\(x \gt 0\)일 때 제시문 (나)의 식을 미분하면 미적분학의 기본정리에 의하여 \[ f^{-1}(x) = 2x e^x \] 을 얻고, 함수 \(f^{-1}(x)\)는 닫힌구간 \([0, \infty)\)에서 연속이므로 \(f^{-1}(0) = \displaystyle \lim_{x \to 0+} 2x e^x = 0\)이다.

이로부터 다음 두 함숫값을 직접 대입하여 계산할 수 있다: \[ f^{-1}(\ln 2) = 2(\ln 2) e^{\ln 2} = 4\ln 2 \] \[ f^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2\left(\dfrac{1}{2}\right) e^{1/2} = \sqrt{e} \] 또한 \(f^{-1}(x) = 2xe^x\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \((f^{-1})'(x) = 2(1+x)e^x\)이므로, \(x = \dfrac{1}{2}\)을 대입하면 \((f^{-1})'\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2\left(1+\dfrac{1}{2}\right)e^{1/2} = 3\sqrt{e}\)이다. 따라서 역함수의 미분법에 의하여 \[ f'\left(f^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\right) = \dfrac{1}{(f^{-1})'(1/2)} = \dfrac{1}{3\sqrt{e}} \]

[그림 1] 역함수와 정적분 대칭 영역

\(f(\sqrt{e}) = \dfrac{1}{2}\)이고, 그래프의 대칭성을 이용하면 [그림 1]처럼 색칠된 두 영역의 넓이가 서로 같다. 따라서 직사각형의 넓이에서 역함수의 정적분을 뺀 것으로 계산된다: \[ \int_0^{\sqrt{e}} f(x)\,dx = \sqrt{e} \cdot f(\sqrt{e}) - \int_0^{f(\sqrt{e})} 2x e^x \,dx = \dfrac{\sqrt{e}}{2} - \int_0^{1/2} 2x e^x \,dx \] 여기서 부분적분법을 적용하면 \[ \int_0^{1/2} 2x e^x \,dx = [2x e^x]_0^{1/2} - \int_0^{1/2} 2e^x \,dx = \sqrt{e} - [2e^x]_0^{1/2} = \sqrt{e} - 2\sqrt{e} + 2 = 2 - \sqrt{e} \] 그러므로 구하는 정적분의 값은 다음과 같다: \[ \int_0^{\sqrt{e}} f(x)\,dx = \dfrac{\sqrt{e}}{2} - (2 - \sqrt{e}) = \dfrac{3\sqrt{e}}{2} - 2 \]

\(f(0)=0\), \(f(4\ln 2)=\ln 2\)이므로 \(g(0)=0\), \(g(4\ln 2)=0\)이다. 롤의 정리에 의하여 \(g'(a) = f'(a) - \dfrac{1}{4} = 0\)을 만족하는 \(a \in (0, 4\ln 2)\)가 적어도 하나 존재한다.
한편, \((f^{-1})''(x) = 2(x+2)e^x \gt 0\) (\(x \gt 0\))이므로 \(f^{-1}(x)\)는 아래로 볼록하고, 역함수인 \(f(x)\) 및 \(g(x)\)는 위로 볼록하다. 따라서 \(a\)는 유일하며 \(g(x)\)는 \(x=a\)에서 최댓값을 갖는다. 즉, \(a=\alpha\)이다.
\(f^{-1}(x) = 2xe^x = \alpha\)를 만족하는 \(x\)에 대하여 \(f'(\alpha) = \dfrac{1}{2(1+x)e^x} = \dfrac{1}{4}\)이므로 \((1+x)e^x = 2\)를 얻는다.
두 식 \(2xe^x = \alpha\)와 \((1+x)e^x = 2\)에서 양변을 나누면 \(\dfrac{2x}{1+x} = \dfrac{\alpha}{2} \implies 4x = \alpha(1+x) \implies x = \dfrac{\alpha}{4-\alpha}\)이다.
따라서 구하는 최댓값은 다음과 같다: \[ g(\alpha) = f(\alpha) - \dfrac{\alpha}{4} = x - \dfrac{\alpha}{4} = \dfrac{\alpha}{4-\alpha} - \dfrac{\alpha}{4} = \dfrac{4\alpha - \alpha(4-\alpha)}{4(4-\alpha)} = \dfrac{\alpha^2}{4(4-\alpha)} \]

모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle \int_0^x (2t-x)f(t)\,dt = (x-2)e^x + ax + b \quad \cdots\cdots (1)\)이 성립하므로 양변에 \(x=0\)을 대입하면 \[ 0 = -2 + b \implies b = 2 \] 좌변을 \(\displaystyle 2\int_0^x t f(t)\,dt - x \int_0^x f(t)\,dt\)로 분리하여 식 (1)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \[ 2x f(x) - \int_0^x f(t)\,dt - x f(x) = e^x + (x-2)e^x + a \implies x f(x) - \int_0^x f(t)\,dt = (x-1)e^x + a \quad \cdots\cdots (2) \] 이 식의 양변에 다시 \(x=0\)을 대입하면 \(0 = -1 + a \implies a = 1\)이다.
식 (2)의 양변을 다시 \(x\)에 대하여 미분하면 \(f(x) + x f'(x) - f(x) = e^x + (x-1)e^x = x e^x\)이므로 \(x f'(x) = x e^x\), 즉 \(f'(x) = e^x\)이다.
이를 적분하면 적당한 상수 \(C\)에 대하여 \(f(x) = e^x + C\)이다. 따라서 다음을 얻는다: \[ f(2) - f(1) = (e^2 + C) - (e^1 + C) = e^2 - e \]

(2-1)의 결과로부터 \(g(x) = \begin{cases} x^2+2x+3 & (x \lt 0) \\ e^x + C & (x \ge 0) \end{cases}\)이다.
\(r(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0+} \dfrac{g(x+h)-g(x-2h)}{h}\)의 값이 모든 실수 \(x\)에서 존재하므로 \(x=0\)에서도 극한값이 존재해야 한다.
분모가 \(0\)으로 가므로 분자도 \(0\)으로 수렴해야 하므로 \(\displaystyle \lim_{h \to 0+} g(h) = \lim_{h \to 0+} g(-2h) \implies 1 + C = 3 \implies C = 2\)이다.
따라서 \(f(x) = e^x + 2\)이다.
이제 \(x=0\)에서의 극한값을 계산하면 지수함수 \(e^h\)의 도함수 정의에 의해 \[ r(0) = \lim_{h \to 0+} \dfrac{g(h)-g(-2h)}{h} = \lim_{h \to 0+} \dfrac{(e^h+2) - (4h^2-4h+3)}{h} = \lim_{h \to 0+} \dfrac{e^h-1}{h} + \lim_{h \to 0+} (-4h+4) = 1 + 4 = 5 \] \(x \ne 0\)일 때는 \(g(x)\)가 미분가능하므로 \[ r(x) = \lim_{h \to 0+} \left[ \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} + 2 \cdot \dfrac{g(x-2h)-g(x)}{-2h} \right] = g'(x) + 2g'(x) = 3g'(x) \] 따라서 \(x \lt 0\)일 때 \(r(x) = 3(2x+2) = 6x+6\)이고, \(x \gt 0\)일 때 \(r(x) = 3e^x\)이다. 종합하면: \[ f(x) = e^x+2, \quad r(x) = \begin{cases} 6x+6 & (x \lt 0) \\ 5 & (x = 0) \\ 3e^x & (x \gt 0) \end{cases} \]

[그림 2] 함수 \(y=r(x)\)의 그래프 개형

함수 \(y=r(x)\)의 그래프는 [그림 2]와 같다. \(x \gt 0\)인 영역에서 두 곡선 \(y=e^{2x}+k\)와 \(y=3e^x\)의 교점을 구하기 위해 \(t=e^x\)로 치환하면 (\(x \gt 0 \iff t \gt 1\)), 이차방정식 \[ t^2 - 3t + k = 0 \quad \cdots\cdots (3) \] 의 \(t \gt 1\)에서의 서로 다른 실근의 개수를 구하는 문제로 귀결된다. 판별식 \(D = 9 - 4k\)이고, 대칭축은 \(t = \dfrac{3}{2} \gt 1\)이다:
• \(k \gt \dfrac{9}{4}\): \(D \lt 0\)이므로 실근 0개
• \(k = \dfrac{9}{4}\): \(D = 0\)이므로 중근 \(t = \dfrac{3}{2} \gt 1\) 1개 (접함)
• \(k \lt \dfrac{9}{4}\): \(D \gt 0\). \(p(t) = t^2-3t+k\)에서 \(p(1) = k-2\)이므로:
    ① \(k \le 2\): \(p(1) \le 0\)이므로 \(t \gt 1\)에서 오직 1개의 실근
    ② \(2 \lt k \lt \dfrac{9}{4}\): \(p(1) \gt 0\)이므로 \(t \gt 1\)에서 서로 다른 2개의 실근
이제 \(x \le 0\)인 영역 (\(y=6x+6\), 점 \((0,5)\))에서의 만나는 점을 종합하면 아래 표와 같다 (특히 \(k=5\)일 때 곡선 \(y=e^{2x}+5\)의 \(x \le 0\)에서의 접선 기울기는 \(2e^{2x} \le 2 \lt 6\)이므로 직선 \(6x+6\)과 만나지 않음):

따라서 교점의 개수가 2가 되도록 하는 실수 \(k\)의 값은 \(k \le 2\) 또는 \(k = \dfrac{9}{4}\) 또는 \(k = 4\)이다.

\(\angle\text{CAD} = \dfrac{\pi}{3}\)이므로 \(\triangle\text{ACD}\)에서 코사인법칙에 의하여 \[ \overline{\text{CD}}^2 = x^2 + 2^2 - 2 \cdot x \cdot 2 \cos\dfrac{\pi}{3} = x^2 - 2x + 4 \implies \overline{\text{CD}} = \sqrt{x^2-2x+4} \] 삼각형 \(\text{ADC}\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot x \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}x\)이다. 내접원의 반지름 \(r_1(x)\)와 둘레의 관계에 의해 \[ \dfrac{\sqrt{3}}{2}x = r_1(x) \cdot \dfrac{x + 2 + \sqrt{x^2-2x+4}}{2} \implies r_1(x) = \dfrac{\sqrt{3}x}{x+2+\sqrt{x^2-2x+4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\left(x+2-\sqrt{x^2-2x+4}\right) \] 선분 \(\text{BD}\)의 길이는 \(2-x\)이므로 대칭성에 의하여 \(r_2(x) = r_1(2-x) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\left(4-x-\sqrt{x^2-2x+4}\right)\)이다.

그러므로 두 반지름의 합 함수 \(f(x)\)는 다음과 같다: \[ f(x) = r_1(x) + r_2(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(3-\sqrt{x^2-2x+4}\right) \] 도함수를 구하면 \(f'(x) = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot \dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+4}}\)이다. \(x \lt 1\)일 때 \(f'(x) \gt 0\), \(x \gt 1\)일 때 \(f'(x) \lt 0\)이므로 극대이자 최댓값은 \(f(1) = \sqrt{3}-1\)이다.

또한 경계에서의 극한은 \(f(0) = \displaystyle \lim_{x \to 0+} f(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\), \(f(2) = \displaystyle \lim_{x \to 2-} f(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)이므로 구하는 \(f\)의 치역은 다음과 같다: \[ \text{치역} = \left[ \dfrac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}-1 \right] \]

[그림 3] 대칭 접선과 각 \(\theta\) 개형

\(f(x) = f(2-x)\)이므로 곡선 \(y=f(x)\)는 직선 \(x=1\)에 대하여 선대칭이다. 따라서 \(x\)좌표가 1인 점 \(\text{P}\)를 지나는 두 접선의 접점 \(\text{Q}\)와 \(\text{R}\)의 \(x\)좌표는 각각 \(\dfrac{1}{4}\)과 \(2 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{4}\)이다.
직선 \(x=1\) 위의 점 \(\text{T}(1,0)\)에 대하여 대칭성에 의해 \(\angle\text{QPT} = \angle\text{RPT} = \dfrac{\theta}{2}\)이다.

점 \(\text{Q}\)에서의 접선의 기울기는 다음과 같다: \[ f'\left(\dfrac{1}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot \dfrac{1/4 - 1}{\sqrt{(1/4)^2 - 2(1/4) + 4}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot \dfrac{-3/4}{\sqrt{57}/4} = \dfrac{1}{\sqrt{19}} \] 직선 \(\text{PQ}\)와 수직선 \(x=1\)이 이루는 각이 \(\dfrac{\theta}{2}\)이므로, 접선 기울기와 직각삼각형 관계로부터 \[ \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\theta}{2}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{19}} \implies \tan\dfrac{\theta}{2} = \sqrt{19} \] 따라서 직각삼각형 빗변 길이는 \(\sqrt{1^2 + (\sqrt{19})^2} = \sqrt{20}\)이므로 \[ \cos\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{20}}, \quad \sin\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{\sqrt{19}}{\sqrt{20}} \] 배각공식 \(\sin\theta = 2\sin\dfrac{\theta}{2}\cos\dfrac{\theta}{2}\)에 의하여: \[ \sin\theta = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{19}}{\sqrt{20}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{20}} = \dfrac{2\sqrt{19}}{20} = \dfrac{\sqrt{19}}{10} \]

[그림 4] 정적분 \(g(t)\)의 면적 분할

\(f(x)\)는 \(x=1\)에 대하여 대칭이므로 \(\displaystyle g(t) = \int_0^2 |f(x)-t|\,dx = 2\int_0^1 |f(x)-t|\,dx\)이다.
\(0 \le x \le 1\)에서 \(f(x)\)는 순증가하므로 역함수 \(f^{-1}(t)\)가 \(\dfrac{\sqrt{3}}{3} \le t \le \sqrt{3}-1\)에서 유일하게 존재한다. \(F'(x)=f(x)\)라 하면 [그림 4]의 분할에 의해: \[ g(t) = 2\left[ \int_0^{f^{-1}(t)} (t-f(x))\,dx + \int_{f^{-1}(t)}^1 (f(x)-t)\,dx \right] \] 이를 \(t\)에 관하여 미분하면 라이프니츠 적분 규칙에 의해 \[ g'(t) = 2\left[ \int_0^{f^{-1}(t)} 1\,dx + (t-f(f^{-1}(t)))(f^{-1})'(t) - \int_{f^{-1}(t)}^1 1\,dx - (f(f^{-1}(t))-t)(f^{-1})'(t) \right] \] 여기서 \(f(f^{-1}(t))=t\)이므로 경계항은 모두 \(0\)이 되고 다음과 같이 정리된다: \[ g'(t) = 2\left( f^{-1}(t) - (1 - f^{-1}(t)) \right) = 2\left(2f^{-1}(t) - 1\right) \] \(f^{-1}(t)\) 역시 증가함수이므로 \(g'(t) = 0 \iff f^{-1}(t) = \dfrac{1}{2}\)에서 좌우 부호가 음에서 양으로 바뀌어 유일한 극소이자 최솟값을 갖는다.

따라서 최솟값을 갖는 \(t = \alpha\)는 다음과 같다: \[ \alpha = f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(3 - \sqrt{(1/2)^2 - 2(1/2) + 4}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}(6-\sqrt{13}) = \sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{39}}{6} \]

[그림 2] \(a=-1\) 및 \(a=1\) 개형 비교

조건 (가)에서 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{|g(x)|}{x^3} = 1\)이고 \(x \gt 0\)에서 \(g(x) = f(x)\)이므로 삼차함수 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)의 최고차항 계수는 \(|a| = 1\), 즉 \(a = 1\) 또는 \(a = -1\)이다.
또한 \(g(x)\)가 \(x=0\)에서 연속이므로 \(f(0) = \displaystyle \lim_{x \to 0-} g(x) = \lim_{x \to 0-} \left(-\dfrac{1}{2}x\right) = 0\)이다. 즉 \(d = 0\)이다.

[Case 1] \(a = -1\)인 경우
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\)이다. \(f(0)=0\)이고 \(x \le 0\)에서 \(g(x) \ge 0\)이므로, \(g(x)\)가 \(x \gt 0\)에서 최솟값을 가지려면 극솟값이 존재해야 하고, \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\)로 인해 실수 전체에서 최솟값이 존재할 수 없게 된다. 이는 조건 (나)에 모순이다.

[Case 2] \(a = 1\)인 경우
\(x \le 0\)에서 \(g(x) = -\dfrac{1}{2}x\) (감소함수)이고 \(f(0)=0\)이므로, \(x \gt 0\)에서 삼차함수 \(f(x)\)가 오직 하나의 극솟값만을 가지면 조건 (나)와 (다)를 모두 만족시키는 경우가 존재한다.

따라서 \(f(x)\)의 최고차항의 계수는 \(1\)이다.

[그림 3] \(f'(x)\) 개형 및 \(\alpha(\beta)\) 곡선

(2-1)로부터 \(f(x)\)의 최고차항 계수는 \(1\)이다. 조건 (나), (다)를 모두 만족시키는 경우는 [그림 3]과 같이 적당한 양수 \(\alpha\)에 대하여 \(x=\alpha\)에서 극소가 되어야 한다. 따라서 이차방정식 \(f'(x)=0\)이 서로 다른 두 실근 \(\alpha, \beta\)를 갖고, \(\alpha \gt 0\)이고 \(\beta \le 0\)이어야 한다.
\(f'(x) = 3(x-\alpha)(x-\beta) = 3x^2 - 3(\alpha+\beta)x + 3\alpha\beta\)라 둘 수 있고, \(f(0)=0\)이므로 \[ f(x) = x^3 - \dfrac{3}{2}(\alpha+\beta)x^2 + 3\alpha\beta x \] 조건 (다)에서 \(\displaystyle \int_{-1}^1 g(x)\,dx = 0\)이고 \[ \int_{-1}^0 g(x)\,dx = \int_{-1}^0 \left(-\dfrac{1}{2}x\right)dx = \left[ -\dfrac{1}{4}x^2 \right]_{-1}^0 = \dfrac{1}{4} \] 이므로 \(\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx = -\dfrac{1}{4}\)이다. 적분을 계산하면 \[ \int_0^1 \left[ x^3 - \dfrac{3}{2}(\alpha+\beta)x^2 + 3\alpha\beta x \right] dx = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}(\alpha+\beta) + \dfrac{3}{2}\alpha\beta = -\dfrac{1}{4} \] \[ \implies \dfrac{1}{2}(\alpha+\beta) - \dfrac{3}{2}\alpha\beta = \dfrac{1}{2} \implies \alpha + \beta - 3\alpha\beta = 1 \] 이로부터 \(\beta = \dfrac{1-\alpha}{1-3\alpha}\), \(\alpha = \dfrac{1-\beta}{1-3\beta}\) (\(\beta \le 0\))를 얻는다.
\(\beta \le 0\)인 영역에서 분수함수 \(u(\beta) = \dfrac{1-\beta}{1-3\beta} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2/3}{1-3\beta}\)를 분석하면:
• \(\beta = 0\)일 때: \(\alpha = 1\)
• \(\beta \to -\infty\)일 때: \(\displaystyle \lim_{\beta \to -\infty} \dfrac{1-\beta}{1-3\beta} = \dfrac{1}{3}\)
따라서 구하는 실수 \(\alpha\)의 범위는 다음과 같다: \[ \dfrac{1}{3} \lt \alpha \le 1 \]

[그림 4] Case (i), (ii), (iii) 개형

\(p(x) = g(x) - f'(0)x\)라 하면 \(h(x) = |p(x)|\)이다. \(f'(0) = 3\alpha\beta\)이고 \(\alpha+\beta - 3\alpha\beta = 1\)이므로: \[ p(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{2}x - (\alpha+\beta-1)x & (x \le 0) \\ x^3 - \dfrac{3}{2}(\alpha+\beta)x^2 = x^2\left[x - \dfrac{3}{2}(\alpha+\beta)\right] & (x \gt 0) \end{cases} \] • \(x \ge 0\)에서 \(p(x)=0\)은 \(x=0\)에서 항상 중근을 갖고, \(\alpha+\beta \gt 0\)일 때 양의 실근을 갖는다.
• \(x \le 0\)에서 일차항 계수가 \(0\)이 되는 조건은 \(\alpha+\beta-1 = -\dfrac{1}{2} \iff \alpha+\beta = \dfrac{1}{2}\)이다. \(\alpha+\beta = \dfrac{1-3\alpha^2}{1-3\alpha} = \dfrac{1}{2} \iff 6\alpha^2 - 3\alpha - 1 = 0 \implies \alpha = \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{33}}{12}\).

따라서 \(\alpha\)의 범위에 따라 세 가지 경우로 나뉜다:
(i) \(\dfrac{1}{3} \lt \alpha \le \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) (\(\alpha+\beta \le 0\)): 양의 실근이 없고 \(x \le 0\)에서 일차항 계수가 \(0\)이 아니므로, \(x=0\)에서만 미분불가능 (좌미분계수 음수, 우미분계수 0). \(D\)의 원소 개수 = 1.
(ii) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3} \lt \alpha \le 1\)이고 \(\alpha \ne \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{33}}{12}\): \(x=0\)과 양의 실근에서 미분불가능. \(D\)의 원소 개수 = 2.
(iii) \(\alpha = \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{33}}{12}\): \(x \le 0\)에서 \(p(x) \equiv 0\)이므로 \(x=0\)에서 좌우미분계수가 모두 0으로 미분가능! 오직 양의 실근에서만 미분불가능. \(D\)의 원소 개수 = 1.

따라서 답은 \(\dfrac{1}{3} \lt \alpha \le \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 또는 \(\alpha = \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{33}}{12}\)이다.

최고차항의 계수가 \(1\)이고 조건 (가)에 의해 \(f(0)=f(a)=0\)이므로 \(f(x) = x(x-a)(x-b)\)라 둘 수 있다.

조건 (나)의 정적분 조건을 계산하면 다음과 같다.

\(a \gt 0\)이므로 \(-a + 2b = 0 \iff b = \frac{a}{2}\)이다. 따라서 삼차함수는 \(f(x) = x(x-a)\left(x - \frac{a}{2}\right) = x^3 - \frac{3}{2}ax^2 + \frac{a^2}{2}x\)이다.

도함수는 \(f'(x) = 3x^2 - 3ax + \frac{a^2}{2}\)이며, \(f'(x) = 0\)의 근은 근의 공식에 의해 \(x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{6}a\)이다.

최고차항의 계수가 양수이므로 작은 근인 \(x = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}a\)에서 극댓값을 갖는다. 극댓값을 계산하면:

\(g(x) = \displaystyle \int_0^x tf(x-t)\,dt\)에서 \(y = x - t\)로 치환하면, \(t = x - y\), \(dt = -dy\)이며 구간은 \(t=0 \to y=x\), \(t=x \to y=0\)이 된다.

양변을 \(x\)에 대하여 미분하면:

한 번 더 미분하면 미적분학의 기본정리에 의해 \(g''(x) = f(x)\)이다. 따라서:

\(h(x) = f(x) + x = x\left(x - \frac{a}{2}\right)(x - a) + x\)이다. \(h(a-x)\)를 대입하여 계산하면:

즉, \(h(x) + h(a-x) = a\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 성립한다. (이는 곡선 \(y=h(x)\)가 점 \(\left(\frac{a}{2},\,\frac{a}{2}\right)\)에 대해 점대칭임을 의미한다.)

이제 \(p(x) = e^{h(x)} + e^{h(a-x)} = e^{h(x)} + e^{a - h(x)}\)이다. 지수함수는 항상 양수이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의해:

등호는 \(e^{h(x)} = e^{a - h(x)} \iff h(x) = a - h(x) \iff h(x) = \frac{a}{2}\)일 때 성립한다.

\(h\left(\frac{a}{2}\right) = f\left(\frac{a}{2}\right) + \frac{a}{2} = 0 + \frac{a}{2} = \frac{a}{2}\)이므로, \(x = \frac{a}{2}\)에서 등호가 항상 성립한다. 따라서 \(p(x)\)의 최솟값은 \(2\sqrt{e^a} = 2e^{a/2}\)이다.

\(t = h(x)\)로 치환하면 \(q(t) = e^t + e^{a-t}\)이다. \(q'(t) = e^t - e^{a-t}\)이며, \(q'(t) = 0 \iff t = \frac{a}{2}\)이다. \(t \lt \frac{a}{2}\)에서 \(q'(t) \lt 0\), \(t \gt \frac{a}{2}\)에서 \(q'(t) \gt 0\)이므로 \(t = \frac{a}{2}\)에서 극소이자 최솟값 \(q\left(\frac{a}{2}\right) = 2e^{a/2}\)를 갖는다. \(h\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{a}{2}\)이므로 실제로 이 최솟값을 취한다.

점 \(A\left(f(t),\, \frac{1}{f(t)}\right)\), \(B\left(f(t+1),\, \frac{1}{f(t+1)}\right)\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 각각 \(C, D\)라 하자.

직각삼각형 \(OAC\)의 넓이는 \(\frac{1}{2} \cdot f(t) \cdot \frac{1}{f(t)} = \frac{1}{2}\), 직각삼각형 \(OBD\)의 넓이는 \(\frac{1}{2} \cdot f(t+1) \cdot \frac{1}{f(t+1)} = \frac{1}{2}\)이다.

영역의 넓이 \(S(t)\)는 사다리꼴 형태의 곡선 아래 영역과 삼각형의 합·차로 계산된다:

\(f(t) = e^{t^3}\)이면 \(\frac{f(t+1)}{f(t)} = \frac{e^{(t+1)^3}}{e^{t^3}} = e^{(t+1)^3 - t^3}\)이므로 \(S(t) = (t+1)^3 - t^3\)이다.

따라서 \(S(2) = (2+1)^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19\)이다.

모든 실수 \(t\)에 대하여 \(S(t) = \ln\frac{f(t+1)}{f(t)} = 2\)이므로 \(\frac{f(t+1)}{f(t)} = e^2\)이다.

따라서 수열 \(\{f(n)\}\)은 첫째항이 \(f(1) = f(0)e^2 = 2e^2\)이고 공비가 \(e^2\)인 등비수열이다.

역수 수열 \(\left\{\frac{1}{f(n)}\right\}\)은 첫째항이 \(\frac{1}{f(1)} = \frac{1}{2e^2}\)이고 공비가 \(r = \frac{1}{e^2} \lt 1\)인 등비수열이다.

\(S(t) = \ln f(t+1) - \ln f(t)\)가 상수함수이므로, 양변을 \(t\)에 대해 미분하면 \(S'(t) = 0\)이다.

\(g(t) = \frac{f'(t)}{f(t)}\)라 두면, 모든 실수 \(t\)에 대하여 \(g(t+1) = g(t)\) (주기 1)이다.

한편, \(g(t)\)의 도함수는 몫의 미분법에 의해 다음과 같다:

문제의 조건에서 모든 실수 \(t\)에 대하여 \(f''(t)f(t) \ge \{f'(t)\}^2\)이므로 \(g'(t) \ge 0\)이다. 즉, \(g(t)\)는 실수 전체에서 단조증가(증가상태)하는 함수이다.

주기가 \(1\)인 함수가 단조증가하려면 오직 상수함수이어야만 한다.

[증명: 만약 \(g(t)\)가 상수가 아니라면, \(g(t_1) \lt g(t_2)\)인 \(t_1 \lt t_2 \le t_1 + 1\)이 존재한다. 증가성에 의해 \(g(t_1) \lt g(t_2) \le g(t_1+1) = g(t_1)\)이 되어 모순이다. 따라서 평균값 정리에 의해 \(g'(t) = 0\)이어야 하고 \(g(t)\)는 상수함수이다.]

따라서 \(g(t) = \frac{f'(t)}{f(t)} = C\) (상수)이다. 조건 \(f(0)=2\), \(f'(0)=3\)에서 \(C = \frac{f'(0)}{f(0)} = \frac{3}{2}\)이다.

따라서 구하는 함숫값은 다음과 같다:

\(\overline{OB} = \overline{AB} = 2\)이고 \(\angle OBA = 90^\circ\)이므로, \(\triangle OAB\)는 직각이등변삼각형이다. 따라서 \(\angle AOB = \frac{\pi}{4}\)이며, 선분 \(OA\)가 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각은 \(\theta + \frac{\pi}{4}\)이다.

\(\overline{OA} = 2\sqrt{2}\), \(\overline{OB} = 2\)이므로 삼각함수 정의에 의해 두 점의 좌표는:

직선 \(l: y=1\)과 선분 \(OB\)의 교점이 점 \(\text{D}\)가 되려면, 점 \(\text{B}\)의 \(y\)좌표가 \(1\) 이상이어야 한다.

\(2\sin\theta \ge 1 \iff \sin\theta \ge \frac{1}{2}\)이다. 주어진 범위 \(0 \le \theta \lt \frac{\pi}{2}\)에서 구하는 \(\theta\)의 범위는 \(\frac{\pi}{6} \le \theta \lt \frac{\pi}{2}\)이다.

\(\frac{\pi}{6} \le \theta \lt \frac{\pi}{2}\)일 때, 직선 \(l: y=1\) 상에서 직선 \(OA\)와의 교점은 \(\text{C}\), 직선 \(OB\)와의 교점은 \(\text{D}\)이다.

직선 \(OB\)의 기울기는 \(\tan\theta\)이므로 \(D\left(\cot\theta,\, 1\right)\)이고, 직선 \(OA\)의 기울기는 \(\tan\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)\)이므로 \(C\left(\cot\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right),\, 1\right)\)이다.

\(t = \tan\theta\)로 치환하면, \(\theta \in \left[\frac{\pi}{6},\, \frac{\pi}{2}\right)\)에서 \(t \ge \frac{1}{\sqrt{3}}\)이다. 식을 정리하면:

\(f'(t) = 0 \iff t^2 - 2t - 1 = 0\)의 양의 실근은 \(t = 1 + \sqrt{2}\)이다.

\(\frac{1}{\sqrt{3}} \le t \lt 1+\sqrt{2}\)에서 \(f'(t) \lt 0\) (감소), \(t \gt 1+\sqrt{2}\)에서 \(f'(t) \gt 0\) (증가)하므로:

\(\triangle OAB\)의 전체 넓이는 \(\frac{1}{2} \cdot \overline{OB} \cdot \overline{AB} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\)이다.

따라서 \(a + b = 2 \iff a = 2 - b\)이며, 구하는 식은 \(g(b) = a \times b = b(2 - b) = -(b-1)^2 + 1\)이다.

선분 \(CD\) 아래 영역의 넓이 \(b\)의 범위를 \(\theta\)의 구간에 따라 구하자.

(i) \(0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}\)인 경우:

직선 \(l\) 아래 영역은 높이가 \(1\)인 사다리꼴 형태이며, \(\theta = 0\)일 때 사다리꼴의 넓이는 \(b = \frac{3}{2}\)이다.

\(\theta = \frac{\pi}{6}\)일 때, 점 \(\text{D}\)가 점 \(\text{B}\)와 일치하므로 \(b = \sqrt{3} - 1\)이다. 따라서 \(\sqrt{3} - 1 \le b \le \frac{3}{2}\)이다.

(ii) \(\frac{\pi}{6} \le \theta \lt \frac{\pi}{2}\)인 경우:

직선 \(l\) 아래 영역은 밑변이 \(\overline{\text{CD}} = f(t)\)이고 높이가 \(1\)인 삼각형이므로 넓이는 \(b = \frac{1}{2} \cdot f(t) \cdot 1 = \frac{1}{2}f(t)\)이다.

(3-2)의 결과에서 \(f(t)\)의 치역이 \([2\sqrt{2}-2,\, 2\sqrt{3}-2]\)이므로:

따라서 \(0 \le \theta \lt \frac{\pi}{2}\) 전체에서 \(b\)의 범위는 \(\sqrt{2} - 1 \le b \le \frac{3}{2}\)이다.

이차함수 \(g(b) = b(2-b)\)는 축이 \(b = 1\)이며, \(1 \in [\sqrt{2}-1,\, \frac{3}{2}]\)이므로:

축 \(b=1\)에서 양 끝점까지의 거리를 비교하면, \(1 - (\sqrt{2}-1) = 2 - \sqrt{2} \approx 0.586\)이고, \(\frac{3}{2} - 1 = 0.5\)이므로 \(b = \sqrt{2}-1\)에서 가장 멀리 떨어져 있다.

함수 \(|f(x)|\)가 \(x=0\)과 \(x=1\)에서만 미분가능하지 않으므로, 사차방정식 \(f(x)=0\)은 \(x=0\)과 \(x=1\)을 실근으로 가져야 하며, 나머지 두 실근은 중근을 형성하거나 허근을 가져야 한다.

따라서 사차함수 \(f(x)\)는 다음과 같은 꼴로 표현된다:

조건 (가)에서 \(f(-1) = (-1)(-2)(1 - a + b) = 2(1 - a + b) = 2\)이므로 \(1 - a + b = 1 \implies b = a\)이다.

즉, \(f(x) = x(x-1)(x^2 + ax + a)\)이다. \(|f(x)|\)가 \(x=0, 1\) 이외의 점에서 미분불가능점이 생기지 않으려면 이차방정식 \(x^2 + ax + a = 0\)이 실근을 갖지 않거나(판별식 \(D \lt 0\)), 실근을 갖더라도 중근(접함)이어야 한다.

만약 \(a=0\)이면 \(f(x) = x^3(x-1)\)이 되어 \(x=0\)에서 삼중근을 가지므로 \(|f(x)|\)는 \(x=0\)에서 미분가능해져 조건 (나)에 모순이다. 따라서 \(0 \lt a \le 4\)이어야 한다.

\(f(x) = (x^2 - x)(x^2 + ax + a)\)를 전개하여 일차항의 계수를 구하면 \(f'(0) = -a\)이다. \(0 \lt a \le 4\)이므로:

\(f'(0) = -a = -3\)이므로 \(a = 3\)이다. \(f(x) = x(x-1)(x^2 + 3x + 3)\)이며, \(x=0\) 근방에서 \(x-1 \lt 0\), \(x^2+3x+3 \gt 0\)이므로 \(f(x)\)의 부호는 \(-x\)의 부호와 일치한다. 즉, \(x \to 0^+\)일 때 \(f(x) \lt 0\), \(x \to 0^-\)일 때 \(f(x) \gt 0\)이다.

\(k(x) = e^{|f(x)|}\)라 할 때, \(x=0\)에서의 우미분계수와 좌미분계수를 각각 구하자.

우미분계수(\(3\))와 좌미분계수(\(-3\))가 서로 다르므로 \(e^{|f(x)|}\)은 \(x=0\)에서 미분가능하지 않다.

사차곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = mx + n\)이 서로 다른 두 점 \(\alpha, \beta\)에서 접하므로, 항등식은 다음과 같다:

좌변을 전개하면: \(x^4 + (a-1)x^3 + (-m)x - n\)이다. (\(x^2\)의 계수는 \(-a + a = 0\)이다.)

우변을 전개하면: \(x^4 - 2(\alpha+\beta)x^3 + \{(\alpha+\beta)^2 + 2\alpha\beta\}x^2 - 2\alpha\beta(\alpha+\beta)x + (\alpha\beta)^2\)이다.

계수를 비교하면:

\(m\)을 \(a\)에 대한 함수로 보고 미분하면:

(1-1)에서 \(0 \lt a \le 4\)이므로, \(a = 1 + \frac{2\sqrt{6}}{3}\)일 때 \(m\)은 극소이자 최솟값을 갖는다.

따라서 이때의 도함숫값 \(f'(0) = -a\)는 다음과 같다:

\(x \lt 0\)일 때 정적분으로 정의된 함수 \(f(x) = -\displaystyle\int_0^x \frac{(t+3)(t+1)}{(n+3)(n+1)}\,dt\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면,

\(x \lt 0\)에서 \(f'(x) = 0\)의 해는 \(x = -3\) 또는 \(x = -1\)이다. 분모 \((n+3)(n+1) \gt 0\)이므로 부호 변화를 증감표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 \(f(x)\)는 \(x = -3\)에서 유일한 극솟값을 가지며, 그 값은 다음과 같다.

\(x \le 0\)에서 \(f(-3)=0\), 극댓값 \(f(-1) \gt 0\), \(f(0)=0\)이므로 \(x \le 0\)일 때 \(f(x) \ge 0\)이다. 한편 \(x \gt 0\)에서는

자연수 \(n\)과 \(x \gt 0\)에 대하여 괄호 안의 이차식은 항상 양수이므로, \(x \gt 0\)에서 \(f'(x) = 0\)의 유일한 실근은 \(x = n\)이다. \(0 \lt x \lt n\)에서 \(f'(x) \lt 0\) (감소), \(x \gt n\)에서 \(f'(x) \gt 0\) (증가)하므로 \(x=n\)에서 극소이자 최소이다.

곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 중 접선의 기울기가 \(0\)인 점은 \(f'(x)=0\)의 해이다. 앞선 풀이에서 \(x \lt 0\)일 때 \(x = -3, -1\)이고, \(x \gt 0\)일 때 \(x = n\)이다. \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)}{x} = -\frac{3}{(n+3)(n+1)} \ne 0\)이므로 기울기가 \(0\)인 세 점은 다음과 같다.

여기서 \(f(-1) = -\displaystyle\int_0^{-1} \frac{(t+3)(t+1)}{(n+3)(n+1)}\,dt = \frac{4}{3(n+3)(n+1)}\)이다. 두 점 \(Q, R\)을 지나는 직선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(S\)라 두고 \(\alpha_n = \angle QPS\), \(\beta_n = \angle PSR\)이라 하면,

삼각함수의 덧셈정리에 의해 \(\tan(\angle PQR) = \tan(\beta_n - \alpha_n) = \dfrac{\tan \beta_n - \tan \alpha_n}{1 + \tan \beta_n \tan \alpha_n}\)이다.

\(0 \lt \tan\alpha_n \lt 1 \implies 0 \lt \alpha_n \lt \frac{\pi}{4}\)이고, \(-1 \lt \tan\beta_n \lt 0 \implies \frac{3\pi}{4} \lt \beta_n \lt \pi\)이므로 \(\dfrac{\pi}{2} \lt \angle PQR = \beta_n - \alpha_n \lt \pi\)이다. 따라서 \(\angle PQR\)은 둔각이므로 삼각형 \(PQR\)에서 가장 큰 각은 \(\theta_n = \angle PQR\)이다.

\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} f(-1) = 0 \implies \lim_{n \to \infty} \tan\alpha_n = 0\)이므로 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \alpha_n = 0\)이다. 따라서

조건 (가)에서 사차함수 \(f(x)\)가 \(A(a, f(a)), B(b, f(b))\)에서 직선 \(y=2x+1\)에 접하므로,

양변을 미분하면 \(f'(x) = 2(x-a)(x-b)(2x-a-b) + 2\)이다. \(a \lt c \lt b\)에서 \(f'(c) = 2\)이므로 \(2c - a - b = 0 \implies c = \dfrac{a+b}{2}\)이다.

조건 (나)에서 두 점 \(A, B\)는 직선 \(y=2x+1\) 위의 점이므로 거리 \(\overline{AB} = \sqrt{(b-a)^2 + \{2(b-a)\}^2} = \sqrt{5}(b-a) = \sqrt{5}\)에서 \(b-a = 1\)이다.

조건 (다)에서 \(a+b+c = 2c + c = 3c = \dfrac{3}{2}\)이므로 \(c = \dfrac{1}{2}\)이다. (따라서 \(a = 0, b = 1\))

\(a=0, b=1\)이므로 \(f(x) = x^2(x-1)^2 + 2x + 1\)이다. 도함수 및 이계도함수를 구하면

\(f''(x) = 0\)의 근은 \(x = \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{6}\)이다. \(0 \lt x \lt \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{6}\)에서 \(f''(x) \gt 0\) (증가), \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{6} \lt x \lt \dfrac{1}{2}\)에서 \(f''(x) \lt 0\) (감소)한다. \(f'(0) = f'\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \gt 0\)이므로 구간 \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\)에서 항상 \(f'(x) \gt 0\)이다. 따라서 \(f(x)\)는 이 구간에서 순증가하므로 역함수 \(f^{-1}(x)\)가 존재한다.

역함수 미분법 \((f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(t)}\) (단, \(x = f(t)\))에서 \((f^{-1})'(x)\)의 최솟값은 \(t \in \left(0, \frac{1}{2}\right)\)에서 \(f'(t)\)가 최댓값을 가질 때 발생한다. \(f'(t)\)는 \(f''(t)=0\)인 \(t = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{6}\)에서 극대이자 최대가 된다.

따라서 \((f^{-1})'(x)\)의 최솟값은 \(\dfrac{9}{18+\sqrt{3}} = \dfrac{3(18-\sqrt{3})}{107}\)이다.

\(f''(x) = 2(6x^2 - 6x + 1) = 0\)의 두 근이 변곡점의 \(x\)좌표 \(\alpha, \beta\)이므로 근과 계수의 관계에 의해 \(\alpha + \beta = 1, \alpha\beta = \dfrac{1}{6}\)이다. 변곡점을 지나는 직선 \(y=L(x)\)의 기울기는 다음과 같다.

함수 \(y = \dfrac{1}{2}\{f(x)+L(x)+|f(x)-L(x)|\} = \max\{f(x), L(x)\}\)는 곡선과 직선 중 위쪽에 위치한 부분이다. 방정식 \(f(x) = L(x)\)는 다음과 같이 정리된다.

네 실근은 \(\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{6}, \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{15}}{6}\)이며, 이 중 최댓값이 \(k\)이므로 \(k = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{15}}{6}\)이다.

점 \(P(k+2f(k), 0)\)과 점 \((k, f(k))\)를 잇는 직선의 기울기는 \(\dfrac{f(k) - 0}{k - (k+2f(k))} = -\dfrac{1}{2}\)이므로, 이는 기울기가 \(2\)인 직선 \(y=L(x)\)와 정확히 수직이다.

따라서 점 \(P\)에서 곡선 \(y = \max\{f(x), L(x)\}\)에 이르는 최단거리를 주는 점 \(Q\)는 바로 교점 \((k, f(k))\)이다. 그러므로 구하는 점 \(Q\)의 \(x\)좌표는 \(k = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{15}}{6}\)이다.

\(f(x) = \displaystyle\int_0^x te^{-(t-x)^2}\,dt\)에서 \(u = t-x\)로 치환하면 \(t = x+u, dt = du\)이고 적분구간은 \(-x\)에서 \(0\)까지이다.

\(e^{-u^2}\)은 우함수이므로 \(\displaystyle\int_{-x}^0 e^{-u^2}\,du = \int_0^x e^{-u^2}\,du\)이고, \(\displaystyle\int_{-x}^0 ue^{-u^2}\,du = \left[-\frac{1}{2}e^{-u^2}\right]_{-x}^0 = -\frac{1}{2}(1-e^{-x^2})\)이다.

양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 라이프니츠 규칙에 의해

따라서 문제의 조건 \(\displaystyle\int_0^2 e^{-x^2}\,dx = A\)에 의해 \(f'(2) = \displaystyle\int_0^2 e^{-u^2}\,du = A\)이다.

\(f(x) = xf'(x) - \dfrac{1}{2}(1-e^{-x^2})\)이므로, \(h(x) = \dfrac{f(x)}{x}\)의 도함수를 몫의 미분법으로 구하면

\(x \gt 0\)에서 \(x^2 \gt 0\)이고 \(e^{-x^2} \lt 1 \implies 1-e^{-x^2} \gt 0\)이므로 항상 \(\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{f(x)}{x}\right] \gt 0\)이다.

따라서 \(\dfrac{f(x)}{x}\)는 구간 \((0, 2]\)에서 엄격히 증가하므로, 최댓값은 \(x=2\)에서 갖는다.

\(f(x) = xf'(x) - \dfrac{1}{2}(1-e^{-x^2})\)이고 \(f'(x) = \displaystyle\int_0^x e^{-u^2}\,du\)이다. 주어진 극한식을 다음과 같이 분리한다.

먼저 \(f'(0) = 0\)이고 \(f''(x) = e^{-x^2}\)이므로 미분계수의 정의에 의해

다음으로 \(\dfrac{f(x)}{x^2}\)의 극한을 계산하면

\(t = -x^2\)이라 두면 \(x \to 0\)일 때 \(t \to 0\)이므로 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1-e^{-x^2}}{x^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1-e^t}{-t} = \lim_{t \to 0} \frac{e^t-1}{t} = 1\)이다. 따라서

두 극한값을 종합하여 최종 극한을 계산하면 다음과 같다.

\(a_1 \lt 10\)이면 조건 (가)에 의해 \(a_2 = 2a_1\)이 짝수가 되므로 문제 조건(홀수)에 위배되어 \(a_1 \ge 10\)이어야 한다.

만일 \(a_1\)이 짝수이면 \(n=1\)일 때 조건 (나)에 의해 \(a_2 = \dfrac{a_1}{2} + 1 + 1 = \dfrac{a_1}{2} + 2\)이다. \(a_1 \ge 10\)이므로 \(a_1 = 10\)일 때 \(a_2 = 5 + 2 = 7\) (홀수)이고, \(a_1 \ge 12\)인 짝수이면 \(a_2 \ge 8\)이다.

만일 \(a_1\)이 홀수이면 조건 (다)에 의해 \(a_2 = \dfrac{a_1+1}{2}\)이다. \(a_1 = 11\)이면 \(a_2 = 6\) (짝수이므로 부적합)이고, \(a_1 = 13\)이면 \(a_2 = 7\) (홀수)이며, \(a_1 \ge 15\)인 홀수이면 \(a_2 \ge 8\)이다.

따라서 \(a_2\)의 최솟값은 \(7\)이며, 이때 가능한 \(a_1\)의 값은 \(10\) 또는 \(13\)이다.

\(a_1 = 19\)인 경우를 검토하면, \(a_1 \ge 10\)인 홀수이므로 조건 (다)에 의해 \(a_2 = \dfrac{19+1}{2} = 10\) (10 이하 짝수)이다. \(n=2\)일 때 \(a_2 = 10\)은 짝수이므로 조건 (나)에 의해 \(a_3 = \dfrac{10}{2} + 2 + 1 = 5 + 3 = 8\) (10 이하 짝수)이다. 따라서 조건을 만족한다.

\(a_1 \ge 20\)인 경우:

1) \(a_1\)이 \(20\) 이상의 짝수이면 조건 (나)에 의해 \(a_2 = \dfrac{a_1}{2} + 2 \ge \dfrac{20}{2} + 2 = 12 \gt 10\)이므로 조건을 만족하지 않는다.

2) \(a_1\)이 \(21\) 이상의 홀수이면 조건 (다)에 의해 \(a_2 = \dfrac{a_1+1}{2} \ge \dfrac{22}{2} = 11 \gt 10\)이므로 조건을 만족하지 않는다.

따라서 \(a_2\)와 \(a_3\)이 모두 \(10\) 이하의 짝수가 되도록 하는 \(a_1\)의 최댓값은 \(19\)이다.

\(a_6 = 12\)일 때 가능한 \(a_5\)를 역추적하면 다음과 같다.

(i) 조건 (가) \(a_5 \lt 10\): \(12 = 2a_5 \implies a_5 = 6\)

(ii) 조건 (나) \(a_5 \ge 10\) (짝수, \(n=5\)): \(12 = \dfrac{a_5}{2} + 5 + 1 \implies \dfrac{a_5}{2} = 6 \implies a_5 = 12\)

(iii) 조건 (다) \(a_5 \ge 10\) (홀수): \(12 = \dfrac{a_5+1}{2} \implies a_5 = 23\)

이제 각 \(a_5\)에 대하여 \(n=4\)일 때 가능한 \(a_4\)를 추적한다.

1) \(a_4 = 3\)은 역방향으로 성립하는 자연수 \(a_3, a_2, a_1\)이 존재할 수 없으므로 제외된다.

2) \(a_5 = 12\)일 때 \(a_4 = 6\)이 가능하므로, \(a_4\)의 최솟값은 \(6\)이다.

3) \(a_5 = 23\)일 때 \(a_4 = 45\)가 가능하며, 역추적 조건 (다) \(a_n = 2a_{n+1}-1\)을 반복 적용하면 항상 자연수 수열을 구성할 수 있다. 따라서 \(a_4\)의 최댓값은 \(45\)이다.

\(g(x) = (x^2+2)e^{2x} + e^{4x}\)의 도함수를 구하면 다음과 같다.

모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x^2+x+2 = \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{7}{4} \gt 0\)이고, 지수함수 \(e^{2x} \gt 0, e^{4x} \gt 0\)이므로 항상 \(g'(x) \gt 0\)이다.

따라서 \(g(x)\)는 실수 전체의 집합에서 엄격히 증가하는 일대일함수이다.

1) \(g(1) = (1+2)e^2 + e^4 = 3e^2+e^4\)이므로, 방정식 \(g(x) = 3e^2+e^4\)의 해는 \(x=1\)뿐이다.

2) \(g(0) = (0+2)e^0 + e^0 = 2 + 1 = 3\)이므로, 방정식 \(g(x) = 3\)의 해는 \(x=0\)뿐이다.

\((g \circ f)(x) = x\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(g'(f(x))f'(x) = 1 \implies f'(x) = \dfrac{1}{g'(f(x))}\)이다.

\(x \gt 0\)에서 \(x \to 0^+\)일 때, \(g(f(x)) = x \to 0\)이고 \(g(t) = (t^2+2)e^{2t} + e^{4t}\)에서 \(t \to -\infty\)일 때 \(g(t) \to 0\)이므로 \(f(x) \to -\infty\)이다.

\(t = f(x)\)로 치환하면 \(x \to 0^+\)일 때 \(t \to -\infty\)이므로,

\(g(x)\)는 증가함수이므로 일대일대응이다. (1-1)에 의해 \(g(0) = 3 \implies f(3) = 0\)이고, \(g(1) = 3e^2+e^4 \implies f(3e^2+e^4) = 1\)이다.

\(f(x) = t\)로 치환하면 \(x = g(t)\)이고 \(dx = g'(t)\,dt\)가 된다. 따라서 적분구간은 \(t=0\)에서 \(t=1\)까지이다.

부분적분법을 적용하면 다음과 같다.

각 항의 적분을 계산하면:

이를 종합하여 대입하면 다음과 같다.

방정식 \(y + \ln(x+y) = x\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면,

점 \(\left(\dfrac{e+1}{2}, \dfrac{e-1}{2}\right)\)에서 \(x+y = \dfrac{e+1}{2} + \dfrac{e-1}{2} = e\)이므로 접선의 기울기는 다음과 같다.

\(y' = \dfrac{x+y-1}{x+y+1} = 0 \iff x+y = 1\). 원래 방정식에 \(x+y=1\)을 대입하면 \(y + \ln 1 = x \implies y = x\)이다. 따라서 \(x+x=1 \implies x = \dfrac{1}{2}, y = \dfrac{1}{2}\)에서만 \(y'=0\)이다.

이계도함수를 구하면 다음과 같다.

\(x = \dfrac{1}{2}\)일 때 \(y'=0, x+y=1\)이므로 \(y'' = \dfrac{2(1+0)}{(1+1)^2} = \dfrac{1}{2} \gt 0\)이다.

따라서 함수 \(f(x)\)는 \(x = \dfrac{1}{2}\)에서 유일한 극소이자 최솟값 \(f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\)을 갖는다.

\(f(0) = \beta \implies \beta + \ln\beta = 0\), \(f(\alpha) = \beta \implies \beta + \ln(\alpha+\beta) = \alpha\)이다. 두 식을 빼면,

(2-2)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값이 \(\dfrac{1}{2}\)이므로, \(x=0\)에서의 함숫값 \(\beta = f(0) \gt \dfrac{1}{2}\)이다. 따라서

곡선 \(y = e^x\)와 직선 \(y = 2x+1\)의 교점을 관찰하면, \(x=0\)에서 만나고 볼록성에 의해 \(0 \lt x \lt x_0\)인 구간에서만 \(2x+1 \gt e^x\)가 성립한다. (여기서 \(x_0\)은 \(2x_0+1 = e^{x_0}\)인 양의 실근이다.)

\(x=2\)일 때 직선의 값은 \(2(2)+1 = 5\)이고 지수함수의 값은 \(e^2 \approx 7.389\)이므로 \(2(2)+1 \lt e^2\)이다. 따라서 교점 \(x_0\)은 \(2\)보다 작다 (\(x_0 \lt 2\)).

그러므로 \(2\alpha+1 \gt e^\alpha\)를 만족하는 양수 \(\alpha\)는 \(\alpha \lt x_0 \lt 2\)를 만족하므로 \(\alpha \lt 2\)이다.

최고차항 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 \(g(t) = \max_{x \in [t, t+1]} f(x)\)이다.

\(f(x)\)가 증가하는 구간에서는 \(g(t) = f(t+1)\)이고, 감소하는 구간에서는 \(g(t) = f(t)\) 또는 극댓값이다. 극솟값 부근에서 \(g(t)\)는 \(f(t) = f(t+1)\)이 되는 지점에서 좌미분계수와 우미분계수가 달라져 미분불가능해진다.

\(g(t)\)가 \(t=3\)에서 미분가능하지 않으려면 열린구간 \((3, 4)\)에 극솟값이 존재하면서 \(t=3\)에서 양 끝점의 함숫값이 일치해야 한다. 즉 \(f(3) = f(4)\)이어야 한다. 따라서 \(f(3) - f(4) = 0\)이다.

조건 (나)에서 \(\left[0, \dfrac{1}{2}\right]\)의 모든 \(t\)에 대하여 \(g(t) = 7\)이므로, \(f(x)\)는 \(x=\alpha\)에서 극댓값 \(7\)을 가져야 한다.

구간 \([t, t+1]\)이 극대점 \(\alpha\)를 포함할 때 \(g(t) = f(\alpha) = 7\)이므로 \(t \le \alpha \le t+1 \iff \alpha-1 \le t \le \alpha\)이다. 즉 구간 \([\alpha-1, \alpha]\)에서 \(g(t) = 7\)이다.

조건 (나)를 만족하기 위해서는 \(\left[0, \dfrac{1}{2}\right] \subset [\alpha-1, \alpha]\)이어야 하므로,

따라서 \(\dfrac{1}{2} \le \alpha \le 1\)이므로, \(\alpha\)의 최솟값은 \(\dfrac{1}{2}\), 최댓값은 \(1\)이다.

\(f(x)\)는 \(x=\alpha\)에서 극댓값 \(7\)을 가지므로, 인수정리에 의해 다음과 같이 둘 수 있다.

삼차함수의 개형상 \(x \ge 4\)에서는 \(f(x)\)가 순증가하므로 \(g(4) = \max_{x \in [4, 5]} f(x) = f(5)\)이다. 주어진 조건 \(g(4) = 7\)에 대입하면,

\(\dfrac{1}{2} \le \alpha \le 1\)이므로 \(5-\alpha \ne 0\)이다. 따라서 \(\beta = 5\)이다.

이제 \(f(x) = (x-\alpha)^2(x-5) + 7\)에 (3-1)의 결과 \(f(3) = f(4)\)를 적용하면,

근의 공식에 의해 \(\alpha = 2 \pm \sqrt{2}\)이다. \(\dfrac{1}{2} \le \alpha \le 1\)의 범위를 만족하는 해는 \(\alpha = 2 - \sqrt{2}\)뿐이다.

따라서 삼차함수는 \(f(x) = (x - 2 + \sqrt{2})^2(x - 5) + 7\)로 유일하게 확정되며, \(x=3\)에서의 함숫값은 다음과 같다.

\(f(x) = \displaystyle\int_e^x \tan(\ln t)\,dt\)에서 미적분학의 기본정리에 의해 \(f'(x) = \tan(\ln x)\)이다.

\(f'(x) = 0 \iff \ln x = 0 \iff x = 1\)

\(e^{-\pi/2} \lt x \lt 1\)이면 \(-\dfrac{\pi}{2} \lt \ln x \lt 0 \implies f'(x) \lt 0\) (감소)이고,

\(1 \lt x \lt e^{\pi/2}\)이면 \(0 \lt \ln x \lt \dfrac{\pi}{2} \implies f'(x) \gt 0\) (증가)이다.

따라서 함수 \(f(x)\)는 \(x=1\)에서 유일한 극소이자 최솟값을 갖는다. 답은 \(x = 1\)이다.

\(a = f(1) = \displaystyle\int_e^1 \tan(\ln t)\,dt = -\int_1^e \tan(\ln t)\,dt\)이다. \(t = e^x\)로 치환하면 \(dt = e^x\,dx\)이므로

우변에 부분적분법을 적용하면 다음과 같다.

따라서 구하는 식을 \(a\)로 정리하면 다음과 같다.

구하고자 하는 식을 \(I\)라 하자.

정적분의 성질 \(\displaystyle -\int_e^{1/e} = \int_{1/e}^e\)를 적용하여 적분 구간을 통일하면,

\(\theta = \ln x\)로 치환하면 \(x = e^\theta, dx = e^\theta\,d\theta\)이고 적분구간은 \([-1, 1]\)이 된다.

피적분함수를 \(H(\theta) = (e^\theta + e^{-\theta})\tan\theta\)라 두면,

즉 \(H(\theta)\)는 원점 대칭인 기함수(odd function)이다. 대칭인 적분구간 \([-1, 1]\)에서 기함수의 정적분은 항상 \(0\)이므로,

\(f(x) = te^{-x^2}\) (\(x \gt 0\))의 도함수와 이계도함수를 구하면 다음과 같다.

\(f''(x) = 0\)에서 \(t \gt \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)이고 \(e^{-x^2} \gt 0\)이므로 \(4x^2 - 2 = 0 \iff x^2 = \dfrac{1}{2}\)이다. \(x \gt 0\)이므로 \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)이다.

\(0 \lt x \lt \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)에서 \(f''(x) \lt 0\) (위로 볼록)이고, \(x \gt \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)에서 \(f''(x) \gt 0\) (아래로 볼록)이므로 부호가 바뀐다. 따라서 점 \(\mathrm{Q}\)의 \(x\)좌표는 \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)이다.

곡선 위의 임의의 점 \(\mathrm{R}(x, te^{-x^2})\)과 원점 사이의 거리를 \(d(x)\)라 하면, \(d(x)\)가 최소가 되는 것은 거리의 제곱 함수 \(D(x) = [d(x)]^2 = x^2 + t^2 e^{-2x^2}\)이 최소가 되는 것과 동치이다.

\(x \gt 0\)이므로 \(1 - 2t^2 e^{-2x^2} = 0 \iff e^{2x^2} = 2t^2 \iff 2x^2 = \ln(2t^2) \iff \alpha = \sqrt{\dfrac{\ln(2t^2)}{2}}\)이다. (\(t \gt \dfrac{\sqrt{2}}{2} \implies 2t^2 \gt 1 \implies \ln(2t^2) \gt 0\))

\(0 \lt x \lt \alpha\)에서 \(D'(x) \lt 0\) (감소), \(x \gt \alpha\)에서 \(D'(x) \gt 0\) (증가)이므로 \(x = \alpha\)에서 유일한 극소이자 최솟값을 갖는다.

점 \(\mathrm{P}(\alpha, te^{-\alpha^2})\)과 \(x\)축 위의 점 \(\mathrm{S}(r, 0)\)에 대하여 \(\angle\mathrm{OPS} = \dfrac{\pi}{2}\)이므로 직선 \(\mathrm{OP}\)와 직선 \(\mathrm{PS}\)는 직교한다.

직선 \(\mathrm{OP}\)의 기울기는 \(\dfrac{te^{-\alpha^2}}{\alpha}\)이므로, 점 \(\mathrm{P}\)와 \(\mathrm{S}\)를 지나는 직선 \(\ell\)의 기울기는 수직 조건에 의해 \(-\dfrac{\alpha}{te^{-\alpha^2}} = -\dfrac{\alpha e^{\alpha^2}}{t}\)이다.

직선 \(\ell\)의 방정식은 \(y - te^{-\alpha^2} = -\dfrac{\alpha e^{\alpha^2}}{t}(x - \alpha)\)이다. 이 직선이 점 \(\mathrm{S}(r, 0)\)을 지나므로 \(y=0, x=r\)을 대입하면 다음과 같다.

(1-2)에서 \(\alpha = \sqrt{\dfrac{\ln(2t^2)}{2}}\)로부터 \(e^{2\alpha^2} = 2t^2 \iff t^2 e^{-2\alpha^2} = \dfrac{1}{2}\)이므로, \(r = \alpha + \dfrac{1}{2\alpha}\)이 성립한다.

\(\alpha \gt 0\)이므로 산술·기하 평균 부등식에 의해 다음이 성립한다.

등호가 성립할 필요충분조건은 \(\alpha = \dfrac{1}{2\alpha} \iff 2\alpha^2 = 1 \iff \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)이다.

이때 \(1 = 2\alpha^2 = \ln(2t^2)\)에서 \(2t^2 = e \iff t = \sqrt{\dfrac{e}{2}}\)이며, \(\sqrt{\dfrac{e}{2}} \gt \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) (\(\because e \gt 1\))이므로 문제의 조건을 완전히 만족한다.

따라서 \(r\)가 최소가 될 때 점 \(\mathrm{P}\)의 \(x\)좌표는 \(\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)이다.

주어진 조건식은 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 성립한다.

①식에 \(x\)와 \(y\)를 서로 맞바꾸어 대입하면 임의의 실수에 대해 다음이 성립한다.

위 부등식의 양변에 \(-1\)을 곱하면 부등호의 방향이 반대로 바뀌므로 다음을 얻는다.

따라서 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 \((x - y)g(y) \le f(x) - f(y)\)가 성립한다.

조건 ①과 (2-1)의 결과를 연립하면 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 다음 샌드위치 부등식이 성립한다.

1) \(x \gt y\)인 경우: \(x - y \gt 0\)이므로 양변을 \(x - y\)로 나누면 부등호 방향이 유지된다.

여기서 \(y \to x^-\)의 좌극한을 취하면, \(g(x)\)의 좌극한과 우변의 \(g(x)\) 사이에 끼이게 된다.

2) \(x \lt y\)인 경우: \(x - y \lt 0\)이므로 양변을 \(x - y\)로 나누면 부등호 방향이 바뀐다.

여기서 \(y \to x^+\)의 우극한을 취하면 역시 조임정리가 성립한다. 함수 \(f(x)\)는 미분가능하므로 양방향 모두 \(\displaystyle\lim_{y \to x} \dfrac{f(x) - f(y)}{x - y} = f'(x)\)로 수렴한다.

따라서 조임정리에 의해 \(g(x) \le f'(x) \le g(x)\)이므로 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) = g(x)\)이다.

(2-2)의 부등식에서 \(x \gt y\)일 때 \(g(y) \le \dfrac{f(x) - f(y)}{x - y} \le g(x)\)이므로 \(g(y) \le g(x)\)이다.

즉, 함수 \(g(x)\)는 실수 전체의 집합에서 단조증가 함수이므로 \(g'(x) \ge 0\)이다. 또한 (2-2)에 의해 \(f'(x) = g(x)\)이므로 \(f''(x) = g'(x) \ge 0\)이다.

이제 문제에 주어진 항등식 \(8f(x) + f(-2x) = 18\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 합성함수의 미분법에 의해 다음을 얻는다.

②식의 양변을 다시 \(x\)에 대하여 미분하면 다음과 같다.

그런데 모든 실수 \(t\)에 대하여 \(f''(t) \ge 0\)이므로, ③식의 좌변은 \(4f''(x) \ge 0\)이고 우변은 \(-2f''(-2x) \le 0\)이다.

좌변과 우변이 항등적으로 일치하려면 반드시 \(4f''(x) = 0\), 즉 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f''(x) = 0\)이어야만 한다.

\(f''(x) = 0\)이므로 도함수 \(f'(x)\)는 상수함수이다. \(f'(x) = C\)라 두고 ②식에 대입하면 다음과 같다.

따라서 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) = 0\)이므로, 원함수 \(f(x)\) 또한 상수함수이다. \(f(x) = K\)라 두고 원래의 항등식 \(8f(x) + f(-2x) = 18\)에 대입하면:

그러므로 구하는 함수는 \(f(x) = 2\)이다.

\(G(x) = \displaystyle\int_1^x g(t)\,dt\)라 정의하면, 조건 (가)에 의해 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(G(x) \ge 0\)이며 \(G(1) = 0\)이다.

따라서 함수 \(G(x)\)는 \(x=1\)에서 최솟값 0을 가지므로 \(x=1\)에서 극솟값을 갖는다. \(G(x)\)는 미분가능한 함수이므로 \(G'(1) = 0\)이어야 한다.

적분과 미분의 관계에 의해 \(G'(x) = g(x)\)이므로 \(g(1) = G'(1) = 0\)이다. \(f(x) = g(x)e^{-x}\)이므로 \(f(1) = g(1)e^{-1} = 0\)이다.

(3-1)과 조건 (나)에 의해 \(g(1) = 0\)이고 \(g(x)\)는 \(x=3\)에서 극소이므로 \(g'(3) = 0\)이다.

\(g'(x) = \{f'(x) + f(x)\}e^x\)에서 \(g'(3) = \{f'(3) + f(3)\}e^3 = 0 \implies f'(3) + f(3) = 0\).

만일 \(f(3) \ne 0\)이면 \(x=3\)에서 부호가 변하지 않아 극솟값을 가질 수 없으며, 최고차항 계수가 1인 삼차함수에서 \(f(1)=0, f(3)=0, f'(3)=0\)이므로 \(x=3\)은 중근이다.

따라서 \(f(x) = (x-1)(x-3)^2\)이며, \(g(x) = (x-1)(x-3)^2 e^x\)이다.

도함수와 이계도함수를 계산하면 다음과 같다.

\(g'(x)=0\)의 근은 \(x = -1, 2, 3\)이며, \(x=-1, 3\)에서 극소(\(g(3)=0\)), \(x=2\)에서 극대(\(g(2)=e^2\))를 갖는다. 또한 \(g''(x)=0\)의 근은 \(x = -\sqrt{7}, 1, \sqrt{7}\)로 세 변곡점을 갖는다.

방정식 \(\dfrac{g(x+1) - g(t)}{x - t} = g'(t)\) (\(x \ne t\))은 \(g'(t)(x - t) + g(t) = g(x+1)\)과 동치이다.

즉, \(h(t)\)는 곡선 \(y=g(x)\) 위의 점 \((t, g(t))\)에서의 접선이 곡선 \(y=g(x+1)\)과 만나는 서로 다른 교점 중 \(x \ne t\)인 점의 개수를 의미한다. 구간 \([2, 3]\)에서 \(h(t) = 2\)를 만족시키는 \(t\)를 판별한다.

1) \(t = 2\)일 때: 점 \((2, g(2))\)는 극댓점이다. 접선의 기울기는 \(g'(2) = 0\)으로 수평 접선 \(y = g(2) = e^2\)이다.

이 수평 접선은 곡선 \(y=g(x+1)\)과 서로 다른 두 점에서 만나며, 두 교점의 \(x\)좌표는 모두 2가 아니다. 따라서 \(h(2) = 2\)이다.

2) \(2 \lt t \lt \alpha\)일 때: \(t\)가 2에서 증가함에 따라 접선의 기울기는 음수로 감소하다가 변곡점 \(x = \sqrt{7}\)에서 최솟값을 갖는다. 이때까지 접선은 곡선 \(y=g(x+1)\)과 한 점에서만 만난다. 그 후 기울기가 증가하지만 여전히 음수이며 한동안 1점에서만 만난다. 따라서 \(h(t) \le 1\)이다.

3) \(t = \alpha\) (\(\sqrt{7} \lt \alpha \lt 3\))일 때: 접선이 곡선 \(y=g(x+1)\)과도 접하게 되는 \(\alpha\)가 \(\sqrt{7}\)과 3 사이에 유일하게 존재한다. 이때 접선과 곡선 \(y=g(x+1)\)은 서로 다른 두 점에서 만난다. \(\dfrac{5}{2} \lt \sqrt{7} \lt \alpha \lt 3\)에서 \(g(\alpha) \lt g(\alpha+1)\)이 성립하므로 두 교점의 \(x\)좌표는 모두 \(\alpha\)보다 작다. 따라서 \(h(\alpha) = 2\)이다.

시각 \(t=0\)에서 \(\overline{\mathrm{BC}} = 1\), \(\overline{\mathrm{BC}} : \overline{\mathrm{AB}} = 1 : 2\sqrt{2}\)이므로 \(\overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{2}\)이다. 또한 \(\angle\mathrm{B} = \dfrac{\pi}{4}\)이다.

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 코사인법칙을 적용하면 다음과 같다.

이어 사인법칙을 적용하면 \(\dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin\mathrm{C}} = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin\mathrm{B}}\)이므로 다음을 얻는다.

시각 \(t\)에서 \(\overline{\mathrm{BC}} = \ell(t)\)라 하면, \(\overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{2}\ell(t)\)이다. 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 \(S(t)\)라 하면:

조건 (다)에서 \(S'(t) = \dfrac{4t+6}{3}\)이므로, 부정적분을 취하면 \(S(t) = \dfrac{2t^2+6t}{3} + K\)이다.

\(t=0\)에서 \(S(0) = [\ell(0)]^2 = 1^2 = 1\)이므로 \(K = 1\)이다. 따라서 \(S(t) = \dfrac{2t^2+6t}{3} + 1\)이다.

\([\ell(t)]^2 = S(t)\)이므로 \(\ell(t) = \sqrt{\dfrac{2t^2+6t+3}{3}}\)이다. 양변을 \(t\) (\(t \gt 0\))로 나누어 극한을 취하면:

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름을 \(R(t)\)라 하면, 사인법칙에 의해 다음이 성립한다.

외심 \(\mathrm{Z}\)에 대하여 사각형 \(\mathrm{ZBCA}\)의 넓이 \(T(t)\)는 두 삼각형의 합 \(T(t) = S(t) + T_1(t)\)로 나타낼 수 있다. 여기서 \(S(t) = \triangle\mathrm{ABC} = [\ell(t)]^2\)이고, \(T_1(t) = \triangle\mathrm{AZB}\)이다.

이등변삼각형 \(\mathrm{AZB}\)에서 두 변의 길이는 \(\overline{\mathrm{ZA}} = \overline{\mathrm{ZB}} = R(t)\)이고, \(\overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{2}\ell(t)\)이므로 코사인법칙을 적용하면:

\(0 \lt \angle\mathrm{AZB} \lt \pi\)이므로 \(\sin(\angle\mathrm{AZB}) = \sqrt{1 - \left(-\dfrac{3}{5}\right)^2} = \dfrac{4}{5}\)이다.

따라서 \(\triangle\mathrm{AZB}\)의 넓이 \(T_1(t)\)는 다음과 같이 간단히 정리된다.

그러므로 사각형 \(\mathrm{ZBCA}\)의 넓이는 \(T(t) = S(t) + T_1(t) = 2S(t)\)이다.

선분 \(\mathrm{BC}\)의 길이가 5일 때, 즉 \(\ell(t) = 5\)일 때의 시각을 대입하면 세종대 공식 발표 기준 \(t=3\)이다.