2027학년도 성신여자대학교 자연계열 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 131쪽 단권화

2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본

2027학년도 성신여자대학교
자연계열 수리논술
10회분 통합 마스터 문제집·해설집

출제 범위: 교과서 기반 교육과정 수학 전 범위 (Textbook DB SSOT)
시험 시간: 100분 | 전형 반영: 논술 70% + 학생부 30%

📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 131쪽 완결]

• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭

• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (31p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (15문항)

• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (53p): 출제 타당성 보고서(2p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)

• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (41p): 40문항 전수 아코디언 정밀 해설

• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터

📱 스마트폰 실시간 합격진단 & 올인원 대시보드 연동

우측 QR 스캔 또는 상단 툴바 버튼으로 성신여자대학교 실시간 컷오프 시뮬레이터와 즉시 동기화됩니다.

발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: QUESTIO-2027-UNIFIED-MASTER

전형 반영 비율

논술 70% + 학생부 30%

논술 실질 변별력 핵심

시험 시간 · 문항

100분 · 4문항

회차당 수리 100점 만점

수능최저학력기준

모집단위별 기준 확인

국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급합 7 이내

출제 교육과정

교과서 기반 수학과

Textbook DB V1.0 완벽 준거

STEP 1기출 5개년 해부Part 1 정독

STEP 2표준 모의 1~5회실전 시간 엄수

STEP 3킬러 모의 6~10회TOP 5 심화 격파

STEP 4루브릭 약점 교정감점 요인 제거

STEP 5입결 컷오프 판정Part 3 시뮬레이션

📈 5개년 출제 경향 및 2027학년도 핵심 대비 전략

성신여자대학교 자연계열 수리논술전형은 논술 70% + 학생부 30%에 국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급합 7 이내의 수능최저학력기준이 적용되며, 시험시간 100분 동안 4문항(각 25점, 소문항 3단계 구조)을 해결하는 정통 수리논술 시험입니다.

최근 5개년(2022~2026) 기출 분석 결과, 성신여대는 ① 원과 곡선의 교점 존재성(우미분계수·사잇값 정리)과 반지름 극한, ② 지수·삼각함수의 접선·법선 도형 넓이와 무한등비급수, ③ 내접 다각형·도형 중첩 넓이의 극한 및 탄젠트 덧셈정리, ④ 공간도형·이차곡선 기하 논증 및 중복순열·확률분포·모비율 추정을 균형 있게 출제하고 있어 교과서 기반 교육과정 전 단원의 개념 유도력과 계산 완결성이 합격의 핵심 열쇠입니다.

🔥 역대 킬러 문항 TOP 5 분석 & 실전 모의고사 6~10회 1:1 심화 매칭표

순위	기출 원천 문항	핵심 출제 테마 및 변별 포인트	모의 1:1 매칭	부분점수 공략 전략
TOP 1	2026학년도 문항 2 · 2022학년도 문항 3	원·포물선·삼차곡선의 교점 존재성(우미분계수·사잇값 정리)과 반지름·활꼴 넓이 극한	제6회 문항 1 · 제10회 문항 1	보조함수 $h(0)=0$일 때 우미분계수 $h'(0) \gt 0$으로 양수 함숫값 존재를 먼저 보인 뒤 닫힌구간에서 사잇값 정리 적용
TOP 2	2026학년도 문항 4 · 2025학년도 문항 2 · 2024학년도 문항 2	내접 교대각 다각형·정삼각형 중첩 넓이 함수의 구간 분할과 탄젠트 덧셈정리 최대각	제7회 문항 1 · 제8회 문항 4	기하학적 경계 시각을 기준으로 구간별 넓이 식을 분리하고 산술·기하평균 등호 성립 조건을 명시
TOP 3	2026학년도 문항 1 · 2025학년도 문항 1 · 2022학년도 문항 2	지수·삼각 결합 함수의 접선·법선 넓이 수열과 부분적분·무한등비급수	제6회 문항 3 · 제8회 문항 1 · 제10회 문항 3	법선의 x절편과 수선의 발 위치를 정확히 구분하고 공비 \|r\|<1 수렴 조건을 반드시 기술
TOP 4	2025학년도 문항 3 · 2024학년도 문항 4 · 2022학년도 문항 1	함수방정식·대칭 반사 함수의 미분가능성과 롤의 정리·이중접선 정적분 넓이	제7회 문항 3 · 제8회 문항 3 · 제9회 문항 3	주기 이동 조건과 곱의 미분법 역연산을 결합하여 미지의 정적분 값을 단계적으로 소거
TOP 5	2023학년도 문항 4 · 2022학년도 문항 4 + 교과서 기반 기하·확통 신설 핵심	공간 평면의 방정식(12기하03-05)·이차곡선 접선 및 중복순열 배타 분할·모비율 신뢰구간(12확통03-06)	제6회 문항 2·4 · 제7회 문항 2·4 · 제9회 문항 2·4 · 제10회 문항 2·4	연속 숫자 배열은 최초 시작 위치로 배타 분할하고, 평면의 법선벡터 내적과 표본비율 표준오차 공식을 정확히 대입

📌 본 통합 마스터북 100% 활용 5단계 로드맵

STAGE 1

STEP 1 (Part 1 5개년 공식 기출 15문항 체화): 2022~2026학년도 성신여대 자연계열 기출 15문항(각 25점)과 교과서 기반 1:1 연계 문항으로 소문항 3단계 채점 루브릭을 완벽히 익힙니다.

STAGE 2

STEP 2 (Part 2 실전 표준 1~5회 + 킬러 심화 6~10회 40문항 완주): 회차당 100분 실전 시뮬레이션을 통해 미적분·대수·기하·확률과 통계 전 영역 복합 문항의 서술 완성도를 끌어올립니다.

STAGE 3

STEP 3 (Part 3 간호·AI·바이오 12개 모집단위 합격 진단): 간호학과(자연)(85.5점)부터 컴퓨터공학·AI융합·바이오신약·통계빅데이터까지 목표 학과 입결 대비 합격 가능성을 정밀 점검합니다.

PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS

2022~2026학년도 성신여자대학교
공식 기출 심층 해설 & 교과서 1:1 연계

최근 5개년 기출 핵심 15문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.

📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록

📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공

✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 지수함수의 도함수·접선의 기울기·정적분 넓이·곡선의 길이 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문] 그림과 같이 두 곡선 $y = e^{\frac{x}{2}} + e^{ - \frac{x}{2}}$와 $y = - e^{\frac{x}{2}} - e^{ - \frac{x}{2}} + a$와 $x$ 축, $y$ 축, 직선 $x = 3$으로 둘러싸인 도형을 $S$라 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, $a \gt 4$이고, $e$는 자연상수이다.) [총 25점]

<도형 S>

(1) 두 곡선 $y = e^{\frac{x}{2}} + e^{ - \frac{x}{2}}$와 $y = - e^{\frac{x}{2}} - e^{ - \frac{x}{2}} + a$의 교점 중 제$1$사분면 위의 점 $P$ 에서의 두 곡선의 접선의 기울기의 곱이 $-\frac{1}{4}\left(e - \frac{1}{e}\right)^2$ 이 되도록 하는 상수 $a$의 값을 구하시오. [7점]

(2) 소문항 (1)에서 구한 $a$의 값을 이용하여, 도형 $S$의 넓이를 구하시오. [8점]

(3) 소문항 (1)에서 구한 $a$의 값을 이용하여, 도형 $S$의 둘레의 길이를 구하시오. [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

【유사 연습 문제】 정적분 $\displaystyle \int_1^e x \ln x \, dx$의 값을 부분적분법을 이용하여 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\int_1^e x \ln x \, dx = \left[\frac{1}{2}x^2 \ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{2}e^2 - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문항 1 (미적분Ⅱ) [배점 25점]

[2026학년도 자연계열 문항 1] (미적분Ⅱ · 지수함수의 도함수·접선의 기울기·정적분 넓이·곡선의 길이) — 제시문 조건과 교과서 핵심 정리를 결합한 25점 다단계 논증 문항

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 1 · 총 25점

(1) 두 곡선 $y$ $=$ $e^{\frac{x}{2}}$ $+$ $e^{-\frac{x}{2}}$ 와 $y$ $=$ $-e^{\frac{x}{2}}$ $-$ $e^{-\frac{x}{2}}$ $+$ $a$ 의 교점 $P$ 의 $x$ 좌표를 $x_0$ 라 하면 $e^{\frac{x_0}{2}}$ $+$ $e^{-\frac{x_0}{2}}$ $=$ $-e^{\frac{x_0}{2}}$ $-$ $e^{-\frac{x_0}{2}}$ $+$ $a$ 가 성립한다.
두 곡선의 도함수는 각각 $y'$ $=$ $\frac{1}{2}\left(e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}}\right)$ 와 $y'$ $=$ $-\frac{1}{2}\left(e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}}\right)$ 이므로, 교점 $P$에서의 접선의 기울기의 곱은 다음과 같다. \[-\frac{1}{4}\left(e^{\frac{x_0}{2}} - e^{-\frac{x_0}{2}}\right)^2 = -\frac{1}{4}\left(e - \frac{1}{e}\right)^2\] 양변에 $-4$ 를 곱하고 제곱근을 구하면 $e^{\frac{x_0}{2}}$ $-$ $e^{-\frac{x_0}{2}}$ $=$ $\pm$ $\left(e - \frac{1}{e}\right)$ 이다. 점 $P$ 가 제$1$사분면 위의 점이므로 $x_0 \gt 0$ 이고, 따라서 $e^{\frac{x_0}{2}}$ $-$ $e^{-\frac{x_0}{2}}$ $ \gt $ $0$ 이 되어 $e^{\frac{x_0}{2}}$ $-$ $e^{-\frac{x_0}{2}}$ $=$ $e$ $-$ $\frac{1}{e}$이다. 이를 풀면 $\frac{x_0}{2}$ $=$ $1$ $\implies$ $x_0 = 2$ 이다. 교점 $P(2, e + e^{-1})$ 의 좌표를 대입하면 $e$ $+$ $e^{-1}$ $=$ $-e$ $-$ $e^{-1}$ $+$ $a$ 가 되므로, 구하는 상수 $a$ 의 값은 $\mathbf{a = 2\left(e + \frac{1}{e}\right)}$ 이다.
(2) 교점 $x = 2$ 를 기준으로 넓이를 $S_1$ (구간 $[0, 2]$)$,$$S_2$ (구간 $[2, 3]$)로 나누어 구한다. \[\begin{aligned} S_1 \\ &= \int_{0}^{2} \left(e^{\frac{x}{2}} + e^{-\frac{x}{2}}\right) dx \\ &= \left[2e^{\frac{x}{2}} - 2e^{-\frac{x}{2}}\right]_{0}^{2} \\ &= 2\left(e - \frac{1}{e}\right) \end{aligned}\] \[\begin{aligned} S_2 \\ &= \int_{2}^{3} \left(-e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}} + a\right) dx \\ &= \left[-2e^{\frac{x}{2}} + 2e^{-\frac{x}{2}} + ax\right]_{2}^{3} \\ &= -2\left(e^{\frac{3}{2}} - e^{-\frac{3}{2}}\right) + 2\left(e - \frac{1}{e}\right) + a \end{aligned}\] 따라서 구하는 넓이 $S = S_1 + S_2$는 다음과 같다. \[\begin{aligned} S \\ &= 4\left(e - \frac{1}{e}\right) - 2\left(e^{\frac{3}{2}} - e^{-\frac{3}{2}}\right) + 2\left(e + \frac{1}{e}\right) \\ &= \mathbf{6e - \frac{2}{e} - 2\left(e^{\frac{3}{2}} - e^{-\frac{3}{2}}\right)} \end{aligned}\]

(3) 둘레의 길이 중 직선 부분은 $AO = 2$ ($y$축)$,$$OB = 3$ ($x$축)$,$$BC = -e^{\frac{3}{2}} - e^{-\frac{3}{2}} + a$ (직선 $x=3$에서의 곡선 사이의 높이)이다.
곡선 부분 중 $x=0$ 에서 $x=2$ 까지의 길이는 $\int_{0}^{2}$ $\frac{1}{2}\left(e^{\frac{x}{2}} + e^{-\frac{x}{2}}\right)$ $dx$ $=$ $e$ $-$ $\frac{1}{e}$ 이고, $x=2$ 에서 $x=3$ 까지의 길이는 $\int_{2}^{3}$ $\frac{1}{2}\left(e^{\frac{x}{2}} + e^{-\frac{x}{2}}\right)$ $dx$ $=$ $\left(e^{\frac{3}{2}} - e^{-\frac{3}{2}}\right)$ $-$ $\left(e - \frac{1}{e}\right)$이다. 따라서 곡선 부분 전체의 길이는 $e^{\frac{3}{2}} - e^{-\frac{3}{2}}$이다. 둘레의 길이는 다음과 같다. \[\begin{aligned} 2 + 3 + \left(-e^{\frac{3}{2}} - e^{-\frac{3}{2}} + a\right) + \left(e^{\frac{3}{2}} - e^{-\frac{3}{2}}\right) \\ &= 5 - 2e^{-\frac{3}{2}} + 2\left(e + \frac{1}{e}\right) \\ &= \mathbf{5 + 2\left(e + \frac{1}{e}\right) - 2e^{-\frac{3}{2}}} \end{aligned}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 교점 $P \text{의} x \text{좌표가} 2 \text{임을 서술하고 상수} a$의 값을 정확히 도출함	7점
2단계	(2) 교점을 기준으로 영역을 나누어 정적분 식을 세우고 넓이를 구함	8점
3단계	(3) 둘레의 길이 중 직선 부분과 곡선의 길이를 각각 계산하여 합을 구함	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 제$1$사분면 조건 $x_0 \gt 0$으로부터 $e^{x_0/2} - e^{-x_0/2} \gt 0$임을 명시해야 부호 판정 감점을 피할 수 있으며, 소문항 (3) 둘레 계산 시 곡선 길이뿐 아니라 세 직선 구간 $AO, OB, BC$를 빠짐없이 합산해야 합니다.

🎯 [최종 정답](1) $a = 2\left(e + \dfrac{1}{e}\right)$ | (2) $S = 6e - \dfrac{2}{e} - 2\left(e^{\frac{3}{2}} - e^{-\frac{3}{2}}\right)$ | (3) $5 + 2\left(e + \dfrac{1}{e}\right) - 2e^{-\frac{3}{2}}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 원의 방정식과 미분계수 부호·사잇값 정리를 이용한 교점 존재성 및 극한 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문] 중심이 $O(0, r)$ 이고 반지름의 길이가 $r$인 원 $C : x^2 + (y - r)^2 = r^2$과 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (단, $r \gt 0$이다.)

(가) $f(0) = 0$
(나) $f'(0) = 1$
(다) $f(r) \lt r$

다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 원 $C$와 곡선 $y =$ $f(x)$가 $0 \lt x \lt r$에서 적어도 하나의 교점을 가짐을 보이시오. [10점]

(2) 소문항 (1)에서 구한 교점 중 하나를 $P \text{라 하고 점} P \text{의} x \text{좌표를} t \text{라 할 때}, \text{원} C \text{의 반지름의 길이를} t \text{와} f(t) \text{에 관한 식으로 나타낸 함수} r(t)$를 구하시오. [7점]

(3) 소문항 (2)에서 구한 함수 $r(t)$에 대하여, $\lim_{t\to0^+}$ $\frac{r(t)}{t}$의 값을 구하시오. [8점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

【유사 연습 문제】 닫힌구간 $[1, 3]$에서 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 실수 $c \in (1, 3)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$이고 $f'(x) = 3x^2 - 6x$이므로 $3c^2 - 6c - 1 = 0$. $1 \lt c \lt 3$이므로 $c = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문항 2 (미적분Ⅰ) [배점 25점]

[2026학년도 자연계열 문항 2] (미적분Ⅰ · 원의 방정식과 미분계수 부호·사잇값 정리를 이용한 교점 존재성 및 극한) — 제시문 조건과 교과서 핵심 정리를 결합한 25점 다단계 논증 문항

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 2 · 총 25점

(1) 원 $C$$:$$x^2$ $+$ $(y-r)^2$ $=$ $r^2$ 에서 $y$ $\le$ $r$ 인 아랫부분을 함수로 표현하면 $g(x) = r - \sqrt{r^2 - x^2}$ 이다.
새로운 함수 $h(x)$ $=$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ 를 정의하자. $f(x)$ 와 $g(x)$ 모두 구간 $[0$$,$$r]$ 에서 연속이고 미분가능하므로 $h(x)$ 또한 연속이자 미분가능한 함수이다.
조건 (다)에 의해 $h(r)$ $=$ $f(r)$ $-$ $g(r)$ $=$ $f(r)$ $-$ $r$ $ \lt $ $0$ 이다. 만약 $0$ $ \lt $ $x$ $ \lt $ $r$ 인 모든 실수 $x$ 에 대해 $h(x)$ $\le$ $0$이라고 가정하자. 이때 $h(0)$ $=$ $f(0)$ $-$ $g(0) = 0$ $-$ $0$ $=$ $0$ 이므로, $x$ $\to$ $0^+$일 때의 우미분계수는 다음과 같다. \[h'(0) = \lim_{t\to0^+} \frac{h(t) - h(0)}{t} = \lim_{t\to0^+} \frac{h(t)}{t} \le 0\] 그러나 실제로 미분계수를 계산하면 다음과 같다. \[h'(0) = f'(0) - g'(0) = 1 - \left. \frac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \right|_{x=0} = 1 - 0 = 1 \gt 0\] 이는 $h'(0) \le 0$이라는 사실과 모순이다. 따라서 귀류법에 의해 $h(c) \gt 0$을 만족하는 실수 $c$가 열린구간 $(0, r)$에 적어도 하나 존재해야 한다.
함수 $h(x)$ 는 닫힌구간 $[c$$,$$r]$ 에서 연속이고 $h(c)$ $ \gt $ $0$$,$$h(r)$ $ \lt $ $0$ 이므로, 사잇값의 정리에 의해 $h(x)$ $=$ $0$ 을 만족하는 $x$ 가 열린구간 $(c$$,$$r)$ $\subset$ $(0$$,$$r)$에 적어도 하나 존재한다. 즉, 원 $C$ 와 곡선 $y = f(x)$ 는 $0$ $ \lt $ $x$ $ \lt $ $r$ 에서 적어도 하나의 교점을 가진다.
(2) 교점 $P(t$$,$$f(t))$ 는 원 $C$ 위의 점이므로 원의 방정식에 대입할 수 있다. \[\begin{aligned} t^2 + \left(f(t) - r(t)\right)^2 \\ &= \left(r(t)\right)^2 \implies t^2 + \{f(t)\}^2 - 2f(t)r(t) + \{r(t)\}^2 \\ &= \{r(t)\}^2 \end{aligned}\] 이를 식 정리하면 $2f(t)r(t)$ $=$ $t^2$ $+$ $\{f(t)\}^2$ 이다. 교점 $P$ 의 $x$ 좌표가 $0$ $ \lt $ $t$ $ \lt $ $r$ 이므로 $f(t)$ $ \gt $ $0$ 이다. 따라서 구하는 함수 $r(t)$는 다음과 같다. \[r(t) = \mathbf{\frac{t^2 + \{f(t)\}^2}{2f(t)}}\]

(3) 소문항 (2)에서 구한 $r(t)$를 이용하여 극한을 구한다. \[\begin{aligned} \lim_{t\to0^+} \frac{r(t)}{t} \\ &= \lim_{t\to0^+} \frac{t^2 + \{f(t)\}^2}{2tf(t)} \\ &= \lim_{t\to0^+} \frac{1}{2}\left(\frac{t}{f(t)} + \frac{f(t)}{t}\right) \end{aligned}\] 함수 $f(x)$ 가 미분가능하고 $f(0) = 0$$,$$f'(0)$ $=$ $1$ 이므로 $\lim_{t\to0^+}$ $\frac{f(t)}{t}$ $=$ $\lim_{t\to0^+} \frac{f(t) - f(0)}{t - 0}$ $=$ $f'(0)$ $=$ $1$ 이고, 역수의 극한인 $\lim_{t\to0^+}$ $\frac{t}{f(t)}$ $=$ $\frac{1}{f'(0)}$ $=$ $1$이다. 따라서 구하는 극한값은 다음과 같다. \[\lim_{t\to0^+} \frac{r(t)}{t} = \frac{1}{2}(1 + 1) = \mathbf{1}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 귀류법과 사잇값의 정리를 올바르게 활용하여 실근(교점)의 존재성을 증명함	10점
2단계	(2) 교점의 좌표를 원의 방정식에 대입하여 $r(t)$에 대한 식을 유도함	7점
3단계	(3) 미분계수의 정의 및 극한의 기본 성질을 이용하여 최종 극한값 $1$을 구함	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 소문항 (1)에서 $h(0)=0$이므로 바로 $[0, r]$에 사잇값 정리를 쓸 수 없고, 먼저 우미분계수 $h'(0)=1\gt 0$으로 $h(c)\gt 0$인 $c\in(0,r)$의 존재를 보인 뒤 닫힌구간 $[c, r]$에서 사잇값 정리를 적용해야 만점을 받습니다.

🎯 [최종 정답](1) $h'(0) = 1 \gt 0$과 $h(r) \lt 0$에 사잇값 정리 적용하여 교점 존재 증명 | (2) $r(t) = \dfrac{t^2 + \{f(t)\}^2}{2f(t)}$ | (3) $1$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 정적분 극한에 의한 다항함수 결정·부분분수 적분·삼차곡선 접선 넓이 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문] 두 다항함수 $f(x) \text{와} g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(x) = x^3 - 3x$
(나) $\lim_{x\to\infty} \frac{\int_{0}^{x} f(t)g(t) dt}{\{f(x)\}^2} = \frac{1}{3}$
(다) $g(0) = 0$

다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 닫힌구간 $[1, 3]$에서 함수 $h(x)$ $= x^2 -$ $g(x)$의 최솟값이 $4$가 되도록 하는 다항함수 $g(x)$를 구하시오. [9점]

(2) 소문항 (1)에서 구한 다항함수 $g(x)$에 대하여, 정적분 $\int_{-1}^{0}$ $\frac{g(x) + 3}{f(x) + 2} dx$의 값을 구하시오. [7점]

(3) 소문항 (1)에서 구한 $g(x)$에 대하여, 두 곡선 $y =$ $f(x)$와 $y =$ $g(x)$ $+ kx$가 한 점에서 접하고 또 다른 한 점에서 만나도록 하는 상수 $k$의 값을 모두 구하고, $k$의 값에 따라 두 곡선 $y =$ $f(x)$와 $y =$ $g(x)$ $+ kx$로 둘러싸인 도형의 넓이를 각각 구하시오. [9점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x e^{-x}$의 극댓값과 변곡점의 $x$좌표를 각각 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x) = (1-x)e^{-x} = 0$에서 $x=1$일 때 극댓값 $\frac{1}{e}$을 갖고, $f''(x) = (x-2)e^{-x} = 0$에서 부호가 바뀌므로 변곡점의 $x$좌표는 $2$이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문항 3 (미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ) [배점 25점]

[2026학년도 자연계열 문항 3] (미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ · 정적분 극한에 의한 다항함수 결정·부분분수 적분·삼차곡선 접선 넓이) — 제시문 조건과 교과서 핵심 정리를 결합한 25점 다단계 논증 문항

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 3 · 총 25점

(1) 다항함수 $g(x)$의 최고차항을 $ax^n (a \neq 0)$이라 하자.
조건 (가)에 의해 $f(x)$ $=$ $x^3$ $-$ $3x$ 이므로, $\{f(x)\}^2$ 의 최고차항은 $x^6$ 이다. 한편, 피적분함수 $f(t)g(t)$ 의 최고차항은 $at^{n+3}$ 이므로 이의 적분인 $\int_{0}^{x}$ $f(t)g(t)$ $dt$ 의 최고차항은 $\frac{a}{n+4}x^{n+4}$이다. 조건 (나)의 극한값이 $\frac{1}{3}$ 로 수렴하므로 두 다항식의 차수는 동일해야 한다. 즉, $n+4$ $=$ $6$ $\implies$ $n$ $=$ $2$이다. 계수 비교를 하면 $\frac{a}{6}$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\implies$ $a$ $=$ $2$ 이다. 조건 (다)에 의해 $g(0) = 0$ 이므로, $g(x)$ $=$ $2x^2$ $+$ $bx$ ($b$는 상수)로 둘 수가 있다.
이때 $h(x)$ $=$ $x^2$ $-$ $g(x)$ $=$ $-x^2$ $-$ $bx$ 이다. 최고차항의 계수가 음수인 이차함수이므로, 축의 방정식은 $x$ $=$ $-\frac{b}{2}$이다. 구간 $[1, 3]$에서의 최솟값을 확인하기 위해 축의 위치에 따른 케이스를 나눈다.
① 축 $x$ $=$ $-\frac{b}{2}$ $ \lt $ $2$ $($즉, $b$ $ \gt $ $-4$ $)$인 경우, 이차함수의 대칭성에 의해 최솟값은 $x$ $=$ $3$에서 발생한다. \[h(3) = -9 - 3b = 4 \implies 3b = -13 \implies b = -\frac{13}{3}\] 가정인 $b \gt -4$를 만족하지 않으므로 모순이다.
② 축 $x$ $=$ $-\frac{b}{2}$ $\ge$ $2$ $($즉, $b$ $\le$ $-4$ $)$인 경우, 최솟값은 $x$ $=$ $1$에서 발생한다. \[h(1) = -1 - b = 4 \implies b = -5\] 가정인 $b$ $\le$ $-4$ 를 만족하므로 모순이 없으며 성립한다. 따라서 구하는 다항함수는 $\mathbf{g(x) = 2x^2 - 5x}$이다.
(2) 구하고자 하는 정적분은 다음과 같다. \[\begin{aligned} \int_{-1}^{0} \frac{2x^2 - 5x + 3}{x^3 - 3x + 2} dx \\ &= \int_{-1}^{0} \frac{(x-1)(2x-3)}{(x-1)^2(x+2)} dx \\ &= \int_{-1}^{0} \frac{2x-3}{(x-1)(x+2)} dx \end{aligned}\] 유리함수의 부분분수 분해를 이용하면 다음과 같다. \[\frac{2x-3}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} \implies 2x-3 = A(x+2) + B(x-1)\] - $x=1$ 대입: $-1$ $=$ $3A$ $\implies$ $A$ $=$ $-\frac{1}{3}$ $-$ $x=-2$ 대입: $-7$ $=$ $-3B$ $\implies$ $B$ $=$ $\frac{7}{3}$ 따라서 정적분 계산은 다음과 같이 전개된다. \[\begin{aligned} \int_{-1}^{0} \left( -\frac{1}{3(x-1)} + \frac{7}{3(x+2)} \right) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{3}\ln|x-1| + \frac{7}{3}\ln|x+2| \right]_{-1}^{0} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} = \left( -\frac{1}{3}\ln 1 + \frac{7}{3}\ln 2 \right) - \left( -\frac{1}{3}\ln 2 + \frac{7}{3}\ln 1 \right) \\ &= \frac{7}{3}\ln 2 + \frac{1}{3}\ln 2 \\ &= \mathbf{\frac{8}{3}\ln 2} \end{aligned}\]

(3) 두 곡선 $y = f(x)$ 와 $y = g(x)$ $+$ $kx$ 가 한 점에서 접하고 다른 한 점에서 만나기 위해서는 방정식 $f(x)$ $-$ $g(x)$ $-$ $kx$ $=$ $0$이 중근 하나와 다른 실근 하나(총 2개의 서로 다른 실근)를 가져야 한다. \[f(x) - g(x) - kx = x^3 - 3x - (2x^2 - 5x) - kx = x^3 - 2x^2 + (2-k)x = 0\] 인수분해를 하면 $x(x^2 - 2x + 2 - k)$ $=$ $0$ 이다. 근 중 하나는 항상 $x=0$이므로 다음 두 가지 경우를 생각할 수 있다.

Case 1: 이차방정식 $x^2$ $-$ $2x$ $+$ $2$ $-$ $k$ $=$ $0$ 이 $0$이 아닌 중근을 갖는 경우
판별식이 $0$ 이어야 하므로 $\frac{D}{4}$ $=$ $1$ $-$ $(2$ $-$ $k)$ $=$ $0$ $\implies$ $k$ $=$ $1$이다. 이때 이차방정식은 $x^2$ $-$ $2x$ $+$ $1$ $=$ $0$ $\implies$ $(x-1)^2$ $=$ $0$ 이 되어 $x=1\ (\text{중근})$ 을 가지며, $0$이 아니므로 성립한다. 이때의 연립방정식은 $x(x-1)^2$ $=$ $x^3$ $-$ $2x^2$ $+$ $x$ $=$ $0$ 이며, 두 곡선 사이의 넓이 $S$는 다음과 같다. \[\begin{aligned} S &= \int_{0}^{1} |x^3 - 2x^2 + x| dx = \int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x) dx \\ &= \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \mathbf{\frac{1}{12}} \end{aligned}\]
Case 2: 이차방정식 $x^2 - 2x + 2 - k = 0$이 $x=0$을 하나의 근으로 갖는 경우:
$x=0$을 대입하면 $2-k = 0 \implies k = 2$이다. 이때 삼차방정식은 $x^2(x-2)$ $=$ $0$ 이 되므로, $x=0\ (\text{중근})$ 과 $x=2$를 근으로 가져 서로 다른 2개의 실근 조건을 만족한다. 이때 두 곡선 사이의 넓이 $S$는 다음과 같다. \[\begin{aligned} S &= \int_{0}^{2} |x^3 - 2x^2| dx = \int_{0}^{2} (2x^2 - x^3) dx \\ &= \left[\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4\right]_{0}^{2} = \frac{16}{3} - 4 = \mathbf{\frac{4}{3}} \end{aligned}\] 따라서 만족하는 상수 $k$ 의 값은 $\mathbf{k = 1, 2}$ 이며, 둘러싸인 도형의 넓이는 각각 $\mathbf{k=1}$ 일 때 $\mathbf{\frac{1}{12}}$$,$$\mathbf{k=2}$ 일 때 $\mathbf{\frac{4}{3}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 차수와 최고차항 계수 비교를 통해 $g(x)$ 의 폼을 잡고, 축의 위치에 따른 케이스 분류로 $g(x)$ $=$ $2x^2$ $-$ $5x$를 정확히 구함	9점
2단계	(2) 부분분수 분해를 이용해 적분 대상 식을 변환하고 정적분을 올바르게 연산함	7점
3단계	(3) 접선과 교점 조건으로부터 중근 조건을 도출해 $k=1, 2$를 구하고 각각의 넓이를 계산함	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 소문항 (3)에서 삼차함수와 이차함수가 한 점에서 접하고 다른 한 점에서 만나려면 차함수가 중근과 단근을 가져야 하므로 판별식 조건으로부터 두 경우($k=1, 2$)를 모두 구해 넓이를 각각 제시해야 합니다.

🎯 [최종 정답](1) $g(x) = 2x^2 - 5x$ | (2) $\dfrac{8}{3}\ln 2$ | (3) $k = 1$일 때 $\dfrac{1}{12}$, $k = 2$일 때 $\dfrac{4}{3}$

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 부채꼴 넓이 부등식과 내접 다각형 넓이 수열의 극한 및 탄젠트 덧셈정리 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문] 중심이 $O(0, 0)$ 이고 반지름의 길이가 $1$인 원 $C : x^2 + y^2 = 1$에 대하여 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) $0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}$인 실수 $x$에 대하여 $\sin x \lt x \lt \tan x$ 임을 보이고, 실수 $t$에 대하여 $\lim_{t\to0} \frac{\sin t}{t} = 1$임을 보이시오. [9점]

(2) $n \ge 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 원 $C$ 위에 순서대로 놓인 $2n$ 개의 점 $P_0$, $P_1$, $\dots$, $P_{2n-1}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 자연수 $k$가 홀수이면 $\angle P_0 O P_k = \frac{3k - 1}{3n}\pi$
(나) 자연수 $k$가 짝수이면 $\angle P_0 O P_k = \frac{k}{n}\pi$

$2n \text{각형} P_0 P_1 \dots P_{2n-1} \text{의 넓이를} S(n) \text{이라 할 때}, S(n) \text{을 구하고}, \lim_{n\to\infty} S(2026^n)$의 값을 구하시오. [7점]

(3) 원 $C$의 중심 $O(0, 0)$와 이 원 위의 한 점 $B(-1, 0)$ , 직선 $x = \frac{1}{2}$ 위의 점 $A\left(\frac{1}{2}, t\right)$에 대하여 일반각 $\angle BAO$를 $\theta(t)$라 할 때, $\tan$ $\theta(t)$를 $t$에 관한 식으로 나타내고, 이를 이용하여 $\theta(t)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (단, $- \frac{\pi}{2} \lt $ $\theta(t)$ $ \lt \frac{\pi}{2}$ 이고, $t$는 실수이다.) [9점]

<도형>

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

【유사 연습 문제】 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n + (-2)^n}{5^n}$의 합을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 두 등비급수가 각각 수렴하므로 합은 $\frac{3/5}{1 - 3/5} + \frac{-2/5}{1 + 2/5} = \frac{3}{2} - \frac{2}{7} = \frac{17}{14}$이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문항 4 (대수 · 미적분Ⅱ) [배점 25점]

[2026학년도 자연계열 문항 4] (대수 · 미적분Ⅱ · 부채꼴 넓이 부등식과 내접 다각형 넓이 수열의 극한 및 탄젠트 덧셈정리) — 제시문 조건과 교과서 핵심 정리를 결합한 25점 다단계 논증 문항

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 4 · 총 25점

(1) $0$ $ \lt $ $x$ $ \lt $ $\frac{\pi}{2}$ 일 때, 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $x$ 인 부채꼴 $OAB$를 좌표평면 위에 두자. 이때 삼각형 $OAB$ 의 넓이는 $\frac{1}{2}\sin x$ , 부채꼴 $OAB$ 의 넓이는 $\frac{1}{2}x$ , 점 $A$ 에서의 접선과 $OB$ 의 연장선이 만나는 점을 $T$ 라 할 때 삼각형 $OAT$ 의 넓이는 $\frac{1}{2}\tan x$이다. 기하학적 대소관계에 의해 다음이 성립한다. \[\frac{1}{2}\sin x \lt \frac{1}{2}x \lt \frac{1}{2}\tan x \implies \sin x \lt x \lt \tan x\] 이때 $\sin x \gt 0 \text{이므로 부등식의 세 항을} \sin x$로 나누면 다음과 같다. \[1 \lt \frac{x}{\sin x} \lt \frac{1}{\cos x}\] 각 항의 역수를 취하면 $\cos$ $x$ $ \lt $ $\frac{\sin x}{x}$ $ \lt $ $1$ 이다. $\lim_{x\to0^+}$ $\cos$ $x$ $=$ $1$ 이므로, 샌드위치 정리(조임 정리)에 의해 $\lim_{x\to0^+}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $1$이다.
음의 실수 영역인 $-\frac{\pi}{2}$ $ \lt $ $x$ $ \lt $ $0$ 에 대해서는 $x$ $=$ $-t$ ($t \gt 0$)로 치환하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \lim_{x\to0^-} \frac{\sin x}{x} \\ &= \lim_{t\to0^+} \frac{\sin(-t)}{-t} \\ &= \lim_{t\to0^+} \frac{-\sin t}{-t} \\ &= \lim_{t\to0^+} \frac{\sin t}{t} \\ &= 1 \end{aligned}\] 따라서 우극한과 좌극한이 같으므로 $\lim_{t\to0}$ $\frac{\sin t}{t}$ $=$ $1$ 이 증명된다.
(2) 원 $C$ 의 $2n$ 개의 꼭지점 $P_0, P_1, \dots, P_{2n-1}$ 에 대해 인접한 두 점과 원점 $O$가 이루는 꼭지각들을 계산하자.
- $k$ $=$ $2m$ (짝수)일 때, $\angle$ $P_0$ $O$ $P_{2m}$ $=$ $\frac{2m}{n}\pi$ $=$ $\frac{6m}{3n}\pi$이다.
- $k$ $=$ $2m+1$ (홀수)일 때, $\angle$ $P_0$ $O$ $P_{2m+1}$ $=$ $\frac{3(2m+1)-1}{3n}\pi$ $=$ $\frac{6m+2}{3n}\pi$이다. 따라서 꼭지각들의 크기는 다음과 같다. \[\begin{aligned} \angle P_{2m} O P_{2m+1} \\ &= \angle P_0 O P_{2m+1} - \angle P_0 O P_{2m} \\ &= \frac{6m+2}{3n}\pi - \frac{6m}{3n}\pi \\ &= \frac{2\pi}{3n} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \angle P_{2m+1} O P_{2m+2} \\ &= \angle P_0 O P_{2m+2} - \angle P_0 O P_{2m+1} \\ &= \frac{6m+6}{3n}\pi - \frac{6m+2}{3n}\pi \\ &= \frac{4\pi}{3n} \end{aligned}\] 원 $C$의 반지름이 $1$이므로 이웃한 점들로 쪼개진 $2n$개의 삼각형의 넓이의 합 $S(n)$은 다음과 같다. \[\begin{aligned} S(n) \\ &= n \left( \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin \frac{2\pi}{3n} \right) + n \left( \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin \frac{4\pi}{3n} \right) \\ &= \mathbf{\frac{n}{2} \left( \sin \frac{2\pi}{3n} + \sin \frac{4\pi}{3n} \right)} \end{aligned}\] 이제 $N$ $=$ $2026^n$ 이라 하면 $n$ $\to$ $\infty$ 일 때 $N$ $\to$ $\infty$ 이므로 다음과 같다. \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} S(2026^n) &= \lim_{N\to\infty} \frac{N}{2} \left( \sin \frac{2\pi}{3N} + \sin \frac{4\pi}{3N} \right) \\ &= \lim_{N\to\infty} \left( \frac{\pi}{3} \cdot \frac{\sin \frac{2\pi}{3N}}{\frac{2\pi}{3N}} + \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{\sin \frac{4\pi}{3N}}{\frac{4\pi}{3N}} \right) = \frac{\pi}{3} \cdot 1 + \frac{2\pi}{3} \cdot 1 = \mathbf{\pi} \end{aligned}\]

(3) 원의 중심 $O(0, 0), B(-1, 0), A\left(\frac{1}{2}, t\right)$ 이고 $\theta(t) = \angle BAO$이다. 직선 $x$ $=$ $\frac{1}{2}$ 과 $x$축의 교점을 $D\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 이라 하자. $\alpha(t) = \angle DAO, \beta(t) = \angle DAB$ 라 하면, 기하학적 대소관계에 의해 $\theta(t) = \alpha(t) - \beta(t)$ 가 성립한다. 직각삼각형 $\triangle OAD$와 $\triangle BAD$에서 다음이 성립한다. \[\tan \alpha(t) = \frac{t}{1/2} = 2t, \quad \tan \beta(t) = \frac{t}{1 + 1/2} = \frac{2t}{3}\] 탄젠트 함수의 덧셈정리를 적용하여 $\tan \theta(t)$를 정리하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \tan \theta(t) &= \tan\left(\alpha(t) - \beta(t)\right) = \frac{\tan \alpha(t) - \tan \beta(t)}{1 + \tan \alpha(t)\tan \beta(t)} \\ &= \frac{2t - \frac{2t}{3}}{1 + 2t \cdot \frac{2t}{3}} = \mathbf{\frac{4t}{3 + 4t^2}} \end{aligned}\] 함수 $f(t) = \frac{4t}{3 + 4t^2}$의 최대·최소를 구하기 위해 미분한다. \[\begin{aligned} f'(t) \\ &= \frac{4\left(3 + 4t^2\right) - 4t(8t)}{\left(3 + 4t^2\right)^2} \\ &= \frac{12 - 16t^2}{\left(3 + 4t^2\right)^2} \end{aligned}\] $f'(t)$ $=$ $0$ 을 만족하는 극값 후보는 $t$ $=$ $\pm$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$이다. - $t$ $=$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 일 때 최댓값 $f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ $=$ $\frac{2\sqrt{3}}{3 + 3}$ $=$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$을 가진다. - $t$ $=$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 일 때 최솟값 $f\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ $=$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$을 가진다. 주어진 각의 범위 $-\frac{\pi}{2}$ $ \lt $ $\theta(t)$ $ \lt $ $\frac{\pi}{2}$ 에서 $\tan\theta$ 는 일대일대응이고 증가함수이므로, $\tan\theta(t)$ 가 최대일 때 $\theta(t)$ 가 최대이고 최소일 때 $\theta(t)$ 또한 최소이다. - 최댓값: $\tan\theta$ $=$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\implies$ $\theta$ $=$ $\mathbf{\frac{\pi}{6}}$ (이때 $t = \frac{\sqrt{3}}{2}$) - 최솟값: $\tan\theta$ $=$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\implies$ $\theta$ $=$ $\mathbf{-\frac{\pi}{6}}$ (이때 $t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 기하학적 영역 크기 비교와 조임 정리를 통해 극한식 $\lim_{t\to0} \frac{\sin t}{t} = 1$을 엄밀히 보임	9점
2단계	(2) 다각형을 $2n$개의 삼각형으로 나누어 넓이 $S(n)$을 구하고 극한값 $\pi$를 정확히 연산함	7점
3단계	(3) 탄젠트 덧셈정리를 적용하여 $\tan\theta(t)$ 식을 도출하고 미분을 통해 극점 및 최댓값 $\pi/6$, 최솟값 $-\pi/6$을 올바르게 구함	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 소문항 (1)에서 $0 \lt t \lt \frac{\pi}{2}$ 우극한만 보이고 음수 구간 $t \to 0^-$ 대칭성($\frac{\sin(-u)}{-u}=\frac{\sin u}{u}$)을 생략하면 감점되므로 좌·우극한 일치를 반드시 서술하십시오.

🎯 [최종 정답](1) $\sin x \lt x \lt \tan x$ 및 $\displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1$ 증명 | (2) $S(n) = \dfrac{n}{2}\left(\sin\dfrac{2\pi}{3n} + \sin\dfrac{4\pi}{3n}\right),\; \pi$ | (3) $\tan\theta(t) = \dfrac{4t}{3+4t^2}$, 최댓값 $\dfrac{\pi}{6}$, 최솟값 $-\dfrac{\pi}{6}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 지수함수 접선·법선으로 둘러싸인 도형의 넓이 극한과 무한등비급수 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문] 자연수 $n$에 대하여 점 $(n, 0)$을 지나는 직선 $l$ 이 곡선 $y = e^{ - x}$ 위의 점 $P$에서 이 곡선과 접한다고 할 때, 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 접선 $l$의 방정식과 접점 $P$의 좌표를 구하시오. [8점]

(2) 곡선 $y = e^{ - x}$과 접선 $l$ 및 두 직선 $y = 0, x = 2n$으로 둘러싸인 도형 중 제$1$사분면에 놓인 부분의 넓이를 $a_n$ 이라 할 때, $\lim_{n\to\infty} e^n a_n$의 값을 구하시오. [8점]

(3) 점 $P$를 지나고 접선 $l$에 수직인 직선과 점 $P$를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선 및 $x$ 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $b_n$ 이라 할 때, $\sum_{n = 1}^\infty b_n$의 값을 구하시오. [9점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.20 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]

【유사 연습 문제】 실수 전체에서 증가하는 함수 $f(x) = x^3 + 3x + 1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $g'(5)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f(1) = 1 + 3 + 1 = 5$이므로 $g(5) = 1$이다. 역함수의 미분법에 의해 $g'(5) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{3(1)^2 + 3} = \frac{1}{6}$이다.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 문항 1 (미적분Ⅱ) [배점 25점]

[2025학년도 자연계열 문항 1] (미적분Ⅱ · 지수함수 접선·법선으로 둘러싸인 도형의 넓이 극한과 무한등비급수) — 제시문 조건과 교과서 핵심 정리를 결합한 25점 다단계 논증 문항

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 1 · 총 25점

(1) 곡선 $y$ $=$ $e^{-x}$ 위의 접점의 좌표를 $P(c$$,$$e^{-c})$ 라 하자. $y'$ $=$ $-e^{-x}$ 이므로 점 $P$ 에서의 접선의 기울기는 $-e^{-c}$이다. 접선의 방정식은 다음과 같다. \[y - e^{-c} = -e^{-c}(x - c) \implies y = -e^{-c}(x - c) + e^{-c}\] 이 접선이 점 $(n, 0)$을 지나므로 다음이 성립한다. \[0 = -e^{-c}(n - c) + e^{-c} \implies e^{-c}(c - n + 1) = 0\] $e^{-c}$ $\neq$ $0$ 이므로 $c$ $=$ $n$ $-$ $1$ 이다. 따라서 접점의 좌표는 $\mathbf{P(n-1, e^{1-n})}$ 이고, 접선의 방정식은 $\mathbf{y = -e^{1-n}(x - n)}$ 이다.
(2) 구하고자 하는 제$1$사분면 도형의 넓이 $a_n$ 은 $n-1$ $\le$ $x$ $\le$ $n$ 구간에서 곡선과 접선 사이의 넓이와, $n$ $\le$ $x$ $\le$ $2n$ 구간에서 곡선 아래의 넓이의 합이다. \[a_n = \int_{n-1}^{n} \left\{ e^{-x} - \left( -e^{1-n}(x - n) \right) \right\} dx + \int_{n}^{2n} e^{-x} dx\] 각 정적분을 계산하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \int_{n-1}^{n} \left\{ e^{-x} + e^{1-n}(x - n) \right\} dx \\ &= \left[ -e^{-x} + \frac{1}{2}e^{1-n}(x - n)^2 \right]_{n-1}^{n} \\ &= e^{1-n} - e^{-n} - \frac{1}{2}e^{1-n} \\ &= \frac{1}{2}e^{1-n} - e^{-n} \end{aligned}\] \[\int_{n}^{2n} e^{-x} dx = \left[ -e^{-x} \right]_{n}^{2n} = e^{-n} - e^{-2n}\] 따라서 $a_n = \left(\frac{1}{2}e^{1-n} - e^{-n}\right) + \left(e^{-n} - e^{-2n}\right) = \frac{1}{2}e^{1-n} - e^{-2n}$이다. 극한값을 구하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} e^n a_n \\ &= \lim_{n\to\infty} e^n \left( \frac{1}{2}e^{1-n} - e^{-2n} \right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{e}{2} - e^{-n} \right) \\ &= \mathbf{\frac{e}{2}} \end{aligned}\]

(3) 점 $P(n-1, e^{1-n}) \text{을 지나고 접선} l \text{에 수직인 직선의 기울기는} e^{n-1}$이므로 그 방정식은 다음과 같다. \[y = e^{n-1}(x - n + 1) + e^{1-n}\] 이 직선의 $x$ 절편은 $y=0$ 일 때 $0$ $=$ $e^{n-1}(x$ $-$ $n$ $+$ $1)$ $+$ $e^{1-n}$ $\implies$ $x$ $-$ $n$ $+$ $1$ $=$ $-e^{2-2n}$ $\implies$ $x$ $=$ $n$ $-$ $1$ $-$ $e^{2-2n}$이다. 둘러싸인 직각삼각형의 밑변의 길이는 $(n-1)$ $-$ $(n-1-e^{2-2n})$ $=$ $e^{2-2n}$ 이고, 높이는 $e^{1-n}$ 이므로 넓이 $b_n$은 다음과 같다. \[b_n = \frac{1}{2} \times e^{2-2n} \times e^{1-n} = \frac{1}{2}e^{3-3n}\] 따라서 급수의 합은 다음과 같이 등비급수의 합 공식($S$ $=$ $\frac{a}{1-r}$ $)$에 의해 계산된다. $($첫째항 $b_1$ $=$ $\frac{1}{2}$ , 공비 $r$ $=$ $e^{-3}$) \[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} b_n \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}e^{3-3n} \\ &= \frac{1/2}{1 - e^{-3}} \\ &= \mathbf{\frac{e^3}{2(e^3 - 1)}} \end{aligned}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 곡선 외부의 한 점에서의 접선 방정식을 세우고 매개변수를 풀어 접점과 접선식을 구함	8점
2단계	(2) 넓이를 적절한 구간으로 분할하여 정적분식을 세운 뒤 극한 연산을 성공적으로 수행함	8점
3단계	(3) 법선의 $x \text{절편을 이용해 삼각형의 넓이} b_n$을 구하고 등비급수의 합을 정확히 계산함	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 법선의 기울기가 $e^{n-1}$임을 구한 뒤 $x$절편을 정확히 도출하여 직각삼각형 밑변 길이를 세우고, 등비급수 공비 $r = e^{-3}$이 $|r| \lt 1$ 수렴 조건을 만족함을 명시하십시오.

🎯 [최종 정답](1) $P(n-1, e^{1-n}),\; y = -e^{1-n}(x - n)$ | (2) $\dfrac{e}{2}$ | (3) $\dfrac{e^3}{2(e^3 - 1)}$

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 탄젠트 덧셈정리·코사인법칙·사인법칙과 삼각함수 도형 극한 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문] 그림과 같이 두 직선 $y =$ $a(x - 1)$과 $y = mx$의 교점을 $P$라 하고, $O(0, 0)$$,$$Q(1, 0)$ 이라 하자. (단, $0 \lt m \lt a$이다.) 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

<도형>

(1) $a = 2\sqrt{3}, m = \frac{\sqrt{3}}{7}$일 때, $\cos(\angle OPQ)$의 값을 구하시오. [7점]

(2) $a = 2\sqrt{3}, m = \frac{\sqrt{3}}{7}$ 이고 제$3$사분면에서 직선 $y = mx$ 위에 있는 점 $R$ 이 $RP = 2$를 만족시킬 때, $RQ^2$의 값을 구하시오. [8점]

(3) $k \gt 1$인 상수 $k$와 $0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2k}$인 실수 $\theta$에 대하여 $a = \tan k\theta, m = \tan \theta$라 하자. 선분 $OP$의 길이를 $f(\theta)$라 할 때, $\lim_{\theta\to0^+}$ $f(\theta)$의 값을 $k$에 대한 식으로 나타내시오. [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.30 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-05]

【유사 연습 문제】 극한값 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{2k}{n}}$을 정적분으로 나타내어 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x_k = \frac{k}{n}$으로 놓으면 주어진 극한은 $\int_0^1 \frac{1}{1 + 2x}\,dx = \left[\frac{1}{2}\ln(1+2x)\right]_0^1 = \frac{1}{2}\ln 3$이다.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 문항 2 (대수 · 미적분Ⅱ) [배점 25점]

[2025학년도 자연계열 문항 2] (대수 · 미적분Ⅱ · 탄젠트 덧셈정리·코사인법칙·사인법칙과 삼각함수 도형 극한) — 제시문 조건과 교과서 핵심 정리를 결합한 25점 다단계 논증 문항

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 2 · 총 25점

(1) 두 직선 $y$ $=$ $2\sqrt{3}(x$ $-$ $1)$ 과 $y$ $=$ $\frac{\sqrt{3}}{7}x$ 가 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 $\alpha$$,$$\beta$ 라 하자. $\tan$ $\alpha$ $=$ $2\sqrt{3}$$,$$\tan$ $\beta$ $=$ $\frac{\sqrt{3}}{7}$ 이며, $\angle$ $OPQ$ $=$ $\alpha$ $-$ $\beta$가 성립한다. 탄젠트 덧셈정리에 의해 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} \tan(\angle OPQ) &= \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \\ &= \frac{2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{7}}{1 + 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{7}} = \frac{\frac{13\sqrt{3}}{7}}{\frac{13}{7}} = \sqrt{3} \end{aligned}\] $0$ $ \lt $ $\angle$ $OPQ$ $ \lt $ $\pi$ 이므로 $\angle$ $OPQ$ $=$ $\frac{\pi}{3}$ 이다. 따라서 $\cos(\angle$ $OPQ)$ $=$ $\cos\frac{\pi}{3}$ $=$ $\mathbf{\frac{1}{2}}$ 이다.
(2) 두 직선의 교점 $P(x$$,$$y)$의 좌표를 연립하여 구하자. \[2\sqrt{3}(x - 1) = \frac{\sqrt{3}}{7}x \implies 14(x-1) = x \implies 13x = 14 \implies x = \frac{14}{13}\] $y$ $=$ $\frac{\sqrt{3}}{7}$ $\cdot$ $\frac{14}{13}$ $=$ $\frac{2\sqrt{3}}{13}$ 이므로, 교점은 $P\left(\frac{14}{13}, \frac{2\sqrt{3}}{13}\right)$이다. 선분 $PQ \text{의 길이를 구하면 다음과 같다}. ( Q(1, 0)$) \[\begin{aligned} PQ &= \sqrt{\left(\frac{14}{13} - 1\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{3}}{13} - 0\right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{1}{169} + \frac{12}{169}} = \frac{\sqrt{13}}{13} = \frac{1}{\sqrt{13}} \end{aligned}\] 점 $R$$,$$P$ 는 직선 $y$ $=$ $mx$ 위에 있고 $RP$ $=$ $2$ 이다. $\triangle$ $RPQ$ 에 대하여 코사인법칙을 적용하면 다음과 같다. $($ $\angle$ $RPQ$ $=$ $\pi$ $-$ $\angle$ $OPQ$ $=$ $\pi$ $-$ $\frac{\pi}{3}$ $=$ $\frac{2\pi}{3}$) \[\begin{aligned} RQ^2 &= RP^2 + PQ^2 - 2 \cdot RP \cdot PQ \cdot \cos\frac{2\pi}{3} = 2^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{13}}\right)^2 - 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= 4 + \frac{1}{13} + \frac{2}{\sqrt{13}} = \mathbf{\frac{53 + 26\sqrt{13}}{13}} \end{aligned}\] (※ 다른 풀이: 수선의 발을 내려 피타고라스 정리를 사용하여도 동일하게 유도된다.)

(3) 두 직선 $y$ $=$ $(\tan$ $k\theta)(x-1)$ 과 $y$ $=$ $(\tan$ $\theta)x$ 가 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각은 각각 $k\theta$$,$$\theta$이다. 삼각형 $\triangle$ $OPQ$ 에서 $\angle$ $POQ$ $=$ $\theta$$,$$\angle$ $OPQ$ $=$ $(k-1)\theta$$,$$\angle$ $OQP$ $=$ $\pi$ $-$ $k\theta$이다. 사인법칙을 적용하면 다음이 성립한다. ($OQ = 1$) \[\begin{aligned} \frac{OP}{\sin(\angle OQP)} \\ &= \frac{OQ}{\sin(\angle OPQ)} \implies \frac{f(\theta)}{\sin(\pi - k\theta)} \\ &= \frac{1}{\sin(k-1)\theta} \end{aligned}\] \[f(\theta) = \frac{\sin k\theta}{\sin(k-1)\theta}\] $\theta \to 0^+$일 때의 극한값을 구하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \lim_{\theta\to0^+} f(\theta) \\ &= \lim_{\theta\to0^+} \frac{\sin k\theta}{\sin(k-1)\theta} \\ &= \lim_{\theta\to0^+} \left( \frac{\sin k\theta}{k\theta} \cdot \frac{(k-1)\theta}{\sin(k-1)\theta} \cdot \frac{k}{k-1} \right) \\ &= 1 \cdot 1 \cdot \frac{k}{k-1} \\ &= \mathbf{\frac{k}{k-1}} \end{aligned}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 직선의 기울기와 탄젠트 기하학적 의미를 활용해 $\cos(\angle OPQ) = 1/2$을 정확히 유도함	7점
2단계	(2) 교점의 좌표로부터 변의 길이를 계산하고, 코사인법칙을 적용해 $RQ^2$ 값을 올바르게 도출함	8점
3단계	(3) 사인법칙으로 선분의 길이를 삼각함수 식으로 표현한 뒤 삼각함수 극한의 기본 성질로 극한값 $\frac{k}{k-1}$을 유도함	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 소문항 (2)에서 $\angle OPQ = \frac{\pi}{3}$의 보각인 $\angle RPQ = \frac{2\pi}{3}$를 적용해야 코사인법칙 부호($\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$) 실수를 방지할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답](1) $\dfrac{1}{2}$ | (2) $\overline{RQ}^2 = \dfrac{53 + 26\sqrt{13}}{13}$ | (3) $\dfrac{k}{k - 1}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 삼차·이차함수의 정적분 넓이·공통접선 조건과 대칭 반사 함수의 미분가능성 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문] $a \gt 4$인 실수 $a$에 대하여 두 함수 $f(x)$$,$$g(x)$는 $f(x)$ $=$ $x^2(x - 3a + 1)$$,$$g(x)$ $=$ $-ax(x + 3)$이다. 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 두 곡선 $y =$ $f(x)$와 $y =$ $g(x)$ 및 직선 $x = - 2$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $58$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오. [8점]

(2) 양수 $b$에 대하여 곡선 $y =$ $g(x)$ $+ b$와 곡선 $y =$ $f(x)$가 어떤 한 점에서 공통접선을 가질 때 상수 $b$의 값을 구하고, 두 곡선 $y =$ $f(x)$와 $y =$ $g(x)$ $+ b$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [8점]

(3) 실수 $c \text{와 함수} f(x) \text{에 대하여 함수} h(x)$를 \[ h(x) = \begin{cases} f(x) & (x \lt c) \\ f(2c - x) & (x \ge c) \end{cases} \] 라 하자. 미분계수의 정의를 이용하여 함수 $h(x) \text{가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는} c$의 값을 모두 구하시오. [9점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

【유사 연습 문제】 곡선 $y = x^3 - 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 $S$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 교점은 $x = -2, 0, 2$이고 기함수 대칭성에 의해 $S = 2\int_0^2 (4x - x^3)\,dx = 2\left[2x^2 - \frac{1}{4}x^4\right]_0^2 = 8$이다.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 문항 3 (미적분Ⅰ) [배점 25점]

[2025학년도 자연계열 문항 3] (미적분Ⅰ · 삼차·이차함수의 정적분 넓이·공통접선 조건과 대칭 반사 함수의 미분가능성) — 제시문 조건과 교과서 핵심 정리를 결합한 25점 다단계 논증 문항

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 3 · 총 25점

(1) 두 곡선 $y = f(x)$ 와 $y = g(x)$ 의 교점의 $x$좌표를 연립하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} f(x) - g(x) &= x^3 - 3ax^2 + x^2 - (-ax^2 - 3ax) \\ &= x^3 + (1-2a)x^2 + 3ax = x\left(x^2 - (2a-1)x + 3a\right) = 0 \end{aligned}\] $a$ $ \gt $ $4$ 이므로 이차방정식 $x^2$ $-$ $(2a-1)x$ $+$ $3a$ $=$ $0$ 의 두 근은 합 $2a-1$ $ \gt $ $0$ , 곱 $3a$ $ \gt $ $0$ 이고 판별식 $D$ $=$ $(2a-1)^2$ $-$ $12a$ $=$ $4a^2$ $-$ $16a$ $+$ $1$ $ \gt $ $0$이므로 모두 양수이다. 따라서 $[-2$$,$$0]$ 구간에서 교점은 오직 $x=0$ 뿐이며, 해당 구간에서 $f(x)$ $\le$ $g(x)$ 가 성립한다. 도형의 넓이가 $58$이므로 정적분 식은 다음과 같다. \[\int_{-2}^{0} \{g(x) - f(x)\} dx = \int_{-2}^{0} \left\{ -x^3 + (2a-1)x^2 - 3ax \right\} dx = 58\] \[\begin{aligned} = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{2a-1}{3}x^3 - \frac{3a}{2}x^2 \right]_{-2}^{0} \\ &= 0 - \left( -4 - \frac{8(2a-1)}{3} - 6a \right) \\ &= 4 + \frac{16a-8}{3} + 6a \\ &= 58 \end{aligned}\] 양변에 $3$을 곱해 정리하면 다음과 같다. \[12 + 16a - 8 + 18a = 174 \implies 34a + 4 = 174 \implies 34a = 170 \implies \mathbf{a = 5}\]
(2) $a=5$ 이므로 $f(x)$ $=$ $x^3$ $-$ $14x^2$$,$$g(x)$ $=$ $-5x^2$ $-$ $15x$ 이다. 두 곡선 $y = f(x)$ 와 $y = g(x)$ $+$ $b$ 가 어떤 한 점 $x=t$에서 공통접선을 가지려면 함숫값과 미분계수가 같아야 한다. \[f'(t) = g'(t) \implies 3t^2 - 28t = -10t - 15 \implies 3t^2 - 18t + 15 = 0 \implies t^2 - 6t + 5 = 0\] 따라서 접점의 $x$ 좌표 후보는 $t=1$ 또는 $t=5$ 이다. 함숫값이 같아야 하므로 $f(t)$ $=$ $g(t)$ $+$ $b$ $\implies$ $b$ $=$ $f(t)$ $-$ $g(t)$ 이다. - $t=1$ 일 때: $b$ $=$ $f(1)$ $-$ $g(1)$ $=$ $(1$ $-$ $14)$ $-$ $(-5$ $-$ $15)$ $=$ $-13$ $-$ $(-20)$ $=$ $7$ $-$ $t=5$ 일 때: $b$ $=$ $f(5)$ $-$ $g(5)$ $=$ $(125$ $-$ $350)$ $-$ $(-125$ $-$ $75)$ $=$ $-225$ $-$ $(-200)$ $=$ $-25$ 양수 $b$ 의 값을 원하므로 구하는 값은 $\mathbf{b = 7}$이다. 이때 교점의 좌표는 $f(x)$ $-$ $\{g(x)+7\}$ $=$ $x^3$ $-$ $14x^2$ $-$ $(-5x^2$ $-$ $15x$ $+$ $7)$ $=$ $x^3$ $-$ $9x^2$ $+$ $15x$ $-$ $7$ $=$ $(x-1)^2(x-7)$ $=$ $0$ 으로부터 $x=1\ (\text{접점})$ 과 $x=7$ 이다. $[1$$,$$7]$ 구간에서 $g(x)$ $+$ $7$ $\ge$ $f(x)$ 이므로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 다음과 같다. \[\begin{aligned} S \\ &= \int_{1}^{7} \left( -x^3 + 9x^2 - 15x + 7 \right) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{4}x^4 + 3x^3 - \frac{15}{2}x^2 + 7x \right]_{1}^{7} \\ &= \mathbf{108} \end{aligned}\]

(3) 함수 $h(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 $x=c$ 에서 미분가능해야 한다. 연속성은 $h(c^-)$ $=$ $f(c)$ $=$ $h(c^+)$ $=$ $f(c)$로 항상 성립한다. 미분계수의 정의에 의해 다음 극한이 존재해야 한다. \[\lim_{t\to0} \frac{h(c+t) - h(c)}{t}\] - 좌미분계수 ($t$ $\to$ $0^-$ $)$$:$$c+t$ $ \lt $ $c$ 이므로 $h(c+t)$ $=$ $f(c+t)$ 가 되어 좌미분계수는 $f'(c)$가 된다. - 우미분계수 ($t$ $\to$ $0^+$ $)$$:$$c+t$ $ \gt $ $c$ 이므로 $h(c+t)$ $=$ $f(2c$ $-$ $(c+t))$ $=$ $f(c-t)$가 된다. 따라서 우미분계수는 다음과 같다. \[\lim_{t\to0^+} \frac{f(c-t) - f(c)}{t} = \lim_{t\to0^+} \left( -1 \times \frac{f(c-t) - f(c)}{-t} \right) = -f'(c)\] 미분가능하기 위해서는 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 하므로 $f'(c)$ $=$ $-f'(c)$ $\implies$ $f'(c)$ $=$ $0$ 이어야 한다. $f'(x)$ $=$ $3x^2$ $-$ $2(3a-1)x$ $=$ $3x^2$ $-$ $28x$ 이므로, $f'(c)$ $=$ $c(3c$ $-$ $28)$ $=$ $0$ 을 만족하는 $c$ 의 값은 $\mathbf{c = 0, \frac{28}{3}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 교점 범위를 파악하여 정적분 수식을 유도하고 대수방정식을 풀어 $a=5$를 올바르게 구함	8점
2단계	(2) 공통접선 조건과 함숫값 일치 조건을 연립하여 양수 $b=7$을 구하고 두 곡선 사이 넓이 108을 도출함	8점
3단계	(3) 미분계수 정의를 바탕으로 좌우미분계수의 수식을 전개하여 $f'(c)$ $=$ $0$ 조건을 찾고 해 $c=0$$,$$28/3$을 정확히 구함	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 소문항 (3)에서 $x=c$ 대칭 반사 함수 $h(x)$의 우미분계수를 미분계수 정의식으로부터 $-f'(c)$로 유도해 $f'(c) = -f'(c) \implies f'(c) = 0$임을 논리적으로 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답](1) $a = 5$ | (2) $b = 7$, 넓이 $108$ | (3) $c = 0,\; \dfrac{28}{3}$

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 두 정삼각형 공통부분 넓이 함수의 구간 분할·극댓값과 프랙탈 등비급수 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문] 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 좌표 평면 위에 한 변의 길이가 $t (\\ 0 \lt t \le \sqrt{3} )\text{인 두 정삼각형} ABC , DEF \text{가 변} AB \text{와 변} DE \text{는} y \text{축에 수직이고}, \text{꼭짓점} C , F \text{는} y \text{축 위에 있으며}, F \text{의 좌표가} (0, 0) \text{이 되도록 놓여 있다}. \text{실수} t \text{에 대하여 점} C \text{의 좌표를} (0, t) \text{라 할 때}, \text{두 정삼각형의 내부의 공통부분으로 이루어진 도형의 넓이} S(t) \text{를} t \text{에 대한 식으로 표현하시오}. (\text{단}, \\ 0 \lt t \le \sqrt{3}$이다.) [10점]

(2) 위의 (1)에서 구한 식으로부터 함수 $S(t) \text{의 최댓값을 구하고}, \text{함수} S(t)$가 최대일 때 두 정삼각형의 내부의 공통부분으로 이루어진 도형의 둘레의 길이를 구하시오. [7점]

(3) 한 변의 길이가 $1$인 정육각형 $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$에 놓인 두 삼각형 $A_1C_1E_1$과 $B_1D_1F_1$의 내부로 이루어진 도형에서 이 두 삼각형의 내부의 공통부분인 정육각형 $A_2B_2C_2D_2E_2F_2$의 내부를 뺀 도형의 넓이를 $S_1$ 이라 하고, 정육각형 $A_2B_2C_2D_2E_2F_2$에 놓인 두 삼각형 $A_2C_2E_2$와 $B_2D_2F_2$의 내부로 이루어진 도형에서 이 두 삼각형의 내부의 공통부분인 정육각형 $A_3B_3C_3D_3E_3F_3$의 내부를 뺀 도형의 넓이를 $S_2$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 도형의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} S_n$을 구하시오. [8점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.19 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

【유사 연습 문제】 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - 2x^3}{x^2} = 3$, $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = 4$를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f(x) = 2x^3 + 3x^2 + ax + b$에서 $f(1)=0 \implies a+b=-5$, $f'(1)=6+6+a=4 \implies a=-8, b=3$. 따라서 $f(2)=16+12-16+3=15$이다.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 문항 2 (대수 · 미적분Ⅱ) [배점 25점]

[2024학년도 자연계열 문항 2] (대수 · 미적분Ⅱ · 두 정삼각형 공통부분 넓이 함수의 구간 분할·극댓값과 프랙탈 등비급수) — 제시문 조건과 교과서 핵심 정리를 결합한 25점 다단계 논증 문항

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 2 · 총 25점

(1) $0$ $ \lt $ $t$ $\le$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 인 경우: 두 정삼각형의 내부의 공통부분으로 이루어진 도형은 마름모이고, 이 마름모는 $2$개의 높이가 $\frac{\sqrt{3}}{2}t$인 정삼각형으로 나누어지므로 넓이는 \[S(t) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{4}t^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}t^2\] 이다. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $ \lt $ $t$ $\le$ $\sqrt{3}$ 인 경우: 육각형 $KLMNOP$의 넓이를 두 사다리꼴의 합으로 구하면 \[S(t) = -\sqrt{3}t^2 + 3t - \frac{\sqrt{3}}{4}\] 이다. 따라서 \[\begin{aligned} S(t) \\ &= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{3}}{2}t^2 & \left(0 \lt t \le \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ -\sqrt{3}t^2 + 3t - \dfrac{\sqrt{3}}{4} & \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \lt t \le \sqrt{3}\right) \end{cases} \end{aligned}\] 이다.
(2) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $ \lt $ $t$ $\le$ $\sqrt{3}$ 에서 $S'(t)$ $=$ $-2\sqrt{3}t$ $+$ $3$ $=$ $0$ $\implies$ $t$ $=$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 이다. $t$ $=$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 일 때 극댓값 $S\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ $=$ $\frac{3\sqrt{3}}{8}$ 을 갖는다. 따라서 함수의 최댓값은 $\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$이다. 이때 6개의 삼각형 MFN, NBO, ODP, PCK, KEL, LAM은 모두 높이가 $\frac{1}{2}$ 인 정삼각형이므로 도형은 한 변의 길이가 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 인 정육각형이다. 따라서 둘레의 길이는 $2\sqrt{3}$이다.

(3) 한 변의 길이가 $1$ 인 정육각형의 넓이는 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 이다. $\overline{A_1B_1}$ $=$ $1$ 이므로 $\overline{A_2B_2}$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 이다. $S_1$ 은 한 변의 길이가 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 인 정삼각형 $6$개의 넓이의 합이므로 $S_1$ $=$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 이다. $S_n$ 은 수열이고 공비가 $\frac{1}{3}$인 등비수열이므로 \[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} S_n \\ &= \frac{S_1}{1 - \frac{1}{3}} \\ &= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{3}} \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{4} \end{aligned}\] 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) $t \text{의 범위를 두 구간으로 나누어 각각의 넓이 함수} S(t)$를 정확히 표현함	10점
2단계	(2) $S(t)$ 의 극댓값 $\frac{3\sqrt{3}}{8}$ 을 구하고, 그 때의 도형이 정육각형임을 파악하여 둘레의 길이 $2\sqrt{3}$을 구함	7점
3단계	(3) $\{S_n\}$ 이 등비수열임을 확인하고 초항과 공비를 구하여 급수 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$를 정확히 구함	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 두 정삼각형의 꼭짓점이 상대 변을 뚫고 나오는 임계값 $t = \frac{\sqrt{3}}{2}$을 기준으로 마름모 구간과 육각형 구간을 명확히 분리하여 식을 세워야 합니다.

🎯 [최종 정답](1) $S(t)=\begin{cases}\frac{\sqrt{3}}{2}t^2 & (0 \lt t \le \frac{\sqrt{3}}{2}) \\ -\sqrt{3}t^2 + 3t - \frac{\sqrt{3}}{4} & (\frac{\sqrt{3}}{2} \lt t \le \sqrt{3})\end{cases}$ | (2) 최댓값 $\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$, 둘레 $2\sqrt{3}$ | (3) $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 함수방정식과 도함수 대칭성을 이용한 롤의 정리·부분적분·주기 정적분 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문] 함수 $f(x) \text{가 모든 실수에서 미분가능하며}, f'(x) \text{가 모든 실수에서 연속이고}, f(x)$가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+2)$ $=$ $f(x)$ $+ 2$
(나) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x)$ $=$ $-f(x)$
(다) $\displaystyle\int_0^1 xf'(x)\,dx = 3$

다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 방정식 $f'(x)$ $= 1$의 서로 다른 실근이 열린구간 $(0, 2)$에 두 개 이상 존재함을 보이시오. [7점]

(2) 함수 $g(x)$ $=$ $f(x+1)$ $- 1$에 대하여 $\displaystyle\int_0^1$ $xg'(x)\, dx$의 값을 구하시오. [8점]

(3) $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$의 값을 구하시오. [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]

【유사 연습 문제】 삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + k$의 그래프가 $x$축과 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x)=3(x-1)(x-3)=0$이므로 극댓값 $f(1)=4+k \gt 0$, 극솟값 $f(3)=k \lt 0$이어야 한다. $-4 \lt k \lt 0$이므로 정수 $k=-3,-2,-1$로 $3$개이다.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 문항 4 (미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ) [배점 25점]

[2024학년도 자연계열 문항 4] (미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ · 함수방정식과 도함수 대칭성을 이용한 롤의 정리·부분적분·주기 정적분) — 제시문 조건과 교과서 핵심 정리를 결합한 25점 다단계 논증 문항

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 4 · 총 25점

(1) 주어진 조건 (가)로부터 $f(0+2)$ $=$ $f(0)$ $+$ $2$ 이므로 $f(2)$ $=$ $f(0)$ $+$ $2$이다. 또 (가)로부터 $f(2)$ $=$ $f(0)$ $+$ $2$ 이고, $($나$)$로부터 $f(-0)$ $=$ $-f(0)$ 이므로 $f(0) = 0$이다. 따라서 $f(0) = 0$$,$$f(2)$ $=$ $2$ 이다. 또 $($나$)$에서 $f(-x)$ $=$ $-f(x)$ 이므로 $f(-2)$ $=$ $-2$ 이고 $f(0)$ $=$ $f(2)$ $-$ $2$ $=$ $0$이다. 즉 $f(0) = 0$ 이고 $f(2)$ $=$ $2$ 이므로 롤의 정리에 의하여 $f'(x)$ $=$ $1$ 의 근이 열린구간 $(0$$,$$2)$에 하나 이상 존재한다. 또, 조건 (나)에서 $f(-x)$ $=$ $-f(x)$ 를 미분하면 $-f'(-x)$ $=$ $-f'(x)$ 이므로 $f'(-x)$ $=$ $f'(x)$ , 즉 $f'$ 은 우함수이다. 따라서 $f'(0)$ $=$ $f'(0)$ 은 자명하고, 닫힌구간 $[-1$$,$$1]$ 에서 $f(-1)$ $=$ $-f(1)$ 이고 롤의 정리를 다시 적용하면 두 개 이상의 근이 존재함을 알 수 있다.
(2) $g(x)$ $=$ $f(x+1)$ $-$ $1$ 이고 $g'(x)$ $=$ $f'(x+1)$이므로 조건 (다)에서 \[\int_0^1 xf'(x)\,dx = [xf(x)]_0^1 - \int_0^1 f(x)\,dx = f(1) - \int_0^1 f(x)\,dx = 3\] 그리고 \[\int_0^1 xg'(x)\,dx = \int_0^1 xf'(x+1)\,dx\] $u$ $=$ $x+1$ 로 치환하면 $x$ $=$ $u-1$$,$$dx$ $=$ $du$이므로 \[= \int_1^2 (u-1)f'(u)\,du = [uf(u)]_1^2 - \int_1^2 f(u)\,du - [f(u)]_1^2 + \cdots = \mathbf{3}\] 이다.

(3) 조건 (가)에서 $f(x+2) = f(x) + 2$이므로 \[\int_0^4 f(x)\,dx = \int_0^2 f(x)\,dx + \int_2^4 f(x)\,dx\] $\int_2^4 f(x)\,dx$에서 $x = t+2$로 놓으면 $\int_0^2 [f(t)+2]\,dt = \int_0^2 f(t)\,dt + 4$이다. 따라서 $\int_0^4 f(x)\,dx = 2\int_0^2 f(x)\,dx + 4$이다. 조건 (나)에서 $f$는 원점 대칭이므로 $\int_{-1}^1 f(x)\,dx = 0$이고, $\int_0^2 f(x)\,dx$를 부분적분으로 구하면 $\int_0^1 xf'(x)\,dx = 3$에서 $[xf(x)]_0^1 - \int_0^1 f(x)\,dx = 3$이므로 $f(1) = 1$ (조건 (나)에서)이고 $\int_0^1 f(x)\,dx = f(1) - 3 = -2$이다. 따라서 $\int_0^2 f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx + \int_1^2 f(x)\,dx$이고 마찬가지 방법으로 $\int_0^2 f(x)\,dx = 2$가 된다. \[\int_0^4 f(x)\,dx = 2 \times 2 + 4 = \mathbf{8}\] 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 조건 (가), (나)로부터 $f(0)=0$$,$$f(2)=2$ 를 도출하고 롤의 정리를 $2$번 적용하여 두 개 이상의 근이 $(0$$,$$2)$에 존재함을 증명함	7점
2단계	(2) $g(x) = f(x+1)-1$의 치환과 부분적분법을 이용하여 $\int_0^1 xg'(x)\,dx = 3$을 정확히 도출함	8점
3단계	(3) 주기성 (가)와 대칭성 (나), 조건 (다)를 체계적으로 활용하여 $\int_0^4 f(x)\,dx = 8$을 정확히 구함	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 조건 $f(x+2)=f(x)+2$를 양변 미분하여 $f'(x)$의 주기성과 대칭성을 함께 이끌어내고, 구간 이동 치환적분 시 적분 상·하한 변화를 정확히 표기하십시오.

🎯 [최종 정답](1) 도함수 우함수성 및 롤의 정리로 열린구간 $(0,2)$ 내 실근 2개 이상 존재 증명 | (2) $3$ | (3) $8$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 정적분으로 정의된 다항함수의 차수 결정과 평균값 정리 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문] 최고차항의 계수가 $1$인 다항함수 $f(x)$의 그래프가 원점을 지나고, 함수 $G(x)$ $= \displaystyle\int_0^x$ $f(t)\, dt$에 대하여 사차함수 \[H(x) = G(x)^2 - \frac{1}{3}G(x)^3\] 로 정의할 때 $H'(x) = 0$이라 하자. 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 다항함수 $f(x) \text{와} G(x)$를 구하시오. [10점]

(2) 구간 $[0, 1] \text{에서의} G(x) \text{의 평균변화율을 구하고}, \text{그 값과} G'(c) \text{가 같게 되는 실수} c \text{의 값을 구간} [0, 1]$에서 구하시오. [7점]

(3) $\displaystyle\int_0^1 |G''(x)|\,dx$의 값을 구하시오. [8점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04]

【유사 연습 문제】 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_1^x f(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + ax$를 만족시키는 연속함수 $f(x)$에 대하여 $f(2)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x=1$을 대입하면 $0 = 1 - 2 + a \implies a = 1$. 양변을 미분하면 $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$이므로 $f(2) = 12 - 8 + 1 = 5$이다.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 문항 1 (미적분Ⅰ) [배점 25점]

[2023학년도 자연계열 문항 1] (미적분Ⅰ · 정적분으로 정의된 다항함수의 차수 결정과 평균값 정리) — 제시문 조건과 교과서 핵심 정리를 결합한 25점 다단계 논증 문항

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 1 · 총 25점

(1) 최고차항의 계수가 $1$인 다항함수 $f(x)$의 최고차항을 $x^n$이라 하면 $G(x) = \int_0^x f(t)\,dt$의 최고차항은 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$이다. $H(x)$ $=$ $G(x)^2$ $-$ $\frac{1}{3}G(x)^3$ 이 사차함수가 되려면 최고차항인 $G(x)^3$ 의 차수가 $4$ 이하여야 하므로 $n+1$ $\le$ $\frac{4}{3}$ 이 되어야 하고, $G(x)^2$ 의 차수가 $4$가 되려면 $2(n+1)$ $=$ $4$ 에서 $n$ $=$ $1$이다. 따라서 $f(x)$ $=$ $x$ $+$ $c$ 이고 원점을 지나므로 $f(0) = 0$ $\rightarrow$ $c$ $=$ $0$ 이다. 즉 $f(x)$ $=$ $x$이고 \[G(x) = \int_0^x t\,dt = \frac{x^2}{2}\] 이다.
(2) $G(0)$ $=$ $0$$,$$G(1)$ $=$ $\frac{1}{2}$ 이므로 구간 $[0$$,$$1]$ 에서의 $G(x)$의 평균변화율은 \[\frac{G(1) - G(0)}{1 - 0} = \frac{1}{2}\] 이다. $G'(x)$ $=$ $f(x)$ $=$ $x$ 이므로 $G'(c)$ $=$ $c$ $=$ $\frac{1}{2}$ 에서 $c$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ 이다.
(3) $G(x)$ $=$ $\frac{x^2}{2}$ 이므로 $G'(x)$ $=$ $x$ 이고 $G''(x)$ $=$ $1$이다. 따라서 \[\int_0^1 |G''(x)|\,dx = \int_0^1 |1|\,dx = 1\] 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 사차함수 $H(x)$ 의 최고차항 조건에서 $f(x)$ $=$ $x$$,$$G(x)$ $=$ $\frac{x^2}{2}$를 올바르게 도출함	10점
2단계	(2) 평균변화율 $\frac{1}{2}$ 를 구하고 $G'(c)$ $=$ $c$ $=$ $\frac{1}{2}$ 에서 $c$ $=$ $\frac{1}{2}$를 정확히 구함 (평균값 정리 적용)	7점
3단계	(3) $G''(x) = 1$임을 파악하고 $\int_0^1 \|G''(x)\|\,dx = 1$을 정확히 구함	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 다항함수 $f(x)$의 최고차항을 $x^n$으로 두고 양변 최고차항 차수와 계수를 비교해 $n=1$을 먼저 확정한 뒤 초기조건 $f(0)=0$을 대입하십시오.

🎯 [최종 정답](1) $f(x) = x,\; G(x) = \dfrac{x^2}{2}$ | (2) $c = \dfrac{1}{2}$ | (3) $1$

📚 과목/단원: 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 중복순열과 여사건·포함배제를 이용한 비밀번호 경우의 수 추론 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문] 수정이가 인터넷 사이트에 가입하기 위해서 아이디를 만들고 비밀번호를 정하고 있다. 이 사이트는 비밀번호의 각 자리에 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 중 하나의 숫자를 사용하도록 한다고 하자. 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 같은 숫자가 세 번 이상 들어있는 다섯 자리 비밀번호(예를 들어 00111, 50559 등)의 가짓수를 구하시오. [7점]

(2) 같은 숫자가 세 번 이상 연속하여 나타나는 다섯 자리 비밀번호(예를 들어 01111, 12223 등)의 가짓수를 구하시오. [10점]

(3) 이 사이트의 보안정책은 사용자가 다섯 자리 비밀번호를 사용하도록 하지만, 사용자가 선택한 비밀번호에 같은 숫자가 세 번 이상 연속하여 나타나면 뒤쪽에 두 자리를 추가하여 일곱 자리의 비밀번호를 사용하도록 강제한다. 이러한 보안정책에 따라 수정이가 선택할 수 있는 모든 비밀번호의 가짓수를 구하시오. [8점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 조건부확률 (DB: PS_Ch02_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통02-05, 12확통02-06]

【유사 연습 문제】 주머니 A에는 흰 공 3개, 검은 공 2개가 있고 주머니 B에는 흰 공 2개, 검은 공 3개가 있다. 임의로 한 주머니를 택해 공 1개를 꺼냈더니 흰 공이었을 때, 택한 주머니가 A였을 조건부확률을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $P(W) = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5} + \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5} = \frac{1}{2}$이므로 $P(A \mid W) = \frac{3/10}{5/10} = \frac{3}{5}$이다.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 문항 4 (확률과 통계) [배점 25점]

[2023학년도 자연계열 문항 4] (확률과 통계 · 중복순열과 여사건·포함배제를 이용한 비밀번호 경우의 수 추론) — 제시문 조건과 교과서 핵심 정리를 결합한 25점 다단계 논증 문항

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 4 · 총 25점

(1) 같은 숫자가 세 번 이상 들어있는 5자리 비밀번호의 수를 구한다. 세 번 이상 들어있는 숫자는 하나만 가능하고, 숫자 $a$ 가 $k$ 번 들어있는 경우의 수$($ $k=3$$,$$4$$,$$5$)를 합산한다.

$k=3 : \binom{5}{3} \times 9^2 = 10 \times 81 = 810$가지
$k=4 : \binom{5}{4} \times 9 = 5 \times 9 = 45$가지
$k=5 : 1$가지

합: $(810$ $+$ $45$ $+$ $1)$ $\times$ $10$ $=$ $856$ $\times$ $10$ $=$ $\mathbf{8560}$ 가지
(2) 다섯 자리의 비밀번호에서 숫자 $a$ 가 세 번 이상 연속하여 나타나는 것은 $aaa\square\square$$,$$\square$ $aaa\square$$,$$\square\square$ $aaa$의 꼴로 배열되는 경우이다.

① $aaa\square\square$ 에서 $10$ $\times$ $10$ $=$ $100$가지 경우가 가능하다.
② $\square$ $aaa\square$ 에서 앞과 마찬가지로 $100$ 가지 경우가 가능하지만 $aaa\square\square$ 와 중복되는 경우는 제외하고 전체 가짓수를 세어야 한다. $aaaa\square$ 는 $aaa\square\square$ 와 중복되는 경우를 나타내고 $10$ 가지의 경우의 수가 있다. 따라서 $100$ $-$ $10$ $=$ $90$가지의 경우가 추가된다.
③ $\square\square$ $aaa$ 에서 앞과 마찬가지로 $100$ 가지 경우가 가능하지만 $aaa\square\square$$,$$\square$ $aaa\square$ 와 중복되는 경우는 제외하고 전체 가짓수를 세어야 한다. $aaaaa$ 는 $aaa\square\square$ 와 중복되는 하나의 경우다. $\square$ $aaaa$ 는 $\square$ $aaa\square$ 와 중복되는 경우를 나타내고 $10$ 가지의 경우의 수가 있으며 앞의 $aaaaa$ 의 경우를 포함한다. 따라서 $100$ $-$ $10$ $=$ $90$가지의 경우가 추가된다.

따라서 숫자 $a$ 가 세 번 이상 연속 등장하는 경우의 수는 $10$ $\times$ $(100$ $+$ $90$ $+$ $90)$ $=$ $10$ $\times$ $280$ $=$ $\mathbf{2800}$가지이다.
(3) 보안정책에 따른 총 비밀번호:

5자리 (3연속 없음): $10^5 - 2800 = 97200$가지
7자리 (앞 5자리에 3연속 있음 + 뒤 2자리 추가): $2800 \times 10^2 = 280000$가지

총합: $97200 + 280000 = \mathbf{377200}$가지

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 같은 숫자가 3번 이상 들어있는 경우를 $k=3,4,5$로 나누어 올바르게 계산, 총 8560가지를 도출함	7점
2단계	(2) 3연속·4연속·5연속 경우를 포함-배제 원리로 분류, 2800가지를 정확히 구함	10점
3단계	(3) 5자리(97200)와 7자리(280000)를 합산하여 총 377200가지를 정확히 구함	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 연속된 동일 숫자 블록($aaa\square\square, \square aaa\square, \square\square aaa$)을 셀 때 $4$연속·$5$연속 중복 계산이 발생하지 않도록 직전 자리 숫자가 $a$가 아닌 조건($9$가지)으로 배타 분할하여 계산하십시오.

🎯 [최종 정답](1) $8560$ | (2) $2800$ | (3) $377200$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 극한 조건에 의한 삼차함수 결정·변곡점 대칭성과 절댓값 교점 개수의 불연속 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문] 다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. 다음 질문에 답하시오. [총 25점]

(가) $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left\{ \frac{f(x)}{x^2} - x \right\} = -1$
(나) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{4}$

(1) $f(x) \text{를} x$에 대한 식으로 나타내시오. [7점]

(2) 함수 $y =$ $f(x)$의 그래프의 개형을 그리고, 그래프 위에 극대 및 극소를 나타내는 점의 좌표와 변곡점의 좌표를 표시하시오. 또한, 곡선 $y =$ $f(x)$의 변곡점을 $P(a$$,$$f(a))$라 할 때 $f(a-x)$ $=$ $2f(a)$ $-$ $f(a+x)$가 성립함을 설명하시오. [8점]

(3) $g(x)$ $= \dfrac{1}{2} \left\{ f\left(\frac{1}{3} - x\right) + f\left(\frac{1}{3} + x\right) \right\}$라 하고, 모든 실수 $k$에 대해 함수 $p(k)$를 집합 \[\{ x \mid |f(x) - g(x)| = k,\, x\text{는 실수} \}\] 의 원소의 개수라고 정의하자. 함수 $p(k) \text{를 구하고}, \text{이 함수가 불연속인} k$의 값을 모두 찾으시오. [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

【유사 연습 문제】 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t \; (t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$일 때, $t=0$에서 $t=4$까지 점 $P$가 움직인 거리 $s$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $v(t)=3(t-1)(t-3)$이므로 $s = \int_0^1 v(t)\,dt - \int_1^3 v(t)\,dt + \int_3^4 v(t)\,dt = 4 + 4 + 4 = 12$이다.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 문항 1 (미적분Ⅰ) [배점 25점]

[2022학년도 자연계열 문항 1] (미적분Ⅰ · 극한 조건에 의한 삼차함수 결정·변곡점 대칭성과 절댓값 교점 개수의 불연속) — 제시문 조건과 교과서 핵심 정리를 결합한 25점 다단계 논증 문항

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 1 · 총 25점

(1) 조건 (가)에서 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left\{ \frac{f(x)}{x^2} - x \right\}$ $=$ $-1$ 이므로, $f(x)$ 는 최고차항이 $x^3$ 이고 이차항의 계수가 $-1$인 다항함수이다. 따라서 \[f(x) = x^3 - x^2 + bx + c\] 로 둘 수 있다. 조건 (나)에서 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$ $=$ $\frac{1}{4}$ 이므로 분모가 $0$ 으로 갈 때 극한값이 존재하므로 분자 $f(0) = 0$ $\rightarrow$ $c$ $=$ $0$ 이다. 또한 \[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0) = \frac{1}{4} \rightarrow b = \frac{1}{4}\] 이다. 따라서 구하고자 하는 다항함수는 \[f(x) = x^3 - x^2 + \frac{1}{4}x\] 이다.

(2) $f(x) = x\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2$ 이다. 도함수를 구하면 \[f'(x) = 3x^2 - 2x + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}(12x^2 - 8x + 1) = \frac{1}{4}(2x-1)(6x-1)\] 이므로 $x$ $=$ $\dfrac{1}{6}$ 에서 극댓값 $f\left(\dfrac{1}{6}\right)$ $=$ $\dfrac{1}{54}$ 을 갖고, $x$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ 에서 극솟값 $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ $=$ $0$을 갖는다. 이계도함수는 $f''(x)$ $=$ $6x$ $-$ $2$ 이므로 $x$ $=$ $\dfrac{1}{3}$ 에서 $f''(x)$ 의 부호가 변하여 변곡점의 좌표는 $\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{108}\right)$이다. 변곡점 $P(a, f(a))$ $=$ $\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{108}\right)$ 에 대해 대칭임을 보이는 것은 $f(a-x)$ $+$ $f(a+x)$ $=$ $2f(a)$임을 보이면 된다. 직접 대입해 계산하면 \[f\left(\frac{1}{3}-x\right) + f\left(\frac{1}{3}+x\right) = \frac{1}{54} = 2f\left(\frac{1}{3}\right)\] 이 성립하므로, $f(a-x)$ $=$ $2f(a)$ $-$ $f(a+x)$ 가 성립한다.

(3) 변곡점 대칭성에 의해 $g(x)$ $=$ $\dfrac{1}{2}\left\{f\left(\dfrac{1}{3}-x\right) + f\left(\dfrac{1}{3}+x\right)\right\}$ $=$ $f\left(\dfrac{1}{3}\right)$ $=$ $\dfrac{1}{108}$ (상수함수)이다. 따라서 방정식 $|f(x)$ $-$ $g(x)|$ $=$ $k$ 는 $\left|f(x) - \dfrac{1}{108}\right|$ $=$ $k$ 의 실근 개수 $p(k)$ 를 구하는 것이다. $y$ $=$ $\left|f(x) - \dfrac{1}{108}\right|$ 의 그래프는 극대점이 $\left(\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{108}\right)$ , 극소점이 $\left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{108}\right)$ 인 곡선을 $y$ 축 방향으로 $-\dfrac{1}{108}$만큼 평행이동한 후 접어 올린 형태이다. 따라서 접어 올린 후의 극대 높이는 $\dfrac{1}{108}$이다.

$k \lt 0 : p(k) = 0$
$k$ $=$ $0$ : 극댓값$/$극솟값이 $0$ 이 되므로 만나는 점 $p(0)$ $=$ $3$
$0$ $ \lt $ $k$ $ \lt $ $\dfrac{1}{108}$ : 접어 올려져서 골짜기 사이로 가므로 $p(k)$ $=$ $6$
$k$ $=$ $\dfrac{1}{108}$ : 원래의 변곡점 높이 및 접힌 극대들과 만나므로 $p(k)$ $=$ $4$
$k$ $ \gt $ $\dfrac{1}{108}$ : 위쪽 두 날개에서만 만나므로 $p(k)$ $=$ $2$

따라서 $p(k)$가 불연속인 $k$의 값은 $\mathbf{0}$과 $\mathbf{\dfrac{1}{108}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 극한 조건 (가), (나)를 이용하여 최고차항 계수, $b$$,$$c$ 를 구해 $f(x)$ $=$ $x^3$ $-$ $x^2$ $+$ $\frac{1}{4}x$를 정확히 구함	7점
2단계	(2) 도함수와 이계도함수를 구해 극대점, 극소점, 변곡점을 구하고 개형을 그림. 변곡점 대칭식을 대입으로 증명함	8점
3단계	(3) 대칭성에 의해 $g(x)$ $=$ $\frac{1}{108}$ 임을 보이고, 접어 올린 절댓값 함수와 $y=k$ 의 교점 개수를 범주별로 구하여 불연속점 $k=0$$,$$\frac{1}{108}$을 정확히 찾음	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 변곡점 대칭 항등식 $f(a-x)+f(a+x)=2f(a)$를 활용해 $g(x)$가 상수함수임을 간결히 이끌어내고, 접어 올린 그래프의 극값 높이에서 교점 개수 $p(k)$가 불연속이 됨을 서술하십시오.

🎯 [최종 정답](1) $f(x) = x^3 - x^2 + \dfrac{1}{4}x$ | (2) 변곡점 $\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{54}\right)$ 대칭 등식 증명 | (3) $k = 0,\; \dfrac{1}{108}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 치환적분·곱의 미분 역연산과 삼각함수 결합 수열의 무한등비급수 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문] 함수 $f(x) \text{와} g(x) \text{가 실수 전체집합에서 미분가능하고 도함수} f'(x) \text{와} g'(x) \text{가 실수 전체집합에서 연속이다}. \text{모든 자연수} n \text{에 대하여 함수} H(n)$을 다음과 같이 정의하자. \[H(n) = \int_0^n f'(x)g(2n-x)\,dx - \int_n^{2n} g'(x)f(2n-x)\,dx\] 다음 질문에 답하시오. [총 25점]

(1) $f(0)$ $= 1,$$f(1)$ $= 2,$$g(1)$ $= 5,$$g(2)$ $= - 1$일 때, $H(1)$의 값을 구하시오. [5점]

(2) $f(x)$ $= a^x$ 이고 $g(x)$ $= \sin \dfrac{\pi}{4}x$일 때, $H(n)$을 $n$에 대한 식으로 나타내시오. (단, $a \gt 0, a \ne 1$이다.) [10점]

(3) 위의 $H(n)$에 대하여 $a = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$일 때, 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}$ $\{H(4n-3)$ $+$ $H(4n-1)\}$의 합을 구하시오. [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

【유사 연습 문제】 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB}=5, \overline{AC}=7, \angle A = \frac{\pi}{3}$일 때, 변 $\overline{BC}$의 길이와 외접원의 반지름 $R$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 코사인법칙으로 $\overline{BC}^2 = 25 + 49 - 35 = 39 \implies \overline{BC} = \sqrt{39}$. 사인법칙으로 $R = \frac{\sqrt{39}}{2\sin(\pi/3)} = \sqrt{13}$이다.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 문항 2 (미적분Ⅱ) [배점 25점]

[2022학년도 자연계열 문항 2] (미적분Ⅱ · 치환적분·곱의 미분 역연산과 삼각함수 결합 수열의 무한등비급수) — 제시문 조건과 교과서 핵심 정리를 결합한 25점 다단계 논증 문항

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 2 · 총 25점

(1) $H(1) = \int_0^1 f'(x)g(2-x)\,dx - \int_1^2 g'(x)f(2-x)\,dx$ 이다. 두 번째 적분에서 $2-x$ $=$ $u$ 로 치환하면 $dx$ $=$ $-du$ 이고 구간은 $[1$$,$$2]$ $\to$ $[1$$,$$0]$이 되므로 \[\int_1^2 g'(x)f(2-x)\,dx = \int_0^1 g'(2-u)f(u)\,du\] 가 된다. 따라서 $H(1) \text{은 다음과 같이 하나의 구간} [0, 1]$에서의 정적분으로 합칠 수 있다. \[H(1) = \int_0^1 \left\{ f'(x)g(2-x) - f(x)g'(2-x) \right\}\,dx\] 이는 곱의 미분법 피미분함수 구조이므로 부분적분법을 적용하면 \[H(1) = \left[ f(x)g(2-x) \right]_0^1 = f(1)g(1) - f(0)g(2)\] 이다. 주어진 값 $f(0)=1, f(1)=2, g(1)=5, g(2)=-1$을 대입하면 \[H(1) = 2 \cdot 5 - 1 \cdot (-1) = 11\] 이다.
(2) (1)과 동일하게 $2n-x$ $=$ $u$ 로 치환적분을 적용하면 모든 자연수 $n$에 대하여 \[H(n) = \left[ f(x)g(2n-x) \right]_0^n = f(n)g(n) - f(0)g(2n)\] 이 성립한다. 여기에 $f(x)$ $=$ $a^x$$,$$g(x)$ $=$ $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)$ 를 대입하면 $f(0)$ $=$ $1$이므로 \[H(n) = a^n \sin\left(\frac{n\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\] 가 된다.

(3) $a$ $=$ $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 이므로 $H(n)$ $=$ $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n$ $\sin\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)$ $-$ $\sin\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)$이다. 수열 $a_n$ $=$ $H(4n-3)$ $+$ $H(4n-1)$ 이라 하자. $H(4n-3)$ 과 $H(4n-1)$에서 삼각함수 항들의 대칭성과 주기성에 의해 \[\begin{aligned} \sin\left(\frac{(4n-3)\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{(4n-1)\pi}{2}\right) \\ &= \sin\left(2n\pi - \frac{3\pi}{2}\right) + \sin\left(2n\pi - \frac{\pi}{2}\right) \\ &= 1 + (-1) \\ &= 0 \end{aligned}\] 이 되어 상수 부분의 합은 항상 $0$이다. 따라서 \[\begin{aligned} a_n \\ &= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4n-3} \sin\left(n\pi - \frac{3\pi}{4}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4n-1} \sin\left(n\pi - \frac{\pi}{4}\right) \end{aligned}\] 이다. $n \text{이 증가함에 따라 항의 부호가 번갈아 나타나며 공비가} -\dfrac{1}{4}$인 등비수열을 이룬다. 첫째항 $a_1 = H(1) + H(3)$을 직접 구해보면 \[H(1) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\frac{\pi}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}\] \[H(3) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 \sin\frac{3\pi}{4} - (-1) = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}\] 이므로 $a_1 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{4} = \dfrac{3}{4}$이다. 공비는 $a_{n+1}$ $=$ $-\dfrac{1}{4}$ $a_n$ 이 성립하므로 $r$ $=$ $-\dfrac{1}{4}$이다. 따라서 급수의 합은 \[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} a_n &= \frac{a_1}{1 - r} = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)} \\ &= \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5} \end{aligned}\] 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 치환적분과 부분적분법을 통해 $H(1) = f(1)g(1) - f(0)g(2)$ 유도 후 정확히 11을 계산함	5점
2단계	(2) 임의의 $n$ 에 대해 치환적분과 부분적분을 이용해 $H(n)$ $=$ $a^n$ $\sin\frac{n\pi}{4}$ $-$ $\sin\frac{n\pi}{2}$를 정확히 유도함	10점
3단계	(3) 대칭성을 이용해 상수 부분을 제거하고, 첫째항이 $\frac{3}{4}$ 이고 공비가 $-\frac{1}{4}$ 인 등비수열임을 보여 급수의 합 $\frac{3}{5}$을 계산함	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] $2n - x = u$ 치환을 통해 두 정적분을 단일 구간 $[0, n]$의 $\int_0^n \frac{d}{dx}\{f(x)g(2n-x)\}\,dx$ 꼴로 결합하는 핵심 아이디어를 명확히 서술하십시오.

🎯 [최종 정답](1) $H(1) = 11$ | (2) $H(n) = a^n\sin\dfrac{n\pi}{4} - \sin\dfrac{n\pi}{2}$ | (3) $\dfrac{3}{5}$

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 원의 접선과 이차함수로 둘러싸인 도형의 넓이 및 접선 외접원의 반지름 비 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문] 중심이 $A(0, 1)$ 이고 원점 $O(0, 0)$을 지나는 원 $C$ 위에 $\angle OAP_1 = \angle OAP_2 = \theta$인 두 점 $P_1, P_2$가 아래 그림과 같이 놓여 있다. 다음 질문에 답하시오. (단, $0 < ;$$\theta$ $< ;$$\dfrac{\pi}{2}$이다.) [총 25점]

(1) 원 $C$와 $f(x)$ $= ax^2 + bx + c$의 그래프가 두 점 $P_1, P_2$에서 만나고, 점 $P_1, P_2$에서 원 $C$의 접선과 곡선 $y =$ $f(x)$의 접선이 일치한다. $\theta = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 점 $P_1$에서 원 $C$의 접선의 방정식과 함수 $f(x)$를 구하시오. [8점]

(2) $\theta = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 원 $C$와 곡선 $y =$ $f(x)$로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오. [10점]

(3) 원 $C$와 $y$ 축 위의 한 점에서 만나고, 원 $C$ 위의 점 $P_1$과 $P_2$ 에서의 두 접선에 모두 접하는 원 중 작은 원의 반지름을 $r_1$ , 큰 원의 반지름을 $r_2$라 하자. $\dfrac{r_2}{r_1} = 4$일 때, $\cos\theta$의 값을 구하시오. [7점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

【유사 연습 문제】 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 2a_n + 1 \; (n \ge 1)$을 만족시킬 때, 일반항 $a_n$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$이므로 $\{a_n + 1\}$은 첫째항 $3$, 공비 $2$인 등비수열이다. 따라서 $a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$이다.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 문항 3 (대수 · 미적분Ⅰ) [배점 25점]

[2022학년도 자연계열 문항 3] (대수 · 미적분Ⅰ · 원의 접선과 이차함수로 둘러싸인 도형의 넓이 및 접선 외접원의 반지름 비) — 제시문 조건과 교과서 핵심 정리를 결합한 25점 다단계 논증 문항

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 3 · 총 25점

(1) 원 $C$ 의 중심은 $A(0, 1)$ 이고 원점을 지나므로 반지름은 $1$ 이다. 따라서 원의 방정식은 $x^2$ $+$ $(y-1)^2$ $=$ $1$ 이다. $\theta$ $=$ $\dfrac{\pi}{3}$ 이므로 점 $P_1$ 의 좌표는 $\left(\sin\dfrac{\pi}{3}, 1 - \cos\dfrac{\pi}{3}\right)$ $=$ $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$이다. 이 점에서 접선의 기울기는 원의 중심과 이은 선분 $AP_1 \text{의 기울기인} -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \text{과 수직이므로} \sqrt{3}$이다. 따라서 접선의 방정식은 $y - \dfrac{1}{2} = \sqrt{3}\left(x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \rightarrow y = \sqrt{3}x - 1$ 이다. 곡선 $f(x)$ $=$ $ax^2$ $+$ $bx$ $+$ $c$ 는 $y$ 축 대칭이므로 $b$ $=$ $0$ 이다. $P_1$ 에서의 미분계수 $f'\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ $=$ $2a$ $\cdot$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $=$ $\sqrt{3}$ $\rightarrow$ $a$ $=$ $1$ 이다. 점 $P_1\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$ 을 지나므로 $\dfrac{1}{2}$ $=$ $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$ $+$ $c$ $\rightarrow$ $c$ $=$ $-\dfrac{1}{4}$ 이다. 따라서 구하는 이차함수는 $f(x)$ $=$ $x^2$ $-$ $\dfrac{1}{4}$ 이다.
(2) 두 접선의 교점 $Q$ 의 좌표는 두 접선 $y$ $=$ $\sqrt{3}x-1$ 과 $y$ $=$ $-\sqrt{3}x-1$ 의 교점이므로 $Q(0$$,$$-1)$이다. 구하고자 하는 영역의 넓이는 접선과 곡선, 부채꼴의 기하학적 배치를 이용하여 계산한다. 사각형 $AP_2QP_1$ 의 넓이는 삼각형 $AP_1Q$ 넓이의 $2$배이며, 이는 $\overline{AP_1}$ $\cdot$ $\overline{P_1Q}$ $=$ $1$ $\cdot$ $\tan\dfrac{\pi}{3}$ $=$ $\sqrt{3}$이다. 부채꼴 $AP_2P_1$ 의 넓이는 $\dfrac{1}{2}$ $r^2$ $(2\theta)$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $\cdot$ $1^2$ $\cdot$ $\dfrac{2\pi}{3}$ $=$ $\dfrac{\pi}{3}$이다. 곡선 $y$ $=$ $x^2$ $-$ $\dfrac{1}{4}$ 과 두 접선 $y$ $=$ $\pm\sqrt{3}x-1$ 사이의 넓이는 대칭성에 의해 \[\begin{aligned} 2\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left\{ \left(x^2 - \frac{1}{4}\right) - (\sqrt{3}x - 1) \right\}\,dx &= 2\left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{3}{4}x \right]_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \end{aligned}\] 이 된다. 따라서 구하고자 하는 둘러싸인 넓이는 \[\begin{aligned} S &= (\text{사각형 넓이}) - (\text{부채꼴 넓이}) - (\text{곡선과 접선 사이 넓이}) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{3} \end{aligned}\] 이다.

(3) 닮은 직각삼각형 관계에서 비례식을 세운다. 작은 원의 반지름을 $r_1$ 이라 하면, 접선과의 관계에서 $r_1$ $=$ $\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$가 유도된다. 큰 원의 반지름을 $r_2$ 라 하면, 동일한 방법으로 $r_2$ $=$ $\dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}$가 유도된다. 주어진 조건 $\dfrac{r_2}{r_1} = 4$이므로 \[\begin{aligned} \frac{\left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)}{\left(\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\right)} \\ &= \left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)^2 \\ &= 4 \end{aligned}\] $0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$이므로 $\cos\theta \gt 0$이다. 따라서 양의 제곱근을 취하면 \[\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta} = 2 \rightarrow 1+\cos\theta = 2 - 2\cos\theta \rightarrow 3\cos\theta = 1\] 이므로 구하고자 하는 값은 $\cos\theta = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 점 $P_1$ 의 좌표와 원의 접선의 방정식을 구하고, 이차함수의 계수를 찾아 $f(x)$ $=$ $x^2$ $-$ $\frac{1}{4}$을 정확히 구함	8점
2단계	(2) 사각형, 부채꼴, 접선과 곡선 사이의 정적분 넓이를 각각 계산하여 최종 면적 $\frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{3}$를 도출함	10점
3단계	(3) 접선에 외접하는 두 원의 기하학적 비례식을 통해 반지름의 비가 $\cos\theta$ 의 식으로 나타남을 보이고, $\cos\theta$ $=$ $\frac{1}{3}$을 정확히 계산함	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 소문항 (2) 넓이 계산 시 사각형 넓이에서 부채꼴 넓이와 포물선-접선 사이 정적분 넓이를 차감하는 기하학적 분할 구조를 분명히 제시하십시오.

🎯 [최종 정답](1) $f(x) = x^2 - \dfrac{1}{4}$ | (2) $S = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} - \dfrac{\pi}{3}$ | (3) $\cos\theta = \dfrac{1}{3}$

📚 과목/단원: 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 격자 도로망 최단경로 독립 이동 확률과 이산확률변수의 기댓값·표준편차 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문] 아래 그림과 같이 $A(0, 0)$$,$$B(4, 4)$를 연결하는 도로망이 주어졌다. 성신이는 지점 $A$에서 출발하여 지점 $B$로 도로망을 따라 최단 경로로 이동하고, 수정이는 지점 $B$에서 출발하여 지점 $A$로 도로망을 따라 최단 경로로 이동한다. 도로망에서 두 지점 사이의 거리는 도로망을 따라 이동할 수 있는 최단 경로의 길이로 정의한다. 예를 들면 두 지점 $(1, 2)$와 $(3, 3)$ 사이의 거리는 $|3 - 1| + |3 - 2| = 3$이다. 다음 질문에 답하시오. (단, 두 사람은 동시에 출발하여 같은 속력으로 이동하고, 갈림길에서 가능한 다음 경로는 모두 같은 확률로 선택된다.) [총 25점]

2022학년도 4번 도로망 A(0,0)-B(4,4) 최단경로 그리드 다이어그램

(1) 성신이와 수정이가 거리 $4$ 만큼 이동한 후 멈추었을 때, 서로 만날 확률을 구하시오. [7점]

(2) 성신이가 거리 $3 \text{만큼 이동한 후 멈춘 지점을} P \text{라 하고}, \text{수정이가 거리} \ 3 \text{만큼 이동한 후 멈춘 지점을} Q \text{라 하자}. \text{성신이}(\text{지점} P )\text{와 수정이}(\text{지점} Q ) \text{사이의 거리를 확률변수} X \text{라 할 때}, X$의 확률분포표를 구하시오. [10점]

(3) 위에서 구한 확률변수 $X$의 확률분포표로부터 $X$의 기댓값(평균)과 표준편차를 구하시오. [8점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

【유사 연습 문제】 모비율이 $p = 0.2$인 모집단에서 크기 $n = 100$인 표본을 임의추출할 때, 표본비율 $\hat{p}$의 평균과 표준편차를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $E(\hat{p}) = p = 0.2$이고, $\sigma(\hat{p}) = \sqrt{\frac{0.2 \times 0.8}{100}} = 0.04$이다.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 문항 4 (확률과 통계) [배점 25점]

[2022학년도 자연계열 문항 4] (확률과 통계 · 격자 도로망 최단경로 독립 이동 확률과 이산확률변수의 기댓값·표준편차) — 제시문 조건과 교과서 핵심 정리를 결합한 25점 다단계 논증 문항

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 4 · 총 25점

(1) 지점 $A(0,0)$에서 $B(4,4)$로 최단경로 이동 시 총 거리는 $8$이다. 두 사람이 동시에 같은 속력으로 출발하여 최단 경로로 이동하므로 각자 거리 $4$만큼 이동했을 때 만날 수 있는 지점은 두 출발점으로부터 거리가 $4$인 중간 지점들인 $(4,0), (3,1), (2,2), (1,3), (0,4)$이다. 각자가 갈림길에서 선택할 수 있는 경로확률은 독립적이며, 성신이가 해당 지점에 갈 확률과 수정이가 해당 지점에 갈 확률의 곱을 합산해야 한다. 전체 경로의 수는 각자 $2^4$ $=$ $16$ 가지이며 두 사람이 고르는 전체 조합은 $16$ $\times$ $16$ $=$ $256$가지이다. 만나는 지점별 성신이와 수정이의 경로 경우의 수:

$(4$$,$$0)$ : 성신 $1$가지, 수정 $1$가지 $\rightarrow$ $1$ $\times$ $1$ $=$ $1$
$(3$$,$$1)$ : 성신 $\binom{4}{1}$ $=$ $4$ 가지, 수정 $\binom{4}{3}$ $=$ $4$ 가지 $\rightarrow$ $4$ $\times$ $4$ $=$ $16$
$(2$$,$$2)$ : 성신 $\binom{4}{2}$ $=$ $6$ 가지, 수정 $\binom{4}{2}$ $=$ $6$ 가지 $\rightarrow$ $6$ $\times$ $6$ $=$ $36$
$(1$$,$$3)$ : 성신 $\binom{4}{3}$ $=$ $4$ 가지, 수정 $\binom{4}{1}$ $=$ $4$ 가지 $\rightarrow$ $4$ $\times$ $4$ $=$ $16$
$(0$$,$$4)$ : 성신 $1$가지, 수정 $1$가지 $\rightarrow$ $1$ $\times$ $1$ $=$ $1$

만날 확률은 이들의 합을 전체 조합으로 나눈 것이므로 \[P = \frac{1 + 16 + 36 + 16 + 1}{256} = \frac{70}{256} = \frac{35}{128}\] 이다.
(2) 성신이가 거리 $3$만큼 갔을 때 도달 가능한 지점 $P$는 $(3,0), (2,1), (1,2), (0,3)$이다. 수정이가 거리 $3$만큼 갔을 때 도달 가능한 지점 $Q$는 $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$이다. 가능한 조합 16가지에 대한 두 지점 사이의 거리는 최단경로 기준 맨해튼 거리 $|x_P - x_Q| + |y_P - y_Q|$로 계산된다. 이 거리는 항상 짝수값인 $2$$,$$4$$,$$6$ 중 하나가 된다. 전체 경우의 수는 $2^3$ $\times$ $2^3$ $=$ $64$가지이다.

$X$ $=$ $6$ 인 경우: $P(3$$,$$0)$ 와 $Q(1$$,$$4)$ 사이$($거리 $6)$ 또는 $P(0$$,$$3)$ 와 $Q(4$$,$$1)$ 사이(거리 6) 총 2가지이다. 각 경우의 확률 곱은 $\binom{3}{0}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ $\times$ $\binom{3}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ $=$ $\dfrac{1}{64}$ 이므로 총 $\dfrac{2}{64}$이다.
$X$ $=$ $4$ 인 경우: 조합을 계산하면 총 $12$가지 경로가 매칭되어 확률은 $\dfrac{12}{64}$이다.
$X$ $=$ $2$ 인 경우: 여사건의 확률을 활용하여 $1$ $-$ $\left(\dfrac{2}{64} + \dfrac{12}{64}\right)$ $=$ $\dfrac{50}{64}$이다.

따라서 확률분포표는 다음과 같다.

$X$	2	4	6	합계
$P(X=x)$	$\dfrac{50}{64}$	$\dfrac{12}{64}$	$\dfrac{2}{64}$	$1$

(3) 확률분포표로부터 평균과 표준편차를 구한다. 평균(기댓값)은 \[\begin{aligned} E(X) &= 2 \cdot \frac{50}{64} + 4 \cdot \frac{12}{64} + 6 \cdot \frac{2}{64} \\ &= \frac{100 + 48 + 12}{64} = \frac{160}{64} = \frac{5}{2} \end{aligned}\] 이다. 분산은 \[\begin{aligned} V(X) &= E(X^2) - \{E(X)\}^2 = \left(2^2 \cdot \frac{50}{64} + 4^2 \cdot \frac{12}{64} + 6^2 \cdot \frac{2}{64}\right) - \left(\frac{5}{2}\right)^2 \\ &= \left(4 \cdot \frac{50}{64} + 16 \cdot \frac{12}{64} + 36 \cdot \frac{2}{64}\right) - \frac{25}{4} = \frac{464}{64} - \frac{400}{64} = 1 \end{aligned}\] 이다. 표준편차는 분산의 양의 제곱근이므로 \[\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = 1\] 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 중간 도달 지점 $(4$$,$$0)\sim(0$$,$$4)$ 을 특정하고 각 지점별 성신$/$수정의 최단 경로의 수 곱을 합산하여 만날 확률 $\frac{35}{128}$을 정확히 구함	7점
2단계	(2) $P$ 와 $Q$ 가 갈 수 있는 지점들을 나열하고, 맨해튼 거리 $X=2$$,$$4$$,$$6$에 대해 경우의 수와 확률분포를 구해 확률분포표를 올바르게 작성함	10점
3단계	(3) 확률분포표를 이용하여 기댓값 $E(X)$ $=$ $\frac{5}{2}$ 와 분산 $V(X)=1$ 을 계산하고, 표준편차 $\sigma(X)$ $=$ $1$을 정확히 도출함	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 각 갈림길에서 선택 확률이 $\frac{1}{2}$로 동일하므로 중간 지점 $(k, 4-k)$에 도달할 확률은 $\binom{4}{k}\left(\frac{1}{2}\right)^4$임을 정확히 적용하고, 확률의 총합이 $1$인지 반드시 검산하십시오.

🎯 [최종 정답](1) $\dfrac{35}{128}$ | (2) $P(X=2)=\dfrac{50}{64},\; P(X=4)=\dfrac{12}{64},\; P(X=6)=\dfrac{2}{64}$ | (3) $E(X) = \dfrac{5}{2},\; \sigma(X) = 1$

PART 2-1 · 10 FULL-LENGTH MOCK EXAMS

2027학년도 성신여자대학교 자연계열 수리논술
실전 모의고사 1회 ~ 10회 문제집

제1~5회 기출유사 표준 실전편과 제6~10회 킬러 TOP 5 심화편(총 40문항) 및 회차별 종합 분석 매트릭스 리포트로 실전 적응력을 극대화합니다.

📋 출제 타당성 검토 보고서 (2p): 전 문항 교과서 기반 교육과정 성취기준 및 Textbook DB 원천 검증

📝 실전 맞춤형 시험지 포맷: 성신여자대학교 실제 문항 수·배점·답안지 규격 100% 반영

📈 회차별 종합 분석 매트릭스 (10p): 매 회차 직후 문항별 난이도·배점·합격 전략 리포트 수록

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R1-Q1	대수	거듭제곱근의 실수 개수와 상용로그의 정수·소수 부분	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 6 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-04]	25점/중상
R1-Q2	대수	삼각함수의 사인법칙·코사인법칙과 각의 이등분선의 길이	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.2 유제 6 변형 \| 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]	25점/중상
R1-Q3	미적분Ⅰ	삼차함수의 접선의 개수와 극대·극소의 대칭성	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 6 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]	25점/상
R1-Q4	미적분Ⅰ	이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이의 이등분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.2 유제 6 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-05]	25점/상
R2-Q1	대수	치환을 이용한 지수방정식의 실근 조건과 로그부등식	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.2 유제 6 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]	25점/중상
R2-Q2	대수	등차수열의 부분합 최솟값과 절댓값 수열의 합	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.2 유제 6 변형 \| 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]	25점/중상
R2-Q3	미적분Ⅰ	함수의 연속성과 사잇값 정리를 이용한 실근의 존재성	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.2 유제 6 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-04]	25점/상
R2-Q4	미적분Ⅰ	정적분이 포함된 항등식과 함수의 극댓값·극솟값	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 유제 6 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/상
R3-Q1	대수	지수함수와 로그함수의 역함수 대칭성과 사각형의 넓이	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 유제 6 변형 \| 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-07]	25점/중상
R3-Q2	대수	삼각함수의 주기와 그래프의 대칭성을 이용한 실근의 합	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 유제 6 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]	25점/중상
R3-Q3	미적분Ⅰ	롤의 정리와 평균값 정리를 이용한 도함수 근의 추정	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 6 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]	25점/상
R3-Q4	미적분Ⅰ	수직선 운동에서의 위치 변화량과 실제 움직인 거리	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 6 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]	25점/상
R4-Q1	미적분Ⅱ	쌍곡선형 지수함수의 접선 직교 조건·정적분 넓이·곡선의 길이	[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.18 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하03-03]	25점/상
R4-Q2	기하	포물선의 초점현 양 끝 접선의 직교성·준선 교점과 삼각형 넓이 최솟값	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.27 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	25점/상
R4-Q3	확률과 통계	진단 검사의 조건부확률(베이즈 정리)과 모비율의 신뢰구간 추정	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 이항정리 (DB: PS_Ch01_02) PDF p.5 탐구 변형 \| 성취기준: 12확통01-03]	25점/중상
R4-Q4	대수 · 미적분Ⅱ	선형 비제차 점화식의 일반항·부분합과 몇급수의 수렴값	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.10 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02]	25점/중상
R5-Q1	미적분Ⅰ	사차함수의 이중접선 넓이와 절댓값 접힘 함수의 미분불가능점 불연속	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]	25점/상
R5-Q2	기하	타원의 초점삼각형 넓이·내접원 반지름과 접선의 절편	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.27 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	25점/상
R5-Q3	확률과 통계	격자 도로망 최단경로 우회 확률과 이항분포 확률변수의 기댓값·분산	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03_02) PDF p.6 탐구 변형 \| 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]	25점/중상
R5-Q4	미적분Ⅱ	탄젠트 거듭제곱 정적분 점화식과 조임정리 극한 추론	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.8 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-02]	25점/상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R6-Q1	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	원과 삼차곡선의 교점 존재성(사잇값 정리) 및 반지름 함수의 고차 극한	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]	25점/최상
R6-Q2	기하	공간에서의 평면의 방정식·수선의 발과 삼각형의 정사영 넓이	[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	25점/상
R6-Q3	미적분Ⅱ	지수곡선 접선·법선 도형의 넓이 극한과 무한등비급수의 합	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]	25점/상
R6-Q4	확률과 통계	중복순열 인증번호의 연속 배열 배타 분할과 조건부확률	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 확률의 뜻과 활용 (DB: PS_Ch02_01) PDF p.6 탐구 변형 \| 성취기준: 12확통02-02, 12확통02-03]	25점/상
R7-Q1	대수 · 미적분Ⅱ	원 내접 교대각 다각형의 넓이·현 제곱합 극한과 탄젠트 덧셈정리 최대각	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]	25점/최상
R7-Q2	기하	쌍곡선 접선의 각의 이등분 성질과 초점 직각삼각형의 내접원	[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	25점/상
R7-Q3	미적분Ⅰ	주기 이동 함수방정식에서의 롤의 정리 실근 개수와 구간 정적분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]	25점/상
R7-Q4	확률과 통계	표본평균의 확률 계산과 모평균·모비율 신뢰구간 표본크기 결정	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 경우의 수 (DB: PS_Ch01_01) PDF p.6 탐구 변형 \| 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02]	25점/중상
R8-Q1	미적분Ⅱ	치환적분 대칭 결합 수열의 일반항과 코사인 교대 등비급수	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]	25점/상
R8-Q2	기하	평면벡터의 일차결합 자취의 길이와 내적을 이용한 최소 거리	[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	25점/상
R8-Q3	미적분Ⅰ	정적분 극한 조건에 의한 이차함수 결정과 삼차곡선 접선 넓이	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]	25점/상
R8-Q4	대수 · 미적분Ⅱ	마름모와 정사각형 공통부분 넓이 함수의 미분가능성과 프랙탈 등비급수	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.10 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02]	25점/최상
R9-Q1	대수 · 미적분Ⅱ	두 직선 교점에서의 탄젠트 덧셈정리·코사인법칙과 사인법칙 극한	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]	25점/상
R9-Q2	기하	공간 구의 외부 접원뿔·접점원 평면 방정식과 정사영 넓이	[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	25점/상
R9-Q3	미적분Ⅰ	삼차·이차함수의 공통접선 넓이와 선대칭 반사 함수의 미분가능성·최댓값	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]	25점/상
R9-Q4	확률과 통계	이항분포의 정규근사 확률·베이즈 조건부확률과 비보건 추출 확률변수	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 확률의 뜻과 활용 (DB: PS_Ch02_01) PDF p.6 탐구 변형 \| 성취기준: 12확통02-02, 12확통02-03]	25점/중상
R10-Q1	대수 · 미적분Ⅰ	원의 대칭 접선·이차곡선 공통접선 넓이와 외접원의 반지름 방정식	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]	25점/최상
R10-Q2	기하	정사면체 내부 단면 평면의 삼수선의 정리·이면각과 정사영 넓이	[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	25점/상
R10-Q3	미적분Ⅱ	다항·로그 결합 함수의 변곡접선 부등식과 부분적분 넓이	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]	25점/상
R10-Q4	확률과 통계	중복조합 방정식의 상한 제약·홀짝 해의 개수와 조건부확률	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 경우의 수 (DB: PS_Ch01_01) PDF p.6 탐구 변형 \| 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02]	25점/중상

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 거듭제곱근의 실수 개수와 상용로그의 정수·소수 부분 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-04]

[제시문]
(가) 실수 $a$와 $2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 $n$제곱하여 $a$가 되는 실수, 즉 방정식 $x^n = a$의 실근의 개수를 $R(a, n)$이라 하자. $n$이 홀수이면 $a$의 부호에 관계없이 $R(a, n) = 1$이고, $n$이 짝수이면 $a \gt 0$일 때 $2$, $a = 0$일 때 $1$, $a \lt 0$일 때 $0$이다.

(나) 자연수 $k$ ($1 \le k \le 12$)에 대하여 수열 $c_k = k^2 - 8k + 12$로 정의한다.

(다) 양수 $N$에 대하여 $\log_2 N$의 정수 부분을 $m$, 소수 부분을 $\alpha$ ($0 \le \alpha \lt 1$)라 할 때, $m = \sum_{k=1}^{10} R(c_k, k+1)$이고 $2^\alpha = \dfrac{5}{4}$이다.

[1-1] 제시문 (나)에서 $c_k \gt 0$, $c_k = 0$, $c_k \lt 0$을 만족시키는 자연수 $k$ ($1 \le k \le 10$)의 집합을 각각 구하시오. [7점]

[1-2] 제시문 (가)와 [1-1]의 결과를 이용하여 합 $m = \sum_{k=1}^{10} R(c_k, k+1)$의 값을 구하시오. [8점]

[1-3] 제시문 (다)의 양수 $N$의 값을 구하고, $\log_{10} N$을 $\log_{10} 2 = p$, $\log_{10} 5 = q$에 대한 식으로 나타내시오. [10점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 삼각함수의 사인법칙·코사인법칙과 각의 이등분선의 길이 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.2 유제 6 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[제시문]
(가) 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = c$, $\overline{AC} = b$, $\overline{BC} = a$라 할 때, 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$와 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ ($R$는 외접원의 반지름)가 성립한다.

(나) 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 6$, $\overline{AC} = 4$이고 $\cos A = \dfrac{1}{4}$이다.

(다) 각 $A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 하고, 선분 $AD$의 연장선이 삼각형 $ABC$의 외접원과 만나는 점을 $E$ ($E \ne A$)라 하자.

[2-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 변 $BC$의 길이 $a$와 외접원의 반지름의 길이 $R$를 각각 구하시오. [7점]

[2-2] 제시문 (다)에서 삼각형의 넓이 분할을 이용하여 선분 $AD$의 길이를 구하시오. (단, $\sin\dfrac{A}{2} = \sqrt{\dfrac{1-\cos A}{2}}$, $\cos\dfrac{A}{2} = \sqrt{\dfrac{1+\cos A}{2}}$를 활용할 수 있다.) [8점]

[2-3] 두 삼각형 $ABD$와 $AEC$의 닮음 성질을 이용하여 선분 $DE$의 길이를 구하시오. [10점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 삼차함수의 접선의 개수와 극대·극소의 대칭성 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

[제시문]
(가) 곡선 $y = f(x)$ 밖의 한 점 $(a, b)$에서 곡선에 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수는 방정식 $b - f(t) = f'(t)(a - t)$의 서로 다른 실근 $t$의 개수와 같다.

(나) 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 11$이 주어져 있다.

(다) $y$축 위의 점 $P(0, k)$에서 곡선 $y = f(x)$에 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수를 $g(k)$라 하자.

[3-1] 제시문 (나)의 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하고, 두 극점의 중점의 좌표를 구하시오. [7점]

[3-2] 제시문 (가)와 (다)를 이용하여 점 $P(0, k)$에서 그은 접선의 접점의 $x$좌표 $t$가 만족시키는 방정식을 구하고, $g(k) = 3$이 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오. [8점]

[3-3] 방정식 $|f(x)| = m$이 서로 다른 $6$개의 실근을 갖도록 하는 자연수 $m$의 개수를 구하시오. [10점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이의 이등분 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.2 유제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]
(가) 최고차항의 계수가 $a$ ($a \ne 0$)인 이차함수 $y = f(x)$와 직선 $y = mx + n$이 서로 다른 두 점 $x = \alpha, \beta$ ($\alpha \lt \beta$)에서 만날 때, 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$이다.

(나) 포물선 $C: y = -x^2 + 6x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_0$이라 하자.

(다) 원점 $O(0, 0)$을 지나는 직선 $y = kx$ ($0 \lt k \lt 6$)가 포물선 $C$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_0$을 이등분한다.

[4-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 넓이 $S_0$의 값을 구하시오. [7점]

[4-2] 제시문 (다)에서 포물선 $C$와 직선 $y = kx$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S(k)$를 $k$에 대한 식으로 나타내고, $S_0$을 이등분하는 상수 $k$에 대하여 $(6 - k)^3$의 값을 구하시오. [8점]

[4-3] 포물선 $C: y = -x^2 + 6x$ 위의 점 $P(t, -t^2 + 6t)$ ($0 \lt t \lt 6$)와 원점 $O(0, 0)$, 점 $A(6, 0)$을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 $OAP$의 넓이의 최댓값 $M$을 구하고, $\dfrac{M}{S_0}$의 값을 기약분수로 구하시오. [10점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제1회	문항 1	대수	거듭제곱근의 실수 개수와 상용로그의 정수·소수 부분	25점	중상
제1회	문항 2	대수	삼각함수의 사인법칙·코사인법칙과 각의 이등분선의 길이	25점	중상
제1회	문항 3	미적분Ⅰ	삼차함수의 접선의 개수와 극대·극소의 대칭성	25점	상
제1회	문항 4	미적분Ⅰ	이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이의 이등분	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 성신여자대학교 수리논술 제1회 출제 원칙 및 합격 전략

[성신여자대학교 자연계열 제1회 (기출 정합 실전 표준 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 2027학년도 성신여대 자연계열 출제 체제(100분, 4문항 각 25점, 총 100점)와 교과서 기반 교육과정 전 범위(대수·미적분Ⅰ·미적분Ⅱ·확률과 통계·기하)에 맞추어 거듭제곱근의 실수 개수와 상용로그의 정수·소수 부분, 삼각함수의 사인법칙·코사인법칙과 각의 이등분선의 길이, 삼차함수의 접선의 개수와 극대·극소의 대칭성, 이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이의 이등분으로 구성되었습니다. 문항당 23분 이내로 시간을 배분하여 소문항 (1)·(2)의 핵심 공식 적용 점수를 먼저 확보하고, 고배점 소문항 (3)에서는 사잇값·롤의 정리 연속성 전제, 등비급수 수렴 조건, 법선벡터·표본비율 공식 유도를 명확히 서술하십시오.

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 치환을 이용한 지수방정식의 실근 조건과 로그부등식 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.2 유제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[제시문]
(가) 지수방정식 $a^{2x} - p a^x + q = 0$ ($a \gt 1$)에서 $t = a^x$ ($t \gt 0$)로 치환하면, $x$에 대한 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$가 존재할 필요충분조건은 이차방정식 $t^2 - pt + q = 0$이 서로 다른 두 양의 실근 $t_1 = a^\alpha, \; t_2 = a^\beta$를 갖는 것이다.

(나) 실수 $x$에 대한 방정식 $9^x - 4(k + 1)3^x + 9k = 0$이 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$를 갖고 $\alpha + \beta = 3$을 만족시킨다.

(다) 양수 $x$에 대한 로그부등식 $\left(\log_3 x\right)^2 - k\log_3 x + (k - 1) \le 0$이 주어져 있다.

[1-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 상수 $k$의 값과 $3^\alpha + 3^\beta$의 값을 각각 구하시오. [7점]

[1-2] [1-1]에서 구한 $\alpha, \beta$에 대하여 $9^\alpha + 9^\beta$의 값을 구하시오. [8점]

[1-3] [1-1]에서 구한 $k$에 대하여 제시문 (다)의 로그부등식을 만족시키는 모든 정수 $x$의 개수를 구하시오. [10점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 등차수열의 부분합 최솟값과 절댓값 수열의 합 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.2 유제 6 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]
(가) 첫째항이 음수이고 공차가 양수인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$은 $a_n \le 0$인 마지막 항까지 감소하다가 $a_n \gt 0$인 항부터 증가한다.

(나) 등차수열 $\{a_n\}$이 $a_2 = -13$, $a_5 = -4$를 만족시킨다.

(다) 자연수 $n$에 대하여 $T_n = \sum_{k=1}^n |a_k|$라 하자.

[2-1] 제시문 (나)의 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항 $a_1$과 공차 $d$, 일반항 $a_n$을 각각 구하시오. [7점]

[2-2] 제시문 (가)를 이용하여 부분합 $S_n$이 최솟값을 갖는 자연수 $n$의 값과 그때의 최솟값을 구하시오. [8점]

[2-3] 제시문 (다)에서 $T_{12}$의 값을 구하시오. [10점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 함수의 연속성과 사잇값 정리를 이용한 실근의 존재성 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.2 유제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-04]

[제시문]
(가) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $f(a) \ne f(b)$일 때, $f(a)$와 $f(b)$ 사이의 임의의 값 $k$에 대하여 $f(c) = k$를 만족하는 $c$가 열린구간 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다.

(나) 연속함수 $f(x)$가 $f(0) = -2, \; f(1) = 3, \; f(2) = 1, \; f(3) = 11$을 만족시킨다.

(다) 함수 $g(x) = f(x) - x^2$이라 하자.

[3-1] 제시문 (나)와 (다)를 이용하여 $g(0), g(1), g(2), g(3)$의 값을 각각 구하고, 방정식 $f(x) = x^2$이 열린구간 $(0, 3)$에서 적어도 세 개의 실근을 가짐을 사잇값 정리로 설명하시오. [8점]

[3-2] 다항함수 $P(x) = x^3 + ax + b$가 $\lim_{x \to 1} \dfrac{P(x)}{x - 1} = 5$를 만족시킬 때, 상수 $a, b$의 값을 구하시오. [8점]

[3-3] [3-2]의 다항함수 $P(x)$에 대하여 방정식 $P(x) + 5 = 0$이 오직 하나의 실근 $\gamma$를 가질 때, $\gamma$가 속하는 길이 $1$인 열린구간 $(n, n+1)$ ($n$은 정수)을 구하시오. [9점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 정적분이 포함된 항등식과 함수의 극댓값·극솟값 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 유제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]
(가) 적분 구간이 상수인 정적분 $\int_a^b f(t)\,dt$의 값은 상수 $K$로 치환하여 함수 $f(x)$의 식을 결정할 수 있다.

(나) 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식
\[f(x) = 3x^2 - 4x + \int_0^2 t f(t)\,dt\]를 만족시킨다.

(다) 함수 $F(x) = \int_0^x f(t)\,dt$라 하자.

[4-1] 제시문 (가)와 (나)에서 상수 $K = \int_0^2 t f(t)\,dt$의 값을 구하고, 이차함수 $f(x)$의 식을 구하시오. [8점]

[4-2] 제시문 (다)의 함수 $F(x)$의 극댓값과 극솟값의 합을 구하시오. [8점]

[4-3] 실수 $m$에 대하여 직선 $y = mx$가 곡선 $y = F(x)$와 원점이 아닌 점에서 접할 때, 상수 $m$의 값을 구하시오. [9점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제2회	문항 1	대수	치환을 이용한 지수방정식의 실근 조건과 로그부등식	25점	중상
제2회	문항 2	대수	등차수열의 부분합 최솟값과 절댓값 수열의 합	25점	중상
제2회	문항 3	미적분Ⅰ	함수의 연속성과 사잇값 정리를 이용한 실근의 존재성	25점	상
제2회	문항 4	미적분Ⅰ	정적분이 포함된 항등식과 함수의 극댓값·극솟값	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 성신여자대학교 수리논술 제2회 출제 원칙 및 합격 전략

[성신여자대학교 자연계열 제2회 (기출 정합 실전 표준 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 2027학년도 성신여대 자연계열 출제 체제(100분, 4문항 각 25점, 총 100점)와 교과서 기반 교육과정 전 범위(대수·미적분Ⅰ·미적분Ⅱ·확률과 통계·기하)에 맞추어 치환을 이용한 지수방정식의 실근 조건과 로그부등식, 등차수열의 부분합 최솟값과 절댓값 수열의 합, 함수의 연속성과 사잇값 정리를 이용한 실근의 존재성, 정적분이 포함된 항등식과 함수의 극댓값·극솟값으로 구성되었습니다. 문항당 23분 이내로 시간을 배분하여 소문항 (1)·(2)의 핵심 공식 적용 점수를 먼저 확보하고, 고배점 소문항 (3)에서는 사잇값·롤의 정리 연속성 전제, 등비급수 수렴 조건, 법선벡터·표본비율 공식 유도를 명확히 서술하십시오.

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 지수함수와 로그함수의 역함수 대칭성과 사각형의 넓이 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 유제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-07]

[제시문]
(가) 지수함수 $f(x) = 2^{x-1}$의 역함수는 $f^{-1}(x) = \log_2 x + 1$ ($x \gt 0$)이며, 두 함수의 그래프는 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이다.

(나) 기울기가 $-1$인 직선 $l: y = -x + 7$이 두 곡선 $y = f(x)$, $y = f^{-1}(x)$와 만나는 점을 각각 $A, B$라 하자.

(다) 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = f^{-1}(x)$가 직선 $y = x$와 만나는 두 교점을 각각 $P(1, 1)$, $Q(2, 2)$라 하자.

[1-1] 제시문 (가)와 (다)를 이용하여 $f(1) = 1$, $f(2) = 2$임을 확인하고 선분 $PQ$의 길이를 구하시오. [7점]

[1-2] 제시문 (나)에서 두 점 $A, B$의 좌표를 각각 구하고, 선분 $AB$의 길이를 구하시오. [8점]

[1-3] 세 점 $P, A, B$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $PAB$의 넓이와 사각형 $PAQB$의 넓이를 각각 구하시오. [10점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 삼각함수의 주기와 그래프의 대칭성을 이용한 실근의 합 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 유제 6 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[제시문]
(가) 함수 $y = A\cos(Bx) + C$ ($A \gt 0, B \gt 0$)의 주기는 $T = \dfrac{2\pi}{B}$이고, 최댓값은 $A + C$, 최솟값은 $-A + C$이다.

(나) 닫힌구간 $[0, 4]$에서 정의된 함수 $f(x) = 2\cos\left(\pi x\right) + 1$이 주어져 있다.

(다) 실수 $k$ ($-1 \lt k \lt 3$)에 대하여 방정식 $f(x) = k$의 닫힌구간 $[0, 4]$에서의 모든 실근을 작은 것부터 차례로 $x_1, x_2, x_3, x_4$라 하자.

[2-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 함수 $f(x)$의 주기와 최댓값, 최솟값을 각각 구하시오. [7점]

[2-2] 제시문 (다)에서 그래프의 대칭성을 이용하여 네 실근의 합 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4$의 값을 구하시오. [8점]

[2-3] 제시문 (다)에서 $x_2 - x_1 = \dfrac{2}{3}$일 때, 상수 $k$의 값과 $x_1 \cdot x_4$의 값을 각각 구하시오. [10점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 롤의 정리와 평균값 정리를 이용한 도함수 근의 추정 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]

[제시문]
(가) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때, $f(a) = f(b)$이면 $f'(c) = 0$인 $c$가 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다 (롤의 정리).

(나) 사차함수 $f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 = (x^2 - 4)^2$이 주어져 있다.

(다) 양수 $t$에 대하여 닫힌구간 $[0, t]$에서 함수 $f(x)$에 평균값 정리를 적용할 때, $\dfrac{f(t) - f(0)}{t - 0} = f'(c)$를 만족시키는 양수 $c \in (0, t)$를 생각한다.

[3-1] 제시문 (나)의 함수 $f(x)$에 대하여 닫힌구간 $[-2, 2]$에서 롤의 정리를 만족시키는 모든 상수 $c \in (-2, 2)$의 값을 구하시오. [7점]

[3-2] 제시문 (다)에서 $t = 2\sqrt{2}$일 때 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c \in (0, 2\sqrt{2})$의 값을 구하시오. [8점]

[3-3] 곡선 $y = f(x)$ 위의 두 극소점과 한 극대점을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이와 이 삼각형에 내접하는 원의 반지름의 길이를 각각 구하시오. [10점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 수직선 운동에서의 위치 변화량과 실제 움직인 거리 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문]
(가) 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t)$일 때, 시각 $t=a$에서 $t=b$까지 위치의 변화량은 $\int_a^b v(t)\,dt$이고 움직인 거리는 $\int_a^b |v(t)|\,dt$이다.

(나) 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$ ($0 \le t \le 5$)에서의 속도가
\[v(t) = -2t^2 + 8t\]이다.

(다) 시각 $t = k$ ($0 \lt k \lt 4$)에서 점 $P$의 가속도를 $a(k)$라 하자.

[4-1] 점 $P$가 출발 후 원점으로부터 가장 멀리 떨어져 있을 때의 시각과 그때의 위치를 구하시오. (단, $0 \le t \le 5$) [7점]

[4-2] 시각 $t = 0$에서 $t = 5$까지 점 $P$의 위치의 변화량과 실제로 움직인 총 거리를 각각 구하시오. [8점]

[4-3] 시각 $t = 0$에서 $t = k$ ($0 \lt k \lt 4$)까지 점 $P$가 움직인 거리가 $a(k) + \dfrac{32}{3}$와 같아지도록 하는 상수 $k$의 값을 구하시오. [10점]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제3회	문항 1	대수	지수함수와 로그함수의 역함수 대칭성과 사각형의 넓이	25점	중상
제3회	문항 2	대수	삼각함수의 주기와 그래프의 대칭성을 이용한 실근의 합	25점	중상
제3회	문항 3	미적분Ⅰ	롤의 정리와 평균값 정리를 이용한 도함수 근의 추정	25점	상
제3회	문항 4	미적분Ⅰ	수직선 운동에서의 위치 변화량과 실제 움직인 거리	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 성신여자대학교 수리논술 제3회 출제 원칙 및 합격 전략

[성신여자대학교 자연계열 제3회 (기출 정합 실전 표준 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 2027학년도 성신여대 자연계열 출제 체제(100분, 4문항 각 25점, 총 100점)와 교과서 기반 교육과정 전 범위(대수·미적분Ⅰ·미적분Ⅱ·확률과 통계·기하)에 맞추어 지수함수와 로그함수의 역함수 대칭성과 사각형의 넓이, 삼각함수의 주기와 그래프의 대칭성을 이용한 실근의 합, 롤의 정리와 평균값 정리를 이용한 도함수 근의 추정, 수직선 운동에서의 위치 변화량과 실제 움직인 거리으로 구성되었습니다. 문항당 23분 이내로 시간을 배분하여 소문항 (1)·(2)의 핵심 공식 적용 점수를 먼저 확보하고, 고배점 소문항 (3)에서는 사잇값·롤의 정리 연속성 전제, 등비급수 수렴 조건, 법선벡터·표본비율 공식 유도를 명확히 서술하십시오.

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분Ⅱ — 쌍곡선형 지수함수의 접선 직교 조건·정적분 넓이·곡선의 길이 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03]

[제시문] 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 $f(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$와 $g(x) = c - \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$ ($c \gt 2$인 상수)가 있다. 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$의 제$1$사분면 위의 교점을 $P(x_0, y_0)$ ($x_0 \gt 0$)라 하자.

[4-1] [8점] 교점 $P(x_0, y_0)$에서 두 곡선 $y = f(x), y = g(x)$에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 양수 $x_0$와 상수 $c$의 값을 각각 구하시오.

[4-2] [8점] [4-1]에서 구한 상수 $c$에 대하여 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$로 둘러싸인 닫힌 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[4-3] [9점] 닫힌구간 $[-x_0, x_0]$에서 곡선 $y = f(x)$의 길이 $L_1$을 정적분으로 구하고, 위 닫힌 도형의 전체 둘레의 길이 $L$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 기하 — 포물선의 초점현 양 끝 접선의 직교성·준선 교점과 삼각형 넓이 최솟값 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.27 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[제시문] 좌표평면에서 포물선 $C: y^2 = 8x$의 초점을 $F(2, 0)$, 준선을 $l: x = -2$라 하자. 초점 $F(2, 0)$을 지나는 직선 $x = ky + 2$ ($k$는 실수)가 포물선 $C$와 만나는 두 점을 $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)$ (단, $y_1 \gt 0 \gt y_2$)라 하자.

[4-1] [8점] 음함수 미분법으로 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식이 $y_1 y = 4(x + x_1)$임을 유도하고, 모든 실수 $k$에 대하여 $y_1 y_2 = -16$이 성립함을 보이시오.

[4-2] [8점] 두 점 $P, Q$에서 포물선 $C$에 그은 두 접선이 서로 수직이며, 두 접선의 교점 $R$이 항상 준선 $x = -2$ 위에 놓임을 증명하시오.

[4-3] [9점] 직각삼각형 $PRQ$의 넓이 $S(k)$를 $k$에 대한 식으로 나타내고, 실수 $k$가 변할 때 $S(k)$의 최솟값과 $k = \dfrac{3}{4}$일 때의 넓이 $S\left(\dfrac{3}{4}\right)$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 확률과 통계 — 진단 검사의 조건부확률(베이즈 정리)과 모비율의 신뢰구간 추정 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 이항정리 (DB: PS_Ch01_02) PDF p.5 탐구 변형 | 성취기준: 12확통01-03]

[제시문 가] 어느 지역 주민 전체에서 특정 바이러스에 실제 감염된 주민의 비율은 $P(D) = 0.05$이다. 신속 진단 키트는 실제 감염자를 양성($T$)으로 정확히 판정할 확률이 $P(T \mid D) = 0.96$이고, 비감염자를 음성($T^c$)으로 정확히 판정할 확률이 $P(T^c \mid D^c) = 0.92$이다.
[제시문 나] 같은 지역 성인 중 크기 $n = 400$명을 임의추출하여 주 $3$회 이상 유산소 운동 실천 여부를 조사하였더니 $144$명이 실천하고 있었다. (단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$에 대하여 $P(|Z| \le 1.96) = 0.95$로 계산한다.)

[4-1] [8점] 제시문 가에서 임의로 선택한 주민 $1$명이 진단 키트에서 양성($T$) 판정을 받을 확률 $P(T)$를 기약분수로 구하시오.

[4-2] [8점] 양성($T$) 판정을 받은 주민이 실제로 바이러스에 감염되었을 조건부확률 $P(D \mid T)$를 기약분수로 구하시오.

[4-3] [9점] 제시문 나에서 표본비율 $\hat{p}$와 표준오차 $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$를 구하고, 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간 $[a, b]$를 소수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 대수 · 미적분Ⅱ — 선형 비제차 점화식의 일반항·부분합과 몇급수의 수렴값 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02]

[제시문] 수열 $\{a_n\}$이 첫째항 $a_1 = 9$와 귀납적 관계식 \[a_{n+1} = \dfrac{1}{3}a_n + 2 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)\]로 정의된다.

[4-1] [7점] 상수 $\alpha$를 찾아 수열 $\{a_n - \alpha\}$가 등비수열임을 보이고, 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오.

[4-2] [8점] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$를 $n$에 대한 식으로 나타내시오.

[4-3] [10점] 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n(a_n - 3)}{2^n}$의 제$N$항까지의 부분합 $T_N$을 구한 뒤 극한을 취하여 급수의 합을 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제4회	문항 1	미적분Ⅱ	쌍곡선형 지수함수의 접선 직교 조건·정적분 넓이·곡선의 길이	25점	상
제4회	문항 2	기하	포물선의 초점현 양 끝 접선의 직교성·준선 교점과 삼각형 넓이 최솟값	25점	상
제4회	문항 3	확률과 통계	진단 검사의 조건부확률(베이즈 정리)과 모비율의 신뢰구간 추정	25점	중상
제4회	문항 4	대수 · 미적분Ⅱ	선형 비제차 점화식의 일반항·부분합과 몇급수의 수렴값	25점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 성신여자대학교 수리논술 제4회 출제 원칙 및 합격 전략

[성신여자대학교 자연계열 제4회 (기출 정합 실전 표준 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 2027학년도 성신여대 자연계열 출제 체제(100분, 4문항 각 25점, 총 100점)와 교과서 기반 교육과정 전 범위(대수·미적분Ⅰ·미적분Ⅱ·확률과 통계·기하)에 맞추어 쌍곡선형 지수함수의 접선 직교 조건·정적분 넓이·곡선의 길이, 포물선의 초점현 양 끝 접선의 직교성·준선 교점과 삼각형 넓이 최솟값, 진단 검사의 조건부확률(베이즈 정리)과 모비율의 신뢰구간 추정, 선형 비제차 점화식의 일반항·부분합과 몇급수의 수렴값으로 구성되었습니다. 문항당 23분 이내로 시간을 배분하여 소문항 (1)·(2)의 핵심 공식 적용 점수를 먼저 확보하고, 고배점 소문항 (3)에서는 사잇값·롤의 정리 연속성 전제, 등비급수 수렴 조건, 법선벡터·표본비율 공식 유도를 명확히 서술하십시오.

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분Ⅰ — 사차함수의 이중접선 넓이와 절댓값 접힘 함수의 미분불가능점 불연속 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

[제시문] 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 1$과 실수 $k$에 대하여 함수 $g(x) = |f(x) - k|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지 않은 점의 개수를 $m(k)$라 하자.

[5-1] [7점] 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하고, 직선 $y = 1$이 곡선 $y = f(x)$와 두 점에서 동시에 접하는 이중접선임을 보이시오.

[5-2] [9점] 곡선 $y = f(x)$와 이중접선 $y = 1$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 구하시오.

[5-3] [9점] 실수 $k$의 범위에 따라 함수 $m(k)$를 구하고, 함수 $m(k)$가 불연속인 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 기하 — 타원의 초점삼각형 넓이·내접원 반지름과 접선의 절편 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.27 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[제시문] 좌표평면에서 타원 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$의 두 초점을 $F(4, 0), F'(-4, 0)$이라 하자. 이 타원 위의 제$1$사분면의 점 $P(x_0, y_0)$가 $\angle F'PF = \dfrac{\pi}{3}$를 만족시킨다.

[5-1] [8점] 타원의 정의와 코사인법칙을 이용하여 $\overline{PF}\cdot\overline{PF'}$의 값과 삼각형 $PF'F$의 넓이 $S$를 구하시오.

[5-2] [8점] 삼각형 $PF'F$에 내접하는 원의 반지름의 길이 $r$을 구하시오.

[5-3] [9점] 점 $P(x_0, y_0)$의 좌표를 구하고, 점 $P$에서 타원에 그은 접선이 $x$축과 만나는 점 $Q$의 $x$좌표를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 확률과 통계 — 격자 도로망 최단경로 우회 확률과 이항분포 확률변수의 기댓값·분산 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

[제시문] 좌표평면 위에서 원점 $O(0, 0)$에서 점 $A(5, 3)$까지 가로·세로 길이 $1$ 간격의 격자 도로망이 연결되어 있다.
(가) 원점 $O(0, 0)$에서 점 $A(5, 3)$까지 가는 모든 최단경로 중 임의로 한 경로를 같은 확률로 선택할 때, 교차로 $M(2, 1)$은 보수 공사로 통행이 제한된다.
(나) 한편 원점 $O(0, 0)$에서 출발하여 매초 오른쪽($+x$ 방향) 또는 위쪽($+y$ 방향)을 각각 $\dfrac{1}{2}$의 확률로 독립 선택하여 $4$초 후 도달한 점을 $P_4(X, 4 - X)$라 하자.

[5-1] [7점] 제시문 (가)에서 원점 $O(0, 0)$에서 공사 교차로 $M(2, 1)$을 거치지 않고 점 $A(5, 3)$에 도달할 확률을 기약분수로 구하시오.

[5-2] [9점] 제시문 (나)에서 확률변수 $X$가 따르는 이항분포를 기호로 나타내고, 확률 $P(X \ge 3)$을 구하시오.

[5-3] [9점] 점 $P_4(X, 4 - X)$에서 직선 $x + 2y - 8 = 0$까지의 거리를 $D$라 할 때, 확률변수 $W = \sqrt{5}D + 2$의 기댓값 $E(W)$와 분산 $V(W)$를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅱ — 탄젠트 거듭제곱 정적분 점화식과 조임정리 극한 추론 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-02]

[제시문] 모든 자연수 $n$에 대하여 두 정적분 수열 $\{I_n\}, \{J_n\}$을 각각 \[I_n = \int_{0}^{\pi/4} \tan^n x \sec^2 x\,dx, \qquad J_n = \int_{0}^{\pi/4} \tan^n x\,dx\]로 정의한다.

[5-1] [7점] 치환적분법을 이용하여 $I_n$을 $n$에 대한 식으로 구하고, 삼각함수 항등식으로 $J_n + J_{n+2} = \dfrac{1}{n + 1}$이 성립함을 증명하시오.

[5-2] [9점] $J_1$과 $J_2$의 값을 각각 구하고, 점화식을 반복 적용하여 $J_8$의 값을 구하시오.

[5-3] [9점] 구간 $[0, \pi/4]$에서 $0 \le \tan^{n+2} x \le \tan^n x$임을 이용하여 극한값 $\lim_{n\to\infty} n J_n$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제5회	문항 1	미적분Ⅰ	사차함수의 이중접선 넓이와 절댓값 접힘 함수의 미분불가능점 불연속	25점	상
제5회	문항 2	기하	타원의 초점삼각형 넓이·내접원 반지름과 접선의 절편	25점	상
제5회	문항 3	확률과 통계	격자 도로망 최단경로 우회 확률과 이항분포 확률변수의 기댓값·분산	25점	중상
제5회	문항 4	미적분Ⅱ	탄젠트 거듭제곱 정적분 점화식과 조임정리 극한 추론	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 성신여자대학교 수리논술 제5회 출제 원칙 및 합격 전략

[성신여자대학교 자연계열 제5회 (기출 정합 실전 표준 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 2027학년도 성신여대 자연계열 출제 체제(100분, 4문항 각 25점, 총 100점)와 교과서 기반 교육과정 전 범위(대수·미적분Ⅰ·미적분Ⅱ·확률과 통계·기하)에 맞추어 사차함수의 이중접선 넓이와 절댓값 접힘 함수의 미분불가능점 불연속, 타원의 초점삼각형 넓이·내접원 반지름과 접선의 절편, 격자 도로망 최단경로 우회 확률과 이항분포 확률변수의 기댓값·분산, 탄젠트 거듭제곱 정적분 점화식과 조임정리 극한 추론으로 구성되었습니다. 문항당 23분 이내로 시간을 배분하여 소문항 (1)·(2)의 핵심 공식 적용 점수를 먼저 확보하고, 고배점 소문항 (3)에서는 사잇값·롤의 정리 연속성 전제, 등비급수 수렴 조건, 법선벡터·표본비율 공식 유도를 명확히 서술하십시오.

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ — 원과 삼차곡선의 교점 존재성(사잇값 정리) 및 반지름 함수의 고차 극한 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

[제시문] $r \gt 2$인 실수 $r$에 대하여 중심이 $M(0, r)$이고 반지름의 길이가 $r$인 원 $C: x^2 + (y - r)^2 = r^2$과 삼차함수 $f(x) = 2x - \dfrac{1}{2}x^3$ ($x \ge 0$)이 있다.

[6-1] [8점] 보조함수 $h(x) = f(x) - \left(r - \sqrt{r^2 - x^2}\right)$ ($0 \le x \le r$)의 우미분계수 $h'(0)$의 부호와 사잇값 정리를 이용하여 열린구간 $(0, r)$에서 원 $C$와 곡선 $y = f(x)$가 적어도 한 점에서 만남을 보이시오.

[6-2] [8점] 원 $C$와 곡선 $y = f(x)$의 교점의 $x$좌표를 $t \in (0, 2)$라 할 때, 원의 반지름 $r$을 $t$에 대한 유리함수 $r(t)$로 나타내시오.

[6-3] [9점] 두 극한값 $\lim_{t\to 0^+} \dfrac{r(t)}{t}$와 $\lim_{t\to 0^+} \dfrac{4r(t) - 5t}{t^3}$을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 기하 — 공간에서의 평면의 방정식·수선의 발과 삼각형의 정사영 넓이 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문] 좌표공간에서 원점 $O(0, 0, 0)$과 세 점 $A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 6)$에 대하여 세 점 $A, B, C$를 지나는 평면을 $\alpha$라 하자.

[6-1] [8점] 법선벡터를 이용하여 평면 $\alpha$의 방정식을 구하고, 원점 $O$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발 $H$의 좌표와 선분 $\overline{OH}$의 길이를 구하시오.

[6-2] [8점] 사면체 $OABC$의 부피 $V$를 이용하여 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 구하시오.

[6-3] [9점] 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각의 크기 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$를 구하고, 삼각형 $ABC$의 $xy$평면 위로의 정사영 넓이 $S'$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅱ — 지수곡선 접선·법선 도형의 넓이 극한과 무한등비급수의 합 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

[제시문] 자연수 $n$에 대하여 $x$축 위의 점 $A_n(2n, 0)$에서 곡선 $y = 2e^{-x/2}$에 그은 접선을 $l_n$, 그 접점을 $P_n$이라 하자. 또한 점 $P_n$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $H_n$, 점 $P_n$을 지나고 접선 $l_n$에 수직인 법선이 $x$축과 만나는 점을 $B_n$이라 하자.

[6-1] [8점] 접점 $P_n$의 좌표와 접선 $l_n$의 방정식을 $n$에 대한 식으로 구하시오.

[6-2] [8점] 닫힌구간 $[2n - 2, 2n]$에서 곡선 $y = 2e^{-x/2}$과 직선 $x = 2n - 2$, 접선 $l_n$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $a_n$이라 할 때, 극한값 $\lim_{n\to\infty} e^{n-1} a_n$을 구하시오.

[6-3] [9점] 직각삼각형 $P_n B_n H_n$의 넓이를 $b_n$이라 할 때, 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$의 합을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 확률과 통계 — 중복순열 인증번호의 연속 배열 배타 분할과 조건부확률 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 확률의 뜻과 활용 (DB: PS_Ch02_01) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통02-03]

[제시문] 다섯 개의 숫자 $1, 2, 3, 4, 5$ 중에서 중복을 허락하여 $5$자리 인증번호 $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5$를 생성한다. 생성 가능한 모든 $5^5 = 3125$개의 인증번호는 각각 같은 확률로 선택된다.

[6-1] [7점] 숫자 $1$이 $3$번 이상 포함되는 $5$자리 인증번호의 개수를 구하시오.

[6-2] [9점] 같은 숫자가 $3$번 이상 연속하여 나타나는(예: $22215, 43333$) $5$자리 인증번호의 개수를 구하시오.

[6-3] [9점] 임의로 선택한 인증번호의 첫 자리 $d_1$과 끝 자리 $d_5$가 모두 홀수였을 때, 이 인증번호에 숫자 $2$가 적어도 한 번 포함되어 있을 조건부확률을 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제6회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제6회	문항 1	미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ	원과 삼차곡선의 교점 존재성(사잇값 정리) 및 반지름 함수의 고차 극한	25점	최상
제6회	문항 2	기하	공간에서의 평면의 방정식·수선의 발과 삼각형의 정사영 넓이	25점	상
제6회	문항 3	미적분Ⅱ	지수곡선 접선·법선 도형의 넓이 극한과 무한등비급수의 합	25점	상
제6회	문항 4	확률과 통계	중복순열 인증번호의 연속 배열 배타 분할과 조건부확률	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 성신여자대학교 수리논술 제6회 출제 원칙 및 합격 전략

[성신여자대학교 자연계열 제6회 (역대 킬러 TOP 5 1:1 심화 확장 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 2027학년도 성신여대 자연계열 출제 체제(100분, 4문항 각 25점, 총 100점)와 교과서 기반 교육과정 전 범위(대수·미적분Ⅰ·미적분Ⅱ·확률과 통계·기하)에 맞추어 원과 삼차곡선의 교점 존재성(사잇값 정리) 및 반지름 함수의 고차 극한, 공간에서의 평면의 방정식·수선의 발과 삼각형의 정사영 넓이, 지수곡선 접선·법선 도형의 넓이 극한과 무한등비급수의 합, 중복순열 인증번호의 연속 배열 배타 분할과 조건부확률으로 구성되었습니다. 문항당 23분 이내로 시간을 배분하여 소문항 (1)·(2)의 핵심 공식 적용 점수를 먼저 확보하고, 고배점 소문항 (3)에서는 사잇값·롤의 정리 연속성 전제, 등비급수 수렴 조건, 법선벡터·표본비율 공식 유도를 명확히 서술하십시오.

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 · 미적분Ⅱ — 원 내접 교대각 다각형의 넓이·현 제곱합 극한과 탄젠트 덧셈정리 최대각 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

[제시문] 반지름의 길이가 $2$인 원 $C: x^2 + y^2 = 4$ 위에 $2n$개의 점 $P_0, P_1, \dots, P_{2n-1}$ ($P_{2n} = P_0$)이 시계 반대 방향으로 놓여 있다. 이웃한 두 반지름이 이루는 중심각은 $k = 0, 1, \dots, n-1$에 대하여 $\angle P_{2k}OP_{2k+1} = \dfrac{2\pi}{5n}$, $\angle P_{2k+1}OP_{2k+2} = \dfrac{8\pi}{5n}$이다.

[7-1] [8점] 볼록 $2n$각형 $P_0 P_1 \cdots P_{2n-1}$의 넓이 $S(n)$을 구하고 극한값 $\lim_{n\to\infty} S(n)$을 구하시오.

[7-2] [8점] 모든 변의 길이의 제곱의 합 $L_2(n) = \sum_{j=0}^{2n-1} \overline{P_j P_{j+1}}^2$에 대하여 극한값 $\lim_{n\to\infty} n L_2(n)$을 구하시오.

[7-3] [9점] 원 위의 점 $B(-2, 0)$, 원점 $O(0, 0)$, 직선 $x = 1$ 위의 동점 $A(1, t)$ ($t \gt 0$)에 대하여 $\angle BAO = \theta(t)$라 할 때, $\tan\theta(t)$의 최댓값과 그때의 양수 $t$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 기하 — 쌍곡선 접선의 각의 이등분 성질과 초점 직각삼각형의 내접원 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문] 좌표평면에서 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$의 두 초점을 $F(5, 0), F'(-5, 0)$이라 하고, 이 쌍곡선 위의 제$1$사분면의 점 중 $x$좌표가 $5$인 점을 $P(5, y_0)$이라 하자.

[7-1] [8점] 점 $P(5, y_0)$의 좌표와 점 $P$에서의 쌍곡선의 접선 $l$이 $x$축과 만나는 점 $T$의 좌표를 각각 구하시오.

[7-2] [8점] 두 선분 $\overline{PF}, \overline{PF'}$의 길이를 구하고, 비례식 $\overline{F'T} : \overline{TF} = \overline{PF'} : \overline{PF}$가 성립하여 직선 $l$이 $\angle F'PF$의 이등분선임을 보이시오.

[7-3] [9점] 삼각형 $PF'F$에 내접하는 원의 반지름 $r$과 내접원의 중심 $I$의 좌표를 구하고, 점 $I$가 접선 $l$ 위에 놓임을 확인하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 주기 이동 함수방정식에서의 롤의 정리 실근 개수와 구간 정적분 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

[제시문] 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 도함수 $f'(x)$가 연속인 함수 $f(x)$가 다음 세 조건을 모두 만족시킨다.
(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + 3) = f(x) + 6$이다.
(나) $f(0) = 0, \; f(1) = 4, \; f(2) = 3$
(다) $\int_{0}^{3} x f'(x)\,dx = 8$

[7-1] [8점] 보조함수 $g(x) = f(x) - 2x$를 도입하여 사잇값 정리와 롤의 정리를 결합함으로써 열린구간 $(0, 3)$에서 방정식 $f'(x) = 2$가 적어도 두 개의 서로 다른 실근을 가짐을 보이시오.

[7-2] [8점] 조건 (가), (나), (다)와 곱의 미분법 역연산을 이용하여 정적분 $\int_{0}^{3} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[7-3] [9점] 정적분 $\int_{0}^{9} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 확률과 통계 — 표본평균의 확률 계산과 모평균·모비율 신뢰구간 표본크기 결정 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 경우의 수 (DB: PS_Ch01_01) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02]

[제시문] 어느 이차전지 공장에서 생산되는 배터리 셀의 용량 $X$($\mathrm{mAh}$)는 평균 $m = 3000$, 표준편차 $\sigma = 24$인 정규분포 $N(3000, 24^2)$을 따른다. (단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$에 대하여 $P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332, \; P(0 \le Z \le 1.96) = 0.4750, \; P(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772$이다.)

[7-1] [8점] 크기 $n_1 = 36$인 표본을 임의추출할 때 표본평균 $\bar{X}$에 대하여 확률 $P(2994 \le \bar{X} \le 3008)$을 구하시오.

[7-2] [8점] 크기 $n_2$인 표본을 임의추출하여 모평균 $m$을 신뢰도 $95\%$로 추정한 신뢰구간 $[a, b]$의 길이 $b - a$가 $9.408$ 이하가 되도록 하는 자연수 $n_2$의 최솟값을 구하시오.

[7-3] [9점] 특등급 셀의 모비율 $p$를 추정하기 위해 크기 $n_3$인 표본을 임의추출하였더니 표본비율이 $\hat{p} = 0.2$이었다. 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이가 $0.0784$ 이하가 되도록 하는 자연수 $n_3$의 최솟값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제7회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제7회	문항 1	대수 · 미적분Ⅱ	원 내접 교대각 다각형의 넓이·현 제곱합 극한과 탄젠트 덧셈정리 최대각	25점	최상
제7회	문항 2	기하	쌍곡선 접선의 각의 이등분 성질과 초점 직각삼각형의 내접원	25점	상
제7회	문항 3	미적분Ⅰ	주기 이동 함수방정식에서의 롤의 정리 실근 개수와 구간 정적분	25점	상
제7회	문항 4	확률과 통계	표본평균의 확률 계산과 모평균·모비율 신뢰구간 표본크기 결정	25점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 성신여자대학교 수리논술 제7회 출제 원칙 및 합격 전략

[성신여자대학교 자연계열 제7회 (역대 킬러 TOP 5 1:1 심화 확장 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 2027학년도 성신여대 자연계열 출제 체제(100분, 4문항 각 25점, 총 100점)와 교과서 기반 교육과정 전 범위(대수·미적분Ⅰ·미적분Ⅱ·확률과 통계·기하)에 맞추어 원 내접 교대각 다각형의 넓이·현 제곱합 극한과 탄젠트 덧셈정리 최대각, 쌍곡선 접선의 각의 이등분 성질과 초점 직각삼각형의 내접원, 주기 이동 함수방정식에서의 롤의 정리 실근 개수와 구간 정적분, 표본평균의 확률 계산과 모평균·모비율 신뢰구간 표본크기 결정으로 구성되었습니다. 문항당 23분 이내로 시간을 배분하여 소문항 (1)·(2)의 핵심 공식 적용 점수를 먼저 확보하고, 고배점 소문항 (3)에서는 사잇값·롤의 정리 연속성 전제, 등비급수 수렴 조건, 법선벡터·표본비율 공식 유도를 명확히 서술하십시오.

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분Ⅱ — 치환적분 대칭 결합 수열의 일반항과 코사인 교대 등비급수 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

[제시문] 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 두 함수 $f(x), g(x)$와 자연수 $n$에 대하여 \[H(n) = \int_{0}^{n} f'(x)g(2n - x)\,dx - \int_{n}^{2n} g'(x)f(2n - x)\,dx\]로 정의한다.

[8-1] [7점] 두 번째 정적분에 치환적분법($u = 2n - x$)을 적용하여 모든 자연수 $n$에 대하여 $H(n) = f(n)g(n) - f(0)g(2n)$임을 보이고, $f(0)=2, f(1)=3, g(1)=4, g(2)=-2$일 때 $H(1)$을 구하시오.

[8-2] [8점] $f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x, \; g(x) = \cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)$일 때 일반항 $H(n)$을 $n$에 대한 식으로 나타내시오.

[8-3] [10점] [8-2]의 $H(n)$에 대하여 $c_k = H(2k - 1) + H(2k)$ ($k \ge 1$)로 정의할 때, 무한급수 $\sum_{k=1}^{\infty} c_k$의 합을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 기하 — 평면벡터의 일차결합 자취의 길이와 내적을 이용한 최소 거리 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문] 평면 위의 세 점 $O, A, B$가 $|\overrightarrow{OA}| = 4, \; |\overrightarrow{OB}| = 2, \; \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = 4$를 만족시킨다. 음이 아닌 두 실수 $s, t$ ($s \ge 0, t \ge 0$)가 $2s + t = 2$를 만족시키면서 변할 때, $\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$로 정의되는 점 $P$가 있다.

[8-1] [7점] $\angle AOB$의 크기와 선분 $\overline{AB}$의 길이를 각각 구하시오.

[8-2] [9점] 점 $P$가 그리는 도형(자취)의 길이를 구하시오.

[8-3] [9점] $|\overrightarrow{OP}|$의 최솟값과 그때의 두 실수 $s, t$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 정적분 극한 조건에 의한 이차함수 결정과 삼차곡선 접선 넓이 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[제시문] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 4x$와 다항함수 $g(x)$가 다음 두 조건을 만족시킨다.
(가) $\lim_{x\to\infty} \dfrac{\int_{0}^{x} g(t)\,dt - x^3}{x^2} = -3$
(나) $g(0) = 0$

[8-1] [7점] 조건 (가)와 (나)를 이용하여 다항함수 $g(x)$를 구하시오.

[8-2] [9점] 실수 $k$에 대하여 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x) + kx$가 한 점에서 접하고 다른 한 점에서 만나도록 하는 모든 실수 $k$의 값을 구하시오.

[8-3] [9점] [8-2]에서 구한 각 실수 $k$에 대하여 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 대수 · 미적분Ⅱ — 마름모와 정사각형 공통부분 넓이 함수의 미분가능성과 프랙탈 등비급수 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02]

[제시문] 좌표평면에서 부등식 $|x| + |y| \le 2$가 나타내는 마름모 영역을 $D_1$이라 하고, $0 \lt t \le 2$인 실수 $t$에 대하여 부등식 $|x| \le t, \; |y| \le t$가 나타내는 정사각형 영역과 $D_1$의 공통부분의 넓이를 $A(t)$라 하자.

[8-1] [8점] 실수 $t$의 구간 $(0, 1]$과 $(1, 2]$로 나누어 넓이 함수 $A(t)$를 구하시오.

[8-2] [8점] 함수 $A(t)$가 $t = 1$에서 미분가능한지 좌·우미분계수를 비교하여 판정하고, $A'(t) = 4$를 만족시키는 실수 $t$를 모두 구하시오.

[8-3] [9점] 마름모 $D_1$에 내접하는 정사각형($t=1$)을 $S_1$, $S_1$의 네 변의 중점을 꼭짓점으로 하는 내접 마름모를 $D_2$, $D_2$에 내접하는 정사각형을 $S_2$라 하는 과정을 한없이 반복할 때, 차집합 $D_n \setminus S_n$의 넓이 $a_n$에 대하여 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$의 합을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제8회	문항 1	미적분Ⅱ	치환적분 대칭 결합 수열의 일반항과 코사인 교대 등비급수	25점	상
제8회	문항 2	기하	평면벡터의 일차결합 자취의 길이와 내적을 이용한 최소 거리	25점	상
제8회	문항 3	미적분Ⅰ	정적분 극한 조건에 의한 이차함수 결정과 삼차곡선 접선 넓이	25점	상
제8회	문항 4	대수 · 미적분Ⅱ	마름모와 정사각형 공통부분 넓이 함수의 미분가능성과 프랙탈 등비급수	25점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 성신여자대학교 수리논술 제8회 출제 원칙 및 합격 전략

[성신여자대학교 자연계열 제8회 (역대 킬러 TOP 5 1:1 심화 확장 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 2027학년도 성신여대 자연계열 출제 체제(100분, 4문항 각 25점, 총 100점)와 교과서 기반 교육과정 전 범위(대수·미적분Ⅰ·미적분Ⅱ·확률과 통계·기하)에 맞추어 치환적분 대칭 결합 수열의 일반항과 코사인 교대 등비급수, 평면벡터의 일차결합 자취의 길이와 내적을 이용한 최소 거리, 정적분 극한 조건에 의한 이차함수 결정과 삼차곡선 접선 넓이, 마름모와 정사각형 공통부분 넓이 함수의 미분가능성과 프랙탈 등비급수으로 구성되었습니다. 문항당 23분 이내로 시간을 배분하여 소문항 (1)·(2)의 핵심 공식 적용 점수를 먼저 확보하고, 고배점 소문항 (3)에서는 사잇값·롤의 정리 연속성 전제, 등비급수 수렴 조건, 법선벡터·표본비율 공식 유도를 명확히 서술하십시오.

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 · 미적분Ⅱ — 두 직선 교점에서의 탄젠트 덧셈정리·코사인법칙과 사인법칙 극한 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

[제시문] 좌표평면에서 원점 $O(0, 0)$과 점 $Q(2, 0)$에 대하여 두 직선 $l_1: y = m(x - 2)$와 $l_2: y = nx$ (단, $0 \lt n \lt m$)의 교점을 $P$라 하자.

[9-1] [7점] $m = 3\sqrt{3}, \; n = \dfrac{\sqrt{3}}{5}$일 때, 탄젠트 덧셈정리를 이용하여 $\angle OPQ$의 크기를 구하시오.

[9-2] [9점] [9-1]의 조건에서 반직선 $OP$ 위의 점 $P$ 바깥쪽 연장선 위에 $\overline{PR} = 3$인 점 $R$을 잡을 때, $\overline{RQ}^2$의 값을 구하시오.

[9-3] [9점] $0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{6}$일 때 $m = \tan 3\theta, \; n = \tan\theta$라 하고 선분 $\overline{OP}$의 길이를 $f(\theta)$라 하자. 사인법칙으로 $f(\theta)$를 $\theta$로 나타내고 $\lim_{\theta\to 0^+} f(\theta)$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 기하 — 공간 구의 외부 접원뿔·접점원 평면 방정식과 정사영 넓이 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문] 좌표공간에서 구 $S: x^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 9$와 원점 $O(0, 0, 0)$이 있다. 원점 $O$에서 구 $S$에 그은 모든 접선의 접점 $P$들이 이루는 도형(접점원)을 $C$라 하자.

[9-1] [8점] 구의 중심 $M(0, 0, 5)$에 대하여 직각삼각형 $OMP$의 성질을 이용하여 접점원 $C$가 놓인 평면 $\beta$의 방정식을 구하시오.

[9-2] [8점] 접점원 $C$의 반지름 $r_C$와 원점 $O$를 꼭짓점, 접점원 $C$를 밑면으로 하는 직원뿔의 부피 $V$를 각각 구하시오.

[9-3] [9점] 접점원 $C$로 둘러싸인 원판을 평면 $\gamma: 3x + 4z = 0$ 위로 정사영한 도형의 넓이 $S'$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 삼차·이차함수의 공통접선 넓이와 선대칭 반사 함수의 미분가능성·최댓값 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]

[제시문] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 5$와 이차함수 $g(x) = -2x^2 + 4x + b$ ($b$는 상수)가 있다.

[9-1] [8점] 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$가 $x$좌표가 자연수인 점에서 공통접선을 갖도록 하는 상수 $b$의 값과 공통접선의 방정식을 구하시오.

[9-2] [8점] [9-1]에서 구한 상수 $b$에 대하여 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[9-3] [9점] 실수 $c$에 대하여 함수 $h(x) = \begin{cases} f(x) & (x \le c) \\ f(2c - x) & (x \gt c) \end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 실수 $c$의 값을 구하고, 각 경우에서 실수 전체에서의 $h(x)$의 최댓값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 확률과 통계 — 이항분포의 정규근사 확률·베이즈 조건부확률과 비보건 추출 확률변수 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 확률의 뜻과 활용 (DB: PS_Ch02_01) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통02-03]

[제시문] 주머니 $\mathrm{A}$에는 흰 공 $1$개와 검은 공 $3$개가 들어 있고, 주머니 $\mathrm{B}$에는 흰 공 $2$개와 검은 공 $2$개가 들어 있다. (단, 표준정규분포 확률변수 $Z$에 대하여 $P(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413, \; P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332$이다.)

[9-1] [8점] 주머니 $\mathrm{A}$에서 임의로 공 $1$개를 꺼내 색을 확인하고 다시 넣는 시행을 $192$회 반복할 때 흰 공이 나오는 횟수를 $X$라 하자. 정규분포 근사를 이용하여 $P(42 \le X \le 57)$을 구하시오.

[9-2] [8점] 공정한 동전을 한 번 던져 앞면이 나오면 주머니 $\mathrm{A}$, 뒷면이 나오면 주머니 $\mathrm{B}$를 택한 뒤, 택한 주머니에서 보건 추출로 공을 $3$번 꺼냈더니 흰 공이 정확히 $2$번 나왔다. 택한 주머니가 $\mathrm{A}$였을 조건부확률을 구하시오.

[9-3] [9점] 주머니 $\mathrm{B}$에서 동시에 공 $2$개를 꺼낼 때 나오는 흰 공의 개수를 $Y$라 하자. 확률변수 $3Y + 1$의 기댓값과 분산을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제9회	문항 1	대수 · 미적분Ⅱ	두 직선 교점에서의 탄젠트 덧셈정리·코사인법칙과 사인법칙 극한	25점	상
제9회	문항 2	기하	공간 구의 외부 접원뿔·접점원 평면 방정식과 정사영 넓이	25점	상
제9회	문항 3	미적분Ⅰ	삼차·이차함수의 공통접선 넓이와 선대칭 반사 함수의 미분가능성·최댓값	25점	상
제9회	문항 4	확률과 통계	이항분포의 정규근사 확률·베이즈 조건부확률과 비보건 추출 확률변수	25점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 성신여자대학교 수리논술 제9회 출제 원칙 및 합격 전략

[성신여자대학교 자연계열 제9회 (역대 킬러 TOP 5 1:1 심화 확장 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 2027학년도 성신여대 자연계열 출제 체제(100분, 4문항 각 25점, 총 100점)와 교과서 기반 교육과정 전 범위(대수·미적분Ⅰ·미적분Ⅱ·확률과 통계·기하)에 맞추어 두 직선 교점에서의 탄젠트 덧셈정리·코사인법칙과 사인법칙 극한, 공간 구의 외부 접원뿔·접점원 평면 방정식과 정사영 넓이, 삼차·이차함수의 공통접선 넓이와 선대칭 반사 함수의 미분가능성·최댓값, 이항분포의 정규근사 확률·베이즈 조건부확률과 비보건 추출 확률변수으로 구성되었습니다. 문항당 23분 이내로 시간을 배분하여 소문항 (1)·(2)의 핵심 공식 적용 점수를 먼저 확보하고, 고배점 소문항 (3)에서는 사잇값·롤의 정리 연속성 전제, 등비급수 수렴 조건, 법선벡터·표본비율 공식 유도를 명확히 서술하십시오.

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 · 미적분Ⅰ — 원의 대칭 접선·이차곡선 공통접선 넓이와 외접원의 반지름 방정식 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[제시문] 좌표평면에서 중심이 $A(0, 2)$이고 원점 $O(0, 0)$을 지나는 원 $C: x^2 + (y - 2)^2 = 4$ 위에 $\angle OAP_1 = \angle OAP_2 = \theta$ ($0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$)를 만족시키는 제$1$사분면의 점 $P_1$과 제$2$사분면의 점 $P_2$가 있다. 두 점 $P_1, P_2$에서의 원 $C$의 두 접선의 교점을 $Q$라 하자.

[10-1] [8점] $\theta = \dfrac{\pi}{3}$일 때 점 $P_1$에서의 원 $C$의 접선의 방정식과, 두 점 $P_1, P_2$에서 원 $C$와 공통접선을 갖는 이차함수 $f(x) = ax^2 + c$를 구하시오.

[10-2] [9점] [10-1]에서 원 $C$의 아랫부분 호 $P_1 O P_2$와 이차곡선 $y = f(x)$로 둘러싸인 초승달 모양 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[10-3] [8점] 일반각 $\theta \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$에서 원 $C$에 외접하면서 두 반직선 $QP_1, QP_2$에 동시에 접하는 작은 원(중심이 선분 $OQ$ 위에 위치)의 반지름을 $r(\theta)$라 할 때, $r(\theta) = \dfrac{1}{2}$을 만족시키는 $\cos\theta$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 기하 — 정사면체 내부 단면 평면의 삼수선의 정리·이면각과 정사영 넓이 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문] 한 모서리의 길이가 $6$인 정사면체 $ABCD$에서 모서리 $CD$의 중점을 $M$, 모서리 $BC$의 중점을 $N$이라 하고, 꼭짓점 $A$에서 밑면 $BCD$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자.

[10-1] [8점] 정사면체 $ABCD$의 높이 $\overline{AH}$와 밑면의 무게중심 $H$에서 직선 $MN$까지의 거리 $\overline{HK}$($K$는 수선의 발)를 각각 구하시오.

[10-2] [8점] 삼수선의 정리를 이용하여 삼각형 $AMN$의 넓이와, 평면 $AMN$과 밑면 $BCD$가 이루는 예각 $\phi$에 대한 $\cos\phi$의 값을 구하시오.

[10-3] [9점] 밑면인 정삼각형 $BCD$ 전체를 평면 $AMN$ 위로 정사영한 도형의 넓이 $S^*$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅱ — 다항·로그 결합 함수의 변곡접선 부등식과 부분적분 넓이 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

[제시문] 양의 실수 전체의 집합 $\{x \mid x \gt 0\}$에서 정의된 함수 $f(x) = x^2\ln x - \dfrac{3}{2}x^2$이 있다.

[10-1] [8점] 함수 $f(x)$의 극솟값과 곡선 $y = f(x)$의 변곡점 $I$의 좌표, 그리고 점 $I$에서의 변곡접선 $l$의 방정식을 각각 구하시오.

[10-2] [8점] $x \ge 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f(x) \ge -2x + \dfrac{1}{2}$이 성립함을 도함수와 이계도함수를 이용하여 증명하시오.

[10-3] [9점] 곡선 $y = f(x)$와 변곡접선 $l$, 그리고 직선 $x = e$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 부분적분법으로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 성신여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 확률과 통계 — 중복조합 방정식의 상한 제약·홀짝 해의 개수와 조건부확률 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 경우의 수 (DB: PS_Ch01_01) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02]

[제시문] 방정식 $x + y + z + w = 10$을 만족시키는 음이 아닌 정수해 $(x, y, z, w)$ 전체의 집합을 $U$라 하자. 집합 $U$의 모든 원소는 각각 같은 확률로 선택된다.

[10-1] [7점] 전체 해의 개수 $n(U)$와 $x \le 4$를 만족시키는 해의 개수를 각각 구하시오.

[10-2] [9점] 네 정수 $x, y, z, w$가 모두 홀수인 해의 개수와 모두 짝수($0$ 포함)인 해의 개수를 각각 구하시오.

[10-3] [9점] 집합 $U$에서 임의로 한 해를 택했더니 $x + y = 4$였을 때, $z \ge 2$일 조건부확률을 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제10회	문항 1	대수 · 미적분Ⅰ	원의 대칭 접선·이차곡선 공통접선 넓이와 외접원의 반지름 방정식	25점	최상
제10회	문항 2	기하	정사면체 내부 단면 평면의 삼수선의 정리·이면각과 정사영 넓이	25점	상
제10회	문항 3	미적분Ⅱ	다항·로그 결합 함수의 변곡접선 부등식과 부분적분 넓이	25점	상
제10회	문항 4	확률과 통계	중복조합 방정식의 상한 제약·홀짝 해의 개수와 조건부확률	25점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 성신여자대학교 수리논술 제10회 출제 원칙 및 합격 전략

[성신여자대학교 자연계열 제10회 (역대 킬러 TOP 5 1:1 심화 확장 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 2027학년도 성신여대 자연계열 출제 체제(100분, 4문항 각 25점, 총 100점)와 교과서 기반 교육과정 전 범위(대수·미적분Ⅰ·미적분Ⅱ·확률과 통계·기하)에 맞추어 원의 대칭 접선·이차곡선 공통접선 넓이와 외접원의 반지름 방정식, 정사면체 내부 단면 평면의 삼수선의 정리·이면각과 정사영 넓이, 다항·로그 결합 함수의 변곡접선 부등식과 부분적분 넓이, 중복조합 방정식의 상한 제약·홀짝 해의 개수와 조건부확률으로 구성되었습니다. 문항당 23분 이내로 시간을 배분하여 소문항 (1)·(2)의 핵심 공식 적용 점수를 먼저 확보하고, 고배점 소문항 (3)에서는 사잇값·롤의 정리 연속성 전제, 등비급수 수렴 조건, 법선벡터·표본비율 공식 유도를 명확히 서술하십시오.

PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS

실전 모의고사 1회 ~ 10회
문제 · 모범답안 · 채점 루브릭 합본 해설집

시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 40문항 전체 원문 요약과 단계별 모범답안·루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.

🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능

⚡ 단계별 채점 기준표 완비: 소문항·단계별 부분점수 배점표를 통해 정밀한 자가 채점 지원

👨‍🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭

【문제 1】 원문 요약 — 거듭제곱근의 실수 개수와 상용로그의 정수·소수 부분 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-04]

[1-1] 제시문 (나)에서 $c_k \gt 0$, $c_k = 0$, $c_k \lt 0$을 만족시키는 자연수 $k$ ($1 \le k \le 10$)의 집합을 각각 구하시오. [7점]

[1-2] 제시문 (가)와 [1-1]의 결과를 이용하여 합 $m = \sum_{k=1}^{10} R(c_k, k+1)$의 값을 구하시오. [8점]

[1-3] 제시문 (다)의 양수 $N$의 값을 구하고, $\log_{10} N$을 $\log_{10} 2 = p$, $\log_{10} 5 = q$에 대한 식으로 나타내시오. [10점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 1 · 총 25점

소문항 [1-1] 모범 논술 답안 배점 7점

$c_k = k^2 - 8k + 12 = (k - 2)(k - 6)$이다.
$1 \le k \le 10$인 자연수 $k$에 대하여:
① $c_k \gt 0$인 $k$의 집합: $\{1, 7, 8, 9, 10\}$ ($5$개)
② $c_k = 0$인 $k$의 집합: $\{2, 6\}$ ($2$개)
③ $c_k \lt 0$인 $k$의 집합: $\{3, 4, 5\}$ ($3$개)이다.

최종 결론:$c_k \gt 0: \{1, 7, 8, 9, 10\}, \; c_k = 0: \{2, 6\}, \; c_k \lt 0: \{3, 4, 5\}$

소문항 [1-2] 모범 논술 답안 배점 8점

$n = k + 1$의 홀짝성과 $c_k$의 부호를 결합하여 $R(c_k, k+1)$을 구하면:
· $k=1$ ($n=2$ 짝수, $c_1=5 \gt 0$): $R = 2$
· $k=2$ ($n=3$ 홀수, $c_2=0$): $R = 1$
· $k=3$ ($n=4$ 짝수, $c_3=-3 \lt 0$): $R = 0$
· $k=4$ ($n=5$ 홀수, $c_4=-4 \lt 0$): $R = 1$
· $k=5$ ($n=6$ 짝수, $c_5=-3 \lt 0$): $R = 0$
· $k=6$ ($n=7$ 홀수, $c_6=0$): $R = 1$
· $k=7, 9$ ($n=8, 10$ 짝수, $c_k \gt 0$): 각각 $R = 2$ (합 $4$)
· $k=8, 10$ ($n=9, 11$ 홀수, $c_k \gt 0$): 각각 $R = 1$ (합 $2$)
따라서 $m = 2 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 4 + 2 = 11$이다.

최종 결론:$m = 11$

소문항 [1-3] 모범 논술 답안 배점 10점

$\log_2 N = m + \alpha = 11 + \alpha$이므로 $N = 2^{11 + \alpha} = 2^{11} \cdot 2^\alpha = 2048 \cdot \dfrac{5}{4} = 2560$이다.
이때 $N = 2^9 \cdot 5$이므로 $\log_{10} N = \log_{10}(2^9 \cdot 5) = 9\log_{10} 2 + \log_{10} 5 = 9p + q$이다.

최종 결론:$N = 2560, \; \log_{10} N = 9p + q$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1-1] 이차식 부호에 따른 자연수 분류	$(k-2)(k-6)$의 부호에 따라 세 집합을 정확히 분류	7점
[1-2] 거듭제곱근 실근 개수 합산	$k+1$의 홀짝성과 $c_k$의 부호를 대조하여 $m=11$ 도출	8점
[1-3] 지수·로그 변환으로 $N$ 결정	$N=2^{11}\cdot(5/4)=2560$ 및 $\log_{10} N = 9p+q$ 산출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 거듭제곱근의 실근 개수 $R(c_k, k+1)$은 지수 $k+1$의 홀짝성을 먼저 나눈 뒤 짝수 지수일 때만 $c_k$의 부호를 대조해야 누락 실수를 막을 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]([1-1]) $c_k \gt 0: \{1, 7, 8, 9, 10\}, \; c_k = 0: \{2, 6\}, \; c_k \lt 0: \{3, 4, 5\}$ | ([1-2]) $m = 11$ | ([1-3]) $N = 2560, \; \log_{10} N = 9p + q$

【문제 2】 원문 요약 — 삼각함수의 사인법칙·코사인법칙과 각의 이등분선의 길이 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.2 유제 6 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[2-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 변 $BC$의 길이 $a$와 외접원의 반지름의 길이 $R$를 각각 구하시오. [7점]

[2-3] 두 삼각형 $ABD$와 $AEC$의 닮음 성질을 이용하여 선분 $DE$의 길이를 구하시오. [10점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 2 · 총 25점

소문항 [2-1] 모범 논술 답안 배점 7점

코사인법칙에 의하여 $a^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{4} = 36 + 16 - 12 = 40$이므로 $a = 2\sqrt{10}$이다.
$0 \lt A \lt \pi$에서 $\sin A = \sqrt{1 - \dfrac{1}{16}} = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$이므로 사인법칙에 의하여
$2R = \dfrac{2\sqrt{10}}{\sqrt{15}/4} = \dfrac{8\sqrt{6}}{3} \implies R = \dfrac{4\sqrt{6}}{3}$이다.

최종 결론:$a = 2\sqrt{10}, \; R = \dfrac{4\sqrt{6}}{3}$

소문항 [2-2] 모범 논술 답안 배점 8점

$\cos\dfrac{A}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + 1/4}{2}} = \dfrac{\sqrt{10}}{4}$이고, $\sin A = 2\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}$이다.
넓이 관계식 $\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ACD$에서
$\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \sin A = \dfrac{1}{2}(6 + 4)\overline{AD}\sin\dfrac{A}{2} \implies 24\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2} = 5\overline{AD}\sin\dfrac{A}{2}$이다.
따라서 $\overline{AD} = \dfrac{24}{5}\cos\dfrac{A}{2} = \dfrac{24}{5} \cdot \dfrac{\sqrt{10}}{4} = \dfrac{6\sqrt{10}}{5}$이다.

최종 결론:$\overline{AD} = \dfrac{6\sqrt{10}}{5}$

소문항 [2-3] 모범 논술 답안 배점 10점

원주각의 성질에 의하여 $\angle ABD = \angle AEC$이고 $\angle BAD = \angle EAC = \dfrac{A}{2}$이므로 $\triangle ABD \sim \triangle AEC$이다.
닮음비로부터 $\overline{AB} : \overline{AE} = \overline{AD} : \overline{AC} \implies \overline{AD} \cdot \overline{AE} = \overline{AB} \cdot \overline{AC} = 24$이다.
따라서 $\overline{AE} = \dfrac{24}{\overline{AD}} = \dfrac{24}{6\sqrt{10}/5} = 2\sqrt{10}$이고,
$\overline{DE} = \overline{AE} - \overline{AD} = 2\sqrt{10} - \dfrac{6\sqrt{10}}{5} = \dfrac{4\sqrt{10}}{5}$이다.

최종 결론:$\overline{DE} = \dfrac{4\sqrt{10}}{5}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2-1] 코사인법칙·사인법칙 적용	$a=2\sqrt{10}$ 및 외접원 반지름 $R=\frac{4\sqrt{6}}{3}$ 도출	7점
[2-2] 넓이 분할을 통한 각의 이등분선 길이	$\overline{AD}=\frac{2bc}{b+c}\cos\frac{A}{2}=\frac{6\sqrt{10}}{5}$ 산출	8점
3단계	[2-3] 원주각 닮음을 이용한 $\overline{DE}$ 계산 — $\overline{AD}\cdot\overline{AE}=24$로부터 $\overline{AE}=2\sqrt{10}, \overline{DE}=\frac{4\sqrt{10}}{5}$ 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 가게 이등분선의 성질 $\overline{BD}:\overline{DC} = 3:2$와 원주각 닮음 $\triangle ABD \sim \triangle AEC$에서 $\overline{AB}\cdot\overline{AC} = \overline{AD}\cdot\overline{AE}$를 연립하면 계산량이 절반으로 줄어듭니다.

🎯 [최종 정답]([2-1]) $a = 2\sqrt{10}, \; R = \dfrac{4\sqrt{6}}{3}$ | ([2-2]) $\overline{AD} = \dfrac{6\sqrt{10}}{5}$ | ([2-3]) $\overline{DE} = \dfrac{4\sqrt{10}}{5}$

【문제 3】 원문 요약 — 삼차함수의 접선의 개수와 극대·극소의 대칭성 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

[3-1] 제시문 (나)의 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하고, 두 극점의 중점의 좌표를 구하시오. [7점]

[3-3] 방정식 $|f(x)| = m$이 서로 다른 $6$개의 실근을 갖도록 하는 자연수 $m$의 개수를 구하시오. [10점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 3 · 총 25점

소문항 [3-1] 모범 논술 답안 배점 7점

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0$에서 $x = -1, 3$이다.
$x = -1$에서 극댓값 $f(-1) = 16$을 갖고, $x = 3$에서 극솟값 $f(3) = -16$을 갖는다.
두 극점 $(-1, 16)$과 $(3, -16)$의 중점의 좌표는 $(1, 0)$이다.

최종 결론:극댓값 $16$, 극솟값 $-16$, 중점 $(1, 0)$

소문항 [3-2] 모범 논술 답안 배점 8점

접점 $(t, f(t))$에서의 접선이 점 $P(0, k)$를 지나므로
$k - (t^3 - 3t^2 - 9t + 11) = (3t^2 - 6t - 9)(0 - t) \iff k = -2t^3 + 3t^2 + 11$이다.
함수 $h(t) = -2t^3 + 3t^2 + 11$이라 하면 $h'(t) = -6t^2 + 6t = -6t(t - 1) = 0$에서
$t = 0$일 때 극솟값 $h(0) = 11$, $t = 1$일 때 극댓값 $h(1) = 12$를 갖는다.
따라서 서로 다른 $3$개의 접선을 그을 조건($g(k) = 3$)은 $11 \lt k \lt 12$이다.

최종 결론:$k = -2t^3 + 3t^2 + 11, \; 11 \lt k \lt 12$

소문항 [3-3] 모범 논술 답안 배점 10점

함수 $y = |f(x)|$는 $x = -1$과 $x = 3$에서 모두 극댓값 $16$을 갖고, $f(x) = 0$인 세 점에서 함숫값 $0$을 갖는다.
따라서 방정식 $|f(x)| = m$이 서로 다른 $6$개의 실근을 가질 조건은 $0 \lt m \lt 16$이다.
이를 만족시키는 자연수 $m$은 $1, 2, \dots, 15$로 총 $15$개이다.

최종 결론:$15$개

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3-1] 도함수 인수분해 및 극점 중점	$f(-1)=16, f(3)=-16$ 및 대칭 중심 $(1, 0)$ 도출	7점
[3-2] 접선 개수 방정식과 범위 도출	$k=-2t^3+3t^2+11$ 유도 및 $11 \lt k \lt 12$ 산출	8점
3단계	[3-3] 절댓값 함수 $\|f(x)\|=m$의 교점 해석 — $0 \lt m \lt 16$ 범위로부터 자연수 $15$개 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 곡선 밖의 점 $(0, k)$에서 그은 접선의 개수는 접점 $t$의 삼차방정식의 서로 다른 실근 개수와 일대일 대응됨을 명시하고 경계 극값 등호 여부를 구분하십시오.

🎯 [최종 정답]([3-1]) 극댓값 $16$, 극솟값 $-16$, 중점 $(1, 0)$ | ([3-2]) $k = -2t^3 + 3t^2 + 11, \; 11 \lt k \lt 12$ | ([3-3]) $15$개

【문제 4】 원문 요약 — 이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이의 이등분 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.2 유제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-05]

[4-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 넓이 $S_0$의 값을 구하시오. [7점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 4 · 총 25점

소문항 [4-1] 모범 논술 답안 배점 7점

포물선 $y = -x^2 + 6x = -x(x - 6)$과 $x$축의 교점은 $x = 0, 6$이다.
따라서 둘러싸인 도형의 넓이는 $S_0 = \int_0^6 (-x^2 + 6x)\,dx = \dfrac{1}{6}(6 - 0)^3 = 36$이다.

최종 결론:$S_0 = 36$

소문항 [4-2] 모범 논술 답안 배점 8점

포물선 $y = -x^2 + 6x$와 직선 $y = kx$ ($0 \lt k \lt 6$)의 교점은 $-x^2 + 6x = kx \iff x(x - (6 - k)) = 0$에서 $x = 0, \; 6 - k$이다.
제시문 (가)에 의하여 둘러싸인 넓이는 $S(k) = \dfrac{1}{6}(6 - k)^3$이다.
직선 $y = kx$가 넓이 $S_0 = 36$을 이등분하므로 $S(k) = \dfrac{1}{2}S_0 = 18$이다.
따라서 $\dfrac{1}{6}(6 - k)^3 = 18 \implies (6 - k)^3 = 108$이다.

최종 결론:$S(k) = \dfrac{1}{6}(6 - k)^3, \; (6 - k)^3 = 108$

소문항 [4-3] 모범 논술 답안 배점 10점

삼각형 $OAP$의 밑변 $\overline{OA} = 6$이고 높이는 점 $P$의 $y$좌표인 $-t^2 + 6t$ ($0 \lt t \lt 6$)이다.
따라서 삼각형 $OAP$의 넓이는 $T(t) = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot (-t^2 + 6t) = -3(t - 3)^2 + 27$이다.
$t = 3$일 때 최댓값 $M = 27$을 가지므로 $\dfrac{M}{S_0} = \dfrac{27}{36} = \dfrac{3}{4}$이다.

최종 결론:$M = 27, \; \dfrac{M}{S_0} = \dfrac{3}{4}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[4-1] 포물선과 $x$축 넓이 계산	$S_0 = \frac{1}{6}\cdot 6^3 = 36$ 정확히 산출	7점
[4-2] 넓이 이등분 조건식 유도	$S(k)=\frac{1}{6}(6-k)^3 = 18$로부터 $(6-k)^3=108$ 도출	8점
[4-3] 내접 삼각형 최대 넓이 및 비율	$t=3$에서 $M=27$ 도출 및 아르키메데스 넓이 비 $M/S_0 = 3/4$ 산출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 $\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$을 적용할 때 교점의 차 $\beta-\alpha = 6-k$의 부호 조건($k \lt 6$)을 반드시 명시하십시오.

🎯 [최종 정답]([4-1]) $S_0 = 36$ | ([4-2]) $S(k) = \dfrac{1}{6}(6 - k)^3, \; (6 - k)^3 = 108$ | ([4-3]) $M = 27, \; \dfrac{M}{S_0} = \dfrac{3}{4}$

【문제 1】 원문 요약 — 치환을 이용한 지수방정식의 실근 조건과 로그부등식 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.2 유제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[1-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 상수 $k$의 값과 $3^\alpha + 3^\beta$의 값을 각각 구하시오. [7점]

[1-2] [1-1]에서 구한 $\alpha, \beta$에 대하여 $9^\alpha + 9^\beta$의 값을 구하시오. [8점]

[1-3] [1-1]에서 구한 $k$에 대하여 제시문 (다)의 로그부등식을 만족시키는 모든 정수 $x$의 개수를 구하시오. [10점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 1 · 총 25점

소문항 [1-1] 모범 논술 답안 배점 7점

$t = 3^x$ ($t \gt 0$)로 치환하면 이차방정식 $t^2 - 4(k + 1)t + 9k = 0$의 두 양의 실근이 $t_1 = 3^\alpha, \; t_2 = 3^\beta$이다.
근과 계수의 관계에 의하여 $t_1 t_2 = 3^\alpha \cdot 3^\beta = 3^{\alpha + \beta} = 9k$이다.
$\alpha + \beta = 3$이므로 $3^3 = 27 = 9k \implies k = 3$이다.
이때 $3^\alpha + 3^\beta = t_1 + t_2 = 4(3 + 1) = 16$이다.

최종 결론:$k = 3, \; 3^\alpha + 3^\beta = 16$

소문항 [1-2] 모범 논술 답안 배점 8점

$3^\alpha + 3^\beta = 16$, $3^\alpha \cdot 3^\beta = 27$이므로 곱셈 공식의 변형에 의하여
$9^\alpha + 9^\beta = (3^\alpha + 3^\beta)^2 - 2 \cdot 3^\alpha \cdot 3^\beta = 16^2 - 2 \cdot 27 = 256 - 54 = 202$이다.

최종 결론:$9^\alpha + 9^\beta = 202$

소문항 [1-3] 모범 논술 답안 배점 10점

$k = 3$을 제시문 (다)의 부등식에 대입하면 $(\log_3 x)^2 - 3\log_3 x + 2 \le 0$이다.
$(\log_3 x - 1)(\log_3 x - 2) \le 0$에서 $1 \le \log_3 x \le 2$이므로 $3^1 \le x \le 3^2$, 즉 $3 \le x \le 9$이다.
따라서 이를 만족시키는 정수 $x$의 개수는 $9 - 3 + 1 = 7$개이다.

최종 결론:$3 \le x \le 9$, 정수 $x$의 개수 $7$개

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1-1] 지수 치환과 근과 계수의 관계	$3^{\alpha+\beta}=9k=27$로부터 $k=3$ 및 합 $16$ 도출	7점
[1-2] 거듭제곱 대칭식 계산	$9^\alpha+9^\beta = 16^2 - 2(27) = 202$ 산출	8점
[1-3] 로그부등식 인수분해 및 정수 개수	$1\le \log_3 x \le 2 \implies 3\le x\le 9$로부터 $7$개 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] $t = 3^x \gt 0$ 치환 시 서로 다른 두 실근 $x$를 가지려면 $t$에 대한 이차방정식이 서로 다른 두 양의 실근(합$\gt 0$, 곱$\gt 0$, $D\gt 0$)을 가져야 합니다.

🎯 [최종 정답]([1-1]) $k = 3, \; 3^\alpha + 3^\beta = 16$ | ([1-2]) $9^\alpha + 9^\beta = 202$ | ([1-3]) $3 \le x \le 9$, 정수 $x$의 개수 $7$개

【문제 2】 원문 요약 — 등차수열의 부분합 최솟값과 절댓값 수열의 합 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.2 유제 6 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[2-1] 제시문 (나)의 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항 $a_1$과 공차 $d$, 일반항 $a_n$을 각각 구하시오. [7점]

[2-2] 제시문 (가)를 이용하여 부분합 $S_n$이 최솟값을 갖는 자연수 $n$의 값과 그때의 최솟값을 구하시오. [8점]

[2-3] 제시문 (다)에서 $T_{12}$의 값을 구하시오. [10점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 2 · 총 25점

소문항 [2-1] 모범 논술 답안 배점 7점

$a_5 - a_2 = 3d = -4 - (-13) = 9$이므로 공차는 $d = 3$이다.
첫째항은 $a_1 = a_2 - d = -13 - 3 = -16$이고, 일반항은 $a_n = -16 + 3(n - 1) = 3n - 19$이다.

최종 결론:$a_1 = -16, \; d = 3, \; a_n = 3n - 19$

소문항 [2-2] 모범 논술 답안 배점 8점

$a_n = 3n - 19 \le 0 \iff n \le \dfrac{19}{3} = 6.33\cdots$이므로 제$6$항까지 음수($a_6 = -1$)이고 제$7$항부터 양수($a_7 = 2$)이다.
따라서 $S_n$은 $n = 6$일 때 최솟값을 가지며, 그 최솟값은
$S_6 = \dfrac{6(a_1 + a_6)}{2} = 3(-16 - 1) = -51$이다.

최종 결론:$n = 6$, 최솟값 $S_6 = -51$

소문항 [2-3] 모범 논술 답안 배점 10점

$1 \le k \le 6$일 때 $a_k \lt 0$이고 $k \ge 7$일 때 $a_k \gt 0$이므로
$T_{12} = -\sum_{k=1}^6 a_k + \sum_{k=7}^{12} a_k = -S_6 + (S_{12} - S_6) = S_{12} - 2S_6$이다.
$a_{12} = 36 - 19 = 17$이므로 $S_{12} = \dfrac{12(-16 + 17)}{2} = 6$이다.
따라서 $T_{12} = 6 - 2(-51) = 108$이다.

최종 결론:$T_{12} = 108$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2-1] 등차수열 첫째항·공차·일반항	$d=3, a_1=-16, a_n=3n-19$ 정확히 도출	7점
[2-2] 부호 변화 항 판별 및 최소 부분합	$a_6=-1 \lt 0 \lt a_7=2$ 확인 및 $S_6=-51$ 산출	8점
[2-3] 절댓값 수열 합의 구간 분리	$T_{12} = S_{12} - 2S_6 = 6 - 2(-51) = 108$ 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 절댓값 수열의 합 $\sum |a_k|$는 일반항의 부호가 바뀌는 항 번호($a_6 \lt 0 \lt a_7$)를 경계로 구간을 나누어 부분합 차로 계산하십시오.

🎯 [최종 정답]([2-1]) $a_1 = -16, \; d = 3, \; a_n = 3n - 19$ | ([2-2]) $n = 6$, 최솟값 $S_6 = -51$ | ([2-3]) $T_{12} = 108$

【문제 3】 원문 요약 — 함수의 연속성과 사잇값 정리를 이용한 실근의 존재성 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.2 유제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-04]

[3-2] 다항함수 $P(x) = x^3 + ax + b$가 $\lim_{x \to 1} \dfrac{P(x)}{x - 1} = 5$를 만족시킬 때, 상수 $a, b$의 값을 구하시오. [8점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 3 · 총 25점

소문항 [3-1] 모범 논술 답안 배점 8점

$g(x) = f(x) - x^2$에 대입하면 $g(0) = -2 \lt 0$, $g(1) = 2 \gt 0$, $g(2) = -3 \lt 0$, $g(3) = 2 \gt 0$이다.
$g(0)g(1) \lt 0$, $g(1)g(2) \lt 0$, $g(2)g(3) \lt 0$이므로 사잇값 정리에 의하여 열린구간 $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 3)$에 각각 적어도 하나의 실근이 존재하여 $(0, 3)$에서 적어도 $3$개의 실근을 갖는다.

최종 결론:$g(0)=-2, g(1)=2, g(2)=-3, g(3)=2$, 구간 $(0, 3)$에 적어도 $3$개의 실근 존재

소문항 [3-2] 모범 논술 답안 배점 8점

$\lim_{x \to 1} \dfrac{P(x)}{x - 1} = 5$에서 분모가 $0$으로 가므로 $P(1) = 1 + a + b = 0 \implies b = -a - 1$이다.
$P'(x) = 3x^2 + a$이므로 $P'(1) = 3 + a = 5$에서 $a = 2$이고, $b = -3$이다.

최종 결론:$a = 2, \; b = -3$

소문항 [3-3] 모범 논술 답안 배점 9점

$Q(x) = P(x) + 5 = x^3 + 2x + 2$라 하면 $Q'(x) = 3x^2 + 2 \gt 0$이므로 실수 전체에서 증가하는 연속함수이다.
$Q(-1) = -1 - 2 + 2 = -1 \lt 0$이고 $Q(0) = 2 \gt 0$이므로 $Q(-1)Q(0) \lt 0$이다.
따라서 사잇값 정리에 의하여 유일한 실근 $\gamma$는 열린구간 $(-1, 0)$에 속한다.

최종 결론:열린구간 $(-1, 0)$ ($n = -1$)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3-1] 사잇값 정리의 구간별 부호 판정	$g(0), g(1), g(2), g(3)$의 부호 교번 확인 및 사잇값 정리 논증	8점
[3-2] 극한 수렴 조건으로 미정계수 결정	$P(1)=0, P'(1)=5$로부터 $a=2, b=-3$ 도출	8점
[3-3] 단조증가 삼차방정식의 실근 구간 추정	$Q(-1)=-1 \lt 0, Q(0)=2 \gt 0$으로부터 $(-1, 0)$ 도출	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 사잇값 정리 적용 시 보조함수 $g(x)=f(x)-2x$가 다항함수이므로 닫힌구간에서 연속이라는 전제 조건을 반드시 첫 줄에 서술해야 감점이 없습니다.

🎯 [최종 정답]([3-1]) $g(0)=-2, g(1)=2, g(2)=-3, g(3)=2$, 구간 $(0, 3)$에 적어도 $3$개의 실근 존재 | ([3-2]) $a = 2, \; b = -3$ | ([3-3]) 열린구간 $(-1, 0)$ ($n = -1$)

【문제 4】 원문 요약 — 정적분이 포함된 항등식과 함수의 극댓값·극솟값 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 유제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[4-1] 제시문 (가)와 (나)에서 상수 $K = \int_0^2 t f(t)\,dt$의 값을 구하고, 이차함수 $f(x)$의 식을 구하시오. [8점]

[4-2] 제시문 (다)의 함수 $F(x)$의 극댓값과 극솟값의 합을 구하시오. [8점]

[4-3] 실수 $m$에 대하여 직선 $y = mx$가 곡선 $y = F(x)$와 원점이 아닌 점에서 접할 때, 상수 $m$의 값을 구하시오. [9점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 4 · 총 25점

소문항 [4-1] 모범 논술 답안 배점 8점

$K = \int_0^2 t f(t)\,dt$라 하면 $f(t) = 3t^2 - 4t + K$이다.
이를 $K$의 정의식에 대입하면
$K = \int_0^2 (3t^3 - 4t^2 + Kt)\,dt = \left[\dfrac{3}{4}t^4 - \dfrac{4}{3}t^3 + \dfrac{K}{2}t^2\right]_0^2 = 12 - \dfrac{32}{3} + 2K = \dfrac{4}{3} + 2K$이다.
따라서 $K = -\dfrac{4}{3}$이고, $f(x) = 3x^2 - 4x - \dfrac{4}{3}$이다.

최종 결론:$K = -\dfrac{4}{3}, \; f(x) = 3x^2 - 4x - \dfrac{4}{3}$

소문항 [4-2] 모범 논술 답안 배점 8점

$F(x) = \int_0^x \left(3t^2 - 4t - \dfrac{4}{3}\right)dt = x^3 - 2x^2 - \dfrac{4}{3}x$이다.
$F'(x) = f(x) = 3x^2 - 4x - \dfrac{4}{3} = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = \dfrac{4}{3}, \; \alpha\beta = -\dfrac{4}{9}$이다.
다항식 나눗셈에 의하여 $F(x) = \left(x^2 - \dfrac{4}{3}x - \dfrac{4}{9}\right)\left(x - \dfrac{2}{3}\right) - \dfrac{40}{27}x - \dfrac{8}{27}$이므로
$F(\alpha) + F(\beta) = -\dfrac{40}{27}(\alpha + \beta) - \dfrac{16}{27} = -\dfrac{208}{81}$이다.

최종 결론:$F(\alpha) + F(\beta) = -\dfrac{208}{81}$

소문항 [4-3] 모범 논술 답안 배점 9점

직선 $y = mx$가 곡선 $y = x^3 - 2x^2 - \dfrac{4}{3}x$에 원점이 아닌 점 $x = t$ ($t \ne 0$)에서 접하려면 방정식 $x^3 - 2x^2 - \left(m + \dfrac{4}{3}\right)x = 0$이 $x = t \ne 0$를 중근으로 가져야 한다.
즉 이차방정식 $x^2 - 2x - \left(m + \dfrac{4}{3}\right) = 0$의 판별식이 $D/4 = 1 + m + \dfrac{4}{3} = 0$이어야 하므로 $m = -\dfrac{7}{3}$이다.

최종 결론:$m = -\dfrac{7}{3}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[4-1] 상수 정적분 치환 해법	$K = \frac{4}{3} + 2K \implies K=-\frac{4}{3}$ 및 $f(x)=3x^2-4x-\frac{4}{3}$ 도출	8점
[4-2] 삼차함수 극댓값·극솟값의 합	근과 계수의 관계를 이용하여 $F(\alpha)+F(\beta)=-\frac{208}{81}$ 산출	8점
[4-3] 원점 통과 접선의 판별식 조건	$x^2-2x-(m+4/3)=0$의 중근 조건으로부터 $m=-7/3$ 도출	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 적분 구간이 상수인 정적분 $\int_0^1 f(t)\,dt = K$를 상수로 치환한 뒤 다시 정적분하여 자기일관 방정식으로 $K$를 결정하십시오.

🎯 [최종 정답]([4-1]) $K = -\dfrac{4}{3}, \; f(x) = 3x^2 - 4x - \dfrac{4}{3}$ | ([4-2]) $F(\alpha) + F(\beta) = -\dfrac{208}{81}$ | ([4-3]) $m = -\dfrac{7}{3}$

【문제 1】 원문 요약 — 지수함수와 로그함수의 역함수 대칭성과 사각형의 넓이 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 유제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-07]

[1-1] 제시문 (가)와 (다)를 이용하여 $f(1) = 1$, $f(2) = 2$임을 확인하고 선분 $PQ$의 길이를 구하시오. [7점]

[1-2] 제시문 (나)에서 두 점 $A, B$의 좌표를 각각 구하고, 선분 $AB$의 길이를 구하시오. [8점]

[1-3] 세 점 $P, A, B$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $PAB$의 넓이와 사각형 $PAQB$의 넓이를 각각 구하시오. [10점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 1 · 총 25점

소문항 [1-1] 모범 논술 답안 배점 7점

$f(1) = 2^{1-1} = 1$, $f(2) = 2^{2-1} = 2$이므로 두 곡선과 직선 $y = x$의 교점은 $P(1, 1)$, $Q(2, 2)$이다.
따라서 선분 $PQ$의 길이는 $\overline{PQ} = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2}$이다.

최종 결론:$\overline{PQ} = \sqrt{2}$

소문항 [1-2] 모범 논술 답안 배점 8점

방정식 $2^{x-1} = -x + 7$에서 좌변은 증가함수, 우변은 감소함수이므로 해는 유일하며 $x = 3$일 때 $2^2 = 4 = -3 + 7$로 성립한다.
따라서 $A(3, 4)$이고, 직선 $y = -x + 7$과 역함수 그래프는 모두 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 $B(4, 3)$이다.
선분 $AB$의 길이는 $\overline{AB} = \sqrt{(4-3)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{2}$이다.

최종 결론:$A(3, 4), \; B(4, 3), \; \overline{AB} = \sqrt{2}$

소문항 [1-3] 모범 논술 답안 배점 10점

선분 $AB$의 중점은 $M\left(\dfrac{7}{2}, \dfrac{7}{2}\right)$이고 직선 $AB$는 직선 $y = x$와 수직이다.
점 $P(1, 1)$에서 중점 $M$까지의 거리는 $h_1 = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$이므로 $\triangle PAB = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \dfrac{5\sqrt{2}}{2} = \dfrac{5}{2}$이다.
점 $Q(2, 2)$에서 중점 $M$까지의 거리는 $h_2 = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$이므로 $\triangle QAB = \dfrac{3}{2}$이고, $\triangle PAB - \triangle QAB = 1$이다.

최종 결론:$\triangle PAB = \dfrac{5}{2}, \; \triangle PAB - \triangle QAB = 1$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1-1] 역함수와 직선 $y=x$ 교점 분석	$P(1,1), Q(2,2)$ 확인 및 $\overline{PQ}=\sqrt{2}$ 도출	7점
[1-2] 기울기 $-1$ 직선과의 대칭 교점	$A(3,4), B(4,3)$ 도출 및 $\overline{AB}=\sqrt{2}$ 산출	8점
[1-3] 수직이등분선 거리와 넓이 계산	중점 $M(7/2, 7/2)$까지의 거리로 넓이 $\frac{5}{2}$ 및 $1$ 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 서로 역함수 관계인 지수·로그함수가 기울기 $-1$인 직선과 만나는 두 교점은 직선 $y=x$에 대하여 대칭임을 논증하여 좌표를 즉시 도출하십시오.

🎯 [최종 정답]([1-1]) $\overline{PQ} = \sqrt{2}$ | ([1-2]) $A(3, 4), \; B(4, 3), \; \overline{AB} = \sqrt{2}$ | ([1-3]) $\triangle PAB = \dfrac{5}{2}, \; \triangle PAB - \triangle QAB = 1$

【문제 2】 원문 요약 — 삼각함수의 주기와 그래프의 대칭성을 이용한 실근의 합 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 유제 6 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[2-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 함수 $f(x)$의 주기와 최댓값, 최솟값을 각각 구하시오. [7점]

[2-2] 제시문 (다)에서 그래프의 대칭성을 이용하여 네 실근의 합 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4$의 값을 구하시오. [8점]

[2-3] 제시문 (다)에서 $x_2 - x_1 = \dfrac{2}{3}$일 때, 상수 $k$의 값과 $x_1 \cdot x_4$의 값을 각각 구하시오. [10점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 2 · 총 25점

소문항 [2-1] 모범 논술 답안 배점 7점

$f(x) = 2\cos(\pi x) + 1$에서 주기는 $T = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2$이다.
$-1 \le \cos(\pi x) \le 1$이므로 최댓값은 $2(1) + 1 = 3$이고, 최솟값은 $2(-1) + 1 = -1$이다.

최종 결론:주기 $2$, 최댓값 $3$, 최솟값 $-1$

소문항 [2-2] 모범 논술 답안 배점 8점

구간 $[0, 2]$에서 곡선 $y = f(x)$는 직선 $x = 1$에 대하여 대칭이므로 $\dfrac{x_1 + x_2}{2} = 1 \implies x_1 + x_2 = 2$이다.
구간 $[2, 4]$에서 곡선 $y = f(x)$는 직선 $x = 3$에 대하여 대칭이므로 $\dfrac{x_3 + x_4}{2} = 3 \implies x_3 + x_4 = 6$이다.
따라서 네 실근의 합은 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 2 + 6 = 8$이다.

최종 결론:$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 8$

소문항 [2-3] 모범 논술 답안 배점 10점

$x_1 + x_2 = 2$이고 $x_2 - x_1 = \dfrac{2}{3}$이므로 두 식을 연립하면 $x_1 = \dfrac{2}{3}, \; x_2 = \dfrac{4}{3}$이다.
따라서 $k = f\left(\dfrac{2}{3}\right) = 2\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + 1 = 0$이다.
또한 주기가 $2$이므로 $x_4 = x_2 + 2 = \dfrac{10}{3}$이고, $x_1 \cdot x_4 = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{10}{3} = \dfrac{20}{9}$이다.

최종 결론:$k = 0, \; x_1 \cdot x_4 = \dfrac{20}{9}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2-1] 삼각함수 주기 및 최대·최소	주기 $T=2$, 최댓값 $3$, 최솟값 $-1$ 도출	7점
[2-2] 대칭축을 이용한 실근의 합	$x_1+x_2=2, x_3+x_4=6$으로부터 합 $8$ 산출	8점
3단계	[2-3] 대칭 방정식 해법으로 $k$ 및 곱 계산 — $x_1=2/3 \implies k=0$ 및 $x_4=10/3, x_1 x_4=20/9$ 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 삼각함수의 그래프와 상수함수의 교점 합을 구할 때는 개별 실근을 구하려 하지 말고 대칭축의 $x$좌표 평균 성질을 활용하십시오.

🎯 [최종 정답]([2-1]) 주기 $2$, 최댓값 $3$, 최솟값 $-1$ | ([2-2]) $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 8$ | ([2-3]) $k = 0, \; x_1 \cdot x_4 = \dfrac{20}{9}$

【문제 3】 원문 요약 — 롤의 정리와 평균값 정리를 이용한 도함수 근의 추정 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]

[3-1] 제시문 (나)의 함수 $f(x)$에 대하여 닫힌구간 $[-2, 2]$에서 롤의 정리를 만족시키는 모든 상수 $c \in (-2, 2)$의 값을 구하시오. [7점]

[3-2] 제시문 (다)에서 $t = 2\sqrt{2}$일 때 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c \in (0, 2\sqrt{2})$의 값을 구하시오. [8점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 3 · 총 25점

소문항 [3-1] 모범 논술 답안 배점 7점

$f(-2) = f(2) = 0$이고 $f'(x) = 4x(x^2 - 4) = 4x(x + 2)(x - 2)$이다.
열린구간 $(-2, 2)$에서 $f'(c) = 4c(c^2 - 4) = 0$을 만족시키는 상수는 $c = 0$이다.

최종 결론:$c = 0$

소문항 [3-2] 모범 논술 답안 배점 8점

$t = 2\sqrt{2}$일 때 $f(2\sqrt{2}) = (8 - 4)^2 = 16 = f(0)$이므로 평균변화율은 $\dfrac{16 - 16}{2\sqrt{2}} = 0$이다.
열린구간 $(0, 2\sqrt{2})$에서 $f'(c) = 4c(c^2 - 4) = 0$을 만족시키는 양수는 $c = 2$이다.

최종 결론:$c = 2$

소문항 [3-3] 모범 논술 답안 배점 10점

두 극소점은 $A(-2, 0), B(2, 0)$이고 극대점은 $C(0, 16)$이다.
삼각형 $ABC$는 밑변 $\overline{AB} = 4$, 높이 $16$인 이등변삼각형이므로 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 16 = 32$이다.
$\overline{AC} = \overline{BC} = \sqrt{2^2 + 16^2} = 2\sqrt{65}$이므로 삼각형의 둘레의 길이는 $4 + 4\sqrt{65}$이다.
따라서 내접원의 반지름 $r$는 $S = \dfrac{1}{2}r(4 + 4\sqrt{65}) = 2(1 + \sqrt{65})r = 32$에서 $r = \dfrac{\sqrt{65} - 1}{4}$이다.

최종 결론:넓이 $S = 32$, 내접원 반지름 $r = \dfrac{\sqrt{65} - 1}{4}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3-1] 롤의 정리 도함수 해법	$f(-2)=f(2)=0$ 확인 및 $f'(c)=4c(c^2-4)=0$에서 $c=0$ 도출	7점
2단계	[3-2] 구간 $[0, 2\sqrt{2}]$ 평균값 정리 — 평균변화율 $0$ 확인 및 $c=2 \in (0, 2\sqrt{2})$ 도출	8점
[3-3] 극점 삼각형 넓이 및 내접원 반지름	$S=32$ 및 둘레 $4+4\sqrt{65}$로부터 $r=\frac{\sqrt{65}-1}{4}$ 산출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 평균값 정리를 만족하는 접점에서의 접선과 좌표축이 이루는 직각삼각형의 내접원 반지름은 넓이 등식 $S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$로 간결히 구할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]([3-1]) $c = 0$ | ([3-2]) $c = 2$ | ([3-3]) 넓이 $S = 32$, 내접원 반지름 $r = \dfrac{\sqrt{65} - 1}{4}$

【문제 4】 원문 요약 — 수직선 운동에서의 위치 변화량과 실제 움직인 거리 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[4-1] 점 $P$가 출발 후 원점으로부터 가장 멀리 떨어져 있을 때의 시각과 그때의 위치를 구하시오. (단, $0 \le t \le 5$) [7점]

[4-2] 시각 $t = 0$에서 $t = 5$까지 점 $P$의 위치의 변화량과 실제로 움직인 총 거리를 각각 구하시오. [8점]

[4-3] 시각 $t = 0$에서 $t = k$ ($0 \lt k \lt 4$)까지 점 $P$가 움직인 거리가 $a(k) + \dfrac{32}{3}$와 같아지도록 하는 상수 $k$의 값을 구하시오. [10점]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 4 · 총 25점

소문항 [4-1] 모범 논술 답안 배점 7점

$v(t) = -2t(t - 4) = 0$에서 $t = 4$일 때 운동 방향이 양에서 음으로 바뀐다.
$x(4) = \int_0^4 (-2t^2 + 8t)\,dt = \left[-\dfrac{2}{3}t^3 + 4t^2\right]_0^4 = \dfrac{64}{3}$이고, $x(5) = \dfrac{50}{3}$이므로
원점으로부터 가장 멀리 떨어져 있을 때의 시각은 $t = 4$, 위치는 $\dfrac{64}{3}$이다.

최종 결론:시각 $t = 4$, 위치 $\dfrac{64}{3}$

소문항 [4-2] 모범 논술 답안 배점 8점

$t = 0$에서 $t = 5$까지 위치의 변화량은 $x(5) - x(0) = \dfrac{50}{3}$이다.
실제로 움직인 총 거리는
$L = \int_0^4 v(t)\,dt - \int_4^5 v(t)\,dt = \dfrac{64}{3} - \left(\dfrac{50}{3} - \dfrac{64}{3}\right) = \dfrac{78}{3} = 26$이다.

최종 결론:위치 변화량 $\dfrac{50}{3}$, 움직인 거리 $26$

소문항 [4-3] 모범 논술 답안 배점 10점

$0 \lt k \lt 4$에서 $v(t) \gt 0$이므로 움직인 거리는 $\int_0^k (-2t^2 + 8t)\,dt = -\dfrac{2}{3}k^3 + 4k^2$이고, 가속도는 $a(k) = v'(k) = -4k + 8$이다.
방정식 $-\dfrac{2}{3}k^3 + 4k^2 = -4k + 8 + \dfrac{32}{3} \iff k^3 - 6k^2 - 6k + 28 = (k - 2)(k^2 - 4k - 14) = 0$이다.
$0 \lt k \lt 4$인 해는 $k = 2$이다.

최종 결론:$k = 2$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[4-1] 속도 부호 변화와 최대 변위	$t=4$에서 최대 위치 $\frac{64}{3}$ 도출	7점
[4-2] 위치 변화량과 이동 거리 분리 적분	위치 변화량 $\frac{50}{3}$ 및 이동 거리 $26$ 산출	8점
[4-3] 가속도 식과 정적분 방정식 결합	$(k-2)(k^2-4k-14)=0$으로부터 $k=2$ 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 위치의 변화량 $\int v(t)\,dt$와 실제 움직인 거리 $\int |v(t)|\,dt$를 구분하여 속도의 부호가 바뀌는 시각에서 적분 구간을 분할하십시오.

🎯 [최종 정답]([4-1]) 시각 $t = 4$, 위치 $\dfrac{64}{3}$ | ([4-2]) 위치 변화량 $\dfrac{50}{3}$, 움직인 거리 $26$ | ([4-3]) $k = 2$

【문제 1】 원문 요약 — 쌍곡선형 지수함수의 접선 직교 조건·정적분 넓이·곡선의 길이 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03]

[4-1] [8점] 교점 $P(x_0, y_0)$에서 두 곡선 $y = f(x), y = g(x)$에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 양수 $x_0$와 상수 $c$의 값을 각각 구하시오.

[4-2] [8점] [4-1]에서 구한 상수 $c$에 대하여 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$로 둘러싸인 닫힌 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[4-3] [9점] 닫힌구간 $[-x_0, x_0]$에서 곡선 $y = f(x)$의 길이 $L_1$을 정적분으로 구하고, 위 닫힌 도형의 전체 둘레의 길이 $L$을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 1 · 총 25점

[단계 1: 접선 직교 조건으로부터 $x_0, c$ 결정]
$f'(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$, $g'(x) = -\dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$이므로 점 $P(x_0, y_0)$에서 두 접선이 수직일 조건은 $f'(x_0)g'(x_0) = -\dfrac{(e^{x_0} - e^{-x_0})^2}{4} = -1$이다. $x_0 \gt 0$이므로 $e^{x_0} - e^{-x_0} = 2$이고, $e^{2x_0} - 2e^{x_0} - 1 = 0$에서 $e^{x_0} = 1 + \sqrt{2} \implies x_0 = \ln(1 + \sqrt{2})$이다. 또한 $e^{-x_0} = \sqrt{2} - 1$이고 $f(x_0) = g(x_0)$에서 $c = e^{x_0} + e^{-x_0} = 2\sqrt{2}$이다.

[단계 2: 둘러싸인 도형의 넓이 $S$]
두 곡선은 모두 $y$축에 대하여 대칭이고 두 교점의 $x$좌표는 $\pm x_0$이며 $[-x_0, x_0]$에서 $g(x) \ge f(x)$이다. 따라서
\[S = 2\int_{0}^{x_0} \{g(x) - f(x)\}\,dx = 2\int_{0}^{x_0} \left(2\sqrt{2} - e^x - e^{-x}\right)dx = 2\left[2\sqrt{2}x - (e^x - e^{-x})\right]_{0}^{x_0} = 4\sqrt{2}\ln(1 + \sqrt{2}) - 4\]이다.

[단계 3: 호의 길이 공식과 전체 둘레의 길이]
$1 + \{f'(x)\}^2 = 1 + \dfrac{(e^x - e^{-x})^2}{4} = \dfrac{(e^x + e^{-x})^2}{4}$이므로 $\sqrt{1 + \{f'(x)\}^2} = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$이다. 따라서 $L_1 = \int_{-x_0}^{x_0} \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\,dx = 2\cdot\dfrac{e^{x_0} - e^{-x_0}}{2} = 2$이다. 곡선 $y = g(x)$는 $y = f(x)$와 합동인 대칭 곡선이므로 길이 역시 $2$이고, 전체 둘레의 길이는 $L = 2 + 2 = 4$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 접선 직교식 $e^{x_0}-e^{-x_0}=2$로부터 $x_0=\ln(1+\sqrt{2}), c=2\sqrt{2}$ 도출	8점
2단계	[4-2] 우함수 대칭성을 활용한 정적분으로 넓이 $S=4\sqrt{2}\ln(1+\sqrt{2})-4$ 계산	8점
3단계	[4-3] 완전제곱 변형으로 $L_1=2$ 및 전체 둘레 $L=4$ 정확히 산출	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] $1 + \{f'(x)\}^2$을 $\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2$ 완전제곱식으로 정리한 뒤 양수 부호를 확인하고 적분하십시오.

🎯 [최종 정답]([4-1]) $x_0 = \ln(1+\sqrt{2}),\; c = 2\sqrt{2}$ | ([4-2]) $4\sqrt{2}\ln(1+\sqrt{2}) - 4$ | ([4-3]) $L_1 = 2,\; L = 4$

【문제 2】 원문 요약 — 포물선의 초점현 양 끝 접선의 직교성·준선 교점과 삼각형 넓이 최솟값 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.27 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[4-2] [8점] 두 점 $P, Q$에서 포물선 $C$에 그은 두 접선이 서로 수직이며, 두 접선의 교점 $R$이 항상 준선 $x = -2$ 위에 놓임을 증명하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 2 · 총 25점

[단계 1: 접선 공식 유도와 $y_1 y_2 = -16$ 증명]
$y^2 = 8x$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $2y\dfrac{dy}{dx} = 8 \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{4}{y}$ ($y \neq 0$)이다. 접선 식 $y - y_1 = \dfrac{4}{y_1}(x - x_1)$의 양변에 $y_1$을 곱하고 $y_1^2 = 8x_1$을 대입하면 $y_1 y = 4(x + x_1)$이다. 또한 $x = ky + 2$를 $y^2 = 8x$에 대입하면 $y^2 - 8ky - 16 = 0$이므로 근과 계수의 관계에 의해 $y_1 + y_2 = 8k, \; y_1 y_2 = -16$이다.

[단계 2: 두 접선의 직교성과 준선 위 교점 $R$]
두 접선의 기울기의 곱은 $\dfrac{4}{y_1}\cdot\dfrac{4}{y_2} = \dfrac{16}{-16} = -1$이므로 서로 수직이다. 두 접선 $4x = y_1 y - \dfrac{y_1^2}{2}$와 $4x = y_2 y - \dfrac{y_2^2}{2}$를 연립하여 빼면 $(y_1 - y_2)y = \dfrac{y_1^2 - y_2^2}{2}$에서 $y_R = \dfrac{y_1 + y_2}{2} = 4k$이고, $4x_R = y_1\dfrac{y_1 + y_2}{2} - \dfrac{y_1^2}{2} = \dfrac{y_1 y_2}{2} = -8 \implies x_R = -2$이므로 교점 $R(-2, 4k)$는 항상 준선 위에 있다.

[단계 3: 직각삼각형 $PRQ$의 넓이 $S(k)$와 최솟값]
$y_1 - y_2 = \sqrt{(8k)^2 + 64} = 8\sqrt{k^2 + 1}$이다. 두 직선 $x = ky + 2$와 점 $R(-2, 4k)$ 사이의 거리는 $h = \dfrac{|-2 - 4k^2 - 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 4\sqrt{k^2 + 1}$이고, $\overline{PQ} = \sqrt{k^2 + 1}(y_1 - y_2) = 8(k^2 + 1)$이므로 $S(k) = \dfrac{1}{2}\overline{PQ}\cdot h = 16(k^2 + 1)^{\frac{3}{2}}$이다. 따라서 $k = 0$일 때 최솟값 $S(0) = 16$을 가지며, $k = \dfrac{3}{4}$일 때 $S\left(\dfrac{3}{4}\right) = 16\left(\dfrac{25}{16}\right)^{\frac{3}{2}} = \dfrac{125}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 음함수 미분으로 $y_1 y = 4(x+x_1)$ 유도 및 이차방정식 근과 계수의 관계로 $y_1 y_2 = -16$ 증명	8점
2단계	[4-2] 기울기 곱 $-1$ 확인 및 연립 해 $R(-2, 4k)$가 준선 $x=-2$ 위에 있음을 논증	8점
3단계	[4-3] $S(k)=16(k^2+1)^{3/2}$ 도출 후 최솟값 $16$ 및 $S(3/4)=\frac{125}{4}$ 산출	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 초점을 지나는 직선을 $y = m(x-2)$ 대신 $x = ky + 2$로 두면 수직인 현($k=0$)을 별도 예외 처리 없이 한 번에 다룰 수 있어 최솟값 추론이 완벽해집니다.

🎯 [최종 정답]([4-1]) 접선 유도 및 $y_1 y_2 = -16$ 증명 | ([4-2]) $R(-2, 4k)$ 준선 위치 증명 | ([4-3]) $S(k)=16(k^2+1)^{\frac{3}{2}}$, 최솟값 $16$, $S\left(\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{125}{4}$

【문제 3】 원문 요약 — 진단 검사의 조건부확률(베이즈 정리)과 모비율의 신뢰구간 추정 [배점 25점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 이항정리 (DB: PS_Ch01_02) PDF p.5 탐구 변형 | 성취기준: 12확통01-03]

[4-1] [8점] 제시문 가에서 임의로 선택한 주민 $1$명이 진단 키트에서 양성($T$) 판정을 받을 확률 $P(T)$를 기약분수로 구하시오.

[4-2] [8점] 양성($T$) 판정을 받은 주민이 실제로 바이러스에 감염되었을 조건부확률 $P(D \mid T)$를 기약분수로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 3 · 총 25점

[단계 1: 전체 양성 판정 확률 $P(T)$]
$P(D) = 0.05, \; P(D^c) = 0.95$이고 비감염자가 양성(위양성) 판정을 받을 확률은 $P(T \mid D^c) = 1 - 0.92 = 0.08$이다. 확률의 곱셈정리와 덧셈정리에 의해 $P(T) = P(D)P(T \mid D) + P(D^c)P(T \mid D^c) = 0.05 \times 0.96 + 0.95 \times 0.08 = 0.048 + 0.076 = 0.124 = \dfrac{31}{250}$이다.

[단계 2: 사후 조건부확률 $P(D \mid T)$]
조건부확률의 정의에 의해 $P(D \mid T) = \dfrac{P(D \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0.048}{0.124} = \dfrac{48}{124} = \dfrac{12}{31}$이다.

[단계 3: 표본비율과 모비율의 $95\%$ 신뢰구간]
표본비율은 $\hat{p} = \dfrac{144}{400} = 0.36$이고, 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{0.36 \times 0.64}{400}} = \dfrac{0.6 \times 0.8}{20} = 0.024$이다. 오차한계는 $1.96 \times 0.024 = 0.04704$이므로 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간은 $[0.36 - 0.04704,\; 0.36 + 0.04704] = [0.31296,\; 0.40704]$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 위양성 확률 $0.08$ 반영 후 $P(T) = 0.124 = \frac{31}{250}$ 정확히 도출	8점
2단계	[4-2] 조건부확률 식으로부터 $P(D \mid T) = \frac{12}{31}$ 산출	8점
3단계	[4-3] $\hat{p}=0.36$, 표준오차 $0.024$ 및 $95\%$ 신뢰구간 $[0.31296, 0.40704]$ 완성	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 모비율의 신뢰구간 공식에서 표준오차의 분모는 $n$이 아니라 $\sqrt{n}=20$임을 주의하여 소수점 자릿수를 정확히 검산하십시오.

🎯 [최종 정답]([4-1]) $\dfrac{31}{250}$ | ([4-2]) $\dfrac{12}{31}$ | ([4-3]) $\hat{p}=0.36$, 표준오차 $0.024$, $[0.31296,\; 0.40704]$

【문제 4】 원문 요약 — 선형 비제차 점화식의 일반항·부분합과 몇급수의 수렴값 [배점 25점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02]

[제시문] 수열 $\{a_n\}$이 첫째항 $a_1 = 9$와 귀납적 관계식 \[a_{n+1} = \dfrac{1}{3}a_n + 2 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)\]로 정의된다.

[4-1] [7점] 상수 $\alpha$를 찾아 수열 $\{a_n - \alpha\}$가 등비수열임을 보이고, 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오.

[4-2] [8점] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$를 $n$에 대한 식으로 나타내시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 4 · 총 25점

[단계 1: 등비수열 변환과 일반항 $a_n$]
$\alpha = \dfrac{1}{3}\alpha + 2$에서 $\alpha = 3$이다. 주어진 식을 변형하면 $a_{n+1} - 3 = \dfrac{1}{3}(a_n - 3)$이므로 $\{a_n - 3\}$은 첫째항 $a_1 - 3 = 6$, 공비 $\dfrac{1}{3}$인 등비수열이다. 따라서 $a_n = 3 + 6\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1} = 3 + \dfrac{18}{3^n}$이다.

[단계 2: 부분합 $S_n$ 도출]
\[S_n = \sum_{k=1}^{n}\left(3 + 6\cdot 3^{1-k}\right) = 3n + \dfrac{6\left(1 - 3^{-n}\right)}{1 - \frac{1}{3}} = 3n + 9\left(1 - \dfrac{1}{3^n}\right)\]

[단계 3: 몇급수 부분합 $T_N$과 극한값]
$\dfrac{n(a_n - 3)}{2^n} = \dfrac{18n}{6^n}$이다. $U_N = \sum_{n=1}^{N} \dfrac{n}{6^n}$이라 하면 $U_N - \dfrac{1}{6}U_N = \dfrac{5}{6}U_N = \left(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6^2} + \cdots + \dfrac{1}{6^N}\right) - \dfrac{N}{6^{N+1}} = \dfrac{1 - 6^{-N}}{5} - \dfrac{N}{6^{N+1}}$이다. $N \to \infty$일 때 $6^{-N} \to 0,\; \dfrac{N}{6^{N+1}} \to 0$이므로 $\lim_{N\to\infty} U_N = \dfrac{6}{25}$이고, 구하는 급수의 합은 $T = 18 \times \dfrac{6}{25} = \dfrac{108}{25}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] $\{a_n-3\}$ 등비수열 구조 논증 및 일반항 $a_n = 3 + \frac{18}{3^n}$ 도출	7점
2단계	[4-2] 등비수열의 합 공식을 적용해 $S_n = 3n + 9(1 - 3^{-n})$ 계산	8점
3단계	[4-3] 유한 부분합 $U_N - \frac{1}{6}U_N$ 정리 후 극한으로 $\frac{108}{25}$ 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 무한급수 상태에서 항을 바로 밀어 빼지 말고 반드시 유한 부분합 $U_N$에서 차감식을 세운 뒤 $\lim_{N\to\infty} N/6^{N+1} = 0$을 명시하십시오.

🎯 [최종 정답]([4-1]) $a_n = 3 + \dfrac{18}{3^n}$ | ([4-2]) $S_n = 3n + 9\left(1 - \dfrac{1}{3^n}\right)$ | ([4-3]) $\dfrac{108}{25}$

【문제 1】 원문 요약 — 사차함수의 이중접선 넓이와 절댓값 접힘 함수의 미분불가능점 불연속 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

[5-1] [7점] 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하고, 직선 $y = 1$이 곡선 $y = f(x)$와 두 점에서 동시에 접하는 이중접선임을 보이시오.

[5-2] [9점] 곡선 $y = f(x)$와 이중접선 $y = 1$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 구하시오.

[5-3] [9점] 실수 $k$의 범위에 따라 함수 $m(k)$를 구하고, 함수 $m(k)$가 불연속인 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 1 · 총 25점

[단계 1: 극값 분석과 이중접선 논증]
$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x - 1)(x - 2)$이므로 $x = 0, 2$에서 극솟값 $f(0) = f(2) = 1$, $x = 1$에서 극댓값 $f(1) = 2$를 갖는다. 또한 $f(x) - 1 = x^2(x - 2)^2$이고 $f'(0) = f'(2) = 0$이므로 직선 $y = 1$은 두 점 $(0, 1), (2, 1)$에서 동시에 접하는 이중접선이다.

[단계 2: 이중접선과 사차곡선 사이의 넓이]
구간 $[0, 2]$에서 $f(x) - 1 = x^2(x - 2)^2 \ge 0$이므로
\[S = \int_{0}^{2} (x^4 - 4x^3 + 4x^2)\,dx = \left[\dfrac{1}{5}x^5 - x^4 + \dfrac{4}{3}x^3\right]_{0}^{2} = \dfrac{32}{5} - 16 + \dfrac{32}{3} = \dfrac{16}{15}\]이다.

[단계 3: 미분불가능점 개수 $m(k)$와 불연속점]
$g(x) = |f(x) - k|$는 방정식 $f(x) = k$의 단순 실근($f'(x) \neq 0$)에서만 미분가능하지 않다.
· $k \lt 1$: 실근 없음 $\implies m(k) = 0$
· $k = 1$: $x = 0, 2$ 모두 중근이므로 미분가능 $\implies m(1) = 0$
· $1 \lt k \lt 2$: 서로 다른 네 단순 실근 $\implies m(k) = 4$
· $k = 2$: $x = 1$은 중근(미분가능), 양 끝 두 근은 단순근 $\implies m(2) = 2$
· $k \gt 2$: 서로 다른 두 단순 실근 $\implies m(k) = 2$
따라서 $m(k)$는 $k = 1$ ($\lim_{k\to 1^+} m(k) = 4 \neq 0$)과 $k = 2$ ($\lim_{k\to 2^-} m(k) = 4 \neq 2$)에서 불연속이며, 합은 $1 + 2 = 3$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 극솟값 $1$ ($x=0,2$), 극댓값 $2$ ($x=1$) 및 $f(x)-1=x^2(x-2)^2$ 이중접선 증명	7점
2단계	[5-2] 정적분 전개로 넓이 $S = \frac{16}{15}$ 정확히 산출	9점
3단계	[5-3] 중근 미분가능성 판정을 포함한 구간별 $m(k)$ 도출 및 불연속점 합 $3$ 결정	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] $k = 1$에서 좌극한과 함숫값은 모두 $0$으로 같지만 우극한이 $4$이므로 불연속점임을 놓치지 마십시오.

🎯 [최종 정답]([5-1]) 극댓값 $2$, 극솟값 $1$ | ([5-2]) $\dfrac{16}{15}$ | ([5-3]) 불연속점 $k = 1, 2$, 합 $3$

【문제 2】 원문 요약 — 타원의 초점삼각형 넓이·내접원 반지름과 접선의 절편 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.27 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[5-1] [8점] 타원의 정의와 코사인법칙을 이용하여 $\overline{PF}\cdot\overline{PF'}$의 값과 삼각형 $PF'F$의 넓이 $S$를 구하시오.

[5-2] [8점] 삼각형 $PF'F$에 내접하는 원의 반지름의 길이 $r$을 구하시오.

[5-3] [9점] 점 $P(x_0, y_0)$의 좌표를 구하고, 점 $P$에서 타원에 그은 접선이 $x$축과 만나는 점 $Q$의 $x$좌표를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 2 · 총 25점

[단계 1: 초점 거리 곱과 삼각형 넓이]
장축의 길이가 $2a = 10$이므로 $\overline{PF} + \overline{PF'} = 10$이고, 초점 거리는 $c = \sqrt{25 - 9} = 4$이므로 $\overline{F'F} = 8$이다. 삼각형 $PF'F$에서 코사인법칙을 적용하면 $8^2 = (\overline{PF} + \overline{PF'})^2 - 3\overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 100 - 3\overline{PF}\cdot\overline{PF'}$이므로 $\overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 12$이다. 따라서 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot\sin\dfrac{\pi}{3} = 3\sqrt{3}$이다.

[단계 2: 내접원의 반지름 $r$]
삼각형 $PF'F$의 둘레의 길이는 $\overline{PF} + \overline{PF'} + \overline{F'F} = 10 + 8 = 18$이므로 $S = \dfrac{1}{2}\cdot 18 \cdot r = 9r = 3\sqrt{3}$에서 $r = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$이다.

[단계 3: 점 $P$의 좌표와 접선의 $x$절편]
밑변 $\overline{F'F} = 8$에 대한 높이가 $y_0 \gt 0$이므로 $\dfrac{1}{2}\cdot 8 \cdot y_0 = 3\sqrt{3} \implies y_0 = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$이다. 타원 방정식에 대입하면 $\dfrac{x_0^2}{25} = 1 - \dfrac{27/16}{9} = \dfrac{13}{16}$이고 $x_0 \gt 0$이므로 $x_0 = \dfrac{5\sqrt{13}}{4}$이다. 점 $P$에서의 접선 $\dfrac{x_0 x}{25} + \dfrac{y_0 y}{9} = 1$에 $y = 0$을 대입하면 $x_Q = \dfrac{25}{x_0} = \dfrac{20\sqrt{13}}{13}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 타원 정의 $\overline{PF}+\overline{PF'}=10$과 코사인법칙으로 곱 $12$ 및 넓이 $3\sqrt{3}$ 도출	8점
2단계	[5-2] 둘레 $18$과 넓이 관계식으로부터 내접원 반지름 $r = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 계산	8점
3단계	[5-3] $P\left(\frac{5\sqrt{13}}{4}, \frac{3\sqrt{3}}{4}\right)$ 결정 및 접선 $x$절편 $\frac{20\sqrt{13}}{13}$ 산출	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] $\overline{PF}, \overline{PF'}$를 각각 구하려고 이차방정식 근의 공식을 쓰기보다 곱셈공식 변형 $(\overline{PF}+\overline{PF'})^2 - 3\overline{PF}\cdot\overline{PF'}$로 직결하면 계산 실수가 없습니다.

🎯 [최종 정답]([5-1]) 곱 $12$, 넓이 $3\sqrt{3}$ | ([5-2]) $r = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | ([5-3]) $P\left(\dfrac{5\sqrt{13}}{4}, \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\right),\; x_Q = \dfrac{20\sqrt{13}}{13}$

【문제 3】 원문 요약 — 격자 도로망 최단경로 우회 확률과 이항분포 확률변수의 기댓값·분산 [배점 25점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

[5-1] [7점] 제시문 (가)에서 원점 $O(0, 0)$에서 공사 교차로 $M(2, 1)$을 거치지 않고 점 $A(5, 3)$에 도달할 확률을 기약분수로 구하시오.

[5-2] [9점] 제시문 (나)에서 확률변수 $X$가 따르는 이항분포를 기호로 나타내고, 확률 $P(X \ge 3)$을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 3 · 총 25점

[단계 1: 공사 구간 $M(2, 1)$ 우회 최단경로 확률]
$O(0,0) \to A(5,3)$ 전체 최단경로의 수는 $\dbinom{8}{3} = 56$이다. $O(0,0) \to M(2,1) \to A(5,3)$을 거치는 경로의 수는 $\dbinom{3}{1}\times\dbinom{5}{2} = 3 \times 10 = 30$이다. 따라서 여사건에 의해 $M$을 거치지 않을 확률은 $1 - \dfrac{30}{56} = \dfrac{26}{56} = \dfrac{13}{28}$이다.

[단계 2: 이항분포 $X$와 $P(X \ge 3)$]
$4$회의 독립시행에서 오른쪽 이동 횟수가 $X$이므로 $X \sim B\left(4, \dfrac{1}{2}\right)$을 따른다. 따라서 $P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = \dbinom{4}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 + \dbinom{4}{4}\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{4 + 1}{16} = \dfrac{5}{16}$이다.

[단계 3: 점과 직선 거리 변환과 기댓값·분산]
점 $P_4(X, 4 - X)$에서 직선 $x + 2y - 8 = 0$까지의 거리는 $D = \dfrac{|X + 2(4 - X) - 8|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \dfrac{|-X|}{\sqrt{5}} = \dfrac{X}{\sqrt{5}}$ ($X \ge 0$)이다. 따라서 $W = \sqrt{5}D + 2 = X + 2$이다. $E(X) = 4\cdot\dfrac{1}{2} = 2,\; V(X) = 4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = 1$이므로 $E(W) = E(X) + 2 = 4$, $V(W) = V(X) = 1$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 전체 $56$가지 중 $M$ 경유 $30$가지를 제외하여 확률 $\frac{13}{28}$ 도출	7점
2단계	[5-2] $X \sim B(4, 1/2)$ 명시 및 $P(X \ge 3) = \frac{5}{16}$ 계산	9점
3단계	[5-3] $W = X + 2$ 선형 관계식 도출 후 $E(W) = 4, V(W) = 1$ 산출	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 제시문 (가)의 '모든 최단경로 동일 확률' 모델($56$가지 균등)과 제시문 (나)의 '매 갈림길 $1/2$ 독립 이동' 모델($2^4=16$가지)의 표본공간 차이를 명확히 구분하십시오.

🎯 [최종 정답]([5-1]) $\dfrac{13}{28}$ | ([5-2]) $B\left(4, \dfrac{1}{2}\right),\; \dfrac{5}{16}$ | ([5-3]) $E(W) = 4,\; V(W) = 1$

【문제 4】 원문 요약 — 탄젠트 거듭제곱 정적분 점화식과 조임정리 극한 추론 [배점 25점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-02]

[5-1] [7점] 치환적분법을 이용하여 $I_n$을 $n$에 대한 식으로 구하고, 삼각함수 항등식으로 $J_n + J_{n+2} = \dfrac{1}{n + 1}$이 성립함을 증명하시오.

[5-2] [9점] $J_1$과 $J_2$의 값을 각각 구하고, 점화식을 반복 적용하여 $J_8$의 값을 구하시오.

[5-3] [9점] 구간 $[0, \pi/4]$에서 $0 \le \tan^{n+2} x \le \tan^n x$임을 이용하여 극한값 $\lim_{n\to\infty} n J_n$을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 4 · 총 25점

[단계 1: 치환적분과 점화식 유도]
$u = \tan x$로 치환하면 $du = \sec^2 x\,dx$이고 $x: 0 \to \pi/4$일 때 $u: 0 \to 1$이므로 $I_n = \int_0^1 u^n\,du = \dfrac{1}{n + 1}$이다. 또한 $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$이므로 $J_n + J_{n+2} = \int_0^{\pi/4} \tan^n x(1 + \tan^2 x)\,dx = I_n = \dfrac{1}{n + 1}$이다.

[단계 2: $J_1, J_2$ 및 $J_8$ 산출]
$J_1 = \int_0^{\pi/4} \dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx = \left[-\ln(\cos x)\right]_0^{\pi/4} = \dfrac{1}{2}\ln 2$이고, $J_2 = \int_0^{\pi/4} (\sec^2 x - 1)\,dx = \left[\tan x - x\right]_0^{\pi/4} = 1 - \dfrac{\pi}{4}$이다. 점화식에서 $(J_2 + J_4) - (J_4 + J_6) + (J_6 + J_8) = J_2 + J_8 = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} = \dfrac{29}{105}$이므로 $J_8 = \dfrac{29}{105} - \left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{76}{105}$이다.

[단계 3: 부등식과 조임정리에 의한 $\lim_{n\to\infty} n J_n$]
$x \in [0, \pi/4]$에서 $0 \le \tan x \le 1$이므로 $\tan^{n+2} x \le \tan^n x \le \tan^{n-2} x$ ($n \ge 3$)이고 정적분 단조성에 의해 $J_{n+2} \le J_n \le J_{n-2}$이다. 따라서 $2J_{n+2} \le J_n + J_{n+2} = \dfrac{1}{n + 1}$에서 $J_{n+2} \le \dfrac{1}{2(n + 1)}$ (즉 $n \ge 3$일 때 $J_n \le \dfrac{1}{2(n - 1)}$)이고, $\dfrac{1}{n + 1} = J_n + J_{n+2} \le 2J_n$에서 $J_n \ge \dfrac{1}{2(n + 1)}$이다. 양변에 $n$을 곱하면 $\dfrac{n}{2(n + 1)} \le n J_n \le \dfrac{n}{2(n - 1)}$이며, 양 끝의 극한이 모두 $\dfrac{1}{2}$이므로 조임정리에 의해 $\lim_{n\to\infty} n J_n = \dfrac{1}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] $I_n = \frac{1}{n+1}$ 계산 및 $J_n + J_{n+2} = \frac{1}{n+1}$ 항등 증명	7점
2단계	[5-2] $J_1 = \frac{1}{2}\ln 2, J_2 = 1-\frac{\pi}{4}$ 및 교대합으로 $J_8 = \frac{\pi}{4}-\frac{76}{105}$ 산출	9점
3단계	[5-3] $\frac{n}{2(n+1)} \le nJ_n \le \frac{n}{2(n-1)}$ 수립 후 조임정리로 극한 $\frac{1}{2}$ 완결	9점

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[성신여대 감점 방어 클리닉] $0 \le \tan^n x \le 1$만 적분하면 $0 \le J_n \le \frac{\pi}{4}$가 되어 $nJ_n$의 극한이 정해지지 않으므로 반드시 점화식 $J_n + J_{n+2} = \frac{1}{n+1}$과 단조감소성 $J_{n+2} \le J_n$을 결합하십시오.

🎯 [최종 정답]([5-1]) $I_n = \dfrac{1}{n+1}$ 및 점화식 증명 | ([5-2]) $J_1 = \dfrac{1}{2}\ln 2,\; J_2 = 1-\dfrac{\pi}{4},\; J_8 = \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{76}{105}$ | ([5-3]) $\dfrac{1}{2}$

【문제 1】 원문 요약 — 원과 삼차곡선의 교점 존재성(사잇값 정리) 및 반지름 함수의 고차 극한 [배점 25점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

[6-2] [8점] 원 $C$와 곡선 $y = f(x)$의 교점의 $x$좌표를 $t \in (0, 2)$라 할 때, 원의 반지름 $r$을 $t$에 대한 유리함수 $r(t)$로 나타내시오.

[6-3] [9점] 두 극한값 $\lim_{t\to 0^+} \dfrac{r(t)}{t}$와 $\lim_{t\to 0^+} \dfrac{4r(t) - 5t}{t^3}$을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 1 · 총 25점

[단계 1: 우미분계수 부호와 사잇값 정리에 의한 교점 존재성]
$h(0) = 0$이고 우미분계수는 $h'(0) = f'(0) - \left.\dfrac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}}\right|_{x=0} = 2 - 0 = 2 \gt 0$이다. 만약 모든 $x \in (0, r)$에서 $h(x) \le 0$이면 $\dfrac{h(x) - h(0)}{x} \le 0$으로부터 $h'(0) \le 0$이 되어 모순이므로 $h(c) \gt 0$인 $c \in (0, r)$가 존재한다. 한편 $r \gt 2$이므로 $h(r) = f(r) - r = r - \dfrac{1}{2}r^3 = \dfrac{r(2 - r^2)}{2} \lt 0$이다. $h(x)$는 $[c, r]$에서 연속이므로 사잇값 정리에 의해 $h(x) = 0$인 교점이 $(c, r) \subset (0, r)$에 존재한다.

[단계 2: 반지름 함수 $r(t)$ 도출]
$t^2 + \{f(t) - r(t)\}^2 = \{r(t)\}^2$을 정리하면 $2f(t)r(t) = t^2 + \{f(t)\}^2$이다. $0 \lt t \lt 2$에서 $2f(t) = t(4 - t^2) \gt 0$이므로
\[r(t) = \dfrac{t^2 + \frac{1}{4}t^2(4 - t^2)^2}{t(4 - t^2)} = \dfrac{t\left(t^4 - 8t^2 + 20\right)}{4(4 - t^2)}\]이다.

[단계 3: 고차 극한 계산]
$\lim_{t\to 0^+} \dfrac{r(t)}{t} = \lim_{t\to 0^+} \dfrac{t^4 - 8t^2 + 20}{4(4 - t^2)} = \dfrac{20}{16} = \dfrac{5}{4}$이다.
또한 $4r(t) - 5t = \dfrac{t(t^4 - 8t^2 + 20) - 5t(4 - t^2)}{4 - t^2} = \dfrac{t^3(t^2 - 3)}{4 - t^2}$이므로 $\lim_{t\to 0^+} \dfrac{4r(t) - 5t}{t^3} = \lim_{t\to 0^+} \dfrac{t^2 - 3}{4 - t^2} = -\dfrac{3}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[6-1] $h'(0)=2\gt 0$에 의한 $h(c)\gt 0$ 존재 및 $h(r)\lt 0$과 사잇값 정리 결합 논증	8점
2단계	[6-2] 원의 방정식 대입으로 $r(t) = \frac{t(t^4-8t^2+20)}{4(4-t^2)}$ 정확히 유도	8점
3단계	[6-3] 유리식 인수분해로 극한값 $\frac{5}{4}$ 및 $-\frac{3}{4}$ 산출	9점

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[성신여대 감점 방어 클리닉] [6-3] 극한 계산 시 대학 과정 정리를 쓰지 말고 분자 통분 후 $t^3$ 인수를 약분하는 대수적 변형 과정을 그대로 적으십시오.

🎯 [최종 정답]([6-1]) 교점 존재 증명 | ([6-2]) $r(t) = \dfrac{t(t^4 - 8t^2 + 20)}{4(4 - t^2)}$ | ([6-3]) $\dfrac{5}{4},\; -\dfrac{3}{4}$

【문제 2】 원문 요약 — 공간에서의 평면의 방정식·수선의 발과 삼각형의 정사영 넓이 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문] 좌표공간에서 원점 $O(0, 0, 0)$과 세 점 $A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 6)$에 대하여 세 점 $A, B, C$를 지나는 평면을 $\alpha$라 하자.

[6-2] [8점] 사면체 $OABC$의 부피 $V$를 이용하여 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 2 · 총 25점

[단계 1: 평면 $\alpha$의 방정식과 수선의 발 $H$]
세 절편이 $3, 3, 6$이므로 평면 $\alpha$의 방정식은 $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{6} = 1 \iff 2x + 2y + z - 6 = 0$이며 법선벡터는 $\vec{n} = (2, 2, 1)$이다. 직선 $OH$ 위의 점 $H(2k, 2k, k)$를 평면 식에 대입하면 $4k + 4k + k = 6 \implies k = \dfrac{2}{3}$이므로 $H\left(\dfrac{4}{3}, \dfrac{4}{3}, \dfrac{2}{3}\right)$이고, $\overline{OH} = \dfrac{|-6|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \dfrac{6}{3} = 2$이다.

[단계 2: 사면체 부피와 삼각형 $ABC$의 넓이]
$V = \dfrac{1}{3}\times\left(\dfrac{1}{2}\times 3\times 3\right)\times 6 = 9$이다. 한편 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot \overline{OH} = \dfrac{2}{3}S = 9$이므로 $S = \dfrac{27}{2}$이다.

[단계 3: 두 평면이 이루는 각과 정사영 넓이]
평면 $\alpha$의 법선벡터 $\vec{n} = (2, 2, 1)$과 $xy$평면의 단위법선벡터 $\vec{e}_3 = (0, 0, 1)$에 대하여 $\cos\theta = \dfrac{|\vec{n}\cdot\vec{e}_3|}{|\vec{n}||\vec{e}_3|} = \dfrac{1}{3}$이다. 따라서 정사영 넓이는 $S' = S\cos\theta = \dfrac{27}{2}\times\dfrac{1}{3} = \dfrac{9}{2}$이다. (이는 $\triangle OAB$의 넓이 $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 = \frac{9}{2}$와 정확히 일치한다.)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[6-1] 평면 $\alpha: 2x+2y+z-6=0$, $H\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{2}{3}\right)$ 및 $\overline{OH}=2$ 도출	8점
2단계	[6-2] 부피 $V=9$로부터 넓이 $S = \frac{27}{2}$ 산출	8점
3단계	[6-3] 법선벡터 내적으로 $\cos\theta = \frac{1}{3}$ 및 정사영 넓이 $S' = \frac{9}{2}$ 완성	9점

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[성신여대 감점 방어 클리닉] 세 절편 $(3, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 6)$을 지나는 평면은 절편 방정식 $\frac{x}{3}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=1$로 세운 뒤 계수비로 법선벡터 $\vec{n}=(2,2,1)$을 즉시 추출하십시오.

🎯 [최종 정답]([6-1]) $2x+2y+z-6=0,\; H\left(\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3},\dfrac{2}{3}\right),\; \overline{OH}=2$ | ([6-2]) $S = \dfrac{27}{2}$ | ([6-3]) $\cos\theta = \dfrac{1}{3},\; S' = \dfrac{9}{2}$

【문제 3】 원문 요약 — 지수곡선 접선·법선 도형의 넓이 극한과 무한등비급수의 합 [배점 25점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

[6-1] [8점] 접점 $P_n$의 좌표와 접선 $l_n$의 방정식을 $n$에 대한 식으로 구하시오.

[6-3] [9점] 직각삼각형 $P_n B_n H_n$의 넓이를 $b_n$이라 할 때, 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$의 합을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 3 · 총 25점

[단계 1: 접점 $P_n$과 접선 $l_n$]
$y' = -e^{-x/2}$이므로 접점을 $(c, 2e^{-c/2})$라 하면 접선은 $y - 2e^{-c/2} = -e^{-c/2}(x - c)$이다. 점 $A_n(2n, 0)$을 대입하면 $-2e^{-c/2} = -e^{-c/2}(2n - c) \implies c = 2n - 2$이다. 따라서 $P_n(2n - 2, 2e^{1-n})$이고 $l_n: y = -e^{1-n}(x - 2n)$이다.

[단계 2: 곡선과 접선 사이 넓이 $a_n$과 극한]
$y'' = \dfrac{1}{2}e^{-x/2} \gt 0$이므로 곡선은 접선 $l_n$의 위쪽에 놓인다. 구간 $[2n-2, 2n]$에서 곡선 아래 정적분 넓이에서 직각삼각형 $P_n H_n A_n$의 넓이($\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2e^{1-n} = 2e^{1-n}$)를 빼면
\[a_n = \int_{2n-2}^{2n} 2e^{-x/2}\,dx - 2e^{1-n} = \left[-4e^{-x/2}\right]_{2n-2}^{2n} - 2e^{1-n} = 4e^{1-n}(1 - e^{-1}) - 2e^{1-n} = e^{1-n}\left(2 - \dfrac{4}{e}\right)\]이다. 따라서 $\lim_{n\to\infty} e^{n-1} a_n = 2 - \dfrac{4}{e}$이다.

[단계 3: 법선 삼각형 넓이 $b_n$과 등비급수]
법선의 기울기는 $e^{n-1}$이므로 $y - 2e^{1-n} = e^{n-1}(x - 2n + 2)$에 $y = 0$을 대입하면 $x_{B_n} = 2n - 2 - 2e^{2-2n}$이다. 따라서 $\overline{B_n H_n} = 2e^{2-2n}$이고 높이 $\overline{P_n H_n} = 2e^{1-n}$이므로 $b_n = \dfrac{1}{2}\cdot 2e^{2-2n}\cdot 2e^{1-n} = 2e^{3-3n}$이다. 첫째항 $b_1 = 2$, 공비 $r = e^{-3}$ ($0 \lt e^{-3} \lt 1$)인 등비급수이므로 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \dfrac{2}{1 - e^{-3}} = \dfrac{2e^3}{e^3 - 1}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[6-1] 접점 $P_n(2n-2, 2e^{1-n})$ 및 접선 $y = -e^{1-n}(x-2n)$ 도출	8점
2단계	[6-2] 정적분과 삼각형 넓이 차로 $a_n$ 유도 후 극한 $2 - \frac{4}{e}$ 산출	8점
3단계	[6-3] 법선 절편으로 $b_n = 2e^{3-3n}$ 도출 및 수렴 조건 확인 후 $\frac{2e^3}{e^3-1}$ 계산	9점

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[성신여대 감점 방어 클리닉] 법선 삼각형 $P_n B_n H_n$의 밑변은 $\overline{B_n A_n}$이 아니라 수선의 발 $H_n(2n-2, 0)$까지의 거리 $\overline{B_n H_n} = 2e^{2-2n}$임을 정확히 구분하십시오.

🎯 [최종 정답]([6-1]) $P_n(2n-2, 2e^{1-n}),\; y = -e^{1-n}(x-2n)$ | ([6-2]) $2 - \dfrac{4}{e}$ | ([6-3]) $\dfrac{2e^3}{e^3 - 1}$

【문제 4】 원문 요약 — 중복순열 인증번호의 연속 배열 배타 분할과 조건부확률 [배점 25점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 확률의 뜻과 활용 (DB: PS_Ch02_01) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통02-03]

[6-1] [7점] 숫자 $1$이 $3$번 이상 포함되는 $5$자리 인증번호의 개수를 구하시오.

[6-2] [9점] 같은 숫자가 $3$번 이상 연속하여 나타나는(예: $22215, 43333$) $5$자리 인증번호의 개수를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 4 · 총 25점

[단계 1: 숫자 $1$이 $3$번 이상 포함되는 경우의 수]
숫자 $1$이 정확히 $k$번($k=3, 4, 5$) 포함되고 나머지 자리에 $\{2, 3, 4, 5\}$ 중 선택하는 경우의 수는 $\dbinom{5}{3}\cdot 4^2 + \dbinom{5}{4}\cdot 4^1 + \dbinom{5}{5}\cdot 4^0 = 160 + 20 + 1 = 181$이다.

[단계 2: $3$연속 동일 숫자가 나타나는 인증번호 개수]
$5$자리 문자열에서는 서로 다른 두 숫자가 각각 $3$번 연속할 수 없으므로($3+3=6 \gt 5$), 연속되는 숫자 $a \in \{1,2,3,4,5\}$ ($5$가지)를 고정한 뒤 최초 $3$연속 시작 위치로 배타 분할한다.
① $aaa\square\square$ 꼴: 뒤 두 자리는 임의 선택이므로 $5^2 = 25$가지
② $baaa\square$ 꼴 ($b \neq a$): $4 \times 5 = 20$가지
③ $\square baaa$ 꼴 ($b \neq a$): $5 \times 4 = 20$가지
따라서 구하는 개수는 $5 \times (25 + 20 + 20) = 325$이다.

[단계 3: 양 끝 홀수 조건하에 $2$가 포함될 조건부확률]
사건 $A$($d_1, d_5 \in \{1, 3, 5\}$)의 경우의 수는 $3 \times 5^3 \times 3 = 1125$이다. 사건 $A$ 중에서 숫자 $2$가 한 번도 포함되지 않는 경우($d_2, d_3, d_4 \in \{1, 3, 4, 5\}$)의 수는 $3 \times 4^3 \times 3 = 576$이다. 따라서 구하는 조건부확률은 $1 - \dfrac{576}{1125} = 1 - \dfrac{64}{125} = \dfrac{61}{125}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[6-1] $k=3,4,5$ 경우를 합산하여 $181$ 정확히 도출	7점
2단계	[6-2] 최초 $3$연속 시작 위치별 배타 분할($25+20+20$)로 중복 없이 $325$ 산출	9점
3단계	[6-3] 여사건을 활용한 조건부확률 계산으로 $\frac{61}{125}$ 완결	9점

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[성신여대 감점 방어 클리닉] [6-2]에서 $3 \times 5^2 = 75$로 단순 계산하면 $4$연속·$5$연속 배열이 중복 합산되므로 반드시 직전 자리 $b \neq a$ 조건을 부여하십시오.

🎯 [최종 정답]([6-1]) $181$ | ([6-2]) $325$ | ([6-3]) $\dfrac{61}{125}$

【문제 1】 원문 요약 — 원 내접 교대각 다각형의 넓이·현 제곱합 극한과 탄젠트 덧셈정리 최대각 [배점 25점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

[7-1] [8점] 볼록 $2n$각형 $P_0 P_1 \cdots P_{2n-1}$의 넓이 $S(n)$을 구하고 극한값 $\lim_{n\to\infty} S(n)$을 구하시오.

[7-2] [8점] 모든 변의 길이의 제곱의 합 $L_2(n) = \sum_{j=0}^{2n-1} \overline{P_j P_{j+1}}^2$에 대하여 극한값 $\lim_{n\to\infty} n L_2(n)$을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 1 · 총 25점

[단계 1: 내접 $2n$각형 넓이 $S(n)$과 극한]
중심각 $\dfrac{2\pi}{5n}$인 삼각형 $n$개와 $\dfrac{8\pi}{5n}$인 삼각형 $n$개로 분할되므로 $S(n) = n\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 2^2\sin\dfrac{2\pi}{5n} + n\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 2^2\sin\dfrac{8\pi}{5n} = 2n\left(\sin\dfrac{2\pi}{5n} + \sin\dfrac{8\pi}{5n}\right)$이다. $\lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u} = 1$을 적용하면 $\lim_{n\to\infty} S(n) = 2\cdot\dfrac{2\pi}{5} + 2\cdot\dfrac{8\pi}{5} = 4\pi$이다.

[단계 2: 변의 길이 제곱합 $L_2(n)$의 극한]
중심각 $\alpha$인 현의 길이 제곱은 코사인법칙에 의해 $2^2 + 2^2 - 8\cos\alpha = 8(1 - \cos\alpha) = 16\sin^2\dfrac{\alpha}{2}$이다. 따라서 $L_2(n) = 16n\left(\sin^2\dfrac{\pi}{5n} + \sin^2\dfrac{4\pi}{5n}\right)$이고, $\lim_{n\to\infty} n L_2(n) = 16\left(\dfrac{\pi^2}{25} + \dfrac{16\pi^2}{25}\right) = \dfrac{272}{25}\pi^2$이다.

[단계 3: 탄젠트 덧셈정리와 산술·기하평균 최댓값]
직선 $OA$와 $BA$의 기울기는 각각 $t$와 $\dfrac{t}{3}$이므로 탄젠트 덧셈정리에 의해 $\tan\theta(t) = \dfrac{t - \frac{t}{3}}{1 + \frac{t^2}{3}} = \dfrac{2t}{3 + t^2} = \dfrac{2}{t + \frac{3}{t}}$이다. $t \gt 0$에서 산술·기하평균 부등식에 의해 $t + \dfrac{3}{t} \ge 2\sqrt{3}$ (등호는 $t = \sqrt{3}$일 때 성립)이므로 $\tan\theta(t)$의 최댓값은 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ($t = \sqrt{3}$)이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[7-1] $S(n) = 2n(\sin\frac{2\pi}{5n}+\sin\frac{8\pi}{5n})$ 및 극한 $4\pi$ 도출	8점
2단계	[7-2] 반각 공식 $8(1-\cos\alpha)=16\sin^2(\alpha/2)$ 변환으로 극한 $\frac{272}{25}\pi^2$ 계산	8점
3단계	[7-3] $\tan\theta(t)=\frac{2t}{3+t^2}$ 유도 및 $t=\sqrt{3}$에서 최댓값 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 산출	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 산술·기하평균 부등식을 쓸 때 $t \gt 0$ 양수 조건과 등호 성립 조건 $t = \frac{3}{t} \iff t = \sqrt{3}$을 반드시 함께 명시하십시오.

🎯 [최종 정답]([7-1]) $4\pi$ | ([7-2]) $\dfrac{272}{25}\pi^2$ | ([7-3]) 최댓값 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ($t = \sqrt{3}$)

【문제 2】 원문 요약 — 쌍곡선 접선의 각의 이등분 성질과 초점 직각삼각형의 내접원 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[7-1] [8점] 점 $P(5, y_0)$의 좌표와 점 $P$에서의 쌍곡선의 접선 $l$이 $x$축과 만나는 점 $T$의 좌표를 각각 구하시오.

[7-3] [9점] 삼각형 $PF'F$에 내접하는 원의 반지름 $r$과 내접원의 중심 $I$의 좌표를 구하고, 점 $I$가 접선 $l$ 위에 놓임을 확인하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 2 · 총 25점

[단계 1: 점 $P$와 접선 절편 $T$]
$\dfrac{25}{9} - \dfrac{y_0^2}{16} = 1 \implies \dfrac{y_0^2}{16} = \dfrac{16}{9}$이고 $y_0 \gt 0$이므로 $P\left(5, \dfrac{16}{3}\right)$이다. 접선 $l$의 방정식은 $\dfrac{5x}{9} - \dfrac{(16/3)y}{16} = 1 \iff 5x - 3y = 9$이므로 $x$절편은 $T\left(\dfrac{9}{5}, 0\right)$이다.

[단계 2: 각의 이등분선 비례 관계 증명]
$P\left(5, \dfrac{16}{3}\right)$와 $F(5, 0)$의 $x$좌표가 같으므로 $\overline{PF} \perp x$축이고 $\overline{PF} = \dfrac{16}{3}$이다. 쌍곡선의 정의에 의해 $\overline{PF'} - \overline{PF} = 6$이므로 $\overline{PF'} = \dfrac{34}{3}$이다. 한편 $\overline{F'T} = \dfrac{9}{5} - (-5) = \dfrac{34}{5}$, $\overline{TF} = 5 - \dfrac{9}{5} = \dfrac{16}{5}$이므로 $\overline{F'T} : \overline{TF} = 17 : 8 = \overline{PF'} : \overline{PF}$가 성립하여 접선 $l$은 $\angle F'PF$를 이등분한다.

[단계 3: 내접원 반지름 $r$과 중심 $I$의 좌표]
직각삼각형 $PF'F$($\angle PFF' = \dfrac{\pi}{2}$)에서 $r = \dfrac{\overline{F'F} + \overline{PF} - \overline{PF'}}{2} = \dfrac{10 + \frac{16}{3} - \frac{34}{3}}{2} = 2$이다. 직각 꼭짓점이 $F(5, 0)$이고 $F'(-5, 0)$은 왼쪽, $P$는 위쪽이므로 내접원의 중심은 $I(5 - 2, 0 + 2) = (3, 2)$이다. 이를 접선 식 $5x - 3y = 9$에 대입하면 $5(3) - 3(2) = 9$가 성립하여 내심 $I$가 각의 이등분선 $l$ 위에 놓임이 확인된다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[7-1] $P(5, 16/3)$, 접선 $5x-3y=9$ 및 $T(9/5, 0)$ 정확히 도출	8점
2단계	[7-2] 쌍곡선 정의로 $\overline{PF'}=34/3$ 산출 및 $17:8$ 내분비 일치 증명	8점
3단계	[7-3] 내접원 반지름 $r=2$, 중심 $I(3,2)$ 도출 및 접선 위 위치 확인	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 점 $P$와 초점 $F$의 $x$좌표가 $5$로 일치하므로 $\triangle PF'F$가 $F$에서 직각인 직각삼각형임을 파악하면 내심 좌표가 즉시 결정됩니다.

🎯 [최종 정답]([7-1]) $P\left(5, \dfrac{16}{3}\right),\; T\left(\dfrac{9}{5}, 0\right)$ | ([7-2]) $\overline{PF}=\dfrac{16}{3},\; \overline{PF'}=\dfrac{34}{3}$ | ([7-3]) $r = 2,\; I(3, 2)$

【문제 3】 원문 요약 — 주기 이동 함수방정식에서의 롤의 정리 실근 개수와 구간 정적분 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

[7-2] [8점] 조건 (가), (나), (다)와 곱의 미분법 역연산을 이용하여 정적분 $\int_{0}^{3} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[7-3] [9점] 정적분 $\int_{0}^{9} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 3 · 총 25점

[단계 1: $g(x) = f(x) - 2x$와 롤의 정리 2회 적용]
$f(3) = f(0) + 6 = 6$이다. 연속·미분가능 함수 $g(x) = f(x) - 2x$에 대하여 $g(0) = 0, \; g(1) = 2 \gt 0, \; g(2) = -1 \lt 0, \; g(3) = 0$이다. 닫힌구간 $[1, 2]$에서 사잇값 정리에 의해 $g(r) = 0$인 실수 $r \in (1, 2)$가 존재한다. 이제 두 닫힌구간 $[0, r]$과 $[r, 3]$에서 $g(0) = g(r) = g(3) = 0$이므로 각각 롤의 정리를 적용하면 $g'(c_1) = 0$인 $c_1 \in (0, r)$과 $g'(c_2) = 0$인 $c_2 \in (r, 3)$ ($c_1 \lt r \lt c_2$)이 존재한다. 즉 $f'(x) = 2$는 열린구간 $(0, 3)$에 적어도 두 개의 서로 다른 실근을 갖는다.

[단계 2: $\int_0^3 f(x)\,dx$ 계산]
$\dfrac{d}{dx}\{xf(x)\} = f(x) + xf'(x)$를 구간 $[0, 3]$에서 정적분하면 $[xf(x)]_0^3 = \int_0^3 f(x)\,dx + \int_0^3 xf'(x)\,dx$이다. $3f(3) - 0 = 18 = \int_0^3 f(x)\,dx + 8$이므로 $\int_{0}^{3} f(x)\,dx = 10$이다.

[단계 3: 주기 이동 치환적분으로 $\int_0^9 f(x)\,dx$ 산출]
조건 (가)에 의해 $f(x + 3) = f(x) + 6, \; f(x + 6) = f(x) + 12$이므로
\[\int_{0}^{9} f(x)\,dx = \int_{0}^{3} f(x)\,dx + \int_{0}^{3} \{f(x) + 6\}\,dx + \int_{0}^{3} \{f(x) + 12\}\,dx = 3\times 10 + 18 + 36 = 84\]이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[7-1] $g(1)=2\gt 0, g(2)=-1\lt 0$ 사잇값 정리로 영점 $r$ 확보 후 롤의 정리 2회 적용 완결	8점
2단계	[7-2] $[xf(x)]_0^3 = 18$ 항등식으로부터 $\int_0^3 f(x)\,dx = 10$ 도출	8점
3단계	[7-3] 세 구간 $[0,3],[3,6],[6,9]$ 평행이동 분할로 정적분 $84$ 정확히 계산	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 롤의 정리 적용 시 두 열린구간 $(0, r)$과 $(r, 3)$이 서로소이므로 $c_1 \neq c_2$가 보장된다는 점을 한 줄로 명시하면 완벽합니다.

🎯 [최종 정답]([7-1]) 사잇값·롤의 정리 증명 | ([7-2]) $10$ | ([7-3]) $84$

【문제 4】 원문 요약 — 표본평균의 확률 계산과 모평균·모비율 신뢰구간 표본크기 결정 [배점 25점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 경우의 수 (DB: PS_Ch01_01) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02]

[7-1] [8점] 크기 $n_1 = 36$인 표본을 임의추출할 때 표본평균 $\bar{X}$에 대하여 확률 $P(2994 \le \bar{X} \le 3008)$을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 4 · 총 25점

[단계 1: 표본평균 분포와 표준화 확률]
$\bar{X} \sim N\left(3000, \left(\dfrac{24}{\sqrt{36}}\right)^2\right) = N(3000, 4^2)$이므로 $P(2994 \le \bar{X} \le 3008) = P\left(\dfrac{2994 - 3000}{4} \le Z \le \dfrac{3008 - 3000}{4}\right) = P(-1.5 \le Z \le 2.0) = 0.4332 + 0.4772 = 0.9104$이다.

[단계 2: 모평균 신뢰구간 길이 조건과 최소 표본크기 $n_2$]
$b - a = 2 \times 1.96 \times \dfrac{24}{\sqrt{n_2}} = \dfrac{94.08}{\sqrt{n_2}} \le 9.408$이므로 $\sqrt{n_2} \ge 10 \implies n_2 \ge 100$이다. 따라서 최솟값은 $100$이다.

[단계 3: 모비율 신뢰구간 길이 조건과 최소 표본크기 $n_3$]
$\hat{p}(1 - \hat{p}) = 0.2 \times 0.8 = 0.16$이므로 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times 1.96 \times \sqrt{\dfrac{0.16}{n_3}} = \dfrac{3.92 \times 0.4}{\sqrt{n_3}} = \dfrac{1.568}{\sqrt{n_3}} \le 0.0784$이다. 이를 풀면 $\sqrt{n_3} \ge \dfrac{1.568}{0.0784} = 20 \implies n_3 \ge 400$이므로 자연수 $n_3$의 최솟값은 $400$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[7-1] $\bar{X} \sim N(3000, 4^2)$ 표준화로 확률 $0.9104$ 정확히 계산	8점
2단계	[7-2] $94.08/\sqrt{n_2} \le 9.408$ 부등식으로부터 최소 표본크기 $n_2 = 100$ 도출	8점
3단계	[7-3] 모비율 신뢰구간 길이 식 수립 후 최소 표본크기 $n_3 = 400$ 산출	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 신뢰구간의 길이 $b - a$는 오차한계 $1.96\sigma/\sqrt{n}$의 **$2$배**임을 주의하여 계수 $2$를 누락하지 마십시오.

🎯 [최종 정답]([7-1]) $0.9104$ | ([7-2]) $100$ | ([7-3]) $400$

【문제 1】 원문 요약 — 치환적분 대칭 결합 수열의 일반항과 코사인 교대 등비급수 [배점 25점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

[8-2] [8점] $f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x, \; g(x) = \cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)$일 때 일반항 $H(n)$을 $n$에 대한 식으로 나타내시오.

[8-3] [10점] [8-2]의 $H(n)$에 대하여 $c_k = H(2k - 1) + H(2k)$ ($k \ge 1$)로 정의할 때, 무한급수 $\sum_{k=1}^{\infty} c_k$의 합을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 1 · 총 25점

[단계 1: 치환적분과 곱의 미분 결합]
$u = 2n - x$로 치환하면 $dx = -du$이고 $x: n \to 2n$일 때 $u: n \to 0$이므로 $\int_n^{2n} g'(x)f(2n-x)\,dx = \int_0^n f(u)g'(2n-u)\,du$이다. 따라서 $H(n) = \int_0^n \{f'(x)g(2n-x) - f(x)g'(2n-x)\}\,dx = \int_0^n \dfrac{d}{dx}\{f(x)g(2n-x)\}\,dx = f(n)g(n) - f(0)g(2n)$이다. $n = 1$일 때 $H(1) = f(1)g(1) - f(0)g(2) = 12 - (-4) = 16$이다.

[단계 2: 지수·코사인 대입 일반항]
$f(0) = 1$이고 $g(2n) = \cos(n\pi) = (-1)^n$이므로 $H(n) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \cos\left(\dfrac{n\pi}{2}\right) - (-1)^n$이다.

[단계 3: 이웃 두 항 결합과 무한등비급수]
$\cos\dfrac{(2k-1)\pi}{2} = 0$, $\cos(k\pi) = (-1)^k$이고 $(-1)^{2k-1} + (-1)^{2k} = -1 + 1 = 0$이므로 $c_k = H(2k-1) + H(2k) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2k}(-1)^k = \left(-\dfrac{1}{4}\right)^k$이다. 첫째항 $-\dfrac{1}{4}$, 공비 $-\dfrac{1}{4}$ ($|-1/4| \lt 1$)인 등비급수이므로 $\sum_{k=1}^{\infty} c_k = \dfrac{-1/4}{1 - (-1/4)} = -\dfrac{1}{5}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[8-1] 치환적분 및 $\frac{d}{dx}\{f(x)g(2n-x)\}$ 역연산 증명과 $H(1)=16$ 도출	7점
2단계	[8-2] $H(n) = (1/2)^n\cos(n\pi/2) - (-1)^n$ 정확히 산출	8점
3단계	[8-3] 진동항 상쇄로 $c_k = (-1/4)^k$ 유도 및 급수 합 $-\frac{1}{5}$ 계산	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] $g(2n-x)$를 $x$에 대하여 미분할 때 합성함수 미분법에 의해 $-g'(2n-x)$가 나와 부호가 정확히 맞물림을 서술하십시오.

🎯 [최종 정답]([8-1]) 항등식 증명 및 $H(1) = 16$ | ([8-2]) $H(n) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\cos\dfrac{n\pi}{2} - (-1)^n$ | ([8-3]) $-\dfrac{1}{5}$

【문제 2】 원문 요약 — 평면벡터의 일차결합 자취의 길이와 내적을 이용한 최소 거리 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[8-1] [7점] $\angle AOB$의 크기와 선분 $\overline{AB}$의 길이를 각각 구하시오.

[8-2] [9점] 점 $P$가 그리는 도형(자취)의 길이를 구하시오.

[8-3] [9점] $|\overrightarrow{OP}|$의 최솟값과 그때의 두 실수 $s, t$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 2 · 총 25점

[단계 1: 사이각과 선분 $\overline{AB}$의 길이]
$\cos\angle AOB = \dfrac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|} = \dfrac{4}{4\times 2} = \dfrac{1}{2}$이므로 $\angle AOB = \dfrac{\pi}{3}$이다. $|\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}|^2 = 16 + 4 - 2\times 4 = 12$이므로 $\overline{AB} = 2\sqrt{3}$이다.

[단계 2: 벡터 계수 치환에 의한 자취의 길이]
$\overrightarrow{OB'} = 2\overrightarrow{OB}$라 하면 $|\overrightarrow{OB'}| = 4$이고, $\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + \left(\dfrac{t}{2}\right)\overrightarrow{OB'}$이다. 이때 $s \ge 0, \; \dfrac{t}{2} \ge 0$이고 $s + \dfrac{t}{2} = 1$이므로 점 $P$의 자취는 선분 $AB'$ 전체이다. $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB'}| = 4$이고 $\angle AOB' = \dfrac{\pi}{3}$이므로 $\triangle OAB'$는 한 변의 길이가 $4$인 정삼각형이며 자취의 길이는 $\overline{AB'} = 4$이다.

[단계 3: $|\overrightarrow{OP}|$의 최솟값과 $s, t$ 결정]
$t = 2 - 2s$ ($0 \le s \le 1$)를 $|\overrightarrow{OP}|^2 = 16s^2 + 8st + 4t^2$에 대입하면 $|\overrightarrow{OP}|^2 = 16s^2 + 8s(2 - 2s) + 4(2 - 2s)^2 = 16s^2 - 16s + 16 = 16\left(s - \dfrac{1}{2}\right)^2 + 12$이다. 따라서 $s = \dfrac{1}{2}, \; t = 1$일 때 $|\overrightarrow{OP}|$는 최솟값 $2\sqrt{3}$을 갖는다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[8-1] 내적 공식으로 $\angle AOB = \frac{\pi}{3}$ 및 $\overline{AB} = 2\sqrt{3}$ 도출	7점
2단계	[8-2] $\overrightarrow{OB'}=2\overrightarrow{OB}$ 변환으로 선분 $AB'$ 자취 규명 및 길이 $4$ 산출	9점
3단계	[8-3] 내적 이차함수 완전제곱식(또는 정삼각형 높이)으로 최솟값 $2\sqrt{3}$ 및 $s=1/2, t=1$ 결정	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 일차결합 계수 합을 $1$로 맞추는 치환 $s + (t/2) = 1$과 함께 $s \ge 0, t/2 \ge 0$ 제한 범위를 명시해야 직선이 아닌 '선분' 자취임이 논증됩니다.

🎯 [최종 정답]([8-1]) $\dfrac{\pi}{3},\; 2\sqrt{3}$ | ([8-2]) $4$ | ([8-3]) 최솟값 $2\sqrt{3}$ ($s = \dfrac{1}{2},\; t = 1$)

【문제 3】 원문 요약 — 정적분 극한 조건에 의한 이차함수 결정과 삼차곡선 접선 넓이 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[8-1] [7점] 조건 (가)와 (나)를 이용하여 다항함수 $g(x)$를 구하시오.

[8-2] [9점] 실수 $k$에 대하여 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x) + kx$가 한 점에서 접하고 다른 한 점에서 만나도록 하는 모든 실수 $k$의 값을 구하시오.

[8-3] [9점] [8-2]에서 구한 각 실수 $k$에 대하여 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 3 · 총 25점

[단계 1: 다항함수 $g(x)$ 결정]
조건 (가)의 극한이 유한값 $-3$으로 수렴하므로 $\int_0^x g(t)\,dt = x^3 - 3x^2 + cx$ ($c$는 상수) 꼴이다. 양변을 미분하면 $g(x) = 3x^2 - 6x + c$이고 $g(0) = 0$에서 $c = 0$이므로 $g(x) = 3x^2 - 6x$이다.

[단계 2: 한 점 접함·한 점 교차 조건의 $k$ 결정]
차함수 $f(x) - \{g(x) + kx\} = x^3 - 3x^2 + (2 - k)x = x\{x^2 - 3x + (2 - k)\} = 0$이 하나의 중근과 하나의 단근을 가져야 한다.
① $x = 0$이 중근인 경우: $2 - k = 0 \implies k = 2$ (이때 $x^2(x - 3) = 0$으로 $x=0$에서 접하고 $x=3$에서 교차)
② $x^2 - 3x + (2 - k) = 0$이 $0$이 아닌 중근을 갖는 경우: $D = 9 - 4(2 - k) = 1 + 4k = 0 \implies k = -\dfrac{1}{4}$ (중근 $x = \dfrac{3}{2} \neq 0$, 단근 $x = 0$)
따라서 $k = 2$ 또는 $k = -\dfrac{1}{4}$이다.

[단계 3: 각 경우의 둘러싸인 넓이]
· $k = 2$일 때: $\int_{0}^{3} |x^2(x - 3)|\,dx = \int_{0}^{3} (3x^2 - x^3)\,dx = \left[x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_{0}^{3} = \dfrac{27}{4}$
· $k = -\dfrac{1}{4}$일 때: $\int_{0}^{3/2} x\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + \dfrac{9}{8}x^2\right]_{0}^{3/2} = \dfrac{27}{64}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[8-1] 극한 차수 비교 및 미분으로 $g(x) = 3x^2 - 6x$ 도출	7점
2단계	[8-2] 중근 발생 두 경우($x=0$ 중근 / 이차식 판별식 $0$)를 모두 찾아 $k=2, -\frac{1}{4}$ 산출	9점
3단계	[8-3] 각 경우의 정적분 넓이 $\frac{27}{4}$ 및 $\frac{27}{64}$ 정확히 계산	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 인수 $x$가 이미 밖으로 묶여 있을 때 이차식의 판별식 $D=0$만 풀면 $x=0$이 중근이 되는 경우($k=2$)를 놓치기 쉬우므로 반드시 두 경우로 분류하십시오.

🎯 [최종 정답]([8-1]) $g(x) = 3x^2 - 6x$ | ([8-2]) $k = 2,\; -\dfrac{1}{4}$ | ([8-3]) $k=2$일 때 $\dfrac{27}{4}$, $k=-\dfrac{1}{4}$일 때 $\dfrac{27}{64}$

【문제 4】 원문 요약 — 마름모와 정사각형 공통부분 넓이 함수의 미분가능성과 프랙탈 등비급수 [배점 25점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02]

[8-1] [8점] 실수 $t$의 구간 $(0, 1]$과 $(1, 2]$로 나누어 넓이 함수 $A(t)$를 구하시오.

[8-2] [8점] 함수 $A(t)$가 $t = 1$에서 미분가능한지 좌·우미분계수를 비교하여 판정하고, $A'(t) = 4$를 만족시키는 실수 $t$를 모두 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 4 · 총 25점

[단계 1: 구간별 공통부분 넓이 $A(t)$]
· $0 \lt t \le 1$일 때: $|x| \le t, |y| \le t$이면 $|x| + |y| \le 2t \le 2$이므로 정사각형 전체가 $D_1$ 내부에 포함되어 $A(t) = (2t)^2 = 4t^2$이다.
· $1 \lt t \le 2$일 때: 제$1$사분면의 $[0, t]\times[0, t]$에서 $x + y \gt 2$로 삐져나온 부분은 두 직각변의 길이가 $t - (2 - t) = 2t - 2$인 직각이등변삼각형(넓이 $\frac{1}{2}(2t-2)^2 = 2(t-1)^2$)이다. 네 사분면 대칭에 의해 $A(t) = 4t^2 - 8(t - 1)^2 = -4t^2 + 16t - 8$이다.

[단계 2: $t = 1$에서의 미분가능성과 $A'(t) = 4$의 해]
$\lim_{t\to 1^-} A(t) = 4 = \lim_{t\to 1^+} A(t)$로 연속이고, 좌미분계수 $\left.(8t)\right|_{t=1} = 8$과 우미분계수 $\left.(-8t + 16)\right|_{t=1} = 8$이 일치하므로 $t = 1$에서 미분가능하다.
· $0 \lt t \le 1$: $8t = 4 \implies t = \dfrac{1}{2}$
· $1 \lt t \le 2$: $-8t + 16 = 4 \implies t = \dfrac{3}{2}$
따라서 $t = \dfrac{1}{2}, \; \dfrac{3}{2}$이다.

[단계 3: 내접 마름모·정사각형 차집합 넓이 급수]
$\text{넓이}(D_1) = \dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 4 = 8$, $\text{넓이}(S_1) = 4$이므로 $a_1 = 8 - 4 = 4$이다. $D_2$는 $|x| + |y| \le 1$이므로 길이 비는 $\dfrac{1}{2}$, 넓이 공비는 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$이다. 따라서 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \dfrac{4}{1 - 1/4} = \dfrac{16}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[8-1] $0\lt t\le 1$에서 $4t^2$, $1\lt t\le 2$에서 $-4t^2+16t-8$ 정확히 도출	8점
2단계	[8-2] 좌·우미분계수 $8$ 일치 확인 및 $t = 1/2, 3/2$ 모두 산출	8점
3단계	[8-3] 초항 $a_1=4$, 넓이 공비 $1/4$로부터 등비급수 합 $\frac{16}{3}$ 계산	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] $1 \lt t \le 2$에서 돌출된 직각이등변삼각형의 한 변의 길이가 $t - 1$이 아니라 $t - (2 - t) = 2t - 2$임을 좌표 교점으로 정확히 확인하십시오.

🎯 [최종 정답]([8-1]) $A(t)=\begin{cases}4t^2 & (0\lt t\le 1) \\ -4t^2+16t-8 & (1\lt t\le 2)\end{cases}$ | ([8-2]) 미분가능, $t = \dfrac{1}{2},\; \dfrac{3}{2}$ | ([8-3]) $\dfrac{16}{3}$

【문제 1】 원문 요약 — 두 직선 교점에서의 탄젠트 덧셈정리·코사인법칙과 사인법칙 극한 [배점 25점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

[제시문] 좌표평면에서 원점 $O(0, 0)$과 점 $Q(2, 0)$에 대하여 두 직선 $l_1: y = m(x - 2)$와 $l_2: y = nx$ (단, $0 \lt n \lt m$)의 교점을 $P$라 하자.

[9-1] [7점] $m = 3\sqrt{3}, \; n = \dfrac{\sqrt{3}}{5}$일 때, 탄젠트 덧셈정리를 이용하여 $\angle OPQ$의 크기를 구하시오.

[9-2] [9점] [9-1]의 조건에서 반직선 $OP$ 위의 점 $P$ 바깥쪽 연장선 위에 $\overline{PR} = 3$인 점 $R$을 잡을 때, $\overline{RQ}^2$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 1 · 총 25점

[단계 1: 탄젠트 덧셈정리로 $\angle OPQ$ 결정]
두 직선이 $x$축 양의 방향과 이루는 각을 $\alpha, \beta$라 하면 $\angle OPQ = \alpha - \beta$이고 $\tan(\alpha - \beta) = \dfrac{3\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{5}}{1 + 3\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{5}} = \dfrac{\frac{14\sqrt{3}}{5}}{\frac{14}{5}} = \sqrt{3}$이므로 $\angle OPQ = \dfrac{\pi}{3}$이다.

[단계 2: 교점 $P$와 코사인법칙 $\overline{RQ}^2$]
$3\sqrt{3}(x - 2) = \dfrac{\sqrt{3}}{5}x$에서 $x = \dfrac{15}{7}, \; y = \dfrac{3\sqrt{3}}{7}$이므로 $\overline{PQ} = \sqrt{\left(\dfrac{15}{7} - 2\right)^2 + \left(\dfrac{3\sqrt{3}}{7}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{28}{49}} = \dfrac{2}{\sqrt{7}}$이다. $\angle RPQ = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$이므로 코사인법칙에 의해 $\overline{RQ}^2 = 3^2 + \dfrac{4}{7} - 2\cdot 3\cdot\dfrac{2}{\sqrt{7}}\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{67 + 6\sqrt{7}}{7}$이다.

[단계 3: 사인법칙과 극한]
$\triangle OPQ$에서 $\overline{OQ} = 2, \; \angle OQP = \pi - 3\theta, \; \angle OPQ = 2\theta$이므로 사인법칙에 의해 $\dfrac{f(\theta)}{\sin(\pi - 3\theta)} = \dfrac{2}{\sin 2\theta} \implies f(\theta) = \dfrac{2\sin 3\theta}{\sin 2\theta}$이다. 따라서 $\lim_{\theta\to 0^+} f(\theta) = 2\cdot\dfrac{3}{2} = 3$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[9-1] 탄젠트 덧셈정리로 $\tan(\angle OPQ)=\sqrt{3}$ 및 $\angle OPQ = \frac{\pi}{3}$ 도출	7점
2단계	[9-2] $P(15/7, 3\sqrt{3}/7)$, $\overline{PQ}=2/\sqrt{7}$ 및 코사인법칙으로 $\frac{67+6\sqrt{7}}{7}$ 계산	9점
3단계	[9-3] 사인법칙으로 $f(\theta)=\frac{2\sin 3\theta}{\sin 2\theta}$ 표현 후 극한 $3$ 산출	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 점 $R$이 선분 $OP$의 연장선 위에 있으므로 $\triangle RPQ$의 끼인각은 $\frac{\pi}{3}$가 아니라 보각 $\frac{2\pi}{3}$임을 주의하십시오.

🎯 [최종 정답]([9-1]) $\dfrac{\pi}{3}$ | ([9-2]) $\dfrac{67 + 6\sqrt{7}}{7}$ | ([9-3]) $f(\theta) = \dfrac{2\sin 3\theta}{\sin 2\theta},\; 3$

【문제 2】 원문 요약 — 공간 구의 외부 접원뿔·접점원 평면 방정식과 정사영 넓이 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[9-1] [8점] 구의 중심 $M(0, 0, 5)$에 대하여 직각삼각형 $OMP$의 성질을 이용하여 접점원 $C$가 놓인 평면 $\beta$의 방정식을 구하시오.

[9-2] [8점] 접점원 $C$의 반지름 $r_C$와 원점 $O$를 꼭짓점, 접점원 $C$를 밑면으로 하는 직원뿔의 부피 $V$를 각각 구하시오.

[9-3] [9점] 접점원 $C$로 둘러싸인 원판을 평면 $\gamma: 3x + 4z = 0$ 위로 정사영한 도형의 넓이 $S'$을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 2 · 총 25점

[단계 1: 접점원 평면 $\beta$의 방정식]
$\overline{OM} = 5$, 구의 반지름 $\overline{MP} = 3$이고 $\angle OPM = \dfrac{\pi}{2}$이므로 접선의 길이는 $\overline{OP} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$이다. 따라서 접점 $P(x, y, z)$는 $x^2 + y^2 + z^2 = 16$과 $x^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 9$를 동시에 만족시키며, 두 식을 빼면 $10z - 25 = 7 \implies 5z - 16 = 0$ ($z = \dfrac{16}{5}$)이다.

[단계 2: 접점원 반지름과 직원뿔 부피]
$x^2 + y^2 = 16 - \left(\dfrac{16}{5}\right)^2 = \dfrac{144}{25}$이므로 $r_C = \dfrac{12}{5}$이다. 직원뿔의 높이는 $\dfrac{16}{5}$이므로 부피는 $V = \dfrac{1}{3}\cdot\pi\left(\dfrac{12}{5}\right)^2\cdot\dfrac{16}{5} = \dfrac{768}{125}\pi$이다.

[단계 3: 평면 $\gamma$ 위로의 정사영 넓이]
평면 $\beta$($z = \frac{16}{5}$)의 법선벡터 $\vec{n}_1 = (0, 0, 1)$과 평면 $\gamma$($3x + 4z = 0$)의 법선벡터 $\vec{n}_2 = (3, 0, 4)$가 이루는 예각 $\phi$에 대하여 $\cos\phi = \dfrac{|0 + 0 + 4|}{1\times\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{4}{5}$이다. 따라서 정사영 넓이는 $S' = \dfrac{144}{25}\pi \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{576}{125}\pi$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[9-1] $\overline{OP}=4$ 도출 및 두 구의 교평면 식 $z = \frac{16}{5}$ ($5z-16=0$) 유도	8점
2단계	[9-2] $r_C = \frac{12}{5}$ 및 직원뿔 부피 $V = \frac{768}{125}\pi$ 정확히 계산	8점
3단계	[9-3] 법선벡터 내적 $\cos\phi = \frac{4}{5}$ 및 정사영 넓이 $\frac{576}{125}\pi$ 산출	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 접점원 $C$를 구 $x^2+y^2+z^2=16$과 구 $S$의 교선으로 해석하면 복잡한 닮음비 없이 두 구의 방정식 차만으로 평면의 방정식이 즉시 도출됩니다.

🎯 [최종 정답]([9-1]) $5z - 16 = 0$ ($z = \dfrac{16}{5}$) | ([9-2]) $r_C = \dfrac{12}{5},\; V = \dfrac{768}{125}\pi$ | ([9-3]) $\dfrac{576}{125}\pi$

【문제 3】 원문 요약 — 삼차·이차함수의 공통접선 넓이와 선대칭 반사 함수의 미분가능성·최댓값 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]

[제시문] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 5$와 이차함수 $g(x) = -2x^2 + 4x + b$ ($b$는 상수)가 있다.

[9-1] [8점] 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$가 $x$좌표가 자연수인 점에서 공통접선을 갖도록 하는 상수 $b$의 값과 공통접선의 방정식을 구하시오.

[9-2] [8점] [9-1]에서 구한 상수 $b$에 대하여 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 3 · 총 25점

[단계 1: 공통접선 조건과 상수 $b$ 결정]
$f'(t) = g'(t)$에서 $3t^2 - 18t + 15 = -4t + 4 \iff 3t^2 - 14t + 11 = (t - 1)(3t - 11) = 0$이다. 자연수 접점은 $t = 1$이므로 $f(1) = 12 = g(1) = b + 2$에서 $b = 10$이다. 접점 $(1, 12)$에서의 기울기는 $f'(1) = 0$이므로 공통접선의 방정식은 $y = 12$이다.

[단계 2: 두 곡선으로 둘러싸인 넓이]
$f(x) - g(x) = x^3 - 7x^2 + 11x - 5 = (x - 1)^2(x - 5)$이므로 구간 $[1, 5]$에서 $g(x) \ge f(x)$이다. 따라서
\[S = \int_{1}^{5} -(x - 1)^2(x - 5)\,dx = \int_{0}^{4} u^2(4 - u)\,du = \left[\dfrac{4}{3}u^3 - \dfrac{1}{4}u^4\right]_{0}^{4} = \dfrac{256}{3} - 64 = \dfrac{64}{3}\]이다.

[단계 3: 반사 함수 $h(x)$의 미분가능 조건과 최댓값]
$x = c$에서 좌미분계수는 $f'(c)$, 우미분계수는 $\lim_{t\to 0^+}\dfrac{f(c-t)-f(c)}{t} = -f'(c)$이므로 미분가능 조건은 $f'(c) = -f'(c) \iff f'(c) = 0$이다. $f'(x) = 3(x - 1)(x - 5) = 0$에서 $c = 1$ 또는 $c = 5$이다.
· $c = 1$일 때: $( -\infty, 1]$에서 $f(x)$는 증가하여 $f(1) = 12$에서 최대이므로 대칭 반사된 $h(x)$의 최댓값도 $12$이다.
· $c = 5$일 때: $( -\infty, 5]$에서 $f(x)$는 $x = 1$에서 극댓값 $12$를 갖고 $f(5) = -20 \lt 12$이며 $x \to -\infty$에서 $-\infty$로 발산하므로 $( -\infty, 5]$에서의 최댓값은 $12$이고, 대칭 반사된 $h(x)$의 최댓값 역시 $12$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[9-1] $f'(t)=g'(t)$에서 자연수 $t=1$, $b=10$ 및 공통접선 $y=12$ 도출	8점
2단계	[9-2] $(x-1)^2(x-5)$ 인수분해 및 정적분으로 넓이 $S = \frac{64}{3}$ 계산	8점
3단계	[9-3] 좌·우미분계수 비교로 $c=1, 5$ 도출 및 두 경우 모두 최댓값 $12$ 산출	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] [9-2]에서 $u = x - 1$ 평행이동 치환을 쓰면 적분 하한이 $0$이 되어 분수 계산 실수를 원천 차단할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]([9-1]) $b = 10,\; y = 12$ | ([9-2]) $\dfrac{64}{3}$ | ([9-3]) $c = 1, 5$, 최댓값 모두 $12$

【문제 4】 원문 요약 — 이항분포의 정규근사 확률·베이즈 조건부확률과 비보건 추출 확률변수 [배점 25점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 확률의 뜻과 활용 (DB: PS_Ch02_01) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통02-03]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 4 · 총 25점

[단계 1: 이항분포 정규근사]
$X \sim B\left(192, \dfrac{1}{4}\right)$이므로 $E(X) = 48, \; \sigma(X) = \sqrt{192\times\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{4}} = 6$이다. 충분히 큰 시행 횟수에 의해 근사적으로 $X \sim N(48, 6^2)$을 따르므로 $P(42 \le X \le 57) = P(-1.0 \le Z \le 1.5) = 0.3413 + 0.4332 = 0.7745$이다.

[단계 2: 베이즈 조건부확률]
흰 공이 $2$번 나오는 사건을 $E$라 하면 $P(E \mid A) = \dbinom{3}{2}\left(\dfrac{1}{4}\right)^2\left(\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{9}{64}$, $P(E \mid B) = \dbinom{3}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{3}{8} = \dfrac{24}{64}$이다. 따라서 $P(A \mid E) = \dfrac{\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{64}}{\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{64} + \frac{1}{2}\cdot\frac{24}{64}} = \dfrac{9}{33} = \dfrac{3}{11}$이다.

[단계 3: 비보건 동시 추출 $Y$의 분포와 선형 변환]
$\dbinom{4}{2} = 6$가지 중 $P(Y = 0) = \dfrac{1}{6}, \; P(Y = 1) = \dfrac{4}{6}, \; P(Y = 2) = \dfrac{1}{6}$이므로 $E(Y) = 1$, $E(Y^2) = \dfrac{0 + 4 + 4}{6} = \dfrac{4}{3}$, $V(Y) = \dfrac{4}{3} - 1 = \dfrac{1}{3}$이다. 따라서 $E(3Y + 1) = 3(1) + 1 = 4$, $V(3Y + 1) = 9 \times \dfrac{1}{3} = 3$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[9-1] $E(X)=48, \sigma(X)=6$ 도출 및 표준화로 확률 $0.7745$ 산출	8점
2단계	[9-2] $P(E\mid A)=9/64, P(E\mid B)=24/64$ 비교로 조건부확률 $\frac{3}{11}$ 도출	8점
3단계	[9-3] 비보건 추출 확률분포로부터 $E(3Y+1)=4, V(3Y+1)=3$ 정확히 계산	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] [9-2]의 보건 추출(독립시행 이항확률)과 [9-3]의 동시 추출(조합 확률)을 혼동하지 않도록 추출 조건을 먼저 확인하십시오.

🎯 [최종 정답]([9-1]) $0.7745$ | ([9-2]) $\dfrac{3}{11}$ | ([9-3]) 기댓값 $4$, 분산 $3$

【문제 1】 원문 요약 — 원의 대칭 접선·이차곡선 공통접선 넓이와 외접원의 반지름 방정식 [배점 25점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[10-2] [9점] [10-1]에서 원 $C$의 아랫부분 호 $P_1 O P_2$와 이차곡선 $y = f(x)$로 둘러싸인 초승달 모양 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 1 · 총 25점

[단계 1: 점 $P_1$ 접선과 이차함수 $f(x)$ 결정]
$\theta = \dfrac{\pi}{3}$이면 $P_1\left(2\sin\dfrac{\pi}{3}, 2 - 2\cos\dfrac{\pi}{3}\right) = (\sqrt{3}, 1)$이다. 반지름 $AP_1$의 기울기가 $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$이므로 접선 기울기는 $\sqrt{3}$이고 접선 식은 $y - 1 = \sqrt{3}(x - \sqrt{3}) \iff y = \sqrt{3}x - 2$이다. $f'(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}a = \sqrt{3} \implies a = \dfrac{1}{2}$이고 $f(\sqrt{3}) = \dfrac{3}{2} + c = 1 \implies c = -\dfrac{1}{2}$이므로 $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}$이다.

[단계 2: 기하학적 분할과 정적분으로 구한 넓이 $S$]
두 접선의 교점은 $Q(0, -2)$이다. 사각형 $AP_2 Q P_1$의 넓이는 $2\times\left(\dfrac{1}{2}\times 2\times 2\sqrt{3}\right) = 4\sqrt{3}$이고, 부채꼴 $AP_2 O P_1$의 넓이는 $\dfrac{1}{2}\cdot 2^2\cdot\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3}$이므로 호 $P_1 O P_2$와 두 접선 사이 넓이는 $4\sqrt{3} - \dfrac{4\pi}{3}$이다. 한편 포물선 $y = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}$과 두 접선 $y = \pm\sqrt{3}x - 2$ 사이의 넓이는 $2\int_{0}^{\sqrt{3}} \dfrac{1}{2}(x - \sqrt{3})^2 dx = \left[\dfrac{1}{3}(x - \sqrt{3})^3\right]_{0}^{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$이다. 따라서 구하는 넓이는 $S = \left(4\sqrt{3} - \dfrac{4\pi}{3}\right) - \sqrt{3} = 3\sqrt{3} - \dfrac{4\pi}{3}$이다.

[단계 3: 외접·접선 동시 접원 반지름 $r(\theta)$]
직각삼각형 $AP_1 Q$에서 $\overline{AQ} = \dfrac{2}{\cos\theta}$이고 $\angle AQP_1 = \dfrac{\pi}{2} - \theta$이다. 작은 원의 중심을 $M_1$이라 하면 외접 조건에서 $\overline{AM_1} = 2 + r$, 접선 조건에서 $\overline{M_1 Q} = \dfrac{r}{\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)} = \dfrac{r}{\cos\theta}$이다. $\overline{AM_1} + \overline{M_1 Q} = \overline{AQ}$이므로 $(2 + r) + \dfrac{r}{\cos\theta} = \dfrac{2}{\cos\theta} \implies r(\theta) = \dfrac{2(1 - \cos\theta)}{1 + \cos\theta}$이다. $r(\theta) = \dfrac{1}{2}$에서 $4(1 - \cos\theta) = 1 + \cos\theta \implies \cos\theta = \dfrac{3}{5}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[10-1] $P_1(\sqrt{3}, 1)$, 접선 $y=\sqrt{3}x-2$ 및 $f(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}$ 도출	8점
2단계	[10-2] 사각형·부채꼴·포물선-접선 정적분 넓이 분할로 $3\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3}$ 계산	9점
3단계	[10-3] $r(\theta)=\frac{2(1-\cos\theta)}{1+\cos\theta}$ 유도 및 $\cos\theta = \frac{3}{5}$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 무리함수 $\sqrt{4-x^2}$을 직접 적분하는 대신 사각형에서 부채꼴을 빼서 호와 접선 사이 넓이를 먼저 구하면 계산이 훨씬 간명해집니다.

🎯 [최종 정답]([10-1]) $y = \sqrt{3}x - 2,\; f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}$ | ([10-2]) $3\sqrt{3} - \dfrac{4\pi}{3}$ | ([10-3]) $\cos\theta = \dfrac{3}{5}$

【문제 2】 원문 요약 — 정사면체 내부 단면 평면의 삼수선의 정리·이면각과 정사영 넓이 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[10-2] [8점] 삼수선의 정리를 이용하여 삼각형 $AMN$의 넓이와, 평면 $AMN$과 밑면 $BCD$가 이루는 예각 $\phi$에 대한 $\cos\phi$의 값을 구하시오.

[10-3] [9점] 밑면인 정삼각형 $BCD$ 전체를 평면 $AMN$ 위로 정사영한 도형의 넓이 $S^*$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 2 · 총 25점

[단계 1: 정사면체 높이 $\overline{AH}$와 $\overline{HK}$]
정삼각형 $BCD$의 높이는 $3\sqrt{3}$이고 $H$는 무게중심이므로 $\overline{BH} = 2\sqrt{3}$, $\overline{AH} = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{6}$이다. 중점연결정리에 의해 $MN \parallel BD$이고 꼭짓점 $C$에서 $BD$에 내린 중선(길이 $3\sqrt{3}$) 위에서 $C$로부터 $MN$까지의 거리는 $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$, $C$로부터 무게중심 $H$까지의 거리는 $2\sqrt{3}$이다. 따라서 $\overline{HK} = 2\sqrt{3} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다.

[단계 2: 삼수선의 정리와 $\cos\phi$]
$\overline{AH} \perp (\text{평면 } BCD)$이고 $\overline{HK} \perp \overline{MN}$이므로 삼수선의 정리에 의해 $\overline{AK} \perp \overline{MN}$이다. $\overline{AK} = \sqrt{\overline{AH}^2 + \overline{HK}^2} = \sqrt{24 + \dfrac{3}{4}} = \dfrac{3\sqrt{11}}{2}$이고 $\overline{MN} = 3$이므로 $\text{넓이}(\triangle AMN) = \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot\dfrac{3\sqrt{11}}{2} = \dfrac{9\sqrt{11}}{4}$이다. 또한 이면각의 정의에 의해 $\cos\phi = \dfrac{\overline{HK}}{\overline{AK}} = \dfrac{\sqrt{3}/2}{3\sqrt{11}/2} = \dfrac{\sqrt{33}}{33}$이다.

[단계 3: 밑면 $BCD$의 평면 $AMN$ 위로의 정사영 넓이 $S^*$]
한 변의 길이가 $6$인 정삼각형 $BCD$의 넓이는 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 6^2 = 9\sqrt{3}$이다. 두 평면이 이루는 예각의 코사인이 $\cos\phi = \dfrac{1}{\sqrt{33}}$이므로 정사영 넓이는 $S^* = 9\sqrt{3} \times \dfrac{1}{\sqrt{33}} = \dfrac{9}{\sqrt{11}} = \dfrac{9\sqrt{11}}{11}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[10-1] 무게중심 성질과 중점연결정리로 $\overline{AH}=2\sqrt{6}, \overline{HK}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 도출	8점
2단계	[10-2] 삼수선의 정리로 $\overline{AK}=\frac{3\sqrt{11}}{2}$, $\triangle AMN$ 넓이 $\frac{9\sqrt{11}}{4}$ 및 $\cos\phi=\frac{\sqrt{33}}{33}$ 산출	8점
3단계	[10-3] 정삼각형 $BCD$ 넓이 $9\sqrt{3}$과 $\cos\phi$ 곱으로 정사영 넓이 $\frac{9\sqrt{11}}{11}$ 완성	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 이면각을 구할 때는 반드시 교선 $MN$에 동시에 수직인 두 선분 $\overline{HK}$와 $\overline{AK}$를 삼수선의 정리로 명시해야 논리 감점이 없습니다.

🎯 [최종 정답]([10-1]) $\overline{AH} = 2\sqrt{6},\; \overline{HK} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | ([10-2]) 넓이 $\dfrac{9\sqrt{11}}{4},\; \cos\phi = \dfrac{\sqrt{33}}{33}$ | ([10-3]) $\dfrac{9\sqrt{11}}{11}$

【문제 3】 원문 요약 — 다항·로그 결합 함수의 변곡접선 부등식과 부분적분 넓이 [배점 25점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

[제시문] 양의 실수 전체의 집합 $\{x \mid x \gt 0\}$에서 정의된 함수 $f(x) = x^2\ln x - \dfrac{3}{2}x^2$이 있다.

[10-1] [8점] 함수 $f(x)$의 극솟값과 곡선 $y = f(x)$의 변곡점 $I$의 좌표, 그리고 점 $I$에서의 변곡접선 $l$의 방정식을 각각 구하시오.

[10-2] [8점] $x \ge 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f(x) \ge -2x + \dfrac{1}{2}$이 성립함을 도함수와 이계도함수를 이용하여 증명하시오.

[10-3] [9점] 곡선 $y = f(x)$와 변곡접선 $l$, 그리고 직선 $x = e$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 부분적분법으로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 3 · 총 25점

[단계 1: 극솟값·변곡점과 변곡접선]
$f'(x) = 2x\ln x + x - 3x = 2x(\ln x - 1)$이므로 $x = e$에서 극솟값 $f(e) = -\dfrac{1}{2}e^2$을 갖는다. $f''(x) = 2(\ln x - 1) + 2 = 2\ln x$는 $x = 1$ 좌우에서 음($-$)에서 양($+$)으로 부호가 바뀌므로 변곡점은 $I\left(1, -\dfrac{3}{2}\right)$이다. $f'(1) = -2$이므로 변곡접선 $l$의 방정식은 $y = -2(x - 1) - \dfrac{3}{2} = -2x + \dfrac{1}{2}$이다.

[단계 2: 변곡접선과의 대소 비교 증명]
$h(x) = f(x) - \left(-2x + \dfrac{1}{2}\right)$라 하면 $h(1) = 0, \; h'(1) = f'(1) + 2 = 0$이다. $x \gt 1$에서 $h''(x) = 2\ln x \gt 0$이므로 $h'(x)$는 증가하여 $h'(x) \gt h'(1) = 0$이다. 따라서 $x \ge 1$에서 $h(x)$도 증가하므로 $h(x) \ge h(1) = 0$, 즉 $f(x) \ge -2x + \dfrac{1}{2}$이 성립한다.

[단계 3: 부분적분법에 의한 넓이 $S$]
[10-2]에 의해 구간 $[1, e]$에서 $f(x) \ge -2x + \dfrac{1}{2}$이므로 $S = \int_1^e \left(x^2\ln x - \dfrac{3}{2}x^2 + 2x - \dfrac{1}{2}\right)dx$이다. 부분적분법으로 $\int_1^e x^2\ln x\,dx = \left[\dfrac{1}{3}x^3\ln x\right]_1^e - \int_1^e \dfrac{1}{3}x^2\,dx = \dfrac{1}{3}e^3 - \dfrac{1}{9}(e^3 - 1) = \dfrac{2}{9}e^3 + \dfrac{1}{9}$이고, $\int_1^e \left(-\dfrac{3}{2}x^2 + 2x - \dfrac{1}{2}\right)dx = \left[-\dfrac{1}{2}x^3 + x^2 - \dfrac{1}{2}x\right]_1^e = -\dfrac{1}{2}e^3 + e^2 - \dfrac{1}{2}e$이다. 따라서 $S = -\dfrac{5}{18}e^3 + e^2 - \dfrac{1}{2}e + \dfrac{1}{9}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[10-1] 극솟값 $-\frac{1}{2}e^2$, 변곡점 $(1, -3/2)$ 및 변곡접선 $y=-2x+1/2$ 도출	8점
2단계	[10-2] $h''(x)=2\ln x \gt 0 \implies h'(x)\gt 0 \implies h(x)\ge 0$ 연쇄 단조성 증명	8점
3단계	[10-3] 부분적분과 다항식 정적분 합산으로 $S = -\frac{5}{18}e^3 + e^2 - \frac{1}{2}e + \frac{1}{9}$ 완성	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] [10-2] 증명 없이 [10-3]에서 절댓값을 임의로 벗기면 위·아래 위치 관계 논증 누락이 되므로 두 문항의 논리 흐름을 연결하십시오.

🎯 [최종 정답]([10-1]) 극솟값 $-\dfrac{1}{2}e^2$, $I\left(1,-\dfrac{3}{2}\right)$, $y=-2x+\dfrac{1}{2}$ | ([10-2]) 단조성 부등식 증명 | ([10-3]) $-\dfrac{5}{18}e^3 + e^2 - \dfrac{1}{2}e + \dfrac{1}{9}$

【문제 4】 원문 요약 — 중복조합 방정식의 상한 제약·홀짝 해의 개수와 조건부확률 [배점 25점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 경우의 수 (DB: PS_Ch01_01) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02]

[10-1] [7점] 전체 해의 개수 $n(U)$와 $x \le 4$를 만족시키는 해의 개수를 각각 구하시오.

[10-2] [9점] 네 정수 $x, y, z, w$가 모두 홀수인 해의 개수와 모두 짝수($0$ 포함)인 해의 개수를 각각 구하시오.

[10-3] [9점] 집합 $U$에서 임의로 한 해를 택했더니 $x + y = 4$였을 때, $z \ge 2$일 조건부확률을 기약분수로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 4 · 총 25점

[단계 1: 중복조합 전체 개수와 상한 여사건]
$n(U) = {}_{4}\mathrm{H}_{10} = \dbinom{13}{10} = \dbinom{13}{3} = 286$이다. $x \ge 5$인 해는 $x' = x - 5 \ge 0$으로 치환하면 $x' + y + z + w = 5$이므로 ${}_{4}\mathrm{H}_{5} = \dbinom{8}{5} = 56$개이다. 따라서 $x \le 4$인 해의 개수는 $286 - 56 = 230$이다.

[단계 2: 모두 홀수인 해와 모두 짝수인 해]
· 모두 홀수: $x = 2a+1, y = 2b+1, z = 2c+1, w = 2d+1$ ($a,b,c,d \ge 0$)로 두면 $a + b + c + d = 3$이므로 ${}_{4}\mathrm{H}_{3} = \dbinom{6}{3} = 20$개이다.
· 모두 짝수: $x = 2a, y = 2b, z = 2c, w = 2d$ ($a,b,c,d \ge 0$)로 두면 $a + b + c + d = 5$이므로 ${}_{4}\mathrm{H}_{5} = \dbinom{8}{5} = 56$개이다.

[단계 3: 부분합 조건하의 조건부확률]
$x + y = 4$이면 $z + w = 6$이므로 해당 사건의 원소 개수는 ${}_{2}\mathrm{H}_{4} \times {}_{2}\mathrm{H}_{6} = \dbinom{5}{4}\times\dbinom{7}{6} = 5 \times 7 = 35$이다. 이 중 $z \ge 2$ ($z' = z - 2 \ge 0 \implies z' + w = 4$)를 만족시키는 해의 개수는 ${}_{2}\mathrm{H}_{4} \times {}_{2}\mathrm{H}_{4} = 5 \times 5 = 25$이다. 따라서 조건부확률은 $\dfrac{25}{35} = \dfrac{5}{7}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[10-1] $n(U)=286$ 및 여사건 $x\ge 5$ ($56$개) 차감으로 $230$ 도출	7점
2단계	[10-2] 홀수 치환 $20$개 및 짝수 치환 $56$개 정확히 산출	9점
3단계	[10-3] $x+y=4, z+w=6$ 분해($35$개)와 $z\ge 2$($25$개) 비교로 $\frac{5}{7}$ 완결	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[성신여대 감점 방어 클리닉] 문제를 읽을 때 '자연수해'($\ge 1$)인지 '음이 아닌 정수해'($\ge 0$, $0$을 짝수에 포함)인지 정의역을 먼저 확인하십시오.

🎯 [최종 정답]([10-1]) $286,\; 230$ | ([10-2]) 모두 홀수 $20$, 모두 짝수 $56$ | ([10-3]) $\dfrac{5}{7}$

🎯 전형 방식: 논술 70% + 학생부 30% 📌 수능최저 기준: 국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급합 7 이내

희망 지원 모집단위 선택

수능최저학력기준 충족 여부 체크 (국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급합 7 이내)

문항 1 (25점)

문항 2 (25점)

문항 3 (25점)

문항 4 (25점)

합산 환산 총점 (100점 만점) 0.0 / 100점

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모집단위	모집인원	명목경쟁률	실질경쟁률	최초합 평균	70% 충원컷	수능최저 기준	실시간 합격 판정
간호학과(자연)	12명	42.5:1	16.8:1	85.5점	82.0점	2합 7 이내	판정 대기
컴퓨터공학과	10명	31.4:1	13.5:1	84.9점	81.5점	2합 7 이내	판정 대기
AI융합학부	14명	29.8:1	12.9:1	83.8점	80.5점	2합 7 이내	판정 대기
바이오신약융합학부	9명	28.2:1	12.1:1	82.5점	79.0점	2합 7 이내	판정 대기
통계빅데이터사이언스학과	8명	26.5:1	11.4:1	81.8점	78.5점	2합 7 이내	판정 대기
융합보안공학과	9명	24.8:1	10.8:1	80.5점	77.0점	2합 7 이내	판정 대기
수학과	6명	23.6:1	10.2:1	80.1점	76.5점	2합 7 이내	판정 대기
바이오생명공학과	8명	22.1:1	9.6:1	78.6점	75.0점	2합 7 이내	판정 대기
서비스·디자인공학과	8명	20.9:1	9.1:1	77.5점	74.0점	2합 7 이내	판정 대기
화학·에너지융합학부	8명	19.8:1	8.6:1	76.0점	72.5점	2합 7 이내	판정 대기
바이오식품공학과	7명	18.7:1	8.2:1	74.5점	71.0점	2합 7 이내	판정 대기
청정융합에너지공학과	7명	17.4:1	7.6:1	71.5점	69.2점	2합 7 이내	판정 대기

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📋 실전 모의고사 1회~10회 회차별 자기주도 성취도 기록표 (인쇄용 체크시트)

회차	실전 응시일	소요 시간	원점수 / 100점
제1회	2026. . .	분	/ 100
제2회	2026. . .	분	/ 100
제3회	2026. . .	분	/ 100
제4회	2026. . .	분	/ 100
제5회	2026. . .	분	/ 100
제6회	2026. . .	분	/ 100
제7회	2026. . .	분	/ 100
제8회	2026. . .	분	/ 100
제9회	2026. . .	분	/ 100
제10회	2026. . .	분	/ 100

RULE 1

원칙 1. 교과서 정의·정리 우선 선언
답안 첫 줄에 사용할 교과서 정리(사잇값 정리, 평균값 정리, 미분가능성 정의, 조건부확률 곱셈정리 등)를 명시하여 1단계 배점(30%)을 확정하십시오.

RULE 2

원칙 2. 대학 미적분학 과정 공식 사용 철저 배제
고교 교육과정을 벗어난 대학 과정 정리나 무근거 근사식 사용은 채점 기준에서 감점 또는 무효 처리되므로 반드시 교과서 성질만으로 논증하십시오.

RULE 3

원칙 3. 동치 변형과 정의역·부호 경계 조건 명시
로그의 밑·진수 조건, 무리식·분수식의 분모 조건, 치환 변수의 새로운 범위(예: $-1 \le t \le 1$)를 빠짐없이 기록하십시오.

RULE 4

원칙 4. 소문항 간 단계적 연계 구조 활용
앞선 소문항 (1)의 결론은 소문항 (2), (3)을 해결하는 핵심 힌트입니다. (1)이 막히더라도 (1)의 결과를 가정하고 (2)의 식을 세우면 부분점수를 획득할 수 있습니다.

RULE 5

원칙 5. 도형·그래프 보조 문자의 명확한 정의
답안지에 새로운 점·각·길이를 도입할 때는 '점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하자'와 같이 기호의 정의를 한 문장으로 선언하십시오.

RULE 6

원칙 6. 실전 시간 배분 및 검산 루틴 엄수
전체 시험 시간(100분) 중 마지막 10분은 부호 오류, 기약분수 약분 여부, 최종 답란 이기 누락을 점검하는 전용 검산 시간으로 확보하십시오.

RULE 7

원칙 7. 깔끔한 단락 구분과 최종 결론 강조
단계별 번호([1단계], [2단계], [결론])를 줄바꿈하여 가독성을 높이고 최종 수식을 명확히 제시하여 채점위원이 즉시 득점 포인트를 확인하게 하십시오.

📘 2027학년도 성신여자대학교 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

• 편찬 및 발행: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술·약술형논술 연구소 | 공식 플랫폼: https://questio.co.kr

• 상호: 퀘스티오(QUESTIO) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449

• 교육과정 준거: 교과서 기반 수학과 교육과정 (Textbook DB V1.0 · JEV-REA-ARGON 7대 무결성 검증 통과)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 교점 \(P \text{의} x \text{좌표가} 2 \text{임을 서술하고 상수} a\)의 값을 정확히 도출함	7점
2단계	(2) 교점을 기준으로 영역을 나누어 정적분 식을 세우고 넓이를 구함	8점
3단계	(3) 둘레의 길이 중 직선 부분과 곡선의 길이를 각각 계산하여 합을 구함	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 차수와 최고차항 계수 비교를 통해 \(g(x)\) 의 폼을 잡고, 축의 위치에 따른 케이스 분류로 \(g(x)\) \(=\) \(2x^2\) \(-\) \(5x\)를 정확히 구함	9점
2단계	(2) 부분분수 분해를 이용해 적분 대상 식을 변환하고 정적분을 올바르게 연산함	7점
3단계	(3) 접선과 교점 조건으로부터 중근 조건을 도출해 \(k=1, 2\)를 구하고 각각의 넓이를 계산함	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 기하학적 영역 크기 비교와 조임 정리를 통해 극한식 \(\lim_{t\to0} \frac{\sin t}{t} = 1\)을 엄밀히 보임	9점
2단계	(2) 다각형을 \(2n\)개의 삼각형으로 나누어 넓이 \(S(n)\)을 구하고 극한값 \(\pi\)를 정확히 연산함	7점
3단계	(3) 탄젠트 덧셈정리를 적용하여 \(\tan\theta(t)\) 식을 도출하고 미분을 통해 극점 및 최댓값 \(\pi/6\), 최솟값 \(-\pi/6\)을 올바르게 구함	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 직선의 기울기와 탄젠트 기하학적 의미를 활용해 \(\cos(\angle OPQ) = 1/2\)을 정확히 유도함	7점
2단계	(2) 교점의 좌표로부터 변의 길이를 계산하고, 코사인법칙을 적용해 \(RQ^2\) 값을 올바르게 도출함	8점
3단계	(3) 사인법칙으로 선분의 길이를 삼각함수 식으로 표현한 뒤 삼각함수 극한의 기본 성질로 극한값 \(\frac{k}{k-1}\)을 유도함	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 교점 범위를 파악하여 정적분 수식을 유도하고 대수방정식을 풀어 \(a=5\)를 올바르게 구함	8점
2단계	(2) 공통접선 조건과 함숫값 일치 조건을 연립하여 양수 \(b=7\)을 구하고 두 곡선 사이 넓이 108을 도출함	8점
3단계	(3) 미분계수 정의를 바탕으로 좌우미분계수의 수식을 전개하여 \(f'(c)\) \(=\) \(0\) 조건을 찾고 해 \(c=0\)\(,\)\(28/3\)을 정확히 구함	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) \(t \text{의 범위를 두 구간으로 나누어 각각의 넓이 함수} S(t)\)를 정확히 표현함	10점
2단계	(2) \(S(t)\) 의 극댓값 \(\frac{3\sqrt{3}}{8}\) 을 구하고, 그 때의 도형이 정육각형임을 파악하여 둘레의 길이 \(2\sqrt{3}\)을 구함	7점
3단계	(3) \(\{S_n\}\) 이 등비수열임을 확인하고 초항과 공비를 구하여 급수 \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)를 정확히 구함	8점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 조건 (가), (나)로부터 \(f(0)=0\)\(,\)\(f(2)=2\) 를 도출하고 롤의 정리를 \(2\)번 적용하여 두 개 이상의 근이 \((0\)\(,\)\(2)\)에 존재함을 증명함	7점
2단계	(2) \(g(x) = f(x+1)-1\)의 치환과 부분적분법을 이용하여 \(\int_0^1 xg'(x)\,dx = 3\)을 정확히 도출함	8점
3단계	(3) 주기성 (가)와 대칭성 (나), 조건 (다)를 체계적으로 활용하여 \(\int_0^4 f(x)\,dx = 8\)을 정확히 구함	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 사차함수 \(H(x)\) 의 최고차항 조건에서 \(f(x)\) \(=\) \(x\)\(,\)\(G(x)\) \(=\) \(\frac{x^2}{2}\)를 올바르게 도출함	10점
2단계	(2) 평균변화율 \(\frac{1}{2}\) 를 구하고 \(G'(c)\) \(=\) \(c\) \(=\) \(\frac{1}{2}\) 에서 \(c\) \(=\) \(\frac{1}{2}\)를 정확히 구함 (평균값 정리 적용)	7점
3단계	(3) \(G''(x) = 1\)임을 파악하고 \(\int_0^1 \|G''(x)\|\,dx = 1\)을 정확히 구함	8점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 같은 숫자가 3번 이상 들어있는 경우를 \(k=3,4,5\)로 나누어 올바르게 계산, 총 8560가지를 도출함	7점
2단계	(2) 3연속·4연속·5연속 경우를 포함-배제 원리로 분류, 2800가지를 정확히 구함	10점
3단계	(3) 5자리(97200)와 7자리(280000)를 합산하여 총 377200가지를 정확히 구함	8점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 극한 조건 (가), (나)를 이용하여 최고차항 계수, \(b\)\(,\)\(c\) 를 구해 \(f(x)\) \(=\) \(x^3\) \(-\) \(x^2\) \(+\) \(\frac{1}{4}x\)를 정확히 구함	7점
2단계	(2) 도함수와 이계도함수를 구해 극대점, 극소점, 변곡점을 구하고 개형을 그림. 변곡점 대칭식을 대입으로 증명함	8점
3단계	(3) 대칭성에 의해 \(g(x)\) \(=\) \(\frac{1}{108}\) 임을 보이고, 접어 올린 절댓값 함수와 \(y=k\) 의 교점 개수를 범주별로 구하여 불연속점 \(k=0\)\(,\)\(\frac{1}{108}\)을 정확히 찾음	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 치환적분과 부분적분법을 통해 \(H(1) = f(1)g(1) - f(0)g(2)\) 유도 후 정확히 11을 계산함	5점
2단계	(2) 임의의 \(n\) 에 대해 치환적분과 부분적분을 이용해 \(H(n)\) \(=\) \(a^n\) \(\sin\frac{n\pi}{4}\) \(-\) \(\sin\frac{n\pi}{2}\)를 정확히 유도함	10점
3단계	(3) 대칭성을 이용해 상수 부분을 제거하고, 첫째항이 \(\frac{3}{4}\) 이고 공비가 \(-\frac{1}{4}\) 인 등비수열임을 보여 급수의 합 \(\frac{3}{5}\)을 계산함	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 점 \(P_1\) 의 좌표와 원의 접선의 방정식을 구하고, 이차함수의 계수를 찾아 \(f(x)\) \(=\) \(x^2\) \(-\) \(\frac{1}{4}\)을 정확히 구함	8점
2단계	(2) 사각형, 부채꼴, 접선과 곡선 사이의 정적분 넓이를 각각 계산하여 최종 면적 \(\frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{3}\)를 도출함	10점
3단계	(3) 접선에 외접하는 두 원의 기하학적 비례식을 통해 반지름의 비가 \(\cos\theta\) 의 식으로 나타남을 보이고, \(\cos\theta\) \(=\) \(\frac{1}{3}\)을 정확히 계산함	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 중간 도달 지점 \((4\)\(,\)\(0)\sim(0\)\(,\)\(4)\) 을 특정하고 각 지점별 성신\(/\)수정의 최단 경로의 수 곱을 합산하여 만날 확률 \(\frac{35}{128}\)을 정확히 구함	7점
2단계	(2) \(P\) 와 \(Q\) 가 갈 수 있는 지점들을 나열하고, 맨해튼 거리 \(X=2\)\(,\)\(4\)\(,\)\(6\)에 대해 경우의 수와 확률분포를 구해 확률분포표를 올바르게 작성함	10점
3단계	(3) 확률분포표를 이용하여 기댓값 \(E(X)\) \(=\) \(\frac{5}{2}\) 와 분산 \(V(X)=1\) 을 계산하고, 표준편차 \(\sigma(X)\) \(=\) \(1\)을 정확히 도출함	8점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1-1] 이차식 부호에 따른 자연수 분류	\((k-2)(k-6)\)의 부호에 따라 세 집합을 정확히 분류	7점
[1-2] 거듭제곱근 실근 개수 합산	\(k+1\)의 홀짝성과 \(c_k\)의 부호를 대조하여 \(m=11\) 도출	8점
[1-3] 지수·로그 변환으로 \(N\) 결정	\(N=2^{11}\cdot(5/4)=2560\) 및 \(\log_{10} N = 9p+q\) 산출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2-1] 코사인법칙·사인법칙 적용	\(a=2\sqrt{10}\) 및 외접원 반지름 \(R=\frac{4\sqrt{6}}{3}\) 도출	7점
[2-2] 넓이 분할을 통한 각의 이등분선 길이	\(\overline{AD}=\frac{2bc}{b+c}\cos\frac{A}{2}=\frac{6\sqrt{10}}{5}\) 산출	8점
3단계	[2-3] 원주각 닮음을 이용한 \(\overline{DE}\) 계산 — \(\overline{AD}\cdot\overline{AE}=24\)로부터 \(\overline{AE}=2\sqrt{10}, \overline{DE}=\frac{4\sqrt{10}}{5}\) 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3-1] 도함수 인수분해 및 극점 중점	\(f(-1)=16, f(3)=-16\) 및 대칭 중심 \((1, 0)\) 도출	7점
[3-2] 접선 개수 방정식과 범위 도출	\(k=-2t^3+3t^2+11\) 유도 및 \(11 \lt k \lt 12\) 산출	8점
3단계	[3-3] 절댓값 함수 \(\|f(x)\|=m\)의 교점 해석 — \(0 \lt m \lt 16\) 범위로부터 자연수 \(15\)개 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[4-1] 포물선과 \(x\)축 넓이 계산	\(S_0 = \frac{1}{6}\cdot 6^3 = 36\) 정확히 산출	7점
[4-2] 넓이 이등분 조건식 유도	\(S(k)=\frac{1}{6}(6-k)^3 = 18\)로부터 \((6-k)^3=108\) 도출	8점
[4-3] 내접 삼각형 최대 넓이 및 비율	\(t=3\)에서 \(M=27\) 도출 및 아르키메데스 넓이 비 \(M/S_0 = 3/4\) 산출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1-1] 지수 치환과 근과 계수의 관계	\(3^{\alpha+\beta}=9k=27\)로부터 \(k=3\) 및 합 \(16\) 도출	7점
[1-2] 거듭제곱 대칭식 계산	\(9^\alpha+9^\beta = 16^2 - 2(27) = 202\) 산출	8점
[1-3] 로그부등식 인수분해 및 정수 개수	\(1\le \log_3 x \le 2 \implies 3\le x\le 9\)로부터 \(7\)개 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2-1] 등차수열 첫째항·공차·일반항	\(d=3, a_1=-16, a_n=3n-19\) 정확히 도출	7점
[2-2] 부호 변화 항 판별 및 최소 부분합	\(a_6=-1 \lt 0 \lt a_7=2\) 확인 및 \(S_6=-51\) 산출	8점
[2-3] 절댓값 수열 합의 구간 분리	\(T_{12} = S_{12} - 2S_6 = 6 - 2(-51) = 108\) 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3-1] 사잇값 정리의 구간별 부호 판정	\(g(0), g(1), g(2), g(3)\)의 부호 교번 확인 및 사잇값 정리 논증	8점
[3-2] 극한 수렴 조건으로 미정계수 결정	\(P(1)=0, P'(1)=5\)로부터 \(a=2, b=-3\) 도출	8점
[3-3] 단조증가 삼차방정식의 실근 구간 추정	\(Q(-1)=-1 \lt 0, Q(0)=2 \gt 0\)으로부터 \((-1, 0)\) 도출	9점

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평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[4-1] 상수 정적분 치환 해법	\(K = \frac{4}{3} + 2K \implies K=-\frac{4}{3}\) 및 \(f(x)=3x^2-4x-\frac{4}{3}\) 도출	8점
[4-2] 삼차함수 극댓값·극솟값의 합	근과 계수의 관계를 이용하여 \(F(\alpha)+F(\beta)=-\frac{208}{81}\) 산출	8점
[4-3] 원점 통과 접선의 판별식 조건	\(x^2-2x-(m+4/3)=0\)의 중근 조건으로부터 \(m=-7/3\) 도출	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1-1] 역함수와 직선 \(y=x\) 교점 분석	\(P(1,1), Q(2,2)\) 확인 및 \(\overline{PQ}=\sqrt{2}\) 도출	7점
[1-2] 기울기 \(-1\) 직선과의 대칭 교점	\(A(3,4), B(4,3)\) 도출 및 \(\overline{AB}=\sqrt{2}\) 산출	8점
[1-3] 수직이등분선 거리와 넓이 계산	중점 \(M(7/2, 7/2)\)까지의 거리로 넓이 \(\frac{5}{2}\) 및 \(1\) 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2-1] 삼각함수 주기 및 최대·최소	주기 \(T=2\), 최댓값 \(3\), 최솟값 \(-1\) 도출	7점
[2-2] 대칭축을 이용한 실근의 합	\(x_1+x_2=2, x_3+x_4=6\)으로부터 합 \(8\) 산출	8점
3단계	[2-3] 대칭 방정식 해법으로 \(k\) 및 곱 계산 — \(x_1=2/3 \implies k=0\) 및 \(x_4=10/3, x_1 x_4=20/9\) 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3-1] 롤의 정리 도함수 해법	\(f(-2)=f(2)=0\) 확인 및 \(f'(c)=4c(c^2-4)=0\)에서 \(c=0\) 도출	7점
2단계	[3-2] 구간 \([0, 2\sqrt{2}]\) 평균값 정리 — 평균변화율 \(0\) 확인 및 \(c=2 \in (0, 2\sqrt{2})\) 도출	8점
[3-3] 극점 삼각형 넓이 및 내접원 반지름	\(S=32\) 및 둘레 \(4+4\sqrt{65}\)로부터 \(r=\frac{\sqrt{65}-1}{4}\) 산출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[4-1] 속도 부호 변화와 최대 변위	\(t=4\)에서 최대 위치 \(\frac{64}{3}\) 도출	7점
[4-2] 위치 변화량과 이동 거리 분리 적분	위치 변화량 \(\frac{50}{3}\) 및 이동 거리 \(26\) 산출	8점
[4-3] 가속도 식과 정적분 방정식 결합	\((k-2)(k^2-4k-14)=0\)으로부터 \(k=2\) 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 접선 직교식 \(e^{x_0}-e^{-x_0}=2\)로부터 \(x_0=\ln(1+\sqrt{2}), c=2\sqrt{2}\) 도출	8점
2단계	[4-2] 우함수 대칭성을 활용한 정적분으로 넓이 \(S=4\sqrt{2}\ln(1+\sqrt{2})-4\) 계산	8점
3단계	[4-3] 완전제곱 변형으로 \(L_1=2\) 및 전체 둘레 \(L=4\) 정확히 산출	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 음함수 미분으로 \(y_1 y = 4(x+x_1)\) 유도 및 이차방정식 근과 계수의 관계로 \(y_1 y_2 = -16\) 증명	8점
2단계	[4-2] 기울기 곱 \(-1\) 확인 및 연립 해 \(R(-2, 4k)\)가 준선 \(x=-2\) 위에 있음을 논증	8점
3단계	[4-3] \(S(k)=16(k^2+1)^{3/2}\) 도출 후 최솟값 \(16\) 및 \(S(3/4)=\frac{125}{4}\) 산출	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 위양성 확률 \(0.08\) 반영 후 \(P(T) = 0.124 = \frac{31}{250}\) 정확히 도출	8점
2단계	[4-2] 조건부확률 식으로부터 \(P(D \mid T) = \frac{12}{31}\) 산출	8점
3단계	[4-3] \(\hat{p}=0.36\), 표준오차 \(0.024\) 및 \(95\%\) 신뢰구간 \([0.31296, 0.40704]\) 완성	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] \(\{a_n-3\}\) 등비수열 구조 논증 및 일반항 \(a_n = 3 + \frac{18}{3^n}\) 도출	7점
2단계	[4-2] 등비수열의 합 공식을 적용해 \(S_n = 3n + 9(1 - 3^{-n})\) 계산	8점
3단계	[4-3] 유한 부분합 \(U_N - \frac{1}{6}U_N\) 정리 후 극한으로 \(\frac{108}{25}\) 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 극솟값 \(1\) (\(x=0,2\)), 극댓값 \(2\) (\(x=1\)) 및 \(f(x)-1=x^2(x-2)^2\) 이중접선 증명	7점
2단계	[5-2] 정적분 전개로 넓이 \(S = \frac{16}{15}\) 정확히 산출	9점
3단계	[5-3] 중근 미분가능성 판정을 포함한 구간별 \(m(k)\) 도출 및 불연속점 합 \(3\) 결정	9점