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 코사인법칙에서 $a^2 = 720^2 + 1200^2 - 2(720)(1200)(-1/2) = 49\times 240^2$이므로 $a = 1680$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 사인법칙에서 $2R = \dfrac{1680}{\sqrt{3}/2} \implies R = \dfrac{1680\sqrt{3}}{3}$이고, 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\times 720\times 1200\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{864000\sqrt{3}}{4}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 둘레가 $a + b + c = 3600$이므로 $\dfrac{3600}{2}r = \dfrac{864000\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{240\sqrt{3}}{2}$이고 $R\cdot r = \dfrac{403200}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 $a^2 = 49\times 240^2$ +3점 / $a = 1680$ 도출 +3점	10점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 $R = \dfrac{1680\sqrt{3}}{3}$ 산출 +3점 / 넓이 $S = \dfrac{864000\sqrt{3}}{4}$ 계산 +4점	10점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 $r = \dfrac{240\sqrt{3}}{2}$ 유도 +4점 / 곱 $R\cdot r = \dfrac{403200}{2}$ 도출 +3점	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 끼인각이 $120^\circ$이고 두 변의 비가 $3 : 5$인 둔각삼각형은 대변의 비가 항상 $7$이 되는 대표적인 정수비 삼각형($3\times 240 : 5\times 240 : 7\times 240$)입니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [2-1] $a = 1680$ | [2-2] $R = \dfrac{1680\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{864000\sqrt{3}}{4}$ | [2-3] $r = \dfrac{240\sqrt{3}}{2},\; R\cdot r = \dfrac{403200}{2}$

【문제 2】 원문 요약 — 절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

이차함수 $P(x) = x^2 - 485x + 58804$에 대하여 함수 $h(x) = |x - 244|P(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (11점) $x = 244$에서의 우미분계수 $P(244)$와 좌미분계수 $-P(244)$를 미분계수 정의로 구하고 $P(244) = 0$임을 확인하시오.

[문항 2-2] (12점) 구간 $x \lt 244$에서 도함수 $h'(x) = -3(x - 244)(x - 242)$을 유도하시오.

[문항 2-3] (12점) $x \ne 244$에서 도함수가 영이 되는 $x = 242$의 값과 그때의 함숫값 $h(242) = -4\;(\text{기준점 } 244)$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 2 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 미분계수 정의에서 $\lim_{x \to 244\pm} \dfrac{|x - 244|P(x)}{x - 244} = \pm P(244)$이고 실제로 $P(244) = (244 - 244)(244 - 241) = 0$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 구간 $x \lt 244$에서 $h(x) = -(x - 244)^2(x - 241)$를 미분하면 $h'(x) = -(x - 244)(3x - 726) = -3(x - 244)(x - 242)$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 따라서 $x \ne 244$에서 극점은 $x = 242$이고, 대입하면 $h(242) = -(242 - 244)^2(242 - 241) = -4$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 좌·우미분계수 $\pm P(244)$ 정의식 서술 +4점 / $P(244) = 0$ 확인 +2점	11점
소문항 [4-2]	• $x \lt 244$ 부호 분리 및 곱의 미분법 적용 +4점 / $h'(x) = -3(x - 244)(x - 242)$ 유도 +3점	12점
소문항 [4-3]	• 극점 $x = 242$ 도출 +3점 / 함숫값 $h(242) = -4\;(\text{극점 } 242)$ 산출 +4점	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 첨점 후보 $x = 244$에서 절댓값 함수가 미분가능하려면 곱해진 다항식이 $x - 244$을 인수로 가져야 함을 먼저 서술하세요.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [4-1] $P(244) = -P(244) = 0$ 확인 | [4-2] $h'(x) = -3(x - 244)(x - 242)$ | [4-3] $x = 242,\; h(242) = -4$

【문제 3】 원문 요약 — 상수 구간 정적분을 포함한 프레드홀름 항등식의 치환 해법 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 737$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (11점) 정적분을 상수 $A$로 치환하고 $A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 737)\,dt$를 풀어 상수 $A = 246$과 함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 3-2] (12점) 함수 $f(x) = 3x^2 - 984x + 737$이 극솟값을 갖는 좌표 $x = \dfrac{492}{3}$와 함숫값 $f(1) = -244$을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (12점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 $\int_{-1}^{1} (3x^2 - 984x + 737)\,dx = 1476$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 3 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 정적분 정의식에 대입하면 $A = \left[t^3 - 2At^2 + 737t\right]_0^1 = 738 - 2A \implies 3A = 738$이므로 $A = 246$이고 $f(x) = 3x^2 - 984x + 737$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 도함수 $f'(x) = 6x - 984 = 0$에서 극소점은 $x = \dfrac{492}{3}$이고, $f(1) = 3 - 984 + 737 = -244$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 기함수 항 $-984x$는 소거되므로 $\int_{-1}^{1} (3x^2 - 984x + 737)\,dx = 2(1 + 737) = 1476$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• $A = 738 - 2A \implies A = 246$ 도출 +3점 / $f(x) = 3x^2 - 984x + 737$ 완성 +3점	11점
소문항 [5-2]	• 대칭축 $x = \dfrac{492}{3}$ 산출 +4점 / $f(1) = -244$ 계산 +3점	12점
소문항 [5-3]	• 기함수 소거 및 우함수 2배 공식 적용 +4점 / 정적분 값 $1476$ 도출 +3점	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 적분 구간이 상수인 정적분은 함수가 아니라 상수 $A = 246$이므로 미분하지 않고 상수로 치환해야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [5-1] $A = 246,\; f(x) = 3x^2 - 984x + 737$ | [5-2] $x = \dfrac{492}{3},\; f(1) = -244$ | [5-3] $1476$

【문제 1】 원문 요약 — 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (대수 Ⅰ-1. 지수와 로그) [배점 30점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]

양수 $x$가 $x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{251}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (10점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 $x + x^{-1} = 249$임을 보이고 $x^2 + x^{-2} = 61999$의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (10점) 세제곱 공식을 이용하여 $x^{3/2} + x^{-3/2} = 248\sqrt{251}$과 $x^3 + x^{-3} = 15437502$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (10점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 $\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{15437504}{248\sqrt{251}}$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제곱 공식에서 $x + x^{-1} = (\sqrt{251})^2 - 2 = 249$이고, 다시 제곱하면 $x^2 + x^{-2} = 249^2 - 2 = 61999$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 세제곱 공식에서 $x^{3/2} + x^{-3/2} = (\sqrt{251})^3 - 3\sqrt{251} = 248\sqrt{251}$이고, $x^3 + x^{-3} = 249^3 - 3\times 249 = 15437502$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 분자 $x^3 + x^{-3} + 2 = 15437504 = (248\sqrt{251})^2$이므로 분모 $248\sqrt{251}$로 약분하면 $248\sqrt{251}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• $x + x^{-1} = 249$ 유도 +3점 / $x^2 + x^{-2} = 61999$ 산출 +3점	10점
소문항 [1-2]	• $x^{3/2} + x^{-3/2} = 248\sqrt{251}$ 도출 +3점 / $x^3 + x^{-3} = 15437502$ 계산 +4점	10점
소문항 [1-3]	• 분자 $15437504$ 완전제곱 변형 +4점 / 약분 결과 $248\sqrt{251}$ 도출 +3점	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 분자 $15437504 = (248\sqrt{251})^2$임을 활용하면 큰 수의 유리화 없이 한 번의 약분으로 정확한 값을 얻을 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [1-1] $x + x^{-1} = 249,\; x^2 + x^{-2} = 61999$ | [1-2] $x^{3/2} + x^{-3/2} = 248\sqrt{251},\; x^3 + x^{-3} = 15437502$ | [1-3] $248\sqrt{251}$

【문제 2】 원문 요약 — 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수)) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.22 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 $f(x) = x^3 + 708x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-2] (12점) $f(0) = 2,\; f(1) = 711$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2) = \dfrac{1}{708}$와 $g'(711) = \dfrac{1}{711}$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 2 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = 3c^2 + 708 \ge 708$이고 $x_2 - x_1 \gt 0$이므로 $f(x_2) - f(x_1) \ge 708(x_2 - x_1)$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 역함수 미분법에 의해 $g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{708}$이고 $g'(711) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{711}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 점 $(711, 1)$에서의 접선은 $y - 1 = \dfrac{1}{711}(x - 711) \implies y = \dfrac{1}{711}x$이고, 역수의 합은 $708 + 711 = 1419$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 평균값 정리 선언 및 $f'(c) = 3c^2 + 708 \ge 708$ 서술 +6점	11점
소문항 [2-2]	• $g'(2) = \dfrac{1}{708}$ 산출 +3점 / $g'(711) = \dfrac{1}{711}$ 산출 +4점	12점
소문항 [2-3]	• 접선 $y = \dfrac{1}{711}x$ 유도 +4점 / 역수 합 $1419$ 계산 +3점	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 미분계수 $g'(711)$를 구할 때는 $f(a) = 711$를 만족시키는 원함수 위의 점 $a = 1$을 먼저 찾아야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [2-1] $f'(c) = 3c^2 + 708 \ge 708$ 증명 완료 | [2-2] $g'(2) = \dfrac{1}{708},\; g'(711) = \dfrac{1}{711}$ | [2-3] 접선 $y = \dfrac{1}{711}x,\; \text{합 } 1419$

【문제 3】 원문 요약 — 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1440)\,dt$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (11점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 $F'(x) = 3x^2 - 1440x$와 이계도함수 $F''(x) = 6x - 1440$를 유도하시오.

[문항 3-2] (12점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 $F(0) - F(480) = 55296000$를 구하시오.

[문항 3-3] (12점) 이계도함수가 영이 되는 $x = 240$에서의 함숫값 $F(240) = -27648000$과 접선의 기울기 $F'(240) = -172800$을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 3 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 적분변수를 분리하여 미분하면 $F'(x) = \int_0^x (6t - 1440)\,dt = 3x^2 - 1440x$이고 $F''(x) = 6x - 1440$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $F'(x) = 3x(x - 480) = 0$에서 극댓값 $F(0) = 0$, 극솟값 $F(480) = -55296000$이므로 극값의 차는 $55296000$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원시함수 $F(x) = x^3 - 720x^2$에 $x = 240$을 대입하면 $F(240) = -27648000$이고 $F'(240) = -172800$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / $F'(x) = 3x^2 - 1440x$ 도출 +3점	11점
소문항 [3-2]	• 극점 $x = 0, 480$ 판정 +3점 / 극값의 차 $55296000$ 산출 +4점	12점
소문항 [3-3]	• $F(240) = -27648000$ 계산 +4점 / $F'(240) = -172800$ 도출 +3점	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 $(x - t)(6t - 1440)$ 안에 적분변수가 아닌 $x$가 들어 있으므로 미분하기 전에 반드시 $x$를 적분 기호 밖으로 묶어내야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [3-1] $F'(x) = 3x(x - 480),\; F''(x) = 6x - 1440$ | [3-2] 극대 $x=0$, 극소 $x=480$, 차 $55296000$ | [3-3] $F(240) = -27648000,\; F'(240) = -172800$

【문제 1】 원문 요약 — 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수) [배점 30점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

[문항 1-3] (10점) 원점 O에서 직선 $x + y - 498 = 0$까지의 거리 $h = \dfrac{498}{\sqrt{2}}$를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 두 교점은 직선 $x + y = 498$ 위에 있고 역함수 대칭이므로 $x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 498$이며 중점은 $\mathrm{M}(249, 249)$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 기울기가 $-1$인 직선 위의 두 점 거리 공식에서 $\sqrt{2}(x_2 - x_1) = 2\sqrt{2} \implies x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 498)$이므로 연립하면 $\mathrm{P}(248, 250),\; \mathrm{Q}(250, 248)$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원점에서 직선 $x + y - 498 = 0$까지의 거리는 $h = \dfrac{498}{\sqrt{2}}$이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{498}{\sqrt{2}} = 498$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 $x_1 + x_2 = 498$ 유도 +3점 / 중점 $\mathrm{M}(249, 249)$ 도출 +3점	10점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 $x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 498)$ 도출 +3점 / 좌표 $\mathrm{P}(248, 250),\; \mathrm{Q}(250, 248)$ 산출 +4점	10점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 $h = \dfrac{498}{\sqrt{2}}$ 계산 +4점 / 삼각형 넓이 $S = 498$ 산출 +3점	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 $-1$인 직선 $x + y = 498$ 위에서 두 점의 좌표 차가 주어지면 대칭축 중점 $\mathrm{M}(249, 249)$을 기준으로 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [1-1] $x_1 + x_2 = 498,\; \mathrm{M}(249, 249)$ | [1-2] $\mathrm{P}(248, 250),\; \mathrm{Q}(250, 248)$ | [1-3] 넓이 $S = 498$

【문제 2】 원문 요약 — 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치 차 함수가 $h(t) = t^3 - 1458t^2 + 531441t = t(t - 729)^2$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (11점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 $t_1 = 729$를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 $h'(729) = 0$의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (12점) 닫힌구간 $[0, 729]$에서 도함수 $h'(t) = 3(t - 243)(t - 729)$의 부호를 조사하여 거리 최댓값 $D(243) = 57395628$를 구하시오.

[문항 2-3] (12점) 가속도의 차 $h''(t) = 6t - 2916 = 0$이 되는 시각 $t_2 = 486$와 그때 두 점 사이의 거리 $D(486) = 28697814$를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 2 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 위치 차 $h(t) = t(t - 729)^2 = 0\;(t \gt 0)$에서 $t_1 = 729$이고, 도함수 $h'(t) = 3(t - 243)(t - 729)$에 대입하면 $h'(729) = 0$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 구간 $[0, 729]$에서 내부 극대점은 $t = 243$이므로 최댓값은 $D(243) = 243(-486)^2 = 57395628$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 이계도함수 $h''(t) = 6t - 2916 = 0$에서 $t_2 = 486$이고, 그때의 거리는 $D(486) = 486(-243)^2 = 28697814$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• $t_1 = 729$ 도출 +3점 / 속도 차 $h'(729) = 0$ 확인 +3점	11점
소문항 [4-2]	• $h'(t) = 3(t - 243)(t - 729) = 0$ 극대 판정 +4점 / 최댓값 $57395628$ 산출 +3점	12점
소문항 [4-3]	• $h''(t) = 6t - 2916 = 0 \implies t_2 = 486$ 도출 +3점 / 거리 $28697814$ 계산 +4점	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 비율 관계($1 : 2 : 3$)에 의해 원점 $t=0$, 극대 $t=243$, 변곡 $t=486$, 접점 $t=729$이 등간격 $243$로 배열됩니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [4-1] $t_1 = 729,\; h'(729) = 0$ | [4-2] $t = 243$에서 최댓값 $57395628$ | [4-3] $t_2 = 486,\; D(486) = 28697814$

【문제 3】 원문 요약 — 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1446)\,dt$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (11점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 $F'(x) = 3x^2 - 1446x$와 이계도함수 $F''(x) = 6x - 1446$를 유도하시오.

[문항 3-2] (12점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 $F(0) - F(482) = 55990084$를 구하시오.

[문항 3-3] (12점) 이계도함수가 영이 되는 $x = 241$에서의 함숫값 $F(241) = -27995042$과 접선의 기울기 $F'(241) = -174243$을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 3 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 적분변수를 분리하여 미분하면 $F'(x) = \int_0^x (6t - 1446)\,dt = 3x^2 - 1446x$이고 $F''(x) = 6x - 1446$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $F'(x) = 3x(x - 482) = 0$에서 극댓값 $F(0) = 0$, 극솟값 $F(482) = -55990084$이므로 극값의 차는 $55990084$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원시함수 $F(x) = x^3 - 723x^2$에 $x = 241$을 대입하면 $F(241) = -27995042$이고 $F'(241) = -174243$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / $F'(x) = 3x^2 - 1446x$ 도출 +3점	11점
소문항 [3-2]	• 극점 $x = 0, 482$ 판정 +3점 / 극값의 차 $55990084$ 산출 +4점	12점
소문항 [3-3]	• $F(241) = -27995042$ 계산 +4점 / $F'(241) = -174243$ 도출 +3점	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 $(x - t)(6t - 1446)$ 안에 적분변수가 아닌 $x$가 들어 있으므로 미분하기 전에 반드시 $x$를 적분 기호 밖으로 묶어내야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [3-1] $F'(x) = 3x(x - 482),\; F''(x) = 6x - 1446$ | [3-2] 극대 $x=0$, 극소 $x=482$, 차 $55990084$ | [3-3] $F(241) = -27995042,\; F'(241) = -174243$

【문제 1】 원문 요약 — 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법) [배점 30점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]

첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{251}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{7a_n + 1}$을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (10점) 제시문 (가)의 역수 변환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 251\right)$을 이용하여 $b_n = 7n + 244$와 $a_n$의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (10점) 일반항 $a_n = \dfrac{1}{7n + 244}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (10점) 부분분수 항등식 $7a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$을 이용하여 급수 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{80571}$의 값을 유도하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 1 · 총 30점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 역수 치환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 251\right)$에서 $b_{n+1} - b_n = 7$이므로 $b_n = 251 + 7(n - 1) = 7n + 244$이고 $a_n = \dfrac{1}{7n + 244}$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] (i) 초기항 $a_1 = \dfrac{1}{251}$ 성립. (ii) $a_k = \dfrac{1}{7k + 244}$이라 가정하면 $a_{k+1} = \dfrac{a_k}{7a_k + 1} = \dfrac{1}{7(k+1) + 244}$이므로 모든 자연수에서 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 부분분수 분해에 의해 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{7}\left(\dfrac{1}{251} - \dfrac{1}{321}\right) = \dfrac{10}{80571}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 역수 등차수열 $b_n = 7n + 244$ 유도 +3점 / 일반항 $a_n = \dfrac{1}{7n + 244}$ 도출 +3점	10점
소문항 [1-2]	• 초기 조건 $a_1 = \dfrac{1}{251}$ 확인 +2점 / 귀납 가정 후 $a_{k+1} = \dfrac{1}{7(k+1) + 244}$ 연역 +5점	10점
소문항 [1-3]	• 망원급수 변형 $\dfrac{1}{7}\left(\dfrac{1}{251} - \dfrac{1}{321}\right)$ +4점 / 합 $\dfrac{10}{80571}$ 산출 +3점	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식의 분모를 곱하면 $7a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$이 바로 유도되어 망원급수 소거가 한 줄로 정리됩니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [1-1] $b_n = 7n + 244,\; a_n = \dfrac{1}{7n + 244}$ | [1-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [1-3] $\dfrac{10}{251\times 321} = \dfrac{10}{80571}$

【문제 2】 원문 요약 — 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

삼차다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -1725$과 $\lim_{x \to 246} \dfrac{f(x)}{(x - 246)^2} = 489$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (11점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 246)^2(3x + r)$로 놓고 상수 $r = -249$을 구하시오.

[문항 2-2] (12점) 구한 함수 $f(x) = (x - 246)^2(3x - 249)$이 무한대 극한 조건 $-1725$을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 2-3] (12점) 함숫값 $f(248) = 1980$의 값과 $x = 246$에서의 미분계수 $f'(246) = 0$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 2 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 $\lim_{x \to 246} (3x + r) = 738 + r = 489$이므로 $r = -249$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 전개하면 $f(x) = (x^2 - 492x + 60516)(3x - 249) = 3x^3 - 1725x^2 + \cdots$이므로 이차항 계수 $-1725$이 정확히 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $x = 248$를 대입하면 $f(248) = 4(744 - 249) = 1980$이고, $(x - 246)^2$을 인수로 가지므로 $f'(246) = 0$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 $r = -249$ 도출 +3점	11점
소문항 [2-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 $-1725$ 확인 +7점	12점
소문항 [2-3]	• $f(248) = 1980$ 산출 +4점 / 중근 성질로 $f'(246) = 0$ 도출 +3점	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 분모에 $(x - 246)^2$이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 $x = 246$을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [2-1] $r = -249$ | [2-2] 이차항 계수 $-1725$ 일치 검증 완료 | [2-3] $f(248) = 1980,\; f'(246) = 0$

【문제 3】 원문 요약 — 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용) [배점 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

포물선 $C : y = -6x^2 + 1470x$와 가로축 및 원점을 지나는 직선 $L : y = 735x$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (11점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 $y = -6x^2 + 1470x$와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S = 14706125$를 유도하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 3 · 총 35점

📝 [단계별 모범답안 & 논리적 서술 노트]

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 정적분을 계산하면 $S = \left[-2x^3 + 735x^2\right]_0^{245} = -2(245)^3 + 3(245)^3 = 14706125$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 포물선의 대칭축 $x = \dfrac{245}{2}$에 의해 $k = \dfrac{245}{2}$이고, 실제로 $\left[-2x^3 + 735x^2\right]_0^{245/2} = -\dfrac{14706125}{4} + \dfrac{3\times 14706125}{4} = \dfrac{14706125}{2}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 연립방정식 $-6x^2 + 1470x = 735x \implies 6x\left(x - \dfrac{245}{2}\right) = 0$이므로 교점은 $x = 0, \dfrac{245}{2}$이고 넓이는 $S_1 = \int_0^{245/2} (-6x^2 + 735x)\,dx = \dfrac{14706125}{8}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 원시함수 $-2x^3 + 735x^2$ 적분 +3점 / 넓이 $S = 14706125$ 도출 +3점	11점
소문항 [4-2]	• 대칭축 $k = \dfrac{245}{2}$ 도출 +3점 / 구간 $[0, 245/2]$ 적분값 $\dfrac{14706125}{2}$ 확인 +4점	12점
소문항 [4-3]	• 교점 $x = \dfrac{245}{2}$ 산출 +3점 / 넓이 $S_1 = \dfrac{14706125}{8}$ 도출 +4점	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 $-6$이고 두 교점의 차가 $\beta - \alpha = \dfrac{245}{2}$일 때 둘러싸인 넓이는 항상 $(\beta - \alpha)^3 = \dfrac{14706125}{8}$이 됩니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [4-1] $S = 14706125$ | [4-2] $k = \dfrac{245}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{14706125}{2}$ | [4-3] 교점 $x = 0, \dfrac{245}{2}$, 넓이 $S_1 = \dfrac{14706125}{8}$

🎯 전형 방식: 논술 70% + 학생부교과 30% 📌 수능최저 기준: 수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별력 절대적)

희망 지원 모집단위 선택

수능최저학력기준 충족 여부 체크 (수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별력 )

문항 1 (30점)

문항 2 (35점)

문항 3 (35점)

합산 환산 총점 (100점 만점) 0.0 / 100점

🎯 실시간 합격 가능성 정밀 판정

판정 계산 중...

내 환산 점수

학과 70% 충원컷

컷오프 대비 격차

추정 백분위 위치

ℹ️ 문항별 점수를 조절하면 다음 페이지 전 모집단위 합격 판정표가 동시 갱신됩니다.

모집단위	모집인원	명목경쟁률	실질경쟁률	최초합 평균	70% 충원컷	수능최저 기준	실시간 합격 판정
컴퓨터공학과	-	-	-	88.2점	86.0점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별력 절대적)	판정 대기
인공지능응용학과	-	-	-	87.8점	85.5점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별력 절대적)	판정 대기
지능형반도체공학과	-	-	-	87.2점	85.0점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별력 절대적)	판정 대기
전자공학과	-	-	-	85.8점	83.5점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별력 절대적)	판정 대기
미래에너지융합학과	-	-	-	84.8점	82.5점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별력 절대적)	판정 대기
화공생명공학과	-	-	-	85.2점	83.0점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별력 절대적)	판정 대기
신소재공학과	-	-	-	83.8점	81.5점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별력 절대적)	판정 대기
기계시스템디자인공학과	-	-	-	83.5점	81.0점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별력 절대적)	판정 대기
기계자동차공학과	-	-	-	82.8점	80.5점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별력 절대적)	판정 대기
산업정보시스템전공	-	-	-	82.4점	80.0점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별력 절대적)	판정 대기
ITM전공	-	-	-	81.8점	79.5점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별력 절대적)	판정 대기
건설시스템공학과	-	-	-	80.5점	78.0점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별력 절대적)	판정 대기
건축학부(건축공학)	-	-	-	81.0점	78.5점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별력 절대적)	판정 대기
환경공학과	-	-	-	80.2점	78.0점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별력 절대적)	판정 대기
ST자유전공학부(자연)	-	-	-	84.5점	82.0점	수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 실질 변별력 절대적)	판정 대기

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📋 실전 모의고사 1회~10회 회차별 자기주도 성취도 기록표 (인쇄용 체크시트)

회차	실전 응시일	소요 시간	원점수 / 100점
제1회	2026. . .	분	/ 100
제2회	2026. . .	분	/ 100
제3회	2026. . .	분	/ 100
제4회	2026. . .	분	/ 100
제5회	2026. . .	분	/ 100
제6회	2026. . .	분	/ 100
제7회	2026. . .	분	/ 100
제8회	2026. . .	분	/ 100
제9회	2026. . .	분	/ 100
제10회	2026. . .	분	/ 100

RULE 1

원칙 1. 교과서 정의·정리 우선 선언
답안 첫 줄에 사용할 교과서 정리(사잇값 정리, 평균값 정리, 미분가능성 정의, 조건부확률 곱셈정리 등)를 명시하여 1단계 배점(30%)을 확정하십시오.

RULE 2

원칙 2. 대학 미적분학 과정 공식 사용 철저 배제
고교 교육과정을 벗어난 대학 과정 정리나 무근거 근사식 사용은 채점 기준에서 감점 또는 무효 처리되므로 반드시 교과서 성질만으로 논증하십시오.

RULE 3

원칙 3. 동치 변형과 정의역·부호 경계 조건 명시
로그의 밑·진수 조건, 무리식·분수식의 분모 조건, 치환 변수의 새로운 범위(예: $-1 \le t \le 1$)를 빠짐없이 기록하십시오.

RULE 4

원칙 4. 소문항 간 단계적 연계 구조 활용
앞선 소문항 (1)의 결론은 소문항 (2), (3)을 해결하는 핵심 힌트입니다. (1)이 막히더라도 (1)의 결과를 가정하고 (2)의 식을 세우면 부분점수를 획득할 수 있습니다.

RULE 5

원칙 5. 도형·그래프 보조 문자의 명확한 정의
답안지에 새로운 점·각·길이를 도입할 때는 '점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하자'와 같이 기호의 정의를 한 문장으로 선언하십시오.

RULE 6

원칙 6. 실전 시간 배분 및 검산 루틴 엄수
전체 시험 시간(100분) 중 마지막 10분은 부호 오류, 기약분수 약분 여부, 최종 답란 이기 누락을 점검하는 전용 검산 시간으로 확보하십시오.

RULE 7

원칙 7. 깔끔한 단락 구분과 최종 결론 강조
단계별 번호([1단계], [2단계], [결론])를 줄바꿈하여 가독성을 높이고 최종 수식을 명확히 제시하여 채점위원이 즉시 득점 포인트를 확인하게 하십시오.

📘 2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

• 편찬 및 발행: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술·약술형논술 연구소 | 공식 플랫폼: https://questio.co.kr

• 상호: 퀘스티오(QUESTIO) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449

• 교육과정 준거: 교과서 기반 수학과 교육과정 (Textbook DB V1.0 · JEV-REA-ARGON 7대 무결성 검증 통과)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 \(x_1 + x_2 = 492\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(246, 246)\) 도출 +3점	10점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 492)\) 도출 +3점 / 좌표 \(\mathrm{P}(245, 247),\; \mathrm{Q}(247, 245)\) 산출 +4점	10점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 \(h = \dfrac{492}{\sqrt{2}}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(S = 492\) 산출 +3점	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• \(f(0) = 244\) 산출 +2점 / 도함수 정의로 \(f'(x) = 9x^2 + 248\) 유도 +4점	11점
소문항 [3-2]	• \(f(x) = 3x^3 + 248x + 244\) 결정 +4점 / 접선 \(y = 257x + 238\) 도출 +3점	12점
소문항 [3-3]	• 미분계수 식 \(\dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{284}{4}\) 변형 +4점 / 극한값 산출 +3점	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• 원시함수 \(-2x^3 + 723x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 13997521\) 도출 +3점	11점
소문항 [5-2]	• 대칭축 \(k = \dfrac{241}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 241/2]\) 적분값 \(\dfrac{13997521}{2}\) 확인 +4점	12점
소문항 [5-3]	• 교점 \(x = \dfrac{241}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{13997521}{8}\) 도출 +4점	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 \(a^2 = 49\times 240^2\) +3점 / \(a = 1680\) 도출 +3점	10점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 \(R = \dfrac{1680\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = \dfrac{864000\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점	10점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 \(r = \dfrac{240\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 / 곱 \(R\cdot r = \dfrac{403200}{2}\) 도출 +3점	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 좌·우미분계수 \(\pm P(244)\) 정의식 서술 +4점 / \(P(244) = 0\) 확인 +2점	11점
소문항 [4-2]	• \(x \lt 244\) 부호 분리 및 곱의 미분법 적용 +4점 / \(h'(x) = -3(x - 244)(x - 242)\) 유도 +3점	12점
소문항 [4-3]	• 극점 \(x = 242\) 도출 +3점 / 함숫값 \(h(242) = -4\;(\text{극점 } 242)\) 산출 +4점	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1]	• \(A = 738 - 2A \implies A = 246\) 도출 +3점 / \(f(x) = 3x^2 - 984x + 737\) 완성 +3점	11점
소문항 [5-2]	• 대칭축 \(x = \dfrac{492}{3}\) 산출 +4점 / \(f(1) = -244\) 계산 +3점	12점
소문항 [5-3]	• 기함수 소거 및 우함수 2배 공식 적용 +4점 / 정적분 값 \(1476\) 도출 +3점	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• \(x + x^{-1} = 249\) 유도 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 61999\) 산출 +3점	10점
소문항 [1-2]	• \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 248\sqrt{251}\) 도출 +3점 / \(x^3 + x^{-3} = 15437502\) 계산 +4점	10점
소문항 [1-3]	• 분자 \(15437504\) 완전제곱 변형 +4점 / 약분 결과 \(248\sqrt{251}\) 도출 +3점	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 평균값 정리 선언 및 \(f'(c) = 3c^2 + 708 \ge 708\) 서술 +6점	11점
소문항 [2-2]	• \(g'(2) = \dfrac{1}{708}\) 산출 +3점 / \(g'(711) = \dfrac{1}{711}\) 산출 +4점	12점
소문항 [2-3]	• 접선 \(y = \dfrac{1}{711}x\) 유도 +4점 / 역수 합 \(1419\) 계산 +3점	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	• 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / \(F'(x) = 3x^2 - 1440x\) 도출 +3점	11점
소문항 [3-2]	• 극점 \(x = 0, 480\) 판정 +3점 / 극값의 차 \(55296000\) 산출 +4점	12점
소문항 [3-3]	• \(F(240) = -27648000\) 계산 +4점 / \(F'(240) = -172800\) 도출 +3점	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 \(x_1 + x_2 = 498\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(249, 249)\) 도출 +3점	10점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 498)\) 도출 +3점 / 좌표 \(\mathrm{P}(248, 250),\; \mathrm{Q}(250, 248)\) 산출 +4점	10점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 \(h = \dfrac{498}{\sqrt{2}}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(S = 498\) 산출 +3점	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• \(t_1 = 729\) 도출 +3점 / 속도 차 \(h'(729) = 0\) 확인 +3점	11점
소문항 [4-2]	• \(h'(t) = 3(t - 243)(t - 729) = 0\) 극대 판정 +4점 / 최댓값 \(57395628\) 산출 +3점	12점
소문항 [4-3]	• \(h''(t) = 6t - 2916 = 0 \implies t_2 = 486\) 도출 +3점 / 거리 \(28697814\) 계산 +4점	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	• 역수 등차수열 \(b_n = 7n + 244\) 유도 +3점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{7n + 244}\) 도출 +3점	10점
소문항 [1-2]	• 초기 조건 \(a_1 = \dfrac{1}{251}\) 확인 +2점 / 귀납 가정 후 \(a_{k+1} = \dfrac{1}{7(k+1) + 244}\) 연역 +5점	10점
소문항 [1-3]	• 망원급수 변형 \(\dfrac{1}{7}\left(\dfrac{1}{251} - \dfrac{1}{321}\right)\) +4점 / 합 \(\dfrac{10}{80571}\) 산출 +3점	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 \(r = -249\) 도출 +3점	11점
소문항 [2-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 \(-1725\) 확인 +7점	12점
소문항 [2-3]	• \(f(248) = 1980\) 산출 +4점 / 중근 성질로 \(f'(246) = 0\) 도출 +3점	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	• 원시함수 \(-2x^3 + 735x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 14706125\) 도출 +3점	11점
소문항 [4-2]	• 대칭축 \(k = \dfrac{245}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 245/2]\) 적분값 \(\dfrac{14706125}{2}\) 확인 +4점	12점
소문항 [4-3]	• 교점 \(x = \dfrac{245}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{14706125}{8}\) 도출 +4점	12점

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📋 1. 2027학년도 ST자유전공학부 및 자연계열 논술전형 안내 & 채점 기준 핵심 전략

📊 2. 연도별 기출·모의 9대 세트(27문항) 핵심 출제 경향 및 풀이 전략 (Part 1 전수 수록)