숭실대학교 자연계열 수리논술
기출연계 3단계 실전모의고사 10회분
통합 마스터 문제집 · 해설집

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 4\)이고, 모든 자연수 \(k\)에 대하여

를 만족시킨다. 모든 자연수 \(m\)에 대하여 첫째항부터 제\((2^m - 1)\)항까지의 부분합을 \(S_m = \sum_{n=1}^{2^m - 1} a_n\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 논리적 근거를 명확히 서술하시오.)

(1) \(a_2, a_3, a_4, a_5\)의 값을 각각 구하고, \(S_1, S_2\)의 값을 구하시오. [5점]

(2) 모든 자연수 \(m\)에 대하여 \(S_{m+1}\)을 \(S_m\)과 \(m\)에 대한 식으로 나타내는 관계식을 유도하시오. [9점]

(3) (2)의 관계식을 이용하여 \(S_m\)의 일반항을 추론하고, 그 일반항이 모든 자연수 \(m\)에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 뒤 \(S_5\)의 값을 구하시오. [11점]

실수 \(a\) (\(0 \lt a \lt 3\))에 대하여 좌표평면 위의 포물선 \(C: y = -x^2 + 10a^2 x\)와 직선 \(l: y = (3a^3 + a^2)x\)가 만나는 두 점을 원점 \(A(0, 0)\)와 점 \(B\)라 하자. 포물선 \(C\)와 직선 \(l\)로 둘러싸인 영역의 경계 중 포물선 호 \(AB\) 위에 두 점 \(C, D\) (\(0 \lt x_D \lt x_C \lt x_B\))를 직선 \(CD\)가 직선 \(l\)과 평행하도록 잡아서 내접하는 사다리꼴 \(ABCD\)를 만든다. 다음 물음에 답하시오. (단, \(x_P\)는 점 \(P\)의 \(x\)좌표를 나타낸다.)

(1) 점 \(B\)의 \(x\)좌표 \(L\)과 두 점 \(C, D\)의 \(x\)좌표의 합 \(x_C + x_D\)를 각각 \(a\)에 대한 식으로 나타내고, \(s = x_C - x_D\) (\(0 \lt s \lt L\))라 할 때 사다리꼴 \(ABCD\)의 넓이 \(S(s)\)를 \(L\)과 \(s\)에 대한 식으로 나타내시오. [9점]

(2) 실수 \(a\) (\(0 \lt a \lt 3\))가 고정되어 있을 때, \(0 \lt s \lt L\)에서 사다리꼴 \(ABCD\)의 넓이 \(S(s)\)의 최댓값 \(M(a)\)를 \(a\)에 대한 다항식으로 구하시오. [8점]

(3) \(0 \lt a \lt 3\)에서 함수 \(M(a)\)가 최댓값을 갖도록 하는 \(a\)의 값과 그때의 \(M(a)\)의 최댓값을 구하시오. [8점]

함수 \(f(x) = x^3 + 2x\)의 그래프 위의 고정된 점 \(R(1, 3)\)과 실수 \(b\) (\(b \gt 1\))에 대한 곡선 위의 점 \(P(b, b^3 + 2b)\)가 있다. 점 \(P\)에서의 접선 \(l_1\)이 곡선 \(y = f(x)\)와 점 \(P\)가 아닌 점에서 만나는 교점을 \(Q\)라 하고, 선분 \(PQ\)의 중점을 \(M\)이라 하자. 곡선 \(y = f(x)\)와 접선 \(l_1\)으로 둘러싸인 도형 \(\mathcal{D}\)가 선분 \(MR\)에 의하여 두 영역으로 분할될 때, 점 \(P\)를 경계에 포함하는 오른쪽 영역의 넓이를 \(A(b)\), 점 \(Q\)를 경계에 포함하는 왼쪽 영역의 넓이를 \(B(b)\)라 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, \(b \gt 1\)이고 풀이 과정과 논리적 근거를 명확히 서술하시오.)

(1) 접선 \(l_1\)의 방정식과 점 \(Q\), 중점 \(M\)의 좌표를 각각 \(b\)로 나타내고, 도형 \(\mathcal{D}\) 전체의 넓이 \(A(b) + B(b)\)를 구하시오. [8점]

(2) 반열린 구간 \(\left[-\dfrac{b}{2}, 1\right)\)에서 직선 \(MR\)이 접선 \(l_1\)보다 위쪽에 있고 곡선 \(y = f(x)\)보다 아래쪽에 있음을 보인 뒤, 넓이 \(A(b)\)를 \(b\)에 대한 다항식으로 나타내시오. [10점]

(3) 넓이 \(B(b)\)를 구하고, 극한값 \(\lim_{b \to \infty} \dfrac{A(b)}{B(b)}\)의 값을 구하시오. [7점]

주머니 속에 크기와 모양이 같은 흰 공 \(3\)개와 검은 공 \(n\)개(\(n\)은 자연수)가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 공을 한 개씩 꺼내어 색을 확인한 후 다시 넣지 않는 비복원 추출 시행을 반복할 때, 꺼낸 흰 공의 누적 개수가 \(2\)개가 되는 순간 시행을 종료한다. 다음 물음에 답하시오. (단, 각 공이 꺼내어질 가능성은 모두 같으며, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.)

(1) \(n = 3\)일 때, 시행이 종료될 때까지 공을 꺼낸 횟수를 확률변수 \(X\)라 하자. \(X\)가 가질 수 있는 모든 값에 대하여 확률질량함수 \(P(X = k)\)를 구하고 \(X\)의 확률분포를 표로 나타내시오. [8점]

(2) (1)의 확률변수 \(X\)에 대하여 기댓값 \(E(X)\)와 분산 \(V(X)\)를 각각 구하시오. [7점]

(3) 일반 자연수 \(n\)에 대하여 시행이 종료될 때까지 공을 꺼낸 횟수를 확률변수 \(Y_n\)이라 할 때, 확률질량함수 \(P(Y_n = k)\) (\(k = 2, 3, \dots, n + 2\))를 구하고 기댓값 \(E(Y_n)\)을 \(n\)에 대한 식으로 유도하시오. [10점]

반지름의 길이가 \(R\)인 원 \(\mathcal{O}\)에 내접하는 사각형 \(ABCD\)의 네 변의 길이가

이다. 두 대각선 \(AC\)와 \(BD\)의 교점을 \(P\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) \(\angle BAD = \theta\)라 할 때, 코사인법칙을 이용하여 \(\cos\theta\)의 값과 대각선 \(BD\)의 길이를 각각 구하시오. [9점]

(2) 원 \(\mathcal{O}\)의 반지름의 길이 \(R\)과 사각형 \(ABCD\)의 넓이 \(S\)를 각각 구하시오. [8점]

(3) 선분 길이의 비 \(\overline{PA} : \overline{PC}\)를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내고, 코사인법칙을 이용하여 대각선 \(AC\)의 길이와 선분 \(PA\)의 길이를 각각 구하시오. [8점]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가

이고, \(g(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차다항식이다. 곱함수 \(h(x) = f(x)g(x)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 논리적 근거를 명확히 서술하시오.)

(1) 함수 \(h(x)\)가 \(x = -1\)에서 연속이고 미분가능하기 위한 \(g(-1)\)과 \(g'(-1)\)의 값을 미분계수의 정의를 이용하여 각각 구하시오. [9점]

(2) 함수 \(h(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 삼차다항식 \(g(x)\)를 구하고, \(h'(2)\)의 값을 구하시오. [8점]

(3) (2)에서 구한 \(g(x)\)에 대하여 방정식 \(f(x)g(x) + x - 3 = 0\)이 열린구간 \((-1, 3)\)에서 적어도 \(3\)개의 서로 다른 실근을 가짐을 사잇값의 정리를 이용하여 논술하시오. [8점]

좌표공간에 구 \(S: (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 4)^2 = 18\)과 점 \(A(5, 1, 5)\)를 지나며 법선벡터가 \(\vec{n} = (2, 1, 2)\)인 평면 \(\alpha\)가 있다. 구 \(S\)와 평면 \(\alpha\)가 만나서 생기는 원을 \(\Gamma\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(O\)는 원점이고 풀이 과정과 논리적 근거를 명확히 서술하시오.)

(1) 평면 \(\alpha\)의 방정식을 구하고, 구 \(S\)의 중심 \(C\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발 \(H\)의 좌표와 선분 \(CH\)의 길이를 각각 구하시오. [8점]

(2) 원 \(\Gamma\)의 반지름의 길이 \(r\)과 원 \(\Gamma\)의 \(xy\)평면 위로의 정사영의 넓이를 각각 구하시오. [8점]

(3) 원 \(\Gamma\) 위를 움직이는 점 \(P\)에서 \(xy\)평면에 이르는 거리의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하고, 곱 \(Mm\)의 값을 구하시오. [9점]

음이 아닌 모든 실수 \(x\)에서 정의된 함수 \(g(x)\)가 모든 자연수 \(k\) (\(k = 1, 2, 3, \dots\))에 대하여 반열린 구간 \([k - 1, k)\)에서

로 정의되어 있다. 자연수 \(n\)에 대하여 정적분 \(I_n = \int_0^n g(x)|\cos(\pi x)|\,dx\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 논리적 근거를 명확히 서술하시오.)

(1) 정적분 \(\int_0^1 |\cos(\pi t)|\,dt\)의 값을 구하고, 부분적분법을 이용하여 \(\int_0^{1/2} t\cos(\pi t)\,dt\)와 \(\int_0^1 t|\cos(\pi t)|\,dt\)의 값을 각각 구하시오. [8점]

(2) 자연수 \(k\)에 대하여 치환적분법을 이용하여 \(a_k = \int_{k-1}^k g(x)|\cos(\pi x)|\,dx\)를 \(k\)에 대한 식으로 나타내고, 이를 이용하여 \(I_n\)을 \(n\)에 대한 식으로 구하시오. [9점]

(3) 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{I_n}\)의 합을 구하시오. [8점]

실수 \(a\) (\(a \gt 1\))에 대하여 \(x\)에 대한 방정식

이 서로 다른 두 양의 실근 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha \lt \beta\))를 가질 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 치환 \(t = 2^x\)을 이용하여 상수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오. [8점]

(2) (1)에서 구한 \(a\)의 범위에서 식 \(\left(2^{\alpha + \beta} - 4\right) + 12\log_{\frac{a}{4}} 16\)의 최솟값과 그때의 상수 \(a\)의 값을 구하시오. [9점]

(3) 상수 \(a\)가 (2)에서 구한 값일 때, \(\alpha + \beta\)와 \(4^\alpha + 4^\beta\)의 값을 각각 구하시오. [8점]

다항함수 \(f(x)\)가 \(f(1) = f(3) = 0\)을 만족시킨다. 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) ① 보조함수 \(g(x) = x^2 f(x)\)를 이용하여 방정식 \(x f'(x) + 2f(x) = 0\)이 열린구간 \((0, 3)\)에서 서로 다른 실근을 적어도 \(2\)개 가짐을 증명하고, ② \(f(2) \neq 0\)일 때 \(f'(p_1) f'(p_2) \lt 0\)을 만족시키는 두 실수 \(p_1 \in (1, 2),\; p_2 \in (2, 3)\)이 존재함을 평균값 정리를 이용하여 증명하시오. [9점]

(2) 실수 \(k\)에 대하여 사차함수 \(f(x) = (x - 1)(x - 3)(x^2 - 4x + k)\)가 극댓값을 갖도록 하는 상수 \(k\)의 값의 범위를 구하고, 이때 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 \(k\)에 대한 식으로 나타내시오. [8점]

(3) (2)의 사차함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값의 차가 \(4\)일 때, 상수 \(k\)의 값과 그때의 극댓값, 극솟값을 각각 구하시오. [8점]

좌표평면에서 원 \(x^2 + y^2 = 4\) 위의 점 \(A(2, 0)\)과 제\(1\)사분면 위의 점 \(P(2\cos\theta, 2\sin\theta)\) (\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{3}\))가 있다. 점 \(P\)에서의 접선 \(l\)이 점 \(A\)에서의 접선 \(x = 2\)와 만나는 점을 \(M\), \(x\)축과 만나는 점을 \(Q\)라 하자. 삼각형 \(MAP\)의 넓이를 \(S(\theta)\), 삼각형 \(PAQ\)의 넓이를 \(T(\theta)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 두 점 \(M, Q\)의 좌표를 구하고, \(S(\theta)\)와 \(T(\theta)\)를 각각 \(\theta\)에 대한 삼각함수의 식으로 나타내시오. [7점]

(2) 두 극한값 \(\lim_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta^3}\)과 \(\lim_{\theta \to 0+} \dfrac{T(\theta)}{S(\theta)}\)를 각각 구하시오. [8점]

(3) 반각·배각 관계를 이용하여 \(T(\theta) - 2S(\theta)\)를 인수분해한 뒤, 극한값 \(\lim_{\theta \to 0+} \dfrac{T(\theta) - 2S(\theta)}{\theta^5}\)을 구하시오. [10점]

\(x \ge 0\)에서 정의된 함수

에 대하여 \(x \gt 0\)에서 함수 \(F(x)\)가 극대가 되는 \(x\)의 값을 작은 것부터 차례로 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \ldots\)이라 하고, 극소가 되는 \(x\)의 값을 작은 것부터 차례로 \(\beta_1, \beta_2, \beta_3, \ldots\)이라 하자. 모든 자연수 \(k\)에 대하여 \(M_k = F(\alpha_k),\; m_k = F(\beta_k)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 부분적분법을 이용하여 \(F(x)\)를 정적분 기호 없이 나타내고, 수열 \(\{M_k\}\)와 \(\{m_k\}\)의 일반항을 각각 \(k\)에 대한 식으로 구하시오. [7점]

(2) 수열 \(\{M_k - m_k\}\)가 등비수열임을 보이고, 급수 \(\sum_{k=1}^{\infty} (M_k - m_k)\)의 합을 구하시오. [9점]

(3) 닫힌구간 \([0, \pi]\)에서 곡선 \(y = F(x)\)와 직선 \(y = 1\) 및 \(y\)축, 직선 \(x = \pi\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [9점]

두 집합 \(X = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), \(Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\)에 대하여 함수 \(f : X \to Y\)가 다음 조건을 만족시킨다.

다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 조건 (가)와 \(f(3) = 4\)를 동시에 만족시키는 함수 \(f\)의 개수를 구하시오. [6점]

(2) 조건 (가)와 곱 \(f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)\)가 짝수라는 조건을 동시에 만족시키는 함수 \(f\)의 개수를 구하시오. [9점]

(3) 조건 (가)를 만족시키면서 합 \(f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5)\)가 홀수이고, 치역 \(\{f(x) \mid x \in X\}\)에 속하는 짝수의 개수가 \(2\) 이상인 함수 \(f\)의 개수를 구하시오. [10점]

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)와 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(x) = |f(x) - t|\)가 미분가능하지 않은 실수 \(x\)의 개수를 \(N(t)\)라 하자. 함수 \(N(t)\)는 오직 \(t = -2\)와 \(t = 2\)에서만 불연속이고, 함수 \(|f(x) - 2|\)는 오직 \(x = 3\)에서만 미분가능하지 않다. 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 구하고, \(f(x)\)가 극값을 갖는 두 실수 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha \lt \beta\))에 대하여 \(\beta - \alpha\)의 값을 구하시오. [8점]

(2) 함수 \(f(x)\)의 식을 구하시오. [8점]

(3) 점 \(P(3, -2)\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 그은 세 접선의 기울기의 합과, 기울기가 \(0\)이 아닌 두 접선의 기울기의 곱을 각각 구하시오. [9점]

두 초점 \(F(c, 0),\; F'(-c, 0)\) (\(c \gt 0\))을 공유하는 타원 \(C_1 : \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) (\(a \gt b \gt 0\))과 쌍곡선 \(C_2 : \dfrac{x^2}{\alpha^2} - \dfrac{y^2}{\beta^2} = 1\) (\(\alpha \gt 0,\; \beta \gt 0\))의 제\(1\)사분면 위의 교점을 \(P(x_1, y_1)\)이라 하자. 점 \(P\)에서 타원 \(C_1\)에 그은 접선을 \(l_1\), 쌍곡선 \(C_2\)에 그은 접선을 \(l_2\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 두 접선 \(l_1\)과 \(l_2\)가 서로 수직임을 증명하시오. [8점]

(2) 타원과 쌍곡선의 정의를 이용하여 \(\cos(\angle F'PF) = \dfrac{b^2 - \beta^2}{b^2 + \beta^2}\)임을 보이고, 삼각형 \(PFF'\)의 넓이가 \(b\beta\)임을 증명하시오. [9점]

(3) \(C_1 : \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1\), \(C_2 : \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{12} = 1\)일 때, 점 \(P\)의 좌표와 두 직선 \(l_1, l_2\) 및 \(x\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 각각 구하시오. [8점]

정적분과 급수의 관계를 이용하여 다음 세 극한값 \(A, B, C\)에 대한 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 급수의 극한 \(A\)를 정적분으로 나타내고, 치환적분법과 부분적분법을 이용하여 \(A\)의 값을 구하시오. [7점]

(2) 급수의 극한 \(B\)를 정적분으로 나타내고, \(B\)의 값을 구하시오. [9점]

(3) 급수의 극한 \(C\)의 값을 구하고, 이를 이용하여 \(8A + 16B + C\)의 값을 구하시오. [9점]

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = \dfrac{1}{2}\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여

를 만족시킨다. 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n \gt 0\)임을 설명하고, \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\)으로 치환하여 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하시오. [7점]

(2) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 부등식 \(S_n \gt \dfrac{2}{3}\left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)\)이 성립함을 보이시오. [8점]

(3) \(n \ge 2\)인 모든 자연수 \(n\)에 대하여 부등식 \(S_n \lt 1 - \dfrac{1}{2^n}\)이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오. [10점]

어느 반도체 공장의 기존 생산 공정에서 생산되는 칩 중 실제 불량품의 비율은 \(20\%\)이다. 광학 검사 장비는 실제 불량품을 \(80\%\)의 확률로 ‘경고(양성)’로 판정하고, 실제 정상품을 \(25\%\)의 확률로 ‘경고(양성)’로 잘못 판정한다. 다음 물음에 답하시오. (단, \(P(|Z| \le 1.96) = 0.95\)로 계산하며, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 기존 공정에서 임의로 택한 칩 \(1\)개가 광학 검사에서 ‘경고’ 판정을 받을 확률 \(p_0\)와, ‘경고’ 판정을 받은 칩이 실제로 불량품일 조건부확률을 각각 구하시오. [8점]

(2) 공정 개선 후 생산된 칩 전체에서 ‘경고’ 판정을 받는 칩의 모비율 \(p\)를 추정하기 위해 크기 \(n\)인 표본을 임의추출하였더니 ‘경고’ 판정의 표본비율 \(\hat{p}\)의 값이 (1)의 \(p_0\)와 같았다. 모비율 \(p\)에 대한 신뢰도 \(95\%\)의 신뢰구간의 길이가 \(0.0784\) 이하가 되도록 하는 자연수 \(n\)의 최솟값 \(n_1\)을 구하시오. [8점]

(3) 표본추출 이전에 표본비율 \(\hat{p}\) (\(0 \lt \hat{p} \lt 1\))이 어떤 값으로 관측되더라도 모비율 \(p\)에 대한 신뢰도 \(95\%\)의 신뢰구간의 길이가 항상 \(0.07\) 이하가 되도록 보장하기 위한 자연수 \(n\)의 최솟값 \(n_2\)를 구하시오. [9점]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = x e^x + x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, \(e\)는 자연로그의 밑이고, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 도함수 \(f'(x)\)의 최솟값을 구하여 모든 실수 \(x\)에서 \(f'(x) \gt 0\)임을 증명하고, 이로써 \(f(x)\)의 역함수 \(g(x)\)가 실수 전체에서 미분가능함을 설명하시오. [7점]

(2) 곡선 \(y = g(x)\) 위의 두 점 \(O(0, 0)\)과 \(A(e + 1, 1)\)에서의 접선의 방정식을 각각 구하시오. [9점]

(3) 두 곡선 \(y = f(x),\; y = g(x)\)와 직선 \(x + y = e + 2\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [9점]

양의 실수 \(k\)에 대하여 좌표평면에서 곡선

와 \(x\)축 및 두 직선 \(x = 0,\; x = \ln 9\)로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 \(x\)축 위의 점 \((x, 0)\)을 지나고 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 한 변의 길이가 \(y\)인 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피를 \(V(k)\)라 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 단면의 넓이 \(S(x)\)를 구하고, 치환적분법을 이용하여 \(V(k)\)를 \(k\)에 대한 유리함수의 식으로 나타내시오. [7점]

(2) \(k \gt 0\)에서 부피 \(V(k)\)가 최대가 되도록 하는 상수 \(k\)의 값과 그때의 최대 부피를 구하시오. [9점]

(3) \(k\)가 (2)에서 구한 값일 때, 구간 \([0, \ln 9]\)에서 단면의 넓이 \(S(x)\)가 최대가 되는 \(x = x_0\)의 값을 구하고, 평면 \(x = x_0\)이 이 입체도형의 부피를 이등분함을 증명하시오. [9점]

모든 자연수 \(n\)에 대하여 실수 \(L(n)\)을

이라 정의하고, \(L(n)\)의 정수부분을 \(f(n) = \lfloor L(n) \rfloor\), 소수부분을 \(g(n) = L(n) - \lfloor L(n) \rfloor\)이라 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, 실수 \(x\)에 대하여 \(\lfloor x \rfloor\)는 \(x\)보다 크지 않은 최대의 정수이며, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 로그의 밑의 변환 공식을 이용하여 \(L(n) = \log_2 n\)임을 보이고, 음이 아닌 정수 \(k\)에 대하여 \(f(n) = k\)를 만족시키는 모든 자연수 \(n\)에 대한 합 \(\displaystyle \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1} 2^{g(n)}\)을 \(k\)에 대한 식으로 나타내시오. [7점]

(2) 자연수 \(m\)에 대하여 \(\displaystyle A_m = \sum_{n=1}^{2^m - 1} f(n)\)이라 할 때, 합의 구간을 \(2^k \le n \le 2^{k+1}-1\) (\(k = 0, 1, \dots, m-1\))로 분할하여 \(A_m = (m - 2)2^m + 2\)임을 유도하시오. [9점]

(3) 자연수 \(m\)에 대하여 \(\displaystyle B_m = \sum_{n=1}^{2^m - 1} \left\{f(n) + 2^{g(n)}\right\}\)을 \(m\)에 대한 닫힌식으로 나타내고, \(B_9\)의 값을 구하시오. [9점]

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)는 \(x = -a\)에서 극댓값 \(M\), \(x = a\) (\(a \gt 0\))에서 양의 극솟값 \(m\) (\(m \gt 0\))을 갖는다. 실수 \(t\)에 대하여 합성방정식 \(f(f(x)) = t\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(h(t)\)라 할 때, 함수 \(h(t)\)는 다음 조건을 만족시킨다.

함수 \(h(t)\)가 불연속인 실수 \(t\)의 값은 \(t = 1,\; 5,\; k\) (단, \(k \gt 5\))뿐이고, \(\displaystyle \lim_{t \to 1^+} h(t) - \lim_{t \to 1^-} h(t) = 4\)이다.

다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 조건 \(a \gt 0\), \(m \gt 0\)을 이용하여 \(t \lt m\)인 모든 실수 \(t\)에서 \(h(t) = 1\)임을 보이고, 이로부터 \(m = 1\)임을 증명하시오. [7점]

(2) 극한 조건 \(\displaystyle \lim_{t \to 1^+} h(t) - \lim_{t \to 1^-} h(t) = 4\)를 만족시키도록 하는 양수 \(a\)의 값과 삼차함수 \(f(x)\)의 식을 결정하시오. [10점]

(3) 상수 \(k\)의 값을 구하고, 세 불연속점 \(c \in \{1, 5, k\}\)에서의 함숫값의 합 \(h(1) + h(5) + h(k)\)를 구하시오. [8점]

실수 \(a\)에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = (x^2 + a)e^{-x}\)이 있다. 다음 물음에 답하시오. (단, \(e\)는 자연로그의 밑이고, \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^n e^{-x} = 0\) (\(n\)은 자연수)임을 사용할 수 있으며, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 함수 \(f(x)\)가 극댓값과 극솟값을 모두 갖기 위한 실수 \(a\)의 값의 범위와, 곡선 \(y = f(x)\)가 서로 다른 두 변곡점을 갖기 위한 실수 \(a\)의 값의 범위를 각각 구하시오. [7점]

(2) \(a = -7\)일 때, 곡선 \(y = f(x)\)의 두 변곡점 \(P, Q\) (단, 점 \(P\)의 \(x\)좌표가 점 \(Q\)의 \(x\)좌표보다 작다)의 좌표를 구하고, 두 변곡점에서의 접선(변곡접선)의 기울기와 \(y\)절편을 각각 구하시오. [9점]

(3) \(a = -7\)일 때, 곡선 \(y = f(x)\) 위에 있지 않은 \(y\)축 위의 점 \((0, k)\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오. [9점]

음이 아닌 정수 \(n\) (\(n = 0, 1, 2, \dots\))에 대하여 정적분 수열 \(\{I_n\}\)을

으로 정의하자. 다음 물음에 답하시오. (단, \(e\)는 자연로그의 밑이고 \(0! = 1\)이며, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) \(I_0\)의 값을 구하고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 부분적분법을 이용하여 점화식 \(I_n = n I_{n-1} - 1\)이 성립함을 증명하시오. [8점]

(2) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 부등식 \(0 \lt I_n \lt \dfrac{e}{n + 1}\)이 성립함을 증명하고, (1)의 점화식을 함께 활용하여 두 극한값 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n\)과 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} n I_n\)을 각각 구하시오. [9점]

(3) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 등식 \(\dfrac{I_n}{n!} = e - \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}\)이 성립함을 증명하고, 이를 이용하여 극한값 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\)과 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \cdot n!\left(e - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\right)\)을 각각 구하시오. [8점]

어느 양자 통신 중계기는 매 시각 \(n\) (\(n = 1, 2, 3, \dots\))마다 주 채널(상태 \(S_1\)) 또는 보조 채널(상태 \(S_2\)) 중 하나만을 선택하여 신호를 전송한다. 시각 \(n\)에서 주 채널 \(S_1\)이 선택되는 사건을 \(A_n\)이라 할 때, 이 중계기는 다음 규칙에 따라 작동한다.

• 시각 \(n = 1\)에서 사건 \(A_1\)이 일어날 확률은 \(P(A_1) = \dfrac{3}{4}\)이다.
• 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 시각 \(n + 1\)의 채널 선택은 시각 \(1, \dots, n-1\)의 결과와 무관하게 오직 시각 \(n\)의 상태에만 의존하며, \(P(A_{n+1} \mid A_n) = \dfrac{2}{3}\), \(P(A_{n+1} \mid A_n^c) = \dfrac{1}{3}\)이다.

자연수 \(n\)에 대하여 \(p_n = P(A_n)\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(A^c\)는 \(A\)의 여사건이며, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(p_{n+1}\)을 \(p_n\)으로 나타내는 관계식을 유도하고, \(p_2\)와 \(p_3\)의 값을 각각 구하시오. [8점]

(2) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 수열 \(\{p_n\}\)의 일반항 \(p_n\)을 구하시오. [8점]

(3) 시각 \(n = 3\)에서 주 채널이 선택되었을 때(\(A_3\) 발생), 시각 \(n = 1\)에서도 주 채널이 선택되었을 조건부확률 \(P(A_1 \mid A_3)\)의 값을 구하시오. [9점]

실수 전체의 집합에서 정의된 사차함수

에 대하여, 임의의 실수 \(t\)에서 구간 \((-\infty, t]\)에서의 함수 \(f(x)\)의 최댓값을 \(g(t)\)라 하자. 즉,

이다. 다음 물음에 답하시오. (단, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\)이므로 모든 실수 \(t\)에 대하여 \(g(t)\)가 유일하게 존재하며, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 도함수 \(f'(x)\)를 구하여 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 모두 구하고, 방정식 \(f(x) = 10\)의 모든 실근을 구하시오. [7점]

(2) 실수 전체의 집합을 구간으로 나누어 함수 \(g(t)\)의 식을 구하고, 함수 \(g(t)\)가 미분가능하지 않은 모든 실수 \(t = \alpha\)의 값과 그때의 우미분계수·좌미분계수의 차 \(\displaystyle \lim_{h \to 0^+} \frac{g(\alpha + h) - g(\alpha)}{h} - \lim_{h \to 0^-} \frac{g(\alpha + h) - g(\alpha)}{h}\)를 구하시오. [9점]

(3) 정적분 \(\displaystyle \int_{-1}^{6} g(t)\,dt\)의 값을 구하시오. [9점]

좌표공간에서 원점 \(O(0, 0, 0)\)과 세 좌표축 위의 점 \(A(3, 0, 0)\), \(B(0, 3, 0)\), \(C(0, 0, 6)\)을 지나는 평면을 \(\alpha\)라 하고, 중심이 \(M(3, 3, 3)\)인 두 구

를 생각하자. 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 세 점 \(A, B, C\)를 지나는 평면 \(\alpha\)의 방정식을 구하고, 삼수선의 정리를 이용하여 평면 \(\alpha\)와 \(xy\)평면이 이루는 예각의 크기 \(\theta\)에 대한 \(\cos\theta\)의 값 및 삼각형 \(ABC\)의 넓이를 구하시오. [8점]

(2) 구 \(S_1\)과 평면 \(\alpha\)가 만나서 생기는 단면인 원 \(C_1\)의 넓이를 구하고, 원 \(C_1\)의 \(xy\)평면 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. [8점]

(3) 원점 \(O\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발을 \(Q\)라 할 때 점 \(Q\)의 좌표를 구하고, 구 \(S_2\) 위를 움직이는 점 \(P\)에 대하여 벡터의 내적 \(\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OP}\)의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오. [9점]

음이 아닌 정수 \(n\) (\(n = 0, 1, 2, \dots\))에 대하여 정적분 수열 \(\{J_n\}\)을

으로 정의하자. 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) \(J_0\)과 \(J_1\)의 값을 각각 구하고, 모든 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 치환적분법을 이용하여 관계식 \(J_n + J_{n+2} = \dfrac{1}{n + 1}\)이 성립함을 증명하시오. [7점]

(2) 모든 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 \(J_{n+1} \le J_n\)임을 보이고, \(2\) 이상의 모든 자연수 \(n\)에 대하여 부등식

이 성립함을 증명한 뒤 두 극한값 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} J_n\)과 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} n J_n\)을 각각 구하시오. [9점]

(3) (1)과 (2)의 결과를 이용하여 다음 두 무한급수의 합을 각각 구하시오. [9점]

반지름의 길이가 \(R = \dfrac{13\sqrt{3}}{3}\)인 원 \(O\)에 내접하는 볼록사각형 \(ABCD\)가

을 만족시킨다. 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 대각선 \(BD\)의 길이와 사각형 \(ABCD\)의 네 변 \(\overline{AB},\; \overline{BC},\; \overline{CD},\; \overline{DA}\)의 길이를 각각 구하시오. [8점]

(2) 코사인법칙을 이용하여 다른 대각선 \(AC\)의 길이를 구하고, 사각형 \(ABCD\)의 넓이 \(S\)와 두 대각선 \(AC, BD\)가 이루는 예각 \(\phi\)에 대한 \(\sin\phi\)의 값을 각각 구하시오. [9점]

(3) 세 꼭짓점 \(A, B, D\)를 고정한 채 점 \(A\)를 포함하지 않는 호 \(BD\) 위를 움직이는 점 \(P\)에 대하여, 사각형 \(ABPD\)의 넓이의 최댓값을 구하시오. [8점]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)도 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 등식

이 성립하며 \(f'(1) = -12\)이다. 다음 물음에 답하시오. (단, 오직 일변수 함수의 미분계수와 도함수의 정의만을 이용하여 서술하시오.)

(1) \(f(0)\)의 값을 구하고 모든 실수 \(y\)에 대하여 \(f(-y) = f(y)\)임을 보인 뒤, 미분계수의 정의를 이용하여 \(f'(0) = 0\)임을 증명하시오. [6점]

(2) 도함수의 정의를 이용하여 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 \(f'(x + y) + f'(x - y) = 2f'(x) + 24xy^2\)이 성립함을 보이고, 이로부터 \(f'(x)\)와 \(f(x)\)의 식을 구하시오. [11점]

(3) 함수 \(f(x)\)의 모든 극댓값과 극솟값을 구하고, \(f(x)\)의 최솟값을 \(m\)이라 할 때 정적분 \(\displaystyle \int_{-2}^{2} \big\{f(x) - m\big\}\,dx\)의 값을 구하시오. [8점]

닫힌구간 \([a, b]\) (\(a \lt b\))를 포함하는 열린구간에서 두 번 미분가능하고 이계도함수 \(f''(x)\)가 연속이며 모든 \(x\)에 대하여 \(f''(x) \gt 0\)인 함수 \(f(x)\)가 있다. 다음 물음에 답하시오. (단, \(e\)는 자연로그의 밑이며, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 구간의 중점 \(m = \dfrac{a + b}{2}\)에서의 접선의 방정식 \(L(x) = f(m) + f'(m)(x - m)\)을 이용하여 부등식

가 성립함을 증명하시오. [8점]

(2) 두 점 \((a, f(a))\), \((b, f(b))\)를 지나는 직선(할선)의 방정식 \(S(x) = f(a) + \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)\)를 이용하여 부등식

가 성립함을 증명하시오. [8점]

(3) 열린구간 \((0, \infty)\)에서 정의된 초월함수 \(f(x) = -\ln x\)에 (1)과 (2)의 결과를 각각 적용하여, \(2\) 이상의 모든 자연수 \(n\)에 대하여 부등식

이 성립함을 증명하시오. [9점]

닫힌구간 \([a, b]\)를 포함하는 열린구간에서 미분가능하고 도함수 \(f'(x)\)가 연속이며 모든 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \gt 0\)인 함수 \(f(x)\)와 그 역함수 \(g(y)\)가 있다. 다음 물음에 답하시오. (단, \(e\)는 자연로그의 밑이며, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 정적분 \(\displaystyle \int_{f(a)}^{f(b)} g(y)\,dy\)에서 \(y = f(x)\)로 치환적분한 뒤 부분적분법을 적용하여 등식

가 성립함을 증명하시오. [8점]

(2) 구간 \([0, \infty)\)에서 정의된 함수 \(f(x) = (x + 1)e^x - 1\)의 역함수를 \(g(y)\)라 할 때, 두 정적분 \(\displaystyle \int_0^{2e - 1} g(y)\,dy\)와 \(\displaystyle \int_{2e - 1}^{3e^2 - 1} g(y)\,dy\)의 값을 각각 구하시오. [8점]

(3) (2)의 역함수 \(g(y)\)에 대하여 다음 두 급수의 극한값을 각각 구하시오. [9점]

\(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 이항계수의 대수적 성질과 확률분포 사이의 관계를 탐구하고자 한다. 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 논리적 근거를 명확히 서술하시오.)

(1) 조합의 정의 \({}_n\mathrm{C}_k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)를 이용하여 다음 세 등식이 성립함을 각각 증명하시오. [7점]

(2) \(2\) 이상의 자연수 \(n\)과 양의 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(F_n(t)\)를

이라 정의하자. 소문항 (1)의 등식과 이항정리를 이용하여 \(F_n(t)\)를 합의 기호 \(\sum\)가 없는 \(n\)과 \(t\)에 대한 닫힌식으로 나타내고, \(F_7(2)\)의 값을 구하시오. [9점]

(3) \(3\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 이산확률변수 \(X\)가 취하는 값이 \(1, 2, 3, \dots, n\)이고, 각 \(k \in \{1, 2, \dots, n\}\)에 대하여 확률질량함수가 \(\mathrm{P}(X = k) = c \cdot k \cdot {}_n\mathrm{C}_k \cdot 2^{k-1}\)로 주어진다. 상수 \(c\) 및 \(\mathrm{E}(X)\), \(\mathrm{V}(X)\)를 각각 \(n\)에 대한 식으로 구하고, \(\mathrm{V}(X) = 10\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 값을 구하시오. [9점]

최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(f(x)\)의 그래프가 직선 \(l: y = mx + n\)과 서로 다른 두 점 \(x = \alpha\), \(x = \beta\) (\(\alpha \lt \beta\))에서 동시에 접할 때, 직선 \(l\)을 곡선 \(y = f(x)\)의 이중접선이라 한다. 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) - (mx + n) = (x - \alpha)^2(x - \beta)^2\)이 성립함을 논증하고, 곡선 \(y = f(x)\)가 항상 서로 다른 두 변곡점을 가지며 두 변곡점의 \(x\)좌표 \(x_1, x_2\) (\(x_1 \lt x_2\))에 대하여 다음 두 관계식이 성립함을 증명하시오. [8점]

(2) 곡선 \(y = f(x)\)와 이중접선 \(y = mx + n\)으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)가 \(m, n\)의 값에 관계없이

임을 치환적분(평행이동 치환) 또는 부분적분법을 이용하여 유도하시오. [8점]

(3) 사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + c\)의 그래프가 기울기가 \(2\)인 이중접선 \(l\)을 갖고, 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(l\)로 둘러싸인 도형의 넓이가 \(\dfrac{16}{15}\)이다. 곡선 \(y = f(x)\)의 두 변곡점을 지나는 직선의 \(y\)절편이 \(\dfrac{13}{9}\)일 때, 세 상수 \(a, b, c\)의 값을 각각 구하시오. [9점]

좌표평면에서 중심이 원점 \(O(0, 0)\)이고 반지름의 길이가 \(1\)인 반원 \(x^2 + y^2 = 1\) (\(y \ge 0\))이 있다. 점 \(A(1, 0)\)에서의 원의 접선을 \(l_0\)이라 하고, 열린구간 \(\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)에 속하는 실수 \(\theta\)에 대하여 반원 위의 점 \(P(\cos\theta, \sin\theta)\)에서의 접선을 \(l_1\), 점 \(P\)를 지나고 직선 \(l_1\)에 수직인 직선(법선)을 \(l_2\)라 하자. 두 직선 \(l_1, l_2\)가 직선 \(l_0\)과 만나는 점을 각각 \(Q, R\)이라 하고, 직선 \(l_1\)이 \(x\)축과 만나는 점을 \(T\), 점 \(P\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하자. 삼각형 \(\triangle PQR\)의 넓이를 \(S_1(\theta)\), 삼각형 \(\triangle PAQ\)의 넓이를 \(S_2(\theta)\), 삼각형 \(\triangle PAT\)의 넓이를 \(A_1(\theta)\), 삼각형 \(\triangle PAH\)의 넓이를 \(A_2(\theta)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 모든 극한은 삼각함수의 항등식과 \(\lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u} = 1\)만을 이용하여 구하시오.)

(1) 세 점 \(Q, R, T\)의 좌표를 \(\theta\)에 대한 식으로 구하고, 네 넓이 \(S_1(\theta), S_2(\theta), A_1(\theta), A_2(\theta)\)를 각각 \(\sin\theta\)와 \(\cos\theta\)에 대한 식으로 나타내시오. [8점]

(2) 반각 관계식 \(1 - \cos\theta = 2\sin^2\dfrac{\theta}{2}\)을 이용하여 극한값 \(L_1 = \lim_{\theta \to 0+} \dfrac{S_1(\theta) - S_2(\theta)}{\theta^5}\)을 구하시오. [8점]

(3) 함수 \(D(\theta) = \big\{A_1(\theta) - A_2(\theta)\big\} - 2\big\{S_1(\theta) - S_2(\theta)\big\}\)를 단일 삼각함수 곱·몫 꼴로 인수분해하고, 극한값 \(L_2 = \lim_{\theta \to 0+} \dfrac{D(\theta)}{\theta^7}\)을 구하시오. [9점]

양의 상수 \(a\) (\(a \gt 0\))에 대하여 닫힌구간 \([0, \infty)\)에서 정의된 감쇠 진동 함수 \(f(x) = e^{-ax}|\sin x|\)가 있다. 모든 자연수 \(k\)에 대하여 닫힌구간 \([(k-1)\pi, k\pi]\)에서 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_k\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 부분적분법을 두 번 적용하여 첫째 구간 \([0, \pi]\)에서의 넓이 \(S_1 = \int_{0}^{\pi} e^{-ax}\sin x\,dx\)를 \(a\)에 대한 식으로 구하시오. [8점]

(2) 치환적분법을 이용하여 임의의 자연수 \(k\)에 대한 \(S_k\)를 \(S_1\)과 \(a\)로 나타내고, 무한급수 \(\sum_{k=1}^{\infty} S_k\)가 수렴함을 보인 뒤 그 합 \(S(a)\)가

임을 증명하시오. [8점]

(3) \(\dfrac{S_3}{S_1} = \dfrac{1}{9}\)일 때, 양수 \(a\)의 값과 \(S(a)\)의 값, 그리고 가중 무한급수 \(T = \sum_{k=1}^{\infty} k S_k\)의 값을 각각 구하시오. (단, \(T\)를 구할 때 부분합의 극한 계산에 필요한 \(\lim_{n\to\infty} n r^n = 0\)의 성립 근거를 함께 서술하시오.) [9점]

수열 \(\{a_n\}\)이 첫째항 \(a_1 = 3\)과 모든 자연수 \(n\)에 대한 귀납적 관계식

으로 정의된다. 다음 물음에 답하시오. (단, 수열 \(\{a_n\}\)이 수렴한다는 사실을 증명 없이 먼저 사용하지 마시오.)

(1) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 부등식 \(2 \lt a_n \le 3\)이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} \lt a_n\)임을 보이시오. [8점]

(2) 소문항 (1)을 이용하여 모든 자연수 \(n\)에 대하여 수축 부등식 \(|a_{n+1} - 2| \le \dfrac{1}{4}|a_n - 2|\)가 성립함을 보이고, 수학적 귀납법과 제시문 【나】를 이용하여 수열 \(\{a_n\}\)의 극한값 \(\alpha = \lim_{n\to\infty} a_n\)을 구하시오. [8점]

(3) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 보조수열 \(b_n = \dfrac{a_n - 2}{a_n + 2}\)을 정의할 때, \(b_{n+1}\)과 \(b_n\) 사이의 관계식을 구하여 \(a_n - 2\)를 \(n\)에 대한 식으로 나타내고, 오차 한계 부등식 \(|a_n - 2| \lt 10^{-20}\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하시오. (단, \(\log_{10} 2 = 0.3010\)으로 계산하시오.) [9점]

좌표평면에서 두 실수 \(a, b\) (\(a \gt b \gt 0\))에 대하여 타원 \(E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)의 두 초점을 \(F(c, 0), F'(-c, 0)\) (\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\))이라 하자. 타원 \(E\) 위의 점 \(P(x_1, y_1)\)에서의 접선 \(l\)에 두 초점 \(F, F'\)에서 내린 수선의 발을 각각 \(H, H'\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 타원 \(E\) 위의 임의의 점 \(P(x_1, y_1)\)에 대하여 점 \(P\)의 위치에 관계없이 항상 \(\overline{FH} \cdot \overline{F'H'} = b^2\)이 성립함을 증명하시오. [8점]

(2) 점 \(P(x_1, y_1)\)이 \(y_1 \neq 0\)인 타원 \(E\) 위의 점일 때, \(u = \overline{FH} + \overline{F'H'}\)라 놓자. \(u\)의 값의 범위가 \(2b \le u \lt 2a\)임을 설명하고, 사다리꼴 \(FHH'F'\)의 넓이 \(S\)를 \(a\)와 \(u\)에 대한 식으로 나타낸 뒤 \(a \ge \sqrt{2}b\)인 경우와 \(b \lt a \lt \sqrt{2}b\)인 경우로 나누어 넓이 \(S\)의 최댓값 \(M(a, b)\)를 각각 구하시오. [9점]

(3) 두 타원 \(E_1: \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1\)과 \(E_2: \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1\)에 대하여 소문항 (2)의 사다리꼴 넓이의 최댓값을 각각 \(M_1, M_2\)라 하자. \(M_1 + M_2\)의 값을 구하고, 타원 \(E_1\)에서 사다리꼴의 넓이가 \(M_1\)이 되도록 하는 제\(1\)사분면 위의 접점 \(P(x_1, y_1)\)의 좌표를 구하시오. [8점]

좌표평면 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t\) (\(t \ge 0\))에서의 위치 \((x, y)\)가

로 주어진다. 점 \(P\)가 그리는 곡선을 \(C\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 풀이 과정과 근거를 논리적으로 서술하시오.)

(1) 시각 \(t\)에서의 점 \(P\)의 속력 \(v(t)\)와 시각 \(t = 0\)에서 \(t = \tau\) (\(\tau \gt 0\))까지 점 \(P\)가 움직인 거리 \(L(\tau)\)를 구하고, 모든 양수 \(\tau\)에 대하여 비 \(\dfrac{L(\tau)}{v(\tau) - v(0)}\)의 값이 일정한 상수임을 보이시오. [7점]

(2) 열린구간 \(\left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}\right)\)에 속하는 시각 \(t\)에 대하여, 점 \(P\big(x(t), y(t)\big)\)에서의 곡선 \(C\)의 접선 \(l_t\)의 방정식이

임을 유도하고, 직선 \(l_t\)와 \(x\)축 및 \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오. [9점]

(3) 열린구간 \(\left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}\right)\)에서 함수 \(S(t)\)가 최솟값을 갖는 시각 \(t = t_0\)와 최솟값 \(S(t_0)\)를 구하고, 시각 \(t = 0\)에서 \(t = t_0\)까지 점 \(P\)가 움직인 거리 \(L(t_0)\)를 구하시오. [9점]

음이 아닌 정수 \(n\) (\(n = 0, 1, 2, \dots\))에 대하여 정적분 \(D_n\)을

로 정의하고, 자연수 \(n\) (\(n = 1, 2, 3, \dots\))에 대하여 정적분 \(E_n\)을

로 정의하자. 다음 물음에 답하시오. (단, \(x = 0\)에서의 각 피적분함수의 함숫값은 \(x \to 0+\)일 때의 극한값으로 정의하여 닫힌구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)에서 연속인 함수로 본다.)

(1) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(D_n - D_{n-1} = 0\)임을 제시문 【가】를 이용하여 보이고, 이로부터 모든 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 \(D_n = \dfrac{\pi}{2}\)임을 증명하시오. [8점]

(2) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 삼각함수 항등식 \(\sin^2\big((n+1)x\big) - \sin^2(nx) = \sin\big((2n+1)x\big)\sin x\)가 성립함을 증명하고, 소문항 (1)의 결과를 이용하여 수열 \(\{E_n\}\)이 등차수열임을 보인 뒤 일반항 \(E_n\)을 구하시오. [9점]

(3) 소문항 (2)의 결과를 이용하여 정적분 \(J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin^2(6x)\cos(2x)}{\sin^2 x}\,dx\)의 값과 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\pi^2}{E_n E_{n+2}}\)의 합을 각각 구하시오. [8점]