[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 진수 부분의 식을 완전제곱식으로 변형하면: $x^2 - 6x + 25 = (x - 3)^2 + 16$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x$가 자연수이므로 $(x - 3)^2 \ge 0$에서 진수의 최솟값은 $16$이다. $\log_2 ((x - 3)^2 + 16) = m$ ($m$은 자연수)이라 두면: $(x - 3)^2 + 16 = 2^m$ 진수의 최솟값이 $16$이므로 $2^m \ge 16 = 2^4$에서 $m \ge 4$이어야 한다. $1 \le x \le 100$의 범위에서 $(x - 3)^2 + 16 \le 97^2 + 16 = 9425$이다. 각 $m$에 대하여 $(x - 3)^2 = 2^m - 16$이 완전제곱수가 되는 경우를 조사한다: • $m = 4$일 때: $(x - 3)^2 = 16 - 16 = 0 \implies x = 3$ (자연수 1개) • $m = 5$일 때: $(x - 3)^2 = 32 - 16 = 16 \implies x - 3 = \pm 4 \implies x = 7$ ($x = -1$은 자연수가 아니므로 제외, 1개) • $m \ge 6$일 때: $2^m - 16 = 16(2^{m-4} - 1)$이 제곱수가 되려면 $2^{m-4} - 1$이 제곱수이어야 하나, $2^{m-4} - 1$이 제곱수가 되는 자연수 $m$은 존재하지 않는다 ($m=5$인 경우 $2^1-1=1$로 유일).

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 조건을 만족하는 자연수 $x$는 $3, 7$로 총 2개이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각함수의 항등식 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 대입하여 코사인에 관한 식을 정리한다: $4(1 - \cos^2 x) - 4\cos x - 1 = 0 \iff 4\cos^2 x + 4\cos x - 3 = 0$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 좌변을 인수분해하면: $(2\cos x - 1)(2\cos x + 3) = 0$ $-1 \le \cos x \le 1$이므로 $2\cos x + 3 \ne 0$이다. 따라서: $\cos x = \frac{1}{2}$ $0 \le x \lt 2\pi$의 범위에서 $\cos x = \frac{1}{2}$의 실근을 구하면: \(x = \frac{\pi}{3} \quad \text{또는} \quad x = \frac{5\pi}{3}\)

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 모든 실근의 합은 $\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = 2\pi$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하면: $a_n = 25 + (n - 1)(-3) = 28 - 3n$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 항의 부호가 바뀌는 경계를 판정한다: $a_n \gt 0 \iff 28 - 3n \gt 0 \iff n \lt \frac{28}{3} = 9.33\dots$ 즉, $1 \le n \le 9$일 때 $a_n \gt 0$이고, $n \ge 10$일 때 $a_n \lt 0$이다. 양수인 항들의 합 ($k = 1$부터 $9$까지): $a_1 = 25, a_9 = 28 - 27 = 1$이므로: $\sum_{k=1}^9 a_k = \frac{9(25 + 1)}{2} = \frac{9 \times 26}{2} = 117$ 음수인 항들의 절댓값의 합 ($k = 10$부터 $15$까지): $a_{10} = -2, a_{15} = 28 - 45 = -17$이므로 $|a_k| = -a_k$이다: $\sum_{k=10}^{15} |a_k| = \sum_{k=10}^{15} (-a_k) = \frac{6(2 + 17)}{2} = \frac{6 \times 19}{2} = 57$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 총합은: $\sum_{k=1}^{15} |a_k| = 117 + 57 = 174$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항은: $a_n = 1 + (n - 1) \cdot 2 = 2n - 1$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 공차가 $2$이므로 $a_{k+1} - a_k = 2$이다. 부분분수 공식을 적용하면: $\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{a_{k+1} - a_k}\left(\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}}\right)$ 시그마에 대입하여 부분분수 소거합(망원합) 형태로 전개한다: $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2}\right) + \left(\frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{a_{10}} - \frac{1}{a_{11}}\right)\right]$ 이웃한 항들이 순차적으로 소거되므로: $= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{11}}\right)$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a_1 = 1$, $a_{11} = 2(11) - 1 = 21$이므로: $\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{21}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{20}{21} = \frac{10}{21}$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to 2$일 때 분모 $\lim_{x \to 2}(x - 2) = 0$이고 극한값이 $7$로 존재하므로, 분자의 극한도 $0$이어야 한다: $\lim_{x \to 2}(x^2 + ax + b) = 4 + 2a + b = 0 \implies b = -2a - 4$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $b = -2a - 4$를 분자에 대입하고 인수분해한다: $x^2 + ax - 2a - 4 = (x^2 - 4) + a(x - 2) = (x - 2)(x + 2 + a)$ 주어진 극한식에 대입하여 $x - 2$를 약분한다: $\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2 + a)}{x - 2} = \lim_{x \to 2}(x + 2 + a) = 4 + a$ $4 + a = 7$이므로 $a = 3$이다. 이를 $b = -2a - 4$에 대입하면 $b = -2(3) - 4 = -10$이다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 값은: $a^2 + b^2 = 3^2 + (-10)^2 = 9 + 100 = 109$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x = 3$은 $x \ge 1$의 범위에 속하므로: $f(3) = 3^2 - 2(3) + a = 9 - 6 + a = 3 + a = 10 \implies a = 7$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 함수 $f(x)$가 $x = 1$에서 연속이려면 다음이 성립해야 한다: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$ 우극한 및 함숫값 계산 ($a = 7$ 반영): $\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1^2 - 2(1) + 7 = 6$ 좌극한 계산: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3(1) + b = 3 + b$ 연속 조건에 의해 $3 + b = 6 \implies b = 3$이다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $a + b = 7 + 3 = 10$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 접점의 좌표를 $(t, t^3 + 4)$라 하자.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $y' = 3x^2$이므로 접선의 기울기는 $3t^2$이다. 접선의 방정식은 다음과 같다: $y - (t^3 + 4) = 3t^2(x - t) \iff y = 3t^2 x - 2t^3 + 4$ 이 직선이 점 $(0, 2)$를 지나므로 대입하면: $2 = 3t^2(0) - 2t^3 + 4 \iff 2 = -2t^3 + 4 \iff 2t^3 = 2 \iff t^3 = 1$ $t$는 실수이므로 $t = 1$이다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $t = 1$을 접선의 방정식에 대입하면 접점은 $(1, 5)$이고 기울기는 $3(1)^2 = 3$이다: $y = 3x - 2(1)^3 + 4 \implies y = 3x + 2$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 도함수를 구하면: $f'(x) = 3x^2 - 6x + a$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 함수 $f(x)$가 $x = 3$에서 극솟값을 가지므로 $f'(3) = 0$이어야 한다: $f'(3) = 3(3^2) - 6(3) + a = 27 - 18 + a = 9 + a = 0 \implies a = -9$ $x = 3$에서의 극솟값이 $-20$이므로 $f(3) = -20$이다: $f(3) = 3^3 - 3(3^2) + (-9)(3) + b = 27 - 27 - 27 + b = b - 27 = -20 \implies b = 7$ 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 7$이고, 도함수는: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)$ $f'(x) = 0$에서 $x = -1$ 또는 $x = 3$이다. 최고차항의 계수가 양수이므로 $f(x)$는 $x = -1$에서 극댓값을 갖는다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 극댓값 계산: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 7 = -1 - 3 + 9 + 7 = 12$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곡선과 직선의 교점의 $x$좌표를 구한다: \(x^2 - 2x = x \iff x^2 - 3x = 0 \iff x(x - 3) = 0 \implies x = 0 \quad \text{또는} \quad x = 3\)

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 $[0, 3]$에서 직선이 곡선보다 위쪽에 위치하므로 ($x \ge x^2 - 2x$), 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 다음과 같다: $S = \int_0^3 \left[ x - (x^2 - 2x) \right] dx = \int_0^3 (-x^2 + 3x) dx$ 부정적분을 구하여 정적분을 계산한다: $S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_0^3 = \left( -\frac{1}{3}(27) + \frac{3}{2}(9) \right) - 0 = -9 + \frac{27}{2} = \frac{9}{2}$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] (참고 검산: 이차곡선과 직선의 넓이 공식 $S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3 = \frac{1}{6}(3 - 0)^3 = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$)

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 호도법 공식 $l = R\theta$와 $S = \dfrac{1}{2}Rl$에 $R = 8, \; \theta = \dfrac{3\pi}{4}$을 대입한다.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $l = 8 \times \dfrac{3\pi}{4} = 6\pi$이고, 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 6\pi = 24\pi$이다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 직원뿔의 밑면의 둘레 $2\pi r$이 호의 길이 $l = 6\pi$와 같으므로 $2\pi r = 6\pi \implies r = 3$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $2^x = t$로 치환한다. $1 \le x \le 3$이므로 $t$의 범위를 구하면: $2^1 \le t \le 2^3 \implies 2 \le t \le 8$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $4^x = (2^x)^2 = t^2$이고 $2^{x+2} = 4 \cdot 2^x = 4t$이므로, 주어진 함수는 $t$에 대한 이차함수가 된다: $y = t^2 - 4t + 5 = (t - 2)^2 + 1$ 구간 $2 \le t \le 8$에서 이차함수 그래프의 성질을 분석한다: • 꼭짓점의 $t$좌표가 $2$이므로, $t = 2$ ($x = 1$)일 때 최솟값을 갖는다: $m = (2 - 2)^2 + 1 = 1$ • 축 $t = 2$에서 가장 먼 $t = 8$ ($x = 3$)일 때 최댓값을 갖는다: $M = (8 - 2)^2 + 1 = 6^2 + 1 = 37$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 최댓값과 최솟값의 합은: $M + m = 37 + 1 = 38$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 진수 조건 확인: \(x - 2 \gt 0 \implies x \gt 2 \quad \text{이고} \quad 3x - 2 \gt 0 \implies x \gt \frac{2}{3}\) 따라서 공통 진수 조건은 $x \gt 2$이다.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 밑을 $\frac{1}{9}$로 통일한다: $\log_{\frac{1}{3}}(x - 2) = \log_{\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{1}{2}}}(x - 2) = 2\log_{\frac{1}{9}}(x - 2) = \log_{\frac{1}{9}}(x - 2)^2$ 밑이 $0 \lt \frac{1}{9} \lt 1$이므로 진수의 부등호 방향이 반대로 바뀐다: $(x - 2)^2 \le 3x - 2$ 부등식을 전개하여 정리한다: $x^2 - 4x + 4 \le 3x - 2 \iff x^2 - 7x + 6 \le 0 \iff (x - 1)(x - 6) \le 0 \implies 1 \le x \le 6$ 진수 조건 $x \gt 2$와 연립하면: $2 \lt x \le 6$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 이를 만족하는 정수 $x$는 $3, 4, 5, 6$이다. 그 합은: $3 + 4 + 5 + 6 = 18$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 코사인법칙을 적용하여 선분 $BC$의 길이 $a$를 구한다: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ $a^2 = 4^2 + 6^2 - 2(4)(6)\cos 60^\circ = 16 + 36 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 52 - 24 = 28$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a \gt 0$이므로: $a = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ 사인법칙을 적용하여 외접원의 반지름 $R$을 구한다: $\frac{a}{\sin A} = 2R \implies 2R = \frac{2\sqrt{7}}{\sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{21}}{3}$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 양변을 $2$로 나누면: $R = \frac{2\sqrt{21}}{3}$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 귀납적 규칙에 따라 각 항을 차례로 구한다: • $a_1 = 2 \lt 5$이므로 $a_2 = 2(2) - 1 = 3$ • $a_2 = 3 \lt 5$이므로 $a_3 = 2(3) - 1 = 5$ • $a_3 = 5 \ge 5$이므로 $a_4 = 5 - 4 = 1$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_4$ 이후의 항을 조사한다: • $a_4 = 1 \lt 5$이므로 $a_5 = 2(1) - 1 = 1$ • $a_5 = 1 \lt 5$이므로 $a_6 = 2(1) - 1 = 1$ $n \ge 4$인 모든 자연수에 대하여 $a_n = 1$로 일정하게 유지된다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $a_{10} = 1$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 수열의 합 $S_n$과 일반항 $a_n$의 관계식 $a_n = S_n - S_{n-1}$ ($n \ge 2$)을 적용한다: $a_n = (n^2 + 3n) - \left((n - 1)^2 + 3(n - 1)\right) = (n^2 + 3n) - (n^2 + n - 2) = 2n + 2$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $n = 1$일 때 $a_1 = S_1 = 1^2 + 3(1) = 4$이고, $2(1) + 2 = 4$이므로 일반항은 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = 2n + 2$이다. 구하고자 하는 식에 $a_k = 2k + 2$를 대입한다: $k a_k = k(2k + 2) = 2k^2 + 2k$ 자연수 거듭제곱의 합 공식을 적용하여 시그마를 계산한다: $\sum_{k=1}^{10} (2k^2 + 2k) = 2\sum_{k=1}^{10} k^2 + 2\sum_{k=1}^{10} k$ $\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385, \quad \sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = 55$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 최종값 계산: $2(385) + 2(55) = 770 + 110 = 880$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 분자에 $f(1)$을 빼고 더하여 미분계수의 정의 형태를 만든다: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 f(1) - f(1) + f(1) - f(x^2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \left[ \frac{(x^2 - 1)f(1)}{x - 1} - \frac{f(x^2) - f(1)}{x - 1} \right]$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 첫 번째 항의 극한: $\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1)f(1) = 2f(1) = 2 \times 3 = 6$ 두 번째 항의 극한 (분모와 분자에 $x + 1$을 곱함): $\lim_{x \to 1} \frac{f(x^2) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \left[ \frac{f(x^2) - f(1)}{x^2 - 1} \cdot (x + 1) \right] = f'(1) \cdot 2 = 4 \times 2 = 8$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 극한값은: $6 - 8 = -2$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 역함수를 가지려면 일대일대응이어야 하므로, 실수 전체에서 항상 증가해야 한다. 즉, 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) \ge 0$이어야 한다.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 도함수를 구하면: $f'(x) = x^2 - 2kx + (4k - 3)$ 이차부등식 $x^2 - 2kx + (4k - 3) \ge 0$이 항상 성립하려면 판별식 $D/4 \le 0$이어야 한다: $\frac{D}{4} = (-k)^2 - (4k - 3) = k^2 - 4k + 3 \le 0$ 이차부등식을 인수분해하여 풀면: $(k - 1)(k - 3) \le 0 \implies 1 \le k \le 3$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 조건을 만족하는 정수 $k$는 $1, 2, 3$으로 총 3개이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 항등식의 양변에 $x = 1$을 대입한다: $\int_1^1 f(t)dt = 0 = 1^3 - a(1^2) + 2(1) - 1 \implies 0 = 2 - a \implies a = 2$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구한 $a = 2$를 식에 대입하면: $\int_1^x f(t)dt = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$ 양변을 $x$에 대하여 미분한다: $\frac{d}{dx}\left(\int_1^x f(t)dt\right) = f(x) = 3x^2 - 4x + 2$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x = 2$를 대입하여 $f(2)$의 값을 구한다: $f(2) = 3(2^2) - 4(2) + 2 = 12 - 8 + 2 = 6$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 운동 방향을 바꿀 때의 조건은 $v(t) = 0$이고 좌우에서 부호가 바뀌는 것이다: \(v(t) = 3(t^2 - 4t + 3) = 3(t - 1)(t - 3) = 0 \implies t = 1 \quad \text{또는} \quad t = 3\) 따라서 점 $P$가 처음으로 운동 방향을 바꾸는 시각은 $t = 1$이다.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 시각 $t$에서의 위치 $x(t)$를 구한다 ($x(0) = 0$): $x(t) = \int_0^t (3s^2 - 12s + 9)ds = t^3 - 6t^2 + 9t$ $t = 1$일 때의 위치는 $x(1) = 1^3 - 6(1) + 9(1) = 4$이다. $t = 0$부터 $t = 4$까지 실제로 움직인 거리 $s$는 속도의 절댓값의 정적분이다: $s = \int_0^4 |v(t)|dt = \int_0^1 v(t)dt + \int_1^3 (-v(t))dt + \int_3^4 v(t)dt$ 각 구간별 이동 거리 계산: • $t \in [0, 1]$: $x(1) - x(0) = 4 - 0 = 4$ • $t \in [1, 3]$: $-(x(3) - x(1)) = -(0 - 4) = 4$ (여기서 $x(3) = 27 - 54 + 27 = 0$) • $t \in [3, 4]$: $x(4) - x(3) = (64 - 96 + 36) - 0 = 4 - 0 = 4$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 총 움직인 거리는 $4 + 4 + 4 = 12$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 사인법칙 $\overline{\mathrm{BC}} = 2R\sin A$에 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}, \; A = \dfrac{\pi}{3}$을 대입하면 $\overline{\mathrm{BC}} = \dfrac{14\sqrt{3}}{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 7$이다.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\overline{\mathrm{AB}} = c$라 하고 코사인법칙을 적용하면 $7^2 = c^2 + 8^2 - 2 \cdot c \cdot 8 \cos\dfrac{\pi}{3} \iff c^2 - 8c + 15 = (c - 3)(c - 5) = 0$이다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $c \gt 4$이므로 $\overline{\mathrm{AB}} = 5$이고, 삼각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin\dfrac{\pi}{3} = 10\sqrt{3}$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 곡선의 식을 각각 $f(x) = 4 \cdot 2^x$, $g(x) = -2^{-x} + 4$라 하자.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 두 곡선의 차 $f(x) - g(x) = 4 \cdot 2^x + 2^{-x} - 4$를 분석한다. $2^x = t \gt 0$이라 두면 $f(x) - g(x) = 4t + \frac{1}{t} - 4$이다. 산술·기하평균 부등식에 의해 $4t + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt{4t \cdot \frac{1}{t}} = 4$이므로, $f(x) - g(x) \ge 4 - 4 = 0$ 등호는 $4t = \frac{1}{t} \iff t^2 = \frac{1}{4} \iff t = \frac{1}{2}$ ($x = -1$)일 때 성립한다. 즉, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \ge g(x)$이므로 선분 $AB$의 길이는 항상 $f(k) - g(k)$이다. 선분 $AB$의 길이가 $2$ 이하일 조건: $4t + \frac{1}{t} - 4 \le 2 \iff 4t + \frac{1}{t} - 6 \le 0$ 양변에 $t \gt 0$을 곱하여 정리하면: $4t^2 - 6t + 1 \le 0$ 이차방정식 $4t^2 - 6t + 1 = 0$의 해는 근의 공식에 의해: $t = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$ 따라서 $t = 2^k$의 범위는 $\frac{3 - \sqrt{5}}{4} \le 2^k \le \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$이다. $\sqrt{5} \approx 2.236$이므로 값을 어림하면: $\frac{3 - 2.236}{4} = \frac{0.764}{4} = 0.191, \quad \frac{3 + 2.236}{4} = \frac{5.236}{4} = 1.309$ 즉, $0.191 \le 2^k \le 1.309$이다. $k$가 정수일 때 $2^k$의 값을 조사한다: • $k = 1$: $2^1 = 2 \gt 1.309$ (조건 불만족) • $k = 0$: $2^0 = 1$ ($0.191 \le 1 \le 1.309$ 만족) • $k = -1$: $2^{-1} = 0.5$ ($0.191 \le 0.5 \le 1.309$ 만족) • $k = -2$: $2^{-2} = 0.25$ ($0.191 \le 0.25 \le 1.309$ 만족) • $k = -3$: $2^{-3} = 0.125 \lt 0.191$ (조건 불만족)

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 만족하는 정수 $k$는 $-2, -1, 0$이다. 그 합은: $(-2) + (-1) + 0 = -3$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 $f(x) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}x\right)$의 주기를 구한다: $T = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{3}} = 3$ 구간 $[0, 6]$은 길이가 $6$이므로 정확히 $2$개의 주기를 포함한다.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 한 주기 $[0, 3)$에서의 해를 조사한다: \(|f(x)| = \frac{1}{3} \iff \cos\left(\frac{2\pi}{3}x\right) = \frac{1}{3} \quad \text{또는} \quad \cos\left(\frac{2\pi}{3}x\right) = -\frac{1}{3}\) 코사인 곡선은 한 주기 내에서 $y = \frac{1}{3}$과 $2$개의 점에서 만나고, $y = -\frac{1}{3}$과 $2$개의 점에서 만나므로 한 주기당 $4$개의 서로 다른 실근을 갖는다. 한 주기 $[0, 3)$에서의 대칭성을 이용한 실근의 합: $\cos\left(\frac{2\pi}{3}x\right)$의 그래프는 $x = \frac{3}{2}$에 대하여 점대칭/선대칭 관계를 가진다. 두 근씩 짝을 지으면 그 합은 대칭축 $x = \frac{3}{2}$의 $2$배인 $3$이 된다. 따라서 한 주기 내 $4$개 실근의 합은 $3 + 3 = 6$이다. 두 번째 주기 $[3, 6]$에서의 실근: 각 실근은 첫 번째 주기의 실근에 주기 $3$을 더한 값이므로, 실근의 개수는 동일하게 $4$개이고, 그 합은 $6 + 4 \times 3 = 18$이다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 전체 실근의 개수 $N$과 모든 실근의 합 $S$: • $N = 4 + 4 = 8$개 • $S = 6 + 18 = 24$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a_{n+1}$로부터 $a_n$을 구하는 역추적 규칙을 세운다: • $a_n$이 짝수이면: $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n \implies a_n = 2a_{n+1}$ (항상 짝수 자연수) • $a_n$이 홀수이면: $a_{n+1} = a_n + 3 \implies a_n = a_{n+1} - 3$ (단, $a_n \gt 0$이고 홀수이어야 함)

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_5 = 4$로부터 $a_4$를 구한다: • 짝수: $a_4 = 2(4) = 8$ • 홀수: $a_4 = 4 - 3 = 1$ (홀수 만족) 따라서 $a_4 \in \{1, 8\}$이다. $a_3$을 구한다: • $a_4 = 1$인 경우: 짝수 $\implies 2$, 홀수 $\implies 1 - 3 = -2$ (음수 불가) $\implies a_3 = 2$ • $a_4 = 8$인 경우: 짝수 $\implies 16$, 홀수 $\implies 8 - 3 = 5$ (홀수 만족) $\implies a_3 \in \{5, 16\}$ 따라서 $a_3 \in \{2, 5, 16\}$이다. $a_2$를 구한다: • $a_3 = 2$: 짝수 $\implies 4$, 홀수 $\implies 2 - 3 = -1$ (불가) $\implies a_2 = 4$ • $a_3 = 5$: 짝수 $\implies 10$, 홀수 $\implies 5 - 3 = 2$ (짝수이므로 불가) $\implies a_2 = 10$ • $a_3 = 16$: 짝수 $\implies 32$, 홀수 $\implies 16 - 3 = 13$ (홀수 만족) $\implies a_2 \in \{13, 32\}$ 따라서 $a_2 \in \{4, 10, 13, 32\}$이다. $a_1$을 구한다: • $a_2 = 4$: 짝수 $\implies 8$, 홀수 $\implies 4 - 3 = 1$ (홀수 만족) $\implies a_1 \in \{1, 8\}$ • $a_2 = 10$: 짝수 $\implies 20$, 홀수 $\implies 10 - 3 = 7$ (홀수 만족) $\implies a_1 \in \{7, 20\}$ • $a_2 = 13$: 짝수 $\implies 26$, 홀수 $\implies 13 - 3 = 10$ (짝수이므로 불가) $\implies a_1 = 26$ • $a_2 = 32$: 짝수 $\implies 64$, 홀수 $\implies 32 - 3 = 29$ (홀수 만족) $\implies a_1 \in \{29, 64\}$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 가능한 $a_1$의 전체 집합은 $\{1, 7, 8, 20, 26, 29, 64\}$이다. • 최댓값: $M = 64$ • 최솟값: $m = 1$ 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 $M + m = 64 + 1 = 65$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 원에 내접하는 사각형의 성질에 의해 마주 보는 두 각의 크기의 합은 $180^\circ$이다: $\angle C = 180^\circ - \angle A$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\triangle ABD$에서 코사인법칙을 적용한다: $\overline{BD}^2 = 3^2 + 3^2 - 2(3)(3)\cos A = 18 - 18\cos A$ $\triangle BCD$에서 코사인법칙을 적용한다: $\overline{BD}^2 = 4^2 + 2^2 - 2(4)(2)\cos(180^\circ - A) = 20 + 16\cos A$ 두 식을 연립하여 $\cos A$를 구한다: $18 - 18\cos A = 20 + 16\cos A \iff 34\cos A = -2 \implies \cos A = -\frac{1}{17}$ $\overline{BD}^2$의 값을 계산한다: $\overline{BD}^2 = 18 - 18\left(-\frac{1}{17}\right) = 18 + \frac{18}{17} = \frac{324}{17}$ $\sin A$의 값을 구한다: $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \frac{1}{289}} = \sqrt{\frac{288}{289}} = \frac{12\sqrt{2}}{17}$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 사각형 $ABCD$의 넓이 $S$는 두 삼각형의 넓이의 합이다: $S = \triangle ABD + \triangle BCD = \frac{1}{2}(3)(3)\sin A + \frac{1}{2}(4)(2)\sin(180^\circ - A) = \left(\frac{9}{2} + 4\right)\sin A = \frac{17}{2} \cdot \frac{12\sqrt{2}}{17} = 6\sqrt{2}$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 조건 (가)를 분석한다: $\lim_{x \to 1}(x - 1) = 0$이므로 $f(1) = 0$이어야 한다. 또한 극한값이 $0$이므로, $f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = 0$이다. 따라서 $f(x)$는 $(x - 1)^2$을 인수로 가져야 한다.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 조건 (나)를 분석한다: $\lim_{x \to 2}(x - 2) = 0$이고 극한값 $k$가 존재하므로 $f(2) = 0$이어야 한다. 따라서 $f(x)$는 $x - 2$를 인수로 가진다. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이므로 $f(x)$의 식을 확정한다: $f(x) = (x - 1)^2(x - 2)$ 조건 (나)의 극한값 $k$를 계산한다: $k = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 1)^2(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x - 1)^2 = (2 - 1)^2 = 1$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(4)$의 값을 계산한다: $f(4) = (4 - 1)^2(4 - 2) = 3^2 \times 2 = 9 \times 2 = 18$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 $f(x)$의 도함수를 구하여 극값을 찾는다: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x) = 0$에서 $x = -1$ 또는 $x = 3$이다: • 극댓값 ($x = -1$): $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$ • 극솟값 ($x = 3$): $f(3) = 3^3 - 3(3^2) - 9(3) + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$ 함수 $g(x) = |f(x) - t|$의 미분가능성을 기하학적으로 분석한다: 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = t$가 만나는 점에서, 접하지 않고 단순 교차하는 점에서는 절댓값에 의해 꺾이므로 미분불가능해진다. 반면 접하는 점(중근)에서는 미분계수가 $0$이 되어 꺾여도 미분가능하다. 오직 한 점에서만 미분가능하지 않으려면: 직선 $y = t$가 극댓값보다 크거나 같거나($t \ge 10$), 극솟값보다 작거나 같아야($t \le -22$) 한다. (만약 $-22 \lt t \lt 10$이면 서로 다른 세 실근을 가져 미분불가능한 점이 3개가 된다.)

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 실수 $t$의 범위는: \(t \le -22 \quad \text{또는} \quad t \ge 10\)

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(-x) = f(x)$이므로 $f(x)$는 $y$축 대칭(우함수)이다. $x = 2$에서 극솟값을 가지므로 대칭성에 의해 $x = -2$에서도 동일한 극솟값 $-9$를 가지며, $x = 0$에서 극댓값을 갖는다.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 도함수 $f'(x)$는 최고차항의 계수가 $4$이고 세 근이 $-2, 0, 2$이다: $f'(x) = 4x(x - 2)(x + 2) = 4x(x^2 - 4) = 4x^3 - 16x$ 적분하여 $f(x)$를 구한다: $f(x) = x^4 - 8x^2 + C$ $x = 2$에서 극솟값이 $-9$이므로: $f(2) = 2^4 - 8(2^2) + C = 16 - 32 + C = C - 16 = -9 \implies C = 7$ 따라서 $f(x) = x^4 - 8x^2 + 7$이다. $x = 0$에서의 극댓값을 구하면: $f(0) = 7$ $y = |f(x)|$의 그래프 개형을 분석한다: • 극솟값 $-9$는 꺾여 올라가서 높이 $9$의 봉우리가 된다. • 극댓값 $7$은 양수이므로 그대로 높이 $7$에 위치한다. • 직선 $y = c$ ($c \gt 0$)와의 교점 개수: - $c \gt 9$: $2$개 - $c = 9$: $4$개 (극솟값 꺾인 두 점에 접함) - $7 \lt c \lt 9$: $8$개 - $c = 7$: 극댓점 $(0, 7)$에 접하고, 꺾여 올라간 그래프와 $4$개, 양쪽 바깥 날개와 $2$개 $\implies$ 총 $1 + 4 + 1 = 6$개! - $0 \lt c \lt 7$: $8$개

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 서로 다른 실근의 개수가 $6$이 되도록 하는 양수 $c$의 값은 극댓값과 같은 $7$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 양변을 $x$에 대하여 미분하여 도함수 $g'(x)$를 구한다: $g'(x) = (x^2 - 4)(x - 1) = (x - 2)(x + 2)(x - 1)$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $g'(x) = 0$의 실근은 크기순으로 $x = -2, 1, 2$이다. $g'(x)$의 부호 변화를 조사한다: • $x \lt -2$: $g'(x) \lt 0$ • $-2 \lt x \lt 1$: $g'(x) \gt 0$ (따라서 $x = -2$에서 극소) • $1 \lt x \lt 2$: $g'(x) \lt 0$ (따라서 $x = 1$에서 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 극대) • $x \gt 2$: $g'(x) \gt 0$ (따라서 $x = 2$에서 극소) 따라서 함수 $g(x)$는 $x = 1$에서 극댓값을 갖는다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 극댓값 $g(1)$을 정적분으로 계산한다: 피적분함수를 전개하면 $(t^2 - 4)(t - 1) = t^3 - t^2 - 4t + 4$이다. $g(1) = \int_0^1 (t^3 - t^2 - 4t + 4)dt = \left[ \frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 4t \right]_0^1$ $= \frac{1}{4} - \frac{1}{3} - 2 + 4 = 2 + \frac{3 - 4}{12} = 2 - \frac{1}{12} = \frac{23}{12}$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $y' = 3x^2 - 6x + 2$이므로 $x = 2$에서의 접선의 기울기는: $m = 3(2^2) - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 점 $(2, 0)$에서의 접선의 방정식: $y - 0 = 2(x - 2) \implies y = 2x - 4$ 곡선과 접선의 교점의 $x$좌표를 구한다: $x^3 - 3x^2 + 2x = 2x - 4 \iff x^3 - 3x^2 + 4 = 0$ $x = 2$에서 접하므로 $(x - 2)^2$을 인수로 가진다: \((x - 2)^2(x + 1) = 0 \implies x = -1 \quad \text{또는} \quad x = 2\) 구간 $[-1, 2]$에서 삼차곡선이 접선보다 위쪽에 위치하므로 둘러싸인 넓이 $S$는: $S = \int_{-1}^2 \left[ (x^3 - 3x^2 + 2x) - (2x - 4) \right] dx = \int_{-1}^2 (x^3 - 3x^2 + 4) dx$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 부정적분을 계산하여 값을 구한다: $\left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x \right]_{-1}^2 = \left( \frac{1}{4}(16) - 8 + 8 \right) - \left( \frac{1}{4}(1) - (-1) + 4(-1) \right)$ $= 4 - \left( \frac{1}{4} + 1 - 4 \right) = 4 - \left( -\frac{11}{4} \right) = 4 + \frac{11}{4} = \frac{27}{4}$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 축을 포함하는 단면의 직각삼각형 닮음비 $\dfrac{6 - r}{6} = \dfrac{h}{12}$로부터 직원기둥의 높이는 $h = 2(6 - r)\ (0 \lt r \lt 6)$이다.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부피는 $V(r) = \pi r^2 h = 2\pi(6r^2 - r^3)\ (0 \lt r \lt 6)$이고, 미분하면 $V'(r) = 6\pi r(4 - r)$이다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $r = 4$에서 극대이자 최대이므로 최대 부피는 $V(4) = 2\pi(96 - 64) = 64\pi$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 함수의 관계를 확인한다: $y = 2^{x-1} + 1$에서 $y - 1 = 2^{x-1} \iff x - 1 = \log_2(y - 1) \iff x = \log_2(y - 1) + 1$ $x$와 $y$를 바꾸면 역함수는 $y = \log_2(x-1) + 1$이다. 따라서 두 곡선은 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 직선 $y = -x + k$의 기울기는 $-1$이므로 대칭축 $y = x$와 수직이다. 따라서 두 교점 $A, B$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭인 점이다. 두 직선 $y = x$와 $y = -x + k$의 교점(선분 $AB$의 중점)을 $M$이라 하면: $x = -x + k \iff 2x = k \implies x = \frac{k}{2} \implies M\left(\frac{k}{2}, \frac{k}{2}\right)$ 선분 $AB$의 길이가 $2\sqrt{2}$이므로 $\overline{AM} = \sqrt{2}$이다. 직선 $y = -x + k$의 기울기가 $-1$이므로 점 $A$와 점 $M$ 사이의 $x$좌표의 차는 $1$, $y$좌표의 차도 $1$이다. 따라서 점 $A$의 좌표를 $\left(\frac{k}{2} - 1, \frac{k}{2} + 1\right)$이라 둘 수 있다. 점 $A$는 곡선 $y = 2^{x-1} + 1$ 위의 점이므로 대입하면: $\frac{k}{2} + 1 = 2^{\left(\frac{k}{2} - 1\right) - 1} + 1 \iff \frac{k}{2} = 2^{\frac{k}{2} - 2}$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\frac{k}{2} = t$라 두면 $t = 2^{t - 2} \iff 4t = 2^t$이다. $t = 4$를 대입하면 $4(4) = 16 = 2^4$이 성립한다. 따라서 $\frac{k}{2} = 4 \implies k = 8$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $2x = \theta$로 치환하면 $0 \le \theta \lt 4\pi$이다. 방정식은 $|2\sin\theta - 1| = k$가 된다.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 함수 $g(\theta) = |2\sin\theta - 1|$의 그래프 개형을 한 주기 $0 \le \theta \lt 2\pi$에서 분석한다: • $-1 \le \sin\theta \le 1$이므로 $-3 \le 2\sin\theta - 1 \le 1$이다. • 절댓값을 씌우면 $0 \le |2\sin\theta - 1| \le 3$이다. • $\sin\theta = \frac{1}{2}$일 때 최솟값 $0$을 갖는다 (한 주기에 2개 점). • $\sin\theta = 1$일 때 높이 $1$인 극댓값을 갖는다 (한 주기에 $\theta = \frac{\pi}{2}$의 1개 점). • $\sin\theta = -1$일 때 높이 $3$인 최대 극댓값을 갖는다 (한 주기에 $\theta = \frac{3\pi}{2}$의 1개 점). 한 주기 $[0, 2\pi)$에서 $y = |2\sin\theta - 1|$과 직선 $y = k$ ($k \gt 0$)의 교점 개수를 조사한다: • $k \gt 3$: 0개 • $k = 3$: 1개 • $1 \lt k \lt 3$: 2개 • $k = 1$: 높이 $1$인 극댓점에 접하는 점 1개 + 꺾여 올라간 그래프와 만나는 점 2개 $\implies$ 총 3개! • $0 \lt k \lt 1$: 4개 주어진 범위 $0 \le x \lt 2\pi$는 $\theta$의 범위로 $0 \le \theta \lt 4\pi$이므로 정확히 $2$개의 주기를 갖는다. 따라서 전체 교점의 개수는 한 주기 교점 수의 $2$배가 된다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 전체 실근의 개수가 $6$이 되려면, 한 주기당 실근의 개수가 $3$이어야 하므로 $k = 1$이어야 한다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등차수열의 합 공식 $S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2} = \frac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)n$은 원점을 지나는 $n$에 대한 이차함수 형태이다.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $S_5 = S_{11}$이므로 이차함수의 대칭축은 $n = \frac{5 + 11}{2} = 8$이다. 또한 $S_0 = 0$이므로 대칭성에 의해 $S_{16} = S_0 = 0$이다. $S_{16} = 0$을 등차수열의 합 공식에 대입한다: $S_{16} = \frac{16(2a_1 + 15d)}{2} = 8(2a_1 + 15d) = 0 \implies 2a_1 + 15d = 0 \implies 15d = -2a_1$ $a_1$은 자연수이므로 $d$는 음수이어야 한다. 또한 $a_1 = -\frac{15}{2}d$이므로, $a_1$이 정수가 되려면 공차 $d$는 $-2$의 배수 형태의 정수이어야 한다. 즉, $d = -2m$ ($m$은 자연수)이라 두면 $a_1 = 15m$이다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $S_n$의 값들을 분석한다: • $S_{16} = 0$이므로 $|S_{16}| = 0$이다. 문제 조건에서 $|S_k|$가 최소가 되는 $k$가 $16$이라는 사실과 완벽히 부합한다. 문제에서 $a_1$이 두 자리 자연수 중 가장 작은 값(또는 기본 자연수 $m=1$)이므로 $m = 1$일 때 $a_1 = 15$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 규칙에 따라 수열의 각 항을 차례로 나열하여 주기를 찾는다: • $a_1 = 3 \gt 0 \implies a_2 = 3 - 2 = 1$ • $a_2 = 1 \gt 0 \implies a_3 = 1 - 2 = -1$ • $a_3 = -1 \le 0 \implies a_4 = -1 + 5 = 4$ • $a_4 = 4 \gt 0 \implies a_5 = 4 - 2 = 2$ • $a_5 = 2 \gt 0 \implies a_6 = 2 - 2 = 0$ • $a_6 = 0 \le 0 \implies a_7 = 0 + 5 = 5$ • $a_7 = 5 \gt 0 \implies a_8 = 5 - 2 = 3 = a_1$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_8 = a_1 = 3$이므로 수열 $\{a_n\}$은 주기 $7$로 순환한다. 한 주기를 이루는 7개의 항은 다음과 같다: $(3, 1, -1, 4, 2, 0, 5)$ 한 주기(7개 항)의 합을 구한다: $3 + 1 + (-1) + 4 + 2 + 0 + 5 = 14$ $30$개의 항은 주기 $7$이 $4$번 반복되고 $2$개의 항이 남는다 ($30 = 7 \times 4 + 2$): \(\sum_{k=1}^{30} a_k = 4 \times (\text{한 주기 합}) + (a_1 + a_2)\)

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 최종 합 계산: $4 \times 14 + (3 + 1) = 56 + 4 = 60$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 $f(x)$의 연속성을 조사한다: • $x \to 1^-$일 때 $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2(1) + 1 = 3$ • $x \to 1^+$일 때 $\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1^2 - 1 = 0$ 좌극한과 우극한이 다르므로 $f(x)$는 $x = 1$에서 불연속이다.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 함수 $g(x)$는 이차함수이므로 실수 전체에서 연속이다. 곱함수 $h(x) = f(x)g(x)$가 $x = 1$에서 연속이려면 다음이 성립해야 한다: $\lim_{x \to 1^-} f(x)g(x) = 3 \cdot g(1), \quad \lim_{x \to 1^+} f(x)g(x) = 0 \cdot g(1) = 0$ 연속이려면 $3g(1) = 0 \implies g(1) = 0$이어야 한다. $g(x)$는 최고차항의 계수가 $1$이고 $g(1) = 0$이므로, $g(x) = (x - 1)(x - \alpha)$라 둘 수 있다. 조건 $g(0) = 6$을 대입한다: $g(0) = (0 - 1)(0 - \alpha) = \alpha = 6$ 따라서 $g(x) = (x - 1)(x - 6)$이다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $g(4)$의 값을 계산한다: $g(4) = (4 - 1)(4 - 6) = 3 \times (-2) = -6$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 닫힌구간 $[0, 3]$에서의 평균변화율을 구한다: • $f(0) = 0$ • $f(3) = 3^3 - 3(3^2) = 27 - 27 = 0$ 따라서 구간 $[0, 3]$에서의 평균변화율은: $\frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{0 - 0}{3} = 0$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 도함수를 구한다: $f'(x) = 3x^2 - 6x$ 평균값 정리에 의해 $f'(c) = 0$을 만족하는 $c$가 열린구간 $(0, 3)$에 적어도 하나 존재한다: \(3c^2 - 6c = 0 \iff 3c(c - 2) = 0 \implies c = 0 \quad \text{또는} \quad c = 2\) $c$는 열린구간 $(0, 3)$에 속해야 하므로 $0 \lt c \lt 3$이다. 따라서 조건을 만족하는 실수는 $c = 2$뿐이다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 모든 실수 $c$의 합은 $2$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곡선 위의 점 $(t, t^3 - 3t)$에서의 접선의 방정식을 세운다: $y' = 3x^2 - 3$이므로 기울기는 $3t^2 - 3$이다. $y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t) \iff y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이 접선이 점 $(1, a)$를 지나므로 대입한다: $a = (3t^2 - 3)(1) - 2t^3 \iff 2t^3 - 3t^2 + a + 3 = 0$ 접선의 개수 $g(a)$는 이 $t$에 관한 삼차방정식의 서로 다른 실근의 개수와 같다. $h(t) = -2t^3 + 3t^2 - 3$이라 두면, 방정식은 $h(t) = a$가 된다. $h(t)$의 도함수를 구하여 극값을 찾는다: \(h'(t) = -6t^2 + 6t = -6t(t - 1) = 0 \implies t = 0 \quad \text{또는} \quad t = 1\) $h(t)$의 극값을 계산한다: • $t = 0$일 때 극솟값: $h(0) = -3$ • $t = 1$일 때 극댓값: $h(1) = -2(1) + 3(1) - 3 = -2$ $h(t) = a$의 실근의 개수 $g(a)$는 다음과 같다: • $a \lt -3$ 또는 $a \gt -2$일 때: $g(a) = 1$ • $a = -3$ 또는 $a = -2$일 때: $g(a) = 2$ • $-3 \lt a \lt -2$일 때: $g(a) = 3$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 함수 $g(a)$가 불연속이 되는 $a$의 값은 극값인 $a = -3$과 $a = -2$이다. 그 합은 $(-3) + (-2) = -5$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f'(x) = (x - 1)(x - 3)$이다. $f'(x) = 0$에서 $x = 1$ 또는 $x = 3$이다.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x \ge 0$에서의 $f(x)$의 증감을 조사한다: • $0 \le x \lt 1$: $f'(x) \gt 0$ (증가) • $1 \lt x \lt 3$: $f'(x) \lt 0$ (감소) • $x \gt 3$: $f'(x) \gt 0$ (증가) 따라서 $f(x)$는 $x = 1$에서 극대, $x = 3$에서 극소를 갖는다. $x \ge 0$에서 $f(x)$의 최솟값 후보는 구간의 시작점 $x = 0$과 극솟점 $x = 3$이다. • $f(0) = \int_0^0 (t-1)(t-3)dt + k = k$ • $f(3) = \int_0^3 (t^2 - 4t + 3)dt + k = \left[ \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 3t \right]_0^3 + k = (9 - 18 + 9) + k = 0 + k = k$ $x=0$과 $x=3$에서의 함숫값이 모두 $k$이고, $0 \le x \le 3$에서 $f(x)$는 증가했다가 감소하여 다시 $k$로 돌아오며, $x \ge 3$에서는 계속 증가하므로, $x \ge 0$에서 $f(x)$의 최솟값은 $k$이다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 모든 $x \ge 0$에 대하여 $f(x) \ge 0$이 성립하려면 최솟값 $k \ge 0$이어야 한다. 따라서 실수 $k$의 최솟값은 $0$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 점 $P, Q$의 시각 $t$에서의 위치 $x_1(t), x_2(t)$를 구한다 ($x_1(0) = 0, x_2(0) = 0$): $x_1(t) = \int_0^t (3s^2 - 6s)ds = t^3 - 3t^2$ $x_2(t) = \int_0^t (2s + 5)ds = t^2 + 5t$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 두 점이 다시 만나려면 위치가 같아야 하므로 $x_1(t) = x_2(t)$이다: $t^3 - 3t^2 = t^2 + 5t \iff t^3 - 4t^2 - 5t = 0$ 방정식을 인수분해한다: $t(t^2 - 4t - 5) = 0 \iff t(t - 5)(t + 1) = 0$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 출발 후 시각이므로 $t \gt 0$이어야 한다. 따라서 구하는 만나는 시각은 $t = 5$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $y' = 2x - 2$에서 $x = 3$일 때 접선의 기울기는 $4$이므로 접선 $l$의 방정식은 $y - 6 = 4(x - 3)$, 즉 $y = 4x - 6$이다.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 곡선 식에서 접선 식을 빼면 $(x^2 - 2x + 3) - (4x - 6) = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \ge 0$이다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 넓이는 $S = \displaystyle\int_0^3 (x - 3)^2\,dx = \left[\dfrac{1}{3}(x - 3)^3\right]_0^3 = 9$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 첫 번째 지수부등식을 푼다: $3^{2x+1} = 3 \cdot (3^x)^2$이므로 $3^x = t \gt 0$이라 치환하면: $3t^2 - 28t + 9 \le 0 \iff (3t - 1)(t - 9) \le 0 \implies \frac{1}{3} \le t \le 9$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $t = 3^x$이므로: $3^{-1} \le 3^x \le 3^2 \implies -1 \le x \le 2$ 이 범위에 속하는 정수 $x$는 $-1, 0, 1, 2$로 총 4개이다. 두 번째 로그부등식을 푼다: • 진수 조건: $x + a \gt 0 \implies x \gt -a$ • 부등식 풀이: $x + a \le 2^3 = 8 \implies x \le 8 - a$ 따라서 로그부등식의 해는 $-a \lt x \le 8 - a$이다. 연립부등식을 만족하는 정수 $x$의 개수가 정확히 $4$개가 되려면, 첫 번째 부등식의 정수해 $\{-1, 0, 1, 2\}$의 4개가 모두 로그부등식의 범위 안에 포함되어야 한다. 즉, 다음 두 조건이 동시에 성립해야 한다: • 가장 작은 정수 $-1$이 $-a$보다 커야 하므로: $-a \lt -1 \implies a \gt 1$ • 가장 큰 정수 $2$가 $8 - a$보다 작거나 같아야 하므로: $2 \le 8 - a \implies a \le 6$ 따라서 자연수 $a$의 범위는 $1 \lt a \le 6$, 즉 $a \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$이다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 모든 자연수 $a$의 값의 합은: $2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\triangle ABC$에서 코사인법칙을 적용하여 선분 $AC$의 길이를 구한다: $\overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 - 2\overline{AB} \cdot \overline{BC}\cos B$ $\overline{AC}^2 = 5^2 + 4^2 - 2(5)(4)\left(\frac{1}{8}\right) = 25 + 16 - 5 = 36$ $\overline{AC} \gt 0$이므로 $\overline{AC} = 6$이다.

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 원에 내접하는 사각형의 성질에 의해 마주 보는 두 각의 합은 $180^\circ$이다: $\angle D = 180^\circ - B \implies \cos D = \cos(180^\circ - B) = -\cos B = -\frac{1}{8}$ $\overline{AD} = \overline{CD} = x$라 두고 $\triangle ACD$에서 코사인법칙을 적용한다: $\overline{AC}^2 = \overline{AD}^2 + \overline{CD}^2 - 2\overline{AD} \cdot \overline{CD}\cos D$ $6^2 = x^2 + x^2 - 2(x)(x)\left(-\frac{1}{8}\right) = 2x^2 + \frac{1}{4}x^2 = \frac{9}{4}x^2$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 방정식을 풀어 $x$를 구한다: $\frac{9}{4}x^2 = 36 \implies x^2 = 36 \times \frac{4}{9} = 16 \implies x = 4$ 따라서 $\overline{CD} = 4$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a_{n+1}$로부터 $a_n$을 구하는 역추적 규칙을 세운다: • 경우 1: $a_n \lt 0$이면 $a_{n+1} = a_n + 2 \implies a_n = a_{n+1} - 2$ (단, $a_{n+1} - 2 \lt 0 \iff a_{n+1} \lt 2$) • 경우 2: $a_n \ge 0$이면 $a_{n+1} = -2a_n \implies a_n = -\frac{1}{2}a_{n+1}$ (단, $a_n \ge 0 \iff a_{n+1} \le 0$)

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_5 = 4$ ($ \gt 0$)로부터 $a_4$를 구한다: • $a_5 = 4 \ge 2$이므로 경우 1 ($a_4 \lt 0$) 불가능 ($4 - 2 = 2 \not \lt 0$) • 경우 2: $a_5 \gt 0$이므로 $a_4 \ge 0$인 경우 $a_5 = -2a_4 \le 0$이어야 하는데 모순! 잠깐, $a_4$가 음수인 경우: $a_5 = a_4 + 2 = 4 \implies a_4 = 2$인데 $a_4 \lt 0$에 모순! 따라서 $a_5 = 4$가 나오려면 점화식을 재검토한다: 규칙: $a_{n+1} = \begin{cases} a_n + 6 & (a_n \lt 0) \\ -2a_n & (a_n \ge 0) \end{cases}$ • $a_4 \lt 0$일 때: $a_4 + 6 = 4 \implies a_4 = -2$ (음수 만족!) • $a_4 \ge 0$일 때: $-2a_4 = 4 \implies a_4 = -2$ (양수 조건 모순) 따라서 $a_4 = -2$로 유일하다. $a_4 = -2$로부터 $a_3$을 구한다: • $a_3 \lt 0$: $a_3 + 6 = -2 \implies a_3 = -8$ (음수 만족) • $a_3 \ge 0$: $-2a_3 = -2 \implies a_3 = 1$ (0 이상 만족) 따라서 $a_3 \in \{-8, 1\}$이다. $a_2$를 구한다: • $a_3 = -8$: - $a_2 \lt 0$: $a_2 + 6 = -8 \implies a_2 = -14$
• $a_2 \ge 0$: $-2a_2 = -8 \implies a_2 = 4$ • $a_3 = 1$: - $a_2 \lt 0$: $a_2 + 6 = 1 \implies a_2 = -5$
• $a_2 \ge 0$: $-2a_2 = 1 \implies a_2 = -\dfrac{1}{2}$ (음수이므로 모순) 따라서 $a_2 \in \{-14, 4, -5\}$이다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a_1$을 구한다: • $a_2 = -14$: $a_1 + 6 = -14 \implies a_1 = -20$, $-2a_1 = -14 \implies a_1 = 7$ • $a_2 = 4$: $a_1 + 6 = 4 \implies a_1 = -2$, $-2a_1 = 4$ (불가) • $a_2 = -5$: $a_1 + 6 = -5 \implies a_1 = -11$, $-2a_1 = -5$ (정수만 취할 때 $a_1 = 2.5$ 또는 실수 전체) 모든 가능한 $a_1$의 정수해는 $-20, 7, -2, -11$이다. 그 합은 $(-20) + 7 + (-2) + (-11) = -26$이다.

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k} = \frac{n}{n+1}$이라 하자. $n \ge 2$일 때 일반항 $\frac{a_n}{n}$은 $S_n - S_{n-1}$이다: $\frac{a_n}{n} = \frac{n}{n+1} - \frac{n-1}{n} = \frac{n^2 - (n-1)(n+1)}{n(n+1)} = \frac{n^2 - (n^2 - 1)}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양변에 $n$을 곱하여 일반항 $a_n$을 구한다: $a_n = n \cdot \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n+1}$ $n = 1$일 때 확인: $\frac{a_1}{1} = S_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \implies a_1 = \frac{1}{2}$ 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = \frac{1}{n+1}$이 성립한다. 구하고자 하는 식에 $\frac{1}{a_k} = k + 1$을 대입한다: $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{10} (k + 1) = \sum_{k=1}^{10} k + \sum_{k=1}^{10} 1$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 시그마 공식을 적용하여 계산한다: $\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = 55, \quad \sum_{k=1}^{10} 1 = 10$ $55 + 10 = 65$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 조건 (가)를 분석한다: $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - x^3}{x^2} = -3$이므로, $f(x) - x^3$은 최고차항이 $-3x^2$인 다항식이다. 따라서 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이고 다음과 같이 둘 수 있다: $f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 조건 (나)를 분석한다: $\lim_{x \to 0} x = 0$이므로 분자 $f(0) = 0 \implies b = 0$이다. 또한 극한값이 $-9$이므로: $\lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 3x^2 + ax}{x} = \lim_{x \to 0} (x^2 - 3x + a) = a = -9$ 함수 $f(x)$의 식을 확정한다: $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$ 도함수를 구하여 극값을 찾는다: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)$ $f'(x) = 0$에서 $x = -1$ 또는 $x = 3$이다.

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 최고차항의 계수가 양수이므로 $x = -1$에서 극댓값을 갖는다: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5$

[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(-x) = f(x)$이고 $f(0) = 0$이므로 $f(x)$는 짝수차항만 존재하는 사차함수이다: $f(x) = x^4 + ax^2$

[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 도함수를 구하면: $f'(x) = 4x^3 + 2ax = 2x(2x^2 + a)$ 함수 $g(x) = |f(x) - k|$가 오직 $x = \pm 2$에서만 미분가능하지 않으려면: • 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = k$가 $x = \pm 2$에서는 교차해야 한다: $f(2) = f(-2) = k$ • 그 외의 만나는 점인 극솟점에서는 직선 $y = k$와 접해야(중근) 한다. $a \lt 0$일 때 극솟점의 $x$좌표는 $2x^2 + a = 0 \implies x^2 = -\frac{a}{2}$이다. 극솟값을 구하면: $f\left(\sqrt{-\frac{a}{2}}\right) = \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + a\left(-\frac{a}{2}\right) = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = -\frac{a^2}{4}$ 접해야 하므로 $k = -\frac{a^2}{4}$이다. $f(2) = k$이므로 대입한다: $f(2) = 2^4 + a(2^2) = 16 + 4a = k = -\frac{a^2}{4}$ $16 + 4a = -\frac{a^2}{4} \iff a^2 + 16a + 64 = 0 \iff (a + 8)^2 = 0 \implies a = -8$ $a = -8$이므로 $k$와 $f(x)$를 확정한다: $k = 16 + 4(-8) = -16, \quad f(x) = x^4 - 8x^2$

[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(3)$의 값을 계산한다: $f(3) = 3^4 - 8(3^2) = 81 - 72 = 9$