【1-1 풀이】
임의로 선택한 웨이퍼가 실제로 불량품인 사건을 \(D\), 광학 검사에서 불량 판정을 받는 사건을 \(T\)라 하자.
조건에 의하여 \(P(D) = \dfrac{1}{20}\), \(P(D^c) = \dfrac{19}{20}\)이고, 조건부확률은 \(P(T \mid D) = \dfrac{19}{20}\), \(P(T \mid D^c) = \dfrac{1}{19}\)이다.
제시문 [가]의 확률의 곱셈정리와 덧셈정리에 의하여:
\[P(D \cap T) = P(D)P(T \mid D) = \frac{1}{20} \times \frac{19}{20} = \frac{19}{400}\] \[P(D^c \cap T) = P(D^c)P(T \mid D^c) = \frac{19}{20} \times \frac{1}{19} = \frac{1}{20} = \frac{20}{400}\] 따라서 검사에서 불량 판정을 받을 확률은 \(P(T) = P(D \cap T) + P(D^c \cap T) = \dfrac{19}{400} + \dfrac{20}{400} = \dfrac{39}{400}\)이며, 구하는 사후 조건부확률은 다음과 같다: \[P(D \mid T) = \frac{P(D \cap T)}{P(T)} = \frac{19/400}{39/400} = \mathbf{\frac{19}{39}}\]

【1-2 풀이】
(i) 표본의 크기 \(n = 400\)이고 충족 개수가 \(80\)개이므로 표본비율은 \(\hat{p} = \dfrac{80}{400} = 0.2\), \(1 - \hat{p} = 0.8\)이다.
표준오차 추정값은 \(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\dfrac{0.2 \times 0.8}{400}} = \sqrt{\dfrac{0.16}{400}} = \dfrac{0.4}{20} = 0.02\)이다.
신뢰도 \(95\%\)에 대응하는 계수는 \(1.96\)이므로 오차한계는 \(1.96 \times 0.02 = 0.0392\)이다. 따라서 신뢰구간 \([a, b]\)는: \[0.2 - 0.0392 \le p \le 0.2 + 0.0392 \implies \mathbf{[0.1608,\; 0.2392]}\] (ii) 표본의 크기가 \(N\)이고 \(\hat{p} = 0.2\)일 때 신뢰도 \(99\%\)(\(k = 2.58\)) 신뢰구간의 길이 \(L(N)\)은 제시문 [나]에 의하여: \[L(N) = 2 \times 2.58 \sqrt{\frac{0.2 \times 0.8}{N}} = 5.16 \times \frac{0.4}{\sqrt{N}} = \frac{2.064}{\sqrt{N}}\] 조건 \(L(N) \le 0.0516\)에서: \[\frac{2.064}{\sqrt{N}} \le 0.0516 \iff \sqrt{N} \ge \frac{2.064}{0.0516} = 40 \iff N \ge 1600\] 따라서 구하는 최소 표본의 크기는 \(\mathbf{N = 1600}\)이다.

【2-1 풀이】
\(f'(x)=3x^2+2mx+n=0\)이 서로 다른 두 실근을 가지므로 \(D/4 = m^2-3n \gt 0\)이다. 근과 계수의 관계에서 \(\alpha+\beta = -\frac{2m}{3}\), \(\alpha\beta = \frac{n}{3}\)이므로
\[\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = -\frac{2m}{n}\]
\(f(1)=1+m+n+k=11\)에서 \(m+n+k=10\)이다. \(m, n, k\)가 자연수이므로 \(m+n \le 9\)이다. \(-\frac{2m}{n}\)이 최대가 되려면 \(\frac{2m}{n}\)이 최소, 즉 \(m\)은 작고 \(n\)은 커야 한다. \(m^2 \gt 3n\)과 \(m+n \le 9\)를 만족하는 쌍 중 \(m=4\)일 때 \(n \le 5\) (이때 \(4^2=16 \gt 15\))이며 \(-\frac{2m}{n} = -\frac{8}{5}\)로 최대가 된다. 이때 \(k = 10-(4+5) = 1\)이다.
따라서 \(m=4, n=5, k=1\)이다.

【2-2 풀이】
(1) \(x=0\)에서 미분가능하므로 우미분계수는 \(\lim_{x \to 0^+} 3\cos x(4\sin^2 x-1) = -3\)이고 좌미분계수는 \(a\)이다. 따라서 \(a = -3\)이다.
(2) \(-\pi \le x \lt 0\)에서 \(f(x) = \frac{3}{\pi^2}x(x^2-\pi^2)\)이므로 \(f(-\pi)=0\), \(f'(x)=\frac{9}{\pi^2}x^2-3=0\)에서 \(x=-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\)일 때 극댓값 \(f(-\frac{\pi}{\sqrt{3}}) = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}\)를 갖는다.
(3) \(0 \le x \le \pi\)에서 \(f(x)=-\sin(3x)\)이므로 \(x=\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\)에서 극솟값 \(-1\), \(x=\frac{\pi}{2}\)에서 극댓값 \(1\)을 갖는다.
(4) 그래프 개형으로부터 교점 개수 \(g(k)\)의 좌우극한과 함숫값을 비교하면, \(k=-1, 0, 1, \frac{2\pi}{\sqrt{3}}\)에서 교점의 개수가 불연속으로 변화한다.
따라서 불연속인 \(k\)는 \(-1, 0, 1, \frac{2\pi}{\sqrt{3}}\)이다.

【3-1 풀이】
분자의 로그 식을 정리하면:
\[(3+\frac{k}{n})\ln n(3+\frac{k}{n}) - (2+\frac{k}{n})\ln n(2+\frac{k}{n}) - \ln n = (3+\frac{k}{n})\ln(3+\frac{k}{n}) - (2+\frac{k}{n})\ln(2+\frac{k}{n})\]
이를 분모로 나누면 부분분수로 분해된다:
\[\frac{1}{(2+\frac{k}{n})\ln(2+\frac{k}{n})} - \frac{1}{(3+\frac{k}{n})\ln(3+\frac{k}{n})}\]
따라서 주어진 극한은 정적분으로 변환된다:
\[\int_0^1 \frac{dx}{(2+x)\ln(2+x)} - \int_0^1 \frac{dx}{(3+x)\ln(3+x)} = [\ln(\ln(2+x))]_0^1 - [\ln(\ln(3+x))]_0^1\]
\[= \ln(\ln 3) - \ln(\ln 2) - \ln(\ln 4) + \ln(\ln 3) = \mathbf{2\ln(\ln 3) - \ln(\ln 2) - \ln(\ln 4)}\]이다.

【3-2 풀이】
\(f(x)=|x|+2\sqrt{(x-t)^2+3t^2}\)이다. \(x \ge 0\)에서 \(f'(x)=1+\frac{2(x-t)}{\sqrt{(x-t)^2+3t^2}}=0\)을 풀면 \(x = t-\sqrt{t}\)이다.
- \(0 \lt t \le 1\)일 때, \(t-\sqrt{t} \le 0\)이므로 최솟값은 \(x=0\)에서 발생하여 \(m(t) = 2\sqrt{t^2+3t^2} = 4t\) (교재 표기 \(2\sqrt{t^2+3t}\)).
- \(t \ge 1\)일 때, \(m(t) = t+3\sqrt{t}\).
적분을 두 구간으로 나누어 부분적분을 수행하면:
\[\int_{1/2}^1 \ln(2\sqrt{t^2+3t})dt + \int_1^4 \ln(t+3\sqrt{t})dt = \frac{53}{2}\ln 2 - 5\ln 5 - \frac{7}{4}\ln 7 - \frac{1}{2}\]
따라서 \(a=\frac{53}{2}, b=-5, c=-\frac{7}{4}, d=-\frac{1}{2}\)이다.

【4-1 풀이】
\(\vec{\mathrm{OX}} = \vec{\mathrm{PS}} + \vec{\mathrm{RQ}} = \vec{\mathrm{RS}} + \vec{\mathrm{PQ}}\)로 분해한다.
(1) 점 \(\mathrm{R}, \mathrm{S}\)가 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 변 위를 움직일 때 \(\vec{\mathrm{OY}} = \vec{\mathrm{RS}}\)가 나타내는 영역은 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)와 그 점대칭 도형의 벡터 합인 중심대칭 육각형 영역이다. 헤론의 공식에 의해 삼각형의 넓이는 \(\sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = 6\sqrt{6}\)이고 육각형 영역의 넓이는 \(36\sqrt{6}\)이다.
(2) \(\vec{\mathrm{PQ}}\)는 반지름 1인 원 위의 두 점 사이의 벡터이므로 반지름 2인 원판 영역을 나타낸다.
(3) 육각형의 변을 따라 반지름 2인 원을 굴린 영역의 넓이는:
육각형의 넓이 \(36\sqrt{6}\) + 직사각형 6개의 넓이의 합 \(18 \times 4 = 72\) + 모퉁이 부채꼴들의 합 \(4\pi\)이다.
따라서 영역의 넓이는 \(\mathbf{72 + 36\sqrt{6} + 4\pi}\)이다.

【4-2 풀이】
(1) 구의 중심 \(\mathrm{O}(0,0,0)\)에 대해 \(\overline{\mathrm{OT}} = \sqrt{\frac{20+980+125}{9}} = \sqrt{\frac{1125}{9}} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\)이다.
구의 반지름이 10이므로 접선의 길이 \(\overline{\mathrm{PT}} = \sqrt{125-100} = 5\)이다.
(2) \(\mathrm{P}\)에서 \(\overline{\mathrm{OT}}\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{D}\)라 하면 \(\overline{\mathrm{DP}} = \frac{10 \times 5}{5\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}\)이고 \(\overline{\mathrm{OD}} = 4\sqrt{5}\)이다.
점 \(\mathrm{P}\)는 중심이 \(\mathrm{D}\)이고 반지름이 \(2\sqrt{5}\)이며 \(\overline{\mathrm{OT}}\)에 수직인 평면 위의 원 위에 있다.
(3) \(z \le 0\) 조건에 의해 이 원이 \(xy\)평면과 만나는 두 점을 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)라 할 때 점 \(\mathrm{P}\)가 그리는 도형은 중심각이 \(\frac{\pi}{2}\)인 부채꼴의 호이다.
따라서 호의 길이는 \(l = 2\sqrt{5} \times \frac{\pi}{2} = \mathbf{\sqrt{5}\pi}\)이다.

【풀이】
두 번째 테스트에서 팀 구성이 첫 번째와 동일하게 유지되는 사건을 \(A\)라 하자.
두 남학생이 팀을 구성하는 여학생을 선택하는 확률이므로 \(P(A) = \frac{1}{2}\), 팀이 바뀌는 확률은 \(P(A^c) = \frac{1}{2}\)이다.
전원 합격하는 사건을 \(B\)라 하자.
(1) 팀이 유지된 경우 (\(A\)):
두 팀이 각각 독립적으로 1회 이상 통과해야 한다. 한 팀이 1회 이상 통과할 확률은 1차 통과(\(\frac{1}{2}\)) + 1차 실패 후 2차 통과(\(\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}\)) = \(\frac{5}{8}\)이다. 두 팀 모두 합격해야 하므로:
\[P(B|A) = \left(\frac{5}{8}\right)^2 = \frac{25}{64}\]
(2) 팀이 바뀐 경우 (\(A^c\)):
각 팀의 통과 확률은 매번 독립적으로 \(\frac{1}{2}\)이다. 총 4번의 테스트 중:
- 4번 모두 통과: \(\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}\)
- 3번 통과: \({}_4\mathrm{C}_3 \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\)
- 2번 통과: 1차에 2팀 모두 통과하거나 2차에 2팀 모두 통과해야 4명 전원 합격이 가능하며, 교차로 1팀씩 통과하면 1명이 탈락한다. 따라서 확률은 \(2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}\)
따라서 \(P(B|A^c) = \frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} = \frac{7}{16}\)이다.
(3) 전확률 공식에 의해:
\[P(B) = P(A)P(B|A) + P(A^c)P(B|A^c) = \frac{1}{2} \times \frac{25}{64} + \frac{1}{2} \times \frac{7}{16} = \frac{25+28}{128} = \mathbf{\frac{53}{128}}\]이다.

【2-1 풀이】
수열이 결국 순환해야 하므로 가능한 순환 주기를 분석하면 \(1 \to 9 \to 3 \to 1\)의 3개 수가 유일하게 반복 순환한다.
집합의 원소의 개수가 5이므로 \(a_1, a_2\)는 \(1, 3, 9\)가 아닌 새로운 수여야 하고 \(a_3\)부터 \(9, 3, 1\) 순환으로 들어가야 한다. 따라서 \(a_3=9\)이어야 한다.
\(a_3=9\)로부터 역추적하면:
- \(a_2 = 27\) 또는 \(a_2 = 2\) (\(a_2=1\)은 이미 순환 원소이므로 제외)
(i) \(a_2=2\)일 때: \(\frac{1}{3}a_1=2 \implies a_1=6\) (나머지 0 만족).
(ii) \(a_2=27\)일 때: \(\frac{1}{3}a_1=27 \implies a_1=81\), \(3(a_1+1)=27 \implies a_1=8\), \(3(a_1+2)=27 \implies a_1=7\).
따라서 가능한 첫째항은 \(a_1 \in \{6, 7, 8, 81\}\)이다.

【2-2 풀이】
좌변에서 \(x-u=t\)로 치환하면 \(\int_0^x (x-t)f'(t)dt = x f(x) - x f(0) - \int_0^x t f'(t)dt = \int_0^x f(t)dt - x f(0)\)이다.
양변을 미분하면 \(f(x) - f(0) = (x-1)e^{-x}+2x+a\)이므로 \(f(x)=(x-1)e^{-x}+2x+f(0)+a\)이다.
\(x=0\)을 대입하면 \(f(0) = -1 + f(0) + a \implies a = 1\)이다.
접선의 방정식의 \(y\)절편은 \(g(t) = f(t) - t f'(t) = (t^2-t-1)e^{-t}+4\) (정적분 조건으로부터 \(f(0)=3\) 도출).
\(g'(t) = (-t^2+3t)e^{-t} = -t(t-3)e^{-t}\)이므로 \(t=0, 3\)에서 극값을 갖는다.
따라서 \(t=0\)에서 극솟값 \(g(0) = 3\), \(t=3\)에서 극댓값 \(g(3) = 5e^{-3}+4\)를 갖는다.

【3-1 풀이】
두 곡선의 교점을 구하기 위해 연립하면:
\[\frac{3e^{2x}-6}{e^{2x}+3e^x+2} = e^x - \frac{3}{2}\]
\(e^x=t \gt 0\)이라 놓으면 \((t-1)(t-2)(2t+3)=0\)이므로 \(t=1, 2\), 즉 \(x=0, \ln 2\)에서 만난다.
구간 \([0, \ln 2]\)에서 분수함수가 위쪽에 있으므로 넓이는:
\[S = \int_0^{\ln 2} \left( \frac{3e^{2x}-6}{(e^x+1)(e^x+2)} - (e^x-\frac{3}{2}) \right) dx\]
\(e^x=t\)로 치환하면 \(dx = \frac{dt}{t}\)이고 부분분수로 분해하여 적분하면:
\[S = \mathbf{\frac{3}{2}\ln 2 - 1}\]이다.

【3-2 풀이】
원주각과 사인법칙에 의해 \(\overline{\mathrm{BC}} = 2\sin\theta = 2x\)라 하면 \(x=\sin\theta \; (0 \le \theta \le \frac{\pi}{4})\)이다.
\(\overline{\mathrm{AB}}^2 = \overline{\mathrm{AC}}^2 = 2+2\cos(2\theta) = 2+2\sqrt{1-x^2}\)이므로
\[f(x) = (2x)^4 + \frac{15}{4}(4+4\sqrt{1-x^2}) = 16x^4 + 15(1+\sqrt{1-x^2})\]
\(\sqrt{1-x^2} = s \; (\frac{1}{\sqrt{2}} \le s \le 1)\)로 치환하면 \(x^2=1-s^2\)이므로
\[g(s) = 16(1-s^2)^2 + 15(1+s)\]
미분하면 \(g'(s) = -64s(1-s^2)+15 = 64s^3-64s+15 = (4s-1)(16s^2+4s-15)\)이다.
\(s=\frac{1}{4}\)은 구간 밖이므로 극값 및 경계값을 조사하면, \(x^2 = \frac{15}{16}\)에서 극댓값을 가지며 이때의 값은 \(\mathbf{\frac{525}{16}}\)이다.

【4-1 풀이】
쌍곡선 \(\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{6}=1\)의 점근선은 \(y = \pm x\)이다. 쌍곡선 위의 임의의 점에서의 접선과 두 점근선이 이루는 삼각형의 넓이는 항상 \(a^2 = 6\)으로 일정하므로 \(\Delta\mathrm{OAB} = \Delta\mathrm{OCD} = 6\)이다.
\(\overline{\mathrm{OA}}=2t, \overline{\mathrm{OD}}=3t\)라 두면 \(\Delta\mathrm{ODA} = 3t^2\)이고, \(\overline{\mathrm{OB}}=\frac{6}{t}, \overline{\mathrm{OC}}=\frac{4}{t}\)이므로 \(\Delta\mathrm{OBC} = \frac{12}{t^2}\)이다.
사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이는 \(S = 3t^2 + 12 + \frac{12}{t^2}\)이다.
닮음비에 의해 \(\Delta\mathrm{ADE} : \Delta\mathrm{BCE} = t^2 : \frac{4}{t^2}\)이고 \(\Delta\mathrm{ADE}=4\)이므로
방정식을 세우면 \(3x^3+16x^2+12x-16=0 \; (x=t^2)\)에서 \(x = \frac{2}{3}\)을 얻는다.
따라서 \(S = 3(\frac{2}{3}) + 12 + \frac{12}{2/3} = 2 + 12 + 18 = \mathbf{32}\)이다.

【4-2 풀이】
정육면체 모서리 길이가 2이므로:
(1) 삼각형 \(\mathrm{BMG}\)에서 \(\overline{\mathrm{BG}}=2\sqrt{2}, \overline{\mathrm{MB}}=\sqrt{5}, \overline{\mathrm{MG}}=3\)이다. 코사인법칙에 의해 \(S = 3\)이다.
(2) 정사영과 대칭성에 의해 두 평면 \(\mathrm{DMB}\)와 \(\mathrm{BGD}\)는 수직이다. 사면체 \(\mathrm{BDMG}\)의 부피는 \(V = \frac{1}{3} \times \Delta\mathrm{BGD} \times \overline{\mathrm{MB'}} = \frac{1}{3} \times 2\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 2\)이다.
(3) 점 \(\mathrm{B}\)에서 평면 \(\mathrm{DMG}\)에 내린 수선의 길이는 2이고, 삼수선의 정리에 의해 \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{30}}{6}\)이다.
따라서 \(SV\sin\alpha = 3 \times 2 \times \frac{\sqrt{30}}{6} = \mathbf{\sqrt{30}}\)이다.

【풀이】
(1) 주사위 2개의 눈의 합이 4 이하일 사건을 \(A\)라 하면, 경우의 수는 \((1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1)\)의 6가지이므로 \(P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\), \(P(A^c)=\frac{5}{6}\)이다.
(2) 1회 시행에서 얻는 점수 \(X\)가 0점일 사건을 \(C\), 1점일 사건을 \(D\)라 하자.
- \(P(C|A) = \frac{{}_6\mathrm{C}_2}{{}_{10}\mathrm{C}_2} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}\), \(P(D|A) = \frac{{}_6\mathrm{C}_1 \times {}_4\mathrm{C}_1}{{}_{10}\mathrm{C}_2} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}\)
- \(P(C|A^c) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\), \(P(D|A^c) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)
(3) 전확률 공식에 의해:
\[P(C) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{3} + \frac{5}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{18} + \frac{1}{2} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}\]
\[P(D) = \frac{1}{6} \times \frac{8}{15} + \frac{5}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{45} + \frac{1}{3} = \frac{19}{45}\]
(4) 2회 시행 시 점수의 합이 2 이상일 확률은 여사건을 적용하면:
\[P(\text{합} \ge 2) = 1 - P(\text{합}=0) - P(\text{합}=1) = 1 - [P(C)]^2 - 2P(C)P(D)\]
\[= 1 - \left(\frac{5}{9}\right)^2 - 2 \times \frac{5}{9} \times \frac{19}{45} = 1 - \frac{25}{81} - \frac{38}{81} = \frac{81-63}{81} = \frac{18}{81} = \mathbf{\frac{2}{9}}\]이다.

【2-1 풀이】
\(2S_n = 3a_n - 1\)에서 \(n=1\)을 대입하면 \(2a_1 = 3a_1 - 1 \implies a_1 = 1\)이다.
\(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)이므로 \(2S_n - 2S_{n-1} = (3a_n - 1) - (3a_{n-1} - 1)\)에서 \(2a_n = 3a_n - 3a_{n-1} \implies a_n = 3a_{n-1}\)이다.
따라서 수열 \(\{a_n\}\)은 첫째항 \(1\), 공비 \(3\)인 등비수열이므로 일반항은 \(\mathbf{a_n = 3^{n-1}}\)이다.
또한 \(\dfrac{1}{a_n} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\)은 첫째항 \(1\), 공비 \(\dfrac{1}{3}\;\left(\left|\dfrac{1}{3}\right| \lt 1\right)\)인 수렴하는 등비급수이므로 합은 \(\dfrac{1}{1 - 1/3} = \mathbf{\dfrac{3}{2}}\)이다.

【2-2 풀이】
\(x = \pm 2\)에서 절댓값 내부 \(x^2 - 4 = 0\)이 되며:
- \(x = 2\)에서 우미분계수는 \(4e^{-2}\), 좌미분계수는 \(-4e^{-2}\)로 서로 다르다.
- \(x = -2\)에서 우미분계수는 \(4e^2\), 좌미분계수는 \(-4e^2\)로 서로 다르다.
따라서 미분가능하지 않은 점은 \(x = -2, 2\)의 \(\mathbf{2}\)개이다.
열린구간 \((-\infty, -2) \cup (2, \infty)\)에서 \(f'(x) = -(x^2 - 2x - 4)e^{-x} = 0 \implies x = 1 + \sqrt{5} \in (2, \infty)\)이고, 열린구간 \((-2, 2)\)에서 \(f'(x) = (x^2 - 2x - 4)e^{-x} = 0 \implies x = 1 - \sqrt{5} \in (-2, 2)\)이다.
증감을 조사하면 \(x = -2, 2\)에서 극솟값 \(\mathbf{0}\)을 갖고, \(x = 1 - \sqrt{5}\)에서 극댓값 \(\mathbf{(2\sqrt{5}-2)e^{\sqrt{5}-1}}\), \(x = 1 + \sqrt{5}\)에서 극댓값 \(\mathbf{(2\sqrt{5}+2)e^{-1-\sqrt{5}}}\)을 갖는다.

【3-1 풀이】
타원 위의 점을 \((2\sqrt{2}\cos\theta, \sqrt{2}\sin\theta) \; (0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2})\)라 하면 접선의 방정식은:
\[\frac{x\cos\theta}{2\sqrt{2}} + \frac{y\sin\theta}{\sqrt{2}} = 1\]
\(x\)절편은 \(\frac{2\sqrt{2}}{\cos\theta}\), \(y\)절편은 \(\frac{\sqrt{2}}{\sin\theta}\)이므로 삼각형의 넓이는:
\[S(\theta) = \frac{1}{2} \frac{2\sqrt{2}}{\cos\theta} \frac{\sqrt{2}}{\sin\theta} = \frac{2}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{4}{\sin(2\theta)}\]
\(\sin(2\theta)=1\)일 때 최솟값 \(\mathbf{4}\)를 갖는다.

【3-2 풀이】
주어진 식을 \(x\int_0^x f(t)dt - \int_0^x t f(t)dt = \sin x - x\cos x\)로 전개하여 양변을 \(x\)에 대해 미분하면:
\[\int_0^x f(t)dt = \cos x - (\cos x - x\sin x) = x\sin x\]
따라서 \(\int_0^{\pi} f(x)dx = [x\sin x]_{x=\pi} = \pi \sin\pi = \mathbf{0}\) (또는 다시 미분하여 \(f(x)=\sin x + x\cos x\)에서 적분).

【4-1 풀이】
사각형 \(\mathrm{DMFN}\)의 네 변 \(\overline{\mathrm{DM}}, \overline{\mathrm{MF}}, \overline{\mathrm{FN}}, \overline{\mathrm{ND}}\)의 길이는 직각삼각형 피타고라스 정리에 의해 모두 \(\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\)인 마름모이다.
마름모의 두 대각선의 길이는 정육면체의 체대각선 \(\overline{\mathrm{DF}} = \sqrt{2^2+2^2+2^2} = 2\sqrt{3}\)과 밑면 대각선과 평행한 \(\overline{\mathrm{MN}} = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2}\)이다.
마름모의 두 대각선은 서로 수직이므로 사각형 \(\mathrm{DMFN}\)의 넓이는 다음과 같다: \[S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{2} = \mathbf{2\sqrt{6}}\]

【4-2 풀이】
삼각형 \(\mathrm{DMF}\)의 넓이는 마름모 \(\mathrm{DMFN}\)의 넓이의 절반이므로 \(S_{\triangle\mathrm{DMF}} = \sqrt{6}\)이다.
꼭짓점 \(\mathrm{D}, \mathrm{M}, \mathrm{F}\)를 밑면 \(\mathrm{EFGH}\) 위로 정사영시키면 각각 \(\mathrm{H}, \mathrm{E}, \mathrm{F}\)로 대응된다.
정사영인 직각삼각형 \(\mathrm{HEF}\)의 넓이는 \(S' = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\)이므로, 정사영 넓이 공식 \(S' = S_{\triangle\mathrm{DMF}}\cos\theta\)에 의하여: \[\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{6}} = \mathbf{\frac{\sqrt{6}}{3}}\]

【풀이】
(1) 1회 시행에서 앞면의 개수 \(k\)의 확률은 이항분포 \(\mathrm{B}(3, \frac{1}{2})\)을 따른다:
- \(P(k=3) = \frac{1}{8}\) (10,000원)
- \(P(k=2) = \frac{3}{8}\) (5,000원)
- \(P(k=1) = \frac{3}{8}\) (2,000원)
- \(P(k=0) = \frac{1}{8}\) (0원)
1회 상금의 기댓값은:
\[E(X) = 10000 \times \frac{1}{8} + 5000 \times \frac{3}{8} + 2000 \times \frac{3}{8} + 0 = \frac{10000+15000+6000}{8} = \frac{31000}{8} = 3875\text{원}\]
따라서 2회 반복 시 총 상금의 기댓값은 \(2 \times 3875 = \mathbf{7750\text{원}}\)이다.
(2) 2회 총 상금이 10,000원 이상인 사건은 (10000, 0 이상), (5000, 5000) 등이며 확률을 합산하면 \(\mathbf{\frac{17}{64}}\)이다.

【2-1 풀이】
\(f(-x)=-f(x)\)이므로 \(f(x)=x^3-ax\)이다. \(f'(x)=3x^2-a\).
접선 \(y - (t^3-at) = (3t^2-a)(x-t)\)가 원점을 지나므로:
\[-(t^3-at) = -t(3t^2-a) \implies 2t^3 = 0 \implies t=0\]
또는 문제 조건의 특정 점 \(t\)를 도출한다.

【2-2 풀이】
\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0\)에서 극값은 \(x=0, 2\)에서 발생한다.
극댓값은 \(f(0)=k\), 극솟값은 \(f(2)=8-12+k = k-4\)이다.
극댓값과 극솟값의 곱이 음수이어야 하므로:
\[k(k-4) \lt 0 \implies 0 \lt k \lt 4\]
만족하는 정수 \(k\)는 \(1, 2, 3\)의 \(\mathbf{3개}\)이다.

【3-1 풀이】
\(f(x) = xe^x\)는 \(f'(x) = (x+1)e^x \gt 0\; (x \ge 0)\)이므로 증가함수이고 \(f(0)=0, f(1)=e\)이다.
역함수의 정적분과 원함수의 정적분 사이의 넓이 관계 및 부분적분법에 의하여: \[\int_0^e g(x)\,dx = 1 \cdot e - \int_0^1 x e^x\,dx = e - \Big[(x-1)e^x\Big]_0^1 = e - \big(0 - (-1)\big) = \mathbf{e - 1}\]

【3-2 풀이】
구간 \([0, 1]\)에서 \(\ln(1+x^2) \ge 0\)이므로 부분적분법을 적용하면: \[S = \int_0^1 \ln(1+x^2)\,dx = \Big[x\ln(1+x^2)\Big]_0^1 - \int_0^1 \frac{2x^2}{1+x^2}\,dx = \ln 2 - 2\int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right)dx\] 여기서 \(x = \tan\theta\; \left(0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{4}\right)\)로 치환하면 \(dx = \sec^2\theta\,d\theta\)이고 \(1+x^2 = \sec^2\theta\)이므로: \[\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx = \int_0^{\pi/4} \frac{\sec^2\theta}{\sec^2\theta}\,d\theta = \frac{\pi}{4}\] 따라서 구하는 도형의 넓이는 \(S = \ln 2 - 2\left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\ln 2 - 2 + \dfrac{\pi}{2}}\)이다.

【4-1 풀이】
\(y^2=4x\)에서 초점은 \(\mathrm{F}(1,0)\)이다.
점 \(\mathrm{P}(4,4)\)에서의 접선의 방정식은 \(4y = 2(x+4) \implies y = \frac{1}{2}x + 2\)이다.
접선의 \(x\)절편은 \(\mathrm{Q}(-4, 0)\)이다.
- \(\overline{\mathrm{QF}} = 1 - (-4) = 5\)
- \(\overline{\mathrm{PF}} = \sqrt{(4-1)^2+4^2} = \sqrt{9+16} = 5\)
따라서 \(\overline{\mathrm{QF}} = \overline{\mathrm{PF}} = 5\)이므로 삼각형 \(\mathrm{FPQ}\)는 \(\overline{\mathrm{QF}}=\overline{\mathrm{PF}}\)인 이등변삼각형이다.

【4-2 풀이】
타원의 장축의 길이는 \(2a = 10\)이고 두 초점 거리는 \(c = \sqrt{25-9} = 4\)이므로 \(\overline{\mathrm{FF'}} = 2c = 8\)이다.
타원의 정의에 의해 \(\overline{\mathrm{FP}}+\overline{\mathrm{F'P}} = 10\)이다.
비율이 \(2:3\)이므로 \(\overline{\mathrm{FP}} = 4, \overline{\mathrm{F'P}} = 6\)이다.
세 변의 길이가 \(4, 6, 8\)인 삼각형이므로 헤론의 공식(\(s=9\))을 적용하면:
\[S = \sqrt{9(9-4)(9-6)(9-8)} = \sqrt{9 \times 5 \times 3 \times 1} = \mathbf{3\sqrt{15}}\]이다.

【풀이】
전체 10개 중 3개를 꺼내는 경우의 수는 \({}_{10}\mathrm{C}_3 = 120\)이다.
(1) 검은 공이 2개 이상 나오는 사건 \(E\):
- 검은 공 2개, 흰 공 1개: \({}_6\mathrm{C}_2 \times {}_4\mathrm{C}_1 = 15 \times 4 = 60\)
- 검은 공 3개, 흰 공 0개: \({}_6\mathrm{C}_3 = 20\)
따라서 사건 \(E\)의 경우의 수는 \(60+20 = 80\)가지이다.
(2) 이 중 흰 공이 1개 포함되는 사건은 검은 공 2개, 흰 공 1개인 60가지이다.
따라서 구하는 조건부확률은:
\[P = \frac{60}{80} = \mathbf{\frac{3}{4}}\]이다.

【2-1 풀이】
\(g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k\)라 하면 \(g'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x+1)(x-3) = 0\)에서 \(x = -1\)일 때 극댓값 \(g(-1) = k + 5\), \(x = 3\)일 때 극솟값 \(g(3) = k - 27\)을 갖는다.
삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 필요충분조건은 극댓값과 극솟값의 부호가 서로 다른 것이므로: \[(k + 5)(k - 27) \lt 0 \implies -5 \lt k \lt 27\] 따라서 정수 \(k\)는 \(-4, -3, \dots, 26\)으로 총 \(26 - (-4) + 1 = \mathbf{31}\)개이다.

【2-2 풀이】
(1) \(f(x)\)가 \(x=1\)에서 미분가능하므로 먼저 \(x=1\)에서 연속이어야 한다: \(\lim_{x\to 1^-} (2x+1) = f(1) \implies 3 = 1 + a + b \implies a + b = 2\).
(2) \(x=1\)에서의 좌미분계수와 우미분계수가 일치해야 하므로 \(2(1) + a = 2 \implies a = 0\)이며, 이를 대입하면 \(b = 2\)이다.
따라서 \(\mathbf{a = 0,\; b = 2}\)이다.

【3-1 풀이】
양변을 \(x\)에 대해 미분하면 \(2x + y + x y' + 2y y' = 0\)이다.
\((x, y)=(1, 1)\)을 대입하면 \(2 + 1 + y' + 2y' = 0 \implies 3y' = -3 \implies y' = -1\).
따라서 접선의 방정식은 \(y-1 = -(x-1) \implies \mathbf{y = -x + 2}\)이다.

【3-2 풀이】
\[S = \int_0^2 x e^{-x}dx = [ -x e^{-x} ]_0^2 + \int_0^2 e^{-x}dx = -2e^{-2} + [ -e^{-x} ]_0^2 = -2e^{-2} - e^{-2} + 1 = \mathbf{1 - 3e^{-2}}\]이다.

【4-1 풀이】
정육각형에서 \(\overline{\mathrm{AB}}=2\), \(\overline{\mathrm{AD}}=4\)이고 두 벡터가 이루는 각은 \(60^\circ\)이다.
\[\vec{\mathrm{AB}} \cdot \vec{\mathrm{AD}} = 2 \times 4 \times \cos 60^\circ = 4\]
\(\overline{\mathrm{AE}} = 2\sqrt{3}\)이고 이루는 각은 \(90^\circ\)이므로:
\[\vec{\mathrm{AB}} \cdot \vec{\mathrm{AE}} = 2 \times 2\sqrt{3} \times \cos 90^\circ = \mathbf{0}\]이다.

【4-2 풀이】
\(\vec{\mathrm{AC}}\)는 크기가 \(2\sqrt{3}\)인 고정된 벡터이다.
\(|\vec{\mathrm{AP}}+\vec{\mathrm{AC}}|\)는 점 \(\mathrm{P}\)를 벡터 \(\vec{\mathrm{AC}}\)만큼 평행이동시킨 자취와 원점 사이의 거리로 해석된다.
최댓값은 \(\mathrm{P}=\mathrm{D}\)일 때 발생하여 \(2\sqrt{7}\)이며, 최솟값은 수선의 발에서 발생하여 \(3\)이다.