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원 \(C\)와 직선 \(\ell\)의 교점은 연립방정식 \(x^2+y^2=1, \; y=mx+m\)의 해이다.
\(x^2+(mx+m)^2=1 \iff (m^2+1)x^2+2m^2x+m^2-1=0\)
원 \(C\)와 직선 \(\ell\)의 한 교점이 \((-1, 0)\)이므로, 한 근은 \(\alpha=-1\)이다.
근과 계수의 관계에 의해 다른 근 \(\beta\)는 \(\alpha\beta = -\beta = \frac{m^2-1}{m^2+1}\)이므로 \(\beta = \frac{1-m^2}{1+m^2}\)이다.
\(0 \lt m \lt 1\)에서 \(\alpha = -1 \lt \beta\)이므로 점 \(\mathrm{P}\)의 \(x\)좌표는 \(\frac{1-m^2}{1+m^2}\)이다.
점 \(\mathrm{P}\)의 \(y\)좌표는 \(m\left(\frac{1-m^2}{1+m^2}\right)+m = \frac{2m}{1+m^2}\)이므로, 점 \(\mathrm{P}\)와 직선 \(y=1\) 사이의 거리는
\[f(m) = 1 - \frac{2m}{1+m^2} = \frac{(1-m)^2}{1+m^2}\] 점 \(\mathrm{Q}(0, m)\), \(\mathrm{R}(0, 1)\)이므로 밑변 \(\mathrm{QR} = 1-m\)이고, 높이는 점 \(\mathrm{P}\)의 \(x\)좌표이므로
\[g(m) = \frac{1}{2} \times (1-m) \times \left(\frac{1-m^2}{1+m^2}\right) = \frac{(1-m)^2(1+m)}{2(1+m^2)}\] 그러므로 구하는 극한값은 다음과 같다.
\[\lim_{m \to 1^-} \frac{f(m)}{g(m)} = \lim_{m \to 1^-} \frac{\frac{(1-m)^2}{1+m^2}}{\frac{(1-m)^2(1+m)}{2(1+m^2)}} = \lim_{m \to 1^-} \frac{2}{1+m} = \mathbf{1}\]

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등차수열 \(\{x_k\}\)의 일반항은 \(x_k = \frac{k-1}{n}\)이므로 \(\mathrm{P}_k\left(\frac{k-1}{n}, 0\right)\), \(\mathrm{G}_{k+1}\left(\frac{k}{n}, f\left(\frac{k}{n}\right)\right)\)이다.
선분 \(\mathrm{P}_k\mathrm{G}_{k+1}\)을 \(2:1\)로 내분하는 점 \(\mathrm{H}_k\)의 좌표는 내분점 공식에 의해
\[\mathrm{H}_k\left(\frac{2 \cdot \frac{k}{n} + \frac{k-1}{n}}{3}, \frac{2f\left(\frac{k}{n}\right)+0}{3}\right) = \mathrm{H}_k\left(\frac{3k-1}{3n}, \frac{2}{3}f\left(\frac{k}{n}\right)\right)\] 삼각형 \(\mathrm{P}_k\mathrm{H}_k\mathrm{P}_{k+1}\)의 밑변은 \(\frac{1}{n}\)이고 높이는 \(\frac{2}{3}f\left(\frac{k}{n}\right)\)이므로,
\[A_k = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} \times \frac{2}{3}f\left(\frac{k}{n}\right) = \frac{1}{3n}f\left(\frac{k}{n}\right) = \frac{1}{3n}\left|2\frac{k}{n}-1\right|e^{\frac{2k}{n}}\] 따라서 구하는 급수의 합은 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의해 다음과 같다.
\[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n A_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{3}f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n} = \int_0^1 \frac{1}{3}f(x)\,dx = \frac{1}{3}\int_0^1 |2x-1|e^{2x}\,dx\] \[= \frac{1}{3}\int_0^{1/2} (1-2x)e^{2x}\,dx + \frac{1}{3}\int_{1/2}^1 (2x-1)e^{2x}\,dx\] 부분적분법에 의해 \(\int (1-2x)e^{2x}\,dx = (1-x)e^{2x}\)이므로,
\[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n A_k = \frac{1}{3}\left[(1-x)e^{2x}\right]_0^{1/2} + \frac{1}{3}\left[(x-1)e^{2x}\right]_{1/2}^1 = \frac{1}{3}\left(\frac{e}{2}-1\right) + \frac{1}{3}\left(0 + \frac{e}{2}\right) = \mathbf{\frac{e-1}{3}}\]

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수열의 제\(k\)항까지의 부분합을 \(S_k = \sum_{n=1}^k a_n\)이라 하자.
조건에서 \(a_{2n-1}=0\)이고 \(a_{2n} = a_n + n\)이므로, 부분합을 홀수항과 짝수항의 합으로 분할하여 계산하면 다음과 같다.
\[S_{128} = \sum_{n=1}^{128} a_n = \sum_{n=1}^{64} a_{2n-1} + \sum_{n=1}^{64} a_{2n} = 0 + \sum_{n=1}^{64} (a_n + n) = S_{64} + \frac{64 \cdot 65}{2}\] 동일한 방법으로 반복 적용하면 다음과 같다.
\[S_{64} = S_{32} + \frac{32 \cdot 33}{2}, \quad S_{32} = S_{16} + \frac{16 \cdot 17}{2}, \quad \dots, \quad S_2 = S_1 + \frac{1 \cdot 2}{2}\] 위 식들의 양변을 각각 더하여 정리하면 다음과 같다.
\[S_{128} = S_1 + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} + \frac{4 \cdot 5}{2} + \frac{8 \cdot 9}{2} + \frac{16 \cdot 17}{2} + \frac{32 \cdot 33}{2} + \frac{64 \cdot 65}{2}\] 이때 \(S_1 = a_1 = a_{2(1)-1} = 0\)이므로, 각 항의 값을 직접 계산하면 다음과 같다.
\[S_{128} = 0 + 1 + 3 + 10 + 36 + 136 + 528 + 2080 = \mathbf{2794}\]

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\(a=f(b)\)라 가정하면 조건 ①에 의해 \(f(a)=f(f(b))=f(b)=a\)이다. 따라서 함수 \(f\)는 치역에서 항등함수이다.
또한 조건 ②에 의하여 함수 \(f\)의 치역은 집합 \(\{1, 2, 3\}\)의 부분집합이어야 한다. 치역의 원소의 개수에 따라 다음과 같이 분류한다.

1) 치역의 원소가 1개인 경우:
치역은 \(\{1\}\), \(\{2\}\) 또는 \(\{3\}\) 중 하나이다. 함수 \(f\)는 모든 원소가 해당 치역의 한 원소로만 대응되는 상수함수가 되므로, 만족하는 함수의 개수는 \(\mathbf{3}\)개이다.

2) 치역의 원소가 2개인 경우:
치역을 선택하는 경우의 수는 \({}_3\mathrm{C}_2 = 3\)가지이다.
예를 들어 치역이 \(\{1, 2\}\)인 경우, 치역의 원소는 자기 자신으로 대응되어야 하므로 \(f(1)=1, \; f(2)=2\)로 고정된다.
나머지 네 원소 \(3, 4, 5, 6\)은 치역의 원소 1 또는 2 중 임의로 대응될 수 있으므로 그 경우의 수는 \(2^4 = 16\)개이다.
따라서 치역의 원소가 2개인 함수의 개수는 \(3 \times 16 = \mathbf{48}\)개이다.

3) 치역의 원소가 3개인 경우:
치역은 \(\{1, 2, 3\}\)으로 유일하다.
치역의 원소는 \(f(1)=1, \; f(2)=2, \; f(3)=3\)으로 고정된다.
나머지 세 원소 \(4, 5, 6\)은 1, 2, 3 중 임의로 대응될 수 있으므로 그 경우의 수는 \(3^3 = 27\)개이다.
따라서 치역의 원소가 3개인 함수의 개수는 \(\mathbf{27}\)개이다.

[결론] 그러므로 조건을 모두 만족시키는 함수 \(f\)의 총 개수는
\[3 + 48 + 27 = \mathbf{78}\]

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조건 1)과 2)에 의하여 \(g(x)\)는 이차식이다. 따라서 \(h(x)\)도 이차식이다.

(a) \(g(x)\)의 개수
\(g(x)=(x-b)^2+c = x^2-2bx+b^2+c\)로 나타낼 수 있다. 이때 \(1 \le c \le 2\)이다.
\(g(x)\)의 계수가 모두 정수이기 위해서는 \(b=0\), \(b=\frac{1}{2}\) 또는 \(b=1\)이어야 한다.
• \(b=0\)이면 \(g(x)=x^2+c\)이고 \(c=1\) 또는 \(c=2\)이다. (2개)
• \(b=\frac{1}{2}\)이면 \(g(x)=x^2-x+\frac{1}{4}+c\)이다. 모든 계수가 정수이고 \(1 \le c \le 2\)이면 \(c=\frac{7}{4}\)이다. (1개)
• \(b=1\)이면 \(g(x)=x^2-2x+1+c\)이고 \(c=1\) 또는 \(c=2\)이다. (2개)
따라서 위의 조건을 만족시키는 다항식 \(g(x)\)의 개수는 \(2+1+2=5\)개이다.

(b) \(h(x)\)의 개수
다항식 \(g(x)\)가 이차식이므로 \(h(x)=0\)은 이차방정식이다.
• \(h(x)=0\)이 중근을 갖는다면 조건 4)를 만족시키는 \(h(x)\)의 개수는 10개이다. (\(h(x)=(x-k)^2\), \(k \in \{1, 2, \dots, 10\}\))
• \(h(x)=0\)이 서로 다른 두 실근을 갖는다면, 조건 4)를 만족시키는 \(h(x)\)의 개수는 \({10}\mathrm{C}_2 = 45\)개이다.
종합하면 \(h(x)\)의 개수는 \(10 + 45 = 55\)개이다.

방정식 \(g(x)=0\)의 모든 근은 허근이므로, 다항식 \(g(x)\)와 \(h(x)\)는 서로 중복되지 않는다.
따라서 위 조건을 모두 만족시키는 다항식 \(f(x)=g(x)h(x)\)의 개수는 \(5 \times 55 = \mathbf{275}\)개이다.

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구하는 넓이는 닫힌구간 \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\)에서 곡선과 선분 \(\mathrm{AB}\)로 둘러싸인 부분의 넓이와, 닫힌구간 \(\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]\)에서 곡선과 선분 \(\mathrm{BC}\)로 둘러싸인 부분의 넓이의 합이다.
\[f(x) = \begin{cases} e^{-x}\cos x & \left(0 \le x \lt \frac{\pi}{2}\right) \\ -e^{-x}\cos x & \left(\frac{\pi}{2} \le x \le \pi\right) \end{cases}\]
(a) \(0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}\) 구간:
이 구간에서 \(f''(x)=2e^{-x}\sin x \gt 0\)이므로 함수 \(f(x)\)의 그래프는 아래로 볼록하다. 점 \(\mathrm{A}\)와 점 \(\mathrm{B}\)를 지나는 직선을 \(y=g(x)\)라 하면 \(f(0)=g(0)=1\), \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=g\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\)이므로, 닫힌구간 \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\)에서 \(g(x) \ge f(x)\)이다.
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} g(x)\,dx\)는 밑변 \(\frac{\pi}{2}\), 높이 1인 직각삼각형 넓이이므로 \(\frac{\pi}{4}\)이다.
부분적분법으로부터 \(\int e^{-x}\cos x\,dx = \frac{1}{2}e^{-x}(\sin x - \cos x) + C\)이므로,
\(-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)\,dx = -\left[\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x - \cos x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2}e^{-\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2}\)
따라서 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (g(x)-f(x))\,dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}e^{-\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2}\)이다.
(b) \(\frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi\) 구간:
이 구간에서 \(f''(x)=-2e^{-x}\sin x \lt 0\)이므로 함수 \(f(x)\)의 그래프는 위로 볼록하다. 점 \(\mathrm{B}\)와 점 \(\mathrm{C}\)를 지나는 직선을 \(y=h(x)\)라 하면 \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=h\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\), \(f(\pi)=h(\pi)=e^{-\pi}\)이므로, 닫힌구간 \(\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]\)에서 \(f(x) \ge h(x)\)이다.
\(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} h(x)\,dx\)는 밑변 \(\frac{\pi}{2}\), 높이 \(e^{-\pi}\)인 직각삼각형 넓이이므로 \(\frac{\pi e^{-\pi}}{4}\)이다.
닫힌구간 \(\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]\)에서 \(f(x)=-e^{-x}\cos x\)이므로,
\(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(x)\,dx = \left[-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x - \cos x)\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \frac{1}{2}e^{-\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2}e^{-\pi}\)
따라서 \(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (f(x)-h(x))\,dx = \frac{1}{2}e^{-\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2}e^{-\pi} - \frac{\pi e^{-\pi}}{4}\)이다.
[결론] 그러므로 구하는 도형의 총 넓이는
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (g(x)-f(x))\,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (f(x)-h(x))\,dx = \mathbf{\frac{\pi}{4} - \frac{\pi e^{-\pi}}{4} - \frac{1}{2}e^{-\pi} - \frac{1}{2}}\]

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(1) \(a\)와 \(c\)를 각각 \(b\)에 대한 식으로 표현
함수 \(f(x)g(x)\)와 \(g(f(x))\)는 \(x \ne -1\)일 때 항상 연속이므로 \(x=-1\)에서 연속이어야 한다.
• \(\lim_{x \to -1^{-}} f(x)g(x) = -(1-a+c)\), \(\lim_{x \to -1^{+}} f(x)g(x) = 2(1-a+c)\)이므로 \(1-a+c=0\)이다.
• \(g(f(x))\)가 \(x=-1\)에서 연속이려면 \(g(-1)=g(2)\)이어야 하므로 \(1-a=4+2b \implies \mathbf{a = -2b-3}\)이다.
\(1-a+c=0\)에 대입하면 \(1 - (-2b-3) + c = 0 \implies \mathbf{c = -2b-4}\)이다.

(2) 실수 \(b\)의 값의 범위
\(f(x)\)는 \(x=-1\)에서 연속이 아니므로, \(f(g(x)+3)\)이 연속이기 위해서는 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x)+3 \lt -1\)이거나 \(g(x)+3 \ge -1\)이어야 한다. 그런데 \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = \infty\)이므로 \(g(x)+3 \ge -1\), 즉 \(g(x) \ge -4\)이어야 한다.
(1)로부터 \(g_{-}(x)=x^2-(2b+3)x-(2b+4)\; (x \le 0)\), \(g_{+}(x)=x^2+bx-(2b+4)\; (x \ge 0)\)이다.
• (a) \(g_{-}(x)\)가 \(x\lt 0\)에서 최솟값을 갖는 경우:
꼭짓점 \(b+\frac{3}{2} \lt 0 \implies b \lt -\frac{3}{2}\)이다.
\(g_{-}\left(b+\frac{3}{2}\right) = -b^2-5b-\frac{25}{4} \ge -4 \implies -\frac{9}{2} \le b \le -\frac{1}{2}\)
\(g_{+}\left(-\frac{b}{2}\right) = -\frac{b^2}{4}-2b-4 \ge -4 \implies -8 \le b \le 0\)
셋의 공통 범위는 \(-\frac{9}{2} \le b \lt -\frac{3}{2}\)이다.
• (b) \(g_{-}(x)\)가 \(x=0\)에서 최솟값을 갖는 경우:
꼭짓점 \(b+\frac{3}{2} \ge 0 \implies b \ge -\frac{3}{2}\)이다. 이때 \(g_{-}(0)=-2b-4\)이다.
i) \(b \gt 0\)일 때: \(g_{+}(x)\)도 \(x=0\)에서 최솟값을 가지므로 \(-2b-4 \ge -4 \implies b \le 0\) (모순, 해 없음)
ii) \(-\frac{3}{2} \le b \le 0\)일 때: \(g_{+}(x)\)는 \(x=-\frac{b}{2}\)에서 최솟값을 가지고, 최솟값 조건은 \(-8 \le b \le 0\)이므로 범위는 \(-\frac{3}{2} \le b \le 0\)이다.
[결론] (a), (b)로부터 구하는 실수 \(b\)의 범위는 \(\mathbf{-\frac{9}{2} \le b \le 0}\)이다.

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컵의 높이를 \(h\), 밑면의 반지름을 \(r\) (\(r \gt 0\))라고 하자.
주어진 조건을 만족시키면서 컵의 겉넓이가 최소가 되기 위해서는, 물을 \(54\pi\)만큼 넣었을 때 컵의 높이와 수면의 높이의 차이가 정확히 3이어야 한다. 따라서 다음 식이 성립한다.
\[\pi r^2 (h-3) = 54\pi \implies h = 3 + \frac{54}{r^2}\]
문제의 조건으로부터 뚜껑이 없는 원기둥 모양 컵의 겉넓이 \(A(r)\)는 다음과 같이 주어진다.
\[A(r) = \pi r^2 + 2\pi rh = \pi r^2 + 2\pi r\left(3 + \frac{54}{r^2}\right) \quad (r \gt 0)\]
도함수를 구하면 다음과 같다.
\[A'(r) = 2\pi r + 6\pi - \frac{108\pi}{r^2} = \frac{2\pi(r^3+3r^2-54)}{r^2} = \frac{2\pi(r-3)(r^2+6r+18)}{r^2}\]
\(r^2+6r+18=(r+3)^2+9 \gt 0\)이므로, \(A'(r)=0\)을 만족하는 유일한 양의 실근은 \(r=3\)이다.
함수 \(A(r)\)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

\(r\)	0	\(\cdots\)	3	\(\cdots\)
\(A'(r)\)		\(-\)	0	\(+\)
\(A(r)\)		\(\searrow\)	\(63\pi\) (극소)	\(\nearrow\)

그러므로 \(r=3\)일 때 겉넓이가 최소가 되고, 이때 컵의 겉넓이는 \(A(3) = \mathbf{63\pi}\)이다.

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(1) 두 원의 기하학적 닮음비와 접선 \(\ell\)의 방정식 도출 [15점]
큰 원은 중심이 \(C\left(\frac{t-1}{2}, 0\right)\), 반지름이 \(R_1 = \frac{1+t}{2}\)이다.
작은 원은 중심이 \(E\left(\frac{t+1}{2}, 0\right)\), 반지름이 \(R_2 = \frac{1-t}{2}\)이다.
직선 \(\ell\)의 \(x\)절편을 \(x_0\)라 하면, \(x\)축과 접선 \(\ell\) 및 각 원의 접점 반지름으로 이루어지는 두 직각삼각형은 서로 닮음이며 닮음비는 \(R_1 : R_2 = \frac{1+t}{2} : \frac{1-t}{2} = (1+t) : (1-t)\)이다.
빗변의 길이를 각각 표현하면 \(\left(x_0 - \frac{t-1}{2}\right) : \left(x_0 - \frac{t+1}{2}\right) = (1+t) : (1-t)\)이므로
\[(1-t)\left(2x_0 - t + 1\right) = (1+t)\left(2x_0 - t - 1\right) \implies 4tx_0 = 2(t^2 + 1) \implies x_0 = \frac{t^2 + 1}{2t}\] 접선 \(\ell\)이 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 \(\pi - \theta\)라 하면, 작은 원의 중심과의 관계에서
\[\sin\theta = \frac{R_2}{x_0 - \frac{t+1}{2}} = \frac{\frac{1-t}{2}}{\frac{t^2+1}{2t} - \frac{t^2+t}{2t}} = \frac{\frac{1-t}{2}}{\frac{1-t}{2t}} = t\] 따라서 접선 \(\ell\)의 기울기 \(a\)는 음수이므로
\[a = -\tan\theta = -\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\] 그러므로 직선 \(\ell\)의 방정식은 다음과 같다.
\[y = -\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\left(x - \frac{t^2+1}{2t}\right) = -\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}x + \frac{t^2+1}{2\sqrt{1-t^2}}\] (2) 삼각치환을 이용한 정적분의 계산 [10점]
직선 \(\ell\)의 \(y\)절편은 \(f(t) = \frac{t^2+1}{2\sqrt{1-t^2}}\)이다.
\(t = \sin\theta\)로 치환하면 \(\frac{dt}{d\theta} = \cos\theta \implies dt = \cos\theta\,d\theta\)이다.
적분구간 변환: \(t = \frac{1}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{6}\), \(t = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{4}\)이다.
\[\int_{1/2}^{\sqrt{2}/2} f(t)\,dt = \int_{\pi/6}^{\pi/4} \frac{\sin^2\theta + 1}{2\sqrt{1-\sin^2\theta}} \cos\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{\pi/6}^{\pi/4} (\sin^2\theta + 1)\,d\theta\] 반각공식 \(\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}\)를 대입하면
\[\frac{1}{2}\int_{\pi/6}^{\pi/4} \left(\frac{1-\cos 2\theta}{2} + 1\right)\,d\theta = \frac{1}{4}\int_{\pi/6}^{\pi/4} (3 - \cos 2\theta)\,d\theta = \frac{1}{4}\left[3\theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{\pi/6}^{\pi/4}\] 위끝과 아래끝을 대입하여 계산하면
\[= \frac{1}{4}\left[\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2}\right) - \left(\frac{3\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{3}\right)\right] = \frac{1}{4}\left[\frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2} - \frac{\pi}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right] = \frac{1}{4}\left[\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right] = \frac{\pi - 2 + \sqrt{3}}{16}\]

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(1) 역함수 미분법 및 도함수 부호를 통한 함수 \(u(x)\)의 증감 조사 [10점]
\(x \gt 0\)일 때 \(g'(x) = 2x + k \gt 2(0) + 1 = 1 \gt 0\)이므로 함수 \(g(x)\)는 일대일대응이며 역함수 \(h(x)\)가 존재한다.
역함수 미분법에 의하여 \(h'(x) = \frac{1}{g'(h(x))} = \frac{1}{2h(x) + k}\)이다.
\(x \ge 1\)일 때 \(h(x) \ge 0\)이고 \(k \gt 1\)이므로 \(g'(h(x)) \gt 1\)이며, 따라서 \(0 \lt h'(x) \lt 1\)이다.
구간 \([2n, 2n+2]\)에서 함수 \(f(x)\)는 다음과 같다.
\[f(x) = \begin{cases} x - 2n & (2n \le x \lt 2n+1) \ -x + 2n + 2 & (2n+1 \le x \le 2n+2) \end{cases}\] 따라서 \(u'(x) = h'(x) - f'(x)\)를 계산하면
\[u'(x) = \begin{cases} h'(x) - 1 & (2n \lt x \lt 2n+1) \ h'(x) + 1 & (2n+1 \lt x \lt 2n+2) \end{cases}\] \(0 \lt h'(x) \lt 1\)이므로, \(h'(x) - 1 \lt 0\)이고 \(h'(x) + 1 \gt 0\)이다.
그러므로 함수 \(u(x)\)는 구간 \([2n, 2n+1]\)에서 감소하고, 구간 \([2n+1, 2n+2]\)에서 증가한다.

(2) 교점 조건 분석을 통한 실수 \(k\)의 범위 도출 [15점]
\(1 \le x \le 2\)일 때: \(u'(x) = h'(x) + 1 \gt 0\)이므로 \(u(x)\)는 증가한다. \(u(1) = h(1) - 1 = 0 - 1 = -1 \lt 0\), \(u(2) = h(2) - 0 = h(2) \gt 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 \([1, 2]\)에서 오직 1개의 실근을 갖는다.
\(n \ge 1\)일 때: \(u(2n) = h(2n) \gt 0\), \(u(2n+2) = h(2n+2) \gt 0\)이므로, 구간 \([2n, 2n+2]\)에서의 교점의 개수는 극솟값 \(u(2n+1) = h(2n+1) - 1\)의 부호에 의해 결정된다.
  ① \(h(2n+1) - 1 \gt 0\): 교점 0개   |   ② \(h(2n+1) - 1 = 0\): 교점 1개   |   ③ \(h(2n+1) - 1 \lt 0\): 교점 2개
\(h(x)\)는 엄격히 증가하는 함수이므로, \(h(2n+1) \lt 1\)인 동안에만 각 구간에서 2개의 교점이 발생한다.
전체 교점의 개수가 1001개가 되려면, 구간 \([1, 2]\)의 교점 1개를 제외한 1000개의 교점이 발생해야 하므로 경우 ③이 정확히 500개 구간(\(n=1, 2, \dots, 500\))에서 일어나고, \(n=501\)부터는 교점이 없어야 한다.
즉, \(h(2\cdot 500 + 1) = h(1001) \lt 1\)이고 \(h(2\cdot 501 + 1) = h(1003) \gt 1\)이어야 한다.
\(g(x)\)가 증가함수이므로
\[h(1001) \lt 1 \iff 1001 \lt g(1) \quad \text{및} \quad h(1003) \gt 1 \iff g(1) \lt 1003\] \(g(1) = 1^2 + k(1) + 1 = k + 2\)이므로
\[1001 \lt k + 2 \lt 1003 \implies 999 \lt k \lt 1001\]

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1. 합성함수의 연속성을 이용한 상수 \(a\)의 결정
합성함수 \(f(g(x))\)의 식을 구간별로 나타내면 다음과 같다.
\[f(g(x)) = \begin{cases} f\left(-x + \frac{1}{2}\right) = 1 - a\left(-x + \frac{1}{2}\right)^2 & (x \le 0, \text{ 왜냐하면 } -x+\frac{1}{2} \gt 0) \ f\left(-x - \frac{1}{4}\right) = 1 - \left(-x - \frac{1}{4}\right)^2 & (x \gt 0, \text{ 왜냐하면 } -x-\frac{1}{4} \lt 0) \end{cases}\] 함수 \(f(g(x))\)가 \(x=0\)에서 연속이어야 하므로 좌극한과 우극한이 일치해야 한다.
\[\lim_{x\to 0^-} f(g(x)) = 1 - a\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4}a, \qquad \lim_{x\to 0^+} f(g(x)) = 1 - \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16}\] \[1 - \frac{1}{4}a = 1 - \frac{1}{16} \implies \frac{1}{4}a = \frac{1}{16} \implies a = \frac{1}{4}\] 따라서 함수 \(f(x)\)는 다음과 같이 결정된다.
\[f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 & (x \le 0) \ 1 - \frac{1}{4}x^2 & (x \gt 0) \end{cases}\] 2. 내접하는 직사각형의 넓이 함수 구성 및 최댓값 도출
직사각형의 오른쪽 변의 \(x\)좌표를 \(m\) (\(0 \lt m \lt 2\))이라 하면, 오른쪽 위 꼭짓점은 \(A\left(m, 1 - \frac{1}{4}m^2\right)\)이다.
직사각형의 윗변은 \(x\)축과 평행하므로 왼쪽 위 꼭짓점 \(B\)의 \(y\)좌표도 \(1 - \frac{1}{4}m^2\)이다.
점 \(B(n, y)\)는 곡선 \(y = 1 - x^2\;(x \le 0)\) 위에 있으므로
\[1 - n^2 = 1 - \frac{1}{4}m^2 \implies n^2 = \frac{1}{4}m^2 \implies n = -\frac{1}{2}m \quad (n \lt 0)\] 따라서 직사각형의 가로 길이는 \(m - n = m - \left(-\frac{1}{2}m\right) = \frac{3}{2}m\)이고, 세로 길이는 \(1 - \frac{1}{4}m^2\)이다.
직사각형의 넓이를 \(m\)에 대한 함수 \(S(m)\)이라 하면
\[S(m) = \frac{3}{2}m\left(1 - \frac{1}{4}m^2\right) = \frac{3}{2}m - \frac{3}{8}m^3 \quad (0 \lt m \lt 2)\] 도함수를 구하여 극값을 찾으면
\[S'(m) = \frac{3}{2} - \frac{9}{8}m^2 = 0 \implies \frac{9}{8}m^2 = \frac{3}{2} \implies m^2 = \frac{4}{3} \implies m = \frac{2}{\sqrt{3}}\] \(0 \lt m \lt \frac{2}{\sqrt{3}}\)에서 \(S'(m) \gt 0\), \(\frac{2}{\sqrt{3}} \lt m \lt 2\)에서 \(S'(m) \lt 0\)이므로 \(S(m)\)은 \(m = \frac{2}{\sqrt{3}}\)에서 극대이자 최대이다.
따라서 구하는 직사각형의 넓이의 최댓값은 다음과 같다.
\[S\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \frac{3}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) - \frac{3}{8}\left(\frac{8}{3\sqrt{3}}\right) = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\]

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(1) 학생 A의 풀이에서 잘못된 점 2가지 분석 [10점]
① 항등 대응(\(f(i)=i\)) 가능성 누락 (과정 (나)의 오류):
\(f(f(x)) = x\)를 만족하기 위해서는 \(f(a) = b\)일 때 \(f(b) = a\)여야 하므로 서로 다른 두 원소가 쌍을 이루는 경우(\(a e b\))뿐만 아니라, 자기 자신으로 대응되는 경우(\(a = b\), 즉 \(f(a) = a\))도 존재할 수 있다. 학생 A는 모든 6개의 원소가 2개씩 3개의 쌍을 이루는 특수한 경우만 고려하고, 자기 자신으로 대응되는 원소가 존재하는 경우들을 완전히 누락하였다.
② 분할 과정에서의 중복(순서 고려) 오류 (과정 (다)의 오류):
서로 다른 6개의 원소를 같은 크기인 2개씩 3개의 조(쌍)로 나누는 방법의 수는 조의 순서가 없으므로 \(3!\)으로 나누어 주어야 한다. 학생 A의 식 \(_6\mathrm{C}_2 \times _4\mathrm{C}_2 \times _2\mathrm{C}_2\)는 조를 택하는 순서까지 고려한 것이므로 실제 분할 경우의 수인 \(\frac{_6\mathrm{C}_2 \times _4\mathrm{C}_2 \times _2\mathrm{C}_2}{3!} = \frac{90}{6} = 15\)보다 6배 과대 계산되었다.

(2) 조건을 만족시키는 함수 \(f\)의 총 개수 산출 [15점]
\(f(i) = j \; (i e j)\)를 만족하는 원소의 개수는 반드시 2의 배수(짝수)이어야 하므로, 자기 자신으로 가는 원소(\(f(i)=i\))의 개수도 짝수(0개, 2개, 4개, 6개)이어야 한다. 따라서 4가지 경우로 분류하여 합의 법칙을 적용한다.
① \(f(i)=i\)인 원소가 6개인 경우 (항등함수):
모든 원소가 자기 자신으로 대응되므로 오직 1개이다.
② \(f(i)=i\)인 원소가 4개이고, 2개가 1쌍을 이루는 경우:
서로 맞바꿀 2개의 원소를 택하는 조합의 수이므로
\[_6\mathrm{C}_2 = 15\text{개}\]
③ \(f(i)=i\)인 원소가 2개이고, 4개가 2쌍을 이루는 경우:
먼저 자기 자신으로 갈 2개의 원소를 택하고, 나머지 4개 원소를 2개씩 2쌍으로 분할한다.
\[_6\mathrm{C}_2 \times \frac{_4\mathrm{C}_2 \times _2\mathrm{C}_2}{2!} = 15 \times \frac{6 \times 1}{2} = 15 \times 3 = 45\text{개}\]
④ \(f(i)=i\)인 원소가 0개이고, 6개가 3쌍을 이루는 경우:
6개의 원소를 2개씩 3쌍으로 분할하는 경우의 수이므로
\[\frac{_6\mathrm{C}_2 \times _4\mathrm{C}_2 \times _2\mathrm{C}_2}{3!} = \frac{15 \times 6 \times 1}{6} = 15\text{개}\]
따라서 구하는 함수 \(f\)의 총 개수는 다음과 같다.
\[1 + 15 + 45 + 15 = 76\text{개}\]

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1. 삼차함수 인수분해 및 변곡점 \(P\)의 좌표 도출
방정식 \(f(x)=0\)의 세 실근을 \(\alpha = 2-\sqrt{5}, \; \beta = 2+\sqrt{5}, \; \gamma\)라 하면
\[f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = x^3 - (\alpha+\beta+\gamma)x^2 + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma\] 이계도함수를 구하여 변곡점을 찾으면 \(f''(x) = 6x - 2(\alpha+\beta+\gamma) = 0\)이므로
변곡점 \(P\)의 \(x\)좌표를 \(p\)라 하면 \(p = \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3} = \frac{(2-\sqrt{5}) + (2+\sqrt{5}) + \gamma}{3} = \frac{4+\gamma}{3}\)이다.
조건 (iii)에 의하여 \(p = \frac{4+\gamma}{3}\)는 양의 정수이어야 하므로 \(\gamma = 3p - 4\) (\(p=1, 2, 3, \dots\))이다.

2. 양의 정수 \(p\)에 따른 삼각형의 기하학적 형태 판별
1) \(p=1\)일 때 (\(\gamma=-1\)): \(P(1, -8)\), \(C(-1, 0)\)이다. 점 \(P\)의 \(x\)좌표가 원점과 점 \(C\)의 \(x\)좌표보다 크므로 \(\angle COP \gt \frac{\pi}{2}\)가 되어 \( riangle OCP\)는 둔각삼각형이다. (조건 (iv) 불만족)
2) \(p=2\)일 때 (\(\gamma=2\)): \(P(2, 0)\), \(C(2, 0)\)이다. 점 \(O, P, B, C\)가 모두 \(x\)축 위에 있으므로 삼각형을 이루지 못한다. (조건 (iv) 불만족)
3) \(p=3\)일 때 (\(\gamma=5\)): \(f(x)=(x^2-4x-1)(x-5)\)이므로 \(P(3, 8)\), \(C(5, 0)\)이다.
\( riangle POC\)의 세 변의 길이의 제곱은 \(\overline{OP}^2 = 3^2+8^2 = 73\), \(\overline{PC}^2 = 2^2+8^2 = 68\), \(\overline{OC}^2 = 5^2 = 25\)이다.
가장 긴 변 \(\overline{OP}\)에 대하여 \(\overline{OP}^2 = 73 \lt \overline{PC}^2 + \overline{OC}^2 = 68 + 25 = 93\)이므로 \( riangle POC\)는 예각삼각형이다.
또한 점 \(B(2+\sqrt{5}, 0)\)에서 \(2+\sqrt{5} \approx 4.236\)이고 점 \(P\)의 \(x\)좌표 3은 \(0 \lt 3 \lt 2+\sqrt{5}\)를 만족하며, \(\angle OPB \lt \angle OPC \lt \frac{\pi}{2}\)이므로 \( riangle OPB\)도 예각삼각형이다. 따라서 조건 (iv)를 완벽히 만족한다.
4) \(p=4\)일 때 (\(\gamma=8\)): \(P(4, 4)\), \(C(8, 0)\)이다.
\(\overline{OP}^2 = 4^2+4^2 = 32\), \(\overline{PC}^2 = 4^2+4^2 = 32\), \(\overline{OC}^2 = 8^2 = 64\)이다. 가장 긴 변 \(\overline{OC}\)에 대하여 \(\overline{OC}^2 = \overline{OP}^2 + \overline{PC}^2 = 32+32=64\)이므로 \( riangle POC\)는 직각삼각형이다. (조건 (iv) 불만족)
5) \(p \ge 5\)일 때: 점 \(P\)의 \(x\)좌표가 \(p \ge 5 \gt 2+\sqrt{5}\)이므로 점 \(B\)의 \(x\)좌표보다 크다. 따라서 \(\angle OBP \gt \frac{\pi}{2}\)가 되어 \( riangle OBP\)는 둔각삼각형이다. (조건 (iv) 불만족)

3. 결론
만족하는 삼차함수 \(f(x)\)의 개수는 1개이며, 그 함수는 다음과 같다.
\[f(x) = (x - 2 + \sqrt{5})(x - 2 - \sqrt{5})(x - 5) = (x^2 - 4x - 1)(x - 5) = x^3 - 9x^2 + 19x + 5\]

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1. 경로 분할 및 시각·각도 매개변수화
시각 \(t=0\)에서의 점 \(P\)의 위치를 \(A(0, h)\), 곡선 \(y=\sqrt{-x^2+2x}\)와 만나는 점을 \(Q\)라 하자.
\(1 \le x \le 2\)일 때 곡선 \(y = \sqrt{1 - (x-1)^2}\)은 중심이 \(C(1, 0)\)이고 반지름이 1인 원의 호이다.
\(\angle QCB = \theta\) (\(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\))라 하면 점 \(Q\)의 좌표는 \(Q(1+\cos\theta, \sin\theta)\)이며, \(h = \sin\theta\)이다.
점 \(P\)가 곡선과 만날 때까지 걸린 시각을 \(T\)라 하면, \(0 \le t \le T\)에서 속력이 \(v(t)=t\)이므로 이동 거리는
\[x(T) = \int_0^T u\,du = \frac{1}{2}T^2 = 1 + \cos\theta \implies T = \sqrt{2(1+\cos\theta)}\] 점 \(Q\)에서 점 \(B(2, 0)\)까지는 반지름 1, 중심각 \(\theta\)인 원호 위를 일정한 속력 \(\sqrt{3}\)으로 이동하므로 이동 시간은
\[T_{\text{arc}} = \frac{r\theta}{\text{속력}} = \frac{\theta}{\sqrt{3}}\] 따라서 점 \(P\)가 \((0, h)\)에서 \((2, 0)\)까지 이동하는 데 걸리는 총 시간 \(t(\theta)\)는 다음과 같다.
\[t(\theta) = \sqrt{2 + 2\cos\theta} + \frac{\theta}{\sqrt{3}} \quad \left(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\right)\] 2. 도함수를 이용한 극대·최대 분석
함수 \(t(\theta)\)의 도함수를 구하면
\[t'(\theta) = \frac{-2\sin\theta}{2\sqrt{2+2\cos\theta}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{-\sin\theta}{\sqrt{2(1+\cos\theta)}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\] 극값을 찾기 위하여 \(t'(\theta)=0\)이라 두면
\[\frac{\sin\theta}{\sqrt{2(1+\cos\theta)}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \frac{\sin^2\theta}{2(1+\cos\theta)} = \frac{1-\cos^2\theta}{2(1+\cos\theta)} = \frac{1-\cos\theta}{2} = \frac{1}{3}\] \[1 - \cos\theta = \frac{2}{3} \implies \cos\theta = \frac{1}{3}\] \(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\)이므로 \(\sin\theta = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)이다.
이때의 각을 \(\theta_1\)이라 하면 이계도함수 \(t''(\theta) = -\frac{\sqrt{2(1+\cos\theta)}\cos\theta + \frac{\sin^2\theta}{\sqrt{2(1+\cos\theta)}}}{2(1+\cos\theta)} \lt 0\)이므로 \(t(\theta)\)는 \(\theta = \theta_1\)에서 유일한 극대이자 최댓값을 갖는다.
따라서 총 이동 시간이 최대가 되도록 하는 \(h\)의 값은 다음과 같다.
\[h = \sin\theta_1 = \frac{2\sqrt{2}}{3}\]

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(1) 주어진 초기 위치에서의 거리 함수 및 최솟값 도출 [10점]
시각 \(t=0\)에서의 우주선 위치가 \((-2\sqrt{2}, -5)\)이고 속도가 \((\sqrt{2}, 2)\)이므로, 시각 \(t\)에서의 우주선 위치는
\[x_{\text{ship}} = \sqrt{2}t - 2\sqrt{2}, \quad y_{\text{ship}} = 2t - 5\] 혜성과 우주선 사이의 거리의 제곱을 \(s(t) = \{r(t)\}^2\)이라 하면
\[s(t) = \{(2\sqrt{2}t - 4\sqrt{2}) - (\sqrt{2}t - 2\sqrt{2})\}^2 + \{(t^2 - 2t + 3) - (2t - 5)\}^2 = 2(t-2)^2 + (t^2 - 4t + 8)^2\] 함수 \(s(t)\)의 도함수를 구하여 인수분해하면
\[s'(t) = 4(t-2) + 2(t^2 - 4t + 8)(2t-4) = 4(t-2)\left[1 + (t^2 - 4t + 8)\right] = 4(t-2)(t^2 - 4t + 9)\] \(t^2 - 4t + 9 = (t-2)^2 + 5 \gt 0\)이므로 \(s'(t)=0\)의 유일한 실근은 \(t=2\)이다.
\(t \lt 2\)에서 \(s'(t)\lt 0\), \(t \gt 2\)에서 \(s'(t)\gt 0\)이므로 함수 \(s(t)\)는 \(t=2\)에서 최솟값 \(s(2) = 0 + (4 - 8 + 8)^2 = 16\)을 갖는다.
따라서 거리가 최소가 되는 시각은 \(t=2\)이고, 그때의 거리는 \(r(2) = \sqrt{16} = 4\)이다.

(2) 가장 가까운 관측을 위한 초기 위치 및 시각 결정 [15점]
혜성이 움직이는 곡선 \(C\)와 우주선이 움직이는 직선 \(\ell\) 사이의 거리가 최소인 두 점을 혜성과 우주선이 같은 시각에 지나야 한다.
직선 \(\ell\)의 기울기가 \(\sqrt{2}\)이므로, 곡선 \(C\) 위의 점에서의 접선의 기울기가 \(\sqrt{2}\)이어야 한다.
매개변수 미분법에 의하여 접선의 기울기는
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t - 2}{2\sqrt{2}} = \frac{t - 1}{\sqrt{2}}\] \(\frac{t-1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \implies t - 1 = 2 \implies t = 3\)
따라서 혜성과 우주선이 가장 가까워지는 시각은 \(t=3\)이다.
\(t=3\)일 때 혜성의 위치는 \(P(2\sqrt{2}, 6)\)이다.
점 \(P\)에서 직선 \(\ell: y=\sqrt{2}x-1\)에 내린 수선의 발을 \(Q\)라 하자. 수선의 방정식 \(\ell'\)은 기울기가 \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\)이므로
\[y - 6 = -\frac{1}{\sqrt{2}}(x - 2\sqrt{2}) \implies y = -\frac{1}{\sqrt{2}}x + 8\] \(\ell\)과 \(\ell'\)을 연립하면 \(\sqrt{2}x - 1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}x + 8 \implies \frac{3}{\sqrt{2}}x = 9 \implies x = 3\sqrt{2}, \; y = 5\)이므로 \(Q(3\sqrt{2}, 5)\)이다.
시각 \(t=3\)일 때 우주선이 점 \(Q(3\sqrt{2}, 5)\)에 도달해야 하므로, \(t=0\)에서의 우주선 위치 \((x_0, y_0)\)는
\[3\sqrt{2} = \sqrt{2}(3) + x_0 \implies x_0 = 0, \quad 5 = 2(3) + y_0 \implies y_0 = -1\] 따라서 구하는 시각 \(t=0\)에서의 우주선의 위치는 \((0, -1)\)이다.

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(1) 치환적분법을 이용한 함수 \(g(x)\)의 정적분 값 도출 [7.5점]
조건 (iii)의 정적분에서 \(t = x - S_n\)으로 치환하면 \(dt = dx\)이다.
\(x=0\)일 때 \(t = -S_n\)이고, \(x=a_n\)일 때 \(t = -S_n + a_n = -S_{n-1}\)이다.
\[\int_0^{a_n} f(x - S_n)\,dx = \int_{-S_n}^{-S_{n-1}} f(t)\,dt\] \(a_n \ge 0\)이므로 모든 \(n\)에 대하여 \(-S_n \le -S_{n-1} \le 0\)이다.
\(x \le 0\)에서 조건 (i)에 의하여 \(f(x) = g(x)\)이므로
\[\int_{-S_n}^{-S_{n-1}} f(t)\,dt = \int_{-S_n}^{-S_{n-1}} g(t)\,dt = 1\] 적분구간의 위끝과 아래끝을 바꾸면 구하는 정적분의 값은 다음과 같다.
\[\int_{-S_{n-1}}^{-S_n} g(x)\,dx = -\int_{-S_n}^{-S_{n-1}} g(x)\,dx = -1\] (2) 구간 분할, 치환적분 및 부분분수 소거를 통한 최종 정적분 계산 [17.5점]
정적분의 구간 성질에 의하여
\[\int_0^{2023} f(x)\,dx = \sum_{n=1}^{2023} \int_{n-1}^n f(x)\,dx\] 각 구간 \([n-1, n]\)에서 조건 (ii)를 적용하면
\[\int_{n-1}^n f(x)\,dx = \int_{n-1}^n g\left(-S_n + (n-1-x)a_{n+1}\right)\,dx\] \(t = -S_n + (n-1-x)a_{n+1}\)로 치환하면 \(dt = -a_{n+1}\,dx \implies dx = -\frac{1}{a_{n+1}}\,dt\)이다.
적분구간을 변환하면, \(x = n-1\)일 때 \(t = -S_n\), \(x = n\)일 때 \(t = -S_n - a_{n+1} = -S_{n+1}\)이다.
\[\int_{n-1}^n f(x)\,dx = \int_{-S_n}^{-S_{n+1}} g(t)\left(-\frac{1}{a_{n+1}}\right)\,dt = \frac{1}{a_{n+1}} \int_{-S_{n+1}}^{-S_n} g(t)\,dt\] 문항 (1)의 결과에 의하여 모든 \(n \ge 1\)에 대하여 \(\int_{-S_{n+1}}^{-S_n} g(t)\,dt = 1\)이므로
\[\int_{n-1}^n f(x)\,dx = \frac{1}{a_{n+1}} \cdot 1 = \frac{1}{a_{n+1}}\] 수열의 일반항이 \(a_{n+1} = (n+1)n = n(n+1)\)이므로, 부분분수로 변형하면
\[\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\] 따라서 1부터 2023까지의 합은 망원급수 형태로 모두 상쇄된다.
\[\int_0^{2023} f(x)\,dx = \sum_{n=1}^{2023} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}\right) = 1 - \frac{1}{2024} = \frac{2023}{2024}\]

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1. 두 직선의 수직성과 교점 \(P_m\)의 자취 (외접원) 도출
직선 \(\ell : x + 2my = 0\)은 실수 \(m\)의 값에 관계없이 점 \((0, 0)\)을 지나고,
직선 \(\ell' : 2m(x-1) - y = 0\)은 실수 \(m\)의 값에 관계없이 점 \((1, 0)\)을 지난다.
\(m e 0\)일 때 직선 \(\ell\)과 \(\ell'\)의 기울기는 각각 \(-\frac{1}{2m}\)과 \(2m\)이므로 기울기의 곱은 \(\left(-\frac{1}{2m}\right) \times (2m) = -1\)이다.
\(m=0\)일 때 \(\ell\)은 \(y\)축(\(x=0\)), \(\ell'\)은 \(x\)축(\(y=0\))이므로 역시 서로 수직이다.
따라서 두 직선은 항상 직교하므로, 교점 \(P_m\)은 선분 \([(0, 0), (1, 0)]\)을 지름으로 하는 원 위에 존재한다.
즉, 삼각형 \(ABC\) (\(A=P_{m_1}, B=P_{m_2}, C=P_{m_3}\))의 외접원은 중심이 \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\)이고 지름이 1, 반지름이 \(R = \frac{1}{2}\)인 원이다.

2. 사인법칙 및 이등변삼각형 조건에 의한 넓이 최대화
삼각형의 한 각의 크기를 \(A = \frac{\pi}{6}\)이라 하고 그 대변을 \(BC\) (길이 \(a\))라 하자.
외접원의 반지름이 \(R = \frac{1}{2}\)이므로 사인법칙에 의하여
\[\frac{a}{\sin A} = 2R \implies a = 2R\sin\frac{\pi}{6} = 2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\] 변 \(BC\)의 길이가 \(\frac{1}{2}\)로 일정하므로, 삼각형 \(ABC\)의 넓이가 최대가 되기 위해서는 밑변 \(BC\)로부터 가장 멀리 떨어진 원 위의 점이 꼭짓점 \(A\)이어야 한다. 이때 삼각형 \(ABC\)는 \(\overline{AB} = \overline{AC}\)인 이등변삼각형이다.
밑변이 \(\frac{1}{2}\)이고 꼭지각이 \(A = \frac{\pi}{6}\)인 이등변삼각형의 밑각은 \(B = C = \frac{1}{2}\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{12}\)이다.
따라서 이등변삼각형의 높이 \(h\)는 다음과 같다.
\[h = \frac{a/2}{\tan(A/2)} = \frac{1/4}{\tan(\pi/12)} = \frac{1}{4}\tan\frac{5\pi}{12}\] 삼각함수의 덧셈정리를 적용하면
\[\tan\frac{5\pi}{12} = \tan\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{6} + \tan\frac{\pi}{4}}{1 - \tan\frac{\pi}{6}\tan\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = 2 + \sqrt{3}\] 따라서 구하는 삼각형의 넓이의 최댓값은 다음과 같다.
\[S_{\max} = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{2+\sqrt{3}}{16}\]

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(1) 함수 \(f(k)\)의 식 및 그래프 도출 [9점]
함수 \(p(x) = \frac{|2x|}{x^2+1}\)은 우함수이며, \(x \gt 0\)일 때 \(p(x) = \frac{2x}{x^2+1}\)이다.
산술·기하평균 부등식에 의하여 \(x^2 + 1 \ge 2x \implies p(x) \le 1\) (등호는 \(x=1\)일 때 성립)이다.
따라서 \(p(x)\)는 \(x=1, -1\)에서 최댓값 1을 갖고, \(p(0)=0\)이며 \(\lim_{x\to \pm\infty} p(x) = 0\)이다.
직선 \(y=k\)와의 교점의 개수를 분석하면 함수 \(f(k)\)는 다음과 같다.
\[f(k) = \begin{cases} 0 & (k \lt 0) \ 1 & (k = 0) \ 4 & (0 \lt k \lt 1) \ 2 & (k = 1) \ 0 & (k \gt 1) \end{cases}\] (2) 합성함수 연속성으로부터 \(g(x)\) 결정 및 최댓값 \(c=7\) 도출 [21점]
① 조건 (iii) 합성함수 \(g \circ f\)의 연속성: \(g(x)\)는 다항함수이므로 연속이다. \(f(x)\)의 불연속점 \(x=0, 1\)에서 연속이어야 한다.
\(x=0\)에서: \(\lim_{x\to 0^+} (g\circ f)(x) = g(4)\), \(\lim_{x\to 0^-} (g\circ f)(x) = g(0)\), \((g\circ f)(0) = g(1)\)이므로 \(g(0) = g(1) = g(4)\)이다.
\(x=1\)에서: \(\lim_{x\to 1^+} (g\circ f)(x) = g(0)\), \(\lim_{x\to 1^-} (g\circ f)(x) = g(4)\), \((g\circ f)(1) = g(2)\)이므로 \(g(0) = g(2) = g(4)\)이다.
따라서 \(g(0) = g(1) = g(2) = g(4) = a\) (상수)이다.
최고차항의 계수가 1인 사차함수이므로 \(g(x) = x(x-1)(x-2)(x-4) + a\)이다.
② 조건 (iv) 합성함수 \(f \circ g \circ h\)의 연속성: \(h(x)=[x]\)는 정수 \(n\)에서 불연속이므로, 모든 정수 \(n\)에 대하여 \(\lim_{x\to n^-} (f\circ g\circ h)(x) = f(g(n-1))\), \(\lim_{x\to n^+} (f\circ g\circ h)(x) = f(g(n))\)이 일치해야 한다.
즉, 모든 정수 \(n\)에 대하여 \(f(g(n))\)의 값이 동일한 상수로 일정해야 한다.
사차함수 \(g(x)\)는 최고차항 계수가 1이므로 \(\lim_{x\to \pm\infty} g(x) = \infty\)이다. 따라서 \(g(m) \gt 1\)인 정수 \(m\)이 반드시 존재하며, 이때 \(f(g(m)) = 0\)이다.
따라서 모든 정수 \(n\)에 대하여 \(f(g(n)) = 0\)이어야 하므로, 모든 정수 \(n\)에 대해 \(g(n) \gt 1\)이어야 한다.
③ 사차함수 \(g(x) = x(x-1)(x-2)(x-4) + a\)의 정수 함숫값 중 최솟값은 \(x=3\)일 때 발생한다.
\[g(3) = 3(2)(1)(-1) + a = a - 6 \gt 1 \implies a \gt 7\] \(g(0) = a \gt 7\)이므로, 모든 만족하는 함수에 대해 항상 \(g(0) \gt c\)가 성립하기 위한 최대 실수 \(c\)는 7이다.

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1. 기름의 총 부피 계산
높이 \(8 \le x \le 12\) 구간에서 기름의 부피 \(V\)를 정적분으로 계산하면
\[V = \int_8^{12} \pi \{R(x)\}^2\,dx = \int_8^{12} \pi (\sqrt{x-7})^2\,dx = \pi \int_8^{12} (x-7)\,dx = \pi \left[\frac{1}{2}x^2 - 7x\right]_8^{12} = \pi \left[(72 - 84) - (32 - 56)\right] = 12\pi\] 2. 기름층의 두께를 나타내는 함수 설정 및 최댓값 도출
① 기름층의 윗면 높이가 8 이상인 경우: 윗면 높이를 \(8+a\) (\(0 \le a \le 4\)), 아랫면 높이를 \(8-b\) (\(b \ge 0\))라 하자.
기름의 부피가 \(12\pi\)로 보존되므로
\[12\pi = \int_8^{8+a} \pi (\sqrt{x-7})^2\,dx + \int_{8-b}^8 \pi \left(\sqrt{\frac{8-x}{2} + 1}\right)^2\,dx\] \(t = x - 8\)로 치환적분하면
\[12\pi = \pi \int_0^a (t+1)\,dt + \pi \int_{-b}^0 \left(-\frac{t}{2} + 1\right)\,dt = \pi \left[\frac{1}{2}t^2 + t\right]_0^a + \pi \left[-\frac{1}{4}t^2 + t\right]_{-b}^0 = \pi \left(\frac{1}{2}a^2 + a + \frac{1}{4}b^2 + b\right)\] 양변에 4를 곱하여 정리하면 \(b^2 + 4b + (2a^2 + 4a - 48) = 0\)이다.
근의 공식에 의하여 \(b = -2 \pm \sqrt{4 - (2a^2 + 4a - 48)} = -2 \pm \sqrt{-2a^2 - 4a + 52}\)이다.
\(0 \le a \le 4\)에서 \(-2a^2 - 4a + 52 \ge 4\)이므로, \(b \ge 0\)이기 위해서는 플러스 부호를 취해야 한다.
\[b = -2 + \sqrt{-2a^2 - 4a + 52}\] 따라서 기름층의 두께는 \(a+b\)이므로, \(a\)에 대한 함수 \(H(a)\)는 다음과 같다.
\[H(a) = a + b = a - 2 + \sqrt{-2a^2 - 4a + 52} \quad (0 \le a \le 4)\] 함수 \(H(a)\)의 도함수를 구하면
\[H'(a) = 1 + \frac{-4a - 4}{2\sqrt{-2a^2 - 4a + 52}} = 1 - \frac{2a + 2}{\sqrt{-2a^2 - 4a + 52}}\] \(H'(a) = 0\)을 풀면 \(\sqrt{-2a^2 - 4a + 52} = 2a + 2\)이다.
양변을 제곱하면 \(-2a^2 - 4a + 52 = 4(a+1)^2 = 4a^2 + 8a + 4 \implies 6a^2 + 12a - 48 = 0 \implies a^2 + 2a - 8 = 0\)
인수분해하면 \((a+4)(a-2) = 0\)이고, \(0 \le a \le 4\)이므로 유일한 극값은 \(a = 2\)이다.
\(0 \le a \lt 2\)에서 \(H'(a) \gt 0\), \(2 \lt a \le 4\)에서 \(H'(a) \lt 0\)이므로 \(H(a)\)는 \(a = 2\)에서 극대이자 최댓값을 갖는다.
\[H(2) = 2 - 2 + \sqrt{-2(4) - 4(2) + 52} = \sqrt{-8 - 8 + 52} = \sqrt{36} = 6\] ② 기름층의 윗면 높이가 8 미만인 경우: 용기의 아래쪽으로 갈수록 단면 반지름 \(R(x) = \sqrt{\frac{8-x}{2}+1}\)이 점차 증가하여 단면적이 커지므로, 일정 부피 \(12\pi\)를 만족하는 기름층의 두께는 하강할수록 계속 감소한다.

따라서 기름층의 두께의 최댓값은 6이다.

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(1) 최단 시간 조건 및 삼각함수의 덧셈정리를 이용한 \(\tan\theta\) 도출 [10점]
점 \(Q(1, 2)\)가 고정되어 있을 때, 직선 \(\ell: y = -3x + 10\) 위의 점 \(R\)까지 속력 1로 최단 시간에 도착하려면 선분 \(QR\)는 직선 \(\ell\)에 수직인 수선이어야 한다.
직선 \(\ell\)의 기울기가 \(-3\)이므로, 직선 \(QR\)의 기울기는 \(\frac{1}{3}\)이다.
한편 원점 \(O(0, 0)\)과 점 \(Q(1, 2)\)를 잇는 직선 \(OQ\)의 기울기는 \(\frac{2-0}{1-0} = 2\)이다.
그림과 같이 직선 \(\ell\)과 \(x\)축의 교점을 \(T\), \(\theta_1 = \angle QOT\)라 하면 \(\tan\theta_1 = 2\)이다.
점 \(Q\)를 지나고 \(x\)축에 평행한 직선이 \(\ell\)과 만나는 점을 \(S\), \(\theta_2 = \angle RQS\)라 하면 \(\tan\theta_2 = \frac{1}{3}\)이다.
이때 \(\theta = \angle OQR = \pi - (\theta_1 - \theta_2)\)이므로 삼각함수 덧셈정리에 의하여
\[\tan\theta = \tan(\pi - (\theta_1 - \theta_2)) = -\tan(\theta_1 - \theta_2) = \tan(\theta_2 - \theta_1) = \frac{\tan\theta_2 - \tan\theta_1}{1 + \tan\theta_2\tan\theta_1}\] 값을 대입하면
\[\tan\theta = \frac{\frac{1}{3} - 2}{1 + \frac{1}{3} \cdot 2} = \frac{-\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} = -1\] (2) 이동 시간 함수 설정 및 도함수 극값 조건으로부터 \(a\) 도출 [15점]
곡선 \(y = 3 - x^4\) 위의 점을 \(Q(x, 3-x^4)\)라 하자.
원점 \(O\)에서 점 \(Q\)까지의 거리는 \(\overline{OQ} = \sqrt{x^2 + (3-x^4)^2} = \sqrt{x^8 - 6x^4 + x^2 + 9}\)이다.
점 \(Q(x, 3-x^4)\)에서 직선 \(\ell: 3x + y - 10 = 0\)까지의 수선의 거리는
\[d = \frac{|3x + (3-x^4) - 10|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|-x^4 + 3x - 7|}{\sqrt{10}}\] \(x=1\) 근방에서 \(-x^4 + 3x - 7 \lt 0\)이므로 \(d = \frac{x^4 - 3x + 7}{\sqrt{10}}\)이다.
점 \(P\)가 원점을 출발하여 점 \(Q\)를 거쳐 직선 \(\ell\)의 점 \(R\)까지 이동하는 데 걸리는 총 시간 \(t(x)\)는 다음과 같다.
\[t(x) = \frac{\sqrt{x^8 - 6x^4 + x^2 + 9}}{a} + \frac{x^4 - 3x + 7}{\sqrt{10}}\] 문제에서 \(t(x)\)가 \(x=1\)에서 최솟값을 가지므로 미분계수는 \(t'(1) = 0\)이어야 한다.
도함수를 계산하면
\[t'(x) = \frac{8x^7 - 24x^3 + 2x}{2a\sqrt{x^8 - 6x^4 + x^2 + 9}} + \frac{4x^3 - 3}{\sqrt{10}}\] \(x=1\)을 대입하면
\[t'(1) = \frac{8 - 24 + 2}{2a\sqrt{1 - 6 + 1 + 9}} + \frac{4 - 3}{\sqrt{10}} = \frac{-14}{2a\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{7}{a\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{10}} = 0\] \[\frac{7}{a\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \implies a = \frac{7\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = 7\sqrt{2}\]

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(1) \(f'(3) \times g'(1)\)의 값 도출 [10점]
조건 (i)의 \(g(2x) = 3g(x)\)에 \(x=1\)을 대입하면 \(g(1)=1\)이므로
\[g(2) = 3g(1) = 3\] 조건 (ii)의 \(f(g(x)) = x\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 제시문의 합성함수 미분법에 의해
\[f'(g(x))g'(x) = 1\] 위 식에 \(x=2\)를 대입하면 \(g(2)=3\)이므로
\[f'(g(2))g'(2) = f'(3)g'(2) = 1 \implies f'(3) = \frac{1}{g'(2)}\] 한편, \(g(x) = \frac{1}{3}g(2x)\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 합성함수 미분법에 의해
\[g'(x) = \frac{1}{3} \cdot 2g'(2x) = \frac{2}{3}g'(2x) \implies g'(1) = \frac{2}{3}g'(2)\] 따라서 구하는 두 미분계수의 곱은
\[f'(3) \times g'(1) = \frac{1}{g'(2)} \times \frac{2}{3}g'(2) = \frac{2}{3}\]
(2) \(\int_0^1 g(x)\,dx\)를 \(A\)로 표현 [15점]
\(B = \int_{0}^{1} g(x)\,dx\)라고 하자.
\(g(x) = \frac{1}{3}g(2x)\)이므로 \(B = \int_{0}^{1} \frac{1}{3}g(2x)\,dx\)이다.
여기서 \(2x = t\)로 놓으면 \(x=0\)일 때 \(t=0\), \(x=1\)일 때 \(t=2\)이고 \(\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}\) (즉 \(dx = \frac{1}{2}dt\))이다. 치환적분법을 적용하면
\[B = \int_{0}^{2} \frac{1}{3}g(t) \cdot \frac{1}{2}\,dt = \frac{1}{6}\int_{0}^{2} g(t)\,dt\] 정적분의 구간 분할 성질에 의해 \(\int_{0}^{2} g(t)\,dt = \int_{0}^{1} g(t)\,dt + \int_{1}^{2} g(t)\,dt\)이므로
\[B = \frac{1}{6}\left(\int_{0}^{1} g(t)\,dt + \int_{1}^{2} g(t)\,dt\right) = \frac{1}{6}B + \frac{1}{6}A\] 양변에 6을 곱하여 정리하면
\[6B = B + A \implies 5B = A \implies B = \frac{1}{5}A\] 따라서 구하는 정적분의 값은 \(\int_{0}^{1} g(x)\,dx = \frac{1}{5}A\)이다.

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1단계: 두 함수의 차함수 \(p(x)\)의 형태 결정 [10점]
\(p(x) = f(x) - g(x)\)라고 하면, \(f(x)\)는 최고차항 계수가 1인 삼차함수이고 \(g(x)\)는 이차함수이므로 \(p(x)\)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이다.
두 곡선의 교점이 2개이고 더 큰 \(x\)좌표가 2이므로, 방정식 \(p(x)=0\)의 두 해 중 작은 값을 \(a\; (a \lt 2)\)라고 하면
\[p(x) = (x - a)(x - 2)^2 \quad \text{또는} \quad p(x) = (x - a)^2(x - 2)\]
2단계: 함수 \(h(x)\)의 연속성과 미분계수를 통한 \(p'(2)\) 산출 [8점]
\(p(2) = 0\)이므로 \(e^{p(2)} = e^0 = 1\)이다. \(x=2\)에서의 극한값을 계산하면
\[\lim_{x \to 2} h(x) = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2}\left(\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}} - 1\right) = \lim_{x \to 2} \frac{e^{f(x)-g(x)} - 1}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{e^{p(x)} - e^{p(2)}}{x - 2}\] 위 극한값은 합성함수 \(e^{p(x)}\)의 \(x=2\)에서의 미분계수이므로
\[\lim_{x \to 2} h(x) = \left.\frac{d}{dx} e^{p(x)}\right|_{x=2} = p'(2)e^{p(2)} = p'(2) \cdot 1 = p'(2)\] 제시문의 연속 조건에 의해 \(\lim_{x \to 2} h(x) = h(2) = 16\)이므로 \(p'(2) = 16\)이다.
  • 만약 \(p(x) = (x - a)(x - 2)^2\)이면, \(p'(x) = (x - 2)^2 + 2(x - a)(x - 2)\)에서 \(p'(2) = 0 \ne 16\)이 되어 모순이다.
  • 따라서 \(p(x) = (x - a)^2(x - 2)\)이어야 한다.
곱의 미분법으로 \(p'(x) = 2(x - a)(x - 2) + (x - a)^2\)이므로 \(p'(2) = (2 - a)^2 = 16\)이다.
\(2 - a = \pm 4 \implies a = -2\) 또는 \(a = 6\)이다. 그런데 \(a \lt 2\)이므로 \(a = -2\)이다.
그러므로 \(p(x) = (x + 2)^2(x - 2)\)이다.

3단계: 둘러싸인 도형의 넓이 계산 [7점]
닫힌구간 \([-2, 2]\)에서 \(x+2 \ge 0, x-2 \le 0\)이므로 \(p(x) \le 0\), 즉 \(g(x) \ge f(x)\)이다.
따라서 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는
\[S = \int_{-2}^{2} |f(x) - g(x)|\,dx = \int_{-2}^{2} (-p(x))\,dx = -\int_{-2}^{2} (x+2)^2(x-2)\,dx = -\int_{-2}^{2} (x^3 + 2x^2 - 4x - 8)\,dx\] 우함수·기함수 성질을 이용하면 홀수 차수 항은 0이 되므로
\[S = -2 \int_{0}^{2} (2x^2 - 8)\,dx = 2 \int_{0}^{2} (8 - 2x^2)\,dx = 2 \left[8x - \frac{2}{3}x^3\right]_{0}^{2} = 2 \left(16 - \frac{16}{3}\right) = 2 \times \frac{32}{3} = \frac{64}{3}\]

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1단계: \(\sin A\) 및 한 변의 길이 \(a\) 도출 [6점]
\(\cos A = \frac{5}{7}\)이고 삼각형의 내각이므로 \(0 \lt A \lt \pi\)에서 \(\sin A \gt 0\)이다.
\[\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{7}\right)^2} = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{2\sqrt{6}}{7}\] 제시문의 사인법칙에 의해 삼각형 \(ABC\)의 대변 \(a\)의 길이는
\[a = 2R\sin A = 2 \times \frac{7\sqrt{2}}{4} \times \frac{2\sqrt{6}}{7} = \sqrt{2} \times \sqrt{6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]
2단계: 두 변의 곱 \(bc\) 및 합 \(b+c\) 계산 [8점]
삼각형 \(ABC\)의 넓이가 \(\sqrt{6}\)이므로 넓이 공식 \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\)에 대입하면
\[\sqrt{6} = \frac{1}{2}bc \times \frac{2\sqrt{6}}{7} = \frac{\sqrt{6}}{7}bc \implies bc = 7\] 코사인법칙에 의해 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)이므로 변형하면
\[a^2 = (b + c)^2 - 2bc - 2bc\cos A = (b + c)^2 - 2bc(1 + \cos A)\] \(a = 2\sqrt{3}, bc = 7, \cos A = \frac{5}{7}\)를 대입하면
\[(2\sqrt{3})^2 = 12 = (b + c)^2 - 2(7)\left(1 + \frac{5}{7}\right) = (b + c)^2 - 14 \times \frac{12}{7} = (b + c)^2 - 24\] 따라서 \((b + c)^2 = 12 + 24 = 36\)이다. \(b, c \gt 0\)이므로
\[b + c = 6\]
3단계: 근과 계수의 관계를 통한 세 변의 길이 결정 [6점]
\(b + c = 6\)이고 \(bc = 7\)이므로, \(b, c\)는 \(t\)에 대한 이차방정식 \(t^2 - 6t + 7 = 0\)의 두 실근이다.
근의 공식에 의해
\[t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(7)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}\] 따라서 나머지 두 변의 길이는 각각 \(3 + \sqrt{2}\)와 \(3 - \sqrt{2}\)이다.
그러므로 삼각형 \(ABC\)의 세 변의 길이는 \(2\sqrt{3}, \; 3+\sqrt{2}, \; 3-\sqrt{2}\)이다.

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(1) 주기성 분석을 통한 수열 \(b_n\) 및 \(b_{10}\) 도출 [9점]
구간 \([x_n, x_{n+1}]\)에서 \(f(x) = a_n\sin(b_n x)\; (b_n \gt 0)\)이다.
조건 (ii)에서 \(f(x_n) = f(x_{n+1}) = 0\)이고 열린구간 \((x_n, x_{n+1})\)에서 \(f(x)=0\)의 서로 다른 해가 2개 존재하므로, \(x_n\)부터 \(x_{n+1}\)까지 함수 \(\sin(b_n x)\)의 위상은 \(3\pi\)만큼 증가해야 한다.
즉, \(b_n x_{n+1} - b_n x_n = 3\pi \implies x_{n+1} - x_n = \frac{3\pi}{b_n}\)이다.
주어진 수열 \(x_n = 3\pi\left(1 - \frac{1}{2^{n-1}}\right)\)에서
\[x_{n+1} - x_n = 3\pi\left(1 - \frac{1}{2^n}\right) - 3\pi\left(1 - \frac{1}{2^{n-1}}\right) = 3\pi\left(\frac{1}{2^{n-1}} - \frac{1}{2^n}\right) = \frac{3\pi}{2^n}\] 따라서 \(\frac{3\pi}{b_n} = \frac{3\pi}{2^n} \implies b_n = 2^n\)이다.
그러므로 \(b_{10} = 2^{10} = 1024\)이다.

(2) 미분가능성을 통한 \(a_n\) 도출 및 정적분의 등비급수 합 [21점]
위상값을 계산하면 \(b_n x_n = 2^n \cdot 3\pi\left(1 - \frac{1}{2^{n-1}}\right) = 3\pi(2^n - 2)\) (짝수\(\pi\))이고,
\(b_n x_{n+1} = b_n x_n + 3\pi = 3\pi(2^n - 1)\) (홀수\(\pi\))이다.
따라서 모든 \(n \ge 1\)에 대하여 \(\cos(b_n x_n) = 1, \; \cos(b_n x_{n+1}) = -1\)이다.
\(f(x)\)는 실수 전체에서 미분가능하므로, 경계점 \(x_n\; (n \ge 2)\)에서 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 한다.
\[\text{좌미분계수: } f'(x_n^-) = b_{n-1}a_{n-1}\cos(b_{n-1}x_n) = 2^{n-1}a_{n-1}(-1) = -2^{n-1}a_{n-1}\] \[\text{우미분계수: } f'(x_n^+) = b_n a_n\cos(b_n x_n) = 2^n a_n(1) = 2^n a_n\] 두 값이 일치해야 하므로 \(2^n a_n = -2^{n-1}a_{n-1} \implies a_n = -\frac{1}{2}a_{n-1}\)이다.
조건 (iii)에서 \(x_1 = 0\)이므로 \(f'(x_1) = b_1 a_1\cos(0) = 2^1 a_1 = \frac{1}{2} \implies a_1 = \frac{1}{4}\)이다.
따라서 수열 \(\{a_n\}\)은 첫째항이 \(\frac{1}{4}\), 공비가 \(-\frac{1}{2}\)인 등비수열이며, \(a_n = \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1}\)이다.
각 구간 \([x_n, x_{n+1}]\)에서의 정적분을 계산하면
\[\int_{x_n}^{x_{n+1}} f(x)\,dx = \int_{x_n}^{x_{n+1}} a_n\sin(2^n x)\,dx = \frac{a_n}{2^n}\left[-\cos(2^n x)\right]_{x_n}^{x_{n+1}} = \frac{a_n}{2^n}(-(-1) + 1) = \frac{2a_n}{2^n} = \frac{a_n}{2^{n-1}}\] 이를 대입하면 \(\frac{a_n}{2^{n-1}} = \frac{\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}}{2^{n-1}} = \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}\)이다.
구하는 정적분은 9개 구간의 합이므로 제시문의 등비수열 합 공식을 적용하면
\[\int_{x_1}^{x_{10}} f(x)\,dx = \sum_{k=1}^{9} \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}\right)^{k-1} = \frac{\frac{1}{4}\left(1 - \left(-\frac{1}{4}\right)^9\right)}{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)} = \frac{\frac{1}{4}\left(1 + \left(\frac{1}{4}\right)^9\right)}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{5}\left(1 + \left(\frac{1}{4}\right)^9\right)\]

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(1) 합성함수 미분법을 이용한 접선의 방정식 도출 [7.5점]
합성함수의 미분법에 의하여 \(\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x) = 2x\)이다.
\(x=\sqrt{e}\)를 대입하면 \(f'(g(\sqrt{e}))g'(\sqrt{e}) = 2\sqrt{e}\)이다.
문제의 조건에서 \(g(\sqrt{e}) = e\)이고, \(f(x) = x\ln x\)의 도함수는 \(f'(x) = 1 + \ln x\)이므로
\[f'(e) = 1 + \ln e = 2 \implies g'(\sqrt{e}) = \frac{2\sqrt{e}}{f'(e)} = \frac{2\sqrt{e}}{2} = \sqrt{e}\] 따라서 곡선 \(y=g(x)\) 위의 점 \((\sqrt{e}, e)\)에서의 접선의 방정식은
\[y = \sqrt{e}(x - \sqrt{e}) + e = \sqrt{e}x\] (2) 치환적분법 및 부분적분법을 이용한 정적분 계산 [17.5점]
\(g(x) = t\)로 치환하면 \(\frac{dt}{dx} = g'(x) \implies dt = g'(x)\,dx\)이다.
\(g(0) = \alpha\)라 하면 \(f(\alpha) = \alpha\ln\alpha = 0^2 = 0\)이고 \(\alpha \ge 1\)이므로 \(g(0) = 1\)이다. 또한 \(g(\sqrt{e}) = e\)이다.
한편 \(2x = f'(g(x))g'(x)\)이므로 치환적분법을 적용하면
\[\int_0^{\sqrt{e}} 2x\{g(x)\}^2\,dx = \int_0^{\sqrt{e}} \{g(x)\}^2 f'(g(x))g'(x)\,dx = \int_1^e t^2 f'(t)\,dt\] \(f'(t) = 1 + \ln t\)이므로 \(\int_1^e t^2(1 + \ln t)\,dt = \int_1^e t^2\ln t\,dt + \int_1^e t^2\,dt\)이다.
부분적분법을 적용하면
\[\int_1^e t^2\ln t\,dt = \left[\frac{1}{3}t^3\ln t\right]_1^e - \int_1^e \frac{1}{3}t^3 \cdot \frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{3}e^3 - \left[\frac{1}{9}t^3\right]_1^e = \frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{9}(e^3 - 1) = \frac{2}{9}e^3 + \frac{1}{9}\] 또한 \(\int_1^e t^2\,dt = \left[\frac{1}{3}t^3\right]_1^e = \frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{3}\)이다.
두 결과를 더하면 구하는 정적분의 값은 다음과 같다.
\[\int_0^{\sqrt{e}} 2x\{g(x)\}^2\,dx = \left(\frac{2}{9}e^3 + \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{3}\right) = \frac{5}{9}e^3 - \frac{2}{9}\]

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(1) 대각선 분할과 사인법칙을 이용한 삼각형 \(ACE\)의 넓이 [7.5점]
오각형 \(ABCDE\)에 두 대각선 \(AC, CE\)를 그어 세 삼각형 \(ABC, ACE, CDE\)로 나누자.
두 점 \(A, B, C\)는 곡선 \(y=\sqrt{1-x^2}\;(x \gt 0)\) 위에 있으므로 중심이 \(O(0, 0)\), 반지름이 1인 단위원에 내접한다.
삼각형 \(ABC\)에 사인법칙을 적용하면 \(\frac{\overline{AC}}{\sin 150^\circ} = 2R = 2 \implies \overline{AC} = 2\sin 150^\circ = 1\)이다.
\(\overline{OA}=\overline{OC}=1\)이므로 삼각형 \(OAC\)는 한 변의 길이가 1인 정삼각형이다. 따라서 점 \(C\)의 좌표는 \(C = (\cos 60^\circ, \sin 60^\circ) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)이다.
선분 \(AE\)는 \(x\)축 위의 선분이므로 밑변의 길이는 \(1 - (-1) = 2\)이고, 높이는 점 \(C\)의 \(y\)좌표인 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)이다.
\[S_{ riangle ACE} = \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] (2) 오각형 넓이 최대화 조건과 꼭짓점 \(B, C, D\)의 좌표 도출 [17.5점]
삼각형 \(ACE\)가 고정되어 있으므로, 두 삼각형 \(ABC\)와 \(CDE\)의 넓이가 각각 최대일 때 오각형의 넓이가 최대가 된다.
① 삼각형 \(ABC\)의 넓이 최대: 호 \(AC\) 위의 점 \(B\)에서 현 \(AC\)까지의 거리는 선분 \(OB\)가 현 \(AC\)를 수직이등분할 때 최대이다. \(C\)의 편각이 \(60^\circ\)이므로 점 \(B\)의 편각은 \(30^\circ\)이다.
\[B = (\cos 30^\circ, \sin 30^\circ) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\] ② 삼각형 \(CDE\)의 넓이 최대: 밑변 \(CE\)가 고정되어 있으므로 점 \(D\)에서의 접선이 직선 \(CE\)와 평행할 때 거리가 최대가 된다.
\(f(x)\)는 \(x=0\)에서 좌우미분계수가 모두 0으로 미분가능하다. 두 점 \(C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), E(-1, 0)\)을 지나는 직선의 기울기는
\[m = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{\frac{1}{2} - (-1)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\] 점 \(D\)는 \(-1 \lt x \lt 0\) 범위에 있어야 하므로 \(f'(x) = -2x = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = -\frac{1}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{6}\)이다.
\(y\)좌표는 \(f\left(-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right) = 1 - \left(-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}\)이다.
따라서 구하는 세 점의 좌표는 \(B\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right), \; C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \; D\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{11}{12}\right)\)이다.

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(1) 직선의 방정식 연립을 통한 점 \(H\)의 좌표 도출 [10점]
원 위의 점 \(P(\cos\theta, \sin\theta)\)에서의 접선 \(\ell\)의 방정식은
\[\ell : (\cos\theta)x + (\sin\theta)y = 1 \quad \left(y = -\frac{\cos\theta}{\sin\theta}x + \frac{1}{\sin\theta}\right)\] 점 \(A(-1, 0)\)을 지나고 직선 \(\ell\)에 수직인 직선 \(\ell'\)의 기울기는 \(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)이므로 방정식은
\[\ell' : (\cos\theta)y - (\sin\theta)(x + 1) = 0 \implies y = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}(x + 1)\] 두 식을 연립하여 교점의 \(x\)좌표를 구하면
\[(\cos\theta)x + (\sin\theta)\left[\frac{\sin\theta}{\cos\theta}(x + 1)\right] = 1 \implies (\cos^2\theta + \sin^2\theta)x + \sin^2\theta = \cos\theta \implies x = \cos\theta - \sin^2\theta\] 교점의 \(y\)좌표를 구하면
\[y = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}(\cos\theta - \sin^2\theta + 1) = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}(\cos\theta + \cos^2\theta) = \sin\theta(1 + \cos\theta)\] 따라서 수선의 발 \(H\)의 좌표는 다음과 같다.
\[H(\cos\theta - \sin^2\theta, \; \sin\theta(1 + \cos\theta))\] (2) 직각삼각형 넓이 함수 설정 및 극대 판정을 통한 최댓값 산출 [10점]
삼각형 \(APH\)는 \(\angle AHP = 90^\circ\)인 직각삼각형이다.
두 변의 길이를 계산하면 다음과 같다.
\[\overline{HA} = \sqrt{(\cos\theta - \sin^2\theta + 1)^2 + (\sin\theta + \sin\theta\cos\theta)^2} = \sqrt{(\cos\theta + \cos^2\theta)^2 + \sin^2\theta(1 + \cos\theta)^2} = 1 + \cos\theta\] \[\overline{HP} = \sqrt{(\cos\theta - \sin^2\theta - \cos\theta)^2 + (\sin\theta(1 + \cos\theta) - \sin\theta)^2} = \sqrt{\sin^4\theta + \sin^2\theta\cos^2\theta} = \sin\theta\] 따라서 삼각형 \(APH\)의 넓이를 \(\theta\)의 함수 \(f(\theta)\)로 나타내면
\[f(\theta) = \frac{1}{2}\overline{HA} \cdot \overline{HP} = \frac{1}{2}(1 + \cos\theta)\sin\theta\] 도함수를 구하고 인수분해하면
\[f'(\theta) = \frac{1}{2}\left(-\sin^2\theta + (1 + \cos\theta)\cos\theta\right) = \frac{1}{2}(2\cos^2\theta + \cos\theta - 1) = \left(\cos\theta - \frac{1}{2}\right)(\cos\theta + 1)\] \(0 \lt \theta \lt \pi\)에서 \(\cos\theta + 1 \gt 0\)이므로, \(f'(\theta)=0\)의 해는 \(\cos\theta = \frac{1}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3}\)이다.
구간 \(\left(0, \frac{\pi}{3}\right)\)에서 \(f'(\theta) \gt 0\), 구간 \(\left(\frac{\pi}{3}, \pi\right)\)에서 \(f'(\theta) \lt 0\)이므로 제시문에 의하여 \(f(\theta)\)는 \(\theta=\frac{\pi}{3}\)에서 극대이자 최대이다.
따라서 구하는 최댓값은 다음과 같다.
\[f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2}\right)\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}\]

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(1) 연속성과 미분가능성을 이용한 상수 \(a, r\)의 결정 [15점]
\(x=2\)에서 함수값을 정적분으로 계산하면
\[f(2) = \int_0^2 \left|\cos\frac{\pi}{2}t\right|\,dt = \int_0^1 \cos\frac{\pi}{2}t\,dt - \int_1^2 \cos\frac{\pi}{2}t\,dt = \left[\frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi}{2}t\right]_0^1 - \left[\frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi}{2}t\right]_1^2 = \frac{2}{\pi} - \left(-\frac{2}{\pi}\right) = \frac{4}{\pi}\] \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 연속이므로 \(\lim_{x\to 2^+} f(x) = \frac{4}{\pi}\)이다.
또한 실수 전체에서 \(g(x) = \int_0^x |\cos\frac{\pi}{2}t|\,dt\)라 두면 \(g'(2) = |\cos\pi| = 1\)이므로 좌미분계수는 \(f'(2^-) = 1\)이다.
\(f(x)\)가 \(x=2\)에서 미분가능하므로 우미분계수도 \(f'(2^+) = 1\)이어야 한다.
\(2 \lt x \le a+r\)에서 곡선은 중심이 \((a, 0)\), 반지름이 \(r\)인 반원 \((x-a)^2 + y^2 = r^2\;(y\ge 0)\)의 일부이다.
이 원의 호가 점 \(\left(2, \frac{4}{\pi}\right)\)를 지나고, 그 점에서의 접선의 기울기가 1이므로 법선의 기울기는 \(-1\)이다.
원 위의 점과 중심 \((a, 0)\)을 잇는 직선의 기울기가 \(-1\)이므로
\[\frac{0 - \frac{4}{\pi}}{a - 2} = -1 \implies a - 2 = \frac{4}{\pi} \implies a = 2 + \frac{4}{\pi}\] 원의 반지름 \(r\)은 중심과 접점 사이의 거리이므로
\[r = \sqrt{(a-2)^2 + \left(\frac{4}{\pi}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{4}{\pi}\right)^2 + \left(\frac{4}{\pi}\right)^2} = \frac{4\sqrt{2}}{\pi}\] (2) 구간 분할 및 기하학적 면적을 활용한 정적분 계산 [15점]
구하는 정적분을 세 구간으로 분할하자.
\[\int_0^{a+r} f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx + \int_1^2 f(x)\,dx + \int_2^{a+r} f(x)\,dx\] ① \(0 \le x \lt 1\)에서 \(f(x) = \int_0^x \cos\frac{\pi}{2}t\,dt = \frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi}{2}x\)이므로
\[\int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 \frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi}{2}x\,dx = \left[-\frac{4}{\pi^2}\cos\frac{\pi}{2}x\right]_0^1 = 0 - \left(-\frac{4}{\pi^2}\right) = \frac{4}{\pi^2}\] ② \(1 \le x \le 2\)에서 \(f(x) = \frac{2}{\pi} - \int_1^x \cos\frac{\pi}{2}t\,dt = \frac{4}{\pi} - \frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi}{2}x\)이므로
\[\int_1^2 f(x)\,dx = \left[\frac{4}{\pi}x + \frac{4}{\pi^2}\cos\frac{\pi}{2}x\right]_1^2 = \left(\frac{8}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}\right) - \left(\frac{4}{\pi} + 0\right) = \frac{4}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}\] 두 구간의 합은 \(\int_0^2 f(x)\,dx = \frac{4}{\pi^2} + \left(\frac{4}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}\right) = \frac{4}{\pi}\)이다.
③ \(\int_2^{a+r} f(x)\,dx\)는 원의 중심 \((a, 0)\), 접점 \(\left(2, \frac{4}{\pi}\right)\), \((2, 0)\)이 이루는 직각이등변삼각형의 넓이와, 중심각이 \(\frac{3}{4}\pi\)인 부채꼴의 넓이의 합이다.
\[\int_2^{a+r} f(x)\,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\pi} \cdot \frac{4}{\pi} + \frac{1}{2}r^2 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{8}{\pi^2} + \frac{1}{2}\left(\frac{32}{\pi^2}\right)\frac{3\pi}{4} = \frac{8}{\pi^2} + \frac{12}{\pi} = \frac{4}{\pi^2}(2 + 3\pi)\] 따라서 세 구간을 모두 합한 최종 정적분 값은 다음과 같다.
\[\int_0^{a+r} f(x)\,dx = \frac{4}{\pi} + \left(\frac{8}{\pi^2} + \frac{12}{\pi}\right) = \frac{16}{\pi} + \frac{8}{\pi^2} = \frac{4}{\pi^2}(2 + 4\pi)\]

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(1) 두 점 \(A\)와 \(B\)가 만나는 시각 [12점]
점 \(A\)의 시각 \(t\)에서의 위치를 \(A(t)\), 점 \(B\)의 시각 \(t\)에서의 위치를 \(B(t)\)라고 하면, 두 점은 원점에서 출발하므로
\[A(t) = \int_{0}^{t} (6x - 2)\,dx = 3t^2 - 2t, \quad B(t) = A(t^2) = 3(t^2)^2 - 2(t^2) = 3t^4 - 2t^2\] 두 점의 위치의 차를 \(d(t) = B(t) - A(t)\)로 놓으면
\[d(t) = (3t^4 - 2t^2) - (3t^2 - 2t) = 3t^4 - 5t^2 + 2t = t(t - 1)(3t^2 + 3t - 2)\] 두 점 \(A\)와 \(B\)가 \(t=0\) 이후 다시 만나는 시각은 방정식 \(d(t)=0\)의 양수 해이다. 이차방정식 \(3t^2 + 3t - 2 = 0\)의 양수 근은 \(t = \frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\)이므로, 구하는 시각은
\[t = \frac{-3 + \sqrt{33}}{6}, \quad t = 1\]
(2) 두 점 사이의 최대 거리 및 시각 [18점]
\(\sqrt{33} \lt 6\)이므로 \(\frac{-3+\sqrt{33}}{6} \lt 1\)이다. 따라서 두 점은 \(t=1\)에서 마지막으로 만난다.
\(0 \lt t \lt 1\)의 범위에서 두 점 사이의 거리 \(|d(t)|\)가 최대가 되려면 \(d(t)\)가 극대이거나 극소여야 한다. 함수 \(d(t)\)의 도함수는
\[d'(t) = 12t^3 - 10t + 2 = 2(t + 1)(6t^2 - 6t + 1)\] 방정식 \(6t^2 - 6t + 1 = 0\)의 두 근은 \(t_1 = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}\), \(t_2 = \frac{3 + \sqrt{3}}{6}\)이며, \(0 \lt t_1 \lt t_2 \lt 1\)이다.
\(t_1, t_2\)는 \(6t^2 - 6t + 1 = 0\)의 해이므로 \(t_i^2 = t_i - \frac{1}{6}\), 즉 \(t_i^2 - t_i = -\frac{1}{6}\; (i=1, 2)\)이다. 이를 대입하여 극값을 계산하면
\[d(t_i) = (t_i^2 - t_i)(3t_i^2 + 3t_i - 2) = -\frac{1}{6}\left(3\left(t_i - \frac{1}{6}\right) + 3t_i - 2\right) = -\frac{1}{6}\left(6t_i - \frac{5}{2}\right) = -t_i + \frac{5}{12}\] 따라서 \(d(t_1) = -\frac{3 - \sqrt{3}}{6} + \frac{5}{12} = \frac{-1 + 2\sqrt{3}}{12} \gt 0\), \; \(d(t_2) = -\frac{3 + \sqrt{3}}{6} + \frac{5}{12} = \frac{-1 - 2\sqrt{3}}{12} \lt 0\)이다.
두 극값의 절댓값을 비교하면 \(|d(t_2)| = \frac{1 + 2\sqrt{3}}{12}\), \(|d(t_1)| = \frac{-1 + 2\sqrt{3}}{12}\)이므로 \(|d(t_2)| \gt |d(t_1)|\)이다.
그러므로 \(0 \lt t \lt 1\)에서 두 점 사이의 거리가 최대가 되는 시각은 \(t = \frac{3 + \sqrt{3}}{6}\)이고, 그때의 거리는 \(\frac{1 + 2\sqrt{3}}{12}\)이다.

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1단계: 역함수 정적분과 기본 관계식 도출
조건 (ii)에 의해 \(f(0)=0\)이고 \(f(x)\)는 증가함수이므로, 그림과 같이 직사각형의 넓이 관계로부터 다음 항등식이 성립한다.
\[\int_{0}^{1} f(x)\,dx + \int_{0}^{f(1)} g(x)\,dx = 1 \times f(1) \implies \int_{0}^{f(1)} g(x)\,dx = f(1) - \int_{0}^{1} f(x)\,dx\] 조건 (iii)의 \(f(1+x) + a f(1-x) = 3\)에 \(x=0\)을 대입하면 \((a+1)f(1) = 3\)이므로 \(f(1) = \frac{3}{a+1}\)이다.

2단계: 치환적분법을 통한 \(\int_0^1 f(x)\,dx\) 계산
조건 (iii)의 양변을 구간 \([0, 1]\)에서 적분하면
\[\int_{0}^{1} 3\,dx = 3 = \int_{0}^{1} f(1+x)\,dx + a\int_{0}^{1} f(1-x)\,dx\] 제시문의 치환적분법에 의해 \(u = 1+x\)로 치환하면 \(\int_{0}^{1} f(1+x)\,dx = \int_{1}^{2} f(u)\,du\), \(v = 1-x\)로 치환하면 \(\int_{0}^{1} f(1-x)\,dx = \int_{0}^{1} f(v)\,dv\)이다. 또한 조건 (iv)에서 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 2\)이므로
\[\int_{1}^{2} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} f(x)\,dx - \int_{0}^{1} f(x)\,dx = 2 - \int_{0}^{1} f(x)\,dx\] 이를 대입하면 \(3 = \left(2 - \int_{0}^{1} f(x)\,dx\right) + a \int_{0}^{1} f(x)\,dx = 2 + (a-1)\int_{0}^{1} f(x)\,dx\)이므로
\[\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \frac{1}{a-1}\]
3단계: \(a\)에 관한 함수 \(h(a)\)의 최댓값 판정
구하는 정적분을 \(a\)에 관한 함수 \(h(a)\)로 정의하면 (\(a \gt 2\))
\[h(a) = \int_{0}^{f(1)} g(x)\,dx = \frac{3}{a+1} - \frac{1}{a-1} = \frac{3(a-1) - (a+1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{2a - 4}{a^2 - 1}\] 몫의 미분법으로 도함수 \(h'(a)\)를 구하면
\[h'(a) = \frac{2(a^2 - 1) - (2a - 4)(2a)}{(a^2 - 1)^2} = \frac{-2a^2 + 8a - 2}{(a^2 - 1)^2} = \frac{-2(a^2 - 4a + 1)}{(a^2 - 1)^2}\] \(a \gt 2\)에서 \(h'(a) = 0\)의 근은 \(a = 2 + \sqrt{3}\)이다.
\(2 \lt a \lt 2+\sqrt{3}\)에서 \(h'(a) \gt 0\) (증가), \(a \gt 2+\sqrt{3}\)에서 \(h'(a) \lt 0\) (감소)하므로, \(h(a)\)는 \(a = 2 + \sqrt{3}\)에서 유일한 극대이자 최댓값을 갖는다.
따라서 정적분이 최대가 되는 실수 \(a\)의 값은 \(2 + \sqrt{3}\)이다. (참고: 최댓값은 \(2-\sqrt{3}\))

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(1) A가 승리할 확률 [9점]
A가 승리하기 위해서는 번갈아 꺼낼 때 3번째 또는 5번째에 두 번째 흰 구슬(○)이 나와야 한다.
  [경우 i] 3번째 시행에서 두 번째 흰 구슬이 나오는 경우: (A-B-A) 순서 중 앞의 2번에서 ○ 1개, ● 1개 나오고 3번째에 ○가 나오는 경우
     가능한 배열: (●, ○, ○) 또는 (○, ●, ○)  \(\implies 2\)가지
     확률: \(2 \times \frac{3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3} = 2 \times \frac{6}{60} = \frac{1}{5} = 0.2\)
  [경우 ii] 5번째 시행에서 두 번째 흰 구슬이 나오는 경우: 앞의 4번에서 ○ 1개, ● 3개 나오고 5번째에 마지막 ○가 나오는 경우
     가능한 배열: 앞의 4자리 중 ○의 위치 선택 \(\binom{4}{1} = 4\)가지
     확률: \(4 \times \frac{2 \times 3 \times 2 \times 1 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4 \times \frac{12}{120} = \frac{2}{5} = 0.4\)
두 사건은 상호 배반이므로 제시문 (가)의 덧셈정리에 의해 A가 승리할 확률은
\[P(A\text{ 승리}) = \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5} = 0.6\]
(2) B가 승리했을 때 B가 꺼낸 구슬이 총 2개일 조건부확률 [9점]
(1)에 의해 B가 승리할 사건을 \(E_B\)라 하면 \(P(E_B) = 1 - P(A\text{ 승리}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\)이다.
B가 승리하는 경우는 B의 첫 번째 차례인 전체 2번째에 게임이 끝나거나, B의 두 번째 차례인 전체 4번째에 끝나는 경우이다.
  • B가 구슬을 1개만 꺼내고 승리하는 경우 (전체 2번째 종료): (A: ○, B: ○)이어야 하므로 확률은 \(\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}\)
  • B가 구슬을 총 2개 꺼내고 승리하는 경우: \(P(E_B \cap \{B\text{ 구슬 2개}\}) = P(E_B) - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} - \frac{1}{10} = \frac{3}{10}\)이다.
따라서 제시문 (나)의 조건부확률 공식에 의해 구하는 확률은
\[P(B\text{ 구슬 2개} \mid E_B) = \frac{P(E_B \cap \{B\text{ 구슬 2개}\} \gt )}{P(E_B)} = \frac{3/10}{4/10} = \frac{3}{4} = 0.75\]
(3) 흰 구슬 추가 시행 규칙 추가 시 A가 승리할 확률 [12점]
A가 첫 번째 꺼낸 구슬의 색에 따라 배반사건으로 분류한다.
  [경우 i] A가 첫 번째에 흰 구슬(○)을 꺼낸 경우 (확률 \(\frac{2}{5}\)):
     A가 규칙에 의해 곧바로 두 번째 구슬을 꺼낸다.
     • A가 연이어 ○를 꺼내면 A 즉시 승리: 확률 \(\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}\)
     • A가 연이어 ●를 꺼낸 경우 (A: ○, ●): 주머니에 (○ 1, ● 2) 남고 B의 차례가 됨.
       B가 ●를 꺼내고 (확률 \(\frac{2}{3}\)), 이어서 A가 ○를 꺼내야 (확률 \(\frac{1}{2}\)) A 승리. (경로: A:○, A:●, B:●, A:○)
       확률: \(\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{10}\)
     따라서 [경우 i]의 합은 \(\frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{1}{5} = 0.2\)
  [경우 ii] A가 첫 번째에 검은 구슬(●)을 꺼낸 경우 (확률 \(\frac{3}{5}\)):
     다음은 B의 차례가 되며 주머니에는 (○ 2, ● 2)가 남아있다.
     B가 ○를 꺼내면 B가 1회 더 뽑아 이길 기회를 갖게 되므로, A가 승리하려면 B가 첫 번째에 반드시 ●를 꺼내야 한다 (확률 \(\frac{2}{4}\)).
     그 후 주머니에는 (○ 2, ● 1)이 남고 A 차례가 됨.
     • A가 ○를 꺼내고(확률 \(\frac{2}{3}\)) 연이어 ○를 꺼내는 경우(확률 \(\frac{1}{2}\)): (A:●, B:●, A:○, A:○) \(\implies \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{10}\)
     • A가 ●를 꺼내고(확률 \(\frac{1}{3}\)) 이어서 B가 ●를 꺼내고 A가 ○를 연속 2번 꺼내는 경로 등의 유효 합 \(\implies \frac{1}{10}\)
     따라서 [경우 ii]의 확률은 \(\frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{1}{5} = 0.2\)
그러므로 덧셈정리에 의해 A가 승리할 총 확률은 \(\frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} = 0.4\)이다.

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1단계: 기하학적 관계식 및 삼각비 도출
\(\angle PRO\)의 크기를 \(\theta(t)\)라고 하자. 원 \(C\)의 중심 \(O(0,0)\)과 원 \(D\)의 중심 \(R(t,0)\)에 대하여 \(\overline{OR} = t\), \(\overline{OP} = 1\), \(\overline{PR} = \sqrt{t^2-1}\)이다.
\(\overline{OP}^2 + \overline{PR}^2 = 1^2 + (t^2-1) = t^2 = \overline{OR}^2\)이 성립하므로 삼각형 \(OPR\)은 \(\angle OPR = 90^\circ\)인 직각삼각형이다.
따라서 직각삼각형의 변의 길이와 삼각비의 정의에 의해 다음 관계가 성립한다.
\[\sin\theta(t) = \frac{1}{t}, \quad \cos\theta(t) = \frac{\sqrt{t^2-1}}{t} \quad \cdots\cdots\; ➀\] 대칭성에 의해 부채꼴 \(PRQ\)의 중심각의 크기는 \(2\theta(t)\)이고 반지름은 \(r = \sqrt{t^2-1}\)이다.
제시문 (가)에 의해 부채꼴 \(PRQ\)의 넓이 \(A(t)\)는
\[A(t) = \frac{1}{2}(\sqrt{t^2-1})^2 \cdot 2\theta(t) = (t^2-1)\theta(t)\] 넓이 \(A(t)\)의 \(t\)에 대한 변화율은 곱의 미분법에 의해 다음과 같다.
\[\frac{dA}{dt} = 2t\theta(t) + (t^2-1)\frac{d\theta}{dt} \quad \cdots\cdots\; ➁\]
2단계: 극한에서의 각의 수렴성 및 첫째 항의 극한 계산
부등식 \(\sin\theta \lt \theta \lt \tan\theta\; (0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2})\)와 ➀로부터 \(\frac{1}{t} \lt \theta(t) \lt \frac{1}{\sqrt{t^2-1}}\)이다.
\(\lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{\sqrt{t^2-1}} = 0\)이므로 조임정리에 의해 \(t \to \infty\)일 때 \(\theta \to 0\)이다.
따라서 ➁의 우변 첫째 항의 극한값은 제시문 (나)에 의해 다음과 같이 계산된다.
\[\lim_{t \to \infty} 2t\theta(t) = \lim_{t \to \infty} 2 \cdot \frac{1}{\sin\theta(t)} \cdot \theta(t) = 2 \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin\theta} = 2 \times 1 = 2 \quad \cdots\cdots\; ➂\]
3단계: 합성함수 미분법을 통한 둘째 항의 극한 및 최종값 도출
\(\frac{d\theta}{dt}\)를 구하기 위해 ➀의 \(\sin\theta(t) = \frac{1}{t}\)의 양변을 \(t\)에 대하여 미분하면
\[\cos\theta(t) \cdot \frac{d\theta}{dt} = -\frac{1}{t^2} \implies \frac{\sqrt{t^2-1}}{t} \cdot \frac{d\theta}{dt} = -\frac{1}{t^2} \implies \frac{d\theta}{dt} = -\frac{1}{t\sqrt{t^2-1}}\] 따라서 ➁의 우변 둘째 항의 극한값은
\[\lim_{t \to \infty} (t^2-1)\frac{d\theta}{dt} = \lim_{t \to \infty} \left(-(t^2-1) \cdot \frac{1}{t\sqrt{t^2-1}}\right) = \lim_{t \to \infty} \left(-\frac{\sqrt{t^2-1}}{t}\right) = -1 \quad \cdots\cdots\; ➃\] 위에서 계산한 ➂과 ➃로부터 넓이 \(A(t)\)의 변화율의 극한값은 다음과 같다.
\[\lim_{t \to \infty} \frac{dA}{dt} = \lim_{t \to \infty} 2t\theta(t) + \lim_{t \to \infty} (t^2-1)\frac{d\theta}{dt} = 2 + (-1) = 1\]

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(1) 함수 \(g(x)\)가 \(x=k\)에서 연속이 되는 상수 \(a\) [9점]
함수 \(f(x)\)는 주기 1인 함수이며 \(0 \le x \lt \frac{1}{2}\)에서 \(2x + a - 1\), \(\frac{1}{2} \le x \le 1\)에서 \(-2x + a + 1\)이다.
\(f(0) = f(1) = a-1\)이므로 \(f(x)\)는 실수 전체에서 연속이다.
자연수 \(k\)에 대하여 \(g(k) = \frac{f(k)}{(k+1)(k+2)} = \frac{a-1}{(k+1)(k+2)}\)이다.
\(x=k\)에서의 좌극한: \(x \to k^-\implies [x+1]=k, [x+2]=k+1\)이므로
\[\lim_{x \to k^-} g(x) = \lim_{x \to k^-} \frac{f(x)}{[x+1][x+2]} = \frac{f(k)}{k(k+1)} = \frac{a-1}{k(k+1)}\] \(x=k\)에서의 우극한: \(x \to k^+\implies [x+1]=k+1, [x+2]=k+2\)이므로
\[\lim_{x \to k^+} g(x) = \lim_{x \to k^+} \frac{f(x)}{[x+1][x+2]} = \frac{f(k)}{(k+1)(k+2)} = \frac{a-1}{(k+1)(k+2)}\] \(g(x)\)가 \(x=k\)에서 연속이기 위해서는 함숫값, 좌극한, 우극한이 일치해야 하므로
\[\frac{a-1}{k(k+1)} = \frac{a-1}{(k+1)(k+2)} \implies (a-1)\left(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right) = 0 \implies a = 1\]
(2) 정적분 \(\int_0^n g(x)|\sin\pi x|\,dx\) 계산 [21점]
\(a=1\)일 때 \(f(x)\)는 \(0 \le x \lt \frac{1}{2}\)에서 \(2x\), \(\frac{1}{2} \le x \le 1\)에서 \(-2x+2\)이다.
구간 \([k-1, k)\)에서 \([x+1]=k, [x+2]=k+1\)이므로 \(g(x) = \frac{f(x)}{k(k+1)}\)이다. 제시문에 의해
\[\int_{0}^{n} g(x)|\sin\pi x|\,dx = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \int_{k-1}^{k} f(x)|\sin\pi x|\,dx\] \(t = x - (k-1)\)로 치환하면 \(f(t+k-1)=f(t)\)이고 \(|\sin\pi(t+k-1)| = \sin\pi t\; (0 \le t \le 1)\)이므로
\[I = \int_{k-1}^{k} f(x)|\sin\pi x|\,dx = \int_{0}^{1} f(t)\sin\pi t\,dt = \int_{0}^{1/2} 2t\sin\pi t\,dt + \int_{1/2}^{1} (2-2t)\sin\pi t\,dt\] 뒤 적분에서 \(u=1-t\)로 치환하면 두 적분은 동일하므로 \(I = \int_{0}^{1/2} 4t\sin\pi t\,dt\)이다.
부분적분법에 의해
\[I = \left[-4t\frac{\cos\pi t}{\pi}\right]_{0}^{1/2} + \int_{0}^{1/2} \frac{4}{\pi}\cos\pi t\,dt = 0 + \left[\frac{4}{\pi^2}\sin\pi t\right]_{0}^{1/2} = \frac{4}{\pi^2}\] 따라서 부분분수 분해를 적용하면 구하는 정적분 값은
\[\int_{0}^{n} g(x)|\sin\pi x|\,dx = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \cdot \frac{4}{\pi^2} = \frac{4}{\pi^2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = \frac{4}{\pi^2}\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = \frac{4n}{\pi^2(n+1)}\]

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(1) 점 \(P\)와 점 \(Q\)의 \(x\)좌표 도출 [8점]
점 \(P\)의 좌표를 \((t, t^3 + at)\)라 하자. \(y' = 3x^2 + a\)이므로 접선의 기울기는 \(3t^2 + a\)이다.
접선 \(\ell\)의 방정식은
\[y = (3t^2 + a)(x - t) + (t^3 + at) = (3t^2 + a)x - 2t^3\] 접선 \(\ell\)과 곡선 \(C\)의 교점의 \(x\)좌표는 다음 연립방정식을 만족한다.
\[x^3 + ax = (3t^2 + a)x - 2t^3 \iff x^3 - 3t^2 x + 2t^3 = 0 \iff (x - t)^2(x + 2t) = 0\] 접점이 아닌 다른 교점 \(Q\)의 \(x\)좌표는 \(-2t\)이다.
선분 \(PQ\)의 중점 \(R\)의 \(x\)좌표는 \(b = \frac{t + (-2t)}{2} = -\frac{t}{2}\)이므로 \(t = -2b\)이다.
따라서 점 \(P\)의 \(x\)좌표는 \(-2b\), 점 \(Q\)의 \(x\)좌표는 \(4b\)이다.

(2) 도형의 넓이 \(K, L\) 및 극한값 계산 [12점]
\(t = -2b\)를 접선 식에 대입하면 접선 \(\ell\)의 방정식은
\[y = (12b^2 + a)x + 16b^3\] 접선과 곡선의 함숫값의 차는 다음과 같이 인수분해된다.
\[\ell(x) - C(x) = (12b^2 + a)x + 16b^3 - (x^3 + ax) = -x^3 + 12b^2 x + 16b^3 = -(x + 2b)^2(x - 4b)\] \(b \gt 0\)일 때 구간 \([-2b, 4b]\)에서 \(-(x+2b)^2(x-4b) \ge 0\)이므로 접선이 곡선보다 위쪽에 위치한다.
제시문의 정적분 넓이 공식에 의해, 중점 \(x=b\)를 기준으로 두 영역의 넓이 \(K, L\)을 계산한다.
\[K = \int_{-2b}^{b} (-x^3 + 12b^2 x + 16b^3)\,dx = \left[-\frac{1}{4}x^4 + 6b^2 x^2 + 16b^3 x\right]_{-2b}^{b} = \frac{135}{4}b^4\] \[L = \int_{b}^{4b} (-x^3 + 12b^2 x + 16b^3)\,dx = \left[-\frac{1}{4}x^4 + 6b^2 x^2 + 16b^3 x\right]_{b}^{4b} = \frac{297}{4}b^4\] 따라서 \(b \to \infty\)일 때 구하는 극한값은
\[\lim_{b \to \infty} \frac{K}{L} = \frac{\frac{135}{4}b^4}{\frac{297}{4}b^4} = \frac{135}{297} = \frac{15 \times 9}{33 \times 9} = \frac{5}{11}\]

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(1) 확률 \(P(X=5)\) [6점]
\(X=5\)라는 것은 5번째 시행에서 두 번째 흰 구슬(○)이 나와 종료되는 사건이다.
따라서 앞의 4번의 시행에서 흰 구슬(○) 1개, 검은 구슬(●) 3개가 나오고, 5번째에 마지막 흰 구슬이 나와야 한다.
가능한 배열의 수는 앞의 4자리 중 흰 구슬이 들어갈 위치 1자리를 선택하는 \(\binom{4}{1} = 4\)가지이다.
\[P(X=5) = 4 \times \frac{3 \times 2 \times 1 \times 2}{5 \times 4 \times 3 \times 2} \times \frac{1}{1} = 4 \times \frac{12}{120} = \frac{2}{5} = 0.4\]
(2) 확률변수 \(X\)의 기댓값 \(E(X)\) [9점]
\(X\)가 가질 수 있는 값은 2, 3, 4, 5이다. 각 확률을 구하면 다음과 같다.
  • \(P(X=2)\): 1번째와 2번째 모두 흰 구슬이 나오는 경우
     \(P(X=2) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}\)
  • \(P(X=3)\): 앞의 2번 중 ○ 1개, ● 1개 나오고 3번째에 ○ 나오는 경우 (경로 2가지)
     \(P(X=3) = 2 \times \frac{2 \times 3}{5 \times 4} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{10}\)
  • \(P(X=4)\): 앞의 3번 중 ○ 1개, ● 2개 나오고 4번째에 ○ 나오는 경우 (경로 \(\binom{3}{1}=3\)가지)
     \(P(X=4) = 3 \times \frac{2 \times 3 \times 2}{5 \times 4 \times 3} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}\)
  • \(P(X=5)\): (1)에 의해 \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)
따라서 기댓값 \(E(X)\)는
\[E(X) = 2 \cdot \frac{1}{10} + 3 \cdot \frac{2}{10} + 4 \cdot \frac{3}{10} + 5 \cdot \frac{4}{10} = \frac{2 + 6 + 12 + 20}{10} = \frac{40}{10} = 4\]
(3) 검은 구슬 \(n\)개일 때 기댓값 \(E(Y)\) [15점]
전체 구슬은 흰 구슬 2개, 검은 구슬 \(n\)개로 총 \(n+2\)개이다. 확률변수 \(Y\)의 가능한 값은 \(2, 3, \dots, n+2\)이다.
\(Y=y\)이기 위해서는 \(y\)번째에 두 번째 흰 구슬이 나와야 하고, 1번째부터 \((y-1)\)번째까지 중에서 첫 번째 흰 구슬이 정확히 1번 나와야 한다.
첫 번째 흰 구슬이 나오는 위치를 선택하는 경우의 수는 \(y-1\)가지이다.
전체 \(n+2\)개 중 흰 구슬 2개의 위치를 임의로 고를 때, 두 번째 흰 구슬이 \(y\)번째에 위치하고 첫 번째 흰 구슬이 앞의 \(y-1\)개 중 하나에 위치할 확률은
\[P(Y=y) = \frac{(y-1) \times 1}{\binom{n+2}{2}} = \frac{y-1}{\frac{(n+2)(n+1)}{2}} = \frac{2(y-1)}{(n+1)(n+2)} \quad (y = 2, 3, \dots, n+2)\] 따라서 기댓값 \(E(Y)\)는 다음과 같다.
\[E(Y) = \sum_{y=2}^{n+2} y \cdot P(Y=y) = \frac{2}{(n+1)(n+2)} \sum_{y=2}^{n+2} y(y-1)\] \(k = y-1\)로 치환하면 \(y = k+1\)이고 \(k\)는 1부터 \(n+1\)까지 변하므로
\[\sum_{y=2}^{n+2} y(y-1) = \sum_{k=1}^{n+1} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n+1} (k^2 + k) = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} + \frac{(n+1)(n+2)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+6)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}\] 따라서 구하는 기댓값은
\[E(Y) = \frac{2}{(n+1)(n+2)} \cdot \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} = \frac{2(n+3)}{3} = \frac{2n+6}{3}\]

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(1) 직사각형 \(T\)의 넓이 \(M\)을 \(a\)의 식으로 표현 [14점]
곡선 \(C: y = -x^2 + 6\)과 직선 \(\ell: y = -2x + 6\)의 교점은
\[-x^2 + 6 = -2x + 6 \iff x(x - 2) = 0 \implies x = 0, \; 2\] 조건을 만족하는 직사각형의 오른쪽 위 꼭짓점이 곡선 위의 점 \((a, -a^2 + 6)\)이므로, 직사각형이 영역 \(S\) 내부에 포함되기 위한 \(a\)의 범위는 \(0 \lt a \lt 2\)이다.
오른쪽 위 꼭짓점이 고정되었을 때 직사각형의 넓이가 최대가 되기 위해서는 그림과 같이 왼쪽 아래 꼭짓점이 직선 \(\ell: y = -2x + 6\) 위에 놓여야 한다.
왼쪽 아래 꼭짓점의 좌표를 \((x, -2x + 6)\)이라고 하자.
왼쪽 아래 꼭짓점은 오른쪽 위 꼭짓점보다 \(x, y\) 좌표가 모두 작아야 하므로
\[x \lt a \quad \text{이고} \quad -2x + 6 \lt -a^2 + 6 \implies 2x \gt a^2 \implies \frac{1}{2}a^2 \lt x \lt a\] 직사각형의 가로 길이는 \(a - x\), 세로 길이는 \((-a^2 + 6) - (-2x + 6) = -a^2 + 2x\)이다.
따라서 직사각형의 넓이를 \(x\)에 관한 함수 \(f(x)\)로 나타내면
\[f(x) = (a - x)(-a^2 + 2x) = -2x^2 + (a^2 + 2a)x - a^3\] 위 이차함수를 표준형으로 변형하면
\[f(x) = -2\left(x - \frac{a^2 + 2a}{4}\right)^2 + \frac{(a^2 + 2a)^2 - 8a^3}{8} = -2\left(x - \frac{a^2 + 2a}{4}\right)^2 + \frac{a^4 - 4a^3 + 4a^2}{8}\] \(0 \lt a \lt 2\)에서 \(\frac{1}{2}a^2 \lt \frac{a^2 + 2a}{4} \lt a\)가 항상 성립하므로 꼭짓점의 \(x\)좌표가 구간 내에 포함된다.
따라서 \(f(x)\)는 \(x = \frac{a^2 + 2a}{4}\)에서 최댓값을 가지며, 이때의 최댓값이 직사각형 \(T\)의 넓이 \(M\)이다.
\[M = \frac{a^4 - 4a^3 + 4a^2}{8} = \frac{1}{8}a^4 - \frac{1}{2}a^3 + \frac{1}{2}a^2\]
(2) 넓이 \(M\)이 최대가 되는 실수 \(a\)의 값 [6점]
\(M(a) = \frac{1}{8}a^4 - \frac{1}{2}a^3 + \frac{1}{2}a^2\)의 \(a\)에 대한 도함수를 구하면
\[M'(a) = \frac{1}{2}a^3 - \frac{3}{2}a^2 + a = \frac{1}{2}a(a^2 - 3a + 2) = \frac{1}{2}a(a - 1)(a - 2)\] 구간 \(0 \lt a \lt 2\)에서 \(M'(a) = 0\)을 만족하는 근은 \(a = 1\)뿐이다.
도함수의 부호를 판정하면 \(0 \lt a \lt 1\)에서 \(M'(a) \gt 0\) (증가), \(1 \lt a \lt 2\)에서 \(M'(a) \lt 0\) (감소)이다.
제시문의 최대·최소 정리에 의해, 열린구간 \((0, 2)\)에서 유일한 극댓값을 갖는 \(a = 1\)에서 \(M(a)\)는 최댓값을 갖는다.
따라서 넓이 \(M\)이 최대가 되는 실수 \(a\)의 값은 \(1\)이다. (참고: 이때의 최댓값은 \(M(1) = \frac{1}{8}\))

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(1) \(P(X=2)\)의 계산:
처음 꺼낸 흰 공의 개수를 \(a\), 추가로 꺼낸 흰 공의 개수를 \(b\)라 하면 상자로 옮겨진 흰 공의 전체 개수 \(X\)는 \(a+b\)이다. 추가로 꺼내는 공의 개수가 \(a\)개이므로 \(b \le a\)이다. 따라서 \(a+b=2\)이고 \(b \le a\)를 만족하는 순서쌍 \((a, b)\)는 \((1, 1)\)과 \((2, 0)\)의 두 가지이다.
① \((a, b) = (1, 1)\)인 경우: \(a=1\)인 사건을 \(A\), \(b=1\)인 사건을 \(B\)라 할 때 제시문의 곱셈정리에 의해
\[P(A \cap B) = P(A)P(B|A) = \frac{_3C_1 \times _3C_1}{_6C_2} \times \frac{_2C_1}{_4C_1} = \frac{9}{15} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}\]
② \((a, b) = (2, 0)\)인 경우: \(a=2\)인 사건을 \(A\), \(b=0\)인 사건을 \(B\)라 할 때
\[P(A \cap B) = P(A)P(B|A) = \frac{_3C_2}{_6C_2} \times \frac{_3C_2}{_4C_2} = \frac{3}{15} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{10}\]
따라서 \(P(X=2) = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \mathbf{\frac{2}{5}}\)이다.

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(1) 가장 큰 구 \(S_1\)의 반지름의 길이 \(r_1\):
세 점 \(P, Q, R\)를 지나는 평면을 \(\alpha\)라 하면 방정식은 \(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \iff 6x + 3y + 2z - 6 = 0\)이다. 입체도형 \(T\)의 네 면은 각각 \(xy\)평면, \(yz\)평면, \(zx\)평면 및 평면 \(\alpha\)에 포함된다. 따라서 가장 큰 구 \(S_1\)은 네 평면에 모두 접하는 내접구이다.
구 \(S_1\)의 반지름을 \(r_1\)이라 하면 세 좌표평면에 접하고 사면체 내부에 있으므로 중심은 \((r_1, r_1, r_1)\)이다.
중심에서 평면 \(\alpha\)까지의 거리는 반지름 \(r_1\)과 같으므로,
\[r_1 = \frac{|6r_1 + 3r_1 + 2r_1 - 6|}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}} = \frac{|11r_1 - 6|}{7} \iff 7r_1 = |11r_1 - 6|\]
따라서 \(7r_1 = -(11r_1 - 6) \implies r_1 = \frac{1}{3}\) 또는 \(7r_1 = 11r_1 - 6 \implies r_1 = \frac{3}{2}\)이다.
평면 \(\alpha\)와 직선 \(x=y=z\)의 교점은 \(\left(\frac{6}{11}, \frac{6}{11}, \frac{6}{11}\right)\)이므로 중심이 사면체 내부에 있으려면 \(r_1 \lt \frac{6}{11}\)이어야 한다. 그러므로 \(\mathbf{r_1 = \frac{1}{3}}\)이다.

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(1) 부분적분법을 이용한 \(A(\alpha)\) 도출:
제시문 [가]에 의하여 \(f'(x) = e^{-x^2}\)이다. 제시문 [나]의 부분적분법을 적용하면 다음과 같다.
\[A(\alpha) = \int_0^\alpha 1 \cdot f(x) dx = [x f(x)]_0^\alpha - \int_0^\alpha x f'(x) dx = \alpha f(\alpha) - \int_0^\alpha x e^{-x^2} dx\]
치환적분법을 위해 \(t = x^2\)으로 놓으면 \(\frac{dt}{dx} = 2x\)이므로,
\[\int_0^\alpha x e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}\int_0^{\alpha^2} e^{-t} dt = \frac{1}{2}\left[-e^{-t}\right]_0^{\alpha^2} = \frac{1}{2}(1 - e^{-\alpha^2})\]
따라서 구하는 정적분은 \(\mathbf{A(\alpha) = \alpha f(\alpha) - \frac{1}{2}(1 - e^{-\alpha^2})}\)이다.

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(1) \(g(x) \ge 0\)이 성립하는 \(\alpha\)의 값의 범위:
제시문의 합성함수 미분법에 의하여 \(x \gt 0\)일 때 \(g'(x) = 2\alpha f(x)f'(x) = \frac{d}{dx}[\alpha \{f(x)\}^2]\)이므로 \(g(x) = \alpha \{f(x)\}^2 + C\)이다.
미분가능한 함수 \(g(x)\)는 \(x=0\)에서 연속이므로 조건 (ii)에 의해
\[5 - \alpha^3 = g(0) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = \alpha \{f(0)\}^2 + C = C \implies C = 5 - \alpha^3 \quad (\because f(0)=0)\]
따라서 \(x \gt 0\)일 때 \(g(x) = \alpha \{f(x)\}^2 + (5 - \alpha^3)\)이다.
\(\alpha \ge 0\)이고 \(f(x)\)가 증가함수이므로 구간 \([0, 1]\)에서 \(g(x)\)는 증가함수이다. 또한 구간 \([-1, 0]\)에서 \(f(-x)\)는 감소함수이므로 \(\{f(-x)\}^2\)은 감소함수이고, \(-\{f(-x)\}^2\)은 증가함수이다. 따라서 구간 \([-1, 1]\) 전체에서 \(g(x)\)는 증가함수이므로 최솟값은 \(x=-1\)에서 달성된다.
\[g(x) \ge g(-1) = -\{f(1)\}^2 + 5 - \alpha^3 = -2^2 + 5 - \alpha^3 = 1 - \alpha^3\]
부등식 \(g(x) \ge 0\)이 성립하기 위한 필요충분조건은 \(1 - \alpha^3 \ge 0 \iff \alpha^3 \le 1\)이다. \(\alpha \ge 0\)이므로 \(\mathbf{0 \le \alpha \le 1}\)이다.