| 순위 | 기출 원천 문항 | 핵심 출제 테마 및 변별 포인트 | 모의 1:1 매칭 | 부분점수 공략 전략 |
|---|---|---|---|---|
| TOP 1 | 2025 기출 오전 문항 1 | 볼록 증가함수의 리만 합·사다리꼴 합 정적분 오차 부등식 | 제6회 문항 5 | 소구간 정적분 부등식을 $k=1, \dots, n$으로 합산하고 망원차 $R_n - L_n = \frac{f(1)-f(0)}{n}$ 결합 |
| TOP 2 | 2025 기출 오후(의예) 문항 3 | 약동학 지수 감쇄 모델의 부분적분 정적분 극한과 변화율 | 제7회 문항 5 | 위끝 $R$에서 부분적분을 먼저 수행한 뒤 $R \cdot e^{-kR} \to 0$ 극한 성질로 수렴값 도출 |
| TOP 3 | 2025 기출 오전 문항 2 | 포물선 준선에서 그은 두 접선의 직교성과 극선 정점 증명 | 제8회 문항 4 | 기울기 m에 대한 이차방정식 근과 계수의 관계($m_1 m_2 = -1$)와 두 접점 대입 선형 결합 활용 |
| TOP 4 | 2023 기출 오전 문항 1 | 법선벡터 평면의 방정식(12기하03-05)과 정사영 넓이 | 제9회 문항 4 | 구의 중심과 접점을 잇는 반지름 벡터를 법선벡터로 설정하고 법선 내적으로 $\cos\theta$ 산출 |
| TOP 5 | 2022 기출 오후 문항 2 | 초월함수의 역함수 존재성 논증과 역함수 미분·정적분 | 제10회 문항 5 | 도함수의 최솟값이 양수임을 엄밀히 보인 뒤 직사각형 넓이 차로 역함수 정적분 계산 |
[1-1 풀이] \(f'(x) = 3x^2 - 48x + 189 = 3(x - 7)(x - 9) = 0\)이므로 \(\alpha = 7, \beta = 9\)이다. 따라서 \(\mathbf{\beta - \alpha = 2}\)이고, 극댓값 \(f(7) = 343 - 1176 + 1323 = 490\), 극솟값 \(f(9) = 729 - 1944 + 1701 = 486\)이므로 \(\mathbf{f(\alpha) - f(\beta) = 4}\)이다.
[1-2 풀이] 다항함수 \(f(x)\)는 닫힌구간 \([7, 9]\)에서 연속이고 열린구간 \((7, 9)\)에서 미분가능하다. 평균변화율은 \(\dfrac{f(9)-f(7)}{9-7} = \dfrac{-4}{2} = -2\)이므로 \(f'(c) = 3(c-8)^2 - 3 = -2 \iff (c-8)^2 = \dfrac{1}{3}\)에서 \(\mathbf{c = 8 \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}} \in (7, 9)\)이다. 대칭중심 \((8, 488)\)에서의 접선의 기울기는 \(\mathbf{f'(8) = -3}\)이다.
[1-3 풀이] 방정식 \(f(x) = t\)의 실근 중 부호가 바뀌는 단순근에서만 \(g(x) = |f(x)-t|\)가 미분가능하지 않다(중근에서는 미분계수가 \(0\)으로 미분가능). 따라서 미분불가능점이 \(1\)개인 조건은 \(t\)가 극댓값 이상이거나 극솟값 이하일 때이므로 \(\mathbf{t \ge 490 \text{ 또는 } t \le 486}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [1-1] 도함수 인수분해로 $\alpha=7, \beta=9$ 및 $\beta-\alpha=2, f(7)-f(9)=490-486=4$ 도출 | 6점 |
| 2단계 | [1-2] 구간 연속·미분가능 조건 명시 후 $c = 8 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ 및 $f'(8) = -3$ 산출 | 7점 |
| 3단계 | [1-3] 단순근·중근에서의 좌·우미분계수 비교 논증 및 $t \ge 490$ 또는 $t \le 486$ 도출 | 7점 |
[2-1 풀이] 좌변을 적분변수 \(t\)에 대하여 분리하면 \(x\int_3^x f'(t)\,dt - \int_3^x t f'(t)\,dt = x^3 - 9x^2 + ax + b\)이다. 원식에 \(x = 3\)을 대입하면 \(0 = 27 - 81 + 3a + b \implies 3a + b = 54\)이다. 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(\int_3^x f'(t)\,dt = 3x^2 - 18x + a\)이고, 여기에 다시 \(x = 3\)을 대입하면 \(0 = 27 - 54 + a \implies \mathbf{a = 27}\), \(\mathbf{b = -27}\)이다. 또한 \(f(x) - f(3) = 3(x-3)^2\)이고 \(f(3) = 7\)이므로 \(\mathbf{f(x) = 3(x-3)^2 + 7 = 3x^2 - 18x + 34}\)이다.
[2-2 풀이] \(f(0) = 34\)이고 \(f'(x) = 6x - 18\)에서 \(f'(0) = -18\)이므로, 점 \((0, 34)\)에서의 접선 \(l\)의 방정식은 \(\mathbf{y = -18x + 34}\)이다.
[2-3 풀이] 구간 \([0, 3]\)에서 \(f(x) - (-18x + 34) = (3x^2 - 18x + 34) - (-18x + 34) = 3x^2 \ge 0\)이므로 곡선이 접선 위쪽에 있다. 따라서 둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같다: \[S = \int_0^3 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_0^3 = \mathbf{27}\]
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [2-1] 적분변수 t와 x를 분리하여 미분하고 $a=27, b=-27$ 및 $f(x)=3x^2-18x+34$ 도출 | 6점 |
| 2단계 | [2-2] $f(0)=34, f'(0)=-18$ 계산 및 접선 $y = -18x + 34$ 유도 | 7점 |
| 3단계 | [2-3] 차 함수 f(x)-(-18x+34)=$3x^2$ 부호 확인 및 정적분으로 넓이 $S = 27$ 계산 | 7점 |
[3-1 풀이] \(b_{n+1} = b_n \iff \dfrac{2a_n + 3^n + 3c\cdot 3^n}{2^{n+1}} = \dfrac{2a_n + 2c\cdot 3^n}{2^{n+1}} \iff (1 + 3c)3^n = 2c\cdot 3^n\)이므로 \(1 + c = 0 \implies \mathbf{c = -1}\)이다. 이때 \(b_n = b_1 = \dfrac{8 - 3}{2} = \dfrac{5}{2}\)이므로 \(\dfrac{a_n - 3^n}{2^n} = \dfrac{5}{2} \implies \mathbf{a_n = 3^n + 5\cdot 2^{n-1}}\)이다.
[3-2 풀이] (i) \(n = 1\)일 때 우변은 \(3^1 + 5\cdot 2^0 = 8 = a_1\)이므로 성립한다.
(ii) \(n = k\) (\(k \ge 1\)인 자연수)일 때 \(a_k = 3^k + 5\cdot 2^{k-1}\)이 성립한다고 가정하자. 점화식에 대입하면:
\[a_{k+1} = 2(3^k + 5\cdot 2^{k-1}) + 3^k = 3\cdot 3^k + 5\cdot 2^k = 3^{k+1} + 5\cdot 2^{(k+1)-1}\]
이므로 \(n = k+1\)일 때도 등식이 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립한다.
[3-3 풀이] 두 등비수열의 합 공식에 의해 \(S_n = \sum_{k=1}^n 3^k + 5\sum_{k=1}^n 2^{k-1} = \mathbf{\dfrac{3(3^n - 1)}{2} + 5(2^n - 1)}\)이다. 분모·분자를 \(3^{n+1}\)로 나누면 \(\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2\cdot 3^n} + \dfrac{5}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n - \dfrac{5}{3^{n+1}}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [3-1] 항등 조건으로부터 $c = -1$ 결정 및 일반항 $a_n = 3^n + 5 \cdot 2^{n-1}$ 도출 | 6점 |
| 2단계 | [3-2] $n=1$ 초기 확인, $n=k$ 귀납 가정 명시, $n=k+1$ 점화식 대입 유도 완결 | 7점 |
| 3단계 | [3-3] 등비수열의 합 $S_n$ 공식 산출 및 공비 $|2/3| \lt 1$을 이용한 극한값 $\frac{1}{2}$ 도출 | 7점 |
[4-1 풀이] \(a, b, c \gt 1\)이므로 \(x = \log_a b \gt 0, \; y = \log_b c \gt 0\)이다. 밑변환 공식에 의해 \(\log_b a = \dfrac{1}{x}, \; \log_c b = \dfrac{1}{y}\)이므로 연립방정식은 \(x + 4y = 5\), \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 2 \iff x + y = 2xy\)이다. \(x = 5 - 4y\)를 대입하면 \((5 - 4y) + y = 2(5 - 4y)y \iff 8y^2 - 13y + 5 = (y - 1)(8y - 5) = 0\)이다. 따라서 순서쌍은 \(\mathbf{(x, y) = (1, 1)}\) 또는 \(\mathbf{\left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{5}{8}\right)}\)이다.
[4-2 풀이] 밑변환 공식에 의해 \(\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c = xy\)이다. \(a, b, c\)가 이 순서대로 등비수열을 이루면 \(b^2 = ac \iff 2\log_a b = 1 + \log_a c \iff x = y\)이므로 \((x, y) = (1, 1)\)에서 \(\mathbf{\log_a c = 1}\)이다. 등비수열이 아닐 때는 \((x, y) = \left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{5}{8}\right)\)이므로 \(\mathbf{\log_a c = \dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{25}{16}}\)이다.
[4-3 풀이] \(a \gt 1, c \gt 1\)이므로 모든 양수 \(t \gt 0\)에 대하여 \(a^t \gt 0, c^t \gt 0\)이다. 산술·기하평균 부등식에 의해 \(a^t + c^t \ge 2\sqrt{a^t c^t} = 2(\sqrt{ac})^t = 2b^t\)이다. 이때 등호 조건은 \(a^t = c^t\)인데, \(t \gt 0\)에서 지수함수 \(u \mapsto u^t\)는 일대일함수이고 가정에서 \(a \neq c\)이므로 \(a^t \neq c^t\)이다. 따라서 등호가 성립하지 않아 항상 \(a^t + c^t \gt 2b^t\)이 성립한다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [4-1] 역수 밑변환 연립방정식 수립 및 이차방정식 풀이로 $(1, 1), (\frac{5}{2}, \frac{5}{8})$ 도출 | 6점 |
| 2단계 | [4-2] $\log_a c = xy$ 관계식 및 등비중항 조건 분류로 $1$과 $\frac{25}{16}$ 각각 산출 | 7점 |
| 3단계 | [4-3] 양수 조건 명시, 산술·기하평균 적용, $a \ne c$에 의한 등호 불성립 논증 | 7점 |
[5-1 풀이] 사인법칙에 의해 \(\overline{\mathrm{AB}} = 2R\sin\dfrac{\pi}{3} = 10 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{5\sqrt{3}}\)이다. 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 코사인법칙을 적용하면 \(a^2 + b^2 - 2ab\cos\dfrac{\pi}{3} = \overline{\mathrm{AB}}^2 \implies \mathbf{a^2 + b^2 - ab = 75}\)이다.
[5-2 풀이] \((a+b)^2 - 3ab = 75\)에 \(a+b = 10\sqrt{2}\)를 대입하면 \(200 - 3ab = 75 \implies \mathbf{ab = \dfrac{125}{3}}\)이다. 따라서 \(a^2 + b^2 = 200 - \dfrac{250}{3} = \dfrac{350}{3}\)이며, 중선정리 \(a^2 + b^2 = 2\left(\overline{\mathrm{CM}}^2 + \overline{\mathrm{AM}}^2\right)\)에서 \(\overline{\mathrm{AM}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\)이므로 \(\overline{\mathrm{CM}}^2 = \dfrac{175}{3} - \dfrac{75}{4} = \dfrac{475}{12} \implies \mathbf{\overline{\mathrm{CM}} = \dfrac{5\sqrt{57}}{6}}\)이다.
[5-3 풀이] 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{125}{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{\dfrac{125\sqrt{3}}{12}}\)이다. 또한 \(S = \dfrac{1}{2}r(a + b + \overline{\mathrm{AB}})\)이므로 \(r = \dfrac{2S}{10\sqrt{2} + 5\sqrt{3}} = \dfrac{25\sqrt{3}}{6(2\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \mathbf{\dfrac{5(2\sqrt{6}-3)}{6}}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [5-1] 사인법칙으로 $AB = 5\sqrt{3}$ 및 코사인법칙으로 $a^2 + b^2 - ab = 75$ 도출 | 6점 |
| 2단계 | [5-2] 곱셈공식 변형 $ab = \frac{125}{3}$ 및 중선정리로 $CM = \frac{5\sqrt{57}}{6}$ 산출 | 7점 |
| 3단계 | [5-3] 넓이 $S = \frac{125\sqrt{3}}{12}$ 및 내접원 반지름 $r = \frac{5(2\sqrt{6}-3)}{6}$ 유리화 완결 | 7점 |
[6-1 풀이] 망원합에 의해 \(R_n - L_n = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left\{f\!\left(\dfrac{k}{n}\right) - f\!\left(\dfrac{k-1}{n}\right)\right\} = \dfrac{f(1) - f(0)}{n}\)이다. \(f'(x) \ge 0\)이므로 각 소구간 \(\left[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}\right]\)에서 \(f\!\left(\frac{k-1}{n}\right) \le f(x) \le f\!\left(\frac{k}{n}\right)\)이며, 정적분하여 합하면 \(L_n \le \int_0^1 f(x)\,dx \le R_n\)이다. 따라서 \(0 \le R_n - \int_0^1 f(x)\,dx \le R_n - L_n = \dfrac{f(1)-f(0)}{n}\)이 성립한다.
[6-2 풀이] 제시문 (나)를 각 소구간에 적용하여 \(k=1,\dots,n\)까지 더하면: \[\int_0^1 f(x)\,dx = \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} f(x)\,dx \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{2n}\left\{f\!\left(\frac{k-1}{n}\right) + f\!\left(\frac{k}{n}\right)\right\} = \frac{L_n + R_n}{2} = R_n - \frac{R_n - L_n}{2} = R_n - \frac{f(1)-f(0)}{2n}\] 이다. 이항하면 \(\dfrac{f(1)-f(0)}{2n} \le R_n - \int_0^1 f(x)\,dx\)이고, [6-1]의 상계와 결합하면 증명이 완결된다.
[6-3 풀이] \(f(x) = x^3 + 2x\)에 대하여 \(\int_0^1 (x^3+2x)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 + x^2\right]_0^1 = \dfrac{5}{4}\)이다. 또한 거듭제곱 합 공식에 의해: \[R_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k^3}{n^3} + \frac{2k}{n}\right) = \frac{n^2(n+1)^2}{4n^4} + \frac{n(n+1)}{n^2} = \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{4n^2}\right) + \left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{5}{4} + \frac{3}{2n} + \frac{1}{4n^2}\] 이므로 \(n\!\left(R_n - \dfrac{5}{4}\right) = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{4n}\)이다. 따라서 극한값은 \(\mathbf{\dfrac{3}{2}}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [6-1] 망원합 $R_n - L_n = \frac{f(1)-f(0)}{n}$ 및 증가함수 정적분 부등식 증명 | 6점 |
| 2단계 | [6-2] 소구간 사다리꼴 부등식 합산 $T_n = R_n - \frac{f(1)-f(0)}{2n}$ 유도 및 하계 증명 | 7점 |
| 3단계 | [6-3] $R_n = \frac{5}{4} + \frac{3}{2n} + \frac{1}{4n^2}$ 산출 및 극한값 $\frac{3}{2}$ 도출 | 7점 |
[7-1 풀이] 포물선 \(y^2 = 8x\)에서 \(p = 2\)이므로 기울기 \(m \; (m \neq 0)\)인 접선은 \(y = mx + \dfrac{2}{m}\)이다. 이 직선이 점 \(P(-2, t)\)를 지나므로 \(t = -2m + \dfrac{2}{m} \iff \mathbf{2m^2 + tm - 2 = 0}\)이다. 판별식 \(D = t^2 + 16 \gt 0\)이므로 서로 다른 두 실근 \(m_1, m_2\)가 항상 존재하며, 근과 계수의 관계에 의해 \(m_1 m_2 = \dfrac{-2}{2} = -1\)이므로 두 접선은 실수 \(t\)에 관계없이 항상 서로 수직이다.
[7-2 풀이] 두 접점 \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)에서의 접선의 방정식은 각각 \(y_1 y = 4(x + x_1)\), \(y_2 y = 4(x + x_2)\)이다. 두 접선이 모두 점 \(P(-2, t)\)를 지나므로 \(t y_1 = 4(x_1 - 2)\), \(t y_2 = 4(x_2 - 2)\)가 성립한다. 이는 두 점 \(A, B\)가 모두 일차방정식 \(\mathbf{ty = 4(x - 2)}\)를 만족시킴을 뜻하므로 직선 \(AB\)의 방정식은 \(ty = 4(x - 2)\)이다. 여기에 \(x = 2, y = 0\)을 대입하면 \(t\)의 값에 관계없이 항상 등식 \(0 = 0\)이 성립하므로 직선 \(AB\)는 항상 초점 \(F(2, 0)\)을 지난다.
[7-3 풀이] \(t = 3\)일 때 직선 \(AB\)는 \(3y = 4(x - 2)\)이고 포물선 \(x = \dfrac{y^2}{8}\)과 연립하면 \(3y = \dfrac{y^2}{2} - 8 \iff y^2 - 6y - 16 = (y - 8)(y + 2) = 0\)이다. 따라서 두 접점은 \(\mathbf{(8, 8)}\)과 \(\mathbf{\left(\dfrac{1}{2}, -2\right)}\)이다. \(P(-2, 3)\)에서 \(\overline{PA} = \sqrt{10^2 + 5^2} = 5\sqrt{5}\), \(\overline{PB} = \sqrt{(5/2)^2 + (-5)^2} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2}\)이고 [7-1]에 의해 \(\angle APB = \dfrac{\pi}{2}\)이므로 직각삼각형 \(PAB\)의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 5\sqrt{5} \times \dfrac{5\sqrt{5}}{2} = \mathbf{\dfrac{125}{4}}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [7-1] 이차방정식 $2m^2 + tm - 2 = 0$ 유도, 판별식 $D \gt 0$ 및 $m_1 m_2 = -1$ 직교 증명 | 6점 |
| 2단계 | [7-2] 두 접점 대입 원리로 극선 $ty = 4(x - 2)$ 유도 및 초점 $F(2, 0)$ 통과 증명 | 7점 |
| 3단계 | [7-3] $t=3$일 때 접점 $(8,8), (1/2,-2)$ 및 직각삼각형 넓이 $S = \frac{125}{4}$ 산출 | 7점 |
[8-1 풀이] \(u(t) = t, \; v'(t) = e^{-kt}\)로 놓으면 \(u'(t) = 1, \; v(t) = -\dfrac{1}{k}e^{-kt}\)이므로 부분적분법에 의해: \[\int_0^R t e^{-kt}\,dt = \left[-\frac{t}{k}e^{-kt}\right]_0^R + \frac{1}{k}\int_0^R e^{-kt}\,dt = -\frac{R}{k}e^{-kR} + \frac{1}{k^2}\left(1 - e^{-kR}\right)\] 이다. \(k \gt 0\)일 때 \(\lim_{R\to\infty} R e^{-kR} = 0\), \(\lim_{R\to\infty} e^{-kR} = 0\)이므로 극한값은 \(\mathbf{\dfrac{1}{k^2}}\)이다.
[8-2 풀이] \(\int_0^R (8e^{-t} + 8e^{-2t})\,dt = 8(1 - e^{-R}) + 4(1 - e^{-2R})\)에서 \(R \to \infty\)이면 \(\mathbf{I_0 = 8 + 4 = 12}\)이다. 따라서 총 청소율은 \(\mathbf{CL = \dfrac{36}{12} = 3}\)이다. 또한 [8-1]에 의해 \(\lim_{R\to\infty}\int_0^R t(8e^{-t} + 8e^{-2t})\,dt = \dfrac{8}{1^2} + \dfrac{8}{2^2} = 8 + 2 = 10\)이므로 평균 체류 시간은 \(\mathbf{MRT = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}}\)이다.
[8-3 풀이] \(C'(t) = -8e^{-t} - 16e^{-2t}\)이므로 순간 감소 속력은 \(-C'(t) = 8e^{-t} + 16e^{-2t}\)이고 \(-C'(0) = 24\)이다. 조건 \(-C'(t_0) = \dfrac{1}{3} \times 24 = 8\)에서 \(u = e^{-t_0} \gt 0\)이라 두면 \(16u^2 + 8u - 8 = 0 \iff 2u^2 + u - 1 = (2u - 1)(u + 1) = 0\)이다. \(u \gt 0\)이므로 \(u = e^{-t_0} = \dfrac{1}{2} \implies \mathbf{t_0 = \ln 2}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [8-1] 부분적분 전개식 $-\frac{R}{k}e^{-kR} + \frac{1-e^{-kR}}{k^2}$ 도출 및 극한 $\frac{1}{k^2}$ 증명 | 6점 |
| 2단계 | [8-2] $I_0 = 12, CL = 3, MRT = \frac{5}{6}$ 단계별 정확한 산출 | 7점 |
| 3단계 | [8-3] 도함수 $-C'(t) = 8e^{-t}+16e^{-2t}$ 및 치환방정식 $2u^2+u-1=0$ 풀이로 $t_0 = \ln 2$ 도출 | 7점 |
[9-1 풀이] 양변에 \((x+1)^2(x+2)\)를 곱하면 \(x^2 + 1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2\)이다. \(x = -1\)을 대입하면 \(2 = B\); \(x = -2\)를 대입하면 \(5 = C\); 이차항의 계수를 비교하면 \(1 = A + C \implies A = -4\)이다. 따라서 \(\mathbf{A = -4,\; B = 2,\; C = 5}\)이다.
[9-2 풀이] 구간 \([0, 1]\)에서 \(x+1 \gt 0, x+2 \gt 0\)이므로 부정적분을 계산하면: \[I = \int_0^1 \left(-\frac{4}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{5}{x+2}\right)dx = \left[-4\ln(x+1) - \frac{2}{x+1} + 5\ln(x+2)\right]_0^1\] \[= (-4\ln 2 - 1 + 5\ln 3) - (0 - 2 + 5\ln 2) = \mathbf{1 + 5\ln 3 - 9\ln 2}\]
[9-3 풀이] \(a_n = 4\left(\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+2}\right) - \left(\dfrac{1}{n+2} - \dfrac{1}{n+3}\right)\)로 변형하여 \(n=1\)부터 \(N\)까지 더하면 망원 소거에 의해: \[S_N = 4\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{N+2}\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{N+3}\right)\] 이다. 따라서 \(\lim_{N\to\infty} S_N = 2 - \dfrac{1}{3} = \mathbf{\dfrac{5}{3}}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [9-1] 수치대입법·계수비교법으로 $A = -4, B = 2, C = 5$ 정확히 결정 | 6점 |
| 2단계 | [9-2] 각 항의 부정적분 원시함수 도출 및 1 + 5 ln 3 - 9 ln 2 산출 | 7점 |
| 3단계 | [9-3] 두 망원차의 결합 변형, 부분합 $S_N$ 명시 및 극한 $\frac{5}{3}$ 도출 | 7점 |
[10-1 풀이] \(x = \tan\theta\)로 놓으면 \(x = 0 \implies \theta = 0\), \(x = 1 \implies \theta = \dfrac{\pi}{4}\)이고 \(dx = \sec^2\theta\,d\theta\)이다. 따라서 \(I_1 = \int_0^{\pi/4} \dfrac{\sec^2\theta}{\sec^2\theta}\,d\theta = \int_0^{\pi/4} 1\,d\theta = \mathbf{\dfrac{\pi}{4}}\)이다.
[10-2 풀이] 같은 치환을 적용하면 \((1+x^2)^2 = \sec^4\theta\)이므로: \[I_2 = \int_0^{\pi/4} \frac{\sec^2\theta}{\sec^4\theta}\,d\theta = \int_0^{\pi/4} \cos^2\theta\,d\theta = \int_0^{\pi/4} \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\,d\theta = \left[\frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{\pi/4} = \mathbf{\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}}\]
[10-3 풀이] \(u = (1+x^2)^{-2}, \; v' = 1\)로 두고 부분적분하면 \(u' = -4x(1+x^2)^{-3}, \; v = x\)이므로: \[I_2 = \left[\frac{x}{(1+x^2)^2}\right]_0^1 + 4\int_0^1 \frac{x^2}{(1+x^2)^3}\,dx = \frac{1}{4} + 4\int_0^1 \frac{(1+x^2) - 1}{(1+x^2)^3}\,dx = \frac{1}{4} + 4(I_2 - I_3)\] 이다. 정리하면 \(\mathbf{4I_3 = 3I_2 + \dfrac{1}{4}}\)이며, [10-2]의 결과를 대입하면 \(4I_3 = 3\!\left(\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{1}{4}\right) + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3\pi}{8} + 1\)이므로 \(\mathbf{I_3 = \dfrac{3\pi}{32} + \dfrac{1}{4}}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [10-1] 적분구간 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 변환 및 $dx = \sec^2\theta d\theta$ 적용으로 $I_1 = \frac{\pi}{4}$ 산출 | 6점 |
| 2단계 | [10-2] $\cos^2\theta$ 반각공식 변형 및 부정적분 계산으로 $I_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$ 도출 | 7점 |
| 3단계 | [10-3] 부분적분과 $x^2 = (1+x^2) - 1$ 변형으로 $4I_3 = 3I_2 + \frac{1}{4}$ 유도 및 $I_3 = \frac{3\pi}{32} + \frac{1}{4}$ 완결 | 7점 |
[11-1 풀이] \(x \gt 0\)에서 \(f(x) = \dfrac{1}{x}\)은 \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} \lt 0\)인 순감소함수이므로 열린구간 \((k, k+1)\)의 모든 \(x\)에 대하여 \(\dfrac{1}{k+1} \lt \dfrac{1}{x} \lt \dfrac{1}{k}\)이다. 구간 \([k, k+1]\)에서 정적분하면 \(\dfrac{1}{k+1} \lt \int_k^{k+1}\dfrac{1}{x}\,dx = \ln(k+1) - \ln k = \ln\!\left(1 + \dfrac{1}{k}\right) \lt \dfrac{1}{k}\)이 성립한다.
[11-2 풀이] 우측 부등식 \(\ln\dfrac{k+1}{k} \lt \dfrac{1}{k}\)을 \(k=1\)부터 \(n\)까지 변변 더하면 \(\sum_{k=1}^n (\ln(k+1)-\ln k) = \ln(n+1) \lt \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} = H_n\)이다. 좌측 부등식 \(\dfrac{1}{k+1} \lt \ln\dfrac{k+1}{k}\)을 \(k=1\)부터 \(n-1\)까지 변변 더하면 \(\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{k+1} = H_n - 1 \lt \ln n\)이므로 \(H_n \lt 1 + \ln n\)이다.
[11-3 풀이] \(n \ge 2\)일 때 \(\ln n \gt 0\)이므로 [11-2]의 양변을 \(\ln n\)으로 나누면 \(1 \lt \dfrac{\ln(n+1)}{\ln n} \lt \dfrac{H_n}{\ln n} \lt 1 + \dfrac{1}{\ln n}\)이다. \(\lim_{n\to\infty}\left(1 + \dfrac{1}{\ln n}\right) = 1\)이므로 조임정리에 의해 \(\mathbf{\lim_{n\to\infty}\dfrac{H_n}{\ln n} = 1}\)이다. 또한 \(d_{n+1} - d_n = \dfrac{1}{n+1} - \bigl(\ln(n+2) - \ln(n+1)\bigr) = \dfrac{1}{n+1} - \ln\!\left(1 + \dfrac{1}{n+1}\right)\)인데, [11-1]에 \(k = n+1\)을 대입하면 \(\ln\!\left(1 + \dfrac{1}{n+1}\right) \lt \dfrac{1}{n+1}\)이므로 \(d_{n+1} - d_n \gt 0\)이다. 따라서 \(\{d_n\}\)은 증가수열이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [11-1] $y=1/x$ 감소성 명시 및 구간 [k, k+1] 정적분으로 양쪽 부등식 증명 | 6점 |
| 2단계 | [11-2] $k=1, \dots, n$ 합산(하계 $\ln(n+1)$)과 $k=1, \dots, n-1$ 합산(상계 $1+\ln n$) 분리 증명 | 7점 |
| 3단계 | [11-3] 조임정리로 극한값 1 도출 및 차분 $d_{n+1}-d_n \gt 0$ 부호 판정 완료 | 7점 |
[12-1 풀이] 구의 접평면은 접점 \(P\)에서의 반지름 벡터 \(\overrightarrow{CP}\)에 수직이므로 법선벡터는 \(\vec{n} = \overrightarrow{CP} = (3-1, 3-1, 0-(-1)) = (2, 2, 1)\)이다. 따라서 점 \(P(3, 3, 0)\)을 지나는 접평면 \(\alpha\)의 방정식은 \(2(x-3) + 2(y-3) + 1(z-0) = 0 \iff \mathbf{2x + 2y + z - 12 = 0}\)이다.
[12-2 풀이] 평면 \(2x + 2y + z = 12\)에 \(y=z=0\), \(x=z=0\), \(x=y=0\)을 각각 대입하면 세 절편은 \(\mathbf{A(6, 0, 0),\; B(0, 6, 0),\; D(0, 0, 12)}\)이다. 세 모서리 \(OA, OB, OD\)가 원점에서 서로 직교하므로 사면체 \(OABD\)의 부피는 \(V = \dfrac{1}{3} \times S_{\triangle OAB} \times \overline{OD} = \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{1}{2} \times 6 \times 6\right) \times 12 = \mathbf{72}\)이다.
[12-3 풀이] 평면 \(\alpha\)의 법선벡터 \(\vec{n} = (2, 2, 1)\)과 \(xy\)평면의 단위법선벡터 \(\vec{e}_3 = (0, 0, 1)\)이 이루는 각을 이용하면 \(\cos\theta = \dfrac{|\vec{n}\cdot\vec{e}_3|}{|\vec{n}||\vec{e}_3|} = \dfrac{1}{\sqrt{4+4+1}\cdot 1} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\)이다. 삼각형 \(ABD\)의 \(xy\)평면 위로의 정사영은 직각이등변삼각형 \(OAB\)이고 \(S_{\triangle OAB} = 18\)이므로, \(S_{\triangle OAB} = S_{\triangle ABD}\cos\theta\)에서 \(\mathbf{S_{\triangle ABD} = \dfrac{18}{1/3} = 54}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [12-1] 법선벡터 $\vec{n} = \vec{CP} = (2, 2, 1)$ 도출 및 접평면 $2x + 2y + z - 12 = 0$ 수립 | 6점 |
| 2단계 | [12-2] 절편 $A(6,0,0), B(0,6,0), D(0,0,12)$ 및 사면체 부피 $V = 72$ 산출 | 7점 |
| 3단계 | [12-3] 법선벡터 내적으로 $\cos\theta = \frac{1}{3}$ 및 정사영 관계로 $S_{\triangle ABD} = 54$ 계산 | 7점 |
[13-1 풀이] 감염 사건을 \(I\), 양성 판정 사건을 \(T\)라 하면 \(P(I)=0.04, P(I^c)=0.96, P(T \mid I)=0.95, P(T \mid I^c)=1-0.90=0.10\)이다. 따라서 \(P(I \cap T) = 0.04 \times 0.95 = 0.038\), \(P(I^c \cap T) = 0.96 \times 0.10 = 0.096\)이므로 \(P(T) = 0.134\)이며, 구하는 조건부확률은 \(P(I \mid T) = \dfrac{0.038}{0.134} = \dfrac{38}{134} = \mathbf{\dfrac{19}{67}}\)이다.
[13-2 풀이] \(\hat{p} = \dfrac{576}{900} = 0.64\), \(1 - \hat{p} = 0.36\)이므로 표준오차 추정값은 \(\sqrt{\dfrac{0.64 \times 0.36}{900}} = \dfrac{0.8 \times 0.6}{30} = 0.016\)이다. 오차한계는 \(1.96 \times 0.016 = 0.03136\)이므로 신뢰도 \(95\%\)의 신뢰구간은 \(\mathbf{[0.60864,\; 0.67136]}\)이고, 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 0.03136 = \mathbf{0.06272}\)이다.
[13-3 풀이] \(\hat{p} = 0.64\)일 때 \(\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})} = 0.48\)이므로 조건 부등식은: \[2.58 \times \frac{0.48}{\sqrt{N}} \le 0.02064 \iff \frac{0.48}{\sqrt{N}} \le \frac{0.02064}{2.58} = 0.008 \iff \sqrt{N} \ge \frac{0.48}{0.008} = 60\] 이다. 양변을 제곱하면 \(N \ge 3600\)이므로 최소 표본의 크기는 \(\mathbf{N = 3600}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [13-1] 위양성률 $P(T \mid I^c)=0.10$ 도출 및 전확률 $P(T)=0.134$로부터 $P(I \mid T)=\frac{19}{67}$ 산출 | 6점 |
| 2단계 | [13-2] 표준오차 0.016 산출, 95% 신뢰구간 [0.60864, 0.67136] 및 길이 0.06272 도출 | 7점 |
| 3단계 | [13-3] 오차한계 부등식 $\sqrt{N} \ge 60$ 수립 및 최소 표본 크기 $N = 3600$ 계산 | 7점 |
[14-1 풀이] 타원 \(E\)에서 \(c^2 = 25 - 9 = 16 \; (c \gt 0)\)이므로 \(c = 4\)이고 두 초점은 \(\mathbf{F(4, 0),\; F'(-4, 0)}\)이며 \(\overline{F'F} = 8\)이다. \(r_1 = \overline{PF'}, \; r_2 = \overline{PF}\)라 하면 타원의 정의에 의해 \(r_1 + r_2 = 10\)이다. 삼각형 \(PF'F\)에 코사인법칙을 적용하면 \(8^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1 r_2 \cos\dfrac{\pi}{3} = (r_1 + r_2)^2 - 3r_1 r_2 \implies 64 = 100 - 3r_1 r_2\)이므로 \(\mathbf{\overline{PF'} \cdot \overline{PF} = 12}\)이다.
[14-2 풀이] 점 \(P\)가 제\(1\)사분면 위의 점이므로 \(r_1 \gt r_2\)이고 쌍곡선의 정의에 의해 \(r_1 - r_2 = 2a\)이다. 곱셈공식의 변형에 의해 \((2a)^2 = (r_1 - r_2)^2 = (r_1 + r_2)^2 - 4r_1 r_2 = 100 - 48 = 52\)이므로 주축의 길이는 \(\mathbf{2a = 2\sqrt{13}}\)이고 \(\mathbf{a^2 = 13}\)이다. 또한 두 초점을 공유하므로 \(a^2 + b^2 = c^2 = 16\)에서 \(\mathbf{b^2 = 3}\)이다.
[14-3 풀이] 삼각형 \(PF'F\)의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} r_1 r_2 \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} \times 12 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{3\sqrt{3}}\)이다. 삼각형 \(PF'F\)의 둘레의 길이는 \(r_1 + r_2 + \overline{F'F} = 10 + 8 = 18\)이므로 \(S = \dfrac{1}{2}r(r_1 + r_2 + \overline{F'F}) = 9r\)에서 내접원의 반지름은 \(\mathbf{r = \dfrac{\sqrt{3}}{3}}\)이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [14-1] 초점 $(\pm 4, 0)$, $r_1+r_2=10$ 및 코사인법칙으로 $r_1 r_2 = 12$ 도출 | 6점 |
| 2단계 | [14-2] $(2a)^2 = (r_1+r_2)^2 - 4r_1 r_2 = 52$로부터 $2a = 2\sqrt{13}, a^2 = 13, b^2 = 3$ 산출 | 7점 |
| 3단계 | [14-3] 넓이 $S = 3\sqrt{3}$ 및 둘레 길이 $18$을 이용한 내접원 반지름 $r = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 도출 | 7점 |
[15-1 풀이] \(f'(x) = (x+1)e^x + 1\)이다. \(h(x) = (x+1)e^x\)라 하면 \(h'(x) = (x+2)e^x\)이므로 \(h(x)\)는 \(x = -2\)에서 극소이자 최솟값 \(h(-2) = -e^{-2}\)을 갖는다. \(e^2 \gt 7 \gt 1\)이므로 \(f'(x) \ge 1 - e^{-2} \gt 0\)이 모든 실수 \(x\)에 대하여 성립한다(또한 \(\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \pm\infty\)이므로 역함수 \(g\)가 존재한다). \(f(0) = 0 \implies \mathbf{g(0) = 0}\)이고, \(f(1) = e + 1 \implies g(e+1) = 1\)이므로 \(\mathbf{g'(e+1) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{2e + 1}}\)이다.
[15-2 풀이] 부분적분법에 의해 \(\int_0^1 (xe^x + x)\,dx = \left[(x-1)e^x + \dfrac{1}{2}x^2\right]_0^1 = \dfrac{1}{2} - (-1) = \mathbf{\dfrac{3}{2}}\)이다. 증가함수 \(y=f(x)\)와 역함수 \(y=g(x)\)의 그래프 대칭성에 의해 직사각형 넓이 등식 \(\int_0^1 f(x)\,dx + \int_0^{e+1} g(x)\,dx = 1 \cdot (e+1) - 0 \cdot 0 = e + 1\)이 성립하므로 \(\int_0^{e+1} g(x)\,dx = (e + 1) - \dfrac{3}{2} = \mathbf{e - \dfrac{1}{2}}\)이다.
[15-3 풀이] 부분적분법을 적용하면: \[\int_0^{e+1} x g'(x)\,dx = \bigl[x g(x)\bigr]_0^{e+1} - \int_0^{e+1} g(x)\,dx = (e+1)g(e+1) - 0 - \left(e - \frac{1}{2}\right) = (e + 1) - \left(e - \frac{1}{2}\right) = \mathbf{\frac{3}{2}}\] (또는 \(x = f(t)\)로 치환하면 \(g'(f(t))f'(t) = 1 \implies g'(x)\,dx = dt\)이므로 \(\int_0^1 f(t)\,dt = \dfrac{3}{2}\)와 일치한다.)
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [15-1] $h(x)=(x+1)e^x$의 최솟값 $-e^{-2}$ 분석으로 $f'(x) \ge 1 - e^{-2} \gt 0$ 증명 및 $g(0)=0, g'(e+1)=\frac{1}{2e+1}$ 산출 | 6점 |
| 2단계 | [15-2] $\int_0^1 f(x)dx = \frac{3}{2}$ 계산 및 직사각형 넓이 관계로 $\int_0^{e+1} g(x)dx = e - \frac{1}{2}$ 도출 | 7점 |
| 3단계 | [15-3] 부분적분 또는 $x=f(t)$ 치환적분으로 $\int_0^{e+1} x g'(x)\,dx = \frac{3}{2}$ 산출 | 7점 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R1-Q1 | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 로그의 성질과 부분분수 망원급수의 지수 변환 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 13011 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04] | 20점/상 |
| R1-Q2 | 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 지수함수와 로그함수 그래프 위의 격자점(정수점) 개수 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 13012 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 20점/상 |
| R1-Q3 | 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 삼각함수의 그래프와 직선의 교점의 대칭성 및 산술합 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 13013 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 20점/상 |
| R1-Q4 | 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 가우스 함수와 다항함수의 곱·합성 연속성 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 13014 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03] | 20점/상 |
| R1-Q5 | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 사차함수의 이중접선과 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 13015 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05] | 20점/상 |
| R2-Q1 | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 상용로그의 실생활 모델링(소리의 세기와 데시벨)과 로그 차 연산 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 탐구 13021 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04] | 20점/상 |
| R2-Q2 | 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 지수함수와 로그함수 위의 삼각형 넓이와 평행이동 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 13022 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 20점/상 |
| R2-Q3 | 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 원뿔 모선 위 최단 거리(전개도 부채꼴과 코사인법칙) | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 13023 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03] | 20점/상 |
| R2-Q4 | 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 두 다항함수의 곱의 미분법과 접선의 수직 조건 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 13024 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05] | 20점/상 |
| R2-Q5 | 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 정적분으로 정의된 함수의 극한과 미분계수의 정의를 이용한 일차 근사 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 탐구 13025 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 20점/상 |
| R3-Q1 | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 거듭제곱근의 유리스러운 소거와 이중 지수 방정식 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 13031 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] | 20점/상 |
| R3-Q2 | 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 삼각함수의 각 변환 공식과 원에 내접하는 정다각형의 합 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 13032 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] | 20점/상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R3-Q3 | 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 귀납적 정의(선형 비제차 점화식)와 특성근 치환 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 13033 변형 | 성취기준: 12대수03-06] | 20점/상 |
| R3-Q4 | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 삼차함수 그래프의 변곡 대칭성과 세 접선의 기울기 합 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 13034 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07] | 20점/상 |
| R3-Q5 | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 역함수 그래프와 원래 함수 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 13035 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 20점/상 |
| R4-Q1 | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 로그의 밑과 진수의 제한 조건 및 정수 로그값의 합 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 13041 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04] | 20점/상 |
| R4-Q2 | 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 사각형의 대각선이 이루는 각과 코사인법칙·넓이 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 13042 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 20점/상 |
| R4-Q3 | 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 다항함수의 극한과 절댓값 좌·우극한 분기 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 13043 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] | 20점/상 |
| R4-Q4 | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 삼차함수와 직선의 교점 중점(변곡점 불변성)과 극값 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 13044 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08] | 20점/상 |
| R4-Q5 | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 포물선과 접선 및 축으로 둘러싸인 넓이의 비(2:1 성질) | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 13045 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05] | 20점/상 |
| R5-Q1 | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 등비수열의 상용로그 변환(등차수열)과 부분합 최대화 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 13051 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04] | 20점/상 |
| R5-Q2 | 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 해안 전망대 거리 측량(사인법칙과 코사인법칙 연쇄 적용) | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 탐구 13052 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 20점/상 |
| R5-Q3 | 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 유리·다항 분할 함수의 실수 전체 연속성과 극값 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 13053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03] | 20점/상 |
| R5-Q4 | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 삼차함수의 역함수 존재 조건과 부등식의 결합 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 13054 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] | 20점/상 |
| R5-Q5 | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 정적분으로 정의된 함수의 극솟값과 둘러싸인 넓이 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 13055 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] | 20점/상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R6-Q1 | 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 로그부등식의 해집합과 정수해의 개수 및 밑 조건 추론 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 13061 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 20점/최상(킬러) |
| R6-Q2 | 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 삼각형의 코사인법칙과 중선·내접원 반지름의 기하적 추론 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 13062 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 20점/최상(킬러) |
| R6-Q3 | 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 다항함수의 차수 결정 극한과 곡선 위의 접선의 수직 조건 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 13063 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-02-04] | 20점/최상(킬러) |
| R6-Q4 | 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소와 닫힌구간 최대·최소 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 13064 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04] | 20점/최상(킬러) |
| R6-Q5 | 확률과 통계 Ⅰ-1. 경우의 수 | 중복조합을 이용한 부정방정식의 정수해 개수와 확률 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.4 탐구 13065 변형 | 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02] | 20점/최상(킬러) |
| R7-Q1 | 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 | 등차수열의 곱의 역수 급수와 부분분수 망원합 추론 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 13071 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 20점/최상(킬러) |
| R7-Q2 | 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소와 방정식의 실근의 개수 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 13072 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] | 20점/최상(킬러) |
| R7-Q3 | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 삼차함수의 극값 존재 조건과 극댓값·극솟값의 차 공식 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 탐구 13073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] | 20점/최상(킬러) |
| R7-Q4 | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 원래 함수와 역함수의 정적분 합과 기하적 넓이 분할 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 13074 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 20점/최상(킬러) |
| R7-Q5 | 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 | 타원의 초점 정의와 코사인법칙을 이용한 초점삼각형 넓이 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.9 탐구 13075 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04] | 20점/최상(킬러) |
| R8-Q1 | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 실수인 거듭제곱근의 개수와 지수·로그 복합 연산 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 13081 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03] | 20점/최상(킬러) |
| R8-Q2 | 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 선형 귀납 관계식의 계차수열 변환과 부분합 극한 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 13082 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] | 20점/최상(킬러) |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R8-Q3 | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 두 곡선이 한 점에서 공통접선을 가질 조건과 둘러싸인 넓이 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.16 탐구 13083 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05] | 20점/최상(킬러) |
| R8-Q4 | 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 대칭구간에서 다항함수와 절댓값 함수의 정적분 최소 추론 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.11 탐구 13084 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 20점/최상(킬러) |
| R8-Q5 | 기하 Ⅲ-1. 공간도형과 공간좌표 | 구의 방정식과 벡터의 내적 분해를 이용한 최댓값·최솟값 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.5 탐구 13085 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05] | 20점/최상(킬러) |
| R9-Q1 | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 상용로그의 정수부분과 소수부분의 조건을 이용한 양수 결정 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 13091 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 20점/최상(킬러) |
| R9-Q2 | 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 무리식을 포함한 함수의 극한과 미정계수 결정 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 탐구 13092 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] | 20점/최상(킬러) |
| R9-Q3 | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 사차함수 그래프와 이중접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.18 탐구 13093 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05] | 20점/최상(킬러) |
| R9-Q4 | 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 주기성과 대칭성을 갖는 연속함수의 정적분 추론 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 탐구 13094 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 20점/최상(킬러) |
| R9-Q5 | 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 | 정규분포의 표준화와 표본평균의 확률 추론 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 13095 변형 | 성취기준: 12확통02-05, 12확통03-01] | 20점/최상(킬러) |
| R10-Q1 | 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 선형 비제차 귀납 관계식의 특성근 변환과 등비급수 합 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 13101 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-05] | 20점/최상(킬러) |
| R10-Q2 | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 사차방정식의 실근의 개수와 삼차함수의 극값 부호 판별 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.20 탐구 13102 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09] | 20점/최상(킬러) |
| R10-Q3 | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 이차곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이의 최솟값 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 13103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 20점/최상(킬러) |
| R10-Q4 | 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 | 쌍곡선의 정의와 점근선에 평행한 직선의 기하적 성질 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.11 탐구 13104 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04] | 20점/최상(킬러) |
| R10-Q5 | 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 | 독립시행의 확률과 이항분포의 평균·분산 추론 | [출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.10 탐구 13105 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통03-01] | 20점/최상(킬러) |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 문항 1 | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 로그의 성질과 부분분수 망원급수의 지수 변환 | 20점 | 상 |
| 제1회 | 문항 2 | 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 지수함수와 로그함수 그래프 위의 격자점(정수점) 개수 | 20점 | 상 |
| 제1회 | 문항 3 | 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 삼각함수의 그래프와 직선의 교점의 대칭성 및 산술합 | 20점 | 상 |
| 제1회 | 문항 4 | 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 가우스 함수와 다항함수의 곱·합성 연속성 | 20점 | 상 |
| 제1회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 사차함수의 이중접선과 둘러싸인 도형의 넓이 | 20점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제2회 | 문항 1 | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 상용로그의 실생활 모델링(소리의 세기와 데시벨)과 로그 차 연산 | 20점 | 상 |
| 제2회 | 문항 2 | 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 지수함수와 로그함수 위의 삼각형 넓이와 평행이동 | 20점 | 상 |
| 제2회 | 문항 3 | 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 원뿔 모선 위 최단 거리(전개도 부채꼴과 코사인법칙) | 20점 | 상 |
| 제2회 | 문항 4 | 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 두 다항함수의 곱의 미분법과 접선의 수직 조건 | 20점 | 상 |
| 제2회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 정적분으로 정의된 함수의 극한과 미분계수의 정의를 이용한 일차 근사 | 20점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제3회 | 문항 1 | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 거듭제곱근의 유리스러운 소거와 이중 지수 방정식 | 20점 | 상 |
| 제3회 | 문항 2 | 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 삼각함수의 각 변환 공식과 원에 내접하는 정다각형의 합 | 20점 | 상 |
| 제3회 | 문항 3 | 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 귀납적 정의(선형 비제차 점화식)와 특성근 치환 | 20점 | 상 |
| 제3회 | 문항 4 | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 삼차함수 그래프의 변곡 대칭성과 세 접선의 기울기 합 | 20점 | 상 |
| 제3회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 역함수 그래프와 원래 함수 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 | 20점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제4회 | 문항 1 | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 로그의 밑과 진수의 제한 조건 및 정수 로그값의 합 | 20점 | 상 |
| 제4회 | 문항 2 | 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 사각형의 대각선이 이루는 각과 코사인법칙·넓이 | 20점 | 상 |
| 제4회 | 문항 3 | 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 다항함수의 극한과 절댓값 좌·우극한 분기 | 20점 | 상 |
| 제4회 | 문항 4 | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 삼차함수와 직선의 교점 중점(변곡점 불변성)과 극값 | 20점 | 상 |
| 제4회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 포물선과 접선 및 축으로 둘러싸인 넓이의 비(2:1 성질) | 20점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제5회 | 문항 1 | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 등비수열의 상용로그 변환(등차수열)과 부분합 최대화 | 20점 | 상 |
| 제5회 | 문항 2 | 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 해안 전망대 거리 측량(사인법칙과 코사인법칙 연쇄 적용) | 20점 | 상 |
| 제5회 | 문항 3 | 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 유리·다항 분할 함수의 실수 전체 연속성과 극값 | 20점 | 상 |
| 제5회 | 문항 4 | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 삼차함수의 역함수 존재 조건과 부등식의 결합 | 20점 | 상 |
| 제5회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 정적분으로 정의된 함수의 극솟값과 둘러싸인 넓이 | 20점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제6회 | 문항 1 | 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 로그부등식의 해집합과 정수해의 개수 및 밑 조건 추론 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제6회 | 문항 2 | 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 삼각형의 코사인법칙과 중선·내접원 반지름의 기하적 추론 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제6회 | 문항 3 | 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 다항함수의 차수 결정 극한과 곡선 위의 접선의 수직 조건 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제6회 | 문항 4 | 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소와 닫힌구간 최대·최소 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제6회 | 문항 5 | 확률과 통계 Ⅰ-1. 경우의 수 | 중복조합을 이용한 부정방정식의 정수해 개수와 확률 | 20점 | 최상(킬러) |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제7회 | 문항 1 | 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 | 등차수열의 곱의 역수 급수와 부분분수 망원합 추론 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제7회 | 문항 2 | 대수 Ⅱ. 삼각함수 | 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소와 방정식의 실근의 개수 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제7회 | 문항 3 | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 삼차함수의 극값 존재 조건과 극댓값·극솟값의 차 공식 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제7회 | 문항 4 | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 원래 함수와 역함수의 정적분 합과 기하적 넓이 분할 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제7회 | 문항 5 | 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 | 타원의 초점 정의와 코사인법칙을 이용한 초점삼각형 넓이 | 20점 | 최상(킬러) |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제8회 | 문항 1 | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 실수인 거듭제곱근의 개수와 지수·로그 복합 연산 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제8회 | 문항 2 | 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 선형 귀납 관계식의 계차수열 변환과 부분합 극한 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제8회 | 문항 3 | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 두 곡선이 한 점에서 공통접선을 가질 조건과 둘러싸인 넓이 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제8회 | 문항 4 | 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 대칭구간에서 다항함수와 절댓값 함수의 정적분 최소 추론 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제8회 | 문항 5 | 기하 Ⅲ-1. 공간도형과 공간좌표 | 구의 방정식과 벡터의 내적 분해를 이용한 최댓값·최솟값 | 20점 | 최상(킬러) |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제9회 | 문항 1 | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 상용로그의 정수부분과 소수부분의 조건을 이용한 양수 결정 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제9회 | 문항 2 | 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 무리식을 포함한 함수의 극한과 미정계수 결정 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제9회 | 문항 3 | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 사차함수 그래프와 이중접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제9회 | 문항 4 | 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 주기성과 대칭성을 갖는 연속함수의 정적분 추론 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제9회 | 문항 5 | 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 | 정규분포의 표준화와 표본평균의 확률 추론 | 20점 | 최상(킬러) |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제10회 | 문항 1 | 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 선형 비제차 귀납 관계식의 특성근 변환과 등비급수 합 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제10회 | 문항 2 | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 사차방정식의 실근의 개수와 삼차함수의 극값 부호 판별 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제10회 | 문항 3 | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 이차곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이의 최솟값 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제10회 | 문항 4 | 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 | 쌍곡선의 정의와 점근선에 평행한 직선의 기하적 성질 | 20점 | 최상(킬러) |
| 제10회 | 문항 5 | 확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 | 독립시행의 확률과 이항분포의 평균·분산 추론 | 20점 | 최상(킬러) |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [1-1] (배점 6)] • \(\dfrac{k}{k+1}\cdot\dfrac{k+2}{k+1}\) 분리 +3점 / 연쇄 약분 결과 \(\dfrac{n+2}{2(n+1)}\) 도출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [1-2] (배점 7)] • \(S_{15} = \log_2 17 - 5\) 산출 +3점 / \(2^{S_{31}} = \dfrac{33}{64}\) 도출 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [1-3] (배점 7)] • \(S_n + 1 = \log_2\left(1 + \dfrac{1}{n+1}\right)\) 정리 +4점 / 최소 자연수 \(n = 24\) 산출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [2-1] (배점 6)] • \(y = 0, 1, 2\)별 개수 \(4, 3, 1\) 산출 +4점 / \(A(2) = 8\) 도출 +2점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [2-2] (배점 7)] • \(\sum_{m=0}^n (2^n - 2^m + 1)\) 수립 +4점 / \(A(n) = (n-1)2^n + n + 2\) 유도 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [2-3] (배점 7)] • \(n = 4\) 대입 또는 \(m=0..4\) 합산 +4점 / \(A(4) = 54\) 도출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [3-1] (배점 6)] • 주기 \(2\) 도출 +2점 / 치역 제한 범위 \(-\dfrac{3}{2} \le x \le \dfrac{11}{2}\) 산출 +4점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [3-2] (배점 7)] • 우측 \(3\)개·중심 \(1\)개·좌측 \(3\)개 구간별 교점 확인 +4점 / \(N = 7\) 도출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [3-3] (배점 7)] • 점 \((2, 0)\) 점대칭 쌍 결합 논증 +4점 / 총합 \(7 \times 2 = 14\) 산출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [4-1] (배점 6)] • \(x = 1\) 좌극한 \(0\), 우극한 \(1+a+b\) 도출 +4점 / \(a + b = -1\) 수립 +2점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [4-2] (배점 7)] • \(x = 2\) 조건 \(2a + b = -3\) 유도 +4점 / \(a = -2, b = 1\) 산출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [4-3] (배점 7)] • \(x = 3\) 좌·우극한 \(-6\) 계산 +4점 / 연속 판정 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [5-1] (배점 6)] • \(\alpha + \beta = 2,\; \alpha\beta = 0\)으로부터 \(\alpha = 0, \beta = 2\) 도출 +3점 / \(y = 2x + 1\) 산출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [5-2] (배점 7)] • 중점 \(x = 1\)에서 \(f(1) - (2(1)+1) = 1\) 이용 +4점 / \(f(1) = 4\) 산출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [5-3] (배점 7)] • \(\int_0^2 x^2(x-2)^2\,dx\) 계산 +4점 / 넓이 \(\dfrac{16}{15}\) 도출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [1-1] (배점 6)] • \(10\log_{10}(I_A/I_B) = 30\) 수립 +3점 / \(1000\)배 도출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [1-2] (배점 7)] • \(60 + 10\log_{10} 8\) 식 작성 +3점 / \(69\,(\mathrm{dB})\) 산출 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [1-3] (배점 7)] • 세기 비 \(\dfrac{1}{16}\) 유도 +3점 / \(12\,(\mathrm{dB})\) 감소 도출 +4점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [2-1] (배점 6)] • 네 점 좌표 산출 +4점 / \(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{DC}} = 2\) 도출 +2점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [2-2] (배점 7)] • 넓이 \(2 \times 6 = 12\) 계산 +4점 / 기울기 \(\dfrac{2}{3}\) 도출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [2-3] (배점 7)] • \(y\)축 방향 \(2\)만큼 평행이동 합동성 설명 +4점 / 곡선 영역 넓이 \(12\) 결론 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [3-1] (배점 6)] • 중심각 \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\) 도출 +3점 / 부채꼴 넓이 \(12\pi\) 산출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [3-2] (배점 7)] • 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{AM}}^2 = 63\) 유도 +4점 / \(\overline{\mathrm{AM}} = 3\sqrt{7}\) 도출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [3-3] (배점 7)] • 넓이 등식 \(\dfrac{9\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{7}}{2}h\) 설정 +4점 / \(h = \dfrac{3\sqrt{21}}{7}\) 산출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [4-1] (배점 6)] • \(f(2)=3, f'(2)=4, g(2)=-1, g'(2)=-2\) 도출 +6점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [4-2] (배점 7)] • \(h(2)=-3, h'(2)=-10\) 산출 +4점 / 접선 \(y = -10x + 17\) 도출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [4-3] (배점 7)] • 법선 기울기 \(\dfrac{1}{10}\) 결정 +3점 / \(y\)절편 \(-\dfrac{16}{5}\) 산출 +4점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [5-1] (배점 6)] • \(f(2) = 6\) 계산 +3점 / 극한값 \(\dfrac{1}{2}f(2) = 3\) 도출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [5-2] (배점 7)] • \(x^2 f(x)\) 소거로 \(F'(x) = 2x\int_2^x f(t)\,dt\) 유도 +5점 / \(F'(2) = 0\) 산출 +2점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [5-3] (배점 7)] • \(F''(x) = 2\int_2^x f(t)\,dt + 2xf(x)\) 도출 +4점 / \(F''(2) = 24\) 산출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [1-1] (배점 6)] • \(x^3 + 3x = 3 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3}\) 유도 +3점 / \(P(x) = 8\) 산출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [1-2] (배점 7)] • \(y^2 - x^2 = 4\) 도출 +3점 / \(y^3 - 3y = \dfrac{10}{3}\) 산출 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [1-3] (배점 7)] • \(x + y = 2\sqrt[3]{3},\; y - x = \dfrac{2}{\sqrt[3]{3}}\) 정리 +4점 / \(\dfrac{80}{3}\) 도출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [2-1] (배점 6)] • \(44\)쌍 결합(\(44\)) 및 \(\sin^2 45^\circ = \dfrac{1}{2}\) 분리 +4점 / \(\dfrac{89}{2}\) 산출 +2점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [2-2] (배점 7)] • \(\tan k^\circ \tan(90-k)^\circ = 1\) 적용 +4점 / \(\log_{10} 1 = 0\) 도출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [2-3] (배점 7)] • \(A + B = 90^\circ\) 여각 관계 적용 +4점 / \(2\)와 \(1\) 각각 산출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [3-1] (배점 6)] • \(a_1 = 90\) 산출 +2점 / \(a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n + 40\) 수립 +4점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [3-2] (배점 7)] • \(\alpha = 80\) 도출 +3점 / 일반항 \(a_n = 80 + 20\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) 산출 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [3-3] (배점 7)] • \(2^n \ge 40\) 부등식 정리 +4점 / \(n = 6\) 도출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [4-1] (배점 6)] • 접선의 방정식에 \((1, k)\) 대입 +3점 / \(2t^3 - 3t^2 - 3 + k = 0\) 유도 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [4-2] (배점 7)] • \(g(0) = -3,\; g(1) = -4\) 극값 산출 +4점 / \(3 \lt k \lt 4\) 도출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [4-3] (배점 7)] • \(t_1+t_2+t_3 = \dfrac{3}{2}\) 도출 +3점 / \(3\sum t_i^2 - 9 = -\dfrac{9}{4}\) 산출 +4점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [5-1] (배점 6)] • \(g'(x) \gt 0\) 증명 +3점 / \(x(x-1)^2 = 0\)으로부터 교점 \((0,0), (1,1)\) 도출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [5-2] (배점 7)] • \(\int_0^1 (x^3-2x^2+x)\,dx\) 적분 +4점 / \(S_1 = \dfrac{1}{12}\) 산출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [5-3] (배점 7)] • 직선 \(y = x\) 대칭 \(2\)배 원리 적용 +4점 / \(S = \dfrac{1}{6}\) 도출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [1-1] (배점 6)] • \(\dfrac{6}{\log_2 n}\) 변환 +3점 / \(n = 2, 4, 8, 64\) 도출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [1-2] (배점 7)] • \(n = 2^m\) 조건 논증 +4점 / \(6\)개(\(2, 4, 8, 16, 32, 64\)) 산출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [1-3] (배점 7)] • \(\sum_{m=1}^6 m\) 계산 +4점 / 값 \(21\) 도출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [2-1] (배점 6)] • \(\overline{\mathrm{AC}} = 7\) 산출 +3점 / \(\overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{19}\) 도출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [2-2] (배점 7)] • 넓이 \(S = \dfrac{15\sqrt{3}}{2}\) 계산 +3점 / \(\sin\theta = \dfrac{15\sqrt{57}}{133}\) 산출 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [2-3] (배점 7)] • \(\overline{\mathrm{AM}} = \dfrac{7}{2},\; \overline{\mathrm{BM}} = \dfrac{\sqrt{19}}{2}\) 설정 +3점 / \(\cos\theta = \dfrac{16\sqrt{19}}{133}\) 도출 +4점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [3-1] (배점 6)] • \(f(x) = (x-2)(x+3)\) 유도 +3점 / \(a = 1, b = -6\) 산출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [3-2] (배점 7)] • \(x \lt 2\)에서 \(|x-2| = -(x-2)\) 적용 +4점 / 좌극한 \(-5\) 도출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [3-3] (배점 7)] • \(5(2-k) = -5(2-k)\) 연립 +4점 / \(k = 2\), 극한값 \(0\) 산출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [4-1] (배점 6)] • 이차항 계수 \(-6\) 불변성 논증 +3점 / 합 \(6\) 도출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [4-2] (배점 7)] • 중근 \(0 + 0 + x_3 = 6\) 적용 +4점 / \(\mathrm{B}(6, 56)\) 산출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [4-3] (배점 7)] • 접선 \(y = -3x + 10\) 유도 +4점 / \((x-2)^3 = 0\)으로 교점 \(1\)개 도출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [5-1] (배점 6)] • 접선 \(y = 4x - 4\) 도출 +3점 / \(\mathrm{Q}(1, 0)\) 산출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [5-2] (배점 7)] • \(S = \dfrac{8}{3}\) 적분 계산 +4점 / \(S_2 = 2\) 산출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [5-3] (배점 7)] • \(\int_0^2 (x-2)^2\,dx\) 완전제곱식 적분 +4점 / \(A = \dfrac{8}{3}\) 도출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [1-1] (배점 6)] • \(b_1 = 10\), 공차 \(-1\) 확인 +3점 / \(b_n = 11 - n\) 도출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [1-2] (배점 7)] • \(b_{11} = 0\) 경계 판정으로 \(n = 10, 11\) 도출 +4점 / 최댓값 \(55\) 산출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [1-3] (배점 7)] • 양수 구간(\(55\))과 음수 구간(\(45\)) 분리 +4점 / 합 \(100\) 도출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [2-1] (배점 6)] • 사인법칙 \(2R\sin(\pi/3)\) 적용 +3점 / \(\overline{\mathrm{PQ}} = 6\) 도출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [2-2] (배점 7)] • \(64 - 3xy = 36 \implies xy = \dfrac{28}{3}\) 산출 +4점 / 넓이 \(\dfrac{7\sqrt{3}}{3}\) 도출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [2-3] (배점 7)] • \((x-y)^2 = \dfrac{80}{3}\) 유도 +4점 / \(\dfrac{4\sqrt{15}}{3}\) 산출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [3-1] (배점 6)] • 분모 \(g(x) \ne 0\) 판별식 \(a(a-3) \lt 0\) 설정 +3점 / \(0 \lt a \lt 3\) 도출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [3-2] (배점 7)] • 정수 \(1 + 2 = 3\) 산출 +3점 / \(a=2\)일 때 최솟값 \(2\) 도출 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [3-3] (배점 7)] • \(g(x) - 3 = (x-1)(x-3)\) 인수분해 +4점 / 극한값 \(-1\) 산출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [4-1] (배점 6)] • \(f'(x) = -3x^2 + 2ax - 3 \le 0\) 조건 수립 +6점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [4-2] (배점 7)] • \(2a \le 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right)\) 변수 분리 +4점 / \(x=1\) 최솟값 대입으로 \(a \le 3\) 도출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [4-3] (배점 7)] • 판별식 \(a^2 - 9 \le 0\) 적용 +4점 / \(-3 \le a \le 3\) 산출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [5-1] (배점 6)] • \(\alpha=1, \beta=3\) 도출 +2점 / \(g(1)=4, g(3)=0\) 산출 +4점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [5-2] (배점 7)] • \(S = \int_1^3 |f(x)|\,dx = 4\) 계산 +4점 / \(g(1)-g(3) = 4\) 일치 확인 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [5-3] (배점 7)] • \(g(x) - 4 = (x-1)^2(x-4) = 0\) 인수분해 +4점 / 넓이 \(\dfrac{27}{4}\) 도출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [1-1] (배점 6)] • 진수 조건 \(x \gt 3\) 명시 +2점 / 해집합 \(3 \lt x \le 5\) 및 합 \(9\) 도출 +4점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [1-2] (배점 7)] • 치환 해집합 \(2 \le x \le 16\) 산출 +4점 / 교집합 \(3 \lt x \le 5\) 확정 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [1-3] (배점 7)] • 정수해 \(x = 4, 5, 6\) 확정 +3점 / \(15 \le m \lt 24\) 도출 +4점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [2-1] (배점 6)] • 코사인법칙으로 \(\cos A = \dfrac{1}{2},\; A = \dfrac{\pi}{3}\) 도출 +3점 / 넓이 \(10\sqrt{3}\) 산출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [2-2] (배점 7)] • 사인법칙 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\) 계산 +3점 / 내접원 반지름 \(r = \sqrt{3}\) 도출 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [2-3] (배점 7)] • 중선 정리 또는 코사인법칙으로 \(\overline{AM} = \dfrac{\sqrt{129}}{2}\) 산출 +4점 / 최솟값 도출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [3-1] (배점 6)] • \(f(x) = x(x-1)(x-k)\) 설정 +3점 / \(k = 3\) 및 \(f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x\) 확정 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [3-2] (배점 7)] • \(f(2) = -2,\; f'(2) = -1\) 계산 +3점 / \(l_1 : y = -x,\; l_2 : y = x - 4\) 도출 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [3-3] (배점 7)] • \(x\)절편 \(0, 4\) 도출 +3점 / 삼각형 넓이 \(4\) 산출 +4점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [4-1] (배점 6)] • \(g(x) = x^3 - 3x^2 + 4\) 도출 +3점 / 극댓값 \(4,\;\) 극솟값 \(0\) 산출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [4-2] (배점 7)] • 경계값 \(g(-1)=0,\; g(3)=4\) 비교 +4점 / \(M = 4,\; m = 0\) 확정 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [4-3] (배점 7)] • 적분 구간 \([0, 3]\) 설정 +3점 / 넓이 \(\dfrac{27}{4}\) 계산 +4점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [5-1] (배점 6)] • 중복조합 \({}_{4}\mathrm{H}_{10}\) 적용 +3점 / \(N = 286\) 산출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [5-2] (배점 7)] • 홀수 치환 \(A = {}_{4}\mathrm{H}_{3} = 20\) 도출 +4점 / 짝수 치환 \(B = {}_{4}\mathrm{H}_{1} = 4\) 산출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [5-3] (배점 7)] • 하한 치환 \({}_{4}\mathrm{H}_{7} = 120\) 계산 +4점 / 기약분수 \(\dfrac{60}{143}\) 도출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [1-1] (배점 6)] • \(a_n = 2n - 1\) 도출 +2점 / \(S_n = \dfrac{n}{2n+1}\) 산출 +4점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [1-2] (배점 7)] • 제곱차 망원 변형 \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a_k^2}-\dfrac{1}{a_{k+1}^2}\right)\) +4점 / \(T_n = \dfrac{2n(n+1)}{(2n+1)^2}\) 도출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [1-3] (배점 7)] • \(1 - \dfrac{n+1}{(2n+1)^2} \gt \dfrac{99}{100}\) 정리 +4점 / 최소 자연수 \(n = 25\) 확정 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [2-1] (배점 6)] • \(g(t) = (t+1)^2\) 도출 +3점 / 최댓값 \(4,\;\) 최솟값 \(0\) 산출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [2-2] (배점 7)] • \(t = \dfrac{1}{2}\) 도출 +3점 / 두 실근 \(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\) 및 합 \(\pi\) 계산 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [2-3] (배점 7)] • \(t = 0\) (\(k = 1\)) 경계 \(3\)개 판별 +4점 / 전체 \(k\) 구간별 실근 개수 분류 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [3-1] (배점 6)] • \(f'(x) = 3(x-k+1)(x-k-1)\) 인수분해 +3점 / 두 실근 존재 논증 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [3-2] (배점 7)] • \(\beta - \alpha = 2\) 산출 +3점 / 극값 차 \(4\) 계산 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [3-3] (배점 7)] • 중점 \(M(k, k^3 - 3k + 2)\) 유도 +4점 / 직선 대입으로 \(k\) 산출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [4-1] (배점 6)] • \(f(0)=1,\; f(2)=11\) 확인 +2점 / 직사각형 차 공식으로 \(\int_1^{11} g(x)\,dx = 14\) 도출 +4점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [4-2] (배점 7)] • \(A = \int_0^2 (x^3+1)\,dx = 6\) 산출 +3점 / \(\int_1^{11} \{x - g(x)\}\,dx = 46\) 도출 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [4-3] (배점 7)] • 역함수 미분계수 \(g'(3) = \dfrac{1}{4}\) 도출 +4점 / 접선 및 삼각형 넓이 \(\dfrac{1}{8}\) 산출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [5-1] (배점 6)] • \(2a = 10,\; 2c = 8\) 도출 +2점 / 코사인법칙으로 \(\overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 12\) 산출 +4점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [5-2] (배점 7)] • 넓이 \(S = 3\sqrt{3}\) 계산 +4점 / \(y_P = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\) 도출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [5-3] (배점 7)] • 내접원 반지름 \(r = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 산출 +4점 / 외접원 반지름 \(R = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\) 도출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [1-1] (배점 6)] • \((n-2)(n-6)\) 인수분해 및 부호 분류 +3점 / \(f(2)\sim f(6)\) 정확 산출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [1-2] (배점 7)] • \(\sum f(n) = 10\) 도출 +3점 / 가중합 \(\sum n f(n) = 68\) 산출 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [1-3] (배점 7)] • \(f(n) = 2\)인 \(n = 8, 10\) 판별 +4점 / 로그 합 \(4 + \log_2 5\) 계산 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [2-1] (배점 6)] • 계차 합산으로 \(a_n = n^2 - n + 2\) 도출 +6점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [2-2] (배점 7)] • 분모 대소 비교 \(n(n-1) \lt n^2 - n + 1 \lt n(n+1)\) 증명 +7점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [2-3] (배점 7)] • \(a_{n+1} - a_n = 2n\) 망원 변형 +4점 / \(S_m = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{m^2+m+2}\) 산출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [3-1] (배점 6)] • \(a = 1,\; b = 0\) 도출 +3점 / 공통접선 \(y = 4x - 2\) 산출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [3-2] (배점 7)] • 차함수 \(x(x - 1)^2 = 0\) 인수분해 +4점 / 교점 \((0, 0), (1, 2)\) 도출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [3-3] (배점 7)] • 정적분 설정 +3점 / 넓이 \(\dfrac{1}{12}\) 산출 +4점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [4-1] (배점 6)] • \(b = 0\) 및 연립방정식 수립 +3점 / \(a = 3,\; c = 1\) 도출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [4-2] (배점 7)] • 이차함수 \(H(k) = 2(k-2)^2 + \dfrac{8}{5}\) 전개 +4점 / \(k = 2,\; \text{최솟값 } \dfrac{8}{5}\) 산출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [4-3] (배점 7)] • 절댓값 경계 \(x = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) 분할 +3점 / 정적분 \(\dfrac{8\sqrt{3}}{9}\) 계산 +4점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [5-1] (배점 6)] • \(\overline{OC} = 3\) 도출 +3점 / 최대 \(5,\;\) 최소 \(1\) 산출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [5-2] (배점 7)] • 코시-슈바르츠 부등식 \(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} \le |\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}| \le 25\) 논증 +7점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [5-3] (배점 7)] • 교선 원 넓이 \(3\pi\) 도출 +3점 / 수선의 발 정사영을 이용한 최소 거리 산출 +4점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [1-1] (배점 6)] • 차 \(\log_{10} x\) 정수 조건 적용 +3점 / \(x = 10\) 도출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [1-2] (배점 7)] • 합 정수 조건 및 소수부분 \(0\) 제외 검증 +4점 / 거듭제곱 곱 산출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [1-3] (배점 7)] • 자릿수별 개수 \(9, 90, 101\) 분류 +4점 / 합 \(292\) 계산 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [2-1] (배점 6)] • 분자 영인자 조건 및 유리화 +3점 / \(a = 2,\; b = 4\) 도출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [2-2] (배점 7)] • 무한대 극한 유리화 변형 +4점 / 극한값 \(1\) 산출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [2-3] (배점 7)] • 양변 제곱 동치 부등식 정리 +4점 / 최소 자연수 \(n = 34\) 도출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [3-1] (배점 6)] • 완전제곱 인수분해 \(x^2(x-2)^2\) 유도 +3점 / \(\alpha=0, \beta=2\) 및 \(l : y = 2x + 1\) 도출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [3-2] (배점 7)] • \(f'(x) - 2 = 4x(x-1)(x-2)\) 인수분해 +4점 / 점 \((1, 4)\) 평행 접선 증명 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [3-3] (배점 7)] • 정적분 \(\int_0^2 x^2(x-2)^2\,dx\) 전개 +3점 / 넓이 \(\dfrac{16}{15}\) 산출 +4점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [4-1] (배점 6)] • \(\int_0^2 f(x)\,dx = \dfrac{4}{3}\) 산출 +3점 / 한 주기 적분 \(\dfrac{8}{3}\) 도출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [4-2] (배점 7)] • \(5\)주기 적분 \(\dfrac{40}{3}\) 계산 +3점 / 기함수 소거 후 \(\dfrac{16}{3}\) 도출 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [4-3] (배점 7)] • 반주기 정적분 \(\dfrac{4}{3}n\) 관계식 수립 +4점 / \(n = 30\) 산출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [5-1] (배점 6)] • 표준화 구간 \([-1.0, 1.5]\) 변환 +3점 / 확률 \(0.7745\) 산출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [5-2] (배점 7)] • \(\sigma(\overline{X}) = 5\) 도출 +3점 / 확률 \(0.8185\) 계산 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [5-3] (배점 7)] • 임계값 \(z = 2.0\) 판별 +3점 / 최소 표본 크기 \(n = 100\) 도출 +4점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [1-1] (배점 6)] • \(\alpha = 3\) 도출 +2점 / 일반항 \(a_n = 2^n + 3\) 산출 +4점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [1-2] (배점 7)] • 등비수열 합과 상수항 합 분리 +3점 / \(S_n = 2^{n+1} + 3n - 2\) 도출 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [1-3] (배점 7)] • 차 \(a_{k+1} - a_k = 2^k\)를 이용한 망원 분해 +4점 / \(\dfrac{1023}{4100}\) 계산 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [2-1] (배점 6)] • \(f'(x) = 12x(x+1)(x-2)\) 인수분해 +3점 / \(x = -1, 0, 2\) 도출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [2-2] (배점 7)] • 극댓값 \(k\) 산출 +3점 / 두 극솟값 \(k - 5,\; k - 32\) 도출 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [2-3] (배점 7)] • 네 실근 부등식 \(0 \lt k \lt 5\) 수립 +4점 / 정수 \(k\) \(4\)개 확정 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [3-1] (배점 6)] • 접선 \(y = 2tx - t^2\) 도출 +3점 / 완전제곱 피적분함수 \((x-t)^2\) 설정 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [3-2] (배점 7)] • 정적분 전개 +4점 / \(S(t) = 2t^2 - 4t + \dfrac{8}{3}\) 산출 +3점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [3-3] (배점 7)] • 완전제곱식 \(2(t-1)^2 + \dfrac{2}{3}\) 변형 +3점 / 최솟값 \(\dfrac{2}{3},\;\) 최댓값 \(\dfrac{8}{3}\) 도출 +4점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [4-1] (배점 6)] • \(c = 5\) 및 점근선 \(y = \pm\dfrac{4}{3}x\) 도출 +3점 / 주축 \(6\) 산출 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [4-2] (배점 7)] • \(\overline{PF'} = 10\) 확인 +3점 / 쌍곡선 정의로 \(\overline{PF} = 4\) 도출 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [4-3] (배점 7)] • \(\triangle PF'F\) 넓이 \(8\sqrt{6}\) 계산 +4점 / 사각형 넓이 \(12\) 산출 +3점 | 7점 |
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계 | [소문항 [5-1] (배점 6)] • \(Y = 3X - 18\) 관계식 도출 +3점 / \(P(Y=0)\) 독립시행 확률 표현 +3점 | 6점 |
| 2단계 | [소문항 [5-2] (배점 7)] • \(E(X)=6,\; V(X)=4\) 계산 +3점 / \(E(Y)=0,\; V(Y)=36\) 도출 +4점 | 7점 |
| 3단계 | [소문항 [5-3] (배점 7)] • \(E(Y^2) = V(Y) + \{E(Y)\}^2\) 공식 적용 +4점 / \(E(Y^2) = 36\) 산출 +3점 | 7점 |
| 모집단위 | 모집인원 | 명목경쟁률 | 실질경쟁률 | 최초합 평균 | 70% 충원컷 | 수능최저 기준 | 실시간 합격 판정 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 의예과 (3개 각 1등급) | 8명 | 648.3:1 | 48.6:1 | 96.5점 | 94.0점 | 국·수(미/기)·영·과(2) 중 3개 각 1등급 | 판정 대기 |
| 컴퓨터공학과 | 25명 | 29.4:1 | 21.2:1 | 87.0점 | 84.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 인공지능공학과 | 12명 | 28.1:1 | 20.4:1 | 86.5점 | 84.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 데이터사이언스학과 | 12명 | 25.8:1 | 18.7:1 | 85.5점 | 83.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 반도체시스템공학과 | 16명 | 26.9:1 | 19.5:1 | 86.0점 | 83.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 전자공학과 | 24명 | 24.2:1 | 17.6:1 | 85.0점 | 82.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 전기공학과 | 18명 | 22.5:1 | 16.3:1 | 84.0점 | 81.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 기계공학과 | 32명 | 22.8:1 | 16.5:1 | 84.2점 | 81.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 항공우주공학과 | 14명 | 23.6:1 | 17.1:1 | 83.8점 | 81.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 화학공학과 | 22명 | 22.1:1 | 16.0:1 | 83.5점 | 81.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 신소재공학과 | 20명 | 20.4:1 | 14.8:1 | 82.8점 | 80.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 생명공학과 | 14명 | 23.1:1 | 16.7:1 | 83.0점 | 80.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 산업경영공학과 | 14명 | 19.2:1 | 13.9:1 | 81.5점 | 79.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 건축학부 | 12명 | 18.5:1 | 13.4:1 | 81.0점 | 78.5점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
| 자유전공융합학부(자연) | 30명 | 21.8:1 | 15.8:1 | 83.5점 | 81.0점 | 수능최저 없음 | 판정 대기 |
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🚀 인하대학교 올인원 합격 대시보드 바로가기| 회차 | 실전 응시일 | 소요 시간 | 원점수 / 100점 | 핵심 오답 단원 및 루브릭 보완 메모 |
|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제2회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제3회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제4회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제5회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제6회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제7회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제8회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제9회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제10회 | 2026. . . | 분 | / 100 |