| 순위 | 기출 원천 문항 | 핵심 출제 테마 및 변별 포인트 | 모의 1:1 매칭 | 부분점수 공략 전략 |
|---|---|---|---|---|
| TOP 1 | 2026학년도 문항 1 · 2025학년도 문항 4 | 절댓값 삼각·초월함수 정적분 함수의 도함수와 구간 분할 극한 | 제6회 문항 1 · 제8회 문항 4 · 제10회 문항 1 | 부호가 바뀌는 경계각을 매개변수로 두어 구간별 정적분을 분리하고 합성함수 미분법으로 극값을 엄밀히 판정 |
| TOP 2 | 2026학년도 문항 4 · 2025학년도 문항 3 | 격자점 기하확률·중복조합 조건부확률 및 모비율 신뢰구간 추론(12확통03-06) | 제6회 문항 3 · 제7회 문항 1 · 제8회 문항 3 | 표본공간의 전체 경우의 수와 여사건·대칭 케이스를 표나 일반항 n의 식으로 먼저 검증한 뒤 극한과 신뢰구간을 계산 |
| TOP 3 | 2026학년도 문항 2 · 2022학년도 문항 3 | 타원·포물선·쌍곡선의 초점 접선 넓이 극값과 공간 평면의 방정식·정사영(12기하03-05) | 제6회 문항 2 · 제7회 문항 4 · 제9회 문항 3 | 이차곡선 정의(초점 거리 합·차)와 공간 평면의 법선벡터 수선의 발 공식을 결합하여 거리와 넓이 최솟값을 도출 |
| TOP 4 | 2024학년도 문항 3 · 2023학년도 문항 3 | 로그·절댓값 부정방정식의 정수해 개수 합산과 귀납적 점화식 망원급수 | 제6회 문항 4 · 제8회 문항 1 · 제9회 문항 1 | 지수의 홀짝·임계 자연수 경계를 기준으로 구간을 나누고 서로 다른 자연수 조건에서 겹치는 순서쌍을 정확히 공제 |
| TOP 5 | 2023학년도 문항 2 · 2022학년도 문항 4 | 역함수 치환적분·부분적분 점화식 및 수학적 귀납법 수열 수렴 증명 | 제7회 문항 2 · 제9회 문항 4 · 제10회 문항 4 | 주기 평행이동과 역함수 치환 시 적분 구간의 역전 부호를 점검하고 귀납 가정에서 상·하한 차이를 인수분해로 증명 |
닫힌구간 \([0, 3\pi]\)에서 정의된 함수 \(y = \sin x\)와 실수 \(a\) \((0 \le a \le 1)\)로 만들어지는 절댓값 함수 \(|\sin x - a|\)의 정적분을 \(I(a)\)라 하자.
[문제 1] \(0 \le a \le 1\)일 때, 정적분 \[I(a) = \int_{0}^{3\pi} |\sin x - a|\,dx\] 의 값이 최소가 되는 상수 \(a\)의 값과 그때의 정적분의 최솟값을 각각 구하시오. [25점]
[1단계: 구간 분할 및 각 \(\alpha\) 도입] \(0 \le a \le 1\)이므로 \(\sin\alpha = a\)를 만족하는 유일한 \(\alpha \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)를 잡는다. 구간 \([\pi, 2\pi]\)에서는 \(\sin x \le 0 \le a\)이므로 \(|\sin x - a| = a - \sin x\)이고, \[\int_{\pi}^{2\pi} (a - \sin x)\,dx = \pi a + [\cos x]_{\pi}^{2\pi} = \pi a + 2\]이다.
[2단계: 양의 반주기 정적분 합산] 구간 \([0, \pi]\)와 \([2\pi, 3\pi]\)는 주기성에 의해 정적분 값이 서로 같다. \([0, \pi]\)에서 대칭성에 의해 \[\int_0^\pi |\sin x - a|\,dx = 2\int_0^\alpha (a - \sin x)\,dx + \int_\alpha^{\pi-\alpha}(\sin x - a)\,dx = (4\alpha - \pi)a + 4\cos\alpha - 2\]이므로, 전체 정적분은 \[I(\alpha) = 2\{(4\alpha - \pi)\sin\alpha + 4\cos\alpha - 2\} + (\pi\sin\alpha + 2) = (8\alpha - \pi)\sin\alpha + 8\cos\alpha - 2\]이다.
[3단계: 도함수 부호 판정 및 반각공식 계산] \(\alpha \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)에서 미분하면 \[\frac{dI}{d\alpha} = 8\sin\alpha + (8\alpha - \pi)\cos\alpha - 8\sin\alpha = (8\alpha - \pi)\cos\alpha\]이다. \(\cos\alpha \gt 0\)이므로 \(\alpha = \dfrac{\pi}{8}\) 좌우에서 도함수의 부호가 음(\(\lt 0\))에서 양(\(\gt 0\))으로 바뀌어 \(\alpha = \dfrac{\pi}{8}\)에서 극소이자 최소이다. 반각공식에 의해 \(\sin^2\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1 - \cos\frac{\pi}{4}}{2} = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4}\), \(\cos^2\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}\)이므로 \(a = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\)이고, 최솟값은 \(I\left(\dfrac{\pi}{8}\right) = 8\cos\dfrac{\pi}{8} - 2 = 4\sqrt{2 + \sqrt{2}} - 2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 구간 \([0, \pi], [\pi, 2\pi], [2\pi, 3\pi]\)의 부호를 분리하고 \(\sin\alpha = a\)를 도입하여 \(I(\alpha)\) 식을 정확히 유도함 | 10점 |
| 2단계 | 도함수 \(\dfrac{dI}{d\alpha} = (8\alpha - \pi)\cos\alpha\)를 구하고 증감 판정으로 \(\alpha = \dfrac{\pi}{8}\)이 최솟값 지점임을 논증함 | 8점 |
| 3단계 | 반각공식을 적용하여 \(a = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)와 최솟값 \(4\sqrt{2+\sqrt{2}} - 2\)를 정확히 산출함 | 7점 |
좌표평면 위의 타원 \(\dfrac{x^2}{64} + y^2 = 1\)과 제1사분면 위의 점에서 접하는 접선을 \(l\)이라 하자. 직선 \(l\)이 직선 \(y = -1\)과 만나는 점을 \(A\), \(y\)축과 만나는 점을 \(B\)라 하고, 점 \(C\)의 좌표를 \((0, -1)\)이라 하자.
[문제 2] 접점이 제1사분면 위를 움직일 때, 직각삼각형 \(ABC\)의 넓이의 최솟값을 구하시오. [25점]
[1단계: 접선의 방정식과 교점 좌표] 제1사분면 위의 접점을 \(P(x_1, y_1)\) \((x_1 \gt 0,\; 0 \lt y_1 \lt 1)\)이라 하면 \(\dfrac{x_1^2}{64} + y_1^2 = 1\)에서 \(x_1 = 8\sqrt{1 - y_1^2}\)이고, 접선 \(l\)의 방정식은 \(\dfrac{x_1 x}{64} + y_1 y = 1\)이다. \(y = -1\)을 대입하면 \(A\left(\dfrac{64(1 + y_1)}{x_1},\; -1\right)\), \(x = 0\)을 대입하면 \(B\left(0,\; \dfrac{1}{y_1}\right)\)이다.
[2단계: 삼각형 넓이 함수 구성] 선분 \(AC\)는 직선 \(y=-1\) 위에 있고 선분 \(BC\)는 \(y\)축 위에 있으므로 \(\angle ACB = 90^\circ\)이다. \(\overline{AC} = \dfrac{64(1+y_1)}{x_1}\), \(\overline{BC} = \dfrac{1}{y_1} + 1 = \dfrac{1+y_1}{y_1}\)이므로 넓이를 \(S(y_1)\)이라 하면 \[S(y_1) = \frac{1}{2}\overline{AC}\cdot\overline{BC} = \frac{32(1+y_1)^2}{x_1 y_1} = \frac{4(1+y_1)^2}{y_1\sqrt{1-y_1^2}} \quad (0 \lt y_1 \lt 1)\]이다.
[3단계: 제곱 함수 미분을 통한 최솟값 도출] \(S(y_1) \gt 0\)이므로 \(g(t) = \{S(t)\}^2 = \dfrac{16(1+t)^4}{t^2(1-t^2)} = \dfrac{16(1+t)^3}{t^2(1-t)}\) \((0 \lt t \lt 1)\)을 미분하면 \[g'(t) = 16\cdot\frac{3(1+t)^2 t^2(1-t) - (1+t)^3(2t - 3t^2)}{t^4(1-t)^2} = \frac{32(1+t)^2(2t - 1)}{t^3(1-t)^2}\]이다. \(t = \dfrac{1}{2}\) 좌우에서 \(g'(t)\)의 부호가 음에서 양으로 변하므로 \(y_1 = \dfrac{1}{2}\)에서 최소이고, 이때 최솟값은 \(S\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{4 \times \frac{9}{4}}{\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = 12\sqrt{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 타원의 접선 방정식으로부터 두 교점 \(A, B\)의 좌표를 접점 \((x_1, y_1)\)로 정확히 나타냄 | 8점 |
| 2단계 | 직각삼각형 \(ABC\)의 넓이를 일변수 함수 \(S(y_1) = \dfrac{4(1+y_1)^2}{y_1\sqrt{1-y_1^2}}\)와 정의역 \(0 \lt y_1 \lt 1\)로 정식화함 | 8점 |
| 3단계 | 도함수 부호 변화를 조사하여 \(y_1 = \dfrac{1}{2}\)에서 최솟값 \(12\sqrt{3}\)을 가짐을 엄밀히 증명함 | 9점 |
\(1\)부터 \(n\) \((n \ge 3)\)까지의 자연수를 좌표로 갖는 서로 다른 \(n\)개의 점이 수직선 위에 놓여 있다. 이 중에서 서로 다른 세 점을 임의로 차례대로 선택할 때, 선택한 순서대로 각각 \(A, B, C\)라 하자. 수직선 위에서 두 선분 \(AB\)와 \(AC\)가 겹치는 부분의 길이를 확률변수 \(X\)라 한다.
[문제 4-1] 확률 \(\mathrm{P}(X = 1)\)을 \(n\)에 대한 식으로 구하시오. [10점]
[문제 4-2] 확률변수 \(X\)의 평균 \(\mathrm{E}(X)\)를 \(n\)에 대한 식으로 구하시오. [15점]
[문제 4-1 풀이] 전체 순열의 수는 \({}_n\mathrm{P}_3 = n(n-1)(n-2)\)이다. 선택된 세 점의 좌표를 크기순으로 \(u \lt v \lt w\)라 하면 \(6\)가지 배열 중: ① \(A = v\)인 \(2\)가지(\(B, C\)가 양옆)에서는 \(AB \cap AC = \{v\}\)이므로 \(X = 0\)이다. ② \(A = u\)인 \(2\)가지에서는 \(AB \cap AC = [u, v]\)이므로 \(X = v - u\)이다. ③ \(A = w\)인 \(2\)가지에서는 \(AB \cap AC = [v, w]\)이므로 \(X = w - v\)이다. 따라서 \(X = 1\)이 되는 순서쌍 \((A, B, C)\)의 개수는: (i) \(A = u,\; v = u+1,\; w \in \{u+2, \dots, n\}\)일 때 \(\sum_{u=1}^{n-2} 2(n - u - 1) = (n-1)(n-2)\)가지, (ii) \(A = w,\; v = w-1,\; u \in \{1, \dots, w-2\}\)일 때 대칭성에 의해 \((n-1)(n-2)\)가지이다. 그러므로 \(\mathrm{P}(X = 1) = \dfrac{2(n-1)(n-2)}{n(n-1)(n-2)} = \dfrac{2}{n}\)이다.
[문제 4-2 풀이] 고정된 세 수의 집합 \(\{u, v, w\}\) \((u \lt v \lt w)\)에서 \(6\)가지 순열에 대한 \(X\)의 값의 합은 \[0 + 0 + 2(v - u) + 2(w - v) = 2(w - u)\]이다. \(w - u = k\) \((2 \le k \le n-1)\)를 만족하는 집합 \(\{u, v, w\}\)의 개수는 \(u\)의 선택 \((n-k)\)가지와 \(v \in \{u+1, \dots, u+k-1\}\)의 선택 \((k-1)\)가지의 곱인 \((n-k)(k-1)\)개이다. 따라서 모든 순열에 대한 \(X\)의 총합은 \[\sum_{k=2}^{n-1} 2k(k-1)(n-k) = 6\sum_{k=2}^{n-1}\binom{k}{2}(n-k) = 6\binom{n+1}{4} = \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{4}\]이다. 이를 전체 경우의 수 \(n(n-1)(n-2)\)로 나누면 \(\mathrm{E}(X) = \dfrac{n+1}{4} \times \dfrac{2}{3}\)인지 검산하자: \(n=3\)일 때 \(\{1,2,3\}\) 한 개에서 \(X\)의 합은 \(2(3-1)=4\)이고 전체 순열은 \(6\)이므로 \(\mathrm{E}(X) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)이다! (위 항등식에서 \(\sum_{k=2}^{n-1} k(k-1)(n-k) = 2\sum_{k=2}^{n-1}\binom{k}{2}\binom{n-k}{1} = 2\binom{n+1}{4} = \dfrac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{12}\)이므로 \(2\)배하면 \(\dfrac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{6}\)이다.) 따라서 \(\mathrm{E}(X) = \dfrac{(n+1)n(n-1)(n-2)/6}{n(n-1)(n-2)} = \dfrac{n+1}{6}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 세 좌표 \(u \lt v \lt w\)에서 \(A\)의 위치에 따라 \(X = 0,\; v-u,\; w-v\)임을 정확히 분류하고 \(\mathrm{P}(X=1) = \dfrac{2}{n}\)을 도출함 | 10점 |
| 2단계 | 조합 \(\{u, v, w\}\)당 \(6\)개 순열의 \(X\) 합이 \(2(w-u)\)임을 유도하고 \(w-u=k\)인 조합 수 \((k-1)(n-k)\)를 세움 | 8점 |
| 3단계 | 거듭제곱 합(또는 이항계수 항등식)을 정확히 계산하여 \(\mathrm{E}(X) = \dfrac{n+1}{6}\)을 구함 | 7점 |
\(12\)보다 큰 자연수 중에서 \(12\)와 서로소인 수를 작은 수부터 차례대로 나열할 때, \(k\)번째 수를 \(a_k\)라 하자.
[문제 1-1] \(a_k \ge 100\)을 만족시키는 자연수 \(k\)의 최솟값을 구하시오. [10점]
[문제 1-2] 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} (a_k a_{k+1} - a_{k+2})\)의 값을 \(n\)에 대한 다항식으로 나타내시오. [15점]
[문제 1-1 풀이] \(12 = 2^2 \times 3\)과 서로소인 자연수는 \(12\)로 나눈 나머지가 \(1, 5, 7, 11\)인 수이므로, 자연수 \(m \ge 1\)에 대하여 \(a_{4m-3} = 12m+1,\; a_{4m-2} = 12m+5,\; a_{4m-1} = 12m+7,\; a_{4m} = 12m+11\)이다. \(m = 7\)일 때 \(a_{28} = 84 + 11 = 95\)이고, \(m = 8\)일 때 \(a_{29} = 96 + 1 = 97\), \(a_{30} = 96 + 5 = 101 \ge 100\)이므로 자연수 \(k\)의 최솟값은 \(30\)이다.
[문제 1-2 풀이] \(2\)개 항씩 묶어 \(j\)번째 묶음 \((j = 1, 2, \dots, n)\)의 합 \(B_j = (a_{2j-1}a_{2j} - a_{2j+1}) + (a_{2j}a_{2j+1} - a_{2j+2})\)를 살펴보자. 놀랍게도 \(j = 2m - 1\) (홀수 묶음)일 때 \(a_{2j-1}=6j+7,\; a_{2j}=6j+11,\; a_{2j+1}=6j+13,\; a_{2j+2}=6j+17\)이고, \(j = 2m\) (짝수 묶음)일 때도 \(12m+7 = 6j+7,\; 12m+11 = 6j+11,\; 12(m+1)+1 = 6j+13,\; 12(m+1)+5 = 6j+17\)이 되어 모든 자연수 \(j\)에 대해 동일한 식이 성립한다! 따라서 모든 \(j \ge 1\)에 대하여 \[B_j = (6j+7)(6j+11) - (6j+13) + (6j+11)(6j+13) - (6j+17) = 72j^2 + 240j + 190\]이다. 그러므로 구하는 합은 \[\sum_{j=1}^{n} (72j^2 + 240j + 190) = 72\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 240\cdot\frac{n(n+1)}{2} + 190n = 24n^3 + 156n^2 + 322n\]이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \(12\)와 서로소인 수의 일반항 \(12m + \{1,5,7,11\}\)을 세우고 \(a_{29}=97,\; a_{30}=101\)을 확인하여 \(k=30\)을 구함 | 10점 |
| 2단계 | \(2\)항 묶음에서 \(a_{2j-1}=6j+7,\; a_{2j}=6j+11,\; a_{2j+1}=6j+13,\; a_{2j+2}=6j+17\)의 통일된 관계식을 발견하여 \(B_j = 72j^2+240j+190\)을 유도함 | 9점 |
| 3단계 | 거듭제곱의 합 공식을 정확히 대입하여 \(24n^3 + 156n^2 + 322n\)을 도출함 | 6점 |
그림과 같이 \(n^2\)개의 정사각형 영역으로 이루어진 \(n \times n\) 전광판이 있다(단, \(n \ge 3\)인 자연수). 서울이와 시립이가 번갈아 버튼을 누르는 게임을 하며 규칙은 다음과 같다.
(1) 처음에 전광판의 모든 영역은 불이 꺼져 있다.
(2) 게임이 끝날 때까지 서울이부터 시작하여 두 사람이 번갈아 버튼을 누른다.
(3) 버튼을 누르면 불이 꺼진 영역 중 임의의 한 영역에 같은 확률로 불이 켜지고, 그 영역은 누른 사람의 소유가 된다.
(4) 버튼을 눌렀을 때 상대방이 소유한 영역과 한 변(모서리)을 공유하는 영역에 불이 켜지면 그 버튼을 누른 사람이 즉시 승리하고 게임이 끝난다.
[문제 3-1] 시립이가 자신의 첫 번째 버튼(전체 2번째 시행)을 눌러 승리할 확률을 \(n\)에 대한 식으로 구하시오. [10점]
[문제 3-2] 서울이가 자신의 두 번째 버튼(전체 3번째 시행)을 눌러 승리할 확률을 \(n\)에 대한 식으로 구하시오. [15점]
[문제 3-1 풀이] 서울이가 첫 시행에서 고른 칸을 \(S_1\), 시립이가 고른 칸을 \(R_1\)이라 하면 순서쌍 \((S_1, R_1)\)의 전체 가짓수는 \(n^2(n^2 - 1)\)이다. \(n \times n\) 격자에서 변을 공유하는 이웃한 두 칸의 쌍은 가로 \(n(n-1)\)쌍, 세로 \(n(n-1)\)쌍으로 총 \(2n(n-1)\)쌍이고 순서쌍 \((S_1, R_1)\)으로는 \(4n(n-1)\)가지이다. 따라서 확률은 \(\dfrac{4n(n-1)}{n^2(n^2 - 1)} = \dfrac{4}{n(n+1)}\)이다.
[문제 3-2 풀이] 세 차례 선택 순서쌍 \((S_1, R_1, S_2)\)의 전체 가짓수는 \(n^2(n^2 - 1)(n^2 - 2)\)이다. 서울이가 두 번째 버튼(\(S_2\))에서 승리하려면 \(S_1\)과 \(R_1\)은 이웃하지 않아야 하고(\(S_1 \neq R_1\)), \(S_2\)는 \(R_1\)과 이웃해야 한다(이때 \(S_1\)은 \(R_1\)과 이웃하지 않으므로 \(R_1\)의 모든 이웃 칸은 \(S_1\)과 자동적으로 다르다). 따라서 시립이의 칸 \(R_1\)을 먼저 고정하고 \(R_1\)과 이웃한 칸의 개수를 \(d(R_1)\)이라 하면, 가능한 \((S_1, S_2)\)의 가짓수는 \((n^2 - 1 - d(R_1)) \times d(R_1)\)이다.
• 꼭짓점 칸 \(4\)개(\(d = 2\)): \(4 \times 2(n^2 - 3) = 8(n^2 - 3)\)
• 테두리 비꼭짓점 칸 \(4(n-2)\)개(\(d = 3\)): \(4(n-2) \times 3(n^2 - 4) = 12(n-2)(n^2 - 4)\)
• 내부 칸 \((n-2)^2\)개(\(d = 4\)): \((n-2)^2 \times 4(n^2 - 5) = 4(n-2)^2(n^2 - 5)\)
세 식을 더하여 전개하면 분자는 \(4(n^4 - n^3 - 5n^2 + 8n - 2)\)이므로, 구하는 확률은 \(\dfrac{4(n^4 - n^3 - 5n^2 + 8n - 2)}{n^2(n^2 - 1)(n^2 - 2)}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 격자 내 인접 순서쌍 개수 \(4n(n-1)\)을 구하여 [3-1]의 확률 \(\dfrac{4}{n(n+1)}\)을 정확히 도출함 | 10점 |
| 2단계 | \(R_1\)을 기준으로 꼭짓점(\(4\)개), 변(\(4n-8\)개), 내부(\((n-2)^2\)개)의 차수 \(d \in \{2,3,4\}\)로 사건을 정확히 분할함 | 8점 |
| 3단계 | \(\sum d(R_1)(n^2 - 1 - d(R_1))\)을 합산하여 최종 확률 \(\dfrac{4(n^4 - n^3 - 5n^2 + 8n - 2)}{n^2(n^2-1)(n^2-2)}\)을 구함 | 7점 |
자연수 \(n\)에 대하여 수열 \(\{T_n\}\)을 다음과 같이 정의하자.
\[T_n = \sum_{k=1}^{3n} \frac{1}{n^2} \int_{0}^{k\pi} \left| \sin \frac{x}{2n} \right| dx\][문제 4] 극한값 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} T_n\)의 값을 구하시오. [25점]
[1단계: 치환적분을 통한 피급수항 정리] \(u = \dfrac{x}{2n}\)으로 치환하면 \(dx = 2n\,du\)이므로 \[\int_{0}^{k\pi} \left|\sin\frac{x}{2n}\right| dx = 2n \int_{0}^{\frac{k\pi}{2n}} |\sin u|\,du\]이다. \(g(t) = \displaystyle\int_0^t |\sin u|\,du\)라 두면 \(T_n = \dfrac{2}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{3n} g\left(\dfrac{k\pi}{2n}\right)\)이다.
[2단계: 구간별 함수 \(g(t)\)의 식 유도]
• \(0 \le t \le \pi\)일 때: \(\sin u \ge 0\)이므로 \(g(t) = \int_0^t \sin u\,du = 1 - \cos t\)이다.
• \(\pi \lt t \le \dfrac{3\pi}{2}\)일 때: \([\pi, t]\)에서 \(\sin u \le 0\)이므로 \(g(t) = \int_0^\pi \sin u\,du + \int_\pi^t (-\sin u)\,du = 2 + [\cos u]_\pi^t = 3 + \cos t\)이다.
[3단계: 정적분과 급수의 관계로 극한값 계산] \(t_k = \dfrac{k\pi}{2n}\), \(\Delta t = \dfrac{\pi}{2n}\)으로 놓으면 \(\dfrac{2}{n} = \dfrac{4}{\pi}\Delta t\)이므로 \[\lim_{n\to\infty} T_n = \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} g(t)\,dt = \frac{4}{\pi}\left\{\int_0^\pi (1 - \cos t)\,dt + \int_\pi^{\frac{3\pi}{2}} (3 + \cos t)\,dt\right\}\]이다. 각 적분을 계산하면 \(\int_0^\pi (1 - \cos t)\,dt = [t - \sin t]_0^\pi = \pi\)이고, \(\int_\pi^{\frac{3\pi}{2}} (3 + \cos t)\,dt = \left[3t + \sin t\right]_\pi^{\frac{3\pi}{2}} = \dfrac{3\pi}{2} + (-1 - 0) = \dfrac{3\pi}{2} - 1\)이다. 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} T_n = \dfrac{4}{\pi}\left(\dfrac{5\pi}{2} - 1\right) = 10 - \dfrac{4}{\pi}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \(u = \dfrac{x}{2n}\)으로 치환하여 \(T_n = \dfrac{2}{n}\sum_{k=1}^{3n} g\left(\dfrac{k\pi}{2n}\right)\) 형태로 변형함 | 8점 |
| 2단계 | \([0, \pi]\)에서 \(g(t) = 1 - \cos t\), \([\pi, \frac{3\pi}{2}]\)에서 \(g(t) = 3 + \cos t\)임을 정확히 유도함 | 9점 |
| 3단계 | 정적분 변환 계수 \(\dfrac{4}{\pi}\)를 반영하여 최종 극한값 \(10 - \dfrac{4}{\pi}\)를 도출함 | 8점 |
좌표평면에서 두 곡선 \(y = x^4 - 2x^2 + 1\)과 \(y = -x^2 + x + 2\)가 만나는 두 점 중 \(x\)좌표가 음수인 점을 \(P\), \(x\)좌표가 양수인 점을 \(Q\)라 하고, 점 \(A\)의 좌표를 \((0, -1)\)이라 하자.
[문제 1] 부등식 \(k \le \vec{PQ} \cdot \vec{PA} \lt k + 1\)을 만족시키는 정수 \(k\)의 값을 구하시오. [25점]
[1단계: 교점 방정식의 인수분해와 점 \(P\) 확정] 두 곡선의 교점의 \(x\)좌표는 \[x^4 - 2x^2 + 1 = -x^2 + x + 2 \iff x^4 - x^2 - x - 1 = 0 \iff (x + 1)(x^3 - x^2 - 1) = 0\]을 만족한다. \(g(x) = x^3 - x^2 - 1\)이라 하면 \(g'(x) = x(3x - 2)\)이므로 \(x \le 0\)에서의 최댓값은 \(g(0) = -1 \lt 0\)이다. 따라서 음수인 실근은 \(x = -1\)뿐이므로 \(P(-1, 0)\)이고, 양수인 유일한 실근을 \(\alpha\) \((g(\alpha) = 0,\; \alpha \gt 1)\)라 하면 \(Q(\alpha,\; -\alpha^2 + \alpha + 2)\)이다.
[2단계: 평면벡터 내적의 대수적 단순화] \(P(-1, 0)\), \(A(0, -1)\)이므로 \(\vec{PA} = (1, -1)\)이고 \(\vec{PQ} = (\alpha + 1,\; -\alpha^2 + \alpha + 2)\)이다. 따라서 내적은 \[\vec{PQ} \cdot \vec{PA} = 1\cdot(\alpha + 1) + (-1)\cdot(-\alpha^2 + \alpha + 2) = \alpha + 1 + \alpha^2 - \alpha - 2 = \alpha^2 - 1\]이다.
[3단계: 사잇값 정리와 단조성을 이용한 범위 추정] 구간 \([1, \infty)\)에서 \(g'(x) = 3x^2 - 2x \gt 0\)이므로 \(g(x)\)는 순증가한다. \(g(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 3 = \sqrt{8} - \sqrt{9} \lt 0\)이고, \(g(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 4 = \sqrt{27} - \sqrt{16} \gt 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 \(\sqrt{2} \lt \alpha \lt \sqrt{3}\)이다. 양변을 제곱하면 \(2 \lt \alpha^2 \lt 3\), 즉 \(1 \lt \alpha^2 - 1 \lt 2\)이므로 정수 \(k = 1\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \((x+1)(x^3 - x^2 - 1) = 0\)으로 인수분해하고 \(x \le 0\)에서 \(x^3-x^2-1 \lt 0\)임을 보여 \(P(-1, 0)\)을 엄밀히 확정함 | 9점 |
| 2단계 | 벡터 성분을 대입하여 \(\vec{PQ} \cdot \vec{PA} = \alpha^2 - 1\)을 정확히 유도함 | 8점 |
| 3단계 | \(g(\sqrt{2}) \lt 0 \lt g(\sqrt{3})\)과 단조증가성 및 사잇값 정리로 \(1 \lt \alpha^2 - 1 \lt 2\)를 증명하여 \(k = 1\)을 도출함 | 8점 |
서울이, 시립이, 대학이는 과일가게에서 사과와 배를 사려고 한다. 세 사람 중 과일을 사지 않는 사람이 있을 수도 있으며, 가게에 사과와 배는 각각 \(11\)개 이상 충분히 있고 같은 종류의 과일은 서로 구별하지 않는다.
[문제 2-1] 서울이, 시립이, 대학이가 모두 합해서 \(11\)개의 과일을 사는 경우의 수를 구하시오. [10점]
[문제 2-2] 서울이, 시립이, 대학이가 산 과일의 총개수를 차례대로 \(x, y, z\)라 할 때, [문제 2-1]의 경우 중 \(x \le y \le z\)를 만족시키는 경우의 수를 구하시오. [15점]
[문제 2-1 풀이] 서울이, 시립이, 대학이가 사는 사과의 수를 \(a_1, a_2, a_3\), 배의 수를 \(b_1, b_2, b_3\)이라 하면, 구하는 경우의 수는 방정식 \(a_1 + b_1 + a_2 + b_2 + a_3 + b_3 = 11\)의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다. 따라서 \({}_6\mathrm{H}_{11} = \binom{6+11-1}{11} = \binom{16}{5} = \dfrac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{120} = 4368\)이다.
[문제 2-2 풀이] 한 사람이 과일 \(m\)개를 살 때 사과와 배의 개수를 정하는 방법은 \({}_2\mathrm{H}_m = m + 1\)가지이므로, 고정된 \((x, y, z)\)에 대응하는 과일 구매 가짓수는 \((x+1)(y+1)(z+1)\)이다. \(x + y + z = 11\)이므로 \(x = y = z\)인 정수해는 존재하지 않는다(\(11\)은 \(3\)의 배수가 아님).
• 두 수만 같은 경우(\(u, u, 11-2u\), 단 \(0 \le u \le 5\)): 한 가지 \(u\)에 대해 \((x,y,z)\) 배열은 \(3\)가지이고 그중 \(x \le y \le z\)인 배열은 정확히 \(1\)가지이다. \(u = 0, 1, 2, 3, 4, 5\)일 때 \(D = \sum_{u=0}^{5}(u+1)^2(12 - 2u) = 12 + 40 + 72 + 96 + 100 + 72 = 392\)이다.
• 세 수가 모두 다른 경우: 전체 가짓수는 \(4368 - 3D\)이고, 세 수의 \(3! = 6\)가지 대칭 배열 중 \(x \lt y \lt z\)인 것은 \(\dfrac{1}{6}\)이다.
따라서 구하는 경우의 수는 \(D + \dfrac{4368 - 3D}{6} = \dfrac{4368 + 3 \times 392}{6} = \dfrac{5544}{6} = 924\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \(6\)개 음이 아닌 정수의 합 \({}_6\mathrm{H}_{11} = \binom{16}{5} = 4368\)을 정확히 도출함 | 10점 |
| 2단계 | 고정된 \((x, y, z)\)당 가짓수가 \((x+1)(y+1)(z+1)\)임을 보이고 두 수가 같은 경우의 합 \(D = 392\)를 계산함 | 8점 |
| 3단계 | 대칭성 공식(또는 직접 분할 합산)을 통해 최종 경우의 수 \(924\)를 정확히 산출함 | 7점 |
자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 정수의 순서쌍 \((a, b)\)의 개수를 \(A_n\)이라 하자.
\[\text{모든 실수 } x\text{에 대하여 } -|x - 2| \le ax + b \le |x - 2n| + 5 \text{ 이다.}\][문제 3] 급수 부분합 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{100} A_n\)의 값을 구하시오. [25점]
[1단계: 기울기 \(a\)의 값 결정] \(x \to \infty\) 및 \(x \to -\infty\)일 때 \(\dfrac{-|x-2|}{x}\)와 \(\dfrac{|x-2n|+5}{x}\)의 극한을 비교하면 \(-1 \le a \le 1\)이어야 하므로 정수 \(a\)는 \(-1, 0, 1\)뿐이다.
[2단계: \(a = -1, 0, 1\)에 따른 정수 \(b\)의 개수 \(A_n\) 계산] 기울기가 \(\pm 1\) 또는 \(0\)인 직선이 위로 볼록한 \(-|x-2|\) 이상이고 아래로 볼록한 \(|x-2n|+5\) 이하일 필요충분조건은 두 꼭짓점 \(x = 2\)와 \(x = 2n\)에서 성립하는 것이다.
① \(a = 0\)일 때: \(x=2\)에서 \(b \ge 0\), \(x=2n\)에서 \(b \le 5\)이므로 \(0 \le b \le 5\) (항상 \(6\)개).
② \(a = -1\)일 때: \(-x + b \ge -|x-2| \iff b \ge 2\)이고, \(-x + b \le |x-2n|+5 \iff b \le 2n + 5\)이므로 \(2 \le b \le 2n + 5\) (항상 \(2n + 4\)개).
③ \(a = 1\)일 때: \(x + b \ge -|x-2| \iff b \ge -2\)이고, \(x + b \le |x-2n|+5 \iff b \le 5 - 2n\)이므로 \(-2 \le b \le 5 - 2n\)이다. 따라서 \(n = 1, 2, 3\)일 때는 \((5 - 2n) - (-2) + 1 = 8 - 2n\)개이고, \(n \ge 4\)일 때는 \(5 - 2n \lt -2\)이므로 \(0\)개이다.
[3단계: \(A_n\) 합산]
• \(n = 1, 2, 3\)일 때: \(A_n = 6 + (2n + 4) + (8 - 2n) = 18\)이므로 \(A_1 + A_2 + A_3 = 54\).
• \(n \ge 4\)일 때: \(A_n = 6 + (2n + 4) + 0 = 2n + 10\)이므로 \(A_4 = 18,\; A_{100} = 210\)인 등차수열(항수 \(97\)개)이다.
따라서 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{100} A_n = 54 + \frac{97 \times (18 + 210)}{2} = 54 + 97 \times 114 = 54 + 11058 = 11112\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 양의 무한대·음의 무한대 극한 기울기 조건으로부터 정수 \(a \in \{-1, 0, 1\}\)임을 논증함 | 7점 |
| 2단계 | \(a = -1, 0, 1\) 각각에서 \(b\)의 부등식을 유도하고 \(n \le 3\)일 때 \(A_n = 18\), \(n \ge 4\)일 때 \(A_n = 2n+10\)임을 도출함 | 11점 |
| 3단계 | 구간을 나누어 등차수열의 합을 정확히 계산하여 \(11112\)를 구함 | 7점 |
함수 \(f(x) = -x^3 - x + 3\)의 역함수 \(g(x)\)에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(h(x)\)가 다음 조건을 모두 만족시킨다.
(1) \(h(x) = \begin{cases} 3x & (0 \le x \lt 1) \\ 4g'(x) + 4 & (1 \le x \lt 3) \end{cases}\)
(2) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(h(x + 3) = h(x)\)이다.
[문제 2] 정적분 \(\displaystyle\int_{0}^{6} x h(x)\,dx\)의 값을 구하시오. [25점]
[1단계: 역함수 함숫값 확인 및 주기 분해] \(f(x) = -x^3 - x + 3\)에서 \(f'(x) = -3x^2 - 1 \lt 0\)이며 \(f(0) = 3,\; f(1) = 1\)이므로 \(g(3) = 0,\; g(1) = 1\)이다(또한 \(g'(1) = -\frac{1}{4},\; g'(3) = -1\)이어서 \(h(x)\)는 \(x=1, 3\)에서 연속이다). 주기 \(h(x+3) = h(x)\)에 의해 \(\int_3^6 x h(x)\,dx = \int_0^3 (x+3)h(x)\,dx\)이므로 \[\int_0^6 x h(x)\,dx = 2\int_0^3 x h(x)\,dx + 3\int_0^3 h(x)\,dx\]이다.
[2단계: 한 주기 정적분 \(\int_0^3 h(x)\,dx\) 계산] \[\int_0^3 h(x)\,dx = \int_0^1 3x\,dx + \int_1^3 (4g'(x) + 4)\,dx = \frac{3}{2} + \Big[4g(x) + 4x\Big]_1^3 = \frac{3}{2} + (0 + 12) - (4 + 4) = \frac{11}{2}\]이다.
[3단계: \(\int_0^3 x h(x)\,dx\) 계산 및 최종 합산] \(\int_0^1 3x^2\,dx = 1\)이고 \(\int_1^3 4x\,dx = [2x^2]_1^3 = 16\)이다. 한편 \(\int_1^3 4x g'(x)\,dx\)에서 \(u = g(x)\)로 치환하면 \(x = f(u),\; g'(x)\,dx = du\)이고 구간은 \(1 \to 0\)이므로 \[\int_1^3 4x g'(x)\,dx = \int_1^0 4f(u)\,du = -4\int_0^1 (-u^3 - u + 3)\,du = -4\left(-\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 3\right) = -9\]이다. 따라서 \(\int_0^3 x h(x)\,dx = 1 + 16 - 9 = 8\)이고, 구하는 정적분은 \(2 \times 8 + 3 \times \dfrac{11}{2} = 16 + \dfrac{33}{2} = \dfrac{65}{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 주기 \(3\)을 이용해 \(\int_0^6 xh(x)\,dx = 2\int_0^3 xh(x)\,dx + 3\int_0^3 h(x)\,dx\)로 변환하고 \(g(1)=1,\; g(3)=0\)을 구함 | 8점 |
| 2단계 | 한 주기 정적분 \(\int_0^3 h(x)\,dx = \dfrac{11}{2}\)를 정확히 계산함 | 8점 |
| 3단계 | 치환적분(또는 부분적분)으로 \(\int_1^3 4xg'(x)\,dx = -9\)를 구하여 최종 답 \(\dfrac{65}{2}\)를 도출함 | 9점 |
서로 다른 세 자연수 \(a, b, c\)가 다음 로그 방정식을 만족시킨다.
\[\log_2 (a + 4b) + 2\log_2 c - \log_2 3 = 100\][문제 3] 위 등식을 만족시키는 서로 다른 세 자연수의 모든 순서쌍 \((a, b, c)\)의 개수를 구하시오. [25점]
[1단계: 지수 변환 및 \(c = 2^m\) 결정] 주어진 식을 정리하면 \(\log_2\dfrac{(a+4b)c^2}{3} = 100\), 즉 \[(a + 4b)c^2 = 3 \cdot 2^{100}\]이다. 우변의 소인수 \(3\)은 지수가 \(1\)이므로 제곱수 \(c^2\)의 약수가 될 수 없어 \(c = 2^m\) \((m \ge 0\)인 정수\()\) 꼴이다. 또한 \(a, b \ge 1\)이므로 \(a + 4b = 3 \cdot 2^{100 - 2m} \ge 5\)이어야 하며, \(m = 50\)이면 \(3 \lt 5\)로 불가능하므로 \(0 \le m \le 49\)이다.
[2단계: 전체 자연수 해 \((a, b)\)의 개수 합산] 각 \(m \in \{0, 1, \dots, 49\}\)에 대하여 \(100 - 2m \ge 2\)이므로 \(M_m = 3 \cdot 2^{100 - 2m}\)은 \(4\)의 배수이다. \(a = M_m - 4b \ge 1\)을 만족하는 자연수 \(b\)는 \(1 \le b \le \dfrac{M_m}{4} - 1 = 3 \cdot 2^{98 - 2m} - 1\)개이다. 따라서 전체 개수는 \[\sum_{m=0}^{49} \left(3 \cdot 2^{98 - 2m} - 1\right) = 3 \cdot \frac{4^{50} - 1}{4 - 1} - 50 = 2^{100} - 51\]이다.
[3단계: 두 수 이상이 같은 경우 제외]
① \(a = b\)인 경우: \(5b = 3 \cdot 2^{100 - 2m}\)이나 우변이 \(5\)의 배수가 아니므로 \(0\)개이다.
② \(b = c = 2^m\)인 경우: \(a = 3 \cdot 2^{100 - 2m} - 2^{m+2} \ge 1 \iff 3 \cdot 2^{98} \gt 2^{3m}\)이다. \(2^{3 \times 33} = 2^{99} \lt 3 \cdot 2^{98} \lt 2^{102} = 2^{3 \times 34}\)이므로 \(0 \le m \le 33\)인 \(34\)개이다.
③ \(a = c = 2^m\)인 경우: \(4b = 3 \cdot 2^{100 - 2m} - 2^m\)이 \(4\)의 배수인 양수가 되려면 \(m \ge 2\)이고 \(3 \cdot 2^{100} \gt 2^{3m}\)이어야 한다. \(2^{99} \lt 3 \cdot 2^{100} = 12 \cdot 2^{98} \lt 2^{102}\)이므로 \(2 \le m \le 33\)인 \(32\)개이다.
따라서 서로 다른 세 자연수의 순서쌍 개수는 \((2^{100} - 51) - (34 + 32) = 2^{100} - 117\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \((a+4b)c^2 = 3\cdot 2^{100}\)으로 변형하고 \(c = 2^m\) \((0 \le m \le 49)\)의 범위를 정확히 결정함 | 8점 |
| 2단계 | 등비수열의 합으로 전체 자연수 순서쌍 개수 \(2^{100} - 51\)을 도출함 | 8점 |
| 3단계 | \(a=b\)(\(0\)개), \(b=c\)(\(34\)개), \(a=c\)(\(32\)개)를 누락 없이 공제하여 \(2^{100} - 117\)을 구함 | 9점 |
좌표평면 위의 두 점 \(F(5, 0),\; F'(-5, 0)\)을 초점으로 하는 타원 \(C_1\)과 동일한 두 점 \(F, F'\)을 초점으로 하는 쌍곡선 \(C_2\)가 있다. 두 곡선 \(C_1, C_2\)의 제1사분면 위의 교점 \(P\)에 대하여 \(\overline{PF} \times \overline{PF'} = 20\)이다.
[문제 4-1] 비율 \(\dfrac{\overline{PF}}{\overline{PF'}}\)의 값의 범위를 구하시오. [15점]
[문제 4-2] \(\angle FPF' = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, \(\dfrac{\overline{PF}}{\overline{PF'}}\)의 값을 구하시오. [10점]
[문제 4-1 풀이] \(u = \overline{PF'},\; v = \overline{PF}\)라 하고 \(r = \dfrac{v}{u}\)라 하자. 점 \(P\)가 제1사분면(\(x \gt 0,\; y \gt 0\)) 위에 있으므로 \(u \gt v \gt 0\), 즉 \(0 \lt r \lt 1\)이고, 세 점 \(F, F', P\)가 삼각형을 이루며 타원 장축 \(u + v \gt \overline{FF'} = 10\), 쌍곡선 주축 \(u - v \lt \overline{FF'} = 10\)을 동시에 만족해야 한다.
① \(u + v \gt 10\) 조건: 양변을 제곱하고 \(uv = 20\)으로 나누면 \(\dfrac{u}{v} + \dfrac{v}{u} + 2 \gt \dfrac{100}{20} = 5 \iff r + \dfrac{1}{r} \gt 3 \iff r^2 - 3r + 1 \gt 0\)이다. \(0 \lt r \lt 1\)이므로 \(r \lt \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}\)이다.
② \(u - v \lt 10\) 조건: 양변을 제곱하고 \(uv = 20\)으로 나누면 \(\dfrac{u}{v} + \dfrac{v}{u} - 2 \lt 5 \iff r + \dfrac{1}{r} \lt 7 \iff r^2 - 7r + 1 \lt 0\)이다. \(0 \lt r \lt 1\)이므로 \(r \gt \dfrac{7 - 3\sqrt{5}}{2}\)이다.
역으로 위 범위의 임의의 \(r\)에 대해 \(u - v \lt 10 \lt u + v\)이고 \(u \gt v\)이므로 제1사분면에 점 \(P\)가 유일하게 존재한다. 따라서 범위는 \(\dfrac{7 - 3\sqrt{5}}{2} \lt \dfrac{\overline{PF}}{\overline{PF'}} \lt \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}\)이다.
[문제 4-2 풀이] \(\triangle FPF'\)에서 코사인법칙에 의해 \[10^2 = u^2 + v^2 - 2uv\cos\frac{\pi}{3} = u^2 + v^2 - uv\]이다. 양변을 \(uv = 20\)으로 나누면 \(\dfrac{u}{v} + \dfrac{v}{u} - 1 = 5 \iff r + \dfrac{1}{r} = 6 \iff r^2 - 6r + 1 = 0\)이다. \(0 \lt r \lt 1\)이므로 \(r = 3 - 2\sqrt{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 제1사분면 조건(\(0 \lt r \lt 1\))과 삼각형 결정조건 \(u + v \gt 10,\; u - v \lt 10\)을 모두 수립함 | 7점 |
| 2단계 | 두 이차부등식 \(r^2 - 3r + 1 \gt 0\), \(r^2 - 7r + 1 \lt 0\)을 풀어 \(\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2} \lt r \lt \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\)를 도출함 | 8점 |
| 3단계 | 코사인법칙으로 \(r + \dfrac{1}{r} = 6\)을 유도하여 \(r = 3 - 2\sqrt{2}\)를 정확히 구함 | 10점 |
좌표평면에서 포물선 \(y = x - x^2\) 위의 네 점 \(O(0, 0)\), \(A(a, a - a^2)\), \(B(b, b - b^2)\), \(C(1, 0)\)에 대하여 \(0 \lt b \lt a \lt 1\)이 성립한다.
[문제 1-1] 고정된 \(a\)에 대하여 점 \(B\)가 곡선 위에서 두 점 \(O\)와 \(A\) 사이를 움직일 때, 삼각형 \(OAB\)의 넓이의 최댓값을 \(a\)에 대한 식으로 나타내시오. [10점]
[문제 1-2] 두 점 \(A, B\)가 곡선 위에서 \(0 \lt b \lt a \lt 1\)을 만족하며 움직일 때, 볼록사각형 \(OCAB\)의 넓이의 최댓값을 구하시오. [15점]
[문제 1-1 풀이] \(O(0,0),\; A(a, a-a^2),\; B(b, b-b^2)\) \((0 \lt b \lt a \lt 1)\)에서 직선 \(OA\)의 기울기 \(1-a\)보다 직선 \(OB\)의 기울기 \(1-b\)가 크므로 삼각형 \(OAB\)의 넓이는 \[S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}\Big|a(b - b^2) - b(a - a^2)\Big| = \frac{1}{2}ab(a - b) = \frac{a}{2}\left\{-\left(b - \frac{a}{2}\right)^2 + \frac{a^2}{4}\right\}\]이다. 따라서 \(b = \dfrac{a}{2}\)일 때 최대이며, 그때의 최댓값은 \(\dfrac{a^3}{8}\)이다.
[문제 1-2 풀이] 볼록사각형 \(OCAB\)를 대각선 \(OA\)로 분할하면 넓이는 \(S_{\triangle OCA} + S_{\triangle OAB}\)이다. \(\overline{OC} = 1\)이고 점 \(A\)의 \(y\)좌표가 \(a - a^2\)이므로 \(S_{\triangle OCA} = \dfrac{1}{2}(a - a^2)\)이다. 고정된 \(a\)에 대해 [1-1]의 최댓값 \(\dfrac{a^3}{8}\)을 대입한 함수를 \(f(a)\)라 하면 \[f(a) = \frac{1}{8}a^3 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}a \quad (0 \lt a \lt 1)\]이다. 미분하면 \(f'(a) = \dfrac{3}{8}a^2 - a + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}(3a - 2)(a - 2)\)이다. \(0 \lt a \lt 1\)에서 \(f'(a) = 0 \iff a = \dfrac{2}{3}\)이고 그 좌우에서 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 \(a = \dfrac{2}{3},\; b = \dfrac{1}{3}\)일 때 최댓값 \(f\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{1}{27} - \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{27}\)을 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \(\triangle OAB\)의 넓이 식 \(\dfrac{1}{2}ab(a-b)\)를 세우고 \(b = \dfrac{a}{2}\)에서 최댓값 \(\dfrac{a^3}{8}\)을 도출함 | 10점 |
| 2단계 | 대각선 \(OA\) 분할로 사각형 넓이 최댓값 함수 \(f(a) = \dfrac{1}{8}a^3 - \dfrac{1}{2}a^2 + \dfrac{1}{2}a\)를 구성함 | 7점 |
| 3단계 | \(f'(a) = \dfrac{1}{8}(3a-2)(a-2)\)의 증감을 조사하여 \(a = \dfrac{2}{3}\)에서 최댓값 \(\dfrac{4}{27}\)을 구함 | 8점 |
닫힌구간 \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{\pi}{2}\right]\)에서 연속인 함수 \(h(x) = 3\sqrt{2}\sin^3 x - \cos x\)를 생각하자.
[문제 3] 정적분 \(\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left| 3\sqrt{2}\sin^3 x - \cos x \right| dx\)의 값을 구하시오. [25점]
[1단계: 피적분함수의 영점 \(\alpha\)와 부호 판정] \(h(x) = 3\sqrt{2}\sin^3 x - \cos x\)라 하자. \(-\dfrac{\pi}{2} \le x \le 0\)에서는 \(\sin^3 x \le 0,\; \cos x \ge 0\) (동시에 \(0\)이 아님)이므로 \(h(x) \lt 0\)이다. \(0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(h'(x) = 9\sqrt{2}\sin^2 x\cos x + \sin x \gt 0\)이므로 \(h(x)\)는 순증가한다. \(h(x) = 0\)의 양변을 \(\cos^3 x \gt 0\)으로 나누고 \(t = \tan x \gt 0\)라 하면 \[3\sqrt{2}t^3 = \sec^2 x = 1 + t^2 \iff (\sqrt{2}t - 1)(3t^2 + \sqrt{2}t + 1) = 0\]이므로 \(\tan\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\)인 유일한 \(\alpha \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)가 존재하며, \(\sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}},\; \cos\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)이다.
[2단계: 부정적분 \(F(x)\) 유도] \(\sin^3 x = (1 - \cos^2 x)\sin x\)이므로 \(h(x)\)의 한 부정적분을 \(F(x)\)라 하면 \[F(x) = 3\sqrt{2}\left(-\cos x + \frac{1}{3}\cos^3 x\right) - \sin x = \sqrt{2}\cos^3 x - 3\sqrt{2}\cos x - \sin x\]이다.
[3단계: 구간 분할 정적분 계산] \([-\frac{\pi}{2}, \alpha]\)에서 \(h(x) \le 0\), \([\alpha, \frac{\pi}{2}]\)에서 \(h(x) \ge 0\)이고 \(F\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 1,\; F\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -1\)이므로 \[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |h(x)|\,dx = \{-F(\alpha) + F(-\tfrac{\pi}{2})\} + \{F(\tfrac{\pi}{2}) - F(\alpha)\} = -2F(\alpha)\]이다. \(F(\alpha) = \sqrt{2}\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}\right) - 3\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) - \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{4 - 18 - 3}{3\sqrt{3}} = -\dfrac{17}{3\sqrt{3}}\)이므로 구하는 정적분은 \(-2F(\alpha) = \dfrac{34}{3\sqrt{3}} = \dfrac{34\sqrt{3}}{9}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 단조증가성과 삼각방정식 인수분해로 유일한 영점 \(\tan\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) 및 \(\sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}},\; \cos\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)을 도출함 | 10점 |
| 2단계 | 치환적분으로 \(F(x) = \sqrt{2}\cos^3 x - 3\sqrt{2}\cos x - \sin x\)를 구하고 정적분을 \(-2F(\alpha)\)로 정리함 | 8점 |
| 3단계 | \(F(\alpha) = -\dfrac{17}{3\sqrt{3}}\)을 대입하여 최종 답 \(\dfrac{34\sqrt{3}}{9}\)를 정확히 산출함 | 7점 |
수열 \(\{a_n\}\)이 다음과 같이 귀납적으로 정의되어 있다.
\[a_1 = 5, \quad a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + \frac{2}{\sqrt{a_n}} \quad (n = 1, 2, 3, \dots)\][문제 4] 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 부등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오. [25점]
\[4 \lt a_n \le \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} + 4\][1단계: 초기 조건 \(n = 1\) 확인 및 보조함수 단조성] \(n = 1\)일 때 \(a_1 = 5\)이고 \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^0 + 4 = 5\)이므로 \(4 \lt 5 \le 5\)가 성립한다. 또한 \(x \ge 4\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{2}{\sqrt{x}}\)를 미분하면 \[f'(x) = \frac{3}{4} - \frac{1}{x\sqrt{x}} \ge \frac{3}{4} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8} \gt 0\]이므로 \(f(x)\)는 \([4, \infty)\)에서 순증가하며 \(f(4) = 3 + 1 = 4\)이다.
[2단계: 귀납 가정 및 하계 \(4 \lt a_{k+1}\) 증명] 자연수 \(k\)에 대하여 \(4 \lt a_k \le \left(\dfrac{3}{4}\right)^{k-1} + 4\)가 성립한다고 가정하자. \(a_k \gt 4\)이고 \(f(x)\)가 \([4, \infty)\)에서 순증가하므로 \(a_{k+1} = f(a_k) \gt f(4) = 4\)가 성립한다.
[3단계: 상계 \(a_{k+1} \le \left(\frac{3}{4}\right)^k + 4\) 증명 및 결론] 귀납 가정 \(a_k \gt 4\)로부터 \(\sqrt{a_k} \gt 2\), 즉 \(\dfrac{2}{\sqrt{a_k}} \lt 1\)이므로 \[a_{k+1} - 4 = \frac{3}{4}a_k + \frac{2}{\sqrt{a_k}} - 4 \lt \frac{3}{4}a_k + 1 - 4 = \frac{3}{4}(a_k - 4)\]이다. 여기에 귀납 가정 \(a_k - 4 \le \left(\dfrac{3}{4}\right)^{k-1}\)을 대입하면 \(a_{k+1} - 4 \lt \dfrac{3}{4}\cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^{k-1} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^k\), 즉 \(a_{k+1} \le \left(\dfrac{3}{4}\right)^k + 4\)가 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 \(n\)에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \(n = 1\)일 때 성립함을 확인하고 \(x \ge 4\)에서 \(f'(x) = \dfrac{3}{4} - x^{-3/2} \gt 0\)임을 보임 | 8점 |
| 2단계 | 귀납 가정 \(a_k \gt 4\)와 \(f(x)\)의 순증가성으로 하계 \(a_{k+1} = f(a_k) \gt f(4) = 4\)를 엄밀히 증명함 | 8점 |
| 3단계 | \(\dfrac{2}{\sqrt{a_k}} \lt 1\)을 이용해 \(a_{k+1} - 4 \lt \dfrac{3}{4}(a_k - 4) \le \left(\dfrac{3}{4}\right)^k\)를 유도하여 귀납 증명을 완성함 | 9점 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R1-Q1 | 대수 · 확률과 통계 | 등비수열의 귀납적 정의와 비복원추출 조건부확률 | [출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ-1. 확률의 뜻과 활용 (DB: PS_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-01, 12확통02-02] | 25점/중상 |
| R1-Q2 | 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ | 평균값 정리를 이용한 삼각함수 부등식과 무리식 치환적분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 25점/상 |
| R1-Q3 | 기하 | 포물선 접선의 초점 등변 성질과 공간 평면의 방정식 | [출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05] | 25점/상 |
| R1-Q4 | 미적분Ⅱ | 정적분 정의 초월함수의 극값·점근선과 방정식 실근 개수 | [출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02] | 25점/최상 |
| R2-Q1 | 확률과 통계 · 미적분Ⅱ | 2상태 전이확률 점화식의 일반항과 수렴 극한 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02] | 25점/중상 |
| R2-Q2 | 미적분Ⅱ | 현수선 곡선의 길이 공식과 정적분 넓이의 관계 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 25점/상 |
| R2-Q3 | 기하 | 구와 평면이 만나서 생기는 원과 정사영 도형의 넓이 | [출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.4 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05] | 25점/상 |
| R2-Q4 | 미적분Ⅱ | 역함수의 이계도함수 유도와 치환적분을 통한 역함수 정적분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 25점/최상 |
| R3-Q1 | 확률과 통계 · 미적분Ⅰ | 이항정리의 정적분 항등식과 수열의 극한 | [출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ-2. 이항정리 (DB: PS_Ch01_02) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통01-03] | 25점/중상 |
| R3-Q2 | 미적분Ⅱ | 사이클로이드 매개변수 곡선의 접선 기울기와 호의 길이 | [출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03] | 25점/상 |
| R3-Q3 | 기하 | 직각쌍곡선의 점근선 거리 곱 불변량과 초점 벡터 내적의 최솟값 | [출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04] | 25점/상 |
| R3-Q4 | 미적분Ⅱ | 정적분 점화식과 수열의 조임정리를 이용한 교대급수의 합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02] | 25점/최상 |
| R4-Q1 | 대수 · 미적분Ⅱ | 수학적 귀납법을 이용한 무리수열 합 부등식과 급수의 발산 판정 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.16 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02] | 25점/상 |
| R4-Q2 | 미적분Ⅱ | 부분적분법을 활용한 정사각형 단면 입체도형의 부피 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 25점/상 |
| R4-Q3 | 기하 | 타원에 그은 서로 수직인 두 접선의 교점의 자취 방정식 | [출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04] | 25점/상 |
| R4-Q4 | 미적분Ⅱ | 음함수 미분법을 이용한 이차 폐곡선 위의 최대·최소 좌표 추론 | [출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03] | 25점/최상 |
| R5-Q1 | 확률과 통계 | 중복조합을 이용한 부정방정식의 정수해 개수와 홀수 해의 확률 | [출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ-1. 순열과 조합 (DB: PS_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02] | 25점/중상 |
| R5-Q2 | 미적분Ⅱ | 도함수의 부호 판정을 이용한 지수함수 다항 부등식과 조임정리 극한 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] | 25점/상 |
| R5-Q3 | 기하 | 정사면체의 인접한 두 면이 이루는 이면각과 정사영의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 25점/상 |
| R5-Q4 | 미적분Ⅱ | 정적분 정의 함수의 원점 대칭성과 오목·볼록 및 정적분 부등식 | [출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03] | 25점/최상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R6-Q1 | 미적분Ⅱ | 절댓값 코사인 정적분 함수의 도함수와 최솟값 추론 | [출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02] | 25점/상 |
| R6-Q2 | 기하 · 미적분Ⅱ | 타원의 제1사분면 접선 삼각형 넓이 최솟값과 수선의 발 거리 | [출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04] | 25점/상 |
| R6-Q3 | 확률과 통계 | 베이즈 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 | [출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03_02) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06] | 25점/상 |
| R6-Q4 | 대수 · 확률과 통계 | 비복원 추출 두 자연수의 거리 분포와 기댓값 급수 극한 | [출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 (DB: PS_Ch03_01) PDF p.4 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-01, 12확통03-02] | 25점/최상 |
| R7-Q1 | 대수 | 15와 서로소인 자연수 군수열의 대칭 합과 일반항 추론 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02] | 25점/중상 |
| R7-Q2 | 기하 | 벡터를 이용한 평면의 방정식과 구의 교선 원 및 정사영 넓이 | [출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05] | 25점/상 |
| R7-Q3 | 미적분Ⅱ | 치환·부분적분과 정적분 급수 변환을 결합한 극한 추론 | [출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.16 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02] | 25점/최상 |
| R7-Q4 | 미적분Ⅰ | 기함수인 삼차함수의 합성방정식 실근 개수와 대칭 정적분 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.16 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 25점/상 |
| R8-Q1 | 기하 · 미적분Ⅰ | 사차곡선과 직선의 교점 유일성, 벡터 내적 및 둘러싸인 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02] | 25점/상 |
| R8-Q2 | 확률과 통계 | 중복조합 방정식의 대칭 분할과 순서 제약 해의 개수 | [출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ-1. 순열과 조합 (DB: PS_Ch01_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02] | 25점/상 |
| R8-Q3 | 대수 · 미적분Ⅰ | 절댓값 상·하계 부등식을 만족하는 격자점 개수의 합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] | 25점/상 |
| R8-Q4 | 미적분Ⅱ · 기하 | 단위원 내접 정다각형 현의 거듭제곱 합과 정적분 극한 | [출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02] | 25점/상 |
| R9-Q1 | 미적분Ⅱ | 삼차함수의 역함수 도함수로 정의된 주기 연속함수의 가중 정적분 | [출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.20 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02] | 25점/최상 |
| R9-Q2 | 대수 | 밑이 3인 로그 부정방정식과 서로 다른 세 자연수 순서쌍 개수 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] | 25점/상 |
| R9-Q3 | 기하 | 공초점 타원·쌍곡선의 직교 성질과 초점 삼각형 내접원 반지름 | [출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04] | 25점/상 |
| R9-Q4 | 확률과 통계 | 이항분포의 정규분포 근사와 표본크기 배율에 따른 신뢰구간 분석 | [출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 (DB: PS_Ch03_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-01, 12확통03-02] | 25점/중상 |
| R10-Q1 | 미적분Ⅰ | 포물선 위 두 동점이 이루는 볼록사각형 넓이의 순차 최적화 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 25점/상 |
| R10-Q2 | 미적분Ⅱ | 삼각 다항식의 영점 분할과 절댓값 삼각함수의 치환적분 | [출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.22 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02] | 25점/상 |
| R10-Q3 | 대수 · 미적분Ⅱ | 비선형 근호 점화식의 고정점 수렴 부등식과 급수 상계 증명 | [출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-02] | 25점/최상 |
| R10-Q4 | 기하 · 미적분Ⅱ | 좌표공간 절편 사면체의 단면 정적분 부피와 내접구 반지름 | [출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05] | 25점/상 |
[제시문 가] 첫째항이 \(a_1 = 1\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n\)을 만족시킨다.
[제시문 나] 주머니 속에 흰 공 \(2\)개와 검은 공 \(3\)개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 공을 \(1\)개씩 두 번 꺼내되, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.
[1-1] 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)과 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 합을 구하시오. (8점)
[1-2] [제시문 나]의 시행에서 두 번째에 꺼낸 공이 흰 공일 확률 \(\mathrm{P}(W_2)\)를 구하시오. (8점)
[1-3] 두 번째에 꺼낸 공이 흰 공이었을 때, 첫 번째에 꺼낸 공도 흰 공이었을 조건부확률 \(\mathrm{P}(W_1 \mid W_2)\)를 구하시오. (9점)
[제시문 가] 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능하면 \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)\)를 만족시키는 실수 \(c\)가 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다.
[제시문 나] 미분가능한 함수 \(g(x)\)에 대하여 \(\displaystyle\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du\)이다.
[2-1] \(0 \le x_1 \lt x_2 \le \pi\)인 임의의 두 실수 \(x_1, x_2\)에 대하여 \(\dfrac{\sin x_2 - \sin x_1}{x_2 - x_1} \lt 1\)임을 증명하시오. (12점)
[2-2] \(u = 1 - x^2\)으로 치환하여 정적분 \(\displaystyle\int_{0}^{1} x^3 \sqrt{1 - x^2}\,dx\)의 값을 구하시오. (13점)
[제시문 가] 포물선 \(y^2 = 4px\) \((p \gt 0)\) 위의 점 \(P(x_1, y_1)\)에서의 접선의 방정식은 \(y_1 y = 2p(x + x_1)\)이고 초점은 \(F(p, 0)\)이다.
[제시문 나] 좌표공간에서 점 \(A(x_0, y_0, z_0)\)을 지나고 영벡터가 아닌 법선벡터 \(\vec{n} = (a, b, c)\)에 수직인 평면의 방정식은 \(a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0\)이다.
[3-1] 포물선 \(y^2 = 4x\) 위의 점 \(P(1, 2)\)에서의 접선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(T\), 초점을 \(F\)라 할 때 \(\overline{TF} = \overline{PF}\)임을 증명하시오. (12점)
[3-2] 좌표공간에서 점 \(A(2, -1, 2)\)를 지나고 법선벡터가 \(\vec{n} = (1, 2, 2)\)인 평면 \(\alpha\)의 방정식을 구하고, 원점 \(O\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발 \(H\)의 좌표와 선분 \(OH\)의 길이를 구하시오. (13점)
[제시문 가] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (t^2 - 4)e^{-t}\,dt\)가 있다.
[제시문 나] \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} x^n e^{-x} = 0\) (단, \(n\)은 자연수)이며, 함수 \(F(x)\)의 그래프와 직선 \(y = k\)의 교점 개수는 극값과 점근선을 함께 조사하여 판정한다.
[4-1] 도함수 \(F'(x)\)를 구하고, 함수 \(F(x)\)가 극댓값과 극솟값을 갖는 \(x\)의 값을 각각 구하시오. (8점)
[4-2] 부분적분법으로 \(F(x)\)를 \(x\)의 식으로 나타내고, \(F(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오. (9점)
[4-3] 방정식 \(F(x) = k\)가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오. (8점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 문항 1 | 대수 · 확률과 통계 | 등비수열의 귀납적 정의와 비복원추출 조건부확률 | 25점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 2 | 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ | 평균값 정리를 이용한 삼각함수 부등식과 무리식 치환적분 | 25점 | 상 |
| 제1회 | 문항 3 | 기하 | 포물선 접선의 초점 등변 성질과 공간 평면의 방정식 | 25점 | 상 |
| 제1회 | 문항 4 | 미적분Ⅱ | 정적분 정의 초월함수의 극값·점근선과 방정식 실근 개수 | 25점 | 최상 |
[제시문 가] 매 시행마다 두 상태 \(A\)와 \(B\) 사이를 이동하는 입자가 있다. 현재 상태가 \(A\)일 때 다음 시행에서도 상태 \(A\)에 머무를 확률은 \(\dfrac{1}{6}\)이고, 현재 상태가 \(B\)일 때 다음 시행에서 상태 \(A\)로 이동할 확률은 \(\dfrac{1}{3}\)이다.
[제시문 나] 처음(\(0\)회 시행) 입자는 상태 \(A\)에 있으며(\(p_0 = 1\)), \(n\)회 시행 후 입자가 상태 \(A\)에 있을 확률을 \(p_n\)이라 한다.
[1-1] 모든 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 \(p_{n+1}\)을 \(p_n\)에 관한 일차 점화식으로 나타내시오. (12점)
[1-2] 수열 \(\{p_n\}\)의 일반항 \(p_n\)을 구하고, 극한값 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n\)을 구하시오. (13점)
[제시문 가] 닫힌구간 \([a, b]\)에서 미분가능하고 도함수가 연속인 곡선 \(y = f(x)\)의 길이는 \(L = \displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}\,dx\)이다.
[제시문 나] 닫힌구간 \([-1, 1]\)에서 정의된 곡선 \(y = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\)를 생각하자.
[2-1] 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\sqrt{1 + (y')^2} = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\)가 성립함을 증명하시오. (8점)
[2-2] 구간 \([-1, 1]\)에서 곡선 \(y = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\)의 길이 \(L\)을 구하시오. (8점)
[2-3] 곡선 \(y = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x = -1,\; x = 1\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하여 \(L\)과 비교하시오. (9점)
[제시문 가] 좌표공간에서 구 \(S : x^2 + y^2 + z^2 = 9\)와 평면 \(\alpha : x + 2y + 2z = 6\)이 만나서 생기는 원을 \(C\)라 하자.
[제시문 나] 원 \(C\)를 \(xy\)평면 위로 정사영시킨 도형을 \(E\)라 한다.
[3-1] 원 \(C\)의 중심 \(H\)의 좌표와 반지름의 길이 \(r\)을 각각 구하시오. (12점)
[3-2] 평면 \(\alpha\)와 \(xy\)평면이 이루는 예각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta\)를 구하고, 정사영 도형 \(E\)의 넓이를 구하시오. (13점)
[제시문 가] 함수 \(f(x) = x^3 + x + 1\)은 모든 실수 \(x\)에서 \(f'(x) = 3x^2 + 1 \gt 0\)이므로 실수 전체의 집합에서 역함수 \(g(x) = f^{-1}(x)\)가 존재한다.
[제시문 나] 항등식 \(f(g(x)) = x\)의 양변을 미분하면 \(g'(x) = \dfrac{1}{f'(g(x))}\)이다.
[4-1] \(g(3),\; g'(3),\; g''(3)\)의 값을 각각 구하시오. (13점)
[4-2] 정적분 \(\displaystyle\int_{1}^{3} g(x)\,dx\)의 값을 구하시오. (12점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제2회 | 문항 1 | 확률과 통계 · 미적분Ⅱ | 2상태 전이확률 점화식의 일반항과 수렴 극한 | 25점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 2 | 미적분Ⅱ | 현수선 곡선의 길이 공식과 정적분 넓이의 관계 | 25점 | 상 |
| 제2회 | 문항 3 | 기하 | 구와 평면이 만나서 생기는 원과 정사영 도형의 넓이 | 25점 | 상 |
| 제2회 | 문항 4 | 미적분Ⅱ | 역함수의 이계도함수 유도와 치환적분을 통한 역함수 정적분 | 25점 | 최상 |
[제시문 가] 자연수 \(n\)에 대하여 이항정리에 의해 \((1 + x)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{k} x^k\)가 성립한다.
[제시문 나] 자연수 \(n\)에 대하여 수열 \(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k + 1} {}_{n}\mathrm{C}_{k}\)로 정의한다.
[1-1] [제시문 가]의 양변을 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 정적분하여 \(S_n = \dfrac{2^{n+1} - 1}{n + 1}\)임을 증명하시오. (12점)
[1-2] 두 극한값 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{(n + 1)S_n}{2^n}\)과 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{2^n}\)을 각각 구하시오. (13점)
[제시문 가] 매개변수 \(t\) \((0 \le t \le 2\pi)\)로 나타낸 곡선 \(x = t - \sin t,\; y = 1 - \cos t\)가 있다.
[제시문 나] 삼각함수의 반각 관계식에 의하여 \(1 - \cos t = 2\sin^2\dfrac{t}{2}\)이다.
[2-1] \(t = \dfrac{\pi}{2}\)에 대응하는 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하시오. (12점)
[2-2] \(0 \le t \le 2\pi\)에서 이 곡선의 전체 길이 \(L\)을 구하시오. (13점)
[제시문 가] 양수 \(a\)에 대하여 쌍곡선 \(x^2 - y^2 = a^2\)의 두 점근선의 방정식은 \(x - y = 0,\; x + y = 0\)이다.
[제시문 나] 이 쌍곡선의 두 초점은 \(F(\sqrt{2}a, 0),\; F'(-\sqrt{2}a, 0)\)이다.
[3-1] 쌍곡선 위의 임의의 점 \(P(x_1, y_1)\)에서 두 점근선에 이르는 거리의 곱이 점 \(P\)의 위치에 관계없이 \(\dfrac{a^2}{2}\)로 일정함을 증명하시오. (12점)
[3-2] 쌍곡선 위의 점 \(P(x_1, y_1)\)에 대하여 평면벡터의 내적 \(\overrightarrow{PF} \cdot \overrightarrow{PF'}\)의 최솟값과 그때의 점 \(P\)의 좌표를 모두 구하시오. (13점)
[제시문 가] 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 수열 \(\{I_n\}\)을 \(I_n = \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x^n}{1 + x}\,dx\)로 정의한다.
[제시문 나] 닫힌구간 \([0, 1]\)에 속하는 모든 실수 \(x\)와 자연수 \(n\)에 대하여 \(0 \le \dfrac{x^n}{1 + x} \le x^n\)이 성립한다.
[4-1] \(I_0\)의 값을 구하고, 모든 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 \(I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n + 1}\)임을 증명하시오. (8점)
[4-2] 수열의 극한의 대소 관계(조임정리)를 이용하여 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} I_n = 0\)임을 증명하시오. (8점)
[4-3] [4-1]과 [4-2]를 이용하여 급수 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}\)의 합을 구하시오. (9점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제3회 | 문항 1 | 확률과 통계 · 미적분Ⅰ | 이항정리의 정적분 항등식과 수열의 극한 | 25점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 2 | 미적분Ⅱ | 사이클로이드 매개변수 곡선의 접선 기울기와 호의 길이 | 25점 | 상 |
| 제3회 | 문항 3 | 기하 | 직각쌍곡선의 점근선 거리 곱 불변량과 초점 벡터 내적의 최솟값 | 25점 | 상 |
| 제3회 | 문항 4 | 미적분Ⅱ | 정적분 점화식과 수열의 조임정리를 이용한 교대급수의 합 | 25점 | 최상 |
[제시문 가] 자연수 \(n\)에 대한 명제 \(P(n)\)이 \(n = 1\)일 때 성립하고, \(n = m\)일 때 성립한다고 가정하면 \(n = m + 1\)일 때도 성립할 때 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(P(n)\)이 성립한다.
[제시문 나] 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 제\(n\)부분합 \(S_n\)이 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = \infty\)이면 주어진 급수는 발산한다.
[1-1] 수학적 귀납법을 이용하여 모든 자연수 \(n\)에 대하여 부등식 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}} \gt 2(\sqrt{n + 1} - 1)\)이 성립함을 증명하시오. (15점)
[1-2] [1-1]의 부등식을 이용하여 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}}\)이 양의 무한대로 발산함을 보이시오. (10점)
[제시문 가] 닫힌구간 \([a, b]\)에서 \(x\)좌표가 \(x\)인 점을 지나고 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 연속함수 \(S(x)\)인 입체도형의 부피는 \(V = \displaystyle\int_{a}^{b} S(x)\,dx\)이다.
[제시문 나] 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 곡선 \(y = \sqrt{x}e^{-x}\)와 \(x\)축 및 직선 \(x = 1\)로 둘러싸인 영역을 밑면으로 하고, \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형이 있다.
[2-1] 부분적분법을 이용하여 부정적분 \(\displaystyle\int x e^{-2x}\,dx\)를 구하시오(단, 적분상수는 \(C\)). (12점)
[2-2] [제시문 나]의 입체도형의 부피 \(V\)를 구하시오. (13점)
[제시문 가] 양수 \(a, b\) \((a \gt b \gt 0)\)에 대하여 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)에 접하고 기울기가 \(m\)인 접선의 방정식은 \(y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}\)이다.
[제시문 나] 좌표평면에서 타원 밖의 점 \(P(x_0, y_0)\)에서 이 타원에 그은 두 접선이 서로 수직이다.
[3-1] \(x_0 \neq \pm a\)일 때, 점 \(P(x_0, y_0)\)을 지나는 접선의 기울기 \(m\)이 만족시키는 이차방정식을 유도하시오. (12점)
[3-2] \(x_0 = \pm a\)인 경우까지 포함하여 두 접선이 서로 수직이 되도록 하는 점 \(P(x_0, y_0)\)의 자취의 방정식을 구하고 도형의 기하학적 성질을 서술하시오. (13점)
[제시문 가] 좌표평면에서 방정식 \(x^2 - xy + y^2 = 3\)으로 정의된 닫힌 곡선 \(C\)가 있다.
[제시문 나] 곡선 \(C\) 위의 점에서 \(y\)좌표가 최대 또는 최소인 점에서는 접선이 \(x\)축에 평행(\(\dfrac{dy}{dx} = 0\))하고, \(x\)좌표가 최대 또는 최소인 점에서는 접선이 \(y\)축에 평행하다.
[4-1] 음함수 미분법을 이용하여 \(2y - x \neq 0\)일 때 \(\dfrac{dy}{dx}\)를 \(x, y\)의 식으로 나타내시오. (8점)
[4-2] 곡선 \(C\) 위의 점 \((x, y)\) 중에서 \(y\)좌표의 최댓값과 최솟값 및 그때의 점의 좌표를 구하시오. (9점)
[4-3] 곡선 \(C\) 위의 점 \((x, y)\) 중에서 \(x\)좌표의 최댓값과 최솟값 및 그때의 점의 좌표를 구하시오. (8점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제4회 | 문항 1 | 대수 · 미적분Ⅱ | 수학적 귀납법을 이용한 무리수열 합 부등식과 급수의 발산 판정 | 25점 | 상 |
| 제4회 | 문항 2 | 미적분Ⅱ | 부분적분법을 활용한 정사각형 단면 입체도형의 부피 | 25점 | 상 |
| 제4회 | 문항 3 | 기하 | 타원에 그은 서로 수직인 두 접선의 교점의 자취 방정식 | 25점 | 상 |
| 제4회 | 문항 4 | 미적분Ⅱ | 음함수 미분법을 이용한 이차 폐곡선 위의 최대·최소 좌표 추론 | 25점 | 최상 |
[제시문 가] 서로 다른 \(n\)개에서 중복을 허락하여 \(r\)개를 택하는 중복조합의 수는 \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)이다.
[제시문 나] 방정식 \(x + y + z + w = 10\)을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 순서쌍 \((x, y, z, w)\) 전체의 집합에서 임의로 한 순서쌍을 택한다.
[1-1] 방정식 \(x + y + z + w = 10\)의 음이 아닌 정수해 \((x, y, z, w)\)의 총개수를 구하시오. (12점)
[1-2] 택한 순서쌍에서 네 수 \(x, y, z, w\)가 모두 홀수일 확률을 기약분수로 구하시오. (13점)
[제시문 가] 미분가능한 함수 \(g(x)\)가 \(g(0) = 0\)이고 구간 \((0, a)\)에 속하는 모든 \(x\)에 대하여 \(g'(x) \gt 0\)이면, \((0, a)\)에서 \(g(x) \gt 0\)이다.
[제시문 나] 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\dfrac{d}{dx}(e^x) = e^x\)이며, \(0 \lt x \lt 1\)일 때 \(1 \lt e^x \lt e\)이다.
[2-1] [제시문 가]를 반복 적용하여 \(x \gt 0\)일 때 \(e^x \gt 1 + x + \dfrac{x^2}{2}\)가 성립함을 증명하시오. (8점)
[2-2] \(0 \lt x \lt 1\)일 때 부등식 \(e^x \lt 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{e}{6}x^3\)이 성립함을 증명하시오. (9점)
[2-3] [2-1]과 [2-2]의 부등식 및 함수의 극한의 대소 관계를 이용하여 \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2} = \dfrac{1}{2}\)임을 증명하시오. (8점)
[제시문 가] 한 모서리의 길이가 \(a\) \((a \gt 0)\)인 정사면체 \(ABCD\)가 있다.
[제시문 나] 공간에서 두 평면이 이루는 이면각의 크기 \(\theta\)는 두 평면의 교선 위의 한 점에서 각 평면 위에 교선에 수직으로 그은 두 반직선이 이루는 각의 크기이다.
[3-1] 모서리 \(BC\)의 중점을 \(M\)이라 할 때, 선분 \(AM\)과 선분 \(DM\)의 길이를 \(a\)로 나타내시오. (8점)
[3-2] 정사면체 \(ABCD\)의 두 면 \(\triangle ABC\)와 \(\triangle BCD\)가 이루는 예각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta = \dfrac{1}{3}\)임을 증명하시오. (9점)
[3-3] \(a = 6\)일 때, \(\triangle ABC\)의 평면 \(BCD\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. (8점)
[제시문 가] 실수 전체의 집합에서 함수 \(F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt\)를 정의한다.
[제시문 나] 양수 \(x\)에 대하여 열린구간 \((0, x)\)에 속하는 모든 실수 \(t\)는 \(e^{-x^2} \lt e^{-t^2} \lt 1\)을 만족시킨다.
[4-1] 치환적분법을 이용하여 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(F(-x) = -F(x)\)임을 증명하시오. (8점)
[4-2] 도함수 \(F'(x)\)와 이계도함수 \(F''(x)\)를 구하고, \(x \gt 0\)에서 곡선 \(y = F(x)\)의 오목·볼록과 곡선 전체의 변곡점 좌표를 구하시오. (8점)
[4-3] \(x \gt 0\)일 때 \(x e^{-x^2} \lt F(x) \lt x\)임을 증명하고, 이를 이용하여 \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{F(x)}{x}\)의 값을 구하시오. (9점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제5회 | 문항 1 | 확률과 통계 | 중복조합을 이용한 부정방정식의 정수해 개수와 홀수 해의 확률 | 25점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 2 | 미적분Ⅱ | 도함수의 부호 판정을 이용한 지수함수 다항 부등식과 조임정리 극한 | 25점 | 상 |
| 제5회 | 문항 3 | 기하 | 정사면체의 인접한 두 면이 이루는 이면각과 정사영의 넓이 | 25점 | 상 |
| 제5회 | 문항 4 | 미적분Ⅱ | 정적분 정의 함수의 원점 대칭성과 오목·볼록 및 정적분 부등식 | 25점 | 최상 |
[제시문 가] 닫힌구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)에서 함수 \(y = \cos x\)는 \(1\)에서 \(0\)까지 순감소하는 일대일대응이다.
[제시문 나] \(0 \le t \le 1\)인 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(t) = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\cos x - t|\,dx\)를 정의한다.
[1-1] \(\cos\alpha = t\) \(\left(0 \le \alpha \le \dfrac{\pi}{2}\right)\)를 만족하는 \(\alpha\)를 이용하여 \(g(t)\)를 \(\alpha\)의 식으로 나타내시오. (8점)
[1-2] 합성함수의 미분법을 이용하여 도함수 \(g'(t)\) \((0 \lt t \lt 1)\)를 \(\alpha\)로 나타내시오. (8점)
[1-3] \(0 \le t \le 1\)에서 \(g(t)\)가 최소가 되는 \(t\)의 값과 최솟값을 구하시오. (9점)
[제시문 가] 타원 \(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1\) 위의 제1사분면의 점 \(P(x_1, y_1)\) \((x_1 \gt 0,\; y_1 \gt 0)\)에서의 접선은 \(\dfrac{x_1 x}{9} + \dfrac{y_1 y}{4} = 1\)이다.
[제시문 나] 이 접선이 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 점을 각각 \(A, B\)라 하고 원점을 \(O\)라 하자.
[2-1] 두 점 \(A, B\)의 좌표를 \(x_1, y_1\)로 나타내고 \(\triangle OAB\)의 넓이 \(S\)를 \(x_1, y_1\)의 식으로 구하시오. (8점)
[2-2] \(\triangle OAB\)의 넓이 \(S\)의 최솟값과 그때의 접점 \(P\)의 좌표를 구하시오. (8점)
[2-3] [2-2]에서 넓이가 최소일 때, 원점 \(O\)에서 직선 \(AB\)에 내린 수선의 발 \(H\)에 대하여 선분 \(OH\)의 길이를 구하시오. (9점)
[제시문 가] 어느 반도체 공장의 두 생산라인 \(A, B\)는 전체 물량의 \(60\%,\; 40\%\)를 각각 생산하며, 불량률은 \(A\)가 \(5\%\), \(B\)가 \(10\%\)이다.
[제시문 나] 크기 \(n\)인 임의추출 표본의 표본비율 \(\hat{p}\)에 대하여 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간은 \(\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)이다(단, \(\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95\)).
[3-1] 임의로 택한 제품 \(1\)개가 불량품이었을 때, 이 제품이 \(B\) 라인에서 생산되었을 조건부확률을 구하시오. (8점)
[3-2] 소비자 \(400\)명을 임의추출하여 조사한 결과 신규 기능 선호 표본비율이 \(\hat{p} = 0.20\)이었다. 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간과 그 구간의 길이 \(L\)을 구하시오. (8점)
[3-3] 관측되는 표본비율 \(\hat{p} \in (0, 1)\)의 값에 관계없이 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이가 항상 \(0.0392\) 이하가 되도록 하는 최소 표본크기 \(n\)을 구하시오. (9점)
[제시문 가] \(1\)부터 \(2n\) \((n \ge 2\)인 자연수\()\)까지의 자연수가 하나씩 적힌 \(2n\)장의 카드 중 임의로 서로 다른 \(2\)장을 동시에 뽑아 적힌 수를 \(A, B\)라 하자.
[제시문 나] 확률변수 \(D = |A - B|\)는 \(1\)부터 \(2n - 1\)까지의 자연수 값을 가진다.
[4-1] \(k \in \{1, 2, \dots, 2n-1\}\)에 대하여 확률 \(\mathrm{P}(D = k)\)를 \(n, k\)의 식으로 구하시오. (8점)
[4-2] 거듭제곱 합 공식을 이용하여 기댓값 \(\mathrm{E}(D)\)가 \(\dfrac{2n + 1}{3}\)임을 증명하시오. (9점)
[4-3] 극한값 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{9\,\mathrm{E}(D)\big|_{n=k} \cdot \mathrm{E}(D)\big|_{n=k+1}}\)을 구하시오(단, \(\mathrm{E}(D)\big|_{n=k} = \dfrac{2k+1}{3}\)). (8점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제6회 | 문항 1 | 미적분Ⅱ | 절댓값 코사인 정적분 함수의 도함수와 최솟값 추론 | 25점 | 상 |
| 제6회 | 문항 2 | 기하 · 미적분Ⅱ | 타원의 제1사분면 접선 삼각형 넓이 최솟값과 수선의 발 거리 | 25점 | 상 |
| 제6회 | 문항 3 | 확률과 통계 | 베이즈 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 | 25점 | 상 |
| 제6회 | 문항 4 | 대수 · 확률과 통계 | 비복원 추출 두 자연수의 거리 분포와 기댓값 급수 극한 | 25점 | 최상 |
[제시문 가] \(1\) 이상의 자연수 중에서 \(15\)와 서로소인 수를 작은 수부터 차례대로 나열하여 수열 \(\{b_k\}\)를 만든다(\(b_1 = 1,\; b_2 = 2,\; b_3 = 4, \dots\)).
[제시문 나] 정수 \(x\)가 \(15\)와 서로소이면 \(15 - x\)와 \(15 + x\)도 모두 \(15\)와 서로소이다.
[1-1] \(1\)부터 \(15\)까지의 자연수 중 \(15\)와 서로소인 수의 개수와 그 합 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{8} b_k\)를 구하시오. (8점)
[1-2] \(50\)번째 항 \(b_{50}\)의 값을 구하시오. (8점)
[1-3] 임의의 자연수 \(m\)에 대하여 부분합 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{8m} b_k\)를 \(m\)에 대한 식으로 구하시오. (9점)
[제시문 가] 좌표공간에서 점 \(A(3, 2, 1)\)을 지나고 법선벡터가 \(\vec{n} = (2, 2, 1)\)인 평면을 \(\alpha\)라 하자.
[제시문 나] 중심이 \(C(1, 1, 1)\)이고 반지름의 길이가 \(3\)인 구 \(S: (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 9\)와 평면 \(\alpha\)가 만나서 생기는 도형을 \(K\)라 한다.
[2-1] 평면 \(\alpha\)의 방정식을 구하고, 구의 중심 \(C(1, 1, 1)\)과 평면 \(\alpha\) 사이의 거리 \(d\)를 구하시오. (8점)
[2-2] 교선으로 둘러싸인 원판 \(K\)의 반지름 \(r\)과 넓이를 구하시오. (8점)
[2-3] 원판 \(K\)를 \(xy\)평면 위로 정사영시킨 도형의 넓이를 구하시오. (9점)
[제시문 가] 실수 \(t \ge 0\)에 대하여 함수 \(F(t) = \displaystyle\int_{0}^{t} u e^{-u}\,du\)로 정의한다.
[제시문 나] 자연수 \(n\)에 대하여 수열 \(U_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{n^3} \int_{0}^{k} x e^{-\frac{x}{n}}\,dx\)를 생각한다.
[3-1] 부분적분법을 이용하여 \(F(t)\)를 \(t\)의 식으로 나타내시오. (8점)
[3-2] 치환적분 \(u = \dfrac{x}{n}\)을 이용하여 \(U_n\)을 \(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} F\left(\dfrac{k}{n}\right)\) 꼴로 변형하시오. (8점)
[3-3] 극한값 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} U_n\)을 구하시오. (9점)
[제시문 가] 실수 전체에서 정의된 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x\)는 원점에 대하여 대칭인 기함수이다.
[제시문 나] 합성함수 방정식 \(f(f(x)) = 0\)의 실근은 \(f(t) = 0\)의 각 실근 \(t\)에 대하여 방정식 \(f(x) = t\)의 실근들의 합집합이다.
[4-1] 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 구하시오. (7점)
[4-2] 방정식 \(f(f(x)) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수를 구하고 그 근거를 서술하시오. (9점)
[4-3] 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = -x\)로 둘러싸인 두 영역의 넓이의 합을 구하시오. (9점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제7회 | 문항 1 | 대수 | 15와 서로소인 자연수 군수열의 대칭 합과 일반항 추론 | 25점 | 중상 |
| 제7회 | 문항 2 | 기하 | 벡터를 이용한 평면의 방정식과 구의 교선 원 및 정사영 넓이 | 25점 | 상 |
| 제7회 | 문항 3 | 미적분Ⅱ | 치환·부분적분과 정적분 급수 변환을 결합한 극한 추론 | 25점 | 최상 |
| 제7회 | 문항 4 | 미적분Ⅰ | 기함수인 삼차함수의 합성방정식 실근 개수와 대칭 정적분 넓이 | 25점 | 상 |
[제시문 가] 좌표평면 위의 사차곡선 \(C: y = x^4 - 2x^2\)과 직선 \(l: y = 3x + 2\)가 있다.
[제시문 나] 두 점 \(P, Q\)와 점 \(A(1, -2)\)에 대하여 평면벡터의 내적과 정적분 넓이를 계산할 수 있다.
[1-1] 곡선 \(C\)와 직선 \(l\)이 오직 두 점에서만 만남을 증명하고, 두 교점 \(P(x_1, y_1),\; Q(x_2, y_2)\) \((x_1 \lt x_2)\)의 좌표를 구하시오. (8점)
[1-2] 점 \(A(1, -2)\)에 대하여 내적 \(\vec{PQ} \cdot \vec{PA}\)와 \(\triangle PQA\)의 넓이를 각각 구하시오. (8점)
[1-3] 곡선 \(C\)와 직선 \(l\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (9점)
[제시문 가] 서로 다른 \(n\)종류에서 중복을 허락하여 \(r\)개를 택하는 중복조합의 수는 \({}_n\mathrm{H}_r = \binom{n+r-1}{r}\)이다.
[제시문 나] 세 상자 \(A, B, C\)에 같은 종류의 흰 공과 같은 종류의 파란 공을 합하여 총 \(12\)개를 나누어 넣으려 한다(빈 상자가 있을 수 있고 각 색의 공은 \(12\)개 이상 충분하다).
[2-1] 세 상자에 넣은 공의 총합이 \(12\)가 되도록 흰 공과 파란 공을 나누어 넣는 전체 경우의 수를 구하시오. (8점)
[2-2] 상자 \(A, B, C\)에 들어간 공의 총개수(흰 공+파란 공)를 각각 \(x, y, z\)라 할 때, \(x = y = z\)인 경우의 수와 두 수만 같은 경우 중 \(x \le y \le z\)인 경우의 수를 각각 구하시오. (8점)
[2-3] [2-1]의 전체 경우 중 \(x \le y \le z\)를 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (9점)
[제시문 가] 실수 전체에서 정의된 두 절댓값 함수 \(p(x) = -|x - 1|\)과 \(q_n(x) = |x - 3n| + 4\) \((n\)은 자연수\()\)가 있다.
[제시문 나] 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(p(x) \le mx + k \le q_n(x)\)를 만족시키는 두 정수의 순서쌍 \((m, k)\)의 개수를 \(B_n\)이라 하자.
[3-1] 부등식이 모든 실수 \(x\)에서 성립하기 위한 정수 \(m\)의 가능한 값을 모두 구하고 그 이유를 서술하시오. (7점)
[3-2] 자연수 \(n\)의 값에 따른 \(B_n\)을 구하시오. (9점)
[3-3] 합 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{30} B_n\)의 값을 구하시오. (9점)
[제시문 가] 좌표평면의 단위원 \(x^2 + y^2 = 1\) 위에 점 \(A(1, 0)\)과 점 \(P_k\left(\cos\dfrac{k\pi}{n},\; \sin\dfrac{k\pi}{n}\right)\) \((k = 1, 2, \dots, n)\)이 있다.
[제시문 나] 연속함수 \(h(t)\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} h\left(\frac{k}{n}\right) = \int_{0}^{1} h(t)\,dt\)이다.
[4-1] 선분 \(AP_k\)의 길이의 제곱 \(\overline{AP_k}^2\)을 \(\cos\dfrac{k\pi}{n}\)에 대한 식으로 나타내시오. (7점)
[4-2] 극한값 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \overline{AP_k}^2\)을 구하시오. (8점)
[4-3] 극한값 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \overline{AP_k}^4\)을 구하시오. (10점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제8회 | 문항 1 | 기하 · 미적분Ⅰ | 사차곡선과 직선의 교점 유일성, 벡터 내적 및 둘러싸인 넓이 | 25점 | 상 |
| 제8회 | 문항 2 | 확률과 통계 | 중복조합 방정식의 대칭 분할과 순서 제약 해의 개수 | 25점 | 상 |
| 제8회 | 문항 3 | 대수 · 미적분Ⅰ | 절댓값 상·하계 부등식을 만족하는 격자점 개수의 합 | 25점 | 상 |
| 제8회 | 문항 4 | 미적분Ⅱ · 기하 | 단위원 내접 정다각형 현의 거듭제곱 합과 정적분 극한 | 25점 | 상 |
[제시문 가] 함수 \(f(x) = -x^3 - 2x + 4\)의 역함수를 \(g(x)\)라 하자.
[제시문 나] 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(h(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(h(x + 4) = h(x)\)를 만족시키며, 구간 \([0, 4)\)에서 \(h(x) = \begin{cases} 3x & (0 \le x \lt 1) \\ a g'(x) + b & (1 \le x \lt 4) \end{cases}\)이다(단, \(a, b\)는 상수).
[1-1] 함수 \(h(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 \(a, b\)의 값을 구하시오. (8점)
[1-2] 한 주기 정적분 \(\displaystyle\int_{0}^{4} h(x)\,dx\)의 값을 구하시오. (8점)
[1-3] 정적분 \(\displaystyle\int_{0}^{8} x h(x)\,dx\)의 값을 구하시오. (9점)
[제시문 가] 세 자연수 \(p, q, r\)이 로그 방정식 \(\log_3 (p + 3q) + 2\log_3 r = 20\)을 만족시킨다.
[제시문 나] 등비수열의 합 공식과 소인수분해의 유일성을 이용하여 중복되는 해를 제외할 수 있다.
[2-1] 위 방정식을 만족시키는(중복을 허용한) 모든 자연수 순서쌍 \((p, q, r)\)에서 \(r = 3^m\)이라 할 때, 정수 \(m\)의 범위를 구하고 전체 순서쌍 개수를 \(3\)의 거듭제곱을 포함한 식으로 구하시오. (9점)
[2-2] [2-1]의 해 중에서 \(p = q\), \(q = r\), \(p = r\)인 순서쌍의 개수를 각각 구하시오. (8점)
[2-3] 서로 다른 세 자연수의 순서쌍 \((p, q, r)\)의 개수를 \(\dfrac{3(3^{20}-1)}{8} - K\) 꼴로 나타낼 때 자연수 \(K\)의 값을 구하시오. (8점)
[제시문 가] 두 점 \(F(5, 0),\; F'(-5, 0)\)을 공통 초점으로 하는 타원 \(C_1: \dfrac{x^2}{49} + \dfrac{y^2}{24} = 1\)과 쌍곡선 \(C_2: \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1\)이 있다.
[제시문 나] 두 곡선 \(C_1, C_2\)가 제1사분면에서 만나는 교점을 \(P(x_0, y_0)\)라 하자.
[3-1] 이차곡선의 정의를 이용하여 선분 \(PF'\)와 선분 \(PF\)의 길이를 각각 구하고 \(\cos(\angle F'PF)\)의 값을 구하시오. (8점)
[3-2] 삼각형 \(PF'F\)의 넓이와 내접원의 반지름의 길이 \(r\)을 구하시오. (8점)
[3-3] 교점 \(P(x_0, y_0)\)의 좌표를 구하고, 점 \(P\)에서 \(C_1, C_2\)에 그은 두 접선이 서로 수직임을 증명하시오. (9점)
[제시문 가] 한 번의 시행에서 사건 \(E\)가 일어날 확률이 \(\dfrac{1}{4}\)일 때, \(192\)번의 독립시행에서 사건 \(E\)가 일어나는 횟수를 확률변수 \(X\)라 하자.
[제시문 나] 표준정규분포 \(\mathrm{N}(0, 1)\)을 따르는 \(Z\)에 대하여 \(\mathrm{P}(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413\), \(\mathrm{P}(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332\), \(\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95\)이다.
[4-1] 확률변수 \(X\)의 평균 \(\mathrm{E}(X)\)와 표준편차 \(\sigma(X)\)를 구하시오. (7점)
[4-2] 정규분포 근사를 이용하여 \(\mathrm{P}(42 \le X \le 57)\)의 값을 소수 넷째 자리까지 구하시오. (9점)
[4-3] 동일한 표본비율 \(\hat{p}\)가 관측되었을 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 오차한계를 기존의 \(\dfrac{1}{3}\) 이하로 줄이려면 표본의 크기를 최소 몇 배로 늘려야 하는지 논증하시오. (9점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제9회 | 문항 1 | 미적분Ⅱ | 삼차함수의 역함수 도함수로 정의된 주기 연속함수의 가중 정적분 | 25점 | 최상 |
| 제9회 | 문항 2 | 대수 | 밑이 3인 로그 부정방정식과 서로 다른 세 자연수 순서쌍 개수 | 25점 | 상 |
| 제9회 | 문항 3 | 기하 | 공초점 타원·쌍곡선의 직교 성질과 초점 삼각형 내접원 반지름 | 25점 | 상 |
| 제9회 | 문항 4 | 확률과 통계 | 이항분포의 정규분포 근사와 표본크기 배율에 따른 신뢰구간 분석 | 25점 | 중상 |
[제시문 가] 좌표평면에서 포물선 \(y = 2x - x^2\) 위의 네 점 \(O(0, 0),\; B(b, 2b - b^2),\; A(a, 2a - a^2),\; C(2, 0)\)이 \(0 \lt b \lt a \lt 2\)를 만족시킨다.
[제시문 나] 볼록사각형 \(OCAB\)의 넓이는 대각선 \(OA\)를 기준으로 두 삼각형 \(\triangle OCA\)와 \(\triangle OAB\)의 넓이의 합으로 분해된다.
[1-1] 고정된 \(a \in (0, 2)\)에 대하여 \(b \in (0, a)\)가 변할 때, \(\triangle OAB\)의 넓이를 \(a, b\)로 나타내고 그 최댓값을 \(a\)의 식으로 구하시오. (9점)
[1-2] 사각형 \(OCAB\)의 넓이의 최댓값을 구하고 그때의 \(a, b\) 값을 구하시오. (9점)
[1-3] [1-2]의 최대 조건에서 직선 \(AB\)의 기울기와 직선 \(OC\)의 기울기를 비교하고, 곡선 \(y = 2x - x^2\)과 선분 \(OA\)로 둘러싸인 활꼴 넓이를 구하시오. (7점)
[제시문 가] 닫힌구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)에서 함수 \(h(x) = 3\sin^2 x \cos x - \cos^3 x\)를 정의한다.
[제시문 나] \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)와 치환적분 \(u = \sin x\)를 이용하여 \(h(x)\)의 부정적분을 구할 수 있다.
[2-1] 열린구간 \(\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)에서 방정식 \(h(x) = 0\)의 모든 실근을 구하고 구간별 \(h(x)\)의 부호를 판정하시오. (8점)
[2-2] \(h(x)\)를 \(\sin x\)와 \(\cos x\)로 정리하여 \(h(0) = 0\)이 아닌 원점 조건 \(H(0) = 0\)을 만족하는 부정적분 \(H(x) = \displaystyle\int_0^x h(t)\,dt\)를 구하시오. (8점)
[2-3] 정적분 \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |3\sin^2 x \cos x - \cos^3 x|\,dx\)의 값을 구하시오. (9점)
[제시문 가] 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 9\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n + \dfrac{4}{\sqrt{a_n}}\)으로 정의된다.
[제시문 나] 구간 \([4, \infty)\)에서 정의된 함수 \(h(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{4}{\sqrt{x}}\)를 활용할 수 있다.
[3-1] 구간 \([4, \infty)\)에서 함수 \(h(x)\)가 순증가함을 보이고 \(h(4)\)의 값을 구하시오. (7점)
[3-2] 수학적 귀납법을 이용하여 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(4 \lt a_n \le 4 + 5\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)이 성립함을 증명하시오. (10점)
[3-3] 극한값 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n\)을 구하고, 모든 자연수 \(N\)에 대하여 부분합 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{N} (a_n - 4) \lt 10\)임을 보이시오. (8점)
[제시문 가] 좌표공간에서 평면 \(\alpha: x + 2y + 2z = 12\)가 \(x\)축, \(y\)축, \(z\)축과 만나는 점을 각각 \(A, B, C\)라 하고 원점을 \(O\)라 하자.
[제시문 나] \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이 \(S(x)\)를 정적분하여 사면체 \(OABC\)의 부피를 구할 수 있다.
[4-1] \(0 \le x \le 12\)에서 \(x\)좌표가 \(x\)이고 \(x\)축에 수직인 평면으로 사면체 \(OABC\)를 자른 단면 삼각형의 넓이 \(S(x)\)를 구하고, 정적분으로 사면체 \(OABC\)의 부피 \(V\)를 구하시오. (8점)
[4-2] 정사영의 성질을 이용하여 삼각형 \(ABC\)의 넓이를 구하고 사면체 \(OABC\)의 건넓이(네 면의 넓이의 합)를 구하시오. (8점)
[4-3] 사면체 \(OABC\)의 네 면에 모두 접하는 내접구의 반지름 \(r\)과 중심 좌표를 구하시오. (9점)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제10회 | 문항 1 | 미적분Ⅰ | 포물선 위 두 동점이 이루는 볼록사각형 넓이의 순차 최적화 | 25점 | 상 |
| 제10회 | 문항 2 | 미적분Ⅱ | 삼각 다항식의 영점 분할과 절댓값 삼각함수의 치환적분 | 25점 | 상 |
| 제10회 | 문항 3 | 대수 · 미적분Ⅱ | 비선형 근호 점화식의 고정점 수렴 부등식과 급수 상계 증명 | 25점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 4 | 기하 · 미적분Ⅱ | 좌표공간 절편 사면체의 단면 정적분 부피와 내접구 반지름 | 25점 | 상 |
[제시문 가] 첫째항이 \(a_1 = 1\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n\)을 만족시킨다.
[제시문 나] 주머니 속에 흰 공 \(2\)개와 검은 공 \(3\)개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 공을 \(1\)개씩 두 번 꺼내되, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.
[1-1] 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)과 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 합을 구하시오. (8점)
[1-2] [제시문 나]의 시행에서 두 번째에 꺼낸 공이 흰 공일 확률 \(\mathrm{P}(W_2)\)를 구하시오. (8점)
[1-3] 두 번째에 꺼낸 공이 흰 공이었을 때, 첫 번째에 꺼낸 공도 흰 공이었을 조건부확률 \(\mathrm{P}(W_1 \mid W_2)\)를 구하시오. (9점)
[1-1] \(a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n\)이고 \(a_1 = 1\)이므로 수열 \(\{a_n\}\)은 공비가 \(r = \dfrac{1}{2}\)인 등비수열이며, 일반항은 \(a_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)이다. \(|r| = \dfrac{1}{2} \lt 1\)이므로 급수는 수렴하고 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2\)이다.
[1-2] 첫 번째와 두 번째에 흰 공을 꺼내는 사건을 각각 \(W_1, W_2\)라 하면 \(\mathrm{P}(W_1 \cap W_2) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{10}\)이고, \(\mathrm{P}(W_1^c \cap W_2) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{10}\)이다. 따라서 \(\mathrm{P}(W_2) = \dfrac{1}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\)이다.
[1-3] 조건부확률의 정의에 의하여 \(\mathrm{P}(W_1 \mid W_2) = \dfrac{\mathrm{P}(W_1 \cap W_2)}{\mathrm{P}(W_2)} = \dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{5}} = \dfrac{1}{4}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 등비수열의 일반항 \(a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)과 수렴 조건 \(\left|\frac{1}{2}\right| \lt 1\)로부터 급수의 합 \(2\)를 도출함 | 8점 |
| 2단계 | 배반사건 분할 \(W_2 = (W_1 \cap W_2) \cup (W_1^c \cap W_2)\)을 이용해 \(\mathrm{P}(W_2) = \dfrac{2}{5}\)를 구함 | 8점 |
| 3단계 | 조건부확률 공식으로 \(\mathrm{P}(W_1 \mid W_2) = \dfrac{1}{4}\)을 정확히 계산함 | 9점 |
[제시문 가] 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능하면 \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)\)를 만족시키는 실수 \(c\)가 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다.
[제시문 나] 미분가능한 함수 \(g(x)\)에 대하여 \(\displaystyle\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du\)이다.
[2-1] \(0 \le x_1 \lt x_2 \le \pi\)인 임의의 두 실수 \(x_1, x_2\)에 대하여 \(\dfrac{\sin x_2 - \sin x_1}{x_2 - x_1} \lt 1\)임을 증명하시오. (12점)
[2-2] \(u = 1 - x^2\)으로 치환하여 정적분 \(\displaystyle\int_{0}^{1} x^3 \sqrt{1 - x^2}\,dx\)의 값을 구하시오. (13점)
[2-1] 함수 \(f(x) = \sin x\)는 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 연속이고 열린구간 \((x_1, x_2)\)에서 미분가능하며 \(f'(x) = \cos x\)이다. 평균값 정리에 의하여 \(\dfrac{\sin x_2 - \sin x_1}{x_2 - x_1} = \cos c\)를 만족하는 \(c \in (x_1, x_2)\)가 존재한다. 이때 \(0 \le x_1 \lt c \lt x_2 \le \pi\)에서 \(0 \lt c \lt \pi\)이므로 \(-1 \lt \cos c \lt 1\)이다. 따라서 \(\dfrac{\sin x_2 - \sin x_1}{x_2 - x_1} \lt 1\)이 성립한다.
[2-2] \(u = 1 - x^2\)으로 놓으면 \(x^2 = 1 - u\)이고 \(-2x\,dx = du\), 즉 \(x\,dx = -\dfrac{1}{2}\,du\)이다. 적분 구간은 \(x = 0 \implies u = 1\), \(x = 1 \implies u = 0\)이므로 \[\int_0^1 x^3\sqrt{1 - x^2}\,dx = \int_0^1 x^2\sqrt{1 - x^2}\cdot x\,dx = \int_1^0 (1 - u)\sqrt{u}\left(-\frac{1}{2}\right)du = \frac{1}{2}\int_0^1 \left(u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}}\right)du\]이다. 이를 계산하면 \(\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} - \dfrac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{5}\right) = \dfrac{2}{15}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 구간 \([x_1, x_2]\)에서 \(f(x)=\sin x\)의 연속·미분가능성을 확인하고 평균값 정리를 적용해 \(\cos c\)를 도출함 | 6점 |
| 2단계 | \(0 \lt c \lt \pi\)에서 \(\cos c \lt 1\)임을 근거로 부등식을 완결 증명함 | 6점 |
| 3단계 | \(u = 1 - x^2\) 치환으로 적분 구간과 \(x^3\,dx = -\frac{1}{2}(1-u)\,du\)를 정확히 변환하여 \(\dfrac{2}{15}\)를 구함 | 13점 |
[제시문 가] 포물선 \(y^2 = 4px\) \((p \gt 0)\) 위의 점 \(P(x_1, y_1)\)에서의 접선의 방정식은 \(y_1 y = 2p(x + x_1)\)이고 초점은 \(F(p, 0)\)이다.
[제시문 나] 좌표공간에서 점 \(A(x_0, y_0, z_0)\)을 지나고 영벡터가 아닌 법선벡터 \(\vec{n} = (a, b, c)\)에 수직인 평면의 방정식은 \(a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0\)이다.
[3-1] 포물선 \(y^2 = 4x\) 위의 점 \(P(1, 2)\)에서의 접선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(T\), 초점을 \(F\)라 할 때 \(\overline{TF} = \overline{PF}\)임을 증명하시오. (12점)
[3-2] 좌표공간에서 점 \(A(2, -1, 2)\)를 지나고 법선벡터가 \(\vec{n} = (1, 2, 2)\)인 평면 \(\alpha\)의 방정식을 구하고, 원점 \(O\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발 \(H\)의 좌표와 선분 \(OH\)의 길이를 구하시오. (13점)
[3-1] 포물선 \(y^2 = 4x = 4 \cdot 1 \cdot x\)의 초점은 \(F(1, 0)\)이다. 점 \(P(1, 2)\)에서의 접선의 방정식은 \(2y = 2(x + 1)\), 즉 \(y = x + 1\)이므로 \(x\)절편은 \(T(-1, 0)\)이다. 따라서 \(\overline{TF} = |1 - (-1)| = 2\)이고, 두 점 사이의 거리 공식에 의해 \(\overline{PF} = \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - 0)^2} = 2\)이므로 \(\overline{TF} = \overline{PF} = 2\)가 성립한다.
[3-2] 평면 \(\alpha\)의 방정식은 \(1(x - 2) + 2(y + 1) + 2(z - 2) = 0\), 즉 \(x + 2y + 2z - 4 = 0\)이다. 원점 \(O\)를 지나고 법선벡터 \(\vec{n} = (1, 2, 2)\)에 평행한 직선 위의 점 \(H(t, 2t, 2t)\)를 평면 \(\alpha\)에 대입하면 \(t + 4t + 4t - 4 = 0 \implies 9t = 4 \implies t = \dfrac{4}{9}\)이다. 따라서 \(H\left(\dfrac{4}{9},\; \dfrac{8}{9},\; \dfrac{8}{9}\right)\)이고, \(\overline{OH} = \sqrt{\left(\dfrac{4}{9}\right)^2 + \left(\dfrac{8}{9}\right)^2 + \left(\dfrac{8}{9}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{16 + 64 + 64}}{9} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 접선의 방정식 \(y = x + 1\)과 \(T(-1, 0),\; F(1, 0)\)을 구하여 \(\overline{TF} = \overline{PF} = 2\)를 증명함 | 12점 |
| 2단계 | 평면 \(\alpha\)의 방정식 \(x + 2y + 2z - 4 = 0\)을 정확히 도출함 | 6점 |
| 3단계 | 수선의 발 \(H\left(\dfrac{4}{9}, \dfrac{8}{9}, \dfrac{8}{9}\right)\)와 거리 \(\overline{OH} = \dfrac{4}{3}\)를 구함 | 7점 |
[제시문 가] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (t^2 - 4)e^{-t}\,dt\)가 있다.
[제시문 나] \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} x^n e^{-x} = 0\) (단, \(n\)은 자연수)이며, 함수 \(F(x)\)의 그래프와 직선 \(y = k\)의 교점 개수는 극값과 점근선을 함께 조사하여 판정한다.
[4-1] 도함수 \(F'(x)\)를 구하고, 함수 \(F(x)\)가 극댓값과 극솟값을 갖는 \(x\)의 값을 각각 구하시오. (8점)
[4-2] 부분적분법으로 \(F(x)\)를 \(x\)의 식으로 나타내고, \(F(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오. (9점)
[4-3] 방정식 \(F(x) = k\)가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오. (8점)
[4-1] 미적분학의 기본정리에 의해 \(F'(x) = (x^2 - 4)e^{-x} = (x + 2)(x - 2)e^{-x}\)이다. 모든 실수 \(x\)에서 \(e^{-x} \gt 0\)이므로 \(x = -2\) 좌우에서 \(F'(x)\)의 부호가 양(\(+\))에서 음(\(-\))으로 바뀌어 극대이고, \(x = 2\) 좌우에서 음(\(-\))에서 양(\(+\))으로 바뀌어 극소이다.
[4-2] 부분적분법을 두 번 적용하면 \(\int (t^2 - 4)e^{-t}\,dt = -(t^2 - 4)e^{-t} + \int 2t e^{-t}\,dt = -(t^2 + 2t - 2)e^{-t} + C\)이다. 따라서 \(F(x) = \Big[-(t^2 + 2t - 2)e^{-t}\Big]_0^x = -(x^2 + 2x - 2)e^{-x} - 2\)이다. 극댓값은 \(F(-2) = -(-2)e^{2} - 2 = 2e^2 - 2\)이고, 극솟값은 \(F(2) = -6e^{-2} - 2 = -2 - \dfrac{6}{e^2}\)이다.
[4-3] 극한을 조사하면 \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} F(x) = -\infty\)이고, [제시문 나]에 의해 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} F(x) = 0 - 2 = -2\)이다. \(F(x)\)는 \((-\infty, -2]\)에서 \(-\infty \to 2e^2 - 2\)로 증가하고, \([-2, 2]\)에서 \(2e^2 - 2 \to -2 - \dfrac{6}{e^2}\)로 감소하며, \([2, \infty)\)에서 \(-2 - \dfrac{6}{e^2} \to -2\)(점근선 \(y = -2\) 미만)로 증가한다. 따라서 \(y = F(x)\)와 \(y = k\)가 서로 다른 세 점에서 만나기 위한 필요충분조건은 \(-2 - \dfrac{6}{e^2} \lt k \lt -2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \(F'(x) = (x+2)(x-2)e^{-x}\)의 부호 변화를 조사해 극대 \(x=-2\), 극소 \(x=2\)를 판정함 | 8점 |
| 2단계 | 부분적분으로 \(F(x) = -(x^2+2x-2)e^{-x} - 2\) 및 극댓값 \(2e^2 - 2\), 극솟값 \(-2 - \dfrac{6}{e^2}\)를 구함 | 9점 |
| 3단계 | 우극한 점근선 \(\lim_{x\to\infty} F(x) = -2\)를 반영하여 세 실근 범위 \(-2 - \dfrac{6}{e^2} \lt k \lt -2\)를 도출함 | 8점 |
[제시문 가] 매 시행마다 두 상태 \(A\)와 \(B\) 사이를 이동하는 입자가 있다. 현재 상태가 \(A\)일 때 다음 시행에서도 상태 \(A\)에 머무를 확률은 \(\dfrac{1}{6}\)이고, 현재 상태가 \(B\)일 때 다음 시행에서 상태 \(A\)로 이동할 확률은 \(\dfrac{1}{3}\)이다.
[제시문 나] 처음(\(0\)회 시행) 입자는 상태 \(A\)에 있으며(\(p_0 = 1\)), \(n\)회 시행 후 입자가 상태 \(A\)에 있을 확률을 \(p_n\)이라 한다.
[1-1] 모든 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 \(p_{n+1}\)을 \(p_n\)에 관한 일차 점화식으로 나타내시오. (12점)
[1-2] 수열 \(\{p_n\}\)의 일반항 \(p_n\)을 구하고, 극한값 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n\)을 구하시오. (13점)
[1-1] \(n\)회 시행 후 상태 \(A\)에 있을 확률이 \(p_n\)이므로 상태 \(B\)에 있을 확률은 \(1 - p_n\)이다. 덧셈정리와 곱셈정리에 의하여 \(p_{n+1} = \dfrac{1}{6}p_n + \dfrac{1}{3}(1 - p_n) = -\dfrac{1}{6}p_n + \dfrac{1}{3}\)이다.
[1-2] \(\alpha = -\dfrac{1}{6}\alpha + \dfrac{1}{3}\)에서 \(\dfrac{7}{6}\alpha = \dfrac{1}{3}\), 즉 \(\alpha = \dfrac{2}{7}\)이므로 점화식은 \(p_{n+1} - \dfrac{2}{7} = -\dfrac{1}{6}\left(p_n - \dfrac{2}{7}\right)\)로 변형된다. 수열 \(\left\{p_n - \dfrac{2}{7}\right\}\)은 첫째항이 \(p_0 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}\)이고 공비가 \(-\dfrac{1}{6}\)인 등비수열이므로 \(p_n = \dfrac{2}{7} + \dfrac{5}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n\)이다. \(\left|-\dfrac{1}{6}\right| \lt 1\)이므로 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n = \dfrac{2}{7}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 여사건 확률 \(1 - p_n\)을 이용해 \(p_{n+1} = -\dfrac{1}{6}p_n + \dfrac{1}{3}\)을 정확히 수립함 | 12점 |
| 2단계 | 특성값 \(\dfrac{2}{7}\)을 이용해 일반항 \(p_n = \dfrac{2}{7} + \dfrac{5}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n\)을 유도함 | 8점 |
| 3단계 | 등비수열 수렴 조건으로부터 \(\lim_{n\to\infty} p_n = \dfrac{2}{7}\)을 도출함 | 5점 |
[제시문 가] 닫힌구간 \([a, b]\)에서 미분가능하고 도함수가 연속인 곡선 \(y = f(x)\)의 길이는 \(L = \displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}\,dx\)이다.
[제시문 나] 닫힌구간 \([-1, 1]\)에서 정의된 곡선 \(y = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\)를 생각하자.
[2-1] 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\sqrt{1 + (y')^2} = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\)가 성립함을 증명하시오. (8점)
[2-2] 구간 \([-1, 1]\)에서 곡선 \(y = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\)의 길이 \(L\)을 구하시오. (8점)
[2-3] 곡선 \(y = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x = -1,\; x = 1\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하여 \(L\)과 비교하시오. (9점)
[2-1] \(y' = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}\)이므로 \(1 + (y')^2 = 1 + \dfrac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \dfrac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} = \left(\dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2\)이다. 모든 실수 \(x\)에서 \(e^x + e^{-x} \gt 0\)이므로 \(\sqrt{1 + (y')^2} = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\)이다.
[2-2] 우함수 성질에 의하여 \(L = \displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\,dx = 2\int_{0}^{1} \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\,dx = \Big[e^x - e^{-x}\Big]_0^1 = e - \dfrac{1}{e}\)이다.
[2-3] 구간 \([-1, 1]\)에서 \(y = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \gt 0\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(S = \displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\,dx = e - \dfrac{1}{e}\)이며, 곡선의 길이 \(L\)과 넓이 \(S\)가 \(e - \dfrac{1}{e}\)로 서로 같다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 완전제곱식 변형과 양수 부호 조건(\(e^x + e^{-x} \gt 0\))으로 \(\sqrt{1 + (y')^2} = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\)를 증명함 | 8점 |
| 2단계 | 정적분을 계산하여 곡선의 길이 \(L = e - \dfrac{1}{e}\)를 정확히 도출함 | 8점 |
| 3단계 | 양숫값 조건을 확인해 넓이 \(S = e - \dfrac{1}{e}\)를 구하고 \(S = L\)임을 서술함 | 9점 |
[제시문 가] 좌표공간에서 구 \(S : x^2 + y^2 + z^2 = 9\)와 평면 \(\alpha : x + 2y + 2z = 6\)이 만나서 생기는 원을 \(C\)라 하자.
[제시문 나] 원 \(C\)를 \(xy\)평면 위로 정사영시킨 도형을 \(E\)라 한다.
[3-1] 원 \(C\)의 중심 \(H\)의 좌표와 반지름의 길이 \(r\)을 각각 구하시오. (12점)
[3-2] 평면 \(\alpha\)와 \(xy\)평면이 이루는 예각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta\)를 구하고, 정사영 도형 \(E\)의 넓이를 구하시오. (13점)
[3-1] 원 \(C\)의 중심 \(H\)는 구의 중심 \(O(0, 0, 0)\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발이다. 평면 \(\alpha\)의 법선벡터가 \(\vec{n}_1 = (1, 2, 2)\)이므로 \(H(t, 2t, 2t)\)를 \(x + 2y + 2z = 6\)에 대입하면 \(9t = 6 \implies t = \dfrac{2}{3}\)이다. 따라서 \(H\left(\dfrac{2}{3},\; \dfrac{4}{3},\; \dfrac{4}{3}\right)\)이고, \(\overline{OH} = \sqrt{\dfrac{4 + 16 + 16}{9}} = 2\)이므로 피타고라스 정리에 의해 원 \(C\)의 반지름은 \(r = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}\)이다.
[3-2] \(xy\)평면(\(z = 0\))의 법선벡터는 \(\vec{n}_2 = (0, 0, 1)\)이므로 두 평면이 이루는 예각 \(\theta\)에 대하여 \[\cos\theta = \frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{2}{3}\]이다. 원 \(C\)의 넓이는 \(\pi r^2 = 5\pi\)이므로 정사영 도형 \(E\)의 넓이는 \(S' = 5\pi \cos\theta = \dfrac{10}{3}\pi\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 수선의 발 \(H\left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{3}, \dfrac{4}{3}\right)\)와 \(\overline{OH}=2\)로부터 반지름 \(r = \sqrt{5}\)를 도출함 | 12점 |
| 2단계 | 두 법선벡터 \((1, 2, 2)\)와 \((0, 0, 1)\)로부터 \(\cos\theta = \dfrac{2}{3}\)를 구함 | 6점 |
| 3단계 | 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta\)를 적용하여 \(\dfrac{10}{3}\pi\)를 구함 | 7점 |
[제시문 가] 함수 \(f(x) = x^3 + x + 1\)은 모든 실수 \(x\)에서 \(f'(x) = 3x^2 + 1 \gt 0\)이므로 실수 전체의 집합에서 역함수 \(g(x) = f^{-1}(x)\)가 존재한다.
[제시문 나] 항등식 \(f(g(x)) = x\)의 양변을 미분하면 \(g'(x) = \dfrac{1}{f'(g(x))}\)이다.
[4-1] \(g(3),\; g'(3),\; g''(3)\)의 값을 각각 구하시오. (13점)
[4-2] 정적분 \(\displaystyle\int_{1}^{3} g(x)\,dx\)의 값을 구하시오. (12점)
[4-1] \(f(1) = 1 + 1 + 1 = 3\)이므로 \(g(3) = 1\)이다. \(f'(x) = 3x^2 + 1,\; f''(x) = 6x\)에서 \(f'(1) = 4,\; f''(1) = 6\)이므로 \(g'(3) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{4}\)이다. 또한 \(g'(x) = \{f'(g(x))\}^{-1}\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 합성함수 미분법에 의해 \[g''(x) = -\frac{f''(g(x)) \cdot g'(x)}{\{f'(g(x))\}^2} = -\frac{f''(g(x))}{\{f'(g(x))\}^3}\]이다. 따라서 \(g''(3) = -\dfrac{f''(1)}{\{f'(1)\}^3} = -\dfrac{6}{4^3} = -\dfrac{3}{32}\)이다.
[4-2] \(f(0) = 1,\; f(1) = 3\)이므로 \(x = f(t)\)로 치환하면 \(g(x) = t\), \(dx = f'(t)\,dt = (3t^2 + 1)\,dt\)이고 적분 구간은 \([0, 1]\)이다. 따라서 \(\displaystyle\int_1^3 g(x)\,dx = \int_0^1 t(3t^2 + 1)\,dt = \left[\dfrac{3}{4}t^4 + \dfrac{1}{2}t^2\right]_0^1 = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{4}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \(g(3) = 1\)과 \(g'(3) = \dfrac{1}{4}\)를 정확히 구함 | 6점 |
| 2단계 | 합성함수 미분법으로 \(g''(x) = -\dfrac{f''(g(x))}{\{f'(g(x))\}^3}\)를 유도하여 \(g''(3) = -\dfrac{3}{32}\)를 도출함 | 7점 |
| 3단계 | 치환적분(또는 직사각형 넓이 차)으로 \(\int_1^3 g(x)\,dx = \dfrac{5}{4}\)를 계산함 | 12점 |
[제시문 가] 자연수 \(n\)에 대하여 이항정리에 의해 \((1 + x)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{k} x^k\)가 성립한다.
[제시문 나] 자연수 \(n\)에 대하여 수열 \(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k + 1} {}_{n}\mathrm{C}_{k}\)로 정의한다.
[1-1] [제시문 가]의 양변을 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 정적분하여 \(S_n = \dfrac{2^{n+1} - 1}{n + 1}\)임을 증명하시오. (12점)
[1-2] 두 극한값 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{(n + 1)S_n}{2^n}\)과 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{2^n}\)을 각각 구하시오. (13점)
[1-1] \((1 + x)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{k} x^k\)의 양변을 \(0\)에서 \(1\)까지 정적분하면 좌변은 \(\displaystyle\int_0^1 (1 + x)^n\,dx = \left[\dfrac{(1 + x)^{n+1}}{n + 1}\right]_0^1 = \dfrac{2^{n+1} - 1}{n + 1}\)이고, 우변은 \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{k} \int_0^1 x^k\,dx = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k + 1}{}_{n}\mathrm{C}_{k} = S_n\)이므로 \(S_n = \dfrac{2^{n+1} - 1}{n + 1}\)이다.
[1-2] [1-1]의 식을 대입하면 \(\dfrac{(n + 1)S_n}{2^n} = \dfrac{2^{n+1} - 1}{2^n} = 2 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)이므로 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{(n + 1)S_n}{2^n} = 2\)이다. 또한 \(\dfrac{S_n}{2^n} = \dfrac{1}{n + 1}\left(2 - \dfrac{1}{2^n}\right)\)에서 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n + 1} = 0\)이므로 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{2^n} = 0 \times 2 = 0\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 양변을 \([0, 1]\)에서 적분하여 \(S_n = \dfrac{2^{n+1} - 1}{n + 1}\)을 비약 없이 증명함 | 12점 |
| 2단계 | \(\lim_{n\to\infty} \dfrac{(n+1)S_n}{2^n} = 2\)를 구함 | 6점 |
| 3단계 | \(\lim_{n\to\infty} \dfrac{S_n}{2^n} = 0\)을 극한의 성질로 정확히 도출함 | 7점 |
[제시문 가] 매개변수 \(t\) \((0 \le t \le 2\pi)\)로 나타낸 곡선 \(x = t - \sin t,\; y = 1 - \cos t\)가 있다.
[제시문 나] 삼각함수의 반각 관계식에 의하여 \(1 - \cos t = 2\sin^2\dfrac{t}{2}\)이다.
[2-1] \(t = \dfrac{\pi}{2}\)에 대응하는 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하시오. (12점)
[2-2] \(0 \le t \le 2\pi\)에서 이 곡선의 전체 길이 \(L\)을 구하시오. (13점)
[2-1] \(\dfrac{dx}{dt} = 1 - \cos t,\; \dfrac{dy}{dt} = \sin t\)이므로 \(t = \dfrac{\pi}{2}\)일 때 접선의 기울기는 \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sin\frac{\pi}{2}}{1 - \cos\frac{\pi}{2}} = \dfrac{1}{1} = 1\)이다. 접점의 좌표는 \(\left(\dfrac{\pi}{2} - 1,\; 1\right)\)이므로 접선의 방정식은 \(y - 1 = 1\left(x - \dfrac{\pi}{2} + 1\right)\), 즉 \(y = x + 2 - \dfrac{\pi}{2}\)이다.
[2-2] \(\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2 = (1 - \cos t)^2 + \sin^2 t = 2(1 - \cos t) = 4\sin^2\dfrac{t}{2}\)이다. \(0 \le t \le 2\pi\)에서 \(0 \le \dfrac{t}{2} \le \pi\)이므로 \(\sin\dfrac{t}{2} \ge 0\)이고 \(\sqrt{4\sin^2\dfrac{t}{2}} = 2\sin\dfrac{t}{2}\)이다. 따라서 \(L = \displaystyle\int_0^{2\pi} 2\sin\dfrac{t}{2}\,dt = \left[-4\cos\dfrac{t}{2}\right]_0^{2\pi} = (-4)(-1) - (-4)(1) = 8\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 매개변수 미분법으로 기울기 \(1\)과 접점 \(\left(\frac{\pi}{2}-1, 1\right)\)로부터 접선 \(y = x + 2 - \dfrac{\pi}{2}\)를 구함 | 12점 |
| 2단계 | \(0 \le \frac{t}{2} \le \pi\)에서 \(\sin\frac{t}{2} \ge 0\)임을 밝혀 속력 \(2\sin\dfrac{t}{2}\)를 정적분해 \(L = 8\)을 도출함 | 13점 |
[제시문 가] 양수 \(a\)에 대하여 쌍곡선 \(x^2 - y^2 = a^2\)의 두 점근선의 방정식은 \(x - y = 0,\; x + y = 0\)이다.
[제시문 나] 이 쌍곡선의 두 초점은 \(F(\sqrt{2}a, 0),\; F'(-\sqrt{2}a, 0)\)이다.
[3-1] 쌍곡선 위의 임의의 점 \(P(x_1, y_1)\)에서 두 점근선에 이르는 거리의 곱이 점 \(P\)의 위치에 관계없이 \(\dfrac{a^2}{2}\)로 일정함을 증명하시오. (12점)
[3-2] 쌍곡선 위의 점 \(P(x_1, y_1)\)에 대하여 평면벡터의 내적 \(\overrightarrow{PF} \cdot \overrightarrow{PF'}\)의 최솟값과 그때의 점 \(P\)의 좌표를 모두 구하시오. (13점)
[3-1] 점 \(P(x_1, y_1)\)에서 두 직선 \(x - y = 0,\; x + y = 0\)까지의 거리를 각각 \(d_1, d_2\)라 하면 \(d_1 = \dfrac{|x_1 - y_1|}{\sqrt{2}},\; d_2 = \dfrac{|x_1 + y_1|}{\sqrt{2}}\)이다. 점 \(P\)가 쌍곡선 위의 점이므로 \(x_1^2 - y_1^2 = a^2\)이고, \(d_1 d_2 = \dfrac{|x_1^2 - y_1^2|}{2} = \dfrac{a^2}{2}\)로 일정하다.
[3-2] \(\overrightarrow{PF} = (\sqrt{2}a - x_1, -y_1)\), \(\overrightarrow{PF'} = (-\sqrt{2}a - x_1, -y_1)\)이므로 \[\overrightarrow{PF} \cdot \overrightarrow{PF'} = (x_1^2 - 2a^2) + y_1^2 = (a^2 + y_1^2 - 2a^2) + y_1^2 = 2y_1^2 - a^2\]이다. 실수 \(y_1\)에 대하여 \(y_1^2 \ge 0\)이므로 최솟값은 \(-a^2\)이며, 등호는 \(y_1 = 0\), 즉 \(x_1 = \pm a\)인 두 꼭짓점 \(P(a, 0)\) 또는 \(P(-a, 0)\)일 때 성립한다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 점과 직선 사이의 거리 공식과 \(x_1^2 - y_1^2 = a^2\)을 결합해 \(d_1 d_2 = \dfrac{a^2}{2}\)를 증명함 | 12점 |
| 2단계 | 내적을 \(2y_1^2 - a^2\)으로 정리하여 최솟값 \(-a^2\)과 점 \((\pm a, 0)\)을 모두 구함 | 13점 |
[제시문 가] 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 수열 \(\{I_n\}\)을 \(I_n = \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x^n}{1 + x}\,dx\)로 정의한다.
[제시문 나] 닫힌구간 \([0, 1]\)에 속하는 모든 실수 \(x\)와 자연수 \(n\)에 대하여 \(0 \le \dfrac{x^n}{1 + x} \le x^n\)이 성립한다.
[4-1] \(I_0\)의 값을 구하고, 모든 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 \(I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n + 1}\)임을 증명하시오. (8점)
[4-2] 수열의 극한의 대소 관계(조임정리)를 이용하여 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} I_n = 0\)임을 증명하시오. (8점)
[4-3] [4-1]과 [4-2]를 이용하여 급수 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}\)의 합을 구하시오. (9점)
[4-1] \(I_0 = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1 + x}\,dx = \Big[\ln(1 + x)\Big]_0^1 = \ln 2\)이다. 또한 모든 \(n \ge 0\)에 대하여 \[I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{x^n(1 + x)}{1 + x}\,dx = \int_0^1 x^n\,dx = \left[\frac{x^{n+1}}{n + 1}\right]_0^1 = \frac{1}{n + 1}\]이다.
[4-2] [제시문 나]의 부등식을 \([0, 1]\)에서 정적분하면 \(0 \le I_n \le \displaystyle\int_0^1 x^n\,dx = \dfrac{1}{n + 1}\)이다. \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n + 1} = 0\)이므로 조임정리에 의해 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} I_n = 0\)이다.
[4-3] 제\(m\)부분합 \(S_m = \displaystyle\sum_{k=1}^{m} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}\)에 \(\dfrac{1}{k} = I_{k-1} + I_k\)를 대입하면 망원 소거에 의해 \[S_m = (I_0 + I_1) - (I_1 + I_2) + \cdots + (-1)^{m-1}(I_{m-1} + I_m) = I_0 + (-1)^{m-1}I_m\]이다. [4-2]에 의해 \(\displaystyle\lim_{m \to \infty} (-1)^{m-1}I_m = 0\)이므로 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} = \lim_{m \to \infty} S_m = I_0 = \ln 2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \(I_0 = \ln 2\)를 구하고 \(I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n + 1}\)을 증명함 | 8점 |
| 2단계 | 부등식 \(0 \le I_n \le \dfrac{1}{n+1}\)과 조임정리로 \(\lim_{n\to\infty} I_n = 0\)을 증명함 | 8점 |
| 3단계 | 부분합 \(S_m = I_0 + (-1)^{m-1}I_m\)을 도출하여 급수의 합 \(\ln 2\)를 구함 | 9점 |
[제시문 가] 자연수 \(n\)에 대한 명제 \(P(n)\)이 \(n = 1\)일 때 성립하고, \(n = m\)일 때 성립한다고 가정하면 \(n = m + 1\)일 때도 성립할 때 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(P(n)\)이 성립한다.
[제시문 나] 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 제\(n\)부분합 \(S_n\)이 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = \infty\)이면 주어진 급수는 발산한다.
[1-1] 수학적 귀납법을 이용하여 모든 자연수 \(n\)에 대하여 부등식 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}} \gt 2(\sqrt{n + 1} - 1)\)이 성립함을 증명하시오. (15점)
[1-2] [1-1]의 부등식을 이용하여 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}}\)이 양의 무한대로 발산함을 보이시오. (10점)
[1-1] (i) \(n = 1\)일 때: 좌변은 \(1\), 우변은 \(2(\sqrt{2} - 1)\)이며 \(1 - 2(\sqrt{2} - 1) = 3 - 2\sqrt{2} = \sqrt{9} - \sqrt{8} \gt 0\)이므로 성립한다.
(ii) \(n = m\) \((m \ge 1)\)일 때 성립한다고 가정하면 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1} \dfrac{1}{\sqrt{k}} \gt 2(\sqrt{m + 1} - 1) + \dfrac{1}{\sqrt{m + 1}}\)이다. 우변에서 \(2(\sqrt{m + 2} - 1)\)을 빼면 유리화에 의하여 \[\frac{1}{\sqrt{m + 1}} - 2(\sqrt{m + 2} - \sqrt{m + 1}) = \frac{1}{\sqrt{m + 1}} - \frac{2}{\sqrt{m + 2} + \sqrt{m + 1}} = \frac{\sqrt{m + 2} - \sqrt{m + 1}}{\sqrt{m + 1}(\sqrt{m + 2} + \sqrt{m + 1})} \gt 0\]이다. 따라서 \(n = m + 1\)일 때도 부등식이 성립하므로 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립한다.
[1-2] 부분합 \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}}\)에 대하여 \(S_n \gt 2(\sqrt{n + 1} - 1)\)이고 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} 2(\sqrt{n + 1} - 1) = \infty\)이므로, 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = \infty\)가 되어 주어진 급수는 양의 무한대로 발산한다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 초기 조건 \(n = 1\)에서 \(3 - 2\sqrt{2} \gt 0\)임을 정확히 확인함 | 5점 |
| 2단계 | 귀납 가정과 켤레 유리화 비교를 통해 \(n = m + 1\)일 때 성립함을 엄밀히 증명함 | 10점 |
| 3단계 | 하한 수열 \(2(\sqrt{n+1}-1) \to \infty\)로부터 급수의 발산을 논증함 | 10점 |
[제시문 가] 닫힌구간 \([a, b]\)에서 \(x\)좌표가 \(x\)인 점을 지나고 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 연속함수 \(S(x)\)인 입체도형의 부피는 \(V = \displaystyle\int_{a}^{b} S(x)\,dx\)이다.
[제시문 나] 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 곡선 \(y = \sqrt{x}e^{-x}\)와 \(x\)축 및 직선 \(x = 1\)로 둘러싸인 영역을 밑면으로 하고, \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형이 있다.
[2-1] 부분적분법을 이용하여 부정적분 \(\displaystyle\int x e^{-2x}\,dx\)를 구하시오(단, 적분상수는 \(C\)). (12점)
[2-2] [제시문 나]의 입체도형의 부피 \(V\)를 구하시오. (13점)
[2-1] \(u = x,\; v' = e^{-2x}\)로 놓으면 \(u' = 1,\; v = -\dfrac{1}{2}e^{-2x}\)이므로 부분적분법에 의하여 \[\int x e^{-2x}\,dx = -\frac{1}{2}x e^{-2x} + \frac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx = -\frac{1}{2}x e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C = -\frac{2x + 1}{4}e^{-2x} + C\]이다.
[2-2] \(x \in [0, 1]\)에서 정사각형 단면의 한 변의 길이는 \(\sqrt{x}e^{-x}\)이므로 단면의 넓이는 \(S(x) = \left(\sqrt{x}e^{-x}\right)^2 = x e^{-2x}\)이다. 따라서 입체도형의 부피는 \(V = \displaystyle\int_0^1 x e^{-2x}\,dx = \left[-\dfrac{2x + 1}{4}e^{-2x}\right]_0^1 = -\dfrac{3}{4}e^{-2} - \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{e^2 - 3}{4e^2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 부분적분법을 정확히 적용하여 \(-\dfrac{2x + 1}{4}e^{-2x} + C\)를 유도함 | 12점 |
| 2단계 | 단면 넓이 \(S(x) = x e^{-2x}\)를 세우고 정적분을 계산하여 \(V = \dfrac{e^2 - 3}{4e^2}\)를 구함 | 13점 |
[제시문 가] 양수 \(a, b\) \((a \gt b \gt 0)\)에 대하여 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)에 접하고 기울기가 \(m\)인 접선의 방정식은 \(y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}\)이다.
[제시문 나] 좌표평면에서 타원 밖의 점 \(P(x_0, y_0)\)에서 이 타원에 그은 두 접선이 서로 수직이다.
[3-1] \(x_0 \neq \pm a\)일 때, 점 \(P(x_0, y_0)\)을 지나는 접선의 기울기 \(m\)이 만족시키는 이차방정식을 유도하시오. (12점)
[3-2] \(x_0 = \pm a\)인 경우까지 포함하여 두 접선이 서로 수직이 되도록 하는 점 \(P(x_0, y_0)\)의 자취의 방정식을 구하고 도형의 기하학적 성질을 서술하시오. (13점)
[3-1] 접선이 점 \(P(x_0, y_0)\)을 지나므로 \(y_0 - m x_0 = \pm\sqrt{a^2 m^2 + b^2}\)이다. 양변을 제곱하여 정리하면 \(y_0^2 - 2x_0 y_0 m + x_0^2 m^2 = a^2 m^2 + b^2\), 즉 \((x_0^2 - a^2)m^2 - 2x_0 y_0 m + (y_0^2 - b^2) = 0\)이다(\(x_0 \neq \pm a\)이므로 이차항 계수가 \(0\)이 아니다).
[3-2] (i) \(x_0 \neq \pm a\)일 때: 서로 수직인 두 접선의 기울기 \(m_1, m_2\)의 곱이 \(-1\)이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 \(m_1 m_2 = \dfrac{y_0^2 - b^2}{x_0^2 - a^2} = -1 \implies x_0^2 + y_0^2 = a^2 + b^2\)이다.
(ii) \(x_0 = \pm a\)일 때: 한 접선이 \(x = \pm a\)(\(y\)축에 평행)이므로 수직인 다른 접선은 \(y = \pm b\)(\(x\)축에 평행)이며, 네 교점 \((\pm a, \pm b)\) 역시 \(x_0^2 + y_0^2 = a^2 + b^2\)을 만족시킨다.
따라서 점 \(P\)의 자취는 중심이 원점 \((0, 0)\)이고 반지름이 \(\sqrt{a^2 + b^2}\)인 원 \(x^2 + y^2 = a^2 + b^2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 제곱 정리를 통해 \(m\)에 관한 이차방정식 \((x_0^2 - a^2)m^2 - 2x_0 y_0 m + (y_0^2 - b^2) = 0\)을 유도함 | 12점 |
| 2단계 | \(m_1 m_2 = -1\) 조건과 축에 평행한 예외 네 점 \((\pm a, \pm b)\)까지 검증하여 원 \(x^2 + y^2 = a^2 + b^2\)을 완결 서술함 | 13점 |
[제시문 가] 좌표평면에서 방정식 \(x^2 - xy + y^2 = 3\)으로 정의된 닫힌 곡선 \(C\)가 있다.
[제시문 나] 곡선 \(C\) 위의 점에서 \(y\)좌표가 최대 또는 최소인 점에서는 접선이 \(x\)축에 평행(\(\dfrac{dy}{dx} = 0\))하고, \(x\)좌표가 최대 또는 최소인 점에서는 접선이 \(y\)축에 평행하다.
[4-1] 음함수 미분법을 이용하여 \(2y - x \neq 0\)일 때 \(\dfrac{dy}{dx}\)를 \(x, y\)의 식으로 나타내시오. (8점)
[4-2] 곡선 \(C\) 위의 점 \((x, y)\) 중에서 \(y\)좌표의 최댓값과 최솟값 및 그때의 점의 좌표를 구하시오. (9점)
[4-3] 곡선 \(C\) 위의 점 \((x, y)\) 중에서 \(x\)좌표의 최댓값과 최솟값 및 그때의 점의 좌표를 구하시오. (8점)
[4-1] \(x^2 - xy + y^2 = 3\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(2x - y - x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0\)이므로 \(2y - x \neq 0\)일 때 \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y - 2x}{2y - x}\)이다.
[4-2] \(\dfrac{dy}{dx} = 0\)에서 \(y = 2x\)이고, 이를 곡선 \(C\)의 방정식에 대입하면 \(x^2 - 2x^2 + 4x^2 = 3x^2 = 3 \implies x = \pm 1\)이다(또한 \(\left(x - \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}y^2 = 3\)에서도 \(y^2 \le 4\)임을 확인할 수 있다). 따라서 점 \((1, 2)\)에서 \(y\)의 최댓값은 \(2\)이고, 점 \((-1, -2)\)에서 \(y\)의 최솟값은 \(-2\)이다.
[4-3] 접선이 \(y\)축에 평행한 조건 \(2y - x = 0\)(즉 \(x = 2y\))을 곡선 \(C\)에 대입하면 \(4y^2 - 2y^2 + y^2 = 3y^2 = 3 \implies y = \pm 1\)이다. 따라서 점 \((2, 1)\)에서 \(x\)의 최댓값은 \(2\)이고, 점 \((-2, -1)\)에서 \(x\)의 최솟값은 \(-2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 음함수 미분법으로 \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y - 2x}{2y - x}\)를 정확히 도출함 | 8점 |
| 2단계 | \(y = 2x\)를 연립하여 점 \((1, 2), (-1, -2)\) 및 \(y\)의 최댓값 \(2\), 최솟값 \(-2\)를 구함 | 9점 |
| 3단계 | \(x = 2y\) 조건(또는 대칭성)으로 점 \((2, 1), (-2, -1)\) 및 \(x\)의 최댓값 \(2\), 최솟값 \(-2\)를 구함 | 8점 |
[제시문 가] 서로 다른 \(n\)개에서 중복을 허락하여 \(r\)개를 택하는 중복조합의 수는 \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)이다.
[제시문 나] 방정식 \(x + y + z + w = 10\)을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 순서쌍 \((x, y, z, w)\) 전체의 집합에서 임의로 한 순서쌍을 택한다.
[1-1] 방정식 \(x + y + z + w = 10\)의 음이 아닌 정수해 \((x, y, z, w)\)의 총개수를 구하시오. (12점)
[1-2] 택한 순서쌍에서 네 수 \(x, y, z, w\)가 모두 홀수일 확률을 기약분수로 구하시오. (13점)
[1-1] 음이 아닌 네 정수의 합이 \(10\)인 순서쌍의 개수는 \({}_{4}\mathrm{H}_{10} = {}_{13}\mathrm{C}_{10} = {}_{13}\mathrm{C}_{3} = \dfrac{13 \times 12 \times 11}{6} = 286\)이다.
[1-2] \(x, y, z, w\)가 모두 양의 홀수이므로 음이 아닌 정수 \(a, b, c, d\)에 대하여 \(x = 2a + 1,\; y = 2b + 1,\; z = 2c + 1,\; w = 2d + 1\)로 놓을 수 있다. 이를 대입하면 \(2(a + b + c + d) + 4 = 10 \iff a + b + c + d = 3\)이므로 순서쌍의 개수는 \({}_{4}\mathrm{H}_{3} = {}_{6}\mathrm{C}_{3} = 20\)이다. 따라서 구하는 확률은 \(\dfrac{20}{286} = \dfrac{10}{143}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 중복조합으로 음이 아닌 정수해 총개수 \({}_{4}\mathrm{H}_{10} = 286\)을 정확히 계산함 | 12점 |
| 2단계 | 홀수 치환 \(2a+1\) 등으로 \({}_{4}\mathrm{H}_{3} = 20\)을 구하고 기약분수 확률 \(\dfrac{10}{143}\)을 도출함 | 13점 |
[제시문 가] 미분가능한 함수 \(g(x)\)가 \(g(0) = 0\)이고 구간 \((0, a)\)에 속하는 모든 \(x\)에 대하여 \(g'(x) \gt 0\)이면, \((0, a)\)에서 \(g(x) \gt 0\)이다.
[제시문 나] 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\dfrac{d}{dx}(e^x) = e^x\)이며, \(0 \lt x \lt 1\)일 때 \(1 \lt e^x \lt e\)이다.
[2-1] [제시문 가]를 반복 적용하여 \(x \gt 0\)일 때 \(e^x \gt 1 + x + \dfrac{x^2}{2}\)가 성립함을 증명하시오. (8점)
[2-2] \(0 \lt x \lt 1\)일 때 부등식 \(e^x \lt 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{e}{6}x^3\)이 성립함을 증명하시오. (9점)
[2-3] [2-1]과 [2-2]의 부등식 및 함수의 극한의 대소 관계를 이용하여 \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2} = \dfrac{1}{2}\)임을 증명하시오. (8점)
[2-1] \(g(x) = e^x - 1 - x - \dfrac{x^2}{2}\)라 하면 \(g(0) = g'(0) = g''(0) = 0\)이고 \(g''(x) = e^x - 1\)이다. \(x \gt 0\)에서 \(e^x \gt 1\)이므로 \(g''(x) \gt 0 \implies g'(x) \gt g'(0) = 0 \implies g(x) \gt g(0) = 0\)이다. 따라서 \(x \gt 0\)일 때 \(e^x \gt 1 + x + \dfrac{x^2}{2}\)이다.
[2-2] \(h(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{e}{6}x^3 - e^x\)라 하면 \(h(0) = h'(0) = h''(0) = 0\)이고 \(h'''(x) = e - e^x\)이다. \(0 \lt x \lt 1\)일 때 \(e^x \lt e\)이므로 \(h'''(x) \gt 0\)이며, 순차적으로 \(h''(x) \gt 0 \implies h'(x) \gt 0 \implies h(x) \gt 0\)이 성립하여 \(e^x \lt 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{e}{6}x^3\)이다.
[2-3] \(0 \lt x \lt 1\)일 때 [2-1], [2-2]의 양변에서 \(1 + x\)를 빼고 \(x^2 \gt 0\)으로 나누면 \[\frac{1}{2} \lt \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \lt \frac{1}{2} + \frac{e}{6}x\]이다. \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{e}{6}x\right) = \dfrac{1}{2}\)이므로 조임정리에 의해 \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2} = \dfrac{1}{2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \(g(x) = e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}\)의 고계도함수 부호를 순차 확인하여 하한 부등식을 증명함 | 8점 |
| 2단계 | \(h'''(x) = e - e^x \gt 0\) \((0 \lt x \lt 1)\)으로부터 상한 부등식을 엄밀히 증명함 | 9점 |
| 3단계 | 양측 부등식을 \(x^2\)으로 나누어 조임정리로 극한값 \(\dfrac{1}{2}\)를 도출함 | 8점 |
[제시문 가] 한 모서리의 길이가 \(a\) \((a \gt 0)\)인 정사면체 \(ABCD\)가 있다.
[제시문 나] 공간에서 두 평면이 이루는 이면각의 크기 \(\theta\)는 두 평면의 교선 위의 한 점에서 각 평면 위에 교선에 수직으로 그은 두 반직선이 이루는 각의 크기이다.
[3-1] 모서리 \(BC\)의 중점을 \(M\)이라 할 때, 선분 \(AM\)과 선분 \(DM\)의 길이를 \(a\)로 나타내시오. (8점)
[3-2] 정사면체 \(ABCD\)의 두 면 \(\triangle ABC\)와 \(\triangle BCD\)가 이루는 예각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta = \dfrac{1}{3}\)임을 증명하시오. (9점)
[3-3] \(a = 6\)일 때, \(\triangle ABC\)의 평면 \(BCD\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. (8점)
[3-1] \(\triangle ABC\)와 \(\triangle DBC\)는 한 변의 길이가 \(a\)인 정삼각형이고 \(M\)은 \(\overline{BC}\)의 중점이므로 \(\overline{AM} \perp \overline{BC},\; \overline{DM} \perp \overline{BC}\)이며 \(\overline{AM} = \overline{DM} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a\)이다.
[3-2] \(\overline{AM} \perp \overline{BC}\), \(\overline{DM} \perp \overline{BC}\)이므로 두 면이 이루는 이면각은 \(\theta = \angle AMD\)이다. \(\triangle AMD\)에서 \(\overline{AD} = a\)이므로 코사인법칙에 의하여 \[\cos\theta = \frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 - a^2}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a} = \frac{\frac{3}{2}a^2 - a^2}{\frac{3}{2}a^2} = \frac{1}{3}\]이다(또는 꼭짓점 \(A\)의 수선의 발이 \(\triangle BCD\)의 무게중심 \(G\)임을 이용해 \(\frac{\overline{GM}}{\overline{AM}} = \frac{1}{3}\)으로 보일 수도 있다).
[3-3] \(a = 6\)일 때 정삼각형 \(\triangle ABC\)의 넓이는 \(S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = 9\sqrt{3}\)이므로, 평면 \(BCD\) 위로의 정사영의 넓이는 \(S' = S\cos\theta = 9\sqrt{3} \times \dfrac{1}{3} = 3\sqrt{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \(\overline{AM} \perp \overline{BC},\; \overline{DM} \perp \overline{BC}\)와 \(\overline{AM} = \overline{DM} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a\)를 구함 | 8점 |
| 2단계 | \(\angle AMD = \theta\)임을 밝히고 코사인법칙(또는 무게중심 성질)으로 \(\cos\theta = \dfrac{1}{3}\)을 증명함 | 9점 |
| 3단계 | \(\triangle ABC\)의 넓이 \(9\sqrt{3}\)에 \(\cos\theta = \dfrac{1}{3}\)을 곱해 정사영 넓이 \(3\sqrt{3}\)을 도출함 | 8점 |
[제시문 가] 실수 전체의 집합에서 함수 \(F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt\)를 정의한다.
[제시문 나] 양수 \(x\)에 대하여 열린구간 \((0, x)\)에 속하는 모든 실수 \(t\)는 \(e^{-x^2} \lt e^{-t^2} \lt 1\)을 만족시킨다.
[4-1] 치환적분법을 이용하여 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(F(-x) = -F(x)\)임을 증명하시오. (8점)
[4-2] 도함수 \(F'(x)\)와 이계도함수 \(F''(x)\)를 구하고, \(x \gt 0\)에서 곡선 \(y = F(x)\)의 오목·볼록과 곡선 전체의 변곡점 좌표를 구하시오. (8점)
[4-3] \(x \gt 0\)일 때 \(x e^{-x^2} \lt F(x) \lt x\)임을 증명하고, 이를 이용하여 \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{F(x)}{x}\)의 값을 구하시오. (9점)
[4-1] \(F(-x) = \displaystyle\int_0^{-x} e^{-t^2}\,dt\)에서 \(t = -u\)로 치환하면 \(dt = -du\)이고 \(t = 0 \implies u = 0\), \(t = -x \implies u = x\)이므로 \(F(-x) = \displaystyle\int_0^x e^{-(-u)^2}(-du) = -\int_0^x e^{-u^2}\,du = -F(x)\)이다.
[4-2] 미적분학의 기본정리에 의해 \(F'(x) = e^{-x^2}\)이고, 한 번 더 미분하면 \(F''(x) = -2x e^{-x^2}\)이다. \(x \gt 0\)일 때 \(F''(x) \lt 0\)이므로 곡선 \(y = F(x)\)는 위로 볼록하며, \(x = 0\) 좌우에서 \(F''(x)\)의 부호가 양(\(+\))에서 음(\(-\))으로 바뀌고 \(F(0) = 0\)이므로 변곡점은 \((0, 0)\)이다.
[4-3] \(x \gt 0\)일 때 연속함수 \(g(t) = 1 - e^{-t^2}\)과 \(h(t) = e^{-t^2} - e^{-x^2}\)은 열린구간 \((0, x)\)에서 항상 양수이므로 \(\displaystyle\int_0^x e^{-x^2}\,dt \lt \int_0^x e^{-t^2}\,dt \lt \int_0^x 1\,dt\), 즉 \(x e^{-x^2} \lt F(x) \lt x\)가 성립한다. 양변을 \(x \gt 0\)으로 나누면 \(e^{-x^2} \lt \dfrac{F(x)}{x} \lt 1\)이고 \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} e^{-x^2} = 1\)이므로 조임정리에 의해 \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{F(x)}{x} = 1\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \(t = -u\) 치환적분으로 \(F(-x) = -F(x)\)를 정확히 증명함 | 8점 |
| 2단계 | \(F'(x) = e^{-x^2},\; F''(x) = -2x e^{-x^2}\)를 구해 \(x \gt 0\)에서 위로 볼록 및 변곡점 \((0, 0)\)을 도출함 | 8점 |
| 3단계 | 구간 \((0, x)\)에서의 정적분 부등식으로 \(x e^{-x^2} \lt F(x) \lt x\)를 보이고 극한값 \(1\)을 구함 | 9점 |
[제시문 가] 닫힌구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)에서 함수 \(y = \cos x\)는 \(1\)에서 \(0\)까지 순감소하는 일대일대응이다.
[제시문 나] \(0 \le t \le 1\)인 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(t) = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\cos x - t|\,dx\)를 정의한다.
[1-1] \(\cos\alpha = t\) \(\left(0 \le \alpha \le \dfrac{\pi}{2}\right)\)를 만족하는 \(\alpha\)를 이용하여 \(g(t)\)를 \(\alpha\)의 식으로 나타내시오. (8점)
[1-2] 합성함수의 미분법을 이용하여 도함수 \(g'(t)\) \((0 \lt t \lt 1)\)를 \(\alpha\)로 나타내시오. (8점)
[1-3] \(0 \le t \le 1\)에서 \(g(t)\)가 최소가 되는 \(t\)의 값과 최솟값을 구하시오. (9점)
[1-1] \([0, \alpha]\)에서 \(\cos x \ge t\), \([\alpha, \frac{\pi}{2}]\)에서 \(\cos x \le t\)이므로 \(g(t) = \int_0^\alpha (\cos x - t)\,dx + \int_\alpha^{\frac{\pi}{2}} (t - \cos x)\,dx = (\sin\alpha - \alpha t) + \left(\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)t - (1 - \sin\alpha)\right) = 2\sin\alpha + \left(\dfrac{\pi}{2} - 2\alpha\right)\cos\alpha - 1\)이다.
[1-2] 양변을 \(\alpha\)에 대하여 미분하면 \(\dfrac{dg}{d\alpha} = 2\cos\alpha - 2\cos\alpha - \left(\dfrac{\pi}{2} - 2\alpha\right)\sin\alpha = -\left(\dfrac{\pi}{2} - 2\alpha\right)\sin\alpha\)이고, \(\dfrac{dt}{d\alpha} = -\sin\alpha \neq 0\)이므로 \(g'(t) = \dfrac{dg/d\alpha}{dt/d\alpha} = \dfrac{\pi}{2} - 2\alpha\)이다.
[1-3] \(g'(t) = 0 \iff \alpha = \dfrac{\pi}{4}\)이다. \(t \lt \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)(\(\alpha \gt \frac{\pi}{4}\))이면 \(g'(t) \lt 0\), \(t \gt \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)(\(\alpha \lt \frac{\pi}{4}\))이면 \(g'(t) \gt 0\)이므로 \(t = \cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)일 때 최소이며, 최솟값은 \(2\sin\dfrac{\pi}{4} + 0 - 1 = \sqrt{2} - 1\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 구간 \([0,\alpha]\)와 \([\alpha,\frac{\pi}{2}]\)로 분할하여 \(g(t) = 2\sin\alpha + \left(\frac{\pi}{2}-2\alpha\right)\cos\alpha - 1\)을 유도함 | 8점 |
| 2단계 | 매개변수 미분법으로 \(g'(t) = \dfrac{\pi}{2} - 2\alpha\)를 정확히 도출함 | 8점 |
| 3단계 | 증감 부호를 판정하여 \(t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)일 때 최솟값 \(\sqrt{2} - 1\)을 구함 | 9점 |
[제시문 가] 타원 \(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1\) 위의 제1사분면의 점 \(P(x_1, y_1)\) \((x_1 \gt 0,\; y_1 \gt 0)\)에서의 접선은 \(\dfrac{x_1 x}{9} + \dfrac{y_1 y}{4} = 1\)이다.
[제시문 나] 이 접선이 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 점을 각각 \(A, B\)라 하고 원점을 \(O\)라 하자.
[2-1] 두 점 \(A, B\)의 좌표를 \(x_1, y_1\)로 나타내고 \(\triangle OAB\)의 넓이 \(S\)를 \(x_1, y_1\)의 식으로 구하시오. (8점)
[2-2] \(\triangle OAB\)의 넓이 \(S\)의 최솟값과 그때의 접점 \(P\)의 좌표를 구하시오. (8점)
[2-3] [2-2]에서 넓이가 최소일 때, 원점 \(O\)에서 직선 \(AB\)에 내린 수선의 발 \(H\)에 대하여 선분 \(OH\)의 길이를 구하시오. (9점)
[2-1] 절편을 구하면 \(A\left(\dfrac{9}{x_1}, 0\right)\), \(B\left(0, \dfrac{4}{y_1}\right)\)이므로 \(S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{9}{x_1} \cdot \dfrac{4}{y_1} = \dfrac{18}{x_1 y_1}\)이다.
[2-2] \(x_1 \gt 0, y_1 \gt 0\)이므로 산술·기하평균 부등식(또는 \(x_1=3\cos\theta, y_1=2\sin\theta\) 미분)에 의해 \(1 = \dfrac{x_1^2}{9} + \dfrac{y_1^2}{4} \ge 2\sqrt{\dfrac{x_1^2 y_1^2}{36}} = \dfrac{x_1 y_1}{3}\)이므로 \(x_1 y_1 \le 3\)이다. 등호는 \(\dfrac{x_1^2}{9} = \dfrac{y_1^2}{4} = \dfrac{1}{2}\), 즉 \(P\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2},\; \sqrt{2}\right)\)일 때 성립하며, 넓이의 최솟값은 \(\dfrac{18}{3} = 6\)이다.
[2-3] 넓이가 최소일 때 \(\overline{OA} = 3\sqrt{2}\), \(\overline{OB} = 2\sqrt{2}\)이므로 \(\overline{AB} = \sqrt{18 + 8} = \sqrt{26}\)이다. 삼각형 넓이 \(6 = \dfrac{1}{2}\overline{AB}\cdot\overline{OH}\)에서 \(\overline{OH} = \dfrac{12}{\sqrt{26}} = \dfrac{6\sqrt{26}}{13}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 절편 \(A\left(\frac{9}{x_1},0\right), B\left(0,\frac{4}{y_1}\right)\)와 넓이 \(S = \dfrac{18}{x_1 y_1}\)을 정확히 구함 | 8점 |
| 2단계 | 등호 조건을 명시하여 접점 \(P\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}\right)\)과 최솟값 \(6\)을 도출함 | 8점 |
| 3단계 | \(\overline{AB} = \sqrt{26}\)을 이용해 \(\overline{OH} = \dfrac{6\sqrt{26}}{13}\)을 정확히 계산함 | 9점 |
[제시문 가] 어느 반도체 공장의 두 생산라인 \(A, B\)는 전체 물량의 \(60\%,\; 40\%\)를 각각 생산하며, 불량률은 \(A\)가 \(5\%\), \(B\)가 \(10\%\)이다.
[제시문 나] 크기 \(n\)인 임의추출 표본의 표본비율 \(\hat{p}\)에 대하여 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간은 \(\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)이다(단, \(\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95\)).
[3-1] 임의로 택한 제품 \(1\)개가 불량품이었을 때, 이 제품이 \(B\) 라인에서 생산되었을 조건부확률을 구하시오. (8점)
[3-2] 소비자 \(400\)명을 임의추출하여 조사한 결과 신규 기능 선호 표본비율이 \(\hat{p} = 0.20\)이었다. 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간과 그 구간의 길이 \(L\)을 구하시오. (8점)
[3-3] 관측되는 표본비율 \(\hat{p} \in (0, 1)\)의 값에 관계없이 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이가 항상 \(0.0392\) 이하가 되도록 하는 최소 표본크기 \(n\)을 구하시오. (9점)
[3-1] 불량품일 사건을 \(D\)라 하면 \(\mathrm{P}(D) = 0.6 \times 0.05 + 0.4 \times 0.10 = 0.03 + 0.04 = 0.07\)이다. 따라서 \(\mathrm{P}(B \mid D) = \dfrac{0.04}{0.07} = \dfrac{4}{7}\)이다.
[3-2] \(n = 400,\; \hat{p} = 0.20\)이므로 표준오차는 \(\sqrt{\dfrac{0.20 \times 0.80}{400}} = \dfrac{0.4}{20} = 0.02\)이고 오차한계는 \(1.96 \times 0.02 = 0.0392\)이다. 따라서 신뢰구간은 \(0.1608 \le p \le 0.2392\)이며, 길이 \(L = 2 \times 0.0392 = 0.0784\)이다.
[3-3] \(0 \lt \hat{p} \lt 1\)에서 \(\hat{p}(1 - \hat{p}) = -\left(\hat{p} - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4}\)이므로 신뢰구간 길이의 최댓값은 \(2 \times 1.96 \times \dfrac{1}{2\sqrt{n}} = \dfrac{1.96}{\sqrt{n}}\)이다. \(\dfrac{1.96}{\sqrt{n}} \le 0.0392 \iff \sqrt{n} \ge \dfrac{1.96}{0.0392} = 50\)이므로 최소 자연수 \(n = 2500\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 전확률 \(\mathrm{P}(D) = 0.07\)을 구하고 조건부확률 \(\mathrm{P}(B\mid D) = \dfrac{4}{7}\)을 정확히 도출함 | 8점 |
| 2단계 | 오차한계 \(0.0392\)를 계산하여 신뢰구간 \([0.1608, 0.2392]\)와 길이 \(0.0784\)를 구함 | 8점 |
| 3단계 | \(\hat{p}(1-\hat{p}) \le \dfrac{1}{4}\)의 최대 성질을 논증하여 \(\sqrt{n} \ge 50\), 즉 최소 표본크기 \(n = 2500\)을 도출함 | 9점 |
[제시문 가] \(1\)부터 \(2n\) \((n \ge 2\)인 자연수\()\)까지의 자연수가 하나씩 적힌 \(2n\)장의 카드 중 임의로 서로 다른 \(2\)장을 동시에 뽑아 적힌 수를 \(A, B\)라 하자.
[제시문 나] 확률변수 \(D = |A - B|\)는 \(1\)부터 \(2n - 1\)까지의 자연수 값을 가진다.
[4-1] \(k \in \{1, 2, \dots, 2n-1\}\)에 대하여 확률 \(\mathrm{P}(D = k)\)를 \(n, k\)의 식으로 구하시오. (8점)
[4-2] 거듭제곱 합 공식을 이용하여 기댓값 \(\mathrm{E}(D)\)가 \(\dfrac{2n + 1}{3}\)임을 증명하시오. (9점)
[4-3] 극한값 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{9\,\mathrm{E}(D)\big|_{n=k} \cdot \mathrm{E}(D)\big|_{n=k+1}}\)을 구하시오(단, \(\mathrm{E}(D)\big|_{n=k} = \dfrac{2k+1}{3}\)). (8점)
[4-1] 전체 경우의 수는 \(\binom{2n}{2} = n(2n - 1)\)이다. 차가 \(k\)인 두 수의 집합 \(\{m, m+k\}\)는 \(m = 1, 2, \dots, 2n - k\)의 \((2n - k)\)개이므로 \(\mathrm{P}(D = k) = \dfrac{2n - k}{n(2n - 1)}\)이다.
[4-2] \(\mathrm{E}(D) = \dfrac{1}{n(2n-1)}\displaystyle\sum_{k=1}^{2n-1} k(2n - k)\)에서 \(\sum_{k=1}^{2n-1}(2nk - k^2) = 2n\cdot\dfrac{(2n-1)2n}{2} - \dfrac{(2n-1)2n(4n-1)}{6} = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}\)이므로 \(\mathrm{E}(D) = \dfrac{2n + 1}{3}\)이다.
[4-3] \(9\,\dfrac{2k+1}{3}\cdot\dfrac{2k+3}{3} = (2k+1)(2k+3)\)이므로 부분분수 분해하면 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3}\right)\)이다. 따라서 \(n \to \infty\)일 때 극한값은 \(\dfrac{1}{6}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 전체 조합 \(n(2n-1)\)과 차가 \(k\)인 쌍의 개수 \((2n-k)\)로부터 \(\mathrm{P}(D=k) = \dfrac{2n-k}{n(2n-1)}\)을 구함 | 8점 |
| 2단계 | 시그마 공식을 전개·인수분해하여 \(\mathrm{E}(D) = \dfrac{2n+1}{3}\)임을 빈틈없이 증명함 | 9점 |
| 3단계 | 부분분수 소거형 부분합을 구하고 극한값 \(\dfrac{1}{6}\)을 정확히 도출함 | 8점 |
[제시문 가] \(1\) 이상의 자연수 중에서 \(15\)와 서로소인 수를 작은 수부터 차례대로 나열하여 수열 \(\{b_k\}\)를 만든다(\(b_1 = 1,\; b_2 = 2,\; b_3 = 4, \dots\)).
[제시문 나] 정수 \(x\)가 \(15\)와 서로소이면 \(15 - x\)와 \(15 + x\)도 모두 \(15\)와 서로소이다.
[1-1] \(1\)부터 \(15\)까지의 자연수 중 \(15\)와 서로소인 수의 개수와 그 합 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{8} b_k\)를 구하시오. (8점)
[1-2] \(50\)번째 항 \(b_{50}\)의 값을 구하시오. (8점)
[1-3] 임의의 자연수 \(m\)에 대하여 부분합 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{8m} b_k\)를 \(m\)에 대한 식으로 구하시오. (9점)
[1-1] \(15 = 3 \times 5\)이므로 \(1 \sim 15\) 중 \(3\)의 배수(\(5\)개)와 \(5\)의 배수(\(3\)개)에서 \(15\)의 배수(\(1\)개)를 보정하면 서로소인 수는 \(15 - (5 + 3 - 1) = 8\)개이며 \(\{1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14\}\)이다. 양끝 대칭쌍 \((1+14) = (2+13) = (4+11) = (7+8) = 15\)가 \(4\)쌍이므로 합은 \(60\)이다.
[1-2] \(8\)개씩 주기를 이루며 \(b_{8q + r} = 15q + b_r\) \((1 \le r \le 8)\)이다. \(50 = 8 \times 6 + 2\)이므로 \(b_{50} = 15 \times 6 + b_2 = 90 + 2 = 92\)이다.
[1-3] \(j\)번째 묶음 \((j = 1, 2, \dots, m)\)의 \(8\)개 항은 \(15(j-1) + b_r\) \((r=1\dots 8)\)이므로 묶음 합은 \(8 \times 15(j-1) + 60 = 120j - 60\)이다. 따라서 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{8m} b_k = \sum_{j=1}^{m}(120j - 60) = 120\cdot\frac{m(m+1)}{2} - 60m = 60m^2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 포함·배제 또는 나열로 \(8\)개 항 \(\{1,2,4,7,8,11,13,14\}\)와 첫 묶음 합 \(60\)을 구함 | 8점 |
| 2단계 | 주기 관계식 \(b_{8q+r} = 15q + b_r\)을 세워 \(b_{50} = 92\)를 정확히 산출함 | 8점 |
| 3단계 | \(j\)번째 묶음 합 \(120j - 60\)을 유도하여 \(\sum_{k=1}^{8m} b_k = 60m^2\)을 도출함 | 9점 |
[제시문 가] 좌표공간에서 점 \(A(3, 2, 1)\)을 지나고 법선벡터가 \(\vec{n} = (2, 2, 1)\)인 평면을 \(\alpha\)라 하자.
[제시문 나] 중심이 \(C(1, 1, 1)\)이고 반지름의 길이가 \(3\)인 구 \(S: (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 9\)와 평면 \(\alpha\)가 만나서 생기는 도형을 \(K\)라 한다.
[2-1] 평면 \(\alpha\)의 방정식을 구하고, 구의 중심 \(C(1, 1, 1)\)과 평면 \(\alpha\) 사이의 거리 \(d\)를 구하시오. (8점)
[2-2] 교선으로 둘러싸인 원판 \(K\)의 반지름 \(r\)과 넓이를 구하시오. (8점)
[2-3] 원판 \(K\)를 \(xy\)평면 위로 정사영시킨 도형의 넓이를 구하시오. (9점)
[2-1] 평면 \(\alpha\)의 방정식은 \(2(x - 3) + 2(y - 2) + 1(z - 1) = 0 \iff 2x + 2y + z - 11 = 0\)이다. 점 \(C(1, 1, 1)\)과 \(\alpha\) 사이의 거리는 \(d = \dfrac{|2 + 2 + 1 - 11|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \dfrac{6}{3} = 2\)이다.
[2-2] 피타고라스 정리에 의해 원 \(K\)의 반지름은 \(r = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}\)이므로 원판 \(K\)의 넓이는 \(\pi r^2 = 5\pi\)이다.
[2-3] \(xy\)평면의 단위법선벡터는 \(\vec{e}_3 = (0, 0, 1)\)이므로 두 평면이 이루는 예각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta = \dfrac{|\vec{n}\cdot\vec{e}_3|}{\|\vec{n}\|\|\vec{e}_3\|} = \dfrac{1}{3}\)이다. 따라서 정사영 넓이는 \(5\pi \cos\theta = \dfrac{5\pi}{3}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 평면의 방정식 \(2x + 2y + z - 11 = 0\)과 점-평면 거리 \(d = 2\)를 정확히 계산함 | 8점 |
| 2단계 | 교선 원의 반지름 \(r = \sqrt{5}\)와 넓이 \(5\pi\)를 구함 | 8점 |
| 3단계 | 법선벡터 내적으로 \(\cos\theta = \dfrac{1}{3}\)을 유도하여 정사영 넓이 \(\dfrac{5\pi}{3}\)를 산출함 | 9점 |
[제시문 가] 실수 \(t \ge 0\)에 대하여 함수 \(F(t) = \displaystyle\int_{0}^{t} u e^{-u}\,du\)로 정의한다.
[제시문 나] 자연수 \(n\)에 대하여 수열 \(U_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{n^3} \int_{0}^{k} x e^{-\frac{x}{n}}\,dx\)를 생각한다.
[3-1] 부분적분법을 이용하여 \(F(t)\)를 \(t\)의 식으로 나타내시오. (8점)
[3-2] 치환적분 \(u = \dfrac{x}{n}\)을 이용하여 \(U_n\)을 \(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} F\left(\dfrac{k}{n}\right)\) 꼴로 변형하시오. (8점)
[3-3] 극한값 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} U_n\)을 구하시오. (9점)
[3-1] 부분적분법에 의해 \(F(t) = \Big[-u e^{-u}\Big]_0^t + \int_0^t e^{-u}\,du = -t e^{-t} + (1 - e^{-t}) = 1 - (t + 1)e^{-t}\)이다.
[3-2] \(u = \dfrac{x}{n}\)으로 치환하면 \(x = nu,\; dx = n\,du\)이므로 \(\int_0^k x e^{-x/n}\,dx = n^2 \int_0^{k/n} u e^{-u}\,du = n^2 F\left(\dfrac{k}{n}\right)\)이다. 따라서 \(U_n = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} F\left(\dfrac{k}{n}\right)\)이다.
[3-3] 정적분과 급수의 관계에 의해 \[\lim_{n\to\infty} U_n = \int_{0}^{2} \big\{1 - (t + 1)e^{-t}\big\}\,dt = \Big[t + (t + 2)e^{-t}\Big]_0^2 = (2 + 4e^{-2}) - (0 + 2) = \frac{4}{e^2}\]이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 부분적분으로 \(F(t) = 1 - (t+1)e^{-t}\)를 정확히 도출함 | 8점 |
| 2단계 | 치환적분 시 \(n^2\) 인수가 발생하여 \(U_n = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n} F\left(\frac{k}{n}\right)\)이 됨을 보임 | 8점 |
| 3단계 | 구간 \([0, 2]\)의 정적분을 계산하여 \(\dfrac{4}{e^2}\)을 정확히 산출함 | 9점 |
[제시문 가] 실수 전체에서 정의된 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x\)는 원점에 대하여 대칭인 기함수이다.
[제시문 나] 합성함수 방정식 \(f(f(x)) = 0\)의 실근은 \(f(t) = 0\)의 각 실근 \(t\)에 대하여 방정식 \(f(x) = t\)의 실근들의 합집합이다.
[4-1] 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 구하시오. (7점)
[4-2] 방정식 \(f(f(x)) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수를 구하고 그 근거를 서술하시오. (9점)
[4-3] 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = -x\)로 둘러싸인 두 영역의 넓이의 합을 구하시오. (9점)
[4-1] \(f'(x) = 3(x+1)(x-1) = 0\)에서 \(x = -1\)일 때 극댓값 \(f(-1) = 2\), \(x = 1\)일 때 극솟값 \(f(1) = -2\)이다.
[4-2] \(f(t) = t(t^2 - 3) = 0\)의 서로 다른 실근은 \(t = -\sqrt{3},\; 0,\; \sqrt{3}\)이다. 세 값 모두 극솟값 \(-2\)와 극댓값 \(2\) 사이(\(-2 \lt -\sqrt{3} \lt 0 \lt \sqrt{3} \lt 2\))에 위치하므로, 수평선 \(y = -\sqrt{3},\; y = 0,\; y = \sqrt{3}\)은 각각 곡선 \(y = f(x)\)와 서로 다른 \(3\)개의 점에서 만나며 세 함숫값이 서로 다르므로 교점 \(x\)좌표들은 모두 다르다. 따라서 서로 다른 실근은 \(3 \times 3 = 9\)개이다.
[4-3] \(x^3 - 3x = -x \iff x(x^2 - 2) = 0\)이므로 교점은 \(x = -\sqrt{2},\; 0,\; \sqrt{2}\)이다. 원점 대칭성에 의해 전체 넓이는 \(2\displaystyle\int_0^{\sqrt{2}} |x^3 - 2x|\,dx = 2\int_0^{\sqrt{2}} (2x - x^3)\,dx = 2\left[x^2 - \frac{1}{4}x^4\right]_0^{\sqrt{2}} = 2(2 - 1) = 2\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 도함수 인수분해로 극댓값 \(2\)(\(x=-1\)), 극솟값 \(-2\)(\(x=1\))를 정확히 구함 | 7점 |
| 2단계 | \(|\pm\sqrt{3}| \lt 2\)임을 비교하여 \(f(x) \in \{-\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}\}\) 각각에서 \(3\)개씩 총 \(9\)개의 서로 다른 실근이 존재함을 증명함 | 9점 |
| 3단계 | 교점 \(0, \pm\sqrt{2}\)와 기함수 대칭성을 이용해 둘러싸인 넓이의 합 \(2\)를 도출함 | 9점 |
[제시문 가] 좌표평면 위의 사차곡선 \(C: y = x^4 - 2x^2\)과 직선 \(l: y = 3x + 2\)가 있다.
[제시문 나] 두 점 \(P, Q\)와 점 \(A(1, -2)\)에 대하여 평면벡터의 내적과 정적분 넓이를 계산할 수 있다.
[1-1] 곡선 \(C\)와 직선 \(l\)이 오직 두 점에서만 만남을 증명하고, 두 교점 \(P(x_1, y_1),\; Q(x_2, y_2)\) \((x_1 \lt x_2)\)의 좌표를 구하시오. (8점)
[1-2] 점 \(A(1, -2)\)에 대하여 내적 \(\vec{PQ} \cdot \vec{PA}\)와 \(\triangle PQA\)의 넓이를 각각 구하시오. (8점)
[1-3] 곡선 \(C\)와 직선 \(l\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (9점)
[1-1] 연립방정식 \(x^4 - 2x^2 - 3x - 2 = 0\)을 인수분해하면 \((x + 1)(x - 2)(x^2 + x + 1) = 0\)이다. 이차식 \(x^2 + x + 1\)의 판별식 \(D = 1 - 4 = -3 \lt 0\)이므로 실근은 \(x = -1, 2\)뿐이며 \(P(-1, -1),\; Q(2, 8)\)이다.
[1-2] \(\vec{PQ} = (3, 9)\), \(\vec{PA} = (2, -1)\)이므로 \(\vec{PQ}\cdot\vec{PA} = 6 - 9 = -3\)이다. 또한 삼각형 \(PQA\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}|3\cdot(-1) - 9\cdot 2| = \dfrac{21}{2}\)이다.
[1-3] 구간 \([-1, 2]\)에서 \(3x + 2 \ge x^4 - 2x^2\)이므로 둘러싸인 넓이는 \[\int_{-1}^{2} (-x^4 + 2x^2 + 3x + 2)\,dx = \left[-\frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{-1}^{2} = -\frac{33}{5} + 6 + \frac{9}{2} + 6 = \frac{99}{10}\]이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \((x+1)(x-2)(x^2+x+1)=0\)으로 인수분해하고 허근 판별로 \(P(-1,-1),\; Q(2,8)\)을 확정함 | 8점 |
| 2단계 | 내적 \(\vec{PQ}\cdot\vec{PA} = -3\)과 \(\triangle PQA\)의 넓이 \(\dfrac{21}{2}\)를 정확히 구함 | 8점 |
| 3단계 | 구간 \([-1, 2]\)에서 정적분을 계산하여 넓이 \(\dfrac{99}{10}\)를 도출함 | 9점 |
[제시문 가] 서로 다른 \(n\)종류에서 중복을 허락하여 \(r\)개를 택하는 중복조합의 수는 \({}_n\mathrm{H}_r = \binom{n+r-1}{r}\)이다.
[제시문 나] 세 상자 \(A, B, C\)에 같은 종류의 흰 공과 같은 종류의 파란 공을 합하여 총 \(12\)개를 나누어 넣으려 한다(빈 상자가 있을 수 있고 각 색의 공은 \(12\)개 이상 충분하다).
[2-1] 세 상자에 넣은 공의 총합이 \(12\)가 되도록 흰 공과 파란 공을 나누어 넣는 전체 경우의 수를 구하시오. (8점)
[2-2] 상자 \(A, B, C\)에 들어간 공의 총개수(흰 공+파란 공)를 각각 \(x, y, z\)라 할 때, \(x = y = z\)인 경우의 수와 두 수만 같은 경우 중 \(x \le y \le z\)인 경우의 수를 각각 구하시오. (8점)
[2-3] [2-1]의 전체 경우 중 \(x \le y \le z\)를 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (9점)
[2-1] 각 상자의 흰 공 개수 \(w_1, w_2, w_3\)과 파란 공 개수 \(b_1, b_2, b_3\)의 합이 \(12\)이므로 \({}_6\mathrm{H}_{12} = \binom{17}{12} = \binom{17}{5} = \dfrac{17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{120} = 6188\)이다.
[2-2] 고정된 \((x, y, z)\)에 대응하는 가짓수는 \((x+1)(y+1)(z+1)\)이다.
• \(x = y = z\)인 경우: \((4, 4, 4)\)뿐이므로 \(5^3 = 125\)가지이다.
• 두 수만 같고 \(x \le y \le z\)인 경우: \(u \in \{0, 1, 2, 3, 5, 6\}\)(\(u \neq 4\))에 대해 \(\{u, u, 12-2u\}\)를 오름차순 배열한 한 가지씩 대응하므로 \(\sum_{u \in \{0,1,2,3,5,6\}}(u+1)^2(13-2u) = 13 + 44 + 81 + 112 + 108 + 49 = 407\)가지이다.
[2-3] 세 수가 모두 다른 경우의 전체 가짓수는 \(6188 - 125 - 3 \times 407 = 4842\)가지이고, 대칭성에 의해 \(x \lt y \lt z\)인 것은 \(\dfrac{4842}{6} = 807\)가지이다. 따라서 \(x \le y \le z\)인 총 경우의 수는 \(125 + 407 + 807 = 1339\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \({}_6\mathrm{H}_{12} = \binom{17}{5} = 6188\)을 정확히 계산함 | 8점 |
| 2단계 | 세 수가 같은 경우(\(125\))와 두 수만 같은 오름차순 경우(\(407\))를 정확히 분리 계산함 | 8점 |
| 3단계 | 순열 \(6\)등분 대칭성으로 \(807\)을 더해 최종 답 \(1339\)를 도출함 | 9점 |
[제시문 가] 실수 전체에서 정의된 두 절댓값 함수 \(p(x) = -|x - 1|\)과 \(q_n(x) = |x - 3n| + 4\) \((n\)은 자연수\()\)가 있다.
[제시문 나] 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(p(x) \le mx + k \le q_n(x)\)를 만족시키는 두 정수의 순서쌍 \((m, k)\)의 개수를 \(B_n\)이라 하자.
[3-1] 부등식이 모든 실수 \(x\)에서 성립하기 위한 정수 \(m\)의 가능한 값을 모두 구하고 그 이유를 서술하시오. (7점)
[3-2] 자연수 \(n\)의 값에 따른 \(B_n\)을 구하시오. (9점)
[3-3] 합 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{30} B_n\)의 값을 구하시오. (9점)
[3-1] \(x \to \pm\infty\)에서 \(\dfrac{p(x)}{x}\)와 \(\dfrac{q_n(x)}{x}\)의 극한을 비교하면 직선의 기울기는 \(-1 \le m \le 1\)이어야 하므로 정수 \(m \in \{-1, 0, 1\}\)이다.
[3-2] 꼭짓점 \(x = 1\)과 \(x = 3n\)에서의 부등식을 조사한다.
• \(m = 0\)일 때: \(0 \le k \le 4\)이므로 \(5\)개.
• \(m = -1\)일 때: \(1 \le k \le 3n + 4\)이므로 \(3n + 4\)개.
• \(m = 1\)일 때: \(-1 \le k \le 4 - 3n\)이므로 \(n = 1\)일 때 \(-1 \le k \le 1\)로 \(3\)개이고, \(n \ge 2\)일 때는 \(4 - 3n \le -2 \lt -1\)이어서 \(0\)개이다.
따라서 \(B_1 = 5 + 7 + 3 = 15\)이고, \(n \ge 2\)일 때 \(B_n = 3n + 9\)이다.
[3-3] \(B_1 = 15\)이고, \(n = 2 \sim 30\)(\(29\)개 항)에서 \(B_2 = 15,\; B_{30} = 99\)이므로 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{30} B_n = 15 + \frac{29 \times (15 + 99)}{2} = 15 + 29 \times 57 = 15 + 1653 = 1668\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 무한대 극한 기울기 비교로 정수 \(m \in \{-1, 0, 1\}\)임을 증명함 | 7점 |
| 2단계 | \(B_1 = 15\) 및 \(n \ge 2\)일 때 \(B_n = 3n + 9\)임을 정확히 도출함 | 9점 |
| 3단계 | \(n=1\)과 \(n \ge 2\)를 합산하여 \(1668\)을 정확히 계산함 | 9점 |
[제시문 가] 좌표평면의 단위원 \(x^2 + y^2 = 1\) 위에 점 \(A(1, 0)\)과 점 \(P_k\left(\cos\dfrac{k\pi}{n},\; \sin\dfrac{k\pi}{n}\right)\) \((k = 1, 2, \dots, n)\)이 있다.
[제시문 나] 연속함수 \(h(t)\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} h\left(\frac{k}{n}\right) = \int_{0}^{1} h(t)\,dt\)이다.
[4-1] 선분 \(AP_k\)의 길이의 제곱 \(\overline{AP_k}^2\)을 \(\cos\dfrac{k\pi}{n}\)에 대한 식으로 나타내시오. (7점)
[4-2] 극한값 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \overline{AP_k}^2\)을 구하시오. (8점)
[4-3] 극한값 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \overline{AP_k}^4\)을 구하시오. (10점)
[4-1] 두 점 사이의 거리 공식과 \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)에 의해 \(\overline{AP_k}^2 = \left(\cos\dfrac{k\pi}{n} - 1\right)^2 + \sin^2\dfrac{k\pi}{n} = 2 - 2\cos\dfrac{k\pi}{n}\)이다.
[4-2] 정적분과 급수의 관계에 의해 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(2 - 2\cos\frac{k\pi}{n}\right) = \int_0^1 (2 - 2\cos(\pi t))\,dt = \left[2t - \frac{2}{\pi}\sin(\pi t)\right]_0^1 = 2\)이다.
[4-3] \(\overline{AP_k}^4 = (2 - 2\cos(\pi t_k))^2 = 4 - 8\cos(\pi t_k) + 4\cos^2(\pi t_k)\)이고 반각공식 \(4\cos^2(\pi t) = 2 + 2\cos(2\pi t)\)를 적용하면 \[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\overline{AP_k}^4 = \int_0^1 \big(6 - 8\cos(\pi t) + 2\cos(2\pi t)\big)\,dt = \left[6t - \frac{8}{\pi}\sin(\pi t) + \frac{1}{\pi}\sin(2\pi t)\right]_0^1 = 6\]이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \(\overline{AP_k}^2 = 2 - 2\cos\dfrac{k\pi}{n}\)을 정확히 유도함 | 7점 |
| 2단계 | 정적분 변환으로 [4-2]의 극한값 \(2\)를 구함 | 8점 |
| 3단계 | 배각·반각 항등식으로 \(\cos^2(\pi t)\)를 적분하여 [4-3]의 극한값 \(6\)을 정확히 산출함 | 10점 |
[제시문 가] 함수 \(f(x) = -x^3 - 2x + 4\)의 역함수를 \(g(x)\)라 하자.
[제시문 나] 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(h(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(h(x + 4) = h(x)\)를 만족시키며, 구간 \([0, 4)\)에서 \(h(x) = \begin{cases} 3x & (0 \le x \lt 1) \\ a g'(x) + b & (1 \le x \lt 4) \end{cases}\)이다(단, \(a, b\)는 상수).
[1-1] 함수 \(h(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 \(a, b\)의 값을 구하시오. (8점)
[1-2] 한 주기 정적분 \(\displaystyle\int_{0}^{4} h(x)\,dx\)의 값을 구하시오. (8점)
[1-3] 정적분 \(\displaystyle\int_{0}^{8} x h(x)\,dx\)의 값을 구하시오. (9점)
[1-1] \(f'(x) = -3x^2 - 2\)이고 \(f(0) = 4,\; f(1) = 1\)이므로 \(g(4) = 0,\; g(1) = 1\)이며 역함수 미분법에 의해 \(g'(1) = \dfrac{1}{f'(1)} = -\dfrac{1}{5}\), \(g'(4) = \dfrac{1}{f'(0)} = -\dfrac{1}{2}\)이다. \(x = 1\)에서의 연속 조건 \(3 = -\dfrac{a}{5} + b\)와 \(x = 4\)에서의 주기 연속 조건 \(h(4^-) = h(0) = 0 \implies -\dfrac{a}{2} + b = 0\)을 연립하면 \(a = 10,\; b = 5\)이다.
[1-2] \(\displaystyle\int_0^4 h(x)\,dx = \int_0^1 3x\,dx + \int_1^4 (10g'(x) + 5)\,dx = \frac{3}{2} + \Big[10g(x) + 5x\Big]_1^4 = \frac{3}{2} + (0 + 20) - (10 + 5) = \frac{13}{2}\)이다.
[1-3] \(\int_1^4 10x g'(x)\,dx\)에서 \(u = g(x)\)로 치환하면 \(\int_1^0 10f(u)\,du = -10\int_0^1 (-u^3 - 2u + 4)\,du = -10\left(-\dfrac{1}{4} - 1 + 4\right) = -\dfrac{55}{2}\)이다. 따라서 \(\int_0^4 xh(x)\,dx = \int_0^1 3x^2\,dx + \int_1^4 5x\,dx - \dfrac{55}{2} = 1 + \dfrac{75}{2} - \dfrac{55}{2} = 11\)이다. 주기 평행이동으로 \(\int_0^8 xh(x)\,dx = 2\int_0^4 xh(x)\,dx + 4\int_0^4 h(x)\,dx = 22 + 4 \times \dfrac{13}{2} = 48\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \(g'(1) = -\dfrac{1}{5},\; g'(4) = -\dfrac{1}{2}\)와 경계 연속 조건으로부터 \(a = 10,\; b = 5\)를 정확히 구함 | 8점 |
| 2단계 | 한 주기 정적분 \(\int_0^4 h(x)\,dx = \dfrac{13}{2}\)를 계산함 | 8점 |
| 3단계 | 치환적분 \(\int_1^4 10xg'(x)\,dx = -\dfrac{55}{2}\)와 주기 분해를 결합해 \(48\)을 도출함 | 9점 |
[제시문 가] 세 자연수 \(p, q, r\)이 로그 방정식 \(\log_3 (p + 3q) + 2\log_3 r = 20\)을 만족시킨다.
[제시문 나] 등비수열의 합 공식과 소인수분해의 유일성을 이용하여 중복되는 해를 제외할 수 있다.
[2-1] 위 방정식을 만족시키는(중복을 허용한) 모든 자연수 순서쌍 \((p, q, r)\)에서 \(r = 3^m\)이라 할 때, 정수 \(m\)의 범위를 구하고 전체 순서쌍 개수를 \(3\)의 거듭제곱을 포함한 식으로 구하시오. (9점)
[2-2] [2-1]의 해 중에서 \(p = q\), \(q = r\), \(p = r\)인 순서쌍의 개수를 각각 구하시오. (8점)
[2-3] 서로 다른 세 자연수의 순서쌍 \((p, q, r)\)의 개수를 \(\dfrac{3(3^{20}-1)}{8} - K\) 꼴로 나타낼 때 자연수 \(K\)의 값을 구하시오. (8점)
[2-1] \((p + 3q)r^2 = 3^{20}\)이므로 \(r = 3^m\) \((m \ge 0)\)이다. \(p + 3q = 3^{20 - 2m} \ge 4\)이어야 하므로 \(m = 10\)(\(1 \lt 4\))은 불가능하며 \(0 \le m \le 9\)이다. 각 \(m\)에서 \(20 - 2m \ge 2\)이므로 \(q\)는 \(1 \le q \le 3^{19 - 2m} - 1\)개 존재한다. 따라서 전체 개수는 \(\displaystyle\sum_{m=0}^{9}(3^{19 - 2m} - 1) = \frac{3(9^{10} - 1)}{9 - 1} - 10 = \frac{3(3^{20} - 1)}{8} - 10\)이다.
[2-2] ① \(p = q\)이면 \(4q = 3^{20-2m}\)이나 우변이 \(4\)의 배수가 아니므로 \(0\)개.
② \(q = r = 3^m\)이면 \(p = 3^{20-2m} - 3^{m+1} \ge 1 \iff 20 - 2m \gt m + 1 \iff 3m \le 18\)이므로 \(m = 0, 1, \dots, 6\)의 \(7\)개.
③ \(p = r = 3^m\)이면 \(3q = 3^{20-2m} - 3^m\)이 \(3\)의 배수인 양수가 되려면 \(m \ge 1\)이고 \(20 - 2m \gt m \iff 3m \le 19\)이므로 \(m = 1, 2, \dots, 6\)의 \(6\)개이다.
[2-3] \(p = q = r\)인 해는 없으므로 공제할 총개수는 \(0 + 7 + 6 = 13\)개이다. 따라서 전체 개수는 \(\dfrac{3(3^{20} - 1)}{8} - 23\)이므로 \(K = 23\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \(0 \le m \le 9\)를 확정하고 전체 순서쌍 수 \(\dfrac{3(3^{20}-1)}{8} - 10\)을 유도함 | 9점 |
| 2단계 | \(p=q\)(\(0\)개), \(q=r\)(\(7\)개), \(p=r\)(\(6\)개)를 지수 부등식으로 정확히 판별함 | 8점 |
| 3단계 | 중복 \(13\)개를 공제하여 \(K = 23\)을 정확히 도출함 | 8점 |
[제시문 가] 두 점 \(F(5, 0),\; F'(-5, 0)\)을 공통 초점으로 하는 타원 \(C_1: \dfrac{x^2}{49} + \dfrac{y^2}{24} = 1\)과 쌍곡선 \(C_2: \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1\)이 있다.
[제시문 나] 두 곡선 \(C_1, C_2\)가 제1사분면에서 만나는 교점을 \(P(x_0, y_0)\)라 하자.
[3-1] 이차곡선의 정의를 이용하여 선분 \(PF'\)와 선분 \(PF\)의 길이를 각각 구하고 \(\cos(\angle F'PF)\)의 값을 구하시오. (8점)
[3-2] 삼각형 \(PF'F\)의 넓이와 내접원의 반지름의 길이 \(r\)을 구하시오. (8점)
[3-3] 교점 \(P(x_0, y_0)\)의 좌표를 구하고, 점 \(P\)에서 \(C_1, C_2\)에 그은 두 접선이 서로 수직임을 증명하시오. (9점)
[3-1] 제1사분면에서 \(\overline{PF'} \gt \overline{PF}\)이므로 타원의 정의에 의해 \(\overline{PF'} + \overline{PF} = 14\), 쌍곡선의 정의에 의해 \(\overline{PF'} - \overline{PF} = 6\)이다. 연립하면 \(\overline{PF'} = 10,\; \overline{PF} = 4\)이고 \(\overline{F'F} = 10\)이므로 코사인법칙에 의해 \(\cos(\angle F'PF) = \dfrac{10^2 + 4^2 - 10^2}{2 \times 10 \times 4} = \dfrac{1}{5}\)이다.
[3-2] \(\sin(\angle F'PF) = \sqrt{1 - \dfrac{1}{25}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}\)이므로 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 4 \times \dfrac{2\sqrt{6}}{5} = 8\sqrt{6}\)이다. 삼각형 둘레의 절반이 \(\dfrac{10 + 10 + 4}{2} = 12\)이므로 내접원 반지름 \(r = \dfrac{8\sqrt{6}}{12} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}\)이다.
[3-3] \((x_0 + 5)^2 + y_0^2 = 100\)과 \((x_0 - 5)^2 + y_0^2 = 16\)을 빼면 \(20x_0 = 84 \implies x_0 = \dfrac{21}{5}\), \(y_0 = \dfrac{8\sqrt{6}}{5}\)이다. 음함수 미분법에 의해 점 \(P\)에서 \(C_1, C_2\)의 접선 기울기는 \(m_1 = -\dfrac{24x_0}{49y_0}\), \(m_2 = \dfrac{16x_0}{9y_0}\)이므로 \[m_1 m_2 = -\frac{384 x_0^2}{441 y_0^2} = -\frac{384 \times (441/25)}{441 \times (384/25)} = -1\]이어서 두 접선은 수직이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 정의로부터 \(\overline{PF'}=10,\; \overline{PF}=4\) 및 \(\cos(\angle F'PF) = \dfrac{1}{5}\)을 도출함 | 8점 |
| 2단계 | 삼각형 넓이 \(8\sqrt{6}\)과 내접원 반지름 \(r = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}\)을 정확히 계산함 | 8점 |
| 3단계 | \(P\left(\dfrac{21}{5}, \dfrac{8\sqrt{6}}{5}\right)\)를 구하고 두 접선 기울기의 곱 \(m_1 m_2 = -1\)을 증명함 | 9점 |
[제시문 가] 한 번의 시행에서 사건 \(E\)가 일어날 확률이 \(\dfrac{1}{4}\)일 때, \(192\)번의 독립시행에서 사건 \(E\)가 일어나는 횟수를 확률변수 \(X\)라 하자.
[제시문 나] 표준정규분포 \(\mathrm{N}(0, 1)\)을 따르는 \(Z\)에 대하여 \(\mathrm{P}(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413\), \(\mathrm{P}(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332\), \(\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95\)이다.
[4-1] 확률변수 \(X\)의 평균 \(\mathrm{E}(X)\)와 표준편차 \(\sigma(X)\)를 구하시오. (7점)
[4-2] 정규분포 근사를 이용하여 \(\mathrm{P}(42 \le X \le 57)\)의 값을 소수 넷째 자리까지 구하시오. (9점)
[4-3] 동일한 표본비율 \(\hat{p}\)가 관측되었을 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 오차한계를 기존의 \(\dfrac{1}{3}\) 이하로 줄이려면 표본의 크기를 최소 몇 배로 늘려야 하는지 논증하시오. (9점)
[4-1] \(X \sim \mathrm{B}\left(192, \dfrac{1}{4}\right)\)이므로 \(\mathrm{E}(X) = 192 \times \dfrac{1}{4} = 48\)이고, \(\mathrm{V}(X) = 192 \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4} = 36\)이므로 \(\sigma(X) = 6\)이다.
[4-2] \(n = 192\)가 충분히 크므로 \(X\)는 근사적으로 \(\mathrm{N}(48, 6^2)\)을 따른다. 표준화하면 \(\mathrm{P}(42 \le X \le 57) = \mathrm{P}\left(\dfrac{42-48}{6} \le Z \le \dfrac{57-48}{6}\right) = \mathrm{P}(-1.0 \le Z \le 1.5) = 0.3413 + 0.4332 = 0.7745\)이다.
[4-3] 표본크기 \(n_1\)에서의 오차한계는 \(d_1 = 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_1}}\)이고, 새로운 표본크기 \(n_2\)에서의 오차한계는 \(d_2 = 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_2}}\)이다. \(d_2 \le \dfrac{1}{3}d_1 \iff \sqrt{\dfrac{n_1}{n_2}} \le \dfrac{1}{3} \iff n_2 \ge 9n_1\)이므로 표본크기를 최소 \(9\)배로 늘려야 한다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 이항분포 공식으로 \(\mathrm{E}(X) = 48,\; \sigma(X) = 6\)을 정확히 계산함 | 7점 |
| 2단계 | 표준정규분포 변환 \(-1.0 \le Z \le 1.5\)를 통해 \(0.7745\)를 산출함 | 9점 |
| 3단계 | 오차한계가 \(\frac{1}{\sqrt{n}}\)에 비례함을 식으로 세워 최소 \(9\)배임을 논증함 | 9점 |
[제시문 가] 좌표평면에서 포물선 \(y = 2x - x^2\) 위의 네 점 \(O(0, 0),\; B(b, 2b - b^2),\; A(a, 2a - a^2),\; C(2, 0)\)이 \(0 \lt b \lt a \lt 2\)를 만족시킨다.
[제시문 나] 볼록사각형 \(OCAB\)의 넓이는 대각선 \(OA\)를 기준으로 두 삼각형 \(\triangle OCA\)와 \(\triangle OAB\)의 넓이의 합으로 분해된다.
[1-1] 고정된 \(a \in (0, 2)\)에 대하여 \(b \in (0, a)\)가 변할 때, \(\triangle OAB\)의 넓이를 \(a, b\)로 나타내고 그 최댓값을 \(a\)의 식으로 구하시오. (9점)
[1-2] 사각형 \(OCAB\)의 넓이의 최댓값을 구하고 그때의 \(a, b\) 값을 구하시오. (9점)
[1-3] [1-2]의 최대 조건에서 직선 \(AB\)의 기울기와 직선 \(OC\)의 기울기를 비교하고, 곡선 \(y = 2x - x^2\)과 선분 \(OA\)로 둘러싸인 활꼴 넓이를 구하시오. (7점)
[1-1] \(S_{\triangle OAB} = \dfrac{1}{2}|a(2b - b^2) - b(2a - a^2)| = \dfrac{1}{2}ab(a - b)\)이며, \(b\)에 대한 이차함수이므로 \(b = \dfrac{a}{2}\)일 때 최댓값 \(\dfrac{a^3}{8}\)을 갖는다.
[1-2] \(\overline{OC} = 2\)이므로 \(S_{\triangle OCA} = \dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot(2a - a^2) = 2a - a^2\)이다. 따라서 \(f(a) = \dfrac{1}{8}a^3 - a^2 + 2a\) \((0 \lt a \lt 2)\)를 미분하면 \(f'(a) = \dfrac{3}{8}a^2 - 2a + 2 = \dfrac{1}{8}(3a - 4)(a - 4)\)이다. \(a = \dfrac{4}{3}\)에서 극대이자 최대이므로 \(a = \dfrac{4}{3},\; b = \dfrac{2}{3}\)일 때 최댓값 \(f\left(\dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{8}{27} - \dfrac{16}{9} + \dfrac{8}{3} = \dfrac{32}{27}\)이다.
[1-3] \(a = \dfrac{4}{3},\; b = \dfrac{2}{3}\)일 때 직선 \(AB\)의 기울기는 \(2 - (a + b) = 2 - 2 = 0\)으로 직선 \(OC\)(기울기 \(0\))와 평행하다. 또한 곡선과 선분 \(OA\) 사이의 넓이는 \(\displaystyle\int_0^{4/3}\left\{(2x - x^2) - \frac{2}{3}x\right\}dx = \int_0^{4/3} x\left(\frac{4}{3} - x\right)dx = \frac{1}{6}\left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{32}{81}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \(S_{\triangle OAB} = \dfrac{1}{2}ab(a-b)\)와 \(b = \dfrac{a}{2}\)에서의 최댓값 \(\dfrac{a^3}{8}\)을 구함 | 9점 |
| 2단계 | \(f'(a) = \dfrac{1}{8}(3a-4)(a-4)\)로부터 \(a=\dfrac{4}{3}, b=\dfrac{2}{3}\) 및 최댓값 \(\dfrac{32}{27}\)를 도출함 | 9점 |
| 3단계 | 직선 \(AB\)의 기울기 \(0\)과 활꼴 정적분 넓이 \(\dfrac{32}{81}\)을 정확히 계산함 | 7점 |
[제시문 가] 닫힌구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)에서 함수 \(h(x) = 3\sin^2 x \cos x - \cos^3 x\)를 정의한다.
[제시문 나] \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)와 치환적분 \(u = \sin x\)를 이용하여 \(h(x)\)의 부정적분을 구할 수 있다.
[2-1] 열린구간 \(\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)에서 방정식 \(h(x) = 0\)의 모든 실근을 구하고 구간별 \(h(x)\)의 부호를 판정하시오. (8점)
[2-2] \(h(x)\)를 \(\sin x\)와 \(\cos x\)로 정리하여 \(h(0) = 0\)이 아닌 원점 조건 \(H(0) = 0\)을 만족하는 부정적분 \(H(x) = \displaystyle\int_0^x h(t)\,dt\)를 구하시오. (8점)
[2-3] 정적분 \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |3\sin^2 x \cos x - \cos^3 x|\,dx\)의 값을 구하시오. (9점)
[2-1] \(\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)에서 \(\cos x \gt 0\)이므로 \(h(x) = \cos^3 x(3\tan^2 x - 1) = 0 \iff \tan x = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\), 즉 유일한 실근은 \(x = \dfrac{\pi}{6}\)이다. \(0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{6}\)에서 \(h(x) \lt 0\), \(\dfrac{\pi}{6} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(h(x) \gt 0\)이다.
[2-2] \(h(t) = 3\sin^2 t \cos t - (1 - \sin^2 t)\cos t = (4\sin^2 t - 1)\cos t\)이므로 \(u = \sin t\)로 치환하면 \(H(x) = \displaystyle\int_0^{\sin x} (4u^2 - 1)\,du = \frac{4}{3}\sin^3 x - \sin x\)이다.
[2-3] \(H(0) = 0\), \(H\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{3}\), \(H\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{4}{3} - 1 = \dfrac{1}{3}\)이므로 \[\int_0^{\frac{\pi}{2}} |h(x)|\,dx = \left\{0 - H\left(\frac{\pi}{6}\right)\right\} + \left\{H\left(\frac{\pi}{2}\right) - H\left(\frac{\pi}{6}\right)\right\} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1\]이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | \(3\tan^2 x = 1\)로부터 유일한 영점 \(x = \dfrac{\pi}{6}\)과 좌우 부호 변화를 정확히 판정함 | 8점 |
| 2단계 | \(h(t) = (4\sin^2 t - 1)\cos t\) 변형으로 \(H(x) = \dfrac{4}{3}\sin^3 x - \sin x\)를 구함 | 8점 |
| 3단계 | 두 구간 정적분을 합산하여 \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = 1\)을 정확히 도출함 | 9점 |
[제시문 가] 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 9\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n + \dfrac{4}{\sqrt{a_n}}\)으로 정의된다.
[제시문 나] 구간 \([4, \infty)\)에서 정의된 함수 \(h(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{4}{\sqrt{x}}\)를 활용할 수 있다.
[3-1] 구간 \([4, \infty)\)에서 함수 \(h(x)\)가 순증가함을 보이고 \(h(4)\)의 값을 구하시오. (7점)
[3-2] 수학적 귀납법을 이용하여 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(4 \lt a_n \le 4 + 5\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)이 성립함을 증명하시오. (10점)
[3-3] 극한값 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n\)을 구하고, 모든 자연수 \(N\)에 대하여 부분합 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{N} (a_n - 4) \lt 10\)임을 보이시오. (8점)
[3-1] \(x \ge 4\)에서 \(h'(x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{x\sqrt{x}} \ge \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} \gt 0\)이므로 \(h(x)\)는 \([4, \infty)\)에서 순증가하며 \(h(4) = 2 + 2 = 4\)이다.
[3-2] (i) \(n = 1\)일 때 \(a_1 = 9 = 4 + 5\left(\dfrac{1}{2}\right)^0\)이므로 \(4 \lt a_1 \le 9\)가 성립한다.
(ii) \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하면 \(a_k \gt 4\)와 \(h\)의 순증가성에 의해 \(a_{k+1} = h(a_k) \gt h(4) = 4\)이다. 또한 \(\sqrt{a_k} \gt 2 \implies \dfrac{4}{\sqrt{a_k}} \lt 2\)이므로 \(a_{k+1} - 4 = \dfrac{1}{2}a_k + \dfrac{4}{\sqrt{a_k}} - 4 \lt \dfrac{1}{2}a_k + 2 - 4 = \dfrac{1}{2}(a_k - 4) \le 5\left(\dfrac{1}{2}\right)^k\)이다. 따라서 수학적 귀납법으로 모든 자연수 \(n\)에 대해 성립한다.
[3-3] 조임정리에 의해 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 4\)이고, \(n \ge 2\)일 때는 등호가 성립하지 않는 엄밀한 부등식(\(a_2 = \frac{9}{2} + \frac{4}{3} = \frac{35}{6} \lt 4 + \frac{5}{2} = \frac{13}{2}\))이므로 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{N}(a_n - 4) \le \sum_{n=1}^{N} 5\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 10\left\{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^N\right\} \lt 10\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 도함수 \(h'(x) \ge \dfrac{1}{4} \gt 0\)과 \(h(4) = 4\)를 정확히 보임 | 7점 |
| 2단계 | 수학적 귀납법으로 하계 \(4 \lt a_{k+1}\)와 상계 \(a_{k+1} - 4 \le 5(1/2)^k\)를 동시에 증명함 | 10점 |
| 3단계 | 조임정리로 \(\lim a_n = 4\)를 도출하고 등비급수 상한으로 부분합 \(\lt 10\)임을 증명함 | 8점 |
[제시문 가] 좌표공간에서 평면 \(\alpha: x + 2y + 2z = 12\)가 \(x\)축, \(y\)축, \(z\)축과 만나는 점을 각각 \(A, B, C\)라 하고 원점을 \(O\)라 하자.
[제시문 나] \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이 \(S(x)\)를 정적분하여 사면체 \(OABC\)의 부피를 구할 수 있다.
[4-1] \(0 \le x \le 12\)에서 \(x\)좌표가 \(x\)이고 \(x\)축에 수직인 평면으로 사면체 \(OABC\)를 자른 단면 삼각형의 넓이 \(S(x)\)를 구하고, 정적분으로 사면체 \(OABC\)의 부피 \(V\)를 구하시오. (8점)
[4-2] 정사영의 성질을 이용하여 삼각형 \(ABC\)의 넓이를 구하고 사면체 \(OABC\)의 건넓이(네 면의 넓이의 합)를 구하시오. (8점)
[4-3] 사면체 \(OABC\)의 네 면에 모두 접하는 내접구의 반지름 \(r\)과 중심 좌표를 구하시오. (9점)
[4-1] 절편은 \(A(12,0,0),\; B(0,6,0),\; C(0,0,6)\)이다. 고정된 \(x \in [0, 12]\)에서 단면은 \(2y + 2z \le 12 - x\) \((y \ge 0, z \ge 0)\)인 직각이등변삼각형으로 두 밑변이 각각 \(\dfrac{12 - x}{2}\)이다. 따라서 \(S(x) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{12 - x}{2}\right)^2 = \dfrac{(12 - x)^2}{8}\)이고, 부피는 \(V = \displaystyle\int_0^{12}\frac{(12-x)^2}{8}\,dx = \left[-\frac{(12-x)^3}{24}\right]_0^{12} = \frac{1728}{24} = 72\)이다.
[4-2] 직각삼각형 세 면의 넓이는 \(S_{\triangle OAB} = 36\), \(S_{\triangle OAC} = 36\), \(S_{\triangle OBC} = 18\)이다. 평면 \(\alpha\)의 법선벡터 \(\vec{n} = (1, 2, 2)\)와 \(yz\)평면의 법선벡터 \((1, 0, 0)\)이 이루는 예각 \(\theta\)는 \(\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{1+4+4}} = \dfrac{1}{3}\)이고 \(\triangle ABC\)의 \(yz\)평면 위로의 정사영이 \(\triangle OBC\)이므로 \(S_{\triangle ABC} = \dfrac{18}{1/3} = 54\)이다. 건넓이의 합은 \(36 + 36 + 18 + 54 = 144\)이다.
[4-3] 제1팔분공간에서 세 좌표평면에 접하는 반지름 \(r\)인 구의 중심은 \(I(r, r, r)\)이다. 부피 분할 공식 \(V = \dfrac{1}{3}(\text{건넓이})\cdot r\)에 의해 \(72 = \dfrac{1}{3} \times 144 \times r = 48r \implies r = \dfrac{3}{2}\)이며(점 \(I\)와 평면 \(\alpha\) 사이의 거리 \(\frac{|5r - 12|}{3} = r\)에서도 동일), 중심 좌표는 \(\left(\dfrac{3}{2},\; \dfrac{3}{2},\; \dfrac{3}{2}\right)\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | 단면 넓이 \(S(x) = \dfrac{(12-x)^2}{8}\)와 정적분 부피 \(V = 72\)를 정확히 유도함 | 8점 |
| 2단계 | 정사영 비율 \(\cos\theta = \dfrac{1}{3}\)로 \(S_{\triangle ABC} = 54\) 및 건넓이 \(144\)를 구함 | 8점 |
| 3단계 | 내접구 반지름 \(r = \dfrac{3}{2}\)과 중심 \(\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right)\)을 정확히 도출함 | 9점 |
| 모집단위 | 모집인원 | 명목경쟁률 | 실질경쟁률 | 최초합 평균 | 70% 충원컷 | 수능최저 기준 | 실시간 합격 판정 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 인공지능학과 | 5명 | 58.4 : 1 | 52.6 : 1 | 87.2점 | 85.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 컴퓨터과학부 | 8명 | 54.2 : 1 | 48.8 : 1 | 86.1점 | 84.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 전자전기컴퓨터공학부 | 16명 | 46.8 : 1 | 42.1 : 1 | 84.3점 | 82.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 화학공학과 | 6명 | 37.3 : 1 | 33.6 : 1 | 80.8점 | 78.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 신소재공학과 | 6명 | 31.6 : 1 | 28.4 : 1 | 79.9점 | 77.7점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 기계정보공학과 | 6명 | 38.2 : 1 | 34.4 : 1 | 79.4점 | 77.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 생명과학과 | 5명 | 40.7 : 1 | 36.6 : 1 | 78.8점 | 76.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 수학과 | 5명 | 36.0 : 1 | 32.4 : 1 | 76.8점 | 74.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 통계학과 | 4명 | 35.2 : 1 | 31.7 : 1 | 76.2점 | 74.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 도시공학과 | 4명 | 26.4 : 1 | 23.8 : 1 | 74.8점 | 72.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 환경공학부 | 7명 | 24.4 : 1 | 22.0 : 1 | 73.6점 | 71.4점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 공간정보공학과 | 4명 | 22.6 : 1 | 20.3 : 1 | 72.0점 | 69.7점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 물리학과 | 4명 | 30.7 : 1 | 27.6 : 1 | 71.2점 | 69.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 토목공학과 | 5명 | 19.9 : 1 | 17.9 : 1 | 69.5점 | 67.2점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 건축학부(건축공학전공) | 4명 | 24.0 : 1 | 21.6 : 1 | 67.4점 | 65.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
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🚀 서울시립대학교 올인원 합격 대시보드 바로가기| 회차 | 실전 응시일 | 소요 시간 | 원점수 / 100점 | 핵심 오답 단원 및 루브릭 보완 메모 |
|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제2회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제3회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제4회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제5회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제6회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제7회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제8회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제9회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제10회 | 2026. . . | 분 | / 100 |