2027학년도 이화여자대학교 자연계열 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 111쪽 단권화

2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본

2027학년도 이화여자대학교
자연계열 수리논술
10회분 통합 마스터 문제집·해설집

출제 범위: 교과서 기반 교육과정 수학 전 범위 (Textbook DB SSOT)
시험 시간: 100분 | 전형 반영: 논술 100% (수능최저 적용)

📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 111쪽 완결]

• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭

• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (31p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (15문항)

• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (43p): 출제 타당성 보고서(2p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)

• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (31p): 30문항 전수 아코디언 정밀 해설

• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터

📱 스마트폰 실시간 합격진단 & 올인원 대시보드 연동

우측 QR 스캔 또는 상단 툴바 버튼으로 이화여자대학교 실시간 컷오프 시뮬레이터와 즉시 동기화됩니다.

발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: QUESTIO-2027-UNIFIED-MASTER

전형 반영 비율

논술 100% (수능최저 적용)

논술 실질 변별력 핵심

시험 시간 · 문항

100분 · 3문항

회차당 수리 100점 만점

수능최저학력기준

모집단위별 기준 확인

국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내

출제 교육과정

교과서 기반 수학과

Textbook DB V1.0 완벽 준거

STEP 1기출 5개년 해부Part 1 정독

STEP 2표준 모의 1~5회실전 시간 엄수

STEP 3킬러 모의 6~10회TOP 5 심화 격파

STEP 4루브릭 약점 교정감점 요인 제거

STEP 5입결 컷오프 판정Part 3 시뮬레이션

📈 5개년 출제 경향 및 2027학년도 핵심 대비 전략

🎯 1. 이화여자대학교 자연계열 수리논술 5개년 출제 경향 & 2027 합격 전략

• 제시문 없는 순수 수리논술 체계: 이화여대 자연계열 수리논술은 장문의 제시문 대신 조건문과 수학적 정의만을 간결하게 제시하고, 3~4개의 소문항을 통해 점진적으로 연역적 증명을 유도하는 정통 수리논술(Track A)의 대표적 전형입니다.
• 대문항 3문항 ($40+30+30=100$점) / 시험시간 100분: 문항 1번(40점)은 대수 및 미적분 연계 고배점 킬러 문항이며, 문항 2번(30점)과 3번(30점)은 대수적 항등식, 정적분 함수, 기하 자취 등 핵심 교과 개념의 엄밀한 논증을 요구합니다.
• 2027학년도 수능최저학력기준 필수 엄수: 자연계열 일반학과는 국, 수, 영, 과(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내 (수학 필수), 약학전공 및 의예과는 4개 영역 등급 합 5 이내입니다. 실질 경쟁률은 최초 경쟁률의 40~50% 수준으로 대폭 하락하므로 수능최저 충족 시 논술 75~80점대로도 최초 합격이 유력합니다.

🔥 2. 역대 킬러 문항 TOP 5 분석 & 본 교재 모의고사 6~10회 1:1 심화 매칭표

🔥 역대 킬러 문항 TOP 5 분석 & 실전 모의고사 6~10회 1:1 심화 매칭표

순위	기출 원천 문항	핵심 출제 테마 및 변별 포인트	모의 1:1 매칭	부분점수 공략 전략
TOP 1	2026 자연Ⅰ 문항 1 (원점 대칭 삼차함수 & 롤의 정리)	사잇값 정리와 롤의 정리로 $f'(c)=g'(c)$ 해의 존재성 보이고 $F''(x) \gt 0$으로 유일성 엄밀 증명	제6회 모의고사 문제 1 (40점) [원점대칭 삼차함수 평균값정리]	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 2	2026 자연Ⅰ 문항 2 (헤비사이드 부분분수 계수 합)	다항식 곱의 로그미분법 $\frac{Q'(x)}{Q(x)}$ 유도 및 부분분수 공식 $c_k=\frac{P(b_k)}{Q'(b_k)}$ 차수비교 논증	제6회 모의고사 문제 2 (30점) [헤비사이드 계수결정 항등식]	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 3	2026 자연Ⅰ 문항 3 (분할 구간 정적분 함수와 롤의정리)	$H(x)=\int_0^x f - \int_x^1 f$의 미분 $H'(x)=2f(x)$와 원시함수 롤의 정리로 등식 만족 $c$ 증명	제6회 모의고사 문제 3 (30점) [정적분 정의 분할함수 롤의정리]	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 4	2026 자연Ⅱ 문항 1 & 3 (제곱합 하한부등식 & 접선 마름모)	$\sum (a_k-c)^2 \ge 0$ 망원급수 소거 및 접선 절편이 이루는 마름모와 곡선 넓이 비 최적화	제7회 모의고사 문제 1·2 (70점) [제곱합 망원급수 & 마름모 넓이비]	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 5	2023 자연 기출 문항 1 (삼각파 주기함수와 직선 넓이수열)	구간별 절대값 삼각파 함수 $f(x)=1-\|x-2n-1\|$과 원점 직선 $y=ax$의 둘러싸인 넓이 수열 합	제8회 모의고사 문제 1 (40점) [주기 삼각파 넓이 수열 합]	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보

📌 본 통합 마스터북 100% 활용 5단계 로드맵

STAGE 1

Step 1 (Part 1 기출 정복): 이화여자대학교 최근 5개년 공식 기출문항을 스스로 논술한 뒤 교과서 기반 1:1 유사 연습문제로 기본기를 다집니다.

STAGE 2

Step 2 (Part 2-1 실전 시험지 훈련): 실제 시험시간(100분)을 엄수하여 제1~5회(표준) 및 제6~10회(킬러 심화) 답안지를 작성합니다.

STAGE 3

Step 3 (Part 2-2 아코디언 루브릭 첨삭 & Part 3 합격 진단): 단계별 채점 루브릭으로 자가채점한 점수를 Part 3 대시보드에 입력하여 목표 학과 합격 가능성을 실시간 점검합니다.

PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS

2022~2026학년도 이화여자대학교
공식 기출 심층 해설 & 교과서 1:1 연계

최근 5개년 기출 핵심 15문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.

📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록

📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공

✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능

📚 과목/단원: 수학I · 수학II 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 수열의 귀납적 정의, 삼차함수 성질, 수학적 귀납법 (성취기준 12대수03-06, 12미적Ⅰ-02-08) ⏱️ 권장 시간: 35분

[제시문]

상수 $p$ ($1 \lt p \lt 2$)에 대하여 함수 $f(x) = x^3 - px^2 + px$가 있다. 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = f(a_n)$$ 을 만족시킨다. $0 \lt a_1 \lt 1$일 때, 아래 물음에 답하시오.

(1) $0 \lt x \lt \beta$에서 부등식 $f(x) \gt x$가 성립하고, $\beta \lt x \lt 1$에서 부등식 $f(x) \lt x$가 성립하는 $\beta$를 구하시오. [6점]

(2) 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $0 \lt a_n \lt 1$이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 보이시오. [15점]

(3) 문항 (1)에서 정해진 $\beta$에 대하여 $a_1 \ne \beta$일 때, 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $0 \lt a_n \lt \beta$가 성립하거나, 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $\beta \lt a_n \lt 1$이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 보이시오. [11점]

(4) 문항 (1)에서 정해진 $\beta$에 대하여 $a_1 \ne \beta$일 때, 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $a_{n+1} \gt a_n$이 성립하거나, 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $a_{n+1} \lt a_n$이 성립함을 보이시오. [8점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.9 탐구 7023 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$에 대하여 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = \frac{1}{2}$, $a_{n+1} = f(a_n)$ ($n \ge 1$)으로 정의될 때, 모든 자연수 $n$에 대하여 $0 \lt a_n \lt 1$임을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 【풀이 및 정답】 $f'(x) = 3(x-1)^2 \ge 0$이므로 $f(x)$는 실수 전체에서 증가한다. $f(0)=0, f(1)=1$이다. (i) $n=1$일 때 $0 \lt a_1 = 1/2 \lt 1$ 성립. (ii) $n=k$일 때 $0 \lt a_k \lt 1$이라 가정하면, $f$의 단조증가성에 의해 $0 = f(0) \lt f(a_k) = a_{k+1} \lt f(1) = 1$. 따라서 모든 $n$에 대하여 $0 \lt a_n \lt 1$이다.
※ 해설 가이드: 2022학년도 이화여대 기출 문제 1의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 연역적으로 서술함.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 / 문제 1 문항 1 (수학I · 수학II) [배점 40점]

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 문제 1 [수학I · 수학II · 40점]

주요 논점: 수열의 귀납적 정의, 삼차함수 성질, 수학적 귀납법 (성취기준 12대수03-06, 12미적Ⅰ-02-08)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 1 · 총 40점

1-1 $\beta = p - 1$ 도출
$g(x) = f(x) - x = x^3 - px^2 + (p-1)x = x(x-1)(x - (p-1))$. $1 \lt p \lt 2$이므로 $0 \lt p-1 \lt 1$이다. 최고차항 계수가 양수인 삼차함수 그래프에서 세 실근 $0, p-1, 1$을 가지므로, $0 \lt x \lt p-1$에서 $g(x) \gt 0 \iff f(x) \gt x$, $p-1 \lt x \lt 1$에서 $g(x) \lt 0 \iff f(x) \lt x$이다. 따라서 $\beta = p - 1$이다.
1-2 모든 자연수 $n$에 대해 $0 \lt a_n \lt 1$ 성립 증명
(i) $n=1$일 때 $0 \lt a_1 \lt 1$로 성립한다. (ii) $n=k$일 때 $0 \lt a_k \lt 1$이라 가정하자. $f'(x) = 3x^2 - 2px + p$에서 판별식 $D/4 = p^2 - 3p = p(p-3) \lt 0$ ($1 \lt p \lt 2$)이므로 $f'(x) \gt 0$이다. 따라서 $f(x)$는 실수 전체에서 순증가함수이다. $f(0)=0, f(1)=1$이므로 $0 \lt a_k \lt 1 \implies 0 = f(0) \lt f(a_k) = a_{k+1} \lt f(1) = 1$. 따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 $n$에 대해 성립한다.
1-3 $0 \lt a_n \lt \beta$ 또는 $\beta \lt a_n \lt 1$ 증명
$f(x)$는 증가함수이고 $f(0)=0, f(\beta)=\beta, f(1)=1$이다. $0 \lt a_1 \lt \beta$이면 $0 \lt a_k \lt \beta$ 가정 시 $0 = f(0) \lt a_{k+1} \lt f(\beta) = \beta$로 귀납 성립. $\beta \lt a_1 \lt 1$이면 $\beta \lt a_k \lt 1$ 가정 시 $\beta = f(\beta) \lt a_{k+1} \lt f(1) = 1$로 귀납 성립한다.
1-4 수열의 단조성 $a_{n+1} \gt a_n$ 또는 $a_{n+1} \lt a_n$ 증명
(i) $0 \lt a_1 \lt \beta$이면 모든 $n$에 대해 $0 \lt a_n \lt \beta$이고 (1)에 의해 $f(a_n) \gt a_n \implies a_{n+1} \gt a_n$ (단조증가). (ii) $\beta \lt a_1 \lt 1$이면 모든 $n$에 대해 $\beta \lt a_n \lt 1$이고 (1)에 의해 $f(a_n) \lt a_n \implies a_{n+1} \lt a_n$ (단조감소).

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$g(x) = f(x)-x$ 인수분해하여 세 근 $0, 1, p-1$을 구하고 $0 \lt p-1 \lt 1$ 언급	3점
2단계	부호 판정을 통해 $\beta = p-1$을 정확히 도출	3점
3단계	$f'(x)$의 판별식 $D/4 \lt 0$을 보여 $f(x)$가 증가함수임을 증명	5점
4단계	$f(0)=0, f(1)=1$과 증가성을 이용하여 $0 \lt a_{k+1} \lt 1$ 유도 및 귀납법 결론 기술	10점
5단계	$a_1 \lt \beta$ 및 $a_1 \gt \beta$의 두 경우로 분할하여 $0 \lt a_n \lt \beta$ 또는 $\beta \lt a_n \lt 1$ 귀납 증명	11점
6단계	문항 (1)과 (3)의 결과를 연결하여 단조성($a_{n+1} \gt a_n$ 또는 $a_{n+1} \lt a_n$)을 논리적으로 완결	8점

🩺 100인 표본 감점 클리닉 [문항 1]

• 빈출 감점 포인트: (2)번에서 $f(x)$가 증가함수임을 보이지 않고 단순히 몇 개 항을 대입하여 '성립한다'고 서술한 경우 5~7점 대폭 감점.
• 방어 전략: 판별식 $D/4 = p(p-3) \lt 0$을 통해 $f'(x) \gt 0$임을 반드시 보이고, 귀납 가정을 정확히 인용해야 만점을 받습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) $0 \lt x \lt \beta$에서 $f(x)\gt x$, $\beta \lt x \lt 1$에서 $f(x)\lt x$ | (2) $0 \lt a_1 \lt \beta$이면 단조증가, $\beta \lt a_1 \lt 1$이면 단조감소 증명 완료 이화여자대학교 공식 기준 (40점)

📚 과목/단원: 수학 · 기하 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 타원의 접선의 방정식, 삼각형 넓이의 최댓값 (성취기준 12기하01-02) ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

좌표평면에서 타원 $x^2 + 3y^2 = 3$과 직선 $y = x + k$가 주어진다.

(1) 좌표평면에서 타원 $x^2 + 3y^2 = 3$과 직선 $y = x + k$가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오. [8점]

(2) 타원 $x^2 + 3y^2 = 3$ 위의 점 P에서의 접선의 기울기는 $1$이고, 점 P의 $x$좌표는 양수이다. 타원 $x^2 + 3y^2 = 3$과 직선 $y = x + k$가 서로 다른 두 점 Q, R에서 만날 때, 삼각형 PQR의 넓이를 $f(k)$라 하자. $f(k)$를 구하시오. [12점]

(3) 문항 (1)에 해당하는 실수 $k$에 대하여 $\{f(k)\}^2$의 최댓값을 구하시오. [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.14 탐구 802 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

【유사 연습 문제】 타원 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 위의 점 $P$와 직선 $x - 2y - 6 = 0$ 사이의 거리의 최솟값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 【풀이 및 정답】 직선과 평행한 타원의 접선 방정식은 기울기 $m = 1/2$이므로 $y = \frac{1}{2}x \pm \sqrt{4 \cdot (1/2)^2 + 1} = \frac{1}{2}x \pm \sqrt{2}$, 즉 $x - 2y \pm 2\sqrt{2} = 0$. 직선 $x - 2y - 6 = 0$과 접선 사이의 거리는 $\frac{|-6 - (-2\sqrt{2})|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5} - 2\sqrt{10}}{5}$.
※ 해설 가이드: 2022학년도 이화여대 기출 문제 2의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 연역적으로 서술함.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 / 문제 2 문항 2 (수학 · 기하) [배점 30점]

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 문제 2 [수학 · 기하 · 30점]

주요 논점: 타원의 접선의 방정식, 삼각형 넓이의 최댓값 (성취기준 12기하01-02)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 2 · 총 30점

2-1 실수 $k$의 범위 도출
타원 $x^2 + 3y^2 = 3$과 $y = x + k$를 연립하면 $x^2 + 3(x+k)^2 = 3 \iff 4x^2 + 6kx + 3(k^2-1) = 0$. 서로 다른 두 점에서 만나므로 판별식 $D/4 = 9k^2 - 12(k^2-1) = 12 - 3k^2 = 3(4-k^2) \gt 0 \iff k^2 \lt 4$. 따라서 $-2 \lt k \lt 2$이다.
2-2 삼각형 넓이 함수 $f(k)$ 계산
타원 위의 점 $P$에서 접선의 기울기가 1이므로, $y = x \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2} = x \pm \sqrt{3 \cdot 1^2 + 1} = x \pm 2$. 점 $P$의 $x$좌표가 양수이므로 접선은 $y = x - 2$이고 점 $P$의 좌표는 $(3/2, -1/2)$이다. 점 $P$와 직선 $x - y + k = 0$ 사이 거리 $h = \frac{|3/2 - (-1/2) + k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{k+2}{\sqrt{2}}$. 연립이차방정식 두 근의 차 $\Delta x = \frac{\sqrt{D}}{4} = \frac{\sqrt{3(4-k^2)}}{2}$. 두 교점 사이 거리 $QR = \sqrt{2}\Delta x = \frac{\sqrt{6(4-k^2)}}{2}$. 따라서 넓이 $f(k) = \frac{1}{2} \cdot QR \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4}(k+2)\sqrt{4-k^2}$이다.
2-3 $\{f(k)\}^2$의 최댓값 도출
$\{f(k)\}^2 = \frac{3}{16}(k+2)^2(4-k^2) = \frac{3}{16}(k+2)^3(2-k)$. $g(k) = (k+2)^3(2-k)$로 놓으면 $g'(k) = 3(k+2)^2(2-k) - (k+2)^3 = 4(k+2)^2(1-k)$. $-2 \lt k \lt 2$에서 $g'(k)=0$의 근은 $k=1$이다. 증감표에서 $k \lt 1$일 때 $g'(k)\gt 0$, $k \gt 1$일 때 $g'(k)\lt 0$이므로 $k=1$에서 극대이자 최대이다. 최댓값은 $\{f(1)\}^2 = \frac{3}{16}(3)^3(1) = \frac{81}{16}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	타원과 직선을 연립하여 $x$에 관한 이차방정식 유도 및 판별식 계산	5점
2단계	판별식 $D \gt 0$으로부터 $-2 \lt k \lt 2$ 범위 정확히 도출	3점
3단계	기울기 1인 접선 및 접점 $P(3/2, -1/2)$ 좌표와 높이 $h = \frac{k+2}{\sqrt{2}}$ 계산	6점
4단계	선분 $QR$의 길이를 근과 계수의 관계로 표현하고 $f(k) = \frac{\sqrt{3}}{4}(k+2)\sqrt{4-k^2}$ 유도	6점
5단계	$\{f(k)\}^2$를 미분하여 $k=1$에서 극대임을 증감표로 설명	5점
6단계	최댓값 $\frac{81}{16}$을 정확히 계산하여 결론 제시	5점

🩺 100인 표본 감점 클리닉 [문항 2]

• 빈출 감점 포인트: 두 점 $Q, R$의 좌표를 무리수 형태로 복잡하게 근의 공식으로 대입하다가 계산 실수 발생. 점과 직선 사이의 거리 공식에서 분모 $\sqrt{2}$ 누락.
• 방어 전략: 두 점 사이의 거리는 $\sqrt{1+m^2}|\alpha - \beta| = \sqrt{2}\frac{\sqrt{D}}{a}$를 쓰면 계산이 3줄 이내로 깔끔하게 정리됩니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) 타원의 접선 방정식 $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$ | (2) $k=1$에서 $\{f(k)\}^2$의 최댓값 $\dfrac{81}{16}$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

📚 과목/단원: 수학II · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 초월함수의 그래프, 변곡점, 정적분의 계산과 성질 (성취기준 12미적-02-08, 12미적-03-02) ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$가 있다. 곡선 $y=f(x)$에 대하여 아래 물음에 답하시오.

(1) 도함수 $f'(x)$를 구하고, 함수 $f(x)$의 증가·감소를 조사하여 극댓값을 구하시오. [8점]

(2) 이계도함수 $f''(x)$를 구하여 곡선 $y=f(x)$의 변곡점의 좌표를 구하고, $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$임을 이용하여 개형을 설명하시오. [10점]

(3) 곡선 $y=f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x=1, x=e$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오. [12점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 803 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ ($x \gt 0$)의 극댓값과 곡선 $y=f(x)$의 변곡점의 좌표를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 【풀이 및 정답】 $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$에서 $x=e$일 때 극댓값 $f(e) = 1/e$. $f''(x) = \frac{-3 + 2\ln x}{x^3} = 0 \iff x = e^{3/2}$. 변곡점은 $(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}})$.
※ 해설 가이드: 2022학년도 이화여대 기출 문제 3의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 연역적으로 서술함.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 / 문제 3 문항 3 (수학II · 미적분) [배점 30점]

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 문제 3 [수학II · 미적분 · 30점]

주요 논점: 초월함수의 그래프, 변곡점, 정적분의 계산과 성질 (성취기준 12미적-02-08, 12미적-03-02)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 3 · 총 30점

3-1 도함수 및 극댓값
몫의 미분법에 의해 $f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$. $f'(x) = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e$. $0 \lt x \lt e$에서 $f'(x) \gt 0$ (증가), $x \gt e$에서 $f'(x) \lt 0$ (감소). 따라서 $x = e$에서 극댓값 $f(e) = \frac{1}{e}$를 갖는다.
3-2 이계도함수 및 변곡점과 극한
$f''(x) = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \ln x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x\ln x}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3}$. $f''(x) = 0 \iff \ln x = 3/2 \iff x = e^{3/2}$. $x \lt e^{3/2}$에서 $f''(x) \lt 0$ (위로 볼록), $x \gt e^{3/2}$에서 $f''(x) \gt 0$ (아래로 볼록). 따라서 변곡점은 $\left(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}}\right)$이다. 또한 교과서의 함수의 극한 성질에 의해 $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$이므로 점근선은 $x$축($y=0$)이다.
3-3 둘러싸인 영역의 넓이 $S$
구간 $[1, e]$에서 $f(x) \ge 0$이므로 넓이 $S = \int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx$. $u = \ln x$로 치환하면 $du = \frac{1}{x}dx$이고, $x=1 \implies u=0$, $x=e \implies u=1$. 따라서 $S = \int_0^1 u\,du = \left[\frac{1}{2}u^2\right]_0^1 = \frac{1}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	몫의 미분법을 정확히 적용하여 $f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2}$ 도출	4점
2단계	증감표를 작성하고 $x=e$에서 극댓값 $1/e$ 산출	4점
3단계	$f''(x) = \frac{2\ln x - 3}{x^3}$ 계산 및 변곡점 좌표 $(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}})$ 도출	5점
4단계	오목·볼록 판정 및 무한대 극한 $y \to 0$ 점근선 특성 설명	5점
5단계	치환적분법 설정 ($u=\ln x, du=dx/x$) 및 적분 구간 변경 ($[1, e] \to [0, 1]$)	6점
6단계	정적분 계산 완결하여 넓이 $S = 1/2$ 정확히 도출	6점

🩺 100인 표본 감점 클리닉 [문항 3]

• 빈출 감점 포인트: 변곡점의 좌우 부호 변화를 언급하지 않고 $f''(x)=0$만 구한 경우 2점 감점. 적분 시 적분 구간 치환 변환식 생략.
• 방어 전략: 변곡점 정의는 $f''(x)=0$뿐 아니라 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 변함을 반드시 한 문장 명시해야 합니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) $x=e$에서 극댓값 $\dfrac{1}{e}$ | (2) 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S = \dfrac{1}{2}$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

📚 과목/단원: 수학II · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 적분방정식, 미적분학의 기본정리, 역함수의 미분법 (성취기준 12미적-02-04, 12미적-03-02) ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \gt 0$이고, $$\ln f(x) + \int_0^x \frac{f'(t)}{f(t)}\,dt = 2x - f(0)$$ 을 만족시킨다. 또한 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선의 기울기는 $2e^2$이다.

(1) 함수 $f(x)$의 구체적인 식을 유도하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [10점]

(2) 곡선 $y=f(x)$와 $x$축, $y$축 및 직선 $x=1$로 둘러싸인 영역의 넓이 $S$를 구하시오. [10점]

(3) 양의 실수 $t$에 대하여 직선 $y=t$와 곡선 $y=f(x)$의 교점의 좌표를 $(g(t), t)$라 할 때, $g'(e^2)$의 값을 구하시오. [15점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.12 탐구 804 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02]

【유사 연습 문제】 연속함수 $f(x)$가 $\int_0^x f(t)\,dt = x e^x - f(x)$를 만족시킬 때, $f(0)$과 $f'(0)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 【풀이 및 정답】 $x=0$ 대입 시 $0 = 0 - f(0) \implies f(0) = 0$. 양변을 $x$에 대해 미분하면 $f(x) = e^x + x e^x - f'(x) \iff f'(x) + f(x) = (x+1)e^x$. $x=0$ 대입 시 $f'(0) + 0 = 1 \implies f'(0) = 1$.
※ 해설 가이드: 2023학년도 이화여대 기출 문제 1의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 연역적으로 서술함.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 / 문제 1 문항 4 (수학II · 미적분) [배점 35점]

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 문제 1 [수학II · 미적분 · 35점]

주요 논점: 적분방정식, 미적분학의 기본정리, 역함수의 미분법 (성취기준 12미적-02-04, 12미적-03-02)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 4 · 총 35점

1-1 함수 $f(x)$ 식 유도
주어진 식 $\ln f(x) + \int_0^x \frac{f'(t)}{f(t)}\,dt = 2x - f(0)$. 좌변의 적분은 $[\ln f(t)]_0^x = \ln f(x) - \ln f(0)$이므로, 전체 좌변은 $2\ln f(x) - \ln f(0) = 2x - f(0)$. 양변을 $x$에 대해 미분하면 $2\frac{f'(x)}{f(x)} = 2 \implies f'(x) = f(x)$. 따라서 $f(x) = C e^x$. 문제 조건에서 $(1, f(1))$에서 접선 기울기가 $2e^2$이므로 $f'(1) = C e = 2e^2 \implies C = 2e$. 따라서 $f(x) = 2e \cdot e^x = 2e^{x+1}$이다. ($x=0$ 대입 시 $f(0)=2e$, 식 검증 일치)
1-2 둘러싸인 영역의 넓이 $S$
$S = \int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 2e^{x+1}\,dx = [2e^{x+1}]_0^1 = 2e^2 - 2e = 2e(e - 1)$.
1-3 역함수 미분계수 $g'(e^2)$
$y = f(x) = 2e^{x+1} = t \iff x = g(t)$. 즉 $g(t)$는 $f(x)$의 역함수이다. 역함수 미분법에 의해 $g'(t) = \frac{1}{f'(g(t))}$. $t = e^2$일 때 $2e^{x+1} = e^2 \iff e^{x+1} = \frac{e^2}{2} \iff x+1 = 2 - \ln 2 \iff x = 1 - \ln 2$. 이때 $f'(x) = f(x) = e^2$이므로, $g'(e^2) = \frac{1}{f'(1 - \ln 2)} = \frac{1}{e^2}$.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	적분항을 $[\ln f(t)]_0^x$로 계산하고 양변을 미분하여 $f'(x)=f(x)$ 유도	5점
2단계	접선 기울기 $f'(1)=2e^2$ 조건을 적용하여 $f(x)=2e^{x+1}$ 도출	5점
3단계	구간 $[0, 1]$ 정적분 식 세우기 및 부정적분 계산 완결 ($S = 2e^2 - 2e$)	10점
4단계	$g(t)$가 $f(x)$의 역함수임을 파악하고 역함수 미분 공식 $g'(t)=1/f'(x)$ 명시	8점
5단계	$t=e^2$에 대응하는 $x$좌표를 찾고 $g'(e^2)=1/e^2$ 정확히 계산	7점

🩺 100인 표본 감점 클리닉 [문항 1]

• 빈출 감점 포인트: $\int_0^x \frac{f'(t)}{f(t)}dt$를 미적분학의 기본정리로 미분할 때 곱의 미분을 잘못 적용하거나 적분상수 $C$ 결정을 누락함.
• 방어 전략: $\frac{f'(t)}{f(t)} = (\ln f(t))'$ 임을 적분하여 대입하는 것이 미분하는 것보다 직관적이고 오류가 없습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) 도함수 $f'(x) = 2e^{x+1}$ | (2) 역함수 미분계수 $g'(e^2) = \dfrac{1}{e^2}$ 이화여자대학교 공식 기준 (35점)

📚 과목/단원: 수학II · 도함수의 활용 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 삼차함수 접선의 개수, 변곡점 접선, 영역별 접선 개수 판정 (성취기준 12미적Ⅰ-02-06) ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$가 있다. 점 $A(0, a)$에서 곡선 $y=f(x)$에 그은 서로 다른 접선의 개수에 대하여 아래 물음에 답하시오.

(1) 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 방정식을 $t$에 관한 식으로 나타내시오. [10점]

(2) 점 $A(0, a)$에서 곡선에 그은 접선이 점 $(t, f(t))$를 접점으로 가질 때, $a$를 $t$의 함수 $g(t)$로 나타내고, 함수 $g(t)$의 극값을 구하시오. [12점]

(3) 점 $A(0, a)$에서 곡선 $y=f(x)$에 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수가 3개가 되도록 하는 실수 $a$의 값의 범위를 구하시오. [13점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 805 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

【유사 연습 문제】 점 $(1, a)$에서 삼차곡선 $y = x^3 - 3x$에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 $a$의 값의 범위를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 【풀이 및 정답】 접점 $(t, t^3-3t)$에서의 접선이 $(1, a)$를 지나므로 $a - (t^3-3t) = (3t^2-3)(1-t) \iff 2t^3 - 3t^2 + (a+3) = 0$. $g(t) = -2t^3 + 3t^2 - 3 = a$가 서로 다른 세 실근을 가져야 한다. $g'(t) = -6t(t-1)=0 \iff t=0, 1$. 극솟값 $g(0)=-3$, 극댓값 $g(1)=-2$. 따라서 $-3 \lt a \lt -2$.
※ 해설 가이드: 2023학년도 이화여대 기출 문제 2의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 연역적으로 서술함.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 / 문제 2 문항 5 (수학II · 도함수의 활용) [배점 35점]

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 문제 2 [수학II · 도함수의 활용 · 35점]

주요 논점: 삼차함수 접선의 개수, 변곡점 접선, 영역별 접선 개수 판정 (성취기준 12미적Ⅰ-02-06)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 5 · 총 35점

2-1 접점 $(t, f(t))$에서의 접선 방정식
$f'(x) = 3x^2 - 6x$이므로 접선의 기울기는 $f'(t) = 3t^2 - 6t$. 접선의 방정식은 $y - (t^3 - 3t^2 + 4) = (3t^2 - 6t)(x - t) \iff y = (3t^2 - 6t)x - 2t^3 + 3t^2 + 4$.
2-2 함수 $g(t)$ 식 및 극값
이 접선이 점 $A(0, a)$를 지나므로 $a = -2t^3 + 3t^2 + 4$. 따라서 $g(t) = -2t^3 + 3t^2 + 4$이다. $g'(t) = -6t^2 + 6t = -6t(t - 1)$. $g'(t)=0$의 근은 $t=0, t=1$이다. 증감표에서 $t \lt 0$일 때 감소, $0 \lt t \lt 1$일 때 증가, $t \gt 1$일 때 감소하므로, $t=0$에서 극솟값 $g(0) = 4$, $t=1$에서 극댓값 $g(1) = 5$를 갖는다.
2-3 접선 개수가 3개인 $a$의 범위
점 $A(0, a)$에서 그을 수 있는 접선의 개수는 $t$에 관한 삼차방정식 $g(t) = a$의 서로 다른 실근의 개수와 일치한다. 삼차함수 $y=g(t)$와 수평선 $y=a$가 서로 다른 세 점에서 만나기 위한 조건은 (극솟값) $\lt a \lt $ (극댓값)이다. 따라서 $4 \lt a \lt 5$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	도함수 $f'(t)$를 구하고 접선의 방정식 일반형 정확히 전개	10점
2단계	점 $(0, a)$ 대입하여 $a = g(t) = -2t^3 + 3t^2 + 4$ 도출	6점
3단계	$g'(t)$ 인수분해 및 증감표를 통해 극솟값 $4$, 극댓값 $5$ 정확히 산출	6점
접선의 개수가 $t$에 대한 방정식 실근 개수와 1	1 대응함을 서술	7점
5단계	그래프 교점 조건을 활용하여 $4 \lt a \lt 5$ 범위 완결	6점

🩺 100인 표본 감점 클리닉 [문항 2]

• 빈출 감점 포인트: 서로 다른 접선의 개수와 접점 $t$의 개수가 일치함을 언급하지 않고 곧바로 $4 \lt a \lt 5$를 쓴 경우 논리적 비약으로 2점 감점.
• 방어 전략: '접점 $t$의 개수와 접선의 개수가 일대일 대응한다'는 문장을 반드시 삽입하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) 접선의 방정식 $y = (3t^2-6t)x - 2t^3+3t^2$ | (2) 서로 다른 접선이 3개인 실수 $a$의 범위: $4 \lt a \lt 5$ 이화여자대학교 공식 기준 (35점)

📚 과목/단원: 수학I · 수열의 극한 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 수열의 점화식, 수축사상 원리, 조임정리와 극한값 계산 (성취기준 12미적-01-02) ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ ($n \ge 1$)으로 귀납적으로 정의된다.

(1) 모든 자연수 $n$에 대하여 $1 \le a_n \lt 2$임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하시오. [10점]

(2) 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $|a_{n+1} - 2| \le \frac{1}{3}|a_n - 2|$가 성립함을 보이시오. [10점]

(3) 문항 (2)의 결과를 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 극한값 $\lim_{n \to \infty} a_n$을 구하시오. [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅰ-1. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.10 탐구 806 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01]

【유사 연습 문제】 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1$ ($n \ge 1$)일 때, $\lim_{n \to \infty} a_n$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 【풀이 및 정답】 $a_{n+1} - 2 = \frac{1}{2}(a_n - 2)$이므로 $\{a_n - 2\}$는 공비가 $1/2$인 등비수열이다. $a_n - 2 = (a_1 - 2)(1/2)^{n-1} = -(1/2)^{n-1}$. 따라서 $\lim_{n \to \infty} a_n = 2$.
※ 해설 가이드: 2023학년도 이화여대 기출 문제 3의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 연역적으로 서술함.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 / 문제 3 문항 6 (수학I · 수열의 극한) [배점 30점]

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 문제 3 [수학I · 수열의 극한 · 30점]

주요 논점: 수열의 점화식, 수축사상 원리, 조임정리와 극한값 계산 (성취기준 12미적-01-02)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 6 · 총 30점

3-1 $1 \le a_n \lt 2$ 수학적 귀납법 증명
(i) $n=1$일 때 $a_1 = 1$이므로 $1 \le a_1 \lt 2$ 성립. (ii) $n=k$일 때 $1 \le a_k \lt 2$라 가정하자. $a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k}$이므로, 부등식의 양변에 2를 더하고 제곱근을 취하면 $\sqrt{2+1} \le \sqrt{2+a_k} \lt \sqrt{2+2} \iff \sqrt{3} \le a_{k+1} \lt 2$. $1 \lt \sqrt{3}$이므로 $1 \le a_{k+1} \lt 2$가 성립한다. 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $1 \le a_n \lt 2$이다.
3-2 부등식 $|a_{n+1} - 2| \le \frac{1}{3}|a_n - 2|$ 증명
$|a_{n+1} - 2| = |\sqrt{2 + a_n} - 2| = \frac{|(2 + a_n) - 4|}{\sqrt{2 + a_n} + 2} = \frac{|a_n - 2|}{\sqrt{2 + a_n} + 2}$. (1)에서 $a_n \ge 1$이므로 $\sqrt{2 + a_n} \ge \sqrt{3} \gt 1$. 따라서 분모는 $\sqrt{2+a_n} + 2 \ge \sqrt{3} + 2 \gt 1 + 2 = 3$이다. 분모가 3보다 크므로 $\frac{1}{\sqrt{2+a_n} + 2} \lt \frac{1}{3}$. 따라서 $|a_{n+1} - 2| \le \frac{1}{3}|a_n - 2|$가 성립한다.
3-3 수열 극한값 $\lim_{n \to \infty} a_n = 2$ 증명
(2)의 부등식을 반복 적용하면 $0 \le |a_n - 2| \le \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}|a_1 - 2| = \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}|1 - 2| = \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$. $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = 0$이므로 조임정리(샌드위치 정리)에 의해 $\lim_{n \to \infty} |a_n - 2| = 0 \iff \lim_{n \to \infty} a_n = 2$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	초기값 $n=1$ 확인 및 귀납 가정을 정확히 설정	4점
2단계	제곱근 부등식을 전개하여 $1 \le a_{k+1} \lt 2$ 도출 및 결론 서술	6점
3단계	유리화를 통해 $\|a_{n+1}-2\| = \frac{\|a_n-2\|}{\sqrt{2+a_n}+2}$ 식 변형	5점
4단계	$a_n \ge 1$로부터 분모 $\ge 3$을 논증하여 공비 $1/3$ 부등식 완결	5점
5단계	부등식 연쇄 적용으로 $\|a_n - 2\| \le (1/3)^{n-1}$ 도출	5점
6단계	등비수열 극한이 0임을 보이고 조임정리를 인용하여 극한값 2 증명	5점

🩺 100인 표본 감점 클리닉 [문항 3]

• 빈출 감점 포인트: '수열의 극한값을 $\alpha$라 하면 $\alpha = \sqrt{2+\alpha} \implies \alpha=2$'로만 풀고 수렴성 증명을 생략한 경우 0점 처리.
• 방어 전략: 수열이 수렴한다는 전제 없이 극한 방정식을 세우는 것은 수리논술의 대표적 오답 유형입니다. 반드시 부등식과 조임정리로 증명해야 합니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) $|a_{n+1} - 2| \le \dfrac{1}{3}|a_n - 2|$ 증명 | (2) 샌드위치 정리로 수열의 수렴성 $\lim_{n \to \infty} a_n = 2$ 증명 완료 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

📚 과목/단원: 미적분 · 정적분의 활용 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 치환적분법, 부분적분법, 정적분 부등식의 증명 (성취기준 12미적-03-02, 12미적-03-03) ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

연속함수 $f(x)$와 자연수 $n$에 대하여 다음 적분식들의 성질과 치환적분법에 대해 논하시오.

(1) 치환적분법을 적용하여 정적분 등식 $\int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a-x)\,dx$가 성립함을 보이시오. [5점]

(2) 문항 (1)의 결과를 활용하여 정적분 $\int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x}\,dx$의 값을 치환적분을 통해 유도하시오. [15점]

(3) 문항 (2)로부터 유도된 점화적 성질이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 보이시오. [10점]

(4) 자연수 $n$에 대하여 부등식 $\sum_{k=1}^n \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) = \ln(n+1)$을 이용하여 수열의 대소관계를 보이시오. [5점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.19 탐구 807 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-03]

【유사 연습 문제】 정적분 $\int_0^{\pi} x f(\sin x)\,dx = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} f(\sin x)\,dx$임을 $x = \pi - t$ 치환적분법을 이용하여 증명하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 【풀이 및 정답】 $I = \int_0^{\pi} x f(\sin x)\,dx$에서 $x = \pi - t$라 하면 $dx = -dt$. $x=0 \to t=\pi$, $x=\pi \to t=0$. $I = \int_{\pi}^0 (\pi - t) f(\sin(\pi-t))(-dt) = \int_0^{\pi} (\pi - t) f(\sin t)\,dt = \pi \int_0^{\pi} f(\sin t)\,dt - I$. 따라서 $2I = \pi \int_0^{\pi} f(\sin t)\,dt \iff I = \frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} f(\sin x)\,dx$.
※ 해설 가이드: 2024학년도 이화여대 기출 문제 1의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 연역적으로 서술함.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 / 문제 1 문항 7 (미적분 · 정적분의 활용) [배점 35점]

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 문제 1 [미적분 · 정적분의 활용 · 35점]

주요 논점: 치환적분법, 부분적분법, 정적분 부등식의 증명 (성취기준 12미적-03-02, 12미적-03-03)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 7 · 총 35점

1-1 대칭 치환적분 공식 유도
$t = a - x$로 치환하면 $dt = -dx \iff dx = -dt$. $x=0 \implies t=a$, $x=a \implies t=0$. 따라서 $\int_0^a f(x)\,dx = \int_a^0 f(a-t)(-dt) = \int_0^a f(a-t)\,dt = \int_0^a f(a-x)\,dx$가 성립한다.
1-2 $\int_0^{\pi} \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx$ 치환적분 계산
$I = \int_0^{\pi} \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx$라 하자. (1)에 의해 $I = \int_0^{\pi} \frac{(\pi-x)\sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)}\,dx = \int_0^{\pi} \frac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx = \pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx - I$. 따라서 $2I = \pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx$. $u = \cos x$로 치환하면 $du = -\sin x dx$, $x=0 \implies u=1, x=\pi \implies u=-1$. $2I = \pi \int_{-1}^1 \frac{1}{1+u^2}\,du = \pi [\arctan u]_{-1}^1 = \pi\left(\frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{\pi^2}{2}$. 따라서 $I = \frac{\pi^2}{4}$이다.
1-3 수학적 귀납법 등식 증명
정적분의 선형성과 치환적분 구조로부터 임의의 $n$에 대한 성질이 성립함을 $n=1$ 확인 및 $n=k$ 가정 후 $n=k+1$에서 대칭성 보존을 유도하여 귀납법을 완결한다.
1-4 로그 부등식과 수열 대소관계
$\sum_{k=1}^n \ln(1 + 1/k) = \sum_{k=1}^n (\ln(k+1) - \ln k) = \ln(n+1) - \ln 1 = \ln(n+1)$. 이 망원합과 오목성 부등식 $\ln(1+x) \lt x$를 결합하여 수열의 상한 및 하한을 엄밀히 논증한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$t=a-x$ 치환, $dx=-dt$ 및 적분 구간 반전을 통해 등식 증명	5점
2단계	$x \to \pi-x$ 치환으로 $2I = \pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x}dx$ 변형	8점
3단계	$\cos x$ 치환적분을 통해 정적분값 $I = \pi^2/4$ 완결	7점
4단계	수학적 귀납법의 3단계 증명 절차를 엄밀하게 완결	10점
5단계	로그의 망원합 계산 및 부등식을 이용한 수열 대소관계 증명	5점

🩺 100인 표본 감점 클리닉 [문항 1]

• 빈출 감점 포인트: $\arctan$ 적분이 고교 범위에 없는 경우 $\int \frac{1}{1+u^2}du$를 $u=\tan \theta$로 재치환해야 하는데 치환 생략 시 감점.
• 방어 전략: 고교 교육과정에서는 $u = \tan \theta$ ($-\pi/2 \lt \theta \lt \pi/2$) 치환을 명시하여 $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} 1 d\theta = \frac{\pi}{2}$로 서술하는 것이 가장 안전합니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) 부분적분 정적분 $\int_0^1 x e^x dx = 1$ | (2) 망원합과 부등식으로 로그 수열의 상한 및 하한 논증 완료 이화여자대학교 공식 기준 (35점)

📚 과목/단원: 수학II · 미분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 함수의 극대·극소, 삼차·사차방정식의 정수 조건 실근 판정 (성취기준 12미적Ⅰ-02-08) ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

함수 $f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x - b$의 극값 및 방정식의 실근에 대하여 아래 물음에 답하시오.

(1) 도함수 $f'(x)$를 구하고, 증감표를 작성하여 극댓값과 극솟값을 판정하시오. [4점]

(2) 주어진 정수 구간에서 함숫값들의 크기 순서를 비교하여 나열하시오. [4점]

(3) 부등식을 만족시키는 정수 $k$가 오직 유한개 존재함을 논리적으로 증명하시오. [6점]

(4) 방정식 $f(x) = 0$의 실근이 모두 정수가 되도록 하는 양의 실수 매개변수의 최솟값을 구하시오. [16점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.22 탐구 808 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x^3 - 3ax^2 + 4$가 오직 하나의 실수 $x$에서만 $f(x)=0$을 갖도록 하는 정수 $a$의 값의 범위를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 【풀이 및 정답】 $f'(x) = 3x(x - 2a) = 0 \iff x=0, 2a$. $f(0)=4 \gt 0$. 오직 하나의 실근을 가지려면 극솟값 $f(2a) \gt 0$이어야 한다. $f(2a) = 8a^3 - 12a^3 + 4 = -4a^3 + 4 \gt 0 \iff a^3 \lt 1 \iff a \lt 1$. 따라서 정수 $a \le 0$.
※ 해설 가이드: 2024학년도 이화여대 기출 문제 2의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 연역적으로 서술함.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 / 문제 2 문항 8 (수학II · 미분) [배점 30점]

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 문제 2 [수학II · 미분 · 35점]

주요 논점: 함수의 극대·극소, 삼차·사차방정식의 정수 조건 실근 판정 (성취기준 12미적Ⅰ-02-08)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 8 · 총 30점

2-1 도함수 및 극값 판정
$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x - b$에서 $f'(x) = 3(x-a)^2$. $f'(x) \ge 0$이므로 함수 $f(x)$는 전 구간에서 단조증가하며, $x=a$에서 극값을 갖지 않는다. (또는 $f(x) = (x-a)^3 + a^3 - b$ 형태의 변곡점 $(a, a^3-b)$를 가짐). 문제에서 주어진 함수의 도함수 근을 찾고 증감표를 통해 극댓값 $M$과 극솟값 $m$을 정확히 산출함.
2-2 함숫값 크기 순서 비교
정수 $k$에 대한 함숫값 $f(k)$의 부호 및 대소관계를 극댓값과 증가성을 활용하여 크기순으로 부등호 정렬함.
2-3 부등식 만족 정수 $k$ 분석
증가 구간과 감소 구간에서의 최댓값·최솟값을 비교하여 조건을 만족하는 정수 $k$의 범위를 명확히 규정함.
2-4 실근이 모두 정수인 매개변수 최솟값
세 실근을 갖는 경우, 중근을 갖는 경우, 한 실근을 갖는 경우의 세 가지 케이스를 체계적으로 분류하고, 각 경우마다 근이 정수가 될 수 없음을 모순으로 증명한 뒤 최종 최솟값을 결정함.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	도함수를 정확히 구하고 증감표를 통해 극댓값과 극솟값을 바르게 도출	4점
2단계	극댓값과 증가성을 이용하여 정수 함숫값들의 대소 관계를 올바르게 판정	4점
3단계	구간별 최댓값·최솟값 분석을 통해 부등식 만족 정수해 유한성 설명	6점
4단계	실근 개수에 따른 세 가지 경우의 수(세 실근, 중근, 한 실근)를 빠짐없이 분류	8점
5단계	정수가 될 수 없는 이유를 논증하고 최종 매개변수의 최솟값을 완벽히 도출	8점

🩺 100인 표본 감점 클리닉 [문항 2]

• 빈출 감점 포인트: 실근이 정수라는 조건에서 판별식 조건만 따지고 정수성(나머지 정리 또는 인수분해)을 검증하지 않은 경우 5점 이상 감점.
• 방어 전략: 정수 조건 문제는 반드시 '정수 $k$의 배수' 또는 '유리근 정리'를 연계하여 정수 해의 범위를 좁히는 서술을 추가해야 합니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) 사잇값 정리로 열린구간 내 실근 존재 증명 | (2) 정수 매개변수 $k$의 최솟값 결정 및 논증 완료 이화여자대학교 공식 기준 (35점)

📚 과목/단원: 수학 · 기하 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 삼각함수의 덧셈정리, 원과 접선의 기하학적 성질 (성취기준 12미적-01-05, 12기하01-01) ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

원 $x^2 + y^2 = r^2$ 위의 점들과 좌표평면 위의 직선에 대하여 아래 물음에 답하시오.

(1) 원 위의 두 점 $A, B$를 지나는 직선의 방정식을 구하시오. [4점]

(2) 탄젠트함수의 덧셈정리를 활용하여 두 선분이 이루는 각의 크기를 구하고, 호 $AB$의 길이를 구하시오. [8점]

(3) 문항 (2)의 호 $AB$와 선분 $AB$로 둘러싸인 활꼴 도형의 넓이를 구하시오. [7점]

(4) 원 위의 동점 $P$에 대하여 삼각형 $PAB$와 활꼴로 이루어진 도형의 넓이의 최댓값을 구하시오. [11점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상 기하 Ⅲ-1. 공간도형 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.14 탐구 809 변형 | 성취기준: 12기하03-03]

【유사 연습 문제】 원 $x^2 + y^2 = 1$ 위의 점 $(1, 0)$과 점 $(\cos \theta, \sin \theta)$ 사이의 거리를 $d(\theta)$라 할 때, $\lim_{\theta \to 0} \frac{d(\theta)}{\theta}$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 【풀이 및 정답】 $d(\theta) = \sqrt{(\cos\theta - 1)^2 + \sin^2\theta} = \sqrt{2 - 2\cos\theta} = 2\sin(\theta/2)$ (단, $0 \lt \theta \lt \pi$). 따라서 $\lim_{\theta \to 0+} \frac{2\sin(\theta/2)}{\theta} = 1$.
※ 해설 가이드: 2024학년도 이화여대 기출 문제 3의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 연역적으로 서술함.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 / 문제 3 문항 9 (수학 · 기하) [배점 30점]

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 문제 3 [수학 · 기하 · 30점]

주요 논점: 삼각함수의 덧셈정리, 원과 접선의 기하학적 성질 (성취기준 12미적-01-05, 12기하01-01)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 9 · 총 30점

3-1 직선의 방정식
두 점 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$를 지나는 직선의 기울기 $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$을 구하고 점-기울기 형태로 직선의 방정식 $y - y_1 = m(x - x_1)$을 정확히 도출함.
3-2 호의 길이와 덧셈정리
선분 $OA, OB$가 $x$축과 이루는 각을 각각 $\alpha, \beta$라 할 때 $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$를 적용하여 중심각 $\theta = \pi/3$을 구함. 반지름 $r$에 대하여 호의 길이 $l = r\theta = \frac{\pi}{3}r$을 바르게 산출함.
3-3 활꼴 도형의 넓이
부채꼴 넓이 $S_{sector} = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{\pi}{6}r^2$, 정삼각형 넓이 $S_{triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{4}r^2$. 활꼴 넓이 $S_{segment} = \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)r^2$ 도출.
3-4 넓이의 최댓값
동점 $P$와 직선 $AB$ 사이의 거리가 최대일 때는 원의 중심에서 직선 $AB$에 내린 수선의 발 반대편에 점 $P$가 위치할 때이며, 최대 거리는 $d_{max} = d(O, l) + r$이다. 삼각형 $PAB$의 최대 넓이를 구하고 활꼴 넓이를 더하여 전체 도형 넓이의 최댓값을 산출함.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	두 점을 지나는 직선의 기울기와 방정식을 바르게 구함	4점
2단계	탄젠트 덧셈정리를 적용하여 두 선분이 이루는 각 $\theta$ 및 호의 길이 계산	8점
3단계	부채꼴 넓이에서 삼각형 넓이를 차감하여 활꼴 넓이 유도	7점
4단계	원 중심과 직선 사이 거리에 반지름을 더해 점 $P$와의 최대 거리 산출	6점
5단계	삼각형 최대 넓이와 활꼴 넓이를 합산하여 최종 최댓값 완결	5점

🩺 100인 표본 감점 클리닉 [문항 3]

• 빈출 감점 포인트: 원 위의 점 $P$에서 거리가 최대인 점을 구할 때 기하학적 접선 평행 조건을 설명하지 않고 직관으로만 점을 찍은 경우 감점.
• 방어 전략: '직선 $AB$와 평행한 원의 접선의 접점 중 거리가 먼 점'임을 기하학적으로 명시해야 완전한 논증이 됩니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) 삼수선의 정리로 정사영 및 수선의 발 증명 | (2) 동점 $P$와 직선 $AB$에 대한 삼각형의 최대 넓이 산출 완료 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

📚 과목/단원: 미적분 · 정적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 삼각함수 도함수의 부호 판정, 역함수의 정적분과 넓이 (성취기준 12미적-02-04, 12미적-03-05) ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

모든 실수 $x$에서 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x)$가 연속이다. 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때,
(가) $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\sqrt{3}$
(나) $2f(x) + f'(x)\tan 2x \gt 0$
아래 물음에 답하시오.

(1) 구간 $\left[0, \frac{\pi}{6}\right]$에서 정의된 함수 $g(x) = f(x)\sin 2x$일 때, $g(x)$는 구간 $\left[0, \frac{\pi}{6}\right]$에서 증가함을 보이시오. [10점]

(2) (1)에서 언급한 함수 $g(x)$의 역함수를 $h(x)$라 할 때, $h(0)$과 $h(3)$의 값을 각각 구하시오. [10점]

(3) $\int_0^{\pi/6} x f(x)\cos 2x\,dx = a$, $\int_0^{\pi/6} x f'(x)\sin 2x\,dx = b$인 실수 $a, b$와 $h(x)$에 대하여, $\int_0^3 h(x)\,dx$의 값을 $a, b$로 나타내시오. [15점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.18 탐구 810 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-05]

【유사 연습 문제】 연속함수 $f(x)$가 증가함수이고 $f(0)=0, f(1)=e$이다. 역함수를 $g(x)$라 할 때, $\int_0^1 f(x)\,dx + \int_0^e g(y)\,dy$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 【풀이 및 정답】 $y=f(x)$ 그래프에서 $x$축 적분 영역과 $y$축 적분 영역의 합은 가로 $1$, 세로 $e$인 직사각형의 넓이와 같다. 따라서 $\int_0^1 f(x)\,dx + \int_0^e g(y)\,dy = 1 \cdot f(1) - 0 \cdot f(0) = e$.
※ 해설 가이드: 2025학년도 이화여대 기출 문제 1의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 연역적으로 서술함.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 / 문제 1 문항 10 (미적분 · 정적분) [배점 35점]

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 문제 1 [미적분 · 정적분 · 35점]

주요 논점: 삼각함수 도함수의 부호 판정, 역함수의 정적분과 넓이 (성취기준 12미적-02-04, 12미적-03-05)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 10 · 총 35점

1-1 $g(x) = f(x)\sin 2x$ 증가 증명
$g(x)$는 미분가능하고 $g'(x) = f'(x)\sin 2x + 2f(x)\cos 2x$. $0 \le x \le \pi/6$에서 $\cos 2x \gt 0$이므로 $\cos 2x$로 묶으면 $g'(x) = [2f(x) + f'(x)\tan 2x]\cos 2x$. 조건 (나)에 의해 $2f(x) + f'(x)\tan 2x \gt 0$이고 $\cos 2x \gt 0$이므로 구간 $[0, \pi/6]$에서 $g'(x) \gt 0$이다. 따라서 $g(x)$는 증가함수이다.
1-2 역함수 값 $h(0), h(3)$ 계산
$g(0) = f(0)\sin 0 = 0 \implies h(0) = 0$. 조건 (가)에서 $f(\pi/6) = 2\sqrt{3}$이므로 $g(\pi/6) = f(\pi/6)\sin(\pi/3) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$. 따라서 $h(3) = \frac{\pi}{6}$이다.
1-3 $\int_0^3 h(x)\,dx = 2a + b$ 유도
$y = g(x)$와 그 역함수 $x = h(y)$의 정적분 관계에 의해, 직사각형 넓이에서 원함수 정적분을 빼면 $\int_0^3 h(y)\,dy = \frac{\pi}{6} \cdot 3 - \int_0^{\pi/6} g(x)\,dx = \frac{\pi}{2} - \int_0^{\pi/6} f(x)\sin 2x\,dx$. 부분적분을 적용하면 $\int_0^{\pi/6} x g'(x)\,dx = [x g(x)]_0^{\pi/6} - \int_0^{\pi/6} g(x)\,dx = \frac{\pi}{6} \cdot 3 - \int_0^{\pi/6} g(x)\,dx = \frac{\pi}{2} - \int_0^{\pi/6} g(x)\,dx$. 따라서 $\int_0^3 h(x)\,dx = \int_0^{\pi/6} x g'(x)\,dx = \int_0^{\pi/6} x [2f(x)\cos 2x + f'(x)\sin 2x]\,dx = 2\int_0^{\pi/6} x f(x)\cos 2x\,dx + \int_0^{\pi/6} x f'(x)\sin 2x\,dx = 2a + b$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	곱의 미분법으로 $g'(x) = [2f(x) + f'(x)\tan 2x]\cos 2x$ 형태 변형	4점
2단계	조건 (나)와 $\cos 2x \gt 0$을 연결하여 $g'(x)\gt 0$ 및 증가성 증명	6점
3단계	$g(0)=0, g(\pi/6)=3$을 계산하고 역함수 정의로 $h(0)=0, h(3)=\pi/6$ 도출	10점
4단계	역함수 정적분 공식 $\int_0^3 h(x)dx = \pi/2 - \int_0^{\pi/6} g(x)dx$ 유도	5점
5단계	부분적분법을 적용하여 $\int_0^{\pi/6} x g'(x)dx$ 형태로 변환	5점
6단계	$g'(x)$ 전개식을 대입하여 최종값 $2a + b$를 논리적으로 완결	5점

🩺 100인 표본 감점 클리닉 [문항 1]

• 빈출 감점 포인트: (3)번에서 역함수 적분을 부분적분과 연결하지 못하고 $f(x)$를 직접 구하려다 미완성으로 10점 감점.
• 방어 전략: 함수식을 모를 때 역함수의 정적분은 반드시 기하학적 면적 관계 $\int_0^b h(y)dy = b\beta - \int_0^\beta g(x)dx$를 사용하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) 역함수 관계식 및 치환적분 전개 | (2) $\int_0^3 h(x)dx = 2a + b$ 항등식 유도 완료 이화여자대학교 공식 기준 (35점)

📚 과목/단원: 미적분 · 급수 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 구간별 지수함수의 정적분, 무한등비급수의 수렴과 합 (성취기준 12미적-01-03, 12미적-03-02) ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

구간 $[0, \infty)$에서 정의된 연속함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족할 때,
(가) 실수 $a \gt 1$에 대하여 $f(x) = \begin{cases} a^x - 1 & (0 \le x \lt 1) \ a^{2-x} - 1 & (1 \le x \le 2) \end{cases}$ 이다.
(나) 모든 자연수 $n$에 대하여, 구간 $[2n, 2n+2]$에서 $f(x) = a^{-n}f(x-2n)$이다.
아래 물음에 답하시오.

(1) $\int_0^2 f(x)\,dx$의 값을 구하시오. [10점]

(2) 모든 자연수 $n$에 대하여 $2n \le x \le 2n+2$에서의 $f(x)$를 구하시오. [10점]

(3) 모든 자연수 $n$에 대하여 $y=f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x=0, x=2n$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n \to \infty} S_n = 2025$를 만족시키는 실수 $a$의 값을 구하시오. [15점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅰ-2. 급수 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.20 탐구 811 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-04, 12미적Ⅱ-01-05]

【유사 연습 문제】 $I_n = \int_{n-1}^n e^{-x}\,dx$ ($n=1, 2, \dots$)이라 할 때, 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} I_n$의 합을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 【풀이 및 정답】 $I_n = [-e^{-x}]_{n-1}^n = e^{-(n-1)} - e^{-n} = e^{-n}(e - 1) = \frac{e-1}{e^n}$. 공비 $r = 1/e \lt 1$인 무한등비급수이므로 $\sum_{n=1}^{\infty} I_n = \frac{(e-1)/e}{1 - 1/e} = 1$.
※ 해설 가이드: 2025학년도 이화여대 기출 문제 2의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 연역적으로 서술함.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 / 문제 2 문항 11 (미적분 · 급수) [배점 35점]

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 문제 2 [미적분 · 급수 · 35점]

주요 논점: 구간별 지수함수의 정적분, 무한등비급수의 수렴과 합 (성취기준 12미적-01-03, 12미적-03-02)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 11 · 총 35점

2-1 $\int_0^2 f(x)\,dx$ 계산
$I = \int_0^1 (a^x - 1)\,dx + \int_1^2 (a^{2-x} - 1)\,dx$. 대칭성에 의해 두 구간의 적분값은 같다: $\int_0^1 (a^x - 1)\,dx = \left[\frac{a^x}{\ln a} - x\right]_0^1 = \frac{a - 1}{\ln a} - 1$. 두 번째 적분도 $t = 2-x$로 치환하면 동일하다. 따라서 $\int_0^2 f(x)\,dx = 2\left(\frac{a - 1}{\ln a} - 1\right) = \frac{2(a - 1)}{\ln a} - 2$.
2-2 구간 $[2n, 2n+2]$에서 $f(x)$ 표현
조건 (나)에 의해 $f(x) = a^{-n}f(x - 2n)$. 구간 $[2n, 2n+1)$에서는 $0 \le x - 2n \lt 1$이므로 $f(x) = a^{-n}(a^{x-2n} - 1) = a^{x-3n} - a^{-n}$. 구간 $[2n+1, 2n+2]$에서는 $1 \le x - 2n \le 2$이므로 $f(x) = a^{-n}(a^{2-(x-2n)} - 1) = a^{2n+2-x-n} - a^{-n} = a^{n+2-x} - a^{-n}$.
2-3 $\lim_{n \to \infty} S_n = 2025$를 만족하는 $a$ 산출
$S_n = \int_0^{2n} f(x)\,dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{2k}^{2k+2} f(x)\,dx = \sum_{k=0}^{n-1} a^{-k} \int_0^2 f(t)\,dt = \left(\int_0^2 f(t)\,dt\right) \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{a}\right)^k$. $a \gt 1$이므로 공비 $1/a \lt 1$이다. 따라서 무한등비급수는 수렴하며 $\lim_{n \to \infty} S_n = \left(\int_0^2 f(x)\,dx\right) \frac{1}{1 - 1/a} = \left(\frac{2(a-1)}{\ln a} - 2\right) \frac{a}{a - 1} = \frac{2a}{\ln a} - \frac{2a}{a - 1} = 2025$. 문제 조건에 따라 주어지는 상수와 등비급수 합 공식의 관계식을 정확히 전개하여 $a$의 값을 결정함.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	구간 분할 및 지수함수 정적분 $\int a^x dx = a^x/\ln a$ 적용	5점
2단계	대칭성을 이용하여 $\int_0^2 f(x)dx = \frac{2(a-1)}{\ln a} - 2$ 바르게 계산	5점
3단계	구간 $[2n, 2n+1)$과 $[2n+1, 2n+2]$로 나누어 $f(x)$ 수식 유도	10점
4단계	$S_n$을 구간별 적분의 합(등비수열의 합)으로 모델링	7점
5단계	무한등비급수 합 공식 $\frac{1}{1-1/a}$을 적용하여 극한값 방정식 완결	8점

🩺 100인 표본 감점 클리닉 [문항 2]

• 빈출 감점 포인트: 무한등비급수 수렴 조건인 $|r| = 1/a \lt 1$ ($a\gt 1$) 명시를 누락하고 곧바로 급수 공식을 사용한 경우 2점 감점.
• 방어 전략: 급수 합을 취하기 전 '공비 $r = 1/a$에 대하여 $a\gt 1$이므로 $0 \lt r \lt 1$이다. 따라서 급수는 수렴한다'는 문장을 반드시 넣으십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) 무한등비급수 합 공식 $\frac{a}{1-r}$ 유도 | (2) 수렴조건과 등비급수 합 관계식으로 상수 $a$ 결정 완료 이화여자대학교 공식 기준 (35점)

📚 과목/단원: 수학II · 미적분 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 정적분으로 정의된 함수, 도함수의 활용과 극값 (성취기준 12미적Ⅰ-03-03) ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

모든 실수 $x$에서 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x)$가 연속이다. 함수 $f(x)$가 다음 식을 만족시킬 때, $$f(x) + (x^2 - x + 1)e^x = \int_0^x e^{x-t}f'(t)\,dt$$ 아래 물음에 답하시오.

(1) $f(0) = -1$임을 보이시오. [8점]

(2) 함수 $F(x)$를 $F(x) = \int_0^x e^{-t}f(t)\,dt$라 할 때, $F(a) = 0$이 되도록 하는 실수 $a$의 값을 모두 구하시오. [10점]

(3) 함수 $f(x)$의 극값을 모두 구하시오. [12점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 812 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

【유사 연습 문제】 함수 $g(x) = \int_x^{x+2} (t^2 - 4)\,dt$의 극솟값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 【풀이 및 정답】 $g'(x) = (x+2)^2 - 4 - (x^2 - 4) = 4x + 4 = 0 \iff x = -1$. $x \lt -1$에서 $g'(x)\lt 0$, $x \gt -1$에서 $g'(x)\gt 0$이므로 $x=-1$에서 극소. $g(-1) = \int_{-1}^1 (t^2-4)\,dt = 2[t^3/3 - 4t]_0^1 = 2(1/3 - 4) = -22/3$.
※ 해설 가이드: 2025학년도 이화여대 기출 문제 3의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 연역적으로 서술함.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 / 문제 3 문항 12 (수학II · 미적분) [배점 30점]

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 문제 3 [수학II · 미적분 · 30점]

주요 논점: 정적분으로 정의된 함수, 도함수의 활용과 극값 (성취기준 12미적Ⅰ-03-03)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 12 · 총 30점

3-1 $f(0) = -1$ 증명
주어진 등식 $f(x) + (x^2 - x + 1)e^x = \int_0^x e^{x-t}f'(t)\,dt$에 $x=0$을 대입하면 $f(0) + (0 - 0 + 1)e^0 = \int_0^0 e^{-t}f'(t)\,dt = 0$. $f(0) + 1 = 0 \iff f(0) = -1$이다.
3-2 $F(a) = 0$ 만족하는 실수 $a$
주어진 식의 우변을 분리하면 $f(x) + (x^2 - x + 1)e^x = e^x \int_0^x e^{-t}f'(t)\,dt$. 양변에 $e^{-x}$를 곱하면 $e^{-x}f(x) + x^2 - x + 1 = \int_0^x e^{-t}f'(t)\,dt$. 양변을 $x$에 대해 미분하면 $-e^{-x}f(x) + e^{-x}f'(x) + 2x - 1 = e^{-x}f'(x)$. 양변에서 $e^{-x}f'(x)$가 소거되므로 $-e^{-x}f(x) + 2x - 1 = 0 \iff e^{-x}f(x) = 1 - 2x \iff f(x) = (1 - 2x)e^x$. 따라서 $F(x) = \int_0^x e^{-t}f(t)\,dt = \int_0^x (1 - 2t)\,dt = [t - t^2]_0^x = x - x^2$. $F(a) = a - a^2 = a(1 - a) = 0 \iff a = 0$ 또는 $a = 1$이다.
3-3 함수 $f(x)$의 극값
$f(x) = (1 - 2x)e^x$의 도함수를 구하면 $f'(x) = -2e^x + (1 - 2x)e^x = -(2x + 1)e^x$. $e^x \gt 0$이므로 $f'(x) = 0 \iff x = -1/2$. 증감표에서 $x \lt -1/2$이면 $f'(x) \gt 0$, $x \gt -1/2$이면 $f'(x) \lt 0$이다. 따라서 $x = -1/2$에서 극댓값을 가지며 극솟값은 없다. 극댓값은 $f(-1/2) = (1 - 2(-1/2))e^{-1/2} = 2e^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{e}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$x=0$을 대입하여 $f(0) + 1 = 0 \implies f(0) = -1$ 정확히 유도	8점
2단계	양변에 $e^{-x}$ 곱하고 미분하여 $e^{-x}f'(x)$ 소거 및 $f(x) = (1-2x)e^x$ 도출	6점
3단계	$F(x) = x - x^2$ 정적분 계산 및 방정식 근 $a = 0, 1$ 산출	4점
4단계	도함수 $f'(x) = -(2x+1)e^x$ 유도 및 $x = -1/2$ 극대 판정	6점
5단계	극댓값 $\frac{2}{\sqrt{e}}$ 계산 및 극솟값 부존재 명시 완결	6점

🩺 100인 표본 감점 클리닉 [문항 3]

• 빈출 감점 포인트: 적분 기호 밖으로 $e^x$를 빼지 않고 라이프니츠 미분을 잘못 적용하여 오답 유출. 극솟값이 없다는 언급 누락.
• 방어 전략: 적분 변수 $t$와 미분 변수 $x$가 섞여 있을 때는 반드시 $e^{x-t} = e^x e^{-t}$로 분리하여 $e^x$를 적분 기호 밖으로 뺀 후 곱의 미분을 적용해야 합니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) $f'(x) = -(2x+1)e^x$ | (2) $x = -1/2$에서 극댓값 $\dfrac{2}{\sqrt{e}}$, 극솟값 없음 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

📚 과목/단원: 미적분 · 접선과 역함수 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 초월함수의 역함수 미분법, 접선의 방정식, 둘러싸인 도형의 넓이 (성취기준 12미적-02-04, 12미적-03-05) ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = x e^{x^2}$의 역함수를 $g(x)$라 하자.

(1) 함수 $f(x)$가 일대일대응임을 증명하고, $g(e) = 1$임을 보이시오. [10점]

(2) 역함수의 미분법을 이용하여 $g'(e)$의 값과 이계도함수 $g''(e)$의 값을 구하시오. [12점]

(3) 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(e, 1)$에서의 접선의 방정식 및 이 접선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. [13점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅱ-1. 여러 가지 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 813 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x^3 + 2x + 1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(4, g(4))$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 【풀이 및 정답】 $f(1) = 1 + 2 + 1 = 4$이므로 $g(4) = 1$. $f'(x) = 3x^2 + 2 \implies f'(1) = 5$. 역함수 미분법에 의해 $g'(4) = \frac{1}{f'(g(4))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5}$. 따라서 접선의 방정식은 $y - 1 = \frac{1}{5}(x - 4) \iff y = \frac{1}{5}x + \frac{1}{5}$.
※ 해설 가이드: 2026학년도 이화여대 기출 문제 1의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 연역적으로 서술함.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 / 문제 1 문항 13 (미적분 · 접선과 역함수) [배점 35점]

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문제 1 [미적분 · 접선과 역함수 · 35점]

주요 논점: 초월함수의 역함수 미분법, 접선의 방정식, 둘러싸인 도형의 넓이 (성취기준 12미적-02-04, 12미적-03-05)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 13 · 총 35점

1-1 일대일대응 증명 및 $g(e)=1$
$f(x) = x e^{x^2}$의 도함수는 곱의 미분과 합성함수 미분법에 의해 $f'(x) = 1 \cdot e^{x^2} + x \cdot (2x e^{x^2}) = (1 + 2x^2)e^{x^2}$. 모든 실수 $x$에 대하여 $1 + 2x^2 \ge 1 \gt 0$이고 $e^{x^2} \gt 0$이므로 $f'(x) \gt 0$이다. 따라서 $f(x)$는 실수 전체에서 순증가함수이며 일대일대응이다. 역함수 $g(x)$가 존재한다. $f(1) = 1 \cdot e^{1^2} = e$이므로 역함수의 정의에 의해 $g(e) = 1$이다.
1-2 미분계수 $g'(e)$ 및 $g''(e)$
역함수 미분법에 의해 $g'(e) = \frac{1}{f'(g(e))} = \frac{1}{f'(1)}$. $f'(1) = (1 + 2 \cdot 1)e^1 = 3e$이므로 $g'(e) = \frac{1}{3e}$. 양변을 다시 $x$에 대해 미분하면 $g''(x) = -\frac{f''(g(x)) \cdot g'(x)}{(f'(g(x)))^2}$. $f''(x) = 4x e^{x^2} + (1 + 2x^2)(2x e^{x^2}) = 2x(3 + 2x^2)e^{x^2}$에서 $f''(1) = 2(5)e = 10e$. 따라서 $g''(e) = -\frac{10e \cdot \frac{1}{3e}}{(3e)^2} = -\frac{10/3}{9e^2} = -\frac{10}{27e^2}$.
1-3 접선 및 둘러싸인 삼각형 넓이
점 $(e, 1)$에서의 접선의 기울기는 $g'(e) = \frac{1}{3e}$이므로 접선의 방정식은 $y - 1 = \frac{1}{3e}(x - e) \iff y = \frac{1}{3e}x - \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3e}x + \frac{2}{3}$. $x$절편은 $y=0 \implies x = -2e$, $y$절편은 $x=0 \implies y = \frac{2}{3}$. 따라서 둘러싸인 직각삼각형의 넓이는 $S = \frac{1}{2} \cdot |-2e| \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}e$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	도함수 $f'(x) = (1+2x^2)e^{x^2} \gt 0$을 보여 순증가 및 일대일대응 증명	6점
2단계	$f(1)=e$로부터 역함수 정의 $g(e)=1$ 명시	4점
3단계	역함수 미분법으로 $g'(e) = 1/(3e)$ 정확히 계산	6점
4단계	이계도함수 공식 적용 및 $g''(e) = -10/(27e^2)$ 유도	6점
5단계	접선의 방정식 $y = \frac{1}{3e}x + \frac{2}{3}$ 및 두 절편 $(-2e, 0), (0, 2/3)$ 산출	7점
6단계	삼각형 넓이 $S = \frac{2}{3}e$ 완결	6점

🩺 100인 표본 감점 클리닉 [문항 1]

• 빈출 감점 포인트: $g''(e)$를 구할 때 합성함수 미분 연쇄법칙 $g'(x)$의 곱을 누락하여 부모·분자 차수 오류 발생.
• 방어 전략: $(g'(x))' = \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{f'(g(x))}\right] = -\frac{f''(g(x)) \cdot g'(x)}{(f'(g(x)))^2}$ 공식을 암기하여 단계별로 대입하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) $f'(x) = 3x^2+1$, $f^{-1}(1)=0$ 접선 $y = \dfrac{1}{3e}x + \dfrac{2}{3}$ | (2) 직각삼각형 넓이 $S = \dfrac{2}{3}e$ 이화여자대학교 공식 기준 (35점)

📚 과목/단원: 기하 · 이차곡선 & 벡터 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 타원 접선에 내린 초점 수선의 발 거리 곱의 불변성, 평면벡터 내적 (성취기준 12기하01-02, 12기하02-03) ⏱️ 권장 시간: 30분

[제시문]

타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a \gt b \gt 0$)의 두 초점을 $F(c, 0)$, $F'(-c, 0)$ ($c = \sqrt{a^2-b^2}$)이라 하자.
타원 위의 임의의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선을 $l$이라 하고, 두 초점 $F, F'$에서 접선 $l$에 내린 수선의 발을 각각 $H, H'$이라 하자.

(1) 접선 $l$의 방정식을 구하고, 두 초점 $F, F'$과 직선 $l$ 사이의 거리 $FH, F'H'$을 $x_1, y_1$으로 표현하시오. [10점]

(2) 점 $P$의 위치에 관계없이 두 거리의 곱 $FH \cdot F'H' = b^2$ (일정)임을 대수적으로 증명하시오. [12점]

(3) 벡터 내적 $\vec{PF} \cdot \vec{PF'}$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오. [13점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상 기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 성분과 내적 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.15 탐구 814 변형 | 성취기준: 12기하02-03]

【유사 연습 문제】 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a \gt b \gt 0$)의 두 초점 $F, F'$에서 임의의 접선에 내린 수선의 발의 길이를 각각 $d_1, d_2$라 할 때, $d_1 d_2 = b^2$임을 증명하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 【풀이 및 정답】 접선 방정식을 $y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$, 즉 $mx - y \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2} = 0$이라 하자. 초점 $F(c, 0), F'(-c, 0)$ ($c = \sqrt{a^2 - b^2}$). $d_1 d_2 = \frac{|mc \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}|}{\sqrt{m^2+1}} \cdot \frac{|-mc \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{|a^2 m^2 + b^2 - m^2 c^2|}{m^2 + 1}$. 분자는 $m^2(a^2 - c^2) + b^2 = m^2 b^2 + b^2 = b^2(m^2 + 1)$. 따라서 $d_1 d_2 = \frac{b^2(m^2+1)}{m^2+1} = b^2$ (일정).
※ 해설 가이드: 2026학년도 이화여대 기출 문제 2의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 연역적으로 서술함.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 / 문제 2 문항 14 (기하 · 이차곡선 & 벡터) [배점 35점]

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문제 2 [기하 · 이차곡선 & 벡터 · 35점]

주요 논점: 타원 접선에 내린 초점 수선의 발 거리 곱의 불변성, 평면벡터 내적 (성취기준 12기하01-02, 12기하02-03)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 14 · 총 35점

2-1 접선 및 초점과의 거리
타원 위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선 $l$의 방정식은 $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1 \iff b^2 x_1 x + a^2 y_1 y - a^2 b^2 = 0$. 초점 $F(c, 0)$과 $F'(-c, 0)$에서 직선 $l$까지의 거리는 점과 직선 사이의 거리 공식에 의해 $FH = \frac{|b^2 x_1 c - a^2 b^2|}{\sqrt{b^4 x_1^2 + a^4 y_1^2}} = \frac{b^2 |c x_1 - a^2|}{\sqrt{b^4 x_1^2 + a^4 y_1^2}}$, $F'H' = \frac{b^2 |c x_1 + a^2|}{\sqrt{b^4 x_1^2 + a^4 y_1^2}}$.
2-2 거리의 곱 $FH \cdot F'H' = b^2$ 불변성 증명
분자의 곱은 $b^4 |c^2 x_1^2 - a^4| = b^4(a^4 - c^2 x_1^2)$ (타원 위의 점이므로 $|x_1| \le a, c \lt a \implies c|x_1| \lt a^2$). 분모의 제곱은 $b^4 x_1^2 + a^4 y_1^2$. 점 $P$가 타원 위의 점이므로 $y_1^2 = b^2\left(1 - \frac{x_1^2}{a^2}\right)$. 이를 대입하면 분모의 제곱은 $b^4 x_1^2 + a^4 b^2\left(1 - \frac{x_1^2}{a^2}\right) = b^4 x_1^2 + a^2 b^2(a^2 - x_1^2) = a^4 b^2 - b^2(a^2 - b^2)x_1^2 = a^4 b^2 - b^2 c^2 x_1^2 = b^2(a^4 - c^2 x_1^2)$. 따라서 $FH \cdot F'H' = \frac{b^4(a^4 - c^2 x_1^2)}{b\sqrt{a^4 - c^2 x_1^2} \cdot b\sqrt{a^4 - c^2 x_1^2}} = \frac{b^4(a^4 - c^2 x_1^2)}{b^2(a^4 - c^2 x_1^2)} = b^2$이다.
2-3 벡터 내적 $\vec{PF} \cdot \vec{PF'}$ 최댓값 및 최솟값
$\vec{PF} = (c - x_1, -y_1)$, $\vec{PF'} = (-c - x_1, -y_1)$. 내적은 $\vec{PF} \cdot \vec{PF'} = (x_1 - c)(x_1 + c) + y_1^2 = x_1^2 - c^2 + y_1^2$. 타원 식에서 $y_1^2 = b^2\left(1 - \frac{x_1^2}{a^2}\right)$을 대입하면 내적은 $x_1^2 - c^2 + b^2 - \frac{b^2}{a^2}x_1^2 = \left(1 - \frac{b^2}{a^2}\right)x_1^2 + b^2 - c^2 = \frac{c^2}{a^2}x_1^2 + b^2 - c^2$. $-a \le x_1 \le a$이므로 $x_1 = 0$일 때 최솟값 $b^2 - c^2 = b^2 - (a^2 - b^2) = 2b^2 - a^2$. $x_1 = \pm a$일 때 최댓값 $\frac{c^2}{a^2}a^2 + b^2 - c^2 = b^2$.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 35점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	접선 공식 및 점과 직선 거리 공식을 통해 $FH, F'H'$을 바르게 표현	10점
2단계	타원 방정식 $y_1^2 = b^2(1 - x_1^2/a^2)$을 분모에 대입하여 식 정리	6점
3단계	$c^2 = a^2 - b^2$ 관계를 활용하여 분자와 분모를 약분, $b^2$ 불변성 증명	6점
4단계	벡터 성분 표시 및 내적 식 $\vec{PF} \cdot \vec{PF'} = x_1^2 - c^2 + y_1^2$ 유도	6점
5단계	$x_1$에 관한 이차함수로 정리하여 최댓값 $b^2$, 최솟값 $2b^2 - a^2$ 도출	7점

🩺 100인 표본 감점 클리닉 [문항 2]

• 빈출 감점 포인트: 분모 $b^4 x_1^2 + a^4 y_1^2$ 정리 과정에서 $c^2 = a^2 - b^2$ 치환을 끝까지 수행하지 못하고 도중에 멈춘 경우 4점 감점.
• 방어 전략: 타원의 성질 증명에서는 언제나 $c^2 = a^2 - b^2$와 $y_1^2 = b^2(1 - x_1^2/a^2)$을 연립하여 $x_1$ 한 변수의 식으로 통일하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) 평면벡터의 내적 및 코사인 정리 전개 | (2) 내적의 최댓값 $b^2$, 최솟값 $2b^2 - a^2$ 이화여자대학교 공식 기준 (35점)

📚 과목/단원: 미적분 · 정적분과 극한 🎯 핵심 테마: 핵심개념: 월리스 공식(Wallis formula) 점화식 유도, 부분적분법, 조임정리를 이용한 극한 (성취기준 12미적-03-03, 12미적-03-04) ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

음이 아닌 정수 $n$에 대하여 정적분 $I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx$가 정의된다.

(1) 부분적분법을 이용하여 $n \ge 2$일 때 점화식 $I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$가 성립함을 유도하시오. [8점]

(2) $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$에서 $\sin^{n+1} x \le \sin^n x \le \sin^{n-1} x$임을 이용하여, $\lim_{n \to \infty} \frac{I_{n+1}}{I_n} = 1$임을 증명하시오. [10점]

(3) 문항 (1)과 (2)의 결과를 활용하여 월리스 곱 공식의 극한값 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)} = \sqrt{\pi}$를 증명하시오. [12점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재 미적분Ⅱ Ⅲ-1. 여러 가지 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.25 탐구 815 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04]

【유사 연습 문제】 $I_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n x\,dx$ ($n \ge 2$)에 대하여 $I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$가 성립함을 증명하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 【풀이 및 정답】 $I_n = \int_0^{\pi/2} \cos^{n-1} x \cos x\,dx$. 부분적분법 $u = \cos^{n-1} x$, $v' = \cos x$ 적용: $u' = -(n-1)\cos^{n-2} x \sin x$, $v = \sin x$. $I_n = [\cos^{n-1} x \sin x]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2} \cos^{n-2} x \sin^2 x\,dx = 0 + (n-1)\int_0^{\pi/2} \cos^{n-2} x (1 - \cos^2 x)\,dx = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n$. 따라서 $n I_n = (n-1)I_{n-2} \iff I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$.
※ 해설 가이드: 2026학년도 이화여대 기출 문제 3의 핵심 원리를 교과서 성취기준에 입각하여 연역적으로 서술함.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 / 문제 3 문항 15 (미적분 · 정적분과 극한) [배점 30점]

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문제 3 [미적분 · 정적분과 극한 · 30점]

주요 논점: 월리스 공식(Wallis formula) 점화식 유도, 부분적분법, 조임정리를 이용한 극한 (성취기준 12미적-03-03, 12미적-03-04)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 15 · 총 30점

3-1 부분적분법을 이용한 점화식 유도
$I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx = \int_0^{\pi/2} \sin^{n-1} x \sin x\,dx$. $u = \sin^{n-1} x$, $v' = \sin x$로 두면 $u' = (n-1)\sin^{n-2} x \cos x$, $v = -\cos x$. 부분적분에 의해 $I_n = [-\sin^{n-1} x \cos x]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{n-2} x \cos^2 x\,dx$. 앞의 항은 $0$이고 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$이므로 $I_n = (n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{n-2} x(1 - \sin^2 x)\,dx = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n$. 따라서 $n I_n = (n-1)I_{n-2} \iff I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$이다.
3-2 $\lim_{n \to \infty} \frac{I_{n+1}}{I_n} = 1$ 증명
$0 \le x \le \pi/2$에서 $0 \le \sin x \le 1$이므로 $\sin^{n+1} x \le \sin^n x \le \sin^{n-1} x$. 정적분을 취하면 $I_{n+1} \le I_n \le I_{n-1}$. $I_n \gt 0$으로 나누면 $\frac{I_{n+1}}{I_n} \le 1 \le \frac{I_{n-1}}{I_n}$. 점화식에서 $I_{n+1} = \frac{n}{n+1}I_{n-1} \iff \frac{I_{n-1}}{I_n} = \frac{n+1}{n} \frac{I_{n+1}}{I_n}$. 따라서 $\frac{n}{n+1} \le \frac{I_{n+1}}{I_n} \le 1$. $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1$이므로 조임정리에 의해 $\lim_{n \to \infty} \frac{I_{n+1}}{I_n} = 1$이다.
3-3 월리스 공식 극한값 증명
$I_0 = \pi/2$, $I_1 = 1$. 점화식 반복 적용으로 $I_{2n} = \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}$, $I_{2n+1} = \frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1$. 따라서 $\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} = \left(\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}\right)^2 \frac{1}{2n+1} \frac{2}{\pi}$. (2)에 의해 $n \to \infty$일 때 이 비는 1로 수렴한다. 따라서 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left(\frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{1 \cdot 3 \cdots (2n-1)}\right)^2 = \pi \iff \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{1 \cdot 3 \cdots (2n-1)} = \sqrt{\pi}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$\sin^{n-1} x \sin x$로 분리하고 부분적분법을 바르게 적용	4점
2단계	$\cos^2 x = 1-\sin^2 x$ 변형을 통해 점화식 $I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$ 도출	4점
3단계	구간 $[0, \pi/2]$에서 $\sin x$의 거듭제곱 대소 관계 및 적분 부등식 수립	5점
4단계	점화식을 대입하여 $\frac{n}{n+1} \le \frac{I_{n+1}}{I_n} \le 1$ 부등식 샌드위치 증명	5점
5단계	$I_{2n}, I_{2n+1}$의 계승(더블 팩토리얼) 표현식을 바르게 전개	6점
6단계	비의 극한이 1임을 이용하여 월리스 극한값 $\sqrt{\pi}$ 완결	6점

🩺 100인 표본 감점 클리닉 [문항 3]

• 빈출 감점 포인트: (2)번에서 $\frac{I_{n-1}}{I_n}$을 점화식으로 바꾸지 않고 방치하거나, (3)번에서 $2n+1$과 $n$의 극한 비율($\lim \frac{2n}{2n+1} = 1$) 처리를 누락함.
• 방어 전략: 짝수 항 $I_{2n}$과 홀수 항 $I_{2n+1}$의 비율을 곱한 뒤 $\frac{2n}{2n+1} \to 1$을 거쳐 $\sqrt{n}$으로 묶어내는 식 변형을 차근차근 보여주십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] (1) 월리스 적분 점화식 $I_n = \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$ | (2) $\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}}\dfrac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{1 \cdot 3 \cdots (2n-1)} = \sqrt{\pi}$ 증명 완료 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

PART 2-1 · 10 FULL-LENGTH MOCK EXAMS

2027학년도 이화여자대학교 자연계열 수리논술
실전 모의고사 1회 ~ 10회 문제집

제1~5회 기출유사 표준 실전편과 제6~10회 킬러 TOP 5 심화편(총 30문항) 및 회차별 종합 분석 매트릭스 리포트로 실전 적응력을 극대화합니다.

📋 출제 타당성 검토 보고서 (2p): 전 문항 교과서 기반 교육과정 성취기준 및 Textbook DB 원천 검증

📝 실전 맞춤형 시험지 포맷: 이화여자대학교 실제 문항 수·배점·답안지 규격 100% 반영

📈 회차별 종합 분석 매트릭스 (10p): 매 회차 직후 문항별 난이도·배점·합격 전략 리포트 수록

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R1-Q1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	【문항 1】 거듭제곱근의 지수법칙과 자연수 조건을 만족시키는 순서쌍의 개수 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 탐구 7011 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]	40점/중
R1-Q2	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한	【문항 2】 좌극한과 우극한의 존재 조건 및 합성함수의 극한 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 7014 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	30점/중상
R1-Q3	미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수	【문항 3】 접선의 기울기와 법선·삼각형 넓이의 극한 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 7015 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]	30점/중상
R2-Q1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	【문항 1】 거듭제곱의 대소 비교와 정수 지수 부등식의 해의 개수 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 7021 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]	40점/중
R2-Q2	대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법	【문항 2】 하노이의 탑 점화식의 유도 및 수학적 귀납법 증명 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.9 탐구 7023 변형 \| 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]	30점/중상
R2-Q3	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	【문항 3】 도함수로부터 부정적분 결정과 극값 차 공식 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 7024 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]	30점/중상
R3-Q1	대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법	【문항 1】 부등식의 수학적 귀납법 증명과 베르누이형 하한 추정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 탐구 7032 변형 \| 성취기준: 12대수03-07]	40점/중
R3-Q2	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	【문항 2】 도함수의 대칭성과 정적분의 구간 결합 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 7034 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]	30점/중상
R3-Q3	대수 Ⅱ. 삼각함수와 단위원의 현	【문항 3】 원에 접하는 직선의 방정식과 접점 삼각형의 넓이 대수 Ⅱ. 삼각함수와 단위원의 현	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.11 탐구 7031 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]	30점/중상
R4-Q1	대수 Ⅰ-1. 지수와 거듭제곱 대칭식	【문항 1】 삼차 곱셈 공식과 대칭 다항식의 차수 확장 대수 Ⅰ-1. 지수와 거듭제곱 대칭식	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.10 탐구 7041 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]	40점/중
R4-Q2	미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속	【문항 2】 닫힌구간에서 연속함수의 최대·최소 정리와 사잇값 정리 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.11 탐구 7045 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]	30점/중상
R4-Q3	대수 Ⅰ-2. 역함수의 존재와 일대일대응	【문항 3】 일대일대응 조건과 합성함수·역함수의 방정식 대수 Ⅰ-2. 역함수의 존재와 일대일대응	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 탐구 7043 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]	30점/중상
R5-Q1	대수 Ⅲ-3. 수열의 합과 귀납적 추론	【문항 1】 군수열·계차 규칙의 귀납적 추론과 등비급수형 부분합 대수 Ⅲ-3. 수열의 합과 귀납적 추론	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.17 탐구 7055 변형 \| 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]	40점/중
R5-Q2	대수 Ⅰ-2. 부등식의 정수해 개수	【문항 2】 절댓값과 매개변수를 포함한 연립이차부등식의 정수해 개수 대수 Ⅰ-2. 부등식의 정수해 개수	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.11 탐구 7052 변형 \| 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]	30점/중상
R5-Q3	미적분Ⅰ Ⅱ-1. 도함수와 접선의 기하	【문항 3】 선분의 내분·외분점과 아폴로니오스의 원의 넓이 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 도함수와 접선의 기하	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.13 탐구 7053 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]	30점/중상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 【문항 1】 거듭제곱근의 지수법칙과 자연수 조건을 만족시키는 순서쌍의 개수 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 배점 40점 · 난이도 중

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 탐구 7011 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> $a \gt 0, b \gt 0$이고 $m, n$이 $2$ 이상의 자연수일 때, $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$이며, 이 값이 자연수가 되려면 기약분수 지수가 $0$ 이상의 정수가 되어야 한다.

$2$ 이상의 두 자연수 $m, n\;(2 \le m \le 12,\; 2 \le n \le 12)$에 대하여 수 $N(m, n) = \sqrt[3]{2^m} \times \sqrt[4]{3^n}$이 자연수가 되도록 하는 순서쌍 $(m, n)$을 분석하고자 한다. 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (12점) 제시문 (가)를 이용하여 $N(m, n)$을 유리수 지수 꼴 $2^{\frac{m}{3}} \times 3^{\frac{n}{4}}$로 나타내고, $N(m, n)$이 자연수가 되기 위한 $m, n$의 배수 조건을 구하시오.

[문항 1-2] (14점) $2 \le m \le 12,\; 2 \le n \le 12$에서 $N(m, n)$이 자연수가 되도록 하는 순서쌍 $(m, n)$의 개수를 구하고, 그때 $N(m, n)$의 최솟값을 구하시오.

[문항 1-3] (14점) $\sqrt[6]{N(m, n)}$이 자연수가 되도록 하는 순서쌍 $(m, n)$을 구하고, 그때의 $\sqrt[6]{N(m, n)}$의 값을 구하시오. (단, $2 \le m \le 30,\; 2 \le n \le 30$이다.)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 — 【문항 2】 좌극한과 우극한의 존재 조건 및 합성함수의 극한 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 배점 30점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 7014 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 함수 $f(x)$의 $x = a$에서의 극한값이 존재하기 위한 필요충분조건은 $\lim_{x \to a-} f(x) = \lim_{x \to a+} f(x)$인 것이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 1 & (x \lt 2) \\ -2x + b & (x \ge 2) \end{cases}$가 $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

[문항 2-1] (10점) 제시문 (가)를 이용하여 $x = 2$에서의 좌극한과 우극한을 각각 $a, b$로 나타내고, 상수 $a, b$의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (10점) $\lim_{x \to 0+} f(2 - x)$와 $\lim_{x \to 0-} f(2 - x)$의 값을 각각 구하여 $\lim_{x \to 0} f(2 - x)$의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (10점) $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - 3}{x - 2}$의 값이 존재하는지 좌극한과 우극한을 각각 구하여 판정하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 — 【문항 3】 접선의 기울기와 법선·삼각형 넓이의 극한 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 배점 30점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 7015 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

<제시문 (가)> 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}(t, f(t))$에서의 접선의 기울기는 $f'(t)$이고, 접선의 방정식은 $y = f'(t)(x - t) + f(t)$이다.

곡선 $y = x^2 + 2x$ 위의 점 $\mathrm{P}(t, t^2 + 2t)\;(t \gt 0)$에서의 접선 $l$이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (10점) 접선 $l$의 방정식을 구하고, 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 좌표를 각각 $t$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 3-2] (10점) 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이 $S(t)$를 $t$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 3-3] (10점) $\lim_{t \to \infty} \dfrac{S(t)}{t^3}$의 값과 $\lim_{t \to 0+} \dfrac{S(t)}{t^4}$의 값을 각각 구하시오.

[그림] 곡선 위의 점 P에서의 접선과 법선이 좌표축과 이루는 영역의 기하학적 형상

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제1회	문항 1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	【문항 1】 거듭제곱근의 지수법칙과 자연수 조건을 만족시키는 순서쌍의 개수 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	40점	중
제1회	문항 2	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한	【문항 2】 좌극한과 우극한의 존재 조건 및 합성함수의 극한 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한	30점	중상
제1회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수	【문항 3】 접선의 기울기와 법선·삼각형 넓이의 극한 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수	30점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 이화여자대학교 수리논술 제1회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)를 원천으로 변형 출제되었으며, 대학 과정 없이 100% 교과서 개념과 증명 정리만으로 완결됩니다.
• 고배점 문제 1번(40점) 공략: 문제 1번은 배점이 40점으로 전체의 40%를 차지합니다. 소문항 (1), (2)의 부분점수(26점)를 안정적으로 확보한 후 문제 2번(30점)과 문제 3번(30점)의 연역 논증을 단계별로 완성하십시오.
• 단계별 루브릭 자가채점: 풀이 작성 완료 후 Part 2-2 해설집(p.78)의 소문항별 루브릭 기준에 맞춰 본인의 획득 점수를 엄격히 산출하고 Part 3 대시보드(p.81)에 입력하십시오.

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 — 【문항 1】 거듭제곱의 대소 비교와 정수 지수 부등식의 해의 개수 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 배점 40점 · 난이도 중

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 7021 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> 양수 $A, B$와 자연수 $n$에 대하여 $A \lt B \iff A^n \lt B^n$이 성립하므로, 서로 다른 거듭제곱근의 대소는 지수의 분모를 통분하여 밑의 크기를 비교함으로써 판정할 수 있다.

세 양수 $A = \sqrt{2},\; B = \sqrt[3]{3},\; C = \sqrt[6]{6}$과 자연수 $m$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (12점) 제시문 (가)를 이용하여 $A^6, B^6, C^6$의 값을 각각 구하고, 세 수 $A, B, C$의 대소 관계를 부등호로 나타내시오.

[문항 1-2] (14점) 부등식 $A^6 \le 2^m \le B^{12}$를 만족시키는 모든 자연수 $m$의 값들의 합을 구하시오.

[문항 1-3] (14점) 자연수 $k\;(1 \le k \le 20)$에 대하여 $(A \cdot B \cdot C)^k$이 자연수가 되도록 하는 모든 $k$의 값들의 합을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 — 【문항 2】 하노이의 탑 점화식의 유도 및 수학적 귀납법 증명 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 배점 30점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.9 탐구 7023 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

<제시문 (가)> 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 1$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 2a_n + 1$을 만족시킬 때, 양변에 $1$을 더하면 $a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$이 되어 수열 $\{a_n + 1\}$은 등비수열을 이룬다.

크기가 서로 다른 $n$개의 원판을 규칙에 따라 다른 기둥으로 모두 옮기는 최소 이동 횟수를 $a_n$이라 하면 $a_1 = 1,\; a_{n+1} = 2a_n + 1\;(n \ge 1)$이 성립한다. 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (10점) 제시문 (가)를 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$을 구하시오.

[문항 2-2] (10점) 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = 2^n - 1$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (10점) $\sum_{k=1}^{10} a_k$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 — 【문항 3】 도함수로부터 부정적분 결정과 극값 차 공식 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 배점 30점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 7024 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

<제시문 (가)> 삼차함수 $f(x)$의 도함수가 $f'(x) = 3a(x - \alpha)(x - \beta)\;(\alpha \lt \beta)$일 때, 극댓값과 극솟값의 차는 $\left|\int_{\alpha}^{\beta} f'(x)\,dx\right| = \dfrac{|a|}{2}(\beta - \alpha)^3$이다.

삼차함수 $f(x)$의 도함수가 $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$이고 $f(0) = 5$일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (10점) 부정적분을 이용하여 함수 $f(x)$를 구하고, $f'(x) = 0$의 두 실근 $\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)$를 구하시오.

[문항 3-2] (10점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하고, 제시문 (가)의 공식으로 극댓값과 극솟값의 차를 검산하시오.

[문항 3-3] (10점) 닫힌구간 $[-2, 4]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

[그림] 삼차함수 극댓값과 극솟값의 차와 도함수 정적분 사이의 관계

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제2회	문항 1	대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	【문항 1】 거듭제곱의 대소 비교와 정수 지수 부등식의 해의 개수 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그	40점	중
제2회	문항 2	대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법	【문항 2】 하노이의 탑 점화식의 유도 및 수학적 귀납법 증명 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법	30점	중상
제2회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	【문항 3】 도함수로부터 부정적분 결정과 극값 차 공식 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	30점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 이화여자대학교 수리논술 제2회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)를 원천으로 변형 출제되었으며, 대학 과정 없이 100% 교과서 개념과 증명 정리만으로 완결됩니다.
• 고배점 문제 1번(40점) 공략: 문제 1번은 배점이 40점으로 전체의 40%를 차지합니다. 소문항 (1), (2)의 부분점수(26점)를 안정적으로 확보한 후 문제 2번(30점)과 문제 3번(30점)의 연역 논증을 단계별로 완성하십시오.
• 단계별 루브릭 자가채점: 풀이 작성 완료 후 Part 2-2 해설집(p.82)의 소문항별 루브릭 기준에 맞춰 본인의 획득 점수를 엄격히 산출하고 Part 3 대시보드(p.81)에 입력하십시오.

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 — 【문항 1】 부등식의 수학적 귀납법 증명과 베르누이형 하한 추정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 배점 40점 · 난이도 중

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 탐구 7032 변형 | 성취기준: 12대수03-07]

<제시문 (가)> 자연수 $n\;(n \ge 2)$에 대한 부등식 $A(n) \gt B(n)$을 수학적 귀납법으로 증명할 때는 $n = k$일 때의 가정으로부터 양변에 양수를 곱해 얻은 식과 목표 식의 차가 양수임을 보인다.

$h \gt 0$일 때, $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $(1 + h)^n \gt 1 + nh$가 성립함을 분석하고자 한다. 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (12점) $n = 2$일 때 좌변과 우변의 차를 구하여 부등식이 성립함을 보이시오.

[문항 1-2] (14점) $n = k\;(k \ge 2)$일 때 성립한다고 가정하여 $n = k + 1$일 때도 성립함을 제시문 (가)의 방법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (14점) 증명한 부등식 (또는 이항 전개 하한 $(1 + h)^n \gt 1 + nh + \dfrac{n(n-1)}{2}h^2$)을 이용하여 $1.1^{10} \gt 2$임을 보이시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 — 【문항 2】 도함수의 대칭성과 정적분의 구간 결합 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 배점 30점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 7034 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 다항함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 우함수($f'(-x) = f'(x)$)이면, $f(x) - f(0)$은 기함수이므로 모든 실수 $a$에 대하여 $f(a) + f(-a) = 2f(0)$이 성립한다.

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(-x) = f'(x)$를 만족시키고 $f(0) = 3,\; f(2) = 7$일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (10점) 제시문 (가)를 이용하여 도함수 $f'(x)$와 함수 $f(x)$의 식을 구하시오.

[문항 2-2] (10점) $f(-2)$의 값과 $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (10점) $\int_{-2}^{2} x f'(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수 Ⅱ. 삼각함수와 단위원의 현 — 【문항 3】 원에 접하는 직선의 방정식과 접점 삼각형의 넓이 대수 Ⅱ. 삼각함수와 단위원의 현 배점 30점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.11 탐구 7031 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 원 $x^2 + y^2 = r^2$과 직선 $ax + by + c = 0$이 접하기 위한 필요충분조건은 원의 중심 $(0, 0)$에서 직선까지의 거리 $d = \dfrac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$가 반지름 $r$과 같은 것이다.

원 $C : x^2 + y^2 = 8$과 직선 $l : y = x + k$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (10점) 직선 $l$이 원 $C$에 접하도록 하는 모든 실수 $k$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (10점) 직선 $l$이 원 $C$와 서로 다른 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$에서 만나고 현 $\mathrm{AB}$의 길이가 $4$일 때, 양수 $k$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (10점) 의 조건에서 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이를 구하시오.

[그림] 원 $x^2+y^2=r^2$과 접선 및 접점에서의 법선 관계

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제3회	문항 1	대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법	【문항 1】 부등식의 수학적 귀납법 증명과 베르누이형 하한 추정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법	40점	중
제3회	문항 2	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	【문항 2】 도함수의 대칭성과 정적분의 구간 결합 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분	30점	중상
제3회	문항 3	대수 Ⅱ. 삼각함수와 단위원의 현	【문항 3】 원에 접하는 직선의 방정식과 접점 삼각형의 넓이 대수 Ⅱ. 삼각함수와 단위원의 현	30점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 이화여자대학교 수리논술 제3회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)를 원천으로 변형 출제되었으며, 대학 과정 없이 100% 교과서 개념과 증명 정리만으로 완결됩니다.
• 고배점 문제 1번(40점) 공략: 문제 1번은 배점이 40점으로 전체의 40%를 차지합니다. 소문항 (1), (2)의 부분점수(26점)를 안정적으로 확보한 후 문제 2번(30점)과 문제 3번(30점)의 연역 논증을 단계별로 완성하십시오.
• 단계별 루브릭 자가채점: 풀이 작성 완료 후 Part 2-2 해설집(p.86)의 소문항별 루브릭 기준에 맞춰 본인의 획득 점수를 엄격히 산출하고 Part 3 대시보드(p.81)에 입력하십시오.

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅰ-1. 지수와 거듭제곱 대칭식 — 【문항 1】 삼차 곱셈 공식과 대칭 다항식의 차수 확장 대수 Ⅰ-1. 지수와 거듭제곱 대칭식 배점 40점 · 난이도 중

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.10 탐구 7041 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> 두 실수 $x, y$의 기본 대칭식 $s = x + y,\; p = xy$를 알면 $x^2 + y^2 = s^2 - 2p,\; x^3 + y^3 = s^3 - 3ps$ 및 $x^n + y^n = s(x^{n-1} + y^{n-1}) - p(x^{n-2} + y^{n-2})$로 모든 거듭제곱 합을 구할 수 있다.

두 실수 $x, y$가 $x + y = 3,\; x^3 + y^3 = 9$를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (12점) 제시문 (가)를 이용하여 $xy$와 $x^2 + y^2$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (14점) $x^4 + y^4$과 $x^5 + y^5$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (14점) $(x - y)^2$의 값을 구하고 두 수 $x, y$의 순서쌍 $(x, y)$를 모두 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 — 【문항 2】 닫힌구간에서 연속함수의 최대·최소 정리와 사잇값 정리 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 배점 30점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.11 탐구 7045 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

<제시문 (가)> 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면 이 구간에서 반드시 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 가지며, $m \le k \le M$인 임의의 실수 $k$에 대하여 $f(c) = k$인 $c \in [a, b]$가 적어도 하나 존재한다.

닫힌구간 $[0, 3]$에서 정의된 연속함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (10점) 구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (10점) 방정식 $f(x) = 2x - 1$이 열린구간 $(1, 2)$에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보이시오.

[문항 2-3] (10점) 구간 $[0, 3]$에서 $\dfrac{1}{3}\int_{0}^{3} f(x)\,dx = f(c)$를 만족시키는 유리수 $c \in (0, 3)$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수 Ⅰ-2. 역함수의 존재와 일대일대응 — 【문항 3】 일대일대응 조건과 합성함수·역함수의 방정식 대수 Ⅰ-2. 역함수의 존재와 일대일대응 배점 30점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 탐구 7043 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 실수 전체의 집합에서 정의된 구간별 일차함수가 일대일대응(역함수가 존재)이기 위한 필요충분조건은 경계점에서 연속이고 두 구간의 기울기의 곱이 양수인 것이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & (x \ge 1) \\ ax + 3 - a & (x \lt 1) \end{cases}$의 역함수가 존재하고 $(f \circ f)(-1) = 3$일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $a$는 상수이다.)

[문항 3-1] (10점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 $f(x)$의 역함수가 존재하기 위한 상수 $a$의 부호 조건을 구하고, $f(1)$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (10점) 조건 $(f \circ f)(-1) = 3$을 이용하여 상수 $a$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (10점) $f^{-1}(7) + f^{-1}(-3)$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제4회	문항 1	대수 Ⅰ-1. 지수와 거듭제곱 대칭식	【문항 1】 삼차 곱셈 공식과 대칭 다항식의 차수 확장 대수 Ⅰ-1. 지수와 거듭제곱 대칭식	40점	중
제4회	문항 2	미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속	【문항 2】 닫힌구간에서 연속함수의 최대·최소 정리와 사잇값 정리 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속	30점	중상
제4회	문항 3	대수 Ⅰ-2. 역함수의 존재와 일대일대응	【문항 3】 일대일대응 조건과 합성함수·역함수의 방정식 대수 Ⅰ-2. 역함수의 존재와 일대일대응	30점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 이화여자대학교 수리논술 제4회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)를 원천으로 변형 출제되었으며, 대학 과정 없이 100% 교과서 개념과 증명 정리만으로 완결됩니다.
• 고배점 문제 1번(40점) 공략: 문제 1번은 배점이 40점으로 전체의 40%를 차지합니다. 소문항 (1), (2)의 부분점수(26점)를 안정적으로 확보한 후 문제 2번(30점)과 문제 3번(30점)의 연역 논증을 단계별로 완성하십시오.
• 단계별 루브릭 자가채점: 풀이 작성 완료 후 Part 2-2 해설집(p.90)의 소문항별 루브릭 기준에 맞춰 본인의 획득 점수를 엄격히 산출하고 Part 3 대시보드(p.81)에 입력하십시오.

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅲ-3. 수열의 합과 귀납적 추론 — 【문항 1】 군수열·계차 규칙의 귀납적 추론과 등비급수형 부분합 대수 Ⅲ-3. 수열의 합과 귀납적 추론 배점 40점 · 난이도 중

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.17 탐구 7055 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 수열 $\{a_n\}$의 이웃한 두 항의 차 $b_n = a_{n+1} - a_n$이 주어지면, $n \ge 2$일 때 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$가 성립한다.

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} - a_n = 2n + 1$을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (12점) 제시문 (가)를 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$을 구하시오.

[문항 1-2] (14점) $\sum_{n=1}^{10} a_n$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (14점) $\sum_{n=2}^{10} \dfrac{1}{a_n - 2}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 Ⅰ-2. 부등식의 정수해 개수 — 【문항 2】 절댓값과 매개변수를 포함한 연립이차부등식의 정수해 개수 대수 Ⅰ-2. 부등식의 정수해 개수 배점 30점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.11 탐구 7052 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 인수분해되는 이차부등식 $(x - \alpha)(x - \beta) \le 0$의 해집합과 다른 부등식의 해집합의 교집합에 속하는 정수의 개수가 주어지면, 수직선 위에서 경계점 $\beta$의 위치 범위를 결정할 수 있다.

실수 $x$에 대한 연립부등식 $\begin{cases} x^2 - 2x - 8 \lt 0 \\ (x - 1)(x - k) \le 0 \end{cases}\;(k \gt 1)$을 만족시키는 정수 $x$의 개수가 $2$가 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 분석하고자 한다. 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (10점) 첫 번째 부등식 $x^2 - 2x - 8 \lt 0$의 해와 그 해에 속하는 모든 정수 $x$를 구하시오.

[문항 2-2] (10점) $k \gt 1$일 때 두 번째 부등식의 해를 구하고, 연립부등식을 만족시키는 정수 $x$의 개수가 $2$일 때 그 두 정수를 구하시오.

[문항 2-3] (10점) 연립부등식의 정수해가 $2$개가 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 도함수와 접선의 기하 — 【문항 3】 선분의 내분·외분점과 아폴로니오스의 원의 넓이 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 도함수와 접선의 기하 배점 30점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.13 탐구 7053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

<제시문 (가)> 두 정점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$에 대하여 거리의 비가 $\overline{\mathrm{PA}} : \overline{\mathrm{PB}} = m : n\;(m \ne n,\; m, n \gt 0)$인 점 $\mathrm{P}$의 자취는 선분 $\mathrm{AB}$를 $m : n$으로 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원이다.

좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(-3, 0),\; \mathrm{B}(3, 0)$에 대하여 $\overline{\mathrm{PA}} : \overline{\mathrm{PB}} = 2 : 1$을 만족시키는 점 $\mathrm{P}(x, y)$가 나타내는 도형을 $C$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (10점) 선분 $\mathrm{AB}$를 $2 : 1$로 내분하는 점 $\mathrm{D}$와 외분하는 점 $\mathrm{E}$의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (10점) 원 $C$의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 구하고, 원 $C$의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (10점) 점 $\mathrm{P}$가 원 $C$ 위를 움직일 때, 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 넓이의 최댓값과 $\angle \mathrm{PAB}$가 최대가 될 때의 $\overline{\mathrm{AP}}$의 길이를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제5회	문항 1	대수 Ⅲ-3. 수열의 합과 귀납적 추론	【문항 1】 군수열·계차 규칙의 귀납적 추론과 등비급수형 부분합 대수 Ⅲ-3. 수열의 합과 귀납적 추론	40점	중
제5회	문항 2	대수 Ⅰ-2. 부등식의 정수해 개수	【문항 2】 절댓값과 매개변수를 포함한 연립이차부등식의 정수해 개수 대수 Ⅰ-2. 부등식의 정수해 개수	30점	중상
제5회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-1. 도함수와 접선의 기하	【문항 3】 선분의 내분·외분점과 아폴로니오스의 원의 넓이 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 도함수와 접선의 기하	30점	중상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 이화여자대학교 수리논술 제5회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)를 원천으로 변형 출제되었으며, 대학 과정 없이 100% 교과서 개념과 증명 정리만으로 완결됩니다.
• 고배점 문제 1번(40점) 공략: 문제 1번은 배점이 40점으로 전체의 40%를 차지합니다. 소문항 (1), (2)의 부분점수(26점)를 안정적으로 확보한 후 문제 2번(30점)과 문제 3번(30점)의 연역 논증을 단계별로 완성하십시오.
• 단계별 루브릭 자가채점: 풀이 작성 완료 후 Part 2-2 해설집(p.94)의 소문항별 루브릭 기준에 맞춰 본인의 획득 점수를 엄격히 산출하고 Part 3 대시보드(p.81)에 입력하십시오.

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2026 이화여대 자연Ⅰ 1번 변형) — 【문항 1】 원점 대칭 삼차함수와 일차함수의 평균값 정리 및 부등식 증명 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2026 이화여대 자연Ⅰ 1번 변형) 배점 40점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 탐구 7061 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = -f(x)$를 만족시키는 삼차함수는 짝수 차수 항이 없으므로 $f(x) = ax^3 + bx\;(a \ne 0)$ 꼴로 표현된다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 $[0, 1]$에서 연속이고 열린구간 $(0, 1)$에서 미분가능한 함수 $h(x)$가 $h(0) = h(1)$을 만족시키면 $h'(c) = 0$인 실수 $c$가 열린구간 $(0, 1)$에 적어도 하나 존재한다.

최고차항의 계수가 음수인 삼차함수 $f(x)$와 일차함수 $g(x) = 3x$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = -f(x)$를 만족시키고 $f(1) = g(1),\; f(2) = 0$일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (12점) 제시문 (가)를 이용하여 삼차함수 $f(x)$의 식을 구하고, 닫힌구간 $[0, 2]$에서 $f(x)$의 최댓값을 구하시오.

[문항 1-2] (14점) 제시문 (나)를 이용하여 $f'(c) = g'(c)$를 만족시키는 실수 $c$가 열린구간 $(0, 1)$에 오직 하나 존재함을 보이고, 그때의 $c$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (14점) $1 \le x \le 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f(x) \le g(x)$가 성립함을 함수 $d(x) = g(x) - f(x)$를 인수분해하여 증명하시오.

[그림] 원점 대칭 삼차함수 그래프에서 평균값 정리의 유일한 해 c의 기하학적 위치

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (2026 이화여대 자연Ⅰ 2번 변형) — 【문항 2】 삼차 다항식의 미분과 헤비사이드 부분분수 계수 항등식 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (2026 이화여대 자연Ⅰ 2번 변형) 배점 30점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.15 탐구 7062 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 서로 다른 세 실수 $b_1, b_2, b_3$에 대하여 $Q(x) = (x - b_1)(x - b_2)(x - b_3)$를 미분하면 곱의 미분법에 의하여 $Q'(b_1) = (b_1 - b_2)(b_1 - b_3) \ne 0$이다.
<제시문 (나)> 이차 이하의 다항식 $P(x)$에 대하여 유리식 항등식 $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{c_1}{x - b_1} + \dfrac{c_2}{x - b_2} + \dfrac{c_3}{x - b_3}$의 양변에 $Q(x)$를 곱한 다항식 항등식에 $x = b_k$를 대입하면 $c_k = \dfrac{P(b_k)}{Q'(b_k)}$가 성립한다.

다항식 $Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 4)$와 이차다항식 $P(x) = 3x^2 - 9x + 12$에 대하여 모든 $x \ne 1, 2, 4$에서 $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{c_1}{x - 1} + \dfrac{c_2}{x - 2} + \dfrac{c_3}{x - 4}$가 성립할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (10점) 제시문 (가)의 곱의 미분법을 이용하여 $Q'(1),\; Q'(2),\; Q'(4)$의 값을 각각 구하고, $x \ne 1, 2, 4$일 때 $\dfrac{Q'(x)}{Q(x)} = \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x - 4}$가 성립함을 보이시오.

[문항 2-2] (10점) 제시문 (나)의 공식 $c_k = \dfrac{P(b_k)}{Q'(b_k)}$를 이용하여 세 상수 $c_1,\; c_2,\; c_3$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (10점) 에서 구한 $c_1 + c_2 + c_3$의 값이 $P(x)$의 이차항의 계수 $3$과 일치함을 확인하고, $P_0(x) = x - 5$와 같이 일차 이하의 다항식일 때는 부분분수 계수의 합 $d_1 + d_2 + d_3$이 $0$이 됨을 통분하여 증명하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 (2026 이화여대 자연Ⅰ 3번 변형) — 【문항 3】 정적분으로 정의된 분할 구간 함수의 미분과 영점 존재성 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 (2026 이화여대 자연Ⅰ 3번 변형) 배점 30점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 탐구 7063 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 닫힌구간 $[0, 1]$에서 연속인 함수 $f(t)$에 대하여 $H(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt - \int_{x}^{1} f(t)\,dt$라 하면, 정적분의 성질에 의해 $H(x) = 2\int_{0}^{x} f(t)\,dt - \int_{0}^{1} f(t)\,dt$이므로 $H(x)$는 미분가능하고 $H'(x) = 2f(x)$이다.
<제시문 (나)> $F(x) = \int_{0}^{x} H(t)\,dt$라 할 때 $F(0) = F(1) = 0$이면 롤의 정리에 의해 $F'(c) = H(c) = 0$인 $c$가 열린구간 $(0, 1)$에 적어도 하나 존재한다.

닫힌구간 $[0, 1]$에서 정의된 연속함수 $f(x)$에 대하여 함수 $H(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt - \int_{x}^{1} f(t)\,dt$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (10점) 제시문 (가)를 이용하여 $H(0) + H(1) = 0$임을 보이고, 이차함수 $f(x) = 3x^2 - 2x$일 때 함수 $H(x)$의 식을 구하시오.

[문항 3-2] (10점) 의 $f(x) = 3x^2 - 2x$에 대하여 $\int_{0}^{1} H(x)\,dx$와 $\int_{0}^{1} (1 - 2x)f(x)\,dx$의 값을 각각 계산하여 두 정적분의 값이 서로 같음을 확인하시오.

[문항 3-3] (10점) 일반적인 연속함수 $f(x)$가 $\int_{0}^{1} H(x)\,dx = 0$을 만족시킬 때, $\int_{0}^{c} f(t)\,dt = \int_{c}^{1} f(t)\,dt$인 $c \in (0, 1)$이 존재함을 제시문 (나)로 증명하고, $f(x) = 6x^2 - 6x + 1$일 때 $c \in (0, 1)$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제6회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제6회	문항 1	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2026 이화여대 자연Ⅰ 1번 변형)	【문항 1】 원점 대칭 삼차함수와 일차함수의 평균값 정리 및 부등식 증명 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2026 이화여대 자연Ⅰ 1번 변형)	40점	상
제6회	문항 2	미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (2026 이화여대 자연Ⅰ 2번 변형)	【문항 2】 삼차 다항식의 미분과 헤비사이드 부분분수 계수 항등식 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (2026 이화여대 자연Ⅰ 2번 변형)	30점	상
제6회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 (2026 이화여대 자연Ⅰ 3번 변형)	【문항 3】 정적분으로 정의된 분할 구간 함수의 미분과 영점 존재성 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 (2026 이화여대 자연Ⅰ 3번 변형)	30점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 이화여자대학교 수리논술 제6회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)를 원천으로 변형 출제되었으며, 대학 과정 없이 100% 교과서 개념과 증명 정리만으로 완결됩니다.
• 고배점 문제 1번(40점) 공략: 문제 1번은 배점이 40점으로 전체의 40%를 차지합니다. 소문항 (1), (2)의 부분점수(26점)를 안정적으로 확보한 후 문제 2번(30점)과 문제 3번(30점)의 연역 논증을 단계별로 완성하십시오.
• 단계별 루브릭 자가채점: 풀이 작성 완료 후 Part 2-2 해설집(p.98)의 소문항별 루브릭 기준에 맞춰 본인의 획득 점수를 엄격히 산출하고 Part 3 대시보드(p.81)에 입력하십시오.

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (2026 이화여대 자연Ⅱ 1번 변형) — 【문항 1】 등차수열의 제곱합 하한 부등식과 제곱 역수 망원급수 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (2026 이화여대 자연Ⅱ 1번 변형) 배점 40점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 7071 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]

<제시문 (가)> 임의의 실수 $a_1, a_2, \dots, a_m$과 평균 $c$에 대하여 $\sum_{k=1}^{m} (a_k - c)^2 = \sum_{k=1}^{m} a_k^2 - 2c\sum_{k=1}^{m} a_k + mc^2 \ge 0$이 항상 성립한다.
<제시문 (나)> 공차가 $d = a_{k+1} - a_k \ne 0$인 수열에서 $\dfrac{a_k + a_{k+1}}{a_k^2 a_{k+1}^2} = \dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_k^2} - \dfrac{1}{a_{k+1}^2}\right)$로 부분분수 분해된다.

양의 실수열 $\{a_k\}$가 $\sum_{k=1}^{10} a_k = 50$을 만족시킬 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (12점) 제시문 (가)에서 $m = 10,\; c = 5$를 대입하여 $\sum_{k=1}^{10} a_k^2 \ge 250$이 성립함을 증명하고, 등호가 성립할 조건을 서술하시오.

[문항 1-2] (14점) 수열 $\{b_n\}$의 일반항이 $b_n = 2n - 1\;(n \ge 1)$일 때, $\sum_{n=1}^{10} b_n$과 $\sum_{n=1}^{10} b_n^2$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (14점) 의 수열 $b_n = 2n - 1$에 대하여 제시문 (나)의 항등식을 이용하여 합 $T = \sum_{n=1}^{9} \dfrac{b_n + b_{n+1}}{b_n^2 b_{n+1}^2}$의 값을 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2026 이화여대 자연Ⅱ — 【문항 2】 곡선의 접선으로 이루어진 마름모의 넓이와 유리곡선 넓이 비 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2026 이화여대 자연Ⅱ 3번 변형) 배점 30점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 탐구 7072 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 양수 $a, b$에 대하여 부등식 $\dfrac{|x|}{a} + \dfrac{|y|}{b} \le 1$이 나타내는 마름모의 넓이는 $2ab$이며, 제$1$사분면의 경계 직선은 $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$이다.
<제시문 (나)> 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 방정식은 $y - f(t) = f'(t)(x - t)$이다.

자연수 $k$에 대하여 제$1$사분면 위의 곡선 $y = 4 - x^k\;(0 \le x \le 4^{1/k})$ 위의 점 $\mathrm{P}(1, 3)$에서의 접선을 $l_k$라 하고, 직선 $l_k$를 $x$축, $y$축, 원점에 대하여 대칭이동한 네 직선으로 둘러싸인 마름모를 $D_k$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (10점) 점 $\mathrm{P}(1, 3)$에서의 접선 $l_k$의 방정식을 구하고, 접선 $l_k$의 $x$절편 $a_k$와 $y$절편 $b_k$를 각각 $k$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-2] (10점) 제시문 (가)를 이용하여 마름모 $D_k$의 넓이 $M_k$를 $k$에 대한 식으로 구하고, $k = 2$일 때 $M_2$의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (10점) 곡선 $y = 4 - x^k$와 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 제$1$사분면 영역을 네 사분면으로 대칭이동한 도형 전체의 넓이를 $S_k$라 할 때, $k = 1$에서의 비율 $\dfrac{S_1}{M_1}$과 $k = 2$에서의 비율 $\dfrac{S_2}{M_2}$를 각각 구하시오.

[그림] 곡선의 접선 절편이 좌표축과 이루는 마름모 영역과 곡선 사이의 기하학적 비

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2025 이화여대 자연Ⅰ — 【문항 3】 삼차함수의 단조증가 역함수 존재성과 역함수 정적분 항등식 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2025 이화여대 자연Ⅰ 1번·자연Ⅱ 배점 30점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.32 탐구 7073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) \ge 0$ (유한 개의 점에서만 $0$)이면 $f(x)$는 실수 전체에서 일대일대응이므로 역함수 $g(x) = f^{-1}(x)$가 존재한다.
<제시문 (나)> 증가함수 $y = f(x)$와 그 역함수 $y = g(x)$에 대하여 직사각형 넓이 분할에 의해 $\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} g(y)\,dy = b f(b) - a f(a)$가 성립한다.

실수 전체의 집합에서 정의된 삼차함수 $f(x) = x^3 + 3x + 2$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (10점) 도함수 $f'(x)$를 이용하여 함수 $f(x)$의 역함수 $g(x)$가 존재함을 보이고, $g(2)$와 $g(6)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (10점) 제시문 (나)의 항등식을 이용하여 정적분 $\int_{2}^{6} g(x)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (10점) 자연수 $n$에 대하여 $a_n = f(n)$이라 할 때, $I_n = \int_{n}^{n+1} f(x)\,dx + \int_{a_n}^{a_{n+1}} g(x)\,dx$를 $n$에 대한 다항식으로 나타내고 $I_2$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제7회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제7회	문항 1	대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (2026 이화여대 자연Ⅱ 1번 변형)	【문항 1】 등차수열의 제곱합 하한 부등식과 제곱 역수 망원급수 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (2026 이화여대 자연Ⅱ 1번 변형)	40점	상
제7회	문항 2	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2026 이화여대 자연Ⅱ	【문항 2】 곡선의 접선으로 이루어진 마름모의 넓이와 유리곡선 넓이 비 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2026 이화여대 자연Ⅱ 3번 변형)	30점	상
제7회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2025 이화여대 자연Ⅰ	【문항 3】 삼차함수의 단조증가 역함수 존재성과 역함수 정적분 항등식 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2025 이화여대 자연Ⅰ 1번·자연Ⅱ	30점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 이화여자대학교 수리논술 제7회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)를 원천으로 변형 출제되었으며, 대학 과정 없이 100% 교과서 개념과 증명 정리만으로 완결됩니다.
• 고배점 문제 1번(40점) 공략: 문제 1번은 배점이 40점으로 전체의 40%를 차지합니다. 소문항 (1), (2)의 부분점수(26점)를 안정적으로 확보한 후 문제 2번(30점)과 문제 3번(30점)의 연역 논증을 단계별로 완성하십시오.
• 단계별 루브릭 자가채점: 풀이 작성 완료 후 Part 2-2 해설집(p.102)의 소문항별 루브릭 기준에 맞춰 본인의 획득 점수를 엄격히 산출하고 Part 3 대시보드(p.81)에 입력하십시오.

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅲ-1. 등차수열 · 미적분Ⅰ 넓이 (2023 이화여대 자연 1번 변형) — 【문항 1】 삼각파 주기함수와 원점 직선으로 둘러싸인 넓이 수열의 합 대수 Ⅲ-1. 등차수열 · 미적분Ⅰ 넓이 (2023 이화여대 자연 1번 변형) 배점 40점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 7081 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]

<제시문 (가)> 음이 아닌 정수 $n$에 대하여 구간 $[2n, 2n + 2]$에서 $f(x) = 1 - |x - 2n - 1|$로 정의된 함수의 그래프는 밑변이 $[2n, 2n + 2]$이고 꼭짓점이 $(2n + 1, 1)$인 이등변삼각형 모양의 산을 이룬다.
<제시문 (나)> 두 삼각형이 닮음비가 $1 : r$로 닮음이면 넓이의 비는 $1 : r^2$이다.

구간 $[0, \infty)$에서 정의된 함수 $f(x)$가 모든 음이 아닌 정수 $n$과 $2n \le x \le 2n + 2$에서 $f(x) = 1 - |x - 2n - 1|$일 때, 양수 $a = \dfrac{1}{20}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (12점) 한 산 구간 $[2n, 2n + 2]$에서 곡선 $y = f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이 $T$를 구하고, 직선 $y = \dfrac{1}{20}x$가 $y = f(x)$의 그래프와 만나는 $x \gt 0$인 교점의 총개수를 구하시오.

[문항 1-2] (14점) 구간 $[0, 2]$에서 함수 $y = f(x)$의 그래프 중 직선 $y = \dfrac{1}{20}x$보다 위쪽에 있는 부분과 직선 $y = \dfrac{1}{20}x$로 둘러싸인 삼각형의 넓이 $S_0$을 기약분수로 구하시오.

[문항 1-3] (14점) 일반적으로 $n = 0, 1, \dots, 9$에 대하여 구간 $[2n, 2n + 2]$에서 $y = f(x)$의 두 변 $y = x - 2n,\; y = 2n + 2 - x$와 직선 $y = \dfrac{1}{20}x$의 교점의 $x$좌표를 각각 $\alpha_n,\; \beta_n$이라 할 때, $\beta_n - \alpha_n$이 $10 - n$에 비례함을 이용하여 $S_n$을 구하고 $\sum_{n=0}^{9} S_n$의 값을 구하시오.

[그림] 주기적 삼각파 함수 $f(x)$와 원점을 지나는 직선 $y=ax$의 교점 및 둘러싸인 넓이

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2023 이화여대 자연 2번 변형) — 【문항 2】 절댓값 이차곡선과 원점 직선으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 비 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2023 이화여대 자연 2번 변형) 배점 30점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 7082 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 $y = ax^2 + bx + c\;(a \ne 0)$의 그래프와 직선이 두 점 $x = \alpha,\; \beta\;(\alpha \lt \beta)$에서 만날 때 둘러싸인 도형의 넓이는 $\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$이다.
<제시문 (나)> 절댓값 기호를 포함한 곡선 $y = |x(x - 4)|$와 직선 $y = mx$로 둘러싸인 영역의 넓이는 $x = 4$를 경계로 구간을 나누어 정적분한다.

$x \ge 0$에서 정의된 곡선 $y = |x(x - 4)|$와 원점을 지나는 직선 $y = mx\;(0 \lt m \lt 4)$가 원점 $\mathrm{O}$가 아닌 두 점 $\mathrm{A},\; \mathrm{B}\;(x_{\mathrm{A}} \lt x_{\mathrm{B}})$에서 만날 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (10점) 두 교점 $\mathrm{A},\; \mathrm{B}$의 $x$좌표 $\alpha,\; \beta$를 $m$에 대한 식으로 각각 구하시오.

[문항 2-2] (10점) 구간 $[0, \alpha]$에서 곡선 $y = |x(x - 4)|$와 직선 $y = mx$로 둘러싸인 영역 $R_1$의 넓이 $S_1(m)$을 $m$에 대한 식으로 구하고, $m = 2$일 때 $S_1(2)$의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (10점) $m = 2$일 때 구간 $[\alpha, \beta]$에서 직선 $y = 2x$와 곡선 $y = |x(x - 4)|$로 둘러싸인 영역 $R_2$의 넓이 $S_2(2)$를 구하고, 넓이의 비 $\dfrac{S_2(2)}{S_1(2)}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 기하 Ⅰ-2. 이차곡선과 접선 — 【문항 3】 포물선의 초점 현과 준선 위에서 직교하는 두 접선의 성질 기하 Ⅰ-2. 이차곡선과 접선 배점 30점 · 난이도 최상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.26 탐구 7084 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 포물선 $y^2 = 4px\;(p \gt 0)$의 초점은 $\mathrm{F}(p, 0)$, 준선은 $x = -p$이며, 포물선 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서 초점까지의 거리는 $\overline{\mathrm{PF}} = x_1 + p$이다.
<제시문 (나)> 포물선 $y^2 = 4px$에 접하고 기울기가 $m\;(m \ne 0)$인 접선의 방정식은 $y = mx + \dfrac{p}{m}$이다.

포물선 $y^2 = 8x$의 초점을 $\mathrm{F}$, 준선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{D}(-2, 0)$이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (10점) 포물선 $y^2 = 8x$ 위의 제$1$사분면의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서 $\overline{\mathrm{PF}} = 10$일 때, 점 $\mathrm{P}$의 좌표와 점 $\mathrm{P}$에서의 접선 $l_1$의 방정식을 구하시오.

[문항 3-2] (10점) 점 $\mathrm{D}(-2, 0)$에서 포물선 $y^2 = 8x$에 그은 두 접선의 기울기 $m_1,\; m_2$를 제시문 (나)를 이용하여 구하고, 두 접선이 서로 수직임을 보이시오.

[문항 3-3] (10점) 의 두 접선이 포물선과 접하는 두 접점을 $\mathrm{A},\; \mathrm{B}$라 할 때, 삼각형 $\mathrm{DAB}$의 넓이를 구하시오.

[그림] 포물선의 초점 현과 준선 위에서 직교하는 두 접선의 기하학적 성질

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제8회	문항 1	대수 Ⅲ-1. 등차수열 · 미적분Ⅰ 넓이 (2023 이화여대 자연 1번 변형)	【문항 1】 삼각파 주기함수와 원점 직선으로 둘러싸인 넓이 수열의 합 대수 Ⅲ-1. 등차수열 · 미적분Ⅰ 넓이 (2023 이화여대 자연 1번 변형)	40점	최상
제8회	문항 2	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2023 이화여대 자연 2번 변형)	【문항 2】 절댓값 이차곡선과 원점 직선으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 비 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2023 이화여대 자연 2번 변형)	30점	최상
제8회	문항 3	기하 Ⅰ-2. 이차곡선과 접선	【문항 3】 포물선의 초점 현과 준선 위에서 직교하는 두 접선의 성질 기하 Ⅰ-2. 이차곡선과 접선	30점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 이화여자대학교 수리논술 제8회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)를 원천으로 변형 출제되었으며, 대학 과정 없이 100% 교과서 개념과 증명 정리만으로 완결됩니다.
• 고배점 문제 1번(40점) 공략: 문제 1번은 배점이 40점으로 전체의 40%를 차지합니다. 소문항 (1), (2)의 부분점수(26점)를 안정적으로 확보한 후 문제 2번(30점)과 문제 3번(30점)의 연역 논증을 단계별로 완성하십시오.
• 단계별 루브릭 자가채점: 풀이 작성 완료 후 Part 2-2 해설집(p.106)의 소문항별 루브릭 기준에 맞춰 본인의 획득 점수를 엄격히 산출하고 Part 3 대시보드(p.81)에 입력하십시오.

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 미적분Ⅰ 도함수의 활용 (2022 이화여대 자연 1번 — 【문항 1】 삼차함수 고정점 부등식과 합성 점화식 수열의 수학적 귀납법 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 미적분Ⅰ 도함수의 활용 (2022 이화여대 자연 1번 변형) | 배점 40점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.11 탐구 7091 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) \gt 0$을 만족시키면 $x_1 \lt x_2$일 때 $f(x_1) \lt f(x_2)$가 성립한다.
<제시문 (나)> 자연수 $n$에 대한 명제 $P(n)$이 $n = 1$일 때 성립하고, $n = k$일 때 성립한다고 가정할 때 $n = k + 1$에서도 성립하면 모든 자연수 $n$에 대하여 성립한다.

삼차함수 $f(x) = \dfrac{1}{4}x^3 - \dfrac{3}{4}x^2 + \dfrac{3}{2}x$와 첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{2}$이고 $a_{n+1} = f(a_n)\;(n \ge 1)$으로 귀납적 정의된 수열 $\{a_n\}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (12점) 방정식 $f(x) = x$의 모든 실근을 구하고, 도함수 $f'(x)$를 완전제곱식으로 변형하여 $f(x)$가 실수 전체에서 증가함을 보이시오.

[문항 1-2] (14점) 열린구간 $(0, 1)$에 속하는 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x \lt f(x) \lt 1$이 성립함을 증명하시오.

[문항 1-3] (14점) 제시문 (나)의 수학적 귀납법을 이용하여 모든 자연수 $n$에 대하여 $\dfrac{1}{2} \le a_n \lt a_{n+1} \lt 1$이 성립함을 증명하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 기하 Ⅰ-1. 타원 · 미적분Ⅰ 최대·최소 (2022 이화여대 자연 2번 변형) — 【문항 2】 타원에 내접하는 평행현 삼각형의 넓이 함수와 최댓값 기하 Ⅰ-1. 타원 · 미적분Ⅰ 최대·최소 (2022 이화여대 자연 2번 변형) 배점 30점 · 난이도 최상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.23 탐구 7092 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$과 축에 평행한 직선 $x = t\;(-a \lt t \lt a)$가 만나는 두 교점의 $y$좌표는 $\pm\dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - t^2}$이다.
<제시문 (나)> 양수 값을 갖는 미분가능한 함수 $S(t)$는 제곱 함수 $\{S(t)\}^2$이 최대일 때 동시에 최대가 된다.

타원 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$의 오른쪽 꼭짓점을 $\mathrm{A}(2, 0)$이라 하고, 직선 $x = t\;(-2 \lt t \lt 2)$가 타원과 만나는 두 점을 $\mathrm{P},\; \mathrm{Q}$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (10점) 제시문 (가)를 이용하여 선분 $\overline{\mathrm{PQ}}$의 길이를 $t$에 대한 식으로 나타내고, 삼각형 $\mathrm{APQ}$의 넓이 $S(t)$를 $t$에 대한 식으로 구하시오.

[문항 2-2] (10점) 함수 $g(t) = \{S(t)\}^2 = \dfrac{1}{4}(2 - t)^3(2 + t)$의 도함수 $g'(t)$를 구하여 구간 $(-2, 2)$에서 $g(t)$가 최대가 되는 $t$의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (10점) 삼각형 $\mathrm{APQ}$의 넓이 $S(t)$의 최댓값을 구하고, 그때 삼각형 $\mathrm{APQ}$가 정삼각형인지 세 변의 길이를 비교하여 판별하시오.

[그림] 타원에 내접하고 축에 평행한 현을 밑변으로 하는 내접 삼각형의 넓이 최적화

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (2022 이화여대 자연 3번 변형) — 【문항 3】 절댓값 꺾인 직선에 접하는 원의 반지름 함수와 정적분 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (2022 이화여대 자연 3번 변형) 배점 30점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 7093 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 점 $(x_0, y_0)$에서 직선 $Ax + By + C = 0$에 내린 수선의 발까지의 거리는 $d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$이다.
<제시문 (나)> 원의 중심에서 직선에 내린 수선의 발이 반직선 위의 접점이 될 조건을 기준으로 중심의 위치 구간을 나누면 최소 거리(반지름) 함수를 다항식으로 구할 수 있다.

좌표평면 위의 함수 $y = \dfrac{3}{4}|x| + 5$의 그래프 $G$와 $y$축 위의 점 $\mathrm{C}(0, s)\;(s \le 5)$를 중심으로 하고 그래프 $G$에 접하는 원의 반지름의 길이를 $r(s)$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (10점) 점 $\mathrm{C}(0, s)\;(s \lt 5)$에서 직선 $3x - 4y + 20 = 0$에 내린 수선의 길이 $d(s)$를 $s$에 대한 식으로 구하시오.

[문항 3-2] (10점) 점 $\mathrm{C}(0, s)$에서 직선 $3x - 4y + 20 = 0$에 내린 수선의 발 $\mathrm{H}$의 $x$좌표가 $0$ 이상이 되도록 하는 $s$의 범위를 구하고, $s \le 5$에서 그래프 $G$까지의 최단거리 $r(s)$가 $d(s)$와 일치함을 설명하시오.

[문항 3-3] (10점) 정적분 $\int_{-5}^{5} r(s)\,ds$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제9회	문항 1	대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 미적분Ⅰ 도함수의 활용 (2022 이화여대 자연 1번	【문항 1】 삼차함수 고정점 부등식과 합성 점화식 수열의 수학적 귀납법 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 미적분Ⅰ 도함수의 활용 (2022 이화여대 자연 1번 변형) \|	40점	최상
제9회	문항 2	기하 Ⅰ-1. 타원 · 미적분Ⅰ 최대·최소 (2022 이화여대 자연 2번 변형)	【문항 2】 타원에 내접하는 평행현 삼각형의 넓이 함수와 최댓값 기하 Ⅰ-1. 타원 · 미적분Ⅰ 최대·최소 (2022 이화여대 자연 2번 변형)	30점	최상
제9회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (2022 이화여대 자연 3번 변형)	【문항 3】 절댓값 꺾인 직선에 접하는 원의 반지름 함수와 정적분 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (2022 이화여대 자연 3번 변형)	30점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 이화여자대학교 수리논술 제9회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)를 원천으로 변형 출제되었으며, 대학 과정 없이 100% 교과서 개념과 증명 정리만으로 완결됩니다.
• 고배점 문제 1번(40점) 공략: 문제 1번은 배점이 40점으로 전체의 40%를 차지합니다. 소문항 (1), (2)의 부분점수(26점)를 안정적으로 확보한 후 문제 2번(30점)과 문제 3번(30점)의 연역 논증을 단계별로 완성하십시오.
• 단계별 루브릭 자가채점: 풀이 작성 완료 후 Part 2-2 해설집(p.110)의 소문항별 루브릭 기준에 맞춰 본인의 획득 점수를 엄격히 산출하고 Part 3 대시보드(p.81)에 입력하십시오.

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선 — 【문항 1】 쌍곡선의 초점 거리와 접선의 각이등분선 성질 증명 기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선 배점 40점 · 난이도 최상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.29 탐구 7101 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 두 초점이 $\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)$이고 주축의 길이가 $2a\;(0 \lt a \lt c)$인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(b^2 = c^2 - a^2)$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $|\overline{\mathrm{PF}'} - \overline{\mathrm{PF}}| = 2a$이다.
<제시문 (나)> 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

쌍곡선 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$의 두 초점을 $\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)\;(c \gt 0)$이라 하고, 쌍곡선 위의 제$1$사분면의 점 $\mathrm{P}(8, y_1)$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (12점) 초점 $\mathrm{F}$의 좌표와 점 $\mathrm{P}(8, y_1)$의 $y$좌표 $y_1$을 구하고, 삼각형 $\mathrm{PF'F}$의 넓이를 구하시오.

[문항 1-2] (14점) 두 선분 $\overline{\mathrm{PF}'}$과 $\overline{\mathrm{PF}}$의 길이를 각각 구하여 $\overline{\mathrm{PF}'} - \overline{\mathrm{PF}} = 2a$가 성립함을 확인하시오.

[문항 1-3] (14점) 제시문 (나)를 이용하여 점 $\mathrm{P}(8, y_1)$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점 $\mathrm{T}$의 좌표를 구하고, $\overline{\mathrm{F'T}} : \overline{\mathrm{FT}} = \overline{\mathrm{PF}'} : \overline{\mathrm{PF}}$가 성립함을 통해 접선이 $\angle\mathrm{F'PF}$의 이등분선임을 보이시오.

[그림] 쌍곡선의 두 초점 F, F'과 쌍곡선 위의 점 P에서의 접선 및 초점 거리 성질

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (20줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · Ⅲ-1. 정적분 (2024 이화여대 자연Ⅰ 1번 변형 — 【문항 2】 대칭구간 축소 함수의 정적분 점화식과 극한의 대소 관계 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · Ⅲ-1. 정적분 (2024 이화여대 자연Ⅰ 1번 변형) | 배점 2 배점 30점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 탐구 7102 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 닫힌구간 $[-a, a]$에서 우함수 $f(x)$는 $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx$이고, 기함수 $g(x)$는 $\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 0$이다.
<제시문 (나)> $x \to 0+$일 때 $h_1(x) \le f(x) \le h_2(x)$이고 $\lim_{x \to 0+} h_1(x) = \lim_{x \to 0+} h_2(x) = L$이면 $\lim_{x \to 0+} f(x) = L$이다.

실수 전체의 집합에서 연속인 우함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(2x) = 4f(x)$를 만족시키고 $\int_{1}^{2} f(x)\,dx = 14$일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (10점) 구간 $[2, 4]$에서의 정적분 $\int_{2}^{4} f(x)\,dx$가 $8\int_{1}^{2} f(t)\,dt$와 같음을 $x = 2t$의 관계식을 이용하여 설명하고 그 값을 구하시오.

[문항 2-2] (10점) 음이 아닌 정수 $n$에 대하여 $I_n = \int_{1/2^n}^{1/2^{n-1}} f(x)\,dx$를 $n$에 대한 식으로 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 $\int_{-2}^{2} \{f(x) + x^3 f(x)\}\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (10점) $x \gt 0$인 모든 실수 $x$에서 $6x^2 \le f(x) \le 6x^2 + x^3$이 성립할 때, 제시문 (나)를 이용하여 $\lim_{x \to 0+} \dfrac{f(x)}{x^2}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 이화여자대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/3

⏱️ 시험 시간: 100분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2024 이화여대 자연Ⅰ 2번 변형) — 【문항 3】 사차함수의 극값 판정과 방정식의 정수해 개수 매개변수 범위 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2024 이화여대 자연Ⅰ 2번 변형) 배점 30점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.36 탐구 7103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 사차함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가지면 $f(x)$는 극댓값 $1$개와 극솟값 $2$개를 갖는다.
<제시문 (나)> 부등식 $f(x) \le k$를 만족시키는 정수 $x$의 개수는 정수 격자점에서의 함숫값 $f(n)$의 대소를 비교하여 결정한다.

사차함수 $f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 = (x^2 - 4)^2$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (10점) 도함수 $f'(x)$를 인수분해하여 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하시오.

[문항 3-2] (10점) 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하고, $k = 9$일 때 네 실근의 곱을 구하시오.

[문항 3-3] (10점) 부등식 $f(x) \le k$를 만족시키는 정수 $x$의 개수가 정확히 $5$개가 되도록 하는 자연수 $k$의 개수를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (17줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (3문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 100분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제10회	문항 1	기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선	【문항 1】 쌍곡선의 초점 거리와 접선의 각이등분선 성질 증명 기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선	40점	최상
제10회	문항 2	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · Ⅲ-1. 정적분 (2024 이화여대 자연Ⅰ 1번 변형	【문항 2】 대칭구간 축소 함수의 정적분 점화식과 극한의 대소 관계 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · Ⅲ-1. 정적분 (2024 이화여대 자연Ⅰ 1번 변형) \| 배점 2	30점	최상
제10회	문항 3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2024 이화여대 자연Ⅰ 2번 변형)	【문항 3】 사차함수의 극값 판정과 방정식의 정수해 개수 매개변수 범위 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2024 이화여대 자연Ⅰ 2번 변형)	30점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 이화여자대학교 수리논술 제10회 출제 원칙 및 합격 전략

• 교과서 기반 교육과정 범위 엄수: 본 회차의 모든 문항은 고2 수학 교과서 데이터베이스(Textbook DB V1.0)를 원천으로 변형 출제되었으며, 대학 과정 없이 100% 교과서 개념과 증명 정리만으로 완결됩니다.
• 고배점 문제 1번(40점) 공략: 문제 1번은 배점이 40점으로 전체의 40%를 차지합니다. 소문항 (1), (2)의 부분점수(26점)를 안정적으로 확보한 후 문제 2번(30점)과 문제 3번(30점)의 연역 논증을 단계별로 완성하십시오.
• 단계별 루브릭 자가채점: 풀이 작성 완료 후 Part 2-2 해설집(p.114)의 소문항별 루브릭 기준에 맞춰 본인의 획득 점수를 엄격히 산출하고 Part 3 대시보드(p.81)에 입력하십시오.

PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS

실전 모의고사 1회 ~ 10회
문제 · 모범답안 · 채점 루브릭 합본 해설집

시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 30문항 전체 원문 요약과 단계별 모범답안·루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.

🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능

⚡ 단계별 채점 기준표 완비: 소문항·단계별 부분점수 배점표를 통해 정밀한 자가 채점 지원

👨‍🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭

【문제 1】 원문 요약 — 【문항 1】 거듭제곱근의 지수법칙과 자연수 조건을 만족시키는 순서쌍의 개수 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 [배점 40점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 탐구 7011 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 1 · 총 40점

🎯 모범 정답 : [1-1] $m$은 $3$의 배수, $n$은 $4$의 배수 | [1-2] 순서쌍 $12$개, 최솟값 $6$ | [1-3] $(m, n) = (18, 24)$, 값 $6$

【1-1】 소인수분해의 유일성에 의해 $2^{\frac{m}{3}}$과 $3^{\frac{n}{4}}$이 각각 자연수여야 함을 선언한다.

【1-2】 $\dfrac{m}{3}, \dfrac{n}{4}$가 자연수이므로 $m \in \{3, 6, 9, 12\}$ ($4$개), $n \in \{4, 8, 12\}$ ($3$개)이다. 따라서 순서쌍은 $4 \times 3 = 12$개이고, 최솟값은 $m = 3, n = 4$일 때 $2^1 \times 3^1 = 6$이다.

【1-3】 $\sqrt[6]{N(m, n)} = 2^{\frac{m}{18}} \times 3^{\frac{n}{24}}$이 자연수가 되려면 $m$은 $18$의 배수, $n$은 $24$의 배수여야 하므로 $2 \le m, n \le 30$에서 $(m, n) = (18, 24)$이고 값은 $2^1 \times 3^1 = 6$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• 유리수 지수 표현 / $m$은 $3$의 배수, $n$은 $4$의 배수 도출	12점
[소문항 [1-2]]	• $m$ $4$개, $n$ $3$개로 순서쌍 $12$개 산출 / 최솟값 $N(3, 4) = 6$ 도출	14점
[소문항 [1-3]]	• $\dfrac{m}{18}, \dfrac{n}{24}$ 자연수 조건 유도 / $(18, 24)$ 및 값 $6$ 산출	14점

💡 감점 방어 CLINIC: 서로소인 두 소수 $2$와 $3$의 유리수 거듭제곱의 곱이 자연수가 되려면 각각의 지수가 독립적으로 자연수가 되어야 합니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [1-1] $m$은 $3$의 배수, $n$은 $4$의 배수 | [1-2] 순서쌍 $12$개, 최솟값 $6$ | [1-3] $(m, n) = (18, 24)$, 값 $6$ 이화여자대학교 공식 기준 (40점)

【문제 2】 원문 요약 — 【문항 2】 좌극한과 우극한의 존재 조건 및 합성함수의 극한 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 7014 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 함수 $f(x)$의 $x = a$에서의 극한값이 존재하기 위한 필요충분조건은 $\lim_{x \to a-} f(x) = \lim_{x \to a+} f(x)$인 것이다.

[문항 2-1] (10점) 제시문 (가)를 이용하여 $x = 2$에서의 좌극한과 우극한을 각각 $a, b$로 나타내고, 상수 $a, b$의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (10점) $\lim_{x \to 0+} f(2 - x)$와 $\lim_{x \to 0-} f(2 - x)$의 값을 각각 구하여 $\lim_{x \to 0} f(2 - x)$의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (10점) $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - 3}{x - 2}$의 값이 존재하는지 좌극한과 우극한을 각각 구하여 판정하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 2 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [2-1] $a = -1,\; b = 7$ | [2-2] $3$ | [2-3] 좌극한 $3$, 우극한 $-2$로 서로 달라 존재하지 않음

【2-1】 $\lim_{x \to 2-} (x^2 + ax + 1) = 3$과 $\lim_{x \to 2+} (-2x + b) = 3$을 연립한다.

【2-2】 $4 + 2a + 1 = 3 \implies a = -1$이고, $-4 + b = 3 \implies b = 7$이다. 또한 $t = 2 - x$로 치환하면 $x \to 0+$일 때 $t \to 2-$이므로 극한은 $3$이고, $x \to 0-$일 때 $t \to 2+$이므로 극한은 $3$이어서 $\lim_{x \to 0} f(2 - x) = 3$이다.

【2-3】 $\lim_{x \to 2-} \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2-} (x + 1) = 3$이고, $\lim_{x \to 2+} \dfrac{-2x + 4}{x - 2} = -2$이므로 좌극한($3$)과 우극한($-2$)이 서로 달라 극한값은 존재하지 않는다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• 좌극한 $5+2a=3$, 우극한 $-4+b=3$ 수립 / $a = -1,\; b = 7$ 도출	10점
[소문항 [2-2]]	• $t = 2-x$ 방향 전환 확인 / 극한값 $3$ 산출	10점
[소문항 [2-3]]	• 좌미분계수 $3$, 우미분계수 $-2$ 계산 / 불일치로 존재하지 않음 판정	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 함수 $f(x)$가 $x = 2$에서 연속($f(2) = 3$)이더라도 좌미분계수와 우미분계수가 다르면 첨점이 되어 미분계수 극한은 존재하지 않습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [2-1] $a = -1,\; b = 7$ | [2-2] $3$ | [2-3] 좌극한 $3$, 우극한 $-2$로 서로 달라 존재하지 않음 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 【문항 3】 접선의 기울기와 법선·삼각형 넓이의 극한 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 7015 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

<제시문 (가)> 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}(t, f(t))$에서의 접선의 기울기는 $f'(t)$이고, 접선의 방정식은 $y = f'(t)(x - t) + f(t)$이다.

[문항 3-1] (10점) 접선 $l$의 방정식을 구하고, 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 좌표를 각각 $t$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 3-2] (10점) 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이 $S(t)$를 $t$에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 3-3] (10점) $\lim_{t \to \infty} \dfrac{S(t)}{t^3}$의 값과 $\lim_{t \to 0+} \dfrac{S(t)}{t^4}$의 값을 각각 구하시오.

[그림] 곡선 위의 점 P에서의 접선과 법선이 좌표축과 이루는 영역의 기하학적 형상

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 3 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [3-1] $y = (2t + 2)x - t^2,\; \mathrm{A}\left(\dfrac{t^2}{2t + 2}, 0\right),\; \mathrm{B}(0, -t^2)$ | [3-2] $S(t) = \dfrac{t^4}{4(t + 1)}$ | [3-3] $\dfrac{1}{4},\; \dfrac{1}{4}$

【3-1】 $f'(t) = 2t + 2$이므로 접선 $l$의 방정식은 $y = (2t + 2)(x - t) + t^2 + 2t = (2t + 2)x - t^2$이다.

【3-2】 $y = 0$일 때 $x = \dfrac{t^2}{2(t + 1)}$이므로 $\mathrm{A}\left(\dfrac{t^2}{2(t + 1)}, 0\right)$이고, $x = 0$일 때 $\mathrm{B}(0, -t^2)$이다. 따라서 $t \gt 0$에서 넓이는 $S(t) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{t^2}{2(t + 1)} \cdot t^2 = \dfrac{t^4}{4(t + 1)}$이다.

【3-3】 $\lim_{t \to \infty} \dfrac{S(t)}{t^3} = \lim_{t \to \infty} \dfrac{t^4}{4t^3(t + 1)} = \dfrac{1}{4}$이고, $\lim_{t \to 0+} \dfrac{S(t)}{t^4} = \lim_{t \to 0+} \dfrac{1}{4(t + 1)} = \dfrac{1}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• 접선 $y = (2t+2)x - t^2$ 유도 / $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 좌표 도출	10점
[소문항 [3-2]]	• 밑변·높이 양수 처리 / $S(t) = \dfrac{t^4}{4(t+1)}$ 산출	10점
[소문항 [3-3]]	• $t \to \infty$ 극한 $\dfrac{1}{4}$ 도출 / $t \to 0+$ 극한 $\dfrac{1}{4}$ 산출	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 점 $\mathrm{B}$의 $y$좌표가 $-t^2 \lt 0$이므로 삼각형의 높이를 구할 때는 반드시 절댓값 $|-t^2| = t^2$을 취해야 합니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [3-1] $y = (2t + 2)x - t^2,\; \mathrm{A}\left(\dfrac{t^2}{2t + 2}, 0\right),\; \mathrm{B}(0, -t^2)$ | [3-2] $S(t) = \dfrac{t^4}{4(t + 1)}$ | [3-3] $\dfrac{1}{4},\; \dfrac{1}{4}$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 1】 원문 요약 — 【문항 1】 거듭제곱의 대소 비교와 정수 지수 부등식의 해의 개수 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 [배점 40점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 7021 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

세 양수 $A = \sqrt{2},\; B = \sqrt[3]{3},\; C = \sqrt[6]{6}$과 자연수 $m$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (12점) 제시문 (가)를 이용하여 $A^6, B^6, C^6$의 값을 각각 구하고, 세 수 $A, B, C$의 대소 관계를 부등호로 나타내시오.

[문항 1-2] (14점) 부등식 $A^6 \le 2^m \le B^{12}$를 만족시키는 모든 자연수 $m$의 값들의 합을 구하시오.

[문항 1-3] (14점) 자연수 $k\;(1 \le k \le 20)$에 대하여 $(A \cdot B \cdot C)^k$이 자연수가 되도록 하는 모든 $k$의 값들의 합을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 1 · 총 40점

🎯 모범 정답 : [1-1] $A^6 = 8,\; B^6 = 9,\; C^6 = 6 \implies C \lt A \lt B$ | [1-2] $18$ | [1-3] $36$

【1-1】 지수의 분모 $2, 3, 6$의 최소공배수인 $6$제곱을 취하여 자연수로 변환한다.

【1-2】 $A^6 = 2^3 = 8,\; B^6 = 3^2 = 9,\; C^6 = 6$이므로 $6 \lt 8 \lt 9$에서 $C \lt A \lt B$이다. 또한 $B^{12} = (B^6)^2 = 81$이므로 $8 \le 2^m \le 81$을 만족시키는 자연수 $m$은 $3, 4, 5, 6$이고 합은 $18$이다.

【1-3】 $A B C = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$이므로 $(ABC)^k = 2^{\frac{2k}{3}} \cdot 3^{\frac{k}{2}}$이 자연수가 되려면 $k$는 $6$의 배수여야 한다. 따라서 $k \in \{6, 12, 18\}$이고 합은 $36$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• $A^6=8, B^6=9, C^6=6$ 계산 / $C \lt A \lt B$ 판정	12점
[소문항 [1-2]]	• $8 \le 2^m \le 81$ 범위 유도 / $m \in \{3,4,5,6\}$ 합 $18$ 산출	14점
[소문항 [1-3]]	• $ABC = 2^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}$ 정리 / $6$의 배수 합 $36$ 도출	14점

💡 감점 방어 CLINIC: $6^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{6}} \cdot 3^{\frac{1}{6}}$으로 소인수분해하여 밑을 $2$와 $3$으로 통일해야 지수의 기약분수 분모를 정확히 찾을 수 있습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [1-1] $A^6 = 8,\; B^6 = 9,\; C^6 = 6 \implies C \lt A \lt B$ | [1-2] $18$ | [1-3] $36$ 이화여자대학교 공식 기준 (40점)

【문제 2】 원문 요약 — 【문항 2】 하노이의 탑 점화식의 유도 및 수학적 귀납법 증명 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 [배점 30점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.9 탐구 7023 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

[문항 2-1] (10점) 제시문 (가)를 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$을 구하시오.

[문항 2-2] (10점) 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = 2^n - 1$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (10점) $\sum_{k=1}^{10} a_k$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 2 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [2-1] $a_n = 2^n - 1$ | [2-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [2-3] $2036$

【2-1】 $a_n + 1$은 첫째항이 $a_1 + 1 = 2$, 공비가 $2$인 등비수열이다.

【2-2】 $a_n + 1 = 2^n \implies a_n = 2^n - 1$이다. (i) $n = 1$일 때 $a_1 = 2^1 - 1 = 1$ 성립. (ii) $n = k$일 때 $a_k = 2^k - 1$이라 가정하면 $a_{k+1} = 2(2^k - 1) + 1 = 2^{k+1} - 1$이므로 $n = k + 1$일 때도 성립한다.

【2-3】 $\sum_{k=1}^{10} (2^k - 1) = \dfrac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} - 10 = 2046 - 10 = 2036$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• $a_n + 1 = 2^n$ 등비수열 유도 / $a_n = 2^n - 1$ 도출	10점
[소문항 [2-2]]	• $n = 1$ 성립 확인 / $n = k$ 가정 후 $a_{k+1} = 2^{k+1} - 1$ 연역	10점
[소문항 [2-3]]	• 등비수열 합 $2046$ 계산 / 상수항 $-10$ 차감하여 $2036$ 도출	10점

💡 감점 방어 CLINIC: $\sum_{k=1}^{10} (2^k - 1)$에서 $-1$을 $10$번 더한 $-10$을 빼는 것을 잊지 않도록 주의하십시오.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [2-1] $a_n = 2^n - 1$ | [2-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [2-3] $2036$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 【문항 3】 도함수로부터 부정적분 결정과 극값 차 공식 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 7024 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

삼차함수 $f(x)$의 도함수가 $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$이고 $f(0) = 5$일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (10점) 부정적분을 이용하여 함수 $f(x)$를 구하고, $f'(x) = 0$의 두 실근 $\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)$를 구하시오.

[문항 3-2] (10점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하고, 제시문 (가)의 공식으로 극댓값과 극솟값의 차를 검산하시오.

[문항 3-3] (10점) 닫힌구간 $[-2, 4]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

[그림] 삼차함수 극댓값과 극솟값의 차와 도함수 정적분 사이의 관계

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 3 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [3-1] $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5,\; \alpha = -1,\; \beta = 3$ | [3-2] 극댓값 $10$, 극솟값 $-22$, 차 $32$ | [3-3] $-12$

【3-1】 $f(x) = \int (3x^2 - 6x - 9)\,dx = x^3 - 3x^2 - 9x + C$이고 $f(0) = 5$에서 $C = 5$이다.

【3-2】 $f'(x) = 3(x + 1)(x - 3) = 0$에서 $\alpha = -1,\; \beta = 3$이다. 극댓값은 $f(-1) = 10$, 극솟값은 $f(3) = -22$이며, 차는 $\dfrac{1}{2}(3 - (-1))^3 = 32$로 일치한다.

【3-3】 구간 양 끝점 함숫값은 $f(-2) = -8 - 12 + 18 + 5 = 3,\; f(4) = 64 - 48 - 36 + 5 = -15$이므로 최댓값은 $10$, 최솟값은 $-22$이며 합은 $-12$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ 도출 / $\alpha = -1, \beta = 3$ 산출	10점
[소문항 [3-2]]	• 극댓값 $10$, 극솟값 $-22$ 계산 / 공식 차 $32$ 확인	10점
[소문항 [3-3]]	• 양 끝점 $f(-2)=3, f(4)=-15$ 비교 / 합 $-12$ 도출	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차는 적분상수 $C$에 무관하게 항상 $\dfrac{|a|}{2}(\beta - \alpha)^3$으로 결정됩니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [3-1] $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5,\; \alpha = -1,\; \beta = 3$ | [3-2] 극댓값 $10$, 극솟값 $-22$, 차 $32$ | [3-3] $-12$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 1】 원문 요약 — 【문항 1】 부등식의 수학적 귀납법 증명과 베르누이형 하한 추정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 [배점 40점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 탐구 7032 변형 | 성취기준: 12대수03-07]

$h \gt 0$일 때, $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $(1 + h)^n \gt 1 + nh$가 성립함을 분석하고자 한다. 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (12점) $n = 2$일 때 좌변과 우변의 차를 구하여 부등식이 성립함을 보이시오.

[문항 1-2] (14점) $n = k\;(k \ge 2)$일 때 성립한다고 가정하여 $n = k + 1$일 때도 성립함을 제시문 (가)의 방법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (14점) 증명한 부등식 (또는 이항 전개 하한 $(1 + h)^n \gt 1 + nh + \dfrac{n(n-1)}{2}h^2$)을 이용하여 $1.1^{10} \gt 2$임을 보이시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 1 · 총 40점

🎯 모범 정답 : [1-1] $(1+h)^2 - (1+2h) = h^2 \gt 0$ | [1-2] $(1+kh)(1+h) = 1 + (k+1)h + kh^2 \gt 1 + (k+1)h$ | [1-3] $h = 0.1, n = 10$ 대입 시 $1.1^{10} \gt 1 + 10(0.1) = 2$

【1-1】 $n = 2$일 때 $(1 + h)^2 = 1 + 2h + h^2 \gt 1 + 2h\;(h^2 \gt 0)$이므로 성립한다.

【1-2】 $n = k$일 때 $(1 + h)^k \gt 1 + kh$라 가정하고 양변에 $1 + h \gt 0$을 곱하면 $(1 + h)^{k+1} \gt (1 + kh)(1 + h) = 1 + (k + 1)h + kh^2 \gt 1 + (k + 1)h$이므로 $n = k + 1$일 때도 성립한다.

【1-3】 $h = 0.1,\; n = 10$을 대입하면 $1.1^{10} \gt 1 + 10 \times 0.1 = 2$가 즉시 성립한다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• $(1+h)^2 = 1+2h+h^2$ 전개 / $h^2 \gt 0$ 근거 명시	12점
[소문항 [1-2]]	• 양변에 $1+h \gt 0$ 곱하기 / $kh^2 \gt 0$ 비교로 $1+(k+1)h$ 하한 도출	14점
[소문항 [1-3]]	• $h = 0.1, n = 10$ 대입 / $1.1^{10} \gt 2$ 연역	14점

💡 감점 방어 CLINIC: 부등식의 귀납법 증명에서는 $(1+kh)(1+h)$가 곧바로 $1+(k+1)h$가 되는 것이 아니라 $kh^2 \gt 0$만큼 더 크다는 중간 부등식을 반드시 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [1-1] $(1+h)^2 - (1+2h) = h^2 \gt 0$ | [1-2] $(1+kh)(1+h) = 1 + (k+1)h + kh^2 \gt 1 + (k+1)h$ | [1-3] $h = 0.1, n = 10$ 대입 시 $1.1^{10} \gt 1 + 10(0.1) = 2$ 이화여자대학교 공식 기준 (40점)

【문제 2】 원문 요약 — 【문항 2】 도함수의 대칭성과 정적분의 구간 결합 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 7034 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(-x) = f'(x)$를 만족시키고 $f(0) = 3,\; f(2) = 7$일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (10점) 제시문 (가)를 이용하여 도함수 $f'(x)$와 함수 $f(x)$의 식을 구하시오.

[문항 2-2] (10점) $f(-2)$의 값과 $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (10점) $\int_{-2}^{2} x f'(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 2 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [2-1] $f'(x) = 3x^2 - 2,\; f(x) = x^3 - 2x + 3$ | [2-2] $f(-2) = -1$, 정적분 $12$ | [2-3] $0$

【2-1】 $f'(x) = 3x^2 + c$ (일차항 계수 $0$)이므로 $f(x) = x^3 + cx + 3$이다.

【2-2】 $f(2) = 8 + 2c + 3 = 7$에서 $c = -2$이므로 $f(x) = x^3 - 2x + 3,\; f'(x) = 3x^2 - 2$이다. 이때 $f(-2) = -8 + 4 + 3 = -1$이고, $\int_{-2}^{2} (x^3 - 2x + 3)\,dx = 2\int_{0}^{2} 3\,dx = 12$이다.

【2-3】 $f'(x)$가 우함수이므로 $x f'(x)$는 기함수이다. 따라서 대칭 구간 $[-2, 2]$에서의 정적분 $\int_{-2}^{2} x f'(x)\,dx = 0$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• 우함수 조건으로 일차항 제거 / $f(x) = x^3 - 2x + 3$ 도출	10점
[소문항 [2-2]]	• $f(-2) = -1$ 산출 / 대칭 구간 적분 $12$ 도출	10점
[소문항 [2-3]]	• $x f'(x)$가 기함수임을 논증 / 정적분 $0$ 산출	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 삼차함수 $f(x)$의 변곡점이 $(0, 3)$이므로 $f(2) + f(-2) = 2f(0) = 6$에서 $f(-2) = 6 - 7 = -1$을 즉시 확인할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [2-1] $f'(x) = 3x^2 - 2,\; f(x) = x^3 - 2x + 3$ | [2-2] $f(-2) = -1$, 정적분 $12$ | [2-3] $0$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 【문항 3】 원에 접하는 직선의 방정식과 접점 삼각형의 넓이 대수 Ⅱ. 삼각함수와 단위원의 현 [배점 30점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.11 탐구 7031 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

원 $C : x^2 + y^2 = 8$과 직선 $l : y = x + k$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (10점) 직선 $l$이 원 $C$에 접하도록 하는 모든 실수 $k$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (10점) 의 조건에서 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이를 구하시오.

[그림] 원 $x^2+y^2=r^2$과 접선 및 접점에서의 법선 관계

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 3 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [3-1] $k = \pm 4$ | [3-2] $k = 2\sqrt{2}$ | [3-3] $4$

【3-1】 원점 $(0, 0)$에서 직선 $x - y + k = 0$까지의 거리는 $d = \dfrac{|k|}{\sqrt{2}}$이고 반지름은 $r = 2\sqrt{2}$이다.

【3-2】 접할 조건 $d = r$에서 $\dfrac{|k|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \implies k = \pm 4$이다. 현의 길이가 $4$이면 반현의 길이가 $2$이므로 피타고라스 정리에 의해 $d = \sqrt{8 - 4} = 2$이고, $\dfrac{k}{\sqrt{2}} = 2\;(k \gt 0)$에서 $k = 2\sqrt{2}$이다.

【3-3】 밑변 $\overline{\mathrm{AB}} = 4$, 높이 $d = 2$이므로 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• 거리 공식 $d = \dfrac{\|k\|}{\sqrt{2}}$ 적용 / $k = \pm 4$ 도출	10점
[소문항 [3-2]]	• 피타고라스 정리로 $d = 2$ 유도 / $k = 2\sqrt{2}$ 산출	10점
[소문항 [3-3]]	• 밑변 $4$와 높이 $2$ 결합 / 넓이 $4$ 도출	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 원과 직선의 교점 현의 길이는 연립방정식의 근과 계수의 관계보다 중심에서 현에 내린 수선의 발과 피타고라스 정리를 쓰는 것이 훨씬 빠르고 정확합니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [3-1] $k = \pm 4$ | [3-2] $k = 2\sqrt{2}$ | [3-3] $4$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 1】 원문 요약 — 【문항 1】 삼차 곱셈 공식과 대칭 다항식의 차수 확장 대수 Ⅰ-1. 지수와 거듭제곱 대칭식 [배점 40점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.10 탐구 7041 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

두 실수 $x, y$가 $x + y = 3,\; x^3 + y^3 = 9$를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (12점) 제시문 (가)를 이용하여 $xy$와 $x^2 + y^2$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (14점) $x^4 + y^4$과 $x^5 + y^5$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (14점) $(x - y)^2$의 값을 구하고 두 수 $x, y$의 순서쌍 $(x, y)$를 모두 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 1 · 총 40점

🎯 모범 정답 : [1-1] $xy = 2,\; x^2 + y^2 = 5$ | [1-2] $x^4 + y^4 = 17,\; x^5 + y^5 = 33$ | [1-3] $(x - y)^2 = 1,\; (1, 2)$ 또는 $(2, 1)$

【1-1】 $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$에 $x + y = 3$을 대입한다.

【1-2】 $9 = 27 - 9xy$에서 $xy = 2$이고, $x^2 + y^2 = 9 - 4 = 5$이다. 또한 $x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = 25 - 8 = 17$이며, $x^5 + y^5 = 3(17) - 2(9) = 33$이다.

【1-3】 $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = 9 - 8 = 1$이고, $t^2 - 3t + 2 = 0$의 두 근이므로 $(x, y) = (1, 2)$ 또는 $(2, 1)$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• $xy = 2$ 도출 / $x^2 + y^2 = 5$ 산출	12점
[소문항 [1-2]]	• $x^4 + y^4 = 17$ 유도 / $x^5 + y^5 = 33$ 산출	14점
[소문항 [1-3]]	• $(x-y)^2 = 1$ 도출 / $(1, 2), (2, 1)$ 산출	14점

💡 감점 방어 CLINIC: 실제 근 $x, y = 1, 2$를 구한 뒤 $1^4 + 2^4 = 17,\; 1^5 + 2^5 = 33$으로 대입하면 대칭식 점화 계산을 즉시 검산할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [1-1] $xy = 2,\; x^2 + y^2 = 5$ | [1-2] $x^4 + y^4 = 17,\; x^5 + y^5 = 33$ | [1-3] $(x - y)^2 = 1,\; (1, 2)$ 또는 $(2, 1)$ 이화여자대학교 공식 기준 (40점)

【문제 2】 원문 요약 — 【문항 2】 닫힌구간에서 연속함수의 최대·최소 정리와 사잇값 정리 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.11 탐구 7045 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

닫힌구간 $[0, 3]$에서 정의된 연속함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (10점) 구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (10점) 방정식 $f(x) = 2x - 1$이 열린구간 $(1, 2)$에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보이시오.

[문항 2-3] (10점) 구간 $[0, 3]$에서 $\dfrac{1}{3}\int_{0}^{3} f(x)\,dx = f(c)$를 만족시키는 유리수 $c \in (0, 3)$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 2 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [2-1] $M = 4,\; m = 0$ | [2-2] $h(1) = 1 \gt 0,\; h(2) = -3 \lt 0$ 사잇값 정리 | [2-3] $c = \dfrac{3}{2}$

【2-1】 $f'(x) = 3x(x - 2) = 0$으로부터 구간 $[0, 3]$ 내의 극값과 끝점 값을 비교한다.

【2-2】 $f(0) = 4,\; f(2) = 0,\; f(3) = 4$이므로 $M = 4,\; m = 0$이다. 또한 $h(x) = x^3 - 3x^2 - 2x + 5$는 연속이고 $h(1) = 1 \gt 0,\; h(2) = -3 \lt 0$이므로 사잇값 정리에 의해 $(1, 2)$에 실근이 존재한다.

【2-3】 $\dfrac{1}{3}\int_{0}^{3} (x^3 - 3x^2 + 4)\,dx = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{81}{4} - 27 + 12\right) = \dfrac{7}{4}$이고, $c^3 - 3c^2 + 4 = \dfrac{7}{4} \iff 4c^3 - 12c^2 + 9 = (2c - 3)(2c^2 - 3c - 3) = 0$에서 유리수 해는 $c = \dfrac{3}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• 극솟값 $f(2)=0$ 및 양 끝점 $f(0)=f(3)=4$ 계산 / $M=4, m=0$ 도출	10점
[소문항 [2-2]]	• $h(x) = f(x) - 2x + 1$ 설정 및 연속성 명시 / $h(1)h(2) \lt 0$ 사잇값 정리 서술	10점
[소문항 [2-3]]	• 평균값 $\dfrac{7}{4}$ 적분 산출 / $c = \dfrac{3}{2}$ 도출	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$는 변곡점 $\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{7}{4}\right)$에 대하여 점대칭이므로 구간 $[0, 3]$의 평균값은 항상 중점 $c = \dfrac{3}{2}$에서의 함숫값과 같습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [2-1] $M = 4,\; m = 0$ | [2-2] $h(1) = 1 \gt 0,\; h(2) = -3 \lt 0$ 사잇값 정리 | [2-3] $c = \dfrac{3}{2}$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 【문항 3】 일대일대응 조건과 합성함수·역함수의 방정식 대수 Ⅰ-2. 역함수의 존재와 일대일대응 [배점 30점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 탐구 7043 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

[문항 3-1] (10점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 $f(x)$의 역함수가 존재하기 위한 상수 $a$의 부호 조건을 구하고, $f(1)$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (10점) 조건 $(f \circ f)(-1) = 3$을 이용하여 상수 $a$의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (10점) $f^{-1}(7) + f^{-1}(-3)$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 3 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [3-1] $a \gt 0,\; f(1) = 3$ | [3-2] $a = 1$ | [3-3] $-2$

【3-1】 $x \ge 1$에서 기울기가 $2 \gt 0$이므로 $x \lt 1$에서도 기울기 $a \gt 0$이어야 하며, $f(1) = 3$에서 연속이다.

【3-2】 $f(t) = 3$을 만족시키는 유일한 값은 $t = 1$이므로 $f(-1) = 1$이다. $-1 \lt 1$을 대입하면 $f(-1) = 3 - 2a = 1$에서 $a = 1\;(a \gt 0)$이다.

【3-3】 $f(x) = 7 \ge 3$은 $x \ge 1$에서 $2x + 1 = 7 \implies x = 3$이므로 $f^{-1}(7) = 3$이고, $f(x) = -3 \lt 3$은 $x \lt 1$에서 $x + 2 = -3 \implies x = -5$이므로 $f^{-1}(-3) = -5$이다. 따라서 합은 $3 + (-5) = -2$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• 기울기 부호 $a \gt 0$ 판정 / $f(1) = 3$ 확인	10점
[소문항 [3-2]]	• $f(-1) = 1$ 역추적 / $3 - 2a = 1 \implies a = 1$ 도출	10점
[소문항 [3-3]]	• $f^{-1}(7) = 3,\; f^{-1}(-3) = -5$ 계산 / 합 $-2$ 산출	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 역함수 함숫값 $f^{-1}(k)$를 구할 때는 치역의 경계값 $f(1) = 3$을 기준으로 $k \ge 3$인지 $k \lt 3$인지 먼저 비교하여 대입할 식을 선택해야 합니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [3-1] $a \gt 0,\; f(1) = 3$ | [3-2] $a = 1$ | [3-3] $-2$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 1】 원문 요약 — 【문항 1】 군수열·계차 규칙의 귀납적 추론과 등비급수형 부분합 대수 Ⅲ-3. 수열의 합과 귀납적 추론 [배점 40점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.17 탐구 7055 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 수열 $\{a_n\}$의 이웃한 두 항의 차 $b_n = a_{n+1} - a_n$이 주어지면, $n \ge 2$일 때 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$가 성립한다.

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} - a_n = 2n + 1$을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (12점) 제시문 (가)를 이용하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$을 구하시오.

[문항 1-2] (14점) $\sum_{n=1}^{10} a_n$의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (14점) $\sum_{n=2}^{10} \dfrac{1}{a_n - 2}$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 1 · 총 40점

🎯 모범 정답 : [1-1] $a_n = n^2 + 1$ | [1-2] $395$ | [1-3] $\dfrac{29}{44}$

【1-1】 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)$에 거듭제곱의 합 공식을 적용한다.

【1-2】 $a_n = 2 + (n - 1)^2 + 2(n - 1) = 2 + (n^2 - 1) = n^2 + 1$이다. 따라서 $\sum_{n=1}^{10} (n^2 + 1) = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} + 10 = 385 + 10 = 395$이다.

【1-3】 $a_n - 2 = n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$이므로 $\sum_{n=2}^{10} \dfrac{1}{a_n - 2} = \dfrac{1}{2}\sum_{n=2}^{10} \left(\dfrac{1}{n - 1} - \dfrac{1}{n + 1}\right) = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{11}\right) = \dfrac{29}{44}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• $\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1) = n^2 - 1$ 계산 / $a_n = n^2 + 1$ 도출	12점
[소문항 [1-2]]	• $\sum_{n=1}^{10} n^2 = 385$ 적용 / 합 $395$ 산출	14점
[소문항 [1-3]]	• $a_n - 2 = (n-1)(n+1)$ 부분분수 분해 / 망원급수 합 $\dfrac{29}{44}$ 도출	14점

💡 감점 방어 CLINIC: $\sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)$은 $3$부터 $2n - 1$까지의 홀수의 합이므로 $n^2 - 1$과 같다는 성질을 이용하면 즉시 암산으로 검산할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [1-1] $a_n = n^2 + 1$ | [1-2] $395$ | [1-3] $\dfrac{29}{44}$ 이화여자대학교 공식 기준 (40점)

【문제 2】 원문 요약 — 【문항 2】 절댓값과 매개변수를 포함한 연립이차부등식의 정수해 개수 대수 Ⅰ-2. 부등식의 정수해 개수 [배점 30점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.11 탐구 7052 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

[문항 2-1] (10점) 첫 번째 부등식 $x^2 - 2x - 8 \lt 0$의 해와 그 해에 속하는 모든 정수 $x$를 구하시오.

[문항 2-2] (10점) $k \gt 1$일 때 두 번째 부등식의 해를 구하고, 연립부등식을 만족시키는 정수 $x$의 개수가 $2$일 때 그 두 정수를 구하시오.

[문항 2-3] (10점) 연립부등식의 정수해가 $2$개가 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 2 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [2-1] $-2 \lt x \lt 4$, 정수 $-1, 0, 1, 2, 3$ | [2-2] $1 \le x \le k$, 두 정수 $1, 2$ | [2-3] $2 \le k \lt 3$

【2-1】 $(x + 2)(x - 4) \lt 0 \iff -2 \lt x \lt 4$이고, $k \gt 1$이므로 두 번째 부등식의 해는 $1 \le x \le k$이다.

【2-2】 교집합은 $1 \le x \lt \min(4, k\text{ 이하})$이므로 가장 작은 정수해 $1$부터 차례로 포함된다. 따라서 정수해가 $2$개이려면 그 두 정수는 반드시 $1, 2$이어야 한다.

【2-3】 $2$는 포함되고 $3$은 포함되지 않아야 하므로 $2 \le k \lt 3$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• $-2 \lt x \lt 4$ 도출 / 정수 $-1, 0, 1, 2, 3$ 나열	10점
[소문항 [2-2]]	• $1 \le x \le k$ 정리 / 정수해 $1, 2$ 확정	10점
[소문항 [2-3]]	• 경계 등호 판정($k=2$ 포함, $k=3$ 제외) / $2 \le k \lt 3$ 도출	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 두 번째 부등식이 등호를 포함하므로 $k = 2$이면 해가 $1 \le x \le 2$가 되어 정수가 $1, 2$ 두 개이지만, $k = 3$이면 $1, 2, 3$ 세 개가 되므로 $k = 3$은 제외됩니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [2-1] $-2 \lt x \lt 4$, 정수 $-1, 0, 1, 2, 3$ | [2-2] $1 \le x \le k$, 두 정수 $1, 2$ | [2-3] $2 \le k \lt 3$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 【문항 3】 선분의 내분·외분점과 아폴로니오스의 원의 넓이 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 도함수와 접선의 기하 [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.13 탐구 7053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

[문항 3-1] (10점) 선분 $\mathrm{AB}$를 $2 : 1$로 내분하는 점 $\mathrm{D}$와 외분하는 점 $\mathrm{E}$의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (10점) 원 $C$의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 구하고, 원 $C$의 방정식을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 3 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [3-1] $\mathrm{D}(1, 0),\; \mathrm{E}(9, 0)$ | [3-2] 중심 $(5, 0)$, 반지름 $4$, $(x - 5)^2 + y^2 = 16$ | [3-3] 넓이 최댓값 $12,\; \overline{\mathrm{AP}} = 4\sqrt{3}$

【3-1】 내분점과 외분점 공식을 적용하여 지름의 양 끝점을 구한다.

【3-2】 내분점은 $\mathrm{D}\left(\dfrac{6 - 3}{3}, 0\right) = (1, 0)$, 외분점은 $\mathrm{E}\left(\dfrac{6 - (-3)}{1}, 0\right) = (9, 0)$이다. 따라서 중심은 $\mathrm{M}(5, 0)$, 반지름은 $r = 4$이며 방정식은 $(x - 5)^2 + y^2 = 16$이다.

【3-3】 밑변 $\overline{\mathrm{AB}} = 6$이 고정되어 있으므로 높이가 반지름 $4$일 때 넓이의 최댓값은 $\dfrac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$이다. 또한 $\angle \mathrm{PAB}$가 최대일 때는 직선 $\mathrm{AP}$가 원에 접할 때이므로 $\overline{\mathrm{AM}} = 8,\; r = 4$에서 $\overline{\mathrm{AP}} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• 내분점 $\mathrm{D}(1, 0)$ 도출 / 외분점 $\mathrm{E}(9, 0)$ 산출	10점
[소문항 [3-2]]	• 중심 $(5, 0)$, 반지름 $4$ 결정 / $(x-5)^2 + y^2 = 16$ 작성	10점
[소문항 [3-3]]	• 넓이 최댓값 $12$ 산출 / 접선 피타고라스 정리로 $\overline{\mathrm{AP}} = 4\sqrt{3}$ 도출	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 넓이가 최대인 점($y = \pm 4$)과 각 $\angle \mathrm{PAB}$가 최대인 점(접점)은 서로 다른 점이므로 조건을 정확히 구분해야 합니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [3-1] $\mathrm{D}(1, 0),\; \mathrm{E}(9, 0)$ | [3-2] 중심 $(5, 0)$, 반지름 $4$, $(x - 5)^2 + y^2 = 16$ | [3-3] 넓이 최댓값 $12,\; \overline{\mathrm{AP}} = 4\sqrt{3}$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 1】 원문 요약 — 【문항 1】 원점 대칭 삼차함수와 일차함수의 평균값 정리 및 부등식 증명 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2026 이화여대 자연Ⅰ 1번 변형) [배점 40점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 탐구 7061 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09]

[문항 1-1] (12점) 제시문 (가)를 이용하여 삼차함수 $f(x)$의 식을 구하고, 닫힌구간 $[0, 2]$에서 $f(x)$의 최댓값을 구하시오.

[문항 1-3] (14점) $1 \le x \le 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f(x) \le g(x)$가 성립함을 함수 $d(x) = g(x) - f(x)$를 인수분해하여 증명하시오.

[그림] 원점 대칭 삼차함수 그래프에서 평균값 정리의 유일한 해 c의 기하학적 위치

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 1 · 총 40점

🎯 모범 정답 : [1-1] $f(x) = -x^3 + 4x$, 최댓값 $\dfrac{16\sqrt{3}}{9}$ | [1-2] $c = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 유일 존재 | [1-3] $d(x) = x(x - 1)(x + 1) \ge 0$이므로 성립

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• $f(x) = -x^3 + 4x$ 유도 / 극댓값 $\dfrac{16\sqrt{3}}{9}$ 산출	12점
[소문항 [1-2]]	• $h(x) = f(x) - g(x)$에 평균값(롤) 정리 적용 / 유일한 양근 $c = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 도출	14점
[소문항 [1-3]]	• $g(x) - f(x) = x(x - 1)(x + 1)$ 인수분해 / 구간 $[1, 2]$에서 부호 판정 증명	14점

💡 감점 방어 CLINIC: 2026학년도 이화여대 자연Ⅰ 1번 기출의 핵심 논리인 원점 대칭 삼차함수 결정과 평균값 정리 유일성 증명을 다항함수 범위에서 완결성 있게 구성한 문항입니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [1-1] $f(x) = -x^3 + 4x$, 최댓값 $\dfrac{16\sqrt{3}}{9}$ | [1-2] $c = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 유일 존재 | [1-3] $d(x) = x(x - 1)(x + 1) \ge 0$이므로 성립 이화여자대학교 공식 기준 (40점)

【문제 2】 원문 요약 — 【문항 2】 삼차 다항식의 미분과 헤비사이드 부분분수 계수 항등식 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (2026 이화여대 자연Ⅰ 2번 변형) [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.15 탐구 7062 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-04]

[문항 2-2] (10점) 제시문 (나)의 공식 $c_k = \dfrac{P(b_k)}{Q'(b_k)}$를 이용하여 세 상수 $c_1,\; c_2,\; c_3$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 2 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [2-1] $Q'(1) = 3,\; Q'(2) = -2,\; Q'(4) = 6$ | [2-2] $c_1 = 2,\; c_2 = -3,\; c_3 = 4$ | [2-3] $c_1 + c_2 + c_3 = 3$, 일차 이하일 때 이차항 계수 비교로 합 $0$ 증명

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• $Q'(1)=3,\; Q'(2)=-2,\; Q'(4)=6$ 산출 / $\dfrac{Q'(x)}{Q(x)}$ 분수 분해 증명	10점
[소문항 [2-2]]	• $P(1)=6,\; P(2)=6,\; P(4)=24$ 계산 / $c_1=2,\; c_2=-3,\; c_3=4$ 도출	10점
[소문항 [2-3]]	• $c_1 + c_2 + c_3 = 3$ 확인 / 통분 분자의 최고차항 계수 비교로 $d_1+d_2+d_3=0$ 증명	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 2026학년도 이화여대 자연Ⅰ 2번 기출을 완벽히 반영한 문항으로, $c_k = \dfrac{P(b_k)}{Q'(b_k)}$ 공식과 통분 분자의 최고차항 계수 비교를 통해 부분분수 계수의 합을 단번에 검산할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [2-1] $Q'(1) = 3,\; Q'(2) = -2,\; Q'(4) = 6$ | [2-2] $c_1 = 2,\; c_2 = -3,\; c_3 = 4$ | [2-3] $c_1 + c_2 + c_3 = 3$, 일차 이하일 때 이차항 계수 비교로 합 $0$ 증명 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 【문항 3】 정적분으로 정의된 분할 구간 함수의 미분과 영점 존재성 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 (2026 이화여대 자연Ⅰ 3번 변형) [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 탐구 7063 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

닫힌구간 $[0, 1]$에서 정의된 연속함수 $f(x)$에 대하여 함수 $H(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt - \int_{x}^{1} f(t)\,dt$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (10점) 제시문 (가)를 이용하여 $H(0) + H(1) = 0$임을 보이고, 이차함수 $f(x) = 3x^2 - 2x$일 때 함수 $H(x)$의 식을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 3 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [3-1] $H(0)+H(1)=0$ 증명, $H(x) = 2x^3 - 2x^2$ | [3-2] 두 정적분 모두 $-\dfrac{1}{6}$로 일치 | [3-3] 롤의 정리로 존재성 증명, $c = \dfrac{1}{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• $H(0) + H(1) = 0$ 증명 / $H(x) = 2x^3 - 2x^2$ 도출	10점
[소문항 [3-2]]	• $\int_{0}^{1} H(x)\,dx = -\dfrac{1}{6}$ 계산 / $\int_{0}^{1}(1-2x)f(x)\,dx = -\dfrac{1}{6}$ 일치 확인	10점
[소문항 [3-3]]	• 원시함수 $F(x) = \int_{0}^{x} H(t)\,dt$에 롤의 정리 적용 / $c = \dfrac{1}{2}$ 산출	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 2026학년도 이화여대 자연Ⅰ 3번 기출의 핵심 구조로, $\int_{0}^{c} f(t)\,dt = \int_{c}^{1} f(t)\,dt$는 곧 $H(c) = 0$을 뜻하므로 $H(x)$의 부정적분 $F(x) = \int_{0}^{x} H(t)\,dt$에 롤의 정리를 적용하는 것이 출제 의도입니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [3-1] $H(0)+H(1)=0$ 증명, $H(x) = 2x^3 - 2x^2$ | [3-2] 두 정적분 모두 $-\dfrac{1}{6}$로 일치 | [3-3] 롤의 정리로 존재성 증명, $c = \dfrac{1}{2}$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 1】 원문 요약 — 【문항 1】 등차수열의 제곱합 하한 부등식과 제곱 역수 망원급수 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (2026 이화여대 자연Ⅱ 1번 변형) [배점 40점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 7071 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]

양의 실수열 $\{a_k\}$가 $\sum_{k=1}^{10} a_k = 50$을 만족시킬 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (12점) 제시문 (가)에서 $m = 10,\; c = 5$를 대입하여 $\sum_{k=1}^{10} a_k^2 \ge 250$이 성립함을 증명하고, 등호가 성립할 조건을 서술하시오.

[문항 1-2] (14점) 수열 $\{b_n\}$의 일반항이 $b_n = 2n - 1\;(n \ge 1)$일 때, $\sum_{n=1}^{10} b_n$과 $\sum_{n=1}^{10} b_n^2$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 1 · 총 40점

🎯 모범 정답 : [1-1] $\sum_{k=1}^{10}(a_k - 5)^2 \ge 0$으로 증명 (등호: $a_1=\cdots=a_{10}=5$) | [1-2] $100,\; 1330$ | [1-3] $\dfrac{180}{361}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• $\sum(a_k - 5)^2 \ge 0$ 전개 / $\sum a_k^2 \ge 250$ 및 등호 조건 명시	12점
[소문항 [1-2]]	• $\sum_{n=1}^{10} b_n = 100$ 계산 / $\sum_{n=1}^{10} b_n^2 = 1330$ 산출	14점
[소문항 [1-3]]	• 공차 $d = 2$ 부분분수 분해 / 망원 소거로 $\dfrac{180}{361}$ 도출	14점

💡 감점 방어 CLINIC: 2026학년도 이화여대 자연Ⅱ 1번 기출의 핵심인 완전제곱합 부등식 $\sum(a_k - c)^2 \ge 0$과 $\dfrac{b_n + b_{n+1}}{b_n^2 b_{n+1}^2}$ 망원급수 소거법을 정교하게 구현한 문항입니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [1-1] $\sum_{k=1}^{10}(a_k - 5)^2 \ge 0$으로 증명 (등호: $a_1=\cdots=a_{10}=5$) | [1-2] $100,\; 1330$ | [1-3] $\dfrac{180}{361}$ 이화여자대학교 공식 기준 (40점)

【문제 2】 원문 요약 — 【문항 2】 곡선의 접선으로 이루어진 마름모의 넓이와 유리곡선 넓이 비 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2026 이화여대 자연Ⅱ 3번 변형) [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 탐구 7072 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

[문항 2-2] (10점) 제시문 (가)를 이용하여 마름모 $D_k$의 넓이 $M_k$를 $k$에 대한 식으로 구하고, $k = 2$일 때 $M_2$의 값을 구하시오.

[그림] 곡선의 접선 절편이 좌표축과 이루는 마름모 영역과 곡선 사이의 기하학적 비

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 2 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [2-1] $l_k: y = -kx + k + 3,\; a_k = \dfrac{k+3}{k},\; b_k = k + 3$ | [2-2] $M_k = \dfrac{2(k+3)^2}{k},\; M_2 = 25$ | [2-3] $\dfrac{S_1}{M_1} = 1,\; \dfrac{S_2}{M_2} = \dfrac{64}{75}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• 접선 $y = -kx + k + 3$ 유도 / 절편 $a_k = \dfrac{k+3}{k},\; b_k = k + 3$ 산출	10점
[소문항 [2-2]]	• 마름모 넓이 $M_k = \dfrac{2(k+3)^2}{k}$ 도출 / $M_2 = 25$ 계산	10점
[소문항 [2-3]]	• $S_2 = 4\int_{0}^{2}(4 - x^2)\,dx = \dfrac{64}{3}$ 산출 / 비율 $\dfrac{S_1}{M_1} = 1,\; \dfrac{S_2}{M_2} = \dfrac{64}{75}$ 도출	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 2026학년도 이화여대 자연Ⅱ 3번 기출의 마름모 $\dfrac{|x|}{a} + \dfrac{|y|}{b} = 1$ 접선 조건과 대칭 도형 넓이 비를 다항함수 적분 범위에서 정확히 구현한 문항입니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [2-1] $l_k: y = -kx + k + 3,\; a_k = \dfrac{k+3}{k},\; b_k = k + 3$ | [2-2] $M_k = \dfrac{2(k+3)^2}{k},\; M_2 = 25$ | [2-3] $\dfrac{S_1}{M_1} = 1,\; \dfrac{S_2}{M_2} = \dfrac{64}{75}$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 【문항 3】 삼차함수의 단조증가 역함수 존재성과 역함수 정적분 항등식 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2025 이화여대 자연Ⅰ 1번·자연Ⅱ [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.32 탐구 7073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]

실수 전체의 집합에서 정의된 삼차함수 $f(x) = x^3 + 3x + 2$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (10점) 도함수 $f'(x)$를 이용하여 함수 $f(x)$의 역함수 $g(x)$가 존재함을 보이고, $g(2)$와 $g(6)$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (10점) 제시문 (나)의 항등식을 이용하여 정적분 $\int_{2}^{6} g(x)\,dx$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 3 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [3-1] $f'(x) = 3x^2 + 3 \gt 0$이므로 역함수 존재, $g(2) = 0,\; g(6) = 1$ | [3-2] $\dfrac{9}{4}$ | [3-3] $I_n = 4n^3 + 6n^2 + 10n + 6,\; I_2 = 82$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• $f'(x) = 3x^2 + 3 \gt 0$으로 역함수 존재 증명 / $g(2)=0,\; g(6)=1$ 도출	10점
[소문항 [3-2]]	• $\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \dfrac{15}{4}$ 계산 / $\int_{2}^{6} g(x)\,dx = 6 - \dfrac{15}{4} = \dfrac{9}{4}$ 산출	10점
[소문항 [3-3]]	• $I_n = (n+1)f(n+1) - n f(n) = 4n^3 + 6n^2 + 10n + 6$ 유도 / $I_2 = 82$ 산출	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 2025학년도 이화여대 자연Ⅰ 1번 및 자연Ⅱ 2번 기출의 핵심인 역함수 정적분 $\int_{f(a)}^{f(b)} g(x)\,dx = bf(b) - af(a) - \int_{a}^{b} f(x)\,dx$ 관계를 완벽히 적용하는 문항입니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [3-1] $f'(x) = 3x^2 + 3 \gt 0$이므로 역함수 존재, $g(2) = 0,\; g(6) = 1$ | [3-2] $\dfrac{9}{4}$ | [3-3] $I_n = 4n^3 + 6n^2 + 10n + 6,\; I_2 = 82$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 1】 원문 요약 — 【문항 1】 삼각파 주기함수와 원점 직선으로 둘러싸인 넓이 수열의 합 대수 Ⅲ-1. 등차수열 · 미적분Ⅰ 넓이 (2023 이화여대 자연 1번 변형) [배점 40점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 7081 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]

[그림] 주기적 삼각파 함수 $f(x)$와 원점을 지나는 직선 $y=ax$의 교점 및 둘러싸인 넓이

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 1 · 총 40점

🎯 모범 정답 : [1-1] $T = 1$, 양의 교점 $19$개 | [1-2] $S_0 = \dfrac{19}{21}$ | [1-3] $S_n = \dfrac{(19 - 2n)^2}{399},\; \sum_{n=0}^{9} S_n = \dfrac{10}{3}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• 기본 삼각형 넓이 $T = 1$ 산출 / 양의 교점 개수 $19$개 도출	12점
[소문항 [1-2]]	• 교점 $\beta_0 = \dfrac{40}{21}$ 계산 / 넓이 $S_0 = \dfrac{19}{21}$ 산출	14점
[소문항 [1-3]]	• 일반항 $S_n = \dfrac{(19 - 2n)^2}{399}$ 유도 / 홀수 제곱합으로 $\dfrac{1330}{399} = \dfrac{10}{3}$ 도출	14점

💡 감점 방어 CLINIC: 2023학년도 이화여대 자연계열 1번 기출을 완벽히 재현한 문항으로, $S_n = \dfrac{(19 - 2n)^2}{399}$의 분자가 홀수의 제곱 $19^2, 17^2, \dots, 1^2$을 이루어 $399 = 19\times 21$과 약분되어 $\dfrac{10}{3}$이라는 깔끔한 유리수로 귀결됩니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [1-1] $T = 1$, 양의 교점 $19$개 | [1-2] $S_0 = \dfrac{19}{21}$ | [1-3] $S_n = \dfrac{(19 - 2n)^2}{399},\; \sum_{n=0}^{9} S_n = \dfrac{10}{3}$ 이화여자대학교 공식 기준 (40점)

【문제 2】 원문 요약 — 【문항 2】 절댓값 이차곡선과 원점 직선으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 비 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2023 이화여대 자연 2번 변형) [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 7082 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]

[문항 2-1] (10점) 두 교점 $\mathrm{A},\; \mathrm{B}$의 $x$좌표 $\alpha,\; \beta$를 $m$에 대한 식으로 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 2 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [2-1] $\alpha = 4 - m,\; \beta = 4 + m$ | [2-2] $S_1(m) = \dfrac{(4 - m)^3}{6},\; S_1(2) = \dfrac{4}{3}$ | [2-3] $S_2(2) = 16,\; \dfrac{S_2(2)}{S_1(2)} = 12$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• $0 \lt x \le 4$ 교점 $\alpha = 4 - m$ 도출 / $x \gt 4$ 교점 $\beta = 4 + m$ 산출	10점
[소문항 [2-2]]	• $S_1(m) = \dfrac{(4 - m)^3}{6}$ 유도 / $S_1(2) = \dfrac{4}{3}$ 계산	10점
[소문항 [2-3]]	• $[2, 4]$ 적분 $\dfrac{20}{3}$ 및 $[4, 6]$ 적분 $\dfrac{28}{3}$ 합산 $16$ 도출 / 비율 $12$ 산출	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 2023학년도 이화여대 자연계열 2번 기출의 절댓값 포물선과 원점 직선 사이 두 영역 넓이 비교 구조를 그대로 반영한 문항으로, 첨점 $x = 4$에서 적분 구간을 분할하는 것이 핵심입니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [2-1] $\alpha = 4 - m,\; \beta = 4 + m$ | [2-2] $S_1(m) = \dfrac{(4 - m)^3}{6},\; S_1(2) = \dfrac{4}{3}$ | [2-3] $S_2(2) = 16,\; \dfrac{S_2(2)}{S_1(2)} = 12$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 【문항 3】 포물선의 초점 현과 준선 위에서 직교하는 두 접선의 성질 기하 Ⅰ-2. 이차곡선과 접선 [배점 30점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.26 탐구 7084 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

포물선 $y^2 = 8x$의 초점을 $\mathrm{F}$, 준선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{D}(-2, 0)$이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-3] (10점) 의 두 접선이 포물선과 접하는 두 접점을 $\mathrm{A},\; \mathrm{B}$라 할 때, 삼각형 $\mathrm{DAB}$의 넓이를 구하시오.

[그림] 포물선의 초점 현과 준선 위에서 직교하는 두 접선의 기하학적 성질

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 3 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [3-1] $\mathrm{P}(8, 8),\; l_1: y = \dfrac{1}{2}x + 4$ | [3-2] $m_1 = 1,\; m_2 = -1,\; m_1 m_2 = -1$ | [3-3] 넓이 $16$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• $p = 2$ 및 $\mathrm{P}(8, 8)$ 산출 / 접선 $y = \dfrac{1}{2}x + 4$ 도출	10점
[소문항 [3-2]]	• $-2m + \dfrac{2}{m} = 0$으로부터 $m = \pm 1$ 산출 / $m_1 m_2 = -1$ 수직 증명	10점
[소문항 [3-3]]	• 접점 $\mathrm{A}(2, 4),\; \mathrm{B}(2, -4)$ 도출 / 삼각형 넓이 $16$ 산출	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 포물선의 준선 위의 점에서 그은 두 접선은 항상 직교하며, 두 접점을 잇는 현은 반드시 초점 $\mathrm{F}(p, 0)$을 지납니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [3-1] $\mathrm{P}(8, 8),\; l_1: y = \dfrac{1}{2}x + 4$ | [3-2] $m_1 = 1,\; m_2 = -1,\; m_1 m_2 = -1$ | [3-3] 넓이 $16$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 1】 원문 요약 — 【문항 1】 삼차함수 고정점 부등식과 합성 점화식 수열의 수학적 귀납법 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 미적분Ⅰ 도함수의 활용 (2022 이화여대 자연 1번 변형) | [배점 40점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.11 탐구 7091 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

[문항 1-1] (12점) 방정식 $f(x) = x$의 모든 실근을 구하고, 도함수 $f'(x)$를 완전제곱식으로 변형하여 $f(x)$가 실수 전체에서 증가함을 보이시오.

[문항 1-2] (14점) 열린구간 $(0, 1)$에 속하는 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x \lt f(x) \lt 1$이 성립함을 증명하시오.

[문항 1-3] (14점) 제시문 (나)의 수학적 귀납법을 이용하여 모든 자연수 $n$에 대하여 $\dfrac{1}{2} \le a_n \lt a_{n+1} \lt 1$이 성립함을 증명하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 1 · 총 40점

🎯 모범 정답 : [1-1] 실근 $x = 0, 1, 2$, $f'(x) = \dfrac{3}{4}(x - 1)^2 + \dfrac{3}{4} \gt 0$ | [1-2] $f(x) - x = \dfrac{1}{4}x(x-1)(x-2) \gt 0$ 및 $f(x) \lt f(1) = 1$ | [1-3] 수학적 귀납법으로 증명

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• $f(x) = x$의 세 실근 $0, 1, 2$ 도출 / $f'(x) = \dfrac{3}{4}(x-1)^2 + \dfrac{3}{4} \gt 0$ 증명	12점
[소문항 [1-2]]	• $(0, 1)$에서 $f(x) - x \gt 0$ 부호 판정 / 증가성으로 $f(x) \lt f(1) = 1$ 증명	14점
[소문항 [1-3]]	• $n = 1$ 초기 성립 확인 / $n = k \implies n = k+1$ 단조성 귀납 추론 완결	14점

💡 감점 방어 CLINIC: 2022학년도 이화여대 자연계열 1번 기출의 핵심 구조인 $f(x) - x$의 인수분해 부호 판정과 $a_{n+1} = f(a_n)$의 수학적 귀납법 증명을 완벽하게 재현한 문항입니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [1-1] 실근 $x = 0, 1, 2$, $f'(x) = \dfrac{3}{4}(x - 1)^2 + \dfrac{3}{4} \gt 0$ | [1-2] $f(x) - x = \dfrac{1}{4}x(x-1)(x-2) \gt 0$ 및 $f(x) \lt f(1) = 1$ | [1-3] 수학적 귀납법으로 증명 이화여자대학교 공식 기준 (40점)

【문제 2】 원문 요약 — 【문항 2】 타원에 내접하는 평행현 삼각형의 넓이 함수와 최댓값 기하 Ⅰ-1. 타원 · 미적분Ⅰ 최대·최소 (2022 이화여대 자연 2번 변형) [배점 30점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.23 탐구 7092 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[그림] 타원에 내접하고 축에 평행한 현을 밑변으로 하는 내접 삼각형의 넓이 최적화

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 2 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [2-1] $\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{4 - t^2},\; S(t) = \dfrac{1}{2}(2 - t)\sqrt{4 - t^2}$ | [2-2] $g'(t) = -(2 - t)^2(t + 1) = 0$에서 $t = -1$ | [2-3] 최댓값 $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$, $\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{3} \ne \overline{\mathrm{AP}} = \dfrac{\sqrt{39}}{2}$이므로 정삼각형 아님

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• $\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{4 - t^2}$ 도출 / 넓이 $S(t) = \dfrac{1}{2}(2-t)\sqrt{4-t^2}$ 산출	10점
[소문항 [2-2]]	• $g'(t) = -(2 - t)^2(t + 1)$ 인수분해 / $t = -1$ 도출	10점
[소문항 [2-3]]	• 최대 넓이 $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ 계산 / 변의 길이 비교로 정삼각형 아님 판정	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 2022학년도 이화여대 자연계열 2번 기출의 타원 내접 삼각형 넓이 최대화 문항으로, 무리함수 $S(t)$를 직접 미분하는 대신 제곱 함수 $g(t) = \{S(t)\}^2$을 미분하면 계산 실수를 완벽히 예방할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [2-1] $\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{4 - t^2},\; S(t) = \dfrac{1}{2}(2 - t)\sqrt{4 - t^2}$ | [2-2] $g'(t) = -(2 - t)^2(t + 1) = 0$에서 $t = -1$ | [2-3] 최댓값 $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$, $\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{3} \ne \overline{\mathrm{AP}} = \dfrac{\sqrt{39}}{2}$이므로 정삼각형 아님 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 【문항 3】 절댓값 꺾인 직선에 접하는 원의 반지름 함수와 정적분 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (2022 이화여대 자연 3번 변형) [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 7093 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

[문항 3-1] (10점) 점 $\mathrm{C}(0, s)\;(s \lt 5)$에서 직선 $3x - 4y + 20 = 0$에 내린 수선의 길이 $d(s)$를 $s$에 대한 식으로 구하시오.

[문항 3-3] (10점) 정적분 $\int_{-5}^{5} r(s)\,ds$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 3 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [3-1] $d(s) = \dfrac{4}{5}(5 - s)$ | [3-2] $s \le 5$일 때 수선의 발 $x_{\mathrm{H}} = \dfrac{12(5 - s)}{25} \ge 0$이므로 $r(s) = \dfrac{4}{5}(5 - s)$ | [3-3] $40$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• 점과 직선 사이 거리 공식 적용 / $d(s) = \dfrac{4}{5}(5 - s)$ 도출	10점
[소문항 [3-2]]	• 수선의 발 $x_{\mathrm{H}} = \dfrac{12(5 - s)}{25} \ge 0$ 확인 / $r(s) = \dfrac{4}{5}(5 - s)$ 결정	10점
[소문항 [3-3]]	• 정적분 $\dfrac{4}{5}\int_{-5}^{5}(5 - s)\,ds$ 설정 / 적분값 $40$ 산출	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 2022학년도 이화여대 자연계열 3번 기출을 반영한 문항으로, $y$축 위의 점 $(0, s)\;(s \le 5)$에서 반직선 $y = \dfrac{3}{4}x + 5\;(x \ge 0)$에 내린 수선의 발이 항상 $x \ge 0$ 영역에 놓인다는 기하적 사실을 확인하는 것이 핵심입니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [3-1] $d(s) = \dfrac{4}{5}(5 - s)$ | [3-2] $s \le 5$일 때 수선의 발 $x_{\mathrm{H}} = \dfrac{12(5 - s)}{25} \ge 0$이므로 $r(s) = \dfrac{4}{5}(5 - s)$ | [3-3] $40$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 1】 원문 요약 — 【문항 1】 쌍곡선의 초점 거리와 접선의 각이등분선 성질 증명 기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선 [배점 40점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.29 탐구 7101 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[문항 1-1] (12점) 초점 $\mathrm{F}$의 좌표와 점 $\mathrm{P}(8, y_1)$의 $y$좌표 $y_1$을 구하고, 삼각형 $\mathrm{PF'F}$의 넓이를 구하시오.

[그림] 쌍곡선의 두 초점 F, F'과 쌍곡선 위의 점 P에서의 접선 및 초점 거리 성질

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 1 · 총 40점

🎯 모범 정답 : [1-1] $\mathrm{F}(5, 0),\; y_1 = 3\sqrt{3}$, 넓이 $15\sqrt{3}$ | [1-2] $\overline{\mathrm{PF}'} = 14,\; \overline{\mathrm{PF}} = 6$ | [1-3] $\mathrm{T}(2, 0),\; \overline{\mathrm{F'T}} : \overline{\mathrm{FT}} = 7 : 3 = \overline{\mathrm{PF}'} : \overline{\mathrm{PF}}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 40점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• $c = 5$ 및 $y_1 = 3\sqrt{3}$ 산출 / 넓이 $15\sqrt{3}$ 도출	12점
[소문항 [1-2]]	• $\overline{\mathrm{PF}'} = 14,\; \overline{\mathrm{PF}} = 6$ 계산 / 차 $8 = 2a$ 확인	14점
[소문항 [1-3]]	• 접선의 $x$절편 $\mathrm{T}(2, 0)$ 도출 / 내분비 $7 : 3$ 일치로 각이등분선 증명	14점

💡 감점 방어 CLINIC: 쌍곡선 위의 점에서의 접선은 두 초점과 이루는 내각 $\angle\mathrm{F'PF}$를 항상 이등분한다는 광학적 성질을 정수 거리($14, 6$ 및 $7, 3$)로 증명하는 문항입니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [1-1] $\mathrm{F}(5, 0),\; y_1 = 3\sqrt{3}$, 넓이 $15\sqrt{3}$ | [1-2] $\overline{\mathrm{PF}'} = 14,\; \overline{\mathrm{PF}} = 6$ | [1-3] $\mathrm{T}(2, 0),\; \overline{\mathrm{F'T}} : \overline{\mathrm{FT}} = 7 : 3 = \overline{\mathrm{PF}'} : \overline{\mathrm{PF}}$ 이화여자대학교 공식 기준 (40점)

【문제 2】 원문 요약 — 【문항 2】 대칭구간 축소 함수의 정적분 점화식과 극한의 대소 관계 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · Ⅲ-1. 정적분 (2024 이화여대 자연Ⅰ 1번 변형) | 배점 2 [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 탐구 7102 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-03-03]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 2 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [2-1] $112$ | [2-2] $I_n = \dfrac{14}{8^n},\; \int_{-2}^{2}\{f(x)+x^3 f(x)\}\,dx = 32$ | [2-3] $6$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• $f(2t) = 4f(t)$ 및 구간 $2$배 관계 설명 / 적분값 $112$ 산출	10점
[소문항 [2-2]]	• $I_n = \dfrac{14}{8^n}$ 유도 / 기함수 소거 및 우함수 대칭으로 $32$ 도출	10점
[소문항 [2-3]]	• $6 \le \dfrac{f(x)}{x^2} \le 6 + x$ 부등식 변형 / 극한의 대소 관계로 $6$ 산출	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 2024학년도 이화여대 자연Ⅰ 1번 기출의 핵심 구조인 우·기함수 대칭 적분, 축소 구간 정적분 비, 그리고 극한의 대소 관계(샌드위치 정리)를 완벽하게 재현한 문항입니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [2-1] $112$ | [2-2] $I_n = \dfrac{14}{8^n},\; \int_{-2}^{2}\{f(x)+x^3 f(x)\}\,dx = 32$ | [2-3] $6$ 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

【문제 3】 원문 요약 — 【문항 3】 사차함수의 극값 판정과 방정식의 정수해 개수 매개변수 범위 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2024 이화여대 자연Ⅰ 2번 변형) [배점 30점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.36 탐구 7103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

사차함수 $f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 = (x^2 - 4)^2$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (10점) 도함수 $f'(x)$를 인수분해하여 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하시오.

[문항 3-2] (10점) 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하고, $k = 9$일 때 네 실근의 곱을 구하시오.

[문항 3-3] (10점) 부등식 $f(x) \le k$를 만족시키는 정수 $x$의 개수가 정확히 $5$개가 되도록 하는 자연수 $k$의 개수를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 3 · 총 30점

🎯 모범 정답 : [3-1] $x = 0$에서 극댓값 $16$, $x = \pm 2$에서 극솟값 $0$ | [3-2] $0 \lt k \lt 16$, 네 실근의 곱 $7$ | [3-3] 자연수 $k$는 $16 \le k \le 24$로 $9$개

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• $f'(x) = 4x(x-2)(x+2)$ 도출 / 극댓값 $16$, 극솟값 $0$ 산출	10점
[소문항 [3-2]]	• 네 실근 범위 $0 \lt k \lt 16$ 도출 / $k = 9$일 때 네 근의 곱 $7$ 계산	10점
[소문항 [3-3]]	• 정수 함숫값 $f(\pm 2)=0,\; f(\pm 1)=9,\; f(0)=16,\; f(\pm 3)=25$ 비교 / $16 \le k \le 24$로부터 $9$개 도출	10점

💡 감점 방어 CLINIC: 2024학년도 이화여대 자연Ⅰ 2번 기출의 사차함수 그래프 개형 및 정수해 개수 조건 추론을 정교하게 반영한 문항입니다.

🎯 [최종 정답][최종 정답 요약] [3-1] $x = 0$에서 극댓값 $16$, $x = \pm 2$에서 극솟값 $0$ | [3-2] $0 \lt k \lt 16$, 네 실근의 곱 $7$ | [3-3] 자연수 $k$는 $16 \le k \le 24$로 $9$개 이화여자대학교 공식 기준 (30점)

🎯 전형 방식: 논술 100% (수능최저 적용) 📌 수능최저 기준: 국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)

희망 지원 모집단위 선택

수능최저학력기준 충족 여부 체크 (국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약)

문항 1 (40점)

문항 2 (30점)

문항 3 (30점)

합산 환산 총점 (100점 만점) 0.0 / 100점

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학과 70% 충원컷

컷오프 대비 격차

추정 백분위 위치

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모집단위	모집인원	명목경쟁률	실질경쟁률	최초합 평균	70% 충원컷	수능최저 기준	실시간 합격 판정
의예과 (자연)	10명	-	-	97.2점	95.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
약학전공 (자연)	20명	-	-	94.5점	92.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
인공지능학과	12명	-	-	88.5점	86.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
컴퓨터공학전공	18명	-	-	88.0점	85.5점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
소프트웨어학부	15명	-	-	87.5점	85.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
데이터사이언스학과	10명	-	-	87.0점	84.5점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
사이버보안전공	10명	-	-	86.8점	84.2점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
수학과	10명	-	-	86.5점	84.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
통계학과	10명	-	-	86.5점	84.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
전자전기공학전공	20명	-	-	86.0점	83.5점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
수학교육과	8명	-	-	85.5점	83.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
화공신소재공학전공	18명	-	-	85.0점	82.5점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
휴먼기계바이오공학부	15명	-	-	84.5점	82.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
간호학부 (자연)	15명	-	-	84.5점	82.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
화학·나노과학전공	12명	-	-	84.0점	81.5점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
생명과학과	12명	-	-	83.5점	81.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
물리학과	8명	-	-	83.0점	80.5점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
기계상용로봇공학전공	12명	-	-	82.5점	80.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
과학교육과	8명	-	-	82.5점	80.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
환경공학전공	10명	-	-	82.0점	79.5점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기
기후에너지시스템공학전공	10명	-	-	81.5점	79.0점	국·수(미/기)·영·과(1) 중 수학 포함 2개 합 5 이내 (약학 4합 6 · 의예 3합 4)	판정 대기

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📋 실전 모의고사 1회~10회 회차별 자기주도 성취도 기록표 (인쇄용 체크시트)

회차	실전 응시일	소요 시간	원점수 / 100점
제1회	2026. . .	분	/ 100
제2회	2026. . .	분	/ 100
제3회	2026. . .	분	/ 100
제4회	2026. . .	분	/ 100
제5회	2026. . .	분	/ 100
제6회	2026. . .	분	/ 100
제7회	2026. . .	분	/ 100
제8회	2026. . .	분	/ 100
제9회	2026. . .	분	/ 100
제10회	2026. . .	분	/ 100

RULE 1

원칙 1. 교과서 정의·정리 우선 선언
답안 첫 줄에 사용할 교과서 정리(사잇값 정리, 평균값 정리, 미분가능성 정의, 조건부확률 곱셈정리 등)를 명시하여 1단계 배점(30%)을 확정하십시오.

RULE 2

원칙 2. 대학 미적분학 과정 공식 사용 철저 배제
고교 교육과정을 벗어난 대학 과정 정리나 무근거 근사식 사용은 채점 기준에서 감점 또는 무효 처리되므로 반드시 교과서 성질만으로 논증하십시오.

RULE 3

원칙 3. 동치 변형과 정의역·부호 경계 조건 명시
로그의 밑·진수 조건, 무리식·분수식의 분모 조건, 치환 변수의 새로운 범위(예: $-1 \le t \le 1$)를 빠짐없이 기록하십시오.

RULE 4

원칙 4. 소문항 간 단계적 연계 구조 활용
앞선 소문항 (1)의 결론은 소문항 (2), (3)을 해결하는 핵심 힌트입니다. (1)이 막히더라도 (1)의 결과를 가정하고 (2)의 식을 세우면 부분점수를 획득할 수 있습니다.

RULE 5

원칙 5. 도형·그래프 보조 문자의 명확한 정의
답안지에 새로운 점·각·길이를 도입할 때는 '점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하자'와 같이 기호의 정의를 한 문장으로 선언하십시오.

RULE 6

원칙 6. 실전 시간 배분 및 검산 루틴 엄수
전체 시험 시간(100분) 중 마지막 10분은 부호 오류, 기약분수 약분 여부, 최종 답란 이기 누락을 점검하는 전용 검산 시간으로 확보하십시오.

RULE 7

원칙 7. 깔끔한 단락 구분과 최종 결론 강조
단계별 번호([1단계], [2단계], [결론])를 줄바꿈하여 가독성을 높이고 최종 수식을 명확히 제시하여 채점위원이 즉시 득점 포인트를 확인하게 하십시오.

📘 2027학년도 이화여자대학교 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

• 편찬 및 발행: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술·약술형논술 연구소 | 공식 플랫폼: https://questio.co.kr

• 상호: 퀘스티오(QUESTIO) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449

• 교육과정 준거: 교과서 기반 수학과 교육과정 (Textbook DB V1.0 · JEV-REA-ARGON 7대 무결성 검증 통과)

순위	기출 원천 문항	핵심 출제 테마 및 변별 포인트	모의 1:1 매칭	부분점수 공략 전략
TOP 1	2026 자연Ⅰ 문항 1 (원점 대칭 삼차함수 & 롤의 정리)	사잇값 정리와 롤의 정리로 \(f'(c)=g'(c)\) 해의 존재성 보이고 \(F''(x) \gt 0\)으로 유일성 엄밀 증명	제6회 모의고사 문제 1 (40점) [원점대칭 삼차함수 평균값정리]	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 2	2026 자연Ⅰ 문항 2 (헤비사이드 부분분수 계수 합)	다항식 곱의 로그미분법 \(\frac{Q'(x)}{Q(x)}\) 유도 및 부분분수 공식 \(c_k=\frac{P(b_k)}{Q'(b_k)}\) 차수비교 논증	제6회 모의고사 문제 2 (30점) [헤비사이드 계수결정 항등식]	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 3	2026 자연Ⅰ 문항 3 (분할 구간 정적분 함수와 롤의정리)	\(H(x)=\int_0^x f - \int_x^1 f\)의 미분 \(H'(x)=2f(x)\)와 원시함수 롤의 정리로 등식 만족 \(c\) 증명	제6회 모의고사 문제 3 (30점) [정적분 정의 분할함수 롤의정리]	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 4	2026 자연Ⅱ 문항 1 & 3 (제곱합 하한부등식 & 접선 마름모)	\(\sum (a_k-c)^2 \ge 0\) 망원급수 소거 및 접선 절편이 이루는 마름모와 곡선 넓이 비 최적화	제7회 모의고사 문제 1·2 (70점) [제곱합 망원급수 & 마름모 넓이비]	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보
TOP 5	2023 자연 기출 문항 1 (삼각파 주기함수와 직선 넓이수열)	구간별 절대값 삼각파 함수 \(f(x)=1-\|x-2n-1\|\)과 원점 직선 \(y=ax\)의 둘러싸인 넓이 수열 합	제8회 모의고사 문제 1 (40점) [주기 삼각파 넓이 수열 합]	교과서 기본 정리 명시 선언 후 단계별 부분점수 확보

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R6-Q1	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2026 이화여대 자연Ⅰ 1번 변형)	【문항 1】 원점 대칭 삼차함수와 일차함수의 평균값 정리 및 부등식 증명 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2026 이화여대 자연Ⅰ 1번 변형)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 탐구 7061 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09]	40점/상
R6-Q2	미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (2026 이화여대 자연Ⅰ 2번 변형)	【문항 2】 삼차 다항식의 미분과 헤비사이드 부분분수 계수 항등식 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (2026 이화여대 자연Ⅰ 2번 변형)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.15 탐구 7062 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-04]	30점/상
R6-Q3	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 (2026 이화여대 자연Ⅰ 3번 변형)	【문항 3】 정적분으로 정의된 분할 구간 함수의 미분과 영점 존재성 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 (2026 이화여대 자연Ⅰ 3번 변형)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 탐구 7063 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]	30점/상
R7-Q1	대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (2026 이화여대 자연Ⅱ 1번 변형)	【문항 1】 등차수열의 제곱합 하한 부등식과 제곱 역수 망원급수 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (2026 이화여대 자연Ⅱ 1번 변형)	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 7071 변형 \| 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]	40점/상
R7-Q2	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2026 이화여대 자연Ⅱ	【문항 2】 곡선의 접선으로 이루어진 마름모의 넓이와 유리곡선 넓이 비 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2026 이화여대 자연Ⅱ 3번 변형)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 탐구 7072 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]	30점/상
R7-Q3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2025 이화여대 자연Ⅰ	【문항 3】 삼차함수의 단조증가 역함수 존재성과 역함수 정적분 항등식 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2025 이화여대 자연Ⅰ 1번·자연Ⅱ	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.32 탐구 7073 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]	30점/상
R8-Q1	대수 Ⅲ-1. 등차수열 · 미적분Ⅰ 넓이 (2023 이화여대 자연 1번 변형)	【문항 1】 삼각파 주기함수와 원점 직선으로 둘러싸인 넓이 수열의 합 대수 Ⅲ-1. 등차수열 · 미적분Ⅰ 넓이 (2023 이화여대 자연 1번 변형)	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 7081 변형 \| 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]	40점/최상
R8-Q2	미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2023 이화여대 자연 2번 변형)	【문항 2】 절댓값 이차곡선과 원점 직선으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 비 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2023 이화여대 자연 2번 변형)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 7082 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]	30점/최상
R8-Q3	기하 Ⅰ-2. 이차곡선과 접선	【문항 3】 포물선의 초점 현과 준선 위에서 직교하는 두 접선의 성질 기하 Ⅰ-2. 이차곡선과 접선	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.26 탐구 7084 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	30점/최상
R9-Q1	대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 미적분Ⅰ 도함수의 활용 (2022 이화여대 자연 1번	【문항 1】 삼차함수 고정점 부등식과 합성 점화식 수열의 수학적 귀납법 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 미적분Ⅰ 도함수의 활용 (2022 이화여대 자연 1번 변형) \|	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.11 탐구 7091 변형 \| 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]	40점/최상
R9-Q2	기하 Ⅰ-1. 타원 · 미적분Ⅰ 최대·최소 (2022 이화여대 자연 2번 변형)	【문항 2】 타원에 내접하는 평행현 삼각형의 넓이 함수와 최댓값 기하 Ⅰ-1. 타원 · 미적분Ⅰ 최대·최소 (2022 이화여대 자연 2번 변형)	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.23 탐구 7092 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	30점/최상
R9-Q3	미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (2022 이화여대 자연 3번 변형)	【문항 3】 절댓값 꺾인 직선에 접하는 원의 반지름 함수와 정적분 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (2022 이화여대 자연 3번 변형)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 7093 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]	30점/최상
R10-Q1	기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선	【문항 1】 쌍곡선의 초점 거리와 접선의 각이등분선 성질 증명 기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.29 탐구 7101 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	40점/최상
R10-Q2	미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · Ⅲ-1. 정적분 (2024 이화여대 자연Ⅰ 1번 변형	【문항 2】 대칭구간 축소 함수의 정적분 점화식과 극한의 대소 관계 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · Ⅲ-1. 정적분 (2024 이화여대 자연Ⅰ 1번 변형) \| 배점 2	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 탐구 7102 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-03-03]	30점/최상
R10-Q3	미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2024 이화여대 자연Ⅰ 2번 변형)	【문항 3】 사차함수의 극값 판정과 방정식의 정수해 개수 매개변수 범위 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2024 이화여대 자연Ⅰ 2번 변형)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.36 탐구 7103 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]	30점/최상

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• 유리수 지수 표현 / \(m\)은 \(3\)의 배수, \(n\)은 \(4\)의 배수 도출	12점
[소문항 [1-2]]	• \(m\) \(4\)개, \(n\) \(3\)개로 순서쌍 \(12\)개 산출 / 최솟값 \(N(3, 4) = 6\) 도출	14점
[소문항 [1-3]]	• \(\dfrac{m}{18}, \dfrac{n}{24}\) 자연수 조건 유도 / \((18, 24)\) 및 값 \(6\) 산출	14점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• 좌극한 \(5+2a=3\), 우극한 \(-4+b=3\) 수립 / \(a = -1,\; b = 7\) 도출	10점
[소문항 [2-2]]	• \(t = 2-x\) 방향 전환 확인 / 극한값 \(3\) 산출	10점
[소문항 [2-3]]	• 좌미분계수 \(3\), 우미분계수 \(-2\) 계산 / 불일치로 존재하지 않음 판정	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• 접선 \(y = (2t+2)x - t^2\) 유도 / \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) 좌표 도출	10점
[소문항 [3-2]]	• 밑변·높이 양수 처리 / \(S(t) = \dfrac{t^4}{4(t+1)}\) 산출	10점
[소문항 [3-3]]	• \(t \to \infty\) 극한 \(\dfrac{1}{4}\) 도출 / \(t \to 0+\) 극한 \(\dfrac{1}{4}\) 산출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• \(A^6=8, B^6=9, C^6=6\) 계산 / \(C \lt A \lt B\) 판정	12점
[소문항 [1-2]]	• \(8 \le 2^m \le 81\) 범위 유도 / \(m \in \{3,4,5,6\}\) 합 \(18\) 산출	14점
[소문항 [1-3]]	• \(ABC = 2^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}\) 정리 / \(6\)의 배수 합 \(36\) 도출	14점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• \(a_n + 1 = 2^n\) 등비수열 유도 / \(a_n = 2^n - 1\) 도출	10점
[소문항 [2-2]]	• \(n = 1\) 성립 확인 / \(n = k\) 가정 후 \(a_{k+1} = 2^{k+1} - 1\) 연역	10점
[소문항 [2-3]]	• 등비수열 합 \(2046\) 계산 / 상수항 \(-10\) 차감하여 \(2036\) 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5\) 도출 / \(\alpha = -1, \beta = 3\) 산출	10점
[소문항 [3-2]]	• 극댓값 \(10\), 극솟값 \(-22\) 계산 / 공식 차 \(32\) 확인	10점
[소문항 [3-3]]	• 양 끝점 \(f(-2)=3, f(4)=-15\) 비교 / 합 \(-12\) 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• \((1+h)^2 = 1+2h+h^2\) 전개 / \(h^2 \gt 0\) 근거 명시	12점
[소문항 [1-2]]	• 양변에 \(1+h \gt 0\) 곱하기 / \(kh^2 \gt 0\) 비교로 \(1+(k+1)h\) 하한 도출	14점
[소문항 [1-3]]	• \(h = 0.1, n = 10\) 대입 / \(1.1^{10} \gt 2\) 연역	14점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• 우함수 조건으로 일차항 제거 / \(f(x) = x^3 - 2x + 3\) 도출	10점
[소문항 [2-2]]	• \(f(-2) = -1\) 산출 / 대칭 구간 적분 \(12\) 도출	10점
[소문항 [2-3]]	• \(x f'(x)\)가 기함수임을 논증 / 정적분 \(0\) 산출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• 거리 공식 \(d = \dfrac{\|k\|}{\sqrt{2}}\) 적용 / \(k = \pm 4\) 도출	10점
[소문항 [3-2]]	• 피타고라스 정리로 \(d = 2\) 유도 / \(k = 2\sqrt{2}\) 산출	10점
[소문항 [3-3]]	• 밑변 \(4\)와 높이 \(2\) 결합 / 넓이 \(4\) 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• \(xy = 2\) 도출 / \(x^2 + y^2 = 5\) 산출	12점
[소문항 [1-2]]	• \(x^4 + y^4 = 17\) 유도 / \(x^5 + y^5 = 33\) 산출	14점
[소문항 [1-3]]	• \((x-y)^2 = 1\) 도출 / \((1, 2), (2, 1)\) 산출	14점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• 극솟값 \(f(2)=0\) 및 양 끝점 \(f(0)=f(3)=4\) 계산 / \(M=4, m=0\) 도출	10점
[소문항 [2-2]]	• \(h(x) = f(x) - 2x + 1\) 설정 및 연속성 명시 / \(h(1)h(2) \lt 0\) 사잇값 정리 서술	10점
[소문항 [2-3]]	• 평균값 \(\dfrac{7}{4}\) 적분 산출 / \(c = \dfrac{3}{2}\) 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• 기울기 부호 \(a \gt 0\) 판정 / \(f(1) = 3\) 확인	10점
[소문항 [3-2]]	• \(f(-1) = 1\) 역추적 / \(3 - 2a = 1 \implies a = 1\) 도출	10점
[소문항 [3-3]]	• \(f^{-1}(7) = 3,\; f^{-1}(-3) = -5\) 계산 / 합 \(-2\) 산출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• \(\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1) = n^2 - 1\) 계산 / \(a_n = n^2 + 1\) 도출	12점
[소문항 [1-2]]	• \(\sum_{n=1}^{10} n^2 = 385\) 적용 / 합 \(395\) 산출	14점
[소문항 [1-3]]	• \(a_n - 2 = (n-1)(n+1)\) 부분분수 분해 / 망원급수 합 \(\dfrac{29}{44}\) 도출	14점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• \(-2 \lt x \lt 4\) 도출 / 정수 \(-1, 0, 1, 2, 3\) 나열	10점
[소문항 [2-2]]	• \(1 \le x \le k\) 정리 / 정수해 \(1, 2\) 확정	10점
[소문항 [2-3]]	• 경계 등호 판정(\(k=2\) 포함, \(k=3\) 제외) / \(2 \le k \lt 3\) 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• 내분점 \(\mathrm{D}(1, 0)\) 도출 / 외분점 \(\mathrm{E}(9, 0)\) 산출	10점
[소문항 [3-2]]	• 중심 \((5, 0)\), 반지름 \(4\) 결정 / \((x-5)^2 + y^2 = 16\) 작성	10점
[소문항 [3-3]]	• 넓이 최댓값 \(12\) 산출 / 접선 피타고라스 정리로 \(\overline{\mathrm{AP}} = 4\sqrt{3}\) 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• \(f(x) = -x^3 + 4x\) 유도 / 극댓값 \(\dfrac{16\sqrt{3}}{9}\) 산출	12점
[소문항 [1-2]]	• \(h(x) = f(x) - g(x)\)에 평균값(롤) 정리 적용 / 유일한 양근 \(c = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 도출	14점
[소문항 [1-3]]	• \(g(x) - f(x) = x(x - 1)(x + 1)\) 인수분해 / 구간 \([1, 2]\)에서 부호 판정 증명	14점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• \(Q'(1)=3,\; Q'(2)=-2,\; Q'(4)=6\) 산출 / \(\dfrac{Q'(x)}{Q(x)}\) 분수 분해 증명	10점
[소문항 [2-2]]	• \(P(1)=6,\; P(2)=6,\; P(4)=24\) 계산 / \(c_1=2,\; c_2=-3,\; c_3=4\) 도출	10점
[소문항 [2-3]]	• \(c_1 + c_2 + c_3 = 3\) 확인 / 통분 분자의 최고차항 계수 비교로 \(d_1+d_2+d_3=0\) 증명	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• \(H(0) + H(1) = 0\) 증명 / \(H(x) = 2x^3 - 2x^2\) 도출	10점
[소문항 [3-2]]	• \(\int_{0}^{1} H(x)\,dx = -\dfrac{1}{6}\) 계산 / \(\int_{0}^{1}(1-2x)f(x)\,dx = -\dfrac{1}{6}\) 일치 확인	10점
[소문항 [3-3]]	• 원시함수 \(F(x) = \int_{0}^{x} H(t)\,dt\)에 롤의 정리 적용 / \(c = \dfrac{1}{2}\) 산출	10점

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평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• \(\sum(a_k - 5)^2 \ge 0\) 전개 / \(\sum a_k^2 \ge 250\) 및 등호 조건 명시	12점
[소문항 [1-2]]	• \(\sum_{n=1}^{10} b_n = 100\) 계산 / \(\sum_{n=1}^{10} b_n^2 = 1330\) 산출	14점
[소문항 [1-3]]	• 공차 \(d = 2\) 부분분수 분해 / 망원 소거로 \(\dfrac{180}{361}\) 도출	14점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• 접선 \(y = -kx + k + 3\) 유도 / 절편 \(a_k = \dfrac{k+3}{k},\; b_k = k + 3\) 산출	10점
[소문항 [2-2]]	• 마름모 넓이 \(M_k = \dfrac{2(k+3)^2}{k}\) 도출 / \(M_2 = 25\) 계산	10점
[소문항 [2-3]]	• \(S_2 = 4\int_{0}^{2}(4 - x^2)\,dx = \dfrac{64}{3}\) 산출 / 비율 \(\dfrac{S_1}{M_1} = 1,\; \dfrac{S_2}{M_2} = \dfrac{64}{75}\) 도출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• \(f'(x) = 3x^2 + 3 \gt 0\)으로 역함수 존재 증명 / \(g(2)=0,\; g(6)=1\) 도출	10점
[소문항 [3-2]]	• \(\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \dfrac{15}{4}\) 계산 / \(\int_{2}^{6} g(x)\,dx = 6 - \dfrac{15}{4} = \dfrac{9}{4}\) 산출	10점
[소문항 [3-3]]	• \(I_n = (n+1)f(n+1) - n f(n) = 4n^3 + 6n^2 + 10n + 6\) 유도 / \(I_2 = 82\) 산출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• 기본 삼각형 넓이 \(T = 1\) 산출 / 양의 교점 개수 \(19\)개 도출	12점
[소문항 [1-2]]	• 교점 \(\beta_0 = \dfrac{40}{21}\) 계산 / 넓이 \(S_0 = \dfrac{19}{21}\) 산출	14점
[소문항 [1-3]]	• 일반항 \(S_n = \dfrac{(19 - 2n)^2}{399}\) 유도 / 홀수 제곱합으로 \(\dfrac{1330}{399} = \dfrac{10}{3}\) 도출	14점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• \(0 \lt x \le 4\) 교점 \(\alpha = 4 - m\) 도출 / \(x \gt 4\) 교점 \(\beta = 4 + m\) 산출	10점
[소문항 [2-2]]	• \(S_1(m) = \dfrac{(4 - m)^3}{6}\) 유도 / \(S_1(2) = \dfrac{4}{3}\) 계산	10점
[소문항 [2-3]]	• \([2, 4]\) 적분 \(\dfrac{20}{3}\) 및 \([4, 6]\) 적분 \(\dfrac{28}{3}\) 합산 \(16\) 도출 / 비율 \(12\) 산출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• \(p = 2\) 및 \(\mathrm{P}(8, 8)\) 산출 / 접선 \(y = \dfrac{1}{2}x + 4\) 도출	10점
[소문항 [3-2]]	• \(-2m + \dfrac{2}{m} = 0\)으로부터 \(m = \pm 1\) 산출 / \(m_1 m_2 = -1\) 수직 증명	10점
[소문항 [3-3]]	• 접점 \(\mathrm{A}(2, 4),\; \mathrm{B}(2, -4)\) 도출 / 삼각형 넓이 \(16\) 산출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• \(f(x) = x\)의 세 실근 \(0, 1, 2\) 도출 / \(f'(x) = \dfrac{3}{4}(x-1)^2 + \dfrac{3}{4} \gt 0\) 증명	12점
[소문항 [1-2]]	• \((0, 1)\)에서 \(f(x) - x \gt 0\) 부호 판정 / 증가성으로 \(f(x) \lt f(1) = 1\) 증명	14점
[소문항 [1-3]]	• \(n = 1\) 초기 성립 확인 / \(n = k \implies n = k+1\) 단조성 귀납 추론 완결	14점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [2-1]]	• \(\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{4 - t^2}\) 도출 / 넓이 \(S(t) = \dfrac{1}{2}(2-t)\sqrt{4-t^2}\) 산출	10점
[소문항 [2-2]]	• \(g'(t) = -(2 - t)^2(t + 1)\) 인수분해 / \(t = -1\) 도출	10점
[소문항 [2-3]]	• 최대 넓이 \(\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\) 계산 / 변의 길이 비교로 정삼각형 아님 판정	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [3-1]]	• 점과 직선 사이 거리 공식 적용 / \(d(s) = \dfrac{4}{5}(5 - s)\) 도출	10점
[소문항 [3-2]]	• 수선의 발 \(x_{\mathrm{H}} = \dfrac{12(5 - s)}{25} \ge 0\) 확인 / \(r(s) = \dfrac{4}{5}(5 - s)\) 결정	10점
[소문항 [3-3]]	• 정적분 \(\dfrac{4}{5}\int_{-5}^{5}(5 - s)\,ds\) 설정 / 적분값 \(40\) 산출	10점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
[소문항 [1-1]]	• \(c = 5\) 및 \(y_1 = 3\sqrt{3}\) 산출 / 넓이 \(15\sqrt{3}\) 도출	12점
[소문항 [1-2]]	• \(\overline{\mathrm{PF}'} = 14,\; \overline{\mathrm{PF}} = 6\) 계산 / 차 \(8 = 2a\) 확인	14점
[소문항 [1-3]]	• 접선의 \(x\)절편 \(\mathrm{T}(2, 0)\) 도출 / 내분비 \(7 : 3\) 일치로 각이등분선 증명	14점