| 순위 | 기출 원천 문항 | 핵심 출제 테마 및 변별 포인트 | 모의 1:1 매칭 | 부분점수 공략 전략 |
|---|---|---|---|---|
| TOP 1 | Part 1 문항 10 (2025 사인·내접원) | 사인법칙·코사인법칙 복합 내접도형 및 각의 이등분선·중선 논증 | 모의 6~10회 4번 | 내접사각형 대각 합 $\pi$ 성질, 삼각형 넓이 분할식, 공통각 2단계 코사인법칙을 결합하여 변의 길이 도출 |
| TOP 2 | Part 1 문항 15 (2026 수열 부분합) | 부분합 $S_n$의 초항($n=1$) 분리 검증 및 귀납적 주기·망원급수 | 모의 6~10회 5번 | S1과 n 이상 구간(n 2 이상)에서의 Sn-S(n-1)을 반드시 분리 서술하고 부분분수·무리식 유리화로 연쇄 소거 |
| TOP 3 | Part 1 문항 3·11 (연속·항등식) | 절댓값 |f(x)-t| 및 구간 분기 함수의 연속성·미분가능성 판정 | 모의 6~10회 7번 | 꺾임점에서의 좌·우미분계수 일치 조건과 중근($f(a)=0$, $f'(a)=0$) 인수 정리를 결합하여 미정계수 확정 |
| TOP 4 | Part 1 문항 16 (2026 정적분 함수) | 정적분으로 정의된 함수 $\int (x-t)f(t)\,dt$ 및 이동구간 적분의 미분·극값 | 모의 6~10회 9번 | 적분 변수 t와 상수 x를 먼저 분리한 뒤 곱의 미분법과 초기조건 대입을 연쇄 적용 |
| TOP 5 | Part 1 문항 9·14 (접선 넓이·절댓값 적분) | 삼차곡선·접선 넓이 이등분 및 속도 부호 교차 실제 이동거리 | 모의 6~10회 10번 | 교점 인수분해와 부호 반전 시각을 먼저 명시하여 절댓값 정적분 구간을 정확히 분할 계산 |
$2$ 이상 $6$ 이하의 자연수 $n$에 대하여 실수 $n-4$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$이라 하고, 양수 $a$에 대하여 $\sqrt[3]{a^2}\times\sqrt[4]{a^3}\div\sqrt[12]{a^5}=a^k$을 만족시키는 유리수를 $k$라 하자. $M=\sum_{n=2}^{6} f(n)$이고 $a^k=6$일 때, $M$의 값과 $a^{2k}+a^{-2k}$의 값을 각각 구하시오. (단, $a \gt 0$이다.)
【유사 연습 문제】 $2$ 이상 $5$ 이하의 자연수 $n$에 대하여 실수 $n-3$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $g(n)$이라 할 때, $g(2)+g(3)+g(4)+g(5)$의 값을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $g(2)=0\;(-1 \lt 0)$, $g(3)=1$, $g(4)=2\;(1 \gt 0)$, $g(5)=1$이므로 합은 $0+1+2+1=4$이다. [정답: $4$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 실수 $x$의 $n$제곱근 중 실수의 개수는 $n$이 홀수일 때 $1$개이고, $n$이 짝수일 때는 부호($\gt 0, =0, \lt 0$)에 따라 각각 $2, 1, 0$개이며, 유리수 지수법칙 $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(2)=0\;(2-4 \lt 0)$, $f(3)=1$, $f(4)=1\;(4-4=0)$, $f(5)=1$, $f(6)=2\;(6-4 \gt 0)$이므로 $M=0+1+1+1+2=5$이고, $a^{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{5}{12}}=a^{\frac{8+9-5}{12}}=a^1$에서 $k=1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a^k=a=6$이므로 $a^{2k}+a^{-2k}=6^2+6^{-2}=36+\dfrac{1}{36}=\dfrac{1297}{36}$이다. 따라서 $M=5$, $a^{2k}+a^{-2k}=\dfrac{1297}{36}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $n$의 홀짝성과 $n-4$의 부호 판정 원리 및 유리수 지수법칙 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f(2),\dots,f(6)$ 개별 값 산출로 $M=5$ 및 지수 합산으로 $k=1$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a=6$을 대입하여 $a^{2k}+a^{-2k}=\dfrac{1297}{36}$ 최종 값 산출 | 3점 |
$n=4$는 짝수이지만 $n-4=0$이므로 $0$의 네제곱근 중 실수는 $0$ 하나뿐이어서 $f(4)=1$이 됨을 빠뜨리지 않도록 주의하십시오.
오른쪽 그림과 같이 둘레의 길이가 $24$로 일정한 부채꼴 $\mathrm{OAB}$가 있다. 부채꼴 $\mathrm{OAB}$의 넓이가 최대가 될 때의 반지름의 길이 $r$, 최대 넓이 $S_{\max}$, 그리고 중심각의 크기 $\theta$ (라디안)를 각각 구하시오. (단, $0 \lt \theta \lt 2\pi$이다.)
【유사 연습 문제】 둘레의 길이가 $16$인 부채꼴의 넓이가 최대일 때, 그 최대 넓이와 반지름의 길이를 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $l=16-2r\;(0 \lt r \lt 8)$이므로 $S=\dfrac{1}{2}r(16-2r)=-(r-4)^2+16$에서 $r=4$일 때 최대 넓이 $16$이다. [정답: 최대 넓이 $16$, 반지름 $4$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부채꼴의 반지름을 $r$, 호의 길이를 $l$이라 하면 둘레 조건에서 $2r+l=24\;(r \gt 0,\; l \gt 0)$이고 넓이 공식은 $S=\dfrac{1}{2}rl$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $l=24-2r \gt 0$에서 $0 \lt r \lt 12$이며, $S(r)=\dfrac{1}{2}r(24-2r)=-r^2+12r=-(r-6)^2+36$이므로 $r=6$일 때 최대 넓이 $S_{\max}=36$을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $r=6$일 때 $l=24-12=12$이므로 호도법 공식 $l=r\theta$에서 중심각의 크기는 $\theta=\dfrac{12}{6}=2$ (라디안)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 둘레 관계식 $l=24-2r$, 정의역 $0 \lt r \lt 12$, 부채꼴 넓이 공식 $S=\dfrac{1}{2}rl$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 이차함수 완전제곱식 $-(r-6)^2+36$ 변형을 통한 $r=6,\; S_{\max}=36$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $l=12$ 및 $\theta=\dfrac{l}{r}=2$ (라디안) 최종 결론 도출 | 3점 |
이차함수의 최대·최소 서술 시 반지름의 범위 $0 \lt r \lt 12$를 명시해야 감점을 피할 수 있으며, 둘레가 일정한 부채꼴이 최대 넓이를 가질 때 중심각은 항상 $2$라디안입니다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=\begin{cases} x+3 & (x \lt 1) \\ -x+2 & (x \ge 1) \end{cases}$와 일차함수 $g(x)=2x+k$에 대하여 곱함수 $h(x)=f(x)g(x)$가 $x=1$에서 연속이 되도록 하는 상수 $k$의 값과 $h(3)$의 값을 각각 구하시오. (단, $k$는 상수이다.)
【유사 연습 문제】 함수 $f(x)=\begin{cases} 2x+1 & (x \lt 2) \\ x-1 & (x \ge 2) \end{cases}$에 대하여 $f(x)(x-a)$가 실수 전체에서 연속일 때 상수 $a$의 값을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x=2$에서 좌극한 $5(2-a)$와 우극한 $1(2-a)$가 같아야 하므로 $4(2-a)=0$에서 $a=2$이다. [정답: $2$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곱함수 $h(x)=f(x)g(x)$가 $x=1$에서 연속이려면 연속의 정의에 의하여 $\lim_{x \to 1-} f(x)g(x)=\lim_{x \to 1+} f(x)g(x)=f(1)g(1)$이 성립해야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\lim_{x \to 1-} f(x)=4$, $\lim_{x \to 1+} f(x)=f(1)=1$이고 다항함수 $g(x)$는 연속이므로 $4(2+k)=1(2+k)$에서 $3(2+k)=0$, 즉 $k=-2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $g(x)=2x-2$이고 $x=3 \ge 1$에서 $f(3)=-1,\; g(3)=4$이므로 $h(3)=f(3)g(3)=(-1)\times 4=-4$이다. 따라서 $k=-2,\; h(3)=-4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x=1$에서의 좌극한·우극한·함숫값 일치 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 좌극한 $4(2+k)$와 우극한 $1(2+k)$ 비교로 $k=-2$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x=3$이 속한 구간($x \ge 1$)을 적용하여 $h(3)=-4$ 산출 | 3점 |
불연속 함수 $f(x)$와 연속함수 $g(x)$의 곱이 $x=a$에서 연속이 되려면 $g(a)=0$이어야 하지만, 약술형 답안에서는 반드시 좌극한과 우극한 식을 직접 비교하여 유도해야 만점을 받습니다.
다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to 2}\dfrac{f(x)-5}{x-2}=3$을 만족시킬 때, 극한값 $L=\lim_{h \to 0}\dfrac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}$를 구하고, 곡선 $y=xf(x)$ 위의 $x=2$인 점에서의 접선의 방정식을 구하시오.
【유사 연습 문제】 다항함수 $f(x)$가 $f(1)=2,\; f'(1)=4$를 만족시킬 때, 곡선 $y=x^2 f(x)$ 위의 점 $(1, 2)$에서의 접선의 기울기를 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $y'=2xf(x)+x^2 f'(x)$에 $x=1$을 대입하면 기울기는 $2f(1)+f'(1)=4+4=8$이다. [정답: $8$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 분모가 $0$으로 수렴하고 극한값이 존재하며 다항함수 $f(x)$가 연속이므로 $f(2)=5$이고 미분계수의 정의에 의하여 $f'(2)=3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $L=\lim_{h \to 0}\left\{3\cdot\dfrac{f(2+3h)-f(2)}{3h}+\dfrac{f(2-h)-f(2)}{-h}\right\}=3f'(2)+f'(2)=4f'(2)=12$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $g(x)=xf(x)$라 하면 $g(2)=10$이고 $g'(x)=f(x)+xf'(x)$에서 $g'(2)=5+6=11$이므로 구하는 접선의 방정식은 $y-10=11(x-2)$, 즉 $y=11x-12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 극한 수렴 조건과 미분계수 정의로부터 $f(2)=5,\; f'(2)=3$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f(2)$를 가감하여 미분계수 정의 꼴로 변형해 $L=4f'(2)=12$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 곱의 미분법 $g'(2)=11$을 적용하여 접선 $y=11x-12$ 완성 | 3점 |
극한 계산 시 분모·분자를 임의로 미분하지 말고, 반드시 $f(2)$를 빼고 더하여 교과서 미분계수의 정의 모양을 맞춘 뒤 계산 과정을 서술해야 감점이 없습니다.
삼차함수 $f(x)$의 도함수가 $f'(x)=3x^2+ax-9$이고, 함수 $f(x)$가 $x=1$에서 극솟값 $-7$을 가질 때, 함수 $f(x)$의 극댓값 $M$과 정적분 $I=\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$의 값을 각각 구하시오. (단, $a$는 상수이다.)
【유사 연습 문제】 도함수가 $f'(x)=3x^2-3$이고 극솟값이 $-1$인 삼차함수 $f(x)$의 극댓값을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x)=3(x+1)(x-1)$이므로 $x=1$에서 극소이다. $f(x)=x^3-3x+C$에서 $f(1)=-2+C=-1\implies C=1$이므로 극댓값은 $f(-1)=3$이다. [정답: $3$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 미분가능한 함수 $f(x)$가 $x=1$에서 극솟값을 가지므로 $f'(1)=0$이며, 부정적분 $f(x)=\int f'(x)\,dx$와 $f(1)=-7$로 적분상수를 결정한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(1)=3+a-9=0$에서 $a=6$이므로 $f'(x)=3(x+3)(x-1)$이고, $f(x)=x^3+3x^2-9x+C$에서 $f(1)=-5+C=-7 \implies C=-2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x=-3$의 좌우에서 $f'(x)$가 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값은 $M=f(-3)=25$이고, 기함수 소거에 의해 $I=2\int_0^1 (3x^2-2)\,dx=2[x^3-2x]_0^1=-2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f'(1)=0$으로부터 $a=6$ 산출 및 도함수 인수분해 $3(x+3)(x-1)$ 제시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부정적분과 $f(1)=-7$로 $f(x)=x^3+3x^2-9x-2$ 및 극댓값 $M=25$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 대칭구간 우함수·기함수 성질을 적용하여 $I=-2$ 산출 | 3점 |
부정적분 시 적분상수 $C=-2$를 누락하면 극댓값과 정적분 값이 모두 틀리게 되므로 $f(1)=-7$ 대입 검산을 반드시 수행하십시오.
모든 실수 $x$에 대하여 로그 $\log_{|k-2|}\left(x^2-2kx+3k+4\right)$가 정의되도록 하는 모든 정수 $k$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.
【유사 연습 문제】 모든 실수 $x$에 대하여 $\log_{k-1}(x^2-kx+k+3)$이 정의되도록 하는 모든 자연수 $k$의 값의 합을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 밑 조건 $k \gt 1,\; k \ne 2$와 판별식 $D=k^2-4(k+3)=(k+2)(k-6) \lt 0 \implies -2 \lt k \lt 6$에서 자연수 $k=3, 4, 5$이므로 합은 $12$이다. [정답: $12$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그가 정의되려면 밑 조건 $|k-2| \gt 0,\; |k-2| \ne 1$과 모든 실수 $x$에 대한 진수 조건 $x^2-2kx+3k+4 \gt 0$ (즉 판별식 $\dfrac{D}{4} \lt 0$)이 동시에 성립해야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 밑 조건에서 $k \ne 2$이고 $k-2 \ne \pm 1$이므로 $k \ne 1, 2, 3$이다. 진수 조건에서 $\dfrac{D}{4}=k^2-(3k+4)=(k+1)(k-4) \lt 0$이므로 $-1 \lt k \lt 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $-1 \lt k \lt 4$인 정수 $0, 1, 2, 3$ 중에서 밑 조건에 위배되는 $1, 2, 3$을 제외하면 조건을 만족시키는 정수는 $k=0$뿐이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 밑 조건($|k-2| \gt 0,\; |k-2| \ne 1$)과 진수 판별식 조건($D/4 \lt 0$) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $k \ne 1, 2, 3$ 및 부등식 $-1 \lt k \lt 4$ 각각 정확히 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 공통범위 내 정수를 판별하여 최종 정수해 $k=0$ 도출 | 3점 |
절댓값이 포함된 밑 조건 $|k-2| \ne 1$을 풀 때 $k=3$만 제외하고 $k=1$을 빠뜨리는 실수가 매우 잦으므로 두 경우를 모두 명시하십시오.
$0 \le x \lt 2\pi$에서 정의된 함수 $f(x)=-\cos^2 x + 4\sin x + 3$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하고, 최댓값을 가질 때의 $x$를 $\alpha$, 최솟값을 가질 때의 $x$를 $\beta$라 할 때, $(M-m)$의 값과 $\alpha+\beta$의 값을 각각 구하시오.
【유사 연습 문제】 $0 \le x \lt 2\pi$에서 함수 $y=\sin^2 x - 2\cos x + 1$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\cos x=t\;(-1\le t\le 1)$로 치환하면 $y=-(t+1)^2+3$이므로 $t=-1$에서 최댓값 $3$, $t=1$에서 최솟값 $-1$, 합은 $2$이다. [정답: $2$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각함수의 관계식 $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$를 대입하고 $\sin x = t$로 치환하면 치환 변수의 범위는 $-1 \le t \le 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $g(t)=-(1-t^2)+4t+3=t^2+4t+2=(t+2)^2-2$는 대칭축 $t=-2$가 구간 $[-1, 1]$ 왼쪽에 있으므로 $[-1,1]$에서 증가하며, $M=g(1)=7$, $m=g(-1)=-1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \le x \lt 2\pi$에서 $\sin\alpha=1 \implies \alpha=\dfrac{\pi}{2}$, $\sin\beta=-1 \implies \beta=\dfrac{3\pi}{2}$이므로 $M-m=8$, $\alpha+\beta=2\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ 변환 및 치환 범위 $-1 \le t \le 1$ 명시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $g(t)=(t+2)^2-2$의 구간 내 증가성 판정으로 $M=7,\; m=-1$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\alpha=\dfrac{\pi}{2},\; \beta=\dfrac{3\pi}{2}$로부터 $M-m=8,\; \alpha+\beta=2\pi$ 도출 | 3점 |
치환된 이차함수의 꼭짓점 $t=-2$는 제한 범위 $[-1, 1]$ 밖에 있으므로 최솟값을 $-2$로 적지 않도록 치환 정의역을 첫 줄에 반드시 명시하십시오.
오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 점 $\mathrm{P}(1, -1)$에서 곡선 $y=x^2-1$에 그은 두 접선의 접점을 각각 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$라 할 때, 두 접선의 기울기의 합과 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 넓이를 각각 구하시오.
【유사 연습 문제】 점 $(0, -4)$에서 곡선 $y=x^2$에 그은 두 접선의 접점을 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$라 할 때, 삼각형 $\mathrm{OAB}$ (단, $\mathrm{O}$는 원점)의 넓이를 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 접선 $y=2tx-t^2$에 $(0,-4)$를 대입하면 $t=\pm 2$이므로 $\mathrm{A}(-2,4),\; \mathrm{B}(2,4)$이고 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times 4\times 4=8$이다. [정답: $8$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곡선 $y=x^2-1$ 위의 접점의 좌표를 $(t, t^2-1)$로 놓으면 $y'=2x$이므로 접선의 방정식은 $y-(t^2-1)=2t(x-t)$, 즉 $y=2tx-t^2-1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이 접선이 점 $\mathrm{P}(1, -1)$을 지나므로 $-1=2t-t^2-1 \implies t(t-2)=0$에서 $t=0$ 또는 $t=2$이고, 두 접선의 기울기는 $0, 4$이므로 합은 $4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 접점은 $\mathrm{A}(0, -1),\; \mathrm{B}(2, 3)$이므로 직선 $y=-1$ 위의 밑변 $\overline{\mathrm{PA}}=1$이고 높이는 $3-(-1)=4$여서 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times 1\times 4=2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 접점 $(t, t^2-1)$ 설정 및 매개변수 접선식 $y=2tx-t^2-1$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\mathrm{P}(1,-1)$ 대입으로 $t=0, 2$ 및 두 접선 기울기의 합 $4$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 접점 $\mathrm{A}(0,-1),\; \mathrm{B}(2,3)$으로부터 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 넓이 $2$ 도출 | 3점 |
곡선 밖의 점 $\mathrm{P}(1, -1)$의 $x$좌표를 도함수에 바로 대입하는 오류를 범하지 않도록 반드시 접점을 $(t, f(t))$로 먼저 미지수 설정하십시오.
정적분 $A=\int_{-2}^{2} (x^3+2x^2-7x+1)\,dx + \int_{2}^{-2} (x^3-x^2+3x-2)\,dx$와 오른쪽 그림과 같이 접어 올린 함수의 정적분 $B=\int_{0}^{3} |x^2-2x|\,dx$에 대하여 $A+3B$의 값을 구하시오.
【유사 연습 문제】 $\int_{-1}^{1} (4x^3+3x^2-5x+2)\,dx + \int_{0}^{2} |x-1|\,dx$의 값을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 첫 적분은 $2\int_0^1 (3x^2+2)\,dx=2(1+2)=6$이고 둘째 적분은 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$이므로 합은 $7$이다. [정답: $7$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 정적분의 위끝·아래끝 성질 $\int_2^{-2} g(x)\,dx = -\int_{-2}^2 g(x)\,dx$와 기함수·우함수 대칭성을 선언하고, $x^2-2x=x(x-2)=0$인 $x=2$에서 적분 구간을 분할한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $A=\int_{-2}^2 (3x^2-10x+3)\,dx = 2\int_0^2 (3x^2+3)\,dx = 2[x^3+3x]_0^2 = 28$이고, $B=\int_0^2 (2x-x^2)\,dx + \int_2^3 (x^2-2x)\,dx = \dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 값은 $A+3B = 28 + 3\times\dfrac{8}{3} = 28 + 8 = 36$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 적분 구간 부호 반전 결합 및 절댓값 부호 경계 $x=2$ 분할 식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 기함수 소거로 $A=28$ 및 구간별 정적분으로 $B=\dfrac{8}{3}$ 각각 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $A+3B=36$ 최종 결론 도출 | 3점 |
두 번째 정적분의 아래끝이 $2$, 위끝이 $-2$로 뒤집혀 있으므로 앞의 식에 더하는 것이 아니라 빼서 $3x^2-10x+3$을 만들어야 합니다.
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $R=4$인 원 $O$에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 세 내각의 크기의 비가 $A:B:C=1:2:3$일 때, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$와 내접원의 반지름의 길이 $r$를 각각 구하시오.
【유사 연습 문제】 외접원의 반지름의 길이가 $3$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $A:B:C=1:1:4$일 때, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $A=B=\dfrac{\pi}{6},\; C=\dfrac{2\pi}{3}$이고 $a=b=2\times 3\sin\dfrac{\pi}{6}=3$이므로 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times 3\times 3\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$이다. [정답: $\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $A+B+C=\pi$와 $A:B:C=1:2:3$에서 $A=\dfrac{\pi}{6},\; B=\dfrac{\pi}{3},\; C=\dfrac{\pi}{2}$이며, 사인법칙 $a=2R\sin A,\; b=2R\sin B,\; c=2R\sin C$를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2R=8$이므로 세 변의 길이는 $a=8\sin\dfrac{\pi}{6}=4,\; b=8\sin\dfrac{\pi}{3}=4\sqrt{3},\; c=8\sin\dfrac{\pi}{2}=8$이고, 직각삼각형 넓이는 $S=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}\times 4\times 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)$에서 $8\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}r(12+4\sqrt{3})=2(3+\sqrt{3})r$이므로 유리화하면 $r=\dfrac{4\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=2\sqrt{3}-2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 세 내각 $\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}$ 결정 및 사인법칙 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 세 변 $a=4,\; b=4\sqrt{3},\; c=8$ 및 넓이 $S=8\sqrt{3}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)$ 등식과 분모 유리화로 $r=2\sqrt{3}-2$ 도출 | 3점 |
직각삼각형에서 내접원의 반지름 공식 $r=\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{4+4\sqrt{3}-8}{2}=2\sqrt{3}-2$를 검산용으로 활용하면 유리화 부호 실수를 완벽히 예방할 수 있습니다.
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $(x^2-4)f(x)=x^3+ax^2+bx-8$을 만족시킬 때, 두 상수 $a, b$의 값과 $f(2)+f(-2)$의 값을 각각 구하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)
【유사 연습 문제】 모든 실수에서 연속인 함수 $f(x)$가 $(x-3)f(x)=x^2+kx-15$를 만족시킬 때, 상수 $k$와 $f(3)$의 합을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x=3$을 대입하면 $9+3k-15=0\implies k=2$이고 $f(3)=\lim_{x\to 3}(x+5)=8$이므로 $k+f(3)=10$이다. [정답: $10$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 항등식의 양변에 $x=2,\; x=-2$를 대입하면 우변도 $0$이 되어야 하고, 함수 $f(x)$가 실수 전체에서 연속이므로 $f(\pm 2)=\lim_{x \to \pm 2} f(x)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x=2$일 때 $8+4a+2b-8=0 \implies b=-2a$, $x=-2$일 때 $-8+4a-2b-8=0 \implies 2a-b=8$이므로 연립하면 $a=2,\; b=-4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x \ne \pm 2$일 때 $f(x)=\dfrac{x^3+2x^2-4x-8}{x^2-4}=\dfrac{(x^2-4)(x+2)}{x^2-4}=x+2$이므로 연속성에 의해 $f(2)=4,\; f(-2)=0$이고 $f(2)+f(-2)=4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 양변 $x=\pm 2$ 대입 조건과 연속성의 극한 정의 $f(\pm 2)=\lim_{x\to\pm 2}f(x)$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연립일차방정식을 풀어 $a=2,\; b=-4$ 도출 및 인수분해 약분 과정 제시 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(2)=4,\; f(-2)=0$으로부터 $f(2)+f(-2)=4$ 산출 | 3점 |
$x^2-4=0$인 점에서는 양변을 $x^2-4$로 바로 나눌 수 없으므로, 반드시 '$x \ne \pm 2$일 때 나누고 연속성으로 극한값을 취한다'는 논리를 명시하십시오.
오른쪽 그림과 같이 함수 $f(x)=2^{x-3}+2$와 그 역함수 $g(x)=f^{-1}(x)$의 그래프가 만나는 두 점을 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$라 할 때, 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이 $d$와 $g(6)+g(10)$의 값을 각각 구하시오.
【유사 연습 문제】 함수 $f(x)=2^{x-2}+1$과 그 역함수 $g(x)$의 그래프의 두 교점 사이의 거리를 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 증가함수 $f(x)$와 역함수의 교점은 $2^{x-2}+1=x$, 즉 $2^{x-2}=x-1$ 위에 있으므로 $x=2, 3$에서 두 교점은 $(2, 2),\; (3, 3)$이고 거리는 $\sqrt{2}$이다. [정답: $\sqrt{2}$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 증가하는 함수 $f(x)=2^{x-3}+2$와 그 역함수 $g(x)$의 교점은 직선 $y=x$ 위에 놓이며, $x$와 $y$를 바꾸면 $g(x)=\log_2(x-2)+3\;(x \gt 2)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 방정식 $2^{x-3}+2=x$, 즉 $2^{x-3}=x-2$에서 $x=3, 4$일 때 등식이 성립하고 $y=2^{x-3}$은 아래로 볼록하므로 두 교점은 $\mathrm{P}(3, 3),\; \mathrm{Q}(4, 4)$이며 $d=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $g(6)=\log_2(6-2)+3=5$이고 $g(10)=\log_2(10-2)+3=6$이므로 $g(6)+g(10)=11$이다. 따라서 $d=\sqrt{2},\; g(6)+g(10)=11$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $y=x$ 위의 교점 성질 선언 및 역함수 $g(x)=\log_2(x-2)+3\;(x \gt 2)$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 교점 $\mathrm{P}(3, 3),\; \mathrm{Q}(4, 4)$ 규명 및 두 점 사이의 거리 $d=\sqrt{2}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $g(6)=5,\; g(10)=6$ 계산을 통한 합 $11$ 도출 | 3점 |
역함수 $g(x)$를 구할 때 원래 지수함수의 치역 $y \gt 2$가 역함수의 정의역 $x \gt 2$로 바뀐다는 조건을 적어야 감점이 없습니다.
첫째항이 $2$이고 공차가 양수인 등차수열 $\{a_n\}$과 첫째항이 $1$이고 공비가 양수인 등비수열 $\{b_n\}$에 대하여 $a_3 = b_3 = 9$일 때, $\sum_{k=1}^{5} (2a_k + b_k)$의 값을 구하시오. (단, 등차수열의 공차 $d \gt 0$, 등비수열의 공비 $r \gt 0$이다.)
【유사 연습 문제】 첫째항이 $3$인 등차수열 $\{a_n\}$과 첫째항이 $2$이고 공비가 양수인 등비수열 $\{b_n\}$에서 $a_3=b_3=8$일 때, $\sum_{k=1}^5 a_k + b_5$의 값을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\sum_{k=1}^5 a_k = 5a_3 = 40$이고 $2r^2=8\;(r \gt 0)$에서 $r=2$이므로 $b_5=2\cdot 2^4=32$, 따라서 합은 $40+32=72$이다. [정답: $72$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등차수열 일반항 $a_n=a_1+(n-1)d$와 등비수열 일반항 $b_n=b_1 r^{n-1}$ 및 각각의 첫째항부터 제$5$항까지의 합 공식을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_3=2+2d=9$에서 $d=\dfrac{7}{2}$이므로 $\sum_{k=1}^5 a_k = 5a_3 = 5\times 9 = 45$이고, $b_3=1\cdot r^2=9\;(r \gt 0)$에서 $r=3$이므로 $\sum_{k=1}^5 b_k = \dfrac{1\cdot(3^5-1)}{3-1}=\dfrac{242}{2}=121$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 합의 성질에 의하여 $\sum_{k=1}^{5} (2a_k+b_k) = 2\sum_{k=1}^{5} a_k + \sum_{k=1}^{5} b_k = 2\times 45 + 121 = 211$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등차·등비수열 일반항 식과 시그마 선형성 및 합 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 등차중항 성질 $\sum_{k=1}^5 a_k = 5a_3 = 45$ 및 $r=3$으로부터 $\sum_{k=1}^5 b_k = 121$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $2\times 45 + 121 = 211$ 최종 값 도출 | 3점 |
홀수 개의 항을 더하는 등차수열의 합 $\sum_{k=1}^5 a_k$는 공차 $d$가 분수이더라도 가운데 항 $a_3$의 $5$배($5a_3=45$)로 즉시 구할 수 있어 계산 실수를 줄여 줍니다.
오른쪽 그림과 같이 곡선 $y=x^2-2x$ 위의 점 $(2, 0)$에서의 접선을 $l$이라 할 때, 접선 $l$의 방정식과 곡선 $y=x^2-2x$, 접선 $l$ 및 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 각각 구하시오.
【유사 연습 문제】 곡선 $y=x^2$ 위의 점 $(3, 9)$에서의 접선과 곡선 $y=x^2$ 및 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 접선은 $y=6x-9$이므로 $S=\int_0^3 (x^2-6x+9)\,dx=\int_0^3 (x-3)^2\,dx=9$이다. [정답: $9$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x)=x^2-2x$에서 $f'(x)=2x-2$이므로 점 $(2, 0)$에서의 접선의 기울기는 $f'(2)=2$이고, 둘러싸인 넓이는 $S=\int_0^2 |f(x)-l(x)|\,dx$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 접선 $l$의 방정식은 $y-0=2(x-2)$, 즉 $y=2x-4$이며, 구간 $[0, 2]$에서 $(x^2-2x)-(2x-4)=x^2-4x+4=(x-2)^2 \ge 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 넓이는 $S=\int_0^2 (x-2)^2\,dx = \left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_0^2 = 0 - \left(-\dfrac{8}{3}\right) = \dfrac{8}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f'(2)=2$ 도출 및 정적분 넓이 공식 $\int_0^2 |f(x)-l(x)|\,dx$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 접선의 방정식 $y=2x-4$ 및 차 함수 $(x-2)^2 \ge 0$ 관계식 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 계산을 통해 넓이 $S=\dfrac{8}{3}$ 산출 | 3점 |
서울여대 감점 클리닉 Case 5에 따라 정적분 식 $\int_0^2 (x-2)^2\,dx$를 반드시 먼저 선언한 뒤 적분값을 계산해야 1단계 배점(3점)을 온전히 확보할 수 있습니다.
수열 $\{a_n\}$의 일반항이 $a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$일 때 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k$라 하자. 모든 자연수 $n$에 대하여 $S_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내고, 부등식 $S_n \ge \dfrac{19}{20}$를 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오.
【유사 연습 문제】 $\sum_{k=1}^{n} \dfrac{2}{k(k+2)} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2n+3}{(n+1)(n+2)}$임을 이용하여 $\sum_{k=1}^{8} \dfrac{2}{k(k+2)}$의 값을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\sum_{k=1}^{8}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}\right)=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{19}{90}=\dfrac{116}{90}=\dfrac{58}{45}$이다. [정답: $\dfrac{58}{45}$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부분분수 항등식 $\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$을 선언하여 이웃한 항이 소거되는 망원급수로 변형한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $S_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\dfrac{n}{n+1} \ge \dfrac{19}{20}$의 양변에 양수 $20(n+1)$을 곱하면 $20n \ge 19n+19 \implies n \ge 19$이므로 자연수 $n$의 최솟값은 $19$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 부분분수 분해 공식 $\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연쇄 소거 과정을 통해 $S_n=\dfrac{n}{n+1}$ 일반식 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 유리부등식 정리를 통해 최소 자연수 $n=19$ 산출 | 3점 |
부등식 $\dfrac{n}{n+1} \ge \dfrac{19}{20}$ 정리 시 $n$이 자연수이므로 $n+1 \gt 0$임을 근거로 부등호 방향이 유지됨을 명확히 서술하십시오.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + ax - 2$를 만족시킬 때, 상수 $a$의 값과 정적분 $\int_{0}^{2} f(x)\,dx$의 값을 각각 구하시오. (단, $a$는 상수이다.)
【유사 연습 문제】 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_2^x f(t)\,dt = x^2 + kx - 10$을 만족시킬 때, $f(5)$의 값을 구하시오.
💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x=2$를 대입하면 $4+2k-10=0\implies k=3$이고 미분하면 $f(x)=2x+3$이므로 $f(5)=13$이다. [정답: $13$]
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 정적분의 위끝과 아래끝이 같을 때 $\int_1^1 f(t)\,dt = 0$임을 선언하고, 미적분학의 기본정리 $\dfrac{d}{dx}\int_1^x f(t)\,dt = f(x)$를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 주어진 항등식에 $x=1$을 대입하면 $0 = 1 - 2 + a - 2$에서 $a=3$이고, 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x)=3x^2-4x+3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\int_0^2 f(x)\,dx = \int_0^2 (3x^2-4x+3)\,dx = \left[x^3-2x^2+3x\right]_0^2 = 8 - 8 + 6 = 6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 초기조건 $x=1$ 대입 원리 및 정적분과 미분의 관계 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a=3$ 산출 및 양변 미분으로 $f(x)=3x^2-4x+3$ 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\int_0^2 (3x^2-4x+3)\,dx = 6$ 최종 정적분 값 도출 | 3점 |
양변을 미분하기 전에 반드시 위끝과 아래끝이 같아지는 $x=1$을 먼저 대입해야 미정계수 $a$를 결정할 수 있습니다.
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R1-Q1 | 대수 | 지수방정식의 치환과 두 실근의 존재 조건 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수방정식과 지수부등식 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중 |
| R1-Q2 | 대수 | 로그의 밑변환 공식과 이차방정식 근과 계수의 관계 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 로그의 밑변환 공식 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.21 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/중 |
| R1-Q3 | 대수 | 사분면의 부호와 삼각함수 사이의 관계식 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 사이의 관계식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중 |
| R1-Q4 | 대수 | 코사인법칙과 외접원·내접원 반지름의 곱 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 종합 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중상 |
| R1-Q5 | 대수 | 등차수열의 일반항 결정과 부분합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 등차수열과 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-06] | 10점/중 |
| R1-Q6 | 미적분Ⅰ | 무한대·유한 극한을 이용한 다항함수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 미정계수의 결정과 다항함수 추론 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중상 |
| R1-Q7 | 미적분Ⅰ | 롤의 정리와 평균값 정리의 상수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 롤의 정리와 평균값 정리 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] | 10점/중상 |
| R1-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 극값 존재 조건과 극댓값·극솟값의 합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 극대와 극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/중상 |
| R1-Q9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 함수의 극값과 닫힌구간 최댓값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수의 극값 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 문제 7 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중상 |
| R1-Q10 | 미적분Ⅰ | 두 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 두 곡선 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/중상 |
| R2-Q1 | 대수 | 유리수 지수의 곱셈 공식과 대칭식 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 유리수 지수와 대칭식 연산 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중 |
| R2-Q2 | 대수 | 감소하는 로그함수의 닫힌구간 최대·최소 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그함수의 최대와 최소 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/중 |
| R2-Q3 | 대수 | 이차형 삼각부등식의 해 구간 결정 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각방정식과 삼각부등식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R2-Q4 | 대수 | 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원 반지름 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 코사인법칙과 도형의 활용 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중상 |
| R2-Q5 | 대수 | 부분합으로부터 일반항 복원 및 거듭제곱 시그마 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 여러 가지 수열의 합과 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/중상 |
| R2-Q6 | 미적분Ⅰ | 사잇값 정리를 이용한 방정식의 최소 실근 개수 논증 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 사잇값 정리와 실근의 존재성 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/중상 |
| R2-Q7 | 미적분Ⅰ | 구간 분기 함수의 미분가능성과 미정계수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분가능성과 연속성 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/중상 |
| R2-Q8 | 미적분Ⅰ | 포물선에 내접하는 직사각형의 최대 넓이와 둘레 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 최대와 최소 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/중상 |
| R2-Q9 | 미적분Ⅰ | 정적분 상수를 포함한 함수 방정식의 해법 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수와 미분의 관계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중 |
| R2-Q10 | 미적분Ⅰ | 제동 후 정지 거리와 목표 이동거리 도달 시각 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 제동 시각과 정지 거리 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.35 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/중상 |
| R3-Q1 | 대수 | 상용로그의 정수부분과 소수부분이 같을 조건 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 상용로그의 활용 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.24 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-05] | 10점/중상 |
| R3-Q2 | 대수 | 치환을 이용한 이차형 지수함수의 최대·최소 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수의 최대와 최소 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/중상 |
| R3-Q3 | 대수 | 삼각함수의 진폭·주기·평행이동 계수 결정 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수의 주기와 최대·최소 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중 |
| R3-Q4 | 대수 | 부채꼴의 호의 길이·넓이와 현의 길이 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 호도법과 부채꼴의 호의 길이 및 중심각 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-01] | 10점/중상 |
| R3-Q5 | 대수 | 등비수열의 묶음 비와 등비수열의 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 등비수열과 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06] | 10점/중상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R3-Q6 | 미적분Ⅰ | 무리식의 부정형 극한과 미정계수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 무리식의 부정형 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R3-Q7 | 미적분Ⅰ | 수직 조건이 주어진 삼차곡선의 두 접선의 y절편 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/중상 |
| R3-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식의 부호별 실근 개수와 상수 범위 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 방정식의 실근의 개수와 극값 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| R3-Q9 | 미적분Ⅰ | 미분 항등식을 만족시키는 다항함수의 적분 복원 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 원함수 결정 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02] | 10점/중상 |
| R3-Q10 | 미적분Ⅰ | 수직선 운동의 운동 방향 전환과 실제로 움직인 거리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 수직선 운동의 위치와 움직인 거리 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/중상 |
| R4-Q1 | 대수 | 지수법칙을 이용한 역수 지수 관계식 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수의 확장과 지수법칙 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중 |
| R4-Q2 | 대수 | 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그방정식과 로그부등식 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중상 |
| R4-Q3 | 대수 | 동경의 좌표에 따른 삼각함수의 뜻과 각 변환 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수의 뜻과 부호 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.13 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R4-Q4 | 대수 | 평행사변형의 넓이와 두 대각선 길이의 제곱합 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 종합 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중상 |
| R4-Q5 | 대수 | 계차가 일차식인 귀납적 정의와 일반항 도출 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 일반항 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/중상 |
| R4-Q6 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한의 대소 관계를 이용한 극한값 계산 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한의 대소 관계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R4-Q7 | 미적분Ⅰ | 곱의 미분법과 접선의 x절편 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 다항함수의 도함수와 곱의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.17 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-04] | 10점/중상 |
| R4-Q8 | 미적분Ⅰ | 반직선 구간에서 삼차부등식이 항상 성립할 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 부등식에의 미분 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/중상 |
| R4-Q9 | 미적분Ⅰ | 두 점의 속도가 같아지는 시각과 가속도 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 직선 운동의 속도와 가속도 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-10] | 10점/중상 |
| R4-Q10 | 미적분Ⅰ | 직원뿔에 내접하는 직원기둥의 최대 부피 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 최대와 최소 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/상 |
| R5-Q1 | 대수 | 중첩 거듭제곱근의 유리수 지수 변환과 로그 결합 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 거듭제곱근의 성질 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-01] | 10점/중 |
| R5-Q2 | 대수 | 상용로그를 이용한 실생활 지수부등식 활용 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수의 활용 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중상 |
| R5-Q3 | 대수 | 평행이동된 삼각방정식의 치환 범위 해법 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각방정식과 삼각부등식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R5-Q4 | 대수 | 사인법칙을 이용한 변의 길이와 외접원의 넓이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 외접원 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중상 |
| R5-Q5 | 대수 | 수학적 귀납법을 이용한 급수 상계 부등식 증명과 정수부분 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 부등식 증명 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-07] | 10점/상 |
| R5-Q6 | 미적분Ⅰ | 구간 분기 함수의 제곱의 극한 존재 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 우극한과 좌극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.10 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01] | 10점/중상 |
| R5-Q7 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선의 접선이 곡선과 다시 만나는 점 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 곡선 밖의 점에서 그은 접선 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/중상 |
| R5-Q8 | 미적분Ⅰ | 사차함수의 극댓값과 극솟값의 합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 극대와 극소 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/중상 |
| R5-Q9 | 미적분Ⅰ | 우함수 대칭성과 정적분의 구간 분할 결합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질과 대칭구간 계산 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중상 |
| R5-Q10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 접선 및 y축으로 둘러싸인 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R6-Q1 | 대수 | 로그 계수를 포함한 이차절대부등식과 자연수 개수 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 로그의 정의 조건 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/상 |
| R6-Q2 | 대수 | 지수함수·역함수와 기울기 -1 직선의 대칭 교점 삼각형 넓이 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그함수의 그래프와 역함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/상 |
| R6-Q3 | 대수 | 삼각함수가 합성된 방정식의 실근 개수와 합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각방정식과 삼각부등식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R6-Q4 | 대수 | 원에 내접하는 사각형의 대각 성질과 코사인법칙 연쇄 적용 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 종합 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/최상 |
| R6-Q5 | 대수 | 상수항이 있는 부분합의 초항 분리와 부분분수 급수 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 여러 가지 수열의 합과 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/상 |
| R6-Q6 | 미적분Ⅰ | 곱함수의 연속성과 극한 수렴을 통한 이차함수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 연속함수의 성질 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.29 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/상 |
| R6-Q7 | 미적분Ⅰ | 절댓값으로 접어 올린 삼차함수의 미분불가능 점 개수 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분가능성과 연속성 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/최상 |
| R6-Q8 | 미적분Ⅰ | 점대칭 함수 방정식을 만족시키는 삼차함수의 극값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 방정식의 실근의 개수와 극값 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| R6-Q9 | 미적분Ⅰ | 피적분함수에 x를 포함한 정적분 함수의 미분과 극솟값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수의 극값 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 문제 7 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/최상 |
| R6-Q10 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 원점에서의 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/최상 |
| R7-Q1 | 대수 | 거듭제곱근이 모두 자연수가 되기 위한 지수 약수·배수 조건 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 거듭제곱과 거듭제곱근 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-01] | 10점/상 |
| R7-Q2 | 대수 | 치환 정의역에서 지수절대부등식이 성립할 조건 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수의 최대와 최소 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/상 |
| R7-Q3 | 대수 | 삼각함수 그래프의 주기·대칭축을 이용한 네 교점의 가중합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수의 주기와 최대·최소 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R7-Q4 | 대수 | 삼각형 내각의 이등분선 길이와 코사인법칙 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 코사인법칙과 도형의 활용 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/최상 |
| R7-Q5 | 대수 | 홀짝 분기 귀납적 정의의 주기 추론과 부분합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 일반항 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/상 |
| R7-Q6 | 미적분Ⅰ | 두 극한 조건과 곱함수의 미분계수 극한 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 미정계수의 결정과 다항함수 추론 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/상 |
| R7-Q7 | 미적분Ⅰ | 절댓값 삼차함수가 실수 전체에서 미분가능할 유일 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분가능성과 연속성 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/최상 |
| R7-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차함수와 수평 직선의 세 교점 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 방정식의 실근의 개수와 극값 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| R7-Q9 | 미적분Ⅰ | 정적분 항등식의 연쇄 미분과 초기조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수와 미분의 관계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R7-Q10 | 미적분Ⅰ | 수직선 운동의 원점 복귀 시각과 이동거리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 수직선 운동의 위치와 움직인 거리 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/상 |
| R8-Q1 | 대수 | 거듭제곱 밑 로그의 통일과 진수의 곱 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 로그의 성질과 계산 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/상 |
| R8-Q2 | 대수 | 이차형 로그방정식의 두 실근과 밑변환 합 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그방정식과 로그부등식 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/상 |
| R8-Q3 | 대수 | 삼각형 세 내각의 합과 반각 삼각함수 변환 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 사이의 관계식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R8-Q4 | 대수 | 사인법칙 변의 합과 코사인법칙을 결합한 삼각형 넓이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 외접원 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R8-Q5 | 대수 | 등차수열 근호 유리화 망원급수와 목표 항 번호 결정 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 여러 가지 수열의 합과 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R8-Q6 | 미적분Ⅰ | 합성 다항식의 치환 극한값 계산 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한에 대한 성질 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.13 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/상 |
| R8-Q7 | 미적분Ⅰ | 평균값 정리를 이용한 함숫값의 최대·최소 범위 추론 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 롤의 정리와 평균값 정리 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] | 10점/상 |
| R8-Q8 | 미적분Ⅰ | 곡선 밖의 점에서 삼차곡선에 그은 접선의 개수와 기울기 합 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 곡선 밖의 점에서 그은 접선 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/상 |
| R8-Q9 | 미적분Ⅰ | 이동 구간 정적분 함수의 도함수와 극솟값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수의 극값 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 문제 7 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R8-Q10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 x축 사이의 넓이를 이등분하는 직선 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 곡선과 좌표축 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/최상 |
| R9-Q1 | 대수 | 대칭 지수식과 역수 지수 거듭제곱의 결합 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 유리수 지수와 대칭식 연산 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/상 |
| R9-Q2 | 대수 | 치환 로그함수의 최대·최소 발생 지점과 함숫값 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 로그함수의 최대와 최소 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/상 |
| R9-Q3 | 대수 | 삼각함수 계수 이차방정식의 중근 조건 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각방정식과 삼각부등식 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R9-Q4 | 대수 | 반원 위의 직각삼각형 성질과 중심각의 코사인법칙 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 코사인법칙과 도형의 활용 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/최상 |
| R9-Q5 | 대수 | 가중 부분합으로부터 일반항 복원 및 부분분수 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 여러 가지 수열의 합과 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/상 |
| R9-Q6 | 미적분Ⅰ | 제곱 분모를 가진 유리식 함수의 연속성과 인수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 조건 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03] | 10점/상 |
| R9-Q7 | 미적분Ⅰ | 절댓값 일차식 곱함수의 미분가능성과 계수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분가능성과 연속성 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/상 |
| R9-Q8 | 미적분Ⅰ | 비대칭 사차함수의 두 극솟값 비교와 절대부등식 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 부등식에의 미분 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| R9-Q9 | 미적분Ⅰ | xf(x)를 포함한 정적분 항등식의 미분 해법 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수와 미분의 관계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R9-Q10 | 미적분Ⅰ | 기함수인 삼차함수와 원점 직선으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 두 곡선 사이의 넓이 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R10-Q1 | 대수 | 연쇄 밑변환 공식과 곱으로 이루어진 밑의 로그 계산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 로그의 밑변환 공식 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.21 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/상 |
| R10-Q2 | 대수 | 평행이동한 두 지수함수와 수평선으로 만든 평행사변형의 넓이 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수의 그래프와 평행이동 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/상 |
| R10-Q3 | 대수 | 주기가 유리수인 삼각방정식의 다주기 실근의 합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수의 주기와 최대·최소 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R10-Q4 | 대수 | 코사인법칙을 두 번 이용한 중선의 길이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 종합 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/최상 |
| R10-Q5 | 대수 | 지수항을 포함한 귀납적 정의의 나눗셈 치환 해법 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 일반항 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] | 10점/최상 |
| R10-Q6 | 미적분Ⅰ | 단조증가성과 사잇값 정리를 결합한 유일 실근 구간 판정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 사잇값 정리와 실근의 존재성 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/상 |
| R10-Q7 | 미적분Ⅰ | 0과 결합된 구간 분기 삼차함수의 미분가능성과 중근 인수 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분가능성과 연속성 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/최상 |
| R10-Q8 | 미적분Ⅰ | 정사각형 귀퉁이를 잘라 만든 상자의 최대 부피 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 함수의 최대와 최소 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/상 |
| R10-Q9 | 미적분Ⅰ | 기함수 조건을 만족시키는 정적분 함수의 극솟값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수의 극값 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 문제 7 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/최상 |
| R10-Q10 | 미적분Ⅰ | 두 점의 재회 시각과 방향 전환을 포함한 실제 이동거리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 수직선 운동의 위치와 움직인 거리 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/최상 |
지수방정식 $9^x - 12\cdot 3^x + 27 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)$라 하자. 또한 방정식 $9^x - k\cdot 3^x + 81 = 0$이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위와 그때의 두 실근의 합을 각각 구하시오.
$1$이 아닌 두 양수 $a, b$에 대하여 이차방정식 $x^2 - 6x + 4 = 0$의 두 근이 $\log_3 a,\; \log_3 b$일 때, $ab$의 값과 $\log_a(a^2 b) + \log_b(ab^2)$의 값을 각각 구하시오.
제$2$사분면의 각 $\theta$에 대하여 $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{3}$일 때, $\sin\theta\cos\theta$의 값과 $\sin\theta - \cos\theta$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 세 변의 길이가 $a=7,\; b=8,\; c=9$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 대하여 $\cos A$의 값, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$, 그리고 외접원의 반지름 $R$와 내접원의 반지름 $r$의 곱 $Rr$의 값을 각각 구하시오.
등차수열 $\{a_n\}$이 $a_3 + a_7 = 28,\; a_6 - a_2 = 12$를 만족시킬 때, 일반항 $a_n$과 $\sum_{k=1}^{10} a_k$의 값을 각각 구하시오.
다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)-x^3}{2x^2+1} = -2$, $\lim_{x \to 2}\dfrac{f(x)}{x-2} = 5$를 만족시킬 때, 다항함수 $f(x)$를 구하고 $f(3)$의 값을 구하시오.
함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 롤의 정리를 만족시키는 상수 $c_1$의 값과 닫힌구간 $[1, 4]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c_2$의 값을 각각 구하시오.
삼차함수 $f(x) = x^3 - 3kx^2 + 3(k+2)x + 1$이 극값을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하고, $k = 3$일 때 함수 $f(x)$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$의 합 $M + m$을 구하시오.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x) = \int_{0}^{x} (3t^2 - 12t + 9)\,dt$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$을 구하고, 닫힌구간 $[0, 5]$에서 함수 $g(x)$의 최댓값을 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 두 이차함수 $f(x) = -x^2 + 4x$와 $g(x) = x^2 - 4x$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$와, 곡선 $y = f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1$을 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 문항 1 | 대수 | 지수방정식의 치환과 두 실근의 존재 조건 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 2 | 대수 | 로그의 밑변환 공식과 이차방정식 근과 계수의 관계 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 3 | 대수 | 사분면의 부호와 삼각함수 사이의 관계식 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 4 | 대수 | 코사인법칙과 외접원·내접원 반지름의 곱 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 5 | 대수 | 등차수열의 일반항 결정과 부분합 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 무한대·유한 극한을 이용한 다항함수 결정 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 롤의 정리와 평균값 정리의 상수 결정 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 극값 존재 조건과 극댓값·극솟값의 합 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 함수의 극값과 닫힌구간 최댓값 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 두 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | 10점 | 중상 |
양수 $x$에 대하여 $x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = 3$일 때, $x + x^{-1}$의 값과 $x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{3}{2}}$의 값을 각각 구하시오. (단, $x \gt 0$이다.)
닫힌구간 $[1, 13]$에서 정의된 함수 $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x + 3) + 5$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하고, $M + m$의 값을 구하시오.
$0 \le x \lt 2\pi$일 때, 삼각부등식 $2\sin^2 x - \cos x - 1 \ge 0$의 해가 $\alpha \le x \le \beta$이다. $\alpha, \beta$의 값과 $\beta - \alpha$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{AC}} = 8,\; \angle\mathrm{A} = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 변 $\mathrm{BC}$의 길이와 외접원의 반지름의 길이 $R$를 각각 구하시오.
수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = 2n^2 + 3n$일 때, 일반항 $a_n$을 구하고 $\sum_{k=1}^{8} k a_k$의 값을 구하시오.
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 $f(-1)=3,\; f(0)=-2,\; f(1)=4,\; f(2)=-1$을 만족시킬 때, 방정식 $f(x) = x$가 열린구간 $(-1, 2)$에서 적어도 몇 개의 실근을 갖는지 사잇값 정리를 이용하여 구하시오.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} x^3 + ax + b & (x \lt 1) \\ 2x^2 - x + 3 & (x \ge 1) \end{cases}$가 $x = 1$에서 미분가능할 때, 상수 $a, b$의 값과 $f(-1) + f'(1)$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 좌표평면에서 곡선 $y = -x^2 + 12$와 $x$축으로 둘러싸인 영역에 내접하고 한 변이 $x$축 위에 있는 직사각형의 넓이의 최댓값 $S_{\max}$와 그때의 직사각형의 둘레의 길이 $L$을 각각 구하시오.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 2x + \int_{0}^{2} f(t)\,dt$를 만족시킬 때, 정적분 $K = \int_{0}^{2} f(t)\,dt$의 값과 $f(3)$의 값을 각각 구하시오.
직선 도로를 $30\,\mathrm{m/s}$의 속도로 달리던 자동차가 제동을 건 후 $t$초일 때의 속도가 $v(t) = 30 - 3t\;(\mathrm{m/s})$이다. 제동을 건 후 정지할 때까지 걸린 시간 $t_1$, 정지할 때까지 달린 거리 $D$, 그리고 거리 $\dfrac{3}{4}D$만큼 이동하는 데 걸린 시간 $k$초를 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제2회 | 문항 1 | 대수 | 유리수 지수의 곱셈 공식과 대칭식 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 2 | 대수 | 감소하는 로그함수의 닫힌구간 최대·최소 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 3 | 대수 | 이차형 삼각부등식의 해 구간 결정 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 4 | 대수 | 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원 반지름 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 5 | 대수 | 부분합으로부터 일반항 복원 및 거듭제곱 시그마 합 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 사잇값 정리를 이용한 방정식의 최소 실근 개수 논증 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 구간 분기 함수의 미분가능성과 미정계수 결정 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 포물선에 내접하는 직사각형의 최대 넓이와 둘레 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 정적분 상수를 포함한 함수 방정식의 해법 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 제동 후 정지 거리와 목표 이동거리 도달 시각 | 10점 | 중상 |
양수 $N$에 대하여 $\log N$의 정수부분이 $2$이고, $\log N^3$의 소수부분과 $\log\dfrac{1}{N}$의 소수부분이 서로 같을 때, 조건을 만족시키는 모든 양수 $N$의 값의 곱을 구하시오.
닫힌구간 $[-1, 2]$에서 정의된 함수 $f(x) = 4^x - 6\cdot 2^x + 11$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.
함수 $f(x) = a\sin\left(bx - \dfrac{\pi}{3}\right) + c$의 최댓값이 $7$, 최솟값이 $-1$, 주기가 $\pi$일 때, 세 상수 $a, b, c$의 값과 $f\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$의 값을 각각 구하시오. (단, $a \gt 0,\; b \gt 0$이다.)
오른쪽 그림과 같이 중심각의 크기가 $\dfrac{2\pi}{3}$이고 호 $\mathrm{AB}$의 길이가 $4\pi$인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$에 대하여 반지름의 길이 $r$, 부채꼴의 넓이 $S$, 그리고 현 $\mathrm{AB}$의 길이를 각각 구하시오.
모든 항이 양수인 등비수열 $\{a_n\}$이 $a_1 + a_2 = 6,\; a_3 + a_4 = 54$를 만족시킬 때, 공비 $r$의 값과 첫째항부터 제$6$항까지의 합 $S_6$을 각각 구하시오.
극한 등식 $\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x + a} - b}{x - 3} = \dfrac{1}{4}$을 만족시키는 두 상수 $a, b$의 값과 $a + b$의 값을 각각 구하시오.
곡선 $y = x^3 - 6x^2 + 11x - 3$에 접하고 직선 $x + 2y - 6 = 0$에 수직인 두 접선의 방정식을 모두 구하고, 두 접선의 $y$절편의 합을 구하시오.
오른쪽 그림의 삼차함수 개형을 참고하여, 방정식 $x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0$이 한 개의 음의 실근과 서로 다른 두 개의 양의 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $xf'(x) = f(x) + 2x^3 - 2x^2$을 만족시키고 $f(1) = 4$일 때, 다항함수 $f(x)$와 $f(2)$의 값을 각각 구하시오.
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$이다. 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 운동 방향을 두 번째로 바꾸는 시각에서의 위치 $x_2$와 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리 $s$를 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제3회 | 문항 1 | 대수 | 상용로그의 정수부분과 소수부분이 같을 조건 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 2 | 대수 | 치환을 이용한 이차형 지수함수의 최대·최소 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 3 | 대수 | 삼각함수의 진폭·주기·평행이동 계수 결정 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 4 | 대수 | 부채꼴의 호의 길이·넓이와 현의 길이 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 5 | 대수 | 등비수열의 묶음 비와 등비수열의 합 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 무리식의 부정형 극한과 미정계수 결정 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 수직 조건이 주어진 삼차곡선의 두 접선의 y절편 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식의 부호별 실근 개수와 상수 범위 | 10점 | 상 |
| 제3회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 미분 항등식을 만족시키는 다항함수의 적분 복원 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 수직선 운동의 운동 방향 전환과 실제로 움직인 거리 | 10점 | 중상 |
세 양수 $a, b, c$가 $2^a = 5^b = 10^c$를 만족시킬 때, $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c}$의 값을 구하고, $10^c = 100$일 때 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$의 값을 구하시오.
로그부등식 $\log_2(x - 1) + \log_2(7 - x) \ge 3$을 만족시키는 실수 $x$의 값의 범위를 구하고, 그 범위에 속하는 모든 정수 $x$의 값의 합을 구하시오.
원점 $\mathrm{O}$와 점 $\mathrm{P}(-5, 12)$를 지나는 동경 $\mathrm{OP}$가 나타내는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $13(\sin\theta - \cos\theta)$의 값과 $\tan(\pi - \theta) + \cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right)$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같은 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 4,\; \overline{\mathrm{AD}} = 6,\; \angle\mathrm{BAD} = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S$와 두 대각선의 길이의 제곱의 합 $\overline{\mathrm{AC}}^2 + \overline{\mathrm{BD}}^2$을 각각 구하시오.
수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = a_n + 2n + 1$을 만족시킬 때, 일반항 $a_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내고 $a_{12}$의 값을 구하시오.
모든 양의 실수 $x$에 대하여 부등식 $6x^2 - 2x + 1 \le (x + 1)f(x) \le 6x^2 + 3x + 4$를 만족시키는 함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{2x - 1}$의 값을 구하시오.
다항함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x) = (x^2 - 2x + 3)f(x)$라 하자. $f(2) = 4,\; g'(2) = 20$일 때, $f'(2)$의 값과 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(2, f(2))$에서의 접선의 $x$절편을 각각 구하시오.
$x \ge 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $2x^3 - 6x^2 + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하시오.
수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치가 각각 $x_{\mathrm{P}}(t) = t^3 - 5t^2 + 8t$, $x_{\mathrm{Q}}(t) = t^2 - t$이다. 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 속도가 같아지는 두 시각 $t_1, t_2\;(t_1 \lt t_2)$에서의 점 $\mathrm{P}$의 가속도를 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 $6$, 높이가 $12$인 직원뿔에 내접하는 직원기둥의 부피가 최대가 될 때, 그 직원기둥의 밑면의 반지름의 길이 $r$와 최대 부피 $V_{\max}$를 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제4회 | 문항 1 | 대수 | 지수법칙을 이용한 역수 지수 관계식 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 2 | 대수 | 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 3 | 대수 | 동경의 좌표에 따른 삼각함수의 뜻과 각 변환 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 4 | 대수 | 평행사변형의 넓이와 두 대각선 길이의 제곱합 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 5 | 대수 | 계차가 일차식인 귀납적 정의와 일반항 도출 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한의 대소 관계를 이용한 극한값 계산 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 곱의 미분법과 접선의 x절편 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 반직선 구간에서 삼차부등식이 항상 성립할 조건 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 두 점의 속도가 같아지는 시각과 가속도 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 직원뿔에 내접하는 직원기둥의 최대 부피 | 10점 | 상 |
양수 $a$에 대하여 $\sqrt{a\sqrt[3]{a^2\sqrt{a}}} = a^p$를 만족시키는 유리수 $p$의 값을 구하고, $\log_2 a = 12$일 때 $a^p$의 값을 구하시오.
어느 정수 필터 $1$장을 통과할 때마다 물속 불순물의 양이 통과 직전의 $\dfrac{3}{4}$배가 된다고 한다. 불순물의 양을 처음의 $\dfrac{1}{10}$ 이하로 줄이려면 최소 몇 장의 정수 필터를 통과시켜야 하는지 구하시오. (단, $\log 2 = 0.3010,\; \log 3 = 0.4771$로 계산한다.)
$0 \le x \lt 2\pi$에서 삼각방정식 $\sqrt{3}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{3}{2}$의 모든 실근을 구하고, 모든 실근의 합을 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle\mathrm{A} = \dfrac{\pi}{4},\; \angle\mathrm{B} = \dfrac{\pi}{3}$이고 $\overline{\mathrm{BC}} = 6$일 때, 변 $\mathrm{AC}$의 길이와 외접원의 넓이를 각각 구하시오.
$n \ge 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} \lt 2 - \dfrac{1}{n}$이 성립함을 수학적 귀납법으로 설명하고, 이를 이용하여 $S_{50} = \sum_{k=1}^{50} \dfrac{1}{k^2}$의 정수부분을 구하시오.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 2 & (x \lt 2) \\ 3x - 1 & (x \ge 2) \end{cases}$에 대하여 극한값 $\lim_{x \to 2} \{f(x)\}^2$이 존재하도록 하는 모든 상수 $a$의 값의 합을 구하시오.
곡선 $y = x^3 - 2x + 1$ 위의 점 $\mathrm{A}(1, 0)$에서의 접선이 이 곡선과 다시 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 할 때, 점 $\mathrm{B}$의 좌표와 선분 $\mathrm{AB}$의 길이를 각각 구하시오.
사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 3$의 극댓값 $M$과 모든 극솟값의 합을 각각 구하시오.
연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$를 만족시키고 $\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 5,\; \int_{0}^{4} f(x)\,dx = 13$일 때, 정적분 $\int_{2}^{4} f(x)\,dx$의 값과 $\int_{-2}^{4} (f(x) + 2x)\,dx$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 곡선 $y = x^2 - 2x + 10$과 직선 $y = mx + 1$이 서로 접하도록 하는 양수 $m$의 값을 구하고, 그때 곡선과 직선 및 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제5회 | 문항 1 | 대수 | 중첩 거듭제곱근의 유리수 지수 변환과 로그 결합 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 2 | 대수 | 상용로그를 이용한 실생활 지수부등식 활용 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 3 | 대수 | 평행이동된 삼각방정식의 치환 범위 해법 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 4 | 대수 | 사인법칙을 이용한 변의 길이와 외접원의 넓이 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 5 | 대수 | 수학적 귀납법을 이용한 급수 상계 부등식 증명과 정수부분 | 10점 | 상 |
| 제5회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 구간 분기 함수의 제곱의 극한 존재 조건 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선의 접선이 곡선과 다시 만나는 점 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 사차함수의 극댓값과 극솟값의 합 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 우함수 대칭성과 정적분의 구간 분할 결합 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 접선 및 y축으로 둘러싸인 넓이 | 10점 | 상 |
모든 실수 $x$에 대하여 이차부등식 $x^2 - 2(\log_2 k)x + 3\log_2 k + 4 \gt 0$이 항상 성립하도록 하는 모든 자연수 $k$의 개수를 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 함수 $f(x) = 2^{x-1} + 3$의 그래프와 직선 $y = -x + 10$이 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 역함수 $g(x) = f^{-1}(x)$의 그래프와 직선 $y = -x + 10$이 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 할 때, 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 좌표와 삼각형 $\mathrm{OAB}$ (단, $\mathrm{O}$는 원점)의 넓이를 각각 구하시오.
$0 \le x \le 2\pi$에서 정의된 방정식 $\cos(\pi\sin x) = 0$의 서로 다른 모든 실근의 개수와 모든 실근의 합을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{BC}} = 5,\; \overline{\mathrm{CD}} = 5,\; \angle\mathrm{ABC} = \dfrac{2\pi}{3}$일 때, 대각선 $\mathrm{AC}$의 길이와 선분 $\mathrm{AD}$의 길이를 각각 구하시오.
수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = n^2 + 2n + 3$일 때, $a_1$의 값과 $n \ge 2$일 때의 $a_n$을 각각 구하고, $a_1 + \sum_{k=2}^{10} \dfrac{8}{(a_k - 1)(a_k + 1)}$의 값을 구하시오.
함수 $f(x) = \begin{cases} x - 4 & (x \lt 2) \\ x^2 - 3x + 5 & (x \ge 2) \end{cases}$에 대하여 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다: 함수 $f(x)g(x)$는 실수 전체에서 연속이고 $\lim_{x \to -1}\dfrac{g(x)}{x + 1}$의 값이 존재한다. 이차함수 $g(x)$와 $g(5)$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림의 절댓값 접힘 개형을 참고하여, 삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$와 실수 $t$에 대하여 함수 $h(x) = |f(x) - t|$가 오직 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 실수 $t$의 값의 범위와 그 경계가 되는 두 실수 $t$의 합을 구하시오.
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(2 - x) + f(2 + x) = 4$를 만족시키고 $x = 0$에서 극댓값을 가질 때, 함수 $f(x)$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$을 각각 구하시오.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_{0}^{x} (x - t)(6t - 12)\,dt$에 대하여 도함수 $F'(x)$를 구하고, 함수 $F(x)$의 극솟값을 구하시오.
곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ 위의 원점 $\mathrm{O}(0, 0)$에서의 접선 $l$이 이 곡선과 다시 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 할 때, 점 $\mathrm{B}$의 좌표와 곡선 및 접선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제6회 | 문항 1 | 대수 | 로그 계수를 포함한 이차절대부등식과 자연수 개수 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 2 | 대수 | 지수함수·역함수와 기울기 -1 직선의 대칭 교점 삼각형 넓이 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 3 | 대수 | 삼각함수가 합성된 방정식의 실근 개수와 합 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 4 | 대수 | 원에 내접하는 사각형의 대각 성질과 코사인법칙 연쇄 적용 | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 5 | 대수 | 상수항이 있는 부분합의 초항 분리와 부분분수 급수 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 곱함수의 연속성과 극한 수렴을 통한 이차함수 결정 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 절댓값으로 접어 올린 삼차함수의 미분불가능 점 개수 | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 점대칭 함수 방정식을 만족시키는 삼차함수의 극값 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 피적분함수에 x를 포함한 정적분 함수의 미분과 극솟값 | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 원점에서의 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | 10점 | 최상 |
$2$ 이상 $30$ 이하의 자연수 $n$에 대하여 두 수 $\sqrt[n]{2^{12}}$과 $\sqrt[3]{5^n}$이 모두 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $n$의 값을 구하고 그 합을 구하시오.
모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $4^x - k\cdot 2^{x+2} + 5k + 6 \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하시오.
닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 함수 $y = \sin 2x$의 그래프와 직선 $y = \dfrac{2}{5}$가 만나는 네 점의 $x$좌표를 작은 것부터 차례로 $x_1, x_2, x_3, x_4$라 할 때, $x_1 + 2x_2 + 2x_3 + x_4$의 값을 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 6,\; \overline{\mathrm{AC}} = 3,\; \angle\mathrm{BAC} = \dfrac{2\pi}{3}$일 때, $\angle\mathrm{BAC}$의 이등분선이 변 $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하자. 선분 $\mathrm{AD}$의 길이와 변 $\mathrm{BC}$의 길이를 각각 구하시오.
수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n$이 홀수일 때 $a_{n+1} = \dfrac{a_n + 1}{2}$, $a_n$이 짝수일 때 $a_{n+1} = 2a_n + 1$을 만족시킬 때, 수열 $\{a_n\}$의 최소 주기를 구하고 $\sum_{k=1}^{50} a_k$의 값을 구하시오.
두 다항함수 $f(x), g(x)$가 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - 3}{x - 1} = 4,\; \lim_{x \to 1} \dfrac{g(x) + 2}{x - 1} = -5$를 만족시킬 때, 곱함수 $h(x) = f(x)g(x)$에 대하여 $h(1)$의 값과 $\lim_{x \to 1} \dfrac{h(x) + 6}{x^2 - 1}$의 값을 각각 구하시오.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = |(x - 1)(x^2 + ax + b)|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 두 상수 $a, b$의 값과 $f(-1) + f'(3)$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같은 개형의 삼차함수 $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 1$의 그래프와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 모든 정수 $k$의 개수와 모든 정수 $k$의 합을 각각 구하시오.
모든 실수 $x$에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $\int_{1}^{x} (x - t)f(t)\,dt = x^3 + ax^2 - 5x + b$를 만족시킬 때, 두 상수 $a, b$의 값과 $f(2)$의 값을 각각 구하시오.
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = -t^2 + 3t$일 때, 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 원점으로 다시 돌아오는 시각 $t_0\;(t_0 \gt 0)$와 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리 $s$를 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제7회 | 문항 1 | 대수 | 거듭제곱근이 모두 자연수가 되기 위한 지수 약수·배수 조건 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 2 | 대수 | 치환 정의역에서 지수절대부등식이 성립할 조건 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 3 | 대수 | 삼각함수 그래프의 주기·대칭축을 이용한 네 교점의 가중합 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 4 | 대수 | 삼각형 내각의 이등분선 길이와 코사인법칙 | 10점 | 최상 |
| 제7회 | 문항 5 | 대수 | 홀짝 분기 귀납적 정의의 주기 추론과 부분합 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 두 극한 조건과 곱함수의 미분계수 극한 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 절댓값 삼차함수가 실수 전체에서 미분가능할 유일 조건 | 10점 | 최상 |
| 제7회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차함수와 수평 직선의 세 교점 조건 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 정적분 항등식의 연쇄 미분과 초기조건 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 수직선 운동의 원점 복귀 시각과 이동거리 | 10점 | 상 |
세 양수 $x, y, z$가 등식 $\log_2 x + 2\log_4 y + 3\log_8 z = 6$을 만족시킬 때, $xyz$의 값과 $\log_8(x^2 y^2 z^2)$의 값을 각각 구하시오.
로그방정식 $(\log_3 x)^2 - \log_3 x^5 + 4 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha + \beta$의 값과 $\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha$의 값을 각각 구하시오.
삼각형 $\mathrm{ABC}$의 세 내각 $A, B, C$에 대하여 $\sin\dfrac{A + B}{2} = \dfrac{3}{5}$일 때, $\sin\dfrac{C}{2}$의 값과 $\tan\dfrac{\pi + C}{2}$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $R = 5$인 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle\mathrm{C} = \dfrac{\pi}{3}$이고 $\sin A + \sin B = \dfrac{6}{5}$일 때, 변 $\mathrm{AB}$의 길이와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.
첫째항이 $1$이고 공차가 $2$인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $T_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k}}$이라 할 때, $T_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내고 $T_m = 4$를 만족시키는 자연수 $m$의 값을 구하시오.
다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 3$과 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 2$를 만족시킬 때, 극한값 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(f(x))}{x^2 - 1}$을 구하시오.
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f(1) = 3$이고 모든 실수 $x$에 대하여 $2 \le f'(x) \le 5$를 만족시킬 때, 평균값 정리를 이용하여 $f(4)$가 가질 수 있는 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같은 개형의 곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 1$에 곡선 밖의 점 $(0, 2)$에서 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수를 구하고, 모든 접선의 기울기의 합을 구하시오.
삼차함수 $f(x) = x^3 - 4x$에 대하여 실수 전체에서 정의된 함수 $G(x) = \int_{x}^{x+2} f(t)\,dt$가 $x = \alpha$에서 극솟값을 가질 때, 상수 $\alpha$의 값과 극솟값 $G(\alpha)$를 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 이차함수 $f(x) = -x^2 + 6x$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 원점을 지나는 직선 $y = mx$가 이등분할 때, $(6 - m)^3$의 값을 구하시오. (단, $0 \lt m \lt 6$이다.)
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제8회 | 문항 1 | 대수 | 거듭제곱 밑 로그의 통일과 진수의 곱 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 2 | 대수 | 이차형 로그방정식의 두 실근과 밑변환 합 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 3 | 대수 | 삼각형 세 내각의 합과 반각 삼각함수 변환 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 4 | 대수 | 사인법칙 변의 합과 코사인법칙을 결합한 삼각형 넓이 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 5 | 대수 | 등차수열 근호 유리화 망원급수와 목표 항 번호 결정 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 합성 다항식의 치환 극한값 계산 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 평균값 정리를 이용한 함숫값의 최대·최소 범위 추론 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 곡선 밖의 점에서 삼차곡선에 그은 접선의 개수와 기울기 합 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 이동 구간 정적분 함수의 도함수와 극솟값 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 x축 사이의 넓이를 이등분하는 직선 | 10점 | 최상 |
두 실수 $a, b\;(b \ne 0)$가 $3^a + 3^{-a} = 5$와 $2^b = 9$를 만족시킬 때, $9^a + 9^{-a}$의 값과 $81^{\frac{1}{b}}$의 값을 각각 구하시오.
닫힌구간 $[1, 27]$에서 정의된 함수 $f(x) = (\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 9$가 $x = a$에서 최댓값 $M$, $x = b$에서 최솟값 $m$을 가질 때, $a + b$의 값과 $M - m$의 값을 각각 구하시오.
$x$에 대한 이차방정식 $x^2 - (2\cos\theta)x + \sin^2\theta - \cos\theta = 0$이 중근을 갖도록 하는 $0 \le \theta \lt 2\pi$에서의 모든 실수 $\theta$의 값을 구하고 그 합을 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 길이가 $10$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원의 호 위의 한 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\overline{\mathrm{AP}} = 8$이고, 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{O}$라 하자. 선분 $\mathrm{PB}$의 길이, $\cos(\angle\mathrm{POB})$의 값, 삼각형 $\mathrm{POB}$의 넓이를 각각 구하시오.
수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $\sum_{k=1}^{n} k a_k = n(n + 1)(n + 2)$를 만족시킬 때, 일반항 $a_n$을 구하고 $\sum_{k=1}^{8} \dfrac{9}{a_k a_{k+1}}$의 값을 구하시오.
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 $x \ne 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = \dfrac{x^3 + ax^2 - 4x + b}{(x - 2)^2}$를 만족시킬 때, 두 상수 $a, b$의 값과 $f(2)$의 값을 각각 구하시오.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = (x^2 + ax + b)|x - 2|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 $f'(0) = 8$일 때, 두 상수 $a, b$의 값과 $f(4)$의 값을 각각 구하시오.
모든 실수 $x$에 대하여 사차부등식 $3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하시오.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $\int_{0}^{x} f(t)\,dt = x f(x) - 2x^3 + 3x^2$을 만족시키고 $f(1) = 5$일 때, 다항함수 $f(x)$와 $\int_{0}^{2} f(x)\,dx$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 삼차함수 $f(x) = x^3 - 4x$의 그래프와 직선 $g(x) = 5x$로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 $S$를 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제9회 | 문항 1 | 대수 | 대칭 지수식과 역수 지수 거듭제곱의 결합 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 2 | 대수 | 치환 로그함수의 최대·최소 발생 지점과 함숫값 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 3 | 대수 | 삼각함수 계수 이차방정식의 중근 조건 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 4 | 대수 | 반원 위의 직각삼각형 성질과 중심각의 코사인법칙 | 10점 | 최상 |
| 제9회 | 문항 5 | 대수 | 가중 부분합으로부터 일반항 복원 및 부분분수 합 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 제곱 분모를 가진 유리식 함수의 연속성과 인수 결정 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 절댓값 일차식 곱함수의 미분가능성과 계수 결정 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 비대칭 사차함수의 두 극솟값 비교와 절대부등식 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | xf(x)를 포함한 정적분 항등식의 미분 해법 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 기함수인 삼차함수와 원점 직선으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 | 10점 | 상 |
$1$보다 큰 세 실수 $a, b, c$가 $\log_a b = 2,\; \log_b c = 3$을 만족시킬 때, $\log_a c + \log_c a$의 값과 $\log_{ab}(bc)$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 두 지수함수 $y = 2^x$과 $y = 2^{x-3}$의 그래프가 두 수평 직선 $y = 2,\; y = 8$과 만나는 네 점을 꼭짓점으로 하는 평행사변형의 넓이를 구하시오.
함수 $y = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}x\right)$의 주기를 $p$라 하고, 닫힌구간 $[0, 12]$에서 방정식 $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}x\right) = \dfrac{1}{3}$의 모든 실근의 합을 $S$라 할 때, $p$와 $S$의 값을 각각 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 7,\; \overline{\mathrm{BC}} = 8,\; \overline{\mathrm{CA}} = 5$일 때, 각 $\angle\mathrm{BCA}$의 크기와 변 $\mathrm{BC}$의 중점 $\mathrm{M}$에 대한 선분 $\overline{\mathrm{AM}}$의 길이를 각각 구하시오.
첫째항이 $a_1 = 2$인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 2a_n + 2^{n+1}$을 만족시킬 때, $b_n = \dfrac{a_n}{2^n}$을 이용하여 일반항 $a_n$을 구하고 $a_8$의 값을 구하시오.
삼차함수 $f(x) = x^3 + x - 9$에 대하여 방정식 $f(x) = 0$이 실수 전체에서 오직 하나의 실근 $\alpha$를 가짐을 도함수로 설명하고, $\alpha$가 열린구간 $(n, n+1)$에 속하도록 하는 자연수 $n$의 값을 구하시오.
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x) = \begin{cases} 0 & (x \lt 0) \\ f(x) & (x \ge 0) \end{cases}$이 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 모든 실근의 합이 $5$일 때, $f(x)$와 $g(-2) + g(3)$의 값을 각각 구하시오.
한 변의 길이가 $12$인 정사각형 모양의 종이의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 $x$인 합동인 정사각형을 잘라 내고 남은 부분을 접어 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들 때, 상자의 부피가 최대가 되도록 하는 $x$의 값과 최대 부피 $V_{\max}$를 각각 구하시오.
최고차항의 계수가 $3$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $F(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt$가 모든 실수 $x$에서 $F(-x) = -F(x)$를 만족시키고 $x = -1$에서 극댓값을 가질 때, 이차함수 $f(x)$와 함수 $F(x)$의 극솟값을 각각 구하시오.
원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 속도가 각각 $v_{\mathrm{P}}(t) = 3t^2 - 6t,\; v_{\mathrm{Q}}(t) = 2t + 5$이다. 출발 후 두 점이 다시 만나는 시각 $T\;(T \gt 0)$와 시각 $t = 0$에서 $t = T$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리 $s_{\mathrm{P}}$를 각각 구하시오.
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제10회 | 문항 1 | 대수 | 연쇄 밑변환 공식과 곱으로 이루어진 밑의 로그 계산 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 2 | 대수 | 평행이동한 두 지수함수와 수평선으로 만든 평행사변형의 넓이 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 3 | 대수 | 주기가 유리수인 삼각방정식의 다주기 실근의 합 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 4 | 대수 | 코사인법칙을 두 번 이용한 중선의 길이 | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 5 | 대수 | 지수항을 포함한 귀납적 정의의 나눗셈 치환 해법 | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 단조증가성과 사잇값 정리를 결합한 유일 실근 구간 판정 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 0과 결합된 구간 분기 삼차함수의 미분가능성과 중근 인수 | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 정사각형 귀퉁이를 잘라 만든 상자의 최대 부피 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 기함수 조건을 만족시키는 정적분 함수의 극솟값 | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 두 점의 재회 시각과 방향 전환을 포함한 실제 이동거리 | 10점 | 최상 |
지수방정식 $9^x - 12\cdot 3^x + 27 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)$라 하자. 또한 방정식 $9^x - k\cdot 3^x + 81 = 0$이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위와 그때의 두 실근의 합을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $3^x = t\;(t \gt 0)$로 치환하면 첫 방정식은 $t^2 - 12t + 27 = 0$이고, 둘째 방정식 $t^2 - kt + 81 = 0$이 서로 다른 두 실근 $x_1, x_2$를 가지려면 $t$에 대한 이차방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $(t-3)(t-9)=0$에서 $3^\alpha=3,\; 3^\beta=9$이므로 $\alpha=1,\; \beta=2$이다. 둘째 식에서 판별식 $D=k^2-324 \gt 0$ 및 두 근의 합 $k \gt 0$, 곱 $81 \gt 0$으로부터 $k \gt 18$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 근과 계수의 관계에 의해 $3^{x_1}\cdot 3^{x_2} = 3^{x_1+x_2} = 81 = 3^4$이므로 두 실근의 합은 $x_1 + x_2 = 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $3^x=t\;(t \gt 0)$ 치환 및 서로 다른 두 양근 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\alpha=1,\; \beta=2$ 도출 및 판별식·합·곱 조건으로 $k \gt 18$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $3^{x_1+x_2}=81$로부터 두 실근의 합 $4$ 도출 | 3점 |
$t^2-kt+81=0$의 판별식 $k^2 \gt 324$만 풀면 $k \lt -18$이 섞여 들어가므로, 반드시 치환 양수 조건 $t_1+t_2=k \gt 0$을 함께 검토해야 합니다.
$1$이 아닌 두 양수 $a, b$에 대하여 이차방정식 $x^2 - 6x + 4 = 0$의 두 근이 $\log_3 a,\; \log_3 b$일 때, $ab$의 값과 $\log_a(a^2 b) + \log_b(ab^2)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\log_3 a = u,\; \log_3 b = v$라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 $u+v=6,\; uv=4$이며, 밑변환 공식 $\log_a b = \dfrac{v}{u}$를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\log_3(ab) = u+v = 6$이므로 $ab = 3^6 = 729$이고, 준식은 $(2 + \log_a b) + (\log_b a + 2) = 4 + \dfrac{v}{u} + \dfrac{u}{v} = 4 + \dfrac{(u+v)^2 - 2uv}{uv}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 대입하면 $4 + \dfrac{36 - 8}{4} = 4 + 7 = 11$이므로 $ab = 729$, 구하는 식의 값은 $11$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $u+v=6,\; uv=4$ 및 밑변환 공식 $\log_a b = \dfrac{v}{u}$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $ab=3^6=729$ 도출 및 대칭식 $4 + \dfrac{u^2+v^2}{uv}$ 변형 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 대입 계산으로 최종 값 $11$ 산출 | 3점 |
$\log_a(a^2 b) = 2 + \log_a b$로 로그의 진수 곱을 먼저 분리하면 밑변환 대칭식이 간단히 정리됩니다.
제$2$사분면의 각 $\theta$에 대하여 $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{3}$일 때, $\sin\theta\cos\theta$의 값과 $\sin\theta - \cos\theta$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각함수의 제곱 관계 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 선언하고, 제$2$사분면에서 $\sin\theta \gt 0,\; \cos\theta \lt 0$임을 확인한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $(\sin\theta+\cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{9}$에서 $\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{4}{9}$이고, $(\sin\theta-\cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 1 + \dfrac{8}{9} = \dfrac{17}{9}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 제$2$사분면에서 $\sin\theta - \cos\theta \gt 0$이므로 양의 제곱근을 취하면 $\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{17}}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 및 제$2$사분면 부호($\sin\theta \gt 0,\; \cos\theta \lt 0$) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 제곱 전개로 $\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{4}{9}$ 및 $(\sin\theta-\cos\theta)^2 = \dfrac{17}{9}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 부호 판정을 거쳐 $\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{17}}{3}$ 도출 | 3점 |
제곱근을 벗길 때 $\pm\dfrac{\sqrt{17}}{3}$로 쓰면 감점되므로 반드시 제$2$사분면 부호 판정 근거를 서술하십시오.
오른쪽 그림과 같이 세 변의 길이가 $a=7,\; b=8,\; c=9$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 대하여 $\cos A$의 값, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$, 그리고 외접원의 반지름 $R$와 내접원의 반지름 $r$의 곱 $Rr$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 코사인법칙 $\cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$와 사인법칙 $2R = \dfrac{a}{\sin A}$, 내접원 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}r(a+b+c)$를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\cos A = \dfrac{64+81-49}{2\times 8\times 9} = \dfrac{96}{144} = \dfrac{2}{3}$이고 $\sin A = \sqrt{1-\dfrac{4}{9}} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$이므로 $S = \dfrac{1}{2}\times 8\times 9\times\dfrac{\sqrt{5}}{3} = 12\sqrt{5}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $R = \dfrac{7}{2\sin A} = \dfrac{21}{2\sqrt{5}}$이고 $12\sqrt{5} = \dfrac{1}{2}r(24) = 12r$에서 $r = \sqrt{5}$이므로 $Rr = \dfrac{21}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙, 사인법칙, 내접원 넓이 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\cos A = \dfrac{2}{3},\; \sin A = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$ 및 넓이 $S = 12\sqrt{5}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $R = \dfrac{21}{2\sqrt{5}},\; r = \sqrt{5}$로부터 $Rr = \dfrac{21}{2}$ 도출 | 3점 |
$0 \lt A \lt \pi$에서 $\sin A \gt 0$임을 명시하여 $\sin A = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$를 도출하십시오.
등차수열 $\{a_n\}$이 $a_3 + a_7 = 28,\; a_6 - a_2 = 12$를 만족시킬 때, 일반항 $a_n$과 $\sum_{k=1}^{10} a_k$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 첫째항을 $a_1$, 공차를 $d$라 하면 $a_n = a_1 + (n-1)d$이고 첫째항부터 제$n$항까지의 합은 $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_6 - a_2 = 4d = 12$에서 $d = 3$이고, 등차중항 성질 $a_3 + a_7 = 2a_5 = 28$에서 $a_5 = a_1 + 4d = 14 \implies a_1 = 2$이므로 $a_n = 3n - 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a_{10} = 29$이므로 $\sum_{k=1}^{10} a_k = \dfrac{10(2 + 29)}{2} = 155$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등차수열의 일반항 및 등차수열의 합 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $d=3,\; a_1=2$ 산출 및 일반항 $a_n = 3n - 1$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 합 공식 대입으로 $\sum_{k=1}^{10} a_k = 155$ 도출 | 3점 |
$a_3+a_7=2a_5$ 대칭 성질을 이용하면 연립방정식 계산 시간을 절반으로 단축할 수 있습니다.
다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)-x^3}{2x^2+1} = -2$, $\lim_{x \to 2}\dfrac{f(x)}{x-2} = 5$를 만족시킬 때, 다항함수 $f(x)$를 구하고 $f(3)$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to \infty$ 극한에서 분모가 이차식이므로 $f(x)-x^3$은 최고차항이 $-4x^2$인 이차식이며, $x \to 2$ 극한에서 분모가 $0$으로 가므로 $f(2)=0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(x)=x^3-4x^2+ax+b$에서 $f(2)=-8+2a+b=0 \implies b=8-2a$이므로 $f(x)=(x-2)(x^2-2x+a-4)$이고, $\lim_{x \to 2}(x^2-2x+a-4)=a-4=5 \implies a=9,\; b=-10$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x)=x^3-4x^2+9x-10$이며, $f(3)=27-36+27-10=8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 무한대 극한으로부터 $f(x)=x^3-4x^2+ax+b$ 및 $f(2)=0$ 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 인수 $(x-2)$ 약분 극한으로 $a=9,\; b=-10$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(x)=x^3-4x^2+9x-10$ 확정 및 $f(3)=8$ 산출 | 3점 |
약술형 서술 시 분모·분자 미분 대신 반드시 $(x-2)$로 조립제법 인수분해하여 약분하는 과정을 보여주어야 만점을 받습니다.
함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 롤의 정리를 만족시키는 상수 $c_1$의 값과 닫힌구간 $[1, 4]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c_2$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항함수 $f(x)$는 각 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분가능하므로, $f'(c_1)=0\;(0 \lt c_1 \lt 3)$ 및 $f'(c_2)=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}\;(1 \lt c_2 \lt 4)$를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(0)=f(3)=2$이고 $f'(x)=3x^2-6x=0$에서 $0 \lt c_1 \lt 3$인 값은 $c_1=2$이다. 또한 $\dfrac{f(4)-f(1)}{3}=\dfrac{18-0}{3}=6$이므로 $3c_2^2-6c_2=6 \implies c_2^2-2c_2-2=0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 근의 공식에서 $c_2 = 1 \pm \sqrt{3}$ 중 열린구간 $(1, 4)$에 속하는 값은 $c_2 = 1 + \sqrt{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 연속·미분가능 전제 확인 및 롤의 정리·평균값 정리 등식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f'(c_1)=0$에서 $c_1=2$ 도출 및 평균변화율 $6$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 열린구간 $(1, 4)$ 조건으로 $c_2 = 1 + \sqrt{3}$ 확정 | 3점 |
이차방정식의 두 근 중 반드시 열린구간 $(a, b)$ 내부에 속하는 값만 선택하는 범위 검사를 서술하십시오.
삼차함수 $f(x) = x^3 - 3kx^2 + 3(k+2)x + 1$이 극값을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하고, $k = 3$일 때 함수 $f(x)$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$의 합 $M + m$을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼차함수 $f(x)$가 극값을 가지려면 이차방정식 $f'(x) = 3x^2 - 6kx + 3(k+2) = 0$이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식 $\dfrac{D}{4} \gt 0$이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\dfrac{D}{4} = 9k^2 - 9(k+2) = 9(k-2)(k+1) \gt 0$이므로 $k \lt -1$ 또는 $k \gt 2$이다. $k=3$일 때 $f(x)=x^3-9x^2+15x+1$이고 $f'(x)=3(x-1)(x-5)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x=1$에서 극댓값 $M=f(1)=8$, $x=5$에서 극솟값 $m=f(5)=-24$를 가지므로 $M + m = -16$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼차함수 극값 존재 필요충분조건 $D/4 \gt 0$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부등식 $(k-2)(k+1) \gt 0$ 풀이 및 $k=3$일 때 극점 $x=1, 5$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $M=8,\; m=-24$ 산출 및 $M+m=-16$ 결론 도출 | 3점 |
삼차함수가 극값을 가질 조건에서 중근($D=0$)은 부호 변화가 없어 극값이 아니므로 등호를 넣지 않도록 주의하십시오.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x) = \int_{0}^{x} (3t^2 - 12t + 9)\,dt$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$을 구하고, 닫힌구간 $[0, 5]$에서 함수 $g(x)$의 최댓값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 정적분과 미분의 관계에 의하여 $g'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$이고, 적분하면 $g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x=1$의 좌우에서 $g'(x)$가 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값 $M=g(1)=4$이고, $x=3$에서 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값 $m=g(3)=0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 닫힌구간 $[0, 5]$의 양 끝 함숫값은 $g(0)=0,\; g(5)=125-150+45=20$이므로 극값과 비교하면 최댓값은 $20$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $g'(x)=3(x-1)(x-3)$ 및 원함수 $g(x)=x^3-6x^2+9x$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부호 변화를 근거로 극댓값 $M=4,\; m=0$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간 끝점 $g(0)=0,\; g(5)=20$ 비교로 최댓값 $20$ 확정 | 3점 |
닫힌구간에서의 최댓값은 극댓값($4$)이 아니라 오른쪽 끝점 $g(5)=20$에서 발생하므로 반드시 끝점 함숫값을 대조하십시오.
오른쪽 그림과 같이 두 이차함수 $f(x) = -x^2 + 4x$와 $g(x) = x^2 - 4x$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$와, 곡선 $y = f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1$을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 곡선의 교점은 $-x^2+4x = x^2-4x$, 즉 $2x(x-4)=0$에서 $x=0, 4$이고, 넓이 공식은 $S = \int_0^4 |f(x)-g(x)|\,dx$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 $[0, 4]$에서 $f(x)-g(x) = -2x^2+8x \ge 0$이므로 $S = \int_0^4 (-2x^2+8x)\,dx = \left[-\dfrac{2}{3}x^3 + 4x^2\right]_0^4 = -\dfrac{128}{3} + 64 = \dfrac{64}{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 또한 $S_1 = \int_0^4 (-x^2+4x)\,dx = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + 2x^2\right]_0^4 = \dfrac{32}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 교점 $x=0, 4$ 도출 및 정적분 넓이 식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f(x)-g(x)=-2x^2+8x$ 적분으로 $S=\dfrac{64}{3}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $S_1=\dfrac{32}{3}$ 정확히 산출 | 3점 |
넓이 공식을 검산에 활용하되, 답안지에는 부정적분 $\left[-\dfrac{2}{3}x^3+4x^2\right]_0^4$ 계산 과정을 명시해야 배점을 온전히 받습니다.
양수 $x$에 대하여 $x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = 3$일 때, $x + x^{-1}$의 값과 $x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{3}{2}}$의 값을 각각 구하시오. (단, $x \gt 0$이다.)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $t = x^{\frac{1}{2}}\;(t \gt 0)$로 놓으면 $t - t^{-1} = 3$이며, 곱셈 공식 $t^2 + t^{-2} = (t-t^{-1})^2 + 2$와 $t^3 - t^{-3} = (t-t^{-1})^3 + 3(t-t^{-1})$을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x + x^{-1} = \left(x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}\right)^2 + 2 = 3^2 + 2 = 11$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{3}{2}} = \left(x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}\right)^3 + 3\left(x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}\right) = 27 + 9 = 36$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 유리수 지수 곱셈 공식 변형식 2개 정확히 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x + x^{-1} = 11$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{3}{2}} = 36$ 도출 | 3점 |
세제곱 차 변형 공식에서 부호가 $-3(t-t^{-1})$이 아니라 $+3(t-t^{-1})$임에 유의하십시오.
닫힌구간 $[1, 13]$에서 정의된 함수 $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x + 3) + 5$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하고, $M + m$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그함수 $f(x)$의 밑이 $\dfrac{1}{2}$로 $0 \lt \dfrac{1}{2} \lt 1$이므로 정의역 $x \gt -3$에 속하는 구간 $[1, 13]$에서 감소함수이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 감소함수이므로 $x=1$에서 최댓값 $M = \log_{\frac{1}{2}} 4 + 5 = -2 + 5 = 3$을 갖고, $x=13$에서 최솟값 $m = \log_{\frac{1}{2}} 16 + 5 = -4 + 5 = 1$을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $M = 3,\; m = 1$이며 $M + m = 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 밑 $0 \lt \dfrac{1}{2} \lt 1$에 따른 감소성 판정 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $M = f(1) = 3$ 및 $m = f(13) = 1$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $M + m = 4$ 최종 도출 | 3점 |
밑이 $1$보다 작을 때는 진수가 작을수록 함숫값이 커지므로 최댓값과 최솟값의 대입 위치가 반대가 됩니다.
$0 \le x \lt 2\pi$일 때, 삼각부등식 $2\sin^2 x - \cos x - 1 \ge 0$의 해가 $\alpha \le x \le \beta$이다. $\alpha, \beta$의 값과 $\beta - \alpha$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 대입하여 $\cos x$에 대한 이차부등식으로 정리한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2(1-\cos^2 x)-\cos x-1 \ge 0 \implies 2\cos^2 x + \cos x - 1 \le 0 \implies (2\cos x - 1)(\cos x + 1) \le 0$이므로 $-1 \le \cos x \le \dfrac{1}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \le x \lt 2\pi$에서 코사인 그래프에 의해 $\dfrac{\pi}{3} \le x \le \dfrac{5\pi}{3}$이므로 $\alpha = \dfrac{\pi}{3},\; \beta = \dfrac{5\pi}{3}$이고 $\beta - \alpha = \dfrac{4\pi}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ 대입 및 이차부등식 인수분해 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $-1 \le \cos x \le \dfrac{1}{2}$ 범위 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\alpha = \dfrac{\pi}{3},\; \beta = \dfrac{5\pi}{3}$ 및 $\beta - \alpha = \dfrac{4\pi}{3}$ 산출 | 3점 |
최고차항 계수를 양수로 바꿀 때 부등호 방향이 반전되어 $(2\cos x-1)(\cos x+1) \le 0$이 되는 과정을 정확히 서술하십시오.
오른쪽 그림과 같이 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{AC}} = 8,\; \angle\mathrm{A} = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 변 $\mathrm{BC}$의 길이와 외접원의 반지름의 길이 $R$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙 $\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cos A$와 사인법칙 $2R = \dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A}$를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\overline{\mathrm{BC}}^2 = 25 + 64 - 2\times 5\times 8\times\dfrac{1}{2} = 89 - 40 = 49$이므로 $\overline{\mathrm{BC}} \gt 0$에서 $\overline{\mathrm{BC}} = 7$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $2R = \dfrac{7}{\sin\frac{\pi}{3}} = \dfrac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{14}{\sqrt{3}}$이므로 외접원의 반지름은 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙 및 사인법칙 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\overline{\mathrm{BC}}^2 = 49$로부터 $\overline{\mathrm{BC}} = 7$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 사인법칙 대입 및 유리화로 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ 도출 | 3점 |
사인법칙 공식에서 우변은 $R$가 아니라 지름 $2R$이므로 마지막에 $2$로 나누는 과정을 잊지 마십시오.
수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = 2n^2 + 3n$일 때, 일반항 $a_n$을 구하고 $\sum_{k=1}^{8} k a_k$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a_1 = S_1$과 $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1}$을 선언하고 거듭제곱 합 공식 $\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_1 = S_1 = 5$이고, $n \ge 2$일 때 $a_n = (2n^2+3n) - \{2(n-1)^2+3(n-1)\} = 4n + 1$인데 $n=1$을 대입해도 $5$이므로 모든 자연수 $n$에서 $a_n = 4n + 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\sum_{k=1}^8 k(4k+1) = 4\sum_{k=1}^8 k^2 + \sum_{k=1}^8 k = 4\times\dfrac{8\times 9\times 17}{6} + \dfrac{8\times 9}{2} = 816 + 36 = 852$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a_1=S_1$ 및 $n \ge 2$에서 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 분리 검증 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 모든 자연수에서 $a_n = 4n + 1$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 거듭제곱 합 공식 대입으로 $\sum_{k=1}^8 k a_k = 852$ 산출 | 3점 |
상수항이 없는 이차식 $S_n=2n^2+3n$이라도 서술형 답안에서는 반드시 $a_1=S_1$ 확인 문장을 적어야 감점을 피할 수 있습니다.
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 $f(-1)=3,\; f(0)=-2,\; f(1)=4,\; f(2)=-1$을 만족시킬 때, 방정식 $f(x) = x$가 열린구간 $(-1, 2)$에서 적어도 몇 개의 실근을 갖는지 사잇값 정리를 이용하여 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 보조함수 $h(x) = f(x) - x$라 놓으면 연속함수의 차로 이루어진 $h(x)$는 닫힌구간 $[-1, 2]$에서 연속이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 각 정수 점에서의 함숫값 부호를 계산하면 $h(-1)=4 \gt 0,\; h(0)=-2 \lt 0,\; h(1)=3 \gt 0,\; h(2)=-3 \lt 0$이므로 $h(-1)h(0) \lt 0,\; h(0)h(1) \lt 0,\; h(1)h(2) \lt 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 사잇값 정리에 의하여 $h(x)=0$은 열린구간 $(-1, 0),\; (0, 1),\; (1, 2)$에서 각각 적어도 하나의 실근을 가지므로 $(-1, 2)$에서 적어도 $3$개의 실근을 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 보조함수 $h(x)=f(x)-x$ 설정 및 구간 연속성 명시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $h(-1)=4,\; h(0)=-2,\; h(1)=3,\; h(2)=-3$ 부호 교차 제시 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 사잇값 정리 적용으로 최소 실근 개수 $3$개 결론 도출 | 3점 |
사잇값 정리를 적용할 때 '$h(x)$가 연속함수이다'라는 전제 조건이 빠지면 논증 감점 대상이 되므로 첫 줄에 반드시 명시하십시오.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} x^3 + ax + b & (x \lt 1) \\ 2x^2 - x + 3 & (x \ge 1) \end{cases}$가 $x = 1$에서 미분가능할 때, 상수 $a, b$의 값과 $f(-1) + f'(1)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 $f(x)$가 $x=1$에서 미분가능하면 $x=1$에서 연속이어야 하고 좌미분계수와 우미분계수가 일치해야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 연속 조건에서 $1 + a + b = 2 - 1 + 3 = 4 \implies a + b = 3$이고, 미분계수 일치 조건에서 $3(1)^2 + a = 4(1) - 1 = 3 \implies a = 0$이므로 $b = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x=-1 \lt 1$에서 $f(-1) = -1 + 3 = 2$이고 $f'(1) = 3$이므로 $f(-1) + f'(1) = 5$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x=1$에서의 연속 조건 및 좌·우미분계수 일치 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a+b=3$과 $3+a=3$ 연립으로 $a=0,\; b=3$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(-1)=2,\; f'(1)=3$으로부터 $f(-1)+f'(1)=5$ 산출 | 3점 |
$f(-1)$을 구할 때 $x \ge 1$의 식에 잘못 대입하지 않도록 정의역 구간 $x \lt 1$을 정확히 확인하십시오.
오른쪽 그림과 같이 좌표평면에서 곡선 $y = -x^2 + 12$와 $x$축으로 둘러싸인 영역에 내접하고 한 변이 $x$축 위에 있는 직사각형의 넓이의 최댓값 $S_{\max}$와 그때의 직사각형의 둘레의 길이 $L$을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 제$1$사분면 위의 직사각형 꼭짓점을 $(t, -t^2+12)\;(0 \lt t \lt 2\sqrt{3})$라 놓으면 가로의 길이는 $2t$, 세로의 길이는 $-t^2+12$이므로 넓이는 $S(t) = 2t(-t^2+12) = -2t^3 + 24t$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $S'(t) = -6t^2 + 24 = -6(t-2)(t+2) = 0$에서 $0 \lt t \lt 2\sqrt{3}$인 유일한 극점은 $t = 2$이며, 좌우 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 $t=2$에서 극대이자 최대이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 최대 넓이는 $S_{\max} = S(2) = 32$이고, 그때 가로 $4$, 세로 $8$이므로 둘레의 길이는 $L = 2(4 + 8) = 24$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 꼭짓점 $(t, -t^2+12)$, 범위 $0 \lt t \lt 2\sqrt{3}$ 및 $S(t)=-2t^3+24t$ 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $S'(t)=0$과 증감 판정으로 $t=2$에서 최대임을 논증 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $S_{\max}=32$ 및 둘레 $L=24$ 도출 | 3점 |
$y$축 대칭 포물선에 내접하는 직사각형의 가로의 길이는 $t$가 아니라 $2t$임을 주의하십시오.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 2x + \int_{0}^{2} f(t)\,dt$를 만족시킬 때, 정적분 $K = \int_{0}^{2} f(t)\,dt$의 값과 $f(3)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 적분 구간이 상수로 고정된 정적분 $\int_0^2 f(t)\,dt = K$ (상수)로 치환하면 $f(x) = 3x^2 - 2x + K$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $K = \int_0^2 (3t^2 - 2t + K)\,dt = \left[t^3 - t^2 + Kt\right]_0^2 = 8 - 4 + 2K = 4 + 2K$이므로 $K = -4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = 3x^2 - 2x - 4$이며 $f(3) = 27 - 6 - 4 = 17$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정적분 상수 $K = \int_0^2 f(t)\,dt$ 치환 및 $f(x)=3x^2-2x+K$ 표현 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 다시 구간 $[0, 2]$에서 정적분하여 $K = 4 + 2K \implies K = -4$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(3) = 17$ 최종 값 도출 | 3점 |
위끝과 아래끝이 모두 상수인 정적분은 $x$에 대한 식이 아니라 상수 $K$이므로 미분하지 않고 치환 적분으로 풀어야 합니다.
직선 도로를 $30\,\mathrm{m/s}$의 속도로 달리던 자동차가 제동을 건 후 $t$초일 때의 속도가 $v(t) = 30 - 3t\;(\mathrm{m/s})$이다. 제동을 건 후 정지할 때까지 걸린 시간 $t_1$, 정지할 때까지 달린 거리 $D$, 그리고 거리 $\dfrac{3}{4}D$만큼 이동하는 데 걸린 시간 $k$초를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 정지하는 순간의 속도는 $v(t_1)=0$이며, 구간 $[0, t_1]$에서 $v(t) \ge 0$이므로 이동 거리는 $s(t) = \int_0^t (30-3u)\,du$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $30 - 3t_1 = 0$에서 $t_1 = 10$ (초)이고, 총 제동 거리는 $D = \int_0^{10} (30-3t)\,dt = \left[30t - \dfrac{3}{2}t^2\right]_0^{10} = 300 - 150 = 150\;(\mathrm{m})$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $30k - \dfrac{3}{2}k^2 = \dfrac{3}{4}\times 150 = \dfrac{225}{2}$에서 $k^2 - 20k + 75 = (k-5)(k-15) = 0$이고 $0 \le k \le 10$이므로 $k = 5$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정지 조건 $v(t_1)=0$ 및 정적분 이동 거리 식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $t_1 = 10$ 및 총 제동 거리 $D = 150$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 이차방정식 풀이와 $0 \le k \le 10$ 제한 조건으로 $k = 5$ 도출 | 3점 |
정지 시각 $t_1=10$ 이후에는 자동차가 멈춰 있으므로 $k=15$를 반드시 배제해야 감점을 피할 수 있습니다.
양수 $N$에 대하여 $\log N$의 정수부분이 $2$이고, $\log N^3$의 소수부분과 $\log\dfrac{1}{N}$의 소수부분이 서로 같을 때, 조건을 만족시키는 모든 양수 $N$의 값의 곱을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\log N$의 정수부분이 $2$이므로 $2 \le \log N \lt 3$이고, 두 상용로그의 소수부분이 서로 같으면 두 상용로그의 차는 정수이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\log N^3 - \log\dfrac{1}{N} = 3\log N - (-\log N) = 4\log N$이 정수이고 $8 \le 4\log N \lt 12$이므로 $4\log N = 8, 9, 10, 11$, 즉 $\log N = 2, \dfrac{9}{4}, \dfrac{5}{2}, \dfrac{11}{4}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 네 경우 모두 소수부분이 각각 $0, \dfrac{3}{4}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}$로 일치하므로 모든 $\log N$의 합은 $\dfrac{8+9+10+11}{4} = \dfrac{19}{2}$이고, 모든 $N$의 곱은 $10^{\frac{19}{2}} = 10^9\sqrt{10}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $2 \le \log N \lt 3$ 범위와 두 상용로그의 차 $4\log N$이 정수라는 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $8 \le 4\log N \lt 12$로부터 $4$개의 $\log N$ 값 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 로그의 합 $\dfrac{19}{2}$로부터 모든 $N$의 곱 $10^{\frac{19}{2}}$ 산출 | 3점 |
'소수부분의 합이 $1$'인 문제와 달리 '소수부분이 같다'는 조건에서는 소수부분이 $0$인 정수($\log N=2$)도 성립하므로 제외하지 않아야 합니다.
닫힌구간 $[-1, 2]$에서 정의된 함수 $f(x) = 4^x - 6\cdot 2^x + 11$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $2^x = t$로 치환하면 밑 $2 \gt 1$이므로 $-1 \le x \le 2$에서 치환 변수의 범위는 $\dfrac{1}{2} \le t \le 4$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $g(t) = t^2 - 6t + 11 = (t - 3)^2 + 2$로 변형하면 꼭짓점 $t = 3$이 구간 $\left[\dfrac{1}{2}, 4\right]$에 속하므로 최솟값은 $m = g(3) = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 대칭축 $t=3$에서 더 멀리 떨어진 끝점 $t = \dfrac{1}{2}$에서 최댓값을 가지므로 $M = g\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{25}{4} + 2 = \dfrac{33}{4}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $2^x=t$ 치환 및 제한 범위 $\dfrac{1}{2} \le t \le 4$ 명시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 완전제곱식 $(t-3)^2+2$로부터 최솟값 $m = 2$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 양 끝점 비교를 통해 최댓값 $M = \dfrac{33}{4}$ 산출 | 3점 |
$x=-1$일 때 $t=2^{-1}=\dfrac{1}{2}$임을 정확히 대입하여 분수 계산 실수를 방지하십시오.
함수 $f(x) = a\sin\left(bx - \dfrac{\pi}{3}\right) + c$의 최댓값이 $7$, 최솟값이 $-1$, 주기가 $\pi$일 때, 세 상수 $a, b, c$의 값과 $f\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$의 값을 각각 구하시오. (단, $a \gt 0,\; b \gt 0$이다.)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a \gt 0,\; b \gt 0$일 때 사인함수의 최댓값은 $a + c$, 최솟값은 $-a + c$, 주기는 $\dfrac{2\pi}{b}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a + c = 7,\; -a + c = -1$을 연립하면 $a = 4,\; c = 3$이고, $\dfrac{2\pi}{b} = \pi$에서 $b = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(x) = 4\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 3$이므로 $f\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = 4\sin\left(\dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{3}\right) + 3 = 4\sin\dfrac{\pi}{2} + 3 = 7$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 최댓값 $a+c$, 최솟값 $-a+c$, 주기 $\dfrac{2\pi}{b}$ 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a=4,\; b=2,\; c=3$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = 7$ 계산 완료 | 3점 |
문제의 부호 조건 $a \gt 0,\; b \gt 0$을 인용하여 절댓값 $|a|=a,\; |b|=b$임을 밝혀 주면 서술 완성도가 높아집니다.
오른쪽 그림과 같이 중심각의 크기가 $\dfrac{2\pi}{3}$이고 호 $\mathrm{AB}$의 길이가 $4\pi$인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$에 대하여 반지름의 길이 $r$, 부채꼴의 넓이 $S$, 그리고 현 $\mathrm{AB}$의 길이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부채꼴의 호의 길이 공식 $l = r\theta$, 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}rl$, 그리고 이등변삼각형 $\mathrm{OAB}$에 대한 코사인법칙을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $4\pi = r\cdot\dfrac{2\pi}{3}$에서 $r = 6$이고, 부채꼴의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\times 6\times 4\pi = 12\pi$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 삼각형 $\mathrm{OAB}$에서 $\overline{\mathrm{AB}}^2 = 6^2 + 6^2 - 2\times 6\times 6\cos\dfrac{2\pi}{3} = 72 + 36 = 108$이므로 현의 길이는 $\overline{\mathrm{AB}} = 6\sqrt{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 호의 길이·넓이 공식 및 코사인법칙 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 반지름 $r = 6$ 및 부채꼴 넓이 $S = 12\pi$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$을 대입하여 현의 길이 $\overline{\mathrm{AB}} = 6\sqrt{3}$ 도출 | 3점 |
둔각 $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$의 음수 부호를 주의하여 코사인법칙 덧셈 계산을 수행하십시오.
모든 항이 양수인 등비수열 $\{a_n\}$이 $a_1 + a_2 = 6,\; a_3 + a_4 = 54$를 만족시킬 때, 공비 $r$의 값과 첫째항부터 제$6$항까지의 합 $S_6$을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등비수열의 일반항 $a_n = a_1 r^{n-1}\;(a_1 \gt 0,\; r \gt 0)$로부터 $a_3 + a_4 = r^2(a_1 + a_2)$임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $54 = 6r^2$에서 $r^2 = 9$이고 모든 항이 양수이므로 $r = 3$이며, $a_1(1+3)=6$에서 $a_1 = \dfrac{3}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 등비수열의 합 공식에 의하여 $S_6 = \dfrac{\frac{3}{2}(3^6 - 1)}{3 - 1} = \dfrac{3\times 728}{4} = 546$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 묶음 관계식 $a_3+a_4 = r^2(a_1+a_2)$ 및 양수 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 공비 $r = 3$ 및 첫째항 $a_1 = \dfrac{3}{2}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 등비수열의 합 공식 또는 묶음 합 $6(1+r^2+r^4)$으로 $S_6 = 546$ 도출 | 3점 |
$S_6 = (a_1+a_2) + r^2(a_1+a_2) + r^4(a_1+a_2) = 6(1+9+81) = 546$으로 검산하면 분수 계산 오류를 완벽히 막을 수 있습니다.
극한 등식 $\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x + a} - b}{x - 3} = \dfrac{1}{4}$을 만족시키는 두 상수 $a, b$의 값과 $a + b$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to 3$일 때 분모가 $0$으로 수렴하고 유한한 극한값이 존재하므로 분자도 $0$으로 수렴하여 $\sqrt{6 + a} - b = 0$, 즉 $b = \sqrt{6 + a} \ge 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $6 + a = b^2$을 대입하고 분자를 유리화하면 $\lim_{x \to 3} \dfrac{2(x - 3)}{(x - 3)(\sqrt{2x + a} + b)} = \dfrac{2}{2b} = \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{4}$이므로 $b = 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $6 + a = 16$에서 $a = 10$이므로 $a = 10,\; b = 4$이고 $a + b = 14$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 분자 수렴 조건 $\sqrt{6+a} - b = 0$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 분자 유리화 및 $(x-3)$ 약분 극한으로 $b = 4$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a = 10$ 및 $a + b = 14$ 산출 | 3점 |
근호 안의 $x$의 계수가 $2$이므로 유리화 후 분자가 $(x-3)$이 아니라 $2(x-3)$이 됨에 유의하십시오.
곡선 $y = x^3 - 6x^2 + 11x - 3$에 접하고 직선 $x + 2y - 6 = 0$에 수직인 두 접선의 방정식을 모두 구하고, 두 접선의 $y$절편의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 직선 $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$에 수직인 접선의 기울기는 $m = 2$이므로 접점의 $x$좌표 $t$는 $y' = 3t^2 - 12t + 11 = 2$를 만족시킨다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $3(t^2 - 4t + 3) = 3(t-1)(t-3) = 0$에서 $t = 1$ 또는 $t = 3$이고, 두 접점은 $(1, 3)$과 $(3, 3)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 접선의 방정식은 $y - 3 = 2(x - 1) \implies y = 2x + 1$과 $y - 3 = 2(x - 3) \implies y = 2x - 3$이며, $y$절편의 합은 $1 + (-3) = -2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 수직 기울기 조건 $m = 2$ 및 방정식 $3t^2 - 12t + 11 = 2$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 접점 $(1, 3),\; (3, 3)$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 접선 $y=2x+1,\; y=2x-3$ 및 $y$절편의 합 $-2$ 산출 | 3점 |
수직인 두 직선의 기울기의 곱은 $-1$이므로 $-\dfrac{1}{2}m = -1$에서 $m = 2$를 먼저 명확히 선언하십시오.
오른쪽 그림의 삼차함수 개형을 참고하여, 방정식 $x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0$이 한 개의 음의 실근과 서로 다른 두 개의 양의 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 방정식을 $g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x = -k$로 분리하면 $g'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x+1)(x-3)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $g(x)$는 $x=-1$에서 극댓값 $g(-1)=5$, $y$절편 $g(0)=0$, $x=3$에서 극솟값 $g(3)=-27$을 가진다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 직선 $y = -k$가 $x \lt 0$에서 $1$번, $x \gt 0$에서 $2$번 만나려면 $-27 \lt -k \lt 0$, 즉 $0 \lt k \lt 27$이어야 하므로 정수 $k$는 $1, 2, \dots, 26$의 $26$개이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x = -k$ 상수 분리 및 $g'(x) = 3(x+1)(x-3)$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극댓값 $g(-1)=5$, $y$절편 $g(0)=0$, 극솟값 $g(3)=-27$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $-27 \lt -k \lt 0$ 판정으로 정수 $k$의 개수 $26$개 도출 | 3점 |
실근의 부호를 따질 때는 극값뿐만 아니라 반드시 $y$절편 $g(0)=0$의 위치를 함께 비교해야 양근과 음근의 경계가 확정됩니다.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $xf'(x) = f(x) + 2x^3 - 2x^2$을 만족시키고 $f(1) = 4$일 때, 다항함수 $f(x)$와 $f(2)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x)$의 차수를 $n$이라 하면 $n \ge 4$일 때 최고차항 계수 비교 $(n-1)a_n = 0$에 모순이므로 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$로 놓을 수 있다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $3ax^3 + 2bx^2 + cx = (a+2)x^3 + (b-2)x^2 + cx + d$의 계수를 비교하면 $2a = 2,\; b = -2,\; d = 0$이므로 $a = 1,\; b = -2,\; d = 0$이고 $f(1) = 1 - 2 + c = 4$에서 $c = 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x$이며 $f(2) = 8 - 8 + 10 = 10$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 최고차항 차수 분석을 통해 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 항등식 계수 비교와 $f(1)=4$로부터 $a=1,\; b=-2,\; c=5,\; d=0$ 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(x)=x^3-2x^2+5x$ 및 $f(2)=10$ 산출 | 3점 |
일차항 계수 $c$는 항등식 $cx = cx$에서 소거되어 결정되지 않으므로 초기조건 $f(1)=4$를 통해 결정해야 합니다.
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$이다. 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 운동 방향을 두 번째로 바꾸는 시각에서의 위치 $x_2$와 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리 $s$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 운동 방향이 바뀌는 시각은 $v(t)=0$이면서 부호가 바뀌는 순간이며, 위치는 $x(t)=\int_0^t v(u)\,du$, 움직인 거리는 $s=\int_0^4 |v(t)|\,dt$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $v(t)=3(t-1)(t-3)=0$에서 두 번째 방향 전환 시각은 $t=3$이고, $x(t)=t^3-6t^2+9t$이므로 위치는 $x_2 = x(3) = 27 - 54 + 27 = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $s = \int_0^1 v(t)\,dt - \int_1^3 v(t)\,dt + \int_3^4 v(t)\,dt = x(1) - (x(3)-x(1)) + (x(4)-x(3)) = 4 + 4 + 4 = 12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 운동 방향 전환 조건 및 위치·이동거리 정적분 식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $t=3$ 판정 및 위치 $x_2 = x(3) = 0$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간 $[0,1], [1,3], [3,4]$ 부호 분할 적분으로 거리 $s = 12$ 도출 | 3점 |
위치의 변화량 $\int_0^4 v(t)\,dt = 4$와 실제로 움직인 거리 $\int_0^4 |v(t)|\,dt = 12$를 혼동하지 않도록 절댓값 구간 분리를 명시하십시오.
세 양수 $a, b, c$가 $2^a = 5^b = 10^c$를 만족시킬 때, $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c}$의 값을 구하고, $10^c = 100$일 때 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $2^a = 5^b = 10^c = k\;(k \gt 1)$로 놓으면 지수의 확장에 의하여 $2 = k^{\frac{1}{a}},\; 5 = k^{\frac{1}{b}},\; 10 = k^{\frac{1}{c}}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2\times 5 = 10$이므로 $k^{\frac{1}{a}}\cdot k^{\frac{1}{b}} = k^{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} = k^{\frac{1}{c}}$이고, 밑 $k \gt 1$이므로 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c} = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $10^c = 100 = 10^2$일 때 $c = 2$이므로 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $2^a=5^b=10^c=k$ 치환 및 $2=k^{1/a},\; 5=k^{1/b},\; 10=k^{1/c}$ 변형 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 지수법칙 곱셈 비교로 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}=0$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $c=2$로부터 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2}$ 산출 | 3점 |
$k=1$이면 $2^a=1 \implies a=0$이 되어 양수 조건에 모순이므로 $k \gt 1$임을 밝혀 지수를 비교하십시오.
로그부등식 $\log_2(x - 1) + \log_2(7 - x) \ge 3$을 만족시키는 실수 $x$의 값의 범위를 구하고, 그 범위에 속하는 모든 정수 $x$의 값의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그가 정의되기 위한 진수 조건은 $x - 1 \gt 0$이고 $7 - x \gt 0$, 즉 $1 \lt x \lt 7$이며, 밑이 $2 \gt 1$이므로 부등호 방향이 유지된다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\log_2\{(x-1)(7-x)\} \ge \log_2 8$에서 $(x-1)(7-x) \ge 8 \implies x^2 - 8x + 15 = (x-3)(x-5) \le 0$이므로 $3 \le x \le 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 진수 조건 $1 \lt x \lt 7$과의 공통범위는 $3 \le x \le 5$이며, 이에 속하는 정수의 합은 $3 + 4 + 5 = 12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 진수 조건 $1 \lt x \lt 7$ 및 밑 $2 \gt 1$ 증가성 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 이차부등식 $(x-3)(x-5) \le 0$ 도출 및 공통범위 $3 \le x \le 5$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정수해의 합 $3+4+5=12$ 산출 | 3점 |
결과 범위가 우연히 진수 조건 안에 포함되더라도 진수 조건 $1 \lt x \lt 7$을 명시하지 않으면 채점 기준상 감점됩니다.
원점 $\mathrm{O}$와 점 $\mathrm{P}(-5, 12)$를 지나는 동경 $\mathrm{OP}$가 나타내는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $13(\sin\theta - \cos\theta)$의 값과 $\tan(\pi - \theta) + \cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\overline{\mathrm{OP}} = r = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = 13$이므로 삼각함수의 정의에 의하여 $\sin\theta = \dfrac{12}{13},\; \cos\theta = -\dfrac{5}{13},\; \tan\theta = -\dfrac{12}{5}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $13(\sin\theta - \cos\theta) = 13\left\{\dfrac{12}{13} - \left(-\dfrac{5}{13}\right)\right\} = 12 + 5 = 17$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 각 변환 공식에 의하여 $\tan(\pi - \theta) + \cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = -\tan\theta - \sin\theta = \dfrac{12}{5} - \dfrac{12}{13} = \dfrac{96}{65}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $r=13$ 산출 및 $\sin\theta,\; \cos\theta,\; \tan\theta$ 정의값 제시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $13(\sin\theta-\cos\theta)=17$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 각 변환 $-\tan\theta-\sin\theta$ 적용으로 $\dfrac{96}{65}$ 산출 | 3점 |
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)$는 제$2$사분면 취급 부호에 의해 $+\sin\theta$가 아니라 $-\sin\theta$임에 주의하십시오.
오른쪽 그림과 같은 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 4,\; \overline{\mathrm{AD}} = 6,\; \angle\mathrm{BAD} = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S$와 두 대각선의 길이의 제곱의 합 $\overline{\mathrm{AC}}^2 + \overline{\mathrm{BD}}^2$을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 평행사변형의 넓이는 $S = \overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AD}}\sin A$이고, 이웃한 내각 $\angle\mathrm{ABC} = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$에 대하여 코사인법칙을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $S = 4\times 6\times\sin\dfrac{\pi}{3} = 24\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$이고, $\overline{\mathrm{BD}}^2 = 4^2+6^2-2\cdot 4\cdot 6\cos\dfrac{\pi}{3} = 28$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\overline{\mathrm{AC}}^2 = 4^2+6^2-2\cdot 4\cdot 6\cos\dfrac{2\pi}{3} = 76$이므로 $\overline{\mathrm{AC}}^2 + \overline{\mathrm{BD}}^2 = 76 + 28 = 104$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 평행사변형 넓이 공식 및 두 삼각형에 대한 코사인법칙 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 넓이 $S = 12\sqrt{3}$ 및 $\overline{\mathrm{BD}}^2 = 28$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\overline{\mathrm{AC}}^2 = 76$ 및 합 $104$ 도출 | 3점 |
평행사변형 대각선 성질 $\overline{\mathrm{AC}}^2+\overline{\mathrm{BD}}^2 = 2(\overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{AD}}^2) = 2(16+36) = 104$로 빠르게 검산할 수 있습니다.
수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = a_n + 2n + 1$을 만족시킬 때, 일반항 $a_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내고 $a_{12}$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a_{k+1} - a_k = 2k + 1$의 양변에 $k = 1, 2, \dots, n-1\;(n \ge 2)$을 차례로 대입하여 변끼리 더하는 축차대입법을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $n \ge 2$일 때 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1) = 2 + 2\cdot\dfrac{(n-1)n}{2} + (n-1) = 2 + (n^2 - 1) = n^2 + 1$이며, $n=1$일 때도 $1^2+1=2=a_1$로 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = n^2 + 1$이고, $a_{12} = 12^2 + 1 = 145$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $n \ge 2$에서 축차대입 합 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)$ 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 시그마 계산과 $n=1$ 검산을 거쳐 $a_n = n^2 + 1$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a_{12} = 145$ 산출 | 3점 |
시그마의 위끝이 $n$이 아니라 $n-1$임에 주의하고 마지막에 $n=1$ 성립 여부를 확인하십시오.
모든 양의 실수 $x$에 대하여 부등식 $6x^2 - 2x + 1 \le (x + 1)f(x) \le 6x^2 + 3x + 4$를 만족시키는 함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{2x - 1}$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \gt \dfrac{1}{2}$일 때 $(x+1)(2x-1) = 2x^2 + x - 1 \gt 0$이므로 부등식의 각 변을 양수 $(x+1)(2x-1)$로 나누어도 부등호 방향이 유지된다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\dfrac{6x^2 - 2x + 1}{2x^2 + x - 1} \le \dfrac{f(x)}{2x - 1} \le \dfrac{6x^2 + 3x + 4}{2x^2 + x - 1}$에서 좌변과 우변의 $x \to \infty$ 극한값은 모두 $\dfrac{6}{2} = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{2x - 1} = 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x \gt \dfrac{1}{2}$에서 양수 $(x+1)(2x-1) \gt 0$으로 나눈 부등식 구성 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양 끝 유리식의 무한대 극한값 $3$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 함수의 극한의 대소 관계 적용으로 극한값 $3$ 도출 | 3점 |
부등식의 양변을 식 $(x+1)(2x-1)$로 나눌 때 $x \to \infty$이므로 $x \gt \dfrac{1}{2}$에서 양수임을 언급해야 논리적 감점이 없습니다.
다항함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x) = (x^2 - 2x + 3)f(x)$라 하자. $f(2) = 4,\; g'(2) = 20$일 때, $f'(2)$의 값과 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(2, f(2))$에서의 접선의 $x$절편을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곱의 미분법에 의하여 $g'(x) = (2x - 2)f(x) + (x^2 - 2x + 3)f'(x)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x = 2$를 대입하면 $g'(2) = 2f(2) + 3f'(2) = 8 + 3f'(2) = 20$이므로 $f'(2) = 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(2, 4)$에서의 접선은 $y - 4 = 4(x - 2)$, 즉 $y = 4x - 4$이므로 $y=0$일 때 $x$절편은 $1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 곱의 미분법 공식으로 $g'(x)$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x=2$ 대입으로 $f'(2) = 4$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 접선 $y = 4x - 4$ 완성 및 $x$절편 $1$ 도출 | 3점 |
구하는 대상이 $y$절편($-4$)이 아니라 $x$절편($1$)이므로 문제 요구 사항을 마지막 줄에서 정확히 확인하십시오.
$x \ge 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $2x^3 - 6x^2 + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + k$라 놓으면 $x \ge 0$에서 $f(x)$의 최솟값이 $0$ 이상이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x) = 6x^2 - 12x = 6x(x - 2) = 0$에서 $x \gt 0$인 극점은 $x = 2$이고, $0 \lt x \lt 2$에서 감소, $x \gt 2$에서 증가하므로 $x=2$에서 최솟값을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 최솟값 $f(2) = 16 - 24 + k = k - 8 \ge 0$에서 $k \ge 8$이므로 실수 $k$의 최솟값은 $8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f(x)$ 설정 및 $x \ge 0$에서의 최솟값 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f'(x)=6x(x-2)$ 증감 분석으로 $x=2$가 최소 지점임을 논증 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(2) = k - 8 \ge 0$으로부터 최솟값 $8$ 산출 | 3점 |
구간 시작점 $f(0)=k$보다 극솟값 $f(2)=k-8$이 더 작으므로 도함수 부호 변화를 통해 $x=2$가 최솟값임을 보여야 합니다.
수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치가 각각 $x_{\mathrm{P}}(t) = t^3 - 5t^2 + 8t$, $x_{\mathrm{Q}}(t) = t^2 - t$이다. 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 속도가 같아지는 두 시각 $t_1, t_2\;(t_1 \lt t_2)$에서의 점 $\mathrm{P}$의 가속도를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 위치를 미분하면 속도 $v_{\mathrm{P}}(t) = 3t^2 - 10t + 8,\; v_{\mathrm{Q}}(t) = 2t - 1$이고, 점 $\mathrm{P}$의 가속도는 $a_{\mathrm{P}}(t) = v_{\mathrm{P}}'(t) = 6t - 10$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $v_{\mathrm{P}}(t) = v_{\mathrm{Q}}(t)$에서 $3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) = 0$이므로 $t_1 = 1,\; t_2 = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 점 $\mathrm{P}$의 가속도는 $t_1=1$일 때 $a_{\mathrm{P}}(1) = -4$, $t_2=3$일 때 $a_{\mathrm{P}}(3) = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 두 점의 속도 함수 및 점 $\mathrm{P}$의 가속도 $a_{\mathrm{P}}(t)=6t-10$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 방정식 $3(t-1)(t-3)=0$으로 $t_1=1,\; t_2=3$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a_{\mathrm{P}}(1) = -4,\; a_{\mathrm{P}}(3) = 8$ 도출 | 3점 |
'만나는 시각($x_{\mathrm{P}}=x_{\mathrm{Q}}$)'이 아니라 '속도가 같아지는 시각($v_{\mathrm{P}}=v_{\mathrm{Q}}$)'임을 정확히 구분하십시오.
오른쪽 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 $6$, 높이가 $12$인 직원뿔에 내접하는 직원기둥의 부피가 최대가 될 때, 그 직원기둥의 밑면의 반지름의 길이 $r$와 최대 부피 $V_{\max}$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 직원기둥의 밑면의 반지름을 $r\;(0 \lt r \lt 6)$, 높이를 $h$라 하면 축단면 삼각형의 닮음비 $\dfrac{6 - r}{6} = \dfrac{h}{12}$에서 $h = 12 - 2r$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부피 $V(r) = \pi r^2(12 - 2r) = 2\pi(6r^2 - r^3)$을 미분하면 $V'(r) = 6\pi r(4 - r) = 0$에서 $0 \lt r \lt 6$인 극점은 $r = 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $r=4$의 좌우에서 $V'(r)$가 양에서 음으로 바뀌므로 $r = 4$에서 최대이며, 최대 부피는 $V_{\max} = V(4) = \pi\times 16\times 4 = 64\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 닮음비를 이용한 높이 $h = 12 - 2r\;(0 \lt r \lt 6)$ 및 부피 함수 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $V'(r)=6\pi r(4-r)$ 증감 판정으로 $r = 4$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최대 부피 $V_{\max} = 64\pi$ 산출 | 3점 |
도형 활용 최대·최소 문제에서는 반드시 정의역 $0 \lt r \lt 6$을 명시해야 만점을 받을 수 있습니다.
양수 $a$에 대하여 $\sqrt{a\sqrt[3]{a^2\sqrt{a}}} = a^p$를 만족시키는 유리수 $p$의 값을 구하고, $\log_2 a = 12$일 때 $a^p$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 거듭제곱근의 성질 $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$을 안쪽 근호부터 차례로 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a^2\sqrt{a} = a^{\frac{5}{2}}$이므로 $\sqrt[3]{a^{\frac{5}{2}}} = a^{\frac{5}{6}}$이고, $\sqrt{a\cdot a^{\frac{5}{6}}} = \left(a^{\frac{11}{6}}\right)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{11}{12}}$에서 $p = \dfrac{11}{12}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\log_2 a = 12$에서 $a = 2^{12}$이므로 $a^p = \left(2^{12}\right)^{\frac{11}{12}} = 2^{11} = 2048$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 유리수 지수 변환 법칙 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 안쪽부터 순차 정리하여 $p = \dfrac{11}{12}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a = 2^{12}$ 대입으로 $a^p = 2048$ 도출 | 3점 |
중첩 근호를 한 번에 암산하지 말고 안쪽 괄호부터 지수 덧셈·곱셈을 단계별로 적어야 실수가 없습니다.
어느 정수 필터 $1$장을 통과할 때마다 물속 불순물의 양이 통과 직전의 $\dfrac{3}{4}$배가 된다고 한다. 불순물의 양을 처음의 $\dfrac{1}{10}$ 이하로 줄이려면 최소 몇 장의 정수 필터를 통과시켜야 하는지 구하시오. (단, $\log 2 = 0.3010,\; \log 3 = 0.4771$로 계산한다.)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 처음 불순물의 양을 $A_0\;(A_0 \gt 0)$, 통과시키는 필터의 장수를 자연수 $n$이라 하면 $A_0\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \le \dfrac{1}{10}A_0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양변을 $A_0$으로 나누고 상용로그를 취하면 $n(\log 3 - 2\log 2) \le -1$이고, $\log 3 - 2\log 2 = 0.4771 - 0.6020 = -0.1249$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $-0.1249n \le -1$에서 $n \ge \dfrac{10000}{1249} = 8.006\cdots$이므로 최소 자연수 $n$은 $9$ (장)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 지수부등식 $\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \le \dfrac{1}{10}$ 수립 및 상용로그 적용 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\log 3 - 2\log 2 = -0.1249$ 산출 및 부등호 반전 정리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $n \ge 8.006\cdots$로부터 최소 장수 $9$장 도출 | 3점 |
양변을 음수 $-0.1249$로 나눌 때 부등호 방향이 바뀌며, $8.006\cdots$ 이상인 최소 자연수는 $8$이 아니라 $9$임에 유의하십시오.
$0 \le x \lt 2\pi$에서 삼각방정식 $\sqrt{3}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{3}{2}$의 모든 실근을 구하고, 모든 실근의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 양변을 $\sqrt{3}$으로 나누면 $\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이고, $t = x + \dfrac{\pi}{6}$으로 치환하면 $\dfrac{\pi}{6} \le t \lt 2\pi + \dfrac{\pi}{6}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이 치환 범위에서 $\sin t = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$를 만족시키는 값은 $t = \dfrac{\pi}{3}$ 또는 $t = \dfrac{2\pi}{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x = t - \dfrac{\pi}{6}$에서 두 실근은 $x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{\pi}{2}$이며, 모든 실근의 합은 $\dfrac{2\pi}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 정리 및 치환 범위 $\dfrac{\pi}{6} \le t \lt \dfrac{13\pi}{6}$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $t = \dfrac{\pi}{3},\; \dfrac{2\pi}{3}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{\pi}{2}$ 및 합 $\dfrac{2\pi}{3}$ 산출 | 3점 |
치환된 각 $t$의 오른쪽 끝값 $2\pi+\dfrac{\pi}{6}$ 근처에서 추가 근이 생기는지($\sin\dfrac{13\pi}{6}=\dfrac{1}{2} \lt \dfrac{\sqrt{3}}{2}$) 반드시 점검하십시오.
오른쪽 그림과 같이 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle\mathrm{A} = \dfrac{\pi}{4},\; \angle\mathrm{B} = \dfrac{\pi}{3}$이고 $\overline{\mathrm{BC}} = 6$일 때, 변 $\mathrm{AC}$의 길이와 외접원의 넓이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름을 $R$라 하면 사인법칙에 의하여 $\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin B} = 2R$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2R = \dfrac{6}{\sin\frac{\pi}{4}} = \dfrac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6\sqrt{2}$이므로 $R = 3\sqrt{2}$이고, $\overline{\mathrm{AC}} = 2R\sin\dfrac{\pi}{3} = 6\sqrt{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{6}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 외접원의 넓이는 $\pi R^2 = \pi(3\sqrt{2})^2 = 18\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 사인법칙 관계식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $R = 3\sqrt{2}$ 및 $\overline{\mathrm{AC}} = 3\sqrt{6}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 외접원의 넓이 $\pi R^2 = 18\pi$ 도출 | 3점 |
꼭짓점 $\mathrm{A}$의 대변이 $\overline{\mathrm{BC}}$이고 꼭짓점 $\mathrm{B}$의 대변이 $\overline{\mathrm{AC}}$임을 정확히 대응시키십시오.
$n \ge 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} \lt 2 - \dfrac{1}{n}$이 성립함을 수학적 귀납법으로 설명하고, 이를 이용하여 $S_{50} = \sum_{k=1}^{50} \dfrac{1}{k^2}$의 정수부분을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] (i) $n=2$일 때 좌변은 $\dfrac{5}{4}$, 우변은 $\dfrac{3}{2}$이므로 성립한다. (ii) $n=m\;(m \ge 2)$일 때 성립한다고 가정하면 $\sum_{k=1}^{m+1}\dfrac{1}{k^2} \lt 2 - \dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{(m+1)^2}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 목표 우변에서 위 식을 빼면 $\left(2 - \dfrac{1}{m+1}\right) - \left(2 - \dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{(m+1)^2}\right) = \dfrac{1}{m(m+1)} - \dfrac{1}{(m+1)^2} = \dfrac{1}{m(m+1)^2} \gt 0$이므로 $n=m+1$일 때도 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $n \ge 2$에서 항상 성립하며, $1 + \dfrac{1}{4} \lt S_{50} \lt 2 - \dfrac{1}{50} \lt 2$이므로 $S_{50}$의 정수부분은 $1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 초기조건 $n=2$ 확인 및 $n=m$ 귀납 가정식 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 차 연산 $\dfrac{1}{m(m+1)^2} \gt 0$을 통한 $n=m+1$ 성립 증명 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\dfrac{5}{4} \lt S_{50} \lt 2$ 부등식으로부터 정수부분 $1$ 도출 | 3점 |
부등식의 수학적 귀납법에서는 가정한 우변에 $\dfrac{1}{(m+1)^2}$을 더한 식과 목표 식 $2-\dfrac{1}{m+1}$의 차가 양수임을 보이는 것이 핵심입니다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 2 & (x \lt 2) \\ 3x - 1 & (x \ge 2) \end{cases}$에 대하여 극한값 $\lim_{x \to 2} \{f(x)\}^2$이 존재하도록 하는 모든 상수 $a$의 값의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\lim_{x \to 2}\{f(x)\}^2$이 존재하려면 $x=2$에서의 좌극한 $\lim_{x \to 2-}\{f(x)\}^2$과 우극한 $\lim_{x \to 2+}\{f(x)\}^2$이 서로 같아야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\lim_{x \to 2-} f(x) = 6 + 2a,\; \lim_{x \to 2+} f(x) = 5$이므로 $(6 + 2a)^2 = 25$에서 $6 + 2a = 5$ 또는 $6 + 2a = -5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $a = -\dfrac{1}{2}$ 또는 $a = -\dfrac{11}{2}$이며, 모든 상수 $a$의 값의 합은 $-\dfrac{1}{2} + \left(-\dfrac{11}{2}\right) = -6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 제곱 함수의 좌극한과 우극한 일치 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $(6+2a)^2 = 25$로부터 두 경우 $6+2a = \pm 5$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a = -\dfrac{1}{2},\; -\dfrac{11}{2}$ 산출 및 합 $-6$ 확정 | 3점 |
$f(x)$ 자체가 연속일 조건($6+2a=5$)만 구하고 부호가 반대인 $6+2a=-5$를 누락하지 않도록 주의하십시오.
곡선 $y = x^3 - 2x + 1$ 위의 점 $\mathrm{A}(1, 0)$에서의 접선이 이 곡선과 다시 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 할 때, 점 $\mathrm{B}$의 좌표와 선분 $\mathrm{AB}$의 길이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 - 2x + 1$에서 $f'(x) = 3x^2 - 2$이므로 점 $\mathrm{A}(1, 0)$에서의 접선의 기울기는 $f'(1) = 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 접선의 방정식은 $y = x - 1$이고, 교점 방정식 $x^3 - 2x + 1 = x - 1 \implies x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2) = 0$에서 다시 만나는 점의 $x$좌표는 $-2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\mathrm{B}(-2, -3)$이며, 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는 $\sqrt{(-2-1)^2 + (-3-0)^2} = 3\sqrt{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f'(1)=1$ 및 접선의 방정식 $y = x - 1$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 중근 인수 $(x-1)^2$을 이용한 삼차방정식 인수분해로 $\mathrm{B}(-2, -3)$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 점 사이의 거리 $\overline{\mathrm{AB}} = 3\sqrt{2}$ 도출 | 3점 |
$x=1$이 접점이므로 연립방정식 $f(x)-l(x)=0$은 반드시 $(x-1)^2$을 인수로 가진다는 성질을 활용하십시오.
사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 3$의 극댓값 $M$과 모든 극솟값의 합을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 미분가능한 사차함수 $f(x)$의 도함수를 인수분해하면 $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x - 1)(x - 2)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x)=0$인 $x = 0, 1, 2$의 좌우 부호를 조사하면 $x=1$에서 양에서 음으로 바뀌어 극대이고, $x=0$과 $x=2$에서 음에서 양으로 바뀌어 극소이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 극댓값은 $M = f(1) = 4$이고, 두 극솟값은 $f(0) = 3,\; f(2) = 3$이므로 모든 극솟값의 합은 $6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 도함수 $f'(x) = 4x(x-1)(x-2)$ 인수분해 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부호 변화 조사를 통한 극대($x=1$)·극소($x=0, 2$) 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $M = 4$ 및 두 극솟값의 합 $3 + 3 = 6$ 산출 | 3점 |
두 극솟값의 크기가 같더라도 '서로 다른 두 점 $x=0, 2$에서의 모든 극솟값의 합'은 $3+3=6$임을 명확히 서술하십시오.
연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$를 만족시키고 $\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 5,\; \int_{0}^{4} f(x)\,dx = 13$일 때, 정적분 $\int_{2}^{4} f(x)\,dx$의 값과 $\int_{-2}^{4} (f(x) + 2x)\,dx$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(-x)=f(x)$이므로 $f(x)$는 $y$축 대칭(우함수)이어서 $\int_{-2}^0 f(x)\,dx = \int_0^2 f(x)\,dx$가 성립하며, 정적분의 구간 가법성을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\int_2^4 f(x)\,dx = \int_0^4 f(x)\,dx - \int_0^2 f(x)\,dx = 13 - 5 = 8$이고, $\int_{-2}^4 f(x)\,dx = \int_{-2}^0 f(x)\,dx + \int_0^4 f(x)\,dx = 5 + 13 = 18$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 또한 $\int_{-2}^4 2x\,dx = \left[x^2\right]_{-2}^4 = 16 - 4 = 12$이므로 구하는 값은 $18 + 12 = 30$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 우함수 성질 $\int_{-2}^0 f(x)\,dx = 5$ 및 정적분 구간 가법성 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\int_2^4 f(x)\,dx = 8$ 및 $\int_{-2}^4 f(x)\,dx = 18$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\int_{-2}^4 2x\,dx = 12$ 합산으로 $30$ 도출 | 3점 |
구간 $[-2, 4]$는 원점 대칭 구간이 아니므로 기함수 $2x$가 $0$으로 소거되지 않고 $12$가 남음에 각별히 주의하십시오.
오른쪽 그림과 같이 곡선 $y = x^2 - 2x + 10$과 직선 $y = mx + 1$이 서로 접하도록 하는 양수 $m$의 값을 구하고, 그때 곡선과 직선 및 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 이차방정식 $x^2 - 2x + 10 = mx + 1$, 즉 $x^2 - (m+2)x + 9 = 0$이 중근을 가져야 하므로 판별식 $D = (m+2)^2 - 36 = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $m \gt 0$이므로 $m + 2 = 6 \implies m = 4$이고, 이때 차 함수는 $(x^2 - 2x + 10) - (4x + 1) = (x - 3)^2$으로 접점의 $x$좌표는 $3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 둘러싸인 넓이는 $S = \int_0^3 (x - 3)^2\,dx = \left[\dfrac{(x - 3)^3}{3}\right]_0^3 = 0 - (-9) = 9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 접할 조건 판별식 $D = (m+2)^2 - 36 = 0$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양수 조건으로 $m = 4$ 및 접점 $x = 3$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\int_0^3 (x-3)^2\,dx = 9$ 넓이 산출 | 3점 |
$(m+2)^2=36$에서 $m=4$와 $m=-8$ 중 양수 조건 $m \gt 0$에 의해 $m=4$만 선택됨을 명시하십시오.
모든 실수 $x$에 대하여 이차부등식 $x^2 - 2(\log_2 k)x + 3\log_2 k + 4 \gt 0$이 항상 성립하도록 하는 모든 자연수 $k$의 개수를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 진수 조건에서 $k \gt 0$이고, 모든 실수 $x$에서 이차부등식이 항상 양수이려면 판별식 $\dfrac{D}{4} \lt 0$이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $t = \log_2 k$로 놓으면 $\dfrac{D}{4} = t^2 - (3t + 4) = (t - 4)(t + 1) \lt 0$이므로 $-1 \lt \log_2 k \lt 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 밑 $2 \gt 1$이므로 $\dfrac{1}{2} \lt k \lt 16$이며, 이를 만족시키는 자연수 $k$는 $1, 2, \dots, 15$의 $15$개이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 진수 조건 $k \gt 0$ 및 이차부등식 절대성립 조건 $D/4 \lt 0$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $-1 \lt \log_2 k \lt 4$ 부등식 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\dfrac{1}{2} \lt k \lt 16$으로부터 자연수 개수 $15$개 산출 | 3점 |
부등호가 '$\gt 0$'이므로 판별식에 등호가 들어가지 않으며 $k=16$은 제외됩니다.
오른쪽 그림과 같이 함수 $f(x) = 2^{x-1} + 3$의 그래프와 직선 $y = -x + 10$이 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 역함수 $g(x) = f^{-1}(x)$의 그래프와 직선 $y = -x + 10$이 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 할 때, 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 좌표와 삼각형 $\mathrm{OAB}$ (단, $\mathrm{O}$는 원점)의 넓이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 증가함수 $f(x)$와 감소함수 $-x+10$은 오직 한 점에서 만나며, 직선 $y=-x+10$과 역함수 관계 모두 직선 $y=x$에 대하여 대칭이므로 점 $\mathrm{B}$는 점 $\mathrm{A}$를 $y=x$에 대칭이동한 점이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2^{x-1} + 3 = -x + 10$에 $x = 3$을 대입하면 $7 = 7$로 성립하므로 $\mathrm{A}(3, 7)$이고 대칭성에 의해 $\mathrm{B}(7, 3)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는 $\sqrt{4^2+(-4)^2}=4\sqrt{2}$이고 원점에서 직선 $x+y-10=0$까지의 높이는 $\dfrac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$이므로 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times 4\sqrt{2}\times 5\sqrt{2} = 20$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 단조성에 따른 유일 교점 및 직선 $y=x$ 대칭성 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\mathrm{A}(3, 7)$ 및 $\mathrm{B}(7, 3)$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 밑변 $4\sqrt{2}$와 높이 $5\sqrt{2}$를 이용해 넓이 $20$ 산출 | 3점 |
기울기가 $-1$인 직선은 그 자체로 $y=x$에 수직 대칭이므로 초월방정식을 두 번 풀 필요 없이 대칭점으로 즉시 $\mathrm{B}$가 결정됩니다.
$0 \le x \le 2\pi$에서 정의된 방정식 $\cos(\pi\sin x) = 0$의 서로 다른 모든 실근의 개수와 모든 실근의 합을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $0 \le x \le 2\pi$에서 $-1 \le \sin x \le 1$이므로 치환 변수 $t = \pi\sin x$의 값의 범위는 $-\pi \le t \le \pi$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $-\pi \le t \le \pi$에서 $\cos t = 0$을 만족시키는 값은 $t = -\dfrac{\pi}{2}$ 또는 $t = \dfrac{\pi}{2}$, 즉 $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ 또는 $\sin x = \dfrac{1}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $[0, 2\pi]$에서 $\sin x = \dfrac{1}{2}$의 근은 $\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$ (합 $\pi$), $\sin x = -\dfrac{1}{2}$의 근은 $\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$ (합 $3\pi$)이므로 실근은 총 $4$개이고 합은 $4\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 치환 $t=\pi\sin x$ 및 제한 범위 $-\pi \le t \le \pi$ 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\sin x = \pm\dfrac{1}{2}$ 두 방정식 분리 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 실근 $4$개 및 대칭 합 $\pi + 3\pi = 4\pi$ 산출 | 3점 |
합성 삼각방정식에서는 안쪽 함수의 치역 $[-\pi, \pi]$를 정확히 제한하는 것이 첫 단계 핵심 배점 요소입니다.
오른쪽 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{BC}} = 5,\; \overline{\mathrm{CD}} = 5,\; \angle\mathrm{ABC} = \dfrac{2\pi}{3}$일 때, 대각선 $\mathrm{AC}$의 길이와 선분 $\mathrm{AD}$의 길이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 코사인법칙을 적용하고, 원에 내접하는 사각형의 마주 보는 내각의 합이 $\pi$이므로 $\angle\mathrm{ADC} = \pi - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}$임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\overline{\mathrm{AC}}^2 = 3^2 + 5^2 - 2\times 3\times 5\cos\dfrac{2\pi}{3} = 34 + 15 = 49$이므로 $\overline{\mathrm{AC}} = 7$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\overline{\mathrm{AD}} = x\;(x \gt 0)$라 하면 삼각형 $\mathrm{ADC}$에서 $7^2 = x^2 + 5^2 - 2\cdot 5\cdot x\cos\dfrac{\pi}{3} \implies x^2 - 5x - 24 = (x-8)(x+3) = 0$이므로 $\overline{\mathrm{AD}} = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 내접사각형 대각 성질 $\angle\mathrm{ADC} = \dfrac{\pi}{3}$ 및 코사인법칙 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\overline{\mathrm{AC}} = 7$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 삼각형 $\mathrm{ADC}$의 이차방정식 풀이로 $\overline{\mathrm{AD}} = 8$ 도출 | 3점 |
내접사각형에서 $\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta$ 부호 반전 관계를 정확히 적용하십시오.
수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = n^2 + 2n + 3$일 때, $a_1$의 값과 $n \ge 2$일 때의 $a_n$을 각각 구하고, $a_1 + \sum_{k=2}^{10} \dfrac{8}{(a_k - 1)(a_k + 1)}$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 상수항이 $0$이 아닌 이차식 $S_n$이므로 $a_1 = S_1$과 $n \ge 2$일 때의 $a_n = S_n - S_{n-1}$을 반드시 분리하여 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_1 = S_1 = 6$이고, $n \ge 2$일 때 $a_n = (n^2+2n+3) - \{(n-1)^2+2(n-1)+3\} = 2n + 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $k \ge 2$에서 $\dfrac{8}{(2k)(2k+2)} = \dfrac{2}{k(k+1)} = 2\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\right)$이므로 구하는 값은 $6 + 2\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{11}\right) = 6 + \dfrac{9}{11} = \dfrac{75}{11}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a_1 = S_1 = 6$과 $n \ge 2$에서 $a_n = S_n - S_{n-1}$ 분리 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $n \ge 2$에서 $a_n = 2n + 1$ 도출 및 부분분수 변형 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $6 + \dfrac{9}{11} = \dfrac{75}{11}$ 최종 계산 완료 | 3점 |
시그마가 $k=2$부터 시작하므로 $n \ge 2$에서의 일반항 $2k+1$을 대입하고 앞의 $a_1$에는 반드시 $S_1=6$을 대입해야 합니다.
함수 $f(x) = \begin{cases} x - 4 & (x \lt 2) \\ x^2 - 3x + 5 & (x \ge 2) \end{cases}$에 대하여 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다: 함수 $f(x)g(x)$는 실수 전체에서 연속이고 $\lim_{x \to -1}\dfrac{g(x)}{x + 1}$의 값이 존재한다. 이차함수 $g(x)$와 $g(5)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x)$는 $x=2$에서 좌극한 $-2$, 우극한 $3$으로 불연속이므로 연속함수 $g(x)$와의 곱 $f(x)g(x)$가 $x=2$에서 연속이려면 $-2g(2) = 3g(2)$여야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 $g(2) = 0$이고, 또한 $x \to -1$일 때 분모 $x+1 \to 0$이고 극한값이 존재하므로 $g(-1) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수이므로 $g(x) = (x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2$이며, $g(5) = 6\times 3 = 18$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x=2$에서의 곱함수 좌·우극한 비교로 $g(2)=0$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x \to -1$ 극한 수렴 조건으로 $g(-1)=0$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $g(x) = x^2 - x - 2$ 확정 및 $g(5) = 18$ 산출 | 3점 |
$g(2)=0$을 결론만 적지 말고 $-2g(2)=3g(2) \implies 5g(2)=0$ 과정을 명시해야 논리 배점을 확보합니다.
오른쪽 그림의 절댓값 접힘 개형을 참고하여, 삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$와 실수 $t$에 대하여 함수 $h(x) = |f(x) - t|$가 오직 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 실수 $t$의 값의 범위와 그 경계가 되는 두 실수 $t$의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 $h(x) = |f(x) - t|$는 방정식 $f(x) = t$의 실근 $x = \alpha$에서 $f'(\alpha) \ne 0$ (횡단 교점)일 때만 미분가능하지 않다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)$이므로 극댓값은 $f(1) = 6$, 극솟값은 $f(3) = 2$이며, $2 \lt t \lt 6$일 때는 서로 다른 세 점에서 $f'(\alpha) \ne 0$으로 만나 미분불가능 점이 $3$개이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $t = 2$ 또는 $t = 6$일 때는 극점에서는 접하여 미분가능하고 나머지 한 교점에서만 미분불가능하므로, 구하는 범위는 $t \le 2$ 또는 $t \ge 6$이고 두 경계값의 합은 $8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $|f(x)-t|$의 미분불가능 조건($f(\alpha)=t$이고 $f'(\alpha) \ne 0$) 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극댓값 $f(1)=6$, 극솟값 $f(3)=2$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 접점 미분가능성을 반영하여 $t \le 2$ 또는 $t \ge 6$ 및 경계 합 $8$ 도출 | 3점 |
$t=2,\; t=6$일 때 중근(극점)에서는 좌·우미분계수가 모두 $0$으로 미분가능하므로 등호가 반드시 포함됩니다.
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(2 - x) + f(2 + x) = 4$를 만족시키고 $x = 0$에서 극댓값을 가질 때, 함수 $f(x)$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(2-x)+f(2+x)=4$로부터 곡선 $y=f(x)$는 점 $(2, 2)$에 대하여 점대칭이므로 $f(x) = (x - 2)^3 + k(x - 2) + 2$로 놓을 수 있다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x) = 3(x - 2)^2 + k$에서 $f'(0) = 12 + k = 0 \implies k = -12$이므로 $f'(x) = 3x(x - 4)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $x = 0$에서 극댓값 $M = f(0) = -8 + 24 + 2 = 18$, $x = 4$에서 극솟값 $m = f(4) = 8 - 24 + 2 = -14$를 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 점 $(2, 2)$ 대칭 표준형 $f(x) = (x-2)^3 + k(x-2) + 2$ 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f'(0)=0$으로부터 $k = -12$ 및 극소 지점 $x = 4$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $M = 18,\; m = -14$ 산출 | 3점 |
점 $(2, 2)$에 대한 대칭성에 의해 극댓값과 극솟값의 평균 $\dfrac{M+m}{2} = \dfrac{18-14}{2} = 2$가 성립하는지 검산하십시오.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_{0}^{x} (x - t)(6t - 12)\,dt$에 대하여 도함수 $F'(x)$를 구하고, 함수 $F(x)$의 극솟값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 적분 변수 $t$에 대하여 $x$는 상수이므로 $F(x) = x\int_0^x (6t - 12)\,dt - \int_0^x t(6t - 12)\,dt$로 분리한 뒤 곱의 미분법을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $F'(x) = \int_0^x (6t - 12)\,dt + x(6x - 12) - x(6x - 12) = \int_0^x (6t - 12)\,dt = 3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x = 4$의 좌우에서 $F'(x)$가 음에서 양으로 바뀌므로 극소이고, $F(0) = 0$으로부터 $F(x) = x^3 - 6x^2$이므로 극솟값은 $F(4) = 64 - 96 = -32$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x$를 적분 기호 밖으로 분리한 식 변형 및 곱의 미분법 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 소거 정리를 통해 $F'(x) = 3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $F(0)=0$을 이용한 적분으로 극솟값 $F(4) = -32$ 산출 | 3점 |
$\int_0^x (x-t)g(t)\,dt$를 $x$로 바로 미분할 때 안쪽만 미분하는 실수를 피하려면 반드시 $x\int g - \int tg$로 먼저 전개하십시오.
곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ 위의 원점 $\mathrm{O}(0, 0)$에서의 접선 $l$이 이 곡선과 다시 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 할 때, 점 $\mathrm{B}$의 좌표와 곡선 및 접선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$에서 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$이므로 원점에서의 접선 $l$의 방정식은 $y = 2x$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 교점 방정식 $x^3 - 3x^2 + 2x = 2x \implies x^2(x - 3) = 0$에서 다시 만나는 점은 $\mathrm{B}(3, 6)$이고, 구간 $[0, 3]$에서 $2x - f(x) = 3x^2 - x^3 \ge 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 둘러싸인 넓이는 $S = \int_0^3 (3x^2 - x^3)\,dx = \left[x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^3 = 27 - \dfrac{81}{4} = \dfrac{27}{4}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f'(0)=2$ 및 원점 접선 $y = 2x$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 교점 $\mathrm{B}(3, 6)$ 산출 및 구간 $[0, 3]$ 부호 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 계산으로 넓이 $S = \dfrac{27}{4}$ 도출 | 3점 |
삼차함수와 접선 넓이 공식 $\dfrac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4 = \dfrac{1}{12}\times 3^4 = \dfrac{27}{4}$로 최종 답을 검산하면 완벽합니다.
$2$ 이상 $30$ 이하의 자연수 $n$에 대하여 두 수 $\sqrt[n]{2^{12}}$과 $\sqrt[3]{5^n}$이 모두 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $n$의 값을 구하고 그 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 유리수 지수로 변환하면 $\sqrt[n]{2^{12}} = 2^{\frac{12}{n}},\; \sqrt[3]{5^n} = 5^{\frac{n}{3}}$이며, 두 수가 모두 자연수가 되려면 지수가 자연수여야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\dfrac{12}{n}$이 자연수이려면 $n$은 $12$의 약수($n \ge 2$)이므로 $n \in \{2, 3, 4, 6, 12\}$이고, $\dfrac{n}{3}$이 자연수이려면 $n$은 $3$의 배수여야 한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 조건을 동시에 만족시키는 $n$은 $3, 6, 12$이며, 모든 $n$의 값의 합은 $3 + 6 + 12 = 21$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $2^{12/n},\; 5^{n/3}$ 변환 및 지수의 자연수 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $12$의 약수 조건과 $3$의 배수 조건 각각 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 공통 원소 $3, 6, 12$ 확정 및 합 $21$ 산출 | 3점 |
밑 $2$와 $5$가 소수이므로 유리수 지수가 $0$ 또는 자연수일 때만 전체 값이 자연수가 됨을 근거로 서술하십시오.
모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $4^x - k\cdot 2^{x+2} + 5k + 6 \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $2^x = t$로 치환하면 모든 실수 $x$에 대응하는 범위는 $t \gt 0$이며, $g(t) = t^2 - 4kt + 5k + 6 \ge 0$이 $t \gt 0$에서 항상 성립해야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $g(t) = (t - 2k)^2 - 4k^2 + 5k + 6$이고 $k \gt 0$이므로 대칭축 $t = 2k \gt 0$이 구간 $(0, \infty)$ 내부에 존재한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 최솟값은 $g(2k) = -4k^2 + 5k + 6 \ge 0 \implies (4k + 3)(k - 2) \le 0$이며, $k \gt 0$과 결합하면 $0 \lt k \le 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $2^x=t\;(t \gt 0)$ 치환 및 $g(t)=(t-2k)^2-4k^2+5k+6$ 변형 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $k \gt 0$ 조건으로 대칭축 $t=2k \gt 0$ 위치 확인 및 최솟값 $g(2k)$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 이차부등식 풀이와 양수 조건 결합으로 $0 \lt k \le 2$ 확정 | 3점 |
$t \gt 0$ 제한 범위가 있으므로 무작정 판별식 $D \le 0$을 쓰기 전에 대칭축 $t=2k$가 양수 구간에 속함을 먼저 밝혀야 만점을 받습니다.
닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 함수 $y = \sin 2x$의 그래프와 직선 $y = \dfrac{2}{5}$가 만나는 네 점의 $x$좌표를 작은 것부터 차례로 $x_1, x_2, x_3, x_4$라 할 때, $x_1 + 2x_2 + 2x_3 + x_4$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 $y = \sin 2x$의 주기는 $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$이며, 양의 값을 갖는 두 봉우리의 대칭축은 각각 $x = \dfrac{\pi}{4}$와 $x = \dfrac{5\pi}{4}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 대칭성에 의하여 $x_1 + x_2 = 2\times\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$이고 $x_3 + x_4 = 2\times\dfrac{5\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{2}$이며, 주기성에 의하여 $x_3 = x_1 + \pi$이므로 $x_2 + x_3 = (x_1 + x_2) + \pi = \dfrac{3\pi}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 값은 $(x_1 + x_2) + (x_2 + x_3) + (x_3 + x_4) = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{3\pi}{2} + \dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{9\pi}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 주기 $\pi$ 및 두 대칭축 $x = \dfrac{\pi}{4},\; \dfrac{5\pi}{4}$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x_1+x_2 = \dfrac{\pi}{2},\; x_3+x_4 = \dfrac{5\pi}{2},\; x_2+x_3 = \dfrac{3\pi}{2}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 세 쌍의 합으로 $\dfrac{9\pi}{2}$ 도출 | 3점 |
특수각이 아닌 상수 $\dfrac{2}{5}$와의 교점은 개별 근을 구할 수 없으므로 반드시 대칭축과 주기 평행이동 관계로 묶어 계산해야 합니다.
오른쪽 그림과 같이 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 6,\; \overline{\mathrm{AC}} = 3,\; \angle\mathrm{BAC} = \dfrac{2\pi}{3}$일 때, $\angle\mathrm{BAC}$의 이등분선이 변 $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하자. 선분 $\mathrm{AD}$의 길이와 변 $\mathrm{BC}$의 길이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각형 넓이 분할 등식 $\triangle\mathrm{ABC} = \triangle\mathrm{ABD} + \triangle\mathrm{ACD}$와 변 $\mathrm{BC}$에 대한 코사인법칙을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot\overline{\mathrm{AD}}\sin\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot\overline{\mathrm{AD}}\sin\dfrac{\pi}{3}$에서 $\sin\dfrac{2\pi}{3}=\sin\dfrac{\pi}{3}$을 약분하면 $18 = 9\overline{\mathrm{AD}}$, 즉 $\overline{\mathrm{AD}} = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 코사인법칙에 의하여 $\overline{\mathrm{BC}}^2 = 6^2 + 3^2 - 2\cdot 6\cdot 3\cos\dfrac{2\pi}{3} = 45 + 18 = 63$이므로 $\overline{\mathrm{BC}} = 3\sqrt{7}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼각형 넓이 분할 공식 및 코사인법칙 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 넓이 합 등식으로부터 각의 이등분선 길이 $\overline{\mathrm{AD}} = 2$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\overline{\mathrm{BC}}^2 = 63$으로부터 $\overline{\mathrm{BC}} = 3\sqrt{7}$ 도출 | 3점 |
각의 이등분선의 정리 $\overline{\mathrm{BD}}:\overline{\mathrm{DC}}=2:1$은 변의 비율만 알려 주므로, 선분 $\overline{\mathrm{AD}}$의 길이는 삼각형 넓이 분할식으로 구하는 것이 가장 빠릅니다.
수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n$이 홀수일 때 $a_{n+1} = \dfrac{a_n + 1}{2}$, $a_n$이 짝수일 때 $a_{n+1} = 2a_n + 1$을 만족시킬 때, 수열 $\{a_n\}$의 최소 주기를 구하고 $\sum_{k=1}^{50} a_k$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 초기항 $a_1 = 3$부터 점화식에 차례로 대입하여 같은 항이 다시 나타나는 주기를 찾는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_1 = 3$ (홀) $\implies a_2 = \dfrac{3+1}{2} = 2$ (짝) $\implies a_3 = 2\times 2 + 1 = 5$ (홀) $\implies a_4 = \dfrac{5+1}{2} = 3 = a_1$이므로 최소 주기는 $3$이고 한 주기의 합은 $3 + 2 + 5 = 10$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $50 = 3\times 16 + 2$이므로 $\sum_{k=1}^{50} a_k = 16\times 10 + (a_1 + a_2) = 160 + 5 = 165$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 초기 항 순차 대입으로 $a_1=3,\; a_2=2,\; a_3=5,\; a_4=3$ 나열 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 최소 주기 $3$ 및 한 주기의 합 $10$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 몫 $16$과 나머지 $2$개 항을 합산하여 $165$ 산출 | 3점 |
$50$을 주기 $3$으로 나눈 나머지 $2$개의 항은 마지막 두 항이 아니라 주기의 앞 두 항 $a_1+a_2=3+2=5$임에 주의하십시오.
두 다항함수 $f(x), g(x)$가 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - 3}{x - 1} = 4,\; \lim_{x \to 1} \dfrac{g(x) + 2}{x - 1} = -5$를 만족시킬 때, 곱함수 $h(x) = f(x)g(x)$에 대하여 $h(1)$의 값과 $\lim_{x \to 1} \dfrac{h(x) + 6}{x^2 - 1}$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항함수의 연속성과 미분계수의 정의에 의하여 $f(1)=3,\; f'(1)=4$ 및 $g(1)=-2,\; g'(1)=-5$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $h(1) = f(1)g(1) = -6$이고, 곱의 미분법에서 $h'(1) = f'(1)g(1) + f(1)g'(1) = 4(-2) + 3(-5) = -23$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\lim_{x \to 1}\dfrac{h(x) + 6}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1}\left\{\dfrac{h(x) - h(1)}{x - 1}\cdot\dfrac{1}{x + 1}\right\} = h'(1)\cdot\dfrac{1}{2} = -\dfrac{23}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f(1)=3, f'(1)=4, g(1)=-2, g'(1)=-5$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $h(1) = -6$ 및 곱의 미분법으로 $h'(1) = -23$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 미분계수 정의 변형으로 극한값 $-\dfrac{23}{2}$ 도출 | 3점 |
분모 $x^2-1 = (x-1)(x+1)$에서 $\dfrac{1}{x+1}$의 $x \to 1$ 극한값 $\dfrac{1}{2}$을 곱하는 것을 빠뜨리지 마십시오.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = |(x - 1)(x^2 + ax + b)|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 두 상수 $a, b$의 값과 $f(-1) + f'(3)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼차다항식 $p(x) = (x - 1)(x^2 + ax + b)$에 대하여 $|p(x)|$가 모든 실수에서 미분가능하려면 방정식 $p(x) = 0$의 모든 실근에서 중근 이상의 인수를 가져야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x=1$이 중근 이상이어야 하므로 $p(x) = (x-1)^2(x-\beta)$ 꼴이며, 만약 $\beta \ne 1$이면 $x=\beta$에서 단순 실근이 되어 미분불가능하므로 $\beta = 1$, 즉 $x^2 + ax + b = (x - 1)^2$이어서 $a = -2,\; b = 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(x) = |x - 1|^3$이므로 $f(-1) = |-2|^3 = 8$이고 $x \gt 1$에서 $f'(x) = 3(x - 1)^2$이므로 $f'(3) = 12$여서 합은 $20$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 단순 실근($p(\alpha)=0, p'(\alpha)\ne 0$) 배제 원리 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 삼중근 형태 $(x-1)^3$ 추론으로 $a = -2,\; b = 1$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(-1)=8,\; f'(3)=12$ 산출 및 합 $20$ 확정 | 3점 |
$x^2+ax+b$의 판별식이 음수이면 오히려 $x=1$이 단순 실근으로 남아 $x=1$에서 꺾이게 되므로, 오직 삼중근 $(x-1)^3$만 성립합니다.
오른쪽 그림과 같은 개형의 삼차함수 $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 1$의 그래프와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 모든 정수 $k$의 개수와 모든 정수 $k$의 합을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼차함수 $f(x)$의 그래프와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나려면 $k$가 극솟값과 극댓값 사이에 있어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x) = 6x^2 - 12x = 6x(x - 2) = 0$에서 극댓값은 $f(0) = 1$, 극솟값은 $f(2) = 16 - 24 + 1 = -7$이므로 $-7 \lt k \lt 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 이를 만족시키는 정수 $k$는 $-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0$으로 총 $7$개이며, 합은 $-21$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 극솟값 $\lt k \lt$ 극댓값 조건 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f(0) = 1,\; f(2) = -7$ 산출 및 $-7 \lt k \lt 1$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정수 개수 $7$개 및 합 $-21$ 계산 | 3점 |
개수를 셀 때 $k=0$도 조건 $-7 \lt k \lt 1$을 만족시키는 정수이므로 빠뜨리지 않도록 주의하십시오.
모든 실수 $x$에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $\int_{1}^{x} (x - t)f(t)\,dt = x^3 + ax^2 - 5x + b$를 만족시킬 때, 두 상수 $a, b$의 값과 $f(2)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 좌변을 $x\int_1^x f(t)\,dt - \int_1^x tf(t)\,dt$로 전개하고 $x = 1$을 대입한 뒤 두 번 미분한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x = 1$일 때 $0 = 1 + a - 5 + b \implies a + b = 4$이고, 양변을 미분하면 $\int_1^x f(t)\,dt = 3x^2 + 2ax - 5$인데 여기에 다시 $x = 1$을 대입하면 $0 = 3 + 2a - 5$이므로 $a = 1,\; b = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 한 번 더 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 6x + 2a = 6x + 2$이므로 $f(2) = 14$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 전개 후 $x=1$ 초기조건 $a + b = 4$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 1차 미분식 $\int_1^x f(t)\,dt = 3x^2 + 2ax - 5$와 $x=1$ 대입으로 $a=1,\; b=3$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 2차 미분으로 $f(x) = 6x + 2$ 및 $f(2) = 14$ 확정 | 3점 |
미정계수가 $2$개이므로 원래 식과 1차 미분식에 각각 $x=1$을 두 번 대입해야 $a, b$가 모두 결정됩니다.
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = -t^2 + 3t$일 때, 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 원점으로 다시 돌아오는 시각 $t_0\;(t_0 \gt 0)$와 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리 $s$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 시각 $t$에서의 위치는 $x(t) = \int_0^t (-u^2 + 3u)\,du = -\dfrac{1}{3}t^3 + \dfrac{3}{2}t^2$이고, 움직인 거리는 $s = \int_0^4 |v(t)|\,dt$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x(t_0) = t_0^2\left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{3}t_0\right) = 0\;(t_0 \gt 0)$에서 원점 복귀 시각은 $t_0 = \dfrac{9}{2}$이고, $v(t) = -t(t - 3)$은 $t = 3$에서 부호가 양에서 음으로 바뀐다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $s = \int_0^3 (-t^2 + 3t)\,dt + \int_3^4 (t^2 - 3t)\,dt = \dfrac{9}{2} + \dfrac{11}{6} = \dfrac{19}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 위치 함수 $x(t) = -\dfrac{1}{3}t^3 + \dfrac{3}{2}t^2$ 및 거리 적분식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x(t_0)=0$으로부터 원점 복귀 시각 $t_0 = \dfrac{9}{2}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $t=3$ 부호 분기 적분으로 총 이동거리 $s = \dfrac{19}{3}$ 산출 | 3점 |
$v(t)=0$인 시각($t=3$, 방향 전환)과 $x(t)=0$인 시각($t=\dfrac{9}{2}$, 원점 복귀)을 절대 혼동하지 마십시오.
세 양수 $x, y, z$가 등식 $\log_2 x + 2\log_4 y + 3\log_8 z = 6$을 만족시킬 때, $xyz$의 값과 $\log_8(x^2 y^2 z^2)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 밑변환 성질 $\log_{a^m} b = \dfrac{1}{m}\log_a b$를 선언하여 모든 로그의 밑을 $2$로 통일한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2\log_{2^2} y = \log_2 y,\; 3\log_{2^3} z = \log_2 z$이므로 준식은 $\log_2 x + \log_2 y + \log_2 z = \log_2(xyz) = 6$이 되어 $xyz = 2^6 = 64$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 또한 $\log_8(x^2 y^2 z^2) = \log_{2^3}(xyz)^2 = \dfrac{2}{3}\log_2(xyz) = \dfrac{2}{3}\times 6 = 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 밑의 지수 성질 $\log_{a^m} b = \dfrac{1}{m}\log_a b$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\log_2(xyz) = 6$으로부터 $xyz = 64$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\log_8(xyz)^2 = 4$ 계산 완료 | 3점 |
밑의 지수 $m$은 로그 앞으로 나올 때 분자가 아니라 역수 $\dfrac{1}{m}$로 나옴에 주의하십시오.
로그방정식 $(\log_3 x)^2 - \log_3 x^5 + 4 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha + \beta$의 값과 $\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 진수 조건 $x \gt 0$에서 $\log_3 x^5 = 5\log_3 x$이고 $t = \log_3 x$로 치환하면 $t^2 - 5t + 4 = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $(t - 1)(t - 4) = 0$에서 $\log_3 x = 1$ 또는 $\log_3 x = 4$이므로 두 실근은 $3$과 $81$이며 $\alpha + \beta = 84$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 대칭성에 의해 $\log_3 81 + \log_{81} 3 = 4 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{17}{4}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 진수 조건 $x \gt 0$ 및 치환 방정식 $t^2 - 5t + 4 = 0$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 두 근 $3,\; 81$ 도출 및 합 $\alpha + \beta = 84$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 밑변환 역수 관계로 $\dfrac{17}{4}$ 도출 | 3점 |
$x \gt 0$일 때만 $\log_3 x^5 = 5\log_3 x$ 변형이 성립하므로 첫 줄에 진수 조건 $x \gt 0$을 반드시 적으십시오.
삼각형 $\mathrm{ABC}$의 세 내각 $A, B, C$에 대하여 $\sin\dfrac{A + B}{2} = \dfrac{3}{5}$일 때, $\sin\dfrac{C}{2}$의 값과 $\tan\dfrac{\pi + C}{2}$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각형의 세 내각의 합 $A + B + C = \pi$에서 $\dfrac{A + B}{2} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{C}{2}$이고 $0 \lt \dfrac{C}{2} \lt \dfrac{\pi}{2}$임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{C}{2}\right) = \cos\dfrac{C}{2} = \dfrac{3}{5}$이고 제$1$사분면 각이므로 $\sin\dfrac{C}{2} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 각 변환에 의하여 $\tan\left(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{C}{2}\right) = -\dfrac{1}{\tan\frac{C}{2}} = -\dfrac{\cos\frac{C}{2}}{\sin\frac{C}{2}} = -\dfrac{3}{4}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $\dfrac{A+B}{2} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{C}{2}$ 및 범위 $0 \lt \dfrac{C}{2} \lt \dfrac{\pi}{2}$ 명시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\cos\dfrac{C}{2} = \dfrac{3}{5}$로부터 $\sin\dfrac{C}{2} = \dfrac{4}{5}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 각 변환 공식으로 $\tan\dfrac{\pi+C}{2} = -\dfrac{3}{4}$ 도출 | 3점 |
$0 \lt C \lt \pi$로부터 $\dfrac{C}{2}$가 예각임을 명시해야 제곱근의 양수 부호가 정당화됩니다.
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $R = 5$인 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle\mathrm{C} = \dfrac{\pi}{3}$이고 $\sin A + \sin B = \dfrac{6}{5}$일 때, 변 $\mathrm{AB}$의 길이와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각형의 세 변을 $a, b, c$라 하면 사인법칙 $a = 2R\sin A,\; b = 2R\sin B,\; c = 2R\sin C$와 코사인법칙 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2R = 10$이므로 $c = \overline{\mathrm{AB}} = 10\sin\dfrac{\pi}{3} = 5\sqrt{3}$이고, $a + b = 10(\sin A + \sin B) = 12$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $75 = (a + b)^2 - 3ab = 144 - 3ab$에서 $ab = 23$이므로 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}ab\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{23\sqrt{3}}{4}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 사인법칙과 코사인법칙 곱셈 변형식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\overline{\mathrm{AB}} = 5\sqrt{3}$ 및 $a + b = 12$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $ab = 23$ 산출 및 넓이 $S = \dfrac{23\sqrt{3}}{4}$ 확정 | 3점 |
$a, b$를 각각 구하지 않고 곱셈 공식 변형 $a^2+b^2-ab = (a+b)^2 - 3ab$로 $ab$를 바로 구하는 것이 핵심 전략입니다.
첫째항이 $1$이고 공차가 $2$인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $T_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k}}$이라 할 때, $T_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내고 $T_m = 4$를 만족시키는 자연수 $m$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 일반항은 $a_n = 2n - 1$이며 공차 $a_{k+1} - a_k = 2$가 일정하므로 분모를 유리화하여 연쇄 소거한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\dfrac{1}{\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_k}} = \dfrac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k}}{a_{k+1}-a_k} = \dfrac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{2}$이므로 $T_n = \dfrac{1}{2}(\sqrt{2n+1} - 1)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $T_m = \dfrac{\sqrt{2m+1} - 1}{2} = 4$에서 $\sqrt{2m+1} = 9 \implies 2m + 1 = 81$이므로 $m = 40$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a_n = 2n - 1$ 도출 및 공차 $a_{k+1}-a_k=2$를 이용한 분모 유리화 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연쇄 소거로 $T_n = \dfrac{\sqrt{2n+1}-1}{2}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 무리방정식 풀이로 $m = 40$ 확정 | 3점 |
분모를 유리화할 때 분모에 $1$이 아니라 공차 $a_{k+1}-a_k = 2$가 남는다는 점을 놓치지 마십시오.
다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 3$과 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 2$를 만족시킬 때, 극한값 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(f(x))}{x^2 - 1}$을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 조건으로부터 $f(0) = 0,\; f'(0) = 3$ 및 $f(1) = 0,\; f'(1) = 2$이며, $x \to 1$일 때 $u = f(x) \to 0$이고 $f'(1) \ne 0$이므로 $x=1$ 근방($x \ne 1$)에서 $f(x) \ne 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 주어진 식을 변형하면 $\dfrac{f(f(x))}{x^2 - 1} = \dfrac{f(f(x))}{f(x)}\cdot\dfrac{f(x)}{x - 1}\cdot\dfrac{1}{x + 1}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $u = f(x) \to 0$ 치환 극한과 함수의 극한의 성질에 의하여 구하는 극한값은 $3\times 2\times\dfrac{1}{2} = 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f(1)=0,\; f'(1)=2 \ne 0$으로부터 $u = f(x) \to 0\;(u \ne 0)$ 확인 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 세 인수의 곱 $\dfrac{f(u)}{u}\cdot\dfrac{f(x)}{x-1}\cdot\dfrac{1}{x+1}$으로 식 분리 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $3\times 2\times\dfrac{1}{2} = 3$ 극한값 도출 | 3점 |
미적분Ⅰ 범위에서는 합성함수의 미분법 대신 $f(x)$를 분모·분자에 곱하여 치환 극한의 곱으로 서술하는 것이 정석입니다.
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f(1) = 3$이고 모든 실수 $x$에 대하여 $2 \le f'(x) \le 5$를 만족시킬 때, 평균값 정리를 이용하여 $f(4)$가 가질 수 있는 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[1, 4]$에서 연속이고 열린구간 $(1, 4)$에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 $\dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = f'(c)$를 만족시키는 $c \in (1, 4)$가 존재한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2 \le f'(c) \le 5$이므로 $2 \le \dfrac{f(4) - 3}{3} \le 5$에서 $6 \le f(4) - 3 \le 15$, 즉 $9 \le f(4) \le 18$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 일차함수 $f(x) = 5x - 2$일 때 $f(4) = 18$, $f(x) = 2x + 1$일 때 $f(4) = 9$가 실제로 성립하므로 $M = 18,\; m = 9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 구간 $[1, 4]$에서의 연속·미분가능 확인 및 평균값 정리 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부등식 $2 \le \dfrac{f(4)-3}{3} \le 5$로부터 $9 \le f(4) \le 18$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 등호 성립 예시 확인과 함께 $M = 18,\; m = 9$ 확정 | 3점 |
평균값 정리를 인용할 때 닫힌구간 연속·열린구간 미분가능 조건과 $c \in (1, 4)$ 존재성을 빠짐없이 기술하십시오.
오른쪽 그림과 같은 개형의 곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 1$에 곡선 밖의 점 $(0, 2)$에서 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수를 구하고, 모든 접선의 기울기의 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 접점의 좌표를 $(t, t^3 - 3t^2 + 1)$으로 놓으면 $y' = 3x^2 - 6x$이므로 접선의 방정식은 $y - (t^3 - 3t^2 + 1) = (3t^2 - 6t)(x - t)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 점 $(0, 2)$를 대입하여 정리하면 $2 - t^3 + 3t^2 - 1 = -3t^3 + 6t^2 \implies 2t^3 - 3t^2 + 1 = (t - 1)^2(2t + 1) = 0$이므로 $t = 1$ 또는 $t = -\dfrac{1}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 서로 다른 두 접점 $\mathrm{T}_1\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{8}\right)$, $\mathrm{T}_2(1, -1)$에 대응하는 두 접선의 기울기는 $t=1$일 때 $-3$, $t=-\dfrac{1}{2}$일 때 $\dfrac{15}{4}$로 서로 다르므로 접선은 $2$개이고 기울기의 합은 $\dfrac{3}{4}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 접점 $(t, t^3-3t^2+1)$ 매개변수 접선 방정식 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 점 $(0, 2)$ 대입 후 $(t-1)^2(2t+1)=0$ 인수분해로 $t = 1,\; -\dfrac{1}{2}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 접선 개수 $2$개 및 기울기 합 $-3 + \dfrac{15}{4} = \dfrac{3}{4}$ 산출 | 3점 |
방정식 $2t^3-3t^2+1=0$은 $3$차식이라도 $t=1$이 중근이므로 그을 수 있는 서로 다른 접선은 $3$개가 아니라 $2$개입니다.
삼차함수 $f(x) = x^3 - 4x$에 대하여 실수 전체에서 정의된 함수 $G(x) = \int_{x}^{x+2} f(t)\,dt$가 $x = \alpha$에서 극솟값을 가질 때, 상수 $\alpha$의 값과 극솟값 $G(\alpha)$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(t)$의 한 부정적분을 $F(t)$라 하면 $G(x) = F(x + 2) - F(x)$이므로 미분하면 $G'(x) = f(x + 2) - f(x)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $G'(x) = \{(x+2)^3 - 4(x+2)\} - (x^3 - 4x) = 6x^2 + 12x = 6x(x + 2)$이므로 $x = 0$의 좌우에서 $G'(x)$가 음에서 양으로 바뀌어 $\alpha = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 극솟값은 $G(0) = \int_0^2 (t^3 - 4t)\,dt = \left[\dfrac{1}{4}t^4 - 2t^2\right]_0^2 = 4 - 8 = -4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $G'(x) = f(x + 2) - f(x)$ 도함수 관계식 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $G'(x) = 6x(x + 2)$ 부호 판정으로 극소 지점 $\alpha = 0$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 계산으로 극솟값 $G(0) = -4$ 산출 | 3점 |
적분하여 $4$차식을 직접 전개하지 말고 $G'(x)=f(x+2)-f(x)$를 먼저 구하면 계산량을 크게 줄일 수 있습니다.
오른쪽 그림과 같이 이차함수 $f(x) = -x^2 + 6x$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 원점을 지나는 직선 $y = mx$가 이등분할 때, $(6 - m)^3$의 값을 구하시오. (단, $0 \lt m \lt 6$이다.)
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곡선 $y = -x^2 + 6x$와 $x$축($0 \le x \le 6$)으로 둘러싸인 전체 넓이를 $S_0$, 곡선과 직선 $y = mx$로 둘러싸인 넓이를 $S_1$이라 하면 $S_1 = \dfrac{1}{2}S_0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $S_0 = \int_0^6 (-x^2 + 6x)\,dx = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + 3x^2\right]_0^6 = 36$이고, 곡선과 직선의 교점은 $-x^2 + 6x = mx$에서 $x = 0,\; 6 - m$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $S_1 = \int_0^{6-m} \{-x^2 + (6 - m)x\}\,dx = \dfrac{(6 - m)^3}{6} = \dfrac{1}{2}\times 36 = 18$이므로 $(6 - m)^3 = 108$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 전체 넓이 $S_0$과 이등분 조건 $S_1 = \dfrac{1}{2}S_0$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $S_0 = 36$ 산출 및 교점 $x = 0,\; 6 - m$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\dfrac{(6-m)^3}{6} = 18$로부터 $(6 - m)^3 = 108$ 산출 | 3점 |
$0 \lt m \lt 6$ 조건에 의해 교점 $6-m$이 양수임을 확인한 뒤 정적분 위끝에 대입하십시오.
두 실수 $a, b\;(b \ne 0)$가 $3^a + 3^{-a} = 5$와 $2^b = 9$를 만족시킬 때, $9^a + 9^{-a}$의 값과 $81^{\frac{1}{b}}$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $9^a + 9^{-a} = (3^a)^2 + (3^{-a})^2 = (3^a + 3^{-a})^2 - 2$와 지수법칙 $(2^b)^{\frac{1}{b}} = 2$를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $9^a + 9^{-a} = 5^2 - 2 = 23$이고, $2^b = 9$의 양변에 $\dfrac{1}{b}$제곱을 취하면 $9^{\frac{1}{b}} = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $81^{\frac{1}{b}} = \left(9^2\right)^{\frac{1}{b}} = \left(9^{\frac{1}{b}}\right)^2 = 2^2 = 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 제곱 합 변형 공식 및 유리수 지수 거듭제곱 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $9^a + 9^{-a} = 23$ 및 $9^{\frac{1}{b}} = 2$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $81^{\frac{1}{b}} = 4$ 최종 도출 | 3점 |
$b = \log_2 9$로 바꾸지 않더라도 $9^{\frac{1}{b}} = 2$를 이용하면 지수법칙만으로 간결하게 서술할 수 있습니다.
닫힌구간 $[1, 27]$에서 정의된 함수 $f(x) = (\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 9$가 $x = a$에서 최댓값 $M$, $x = b$에서 최솟값 $m$을 가질 때, $a + b$의 값과 $M - m$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $t = \log_3 x$로 치환하면 밑 $3 \gt 1$이므로 $1 \le x \le 27$에서 치환 범위는 $0 \le t \le 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $g(t) = t^2 - 4t + 9 = (t - 2)^2 + 5$이므로 $t = 2$ (즉 $x = b = 9$)에서 최솟값 $m = 5$를 갖고, $t = 0$ (즉 $x = a = 1$)에서 최댓값 $M = 9$를 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $a + b = 1 + 9 = 10$이고 $M - m = 9 - 5 = 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $t = \log_3 x$ 치환 및 범위 $0 \le t \le 3$ 명시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $t=2\implies b=9,\; m=5$ 및 $t=0\implies a=1,\; M=9$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a + b = 10,\; M - m = 4$ 도출 | 3점 |
최대·최소가 되는 '치환값 $t=0, 2$'를 그대로 $a, b$로 적지 말고 원래 변수 $x = 3^t$로 환원하여 $a=1, b=9$를 구해야 합니다.
$x$에 대한 이차방정식 $x^2 - (2\cos\theta)x + \sin^2\theta - \cos\theta = 0$이 중근을 갖도록 하는 $0 \le \theta \lt 2\pi$에서의 모든 실수 $\theta$의 값을 구하고 그 합을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 이차방정식이 중근을 가지려면 판별식 $\dfrac{D}{4} = \cos^2\theta - (\sin^2\theta - \cos\theta) = 0$이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$를 대입하면 $2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 = (2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) = 0$이므로 $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ 또는 $\cos\theta = -1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \le \theta \lt 2\pi$에서 해는 $\theta = \dfrac{\pi}{3},\; \pi,\; \dfrac{5\pi}{3}$이며, 모든 $\theta$의 값의 합은 $3\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 중근 조건 $D/4 = 0$ 수립 및 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ 변환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)=0$ 인수분해로 $\cos\theta = \dfrac{1}{2},\; -1$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 세 해 $\dfrac{\pi}{3},\; \pi,\; \dfrac{5\pi}{3}$ 및 합 $3\pi$ 산출 | 3점 |
$\cos\theta = -1$이 되는 접점 해 $\theta = \pi$를 누락하지 않도록 코사인 그래프의 최솟값 지점을 확인하십시오.
오른쪽 그림과 같이 길이가 $10$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원의 호 위의 한 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\overline{\mathrm{AP}} = 8$이고, 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{O}$라 하자. 선분 $\mathrm{PB}$의 길이, $\cos(\angle\mathrm{POB})$의 값, 삼각형 $\mathrm{POB}$의 넓이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 지름에 대한 원주각은 직각이므로 $\angle\mathrm{APB} = \dfrac{\pi}{2}$이며, 삼각형 $\mathrm{POB}$의 세 변에 대하여 코사인법칙을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 직각삼각형 $\mathrm{APB}$에서 $\overline{\mathrm{PB}} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$이고, 반지름 $\overline{\mathrm{OP}} = \overline{\mathrm{OB}} = 5$이므로 $\cos(\angle\mathrm{POB}) = \dfrac{5^2 + 5^2 - 6^2}{2\times 5\times 5} = \dfrac{7}{25}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 점 $\mathrm{O}$는 $\overline{\mathrm{AB}}$의 중점이므로 삼각형 $\mathrm{POB}$의 넓이는 직각삼각형 $\mathrm{APB}$ 넓이($\dfrac{1}{2}\times 8\times 6 = 24$)의 절반인 $12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 지름에 대한 원주각 $\angle\mathrm{APB} = \dfrac{\pi}{2}$ 및 코사인법칙 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\overline{\mathrm{PB}} = 6$ 및 $\cos(\angle\mathrm{POB}) = \dfrac{7}{25}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 중선 넓이 이등분(또는 사인 넓이 공식)으로 넓이 $12$ 도출 | 3점 |
$\sin(\angle\mathrm{POB}) = \dfrac{24}{25}$를 이용해 $\dfrac{1}{2}\times 5\times 5\times\dfrac{24}{25} = 12$로 계산해도 동일한 결과를 얻습니다.
수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $\sum_{k=1}^{n} k a_k = n(n + 1)(n + 2)$를 만족시킬 때, 일반항 $a_n$을 구하고 $\sum_{k=1}^{8} \dfrac{9}{a_k a_{k+1}}$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $T_n = \sum_{k=1}^n k a_k$라 놓으면 $1\cdot a_1 = T_1$이고 $n \ge 2$일 때 $n a_n = T_n - T_{n-1}$이 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_1 = 1\cdot 2\cdot 3 = 6$이고, $n \ge 2$일 때 $n a_n = n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1) = 3n(n+1)$이므로 $a_n = 3(n + 1)$이며 $n=1$일 때도 일치한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\dfrac{9}{a_k a_{k+1}} = \dfrac{9}{9(k+1)(k+2)} = \dfrac{1}{k+1} - \dfrac{1}{k+2}$이므로 $\sum_{k=1}^8 \left(\dfrac{1}{k+1} - \dfrac{1}{k+2}\right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{2}{5}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $T_n - T_{n-1} = n a_n$ 관계식 선언 및 $n=1$ 확인 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 일반항 $a_n = 3(n + 1)$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 부분분수 소거를 통해 $\dfrac{2}{5}$ 산출 | 3점 |
$T_n - T_{n-1}$은 $a_n$이 아니라 시그마 안의 일반항 전체인 $n a_n$과 같음에 유의하여 양변을 $n$으로 나누십시오.
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 $x \ne 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = \dfrac{x^3 + ax^2 - 4x + b}{(x - 2)^2}$를 만족시킬 때, 두 상수 $a, b$의 값과 $f(2)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 $f(x)$가 $x = 2$에서 연속이므로 극한값 $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$가 존재해야 하며, 분모가 $(x - 2)^2$이므로 분자도 $(x - 2)^2$을 인수로 가져야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x^3 + ax^2 - 4x + b = (x - 2)^2(x - c) = x^3 - (4 + c)x^2 + (4 + 4c)x - 4c$에서 일차항 계수를 비교하면 $4 + 4c = -4 \implies c = -2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 계수 비교에 의해 $a = -2,\; b = 8$이고, $x \ne 2$에서 $f(x) = x + 2$이므로 $f(2) = \lim_{x \to 2}(x + 2) = 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 연속 조건 및 분자의 $(x-2)^2$ 인수 포함 논리 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 인수분해 계수 비교로 $c = -2$ 및 $a = -2,\; b = 8$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 약분 극한으로 $f(2) = 4$ 산출 | 3점 |
분자가 $(x-2)$를 한 개만 인수로 가지면 분모에 $(x-2)$가 남아 극한값이 발산하므로 반드시 $(x-2)^2$을 인수로 가져야 합니다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = (x^2 + ax + b)|x - 2|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 $f'(0) = 8$일 때, 두 상수 $a, b$의 값과 $f(4)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $|x - 2|$는 $x = 2$에서만 꺾이므로 $f(x)$가 $x = 2$에서 미분가능하려면 좌·우미분계수 $\mp(4 + 2a + b)$가 같아야 하여 $4 + 2a + b = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x \lt 2$에서 $f(x) = -(x^2 + ax + b)(x - 2)$이므로 미분하면 $f'(x) = -(2x + a)(x - 2) - (x^2 + ax + b)$이고 $f'(0) = 2a - b = 8$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $2a + b = -4$와 $2a - b = 8$을 연립하면 $a = 1,\; b = -6$이며, $f(4) = (16 + 4 - 6)\times |4 - 2| = 28$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x=2$에서의 좌·우미분계수 비교로 $2a + b = -4$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x \lt 2$에서의 도함수와 $f'(0)=8$로부터 $2a - b = 8$ 및 $a=1,\; b=-6$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(4) = 28$ 최종 계산 | 3점 |
$x=0$은 $x \lt 2$ 구간에 속하므로 $|x-2| = -(x-2)$ 부호를 붙인 뒤 $f'(0)$을 계산해야 부호 실수를 막을 수 있습니다.
모든 실수 $x$에 대하여 사차부등식 $3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = 3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x + k$라 놓으면 최고차항이 양수인 사차함수이므로 두 극솟값 중 더 작은 값이 전체 최솟값이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x) = 12x^3 - 24x^2 - 12x + 24 = 12(x + 1)(x - 1)(x - 2)$이므로 $x = -1$과 $x = 2$에서 극솟값을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(-1) = 3 + 8 - 6 - 24 + k = k - 19$이고 $f(2) = 48 - 64 - 24 + 48 + k = k + 8$이므로 최솟값 $k - 19 \ge 0$에서 $k$의 최솟값은 $19$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 도함수 $f'(x) = 12(x+1)(x-1)(x-2)$ 인수분해 및 극소 지점 판정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 두 극솟값 $f(-1) = k - 19,\; f(2) = k + 8$ 각각 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 대소 비교를 통해 최솟값 $k - 19 \ge 0 \implies k \ge 19$ 도출 | 3점 |
사차함수가 두 개의 극솟값을 가질 때 두 값을 모두 구해 대소를 비교하는 과정을 보여 주어야 논증 배점을 받습니다.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $\int_{0}^{x} f(t)\,dt = x f(x) - 2x^3 + 3x^2$을 만족시키고 $f(1) = 5$일 때, 다항함수 $f(x)$와 $\int_{0}^{2} f(x)\,dx$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 항등식의 양변을 $x$에 대하여 미분할 때 우변의 $xf(x)$에 곱의 미분법 $\dfrac{d}{dx}\{xf(x)\} = f(x) + xf'(x)$를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(x) = f(x) + xf'(x) - 6x^2 + 6x$에서 $xf'(x) = 6x^2 - 6x$이고, $f'(x)$가 연속이므로 모든 실수에서 $f'(x) = 6x - 6$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 적분하면 $f(x) = 3x^2 - 6x + C$이고 $f(1) = -3 + C = 5$에서 $C = 8$이므로 $f(x) = 3x^2 - 6x + 8$이며, $\int_0^2 f(x)\,dx = 8 - 12 + 16 = 12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 양변 미분 및 곱의 미분법으로 $xf'(x) = 6x^2 - 6x$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f'(x) = 6x - 6$ 적분과 $f(1)=5$ 대입으로 $f(x) = 3x^2 - 6x + 8$ 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\int_0^2 f(x)\,dx = 12$ 산출 | 3점 |
$\int_0^2 f(x)\,dx$를 구할 때 원래 항등식에 $x=2$를 대입해 $2f(2)-16+12 = 2(8)-4 = 12$로 검산하면 빠르고 정확합니다.
오른쪽 그림과 같이 삼차함수 $f(x) = x^3 - 4x$의 그래프와 직선 $g(x) = 5x$로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 $S$를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 교점 방정식 $x^3 - 4x = 5x \implies x(x + 3)(x - 3) = 0$에서 교점의 $x$좌표는 $-3, 0, 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 차 함수 $h(x) = 5x - (x^3 - 4x) = 9x - x^3$은 원점 대칭(기함수)이므로 구간 $[-3, 0]$과 $[0, 3]$에서 둘러싸인 넓이가 서로 같고 $[0, 3]$에서 $9x - x^3 \ge 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $S = 2\int_0^3 (9x - x^3)\,dx = 2\left[\dfrac{9}{2}x^2 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^3 = 2\times\dfrac{81}{4} = \dfrac{81}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 세 교점 $x = -3, 0, 3$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 기함수 원점 대칭성과 구간 $[0, 3]$ 부호 판정으로 $2\int_0^3 (9x-x^3)\,dx$ 설정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분 계산으로 넓이 $S = \dfrac{81}{2}$ 산출 | 3점 |
절댓값 기호 없이 $\int_{-3}^3 (9x-x^3)\,dx$를 계산하면 넓이가 상쇄되어 $0$이 되므로 반드시 구간을 나누거나 대칭성 $2$배를 적용하십시오.
$1$보다 큰 세 실수 $a, b, c$가 $\log_a b = 2,\; \log_b c = 3$을 만족시킬 때, $\log_a c + \log_c a$의 값과 $\log_{ab}(bc)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 밑변환 공식의 연쇄 곱 $\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c$와 공통 밑 $a$로의 변환 공식 $\log_{ab}(bc) = \dfrac{\log_a(bc)}{\log_a(ab)}$를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\log_a c = 2\times 3 = 6$이고 $\log_c a = \dfrac{1}{6}$이므로 $\log_a c + \log_c a = \dfrac{37}{6}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 또한 $\log_{ab}(bc) = \dfrac{\log_a b + \log_a c}{1 + \log_a b} = \dfrac{2 + 6}{1 + 2} = \dfrac{8}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 연쇄 밑변환 및 밑을 $a$로 통일하는 분수 공식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\log_a c = 6$ 및 $\log_a c + \log_c a = \dfrac{37}{6}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\log_{ab}(bc) = \dfrac{8}{3}$ 도출 | 3점 |
여러 밑이 섞인 로그식에서는 기준 밑 하나($a$)를 정하여 모든 변수를 $\log_a x$로 표현하면 실수가 없습니다.
오른쪽 그림과 같이 두 지수함수 $y = 2^x$과 $y = 2^{x-3}$의 그래프가 두 수평 직선 $y = 2,\; y = 8$과 만나는 네 점을 꼭짓점으로 하는 평행사변형의 넓이를 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곡선 $y = 2^{x-3}$은 곡선 $y = 2^x$을 $x$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 것이므로 같은 $y$좌표에서 두 교점 사이의 가로 거리는 일정하다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $y = 2$와의 두 교점은 $(1, 2),\; (4, 2)$이고 $y = 8$과의 두 교점은 $(3, 8),\; (6, 8)$이므로 평행사변형의 밑변의 길이는 $4 - 1 = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 평행선 $y = 2$와 $y = 8$ 사이의 높이는 $8 - 2 = 6$이므로 평행사변형의 넓이는 $3\times 6 = 18$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x$축 방향 $3$만큼 평행이동 관계 확인 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 네 꼭짓점 $(1,2),(4,2),(3,8),(6,8)$ 및 밑변 길이 $3$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 높이 $6$과의 곱으로 넓이 $18$ 산출 | 3점 |
곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이까지 물어보더라도 평행이동 잘라 붙이기 원리에 의해 이 평행사변형 넓이 $18$과 동일해집니다.
함수 $y = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}x\right)$의 주기를 $p$라 하고, 닫힌구간 $[0, 12]$에서 방정식 $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}x\right) = \dfrac{1}{3}$의 모든 실근의 합을 $S$라 할 때, $p$와 $S$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주기는 $p = \dfrac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 6$이므로 닫힌구간 $[0, 12]$에는 정확히 $2$주기의 그래프가 그려진다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 첫 주기 $[0, 6]$에서 양수 구간의 대칭축은 $x = \dfrac{3}{2}$이므로 두 실근의 합은 $2\times\dfrac{3}{2} = 3$이고, 둘째 주기 $[6, 12]$에서 대칭축은 $x = 6 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{2}$이므로 두 실근의 합은 $15$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 주기는 $p = 6$이고 모든 실근의 합은 $S = 3 + 15 = 18$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 주기 공식으로 $p = 6$ 산출 및 $2$주기 구간 확인 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 두 양수 봉우리의 대칭축 $x = \dfrac{3}{2},\; \dfrac{15}{2}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 네 실근의 합 $S = 3 + 15 = 18$ 산출 | 3점 |
$x$의 계수에 $\pi$가 포함된 삼각함수는 주기와 대칭축이 모두 $\pi$가 약분된 유리수가 됨에 유의하십시오.
오른쪽 그림과 같이 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 7,\; \overline{\mathrm{BC}} = 8,\; \overline{\mathrm{CA}} = 5$일 때, 각 $\angle\mathrm{BCA}$의 크기와 변 $\mathrm{BC}$의 중점 $\mathrm{M}$에 대한 선분 $\overline{\mathrm{AM}}$의 길이를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 전체 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙으로 $\cos C$를 구한 뒤, 부분 삼각형 $\mathrm{ACM}$에 다시 코사인법칙을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\cos C = \dfrac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2\times 8\times 5} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}$이고 $0 \lt C \lt \pi$이므로 $\angle\mathrm{BCA} = \dfrac{\pi}{3}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\overline{\mathrm{CM}} = \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{BC}} = 4$이므로 삼각형 $\mathrm{ACM}$에서 $\overline{\mathrm{AM}}^2 = 5^2 + 4^2 - 2\cdot 5\cdot 4\cos\dfrac{\pi}{3} = 21$이어서 $\overline{\mathrm{AM}} = \sqrt{21}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 전체 삼각형과 부분 삼각형 $\mathrm{ACM}$의 2단계 코사인법칙 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\cos C = \dfrac{1}{2}$로부터 $\angle\mathrm{BCA} = \dfrac{\pi}{3}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\overline{\mathrm{CM}} = 4$ 대입으로 $\overline{\mathrm{AM}} = \sqrt{21}$ 산출 | 3점 |
한 삼각형 안에 보조선(중선)이 그어진 도형에서는 공통 내각 $C$의 코사인값을 매개로 두 코사인법칙을 연결하십시오.
첫째항이 $a_1 = 2$인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 2a_n + 2^{n+1}$을 만족시킬 때, $b_n = \dfrac{a_n}{2^n}$을 이용하여 일반항 $a_n$을 구하고 $a_8$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 관계식 $a_{n+1} = 2a_n + 2^{n+1}$의 양변을 $2^{n+1}$로 나누어 수열 $\{b_n\}$의 관계식으로 변환한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \dfrac{a_n}{2^n} + 1$, 즉 $b_{n+1} - b_n = 1$이고 $b_1 = \dfrac{a_1}{2^1} = 1$이므로 $\{b_n\}$은 첫째항이 $1$, 공차가 $1$인 등차수열이어서 $b_n = n$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 일반항은 $a_n = n\cdot 2^n$이며, $a_8 = 8\times 2^8 = 2^{11} = 2048$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 양변을 $2^{n+1}$로 나누어 $b_{n+1} - b_n = 1$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $b_1 = 1$ 확인 및 등차수열 일반항 $b_n = n$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a_n = n\cdot 2^n$ 복원 및 $a_8 = 2048$ 도출 | 3점 |
초항 $b_1$을 구할 때 $b_1 = a_1 = 2$로 착각하지 말고 정의식 $b_1 = \dfrac{a_1}{2^1} = 1$에 정확히 대입하십시오.
삼차함수 $f(x) = x^3 + x - 9$에 대하여 방정식 $f(x) = 0$이 실수 전체에서 오직 하나의 실근 $\alpha$를 가짐을 도함수로 설명하고, $\alpha$가 열린구간 $(n, n+1)$에 속하도록 하는 자연수 $n$의 값을 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항함수 $f(x)$는 실수 전체에서 연속이고 미분가능하며, 도함수는 $f'(x) = 3x^2 + 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 모든 실수 $x$에서 $f'(x) = 3x^2 + 1 \gt 0$이므로 $f(x)$는 실수 전체에서 증가하여 실근은 많아야 $1$개이고, $f(1) = -7 \lt 0,\; f(2) = 1 \gt 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 사잇값 정리에 의하여 열린구간 $(1, 2)$에서 유일한 실근 $\alpha$를 가지므로 자연수 $n = 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 연속성 확인 및 $f'(x) = 3x^2 + 1 \gt 0$에 따른 단조증가(유일성) 논증 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f(1) = -7 \lt 0,\; f(2) = 1 \gt 0$ 부호 비교 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 사잇값 정리에 의한 존재성 결합으로 $n = 1$ 확정 | 3점 |
'오직 하나의 실근'을 증명할 때는 사잇값 정리(적어도 하나 존재)와 도함수 양수 조건(많아야 하나 존재) 두 가지를 모두 서술해야 만점입니다.
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x) = \begin{cases} 0 & (x \lt 0) \\ f(x) & (x \ge 0) \end{cases}$이 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 모든 실근의 합이 $5$일 때, $f(x)$와 $g(-2) + g(3)$의 값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 $g(x)$가 $x = 0$에서 연속이고 미분가능하려면 $x=0$에서의 좌극한·좌미분계수가 모두 $0$이므로 $f(0) = 0$이고 $f'(0) = 0$이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 최고차항 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$는 $x^2$을 인수로 가져 $f(x) = x^2(x - c)$이고, 서로 다른 실근 $0$과 $c$의 합이 $5$이므로 $c = 5$, 즉 $f(x) = x^3 - 5x^2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $g(-2) = 0$이고 $g(3) = f(3) = 27 - 45 = -18$이므로 $g(-2) + g(3) = -18$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x=0$ 연속·미분가능 조건으로부터 $f(0)=0,\; f'(0)=0$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 인수정리로 $f(x) = x^2(x - 5) = x^3 - 5x^2$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $g(-2)=0,\; g(3)=-18$로부터 합 $-18$ 산출 | 3점 |
$f(0)=0,\; f'(0)=0$은 다항식 $f(x)$가 $(x-0)^2$으로 나누어떨어진다는 인수정리와 동치임을 활용하십시오.
한 변의 길이가 $12$인 정사각형 모양의 종이의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 $x$인 합동인 정사각형을 잘라 내고 남은 부분을 접어 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들 때, 상자의 부피가 최대가 되도록 하는 $x$의 값과 최대 부피 $V_{\max}$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 상자의 밑면 한 변의 길이는 $12 - 2x \gt 0$, 높이는 $x \gt 0$이므로 정의역은 $0 \lt x \lt 6$이고 부피는 $V(x) = x(12 - 2x)^2 = 4x(6 - x)^2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 곱의 미분법으로 미분하면 $V'(x) = 4(6 - x)^2 - 8x(6 - x) = 12(6 - x)(2 - x) = 0$에서 $0 \lt x \lt 6$인 극점은 $x = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x = 2$의 좌우에서 $V'(x)$가 양에서 음으로 바뀌므로 $x = 2$일 때 최대 부피 $V_{\max} = 2\times 8^2 = 128$을 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정의역 $0 \lt x \lt 6$ 및 부피 함수 $V(x) = x(12 - 2x)^2$ 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $V'(x) = 12(6 - x)(2 - x)$ 부호 판정으로 $x = 2$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최대 부피 $V_{\max} = 128$ 산출 | 3점 |
$(12-2x)^2$을 전부 전개하기보다 $4x(6-x)^2$을 곱의 미분법으로 미분하여 $(6-x)$로 묶어 내면 인수분해가 즉시 끝납니다.
최고차항의 계수가 $3$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $F(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt$가 모든 실수 $x$에서 $F(-x) = -F(x)$를 만족시키고 $x = -1$에서 극댓값을 가질 때, 이차함수 $f(x)$와 함수 $F(x)$의 극솟값을 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $F(x)$는 원점 대칭(기함수)인 삼차함수이고 도함수 $F'(x) = f(x)$는 $y$축 대칭(우함수)이므로 일차항이 없어 $f(x) = 3x^2 + c$로 놓을 수 있다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x = -1$에서 극댓값을 가지므로 $F'(-1) = f(-1) = 3 + c = 0 \implies c = -3$이어서 $f(x) = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $F(x) = \int_0^x (3t^2 - 3)\,dt = x^3 - 3x$이며, $x = 1$에서 극솟값 $F(1) = 1 - 3 = -2$를 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 기함수 조건으로부터 우함수 도함수 $f(x) = 3x^2 + c$ 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f(-1) = 0$으로 $f(x) = 3x^2 - 3$ 확정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $F(x) = x^3 - 3x$ 적분 및 극솟값 $F(1) = -2$ 산출 | 3점 |
$F(-x) = -F(x)$의 양변을 미분하면 $-f(-x) = -f(x)$, 즉 $f(-x) = f(x)$가 유도됨을 적으면 논리가 완벽해집니다.
원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 속도가 각각 $v_{\mathrm{P}}(t) = 3t^2 - 6t,\; v_{\mathrm{Q}}(t) = 2t + 5$이다. 출발 후 두 점이 다시 만나는 시각 $T\;(T \gt 0)$와 시각 $t = 0$에서 $t = T$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리 $s_{\mathrm{P}}$를 각각 구하시오.
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 원점 동시 출발이므로 시각 $t$에서의 위치는 각각 $x_{\mathrm{P}}(t) = t^3 - 3t^2,\; x_{\mathrm{Q}}(t) = t^2 + 5t$이며, 다시 만나는 조건은 $x_{\mathrm{P}}(T) = x_{\mathrm{Q}}(T)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $T^3 - 3T^2 = T^2 + 5T \implies T(T - 5)(T + 1) = 0\;(T \gt 0)$에서 $T = 5$이고, $v_{\mathrm{P}}(t) = 3t(t - 2)$는 $t = 2$에서 부호가 음에서 양으로 바뀐다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $s_{\mathrm{P}} = \int_0^2 (6t - 3t^2)\,dt + \int_2^5 (3t^2 - 6t)\,dt = 4 + (50 - (-4)) = 58$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 두 점의 위치 함수 적분 및 재회 조건 $x_{\mathrm{P}}(T) = x_{\mathrm{Q}}(T)$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 방정식 풀이로 $T = 5$ 도출 및 $v_{\mathrm{P}}(t)$의 부호 경계 $t = 2$ 확인 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간 $[0, 2], [2, 5]$ 절댓값 정적분으로 $s_{\mathrm{P}} = 58$ 산출 | 3점 |
시각 $T=5$에서의 위치 $x_{\mathrm{P}}(5)=50$은 변위일 뿐이고, $t=2$까지 뒤로 $4$만큼 갔다가 앞으로 $54$만큼 이동했으므로 실제 거리는 $58$입니다.
| 모집단위 | 모집인원 | 명목경쟁률 | 실질경쟁률 | 최초합 평균 | 70% 충원컷 | 수능최저 기준 | 실시간 합격 판정 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 인공지능학과 | 8명 | 24.8:1 | 10.5:1 | 87.5점 | 84.0점 | 1개 3등급 | 판정 대기 |
| 소프트웨어융합학과 | 10명 | 23.2:1 | 9.8:1 | 86.5점 | 83.0점 | 1개 3등급 | 판정 대기 |
| 데이터사이언스학과 | 8명 | 21.9:1 | 9.3:1 | 85.8점 | 82.5점 | 1개 3등급 | 판정 대기 |
| 사이버보안전공 | 8명 | 22.4:1 | 9.5:1 | 85.5점 | 82.0점 | 1개 3등급 | 판정 대기 |
| 바이오헬스공학과 | 9명 | 21.5:1 | 9.1:1 | 85.0점 | 81.5점 | 1개 3등급 | 판정 대기 |
| 디지털미디어학과 | 9명 | 20.6:1 | 8.7:1 | 84.2점 | 80.5점 | 1개 3등급 | 판정 대기 |
| 화학·신소재공학과 | 8명 | 19.8:1 | 8.4:1 | 83.5점 | 80.0점 | 1개 3등급 | 판정 대기 |
| 식품공학과 | 8명 | 18.9:1 | 8.0:1 | 82.5점 | 79.0점 | 1개 3등급 | 판정 대기 |
| 화학과 | 6명 | 18.2:1 | 7.7:1 | 81.8점 | 78.5점 | 1개 3등급 | 판정 대기 |
| 생명환경공학과 | 7명 | 17.9:1 | 7.6:1 | 81.2점 | 78.0점 | 1개 3등급 | 판정 대기 |
| 수학과 | 6명 | 17.1:1 | 7.2:1 | 80.5점 | 77.0점 | 1개 3등급 | 판정 대기 |
| 원예생명조경학과 | 7명 | 16.5:1 | 7.0:1 | 79.5점 | 76.0점 | 1개 3등급 | 판정 대기 |
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|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제2회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제3회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제4회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제5회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제6회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제7회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제8회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제9회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제10회 | 2026. . . | 분 | / 100 |