제시문 <1>에 의하여 원 \(C_n : x^2 + y^2 = n^2\) 위의 점 \(P_n(0, n)\)에서의 접선 \(\ell_n\)의 방정식은 \(0 \cdot x + n \cdot y = n^2\), 즉 \(y = n\)입니다.
이 직선 \(y = n\)과 원 \(C_{n+1} : x^2 + y^2 = (n+1)^2\)의 교점의 \(x\)좌표는\[\begin{aligned} x^2 + n^2 = (n+1)^2 &\iff x^2 = 2n + 1 \\ &\iff x = \pm\sqrt{2n+1} \end{aligned}\]이므로 두 교점은 \(A_n\left(-\sqrt{2n+1}, \; n\right), \; B_n\left(\sqrt{2n+1}, \; n\right)\)입니다.
선분 \(A_n B_n\) 위의 점 \((x, n)\)에서 \(y\)좌표 \(n\)은 이미 자연수(정수)이므로, 격자점의 개수 \(a_n\)은 부등식 \(-\sqrt{2n+1} \le x \le \sqrt{2n+1}\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수와 같습니다.
자연수 \(k = \left\lfloor \sqrt{2n+1} \right\rfloor\)라 하면 \(a_n = 2k + 1\)입니다. \(1 \le n \le 15\)일 때 \(3 \le 2n+1 \le 31\)이므로 구간을 나누면 다음과 같습니다.
• \(n = 1\) (\(2n+1=3\)): \(k = 1 \implies a_1 = 3\) (1개 항)
• \(2 \le n \le 3\) (\(5 \le 2n+1 \le 7\)): \(k = 2 \implies a_n = 5\) (2개 항)
• \(4 \le n \le 7\) (\(9 \le 2n+1 \le 15\)): \(k = 3 \implies a_n = 7\) (4개 항)
• \(8 \le n \le 11\) (\(17 \le 2n+1 \le 23\)): \(k = 4 \implies a_n = 9\) (4개 항)
• \(12 \le n \le 15\) (\(25 \le 2n+1 \le 31\)): \(k = 5 \implies a_n = 11\) (4개 항)
따라서 구하는 합은 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{15} a_n = 3 \times 1 + 5 \times 2 + 7 \times 4 + 9 \times 4 + 11 \times 4 = 3 + 10 + 28 + 36 + 44 = 121\)입니다.

선분 \(A_n B_n\)의 길이는 \(\overline{A_n B_n} = 2\sqrt{2n+1}\)이고, 원점 \(O(0,0)\)에서 직선 \(y=n\)까지의 거리는 \(n\)입니다.
따라서 삼각형 \(O A_n B_n\)의 넓이는 \(S_n = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2n+1} \times n = n\sqrt{2n+1}\)이며, 제곱수열 \(b_n\)의 일반항은\[b_n = S_n^2 = n^2(2n+1) = 2n^3 + n^2\]입니다. 제시문 <2>의 거듭제곱 합 공식을 적용하면\[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{10} b_n &= 2\sum_{n=1}^{10} n^3 + \sum_{n=1}^{10} n^2 = 2\left(\frac{10 \times 11}{2}\right)^2 + \frac{10 \times 11 \times 21}{6} \\ &= 2 \times 3025 + 385 = 6050 + 385 = 6435 \end{aligned}\]입니다.

(1-ⅱ)에서 구한 \(b_n = n^2(2n+1)\)을 주어진 급수의 일반항에 대입하면 \(n^2\)이 약분되어\[\frac{b_n}{n^4(n+1)^2} = \frac{n^2(2n+1)}{n^4(n+1)^2} = \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}\]이 성립합니다. 따라서 제\(m\)항까지의 부분합을 망원급수로 소거하면\[\begin{aligned} \sum_{n=1}^m \frac{b_n}{n^4(n+1)^2} &= \sum_{n=1}^m \left\{\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}\right\} \\ &= \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{(m+1)^2}\right) = 1 - \frac{1}{(m+1)^2} \end{aligned}\]입니다. 주어진 부등식 \(1 - \dfrac{1}{(m+1)^2} \ge \dfrac{99}{100}\)를 풀면\[\frac{1}{(m+1)^2} \le \frac{1}{100} \iff (m+1)^2 \ge 100 \iff m+1 \ge 10 \quad (\because m \text{은 자연수})\]이므로 \(m \ge 9\)입니다. 따라서 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(9\)입니다.

\(f(x) = x^3 - 3x^2 + k\)에서 \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\)입니다.
곡선 위의 접점을 \((s, s^3 - 3s^2 + k)\)라 하면 접선의 방정식은 \(y - (s^3 - 3s^2 + k) = (3s^2 - 6s)(x - s)\)입니다.
이 직선이 점 \(P(3, 0)\)을 지나므로 \(x=3, y=0\)을 대입하여 정리하면\[\begin{aligned} -(s^3 - 3s^2 + k) &= 3s(s-2)(3-s) = -3s^3 + 15s^2 - 18s \\ \iff k &= 2s^3 - 12s^2 + 18s = 2s(s-3)^2 \end{aligned}\]삼차함수 \(h(s) = 2s^3 - 12s^2 + 18s\)로 놓으면, 서로 다른 세 접선을 그을 조건은 방정식 \(h(s) = k\)가 서로 다른 세 실근을 가질 조건과 같습니다.
\(h'(s) = 6s^2 - 24s + 18 = 6(s-1)(s-3) = 0\)에서 \(s=1\)일 때 극댓값 \(h(1) = 8\), \(s=3\)일 때 극솟값 \(h(3) = 0\)을 가집니다.
따라서 \(0 \lt k \lt 8\)이어야 하므로, 이를 만족하는 정수 \(k\)는 \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\)이며 그 합은 \(\dfrac{7 \times 8}{2} = 28\)입니다.

\(f'(x) = 3x(x-2)\)이므로 \(x \le 0\) 또는 \(x \ge 2\)에서 \(f'(x) \ge 0\)이고, \(0 \le x \le 2\)에서 \(f'(x) \le 0\)입니다. 한 부정적분을 \(F_0(x) = x^3 - 3x^2\)이라 하면 \(F_0'(x) = f'(x)\)입니다.
적분 구간 \([t, t+2]\)의 길이가 \(2\)이므로 \(0, 2\)와의 위치 관계에 따라 4개 구간으로 나누어 계산합니다.
① \(t+2 \le 0 \iff t \le -2\)일 때: 구간 전체에서 \(f'(x) \ge 0\)이므로\[g(t) = \int_t^{t+2} (3x^2-6x)\,dx = F_0(t+2) - F_0(t) = \{(t+2)^3 - 3(t+2)^2\} - (t^3 - 3t^2) = 6t^2 - 4\]② \(-2 \lt t \le 0\) (즉 \(0 \lt t+2 \le 2\))일 때: \([t, 0]\)에서 \(f'(x) \ge 0\), \([0, t+2]\)에서 \(f'(x) \le 0\)이므로\[g(t) = \int_t^0 f'(x)\,dx - \int_0^{t+2} f'(x)\,dx = 2F_0(0) - F_0(t) - F_0(t+2) = -2t^3 + 4\]③ \(0 \lt t \le 2\) (즉 \(2 \lt t+2 \le 4\))일 때: \([t, 2]\)에서 \(f'(x) \le 0\), \([2, t+2]\)에서 \(f'(x) \ge 0\)이므로\[g(t) = -\int_t^2 f'(x)\,dx + \int_2^{t+2} f'(x)\,dx = F_0(t) + F_0(t+2) - 2F_0(2) = 2t^3 + 4\]④ \(t \gt 2\)일 때: 구간 전체에서 \(f'(x) \ge 0\)이므로 \(g(t) = F_0(t+2) - F_0(t) = 6t^2 - 4\)입니다.
따라서 \(g(t)\)는 \(t \lt 0\)에서 감소하고 \(t \gt 0\)에서 증가하므로, \(t = 0\)에서 최솟값 \(g(0) = 4\)를 가집니다.

(2-ⅱ)에서 구한 \(g(t)\)를 정리하면 다음과 같습니다.\[g(t) = \begin{cases} 6t^2 - 4 & (t \le -2 \text{ 또는 } t \ge 2) \\ -2t^3 + 4 & (-2 \le t \le 0) \\ 2t^3 + 4 & (0 \le t \le 2) \end{cases}\]모든 실수 \(t\)에 대하여 \(g(-t) = g(t)\)가 성립하므로 \(g(t)\)는 \(y\)축에 대하여 대칭인 우함수입니다.
(1) 구간 \([-2, 2]\)에서의 정적분:\[\begin{aligned} \int_{-2}^2 g(t)\,dt &= 2\int_0^2 (2t^3 + 4)\,dt = 2\left[\frac{1}{2}t^4 + 4t\right]_0^2 \\ &= 2(8 + 8) = 32 \end{aligned}\](2) 구간 \([-3, 3]\)에서의 정적분:\[\begin{aligned} \int_{-3}^3 g(t)\,dt &= \int_{-2}^2 g(t)\,dt + 2\int_2^3 (6t^2 - 4)\,dt \\ &= 32 + 2\left[2t^3 - 4t\right]_2^3 = 32 + 2\{(54 - 12) - (16 - 8)\} = 32 + 2(42 - 8) = 32 + 68 = 100 \end{aligned}\]입니다.

주사위를 1회 던질 때 \(3\)의 배수(\(3, 6\))가 나올 확률은 \(p = \frac{1}{3}\)이고, 나오지 않을 확률은 \(q = \frac{2}{3}\)입니다.
\(n\)번의 독립시행 중 \(3\)의 배수의 눈이 나오는 횟수를 \(R\)이라 하면 \(R \sim \mathrm{B}\left(n, \frac{1}{3}\right)\)이며, \(3\)의 배수가 아닌 눈이 나오는 횟수는 \(n - R\)입니다.
따라서 \(n\)회 시행 후 점 \(P_n\)의 좌표 \((X_n, Y_n)\)은\[\begin{aligned} X_n &= 2R + 1 \cdot (n - R) = n + R, \\ Y_n &= 1 \cdot R + (-1)(n - R) = 2R - n \end{aligned}\]입니다. \(n = 6\)일 때 \(X_6 + 2Y_6 = (6 + R) + 2(2R - 6) = 5R - 6\)이므로, 사건 \(A : X_6 + 2Y_6 \ge 9\)는 \(5R - 6 \ge 9 \iff R \ge 3\)인 사건입니다.
\[P(A) = P(R \ge 3) = 1 - \sum_{r=0}^2 {}_6\mathrm{C}_r \left(\frac{1}{3}\right)^r \left(\frac{2}{3}\right)^{6-r} = 1 - \frac{496}{729} = \frac{233}{729}\]처음 2회 모두 \(3\)의 배수가 나오는 사건을 \(B\)라 하면, \(A \cap B\)는 처음 2회 성공 후 나머지 4회 중 \(1\)회 이상 성공할 사건이므로\[P(A \cap B) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left\{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^4\right\} = \frac{1}{9} \times \frac{65}{81} = \frac{65}{729}\]입니다. 따라서 구하는 조건부확률은 \(P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{65}{233}\)입니다.

(3-ⅰ)의 좌표 관계식으로부터 \(Z_n = X_n - Y_n\)을 \(R\)에 관하여 정리하면\[Z_n = (n + R) - (2R - n) = 2n - R\]입니다. \(R \sim \mathrm{B}\left(n, \frac{1}{3}\right)\)이므로 제시문 <2>에 의하여 \(E(R) = \frac{1}{3}n, \; V(R) = n \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}n\)입니다.
기댓값과 분산의 선형 성질을 적용하면\[\begin{aligned} E(Z_n) &= E(2n - R) = 2n - E(R) = 2n - \frac{1}{3}n = \frac{5}{3}n, \\ V(Z_n) &= V(2n - R) = (-1)^2 V(R) = \frac{2}{9}n \end{aligned}\]입니다.

확률변수 \(W_n = X_n + Y_n\)을 \(R\)에 관하여 나타내면\[W_n = (n + R) + (2R - n) = 3R\]입니다. 따라서 \(W_n\)의 기댓값과 분산은 각각\[E(W_n) = 3E(R) = 3 \cdot \frac{1}{3}n = n, \quad V(W_n) = 3^2 V(R) = 9 \cdot \frac{2}{9}n = 2n\]입니다. 제시문 <2>의 관계식 \(E(W_n^2) = V(W_n) + \{E(W_n)\}^2 = 2n + n^2\)을 대입하면\[\frac{E(W_n^2)}{\{E(W_n)\}^2} = \frac{n^2 + 2n}{n^2} = 1 + \frac{2}{n}\]입니다. 부등식 \(1 + \dfrac{2}{n} \le \dfrac{109}{100}\)을 정리하면\[\frac{2}{n} \le \frac{9}{100} \iff 9n \ge 200 \iff n \ge \frac{200}{9} = 22.22\cdots\]이므로, 이를 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(23\)입니다.

삼각형 \(ABC\)에서 코사인법칙에 의하여 변 \(BC\)의 길이를 구하면\[\overline{BC}^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cos 120^\circ = 36 + 9 + 18 = 63 \implies \overline{BC} = 3\sqrt{7}\]사인법칙에 의하여 \(2R = \dfrac{\overline{BC}}{\sin 120^\circ} = \dfrac{3\sqrt{7}}{\sqrt{3}/2} = 2\sqrt{21}\)이므로 외접원의 반지름은 \(R = \sqrt{21}\)입니다.
내각의 이등분선 성질과 삼각형 넓이 분할 \(\triangle ABC = \triangle ABD_1 + \triangle ACD_1\)에 의하여\[\begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \sin 120^\circ &= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \overline{AD_1} \sin 60^\circ + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \overline{AD_1} \sin 60^\circ \\ &\implies \overline{AD_1} = \frac{18}{9} = 2 \end{aligned}\]입니다. 또한 \(\overline{BD_1} : \overline{CD_1} = 6 : 3 = 2 : 1\)이므로 \(\overline{BD_1} = 2\sqrt{7}, \; \overline{CD_1} = \sqrt{7}\)입니다.
원 내부의 두 현 \(AM, BC\)의 교점 \(D_1\)에서 \(\overline{AD_1} \cdot \overline{D_1 M} = \overline{BD_1} \cdot \overline{CD_1}\)이므로 \(2 \cdot \overline{D_1 M} = 2\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 14 \implies \overline{D_1 M} = 7\)입니다.

첫째 정삼각형 \(T_1\)의 한 변의 길이는 \(l_1 = \overline{AD_1} = 2\)이므로 넓이는 \(s_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}\)입니다.
정삼각형 \(T_n\)의 높이는 한 변의 길이의 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)배이므로, 넓이의 공비는 \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4}\)인 등비수열을 이룹니다. 따라서 일반항은\[s_n = \sqrt{3}\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}\]입니다. 이를 주어진 로그 합에 대입하면 \(\dfrac{4^{k-1}}{\sqrt{3}} s_k = 3^{k-1}\)이므로\[\sum_{k=1}^{10} \log_3 \left(\frac{4^{k-1}}{\sqrt{3}} s_k\right) = \sum_{k=1}^{10} \log_3 \left(3^{k-1}\right) = \sum_{k=1}^{10} (k-1) = \frac{9 \times 10}{2} = 45\]입니다.

(1) \(n = 2\)일 때: 좌변은 \(2(\sqrt{3}-1) \approx 1.464\), 중앙은 \(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 1.707\), 우변은 \(2\sqrt{2}-1 \approx 1.828\)이므로 부등식이 성립합니다.
(2) \(n = m\) (\(m \ge 2\))일 때 부등식이 성립한다고 가정하면\[2\left(\sqrt{m+1}-1\right) + \frac{1}{\sqrt{m+1}} \lt \sum_{k=1}^{m+1} \frac{1}{\sqrt{k}} \lt 2\sqrt{m} - 1 + \frac{1}{\sqrt{m+1}}\]입니다. 여기서 좌변을 변형하면 \(\sqrt{m+2} + \sqrt{m+1} \gt 2\sqrt{m+1}\)이므로 \(\dfrac{1}{\sqrt{m+1}} \gt \dfrac{2}{\sqrt{m+2}+\sqrt{m+1}} = 2\left(\sqrt{m+2}-\sqrt{m+1}\right)\)가 되어 좌측 부등식이 성립합니다.
마찬가지로 우변에서 \(\sqrt{m+1} + \sqrt{m} \lt 2\sqrt{m+1}\)이므로 \(\dfrac{1}{\sqrt{m+1}} \lt \dfrac{2}{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}} = 2\left(\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\right)\)가 되어 \(2\sqrt{m} - 1 + \dfrac{1}{\sqrt{m+1}} \lt 2\sqrt{m+1} - 1\)이므로 우측 부등식도 성립합니다.
따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 \(n \ge 2\)에 대하여 부등식이 성립합니다.
이제 \(n = 99\)를 대입하면 \(2(\sqrt{100}-1) \lt \displaystyle\sum_{k=1}^{99} \frac{1}{\sqrt{k}} \lt 2\sqrt{99}-1 \lt 2\sqrt{100}-1\)이므로\[18 \lt \sum_{k=1}^{99} \frac{1}{\sqrt{k}} \lt 19\]가 되어 구하는 정수 부분은 \(18\)입니다.

\(f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(a^2-1)x\)를 미분하면\[f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3(a^2 - 1) = 3\left\{(x-a)^2 - 1\right\} = 3(x - a + 1)(x - a - 1)\]입니다. 따라서 \(f(x)\)는 \(x = a - 1\)에서 극대이고, \(x = a + 1\)에서 극소입니다. 각 극값을 계산하면\[\begin{aligned} f(a-1) &= (a-1)\left\{(a-1)^2 - 3a(a-1) + 3a^2 - 3\right\} = -a^3 + 3a + 2 = -(a+1)^2(a-2), \\ f(a+1) &= (a+1)\left\{(a+1)^2 - 3a(a+1) + 3a^2 - 3\right\} = -a^3 + 3a - 2 = -(a-1)^2(a+2) \end{aligned}\]제시문 <1>에 의해 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 \(f(a-1)f(a+1) \lt 0\)이므로\[(a+1)^2(a-2)(a-1)^2(a+2) \lt 0\]\(a \gt 0\)이므로 \((a+1)^2 \gt 0, \; a+2 \gt 0\)이고, \((a-1)^2(a-2) \lt 0\)이어야 합니다.
따라서 \(a \lt 2\)이고 \(a \ne 1\)이어야 하므로, 구하는 양수 \(a\)의 범위는 \(0 \lt a \lt 1\) 또는 \(1 \lt a \lt 2\)입니다.

\(f(x)\)를 \(x - a\)에 대하여 정리하면 \(f(x) = (x-a)^3 - 3(x-a) + (-a^3 + 3a)\)이고 \(f(a) = -a^3 + 3a\)입니다.
임의의 실수 \(u\)에 대하여 \(f(a+u) + f(a-u) = (u^3 - 3u + f(a)) + (-u^3 + 3u + f(a)) = 2f(a)\)가 항등적으로 성립하므로 곡선 \(y=f(x)\)는 점 \(M(a, f(a))\)에 대하여 대칭입니다.
구간 \([a-1, a+1]\)에서 \(f'(x) \le 0\)이므로 \(f(x)\)는 단조감소합니다. \(x - a = u\) (\(-1 \le u \le 1\))로 치환하고 \(c = t - f(a)\)라 두면\[g(t) = \int_{-1}^1 |u^3 - 3u - c|\,du\]기함수 \(h(u) = u^3 - 3u\)는 \([-1, 1]\)에서 \(-2 \le h(u) \le 2\)인 단조감소 함수이므로, \(c = 0\) 즉 \(t = f(a) = -a^3 + 3a\)일 때 적분 구간이 정확히 이등분되어 \(g(t)\)가 최소가 됩니다.
그때의 최솟값은 \(g(f(a)) = \displaystyle \int_{-1}^1 |u^3 - 3u|\,du = 2\int_0^1 (3u - u^3)\,du = 2\left[\frac{3}{2}u^2 - \frac{1}{4}u^4\right]_0^1 = 2 \times \frac{5}{4} = \frac{5}{2}\)입니다.

방정식 \(f(x) = f(a)\)를 풀면 \((x-a)^3 - 3(x-a) = 0 \iff (x-a)\left\{(x-a)^2 - 3\right\} = 0\)이므로세 교점의 \(x\)좌표는 \(x = a - \sqrt{3}, \; a, \; a + \sqrt{3}\)입니다.
따라서 둘러싸인 도형의 넓이 \(S(a)\)는 치환적분 \(x - a = u\) (\(dx = du\))에 의하여\[\begin{aligned} S(a) &= \int_{a-\sqrt{3}}^{a+\sqrt{3}} |f(x) - f(a)|\,dx = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} |u^3 - 3u|\,du \\ &= 2\int_0^{\sqrt{3}} (3u - u^3)\,du = 2\left[\frac{3}{2}u^2 - \frac{1}{4}u^4\right]_0^{\sqrt{3}} \\ &= 2\left(\frac{9}{2} - \frac{9}{4}\right) = \frac{9}{2} \end{aligned}\]입니다. 적분식에서 매개변수 \(a\)가 완전히 소거되므로 넓이 \(S(a)\)는 양수 \(a\)의 값에 관계없이 항상 \(\dfrac{9}{2}\)로 일정합니다.

\((1+x)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k x^k\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면\[n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^n k \, {}_n\mathrm{C}_k x^{k-1}\]입니다. 양변에 \(x\)를 곱한 식 \(nx(1+x)^{n-1} = \displaystyle\sum_{k=1}^n k \, {}_n\mathrm{C}_k x^k\)의 양변을 다시 \(x\)에 대하여 미분하면\[\begin{aligned} n(1+x)^{n-1} + n(n-1)x(1+x)^{n-2} &= \sum_{k=1}^n k^2 \, {}_n\mathrm{C}_k x^{k-1} \\ \iff n(1+x)^{n-2}\{(1+x) + (n-1)x\} &= \sum_{k=1}^n k^2 \, {}_n\mathrm{C}_k x^{k-1} \end{aligned}\]즉, \(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 \, {}_n\mathrm{C}_k x^{k-1} = n(nx + 1)(1+x)^{n-2}\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 성립합니다.
이 항등식의 양변에 \(x = 2\)를 대입하면\[\sum_{k=1}^n k^2 \, {}_n\mathrm{C}_k 2^{k-1} = n(2n + 1)(1 + 2)^{n-2} = n(2n+1)3^{n-2}\]이 성립함이 증명됩니다.

\(f(0) = 0 \implies c = 0\)이고, \(f(2) = 4a + 2b = 0 \implies b = -2a\)이므로 \(f(x) = ax(x-2)\)입니다.
제시문 <2>의 전확률 조건 \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 1\)에 의하여\[\int_0^2 (ax^2 - 2ax)\,dx = \left[\frac{a}{3}x^3 - ax^2\right]_0^2 = -\frac{4}{3}a = 1 \implies a = -\frac{3}{4}, \; b = \frac{3}{2}, \; c = 0\]입니다. \(f(x) = -\frac{3}{4}x(x-2)\)는 직선 \(x = 1\)에 대하여 대칭이므로 기댓값은 \(E(Y) = 1\)입니다.
제곱의 기댓값 \(E(Y^2)\)을 구하면\[E(Y^2) = \int_0^2 x^2 \left(-\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x\right)dx = \left[-\frac{3}{20}x^5 + \frac{3}{8}x^4\right]_0^2 = -\frac{24}{5} + 6 = \frac{6}{5}\]따라서 분산은 \(V(Y) = E(Y^2) - \{E(Y)\}^2 = \dfrac{6}{5} - 1^2 = \dfrac{1}{5}\)입니다.

\(f(0) = 0\)이므로 \(c = 0\)이고 \(f(x) = ax^2 + bx = x(ax + b)\)입니다.
전확률 조건 \(\displaystyle\int_0^2 (ax^2 + bx)\,dx = \frac{8}{3}a + 2b = 1\)로부터 \(b = \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{3}a\)입니다.
구간 \([0, 2]\)의 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = x(ax + b) \ge 0\)이어야 하므로, \(0 \lt x \le 2\)에서 일차식 \(ax + b \ge 0\)이어야 합니다.
일차함수 \(h(x) = ax + b\)가 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 항상 \(0\) 이상일 필요충분조건은 양 끝점에서의 함숫값이 모두 \(0\) 이상인 것입니다.
• \(h(0) = b \ge 0 \iff \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{3}a \ge 0 \iff a \le \dfrac{3}{8}\)
• \(h(2) = 2a + b \ge 0 \iff 2a + \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{3}a = \dfrac{2}{3}a + \dfrac{1}{2} \ge 0 \iff a \ge -\dfrac{3}{4}\)
따라서 상수 \(a\)의 허용 범위는 \(-\dfrac{3}{4} \le a \le \dfrac{3}{8}\) (\(a \ne 0\))입니다. 이제 기댓값 \(E(Y)\)를 \(a\)로 나타내면\[E(Y) = \int_0^2 (ax^3 + bx^2)\,dx = 4a + \frac{8}{3}b = 4a + \frac{8}{3}\left(\frac{1}{2} - \frac{4}{3}a\right) = \frac{4}{3} + \frac{4}{9}a\]이므로 \(-\dfrac{3}{4} \le a \le \dfrac{3}{8}\)를 대입하면 \(1 \le E(Y) \le \dfrac{3}{2}\)입니다. (단, \(a \ne 0\)이므로 \(E(Y) \ne \dfrac{4}{3}\))

(1) \(x \gt 1\)이므로 \(\log_2 x \gt 0, \; \log_x 2 = \dfrac{1}{\log_2 x} \gt 0\)입니다. 산술·기하평균의 관계에 의하여\[h(x) = 4\log_2 x + \frac{9}{\log_2 x} \ge 2\sqrt{4\log_2 x \cdot \frac{9}{\log_2 x}} = 2 \times 6 = 12\]등호는 \(4\log_2 x = \dfrac{9}{\log_2 x} \iff (\log_2 x)^2 = \dfrac{9}{4} \iff \log_2 x = \dfrac{3}{2}\) (\(\because x \gt 1\)), 즉 \(x = 2^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{2}\)일 때 성립하며 최솟값은 \(12\)입니다.
(2) \(\log_2 x + \log_4 y = \log_2 x + \log_2 \sqrt{y} = \log_2(x\sqrt{y}) = 3\)이므로 \(x\sqrt{y} = 2^3 = 8\)입니다.
\(x \gt 0, \sqrt{y} \gt 0\)이므로 산술·기하평균 관계에 의하여\[x + \sqrt{y} \ge 2\sqrt{x\sqrt{y}} = 2\sqrt{8} = 4\sqrt{2}\]이며, 등호는 \(x = \sqrt{y} = 2\sqrt{2}\) (즉 \(x = 2\sqrt{2}, \; y = 8\))일 때 성립하므로 최솟값은 \(4\sqrt{2}\)입니다.

\(1 \le x \le 4^n = 2^{2n}\)이고 \(x = 2^k\)이므로 음이 아닌 정수 \(k\)의 범위는 \(0 \le k \le 2n\)입니다.
\(x = 2^k\)을 부등식 \(\log_4 x \le y \le \log_2 x\)에 대입하면 \(\dfrac{k}{2} \le y \le k\)입니다.
• \(k = 2j\) (\(0 \le j \le n\))인 짝수일 때: \(j \le y \le 2j\)를 만족하는 정수 \(y\)의 개수는 \(2j - j + 1 = j + 1\)개입니다.
• \(k = 2j - 1\) (\(1 \le j \le n\))인 홀수일 때: \(j - \frac{1}{2} \le y \le 2j - 1\)을 만족하는 정수 \(y\)는 \(j \le y \le 2j - 1\)이므로 개수는 \((2j-1) - j + 1 = j\)개입니다.
따라서 영역 \(D_n\)에 속하는 조건의 점의 총개수 \(a_n\)은\[a_n = \sum_{j=0}^n (j + 1) + \sum_{j=1}^n j = \frac{(n+1)(n+2)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} = (n+1)^2\]입니다. 그러므로 구하는 합은\[\sum_{n=1}^{20} a_n = \sum_{n=1}^{20} (n+1)^2 = \sum_{m=2}^{21} m^2 = \frac{21 \times 22 \times 43}{6} - 1^2 = 3311 - 1 = 3310\]입니다.

(1-ⅱ)에서 \(a_n = (n+1)^2\)이므로 \(a_n - 1 = (n+1)^2 - 1 = n(n+2)\)입니다.
부분분수 변형 \(\dfrac{1}{n(n+2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+2}\right)\)를 이용하여 \(T_m\)을 정리하면\[\begin{aligned} T_m &= \frac{1}{2}\sum_{n=1}^m \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2}\right) \\ &= \frac{3}{4} - \frac{2m+3}{2(m+1)(m+2)} \end{aligned}\]입니다. 부등식 \(T_m \ge \dfrac{40}{63}\)를 정리하면\[\frac{3}{4} - \frac{2m+3}{2(m+1)(m+2)} \ge \frac{40}{63} \iff \frac{2m+3}{2(m+1)(m+2)} \le \frac{3}{4} - \frac{40}{63} = \frac{29}{252}\]\[\iff \frac{2m+3}{(m+1)(m+2)} \le \frac{29}{126}\]\(T_m\)은 \(m\)에 대한 단조증가 수열입니다. \(m = 7\)일 때 \(\dfrac{17}{8 \times 9} = \dfrac{17}{72} = \dfrac{59.5}{252} \gt \dfrac{58}{252}\)로 성립하지 않고,
\(m = 8\)일 때 \(\dfrac{19}{9 \times 10} = \dfrac{19}{90} = \dfrac{53.2}{252} \le \dfrac{58}{252}\) (즉 \(T_8 = \dfrac{29}{45} = \dfrac{162.4}{252} \ge \dfrac{160}{252}\))이므로 성립합니다.
따라서 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(8\)입니다.

포물선 \(W_1 : y = \frac{1}{2}x^2\) 위의 임의의 점 \((x, y)\)에서 \(x^2 = 2y\) (\(y \ge 0\))입니다.
점 \(C(0, a)\)로부터 곡선 위의 점까지의 거리의 제곱을 \(y\)에 관한 함수 \(h(y)\)로 나타내면\[h(y) = x^2 + (y - a)^2 = 2y + (y - a)^2 = y^2 - 2(a - 1)y + a^2 = (y - a + 1)^2 + 2a - 1 \quad (y \ge 0)\]원과 포물선이 서로 다른 두 점 \((\pm x_0, y_0)\) (\(x_0 \gt 0 \iff y_0 \gt 0\))에서 접하려면, \(h(y)\)가 \(y \gt 0\)인 점에서 최솟값 \(r^2\)을 가져야 합니다.
이차함수 \(h(y)\)의 꼭짓점의 \(y\)좌표가 \(y_0 = a - 1\)이므로 \(y_0 \gt 0 \iff a \gt 1\)이어야 합니다.
그때 원의 반지름의 제곱은 최솟값 \(r^2 = h(a-1) = 2a - 1\)이므로, 반지름의 길이는 \(r = \sqrt{2a - 1}\)입니다.

\(y = x^2\)에서 \(y' = 2x\)이므로 점 \(P(t, t^2)\) (\(t \gt 0\))에서의 접선의 기울기는 \(2t\)이고, 이에 수직인 법선의 기울기는 \(-\dfrac{1}{2t}\)입니다.
따라서 법선의 방정식은 \(y - t^2 = -\dfrac{1}{2t}(x - t) \iff y = -\dfrac{1}{2t}x + t^2 + \dfrac{1}{2}\)이며, \(y\)축과의 교점은 \(Q\left(0, \; t^2 + \frac{1}{2}\right)\)입니다.
(1) 선분 \(PQ\)의 길이는 \(\overline{PQ} = \sqrt{(t - 0)^2 + \left\{t^2 - \left(t^2 + \frac{1}{2}\right)\right\}^2} = \sqrt{t^2 + \frac{1}{4}}\)이므로\[\lim_{t \to 0+} \overline{PQ} = \lim_{t \to 0+} \sqrt{t^2 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\]입니다.
(2) 삼각형 \(OPQ\)는 밑변이 \(\overline{OQ} = t^2 + \dfrac{1}{2}\)이고 높이가 점 \(P\)의 \(x\)좌표인 \(t\)이므로 넓이는\[S(t) = \frac{1}{2} \cdot \overline{OQ} \cdot t = \frac{1}{2}t\left(t^2 + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}t^3 + \frac{1}{4}t\]입니다. 따라서 \(\displaystyle\lim_{t \to 0+} \frac{S(t)}{t} = \lim_{t \to 0+} \left(\frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}\)입니다.

(2-ⅰ)에서 \(a = \dfrac{5}{2}\)이면 접점의 \(y\)좌표는 \(y_0 = a - 1 = \dfrac{3}{2}\)이고, \(x_0^2 = 2y_0 = 3\)이므로 두 접점은 \(A\left(-\sqrt{3}, \; \frac{3}{2}\right), \; B\left(\sqrt{3}, \; \frac{3}{2}\right)\)입니다.
(1) 직선 \(AB : y = \dfrac{3}{2}\)와 포물선 \(W_1 : y = \dfrac{1}{2}x^2\)으로 둘러싸인 도형의 넓이는 제시문 <2>에 의하여\[\begin{aligned} \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \left(\frac{3}{2} - \frac{1}{2}x^2\right)dx &= \frac{\left|\frac{1}{2}\right|}{6}\left\{\sqrt{3} - (-\sqrt{3})\right\}^3 \\ &= \frac{1}{12}(2\sqrt{3})^3 = \frac{24\sqrt{3}}{12} = 2\sqrt{3} \end{aligned}\]입니다.
(2) 사각형 \(OACB\)에서 두 대각선 \(OC\)와 \(AB\)는 \(y\)축 위의 점 \(\left(0, \frac{3}{2}\right)\)에서 서로 수직으로 만납니다.
선분 \(OC\)의 길이는 \(\overline{OC} = a = \dfrac{5}{2}\)이고, 선분 \(AB\)의 길이는 \(\overline{AB} = 2\sqrt{3}\)이므로 사각형 \(OACB\)의 넓이는\[\text{넓이}(OACB) = \frac{1}{2} \times \overline{OC} \times \overline{AB} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} \times 2\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\]입니다.

\(12\)개의 점 중 \(3\)개를 택하는 전체 경우의 수는 \({}_{12}\mathrm{C}_3 = \dfrac{12 \times 11 \times 10}{6} = 220\)가지입니다.
(1) 직각삼각형 사건 \(A\): 마주 보는 점을 잇는 지름은 \(6\)개이고, 각 지름마다 나머지 \(10\)개의 점 중 하나를 택하면 직각삼각형이 되므로 개수는 \(6 \times 10 = 60\)개입니다. 따라서 \(P(A) = \dfrac{60}{220} = \dfrac{3}{11}\)입니다.
(2) 이등변삼각형 사건 \(B\): 꼭짓점 사이의 호의 칸수 합이 \(12\)가 되는 \((a, a, 12-2a)\) 순서쌍은 \((1,1,10), (2,2,8), (3,3,6), (4,4,4), (5,5,2)\)입니다.
정삼각형 \((4,4,4)\)는 \(4\)개이고, 나머지 4종류는 대칭축의 꼭짓점 \(12\)개마다 \(1\)개씩 총 \(4 \times 12 = 48\)개이므로 전체 이등변삼각형은 \(48 + 4 = 52\)개입니다. 따라서 \(P(B) = \dfrac{52}{220} = \dfrac{13}{55}\)입니다.
(3) 예각삼각형 사건 \(C\): 한 꼭짓점 \(P_1\)을 고정하고 시계 반대 방향으로 두 점 사이의 간격을 \(x, y, z\) (\(x+y+z=12\))라 하면 예각 조건은 \(1 \le x, y, z \le 5\)입니다. \((x,y,z)\)의 순서쌍은 \((2,5,5) \sim (4,4,4)\)에서 총 \(10\)개이므로, 전체 예각삼각형은 \(\dfrac{12 \times 10}{3} = 40\)개입니다. 따라서 \(P(C) = \dfrac{40}{220} = \dfrac{2}{11}\)입니다.

\(A \cap B\)는 직각이등변삼각형이 되는 사건으로, 호의 칸수가 \((3, 3, 6)\)인 경우이므로 개수는 \(12\)개입니다.
따라서 \(P(A \cap B) = \dfrac{12}{220} = \dfrac{3}{55}\)입니다. 반면\[P(A)P(B) = \frac{3}{11} \times \frac{13}{55} = \frac{39}{605} \ne \frac{3}{55} \left(= \frac{33}{605}\right)\]이므로 두 사건 \(A\)와 \(B\)는 서로 종속입니다.
일반적인 \(2m\)개의 점에서 전체 삼각형 수는 \({}_{2m}\mathrm{C}_3 = \dfrac{2m(2m-1)(2m-2)}{6} = \dfrac{2m(m-1)(2m-1)}{3}\)입니다.
• 직각삼각형 개수는 지름 \(m\)개 \(\times (2m-2)\)개 점 \(= 2m(m-1)\)개이므로 \(p_m = \dfrac{3}{2m-1}\)입니다.
• 예각삼각형 개수는 \(\dfrac{2m(m-1)(m-2)}{6}\)개이므로 \(q_m = \dfrac{m-2}{2(2m-1)}\)입니다.

(3-ⅱ)에서 구한 \(p_m = \dfrac{3}{2m-1}\)과 \(q_m = \dfrac{m-2}{2(2m-1)}\)의 비를 구하면\[\frac{q_m}{p_m} = \frac{m - 2}{6} = \frac{7}{3} \iff m - 2 = 14 \iff m = 16\]입니다.
원의 중심 \(O\)로부터 삼각형의 세 변까지의 거리 중 최솟값 \(D\)가 \(0\)이 될 필요충분조건은 삼각형의 한 변이 원의 중심 \(O\)를 지나는 것, 즉 그 변이 원의 지름이 되어 삼각형이 직각삼각형이 되는 것입니다.
따라서 \(m = 16\)일 때 구하는 확률은\[P(D = 0) = p_{16} = \frac{3}{2 \times 16 - 1} = \frac{3}{31}\]입니다.

함수 \(y = \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)의 주기는 \(4\)이므로, 닫힌구간 \([0, 4n]\)은 길이 \(4\)인 \(n\)개의 부분 구간 \(I_k = [4k-4, 4k]\) (\(k = 1, 2, \dots, n\))로 분할됩니다.
각 구간 \(I_k\)에서 \(\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \gt 0\)인 구간은 \((4k-4, 4k-2)\)이며, 이 구간에서 그래프는 직선 \(x = 4k - 3\)에 대하여 대칭이고 최댓값 \(1 \gt \frac{1}{3}\)을 가집니다.
따라서 직선 \(y = \frac{1}{3}\)과 각 구간 \(I_k\)마다 서로 다른 두 점에서 만나므로 전체 실근의 개수는 \(a_n = 2n\)입니다.
또한 \(k\)번째 구간의 두 실근을 \(\alpha_k, \beta_k\)라 하면 대칭성에 의해 \(\dfrac{\alpha_k + \beta_k}{2} = 4k - 3 \implies \alpha_k + \beta_k = 8k - 6\)입니다.
그러므로 모든 실근의 합 \(S_n\)은\[S_n = \sum_{k=1}^n (8k - 6) = 8 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 6n = 4n^2 - 2n = 2n(2n-1)\]입니다. 따라서 구하는 합은\[\sum_{n=1}^{15} S_n = 4\sum_{n=1}^{15} n^2 - 2\sum_{n=1}^{15} n = 4 \times \frac{15 \times 16 \times 31}{6} - 2 \times \frac{15 \times 16}{2} = 4960 - 240 = 4720\]입니다.

함수 \(y = \left|\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right|\)는 주기가 \(2\)이고 치역이 \([0, 1]\)인 연속함수입니다.
구간 \([0, 4n]\)을 길이 \(2\)인 \(2n\)개의 구간 \(J_j = [2j-2, 2j]\) (\(j = 1, 2, \dots, 2n\))으로 나누어 관찰합니다.
• 첫 번째 구간 \(J_1 = [0, 2]\): \(x \in [0, 1]\)에서 \(\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)는 \(1\)에서 \(0\)으로 감소하고 직선 \(y = \frac{x}{4n}\)은 \(0\)에서 \(\frac{1}{4n}\)으로 증가하므로 \(1\)개의 교점을 가집니다. \(x \in [1, 2]\)에서는 곡선이 \(0\)에서 \(1\)로 증가하고 직선은 \(\frac{1}{4n}\)에서 \(\frac{2}{4n} \lt 1\)로 증가하므로 다시 \(1\)개의 교점을 가져 총 \(2\)개의 실근을 가집니다.
• \(2 \le j \le 2n-1\)인 각 구간 \(J_j\): 양 끝점 \(x = 2j-2, 2j\)에서 곡선의 값은 \(1\)이고 중심 \(x = 2j-1\)에서 \(0\)이므로, 높이가 \(0 \lt \frac{x}{4n} \lt 1\)인 직선과 내려가는 구간과 올라가는 구간에서 각각 \(1\)번씩 총 \(2\)개의 교점을 가집니다.
• 마지막 구간 \(J_{2n} = [4n-2, 4n]\): \([4n-2, 4n-1]\)에서 \(1\)개, 그리고 \([4n-1, 4n]\)에서는 곡선이 \((4n-1, 0)\)에서 \((4n, 1)\)로 위로 볼록하게 증가하여 끝점 \((4n, 1)\)에서 직선과 정확히 만나므로 \(1\)개의 교점을 가집니다.
따라서 모든 구간 \(J_j\) (\(j=1, \dots, 2n\))에서 각각 \(2\)개씩 만나므로 총 실근의 개수는 \(b_n = 2 \times 2n = 4n\)입니다.

(1-ⅰ)에서 \(a_n = 2n\)이고 \(S_n = 4n^2 - 2n\)이므로 분모를 정리하면\[S_n + a_n - 1 = (4n^2 - 2n) + 2n - 1 = 4n^2 - 1 = (2n - 1)(2n + 1)\]입니다. 따라서 일반항을 부분분수로 분해하면\[\frac{2}{S_n + a_n - 1} = \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\]이 성립합니다. 이제 제\(m\)항까지의 부분합을 망원급수로 소거하면\[\begin{aligned} \sum_{n=1}^m \frac{2}{S_n + a_n - 1} &= \sum_{n=1}^m \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \\ &= \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2m-1} - \frac{1}{2m+1}\right) \\ &= 1 - \frac{1}{2m+1} = \frac{2m}{2m+1} \end{aligned}\]입니다. 주어진 부등식 \(\dfrac{2m}{2m+1} \ge \dfrac{98}{99}\)를 풀면\[1 - \frac{1}{2m+1} \ge 1 - \frac{1}{99} \iff 2m + 1 \ge 99 \iff 2m \ge 98 \iff m \ge 49\]이므로 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(49\)입니다.

\(P(x)\)를 이차식 \((x+1)^2\) 및 \((x-1)^2\)으로 나눈 공통 나머지가 \(R(x)\)이므로, \(R(x)\)는 일차 이하의 다항식 \(R(x) = ax + b\) (\(a, b\)는 상수)입니다.
조건 (가)에 의해 다항식 \(P(x) - R(x)\)는 \((x+1)^2\)과 \((x-1)^2\)으로 각각 나누어떨어지며, \((x+1)^2\)과 \((x-1)^2\)은 서로소이고 \(P(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)인 사차다항식이므로\[P(x) - R(x) = (x+1)^2(x-1)^2 = (x^2 - 1)^2\]입니다. 따라서 \(P(x) = (x^2 - 1)^2 + ax + b = x^4 - 2x^2 + ax + b + 1\)이고, 미분하면 \(P'(x) = 4x^3 - 4x + a\)입니다.
조건 (나)에서 \(P(0) = b + 1 = 2 \implies b = 1\)이고, \(P'(0) = a = 2\)입니다.
그러므로 \(R(x) = 2x + 1\)이고, \(P(x) = (x^2 - 1)^2 + 2x + 1 = x^4 - 2x^2 + 2x + 2\)입니다.

\(h(x) = P(x) - R(x) = (x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1\)이라 하면 \(h'(x) = 4x(x-1)(x+1)\)입니다.
\(h(x)\)는 \(x = \pm 1\)에서 극솟값 \(h(\pm 1) = 0\)을 갖고, \(x = 0\)에서 극댓값 \(h(0) = 1\)을 갖는 대칭 사차함수입니다.
따라서 방정식 \(h(x) = k\)가 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 직선 \(y = k\)가 극댓점을 지나는 경우이므로 \(k = 1\)입니다.
\(k = 1\)일 때 \((x^2 - 1)^2 = 1 \iff x^4 - 2x^2 = x^2(x^2 - 2) = 0\)이므로 세 실근은 \(x = -\sqrt{2}, \; 0, \; \sqrt{2}\)입니다.
한편 \(G(t) = \displaystyle\int_0^t (x^2-1)^2\,dx\)를 미분하면 모든 실수 \(t\)에 대하여\[G'(t) = (t^2 - 1)^2 \ge 0\]이며, \(G'(t) = 0\)이 되는 점은 유한개(\(t = \pm 1\))뿐이므로 함수 \(G(t)\)는 실수 전체의 집합에서 엄격하게 증가합니다.
또한 \(G(0) = 0\)이고 일대일 함수이므로 방정식 \(G(t) = 0\)의 실근은 \(t = 0\) 하나뿐, 즉 실근의 개수는 \(1\)개입니다.

곡선 \(y = P(x)\)와 직선 \(y = R(x)\)의 교점은 \(P(x) - R(x) = (x^2 - 1)^2 = 0\)에서 \(x = -1, \; 1\) (각각 접점)입니다.
피적분함수 \(P(x) - R(x) = x^4 - 2x^2 + 1 \ge 0\)은 우함수이므로:
(1) 곡선과 직선으로 둘러싸인 닫힌 영역의 넓이 \(S_1\) (\(x \in [-1, 1]\))은\[\begin{aligned} S_1 &= \int_{-1}^1 (x^4 - 2x^2 + 1)\,dx = 2\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1)\,dx \\ &= 2\left[\frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + x\right]_0^1 = 2\left(\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1\right) = 2 \times \frac{8}{15} = \frac{16}{15} \end{aligned}\]입니다.
(2) 구간 \([-2, 2]\)에서 둘러싸인 모든 영역의 넓이의 합 \(S_2\)는 모든 \(x\)에서 \((x^2-1)^2 \ge 0\)이므로\[\begin{aligned} S_2 &= \int_{-2}^2 (x^4 - 2x^2 + 1)\,dx = 2\int_0^2 (x^4 - 2x^2 + 1)\,dx \\ &= 2\left[\frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + x\right]_0^2 = 2\left(\frac{32}{5} - \frac{16}{3} + 2\right) = 2 \times \frac{46}{15} = \frac{92}{15} \end{aligned}\]입니다.

특수 등급 사건을 \(E\), 일반 등급 사건을 \(E^c\)라 하면 \(P(E) = 0.1 = \frac{1}{10}, \; P(E^c) = 0.9 = \frac{9}{10}\)입니다.
\(k\)회 연속 양성 판정을 받는 사건을 \(A_k\)라 하면, 각 회차 검사가 조건부 독립이므로\[P(A_k | E) = (0.8)^k = \left(\frac{4}{5}\right)^k, \quad P(A_k | E^c) = (0.2)^k = \left(\frac{1}{5}\right)^k\]입니다. 제시문 <1>에 의하여 조건부확률 \(p_k = P(E | A_k)\)를 계산하면 분자·분모를 \(\frac{1}{10}\left(\frac{1}{5}\right)^k\)로 약분하여\[p_k = \frac{\frac{1}{10}\left(\frac{4}{5}\right)^k}{\frac{1}{10}\left(\frac{4}{5}\right)^k + \frac{9}{10}\left(\frac{1}{5}\right)^k} = \frac{4^k}{4^k + 9}\]입니다. 부등식 \(p_k \ge 0.99 = \dfrac{99}{100}\)를 풀면\[\frac{4^k}{4^k + 9} \ge \frac{99}{100} \iff 100 \cdot 4^k \ge 99 \cdot 4^k + 891 \iff 4^k \ge 891\]\(4^4 = 256 \lt 891\)이고 \(4^5 = 1024 \ge 891\)이므로 자연수 \(k\)의 최솟값은 \(5\)입니다.

확률변수 \(X \sim \mathrm{N}(50, 4^2)\)의 확률밀도함수는 평균 \(m = 50\)에 대하여 좌우 대칭이고 \(x = 50\)에서 최댓값을 가지며 멀어질수록 감소합니다.
구간 \([2t - 6, \; 2t + 10]\)의 길이는 \((2t + 10) - (2t - 6) = 16\)으로 일정하므로, 이 구간의 확률 \(h(t)\)가 최대가 되려면 구간의 중점이 정규분포의 대칭축 \(m = 50\)과 일치해야 합니다.
\[\frac{(2t - 6) + (2t + 10)}{2} = 50 \iff 2t + 2 = 50 \iff t = 24\]\(t = 24\)일 때 구간은 \([42, 58]\)이므로 표준화 변수 \(Z = \dfrac{X - 50}{4}\)로 변환하면\[h(24) = P(42 \le X \le 58) = P(-2 \le Z \le 2) = 2P(0 \le Z \le 2) = 2 \times 0.4772 = 0.9544\]입니다.

모집단 \(\mathrm{N}(50, 4^2)\)에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출할 때, 제시문 <2>에 의하여 표본평균 \(\overline{X}\)는 정규분포 \(\mathrm{N}\left(50, \frac{4^2}{n}\right)\)을 따릅니다.
따라서 \(Z = \dfrac{\overline{X} - 50}{4/\sqrt{n}}\)은 표준정규분포 \(\mathrm{N}(0, 1)\)을 따르므로\[\begin{aligned} P(|\overline{X} - 50| \le 1) &= P\left(|Z| \le \frac{1}{4/\sqrt{n}}\right) = P\left(-\frac{\sqrt{n}}{4} \le Z \le \frac{\sqrt{n}}{4}\right) \\ &= 2P\left(0 \le Z \le \frac{\sqrt{n}}{4}\right) \end{aligned}\]입니다. 주어진 조건에서 \(2P\left(0 \le Z \le \frac{\sqrt{n}}{4}\right) \ge 0.9544 \iff P\left(0 \le Z \le \frac{\sqrt{n}}{4}\right) \ge 0.4772\)입니다.
제시문 <3>에서 \(P(0 \le Z \le 2) = 0.4772\)이므로\[\frac{\sqrt{n}}{4} \ge 2 \iff \sqrt{n} \ge 8 \iff n \ge 64\]가 되어 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(64\)입니다.

\(N_n = 12^n = (2^2 \cdot 3)^n = 2^{2n} \cdot 3^n\)이므로, \(D_n\)의 원소는 \(d = 2^i 3^j\) (\(0 \le i \le 2n, \; 0 \le j \le n\)인 정수)입니다.
따라서 \(n(D_n) = (2n + 1)(n + 1)\)입니다.
약수 \(d = 2^i 3^j\)이 \(6 = 2 \cdot 3\)의 배수가 되려면 \(1 \le i \le 2n\)이고 \(1 \le j \le n\)이어야 하므로 \(n(E_n) = 2n \cdot n = 2n^2\)입니다.
한편 \(\log_2(2^i 3^j) = i + j\alpha\) (\(\alpha = \log_2 3\))이므로 전체 약수에 대한 로그 총합 \(A_n\)은\[\begin{aligned} A_n &= \sum_{i=0}^{2n} \sum_{j=0}^n (i + j\alpha) = (n + 1)\sum_{i=0}^{2n} i + (2n + 1)\alpha \sum_{j=0}^n j \\ &= (n + 1) \cdot \frac{2n(2n + 1)}{2} + (2n + 1)\alpha \cdot \frac{n(n + 1)}{2} \\ &= n(n + 1)(2n + 1)\left(1 + \frac{\alpha}{2}\right) \end{aligned}\]입니다. (약수의 대칭성 \(d \cdot \frac{N_n}{d} = 12^n\)을 이용하여도 동일하게 얻어집니다.)

집합 \(E_n\)의 원소는 \(1 \le i \le 2n, \; 1 \le j \le n\)을 만족하므로 로그 총합 \(B_n\)은\[\begin{aligned} B_n &= \sum_{i=1}^{2n} \sum_{j=1}^n (i + j\alpha) = n\sum_{i=1}^{2n} i + 2n\alpha \sum_{j=1}^n j \\ &= n \cdot \frac{2n(2n + 1)}{2} + 2n\alpha \cdot \frac{n(n + 1)}{2} \\ &= n^2(2n + 1) + n^2(n + 1)\alpha \end{aligned}\]입니다. \(A_n\)과 \(B_n\)을 \(n\)에 대한 삼차다항식으로 전개하여 최고차항(\(n^3\))의 계수를 비교하면\[A_n = (2 + \alpha)n^3 + O(n^2), \quad B_n = (2 + \alpha)n^3 + O(n^2)\]이므로 구하는 극한값은 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{B_n}{A_n} = \frac{2 + \alpha}{2 + \alpha} = 1\)입니다.

(1-ⅰ)과 (1-ⅱ)에서 구한 \(A_n\)과 \(B_n\)의 차를 구하면\[\begin{aligned} A_n - B_n &= \left\{n(n+1)(2n+1) - n^2(2n+1)\right\} + \left\{\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1) - n^2(n+1)\right\}\alpha \\ &= n(2n+1)\{(n+1) - n\} + \frac{1}{2}n(n+1)\{(2n+1) - 2n\}\alpha \\ &= n(2n+1) + \frac{1}{2}n(n+1)\alpha = (2n^2 + n) + \frac{1}{2}(n^2 + n)\alpha \end{aligned}\]입니다. 이제 \(n = 1\)부터 \(10\)까지 합산하면 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} n = 55, \; \sum_{n=1}^{10} n^2 = 385\)이므로\[\begin{aligned} p &= \sum_{n=1}^{10} (2n^2 + n) = 2 \times 385 + 55 = 770 + 55 = 825, \\ q &= \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{10} (n^2 + n) = \frac{1}{2}(385 + 55) = \frac{440}{2} = 220 \end{aligned}\]입니다. 따라서 \(p = 825, \; q = 220\)입니다.

제시문 <1>에 의하여 \(ax^2 + bx + c\)가 최대가 되는 순열 \((a, b, c)\)에서 가장 큰 계수 \(3\)이 곱해지는 항에는 최솟값 \(h(x)\)에서 가장 작은 계수 \(1\)이 곱해집니다.
즉, 임의의 고정된 실수 \(x\)에서 \(g(x)\)를 만드는 순열을 \((a^*, b^*, c^*)\)라 하면, \(h(x)\)를 만드는 순열은 \((4-a^*, 4-b^*, 4-c^*)\)이므로 모든 실수 \(x\)에서\[g(x) + h(x) = (a^* + 4 - a^*)x^2 + (b^* + 4 - b^*)x + (c^* + 4 - c^*) = 4(x^2 + x + 1)\]이 항등적으로 성립합니다. 이제 세 수 \(x^2, x, 1\)의 대소 관계에 따라 구간을 나누면:
① \(x \lt -1\)일 때 (\(x \lt 1 \lt x^2\)): \(g(x) = 3x^2 + x + 2, \quad h(x) = x^2 + 3x + 2\)
② \(-1 \le x \lt 0\)일 때 (\(x \lt x^2 \le 1\)): \(g(x) = 2x^2 + x + 3, \quad h(x) = 2x^2 + 3x + 1\)
③ \(0 \le x \lt 1\)일 때 (\(x^2 \le x \lt 1\)): \(g(x) = x^2 + 2x + 3, \quad h(x) = 3x^2 + 2x + 1\)
④ \(x \ge 1\)일 때 (\(1 \le x \le x^2\)): \(g(x) = 3x^2 + 2x + 1, \quad h(x) = x^2 + 2x + 3\) 입니다.

\(g(x)\)는 각 열린구간에서 이차함수이므로 미분가능하며, 경계점 \(x_0 \in \{-1, 0, 1\}\)에서의 좌·우미분계수를 조사합니다.
구간별 도함수는 \(x \lt -1\)에서 \(6x+1\), \(-1 \lt x \lt 0\)에서 \(4x+1\), \(0 \lt x \lt 1\)에서 \(2x+2\), \(x \gt 1\)에서 \(6x+2\)입니다.
• \(x_0 = -1\): 좌미분계수 \(= 6(-1)+1 = -5\), 우미분계수 \(= 4(-1)+1 = -3 \implies |-3 - (-5)| = 2\)
• \(x_0 = 0\): 좌미분계수 \(= 4(0)+1 = 1\), 우미분계수 \(= 2(0)+2 = 2 \implies |2 - 1| = 1\)
• \(x_0 = 1\): 좌미분계수 \(= 2(1)+2 = 4\), 우미분계수 \(= 6(1)+2 = 8 \implies |8 - 4| = 4\)
세 경계점 모두 좌·우미분계수가 다르므로 미분가능하지 않은 점은 \(x_0 = -1, \; 0, \; 1\)이고, 차의 절댓값들의 합은 \(2 + 1 + 4 = 7\)입니다.

(2-ⅰ)에서 구한 \(g(x)\)와 \(h(x)\)로부터 구간 \([-2, 1]\)에서의 차 \(D(x) = g(x) - h(x)\)를 구하면 다음과 같습니다.
• \(-2 \le x \lt -1\)에서: \(D(x) = (3x^2 + x + 2) - (x^2 + 3x + 2) = 2x^2 - 2x\)
• \(-1 \le x \lt 0\)에서: \(D(x) = (2x^2 + x + 3) - (2x^2 + 3x + 1) = -2x + 2\)
• \(0 \le x \le 1\)에서: \(D(x) = (x^2 + 2x + 3) - (3x^2 + 2x + 1) = -2x^2 + 2\)
따라서 세 구간으로 나누어 정적분을 계산하면\[\begin{aligned} \int_{-2}^1 \{g(x) - h(x)\}\,dx &= \int_{-2}^{-1} (2x^2 - 2x)\,dx + \int_{-1}^0 (-2x + 2)\,dx + \int_0^1 (-2x^2 + 2)\,dx \\ &= \left[\frac{2}{3}x^3 - x^2\right]_{-2}^{-1} + \left[-x^2 + 2x\right]_{-1}^0 + \left[-\frac{2}{3}x^3 + 2x\right]_0^1 \\ &= \left\{\left(-\frac{2}{3} - 1\right) - \left(-\frac{16}{3} - 4\right)\right\} + \{0 - (-1 - 2)\} + \left(-\frac{2}{3} + 2\right) \\ &= \frac{23}{3} + 3 + \frac{4}{3} = 9 + 3 = 12 \end{aligned}\]입니다.

\(A, B, C \in \{1, 2, 3, 4\}\)의 전체 순서쌍의 개수는 \(4^3 = 64\)가지입니다.
이차방정식 \(Ax^2 + 2Bx + C = 0\)이 실근을 가질 조건은 \(\dfrac{D}{4} = B^2 - AC \ge 0 \iff AC \le B^2\)입니다. \(B\)의 값에 따라 \((A, C)\)의 개수를 구하면:
• \(B = 1\) (\(AC \le 1\)): \((1,1)\) \(\implies 1\)가지
• \(B = 2\) (\(AC \le 4\)): \(A=1\)일 때 \(4\)개, \(A=2\)일 때 \(2\)개, \(A=3\)일 때 \(1\)개, \(A=4\)일 때 \(1\)개 \(\implies 8\)가지
• \(B = 3\) (\(AC \le 9\)): \(A=1\)(\(4\)개), \(A=2\)(\(4\)개), \(A=3\)(\(3\)개), \(A=4\)(\(2\)개) \(\implies 13\)가지
• \(B = 4\) (\(AC \le 16\)): 모든 \((A, C)\)가 성립 \(\implies 16\)가지
따라서 실근을 갖는 순서쌍은 \(1 + 8 + 13 + 16 = 38\)가지이므로 \(p = \dfrac{38}{64} = \dfrac{19}{32}\)입니다.
중근 조건 \(B^2 = AC\)를 만족하는 순서쌍 \((A, B, C)\)는 \((1,1,1), (2,2,2), (1,2,4), (4,2,1), (3,3,3), (4,4,4)\)의 총 \(6\)가지입니다.
각 경우에서 \(A + C\)의 값은 \(2, 4, 5, 5, 6, 8\)이므로 조건부 기댓값은 \(E(A+C \mid \text{중근}) = \dfrac{2+4+5+5+6+8}{6} = \dfrac{30}{6} = 5\)입니다.

\(I = \displaystyle\int_0^1 (Ax^2 + 2Bx + C)\,dx = \left[\frac{A}{3}x^3 + Bx^2 + Cx\right]_0^1 = \frac{1}{3}A + B + C\)입니다.
복원추출이므로 \(A, B, C\)는 서로 독립이고 동일한 분포를 따릅니다. 한 번의 시행에서 나오는 눈 \(X \in \{1, 2, 3, 4\}\)의 기댓값과 분산은\[\begin{aligned} E(X) &= \frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = \frac{5}{2}, \\ V(X) &= \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2}{4} - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{30}{4} - \frac{25}{4} = \frac{5}{4} \end{aligned}\]입니다. 따라서 제시문 <1>의 선형결합 공식에 의하여\[\begin{aligned} E(I) &= \left(\frac{1}{3} + 1 + 1\right)E(X) = \frac{7}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{35}{6}, \\ V(I) &= \left\{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 1^2 + 1^2\right\}V(X) = \frac{19}{9} \times \frac{5}{4} = \frac{95}{36} \end{aligned}\]입니다.

구간 \([0, 1]\)에서 정의된 연속확률변수 \(U\)의 균등분포로 해석하면 \(\displaystyle\int_0^1 \{Q(x) - I\}^2\,dx = \int_0^1 \{Q(x)\}^2\,dx - I^2 \ge 0\)이므로 모든 표본점 \((A, B, C)\)에 대하여\[I^2 = \left\{\int_0^1 Q(x)\,dx\right\}^2 \le \int_0^1 \{Q(x)\}^2\,dx\]가 항상 성립하며, \(A, B \gt 0\)이므로 \(Q(x)\)는 상수함수가 될 수 없어 등호는 성립하지 않고 엄격한 부등호(\( \lt \))가 성립합니다.
이제 (3-ⅱ)에서 구한 \(E(I) = \dfrac{35}{6}\)와 \(V(I) = \dfrac{95}{36}\)을 분산의 정의식 \(V(I) = E(I^2) - \{E(I)\}^2\)에 대입하면\[\begin{aligned} E(I^2) &= V(I) + \{E(I)\}^2 = \frac{95}{36} + \left(\frac{35}{6}\right)^2 \\ &= \frac{95 + 1225}{36} = \frac{1320}{36} = \frac{110}{3} \end{aligned}\]입니다.

자연수 \(n \ge 4\)에 대하여 \((n+2)^2 = n^2 + 4n + 4\)이고 \((n+3)^2 = n^2 + 6n + 9\)입니다.
\(n \ge 4\)일 때 명제 \(2n \gt 4\)는 \(n=4\)에서 \(8 \gt 4\)로 성립하고, \(n=k\)일 때 \(2k \gt 4\)이면 \(2(k+1) = 2k+2 \gt 6 \gt 4\)이므로 수학적 귀납법에 의해 모든 \(n \ge 4\)에서 \((n+2)^2 = n^2+4n+4 \lt n^2+6n\)이 성립합니다.
또한 \(n^2+6n \lt n^2+6n+9 = (n+3)^2\)이 성립하므로 양의 제곱근을 취하면\[n+2 \lt \sqrt{n^2+6n} \lt n+3 \quad (n \ge 4)\]입니다. 따라서 제시문 <1>에 의하여 정수 부분과 소수 부분은 각각\[p_n = n + 2, \quad q_n = \sqrt{n^2+6n} - (n+2)\]입니다.

이차함수 \(h(x) = x^2 - 2n^2 x + (n+2)\)에 대하여 경계 정수에서의 함숫값 부호를 조사합니다.
• \(h(0) = n+2 \gt 0\)이고, \(h(1) = 1 - 2n^2 + n + 2 = -(2n-3)(n+1) \lt 0\) (\(n \ge 4\))이므로 작은 실근 \(\alpha_n\)은 \(0 \lt \alpha_n \lt 1\)을 만족합니다.
• 이차함수 \(h(x)\)의 대칭축이 \(x = n^2\)이므로 \(h(2n^2 - 1) = h(1) \lt 0\)이고, \(h(2n^2) = h(0) = n+2 \gt 0\)이므로 큰 실근 \(\beta_n\)은 \(2n^2 - 1 \lt \beta_n \lt 2n^2\)을 만족합니다.
따라서 부등식 \(h(x) \le 0\)을 만족시키는 자연수 \(x\)는 \(1, 2, \dots, 2n^2 - 1\)이므로 \(a_n = 2n^2 - 1\)입니다.
제시문 <2>의 공식을 적용하면 \(\sum_{k=1}^{10} k^2 = 385, \; \sum_{k=1}^3 k^2 = 14\)이므로\[\sum_{n=4}^{10} a_n = 2\sum_{n=4}^{10} n^2 - \sum_{n=4}^{10} 1 = 2(385 - 14) - 7 = 742 - 7 = 735\]입니다.

\(p_n = n+2\)이고 \(q_n = \sqrt{n^2+6n} - (n+2)\)이므로 합차공식을 적용하면\[b_n = \left(\sqrt{n^2+6n} + n + 2\right)\left(\sqrt{n^2+6n} - (n+2)\right) = (n^2+6n) - (n+2)^2 = 2n - 4\]입니다. 따라서 \(p_n - 4 = n - 2\)이고 \(b_n - 2 = 2n - 6 = 2(n - 3)\)이므로 주어진 급수의 일반항은\[\frac{2}{(p_n - 4)(b_n - 2)} = \frac{2}{(n-2) \cdot 2(n-3)} = \frac{1}{(n-3)(n-2)} = \frac{1}{n-3} - \frac{1}{n-2}\]입니다. 이를 \(n=4\)부터 \(m\)까지 더하여 망원급수로 소거하면\[\sum_{n=4}^{m} \left(\frac{1}{n-3} - \frac{1}{n-2}\right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{m-3} - \frac{1}{m-2}\right) = 1 - \frac{1}{m-2}\]입니다. 부등식 \(1 - \dfrac{1}{m-2} \ge \dfrac{11}{12}\)를 풀면 \(\dfrac{1}{m-2} \le \dfrac{1}{12} \iff m - 2 \ge 12 \iff m \ge 14\)이므로 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(14\)입니다.

점 \(A(4, -1)\)과 점 \(Q\left(t, \frac{1}{4}t^2\right)\) 사이의 거리의 제곱 \(D(t)\)는\[D(t) = (t - 4)^2 + \left(\frac{1}{4}t^2 + 1\right)^2 = \frac{1}{16}t^4 + \frac{3}{2}t^2 - 8t + 17\]입니다. 이를 \(t\)에 대하여 미분하여 인수분해하면\[D'(t) = \frac{1}{4}t^3 + 3t - 8 = \frac{1}{4}(t^3 + 12t - 32) = \frac{1}{4}(t - 2)(t^2 + 2t + 16)\]모든 실수 \(t\)에 대하여 \(t^2 + 2t + 16 = (t+1)^2 + 15 \gt 0\)이므로 \(D'(t) = 0\)의 유일한 실근은 \(t = 2\)입니다.
\(t \lt 2\)에서 \(D'(t) \lt 0\), \(t \gt 2\)에서 \(D'(t) \gt 0\)이므로 \(D(t)\)는 \(t = 2\)에서 극소이자 최소가 됩니다.
따라서 최단거리 점은 \(P(2, 1)\)이고, \(D(2) = (2-4)^2 + (1+1)^2 = 8\)이므로 선분 \(AQ\)의 길이의 최솟값은 \(2\sqrt{2}\)입니다.

\(f(x) = \frac{1}{4}x^2\)에서 \(f'(x) = \frac{1}{2}x\)이므로 점 \(P(2, 1)\)에서의 접선 \(\ell\)의 기울기는 \(m_\ell = f'(2) = 1\)이고, 접선 \(\ell\)의 방정식은 \(y = x - 1\)입니다. 또한 직선 \(AP\)의 기울기는 \(m_{AP} = \dfrac{1 - (-1)}{2 - 4} = -1\)이므로 \(m_\ell \cdot m_{AP} = 1 \times (-1) = -1\)이 되어 두 직선은 서로 수직입니다.
한편 곡선 위의 접점을 \(\left(s, \frac{1}{4}s^2\right)\)이라 하면 접선 \(y - \frac{1}{4}s^2 = \frac{1}{2}s(x - s)\), 즉 \(y = \frac{1}{2}sx - \frac{1}{4}s^2\)이 점 \(A(4, -1)\)을 지나므로\[-1 = 2s - \frac{1}{4}s^2 \iff s^2 - 8s - 4 = 0\]두 근을 \(s_1, s_2\)라 하면 두 접점 \(R_1\left(s_1, \frac{1}{4}s_1^2\right), R_2\left(s_2, \frac{1}{4}s_2^2\right)\)은 모두 \(2s = \frac{1}{4}s^2 + 1\), 즉 \(y = 2x - 1\)을 만족하므로 직선 \(R_1 R_2\)의 방정식은 \(y = 2x - 1\)입니다.

(1) 접선 \(\ell : y = x - 1\)의 \(y\)절편은 \((0, -1)\)이고, 법선 \(AP : y = -x + 3\)의 \(y\)절편은 \((0, 3)\)이며 두 직선의 교점은 \(P(2, 1)\)입니다.
따라서 \(y\)축 위의 밑변의 길이는 \(3 - (-1) = 4\)이고 높이는 \(P\)의 \(x\)좌표인 \(2\)이므로 삼각형의 넓이는 \(S_1 = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4\)입니다.
(2) 곡선 \(C : y = \frac{1}{4}x^2\)과 직선 \(R_1 R_2 : y = 2x - 1\)의 교점의 \(x\)좌표는 \(x^2 - 8x + 4 = 0\)의 두 실근 \(s_1 = 4 - 2\sqrt{3}, \; s_2 = 4 + 2\sqrt{3}\)이며 \(s_2 - s_1 = 4\sqrt{3}\)입니다.
따라서 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_2\)는\[\begin{aligned} S_2 &= \int_{s_1}^{s_2} \left(2x - 1 - \frac{1}{4}x^2\right)dx = \frac{1}{4}\int_{s_1}^{s_2} -(x-s_1)(x-s_2)\,dx \\ &= \frac{1}{4} \cdot \frac{(s_2 - s_1)^3}{6} = \frac{(4\sqrt{3})^3}{24} = \frac{192\sqrt{3}}{24} = 8\sqrt{3} \end{aligned}\]입니다.

주사위를 던져 \(3\)의 배수가 나올 확률은 \(P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)이고, \(3\)의 배수가 아닐 확률은 \(P(B) = \frac{2}{3}\)입니다.
각 주머니에서 공 \(2\)개를 꺼낼 때 전체 경우의 수는 \({}_5\mathrm{C}_2 = 10\)이며, 흰 공 1개와 검은 공 1개가 나올 조건부확률은\[P(E|A) = \frac{{}_3\mathrm{C}_1 \times {}_2\mathrm{C}_1}{{}_5\mathrm{C}_2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}, \quad P(E|B) = \frac{{}_2\mathrm{C}_1 \times {}_3\mathrm{C}_1}{{}_5\mathrm{C}_2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\]입니다. 따라서 제시문 <1>에 의하여\[P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{5}\]이며, 구하는 조건부확률은 \(P(A|E) = \dfrac{P(A)P(E|A)}{P(E)} = \dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{3}{5}} = \dfrac{1}{3}\)입니다.

\(X\)가 가질 수 있는 값은 \(0, 1, 2\)입니다. 각 확률을 계산하면
• \(P(X=0) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{}_2\mathrm{C}_2}{10} + \frac{2}{3} \cdot \frac{{}_3\mathrm{C}_2}{10} = \frac{1}{30} + \frac{6}{30} = \frac{7}{30}\)
• \(P(X=1) = P(E) = \frac{3}{5} = \frac{18}{30}\)
• \(P(X=2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{}_3\mathrm{C}_2}{10} + \frac{2}{3} \cdot \frac{{}_2\mathrm{C}_2}{10} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30}\)
따라서 기댓값과 제곱의 기댓값, 분산은\[\begin{aligned} E(X) &= 0 \cdot \frac{7}{30} + 1 \cdot \frac{18}{30} + 2 \cdot \frac{5}{30} = \frac{28}{30} = \frac{14}{15}, \\ E(X^2) &= 0^2 \cdot \frac{7}{30} + 1^2 \cdot \frac{18}{30} + 2^2 \cdot \frac{5}{30} = \frac{38}{30} = \frac{19}{15}, \\ V(X) &= \frac{19}{15} - \left(\frac{14}{15}\right)^2 = \frac{285 - 196}{225} = \frac{89}{225} \end{aligned}\]입니다.

\(n\)회의 독립 반복 시행에서 각 시행의 흰 공 개수를 \(X_1, X_2, \dots, X_n\)이라 하면 \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\)이고 서로 독립이므로\[E(S_n) = n E(X) = \frac{14}{15}n, \quad V(S_n) = n V(X) = \frac{89}{225}n\]입니다. 따라서 주어진 비율은\[\frac{V(S_n)}{\{E(S_n)\}^2} = \frac{\frac{89}{225}n}{\frac{196}{225}n^2} = \frac{89}{196n}\]입니다. 부등식 \(\dfrac{89}{196n} \le \dfrac{1}{56}\)의 양변에 \(196n\)을 곱하여 정리하면\[89 \le \frac{196}{56}n = \frac{7}{2}n \iff 7n \ge 178 \iff n \ge \frac{178}{7} = 25.42\cdots\]이므로 이를 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(26\)입니다.

\(18^n = (2 \cdot 3^2)^n = 2^n \cdot 3^{2n}\)이므로 \(U_n\)의 원소는 \(x = 2^i \cdot 3^j\) (\(0 \le i \le n, \; 0 \le j \le 2n\))입니다.
따라서 전체 약수의 개수는 \(a_n = (n+1)(2n+1) = 2n^2 + 3n + 1\)입니다.
한편 \(12 = 2^2 \cdot 3^1\)의 배수가 되려면 \(2 \le i \le n\) (\(n-1\)가지)이고 \(1 \le j \le 2n\) (\(2n\)가지)이어야 하므로\[b_n = 2n(n-1) = 2n^2 - 2n\]입니다. 따라서 \(\dfrac{2}{b_n} = \dfrac{1}{(n-1)n} = \dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n}\)이므로\[\sum_{n=2}^{10} \frac{2}{b_n} = \sum_{n=2}^{10} \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}\]입니다.

집합 \(D_n = \{2^i \cdot 3^j \mid 2 \le i \le n, \; 1 \le j \le 2n\}\)에서 각 \(i \in \{2, 3, \dots, n\}\)에 대응하는 \(j \in \{1, 2, \dots, 2n\}\)는 \(2n\)개씩 존재합니다.
따라서 \(S_n\)을 이중 시그마로 계산하면\[\begin{aligned} S_n &= \sum_{j=1}^{2n} \sum_{i=2}^{n} i = 2n \left(\sum_{i=1}^{n} i - 1\right) = 2n \left\{\frac{n(n+1)}{2} - 1\right\} \\ &= n(n^2 + n - 2) = n(n-1)(n+2) \end{aligned}\]입니다. 여기에 \(n = 5\)를 대입하면 \(S_5 = 5 \times 4 \times 7 = 140\)입니다.

(1-ⅰ)의 \(b_n = 2n(n-1)\)과 (1-ⅱ)의 \(S_n = n(n-1)(n+2)\)를 대입하면 \(2n(n-1)\)이 약분되어\[\frac{b_n}{2 S_n (n+3)} = \frac{2n(n-1)}{2n(n-1)(n+2)(n+3)} = \frac{1}{(n+2)(n+3)} = \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\]입니다. 따라서 \(n=2\)부터 \(m\)까지의 부분합은\[\sum_{n=2}^{m} \left(\frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\right) = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{m+2} - \frac{1}{m+3}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{m+3}\]입니다. 주어진 부등식 \(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{m+3} \ge \dfrac{7}{36}\)을 정리하면\[\frac{1}{m+3} \le \frac{1}{4} - \frac{7}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \iff m + 3 \ge 18 \iff m \ge 15\]이므로 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(15\)입니다.

\(f(x) = x^2 - 2x\)에서 \(f'(x) = 2x - 2\)입니다. 직선 \(\ell : 2x - y - 5 = 0\)과 평행한 접선의 접점 \(P_0(t, t^2-2t)\)에서는 \(f'(t) = 2t - 2 = 2\)이므로 \(t = 2\)이고, \(P_0(2, 0)\)입니다.
실제로 임의의 점 \(P(t, t^2-2t)\)에서 직선 \(2x - y - 5 = 0\)까지의 거리는\[d(t) = \frac{|2t - (t^2 - 2t) - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{t^2 - 4t + 5}{\sqrt{5}} = \frac{(t-2)^2 + 1}{\sqrt{5}}\]이므로 \(t = 2\), 즉 \(P_0(2, 0)\)에서 최단거리 \(d_{\min} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)를 가집니다.
또한 점 \(P_0(2, 0)\)에서의 접선 \(\ell_0\)의 방정식은 \(y - 0 = 2(x - 2) \iff y = 2x - 4\)입니다.

두 점 \(A(-1, 3), B(3, 3)\)을 잇는 선분 \(AB\)는 직선 \(y = 3\) 위에 있으며 길이는 \(\overline{AB} = 3 - (-1) = 4\)입니다.
\(0 \lt t \lt 3\)일 때 점 \(P(t, t^2-2t)\)의 \(y\)좌표는 \(t^2 - 2t \lt 3\)이므로, 점 \(P\)에서 직선 \(y = 3\)까지의 거리(삼각형의 높이)는 \(h(t) = 3 - (t^2 - 2t) = -t^2 + 2t + 3\)입니다.
따라서 삼각형 \(ABP\)의 넓이 \(S(t)\)는\[S(t) = \frac{1}{2} \times 4 \times (-t^2 + 2t + 3) = -2t^2 + 4t + 6 = -2(t - 1)^2 + 8\]입니다. \(S'(t) = -4t + 4 = 0\)에서 \(t = 1 \in (0, 3)\)일 때 유일한 극대이자 최대가 되므로, \(t = 1\)일 때 최댓값 \(S(1) = 8\)을 가집니다.

포물선 \(C : y = x^2 - 2x\)와 접선 \(\ell_0 : y = 2x - 4\)의 차를 구하면\[(x^2 - 2x) - (2x - 4) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \ge 0\]이므로 구간 \([0, 3]\) 전체에서 포물선 \(C\)가 접선 \(\ell_0\)보다 위쪽에 있거나(\(x \ne 2\)) 접합니다(\(x = 2\)).
따라서 둘러싸인 도형의 넓이 \(W\)는 정적분으로 다음과 같이 계산됩니다.\[\begin{aligned} W &= \int_0^3 \left\{(x^2 - 2x) - (2x - 4)\right\}dx = \int_0^3 (x - 2)^2\,dx \\ &= \left[\frac{1}{3}(x - 2)^3\right]_0^3 = \frac{1}{3}\left\{1^3 - (-2)^3\right\} = \frac{1}{3}(1 + 8) = 3 \end{aligned}\]입니다.

확률의 총합이 \(1\)이므로 \(p + \frac{1}{2} + q = 1 \iff p + q = \frac{1}{2}\)이고, \(E(X) = -p + q = \frac{1}{6}\)입니다.
두 식을 연립하면 \(q = \frac{1}{3}, \; p = \frac{1}{6}\)입니다. 따라서\[E(X^2) = (-1)^2 \cdot \frac{1}{6} + 0^2 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}, \quad V(X) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{17}{36}\]입니다. 한편 \(W \sim \mathrm{B}\left(2, \frac{1}{2}\right)\)이므로 \(E(W) = 1, \; V(W) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)이며, \(Y = W - 1\)에서\[E(Y) = E(W) - 1 = 0, \quad V(Y) = V(W) = \frac{1}{2} = \frac{18}{36}\]입니다.

\(X\)와 \(Y\)는 서로 독립이므로 제시문 <2>에 의하여\[V(Z_t) = t^2 V(X) + (1-t)^2 V(Y) = \frac{17}{36}t^2 + \frac{18}{36}(1 - 2t + t^2) = \frac{35}{36}t^2 - t + \frac{1}{2}\]입니다. 이를 완전제곱식으로 변형하면\[V(Z_t) = \frac{35}{36}\left(t - \frac{18}{35}\right)^2 + \frac{1}{2} - \frac{9}{35} = \frac{35}{36}\left(t - \frac{18}{35}\right)^2 + \frac{17}{70}\]이므로 \(t = \dfrac{18}{35} \in [0, 1]\)일 때 최솟값 \(\dfrac{17}{70}\)을 가집니다.

\(W \sim \mathrm{B}\left(2, \frac{1}{2}\right)\)이므로 \(Y = W - 1\)의 확률분포는 \(P(Y=-1) = \frac{1}{4}, \; P(Y=0) = \frac{1}{2}, \; P(Y=1) = \frac{1}{4}\)입니다.
\(X, Y \in \{-1, 0, 1\}\)에서 \(X + Y = 1\)이 되는 순서쌍 \((X, Y)\)는 \((0, 1)\)과 \((1, 0)\)의 두 가지뿐입니다.
\(X\)와 \(Y\)가 서로 독립이므로 각 순서쌍의 확률은\[\begin{aligned} P(X=0, Y=1) &= P(X=0)P(Y=1) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} = \frac{3}{24}, \\ P(X=1, Y=0) &= P(X=1)P(Y=0) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} = \frac{4}{24} \end{aligned}\]입니다. 따라서 \(P(X+Y=1) = \frac{3}{24} + \frac{4}{24} = \frac{7}{24}\)이며, 구하는 조건부확률은\[P(X=1 \mid X+Y=1) = \frac{P(X=1, Y=0)}{P(X+Y=1)} = \frac{\frac{4}{24}}{\frac{7}{24}} = \frac{4}{7}\]입니다.

두 직선 \(\ell_1 : x - y + 2n = 0\)과 \(\ell_2 : x - y - n = 0\) 사이의 거리 \(d_n\)은 정삼각형 \(A_n B_n C_n\)의 높이와 같으므로\[d_n = \frac{|2n - (-n)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3n}{\sqrt{2}}\]입니다. 정삼각형의 높이 공식 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ell_n = d_n = \dfrac{3n}{\sqrt{2}}\)으로부터 한 변의 길이와 넓이는\[\ell_n = \sqrt{6}\,n, \quad S_n = \frac{\sqrt{3}}{4}\ell_n^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}n^2\]입니다. 따라서 구하는 합은\[\sum_{n=1}^{8} \frac{S_n}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2}\sum_{n=1}^{8} n^2 = \frac{3}{2} \times \frac{8 \times 9 \times 17}{6} = \frac{3}{2} \times 204 = 306\]입니다.

삼각형 \(A_n C_n D_n\)에서 \(\overline{A_n C_n} = \ell_n = \sqrt{6}\,n\), \(\overline{C_n D_n} = \frac{1}{2}\ell_n = \frac{\sqrt{6}}{2}n\)이고, 정삼각형의 외각이므로 \(\angle A_n C_n D_n = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)입니다.
제시문 <1>의 코사인법칙을 적용하면 (\(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\))\[\overline{A_n D_n}^2 = \ell_n^2 + \left(\frac{1}{2}\ell_n\right)^2 - 2\ell_n\left(\frac{1}{2}\ell_n\right)\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{7}{4}\ell_n^2 = \frac{7}{4} \times 6n^2 = \frac{21}{2}n^2\]이므로 \(\overline{A_n D_n} = \dfrac{\sqrt{42}}{2}n\)입니다.
또한 삼각형 \(A_n C_n D_n\)에 사인법칙을 적용하면 (\(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\))\[2R_n = \frac{\overline{A_n D_n}}{\sin 120^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{42}}{2}n}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{14}\,n \implies R_n = \frac{\sqrt{14}}{2}n\]입니다.

(1-ⅱ)에서 \(R_n = \dfrac{\sqrt{14}}{2}n\)이므로 \(R_n R_{n+1} = \dfrac{14}{4}n(n+1) = \dfrac{7}{2}n(n+1)\)입니다.
따라서 주어진 급수의 일반항은\[\frac{7}{R_n R_{n+1}} = \frac{7}{\frac{7}{2}n(n+1)} = \frac{2}{n(n+1)} = 2\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)\]입니다. 제\(m\)항까지의 부분합을 망원급수로 소거하면\[\sum_{n=1}^{m} \frac{7}{R_n R_{n+1}} = 2\sum_{n=1}^{m} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 2\left(1 - \frac{1}{m+1}\right)\]입니다. 부등식 \(2\left(1 - \dfrac{1}{m+1}\right) \ge \dfrac{15}{8}\)을 정리하면\[1 - \frac{1}{m+1} \ge \frac{15}{16} \iff \frac{1}{m+1} \le \frac{1}{16} \iff m + 1 \ge 16 \iff m \ge 15\]이므로 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(15\)입니다.

\(f_n(x) = x^2 - 4nx + 4n^2 + 4n + 1\)이고 \(f_n'(x) = 2x - 4n\)입니다.
제시문 <1>에 의하여 원점을 지나는 접선의 접점 \(s_n \in [2n-1, 2n+1]\)은 방정식 \(f_n(s) = s f_n'(s)\)를 만족하므로\[s^2 - 4ns + 4n^2 + 4n + 1 = s(2s - 4n) \iff s^2 = (2n + 1)^2\]\(s_n \gt 0\)이므로 \(s_n = 2n + 1 \in [2n-1, 2n+1]\)입니다.
그때의 접점 좌표는 \(P_n(2n+1, 4n+2)\)이고 접선의 기울기는 \(f_n'(2n+1) = 2(2n+1) - 4n = 2\)이므로, 접선 \(\ell_n\)의 방정식은 \(y = 2x\)로서 자연수 \(n\)에 관계없이 항상 동일합니다.

곡선 \(y = f_n(x)\)와 직선 \(y = 2x\)의 차를 정리하면\[f_n(x) - 2x = x^2 - 2(2n+1)x + (2n+1)^2 = \{x - (2n+1)\}^2 \ge 0\]입니다. 따라서 구간 \([2n-1, 2n+1]\)에서 둘러싸인 넓이 \(A_n\)은\[\begin{aligned} A_n &= \int_{2n-1}^{2n+1} \{x - (2n+1)\}^2\,dx = \left[\frac{1}{3}\{x - (2n+1)\}^3\right]_{2n-1}^{2n+1} \\ &= 0 - \frac{1}{3}(-2)^3 = \frac{8}{3} \end{aligned}\]으로서 자연수 \(n\)의 값에 관계없이 항상 \(\dfrac{8}{3}\)으로 일정합니다.

\(f_n(x) = \{f_n(x) - 2x\} + 2x\)이므로 정적분 \(I_n\)은 (2-ⅱ)의 넓이 \(A_n = \frac{8}{3}\)과 직선 \(y = 2x\) 아래의 사다리꼴 넓이의 합과 같습니다.\[\begin{aligned} I_n &= \int_{2n-1}^{2n+1} \{f_n(x) - 2x\}\,dx + \int_{2n-1}^{2n+1} 2x\,dx \\ &= \frac{8}{3} + \left[x^2\right]_{2n-1}^{2n+1} = \frac{8}{3} + \left\{(2n+1)^2 - (2n-1)^2\right\} = 8n + \frac{8}{3} \end{aligned}\]따라서 \(n=1\)부터 \(6\)까지의 합은\[\sum_{n=1}^{6} I_n = 8\sum_{n=1}^{6} n + \sum_{n=1}^{6} \frac{8}{3} = 8 \times \frac{6 \times 7}{2} + 6 \times \frac{8}{3} = 168 + 16 = 184\]입니다.

표본공간에서 합집합 \(A \cup B\)는 서로 배반인 세 사건 \(A \cap B^c\), \(A^c \cap B\), \(A \cap B\)의 합사건이므로\[P(A \cup B) = P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) + P(A \cap B)\]입니다. 조건 (가)의 \(P(A \cup B) = \frac{1}{2} = \frac{10}{20}\)과 조건 (다)의 \(P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) = \frac{7}{20}\)을 대입하면\[P(A \cap B) = \frac{10}{20} - \frac{7}{20} = \frac{3}{20}\]입니다. 이제 조건 (나)의 조건부확률 정의를 적용하면\[P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{2}{5} \implies P(A) = \frac{5}{2} \times \frac{3}{20} = \frac{3}{8}\]\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{2} \implies P(B) = 2 \times \frac{3}{20} = \frac{3}{10}\]입니다.

\(A \cap B^c \subset A \cup B\)이므로 \((A \cap B^c) \cap (A \cup B) = A \cap B^c\)입니다.
(3-ⅰ)에서 구한 값으로부터\[P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{3}{8} - \frac{3}{20} = \frac{15 - 6}{40} = \frac{9}{40}\]입니다. 따라서 구하는 조건부확률은\[P(A \cap B^c \mid A \cup B) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(A \cup B)} = \frac{\frac{9}{40}}{\frac{1}{2}} = \frac{9}{20}\]입니다.

문제 조건에 의하여 표본비율은 \(\hat{p} = P(B) = \dfrac{3}{10} = 0.3\)이고, \(\hat{q} = 1 - \hat{p} = \dfrac{7}{10} = 0.7\)입니다.
제시문 <2>에 의하여 모비율 \(p\)에 대한 신뢰도 \(95\%\)의 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a\)는\[b - a = 2 \times 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 3.92\sqrt{\frac{0.21}{n}}\]입니다. 부등식 \(3.92\sqrt{\dfrac{0.21}{n}} \le 0.049\)에서 \(\dfrac{3.92}{0.049} = \dfrac{3920}{49} = 80\)이므로\[80\sqrt{\frac{21}{100n}} \le 1 \iff 8\sqrt{\frac{21}{n}} \le 1 \iff \frac{64 \times 21}{n} \le 1 \iff n \ge 1344\]입니다. 따라서 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(1344\)입니다.

\(a_{n+1} - a_n = 6n\)이므로 \(n \ge 2\)일 때 제시문 <1>에 의하여\[a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 6k = 2 + 6 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 3n^2 - 3n + 2\]입니다. \(n=1\)을 대입하면 \(3(1) - 3(1) + 2 = 2 = a_1\)이므로 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = 3n^2 - 3n + 2\)입니다.
부등식 \(3n^2 - 3n + 2 \le 300 \iff 3n(n-1) \le 298 \iff n(n-1) \le 99.33\cdots\)에서 \(n=10\)일 때 \(10 \times 9 = 90 \le 99.33\)이고, \(n=11\)일 때 \(11 \times 10 = 110 \gt 99.33\)이므로 조건을 만족시키는 자연수 \(n\)은 \(1, 2, \dots, 10\)의 \(10\)개입니다.

\(a_n - 2 = 3(n-1)n\)이므로 \(b_n = (n+1)(a_n - 2) = 3(n-1)n(n+1)\)입니다.
(i) \(n = 1\)일 때: 좌변은 \(b_1 = 0\)이고 우변도 \(\frac{3}{4}(0)(1)(2)(3) = 0\)이므로 등식이 성립합니다.
(ii) \(n = m\)일 때 등식이 성립한다고 가정하면 \(\sum_{k=1}^m b_k = \frac{3}{4}(m-1)m(m+1)(m+2)\)입니다.
양변에 \(b_{m+1} = 3m(m+1)(m+2)\)를 더하면\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{m+1} b_k &= \frac{3}{4}(m-1)m(m+1)(m+2) + 3m(m+1)(m+2) \\ &= \frac{3}{4}m(m+1)(m+2)\{(m-1) + 4\} = \frac{3}{4}m(m+1)(m+2)(m+3) \end{aligned}\]이므로 \(n = m + 1\)일 때도 등식이 성립합니다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 \(n\)에서 성립합니다.

(1-ⅰ)에서 \(a_n - 2 = 3(n-1)n\)이므로 \(n \ge 2\)일 때\[\frac{3}{a_n - 2} = \frac{3}{3(n-1)n} = \frac{1}{(n-1)n} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\]입니다. 따라서 \(n=2\)부터 \(m\)까지의 부분합을 망원급수로 소거하면\[\sum_{n=2}^{m} \frac{3}{a_n - 2} = \sum_{n=2}^{m} \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{m-1} - \frac{1}{m}\right) = 1 - \frac{1}{m}\]입니다. 부등식 \(1 - \dfrac{1}{m} \ge \dfrac{19}{20}\)를 풀면\[\frac{1}{m} \le \frac{1}{20} \iff m \ge 20\]이므로 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(20\)입니다.

사차함수 \(f(x) = x^4 - 6x^2 + 4x + 9\)에서 직선 \(\ell : y = 4x\)의 식을 빼면\[f(x) - 4x = x^4 - 6x^2 + 9 = (x^2 - 3)^2 = (x + \sqrt{3})^2 (x - \sqrt{3})^2\]입니다. 방정식 \(f(x) - 4x = 0\)이 \(x = -\sqrt{3}\)과 \(x = \sqrt{3}\)에서 각각 중근을 가지므로, 직선 \(\ell : y = 4x\)는 곡선 \(y = f(x)\)에 서로 다른 두 점에서 동시에 접하는 이중접선입니다.
실제로 \(f'(x) = 4x^3 - 12x + 4\)에서 \(f'(\pm\sqrt{3}) = 4\)이고, 두 접점의 좌표는 각각\[\left(-\sqrt{3}, \; -4\sqrt{3}\right), \quad \left(\sqrt{3}, \; 4\sqrt{3}\right)\]입니다.

다항함수 \(f(x)\)는 닫힌구간 \([x_1, x_2] \subset [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]\)에서 연속이고 열린구간 \((x_1, x_2)\)에서 미분가능하므로, 제시문 <1>의 평균값 정리에 의하여\[\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c)\]를 만족시키는 \(c \in (x_1, x_2) \subset (-\sqrt{3}, \sqrt{3})\)가 존재합니다.
도함수 \(f'(x) = 4x^3 - 12x + 4\)를 미분하면 \(f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x+1)(x-1)\)이므로, 구간 \([-\sqrt{3}, \sqrt{3}]\)에서 \(f'(x)\)의 극값과 양 끝값을 비교하면
• \(x = -1\): \(f'(-1) = 4(-1) + 12 + 4 = 12\) (극대)
• \(x = 1\): \(f'(1) = 4 - 12 + 4 = -4\) (극소)
• 양 끝점 \(x = \pm\sqrt{3}\): \(f'(\pm\sqrt{3}) = 4\)
따라서 구간 \([-\sqrt{3}, \sqrt{3}]\)에서 \(-4 \le f'(c) \le 12\)이므로 \(|f'(c)| \le 12\)이며, 양변에 \(x_2 - x_1 \gt 0\)을 곱하면\[|f(x_2) - f(x_1)| = |f'(c)|(x_2 - x_1) \le 12(x_2 - x_1)\]이 성립합니다.

제시문 <2>의 적분과 미분의 관계에 의하여 \(G(x)\)의 도함수는\[G'(x) = \frac{1}{4}\left\{f'(x) - 4\right\} = x^3 - 3x = x(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})\]이고, 정적분을 직접 계산하면\[G(x) = \int_{-1}^{x} (t^3 - 3t)\,dt = \left[\frac{1}{4}t^4 - \frac{3}{2}t^2\right]_{-1}^{x} = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{5}{4}\]입니다. \(G'(x) = 0\)에서 \(x = -\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}\)이며 도함수의 부호 변화를 조사하면
• \(x = 0\)에서 극댓값 \(G(0) = \dfrac{5}{4}\)를 갖고,
• \(x = -\sqrt{3}\)과 \(x = \sqrt{3}\)에서 동일한 극솟값 \(G(\pm\sqrt{3}) = \dfrac{9}{4} - \dfrac{9}{2} + \dfrac{5}{4} = -1\)을 갖습니다.
우함수 \(y = G(x)\)의 그래프와 수평선 \(y = k\)가 서로 다른 세 점에서 만나려면 수평선이 극댓점 \((0, \frac{5}{4})\)에 접하고 양쪽 곡선과 두 점에서 만나야 하므로 \(k = \dfrac{5}{4}\)입니다.

주사위에서 \(3\)의 배수의 눈(\(3, 6\))이 나오는 사건을 \(A\)라 하면 \(P(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)이고, \(P(A^c) = \dfrac{2}{3}\)입니다.
• 사건 \(A\)가 일어났을 때 동전 \(3\)번 중 앞면이 \(2\)번 나올 확률: \(P(X=2|A) = {}_3\mathrm{C}_2 \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{3}{8}\)
• 사건 \(A^c\)가 일어났을 때 동전 \(2\)번 중 앞면이 \(2\)번 나올 확률: \(P(X=2|A^c) = {}_2\mathrm{C}_2 \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}\)
따라서 제시문 <1>에 의하여\[P(X = 2) = P(A)P(X=2|A) + P(A^c)P(X=2|A^c) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{8} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{6} = \frac{7}{24}\]이며, 구하는 조건부확률은\[P(A \mid X = 2) = \frac{P(A \cap \{X=2\})}{P(X = 2)} = \frac{1/8}{7/24} = \frac{3}{7}\]입니다.

확률변수 \(X\)가 가질 수 있는 값은 \(0, 1, 2, 3\)이며 각각의 확률은 다음과 같습니다.
• \(P(X = 0) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{8} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{24} + \dfrac{4}{24} = \dfrac{5}{24}\)
• \(P(X = 1) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{24} + \dfrac{8}{24} = \dfrac{11}{24}\)
• \(P(X = 2) = \dfrac{7}{24}\)
• \(P(X = 3) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{8} + \dfrac{2}{3} \times 0 = \dfrac{1}{24}\)
확률의 총합은 \(\dfrac{5 + 11 + 7 + 1}{24} = 1\)입니다. 따라서 기댓값과 제곱의 기댓값은\[\begin{aligned} E(X) &= 0 \cdot \frac{5}{24} + 1 \cdot \frac{11}{24} + 2 \cdot \frac{7}{24} + 3 \cdot \frac{1}{24} = \frac{28}{24} = \frac{7}{6}, \\ E(X^2) &= 0^2 \cdot \frac{5}{24} + 1^2 \cdot \frac{11}{24} + 2^2 \cdot \frac{7}{24} + 3^2 \cdot \frac{1}{24} = \frac{11 + 28 + 9}{24} = \frac{48}{24} = 2 \end{aligned}\]입니다.

(3-ⅱ)에서 구한 \(E(X) = \dfrac{7}{6}\)과 \(E(X^2) = 2\)를 제시문 <2>의 분산 공식에 대입하면\[V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 = 2 - \left(\frac{7}{6}\right)^2 = \frac{72 - 49}{36} = \frac{23}{36}\]입니다. 또한 확률변수 \(Y = 6X + 3\)에 대하여 선형 성질을 적용하면\[\begin{aligned} E(Y) &= E(6X + 3) = 6E(X) + 3 = 6 \times \frac{7}{6} + 3 = 10, \\ V(Y) &= V(6X + 3) = 6^2 V(X) = 36 \times \frac{23}{36} = 23 \end{aligned}\]입니다.

\(y = 2^{x-1}\)을 \(x\)에 대하여 풀면 \(x - 1 = \log_2 y \iff x = \log_2 y + 1\)이고, \(x\)와 \(y\)를 서로 바꾸면 \(y = \log_2 x + 1 = g(x)\)이므로 두 함수는 서로 역함수 관계이며 그래프는 직선 \(y = x\)에 대칭입니다.
직선 \(\ell_n : x + y = 2n + 2\) 역시 직선 \(y = x\)에 대칭이므로 두 교점 \(A_n, B_n\)은 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이고, 그 중점 \(M_n\)은 직선 \(y = x\)와 \(x + y = 2n + 2\)의 교점인\[M_n(n+1, \; n+1)\]입니다. 따라서 \(a_n = \overline{O M_n}^2 = (n+1)^2 + (n+1)^2 = 2(n+1)^2\)이며, 제시문 <2>에 의하여\[\sum_{n=1}^{9} a_n = 2\sum_{n=1}^{9} (n+1)^2 = 2\sum_{k=2}^{10} k^2 = 2(385 - 1) = 768\]입니다.

곡선 \(y = 2^{x-3}\)은 곡선 \(y = 2^{x-1}\)을 \(x\)축의 방향으로 \(+2\)만큼 평행이동한 그래프입니다.
두 곡선과 직선 \(y = 1\)의 교점은 각각 \(A(1, 1), \; B(3, 1)\)이고, 직선 \(y = 4\)와의 교점은 각각 \(D(3, 4), \; C(5, 4)\)입니다.
임의의 \(y \in [1, 4]\)에 대하여 수평선과 두 곡선이 만나는 두 점 사이의 가로 길이는 항상 \(2\)로 일정하므로, 둘러싸인 도형에서 곡선 부분을 잘라 평행이동하면 밑변의 길이가 \(\overline{AB} = 2\)이고 높이가 \(4 - 1 = 3\)인 직사각형과 넓이가 같습니다. 따라서 구하는 넓이는\[S = 2 \times (4 - 1) = 6\]입니다.

\(c_n = a_n - 2 = 2(n+1)^2 - 2 = 2(n^2 + 2n) = 2n(n+2)\)이므로\[\frac{4}{c_n} = \frac{4}{2n(n+2)} = \frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\]입니다. 이를 \(n=1\)부터 \(m\)까지 더하여 2칸 간격 망원급수로 소거하면\[\sum_{n=1}^{m} \frac{4}{c_n} = \sum_{n=1}^{m} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2} = \frac{3}{2} - \frac{2m+3}{(m+1)(m+2)}\]입니다. 부등식 \(\dfrac{3}{2} - \dfrac{2m+3}{(m+1)(m+2)} \ge \dfrac{41}{30}\)을 정리하면\[\frac{2m+3}{(m+1)(m+2)} \le \frac{3}{2} - \frac{41}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} \iff 15(2m+3) \le 2(m+1)(m+2) \iff 2m^2 - 24m - 41 \ge 0\]\(m = 13\)일 때 \(2(169) - 312 - 41 = -15 \lt 0\)이고, \(m = 14\)일 때 \(2(196) - 336 - 41 = 15 \gt 0\)이므로 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(14\)입니다.

\(f(x) = x^3 - 3x\)에서 \(f'(x) = 3x^2 - 3\)이므로 \(f'(1) = 0\)입니다. 따라서 제시문 <2>에 의하여\[G'(x) = f(x) = x^3 - 3x = x(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})\]이고, 적분하면 \(G(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{3}{2}x^2\)입니다.
닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 \(G'(x) = 0\)인 점은 \(x = 0\)과 \(x = \sqrt{3}\)이므로 극값과 양 끝값을 비교하면
• \(G(-1) = \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} = -\dfrac{5}{4}\)
• \(G(0) = 0\) (극대)
• \(G(\sqrt{3}) = \dfrac{9}{4} - \dfrac{9}{2} = -\dfrac{9}{4}\) (극소)
• \(G(2) = 4 - 6 = -2\)
따라서 구간 \([-1, 2]\)에서 \(G(x)\)의 최댓값은 \(0\), 최솟값은 \(-\dfrac{9}{4}\)입니다.

\(f'(x) = 3(x+1)(x-1) = 0\)에서 \(f(x)\)는 \(x = -1\)에서 극댓값 \(f(-1) = 2\), \(x = 1\)에서 극솟값 \(f(1) = -2\)를 가집니다.
절댓값 함수 \(W(x) = |f(x) - k|\)가 미분불가능한 점은 방정식 \(f(x) - k = 0\)의 실근 중 부호가 바뀌는 홀수 차수(단순) 실근입니다.
• \(0 \lt k \lt 2\)이면 \(f(x) = k\)가 서로 다른 세 단순 실근을 가지므로 미분불가능한 점이 \(3\)개입니다.
• \(k \ge 2\)이면: 특히 \(k = 2\)일 때 \(f(x) - 2 = x^3 - 3x - 2 = (x+1)^2(x-2)\)이므로 \(x = -1\)에서는 중근을 가져 \(W'(x)\)가 \(0\)으로 미분가능하고, 오직 \(x = 2\)에서만 부호가 바뀌어 미분불가능합니다.
따라서 양수 \(k\)의 최솟값은 \(k = 2\)이며 미분불가능한 점은 \(a = 2\)입니다. \(f'(2) = 9\)이므로 \(x = 2\)에서의 좌미분계수는 \(-f'(2) = -9\), 우미분계수는 \(f'(2) = 9\)입니다.

\(k = 2\)일 때 \(f(x) - 2 = (x+1)^2(x-2)\)이므로 \(x \le 2\)에서는 \(f(x) - 2 \le 0\), \(x \ge 2\)에서는 \(f(x) - 2 \ge 0\)입니다.
(1) 구간 \([-2, 2]\)에서는 \(W(x) = -(x^3 - 3x - 2) = -x^3 + 3x + 2\)이고 기함수 항 \(-x^3 + 3x\)의 대칭 구간 정적분은 \(0\)이므로\[\int_{-2}^{2} W(x)\,dx = \int_{-2}^{2} (-x^3 + 3x + 2)\,dx = 2\int_0^2 2\,dx = 8\]입니다.
(2) 구간 \([2, 3]\)에서는 \(W(x) = x^3 - 3x - 2\)이므로\[\int_2^3 (x^3 - 3x - 2)\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 - 2x\right]_2^3 = \left(\frac{81}{4} - \frac{27}{2} - 6\right) - (4 - 6 - 4) = \frac{3}{4} - (-6) = \frac{27}{4}\]입니다. 따라서\[\int_{-2}^{3} W(x)\,dx = 8 + \frac{27}{4} = \frac{59}{4}\]입니다.

이차방정식 \(x^2 - 2kx + 4 = 0\)이 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 판별식 \(D/4 = k^2 - 4 \gt 0 \iff k \ge 3\)이므로 \(k \in \{3, 4, 5, 6\}\)이고 \(P(E) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)입니다.
\(4\)회 독립시행에서 사건 \(E\)가 일어나는 횟수 \(R \sim \mathrm{B}\left(4, \frac{2}{3}\right)\)이므로\[P(R \ge 3) = {}_4\mathrm{C}_3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right) + {}_4\mathrm{C}_4 \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{32}{81} + \frac{16}{81} = \frac{48}{81} = \frac{16}{27}\]입니다. 또한 \(P(R = 3) = \dfrac{32}{81}\)이고, 첫 번째 시행에서 눈 \(2\) (사건 \(E^c\)에 속하며 확률 \(\frac{1}{6}\))가 나오고 나머지 \(2, 3, 4\)번째 시행에서 모두 사건 \(E\)가 일어날 확률은\[\frac{1}{6} \times \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{162} = \frac{4}{81}\]이므로, 구하는 조건부확률은 \(\dfrac{4/81}{32/81} = \dfrac{1}{8}\)입니다.

모집단이 정규분포 \(\mathrm{N}(30, 6^2)\)을 따르고 표본의 크기가 \(n = 9\)이므로 제시문 <2>에 의하여\[E(\overline{X}) = 30, \quad \sigma(\overline{X}) = \frac{6}{\sqrt{9}} = 2\]즉 \(\overline{X} \sim \mathrm{N}(30, 2^2)\)입니다. 이를 \(Z = \dfrac{\overline{X} - 30}{2}\)로 표준화하면\[\begin{aligned} P(28 \le \overline{X} \le 34) &= P\left(\frac{28 - 30}{2} \le Z \le \frac{34 - 30}{2}\right) = P(-1 \le Z \le 2) \\ &= P(0 \le Z \le 1) + P(0 \le Z \le 2) = 0.3413 + 0.4772 = 0.8185 \end{aligned}\]입니다.

함수 \(h(t) = P(t \le \overline{X} \le t + 4)\)를 표준정규확률변수 \(Z = \dfrac{\overline{X} - 30}{2}\)로 나타내면\[h(t) = P\left(\frac{t - 30}{2} \le Z \le \frac{t - 26}{2}\right)\]입니다. 적분 구간의 길이가 \(\dfrac{t - 26}{2} - \dfrac{t - 30}{2} = 2\)로 일정하므로, 표준정규분포의 확률밀도함수가 \(z = 0\)에 대하여 대칭이고 \(z = 0\)에서 최댓값을 갖는 단봉형 곡선이라는 성질에 의하여 구간의 양 끝점이 원점에 대칭일 때 확률 \(h(t)\)가 최대가 됩니다.\[\frac{t - 30}{2} + \frac{t - 26}{2} = 0 \iff 2t - 56 = 0 \iff t = 28\]이때 최댓값은\[h(28) = P(-1 \le Z \le 1) = 2P(0 \le Z \le 1) = 2 \times 0.3413 = 0.6826\]입니다.