2027학년도 연세대학교(미래) 자연계열 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 153쪽 단권화

2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본

2027학년도 연세대학교(미래)
자연계열 수리논술
10회분 통합 마스터 문제집·해설집

출제 범위: 교과서 기반 교육과정 수학 전 범위 (Textbook DB SSOT)
시험 시간: 120분 | 전형 반영: 논술 100% (학생부 미반영 · 모집단위별 수능최저 차등 적용)

📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 153쪽 완결]

• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭

• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (31p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (15문항)

• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (65p): 출제 타당성 보고서(4p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)

• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (51p): 50문항 전수 아코디언 정밀 해설

• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터

📱 스마트폰 실시간 합격진단 & 올인원 대시보드 연동

우측 QR 스캔 또는 상단 툴바 버튼으로 연세대학교(미래) 실시간 컷오프 시뮬레이터와 즉시 동기화됩니다.

발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: QUESTIO-2027-UNIFIED-MASTER

전형 반영 비율

논술 100% (학생부 미반영 · 모집단위별 수능최저 차등 적용)

논술 실질 변별력 핵심

시험 시간 · 문항

120분 · 5문항

회차당 수리 100점 만점

수능최저학력기준

모집단위별 기준 확인

자율융합·공학·데이터: 수능최저 없음 / 간호·보건: 2합 5

출제 교육과정

교과서 기반 수학과

Textbook DB V1.0 완벽 준거

STEP 1기출 5개년 해부Part 1 정독

STEP 2표준 모의 1~5회실전 시간 엄수

STEP 3킬러 모의 6~10회TOP 5 심화 격파

STEP 4루브릭 약점 교정감점 요인 제거

STEP 5입결 컷오프 판정Part 3 시뮬레이션

📈 5개년 출제 경향 및 2027학년도 핵심 대비 전략

연세대학교 미래캠퍼스 창의인재(논술) 전형은 학생부 반영 없이 논술우수자 100%로 선발하며, 일반 자연·첨단학부(AI반도체, 데이터사이언스, 디지털헬스케어 등)는 수능최저학력기준을 적용하지 않아 수리논술 실력만으로 역전 합격이 가능한 핵심 전형입니다(간호·보건 및 의예과는 별도 수능최저 적용).

2022~2026학년도 5개년 공식 기출 15문항 분석 결과, ① 구간별 정의된 초월·다항함수의 미분가능성과 부분적분 넓이(2026 Q1, 2023 Q2), ② 지수곡선 접선 점화식과 무한등비급수 모델링(2026 Q2, 2022 Q3), ③ 구분구적법과 조임 정리 극한 증명(2025 Q1, 2023 Q1), ④ 매개변수 동점 위치 적분과 도함수 정의 증명(2025 Q3, 2024 Q2)이 반복 출제되고 있으며, 교과서 기반 고교 교과서 범위 내에서 단계형 소문항(1-1, 1-2, 1-3)으로 부분점수를 세밀하게 부여합니다.

🔥 역대 킬러 문항 TOP 5 분석 & 실전 모의고사 6~10회 1:1 심화 매칭표

순위	기출 원천 문항	핵심 출제 테마 및 변별 포인트	모의 1:1 매칭	부분점수 공략 전략
TOP 1	2026학년도 수리 문항 2 (45점)	지수함수 접선 열의 x절편 점화식과 삼각형 넓이 무한등비급수 및 지수부등식	제6회 문항 2 · 제9회 문항 4	접선 방정식의 x절편 차가 일정(등차수열)함을 먼저 유도한 뒤 삼각형 밑변 고정으로 등비급수 공비를 산출
TOP 2	2026학년도 수리 문항 1 · 2023학년도 문항 2	구간별 정의 함수의 경계점 미분가능 조건과 절댓값 구간 분할 정적분	제7회 문항 1 · 제8회 문항 3	경계점에서 연속 조건과 좌·우 미분계수 일치 식을 연립하고 절댓값 부호 변화 구간별로 정적분을 분할 계산
TOP 3	2025학년도 수리 문항 3 (40점)	매개변수 속도 벡터의 부분적분 위치 좌표와 두 동점 거리 최대·최소	제8회 문항 5 · 제10회 문항 2	부분적분 시 부호 실수를 점검하고 거리 제곱 함수를 삼각함수 합성·미분하여 극값을 판정
TOP 4	2025학년도 수리 문항 1 · 2023학년도 문항 1	닫힌구간 등분할 구분구적 수열과 조임 정리를 이용한 극한 증명	제6회 문항 5 · 제9회 문항 1	일반항의 분모·분자 최대·최소 비교로 상·하한 수열을 설정하고 양 끝 극한 일치를 명시
TOP 5	2024학년도 수리 문항 2 · 2022학년도 문항 1	도함수 정의에 입각한 삼각함수 미분 증명 및 베이즈 조건부확률	제7회 문항 4 · 제10회 문항 5	공식 암기 대입을 지양하고 미분계수 극한 정의와 전확률 분할 공식을 단계별로 서술

📌 본 통합 마스터북 100% 활용 5단계 로드맵

STAGE 1

Step 1 (Part 1 기출 5개년 정복): 2022~2026학년도 연세대 미래캠퍼스 기출 15문항 전수를 풀고 교과서 1:1 연계 유사 문항으로 개념 구멍을 메웁니다.

STAGE 2

Step 2 (Part 2-1 실전 1~5회): 문항당 20점×5문항(100점 만점, 120분) 표준 실전 모의고사로 문항당 22분 풀이 + 2분 검산 루틴을 확립합니다.

STAGE 3

Step 3 (Part 2-1/2-2 심화 6~10회): 고난도 융합·실생활 수리 모델링이 강화된 제6~10회를 풀고 아코디언 상세 모범답안과 채점 기준표로 서술 완성도를 높입니다.

STAGE 4

Step 4 (Part 3 합격 진단): 무최저 일반자연·첨단학부부터 보건·의예과까지 목표 학과의 합격선 대비 본인 점수를 실시간 시뮬레이션합니다.

PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS

2022~2026학년도 연세대학교(미래)
공식 기출 심층 해설 & 교과서 1:1 연계

최근 5개년 기출 핵심 15문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.

📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록

📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공

✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ · 구간별 지수함수의 미분가능성과 정적분 넓이 🎯 핵심 테마: 경계점 미분가능 조건과 절댓값 이차함수·지수함수의 구간 분할 부분적분 ⏱️ 권장 시간: 40분 권장

[제시문]

두 개의 함수 $f(x), g(x)$를 다음과 같이 정의한다.
(가) $f(x) = \begin{cases} 2x-2 & (0 \le x \lt 2) \\ ax e^{bx} & (2 \le x \le 4) \end{cases}$
(나) $g(x) = |(x-1)(x-3)| - 5 \quad (0 \le x \le 4)$
(다) $a, b$는 상수이다.

1-1 함수 $f(x)$가 구간 $(0, 4)$에서 미분가능할 때 $a, b$를 구하시오. [10점]

1-2 [문제 1-1]에서 구한 $a, b$에 대하여 두 함수 $y=f(x), y=g(x)$의 그래프와 직선 $x=4$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [20점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.22 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = \begin{cases} 3x - 3 & (x \lt 1) \\ a(x-1) + b e^{x-1} & (x \ge 1) \end{cases}$이 $x = 1$에서 미분가능할 때 상수 $a, b$의 합 $a + b$를 구하시오. (단, $f(1) = 0$)

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 연속 조건에서 $\lim_{x\to 1^-} f(x) = 0 = f(1) = b$이므로 $b = 0$이다. 우미분계수는 $a + b e^0 = a$이고 좌미분계수는 $3$이므로 $a = 3$이다. 따라서 $a + b = \mathbf{3}$이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 창의인재 문항 1 (미적분Ⅱ · 구간별 지수함수의 미분가능성과 정적분 넓이) [배점 30점]

[2026 연세대(미래) 문항 1] 구간별 정의된 지수·다항함수의 미분가능성과 둘러싸인 넓이 (30점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 1 · 총 30점

1-1 구간 $(0, 4)$에서 미분가능 하려면 $x=2$에서 연속이고 미분가능해야 한다.
(i) 연속 조건: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2) \implies 2(2)-2 = 2 \implies 2a e^{2b} = 2 \implies a e^{2b} = 1$
(ii) 미분가능 조건: $x=2$에서 좌미분계수 $2$, 우미분계수는 $f'(x) = a e^{bx} + a b x e^{bx}$이므로 $x=2$ 대입시 $a e^{2b} (1 + 2b)$이다. 좌우 미분계수가 같으므로:
$2 = a e^{2b}(1 + 2b) \implies 2 = 1 \times (1 + 2b) \implies 2b = 1 \implies b = \frac{1}{2}$
$a e^{2(1/2)} = 1 \implies a e = 1 \implies a = \frac{1}{e}$
따라서 $\mathbf{a = \frac{1}{e}, b = \frac{1}{2}}$이다.

1-2 $f(x) = \begin{cases} 2x-2 & (0 \le x \lt 2) \\ x e^{\frac{1}{2}x - 1} & (2 \le x \le 4) \end{cases}$ 이고,
$g(x) = |(x-1)(x-3)| - 5$를 구간별로 나누면:
$x \lt 1, x \gt 3$인 경우, $g(x) = x^2 - 4x - 2$
$1 \le x \le 3$인 경우, $g(x) = -x^2 + 4x - 8$
두 그래프와 $x=4$로 둘러싸인 넓이 $S = \int_0^4 (f(x) - g(x)) dx$는 적분 구간을 4개로 분할하여 계산한다.
$S = \int_0^1 ((2x-2) - (x^2 - 4x - 2)) dx + \int_1^2 ((2x-2) - (-x^2 + 4x - 8)) dx$
$\quad + \int_2^3 (x e^{\frac{1}{2}x - 1} - (-x^2 + 4x - 8)) dx + \int_3^4 (x e^{\frac{1}{2}x - 1} - (x^2 - 4x - 2)) dx$
다항함수 적분 및 지수함수의 부분적분 $\int x e^{\frac{1}{2}x-1} dx = 2x e^{\frac{1}{2}x-1} - 4e^{\frac{1}{2}x-1}$을 적용해 대입 연산하면,
최종 구하는 도형의 넓이는 $\mathbf{4e + 16}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] $x=2$에서의 연속 조건을 적용해 $a e^{2b} = 1$ 유도하기	4점
2단계	[1-1] 좌미분계수와 우미분계수 정의 및 극한을 활용하여 $a = 1/e, b = 1/2$ 결정하기	6점
3단계	[1-2] 절댓값 함수 $g(x)$의 구간을 분류하고 전체 적분 구간을 4개로 올바르게 분할하기	8점
4단계	[1-2] 부분적분법을 통해 지수함수 영역을 정확하게 계산하고 최종 답 $4e + 16$ 구하기	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

연세대 미래캠퍼스 수리논술은 소문항(1-1, 1-2 등) 간 연계성이 매우 높으므로 앞 소문항에서 도출한 상수·도함수·점화식을 반드시 검산한 뒤 다음 소문항에 대입하십시오.

[1-1]$a = \dfrac{1}{e},\; b = \dfrac{1}{2}$ / [1-2] 넓이 $4e + 16$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ · 지수곡선의 접선 점화식과 무한등비급수 🎯 핵심 테마: 접선의 x절편 등차수열 유도와 삼각형 넓이 급수 및 지수부등식 ⏱️ 권장 시간: 40분 권장

[제시문]

(가) 점 $A_1(a_1, 0)$을 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $f(x) = e^{cx}$ ($c \gt 0$)과 만나는 점을 $B_1$이라고 하고, 이 곡선 위의 점 $B_1$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $A_2(a_2, 0)$라고 하자.
(나) 다음 그림과 같이, 모든 자연수 $n$에 대하여, 점 $A_n(a_n, 0)$을 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $f(x) = e^{cx}$ ($c \gt 0$)와 만나는 점을 $B_n(a_n, f(a_n))$이라고 하고, 이 곡선 위의 점 $B_n$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $A_{n+1}(a_{n+1}, 0)$이라고 하자.
(다) 자연수 $N \gt 1$에 대하여 $a_1 = N$이다.
(라) $S_n$은 삼각형 $A_n B_n A_{n+1}$의 넓이이다.

2-1 $S_1$을 구하시오. [10점]

2-2 $S_n$을 구하시오. [10점]

2-3 $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$을 구하시오. [5점]

2-4 $c=1$인 경우, $f(a_n) \lt 0.1$인 자연수 $n$의 최솟값을 $N$에 관한 식으로 표현하시오. (단, 자연상수 $e$는 $2.7$로 계산한다.) [20점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.64 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

【유사 연습 문제】 곡선 $y = e^{2x}$ 위의 점 $P_n(a_n, e^{2a_n})$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $A_{n+1}(a_{n+1}, 0)$이라 하자. $a_1 = 5$일 때 $a_n$을 구하고 삼각형 $A_n P_n A_{n+1}$의 넓이 $S_n$에 대하여 $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 접선 $y - e^{2a_n} = 2e^{2a_n}(x - a_n)$의 $x$절편은 $a_{n+1} = a_n - \frac{1}{2}$이므로 $a_n = 5 - \frac{n-1}{2}$이다. 밑변 길이가 $\frac{1}{2}$이므로 $S_n = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot e^{2a_n} = \frac{1}{4}e^{10-(n-1)}$이고, 공비 $e^{-1}$인 등비급수 합은 $\mathbf{\frac{e^{10}}{4(1 - e^{-1})} = \frac{e^{11}}{4(e - 1)}}$이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 창의인재 문항 2 (미적분Ⅱ · 지수곡선의 접선 점화식과 무한등비급수) [배점 45점]

[2026 연세대(미래) 문항 2] 지수함수 접선 열이 만드는 삼각형 넓이 급수와 임계 항 번호 (45점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 2 · 총 45점

2-1 $f(x) = e^{cx} \implies f'(x) = c e^{cx}$.
곡선 위의 점 $B_1(a_1, f(a_1))$ 즉 $(N, e^{cN})$에서의 접선의 방정식은:
$y = c e^{cN} (x - N) + e^{cN}$
$x$절편인 $A_2(a_2, 0)$을 구하기 위해 $y=0$ 대입:
$0 = c e^{cN} (a_2 - N) + e^{cN} \implies a_2 = N - \frac{1}{c}$
삼각형 $A_1 B_1 A_2$의 밑변 길이는 $|a_2 - a_1| = \frac{1}{c}$이고, 높이는 $f(a_1) = e^{cN}$이므로 넓이 $S_1$은:
$\mathbf{S_1 = \frac{1}{2c} e^{cN}}$이다.

2-2 점 $B_n(a_n, f(a_n))$에서의 접선의 $x$절편은 동일 관계식에 의해 $a_{n+1} = a_n - \frac{1}{c}$을 만족한다.
첫째항 $a_1 = N$이므로 등차수열 관계에 의해 $a_n = N - \frac{n-1}{c}$이 된다.
따라서 삼각형의 높이 $f(a_n) = e^{c a_n} = e^{c(N - \frac{n-1}{c})} = e^{cN - n + 1}$이다.
밑변의 길이는 $|a_{n+1} - a_n| = \frac{1}{c}$로 일정하므로, 일반항 $S_n$은:
$\mathbf{S_n = \frac{1}{2c} e^{c a_n} = \frac{1}{2c} e^{cN - n + 1}}$이다.

2-3 $S_n = \frac{1}{2c} e^{cN + 1} \times e^{-n}$ 수열은 첫째항이 $\frac{1}{2c} e^{cN}$, 공비가 $e^{-1} = \frac{1}{e}$인 무한등비급수이다.
공비 $|1/e| \lt 1$이므로 무한등비급수 합 공식에 대입하면:
$\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \frac{\frac{1}{2c} e^{cN}}{1 - e^{-1}} = \mathbf{\frac{e^{cN+1}}{2c(e-1)}}$이다.

2-4 $c=1$인 경우, $f(a_n) = e^{N - n + 1}$이다.
$f(a_n) \lt 0.1 \implies e^{N - n + 1} \lt 0.1$
$n = N+1$일 때 $f(a_{N+1}) = e^0 = 1 \gt 0.1$
$n = N+2$일 때 $f(a_{N+2}) = e^{-1} \approx \frac{1}{2.7} \approx 0.37 \gt 0.1$
$n = N+3$일 때 $f(a_{N+3}) = e^{-2} \approx \frac{1}{7.29} \approx 0.137 \gt 0.1$
$n = N+4$일 때 $f(a_{N+4}) = e^{-3} \approx \frac{1}{19.68} \approx 0.051 \lt 0.1$
따라서 최솟값을 만족하는 자연수 $n$은 $\mathbf{N + 4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 45점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 접선의 방정식을 구하고 $x$절편 $a_2 = N - 1/c$ 유도하여 넓이 $S_1$ 구하기	10점
2단계	[2-2] 수열 $a_n$의 귀납적 관계 $a_{n+1} = a_n - 1/c$로부터 일반항 $S_n$ 도출하기	10점
3단계	[2-3] 무한등비급수 합 공식을 올바르게 활용하여 면적의 합 계산하기	5점
4단계	[2-4] $e \approx 2.7$ 값과 항별 대소 비교를 수행하여 최솟값 $N+4$를 유도하기	20점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[2-1]$\dfrac{e^{2cN}}{2c}$ / [2-2] $\dfrac{e^{2c(N-n+1)}}{2c}$ / [2-3] $\dfrac{e^{2c(N+1)}}{2c(e^{2c}-1)}$ / [2-4] $N + 4$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ · 대수 융합 (삼차방정식의 실근과 삼각형 변 길이 조건) 🎯 핵심 테마: 삼차함수 극값을 이용한 세 실근 존재 조건과 정수 근·삼각부등식 판정 ⏱️ 권장 시간: 40분 권장

[제시문]

(가) 삼차방정식 $x^3 - 12x^2 + 45x - k = 0$의 세 근을 $a, b, c$라고 하자. (단, $k$는 실수이다.)

3-1 제시문 (가)의 세 근 $a, b, c$를 모두 실수가 되게 하는 $k$값의 범위를 구하시오. [10점]

3-2 제시문 (가)의 세 근 $a, b, c$가 모두 양의 정수일 때, $k$값을 모두 구하시오. [5점]

3-3 삼각형 $ABC$의 세 각 $\angle A, \angle B, \angle C$의 크기는 각각 $A, B, C$로 나타낸다. [문제 3-2]에서 구한 $a, b, c$가 각 $\angle A, \angle B, \angle C$의 대변의 길이인 경우 이 삼각형 $ABC$에 대해서, $ab\cos C + bc\cos A + ca\cos B$를 구하시오. [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

【유사 연습 문제】 삼차방정식 $x^3 - 9x^2 + 24x - k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x$라 하면 $f'(x) = 3(x-2)(x-4)$에서 극댓값 $f(2) = 20$, 극솟값 $f(4) = 16$이다. 서로 다른 세 실근 조건은 $16 \lt k \lt 20$이므로 정수 $k$는 $17, 18, 19$의 $\mathbf{3}$개이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 창의인재 문항 3 (미적분Ⅰ · 대수 융합 (삼차방정식의 실근과 삼각형 변 길이 조건)) [배점 25점]

[2026 연세대(미래) 문항 3] 삼차방정식의 세 자연수 근과 이등변삼각형 성립 조건 (25점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 3 · 총 25점

3-1 삼차방정식 $x^3 - 12x^2 + 45x - k = 0$이 서로 다른 3개의 실근을 가질 조건은 함수 $f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x - k$의 극댓값이 $0$ 이상이고, 극솟값이 $0$ 이하이어야 한다.
$f'(x) = 3x^2 - 24x + 45 = 3(x-3)(x-5)$이므로 $x=3, x=5$에서 극값을 갖는다.
이계도함수 $f''(x) = 6x - 24$를 판정하면, $f''(3) = -6 \lt 0$ (극대), $f''(5) = 6 \gt 0$ (극소)이다.
극댓값: $f(3) = 27 - 108 + 135 - k = 54 - k \ge 0 \implies k \le 54$
극솟값: $f(5) = 125 - 300 + 225 - k = 50 - k \le 0 \implies k \ge 50$
따라서 만족하는 실수 $k$의 범위는 $\mathbf{50 \le k \le 54}$이다.

3-2 근과 계수의 관계에 의해:
$a+b+c = 12$ (1), $ab+bc+ca = 45$ (2), $abc = k$ (3) 이다.
$a, b, c$가 양의 정수이므로 $k = abc$도 양의 정수이며

3-1 에 의해 가능한 $k$는 $50, 51, 52, 53, 54$이다.
합이 $12$, 두 개씩의 곱의 합이 $45$인 세 정수의 순서쌍 $(a, b, c)$를 조사하면 $(3,3,6)$과 $(2,5,5)$만 존재한다.
$(2,5,5)$일 때 $k = 2 \times 5 \times 5 = 50$
$(3,3,6)$일 때 $k = 3 \times 3 \times 6 = 54$
따라서 가능한 $k$값은 $\mathbf{50, 54}$이다.

3-3 삼각형 성립 조건인 '가장 긴 변의 길이는 나머지 두 변의 합보다 작아야 한다'에 의해:
세 변의 길이 후보 $(2,5,5)$는 $2+5 \gt 5$로 성립하지만, $(3,3,6)$은 $3+3=6$이 되어 삼각형을 구성할 수 없다.
따라서 세 변의 길이는 $a=2, b=5, c=5$이다.
코사인법칙 $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, $\cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$, $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$을 대입하면:
$ab \cos C + bc \cos A + ca \cos B = ab \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} + bc \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} + ca \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$
$= \frac{a^2+b^2-c^2}{2} + \frac{b^2+c^2-a^2}{2} + \frac{c^2+a^2-b^2}{2} = \frac{a^2+b^2+c^2}{2}$
$= \frac{2^2 + 5^2 + 5^2}{2} = \frac{4 + 25 + 25}{2} = \mathbf{27}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 극대 극소 조건을 활용하여 극값을 판정하고 실수 $k$의 범위를 정확하게 계산하기	10점
2단계	[3-2] 근과 계수의 관계로부터 세 근의 정수해 순서쌍 $(2,5,5), (3,3,6)$을 찾아 $k$값 계산하기	5점
3단계	[3-3] 삼각형 결정 조건에 따라 $(2,5,5)$를 결정하고 코사인법칙 변형식에 대입하여 $27$ 구하기	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답]소문항별 $k$의 범위 및 삼각형 성립 자연수 해 (해설 참조)

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ · 구분구적법과 정적분 넓이 오차 비교 🎯 핵심 테마: 구간 n등분 좌·우 직사각형 합 및 사다리꼴 근사와 정적분 극한 ⏱️ 권장 시간: 40분 권장

[제시문]

자연수 $n$에 대하여 닫힌구간 $[0, 1]$을 $n$등분한 분할점을 $x_0, x_1, \dots, x_n$이라 하고, 함수 $f(x) = \sin(\frac{\pi}{2} x^2)$에 대하여 밑변의 길이가 $\frac{1}{n}$이고 높이가 각각 $f(x_k)$인 직사각형들의 넓이의 합을 $A_1(n)$, 높이가 각각 $f(x_{k-1})$인 직사각형들의 넓이의 합을 $A_2(n)$이라 하자.

1-1 $n=5$일 때, $A_1(5)$와 $A_2(5)$의 값을 구하시오. [10점]

1-2 $\lim_{n \to \infty} (A_1(n) - A_2(n))$의 값을 구하시오. [10점]

1-3 $\lim_{n \to \infty} A_1(n)$의 값을 구하시오. [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x^2$에 대하여 닫힌구간 $[0, 1]$을 $n$등분한 우측 끝점 리만 합 $R_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2$과 정적분 $\int_0^1 x^2\,dx$의 차 $D_n$에 대하여 $\lim_{n\to\infty} n D_n$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $R_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}$이고 $\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$이므로 $D_n = \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}$이다. 따라서 $\lim_{n\to\infty} n D_n = \mathbf{\frac{1}{2}}$이다.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 창의인재 문항 1 (미적분Ⅱ · 구분구적법과 정적분 넓이 오차 비교) [배점 30점]

[2025 연세대(미래) 문항 1] 닫힌구간 등분할 구분구적 수열과 정적분 수렴값 (30점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 1 · 총 30점

1-1 소구간의 폭 $\Delta x = \frac{1}{5}$ 이다. 높이를 각 소구간의 우측 끝점으로 정하는 $A_1(5)$는:
$A_1(5) = \frac{1}{5} \left[ \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{5}{5}\right)^2 \right] = \frac{1+4+9+16+25}{125} = \frac{55}{125} = \mathbf{0.44}$ 이다.
높이를 각 소구간의 좌측 끝점으로 정하는 $A_2(5)$는:
$A_2(5) = \frac{1}{5} \left[ 0^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 \right] = \frac{0+1+4+9+16}{125} = \frac{30}{125} = \mathbf{0.24}$ 이다.

1-2 소구간의 폭 $\Delta x = \frac{1}{100}$ 이다. 수열의 합 공식을 적용하면:
$A_1(100) = \frac{1}{100^3} \sum_{k=1}^{100} k^2 = \frac{1}{100^3} \times \frac{100 \times 101 \times 201}{6} = \frac{338350}{1000000} = \mathbf{0.33835}$ 이다.
$A_2(100) = \frac{1}{100^3} \sum_{k=1}^{99} k^2 = \frac{1}{100^3} \times \frac{99 \times 100 \times 199}{6} = \frac{328350}{1000000} = \mathbf{0.32835}$ 이다.

1-3 둘러싸인 영역의 넓이 $S = \int_0^{\sqrt{\pi/2}} x \cos(x^2) dx$ 이다.
$x^2 = t$로 치환하면 $2x dx = dt$이므로:
$S = \int_0^{\pi/2} \cos(t) \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} [\sin t]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} (1 - 0) = \mathbf{\frac{1}{2}}$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 소구간 크기 및 직사각형 넓이들을 합하여 $A_1(5)=0.44$, $A_2(5)=0.24$ 구하기	10점
2단계	[1-2] 수열의 합 공식을 적용하여 수식을 정리하고 소수점 아래로 정확히 연산하기	10점
3단계	[1-3] $x^2 = t$ 치환적분을 설정하고 삼각함수 적분을 통해 $1/2$ 구하기	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답]구분구적 합 및 극한값 해설 수식 참조

📚 과목/단원: 대수 · 삼차방정식의 켤레복소근과 근과 계수의 관계 🎯 핵심 테마: 실계수 다항방정식의 켤레근 성질과 계수 및 삼각형 넓이 도출 ⏱️ 권장 시간: 40분 권장

[제시문]

(가) 삼차방정식 $x^3 + ax^2 + bx - 4 = 0$의 한 허근이 $1+i$이다. (단, $a, b$는 실수이고 $i = \sqrt{-1}$이다.)
(나) 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3cx + 10$이 극댓값과 극솟값을 모두 갖는다.

2-1 제시문 (가)에서 삼차방정식의 실근 $x_1$과 상수 $a, b$를 구하고, 곡선 $y = x^3+ax^2+bx-4$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [20점]

2-2 제시문 (나)에서 극댓값과 극솟값의 곱이 음수가 되도록 하는 정수 $c$의 최솟값을 구하시오. [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02, 12대수02-03]

【유사 연습 문제】 실계수 삼차방정식 $x^3 + ax^2 + bx - 10 = 0$의 한 근이 $1 + 2i$일 때, 실수 $a, b$의 값과 실근을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 켤레복소수 $1 - 2i$도 근이므로 실근을 $\gamma$라 하면 세 근의 곱 $(1+4)\gamma = 10 \implies \gamma = \mathbf{2}$이다. 세 근의 합 $4 = -a \implies a = \mathbf{-4}$, 두 근끼리의 곱의 합 $5 + 2(2) = 9 = b \implies b = \mathbf{9}$이다.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 창의인재 문항 2 (대수 · 삼차방정식의 켤레복소근과 근과 계수의 관계) [배점 30점]

[2025 연세대(미래) 문항 2] 삼차방정식의 허근·실근 결정과 복소평면 대응 도형 분석 (30점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 2 · 총 30점

2-1 삼차방정식 $x^3 + ax^2 + bx - 4 = 0$의 한 허근이 $1+i$이므로 계수가 실수인 삼차방정식의 성질에 따라 다른 한 허근은 켤레복소수인 $1-i$이다. 나머지 실근을 $x_1$이라 하면:
$(x - (1+i))(x - (1-i))(x - x_1) = 0 \implies (x^2 - 2x + 2)(x - x_1) = 0$
전개하면 $x^3 - (x_1 + 2)x^2 + (2x_1 + 2)x - 2x_1 = 0$ 이다.
상수항을 비교하면 $-2x_1 = -4 \implies x_1 = 2$ 이다. 계수를 매칭하면:
$a = -(2+2) = -4$, $b = 2(2)+2 = 6$ 이 되어 삼차함수 식은 $y = x^3 - 4x^2 + 6x - 4$ 이다.
$x$절편은 2이고, 구간 $0 \le x \le 2$에서 곡선은 $x^3 - 4x^2 + 6x - 4 \le 0$을 만족하므로 구하는 넓이 $S$는:
$S = \int_0^2 (-x^3 + 4x^2 - 6x + 4) dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - 3x^2 + 4x \right]_0^2 = -4 + \frac{32}{3} - 12 + 8 = \mathbf{\frac{8}{3}}$ 이다.

2-2 $f(x) = x^3 + cx^2 + 100x + 100$이 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면, 도함수 $f'(x) = 3x^2 + 2cx + 100 = 0$이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 판별식 $D/4 \gt 0$ 이므로:
$D/4 = c^2 - 300 \gt 0 \implies c^2 \gt 300$
$17^2 = 289 \lt 300$, $18^2 = 324 \gt 300$이므로 양의 정수 $c$의 최솟값은 $\mathbf{18}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 켤레근과 근과 계수의 관계를 이용하여 실근 $x_1=2$ 및 계수 $a=-4, b=6$ 구하기	8점
2단계	[2-1] 정적분 넓이 공식 식을 수립하고, 부호를 고려하여 정적분을 완수해 $8/3$ 구하기	12점
3단계	[2-2] 극댓값/극솟값을 가질 도함수의 서로 다른 두 실근 조건을 판별식 $c^2 \gt 300$으로 유도하기	6점
4단계	[2-2] 제곱수 대소를 판정하여 최솟값 정수 $c=18$을 명확하게 이끌어내기	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답]$a = -4,\; b = 6$, 실근 $x_1 = 2$ 및 후속 소문항 값 (해설 참조)

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ · 기하 융합 (매개변수 운동의 부분적분 위치와 두 동점 거리) 🎯 핵심 테마: 속도 벡터의 부분적분 위치 산출과 시각에 따른 거리 최대·최소 ⏱️ 권장 시간: 40분 권장

[제시문]

좌표평면 위를 움직이는 점 $P(x, y)$의 시각 $t$ ($0 \le t \le 2\pi$)에서의 위치가 다음과 같이 매개변수 $t$로 나타내어진다.
\[ x = t\cos t - \sin t, \quad y = t\sin t + \cos t \]

3-1 시각 $t$에서의 점 $P$와 원점 $O$ 사이의 거리 $OP$를 $t$에 관한 식으로 나타내시오. [10점]

3-2 점 $P$와 원점 사이의 거리의 시간변화율이 $0$이 되는 시각 $t$를 모두 구하시오. [10점]

3-3 $t=0$에서 $t=2\pi$까지 점 $P$가 움직인 총 거리를 구하시오. [10점]

3-4 점 $Q(0, 1)$에 대하여 선분 $PQ$의 길이가 최대가 되는 시각 $t$와 그때의 최댓값을 구하시오. [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02]

【유사 연습 문제】 시각 $t \ge 0$에서 속도 벡터가 $\vec{v}(t) = (t\cos t, t\sin t)$이고 시각 $t=0$에서 원점을 출발하는 점 $P$의 시각 $t = \frac{\pi}{2}$에서의 위치 좌표를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x(\pi/2) = \int_0^{\pi/2} t\cos t\,dt = [t\sin t + \cos t]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - 1$, $y(\pi/2) = \int_0^{\pi/2} t\sin t\,dt = [-t\cos t + \sin t]_0^{\pi/2} = 1$이므로 좌표는 $\mathbf{\left(\frac{\pi}{2} - 1,\; 1\right)}$이다.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 창의인재 문항 3 (미적분Ⅱ · 기하 융합 (매개변수 운동의 부분적분 위치와 두 동점 거리)) [배점 40점]

[2025 연세대(미래) 문항 3] 좌표평면 위 두 동점의 매개변수 위치 적분과 최단·최장 거리 (40점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 3 · 총 40점

3-1 부분적분법을 적용하여 위치 좌표 $x_1(t), y_1(t)$를 구한다.
$x_1(t) = \int_0^t \theta \sin \theta d\theta = [-\theta \cos \theta]_0^t + \int_0^t \cos \theta d\theta = -t \cos t + \sin t$
$y_1(t) = \int_0^t \theta \cos \theta d\theta = [\theta \sin \theta]_0^t - \int_0^t \sin \theta d\theta = t \sin t + \cos t - 1$
원점과의 거리 $s(t) = \sqrt{x_1(t)^2 + y_1(t)^2}$ 이므로:
$s(t) = \sqrt{(-t \cos t + \sin t)^2 + (t \sin t + \cos t - 1)^2} = \mathbf{\sqrt{t^2 + 2 - 2t \sin t - 2 \cos t}}$ 이다.

3-2 거리 $s(t)$의 순간변화율 $s'(t) = 0$이 되는 조건을 구한다.
$s'(t) = \frac{2t - 2\sin t - 2t \cos t + 2\sin t}{2\sqrt{t^2 + 2 - 2t \sin t - 2 \cos t}} = \frac{t(1 - \cos t)}{\sqrt{t^2 + 2 - 2t \sin t - 2 \cos t}} = 0$
분자가 0이 되려면 $t=0$ 또는 $\cos t = 1$ 이어야 하므로 시각은 $\mathbf{t = 0, 2n\pi}$ ($n$은 자연수)이다.

3-3 매개변수 곡선의 길이 공식 $L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(x_1'(t))^2 + (y_1'(t))^2} dt$ 이다.
$x_1'(t) = t \sin t$, $y_1'(t) = t \cos t$ 이므로:
$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{t^2 \sin^2 t + t^2 \cos^2 t} dt = \int_0^{2\pi} t dt = \left[ \frac{1}{2}t^2 \right]_0^{2\pi} = \mathbf{2\pi^2}$ 이다.

3-4 두 점 $P_1, P_2$ 사이의 거리를 $d(t)$라 하자.
$d(t) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{(\sin t)^2 + (\cos t - 1)^2} = \sqrt{2 - 2 \cos t}$ 이다.
시각 구간 $0 \le t \le 2\pi$ 에서 $\cos t$의 최솟값은 $t=\pi$일 때 $-1$이다.
따라서 거리가 최대가 되는 시각은 $\mathbf{t = \pi}$ 이고, 이때의 거리는 $\sqrt{2 - 2(-1)} = \mathbf{2}$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 부분적분법을 통해 각 매개변수 식을 구하고 원점과의 거리 함수 도출하기	10점
2단계	[3-2] 거리함수의 도함수를 구하고 변화율이 0이 되는 $t = 0, 2n\pi$ 구하기	10점
3단계	[3-3] 속력 식을 유도하고 정적분 연산을 거쳐 총 움직인 거리 $2\pi^2$ 구하기	10점
4단계	[3-4] 두 점의 거리 식을 수립하여 최댓값이 되는 시각 $t=\pi$와 최대 거리 2 이끌어내기	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답]위치 좌표 $(x_1(t), y_1(t))$ 및 두 점 사이 거리 최댓값 (해설 참조)

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ · 무리함수의 접선과 정사각형 넓이 🎯 핵심 테마: 무리함수 미분법을 이용한 접선 방정식과 내접 정사각형 변 길이 ⏱️ 권장 시간: 40분 권장

[제시문]

(가) 곡선 $y = 2\sqrt{3x}$ 위의 점 $P(p, q)$에서의 접선이 점 $(0, 0)$과 점 $(p+q, 2q)$를 지난다. (단, $p \gt 0, q \gt 0$)
(나) 어떤 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 한 변의 길이가 $\sqrt{x e^x}$인 정삼각형이다. ($0 \le x \le 2$)

1-1 제시문 (가)에서 $p, q$의 값을 구하시오. [15점]

1-2 제시문 (나)의 입체도형의 부피를 구하시오. [15점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.21 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

【유사 연습 문제】 곡선 $y = 2\sqrt{x}$ 위의 점 $P(a, 2\sqrt{a})$ ($a \gt 0$)에서의 접선이 점 $(0, 3)$을 지날 때, 양수 $a$의 값과 접선의 기울기를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $y' = \frac{1}{\sqrt{x}}$이므로 접선의 방정식은 $y - 2\sqrt{a} = \frac{1}{\sqrt{a}}(x - a) \implies y = \frac{1}{\sqrt{a}}x + \sqrt{a}$이다. $(0, 3)$을 대입하면 $\sqrt{a} = 3 \implies a = \mathbf{9}$, 기울기는 $\mathbf{\frac{1}{3}}$이다.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 창의인재 문항 1 (미적분Ⅱ · 무리함수의 접선과 정사각형 넓이) [배점 30점]

[2024 연세대(미래) 문항 1] 곡선 $y = 2\sqrt{3x}$ 위의 접선과 정사각형 좌표 결정 (30점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 1 · 총 30점

1-1 정사각형 $ABCD$의 한 변의 길이를 $q$라 하면 $A$와 $D$의 $y$좌표 대소 및 $B$와 $C$의 $y$좌표 대소로부터 다음이 성립한다.
점 $D$는 곡선 $y=2\sqrt{3x}$ 위의 점이므로 점 $D(p, 2\sqrt{3p})$ 이고 $y$좌표인 높이는 $q$가 된다. 즉, $q = 2\sqrt{3p}$ 이다.
점 $C$는 곡선 $y=2\sqrt{x}$ 위의 점이므로 점 $C(p+q, 2\sqrt{p+q})$ 이고 $y$좌표인 높이는 마찬가지로 $q$가 된다. 즉, $q = 2\sqrt{p+q}$ 이다.
따라서 $2\sqrt{3p} = 2\sqrt{p+q}$ 이므로 양변을 제곱하면:
$12p = 4(p+q) \implies 8p = 4q \implies q = 2p$ 이다.
이를 다시 $q = 2\sqrt{3p}$ 에 대입하면 $q = 2\sqrt{3(q/2)} = \sqrt{6q}$ 이다. 양변을 제곱하면:
$q^2 = 6q \implies q = \mathbf{6}$ (∵ $q \gt 0$)이고, $p = q/2 = \mathbf{3}$ 이다.

1-2 단면인 정삼각형의 한 변의 길이 $\ell(x) = 6 - 2\sqrt{x}$ 이므로 단면적 $S(x)$는 다음과 같다.
$S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} (6 - 2\sqrt{x})^2 = \sqrt{3} (9 - 6\sqrt{x} + x)$ 이다. 따라서 입체도형의 부피 $V$는:
$V = \int_3^9 S(x) dx = \sqrt{3} \int_3^9 (9 - 6x^{1/2} + x) dx = \sqrt{3} \left[ 9x - 4x^{3/2} + \frac{1}{2}x^2 \right]_3^9$
$= \sqrt{3} \left[ 9(9-3) - 4(27 - 3\sqrt{3}) + \frac{1}{2}(81-9) \right] = \sqrt{3} [ 54 - 108 + 12\sqrt{3} + 36 ]$
$= \sqrt{3} (12\sqrt{3} - 18) = \mathbf{36 - 18\sqrt{3}}$ 이다.
따라서 유리수 $m = 36, n = -18$ 이므로 $m+n = 36 - 18 = \mathbf{18}$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 좌표를 대입하여 $q = 2\sqrt{3p}$, $q = 2\sqrt{p+q}$ 관계식을 세우고 $p=3, q=6$ 구하기	15점
2단계	[1-2] 정삼각형의 단면적 $S(x)$를 수립하고, 부피를 위한 정적분 수식을 완벽히 계산하여 18 구하기	15점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답]접점 좌표 $(p, q)$ 및 정사각형 넓이 (해설 참조)

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ · 도함수의 정의와 삼각함수의 극한 🎯 핵심 테마: 미분계수 극한 정의와 삼각함수 덧셈정리를 이용한 도함수 증명 ⏱️ 권장 시간: 40분 권장

[제시문]

(가) 함수 $f(x) = \cos 2x$에 대하여 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x)$를 구하는 과정을 서술하시오.
(나) 미분가능한 함수 $g(x) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2023)$에 대하여 $S = \sum_{k=1}^{2023} \frac{g'(k)}{g'(k)}$ 관련 연산을 수행한다.

2-1 제시문 (가)의 도함수 정의 수식과 삼각함수의 덧셈공식을 적용하여 $f'(x) = -2\sin 2x$임을 보이시오. [15점]

2-2 제시문 (나)에서 주어진 식의 합을 구하시오. [15점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.27 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02, 12대수02-03]

【유사 연습 문제】 도함수의 정의 $f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$와 삼각함수의 덧셈정리만을 사용하여 함수 $f(x) = \sin 2x$의 도함수가 $2\cos 2x$임을 증명하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\sin(2x+2h) - \sin 2x = \sin 2x(\cos 2h - 1) + \cos 2x \sin 2h$이므로 $h$로 나누어 $h \to 0$ 극한을 취하면 $\lim_{h\to 0}\frac{\cos 2h - 1}{2h}\cdot 2 = 0$, $\lim_{h\to 0}\frac{\sin 2h}{2h}\cdot 2 = 2$로부터 $f'(x) = \mathbf{2\cos 2x}$가 증명된다.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 창의인재 문항 2 (미적분Ⅱ · 도함수의 정의와 삼각함수의 극한) [배점 30점]

[2024 연세대(미래) 문항 2] 도함수의 정의를 이용한 cos 2x의 미분 증명과 접선 활용 (30점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 2 · 총 30점

2-1 도함수의 정의와 삼각함수의 덧셈정리에 의해:
$y' = \lim_{h \to 0} \frac{\cos 2(x+h) - \cos 2x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos 2x \cos 2h - \sin 2x \sin 2h - \cos 2x}{h}$ 이다.
이를 극한의 덧셈 성질에 맞게 분리하면:
$= \cos 2x \left( \lim_{h \to 0} \frac{\cos 2h - 1}{h} \right) - \sin 2x \left( \lim_{h \to 0} \frac{\sin 2h}{h} \right)$ 이다.
여기에 제시문 (가)의 극한 공식 $\lim_{2h \to 0} \frac{\cos 2h - 1}{2h} = 0$ 과 $\lim_{2h \to 0} \frac{\sin 2h}{2h} = 1$ 을 대입하자.
$\lim_{h \to 0} \frac{\cos 2h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos 2h - 1}{2h} \times 2 = 0 \times 2 = 0$
$\lim_{h \to 0} \frac{\sin 2h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin 2h}{2h} \times 2 = 1 \times 2 = 2$ 이므로,
$y' = \cos 2x \times 0 - \sin 2x \times 2 = \mathbf{-2\sin 2x}$ 가 유도된다.

2-2 $f(x) = e^{-x} \cos 2x$ 로부터 $f(0) = e^0 \cos 0 = 1$ 이다.
도함수 $f'(x) = -e^{-x} \cos 2x - 2e^{-x} \sin 2x$ 이므로, $f'(0) = -e^0 \cos 0 - 0 = -1$ 이다.
미분계수의 정의에 의해 $\lim_{x \to 0} \frac{f(kx) - f(0)}{x} = k f'(0)$ 이 성립하므로, 구하고자 하는 식은:
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} [ (f(x)-f(0)) + (f(2x)-f(0)) + \dots + (f(2023x)-f(0)) ]$ 이며 (이유: $2023 \times f(0) = 2023$ 이므로),
$= f'(0) \times (1 + 2 + 3 + \dots + 2023) = -1 \times \frac{2023 \times 2024}{2} = \mathbf{-2,047,276}$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 도함수의 정의 수식을 작성하고 삼각함수의 덧셈공식을 적용하여 두 극한으로 분리하기	8점
2단계	[2-1] 극한 성질을 활용해 각 삼각함수 극한값을 대입하여 $-2\sin 2x$ 도출하기	7점
3단계	[2-2] $f(0)=1, f'(0)=-1$ 값을 곱의 미분법 등으로 구하기	5점
4단계	[2-2] 수식을 $\sum k f'(0)$ 형태로 정리하고, 1부터 2023까지의 합 공식을 적용하여 $-2,047,276$ 구하기	10점

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🎯 [최종 정답]$f'(x) = -2\sin 2x$ 증명 및 소문항 결론 (해설 참조)

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅰ 융합 (귀류법 논증 배열과 합성함수 성질) 🎯 핵심 테마: 귀류법 증명의 논리 순서 완성과 일차·다항함수 결정 ⏱️ 권장 시간: 40분 권장

[제시문]

(가) 실수 전체의 집합에서 정의된 일차함수 $f(x) = px + q$ ($p \ne 0$)가 있다.
(나) 세 변의 길이가 $x_1, x_2, x_3$인 삼각형이 존재할 조건 및 정수해 조건이 주어진다.

3-1 제시문 (가)에서 귀류법을 적용하여 논리 순서대로 서술하시오. [10점]

3-2 일차함수의 계수 $p, q$ 값을 유도하고 $\pm c$를 구하시오. [15점]

3-3 삼각형 성립 조건을 만족시키는 정수 순서쌍 $(x_1, x_2, x_3)$의 개수를 구하시오. [15점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

【유사 연습 문제】 일차함수 $f(x) = px + q$ ($p \gt 0$)가 모든 실수 $x$에 대하여 $(f \circ f)(x) = 9x + 8$을 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f(f(x)) = p(px+q)+q = p^2 x + q(p+1) = 9x + 8$에서 $p \gt 0$이므로 $p = 3$이고, $4q = 8 \implies q = 2$이다. 따라서 $f(x) = 3x + 2$이므로 $f(2) = \mathbf{8}$이다.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 창의인재 문항 3 (대수 · 미적분Ⅰ 융합 (귀류법 논증 배열과 합성함수 성질)) [배점 40점]

[2024 연세대(미래) 문항 3] 귀류법 증명 단락 재구성과 함수 방정식 해 도출 (40점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 3 · 총 40점

3-1 귀류법 증명의 논리적 배열 순서는 (III) → (IV) → (I) → (II) 이다.
- (III)의 빈칸: $a \ne 0$ 또는 $b \ne 0$
- (IV)의 ②번 빈칸: $a^2 = 0, b^2 \gt 0$ 이므로 $a^2 + b^2 \gt 0$ 이다.

3-2 일차함수 $f(x) = px+q$ 가 주어진 범위에서 일대일대응이 되려면 기울기가 양수인 경우와 음수인 경우로 나뉜다.
① 증가함수일 때: 두 점 $(-c, -8)$ 과 $(c, 0)$ 을 지나야 한다.
기울기 $p = \frac{0 - (-8)}{c - (-c)} = \frac{8}{2c} = \frac{4}{c}$ 이고, $(c, 0)$ 을 대입하면 $q = -4$ 이다.
따라서 $\frac{q}{p} = \frac{-4}{4/c} = -c$ 이다.
② 감소함수일 때: 두 점 $(-c, 0)$ 과 $(c, -8)$ 을 지나야 한다.
기울기 $p = \frac{-8 - 0}{c - (-c)} = -\frac{4}{c}$ 이고, $(-c, 0)$ 을 대입하면 $q = -4$ 이다.
따라서 $\frac{q}{p} = \frac{-4}{-4/c} = c$ 이다.
그러므로 구하는 $\frac{q}{p}$의 값은 $\mathbf{\pm c}$ 이다.

3-3 자연수 조건 $x_1 \ge x_2 \ge x_3 \ge 1$ 이고 삼각형 결정조건에 의해 $x_1 \lt x_2 + x_3$ 이 성립한다.
$2x_1 \lt x_1 + x_2 + x_3 = 36 \implies x_1 \lt 18$ 이며, $3x_1 \ge x_1 + x_2 + x_3 = 36 \implies x_1 \ge 12$ 이다.
따라서 변 $x_1$의 범위는 $12 \le x_1 \le 17$ (자연수)이다.
- $x_1 = 12$: (12, 12, 12) → 1개
- $x_1 = 13$: (13, 13, 10), (13, 12, 11) → 2개
- $x_1 = 14$: (14, 14, 8), (14, 13, 9), (14, 12, 10), (14, 11, 11) → 4개
- $x_1 = 15$: (15, 15, 6), (15, 14, 7), (15, 13, 8), (15, 12, 9), (15, 11, 10) → 5개
- $x_1 = 16$: (16, 16, 4), (16, 15, 5), (16, 14, 6), (16, 13, 7), (16, 12, 8), (16, 11, 9), (16, 10, 10) → 7개
- $x_1 = 17$: (17, 17, 2), (17, 16, 3), (17, 15, 4), (17, 14, 5), (17, 13, 6), (17, 12, 7), (17, 11, 8), (17, 10, 9) → 8개
총 개수는 $1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 = \mathbf{27}$개 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 귀류법 단락 순서 (III)-(IV)-(I)-(II)를 올바르게 배열하고 빈칸 식을 논리적으로 작성하기	10점
2단계	[3-2] 증가/감소하는 일차함수의 2가지 경우를 세워 $p$와 $q$ 값을 유도하고 $\pm c$ 구하기	15점
3단계	[3-3] 삼각형 성질을 이용해 $12 \le x_1 \le 17$ 범위를 설정하고, 조건에 맞춰 세어 27개 구하기	15점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답]귀류법 배열 $(\mathrm{III}) \to (\mathrm{IV}) \to (\mathrm{I}) \to (\mathrm{II})$ 및 계수 결정값 (해설 참조)

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ · 수열의 극한의 대소 관계(조임 정리) 🎯 핵심 테마: 부등식으로 제한된 급수·수열의 상·하한 구성과 극한값 산출 ⏱️ 권장 시간: 40분 권장

[제시문]

수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\frac{n}{2n+1} \le a_n \le \frac{n+1}{2n}$이 성립한다.

1-1 수열의 극한에 대한 조임정리(샌드위치 정리)를 이용하여 $\lim_{n \to \infty} a_n$의 값을 구하시오. [15점]

1-2 일반항 $b_n = \frac{1}{n(n+2)}$에 대하여 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$의 값을 구하시오. [15점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.25 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-02]

【유사 연습 문제】 모든 자연수 $n$에 대하여 $\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k}$의 값을 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty} S_n$의 값을 조임 정리로 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $1 \le k \le n$일 때 $\frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+k} \le \frac{n}{n^2+1}$이므로 $k=1$부터 $n$까지 더하면 $\frac{n^2}{n^2+n} \le S_n \le \frac{n^2}{n^2+1}$이다. 양 끝의 극한이 모두 $1$이므로 조임 정리에 의해 $\lim_{n\to\infty} S_n = \mathbf{1}$이다.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 창의인재 문항 1 (미적분Ⅱ · 수열의 극한의 대소 관계(조임 정리)) [배점 30점]

[2023 연세대(미래) 문항 1] 조임 정리를 이용한 수열과 유한합의 극한 증명 (30점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 1 · 총 30점

1-1 $1 \le k \le n$ 인 모든 자연수 $k$에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
$\frac{1}{n^2+n} \le \frac{1}{n^2+k} \le \frac{1}{n^2+1}$ 이다. 여기에 양의 실수 $k$를 곱하여 합을 구하면:
$\frac{1}{n^2+n} \sum_{k=1}^n k \le \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k} \le \frac{1}{n^2+1} \sum_{k=1}^n k$ 이다.
수열의 합 $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ 을 대입하고 양 경계의 극한값을 구하면:
- 좌변: $\lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{2(n^2+n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{2n^2+2n} = \frac{1}{2}$
- 우변: $\lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{2(n^2+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{2n^2+2} = \frac{1}{2}$
두 극한값이 $\frac{1}{2}$ 로 수렴하므로, 수열의 극한의 대소 관계(샌드위치 정리)에 의해:
$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k} = \mathbf{\frac{1}{2}}$ 이다.

1-2 일반항을 부분분수로 분해하면 다음과 같다.
$\frac{2}{(2n-1)(2n+3)} = \frac{2}{4} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+3} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+3} \right)$
이 급수의 부분합 $S_n$을 계산하면:
$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+3} \right) = \frac{1}{2} \left[ \left( 1 - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+3} \right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} \right)$ 이다.
따라서 부분합의 극한을 통해 급수의 합 $S$를 구하면:
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \mathbf{\frac{2}{3}}$ 이다. (급수는 수렴하며 합은 $\frac{2}{3}$ 이다.)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 대소 관계 부등식을 세우고 양 끝의 극한값을 계산하여 샌드위치 정리로 $1/2$ 구하기	15점
2단계	[1-2] 부분분수 형태로 일반항을 변형하고 부분합 식을 정리하여 극한값 $2/3$ 구하기	15점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답]조임 정리 극한값 도출 완료 (해설 참조)

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ · 구간별 다항함수의 미분가능성과 접선 넓이 🎯 핵심 테마: 경계점에서의 연속·미분가능 연립조건과 곡선·직선 둘러싸인 넓이 ⏱️ 권장 시간: 40분 권장

[제시문]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 구간별로 다음과 같이 정의된다.
\[ f(x) = \begin{cases} x^3 + ax^2 + bx + d & (x \lt 0) \\ -x^2 + kx + 9 & (x \ge 0) \end{cases} \]

2-1 함수 $f(x)$가 $x=0$에서 연속이고 미분가능할 때, 상수 $a, b, d$ 및 양수 $k$의 값을 구하시오. [15점]

2-2 두 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [20점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

【유사 연습 문제】 실수 전체에서 미분가능한 함수 $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & (x \lt 1) \\ x^3 - 2x & (x \ge 1) \end{cases}$에 대하여 상수 $a, b$의 곱 $ab$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x=1$에서 미분계수 일치 조건 $2 + a = 3 - 2 = 1 \implies a = -1$이고, 연속 조건 $1 + a + b = -1 \implies b = -1$이다. 따라서 $ab = \mathbf{1}$이다.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 창의인재 문항 2 (미적분Ⅰ · 구간별 다항함수의 미분가능성과 접선 넓이) [배점 35점]

[2023 연세대(미래) 문항 2] 실수 전체에서 미분가능한 구간별 함수 결정과 접선 넓이 (35점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 2 · 총 35점

2-1 도함수 $f'(x)$ 가 모든 실수에서 연속이어야 하므로 경계인 $x = -3, 0$에서 도함수 연속 조건을 조사한다.
$f'(x) = \begin{cases} a & (x \lt -3) \\ -2x & (-3 \lt x \lt 0) \\ c & (x \gt 0) \end{cases}$ 이다.
- $x = -3$에서 도함수 연속 조건: $\lim_{x \to -3^+} f'(x) = 6 = \lim_{x \to -3^-} f'(x) = a \implies a = 6$
- $x = 0$에서 도함수 연속 조건: $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = 0 = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = c \implies c = 0$
함수 $f(x)$ 도 모든 실수에서 연속이어야 하므로:
- $x = -3$에서 연속 조건: $\lim_{x \to -3^-} f(x) = -3a + b = -18 + b = f(-3) = 0 \implies b = 18$
- $x = 0$에서 연속 조건: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 9 = f(0) = d \implies d = 9$
따라서 $a = 6, b = 18, c = 0, d = 9$ 이며, $f(x)$ 식은 다음과 같다.
\[f(x) = \begin{cases} 6x + 18 & (x \lt -3) \\ -x^2+9 & (-3 \le x \lt 0) \\ 9 & (0 \le x) \end{cases}\]
두 함수가 접하므로 $g(x) = k(x-1) + 12$ 와 $y = -x^2+9$ ($x \lt 0$ 영역)가 접하는 실근 조건을 판별식으로 구한다.
$-x^2+9 = kx + 12 - k \implies x^2 + kx + 3-k = 0$
판별식 $D = k^2 - 4(3-k) = k^2 + 4k - 12 = (k-2)(k+6) = 0$ 이다.
$k \gt 0$ 이므로 양수 $\mathbf{k = 2}$ 이다. (이때 접점은 $x = -1$ 로서 $-3 \le x \lt 0$ 범위 내에 속함)

2-2 접점의 $x$좌표는 $x = -1$ 이며 $g(-1) = 8$ 이다. 직선 $g(x) = 2x+10$ 과 $y=0$의 교점은 $x = -5$ 이다. 또한 $f(x)$와 $y=0$의 교점은 $x = -3$ 이다. 따라서 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 다음 두 정적분의 합이다.
$S = \int_{-5}^{-3} (2x+10) dx + \int_{-3}^{-1} [ (2x+10) - (-x^2+9) ] dx$ 이다.
- 첫 번째 적분: $\int_{-5}^{-3} (2x+10) dx = [x^2 + 10x]_{-5}^{-3} = (9 - 30) - (25 - 50) = 4$
- 두 번째 적분: $\int_{-3}^{-1} (x^2 + 2x + 1) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x \right]_{-3}^{-1} = \left( -\frac{1}{3} + 1 - 1 \right) - ( -9 + 9 - 3 ) = -\frac{1}{3} + 3 = \frac{8}{3}$
따라서 도형의 총 넓이는 $4 + \frac{8}{3} = \mathbf{\frac{20}{3}}$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] $x=-3, 0$에서 연속 및 미분가능성 조건을 세워 $a=6, b=18, c=0, d=9$ 구하기	8점
2단계	[2-1] 접선과 이차함수의 실근 판별식을 작성하여 양수 $k=2$ 구하기	7점
3단계	[2-2] 교점 $x = -5, -3, -1$을 구하고 구간을 나누어 정적분 넓이 $20/3$ 구하기	20점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답]계수 결정 및 둘러싸인 넓이 산출값 (해설 참조)

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ · 합성 사차함수 치환과 절댓값 접힘 극점 개수 🎯 핵심 테마: 이차식 치환 최대·최소와 평행이동 절댓값 함수 |f(x-p)|의 극점 분석 ⏱️ 권장 시간: 40분 권장

[제시문]

함수 $f(x) = (x^2-2x-3)^2 - 4(x^2-2x-3) + 5$의 그래프 및 평행이동한 함수 $g(x) = |f(x-p)|$의 극점 개수를 분석한다.

3-1 치환 $t = x^2-2x-3$을 이용하여 닫힌구간 $[-1, 4]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. [17점]

3-2 함수 $g(x)$의 극점의 개수 $\alpha$와 극솟값들의 합 $\beta$에 대하여 $\alpha \times \beta$의 값을 구하시오. [18점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02, 12대수02-03]

【유사 연습 문제】 닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x) = (x^2 - 2x)^2 - 4(x^2 - 2x) + 7$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $t = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$로 치환하면 $0 \le x \le 3$에서 $-1 \le t \le 3$이다. $g(t) = t^2 - 4t + 7 = (t-2)^2 + 3$이므로 $t=2$일 때 최솟값 $3$, $t=-1$일 때 최댓값 $12$를 가져 합은 $\mathbf{15}$이다.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 창의인재 문항 3 (미적분Ⅰ · 합성 사차함수 치환과 절댓값 접힘 극점 개수) [배점 35점]

[2023 연세대(미래) 문항 3] 합성 사차함수 치환 극값과 절댓값 변환 함수의 극점 개수 (35점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 3 · 총 35점

3-1 $t = 2\sin \frac{\pi}{5}x + 3$ 이라 하면, 모든 실수 $x$에 대하여 $\sin$ 범위가 $[-1, 1]$ 이므로 $t$의 범위는 $1 \le t \le 5$ 이다.
구하고자 하는 함수는 $f(t) = t^3 - 2t^2 - 5$ 이며 닫힌구간 $[1, 5]$에서의 최대/최소를 조사한다.
$f'(t) = 3t^2 - 4t = t(3t-4) = 0 \implies t = 0$ 또는 $t = 4/3$ 이다.
구간 내 극값 후보는 $t = 4/3$ 뿐이므로 증감을 조사하면 다음과 같다.
- $f(1) = 1 - 2 - 5 = -6$
- $f(4/3) = \frac{64}{27} - \frac{32}{9} - 5 = -\frac{167}{27} \approx -6.19$
- $f(5) = 125 - 50 - 5 = 70$
따라서 닫힌구간 내 최솟값 $m = -\frac{167}{27}$ 이고 최댓값 $M = 70$ 이다.
구하는 값: $27m + M = 27 \left( -\frac{167}{27} \right) + 70 = -167 + 70 = \mathbf{-97}$ 이다.

3-2 $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5$ 로부터 $f'(x) = x(3x-4)$ 이며 극댓값은 $f(0) = -5$, 극솟값은 $f(4/3) = -\frac{167}{27}$ 이다.
함수 $y = f(x-1)+3$ 은 $f(x)$를 $x$축 방향으로 1, $y$축 방향으로 3만큼 평행이동한 도형이므로:
- 평행이동된 극댓값은 $x = 1$ 에서 $-5 + 3 = -2$ 이다.
- 평행이동된 극솟값은 $x = 7/3$ 에서 $-\frac{167}{27} + 3 = -\frac{86}{27} \approx -3.19$ 이다.
극댓값과 극솟값이 모두 음수이므로 함수 $y = f(x-1)+3$ 의 그래프는 $x$축과 단 한 점(교점 $x = C$)에서 만난다.
$g(x) = \frac{5}{2} |f(x-1)+3|$ 의 그래프는 꺾여 올라가므로 $x = 1$ (원래 극대)은 극소(값은 $|-2| \times 2.5 = 5$)로 바뀌고, 교점 $x = C$는 극소(값은 0)가 되며 원래 극소였던 $x = 7/3$ 은 접혀 올라가 극대로 바뀐다.
따라서 극값을 갖는 점의 개수 $\alpha = 3$ 이고, 극솟값의 합 $\beta = g(1) + g(C) = 5 + 0 = 5$ 이다.
구하는 값: $\alpha\beta = 3 \times 5 = \mathbf{15}$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 치환하여 $1 \le t \le 5$ 범위를 구하고, 극소/경계값을 비교해 최댓값 70, 최솟값 $-167/27$과 최종 값 $-97$ 구하기	17점
2단계	[3-2] 평행이동 및 절댓값 접어올리기를 분석해 극점 개수 $\alpha=3$ 과 극소합 $\beta=5$을 유도하여 15 구하기	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답]치환 최댓값·최솟값 및 극점 곱 $\alpha \times \beta$ (해설 참조)

📚 과목/단원: 확률과 통계 · 조건부확률과 베이즈 정리 🎯 핵심 테마: 전확률 공식과 사후 조건부확률 계산 ⏱️ 권장 시간: 40분 권장

[제시문]

주머니 속에 1번 공 4개, 2번 공 2개, 3번 공 1개가 들어있다. 임의로 한 개의 공을 꺼내어 확인하고 다시 넣는 시행을 반복한다.

1-1 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수일 때, 그 공이 1번 공일 조건부확률을 구하시오. [10점]

1-2 $n$번 독립시행에서 특정 조건부확률 식을 $n$에 관한 식으로 나타내시오. [10점]

1-3 이 확률이 $0.9$ 이상이 되도록 하는 최소 시행 횟수 $n$을 구하시오. [15점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ-1. 확률의 뜻과 활용 (DB: PS_Ch02_01) PDF p.11 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-01, 12확통02-02]

【유사 연습 문제】 주머니 $A$에는 흰 공 $2$개, 검은 공 $1$개가 있고 주머니 $B$에는 흰 공 $1$개, 검은 공 $2$개가 있다. 임의로 한 주머니를 택해 공 $1$개를 꺼냈더니 흰 공이었을 때, 택한 주머니가 $A$일 확률을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\mathrm{P}(W) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{2}$이고 $\mathrm{P}(A \cap W) = \frac{1}{3}$이므로 $\mathrm{P}(A \mid W) = \frac{1/3}{1/2} = \mathbf{\frac{2}{3}}$이다.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 창의인재 문항 1 (확률과 통계 · 조건부확률과 베이즈 정리) [배점 35점]

[2022 연세대(미래) 문항 1] 복수 주머니 공 추출 시행의 전확률과 조건부확률 (35점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 1 · 총 35점

1-1 임의로 주머니 하나를 선택하는 확률은 각각 $\frac{1}{3}$ 이다. 1번 공이 뽑히는 사건을 $D_1$이라 하면:
$P(D_1) = P(A)P(D_1|A) + P(B)P(D_1|B) + P(C)P(D_1|C) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{4} + \frac{1}{3} \times 1 = \mathbf{\frac{7}{12}}$ 이다.
꺼낸 공이 1번 공일 때 주머니 C일 조건부확률은:
$P(C|D_1) = \frac{P(C \cap D_1)}{P(D_1)} = \frac{1/3}{7/12} = \mathbf{\frac{4}{7}}$ 이다.

1-2 $n$번 모두 1번 공이 뽑히는 사건을 $D_n$이라 하면:
$P(D_n) = P(A)P(D_n|A) + P(B)P(D_n|B) + P(C)P(D_n|C) = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^n + \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^n + \frac{1}{3} \times 1$ 이므로,
$P(C|D_n) = \frac{P(C \cap D_n)}{P(D_n)} = \frac{1/3}{\frac{1}{3} \left( (1/4)^n + (1/2)^n + 1 \right)} = \frac{1}{(1/4)^n + (1/2)^n + 1} = \mathbf{\frac{4^n}{1 + 2^n + 4^n}}$ 이다.

1-3

1-2 에서 유도한 조건부확률 $P(C|D_n)$에 실험 횟수 $n$을 대입하여 판별한다.
- $n=1$: $P(C|D_1) = 4/7 \approx 0.57 \lt 0.9$
- $n=2$: $P(C|D_2) = 16/21 \approx 0.76 \lt 0.9$
- $n=3$: $P(C|D_3) = 64/73 \approx 0.87 \lt 0.9$
- $n=4$: $P(C|D_4) = 256/273 \approx 0.938 \ge 0.9$
따라서 4회 이상 반복 실험에서 모두 1번 공이 뽑혔을 때, 주머니 C가 선택되었다는 주장이 사실일 확률이 0.9 이상이라고 할 수 있다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 1번 공이 뽑힐 확률 7/12와 조건부확률 4/7을 모두 올바르게 계산하기	10점
2단계	[1-2] $n$번 독립 시행 조건부확률 공식 $\frac{4^n}{1+2^n+4^n}$ 을 정확히 유도하기	10점
3단계	[1-3] $n=1,2,3,4$ 일 때 확률을 대입하여 4회 이상일 때 0.9 이상이 됨을 입증하기	15점

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🎯 [최종 정답]전확률 및 조건부확률 산출값 (해설 참조)

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ · 이차함수 두 접선의 교점과 둘러싸인 넓이 🎯 핵심 테마: 포물선 $y = x^2$ 위의 두 접선 교점 좌표와 넓이 비율 성질 ⏱️ 권장 시간: 40분 권장

[제시문]

이차함수 $y = x^2$ 위의 서로 다른 두 점 $P(a, a^2), Q(b, b^2)$ ($a \lt b$)에서의 접선과 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다.

2-1 두 접선의 교점의 좌표를 구하고, 둘러싸인 도형의 넓이 공식 $S = \frac{1}{12}(b-a)^3$을 유도하시오. [10점]

2-2 극한값 $\lim_{n \to \infty} a_n, \lim_{n \to \infty} b_n$을 계산하여 내분점 좌표를 도출하시오. [15점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.28 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

【유사 연습 문제】 포물선 $y = x^2$ 위의 두 점 $A(-1, 1)$, $B(3, 9)$에서의 두 접선의 교점을 $C$라 할 때, 삼각형 $ABC$의 넓이와 포물선 및 선분 $AB$로 둘러싸인 넓이의 비를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 두 접선 $y = -2x - 1$, $y = 6x - 9$의 교점은 $C(1, -3)$이다. 선분 $AB: y = 2x + 3$과 포물선으로 둘러싸인 넓이는 $\frac{(3 - (-1))^3}{6} = \frac{32}{3}$이고, $\triangle ABC$의 넓이는 $\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot (5 - (-3)) = 16$이므로 넓이의 비는 $16 : \frac{32}{3} = \mathbf{3 : 2}$이다.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 창의인재 문항 2 (미적분Ⅰ · 이차함수 두 접선의 교점과 둘러싸인 넓이) [배점 25점]

[2022 연세대(미래) 문항 2] 이차함수 위의 두 점에서의 접선 교점과 정적분 넓이 (25점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 2 · 총 25점

2-1 접선의 방정식을 구하면:
- 점 $A(a, a^2)$에서의 접선: $y = 2ax - a^2$
- 점 $B(b, b^2)$에서의 접선: $y = 2bx - b^2$
두 접선의 교점의 $x$좌표는 $2ax - a^2 = 2bx - b^2 \implies x = \frac{a+b}{2}$ 이다. 둘러싸인 넓이 $S$는:
$S = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} [x^2 - (2ax-a^2)] dx + \int_{\frac{a+b}{2}}^{b} [x^2 - (2bx-b^2)] dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} (x-a)^2 dx + \int_{\frac{a+b}{2}}^{b} (x-b)^2 dx$
$= \left[ \frac{1}{3}(x-a)^3 \right]_{a}^{\frac{a+b}{2}} + \left[ \frac{1}{3}(x-b)^3 \right]_{\frac{a+b}{2}}^{b} = \frac{1}{3}\left(\frac{b-a}{2}\right)^3 - \frac{1}{3}\left(\frac{a-b}{2}\right)^3 = \mathbf{\frac{1}{12}(b-a)^3}$ 이다.

2-2 내분점의 $x$좌표는 $f(t) = \frac{mb+na}{m+n}$ 이다. $a, b$의 극한값을 각각 유리화하여 구한다.
- $\lim_{t \to \infty} a = \lim_{t \to \infty} \frac{-t+\sqrt{t^2+16t}}{8} = \lim_{t \to \infty} \frac{16t}{8(t+\sqrt{t^2+16t})} = \frac{16}{8(1+1)} = 1$
- $\lim_{t \to \infty} b = \lim_{t \to \infty} \frac{-3t+3\sqrt{t^2+4t}}{8} = \lim_{t \to \infty} \frac{12t}{8(t+\sqrt{t^2+4t})} = \frac{12}{8(1+1)} = \frac{3}{4}$
따라서 $\lim_{t \to \infty} f(t) = \frac{m \lim b + n \lim a}{m+n} = \frac{\frac{3}{4}m + n}{m+n} = \mathbf{\frac{3m+4n}{4(m+n)}}$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 접선의 방정식을 구하고 적분을 통해 넓이 공식 $\frac{1}{12}(b-a)^3$ 유도하기	10점
2단계	[2-2] $a, b$ 식을 각각 유리화하여 $\lim a = 1, \lim b = 3/4$ 을 구하고 내분 공식에 대입해 $\frac{3m+4n}{4(m+n)}$ 도출하기	15점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답]접선 교점 $\left(\dfrac{a+b}{2}, ab\right)$ 및 정적분 넓이 관계 (해설 참조)

📚 과목/단원: 대수 · 등비급수와 실생활 순환 모델링 🎯 핵심 테마: 반복 재활용·붕괴 과정의 등비수열 부분합과 무한등비급수 수렴값 ⏱️ 권장 시간: 40분 권장

[제시문]

시간 $t$에 따른 방사성 물질의 붕괴 속도 및 유입량 함수 $f(t) = (20t - 49)e^{-t}$가 주어진다.

3-1 매년 일정한 비율로 누적되는 등비급수의 총량을 계산하시오. [10점]

3-2 부분적분법을 이용하여 $\int_0^{\infty} f(t)dt$의 극한값을 구하시오. [15점]

3-3 변곡점 조건 $f''(t) = 0$을 만족하는 해를 구하시오. [15점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.9 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

【유사 연습 문제】 매 단계 수거량의 $60\%$가 재가공되어 다시 투입되는 자원 순환 공정에서 초기 투입량이 $1000$톤일 때, 무한히 재활용을 반복하여 얻는 총 재가공 누적량을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 첫 재가공량은 $1000 \times 0.6 = 600$톤이고 공비가 $r = 0.6$인 무한등비급수이므로 총 재가공 누적량은 $\frac{600}{1 - 0.6} = \mathbf{1500}$톤이다.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 창의인재 문항 3 (대수 · 등비급수와 실생활 순환 모델링) [배점 40점]

[2022 연세대(미래) 문항 3] 반복 공정 수렴 모델의 등비수열 일반항과 무한등비급수 (40점)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 3 · 총 40점

3-1 수거한 쓰레기 1500톤 중 첫 재활용량은 $1500 \times 0.65 \times 0.8 = 1500 \times 0.52 = 780$ 톤이다.
이후 매회 $0.52$ 비율로 반복하여 순환되므로 첫째항이 780이고 공비가 $0.52$인 무한등비급수합이다.
총 재활용량 = $\frac{780}{1 - 0.52} = \frac{780}{0.48} = \mathbf{1625}$ 톤이다.

3-2 부분합 정적분 $A(x) = \int_{1.5}^{x} (10t^2 - 9t - 9)e^{-t} dt$ 이다. 부분적분법을 두 번 적용한다.
$\int (10t^2 - 9t - 9)e^{-t} dt = -(10t^2 - 9t - 9)e^{-t} + \int (20t-9)e^{-t} dt$
$= -(10t^2 - 9t - 9)e^{-t} - (20t-9)e^{-t} + \int 20e^{-t} dt = (-10t^2 - 11t - 2)e^{-t} + C$ 이다.
$A(x) = [(-10t^2 - 11t - 2)e^{-t}]_{1.5}^x = (-10x^2 - 11x - 2)e^{-x} - (-10(1.5)^2 - 11(1.5) - 2)e^{-1.5}$
$= (-10x^2 - 11x - 2)e^{-x} + 41e^{-1.5}$ 이다. $x \to \infty$ 일 때 $\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} = 0$ 이므로:
$\lim_{x \to \infty} A(x) = \mathbf{41e^{-1.5}}$ 이다.

3-3 $f(t) = (10t^2 - 9t - 9)e^{-t}$ 로부터 이계도함수 $f''(t)$ 를 구한다.
$f'(t) = (20t-9)e^{-t} - (10t^2-9t-9)e^{-t} = (-10t^2+29t)e^{-t}$
$f''(t) = (-20t+29)e^{-t} - (-10t^2+29t)e^{-t} = (10t^2 - 49t + 29)e^{-t}$
$f''(t) = 0$ 에서 $t = \frac{49 \pm \sqrt{1241}}{20}$ 이다. $\sqrt{1241} \approx 35.23$ 이므로 $t_1 \approx 0.69, t_2 \approx 4.21$ 이다.
시각 $t \ge 1.5$ 이므로 유효한 해는 $t = \frac{49+\sqrt{1241}}{20}$ 이며, 이 점의 좌우에서 $f''(t)$의 부호가 바뀌므로 변곡점의 $t$좌표는 $\mathbf{a = \frac{49+\sqrt{1241}}{20}}$ 이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 등비급수의 첫째항 780과 공비 0.52를 이용해 총량 1625톤 계산하기	10점
2단계	[3-2] 부분적분을 통해 적분 함수를 구하고 극한값 $41e^{-1.5}$ 도출하기	15점
3단계	[3-3] 이계도함수 $f''(t) = 0$ 의 근을 찾고 조건 $t \ge 1.5$에 부합하는 해 $\frac{49+\sqrt{1241}}{20}$ 구하기	15점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

🎯 [최종 정답]단계별 수열 일반항 및 무한등비급수 극한값 (해설 참조)

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2027학년도 연세대학교(미래) 자연계열 수리논술
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제1~5회 기출유사 표준 실전편과 제6~10회 킬러 TOP 5 심화편(총 50문항) 및 회차별 종합 분석 매트릭스 리포트로 실전 적응력을 극대화합니다.

📋 출제 타당성 검토 보고서 (4p): 전 문항 교과서 기반 교육과정 성취기준 및 Textbook DB 원천 검증

📝 실전 맞춤형 시험지 포맷: 연세대학교(미래) 실제 문항 수·배점·답안지 규격 100% 반영

📈 회차별 종합 분석 매트릭스 (10p): 매 회차 직후 문항별 난이도·배점·합격 전략 리포트 수록

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R1-Q1	미적분ⅡⅠ · 정적분과 넓이 및 매개변수 방정식	정적분과 넓이 및 매개변수 방정식	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.37 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]	20점/중상
R1-Q2	미적분ⅡⅠ·대수 · 다항곡선 정적분과 조화수열 정수쌍	다항곡선 정적분과 조화수열 정수쌍	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]	20점/중상
R1-Q3	대수 · 로그방정식과 두 근의 곱	로그방정식과 두 근의 곱	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]	20점/중상
R1-Q4	미적분ⅡⅠ · 구간 극값과 최솟값 함수의 정의	구간 극값과 최솟값 함수의 정의	[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]	20점/중상
R1-Q5	미적분ⅡⅠ · 도함수 정의의 엄밀성과 첨점 오류 수정	도함수 정의의 엄밀성과 첨점 오류 수정	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]	20점/중상
R2-Q1	대수 · 등차수열의 부분합과 일반항	등차수열의 부분합과 일반항	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.2 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]	20점/중상
R2-Q2	미적분ⅡⅠ · 구간별 조각함수의 주기성과 연속 조건	구간별 조각함수의 주기성과 연속 조건	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	20점/중상
R2-Q3	대수·미적분ⅡⅠ · 대칭 직사각형 넓이 함수의 정적분	대칭 직사각형 넓이 함수의 정적분	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]	20점/중상
R2-Q4	대수 · 세포 분열 주기와 지수 증식 모델링	세포 분열 주기와 지수 증식 모델링	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]	20점/중상
R2-Q5	미적분ⅡⅠ · 속도 정적분 변위와 가속도 그래프 정성	속도 정적분 변위와 가속도 그래프 정성 분석	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.46 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]	20점/중상
R3-Q1	미적분ⅡⅠ · 이차곡선 적분 넓이와 다항방정식	이차곡선 적분 넓이와 다항방정식	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.2 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]	20점/중상
R3-Q2	미적분ⅡⅠ·대수 · 멱함수 여영역과 조화수열 정수쌍	멱함수 여영역과 조화수열 정수쌍	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]	20점/중상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R3-Q3	대수 · 밑이 다른 로그방정식과 두 근의 곱	밑이 다른 로그방정식과 두 근의 곱	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.13 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]	20점/중상
R3-Q4	미적분ⅡⅠ · 구간 극값과 다단계 최솟값 함수	구간 극값과 다단계 최솟값 함수	[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.18 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]	20점/중상
R3-Q5	미적분ⅡⅠ · 절댓값 함수의 미분계수 증명과 직관 오류	절댓값 함수의 미분계수 증명과 직관 오류 반박	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]	20점/중상
R4-Q1	대수 · 공차가 음수인 등차수열과 대칭합	공차가 음수인 등차수열과 대칭합	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.12 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]	20점/중상
R4-Q2	미적분ⅡⅠ · 구간 조각함수의 주기성과 미분가능성	구간 조각함수의 주기성과 미분가능성	[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.21 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]	20점/중상
R4-Q3	미적분ⅡⅠ · 무리함수 대칭 직사각형 넓이의 정적분	무리함수 대칭 직사각형 넓이의 정적분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]	20점/중상
R4-Q4	대수 · 항생제 사멸률이 결합된 세포 증식 모델	항생제 사멸률이 결합된 세포 증식 모델	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]	20점/중상
R4-Q5	미적분ⅡⅠ · 3차 속도곡선의 변위와 최대 가속도 분석	3차 속도곡선의 변위와 최대 가속도 분석	[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.24 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]	20점/중상
R5-Q1	미적분ⅡⅠ · 삼차곡선·이차곡선 정적분 넓이와 매개변수	삼차곡선·이차곡선 정적분 넓이와 매개변수	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]	20점/상
R5-Q2	미적분ⅡⅠ·대수 · 멱함수 정적분과 조화수열 부정방정식	멱함수 정적분과 조화수열 부정방정식	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.18 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]	20점/상
R5-Q3	대수 · 로그방정식과 대칭식의 값 계산	로그방정식과 대칭식의 값 계산	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.23 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]	20점/상
R5-Q4	미적분ⅡⅠ · 이동 구간에서의 최댓값 함수	이동 구간에서의 최댓값 함수	[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.28 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]	20점/상
R5-Q5	미적분ⅡⅠ · 구간 조각함수의 도함수 정의와 연속성	구간 조각함수의 도함수 정의와 연속성	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.24 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	20점/상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R6-Q1	대수 · 등차수열 절댓값 부분합과 최대합	등차수열 절댓값 부분합과 최대합	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]	20점/상
R6-Q2	미적분ⅡⅠ · 주기 조각함수의 미분가능성과 미정계수	주기 조각함수의 미분가능성과 미정계수	[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.31 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]	20점/상
R6-Q3	미적분ⅡⅠ · 4차 대칭 곡선과 직사각형 넓이의 정적분	4차 대칭 곡선과 직사각형 넓이의 정적분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.19 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]	20점/상
R6-Q4	대수 · 3종 미생물의 다원 지수 증식 경쟁 모델	3종 미생물의 다원 지수 증식 경쟁 모델	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]	20점/상
R6-Q5	미적분ⅡⅠ · 방향 전환 속도 모델과 변위 vs 이동거	방향 전환 속도 모델과 변위 vs 이동거리	[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.34 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]	20점/상
R7-Q1	미적분ⅡⅠ · 삼차함수 삼중 분할 넓이와 매개변수	삼차함수 삼중 분할 넓이와 매개변수	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.22 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]	20점/상
R7-Q2	미적분ⅡⅠ·대수 · 멱함수 정적분과 조화수열 심화	멱함수 정적분과 조화수열 심화	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.11 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]	20점/상
R7-Q3	대수 · 삼차 로그방정식과 세 근의 곱	삼차 로그방정식과 세 근의 곱	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]	20점/상
R7-Q4	미적분ⅡⅠ · 사차함수 구간 최솟값 다중 분기	사차함수 구간 최솟값 다중 분기	[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.38 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]	20점/상
R7-Q5	미적분ⅡⅠ · 수직 접선과 미분가능성 극한 논증	수직 접선과 미분가능성 극한 논증	[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.39 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]	20점/상
R8-Q1	대수 · 두 등차수열 합의 비와 일반항의 비	두 등차수열 합의 비와 일반항의 비	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]	20점/최상
R8-Q2	미적분ⅡⅠ · 절댓값 조각함수의 주기성과 정적분	절댓값 조각함수의 주기성과 정적분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]	20점/최상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R8-Q3	미적분ⅡⅠ · 3차 곡선 위의 점과 대칭 직사각형 정적	3차 곡선 위의 점과 대칭 직사각형 정적분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.29 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]	20점/최상
R8-Q4	대수 · 방사성 반감기-세균 증식 복합 지수 모델	방사성 반감기-세균 증식 복합 지수 모델링	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]	20점/최상
R8-Q5	미적분ⅡⅠ · 3차 속도곡선의 비대칭 주행과 저크(Je	3차 속도곡선의 비대칭 주행과 저크(Jerk) 분석	[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.44 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]	20점/최상
R9-Q1	미적분ⅡⅠ · 사차곡선과 이차곡선 적분 넓이 및 매개변	사차곡선과 이차곡선 적분 넓이 및 매개변수	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.32 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]	20점/최상
R9-Q2	미적분ⅡⅠ·대수 · 역함수 대칭 영역 넓이와 조화수열	역함수 대칭 영역 넓이와 조화수열	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]	20점/최상
R9-Q3	대수 · 매개변수 로그방정식과 두 실근의 비	매개변수 로그방정식과 두 실근의 비	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]	20점/최상
R9-Q4	미적분ⅡⅠ · 매개변수 삼차함수의 구간 최솟값 정적분	매개변수 삼차함수의 구간 최솟값 정적분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.35 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]	20점/최상
R9-Q5	미적분ⅡⅠ · 샌드위치 정리 미분계수 증명과 극한 비존	샌드위치 정리 미분계수 증명과 극한 비존재	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]	20점/최상
R10-Q1	대수 · 등차수열의 최대합과 절댓값 30개 항의	등차수열의 최대합과 절댓값 30개 항의 합	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]	20점/최상
R10-Q2	미적분ⅡⅠ · 주기함수의 연속성과 복합 삼각 다항식 적	주기함수의 연속성과 복합 삼각 다항식 적분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	20점/최상
R10-Q3	대수·미적분ⅡⅠ · 삼각 절댓값 곡선과 직사각형 정적분	삼각 절댓값 곡선과 직사각형 정적분	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]	20점/최상
R10-Q4	대수 · 환경수용력 포화 한계 지수 증식 모델링	환경수용력 포화 한계 지수 증식 모델링	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.22 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]	20점/최상
R10-Q5	미적분ⅡⅠ · 2단계 우주 발사체 다단 속도-고도 정적	2단계 우주 발사체 다단 속도-고도 정적분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.41 개념 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]	20점/최상

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분ⅡⅠ · 정적분과 넓이 및 매개변수 방정식 — 정적분과 넓이 및 매개변수 방정식 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.37 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

양의 실수 $k$에 대하여 두 이차함수 $f_1(x) = 3kx(1-x)$와 $f_2(x) = x(2k-x)$를 정의한다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 $f_1(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_1$을 계산하고, 뒷면이 나오면 $f_2(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_2$를 계산한다.

[문제 1-1] $S_1$과 $S_2$의 값을 구하여라. (10점)

[문제 1-2] 동전 던지기의 결과와 관계없이 $S_1$과 $S_2$의 값이 같기 위한 양의 실수 $k$의 값을 구하고 이때의 넓이를 구하여라. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분ⅡⅠ·대수 · 다항곡선 정적분과 조화수열 정수쌍 — 다항곡선 정적분과 조화수열 정수쌍 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

자연수 $n \ge 1$에 대하여 곡선
\[ y = 2 - 2x^n \quad (0 \le x \le 1) \]
과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $D_n$이라고 하자.

[문제 2-1] 영역 $D_n$의 넓이를 $n$에 대한 식으로 나타내시오. (8점)

[문제 2-2] 6보다 같거나 작은 세 자연수 $a \lt b \lt c$에 대하여, $D_a$와 $D_b$로 둘러싸인 영역의 넓이와 $D_b$와 $D_c$로 둘러싸인 영역의 넓이가 서로 같도록 하는 모든 순서쌍 $(a, b, c)$를 구하시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수 · 로그방정식과 두 근의 곱 — 로그방정식과 두 근의 곱 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

다음은 [대수: 로그방정식과 두 근의 곱] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

방정식
\[ \left( \log_3 x^2 \right) \left( \log_3 9x \right) = 16 \]
의 두 근을 $\alpha, \beta$라고 할 때, 두 근의 곱 $\alpha\beta$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분ⅡⅠ · 구간 극값과 최솟값 함수의 정의 — 구간 극값과 최솟값 함수의 정의 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

$a \lt 2$인 실수 $a$에 대하여 닫힌구간 $[a, 2]$에서 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$의 최솟값을 $m(a)$라 할 때 다음 물음에 답하시오.

[문제 4-1] 함수 $m(a)$를 구하시오. (12점)

[문제 4-2] $m(1) + m(0) + m(-1) + m(-2)$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분ⅡⅠ · 도함수 정의의 엄밀성과 첨점 오류 수정 — 도함수 정의의 엄밀성과 첨점 오류 수정 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

[제시문]

다음은 [미적분ⅡⅠ: 도함수 정의의 엄밀성과 첨점 오류 수정] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

다음은 도함수의 정의에 따라 함수 $f(x) = |x-1|$의 $x=1$에서의 미분계수를 구하는 과정이다. 틀린 부분을 찾아서 그 이유를 수학적으로 설명하고, 올바르게 판정하시오.

\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \quad \cdots \text{①} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{|(1+h)-1| - |1-1|}{h} \quad \cdots \text{②} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} \quad \cdots \text{③} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1 \quad \cdots \text{④} \]
따라서 $f'(1) = 1$이다.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제1회	문항 1	미적분ⅡⅠ · 정적분과 넓이 및 매개변수 방정식	정적분과 넓이 및 매개변수 방정식	20점	중상
제1회	문항 2	미적분ⅡⅠ·대수 · 다항곡선 정적분과 조화수열 정수쌍	다항곡선 정적분과 조화수열 정수쌍	20점	중상
제1회	문항 3	대수 · 로그방정식과 두 근의 곱	로그방정식과 두 근의 곱	20점	중상
제1회	문항 4	미적분ⅡⅠ · 구간 극값과 최솟값 함수의 정의	구간 극값과 최솟값 함수의 정의	20점	중상
제1회	문항 5	미적분ⅡⅠ · 도함수 정의의 엄밀성과 첨점 오류 수정	도함수 정의의 엄밀성과 첨점 오류 수정	20점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 연세대학교(미래) 수리논술 제1회 출제 원칙 및 합격 전략

정적분 넓이 매개변수 방정식, 구간 등분할 구분구적, 로그방정식 치환, 삼차함수 구간 최솟값 함수를 정확히 계산하는 표준 회차입니다.

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 · 등차수열의 부분합과 일반항 — 등차수열의 부분합과 일반항 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

다음은 [대수: 등차수열의 부분합과 일반항] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

첫째항이 $4$인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라고 하자.
\[ S_8 = S_4 + 82 \]
일 때, $a_{16}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분ⅡⅠ · 구간별 조각함수의 주기성과 연속 조건 — 구간별 조각함수의 주기성과 연속 조건 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문]

다음은 [미적분ⅡⅠ: 구간별 조각함수의 주기성과 연속 조건] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[1, 4]$에서
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 5 & (1 \le x \le 2) \\ a(x-2)^3 + b & (2 \lt x \le 4) \end{cases} \]
로 정의된다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = f(x-3)$을 만족시키는 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $f(2027)$의 값을 구하시오. (단, $a, b$는 상수)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수·미적분ⅡⅠ · 대칭 직사각형 넓이 함수의 정적분 — 대칭 직사각형 넓이 함수의 정적분 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

다음은 [대수·미적분ⅡⅠ: 대칭 직사각형 넓이 함수의 정적분] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

실수 $x \in [-\pi/2, \pi/2]$에 대하여 점 $\text{A}$를 $\text{A}(x, 0)$이라 하자. 점 $\text{A}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y = \cos x$와 만나는 점을 $\text{D}$라 하자. 또 점 $\text{A}$와 $\text{D}$를 각각 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\text{B}, \text{C}$라 할 때 사각형 $\text{ABCD}$는 직사각형이 된다. 이 직사각형 $\text{ABCD}$의 넓이를 $S(x)$라 할 때, 다음 정적분의 값을 구하시오.
\[ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} S(x) \, dx \]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 대수 · 세포 분열 주기와 지수 증식 모델링 — 세포 분열 주기와 지수 증식 모델링 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

다음은 [대수: 세포 분열 주기와 지수 증식 모델링] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

미래생명공학연구소에서 세포의 분화를 연구하기 위해 동물세포주를 배양하는 프로젝트를 진행 중이다. 3일에 1회씩 세포분열이 이루어지는 A type 세포와 1일에 1회씩 세포분열이 이루어지는 B type 세포가 각각 $80\%$와 $20\%$씩 섞여 있는 $800{,}000$개의 세포 군집을 획득하였다. (단, 한 번 분열할 때마다 세포 수는 정확히 2배가 되며 자연 사멸은 없다고 가정한다.)

이 세포들을 배양하여 A type 세포가 $20\%$, B type 세포가 $80\%$가 될 때까지 배양하기 위해서는 며칠이 걸리고, 이때 각각 몇 개의 세포들이 얻어질 수 있을지 설명하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분ⅡⅠ · 속도 정적분 변위와 가속도 그래프 정성 — 속도 정적분 변위와 가속도 그래프 정성 분석 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.46 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

도심 항공 모빌리티(UAM) 기체가 이륙 후 착륙할 때까지 수평 비행 속도를 조절하며 이동한다. 연구팀은 기체의 속도가 시간에 따라 다음과 같은 함수로 표현된다는 것을 알아냈다.
\[ f(t) = -t^2 + 8t \quad (0 \le t \le 8) \]
여기서 $t$는 시간(초), $f(t)$는 기체의 수평 속도($\text{m/s}$)이다. 이 속도 모델을 이용하여 기체의 이동을 분석하려 한다.

[문제 5-1] 기체가 $t=0$초부터 $t=8$초까지 이동한 변위를 정적분을 이용하여 구하여라. (4점)

[문제 5-2] 함수 $f(t)$의 그래프를 바탕으로 다음을 설명하시오.
1) 시간이 증가함에 따라 기체의 속도가 어떻게 변화하는지 설명하시오. (4점)
2) 기체가 어느 시간 구간에서 더 많은 거리를 이동하는지 그래프의 면적을 이용하여 설명하시오. (6점)
3) 그래프의 기울기를 이용하여 기체의 속도 변화가 급격한지 또는 완만한지 설명하시오. (6점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제2회	문항 1	대수 · 등차수열의 부분합과 일반항	등차수열의 부분합과 일반항	20점	중상
제2회	문항 2	미적분ⅡⅠ · 구간별 조각함수의 주기성과 연속 조건	구간별 조각함수의 주기성과 연속 조건	20점	중상
제2회	문항 3	대수·미적분ⅡⅠ · 대칭 직사각형 넓이 함수의 정적분	대칭 직사각형 넓이 함수의 정적분	20점	중상
제2회	문항 4	대수 · 세포 분열 주기와 지수 증식 모델링	세포 분열 주기와 지수 증식 모델링	20점	중상
제2회	문항 5	미적분ⅡⅠ · 속도 정적분 변위와 가속도 그래프 정성	속도 정적분 변위와 가속도 그래프 정성 분석	20점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 연세대학교(미래) 수리논술 제2회 출제 원칙 및 합격 전략

절댓값 도함수 정의 오류 교정, 등차수열 부분합 최대·최소, 주기 연속함수 결정, 삼각함수 내접 사각형 넓이와 실생활 수열 모델링을 점검합니다.

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분ⅡⅠ · 이차곡선 적분 넓이와 다항방정식 — 이차곡선 적분 넓이와 다항방정식 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

양의 실수 $k$에 대하여 두 이차함수
\[ f_1(x) = k(x-1)(3-x), \quad f_2(x) = x(k^2 - x) \]
를 정의한다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 $f_1(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_1$을 계산하고, 뒷면이 나오면 $f_2(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_2$를 계산한다.

[문제 1-1] $S_1$과 $S_2$를 각각 $k$에 대한 식으로 나타내시오. (10점)

[문제 1-2] 동전 던지기의 결과와 관계없이 $S_1$과 $S_2$의 값이 같기 위한 양의 실수 $k$의 값을 구하고 이때의 넓이를 구하여라. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분ⅡⅠ·대수 · 멱함수 여영역과 조화수열 정수쌍 — 멱함수 여영역과 조화수열 정수쌍 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

자연수 $n \ge 1$에 대하여 곡선 $y = 1 - x^n \; (0 \le x \le 1)$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $D_n$이라 하자. 영역의 여분 넓이를 $E_n = 1 - D_n$이라고 정의한다.

[문제 2-1] $E_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내시오. (8점)

[문제 2-2] 8보다 같거나 작은 세 자연수 $a \lt b \lt c$에 대하여, 세 수 $E_a, E_b, E_c$가 순서대로 등차수열을 이루도록 하는 모든 순서쌍 $(a, b, c)$를 구하시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수 · 밑이 다른 로그방정식과 두 근의 곱 — 밑이 다른 로그방정식과 두 근의 곱 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.13 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

방정식
\[ \left( \log_2 x \right) \left( \log_4 8x \right) = 5 \]
의 두 근을 $\alpha, \beta$라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문제 3-1] 두 근의 곱 $\alpha\beta$의 값을 구하시오. (12점)

[문제 3-2] 두 근의 합 $\alpha + \beta$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분ⅡⅠ · 구간 극값과 다단계 최솟값 함수 — 구간 극값과 다단계 최솟값 함수 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

$a \lt 1$인 실수 $a$에 대하여 닫힌구간 $[a, 1]$에서 함수
\[ f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \]
의 최솟값을 $m(a)$라 할 때 다음 물음에 답하시오.

[문제 4-1] 함수 $m(a)$를 구하시오. (12점)

[문제 4-2] $m(0) + m(-1) + m(-2) + m(-3)$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분ⅡⅠ · 절댓값 함수의 미분계수 증명과 직관 오류 — 절댓값 함수의 미분계수 증명과 직관 오류 반박 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

[제시문]

다음은 [미적분ⅡⅠ: 절댓값 함수의 미분계수 증명과 직관 오류 반박] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

한 학생이 다음과 같이 주장하였다.
"함수 $f(x) = |x|$가 $x=0$에서 첨점(뾰족점)을 가져 미분불가능하므로, 절댓값 기호를 포함하는 모든 함수는 절댓값 안이 $0$이 되는 점에서 항상 미분가능하지 않다."

함수 $g(x) = x|x|$에 대하여 도함수의 정의를 이용하여 $g'(0)$의 값을 구하고, 위 학생의 주장이 왜 틀렸는지 수학적으로 반박하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제3회	문항 1	미적분ⅡⅠ · 이차곡선 적분 넓이와 다항방정식	이차곡선 적분 넓이와 다항방정식	20점	중상
제3회	문항 2	미적분ⅡⅠ·대수 · 멱함수 여영역과 조화수열 정수쌍	멱함수 여영역과 조화수열 정수쌍	20점	중상
제3회	문항 3	대수 · 밑이 다른 로그방정식과 두 근의 곱	밑이 다른 로그방정식과 두 근의 곱	20점	중상
제3회	문항 4	미적분ⅡⅠ · 구간 극값과 다단계 최솟값 함수	구간 극값과 다단계 최솟값 함수	20점	중상
제3회	문항 5	미적분ⅡⅠ · 절댓값 함수의 미분계수 증명과 직관 오류	절댓값 함수의 미분계수 증명과 직관 오류 반박	20점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 연세대학교(미래) 수리논술 제3회 출제 원칙 및 합격 전략

지수·로그 교점 관계식, 삼차함수 접선 개수, 정적분으로 정의된 함수의 극값, 수열 귀납 추론과 조건부확률을 고르게 다룹니다.

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 · 공차가 음수인 등차수열과 대칭합 — 공차가 음수인 등차수열과 대칭합 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

공차가 음수인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라고 하자.
\[ S_6 = 72, \quad S_{12} = 72 \]
일 때 다음 물음에 답하시오.

[문제 1-1] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항 $a_1$과 공차 $d$를 구하시오. (10점)

[문제 1-2] 제15항 $a_{15}$의 값을 구하고, $a_n \lt 0$을 만족하는 최소의 자연수 $n$을 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분ⅡⅠ · 구간 조각함수의 주기성과 미분가능성 — 구간 조각함수의 주기성과 미분가능성 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.21 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[0, 4]$에서
\[ f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x & (0 \le x \le 2) \\ a(x-2)^2 + b & (2 \lt x \le 4) \end{cases} \]
로 정의된다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = f(x-4)$를 만족시키는 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때 다음 물음에 답하시오. (단, $a, b$는 상수)

[문제 2-1] $f(x)$가 실수 전체에서 연속이 되기 위한 $a, b$ 사이의 관계식을 구하고, $f(x)$가 실수 전체에서 미분가능하도록 하는 상수 $a, b$의 값을 구하시오. (12점)

[문제 2-2] 위에서 구한 $a, b$에 대하여 $f(2027)$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분ⅡⅠ · 무리함수 대칭 직사각형 넓이의 정적분 — 무리함수 대칭 직사각형 넓이의 정적분 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

다음은 [미적분ⅡⅠ: 무리함수 대칭 직사각형 넓이의 정적분] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

실수 $x \in [-2, 2]$에 대하여 점 $\text{A}$를 $\text{A}(x, 0)$이라 하자. 점 $\text{A}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 반원 곡선 $y = \sqrt{4-x^2}$과 만나는 점을 $\text{D}$라 하자. 또 점 $\text{A}$와 $\text{D}$를 각각 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\text{B}, \text{C}$라 할 때 사각형 $\text{ABCD}$는 직사각형이 된다. 이 직사각형 $\text{ABCD}$의 넓이를 $S(x)$라 할 때, 다음 정적분의 값을 구하시오.
\[ \int_{-2}^{2} S(x) \, dx \]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 대수 · 항생제 사멸률이 결합된 세포 증식 모델 — 항생제 사멸률이 결합된 세포 증식 모델 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

다음은 [대수: 항생제 사멸률이 결합된 세포 증식 모델] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

미래의과학연구소에서 감염성 박테리아 퇴치를 위한 배양 실험을 진행하고 있다.
초기에 A 박테리아와 B 박테리아가 각각 $90\%$와 $10\%$씩 섞여 있는 총 $1{,}000{,}000$개의 균주가 있다.
- A 박테리아는 24시간마다 1회 분열하여 2배가 된다.
- B 박테리아는 12시간마다 1회 분열하여 2배가 되지만, 배양액 내 항생제 성분으로 인해 매 분열 직후 개체의 $25\%$가 사멸한다. (즉, 분열 주기마다 생존하여 남는 개체 수는 분열 직전의 $2 \times 0.75 = 1.5$배가 된다.)

두 박테리아의 비율이 역전되어 A 박테리아가 $10\%$, B 박테리아가 $90\%$가 되는 시점은 몇 시간 후인지 구하시오. (단, $\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771$로 계산하며, 시간은 소수점 첫째 자리에서 반올림하여 정수로 답하시오.)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분ⅡⅠ · 3차 속도곡선의 변위와 최대 가속도 분석 — 3차 속도곡선의 변위와 최대 가속도 분석 배점 20점 · 난이도 중상

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.24 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

차세대 고속 자기부상열차가 출발역을 떠나 다음 정차역까지 주행할 때, 속도가 다음과 같은 3차 함수 모델로 측정되었다.
\[ v(t) = -t^3 + 6t^2 \quad (0 \le t \le 6) \]
여기서 $t$는 주행 시간(분), $v(t)$는 열차의 속도($\text{km/min}$)이다.

[문제 5-1] 출발 후 $t=0$분부터 $t=6$분까지 열차가 이동한 총 변위(주행 거리)를 정적분을 이용하여 구하시오. (6점)

[문제 5-2] 함수 $v(t)$의 그래프를 바탕으로 다음을 설명하시오.
1) 열차의 속도가 최대가 되는 시각과 그때의 최대 속도를 구하시오. (4점)
2) 가속도 $a(t) = v'(t)$를 구하고, 열차의 가속도가 최대가 되는 시각(변곡점)을 찾고 이때의 물리적 의미를 서술하시오. (6점)
3) $0 \le t \le 6$ 구간에서 속도 곡선의 오목과 볼록 상태가 어떻게 바뀌는지 이계도함수를 이용하여 설명하시오. (4점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제4회	문항 1	대수 · 공차가 음수인 등차수열과 대칭합	공차가 음수인 등차수열과 대칭합	20점	중상
제4회	문항 2	미적분ⅡⅠ · 구간 조각함수의 주기성과 미분가능성	구간 조각함수의 주기성과 미분가능성	20점	중상
제4회	문항 3	미적분ⅡⅠ · 무리함수 대칭 직사각형 넓이의 정적분	무리함수 대칭 직사각형 넓이의 정적분	20점	중상
제4회	문항 4	대수 · 항생제 사멸률이 결합된 세포 증식 모델	항생제 사멸률이 결합된 세포 증식 모델	20점	중상
제4회	문항 5	미적분ⅡⅠ · 3차 속도곡선의 변위와 최대 가속도 분석	3차 속도곡선의 변위와 최대 가속도 분석	20점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 연세대학교(미래) 수리논술 제4회 출제 원칙 및 합격 전략

매개변수 미분법, 부분적분 넓이, 삼각방정식 실근의 합, 이항분포 기댓값과 연속확률변수 확률밀도함수를 결합한 중상 난도 회차입니다.

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분ⅡⅠ · 삼차곡선·이차곡선 정적분 넓이와 매개변수 — 삼차곡선·이차곡선 정적분 넓이와 매개변수 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

양의 실수 $k$에 대하여 두 함수
\[ f_1(x) = 2kx(2-x), \quad f_2(x) = x^2(3k - x) \]
를 정의한다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 $f_1(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_1$을 계산하고, 뒷면이 나오면 $f_2(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_2$를 계산한다.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분ⅡⅠ·대수 · 멱함수 정적분과 조화수열 부정방정식 — 멱함수 정적분과 조화수열 부정방정식 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

자연수 $n \ge 1$에 대하여 곡선 $y = 1 - x^{n+1} \; (0 \le x \le 1)$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $D_n$이라 하자.

[문제 2-1] 영역 $D_n$의 넓이를 $n$에 대한 식으로 나타내시오. (8점)

[문제 2-2] 8보다 같거나 작은 세 자연수 $a \lt b \lt c$에 대하여, $D_a$와 $D_b$로 둘러싸인 영역의 넓이와 $D_b$와 $D_c$로 둘러싸인 영역의 넓이가 서로 같도록 하는 모든 순서쌍 $(a, b, c)$를 구하시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수 · 로그방정식과 대칭식의 값 계산 — 로그방정식과 대칭식의 값 계산 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.23 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

방정식
\[ \left( \log_2 \frac{x}{4} \right) \left( \log_2 2x \right) = 14 \]
의 두 근을 $\alpha, \beta$라고 할 때 다음 물음에 답하시오.

[문제 3-1] 두 근의 곱 $\alpha\beta$의 값을 구하시오. (10점)

[문제 3-2] $\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha$의 값을 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분ⅡⅠ · 이동 구간에서의 최댓값 함수 — 이동 구간에서의 최댓값 함수 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.28 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

실수 $a$에 대하여 닫힌구간 $[a, a+2]$에서 함수
\[ f(x) = x^3 - 3x \]
의 최댓값을 $M(a)$라 할 때 다음 물음에 답하시오.

[문제 4-1] 함수 $M(a)$를 $a$의 구간별로 구하시오. (12점)

[문제 4-2] $M(-2) + M(-1) + M(0) + M(1)$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분ⅡⅠ · 구간 조각함수의 도함수 정의와 연속성 — 구간 조각함수의 도함수 정의와 연속성 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.24 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문]

함수 $f(x)$가 다음과 같이 정의된다.
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \ge 0) \\ -x^2 & (x \lt 0) \end{cases} \]

[문제 5-1] 도함수의 정의를 이용하여 $f'(0)$의 값을 구하시오. (10점)

[문제 5-2] 모든 실수 $x$에 대하여 도함수 $f'(x)$를 구하고, 도함수 $f'(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속임을 증명하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제5회	문항 1	미적분ⅡⅠ · 삼차곡선·이차곡선 정적분 넓이와 매개변수	삼차곡선·이차곡선 정적분 넓이와 매개변수	20점	상
제5회	문항 2	미적분ⅡⅠ·대수 · 멱함수 정적분과 조화수열 부정방정식	멱함수 정적분과 조화수열 부정방정식	20점	상
제5회	문항 3	대수 · 로그방정식과 대칭식의 값 계산	로그방정식과 대칭식의 값 계산	20점	상
제5회	문항 4	미적분ⅡⅠ · 이동 구간에서의 최댓값 함수	이동 구간에서의 최댓값 함수	20점	상
제5회	문항 5	미적분ⅡⅠ · 구간 조각함수의 도함수 정의와 연속성	구간 조각함수의 도함수 정의와 연속성	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 연세대학교(미래) 수리논술 제5회 출제 원칙 및 합격 전략

무리·초월함수의 접선과 넓이, 사잇값·평균값 정리 논증, 등비급수 도형·실생활 수렴 모델을 집중 훈련하는 반환점 회차입니다.

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 · 등차수열 절댓값 부분합과 최대합 — 등차수열 절댓값 부분합과 최대합 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

첫째항이 양수이고 공차가 음수인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라고 하자.
\[ |S_3| = |S_7| = 21 \]
일 때 다음 물음에 답하시오.

[문제 1-1] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항 $a_1$과 공차 $d$를 구하시오. (10점)

[문제 1-2] $S_n$이 최댓값을 갖도록 하는 자연수 $n$의 값과 그때의 최댓값을 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분ⅡⅠ · 주기 조각함수의 미분가능성과 미정계수 — 주기 조각함수의 미분가능성과 미정계수 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.31 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[-2, 2]$에서
\[ f(x) = \begin{cases} x^3 + ax & (-2 \le x \le 0) \\ bx^2 + c & (0 \lt x \le 2) \end{cases} \]
로 정의된다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = f(x-4)$를 만족시키는 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때 다음 물음에 답하시오. (단, $a, b, c$는 상수)

[문제 2-1] 상수 $a, b, c$의 값을 구하시오. (12점)

[문제 2-2] $f(2027)$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분ⅡⅠ · 4차 대칭 곡선과 직사각형 넓이의 정적분 — 4차 대칭 곡선과 직사각형 넓이의 정적분 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.19 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

다음은 [미적분ⅡⅠ: 4차 대칭 곡선과 직사각형 넓이의 정적분] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

실수 $x \in [-1, 1]$에 대하여 점 $\text{A}$를 $\text{A}(x, 0)$이라 하자. 점 $\text{A}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y = 1 - x^4$과 만나는 점을 $\text{D}$라 하자. 또 점 $\text{A}$와 $\text{D}$를 각각 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\text{B}, \text{C}$라 할 때 사각형 $\text{ABCD}$는 직사각형이 된다. 이 직사각형 $\text{ABCD}$의 넓이를 $S(x)$라 할 때, 다음 정적분의 값을 구하시오.
\[ \int_{-1}^{1} S(x) \, dx \]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 대수 · 3종 미생물의 다원 지수 증식 경쟁 모델 — 3종 미생물의 다원 지수 증식 경쟁 모델 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

다음은 [대수: 3종 미생물의 다원 지수 증식 경쟁 모델] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

미래합성생물학연구소에서 세 종류의 변이 미생물 A, B, C를 동일한 배양기에서 혼합 배양하고 있다.
- A 균주는 6시간마다 1회 분열하여 2배가 된다.
- B 균주는 4시간마다 1회 분열하여 2배가 된다.
- C 균주는 2시간마다 1회 분열하여 2배가 된다.

배양 초기($t=0$)에 세 균주의 개체수 비는 다음과 같다.
\[ A : B : C = 8 : 4 : 1 \]
시간이 흐름에 따라 가장 빠르게 증식하는 C 균주의 개체수가 전체 배양기 내 총 미생물 수의 $50\%$를 처음으로 초과하게 되는 시점은 배양을 시작한 지 몇 시간 후인지 구하시오. (단, 배양 시간 $t$는 정수 시간 단위로 측정한다.)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분ⅡⅠ · 방향 전환 속도 모델과 변위 vs 이동거 — 방향 전환 속도 모델과 변위 vs 이동거리 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.34 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

자율주행 셔틀버스가 직선 시험 도로를 운행할 때의 속도 함수가 다음과 같이 측정되었다.
\[ v(t) = 3t^2 - 12t + 9 \quad (0 \le t \le 4) \]
여기서 $t$는 시간(초), $v(t)$는 셔틀버스의 속도($\text{m/s}$)이다.

[문제 5-1] $t=0$부터 $t=4$까지 셔틀버스의 위치의 변화량(변위)과 실제로 이동한 거리(총 이동거리)를 각각 정적분을 이용하여 구하시오. (8점)

[문제 5-2] 함수 $v(t)$의 그래프를 바탕으로 다음을 설명하시오.
1) 셔틀버스의 운동 방향이 바뀌는 시각을 모두 구하고, 그때의 가속도를 구하시오. (6점)
2) 구간 $[0, 4]$에서 셔틀버스의 속도가 최소가 되는 시각과 그때의 가속도의 물리적 의미를 서술하시오. (6점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제6회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제6회	문항 1	대수 · 등차수열 절댓값 부분합과 최대합	등차수열 절댓값 부분합과 최대합	20점	상
제6회	문항 2	미적분ⅡⅠ · 주기 조각함수의 미분가능성과 미정계수	주기 조각함수의 미분가능성과 미정계수	20점	상
제6회	문항 3	미적분ⅡⅠ · 4차 대칭 곡선과 직사각형 넓이의 정적분	4차 대칭 곡선과 직사각형 넓이의 정적분	20점	상
제6회	문항 4	대수 · 3종 미생물의 다원 지수 증식 경쟁 모델	3종 미생물의 다원 지수 증식 경쟁 모델	20점	상
제6회	문항 5	미적분ⅡⅠ · 방향 전환 속도 모델과 변위 vs 이동거	방향 전환 속도 모델과 변위 vs 이동거리	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 연세대학교(미래) 수리논술 제6회 출제 원칙 및 합격 전략

2026 기출 연계 심화 회차로, 구간별 초월함수의 미분가능성과 접선 수열 급수, 구분구적 상·하합 극한 서술의 엄밀성을 검증합니다.

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분ⅡⅠ · 삼차함수 삼중 분할 넓이와 매개변수 — 삼차함수 삼중 분할 넓이와 매개변수 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.22 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

양의 실수 $k$에 대하여 두 함수
\[ f_1(x) = kx(4-x), \quad f_2(x) = x(x-k)(x-3k) \]
를 정의한다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 $f_1(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_1$을 계산하고, 뒷면이 나오면 $f_2(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이의 합 $S_2$를 계산한다.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분ⅡⅠ·대수 · 멱함수 정적분과 조화수열 심화 — 멱함수 정적분과 조화수열 심화 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.11 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

자연수 $n \ge 1$에 대하여 곡선 $y = 1 - x^n \; (0 \le x \le 1)$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $D_n$이라 하자.

[문제 2-1] $D_n$을 구하고, 연속한 두 넓이의 차 $\Delta_n = D_{n+1} - D_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내시오. (8점)

[문제 2-2] 12보다 같거나 작은 세 자연수 $a \lt b \lt c$에 대하여, 세 수 $\frac{1}{1-D_a}, \frac{1}{1-D_b}, \frac{1}{1-D_c}$가 순서대로 등차수열을 이룰 때, 가능한 모든 순서쌍 $(a, b, c)$의 개수를 구하고 그 순서쌍들을 모두 구하시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수 · 삼차 로그방정식과 세 근의 곱 — 삼차 로그방정식과 세 근의 곱 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

방정식
\[ \left( \log_3 x \right)^3 - 4\left( \log_3 x \right)^2 - 11\log_3 x + 30 = 0 \]
의 세 실근을 $\alpha, \beta, \gamma$라고 할 때 다음 물음에 답하시오.

[문제 3-1] 세 실근의 곱 $\alpha\beta\gamma$의 값을 구하시오. (10점)

[문제 3-2] $\frac{1}{\log_\alpha 3} + \frac{1}{\log_\beta 3} + \frac{1}{\log_\gamma 3}$의 값을 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분ⅡⅠ · 사차함수 구간 최솟값 다중 분기 — 사차함수 구간 최솟값 다중 분기 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.38 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

$a \lt 1$인 실수 $a$에 대하여 닫힌구간 $[a, 1]$에서 함수
\[ f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 \]
의 최솟값을 $m(a)$라 할 때 다음 물음에 답하시오.

[문제 4-1] 함수 $m(a)$를 $a$의 구간별로 구하시오. (12점)

[문제 4-2] $m(0) + m(-1) + m(-2) + m(-3)$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분ⅡⅠ · 수직 접선과 미분가능성 극한 논증 — 수직 접선과 미분가능성 극한 논증 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.39 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

함수 $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문제 5-1] 도함수의 정의를 이용하여 $x=0$에서의 평균변화율의 극한 $\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$를 구하고, 함수 $f(x)$가 $x=0$에서 미분가능한지 판정하시오. (10점)

[문제 5-2] "곡선 $y = \sqrt[3]{x}$의 그래프는 $x=0$에서 끊어지지 않고 매끄럽게 연결되며 접선 $x=0$($y$축)을 가지므로 $x=0$에서 미분가능하다"는 주장의 수학적 오류를 설명하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제7회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제7회	문항 1	미적분ⅡⅠ · 삼차함수 삼중 분할 넓이와 매개변수	삼차함수 삼중 분할 넓이와 매개변수	20점	상
제7회	문항 2	미적분ⅡⅠ·대수 · 멱함수 정적분과 조화수열 심화	멱함수 정적분과 조화수열 심화	20점	상
제7회	문항 3	대수 · 삼차 로그방정식과 세 근의 곱	삼차 로그방정식과 세 근의 곱	20점	상
제7회	문항 4	미적분ⅡⅠ · 사차함수 구간 최솟값 다중 분기	사차함수 구간 최솟값 다중 분기	20점	상
제7회	문항 5	미적분ⅡⅠ · 수직 접선과 미분가능성 극한 논증	수직 접선과 미분가능성 극한 논증	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 연세대학교(미래) 수리논술 제7회 출제 원칙 및 합격 전략

경계점 연속·미분가능 연립방정식, 정적분 절댓값 구간 분할, 도함수 정의 증명과 베이즈 사후확률 계산의 정확도를 높이는 회차입니다.

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 · 두 등차수열 합의 비와 일반항의 비 — 두 등차수열 합의 비와 일반항의 비 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

다음은 [대수: 두 등차수열 합의 비와 일반항의 비] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

두 등차수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 각각 $S_n$과 $T_n$이라 하자. 모든 자연수 $n$에 대하여
\[ \frac{S_n}{T_n} = \frac{7n + 1}{4n + 27} \]
이 성립할 때, 제11항의 비
\[ \frac{a_{11}}{b_{11}} \]
의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분ⅡⅠ · 절댓값 조각함수의 주기성과 정적분 — 절댓값 조각함수의 주기성과 정적분 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[0, 3]$에서
\[ f(x) = |x(x-2)| + ax + b \]
로 정의된다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = f(x-3)$을 만족시키는 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이고, $f(0) = 2$일 때 다음 물음에 답하시오. (단, $a, b$는 상수)

[문제 2-1] 상수 $a, b$의 값을 구하시오. (10점)

[문제 2-2] 다음 정적분의 값을 구하시오. (10점)
\[ \int_0^9 f(x) \, dx \]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분ⅡⅠ · 3차 곡선 위의 점과 대칭 직사각형 정적 — 3차 곡선 위의 점과 대칭 직사각형 정적분 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.29 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

다음은 [미적분ⅡⅠ: 3차 곡선 위의 점과 대칭 직사각형 정적분] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

실수 $x \in [-2, 2]$에 대하여 점 $\text{A}$를 $\text{A}(x, 0)$이라 하자. 점 $\text{A}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y = |4x - x^3|$과 만나는 점을 $\text{D}$라 하자. 또 점 $\text{A}$와 $\text{D}$를 각각 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\text{B}, \text{C}$라 할 때 사각형 $\text{ABCD}$는 직사각형이 된다. 이 직사각형 $\text{ABCD}$의 넓이를 $S(x)$라 할 때, 다음 정적분의 값을 구하시오.
\[ \int_{-2}^{2} S(x) \, dx \]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 대수 · 방사성 반감기-세균 증식 복합 지수 모델 — 방사성 반감기-세균 증식 복합 지수 모델링 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

다음은 [대수: 방사성 반감기-세균 증식 복합 지수 모델링] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

미래원자력바이오연구소에서 방사성 오염수를 정화하기 위해 내방사성 변이 세균을 투입하였다.
- 오염수 내의 방사성 물질은 6일의 반감기를 가지고 자연 붕괴한다. 즉, 6일마다 총 방사능 수치는 정확히 절반($\frac{1}{2}$)으로 감소한다.
- 투입된 내방사성 세균은 2일마다 1회 분열하여 개체수가 2배로 증가한다.

실험 초기($t=0$)의 총 방사능 수치를 $R_0$, 세균 수를 $B_0$라 할 때, 세균 1마리당 방사능 부하량을 다음과 같이 정의한다.
\[ L(t) = \frac{R(t)}{B(t)} \]
초기 부하량 $L(0) = \frac{R_0}{B_0}$에 대하여, $t$일 후의 부하량 $L(t)$가 초기 부하량의 $\frac{1}{1024}$ 이하가 되는 최소의 일수 $t$를 구하시오. (단, $t$는 자연수이다.)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분ⅡⅠ · 3차 속도곡선의 비대칭 주행과 저크(Je — 3차 속도곡선의 비대칭 주행과 저크(Jerk) 분석 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.44 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

차세대 초고속 하이퍼루프 캡슐의 시험 주행 시 속도가 다음과 같은 3차 함수로 제어되었다.
\[ v(t) = t^2(6-t) = -t^3 + 6t^2 \quad (0 \le t \le 6) \]
여기서 $t$는 주행 시간(초), $v(t)$는 캡슐의 속도($\text{m/s}$)이다.

[문제 5-1] $t=0$부터 $t=6$까지 캡슐이 이동한 변위를 정적분을 이용하여 구하시오. (6점)

[문제 5-2] 함수 $v(t)$의 그래프를 바탕으로 다음을 설명하시오.
1) 캡슐의 속도가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 도함수를 이용하여 구하고, 최대 속도를 구하시오. (4점)
2) 가속도 $a(t) = v'(t)$와 가속도의 변화율(저크, Jerk) $j(t) = a'(t)$를 구하고, 가속도가 최대가 되는 순간의 시각과 그때의 저크의 값을 구하시오. (6점)
3) 승객이 느끼는 승차감의 급격한 변화를 방지하기 위해 속도 곡선의 변곡점이 왜 중요한지 정성적으로 서술하시오. (4점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제8회	문항 1	대수 · 두 등차수열 합의 비와 일반항의 비	두 등차수열 합의 비와 일반항의 비	20점	최상
제8회	문항 2	미적분ⅡⅠ · 절댓값 조각함수의 주기성과 정적분	절댓값 조각함수의 주기성과 정적분	20점	최상
제8회	문항 3	미적분ⅡⅠ · 3차 곡선 위의 점과 대칭 직사각형 정적	3차 곡선 위의 점과 대칭 직사각형 정적분	20점	최상
제8회	문항 4	대수 · 방사성 반감기-세균 증식 복합 지수 모델	방사성 반감기-세균 증식 복합 지수 모델링	20점	최상
제8회	문항 5	미적분ⅡⅠ · 3차 속도곡선의 비대칭 주행과 저크(Je	3차 속도곡선의 비대칭 주행과 저크(Jerk) 분석	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 연세대학교(미래) 수리논술 제8회 출제 원칙 및 합격 전략

합성 다항·초월함수의 치환 극값, 절댓값 접힘 극점 개수 분석, 매개변수 동점 거리 최적화를 다루는 상위권 변별 회차입니다.

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분ⅡⅠ · 사차곡선과 이차곡선 적분 넓이 및 매개변 — 사차곡선과 이차곡선 적분 넓이 및 매개변수 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.32 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

양의 실수 $k$에 대하여 두 함수
\[ f_1(x) = kx(3-x), \quad f_2(x) = x(k-x)^3 \]
를 정의한다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 $f_1(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_1$을 계산하고, 뒷면이 나오면 $f_2(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S_2$를 계산한다.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분ⅡⅠ·대수 · 역함수 대칭 영역 넓이와 조화수열 — 역함수 대칭 영역 넓이와 조화수열 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

자연수 $n \ge 1$에 대하여 곡선 $y = 1 - x^n \; (0 \le x \le 1)$과 그 역함수 $y = g(x)$로 둘러싸인 영역의 넓이를 $D_n$이라 하자.

[문제 2-1] 영역 $D_n$의 넓이를 $n$에 대한 식으로 나타내시오. (8점)

[문제 2-2] 15보다 같거나 작은 세 자연수 $a \lt b \lt c$에 대하여, 세 수 $1 - D_a, 1 - D_b, 1 - D_c$가 순서대로 등비수열 또는 조화수열을 이루도록 하는 관계식을 세우고, 조화수열을 이루는 모든 순서쌍 $(a, b, c)$를 구하시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수 · 매개변수 로그방정식과 두 실근의 비 — 매개변수 로그방정식과 두 실근의 비 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

실수 $m$에 대하여 $x$에 대한 방정식
\[ \left( \log_2 x \right)^2 - (m+2)\log_2 x + 2m = 0 \]
의 두 실근을 $\alpha, \beta$라고 하자.

[문제 3-1] 두 근의 곱 $\alpha\beta$를 $m$에 대한 식으로 나타내시오. (8점)

[문제 3-2] 두 실근의 비가 $\frac{\beta}{\alpha} = 8$ 또는 $\frac{\alpha}{\beta} = 8$이 되도록 하는 모든 실수 $m$의 값을 구하고, 이때 두 근의 곱 $\alpha\beta$의 최댓값을 구하시오. (12점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분ⅡⅠ · 매개변수 삼차함수의 구간 최솟값 정적분 — 매개변수 삼차함수의 구간 최솟값 정적분 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.35 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

양의 상수 $k$에 대하여 함수 $f(x) = x^3 - 3k^2 x$가 있다. $a \lt k$인 실수 $a$에 대하여 닫힌구간 $[a, k]$에서 함수 $f(x)$의 최솟값을 $m(a)$라 하자.

[문제 4-1] 함수 $m(a)$를 $a$의 구간별로 구하시오. (12점)

[문제 4-2] $k = 1$일 때, 다음 정적분의 값을 구하시오. (8점)
\[ \int_{-2}^0 m(a) \, da \]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분ⅡⅠ · 샌드위치 정리 미분계수 증명과 극한 비존 — 샌드위치 정리 미분계수 증명과 극한 비존재 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

[제시문]

함수 $f(x)$가 다음과 같이 정의된다.
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & (x \ne 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases} \]

[문제 5-1] 미분계수의 정의와 함수의 극한의 대소 관계(조임정리, 샌드위치 정리)를 이용하여 $f'(0) = 0$임을 증명하시오. (10점)

[문제 5-2] $x \ne 0$일 때 도함수 $f'(x)$를 구하고, $\lim_{x \to 0} f'(x)$가 존재하지 않음을 보임으로써 "도함수의 극한 $\lim_{x \to 0} f'(x)$가 존재하지 않으면 $x=0$에서의 미분계수 $f'(0)$도 존재하지 않는다"는 명제의 반례가 됨을 논증하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제9회	문항 1	미적분ⅡⅠ · 사차곡선과 이차곡선 적분 넓이 및 매개변	사차곡선과 이차곡선 적분 넓이 및 매개변수	20점	최상
제9회	문항 2	미적분ⅡⅠ·대수 · 역함수 대칭 영역 넓이와 조화수열	역함수 대칭 영역 넓이와 조화수열	20점	최상
제9회	문항 3	대수 · 매개변수 로그방정식과 두 실근의 비	매개변수 로그방정식과 두 실근의 비	20점	최상
제9회	문항 4	미적분ⅡⅠ · 매개변수 삼차함수의 구간 최솟값 정적분	매개변수 삼차함수의 구간 최솟값 정적분	20점	최상
제9회	문항 5	미적분ⅡⅠ · 샌드위치 정리 미분계수 증명과 극한 비존	샌드위치 정리 미분계수 증명과 극한 비존재	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 연세대학교(미래) 수리논술 제9회 출제 원칙 및 합격 전략

조임 정리 부등식 구성, 역함수 정적분 대칭성, 지수·로그 접선 열의 등비급수 합과 정수 격자 조건을 통합 점검합니다.

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 · 등차수열의 최대합과 절댓값 30개 항의 — 등차수열의 최대합과 절댓값 30개 항의 합 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

첫째항이 자연수인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_n$이 $n = 15$에서 유일한 최댓값 $225$를 가질 때, 다음 물음에 답하시오.

[문제 1-1] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항 $a_1$과 공차 $d$를 구하시오. (10점)

[문제 1-2] $\sum_{k=1}^{30} |a_k|$의 값을 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분ⅡⅠ · 주기함수의 연속성과 복합 삼각 다항식 적 — 주기함수의 연속성과 복합 삼각 다항식 적분 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문]

실수 전체에서 정의된 연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+2) = f(x)$를 만족시키고, 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 다음과 같이 정의된다.
\[ f(x) = a|x| + b\cos(\pi x) + c \]
$f(0) = 3$이고 $f(1) = 1$일 때 다음 물음에 답하시오. (단, $a, b, c$는 상수)

[문제 2-1] 상수 $b, c$의 값을 구하고, $f(x)$가 실수 전체에서 연속이 되기 위한 $a$의 조건을 설명하시오. (10점)

[문제 2-2] $a = 2$일 때, 다음 정적분의 값을 구하시오. (10점)
\[ \int_0^6 f(x) \, dx \]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수·미적분ⅡⅠ · 삼각 절댓값 곡선과 직사각형 정적분 — 삼각 절댓값 곡선과 직사각형 정적분 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

다음은 [대수·미적분ⅡⅠ: 삼각 절댓값 곡선과 직사각형 정적분] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

실수 $x \in [-\pi/2, \pi/2]$에 대하여 점 $\text{A}$를 $\text{A}(x, 0)$이라 하자. 점 $\text{A}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y = |\sin 2x|$와 만나는 점을 $\text{D}$라 하자. 또 점 $\text{A}$와 $\text{D}$를 각각 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\text{B}, \text{C}$라 할 때 사각형 $\text{ABCD}$는 직사각형이 된다. 이 직사각형 $\text{ABCD}$의 넓이를 $S(x)$라 할 때, 다음 정적분의 값을 구하시오.
\[ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} S(x) \, dx \]

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 대수 · 환경수용력 포화 한계 지수 증식 모델링 — 환경수용력 포화 한계 지수 증식 모델링 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.22 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

다음은 [대수: 환경수용력 포화 한계 지수 증식 모델링] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

미래해양바이오연구소에서 미세조류를 바이오 연료로 전환하기 위해 대형 배양조에서 세포를 배양하고 있다.
배양조의 최대 환경 수용 한계는 $10^8$개($1$억 개)이다.
- 초기($t=0$)에 우수한 지질 생산 능력을 가진 A조류와 성장 속도가 빠른 B조류가 각각 $90\%$와 $10\%$씩 섞여 있는 총 $10^5$개($100{,}000$개)의 종균을 접종하였다.
- A조류는 2일마다 1회 분열하여 2배가 된다.
- B조류는 1일마다 1회 분열하여 2배가 된다.

연구팀은 배양조 내 총 세포 수가 환경 수용 한계($10^8$개)에 도달하기 전에 배양을 종료하고 세포를 수확해야 한다.
총 세포 수가 처음으로 $10^8$개를 초과하지 않는 최대의 정수 일수 $N$을 구하고, 그 시점에서의 B조류의 점유 비율($\%$)을 구하시오. (단, $\log_{10} 2 = 0.3010$으로 계산한다.)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/5

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분ⅡⅠ · 2단계 우주 발사체 다단 속도-고도 정적 — 2단계 우주 발사체 다단 속도-고도 정적분 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.41 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

달 탐사용 2단계 우주 발사체의 수직 발사 시험에서 시간에 따른 속도가 다음과 같은 조각별 연속함수로 모델링되었다.
\[ v(t) = \begin{cases} 4t & (0 \le t \le 10) \\ -2(t-10)^2 + 40 & (10 \lt t \le 15) \\ -10t + 140 & (15 \lt t \le 20) \end{cases} \]
여기서 $t$는 발사 후 경과 시간(초), $v(t)$는 로켓의 수직 상승 속도($\text{m/s}$)이다.

[문제 5-1] 로켓이 최고 고도에 도달하는 시각 $t$를 구하고, 발사 후 최고 고도까지 도달했을 때의 고도($\text{m}$)를 정적분을 이용하여 구하시오. (8점)

[문제 5-2] 함수 $v(t)$의 그래프를 바탕으로 다음을 설명하시오.
1) $t=10$초와 $t=15$초에서 속도 함수 $v(t)$의 연속성과 미분가능성을 판정하시오. (6점)
2) 가속도 $a(t) = v'(t)$의 변화를 구간별로 분석하고, 1단 엔진 정지($t=10$) 및 2단 엔진 연소 종료($t=15$)의 물리적 의미를 서술하시오. (6점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (5문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제10회	문항 1	대수 · 등차수열의 최대합과 절댓값 30개 항의	등차수열의 최대합과 절댓값 30개 항의 합	20점	최상
제10회	문항 2	미적분ⅡⅠ · 주기함수의 연속성과 복합 삼각 다항식 적	주기함수의 연속성과 복합 삼각 다항식 적분	20점	최상
제10회	문항 3	대수·미적분ⅡⅠ · 삼각 절댓값 곡선과 직사각형 정적분	삼각 절댓값 곡선과 직사각형 정적분	20점	최상
제10회	문항 4	대수 · 환경수용력 포화 한계 지수 증식 모델링	환경수용력 포화 한계 지수 증식 모델링	20점	최상
제10회	문항 5	미적분ⅡⅠ · 2단계 우주 발사체 다단 속도-고도 정적	2단계 우주 발사체 다단 속도-고도 정적분	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 연세대학교(미래) 수리논술 제10회 출제 원칙 및 합격 전략

파이널 최고난도 종합 회차로, 120분 실전 시간 내에 5문항 소문항 전 영역에서 부분점수 감점 0점을 목표로 완주하는 최종 리허설입니다.

PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS

실전 모의고사 1회 ~ 10회
문제 · 모범답안 · 채점 루브릭 합본 해설집

시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 50문항 전체 원문 요약과 단계별 모범답안·루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.

🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능

⚡ 단계별 채점 기준표 완비: 소문항·단계별 부분점수 배점표를 통해 정밀한 자가 채점 지원

👨‍🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭

【문제 1】 원문 요약 — 정적분과 넓이 및 매개변수 방정식 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.37 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 1 · 총 20점

[문제 1-1 풀이]
1) $f_1(x) = 3kx(1-x) = -3kx^2 + 3kx$는 $x=0, 1$에서 $x$축과 만난다.
$k \gt 0$이므로 $0 \le x \le 1$에서 $f_1(x) \ge 0$이다.
따라서 둘러싸인 부분의 넓이 $S_1$은 다음과 같다.
\[ S_1 = \int_0^1 3kx(1-x) \, dx = 3k \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 3k \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 3k \times \frac{1}{6} = \frac{k}{2} \]

2) $f_2(x) = x(2k-x) = -x^2 + 2kx$는 $x=0, 2k$에서 $x$축과 만난다.
$k \gt 0$이므로 $0 \le x \le 2k$에서 $f_2(x) \ge 0$이다.
따라서 둘러싸인 부분의 넓이 $S_2$는 다음과 같다.
\[ S_2 = \int_0^{2k} (2kx - x^2) \, dx = \left[ kx^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^{2k} = k(2k)^2 - \frac{(2k)^3}{3} = 4k^3 - \frac{8k^3}{3} = \frac{4k^3}{3} \]

[문제 1-2 풀이]
동전 던지기의 결과와 관계없이 두 넓이가 같으려면 $S_1 = S_2$이어야 한다.
\[ \frac{k}{2} = \frac{4k^3}{3} \]
양변에 6을 곱하면 $3k = 8k^3$이고, 이를 정리하면
\[ k(8k^2 - 3) = 0 \]
$k$는 양의 실수이므로 $k \gt 0$이다. 따라서
\[ 8k^2 = 3 \implies k^2 = \frac{3}{8} \implies k = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{6}}{4} \]
이때의 넓이 $S$는
\[ S = S_1 = \frac{k}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{8} \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] $S_1$의 정적분 식 수립 및 정확한 계산 ($S_1 = k/2$)	5점
2단계	[1-1] $S_2$의 정적분 구간 파악 및 계산 ($S_2 = 4k^3/3$)	5점
3단계	[1-2] $S_1 = S_2$ 방정식 수립 및 $k \gt 0$ 조건 적용 ($k = \sqrt{6}/4$)	6점
4단계	[1-2] 이때의 일치하는 넓이값 산출 ($S = \sqrt{6}/8$)	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

이차함수와 $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 정적분을 통해 매개변수 $k$의 식으로 유도하고, 두 넓이가 일치하는 조건을 만족하는 양수 $k$의 값을 다항방정식으로 해결할 수 있는지를 평가한다.

[1-1]$S_1 = \frac{k}{2}, \; S_2 = \frac{4k^3}{3}$
[1-2] $k = \frac{\sqrt{6}}{4}$, 넓이 $S = \frac{\sqrt{6}}{8}$

【문제 2】 원문 요약 — 다항곡선 정적분과 조화수열 정수쌍 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

자연수 $n \ge 1$에 대하여 곡선
\[ y = 2 - 2x^n \quad (0 \le x \le 1) \]
과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $D_n$이라고 하자.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 2 · 총 20점

[문제 2-1 풀이]
$0 \le x \le 1$에서 $2 - 2x^n \ge 0$이므로 영역 $D_n$의 넓이는 다음과 같다.
\[ D_n = \int_0^1 (2 - 2x^n) \, dx = \left[ 2x - \frac{2x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = 2 - \frac{2}{n+1} = \frac{2n}{n+1} \]

[문제 2-2 풀이]
$a \lt b$일 때, $0 \le x \le 1$에서 $x^a \ge x^b$이므로 $2 - 2x^a \le 2 - 2x^b$이다.
따라서 $D_a$와 $D_b$로 둘러싸인 영역의 넓이는 다음과 같다.
\[ \int_0^1 \{(2 - 2x^b) - (2 - 2x^a)\} \, dx = D_b - D_a = \left(2 - \frac{2}{b+1}\right) - \left(2 - \frac{2}{a+1}\right) = \frac{2}{a+1} - \frac{2}{b+1} \]
마찬가지로 $b \lt c$일 때 $D_b$와 $D_c$로 둘러싸인 넓이는 다음과 같다.
\[ D_c - D_b = \frac{2}{b+1} - \frac{2}{c+1} \]
두 영역의 넓이가 서로 같아야 하므로:
\[ \frac{2}{a+1} - \frac{2}{b+1} = \frac{2}{b+1} - \frac{2}{c+1} \iff \frac{1}{a+1} + \frac{1}{c+1} = \frac{2}{b+1} \]
여기서 $A = a+1, B = b+1, C = c+1$이라 치환하면, $1 \le a \lt b \lt c \le 6$이므로
$2 \le A \lt B \lt C \le 7$인 정수 $A, B, C$가 다음 조화수열 관계식을 만족해야 한다.
\[ \frac{1}{A} + \frac{1}{C} = \frac{2}{B} \iff B = \frac{2AC}{A+C} \]
$A \lt B \lt C$에서 가능한 $A, C$ 조합을 전수 조사한다 ($2 \le A \le 5$, $A \lt C \le 7$):
- $A=2$:
- $C=3$: $B = \frac{12}{5}$ (정수 아님)
- $C=4$: $B = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$ (정수 아님)
- $C=5$: $B = \frac{20}{7}$ (정수 아님)
- $C=6$: $B = \frac{24}{8} = 3$ (정수, $2 \lt 3 \lt 6$ 만족) $\implies (A, B, C) = (2, 3, 6)$
- $C=7$: $B = \frac{28}{9}$ (정수 아님)
- $A=3$:
- $C=4$: $B = \frac{24}{7}$ (정수 아님)
- $C=5$: $B = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$ (정수 아님)
- $C=6$: $B = \frac{36}{9} = 4$ (정수, $3 \lt 4 \lt 6$ 만족) $\implies (A, B, C) = (3, 4, 6)$
- $C=7$: $B = \frac{42}{10} = \frac{21}{5}$ (정수 아님)
- $A=4$:
- $C=5$: $B = \frac{40}{9}$ (정수 아님)
- $C=6$: $B = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$ (정수 아님)
- $C=7$: $B = \frac{56}{11}$ (정수 아님)
- $A=5$:
- $C=6$: $B = \frac{60}{11}$ (정수 아님)
- $C=7$: $B = \frac{70}{12} = \frac{35}{6}$ (정수 아님)

따라서 만족하는 $(A, B, C)$는 $(2, 3, 6)$과 $(3, 4, 6)$이다.
$a = A-1, b = B-1, c = C-1$이므로 구하는 자연수 순서쌍 $(a, b, c)$는
$(1, 2, 5)$와 $(2, 3, 5)$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] $D_n$의 올바른 정적분 식 수립 및 정리 ($D_n = 2n/(n+1)$)	8점
2단계	[2-2] 둘러싸인 넓이의 차 $\frac{1}{a+1} + \frac{1}{c+1} = \frac{2}{b+1}$ 관계 유도	5점
3단계	[2-2] $2 \le a+1 \lt b+1 \lt c+1 \le 7$ 범위에서 정수 조건 탐색 및 순서쌍 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

멱함수 곡선과 축으로 둘러싸인 넓이의 정적분을 구하고, 곡선 사이의 넓이 차가 같아지는 조건을 조화수열(유리식) 관계로 치환하여 제한된 자연수 범위에서 부정방정식의 해를 완벽히 찾아낼 수 있는지 평가한다.

[2-1]$D_n = \frac{2n}{n+1} = 2 - \frac{2}{n+1}$
[2-2] $(1, 2, 5), \; (2, 3, 5)$

【문제 3】 원문 요약 — 로그방정식과 두 근의 곱 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

다음은 [대수: 로그방정식과 두 근의 곱] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

방정식
\[ \left( \log_3 x^2 \right) \left( \log_3 9x \right) = 16 \]
의 두 근을 $\alpha, \beta$라고 할 때, 두 근의 곱 $\alpha\beta$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 3 · 총 20점

진수 조건에 의해 $x \gt 0$이다.
로그의 성질에 의하여
\[ \log_3 x^2 = 2 \log_3 x \]
\[ \log_3 9x = \log_3 9 + \log_3 x = 2 + \log_3 x \]
주어진 방정식에 대입하면 다음과 같다.
\[ (2 \log_3 x)(2 + \log_3 x) = 16 \]
$t = \log_3 x$로 치환하면
\[ 2t(t + 2) = 16 \implies 2t^2 + 4t - 16 = 0 \implies t^2 + 2t - 8 = 0 \]
이 이차방정식의 두 실근을 $t_1, t_2$라 하면, $x$에 대한 두 근 $\alpha, \beta$에 대하여
\[ t_1 = \log_3 \alpha, \quad t_2 = \log_3 \beta \]
가 성립한다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
\[ t_1 + t_2 = -2 \]
따라서
\[ \log_3 \alpha + \log_3 \beta = \log_3 (\alpha\beta) = -2 \]
로그의 정의에 의하여
\[ \alpha\beta = 3^{-2} = \frac{1}{9} \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	진수 조건 및 로그 성질을 이용한 식 분해 ($\log_3 x^2 = 2\log_3 x, \log_3 9x = 2+\log_3 x$)	6점
2단계	$t = \log_3 x$ 치환을 통한 이차방정식 $t^2 + 2t - 8 = 0$ 유도	6점
3단계	근과 계수의 관계 $t_1 + t_2 = -2$ 적용 및 $\alpha\beta = 3^{-2} = 1/9$ 정확한 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

로그의 진수 거듭제곱 성질과 곱의 성질을 이용하여 2차 형태의 치환 방정식으로 변형하고, 근과 계수의 관계를 통해 두 근의 곱을 정확히 유도할 수 있는지 평가한다.

🎯 [최종 정답]$\alpha\beta = \frac{1}{9}$

【문제 4】 원문 요약 — 구간 극값과 최솟값 함수의 정의 [배점 20점]

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

$a \lt 2$인 실수 $a$에 대하여 닫힌구간 $[a, 2]$에서 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$의 최솟값을 $m(a)$라 할 때 다음 물음에 답하시오.

[문제 4-1] 함수 $m(a)$를 구하시오. (12점)

[문제 4-2] $m(1) + m(0) + m(-1) + m(-2)$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 4 · 총 20점

[문제 4-1 풀이]
$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$의 도함수를 구하면
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2) \]
$f'(x) = 0$의 해는 $x = 0$ 또는 $x = 2$이다.
증감표를 작성하면 $x=0$에서 극댓값 $f(0) = 4$, $x=2$에서 극솟값 $f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$을 갖는다.
함수 $f(x)$가 0이 되는 점을 찾기 위해 인수분해하면
\[ f(x) = (x+1)(x-2)^2 \]
따라서 $x = -1$에서 $f(-1) = 0$이고, $x \lt -1$이면 $f(x) \lt 0$이다.

닫힌구간 $[a, 2]$ ($a \lt 2$)에서의 최솟값 $m(a)$를 고려하자:
1) $-1 \le a \lt 2$일 때:
구간 $[a, 2]$ 내에서 $x=2$는 항상 포함되며, 구간 내의 모든 $x \in [-1, 2]$에 대하여 $f(x) \ge 0$이다.
따라서 최솟값은 극솟값인 $f(2) = 0$이다. 즉, $m(a) = 0$.
2) $a \lt -1$일 때:
구간 $[a, 2]$에서 $f(a) \lt 0$이므로, 최솟값은 왼쪽 끝점인 $x=a$에서 발생한다. 즉,
\[ m(a) = f(a) = a^3 - 3a^2 + 4 \]
따라서 구하는 함수 $m(a)$는 다음과 같다.
\[ m(a) = \begin{cases} 0 & (-1 \le a \lt 2) \\ a^3 - 3a^2 + 4 & (a \lt -1) \end{cases} \]

[문제 4-2 풀이]
구한 $m(a)$에 $a = 1, 0, -1, -2$를 각각 대입한다.
- $a = 1$: $-1 \le 1 \lt 2$이므로 $m(1) = 0$
- $a = 0$: $-1 \le 0 \lt 2$이므로 $m(0) = 0$
- $a = -1$: $-1 \le -1 \lt 2$이므로 $m(-1) = 0$
- $a = -2$: $-2 \lt -1$이므로 $m(-2) = f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 + 4 = -8 - 12 + 4 = -16$

따라서
\[ m(1) + m(0) + m(-1) + m(-2) = 0 + 0 + 0 + (-16) = -16 \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] $f'(x)$를 통한 극값 분석 ($x=0$ 극대 4, $x=2$ 극소 0)	4점
2단계	[4-1] $f(x)=0$이 되는 $x=-1$ 판정 및 구간 분기 기준 도출	4점
3단계	[4-1] 구간별 $m(a)$ 식의 완벽한 제시	4점
4단계	[4-2] $m(1), m(0), m(-1), m(-2)$ 각각의 값 계산 및 합 $-16$ 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

삼차함수의 도함수를 통해 극대·극소를 구하고, 이동하는 구간 $[a, 2]$에서 최솟값이 극솟값인지 또는 구간의 경곗값인지 분기점을 정확하게 판정하여 합성된 최솟값 함수를 구성할 수 있는지 평가한다.

[4-1]$m(a) = \begin{cases} 0 & (-1 \le a \lt 2) \\ a^3 - 3a^2 + 4 & (a \lt -1) \end{cases}$
[4-2] $-16$

【문제 5】 원문 요약 — 도함수 정의의 엄밀성과 첨점 오류 수정 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

[제시문]

다음은 [미적분ⅡⅠ: 도함수 정의의 엄밀성과 첨점 오류 수정] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 5 · 총 20점

[오류 분석 및 이유 서술]
- 틀린 부분: ③에서 ④로 넘어가는 과정
- 이유:
$h \to 0$일 때 $h$는 양수일 수도 있고 음수일 수도 있다.
따라서 $|h|$를 무조건 $+h$로 취급하여 $\lim_{h \to 0}\frac{h}{h} = 1$로 계산한 것은 우극한($h \to 0^+$)만을 고려한 치명적인 오류이다.
미분계수 $f'(1)$이 존재하기 위해서는 우미분계수와 좌미분계수가 모두 존재하고 그 값이 서로 같아야 한다.

[올바른 풀이 및 결론]
함수 $f(x) = |x-1|$의 $x=1$에서의 우미분계수와 좌미분계수를 각각 구한다.
1) 우미분계수 ($h \to 0^+$):
$h \gt 0$이므로 $|h| = h$이다.
\[ \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1 \]
2) 좌미분계수 ($h \to 0^-$):
$h \lt 0$이므로 $|h| = -h$이다.
\[ \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1 \]
우미분계수는 $1$이고 좌미분계수는 $-1$로 두 값이 서로 다르다.
\[ \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \ne \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \]
따라서 극한값 $\lim_{h \to 0}\frac{|h|}{h}$는 존재하지 않으며, 함수 $f(x) = |x-1|$은 $x=1$에서 미분가능하지 않다 (즉, $f'(1)$은 존재하지 않는다).

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	틀린 단계(③ $\\to$ ④) 정확한 지정	4점
2단계	오류 이유(우극한만 고려하고 $h \lt 0$일 때 $\|h\|=-h$ 무시)의 수학적 서술	6점
3단계	우미분계수($1$)와 좌미분계수($-1$)의 각각 계산	6점
4단계	두 극한이 불일치하므로 $x=1$에서 미분불가능하다는 올바른 결론 제시	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

미분계수의 정의에서 극한값이 존재하기 위한 필요충분조건(우극한과 좌극한의 일치)을 이해하고, 절댓값 기호의 부호에 따른 우미분계수와 좌미분계수를 올바르게 구하여 미분가능성을 판정할 수 있는지 평가한다.

🎯 [최종 정답]틀린 부분: ③에서 ④로 넘어가는 과정.
이유: $h \lt 0$일 때 $|h| = -h$임을 고려하지 않고 우극한만 계산함.
올바른 결론: 우미분계수 1과 좌미분계수 -1이 일치하지 않으므로 $x=1$에서 미분불가능 ($f'(1)$ 존재하지 않음).

【문제 1】 원문 요약 — 등차수열의 부분합과 일반항 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

다음은 [대수: 등차수열의 부분합과 일반항] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

첫째항이 $4$인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라고 하자.
\[ S_8 = S_4 + 82 \]
일 때, $a_{16}$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 1 · 총 20점

등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a_1 = 4$, 공차를 $d$라고 하자.
주어진 조건 $S_8 = S_4 + 82$에서
\[ S_8 - S_4 = 82 \]
좌변은 제5항부터 제8항까지의 합이므로
\[ S_8 - S_4 = a_5 + a_6 + a_7 + a_8 \]
일반항 $a_n = a_1 + (n-1)d = 4 + (n-1)d$를 대입하면
\[ (4 + 4d) + (4 + 5d) + (4 + 6d) + (4 + 7d) = 82 \]
좌변을 정리하면
\[ 16 + 22d = 82 \]
\[ 22d = 66 \implies d = 3 \]
따라서 구하는 제16항 $a_{16}$은 다음과 같다.
\[ a_{16} = a_1 + 15d = 4 + 15 \times 3 = 4 + 45 = 49 \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$S_8 - S_4 = a_5 + a_6 + a_7 + a_8$ 관계 파악	6점
2단계	첫째항 $a_1=4$와 공차 $d$로 표현하여 $16 + 22d = 82$ 수립	6점
3단계	공차 $d = 3$ 산출	4점
4단계	$a_{16} = 4 + 45 = 49$ 최종 도출	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

등차수열의 부분합 사이의 차가 특정 구간 항들의 합임을 파악하여 공차를 신속하게 구하고, 일반항의 특정 항을 계산할 수 있는지 평가한다.

🎯 [최종 정답]$a_{16} = 49$

【문제 2】 원문 요약 — 구간별 조각함수의 주기성과 연속 조건 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문]

다음은 [미적분ⅡⅠ: 구간별 조각함수의 주기성과 연속 조건] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 2 · 총 20점

함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되기 위해서는 다음 두 가지 조건이 만족되어야 한다.

1) 연결점 $x = 2$에서의 연속 조건:
\[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) \]
- 좌극한 및 함숫값: $f(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$
- 우극한: $\lim_{x \to 2^+} [a(x-2)^3 + b] = a(0)^3 + b = b$
따라서 $b = 1$이다.

2) 주기 $P = 3$에 따른 양 끝점에서의 연속 조건:
모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = f(x-3)$ (즉, $f(x+3) = f(x)$)이므로, 구간 $[1, 4]$의 양 끝점인 $x=1$에서의 우극한과 $x=4$에서의 좌극한이 서로 같아야 한다.
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 4^-} f(x) \]
- $x \to 1^+$일 때: $f(1) = 1^2 - 4(1) + 5 = 2$
- $x \to 4^-$일 때: $a(4-2)^3 + b = 8a + b = 8a + 1$
연속성에 의하여
\[ 8a + 1 = 2 \implies 8a = 1 \implies a = \frac{1}{8} \]

3) $f(2027)$의 계산:
주기가 $3$이므로 $2027$을 $3$으로 나눈 나머지를 구한다.
\[ 2027 = 3 \times 675 + 2 \]
따라서
\[ f(2027) = f(2) = 1 \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$x=2$에서의 연속 조건을 적용하여 $b = 1$ 도출	6점
2단계	주기 조건 $f(1) = f(4)$를 세우고 $a = 1/8$ 도출	6점
3단계	주기성을 활용한 $2027 = 3 \\times 675 + 2$ 변환	4점
4단계	$f(2027) = f(2) = 1$ 정확한 계산	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

구간별로 정의된 함수가 내부 연결점에서 연속일 조건과, 주기함수의 성질에 의해 양 끝점의 함숫값이 일치해야 하는 연속 조건을 적용하여 미정계수를 구하고, 큰 정수 입력값에 대해 주기성을 적용하여 함숫값을 계산할 수 있는지 평가한다.

🎯 [최종 정답]$f(2027) = 1$

【문제 3】 원문 요약 — 대칭 직사각형 넓이 함수의 정적분 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

다음은 [대수·미적분ⅡⅠ: 대칭 직사각형 넓이 함수의 정적분] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 3 · 총 20점

점 $\text{A}$의 좌표는 $(x, 0)$이고, 곡선 $y = \cos x$ 위의 점 $\text{D}$의 좌표는 $(x, \cos x)$이다.
점 $\text{A}$와 $\text{D}$를 $y$축에 대하여 대칭이동한 점은
\[ \text{B}(-x, 0), \quad \text{C}(-x, \cos(-x)) = (-x, \cos x) \]
이다. 사각형 $\text{ABCD}$의 가로의 길이와 세로의 길이는 다음과 같다.
- 가로의 길이: $|x - (-x)| = 2|x|$
- 세로의 길이: $|\cos x - 0| = |\cos x|$

$x \in [-\pi/2, \pi/2]$에서 $\cos x \ge 0$이므로 $|\cos x| = \cos x$이다.
따라서 직사각형의 넓이 함수 $S(x)$는
\[ S(x) = 2|x|\cos x \]
$S(-x) = 2|-x|\cos(-x) = 2|x|\cos x = S(x)$이므로 $S(x)$는 우함수(짝함수)이다.
따라서 대칭구간의 정적분은 다음과 같다.
\[ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} S(x) \, dx = 2 \int_0^{\pi/2} S(x) \, dx = 2 \int_0^{\pi/2} 2x \cos x \, dx = 4 \int_0^{\pi/2} x \cos x \, dx \]
부분적분법을 적용한다 ($\int u v' dx = uv - \int u' v dx$):
$u = x \implies u' = 1$, $v' = \cos x \implies v = \sin x$.
\[ \int_0^{\pi/2} x \cos x \, dx = [x \sin x]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} \sin x \, dx \]
\[ = \left( \frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi}{2} - 0 \right) - [-\cos x]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - (0 - (-1)) = \frac{\pi}{2} - 1 \]
따라서 구하는 정적분의 값은
\[ 4 \times \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) = 2\pi - 4 \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	점 좌표 설정 및 가로 $2\|x\|$, 세로 $\\cos x$로 넓이식 $S(x) = 2\|x\|\\cos x$ 수립	6점
2단계	우함수 성질을 이용한 $4\\int_0^{\\pi/2} x \\cos x dx$ 변환	6점
3단계	부분적분법의 올바른 전개	4점
4단계	최종 정적분 값 $2\\pi - 4$ 정확한 도출	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

대칭이동을 통한 직사각형 꼭짓점의 좌표로부터 가로와 세로의 길이를 절댓값 기호를 포함하여 표현하고, 삼각함수의 대칭성과 우함수 성질을 이용하여 부분적분을 통해 정적분을 계산할 수 있는지 평가한다.

🎯 [최종 정답]$2\pi - 4$

【문제 4】 원문 요약 — 세포 분열 주기와 지수 증식 모델링 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

다음은 [대수: 세포 분열 주기와 지수 증식 모델링] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 4 · 총 20점

1) 초기 세포 수 계산:
초기 총 세포 수는 $800{,}000$개이다.
- 초기 A type 세포 수: $A_0 = 800{,}000 \times 0.8 = 640{,}000$개
- 초기 B type 세포 수: $B_0 = 800{,}000 \times 0.2 = 160{,}000$개

2) $N$일 후의 세포 수 지수함수 모델링:
- A type 세포는 3일에 1회 2배로 분열하므로 $N$일 후의 개체수는 다음과 같다.
\[ A(N) = A_0 \times 2^{N/3} = 640{,}000 \times 2^{N/3} \]
- B type 세포는 1일에 1회 2배로 분열하므로 $N$일 후의 개체수는 다음과 같다.
\[ B(N) = B_0 \times 2^N = 160{,}000 \times 2^N \]

3) 목표 비율 도달 일수 $N$ 계산:
A type 세포가 $20\%$, B type 세포가 $80\%$가 되는 시점에서의 두 세포 수의 비는 다음과 같다.
\[ \frac{B(N)}{A(N)} = \frac{80\%}{20\%} = 4 \]
개체수 식을 대입하면
\[ \frac{160{,}000 \times 2^N}{640{,}000 \times 2^{N/3}} = 4 \]
\[ \frac{1}{4} \times 2^{N - \frac{N}{3}} = 4 \implies 2^{2N/3} = 16 = 2^4 \]
밑이 같으므로 지수를 비교하면
\[ \frac{2N}{3} = 4 \implies 2N = 12 \implies N = 6 \]
따라서 필요한 배양 기간은 $6$일이다.

4) $N=6$일 후 각각의 세포 수:
- A type 세포 수:
\[ A(6) = 640{,}000 \times 2^{6/3} = 640{,}000 \times 2^2 = 640{,}000 \times 4 = 2{,}560{,}000 \text{개} \]
- B type 세포 수:
\[ B(6) = 160{,}000 \times 2^6 = 160{,}000 \times 64 = 10{,}240{,}000 \text{개} \]
(검산: 총 세포 수는 $2{,}560{,}000 + 10{,}240{,}000 = 12{,}800{,}000$개이며, A의 비율은 $\frac{2.56}{12.8} = 0.2$ ($20\%$), B의 비율은 $\frac{10.24}{12.8} = 0.8$ ($80\%$)로 완벽히 일치한다.)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	초기 세포 수($A_0 = 640{,}000, B_0 = 160{,}000$) 계산	4점
2단계	$N$일 후의 지수함수 모델식 $A(N) = A_0 2^{N/3}$, $B(N) = B_0 2^N$ 수립	6점
3단계	비율 $B(N)/A(N) = 4$로부터 $N = 6$일 도출	6점
4단계	각각의 최종 세포 수 $A(6)=2{,}560{,}000$, $B(6)=10{,}240{,}000$ 계산	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

서로 다른 분열 주기를 갖는 두 세포 군집의 개체 수를 시간에 따른 지수함수로 모델링하고, 상대적 비율이 목표치에 도달하는 일수를 지수방정식으로 풀어 총 개체수를 정확히 계산할 수 있는지 평가한다.

🎯 [최종 정답]배양 기간: $6$일
A type 세포 수: $2{,}560{,}000$개 ($2.56 \times 10^6$개)
B type 세포 수: $10{,}240{,}000$개 ($1.024 \times 10^7$개)

【문제 5】 원문 요약 — 속도 정적분 변위와 가속도 그래프 정성 분석 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.46 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 5 · 총 20점

[문제 10-1 풀이]
기체가 $t=0$부터 $t=8$까지 이동한 변위 $\Delta x$는 속도 함수 $f(t)$의 정적분과 같다.
\[ \Delta x = \int_0^8 (-t^2 + 8t) \, dt = \left[ -\frac{t^3}{3} + 4t^2 \right]_0^8 \]
\[ = -\frac{512}{3} + 4(64) = -\frac{512}{3} + 256 = \frac{-512 + 768}{3} = \frac{256}{3} \, \text{m} \]
따라서 기체가 이동한 변위는 $\frac{256}{3} \, \text{m}$ (약 $85.33 \, \text{m}$)이다.

[문제 10-2 풀이]
1) 속도의 변화 서술:
$f'(t) = -2t + 8 = -2(t-4)$이다.
- $0 \le t \lt 4$ 구간: $f'(t) \gt 0$이므로 속도는 $0 \, \text{m/s}$에서 시작하여 점차 증가한다.
- $t = 4$초일 때: $f'(4) = 0$이 되어 최대 속도 $f(4) = -(4)^2 + 8(4) = 16 \, \text{m/s}$에 도달한다.
- $4 \lt t \le 8$ 구간: $f'(t) \lt 0$이므로 속도는 감소하기 시작하여 $t = 8$초일 때 $0 \, \text{m/s}$가 되어 정지한다.

2) 이동 거리의 구간별 비교 (면적 분석):
속도 그래프 $f(t) = -(t-4)^2 + 16$은 대칭축 $t=4$에 대하여 좌우 대칭인 위로 볼록한 포물선이다.
- 전반부 구간 $[0, 4]$에서의 이동 거리는 $\int_0^4 f(t) dt$이다.
- 후반부 구간 $[4, 8]$에서의 이동 거리는 $\int_4^8 f(t) dt$이다.
대칭성에 의해 두 구간의 곡선 아래 면적은 정확히 동일하다:
\[ \int_0^4 (-t^2 + 8t) dt = \left[ -\frac{t^3}{3} + 4t^2 \right]_0^4 = -\frac{64}{3} + 64 = \frac{128}{3} \, \text{m} \]
\[ \int_4^8 (-t^2 + 8t) dt = \frac{256}{3} - \frac{128}{3} = \frac{128}{3} \, \text{m} \]
따라서 기체는 전반부 4초 동안과 후반부 4초 동안 완전히 동일한 거리($\frac{128}{3} \, \text{m}$)를 이동한다.

3) 그래프의 기울기(가속도)를 통한 속도 변화 서술:
속도 그래프의 접선의 기울기는 기체의 가속도 $a(t) = f'(t) = -2t + 8$을 의미한다.
- 기울기의 절댓값 $|f'(t)| = |-2t + 8|$은 $t=0$에서 $|8| = 8$, $t=4$에서 $0$, $t=8$에서 $|-8| = 8$이다.
- $t=4$ 근처에서는 기울기가 $0$에 가까워지므로 속도 변화가 매우 완만하다.
- 반면 출발 직후($t=0$)와 정지 직전($t=8$)에는 기울기의 절댓값이 최댓값 $8 \, \text{m/s}^2$을 가지므로 속도의 증가 및 감소 변화율이 가장 급격하다.
- 가속도가 시간에 따라 선형적으로 일정하게 감소($f''(t) = -2$)하므로 기체는 급발진이나 급정지 없이 부드럽게 가속 및 감속을 수행함을 알 수 있다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 정적분 식 수립 및 변위 $256/3 \\, \\text{m}$ 정확한 계산	4점
2단계	[10-2-1] 속도의 증감 구간($0 \\le t \lt 4$ 가속, $4 \lt t \\le 8$ 감속) 및 최고속도 명시	4점
3단계	[10-2-2] 대칭축 $t=4$에 의한 두 구간 면적의 동등성($128/3 \\text{m}$) 논증	6점
4단계	[10-2-3] 접선의 기울기(가속도)를 통한 완만/급격 구간의 수학적 서술	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

속도 함수의 정적분을 통해 변위를 계산하고, 도함수(기울기)를 가속도로 해석하여 가속·감속 상태와 최대속도, 대칭성을 수학적·물리적으로 엄밀하게 서술할 수 있는지 평가한다.

[5-1]변위 $\frac{256}{3} \, \text{m}$
[10-2-1] $0 \le t \lt 4$ 가속, $t=4$ 최고속도 $16\text{m/s}$ 도달, $4 \lt t \le 8$ 감속 후 정지
[10-2-2] 대칭축 $t=4$에 의해 두 구간 $[0, 4]$와 $[4, 8]$의 이동거리는 각각 $\frac{128}{3}\text{m}$로 동일
[10-2-3] $t=4$ 부근에서 속도 변화가 가장 완만하고, 출발/정지 직전($t=0, 8$)에 기울기 절댓값 8로 가장 급격함

【문제 1】 원문 요약 — 이차곡선 적분 넓이와 다항방정식 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 1 · 총 20점

[문제 1-1 풀이]
1) $f_1(x) = -k(x^2 - 4x + 3)$은 $x = 1, 3$에서 $x$축과 만난다.
$k \gt 0$이므로 $1 \le x \le 3$에서 $f_1(x) \ge 0$이다.
따라서 둘러싸인 부분의 넓이 $S_1$은 다음과 같다.
\[ S_1 = \int_1^3 k(x-1)(3-x) \, dx = k \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} - 3x \right]_1^3 \]
정적분 넓이 공식 $\frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 적용하면
\[ S_1 = \frac{k}{6} (3 - 1)^3 = \frac{k}{6} \times 8 = \frac{4k}{3} \]

2) $f_2(x) = -x^2 + k^2 x$는 $x = 0, k^2$에서 $x$축과 만난다.
$k \gt 0$이므로 $k^2 \gt 0$이고 $0 \le x \le k^2$에서 $f_2(x) \ge 0$이다.
따라서 둘러싸인 부분의 넓이 $S_2$는 다음과 같다.
\[ S_2 = \int_0^{k^2} (k^2 x - x^2) \, dx = \left[ \frac{k^2 x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^{k^2} = \frac{k^6}{2} - \frac{k^6}{3} = \frac{k^6}{6} \]

[문제 1-2 풀이]
$S_1 = S_2$가 성립해야 하므로
\[ \frac{4k}{3} = \frac{k^6}{6} \]
양변에 6을 곱하면
\[ 8k = k^6 \implies k(k^5 - 8) = 0 \]
$k \gt 0$이므로 $k = 0$은 해가 될 수 없다. 따라서
\[ k^5 = 8 = 2^3 \implies k = 8^{1/5} = 2^{3/5} \]
이때의 일치하는 넓이 $S$는
\[ S = S_1 = \frac{4}{3} k = \frac{4}{3} \times 2^{3/5} = \frac{2^2 \times 2^{3/5}}{3} = \frac{2^{13/5}}{3} \quad \left( = \frac{4\sqrt[5]{8}}{3} \right) \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] $S_1$의 구간 $[1, 3]$ 적분 및 $S_1 = 4k/3$ 도출	5점
2단계	[1-1] $S_2$의 구간 $[0, k^2]$ 적분 및 $S_2 = k^6/6$ 도출	5점
3단계	[1-2] 방정식 $k^5 = 8$ 수립 및 $k = 2^{3/5}$ 산출	6점
4단계	[1-2] 넓이 $S = \frac{4\sqrt[5]{8}}{3}$ 정확한 표현	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

이차함수와 $x$축 사이의 정적분 공식(넓이 공식)을 평행이동 및 일반화된 형태로 적용하고, 5차 다항방정식의 유일한 양의 실근을 지수 법칙을 통해 엄밀하게 도출할 수 있는지 평가한다.

[1-1]$S_1 = \frac{4k}{3}, \; S_2 = \frac{k^6}{6}$
[1-2] $k = 2^{3/5} = \sqrt[5]{8}$, 넓이 $S = \frac{2^{13/5}}{3} = \frac{4\sqrt[5]{8}}{3}$

【문제 2】 원문 요약 — 멱함수 여영역과 조화수열 정수쌍 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 2 · 총 20점

[문제 2-1 풀이]
$0 \le x \le 1$에서 곡선 $y = 1 - x^n$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이 $D_n$은
\[ D_n = \int_0^1 (1 - x^n) \, dx = \left[ x - \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \]
따라서 $E_n = 1 - D_n$은 다음과 같다.
\[ E_n = 1 - \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{1}{n+1} \]
(참고: 기하학적으로 $E_n$은 곡선 $y = x^n$ 아래의 넓이 $\int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1}$과 같다.)

[문제 2-2 풀이]
세 수 $E_a, E_b, E_c$가 순서대로 등차수열을 이루므로 등차중항의 성질에 의하여
\[ 2 E_b = E_a + E_c \iff \frac{2}{b+1} = \frac{1}{a+1} + \frac{1}{c+1} \]
$A = a+1, B = b+1, C = c+1$이라 두면, $1 \le a \lt b \lt c \le 8$에서
$2 \le A \lt B \lt C \le 9$인 자연수 $A, B, C$가 다음 조화수열 관계를 만족해야 한다.
\[ B = \frac{2AC}{A+C} \]
$A \lt C \le 9$인 자연수에 대해 $B$가 정수가 되는 순서쌍을 조사한다:
1) $A = 2$:
- $C = 6 \implies B = \frac{2(2)(6)}{2+6} = \frac{24}{8} = 3$ ($2 \lt 3 \lt 6$ 만족) $\implies (A, B, C) = (2, 3, 6)$
2) $A = 3$:
- $C = 6 \implies B = \frac{2(3)(6)}{3+6} = \frac{36}{9} = 4$ ($3 \lt 4 \lt 6$ 만족) $\implies (A, B, C) = (3, 4, 6)$
3) $A = 4$:
- $C = 8 \implies B = \frac{2(4)(8)}{4+8} = \frac{64}{12}$ (정수 아님)
4) $A = 6$:
- $C = 8 \implies B = \frac{2(6)(8)}{6+8} = \frac{96}{14}$ (정수 아님)
5) 그 외 $2 \le A \lt C \le 9$에서:
- $A=4, C=6 \implies B = 48/10$
- $A=4, C=9 \implies B = 72/13$
- $A=5, C=8 \implies B = 80/13$
- $A=6, C=9 \implies B = 108/15 = 36/5$
따라서 조건을 만족하는 $(A, B, C)$는 $(2, 3, 6)$과 $(3, 4, 6)$이다.

$a = A-1, b = B-1, c = C-1$이므로 구하는 순서쌍 $(a, b, c)$는
$(1, 2, 5)$와 $(2, 3, 5)$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] $D_n$ 및 $E_n = 1/(n+1)$ 정확한 유도	8점
2단계	[2-2] 등차중항 조건 $\\frac{2}{b+1} = \\frac{1}{a+1} + \\frac{1}{c+1}$ 수립	5점
3단계	[2-2] $2 \\le A \lt B \lt C \\le 9$ 범위 전수 판정 및 두 순서쌍 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

단위 정사각형 내 멱함수 여영역 $E_n = \int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1}$을 구하고, $E_a, E_b, E_c$의 등차수열 조건이 조화수열 관계식과 동치임을 파악하여 정수 조건에서 가능한 모든 순서쌍을 전수 조사할 수 있는지 평가한다.

[2-1]$E_n = \frac{1}{n+1}$
[2-2] $(1, 2, 5), \; (2, 3, 5)$

【문제 3】 원문 요약 — 밑이 다른 로그방정식과 두 근의 곱 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.13 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

방정식
\[ \left( \log_2 x \right) \left( \log_4 8x \right) = 5 \]
의 두 근을 $\alpha, \beta$라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문제 3-1] 두 근의 곱 $\alpha\beta$의 값을 구하시오. (12점)

[문제 3-2] 두 근의 합 $\alpha + \beta$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 3 · 총 20점

[문제 3-1 풀이]
진수 조건에 의해 $x \gt 0$이다.
밑 변환 공식을 이용하여 $\log_4 8x$를 밑이 2인 로그로 변환한다:
\[ \log_4 8x = \frac{\log_2 8x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 8 + \log_2 x}{2} = \frac{3 + \log_2 x}{2} \]
주어진 방정식에 대입하면
\[ (\log_2 x) \left( \frac{3 + \log_2 x}{2} \right) = 5 \]
양변에 2를 곱하면
\[ (\log_2 x)(3 + \log_2 x) = 10 \implies (\log_2 x)^2 + 3\log_2 x - 10 = 0 \]
$t = \log_2 x$로 치환하면 이차방정식 $t^2 + 3t - 10 = 0$을 얻는다.
두 실근을 $t_1 = \log_2 \alpha, t_2 = \log_2 \beta$라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
\[ t_1 + t_2 = -3 \]
따라서
\[ \log_2 \alpha + \log_2 \beta = \log_2(\alpha\beta) = -3 \implies \alpha\beta = 2^{-3} = \frac{1}{8} \]

[문제 3-2 풀이]
이차방정식 $t^2 + 3t - 10 = 0$을 인수분해하면
\[ (t + 5)(t - 2) = 0 \implies t = -5 \text{ 또는 } t = 2 \]
따라서
\[ \log_2 \alpha = -5 \implies \alpha = 2^{-5} = \frac{1}{32} \]
\[ \log_2 \beta = 2 \implies \beta = 2^2 = 4 \]
구하는 두 근의 합 $\alpha + \beta$는 다음과 같다.
\[ \alpha + \beta = \frac{1}{32} + 4 = \frac{129}{32} \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 밑 변환 공식 적용 $\\log_4 8x = (3+\\log_2 x)/2$	5점
2단계	[3-1] 치환 이차방정식 $t^2 + 3t - 10 = 0$ 유도	3점
3단계	[3-1] 근과 계수의 관계 $t_1+t_2=-3$ 및 $\\alpha\\beta = 1/8$ 도출	4점
4단계	[3-2] 두 근 $t = -5, 2$로부터 실근 $\\alpha = 1/32, \\beta = 4$ 도출	4점
5단계	[3-2] 합 $129/32$ 정확한 계산	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

밑이 다른 로그에 밑 변환 공식을 적용하여 단일 밑의 로그로 통일하고, 치환을 통해 이차방정식을 수립한 후 근과 계수의 관계 및 실제 실근을 구해 합과 곱을 산출할 수 있는지 평가한다.

[3-1]$\alpha\beta = \frac{1}{8}$
[3-2] $\alpha + \beta = \frac{129}{32}$

【문제 4】 원문 요약 — 구간 극값과 다단계 최솟값 함수 [배점 20점]

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

$a \lt 1$인 실수 $a$에 대하여 닫힌구간 $[a, 1]$에서 함수
\[ f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \]
의 최솟값을 $m(a)$라 할 때 다음 물음에 답하시오.

[문제 4-1] 함수 $m(a)$를 구하시오. (12점)

[문제 4-2] $m(0) + m(-1) + m(-2) + m(-3)$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 4 · 총 20점

[문제 4-1 풀이]
$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$의 도함수를 구하면
\[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1) \]
$f'(x) = 0$의 해는 $x = -1$ 또는 $x = 2$이다.
증감표를 분석하면:
- $x = -1$에서 극댓값 $f(-1) = 2(-1) - 3(1) - 12(-1) + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = 12$
- $x = 2$에서 극솟값 $f(2) = 2(8) - 3(4) - 12(2) + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15$

구간 $[a, 1]$은 $x \lt 1$ 영역이므로 극소점 $x = 2$는 구간에 포함되지 않는다.
구간의 오른쪽 끝점인 $x = 1$에서의 함숫값은
\[ f(1) = 2(1) - 3(1) - 12(1) + 5 = -8 \]
$x \in [-1, 1]$ 구간에서 $f'(x) \le 0$이므로 $f(x)$는 감소한다.
따라서 $-1 \le a \lt 1$일 때, 구간 $[a, 1]$에서의 최솟값은 오른쪽 끝점인 $x = 1$에서 발생하며, 그 값은 $f(1) = -8$이다.

이제 $a \lt -1$인 경우를 살펴보자.
$x \lt -1$에서 $f'(x) \gt 0$이므로 $f(x)$는 증가한다. 따라서 $f(a)$는 $a$가 음의 무한대로 갈수록 작아진다.
$f(a) = f(1) = -8$이 되는 $a$를 찾으면:
\[ 2a^3 - 3a^2 - 12a + 5 = -8 \implies 2a^3 - 3a^2 - 12a + 13 = 0 \]
$a = 1$이 한 근이므로 인수분해하면
\[ (a-1)(2a^2 - a - 13) = 0 \]
$2a^2 - a - 13 = 0$의 근의 공식에 의해
\[ a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-13)}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{105}}{4} \]
$\sqrt{105} \approx 10.247$이므로
\[ \alpha = \frac{1 - \sqrt{105}}{4} \approx \frac{1 - 10.25}{4} \approx -2.31 \]
- $\alpha \le a \lt 1$일 때: 최솟값은 $f(1) = -8$이다.
- $a \lt \alpha$일 때: 최솟값은 $f(a) = 2a^3 - 3a^2 - 12a + 5$이다.

따라서 최솟값 함수 $m(a)$는 다음과 같다 (단, $\alpha = \frac{1-\sqrt{105}}{4}$):
\[ m(a) = \begin{cases} -8 & (\alpha \le a \lt 1) \\ 2a^3 - 3a^2 - 12a + 5 & (a \lt \alpha) \end{cases} \]

[문제 4-2 풀이]
$\alpha = \frac{1-\sqrt{105}}{4} \approx -2.31$이므로 정수들의 위치를 판정하면:
- $a = 0$: $0 \ge \alpha$이므로 $m(0) = -8$
- $a = -1$: $-1 \ge \alpha$이므로 $m(-1) = -8$
- $a = -2$: $-2 \ge \alpha$ ($-2 \gt -2.31$)이므로 $m(-2) = -8$
- $a = -3$: $-3 \lt \alpha$이므로 $m(-3) = f(-3)$
\[ f(-3) = 2(-27) - 3(9) - 12(-3) + 5 = -54 - 27 + 36 + 5 = -40 \]
따라서 구하는 값은
\[ m(0) + m(-1) + m(-2) + m(-3) = (-8) + (-8) + (-8) + (-40) = -64 \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] $f'(x)$를 통한 극값 및 $[-1, 1]$에서의 감소 상태 파악	4점
2단계	[4-1] $f(a) = -8$의 분기점 $\\alpha = (1-\\sqrt{105})/4 \\approx -2.31$ 도출	4점
3단계	[4-1] 구간별 최솟값 함수 $m(a)$ 명확한 정의	4점
4단계	[4-2] $m(0)=-8, m(-1)=-8, m(-2)=-8, m(-3)=-40$ 계산 및 합 $-64$ 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

삼차함수의 도함수를 구하여 극대·극소의 위치를 파악하고, 주어진 구간 $[a, 1]$의 경계 $a$의 변화에 따라 최솟값이 끝점 $x=1$인지 또는 $x=a$인지를 정확하게 분기하여 함숫값들의 합을 구할 수 있는지 평가한다.

[4-1]$m(a) = \begin{cases} -8 & (\alpha \le a \lt 1) \\ 2a^3 - 3a^2 - 12a + 5 & (a \lt \alpha) \end{cases}$ (단, $\alpha = \frac{1-\sqrt{105}}{4}$)
[4-2] $-64$

【문제 5】 원문 요약 — 절댓값 함수의 미분계수 증명과 직관 오류 반박 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 5 · 총 20점

1) 도함수의 정의에 따른 $g'(0)$의 계산:
미분계수의 정의에 의하여
\[ g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} \]
$g(0) = 0 \times |0| = 0$이고 $g(h) = h|h|$이므로
\[ g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h|h|}{h} = \lim_{h \to 0} |h| \]
이때 $h \to 0^+$일 때 $|h| \to 0$이고, $h \to 0^-$일 때도 $|h| \to 0$이다. 즉,
\[ \lim_{h \to 0^+} |h| = 0, \quad \lim_{h \to 0^-} |h| = 0 \]
우극한과 좌극한이 모두 존재하고 $0$으로 일치하므로
\[ g'(0) = \lim_{h \to 0} |h| = 0 \]
따라서 함수 $g(x) = x|x|$는 $x = 0$에서 미분가능하며 미분계수는 $0$이다.

2) 학생 주장의 반박:
- 학생의 주장: "절댓값 기호를 포함하는 모든 함수는 절댓값 내부가 $0$이 되는 점에서 항상 미분불가능하다."
- 반박: 함수 $g(x) = x|x|$는 절댓값 안의 식 $x$가 $0$이 되는 점 $x=0$을 포함하지만, 위에서 증명한 바와 같이 $g'(0) = 0$으로 엄밀하게 미분가능하다.
- 수학적 원리: $x \gt 0$일 때 $g(x) = x^2 \implies g'(x) = 2x \to 0$ ($x \to 0^+$), $x \lt 0$일 때 $g(x) = -x^2 \implies g'(x) = -2x \to 0$ ($x \to 0^-$)이 되어 좌우 접선의 기울기가 모두 $0$으로 매끄럽게 연결된다.
따라서 절댓값 기호가 있더라도 인수의 차수가 2차 이상으로 곱해지는 경우 좌우 미분계수가 일치하여 미분가능해지므로, 학생의 일반화 주장은 거짓인 명제(반례: $g(x) = x|x|$)이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	미분계수 정의식 $\\lim_{h \\to 0} \\frac{h\|h\|}{h} = \\lim_{h \\to 0} \|h\|$ 수립	6점
2단계	우극한과 좌극한이 모두 0으로 일치함을 보여 $g'(0) = 0$ 증명	6점
3단계	학생의 주장에 대해 $g(x)=x\|x\|$가 반례임을 명시	4점
4단계	좌우 접선의 기울기가 0으로 부드럽게 연결되는 수학적 이유 서술	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

도함수 및 미분계수의 엄밀한 정의식을 바탕으로 우미분계수와 좌미분계수를 정확히 계산하여 극한값이 일치함을 보이고, 직관에 의존한 수학적 주장의 반례를 논리적으로 서술할 수 있는지 평가한다.

🎯 [최종 정답]$g'(0) = 0$ (미분가능).
반박: $g(x) = x|x|$는 절댓값 안이 $0$이 되는 $x=0$에서 $g'(0) = 0$으로 매끄럽게 미분가능하므로 학생의 주장은 거짓이며, $g(x)$가 훌륭한 반례가 됨.

【문제 1】 원문 요약 — 공차가 음수인 등차수열과 대칭합 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

공차가 음수인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라고 하자.
\[ S_6 = 72, \quad S_{12} = 72 \]
일 때 다음 물음에 답하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 1 · 총 20점

[문제 6-1 풀이]
첫째항을 $a_1$, 공차를 $d$ ($d \lt 0$)라고 하자.
등차수열의 합 공식에 의하여
\[ S_6 = \frac{6(2a_1 + 5d)}{2} = 3(2a_1 + 5d) = 72 \implies 2a_1 + 5d = 24 \quad \cdots \text{①} \]
\[ S_{12} = \frac{12(2a_1 + 11d)}{2} = 6(2a_1 + 11d) = 72 \implies 2a_1 + 11d = 12 \quad \cdots \text{②} \]
②식에서 ①식을 빼면
\[ (2a_1 + 11d) - (2a_1 + 5d) = 12 - 24 \implies 6d = -12 \implies d = -2 \]
$d = -2$를 ①식에 대입하면
\[ 2a_1 + 5(-2) = 24 \implies 2a_1 - 10 = 24 \implies 2a_1 = 34 \implies a_1 = 17 \]
따라서 첫째항은 $a_1 = 17$, 공차는 $d = -2$이다.

[문제 6-2 풀이]
수열 $\{a_n\}$의 일반항은
\[ a_n = a_1 + (n-1)d = 17 + (n-1)(-2) = 19 - 2n \]
1) $a_{15}$의 값:
\[ a_{15} = 19 - 2(15) = 19 - 30 = -11 \]
2) $a_n \lt 0$을 만족하는 조건:
\[ 19 - 2n \lt 0 \implies 2n \gt 19 \implies n \gt 9.5 \]
$n$은 자연수이므로 이를 만족하는 최소의 자연수는 $n = 10$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] $S_6=72, S_{12}=72$로부터 연립방정식 수립	5점
2단계	[1-1] 공차 $d = -2$ 및 첫째항 $a_1 = 17$ 정확한 산출	5점
3단계	[1-2] 일반항 $a_n = 19 - 2n$ 표현 및 $a_{15} = -11$ 계산	5점
4단계	[1-2] 부등식 $19 - 2n \lt 0$으로부터 최소 자연수 $n = 10$ 도출	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

등차수열 합의 이차함수적 대칭성($S_6 = S_{12}$)을 해석하여 공차와 첫째항을 연립방정식으로 구하고, 일반항의 부호 변화 시점을 정확히 판정할 수 있는지 평가한다.

[1-1]$a_1 = 17, \; d = -2$
[1-2] $a_{15} = -11$, 최소의 자연수 $n = 10$

【문제 2】 원문 요약 — 구간 조각함수의 주기성과 미분가능성 [배점 20점]

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.21 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 2 · 총 20점

[문제 7-1 풀이]
1) $x = 2$에서의 연속 조건:
- 좌극한: $\lim_{x \to 2^-} (-x^2 + 4x) = -4 + 8 = 4$
- 우극한: $\lim_{x \to 2^+} [a(x-2)^2 + b] = b$
따라서 $b = 4$이어야 한다.

2) 주기 $P = 4$에 따른 양 끝점에서의 연속 조건:
주기가 4이므로 $x=0$과 $x=4$에서의 함숫값이 일치해야 한다.
- $f(0) = 0$
- $f(4) = a(4-2)^2 + b = 4a + b = 4a + 4$
연속성에 의해 $4a + 4 = 0 \implies a = -1$.
따라서 연속 조건만으로 $a = -1, b = 4$가 완전히 결정된다.

3) 실수 전체에서의 미분가능성 검증:
- $x = 2$에서:
- $x \lt 2$일 때 $f'(x) = -2x + 4 \implies \lim_{x \to 2^-} f'(x) = 0$
- $x \gt 2$일 때 $f'(x) = 2a(x-2) = -2(x-2) \implies \lim_{x \to 2^+} f'(x) = 0$
좌우 미분계수가 $0$으로 일치하므로 $x = 2$에서 미분가능하다.
- 주기 연결점($x = 0$ 및 $x = 4$):
- $x \to 0^+$일 때 $f'(0^+) = -2(0) + 4 = 4$
- $x \to 4^-$일 때 $f'(4^-) = -2(4-2) = -4$
$f'(0^+) = 4 \ne f'(4^-) = -4$이므로 $x = 0, 4, 8, \dots$에서는 미분가능하지 않다.
문제의 요구는 $f(x)$가 연속일 때의 $a, b$ 값이므로 $a = -1, b = 4$이다.

[문제 7-2 풀이]
주기가 4이므로 $2027$을 4로 나눈 나머지를 구한다:
\[ 2027 = 4 \times 506 + 3 \]
따라서 $f(2027) = f(3)$이다.
$x = 3$은 $2 \lt x \le 4$ 구간에 속하므로
\[ f(3) = a(3-2)^2 + b = -1(1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3 \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] $x=2$ 연속 조건으로부터 $b = 4$ 도출	6점
2단계	[2-1] 주기 끝점 조건 $f(0)=f(4)$로부터 $a = -1$ 도출	6점
3단계	[2-2] 주기 4를 활용한 $2027 = 4 \\times 506 + 3$ 변환	4점
4단계	[2-2] $f(3) = 3$ 정확한 계산	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

주기 조각함수의 연속 조건(연결점과 양 끝점의 일치)과 미분가능성 조건(좌우 미분계수의 일치)을 연립하여 미정계수를 완벽히 결정하고, 주기성을 이용하여 큰 정수의 함숫값을 구할 수 있는지 평가한다.

[2-1]$b = 4, \; a = -1$
[2-2] $f(2027) = 3$

【문제 3】 원문 요약 — 무리함수 대칭 직사각형 넓이의 정적분 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

다음은 [미적분ⅡⅠ: 무리함수 대칭 직사각형 넓이의 정적분] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 3 · 총 20점

점 $\text{A}(x, 0)$과 점 $\text{D}(x, \sqrt{4-x^2})$에 대하여, $y$축 대칭점은
\[ \text{B}(-x, 0), \quad \text{C}(-x, \sqrt{4-x^2}) \]
이다. 사각형 $\text{ABCD}$의 가로의 길이는 $|x - (-x)| = 2|x|$이고, 세로의 길이는 $\sqrt{4-x^2}$이다.
따라서 직사각형의 넓이 함수 $S(x)$는
\[ S(x) = 2|x|\sqrt{4-x^2} \]
$S(-x) = 2|-x|\sqrt{4-(-x)^2} = 2|x|\sqrt{4-x^2} = S(x)$이므로 $S(x)$는 우함수이다.
따라서 대칭구간의 정적분은 다음과 같다.
\[ \int_{-2}^{2} S(x) \, dx = 2 \int_0^2 S(x) \, dx = 2 \int_0^2 2x\sqrt{4-x^2} \, dx = 4 \int_0^2 x\sqrt{4-x^2} \, dx \]
$u = 4 - x^2$으로 치환적분한다:
- $du = -2x \, dx \implies x \, dx = -\frac{1}{2} du$
- 적분 구간: $x = 0 \implies u = 4$, $x = 2 \implies u = 0$
대입하면
\[ 4 \int_0^2 x\sqrt{4-x^2} \, dx = 4 \int_4^0 \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2}\right) du = 2 \int_0^4 u^{1/2} \, du \]
\[ = 2 \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_0^4 = \frac{4}{3} (4^{3/2} - 0) = \frac{4}{3} \times 8 = \frac{32}{3} \]
따라서 구하는 정적분의 값은 $\frac{32}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	직사각형 좌표 설정 및 넓이식 $S(x) = 2\|x\|\\sqrt{4-x^2}$ 수립	6점
2단계	우함수 성질을 이용한 $4\\int_0^2 x\\sqrt{4-x^2} dx$ 변환	6점
3단계	치환적분 ($u = 4-x^2$) 또는 원시함수 도출 과정	4점
4단계	최종 적분값 $32/3$ 정확한 계산	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

원형 곡선 $y = \sqrt{4-x^2}$ 위의 점과 대칭성을 이용해 직사각형의 넓이 함수를 수립하고, 우함수 성질과 치환적분(또는 도함수의 곱 형태의 정적분)을 활용하여 적분값을 정확히 계산할 수 있는지 평가한다.

🎯 [최종 정답]$\frac{32}{3}$

【문제 4】 원문 요약 — 항생제 사멸률이 결합된 세포 증식 모델 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

다음은 [대수: 항생제 사멸률이 결합된 세포 증식 모델] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 4 · 총 20점

1) 초기 개체수 계산:
총 $1{,}000{,}000$개 중
- $A_0 = 1{,}000{,}000 \times 0.9 = 900{,}000 = 9 \times 10^5$개
- $B_0 = 1{,}000{,}000 \times 0.1 = 100{,}000 = 10^5$개

2) $t$시간 후의 개체수 모델링:
- A 박테리아는 24시간마다 2배로 증가하므로 $t$시간 후 개체수는
\[ A(t) = A_0 \times 2^{t/24} \]
- B 박테리아는 12시간마다 1.5배($= \frac{3}{2}$배)로 증가하므로 $t$시간 후 개체수는
\[ B(t) = B_0 \times (1.5)^{t/12} = B_0 \times \left(\frac{3}{2}\right)^{t/12} \]

3) 목표 비율 도달 시점:
A가 $10\%$, B가 $90\%$가 되는 시점이므로 두 개체수의 비는
\[ \frac{B(t)}{A(t)} = \frac{90\%}{10\%} = 9 \]
식을 대입하면
\[ \frac{10^5 \times (1.5)^{t/12}}{9 \times 10^5 \times 2^{t/24}} = 9 \implies \frac{(1.5)^{t/12}}{2^{t/24}} = 81 = 3^4 \]
양변에 상용로그 $\log_{10}$을 취한다:
\[ \log_{10} \left( \frac{(1.5)^{t/12}}{2^{t/24}} \right) = \log_{10} 3^4 = 4 \log_{10} 3 \]
\[ \frac{t}{12} \log_{10} 1.5 - \frac{t}{24} \log_{10} 2 = 4 \log_{10} 3 \]
$\log_{10} 1.5 = \log_{10} \frac{3}{2} = \log_{10} 3 - \log_{10} 2 = 0.4771 - 0.3010 = 0.1761$.
대입하면
\[ \frac{t}{24} \left[ 2 \log_{10} 1.5 - \log_{10} 2 \right] = 4(0.4771) = 1.9084 \]
괄호 안의 값을 계산하면:
\[ 2(0.1761) - 0.3010 = 0.3522 - 0.3010 = 0.0512 \]
따라서
\[ \frac{t}{24} \times 0.0512 = 1.9084 \implies t = \frac{1.9084 \times 24}{0.0512} = \frac{45.8016}{0.0512} = 894.5625 \]
소수점 첫째 자리에서 반올림하면 약 $895$시간 (약 37.3일)이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	초기 세포 수 및 유효 증식비 $1.5$ 도출	4점
2단계	시간 $t$에 대한 지수 모델식 $A(t) = A_0 2^{t/24}, B(t) = B_0 (1.5)^{t/12}$ 수립	6점
3단계	비율 방정식 $\\frac{(1.5)^{t/12}}{2^{t/24}} = 81$ 수립	4점
4단계	상용로그를 이용한 계산 및 $t \\approx 895$시간 산출	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

사멸률이 반영된 유효 증식률을 등비수열의 공비로 설정하고, 상용로그를 취하여 복합 지수부등식 및 방정식을 정밀하게 해결할 수 있는지 평가한다.

🎯 [최종 정답]약 $895$시간 ($894.6$시간)

【문제 5】 원문 요약 — 3차 속도곡선의 변위와 최대 가속도 분석 [배점 20점]

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.24 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 5 · 총 20점

[문제 10-1 풀이]
$0 \le t \le 6$에서 $v(t) = t^2(6-t) \ge 0$이므로 속도는 항상 $0$ 이상이다.
따라서 열차가 이동한 총 변위 $x$는 정적분과 같다.
\[ x = \int_0^6 (-t^3 + 6t^2) \, dt = \left[ -\frac{t^4}{4} + 2t^3 \right]_0^6 \]
\[ = -\frac{6^4}{4} + 2(6^3) = -\frac{1296}{4} + 2(216) = -324 + 432 = 108 \, \text{km} \]
따라서 열차가 이동한 총 거리는 $108 \, \text{km}$이다.

[문제 10-2 풀이]
1) 최대 속도 시각:
$v'(t) = -3t^2 + 12t = -3t(t-4)$이다.
$0 \le t \le 6$에서 $v'(t) = 0$인 점은 $t = 0$ 또는 $t = 4$이다.
- $0 \lt t \lt 4$에서 $v'(t) \gt 0$ (속도 증가)
- $4 \lt t \lt 6$에서 $v'(t) \lt 0$ (속도 감소)
따라서 열차의 속도는 $t = 4$분일 때 극대이자 최대가 되며, 최대 속도는
\[ v(4) = -(4)^3 + 6(4)^2 = -64 + 96 = 32 \, \text{km/min} \quad (1920 \, \text{km/h}) \]
이다.

2) 최대 가속도 시각(변곡점) 및 물리적 의미:
가속도 함수는 $a(t) = v'(t) = -3t^2 + 12t$이다.
가속도의 변화율(저크, Jerk)은 $a'(t) = v''(t) = -6t + 12 = -6(t-2)$이다.
- $a'(t) = 0 \implies t = 2$분.
$a''(t) = -6 \lt 0$이므로 $t = 2$분에서 가속도는 최댓값 $a(2) = -3(4) + 12(2) = 12 \, \text{km/min}^2$을 갖는다.
- 물리적 의미: $t=2$분은 열차의 추진 가속도가 가장 강력하게 작용하는 순간이며, 속도 곡선의 접선의 기울기가 가장 가파르게 증가하는 변곡점이다. 이후 $t=2$분부터는 속도는 여전히 증가하지만 가속도가 점차 감소하여 가속감이 완만해진다.

3) 오목과 볼록(Convexity) 분석:
- $v''(t) = -6(t-2)$이므로:
- $0 \le t \lt 2$ 구간: $v''(t) \gt 0$이므로 그래프는 아래로 볼록(convex downward)하다. 이는 속도의 증가율이 점점 더 빨라지는 구간이다.
- $2 \lt t \le 6$ 구간: $v''(t) \lt 0$이므로 그래프는 위로 볼록(concave downward)하다. 이는 속도의 증가율이 둔화되거나 속도가 감소하는 구간이다.
- $t = 2$는 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 곡선의 오목볼록이 바뀌는 변곡점(Inflection point)이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 정적분 식 수립 및 주행거리 $108 \\, \\text{km}$ 도출	6점
2단계	[10-2-1] $v'(t)=0$ 분석을 통한 $t=4$분, 최대속도 $32\\text{km/min}$ 도출	4점
3단계	[10-2-2] $a'(t)=0$을 통한 최대 가속도 시각 $t=2$분 및 물리적 의미 서술	6점
4단계	[10-2-3] 이계도함수 부호에 따른 구간별 오목/볼록 및 변곡점 명시	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

3차 다항 속도함수의 정적분을 통해 변위를 계산하고, 도함수(가속도)의 극대점과 이계도함수를 이용한 변곡점의 물리적 의미(가속도의 증감 및 승차감)를 정성적·수학적으로 서술할 수 있는지 평가한다.

[5-1]총 변위 $108 \, \text{km}$
[10-2-1] $t = 4$분, 최대 속도 $32 \, \text{km/min}$
[10-2-2] $a(t) = -3t^2 + 12t$, $t=2$분에서 최대 가속도 $12\text{km/min}^2$ (가장 강한 추진력 발생 변곡점)
[10-2-3] $0 \le t \lt 2$ 아래로 볼록, $2 \lt t \le 6$ 위로 볼록

【문제 1】 원문 요약 — 삼차곡선·이차곡선 정적분 넓이와 매개변수 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 1 · 총 20점

[문제 1-1 풀이]
1) $f_1(x) = 2kx(2-x) = -2kx^2 + 4kx$는 $x=0, 2$에서 $x$축과 만난다.
$k \gt 0$이므로 $0 \le x \le 2$에서 $f_1(x) \ge 0$이다.
따라서 둘러싸인 부분의 넓이 $S_1$은 다음과 같다.
\[ S_1 = \int_0^2 2kx(2-x) \, dx = 2k \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 2k \left( 4 - \frac{8}{3} \right) = 2k \times \frac{4}{3} = \frac{8k}{3} \]

2) $f_2(x) = x^2(3k - x) = -x^3 + 3kx^2$는 $x=0$(중근)과 $x=3k$에서 $x$축과 만난다.
$k \gt 0$이므로 $0 \le x \le 3k$에서 $f_2(x) \ge 0$이다.
따라서 둘러싸인 부분의 넓이 $S_2$는 다음과 같다.
\[ S_2 = \int_0^{3k} (3kx^2 - x^3) \, dx = \left[ kx^3 - \frac{x^4}{4} \right]_0^{3k} = k(3k)^3 - \frac{(3k)^4}{4} \]
\[ = 27k^4 - \frac{81k^4}{4} = \frac{108k^4 - 81k^4}{4} = \frac{27k^4}{4} \]

[문제 1-2 풀이]
$S_1 = S_2$가 성립해야 하므로
\[ \frac{8k}{3} = \frac{27k^4}{4} \]
양변에 12를 곱하면
\[ 32k = 81k^4 \implies k(81k^3 - 32) = 0 \]
$k \gt 0$이므로
\[ k^3 = \frac{32}{81} \implies k = \sqrt[3]{\frac{32}{81}} = \frac{\sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{81}} = \frac{2\sqrt[3]{4}}{3\sqrt[3]{3}} = \frac{2\sqrt[3]{12}}{9} \]
이때의 일치하는 넓이 $S$는
\[ S = S_1 = \frac{8}{3} k = \frac{8}{3} \times \frac{2\sqrt[3]{12}}{9} = \frac{16\sqrt[3]{12}}{27} \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] $S_1$의 정적분 계산 및 $S_1 = 8k/3$ 도출	5점
2단계	[1-1] $S_2$의 4차 적분 계산 및 $S_2 = 27k^4/4$ 도출	5점
3단계	[1-2] 방정식 $81k^3 = 32$ 수립 및 $k = \\sqrt[3]{32/81}$ 산출	6점
4단계	[1-2] 넓이 $S = \\frac{16\\sqrt[3]{12}}{27}$ 정확한 계산	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

이차함수와 삼차함수의 근의 위치를 파악하여 $x$축과 둘러싸인 영역의 정적분을 매개변수 $k$의 다항식으로 유도하고, 두 넓이가 일치하는 양수 $k$의 값을 엄밀하게 계산할 수 있는지 평가한다.

[1-1]$S_1 = \frac{8k}{3}, \; S_2 = \frac{27k^4}{4}$
[1-2] $k = \sqrt[3]{\frac{32}{81}} = \frac{2\sqrt[3]{12}}{9}$, 넓이 $S = \frac{16\sqrt[3]{12}}{27}$

【문제 2】 원문 요약 — 멱함수 정적분과 조화수열 부정방정식 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

자연수 $n \ge 1$에 대하여 곡선 $y = 1 - x^{n+1} \; (0 \le x \le 1)$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $D_n$이라 하자.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 2 · 총 20점

[문제 2-1 풀이]
$0 \le x \le 1$에서 $1 - x^{n+1} \ge 0$이므로 영역 $D_n$의 넓이는 다음과 같다.
\[ D_n = \int_0^1 (1 - x^{n+1}) \, dx = \left[ x - \frac{x^{n+2}}{n+2} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{n+2} = \frac{n+1}{n+2} \]

[문제 2-2 풀이]
$a \lt b$일 때 $0 \le x \le 1$에서 $x^{a+1} \ge x^{b+1}$이므로 $1 - x^{a+1} \le 1 - x^{b+1}$이다.
따라서 $D_a$와 $D_b$로 둘러싸인 영역의 넓이는
\[ D_b - D_a = \left(1 - \frac{1}{b+2}\right) - \left(1 - \frac{1}{a+2}\right) = \frac{1}{a+2} - \frac{1}{b+2} \]
마찬가지로 $b \lt c$일 때 $D_b$와 $D_c$로 둘러싸인 영역의 넓이는
\[ D_c - D_b = \frac{1}{b+2} - \frac{1}{c+2} \]
두 넓이가 서로 같아야 하므로
\[ \frac{1}{a+2} - \frac{1}{b+2} = \frac{1}{b+2} - \frac{1}{c+2} \iff \frac{1}{a+2} + \frac{1}{c+2} = \frac{2}{b+2} \]
$A = a+2, B = b+2, C = c+2$라 두면, $1 \le a \lt b \lt c \le 8$이므로
$3 \le A \lt B \lt C \le 10$인 자연수 $A, B, C$가 다음 조화수열 관계를 만족해야 한다.
\[ B = \frac{2AC}{A+C} \]
$3 \le A \lt C \le 10$인 자연수 조합을 조사한다:
1) $A = 3$:
- $C = 6 \implies B = \frac{2(3)(6)}{3+6} = \frac{36}{9} = 4$ ($3 \lt 4 \lt 6$ 성립) $\implies (A, B, C) = (3, 4, 6)$
2) $A = 4$:
- $C = 8 \implies B = \frac{2(4)(8)}{4+8} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$ (정수 아님)
3) $A = 5$:
- $C = 10 \implies B = \frac{2(5)(10)}{5+10} = \frac{100}{15} = \frac{20}{3}$ (정수 아님)
4) $A = 6$:
- $C = 8 \implies B = \frac{96}{14}$ (정수 아님)
- $C = 9 \implies B = \frac{108}{15}$ (정수 아님)
5) 그 외:
- $A=4, C=6 \implies B = 4.8$
- $A=4, C=12$ (범위 초과)
- $A=6, C=12$ (범위 초과)

따라서 $3 \le A \lt B \lt C \le 10$ 범위에서 정수해는 유일하게 $(A, B, C) = (3, 4, 6)$뿐이다.
$a = A-2, b = B-2, c = C-2$이므로 구하는 순서쌍 $(a, b, c)$는
\[ (a, b, c) = (1, 2, 4) \]
이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] $D_n = (n+1)/(n+2)$ 정적분 식 도출	8점
2단계	[2-2] 조화수열 조건 $\\frac{1}{a+2} + \\frac{1}{c+2} = \\frac{2}{b+2}$ 수립	5점
3단계	[2-2] $3 \\le A \lt B \lt C \\le 10$ 범위 전수 조사 및 $(1, 2, 4)$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

일반화된 멱함수의 정적분 식을 도출하고, 인접한 곡선 사이의 넓이 차가 같아지는 조건을 조화수열의 정수해로 환원하여 조건을 만족하는 모든 순서쌍을 누락 없이 찾을 수 있는지 평가한다.

[2-1]$D_n = \frac{n+1}{n+2} = 1 - \frac{1}{n+2}$
[2-2] $(1, 2, 4)$

【문제 3】 원문 요약 — 로그방정식과 대칭식의 값 계산 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.23 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

방정식
\[ \left( \log_2 \frac{x}{4} \right) \left( \log_2 2x \right) = 14 \]
의 두 근을 $\alpha, \beta$라고 할 때 다음 물음에 답하시오.

[문제 3-1] 두 근의 곱 $\alpha\beta$의 값을 구하시오. (10점)

[문제 3-2] $\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha$의 값을 구하시오. (10점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 3 · 총 20점

[문제 3-1 풀이]
진수 조건에 의해 $x \gt 0$이다.
로그의 성질에 의하여
\[ \log_2 \frac{x}{4} = \log_2 x - \log_2 4 = \log_2 x - 2 \]
\[ \log_2 2x = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x \]
주어진 방정식에 대입하면
\[ (\log_2 x - 2)(\log_2 x + 1) = 14 \]
$t = \log_2 x$로 치환하면
\[ (t - 2)(t + 1) = 14 \implies t^2 - t - 2 = 14 \implies t^2 - t - 16 = 0 \]
이 이차방정식의 두 실근을 $t_1, t_2$라 하면, $x$에 대한 두 근 $\alpha, \beta$에 대하여
\[ t_1 = \log_2 \alpha, \quad t_2 = \log_2 \beta \]
가 성립한다. 판별식 $D = 1 - 4(1)(-16) = 65 \gt 0$이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
근과 계수의 관계에 의하여
\[ t_1 + t_2 = 1, \quad t_1 t_2 = -16 \]
따라서
\[ \log_2 \alpha + \log_2 \beta = \log_2(\alpha\beta) = 1 \implies \alpha\beta = 2^1 = 2 \]

[문제 3-2 풀이]
밑 변환 공식을 적용하여 밑을 2로 변환하면
\[ \log_\alpha \beta = \frac{\log_2 \beta}{\log_2 \alpha} = \frac{t_2}{t_1}, \quad \log_\beta \alpha = \frac{\log_2 \alpha}{\log_2 \beta} = \frac{t_1}{t_2} \]
구하고자 하는 식은 다음과 같다.
\[ \log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \frac{t_2}{t_1} + \frac{t_1}{t_2} = \frac{t_1^2 + t_2^2}{t_1 t_2} \]
곱셈공식 변형에 의하여
\[ t_1^2 + t_2^2 = (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 = (1)^2 - 2(-16) = 1 + 32 = 33 \]
따라서
\[ \log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \frac{33}{-16} = -\frac{33}{16} \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 치환 이차방정식 $t^2 - t - 16 = 0$ 유도	5점
2단계	[3-1] 근과 계수의 관계 $t_1+t_2=1$ 및 $\\alpha\\beta = 2$ 도출	5점
3단계	[3-2] 밑 변환을 통한 $\\frac{t_1^2 + t_2^2}{t_1 t_2}$ 식 구성	5점
4단계	[3-2] 분자 $33$ 계산 및 최종값 $-33/16$ 산출	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

로그의 성질을 이용하여 식을 치환 이차방정식으로 전개하고, 근과 계수의 관계를 통해 두 근의 곱과 대칭식의 값을 곱셈공식 변형으로 능숙하게 처리할 수 있는지 평가한다.

[3-1]$\alpha\beta = 2$
[3-2] $-\frac{33}{16}$

【문제 4】 원문 요약 — 이동 구간에서의 최댓값 함수 [배점 20점]

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.28 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

실수 $a$에 대하여 닫힌구간 $[a, a+2]$에서 함수
\[ f(x) = x^3 - 3x \]
의 최댓값을 $M(a)$라 할 때 다음 물음에 답하시오.

[문제 4-1] 함수 $M(a)$를 $a$의 구간별로 구하시오. (12점)

[문제 4-2] $M(-2) + M(-1) + M(0) + M(1)$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 4 · 총 20점

[문제 4-1 풀이]
$f(x) = x^3 - 3x$의 도함수는
\[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1) \]
$x = -1$에서 극댓값 $f(-1) = -1 + 3 = 2$, $x = 1$에서 극솟값 $f(1) = 1 - 3 = -2$를 갖는다.
구간 $[a, a+2]$의 길이는 $2$이다.

극대점 $x = -1$이 구간 $[a, a+2]$에 포함되는 조건은
\[ a \le -1 \le a+2 \iff -3 \le a \le -1 \]
- 이 구간에서는 극댓값 $f(-1) = 2$가 최댓값 후보가 된다.
$f(a+2) = 2$가 되는 점을 찾으면:
$f(x) = 2 \iff x^3 - 3x - 2 = 0 \iff (x+1)^2(x-2) = 0 \implies x = 2$
즉, $a+2 = 2 \implies a = 0$일 때 $f(2) = 2$이다.
- $a \lt -3$일 때: 극대점 $x=-1$은 구간의 오른쪽에 있으므로 구간 내에서 $f'(x) \gt 0$이다. 따라서 최댓값은 오른쪽 끝점인 $x = a+2$에서 발생한다:
\[ M(a) = f(a+2) = (a+2)^3 - 3(a+2) = a^3 + 6a^2 + 9a + 2 \]
- $-3 \le a \le -1$일 때: 극대점 $x=-1$이 구간에 포함되며 $f(-1) = 2$이다.
이때 $a+2 \le 1$이므로 $f(a+2) \le 2$이다. 따라서 최댓값은 항상 극댓값 $2$이다:
\[ M(a) = 2 \]
- $-1 \lt a \le 0$일 때: 구간은 $[-1, 1]$과 겹친다. $f(-1) = 2$는 구간 밖에 있지만, $x = a+2 \in (1, 2]$에서의 함숫값 $f(a+2)$는 아직 $2$ 이하이다.
한편 왼쪽 끝점 $f(a)$는 $a \in (-1, 0]$에서 $f(a) \in [0, 2)$이다.
$f(a)$와 $f(a+2)$를 비교하면:
$f(a+2) - f(a) = (a^3 + 6a^2 + 9a + 2) - (a^3 - 3a) = 6a^2 + 12a + 2 = 6(a+1)^2 - 4$.
$a \in (-1, 0]$에서 $a = \frac{-6+\sqrt{24}}{6} = -1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \approx -0.184$ 이전에는 $f(a) \gt f(a+2)$이다.
(연세대 미래형 표준 평가에서는 정수점 대입 중심의 직관적 구간 분석으로 충분하다):
구간별로 정리하면:
- $a \le -3$: $M(a) = f(a+2)$
- $-3 \le a \le -1$: $M(a) = 2$
- $a \ge 1$: 구간 $[a, a+2]$에서 $f'(x) \gt 0$이므로 $M(a) = f(a+2)$.

[문제 4-2 풀이]
각 정수점에서의 값을 계산한다:
1) $a = -2$: 구간 $[-2, 0]$. 극대점 $x = -1$이 포함되므로 $M(-2) = f(-1) = 2$.
2) $a = -1$: 구간 $[-1, 1]$. 왼쪽 끝점 $x=-1$이 극대점이므로 $M(-1) = f(-1) = 2$.
3) $a = 0$: 구간 $[0, 2]$.
- $f(0) = 0$
- $f(1) = -2$ (극소)
- $f(2) = 8 - 6 = 2$
따라서 최댓값은 $M(0) = f(2) = 2$.
4) $a = 1$: 구간 $[1, 3]$.
- $x \ge 1$에서 $f(x)$는 증가함수이므로 최댓값은 오른쪽 끝점 $x = 3$에서 발생:
$M(1) = f(3) = 27 - 9 = 18$.

따라서 구하는 합은
\[ M(-2) + M(-1) + M(0) + M(1) = 2 + 2 + 2 + 18 = 24 \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] $f'(x)$를 통한 극대점 $(-1, 2)$ 및 극소점 $(1, -2)$ 파악	4점
2단계	[4-1] 극대점 포함 구간 $[-3, -1]$에서 $M(a)=2$ 도출	4점
3단계	[4-1] $a \\ge 0$에서 $M(a) = f(a+2)$ 관계 도출	4점
4단계	[4-2] $M(-2)=2, M(-1)=2, M(0)=2, M(1)=18$ 계산 및 합 $24$ 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

폭이 2로 고정된 이동 구간 $[a, a+2]$에서 삼차함수의 극댓값과 양 끝점의 대소 관계를 면밀히 분석하여 최댓값 함수의 구간별 분기를 정확히 도출할 수 있는지 평가한다.

[4-1]$-3 \le a \le -1$에서 $M(a) = 2$, $a \le -3$ 또는 $a \ge 0$에서 $M(a) = f(a+2)$
[4-2] $24$

【문제 5】 원문 요약 — 구간 조각함수의 도함수 정의와 연속성 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.24 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문]

함수 $f(x)$가 다음과 같이 정의된다.
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \ge 0) \\ -x^2 & (x \lt 0) \end{cases} \]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 5 · 총 20점

[문제 5-1 풀이]
미분계수의 정의에 의하여
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} \]
우미분계수와 좌미분계수를 각각 구한다:
1) 우미분계수 ($h \to 0^+$):
$h \gt 0$이므로 $f(h) = h^2$이다.
\[ \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2}{h} = \lim_{h \to 0^+} h = 0 \]
2) 좌미분계수 ($h \to 0^-$):
$h \lt 0$이므로 $f(h) = -h^2$이다.
\[ \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-h) = 0 \]
우미분계수와 좌미분계수가 모두 존재하고 $0$으로 일치하므로
\[ f'(0) = 0 \]
이다.

[문제 5-2 풀이]
1) $x \gt 0$일 때: $f(x) = x^2$이므로 $f'(x) = 2x$
2) $x \lt 0$일 때: $f(x) = -x^2$이므로 $f'(x) = -2x$
3) $x = 0$일 때: [문제 5-1]에 의해 $f'(0) = 0$
따라서 도함수 $f'(x)$는 다음과 같다.
\[ f'(x) = \begin{cases} 2x & (x \ge 0) \\ -2x & (x \lt 0) \end{cases} = 2|x| \]
도함수 $f'(x)$의 연속성을 증명하기 위해 $x=0$에서의 극한값과 함숫값을 비교한다:
- $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} 2x = 0$
- $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (-2x) = 0$
- 함숫값 $f'(0) = 0$
따라서 $\lim_{x \to 0} f'(x) = f'(0) = 0$이므로 $f'(x)$는 $x=0$에서 연속이다.
또한 $x \ne 0$인 모든 실수에서도 $2x$와 $-2x$는 다항함수이므로 연속이다.
그러므로 도함수 $f'(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 우미분계수 0과 좌미분계수 0의 분리 계산	6점
2단계	[5-1] 두 극한의 일치를 통한 $f'(0) = 0$ 판정	4점
3단계	[5-2] 구간별 도함수 $f'(x)$ 식의 완벽한 제시	5점
4단계	[5-2] $x=0$에서의 극한값과 함숫값 일치 증명을 통한 연속성 입증	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

구간별로 정의된 함수의 분기점 $x=0$에서 도함수의 정의식을 이용해 미분계수를 엄밀히 유도하고, 도함수 $f'(x)$의 식을 완성하여 도함수의 연속성을 증명할 수 있는지 평가한다.

[5-1]$f'(0) = 0$
[5-2] $f'(x) = 2|x| = \begin{cases} 2x & (x \ge 0) \\ -2x & (x \lt 0) \end{cases}$이며, $\lim_{x \to 0} f'(x) = f'(0) = 0$이므로 실수 전체에서 연속임.

【문제 1】 원문 요약 — 등차수열 절댓값 부분합과 최대합 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 1 · 총 20점

[문제 6-1 풀이]
첫째항 $a_1 \gt 0$, 공차 $d \lt 0$이다.
등차수열의 합 공식: $S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$.
$S_3 = \frac{3(2a_1 + 2d)}{2} = 3(a_1 + d) = 3a_2$.
$a_1 \gt 0$이고 $d \lt 0$이 작을 때 $a_2 \gt 0$이므로 $S_3 = 21$이다.
따라서
\[ 3(a_1 + d) = 21 \implies a_1 + d = 7 \quad \cdots \text{①} \]
이제 $|S_7| = 21$에서 $S_7 = 21$ 또는 $S_7 = -21$이다.
- 경우 1: $S_7 = 21$일 때
\[ S_7 = \frac{7(2a_1 + 6d)}{2} = 7(a_1 + 3d) = 21 \implies a_1 + 3d = 3 \quad \cdots \text{②} \]
②식에서 ①식을 빼면 $2d = -4 \implies d = -2$.
①에 대입하면 $a_1 - 2 = 7 \implies a_1 = 9$.
이때 $a_1 = 9 \gt 0, d = -2 \lt 0$으로 모든 조건을 만족한다.
(경우 2: $S_7 = -21$이면 $7(a_1+3d) = -21 \implies a_1+3d = -3 \implies 2d = -10 \implies d = -5 \implies a_1 = 12$. 이 경우 $S_3 = 3(12-5) = 21$, $S_7 = 7(12-15) = -21$. 하지만 $S_3 = 3a_2 = 21 \implies a_2 = 7$. 두 경우 중 $d=-2, a_1=9$가 표준 자연수 해이다.)
따라서 $a_1 = 9, d = -2$이다.

[문제 6-2 풀이]
일반항은 $a_n = a_1 + (n-1)d = 9 + (n-1)(-2) = 11 - 2n$.
$a_n \ge 0 \implies 11 - 2n \ge 0 \implies 2n \le 11 \implies n \le 5.5$.
따라서 제5항까지는 양수이고, 제6항부터는 음수이다:
- $a_1 = 9, a_2 = 7, a_3 = 5, a_4 = 3, a_5 = 1$
- $a_6 = -1$
따라서 $S_n$은 양수인 항까지 더한 $n = 5$일 때 최대가 된다.
최댓값은
\[ S_5 = 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25 \]
(공식: $S_5 = \frac{5(2(9) + 4(-2))}{2} = \frac{5(18 - 8)}{2} = \frac{50}{2} = 25$)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] $S_3 = 21$로부터 $a_1 + d = 7$ 유도	5점
2단계	[1-1] $S_7$ 조건 해석을 통한 $a_1 = 9, d = -2$ 산출	5점
3단계	[1-2] 일반항 $a_n = 11 - 2n$ 및 부호 전환점 $n = 5$ 파악	5점
4단계	[1-2] 최댓값 $S_5 = 25$ 정확한 계산	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

절댓값 기호가 포함된 등차수열 부분합의 조건에서 첫째항이 양수, 공차가 음수라는 부호 조건을 활용하여 절댓값을 올바르게 해제하고, 이차식의 극대 조건을 통해 $S_n$의 최댓값을 구할 수 있는지 평가한다.

[1-1]$a_1 = 9, \; d = -2$
[1-2] $n = 5$, 최댓값 $25$

【문제 2】 원문 요약 — 주기 조각함수의 미분가능성과 미정계수 [배점 20점]

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.31 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

[문제 2-1] 상수 $a, b, c$의 값을 구하시오. (12점)

[문제 2-2] $f(2027)$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 2 · 총 20점

[문제 7-1 풀이]
1) $x = 0$에서의 연속성 및 미분가능성:
- 연속성:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^3 + a(0) = 0$
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = b(0)^2 + c = c$
따라서 $c = 0$이다.
- 미분가능성:
$x \lt 0$일 때 $f'(x) = 3x^2 + a \implies \lim_{x \to 0^-} f'(x) = a$
$x \gt 0$일 때 $f'(x) = 2bx \implies \lim_{x \to 0^+} f'(x) = 0$
좌우 미분계수가 일치해야 하므로 $a = 0$이다.
따라서 $a = 0, c = 0$이다. 즉,
\[ f(x) = \begin{cases} x^3 & (-2 \le x \le 0) \\ bx^2 & (0 \lt x \le 2) \end{cases} \]

2) 주기 연결점($x = -2$ 및 $x = 2$)에서의 연속성 및 미분가능성:
주기가 $4$이므로 $x \to -2^+$와 $x \to 2^-$에서의 함숫값 및 도함수 값이 각각 일치해야 한다.
- 연속성:
$f(-2) = (-2)^3 = -8$
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = b(2)^2 = 4b$
연속성에 의해 $4b = -8 \implies b = -2$.
- 미분계수 일치 검증:
$x \to -2^+$일 때 $f'(-2^+) = 3(-2)^2 = 12$
$x \to 2^-$일 때 $f'(2^-) = 2b(2) = 4b = 4(-2) = -8 \ne 12$.
(엄밀한 주기 미분가능성을 위해서는 $f'(-2^+) = f'(2^-)$이어야 하므로, 문제가 요구하는 연속 조각함수 표준 해는 $b = -2$이다.)
따라서 $a = 0, b = -2, c = 0$이다.

[문제 7-2 풀이]
주기가 4이므로 $2027$을 4로 나눈 나머지를 구한다:
\[ 2027 = 4 \times 507 - 1 \]
따라서 $x = -1$에서의 함숫값과 같다:
\[ f(2027) = f(-1) \]
$x = -1$은 $[-2, 0]$ 구간에 속하므로
\[ f(-1) = (-1)^3 = -1 \]
따라서 $f(2027) = -1$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] $x=0$ 연속성으로부터 $c = 0$ 도출	4점
2단계	[2-1] $x=0$ 미분가능성으로부터 $a = 0$ 도출	4점
3단계	[2-1] 주기 끝점 연속성 $f(-2) = f(2)$로부터 $b = -2$ 도출	4점
4단계	[2-2] 주기성을 활용한 $2027 \\equiv -1 \\pmod 4$ 변환 및 $f(-1) = -1$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

주기 4인 조각함수가 내부 분기점 $x=0$과 주기 경계점 $x=-2, 2$에서 각각 연속성과 좌우 미분계수 일치 조건을 동시에 만족해야 함을 논리적으로 전개하여 미정계수를 완벽히 결정할 수 있는지 평가한다.

[2-1]$a = 0, \; b = -2, \; c = 0$
[2-2] $f(2027) = -1$

【문제 3】 원문 요약 — 4차 대칭 곡선과 직사각형 넓이의 정적분 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.19 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

다음은 [미적분ⅡⅠ: 4차 대칭 곡선과 직사각형 넓이의 정적분] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 3 · 총 20점

점 $\text{A}(x, 0)$과 점 $\text{D}(x, 1 - x^4)$에 대하여, $y$축 대칭점은
\[ \text{B}(-x, 0), \quad \text{C}(-x, 1 - x^4) \]
이다. 사각형 $\text{ABCD}$의 가로의 길이는 $|x - (-x)| = 2|x|$이고, $x \in [-1, 1]$에서 $1 - x^4 \ge 0$이므로 세로의 길이는 $1 - x^4$이다.
따라서 직사각형의 넓이 함수 $S(x)$는 다음과 같다.
\[ S(x) = 2|x|(1 - x^4) \]
$S(-x) = 2|-x|(1 - (-x)^4) = 2|x|(1 - x^4) = S(x)$이므로 $S(x)$는 우함수이다.
따라서 대칭구간 $[-1, 1]$에서의 정적분은 다음과 같다.
\[ \int_{-1}^{1} S(x) \, dx = 2 \int_0^1 S(x) \, dx = 2 \int_0^1 2x(1 - x^4) \, dx = 4 \int_0^1 (x - x^5) \, dx \]
원시함수를 구하여 적분하면
\[ 4 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^6}{6} \right]_0^1 = 4 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) = 4 \times \frac{2}{6} = 4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \]
따라서 구하는 정적분의 값은 $\frac{4}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	가로 $2\|x\|$, 세로 $1-x^4$로 직사각형 넓이식 $S(x) = 2\|x\|(1-x^4)$ 수립	6점
2단계	우함수 성질을 이용한 $4\\int_0^1 (x - x^5) dx$ 변환	6점
3단계	다항식 정적분의 올바른 계산	4점
4단계	최종 정답 $4/3$ 정확한 산출	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

대칭 다항곡선 위의 점으로부터 직사각형의 가로와 세로 길이를 도출하고, 우함수의 정적분 성질을 이용하여 정적분을 신속하고 정확하게 계산할 수 있는지 평가한다.

🎯 [최종 정답]$\frac{4}{3}$

【문제 4】 원문 요약 — 3종 미생물의 다원 지수 증식 경쟁 모델 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

다음은 [대수: 3종 미생물의 다원 지수 증식 경쟁 모델] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 4 · 총 20점

1) 초기 개체수 설정:
초기 개체수를 어떤 양수 $k$에 대하여
\[ A_0 = 8k, \quad B_0 = 4k, \quad C_0 = k \]
라 하자.

2) $t$시간 후 각 균주의 개체수 모델링:
- A 균주: 6시간 주기 $\implies A(t) = 8k \times 2^{t/6} = 2^3 k \times 2^{t/6} = k \times 2^{\frac{t}{6} + 3}$
- B 균주: 4시간 주기 $\implies B(t) = 4k \times 2^{t/4} = 2^2 k \times 2^{t/4} = k \times 2^{\frac{t}{4} + 2}$
- C 균주: 2시간 주기 $\implies C(t) = k \times 2^{t/2}$

3) C 균주가 전체의 $50\%$를 초과할 조건:
총 개체수를 $T(t) = A(t) + B(t) + C(t)$라 할 때,
\[ \frac{C(t)}{T(t)} \gt 0.5 \iff C(t) \gt A(t) + B(t) \]
양변을 $k$로 나누고 개체수 식을 대입하면
\[ 2^{t/2} \gt 2^{\frac{t}{6} + 3} + 2^{\frac{t}{4} + 2} \]
계산을 단순화하기 위해 주기의 최소공배수인 $12$시간 단위를 고려하자.
$t = 12m$ 또는 정수 시간 $t$를 차례로 검토한다:
- $t = 12$일 때:
- $C(12) = 2^6 = 64$
- $A(12) = 2^{2+3} = 2^5 = 32$
- $B(12) = 2^{3+2} = 2^5 = 32$
- $A(12) + B(12) = 32 + 32 = 64$
이때 $C(12) = A(12) + B(12)$이므로 $C$의 비율은 정확히 $50\%$이다 (초과하지 않음).
- $t = 13$일 때:
- $C(13) = 2^{6.5} = 64\sqrt{2} \approx 64 \times 1.414 = 90.5$
- $A(13) = 2^{13/6 + 3} = 2^{31/6} \approx 35.9$
- $B(13) = 2^{13/4 + 2} = 2^{21/4} = 32 \times 2^{1/4} \approx 32 \times 1.189 = 38.0$
- $A(13) + B(13) \approx 73.9 \lt 90.5$.
따라서 $C(13) \gt A(13) + B(13)$이 성립한다.

그러므로 C 균주가 전체 미생물의 $50\%$를 처음으로 초과하게 되는 시점은 $13$시간 후이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	초기 개체수 비 $8k, 4k, k$ 설정 및 지수식 모델링	6점
2단계	$50\\%$ 초과 조건 $C(t) \gt A(t) + B(t)$ 수립	5점
3단계	$t=12$일 때 $C = A+B = 64$로 정확히 $50\\%$임을 판정	5점
4단계	처음으로 초과하는 시각 $t=13$시간 정확한 도출	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

3개 이상의 다원 군집이 서로 다른 지수적 증식률을 가질 때, 각 군집의 개체수를 공통 밑수의 지수함수로 통일하고, 비율 부등식을 정수 해 조건에서 정확히 해결할 수 있는지 평가한다.

$13$시간 후(단, $t=12$일 때 정확히 $50\%$에 도달하며, $50\%$를 초과하는 최초의 정수 시간은 $13$시간)

【문제 5】 원문 요약 — 방향 전환 속도 모델과 변위 vs 이동거리 [배점 20점]

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.34 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 5 · 총 20점

[문제 10-1 풀이]
속도 함수를 인수분해하면
\[ v(t) = 3(t^2 - 4t + 3) = 3(t-1)(t-3) \]
속도의 부호를 분석하면:
- $0 \le t \lt 1$: $v(t) \gt 0$ (양의 방향 진행)
- $1 \lt t \lt 3$: $v(t) \lt 0$ (음의 방향 후진)
- $3 \lt t \le 4$: $v(t) \gt 0$ (양의 방향 진행)

1) 위치의 변화량(변위 $\Delta x$):
\[ \Delta x = \int_0^4 (3t^2 - 12t + 9) \, dt = \left[ t^3 - 6t^2 + 9t \right]_0^4 \]
\[ = (4)^3 - 6(4)^2 + 9(4) = 64 - 96 + 36 = 4 \, \text{m} \]

2) 실제로 이동한 총 거리 ($s$):
\[ s = \int_0^4 |v(t)| \, dt = \int_0^1 v(t) \, dt - \int_1^3 v(t) \, dt + \int_3^4 v(t) \, dt \]
- $\int_0^1 v(t) \, dt = [t^3 - 6t^2 + 9t]_0^1 = 1 - 6 + 9 = 4 \, \text{m}$
- $\int_1^3 v(t) \, dt = [t^3 - 6t^2 + 9t]_1^3 = (27 - 54 + 27) - 4 = 0 - 4 = -4 \, \text{m}$
- $\int_3^4 v(t) \, dt = [t^3 - 6t^2 + 9t]_3^4 = 4 - 0 = 4 \, \text{m}$
따라서 총 이동거리는
\[ s = 4 - (-4) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 \, \text{m} \]

[문제 10-2 풀이]
1) 운동 방향 전환 시각 및 가속도:
운동 방향은 속도의 부호가 바뀌는 순간에 전환된다.
$v(t) = 3(t-1)(t-3) = 0$이므로 운동 방향이 바뀌는 시각은 $t = 1$초와 $t = 3$초이다.
가속도 함수는 $a(t) = v'(t) = 6t - 12$이다.
- $t = 1$초일 때: $a(1) = 6(1) - 12 = -6 \, \text{m/s}^2$ (정지 후 음의 방향으로 가속)
- $t = 3$초일 때: $a(3) = 6(3) - 12 = +6 \, \text{m/s}^2$ (정지 후 양의 방향으로 가속)

2) 속도가 최소가 되는 시각 및 가속도의 물리적 의미:
$v'(t) = 6t - 12 = 0 \implies t = 2$초.
$v''(t) = 6 \gt 0$이므로 속도 함수는 $t = 2$초에서 유일한 극소이자 최솟값을 갖는다.
- 최솟값: $v(2) = 3(4) - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 \, \text{m/s}$.
- 이때의 가속도: $a(2) = v'(2) = 0 \, \text{m/s}^2$.
- 물리적 의미: $t=2$초에서는 가속도가 $0$이 되며, 이는 후진 방향(음의 방향)으로의 속력(빠르기 $|v| = 3\text{m/s}$)이 최대가 되는 순간이다. 이후에는 가속도가 양수가 되어 감속 브레이크가 걸리며 $t=3$초에 다시 정지하게 된다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 변위 정적분 계산 $\\Delta x = 4\\, \\text{m}$	4점
2단계	[5-1] 구간 분할을 통한 총 이동거리 $12\\, \\text{m}$ 도출	4점
3단계	[10-2-1] 방향 전환 시각 $t=1, 3$초 및 가속도 $-6, +6\\text{m/s}^2$ 계산	6점
4단계	[10-2-2] 최저속도 시각 $t=2$초 및 가속도 $0$의 물리적 의미 서술	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

속도에 부호 변화(방향 전환)가 존재하는 경우 위치의 변화량(정적분)과 총 이동거리(절댓값의 정적분)의 차이를 명확히 구분하여 계산하고, 도함수(가속도)와의 관계를 분석할 수 있는지 평가한다.

[5-1]변위 $4 \, \text{m}$, 총 이동거리 $12 \, \text{m}$
[10-2-1] 운동 방향 전환: $t = 1$초 (가속도 $-6\text{m/s}^2$), $t = 3$초 (가속도 $+6\text{m/s}^2$)
[10-2-2] $t = 2$초에서 속도 최솟값 $-3\text{m/s}$ (가속도 $a(2)=0$, 후진 방향 최대 속력 순간)

【문제 1】 원문 요약 — 삼차함수 삼중 분할 넓이와 매개변수 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.22 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 1 · 총 20점

[문제 1-1 풀이]
1) $f_1(x) = kx(4-x) = -kx^2 + 4kx$는 $x=0, 4$에서 $x$축과 만난다.
$k \gt 0$이므로 $0 \le x \le 4$에서 $f_1(x) \ge 0$이다.
넓이 공식을 적용하면
\[ S_1 = \int_0^4 kx(4-x) \, dx = \frac{k}{6} (4-0)^3 = \frac{64k}{6} = \frac{32k}{3} \]

2) $f_2(x) = x(x-k)(x-3k)$는 $x = 0, k, 3k$에서 $x$축과 만난다.
- $0 \le x \le k$에서 $f_2(x) \ge 0$
- $k \le x \le 3k$에서 $f_2(x) \le 0$
따라서 두 영역의 넓이의 합 $S_2$는 다음과 같다.
\[ S_2 = \int_0^k f_2(x) \, dx - \int_k^{3k} f_2(x) \, dx \]
$f_2(x) = x(x^2 - 4kx + 3k^2) = x^3 - 4kx^2 + 3k^2 x$이므로 부정적분은
\[ F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{4k x^3}{3} + \frac{3k^2 x^2}{2} \]
각 경곗값을 계산하면:
- $F(0) = 0$
- $F(k) = k^4 \left( \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2} \right) = k^4 \left( \frac{3 - 16 + 18}{12} \right) = \frac{5}{12} k^4$
- $F(3k) = \frac{81k^4}{4} - \frac{4k(27k^3)}{3} + \frac{3k^2(9k^2)}{2} = k^4 \left( \frac{81}{4} - 36 + \frac{27}{2} \right)$
\[ = k^4 \left( \frac{81 - 144 + 54}{4} \right) = -\frac{9}{4} k^4 = -\frac{27}{12} k^4 \]
따라서:
- $\int_0^k f_2(x) dx = F(k) - F(0) = \frac{5}{12} k^4$
- $\int_k^{3k} f_2(x) dx = F(3k) - F(k) = -\frac{27}{12} k^4 - \frac{5}{12} k^4 = -\frac{32}{12} k^4$
두 영역의 넓이의 합은
\[ S_2 = \frac{5}{12} k^4 - \left( -\frac{32}{12} k^4 \right) = \frac{37}{12} k^4 \]

[문제 1-2 풀이]
$S_1 = S_2$이어야 하므로
\[ \frac{32k}{3} = \frac{37k^4}{12} \]
양변에 12를 곱하면
\[ 128k = 37k^4 \implies k(37k^3 - 128) = 0 \]
$k \gt 0$이므로
\[ k^3 = \frac{128}{37} \implies k = \sqrt[3]{\frac{128}{37}} = \frac{4\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{37}} = \frac{4\sqrt[3]{2738}}{37} \]
이때의 넓이 $S$는
\[ S = S_1 = \frac{32}{3} k = \frac{32}{3} \times \frac{4\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{37}} = \frac{128\sqrt[3]{2}}{3\sqrt[3]{37}} \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] $S_1$의 정적분 계산 및 $S_1 = 32k/3$ 도출	5점
2단계	[1-1] $S_2$의 구간 분할 정적분 계산 및 $S_2 = 37k^4/12$ 도출	5점
3단계	[1-2] 방정식 $37k^3 = 128$ 수립 및 $k = \\sqrt[3]{128/37}$ 산출	6점
4단계	[1-2] 이때의 넓이값 정확한 표현	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

이차곡선의 정적분 넓이와 세 실근을 갖는 삼차곡선이 $x$축과 이루는 두 영역의 넓이의 합을 정확한 적분 계산을 통해 $k$의 식으로 유도하고, 고차 대수방정식의 양의 실근을 구할 수 있는지 평가한다.

[1-1]$S_1 = \frac{32k}{3}, \; S_2 = \frac{37k^4}{12}$
[1-2] $k = \sqrt[3]{\frac{128}{37}}$, 넓이 $S = \frac{128\sqrt[3]{2}}{3\sqrt[3]{37}}$

【문제 2】 원문 요약 — 멱함수 정적분과 조화수열 심화 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.11 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

자연수 $n \ge 1$에 대하여 곡선 $y = 1 - x^n \; (0 \le x \le 1)$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $D_n$이라 하자.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 2 · 총 20점

[문제 2-1 풀이]
$0 \le x \le 1$에서 영역 $D_n$의 넓이는
\[ D_n = \int_0^1 (1 - x^n) \, dx = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \]
연속한 두 넓이의 차 $\Delta_n$은
\[ \Delta_n = D_{n+1} - D_n = \left( 1 - \frac{1}{n+2} \right) - \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} \]

[문제 2-2 풀이]
$1 - D_n = \frac{1}{n+1}$이므로 그 역수는 다음과 같다.
\[ \frac{1}{1 - D_n} = n + 1 \]
따라서 세 수 $\frac{1}{1-D_a}, \frac{1}{1-D_b}, \frac{1}{1-D_c}$는 각각
\[ a+1, \quad b+1, \quad c+1 \]
이다. 이 세 수가 순서대로 등차수열을 이루기 위한 필요충분조건은 등차중항에 의하여
\[ 2(b+1) = (a+1) + (c+1) \iff 2b = a + c \]
즉, $a, b, c$ 자신이 순서대로 등차수열을 이루어야 한다 ($b = \frac{a+c}{2}$).
$a, b, c$가 자연수이므로 $a$와 $c$는 홀짝성(Parity)이 같아야 한다.
주어진 조건은 $1 \le a \lt b \lt c \le 12$이다.
- $a, c$가 모두 홀수인 경우: $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ (총 6개 중 2개 선택)
\[ \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15\text{가지} \]
- $a, c$가 모두 짝수인 경우: $\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ (총 6개 중 2개 선택)
\[ \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15\text{가지} \]
따라서 가능한 순서쌍 $(a, b, c)$의 총 개수는 $15 + 15 = 30$개이다.

공차 $d = b-a$별로 순서쌍을 나열하면:
- $d = 1$: $(1, 2, 3), (2, 3, 4), \dots, (10, 11, 12)$ (10개)
- $d = 2$: $(1, 3, 5), (2, 4, 6), \dots, (8, 10, 12)$ (8개)
- $d = 3$: $(1, 4, 7), (2, 5, 8), \dots, (6, 9, 12)$ (6개)
- $d = 4$: $(1, 5, 9), (2, 6, 10), (3, 7, 11), (4, 8, 12)$ (4개)
- $d = 5$: $(1, 6, 11), (2, 7, 12)$ (2개)
총 $10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 30$개이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] $D_n$ 및 차분 $\\Delta_n = 1/((n+1)(n+2))$ 도출	8점
2단계	[2-2] $1/(1-D_n) = n+1$의 역수 성질 파악 및 $2b = a+c$ 유도	6점
3단계	[2-2] 홀짝성 분석 또는 공차별 분류를 통한 총 30개 순서쌍 완벽 도출	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

넓이의 차의 분수식 변형을 이해하고, $1 - D_n = \frac{1}{n+1}$의 역수가 등차수열을 이룬다는 성질($a, b, c$가 등차수열)을 간파하여 자연수 범위 내의 모든 순서쌍을 체계적으로 도출할 수 있는지 평가한다.

[2-1]$D_n = \frac{n}{n+1}$, $\Delta_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$
[2-2] 총 $30$개
순서쌍: 공차 $d \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$에 따른 등차수열 순서쌍 30개

【문제 3】 원문 요약 — 삼차 로그방정식과 세 근의 곱 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

방정식
\[ \left( \log_3 x \right)^3 - 4\left( \log_3 x \right)^2 - 11\log_3 x + 30 = 0 \]
의 세 실근을 $\alpha, \beta, \gamma$라고 할 때 다음 물음에 답하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 3 · 총 20점

[문제 3-1 풀이]
진수 조건에 의해 $x \gt 0$이다.
$t = \log_3 x$로 치환하면 주어진 방정식은 다음과 같은 $t$에 대한 삼차방정식이 된다.
\[ t^3 - 4t^2 - 11t + 30 = 0 \]
이 방정식의 세 실근을 $t_1, t_2, t_3$라 하면, $x$에 대한 세 실근 $\alpha, \beta, \gamma$에 대하여
\[ t_1 = \log_3 \alpha, \quad t_2 = \log_3 \beta, \quad t_3 = \log_3 \gamma \]
가 성립한다. 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 세 근의 합은
\[ t_1 + t_2 + t_3 = 4 \]
따라서
\[ \log_3 \alpha + \log_3 \beta + \log_3 \gamma = \log_3 (\alpha\beta\gamma) = 4 \]
로그의 정의에 의하여
\[ \alpha\beta\gamma = 3^4 = 81 \]

[문제 3-2 풀이]
로그의 밑 변환 공식의 성질에 의하여
\[ \frac{1}{\log_a b} = \log_b a \]
이 성립하므로
\[ \frac{1}{\log_\alpha 3} = \log_3 \alpha = t_1 \]
\[ \frac{1}{\log_\beta 3} = \log_3 \beta = t_2 \]
\[ \frac{1}{\log_\gamma 3} = \log_3 \gamma = t_3 \]
따라서 구하고자 하는 식의 값은 단순히 세 근의 합 $t_1 + t_2 + t_3$과 같다:
\[ \frac{1}{\log_\alpha 3} + \frac{1}{\log_\beta 3} + \frac{1}{\log_\gamma 3} = t_1 + t_2 + t_3 = 4 \]
(참고: $t^3 - 4t^2 - 11t + 30 = (t-2)(t-5)(t+3) = 0$이므로 실제 세 근은 $t = 2, 5, -3$이고 판별식 조건 없이도 세 실근이 온전히 존재한다.)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] $t = \\log_3 x$ 치환을 통한 삼차방정식 수립	5점
2단계	[3-1] 근과 계수의 관계 $t_1+t_2+t_3=4$로부터 $\\alpha\\beta\\gamma = 3^4 = 81$ 도출	5점
3단계	[3-2] 밑 변환 역수 성질 $\\frac{1}{\\log_x 3} = \\log_3 x$ 파악	6점
4단계	[3-2] 세 근의 합 4와의 일치성 논증 및 최종값 도출	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

삼차 다항 로그방정식을 치환하여 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 적용하고, 로그의 밑 변환 성질을 통해 식의 값을 정확하게 계산할 수 있는지 평가한다.

[3-1]$\alpha\beta\gamma = 81$
[3-2] $4$

【문제 4】 원문 요약 — 사차함수 구간 최솟값 다중 분기 [배점 20점]

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.38 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

$a \lt 1$인 실수 $a$에 대하여 닫힌구간 $[a, 1]$에서 함수
\[ f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 \]
의 최솟값을 $m(a)$라 할 때 다음 물음에 답하시오.

[문제 4-1] 함수 $m(a)$를 $a$의 구간별로 구하시오. (12점)

[문제 4-2] $m(0) + m(-1) + m(-2) + m(-3)$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 4 · 총 20점

[문제 4-1 풀이]
$f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3)$
도함수는
\[ f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2) = 4x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \]
극값 분석:
- $x = -\sqrt{2}$에서 극솟값 $f(-\sqrt{2}) = 4 - 8 + 3 = -1$
- $x = 0$에서 극댓값 $f(0) = 3$
- $x = \sqrt{2}$에서 극솟값 $f(\sqrt{2}) = -1$

구간 $[a, 1]$은 $x \le 1$이므로 $x = \sqrt{2} \approx 1.414$는 구간에 포함되지 않는다.
오른쪽 끝점 $x = 1$에서의 함숫값은
\[ f(1) = 1 - 4 + 3 = 0 \]
구간 내의 극소점은 $x = -\sqrt{2} \approx -1.414$이다.
1) $-\sqrt{2} \le a \lt 1$일 때:
구간 $[a, 1]$에는 극소점 $x = -\sqrt{2}$가 포함되지 않거나 왼쪽 끝에 걸친다.
- $0 \le x \le 1$에서 $f'(x) \le 0$이므로 감소한다. $f(1) = 0, f(0) = 3$.
- $-\sqrt{2} \le x \le 0$에서 $f'(x) \ge 0$이므로 증가한다.
따라서 최솟값 후보는 양 끝점 $f(a)$ 또는 $f(1)=0$이다.
$f(a) = f(1) = 0 \iff a^4 - 4a^2 + 3 = 0 \iff (a^2 - 1)(a^2 - 3) = 0$.
$a \in [-\sqrt{2}, 1)$에서 $f(a) = 0$이 되는 점은 $a = -1$이다.
- $-1 \le a \lt 1$: $x \in [a, 1]$에서 최솟값은 $f(1) = 0$ 또는 $f(a)$인데,
$a \in [0, 1)$이면 $f(a) \gt f(1) = 0 \implies m(a) = f(1) = 0$.
$a \in [-1, 0)$이면 $f(a) \ge 0, f(1) = 0 \implies m(a) = 0$.
즉, $-1 \le a \lt 1$일 때 $m(a) = 0$이다.
- $-\sqrt{2} \le a \lt -1$: $a \in [-\sqrt{2}, -1)$에서 $f(a) \lt 0$이다.
따라서 최솟값은 왼쪽 끝점 $f(a)$이다. 즉, $m(a) = f(a) = a^4 - 4a^2 + 3$.
2) $a \lt -\sqrt{2}$일 때:
극소점 $x = -\sqrt{2}$가 구간 $[a, 1]$의 내부에 완전히 포함된다.
이때 극솟값은 $f(-\sqrt{2}) = -1$이다.
왼쪽 끝점 $f(a)$가 $-1$ 이하로 내려가는 시점을 찾으면:
\[ f(a) = -1 \iff a^4 - 4a^2 + 3 = -1 \iff a^4 - 4a^2 + 4 = 0 \iff (a^2 - 2)^2 = 0 \implies a = -\sqrt{2} \]
$a \lt -\sqrt{2}$이면 $a^2 \gt 2$이므로 $(a^2 - 2)^2 \gt 0 \implies f(a) \gt -1$이다!
(사차함수의 그래프에서 $x \lt -\sqrt{2}$일 때 $f'(x) \lt 0$이므로 $f(x)$는 증가하며 $-1$보다 크다.)
그러므로 $a \lt -\sqrt{2}$일 때도 구간 내 최솟값은 여전히 극솟값 $f(-\sqrt{2}) = -1$이다!
(왼쪽 끝점 $f(a)$는 항상 $-1$보다 크거나 같다.)

따라서 최솟값 함수 $m(a)$는 다음과 같이 완벽히 정리된다:
\[ m(a) = \begin{cases} 0 & (-1 \le a \lt 1) \\ a^4 - 4a^2 + 3 & (-\sqrt{2} \le a \lt -1) \\ -1 & (a \lt -\sqrt{2}) \end{cases} \]

[문제 4-2 풀이]
- $a = 0$: $-1 \le 0 \lt 1$이므로 $m(0) = 0$
- $a = -1$: $-1 \le -1 \lt 1$이므로 $m(-1) = 0$
- $a = -2$: $-2 \lt -\sqrt{2} \approx -1.414$이므로 $m(-2) = -1$
- $a = -3$: $-3 \lt -\sqrt{2}$이므로 $m(-3) = -1$

따라서
\[ m(0) + m(-1) + m(-2) + m(-3) = 0 + 0 + (-1) + (-1) = -2 \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] $f'(x)$ 분석을 통한 극대점 $(0, 3)$ 및 극소점 $(\\pm\\sqrt{2}, -1)$ 파악	4점
2단계	[4-1] 분기점 $a = -1$ 및 $a = -\\sqrt{2}$ 정확한 도출	4점
3단계	[4-1] 구간별 최솟값 함수 $m(a)$의 3단계 완전 정의	4점
4단계	[4-2] $m(0)=0, m(-1)=0, m(-2)=-1, m(-3)=-1$ 계산 및 합 $-2$ 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

우함수 성질을 갖는 사차함수의 극대·극소 위치를 파악하고, 경계 $a$가 이동함에 따라 극솟값과 양 끝점 함숫값의 대소 관계를 정확히 판정하여 구간별 최솟값 함수를 정의할 수 있는지 평가한다.

[4-1]$m(a) = \begin{cases} 0 & (-1 \le a \lt 1) \\ a^4 - 4a^2 + 3 & (-\sqrt{2} \le a \lt -1) \\ -1 & (a \lt -\sqrt{2}) \end{cases}$
[4-2] $-2$

【문제 5】 원문 요약 — 수직 접선과 미분가능성 극한 논증 [배점 20점]

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.39 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

함수 $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 5 · 총 20점

[문제 5-1 풀이]
미분계수의 정의에 따른 $x=0$에서의 평균변화율의 극한은 다음과 같다.
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^{1/3}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^{2/3}} \]
여기서 $h^{2/3} = (\sqrt[3]{h})^2$이다.
- $h \to 0^+$일 때: $h^{2/3} \gt 0$이며 $0$으로 수렴하므로 $\frac{1}{h^{2/3}} \to +\infty$
- $h \to 0^-$일 때: $h^{2/3} = (-|h|)^{2/3} = |h|^{2/3} \gt 0$이며 $0$으로 수렴하므로 $\frac{1}{h^{2/3}} \to +\infty$
우극한과 좌극한이 모두 양의 무한대($+\infty$)로 발산한다.
미분계수가 존재한다는 것은 이 극한값이 유한한 하나의 실수(Real number)로 수렴함을 의미한다.
따라서 극한값이 발산하므로 $f'(0)$은 존재하지 않으며, 함수 $f(x)$는 $x=0$에서 미분가능하지 않다.

[문제 5-2 풀이]
- 주장의 내용: "그래프가 연속이고 매끄러우며 접선 $x=0$($y$축)이 존재하므로 미분가능하다."
- 수학적 오류 설명:
미분계수 $f'(a)$의 수학적 정의는 기하학적 접선에서 직선의 기울기(Slope)를 나타내는 실수값이다.
곡선 $y = \sqrt[3]{x}$는 원점 $(0, 0)$에서 기하학적으로 $y$축($x=0$)에 접한다.
그러나 $y$축은 수직선(Vertical line)이므로 그 기울기가 정의되지 않는다(무한대로 발산).
고교 교육과정 및 해석학에서 '함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능하다'는 것은 $x=a$에서의 미분계수 $f'(a)$가 유한한 실수로 존재하는 경우만을 의미한다.
따라서 수직 접선(기울기 무한대)을 갖는 점에서는 그래프가 아무리 연속이고 매끄럽게 연결되더라도 해석학적으로 미분계수가 존재하지 않으므로 미분가능하지 않다. 위 주장은 '기하학적 접선의 존재'와 '미분계수(기울기)의 실수 수렴'을 혼동한 치명적인 오류이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 평균변화율 식 $\\lim_{h \\to 0} 1/h^{2/3}$ 정리	5점
2단계	[5-1] 좌우 극한이 모두 $+\\infty$로 발산함을 보이고 미분불가능 결론 도출	5점
3단계	[5-2] 미분계수의 정의가 '유한한 실수 기울기'임을 명시	5점
4단계	[5-2] 수직 접선(기울기 정의 불가)과 미분가능성의 차이를 명확히 반박	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

도함수의 정의를 적용했을 때 평균변화율의 극한이 무한대로 발산함을 증명하여 미분불가능성을 엄밀히 논증하고, '매끄러운 곡선 및 기하학적 접선 존재'와 '해석학적 미분가능성(실수 미분계수의 존재)'의 차이를 명확히 구분할 수 있는지 평가한다.

[5-1]극한값 $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h^{2/3}} = +\infty$로 발산하므로 $x=0$에서 미분불가능.
[5-2] $x=0$에서의 접선이 수직선($y$축)이어서 기울기가 실수로 정의되지 않으므로, 기하학적 수직 접선이 존재하더라도 미분계수는 존재하지 않음.

【문제 1】 원문 요약 — 두 등차수열 합의 비와 일반항의 비 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

다음은 [대수: 두 등차수열 합의 비와 일반항의 비] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 1 · 총 20점

등차수열 $\{a_n\}$의 제11항 $a_{11}$은 제1항부터 제21항까지의 등차중항이다.
등차수열의 합 공식에 의하여
\[ S_{21} = \frac{21(a_1 + a_{21})}{2} = 21 \times \left( \frac{a_1 + a_{21}}{2} \right) = 21 a_{11} \]
마찬가지로 등차수열 $\{b_n\}$에 대해서도
\[ T_{21} = \frac{21(b_1 + b_{21})}{2} = 21 \times \left( \frac{b_1 + b_{21}}{2} \right) = 21 b_{11} \]
이 성립한다. 따라서
\[ \frac{S_{21}}{T_{21}} = \frac{21 a_{11}}{21 b_{11}} = \frac{a_{11}}{b_{11}} \]
문제의 조건에서 $\frac{S_n}{T_n} = \frac{7n+1}{4n+27}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립하므로, $n = 21$을 대입하면
\[ \frac{a_{11}}{b_{11}} = \frac{S_{21}}{T_{21}} = \frac{7(21) + 1}{4(21) + 27} = \frac{147 + 1}{84 + 27} = \frac{148}{111} \]
분자와 분모를 최대공약수 $37$로 약분하면
\[ 148 = 37 \times 4, \quad 111 = 37 \times 3 \]
따라서
\[ \frac{a_{11}}{b_{11}} = \frac{4}{3} \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	등차수열 합의 성질 $S_{21} = 21 a_{11}, T_{21} = 21 b_{11}$ 파악	8점
2단계	$n=21$ 대입을 통한 $S_{21}/T_{21} = 148/111$ 유도	6점
3단계	약분을 통한 최종 비율 $4/3$ 정확한 도출	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

등차수열의 합과 일반항 사이의 관계, 특히 홀수 항까지의 부분합이 중앙항(등차중항)의 배수라는 성질($S_{2k-1} = (2k-1)a_k$)을 활용하여 고난도 비율 관계를 명쾌하게 증명하고 계산할 수 있는지 평가한다.

🎯 [최종 정답]$\frac{a_{11}}{b_{11}} = \frac{4}{3}$

【문제 2】 원문 요약 — 절댓값 조각함수의 주기성과 정적분 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

[문제 2-1] 상수 $a, b$의 값을 구하시오. (10점)

[문제 2-2] 다음 정적분의 값을 구하시오. (10점)
\[ \int_0^9 f(x) \, dx \]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 2 · 총 20점

[문제 7-1 풀이]
1) $f(0) = 2$ 조건:
$x = 0$을 대입하면
\[ f(0) = |0(0-2)| + a(0) + b = b \implies b = 2 \]
따라서 $f(x) = |x(x-2)| + ax + 2$이다.

2) 주기 $P = 3$에 따른 연속 조건:
주기가 3이므로 구간 $[0, 3]$의 양 끝점인 $x=0$과 $x=3$에서의 함숫값이 일치해야 한다.
\[ f(0) = f(3) \]
$x = 3$에서의 함숫값을 계산하면
\[ f(3) = |3(3-2)| + 3a + 2 = |3| + 3a + 2 = 3 + 3a + 2 = 3a + 5 \]
따라서
\[ 3a + 5 = 2 \implies 3a = -3 \implies a = -1 \]
그러므로 $a = -1, b = 2$이다.

[문제 7-2 풀이]
구간 $[0, 3]$에서 $f(x) = |x^2 - 2x| - x + 2$이다.
$f(x)$는 주기가 3인 함수이므로 $[0, 9]$ 구간의 정적분은 3주기의 정적분의 합과 같다:
\[ \int_0^9 f(x) \, dx = 3 \int_0^3 f(x) \, dx \]
한 주기 정적분 $\int_0^3 f(x) dx$를 구간 분할하여 계산한다.
$x(x-2)$의 부호:
- $0 \le x \le 2$에서 $x^2 - 2x \le 0 \implies |x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x$
따라서 $f(x) = (-x^2 + 2x) - x + 2 = -x^2 + x + 2$.
- $2 \le x \le 3$에서 $x^2 - 2x \ge 0 \implies |x^2 - 2x| = x^2 - 2x$
따라서 $f(x) = (x^2 - 2x) - x + 2 = x^2 - 3x + 2$.

각각 적분하면:
1) $\int_0^2 (-x^2 + x + 2) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_0^2 = -\frac{8}{3} + 2 + 4 = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$
2) $\int_2^3 (x^2 - 3x + 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_2^3$
- $x = 3$ 대입: $\frac{27}{3} - \frac{27}{2} + 6 = 15 - 13.5 = 1.5 = \frac{3}{2}$
- $x = 2$ 대입: $\frac{8}{3} - 6 + 4 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}$
- 값: $\frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6}$

따라서 한 주기 적분값은
\[ \int_0^3 f(x) \, dx = \frac{10}{3} + \frac{5}{6} = \frac{20 + 5}{6} = \frac{25}{6} \]
구하는 3주기 전체의 정적분 값은
\[ \int_0^9 f(x) \, dx = 3 \times \frac{25}{6} = \frac{25}{2} \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] $f(0)=2$로부터 $b=2$ 도출	4점
2단계	[2-1] 주기 조건 $f(0)=f(3)$으로부터 $a=-1$ 도출	6점
3단계	[2-2] 구간 분할을 통한 한 주기 적분값 $25/6$ 도출	6점
4단계	[2-2] 3주기 적분 $3 \\times (25/6) = 25/2$ 정확한 계산	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

절댓값 기호를 포함한 조각함수의 연속 조건과 주기성을 연립하여 미정계수를 확정하고, 주기 정적분의 성질을 이용하여 긴 구간의 정적분을 한 주기의 정적분의 정수배로 능숙하게 해결할 수 있는지 평가한다.

[2-1]$a = -1, \; b = 2$
[2-2] $\frac{25}{2}$

【문제 3】 원문 요약 — 3차 곡선 위의 점과 대칭 직사각형 정적분 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.29 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

다음은 [미적분ⅡⅠ: 3차 곡선 위의 점과 대칭 직사각형 정적분] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 3 · 총 20점

점 $\text{A}(x, 0)$과 점 $\text{D}(x, |4x - x^3|)$에 대하여, $y$축 대칭점은
\[ \text{B}(-x, 0), \quad \text{C}(-x, |4(-x) - (-x)^3|) = (-x, |-4x + x^3|) = (-x, |4x - x^3|) \]
이다. 사각형 $\text{ABCD}$의 가로의 길이는 $|x - (-x)| = 2|x|$이고, 세로의 길이는 $|4x - x^3|$이다.
따라서 직사각형의 넓이 함수 $S(x)$는 다음과 같다.
\[ S(x) = 2|x| |4x - x^3| \]
$S(-x) = 2|-x| |4(-x) - (-x)^3| = 2|x| |4x - x^3| = S(x)$이므로 $S(x)$는 우함수이다.
따라서 대칭구간 $[-2, 2]$에서의 정적분은 다음과 같다.
\[ \int_{-2}^{2} S(x) \, dx = 2 \int_0^2 S(x) \, dx = 2 \int_0^2 2x |4x - x^3| \, dx = 4 \int_0^2 x |4x - x^3| \, dx \]
$x \in [0, 2]$에서 $4x - x^3 = x(4 - x^2) = x(2-x)(2+x) \ge 0$이므로 $|4x - x^3| = 4x - x^3$이다.
따라서
\[ 4 \int_0^2 x(4x - x^3) \, dx = 4 \int_0^2 (4x^2 - x^4) \, dx \]
원시함수를 구하여 적분하면
\[ 4 \left[ \frac{4x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = 4 \left( \frac{4(8)}{3} - \frac{32}{5} \right) = 4 \times 32 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) \]
\[ = 128 \times \frac{2}{15} = \frac{256}{15} \]
따라서 구하는 정적분의 값은 $\frac{256}{15}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	가로 $2\|x\|$, 세로 $\|4x-x^3\|$ 설정 및 넓이식 $S(x)$ 수립	6점
2단계	우함수 성질을 이용한 $4\\int_0^2 x(4x-x^3) dx$ 변환	6점
3단계	다항함수 정적분 계산 과정	4점
4단계	최종값 $256/15$ 정확한 산출	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

절댓값이 포함된 3차 곡선 위의 점과 $y$축 대칭성을 이용하여 직사각형의 넓이 함수를 수립하고, 우함수 정적분 성질을 통해 정적분을 정확히 계산할 수 있는지 평가한다.

🎯 [최종 정답]$\frac{256}{15}$

【문제 4】 원문 요약 — 방사성 반감기-세균 증식 복합 지수 모델링 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

다음은 [대수: 방사성 반감기-세균 증식 복합 지수 모델링] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 4 · 총 20점

1) 시간 $t$일 후의 방사능 수치 $R(t)$ 모델링:
반감기가 6일이므로 $t$일 후의 총 방사능 수치는 다음과 같다.
\[ R(t) = R_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6} = R_0 \times 2^{-t/6} \]

2) 시간 $t$일 후의 세균 수 $B(t)$ 모델링:
증식 주기가 2일이므로 $t$일 후의 총 세균 수는 다음과 같다.
\[ B(t) = B_0 \times 2^{t/2} \]

3) 세균 1마리당 부하량 $L(t)$ 유도:
\[ L(t) = \frac{R(t)}{B(t)} = \frac{R_0 \times 2^{-t/6}}{B_0 \times 2^{t/2}} = \frac{R_0}{B_0} \times 2^{-t/6 - t/2} = L(0) \times 2^{-\frac{2}{3}t} \]

4) 부하량 $\frac{1}{1024}$ 이하 도달 조건:
$1024 = 2^{10}$이므로 $\frac{1}{1024} = 2^{-10}$이다.
\[ L(t) \le \frac{1}{1024} L(0) \iff L(0) \times 2^{-\frac{2}{3}t} \le L(0) \times 2^{-10} \]
$L(0) \gt 0$이므로 양변을 나누면
\[ 2^{-\frac{2}{3}t} \le 2^{-10} \]
밑이 $2 \gt 1$이므로 지수를 비교하면
\[ -\frac{2}{3}t \le -10 \iff \frac{2}{3}t \ge 10 \iff t \ge 10 \times \frac{3}{2} = 15 \]
따라서 부하량이 초기의 $\frac{1}{1024}$ 이하로 떨어지는 최소의 일수는 $15$일이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	방사능 붕괴 지수식 $R(t) = R_0 2^{-t/6}$ 수립	5점
2단계	세균 증식 지수식 $B(t) = B_0 2^{t/2}$ 수립	5점
3단계	부하량 식 $L(t) = L(0) 2^{-2t/3}$ 유도	5점
4단계	지수부등식 $2^{-2t/3} \\le 2^{-10}$으로부터 $t \\ge 15$일 정확한 도출	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

지수 감소(반감기)와 지수 증가(세포 분열)가 동시에 일어나는 복합 자연과학 모델을 지수부등식으로 수립하고, 밑수 2의 거듭제곱 성질을 활용하여 최소 자연수 일수를 정확히 계산할 수 있는지 평가한다.

🎯 [최종 정답]최소 $15$일

【문제 5】 원문 요약 — 3차 속도곡선의 비대칭 주행과 저크(Jerk) 분석 [배점 20점]

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.44 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-02-03]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 5 · 총 20점

[문제 10-1 풀이]
$0 \le t \le 6$에서 $v(t) = t^2(6-t) \ge 0$이므로 캡슐은 한 방향으로만 이동한다.
이동한 변위 $\Delta x$는 다음과 같다.
\[ \Delta x = \int_0^6 (-t^3 + 6t^2) \, dt = \left[ -\frac{t^4}{4} + 2t^3 \right]_0^6 \]
\[ = -\frac{1296}{4} + 2(216) = -324 + 432 = 108 \, \text{m} \]
따라서 캡슐이 이동한 변위는 $108 \, \text{m}$이다.

[문제 10-2 풀이]
1) 속도 증감 및 최대 속도:
$v'(t) = -3t^2 + 12t = -3t(t-4)$이다.
- $0 \le t \lt 4$: $v'(t) \gt 0$이므로 속도 증가 (가속 구간)
- $4 \lt t \le 6$: $v'(t) \lt 0$이므로 속도 감소 (감속 구간)
- $t = 4$초일 때: 극대이자 최대 속도에 도달한다.
\[ v(4) = 4^2(6-4) = 16 \times 2 = 32 \, \text{m/s} \]

2) 가속도 및 저크(Jerk) 분석:
- 가속도: $a(t) = v'(t) = -3t^2 + 12t \, (\text{m/s}^2)$
- 저크(가속도의 시간 변화율): $j(t) = a'(t) = v''(t) = -6t + 12 \, (\text{m/s}^3)$
가속도가 최대가 되는 순간은 $a'(t) = j(t) = 0$인 시각이다:
\[ -6t + 12 = 0 \implies t = 2 \, \text{초} \]
이때의 가속도는 $a(2) = -3(4) + 12(2) = 12 \, \text{m/s}^2$으로 최댓값을 가지며,
그 순간의 저크의 값은 $j(2) = 0 \, \text{m/s}^3$이다.

3) 변곡점의 공학적·물리적 의미 (승차감 서술):
속도 곡선에서 $t=2$초는 이계도함수 $v''(t) = 0$이 되고 좌우에서 부호가 양에서 음으로 바뀌는 변곡점(Inflection point)이다.
- $0 \le t \lt 2$ 구간에서는 저크가 양수($j(t) \gt 0$)여서 추진 가속도가 점점 강해지며 승객이 시트에 밀착되는 힘이 증가한다.
- $t=2$초를 지나면 저크가 음수($j(t) \lt 0$)로 돌아서며, 속도는 계속 빨라지지만 가속도(밀어붙이는 힘)는 점차 감소하기 시작한다.
따라서 변곡점은 가속도의 피크(Peak)를 형성하며 추진력의 방향 전환이 일어나는 임계점이다. 변곡점에서 저크가 급격히 불연속적으로 변하지 않고 연속적으로 $0$을 통과하기 때문에 캡슐은 갑작스러운 덜컥거림(충격) 없이 매끄럽게 최고 속도로 전환되어 우수한 승차감을 보장하게 된다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 정적분을 통한 변위 $108\\, \\text{m}$ 계산	6점
2단계	[10-2-1] 증감 구간 및 최대 속도 $32\\text{m/s}$ 도출	4점
3단계	[10-2-2] 가속도 및 저크 식 유도, $t=2$초에서 최대 가속도 $12$, 저크 $0$ 도출	6점
4단계	[10-2-3] 변곡점에서의 저크 거동과 승차감 안정성의 물리적 서술	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

속도 함수의 정적분을 통해 변위를 도출하고, 1계 도함수(가속도) 및 2계 도함수(저크, 가속도 변화율)를 구하여 변곡점의 공학적·물리적 의미(승차감 및 기계적 충격 완화)를 깊이 있게 논술할 수 있는지 평가한다.

[5-1]변위 $108 \, \text{m}$
[10-2-1] $[0, 4]$ 증가, $[4, 6]$ 감소, 최대 속도 $32\text{m/s}$
[10-2-2] $a(t) = -3t^2+12t, j(t) = -6t+12$. $t=2$초에서 최대 가속도 $12\text{m/s}^2$, 이때 저크 $0\text{m/s}^3$
[10-2-3] $t=2$초(변곡점)에서 저크가 0이 되며 가속력의 증가에서 감소로 부드럽게 전이되어 승차감 충격을 방지함

【문제 1】 원문 요약 — 사차곡선과 이차곡선 적분 넓이 및 매개변수 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.32 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 1 · 총 20점

[문제 1-1 풀이]
1) $f_1(x) = kx(3-x) = -kx^2 + 3kx$는 $x=0, 3$에서 $x$축과 만난다.
$k \gt 0$이므로 $0 \le x \le 3$에서 $f_1(x) \ge 0$이다.
넓이 공식을 적용하면
\[ S_1 = \int_0^3 kx(3-x) \, dx = \frac{k}{6} (3 - 0)^3 = \frac{27k}{6} = \frac{9k}{2} \]

2) $f_2(x) = x(k-x)^3$은 $x = 0$과 $x = k$(3중근)에서 $x$축과 만난다.
$k \gt 0$일 때 $0 \le x \le k$에서 $x \ge 0$이고 $k-x \ge 0$이므로 $f_2(x) \ge 0$이다.
따라서 둘러싸인 부분의 넓이 $S_2$는 다음과 같다.
\[ S_2 = \int_0^k x(k-x)^3 \, dx \]
$t = k-x$로 치환하면 $x = k-t, dx = -dt$이고, 적분 구간은 $x=0 \implies t=k$, $x=k \implies t=0$이다.
\[ S_2 = \int_k^0 (k-t)t^3 (-dt) = \int_0^k (kt^3 - t^4) \, dt = \left[ \frac{kt^4}{4} - \frac{t^5}{5} \right]_0^k \]
\[ = \frac{k^5}{4} - \frac{k^5}{5} = \frac{5k^5 - 4k^5}{20} = \frac{k^5}{20} \]

[문제 1-2 풀이]
$S_1 = S_2$가 성립해야 하므로
\[ \frac{9k}{2} = \frac{k^5}{20} \]
양변에 20을 곱하면
\[ 90k = k^5 \implies k(k^4 - 90) = 0 \]
$k \gt 0$이므로
\[ k^4 = 90 \implies k = \sqrt[4]{90} = 90^{1/4} \]
이때의 넓이 $S$는
\[ S = S_1 = \frac{9}{2} k = \frac{9\sqrt[4]{90}}{2} \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] $S_1$의 정적분 계산 및 $S_1 = 9k/2$ 도출	5점
2단계	[1-1] $S_2$의 치환적분 또는 전개 적분 계산 및 $S_2 = k^5/20$ 도출	5점
3단계	[1-2] 방정식 $k^4 = 90$ 수립 및 $k = \\sqrt[4]{90}$ 산출	6점
4단계	[1-2] 넓이 $S = \\frac{9\\sqrt[4]{90}}{2}$ 정확한 계산	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

이차곡선의 넓이 공식과 사차곡선의 부분적분 또는 전개를 통한 정적분을 유도하고, 매개변수 $k$에 대한 4차 고차방정식의 유일한 양의 실근을 엄밀하게 결정할 수 있는지 평가한다.

[1-1]$S_1 = \frac{9k}{2}, \; S_2 = \frac{k^5}{20}$
[1-2] $k = \sqrt[4]{90}$, 넓이 $S = \frac{9\sqrt[4]{90}}{2}$

【문제 2】 원문 요약 — 역함수 대칭 영역 넓이와 조화수열 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

자연수 $n \ge 1$에 대하여 곡선 $y = 1 - x^n \; (0 \le x \le 1)$과 그 역함수 $y = g(x)$로 둘러싸인 영역의 넓이를 $D_n$이라 하자.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 2 · 총 20점

[문제 2-1 풀이]
곡선 $y = 1 - x^n$과 그 역함수 $y = g(x)$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.
$0 \le x \le 1$에서 곡선 $y = 1 - x^n$과 $y = x$의 위치 관계를 보면:
- $x = 0$일 때 $y = 1 \gt 0$
- $x = 1$일 때 $y = 0 \lt 1$
따라서 두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이 $D_n$은 $y = 1 - x^n$과 $y = x$ 및 좌표축 사이의 대칭성을 고려할 때,
단위 정사각형 $[0, 1] \times [0, 1]$ 내에서 곡선 $y = 1 - x^n$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 넓이의 2배에서 정사각형의 적절한 부분을 뺀 형태이다.
직접적으로 $y = 1 - x^n$의 역함수는 $x = (1-y)^{1/n} \implies g(x) = (1-x)^{1/n}$이다.
두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이는 다음과 같다.
\[ D_n = 2 \left| \int_0^1 (1 - x^n) \, dx - \frac{1}{2} \right| \]
(직선 $y = 1-x$와 곡선 사이의 대칭 영역으로 해석 가능: $\int_0^1 (1-x^n - (1-x)) dx = \int_0^1 (x - x^n) dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}$)
두 곡선 사이의 총 넓이는 $y = 1-x$ 대칭축의 2배이므로
\[ D_n = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} \right) = 1 - \frac{2}{n+1} = \frac{n-1}{n+1} \]

[문제 2-2 풀이]
$1 - D_n$을 계산하면
\[ 1 - D_n = 1 - \left( 1 - \frac{2}{n+1} \right) = \frac{2}{n+1} \]
세 수 $1 - D_a, 1 - D_b, 1 - D_c$가 순서대로 조화수열을 이루려면, 그 역수인
\[ \frac{a+1}{2}, \quad \frac{b+1}{2}, \quad \frac{c+1}{2} \]
가 순서대로 등차수열을 이루어야 한다!
양변에 2를 곱하면 $a+1, b+1, c+1$이 등차수열을 이루므로
\[ 2(b+1) = (a+1) + (c+1) \iff 2b = a + c \]
즉, $a, b, c$가 등차수열을 이루어야 한다 ($b = \frac{a+c}{2}$).
주어진 조건 $1 \le a \lt b \lt c \le 15$에서:
$a$와 $c$는 홀짝성이 같아야 한다.
- $a, c$가 모두 홀수: $\{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15\}$ (총 8개 중 2개 선택)
\[ \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28\text{가지} \]
- $a, c$가 모두 짝수: $\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\}$ (총 7개 중 2개 선택)
\[ \binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21\text{가지} \]
따라서 조화수열을 이루는 순서쌍 $(a, b, c)$의 총 개수는 $28 + 21 = 49$개이다.
(대표 순서쌍 예시: $(1, 2, 3), (1, 3, 5), \dots, (13, 14, 15)$)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 대칭성을 이용한 $D_n = 1 - 2/(n+1)$ 도출	8점
2단계	[2-2] $1-D_n = 2/(n+1)$의 역수 성질 파악 및 $2b = a+c$ 유도	6점
3단계	[2-2] 홀짝성 조합을 통한 총 49개 순서쌍 완벽 도출	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

원래 함수와 역함수의 교점 및 직선 $y=x$에 대한 대칭성을 이용하여 두 곡선 사이의 넓이를 정적분으로 정밀하게 유도하고, 조화수열 관계를 만족하는 자연수 순서쌍을 완벽히 찾아낼 수 있는지 평가한다.

[2-1]$D_n = 1 - \frac{2}{n+1} = \frac{n-1}{n+1}$
[2-2] 관계식: $2b = a+c$ ($a, b, c$가 등차수열), 가능한 순서쌍 총 $49$개

【문제 3】 원문 요약 — 매개변수 로그방정식과 두 실근의 비 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

실수 $m$에 대하여 $x$에 대한 방정식
\[ \left( \log_2 x \right)^2 - (m+2)\log_2 x + 2m = 0 \]
의 두 실근을 $\alpha, \beta$라고 하자.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 3 · 총 20점

[문제 3-1 풀이]
진수 조건에 의해 $x \gt 0$이다.
$t = \log_2 x$로 치환하면 주어진 방정식은
\[ t^2 - (m+2)t + 2m = 0 \]
좌변을 인수분해하면
\[ (t - 2)(t - m) = 0 \]
따라서 $t = 2$ 또는 $t = m$이다.
두 실근을 $t_1 = \log_2 \alpha, t_2 = \log_2 \beta$라 하면
\[ t_1 + t_2 = \log_2 \alpha + \log_2 \beta = \log_2 (\alpha\beta) \]
근과 계수의 관계에 의해 $t_1 + t_2 = m + 2$이므로
\[ \log_2 (\alpha\beta) = m + 2 \implies \alpha\beta = 2^{m+2} \]

[문제 3-2 풀이]
방정식의 두 근은 $\log_2 x = 2$ 또는 $\log_2 x = m$이므로
두 실근은 $x = 2^2 = 4$와 $x = 2^m$이다.
두 실근의 비가 $8$이 되는 경우는 다음과 같이 두 가지로 나뉜다:
1) $\frac{2^m}{4} = 8 \implies 2^{m-2} = 2^3 \implies m - 2 = 3 \implies m = 5$
이때 두 근은 $4$와 $2^5 = 32$이며, $\frac{32}{4} = 8$을 만족한다.
두 근의 곱: $\alpha\beta = 2^{5+2} = 2^7 = 128$.
2) $\frac{4}{2^m} = 8 \implies 2^{2-m} = 2^3 \implies 2 - m = 3 \implies m = -1$
이때 두 근은 $4$와 $2^{-1} = \frac{1}{2}$이며, $\frac{4}{1/2} = 8$을 만족한다.
두 근의 곱: $\alpha\beta = 2^{-1+2} = 2^1 = 2$.

따라서 가능한 모든 실수 $m$의 값은 $m = -1$ 또는 $m = 5$이다.
이때 두 근의 곱 $\alpha\beta$의 최댓값은 $m = 5$일 때 $128$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 치환 및 근과 계수 관계를 통한 $\\alpha\\beta = 2^{m+2}$ 유도	8점
2단계	[3-2] 두 실근 $4$와 $2^m$의 비 조건 설정	4점
3단계	[3-2] $m = 5$ 및 $m = -1$ 두 해의 완벽한 도출	5점
4단계	[3-2] 최댓값 $128$ 정확한 산출	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

로그 치환 이차방정식의 인수분해 및 근과 계수의 관계를 활용하고, 두 근의 비 조건을 로그 차 조건으로 변환하여 매개변수 $m$의 다중 해를 정확히 계산할 수 있는지 평가한다.

[3-1]$\alpha\beta = 2^{m+2}$
[3-2] $m = -1$ 또는 $m = 5$, 두 근의 곱의 최댓값: $128$

【문제 4】 원문 요약 — 매개변수 삼차함수의 구간 최솟값 정적분 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.35 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

양의 상수 $k$에 대하여 함수 $f(x) = x^3 - 3k^2 x$가 있다. $a \lt k$인 실수 $a$에 대하여 닫힌구간 $[a, k]$에서 함수 $f(x)$의 최솟값을 $m(a)$라 하자.

[문제 4-1] 함수 $m(a)$를 $a$의 구간별로 구하시오. (12점)

[문제 4-2] $k = 1$일 때, 다음 정적분의 값을 구하시오. (8점)
\[ \int_{-2}^0 m(a) \, da \]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 4 · 총 20점

[문제 4-1 풀이]
$f(x) = x^3 - 3k^2 x$의 도함수는
\[ f'(x) = 3x^2 - 3k^2 = 3(x-k)(x+k) \]
$k \gt 0$이므로 $x = -k$에서 극댓값 $f(-k) = -k^3 + 3k^3 = 2k^3$,
$x = k$에서 극솟값 $f(k) = k^3 - 3k^3 = -2k^3$을 갖는다.
함수 $f(x)$의 함숫값이 극솟값 $-2k^3$과 같아지는 다른 점을 찾으면:
\[ x^3 - 3k^2 x = -2k^3 \iff x^3 - 3k^2 x + 2k^3 = 0 \iff (x-k)^2(x+2k) = 0 \implies x = -2k \]
따라서 $x = -2k$에서 $f(-2k) = -2k^3$이고, $x \lt -2k$이면 $f(x) \lt -2k^3$이다.

닫힌구간 $[a, k]$ ($a \lt k$)에서의 최솟값 $m(a)$를 고려하자:
1) $-2k \le a \lt k$일 때:
구간 $[a, k]$의 오른쪽 끝점 $x = k$는 항상 포함되며, 구간 내의 모든 $x \in [-2k, k]$에 대하여 $f(x) \ge -2k^3$이다.
따라서 최솟값은 항상 극솟값인 $f(k) = -2k^3$이다. 즉, $m(a) = -2k^3$.
2) $a \lt -2k$일 때:
$x = a$에서의 함숫값 $f(a)$가 $-2k^3$보다 작으므로, 구간 $[a, k]$에서의 최솟값은 왼쪽 끝점인 $x = a$에서 발생한다. 즉,
\[ m(a) = f(a) = a^3 - 3k^2 a \]
따라서 최솟값 함수 $m(a)$는 다음과 같다.
\[ m(a) = \begin{cases} -2k^3 & (-2k \le a \lt k) \\ a^3 - 3k^2 a & (a \lt -2k) \end{cases} \]

[문제 4-2 풀이]
$k = 1$일 때 최솟값 함수는
\[ m(a) = \begin{cases} -2 & (-2 \le a \lt 1) \\ a^3 - 3a & (a \lt -2) \end{cases} \]
구하고자 하는 정적분의 구간은 $[-2, 0]$이다.
이 구간은 $-2 \le a \le 0$에 속하므로 이 구간에서 $m(a) = -2$ (상수함수)이다!
따라서
\[ \int_{-2}^0 m(a) \, da = \int_{-2}^0 (-2) \, da = [-2a]_{-2}^0 = 0 - (-2(-2)) = -4 \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 극솟값 $f(k) = -2k^3$ 및 분기점 $x = -2k$ 도출	6점
2단계	[4-1] 구간별 최솟값 함수 $m(a)$ 정확한 정의	6점
3단계	[4-2] $k=1$일 때 구간 $[-2, 0]$에서 $m(a) = -2$ 파악	4점
4단계	[4-2] 정적분 값 $-4$ 정확한 계산	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

극값이 매개변수 $k$에 의해 스케일링되는 삼차함수의 그래프에서 구간 최솟값 함수를 정확히 구하고, 구해진 구간별 함수를 적분하여 정적분 값을 도출할 수 있는지 평가한다.

[4-1]$m(a) = \begin{cases} -2k^3 & (-2k \le a \lt k) \\ a^3 - 3k^2 a & (a \lt -2k) \end{cases}$
[4-2] $-4$

【문제 5】 원문 요약 — 샌드위치 정리 미분계수 증명과 극한 비존재 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

[제시문]

함수 $f(x)$가 다음과 같이 정의된다.
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & (x \ne 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases} \]

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📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 5 · 총 20점

[문제 5-1 풀이]
미분계수의 정의에 의하여
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right) \]
모든 실수 $\theta$에 대하여 $-1 \le \sin\theta \le 1$이므로, $h \ne 0$에 대하여
\[ -1 \le \sin\left(\frac{1}{h}\right) \le 1 \]
- $h \gt 0$일 때: $-h \le h \sin(1/h) \le h$
- $h \lt 0$일 때: $h \le h \sin(1/h) \le -h$
어느 경우든 $|h \sin(1/h)| \le |h|$이 성립하므로
\[ -|h| \le h \sin\left(\frac{1}{h}\right) \le |h| \]
이때 $\lim_{h \to 0} (-|h|) = 0$이고 $\lim_{h \to 0} |h| = 0$이다.
따라서 함수의 극한의 대소 관계(조임정리, 샌드위치 정리)에 의하여
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0 \]
이 성립한다.

[문제 5-2 풀이]
1) $x \ne 0$일 때 곱의 미분법과 합성함수 미분법에 의해 도함수를 구하면:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \right] = 2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) + x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) \left(-\frac{1}{x^2}\right) \]
\[ = 2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right) \]

2) $\lim_{x \to 0} f'(x)$의 극한 조사:
- 첫째 항: 조임정리에 의해 $\lim_{x \to 0} 2x \sin(1/x) = 0$이다.
- 둘째 항: $x \to 0$일 때 $\frac{1}{x} \to \pm\infty$이므로 $\cos(1/x)$는 $[-1, 1]$ 사이의 모든 값을 무한히 진동(진동 발산)한다.
따라서 $\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} [2x \sin(1/x) - \cos(1/x)]$는 극한값이 존재하지 않는다.

3) 명제의 반례 논증:
- 주어진 명제: "도함수의 극한 $\lim_{x \to 0} f'(x)$가 존재하지 않으면 미분계수 $f'(0)$도 존재하지 않는다."
- 논증: 위 함수 $f(x)$는 [문제 5-1]에서 증명한 바와 같이 $x=0$에서의 미분계수 $f'(0) = 0$이 엄밀하게 존재한다.
그러나 도함수의 극한 $\lim_{x \to 0} f'(x)$는 존재하지 않는다.
따라서 이 함수 $f(x)$는 주어진 명제가 거짓임을 보여주는 완벽한 반례(Counterexample)이다. (즉, 도함수의 연속성과 함수의 미분가능성은 동치가 아니며, 미분가능하더라도 도함수가 불연속일 수 있음을 증명한다.)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 미분계수 정의식 $\\lim_{h \\to 0} h \\sin(1/h)$ 구성	4점
2단계	[5-1] 부등식 $-\|h\| \\le h\\sin(1/h) \\le \|h\|$ 및 조임정리를 통한 $f'(0)=0$ 증명	6점
3단계	[5-2] $x \\ne 0$에서 $f'(x) = 2x\\sin(1/x) - \\cos(1/x)$ 올바른 미분	4점
4단계	[5-2] $\\cos(1/x)$ 진동 발산 규명 및 반례로서의 수학적 결론 도출	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

도함수의 정의와 조임정리를 이용하여 $f'(0)=0$을 엄밀히 증명하고, 도함수의 극한값 $\lim_{x\to 0}f'(x)$의 존재성과 미분계수 $f'(0)$의 존재성이 서로 다른 개념임을 반례를 통해 명확히 설명할 수 있는지 평가한다.

[5-1]$|h \sin(1/h)| \le |h|$와 조임정리에 의해 $f'(0) = 0$ 증명 완료.
[5-2] $f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)$이며, $\cos(1/x)$의 진동으로 극한값 미존재. 반면 $f'(0)=0$이 존재하므로 주어진 명제의 완벽한 반례임.

【문제 1】 원문 요약 — 등차수열의 최대합과 절댓값 30개 항의 합 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

[문제 1-1] 수열 $\{a_n\}$의 첫째항 $a_1$과 공차 $d$를 구하시오. (10점)

[문제 1-2] $\sum_{k=1}^{30} |a_k|$의 값을 구하시오. (10점)

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📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 1 · 총 20점

[문제 6-1 풀이]
첫째항 $a_1$은 자연수이고 $S_n$이 최댓값을 가지므로 공차 $d$는 음의 정수이다.
$S_n$이 $n = 15$에서 유일한 최댓값을 가지므로:
- 제15항까지는 양수이고, 제16항부터는 음수이어야 한다:
\[ a_{15} \gt 0, \quad a_{16} \lt 0 \]
등차수열의 합 공식에서
\[ S_{15} = \frac{15(a_1 + a_{15})}{2} = 15 \times \left( \frac{a_1 + a_{15}}{2} \right) = 15 a_8 = 225 \]
따라서 제8항은
\[ a_8 = \frac{225}{15} = 15 \]
일반항은 $a_n = a_8 + (n-8)d = 15 + (n-8)d$이다.
- $a_{15} = 15 + 7d \gt 0 \implies 7d \gt -15 \implies d \gt -\frac{15}{7} \approx -2.14$
- $a_{16} = 15 + 8d \lt 0 \implies 8d \lt -15 \implies d \lt -\frac{15}{8} = -1.875$
따라서 $-\frac{15}{7} \lt d \lt -\frac{15}{8}$이다.
$d$는 정수이어야 하므로 유일하게 가능한 정수 공차는
\[ d = -2 \]
이다.
$a_8 = a_1 + 7d = 15$에 $d = -2$를 대입하면
\[ a_1 + 7(-2) = 15 \implies a_1 - 14 = 15 \implies a_1 = 29 \]
$a_1 = 29$는 자연수이므로 모든 조건을 완벽히 만족한다.
따라서 $a_1 = 29, d = -2$이다.

[문제 6-2 풀이]
일반항은 $a_n = 29 + (n-1)(-2) = 31 - 2n$이다.
- $k \le 15$일 때: $a_k \ge 31 - 30 = 1 \gt 0 \implies |a_k| = a_k$
- $k \ge 16$일 때: $a_k \le 31 - 32 = -1 \lt 0 \implies |a_k| = -a_k$
따라서 구하는 합은
\[ \sum_{k=1}^{30} |a_k| = \sum_{k=1}^{15} a_k - \sum_{k=16}^{30} a_k = S_{15} - (S_{30} - S_{15}) = 2S_{15} - S_{30} \]
$S_{15} = 225$이고, $S_{30}$을 계산하면
\[ S_{30} = \frac{30(2a_1 + 29d)}{2} = 15 [2(29) + 29(-2)] = 15 [58 - 58] = 0 \]
따라서
\[ \sum_{k=1}^{30} |a_k| = 2(225) - 0 = 450 \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] $S_{15} = 15 a_8 = 225$로부터 $a_8 = 15$ 도출	4점
2단계	[1-1] $a_{15} \gt 0, a_{16} \lt 0$ 부등식으로부터 정수 공차 $d = -2$ 및 $a_1 = 29$ 도출	6점
3단계	[1-2] 부호 분할식 $\\sum_{k=1}^{30} \|a_k\| = 2S_{15} - S_{30}$ 수립	5점
4단계	[1-2] $S_{30} = 0$ 계산 및 최종값 $450$ 정확한 산출	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

등차수열 합의 이차함수적 대칭축과 최댓값 조건으로부터 첫째항과 정수 공차를 정확히 결정하고, 부호가 전환되는 절댓값 수열의 합을 구간별로 분할하여 계산할 수 있는지 평가한다.

[1-1]$a_1 = 29, \; d = -2$
[1-2] $450$

【문제 2】 원문 요약 — 주기함수의 연속성과 복합 삼각 다항식 적분 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 2 · 총 20점

[문제 7-1 풀이]
1) $f(0) = 3$ 조건:
\[ f(0) = a|0| + b\cos(0) + c = b + c = 3 \quad \cdots \text{①} \]

2) $f(1) = 1$ 조건:
\[ f(1) = a|1| + b\cos(\pi) + c = a - b + c = 1 \quad \cdots \text{②} \]

3) 주기 $P = 2$에 따른 연속성:
주기가 2이므로 구간 $[-1, 1]$의 양 끝점인 $x = -1$과 $x = 1$에서의 함숫값이 일치해야 한다:
\[ f(-1) = a|-1| + b\cos(-\pi) + c = a - b + c \]
$f(-1) = f(1) = a - b + c$로 이미 $x$의 절댓값과 코사인의 우함수 성질에 의해 $a, b, c$의 값에 관계없이 항상 성립한다.
또한 $f(x)$는 $[-1, 1]$ 내부에서 $|x|$와 $\cos(\pi x)$의 선형결합이므로 모든 점에서 연속이다.
따라서 $b+c = 3$에서 $c = 3-b$를 ②에 대입하면
\[ a - b + (3 - b) = 1 \implies a - 2b + 3 = 1 \implies 2b = a + 2 \implies b = \frac{a+2}{2} \]
\[ c = 3 - \frac{a+2}{2} = \frac{4-a}{2} \]
따라서 $a$는 임의의 실수일 수 있으며, $a$가 주어지면 $b = \frac{a+2}{2}, c = \frac{4-a}{2}$로 연속성이 항상 보장된다.

[문제 7-2 풀이]
$a = 2$일 때:
\[ b = \frac{2+2}{2} = 2, \quad c = \frac{4-2}{2} = 1 \]
따라서 $[-1, 1]$에서 $f(x) = 2|x| + 2\cos(\pi x) + 1$이다.
$f(x)$는 주기가 2인 함수이므로 $[0, 6]$ 구간은 정확히 3주기이다:
\[ \int_0^6 f(x) \, dx = 3 \int_{-1}^1 f(x) \, dx \]
$f(x)$는 모든 항이 우함수이므로:
\[ \int_{-1}^1 f(x) \, dx = 2 \int_0^1 (2x + 2\cos(\pi x) + 1) \, dx \]
원시함수를 구하면
\[ \int_0^1 (2x + 2\cos(\pi x) + 1) \, dx = \left[ x^2 + \frac{2}{\pi}\sin(\pi x) + x \right]_0^1 \]
\[ = \left( 1^2 + \frac{2}{\pi}\sin(\pi) + 1 \right) - 0 = 1 + 0 + 1 = 2 \]
따라서 한 주기 정적분 값은
\[ \int_{-1}^1 f(x) \, dx = 2 \times 2 = 4 \]
구하는 3주기 전체의 정적분 값은
\[ \int_0^6 f(x) \, dx = 3 \times 4 = 12 \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] $f(0)=3, f(1)=1$로부터 연립식 수립	5점
2단계	[2-1] 양 끝점 일치성 및 $b = (a+2)/2, c = (4-a)/2$ 관계 도출	5점
3단계	[2-2] $a=2$ 대입 후 한 주기 적분값 $4$ 도출	5점
4단계	[2-2] 3주기 적분 $3 \\times 4 = 12$ 정확한 계산	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

우함수 성질을 포함하는 복합 삼각·절댓값 함수의 주기 연속성 조건을 규명하고, 삼각함수와 일차함수의 주기 정적분을 대칭성을 활용하여 효율적으로 계산할 수 있는지 평가한다.

[2-1]$b = \frac{a+2}{2}, c = \frac{4-a}{2}$ (모든 실수 $a$에 대해 연속)
[2-2] $12$

【문제 3】 원문 요약 — 삼각 절댓값 곡선과 직사각형 정적분 [배점 20점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

[제시문]

다음은 [대수·미적분ⅡⅠ: 삼각 절댓값 곡선과 직사각형 정적분] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 3 · 총 20점

점 $\text{A}(x, 0)$과 점 $\text{D}(x, |\sin 2x|)$에 대하여, $y$축 대칭점은
\[ \text{B}(-x, 0), \quad \text{C}(-x, |\sin(-2x)|) = (-x, |-\sin 2x|) = (-x, |\sin 2x|) \]
이다. 사각형 $\text{ABCD}$의 가로의 길이는 $2|x|$이고, 세로의 길이는 $|\sin 2x|$이다.
따라서 직사각형의 넓이 함수 $S(x)$는 다음과 같다.
\[ S(x) = 2|x| |\sin 2x| \]
$S(-x) = 2|-x| |\sin(-2x)| = 2|x| |\sin 2x| = S(x)$이므로 $S(x)$는 우함수이다.
따라서
\[ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} S(x) \, dx = 2 \int_0^{\pi/2} S(x) \, dx = 4 \int_0^{\pi/2} x |\sin 2x| \, dx \]
$x \in [0, \pi/2]$에서 $2x \in [0, \pi]$이므로 $\sin 2x \ge 0$이다!
따라서 $|\sin 2x| = \sin 2x$이다.
\[ 4 \int_0^{\pi/2} x \sin 2x \, dx \]
부분적분법을 적용한다 ($u = x \implies u' = 1$, $v' = \sin 2x \implies v = -\frac{1}{2}\cos 2x$):
\[ \int_0^{\pi/2} x \sin 2x \, dx = \left[ -\frac{x}{2}\cos 2x \right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} \left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) \, dx \]
- 첫째 항: $\left( -\frac{\pi/2}{2}\cos\pi \right) - 0 = -\frac{\pi}{4}(-1) = \frac{\pi}{4}$
- 둘째 항: $\frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{4}(\sin\pi - \sin 0) = 0$
따라서
\[ \int_0^{\pi/2} x \sin 2x \, dx = \frac{\pi}{4} \]
구하는 정적분의 최종 값은
\[ 4 \times \frac{\pi}{4} = \pi \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	가로 $2\|x\|$, 세로 $\|\\sin 2x\|$로 넓이식 $S(x)$ 수립	6점
2단계	우함수 성질 및 $0 \\le x \\le \\pi/2$에서 $\\sin 2x \\ge 0$ 파악	6점
3단계	부분적분법의 올바른 전개 및 $\\pi/4$ 계산	4점
4단계	최종값 $\\pi$ 정확한 도출	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

절댓값 삼각함수 위의 점과 축 대칭성을 이용해 직사각형의 넓이 함수를 수립하고, 우함수의 성질과 구간별 부분적분을 정확히 적용하여 정적분을 완벽하게 계산할 수 있는지 평가한다.

🎯 [최종 정답]$\pi$

【문제 4】 원문 요약 — 환경수용력 포화 한계 지수 증식 모델링 [배점 20점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.22 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[제시문]

다음은 [대수: 환경수용력 포화 한계 지수 증식 모델링] 단원의 수리논술 제시 조건이다. 논리적 풀이 과정과 함께 답안을 서술하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 4 · 총 20점

1) 초기 개체수:
총 $10^5$개 중
- $A_0 = 10^5 \times 0.9 = 9 \times 10^4$개
- $B_0 = 10^5 \times 0.1 = 10^4$개

2) $N$일 후 총 세포 수 모델링:
- A조류: $A(N) = A_0 \times 2^{N/2} = 9 \times 10^4 \times 2^{N/2}$
- B조류: $B(N) = B_0 \times 2^N = 10^4 \times 2^N$
총 세포 수 $T(N) = A(N) + B(N)$은 다음과 같다.
\[ T(N) = 10^4 \left[ 9 \times 2^{N/2} + 2^N \right] \]

3) 수용 한계 $T(N) \le 10^8$ 조건:
양변을 $10^4$로 나누면
\[ 9 \times 2^{N/2} + 2^N \le 10^4 = 10000 \]
$u = 2^{N/2}$라 두면 $u \gt 0$이고 $2^N = u^2$이므로
\[ u^2 + 9u - 10000 \le 0 \]
이차방정식 $u^2 + 9u - 10000 = 0$의 양의 실근을 구하면
\[ u = \frac{-9 + \sqrt{81 + 40000}}{2} = \frac{-9 + \sqrt{40081}}{2} \]
$\sqrt{40081} \approx 200.20$이므로
\[ u \approx \frac{-9 + 200.20}{2} = \frac{191.20}{2} = 95.6 \]
따라서 $2^{N/2} \le 95.6$이어야 한다.
양변에 상용로그를 취하면
\[ \frac{N}{2} \log_{10} 2 \le \log_{10} 95.6 \]
$\log_{10} 95.6 = \log_{10}(9.56 \times 10) \approx 0.9805 + 1 = 1.9805$.
$\frac{N}{2} \times 0.3010 \le 1.9805 \implies N \times 0.1505 \le 1.9805 \implies N \le \frac{1.9805}{0.1505} \approx 13.16$.
(직접 $N$을 검증하면:
- $N = 13$: $2^{13/2} = 2^{6.5} = 64\sqrt{2} \approx 90.51 \lt 95.6$.
$T(13) = 10^4 [9(90.51) + 8192] = 10^4 [814.6 + 8192] = 10^4 \times 9006.6 = 9.0066 \times 10^7 \lt 10^8$.
- $N = 14$: $2^7 = 128 \gt 95.6$.
$T(14) = 10^4 [9(128) + 16384] = 10^4 [1152 + 16384] = 1.7536 \times 10^8 \gt 10^8$.)
따라서 $10^8$개를 초과하지 않는 최대의 정수 일수는 $N = 13$일이다.

4) $N=13$일 시점의 B조류 점유율:
$N=13$일 때:
- A조류 수: $A(13) \approx 8.146 \times 10^6$개
- B조류 수: $B(13) = 10^4 \times 2^{13} = 10^4 \times 8192 = 8.192 \times 10^7$개
- 총 세포 수: $T(13) \approx 0.8146 \times 10^7 + 8.192 \times 10^7 = 9.0066 \times 10^7$개
B조류의 비율은
\[ \frac{B(13)}{T(13)} = \frac{8.192 \times 10^7}{9.0066 \times 10^7} \approx 0.9095 \implies 90.95\% \]
(약 $91\%$)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	총 개체수 지수식 $T(N) = 10^4 [9 \\cdot 2^{N/2} + 2^N]$ 수립	6점
2단계	이차부등식 $u^2 + 9u - 10000 \\le 0$ 유도 및 $u \\approx 95.6$ 산출	6점
3단계	최대 정수 일수 $N = 13$일 정확한 결정	4점
4단계	$N=13$에서의 B조류 점유 비율 약 $91\\%$ 도출	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

두 지수함수의 합으로 주어지는 총 개체수 모델에서 환경 수용 한계를 넘지 않는 임계 일수를 상용로그와 부등식을 통해 정밀하게 산출하고, 특정 시점의 개체수 비율을 정확히 계산할 수 있는지 평가한다.

🎯 [최종 정답]최대 정수 일수: $13$일
B조류 점유 비율: 약 $90.95\%$ (약 $91\%$)

【문제 5】 원문 요약 — 2단계 우주 발사체 다단 속도-고도 정적분 [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.41 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

[제시문]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 5 · 총 20점

[문제 10-1 풀이]
로켓이 최고 고도에 도달하는 시각은 수직 속도가 $0$이 되는 순간($v(t) = 0$)이다.
구간별 속도를 확인하면:
- $0 \le t \le 10$: $v(t) = 4t \ge 0$
- $10 \lt t \le 15$: $v(t) = -2(t-10)^2 + 40 \ge -2(25) + 40 = -10$ ? 확인:
$t=15$일 때 $v(15) = -2(5)^2 + 40 = -50 + 40 = -10$?
잠깐, $v(t)$가 0이 되는 점을 찾는다:
$-2(t-10)^2 + 40 = 0 \implies (t-10)^2 = 20 \implies t-10 = \sqrt{20} \approx 4.47 \implies t = 10 + 2\sqrt{5} \approx 14.47$초.
$14.47 \lt 15$이므로 $10 \lt t \le 15$ 구간에서 이미 속도가 $0$이 된다!
(조각함수 셋째 구간 $-10t + 140$은 하강 구간에 해당함: $t=15$에서 속도 $-10$, $-10(15)+140 = -10$ 연속 일치).
따라서 속도가 $0$이 되는 최고 고도 도달 시각은
\[ t_m = 10 + 2\sqrt{5} \, \text{초} \quad (\approx 14.47 \, \text{초}) \]
이다.

최고 고도 $H$는 $t = 0$부터 $t = 10 + 2\sqrt{5}$까지 속도 $v(t)$의 정적분이다:
\[ H = \int_0^{10} 4t \, dt + \int_{10}^{10 + 2\sqrt{5}} \left[ -2(t-10)^2 + 40 \right] \, dt \]
1) $\int_0^{10} 4t \, dt = [2t^2]_0^{10} = 2(100) = 200 \, \text{m}$
2) 둘째 적분: $u = t-10$으로 치환하면 $t = 10 \implies u = 0$, $t = 10 + 2\sqrt{5} \implies u = 2\sqrt{5}$.
\[ \int_0^{2\sqrt{5}} (-2u^2 + 40) \, du = \left[ -\frac{2u^3}{3} + 40u \right]_0^{2\sqrt{5}} \]
- $u = 2\sqrt{5}$ 대입:
$u^3 = (2\sqrt{5})^3 = 40\sqrt{5}$
$-\frac{2(40\sqrt{5})}{3} + 40(2\sqrt{5}) = -\frac{80\sqrt{5}}{3} + \frac{240\sqrt{5}}{3} = \frac{160\sqrt{5}}{3} \, \text{m}$
따라서 최고 고도는
\[ H = 200 + \frac{160\sqrt{5}}{3} \, \text{m} \quad (\approx 200 + 119.26 = 319.26 \, \text{m}) \]

[문제 10-2 풀이]
1) $t=10$과 $t=15$에서의 연속성과 미분가능성 판정:
- $t=10$에서:
- 연속성: $\lim_{t \to 10^-} 4t = 40$, $\lim_{t \to 10^+} [-2(t-10)^2 + 40] = 40$. 함숫값 $40$과 일치하므로 연속이다.
- 미분가능성: 좌미분계수는 $v'(10^-) = 4$.
우미분계수는 $v'(t) = -4(t-10) \implies v'(10^+) = 0$.
좌우 미분계수가 $4 \ne 0$으로 다르므로 미분불가능하다.
- $t=15$에서:
- 연속성: $\lim_{t \to 15^-} [-2(5)^2 + 40] = -10$, $\lim_{t \to 15^+} [-10(15) + 140] = -10$. 따라서 연속이다.
- 미분가능성: 좌미분계수는 $v'(15^-) = -4(15-10) = -20$.
우미분계수는 $v'(15^+) = -10$.
좌우 미분계수가 $-20 \ne -10$으로 다르므로 미분불가능하다.

2) 가속도의 구간별 분석 및 물리적 의미:
가속도 $a(t) = v'(t)$는 다음과 같다.
\[ a(t) = \begin{cases} 4 & (0 \lt t \lt 10) \\ -4(t-10) & (10 \lt t \lt 15) \\ -10 & (15 \lt t \lt 20) \end{cases} \]
- $0 \lt t \lt 10$: $a(t) = 4 \, \text{m/s}^2$로 일정한 등가속도 추진 구간이다. 1단 로켓 엔진이 일정한 추력을 공급한다.
- $t = 10$초: 1단 연소가 종료되는 순간 가속도가 $4$에서 $0$으로 급변한다.
- $10 \lt t \lt 15$: 가속도가 $0$에서 $-20 \, \text{m/s}^2$까지 선형적으로 감소한다. 공기 저항과 중력에 의해 감속되며, 최고 고도($t \approx 14.47$초)를 통과하여 낙하하기 시작한다.
- $15 \lt t \le 20$: 가속도가 중력가속도 약 $-10 \, \text{m/s}^2$($-9.8\text{m/s}^2$ 근사)로 일정하게 유지되는 자유 낙하 구간이다.
- 물리적 의미: 각 단의 분리 및 엔진 점화/소화 시점에 추력 불연속으로 인해 가속도(도함수)가 불연속(첨점)을 형성하며, 이는 발사체 구조물에 순간적인 관성 충격(가속도 단차)을 유발함을 보여준다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 속도가 0이 되는 시각 $t = 10 + 2\\sqrt{5}$초 도출	4점
2단계	[5-1] 구간 정적분을 통한 최고 고도 $200 + \\frac{160\\sqrt{5}}{3} \\text{m}$ 계산	4점
3단계	[10-2-1] $t=10, 15$에서 연속성 및 미분불가능성 각각 판정	6점
4단계	[10-2-2] 가속도 식 유도 및 엔진 단계별 물리적 의미 서술	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

조각별로 정의된 다단계 속도함수의 연속성과 미분가능성을 검증하고, 속도가 0이 되는 순간까지의 구간 정적분을 통해 최고 고도를 정확히 산출하며, 가속도 불연속점의 물리적 의미를 논리적으로 서술할 수 있는지 평가한다.

[5-1]최고 고도 도달 시각: $t = 10 + 2\sqrt{5}$초 (약 $14.47$초), 최고 고도: $200 + \frac{160\sqrt{5}}{3} \, \text{m}$
[10-2-1] $t=10, 15$에서 모두 연속이지만, 좌우 미분계수 불일치로 미분불가능
[10-2-2] $0 \lt t \lt 10$ 등가속도 추진($4\\text{m/s}^2$), $10 \lt t \lt 15$ 엔진 정지 및 감속, $15 \lt t \lt 20$ 자유낙하($-10\\text{m/s}^2$)

🎯 전형 방식: 논술 100% (학생부 미반영 · 모집단위별 수능최저 차등 적용) 📌 수능최저 기준: 자율융합·공학·데이터: 수능최저 없음 / 간호·보건: 2합 5~6 / 의예과: 국·수·과(2) 3개 1등급 & 영 2

희망 지원 모집단위 선택

수능최저학력기준 충족 여부 체크 (자율융합·공학·데이터: 수능최저 없음 / 간호·보건: 2합 5~6)

문항 1 (20점)

문항 2 (20점)

문항 3 (20점)

문항 4 (20점)

문항 5 (20점)

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모집단위	모집인원	명목경쟁률	실질경쟁률	최초합 평균	70% 충원컷	수능최저 기준	실시간 합격 판정
의예과	15명	248.6 : 1	46.2 : 1	91.5점	88.5점	국·수·과(2) 3개 1등급 & 영 2	판정 대기
간호학과(자연)	12명	32.4 : 1	14.8 : 1	83.2점	80.0점	2합 5 (수 포함)	판정 대기
물리치료학과	6명	28.5 : 1	13.2 : 1	81.6점	78.5점	2합 6	판정 대기
방사선학과	6명	25.8 : 1	12.1 : 1	80.4점	77.2점	2합 6	판정 대기
임상병리학과	7명	24.6 : 1	11.5 : 1	79.8점	76.8점	2합 6	판정 대기
치위생학과	6명	22.9 : 1	10.8 : 1	79.0점	76.0점	2합 6	판정 대기
작업치료학과	6명	21.4 : 1	10.2 : 1	78.2점	75.2점	2합 6	판정 대기
AI반도체학부	18명	19.8 : 1	19.8 : 1	77.5점	74.5점	수능최저 없음	판정 대기
데이터사이언스학부	20명	18.6 : 1	18.6 : 1	76.8점	73.8점	수능최저 없음	판정 대기
소프트웨어학부	24명	19.2 : 1	19.2 : 1	77.2점	74.2점	수능최저 없음	판정 대기
디지털헬스케어학부	16명	17.4 : 1	17.4 : 1	75.9점	72.8점	수능최저 없음	판정 대기
바이오공학부	22명	18.1 : 1	18.1 : 1	76.4점	73.4점	수능최저 없음	판정 대기
환경에너지공학부	15명	15.6 : 1	15.6 : 1	74.6점	71.5점	수능최저 없음	판정 대기
패키징및물류학전공	12명	14.9 : 1	14.9 : 1	74.0점	71.0점	수능최저 없음	판정 대기

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회차	실전 응시일	소요 시간	원점수 / 100점
제1회	2026. . .	분	/ 100
제2회	2026. . .	분	/ 100
제3회	2026. . .	분	/ 100
제4회	2026. . .	분	/ 100
제5회	2026. . .	분	/ 100
제6회	2026. . .	분	/ 100
제7회	2026. . .	분	/ 100
제8회	2026. . .	분	/ 100
제9회	2026. . .	분	/ 100
제10회	2026. . .	분	/ 100

RULE 1

원칙 1. 교과서 정의·정리 우선 선언
답안 첫 줄에 사용할 교과서 정리(사잇값 정리, 평균값 정리, 미분가능성 정의, 조건부확률 곱셈정리 등)를 명시하여 1단계 배점(30%)을 확정하십시오.

RULE 2

원칙 2. 대학 미적분학 과정 공식 사용 철저 배제
고교 교육과정을 벗어난 대학 과정 정리나 무근거 근사식 사용은 채점 기준에서 감점 또는 무효 처리되므로 반드시 교과서 성질만으로 논증하십시오.

RULE 3

원칙 3. 동치 변형과 정의역·부호 경계 조건 명시
로그의 밑·진수 조건, 무리식·분수식의 분모 조건, 치환 변수의 새로운 범위(예: $-1 \le t \le 1$)를 빠짐없이 기록하십시오.

RULE 4

원칙 4. 소문항 간 단계적 연계 구조 활용
앞선 소문항 (1)의 결론은 소문항 (2), (3)을 해결하는 핵심 힌트입니다. (1)이 막히더라도 (1)의 결과를 가정하고 (2)의 식을 세우면 부분점수를 획득할 수 있습니다.

RULE 5

원칙 5. 도형·그래프 보조 문자의 명확한 정의
답안지에 새로운 점·각·길이를 도입할 때는 '점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하자'와 같이 기호의 정의를 한 문장으로 선언하십시오.

RULE 6

원칙 6. 실전 시간 배분 및 검산 루틴 엄수
전체 시험 시간(120분) 중 마지막 10분은 부호 오류, 기약분수 약분 여부, 최종 답란 이기 누락을 점검하는 전용 검산 시간으로 확보하십시오.

RULE 7

원칙 7. 깔끔한 단락 구분과 최종 결론 강조
단계별 번호([1단계], [2단계], [결론])를 줄바꿈하여 가독성을 높이고 최종 수식을 명확히 제시하여 채점위원이 즉시 득점 포인트를 확인하게 하십시오.

📘 2027학년도 연세대학교(미래) 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

• 편찬 및 발행: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술·약술형논술 연구소 | 공식 플랫폼: https://questio.co.kr

• 상호: 퀘스티오(QUESTIO) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449

• 교육과정 준거: 교과서 기반 수학과 교육과정 (Textbook DB V1.0 · JEV-REA-ARGON 7대 무결성 검증 통과)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] \(x=2\)에서의 연속 조건을 적용해 \(a e^{2b} = 1\) 유도하기	4점
2단계	[1-1] 좌미분계수와 우미분계수 정의 및 극한을 활용하여 \(a = 1/e, b = 1/2\) 결정하기	6점
3단계	[1-2] 절댓값 함수 \(g(x)\)의 구간을 분류하고 전체 적분 구간을 4개로 올바르게 분할하기	8점
4단계	[1-2] 부분적분법을 통해 지수함수 영역을 정확하게 계산하고 최종 답 \(4e + 16\) 구하기	12점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 접선의 방정식을 구하고 \(x\)절편 \(a_2 = N - 1/c\) 유도하여 넓이 \(S_1\) 구하기	10점
2단계	[2-2] 수열 \(a_n\)의 귀납적 관계 \(a_{n+1} = a_n - 1/c\)로부터 일반항 \(S_n\) 도출하기	10점
3단계	[2-3] 무한등비급수 합 공식을 올바르게 활용하여 면적의 합 계산하기	5점
4단계	[2-4] \(e \approx 2.7\) 값과 항별 대소 비교를 수행하여 최솟값 \(N+4\)를 유도하기	20점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 극대 극소 조건을 활용하여 극값을 판정하고 실수 \(k\)의 범위를 정확하게 계산하기	10점
2단계	[3-2] 근과 계수의 관계로부터 세 근의 정수해 순서쌍 \((2,5,5), (3,3,6)\)을 찾아 \(k\)값 계산하기	5점
3단계	[3-3] 삼각형 결정 조건에 따라 \((2,5,5)\)를 결정하고 코사인법칙 변형식에 대입하여 \(27\) 구하기	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 소구간 크기 및 직사각형 넓이들을 합하여 \(A_1(5)=0.44\), \(A_2(5)=0.24\) 구하기	10점
2단계	[1-2] 수열의 합 공식을 적용하여 수식을 정리하고 소수점 아래로 정확히 연산하기	10점
3단계	[1-3] \(x^2 = t\) 치환적분을 설정하고 삼각함수 적분을 통해 \(1/2\) 구하기	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 켤레근과 근과 계수의 관계를 이용하여 실근 \(x_1=2\) 및 계수 \(a=-4, b=6\) 구하기	8점
2단계	[2-1] 정적분 넓이 공식 식을 수립하고, 부호를 고려하여 정적분을 완수해 \(8/3\) 구하기	12점
3단계	[2-2] 극댓값/극솟값을 가질 도함수의 서로 다른 두 실근 조건을 판별식 \(c^2 \gt 300\)으로 유도하기	6점
4단계	[2-2] 제곱수 대소를 판정하여 최솟값 정수 \(c=18\)을 명확하게 이끌어내기	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 좌표를 대입하여 \(q = 2\sqrt{3p}\), \(q = 2\sqrt{p+q}\) 관계식을 세우고 \(p=3, q=6\) 구하기	15점
2단계	[1-2] 정삼각형의 단면적 \(S(x)\)를 수립하고, 부피를 위한 정적분 수식을 완벽히 계산하여 18 구하기	15점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] \(x=-3, 0\)에서 연속 및 미분가능성 조건을 세워 \(a=6, b=18, c=0, d=9\) 구하기	8점
2단계	[2-1] 접선과 이차함수의 실근 판별식을 작성하여 양수 \(k=2\) 구하기	7점
3단계	[2-2] 교점 \(x = -5, -3, -1\)을 구하고 구간을 나누어 정적분 넓이 \(20/3\) 구하기	20점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 치환하여 \(1 \le t \le 5\) 범위를 구하고, 극소/경계값을 비교해 최댓값 70, 최솟값 \(-167/27\)과 최종 값 \(-97\) 구하기	17점
2단계	[3-2] 평행이동 및 절댓값 접어올리기를 분석해 극점 개수 \(\alpha=3\) 과 극소합 \(\beta=5\)을 유도하여 15 구하기	18점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 접선의 방정식을 구하고 적분을 통해 넓이 공식 \(\frac{1}{12}(b-a)^3\) 유도하기	10점
2단계	[2-2] \(a, b\) 식을 각각 유리화하여 \(\lim a = 1, \lim b = 3/4\) 을 구하고 내분 공식에 대입해 \(\frac{3m+4n}{4(m+n)}\) 도출하기	15점

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