[1-1] 일반항 \(a_n\)의 유도:
점화식 \(a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{2^{n+1}}\)의 양변에 \(2^{n+1}\)을 곱하면
\(2^{n+1}a_{n+1} = 2^n a_n + 1\)이다. \(c_n = 2^n a_n\)으로 두면 \(c_{n+1} = c_n + 1\)이다.
\(c_1 = 2^1 a_1 = 2\)이므로 수열 \(\{c_n\}\)은 첫째항이 2, 공차가 1인 등차수열이다.
\(c_n = 2 + (n-1) = n + 1\). 따라서 \(a_n = \frac{n+1}{2^n}\)이다.

[1-2] 무한급수의 합 계산:
\(S_k = \sum_{n=1}^k \frac{n+1}{2^n} = \frac{2}{2^1} + \frac{3}{2^2} + \cdots + \frac{k+1}{2^k}\).
\(\frac{1}{2}S_k = \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k+1}{2^{k+1}}\).
변변 빼면: \(\frac{1}{2}S_k = 1 + \left( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{2^k} \right) - \frac{k+1}{2^{k+1}}\)
\(= 1 + \frac{1/4(1 - (1/2)^{k-1})}{1 - 1/2} - \frac{k+1}{2^{k+1}} = 1 + \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2^{k-1}}\right) - \frac{k+1}{2^{k+1}}\).
\(k \to \infty\)일 때 \(\frac{1}{2}S = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \implies S = 3\).

[2-1] \(f(x)\)의 극값:
\(f'(x) = 1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot (-2x e^{-x^2}) = (1 - 2x^2)e^{-x^2} = 0\).
\(x \gt 0\)에서 극댓값은 \(x = \frac{1}{\sqrt{2}}\)일 때 가지며,
극댓값은 \(f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2e}}\)이다.

[2-2] 정적분 점화식 및 \(I_3\) 계산:
\(I_{n+2} = \int_0^1 x^{n+1} \cdot (x e^{-x^2})\,dx\).
\(u = x^{n+1} \implies u' = (n+1)x^n\), \(v' = x e^{-x^2} \implies v = -\frac{1}{2}e^{-x^2}\).
부분적분법에 의해:
\(I_{n+2} = \left[ -\frac{1}{2}x^{n+1}e^{-x^2} \right]_0^1 + \frac{n+1}{2} \int_0^1 x^n e^{-x^2}\,dx = -\frac{1}{2e} + \frac{n+1}{2}I_n\).
\(I_1 = \int_0^1 x e^{-x^2}\,dx = \left[ -\frac{1}{2}e^{-x^2} \right]_0^1 = -\frac{1}{2e} + \frac{1}{2} = \frac{e-1}{2e}\).
\(n=1\) 대입: \(I_3 = -\frac{1}{2e} + \frac{2}{2}I_1 = -\frac{1}{2e} + \frac{e-1}{2e} = \frac{e-2}{2e}\).

[3-1] 원 \(C\)의 중심과 반지름:
원점 \(O(0,0,0)\)에서 평면 \(\alpha: x+y+z-2=0\)까지의 거리 \(d\)는
\(d = \frac{|0+0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\).
구의 반지름 \(R = 2\)이므로 원 \(C\)의 반지름 \(r\)은
\(r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{4 - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\).
원 \(C\)의 중심 \(H\)는 평면의 법선벡터 방향이므로 \(H\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\)이다.

[3-2] 정사영 도형 \(E\)의 넓이:
원 \(C\)의 넓이 \(S_C = \pi r^2 = \pi \left(\frac{8}{3}\right) = \frac{8\pi}{3}\).
평면 \(\alpha\)의 법선벡터 \(\vec{n}_1 = (1, 1, 1)\), \(xy\)평면의 법선벡터 \(\vec{n}_2 = (0, 0, 1)\).
두 평면이 이루는 각 \(\theta\)의 코사인 값은 \(\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
정사영 넓이 공식에 의해 \(S_E = S_C \cos\theta = \frac{8\pi}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}\pi}{9}\).

[1-1] 4회 시행 후 좌표 \(+2\)의 확률:
앞면이 \(k\)회 나오면 뒷면은 \(4-k\)회 나온다. 점 \(P\)의 좌표는 \(X = k - (4-k) = 2k - 4\).
\(2k - 4 = 2 \implies 2k = 6 \implies k = 3\) (앞면 3회, 뒷면 1회).
독립시행의 확률에 의해:
\(P(X=2) = \binom{4}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 4 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{32}{81}\).

[1-2] 조건부확률 계산:
좌표가 양수(\(X \gt 0\))일 조건은 \(2k - 4 \gt 0 \implies k \gt 2 \implies k = 3\) 또는 \(k = 4\).
• \(P(k=3) = \frac{32}{81}\)
• \(P(k=4) = \binom{4}{4} \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}\)
따라서 \(P(X \gt 0) = \frac{32 + 16}{81} = \frac{48}{81}\).
'첫 번째 앞면 AND \(X \gt 0\)'인 경우:
1회차 앞면(\(\frac{2}{3}\)) 후 남은 3회에서 앞면이 2회 또는 3회 나와야 함.
\(= \frac{2}{3} \left[ \binom{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right) + \binom{3}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^3 \right] = \frac{2}{3} \left[ 3 \cdot \frac{4}{27} \cdot \frac{1}{3} + \frac{8}{27} \right] = \frac{2}{3} \left[ \frac{12+8}{27} \right] = \frac{40}{81}\).
따라서 구하는 조건부확률은 \(\frac{40/81}{48/81} = \frac{40}{48} = \frac{5}{6}\)이다.

[2-1] 역함수 미분계수 \(g'(e+1)\):
\(f(1) = 1 \cdot e^1 + 1 = e+1 \implies g(e+1) = 1\).
\(f'(x) = 1 \cdot e^x + x e^x = (x+1)e^x \implies f'(1) = (1+1)e^1 = 2e\).
역함수 미분법에 의해: \(g'(e+1) = \frac{1}{f'(g(e+1))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{2e}\).

[2-2] 역함수 정적분 넓이 계산:
구하는 넓이 \(S = \int_1^{e+1} g(x)\,dx\).
\(y = g(x) \iff x = f(y) = y e^y + 1\). 치환적분법: \(x: 1 \to e+1 \iff y: 0 \to 1\), \(dx = f'(y)dy = (y+1)e^y dy\).
\(S = \int_0^1 y (y+1)e^y\,dy = \int_0^1 (y^2 + y)e^y\,dy\).
부분적분법: \(\int (y^2+y)e^y dy = (y^2+y)e^y - \int (2y+1)e^y dy = (y^2+y)e^y - [(2y+1)e^y - \int 2e^y dy] = (y^2-y+1)e^y\).
\(S = \left[ (y^2 - y + 1)e^y \right]_0^1 = (1 - 1 + 1)e^1 - (0 - 0 + 1)e^0 = e - 1\).

[3-1] 정사면체 꼬인 두 모서리 벡터의 내적:
\(\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC}\)로 분해하면
\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{AB} \cdot (\vec{AD} - \vec{AC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AC}\).
정사면체의 모든 면은 한 변의 길이가 \(a\)인 정삼각형이므로 이루는 각은 \(60^\circ\)이다.
\(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}a^2\), \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}a^2\).
따라서 \(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}a^2 = 0\).
[기하학적 의미]: 정사면체에서 마주 보는 두 모서리 \(AB\)와 \(CD\)는 공간에서 서로 수직이다.

[3-2] 구와 평면의 교선 원 반지름 및 \(r\) 계산:
구의 중심 \(C(1, -2, 1)\)에서 평면 \(\alpha: 2x - y + 2z - 6 = 0\)까지의 거리 \(d\)는
\(d = \frac{|2(1) - (-2) + 2(1) - 6|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 2 + 2 - 6|}{3} = \frac{0}{3} = 0\).
(구의 중심이 평면 \(\alpha\) 위에 존재한다!)
따라서 평면 \(\alpha\)가 구의 대원을 지나므로 교선 원의 반지름은 구의 반지름 \(r\)과 같다.
원의 넓이 \(\pi r^2 = 16\pi \implies r^2 = 16 \implies r = 4\).

[1-1] \(\theta_n = \alpha_n - \beta_n\)의 증명:
탄젠트의 덧셈정리에 의하여 \[\tan(\alpha_n - \beta_n) = \frac{\tan\alpha_n - \tan\beta_n}{1 + \tan\alpha_n \tan\beta_n} = \frac{(n + 1) - n}{1 + (n + 1)n} = \frac{1}{n^2 + n + 1} = \tan\theta_n\]이다. 이때 \(0 \lt \beta_n \lt \alpha_n \lt \dfrac{\pi}{2}\)이므로 \(0 \lt \alpha_n - \beta_n \lt \dfrac{\pi}{2}\)이고, 구간 \(\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)에서 함수 \(y = \tan x\)는 일대일대응이므로 \(\theta_n = \alpha_n - \beta_n\)이다.

[1-2] 망원급수의 합 계산:
모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\tan\beta_{n+1} = n + 1 = \tan\alpha_n\)이고 \(\beta_{n+1}, \alpha_n \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)이므로 \(\beta_{n+1} = \alpha_n\)이다. 따라서 제\(k\)부분합 \(S_k\)는 망원 소거에 의하여 \[S_k = \sum_{n=1}^{k} (\beta_{n+1} - \beta_n) = \beta_{k+1} - \beta_1 = \alpha_k - \beta_1\]이다. \(\tan\beta_1 = 1\)에서 \(\beta_1 = \dfrac{\pi}{4}\)이고, \(k \to \infty\)일 때 \(\tan\alpha_k = k + 1 \to \infty\) \(\left(0 \lt \alpha_k \lt \dfrac{\pi}{2}\right)\)이므로 \(\displaystyle\lim_{k \to \infty} \alpha_k = \dfrac{\pi}{2}\)이다. 따라서 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \theta_n = \lim_{k \to \infty} S_k = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}\)이다.

[2-1] 접선의 방정식 유도:
\(x = 2\cos t \implies \frac{dx}{dt} = -2\sin t\), \(y = 2\sin t \implies \frac{dy}{dt} = 2\cos t\).
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2\cos t}{-2\sin t} = -\cot t\).
\(t = \frac{\pi}{3}\)일 때: 점의 좌표는 \((2\cos \frac{\pi}{3}, 2\sin \frac{\pi}{3}) = (1, \sqrt{3})\).
기울기 \(m = -\cot \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\).
접선의 방정식: \(y - \sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 1) \implies x + \sqrt{3}y - 4 = 0\).

[2-2] 로그 나선 곡선의 길이 계산:
\(\frac{dx}{dt} = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t(\cos t - \sin t)\).
\(\frac{dy}{dt} = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t(\sin t + \cos t)\).
\(\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = e^{2t}[(\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2] = e^{2t}[1 - 2\sin t\cos t + 1 + 2\sin t\cos t] = 2e^{2t}\).
\(L = \int_0^\pi \sqrt{2e^{2t}}\,dt = \sqrt{2} \int_0^\pi e^t\,dt = \sqrt{2}[e^t]_0^\pi = \sqrt{2}(e^\pi - 1)\).

[3-1] 단면 타원의 장축 및 단축:
원기둥을 자를 때 단축은 원기둥의 지름과 같으므로 \(2b = 2R = 4 \implies b = 2\).
장축은 밑면 지름이 정사영된 관계에 의해 \(2a \cos 60^\circ = 2R \implies 2a \cdot \frac{1}{2} = 4 \implies 2a = 8 \implies a = 4\).

[3-2] 타원의 넓이 및 두 초점 거리:
밑면 원의 넓이 \(S_{\text{base}} = \pi R^2 = 4\pi\).
정사영 관계에 의해: \(S_{\text{base}} = S_{\text{ellipse}} \cos 60^\circ \implies 4\pi = S_{\text{ellipse}} \cdot \frac{1}{2} \implies S_{\text{ellipse}} = 8\pi\).
(타원 공식 검산: \(S = \pi a b = \pi \cdot 4 \cdot 2 = 8\pi\) 일치)
타원의 초점 위치 \(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).
두 초점 사이의 거리 \(2c = 4\sqrt{3}\).

[1-1] 수학적 귀납법 증명:
(i) \(n = 2\)일 때: 좌변 \(= (1+h)^2 = 1 + 2h + h^2\), 우변 \(= 1 + 2h\). \(h \gt 0 \implies h^2 \gt 0\)이므로 좌변 \( \gt \) 우변 성립.
(ii) \(n = k\) (\(k \ge 2\))일 때 성립한다고 가정: \((1+h)^k \gt 1 + kh\).
\(n = k+1\)일 때: 양변에 \(1+h \gt 0\)을 곱하면
\((1+h)^{k+1} \gt (1+kh)(1+h) = 1 + (k+1)h + kh^2\).
\(k \ge 2, h \gt 0 \implies kh^2 \gt 0\)이므로 \((1+kh)(1+h) \gt 1 + (k+1)h\).
따라서 \((1+h)^{k+1} \gt 1 + (k+1)h\)가 성립한다.
(i), (ii)에 의해 모든 자연수 \(n \ge 2\)에 대하여 부등식이 성립한다. (증명 완료)

[1-2] 수열 \(\{a_n\}\)의 증가성 및 유계성 증명:
이항정리에 의해: \(a_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = 1 + 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k!} \left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right)\cdots\left(1 - \frac{k-1}{n}\right)\).
\(n\)이 증가하면 각 항의 \(\left(1 - \frac{j}{n}\right)\)가 증가하고 항의 개수도 늘어나므로 \(a_n \lt a_{n+1}\) (증가수열).
또한 \(k! \ge 2^{k-1}\)이므로
\(a_n \lt 1 + 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k!} \lt 1 + 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{2^{k-1}} = 2 + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}}\right) \lt 2 + 1 = 3\).
따라서 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n \lt 3\)이다. (증명 완료)

[2-1] 음함수 미분:
\(x^3 + y^3 - 3axy = 0\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면
\(3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} - 3a\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) = 0\).
\(3(y^2 - ax)\frac{dy}{dx} = 3(ay - x^2) \implies \frac{dy}{dx} = \frac{ay - x^2}{y^2 - ax}\).

[2-2] 극대점 좌표 및 원점 접선:
접선의 기울기 \(\frac{dy}{dx} = 0 \iff ay - x^2 = 0 \iff y = \frac{x^2}{a}\).
이를 원래 곡선에 대입: \(x^3 + \left(\frac{x^2}{a}\right)^3 - 3ax\left(\frac{x^2}{a}\right) = 0\)
\(x^3 + \frac{x^6}{a^3} - 3x^3 = 0 \implies \frac{x^6}{a^3} = 2x^3\).
제1사분면(\(x \gt 0\))이므로 \(x^3 = 2a^3 \implies x = 2^{1/3}a = a\sqrt[3]{2}\).
\(y = \frac{(a\sqrt[3]{2})^2}{a} = a \sqrt[3]{4} = a 2^{2/3}\).
극대점 좌표는 \((a\sqrt[3]{2}, a\sqrt[3]{4})\)이다.
원점 \((0,0)\) 근방에서 \(y = mx\) 대입 시 \(x^3(1+m^3) - 3amx^2 = 0 \implies x \to 0\)일 때 접선은 \(x\)축(\(y=0\))과 \(y\)축(\(x=0\))이다.

[3-1] 포물선 접선 및 이등변삼각형 증명:
포물선 \(y^2 = 8x \implies p = 2\). 초점은 \(F(2, 0)\)이다.
점 \(P(2, 4)\)에서의 접선: \(4y = 4(x + 2) \implies y = x + 2\).
\(y = 0\)일 때 \(x = -2\). 따라서 \(x\)절편 \(T(-2, 0)\)이다.
선분의 길이 계산:
• \(\overline{TF} = |2 - (-2)| = 4\)
• \(\overline{PF} = \sqrt{(2-2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16} = 4\)
\(\overline{TF} = \overline{PF} = 4\)이므로 삼각형 \(PTF\)는 \(\overline{TF} = \overline{PF}\)인 이등변삼각형이다. (증명 완료)

[3-2] 타원의 정의 및 접선:
타원 \(\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1\)에서 장축 반지름 \(a = 5\).
타원의 정의에 의해 두 초점으로부터의 거리의 합은 장축의 길이와 같으므로
\(\overline{PF} + \overline{PF'} = 2a = 2 \times 5 = 10\).
점 \((x_1, y_1) = (0, 4)\)에서의 접선 공식: \(\frac{0 \cdot x}{25} + \frac{4 \cdot y}{16} = 1 \implies \frac{y}{4} = 1 \implies y = 4\).

[1-1] 이항계수 가중합 항등식 증명:
이항정리식: \((1+x)^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 + \cdots + \binom{n}{n}x^n\).
양변을 \(x\)에 대하여 미분하면:
\(n(1+x)^{n-1} = \binom{n}{1} + 2\binom{n}{2}x + 3\binom{n}{3}x^2 + \cdots + n\binom{n}{n}x^{n-1} = \sum_{k=1}^n k \binom{n}{k} x^{k-1}\).
양변에 \(x = 1\)을 대입하면:
\(n(1+1)^{n-1} = \sum_{k=1}^n k \binom{n}{k} \implies \sum_{k=1}^n k \binom{n}{k} = n 2^{n-1}\). (증명 완료)

[1-2] 표준정규분포 확률 계산:
\(m = 50, \sigma = 10\)이므로 \(Z = \frac{X - 50}{10}\).
\(X = 40 \implies Z = \frac{40 - 50}{10} = -1\), \(X = 70 \implies Z = \frac{70 - 50}{10} = 2\).
\(P(40 \le X \le 70) = P(-1 \le Z \le 2) = P(-1 \le Z \le 0) + P(0 \le Z \le 2)\)
\(= P(0 \le Z \le 1) + P(0 \le Z \le 2) = 0.3413 + 0.4772 = 0.8185\).

[2-1] 평균값 정리를 이용한 로그 부등식 증명:
임의의 \(x \gt 0\)에 대하여 함수 \(g(t) = \ln t\)는 닫힌구간 \([1, 1+x]\)에서 연속이고 열린구간 \((1, 1+x)\)에서 미분가능하다.
평균값 정리에 의하여 \(\frac{\ln(1+x) - \ln 1}{(1+x) - 1} = \frac{\ln(1+x)}{x} = g'(c) = \frac{1}{c}\)를 만족하는 \(c \in (1, 1+x)\)가 존재한다.
\(1 \lt c \lt 1+x\)에서 역수를 취하면 \(\frac{1}{1+x} \lt \frac{1}{c} \lt 1\)이므로 \(\frac{1}{1+x} \lt \frac{\ln(1+x)}{x} \lt 1\)이고, 양변에 \(x \gt 0\)을 곱하면 \(\frac{x}{1+x} \lt \ln(1+x) \lt x\)가 성립한다.

[2-2] 도함수의 부호를 이용한 2차 다항 근사 오차 부등식 증명:
① \(G(x) = \ln(1+x) - \left(x - \frac{x^2}{2}\right)\)로 놓으면 \(G(0) = 0\)이고, \(x \gt 0\)일 때
\[ G'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 + x = \frac{1 - (1 - x^2)}{1+x} = \frac{x^2}{1+x} \gt 0 \]
이므로 \(G(x)\)는 \([0, \infty)\)에서 순증가하여 \(x \gt 0\)일 때 \(G(x) \gt G(0) = 0\)이다.
② \(F(x) = \frac{x^3}{3} - \ln(1+x) + x - \frac{x^2}{2}\)로 놓으면 \(F(0) = 0\)이고, \(x \gt 0\)일 때 인수분해 공식 \(x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)\)에 의해
\[ F'(x) = x^2 - \frac{1}{1+x} + 1 - x = \frac{(1+x)(x^2 - x + 1) - 1}{1+x} = \frac{(x^3 + 1) - 1}{1+x} = \frac{x^3}{1+x} \gt 0 \]
이다. 따라서 제시문 나에 의해 모든 \(x \gt 0\)에서 \(F(x) \gt F(0) = 0\)이므로 \(0 \lt \ln(1+x) - \left(x - \frac{x^2}{2}\right) \lt \frac{x^3}{3}\)이 성립한다.

[3-1] 점과 점근선 거리의 곱 증명:
쌍곡선 \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1\)의 점근선은 \(y = \pm x \iff x - y = 0\) 및 \(x + y = 0\).
점 \(P(x_1, y_1)\)에서 두 직선까지의 거리 \(d_1, d_2\)는
\(d_1 = \frac{|x_1 - y_1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|x_1 - y_1|}{\sqrt{2}}\), \(d_2 = \frac{|x_1 + y_1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|x_1 + y_1|}{\sqrt{2}}\).
거리의 곱: \(d_1 \cdot d_2 = \frac{|x_1 - y_1||x_1 + y_1|}{2} = \frac{|x_1^2 - y_1^2|}{2}\).
점 \(P\)가 쌍곡선 위의 점이므로 \(x_1^2 - y_1^2 = 4\).
따라서 \(d_1 \cdot d_2 = \frac{4}{2} = 2\) (항상 일정한 상수 2). (증명 완료)

[3-2] 꼬인 두 직선 사이의 최단거리:
\(l_1\)의 방향벡터 \(\vec{u} = (1, 1, 1)\), 지나는 점 \(A(0, 0, 0)\).
\(l_2\)의 방향벡터 \(\vec{v} = (1, 2, 2)\), 지나는 점 \(B(1, 0, 1)\).
두 직선에 동시에 수직인 공통법선벡터 \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\):
\(\vec{n} = (1(2)-1(2), 1(1)-1(2), 1(2)-1(1)) = (0, -1, 1)\).
\(\vec{AB} = (1, 0, 1)\). 최단거리는 \(\vec{AB}\)의 \(\vec{n}\) 방향 정사영 길이이다.
\(d = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|1(0) + 0(-1) + 1(1)|}{\sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

[1-1] \(k=1\)일 때 신뢰구간 및 길이 \(L_1\) 계산:
\(k=1\)일 때 표본의 크기는 \(n_1 = 400\)이고 표본비율은 \(\hat{p} = 0.2\)이므로 표준오차 추정값은 \(\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_1}} = \sqrt{\frac{0.2 \times 0.8}{400}} = \sqrt{\frac{0.16}{400}} = \frac{0.4}{20} = 0.02\)이다.
오차한계는 \(1.96 \times 0.02 = 0.0392\)이므로 \(a_1 = 0.2 - 0.0392 = 0.1608\), \(b_1 = 0.2 + 0.0392 = 0.2392\)이다.
따라서 신뢰구간은 \([0.1608,\; 0.2392]\)이고, 구간의 길이는 \(L_1 = 2 \times 0.0392 = 0.0784 = \frac{49}{625}\)이다.

[1-2] 무한등비급수의 합과 표본 단계 \(k\)의 최솟값 도출:
\(\sqrt{n_k} = \sqrt{400 \times 4^{k-1}} = 20 \times 2^{k-1}\)이므로 신뢰구간의 길이 \(L_k\)는 다음과 같다.
\[ L_k = 2 \times 1.96 \times \frac{0.4}{20 \times 2^{k-1}} = 0.0784 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} \]
공비가 \(r = \frac{1}{2}\) (\(|r| \lt 1\))인 무한등비급수이므로 \(\sum_{k=1}^{\infty} L_k = \frac{0.0784}{1 - \frac{1}{2}} = 0.1568 = \frac{98}{625}\)이다.
또한 \(L_k \le 0.001 \iff \frac{0.0784}{2^{k-1}} \le 0.001 \iff 2^{k-1} \ge 78.4\)에서 \(2^6 = 64 \lt 78.4 \lt 128 = 2^7\)이므로 \(k - 1 \ge 7\), 즉 자연수 \(k\)의 최솟값은 \(8\)이다.

[2-1] 제곱합 항등식 증명 및 \(f(x)\)의 최대·최소 확정:
우변을 전개하면 \((9e^{2x} + 6xe^x + x^2) + (1 - 6xe^x + 9x^2 e^{2x}) = 9e^{2x}(x^2 + 1) + (x^2 + 1) = (9e^{2x}+1)(x^2+1)\)로 좌변과 일치한다.
\(A(x) = 3e^x + x\), \(B(x) = 1 - 3xe^x\)라 두면 분모 \(A(x)^2 + B(x)^2 \ge 1 \gt 0\)이므로 제시문 가에 의해 \(-\frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{2}\)이다.
① \(h_1(x) = A(x) - B(x) = 3e^x(1+x) + x - 1\)은 연속함수이고 \(h_1(-1) = -2 \lt 0\), \(h_1(0) = 2 \gt 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 \(h_1(\alpha)=0\)인 \(\alpha \in (-1, 0)\)가 존재하여 최댓값은 \(f(\alpha) = \frac{1}{2}\)이다.
② \(h_2(x) = A(x) + B(x) = 3e^x(1-x) + x + 1\)은 연속함수이고 \(h_2(0) = 4 \gt 0\), \(h_2(2) = -3e^2 + 3 \lt 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 \(h_2(\beta)=0\)인 \(\beta \in (0, 2)\)가 존재하여 최솟값은 \(f(\beta) = -\frac{1}{2}\)이다.

[2-2] \(g(x)\)의 최댓값 도출 및 \(-\frac{1}{2}\) 도달 불가능성 논증:
마찬가지로 \((e^{2x}+1)(\sin^2 x + 9) = (3e^x + \sin x)^2 + (3 - e^x \sin x)^2\)이 성립한다. \(U(x) = 3e^x + \sin x\), \(V(x) = 3 - e^x \sin x\)라 하면 \(x = 0\)일 때 \(U(0) = 3 = V(0)\)이므로 \(g(0) = \frac{9}{9+9} = \frac{1}{2}\)이 되어 \(g(x)\)의 최댓값은 \(\frac{1}{2}\)이다.
반면 \(g(x) = -\frac{1}{2}\)이 성립하려면 \(U(x) + V(x) = 0\)이어야 한다. 그러나 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(-1 \le \sin x \le 1\)이므로
\[ U(x) + V(x) = e^x(3 - \sin x) + (3 + \sin x) \ge 2e^x + 2 \gt 2 \gt 0 \]
이다. 따라서 \(U(x) + V(x) = 0\)을 만족시키는 실수 \(x\)는 존재하지 않으며, \(g(x) = -\frac{1}{2}\)인 실수 해는 존재하지 않는다.

[3-1] 홀수 번 선택될 확률 \(p_n\)의 유도:
\(2n\)번의 독립시행 중 \(i\)번 전구가 선택되는 횟수를 \(X_i\)라 하면 \(X_i\)는 이항분포 \(\mathrm{B}\left(2n, \frac{1}{n}\right)\)을 따른다.
초기에 전구가 꺼져 있으므로 \(2n\)번 시행 후 켜져 있을 사건은 \(X_i\)가 홀수인 사건과 같다. 제시문 가의 항등식에 \(m = 2n\), \(x = 1 - \frac{1}{n}\), \(y = \frac{1}{n}\)을 대입하면:
\[ p_n = \mathrm{P}(X_i\text{가 홀수}) = \frac{1^ {2n} - \left(1 - \frac{2}{n}\right)^{2n}}{2} = \frac{1 - \left(1 - \frac{2}{n}\right)^{2n}}{2} \]

[3-2] 제곱합의 기댓값 \(\mathrm{E}(W_n)\) 및 극한값 계산:
지시확률변수 \(I_i\) (켜져 있으면 \(1\), 꺼져 있으면 \(0\))에 대하여 \(W_n = \sum_{i=1}^{n} i^2 I_i\)이므로 기댓값의 선형성에 의해
\[ \mathrm{E}(W_n) = \sum_{i=1}^{n} i^2 p_n = p_n \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{12}\left\{1 - \left(1 - \frac{2}{n}\right)^{2n}\right\} \]
이다. 양변을 \(n^3\)으로 나누고 \(n \to \infty\) 극한을 취하면 \(\lim_{n \to \infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{12n^3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\)이고, \(\lim_{n \to \infty}\left(1 - \frac{2}{n}\right)^{2n} = (e^{-2})^2 = e^{-4}\)이므로
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\mathrm{E}(W_n)}{n^3} = \frac{1}{6}(1 - e^{-4}) = \frac{e^4 - 1}{6e^4} \]

[1-1] 평면 \(\alpha\)의 방정식 및 수선의 발 \(H\) 계산:
세 축의 절편이 각각 \(3, 3, \frac{3}{\sqrt{2}}\)이므로 평면 \(\alpha\)의 방정식은 \(\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{\sqrt{2}z}{3} = 1\), 즉 \(x + y + \sqrt{2}z - 3 = 0\)이다.
법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, \sqrt{2})\) (\(|\vec{n}| = \sqrt{1+1+2} = 2\))이므로 \(\overrightarrow{OH} = t(1, 1, \sqrt{2})\)로 두어 평면 식에 대입하면 \(t + t + 2t = 3 \implies t = \frac{3}{4}\)이다.
따라서 \(H\left(\frac{3}{4}, \frac{3}{4}, \frac{3\sqrt{2}}{4}\right)\)이고, \(\overline{OH} = \frac{|-3|}{2} = \frac{3}{2}\)이다.

[1-2] 두 평면 위로의 정사영 넓이 \(S_1, S_2\) 도출:
원판 \(D\)의 넓이는 \(\mathrm{Area}(D) = \pi \cdot 2^2 = 4\pi\)이다.
① \(xy\)평면의 법선벡터 \(\vec{k} = (0, 0, 1)\)과 \(\vec{n} = (1, 1, \sqrt{2})\)에 대하여 \(\cos\theta_1 = \frac{|\sqrt{2}|}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)이므로 \(S_1 = 4\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\pi\)이다.
② 평면 \(\beta\)의 법선벡터 \(\vec{m} = (1, -1, \sqrt{2})\) (\(|\vec{m}| = 2\))에 대하여 \(\cos\theta_2 = \frac{|1 - 1 + 2|}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)이므로 \(S_2 = 4\pi \cdot \frac{1}{2} = 2\pi\)이다.

[2-1] \(I_n\)의 부분적분 및 \(S_n \lt I_n \lt T_n\) 증명:
부분적분법에 의해 \(I_n = \int_1^n 1 \cdot \ln x\,dx = \Big[x\ln x\Big]_1^n - \int_1^n 1\,dx = n\ln n - n + 1\)이다.
함수 \(y = \ln x\)는 \(x \gt 0\)에서 도함수가 \(\frac{1}{x} \gt 0\)이므로 순증가한다. 따라서 각 열린구간 \((k, k+1)\) (\(1 \le k \le n-1\))에서 \(\ln k \lt \ln x \lt \ln(k+1)\)이므로 \([k, k+1]\)에서 정적분하면 \(\ln k \lt \int_k^{k+1} \ln x\,dx \lt \ln(k+1)\)이다.
이를 \(k = 1\)부터 \(n-1\)까지 변변 더하면 \(\sum_{k=1}^{n-1}\ln k \lt \int_1^n \ln x\,dx \lt \sum_{k=2}^{n}\ln k\), 즉 \(S_n \lt I_n \lt T_n\)이 성립한다.

[2-2] \(\ln(n!)\) 양쪽 부등식 및 극한값 유도:
\(T_n = \sum_{k=2}^n \ln k = \ln(n!)\)이고 \(S_n = \ln((n-1)!) = \ln(n!) - \ln n\)이다.
\(I_n \lt T_n\)에서 \(n\ln n - n + 1 \lt \ln(n!)\)이고, \(S_n \lt I_n\)에서 \(\ln(n!) - \ln n \lt n\ln n - n + 1 \implies \ln(n!) \lt (n+1)\ln n - n + 1\)이다.
양변에서 \(n\ln n\)을 빼고 \(n\)으로 나누면 \(-1 + \frac{1}{n} \lt \frac{\ln(n!) - n\ln n}{n} \lt \frac{\ln n}{n} - 1 + \frac{1}{n}\)이다.
한편 \(h(x) = 2\sqrt{x} - \ln x\) (\(x \ge 1\))라 하면 \(h(1)=2 \gt 0\), \(h'(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x} \ge 0\)이므로 \(0 \le \ln x \lt 2\sqrt{x}\)가 성립하고, \(0 \le \frac{\ln n}{n} \lt \frac{2}{\sqrt{n}} \to 0\)이므로 \(\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n} = 0\)이다.
따라서 수열의 극한의 대소 관계(조임 정리)에 의해 \(\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n!) - n\ln n}{n} = -1\)이다.

[3-1] 원점 대칭성을 이용한 넓이 \(S(m)\) 계산:
방정식 \(x^3 - 3a^2 x = mx \iff x\{x^2 - (3a^2 + m)\} = 0\)에서 \(r = \sqrt{3a^2 + m} \gt 0\)이라 하면 교점의 \(x\)좌표는 \(-r, 0, r\)이다.
기함수 대칭성에 의해 두 영역의 넓이는 서로 같고, 구간 \([0, r]\)에서 \(mx - f(x) = r^2 x - x^3 \ge 0\)이므로
\[ S(m) = 2\int_0^r (r^2 x - x^3)\,dx = 2\left[\frac{r^2 x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_0^r = \frac{r^4}{2} = \frac{(3a^2 + m)^2}{2} \]

[3-2] 극소점 접선 넓이 조건으로부터 \(a\) 및 \(S(a^2)\) 도출:
\(f'(x) = 3x^2 - 3a^2\)에서 \(f'(a) = 0\)이므로 직선 \(PQ\)의 방정식은 \(y = -2a^3\)이다.
\(f(x) - (-2a^3) = x^3 - 3a^2 x + 2a^3 = (x - a)^2(x + 2a) = 0\)이므로 점 \(Q\)의 좌표는 \((-2a, -2a^3)\)이고 구간 \([-2a, a]\)에서 \(f(x) \ge -2a^3\)이다.
\(u = x - a\)로 치환하면 둘러싸인 넓이는 \(\int_{-2a}^{a} (x-a)^2(x+2a)\,dx = \int_{-3a}^{0} u^2(u + 3a)\,du = \left[\frac{u^4}{4} + au^3\right]_{-3a}^{0} = \frac{27}{4}a^4\)이다.
\(\frac{27}{4}a^4 = 27 \implies a^4 = 4\)이고 \(a \gt 0\)이므로 \(a = \sqrt{2}\) (\(a^2 = 2\))이다.
따라서 \(S(a^2) = \frac{(3a^2 + a^2)^2}{2} = 8a^4 = 8 \times 4 = 32\)이다.

[1-1] 타일 분할 점화식 수립 및 일반항 \(a_n\) 유도:
\(n=1\)일 때 \(1\times 2\) 세로 타일 1개로 채우는 \(a_1 = 1\)가지이고, \(n=2\)일 때 세로 2개, 가로 2개, \(2\times 2\) 타일 1개로 \(a_2 = 3\)가지이다.
가로 길이 \(n+2\)인 판의 맨 왼쪽 열을 채우는 방법은 ① \(1\times 2\) 세로 타일 1개를 놓는 경우(\(a_{n+1}\)가지), ② 맨 왼쪽 \(2\times 2\) 영역을 가로 타일 2개 또는 \(2\times 2\) 정사각형 타일 1개로 채우는 경우(\(2a_n\)가지)로 분할되므로 \(a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n\)이다.
이를 변형하면 \(a_{n+2} + a_{n+1} = 2(a_{n+1} + a_n)\)에서 \(a_{n+1} + a_n = (a_2+a_1)\cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}\)이고, \(a_{n+2} - 2a_{n+1} = -(a_{n+1} - 2a_n)\)에서 \(a_{n+1} - 2a_n = (a_2 - 2a_1)(-1)^{n-1} = (-1)^{n-1}\)이다.
두 식을 빼면 \(3a_n = 2^{n+1} - (-1)^{n-1} = 2^{n+1} + (-1)^n\)이므로 \(a_n = \frac{2^{n+1} + (-1)^n}{3}\)이다.

[1-2] 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{4^n}\)의 합 계산:
\(\frac{a_n}{4^n} = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n + \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{4}\right)^n\)이고 두 등비급수의 공비가 각각 \(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\)로 절댓값이 \(1\)보다 작으므로 모두 수렴한다.
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{4^n} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{-\frac{1}{4}}{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)} = \frac{2}{3} - \frac{1}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \]

[2-1] 초점 현의 근과 계수의 관계 및 준선 접원 증명:
초점 \(F(2, 0)\)을 지나는 직선 \(PQ\)의 방정식을 \(x = my + 2\) (\(m\)은 실수)로 두어 \(y^2 = 8x\)에 대입하면 \(y^2 - 8my - 16 = 0\)이다.
근과 계수의 관계에 의해 \(y_1 + y_2 = 8m\), \(y_1 y_2 = -16\)이고, \(x_1 x_2 = \frac{(y_1 y_2)^2}{64} = \frac{256}{64} = 4\)이다.
선분 \(PQ\)의 중점 \(M\)의 \(x\)좌표는 \(\frac{x_1 + x_2}{2}\)이므로, \(M\)에서 준선 \(l: x = -2\)까지의 거리는
\[ \frac{x_1 + x_2}{2} - (-2) = \frac{(x_1 + 2) + (x_2 + 2)}{2} = \frac{\overline{PF} + \overline{QF}}{2} = \frac{\overline{PQ}}{2} \]
로서 원의 반지름의 길이와 일치한다. 따라서 선분 \(PQ\)를 지름으로 하는 원은 준선 \(l\)에 항상 접한다.

[2-2] 벡터 내적 및 \(\overline{PF} + 4\overline{QF}\) 최솟값 도출:
\(\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 4 + (-16) = -12\)이다.
한편 \(x_1 + x_2 = m(y_1 + y_2) + 4 = 8m^2 + 4\)이므로, \(\overline{PF} = x_1 + 2\), \(\overline{QF} = x_2 + 2\)에 대하여
\[ \frac{1}{\overline{PF}} + \frac{1}{\overline{QF}} = \frac{x_1 + x_2 + 4}{x_1 x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4} = \frac{8m^2 + 8}{4 + 16m^2 + 8 + 4} = \frac{8(m^2+1)}{16(m^2+1)} = \frac{1}{2} \]
이 성립한다. 양변에 \(2\)를 곱하면 \(2\left(\frac{1}{\overline{PF}} + \frac{1}{\overline{QF}}\right) = 1\)이므로 산술·기하평균 부등식에 의해
\[ \overline{PF} + 4\overline{QF} = 2(\overline{PF} + 4\overline{QF})\left(\frac{1}{\overline{PF}} + \frac{1}{\overline{QF}}\right) = 2\left(5 + \frac{\overline{PF}}{\overline{QF}} + \frac{4\overline{QF}}{\overline{PF}}\right) \ge 2(5 + 4) = 18 \]
이다. 등호는 \(\overline{PF} = 2\overline{QF}\)일 때 성립하며, \(\frac{1}{2\overline{QF}} + \frac{1}{\overline{QF}} = \frac{1}{2}\)에서 \(\overline{QF} = 3\), \(\overline{PF} = 6\)이므로 \(\overline{PQ} = 9\)이다.

[3-1] \(J_0\)의 계산 및 부분적분 점화식 유도:
\(J_0 = \int_0^1 e^{-x}\,dx = \Big[-e^{-x}\Big]_0^1 = 1 - \frac{1}{e}\)이다.
\(n \ge 1\)일 때 \(u(x) = x^n\), \(v'(x) = e^{-x}\) (\(v(x) = -e^{-x}\))로 두고 부분적분법을 적용하면
\[ J_n = \Big[-x^n e^{-x}\Big]_0^1 + \int_0^1 n x^{n-1} e^{-x}\,dx = -\frac{1}{e} + n J_{n-1} \]
이므로 \(J_n = n J_{n-1} - \frac{1}{e}\)이 성립한다.

[3-2] 수학적 귀납법 증명 및 \(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e\) 도출:
① \(n = 0\)일 때 우변은 \(0!\left(1 - \frac{1}{e}\cdot\frac{1}{0!}\right) = 1 - \frac{1}{e} = J_0\)이므로 성립한다.
② \(n = m\) (\(m \ge 0\))일 때 성립한다고 가정하면, [3-1]의 점화식에 의해
\[ J_{m+1} = (m+1)J_m - \frac{1}{e} = (m+1)!\left(1 - \frac{1}{e}\sum_{k=0}^{m}\frac{1}{k!}\right) - \frac{(m+1)!}{e(m+1)!} = (m+1)!\left(1 - \frac{1}{e}\sum_{k=0}^{m+1}\frac{1}{k!}\right) \]
이므로 \(n = m+1\)일 때도 성립한다. 따라서 모든 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 등식이 성립한다.
한편 \(0 \le x \le 1\)에서 \(\frac{1}{e} \le e^{-x} \le 1\)이므로 \(0 \lt J_n \le \int_0^1 x^n\,dx = \frac{1}{n+1}\)이고, 양변을 \(n!\)로 나누면
\[ 0 \lt 1 - \frac{1}{e}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} = \frac{J_n}{n!} \le \frac{1}{(n+1)!} \]
이다. \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n+1)!} = 0\)이므로 조임 정리에 의해 \(\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} = e\)이다.

[1-1] \(n=2\)일 때 상자 \(A\)의 조건부확률 계산:
\(\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B) = \frac{1}{2}\)이고, \(2\)번 모두 흰 공이 나오는 사건 \(E_2\)에 대하여 \(\mathrm{P}(E_2 \mid A) = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\), \(\mathrm{P}(E_2 \mid B) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}\)이다.
따라서 \(\mathrm{P}(A \mid E_2) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{16}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16}} = \frac{9}{10}\)이다.

[1-2] \(n\)의 최솟값 및 \(n=5\) (흰 공 4회, 검은 공 1회) 조건부확률 도출:
\(n\)번 모두 흰 공이 나오는 사건 \(E_n\)에 대하여 \(\mathrm{P}(A \mid E_n) = \frac{(3/4)^n}{(3/4)^n + (1/4)^n} = \frac{3^n}{3^n + 1}\)이다.
\(\frac{3^n}{3^n + 1} \ge \frac{999}{1000} \iff 1000 \times 3^n \ge 999 \times 3^n + 999 \iff 3^n \ge 999\)에서 \(3^6 = 729 \lt 999 \lt 2187 = 3^7\)이므로 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(7\)이다.
한편 \(n=5\)일 때 흰 공 \(4\)번, 검은 공 \(1\)번이 나오는 사건을 \(F\)라 하면 독립시행의 확률에 의해
\(\mathrm{P}(F \mid A) = \binom{5}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^4\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{5 \cdot 81}{4^5}\), \(\mathrm{P}(F \mid B) = \binom{5}{4}\left(\frac{1}{4}\right)^4\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{5 \cdot 3}{4^5}\)이다.
따라서 \(\mathrm{P}(A \mid F) = \frac{81}{81 + 3} = \frac{81}{84} = \frac{27}{28}\)이다.

[2-1] 역함수 미분계수 \(g'(4)\) 및 정적분 합 계산:
모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) = 3x^2 + 3 \ge 3 \gt 0\)이므로 \(f(x)\)는 실수 전체에서 순증가하는 일대일대응이며 도함수가 \(0\)이 되지 않으므로 역함수 \(g(x)\)는 실수 전체에서 미분가능하다.
\(f(1) = 1 + 3 = 4\)이므로 \(g(4) = 1\)이고, \(g'(4) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}\)이다.
또한 \(f(0) = 0\), \(f(1) = 4\), \(f(2) = 8 + 6 = 14\)이므로 제시문 가의 등식을 \(a = 1\)과 \(a = 2\)에 각각 적용하면:
\(\int_0^4 g(x)\,dx = 1 \cdot 4 - \int_0^1 (t^3 + 3t)\,dt = 4 - \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4}\),
\(\int_0^{14} g(x)\,dx = 2 \cdot 14 - \int_0^2 (t^3 + 3t)\,dt = 28 - (4 + 6) = 18\)이다.
따라서 두 정적분의 합은 \(\frac{9}{4} + 18 = \frac{81}{4}\)이다.

[2-2] \(A_n\)의 일반항 도출 및 극한 계산:
\(f(n) = n^3 + 3n\)이므로 제시문 가의 등식에 \(a = n\)을 대입하면
\[ A_n = n(n^3 + 3n) - \int_0^n (t^3 + 3t)\,dt = n^4 + 3n^2 - \left(\frac{n^4}{4} + \frac{3n^2}{2}\right) = \frac{3}{4}n^4 + \frac{3}{2}n^2 \]
이다. 따라서 \(\lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{n^4} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{3}{4} + \frac{3}{2n^2}\right) = \frac{3}{4}\)이다.

[3-1] 점 \(P\)의 속력 \(v_P(t)\) 및 이동 거리 \(L\) 계산:
\(x_P'(t) = 1 - \cos t\), \(y_P'(t) = \sin t\)이므로 속력은 반각공식 \(1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}\)에 의해
\[ v_P(t) = \sqrt{(1 - \cos t)^2 + \sin^2 t} = \sqrt{2 - 2\cos t} = \sqrt{4\sin^2\frac{t}{2}} = 2\sin\frac{t}{2} \quad (0 \le t \le 2\pi) \]
이다 (\(0 \le \frac{t}{2} \le \pi\)에서 \(\sin\frac{t}{2} \ge 0\)). 따라서 움직인 거리는
\[ L = \int_0^{2\pi} 2\sin\frac{t}{2}\,dt = \left[-4\cos\frac{t}{2}\right]_0^{2\pi} = (-4)(-1) - (-4)(1) = 8 \]

[3-2] 선분 \(PQ\) 길이 불변성 및 방향 코사인 정적분 도출:
\(\overrightarrow{PQ} = (2\sin t,\; 2\cos t)\)이므로 \(|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{4\sin^2 t + 4\cos^2 t} = 2\)로서 \(t\)에 관계없이 일정하다.
중점 \(M\)의 좌표는 \(M\left(\frac{(t-\sin t)+(t+\sin t)}{2},\; \frac{(1-\cos t)+(1+\cos t)}{2}\right) = (t, 1)\)이므로 속도벡터는 \(\vec{v}_M(t) = (1, 0)\) (\(|\vec{v}_M(t)| = 1\))이다.
따라서 \(|\cos\theta(t)| = \frac{|\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{v}_M(t)|}{|\overrightarrow{PQ}||\vec{v}_M(t)|} = \frac{|2\sin t|}{2 \cdot 1} = |\sin t|\)이다.
구간 \([0, \pi]\)에서 \(\sin t \ge 0\)이므로 \(\int_0^{\pi} |\cos\theta(t)|\,dt = \int_0^{\pi} \sin t\,dt = \Big[-\cos t\Big]_0^{\pi} = 2\)이다.

[1-1] 두 인수의 홀짝성 판정 및 \(g(2^r)=0\) 귀류 증명:
두 인수의 차를 계산하면 \((2m + k - 1) - k = 2m - 1\)로서 항상 홀수이므로, \(k\)와 \(2m + k - 1\) 중 하나는 짝수이고 다른 하나는 홀수이다.
만약 \(N = 2^r\)에 대하여 \(2^{r+1} = k(2m + k - 1)\)을 만족하는 자연수 \(m \ge 1\), \(k \ge 2\)가 존재한다면, \(2^{r+1}\)의 홀수인 양의 약수는 \(1\)뿐이므로 홀수 인수 쪽이 \(1\)이어야 한다. 그러나 \(2m + k - 1 \gt k \ge 2\)이므로 두 인수 모두 \(2\) 이상이어서 모순이다. 따라서 \(g(2^r) = 0\)이다.

[1-2] \(1\)보다 큰 홀수 약수와의 일대일대응 증명 및 함숫값 계산:
\(N\)의 \(1\)보다 큰 임의의 홀수 약수 \(d\)를 택하면 \(2N = d \cdot \frac{2N}{d}\)에서 \(d\)는 \(3\) 이상의 홀수, \(\frac{2N}{d}\)는 \(2\) 이상의 짝수이므로 두 수는 서로 다르다.
\(k = \min\left(d, \frac{2N}{d}\right) \ge 2\), \(2m + k - 1 = \max\left(d, \frac{2N}{d}\right) \gt k\)로 놓으면 \(\max - k\)가 양의 홀수이므로 \(m = \frac{\max - k + 1}{2} \ge 1\)인 자연수 \(m\)이 유일하게 결정된다. 역으로 각 표현 \((m, k)\)에서 \(k\)와 \(2m+k-1\) 중 홀수인 인수는 \(N\)의 \(1\)보다 큰 홀수 약수이므로 일대일대응이 성립한다.
① \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1\)의 홀수 약수의 개수는 \((2+1)(1+1) = 6\)이므로 \(g(360) = 6 - 1 = 5\)이다.
② \(2025 = 3^4 \times 5^2\)의 홀수 약수의 개수는 \((4+1)(2+1) = 15\)이므로 \(g(2025) = 15 - 1 = 14\)이다.

[2-1] 교점 \(x_n\)의 유일성 증명 및 \(\lim_{n\to\infty} x_n = 1\) 도출:
\(x \ge 1\)에서 정의된 연속함수 \(h_n(x) = \sqrt{x^2 - 1} - \frac{1 + \ln x}{n}\)을 생각하자.
\(h_n(1) = 0 - \frac{1}{n} = -\frac{1}{n} \lt 0\)이고, \(n \ge 2\)일 때 \(h_n(2) = \sqrt{3} - \frac{1 + \ln 2}{n} \gt 1.7 - \frac{1.7}{2} = 0.85 \gt 0\)이다.
또한 \(x \gt 1\)일 때 \(\sqrt{x^2 - 1} \lt x\)이므로 \(\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \gt 1\)이고 \(\frac{1}{nx} \lt \frac{1}{2}\)이어서
\[ h_n'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} - \frac{1}{nx} \gt 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \gt 0 \]
이다. 따라서 \(h_n(x)\)는 \([1, \infty)\)에서 순증가하므로 \((1, 2)\)에 유일한 실근 \(x_n\)을 갖는다.
교점 방정식 \(x_n^2 - 1 = \frac{(1 + \ln x_n)^2}{n^2}\)에서 \(1 \lt x_n \lt 2\)이므로 \(0 \lt x_n^2 - 1 \lt \frac{(1 + \ln 2)^2}{n^2} \lt \frac{4}{n^2}\)이다.
조임 정리에 의해 \(\lim_{n \to \infty} (x_n^2 - 1) = 0\)이고 \(x_n \gt 1\)이므로 \(\lim_{n \to \infty} x_n = 1\)이다.

[2-2] 수렴 속도 극한 \(\lim_{n\to\infty} n^2(x_n - 1)\) 계산:
관계식 \((x_n - 1)(x_n + 1) = \frac{(1 + \ln x_n)^2}{n^2}\)의 양변에 \(\frac{n^2}{x_n + 1}\)을 곱하면
\[ n^2(x_n - 1) = \frac{(1 + \ln x_n)^2}{x_n + 1} \]
이다. [2-1]에서 \(\lim_{n \to \infty} x_n = 1\)이고 함수 \(\ln x\)는 \(x = 1\)에서 연속(\(\ln 1 = 0\))이므로
\[ \lim_{n \to \infty} n^2(x_n - 1) = \frac{(1 + \ln 1)^2}{1 + 1} = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2} \]

[3-1] 접선 절편 및 삼각형 \(OAB\) 넓이 최솟값 도출:
점 \(P(3\cos\theta, 2\sin\theta)\)에서의 접선의 방정식은 \(\frac{3\cos\theta \cdot x}{9} + \frac{2\sin\theta \cdot y}{4} = 1\), 즉 \(\frac{\cos\theta}{3}x + \frac{\sin\theta}{2}y = 1\)이다.
따라서 \(A\left(\frac{3}{\cos\theta}, 0\right)\), \(B\left(0, \frac{2}{\sin\theta}\right)\)이고 배각공식 \(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\)에 의해
\[ S(\theta) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\cos\theta} \cdot \frac{2}{\sin\theta} = \frac{3}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{6}{\sin 2\theta} \]
이다. \(0 \lt 2\theta \lt \pi\)에서 \(0 \lt \sin 2\theta \le 1\)이고 \(\theta = \frac{\pi}{4}\)일 때 \(\sin 2\theta = 1\)이 되므로 넓이의 최솟값은 \(6\)이고, 그때 점 \(P\)의 좌표는 \(P\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\; \sqrt{2}\right)\)이다.

[3-2] 단면 정적분을 이용한 입체도형의 부피 \(V\) 계산:
\(-3 \le x \le 3\)인 임의의 \(x\)에서 \(x\)축에 수직인 평면과 타원이 만나는 현의 양 끝 \(y\)좌표는 \(\pm 2\sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}\)이므로 정삼각형 단면의 한 변의 길이는 \(s(x) = 4\sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}\)이다.
단면의 넓이는 \(A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}s(x)^2 = 4\sqrt{3}\left(1 - \frac{x^2}{9}\right)\)이므로 우함수 대칭성에 의해 구하는 부피는
\[ V = \int_{-3}^{3} 4\sqrt{3}\left(1 - \frac{x^2}{9}\right)dx = 8\sqrt{3}\left[x - \frac{x^3}{27}\right]_0^3 = 8\sqrt{3}(3 - 1) = 16\sqrt{3} \]