2027학년도 아주대학교 자연계열 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 153쪽 단권화

2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본

2027학년도 아주대학교
자연계열 수리논술
10회분 통합 마스터 문제집·해설집

출제 범위: 교과서 기반 교육과정 수학 전 범위 (Textbook DB SSOT)
시험 시간: 120분 | 전형 반영: 논술 80% + 학생부교과 20%

📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 153쪽 완결]

• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭

• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (31p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (15문항)

• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (65p): 출제 타당성 보고서(4p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)

• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (51p): 50문항 전수 아코디언 정밀 해설

• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터

📱 스마트폰 실시간 합격진단 & 올인원 대시보드 연동

우측 QR 스캔 또는 상단 툴바 버튼으로 아주대학교 실시간 컷오프 시뮬레이터와 즉시 동기화됩니다.

발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: QUESTIO-2027-UNIFIED-MASTER

전형 반영 비율

논술 80% + 학생부교과 20%

논술 실질 변별력 핵심

시험 시간 · 문항

120분 · 5문항

회차당 수리 100점 만점

수능최저학력기준

모집단위별 기준 확인

일반 자연계열 수능최저 없음 (단, 의학과 국·수·영·탐 4합

출제 교육과정

교과서 기반 수학과

Textbook DB V1.0 완벽 준거

STEP 1기출 5개년 해부Part 1 정독

STEP 2표준 모의 1~5회실전 시간 엄수

STEP 3킬러 모의 6~10회TOP 5 심화 격파

STEP 4루브릭 약점 교정감점 요인 제거

STEP 5입결 컷오프 판정Part 3 시뮬레이션

📈 5개년 출제 경향 및 2027학년도 핵심 대비 전략

🎯 아주대학교 자연계열 수리논술 5개년 출제 경향 & 2027 합격 전략

아주대 자연계열 수리논술은 시험시간 120분, 100점 만점 체제로 시행되며, 본 교재는 기출 3대문항(30+35+35점)과 실전 집중 훈련용 5세트를 모두 완벽히 대비하도록 설계되었습니다.
• 전형 방법 및 수능최저: 논술고사 80% + 학생부교과 20%로 선발하며, 일반 자연계열 전 모집단위 수능최저학력기준 없음(의약학 계열 별도)이므로 논술 실전 득점력이 당락을 결정합니다.
• 출제 범위 및 특징: 교과서 핵심 정의를 담은 제시문 (가)~(다)와 단계형 소문항 [1]~[3]을 통해 미적분·대수·확률과 통계·기하의 논리적 증명력과 계산력을 평가합니다.

🔥 역대 킬러 문항 TOP 5 분석 & 실전 모의고사 6~10회 1:1 심화 매칭표

순위	기출 원천 문항	핵심 출제 테마 및 변별 포인트	모의 1:1 매칭	부분점수 공략 전략
TOP 1 (최고난도)	2024학년도 자연 문항 3 (정적분 점화식과 조임정리)	부분적분법을 통한 정적분 수열 점화식 유도 및 피적분함수 부등식 조임정리 극한 (정답률 19%)	제6회 문항 5 · 제10회 문항 5 (p.71, 95)	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 2	2025학년도 자연 문항 3 (아크탄젠트 치환과 정적분 대칭)	삼각치환 정적분 계산 및 합성함수 도함수 항등식을 이용한 무한대 극한 도출 (정답률 22%)	제7회 문항 5 · 제9회 문항 5 (p.77, 89)	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 3	2026학년도 자연 문항 2 (매개변수 곡선 접선·길이)	원 위 접선의 절편 빗변 최소화 시각 도출 및 매개변수 곡선의 길이 정적분 (정답률 25%)	제8회 문항 4 · 제9회 문항 4 (p.82, 88)	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 4	2025학년도 자연 문항 2 (평균값 정리와 젠센 부등식)	두 구간 평균값 정리 연쇄 적용과 이계도함수 양수 조건을 통한 볼록 부등식 증명 (정답률 28%)	제6회 문항 4 · 제8회 문항 5 (p.70, 83)	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 5	2023학년도 자연 문항 2 (초월함수 접선과 실근 개수)	로그 유리함수의 극값·변곡점 분석 및 지수방정식의 매개변수별 실근 개수 분류 (정답률 31%)	제7회 문항 4 · 제10회 문항 4 (p.76, 94)	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보

📌 본 통합 마스터북 100% 활용 5단계 로드맵

STAGE 1

📌 본 교재의 100% 활용 로드맵 (3-Step Master Plan)

PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS

2022~2026학년도 아주대학교
공식 기출 심층 해설 & 교과서 1:1 연계

최근 5개년 기출 핵심 15문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.

📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록

📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공

✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능

📚 과목/단원: 미적분 🎯 핵심 테마: 삼각함수 극한과 내접원 반지름·황금비 최적화 ⏱️ 권장 시간: 40분

【제시문 가】 반지름의 길이가 $1$인 원에서 지름 $\mathrm{AB}$의 길이는 $2$이고, 원 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 원주각 $\angle\mathrm{APB} = \frac{\pi}{2}$이다.
【제시문 나】 직각삼각형의 두 직각변의 길이를 $a, b$, 빗변의 길이를 $c$라 할 때 내접원의 반지름의 길이는 $R = \frac{a+b-c}{2}$이다.
【제시문 다】 이차방정식 $x^2 + x - 1 = 0$의 양의 실근 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$은 황금비 역수 관계를 만족한다.

• [문항 1-1] (10점) $\angle\mathrm{PAB} = \theta$ ($0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$)라 할 때 선분 $\mathrm{AP}, \mathrm{PB}$의 길이와 $\triangle\mathrm{PAB}$의 내접원의 반지름 $R(\theta)$를 $\theta$로 나타내시오.
• [문항 1-2] (10점) 제시문 【다】의 조건 $\sin\theta = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$일 때 $\sin\theta = \cos^2\theta$가 성립함을 보이고 내접 분할 면적비를 구하시오.
• [문항 1-3] (10점) 극한값 $\lim_{\theta \to 0^+} \frac{R(\theta)}{\theta}$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

【유사 연습 문제】 빗변의 길이가 $4$이고 한 예각의 크기가 $\theta$인 직각삼각형의 내접원의 반지름의 길이를 $r(\theta)$라 할 때, $\lim_{\theta \to 0^+} \frac{r(\theta)}{\theta}$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 두 직각변의 길이는 $4\cos\theta, 4\sin\theta$이므로 $r(\theta) = \frac{4\cos\theta + 4\sin\theta - 4}{2} = 2(\sin\theta + \cos\theta - 1)$이다. 따라서 $\lim_{\theta \to 0^+} \frac{r(\theta)}{\theta} = 2(1 - 0) = 2$이다. [정답: $2$]

【문항 요약】 2026학년도 Part 1 기출 원문 · 교과서 연습 문항 1 (미적분) [배점 30점]

【문항 요약 (2026학년도 자연계열 문항 1 · 30점)】
• [문항 1-1] (10점) $\angle\mathrm{PAB} = \theta$ ($0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$)라 할 때 선분 $\mathrm{AP}, \mathrm{PB}$의 길이와 $\triangle\mathrm{PAB}$의 내접원의 반지름 $R(\theta)$를 $\theta$로 나타내시오.
• [문항 1-2] (10점) 제시문 【다】의 조건 $\sin\theta = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$일 때 $\sin\theta = \cos^2\theta$가 성립함을 보이고 내접 분할 면적비를 구하시오.
• [문항 1-3] (10점) 극한값 $\lim_{\theta \to 0^+} \frac{R(\theta)}{\theta}$의 값을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 1 · 총 30점

💡 제시문 연계 상세 해설 및 모범 답안

1-1: 제시문 (가)의 원주각 직각 성질에 의해 $\triangle PAB$는 직각삼각형이므로 $AP = 2\cos\theta, PB = 2\sin\theta$이다. 제시문 (나)의 내접원 반지름 공식에 의해 $R = \frac{AP+PB-AB}{2} = \cos\theta + \sin\theta - 1$이다.
1-2: 제시문 (다)의 황금비 조건 $x^2+x-1=0$에서 $\sin\theta = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$일 때, $\sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0 \iff \sin\theta = 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$가 성립한다. 이를 코사인 법칙 및 내접 분할 면적비에 대입하여 기하학적 최적 조건을 엄밀히 판정한다.
1-3: $\lim_{\theta \to 0^+} \frac{R}{\theta} = \lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin\theta - (1-\cos\theta)}{\theta} = \lim \frac{\sin\theta}{\theta} - \lim \theta \cdot \frac{1-\cos\theta}{\theta^2} = 1 - 0 = 1$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1-1]	제시문 (가), (나)에 근거한 $AP=2\cos\theta$ 및 $R=\cos\theta+\sin\theta-1$ 도출	10점
[1-2]	제시문 (다) 황금비 조건 대입 및 기하학적 임계점 판정	10점
[1-3]	삼각함수 기본 극한 정리를 통한 극한값 1 도출 완결	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC: 아주대 수리논술은 각 소문항이 다음 소문항의 결정적 힌트 역할을 합니다. 제시문 (가)~(다)의 번호를 답안 첫 줄에 명시하고 정의역과 극한 전제 조건을 누락 없이 서술하십시오.

✅ 최종 정답 요약[1-1] $R(\theta) = \cos\theta + \sin\theta - 1$ | [1-2] $\sin\theta = \cos^2\theta$ 황금비 성립 | [1-3] 극한값 $1$

📚 과목/단원: 미적분 🎯 핵심 테마: 매개변수 곡선의 접선과 빗변 최소화 및 곡선의 길이 ⏱️ 권장 시간: 40분

【제시문 가】 매개변수 $t$로 나타내어진 곡선 $x = f(t), y = g(t)$에서 $\frac{dy}{dx} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$ ($f'(t) \ne 0$)이다.
【제시문 나】 원 $x^2 + y^2 = 9$ 위의 제1사분면의 점 $\mathrm{P}(3\cos t, 3\sin t)$ ($0 \lt t \lt \frac{\pi}{2}$)에서의 접선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$라 하자.
【제시문 다】 매개변수 곡선 $(x(t), y(t))$의 구간 $[a, b]$에서의 길이는 $s = \int_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\,dt$이다.

• [문항 2-1] (10점) 선분 $\mathrm{AB}$의 길이가 최소가 되는 시각 $t_0$에 대하여 $\cos t_0$의 값을 구하시오.
• [문항 2-2] (12점) 제시문 【가】를 이용하여 시각 $t_0$에서 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 기울기를 구하시오.
• [문항 2-3] (13점) 제시문 【다】를 이용하여 $0 \le t \le \frac{\pi}{3}$에서 점 $\mathrm{P}$가 움직인 곡선의 길이 $s$를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

【유사 연습 문제】 시각 $t$에서의 위치가 $x = 2\cos t + 2t\sin t$, $y = 2\sin t - 2t\cos t$ ($0 \le t \le 2$)인 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x'(t) = 2t\cos t$, $y'(t) = 2t\sin t$이므로 속력은 $\sqrt{(2t\cos t)^2 + (2t\sin t)^2} = 2t$이다. 따라서 움직인 거리는 $\int_0^2 2t\,dt = 4$이다. [정답: $4$]

【문항 요약】 2026학년도 Part 1 기출 원문 · 교과서 연습 문항 2 (미적분) [배점 35점]

【문항 요약 (2026학년도 자연계열 문항 2 · 35점)】
• [문항 2-1] (10점) 선분 $\mathrm{AB}$의 길이가 최소가 되는 시각 $t_0$에 대하여 $\cos t_0$의 값을 구하시오.
• [문항 2-2] (12점) 제시문 【가】를 이용하여 시각 $t_0$에서 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 기울기를 구하시오.
• [문항 2-3] (13점) 제시문 【다】를 이용하여 $0 \le t \le \frac{\pi}{3}$에서 점 $\mathrm{P}$가 움직인 곡선의 길이 $s$를 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 2 · 총 35점

💡 제시문 연계 상세 해설 및 모범 답안

2-1: 원 $x^2+y^2=9$ 위의 점 $P(3\cos t, 3\sin t)$에서의 접선의 방정식은 $\cos t x + \sin t y = 3$이다. $A(3/\cos t, 0), B(0, 3/\sin t)$이므로 빗변 길이의 제곱은 $L^2 = \frac{9}{\cos^2 t} + \frac{9}{\sin^2 t} = \frac{36}{\sin^2 2t}$이다. 제시문 (나)에 따라 빗변 길이가 최소가 되는 시각은 $\sin 2t = 1 \iff t_0 = \pi/4$이므로 $\cos t_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$이다.
2-2: 제시문 (가)의 매개변수 미분법 공식에 의해 접선의 기울기는 $\frac{dy}{dx} = -\cot t$이다. 시각 $t_0 = \pi/4$를 대입하면 접선의 기울기는 $f'(t_0) = -1$이다.
2-3: 제시문 (다)의 곡선의 길이 공식에 의해 $s = \int_0^{\pi/3} \sqrt{(-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2} dt = \int_0^{\pi/3} 3 dt = 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2-1]	제시문 (나)에 따른 빗변 제곱 함수 모델링 및 최소 시각 $\cos t_0$ 산출	10점
[2-2]	제시문 (가) 매개변수 미분법 적용 및 기울기 $-1$ 계산	12점
[2-3]	제시문 (다) 곡선의 길이 적분 공식 적용 및 길이 $\pi$ 도출 완결	13점

✅ 최종 정답 요약[2-1] $\cos t_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ($t_0 = \frac{\pi}{4}$) | [2-2] 접선의 기울기 $-1$ | [2-3] 곡선의 길이 $\pi$

📚 과목/단원: 미적분 · 대수 🎯 핵심 테마: 우함수·기함수 대칭 정적분 분해와 부분분수 망원급수 ⏱️ 권장 시간: 40분

【제시문 가】 모든 실수에서 연속인 함수 $f(x)$는 우함수 $f_E(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$와 기함수 $f_O(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$의 합으로 유일하게 표현된다.
【제시문 나】 대칭 구간 $[-a, a]$에서 우함수와 기함수의 정적분은 $\int_{-a}^a f_E(x)\,dx = 2\int_0^a f_E(x)\,dx$, $\int_{-a}^a f_O(x)\,dx = 0$이다.
【제시문 다】 수열 $a_n = \frac{2(n+1)}{n}$ ($n \ge 1$)과 부분분수 항등식 $\frac{1}{(n-1)n} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$ ($n \ge 2$)을 이용한다.

• [문항 3-1] (10점) 제시문 【다】의 수열에서 제7항 $a_7$의 값을 구하시오.
• [문항 3-2] (12점) 무한급수 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}$의 합을 구하시오.
• [문항 3-3] (13점) 제시문 【가】, 【나】를 이용하여 $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f_E(x)\,dx$가 성립함을 증명하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

【유사 연습 문제】 정적분 $\int_{-2}^2 (x^5 + 3x^2 - 4x\cos x + 2)\,dx$의 값을 우함수·기함수 대칭성을 이용하여 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 기함수 $x^5 - 4x\cos x$의 $[-2, 2]$ 정적분은 $0$이고, 우함수 $3x^2 + 2$의 정적분은 $2\int_0^2 (3x^2+2)\,dx = 2[x^3+2x]_0^2 = 24$이다. [정답: $24$]

【문항 요약】 2026학년도 Part 1 기출 원문 · 교과서 연습 문항 3 (미적분 · 대수) [배점 35점]

【문항 요약 (2026학년도 자연계열 문항 3 · 35점)】
• [문항 3-1] (10점) 제시문 【다】의 수열에서 제7항 $a_7$의 값을 구하시오.
• [문항 3-2] (12점) 무한급수 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}$의 합을 구하시오.
• [문항 3-3] (13점) 제시문 【가】, 【나】를 이용하여 $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f_E(x)\,dx$가 성립함을 증명하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 3 · 총 35점

💡 제시문 연계 상세 해설 및 모범 답안

3-1: 제시문 (다)의 수열 $a_n = \frac{2(n+1)}{n}$에 $n=7$을 대입하면 $a_7 = \frac{2(8)}{7} = \frac{16}{7}$이다.
3-2: 제시문 (다)의 부분분수 전개 공식 $\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$을 적용하면, 부분합은 $S_N = \sum_{n=2}^N \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) = 1 - \frac{1}{N}$이다. 따라서 급수의 합은 $\lim_{N \to \infty} (1 - 1/N) = 1$이다.
3-3: 제시문 (가)와 (나)에 의해 임의의 연속함수는 $f(x) = f_E(x) + f_O(x)$로 유일하게 분해되며, 대칭 구간 $[-a, a]$에서 기함수의 적분값은 $0$이므로 $\int_{-a}^a f(x) dx = \int_{-a}^a f_E(x) dx + 0 = 2\int_0^a f_E(x) dx$가 성립한다. 이를 주어진 적분식에 대입하여 극한값을 완결한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3-1]	제시문 (다) 수열 정의 적용 및 $a_7 = 16/7$ 도출	10점
[3-2]	제시문 (다) 부분분수 망원합 전개 및 급수합 1 계산	12점
[3-3]	제시문 (가), (나) 우함수·기함수 분할 대칭 적분 증명 완결	13점

✅ 최종 정답 요약[3-1] $a_7 = \frac{16}{7}$ | [3-2] 급수의 합 $1$ | [3-3] 우함수·기함수 분할 정적분 증명

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 유리함수 곡선의 접선과 직각삼각형 넓이 불변성 증명 ⏱️ 권장 시간: 40분

【제시문 가】 미분가능한 함수 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}(t, f(t))$에서의 접선의 방정식은 $y - f(t) = f'(t)(x - t)$이다.
【제시문 나】 곡선 $y = \frac{1}{x}$ ($x \gt 0$) 위의 점 $\mathrm{P}(t, \frac{1}{t})$에서의 접선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$라 한다.
【제시문 다】 좌표평면에서 원점 $\mathrm{O}$와 두 절편 $\mathrm{A}(x_A, 0), \mathrm{B}(0, y_B)$가 이루는 직각삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $S = \frac{1}{2}|x_A y_B|$이다.

• [문항 1-1] (10점) 점 $\mathrm{P}(t, \frac{1}{t})$에서의 접선의 방정식을 구하시오.
• [문항 1-2] (10점) 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 좌표를 구하고 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이 접점 $\mathrm{P}$와 일치함을 보이시오.
• [문항 1-3] (10점) 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이 $S$가 접점의 $x$좌표 $t$에 관계없이 항상 일정함을 증명하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

【유사 연습 문제】 곡선 $y = \frac{4}{x}$ ($x \gt 0$) 위의 점 $(t, \frac{4}{t})$에서의 접선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $y' = -\frac{4}{x^2}$이므로 접선은 $y = -\frac{4}{t^2}x + \frac{8}{t}$이다. $x$절편은 $2t$, $y$절편은 $\frac{8}{t}$이므로 넓이는 $\frac{1}{2}\cdot 2t \cdot \frac{8}{t} = 8$이다. [정답: $8$]

【문항 요약】 2025학년도 Part 1 기출 원문 · 교과서 연습 문항 4 (미적분Ⅰ) [배점 30점]

【문항 요약 (2025학년도 자연계열 문항 1 · 30점)】
• [문항 1-1] (10점) 점 $\mathrm{P}(t, \frac{1}{t})$에서의 접선의 방정식을 구하시오.
• [문항 1-2] (10점) 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 좌표를 구하고 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이 접점 $\mathrm{P}$와 일치함을 보이시오.
• [문항 1-3] (10점) 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이 $S$가 접점의 $x$좌표 $t$에 관계없이 항상 일정함을 증명하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 4 · 총 30점

💡 제시문 연계 상세 해설 및 모범 답안

1-1: 제시문 (가)에 의해 곡선 $y = 1/x$ 위의 점 $P(t, 1/t)$에서의 접선의 방정식은 $y - 1/t = -\frac{1}{t^2}(x-t) \iff y = -\frac{1}{t^2}x + \frac{2}{t}$이다.
1-2: 제시문 (나)에 의해 $y=0$일 때 $x = 2t \implies A(2t, 0)$이고, $x=0$일 때 $y = 2/t \implies B(0, 2/t)$이다. 선분 $AB$의 중점의 좌표는 $\left(\frac{2t+0}{2}, \frac{0+2/t}{2}\right) = (t, 1/t)$가 되어 접점 $P$와 정확히 일치한다.
1-3: 제시문 (나)와 (다)에 의해 삼각형 $OAB$의 넓이는 $S = \frac{1}{2} \cdot 2t \cdot \frac{2}{t} = 2$이다. 이는 접점 $t$의 값에 완전히 무관한 상수이므로 항상 일정함이 증명된다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1-1]	제시문 (가) 도함수 적용 및 접선 방정식 $y = -\frac{1}{t^2}x + \frac{2}{t}$ 유도	10점
[1-2]	제시문 (나) 절편 $A, B$ 산출 및 선분 $AB$ 중점과 점 $P$ 일치 증명	10점
[1-3]	제시문 (다) 면적 불변성 증명 완결 ($S=2$ 상수)	10점

✅ 최종 정답 요약[1-1] $y = -\frac{1}{t^2}x + \frac{2}{t}$ | [1-2] $A(2t, 0)$, $B\left(0, \frac{2}{t}\right)$ 중점 $P$ 일치 | [1-3] 넓이 $S = 2$ 일정

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 평균값 정리와 이계도함수 볼록성(젠센 부등식) 논증 ⏱️ 권장 시간: 40분

【제시문 가】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능하면 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$인 $c \in (a, b)$가 존재한다.
【제시문 나】 열린구간 $(a, b)$에서 이계도함수 $f''(x) \gt 0$이면 도함수 $f'(x)$는 구간 $(a, b)$에서 순증가함수이다.
【제시문 다】 구간 $(a, b)$에 속하는 임의의 두 실수 $x_1 \lt x_2$에 대하여 중점을 $m = \frac{x_1+x_2}{2}$이라 하자.

• [문항 2-1] (10점) 제시문 【나】를 근거로 $f''(x) \gt 0$일 때 도함수 $f'(x)$가 구간 $(a, b)$에서 단조증가함을 설명하시오.
• [문항 2-2] (12점) 두 구간 $[x_1, m], [m, x_2]$에 평균값 정리를 적용하여 부등식 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \lt \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$가 성립함을 증명하시오.
• [문항 2-3] (13점) 함수 $f(x) = x^4$에 위 부등식을 적용하고 그 기하학적 의미를 서술하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = e^{2x}$에 대하여 서로 다른 두 실수 $a, b$에서 $\frac{f(a)+f(b)}{2} \gt f\left(\frac{a+b}{2}\right)$가 성립함을 이계도함수로 설명하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f''(x) = 4e^{2x} \gt 0$이므로 모든 실수에서 아래로 볼록하여 두 함숫값의 평균이 중점에서의 함숫값보다 항상 크다. [정답: $f''(x)=4e^{2x}\gt 0$ 볼록성 증명]

【문항 요약】 2025학년도 Part 1 기출 원문 · 교과서 연습 문항 5 (미적분Ⅰ · 미적분Ⅱ) [배점 35점]

【문항 요약 (2025학년도 자연계열 문항 2 · 35점)】
• [문항 2-1] (10점) 제시문 【나】를 근거로 $f''(x) \gt 0$일 때 도함수 $f'(x)$가 구간 $(a, b)$에서 단조증가함을 설명하시오.
• [문항 2-2] (12점) 두 구간 $[x_1, m], [m, x_2]$에 평균값 정리를 적용하여 부등식 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \lt \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$가 성립함을 증명하시오.
• [문항 2-3] (13점) 함수 $f(x) = x^4$에 위 부등식을 적용하고 그 기하학적 의미를 서술하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 5 · 총 35점

💡 제시문 연계 상세 해설 및 모범 답안

2-1: 제시문 (나)에 의해 $f''(x) \gt 0$이므로 도함수 $f'(x)$의 도함수가 양수이다. 따라서 도함수 $f'(x)$는 열린구간 $(a, b)$에서 순단조증가함수이다.
2-2: 중점 $m = \frac{x_1+x_2}{2}$에 대하여, 구간 $[x_1, m]$에 제시문 (가)의 평균값 정리를 적용하면 $\frac{f(m)-f(x_1)}{m-x_1} = f'(c_1)$ ($x_1 \lt c_1 \lt m$)이다. 구간 $[m, x_2]$에 적용하면 $\frac{f(x_2)-f(m)}{x_2-m} = f'(c_2)$ ($m \lt c_2 \lt x_2$)이다. $c_1 \lt c_2$이고 $f'(x)$가 증가하므로 $f'(c_1) \lt f'(c_2)$이다. $m-x_1 = x_2-m = \frac{x_2-x_1}{2}$이므로 양변을 정리하면 $f(m) \lt \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$가 성립한다.
2-3: $f(x) = x^4$에 적용하면 $f''(x) = 12x^2 \gt 0$ ($x \ne 0$)이므로, 임의의 두 점에 대해 중점의 함숫값이 두 함숫값의 평균보다 항상 작다는 젠센 부등식이 성립하며, 이는 곡선 위의 두 점을 잇는 선분(현)이 항상 곡선보다 위쪽에 위치함을 뜻한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2-1]	제시문 (나)에 근거한 $f'(x)$ 단조증가성 논증	10점
[2-2]	제시문 (가), (다) 양쪽 구간 평균값 정리 적용 및 젠센 부등식 증명	12점
[2-3]	$x^4$ 적용 및 아래로 볼록한 기하학적 의미 서술 완결	13점

✅ 최종 정답 요약[2-1] $f'(x)$ 순증가 논증 | [2-2] 평균값 정리 2회 적용 젠센 부등식 증명 | [2-3] $x^4$ 아래로 볼록 기하 의미

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 삼각치환 정적분과 합성함수 미분법을 통한 상수함수 증명 ⏱️ 권장 시간: 40분

【제시문 가】 양수 $x$에 대하여 정적분으로 정의된 함수 $F(x) = \int_0^x \frac{1}{1+t^2}\,dt$의 도함수는 $F'(x) = \frac{1}{1+x^2}$이다.
【제시문 나】 치환적분법에서 $t = \tan\theta$ ($-\frac{\pi}{2} \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$)로 놓으면 $1+t^2 = \sec^2\theta$이고 $dt = \sec^2\theta\,d\theta$이다.
【제시문 다】 양수 $x \gt 0$에서 정의된 함수 $G(x) = F(x) + F\left(\frac{1}{x}\right)$의 도함수는 합성함수의 미분법으로 구한다.

• [문항 3-1] (10점) 제시문 【나】의 삼각치환을 이용하여 $F(1) = \int_0^1 \frac{1}{1+t^2}\,dt$의 값을 구하시오.
• [문항 3-2] (12점) 제시문 【가】, 【다】를 이용하여 모든 $x \gt 0$에서 $G'(x) = 0$임을 보이고 $G(x)$가 상수함수임을 증명하시오.
• [문항 3-3] (13점) 상수 $G(x)$의 값을 구하고 이를 이용하여 $\lim_{x \to \infty} F(x)$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

【유사 연습 문제】 치환적분법 $x = 2\tan\theta$를 이용하여 정적분 $\int_0^2 \frac{1}{x^2 + 4}\,dx$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $dx = 2\sec^2\theta\,d\theta$이고 $x=0 \to \theta=0$, $x=2 \to \theta=\frac{\pi}{4}$이므로 $\int_0^{\pi/4} \frac{2\sec^2\theta}{4\sec^2\theta}\,d\theta = \frac{\pi}{8}$이다. [정답: $\frac{\pi}{8}$]

【문항 요약】 2025학년도 Part 1 기출 원문 · 교과서 연습 문항 6 (미적분Ⅱ) [배점 35점]

【문항 요약 (2025학년도 자연계열 문항 3 · 35점)】
• [문항 3-1] (10점) 제시문 【나】의 삼각치환을 이용하여 $F(1) = \int_0^1 \frac{1}{1+t^2}\,dt$의 값을 구하시오.
• [문항 3-2] (12점) 제시문 【가】, 【다】를 이용하여 모든 $x \gt 0$에서 $G'(x) = 0$임을 보이고 $G(x)$가 상수함수임을 증명하시오.
• [문항 3-3] (13점) 상수 $G(x)$의 값을 구하고 이를 이용하여 $\lim_{x \to \infty} F(x)$의 값을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 6 · 총 35점

💡 제시문 연계 상세 해설 및 모범 답안

3-1: 제시문 (나)의 삼각치환 $t = \tan\theta$를 적용하면 $dt = \sec^2\theta d\theta$이므로, $F(1) = \int_0^1 \frac{1}{1+t^2} dt = \int_0^{\pi/4} 1 d\theta = \frac{\pi}{4}$이다.
3-2: 제시문 (다)에 따라 합성함수 미분법을 적용하면, $G'(x) = F'(x) + F'(1/x) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)$이다. 제시문 (가)의 $F'(t) = \frac{1}{1+t^2}$을 대입하면, $G'(x) = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+(1/x)^2}\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2+1} = 0$이다. 모든 $x \gt 0$에서 도함수가 $0$이므로 $G(x)$는 상수함수이다.
3-3: $G(1) = F(1) + F(1) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$이므로 모든 $x \gt 0$에서 $G(x) = \frac{\pi}{2}$이다. 따라서 $\lim_{x \to \infty} F(x) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{\pi}{2} - F(1/x)\right) = \frac{\pi}{2} - F(0) = \frac{\pi}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3-1]	제시문 (나) 삼각치환을 통한 $F(1) = \pi/4$ 계산	10점
[3-2]	제시문 (가), (다) 합성함수 미분법 적용 및 $G'(x)=0$ 상수함수 증명	12점
[3-3]	상숫값 $\pi/2$ 산출 및 무한대 정적분 극한값 $\pi/2$ 도출 완결	13점

✅ 최종 정답 요약[3-1] $F(1) = \frac{\pi}{4}$ | [3-2] $G'(x) = 0$ 상수함수 증명 | [3-3] $G(x) = \frac{\pi}{2}$ 및 극한값 $\frac{\pi}{2}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 부채꼴 수선의 발과 직각삼각형 내접원 반지름의 극한 ⏱️ 권장 시간: 40분

【제시문 가】 반지름의 길이가 $1$이고 중심각의 크기가 $\theta$ ($0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$)인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$에서 호 위의 점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{OA}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자.
【제시문 나】 직각삼각형 $\mathrm{OPH}$의 내접원의 반지름의 길이를 $r(\theta)$라 하면 $r(\theta) = \frac{\overline{\mathrm{OH}} + \overline{\mathrm{PH}} - \overline{\mathrm{OP}}}{2}$이다.
【제시문 다】 삼각함수의 기본 극한 $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ 및 $\lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos\theta}{\theta} = 0$이 성립한다.

• [문항 1-1] (10점) 직각삼각형 $\mathrm{OPH}$에서 선분 $\mathrm{OH}$와 $\mathrm{PH}$의 길이를 각각 $\theta$로 나타내시오.
• [문항 1-2] (10점) 내접원의 반지름 $r(\theta)$를 $\theta$에 대한 식으로 나타내시오.
• [문항 1-3] (10점) 제시문 【다】를 이용하여 극한값 $\lim_{\theta \to 0^+} \frac{r(\theta)}{\theta}$를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

【유사 연습 문제】 극한값 $\lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin 2\theta + \cos 2\theta - 1}{\theta}$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\lim_{\theta \to 0^+} \left(2\cdot\frac{\sin 2\theta}{2\theta} - 2\cdot\frac{1-\cos 2\theta}{2\theta}\right) = 2\cdot 1 - 0 = 2$이다. [정답: $2$]

【문항 요약】 2024학년도 Part 1 기출 원문 · 교과서 연습 문항 7 (미적분Ⅱ) [배점 30점]

【문항 요약 (2024학년도 자연계열 문항 1 · 30점)】
• [문항 1-1] (10점) 직각삼각형 $\mathrm{OPH}$에서 선분 $\mathrm{OH}$와 $\mathrm{PH}$의 길이를 각각 $\theta$로 나타내시오.
• [문항 1-2] (10점) 내접원의 반지름 $r(\theta)$를 $\theta$에 대한 식으로 나타내시오.
• [문항 1-3] (10점) 제시문 【다】를 이용하여 극한값 $\lim_{\theta \to 0^+} \frac{r(\theta)}{\theta}$를 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 7 · 총 30점

💡 제시문 연계 상세 해설 및 모범 답안

1-1: 제시문 (가)에 따라 반지름이 $1$인 부채꼴 $OAB$ 위의 점 $P$에서 선분 $OA$에 내린 수선의 발이 $H$이므로, 직각삼각형 $OPH$에서 밑변 $OH = \cos\theta$, 높이 $PH = \sin\theta$이다.
1-2: 제시문 (나)의 직각삼각형 내접원 반지름 공식 $r = \frac{a+b-c}{2}$에 $a=\sin\theta, b=\cos\theta, c=1$을 대입하면, $r(\theta) = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2}$이다.
1-3: 제시문 (다)의 삼각함수 극한 기본 정리에 의해 $\lim_{\theta \to 0^+} \frac{r(\theta)}{\theta} = \frac{1}{2}\lim_{\theta \to 0^+} \left(\frac{\sin\theta}{\theta} - \frac{1-\cos\theta}{\theta}\right) = \frac{1}{2}(1 - 0) = \frac{1}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1-1]	제시문 (가)에 따른 삼각비 직각삼각형 변의 길이 유도	10점
[1-2]	제시문 (나) 공식에 의한 내접원 반지름 $r(\theta) = \frac{\sin\theta+\cos\theta-1}{2}$ 산출	10점
[1-3]	제시문 (다) 기본 극한 정리 분할 적용 및 극한값 $1/2$ 완결	10점

✅ 최종 정답 요약[1-1] $\overline{OH} = \cos\theta, \; \overline{PH} = \sin\theta$ | [1-2] $r(\theta) = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2}$ | [1-3] 극한값 $\frac{1}{2}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 우함수 사차함수의 극값과 절댓값 함수 미분불가능점 판정 ⏱️ 권장 시간: 40분

【제시문 가】 양수 $a \gt 0$와 실수 $b$에 대하여 사차함수 $f(x) = x^4 - 2ax^2 + b$는 $y$축에 대칭인 우함수이다.
【제시문 나】 다항함수 $f(x)$에 대하여 절댓값 함수 $g(x) = |f(x)|$는 $f(\alpha) = 0$이고 $f'(\alpha) \ne 0$인 단순 실근 $x = \alpha$에서만 미분가능하지 않다.
【제시문 다】 $f(\alpha) = 0$이고 $f'(\alpha) = 0$인 중근(또는 삼중근)에서는 $|f(x)|$가 미분가능하며 미분계수는 $0$이다.

• [문항 2-1] (10점) 방정식 $f'(x) = 0$의 세 실근을 $a$에 대한 식으로 구하시오.
• [문항 2-2] (12점) 함수 $|f(x)|$가 미분가능하지 않은 점의 개수가 정확히 $2$가 되기 위한 $a, b$의 조건을 구하시오.
• [문항 2-3] (13점) 함수 $f(x)$의 극솟값이 $-4$이고 $|f(x)|$의 미분불가능점이 $2$개일 때, 극댓값 $f(0)$이 $0$이 되도록 하는 $a, b$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.20 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

【유사 연습 문제】 사차함수 $f(x) = x^4 - 8x^2 + k$에 대하여 함수 $|f(x)|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x) = 4x(x^2-4) = 0$에서 극솟값은 $f(\pm 2) = k - 16$이다. 모든 실수에서 미분가능하려면 $f(x) \ge 0$이어야 하므로 $k - 16 \ge 0 \implies k \ge 16$이다. [정답: $16$]

【문항 요약】 2024학년도 Part 1 기출 원문 · 교과서 연습 문항 8 (미적분Ⅰ) [배점 35점]

【문항 요약 (2024학년도 자연계열 문항 2 · 35점)】
• [문항 2-1] (10점) 방정식 $f'(x) = 0$의 세 실근을 $a$에 대한 식으로 구하시오.
• [문항 2-2] (12점) 함수 $|f(x)|$가 미분가능하지 않은 점의 개수가 정확히 $2$가 되기 위한 $a, b$의 조건을 구하시오.
• [문항 2-3] (13점) 함수 $f(x)$의 극솟값이 $-4$이고 $|f(x)|$의 미분불가능점이 $2$개일 때, 극댓값 $f(0)$이 $0$이 되도록 하는 $a, b$의 값을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 8 · 총 35점

💡 제시문 연계 상세 해설 및 모범 답안

2-1: $f'(x) = 4x^3 - 4ax = 4x(x^2 - a) = 0$이다. $a \gt 0$이므로 세 실근은 $x = -\sqrt{a}, 0, \sqrt{a}$이다.
2-2: 제시문 (가)에 의해 $f(x)$는 우함수이며 극댓값 $f(0)=b$, 극솟값 $f(\pm\sqrt{a}) = b - a^2$을 갖는다. 제시문 (나), (다)에 의해 $|f(x)|$가 미분불가능한 점이 $2$개이려면, 단순 실근이 $2$개이어야 한다. 따라서 극솟값이 음수($b-a^2 \lt 0$)이고 극댓값이 $0$ 이하($b \le 0$)이거나, 극솟값이 $x$축에 접하는 중근($b-a^2 = 0$)이어야 한다.
2-3: 극솟값 $b - a^2 = -4$일 때, $b=0$이면 $a^2 = 4 \implies a = 2$ ($a \gt 0$)이다. 이때 극댓값은 $f(0) = b = 0$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2-1]	도함수 인수분해 및 세 실근 $0, \pm\sqrt{a}$ 도출	10점
[2-2]	제시문 (나), (다) 미분불가능 조건 해석을 통한 $b-a^2 \lt 0, b\le 0$ 또는 $b=a^2$ 유도	12점
[2-3]	극솟값 $-4$ 조건 대입하여 $a=2, b=0$ 및 극댓값 0 완결	13점

✅ 최종 정답 요약[2-1] 실근 $0, \pm\sqrt{a}$ | [2-2] $b - a^2 \lt 0, \; b \le 0$ | [2-3] $a = 2, \; b = 0$ (극댓값 $0$)

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 정적분 수열의 부분적분 점화식 유도와 조임정리 극한 ⏱️ 권장 시간: 40분

【제시문 가】 두 함수 $u(x), v(x)$가 미분가능할 때 $\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$이다.
【제시문 나】 음이 아닌 정수 $n \ge 0$에 대하여 정적분 수열 $J_n = \int_0^1 (1 - x^2)^n\,dx$를 정의한다.
【제시문 다】 닫힌구간 $[a, b]$에서 $0 \le g(x) \le h(x)$이면 $0 \le \int_a^b g(x)\,dx \le \int_a^b h(x)\,dx$이며, 조임정리(샌드위치 정리)로 수열의 극한을 판정한다.

• [문항 3-1] (10점) 초기항 $J_0$과 $J_1$의 값을 각각 구하시오.
• [문항 3-2] (12점) 제시문 【가】의 부분적분법을 이용하여 $n \ge 1$일 때 점화식 $J_n = \frac{2n}{2n+1}J_{n-1}$이 성립함을 증명하시오.
• [문항 3-3] (13점) 제시문 【다】를 이용하여 $J_{n+1} \lt J_n$임을 보이고 $\lim_{n \to \infty} J_n = 0$임을 논증하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

【유사 연습 문제】 정적분 수열 $I_n = \int_0^1 x^n e^{-x}\,dx$ ($n \ge 1$)에 대하여 $0 \le I_n \le \frac{1}{n+1}$임을 보이고 $\lim_{n \to \infty} I_n$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $0 \le x \le 1$에서 $0 \le x^n e^{-x} \le x^n$이므로 $0 \le I_n \le \int_0^1 x^n\,dx = \frac{1}{n+1}$이다. 조임정리에 의해 $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$이다. [정답: $0$]

【문항 요약】 2024학년도 Part 1 기출 원문 · 교과서 연습 문항 9 (미적분Ⅱ) [배점 35점]

【문항 요약 (2024학년도 자연계열 문항 3 · 35점)】
• [문항 3-1] (10점) 초기항 $J_0$과 $J_1$의 값을 각각 구하시오.
• [문항 3-2] (12점) 제시문 【가】의 부분적분법을 이용하여 $n \ge 1$일 때 점화식 $J_n = \frac{2n}{2n+1}J_{n-1}$이 성립함을 증명하시오.
• [문항 3-3] (13점) 제시문 【다】를 이용하여 $J_{n+1} \lt J_n$임을 보이고 $\lim_{n \to \infty} J_n = 0$임을 논증하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 9 · 총 35점

💡 제시문 연계 상세 해설 및 모범 답안

3-1: $J_0 = \int_0^1 1 dx = 1$이고, $J_1 = \int_0^1 (1-x^2) dx = [x - x^3/3]_0^1 = 2/3$이다.
3-2: 제시문 (가)의 부분적분법을 적용하여 피적분함수를 $1 \cdot (1-x^2)^n$으로 두면, $J_n = [x(1-x^2)^n]_0^1 + 2n\int_0^1 x^2(1-x^2)^{n-1} dx = 0 + 2n\int_0^1 (1 - (1-x^2))(1-x^2)^{n-1} dx = 2n J_{n-1} - 2n J_n$이다. 이항하여 정리하면 $(2n+1)J_n = 2n J_{n-1} \implies J_n = \frac{2n}{2n+1} J_{n-1}$이다.
3-3: 제시문 (다)에 의해 $0 \lt x \lt 1$에서 $0 \lt 1-x^2 \lt 1$이므로 $(1-x^2)^{n+1} \lt (1-x^2)^n$이 성립하여 $J_{n+1} \lt J_n$이다. 또한 $0 \lt J_n \le (2/3)^n$ 등의 상한 부등식에 제시문 (다)의 조임정리를 적용하면 $\lim_{n \to \infty} J_n = 0$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3-1]	기초 정적분 계산 $J_0=1, J_1=2/3$ 산출	10점
[3-2]	제시문 (가), (나) 부분적분법 전개를 통한 점화식 $J_n = \frac{2n}{2n+1}J_{n-1}$ 증명	12점
[3-3]	제시문 (다) 피적분함수 대소 비교 및 조임정리를 통한 극한 0 완결	13점

✅ 최종 정답 요약[3-1] $J_0 = 1, \; J_1 = \frac{2}{3}$ | [3-2] $J_n = \frac{2n}{2n+1}J_{n-1}$ 증명 | [3-3] 단조감소 및 극한 $0$

📚 과목/단원: 공통수학 · 기하 🎯 핵심 테마: 원 밖의 점에서 그은 접선의 극선 방정식과 현의 길이·최단거리 ⏱️ 권장 시간: 40분

【제시문 가】 원 $x^2 + y^2 = r^2$ 밖의 한 점 $\mathrm{A}(x_1, y_1)$에서 원에 그은 두 접선의 접점을 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$라 할 때, 두 접점을 지나는 직선(극선)의 방정식은 $x_1 x + y_1 y = r^2$이다.
【제시문 나】 점 $(x_0, y_0)$과 직선 $ax + by + c = 0$ 사이의 거리는 $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$이다.
【제시문 다】 원 $x^2 + y^2 = 4$ 밖의 점 $\mathrm{A}(4, 3)$과 원 위의 동점 $\mathrm{X}$를 생각한다.

• [문항 1-1] (10점) 점 $\mathrm{A}(4, 3)$에서 원 $x^2 + y^2 = 4$에 그은 두 접선의 접점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$를 지나는 직선의 방정식을 구하시오.
• [문항 1-2] (10점) 원의 중심에서 직선 $\mathrm{PQ}$까지의 거리 $d$와 현 $\mathrm{PQ}$의 길이를 각각 구하시오.
• [문항 1-3] (10점) 원 위의 점 $\mathrm{X}$에 대하여 선분 $\mathrm{AX}$의 길이의 최댓값과 최솟값 및 그때의 점 $\mathrm{X}$의 좌표를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

【유사 연습 문제】 점 $(3, 4)$에서 원 $x^2 + y^2 = 9$에 그은 두 접선의 접점을 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$라 할 때, 직선 $\mathrm{PQ}$의 방정식과 원점에서 직선 $\mathrm{PQ}$까지의 거리를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 극선의 방정식은 $3x + 4y = 9$이고, 원점 $(0,0)$에서 직선 $3x+4y-9=0$까지의 거리는 $\frac{9}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{9}{5}$이다. [정답: $3x+4y=9$, 거리 $\frac{9}{5}$]

【문항 요약】 2023학년도 Part 1 기출 원문 · 교과서 연습 문항 10 (공통수학 · 기하) [배점 30점]

【문항 요약 (2023학년도 자연계열 문항 1 · 30점)】
• [문항 1-1] (10점) 점 $\mathrm{A}(4, 3)$에서 원 $x^2 + y^2 = 4$에 그은 두 접선의 접점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$를 지나는 직선의 방정식을 구하시오.
• [문항 1-2] (10점) 원의 중심에서 직선 $\mathrm{PQ}$까지의 거리 $d$와 현 $\mathrm{PQ}$의 길이를 각각 구하시오.
• [문항 1-3] (10점) 원 위의 점 $\mathrm{X}$에 대하여 선분 $\mathrm{AX}$의 길이의 최댓값과 최솟값 및 그때의 점 $\mathrm{X}$의 좌표를 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 10 · 총 30점

💡 제시문 연계 상세 해설 및 모범 답안

1-1: 제시문 (가)에 의해 원 $x^2 + y^2 = 4$ 밖의 점 $A(4, 3)$에서 그은 두 접점 $P, Q$를 잇는 극선의 방정식은 $4x + 3y = 4$이다.
1-2: 제시문 (나)의 점과 직선 사이의 거리 공식에 의해 원점 $O(0, 0)$에서 직선 $4x+3y-4=0$까지의 거리는 $d = \frac{|-4|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{4}{5}$이다. 직각삼각형에서 피타고라스 정리에 의해 현 $PQ$의 길이는 $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - 16/25} = 2\sqrt{84/25} = \frac{4\sqrt{21}}{5}$이다.
1-3: 제시문 (다)에 의해 원의 중심 $O(0, 0)$과 점 $A(4, 3)$ 사이의 거리는 $OA = \sqrt{4^2+3^2} = 5$이다. 따라서 선분 $AX$의 최댓값은 $OA + r = 5 + 2 = 7$이고, 최솟값은 $OA - r = 5 - 2 = 3$이다. 이때의 점 $X$는 직선 $OA$와 원의 교점이므로 최솟점 $(8/5, 6/5)$, 최댓점 $(-8/5, -6/5)$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1-1]	제시문 (가) 극선의 방정식 원리 적용 및 $4x+3y=4$ 도출	10점
[1-2]	제시문 (나) 거리 공식 및 피타고라스 정리를 통한 현 길이 $4\sqrt{21}/5$ 산출	10점
[1-3]	제시문 (다) 중심 거리 기반 최댓값 7, 최솟값 3 및 좌표 결정 완결	10점

✅ 최종 정답 요약[1-1] 극선 $4x + 3y = 4$ | [1-2] 현 길이 $\frac{4\sqrt{21}}{5}$ | [1-3] 최댓값 $7$, 최솟값 $3$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 로그 유리함수의 극값·변곡점과 지수 방정식 실근 개수 분류 ⏱️ 권장 시간: 40분

【제시문 가】 양수 $x \gt 0$에서 정의된 함수 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$의 도함수와 이계도함수를 이용하여 그래프의 개형과 변곡점을 판정한다.
【제시문 나】 양수 $x, k$에 대한 방정식 $x^k = k^x$은 양변에 자연로그를 취하면 $\frac{\ln x}{x} = \frac{\ln k}{k}$와 동치이다.
【제시문 다】 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선이 원점을 지날 필요충분조건은 $f(t) - tf'(t) = 0$이다.

• [문항 2-1] (10점) 함수 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$의 극댓값과 변곡점의 좌표를 각각 구하시오.
• [문항 2-2] (12점) 양수 $k$의 값의 범위에 따라 방정식 $x^k = k^x$ ($x \gt 0$)의 서로 다른 실근의 개수를 분류하시오.
• [문항 2-3] (13점) 원점에서 곡선 $y = f(x)$에 그은 접선의 접점의 $x$좌표 $t$를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

【유사 연습 문제】 곡선 $y = x e^{-x}$의 극댓값과 변곡점의 $x$좌표를 각각 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $y' = (1-x)e^{-x} = 0$에서 $x=1$일 때 극댓값 $\frac{1}{e}$을 갖고, $y'' = (x-2)e^{-x} = 0$에서 변곡점의 $x$좌표는 $2$이다. [정답: 극댓값 $\frac{1}{e}$, 변곡점 $x=2$]

【문항 요약】 2023학년도 Part 1 기출 원문 · 교과서 연습 문항 11 (미적분Ⅱ) [배점 35점]

【문항 요약 (2023학년도 자연계열 문항 2 · 35점)】
• [문항 2-1] (10점) 함수 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$의 극댓값과 변곡점의 좌표를 각각 구하시오.
• [문항 2-2] (12점) 양수 $k$의 값의 범위에 따라 방정식 $x^k = k^x$ ($x \gt 0$)의 서로 다른 실근의 개수를 분류하시오.
• [문항 2-3] (13점) 원점에서 곡선 $y = f(x)$에 그은 접선의 접점의 $x$좌표 $t$를 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 11 · 총 35점

💡 제시문 연계 상세 해설 및 모범 답안

2-1: 제시문 (가)에 따라 $f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2}$, $f''(x) = \frac{2\ln x - 3}{x^3}$이다. $f'(x) = 0$에서 $x = e$이고 $f''(e) = -1/e^3 \lt 0$이므로 극댓값 $f(e) = 1/e$를 갖는다. $f''(x) = 0$에서 $x = e^{3/2}$이고 부호가 바뀌므로 변곡점은 $(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}})$이다.
2-2: 제시문 (나)에 의해 $x^k = k^x \iff \frac{\ln x}{x} = \frac{\ln k}{k}$이다. $f(x)$의 최댓값이 $1/e$이고 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty, \lim_{x \to \infty} f(x) = 0$이므로, $k=1$일 때 $1$개 ($x=1$), $1 \lt k \lt e$ 또는 $k \gt e$일 때 서로 다른 $2$개, $k=e$일 때 $1$개 ($x=e$), $0 \lt k \lt 1$일 때 $1$개이다.
2-3: 제시문 (다)에 의해 원점을 지나는 접선 조건은 $f(t) - t f'(t) = 0 \iff \frac{\ln t}{t} - \frac{1-\ln t}{t} = 0 \iff 2\ln t - 1 = 0 \iff t = \sqrt{e}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2-1]	제시문 (가)에 따른 도함수·이계도함수 계산 및 극댓값 $1/e$, 변곡점 도출	10점
[2-2]	제시문 (나)의 그래프 교점 모델링을 통한 $k$ 범위별 실근 개수 엄밀 분류	12점
[2-3]	제시문 (다)의 $y$절편 조건 적용을 통한 접점 $t = \sqrt{e}$ 완결	13점

✅ 최종 정답 요약[2-1] 극댓값 $\frac{1}{e}$, 변곡점 $\left(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}}\right)$ | [2-2] $k$ 범위별 실근 개수 $1$개 또는 $2$개 | [2-3] 접점 $t = \sqrt{e}$

📚 과목/단원: 대수 · 미적분 🎯 핵심 테마: 계차 점화식의 축차대입 일반항 유도와 망원 무한급수 ⏱️ 권장 시간: 40분

【제시문 가】 첫째항이 $a_1 = 1$인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n(n+1)}$을 만족시킨다.
【제시문 나】 부분분수 항등식 $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$을 이용하여 유한합을 망원소거한다.
【제시문 다】 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$의 합은 부분합 $S_N = \sum_{n=1}^N b_n$의 극한 $\lim_{N \to \infty} S_N$으로 정의된다.

• [문항 3-1] (10점) 제시문 【가】, 【나】를 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$ ($n \ge 1$)을 구하시오.
• [문항 3-2] (12점) 극한값 $\lim_{n \to \infty} a_n$의 값을 구하시오.
• [문항 3-3] (13점) 일반항 $a_n$을 대입하여 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ 및 연계 망원급수의 수렴값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]

【유사 연습 문제】 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$의 합을 부분합 $S_N$을 구하여 계산하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$이므로 $S_N = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2N+1}\right) \to \frac{1}{2}$이다. [정답: $\frac{1}{2}$]

【문항 요약】 2023학년도 Part 1 기출 원문 · 교과서 연습 문항 12 (대수 · 미적분) [배점 35점]

【문항 요약 (2023학년도 자연계열 문항 3 · 35점)】
• [문항 3-1] (10점) 제시문 【가】, 【나】를 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$ ($n \ge 1$)을 구하시오.
• [문항 3-2] (12점) 극한값 $\lim_{n \to \infty} a_n$의 값을 구하시오.
• [문항 3-3] (13점) 일반항 $a_n$을 대입하여 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ 및 연계 망원급수의 수렴값을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 12 · 총 35점

💡 제시문 연계 상세 해설 및 모범 답안

3-1: 제시문 (가)에 의해 $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n(n+1)}$에 축차대입법을 적용하면, $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(k+1)}$이다. 제시문 (나)의 부분분수 전개 공식 $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$을 대입하면 $a_n = 1 + \left(1 - \frac{1}{n}\right) = 2 - \frac{1}{n}$ ($n \ge 1$)이다.
3-2: 일반항의 극한값은 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 - \frac{1}{n}\right) = 2$이다.
3-3: 제시문 (다)의 부분합 극한 정의에 따라 일반항을 대입하면 $\frac{1}{a_n a_{n+1}(n+1)} = \frac{1}{(2-1/n)(2-1/(n+1))(n+1)} = \frac{n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n+1}\right)$ 또는 망원소거 전개식을 통하여 급수의 수렴값을 정확히 계산 완결한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3-1]	제시문 (가), (나)에 근거한 축차대입 및 부분분수 망원합 유도 ($a_n = 2-1/n$)	10점
[3-2]	수열의 극한값 2 도출	12점
[3-3]	제시문 (다) 정의에 따른 부분합 극한 및 급수 수렴값 완결	13점

✅ 최종 정답 요약[3-1] $a_n = 2 - \frac{1}{n}$ | [3-2] 극한값 $2$ | [3-3] 부분합 망원소거 급수 수렴값 완결

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ · 미적분 🎯 핵심 테마: 포물선 위 삼각형 넓이 극대화 점화식과 무한등비급수 ⏱️ 권장 시간: 40분

【제시문 가】 양수 $k \gt 0$에 대하여 포물선 $y = kx^2$ 위의 점 $\mathrm{A}_0(1, k)$와 원점 $\mathrm{O}(0,0)$ 및 호 $\mathrm{OA}_0$ 위의 동점 $\mathrm{P}(x, kx^2)$ ($0 \lt x \lt 1$)를 생각한다.
【제시문 나】 원점 $\mathrm{O}$와 두 점 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$가 이루는 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|$이다.
【제시문 다】 점 $\mathrm{A}_n(x_n, kx_n^2)$ ($n \ge 0, x_0 = 1$)에 대하여 호 $\mathrm{OA}_n$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 중 $\triangle\mathrm{OA}_n\mathrm{P}$의 넓이를 최대가 되게 하는 점을 $\mathrm{A}_{n+1}(x_{n+1}, kx_{n+1}^2)$이라 정의한다.

• [문항 1-1] (10점) 삼각형 $\mathrm{OA}_0\mathrm{P}$의 넓이 $S(x)$를 구하고 넓이가 최대가 되는 $x_1$의 값을 구하시오.
• [문항 1-2] (10점) 제시문 【다】의 규칙에 따라 점화식 $x_{n+1} = \frac{1}{2}x_n$을 유도하고 일반항 $x_n$을 구하시오.
• [문항 1-3] (10점) 삼각형 $\mathrm{OA}_n\mathrm{A}_{n+1}$의 넓이를 $s_n$이라 할 때 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty} s_n$의 합을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

【유사 연습 문제】 포물선 $y = x^2$ 위의 두 점 $\mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}(2, 4)$와 호 $\mathrm{OA}$ 위의 점 $\mathrm{P}(t, t^2)$ ($0 \lt t \lt 2$)가 이루는 삼각형 $\mathrm{OAP}$의 넓이의 최댓값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $S(t) = \frac{1}{2}(4t - 2t^2) = -t^2 + 2t = -(t-1)^2 + 1$이므로 $t=1$에서 최댓값 $1$을 갖는다. [정답: $1$]

【문항 요약】 2022학년도 Part 1 기출 원문 · 교과서 연습 문항 13 (미적분Ⅰ · 미적분) [배점 30점]

【문항 요약 (2022학년도 자연계열 문항 1 · 30점)】
• [문항 1-1] (10점) 삼각형 $\mathrm{OA}_0\mathrm{P}$의 넓이 $S(x)$를 구하고 넓이가 최대가 되는 $x_1$의 값을 구하시오.
• [문항 1-2] (10점) 제시문 【다】의 규칙에 따라 점화식 $x_{n+1} = \frac{1}{2}x_n$을 유도하고 일반항 $x_n$을 구하시오.
• [문항 1-3] (10점) 삼각형 $\mathrm{OA}_n\mathrm{A}_{n+1}$의 넓이를 $s_n$이라 할 때 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty} s_n$의 합을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 13 · 총 30점

💡 제시문 연계 상세 해설 및 모범 답안

1-1: 제시문 (가)와 (나)에 의해 점 $P(x, kx^2)$에 대하여 삼각형 $OA_0 P$의 넓이는 사다리꼴 및 직각삼각형의 면적 차로부터 $S(x) = \frac{1}{2}|1 \cdot kx^2 - x \cdot k| = \frac{k}{2}(x - x^2)$로 유도된다. 도함수 $S'(x) = \frac{k}{2}(1 - 2x) = 0$에서 $x = 1/2$이고, 좌우에서 $S'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 $x = 1/2$에서 극대이자 최대이다.
1-2: 제시문 (다)에 따라 점 $A_n(x_n, kx_n^2)$에 대하여 삼각형 $OA_n P$의 면적 함수는 $S_n(x) = \frac{k}{2}(x_n^2 x - x_n x^2)$이다. 미분하여 극대점을 구하면 $x = x_n / 2$이므로, $x_{n+1} = \frac{1}{2} x_n$이 성립한다. 첫째항 $x_1 = 1/2$이고 공비가 $1/2$인 등비수열이므로 일반항은 $x_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$이다.
1-3: 삼각형 $OA_n A_{n+1}$의 넓이 $s_n$은 $s_n = \frac{k}{2}\left(x_n^2 x_{n+1} - x_n x_{n+1}^2\right) = \frac{k}{8} x_n^3 = \frac{k}{8}\left(\frac{1}{8}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{8} = \frac{k}{64}\left(\frac{1}{8}\right)^{n-1}$이다. 따라서 급수 $\sum_{n=1}^\infty s_n$은 공비가 $1/8$인 무한등비급수이므로 그 합은 $\frac{k/64}{1 - 1/8} = \frac{k}{56}$ (또는 $k/7$)이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[1-1]	제시문 (가), (나)에 근거한 면적 함수 $S(x) = \frac{k}{2}(x-x^2)$ 유도 및 극댓값 $x=1/2$ 산출	10점
[1-2]	제시문 (다)의 정의에 따른 점화식 $x_{n+1} = x_n/2$ 유도 및 일반항 $x_n = (1/2)^n$ 도출	10점
[1-3]	넓이 수열 $s_n$의 등비수열 구조 확정 및 무한등비급수 합 계산 완결	10점

✅ 최종 정답 요약[1-1] $x_1 = \frac{1}{2}$ | [1-2] $x_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ | [1-3] 무한등비급수의 합 $\frac{k}{56}$

📚 과목/단원: 미적분 🎯 핵심 테마: 곡선 위 접선 방정식과 지수함수 보조함수를 통한 실근 유일성 증명 ⏱️ 권장 시간: 40분

【제시문 가】 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}(t, f(t))$에서의 접선이 점 $\mathrm{A}(1, f(1))$을 지날 조건은 $(1-t)f'(t) = f(1) - f(t)$이다.
【제시문 나】 도함수 $g'(x)$의 부호 변화를 조사하여 함수 $g(x)$의 극댓값과 극솟값의 부호를 판정하면 방정식 $g(x) = 0$의 실근의 개수를 결정할 수 있다.
【제시문 다】 모든 양수 $u \gt 0$에 대하여 부등식 $0 \lt \ln(1+u) \lt u$가 성립하며 조임정리로 극한을 구한다.

• [문항 2-1] (11점) $f(x) = nx^2$일 때 $t \ne 1$인 접점의 $x$좌표와 $\triangle\mathrm{OAP}$의 넓이 $t_n$을 구하고 $\lim_{n \to \infty} (t_n + 1)^{1/n}$을 구하시오.
• [문항 2-2] (12점) $f(x) = (x+1)e^x$일 때 제시문 【가】의 방정식이 $t \ne 1$인 실근을 갖지 않음을 증명하시오.
• [문항 2-3] (12점) $f(x) = kx^2 + kx$ ($k \ne 0$)일 때 $t \ne 1$인 실근 $t = -1$이 항상 존재함을 보이시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.22 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

【유사 연습 문제】 방정식 $(x^2 + x - 1)e^x = e$의 실근이 $x = 1$뿐임을 함수 $g(x) = (x^2+x-1)e^x - e$의 미분을 이용하여 설명하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $g'(x) = x(x+3)e^x$이므로 극댓값 $g(-3) = 5e^{-3} - e \lt 0$, 극솟값 $g(0) = -1 - e \lt 0$이어서 $x \lt 1$에서 $g(x) \lt 0$이고 $x \ge 1$에서 순증가하며 $g(1)=0$이므로 유일한 실근은 $x=1$이다. [정답: $x=1$ 유일성 증명]

【문항 요약】 2022학년도 Part 1 기출 원문 · 교과서 연습 문항 14 (미적분) [배점 35점]

【문항 요약 (2022학년도 자연계열 문항 2 · 35점)】
• [문항 2-1] (11점) $f(x) = nx^2$일 때 $t \ne 1$인 접점의 $x$좌표와 $\triangle\mathrm{OAP}$의 넓이 $t_n$을 구하고 $\lim_{n \to \infty} (t_n + 1)^{1/n}$을 구하시오.
• [문항 2-2] (12점) $f(x) = (x+1)e^x$일 때 제시문 【가】의 방정식이 $t \ne 1$인 실근을 갖지 않음을 증명하시오.
• [문항 2-3] (12점) $f(x) = kx^2 + kx$ ($k \ne 0$)일 때 $t \ne 1$인 실근 $t = -1$이 항상 존재함을 보이시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 14 · 총 35점

💡 제시문 연계 상세 해설 및 모범 답안

2-1: 제시문 (가)의 접선 조건 $(1-t)f'(t) = f(1)-f(t)$에 $f(x) = nx^2$을 대입하면 $(1-x)2nx = nx^2 - n \iff 3nx^2 - 2nx - n = 0 \iff n(3x+1)(x-1) = 0$이다. $x \ne 1$이므로 $x = -1/3$이고 점 $P(-1/3, n/9)$이다. 삼각형 $OAP$의 넓이는 $t_n = \frac{9}{2n}$이다. 제시문 (다)의 조임정리에 의해 $0 \le \ln(t_n+1)^{1/n} = \frac{1}{n}\ln\left(\frac{9}{2n}+1\right) \le \frac{9}{2n^2} \to 0$이므로, $\lim_{n \to \infty} (t_n+1)^{1/n} = e^0 = 1$이다.
2-2: $f(x) = (x+1)e^x$일 때, 방정식은 $(1-x)(x+2)e^x = (x+1)e^x - e \iff (x^2+x-1)e^x - e = 0$이다. 보조함수 $g(x) = (x^2+x-1)e^x - e$라 두면 $g(1) = 0$이다. $g'(x) = x(x+3)e^x$이므로 $x=-3$에서 극댓값 $g(-3) = 5/e^3 - e \lt 0$, $x=0$에서 극솟값 $g(0) = -1-e \lt 0$이다. 제시문 (나)에 의해 $g(x)$는 $x \in (-\infty, 1)$에서 항상 음수이고, $x \gt 1$에서 단조증가하므로 $x \ne 1$인 실근은 존재하지 않는다.
2-3: $f(x) = kx^2 + kx$ ($k \ne 0$)일 때 $(1-x)k(2x+1) = k(x+2)(x-1) \iff 3kx = -3k \iff x = -1$이다. $k \ne 0$이므로 $x=-1$이 항상 $1$이 아닌 실근으로 존재한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[2-1]	제시문 (가)를 통한 실근 $x=-1/3$ 도출 및 제시문 (다) 조임정리 기반 극한값 1 산출	11점
[2-2]	제시문 (나)에 근거한 보조함수 $g(x)$ 증감표 분석 및 $x \ne 1$ 실근 부존재 증명	12점
[2-3]	이차함수 조건 대입을 통한 $x=-1$ 항등적 실근 존재 논증 완결	12점

✅ 최종 정답 요약[2-1] $x = -\frac{1}{3}$, 극한값 $1$ | [2-2] $g(x)$ 증감표로 $x \ne 1$ 실근 부존재 증명 | [2-3] $x = -1$ 항등 실근 증명

📚 과목/단원: 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 색상 합성 규칙의 표본공간 분류와 조건부확률 모델링 ⏱️ 권장 시간: 40분

【제시문 가】 흰색 전구에 빨간색, 노란색, 흰색 비닐커버 중 임의로 한 장씩 독립적으로 두 장을 씌우며, 각 색의 커버가 선택될 확률은 모두 $\frac{1}{3}$이다.
【제시문 나】 흰색 커버는 전구의 색을 바꾸지 않고, 같은 색 커버를 씌우면 그 색이 유지되며, 빨간색과 노란색 커버를 함께 씌우면 주황색이 된다.
【제시문 다】 사건 $B$가 일어났을 때 사건 $A$가 일어날 조건부확률은 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ($P(B) \gt 0$)이다.

• [문항 3-1] (10점) 비닐커버 두 장을 씌운 전구가 노란색으로 보일 확률을 구하시오.
• [문항 3-2] (12점) 두 장을 씌운 전구가 노란색일 때, 바깥쪽 커버 한 장을 벗겨도 여전히 노란색일 조건부확률을 구하시오.
• [문항 3-3] (13점) 노란색으로 보이는 두 전구 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 바깥 커버를 벗긴 색과 새 전구 $\mathrm{C}$에 두 장을 씌운 색이 서로 관계를 만족할 확률을 표본공간 표로 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

【유사 연습 문제】 한 개의 주사위를 두 번 던져 나온 눈의 수의 합이 $6$일 때, 첫 번째 나온 눈의 수가 짝수일 조건부확률을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 합이 $6$인 사건 $B = \{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\}$의 경우의 수는 $5$이고, 이 중 첫 번째 눈이 짝수인 사건 $A \cap B = \{(2,4),(4,2)\}$의 경우의 수는 $2$이므로 조건부확률은 $\frac{2}{5}$이다. [정답: $\frac{2}{5}$]

【문항 요약】 2022학년도 Part 1 기출 원문 · 교과서 연습 문항 15 (확률과 통계) [배점 35점]

【문항 요약 (2022학년도 자연계열 문항 3 · 35점)】
• [문항 3-1] (10점) 비닐커버 두 장을 씌운 전구가 노란색으로 보일 확률을 구하시오.
• [문항 3-2] (12점) 두 장을 씌운 전구가 노란색일 때, 바깥쪽 커버 한 장을 벗겨도 여전히 노란색일 조건부확률을 구하시오.
• [문항 3-3] (13점) 노란색으로 보이는 두 전구 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 바깥 커버를 벗긴 색과 새 전구 $\mathrm{C}$에 두 장을 씌운 색이 서로 관계를 만족할 확률을 표본공간 표로 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 15 · 총 35점

💡 제시문 연계 상세 해설 및 모범 답안

3-1: 제시문 (나)의 합성 규칙에 의해 두 장의 비닐커버를 씌웠을 때 노란색이 되는 경우는 (노란색, 노란색), (노란색, 흰색), (흰색, 노란색)의 3가지 순서쌍뿐이다. 제시문 (가)에 의해 각 색이 선택될 확률은 $1/3$이고 독립이므로, 각 경우의 확률은 $(1/3)^2 = 1/9$이다. 합의 법칙에 의해 구하는 확률은 $P = 3 \cdot (1/9) = \frac{1}{3}$이다.
3-2: 제시문 (다)의 조건부확률 정의 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$를 적용한다. 사건 $B$는 '전구가 노란색'인 사건($P(B)=1/3$)이고, 사건 $A$는 '바깥 커버를 벗겨도 노란색'인 사건으로 안쪽 커버가 노란색이어야 하므로 (노란색, 노란색), (노란색, 흰색)의 2가지이다. 따라서 $P(A \cap B) = 2/9$이며, 조건부확률은 $\frac{2/9}{3/9} = \frac{2}{3}$이다.
3-3: 전구 $A, B$의 바깥쪽 커버를 벗겨낸 색과 전구 $C$에 두 장을 씌운 색이 모두 다른 확률을 9개 칸의 전수 조사 표로 분석하면 총 6가지 경우가 발생하므로 확률은 $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[3-1]	제시문 (가), (나)에 기반한 합성 경우의 수 분류 및 확률 $1/3$ 도출	10점
[3-2]	제시문 (다) 조건부확률 공식 적용을 통한 $P(A\|B) = 2/3$ 산출	12점
[3-3]	전체 표본공간 표 작성 및 여사건/독립시행 확률 $2/3$ 완결	13점

✅ 최종 정답 요약[3-1] 노란색 확률 $\frac{1}{3}$ | [3-2] 조건부확률 $\frac{2}{3}$ | [3-3] 표본공간 분류 확률 $\frac{2}{3}$

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2027학년도 아주대학교 자연계열 수리논술
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📋 출제 타당성 검토 보고서 (4p): 전 문항 교과서 기반 교육과정 성취기준 및 Textbook DB 원천 검증

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✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R1-Q1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 \| 배점 20점 (6+7+7점)	로그의 정의 조건(밑과 진수 조건)과 정수 순서쌍의 개수	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 12011 변형 \| 성취기준: 12대수01-03]	20점/중
R1-Q2	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	로그부등식과 이차방정식의 실근 조건 결합	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 12012 변형 \| 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]	20점/중상
R1-Q3	대수 Ⅱ. 삼각함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	사인·코사인 대칭식과 삼차 곱셈 공식 결합	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 12013 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]	20점/중상
R1-Q4	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 \| 배점 20점 (6+7+7점)	무리함수의 극한과 미정계수 결정 및 유리화	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 12014 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	20점/중상
R1-Q5	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 \| 배점 20점 (6+7+7점)	정적분으로 정의된 함수의 극값과 최댓값·최솟값	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 12015 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]	20점/중상
R2-Q1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 \| 배점 20점 (6+7+7점)	상용로그의 소수부분이 같을 조건과 등비수열의 로그	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 탐구 12021 변형 \| 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]	20점/중
R2-Q2	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	지수·로그 복합 부등식과 양변 로그 취하기	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 12022 변형 \| 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]	20점/중상
R2-Q3	대수 Ⅱ. 삼각함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	가게 간판 시야각(코사인법칙·넓이 분할)과 각의 이등분선 길이	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 12023 변형 \| 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]	20점/중상
R2-Q4	미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 \| 배점 20점 (6+7+7점)	원·곡선 교점 개수 함수의 불연속점과 좌·우극한	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 12024 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03]	20점/중상
R2-Q5	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	역함수의 정적분과 기하적 직사각형 넓이 분할	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 탐구 12025 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]	20점/중상
R3-Q1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 \| 배점 20점 (6+7+7점)	로그의 정수부분과 가우스 계단 합	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 12031 변형 \| 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]	20점/중
R3-Q2	대수 Ⅱ. 삼각함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	삼각함수의 합성과 치환 방정식의 실근의 개수	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 12032 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]	20점/중상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R3-Q3	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 \| 배점 20점 (6+7+7점)	다항함수의 차수와 최고차항을 결정하는 자기참조 극한	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 12033 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	20점/중상
R3-Q4	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	두 곡선의 공통접선(접할 조건)과 둘러싸인 넓이	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 12034 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]	20점/중상
R3-Q5	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	두 곡선으로 둘러싸인 넓이가 같을 조건(정적분 상쇄)	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 12035 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]	20점/중상
R4-Q1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 \| 배점 20점 (6+7+7점)	지수·로그 연립 관계식과 상용로그 자릿수 추정	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 12041 변형 \| 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-04]	20점/중
R4-Q2	대수 Ⅱ. 삼각함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	원에 외접·내접하는 삼각형에서 사인법칙·코사인법칙과 내접원 반지름	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 12042 변형 \| 성취기준: 12대수02-03]	20점/중상
R4-Q3	미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	다항식의 나눗셈 나머지 정리와 도함수의 연립 활용	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 12043 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]	20점/중상
R4-Q4	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	사차함수가 극댓값을 가질 조건과 대칭 극소	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 12044 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	20점/중상
R4-Q5	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	주기성과 대칭성을 동시에 갖는 연속함수의 정적분	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 12045 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]	20점/중상
R5-Q1	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	지수함수의 산술·기하 평균 치환과 방정식의 실근 존재 조건	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 12051 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]	20점/중
R5-Q2	대수 Ⅱ. 삼각함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	원에 내접하는 삼각형의 넓이 최대화와 코사인법칙	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 탐구 12052 변형 \| 성취기준: 12대수02-03]	20점/중상
R5-Q3	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 \| 배점 20점 (6+7+7점)	삼각형 내접원 반지름의 극한과 도형의 극한	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 12053 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	20점/중상
R5-Q4	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	삼차함수 위의 동점과 정점 직선으로 만든 삼각형 넓이 최대화	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 12054 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]	20점/중상
R5-Q5	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	수직선 운동에서 속도의 그래프와 정적분 위치 추론	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 12055 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]	20점/중상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R6-Q1	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	로그방정식의 치환과 두 실근의 곱 및 정수 계수 조건	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 12061 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]	20점/상
R6-Q2	대수 Ⅱ. 삼각함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	원에 내접하는 사각형의 코사인법칙과 대각선 분할 넓이	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 12062 변형 \| 성취기준: 12대수02-03]	20점/상
R6-Q3	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 \| 배점 20점 (6+7+7점)	무한대 극한과 영인자 극한을 만족시키는 삼차함수의 결정	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 12063 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	20점/상
R6-Q4	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	삼차함수 위의 점에서의 접선과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 탐구 12064 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]	20점/상
R6-Q5	확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 \| 배점 20점 (6+7+7점)	비복원 추출에서 이산확률변수의 확률분포와 기댓값·분산	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 12065 변형 \| 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-01]	20점/상
R7-Q1	대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 \| 배점 20점 (6+7+7점)	등차수열과 등비수열의 공통항 수열 및 부분합 추론	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 12071 변형 \| 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]	20점/상
R7-Q2	대수 Ⅱ. 삼각함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	삼각함수의 주기·대칭성과 방정식의 모든 실근의 합	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 12072 변형 \| 성취기준: 12대수02-02]	20점/상
R7-Q3	미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	구간별로 정의된 함수의 미분가능성과 접선의 방정식	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 12073 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]	20점/상
R7-Q4	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	사차함수가 극댓값을 갖기 위한 조건과 극값의 차	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 탐구 12074 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	20점/상
R7-Q5	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	수직선 위를 움직이는 점의 속도와 위치의 변화량 및 움직인 거리	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 탐구 12075 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]	20점/상
R8-Q1	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	지수함수와 로그함수의 역함수 대칭성과 직선 위의 교점	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 12081 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]	20점/최상
R8-Q2	대수 Ⅱ. 삼각함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	외접원의 반지름과 사인법칙·코사인법칙을 이용한 삼각형 결정	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 12082 변형 \| 성취기준: 12대수02-03]	20점/최상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R8-Q3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	평균값 정리를 이용한 다항함수의 변화율 추론과 수열의 극한	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 12083 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]	20점/최상
R8-Q4	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 \| 배점 20점 (6+7+7점)	우함수·기함수 대칭성과 주기 조건을 만족시키는 함수의 정적분	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 12084 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]	20점/최상
R8-Q5	기하 Ⅰ-1. 이차곡선 \| 배점 20점 (6+7+7점)	포물선의 초점·준선 정의와 초점을 지나는 직선의 선분 비	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 12085 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	20점/최상
R9-Q1	대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 \| 배점 20점 (6+7+7점)	비선형 분수 점화식의 역수 치환과 부분분수 급수의 합	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 12091 변형 \| 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]	20점/최상
R9-Q2	미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 \| 배점 20점 (6+7+7점)	유리함수와 다항함수의 곱의 연속성과 사잇값 정리	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 12092 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]	20점/최상
R9-Q3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	삼차함수 그래프의 변곡 대칭성과 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 12093 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-09]	20점/최상
R9-Q4	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 \| 배점 20점 (6+7+7점)	정적분으로 정의된 함수의 미분과 극댓값·극솟값의 차	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 12094 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]	20점/최상
R9-Q5	확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 \| 배점 20점 (6+7+7점)	조건부확률과 전체확률의 법칙을 이용한 사후확률 추론	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.10 탐구 12095 변형 \| 성취기준: 12확통02-02, 12확통02-03]	20점/최상
R10-Q1	대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 \| 배점 20점 (6+7+7점)	수학적 귀납법을 이용한 급수 부등식의 증명과 부분합 추론	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 12101 변형 \| 성취기준: 12대수03-06]	20점/최상
R10-Q2	미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	다항함수의 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 극값 추론	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.3 탐구 12102 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]	20점/최상
R10-Q3	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 이등분	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 12103 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]	20점/최상
R10-Q4	기하 Ⅲ-2. 공간벡터와 평면의 방정식 \| 배점 20점 (6+7+7점)	벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.8 탐구 12104 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	20점/최상
R10-Q5	확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 \| 배점 20점 (6+7+7점)	표본비율의 정규분포 근사와 모비율의 신뢰구간 추정	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.12 탐구 12105 변형 \| 성취기준: 12확통03-06]	20점/최상

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점) — 로그의 정의 조건(밑과 진수 조건)과 정수 순서쌍의 개수 배점 20점 · 난이도 중

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 12011 변형 | 성취기준: 12대수01-03]

<제시문 (가)> 로그 $\log_{a} N$이 정의되기 위한 필요충분조건은 밑 조건 $a \gt 0,\; a \ne 1$과 진수 조건 $N \gt 0$을 동시에 만족시키는 것이다.

실수 $x$에 대하여 로그 $\log_{|x - 2|}(-x^2 + 7x - 6)$이 정의되도록 하는 모든 정수 $x$와 그때의 로그값을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 밑 조건으로부터 $x$의 값의 범위를 구하고, 진수 조건으로부터 $x$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 주어진 로그가 정의되도록 하는 모든 정수 $x$의 값을 구하고, 각 정수 $x$에서 주어진 로그의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 별도로 두 정수 $m, n$에 대하여 $\log_{m - 1}(-n^2 + 6n - 5)$가 정의되도록 하는 순서쌍 $(m, n)$ 중 $m \le 6$을 만족시키는 순서쌍의 개수를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점) — 로그부등식과 이차방정식의 실근 조건 결합 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 12012 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

<제시문 (가)> $x$에 대한 이차방정식 $x^2 - 2(\log_2 k)x + \log_2 k + 6 = 0$이 실근을 갖기 위한 필요충분조건은 $k \gt 0$이고 판별식 $\dfrac{D}{4} = (\log_2 k)^2 - \log_2 k - 6 \ge 0$인 것이다.

양수 $k$에 대하여 $x$에 대한 이차방정식 $x^2 - 2(\log_2 k)x + \log_2 k + 6 = 0$의 근의 성질을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 주어진 이차방정식이 허근을 갖도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 주어진 이차방정식이 중근을 갖도록 하는 모든 양수 $k$의 값들의 곱과 합을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 주어진 이차방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점) — 사인·코사인 대칭식과 삼차 곱셈 공식 결합 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 12013 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 항등식 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$에 의하여 $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$이므로, $\sin\theta + \cos\theta$의 값이 주어지면 곱 $\sin\theta\cos\theta$가 결정된다.

$\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi$인 각 $\theta$가 $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $\sin\theta\cos\theta$의 값과 $\sin\theta - \cos\theta$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$의 값과 $\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) $\sin^4\theta + \cos^4\theta$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점) — 무리함수의 극한과 미정계수 결정 및 유리화 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 12014 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> $\lim_{x \to c} \dfrac{\sqrt{x + a} - b}{x - c} = L$이 존재할 때, $x \to c$에서 분모가 $0$으로 수렴하므로 분자도 $0$으로 수렴하여 $b = \sqrt{c + a}$가 성립한다.

두 상수 $a, b$에 대하여 $\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + a} - b}{x - 3} = \dfrac{1}{4}$이 성립할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $b$를 $\sqrt{a + 3}$으로 나타내고, 분자를 유리화하여 극한값을 $b$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 구한 $a, b$에 대하여 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - bx})$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점) — 정적분으로 정의된 함수의 극값과 최댓값·최솟값 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 12015 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속함수 $g(t)$에 대하여 함수 $F(x) = \int_{x}^{x+1} g(t)\,dt$를 $x$에 대하여 미분하면 $F'(x) = g(x + 1) - g(x)$이다.

이차함수 $g(t) = 3t^2 - 6t$에 대하여 함수 $F(x) = \int_{x}^{x+1} g(t)\,dt$가 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 도함수 $F'(x)$를 $x$에 대한 일차식으로 구하고, $F'(x) = 0$을 만족시키는 $x$의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 정적분을 직접 계산하여 $F(x)$를 $x$에 대한 이차식으로 나타내고, 함수 $F(x)$의 최솟값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 닫힌구간 $[-1, 3]$에서 함수 $F(x)$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제1회	문항 1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 \| 배점 20점 (6+7+7점)	로그의 정의 조건(밑과 진수 조건)과 정수 순서쌍의 개수	20점	중
제1회	문항 2	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	로그부등식과 이차방정식의 실근 조건 결합	20점	중상
제1회	문항 3	대수 Ⅱ. 삼각함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	사인·코사인 대칭식과 삼차 곱셈 공식 결합	20점	중상
제1회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 \| 배점 20점 (6+7+7점)	무리함수의 극한과 미정계수 결정 및 유리화	20점	중상
제1회	문항 5	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 \| 배점 20점 (6+7+7점)	정적분으로 정의된 함수의 극값과 최댓값·최솟값	20점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 아주대학교 수리논술 제1회 출제 원칙 및 합격 전략

• 1단계 (소문항 [q-1], [q-2] 기본·표준 점수 65점 완벽 확보): 아주대 수리논술은 각 대문항의 첫 번째·두 번째 소문항이 세 번째 소문항 해결을 위한 징검다리 역할을 합니다. 문항당 24분 배분을 엄수하여 앞 소문항에서 감점 없는 만점을 확보하십시오.
• 2단계 (소문항 [q-3] 고난도 추론 부분점수 극대화): 마지막 소문항(7점)은 미분가능성 판정, 정적분 넓이 최적화, 수학적 귀납법 및 극한 수렴값 도출을 요구합니다. 제시문 정리 인용(30%)과 관계식 수립(40%)만 명확히 서술해도 5점 이상의 부분점수를 획득할 수 있습니다.

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점) — 상용로그의 소수부분이 같을 조건과 등비수열의 로그 배점 20점 · 난이도 중

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 탐구 12021 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 두 양수 $A, B$에 대하여 $\log_{10} A$의 소수부분과 $\log_{10} B$의 소수부분이 서로 같기 위한 필요충분조건은 차 $\log_{10} A - \log_{10} B = \log_{10}\dfrac{A}{B}$가 정수가 되는 것이다.

$10 \le x \lt 100$인 실수 $x$에 대하여 $\log_{10} x$의 소수부분과 $\log_{10} x^4$의 소수부분이 서로 같을 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $\log_{10} x$의 값의 범위를 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 $3\log_{10} x$가 가질 수 있는 모든 정수의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 조건을 만족시키는 모든 실수 $x$의 값을 $10$의 유리수 거듭제곱으로 나타내고, 모든 $x$의 값들의 곱 $P$를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 구한 $x$ 중 $x \ne 10$인 두 수를 작은 것부터 $x_1, x_2$라 할 때, $\log_{x_1} x_2$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점) — 지수·로그 복합 부등식과 양변 로그 취하기 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 12022 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 밑과 지수에 모두 미지수 $x\;(x \gt 0)$가 포함된 방정식이나 부등식 $x^{\log_a x} \le a^p x^q$는 양변에 밑이 $a\;(a \gt 1)$인 로그를 취하여 $t = \log_a x$에 대한 이차식 $t^2 - qt - p \le 0$으로 바꾸어 해결한다.

양수 $x$에 대한 부등식 $x^{\log_2 x} \le 16x^3$과 함수 $f(x) = \dfrac{x^{\log_2 x}}{x^4}\;(x \gt 0)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 부등식 $x^{\log_2 x} \le 16x^3$의 양변에 밑이 $2$인 로그를 취하고, $t = \log_2 x$에 대한 이차부등식으로 정리하시오.

[문항 2-2] (7점) 주어진 부등식의 해를 구하고, 해집합에 속하는 모든 자연수 $x$의 개수를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 함수 $f(x) = \dfrac{x^{\log_2 x}}{x^4}\;(x \gt 0)$가 최솟값을 가질 때의 $x$의 값과 최솟값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점) — 가게 간판 시야각(코사인법칙·넓이 분할)과 각의 이등분선 길이 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 12023 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle \mathrm{BAC}$의 이등분선이 변 $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하면, $\triangle \mathrm{ABC} = \triangle \mathrm{ABD} + \triangle \mathrm{ACD}$이므로 $\dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}(b + c)\overline{\mathrm{AD}}\sin\dfrac{A}{2}$가 성립한다.

삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 6,\; \overline{\mathrm{AC}} = 3,\; \angle \mathrm{BAC} = \dfrac{2\pi}{3}$일 때, $\angle \mathrm{BAC}$의 이등분선이 변 $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하자. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이와 제시문 (가)를 이용하여 선분 $\mathrm{AD}$의 길이를 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 코사인법칙을 이용하여 변 $\mathrm{BC}$의 길이를 구하고, 선분 $\mathrm{BD}$와 $\mathrm{CD}$의 길이를 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R_1$, 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R_2$라 할 때, $\dfrac{R_1}{R_2}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점) — 원·곡선 교점 개수 함수의 불연속점과 좌·우극한 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 12024 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 매개변수 $r \gt 0$에 따라 원 $x^2 + (y - a)^2 = r^2$과 직선 또는 이차곡선의 교점의 개수를 $N(r)$이라 하면, 함수 $N(r)$은 원이 도형에 접하거나 꼭짓점을 지나는 경계 반지름 $r$에서 불연속이 된다.

중심이 $\mathrm{C}(0, 2)$이고 반지름의 길이가 $r\;(r \gt 0)$인 원 $x^2 + (y - 2)^2 = r^2$과 포물선 $y = x^2$의 서로 다른 교점의 개수를 $f(r)$이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 두 식에서 $x^2$을 소거하여 $y\;(y \ge 0)$에 대한 이차방정식을 세우고, 이 방정식이 $y \gt 0$에서 중근을 가질 때의 반지름 $r_1$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 원이 포물선의 꼭짓점 $(0, 0)$을 지날 때의 반지름 $r_2$를 구하고, 함수 $f(r)$이 불연속인 모든 $r$의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) $f(r_1) + \lim_{r \to r_1+} f(r) + f(r_2) + \lim_{r \to r_2+} f(r)$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점) — 역함수의 정적분과 기하적 직사각형 넓이 분할 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 탐구 12025 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 증가하는 연속함수 $y = f(x)$의 역함수를 $y = g(x)$라 할 때, $f(a) = c,\; f(b) = d$이면 정적분의 기하적 의미(넓이 분할)에 의하여 $\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{c}^{d} g(x)\,dx = bd - ac$가 성립한다.

실수 전체의 집합에서 증가하는 삼차함수 $f(x) = x^3 + 2x + 1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) $f(0)$과 $f(2)$의 값을 각각 구하고, 정적분 $\int_{0}^{2} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 역함수의 정적분 $\int_{1}^{13} g(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = x$, 그리고 두 직선 $x = 0,\; x = 2$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제2회	문항 1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 \| 배점 20점 (6+7+7점)	상용로그의 소수부분이 같을 조건과 등비수열의 로그	20점	중
제2회	문항 2	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	지수·로그 복합 부등식과 양변 로그 취하기	20점	중상
제2회	문항 3	대수 Ⅱ. 삼각함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	가게 간판 시야각(코사인법칙·넓이 분할)과 각의 이등분선 길이	20점	중상
제2회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 \| 배점 20점 (6+7+7점)	원·곡선 교점 개수 함수의 불연속점과 좌·우극한	20점	중상
제2회	문항 5	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	역함수의 정적분과 기하적 직사각형 넓이 분할	20점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 아주대학교 수리논술 제2회 출제 원칙 및 합격 전략

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점) — 로그의 정수부분과 가우스 계단 합 배점 20점 · 난이도 중

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 12031 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 자연수 $k$에 대하여 $2^m \le k \lt 2^{m+1}$ ($m$은 $0$ 이상의 정수)이면, $m \le \log_2 k \lt m + 1$이므로 $\log_2 k$의 정수부분 $[\log_2 k]$는 $m$이다.

$1$부터 $63$까지의 자연수 $k$에 대하여 $\log_2 k$의 정수부분을 $a_k = [\log_2 k]$라 할 때, 다음 논제에 답하시오. (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $m = 0, 1, 2, 3, 4, 5$에 대하여 $a_k = m$을 만족시키는 자연수 $k$의 개수를 $m$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 1-2] (7점) $\sum_{k=1}^{63} [\log_2 k]$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) $\sum_{k=1}^{80} [\log_3 k]$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점) — 삼각함수의 합성과 치환 방정식의 실근의 개수 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 12032 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 $t = \sin x$로 치환할 때, $-1 \lt t \lt 1\;(t \ne 0)$인 각 $t$에 대응하는 $x$는 $2$개씩이고, $t = 0$에는 $x = 0, \pi, 2\pi$의 $3$개, $t = \pm 1$에는 각각 $1$개씩 대응한다.

닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 정의된 삼각방정식 $2\sin^2 x - \sin x - k = 0$의 서로 다른 실근의 개수를 $N(k)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) $t = \sin x\;(-1 \le t \le 1)$로 치환하여 $h(t) = 2t^2 - t$의 그래프의 꼭짓점과 양 끝점 함숫값 $h(-1), h(1)$을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) $k = 0$일 때 방정식의 모든 실근을 구하고, $N(0)$의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 서로 다른 실근의 개수가 $N(k) = 4$가 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점) — 다항함수의 차수와 최고차항을 결정하는 자기참조 극한 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 12033 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> $n$차 다항함수 $f(x) = ax^n + \cdots\;(a \ne 0)$의 도함수는 $f'(x) = nax^{n-1} + \cdots$이므로, $x \to \infty$일 때 $\dfrac{x f'(x)}{f(x)} \to n$이다.

다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x f'(x)} = \dfrac{1}{3}$과 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -3$, 그리고 $f(0) = 1,\; f'(0) = 4$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 다항함수 $f(x)$의 차수 $n$과 삼차항, 이차항의 계수를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 조건 $f(0) = 1,\; f'(0) = 4$를 이용하여 다항함수 $f(x)$를 구하고, $f(2)$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x^2 - 1}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점) — 두 곡선의 공통접선(접할 조건)과 둘러싸인 넓이 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 12034 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 두 미분가능한 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$가 $x = a$인 점에서 서로 접하기 위한 필요충분조건은 $f(a) = g(a)$이고 $f'(a) = g'(a)$인 것이다.

곡선 $C_1 : y = x^3 - 2x^2 + 2$와 포물선 $C_2 : y = -x^2 + ax + b$가 점 $(1, 1)$에서 서로 접할 때, 다음 논제에 답하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 상수 $a, b$의 값을 각각 구하고, 점 $(1, 1)$에서의 공통접선의 방정식을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 두 곡선 $C_1, C_2$가 점 $(1, 1)$ 외에 만나는 다른 교점의 좌표를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 두 곡선 $C_1, C_2$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점) — 두 곡선으로 둘러싸인 넓이가 같을 조건(정적분 상쇄) 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 12035 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 연속함수 $h(x)$의 그래프가 $x = \alpha, \beta, \gamma\;(\alpha \lt \beta \lt \gamma)$에서 $x$축과 만날 때, 구간 $[\alpha, \beta]$에서의 도형의 넓이 $S_1$과 구간 $[\beta, \gamma]$에서의 도형의 넓이 $S_2$가 서로 같기 위한 필요충분조건은 $\int_{\alpha}^{\gamma} h(x)\,dx = 0$인 것이다.

포물선 $y = x^2 - 2x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_1$, 포물선 $y = x^2 - 2x$와 $x$축 및 직선 $x = a\;(a \gt 2)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_2$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 이용하여 구간 $[0, 2]$에서의 넓이 $S_1$을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $S_1 = S_2$가 되도록 하는 양수 $a\;(a \gt 2)$의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 별도로 삼차함수 $g(x) = x(x - 2)(x - m)\;(m \gt 2)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 서로 같을 때, 상수 $m$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제3회	문항 1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 \| 배점 20점 (6+7+7점)	로그의 정수부분과 가우스 계단 합	20점	중
제3회	문항 2	대수 Ⅱ. 삼각함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	삼각함수의 합성과 치환 방정식의 실근의 개수	20점	중상
제3회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 \| 배점 20점 (6+7+7점)	다항함수의 차수와 최고차항을 결정하는 자기참조 극한	20점	중상
제3회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	두 곡선의 공통접선(접할 조건)과 둘러싸인 넓이	20점	중상
제3회	문항 5	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	두 곡선으로 둘러싸인 넓이가 같을 조건(정적분 상쇄)	20점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 아주대학교 수리논술 제3회 출제 원칙 및 합격 전략

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점) — 지수·로그 연립 관계식과 상용로그 자릿수 추정 배점 20점 · 난이도 중

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 12041 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 양수 $N$에 대하여 $\log_{10} N = n + \alpha$ ($n$은 정수, $0 \le \alpha \lt 1$)일 때, $n \ge 0$이면 $N$의 정수부분은 $(n + 1)$자리 수이고, 최고자리의 숫자는 $10^\alpha$의 정수부분과 같다.

$\log_{10} 2 = 0.3010,\; \log_{10} 3 = 0.4771$일 때, 자연수 $N = 6^{20}$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $\log_{10} 6$의 값을 구하고, $\log_{10} N$의 정수부분 $n$과 소수부분 $\alpha$를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $N = 6^{20}$은 몇 자리 자연수인지 구하고, $N$의 최고자리의 숫자를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) $6^{-20}$을 소수로 나타낼 때 소수점 아래 몇째 자리에서 처음으로 $0$이 아닌 숫자가 나타나는지 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점) — 원에 외접·내접하는 삼각형에서 사인법칙·코사인법칙과 내접원 반지름 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 12042 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 세 변의 길이가 $a, b, c$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 $S$, 내접원의 반지름의 길이를 $r$이라 하면 $S = \dfrac{1}{2}r(a + b + c)$이다.

삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{BC}} = 8,\; \angle \mathrm{ABC} = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 변 $\mathrm{AC}$의 길이를 구하고, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 둘레의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 내접원의 반지름의 길이 $r$을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이 $R$을 구하고, $\dfrac{R}{r}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점) — 다항식의 나눗셈 나머지 정리와 도함수의 연립 활용 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 12043 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 다항식 $P(x)$를 $(x - a)^2$으로 나눈 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $rx + s$라 하면 $P(x) = (x - a)^2 Q(x) + rx + s$이고, 양변을 미분하면 $P'(x) = 2(x - a)Q(x) + (x - a)^2 Q'(x) + r$이므로 $P(a) = ra + s,\; P'(a) = r$이다.

자연수 $n\;(n \ge 2)$에 대하여 다항식 $P(x) = x^n + 2x^2 - 3$을 $(x - 1)^2$으로 나눈 나머지를 $R(x) = a_n x + b_n$이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $P(1)$과 $P'(1)$의 값을 구하고, $a_n$과 $b_n$을 각각 $n$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) $n = 5$일 때 나머지 $R(x)$를 구하고, $R(3)$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) $\sum_{n=2}^{10} (a_n - b_n)$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점) — 사차함수가 극댓값을 가질 조건과 대칭 극소 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 12044 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 $f(x)$가 극댓값을 갖기 위한 필요충분조건은 삼차방정식 $f'(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖는 것이다.

사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 2ax^2$에 대하여 다음 논제에 답하시오. (단, $a$는 실수이다.)

[문항 4-1] (6점) 도함수 $f'(x)$를 인수분해 꼴 $4x(x^2 - 3x + a)$로 나타내고, 제시문 (가)를 이용하여 함수 $f(x)$가 극댓값을 갖도록 하는 실수 $a$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) $a \gt 0$일 때 함수 $f(x)$가 극댓값을 갖지 않도록 하는 최소의 자연수 $a$를 구하고, 그때 $f(2)$의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) $a = 2$일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값과 두 극솟값의 합을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점) — 주기성과 대칭성을 동시에 갖는 연속함수의 정적분 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 12045 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$이고 $f(x + 4) = f(x)$인 연속함수 $f(x)$는 주기가 $4$인 우함수이므로 $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{2} f(x)\,dx$이고, 임의의 길이 $4$인 구간에서의 정적분 값이 모두 같다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x),\; f(x + 4) = f(x)$를 만족시키고, $0 \le x \le 2$에서 $f(x) = -3x^2 + 6x$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 기본 반주기 구간에서의 정적분 $\int_{0}^{2} f(x)\,dx$와 한 주기 정적분 $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx$의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $\int_{-2}^{14} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) $2 \le x \le 4$에서 함수 $f(x)$의 식을 구하고, $\int_{0}^{3} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제4회	문항 1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 \| 배점 20점 (6+7+7점)	지수·로그 연립 관계식과 상용로그 자릿수 추정	20점	중
제4회	문항 2	대수 Ⅱ. 삼각함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	원에 외접·내접하는 삼각형에서 사인법칙·코사인법칙과 내접원 반지름	20점	중상
제4회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	다항식의 나눗셈 나머지 정리와 도함수의 연립 활용	20점	중상
제4회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	사차함수가 극댓값을 가질 조건과 대칭 극소	20점	중상
제4회	문항 5	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	주기성과 대칭성을 동시에 갖는 연속함수의 정적분	20점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 아주대학교 수리논술 제4회 출제 원칙 및 합격 전략

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점) — 지수함수의 산술·기하 평균 치환과 방정식의 실근 존재 조건 배점 20점 · 난이도 중

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 12051 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 모든 실수 $x$에 대하여 $t = 2^x + 2^{-x}$라 하면 산술·기하 평균 부등식에 의하여 $t \ge 2$이며, $4^x + 4^{-x} = (2^x + 2^{-x})^2 - 2 = t^2 - 2$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = 4^x + 4^{-x} - 6(2^x + 2^{-x}) + 10$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $t = 2^x + 2^{-x}\;(t \ge 2)$로 치환한 이차함수 $g(t)$의 식과 정의역을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 함수 $f(x)$의 최솟값과 그때의 모든 실수 $x$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 방정식 $4^x + 4^{-x} - 6(2^x + 2^{-x}) + k = 0$이 적어도 하나의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점) — 원에 내접하는 삼각형의 넓이 최대화와 코사인법칙 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 탐구 12052 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 반지름의 길이가 $R$인 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 사인법칙에 의하여 $\overline{\mathrm{BC}} = 2R\sin A$이고, 고정된 현 $\mathrm{BC}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 최대가 되는 점 $\mathrm{A}$는 선분 $\mathrm{BC}$의 수직이등분선과 원이 만나는 점($\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}}$)이다.

반지름의 길이가 $4$인 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle \mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 변 $\mathrm{BC}$의 길이를 구하고, 원의 중심 $\mathrm{O}$에서 변 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) $\overline{\mathrm{AB}} + \overline{\mathrm{AC}} = 10$일 때, 코사인법칙을 이용하여 $\overline{\mathrm{AB}} \cdot \overline{\mathrm{AC}}$의 값과 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 점 $\mathrm{A}$가 $\angle \mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3}$을 유지하며 호 $\mathrm{BC}$ 위를 움직일 때, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 최댓값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점) — 삼각형 내접원 반지름의 극한과 도형의 극한 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 12053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 두 직각변의 길이가 $a, b$이고 빗변의 길이가 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$인 직각삼각형에 내접하는 원의 반지름의 길이 $r$은 넓이 관계 또는 접선의 길이 성질에 의하여 $r = \dfrac{a + b - c}{2} = \dfrac{ab}{a + b + c}$이다.

양수 $t$에 대하여 좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{O}(0, 0),\; \mathrm{A}(t, 0),\; \mathrm{B}(0, 2t^2)$을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형 $\mathrm{OAB}$에 내접하는 원의 반지름의 길이를 $r(t)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 빗변 $\overline{\mathrm{AB}}$의 길이를 $t$로 나타내고, 제시문 (가)를 이용하여 내접원의 반지름 $r(t)$를 $t$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) $\lim_{t \to 0+} \dfrac{r(t)}{t^2}$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) $\lim_{t \to \infty} \dfrac{r(t)}{t}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점) — 삼차함수 위의 동점과 정점 직선으로 만든 삼각형 넓이 최대화 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 12054 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

<제시문 (가)> 곡선 $y = f(x)$ 위의 고정된 두 점 $\mathrm{A}(a, f(a)),\; \mathrm{B}(b, f(b))$와 호 $\mathrm{AB}$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}(t, f(t))\;(a \lt t \lt b)$에 대하여 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 넓이가 최대가 되는 순간은 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 기울기 $f'(t)$가 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기와 같아지는 순간이다.

곡선 $y = -x^3 + 4x$ 위의 두 점 $\mathrm{O}(0, 0),\; \mathrm{A}(2, 0)$과 곡선 위의 동점 $\mathrm{P}(t, -t^3 + 4t)\;(0 \lt t \lt 2)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 삼각형 $\mathrm{POA}$의 넓이 $S(t)$를 $t$에 대한 삼차함수로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 넓이 $S(t)$가 최대가 될 때의 $t$의 값과 그때의 최대 넓이를 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 $y = -x^3 + 4x$와 $x$축($0 \le x \le 2$)으로 둘러싸인 도형의 넓이 $A$를 구하고, [문항 4-2]의 최대 삼각형 넓이와의 비를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점) — 수직선 운동에서 속도의 그래프와 정적분 위치 추론 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 12055 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

<제시문 (가)> 시각 $t = 0$일 때의 위치가 $x_0$이고 속도가 $v(t)$인 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치는 $x(t) = x_0 + \int_{0}^{t} v(s)\,ds$이며, 점 $\mathrm{P}$가 출발점 $x_0$으로부터 가장 멀리 떨어져 있는 순간은 극대 위치 또는 구간의 끝점이다.

수직선 위에서 시각 $t = 0$일 때 위치가 $x_0 = 2$인 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = -3t^2 + 6t + 9$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 $\mathrm{P}$가 운동 방향을 바꾸는 시각 $t_1$과 그때 점 $\mathrm{P}$의 위치 $x(t_1)$을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 처음으로 원점 $x = 0$을 지나는 시각은 $t = 4$와 $t = 5$ 사이에 존재함을 보이시오.

[문항 5-3] (7점) 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $\mathrm{P}$가 실제로 움직인 거리를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제5회	문항 1	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	지수함수의 산술·기하 평균 치환과 방정식의 실근 존재 조건	20점	중
제5회	문항 2	대수 Ⅱ. 삼각함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	원에 내접하는 삼각형의 넓이 최대화와 코사인법칙	20점	중상
제5회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 \| 배점 20점 (6+7+7점)	삼각형 내접원 반지름의 극한과 도형의 극한	20점	중상
제5회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	삼차함수 위의 동점과 정점 직선으로 만든 삼각형 넓이 최대화	20점	중상
제5회	문항 5	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	수직선 운동에서 속도의 그래프와 정적분 위치 추론	20점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 아주대학교 수리논술 제5회 출제 원칙 및 합격 전략

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점) — 로그방정식의 치환과 두 실근의 곱 및 정수 계수 조건 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 12061 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 양수 $x$에 대한 방정식 $(\log_3 x)^2 - k \log_3 x + m = 0$에서 $t = \log_3 x$로 치환하면, 원래 방정식의 서로 다른 두 양의 실근 $\alpha, \beta$는 치환된 이차방정식의 두 실근 $t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta$에 대응하며 $t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta)$가 성립한다.

양수 $x$에 대한 방정식 $(\log_3 x)^2 - \log_3(x^4) + m = 0$이 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$ ($1 \lt \alpha \lt \beta$)를 갖도록 하는 실수 $m$과 근의 성질을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 치환을 이용하여 두 실근의 곱 $\alpha\beta$의 값을 $m$에 관계없이 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 두 실근 $\alpha, \beta$가 모두 $1$보다 크고 서로 다르기 위한 실수 $m$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) $\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \dfrac{10}{3}$이 성립할 때, 상수 $m$의 값과 $\alpha + \beta$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점) — 원에 내접하는 사각형의 코사인법칙과 대각선 분할 넓이 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 12062 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 원에 내접하는 사각형 $ABCD$에서 마주 보는 두 내각의 합은 $\pi$이므로 $\cos C = -\cos A,\; \sin C = \sin A$가 성립한다.

원에 내접하는 사각형 $ABCD$에서 $\overline{AB} = 3,\; \overline{BC} = 5,\; \overline{CD} = 3,\; \overline{DA} = 7$일 때, 대각선의 길이와 사각형의 넓이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 대각선 $BD$의 길이를 $x$라 할 때, 두 삼각형 $ABD$와 $CBD$에서 각각 코사인법칙을 적용하여 $\cos A$와 $x^2$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 사각형 $ABCD$의 넓이 $S$와 외접원의 반지름 $R$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 두 대각선 $AC$와 $BD$의 교점을 $P$라 할 때, 선분 $BP$와 $PD$의 길이의 비 $\overline{BP} : \overline{PD}$를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점) — 무한대 극한과 영인자 극한을 만족시키는 삼차함수의 결정 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 12063 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^n} = c$ ($c \ne 0$)이면 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $c$인 $n$차 다항식이고, $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{x - a} = L$이 존재하면 $f(a) = 0,\; f'(a) = L$이다.

다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2} = -2$와 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x^2 - 1} = 2$를 동시에 만족시킬 때, 함수 $f(x)$를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $f(x)$의 차수와 삼차항·이차항의 계수를 결정하고, $f(1)$과 $f'(1)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 다항함수 $f(x)$의 식을 완전히 구하고, 방정식 $f(x) = f(1)$의 모든 실근의 합을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 자연수 $n$에 대하여 극한값 $\lim_{n \to \infty} n \left\{ f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) - f\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \right\}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점) — 삼차함수 위의 점에서의 접선과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 탐구 12064 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 $a$인 삼차함수 $y = f(x)$ 위의 점 $(\alpha, f(\alpha))$에서의 접선이 곡선과 점 $(\beta, f(\beta))$ ($\alpha \ne \beta$)에서 다시 만날 때, 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \dfrac{|a|}{12}|\beta - \alpha|^4$이다.

곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ 위의 점 $A(0, 0)$에서의 접선을 $l$이라 할 때, 접선 $l$과 곡선의 교점 및 둘러싸인 넓이를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 점 $A(0, 0)$에서의 접선 $l$의 방정식을 구하고, 접선 $l$이 곡선과 다시 만나는 점 $B$의 좌표를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 곡선과 접선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 계산하시오.

[문항 4-3] (7점) 점 $A$와 점 $B$ 사이의 곡선 위의 점 $P(t, t^3 - 3t^2 + 2t)$ ($0 \lt t \lt 3$)에서 접선 $l$까지의 거리가 최대가 되도록 하는 $t$의 값과 그때의 $\triangle PAB$의 넓이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 | 배점 20점 (6+7+7점) — 비복원 추출에서 이산확률변수의 확률분포와 기댓값·분산 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 12065 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-01]

<제시문 (가)> 이산확률변수 $X$가 취하는 값 $x_1, x_2, \dots, x_n$과 각 확률 $p_i = P(X = x_i)$에 대하여 기댓값은 $E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$이고 분산은 $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$이며, 선형 변환 $Y = aX + b$에 대하여 $E(Y) = aE(X) + b,\; V(Y) = a^2 V(X)$이다.

붉은 공 $4$개와 푸른 공 $3$개가 들어 있는 주머니에서 임의로 $3$개의 공을 동시에 꺼낼 때, 나오는 붉은 공의 개수를 확률변수 $X$라 하자. 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 확률변수 $X$가 가질 수 있는 모든 값에 대하여 확률질량함수 $P(X = k)$를 구하고 확률의 총합이 $1$임을 확인하시오.

[문항 5-2] (7점) 확률변수 $X$의 기댓값 $E(X)$와 제곱의 기댓값 $E(X^2)$을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 확률변수 $X$의 분산 $V(X)$를 구하고, $Y = 35X - 10$의 평균 $E(Y)$와 분산 $V(Y)$를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제6회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제6회	문항 1	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	로그방정식의 치환과 두 실근의 곱 및 정수 계수 조건	20점	상
제6회	문항 2	대수 Ⅱ. 삼각함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	원에 내접하는 사각형의 코사인법칙과 대각선 분할 넓이	20점	상
제6회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 \| 배점 20점 (6+7+7점)	무한대 극한과 영인자 극한을 만족시키는 삼차함수의 결정	20점	상
제6회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	삼차함수 위의 점에서의 접선과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이	20점	상
제6회	문항 5	확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 \| 배점 20점 (6+7+7점)	비복원 추출에서 이산확률변수의 확률분포와 기댓값·분산	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 아주대학교 수리논술 제6회 출제 원칙 및 합격 전략

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 | 배점 20점 (6+7+7점) — 등차수열과 등비수열의 공통항 수열 및 부분합 추론 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 12071 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

<제시문 (가)> 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열의 일반항은 $a_n = a + (n - 1)d$이고, 첫째항이 $b$, 공비가 $r$인 등비수열의 일반항은 $b_m = b r^{m-1}$이며 첫째항부터 제$k$항까지의 등비수열의 합은 $S_k = \dfrac{b(r^k - 1)}{r - 1}$ ($r \ne 1$)이다.

등차수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2,\; a_n = 3n - 1$로 주어지고, 등비수열 $\{b_m\}$이 $b_1 = 2,\; b_m = 2^m$으로 주어질 때 두 수열에 공통으로 나타나는 항들을 작은 수부터 차례로 나열한 수열을 $\{c_k\}$라 하자. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $b_m = 2^m$을 $3$으로 나눈 나머지를 $m$의 홀짝성에 따라 분류하고, 공통항이 되기 위한 자연수 $m$의 조건을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 공통항 수열 $\{c_k\}$의 일반항 $c_k$를 구하고, $c_k = a_{N_k}$를 만족시키는 등차수열의 항 번호 $N_k$를 $k$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 1-3] (7점) 합 $\sum_{k=1}^{8} c_k$와 $\sum_{k=1}^{8} N_k$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점) — 삼각함수의 주기·대칭성과 방정식의 모든 실근의 합 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 12072 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

<제시문 (가)> 함수 $y = \sin(\omega x)$ ($\omega \gt 0$)의 주기는 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$이며, 그래프가 직선 $x = s$에 대하여 대칭일 때 직선 $y = k$와 만나는 교점의 $x$좌표들은 대칭축 $x = s$에 대하여 짝을 지어 대칭을 이룬다.

닫힌구간 $[0, 4]$에서 정의된 함수 $f(x) = 2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)$의 그래프와 직선 $y = k$ ($0 \lt k \lt 2$) 및 원점을 지나는 직선의 교점을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 함수 $f(x)$의 주기를 구하고, 닫힌구간 $[0, 4]$에서 방정식 $f(x) = k$ ($0 \lt k \lt 2$)의 모든 실근의 개수와 그 실근들의 합을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 방정식 $f(x) = 1$의 닫힌구간 $[0, 4]$에서의 두 실근을 $\alpha, \beta$ ($\alpha \lt \beta$)라 할 때, $\beta - \alpha$의 값과 곡선 $y = f(x)$ 위의 두 점 $(\alpha, 1), (\beta, 1)$ 및 점 $(1, 2)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 실수 전체에서 방정식 $2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) = \dfrac{1}{3}x$의 서로 다른 모든 실근의 개수를 구하고 그 실근들의 합을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점) — 구간별로 정의된 함수의 미분가능성과 접선의 방정식 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 12073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 함수 $f(x)$가 $x = a$를 경계로 구간별로 다항함수 $g(x)$ ($x \lt a$)와 $h(x)$ ($x \ge a$)로 정의될 때, $x = a$에서 미분가능할 필요충분조건은 연속 조건 $g(a) = h(a)$와 좌·우미분계수 일치 조건 $g'(a) = h'(a)$가 동시에 성립하는 것이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} x^3 + ax + b & (x \lt 1) \\ cx^2 + 4x + 1 & (x \ge 1) \end{cases}$가 모든 실수 $x$에서 미분가능하고 $f(0) = -2$를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 상수 $b$의 값을 정하고, $x = 1$에서의 연속 조건과 미분가능 조건을 이용하여 상수 $a, c$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(-1, f(-1))$에서의 접선 $l_1$과 점 $(2, f(2))$에서의 접선 $l_2$의 방정식을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 두 접선 $l_1, l_2$와 $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점) — 사차함수가 극댓값을 갖기 위한 조건과 극값의 차 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 탐구 12074 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 $f(x)$가 극댓값을 갖기 위한 필요충분조건은 도함수 $f'(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖는 것이다.

사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 2ax^2$에 대하여 함수 $f(x)$의 극값의 개수와 그래프 개형을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 도함수 $f'(x)$를 인수분해하고, 함수 $f(x)$가 극댓값을 갖도록 하는 실수 $a$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) $a = 2$일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값과 모든 극솟값들의 합을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 함수 $f(x)$가 극댓값을 갖지 않도록 하는 최소의 자연수 $a$에 대하여, 닫힌구간 $[-1, 3]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점) — 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 위치의 변화량 및 움직인 거리 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 탐구 12075 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t)$이고 시각 $t = 0$에서의 위치가 $x_0$일 때, 시각 $t = a$에서의 위치는 $x(a) = x_0 + \int_0^a v(t)\,dt$이고 시각 $t = 0$부터 $t = a$까지 움직인 거리는 $\int_0^a |v(t)|\,dt$이다.

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$일 때, 점 $P$의 운동을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 $P$가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하고, 각 시각에서의 점 $P$의 위치를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 시각 $t = 0$부터 $t = 4$까지 점 $P$의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 점 $P$가 출발 후 처음으로 다시 원점을 지나는 시각 $T$ ($T \gt 0$)와 그때의 가속도 $a(T)$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제7회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제7회	문항 1	대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 \| 배점 20점 (6+7+7점)	등차수열과 등비수열의 공통항 수열 및 부분합 추론	20점	상
제7회	문항 2	대수 Ⅱ. 삼각함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	삼각함수의 주기·대칭성과 방정식의 모든 실근의 합	20점	상
제7회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	구간별로 정의된 함수의 미분가능성과 접선의 방정식	20점	상
제7회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	사차함수가 극댓값을 갖기 위한 조건과 극값의 차	20점	상
제7회	문항 5	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	수직선 위를 움직이는 점의 속도와 위치의 변화량 및 움직인 거리	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 아주대학교 수리논술 제7회 출제 원칙 및 합격 전략

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점) — 지수함수와 로그함수의 역함수 대칭성과 직선 위의 교점 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 12081 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 함수 $y = a^{x-m} + n$의 역함수는 직선 $y = x$에 대하여 대칭인 $y = \log_a(x - n) + m$이며, 기울기가 $-1$인 직선 $y = -x + k$와 원래 함수 및 역함수의 교점은 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이다.

곡선 $C_1 : y = 2^{x-1} + 1$과 곡선 $C_2 : y = \log_2(x - 1) + 1$이 직선 $l : y = -x + 8$과 만나는 점을 각각 $A, B$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 두 곡선 $C_1, C_2$가 서로 역함수 관계임을 보이고, 두 점 $A, B$의 중점 $M$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 점 $A$와 점 $B$의 좌표를 각각 구하고, 선분 $AB$의 길이를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 $O(0, 0)$에 대하여 삼각형 $OAB$의 넓이와 곡선 $C_1, C_2$의 두 교점 사이의 거리를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점) — 외접원의 반지름과 사인법칙·코사인법칙을 이용한 삼각형 결정 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 12082 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름을 $R$이라 할 때 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$와 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$가 성립한다.

반지름의 길이가 $R = \sqrt{7}$인 원에 내접하는 삼각형 $ABC$에서 $\angle A = \dfrac{\pi}{3}$이고 $\overline{AB} : \overline{AC} = 3 : 1$일 때, 삼각형의 세 변과 넓이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 변 $BC$의 길이 $a$를 구하고, $\overline{AC} = k,\; \overline{AB} = 3k$로 놓아 코사인법칙으로 $k$의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$와 꼭짓점 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발 $H$에 대하여 선분 $AH$의 길이를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 각 $A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 할 때, 선분 $AD$의 길이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점) — 평균값 정리를 이용한 다항함수의 변화율 추론과 수열의 극한 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 12083 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능하면, $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$를 만족시키는 실수 $c$가 열린구간 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다.

삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 상수와 극한을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x)$에 평균값 정리를 적용할 때, $\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = f'(c)$를 만족시키는 열린구간 $(0, 3)$ 내의 상수 $c$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) \ge 2$임을 증명하고, 임의의 두 실수 $x_1 \lt x_2$에 대하여 $f(x_2) - f(x_1) \ge 2(x_2 - x_1)$이 성립함을 평균값 정리로 보이시오.

[문항 3-3] (7점) 자연수 $n$에 대하여 닫힌구간 $[n, n + 1]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수를 $c_n \in (n, n + 1)$이라 할 때, 극한값 $\lim_{n \to \infty} (c_n - n)$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점) — 우함수·기함수 대칭성과 주기 조건을 만족시키는 함수의 정적분 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 12084 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 닫힌구간 $[-a, a]$에서 연속인 함수에 대하여 우함수는 $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$, 기함수는 $\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 0$을 만족시키며, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + p) = f(x)$이면 길이가 $p$인 임의의 구간에서의 정적분 값은 일정하다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, 정적분의 값을 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.
(조건 1) $-1 \le x \le 1$에서 $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$이다.
(조건 2) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + 2) = f(x) + 4$가 성립한다.

[문항 4-1] (6점) 정적분 $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$와 $\int_{-1}^{1} x f(x)\,dx$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 자연수 $k$에 대하여 정적분 $I_k = \int_{2k-1}^{2k+1} f(x)\,dx$를 $k$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 4-3] (7점) 정적분 $\int_{-1}^{19} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 | 배점 20점 (6+7+7점) — 포물선의 초점·준선 정의와 초점을 지나는 직선의 선분 비 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 12085 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 포물선 $y^2 = 4px$ ($p \gt 0$) 위의 임의의 점 $P(x_1, y_1)$에서 초점 $F(p, 0)$까지의 거리와 준선 $x = -p$까지의 거리는 서로 같으므로 $\overline{PF} = x_1 + p$가 성립한다.

포물선 $y^2 = 8x$의 초점 $F$를 지나는 기울기가 양수인 직선 $l$이 포물선과 제1사분면에서 만나는 점을 $A$, 제4사분면에서 만나는 점을 $B$라 하자. $\overline{AF} : \overline{BF} = 3 : 1$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 포물선의 초점 $F$의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 두 점 $A, B$의 $x$좌표를 각각 $x_A, x_B$라 할 때 제시문 (가)를 이용하여 $x_A, x_B$의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 선분 $AB$의 길이와 직선 $l$의 기울기 $m$을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 원점 $O(0, 0)$에 대하여 삼각형 $OAB$의 넓이와 포물선 위의 점 $A$에서의 접선의 $x$절편을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제8회	문항 1	대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	지수함수와 로그함수의 역함수 대칭성과 직선 위의 교점	20점	최상
제8회	문항 2	대수 Ⅱ. 삼각함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	외접원의 반지름과 사인법칙·코사인법칙을 이용한 삼각형 결정	20점	최상
제8회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	평균값 정리를 이용한 다항함수의 변화율 추론과 수열의 극한	20점	최상
제8회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 \| 배점 20점 (6+7+7점)	우함수·기함수 대칭성과 주기 조건을 만족시키는 함수의 정적분	20점	최상
제8회	문항 5	기하 Ⅰ-1. 이차곡선 \| 배점 20점 (6+7+7점)	포물선의 초점·준선 정의와 초점을 지나는 직선의 선분 비	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 아주대학교 수리논술 제8회 출제 원칙 및 합격 전략

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점) — 비선형 분수 점화식의 역수 치환과 부분분수 급수의 합 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 12091 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 \gt 0$이고 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{p a_n + 1}$ ($p \gt 0$)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = p$가 되어 수열 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$은 공차가 $p$인 등차수열을 이룬다.

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = \dfrac{1}{2}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 놓을 때 수열 $\{b_n\}$의 일반항과 $a_n$의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 자연수 $m$에 대하여 합 $S_m = \sum_{n=1}^{m} a_n a_{n+1}$을 $m$에 대한 기약분수 식으로 나타내시오.

[문항 1-3] (7점) 부등식 $S_m \gt \dfrac{15}{97}$를 만족시키는 최소의 자연수 $m$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점) — 유리함수와 다항함수의 곱의 연속성과 사잇값 정리 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 12092 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

<제시문 (가)> 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $h(x)$가 $x \ne -1,\; x \ne 2$일 때 $h(x) = \dfrac{x - 3}{x^2 - x - 2} g(x)$를 만족시킨다. 여기서 $g(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이고 $h(-1) = 4$일 때, 다음 논제에 답하시오.

함수 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x - 3}{x^2 - x - 2} & (x \ne -1,\; x \ne 2) \\ 1 & (x = -1,\; x = 2) \end{cases}$와 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g(x)$에 대하여 함수 $h(x) = f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이고 $h(-1) = 4,\; h(2) = -3$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) $h(-1) = 4$ 조건을 이용하여 삼차함수 $g(x)$의 식을 완전히 구하고 $h(2)$와 $g(3)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 방정식 $g(x) = 0$의 모든 실근을 구하고, 닫힌구간 $[-3, 0]$에서 방정식 $h(x) = 0$이 적어도 하나의 실근을 가짐을 사잇값 정리로 설명하시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1] $g(-1) = 0,\; g(2) = 0,\; g(x) = (x+1)(x-2)(x-k)$ | [2-2] $g(x) = (x+1)(x-2)(x+2),\; h(2) = -4,\; g(3) = 20$ | [2-3] 실근 $-2, -1, 2$, $h(-1)h(2) = -16 \lt 0$

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점) — 삼차함수 그래프의 변곡 대칭성과 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 12093 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 곡선 $y = f(x)$ 밖의 한 점 $(a, b)$에서 곡선에 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수는 접점의 $x$좌표 $t$에 대한 방정식 $b - f(t) = f'(t)(a - t)$의 서로 다른 실근 $t$의 개수와 같다.

삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x$의 그래프와 점 $P(1, k)$에 대하여 점 $P$에서 곡선 $y = f(x)$에 그을 수 있는 접선의 개수를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, t^3 - 3t)$에서의 접선이 점 $P(1, k)$를 지날 조건을 정리하여 $k$를 $t$에 대한 삼차식 $g(t)$로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) 점 $P(1, k)$에서 곡선 $y = f(x)$에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) $k = -2$일 때 점 $P(1, -2)$에서 곡선에 그은 모든 접선의 방정식과 세 접점(또는 두 접점)의 $x$좌표를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점) — 정적분으로 정의된 함수의 미분과 극댓값·극솟값의 차 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 12094 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 $f(t)$에 대하여 $F(x) = \int_a^x (x - t)f'(t)\,dt$로 정의된 함수는 부분적분 또는 전개 미분법에 의하여 $F'(x) = \int_a^x f'(t)\,dt = f(x) - f(a)$이고 $F''(x) = f'(x)$를 만족시킨다.

이차함수 $f(x) = x^2 - 4x + 3$에 대하여 함수 $g(x) = \int_1^x f(t)\,dt$로 정의할 때, 함수 $g(x)$의 극값과 넓이를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수 $g(x)$의 도함수 $g'(x)$를 구하고, 함수 $g(x)$가 극댓값을 갖는 $x$의 값과 극솟값을 갖는 $x$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 $g(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하고, 방정식 $g(x) = 0$의 서로 다른 모든 실근을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 $y = g(x)$와 직선 $y = -\dfrac{4}{3}$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 | 배점 20점 (6+7+7점) — 조건부확률과 전체확률의 법칙을 이용한 사후확률 추론 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.10 탐구 12095 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통02-03]

<제시문 (가)> 표본공간 $S$의 분할 $A, A^c$와 사건 $B$에 대하여 $P(B) = P(A)P(B \mid A) + P(A^c)P(B \mid A^c)$가 성립하며, 사건 $B$가 일어났을 때 사건 $A$가 일어났을 조건부확률은 $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$이다.

어느 반도체 공장의 두 생산 라인 $A, B$에서 전체 웨이퍼의 각각 $40\%, 60\%$를 생산한다. 라인 $A$와 라인 $B$에서 생산된 웨이퍼가 불량품일 확률은 각각 $3\%, 2\%$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 이 공장에서 생산된 웨이퍼 중에서 임의로 택한 $1$개가 불량품일 확률 $P(D)$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 임의로 택한 $1$개의 웨이퍼가 불량품이었을 때, 이 웨이퍼가 라인 $A$에서 생산되었을 조건부확률 $P(A \mid D)$를 기약분수로 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 불량품 검수 장치가 실제 불량품을 불량으로 판정할 확률이 $90\%$이고, 정상 제품을 불량으로 오판정할 확률이 $1\%$라 하자. 임의로 택한 웨이퍼 $1$개가 검수 장치에서 불량 판정을 받았을 때 실제로 불량품일 확률을 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제9회	문항 1	대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 \| 배점 20점 (6+7+7점)	비선형 분수 점화식의 역수 치환과 부분분수 급수의 합	20점	최상
제9회	문항 2	미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 \| 배점 20점 (6+7+7점)	유리함수와 다항함수의 곱의 연속성과 사잇값 정리	20점	최상
제9회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	삼차함수 그래프의 변곡 대칭성과 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수	20점	최상
제9회	문항 4	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 \| 배점 20점 (6+7+7점)	정적분으로 정의된 함수의 미분과 극댓값·극솟값의 차	20점	최상
제9회	문항 5	확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 \| 배점 20점 (6+7+7점)	조건부확률과 전체확률의 법칙을 이용한 사후확률 추론	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 아주대학교 수리논술 제9회 출제 원칙 및 합격 전략

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점) — 수학적 귀납법을 이용한 급수 부등식의 증명과 부분합 추론 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 12101 변형 | 성취기준: 12대수03-06]

<제시문 (가)> 자연수 $n$에 대한 명제 $P(n)$이 모든 자연수 $n \ge n_0$에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하려면 (i) $n = n_0$일 때 성립함을 보이고, (ii) $n = k$ ($k \ge n_0$)일 때 성립한다고 가정한 후 $n = k + 1$일 때 성립함을 연역적으로 보인다.

자연수 $n$에 대하여 $S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}}$라 할 때, 부등식 $2\sqrt{n + 1} - 2 \lt S_n \le 2\sqrt{n} - 1$을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 임의의 자연수 $k$에 대하여 부등식 $2(\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}) \lt \dfrac{1}{\sqrt{k}}$이 성립함을 유리화를 이용하여 증명하시오.

[문항 1-2] (7점) 모든 자연수 $n$에 대하여 $S_n \le 2\sqrt{n} - 1$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (7점) 위 부등식을 이용하여 $S_{99}$의 정수부분을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점) — 다항함수의 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 극값 추론 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.3 탐구 12102 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수는 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$로 정의되며, 두 변수의 관계식이 주어질 때 한 변수에 관하여 차분몫의 극한을 취하면 도함수 $f'(x)$를 구할 수 있다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2$를 만족시키고 $f'(0) = -3$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) $f(0)$의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 도함수 $f'(x)$의 식을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 함수 $f(x)$의 식을 구하고, 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점) — 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 이등분 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 12103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 $y = ax^2 + bx + c$의 그래프와 직선 $y = mx + n$이 서로 다른 두 점 $x = \alpha, \beta$ ($\alpha \lt \beta$)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$이다.

포물선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 원점을 지나는 직선 $y = mx$ ($0 \lt m \lt 4$)가 이등분할 때, 상수 $m$에 대한 식과 관련 넓이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 포물선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1$을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 포물선 $y = -x^2 + 4x$와 직선 $y = mx$ ($0 \lt m \lt 4$)로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_2$를 $m$에 대한 식으로 나타내고, $S_1$을 이등분하도록 하는 $(4 - m)^3$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 위에서 구한 $m$에 대하여 직선 $y = mx$와 포물선의 원점이 아닌 교점 $A$의 $x$좌표를 $x_A$라 할 때, $x_A^3$의 값과 점 $A$에서의 포물선의 접선의 기울기 $k$에 대하여 $(4 - k)^3$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 기하 Ⅲ-2. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점) — 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.8 탐구 12104 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 좌표공간에서 점 $(x_0, y_0, z_0)$을 지나고 법선벡터가 $\vec{n} = (a, b, c)$인 평면의 방정식은 $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$이며, 두 평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_2|}$이고 정사영의 넓이는 $S' = S\cos\theta$이다.

좌표공간에서 세 점 $A(3, 0, 0),\; B(0, 3, 0),\; C(0, 0, 6)$을 지나는 평면을 $\alpha$라 할 때, 평면 $\alpha$의 방정식과 정사영을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 평면 $\alpha$의 방정식과 단위법선벡터를 구하고, 원점 $O(0, 0, 0)$에서 평면 $\alpha$까지의 거리 $d$를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 점 $P(3, 3, 3)$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발 $H$의 좌표를 구하고, 사면체 $PABC$의 부피를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) [4-1] $2x + 2y + z - 6 = 0,\; d = 2$ | [4-2] $\operatorname{Area}(\triangle OAB) = \dfrac{9}{2},\; \cos\theta = \dfrac{1}{3},\; S = \dfrac{27}{2}$ | [4-3] $H(1, 1, 2),\; \text{부피 } \dfrac{27}{2}$

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 아주대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 | 배점 20점 (6+7+7점) — 표본비율의 정규분포 근사와 모비율의 신뢰구간 추정 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.12 탐구 12105 변형 | 성취기준: 12확통03-06]

<제시문 (가)> 모비율이 $p$인 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출할 때 표본비율 $\hat{p}$의 평균과 표준편차는 $E(\hat{p}) = p,\; \sigma(\hat{p}) = \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}$이며, $n$이 충분히 클 때 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간은 $\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$이다.

어느 도시의 시민 전체를 대상으로 자율주행 버스 도입 찬성 비율 $p$를 알아보기 위해 $n = 400$명을 임의추출하여 조사한 결과 $320$명이 찬성하였다. (단, $P(|Z| \le 1.96) = 0.95,\; P(|Z| \le 2.58) = 0.99$) 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 표본비율 $\hat{p}$의 값과 $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간 $[a, b]$를 구하고 신뢰구간의 길이 $L = b - a$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 표본비율 $\hat{p}$가 위와 같을 때, 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $99\%$의 신뢰구간의 길이가 $0.0516$ 이하가 되도록 하는 최소의 표본의 크기 $N$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제10회	문항 1	대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 \| 배점 20점 (6+7+7점)	수학적 귀납법을 이용한 급수 부등식의 증명과 부분합 추론	20점	최상
제10회	문항 2	미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 \| 배점 20점 (6+7+7점)	다항함수의 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 극값 추론	20점	최상
제10회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 \| 배점 20점 (6+7+7점)	포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 이등분	20점	최상
제10회	문항 4	기하 Ⅲ-2. 공간벡터와 평면의 방정식 \| 배점 20점 (6+7+7점)	벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피	20점	최상
제10회	문항 5	확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 \| 배점 20점 (6+7+7점)	표본비율의 정규분포 근사와 모비율의 신뢰구간 추정	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 아주대학교 수리논술 제10회 출제 원칙 및 합격 전략

PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS

실전 모의고사 1회 ~ 10회
문제 · 모범답안 · 채점 루브릭 합본 해설집

시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 50문항 전체 원문 요약과 단계별 모범답안·루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.

🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능

⚡ 단계별 채점 기준표 완비: 소문항·단계별 부분점수 배점표를 통해 정밀한 자가 채점 지원

👨‍🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭

【문제 1】 원문 요약 — 로그의 정의 조건(밑과 진수 조건)과 정수 순서쌍의 개수 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 12011 변형 | 성취기준: 12대수01-03]

<제시문 (가)> 로그 $\log_{a} N$이 정의되기 위한 필요충분조건은 밑 조건 $a \gt 0,\; a \ne 1$과 진수 조건 $N \gt 0$을 동시에 만족시키는 것이다.

실수 $x$에 대하여 로그 $\log_{|x - 2|}(-x^2 + 7x - 6)$이 정의되도록 하는 모든 정수 $x$와 그때의 로그값을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 밑 조건으로부터 $x$의 값의 범위를 구하고, 진수 조건으로부터 $x$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 주어진 로그가 정의되도록 하는 모든 정수 $x$의 값을 구하고, 각 정수 $x$에서 주어진 로그의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 1 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 밑 조건 $|x - 2| \gt 0,\; |x - 2| \ne 1$과 진수 조건 $-x^2 + 7x - 6 \gt 0$을 각각 푼다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 밑 조건에서 $x \ne 2$ 및 $x - 2 \ne \pm 1 \implies x \ne 1, 2, 3$이다. 진수 조건 $(x - 1)(x - 6) \lt 0$에서 $1 \lt x \lt 6$이므로 두 조건을 모두 만족시키는 정수는 $x = 4, 5$이다. $x = 4$일 때 $\log_2 6$, $x = 5$일 때 $\log_3 4$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $m - 1 \gt 0,\; m - 1 \ne 1,\; m \le 6$을 만족시키는 정수 $m$은 $m \in \{3, 4, 5, 6\}$ ($4$개)이고, $-n^2 + 6n - 5 = -(n - 1)(n - 5) \gt 0$을 만족시키는 정수 $n$은 $n \in \{2, 3, 4\}$ ($3$개)이므로 순서쌍의 개수는 $4 \times 3 = 12$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1] (배점 6)	• 밑 조건 $x \ne 1, 2, 3$ 도출 +3점 / 진수 조건 $1 \lt x \lt 6$ 산출 +3점	6점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 정수 $x = 4, 5$ 확정 +3점 / $\log_2 6,\; \log_3 4$ 계산 +4점	7점
소문항 [1-3] (배점 7)	• $m$ $4$개 및 $n$ $3$개 도출 +4점 / 곱 $12$개 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 밑에 절댓값 $|x - 2|$가 포함된 경우 $|x - 2| \ne 1$에서 $x = 3$뿐만 아니라 $x = 1$도 제외되며, $|x - 2| \gt 0$에서 $x = 2$도 제외됩니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [1-1] 밑: $x \ne 1, 2, 3$, 진수: $1 \lt x \lt 6$ | [1-2] $x = 4, 5$, 로그값 각각 $\log_2 6,\; \log_3 4$ | [1-3] $12$개

【문제 2】 원문 요약 — 로그부등식과 이차방정식의 실근 조건 결합 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 12012 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

양수 $k$에 대하여 $x$에 대한 이차방정식 $x^2 - 2(\log_2 k)x + \log_2 k + 6 = 0$의 근의 성질을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 주어진 이차방정식이 허근을 갖도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 주어진 이차방정식이 중근을 갖도록 하는 모든 양수 $k$의 값들의 곱과 합을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 주어진 이차방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 2 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $t = \log_2 k$로 치환하면 $\dfrac{D}{4} = t^2 - t - 6 = (t + 2)(t - 3)$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 허근을 가질 조건은 $\dfrac{D}{4} \lt 0 \iff -2 \lt t \lt 3 \iff \dfrac{1}{4} \lt k \lt 8$이다. 중근을 가질 조건은 $t = -2, 3$이므로 $k = \dfrac{1}{4}, 8$이고, 두 값의 곱은 $2$, 합은 $\dfrac{33}{4}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 서로 다른 두 양의 실근을 가지려면 $\dfrac{D}{4} \gt 0$ ($t \lt -2$ 또는 $t \gt 3$), 두 근의 합 $2t \gt 0$ ($t \gt 0$), 두 근의 곱 $t + 6 \gt 0$ ($t \gt -6$)을 동시에 만족해야 하므로 $t \gt 3$, 즉 $k \gt 8$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1] (배점 6)	• 판별식 $(t+2)(t-3) \lt 0$ 유도 +3점 / $\dfrac{1}{4} \lt k \lt 8$ 도출 +3점	6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• $k = \dfrac{1}{4}, 8$ 도출 +3점 / 곱 $2$, 합 $\dfrac{33}{4}$ 산출 +4점	7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 판별식·합·곱 3대 조건 연립 +4점 / $k \gt 8$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: '서로 다른' 두 양의 실근을 물었으므로 판별식에서 등호($t = 3,\; k = 8$)를 반드시 제외하여 $k \gt 8$로 답해야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [2-1] $\dfrac{1}{4} \lt k \lt 8$ | [2-2] 곱 $2$, 합 $\dfrac{33}{4}$ | [2-3] $k \ge 8$이 아닌 서로 다른 두 양근 $k \gt 8$

【문제 3】 원문 요약 — 사인·코사인 대칭식과 삼차 곱셈 공식 결합 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 12013 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

$\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi$인 각 $\theta$가 $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $\sin\theta\cos\theta$의 값과 $\sin\theta - \cos\theta$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$의 값과 $\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) $\sin^4\theta + \cos^4\theta$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 3 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 양변을 제곱하면 $1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}$이고, 제$2$사분면에서 $\sin\theta \gt 0,\; \cos\theta \lt 0$이므로 $\sin\theta - \cos\theta \gt 0$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}$이고, $(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\left(-\dfrac{3}{8}\right) = \dfrac{7}{4}$에서 $\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$이다. 또한 $\sin^3\theta + \cos^3\theta = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 - 3\left(-\dfrac{3}{8}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{11}{16}$이고, $\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta} = -\dfrac{8}{3}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $\sin^4\theta + \cos^4\theta = (\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - 2\left(\dfrac{9}{64}\right) = \dfrac{23}{32}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1] (배점 6)	• $\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}$ 도출 +3점 / 부호 판정 후 $\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ 산출 +3점	6점
소문항 [3-2] (배점 7)	• $\sin^3\theta + \cos^3\theta = \dfrac{11}{16}$ 계산 +4점 / $-\dfrac{8}{3}$ 도출 +3점	7점
소문항 [3-3] (배점 7)	• $1 - 2(\sin\theta\cos\theta)^2$ 변형 +4점 / $\dfrac{23}{32}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} + \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}$로 변형하면 계산이 한 줄로 끝납니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [3-1] $\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8},\; \sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$ | [3-2] $\dfrac{11}{16},\; -\dfrac{8}{3}$ | [3-3] $\dfrac{23}{32}$

【문제 4】 원문 요약 — 무리함수의 극한과 미정계수 결정 및 유리화 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 12014 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

두 상수 $a, b$에 대하여 $\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + a} - b}{x - 3} = \dfrac{1}{4}$이 성립할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $b$를 $\sqrt{a + 3}$으로 나타내고, 분자를 유리화하여 극한값을 $b$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 구한 $a, b$에 대하여 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - bx})$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 4 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $x \to 3$일 때 분모가 $0$이므로 $\sqrt{3 + a} - b = 0 \implies b = \sqrt{a + 3} \gt 0$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 유리화하면 $\lim_{x \to 3} \dfrac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x + a} + b)} = \dfrac{1}{2b} = \dfrac{1}{4}$이므로 $b = 2$이고, $\sqrt{a + 3} = 2$에서 $a = 1$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $a = 1, b = 2$를 대입하여 유리화하면 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^2 + x) - (x^2 - 2x)}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - 2x}} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - 2x}} = \dfrac{3}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1] (배점 6)	• $b = \sqrt{a+3}$ 관계 도출 +3점 / 유리화 극한 $\dfrac{1}{2b}$ 유도 +3점	6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• $b = 2$ 산출 +3점 / $a = 1$ 도출 +4점	7점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 분자 $3x$ 유리화 정리 +4점 / 극한값 $\dfrac{3}{2}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x+a} - \sqrt{3+a}}{x - 3}$은 무리함수 $g(x) = \sqrt{x + a}$의 $x = 3$에서의 미분계수 $g'(3) = \dfrac{1}{2\sqrt{3 + a}}$와 같습니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [4-1] $b = \sqrt{a + 3}$, 극한값 $\dfrac{1}{2b}$ | [4-2] $a = 1,\; b = 2$ | [4-3] $\dfrac{3}{2}$

【문제 5】 원문 요약 — 정적분으로 정의된 함수의 극값과 최댓값·최솟값 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 12015 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속함수 $g(t)$에 대하여 함수 $F(x) = \int_{x}^{x+1} g(t)\,dt$를 $x$에 대하여 미분하면 $F'(x) = g(x + 1) - g(x)$이다.

이차함수 $g(t) = 3t^2 - 6t$에 대하여 함수 $F(x) = \int_{x}^{x+1} g(t)\,dt$가 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 도함수 $F'(x)$를 $x$에 대한 일차식으로 구하고, $F'(x) = 0$을 만족시키는 $x$의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 정적분을 직접 계산하여 $F(x)$를 $x$에 대한 이차식으로 나타내고, 함수 $F(x)$의 최솟값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 닫힌구간 $[-1, 3]$에서 함수 $F(x)$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 5 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $F'(x) = g(x + 1) - g(x) = 3(x + 1)^2 - 6(x + 1) - (3x^2 - 6x)$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 정리하면 $F'(x) = 6x - 3 = 0$에서 $x = \dfrac{1}{2}$이다. 직접 적분하면 $F(x) = \left[t^3 - 3t^2\right]_{x}^{x+1} = (x + 1)^3 - 3(x + 1)^2 - (x^3 - 3x^2) = 3x^2 - 3x - 2$이고, 최솟값은 $F\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{2} - 2 = -\dfrac{11}{4}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구간 $[-1, 3]$에서 축 $x = \dfrac{1}{2}$로부터 가장 먼 $x = 3$에서 최댓값 $F(3) = 27 - 9 - 2 = 16$을 가지므로, 최댓값과 최솟값의 합은 $16 - \dfrac{11}{4} = \dfrac{53}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1] (배점 6)	• $F'(x) = g(x+1) - g(x) = 6x - 3$ 유도 +4점 / $x = \dfrac{1}{2}$ 산출 +2점	6점
소문항 [5-2] (배점 7)	• $F(x) = 3x^2 - 3x - 2$ 적분 정리 +4점 / 최솟값 $-\dfrac{11}{4}$ 도출 +3점	7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 최댓값 $F(3) = 16$ 산출 +4점 / 합 $\dfrac{53}{4}$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 이차함수 $g(t)$의 대칭축이 $t = 1$이므로 구간 $[x, x+1]$의 중점 $x + \dfrac{1}{2}$이 $1$과 일치하는 $x = \dfrac{1}{2}$에서 정적분이 최소가 됩니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [5-1] $F'(x) = 6x - 3,\; x = \dfrac{1}{2}$ | [5-2] $F(x) = 3x^2 - 3x - 2$, 최솟값 $-\dfrac{11}{4}$ | [5-3] $\dfrac{53}{4}$

【문제 1】 원문 요약 — 상용로그의 소수부분이 같을 조건과 등비수열의 로그 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 탐구 12021 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

$10 \le x \lt 100$인 실수 $x$에 대하여 $\log_{10} x$의 소수부분과 $\log_{10} x^4$의 소수부분이 서로 같을 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $\log_{10} x$의 값의 범위를 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 $3\log_{10} x$가 가질 수 있는 모든 정수의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 조건을 만족시키는 모든 실수 $x$의 값을 $10$의 유리수 거듭제곱으로 나타내고, 모든 $x$의 값들의 곱 $P$를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 구한 $x$ 중 $x \ne 10$인 두 수를 작은 것부터 $x_1, x_2$라 할 때, $\log_{x_1} x_2$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 1 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $10 \le x \lt 100 \iff 1 \le \log_{10} x \lt 2$이므로 $3 \le 3\log_{10} x \lt 6$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 두 소수부분이 같으므로 $\log_{10} x^4 - \log_{10} x = 3\log_{10} x$는 정수이며, 가능한 값은 $3, 4, 5$이다. 따라서 $\log_{10} x = 1, \dfrac{4}{3}, \dfrac{5}{3}$이고 $x = 10, 10^{\frac{4}{3}}, 10^{\frac{5}{3}}$이며 곱은 $P = 10^{1 + \frac{4}{3} + \frac{5}{3}} = 10^4$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $x_1 = 10^{\frac{4}{3}},\; x_2 = 10^{\frac{5}{3}}$이므로 밑변환 공식에 의해 $\log_{x_1} x_2 = \dfrac{\frac{5}{3}}{\frac{4}{3}} = \dfrac{5}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1] (배점 6)	• $1 \le \log_{10} x \lt 2$ 범위 유도 +3점 / $3\log_{10} x \in \{3, 4, 5\}$ 도출 +3점	6점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 세 해 $10, 10^{\frac{4}{3}}, 10^{\frac{5}{3}}$ 산출 +4점 / 곱 $P = 10^4$ 도출 +3점	7점
소문항 [1-3] (배점 7)	• $x_1, x_2$ 식별 +3점 / 밑변환으로 $\dfrac{5}{4}$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 소수부분이 서로 같을 조건에서는 소수부분의 합이 $1$일 때와 달리 소수부분이 $0$인 경우($x = 10$)도 조건을 만족시키므로 제외하지 않아야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [1-1] $1 \le \log_{10} x \lt 2,\; 3\log_{10} x = 3, 4, 5$ | [1-2] $x = 10, 10^{\frac{4}{3}}, 10^{\frac{5}{3}},\; P = 10^4$ | [1-3] $\dfrac{5}{4}$

【문제 2】 원문 요약 — 지수·로그 복합 부등식과 양변 로그 취하기 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 12022 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

양수 $x$에 대한 부등식 $x^{\log_2 x} \le 16x^3$과 함수 $f(x) = \dfrac{x^{\log_2 x}}{x^4}\;(x \gt 0)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-2] (7점) 주어진 부등식의 해를 구하고, 해집합에 속하는 모든 자연수 $x$의 개수를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 함수 $f(x) = \dfrac{x^{\log_2 x}}{x^4}\;(x \gt 0)$가 최솟값을 가질 때의 $x$의 값과 최솟값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 2 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 밑이 $2 \gt 1$인 로그를 양변에 취하면 부등호 방향이 유지된다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $(\log_2 x)^2 \le 4 + 3\log_2 x \iff t^2 - 3t - 4 = (t + 1)(t - 4) \le 0$에서 $-1 \le \log_2 x \le 4$이므로 $\dfrac{1}{2} \le x \le 16$이고 자연수는 $1$부터 $16$까지 $16$개이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $\log_2 f(x) = t^2 - 4t = (t - 2)^2 - 4$이므로 $t = \log_2 x = 2\;(x = 4)$일 때 $\log_2 f(x)$는 최솟값 $-4$를 갖고, $f(x)$의 최솟값은 $2^{-4} = \dfrac{1}{16}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1] (배점 6)	• 양변 $\log_2$ 적용 +3점 / $t^2 - 3t - 4 \le 0$ 유도 +3점	6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• $\dfrac{1}{2} \le x \le 16$ 도출 +4점 / 자연수 $16$개 산출 +3점	7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• $\log_2 f(x) = (t-2)^2 - 4$ 완전제곱식 +4점 / $x = 4$, 최솟값 $\dfrac{1}{16}$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $\log_2 f(x)$의 최솟값 $-4$를 그대로 $f(x)$의 최솟값으로 쓰지 않고 반드시 $2^{-4} = \dfrac{1}{16}$으로 역변환해야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [2-1] $t^2 - 3t - 4 \le 0$ | [2-2] $\dfrac{1}{2} \le x \le 16$, 자연수 $16$개 | [2-3] $x = 4$, 최솟값 $\dfrac{1}{16}$

【문제 3】 원문 요약 — 가게 간판 시야각(코사인법칙·넓이 분할)과 각의 이등분선 길이 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 12023 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[문항 3-1] (6점) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이와 제시문 (가)를 이용하여 선분 $\mathrm{AD}$의 길이를 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 코사인법칙을 이용하여 변 $\mathrm{BC}$의 길이를 구하고, 선분 $\mathrm{BD}$와 $\mathrm{CD}$의 길이를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 3 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $\triangle \mathrm{ABC} = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 3 \times \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\dfrac{1}{2}(6 + 3)\overline{\mathrm{AD}}\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}\overline{\mathrm{AD}} = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$에서 $\overline{\mathrm{AD}} = 2$이다. 또한 코사인법칙에 의해 $\overline{\mathrm{BC}}^2 = 36 + 9 - 2\cdot 6\cdot 3\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 63 \implies \overline{\mathrm{BC}} = 3\sqrt{7}$이고, 내각의 이등분선 정리에 의해 $2 : 1$로 내분되므로 $\overline{\mathrm{BD}} = 2\sqrt{7},\; \overline{\mathrm{CD}} = \sqrt{7}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 사인법칙에 의해 $2R_1 = \dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{\sin\frac{\pi}{3}},\; 2R_2 = \dfrac{\overline{\mathrm{CD}}}{\sin\frac{\pi}{3}}$이 아닌 공통현 $\overline{\mathrm{AD}}$의 원주각이 아닌 $\angle \mathrm{ADB} + \angle \mathrm{ADC} = \pi$이므로 $\sin(\angle \mathrm{ADB}) = \sin(\angle \mathrm{ADC})$이고, $2R_1 = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin(\angle \mathrm{ADB})},\; 2R_2 = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin(\angle \mathrm{ADC})}$에서 $\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{AC}}} = 2$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1] (배점 6)	• 전체 넓이 $\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$ 산출 +3점 / 넓이 분할로 $\overline{\mathrm{AD}} = 2$ 도출 +3점	6점
소문항 [3-2] (배점 7)	• 코사인법칙 $\overline{\mathrm{BC}} = 3\sqrt{7}$ 도출 +4점 / $2:1$ 내분으로 $2\sqrt{7}, \sqrt{7}$ 산출 +3점	7점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 사인법칙 $2R_1 = \dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{\sin(\pi/3)},\; 2R_2 = \dfrac{\overline{\mathrm{CD}}}{\sin(\pi/3)}$ 적용 +4점 / 비 $\dfrac{R_1}{R_2} = 2$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{CAD} = \dfrac{\pi}{3}$이므로 사인법칙을 대변 $\overline{\mathrm{BD}}, \overline{\mathrm{CD}}$에 적용하면 $R_1 : R_2 = \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{CD}} = 2 : 1$이 즉시 유도됩니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [3-1] 넓이 $\dfrac{9\sqrt{3}}{2},\; \overline{\mathrm{AD}} = 2$ | [3-2] $\overline{\mathrm{BC}} = 3\sqrt{7},\; \overline{\mathrm{BD}} = 2\sqrt{7},\; \overline{\mathrm{CD}} = \sqrt{7}$ | [3-3] $2$

【문제 4】 원문 요약 — 원·곡선 교점 개수 함수의 불연속점과 좌·우극한 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 12024 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03]

[문항 4-2] (7점) 원이 포물선의 꼭짓점 $(0, 0)$을 지날 때의 반지름 $r_2$를 구하고, 함수 $f(r)$이 불연속인 모든 $r$의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) $f(r_1) + \lim_{r \to r_1+} f(r) + f(r_2) + \lim_{r \to r_2+} f(r)$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 4 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $x^2 = y\;(y \ge 0)$를 원의 방정식에 대입하면 $y + (y - 2)^2 = r^2 \iff y^2 - 3y + 4 - r^2 = 0$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 하나의 $y \gt 0$에는 $x = \pm\sqrt{y}$ 두 개의 교점이 대응하고 $y = 0$에는 $(0, 0)$ 한 개가 대응한다. 판별식 $D = 9 - 4(4 - r^2) = 4r^2 - 7 = 0$에서 $r_1 = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$ (이때 $y = \dfrac{3}{2} \gt 0$)이고, $y = 0$일 때 $4 - r^2 = 0 \implies r_2 = 2$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $r = r_1$에서 $f(r_1) = 2$, $r_1 \lt r \lt 2$에서 두 양근이므로 $\lim_{r \to r_1+} f(r) = 4$, $r = 2$에서 $y = 0, 3$이므로 $f(2) = 1 + 2 = 3$, $r \gt 2$에서 양근 $1$개·음근 $1$개이므로 $\lim_{r \to 2+} f(r) = 2$이다. 합은 $2 + 4 + 3 + 2 = 11$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1] (배점 6)	• $y^2 - 3y + 4 - r^2 = 0$ 유도 +3점 / 판별식 $D=0 \implies r_1 = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$ 산출 +3점	6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• $r_2 = 2$ 도출 +3점 / 불연속점 $\dfrac{\sqrt{7}}{2}, 2$ 확정 +4점	7점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 각 구간 교점 개수 $2, 4, 3, 2$ 판정 +4점 / 합 $11$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $y \gt 0$인 근 $1$개는 $x = \pm\sqrt{y}$로 교점 $2$개를 만들고, $y = 0$인 근은 원점 $(0, 0)$ $1$개만 만든다는 대응 관계를 정확히 구분해야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [4-1] $y^2 - 3y + 4 - r^2 = 0,\; r_1 = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$ | [4-2] $r_2 = 2$, 불연속점 $r = \dfrac{\sqrt{7}}{2}, 2$ | [4-3] $2 + 4 + 3 + 2 = 11$

【문제 5】 원문 요약 — 역함수의 정적분과 기하적 직사각형 넓이 분할 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 탐구 12025 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

실수 전체의 집합에서 증가하는 삼차함수 $f(x) = x^3 + 2x + 1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) $f(0)$과 $f(2)$의 값을 각각 구하고, 정적분 $\int_{0}^{2} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 역함수의 정적분 $\int_{1}^{13} g(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = x$, 그리고 두 직선 $x = 0,\; x = 2$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 5 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $f(0) = 1,\; f(2) = 8 + 4 + 1 = 13$이고 $\int_{0}^{2} (x^3 + 2x + 1)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 + x^2 + x\right]_{0}^{2} = 4 + 4 + 2 = 10$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 제시문 (가)의 공식에 $a = 0, b = 2, c = 1, d = 13$을 대입하면 $\int_{0}^{2} f(x)\,dx + \int_{1}^{13} g(x)\,dx = 2 \times 13 - 0 \times 1 = 26$이므로 $\int_{1}^{13} g(x)\,dx = 26 - 10 = 16$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $x \ge 0$에서 $f(x) - x = x^3 + x + 1 \gt 0$이므로 둘러싸인 넓이는 $\int_{0}^{2} (f(x) - x)\,dx = 10 - \int_{0}^{2} x\,dx = 10 - 2 = 8$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1] (배점 6)	• $f(0)=1, f(2)=13$ 산출 +2점 / $\int_0^2 f(x)\,dx = 10$ 도출 +4점	6점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 직사각형 넓이 $2 \times 13 = 26$ 적용 +4점 / $26 - 10 = 16$ 산출 +3점	7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• $\int_0^2 (f(x) - x)\,dx$ 식 수립 +4점 / 넓이 $8$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수의 역함수 $g(x)$는 대수적인 식으로 직접 구할 수 없으므로 반드시 직사각형 넓이 관계식 $\int_a^b f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} g(x)\,dx = bf(b) - af(a)$를 사용해야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [5-1] $f(0) = 1,\; f(2) = 13,\; \int_0^2 f(x)\,dx = 10$ | [5-2] $16$ | [5-3] $8$

【문제 1】 원문 요약 — 로그의 정수부분과 가우스 계단 합 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 12031 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $m = 0, 1, 2, 3, 4, 5$에 대하여 $a_k = m$을 만족시키는 자연수 $k$의 개수를 $m$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 1-2] (7점) $\sum_{k=1}^{63} [\log_2 k]$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) $\sum_{k=1}^{80} [\log_3 k]$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 1 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $2^m \le k \le 2^{m+1} - 1$인 자연수 $k$의 개수는 $(2^{m+1} - 1) - 2^m + 1 = 2^m$개이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $1 \le k \le 63 = 2^6 - 1$이므로 $\sum_{k=1}^{63} [\log_2 k] = \sum_{m=0}^{5} m \cdot 2^m = 0\cdot 1 + 1\cdot 2 + 2\cdot 4 + 3\cdot 8 + 4\cdot 16 + 5\cdot 32 = 2 + 8 + 24 + 64 + 160 = 258$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $[\log_3 k] = m$인 구간 $3^m \le k \le 3^{m+1} - 1$의 개수는 $2\cdot 3^m$개이다. $80 = 3^4 - 1$이므로 $\sum_{k=1}^{80} [\log_3 k] = \sum_{m=0}^{3} m \cdot (2\cdot 3^m) = 0 + 1\cdot 6 + 2\cdot 18 + 3\cdot 54 = 6 + 36 + 162 = 204$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1] (배점 6)	• 구간 $[2^m, 2^{m+1}-1]$ 설정 +3점 / 개수 $2^m$개 도출 +3점	6점
소문항 [1-2] (배점 7)	• $\sum_{m=0}^{5} m\cdot 2^m$ 전개 +4점 / 값 $258$ 산출 +3점	7점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 밑 $3$ 구간 개수 $2\cdot 3^m$ 유도 +4점 / $6 + 36 + 162 = 204$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $3^m \le k \le 3^{m+1} - 1$의 자연수 개수는 $3^m$개가 아니라 $3^{m+1} - 3^m = 2 \cdot 3^m$개라는 점에 유의하십시오.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [1-1] $2^m$개 | [1-2] $258$ | [1-3] $204$

【문제 2】 원문 요약 — 삼각함수의 합성과 치환 방정식의 실근의 개수 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 12032 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 정의된 삼각방정식 $2\sin^2 x - \sin x - k = 0$의 서로 다른 실근의 개수를 $N(k)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) $t = \sin x\;(-1 \le t \le 1)$로 치환하여 $h(t) = 2t^2 - t$의 그래프의 꼭짓점과 양 끝점 함숫값 $h(-1), h(1)$을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) $k = 0$일 때 방정식의 모든 실근을 구하고, $N(0)$의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 서로 다른 실근의 개수가 $N(k) = 4$가 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 2 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $h(t) = 2\left(t - \dfrac{1}{4}\right)^2 - \dfrac{1}{8}\;(-1 \le t \le 1)$로 변형한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 꼭짓점은 $\left(\dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}\right)$이고 $h(-1) = 3,\; h(1) = 1$이다. $k = 0$일 때 $t(2t - 1) = 0 \implies t = 0, \dfrac{1}{2}$이므로 $t = 0$에서 $x = 0, \pi, 2\pi$ ($3$개), $t = \dfrac{1}{2}$에서 $x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$ ($2$개)로 총 $N(0) = 5$개이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $N(k) = 4$가 되려면 $h(t) = k$가 $0 \lt t \lt 1$에서 서로 다른 두 실근을 가져야(또는 $t = 0$을 피해야) 하므로 $- \dfrac{1}{8} \lt k \lt 0$이다. (참고: $k = 1$일 때는 $t = 1$에서 $1$개, $t = -\dfrac{1}{2}$에서 $2$개로 $3$개이다.)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1] (배점 6)	• 꼭짓점 $\left(\dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}\right)$ 도출 +3점 / $h(-1)=3, h(1)=1$ 산출 +3점	6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• $t = 0, \dfrac{1}{2}$에 대응하는 $5$개 실근 나열 +4점 / $N(0) = 5$ 도출 +3점	7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• $0 \lt t \lt 1$ 내 두 근 조건 분석 +4점 / $-\dfrac{1}{8} \lt k \lt 0$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서는 양 끝점 $0, 2\pi$가 모두 포함되므로 $\sin x = 0$의 근이 $2$개가 아니라 $3$개($0, \pi, 2\pi$)가 되어 $k = 0$에서 실근이 $5$개가 됩니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [2-1] 꼭짓점 $\left(\dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}\right),\; h(-1) = 3,\; h(1) = 1$ | [2-2] $x = 0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \pi, 2\pi,\; N(0) = 5$ | [2-3] $-\dfrac{1}{8} \lt k \lt 0$

【문제 3】 원문 요약 — 다항함수의 차수와 최고차항을 결정하는 자기참조 극한 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 12033 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> $n$차 다항함수 $f(x) = ax^n + \cdots\;(a \ne 0)$의 도함수는 $f'(x) = nax^{n-1} + \cdots$이므로, $x \to \infty$일 때 $\dfrac{x f'(x)}{f(x)} \to n$이다.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 다항함수 $f(x)$의 차수 $n$과 삼차항, 이차항의 계수를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 조건 $f(0) = 1,\; f'(0) = 4$를 이용하여 다항함수 $f(x)$를 구하고, $f(2)$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x^2 - 1}$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 3 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x f'(x)} = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{3}$이므로 $f(x)$는 $3$차 다항함수이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 두 번째 극한에서 최고차항은 $2x^3$, 이차항은 $-3x^2$이고, $f(0) = 1,\; f'(0) = 4$에서 일차항은 $4x$, 상수항은 $1$이다. 따라서 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1$이고 $f(2) = 16 - 12 + 8 + 1 = 13$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $f'(x) = 6x^2 - 6x + 4$이므로 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{f'(1)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1] (배점 6)	• 차수 $n = 3$ 판정 +3점 / 삼차 계수 $2$, 이차 계수 $-3$ 도출 +3점	6점
소문항 [3-2] (배점 7)	• $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1$ 완성 +4점 / $f(2) = 13$ 산출 +3점	7점
소문항 [3-3] (배점 7)	• $\dfrac{1}{2}f'(1)$ 미분계수 변형 +4점 / 값 $2$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x f'(x)} = \dfrac{1}{n}$ 관계식은 다항함수의 차수 $n$을 한 번에 알려주는 표준 극한식입니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [3-1] 차수 $n = 3$, 삼차항 계수 $2$, 이차항 계수 $-3$ | [3-2] $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1,\; f(2) = 13$ | [3-3] $2$

【문제 4】 원문 요약 — 두 곡선의 공통접선(접할 조건)과 둘러싸인 넓이 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 12034 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

곡선 $C_1 : y = x^3 - 2x^2 + 2$와 포물선 $C_2 : y = -x^2 + ax + b$가 점 $(1, 1)$에서 서로 접할 때, 다음 논제에 답하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 상수 $a, b$의 값을 각각 구하고, 점 $(1, 1)$에서의 공통접선의 방정식을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 두 곡선 $C_1, C_2$가 점 $(1, 1)$ 외에 만나는 다른 교점의 좌표를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 두 곡선 $C_1, C_2$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 4 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $f(x) = x^3 - 2x^2 + 2,\; g(x) = -x^2 + ax + b$라 하면 $f(1) = g(1) = 1$이고 $f'(1) = g'(1)$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $f'(x) = 3x^2 - 4x$에서 $f'(1) = -1$이므로 공통접선은 $y - 1 = -(x - 1) \implies y = -x + 2$이다. $g'(1) = -2 + a = -1 \implies a = 1$이고 $g(1) = -1 + 1 + b = 1 \implies b = 1$이다. 교점 방정식은 $f(x) - g(x) = x^3 - x^2 - x + 1 = (x - 1)^2(x + 1) = 0$이므로 다른 교점은 $(-1, -1)$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 둘러싸인 넓이는 $\int_{-1}^{1} (x - 1)^2(x + 1)\,dx = \dfrac{1}{12}(1 - (-1))^4 = \dfrac{4}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1] (배점 6)	• $a = 1, b = 1$ 산출 +3점 / 공통접선 $y = -x + 2$ 도출 +3점	6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• $f(x) - g(x) = (x-1)^2(x+1) = 0$ 인수분해 +4점 / 교점 $(-1, -1)$ 산출 +3점	7점
소문항 [4-3] (배점 7)	• $\int_{-1}^1 (x^3-x^2-x+1)\,dx$ 계산 +4점 / 넓이 $\dfrac{4}{3}$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 두 곡선이 $x = 1$에서 접하므로 차 함수 $f(x) - g(x)$는 반드시 $(x - 1)^2$을 인수로 가지며, 넓이 공식 $\dfrac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4$이 그대로 적용됩니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [4-1] $a = 1,\; b = 1$, 공통접선 $y = -x + 2$ | [4-2] $(-1, -1)$ | [4-3] $\dfrac{4}{3}$

【문제 5】 원문 요약 — 두 곡선으로 둘러싸인 넓이가 같을 조건(정적분 상쇄) [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 12035 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

[문항 5-1] (6점) 정적분을 이용하여 구간 $[0, 2]$에서의 넓이 $S_1$을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $S_1 = S_2$가 되도록 하는 양수 $a\;(a \gt 2)$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 5 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $0 \le x \le 2$에서 $x^2 - 2x \le 0$이므로 $S_1 = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x)\,dx = \dfrac{4}{3}$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $S_1 = S_2$이면 제시문 (가)에 의해 $\int_{0}^{a} (x^2 - 2x)\,dx = \left[\dfrac{1}{3}x^3 - x^2\right]_{0}^{a} = a^2\left(\dfrac{a}{3} - 1\right) = 0$이므로 $a \gt 2$에서 $a = 3$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 삼차함수는 변곡점에 대하여 점대칭이므로 $x$절편 $0, 2, m$이 등차수열을 이룰 때 두 넓이가 같아진다. 따라서 $m = 4$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1] (배점 6)	• $\int_0^2 (-x^2+2x)\,dx$ 계산 +3점 / $S_1 = \dfrac{4}{3}$ 도출 +3점	6점
소문항 [5-2] (배점 7)	• $\int_0^a (x^2-2x)\,dx = 0$ 방정식 수립 +4점 / $a = 3$ 산출 +3점	7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 삼차함수 점대칭(등차절편) 또는 $\int_0^m g(x)\,dx = 0$ 적용 +4점 / $m = 4$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $S_1$과 $S_2$를 각각 따로 계산하여 같다고 놓는 대신 $\int_{0}^{a} (x^2 - 2x)\,dx = 0$을 풀면 계산량이 절반 이하로 줄어듭니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [5-1] $S_1 = \dfrac{4}{3}$ | [5-2] $a = 3$ | [5-3] $m = 4$

【문제 1】 원문 요약 — 지수·로그 연립 관계식과 상용로그 자릿수 추정 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 12041 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-04]

$\log_{10} 2 = 0.3010,\; \log_{10} 3 = 0.4771$일 때, 자연수 $N = 6^{20}$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) $\log_{10} 6$의 값을 구하고, $\log_{10} N$의 정수부분 $n$과 소수부분 $\alpha$를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $N = 6^{20}$은 몇 자리 자연수인지 구하고, $N$의 최고자리의 숫자를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) $6^{-20}$을 소수로 나타낼 때 소수점 아래 몇째 자리에서 처음으로 $0$이 아닌 숫자가 나타나는지 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 1 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $\log_{10} 6 = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.7781$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\log_{10} 6^{20} = 20 \times 0.7781 = 15.562 = 15 + 0.562$이므로 $n = 15,\; \alpha = 0.562$이다. 따라서 $6^{20}$은 $15 + 1 = 16$자리 수이고, $\log_{10} 3 = 0.4771 \lt 0.562 \lt \log_{10} 4 = 0.6020$이므로 최고자리의 숫자는 $3$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $\log_{10} 6^{-20} = -15.562 = -16 + 0.438$이므로 정수부분이 $-16$이어서 소수점 아래 $16$째 자리에서 처음으로 $0$이 아닌 숫자가 나타난다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1] (배점 6)	• $\log_{10} 6 = 0.7781$ 계산 +2점 / $n = 15,\; \alpha = 0.562$ 도출 +4점	6점
소문항 [1-2] (배점 7)	• $16$자리 판정 +3점 / $\log_{10} 3 \lt 0.562 \lt \log_{10} 4$ 비교로 $3$ 도출 +4점	7점
소문항 [1-3] (배점 7)	• $-16 + 0.438$ 표준형 변환 +4점 / 소수점 아래 $16$째 자리 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 음수 상용로그 $-15.562$의 정수부분은 $-15$가 아니라 $-16$ ($-16 + 0.438$)이라는 점에 주의하십시오.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [1-1] $\log_{10} 6 = 0.7781,\; n = 15,\; \alpha = 0.562$ | [1-2] $16$자리, 최고자리 숫자 $3$ | [1-3] 소수점 아래 $16$째 자리

【문제 2】 원문 요약 — 원에 외접·내접하는 삼각형에서 사인법칙·코사인법칙과 내접원 반지름 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 12042 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 세 변의 길이가 $a, b, c$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 $S$, 내접원의 반지름의 길이를 $r$이라 하면 $S = \dfrac{1}{2}r(a + b + c)$이다.

삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{BC}} = 8,\; \angle \mathrm{ABC} = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 변 $\mathrm{AC}$의 길이를 구하고, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 둘레의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$를 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 내접원의 반지름의 길이 $r$을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이 $R$을 구하고, $\dfrac{R}{r}$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 2 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{BC}} = 8,\; \angle B = \dfrac{\pi}{3}$에 코사인법칙을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\overline{\mathrm{AC}}^2 = 25 + 64 - 2\cdot 5\cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 49 \implies \overline{\mathrm{AC}} = 7$이고 둘레의 길이는 $5 + 8 + 7 = 20$이다. 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\sin\dfrac{\pi}{3} = 10\sqrt{3}$이고, $\dfrac{1}{2}r(20) = 10\sqrt{3}$에서 $r = \sqrt{3}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 사인법칙에 의해 $R = \dfrac{7}{2\sin\frac{\pi}{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$이므로 $\dfrac{R}{r} = \dfrac{7}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1] (배점 6)	• $\overline{\mathrm{AC}} = 7$ 산출 +4점 / 둘레 $20$ 도출 +2점	6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 넓이 $S = 10\sqrt{3}$ 계산 +3점 / 내접원 반지름 $r = \sqrt{3}$ 도출 +4점	7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 외접원 반지름 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ 산출 +4점 / $\dfrac{R}{r} = \dfrac{7}{3}$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 세 변이 $(5, 7, 8)$이고 끼인각이 $60^\circ$인 삼각형은 외접원 반지름(사인법칙)과 내접원 반지름(넓이 공식)이 모두 깔끔한 무리수 배수로 떨어지는 대표적 구조입니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [2-1] $\overline{\mathrm{AC}} = 7$, 둘레 $20$ | [2-2] $S = 10\sqrt{3},\; r = \sqrt{3}$ | [2-3] $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3},\; \dfrac{R}{r} = \dfrac{7}{3}$

【문제 3】 원문 요약 — 다항식의 나눗셈 나머지 정리와 도함수의 연립 활용 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 12043 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

자연수 $n\;(n \ge 2)$에 대하여 다항식 $P(x) = x^n + 2x^2 - 3$을 $(x - 1)^2$으로 나눈 나머지를 $R(x) = a_n x + b_n$이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $P(1)$과 $P'(1)$의 값을 구하고, $a_n$과 $b_n$을 각각 $n$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) $n = 5$일 때 나머지 $R(x)$를 구하고, $R(3)$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) $\sum_{n=2}^{10} (a_n - b_n)$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 3 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $P(x) = (x - 1)^2 Q(x) + a_n x + b_n$과 도함수 $P'(x) = nx^{n-1} + 4x$에 $x = 1$을 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $P(1) = 1 + 2 - 3 = 0 = a_n + b_n$이고, $P'(1) = n + 4 = a_n$이므로 $b_n = -(n + 4)$이다. $n = 5$일 때 $R(x) = 9x - 9$이고 $R(3) = 18$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $a_n - b_n = 2(n + 4) = 2n + 8$이므로 $\sum_{n=2}^{10} (2n + 8) = 2 \times 54 + 9 \times 8 = 108 + 72 = 180$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1] (배점 6)	• $P(1)=0, P'(1)=n+4$ 계산 +3점 / $a_n = n+4, b_n = -(n+4)$ 도출 +3점	6점
소문항 [3-2] (배점 7)	• $R(x) = 9x - 9$ 산출 +4점 / $R(3) = 18$ 도출 +3점	7점
소문항 [3-3] (배점 7)	• $a_n - b_n = 2n + 8$ 정리 +3점 / 합 $180$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 제수가 완전제곱식 $(x - 1)^2$일 때는 수치대입법만으로는 식이 하나 부족하므로 반드시 양변을 미분한 도함수 항등식에 $x = 1$을 대입해야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [3-1] $P(1) = 0,\; P'(1) = n + 4,\; a_n = n + 4,\; b_n = -(n + 4)$ | [3-2] $R(x) = 9x - 9,\; R(3) = 18$ | [3-3] $180$

【문제 4】 원문 요약 — 사차함수가 극댓값을 가질 조건과 대칭 극소 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 12044 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 2ax^2$에 대하여 다음 논제에 답하시오. (단, $a$는 실수이다.)

[문항 4-2] (7점) $a \gt 0$일 때 함수 $f(x)$가 극댓값을 갖지 않도록 하는 최소의 자연수 $a$를 구하고, 그때 $f(2)$의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) $a = 2$일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값과 두 극솟값의 합을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 4 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 4ax = 4x(x^2 - 3x + a)$가 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 이차식 $x^2 - 3x + a = 0$이 $x \ne 0$인 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 $a \ne 0$이고 판별식 $D = 9 - 4a \gt 0 \implies a \lt \dfrac{9}{4}$이다. 즉 $a \lt 0$ 또는 $0 \lt a \lt \dfrac{9}{4}$이다. $a \ge \dfrac{9}{4}$인 최소 정수는 $a = 3$이며, 이때 $f(2) = 16 - 32 + 24 = 8$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $a = 2$일 때 $f'(x) = 4x(x - 1)(x - 2) = 0$이므로 $x = 1$에서 극댓값 $f(1) = 1 - 4 + 4 = 1$을 갖고, $x = 0, 2$에서 두 극솟값 $f(0) = 0,\; f(2) = 0$을 가지므로 합은 $0$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1] (배점 6)	• 판별식 $9 - 4a \gt 0$ 적용 +3점 / $a \ne 0$ 조건 포함하여 범위 도출 +3점	6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• $a \ge \dfrac{9}{4}$ 최소 정수 $a = 3$ 선택 +3점 / $f(2) = 8$ 산출 +4점	7점
소문항 [4-3] (배점 7)	• $f'(x) = 4x(x-1)(x-2)$ 인수분해 +3점 / 극댓값 $1$, 극솟값 합 $0$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $f'(x) = 4x(x^2 - 3x + a) = 0$에서 이미 $x = 0$이 한 근이므로, 이차식이 $x = 0$을 근으로 갖는 $a = 0$일 때는 중근이 되어 극댓값을 갖지 않습니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [4-1] $a \lt 0$ 또는 $0 \lt a \lt \dfrac{9}{4}$ | [4-2] $a = 3,\; f(2) = 8$ | [4-3] 극댓값 $1$, 두 극솟값 합 $0$

【문제 5】 원문 요약 — 주기성과 대칭성을 동시에 갖는 연속함수의 정적분 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 12045 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]

[문항 5-1] (6점) 기본 반주기 구간에서의 정적분 $\int_{0}^{2} f(x)\,dx$와 한 주기 정적분 $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx$의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 $\int_{-2}^{14} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) $2 \le x \le 4$에서 함수 $f(x)$의 식을 구하고, $\int_{0}^{3} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 5 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $\int_{0}^{2} (-3x^2 + 6x)\,dx = \left[-x^3 + 3x^2\right]_{0}^{2} = 4$이고, 우함수 성질에 의해 $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 8$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 구간 $[-2, 14]$의 길이는 $16 = 4 \times 4$로 정확히 $4$주기이므로 $\int_{-2}^{14} f(x)\,dx = 4 \times 8 = 32$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $2 \le x \le 4$일 때 $0 \le 4 - x \le 2$이고 $f(x) = f(x - 4) = f(4 - x) = -3(4 - x)^2 + 6(4 - x) = -3x^2 + 18x - 24$이다. 또한 대칭성에 의해 $\int_{2}^{3} f(x)\,dx = \int_{1}^{2} f(x)\,dx = 2$이므로 $\int_{0}^{3} f(x)\,dx = 4 + 2 = 6$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1] (배점 6)	• $\int_0^2 f(x)\,dx = 4$ 계산 +3점 / 한 주기 적분 $8$ 도출 +3점	6점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 구간 길이 $16 = 4$주기 확인 +4점 / $4 \times 8 = 32$ 산출 +3점	7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• $f(4-x)$ 대입으로 $2 \le x \le 4$ 식 유도 +4점 / $\int_0^3 f(x)\,dx = 6$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $0 \le x \le 2$에서 $f(x) = -3x(x - 2)$는 직선 $x = 1$에 대하여 대칭이므로 $\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \int_{1}^{2} f(x)\,dx = 2$입니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [5-1] $4,\; 8$ | [5-2] $32$ | [5-3] $f(x) = -3(x - 4)^2 - 6(x - 4) = -3x^2 + 18x - 24,\; 6$

【문제 1】 원문 요약 — 지수함수의 산술·기하 평균 치환과 방정식의 실근 존재 조건 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 12051 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = 4^x + 4^{-x} - 6(2^x + 2^{-x}) + 10$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $t = 2^x + 2^{-x}\;(t \ge 2)$로 치환한 이차함수 $g(t)$의 식과 정의역을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 함수 $f(x)$의 최솟값과 그때의 모든 실수 $x$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 방정식 $4^x + 4^{-x} - 6(2^x + 2^{-x}) + k = 0$이 적어도 하나의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 1 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $4^x + 4^{-x} = t^2 - 2$를 대입하면 $g(t) = t^2 - 6t + 8 = (t - 3)^2 - 1\;(t \ge 2)$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $t = 3 \ge 2$일 때 최솟값 $g(3) = -1$을 가지며, $2^x + 2^{-x} = 3 \iff (2^x)^2 - 3(2^x) + 1 = 0$에서 $2^x = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$이므로 $x = \log_2\dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 방정식 $t^2 - 6t - 2 = -k\;(t \ge 2)$가 실근을 가지려면 $-k$가 $h(t) = (t - 3)^2 - 11\;(t \ge 2)$의 치역 $[-11, \infty)$에 속해야 하므로 $-k \ge -11 \implies k \le 11$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1] (배점 6)	• $4^x+4^{-x} = t^2-2$ 변환 +3점 / $g(t) = t^2-6t+8\;(t \ge 2)$ 도출 +3점	6점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 최솟값 $-1$ 산출 +3점 / $2^x = \dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$로부터 $x$ 도출 +4점	7점
소문항 [1-3] (배점 7)	• $t \ge 2$에서 치역 $[-11, \infty)$ 분석 +4점 / $k \le 11$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $t = 2^x + 2^{-x}$ 치환 시 정의역이 $t \gt 0$이 아니라 $t \ge 2$라는 점을 반드시 반영해야 꼭짓점의 포함 여부를 정확히 판정할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [1-1] $g(t) = t^2 - 6t + 8\;(t \ge 2)$ | [1-2] 최솟값 $-1,\; x = \log_2\dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ | [1-3] $k \le 11$

【문제 2】 원문 요약 — 원에 내접하는 삼각형의 넓이 최대화와 코사인법칙 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 탐구 12052 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

반지름의 길이가 $4$인 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle \mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 변 $\mathrm{BC}$의 길이를 구하고, 원의 중심 $\mathrm{O}$에서 변 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 길이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 2 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $\overline{\mathrm{BC}} = 2R\sin\dfrac{\pi}{3} = 8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$이고, 피타고라스 정리에 의해 중심에서 현까지의 거리는 $\sqrt{16 - 12} = 2$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $b + c = 10$이고 코사인법칙에서 $48 = b^2 + c^2 - bc = (b + c)^2 - 3bc = 100 - 3bc$이므로 $bc = \dfrac{52}{3}$이다. 이때 넓이는 $\dfrac{1}{2}bc\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{13\sqrt{3}}{3}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 넓이가 최대일 때는 정삼각형($\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}} = 4\sqrt{3}$)일 때이며, 이때 높이는 $4 + 2 = 6$이므로 최대 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 6 = 12\sqrt{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1] (배점 6)	• $\overline{\mathrm{BC}} = 4\sqrt{3}$ 산출 +3점 / 수선의 길이 $2$ 도출 +3점	6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• $100 - 3bc = 48 \implies bc = \dfrac{52}{3}$ 유도 +4점 / 넓이 $\dfrac{13\sqrt{3}}{3}$ 산출 +3점	7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 이등변(정삼각형) 최대 높이 $6$ 도출 +4점 / 최대 넓이 $12\sqrt{3}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 코사인법칙 $a^2 = (b + c)^2 - 3bc$를 이용하면 $b, c$를 각각 구하지 않고도 곱 $bc$와 넓이를 한 번에 구할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [2-1] $\overline{\mathrm{BC}} = 4\sqrt{3}$, 수선의 길이 $2$ | [2-2] 곱 $\dfrac{52}{3}$, 넓이 $\dfrac{13\sqrt{3}}{3}$ | [2-3] $12\sqrt{3}$

【문제 3】 원문 요약 — 삼각형 내접원 반지름의 극한과 도형의 극한 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 12053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문항 3-2] (7점) $\lim_{t \to 0+} \dfrac{r(t)}{t^2}$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) $\lim_{t \to \infty} \dfrac{r(t)}{t}$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 3 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $a = t,\; b = 2t^2$이므로 $c = \sqrt{t^2 + 4t^4} = t\sqrt{1 + 4t^2}$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 제시문 (가)에 의해 $r(t) = \dfrac{2t^3}{t + 2t^2 + t\sqrt{1 + 4t^2}} = \dfrac{2t^2}{1 + 2t + \sqrt{1 + 4t^2}}$이다. 따라서 $\lim_{t \to 0+} \dfrac{r(t)}{t^2} = \lim_{t \to 0+} \dfrac{2}{1 + 2t + \sqrt{1 + 4t^2}} = \dfrac{2}{2} = 1$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $\lim_{t \to \infty} \dfrac{r(t)}{t} = \lim_{t \to \infty} \dfrac{2t}{1 + 2t + \sqrt{1 + 4t^2}} = \lim_{t \to \infty} \dfrac{2}{\frac{1}{t} + 2 + \sqrt{\frac{1}{t^2} + 4}} = \dfrac{2}{2 + 2} = \dfrac{1}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1] (배점 6)	• $\overline{\mathrm{AB}} = t\sqrt{1+4t^2}$ 도출 +2점 / $r(t)$ 식 정리 +4점	6점
소문항 [3-2] (배점 7)	• 분모·분자 $t^2$ 약분 +4점 / $t \to 0+$ 극한값 $1$ 산출 +3점	7점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 분모·분자 $t$로 나누기 +4점 / $t \to \infty$ 극한값 $\dfrac{1}{2}$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $r(t) = \dfrac{a + b - c}{2}$ 공식 대신 이미 유리화된 꼴인 $r(t) = \dfrac{ab}{a + b + c}$ 공식을 쓰면 별도의 유리화 과정 없이 $t \to 0+$와 $t \to \infty$ 극한이 모두 즉시 계산됩니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [3-1] $\overline{\mathrm{AB}} = t\sqrt{1 + 4t^2},\; r(t) = \dfrac{2t^2}{1 + 2t + \sqrt{1 + 4t^2}}$ | [3-2] $1$ | [3-3] $\dfrac{1}{2}$

【문제 4】 원문 요약 — 삼차함수 위의 동점과 정점 직선으로 만든 삼각형 넓이 최대화 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 12054 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

곡선 $y = -x^3 + 4x$ 위의 두 점 $\mathrm{O}(0, 0),\; \mathrm{A}(2, 0)$과 곡선 위의 동점 $\mathrm{P}(t, -t^3 + 4t)\;(0 \lt t \lt 2)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 삼각형 $\mathrm{POA}$의 넓이 $S(t)$를 $t$에 대한 삼차함수로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 넓이 $S(t)$가 최대가 될 때의 $t$의 값과 그때의 최대 넓이를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 4 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 밑변 $\overline{\mathrm{OA}} = 2$이고 $0 \lt t \lt 2$에서 $-t^3 + 4t \gt 0$이므로 $S(t) = \dfrac{1}{2} \times 2 \times (-t^3 + 4t) = -t^3 + 4t$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 직선 $\mathrm{OA}$의 기울기가 $0$이므로 $S'(t) = -3t^2 + 4 = 0\;(0 \lt t \lt 2)$에서 $t = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$이고, 최대 넓이는 $S\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{16\sqrt{3}}{9}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $A = \int_{0}^{2} (-x^3 + 4x)\,dx = \left[-\dfrac{1}{4}x^4 + 2x^2\right]_{0}^{2} = -4 + 8 = 4$이고, $A$에 대한 최대 삼각형 넓이의 비는 $\dfrac{S_{\max}}{A} = \dfrac{4\sqrt{3}}{9}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1] (배점 6)	• 밑변 $2$, 높이 $-t^3+4t$ 설정 +3점 / $S(t) = -t^3 + 4t$ 도출 +3점	6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• $S'(t) = -3t^2 + 4 = 0$으로부터 $t = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ 산출 +3점 / 최댓값 $\dfrac{16\sqrt{3}}{9}$ 도출 +4점	7점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 정적분 $A = 4$ 계산 +4점 / 비 $\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 밑변 $\mathrm{OA}$가 $x$축 위에 놓여 있고 길이가 $2$이므로 삼각형의 넓이 함수 $S(t)$가 곡선의 $y$좌표 $-t^3 + 4t$ 자체와 같아집니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [4-1] $S(t) = -t^3 + 4t$ | [4-2] $t = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$, 최대 넓이 $\dfrac{16\sqrt{3}}{9}$ | [4-3] $A = 4$, 비 $\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$

【문제 5】 원문 요약 — 수직선 운동에서 속도의 그래프와 정적분 위치 추론 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 12055 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

수직선 위에서 시각 $t = 0$일 때 위치가 $x_0 = 2$인 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = -3t^2 + 6t + 9$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 $\mathrm{P}$가 운동 방향을 바꾸는 시각 $t_1$과 그때 점 $\mathrm{P}$의 위치 $x(t_1)$을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 점 $\mathrm{P}$가 출발 후 처음으로 원점 $x = 0$을 지나는 시각은 $t = 4$와 $t = 5$ 사이에 존재함을 보이시오.

[문항 5-3] (7점) 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $\mathrm{P}$가 실제로 움직인 거리를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 5 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $v(t) = -3(t + 1)(t - 3) = 0\;(t \ge 0)$에서 $t_1 = 3$이고 $x(t) = 2 + \int_{0}^{t} (-3s^2 + 6s + 9)\,ds = -t^3 + 3t^2 + 9t + 2$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $x(3) = -27 + 27 + 27 + 2 = 29$이다. 또한 연속함수 $x(t)$에 대하여 $x(4) = -64 + 48 + 36 + 2 = 22 \gt 0$이고 $x(5) = -125 + 75 + 45 + 2 = -3 \lt 0$이므로 사잇값 정리에 의해 $(4, 5)$에서 원점을 지난다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $t = 0$에서 $t = 3$까지는 양의 방향으로 $x(3) - x(0) = 29 - 2 = 27$만큼 이동하고, $t = 3$에서 $t = 4$까지는 음의 방향으로 $|x(4) - x(3)| = |22 - 29| = 7$만큼 이동하므로 총 움직인 거리는 $27 + 7 = 34$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1] (배점 6)	• $t_1 = 3$ 도출 +2점 / $x(3) = 29$ 산출 +4점	6점
소문항 [5-2] (배점 7)	• $x(4) = 22 \gt 0,\; x(5) = -3 \lt 0$ 계산 +4점 / 사잇값 정리 서술 +3점	7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• $[0, 3]$ 이동거리 $27$ 및 $[3, 4]$ 이동거리 $7$ 분리 +4점 / 총 거리 $34$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 초기 위치 $x_0 = 2 \ne 0$가 주어졌을 때 위치 $x(t)$에는 $+2$가 더해지지만, 움직인 거리는 정적분의 변화량에만 의존하므로 $x_0$와 무관합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [5-1] $t_1 = 3,\; x(3) = 29$ | [5-2] $x(4) = 22 \gt 0,\; x(5) = -3 \lt 0$ 사잇값 정리 | [5-3] $34$

【문제 1】 원문 요약 — 로그방정식의 치환과 두 실근의 곱 및 정수 계수 조건 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 12061 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 치환을 이용하여 두 실근의 곱 $\alpha\beta$의 값을 $m$에 관계없이 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 두 실근 $\alpha, \beta$가 모두 $1$보다 크고 서로 다르기 위한 실수 $m$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) $\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \dfrac{10}{3}$이 성립할 때, 상수 $m$의 값과 $\alpha + \beta$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 1 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $t = \log_3 x$로 치환하면 $t^2 - 4t + m = 0$의 두 실근이 $t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 근과 계수의 관계에서 $t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta) = 4 \implies \alpha\beta = 3^4 = 81$이다. $\alpha, \beta \gt 1 \iff t_1, t_2 \gt 0$이므로 판별식 $D/4 = 4 - m \gt 0$과 두 근의 곱 $t_1 t_2 = m \gt 0$에서 $0 \lt m \lt 4$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \dfrac{t_2}{t_1} + \dfrac{t_1}{t_2} = \dfrac{(t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2}{t_1 t_2} = \dfrac{16 - 2m}{m} = \dfrac{10}{3}$에서 $48 - 6m = 10m \implies m = 3$이다. 따라서 $t_1 = 1, t_2 = 3$이므로 $\alpha = 3, \beta = 27,\; \alpha + \beta = 30$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1] (배점 6)	• 치환 방정식 $t^2 - 4t + m = 0$ 수립 +3점 / $\alpha\beta = 81$ 도출 +3점	6점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 판별식 $4 - m \gt 0$ 도출 +3점 / 양근 조건 $0 \lt m \lt 4$ 확정 +4점	7점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 밑변환 식 $\dfrac{16 - 2m}{m} = \dfrac{10}{3}$ 수립 +4점 / $m = 3,\; \alpha + \beta = 30$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 두 실근 $\alpha, \beta \gt 1$ 조건은 치환 변수 $t = \log_3 x$에서 $t \gt 0$에 대응하므로 $t_1 t_2 = m \gt 0$을 반드시 포함해야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [1-1] $\alpha\beta = 81$ | [1-2] $0 \lt m \lt 4$ | [1-3] $m = 3,\; \alpha + \beta = 30$

【문제 2】 원문 요약 — 원에 내접하는 사각형의 코사인법칙과 대각선 분할 넓이 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 12062 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 원에 내접하는 사각형 $ABCD$에서 마주 보는 두 내각의 합은 $\pi$이므로 $\cos C = -\cos A,\; \sin C = \sin A$가 성립한다.

[문항 2-2] (7점) 사각형 $ABCD$의 넓이 $S$와 외접원의 반지름 $R$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 2 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $\triangle ABD$와 $\triangle CBD$에 코사인법칙을 적용하고 $\cos C = -\cos A$를 연립한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $x^2 = 3^2 + 7^2 - 42\cos A = 58 - 42\cos A$이고, $x^2 = 5^2 + 3^2 + 30\cos A = 34 + 30\cos A$이므로 $72\cos A = 24 \implies \cos A = \dfrac{1}{3}$이며 $x^2 = 44$이다. $\sin A = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$이므로 $S = \dfrac{1}{2}(3\cdot 7 + 5\cdot 3)\sin A = 18 \cdot \dfrac{2\sqrt{2}}{3} = 12\sqrt{2}$이고, $2R = \dfrac{2\sqrt{11}}{2\sqrt{2}/3} = \dfrac{3\sqrt{22}}{2} \implies R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 대각선 $AC$를 공통 밑변으로 볼 때, $\overline{BP} : \overline{PD} = \operatorname{Area}(\triangle ABC) : \operatorname{Area}(\triangle ADC) = (\overline{AB}\cdot\overline{BC}\sin B) : (\overline{AD}\cdot\overline{CD}\sin D) = 15 : 21 = 5 : 7$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1] (배점 6)	• 양쪽 삼각형 코사인법칙 등식 수립 +3점 / $\cos A = \dfrac{1}{3},\; x^2 = 44$ 도출 +3점	6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 넓이 $S = 12\sqrt{2}$ 산출 +4점 / 외접원 반지름 $R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}$ 계산 +3점	7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 넓이 비 $\triangle ABC : \triangle ADC$ 적용 +4점 / $5 : 7$ 확정 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 원에 내접하는 사각형에서 $\angle B + \angle D = \pi$이므로 $\sin B = \sin D$가 성립하여 넓이 비가 이웃 변의 곱의 비와 일치합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [2-1] $\cos A = \dfrac{1}{3},\; x^2 = 44$ | [2-2] $S = 12\sqrt{2},\; R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}$ | [2-3] $5 : 7$

【문제 3】 원문 요약 — 무한대 극한과 영인자 극한을 만족시키는 삼차함수의 결정 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 12063 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $f(x)$의 차수와 삼차항·이차항의 계수를 결정하고, $f(1)$과 $f'(1)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 다항함수 $f(x)$의 식을 완전히 구하고, 방정식 $f(x) = f(1)$의 모든 실근의 합을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 자연수 $n$에 대하여 극한값 $\lim_{n \to \infty} n \left\{ f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) - f\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \right\}$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 3 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 무한대 극한에서 $f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b$로 두고 $x \to 1$ 극한에서 분모가 $0$으로 수렴함을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{f'(1)}{2} = 2 \implies f(1) = 0,\; f'(1) = 4$이다. $f'(x) = 3x^2 - 4x + a$에서 $f'(1) = a - 1 = 4 \implies a = 5$, $f(1) = 1 - 2 + 5 + b = 0 \implies b = -4$이므로 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4 = (x-1)(x^2 - x + 4)$이다. $x^2 - x + 4 = 0$은 판별식이 음수이므로 실근은 $x = 1$뿐이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $h = \dfrac{1}{n} \to 0^+$로 치환하면 주어진 극한은 $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + 2h) - f(1 - h)}{h} = 3 f'(1) = 3 \times 4 = 12$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1] (배점 6)	• $f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b$ 설정 +3점 / $f(1) = 0,\; f'(1) = 4$ 도출 +3점	6점
소문항 [3-2] (배점 7)	• $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ 확정 +4점 / 실근 판별 및 합 $1$ 도출 +3점	7점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 미분계수 정의 변형 $3f'(1)$ 유도 +4점 / 극한값 $12$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 방정식 $f(x) = 0$의 근의 합을 구할 때 인수분해된 이차식 $x^2 - x + 4 = 0$의 판별식 $D = 1 - 16 \lt 0$을 반드시 확인하여 실근만 합산해야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [3-1] $3$차, 계수 $1, -2,\; f(1) = 0,\; f'(1) = 4$ | [3-2] $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4$, 실근 합 $1$ | [3-3] $12$

【문제 4】 원문 요약 — 삼차함수 위의 점에서의 접선과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 탐구 12064 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

[문항 4-1] (6점) 점 $A(0, 0)$에서의 접선 $l$의 방정식을 구하고, 접선 $l$이 곡선과 다시 만나는 점 $B$의 좌표를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 곡선과 접선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 계산하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 4 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$에서 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$이므로 $f'(0) = 2$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 접선 $l$은 $y = 2x$이고, $x^3 - 3x^2 + 2x = 2x \implies x^2(x - 3) = 0$에서 $B(3, 6)$이다. 둘러싸인 넓이는 $S = \int_0^3 (2x - (x^3 - 3x^2 + 2x))\,dx = \int_0^3 (-x^3 + 3x^2)\,dx = \left[-\dfrac{1}{4}x^4 + x^3\right]_0^3 = \dfrac{27}{4}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 접선 $l$까지의 거리가 최대인 점 $P$에서의 접선의 기울기는 직선 $AB$의 기울기 $2$와 같으므로 $3t^2 - 6t + 2 = 2 \implies t = 2$ ($0 \lt t \lt 3$)이다. 점 $P(2, 0)$과 $A(0, 0), B(3, 6)$이 이루는 $\triangle PAB$의 넓이는 밑변 $\overline{AP} = 2$, 높이 $6$이므로 $\dfrac{1}{2} \times 2 \times 6 = 6$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1] (배점 6)	• 접선 $y = 2x$ 도출 +3점 / 교점 $B(3, 6)$ 산출 +3점	6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• 정적분 피적분함수 설정 +3점 / 넓이 $\dfrac{27}{4}$ 계산 +4점	7점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 평행 접선 조건 $t = 2$ 도출 +4점 / $\triangle PAB$ 넓이 $6$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 점 $A(0,0)$과 $P(2,0)$이 모두 $x$축 위에 놓이므로 밑변의 길이를 $2$, 점 $B(3,6)$의 $y$좌표 $6$을 높이로 두면 넓이를 즉시 검산할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [4-1] $y = 2x,\; B(3, 6)$ | [4-2] $S = \dfrac{27}{4}$ | [4-3] $t = 2,\; \text{넓이 } 6$

【문제 5】 원문 요약 — 비복원 추출에서 이산확률변수의 확률분포와 기댓값·분산 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 12065 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-01]

[문항 5-1] (6점) 확률변수 $X$가 가질 수 있는 모든 값에 대하여 확률질량함수 $P(X = k)$를 구하고 확률의 총합이 $1$임을 확인하시오.

[문항 5-2] (7점) 확률변수 $X$의 기댓값 $E(X)$와 제곱의 기댓값 $E(X^2)$을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 확률변수 $X$의 분산 $V(X)$를 구하고, $Y = 35X - 10$의 평균 $E(Y)$와 분산 $V(Y)$를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 5 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 전체 경우의 수 ${}_{7}\mathrm{C}_{3} = 35$에 대하여 $P(X = k) = \dfrac{{}_{4}\mathrm{C}_{k} \cdot {}_{3}\mathrm{C}_{3-k}}{{}_{7}\mathrm{C}_{3}}$ ($k = 0, 1, 2, 3$)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $k = 0, 1, 2, 3$일 때 분자는 각각 $1, 12, 18, 4$이고 합은 $35$이므로 확률 합은 $1$이다. $E(X) = \dfrac{0\cdot 1 + 1\cdot 12 + 2\cdot 18 + 3\cdot 4}{35} = \dfrac{60}{35} = \dfrac{12}{7}$이고, $E(X^2) = \dfrac{0 + 12 + 72 + 36}{35} = \dfrac{120}{35} = \dfrac{24}{7}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $V(X) = \dfrac{24}{7} - \left(\dfrac{12}{7}\right)^2 = \dfrac{168 - 144}{49} = \dfrac{24}{49}$이다. 따라서 $E(Y) = 35 \cdot \dfrac{12}{7} - 10 = 50$이고, $V(Y) = 35^2 \cdot \dfrac{24}{49} = 25 \times 24 = 600$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1] (배점 6)	• 조합 공식 수립 +3점 / $k=0,1,2,3$ 확률 $4$개 정확 도출 +3점	6점
소문항 [5-2] (배점 7)	• $E(X) = \dfrac{12}{7}$ 산출 +3점 / $E(X^2) = \dfrac{24}{7}$ 계산 +4점	7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• $V(X) = \dfrac{24}{49}$ 도출 +3점 / $E(Y) = 50,\; V(Y) = 600$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 선형 변환 $Y = aX + b$에서 상수항 $b$는 분산에 영향을 주지 않으므로 $V(aX + b) = a^2 V(X)$를 적용해야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [5-1] $P(X=0)=\dfrac{1}{35},\; P(X=1)=\dfrac{12}{35},\; P(X=2)=\dfrac{18}{35},\; P(X=3)=\dfrac{4}{35}$ | [5-2] $E(X)=\dfrac{12}{7},\; E(X^2)=\dfrac{24}{7}$ | [5-3] $V(X)=\dfrac{24}{49},\; E(Y)=50,\; V(Y)=600$

【문제 1】 원문 요약 — 등차수열과 등비수열의 공통항 수열 및 부분합 추론 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 12071 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문항 1-1] (6점) $b_m = 2^m$을 $3$으로 나눈 나머지를 $m$의 홀짝성에 따라 분류하고, 공통항이 되기 위한 자연수 $m$의 조건을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 합 $\sum_{k=1}^{8} c_k$와 $\sum_{k=1}^{8} N_k$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 1 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $a_n = 3n - 1$은 $3$으로 나눈 나머지가 $2$인 자연수들의 집합이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $2^m \equiv (-1)^m \pmod 3$이므로 $m$이 홀수일 때 $2^m \equiv 2 \pmod 3$이고 $m$이 짝수일 때 $2^m \equiv 1 \pmod 3$이다. 따라서 $m = 2k - 1$ ($k \ge 1$)일 때 공통항이 되며 $c_k = 2^{2k-1} = 2 \cdot 4^{k-1}$이고, $3N_k - 1 = c_k \implies N_k = \dfrac{c_k + 1}{3}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $\sum_{k=1}^{8} c_k = \dfrac{2(4^8 - 1)}{4 - 1} = \dfrac{2 \times 65535}{3} = 43690$이고, $\sum_{k=1}^{8} N_k = \dfrac{1}{3}\left(\sum_{k=1}^{8} c_k + 8\right) = \dfrac{43698}{3} = 14566$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1] (배점 6)	• 거듭제곱 나머지 주기성 분석 +3점 / 홀수 지수 $m = 2k - 1$ 도출 +3점	6점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 일반항 $c_k = 2 \cdot 4^{k-1}$ 산출 +4점 / 항 번호 $N_k$ 표현 +3점	7점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 등비급수 합 $43690$ 계산 +4점 / $\sum N_k = 14566$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $a_n = 3n - 1$을 만족시키는 자연수 $n$은 $2^m + 1$이 $3$의 배수일 필요충분조건과 동치입니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [1-1] $m$은 홀수 ($m = 2k - 1$) | [1-2] $c_k = 2 \cdot 4^{k-1},\; N_k = \dfrac{2 \cdot 4^{k-1} + 1}{3}$ | [1-3] $\sum c_k = 43690,\; \sum N_k = 14566$

【문제 2】 원문 요약 — 삼각함수의 주기·대칭성과 방정식의 모든 실근의 합 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 12072 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

[문항 2-3] (7점) 실수 전체에서 방정식 $2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) = \dfrac{1}{3}x$의 서로 다른 모든 실근의 개수를 구하고 그 실근들의 합을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 2 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 주기는 $T = \dfrac{2\pi}{\pi/2} = 4$이고 구간 $[0, 2]$에서 $f(x) \ge 0$이며 대칭축은 $x = 1$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $0 \lt k \lt 2$일 때 구간 $[0, 4]$에서 $f(x) = k$의 두 실근은 $x = 1$에 대칭이므로 합은 $2$이다. $k = 1$이면 $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) = \dfrac{1}{2}$에서 $\alpha = \dfrac{1}{3},\; \beta = \dfrac{5}{3}$이므로 $\beta - \alpha = \dfrac{4}{3}$이고 높이가 $2 - 1 = 1$인 삼각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \times 1 = \dfrac{2}{3}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $\left|\dfrac{1}{3}x\right| \le 2 \iff |x| \le 6$이다. $x = 0$에서 만나고 $x \gt 0$에서 구간 $(0, 2]$에서 $1$개, $[4, 6]$에서 $f(5) = 2 \gt \dfrac{5}{3},\; f(6) = 0 \lt 2$이므로 $2$개 만나 양수 실근이 $3$개이다. 기함수 대칭성에 의해 음수 실근도 $3$개이므로 총 $7$개이며 모든 실근의 합은 $0$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1] (배점 6)	• 주기 $T = 4$ 도출 +3점 / 대칭축 $x = 1$을 통한 실근 합 $2$ 산출 +3점	6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• $\alpha = \dfrac{1}{3},\; \beta = \dfrac{5}{3}$ 계산 +4점 / 삼각형 넓이 $\dfrac{2}{3}$ 도출 +3점	7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 양수 실근 $3$개 및 전체 $7$개 판별 +4점 / 기함수 대칭 합 $0$ 논증 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 직선 $y = \dfrac{1}{3}x$가 최고점 $(5, 2)$ 아래를 지나므로 구간 $[4, 6]$에서 두 번 만난다는 점을 그래프 개형으로 명확히 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [2-1] 주기 $4$, 실근 $2$개, 합 $2$ | [2-2] $\beta - \alpha = \dfrac{4}{3}$, 넓이 $\dfrac{2}{3}$ | [2-3] 실근 $7$개, 합 $0$

【문제 3】 원문 요약 — 구간별로 정의된 함수의 미분가능성과 접선의 방정식 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 12073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

[문항 3-1] (6점) 상수 $b$의 값을 정하고, $x = 1$에서의 연속 조건과 미분가능 조건을 이용하여 상수 $a, c$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(-1, f(-1))$에서의 접선 $l_1$과 점 $(2, f(2))$에서의 접선 $l_2$의 방정식을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 두 접선 $l_1, l_2$와 $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 3 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $f(0) = b = -2$이고 $x = 1$에서 좌·우 함수값 및 도함수값을 비교한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 연속 조건 $1 + a - 2 = c + 5 \implies a - c = 6$이고, 미분 조건 $3 + a = 2c + 4 \implies a - 2c = 1$이다. 두 식을 연립하면 $c = 5,\; a = 11$이다. 이때 $f(-1) = -14,\; f'(-1) = 14 \implies l_1 : y = 14x$이고, $f(2) = 29,\; f'(2) = 24 \implies l_2 : y = 24x - 19$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $l_1 : y = 14x$와 $l_2 : y = 24x - 19$의 교점은 $10x = 19 \implies x = \dfrac{19}{10}$이고 $y$축 절편 차는 $19$이므로 삼각형 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times 19 \times \dfrac{19}{10} = \dfrac{361}{20}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1] (배점 6)	• $b = -2$ 및 연립방정식 수립 +3점 / $a = 11,\; c = 5$ 도출 +3점	6점
소문항 [3-2] (배점 7)	• $l_1 : y = 14x$ 유도 +3점 / $l_2 : y = 24x - 19$ 산출 +4점	7점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 두 접선 교점 $x = \dfrac{19}{10}$ 계산 +4점 / 넓이 $\dfrac{361}{20}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 구간별 함수에서 접점을 대입할 때 $x = -1 \lt 1$과 $x = 2 \ge 1$이 속하는 구간의 식을 각각 구분하여 미분해야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [3-1] $a = 11,\; b = -2,\; c = 5$ | [3-2] $l_1 : y = 14x,\; l_2 : y = 24x - 19$ | [3-3] $\dfrac{361}{20}$

【문제 4】 원문 요약 — 사차함수가 극댓값을 갖기 위한 조건과 극값의 차 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 탐구 12074 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 2ax^2$에 대하여 함수 $f(x)$의 극값의 개수와 그래프 개형을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 도함수 $f'(x)$를 인수분해하고, 함수 $f(x)$가 극댓값을 갖도록 하는 실수 $a$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) $a = 2$일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값과 모든 극솟값들의 합을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 4 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 4ax = 4x(x^2 - 3x + a)$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $f'(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가지려면 $x^2 - 3x + a = 0$이 $0$이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 $a \ne 0$이고 $D = 9 - 4a \gt 0 \implies a \lt \dfrac{9}{4}$ ($a \ne 0$)이다. $a = 2$이면 $f'(x) = 4x(x-1)(x-2)$이므로 $x = 1$에서 극댓값 $f(1) = 1$, $x = 0, 2$에서 극솟값 $f(0) = 0,\; f(2) = 0$을 갖는다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 극댓값을 갖지 않도록 하는 최소의 자연수는 $a = 3$이며, $a = 3$일 때 $f'(x) = 4x(x^2 - 3x + 3)$에서 $x = 0$에서만 극소 $f(0) = 0$이고 $f(-1) = 11,\; f(3) = 27$이므로 최댓값은 $27$, 최솟값은 $0$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1] (배점 6)	• $f'(x) = 4x(x^2 - 3x + a)$ 인수분해 +3점 / $a \lt \dfrac{9}{4},\; a \ne 0$ 도출 +3점	6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• $a = 2$일 때 극댓값 $f(1) = 1$ 계산 +4점 / 두 극솟값 $f(0)=0, f(2)=0$ 산출 +3점	7점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 최소 자연수 $a = 3$ 확정 +3점 / 최솟값 $0,\;$ 최댓값 $27$ 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $x^2 - 3x + a = 0$이 $x = 0$을 근으로 가지면($a = 0$) $f'(x) = 4x^2(x - 3)$이 되어 $x = 0$에서 부호가 바뀌지 않으므로 $a \ne 0$ 조건을 반드시 명시해야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [4-1] $a \lt \dfrac{9}{4}$ ($a \ne 0$) | [4-2] 극댓값 $1$, 극솟값 합 $0$ | [4-3] $a = 3$일 때 최댓값 $27,\;$ 최솟값 $0$

【문제 5】 원문 요약 — 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 위치의 변화량 및 움직인 거리 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 탐구 12075 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

[문항 5-1] (6점) 점 $P$가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하고, 각 시각에서의 점 $P$의 위치를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 시각 $t = 0$부터 $t = 4$까지 점 $P$의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 점 $P$가 출발 후 처음으로 다시 원점을 지나는 시각 $T$ ($T \gt 0$)와 그때의 가속도 $a(T)$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 5 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$에서 $t = 1, 3$일 때 속도의 부호가 바뀐다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 위치 함수는 $x(t) = \int_0^t (3s^2 - 12s + 9)\,ds = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t - 3)^2$이므로 $x(1) = 4,\; x(3) = 0$이다. $t = 4$일 때 위치 변화량은 $x(4) = 4$이고, 움직인 거리는 $\int_0^1 v(t)\,dt - \int_1^3 v(t)\,dt + \int_3^4 v(t)\,dt = 4 + 4 + 4 = 12$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $x(t) = t(t - 3)^2 = 0$ ($t \gt 0$)에서 처음으로 원점에 도달하는 시각은 $T = 3$이며, 가속도 $a(t) = v'(t) = 6t - 12$에서 $a(3) = 6$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1] (배점 6)	• 운동 방향 전환 시각 $t = 1, 3$ 도출 +3점 / $x(1) = 4,\; x(3) = 0$ 산출 +3점	6점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 위치 변화량 $4$ 계산 +3점 / 구간별 절댓값 적분 거리 $12$ 도출 +4점	7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 원점 재도달 시각 $T = 3$ 판별 +3점 / 가속도 $a(3) = 6$ 계산 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 위치의 변화량 $\int_0^4 v(t)\,dt$와 실제 움직인 거리 $\int_0^4 |v(t)|\,dt$는 속도가 음수인 구간 $[1, 3]$의 부호 처리에서 차이가 발생합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [5-1] $t = 1, 3$, 위치 $x(1) = 4,\; x(3) = 0$ | [5-2] 위치 변화량 $4$, 움직인 거리 $12$ | [5-3] $T = 3,\; a(3) = 6$

【문제 1】 원문 요약 — 지수함수와 로그함수의 역함수 대칭성과 직선 위의 교점 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 12081 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

곡선 $C_1 : y = 2^{x-1} + 1$과 곡선 $C_2 : y = \log_2(x - 1) + 1$이 직선 $l : y = -x + 8$과 만나는 점을 각각 $A, B$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 두 곡선 $C_1, C_2$가 서로 역함수 관계임을 보이고, 두 점 $A, B$의 중점 $M$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 점 $A$와 점 $B$의 좌표를 각각 구하고, 선분 $AB$의 길이를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 $O(0, 0)$에 대하여 삼각형 $OAB$의 넓이와 곡선 $C_1, C_2$의 두 교점 사이의 거리를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 1 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $y = 2^{x-1} + 1$에서 $x, y$를 바꾸어 정리하면 $y = \log_2(x - 1) + 1$이므로 서로 역함수이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 중점 $M$은 $y = x$와 $y = -x + 8$의 교점이므로 $M(4, 4)$이다. $2^{x-1} + 1 = -x + 8$에서 $x = 3$을 대입하면 $2^2 + 1 = 5 = -3 + 8$이므로 $A(3, 5),\; B(5, 3)$이고 $\overline{AB} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원점 $O$에서 직선 $x + y - 8 = 0$까지의 거리는 $\dfrac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$이므로 $\operatorname{Area}(\triangle OAB) = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} = 8$이다. $C_1, C_2$의 교점은 $2^{x-1} + 1 = x$에서 $(2, 2), (3, 3)$이므로 거리는 $\sqrt{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1] (배점 6)	• 역함수 관계 증명 +3점 / 중점 $M(4, 4)$ 도출 +3점	6점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 단조성을 이용한 교점 $A(3, 5),\; B(5, 3)$ 확정 +4점 / $\overline{AB} = 2\sqrt{2}$ 산출 +3점	7점
소문항 [1-3] (배점 7)	• $\triangle OAB$ 넓이 $8$ 계산 +4점 / 교점 $(2,2),(3,3)$ 거리 $\sqrt{2}$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $2^{x-1} + x = 7$에서 좌변은 엄격한 증가함수이므로 실근 $x = 3$이 유일함을 명시해야 감점을 피할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [1-1] 중점 $M(4, 4)$ | [1-2] $A(3, 5),\; B(5, 3),\; \overline{AB} = 2\sqrt{2}$ | [1-3] 넓이 $8$, 교점 거리 $\sqrt{2}$

【문제 2】 원문 요약 — 외접원의 반지름과 사인법칙·코사인법칙을 이용한 삼각형 결정 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 12082 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문항 2-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 변 $BC$의 길이 $a$를 구하고, $\overline{AC} = k,\; \overline{AB} = 3k$로 놓아 코사인법칙으로 $k$의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$와 꼭짓점 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발 $H$에 대하여 선분 $AH$의 길이를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 각 $A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 할 때, 선분 $AD$의 길이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 2 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 사인법칙 $a = 2R\sin A$를 적용하고 코사인법칙에 $\overline{AB}=3k,\; \overline{AC}=k$를 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $a = 2\sqrt{7}\sin\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{21}$이고, 코사인법칙에서 $21 = k^2 + 9k^2 - 3k^2 = 7k^2 \implies k = \sqrt{3}$이다. 따라서 $S = \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}$이고, $\dfrac{1}{2}\sqrt{21}\,\overline{AH} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4} \implies \overline{AH} = \dfrac{9}{2\sqrt{7}}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 넓이 분할 $\operatorname{Area}(\triangle ABC) = \operatorname{Area}(\triangle ABD) + \operatorname{Area}(\triangle ACD)$에서 $\dfrac{9\sqrt{3}}{4} = \dfrac{1}{2}(3\sqrt{3} + \sqrt{3})\overline{AD}\sin\dfrac{\pi}{6} = \sqrt{3}\,\overline{AD} \implies \overline{AD} = \dfrac{9}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1] (배점 6)	• $a = \sqrt{21}$ 도출 +3점 / 코사인법칙 $7k^2 = 21 \implies k = \sqrt{3}$ 산출 +3점	6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 넓이 $S = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}$ 계산 +4점 / 수선의 길이 $\overline{AH} = \dfrac{9}{2\sqrt{7}}$ 유도 +3점	7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 넓이 분할 공식 수립 +4점 / $\overline{AD} = \dfrac{9}{4}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 각의 이등분선 길이는 $\angle BAD = \angle CAD = \dfrac{\pi}{6}$을 이용한 넓이 합 공식으로 가장 간결하게 유도됩니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [2-1] $a = \sqrt{21},\; k = \sqrt{3}$ ($\overline{AC}=\sqrt{3},\; \overline{AB}=3\sqrt{3}$) | [2-2] $S = \dfrac{9\sqrt{3}}{4},\; \overline{AH} = \dfrac{9}{2\sqrt{7}}$ | [2-3] $\overline{AD} = \dfrac{9}{4}$

【문제 3】 원문 요약 — 평균값 정리를 이용한 다항함수의 변화율 추론과 수열의 극한 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 12083 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 상수와 극한을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 3 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $f'(x) = 3x^2 - 6x + 5 = 3(x - 1)^2 + 2$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\dfrac{f(3) - f(0)}{3} = \dfrac{16 - 1}{3} = 5$이므로 $3c^2 - 6c + 5 = 5 \implies 3c(c - 2) = 0$에서 $c \in (0, 3)$인 값은 $c = 2$이다! 검산: $f(3) = 27 - 27 + 15 + 1 = 16,\; f(0) = 1$이므로 평균변화율은 $5$이고 $3c^2 - 6c + 5 = 5 \implies c = 2$이다. 또한 모든 실수 $x$에서 $f'(x) = 3(x-1)^2 + 2 \ge 2$이므로 $x_1 \lt x_2$에서 $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = f'(\xi) \ge 2$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $f(n+1) - f(n) = 3n^2 - 3n + 3 = f'(c_n) = 3c_n^2 - 6c_n + 5$에서 $3(c_n - 1)^2 = 3n^2 - 3n + 1$이므로 $c_n - 1 = \sqrt{n^2 - n + \dfrac{1}{3}}$이고, $\lim_{n \to \infty} (c_n - n) = \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 - n + \dfrac{1}{3}} - (n - 1)\right) = \dfrac{1}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1] (배점 6)	• 평균변화율 $5$ 계산 +3점 / $c = 2 \in (0, 3)$ 확정 +3점	6점
소문항 [3-2] (배점 7)	• 완전제곱식 $3(x-1)^2 + 2 \ge 2$ 변형 +3점 / 평균값 정리 부등식 논증 +4점	7점
소문항 [3-3] (배점 7)	• $c_n$에 대한 이차방정식 수립 +4점 / 유리화 극한 $\dfrac{1}{2}$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $3c(c - 2) = 0$의 두 해 $c = 0, 2$ 중 열린구간 $(0, 3)$에 속하는 해는 $c = 2$뿐임을 명시해야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [3-1] $c = 1 + \sqrt{2}$ | [3-2] $f'(x) = 3(x-1)^2 + 2 \ge 2$ | [3-3] $\dfrac{1}{2}$

【문제 4】 원문 요약 — 우함수·기함수 대칭성과 주기 조건을 만족시키는 함수의 정적분 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 12084 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

[문항 4-1] (6점) 정적분 $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$와 $\int_{-1}^{1} x f(x)\,dx$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 자연수 $k$에 대하여 정적분 $I_k = \int_{2k-1}^{2k+1} f(x)\,dx$를 $k$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 4-3] (7점) 정적분 $\int_{-1}^{19} f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 4 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 대칭구간 $[-1, 1]$에서 홀수차 항과 짝수차 항을 분리하여 계산한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\int_{-1}^{1} (3x^2 + 2x + 1)\,dx = 2\int_0^1 (3x^2 + 1)\,dx = 2[x^3 + x]_0^1 = 4$이고, $\int_{-1}^{1} (3x^3 + 2x^2 + x)\,dx = 2\int_0^1 2x^2\,dx = \dfrac{4}{3}$이다. 조건 2를 반복 적용하면 $x \in [2k-1, 2k+1]$에 대하여 $x = t + 2k$ ($t \in [-1, 1]$)로 놓을 때 $f(t + 2k) = f(t) + 4k$이므로 $I_k = \int_{-1}^{1} (f(t) + 4k)\,dt = 4 + 8k$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $\int_{-1}^{19} f(x)\,dx = \sum_{k=0}^{9} I_k = \sum_{k=0}^{9} (8k + 4) = 8 \cdot \dfrac{9 \times 10}{2} + 4 \times 10 = 360 + 40 = 400$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1] (배점 6)	• 우함수·기함수 분리 적분 +3점 / $4$ 및 $\dfrac{4}{3}$ 산출 +3점	6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• 평행이동 치환 $f(t+2k) = f(t) + 4k$ 유도 +4점 / $I_k = 8k + 4$ 도출 +3점	7점
소문항 [4-3] (배점 7)	• $10$개 구간 분할 합산 +4점 / $400$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 구간 $[-1, 19]$는 길이 $2$인 구간 $10$개($k = 0, 1, \dots, 9$)로 분할되므로 항의 개수가 $10$개임을 정확히 확인해야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [4-1] $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 4,\; \int_{-1}^{1} x f(x)\,dx = \dfrac{4}{3}$ | [4-2] $I_k = 8k + 4$ | [4-3] $400$

【문제 5】 원문 요약 — 포물선의 초점·준선 정의와 초점을 지나는 직선의 선분 비 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 12085 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[문항 5-2] (7점) 선분 $AB$의 길이와 직선 $l$의 기울기 $m$을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 원점 $O(0, 0)$에 대하여 삼각형 $OAB$의 넓이와 포물선 위의 점 $A$에서의 접선의 $x$절편을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 5 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $4p = 8 \implies p = 2$이므로 $F(2, 0)$, 준선은 $x = -2$이며 $\overline{AF} = x_A + 2,\; \overline{BF} = x_B + 2$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 두 점 $A, B$에서 준선 $x = -2$에 내린 수선의 발을 $H_A, H_B$라 하고, $B$에서 $AH_A$에 내린 수선의 발을 이용하거나 초점 공식을 쓰면 $\dfrac{1}{\overline{AF}} + \dfrac{1}{\overline{BF}} = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{2}$이다. $\overline{BF} = k,\; \overline{AF} = 3k$로 두면 $\dfrac{4}{3k} = \dfrac{1}{2} \implies k = \dfrac{8}{3}$이므로 $\overline{BF} = \dfrac{8}{3},\; \overline{AF} = 8$이다. 따라서 $x_A = 8 - 2 = 6,\; x_B = \dfrac{8}{3} - 2 = \dfrac{2}{3}$이고, $\overline{AB} = \overline{AF} + \overline{BF} = \dfrac{32}{3}$이며 $A(6, 4\sqrt{3})$에서 기울기는 $m = \dfrac{4\sqrt{3}}{6 - 2} = \sqrt{3}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $y_A = 4\sqrt{3},\; y_B = -\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$이므로 $\operatorname{Area}(\triangle OAB) = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{OF} \cdot (y_A - y_B) = \dfrac{1}{2} \times 2 \times \dfrac{16\sqrt{3}}{3} = \dfrac{16\sqrt{3}}{3}$이고, $A(6, 4\sqrt{3})$에서의 접선 $4\sqrt{3}y = 4(x + 6)$의 $x$절편은 $-6$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1] (배점 6)	• $F(2, 0),\; x = -2$ 명시 +2점 / $x_A = 6,\; x_B = \dfrac{2}{3}$ 도출 +4점	6점
소문항 [5-2] (배점 7)	• $\overline{AB} = \dfrac{32}{3}$ 산출 +3점 / 기울기 $m = \sqrt{3}$ 계산 +4점	7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• $\triangle OAB$ 넓이 $\dfrac{16\sqrt{3}}{3}$ 도출 +4점 / 접선 $x$절편 $-6$ 산출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 초점을 지나는 현 $AB$에서 내분비 $3 : 1$에 의해 $y_A = -3y_B$이고 $y_A^2 = 9y_B^2 \implies x_A = 9x_B$와 $x_A + 2 = 3(x_B + 2)$를 연립하면 교과서 정의만으로 $x_B = \dfrac{2}{3},\; x_A = 6$을 즉시 얻습니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [5-1] $F(2, 0),\; x = -2,\; x_A = 4,\; x_B = \dfrac{4}{3}$이 아닌 $x_A = 6,\; x_B = \dfrac{2}{3}$ 검산 아래 참조 | [5-2] $\overline{AB} = \dfrac{32}{3},\; m = \sqrt{3}$ | [5-3] 넓이 $\dfrac{16\sqrt{3}}{3}$, $x$절편 $-6$

【문제 1】 원문 요약 — 비선형 분수 점화식의 역수 치환과 부분분수 급수의 합 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 12091 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = \dfrac{1}{2}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 놓을 때 수열 $\{b_n\}$의 일반항과 $a_n$의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 자연수 $m$에 대하여 합 $S_m = \sum_{n=1}^{m} a_n a_{n+1}$을 $m$에 대한 기약분수 식으로 나타내시오.

[문항 1-3] (7점) 부등식 $S_m \gt \dfrac{15}{97}$를 만족시키는 최소의 자연수 $m$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 1 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{3a_n + 1}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 3$이므로 $b_{n+1} - b_n = 3$이고 $b_1 = 2$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $b_n = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1$이므로 $a_n = \dfrac{1}{3n - 1}$이다. $a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{(3n - 1)(3n + 2)} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3n - 1} - \dfrac{1}{3n + 2}\right)$이므로 $S_m = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3m + 2}\right) = \dfrac{m}{2(3m + 2)}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $\dfrac{m}{6m + 4} \gt \dfrac{15}{97} \iff 97m \gt 90m + 60 \iff 7m \gt 60 \implies m \ge 9$! 검산: $m = 9$이면 $\dfrac{9}{58} = \dfrac{135}{870},\; \dfrac{15}{97} = \dfrac{135}{873}$이므로 $m = 9$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1] (배점 6)	• 역수 등차수열 $b_n = 3n - 1$ 도출 +3점 / $a_n = \dfrac{1}{3n - 1}$ 산출 +3점	6점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 부분분수 분해 $\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{b_n}-\dfrac{1}{b_{n+1}}\right)$ +4점 / $S_m = \dfrac{m}{2(3m+2)}$ 계산 +3점	7점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 부등식 $97m \gt 90m + 60$ 정리 +4점 / 최소 자연수 $m = 9$ 확정 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 부분분수 분해 시 분모의 차 $(3n + 2) - (3n - 1) = 3$에서 나오는 계수 $\dfrac{1}{3}$을 누락하지 않도록 주의해야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [1-1] $b_n = 3n - 1,\; a_n = \dfrac{1}{3n - 1}$ | [1-2] $S_m = \dfrac{m}{2(3m + 2)}$ | [1-3] $m = 16$

【문제 2】 원문 요약 — 유리함수와 다항함수의 곱의 연속성과 사잇값 정리 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 12092 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문항 2-1] (6점) $h(-1) = 4$ 조건을 이용하여 삼차함수 $g(x)$의 식을 완전히 구하고 $h(2)$와 $g(3)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1] $g(-1) = 0,\; g(2) = 0,\; g(x) = (x+1)(x-2)(x-k)$ | [2-2] $g(x) = (x+1)(x-2)(x+2),\; h(2) = -4,\; g(3) = 20$ | [2-3] 실근 $-2, -1, 2$, $h(-1)h(2) = -16 \lt 0$

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 2 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $g(x) = (x+1)(x-2)(x-k)$로 놓으면 $x \ne -1, 2$에서 $h(x) = (x-3)(x-k)$이다. 연속성에 의해 $h(-1) = \lim_{x \to -1} (x-3)(x-k) = -4(-1 - k) = 4 \implies k = -2$이다. 따라서 $g(x) = (x+1)(x-2)(x+2)$이고 $h(2) = \lim_{x \to 2} (x-3)(x+2) = -4$이며 $g(3) = 4 \cdot 1 \cdot 5 = 20$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $g(x) = 0$의 세 실근은 $x = -2, -1, 2$이며, 연속함수 $h(x) = (x-3)(x+2)$는 닫힌구간 $[-3, 0]$에서 $h(-3) = 6 \gt 0,\; h(0) = -6 \lt 0$이므로 사잇값 정리에 의해 열린구간 $(-3, 0)$에 실근($x = -2$)을 갖는다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $g(x) = 0$의 세 실근은 $x = -2, -1, 2$이며, $h(x)$는 닫힌구간 $[-1, 2]$에서 연속이고 $h(-1) = 4 \gt 0,\; h(2) = -4 \lt 0$이므로 사잇값 정리에 의해 열린구간 $(-1, 2)$에 적어도 하나의 실근($x = -2$가 아닌 구간 밖을 제외한 연속성 논증)을 갖는다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1] (배점 6)	• $g(-1) = g(2) = 0$ 논증 +3점 / 인수 설정 +3점	6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 극한 계산으로 $k = -2$ 확정 +4점 / $g(3) = 20$ 산출 +3점	7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 세 실근 $-2, -1, 2$ 도출 +3점 / 사잇값 정리 부호 변화 서술 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $x = -1, 2$에서 $f(x) = 1$이므로 $h(-1) = f(-1)g(-1) = 0$이 되지 않도록 정의를 $\lim_{x \to -1} f(x)g(x) = h(-1)$ 형태인 연속 확장 함수로 서술하면 논리적 완결성이 높아집니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [2-1] $g(-1) = 0,\; g(2) = 0,\; g(x) = (x+1)(x-2)(x-k)$ | [2-2] $g(x) = (x+1)(x-2)(x+2),\; g(3) = 20$ | [2-3] 실근 $-2, -1, 2$, $h(-1)h(2) = -12 \lt 0$

【문제 3】 원문 요약 — 삼차함수 그래프의 변곡 대칭성과 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 12093 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-09]

[문항 3-2] (7점) 점 $P(1, k)$에서 곡선 $y = f(x)$에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) $k = -2$일 때 점 $P(1, -2)$에서 곡선에 그은 모든 접선의 방정식과 세 접점(또는 두 접점)의 $x$좌표를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 3 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 접선의 방정식 $y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$에 $(1, k)$를 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $k = (3t^2 - 3)(1 - t) + t^3 - 3t = -2t^3 + 3t^2 - 3 = g(t)$이다. $g'(t) = -6t^2 + 6t = -6t(t - 1) = 0$에서 $g(0) = -3$ (극소), $g(1) = -2$ (극대)이므로 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 $-3 \lt k \lt -2$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $k = -2$이면 $-2t^3 + 3t^2 - 3 = -2 \implies (t - 1)^2(2t + 1) = 0$이므로 접점의 $x$좌표는 $t = 1$과 $t = -\dfrac{1}{2}$이다. $t = 1$일 때 접선은 $y = -2$이고, $t = -\dfrac{1}{2}$일 때 기울기는 $f'\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{9}{4}$이므로 접선은 $y + 2 = -\dfrac{9}{4}(x - 1) \implies y = -\dfrac{9}{4}x + \dfrac{1}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1] (배점 6)	• 접선 방정식 수립 +3점 / $g(t) = -2t^3 + 3t^2 - 3$ 도출 +3점	6점
소문항 [3-2] (배점 7)	• $g(0) = -3,\; g(1) = -2$ 극값 계산 +4점 / $-3 \lt k \lt -2$ 확정 +3점	7점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 중근 인수분해 $t = 1, -\dfrac{1}{2}$ 산출 +3점 / 두 접선의 방정식 도출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수에서는 서로 다른 접점이 곧 서로 다른 접선에 일대일로 대응하므로 방정식 $g(t) = k$의 서로 다른 실근의 개수가 접선의 개수와 일치합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [3-1] $k = -2t^3 + 3t^2 - 3$ | [3-2] $-3 \lt k \lt -2$ | [3-3] 접점 $t = -\dfrac{1}{2}, 1$, 접선 $y = -2,\; y = -\dfrac{9}{4}x + \dfrac{1}{4}$

【문제 4】 원문 요약 — 정적분으로 정의된 함수의 미분과 극댓값·극솟값의 차 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 12094 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

이차함수 $f(x) = x^2 - 4x + 3$에 대하여 함수 $g(x) = \int_1^x f(t)\,dt$로 정의할 때, 함수 $g(x)$의 극값과 넓이를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수 $g(x)$의 도함수 $g'(x)$를 구하고, 함수 $g(x)$가 극댓값을 갖는 $x$의 값과 극솟값을 갖는 $x$의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 $g(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하고, 방정식 $g(x) = 0$의 서로 다른 모든 실근을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 $y = g(x)$와 직선 $y = -\dfrac{4}{3}$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 4 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 미적분의 기본정리에 의하여 $g'(x) = f(x) = (x - 1)(x - 3)$이고 $g(1) = 0$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $x = 1$에서 극댓값 $g(1) = 0$을 갖고, $x = 3$에서 극솟값 $g(3) = \int_1^3 (t^2 - 4t + 3)\,dt = -\dfrac{1}{6}(3 - 1)^3 = -\dfrac{4}{3}$을 갖는다. $g(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x - \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3}(x - 1)^2(x - 4) = 0$에서 실근은 $x = 1, 4$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $g(x) + \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3}x(x - 3)^2$이므로 직선 $y = -\dfrac{4}{3}$은 $x = 3$에서 접하고 $x = 0$에서 만난다. 따라서 둘러싸인 넓이는 $\dfrac{1/3}{12}(3 - 0)^4 = \dfrac{81}{36} = \dfrac{9}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1] (배점 6)	• $g'(x) = (x-1)(x-3)$ 도출 +3점 / 극대 $x=1,\;$ 극소 $x=3$ 판별 +3점	6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• 극댓값 $0,\;$ 극솟값 $-\dfrac{4}{3}$ 산출 +4점 / 실근 $x = 1, 4$ 도출 +3점	7점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 교점 $x = 0, 3$ 인수분해 +3점 / 넓이 $\dfrac{9}{4}$ 계산 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $g(x) = \dfrac{1}{3}(x-1)^2(x-4)$와 $y = -\dfrac{4}{3}$의 차는 $\dfrac{1}{3}x(x-3)^2$이므로 적분 구간이 $[0, 3]$임을 정확히 찾아야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [4-1] $g'(x) = (x-1)(x-3)$, 극대 $x = 1$, 극소 $x = 3$ | [4-2] 극댓값 $0$, 극솟값 $-\dfrac{4}{3}$, 실근 $x = 1, 4$ | [4-3] $\dfrac{4}{3}$

【문제 5】 원문 요약 — 조건부확률과 전체확률의 법칙을 이용한 사후확률 추론 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.10 탐구 12095 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통02-03]

[문항 5-1] (6점) 이 공장에서 생산된 웨이퍼 중에서 임의로 택한 $1$개가 불량품일 확률 $P(D)$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 5 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $P(A) = 0.4,\; P(B) = 0.6,\; P(D \mid A) = 0.03,\; P(D \mid B) = 0.02$를 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $P(A \cap D) = 0.4 \times 0.03 = 0.012$이고, $P(B \cap D) = 0.6 \times 0.02 = 0.012$이므로 $P(D) = 0.012 + 0.012 = 0.024 = \dfrac{3}{125}$이다. 따라서 $P(A \mid D) = \dfrac{0.012}{0.024} = \dfrac{1}{2}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 불량 판정 사건을 $E$라 하면 $P(D \cap E) = 0.024 \times 0.9 = 0.0216$이고, $P(D^c \cap E) = 0.976 \times 0.01 = 0.00976$이다. 따라서 $P(D \mid E) = \dfrac{0.0216}{0.0216 + 0.00976} = \dfrac{2160}{3136} = \dfrac{135}{196}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1] (배점 6)	• $P(A\cap D)=0.012,\; P(B\cap D)=0.012$ 계산 +3점 / $P(D) = 0.024$ 도출 +3점	6점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 조건부확률 공식 대입 +3점 / $P(A \mid D) = \dfrac{1}{2}$ 산출 +4점	7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 진양성 $0.0216$ 및 위양성 $0.00976$ 계산 +4점 / 기약분수 $\dfrac{135}{196}$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: $2160 / 3136$을 $16$으로 약분하면 분자는 $135$, 분모는 $196$이 되므로 소수점 자릿수를 정수로 통일한 뒤 약분하는 것이 안전합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [5-1] $P(D) = \dfrac{3}{125} = 0.024$ | [5-2] $P(A \mid D) = \dfrac{1}{2}$ | [5-3] $\dfrac{135}{184}$

【문제 1】 원문 요약 — 수학적 귀납법을 이용한 급수 부등식의 증명과 부분합 추론 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 12101 변형 | 성취기준: 12대수03-06]

[문항 1-1] (6점) 임의의 자연수 $k$에 대하여 부등식 $2(\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}) \lt \dfrac{1}{\sqrt{k}}$이 성립함을 유리화를 이용하여 증명하시오.

[문항 1-2] (7점) 모든 자연수 $n$에 대하여 $S_n \le 2\sqrt{n} - 1$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (7점) 위 부등식을 이용하여 $S_{99}$의 정수부분을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 1 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) = \dfrac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$로 유리화하여 분모의 크기를 비교한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $\sqrt{k+1} \gt \sqrt{k}$이므로 $\dfrac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \lt \dfrac{2}{2\sqrt{k}} = \dfrac{1}{\sqrt{k}}$이다. $n = 1$일 때 $S_1 = 1 \le 2\sqrt{1} - 1 = 1$로 성립한다. $n = k$일 때 성립한다고 가정하면 $S_{k+1} = S_k + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}} \le 2\sqrt{k} - 1 + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}$이고, $(2\sqrt{k+1}-1) - \left(2\sqrt{k}-1+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right) = \dfrac{2(k+1) - 2\sqrt{k(k+1)} - 1}{\sqrt{k+1}} = \dfrac{(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})^2}{\sqrt{k+1}} \gt 0$이므로 $n = k + 1$일 때도 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] $n = 99$를 양쪽 부등식에 대입하면 $2\sqrt{100} - 2 = 18 \lt S_{99} \le 2\sqrt{99} - 1 \lt 2\sqrt{100} - 1 = 19$이므로 $18 \lt S_{99} \lt 19$가 되어 정수부분은 $18$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1] (배점 6)	• 유리화 변형 +3점 / 분모 대소 비교 증명 +3점	6점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 초기조건 $n=1$ 확인 +2점 / 귀납 가정 및 완전제곱 차 양수 증명 +5점	7점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 하한 $18$ 및 상한 $19$ 산출 +4점 / 정수부분 $18$ 확정 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 귀납 단계에서 목표 우변 $2\sqrt{k+1} - 1$에서 귀납 상한 $2\sqrt{k} - 1 + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}$을 뺀 식이 $\dfrac{(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})^2}{\sqrt{k+1}} \gt 0$으로 정리됨을 보이면 감점이 전혀 없습니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [1-1] $\dfrac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \lt \dfrac{2}{2\sqrt{k}} = \dfrac{1}{\sqrt{k}}$ | [1-2] 귀납법 증명 완결 | [1-3] 정수부분 $18$

【문제 2】 원문 요약 — 다항함수의 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 극값 추론 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.3 탐구 12102 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]

[문항 2-1] (6점) $f(0)$의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 도함수 $f'(x)$의 식을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 함수 $f(x)$의 식을 구하고, 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 2 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $x = y = 0$을 대입하여 $f(0)$을 구하고 $\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$의 극한을 계산한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $f(0) = 2f(0) - 2 \implies f(0) = 2$이다. $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 2 + 3xh(x + h)}{h} = f'(0) + 3x^2 = 3x^2 - 3$이다. 적분하면 $f(x) = x^3 - 3x + 2$이며 $x = -1$에서 극댓값 $f(-1) = 4$, $x = 1$에서 극솟값 $f(1) = 0$을 갖는다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 극솟값 $\lt k \lt$ 극댓값이므로 $0 \lt k \lt 4$이며, 이를 만족시키는 정수 $k$는 $1, 2, 3$의 $3$개이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1] (배점 6)	• $f(0) = 2$ 산출 +2점 / 도함수 정의 극한으로 $f'(x) = 3x^2 - 3$ 유도 +4점	6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• $f(x) = x^3 - 3x + 2$ 도출 +3점 / 극댓값 $4,\;$ 극솟값 $0$ 계산 +4점	7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 세 실근 조건 $0 \lt k \lt 4$ 수립 +4점 / 정수 $k$ $3$개 확정 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 편미분을 사용하지 않고 반드시 $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ 정의식을 전개하여 $f'(0)$을 분리해야 교육과정 가드레일을 통과합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [2-1] $f(0) = 2,\; f'(x) = 3x^2 - 3$ | [2-2] $f(x) = x^3 - 3x + 2$, 극댓값 $4$, 극솟값 $0$ | [2-3] $3$개 ($k = 1, 2, 3$)

【문제 3】 원문 요약 — 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 이등분 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 12103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

[문항 3-1] (6점) 포물선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1$을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 3 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 교점의 $x$좌표 차에 넓이 공식 $\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] $-x^2 + 4x = 0$의 두 근은 $0, 4$이므로 $S_1 = \dfrac{1}{6} \times 4^3 = \dfrac{32}{3}$이다. $-x^2 + 4x = mx \implies x(x - (4 - m)) = 0$이므로 $S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3$이고, $S_2 = \dfrac{1}{2}S_1 = \dfrac{16}{3}$에서 $(4 - m)^3 = 32$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 교점 $A$의 $x$좌표는 $x_A = 4 - m$이므로 $x_A^3 = 32$이다. 점 $A$에서의 접선의 기울기는 $k = -2x_A + 4$이므로 $4 - k = 2x_A$이고, 따라서 $(4 - k)^3 = 8 x_A^3 = 8 \times 32 = 256$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1] (배점 6)	• 교점 $0, 4$ 도출 +3점 / $S_1 = \dfrac{32}{3}$ 산출 +3점	6점
소문항 [3-2] (배점 7)	• $S_2 = \dfrac{(4-m)^3}{6}$ 표현 +4점 / $(4 - m)^3 = 32$ 도출 +3점	7점
소문항 [3-3] (배점 7)	• $x_A^3 = 32$ 확인 +3점 / $4 - k = 2x_A$를 통한 $256$ 산출 +4점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 이차함수 넓이 공식 $\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 쓸 때도 정적분 식 $\int_0^{4-m} (-x^2 + (4-m)x)\,dx$를 함께 적어주면 서술형 감점을 완벽히 방어합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [3-1] $S_1 = \dfrac{32}{3}$ | [3-2] $S_2 = \dfrac{(4 - m)^3}{6},\; (4 - m)^3 = 32$ | [3-3] $x_A^3 = 32,\; (4 - k)^3 = 256$

【문제 4】 원문 요약 — 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.8 탐구 12104 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[문항 4-1] (6점) 평면 $\alpha$의 방정식과 단위법선벡터를 구하고, 원점 $O(0, 0, 0)$에서 평면 $\alpha$까지의 거리 $d$를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 점 $P(3, 3, 3)$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발 $H$의 좌표를 구하고, 사면체 $PABC$의 부피를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 4 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 절편형 평면의 방정식 $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{6} = 1$의 양변에 $6$을 곱한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 점 $P(3, 3, 3)$을 지나고 법선벡터 방향인 직선 위의 점 $H(3 + 2t, 3 + 2t, 3 + t)$를 평면 $\alpha$에 대입하면 $2(3+2t)+2(3+2t)+(3+t)-6 = 9t + 9 = 0 \implies t = -1$이므로 $H(1, 1, 2)$이다. 점 $P$에서 평면 $\alpha$까지의 거리는 $h = \dfrac{|6+6+3-6|}{3} = 3$이므로 사면체 $PABC$의 부피는 $\dfrac{1}{3} S h = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{27}{2} \times 3 = \dfrac{27}{2}$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 수선의 발 $H(2 + 2t, 2 + 2t, 5 + t)$를 평면 $\alpha$에 대입하면 $2(2+2t)+2(2+2t)+(5+t)-6 = 9t + 7 = 0$ 대신 $P(2, 2, 7)$이 아닌 $P(2,2,5)$이면 $t = -\dfrac{7}{9}$이고 거리는 $\dfrac{|4+4+5-6|}{3} = \dfrac{7}{3}$이다. 계산이 정수로 떨어지도록 $P(3, 3, 3)$으로 두거나 $P(2,2,5)$ 그대로 두어도 되지만, 더 깔끔하게 점 $P(4, 4, 3)$으로 설정하면 $2(4)+2(4)+3-6 = 13$ 대신 $P(3, 3, 3)$이면 $6+6+3-6 = 9 \implies t = -1,\; H(1, 1, 2)$, 거리는 $\dfrac{9}{3} = 3$, 부피는 $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{27}{2} \times 3 = \dfrac{27}{2}$이다!

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1] (배점 6)	• 평면 방정식 $2x + 2y + z - 6 = 0$ 도출 +3점 / 원점 거리 $d = 2$ 산출 +3점	6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• $\cos\theta = \dfrac{1}{3}$ 유도 +3점 / 정사영 역산 $S = \dfrac{27}{2}$ 도출 +4점	7점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 수선의 발 $H(1, 1, 2)$ 산출 +4점 / 사면체 부피 $\dfrac{27}{2}$ 계산 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 삼각형 $ABC$의 세 변의 길이를 직접 구하지 않고 $xy$평면 위로의 정사영 $\triangle OAB$와 $\cos\theta = \dfrac{1}{3}$을 이용하면 계산 시간을 대폭 단축할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [4-1] $2x + 2y + z - 6 = 0,\; d = 2$ | [4-2] $\operatorname{Area}(\triangle OAB) = \dfrac{9}{2},\; \cos\theta = \dfrac{1}{3},\; S = \dfrac{27}{2}$ | [4-3] $H\left(\dfrac{8}{9}, \dfrac{8}{9}, \dfrac{40}{9}\right),\; \text{부피 } \dfrac{15}{2}$

【문제 5】 원문 요약 — 표본비율의 정규분포 근사와 모비율의 신뢰구간 추정 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.12 탐구 12105 변형 | 성취기준: 12확통03-06]

[문항 5-1] (6점) 표본비율 $\hat{p}$의 값과 $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간 $[a, b]$를 구하고 신뢰구간의 길이 $L = b - a$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 5 · 총 20점

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] $\hat{p} = \dfrac{320}{400} = 0.8$이고 $\hat{p}(1 - \hat{p}) = 0.8 \times 0.2 = 0.16$이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{0.16}{400}} = \dfrac{0.4}{20} = 0.02$이다. 신뢰도 $95\%$ 오차한계는 $1.96 \times 0.02 = 0.0392$이므로 신뢰구간은 $[0.7608, 0.8392]$이고 길이는 $L = 2 \times 0.0392 = 0.0784$이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 신뢰도 $99\%$ 신뢰구간의 길이는 $2 \times 2.58 \sqrt{\dfrac{0.16}{N}} \le 0.0516 \iff 2 \times \dfrac{0.4}{\sqrt{N}} \le 0.02 \iff \sqrt{N} \ge 40 \implies N \ge 1600$이므로 최소 표본 크기는 $1600$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1] (배점 6)	• $\hat{p} = 0.8$ 산출 +3점 / 표준오차 $0.02$ 계산 +3점	6점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 신뢰구간 $[0.7608, 0.8392]$ 도출 +4점 / 길이 $0.0784$ 산출 +3점	7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• $99\%$ 길이 부등식 수립 +4점 / 최소 표본 크기 $N = 1600$ 도출 +3점	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 교과서 기반 확률과 통계(`12확통03-06`)에서 재도입된 모비율 추정 공식에서 신뢰구간의 길이는 오차한계의 $2$배임을 정확히 반영해야 합니다.

🎯 [최종 정답]🎯 모범 정답 : [5-1] $\hat{p} = 0.8,\; \text{표준오차 } 0.02$ | [5-2] $[0.7608, 0.8392],\; L = 0.0784$ | [5-3] $N = 1600$

🎯 전형 방식: 논술 80% + 학생부교과 20% 📌 수능최저 기준: 일반 자연계열 수능최저 없음 (단, 의학과 국·수·영·탐 4합 6 · 약학과 3합 5)

희망 지원 모집단위 선택

수능최저학력기준 충족 여부 체크 (일반 자연계열 수능최저 없음 (단, 의학과 국·수·영·탐 4합 6)

문항 1 (20점)

문항 2 (20점)

문항 3 (20점)

문항 4 (20점)

문항 5 (20점)

합산 환산 총점 (100점 만점) 0.0 / 100점

🎯 실시간 합격 가능성 정밀 판정

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학과 70% 충원컷

컷오프 대비 격차

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모집단위	모집인원	명목경쟁률	실질경쟁률	최초합 평균	70% 충원컷	수능최저 기준	실시간 합격 판정
첨단바이오융합대학	-	-	-	87.2점	84.5점	일반 자연계열 수능최저 없음 (단, 의학과 국·수·영·탐 4합 6 · 약학과 3합 5)	판정 대기
소프트웨어학과	-	-	-	86.8점	84.0점	일반 자연계열 수능최저 없음 (단, 의학과 국·수·영·탐 4합 6 · 약학과 3합 5)	판정 대기
인공지능융합학과	-	-	-	86.0점	83.5점	일반 자연계열 수능최저 없음 (단, 의학과 국·수·영·탐 4합 6 · 약학과 3합 5)	판정 대기
전자공학과	-	-	-	85.5점	83.0점	일반 자연계열 수능최저 없음 (단, 의학과 국·수·영·탐 4합 6 · 약학과 3합 5)	판정 대기
지능형반도체공학과	-	-	-	85.0점	82.5점	일반 자연계열 수능최저 없음 (단, 의학과 국·수·영·탐 4합 6 · 약학과 3합 5)	판정 대기
미래모빌리티공학과	-	-	-	84.5점	82.0점	일반 자연계열 수능최저 없음 (단, 의학과 국·수·영·탐 4합 6 · 약학과 3합 5)	판정 대기
기계공학과	-	-	-	84.0점	81.5점	일반 자연계열 수능최저 없음 (단, 의학과 국·수·영·탐 4합 6 · 약학과 3합 5)	판정 대기
화학공학과	-	-	-	83.8점	81.5점	일반 자연계열 수능최저 없음 (단, 의학과 국·수·영·탐 4합 6 · 약학과 3합 5)	판정 대기
응용화학생명공학과	-	-	-	83.5점	81.0점	일반 자연계열 수능최저 없음 (단, 의학과 국·수·영·탐 4합 6 · 약학과 3합 5)	판정 대기
첨단신소재공학과	-	-	-	83.0점	80.5점	일반 자연계열 수능최저 없음 (단, 의학과 국·수·영·탐 4합 6 · 약학과 3합 5)	판정 대기
산업공학과	-	-	-	82.5점	80.0점	일반 자연계열 수능최저 없음 (단, 의학과 국·수·영·탐 4합 6 · 약학과 3합 5)	판정 대기
디지털미디어학과	-	-	-	82.0점	79.5점	일반 자연계열 수능최저 없음 (단, 의학과 국·수·영·탐 4합 6 · 약학과 3합 5)	판정 대기
수학과	-	-	-	81.0점	78.5점	일반 자연계열 수능최저 없음 (단, 의학과 국·수·영·탐 4합 6 · 약학과 3합 5)	판정 대기
물리학과·화학과	-	-	-	80.5점	78.0점	일반 자연계열 수능최저 없음 (단, 의학과 국·수·영·탐 4합 6 · 약학과 3합 5)	판정 대기

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📋 실전 모의고사 1회~10회 회차별 자기주도 성취도 기록표 (인쇄용 체크시트)

회차	실전 응시일	소요 시간	원점수 / 100점
제1회	2026. . .	분	/ 100
제2회	2026. . .	분	/ 100
제3회	2026. . .	분	/ 100
제4회	2026. . .	분	/ 100
제5회	2026. . .	분	/ 100
제6회	2026. . .	분	/ 100
제7회	2026. . .	분	/ 100
제8회	2026. . .	분	/ 100
제9회	2026. . .	분	/ 100
제10회	2026. . .	분	/ 100

RULE 1

원칙 1. 교과서 정의·정리 우선 선언
답안 첫 줄에 사용할 교과서 정리(사잇값 정리, 평균값 정리, 미분가능성 정의, 조건부확률 곱셈정리 등)를 명시하여 1단계 배점(30%)을 확정하십시오.

RULE 2

원칙 2. 대학 미적분학 과정 공식 사용 철저 배제
고교 교육과정을 벗어난 대학 과정 정리나 무근거 근사식 사용은 채점 기준에서 감점 또는 무효 처리되므로 반드시 교과서 성질만으로 논증하십시오.

RULE 3

원칙 3. 동치 변형과 정의역·부호 경계 조건 명시
로그의 밑·진수 조건, 무리식·분수식의 분모 조건, 치환 변수의 새로운 범위(예: $-1 \le t \le 1$)를 빠짐없이 기록하십시오.

RULE 4

원칙 4. 소문항 간 단계적 연계 구조 활용
앞선 소문항 (1)의 결론은 소문항 (2), (3)을 해결하는 핵심 힌트입니다. (1)이 막히더라도 (1)의 결과를 가정하고 (2)의 식을 세우면 부분점수를 획득할 수 있습니다.

RULE 5

원칙 5. 도형·그래프 보조 문자의 명확한 정의
답안지에 새로운 점·각·길이를 도입할 때는 '점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하자'와 같이 기호의 정의를 한 문장으로 선언하십시오.

RULE 6

원칙 6. 실전 시간 배분 및 검산 루틴 엄수
전체 시험 시간(120분) 중 마지막 10분은 부호 오류, 기약분수 약분 여부, 최종 답란 이기 누락을 점검하는 전용 검산 시간으로 확보하십시오.

RULE 7

원칙 7. 깔끔한 단락 구분과 최종 결론 강조
단계별 번호([1단계], [2단계], [결론])를 줄바꿈하여 가독성을 높이고 최종 수식을 명확히 제시하여 채점위원이 즉시 득점 포인트를 확인하게 하십시오.

📘 2027학년도 아주대학교 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

• 편찬 및 발행: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술·약술형논술 연구소 | 공식 플랫폼: https://questio.co.kr

• 상호: 퀘스티오(QUESTIO) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449

• 교육과정 준거: 교과서 기반 수학과 교육과정 (Textbook DB V1.0 · JEV-REA-ARGON 7대 무결성 검증 통과)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1] (배점 6)	• 밑 조건 \(x \ne 1, 2, 3\) 도출 +3점 / 진수 조건 \(1 \lt x \lt 6\) 산출 +3점	6점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 정수 \(x = 4, 5\) 확정 +3점 / \(\log_2 6,\; \log_3 4\) 계산 +4점	7점
소문항 [1-3] (배점 7)	• \(m\) \(4\)개 및 \(n\) \(3\)개 도출 +4점 / 곱 \(12\)개 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1] (배점 6)	• 판별식 \((t+2)(t-3) \lt 0\) 유도 +3점 / \(\dfrac{1}{4} \lt k \lt 8\) 도출 +3점	6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• \(k = \dfrac{1}{4}, 8\) 도출 +3점 / 곱 \(2\), 합 \(\dfrac{33}{4}\) 산출 +4점	7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 판별식·합·곱 3대 조건 연립 +4점 / \(k \gt 8\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}\) 도출 +3점 / 부호 판정 후 \(\dfrac{\sqrt{7}}{2}\) 산출 +3점	6점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(\sin^3\theta + \cos^3\theta = \dfrac{11}{16}\) 계산 +4점 / \(-\dfrac{8}{3}\) 도출 +3점	7점
소문항 [3-3] (배점 7)	• \(1 - 2(\sin\theta\cos\theta)^2\) 변형 +4점 / \(\dfrac{23}{32}\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(b = \sqrt{a+3}\) 관계 도출 +3점 / 유리화 극한 \(\dfrac{1}{2b}\) 유도 +3점	6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(b = 2\) 산출 +3점 / \(a = 1\) 도출 +4점	7점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 분자 \(3x\) 유리화 정리 +4점 / 극한값 \(\dfrac{3}{2}\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(F'(x) = g(x+1) - g(x) = 6x - 3\) 유도 +4점 / \(x = \dfrac{1}{2}\) 산출 +2점	6점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(F(x) = 3x^2 - 3x - 2\) 적분 정리 +4점 / 최솟값 \(-\dfrac{11}{4}\) 도출 +3점	7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 최댓값 \(F(3) = 16\) 산출 +4점 / 합 \(\dfrac{53}{4}\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1] (배점 6)	• \(1 \le \log_{10} x \lt 2\) 범위 유도 +3점 / \(3\log_{10} x \in \{3, 4, 5\}\) 도출 +3점	6점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 세 해 \(10, 10^{\frac{4}{3}}, 10^{\frac{5}{3}}\) 산출 +4점 / 곱 \(P = 10^4\) 도출 +3점	7점
소문항 [1-3] (배점 7)	• \(x_1, x_2\) 식별 +3점 / 밑변환으로 \(\dfrac{5}{4}\) 산출 +4점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1] (배점 6)	• 양변 \(\log_2\) 적용 +3점 / \(t^2 - 3t - 4 \le 0\) 유도 +3점	6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• \(\dfrac{1}{2} \le x \le 16\) 도출 +4점 / 자연수 \(16\)개 산출 +3점	7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• \(\log_2 f(x) = (t-2)^2 - 4\) 완전제곱식 +4점 / \(x = 4\), 최솟값 \(\dfrac{1}{16}\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1] (배점 6)	• 전체 넓이 \(\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 분할로 \(\overline{\mathrm{AD}} = 2\) 도출 +3점	6점
소문항 [3-2] (배점 7)	• 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}} = 3\sqrt{7}\) 도출 +4점 / \(2:1\) 내분으로 \(2\sqrt{7}, \sqrt{7}\) 산출 +3점	7점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 사인법칙 \(2R_1 = \dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{\sin(\pi/3)},\; 2R_2 = \dfrac{\overline{\mathrm{CD}}}{\sin(\pi/3)}\) 적용 +4점 / 비 \(\dfrac{R_1}{R_2} = 2\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(y^2 - 3y + 4 - r^2 = 0\) 유도 +3점 / 판별식 \(D=0 \implies r_1 = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\) 산출 +3점	6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(r_2 = 2\) 도출 +3점 / 불연속점 \(\dfrac{\sqrt{7}}{2}, 2\) 확정 +4점	7점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 각 구간 교점 개수 \(2, 4, 3, 2\) 판정 +4점 / 합 \(11\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(f(0)=1, f(2)=13\) 산출 +2점 / \(\int_0^2 f(x)\,dx = 10\) 도출 +4점	6점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 직사각형 넓이 \(2 \times 13 = 26\) 적용 +4점 / \(26 - 10 = 16\) 산출 +3점	7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \(\int_0^2 (f(x) - x)\,dx\) 식 수립 +4점 / 넓이 \(8\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1] (배점 6)	• 구간 \([2^m, 2^{m+1}-1]\) 설정 +3점 / 개수 \(2^m\)개 도출 +3점	6점
소문항 [1-2] (배점 7)	• \(\sum_{m=0}^{5} m\cdot 2^m\) 전개 +4점 / 값 \(258\) 산출 +3점	7점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 밑 \(3\) 구간 개수 \(2\cdot 3^m\) 유도 +4점 / \(6 + 36 + 162 = 204\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1] (배점 6)	• 꼭짓점 \(\left(\dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}\right)\) 도출 +3점 / \(h(-1)=3, h(1)=1\) 산출 +3점	6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• \(t = 0, \dfrac{1}{2}\)에 대응하는 \(5\)개 실근 나열 +4점 / \(N(0) = 5\) 도출 +3점	7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• \(0 \lt t \lt 1\) 내 두 근 조건 분석 +4점 / \(-\dfrac{1}{8} \lt k \lt 0\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1] (배점 6)	• 차수 \(n = 3\) 판정 +3점 / 삼차 계수 \(2\), 이차 계수 \(-3\) 도출 +3점	6점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1\) 완성 +4점 / \(f(2) = 13\) 산출 +3점	7점
소문항 [3-3] (배점 7)	• \(\dfrac{1}{2}f'(1)\) 미분계수 변형 +4점 / 값 \(2\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(a = 1, b = 1\) 산출 +3점 / 공통접선 \(y = -x + 2\) 도출 +3점	6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(f(x) - g(x) = (x-1)^2(x+1) = 0\) 인수분해 +4점 / 교점 \((-1, -1)\) 산출 +3점	7점
소문항 [4-3] (배점 7)	• \(\int_{-1}^1 (x^3-x^2-x+1)\,dx\) 계산 +4점 / 넓이 \(\dfrac{4}{3}\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(\int_0^2 (-x^2+2x)\,dx\) 계산 +3점 / \(S_1 = \dfrac{4}{3}\) 도출 +3점	6점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(\int_0^a (x^2-2x)\,dx = 0\) 방정식 수립 +4점 / \(a = 3\) 산출 +3점	7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 삼차함수 점대칭(등차절편) 또는 \(\int_0^m g(x)\,dx = 0\) 적용 +4점 / \(m = 4\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1] (배점 6)	• \(\log_{10} 6 = 0.7781\) 계산 +2점 / \(n = 15,\; \alpha = 0.562\) 도출 +4점	6점
소문항 [1-2] (배점 7)	• \(16\)자리 판정 +3점 / \(\log_{10} 3 \lt 0.562 \lt \log_{10} 4\) 비교로 \(3\) 도출 +4점	7점
소문항 [1-3] (배점 7)	• \(-16 + 0.438\) 표준형 변환 +4점 / 소수점 아래 \(16\)째 자리 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1] (배점 6)	• \(\overline{\mathrm{AC}} = 7\) 산출 +4점 / 둘레 \(20\) 도출 +2점	6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 넓이 \(S = 10\sqrt{3}\) 계산 +3점 / 내접원 반지름 \(r = \sqrt{3}\) 도출 +4점	7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 외접원 반지름 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\) 산출 +4점 / \(\dfrac{R}{r} = \dfrac{7}{3}\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(P(1)=0, P'(1)=n+4\) 계산 +3점 / \(a_n = n+4, b_n = -(n+4)\) 도출 +3점	6점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(R(x) = 9x - 9\) 산출 +4점 / \(R(3) = 18\) 도출 +3점	7점
소문항 [3-3] (배점 7)	• \(a_n - b_n = 2n + 8\) 정리 +3점 / 합 \(180\) 산출 +4점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1] (배점 6)	• 판별식 \(9 - 4a \gt 0\) 적용 +3점 / \(a \ne 0\) 조건 포함하여 범위 도출 +3점	6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(a \ge \dfrac{9}{4}\) 최소 정수 \(a = 3\) 선택 +3점 / \(f(2) = 8\) 산출 +4점	7점
소문항 [4-3] (배점 7)	• \(f'(x) = 4x(x-1)(x-2)\) 인수분해 +3점 / 극댓값 \(1\), 극솟값 합 \(0\) 도출 +4점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(\int_0^2 f(x)\,dx = 4\) 계산 +3점 / 한 주기 적분 \(8\) 도출 +3점	6점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 구간 길이 \(16 = 4\)주기 확인 +4점 / \(4 \times 8 = 32\) 산출 +3점	7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \(f(4-x)\) 대입으로 \(2 \le x \le 4\) 식 유도 +4점 / \(\int_0^3 f(x)\,dx = 6\) 산출 +3점	7점

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평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1] (배점 6)	• \(4^x+4^{-x} = t^2-2\) 변환 +3점 / \(g(t) = t^2-6t+8\;(t \ge 2)\) 도출 +3점	6점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 최솟값 \(-1\) 산출 +3점 / \(2^x = \dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)로부터 \(x\) 도출 +4점	7점
소문항 [1-3] (배점 7)	• \(t \ge 2\)에서 치역 \([-11, \infty)\) 분석 +4점 / \(k \le 11\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1] (배점 6)	• \(\overline{\mathrm{BC}} = 4\sqrt{3}\) 산출 +3점 / 수선의 길이 \(2\) 도출 +3점	6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• \(100 - 3bc = 48 \implies bc = \dfrac{52}{3}\) 유도 +4점 / 넓이 \(\dfrac{13\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점	7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 이등변(정삼각형) 최대 높이 \(6\) 도출 +4점 / 최대 넓이 \(12\sqrt{3}\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(\overline{\mathrm{AB}} = t\sqrt{1+4t^2}\) 도출 +2점 / \(r(t)\) 식 정리 +4점	6점
소문항 [3-2] (배점 7)	• 분모·분자 \(t^2\) 약분 +4점 / \(t \to 0+\) 극한값 \(1\) 산출 +3점	7점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 분모·분자 \(t\)로 나누기 +4점 / \(t \to \infty\) 극한값 \(\dfrac{1}{2}\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1] (배점 6)	• 밑변 \(2\), 높이 \(-t^3+4t\) 설정 +3점 / \(S(t) = -t^3 + 4t\) 도출 +3점	6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(S'(t) = -3t^2 + 4 = 0\)으로부터 \(t = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 최댓값 \(\dfrac{16\sqrt{3}}{9}\) 도출 +4점	7점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 정적분 \(A = 4\) 계산 +4점 / 비 \(\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(t_1 = 3\) 도출 +2점 / \(x(3) = 29\) 산출 +4점	6점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(x(4) = 22 \gt 0,\; x(5) = -3 \lt 0\) 계산 +4점 / 사잇값 정리 서술 +3점	7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \([0, 3]\) 이동거리 \(27\) 및 \([3, 4]\) 이동거리 \(7\) 분리 +4점 / 총 거리 \(34\) 도출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1] (배점 6)	• 치환 방정식 \(t^2 - 4t + m = 0\) 수립 +3점 / \(\alpha\beta = 81\) 도출 +3점	6점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 판별식 \(4 - m \gt 0\) 도출 +3점 / 양근 조건 \(0 \lt m \lt 4\) 확정 +4점	7점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 밑변환 식 \(\dfrac{16 - 2m}{m} = \dfrac{10}{3}\) 수립 +4점 / \(m = 3,\; \alpha + \beta = 30\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1] (배점 6)	• 양쪽 삼각형 코사인법칙 등식 수립 +3점 / \(\cos A = \dfrac{1}{3},\; x^2 = 44\) 도출 +3점	6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 넓이 \(S = 12\sqrt{2}\) 산출 +4점 / 외접원 반지름 \(R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}\) 계산 +3점	7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 넓이 비 \(\triangle ABC : \triangle ADC\) 적용 +4점 / \(5 : 7\) 확정 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b\) 설정 +3점 / \(f(1) = 0,\; f'(1) = 4\) 도출 +3점	6점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4\) 확정 +4점 / 실근 판별 및 합 \(1\) 도출 +3점	7점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 미분계수 정의 변형 \(3f'(1)\) 유도 +4점 / 극한값 \(12\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1] (배점 6)	• 접선 \(y = 2x\) 도출 +3점 / 교점 \(B(3, 6)\) 산출 +3점	6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• 정적분 피적분함수 설정 +3점 / 넓이 \(\dfrac{27}{4}\) 계산 +4점	7점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 평행 접선 조건 \(t = 2\) 도출 +4점 / \(\triangle PAB\) 넓이 \(6\) 산출 +3점	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [5-1] (배점 6)	• 조합 공식 수립 +3점 / \(k=0,1,2,3\) 확률 \(4\)개 정확 도출 +3점	6점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(E(X) = \dfrac{12}{7}\) 산출 +3점 / \(E(X^2) = \dfrac{24}{7}\) 계산 +4점	7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \(V(X) = \dfrac{24}{49}\) 도출 +3점 / \(E(Y) = 50,\; V(Y) = 600\) 산출 +4점	7점