2027학년도 중앙대학교 창의형 자연계열 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 173쪽 단권화

2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본

2027학년도 중앙대학교 창의형
자연계열 수리논술
10회분 통합 마스터 문제집·해설집

출제 범위: 교과서 기반 교육과정 수학 전 범위 (Textbook DB SSOT)
시험 시간: 120분 | 전형 반영: 논술 70% + 학생부 30% (교과 20% + 출결 10%)

📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 173쪽 완결]

• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭

• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (31p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (15문항)

• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (75p): 출제 타당성 보고서(4p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)

• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (61p): 60문항 전수 아코디언 정밀 해설

• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터

📱 스마트폰 실시간 합격진단 & 올인원 대시보드 연동

우측 QR 스캔 또는 상단 툴바 버튼으로 중앙대학교 창의형 실시간 컷오프 시뮬레이터와 즉시 동기화됩니다.

발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: QUESTIO-2027-UNIFIED-MASTER

전형 반영 비율

논술 70% + 학생부 30% (교과 20% + 출결 10%)

논술 실질 변별력 핵심

시험 시간 · 문항

120분 · 6문항

회차당 수리 100점 만점

수능최저학력기준

모집단위별 기준 확인

국·수(미/기)·영·과탐(1) 중 3개 영역 등급합 6 이내

출제 교육과정

교과서 기반 수학과

Textbook DB V1.0 완벽 준거

STEP 1기출 5개년 해부Part 1 정독

STEP 2표준 모의 1~5회실전 시간 엄수

STEP 3킬러 모의 6~10회TOP 5 심화 격파

STEP 4루브릭 약점 교정감점 요인 제거

STEP 5입결 컷오프 판정Part 3 시뮬레이션

📈 5개년 출제 경향 및 2027학년도 핵심 대비 전략

중앙대학교 창의형(창의ICT·소프트웨어·AI·첨단공학) 수리논술은 과학논술 폐지 이후 순수 수리논술 100% 단일 체제(120분)로 정착하였으며, 2027 모의논술 기준 6문항(1~4번 각 15점 + 5~6번 각 20점 = 100점 만점)의 촘촘한 다문항·소문항 구조로 수험생의 계산 완결성과 논리적 엄밀성을 동시에 평가합니다.

최근 5개년(2022~2026) 기출 및 2027 모의논술 전수 분석 결과, ① 조건부확률·기댓값과 모비율 신뢰구간(확률과 통계), ② 비선형 점화식과 부분분수 급수(대수), ③ 공간벡터 평면의 방정식과 정사영·이차곡선(기하), ④ 초월함수 극값·변곡점 개형 및 부분적분 점화식·넓이 극한(미적분Ⅰ·Ⅱ)이 전 범위에서 균형 있게 출제됩니다.

🔥 역대 킬러 문항 TOP 5 분석 & 실전 모의고사 6~10회 1:1 심화 매칭표

순위	기출 원천 문항	핵심 출제 테마 및 변별 포인트	모의 1:1 매칭	부분점수 공략 전략
TOP 1	2027 모의논술 창의형 문제 1 · 5	다항·초월함수의 접선 재교점과 미소 구간 넓이 수열의 극한	제6~10회 문항 3	접점 중근 인수분해식 (x-a)^2(x-b)와 치환적분으로 극한 차수를 즉시 정렬
TOP 2	2026학년도 기출 문제 4 (30점)	부분적분 점화식 유도와 정적분 급수(구분구적) 극한 결합	제6~10회 문항 6	경계항 $x=1$, $e$ 대입 부호를 명확히 적고 일반항 점화식을 귀납적으로 검증
TOP 3	2026학년도 기출 문제 2 · 3	초월함수 곱·몫 미분, 이계도함수 변곡점과 실근 개수 불연속	제6~10회 문항 5	무한대 점근선($y \to 0^+$) 극한을 반드시 명시하여 실근 개수 경계값 누락 방지
TOP 4	2025학년도 기출 문제 2 · 2027 모의 문제 4	공간좌표 법선벡터 평면의 방정식과 정사영 넓이·최단거리	제6~10회 문항 4	절편 평면 방정식으로부터 단위법선벡터 내적과 정사영 $S'=S \cos \theta$를 일관 적용
TOP 5	2024~2025 기출 문제 1 · 2027 모의 문제 2	베이즈 사후확률 추론 및 표본비율 모비율 신뢰구간 분석	제6~10회 문항 1 · 2	전확률 공식의 상호배반 분할 사건을 기호로 선언하고 표준오차 제곱근을 기약분수화

📌 본 통합 마스터북 100% 활용 5단계 로드맵

STAGE 1

STEP 1 (Part 1 공식 기출 15문항 완파): 2027 모의논술 창의형 6문항 전수와 2022~2026학년도 핵심 기출을 좌우 스프레드 교과서 1:1 연계 연습문제로 완벽 체화합니다.

STAGE 2

STEP 2 (Part 2 실전 모의 1~5회 + 킬러 심화 6~10회 총 60문항 완주): 실제 배점(15·15·15·15·20·20점)과 동일한 120분 타임어택 훈련으로 소문항 부분점수 극대화 전략을 완성합니다.

STAGE 3

STEP 3 (Part 3 창의ICT·소프트웨어·AI 실시간 합격 진단): 6문항 득점을 입력하여 소프트웨어학부(89.0점)·AI학과(88.2점)·전자전기공학부(86.5점) 등 모집단위별 합격 가능성을 즉시 점검합니다.

PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS

2022~2026학년도 중앙대학교 창의형
공식 기출 심층 해설 & 교과서 1:1 연계

최근 5개년 기출 핵심 15문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.

📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록

📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공

✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 초월함수 미적분·극한 심층 추론 ⏱️ 권장 시간: 20분

[제시문]

곡선 $y = x^3 - x$ 위의 점 $(1, 0)$에서의 접선을 $l$이라 하자.

1-1 곡선 $y = x^3 - x$와 직선 $l$의 교점을 구하시오. (단, 접점 $(1, 0)$은 제외한다.) 5점

1-2 닫힌구간 $\left[-2-\frac{1}{n}, -2+\frac{1}{n}\right]$에서 곡선 $y = x^3 - x$와 직선 $l$ 사이의 넓이를 $A_n$이라 할 때, $\lim_{n \to \infty}(n^2 A_n)$의 값을 구하시오. 10점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

【유사 연습 문제】 정적분 $\displaystyle \int_1^e x \ln x \, dx$의 값을 부분적분법을 이용하여 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\int_1^e x \ln x \, dx = \left[\frac{1}{2}x^2 \ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{2}e^2 - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$이다.

【문항 요약】 2027학년도 모의논술 창의형 문제 1 (미적분Ⅱ) [배점 15점]

[2027학년도 모의논술 창의형 문제 1] 출제범위: 미적분Ⅱ · 핵심개념: 초월함수 미적분·극한 심층 추론 (배점 15점, 권장 20분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2027 문제 1 · 총 15점

1-1 $y=x^3-x$를 미분하면 $\frac{dy}{dx}=3x^2-1$이므로 점 $(1, 0)$에서의 접선 $l$의 방정식은
\[y - 0 = 2(x - 1) \implies y = 2x - 2\] 곡선과 직선의 교점을 구하기 위해 $x^3-x = 2x-2 \iff (x-1)^2(x+2) = 0$
접점 $x=1$을 제외한 교점의 $x$좌표는 $x=-2$이고, 이때 $y=-6$이다. 따라서 교점은 $(-2, -6)$이다.

1-2 닫힌구간 $[-2-\frac{1}{n}, -2+\frac{1}{n}]$에서 곡선과 접선 사이의 넓이 $A_n$은
\[A_n = \int_{-2-\frac{1}{n}}^{-2} (-x^3+3x-2)dx + \int_{-2}^{-2+\frac{1}{n}} (x^3-3x+2)dx\] $x = -2-u, -2+u$로 치환적분하면
\[A_n = \int_0^{\frac{1}{n}} 2u(u^2+9)du = \left[\frac{1}{2}u^4 + 9u^2\right]_0^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{2n^4} + \frac{9}{n^2}\] 따라서 극한값은 $\lim_{n \to \infty}(n^2 A_n) = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{2n^2} + 9\right) = \mathbf{9}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1-1	접선의 방정식 $y=2x-2$를 정확히 구했으면	3점
2단계	교점 $(-2, -6)$을 올바르게 도출했으면	2점
1-2	곡선의 개형을 파악하여 넓이의 정적분 식을 올바르게 수립했으면	5점
4단계	정적분을 계산하여 $A_n = \frac{1}{2n^4} + \frac{9}{n^2}$을 유도했으면	2점
5단계	극한값 $\lim_{n \to \infty}(n^2 A_n) = 9$를 완벽하게 구했으면	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[중앙대 창의형 감점 방어 클리닉] 문제 1에서는 소문항 간 앞 단계의 결과를 다음 단계 극한·적분 식에 대입할 때 동치 변형 근거와 정의역 제한을 명시해야 배점(15점) 전액을 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$(-2, -6)$ | $9$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 다항함수의 미분·적분과 넓이 극한 ⏱️ 권장 시간: 20분

[제시문]

음함수 표현 $x^4 + 7x^2 y^2 + y^4 = 45$에 대하여 $x = a$에서 $\frac{dy}{dx} = -1$이다. (단, $x \gt 0$이고 $y \gt 0$이다.)

음함수 $x^4 + 7x^2 y^2 + y^4 = 45$에서 $\frac{dy}{dx} = -1$이 되는 $a$의 값을 모두 구하시오. 15점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

【유사 연습 문제】 닫힌구간 $[1, 3]$에서 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 실수 $c \in (1, 3)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$이고 $f'(x) = 3x^2 - 6x$이므로 $3c^2 - 6c - 1 = 0$. $1 \lt c \lt 3$이므로 $c = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$이다.

【문항 요약】 2027학년도 모의논술 창의형 문제 2 (미적분Ⅰ) [배점 15점]

[2027학년도 모의논술 창의형 문제 2] 출제범위: 미적분Ⅰ · 핵심개념: 다항함수의 미분·적분과 넓이 극한 (배점 15점, 권장 20분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2027 문제 2 · 총 15점

2-1 $x^4 + 7x^2 y^2 + y^4 = 45$를 $x$에 대해 음함수 미분하면
\[4x^3 + 14xy^2 + \left(14x^2 y + 4y^3\right)\frac{dy}{dx} = 0\] $\frac{dy}{dx} = -1$을 대입하여 정리하면
\[4x^3 + 14xy^2 - 14x^2 y - 4y^3 = 0 \iff 4(x^3 - y^3) - 14xy(x - y) = 0\] \[(x - y)\{4(x^2 + xy + y^2) - 14xy\} = 0 \iff 2(x - y)(2x^2 - 5xy + 2y^2) = 0\] \[(x - y)(2x - y)(x - 2y) = 0\] $x \gt 0, y \gt 0$이므로 다음 세 가지 경우를 분석한다.
• $y = x$일 때: $x^4 + 7x^4 + x^4 = 45 \implies 9x^4 = 45 \implies x = \mathbf{5^{1/4}}$
• $y = 2x$일 때: $x^4 + 7x^2(4x^2) + 16x^4 = 45 \implies 45x^4 = 45 \implies x = \mathbf{1}$
• $y = \frac{1}{2}x$일 때: $x^4 + 7x^2(\frac{1}{4}x^2) + \frac{1}{16}x^4 = 45 \implies \frac{45}{16}x^4 = 45 \implies x = \mathbf{2}$
따라서 구하는 $a$의 값은 $5^{1/4}, \; 1, \; 2$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	음함수 미분하여 $4x^3+14xy^2+(14x^2y+4y^3)\frac{dy}{dx}=0$을 구하고 $\frac{dy}{dx}=-1$ 대입	5점
2단계	인수분해를 통해 $(y-x)(2x-y)(x-2y)=0$ 유도	4점
3단계	각 경우별로 $a = 5^{1/4}, 1, 2$를 정확히 산출 (각 2점씩)	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[중앙대 창의형 감점 방어 클리닉] 문제 2에서는 소문항 간 앞 단계의 결과를 다음 단계 극한·적분 식에 대입할 때 동치 변형 근거와 정의역 제한을 명시해야 배점(15점) 전액을 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$5^{1/4}, \; 1, \; 2$ | $5^{1/4}$ | $1$ | $2$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 초월함수 미적분·극한 심층 추론 ⏱️ 권장 시간: 20분

[제시문]

양의 실수 $a$에 대하여 함수 $g(x)$를 다음과 같이 정의한다.
\[g(x) = x + a\int_0^x e^{-t^2}dt\]

3-1 함수 $g(x)$가 증가하는 구간을 구하시오. 5점

3-2 정적분 $\int_0^{g(1)} g^{-1}(x)dx = 1$을 만족시키는 $a$를 구하시오. 10점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x e^{-x}$의 극댓값과 변곡점의 $x$좌표를 각각 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x) = (1-x)e^{-x} = 0$에서 $x=1$일 때 극댓값 $\frac{1}{e}$을 갖고, $f''(x) = (x-2)e^{-x} = 0$에서 부호가 바뀌므로 변곡점의 $x$좌표는 $2$이다.

【문항 요약】 2027학년도 모의논술 창의형 문제 3 (미적분Ⅱ) [배점 15점]

[2027학년도 모의논술 창의형 문제 3] 출제범위: 미적분Ⅱ · 핵심개념: 초월함수 미적분·극한 심층 추론 (배점 15점, 권장 20분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2027 문제 3 · 총 15점

3-1 $g(x) = x + a\int_0^x e^{-t^2}dt$의 도함수를 구하면
\[g'(x) = 1 + a e^{-x^2}\] $a \gt 0$이고 모든 실수 $x$에 대해 $e^{-x^2} \gt 0$이므로 항상 $g'(x) \gt 1 \gt 0$이다.
따라서 함수 $g(x)$가 증가하는 구간은 전구간 $(-\infty, \infty)$이다.

3-2 $g(0) = 0$이고 $g(x)$는 일대일대응 증가함수이다. $x = g(u)$라 하면 $dx = g'(u)du$이므로
\[\int_0^{g(1)} g^{-1}(x)dx = \int_0^1 u g'(u)du = \int_0^1 u(1 + a e^{-u^2})du = \int_0^1 u du + a\int_0^1 u e^{-u^2}du\] 첫 번째 적분은 $\left[\frac{1}{2}u^2\right]_0^1 = \frac{1}{2}$이고,
두 번째 적분은 $v = u^2$ ($dv = 2udu$) 치환에 의해 $\frac{a}{2}\left[-e^{-v}\right]_0^1 = \frac{a}{2}(1 - e^{-1})$이다.
따라서 $\frac{1}{2} + \frac{a}{2}(1 - e^{-1}) = 1 \implies \frac{a}{2}\left(\frac{e-1}{e}\right) = \frac{1}{2} \implies \mathbf{a = \frac{e}{e-1}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
3-1	$g'(x) = 1 + a e^{-x^2} \gt 0$임을 유도	3점
2단계	증가 구간 $(-\infty, \infty)$를 정확히 도출	2점
3-2	역함수 정적분을 치환적분 $\int_0^1 u g'(u)du$로 변환	4점
4단계	정적분을 계산하여 $\frac{1}{2} + \frac{a}{2}(1-e^{-1}) = 1$ 수립	4점
5단계	상수 $a = \frac{e}{e-1}$를 완벽히 계산	2점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[중앙대 창의형 감점 방어 클리닉] 문제 3에서는 소문항 간 앞 단계의 결과를 다음 단계 극한·적분 식에 대입할 때 동치 변형 근거와 정의역 제한을 명시해야 배점(15점) 전액을 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$(-\infty, \infty)$ | $a = \frac{e}{e-1}$

📚 과목/단원: 기하 🎯 핵심 테마: 이차곡선·공간벡터 기하 논증 ⏱️ 권장 시간: 20분

[제시문]

좌표평면에서 곡선 $y = \sqrt{x}$ 위의 점 $P_n(a_n^2, a_n)$과 $x$축 위의 점 $Q_n(b_n, 0)$을 다음과 같이 정의한다.
(i) 점 $P_1$의 좌표는 $(1, 1)$이다. (즉, $a_1 = 1$이다.)
(ii) $P_n(a_n^2, a_n)$을 지나고 기울기 $-1$인 직선이 $x$축과 만나는 점을 $Q_n(b_n, 0)$이라 한다.
(iii) $Q_n(b_n, 0)$을 지나고 기울기 $1$인 직선이 곡선 $y = \sqrt{x}$와 만나는 점을 $P_{n+1}(a_{n+1}^2, a_{n+1})$이라 한다.

삼각형 $P_n Q_n P_{n+1}$의 넓이를 $S_n$이라 할 때 급수 $\sum_{n=1}^{10} S_n$의 값을 구하시오. 15점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

【유사 연습 문제】 타원 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ 위의 점 $P$에서 두 초점 $F, F'$에 이르는 거리의 곱 $\overline{PF}\cdot\overline{PF'}$의 최댓값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 타원의 정의에 의해 $\overline{PF} + \overline{PF'} = 6$이므로 산술·기하평균 부등식에 의해 최댓값은 $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$이다.

【문항 요약】 2027학년도 모의논술 창의형 문제 4 (기하) [배점 15점]

[2027학년도 모의논술 창의형 문제 4] 출제범위: 기하 · 핵심개념: 이차곡선·공간벡터 기하 논증 (배점 15점, 권장 20분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2027 문제 4 · 총 15점

4-1 점 $P_n(a_n^2, a_n)$을 지나고 기울기 $-1$인 직선의 방정식은 $y - a_n = -(x - a_n^2)$이다.
$y=0$일 때 $b_n = a_n^2 + a_n$이므로 $Q_n(a_n^2+a_n, 0)$이다.
점 $Q_n$을 지나고 기울기 $1$인 직선은 $y = x - (a_n^2+a_n)$이고, 곡선 $y=\sqrt{x}$와 교점 $P_{n+1}(a_{n+1}^2, a_{n+1})$을 연립하면
\[a_{n+1}^2 - a_{n+1} - (a_n^2+a_n) = 0 \iff (a_{n+1} + a_n)(a_{n+1} - a_n - 1) = 0\] $a_{n+1} \gt 0$이므로 $a_{n+1} = a_n + 1$이다. $a_1 = 1$이므로 $a_n = n$이다.
따라서 $P_n(n^2, n)$, $Q_n(n^2+n, 0)$, $P_{n+1}((n+1)^2, n+1)$이다.
직선 $P_n Q_n$과 $Q_n P_{n+1}$의 기울기가 각각 $-1, 1$로 수직이므로 $\triangle P_n Q_n P_{n+1}$은 직각삼각형이다.
\[S_n = \frac{1}{2}\overline{P_n Q_n}\cdot\overline{Q_n P_{n+1}} = \frac{1}{2}(\sqrt{2}n)\{\sqrt{2}(n+1)\} = n^2 + n\] 따라서 급수의 합은
\[\sum_{n=1}^{10} S_n = \sum_{n=1}^{10}(n^2+n) = \frac{10\times 11\times 21}{6} + \frac{10\times 11}{2} = 385 + 55 = \mathbf{440}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
4-1	점 $P_n(n^2, n)$과 $Q_n(n^2+n, 0)$의 일반항 좌표 도출	8점
2단계	삼각형의 넓이 $S_n = n^2 + n$을 유도	4점
3단계	급수의 합 $\sum_{n=1}^{10}(n^2+n) = 440$을 정확히 계산	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[중앙대 창의형 감점 방어 클리닉] 문제 4에서는 소문항 간 앞 단계의 결과를 다음 단계 극한·적분 식에 대입할 때 동치 변형 근거와 정의역 제한을 명시해야 배점(15점) 전액을 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$440$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 초월함수 미적분·극한 심층 추론 ⏱️ 권장 시간: 20분

[제시문]

실수 $a, b$에 대하여 함수 $f(x) = e^{x+\frac{\pi}{3}}(a\sin x + b\cos x)$가 다음을 만족시킨다.
\[f\left(\frac{\pi}{6}\right) = f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{\frac{\pi}{2}}\]

5-1 실수 $a, b$를 구하시오. 10점

5-2 닫힌구간 $[0, \pi]$에서 $f(x)$의 최댓값을 구하시오. 10점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

【유사 연습 문제】 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n + (-2)^n}{5^n}$의 합을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 두 등비급수가 각각 수렴하므로 합은 $\frac{3/5}{1 - 3/5} + \frac{-2/5}{1 + 2/5} = \frac{3}{2} - \frac{2}{7} = \frac{17}{14}$이다.

【문항 요약】 2027학년도 모의논술 창의형 문제 5 (미적분Ⅱ) [배점 20점]

[2027학년도 모의논술 창의형 문제 5] 출제범위: 미적분Ⅱ · 핵심개념: 초월함수 미적분·극한 심층 추론 (배점 20점, 권장 20분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2027 문제 5 · 총 20점

5-1 $f(x) = e^{x+\frac{\pi}{3}}(a\sin x + b\cos x)$를 미분하면
\[f'(x) = e^{x+\frac{\pi}{3}}\{(a-b)\sin x + (a+b)\cos x\}\] $f(\frac{\pi}{6}) = e^{\frac{\pi}{2}}(\frac{a}{2} + \frac{\sqrt{3}b}{2}) = e^{\frac{\pi}{2}} \implies a + \sqrt{3}b = 2$
$f'(\frac{\pi}{6}) = e^{\frac{\pi}{2}}(\frac{a-b}{2} + \frac{\sqrt{3}(a+b)}{2}) = e^{\frac{\pi}{2}} \implies \sqrt{3}a - b = 0 \implies b = \sqrt{3}a$
연립하면 $4a = 2 \implies \mathbf{a = \frac{1}{2}, \; b = \frac{\sqrt{3}}{2}}$이다.

5-2 $a, b$를 대입하여 삼각함수 합성을 적용하면
\[f(x) = e^{x+\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = e^{x+\frac{\pi}{3}}\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\] 도함수 $f'(x) = \sqrt{2}e^{x+\frac{\pi}{3}}\cos(x + \frac{\pi}{12})$이므로 $0 \le x \le \pi$에서 극값은 $x + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{5\pi}{12}$이다.
• 극댓값: $f(\frac{5\pi}{12}) = e^{\frac{3\pi}{4}}\sin\frac{3\pi}{4} = \mathbf{\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{3\pi}{4}}}$
• 경곗값: $f(0) = \frac{\sqrt{3}}{2}e^{\frac{\pi}{3}}, \; f(\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}e^{\frac{4\pi}{3}}$
따라서 닫힌구간 $[0, \pi]$에서 최댓값은 $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{3\pi}{4}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
5-1	도함수 $f'(x)$를 구하고 연립방정식을 수립했으면	7점
2단계	상수 $a = \frac{1}{2}, b = \frac{\sqrt{3}}{2}$을 정확히 구했으면	3점
5-2	삼각함수 합성을 통해 $f(x) = e^{x+\frac{\pi}{3}}\sin(x+\frac{\pi}{3})$ 유도	4점
4단계	극값 위치 $x = \frac{5\pi}{12}$를 구했으면	3점
5단계	경곗값과 비교하여 최댓값 $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{3\pi}{4}}$ 판정	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[중앙대 창의형 감점 방어 클리닉] 문제 5에서는 소문항 간 앞 단계의 결과를 다음 단계 극한·적분 식에 대입할 때 동치 변형 근거와 정의역 제한을 명시해야 배점(20점) 전액을 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{3\pi}{4}}$ | $a = \frac{1}{2}, \; b = \frac{\sqrt{3}}{2}$

📚 과목/단원: 기하 🎯 핵심 테마: 이차곡선·공간벡터 기하 논증 ⏱️ 권장 시간: 20분

[제시문]

좌표평면에서 점 $P(t, 0)$을 지나는 직선 중 곡선 $y = e^{|x|}$과 한 점에서 만나는 직선이 세 개 있다. 세 직선이 곡선 $y = e^{|x|}$과 만나는 점을 각각 $A(a_1, a_2), B(b_1, b_2), C(c_1, c_2)$라 하고 삼각형 $ABC$의 넓이를 $S(t)$라 하자.

6-1 점 $A, B, C$의 좌표를 $t$의 함수로 표현하시오. (단, $2 \le t \le 3$이고 $a_1 \lt b_1 \lt c_1$이다.) 10점

6-2 정적분 $\int_2^3 S(t)dt$를 구하시오. 10점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

【유사 연습 문제】 점 $A(1, 2, -1)$을 지나고 법선벡터가 $\vec{n} = (2, -1, 3)$인 평면 $\alpha$의 방정식과 원점 $O$에서 평면 $\alpha$까지의 거리를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 평면의 방정식은 $2x - y + 3z + 3 = 0$이고, 원점까지의 거리는 $d = \frac{3}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{14}}{14}$이다.

【문항 요약】 2027학년도 모의논술 창의형 문제 6 (기하) [배점 20점]

[2027학년도 모의논술 창의형 문제 6] 출제범위: 기하 · 핵심개념: 이차곡선·공간벡터 기하 논증 (배점 20점, 권장 20분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2027 문제 6 · 총 20점

6-1 점 $P(t, 0)$ ($2 \le t \le 3$)을 지나는 직선 중 곡선 $y=e^{|x|}$과 한 점에서 만나는 점은
• $x \lt 0$ 영역의 접선 접점: $A(0, 1)$ (접선의 기울기 $1$)
• $x \gt 0$ 영역의 접선 접점: $B(t-1, e^{t-1})$ (기울기 $e^{t-1}$)
• $x \gt 0$ 영역의 또 다른 점: $C(t, e^t)$
따라서 점 $A, B, C$의 좌표는 $A(0, 1), \; B(t-1, e^{t-1}), \; C(t, e^t)$이다.

6-2 세 점 $A(0, 1), B(t-1, e^{t-1}), C(t, e^t)$로 이루어진 삼각형 $ABC$의 넓이 $S(t)$는 신발끈 공식 또는 벡터 외적으로
\[S(t) = \frac{1}{2}\left|(t-1)(e^t - 1) - t(e^{t-1} - 1)\right| = \frac{1}{2}\left\{(t-1)e^t - t e^{t-1} + 1\right\}\] 구하는 정적분 $\int_2^3 S(t)dt$는
\[\int_2^3 S(t)dt = \frac{1}{2}\int_2^3 \{(t-1)e^t - t e^{t-1} + 1\}dt = \mathbf{\frac{1}{2}(2e^4 - 4e^3 + 2e^2 + 1)}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
6-1	점 $A, B, C$의 좌표를 $t$의 함수로 정확히 표현	10점
6-2	삼각형의 넓이 $S(t)$ 함수식을 올바르게 유도	5점
3단계	정적분 계산값 $\frac{1}{2}(2e^4 - 4e^3 + 2e^2 + 1)$ 완벽 도출	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[중앙대 창의형 감점 방어 클리닉] 문제 6에서는 소문항 간 앞 단계의 결과를 다음 단계 극한·적분 식에 대입할 때 동치 변형 근거와 정의역 제한을 명시해야 배점(20점) 전액을 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$A(0, 1), \; B(t-1, e^{t-1}), \; C(t, e^t)$ | $\frac{1}{2}(2e^4 - 4e^3 + 2e^2 + 1)$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 초월함수 미적분·극한 심층 추론 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

• 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 두 근을 $\alpha, \beta$라고 하면 다음 식이 성립한다. \[\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \frac{c}{a}\] • 함수 $f(x)$와 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 정의되어 있고 $\lim_{x \to a} f(x)$가 존재하며 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$일 때, 함수 $f(x)$는 $x = a$에서 연속이라고 한다. 한편, 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 연속이 아닐 때, 함수 $f(x)$는 $x = a$에서 불연속이라고 한다.

2-1 모든 계수가 자연수인 삼차함수 $f(x) = x^3 + mx^2 + nx + k$가 다음 조건을 만족시킨다.
  (가) 방정식 $f'(x) = 0$은 서로 다른 두 실근 $\alpha$와 $\beta$를 갖는다.
  (나) $f(1) = 11$
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$이 최대가 되는 자연수 $m, n, k$를 구하시오.  10점

2-2 모든 실수 $x$에서 미분가능한 함수 \[f(x) = \begin{cases} 4\sin^3 x - 3\sin x & (x \ge 0) \\ \frac{3}{\pi^2} x^3 + ax & (x \lt 0) \end{cases} \quad (\text{단, } a\text{는 실수})\] 에 대하여 함수 $g(k)$는 $-\pi \le x \le \pi$에서 $f(x) = k$ (단, $k$는 실수)의 서로 다른 실근의 개수라 정의하자. 실수 $a$의 값을 구하고, 함수 $g(k)$가 불연속인 실수 $k$의 값을 모두 구하시오. 15점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.20 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]

【유사 연습 문제】 실수 전체에서 증가하는 함수 $f(x) = x^3 + 3x + 1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $g'(5)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f(1) = 1 + 3 + 1 = 5$이므로 $g(5) = 1$이다. 역함수의 미분법에 의해 $g'(5) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{3(1)^2 + 3} = \frac{1}{6}$이다.

【문항 요약】 2026학년도 수리논술 창의형 문제 2 (미적분Ⅱ) [배점 25점]

[2026학년도 수리논술 창의형 문제 2] 출제범위: 미적분Ⅱ · 핵심개념: 초월함수 미적분·극한 심층 추론 (배점 25점, 권장 25분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문제 2 · 총 25점

2-1 주어진 삼차함수 $f(x) = x^3 + mx^2 + nx + k$를 미분하면 $f'(x) = 3x^2 + 2mx + n$이다.
$f'(x) = 0$이 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$를 갖기 위한 조건은 \[D/4 = m^2 - 3n \gt 0\] 이고, 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = -\frac{2m}{3}, \; \alpha\beta = \frac{n}{3}$이다.
조건 (나)에서 $f(1) = 1 + m + n + k = 11$이므로 $m + n + k = 10$이다. $m, n, k$는 자연수이므로 $1 \le m, n, k \le 8$이고 $m + n \le 9$이다.
구하는 식을 변형하면 \[\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-\frac{2m}{3}}{\frac{n}{3}} = -\frac{2m}{n}\] $-\frac{2m}{n}$이 최대가 되기 위해서는 $n$은 가능한 크고 $m$은 가능한 작아야 한다.
$m^2 - 3n \gt 0$ 및 $m + n \le 9$를 만족하는 자연수 $m, n$을 조사하면:
  (1) $m = 1$일 때, $3n \lt 1 \implies n$ 없음
  (2) $m = 2$일 때, $3n \lt 4 \implies n = 1$
  (3) $m = 3$일 때, $3n \lt 9 \implies n = 1, 2$
  (4) $m = 4$일 때, $3n \lt 16, \; n \le 5 \implies n = 1, 2, 3, 4, 5$
  (5) $m = 5$일 때, $3n \lt 25, \; n \le 4 \implies n = 1, 2, 3, 4$
  (6) $m = 6$일 때, $n \le 3 \implies n = 1, 2, 3$
  (7) $m = 7$일 때, $n \le 2 \implies n = 1, 2$
  (8) $m = 8$일 때, $n \le 1 \implies n = 1$
이 중 $-\frac{2m}{n}$이 최대가 되는 경우는 $m = 4, n = 5$일 때 $-\frac{2(4)}{5} = -\frac{8}{5}$이다. 이때 $k = 10 - (4+5) = 1$이다.
따라서 구하는 자연수는 $\mathbf{m = 4, \; n = 5, \; k = 1}$이다.

2-2 $x \gt 0$일 때 $f'(x) = 12\sin^2 x \cos x - 3\cos x = 3\cos x(4\sin^2 x - 1)$
$x \lt 0$일 때 $f'(x) = \frac{9}{\pi^2}x^2 + a$
$f(x)$가 $x = 0$에서 미분가능하므로 $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h)-f(0)}{h}$이어야 한다.
$\lim_{h \to 0^+} \frac{4\sin^3 h - 3\sin h}{h} = -3, \quad \lim_{h \to 0^-} \left(\frac{3}{\pi^2}h^2 + a\right) = a \implies \mathbf{a = -3}$이다.

(i) $-\pi \le x \lt 0$에서 $f(x) = \frac{3}{\pi^2}x(x^2 - \pi^2)$이므로 $f(-\pi) = 0, \; f(0) = 0$
$f'(x) = \frac{9}{\pi^2}x^2 - 3 = 0 \implies x = -\frac{\pi}{\sqrt{3}}$이고, 부호 변화를 고려하면 극댓값 $f\left(-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$이다.

(ii) $0 \le x \le \pi$에서 $f(x) = \sin x(4\sin^2 x - 3)$이므로 $f(0) = f\left(\frac{\pi}{3}\right) = f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = f(\pi) = 0$
$f'(x) = 3\cos x(4\sin^2 x - 1) = 0 \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}$
부호 변화에 의해 극솟값 $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -1$, 극댓값 $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$이다.

2-2 (계속) 위 그래프의 개형으로부터 실근 개수 함수 $g(k)$의 좌극한, 우극한 및 함숫값을 조사하면 다음과 같다.

• $k = -1$에서:
  $\lim_{k \to -1^-} g(k) = 0, \quad \lim_{k \to -1^+} g(k) = 4, \quad g(-1) = 2 \implies k = -1$에서 불연속

• $k = 0$에서:
  $\lim_{k \to 0^-} g(k) = 4, \quad \lim_{k \to 0^+} g(k) = 4, \quad g(0) = 5 \implies k = 0$에서 불연속

• $k = 1$에서:
  $\lim_{k \to 1^-} g(k) = 4, \quad \lim_{k \to 1^+} g(k) = 2, \quad g(1) = 3 \implies k = 1$에서 불연속

• $k = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$에서:
  $\lim_{k \to \frac{2\pi}{\sqrt{3}}^-} g(k) = 2, \quad \lim_{k \to \frac{2\pi}{\sqrt{3}}^+} g(k) = 0, \quad g\left(\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\right) = 1 \implies k = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$에서 불연속

그러므로 $a = -3$이고, 함수 $g(k)$가 불연속인 $k$는 $\mathbf{-1, \; 0, \; 1, \; \frac{2\pi}{\sqrt{3}}}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	근과 계수의 관계를 통해 $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = -\frac{2m}{n}$을 정확히 유도	4점
2단계	판별식 $m^2 - 3n \gt 0$과 $m + n \le 9$ 조건을 적용하여 $m, n$의 순서쌍을 정확히 분류	4점
3단계	최댓값 조건에서 $m = 4, n = 5, k = 1$을 완벽하게 계산	2점
2-2	$x = 0$에서의 미분계수를 비교하여 $a = -3$을 정확히 도출	3점
5단계	증감표 또는 그래프 개형, 극대·극솟값을 바르게 계산하여 개형 확정	7점
6단계	불연속인 실수 $k = -1, 0, 1, \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$를 빠짐없이 완벽하게 제시	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[중앙대 창의형 감점 방어 클리닉] 문제 2에서는 소문항 간 앞 단계의 결과를 다음 단계 극한·적분 식에 대입할 때 동치 변형 근거와 정의역 제한을 명시해야 배점(25점) 전액을 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$m = 4, \; n = 5, \; k = 1$ | $a = -3$ | $-1, \; 0, \; 1, \; \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$

📚 과목/단원: 기하 🎯 핵심 테마: 이차곡선·공간벡터 기하 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

• 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$를 포함하는 열린구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다. \[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x = \int_a^b f(x)dx \quad \left(\text{단, } \Delta x = \frac{b-a}{n}, \; x_k = a + k\Delta x\right)\] • 미분가능한 함수 $f(x)$에서 $f'(a) = 0$이고 $x = a$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x = a$에서 극소이고 극솟값은 $f(a)$이다.
• 미분가능한 함수 $g(x)$의 도함수 $g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $g(a) = \alpha, \; g(b) = \beta$에 대하여 함수 $f(x)$가 $\alpha$와 $\beta$를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다. \[\int_a^b f(g(x))g'(x)dx = \int_\alpha^\beta f(t)dt\] • 두 함수 $f(x), g(x)$가 미분가능할 때, 다음 식이 성립한다. \[\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx\]

3-1 극한값 \[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \frac{\left(3+\frac{k}{n}\right)\ln(3n+k) - \left(2+\frac{k}{n}\right)\ln(2n+k) - \ln n}{\left(2+\frac{k}{n}\right)\left(3+\frac{k}{n}\right)\ln\left(2+\frac{k}{n}\right)\ln\left(3+\frac{k}{n}\right)}\] 을 구하시오. 10점

3-2 좌표평면 위의 점 $\mathrm{O}(0, 0), \; \mathrm{P}(x, 0), \; \mathrm{A}(t, \sqrt{3t}), \; \mathrm{B}(t, -\sqrt{3t})$에 대하여 함수 $f(x)$는 다음과 같다. \[f(x) = \overline{\mathrm{PO}} + \overline{\mathrm{PA}} + \overline{\mathrm{PB}}\] $f(x)$의 최솟값을 $m(t)$라 할 때, $\int_{1/2}^4 \ln(m(t))dt = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 7 + d$이다. 유리수 $a, b, c, d$를 구하시오. (단, $t \gt 0$이다.) 15점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

【유사 연습 문제】 곡선 $y = x^3 - 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 $S$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 교점은 $x = -2, 0, 2$이고 기함수 대칭성에 의해 $S = 2\int_0^2 (4x - x^3)\,dx = 2\left[2x^2 - \frac{1}{4}x^4\right]_0^2 = 8$이다.

【문항 요약】 2026학년도 수리논술 창의형 문제 3 (기하) [배점 25점]

[2026학년도 수리논술 창의형 문제 3] 출제범위: 기하 · 핵심개념: 이차곡선·공간벡터 기하 논증 (배점 25점, 권장 25분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문제 3 · 총 25점

3-1 주어진 분자의 로그 식을 $n$으로 묶어 전개하면
\[\begin{aligned} &\left(3+\frac{k}{n}\right)\ln(3n+k) - \left(2+\frac{k}{n}\right)\ln(2n+k) - \ln n \\ &= \left(3+\frac{k}{n}\right)\ln n\left(3+\frac{k}{n}\right) - \left(2+\frac{k}{n}\right)\ln n\left(2+\frac{k}{n}\right) - \ln n \\ &= \left(3+\frac{k}{n}\right)\ln\left(3+\frac{k}{n}\right) - \left(2+\frac{k}{n}\right)\ln\left(2+\frac{k}{n}\right) + \left(3+\frac{k}{n}\right)\ln n - \left(2+\frac{k}{n}\right)\ln n - \ln n \\ &= \left(3+\frac{k}{n}\right)\ln\left(3+\frac{k}{n}\right) - \left(2+\frac{k}{n}\right)\ln\left(2+\frac{k}{n}\right) \end{aligned}\] 이므로 주어진 극한값은 다음과 같은 정적분으로 변환된다. \[\begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \frac{\left(3+\frac{k}{n}\right)\ln\left(3+\frac{k}{n}\right) - \left(2+\frac{k}{n}\right)\ln\left(2+\frac{k}{n}\right)}{\left(2+\frac{k}{n}\right)\left(3+\frac{k}{n}\right)\ln\left(2+\frac{k}{n}\right)\ln\left(3+\frac{k}{n}\right)} \\ &= \int_0^1 \frac{(3+x)\ln(3+x) - (2+x)\ln(2+x)}{(2+x)(3+x)\ln(2+x)\ln(3+x)} dx \\ &= \int_0^1 \frac{1}{(2+x)\ln(2+x)} dx - \int_0^1 \frac{1}{(3+x)\ln(3+x)} dx \end{aligned}\] $u = \ln(2+x), \; v = \ln(3+x)$로 치환적분하여 정리하면 \[\begin{aligned} &= [\ln(\ln(2+x))]_0^1 - [\ln(\ln(3+x))]_0^1 \\ &= \{\ln(\ln 3) - \ln(\ln 2)\} - \{\ln(\ln 4) - \ln(\ln 3)\} \\ &= 2\ln(\ln 3) - \ln(\ln 2) - \ln(2\ln 2) = 2\ln(\ln 3) - 2\ln(\ln 2) - \ln 2 = \mathbf{\ln\left(\frac{(\ln 3)^2}{2(\ln 2)^2}\right)} \end{aligned}\]

3-2 점 $\mathrm{O}(0, 0), \; \mathrm{P}(x, 0), \; \mathrm{A}(t, \sqrt{3t}), \; \mathrm{B}(t, -\sqrt{3t})$에 대하여 \[f(x) = |x| + 2\sqrt{(x-t)^2 + 3t}\] 최솟값을 구하는 문제이므로 $x \ge 0$만 고려하면 되며, $x \ge t$이면 $f'(x) \ge 0$이므로 구간 $0 \le x \le t$에서 생각한다.
$f'(x) = 1 + \frac{2(x-t)}{\sqrt{(x-t)^2 + 3t}} = 0 \iff 2(t-x) = \sqrt{(x-t)^2 + 3t} \iff x = t - \sqrt{t}$
• $0 \lt t \le 1$일 때: $t - \sqrt{t} \le 0$이므로 $x = 0$에서 최솟값을 갖고 $m(t) = f(0) = 2\sqrt{t^2 + 3t}$이다.
• $t \ge 1$일 때: $0 \le t - \sqrt{t} \le t$이므로 $x = t - \sqrt{t}$에서 최솟값을 갖고 $m(t) = t + 3\sqrt{t}$이다.

구하는 적분은 다음과 같다. \[\int_{1/2}^4 \ln(m(t))dt = \int_{1/2}^1 \ln\left(2\sqrt{t^2 + 3t}\right)dt + \int_1^4 \ln\left(t + 3\sqrt{t}\right)dt\] \[\int_{1/2}^1 \ln\left(2\sqrt{t^2 + 3t}\right)dt = \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{2}\int_{1/2}^1 (\ln t + \ln(t+3))dt = \frac{13}{2}\ln 2 - \frac{7}{4}\ln 7 - \frac{1}{2}\] \[\int_1^4 \ln\left(t + 3\sqrt{t}\right)dt = \left[t\ln(t+3\sqrt{t})\right]_1^4 - \int_1^4 t\frac{1+\frac{3}{2}t^{-1/2}}{t+3\sqrt{t}}dt = 20\ln 2 - 5\ln 5\] 두 값을 더하면 $\frac{53}{2}\ln 2 - 5\ln 5 - \frac{7}{4}\ln 7 - \frac{1}{2}$이므로 \[\mathbf{a = \frac{53}{2}, \quad b = -5, \quad c = -\frac{7}{4}, \quad d = -\frac{1}{2}}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
3-1	정적분을 적용할 수 있도록 분자의 로그 식을 깔끔하게 변형	4점
2단계	급수의 극한을 올바른 정적분 2개의 분수식 형태로 변환	2점
3단계	치환적분을 적용하여 $2\ln(\ln 3) - \ln(\ln 2) - \ln(\ln 4)$를 정확히 계산	4점
3-2	거리합 함수 $f(x) = \|x\| + 2\sqrt{(x-t)^2 + 3t}$ 식 도출	3점
5단계	$0 \lt t \le 1$에서 최솟값 $m(t) = 2\sqrt{t^2 + 3t}$ 유도	3점
6단계	$t \ge 1$에서 최솟값 $m(t) = t + 3\sqrt{t}$ 유도	3점
7단계	구간 $[1/2, 1]$ 정적분 계산 $\frac{13}{2}\ln 2 - \frac{7}{4}\ln 7 - \frac{1}{2}$ 도출	3점
8단계	구간 $[1, 4]$ 정적분 $20\ln 2 - 5\ln 5$ 및 계수 $a, b, c, d$ 완벽 계산	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[중앙대 창의형 감점 방어 클리닉] 문제 3에서는 소문항 간 앞 단계의 결과를 다음 단계 극한·적분 식에 대입할 때 동치 변형 근거와 정의역 제한을 명시해야 배점(25점) 전액을 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$\ln\left(\frac{(\ln 3)^2}{2(\ln 2)^2}\right)$ | $a = \frac{53}{2}, \quad b = -5, \quad c = -\frac{7}{4}, \quad d = -\frac{1}{2}$

📚 과목/단원: 기하 🎯 핵심 테마: 이차곡선·공간벡터 기하 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

• 두 벡터 $\vec{u}, \vec{v}$의 크기와 방향이 같을 때, 두 벡터 $\vec{u}, \vec{v}$는 서로 같다고 하고 기호로 $\vec{u} = \vec{v}$와 같이 나타낸다.
• 두 벡터 $\vec{p}, \vec{q}$에 대하여 $\vec{p} = \vec{\mathrm{OP}}, \; \vec{q} = \vec{\mathrm{OQ}}$라고 하면 $\vec{p} - \vec{q} = \vec{\mathrm{OP}} - \vec{\mathrm{OQ}} = \vec{\mathrm{QP}}$이다.
• 중심이 $\mathrm{C}(a, b, c)$이고 반지름의 길이가 $r$인 구의 방정식은 $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$이다.

4-1 그림과 같이 한 점 $\mathrm{O}$와 반지름의 길이가 $1$인 원 $C$와 $\overline{\mathrm{AB}} = 5, \; \overline{\mathrm{BC}} = 6, \; \overline{\mathrm{CA}} = 7$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 한 평면 위에 있다. 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 원 $C$ 위를 움직이고 두 점 $\mathrm{R}, \mathrm{S}$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 변 위를 움직인다. 같은 평면 위의 점 $\mathrm{X}$가 \[\vec{\mathrm{OX}} = \vec{\mathrm{PS}} + \vec{\mathrm{RQ}}\] 를 만족시킬 때, 점 $\mathrm{X}$가 존재하는 영역의 넓이를 구하시오. 15점

4-2 좌표공간에 구 $S: x^2 + y^2 + z^2 = 100$과 점 $\mathrm{T}\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}, \frac{14\sqrt{5}}{3}, \frac{5\sqrt{5}}{3}\right)$가 있다. 점 $\mathrm{T}$를 지나는 직선이 $z$좌표가 $0$ 이하인 점 $\mathrm{P}$에서 구 $S$에 접한다. 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형의 길이를 구하시오. 15점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.19 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

【유사 연습 문제】 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - 2x^3}{x^2} = 3$, $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = 4$를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f(x) = 2x^3 + 3x^2 + ax + b$에서 $f(1)=0 \implies a+b=-5$, $f'(1)=6+6+a=4 \implies a=-8, b=3$. 따라서 $f(2)=16+12-16+3=15$이다.

【문항 요약】 2026학년도 수리논술 창의형 문제 4 (기하) [배점 30점]

[2026학년도 수리논술 창의형 문제 4] 출제범위: 기하 · 핵심개념: 이차곡선·공간벡터 기하 논증 (배점 30점, 권장 25분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문제 4 · 총 30점

4-1 $\vec{\mathrm{PS}} + \vec{\mathrm{RQ}} = \vec{\mathrm{OS}} - \vec{\mathrm{OP}} + \vec{\mathrm{OQ}} - \vec{\mathrm{OR}} = \vec{\mathrm{OQ}} - \vec{\mathrm{OP}} + \vec{\mathrm{OS}} - \vec{\mathrm{OR}} = \vec{\mathrm{PQ}} + \vec{\mathrm{RS}} = \vec{\mathrm{RS}} + \vec{\mathrm{PQ}}$
점 $\mathrm{O}$를 한 꼭짓점으로 갖고 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 합동인 삼각형 6개를 맞물리게 이어 붙여 육각형 $\mathrm{I}_1\mathrm{I}_2\mathrm{I}_3\mathrm{I}_4\mathrm{I}_5\mathrm{I}_6$을 만들면, $\vec{\mathrm{OY}} = \vec{\mathrm{RS}}$가 되도록 점 $\mathrm{Y}$는 이 육각형의 변 또는 그 내부 전체를 움직인다. 또한 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 반지름 $1$인 원 $C$ 위를 움직이므로 $\vec{\mathrm{YZ}} = \vec{\mathrm{PQ}}$는 중심이 $\mathrm{Y}$이고 반지름이 $2$인 원 $C'$ 및 그 내부 전체를 채운다.
따라서 $\vec{\mathrm{OX}} = \vec{\mathrm{OY}} + \vec{\mathrm{YZ}} = \vec{\mathrm{OZ}}$이므로 점 $\mathrm{X}$가 존재하는 영역은, 6개의 직사각형 $\mathrm{I}_i\mathrm{K}_i\mathrm{J}_{i+1}\mathrm{I}_{i+1} \; (i=1,\dots,6)$과 6개의 부채꼴 $\mathrm{I}_i\mathrm{J}_i\mathrm{K}_i$를 육각형 둘레에 이어 붙인 영역이다.
• 직사각형 6개의 넓이 합: $2 \times 2 \times (5 + 6 + 7) = 72$
• 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙: $\cos\angle\mathrm{ABC} = \frac{5^2+6^2-7^2}{2\cdot 5\cdot 6} = \frac{1}{5} \implies \sin\angle\mathrm{ABC} = \frac{2\sqrt{6}}{5} \implies \triangle\mathrm{ABC} = 6\sqrt{6}$
• 육각형 $\mathrm{I}_1\mathrm{I}_2\mathrm{I}_3\mathrm{I}_4\mathrm{I}_5\mathrm{I}_6$의 넓이: $6 \times 6\sqrt{6} = 36\sqrt{6}$
• 부채꼴 6개의 넓이 합: 중심각의 합이 $2\pi$이므로 $\pi \times 2^2 = 4\pi$
따라서 점 $\mathrm{X}$가 존재하는 영역의 넓이는 $\mathbf{72 + 36\sqrt{6} + 4\pi}$이다.

4-2 구 $S$의 중심 $\mathrm{O}(0, 0, 0)$에서 점 $\mathrm{T}$까지의 거리는 $\overline{\mathrm{OT}} = \sqrt{\frac{20+980+125}{9}} = 5\sqrt{5}$이고, 접선의 길이 $\overline{\mathrm{PT}} = \sqrt{\overline{\mathrm{OT}}^2 - \overline{\mathrm{OP}}^2} = \sqrt{125 - 100} = 5$이다.
점 $\mathrm{P}$에서 $\mathrm{OT}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D}$라 하면, $2 \times \triangle\mathrm{OPT} = \overline{\mathrm{OT}} \times \overline{\mathrm{DP}} \implies 50 = 5\sqrt{5} \cdot \overline{\mathrm{DP}} \implies \overline{\mathrm{DP}} = 2\sqrt{5}$이다. 따라서 점 $\mathrm{P}$는 직선 $\mathrm{OT}$에 수직이고 중심이 $\mathrm{D}$, 반지름이 $2\sqrt{5}$인 원 $C$ 위에 있다.
$\triangle\mathrm{OPT} \sim \triangle\mathrm{ODP}$에서 $\overline{\mathrm{OD}} = 4\sqrt{5}$이며 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\left(\frac{8\sqrt{5}}{15}, \frac{56\sqrt{5}}{15}, \frac{4\sqrt{5}}{3}\right)$이다.
점 $\mathrm{D}$에서 $xy$평면에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\overline{\mathrm{DH}} = \frac{4\sqrt{5}}{3}, \; \overline{\mathrm{OH}} = \frac{8\sqrt{10}}{3}$이다.
선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{I}$라 하면, 닮은 두 직각삼각형 $\mathrm{ODH}, \mathrm{OID}$에서 $\overline{\mathrm{ID}} = \sqrt{10}$이고, $\cos\angle\mathrm{ADI} = \frac{\overline{\mathrm{ID}}}{\overline{\mathrm{AD}}} = \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$이다. 따라서 $\angle\mathrm{ADB} = 2\angle\mathrm{ADI} = \frac{\pi}{2}$이다.
따라서 $z \le 0$ 조건에 의해 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형은 호 $\mathrm{AB}$이며 그 길이는 $l = \overline{\mathrm{AD}} \times \frac{\pi}{2} = 2\sqrt{5} \times \frac{\pi}{2} = \mathbf{\sqrt{5}\pi}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 30점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
4-1	$\vec{\mathrm{PS}} + \vec{\mathrm{RQ}} = \vec{\mathrm{RS}} + \vec{\mathrm{PQ}}$ 벡터 분해식을 도출	2점
2단계	$\vec{\mathrm{OY}} = \vec{\mathrm{RS}}$를 만족하는 점 $\mathrm{Y}$가 육각형 영역임을 진술	5점
3단계	$\vec{\mathrm{YZ}} = \vec{\mathrm{PQ}}$를 만족하는 점 $\mathrm{Z}$가 반지름 2인 원 영역임을 규명	3점
4단계	직사각형, 육각형, 부채꼴의 넓이를 합산하여 $72 + 36\sqrt{6} + 4\pi$ 완벽 도출	5점
4-2	점 $\mathrm{P}$가 이루는 원 $C$의 반지름 $\overline{\mathrm{DP}} = 2\sqrt{5}$를 정확히 계산	4점
6단계	$\overline{\mathrm{OD}} = 4\sqrt{5}$ 및 점 $\mathrm{D}$의 좌표를 정확히 유도	3점
7단계	$\overline{\mathrm{DH}} = \frac{4\sqrt{5}}{3}$ 및 $\overline{\mathrm{ID}} = \sqrt{10}$을 통해 $\cos\angle\mathrm{ADI} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 도출	3점
8단계	중심각 $\angle\mathrm{ADB} = \frac{\pi}{2}$를 통해 호 $\mathrm{AB}$의 길이 $\sqrt{5}\pi$ 완벽 도출	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[중앙대 창의형 감점 방어 클리닉] 문제 4에서는 소문항 간 앞 단계의 결과를 다음 단계 극한·적분 식에 대입할 때 동치 변형 근거와 정의역 제한을 명시해야 배점(30점) 전액을 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$72 + 36\sqrt{6} + 4\pi$ | $\sqrt{5}\pi$

📚 과목/단원: 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 조건부확률·확률분포 추론 ⏱️ 권장 시간: 20분

[제시문]

다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.
• 주머니에 빨간색 공 $4$개, 파란색 공 $3$개, 초록색 공 $3$개가 들어 있다.
• 서로 다른 $2$개의 주사위를 동시에 던져 나온 눈의 수의 합이 $4$ 이하이면, 주머니에서 임의로 공 $2$개를 동시에 꺼낸다. 만일 눈의 수의 합이 $5$ 이상이면, 주머니에서 임의로 공 $1$개를 꺼낸다.
• 꺼낸 공 중에서 빨간색 공의 개수를 점수로 얻는다.
• 꺼낸 공을 모두 주머니에 다시 넣는다.

위 시행을 $2$회 반복할 때, 얻은 점수의 합이 $2$ 이상일 확률을 구하시오. 20점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 조건부확률 (DB: PS_Ch02_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통02-05, 12확통02-06]

【유사 연습 문제】 주머니 A에는 흰 공 3개, 검은 공 2개가 있고 주머니 B에는 흰 공 2개, 검은 공 3개가 있다. 임의로 한 주머니를 택해 공 1개를 꺼냈더니 흰 공이었을 때, 택한 주머니가 A였을 조건부확률을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $P(W) = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5} + \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5} = \frac{1}{2}$이므로 $P(A \mid W) = \frac{3/10}{5/10} = \frac{3}{5}$이다.

【문항 요약】 2025학년도 수리논술 창의형 문제 1 (확률과 통계) [배점 20점]

[2025학년도 수리논술 창의형 문제 1] 출제범위: 확률과 통계 · 핵심개념: 조건부확률·확률분포 추론 (배점 20점, 권장 20분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문제 1 · 총 20점

[문제 1] 예시 답안
(1) 2개의 주사위를 동시에 던져 나온 수의 눈의 합이 $4$ 이하인 사건을 $A$라고 하자. 2개의 주사위를 동시에 던져 나온 수의 눈의 합이 $4$ 이하인 경우의 수는 $(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1)$의 6가지이므로, 사건 $A$가 일어날 확률은 \[P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\text{이다.}\] (2) 시행을 2회 반복할 때 얻은 점수의 합이 0인 사건과 점수의 합이 1인 사건은 서로 배반사건이므로, 점수의 합이 2 미만일 확률은 점수의 합이 0인 확률과 점수의 합이 1인 확률의 합과 같다. 또한 점수의 합이 2 이상인 사건은 점수의 합이 2 미만인 사건의 여사건이다. 따라서, \[P(\text{점수의 합} \ge 2) = 1 - P(\text{점수의 합} \le 1) = 1 - P(\text{점수의 합} = 0) - P(\text{점수의 합} = 1)\text{으로 구할 수 있다.}\] (3) 문제의 시행을 1회 했을 때 얻은 점수를 $X$라 하고, $X=0$인 사건을 $C$, $X=1$인 사건을 $D$라 하자. 각 시행은 독립시행이므로 $P(\text{점수의 합} = 0) = \{P(C)\}^2$이며, 점수의 합이 1이려면 첫 번째 시행에서 0점, 두 번째 시행에서 1점을 얻거나 첫 번째 시행에서 1점, 두 번째 시행에서 0점을 얻으면 되므로 \[P(\text{점수의 합} = 1) = P(C) \times P(D) + P(D) \times P(C) = 2 \times P(C) \times P(D)\text{이다.}\] (4) 확률의 곱셈정리와 덧셈정리를 이용하면 $P(C), P(D)$는 다음과 같이 구할 수 있다. \[P(C) = P(C \cap A) + P(C \cap A^c) = P(A)P(C|A) + P(A^c)P(C|A^c)\] \[P(D) = P(D \cap A) + P(D \cap A^c) = P(A)P(D|A) + P(A^c)P(D|A^c)\] (5) $P(C|A)$와 $P(D|A)$, $P(C|A^c)$와 $P(D|A^c)$는 다음과 같이 계산된다. \[P(C|A) = \frac{{}_6\mathrm{C}_2}{{}_{10}\mathrm{C}_2} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}, \quad P(D|A) = \frac{{}_6\mathrm{C}_1 \times {}_4\mathrm{C}_1}{{}_{10}\mathrm{C}_2} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}\] \[P(C|A^c) = \frac{{}_6\mathrm{C}_1}{{}_{10}\mathrm{C}_1} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}, \quad P(D|A^c) = \frac{{}_4\mathrm{C}_1}{{}_{10}\mathrm{C}_1} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\] (6) 이를 종합하면 $P(C) = \left(\frac{1}{6} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{5}{6} \times \frac{3}{5}\right) = \frac{5}{9}, \; P(D) = \left(\frac{1}{6} \times \frac{8}{15}\right) + \left(\frac{5}{6} \times \frac{2}{5}\right) = \frac{19}{45}$이다.
(7) 최종적으로 구하는 확률은 \[1 - \left(\frac{5}{9}\right)^2 - 2 \times \frac{5}{9} \times \frac{19}{45} = 1 - \frac{25}{81} - \frac{38}{81} = \mathbf{\frac{18}{81} = \frac{2}{9}}\text{이다.}\]

[문제 1] 별해
(1) 여사건을 활용하지 않고 직접 답을 구할 수 있다. 1회 시행에서 2점을 얻는 사건($X=2$)을 $E$라 하면 \[P(E) = \left(\frac{1}{6} \times \frac{{}_4\mathrm{C}_2}{{}_{10}\mathrm{C}_2}\right) + \left(\frac{5}{6} \times 0\right) = \frac{1}{45}\text{이다.}\] (2) 2회 시행 결과 얻은 점수의 합에 따른 확률을 각각 구하면 \[\begin{aligned} \text{점수의 합이 2일 확률} &= 2 \times P(C) \times P(E) + \{P(D)\}^2 = 2\left(\frac{5}{9}\right)\left(\frac{1}{45}\right) + \left(\frac{19}{45}\right)^2 = \frac{411}{45^2} \\ \text{점수의 합이 3일 확률} &= 2 \times P(D) \times P(E) = 2\left(\frac{19}{45}\right)\left(\frac{1}{45}\right) = \frac{38}{45^2} \\ \text{점수의 합이 4일 확률} &= \{P(E)\}^2 = \left(\frac{1}{45}\right)^2 = \frac{1}{45^2} \end{aligned}\] (3) 위 사건들은 상호 배반사건이므로 모두 더하면 구하는 확률은 \[\frac{411 + 38 + 1}{45^2} = \frac{450}{2025} = \mathbf{\frac{2}{9}}\text{이다.}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문제 1	사건 $A$의 확률 $P(A) = \frac{1}{6}$을 정확히 계산	2점
2단계	사건 $C, D$의 조건부확률 $P(C\|A), P(D\|A), P(C\|A^c), P(D\|A^c)$를 정확히 계산	8점
3단계	사건 $C, D$의 확률 $P(C) = \frac{5}{9}, P(D) = \frac{19}{45}$를 정확히 계산	8점
4단계	여사건 또는 직접 계산을 통해 최종 확률 $\frac{2}{9}$를 완벽히 도출	2점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[중앙대 창의형 감점 방어 클리닉] 문제 1에서는 소문항 간 앞 단계의 결과를 다음 단계 극한·적분 식에 대입할 때 동치 변형 근거와 정의역 제한을 명시해야 배점(20점) 전액을 확보할 수 있습니다.

최종 결론:$\frac{18}{81} = \frac{2}{9}$ | $\frac{2}{9}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅱ 🎯 핵심 테마: 초월함수 미적분·극한 심층 추론 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

• 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라고 하면 일반항과 수열의 합의 관계는 다음과 같다.
\[a_1 = S_1, \quad a_n = S_n - S_{n-1} \quad (n \ge 2)\] • 두 함수 $f(x), g(x)$가 미분가능할 때, 다음 식이 성립한다.
\[\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx\]

2-1 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 다음을 만족시킬 때, $a_1$을 구하시오. 10점
(가) \[S_n = \begin{cases} \frac{1}{2}a_n - 2 & (n\text{이 짝수인 경우}) \\ 2a_n + 3 & (n\text{이 } 3 \text{ 이상인 홀수인 경우}) \end{cases}\]
(나) $S_8 = 2025$

2-2 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[-1, 1]$에서
\[f(x) = \begin{cases} -x^2\cos(\pi x) & (-1 \le x \lt 0) \\ x^2\cos(\pi x) & (0 \le x \le 1) \end{cases}\] 이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = \frac{1}{2}f(x-2) - \frac{3}{2}$을 만족시킨다. 이때, 정적분 $\int_{-4}^{-1} f(x)\,dx$의 값을 구하시오. 15점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.30 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-05]

【유사 연습 문제】 극한값 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{2k}{n}}$을 정적분으로 나타내어 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x_k = \frac{k}{n}$으로 놓으면 주어진 극한은 $\int_0^1 \frac{1}{1 + 2x}\,dx = \left[\frac{1}{2}\ln(1+2x)\right]_0^1 = \frac{1}{2}\ln 3$이다.

【문항 요약】 2025학년도 수리논술 창의형 문제 2 (미적분Ⅱ) [배점 25점]

[2025학년도 수리논술 창의형 문제 2] 출제범위: 미적분Ⅱ · 핵심개념: 초월함수 미적분·극한 심층 추론 (배점 25점, 권장 25분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문제 2 · 총 25점

2-1 제시문에서 주어진 식 $a_n = S_n - S_{n-1} \; (n \ge 2)$를 이용하면
(1) $n = 2m+2 \; (m \ge 0)$인 경우, \[S_{2m+2} = \frac{1}{2}(S_{2m+2} - S_{2m+1}) - 2 \implies S_{2m+2} = -S_{2m+1} - 4\text{를 얻는다.}\] (2) $n = 2m+1 \; (m \ge 1)$인 경우, \[S_{2m+1} = 2(S_{2m+1} - S_{2m}) + 3 \implies S_{2m+1} = 2S_{2m} - 3\text{을 얻는다.}\] (3) 그러므로 $S_{2m+2} = -(2S_{2m} - 3) - 4 = -2S_{2m} - 1$이고, 반복하여 대입하면 \[S_8 = -2S_6 - 1 = 4S_4 + 1 = -8S_2 - 3\] 을 얻는다. $S_8 = 2025$이므로 $-8S_2 - 3 = 2025 \implies S_2 = -\frac{507}{2}$이다.
(4) $S_2 = -S_1 - 4$를 이용하면 \[S_1 = a_1 = -S_2 - 4 = \frac{507}{2} - 4 = \mathbf{\frac{499}{2}}\text{이다.}\]

2-2 $f(x) = \frac{1}{2}f(x-2) - \frac{3}{2}$이므로 $f(x-2) = 2f(x) + 3$이다.
즉, $f(x) = 2f(x+2) + 3 = 4f(x+4) + 9$이다. 따라서 구간별 함수식은 다음과 같다.
  • $-4 \le x \lt -3$일 때, $f(x) = 4(x+4)^2\cos(\pi(x+4)) + 9$
  • $-3 \le x \lt -2$일 때, $f(x) = -2(x+2)^2\cos(\pi(x+2)) + 3$
  • $-2 \le x \lt -1$일 때, $f(x) = 2(x+2)^2\cos(\pi(x+2)) + 3$
구하는 정적분을 치환적분하여 정리하면 \[\begin{aligned} \int_{-4}^{-1} f(x)\,dx &= 4\int_{-4}^{-3} (x+4)^2\cos\pi(x+4)\,dx - 2\int_{-3}^{-2} (x+2)^2\cos\pi(x+2)\,dx + 2\int_{-2}^{-1} (x+2)^2\cos\pi(x+2)\,dx + 15 \\ &= 4\int_0^1 x^2\cos(\pi x)\,dx - 2\int_0^1 x^2\cos(\pi x)\,dx + 2\int_0^1 x^2\cos(\pi x)\,dx + 15 \\ &= 4\int_0^1 x^2\cos(\pi x)\,dx + 15 \quad \cdots (*) \end{aligned}\] 주어진 제시문의 부분적분법에 의해 \[\int x^2\cos\pi x\,dx = \frac{1}{\pi}x^2\sin\pi x + \frac{2}{\pi^2}x\cos\pi x - \frac{2}{\pi^3}\sin\pi x + C\] 따라서 구하는 정적분 값은 \[4\left[\frac{1}{\pi}x^2\sin\pi x + \frac{2}{\pi^2}x\cos\pi x - \frac{2}{\pi^3}\sin\pi x\right]_0^1 + 15 = 4\left(-\frac{2}{\pi^2}\right) + 15 = \mathbf{-\frac{8}{\pi^2} + 15}\text{이다.}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	$S_{2m+2} = -S_{2m+1} - 4$ 또는 $S_{2m+1} = 2S_{2m} - 3$ 점화식을 정확히 유도	2점
2단계	$S_{2m+2} = -2S_{2m} - 1$을 유도하여 $S_8$과 $S_2$의 관계식을 정확히 도출	5점
3단계	모든 계산을 정확히 수행하여 첫째항 $a_1 = \frac{499}{2}$를 완벽히 도출	3점
2-2	각 구간에서 함수의 형태식을 바르게 도출	5점
5단계	적분식을 정리하여 $(*)=4\int_0^1 x^2\cos\pi x\,dx + 15$를 바르게 유도	5점
6단계	부분적분법을 정확히 적용하여 정답 $-\frac{8}{\pi^2} + 15$를 완벽히 도출	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

최종 결론:$\frac{499}{2}$ | $-\frac{8}{\pi^2} + 15$

📚 과목/단원: 확률과 통계 🎯 핵심 테마: 조건부확률·확률분포 추론 ⏱️ 권장 시간: 20분

[제시문]

• 밑면의 반지름의 길이가 $5$이고 높이가 $10$인 원뿔이 있다.
• 주머니 $\mathrm{A}$에는 $1, 2, 3$의 숫자가 하나씩 적혀 있는 $3$개의 공이 들어 있고, 주머니 $\mathrm{B}$에는 $1, 2$의 숫자가 하나씩 적혀 있는 $2$개의 공이 들어 있다.
• 한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수가 $3$의 배수이면 주머니 $\mathrm{A}$에서 임의로 $2$개의 공을 동시에 꺼내고, 주머니 $\mathrm{B}$에서 임의로 $1$개의 공을 꺼낸다. $3$의 배수가 아니면 주머니 $\mathrm{A}$에서 임의로 $1$개의 공을 꺼내고, 주머니 $\mathrm{B}$에서 임의로 $2$개의 공을 동시에 꺼낸다.
• 주머니 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$에서 꺼낸 공에 적힌 숫자들의 합을 $k$라 하자. 이때 반지름의 길이가 $k-3$이고 원뿔에 내접하는 원기둥의 부피를 점수로 한다.

시행의 결과로 얻은 점수의 기댓값을 구하시오. 20점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

【유사 연습 문제】 모비율이 $p = 0.2$인 모집단에서 크기 $n = 100$인 표본을 임의추출할 때, 표본비율 $\hat{p}$의 평균과 표준편차를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $E(\hat{p}) = p = 0.2$이고, $\sigma(\hat{p}) = \sqrt{\frac{0.2 \times 0.8}{100}} = 0.04$이다.

【문항 요약】 2024학년도 수리논술 창의형 문제 1 (확률과 통계) [배점 20점]

[2024학년도 수리논술 창의형 문제 1] 출제범위: 확률과 통계 · 핵심개념: 조건부확률·확률분포 추론 (배점 20점, 권장 20분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문제 1 · 총 20점

[문제 1] 예시 답안
(1) 한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수가 3의 배수일 확률은 $\frac{1}{3}$이다. 이때 주머니 A에서 2개의 공을 동시에 꺼낼 때 적힌 숫자들의 표본공간은 $\{(1,2), (1,3), (2,3)\}$이고 각 확률은 $\frac{1}{3}$이다. 주머니 B에서 1개의 공을 꺼낼 때 표본공간은 $\{1,2\}$이고 각 확률은 $\frac{1}{2}$이다. 주머니 A에서 $(1,2)$, B에서 $1$을 꺼낼 확률은 $\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2} = \frac{1}{18}$이고 $k=4$이다.
(2) 주사위의 눈이 3의 배수가 아닐 확률은 $\frac{2}{3}$이다. 이때 주머니 A에서 1개 꺼낼 표본공간은 $\{1,2,3\}$이고 확률은 $\frac{1}{3}$이다. 주머니 B에서 2개 꺼낼 표본공간은 $\{(1,2)\}$이고 확률은 $1$이다. A에서 $1$, B에서 $(1,2)$를 꺼낼 확률은 $\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}\times 1 = \frac{2}{9}$이고 $k=4$이다.
(3) 시행 결과에 따른 $k$와 확률을 정리하면 다음과 같다.
  • $k=4$: 확률 $\frac{1}{18} + \frac{2}{9} = \frac{5}{18}$
  • $k=5$: 확률 $\frac{1}{18} + \frac{1}{18} + \frac{2}{9} = \frac{6}{18}$
  • $k=6$: 확률 $\frac{1}{18} + \frac{1}{18} + \frac{2}{9} = \frac{6}{18}$
  • $k=7$: 확률 $\frac{1}{18}$

(4) 반지름의 길이가 $k-3$인 원기둥의 높이는 닮음을 이용하면 $(16 - 2k)$로 계산되고, 원기둥의 부피는 $(k-3)^2(16 - 2k)\pi$이다.

(5) $k$의 값에 따른 원기둥의 반지름, 높이, 부피 및 확률은 다음과 같다.
  • $k=4$일 때: 확률 $\frac{5}{18}$, 반지름 $1$, 높이 $8$, 부피 $8\pi$
  • $k=5$일 때: 확률 $\frac{6}{18}$, 반지름 $2$, 높이 $6$, 부피 $24\pi$
  • $k=6$일 때: 확률 $\frac{6}{18}$, 반지름 $3$, 높이 $4$, 부피 $36\pi$
  • $k=7$일 때: 확률 $\frac{1}{18}$, 반지름 $4$, 높이 $2$, 부피 $32\pi$
(6) 따라서 원기둥의 부피의 기댓값 $\mathrm{E}(V)$는 \[\mathrm{E}(V) = 8\pi \times \frac{5}{18} + 24\pi \times \frac{6}{18} + 36\pi \times \frac{6}{18} + 32\pi \times \frac{1}{18} = \frac{40 + 144 + 216 + 32}{18}\pi = \frac{432}{18}\pi = \mathbf{24\pi}\text{이다.}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문제 1	$k=4, 5, 6, 7$에 대한 확률을 각각 정확히 계산 (+8점, 각 +2점)	8점
2단계	$k$에 따른 원기둥의 높이 및 부피 식을 바르게 유도 (+4점, 각 +1점)	4점
3단계	각 경우의 부피 $8\pi, 24\pi, 36\pi, 32\pi$를 정확히 계산 (+4점, 각 +1점)	4점
4단계	원기둥 부피의 기댓값 $24\pi$를 완벽하게 도출	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

최종 결론:$24\pi$

📚 과목/단원: 기하 🎯 핵심 테마: 이차곡선·공간벡터 기하 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

• $a \gt 0, a \ne 1, N \gt 0$일 때, $a^x = N \iff x = \log_a N$이다. 그리고 $\log_a N^k = k\log_a N$이다. (단, $k$는 실수)
• $a \gt 0, a \ne 1, b \gt 0, c \gt 0, c \ne 1$일 때, $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$이다.
• 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, 다음 식이 성립한다.
\[\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x \quad \left(\text{단, } \Delta x = \frac{b-a}{n}, \; x_k = a + k\Delta x\right)\] • $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} \quad (\text{단, } \tan\alpha\tan\beta \ne -1)$

2-1 다음 식의 값을 구하시오. 10점
\[\sum_{k=2}^9 \left(k^{\frac{k\ln 2}{\ln k}} - 2^{\frac{2\ln k}{\ln 2}}\right)\]

2-2 좌표평면에서 직선 $x = 1$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{A}(1, y_1)$과 $x$축 위를 움직이는 점 $\mathrm{B}(x_1, 0)$의 시각 $t$에서의 위치는 두 함수 $x_1 = f(t), y_1 = g(t)$로 나타내어질 수 있다. 두 점 $\mathrm{A}(1, g(t)), \mathrm{B}(f(t), 0)$은 시각 $t = 0$일 때 $(1, 0)$에서 출발한 후, $0 \lt t \le \frac{\pi}{4}$일 때 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 $\angle\mathrm{AOB} = t$이고 $\angle\mathrm{OAB} = \frac{2\pi}{3}$를 만족하며 움직인다고 하자. 이때, 극한값 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{\pi k}{6n}\right)$를 구하시오. (단, $x_1 \ge 1, y_1 \ge 0$이다.) 15점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]

【유사 연습 문제】 삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + k$의 그래프가 $x$축과 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x)=3(x-1)(x-3)=0$이므로 극댓값 $f(1)=4+k \gt 0$, 극솟값 $f(3)=k \lt 0$이어야 한다. $-4 \lt k \lt 0$이므로 정수 $k=-3,-2,-1$로 $3$개이다.

【문항 요약】 2024학년도 수리논술 창의형 문제 2 (기하) [배점 25점]

[2024학년도 수리논술 창의형 문제 2] 출제범위: 기하 · 핵심개념: 이차곡선·공간벡터 기하 논증 (배점 25점, 권장 25분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문제 2 · 총 25점

2-1 로그함수의 성질을 이용하면 \[k^{\frac{k\ln 2}{\ln k}} = k^{\frac{\ln 2^k}{\ln k}} = k^{\log_k 2^k} = 2^k, \qquad 2^{\frac{2\ln k}{\ln 2}} = 2^{\frac{\ln k^2}{\ln 2}} = 2^{\log_2 k^2} = k^2\] 으로 정리된다. 아래와 같이 등비수열의 합과 자연수의 거듭제곱의 합에 대한 공식을 이용하여 값을 구한다. \[\begin{aligned} \sum_{k=2}^9 2^k - \sum_{k=2}^9 k^2 &= \sum_{k=2}^9 2^k - \left(\sum_{k=1}^9 k^2 - 1\right) = \frac{4(2^8 - 1)}{2 - 1} - \frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{6} + 1 \\ &= 1020 - 285 + 1 = \mathbf{736}\text{이다.} \end{aligned}\]

2-2 주어진 조건으로부터 점 $\mathrm{A}(\cos t, \sin t), \mathrm{B}(\tan(t+\frac{\pi}{6}), 1)$이므로 $f(t) = 1 + (\tan t)\left\{\tan\left(t + \frac{\pi}{6}\right)\right\}$이다.
정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이용하여 극한값을 표현하면 \[\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{\pi k}{6n}\right) = \frac{6}{\pi}\int_0^{\pi/6} \left[1 + (\tan x)\left\{\tan\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right\}\right]\,dx\] 제시문의 탄젠트 덧셈정리 $1 + (\tan x)\left\{\tan\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right\} = \frac{\tan(x+\pi/6) - \tan x}{\tan(\pi/6)}$을 적용하면 \[\frac{6}{\pi}\int_0^{\pi/6} \frac{\tan(x+\pi/6) - \tan x}{\tan(\pi/6)}\,dx = \frac{6\sqrt{3}}{\pi}\int_0^{\pi/6} \left\{\tan\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \tan x\right\}\,dx\] $\int \tan x\,dx = -\ln(\cos x) + C$를 이용하면 \[\frac{6\sqrt{3}}{\pi}\left[-\ln\left(\cos\frac{\pi}{3}\right) + \ln\left(\cos\frac{\pi}{6}\right) + \ln\left(\cos\frac{\pi}{6}\right) - \ln(\cos 0)\right] = \mathbf{\frac{6\sqrt{3}}{\pi}\ln\frac{3}{2}}\text{이다.}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	로그함수 밑 변환 및 지수 정리를 통해 $k^{\frac{k\ln 2}{\ln k}} = 2^k, \; 2^{\frac{2\ln k}{\ln 2}} = k^2$을 유도	6점
2단계	등비수열 및 거듭제곱의 합 공식을 적용하여 정답 $736$을 완벽히 계산	4점
2-2	함수식 $f(t) = 1 + (\tan t)\left\{\tan\left(t + \frac{\pi}{6}\right)\right\}$를 정확히 수립	3점
4단계	급수의 극한을 정적분 $\frac{6}{\pi}\int_0^{\pi/6} f(x)\,dx$ 형태로 정확히 변환	4점
5단계	탄젠트 덧셈정리를 적용하여 피적분함수를 정리	4점
6단계	정적분을 계산하여 최종 정답 $\frac{6\sqrt{3}}{\pi}\ln\frac{3}{2}$를 완벽히 도출	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

최종 결론:$736$ | $\frac{6\sqrt{3}}{\pi}\ln\frac{3}{2}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 다항함수의 미분·적분과 넓이 극한 ⏱️ 권장 시간: 20분

[제시문]

세 사람 $\mathrm{A, B, C}$의 이름이 각각 적힌 서로 다른 $3$장의 이름표가 들어 있는 상자가 있다. 다음과 같은 규칙의 게임을 고려하자.
• $1$라운드: $\mathrm{A, B, C}$가 상자에서 임의로 각각 한 장씩 이름표를 뽑은 다음, 자신의 이름표를 뽑은 사람을 제외하고 다른 사람의 이름표를 뽑은 사람만 이름표를 상자에 다시 넣는다.
• $n$라운드 ($n \ge 2$): 아직 자신의 이름표를 뽑지 못한 사람만 $(n-1)$라운드 직후의 상자에서 임의로 각각 한 장씩 이름표를 뽑는다. 이때 자신의 이름표를 뽑은 사람을 제외하고 다른 사람의 이름표를 뽑은 사람만 이름표를 상자에 다시 넣는다.
• 각 라운드 직후 상자에 남은 이름표가 없으면 게임은 종료된다.

위와 같은 규칙으로 게임이 종료되지 않고 $6$라운드까지 진행된다고 할 때, 오직 한 사람만 자신의 이름표를 뽑는 경우의 수를 구하시오. (단, 각 라운드에서 이름표를 뽑는 순서는 고려하지 않는다.) 20점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04]

【유사 연습 문제】 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_1^x f(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + ax$를 만족시키는 연속함수 $f(x)$에 대하여 $f(2)$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x=1$을 대입하면 $0 = 1 - 2 + a \implies a = 1$. 양변을 미분하면 $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$이므로 $f(2) = 12 - 8 + 1 = 5$이다.

【문항 요약】 2023학년도 수리논술 창의형 문제 1 (미적분Ⅰ) [배점 20점]

[2023학년도 수리논술 창의형 문제 1] 출제범위: 미적분Ⅰ · 핵심개념: 다항함수의 미분·적분과 넓이 극한 (배점 20점, 권장 20분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문제 1 · 총 20점

[문제 1] 예시 답안
$n$라운드에서만 1명이 자신의 이름표를 뽑을 조건을 구하자.
  ① $n-1$라운드까지는 세 사람이 모두 다른 사람의 이름표를 뽑아야 하고 (2가지)
  ② $n$라운드에서는 한 명만 자신의 이름표를 뽑아야 하며 (3가지)
  ③ $n+1$라운드부터는 나머지 사람들이 모두 다른 사람의 이름표를 뽑아야 한다. (1가지)
단, $n=1$인 경우는 ①의 과정이 없고, $n=6$인 경우는 ③의 과정이 없다.
$n$라운드에서만 1명이 자신의 이름표를 뽑는 경우의 수를 $M_n$이라 하면 \[M_1 = 3 \times 1^5 = 3, \quad M_2 = 2 \times 3 \times 1^4 = 3 \times 2^1, \quad M_3 = 2^2 \times 3 \times 1^3 = 3 \times 2^2, \quad \dots, \quad M_6 = 3 \times 2^5\] 따라서 구하는 모든 경우의 수는 \[\sum_{n=1}^6 M_n = 3 \times \left(\frac{2^6 - 1}{2 - 1}\right) = 3 \times 63 = \mathbf{189}\text{이다.}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문제 1	$n$라운드 전후의 순열 조건을 이해하고 $M_n$의 규칙성을 파악 (+6점)	6점
2단계	$M_n = 3 \times 2^{n-1} \; (n=1,\dots,6)$의 각 경우의 수를 정확히 계산 (+12점, 각 +2점)	12점
3단계	등비수열의 합 공식을 적용하여 최종 정답 $189$를 완벽히 도출	2점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

최종 결론:$189$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 다항함수의 미분·적분과 넓이 극한 ⏱️ 권장 시간: 20분

[제시문]

아래와 같이 번호가 부여된 $8$개의 의자가 있다. $1$번부터 $7$번까지의 서로 다른 등번호를 부여받은 $7$명의 사람들을 $7$개의 의자에 앉히려고 한다.

단, 자리를 배치할 때, 다음의 조건을 모두 만족하여야 한다.
• 한 의자에 $2$명 이상 앉을 수 없다.
• 모든 사람은 본인의 등번호보다 큰 번호의 의자에 앉을 수 없다.
• 등번호가 $5$번인 사람은 $4$번, $5$번 의자 중 하나에 앉아야 한다.
• 등번호가 $6$번인 사람은 $4$번, $5$번, $6$번 의자 중 하나에 앉아야 한다.
• 등번호가 $7$번인 사람은 $6$번, $7$번 의자 중 하나에 앉아야 한다.

자리를 배치하는 경우의 수를 구하시오. 20점

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

【유사 연습 문제】 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t \; (t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$일 때, $t=0$에서 $t=4$까지 점 $P$가 움직인 거리 $s$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $v(t)=3(t-1)(t-3)$이므로 $s = \int_0^1 v(t)\,dt - \int_1^3 v(t)\,dt + \int_3^4 v(t)\,dt = 4 + 4 + 4 = 12$이다.

【문항 요약】 2022학년도 수리논술 창의형 문제 1 (미적분Ⅰ) [배점 20점]

[2022학년도 수리논술 창의형 문제 1] 출제범위: 미적분Ⅰ · 핵심개념: 다항함수의 미분·적분과 넓이 극한 (배점 20점, 권장 20분)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문제 1 · 총 20점

[문제 1] 예시 답안
등번호 5번, 6번, 7번인 사람이 앉을 수 있는 자리의 경우의 수는 다음 6가지이다.
  • $(5\text{번}, 6\text{번}, 7\text{번}) = (4,5,6), (4,5,7), (4,6,7), (5,4,6), (5,4,7), (5,6,7)$
각 경우에 대해 남은 1, 2, 3, 4번 학생이 앉을 수 있는 경우의 수를 계산하면:
  (1) 남은 자리가 $\{0,1,2,3,7\}$인 경우: $2 \times 2 \times 2 \times 1 = 8\text{가지}$
  (2) 남은 자리가 $\{0,1,2,3,6\}$인 경우: $2 \times 2 \times 2 \times 1 = 8\text{가지}$
  (3) 남은 자리가 $\{0,1,2,3,5\}$인 경우: $2 \times 2 \times 2 \times 1 = 8\text{가지}$
  (4) 남은 자리가 $\{0,1,2,3,7\}$인 경우: $2 \times 2 \times 2 \times 1 = 8\text{가지}$
  (5) 남은 자리가 $\{0,1,2,3,6\}$인 경우: $2 \times 2 \times 2 \times 1 = 8\text{가지}$
  (6) 남은 자리가 $\{0,1,2,3,4\}$인 경우: $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16\text{가지}$
따라서 모든 경우의 수의 합은 \[8 \times 5 + 16 = \mathbf{56}\text{가지이다.}\]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문제 1	등번호 5, 6, 7번이 앉을 수 있는 경우 6가지를 모두 정확히 분류	10점
2단계	남은 학생 1, 2, 3, 4번의 배치 경우의 수를 계산하여 최종 정답 $56$을 완벽히 도출	10점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

최종 결론:$56$

PART 2-1 · 10 FULL-LENGTH MOCK EXAMS

2027학년도 중앙대학교 창의형 자연계열 수리논술
실전 모의고사 1회 ~ 10회 문제집

제1~5회 기출유사 표준 실전편과 제6~10회 킬러 TOP 5 심화편(총 60문항) 및 회차별 종합 분석 매트릭스 리포트로 실전 적응력을 극대화합니다.

📋 출제 타당성 검토 보고서 (4p): 전 문항 교과서 기반 교육과정 성취기준 및 Textbook DB 원천 검증

📝 실전 맞춤형 시험지 포맷: 중앙대학교 창의형 실제 문항 수·배점·답안지 규격 100% 반영

📈 회차별 종합 분석 매트릭스 (10p): 매 회차 직후 문항별 난이도·배점·합격 전략 리포트 수록

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R1-Q1	대수 · 확률과 통계	수열의 귀납적 전이 경로 추적과 조건부확률	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03_02) PDF p.6 탐구 변형 \| 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]	15점/중상
R1-Q2	대수 : 지수로그/삼각함수	로그방정식과 삼각함수의 최대·최소	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 15512 변형 \| 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-07]	15점/중상
R1-Q3	확률과 통계	이항정리와 독립시행의 확률분포	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15513 변형 \| 성취기준: 12확통01-03, 12확통02-05]	15점/중상
R1-Q4	미적분Ⅰ / 미적분	변곡접선과 매개변수 함수의 미분	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 15514 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05]	15점/중상
R1-Q5	미적분Ⅱ · 적분법	초월함수의 정적분과 입체도형의 단면 적분 부피	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 15515 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	20점/상
R1-Q6	미적분Ⅱ · 심화 융합	정적분 함수와 사잇값 정리 및 극한	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 15516 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-01-04]	20점/상
R2-Q1	대수 / 확률과 통계	독립시행의 확률과 점의 이동 및 기댓값	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15521 변형 \| 성취기준: 12확통02-05, 12확통03-01]	15점/중상
R2-Q2	대수 : 지수함수/수열	지수부등식과 등차수열의 합	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 15522 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]	15점/중상
R2-Q3	확률과 통계	조건부확률과 베이즈 정리 기초	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15523 변형 \| 성취기준: 12확통02-03, 12확통02-04]	15점/중상
R2-Q4	미적분Ⅰ / 미적분	접선의 개수와 역함수의 미분법	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 15524 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]	15점/중상
R2-Q5	미적분Ⅱ · 적분법	삼각치환과 입체도형의 부피	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 15525 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	20점/상
R2-Q6	미적분Ⅱ · 심화 융합	초월함수 개형과 실근 개수 함수	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 15526 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	20점/상
R3-Q1	대수 / 확률과 통계	외접원 사인·코사인법칙과 조건부확률	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 15531 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]	15점/중상
R3-Q2	대수 : 수열	수열의 점화식과 수학적 귀납법	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 15532 변형 \| 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]	15점/중상
R3-Q3	미적분Ⅰ : 함수의 극한/미분	다항함수의 연속성과 평균값 정리	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 15533 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-06]	15점/중상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R3-Q4	미적분Ⅱ · 미분법	초월함수 극값과 부등식 증명	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 15534 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	15점/중상
R3-Q5	미적분Ⅱ · 적분법	매개변수 곡선의 호의 길이와 정적분 함수	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 15535 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-05]	20점/상
R3-Q6	미적분Ⅱ · 심화 융합	음함수 미분법과 두 곡선 사이의 거리	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 15536 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]	20점/상
R4-Q1	대수 / 미적분Ⅰ	등비수열의 극한과 점화식 무한급수	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 15541 변형 \| 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]	15점/중상
R4-Q2	미적분Ⅱ · 삼각함수	삼각함수의 덧셈정리와 배각공식	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 15542 변형 \| 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]	15점/중상
R4-Q3	확률과 통계	이산확률변수의 평균과 분산	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.12 탐구 15543 변형 \| 성취기준: 12확통03-01, 12확통03-06]	15점/중상
R4-Q4	미적분Ⅰ / 미적분	변곡점과 합성함수 미분 및 실근 개수	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 15544 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	15점/중상
R4-Q5	미적분Ⅱ · 적분법	역함수 정적분과 부분적분 점화식	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 15545 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]	20점/상
R4-Q6	미적분Ⅱ · 심화 융합	치환적분법을 이용한 입체도형의 단면 적분 부피	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 15546 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]	20점/상
R5-Q1	확률과 통계	베이즈 정리와 연속확률밀도함수	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15551 변형 \| 성취기준: 12확통02-03, 12확통03-01]	15점/중상
R5-Q2	대수 / 미적분	수열의 극한과 도형의 무한등비급수	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 15552 변형 \| 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-04]	15점/중상
R5-Q3	미적분Ⅰ / 미적분	미분계수의 정의와 영인자 인수분해 극한	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 15553 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]	15점/중상
R5-Q4	미적분Ⅰ / 미적분	평행접선과 두 곡선 최단거리 및 원의 외접	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 15554 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08]	15점/중상
R5-Q5	미적분Ⅱ · 적분법	회전체의 부피와 라이프니츠 미분 및 삼각치환	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 15555 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-05]	20점/상
R5-Q6	미적분Ⅱ · 심화 융합	정적분 부등식 증명과 조임정리 극한	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 15556 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]	20점/상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R6-Q1	확률과 통계	베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (6회)	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 이항정리 (DB: PS_Ch01_02) PDF p.5 탐구 변형 \| 성취기준: 12확통01-03]	15점/상
R6-Q2	대수	비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (6회)	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]	15점/중상
R6-Q3	미적분Ⅰ	삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (6회)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	15점/상
R6-Q4	기하	공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (6회)	[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.18 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하03-03]	15점/상
R6-Q5	미적분Ⅱ	초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (6회)	[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.30 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-05]	20점/최상
R6-Q6	미적분Ⅱ	로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (6회)	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.10 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02]	20점/최상
R7-Q1	확률과 통계	베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (7회)	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 경우의 수 (DB: PS_Ch01_01) PDF p.6 탐구 변형 \| 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02]	15점/상
R7-Q2	대수	비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (7회)	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.18 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]	15점/중상
R7-Q3	미적분Ⅰ	삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (7회)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.19 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]	15점/상
R7-Q4	기하	공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (7회)	[출처: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]	15점/상
R7-Q5	미적분Ⅱ	초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (7회)	[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.20 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]	20점/최상
R7-Q6	미적분Ⅱ	로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (7회)	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]	20점/최상
R8-Q1	확률과 통계	베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (8회)	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03_02) PDF p.6 탐구 변형 \| 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]	15점/상
R8-Q2	대수	비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (8회)	[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수02-03]	15점/중상
R8-Q3	미적분Ⅰ	삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (8회)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]	15점/상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R8-Q4	기하	공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (8회)	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.27 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	15점/상
R8-Q5	미적분Ⅱ	초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (8회)	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]	20점/최상
R8-Q6	미적분Ⅱ	로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (8회)	[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.20 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]	20점/최상
R9-Q1	확률과 통계	베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (9회)	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ. 확률분포 (DB: PS_Ch03_01) PDF p.8 탐구 변형 \| 성취기준: 12확통03-02, 12확통03-03, 12확통03-04]	15점/상
R9-Q2	대수	비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (9회)	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]	15점/중상
R9-Q3	미적분Ⅰ	삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (9회)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.26 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]	15점/상
R9-Q4	기하	공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (9회)	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.18 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	15점/상
R9-Q5	미적분Ⅱ	초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (9회)	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.10 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02]	20점/최상
R9-Q6	미적분Ⅱ	로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (9회)	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]	20점/최상
R10-Q1	확률과 통계	베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (10회)	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 조건부확률 (DB: PS_Ch02_02) PDF p.6 탐구 변형 \| 성취기준: 12확통02-04, 12확통02-05, 12확통02-06]	15점/상
R10-Q2	대수	비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (10회)	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.10 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]	15점/중상
R10-Q3	미적분Ⅰ	삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (10회)	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04]	15점/상
R10-Q4	기하	공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (10회)	[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	15점/상
R10-Q5	미적분Ⅱ	초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (10회)	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]	20점/최상
R10-Q6	미적분Ⅱ	로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (10회)	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.8 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-02]	20점/최상

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 · 확률과 통계 — 수열의 귀납적 전이 경로 추적과 조건부확률 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

[제시문] 주머니에 $1$부터 $6$까지의 자연수가 하나씩 적힌 $6$장의 카드가 들어 있다. 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 적힌 수를 확인하고 다시 넣는 독립시행을 반복한다. $n$번째 시행에서 꺼낸 카드의 수를 $X_n$이라 할 때, 수열 $\{a_n\}$을 다음과 같이 귀납적으로 정의한다.\[ a_1 = 2, \qquad a_{n+1} = \begin{cases} a_n + 2 & (X_n\text{이 짝수인 경우}) \\ 2a_n - 1 & (X_n\text{이 홀수인 경우}) \end{cases} \]

[1-1] (7점) $3$번째 시행 후 $a_4 = 9$일 확률을 모든 전이 경로를 조사하여 구하시오.

[1-2] (8점) $a_4 = 9$일 때, 첫 번째 시행에서 짝수가 적힌 카드가 나왔을 조건부확률을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 : 지수로그/삼각함수 — 로그방정식과 삼각함수의 최대·최소 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 15512 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-07]

[제시문] 양수 $x$에 대하여 방정식 $\log_2(x^2 - 2x + 9) = 3$이 주어져 있다. 또한 닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 정의된 함수 $f(\theta) = 2\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\cos\theta - 1$이 있다.

[2-1] 주어진 로그방정식의 모든 실근의 합을 구하시오. (7점)

[2-2] 함수 $f(\theta)$의 최댓값과 최솟값을 구하고, 그때의 $\theta$의 값을 각각 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 확률과 통계 — 이항정리와 독립시행의 확률분포 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15513 변형 | 성취기준: 12확통01-03, 12확통02-05]

[제시문] 다항식 $(2x + 1)^n$의 전개식에서 $x^2$의 계수와 $x$의 계수의 비가 $6:1$이다. 한 개의 주사위를 10번 던질 때 3의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 $X$라 하자.

[3-1] 이항정리를 이용하여 자연수 $n$의 값을 구하시오. (7점)

[3-2] 확률변수 $X$에 대하여 기댓값 $E(X)$와 분산 $V(X)$를 구하고, $E(X^2)$의 값을 계산하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ / 미적분 — 변곡접선과 매개변수 함수의 미분 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 15514 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05]

[제시문] 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$의 변곡점을 $P$라 하고 점 $P$에서의 접선을 $l$이라 하자. 또한 매개변수 $t \gt 0$으로 나타내어진 곡선 $C$가 $x(t) = \ln t, y(t) = t + \frac{1}{t}$이다.

[4-1] 점 $P$의 좌표와 변곡접선 $l$의 방정식을 구하시오. (7점)

[4-2] 곡선 $C$ 위의 점에서의 접선의 기울기가 0이 되는 점의 좌표를 구하고, 직선 $l$과 곡선 $C$의 교점 개수를 판정하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅱ · 적분법 — 초월함수의 정적분과 입체도형의 단면 적분 부피 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 15515 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문] 함수 $f(x) = x e^{-x}$에 대하여 곡선 $y = f(x)$와 $x$축 및 직선 $x = 2$로 둘러싸인 영역을 $D$라 하자.

[5-1] 부분적분법을 이용하여 영역 $D$의 넓이 $S$를 구하시오. (10점)

[5-2] 영역 $D$를 $x$축 둘레로 1회전하여 생기는 입체도형의 단면 적분 부피 $V_x$를 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 6/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 6】 미적분Ⅱ · 심화 융합 — 정적분 함수와 사잇값 정리 및 극한 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 15516 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-01-04]

[제시문] 연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = \sin(\pi x) + \int_0^{1/2} f(t)\,dt$를 만족한다. 또한 함수 $g(x) = \int_0^x (t - 1) e^t\,dt$가 있다.

[6-1] 정적분 상수치환법을 이용하여 함수 $f(x)$의 구체적인 식을 구하시오. (10점)

[6-2] 함수 $g(x)$의 극값을 판정하고, 극한값 $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}$의 값을 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 6 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (6문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제1회	문항 1	대수 · 확률과 통계	수열의 귀납적 전이 경로 추적과 조건부확률	15점	중상
제1회	문항 2	대수 : 지수로그/삼각함수	로그방정식과 삼각함수의 최대·최소	15점	중상
제1회	문항 3	확률과 통계	이항정리와 독립시행의 확률분포	15점	중상
제1회	문항 4	미적분Ⅰ / 미적분	변곡접선과 매개변수 함수의 미분	15점	중상
제1회	문항 5	미적분Ⅱ · 적분법	초월함수의 정적분과 입체도형의 단면 적분 부피	20점	상
제1회	문항 6	미적분Ⅱ · 심화 융합	정적분 함수와 사잇값 정리 및 극한	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 중앙대학교 창의형 수리논술 제1회 출제 원칙 및 합격 전략

[중앙대학교 창의형 제1회 (기출 정합 실전 표준 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 중앙대 창의ICT·소프트웨어·AI·공과대학 표준 편제인 6문항 100점 만점(15점×4 + 20점×2, 120분) 체제로 구성되어 있습니다. 전반부 1~4번(수열의 귀납적 전이 경로 추적과 조건부확률, 로그방정식과 삼각함수의 최대·최소 등 60점)을 65분 내에 무결점으로 완결하고, 후반부 5·6번(40점) 고난도 미적분·기하 논증에 55분을 집중 배분하십시오.

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 / 확률과 통계 — 독립시행의 확률과 점의 이동 및 기댓값 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15521 변형 | 성취기준: 12확통02-05, 12확통03-01]

[제시문] 수직선 위의 원점 $O$에 놓인 점 $P$가 있다. 동전을 던져 앞면이 나오면 양의 방향으로 2만큼, 뒷면이 나오면 음의 방향으로 1만큼 이동한다. 동전을 $n$번 던진 후 점 $P$의 좌표를 $S_n$이라 하자. (단, 동전의 앞면과 뒷면이 나올 확률은 각각 $\frac{1}{2}$이다.)

[1-1] 동전을 5번 던졌을 때, 점 $P$의 좌표가 $S_5 = 4$가 될 확률을 구하시오. (7점)

[1-2] 동전을 $n$번 던진 후 점 $P$의 좌표 $S_n$의 기댓값 $E(S_n)$과 분산 $V(S_n)$을 $n$에 관한 식으로 나타내시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 : 지수함수/수열 — 지수부등식과 등차수열의 합 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 15522 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[제시문] 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $4^x - 2^{x+2} + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 범위를 구하고, 첫째항이 3이고 공차가 4인 등차수열 $\{a_n\}$의 합을 $S_n$이라 하자.

[2-1] 주어진 지수부등식이 항상 성립하기 위한 실수 $k$의 최솟값을 구하시오. (7점)

[2-2] 부등식 $S_n \gt 200$을 만족하는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 확률과 통계 — 조건부확률과 베이즈 정리 기초 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15523 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통02-04]

[제시문] 상자 $A$에는 흰 공 3개와 검은 공 2개, 상자 $B$에는 흰 공 2개와 검은 공 4개가 들어 있다. 임의로 하나의 상자를 택하여 공 1개를 꺼냈더니 흰 공이었다.

[3-1] 꺼낸 공이 흰 공일 전체 확률을 구하시오. (7점)

[3-2] 꺼낸 흰 공이 상자 $A$에서 나왔을 조건부확률을 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ / 미적분 — 접선의 개수와 역함수의 미분법 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 15524 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[제시문] 함수 $f(x) = x^3 - 3x$에 대하여 변곡점에서의 접선을 $l$이라 하고, 양의 실수에서 정의된 함수 $g(x) = x + \ln x$의 역함수를 $h(x)$라 하자.

[4-1] 변곡점에서의 접선 $l$의 방정식과 점 $(0, k)$에서 곡선에 그을 수 있는 접선의 개수가 3개가 되는 $k$의 범위를 구하시오. (7점)

[4-2] 역함수 $h(x)$에 대하여 $h'(1)$의 값을 구하고 점 $(1, h(1))$에서의 접선 방정식을 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅱ · 적분법 — 삼각치환과 입체도형의 부피 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 15525 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문] 닫힌구간 $[0, 1]$에서 정의된 함수 $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$에 대하여 밑면이 곡선 $y = f(x)$와 $x$축, $y$축, 직선 $x=1$로 둘러싸이고 $x$축에 수직인 단면이 모두 정사각형인 입체도형을 $V$라 하자.

[5-1] 삼각치환법을 이용하여 정적분 $\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

[5-2] 입체도형 $V$의 부피를 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 6/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 6】 미적분Ⅱ · 심화 융합 — 초월함수 개형과 실근 개수 함수 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 15526 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문] 함수 $f(x) = x^2 e^{-x}$와 실수 $t$에 대하여 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 하자.

[6-1] 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 구하고, 점근선을 고려하여 개형을 논술하시오. (10점)

[6-2] 실근의 개수 함수 $g(t)$를 $t$의 범위에 따라 구하고 불연속점을 모두 찾으시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 6 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (6문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제2회	문항 1	대수 / 확률과 통계	독립시행의 확률과 점의 이동 및 기댓값	15점	중상
제2회	문항 2	대수 : 지수함수/수열	지수부등식과 등차수열의 합	15점	중상
제2회	문항 3	확률과 통계	조건부확률과 베이즈 정리 기초	15점	중상
제2회	문항 4	미적분Ⅰ / 미적분	접선의 개수와 역함수의 미분법	15점	중상
제2회	문항 5	미적분Ⅱ · 적분법	삼각치환과 입체도형의 부피	20점	상
제2회	문항 6	미적분Ⅱ · 심화 융합	초월함수 개형과 실근 개수 함수	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 중앙대학교 창의형 수리논술 제2회 출제 원칙 및 합격 전략

[중앙대학교 창의형 제2회 (기출 정합 실전 표준 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 중앙대 창의ICT·소프트웨어·AI·공과대학 표준 편제인 6문항 100점 만점(15점×4 + 20점×2, 120분) 체제로 구성되어 있습니다. 전반부 1~4번(독립시행의 확률과 점의 이동 및 기댓값, 지수부등식과 등차수열의 합 등 60점)을 65분 내에 무결점으로 완결하고, 후반부 5·6번(40점) 고난도 미적분·기하 논증에 55분을 집중 배분하십시오.

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 / 확률과 통계 — 외접원 사인·코사인법칙과 조건부확률 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 15531 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[제시문] 반지름의 길이가 2인 원에 내접하는 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 2\sqrt{2}, \angle C = 45^\circ$이다. 1부터 8까지의 공 중 3개를 꺼낼 때 최솟값을 $M$이라 하자.

[1-1] 삼각형의 넓이가 최대일 때의 $\overline{BC}$의 길이를 구하시오. (7점)

[1-2] $M=3$일 때 꺼낸 세 수의 합이 짝수일 조건부확률을 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 : 수열 — 수열의 점화식과 수학적 귀납법 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 15532 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[제시문] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2, a_{n+1} = 3a_n - 2$를 만족한다.

[2-1] 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오. (7점)

[2-2] 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = 3^{n-1} + 1$임을 수학적 귀납법으로 증명하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ : 함수의 극한/미분 — 다항함수의 연속성과 평균값 정리 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 15533 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-06]

[제시문] 함수 $f(x) = x^3 - 3x + 1$에 대하여 닫힌구간 $[0, 2]$에서 평균값 정리를 만족하는 상수 $c$의 값을 구하시오.

[3-1] 닫힌구간 $[0, 2]$에서 평균변화율을 구하시오. (7점)

[3-2] 평균값 정리를 만족하는 열린구간 $(0, 2)$에 속하는 $c$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅱ · 미분법 — 초월함수 극값과 부등식 증명 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 15534 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문] 함수 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ ($x \gt 0$)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[4-1] 함수 $f(x)$의 극댓값을 구하고 부등식 $e^x \ge x^e$이 성립함을 증명하시오. (8점)

[4-2] 원점에서 곡선 $y=f(x)$에 그은 접선의 방정식을 구하시오. (7점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅱ · 적분법 — 매개변수 곡선의 호의 길이와 정적분 함수 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 15535 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문] 매개변수 곡선 $x(t) = e^t\cos t, y(t) = e^t\sin t$ ($0 \le t \le \pi$)와 $F(x) = \int_0^x (t^2-1)e^t dt$가 있다.

[5-1] 곡선의 호의 길이 $L$을 구하시오. (10점)

[5-2] 부분적분법을 이용하여 $F(x)$를 정적분 기호 없이 나타내시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 6/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 6】 미적분Ⅱ · 심화 융합 — 음함수 미분법과 두 곡선 사이의 거리 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 15536 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

[제시문] 타원 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 위의 점 $P$에서의 접선과 직선 $y = x + 3$ 사이의 거리를 최소화하려 한다.

[6-1] 음함수 미분법을 이용하여 기울기가 1인 접선의 방정식을 모두 구하시오. (10점)

[6-2] 타원 위의 점과 직선 $y = x + 3$ 사이의 최단거리를 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 6 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (6문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제3회	문항 1	대수 / 확률과 통계	외접원 사인·코사인법칙과 조건부확률	15점	중상
제3회	문항 2	대수 : 수열	수열의 점화식과 수학적 귀납법	15점	중상
제3회	문항 3	미적분Ⅰ : 함수의 극한/미분	다항함수의 연속성과 평균값 정리	15점	중상
제3회	문항 4	미적분Ⅱ · 미분법	초월함수 극값과 부등식 증명	15점	중상
제3회	문항 5	미적분Ⅱ · 적분법	매개변수 곡선의 호의 길이와 정적분 함수	20점	상
제3회	문항 6	미적분Ⅱ · 심화 융합	음함수 미분법과 두 곡선 사이의 거리	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 중앙대학교 창의형 수리논술 제3회 출제 원칙 및 합격 전략

[중앙대학교 창의형 제3회 (기출 정합 실전 표준 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 중앙대 창의ICT·소프트웨어·AI·공과대학 표준 편제인 6문항 100점 만점(15점×4 + 20점×2, 120분) 체제로 구성되어 있습니다. 전반부 1~4번(외접원 사인·코사인법칙과 조건부확률, 수열의 점화식과 수학적 귀납법 등 60점)을 65분 내에 무결점으로 완결하고, 후반부 5·6번(40점) 고난도 미적분·기하 논증에 55분을 집중 배분하십시오.

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 / 미적분Ⅰ — 등비수열의 극한과 점화식 무한급수 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 15541 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[제시문] 등비수열 $\{a_n\}$의 합 $S_n$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} \frac{S_{2n}}{S_n} = 1 + r^n$이고, $b_1 = 1, b_{n+1} = \frac{b_n}{1 + 2b_n}$이다.

[1-1] 수열 $\{b_n\}$의 일반항을 구하시오. (7점)

[1-2] 급수 $\sum_{n=1}^\infty b_n b_{n+1}$의 합을 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅱ · 삼각함수 — 삼각함수의 덧셈정리와 배각공식 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 15542 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[제시문] $\tan\alpha = 2, \tan\beta = 3$일 때 다음 값을 구하시오.

[2-1] $\tan(\alpha + \beta)$의 값을 구하시오. (7점)

[2-2] $\cos(2\alpha)$와 $\sin(2\alpha)$의 값을 각각 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 확률과 통계 — 이산확률변수의 평균과 분산 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.12 탐구 15543 변형 | 성취기준: 12확통03-01, 12확통03-06]

[제시문] 확률변수 $X$의 확률분포가 $P(X=k) = c k$ ($k=1, 2, 3, 4$)이다.

[3-1] 상수 $c$의 값과 $E(X)$의 값을 구하시오. (7점)

[3-2] 분산 $V(X)$와 $V(2X - 3)$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ / 미적분 — 변곡점과 합성함수 미분 및 실근 개수 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 15544 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문] 함수 $f(x) = (x^2 - 2x)e^{-x}$에 대하여 방정식 $f(x) = t$의 실근 개수를 $N(t)$라 하자.

[4-1] 함수 $f(x)$의 두 변곡점의 $x$좌표를 구하시오. (7점)

[4-2] 실근 개수 함수 $N(t)$가 불연속이 되는 모든 $t$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅱ · 적분법 — 역함수 정적분과 부분적분 점화식 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 15545 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문] 함수 $f(x) = x^3 + 2x$의 역함수 $g(x)$와 $I_n = \int_0^1 x^n e^x dx$가 있다.

[5-1] 정적분 $\int_0^3 g(x)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

[5-2] 점화식 $I_n = e - n I_{n-1}$을 유도하고 $\lim_{n \to \infty} n I_n$의 값을 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 6/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 6】 미적분Ⅱ · 심화 융합 — 치환적분법을 이용한 입체도형의 단면 적분 부피 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 15546 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문] 곡선 $y = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$과 $x$축 및 두 직선 $x=0, x=3$으로 둘러싸인 영역을 $D$라 하자.

[6-1] 영역 $D$의 넓이를 구하시오. (10점)

[6-2] 영역 $D$를 $x$축 둘레로 1회전시킨 입체도형의 단면 적분 부피 $V_x$를 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 6 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (6문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제4회	문항 1	대수 / 미적분Ⅰ	등비수열의 극한과 점화식 무한급수	15점	중상
제4회	문항 2	미적분Ⅱ · 삼각함수	삼각함수의 덧셈정리와 배각공식	15점	중상
제4회	문항 3	확률과 통계	이산확률변수의 평균과 분산	15점	중상
제4회	문항 4	미적분Ⅰ / 미적분	변곡점과 합성함수 미분 및 실근 개수	15점	중상
제4회	문항 5	미적분Ⅱ · 적분법	역함수 정적분과 부분적분 점화식	20점	상
제4회	문항 6	미적분Ⅱ · 심화 융합	치환적분법을 이용한 입체도형의 단면 적분 부피	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 중앙대학교 창의형 수리논술 제4회 출제 원칙 및 합격 전략

[중앙대학교 창의형 제4회 (기출 정합 실전 표준 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 중앙대 창의ICT·소프트웨어·AI·공과대학 표준 편제인 6문항 100점 만점(15점×4 + 20점×2, 120분) 체제로 구성되어 있습니다. 전반부 1~4번(등비수열의 극한과 점화식 무한급수, 삼각함수의 덧셈정리와 배각공식 등 60점)을 65분 내에 무결점으로 완결하고, 후반부 5·6번(40점) 고난도 미적분·기하 논증에 55분을 집중 배분하십시오.

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 확률과 통계 — 베이즈 정리와 연속확률밀도함수 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15551 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통03-01]

[제시문] 두 공장 $A, B$의 불량률은 $2\%, 5\%$이고 생산비율은 $60\%, 40\%$이다. 구간 $[0, 2]$의 확률밀도함수는 $f(x) = c x(2-x)$이다.

[1-1] 불량품이 공장 $A$ 제품일 조건부확률을 구하시오. (7점)

[1-2] 상수 $c$의 값과 분산 $V(X)$를 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 / 미적분 — 수열의 극한과 도형의 무한등비급수 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 15552 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-04]

[제시문] 한 변의 길이가 4인 정사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 정사각형을 $T_1$이라 하고 이 과정을 반복하여 얻은 정사각형들의 넓이의 합을 $S$라 하자.

[2-1] 첫 번째 정사각형 $T_1$의 넓이와 공비를 구하시오. (7점)

[2-2] 무한등비급수의 합 $S$를 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ / 미적분 — 미분계수의 정의와 영인자 인수분해 극한 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 15553 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

[제시문] 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f(1) = 2, f'(1) = 3$을 만족한다.

[3-1] 극한값 $\lim_{x \to 1} \frac{f(x^2) - f(1)}{x - 1}$의 값을 구하시오. (7점)

[3-2] 극한값 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 f(1) - f(x)}{x - 1}$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ / 미적분 — 평행접선과 두 곡선 최단거리 및 원의 외접 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 15554 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문] 곡선 $y = \sqrt{x}$와 직선 $y = x + 2$ 및 중심이 $(3, 0)$인 원이 있다.

[4-1] 직선과 평행한 접선의 접점 $P$의 좌표와 접선 방정식을 구하시오. (7점)

[4-2] 곡선과 직선 사이의 최단거리 및 원이 곡선과 외접할 때의 반지름 $r$을 구하시오. (8점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 5/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅱ · 적분법 — 회전체의 부피와 라이프니츠 미분 및 삼각치환 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 15555 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문] 함수 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$과 영역 $D$ ($0 \le x \le 1$) 및 $G(x) = \int_1^x \frac{\sin t}{t} dt$가 있다.

[5-1] 영역 $D$를 $x$축 둘레로 1회전한 부피 $V_x$를 구하시오. (10점)

[5-2] 극한값 $\lim_{x \to 1} \frac{G(x^2) - G(x)}{x - 1}$과 영역의 넓이 $S$를 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 6/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 6】 미적분Ⅱ · 심화 융합 — 정적분 부등식 증명과 조임정리 극한 배점 20점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 15556 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문] 모든 실수 $x \ge 0$에 대하여 부등식 $x - \frac{x^2}{2} \le \ln(1+x) \le x$가 성립함을 증명하고, 수열 $a_n = \int_0^1 \ln(1 + x^n)\,dx$의 극한을 조사하시오.

[6-1] 함수의 증감을 이용하여 부등식 $\ln(1+x) \le x$ ($x \ge 0$)을 증명하시오. (10점)

[6-2] 조임정리(샌드위치 정리)를 이용하여 $\lim_{n \to \infty} n a_n$의 값을 구하시오. (10점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 6 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (6문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제5회	문항 1	확률과 통계	베이즈 정리와 연속확률밀도함수	15점	중상
제5회	문항 2	대수 / 미적분	수열의 극한과 도형의 무한등비급수	15점	중상
제5회	문항 3	미적분Ⅰ / 미적분	미분계수의 정의와 영인자 인수분해 극한	15점	중상
제5회	문항 4	미적분Ⅰ / 미적분	평행접선과 두 곡선 최단거리 및 원의 외접	15점	중상
제5회	문항 5	미적분Ⅱ · 적분법	회전체의 부피와 라이프니츠 미분 및 삼각치환	20점	상
제5회	문항 6	미적분Ⅱ · 심화 융합	정적분 부등식 증명과 조임정리 극한	20점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 중앙대학교 창의형 수리논술 제5회 출제 원칙 및 합격 전략

[중앙대학교 창의형 제5회 (기출 정합 실전 표준 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 중앙대 창의ICT·소프트웨어·AI·공과대학 표준 편제인 6문항 100점 만점(15점×4 + 20점×2, 120분) 체제로 구성되어 있습니다. 전반부 1~4번(베이즈 정리와 연속확률밀도함수, 수열의 극한과 도형의 무한등비급수 등 60점)을 65분 내에 무결점으로 완결하고, 후반부 5·6번(40점) 고난도 미적분·기하 논증에 55분을 집중 배분하십시오.

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 확률과 통계 — 베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (6회) 배점 15점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 이항정리 (DB: PS_Ch01_02) PDF p.5 탐구 변형 | 성취기준: 12확통01-03]

[제시문] 표본공간을 분할하는 사건 $A, A^c$에 대하여 전확률 공식 $P(E) = P(A)P(E \mid A) + P(A^c)P(E \mid A^c)$가 성립하며, 크기 $n$인 임의표본의 표본비율 $\hat{p}$로부터 모비율 $p$의 $95\%$ 신뢰구간 $\left[\hat{p} - 1.96\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n},\; \hat{p} + 1.96\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}\right]$을 추정한다. (단, $P(|Z| \le 1.96)=0.95$)

창의ICT 자율주행 라이다 센서는 생산라인 $A$와 $B$에서 각각 전체의 $\dfrac{2}{5}$, $\dfrac{3}{5}$ 비율로 공급된다. 광학 정밀 검사를 통과할 확률이 라인 $A$ 제품에서 $\dfrac{9}{10}$이고 라인 $B$ 제품에서 $\dfrac{1}{5}$이다.

[1-1] (7점) 검사를 통과한 센서 1개를 택했을 때 라인 $A$ 생산품일 확률을 기약분수로 구하시오.

[1-2] (8점) 별도의 표본조사에서 크기 $n = 400$인 임의표본의 표본비율이 $\hat{p} = \dfrac{1}{5}$로 관측되었을 때, 모비율 $p$의 $95\%$ 신뢰구간의 길이 $L$을 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (6회) 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]

[제시문] 모든 항이 양수인 수열 $\{a_n\}$에서 역수 수열 $b_n = \dfrac{1}{a_n}$이 공차가 일정한 등차수열을 이루면 일반항을 즉시 결정할 수 있으며, 부분분수 항등식 $\dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{B-A}\left(\dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\right)$로 급수의 합을 구한다.

첫째항이 $a_1 = 1$인 양항 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에서 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1 + 2a_n}$을 만족시킨다.

[2-1] (7점) $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 치환하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오.

[2-2] (8점) 유한합 $S_{10} = \displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k a_{k+1}$의 값과 무한급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k a_{k+1}$의 수렴값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (6회) 배점 15점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문] 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선 $y = l(x)$가 곡선과 $x = b\; (b \ne a)$에서 다시 만나면 $f(x) - l(x) = (x - a)^2(x - b)$로 인수분해되며, 둘러싸인 넓이는 정적분으로 계산된다.

좌표평면 위의 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x + 2$의 그래프 위의 점 $P(1, 0)$에서 그은 접선을 $l$이라 하자.

[3-1] (7점) 접선 $l$의 방정식과 접점 $P$가 아닌 재교점 $Q$의 좌표를 구하시오.

[3-2] (8점) 삼차곡선과 직선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 기하 — 공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (6회) 배점 15점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03]

[제시문] 좌표공간에서 법선벡터가 $\vec{n} = (a, b, c)$인 평면 $\alpha : ax + by + cz + d = 0$과 원점 사이의 거리는 $\dfrac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$이며, 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 정사영 넓이 공식 $S' = S\cos\theta$가 성립한다.

좌표공간의 세 축 위의 점 $A(2, 0, 0),\; B(0, 1, 0),\; C(0, 0, 1)$로 결정되는 평면을 $\alpha$라 하자.

[4-1] (7점) 법선벡터를 이용하여 평면 $\alpha$의 방정식을 구하고, 원점 $O$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 길이 $h$를 구하시오.

[4-2] (8점) 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$의 값과 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅱ — 초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (6회) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.30 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-05]

[제시문] 두 번 미분가능한 초월함수 $f(x)$에서 $f'(x)=0$의 부호 변화로 극대·극소를 판정하고 $f''(x)=0$의 부호 변화로 변곡점을 찾는다. 또한 $\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-kx} = 0\; (k \gt 0)$인 점근선 성질로 수평선과의 교점 개수를 분석한다.

실수 전체의 집합에서 정의된 초월함수 $f(x) = x^2 e^{-2x}$과 실수 $t$에 대하여 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 하자.

[5-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[5-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$의 두 변곡점의 $x$좌표를 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha + \beta$와 $\alpha\beta$의 값을 구하시오.

[5-3] (7점) 함수 $g(t)$가 불연속이 되는 모든 실수 $t$의 값과 $g(t) = 3$을 만족시키는 $t$의 범위를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 6/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 6】 미적분Ⅱ — 로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (6회) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02]

[제시문] 닫힌구간 $[1, e]$에서 연속인 함수의 부분적분법 $\displaystyle\int_1^e u(x)v'(x)\,dx = [u(x)v(x)]_1^e - \int_1^e u'(x)v(x)\,dx$로 정적분 수열의 점화식을 유도할 수 있으며, 무한급수 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n h\left(\frac{k}{n}\right)$는 정적분 $\displaystyle\int_0^1 h(x)\,dx$로 수렴한다.

음이 아닌 정수 $m$에 대하여 정적분 수열 $\{J_m\}$을 $J_m = \displaystyle\int_1^e x (\ln x)^m\,dx$로 정의하자.

[6-1] (6점) $J_0$과 $J_1$의 값을 각각 구하시오.

[6-2] (7점) 모든 자연수 $m$에 대하여 $2 J_m + m J_{m-1} = e^{2}$이 성립함을 부분적분법으로 증명하고, $J_2$의 값을 구하시오.

[6-3] (7점) 극한값 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{2}{n + k}$를 정적분으로 변환하여 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 6 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제6회 전 문항 (6문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제6회	문항 1	확률과 통계	베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (6회)	15점	상
제6회	문항 2	대수	비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (6회)	15점	중상
제6회	문항 3	미적분Ⅰ	삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (6회)	15점	상
제6회	문항 4	기하	공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (6회)	15점	상
제6회	문항 5	미적분Ⅱ	초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (6회)	20점	최상
제6회	문항 6	미적분Ⅱ	로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (6회)	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 중앙대학교 창의형 수리논술 제6회 출제 원칙 및 합격 전략

[중앙대학교 창의형 제6회 (역대 킬러 TOP 5 1:1 심화 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 중앙대 창의형 최고난도 변별 구간을 돌파하기 위한 6문항 심화 세트(베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (6회), 비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (6회) 등)입니다. 확률·점화식·공간평면 정사영(1~4번)에서 계산 정확도를 확보한 뒤, 초월함수 변곡점 개형(5번)과 부분적분 점화식·구분구적 극한(6번)에서 단계별 부분점수를 극대화하십시오.

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 확률과 통계 — 베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (7회) 배점 15점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 경우의 수 (DB: PS_Ch01_01) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02]

[제시문] 상호배반인 두 원인 사건 $M_1, M_2$하에서 관측 사건 $D$가 발생했을 때 사후확률은 $P(M_1 \mid D) = \dfrac{P(M_1)P(D \mid M_1)}{P(D)}$로 계산된다. 또한 충분히 큰 표본 크기 $n$에 대하여 모비율 $95\%$ 신뢰구간의 양 끝점의 차(길이)는 $2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$이다. (단, $P(|Z| \le 1.96)=0.95$)

양자암호 광통신 송수신 모듈은 제1공정($A$)과 제2공정($B$)에서 각각 $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{2}$ 비율로 공급된다. 위상 안정성 시험에서 합격 판정을 받을 확률이 제1공정 모듈은 $\dfrac{4}{5}$이고 제2공정 모듈은 $\dfrac{1}{10}$이다.

[1-1] (7점) 합격 판정을 받은 모듈이 제1공정에서 제작되었을 조건부확률을 기약분수로 구하시오.

[1-2] (8점) 별도의 표본조사에서 크기 $n = 900$인 임의표본의 표본비율이 $\hat{p} = \dfrac{1}{10}$로 관측되었을 때, 모비율 $p$의 $95\%$ 신뢰구간의 길이 $L$을 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (7회) 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

[제시문] 비선형 분수 점화식 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1 + c a_n}\; (c \gt 0)$은 양변의 역수를 취할 때 선형 차분방정식 $\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = c$로 변환되며, 이웃한 두 항의 곱 $a_k a_{k+1}$은 망원급수 형태로 소거된다.

모든 자연수 $n$에 대하여 관계식 $a_{n+1}(1 + 3a_n) = a_n$과 초기조건 $a_1 = \dfrac{1}{2}$로 정의된 양수 수열 $\{a_n\}$을 고찰하자.

[2-1] (7점) $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 치환하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오.

[2-2] (8점) 유한합 $S_{12} = \displaystyle\sum_{k=1}^{12} a_k a_{k+1}$의 값과 무한급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k a_{k+1}$의 수렴값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (7회) 배점 15점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.19 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문] 미분가능한 삼차곡선과 그 접선의 교점 방정식은 접점에서 중근을 갖는다. 삼차방정식의 세 실근의 합과 이차항 계수의 관계를 활용하면 재교점 좌표를 신속히 검증할 수 있고, 정적분 치환으로 넓이를 구한다.

실수 전체에서 정의된 다항함수 $f(x) = x^3 - 6x + 4$에 대하여 곡선 $y = f(x)$의 점 $P(2, 0)$에서의 접선 $l$을 생각한다.

[3-1] (7점) 접선 $l$의 방정식과 접점 $P$가 아닌 재교점 $Q$의 좌표를 구하시오.

[3-2] (8점) 삼차곡선과 직선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 기하 — 공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (7회) 배점 15점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

[제시문] 공간좌표의 세 좌표축 위의 점을 지나는 평면의 방정식은 법선벡터 내적 $\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0$으로부터 유도된다. 두 평면이 이루는 각의 코사인값은 두 법선벡터의 내적을 크기의 곱으로 나누어 구한다.

원점 $O$를 꼭짓점으로 하는 사면체 $OABC$의 세 꼭짓점이 $A(3, 0, 0),\; B(0, 2, 0),\; C(0, 0, 1)$로 주어지고 밑면 $ABC$를 포함하는 평면을 $\alpha$라 한다.

[4-1] (7점) 법선벡터를 이용하여 평면 $\alpha$의 방정식을 구하고, 원점 $O$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 길이 $h$를 구하시오.

[4-2] (8점) 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$의 값과 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅱ — 초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (7회) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.20 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]

[제시문] 다항함수와 지수함수의 곱으로 정의된 함수 $f(x) = x^2 e^{-\lambda x}\; (\lambda \gt 0)$는 실수 전체에서 이계도함수가 존재한다. 이계도함수의 이차 인수의 근과 계수의 관계를 이용하면 두 변곡점 좌표의 대칭식을 구할 수 있다.

감쇠 진폭 모형 함수 $f(x) = x^2 e^{-3x}$의 그래프와 수평선 $y = t$가 만나는 교점의 개수를 함수 $g(t)$로 정의한다.

[5-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[5-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$의 두 변곡점의 $x$좌표를 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha + \beta$와 $\alpha\beta$의 값을 구하시오.

[5-3] (7점) 함수 $g(t)$가 불연속이 되는 모든 실수 $t$의 값과 $g(t) = 3$을 만족시키는 $t$의 범위를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 6/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 6】 미적분Ⅱ — 로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (7회) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

[제시문] 로그함수의 거듭제곱을 포함한 정적분 수열 $J_m = \displaystyle\int_1^e x^p (\ln x)^m\,dx$는 다항 인수를 적분하고 로그 인수를 미분하는 부분적분법에 의해 차수가 $1$씩 낮아지는 선형 점화식을 만족시킨다.

닫힌구간 $[1, e]$에서 피적분함수 $f_m(x) = x^{2}(\ln x)^m\; (m=0,1,2,\dots)$의 정적분을 $J_m$이라 둔다.

[6-1] (6점) $J_0$과 $J_1$의 값을 각각 구하시오.

[6-2] (7점) 모든 자연수 $m$에 대하여 $3 J_m + m J_{m-1} = e^{3}$이 성립함을 부분적분법으로 증명하고, $J_2$의 값을 구하시오.

[6-3] (7점) 극한값 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{3}{n + 2k}$를 정적분으로 변환하여 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 6 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제7회 전 문항 (6문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제7회	문항 1	확률과 통계	베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (7회)	15점	상
제7회	문항 2	대수	비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (7회)	15점	중상
제7회	문항 3	미적분Ⅰ	삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (7회)	15점	상
제7회	문항 4	기하	공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (7회)	15점	상
제7회	문항 5	미적분Ⅱ	초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (7회)	20점	최상
제7회	문항 6	미적분Ⅱ	로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (7회)	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 중앙대학교 창의형 수리논술 제7회 출제 원칙 및 합격 전략

[중앙대학교 창의형 제7회 (역대 킬러 TOP 5 1:1 심화 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 중앙대 창의형 최고난도 변별 구간을 돌파하기 위한 6문항 심화 세트(베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (7회), 비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (7회) 등)입니다. 확률·점화식·공간평면 정사영(1~4번)에서 계산 정확도를 확보한 뒤, 초월함수 변곡점 개형(5번)과 부분적분 점화식·구분구적 극한(6번)에서 단계별 부분점수를 극대화하십시오.

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 확률과 통계 — 베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (8회) 배점 15점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

[제시문] 반도체 품질 관리에서 조건부확률의 곱셈정리 $P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A)$는 불량 원인의 역추적에 활용되며, 이항분포의 정규근사에 기반한 표본비율 $\hat{p}$의 표준오차 $\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$는 모비율 신뢰구간 폭을 결정한다. (단, $P(|Z| \le 1.96)=0.95$)

차세대 AI 가속기 웨이퍼는 팹 $A$와 팹 $B$에서 각각 전체 물량의 $\dfrac{3}{5}$, $\dfrac{2}{5}$ 비율로 공급된다. 고온 번인(Burn-in) 테스트에서 정상 신호를 낼 확률이 팹 $A$ 칩은 $\dfrac{9}{10}$이고 팹 $B$ 칩은 $\dfrac{1}{4}$이다.

[1-1] (7점) 정상 신호가 관측된 칩이 팹 $A$ 소속일 조건부확률을 기약분수로 구하시오.

[1-2] (8점) 별도의 표본조사에서 크기 $n = 1600$인 임의표본의 표본비율이 $\hat{p} = \dfrac{9}{25}$로 관측되었을 때, 모비율 $p$의 $95\%$ 신뢰구간의 길이 $L$을 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (8회) 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[제시문] 수열의 귀납적 정의에서 역수 치환을 통해 등차수열 구조를 이끌어 내는 기법은 비선형 수열 해석의 핵심이다. 특히 $b_{k+1} - b_k = d$일 때 $\dfrac{1}{b_k b_{k+1}} = \dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{b_k} - \dfrac{1}{b_{k+1}}\right)$이 성립한다.

창의 알고리즘의 단계별 오차 한계 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 1$, $\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} + 4$과 동치인 분수식 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1 + 4a_n}$을 따른다.

[2-1] (7점) $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 치환하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오.

[2-2] (8점) 유한합 $S_{15} = \displaystyle\sum_{k=1}^{15} a_k a_{k+1}$의 값과 무한급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k a_{k+1}$의 수렴값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (8회) 배점 15점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

[제시문] 좌표평면에서 삼차함수 $f(x)$의 그래프와 한 점에서의 접선 $l$로 둘러싸인 유계 영역의 넓이는 $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} |f(x) - l(x)|\,dx$로 정의되며, 평행이동 치환 $u = x - a$를 적용하면 적분 연산이 간결해진다.

최고차항 계수가 $1$인 삼차곡선 $y = x^3 - 9x + 6$ 위의 고정점 $P(3, 6)$를 지나는 접선 $l$이 곡선과 다른 한 점 $Q$에서 만난다.

[3-1] (7점) 접선 $l$의 방정식과 접점 $P$가 아닌 재교점 $Q$의 좌표를 구하시오.

[3-2] (8점) 삼차곡선과 직선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 기하 — 공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (8회) 배점 15점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.27 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[제시문] 원점 $O$와 세 좌표축 위의 점 $A, B, C$가 이루는 사면체 $OABC$에서 밑면 $\triangle ABC$ 위로 원점에서 내린 수선의 길이는 점과 평면 사이의 거리 공식으로 구하며, $\triangle OAB$는 $\triangle ABC$의 $xy$평면 정사영이다.

3차원 광학 설계 공간에서 세 기준점 $A(8, 0, 0),\; B(0, 2, 0),\; C(0, 0, 1)$를 지나는 반사 평면을 $\alpha$라 두자.

[4-1] (7점) 법선벡터를 이용하여 평면 $\alpha$의 방정식을 구하고, 원점 $O$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 길이 $h$를 구하시오.

[4-2] (8점) 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$의 값과 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅱ — 초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (8회) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

[제시문] 매개변수 $t$에 대하여 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수 함수 $g(t)$는 함수 $y = f(x)$의 극값과 점근선 경계값에서 불연속이 발생한다. 극한 $x \to \pm\infty$에서의 함수 거동을 엄밀히 서술해야 한다.

두 번 미분가능한 함수 $f(x) = x^2 e^{-4x}$의 극점·변곡점 분포를 조사하고, 실수 $t$에 따른 방정식 $f(x) = t$의 실근 개수 $g(t)$를 분석하시오.

[5-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[5-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$의 두 변곡점의 $x$좌표를 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha + \beta$와 $\alpha\beta$의 값을 구하시오.

[5-3] (7점) 함수 $g(t)$가 불연속이 되는 모든 실수 $t$의 값과 $g(t) = 3$을 만족시키는 $t$의 범위를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 6/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 6】 미적분Ⅱ — 로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (8회) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.20 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]

[제시문] 정적분으로 정의된 수열의 귀납적 관계식은 고차 적분을 반복 계산 없이 대수적으로 해결하게 해 준다. 한편 분모가 $n + pk$ 꼴인 조화형 유한합의 극한은 분모·분자를 $n$으로 나누어 로그함수의 정적분으로 계산한다.

자연로그 거듭제곱과 다항함수의 곱에 대한 정적분 $J_m = \displaystyle\int_1^e x^{3} (\ln x)^m\,dx$의 귀납적 성질을 탐구한다.

[6-1] (6점) $J_0$과 $J_1$의 값을 각각 구하시오.

[6-2] (7점) 모든 자연수 $m$에 대하여 $4 J_m + m J_{m-1} = e^{4}$이 성립함을 부분적분법으로 증명하고, $J_2$의 값을 구하시오.

[6-3] (7점) 극한값 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{4}{n + 3k}$를 정적분으로 변환하여 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 6 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (6문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제8회	문항 1	확률과 통계	베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (8회)	15점	상
제8회	문항 2	대수	비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (8회)	15점	중상
제8회	문항 3	미적분Ⅰ	삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (8회)	15점	상
제8회	문항 4	기하	공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (8회)	15점	상
제8회	문항 5	미적분Ⅱ	초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (8회)	20점	최상
제8회	문항 6	미적분Ⅱ	로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (8회)	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 중앙대학교 창의형 수리논술 제8회 출제 원칙 및 합격 전략

[중앙대학교 창의형 제8회 (역대 킬러 TOP 5 1:1 심화 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 중앙대 창의형 최고난도 변별 구간을 돌파하기 위한 6문항 심화 세트(베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (8회), 비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (8회) 등)입니다. 확률·점화식·공간평면 정사영(1~4번)에서 계산 정확도를 확보한 뒤, 초월함수 변곡점 개형(5번)과 부분적분 점화식·구분구적 극한(6번)에서 단계별 부분점수를 극대화하십시오.

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 확률과 통계 — 베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (9회) 배점 15점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ. 확률분포 (DB: PS_Ch03_01) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-02, 12확통03-03, 12확통03-04]

[제시문] 네트워크 보안 관제에서 정상 패킷과 이상 패킷의 분류 정확도는 조건부확률 $P(A \mid E)$로 평가하며, 대규모 트래픽 중 크기 $n$인 표본에서 관측된 비율 $\hat{p}$를 이용해 모비율 $p$의 $95\%$ 신뢰구간을 구성한다. (단, $P(|Z| \le 1.96)=0.95$)

클라우드 데이터센터로 유입되는 연산 패킷은 경로 $A$와 경로 $B$를 통해 각각 $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{3}{4}$ 비율로 공급된다. 보안 게이트웨이 검증 플래그가 켜질 확률이 경로 $A$ 패킷에서 $\dfrac{4}{5}$이고 경로 $B$ 패킷에서 $\dfrac{1}{5}$이다.

[1-1] (7점) 검증 플래그가 켜진 패킷이 경로 $A$로 유입되었을 확률을 기약분수로 구하시오.

[1-2] (8점) 별도의 표본조사에서 크기 $n = 2500$인 임의표본의 표본비율이 $\hat{p} = \dfrac{1}{2}$로 관측되었을 때, 모비율 $p$의 $95\%$ 신뢰구간의 길이 $L$을 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (9회) 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

[제시문] 조화수열의 일반화된 형태인 수열 $\{a_n\}$은 역수 변환 $b_n = a_n^{-1}$을 통해 일차식 일반항을 갖는다. 이때 유한 부분합 $S_N = \sum_{k=1}^N a_k a_{k+1}$을 구한 뒤 $N \to \infty$ 극한을 취하면 무한급수의 수렴값을 얻는다.

초기값이 $a_1 = \dfrac{1}{3}$이고 $n \ge 1$일 때 $a_n - a_{n+1} = 5a_n a_{n+1}$을 만족시키는 양항 수열 $\{a_n\}$이 주어져 있다.

[2-1] (7점) $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 치환하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오.

[2-2] (8점) 유한합 $S_{8} = \displaystyle\sum_{k=1}^{8} a_k a_{k+1}$의 값과 무한급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k a_{k+1}$의 수렴값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (9회) 배점 15점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.26 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[제시문] 다항함수의 도함수 $f'(a)$는 곡선 위의 점 $P(a, f(a))$에서의 접선의 기울기를 나타낸다. 삼차곡선과 접선의 차함수 $h(x) = f(x) - l(x)$의 부호 변화를 조사하여 닫힌구간에서의 정적분 넓이를 엄밀히 산출할 수 있다.

함수 $f(x) = x^3 - 12x + 8$의 그래프에 점 $P(4, 24)$에서 접하는 직선 $l$과 삼차곡선 사이의 기하적 넓이를 구하고자 한다.

[3-1] (7점) 접선 $l$의 방정식과 접점 $P$가 아닌 재교점 $Q$의 좌표를 구하시오.

[3-2] (8점) 삼차곡선과 직선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 기하 — 공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (9회) 배점 15점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[제시문] 교과서 기반 기하 교육과정의 핵심인 공간 평면의 벡터 방정식에서 법선벡터 $\vec{n}$의 방향코사인은 좌표평면과의 이면각을 결정한다. 이를 이용하면 공간 삼각형의 넓이를 직접 외적 없이 정사영 넓이 비로 계산할 수 있다.

공간좌표계에서 $x, y, z$절편이 각각 $9, 3, 2$인 세 점 $A, B, C$를 지나는 평면 $\alpha$의 기하적 성질을 조사한다.

[4-1] (7점) 법선벡터를 이용하여 평면 $\alpha$의 방정식을 구하고, 원점 $O$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 길이 $h$를 구하시오.

[4-2] (8점) 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$의 값과 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅱ — 초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (9회) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02]

[제시문] 지수감쇠 인자를 포함한 초월곡선 $y = f(x)$의 개형 추론에서는 ① 정의역과 부호($f(x) \ge 0$), ② 일계도함수 영점과 증감, ③ 이계도함수 영점(변곡점), ④ 무한대 극한 점근선의 4단계 분석이 필수적이다.

좌표평면 위의 곡선 $C : y = x^2 e^{-5x}$에 대하여 이계도함수로 변곡점을 판정하고 $f(x) = t$를 만족시키는 실근의 개수 $g(t)$의 불연속성을 논증하시오.

[5-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[5-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$의 두 변곡점의 $x$좌표를 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha + \beta$와 $\alpha\beta$의 값을 구하시오.

[5-3] (7점) 함수 $g(t)$가 불연속이 되는 모든 실수 $t$의 값과 $g(t) = 3$을 만족시키는 $t$의 범위를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 6/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 6】 미적분Ⅱ — 로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (9회) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

[제시문] 미적분Ⅱ 적분법에서 부분적분법과 정적분-급수 변환은 서로 역연산과 극한 개념으로 결합된다. 위끝 $x = e$에서 $\ln e = 1$, 아래끝 $x = 1$에서 $\ln 1 = 0$임을 이용하면 경계항이 지수 상수로 정리된다.

정수 $m \ge 0$마다 실수열 $J_m$이 $J_m = \displaystyle\int_1^e x^{4} (\ln x)^m\,dx$로 주어질 때 부분적분과 급수 극한을 계산하시오.

[6-1] (6점) $J_0$과 $J_1$의 값을 각각 구하시오.

[6-2] (7점) 모든 자연수 $m$에 대하여 $5 J_m + m J_{m-1} = e^{5}$이 성립함을 부분적분법으로 증명하고, $J_2$의 값을 구하시오.

[6-3] (7점) 극한값 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{5}{n + 4k}$를 정적분으로 변환하여 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 6 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (6문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제9회	문항 1	확률과 통계	베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (9회)	15점	상
제9회	문항 2	대수	비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (9회)	15점	중상
제9회	문항 3	미적분Ⅰ	삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (9회)	15점	상
제9회	문항 4	기하	공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (9회)	15점	상
제9회	문항 5	미적분Ⅱ	초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (9회)	20점	최상
제9회	문항 6	미적분Ⅱ	로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (9회)	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 중앙대학교 창의형 수리논술 제9회 출제 원칙 및 합격 전략

[중앙대학교 창의형 제9회 (역대 킬러 TOP 5 1:1 심화 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 중앙대 창의형 최고난도 변별 구간을 돌파하기 위한 6문항 심화 세트(베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (9회), 비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (9회) 등)입니다. 확률·점화식·공간평면 정사영(1~4번)에서 계산 정확도를 확보한 뒤, 초월함수 변곡점 개형(5번)과 부분적분 점화식·구분구적 극한(6번)에서 단계별 부분점수를 극대화하십시오.

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 확률과 통계 — 베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (10회) 배점 15점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 조건부확률 (DB: PS_Ch02_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통02-05, 12확통02-06]

[제시문] 차세대 에너지 저장장치의 셀 선별 공정에서는 조건부확률에 의한 사후 판정과 표본조사에 의한 모비율 구간 추정을 병행한다. 표본 크기 $n$, 표본비율 $\hat{p}$일 때 $95\%$ 신뢰구간 반폭은 $1.96\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$이다. (단, $P(|Z| \le 1.96)=0.95$)

스마트그리드 고밀도 배터리 셀은 설비 $A$와 설비 $B$에서 각각 전체의 $\dfrac{3}{10}$, $\dfrac{7}{10}$ 비율로 공급된다. 충방전 효율 기준치를 충족할 확률이 설비 $A$ 셀은 $\dfrac{5}{6}$이고 설비 $B$ 셀은 $\dfrac{1}{7}$이다.

[1-1] (7점) 효율 기준치를 충족한 셀이 설비 $A$에서 제조되었을 확률을 기약분수로 구하시오.

[1-2] (8점) 별도의 표본조사에서 크기 $n = 3600$인 임의표본의 표본비율이 $\hat{p} = \dfrac{16}{25}$로 관측되었을 때, 모비율 $p$의 $95\%$ 신뢰구간의 길이 $L$을 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (10회) 배점 15점 · 난이도 중상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]

[제시문] 양항 수열의 비선형 점화 관계를 선형 등차 관계로 환원하면 일반항과 부분합을 대수적으로 완결할 수 있다. 연속하는 두 항의 역수 차가 일정할 때 망원 소거 원리에 의해 첫째항과 끝항만 남는다.

수열 $\{a_n\}$의 첫째항이 $\dfrac{1}{2}$이며 임의의 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1 + 6a_n}$으로 귀납 정의될 때 다음 물음에 답하시오.

[2-1] (7점) $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 치환하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오.

[2-2] (8점) 유한합 $S_{9} = \displaystyle\sum_{k=1}^{9} a_k a_{k+1}$의 값과 무한급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k a_{k+1}$의 수렴값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (10회) 배점 15점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문] 삼차함수의 대칭성과 접선의 인수분해 성질에 의하여, 변곡점이 원점인 기함수에 일차항과 상수항이 결합된 삼차곡선은 접점 $x = p$에 대하여 재교점 $x = -2p$를 가지며 그 사이의 정적분 넓이는 $|p|^4$에 비례한다.

삼차곡선 $C : y = x^3 - 15x + 10$ 위의 접점 $P(5, 60)$에서의 접선 $l$이 곡선 $C$와 재교차하는 점을 $Q$라 하자.

[3-1] (7점) 접선 $l$의 방정식과 접점 $P$가 아닌 재교점 $Q$의 좌표를 구하시오.

[3-2] (8점) 삼차곡선과 직선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 기하 — 공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (10회) 배점 15점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문] 공간도형에서 평면 $\alpha$ 위의 도형 넓이 $S$와 $xy$평면(단위법선벡터 $\vec{e}_3 = (0,0,1)$) 위로의 정사영 넓이 $S'$ 사이에는 $S' = S|\vec{n} \cdot \vec{e}_3| / |\vec{n}|$ 관계가 성립하며, 이는 사면체 부피 공식과 완벽히 정합한다.

세 점 $A(12, 0, 0),\; B(0, 9, 0),\; C(0, 0, 3)$에 의하여 유일하게 결정되는 공간 평면 $\alpha$와 원점 $O(0,0,0)$이 있다.

[4-1] (7점) 법선벡터를 이용하여 평면 $\alpha$의 방정식을 구하고, 원점 $O$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 길이 $h$를 구하시오.

[4-2] (8점) 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$의 값과 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (16줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 5/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 5】 미적분Ⅱ — 초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (10회) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

[제시문] 미적분Ⅱ의 초월함수 미분법에서 $\{p(x)e^{-kx}\}' = \{p'(x) - kp(x)\}e^{-kx}$가 성립한다. 지수함수 $e^{-kx}$는 항상 양수이므로 도함수와 이계도함수의 부호 변화는 오직 다항 인수의 실근에 의해서만 결정된다.

양의 감쇠 계수 $6$을 갖는 초월함수 $f(x) = x^2 e^{-6x}$에 대하여 곡선의 개형과 교점 개수 함수 $g(t)$를 단계별로 구하시오.

[5-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[5-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$의 두 변곡점의 $x$좌표를 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha + \beta$와 $\alpha\beta$의 값을 구하시오.

[5-3] (7점) 함수 $g(t)$가 불연속이 되는 모든 실수 $t$의 값과 $g(t) = 3$을 만족시키는 $t$의 범위를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 5 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 6/6

⏱️ 시험 시간: 120분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 6】 미적분Ⅱ — 로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (10회) 배점 20점 · 난이도 최상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-02]

[제시문] 자연로그 모멘트 적분 $\displaystyle\int_1^e x^p (\ln x)^m\,dx$에서 $m \ge 1$일 때 도함수 $\{(\ln x)^m\}' = \dfrac{m(\ln x)^{m-1}}{x}$가 다항 차수를 정확히 $x^{p-1}$로 상쇄하여 $J_m$과 $J_{m-1}$ 사이의 항등식을 형성한다.

초월 정적분 모멘트 수열 $J_m = \displaystyle\int_1^e x^{5} (\ln x)^m\,dx\; (m \ge 0)$과 조화형 유한합의 극한에 대하여 답하시오.

[6-1] (6점) $J_0$과 $J_1$의 값을 각각 구하시오.

[6-2] (7점) 모든 자연수 $m$에 대하여 $6 J_m + m J_{m-1} = e^{6}$이 성립함을 부분적분법으로 증명하고, $J_2$의 값을 구하시오.

[6-3] (7점) 극한값 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{6}{n + 5k}$를 정적분으로 변환하여 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 6 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (6문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 120분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제10회	문항 1	확률과 통계	베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (10회)	15점	상
제10회	문항 2	대수	비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (10회)	15점	중상
제10회	문항 3	미적분Ⅰ	삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (10회)	15점	상
제10회	문항 4	기하	공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (10회)	15점	상
제10회	문항 5	미적분Ⅱ	초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (10회)	20점	최상
제10회	문항 6	미적분Ⅱ	로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (10회)	20점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 중앙대학교 창의형 수리논술 제10회 출제 원칙 및 합격 전략

[중앙대학교 창의형 제10회 (역대 킬러 TOP 5 1:1 심화 모의고사) 합격 전략] 본 회차는 중앙대 창의형 최고난도 변별 구간을 돌파하기 위한 6문항 심화 세트(베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (10회), 비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (10회) 등)입니다. 확률·점화식·공간평면 정사영(1~4번)에서 계산 정확도를 확보한 뒤, 초월함수 변곡점 개형(5번)과 부분적분 점화식·구분구적 극한(6번)에서 단계별 부분점수를 극대화하십시오.

PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS

실전 모의고사 1회 ~ 10회
문제 · 모범답안 · 채점 루브릭 합본 해설집

시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 60문항 전체 원문 요약과 단계별 모범답안·루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.

🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능

⚡ 단계별 채점 기준표 완비: 소문항·단계별 부분점수 배점표를 통해 정밀한 자가 채점 지원

👨‍🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭

【문제 1】 원문 요약 — 수열의 귀납적 전이 경로 추적과 조건부확률 [배점 15점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

[1-1] (7점) $3$번째 시행 후 $a_4 = 9$일 확률을 모든 전이 경로를 조사하여 구하시오.

[1-2] (8점) $a_4 = 9$일 때, 첫 번째 시행에서 짝수가 적힌 카드가 나왔을 조건부확률을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 1 · 총 15점

[1-1 풀이] 각 시행에서 짝수 사건 $E$와 홀수 사건 $O$가 일어날 확률은 $P(E) = P(O) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$이고 각 시행은 서로 독립이므로 $3$회 시행의 $8$가지 경로가 일어날 확률은 각각 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$이다. $a_1 = 2$로부터 $8$가지 경로를 모두 계산하면 다음과 같다.

$E \to E \to E : 2 \to 4 \to 6 \to 8$
$E \to E \to O : 2 \to 4 \to 6 \to 11$
$E \to O \to E : 2 \to 4 \to 7 \to 9 \;(\text{성립})$
$E \to O \to O : 2 \to 4 \to 7 \to 13$
$O \to E \to E : 2 \to 3 \to 5 \to 7$
$O \to E \to O : 2 \to 3 \to 5 \to 9 \;(\text{성립})$
$O \to O \to E : 2 \to 3 \to 5 \to 7$
$O \to O \to O : 2 \to 3 \to 5 \to 9 \;(\text{성립})$

따라서 $a_4 = 9$가 되는 경로는 $(E, O, E),\; (O, E, O),\; (O, O, O)$의 $3$가지이므로 구하는 확률은 $P(a_4 = 9) = \dfrac{3}{8}$이다.

[1-2 풀이] $a_4 = 9$인 사건을 $B$, 첫 번째 시행에서 짝수가 나오는 사건을 $A$라 하면 $A \cap B$에 해당하는 경로는 $(E, O, E)$의 $1$가지뿐이므로 $P(A \cap B) = \dfrac{1}{8}$이다. 따라서 조건부확률은 $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{1/8}{3/8} = \dfrac{1}{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 독립시행 경로 확률 $1/8$ 명시 및 8가지 전이 경로 전수 조사로 $P(a_4=9) = \dfrac{3}{8}$ 도출	7점
2단계	[1-2] 교집합 경로 $(E,O,E)$ 판별 및 조건부확률 $P(A \mid B) = \dfrac{1}{3}$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

귀납적 수열과 확률 결합 문항에서는 $a_2 = 3$에서 $E$와 $O$ 모두 $a_3 = 5$로 합류하는 경로 중복을 놓치지 않도록 8가지 수형도를 전수 확인하십시오.

[1-1]$\dfrac{3}{8}$ | [1-2] $\dfrac{1}{3}$

【문제 2】 원문 요약 — 로그방정식과 삼각함수의 최대·최소 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 15512 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-07]

[2-1] 주어진 로그방정식의 모든 실근의 합을 구하시오. (7점)

[2-2] 함수 $f(\theta)$의 최댓값과 최솟값을 구하고, 그때의 $\theta$의 값을 각각 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 2 · 총 15점

【문항 2】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[2-1] 로그방정식의 해법 (7점)

1) 로그의 진수 조건: 모든 실수 $x$에 대하여 $x^2 - 2x + 9 = (x - 1)^2 + 8 \gt 0$이므로 진수 조건은 항상 만족한다.
2) 로그의 정의에 의해: $x^2 - 2x + 9 = 2^3 = 8$.
3) 이항하여 정리하면: $x^2 - 2x + 1 = 0 \iff (x - 1)^2 = 0$.
따라서 중근 $x = 1$ (양수 조건 만족)을 얻으며, 실근의 합은 1이다.

답: $1$

[2-2] 삼각함수의 최대·최소 분석 (8점)

1) 삼각함수 기본 항등식 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$를 대입:
$f(\theta) = 2(1 - \cos^2\theta) + 2\sqrt{3}\cos\theta - 1 = -2\cos^2\theta + 2\sqrt{3}\cos\theta + 1$.
2) $t = \cos\theta$로 치환하면 $\theta \in [0, 2\pi]$이므로 $-1 \le t \le 1$이다.
$g(t) = -2t^2 + 2\sqrt{3}t + 1 = -2\left(t - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{5}{2}$.
3) 축 $t = \frac{\sqrt{3}}{2}$는 구간 $[-1, 1]$에 속하므로:
- 최댓값: $t = \frac{\sqrt{3}}{2}$일 때 $M = \frac{5}{2}$. 이때 $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.
- 최솟값: 축에서 가장 먼 $t = -1$일 때 $m = g(-1) = -2 - 2\sqrt{3} + 1 = -1 - 2\sqrt{3}$. 이때 $\cos\theta = -1 \implies \theta = \pi$.

답: 최댓값 $\frac{5}{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$), 최솟값 $-1 - 2\sqrt{3}$ ($\theta = \pi$)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 진수 조건 검토 및 이차방정식 $(x-1)^2=0$을 유도한 경우	4점
2단계	[2-1] 실근 $x=1$ 및 최종 합을 도출한 경우	4점
3단계	[2-2] $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ 적용 및 $t=\cos\theta$ 치환 범위를 설정한 경우	3점
4단계	[2-2] 완전제곱식 전개 및 최댓값과 해당 $\theta$값을 정확히 구한 경우	2점
5단계	[2-2] 경계값 검토를 통해 최솟값과 해당 $\theta$값을 정확히 구한 경우	2점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 2(로그방정식과 삼각함수의 최대·최소)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[2-1]$1$ | [2-2] 최댓값 $\frac{5}{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$), 최솟값 $-1 - 2\sqrt{3}$ ($\theta = \pi$)

【문제 3】 원문 요약 — 이항정리와 독립시행의 확률분포 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15513 변형 | 성취기준: 12확통01-03, 12확통02-05]

[3-1] 이항정리를 이용하여 자연수 $n$의 값을 구하시오. (7점)

[3-2] 확률변수 $X$에 대하여 기댓값 $E(X)$와 분산 $V(X)$를 구하고, $E(X^2)$의 값을 계산하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 3 · 총 15점

【문항 3】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[3-1] 이항정리를 이용한 계수비 계산 (7점)

1) $(2x + 1)^n$의 일반항은 $T_{r+1} = {}_n\mathrm{C}_r (2x)^r (1)^{n-r} = {}_n\mathrm{C}_r 2^r x^r$이다.
2) $x^2$의 계수 ($r=2$): ${}_n\mathrm{C}_2 \cdot 2^2 = \frac{n(n-1)}{2} \times 4 = 2n(n-1)$.
3) $x$의 계수 ($r=1$): ${}_n\mathrm{C}_1 \cdot 2^1 = 2n$.
4) 계수의 비가 $6:1$이므로: $\frac{2n(n-1)}{2n} = n - 1 = 6 \implies n = 7$ ($n \ge 2$).

답: $n = 7$

[3-2] 이항분포의 평균, 분산 및 이차적률 (8점)

1) 1회 주사위를 던져 3의 배수(\{3, 6\})가 나올 확률은 $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$이다.
2) 10회 독립시행이므로 $X \sim B\left(10, \frac{1}{3}\right)$.
3) 기댓값: $E(X) = n p = 10 \times \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
4) 분산: $V(X) = n p (1-p) = 10 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{20}{9}$.
5) 분산의 성질 $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$에 의해:
$E(X^2) = V(X) + \{E(X)\}^2 = \frac{20}{9} + \left(\frac{10}{3}\right)^2 = \frac{20}{9} + \frac{100}{9} = \frac{120}{9} = \frac{40}{3}$.

답: $E(X) = \frac{10}{3}, V(X) = \frac{20}{9}, E(X^2) = \frac{40}{3}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 이항정리 일반항을 수립하고 $x^2$과 $x$의 계수식을 정확히 도출한 경우	3점
2단계	[3-1] 비례식을 풀어 자연수 $n=7$을 구한 경우	4점
3단계	[3-2] $X \sim B(10, 1/3)$임을 명시하고 평균 $10/3$과 분산 $20/9$을 구한 경우	4점
4단계	[3-2] $E(X^2) = V(X) + \{E(X)\}^2$ 관계식을 적용하여 $40/3$을 완벽히 계산한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 3(이항정리와 독립시행의 확률분포)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[3-1]$n = 7$ | [3-2] $E(X) = \frac{10}{3}, V(X) = \frac{20}{9}, E(X^2) = \frac{40}{3}$

【문제 4】 원문 요약 — 변곡접선과 매개변수 함수의 미분 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 15514 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05]

[4-1] 점 $P$의 좌표와 변곡접선 $l$의 방정식을 구하시오. (7점)

[4-2] 곡선 $C$ 위의 점에서의 접선의 기울기가 0이 되는 점의 좌표를 구하고, 직선 $l$과 곡선 $C$의 교점 개수를 판정하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 4 · 총 15점

【문항 4】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[4-1] 변곡점 및 변곡접선 산출 (7점)

1) 도함수 및 이계도함수 계산:
$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$, $f''(x) = 6x - 6 = 0 \implies x = 1$.
$x=1$의 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 변곡점이다.
$f(1) = 1 - 3 - 9 + 5 = -6 \implies P(1, -6)$.
2) 변곡점에서의 접선의 기울기: $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) - 9 = -12$.
3) 접선 $l$의 방정식: $y - (-6) = -12(x - 1) \implies y = -12x + 6$.

답: $P(1, -6)$, 접선 $l: y = -12x + 6$

[4-2] 매개변수 미분 및 교점 개수 판정 (8점)

1) 매개변수 미분법: $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t}, \frac{dy}{dt} = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 - 1}{t^2}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{(t^2 - 1)/t^2}{1/t} = \frac{t^2 - 1}{t} = t - \frac{1}{t}$.
2) 기울기 0 조건: $t - \frac{1}{t} = 0 \implies t^2 = 1 \implies t = 1$ ($t \gt 0$).
이때 점의 좌표: $x(1) = \ln 1 = 0, y(1) = 1 + 1 = 2 \implies (0, 2)$.
3) 직선 $l$과 곡선 $C$의 교점: $y = -12x + 6$에 $x=\ln t, y=t+1/t$ 대입:
$t + \frac{1}{t} = -12\ln t + 6 \iff h(t) = t + \frac{1}{t} + 12\ln t - 6 = 0$.
$h'(t) = 1 - \frac{1}{t^2} + \frac{12}{t} = \frac{t^2 + 12t - 1}{t^2}$. $t \gt 0$에서 $h'(t)=0$의 양의 실근은 $t_0 = -6 + \sqrt{37} \approx 0.082$ 1개이다.
$\lim_{t \to 0^+} h(t) = \infty, h(1) = 2 - 6 = -4 \lt 0, \lim_{t \to \infty} h(t) = \infty$. 사잇값 정리에 의해 구간 $(0, t_0)$와 $(1, \infty)$에서 각각 실근을 갖지 않고 총 실근은 엄밀히 1개(또는 그래프 위치관계에 따른 교점수)이다.

답: 점 $(0, 2)$, 교점의 개수: 1개

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 이계도함수로 변곡점 $P(1, -6)$을 구한 경우	3점
2단계	[4-1] 미분계수 $f'(1)=-12$로 접선 방정식 $y=-12x+6$을 유도한 경우	4점
3단계	[4-2] 매개변수 미분 공식으로 접선 기울기 $t - 1/t$ 및 점 $(0, 2)$를 구한 경우	4점
4단계	[4-2] 교점 방정식의 증감과 사잇값 정리를 서술하여 교점 수를 정확히 판정한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 4(변곡접선과 매개변수 함수의 미분)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[4-1]$P(1, -6)$, 접선 $l: y = -12x + 6$ | [4-2] 점 $(0, 2)$, 교점의 개수: 1개

【문제 5】 원문 요약 — 초월함수의 정적분과 입체도형의 단면 적분 부피 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 15515 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문] 함수 $f(x) = x e^{-x}$에 대하여 곡선 $y = f(x)$와 $x$축 및 직선 $x = 2$로 둘러싸인 영역을 $D$라 하자.

[5-1] 부분적분법을 이용하여 영역 $D$의 넓이 $S$를 구하시오. (10점)

[5-2] 영역 $D$를 $x$축 둘레로 1회전하여 생기는 입체도형의 단면 적분 부피 $V_x$를 구하시오. (10점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 5 · 총 20점

【문항 5】 모범답안 및 상세 풀이 [20점]

[5-1] 부분적분법에 의한 영역의 넓이 S (10점)

1) 구간 $[0, 2]$에서 $f(x) = x e^{-x} \ge 0$이므로 넓이 $S = \int_0^2 x e^{-x}\,dx$.
2) 부분적분법 설정: $u(x) = x \implies u'(x) = 1$, $v'(x) = e^{-x} \implies v(x) = -e^{-x}$.
3) 공식 $\int u v' dx = u v - \int u' v dx$ 적용:
\[ S = \left[ -x e^{-x} \right]_0^2 - \int_0^2 (-e^{-x})\,dx = -2e^{-2} - 0 + \left[ -e^{-x} \right]_0^2 = -2e^{-2} - e^{-2} + 1 = 1 - 3e^{-2} \].

답: $S = 1 - \frac{3}{e^2}$

[5-2] 원형 단면 입체도형의 부피 Vx 계산 (10점)

1) 원형 단면 입체도형의 부피 공식: $V = \pi \int_0^2 \{f(x)\}^2\,dx = \pi \int_0^2 x^2 e^{-2x}\,dx$.
2) 1차 부분적분: $u = x^2 \implies u' = 2x$, $v' = e^{-2x} \implies v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$.
\[ \int x^2 e^{-2x}\,dx = -\frac{x^2}{2}e^{-2x} + \int x e^{-2x}\,dx \].
3) 2차 부분적분: $\int x e^{-2x}\,dx = -\frac{x}{2}e^{-2x} + \frac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx = -\frac{x}{2}e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x}$.
4) 부정적분 종합: $\int x^2 e^{-2x}\,dx = \left( -\frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \right)e^{-2x} = -\frac{2x^2 + 2x + 1}{4}e^{-2x}$.
5) 구간 $[0, 2]$ 대입:
\[ V = \pi \left[ -\frac{2(4) + 2(2) + 1}{4}e^{-4} - \left( -\frac{1}{4}e^0 \right) \right] = \pi \left( \frac{1}{4} - \frac{13}{4}e^{-4} \right) = \frac{\pi(1 - 13e^{-4})}{4} \].

답: $V = \frac{\pi}{4}\left(1 - \frac{13}{e^4}\right)$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 넓이 적분식 설정 및 부분적분 $u, v'$을 바르게 지정한 경우	3점
2단계	[5-1] 적분 계산을 전개하여 부정적분 $-(x+1)e^{-x}$을 유도한 경우	4점
3단계	[5-1] 경계값 대입으로 최종 넓이 $1 - 3e^{-2}$를 도출한 경우	3점
4단계	[5-2] 원형 단면 입체도형의 부피 공식 $V = \pi \int_0^2 x^2 e^{-2x}dx$를 수립한 경우	3점
5단계	[5-2] 2회 연속 부분적분을 오류 없이 수행하여 부정적분을 구한 경우	4점
6단계	[5-2] 정적분 계산 및 최종 부피 $\frac{\pi}{4}(1 - 13e^{-4})$를 완벽히 도출한 경우	3점

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[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 5(초월함수의 정적분과 입체도형의 단면 적분 부피)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[5-1]$S = 1 - \frac{3}{e^2}$ | [5-2] $V = \frac{\pi}{4}\left(1 - \frac{13}{e^4}\right)$

【문제 6】 원문 요약 — 정적분 함수와 사잇값 정리 및 극한 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 15516 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-01-04]

[제시문] 연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = \sin(\pi x) + \int_0^{1/2} f(t)\,dt$를 만족한다. 또한 함수 $g(x) = \int_0^x (t - 1) e^t\,dt$가 있다.

[6-1] 정적분 상수치환법을 이용하여 함수 $f(x)$의 구체적인 식을 구하시오. (10점)

[6-2] 함수 $g(x)$의 극값을 판정하고, 극한값 $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}$의 값을 구하시오. (10점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 6 · 총 20점

【문항 6】 모범답안 및 상세 풀이 [20점]

[6-1] 정적분 상수치환과 f(x) 결정 (10점)

1) 상수 치환: 정적분 $\int_0^{1/2} f(t)\,dt = k$ (상수)라 두면 $f(x) = \sin(\pi x) + k$이다.
2) 양변을 $0$부터 $1/2$까지 $x$에 관하여 정적분하면:
\[ k = \int_0^{1/2} \{\sin(\pi x) + k\}\,dx = \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} + kx \right]_0^{1/2} = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{2}k \]
3) $\dfrac{1}{2}k = \dfrac{1}{\pi}$이므로 $k = \dfrac{2}{\pi}$이다.
따라서 구하는 함수는 $f(x) = \sin(\pi x) + \frac{2}{\pi}$이다.

답: $f(x) = \sin(\pi x) + \frac{2}{\pi}$

[6-2] g(x)의 극값 판정 및 미분계수 극한 (10점)

1) 미적분학의 기본정리에 의해: $g'(x) = (x - 1)e^x$.
2) $e^x \gt 0$이므로 $g'(x) = 0 \iff x = 1$.
$x \lt 1$에서 $g'(x) \lt 0$ (감소), $x \gt 1$에서 $g'(x) \gt 0$ (증가)이므로 $x = 1$에서 유일한 극솟값을 갖는다.
3) 극솟값 계산: 부분적분법에 의해
\[ g(1) = \int_0^1 (t - 1)e^t\,dt = \left[ (t - 2)e^t \right]_0^1 = (-1)e^1 - (-2)e^0 = 2 - e \].
4) 극한 계산: $g(0) = \int_0^0 (t-1)e^t dt = 0$이므로 미분계수의 정의에 의해
\[ \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = g'(0) = (0 - 1)e^0 = -1 \].

답: $x = 1$에서 극솟값 $2 - e$, 극한값 $-1$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[6-1] 정적분 상수 $k = \int_0^{1/2} f(t)\,dt$ 치환을 올바르게 설정한 경우	3점
2단계	[6-1] 삼각함수 적분을 수행하여 $\int_0^{1/2} \sin(\pi x)\,dx = 1/\pi$를 계산한 경우	4점
3단계	[6-1] 최종 함수식 $f(x) = \sin(\pi x) + 2/\pi$를 완성한 경우	3점
4단계	[6-2] $g'(x) = (x-1)e^x$를 구하고 증감표로 $x=1$ 극솟값을 판정한 경우	3점
5단계	[6-2] 부분적분을 통해 극솟값 $g(1) = 2 - e$를 계산한 경우	4점
6단계	[6-2] 미분계수 정의를 적용하여 극한값 $g'(0) = -1$을 도출한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 6(정적분 함수와 사잇값 정리 및 극한)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[6-1]$f(x) = \sin(\pi x) + \frac{2}{\pi}$ | [6-2] $x = 1$에서 극솟값 $2 - e$, 극한값 $-1$

【문제 1】 원문 요약 — 독립시행의 확률과 점의 이동 및 기댓값 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15521 변형 | 성취기준: 12확통02-05, 12확통03-01]

[1-1] 동전을 5번 던졌을 때, 점 $P$의 좌표가 $S_5 = 4$가 될 확률을 구하시오. (7점)

[1-2] 동전을 $n$번 던진 후 점 $P$의 좌표 $S_n$의 기댓값 $E(S_n)$과 분산 $V(S_n)$을 $n$에 관한 식으로 나타내시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 1 · 총 15점

【문항 1】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[1-1] 5회 시행 후 $S_5 = 4$ 확률 산출 (7점)

1) 앞면이 나온 횟수를 $k$ ($0 \le k \le 5$)라 하면, 뒷면이 나온 횟수는 $5 - k$이다.
2) 5회 이동 후 점 $P$의 위치 관계식: $S_5 = 2k + (-1)(5 - k) = 3k - 5$.
3) $S_5 = 4$이므로 $3k - 5 = 4 \iff 3k = 9 \iff k = 3$. 즉 앞면이 정확히 3회 나와야 한다.
4) 독립시행의 확률 공식에 의해:
\[ P(S_5 = 4) = {}_5\mathrm{C}_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{5}{16} \].

답: $\frac{5}{16}$

[1-2] $S_n$의 기댓값과 분산 유도 (8점)

1) $n$회 시행 중 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 $X$라 하면, $X$는 이항분포 $B\left(n, \frac{1}{2}\right)$을 따른다.
2) 이항분포의 평균과 분산: $E(X) = n \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2}$, $V(X) = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{4}$.
3) 점 $P$의 좌표 $S_n$은 앞면 $X$회, 뒷면 $n - X$회이므로: $S_n = 2X - 1(n - X) = 3X - n$.
4) 기댓값의 선형성: $E(S_n) = E(3X - n) = 3E(X) - n = 3\left(\frac{n}{2}\right) - n = \frac{n}{2}$.
5) 분산의 성질: $V(S_n) = V(3X - n) = 3^2 V(X) = 9 \cdot \frac{n}{4} = \frac{9n}{4}$.

답: $E(S_n) = \frac{n}{2}, V(S_n) = \frac{9n}{4}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 앞면 횟수 $k$에 따른 좌표 관계식 $S_5 = 3k - 5$를 세운 경우	3점
2단계	[1-1] $S_5=4$로부터 $k=3$을 정확히 도출한 경우	2점
3단계	[1-1] 독립시행 공식으로 확률 $5/16$을 계산한 경우	3점
4단계	[1-2] 앞면 횟수 $X \sim B(n, 1/2)$의 평균 $n/2$과 분산 $n/4$를 명시한 경우	2점
5단계	[1-2] $S_n = 3X - n$ 일차결합식을 세우고 기댓값 $n/2$을 구한 경우	3점
6단계	[1-2] 분산 공식 $V(aX+b)=a^2V(X)$를 적용하여 $9n/4$를 도출한 경우	2점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 1(독립시행의 확률과 점의 이동 및 기댓값)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[1-1]$\frac{5}{16}$ | [1-2] $E(S_n) = \frac{n}{2}, V(S_n) = \frac{9n}{4}$

【문제 2】 원문 요약 — 지수부등식과 등차수열의 합 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 15522 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[2-1] 주어진 지수부등식이 항상 성립하기 위한 실수 $k$의 최솟값을 구하시오. (7점)

[2-2] 부등식 $S_n \gt 200$을 만족하는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 2 · 총 15점

【문항 2】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[2-1] 치환을 이용한 지수부등식 해결 (7점)

1) $2^x = t$로 치환하면, 모든 실수 $x$에 대하여 $t \gt 0$이다.
2) 주어진 부등식은: $t^2 - 4t + k \ge 0 \iff (t - 2)^2 + k - 4 \ge 0$.
3) 이차함수 $g(t) = (t - 2)^2 + k - 4$의 축은 $t = 2$이며, 이는 정의역 $t \gt 0$에 포함된다.
4) 따라서 $t \gt 0$에서 $g(t)$의 최솟값은 $g(2) = k - 4$이다.
5) 모든 $t \gt 0$에 대하여 $g(t) \ge 0$이 성립할 필요충분조건은 $k - 4 \ge 0 \implies k \ge 4$.
따라서 실수 $k$의 최솟값은 4이다.

답: 최솟값 $4$

[2-2] 등차수열의 부분합 부등식 (8점)

1) 등차수열의 첫째항 $a_1 = 3$, 공차 $d = 4$이므로 제 $n$항까지의 부분합 공식:
\[ S_n = \frac{n[2(3) + (n - 1)4]}{2} = \frac{n(4n + 2)}{2} = n(2n + 1) = 2n^2 + n \].
2) 부등식 $2n^2 + n \gt 200 \iff 2n^2 + n - 200 \gt 0$.
3) 자연수 대입 조사:
- $n = 9$: $2(81) + 9 = 162 + 9 = 171 \le 200$.
- $n = 10$: $2(100) + 10 = 200 + 10 = 210 \gt 200$.
따라서 조건을 만족하는 자연수 $n$의 최솟값은 10이다.

답: $10$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] $t = 2^x \gt 0$ 치환 및 이차함수 완전제곱식을 변형한 경우	3점
2단계	[2-1] 축 $t=2$의 정의역 포함 여부 검토 및 최솟값 조건을 세운 경우	2점
3단계	[2-1] 부등식을 풀어 최솟값 $k=4$를 도출한 경우	2점
4단계	[2-2] 등차수열의 부분합 $S_n = 2n^2 + n$을 올바르게 구한 경우	4점
5단계	[2-2] 부등식을 만족하는 자연수 $n=10$을 정확히 도출한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 2(지수부등식과 등차수열의 합)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[2-1]최솟값 $4$ | [2-2] $10$

【문제 3】 원문 요약 — 조건부확률과 베이즈 정리 기초 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15523 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통02-04]

[3-1] 꺼낸 공이 흰 공일 전체 확률을 구하시오. (7점)

[3-2] 꺼낸 흰 공이 상자 $A$에서 나왔을 조건부확률을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 3 · 총 15점

【문항 3】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[3-1] 전확률 정리에 의한 흰 공 확률 (7점)

1) 상자 $A, B$를 택할 확률은 각각 $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{2}$이다.
2) 각 상자에서 흰 공($W$)을 꺼낼 조건부확률:
$P(W|A) = \frac{3}{3 + 2} = \frac{3}{5}$, $P(W|B) = \frac{2}{2 + 4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
3) 전확률 정리(Law of Total Probability)에 의해:
\[ P(W) = P(A)P(W|A) + P(B)P(W|B) = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{5}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{3}{10} + \frac{1}{6} = \frac{9 + 5}{30} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15} \].

답: $\frac{7}{15}$

[3-2] 베이즈 정리에 의한 사후확률 (8점)

1) 흰 공이 나왔을 때 상자 $A$였을 사후 조건부확률 $P(A|W)$는 베이즈 정리에 의해:
\[ P(A|W) = \frac{P(A \cap W)}{P(W)} = \frac{P(A)P(W|A)}{P(W)} \].
2) 분자: $P(A \cap W) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$.
3) 분모: $P(W) = \frac{7}{15}$.
4) 계산: $P(A|W) = \frac{3/10}{7/15} = \frac{3}{10} \times \frac{15}{7} = \frac{9}{14}$.

답: $\frac{9}{14}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 각 상자 선택 확률과 조건부확률 $P(W\|A)=3/5, P(W\|B)=1/3$을 명시한 경우	3점
2단계	[3-1] 전확률 공식을 적용하여 전체 확률 $7/15$를 계산한 경우	4점
3단계	[3-2] 베이즈 정리 정의식 $P(A\|W) = P(A \cap W)/P(W)$를 수립한 경우	4점
4단계	[3-2] 분자/분모 대입을 통해 사후확률 $9/14$를 정확히 도출한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 3(조건부확률과 베이즈 정리 기초)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[3-1]$\frac{7}{15}$ | [3-2] $\frac{9}{14}$

【문제 4】 원문 요약 — 접선의 개수와 역함수의 미분법 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 15524 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[제시문] 함수 $f(x) = x^3 - 3x$에 대하여 변곡점에서의 접선을 $l$이라 하고, 양의 실수에서 정의된 함수 $g(x) = x + \ln x$의 역함수를 $h(x)$라 하자.

[4-1] 변곡점에서의 접선 $l$의 방정식과 점 $(0, k)$에서 곡선에 그을 수 있는 접선의 개수가 3개가 되는 $k$의 범위를 구하시오. (7점)

[4-2] 역함수 $h(x)$에 대하여 $h'(1)$의 값을 구하고 점 $(1, h(1))$에서의 접선 방정식을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 4 · 총 15점

【문항 4】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[4-1] 변곡접선 및 접선 개수 조건 (7점)

1) $f'(x) = 3x^2 - 3, f''(x) = 6x = 0 \implies x = 0$. 변곡점은 $(0, 0)$.
2) 변곡점에서의 접선: $y - 0 = f'(0)(x - 0) \implies y = -3x$.
3) 곡선 위의 점 $(t, t^3-3t)$에서의 접선: $y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$.
점 $(0, k)$ 대입: $k - (t^3 - 3t) = -3t^3 + 3t \implies k = -2t^3$.
$t$에 관한 삼차방정식 $2t^3 + k = 0$이 서로 다른 3개의 접점을 갖기 위해서는 변곡접선 바깥 영역인 $k \ne 0$이어야 한다.

답: $y = -3x, k \ne 0$

[4-2] 역함수의 미분계수 및 접선 (8점)

1) $g(1) = 1 + \ln 1 = 1$이므로 역함수 정의에 의해 $h(1) = 1$이다.
2) $g'(x) = 1 + \frac{1}{x} \implies g'(1) = 2$.
3) 역함수 미분법 공식: $h'(1) = \frac{1}{g'(h(1))} = \frac{1}{g'(1)} = \frac{1}{2}$.
4) 점 $(1, 1)$에서의 접선: $y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1) \implies y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

답: $h'(1) = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 변곡점 $(0,0)$과 접선 $y=-3x$를 구한 경우	3점
2단계	[4-1] 접점 방정식으로부터 $k \ne 0$ 조건을 도출한 경우	4점
3단계	[4-2] $g(1)=1 \implies h(1)=1$ 및 역함수 미분으로 $h'(1)=1/2$을 구한 경우	4점
4단계	[4-2] 접선 방정식 $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$을 완벽히 유도한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 4(접선의 개수와 역함수의 미분법)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[4-1]$y = -3x, k \ne 0$ | [4-2] $h'(1) = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

【문제 5】 원문 요약 — 삼각치환과 입체도형의 부피 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 15525 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[5-1] 삼각치환법을 이용하여 정적분 $\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

[5-2] 입체도형 $V$의 부피를 구하시오. (10점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 5 · 총 20점

【문항 5】 모범답안 및 상세 풀이 [20점]

[5-1] 삼각치환에 의한 원호 넓이 적분 (10점)

1) 치환: $x = \sin\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$)로 두면, $dx = \cos\theta\,d\theta$.
2) 적분 구간: $x=0 \to \theta=0$, $x=1 \to \theta=\frac{\pi}{2}$.
3) $\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \cos\theta$ ($\cos\theta \ge 0$).
4) 정적분 계산:
\[ \int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta\,d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\,d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4} \].

답: $\frac{\pi}{4}$

[5-2] 정사각형 단면을 갖는 입체 부피 (10점)

1) $x$에서의 단면은 한 변의 길이가 $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$인 정사각형이다.
2) 단면적 함수: $A(x) = \{f(x)\}^2 = 1 - x^2$.
3) 입체도형의 부피 $V$는 단면적의 정적분이다:
\[ V = \int_0^1 A(x)\,dx = \int_0^1 (1 - x^2)\,dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \].

답: $\frac{2}{3}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] $x=\sin\theta$ 치환 및 $dx=\cos\theta d\theta$, 구간 변환을 설정한 경우	3점
2단계	[5-1] 반각공식 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$을 적용하여 적분한 경우	4점
3단계	[5-1] 최종 정적분값 $\pi/4$를 도출한 경우	3점
4단계	[5-2] 단면적 함수 $A(x) = 1 - x^2$을 정확히 수립한 경우	5점
5단계	[5-2] 정적분을 수행하여 부피 $2/3$를 완벽히 계산한 경우	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 5(삼각치환과 입체도형의 부피)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[5-1]$\frac{\pi}{4}$ | [5-2] $\frac{2}{3}$

【문제 6】 원문 요약 — 초월함수 개형과 실근 개수 함수 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 15526 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문] 함수 $f(x) = x^2 e^{-x}$와 실수 $t$에 대하여 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 하자.

[6-1] 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 구하고, 점근선을 고려하여 개형을 논술하시오. (10점)

[6-2] 실근의 개수 함수 $g(t)$를 $t$의 범위에 따라 구하고 불연속점을 모두 찾으시오. (10점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 6 · 총 20점

【문항 6】 모범답안 및 상세 풀이 [20점]

[6-1] f(x)의 극값 및 그래프 개형 (10점)

1) 도함수: $f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x(2 - x)e^{-x}$.
2) $f'(x) = 0 \iff x = 0$ 또는 $x = 2$.
- $x \lt 0$: $f'(x) \lt 0$ (감소)
- $0 \lt x \lt 2$: $f'(x) \gt 0$ (증가) $\implies x=0$에서 극솟값 $f(0) = 0$.
- $x \gt 2$: $f'(x) \lt 0$ (감소) $\implies x=2$에서 극댓값 $f(2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$.
3) 극한 조사: $\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} = 0$, $\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = \infty$.
곡선은 $x$축($=0$)을 점근선으로 가진다.

답: 극솟값 $0$ ($x=0$), 극댓값 $\frac{4}{e^2}$ ($x=2$)

[6-2] 실근 개수 g(t)와 불연속점 (10점)

그래프와 수평선 $y=t$의 교점 개수 $g(t)$:
1) $t \lt 0$: $g(t) = 0$
2) $t = 0$: $g(t) = 1$ ($x=0$)
3) $0 \lt t \lt \frac{4}{e^2}$: $g(t) = 3$
4) $t = \frac{4}{e^2}$: $g(t) = 2$
5) $t \gt \frac{4}{e^2}$: $g(t) = 1$
따라서 함수 $g(t)$가 불연속이 되는 모든 $t$의 값은 $t = 0, \frac{4}{e^2}$이다.

답: 불연속점 $t = 0, \frac{4}{e^2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[6-1] 도함수를 계산하고 증감표를 통해 극값 2개를 구한 경우	5점
2단계	[6-1] 양/음의 무한대 극한 및 점근선을 명시하여 개형을 완성한 경우	5점
3단계	[6-2] $t$의 각 구간별 교점 개수 $g(t)$를 모두 정확히 분류한 경우	5점
4단계	[6-2] 불연속점 $t=0, 4/e^2$을 정확히 도출한 경우	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 6(초월함수 개형과 실근 개수 함수)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[6-1]극솟값 $0$ ($x=0$), 극댓값 $\frac{4}{e^2}$ ($x=2$) | [6-2] 불연속점 $t = 0, \frac{4}{e^2}$

【문제 1】 원문 요약 — 외접원 사인·코사인법칙과 조건부확률 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 15531 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[1-1] 삼각형의 넓이가 최대일 때의 $\overline{BC}$의 길이를 구하시오. (7점)

[1-2] $M=3$일 때 꺼낸 세 수의 합이 짝수일 조건부확률을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 1 · 총 15점

【문항 1】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[1-1] 사인/코사인법칙을 이용한 변의 길이 (7점)

1) 사인법칙: $\frac{\overline{AB}}{\sin 45^\circ} = 2R \implies \frac{2\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = 4 = 2R \implies R = 2$.
2) 밑변 $AB$가 고정되어 있으므로 넓이가 최대가 되려면 점 $C$가 선분 $AB$의 수직이등분선 위에 있어야 하며, 삼각형 $ABC$는 $\overline{CA} = \overline{CB} = a$인 이등변삼각형이다.
3) 제이코사인법칙: $\overline{AB}^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\cos 45^\circ = 2a^2 - \sqrt{2}a^2 = (2-\sqrt{2})a^2$.
$8 = (2-\sqrt{2})a^2 \implies a^2 = \frac{8}{2-\sqrt{2}} = 4(2+\sqrt{2})$.
따라서 $\overline{BC} = a = 2\sqrt{2+\sqrt{2}}$.

답: $2\sqrt{2+\sqrt{2}}$

[1-2] 최솟값 조건부확률 산출 (8점)

1) $M=3$인 사건: 3은 반드시 뽑히고 나머지 2개는 $\{4, 5, 6, 7, 8\}$ (5개) 중에서 선택된다.
경우의 수: ${}_5\mathrm{C}_2 = 10$.
2) 세 수의 합이 짝수가 되는 조건: 3이 홀수이므로 나머지 두 수의 합이 홀수이어야 한다 (짝수 1개, 홀수 1개).
$\{4, 6, 8\}$ 중 1개 선택, $\{5, 7\}$ 중 1개 선택: ${}_3\mathrm{C}_1 \times {}_2\mathrm{C}_1 = 3 \times 2 = 6$.
3) 조건부확률: $P(\text{합 짝수} \mid M=3) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

답: $\frac{3}{5}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 사인법칙으로 외접원 반지름 $R=2$를 구한 경우	3점
2단계	[1-1] 이등변삼각형 조건 및 코사인법칙 방정식을 수립한 경우	2점
3단계	[1-1] 변의 길이 $2\sqrt{2+\sqrt{2}}$를 정확히 계산한 경우	2점
4단계	[1-2] $M=3$인 표본공간의 수 10을 구한 경우	4점
5단계	[1-2] 합이 짝수가 되는 사건의 수 6과 조건부확률 $3/5$를 도출한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 1(외접원 사인·코사인법칙과 조건부확률)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[1-1]$2\sqrt{2+\sqrt{2}}$ | [1-2] $\frac{3}{5}$

【문제 2】 원문 요약 — 수열의 점화식과 수학적 귀납법 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 15532 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[제시문] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2, a_{n+1} = 3a_n - 2$를 만족한다.

[2-1] 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오. (7점)

[2-2] 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = 3^{n-1} + 1$임을 수학적 귀납법으로 증명하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 2 · 총 15점

【문항 2】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[2-1] 특성방정식을 이용한 일반항 유도 (7점)

1) 점화식 변형: $a_{n+1} - \alpha = 3(a_n - \alpha) \implies \alpha = 3\alpha - 2 \implies \alpha = 1$.
2) $a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$.
수열 $\{a_n - 1\}$은 첫째항이 $a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$, 공비가 3인 등비수열이다.
3) $a_n - 1 = 1 \cdot 3^{n-1} \implies a_n = 3^{n-1} + 1$.

답: $a_n = 3^{n-1} + 1$

[2-2] 수학적 귀납법 증명 (8점)

명제 $P(n): a_n = 3^{n-1} + 1$이라 하자.
1) $n = 1$일 때: $a_1 = 3^{1-1} + 1 = 3^0 + 1 = 2$이므로 주어진 초기조건과 일치하여 $P(1)$은 참이다.
2) $n = k$일 때 $P(k)$가 참이라고 가정하면, $a_k = 3^{k-1} + 1$이다.
$n = k + 1$일 때, 주어진 점화식에 대입하면:
\[ a_{k+1} = 3 a_k - 2 = 3(3^{k-1} + 1) - 2 = 3^k + 3 - 2 = 3^{(k+1)-1} + 1 \].
따라서 $n = k + 1$일 때도 명제 $P(k+1)$이 성립한다.
1), 2)에 의해 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = 3^{n-1} + 1$이 성립한다.

답: 수학적 귀납법에 의해 증명 완료

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 점화식을 등비수열 형태로 올바르게 변형한 경우	3점
2단계	[2-1] 첫째항과 공비를 적용하여 일반항 $a_n = 3^{n-1}+1$을 구한 경우	4점
3단계	[2-2] $n=1$일 때 성립함을 검증한 경우	2점
4단계	[2-2] $n=k$ 가정 후 점화식을 통해 $n=k+1$ 성립을 완벽히 증명한 경우	4점
5단계	[2-2] 귀납적 결론을 명확히 제시한 경우	2점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 2(수열의 점화식과 수학적 귀납법)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[2-1]$a_n = 3^{n-1} + 1$ | [2-2] 수학적 귀납법에 의해 증명 완료

【문제 3】 원문 요약 — 다항함수의 연속성과 평균값 정리 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 15533 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-06]

[제시문] 함수 $f(x) = x^3 - 3x + 1$에 대하여 닫힌구간 $[0, 2]$에서 평균값 정리를 만족하는 상수 $c$의 값을 구하시오.

[3-1] 닫힌구간 $[0, 2]$에서 평균변화율을 구하시오. (7점)

[3-2] 평균값 정리를 만족하는 열린구간 $(0, 2)$에 속하는 $c$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 3 · 총 15점

【문항 3】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[3-1] 평균변화율 계산 (7점)

1) 함수값 계산: $f(0) = 1$, $f(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$.
2) 닫힌구간 $[0, 2]$에서의 평균변화율:
\[ \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \].

답: $1$

[3-2] 평균값 정리를 만족하는 상수 c (8점)

1) 함수 $f(x)$는 다항함수이므로 닫힌구간 $[0, 2]$에서 연속이고 열린구간 $(0, 2)$에서 미분가능하다.
2) 평균값 정리에 의해 $f'(c) = 1$을 만족하는 $c \in (0, 2)$가 적어도 하나 존재한다.
3) $f'(x) = 3x^2 - 3$이므로: $3c^2 - 3 = 1 \iff 3c^2 = 4 \iff c^2 = \frac{4}{3}$.
4) $c \gt 0$이므로 $c = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
$0 \lt \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.155 \lt 2$이므로 열린구간 $(0, 2)$에 속한다.

답: $c = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 양 끝값 $f(0)=1, f(2)=3$을 계산한 경우	3점
2단계	[3-1] 평균변화율 1을 정확히 구한 경우	4점
3단계	[3-2] 평균값 정리의 전제조건(연속 및 미분가능)을 명시한 경우	2점
4단계	[3-2] 미분계수 방정식 $3c^2-3=1$을 푼 경우	3점
5단계	[3-2] 구간 $(0, 2)$에 속하는 $c = 2\sqrt{3}/3$을 정확히 확정한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 3(다항함수의 연속성과 평균값 정리)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[3-1]$1$ | [3-2] $c = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

【문제 4】 원문 요약 — 초월함수 극값과 부등식 증명 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 15534 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문] 함수 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ ($x \gt 0$)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[4-1] 함수 $f(x)$의 극댓값을 구하고 부등식 $e^x \ge x^e$이 성립함을 증명하시오. (8점)

[4-2] 원점에서 곡선 $y=f(x)$에 그은 접선의 방정식을 구하시오. (7점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 4 · 총 15점

【문항 4】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[4-1] f(x)의 극댓값 및 지수부등식 증명 (8점)

1) 몫의 미분법: $f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.
2) $f'(x) = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e$.
- $0 \lt x \lt e$: $f'(x) \gt 0$ (증가)
- $x \gt e$: $f'(x) \lt 0$ (감소)
따라서 $x = e$에서 유일한 극대이자 최댓값 $f(e) = \frac{1}{e}$을 갖는다.
3) 모든 $x \gt 0$에 대하여 $f(x) \le f(e) \iff \frac{\ln x}{x} \le \frac{1}{e}$.
양변에 $ex \gt 0$을 곱하면 $e\ln x \le x \iff \ln(x^e) \le x$.
자연밑 $e$의 지수를 취하면 $x^e \le e^x \iff e^x \ge x^e$가 증명된다.

답: 극댓값 $\frac{1}{e}$, 부등식 증명 완료

[4-2] 원점에서 그은 접선의 방정식 (7점)

1) 접점의 좌표를 $(t, \frac{\ln t}{t})$라 두면, 접선의 기울기는 $f'(t) = \frac{1 - \ln t}{t^2}$.
2) 접선이 원점 $(0, 0)$을 지나므로 평균변화율과 순간변화율이 일치한다:
\[ \frac{\frac{\ln t}{t} - 0}{t - 0} = \frac{1 - \ln t}{t^2} \iff \frac{\ln t}{t^2} = \frac{1 - \ln t}{t^2} \iff 2\ln t = 1 \iff \ln t = \frac{1}{2} \implies t = \sqrt{e} \].
3) 접선의 기울기: $f'(\sqrt{e}) = \frac{1 - 1/2}{(\sqrt{e})^2} = \frac{1}{2e}$.
따라서 구하는 접선의 방정식은 $y = \frac{1}{2e}x$이다.

답: $y = \frac{1}{2e}x$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 몫의 미분법으로 $f'(x)$를 구하고 $x=e$에서 극댓값 $1/e$을 도출한 경우	3점
2단계	[4-1] 최댓값 성질 $f(x) \le 1/e$로부터 $e^x \ge x^e$를 엄밀히 유도한 경우	4점
3단계	[4-2] 원점 통과 조건으로 접점 $t = \sqrt{e}$를 구한 경우	4점
4단계	[4-2] 접선의 방정식 $y = \frac{1}{2e}x$를 완성한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 4(초월함수 극값과 부등식 증명)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[4-1]극댓값 $\frac{1}{e}$, 부등식 증명 완료 | [4-2] $y = \frac{1}{2e}x$

【문제 5】 원문 요약 — 매개변수 곡선의 호의 길이와 정적분 함수 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 15535 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문] 매개변수 곡선 $x(t) = e^t\cos t, y(t) = e^t\sin t$ ($0 \le t \le \pi$)와 $F(x) = \int_0^x (t^2-1)e^t dt$가 있다.

[5-1] 곡선의 호의 길이 $L$을 구하시오. (10점)

[5-2] 부분적분법을 이용하여 $F(x)$를 정적분 기호 없이 나타내시오. (10점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 5 · 총 20점

【문항 5】 모범답안 및 상세 풀이 [20점]

[5-1] 매개변수 곡선의 호의 길이 (10점)

1) 매개변수 미분:
$x'(t) = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t(\cos t - \sin t)$,
$y'(t) = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t(\sin t + \cos t)$.
2) 속력(피적분함수) 계산:
\[ \{x'(t)\}^2 + \{y'(t)\}^2 = e^{2t}[(\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2] = e^{2t}[2(\cos^2 t + \sin^2 t)] = 2e^{2t} \].
따라서 $\sqrt{\{x'(t)\}^2 + \{y'(t)\}^2} = \sqrt{2}e^t$.
3) 호의 길이 적분:
\[ L = \int_0^\pi \sqrt{2}e^t\,dt = \sqrt{2}\left[ e^t \right]_0^\pi = \sqrt{2}(e^\pi - 1) \].

답: $\sqrt{2}(e^\pi - 1)$

[5-2] 부분적분법에 의한 F(x)의 명시적 표현 (10점)

1) $F(x) = \int_0^x (t^2 - 1)e^t\,dt$.
2) 1차 부분적분: $u = t^2 - 1 \implies u' = 2t$, $v' = e^t \implies v = e^t$.
\[ \int (t^2 - 1)e^t\,dt = (t^2 - 1)e^t - \int 2t e^t\,dt \].
3) 2차 부분적분: $\int t e^t\,dt = t e^t - e^t$.
부정적분: $(t^2 - 1)e^t - 2(t - 1)e^t = (t^2 - 2t + 1)e^t = (t - 1)^2 e^t$.
4) 적분 구간 $[0, x]$ 대입:
\[ F(x) = \left[ (t - 1)^2 e^t \right]_0^x = (x - 1)^2 e^x - (0 - 1)^2 e^0 = (x - 1)^2 e^x - 1 \].

답: $F(x) = (x - 1)^2 e^x - 1$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 매개변수 도함수 $x'(t), y'(t)$를 구한 경우	3점
2단계	[5-1] 속력 식 $\sqrt{2}e^t$를 유도한 경우	4점
3단계	[5-1] 호의 길이 $\sqrt{2}(e^\pi - 1)$을 정확히 계산한 경우	3점
4단계	[5-2] 부분적분을 2회 적용하여 부정적분 $(t-1)^2 e^t$를 유도한 경우	5점
5단계	[5-2] 구간 대입으로 $F(x) = (x-1)^2 e^x - 1$을 완성한 경우	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 5(매개변수 곡선의 호의 길이와 정적분 함수)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[5-1]$\sqrt{2}(e^\pi - 1)$ | [5-2] $F(x) = (x - 1)^2 e^x - 1$

【문제 6】 원문 요약 — 음함수 미분법과 두 곡선 사이의 거리 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 15536 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

[제시문] 타원 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 위의 점 $P$에서의 접선과 직선 $y = x + 3$ 사이의 거리를 최소화하려 한다.

[6-1] 음함수 미분법을 이용하여 기울기가 1인 접선의 방정식을 모두 구하시오. (10점)

[6-2] 타원 위의 점과 직선 $y = x + 3$ 사이의 최단거리를 구하시오. (10점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 6 · 총 20점

【문항 6】 모범답안 및 상세 풀이 [20점]

[6-1] 음함수 미분과 접선 (10점)

1) 양변을 $x$에 관하여 미분: $\frac{2x}{4} + 2y y' = 0 \iff \frac{x}{2} + 2y y' = 0 \implies y' = -\frac{x}{4y}$.
2) 접선의 기울기가 1이므로: $-\frac{x}{4y} = 1 \iff x = -4y$.
3) 타원 방정식 대입: $\frac{(-4y)^2}{4} + y^2 = 1 \iff 4y^2 + y^2 = 1 \iff 5y^2 = 1 \implies y = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$.
접점: $P_1\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)$, $P_2\left(\frac{4}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$.
4) 접선 방정식: $y - y_1 = 1(x - x_1) \implies y = x \pm \sqrt{5}$.

답: $y = x + \sqrt{5}, y = x - \sqrt{5}$

[6-2] 두 곡선 사이의 최단거리 (10점)

1) 직선 $y = x + 3$과 가장 가까운 접선은 $y = x + \sqrt{5}$이다 (절편 차가 최소).
2) 평행한 두 직선 $x - y + 3 = 0$과 $x - y + \sqrt{5} = 0$ 사이의 거리 공식:
\[ d = \frac{|3 - \sqrt{5}|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{(3 - \sqrt{5})\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} \].

답: $\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[6-1] 음함수 미분으로 도함수 $y' = -x/(4y)$를 구한 경우	3점
2단계	[6-1] 기울기 1 조건으로 두 접점의 좌표를 도출한 경우	4점
3단계	[6-1] 접선 방정식 $y = x \pm \sqrt{5}$를 구한 경우	3점
4단계	[6-2] 최단거리를 이루는 평행접선을 선별한 경우	4점
5단계	[6-2] 점과 직선 사이의 거리 공식 전개 및 분자 정리를 수행한 경우	3점
6단계	[6-2] 유리화를 거쳐 최종 최단거리 $\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$을 도출한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 6(음함수 미분법과 두 곡선 사이의 거리)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[6-1]$y = x + \sqrt{5}, y = x - \sqrt{5}$ | [6-2] $\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

【문제 1】 원문 요약 — 등비수열의 극한과 점화식 무한급수 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 15541 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[제시문] 등비수열 $\{a_n\}$의 합 $S_n$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} \frac{S_{2n}}{S_n} = 1 + r^n$이고, $b_1 = 1, b_{n+1} = \frac{b_n}{1 + 2b_n}$이다.

[1-1] 수열 $\{b_n\}$의 일반항을 구하시오. (7점)

[1-2] 급수 $\sum_{n=1}^\infty b_n b_{n+1}$의 합을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 1 · 총 15점

【문항 1】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[1-1] 조화점화식의 역수 변환 (7점)

1) 점화식 양변의 역수를 취하면:
\[ \frac{1}{b_{n+1}} = \frac{1 + 2b_n}{b_n} = \frac{1}{b_n} + 2 \].
2) 수열 $\{\frac{1}{b_n}\}$은 첫째항이 $\frac{1}{b_1} = 1$, 공차가 2인 등차수열이다.
3) $\frac{1}{b_n} = 1 + (n - 1)2 = 2n - 1 \implies b_n = \frac{1}{2n - 1}$.

답: $b_n = \frac{1}{2n - 1}$

[1-2] 부분분수 분해와 망원급수 (8점)

1) 일반항의 곱: $b_n b_{n+1} = \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$.
2) 부분분수 분해: $\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right)$.
3) 제 $N$항까지의 부분합 $S_N$:
\[ S_N = \frac{1}{2}\left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2N - 1} - \frac{1}{2N + 1}\right) \right] = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2N + 1}\right) \].
4) 극한: $\sum_{n=1}^\infty b_n b_{n+1} = \lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{2}(1 - 0) = \frac{1}{2}$.

답: $\frac{1}{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 점화식 역수 변환으로 등차수열임을 밝힌 경우	3점
2단계	[1-1] 일반항 $b_n = \frac{1}{2n-1}$을 정확히 구한 경우	4점
3단계	[1-2] 부분분수 분해식을 올바르게 세운 경우	4점
4단계	[1-2] 망원급수 소거 및 극한값 $1/2$을 완벽히 도출한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 1(등비수열의 극한과 점화식 무한급수)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[1-1]$b_n = \frac{1}{2n - 1}$ | [1-2] $\frac{1}{2}$

【문제 2】 원문 요약 — 삼각함수의 덧셈정리와 배각공식 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 15542 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

[제시문] $\tan\alpha = 2, \tan\beta = 3$일 때 다음 값을 구하시오.

[2-1] $\tan(\alpha + \beta)$의 값을 구하시오. (7점)

[2-2] $\cos(2\alpha)$와 $\sin(2\alpha)$의 값을 각각 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 2 · 총 15점

【문항 2】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[2-1] 탄젠트 덧셈정리 (7점)

1) 탄젠트 덧셈정리 공식: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$.
2) 대입: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{2 + 3}{1 - (2)(3)} = \frac{5}{1 - 6} = \frac{5}{-5} = -1$.

답: $-1$

[2-2] 배각공식 유도 및 계산 (8점)

1) $\tan\alpha = 2$이므로 직각삼각형에서 빗변은 $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}, \sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ (또는 부호 일치).
2) 코사인 배각공식: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 = 2\left(\frac{1}{5}\right) - 1 = \frac{2}{5} - 1 = -\frac{3}{5}$.
3) 사인 배각공식: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{4}{5}$.

답: $\cos(2\alpha) = -\frac{3}{5}, \sin(2\alpha) = \frac{4}{5}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 탄젠트 덧셈정리 공식을 바르게 적용한 경우	3점
2단계	[2-1] 계산을 완성하여 $-1$을 도출한 경우	4점
3단계	[2-2] 코사인 배각공식으로 $\cos(2\alpha) = -3/5$를 구한 경우	4점
4단계	[2-2] 사인 배각공식으로 $\sin(2\alpha) = 4/5$를 구한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 2(삼각함수의 덧셈정리와 배각공식)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[2-1]$-1$ | [2-2] $\cos(2\alpha) = -\frac{3}{5}, \sin(2\alpha) = \frac{4}{5}$

【문제 3】 원문 요약 — 이산확률변수의 평균과 분산 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.12 탐구 15543 변형 | 성취기준: 12확통03-01, 12확통03-06]

[제시문] 확률변수 $X$의 확률분포가 $P(X=k) = c k$ ($k=1, 2, 3, 4$)이다.

[3-1] 상수 $c$의 값과 $E(X)$의 값을 구하시오. (7점)

[3-2] 분산 $V(X)$와 $V(2X - 3)$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 3 · 총 15점

【문항 3】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[3-1] 확률 총합 조건 및 기댓값 (7점)

1) 확률의 총합은 1이므로:
\[ \sum_{k=1}^4 P(X=k) = c(1 + 2 + 3 + 4) = 10c = 1 \implies c = \frac{1}{10} \].
2) 기댓값 $E(X)$:
\[ E(X) = \sum_{k=1}^4 k \cdot P(X=k) = \sum_{k=1}^4 c k^2 = \frac{1}{10}(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{10} = \frac{30}{10} = 3 \].

답: $c = \frac{1}{10}, E(X) = 3$

[3-2] 분산 및 일차변환 분산 (8점)

1) 제곱의 평균 $E(X^2)$:
\[ E(X^2) = \sum_{k=1}^4 k^2 P(X=k) = \frac{1}{10}(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3) = \frac{1 + 8 + 27 + 64}{10} = \frac{100}{10} = 10 \].
2) 분산 $V(X)$: $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 = 10 - 3^2 = 10 - 9 = 1$.
3) 분산의 성질 $V(aX+b) = a^2 V(X)$에 의해:
\[ V(2X - 3) = 2^2 V(X) = 4 \times 1 = 4 \].

답: $V(X) = 1, V(2X - 3) = 4$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 확률 총합 공식으로 $c = 1/10$을 구한 경우	3점
2단계	[3-1] 기댓값 $E(X) = 3$을 계산한 경우	4점
3단계	[3-2] $E(X^2) = 10$ 및 분산 $V(X) = 1$을 구한 경우	4점
4단계	[3-2] $V(2X-3) = 4$를 정확히 도출한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 3(이산확률변수의 평균과 분산)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[3-1]$c = \frac{1}{10}, E(X) = 3$ | [3-2] $V(X) = 1, V(2X - 3) = 4$

【문제 4】 원문 요약 — 변곡점과 합성함수 미분 및 실근 개수 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 15544 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문] 함수 $f(x) = (x^2 - 2x)e^{-x}$에 대하여 방정식 $f(x) = t$의 실근 개수를 $N(t)$라 하자.

[4-1] 함수 $f(x)$의 두 변곡점의 $x$좌표를 구하시오. (7점)

[4-2] 실근 개수 함수 $N(t)$가 불연속이 되는 모든 $t$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 4 · 총 15점

【문항 4】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[4-1] 도함수 및 변곡점 산출 (7점)

1) 1계 도함수: $f'(x) = (2x - 2)e^{-x} - (x^2 - 2x)e^{-x} = (-x^2 + 4x - 2)e^{-x}$.
2) 2계 도함수: $f''(x) = (-2x + 4)e^{-x} - (-x^2 + 4x - 2)e^{-x} = (x^2 - 6x + 6)e^{-x}$.
3) $f''(x) = 0 \iff x^2 - 6x + 6 = 0 \implies x = 3 \pm \sqrt{3}$.
이 두 점에서 $f''(x)$의 부호가 바뀌므로 변곡점의 $x$좌표는 $3 - \sqrt{3}, 3 + \sqrt{3}$이다.

답: $x = 3 - \sqrt{3}, 3 + \sqrt{3}$

[4-2] 실근 개수 함수 N(t)의 불연속점 (8점)

1) $f'(x) = 0 \iff x^2 - 4x + 2 = 0 \implies x = 2 \pm \sqrt{2}$.
- 극솟값: $t_1 = f(2-\sqrt{2}) \lt 0$
- 극댓값: $t_2 = f(2+\sqrt{2}) \gt 0$
2) 극한: $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0, \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$.
3) $N(t)$의 변화:
$t \lt t_1$: 0개 / $t = t_1$: 1개 / $t_1 \lt t \lt 0$: 2개 / $t = 0$: 2개 / $0 \lt t \lt t_2$: 3개 / $t = t_2$: 2개 / $t \gt t_2$: 1개.
따라서 $N(t)$가 불연속이 되는 $t$는 $t = f(2-\sqrt{2}), 0, f(2+\sqrt{2})$이다.

답: $t = f(2-\sqrt{2}), 0, f(2+\sqrt{2})$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 1계 및 2계 도함수를 계산한 경우	3점
2단계	[4-1] 변곡점의 좌표 $x = 3 \pm \sqrt{3}$을 구한 경우	4점
3단계	[4-2] 극값과 점근선을 반영하여 교점 개수 구간을 분석한 경우	4점
4단계	[4-2] 불연속점 3개를 정확히 도출한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 4(변곡점과 합성함수 미분 및 실근 개수)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[4-1]$x = 3 - \sqrt{3}, 3 + \sqrt{3}$ | [4-2] $t = f(2-\sqrt{2}), 0, f(2+\sqrt{2})$

【문제 5】 원문 요약 — 역함수 정적분과 부분적분 점화식 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 15545 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문] 함수 $f(x) = x^3 + 2x$의 역함수 $g(x)$와 $I_n = \int_0^1 x^n e^x dx$가 있다.

[5-1] 정적분 $\int_0^3 g(x)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

[5-2] 점화식 $I_n = e - n I_{n-1}$을 유도하고 $\lim_{n \to \infty} n I_n$의 값을 구하시오. (10점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 5 · 총 20점

【문항 5】 모범답안 및 상세 풀이 [20점]

[5-1] 역함수의 정적분 계산 (10점)

1) $f(0) = 0, f(1) = 1^3 + 2(1) = 3$이므로 $g(0) = 0, g(3) = 1$.
2) 역함수와 원함수의 기하학적 정적분 관계식:
\[ \int_0^1 f(x)\,dx + \int_0^3 g(x)\,dx = 1 \times 3 = 3 \].
3) 원함수 정적분: $\int_0^1 (x^3 + 2x)\,dx = \left[ \frac{x^4}{4} + x^2 \right]_0^1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.
4) 역함수 정적분: $\int_0^3 g(x)\,dx = 3 - \frac{5}{4} = \frac{7}{4}$.

답: $\frac{7}{4}$

[5-2] 부분적분 점화식 및 극한값 (10점)

1) $I_n = \int_0^1 x^n e^x\,dx$. 부분적분: $u = x^n \implies u' = n x^{n-1}, v' = e^x \implies v = e^x$.
\[ I_n = \left[ x^n e^x \right]_0^1 - n \int_0^1 x^{n-1} e^x\,dx = e - n I_{n-1} \quad (n \ge 1) \].
2) 구간 $[0, 1]$에서 $x^n \le x^n e^x \le e x^n \implies \frac{1}{n+1} \le I_n \le \frac{e}{n+1}$.
조임정리에 의해 $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$.
3) 점화식에서 $n I_{n-1} = e - I_n \implies \lim_{n \to \infty} n I_n = \lim_{n \to \infty} (e - I_{n+1}) = e - 0 = e$.

답: 점화식 $I_n = e - n I_{n-1}, \lim_{n \to \infty} n I_n = e$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] $g(0)=0, g(3)=1$과 직사각형 넓이 관계식을 수립한 경우	3점
2단계	[5-1] 원함수 적분 $5/4$ 및 역함수 정적분 $7/4$을 도출한 경우	4점
3단계	[5-1] 풀이 과정의 기하학적 정당성을 서술한 경우	3점
4단계	[5-2] 부분적분을 적용하여 점화식 $I_n = e - n I_{n-1}$을 유도한 경우	4점
5단계	[5-2] 부등식과 조임정리로 $\lim I_n = 0$을 증명한 경우	3점
6단계	[5-2] 점화식 변형으로 $\lim n I_n = e$를 완벽히 도출한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 5(역함수 정적분과 부분적분 점화식)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[5-1]$\frac{7}{4}$ | [5-2] 점화식 $I_n = e - n I_{n-1}, \lim_{n \to \infty} n I_n = e$

【문제 6】 원문 요약 — 치환적분법을 이용한 입체도형의 단면 적분 부피 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 15546 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문] 곡선 $y = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$과 $x$축 및 두 직선 $x=0, x=3$으로 둘러싸인 영역을 $D$라 하자.

[6-1] 영역 $D$의 넓이를 구하시오. (10점)

[6-2] 영역 $D$를 $x$축 둘레로 1회전시킨 입체도형의 단면 적분 부피 $V_x$를 구하시오. (10점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 6 · 총 20점

【문항 6】 모범답안 및 상세 풀이 [20점]

[6-1] 영역의 넓이 정적분 (10점)

1) 구간 $[0, 3]$에서 $y = (x + 1)^{-1/2} \gt 0$이므로 넓이는:
\[ S = \int_0^3 (x + 1)^{-1/2}\,dx \].
2) 부정적분: $\int (x + 1)^{-1/2}\,dx = 2\sqrt{x + 1}$.
3) 계산: $S = \left[ 2\sqrt{x + 1} \right]_0^3 = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2$.

답: $2$

[6-2] 원형 단면 입체도형의 부피 계산 (10점)

1) 원형 단면 입체도형의 부피 공식:
\[ V = \pi \int_0^3 \{y(x)\}^2\,dx = \pi \int_0^3 \left(\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)^2\,dx = \pi \int_0^3 \frac{1}{x+1}\,dx \].
2) 부정적분: $\int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x + 1|$.
3) 계산: $V = \pi \left[ \ln(x + 1) \right]_0^3 = \pi (\ln 4 - \ln 1) = \pi \ln 4 = 2\pi \ln 2$.

답: $2\pi \ln 2$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[6-1] 정적분 식 설정 및 부정적분 $2\sqrt{x+1}$을 구한 경우	5점
2단계	[6-1] 구간 대입으로 넓이 2를 도출한 경우	5점
3단계	[6-2] 원형 단면 입체도형의 부피 공식 $V = \pi \int_0^3 \frac{1}{x+1}dx$를 세운 경우	5점
4단계	[6-2] 로그 적분을 수행하여 $2\pi \ln 2$를 완벽히 도출한 경우	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 6(치환적분법을 이용한 입체도형의 단면 적분 부피)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[6-1]$2$ | [6-2] $2\pi \ln 2$

【문제 1】 원문 요약 — 베이즈 정리와 연속확률밀도함수 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15551 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통03-01]

[제시문] 두 공장 $A, B$의 불량률은 $2\%, 5\%$이고 생산비율은 $60\%, 40\%$이다. 구간 $[0, 2]$의 확률밀도함수는 $f(x) = c x(2-x)$이다.

[1-1] 불량품이 공장 $A$ 제품일 조건부확률을 구하시오. (7점)

[1-2] 상수 $c$의 값과 분산 $V(X)$를 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 1 · 총 15점

【문항 1】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[1-1] 베이즈 정리 조건부확률 (7점)

1) 사전확률: $P(A) = 0.6, P(B) = 0.4$.
2) 조건부 불량률: $P(E|A) = 0.02, P(E|B) = 0.05$.
3) 전체 불량률: $P(E) = 0.6(0.02) + 0.4(0.05) = 0.012 + 0.020 = 0.032$.
4) 사후확률: $P(A|E) = \frac{P(A \cap E)}{P(E)} = \frac{0.012}{0.032} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$.

답: $\frac{3}{8}$

[1-2] 상수 c, 기댓값 및 분산 (8점)

1) 확률의 총합: $\int_0^2 c x(2-x)\,dx = c \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = c\left(4 - \frac{8}{3}\right) = \frac{4}{3}c = 1 \implies c = \frac{3}{4}$.
2) 대칭성에 의해 기댓값: $E(X) = 1$.
3) $E(X^2) = \int_0^2 x^2 \cdot \frac{3}{4}(2x-x^2)\,dx = \frac{3}{4}\left[ \frac{2x^4}{4} - \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \frac{3}{4}\left(8 - \frac{32}{5}\right) = \frac{3}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{6}{5}$.
4) 분산: $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 = \frac{6}{5} - 1 = \frac{1}{5}$.

답: $c = \frac{3}{4}, V(X) = \frac{1}{5}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 전체 불량률 $P(E) = 0.032$를 계산한 경우	4점
2단계	[1-1] 베이즈 정리를 적용하여 $P(A\|E) = 3/8$을 구한 경우	4점
3단계	[1-2] 전확률 적분으로 $c = 3/4$를 도출한 경우	2점
4단계	[1-2] 기댓값 $E(X) = 1$을 구한 경우	2점
5단계	[1-2] $E(X^2) = 6/5$ 및 분산 $V(X) = 1/5$를 계산한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 1(베이즈 정리와 연속확률밀도함수)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[1-1]$\frac{3}{8}$ | [1-2] $c = \frac{3}{4}, V(X) = \frac{1}{5}$

【문제 2】 원문 요약 — 수열의 극한과 도형의 무한등비급수 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 15552 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-04]

[2-1] 첫 번째 정사각형 $T_1$의 넓이와 공비를 구하시오. (7점)

[2-2] 무한등비급수의 합 $S$를 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 2 · 총 15점

【문항 2】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[2-1] 첫째항과 공비 산출 (7점)

1) 원래 정사각형의 한 변의 길이는 4이며 넓이는 16이다.
2) 중점을 연결한 정사각형 $T_1$의 한 변의 길이는 피타고라스 정리에 의해 $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
따라서 첫째항 넓이 $a_1 = (2\sqrt{2})^2 = 8$.
3) 닮음비는 $4 : 2\sqrt{2} = 1 : \frac{1}{\sqrt{2}}$이므로, 넓이의 공비는 $r = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$.

답: 첫째항 $8$, 공비 $\frac{1}{2}$

[2-2] 무한등비급수 합 계산 (8점)

1) 공비 $r = \frac{1}{2}$은 $|r| \lt 1$을 만족하므로 급수는 수렴한다.
2) 무한등비급수 수렴 공식:
\[ S = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16 \].

답: $16$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 한 변의 길이 $2\sqrt{2}$와 첫째항 넓이 8을 구한 경우	3점
2단계	[2-1] 닮음비를 통해 넓이 공비 $1/2$을 구한 경우	4점
3단계	[2-2] 급수의 수렴 조건 $\|r\| \lt 1$을 확인한 경우	4점
4단계	[2-2] 급수 공식으로 합 16을 정확히 계산한 경우	4점

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[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 2(수열의 극한과 도형의 무한등비급수)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[2-1]첫째항 $8$, 공비 $\frac{1}{2}$ | [2-2] $16$

【문제 3】 원문 요약 — 미분계수의 정의와 영인자 인수분해 극한 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 15553 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

[제시문] 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f(1) = 2, f'(1) = 3$을 만족한다.

[3-1] 극한값 $\lim_{x \to 1} \frac{f(x^2) - f(1)}{x - 1}$의 값을 구하시오. (7점)

[3-2] 극한값 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 f(1) - f(x)}{x - 1}$의 값을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 3 · 총 15점

【문항 3】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[3-1] 미분계수 정의식 변형 (7점)

1) 식 변형: $\frac{f(x^2) - f(1)}{x - 1} = \frac{f(x^2) - f(1)}{x^2 - 1} \cdot (x + 1)$.
2) $x \to 1$일 때 $x^2 \to 1$이므로:
\[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x^2) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{f(x^2) - f(1)}{x^2 - 1} \cdot \lim_{x \to 1} (x + 1) = f'(1) \cdot 2 = 3 \times 2 = 6 \].

답: $6$

[3-2] 항 추가 분리 기법 (8점)

1) 분자에 $f(1)$을 빼고 더하여 식을 분리:
\[ \frac{x^2 f(1) - f(x)}{x - 1} = \frac{f(1)(x^2 - 1) - [f(x) - f(1)]}{x - 1} = f(1)(x + 1) - \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \].
2) 극한 계산:
\[ \lim_{x \to 1} \left[ f(1)(x + 1) - \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \right] = f(1)(1 + 1) - f'(1) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 \].

답: $1$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 미분계수 정의에 맞게 식을 $(x+1)$로 변형한 경우	3점
2단계	[3-1] 극한값 $f'(1) \times 2 = 6$을 도출한 경우	4점
3단계	[3-2] 분자에 $f(1)$을 가감하여 식을 분리한 경우	4점
4단계	[3-2] 대입 및 계산으로 최종 극한값 1을 도출한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 3(미분계수의 정의와 영인자 인수분해 극한)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[3-1]$6$ | [3-2] $1$

【문제 4】 원문 요약 — 평행접선과 두 곡선 최단거리 및 원의 외접 [배점 15점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 15554 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문] 곡선 $y = \sqrt{x}$와 직선 $y = x + 2$ 및 중심이 $(3, 0)$인 원이 있다.

[4-1] 직선과 평행한 접선의 접점 $P$의 좌표와 접선 방정식을 구하시오. (7점)

[4-2] 곡선과 직선 사이의 최단거리 및 원이 곡선과 외접할 때의 반지름 $r$을 구하시오. (8점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 4 · 총 15점

【문항 4】 모범답안 및 상세 풀이 [15점]

[4-1] 평행접선 산출 (7점)

1) $y = \sqrt{x} \implies y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
2) 직선 $y = x + 2$의 기울기가 1이므로: $\frac{1}{2\sqrt{a}} = 1 \implies \sqrt{a} = \frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{4}$.
따라서 접점은 $P\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$.
3) 접선 방정식: $y - \frac{1}{2} = 1\left(x - \frac{1}{4}\right) \implies y = x + \frac{1}{4}$.

답: $P\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right), y = x + \frac{1}{4}$

[4-2] 최단거리 및 원의 외접 반지름 (8점)

1) 최단거리는 접점 $P(1/4, 1/2)$에서 직선 $x - y + 2 = 0$까지의 거리:
\[ d = \frac{|1/4 - 1/2 + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|7/4|}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{8} \].
2) 원 $(x - 3)^2 + y^2 = r^2$에 $y^2 = x$ 대입: $(x - 3)^2 + x = r^2 \implies x^2 - 5x + 9 - r^2 = 0$.
3) 외접 조건 $D = 0$: $25 - 4(9 - r^2) = 0 \iff 4r^2 = 11 \implies r = \frac{\sqrt{11}}{2}$.

답: 최단거리 $\frac{7\sqrt{2}}{8}, r = \frac{\sqrt{11}}{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 도함수 일치 조건으로 접점 $P(1/4, 1/2)$를 구한 경우	3점
2단계	[4-1] 접선 방정식 $y = x + 1/4$를 유도한 경우	4점
3단계	[4-2] 점과 직선 사이의 거리 공식으로 $\frac{7\sqrt{2}}{8}$을 구한 경우	4점
4단계	[4-2] 판별식 $D=0$을 통해 반지름 $r = \frac{\sqrt{11}}{2}$을 도출한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 4(평행접선과 두 곡선 최단거리 및 원의 외접)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[4-1]$P\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right), y = x + \frac{1}{4}$ | [4-2] 최단거리 $\frac{7\sqrt{2}}{8}, r = \frac{\sqrt{11}}{2}$

【문제 5】 원문 요약 — 회전체의 부피와 라이프니츠 미분 및 삼각치환 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 15555 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문] 함수 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$과 영역 $D$ ($0 \le x \le 1$) 및 $G(x) = \int_1^x \frac{\sin t}{t} dt$가 있다.

[5-1] 영역 $D$를 $x$축 둘레로 1회전한 부피 $V_x$를 구하시오. (10점)

[5-2] 극한값 $\lim_{x \to 1} \frac{G(x^2) - G(x)}{x - 1}$과 영역의 넓이 $S$를 구하시오. (10점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 5 · 총 20점

【문항 5】 모범답안 및 상세 풀이 [20점]

[5-1] 회전체의 부피 적분 (10점)

1) 회전체 부피 공식: $V_x = \pi \int_0^1 \{f(x)\}^2\,dx = \pi \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2}\,dx$.
2) $x = \tan\theta \implies dx = \sec^2\theta d\theta$. 구간: $0 \to \pi/4$.
\[ V_x = \pi \int_0^{\frac{\pi}{4}} 1\,d\theta = \pi [\theta]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi^2}{4} \].

답: $\frac{\pi^2}{4}$

[5-2] 라이프니츠 미분 극한 및 삼각치환 넓이 (10점)

1) 미분계수의 정의와 평균변화율 극한: $\lim_{x \to 1} \frac{G(x^2) - G(x)}{x - 1} = \left. \frac{d}{dx}[G(x^2) - G(x)] \right|_{x=1} = 2(1)G'(1) - G'(1) = G'(1) = \sin 1$.
2) 넓이 $S = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$.
$x = \tan\theta$ 치환 시 부정적분은 $\ln|\sec\theta + \tan\theta| = \ln(x + \sqrt{1+x^2})$.
$S = \left[ \ln(x + \sqrt{1+x^2}) \right]_0^1 = \ln(1 + \sqrt{2}) - \ln 1 = \ln(1 + \sqrt{2})$.

답: 극한값 $\sin 1, S = \ln(1+\sqrt{2})$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 회전체 부피 식 수립 및 아크탄젠트 적분을 수행한 경우	5점
2단계	[5-1] 최종 부피 $\pi^2/4$를 도출한 경우	5점
3단계	[5-2] 정적분 함수 미분 및 합성함수 미분으로 극한값 $\sin 1$을 구한 경우	5점
4단계	[5-2] 삼각치환 적분으로 넓이 $\ln(1+\sqrt{2})$를 완벽히 유도한 경우	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 5(회전체의 부피와 라이프니츠 미분 및 삼각치환)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[5-1]$\frac{\pi^2}{4}$ | [5-2] 극한값 $\sin 1, S = \ln(1+\sqrt{2})$

【문제 6】 원문 요약 — 정적분 부등식 증명과 조임정리 극한 [배점 20점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 15556 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

[6-1] 함수의 증감을 이용하여 부등식 $\ln(1+x) \le x$ ($x \ge 0$)을 증명하시오. (10점)

[6-2] 조임정리(샌드위치 정리)를 이용하여 $\lim_{n \to \infty} n a_n$의 값을 구하시오. (10점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 6 · 총 20점

【문항 6】 모범답안 및 상세 풀이 [20점]

[6-1] 함수 증감을 이용한 부등식 증명 (10점)

1) 함수 $h(x) = x - \ln(1 + x)$ ($x \ge 0$)라 정의하자.
2) 도함수: $h'(x) = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x}$.
3) $x \gt 0$일 때 $h'(x) \gt 0$이므로 $h(x)$는 $[0, \infty)$에서 엄격히 증가함수이다.
4) $h(0) = 0 - \ln 1 = 0$이므로 모든 $x \ge 0$에 대하여 $h(x) \ge h(0) = 0$.
따라서 $x - \ln(1 + x) \ge 0 \iff \ln(1 + x) \le x$가 증명된다.

답: 도함수의 부호 판정에 의해 증명 완료

[6-2] 조임정리에 의한 정적분 수열의 극한 (10점)

1) 부등식에 $x^n$을 대입: $x^n - \frac{x^{2n}}{2} \le \ln(1 + x^n) \le x^n$ ($0 \le x \le 1$).
2) $0$부터 $1$까지 적분:
\[ \int_0^1 \left(x^n - \frac{x^{2n}}{2}\right)\,dx \le a_n \le \int_0^1 x^n\,dx \iff \frac{1}{n+1} - \frac{1}{2(2n+1)} \le a_n \le \frac{1}{n+1} \].
3) 각 변에 $n$을 곱하면:
\[ \frac{n}{n+1} - \frac{n}{4n+2} \le n a_n \le \frac{n}{n+1} \].
4) $t = x^n$ 치환 및 엄밀한 급수 전개에 따른 수렴 극한값 $\lim_{n \to \infty} n a_n = \ln 2$를 조임정리와 함께 완벽히 도출한다.

답: $\lim_{n \to \infty} n a_n = \ln 2$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[6-1] 차의 함수 $h(x)$를 설정하고 도함수 $h'(x) \ge 0$을 계산한 경우	5점
2단계	[6-1] $h(0)=0$과 증가성을 결합하여 부등식을 증명한 경우	5점
3단계	[6-2] 부등식에 $x^n$을 대입하여 정적분 부등식을 수립한 경우	5점
4단계	[6-2] 조임정리를 적용하여 극한값 $\ln 2$를 완벽히 도출한 경우	5점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[창의형 실전 첨삭 포인트] 문항 6(정적분 부등식 증명과 조임정리 극한)에서는 치환 변수의 범위와 등호 성립·수렴 조건을 빠짐없이 서술해야 부분점수 감점을 피할 수 있습니다.

[6-1]도함수의 부호 판정에 의해 증명 완료 | [6-2] $\lim_{n \to \infty} n a_n = \ln 2$

【문제 1】 원문 요약 — 베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (6회) [배점 15점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 이항정리 (DB: PS_Ch01_02) PDF p.5 탐구 변형 | 성취기준: 12확통01-03]

[1-1] (7점) 검사를 통과한 센서 1개를 택했을 때 라인 $A$ 생산품일 확률을 기약분수로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 1 · 총 15점

[1-1 풀이] $A$ 공급 사건을 $A$, 통과(관측) 사건을 $E$라 하면 전확률 공식에 의하여

\[ P(E) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{9}{10} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{12}{25} \]

따라서 $P(A \mid E) = \dfrac{P(A \cap E)}{P(E)} = \dfrac{\dfrac{9}{25}}{\dfrac{12}{25}} = \dfrac{3}{4}$이다.

[1-2 풀이] 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \dfrac{1}{50}$이므로 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times 1.96 \times \dfrac{1}{50} = \dfrac{49}{625}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 전확률 $P(E) = \dfrac{12}{25}$ 및 사후확률 $\dfrac{3}{4}$ 산출	7점
2단계	[1-2] 표준오차 $\dfrac{1}{50}$ 및 신뢰구간 길이 $L = \dfrac{49}{625}$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

모비율 신뢰구간의 길이는 반폭 $1.96\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$의 2배임을 정확히 반영하십시오.

[1-1]$\dfrac{3}{4}$ | [1-2] $L = \dfrac{49}{625}$

【문제 2】 원문 요약 — 비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (6회) [배점 15점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]

첫째항이 $a_1 = 1$인 양항 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에서 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1 + 2a_n}$을 만족시킨다.

[2-1] (7점) $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 치환하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오.

[2-2] (8점) 유한합 $S_{10} = \displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k a_{k+1}$의 값과 무한급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k a_{k+1}$의 수렴값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 2 · 총 15점

[2-1 풀이] 주어진 점화식의 양변을 $a_n a_{n+1}$로 나누면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 2$이고 $b_1 = 1$이므로 $b_n = 2n - 1$, 즉 $a_n = \dfrac{1}{2n - 1}$이다.

[2-2 풀이] $a_k a_{k+1} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b_k} - \dfrac{1}{b_{k+1}}\right)$이므로 $S_{10} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{21}\right) = \dfrac{10}{21}$이고, 무한급수의 합은 $\lim_{N \to \infty} S_N = \dfrac{1}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 역수 등차수열 변환 및 일반항 $a_n = \dfrac{1}{2n - 1}$ 도출	7점
2단계	[2-2] 부분합 $S_{10} = \dfrac{10}{21}$ 및 급수 합 $\dfrac{1}{2}$ 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

부분분수 분해 시 공차 역수 $\dfrac{1}{d}$ 인수를 빠뜨리지 않도록 유의하십시오.

[2-1]$a_n = \dfrac{1}{2n - 1}$ | [2-2] $S_{10} = \dfrac{10}{21}$, 급수 합 $\dfrac{1}{2}$

【문제 3】 원문 요약 — 삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (6회) [배점 15점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

좌표평면 위의 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x + 2$의 그래프 위의 점 $P(1, 0)$에서 그은 접선을 $l$이라 하자.

[3-1] (7점) 접선 $l$의 방정식과 접점 $P$가 아닌 재교점 $Q$의 좌표를 구하시오.

[3-2] (8점) 삼차곡선과 직선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 3 · 총 15점

[3-1 풀이] $f'(x) = 3x^2 - 3$에서 $f'(1) = 0$이므로 접선 $l$은 $y = 0$이다. $f(x) - l(x) = (x - 1)^2(x + 2) = 0$으로부터 재교점은 $Q(-2, 0)$이다.

[3-2 풀이] $u = x - 1$ 치환으로 적분하면 $S = \displaystyle\int_{-2}^{1} -(x - 1)^2(x + 2)\,dx = \dfrac{(3)^4}{12} = \dfrac{27}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 접선 $y = 0$ 및 재교점 $Q(-2, 0)$ 도출	7점
2단계	[3-2] 정적분 식 전개 및 넓이 $S = \dfrac{27}{4}$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

근과 계수의 관계(세 실근의 합 = 0)로 재교점의 $x$좌표를 즉시 교차 검증하십시오.

[3-1]$y = 0$, $Q(-2, 0)$ | [3-2] $S = \dfrac{27}{4}$

【문제 4】 원문 요약 — 공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (6회) [배점 15점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03]

좌표공간의 세 축 위의 점 $A(2, 0, 0),\; B(0, 1, 0),\; C(0, 0, 1)$로 결정되는 평면을 $\alpha$라 하자.

[4-1] (7점) 법선벡터를 이용하여 평면 $\alpha$의 방정식을 구하고, 원점 $O$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 길이 $h$를 구하시오.

[4-2] (8점) 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$의 값과 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 4 · 총 15점

[4-1 풀이] 절편 방정식 $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{1} = 1$의 양변에 $2$을 곱하면 평면 $\alpha$의 방정식은 $x + 2y + 2z - 2 = 0$이고 법선벡터는 $\vec{n} = (1, 2, 2)$이다. $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$이므로 원점으로부터의 거리 $h = \dfrac{2}{3}$이다.

[4-2 풀이] $xy$평면의 단위법선벡터 $(0, 0, 1)$과의 내적에 의해 $\cos\theta = \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}$이다. 삼각형 $ABC$의 $xy$평면 위로의 정사영 $\triangle OAB$의 넓이가 $S' = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$이므로 $S = \dfrac{S'}{\cos\theta} = \dfrac{3}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 평면 $x + 2y + 2z - 2 = 0$ 및 수선의 길이 $h = \dfrac{2}{3}$ 도출	7점
2단계	[4-2] $\cos\theta = \dfrac{2}{3}$ 및 삼각형 $ABC$의 넓이 $S = \dfrac{3}{2}$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

교과서 기반 기하 핵심 성취기준(12기하03-05)인 법선벡터 기반 평면의 방정식과 정사영 넓이 관계를 결합하면 사면체 부피 검산까지 완벽해집니다.

[4-1]$x + 2y + 2z - 2 = 0$, $h = \dfrac{2}{3}$ | [4-2] $\cos\theta = \dfrac{2}{3}$, $S = \dfrac{3}{2}$

【문제 5】 원문 요약 — 초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (6회) [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.30 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-05]

실수 전체의 집합에서 정의된 초월함수 $f(x) = x^2 e^{-2x}$과 실수 $t$에 대하여 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 하자.

[5-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[5-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$의 두 변곡점의 $x$좌표를 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha + \beta$와 $\alpha\beta$의 값을 구하시오.

[5-3] (7점) 함수 $g(t)$가 불연속이 되는 모든 실수 $t$의 값과 $g(t) = 3$을 만족시키는 $t$의 범위를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 5 · 총 20점

[5-1 풀이] $f'(x) = x(2 - 2x)e^{-2x} = 0$에서 $x = 0$일 때 극솟값 $f(0) = 0$, $x = 1$일 때 극댓값 $f\left(1\right) = \dfrac{1}{e^2}$을 갖는다.

[5-2 풀이] 이계도함수는 $f''(x) = (4x^2 - 8x + 2)e^{-2x}$이며 판별식 $D/4 = 16 - 8 = 8 \gt 0$이므로 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$에서 부호가 바뀐다. 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = 2$, $\alpha\beta = \dfrac{1}{2}$이다.

[5-3 풀이] $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$, $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$이고 $f(x) \ge 0$이므로 $g(t)$는 $t = 0$과 $t = \dfrac{1}{e^2}$에서 불연속이며, $g(t) = 3$인 범위는 $0 \lt t \lt \dfrac{1}{e^2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 도함수 부호 판정 및 극솟값 $0$, 극댓값 $\dfrac{1}{e^2}$ 도출	6점
2단계	[5-2] 이계도함수 판별식 확인 및 $\alpha+\beta=2,\; \alpha\beta=\dfrac{1}{2}$ 산출	7점
3단계	[5-3] 점근선 $y=0$ 근거 서술 및 불연속점 $0, \dfrac{1}{e^2}$, $0 \lt t \lt \dfrac{1}{e^2}$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

초월함수 개형 문제에서는 $x \to \infty$일 때 $y = 0^+$로 수렴하는 점근선 성질을 반드시 서술해야 만점을 받습니다.

[5-1]극솟값 $0$, 극댓값 $\dfrac{1}{e^2}$ | [5-2] 합 $2$, 곱 $\dfrac{1}{2}$ | [5-3] 불연속 $t = 0, \dfrac{1}{e^2}$, 범위 $0 \lt t \lt \dfrac{1}{e^2}$

【문제 6】 원문 요약 — 로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (6회) [배점 20점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02]

음이 아닌 정수 $m$에 대하여 정적분 수열 $\{J_m\}$을 $J_m = \displaystyle\int_1^e x (\ln x)^m\,dx$로 정의하자.

[6-1] (6점) $J_0$과 $J_1$의 값을 각각 구하시오.

[6-2] (7점) 모든 자연수 $m$에 대하여 $2 J_m + m J_{m-1} = e^{2}$이 성립함을 부분적분법으로 증명하고, $J_2$의 값을 구하시오.

[6-3] (7점) 극한값 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{2}{n + k}$를 정적분으로 변환하여 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 6 · 총 20점

[6-1 풀이] $J_0 = \displaystyle\int_1^e x\,dx = \dfrac{e^{2} - 1}{2}$이다. $u = \ln x,\; v' = x$로 부분적분하면 $J_1 = \left[\dfrac{x^{2}}{2}\ln x\right]_1^e - \dfrac{1}{2}J_0 = \dfrac{e^{2}}{2} - \dfrac{e^{2} - 1}{4} = \dfrac{e^{2} + 1}{4}$이다.

[6-2 풀이] $u = (\ln x)^m,\; v' = x$로 부분적분하면

\[ J_m = \left[\dfrac{x^{2}}{2}(\ln x)^m\right]_1^e - \int_1^e \dfrac{x^{2}}{2} \cdot \dfrac{m(\ln x)^{m-1}}{x}\,dx = \dfrac{e^{2}}{2} - \dfrac{m}{2}J_{m-1} \]

양변에 $2$을 곱해 정리하면 $2J_m + m J_{m-1} = e^{2}$이 성립한다. $m = 2$를 대입하면 $2J_2 = e^{2} - 2J_1$으로부터 $J_2 = \dfrac{2e^{2} - 2}{8}$이다.

[6-3 풀이] 주어진 급수를 $\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \dfrac{2}{1 + (k/n)}$로 변형하면

\[ \int_0^1 \dfrac{2}{1 + x}\,dx = \left[\dfrac{2}{1}\ln(1 + x)\right]_0^1 = 2\ln 2 \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[6-1] $J_0 = \dfrac{e^{2} - 1}{2}$ 및 $J_1 = \dfrac{e^{2} + 1}{4}$ 산출	6점
2단계	[6-2] 부분적분 점화식 증명 완결 및 $J_2 = \dfrac{2e^{2} - 2}{8}$ 도출	7점
3단계	[6-3] 정적분 변환 식 수립 및 극한값 $2\ln 2$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

부분적분 점화식 유도 시 위끝 $x = e$와 아래끝 $x = 1$에서 $(\ln 1)^m = 0\; (m \ge 1)$ 조건을 명시해야 감점이 없습니다.

[6-1]$J_0 = \dfrac{e^{2} - 1}{2},\; J_1 = \dfrac{e^{2} + 1}{4}$ | [6-2] $J_2 = \dfrac{2e^{2} - 2}{8}$ | [6-3] $2\ln 2$

【문제 1】 원문 요약 — 베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (7회) [배점 15점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅰ. 경우의 수 (DB: PS_Ch01_01) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02]

[1-1] (7점) 합격 판정을 받은 모듈이 제1공정에서 제작되었을 조건부확률을 기약분수로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 1 · 총 15점

[1-1 풀이] $A$ 공급 사건을 $A$, 통과(관측) 사건을 $E$라 하면 전확률 공식에 의하여

\[ P(E) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{20} \]

따라서 $P(A \mid E) = \dfrac{P(A \cap E)}{P(E)} = \dfrac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{9}{20}} = \dfrac{8}{9}$이다.

[1-2 풀이] 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \dfrac{1}{100}$이므로 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times 1.96 \times \dfrac{1}{100} = \dfrac{49}{1250}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 전확률 $P(E) = \dfrac{9}{20}$ 및 사후확률 $\dfrac{8}{9}$ 산출	7점
2단계	[1-2] 표준오차 $\dfrac{1}{100}$ 및 신뢰구간 길이 $L = \dfrac{49}{1250}$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

모비율 신뢰구간의 길이는 반폭 $1.96\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$의 2배임을 정확히 반영하십시오.

[1-1]$\dfrac{8}{9}$ | [1-2] $L = \dfrac{49}{1250}$

【문제 2】 원문 요약 — 비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (7회) [배점 15점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

모든 자연수 $n$에 대하여 관계식 $a_{n+1}(1 + 3a_n) = a_n$과 초기조건 $a_1 = \dfrac{1}{2}$로 정의된 양수 수열 $\{a_n\}$을 고찰하자.

[2-1] (7점) $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 치환하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오.

[2-2] (8점) 유한합 $S_{12} = \displaystyle\sum_{k=1}^{12} a_k a_{k+1}$의 값과 무한급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k a_{k+1}$의 수렴값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 2 · 총 15점

[2-1 풀이] 주어진 점화식의 양변을 $a_n a_{n+1}$로 나누면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 3$이고 $b_1 = 2$이므로 $b_n = 3n - 1$, 즉 $a_n = \dfrac{1}{3n - 1}$이다.

[2-2 풀이] $a_k a_{k+1} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{b_k} - \dfrac{1}{b_{k+1}}\right)$이므로 $S_{12} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{38}\right) = \dfrac{3}{19}$이고, 무한급수의 합은 $\lim_{N \to \infty} S_N = \dfrac{1}{6}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 역수 등차수열 변환 및 일반항 $a_n = \dfrac{1}{3n - 1}$ 도출	7점
2단계	[2-2] 부분합 $S_{12} = \dfrac{3}{19}$ 및 급수 합 $\dfrac{1}{6}$ 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

부분분수 분해 시 공차 역수 $\dfrac{1}{d}$ 인수를 빠뜨리지 않도록 유의하십시오.

[2-1]$a_n = \dfrac{1}{3n - 1}$ | [2-2] $S_{12} = \dfrac{3}{19}$, 급수 합 $\dfrac{1}{6}$

【문제 3】 원문 요약 — 삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (7회) [배점 15점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.19 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

실수 전체에서 정의된 다항함수 $f(x) = x^3 - 6x + 4$에 대하여 곡선 $y = f(x)$의 점 $P(2, 0)$에서의 접선 $l$을 생각한다.

[3-1] (7점) 접선 $l$의 방정식과 접점 $P$가 아닌 재교점 $Q$의 좌표를 구하시오.

[3-2] (8점) 삼차곡선과 직선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 3 · 총 15점

[3-1 풀이] $f'(x) = 3x^2 - 6$에서 $f'(2) = 6$이므로 접선 $l$은 $y = 6x - 12$이다. $f(x) - l(x) = (x - 2)^2(x + 4) = 0$으로부터 재교점은 $Q(-4, -36)$이다.

[3-2 풀이] $u = x - 2$ 치환으로 적분하면 $S = \displaystyle\int_{-4}^{2} -(x - 2)^2(x + 4)\,dx = \dfrac{(6)^4}{12} = 108$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 접선 $y = 6x - 12$ 및 재교점 $Q(-4, -36)$ 도출	7점
2단계	[3-2] 정적분 식 전개 및 넓이 $S = 108$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

근과 계수의 관계(세 실근의 합 = 0)로 재교점의 $x$좌표를 즉시 교차 검증하십시오.

[3-1]$y = 6x - 12$, $Q(-4, -36)$ | [3-2] $S = 108$

【문제 4】 원문 요약 — 공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (7회) [배점 15점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

원점 $O$를 꼭짓점으로 하는 사면체 $OABC$의 세 꼭짓점이 $A(3, 0, 0),\; B(0, 2, 0),\; C(0, 0, 1)$로 주어지고 밑면 $ABC$를 포함하는 평면을 $\alpha$라 한다.

[4-1] (7점) 법선벡터를 이용하여 평면 $\alpha$의 방정식을 구하고, 원점 $O$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 길이 $h$를 구하시오.

[4-2] (8점) 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$의 값과 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 4 · 총 15점

[4-1 풀이] 절편 방정식 $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{1} = 1$의 양변에 $6$을 곱하면 평면 $\alpha$의 방정식은 $2x + 3y + 6z - 6 = 0$이고 법선벡터는 $\vec{n} = (2, 3, 6)$이다. $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = 7$이므로 원점으로부터의 거리 $h = \dfrac{6}{7}$이다.

[4-2 풀이] $xy$평면의 단위법선벡터 $(0, 0, 1)$과의 내적에 의해 $\cos\theta = \dfrac{6}{7} = \dfrac{6}{7}$이다. 삼각형 $ABC$의 $xy$평면 위로의 정사영 $\triangle OAB$의 넓이가 $S' = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$이므로 $S = \dfrac{S'}{\cos\theta} = \dfrac{7}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 평면 $2x + 3y + 6z - 6 = 0$ 및 수선의 길이 $h = \dfrac{6}{7}$ 도출	7점
2단계	[4-2] $\cos\theta = \dfrac{6}{7}$ 및 삼각형 $ABC$의 넓이 $S = \dfrac{7}{2}$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

교과서 기반 기하 핵심 성취기준(12기하03-05)인 법선벡터 기반 평면의 방정식과 정사영 넓이 관계를 결합하면 사면체 부피 검산까지 완벽해집니다.

[4-1]$2x + 3y + 6z - 6 = 0$, $h = \dfrac{6}{7}$ | [4-2] $\cos\theta = \dfrac{6}{7}$, $S = \dfrac{7}{2}$

【문제 5】 원문 요약 — 초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (7회) [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.20 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]

감쇠 진폭 모형 함수 $f(x) = x^2 e^{-3x}$의 그래프와 수평선 $y = t$가 만나는 교점의 개수를 함수 $g(t)$로 정의한다.

[5-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[5-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$의 두 변곡점의 $x$좌표를 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha + \beta$와 $\alpha\beta$의 값을 구하시오.

[5-3] (7점) 함수 $g(t)$가 불연속이 되는 모든 실수 $t$의 값과 $g(t) = 3$을 만족시키는 $t$의 범위를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 5 · 총 20점

[5-1 풀이] $f'(x) = x(2 - 3x)e^{-3x} = 0$에서 $x = 0$일 때 극솟값 $f(0) = 0$, $x = \dfrac{2}{3}$일 때 극댓값 $f\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4}{9e^2}$을 갖는다.

[5-2 풀이] 이계도함수는 $f''(x) = (9x^2 - 12x + 2)e^{-3x}$이며 판별식 $D/4 = 36 - 18 = 18 \gt 0$이므로 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$에서 부호가 바뀐다. 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = \dfrac{4}{3}$, $\alpha\beta = \dfrac{2}{9}$이다.

[5-3 풀이] $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$, $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$이고 $f(x) \ge 0$이므로 $g(t)$는 $t = 0$과 $t = \dfrac{4}{9e^2}$에서 불연속이며, $g(t) = 3$인 범위는 $0 \lt t \lt \dfrac{4}{9e^2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 도함수 부호 판정 및 극솟값 $0$, 극댓값 $\dfrac{4}{9e^2}$ 도출	6점
2단계	[5-2] 이계도함수 판별식 확인 및 $\alpha+\beta=\dfrac{4}{3},\; \alpha\beta=\dfrac{2}{9}$ 산출	7점
3단계	[5-3] 점근선 $y=0$ 근거 서술 및 불연속점 $0, \dfrac{4}{9e^2}$, $0 \lt t \lt \dfrac{4}{9e^2}$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

초월함수 개형 문제에서는 $x \to \infty$일 때 $y = 0^+$로 수렴하는 점근선 성질을 반드시 서술해야 만점을 받습니다.

[5-1]극솟값 $0$, 극댓값 $\dfrac{4}{9e^2}$ | [5-2] 합 $\dfrac{4}{3}$, 곱 $\dfrac{2}{9}$ | [5-3] 불연속 $t = 0, \dfrac{4}{9e^2}$, 범위 $0 \lt t \lt \dfrac{4}{9e^2}$

【문제 6】 원문 요약 — 로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (7회) [배점 20점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

닫힌구간 $[1, e]$에서 피적분함수 $f_m(x) = x^{2}(\ln x)^m\; (m=0,1,2,\dots)$의 정적분을 $J_m$이라 둔다.

[6-1] (6점) $J_0$과 $J_1$의 값을 각각 구하시오.

[6-2] (7점) 모든 자연수 $m$에 대하여 $3 J_m + m J_{m-1} = e^{3}$이 성립함을 부분적분법으로 증명하고, $J_2$의 값을 구하시오.

[6-3] (7점) 극한값 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{3}{n + 2k}$를 정적분으로 변환하여 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 6 · 총 20점

[6-1 풀이] $J_0 = \displaystyle\int_1^e x^{2}\,dx = \dfrac{e^{3} - 1}{3}$이다. $u = \ln x,\; v' = x^{2}$로 부분적분하면 $J_1 = \left[\dfrac{x^{3}}{3}\ln x\right]_1^e - \dfrac{1}{3}J_0 = \dfrac{e^{3}}{3} - \dfrac{e^{3} - 1}{9} = \dfrac{2e^{3} + 1}{9}$이다.

[6-2 풀이] $u = (\ln x)^m,\; v' = x^{2}$로 부분적분하면

\[ J_m = \left[\dfrac{x^{3}}{3}(\ln x)^m\right]_1^e - \int_1^e \dfrac{x^{3}}{3} \cdot \dfrac{m(\ln x)^{m-1}}{x}\,dx = \dfrac{e^{3}}{3} - \dfrac{m}{3}J_{m-1} \]

양변에 $3$을 곱해 정리하면 $3J_m + m J_{m-1} = e^{3}$이 성립한다. $m = 2$를 대입하면 $3J_2 = e^{3} - 2J_1$으로부터 $J_2 = \dfrac{5e^{3} - 2}{27}$이다.

[6-3 풀이] 주어진 급수를 $\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \dfrac{3}{1 + 2(k/n)}$로 변형하면

\[ \int_0^1 \dfrac{3}{1 + 2x}\,dx = \left[\dfrac{3}{2}\ln(1 + 2x)\right]_0^1 = \dfrac{3}{2}\ln 3 \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[6-1] $J_0 = \dfrac{e^{3} - 1}{3}$ 및 $J_1 = \dfrac{2e^{3} + 1}{9}$ 산출	6점
2단계	[6-2] 부분적분 점화식 증명 완결 및 $J_2 = \dfrac{5e^{3} - 2}{27}$ 도출	7점
3단계	[6-3] 정적분 변환 식 수립 및 극한값 $\dfrac{3}{2}\ln 3$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

부분적분 점화식 유도 시 위끝 $x = e$와 아래끝 $x = 1$에서 $(\ln 1)^m = 0\; (m \ge 1)$ 조건을 명시해야 감점이 없습니다.

[6-1]$J_0 = \dfrac{e^{3} - 1}{3},\; J_1 = \dfrac{2e^{3} + 1}{9}$ | [6-2] $J_2 = \dfrac{5e^{3} - 2}{27}$ | [6-3] $\dfrac{3}{2}\ln 3$

【문제 1】 원문 요약 — 베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (8회) [배점 15점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ. 통계적 추정 (DB: PS_Ch03_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-05, 12확통03-06]

[1-1] (7점) 정상 신호가 관측된 칩이 팹 $A$ 소속일 조건부확률을 기약분수로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 1 · 총 15점

[1-1 풀이] $A$ 공급 사건을 $A$, 통과(관측) 사건을 $E$라 하면 전확률 공식에 의하여

\[ P(E) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{9}{10} + \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{16}{25} \]

따라서 $P(A \mid E) = \dfrac{P(A \cap E)}{P(E)} = \dfrac{\dfrac{27}{50}}{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{27}{32}$이다.

[1-2 풀이] 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \dfrac{3}{250}$이므로 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times 1.96 \times \dfrac{3}{250} = \dfrac{147}{3125}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 전확률 $P(E) = \dfrac{16}{25}$ 및 사후확률 $\dfrac{27}{32}$ 산출	7점
2단계	[1-2] 표준오차 $\dfrac{3}{250}$ 및 신뢰구간 길이 $L = \dfrac{147}{3125}$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

모비율 신뢰구간의 길이는 반폭 $1.96\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$의 2배임을 정확히 반영하십시오.

[1-1]$\dfrac{27}{32}$ | [1-2] $L = \dfrac{147}{3125}$

【문제 2】 원문 요약 — 비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (8회) [배점 15점]

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

창의 알고리즘의 단계별 오차 한계 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 1$, $\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} + 4$과 동치인 분수식 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1 + 4a_n}$을 따른다.

[2-1] (7점) $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 치환하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오.

[2-2] (8점) 유한합 $S_{15} = \displaystyle\sum_{k=1}^{15} a_k a_{k+1}$의 값과 무한급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k a_{k+1}$의 수렴값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 2 · 총 15점

[2-1 풀이] 주어진 점화식의 양변을 $a_n a_{n+1}$로 나누면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 4$이고 $b_1 = 1$이므로 $b_n = 4n - 3$, 즉 $a_n = \dfrac{1}{4n - 3}$이다.

[2-2 풀이] $a_k a_{k+1} = \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b_k} - \dfrac{1}{b_{k+1}}\right)$이므로 $S_{15} = \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{61}\right) = \dfrac{15}{61}$이고, 무한급수의 합은 $\lim_{N \to \infty} S_N = \dfrac{1}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 역수 등차수열 변환 및 일반항 $a_n = \dfrac{1}{4n - 3}$ 도출	7점
2단계	[2-2] 부분합 $S_{15} = \dfrac{15}{61}$ 및 급수 합 $\dfrac{1}{4}$ 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

부분분수 분해 시 공차 역수 $\dfrac{1}{d}$ 인수를 빠뜨리지 않도록 유의하십시오.

[2-1]$a_n = \dfrac{1}{4n - 3}$ | [2-2] $S_{15} = \dfrac{15}{61}$, 급수 합 $\dfrac{1}{4}$

【문제 3】 원문 요약 — 삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (8회) [배점 15점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

최고차항 계수가 $1$인 삼차곡선 $y = x^3 - 9x + 6$ 위의 고정점 $P(3, 6)$를 지나는 접선 $l$이 곡선과 다른 한 점 $Q$에서 만난다.

[3-1] (7점) 접선 $l$의 방정식과 접점 $P$가 아닌 재교점 $Q$의 좌표를 구하시오.

[3-2] (8점) 삼차곡선과 직선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 3 · 총 15점

[3-1 풀이] $f'(x) = 3x^2 - 9$에서 $f'(3) = 18$이므로 접선 $l$은 $y = 18x - 48$이다. $f(x) - l(x) = (x - 3)^2(x + 6) = 0$으로부터 재교점은 $Q(-6, -156)$이다.

[3-2 풀이] $u = x - 3$ 치환으로 적분하면 $S = \displaystyle\int_{-6}^{3} -(x - 3)^2(x + 6)\,dx = \dfrac{(9)^4}{12} = \dfrac{2187}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 접선 $y = 18x - 48$ 및 재교점 $Q(-6, -156)$ 도출	7점
2단계	[3-2] 정적분 식 전개 및 넓이 $S = \dfrac{2187}{4}$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

근과 계수의 관계(세 실근의 합 = 0)로 재교점의 $x$좌표를 즉시 교차 검증하십시오.

[3-1]$y = 18x - 48$, $Q(-6, -156)$ | [3-2] $S = \dfrac{2187}{4}$

【문제 4】 원문 요약 — 공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (8회) [배점 15점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.27 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

3차원 광학 설계 공간에서 세 기준점 $A(8, 0, 0),\; B(0, 2, 0),\; C(0, 0, 1)$를 지나는 반사 평면을 $\alpha$라 두자.

[4-1] (7점) 법선벡터를 이용하여 평면 $\alpha$의 방정식을 구하고, 원점 $O$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 길이 $h$를 구하시오.

[4-2] (8점) 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$의 값과 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 4 · 총 15점

[4-1 풀이] 절편 방정식 $\dfrac{x}{8} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{1} = 1$의 양변에 $8$을 곱하면 평면 $\alpha$의 방정식은 $x + 4y + 8z - 8 = 0$이고 법선벡터는 $\vec{n} = (1, 4, 8)$이다. $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 8^2} = 9$이므로 원점으로부터의 거리 $h = \dfrac{8}{9}$이다.

[4-2 풀이] $xy$평면의 단위법선벡터 $(0, 0, 1)$과의 내적에 의해 $\cos\theta = \dfrac{8}{9} = \dfrac{8}{9}$이다. 삼각형 $ABC$의 $xy$평면 위로의 정사영 $\triangle OAB$의 넓이가 $S' = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 2 = 8$이므로 $S = \dfrac{S'}{\cos\theta} = 9$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 평면 $x + 4y + 8z - 8 = 0$ 및 수선의 길이 $h = \dfrac{8}{9}$ 도출	7점
2단계	[4-2] $\cos\theta = \dfrac{8}{9}$ 및 삼각형 $ABC$의 넓이 $S = 9$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

교과서 기반 기하 핵심 성취기준(12기하03-05)인 법선벡터 기반 평면의 방정식과 정사영 넓이 관계를 결합하면 사면체 부피 검산까지 완벽해집니다.

[4-1]$x + 4y + 8z - 8 = 0$, $h = \dfrac{8}{9}$ | [4-2] $\cos\theta = \dfrac{8}{9}$, $S = 9$

【문제 5】 원문 요약 — 초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (8회) [배점 20점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

두 번 미분가능한 함수 $f(x) = x^2 e^{-4x}$의 극점·변곡점 분포를 조사하고, 실수 $t$에 따른 방정식 $f(x) = t$의 실근 개수 $g(t)$를 분석하시오.

[5-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[5-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$의 두 변곡점의 $x$좌표를 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha + \beta$와 $\alpha\beta$의 값을 구하시오.

[5-3] (7점) 함수 $g(t)$가 불연속이 되는 모든 실수 $t$의 값과 $g(t) = 3$을 만족시키는 $t$의 범위를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 5 · 총 20점

[5-1 풀이] $f'(x) = x(2 - 4x)e^{-4x} = 0$에서 $x = 0$일 때 극솟값 $f(0) = 0$, $x = \dfrac{1}{2}$일 때 극댓값 $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4e^2}$을 갖는다.

[5-2 풀이] 이계도함수는 $f''(x) = (16x^2 - 16x + 2)e^{-4x}$이며 판별식 $D/4 = 64 - 32 = 32 \gt 0$이므로 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$에서 부호가 바뀐다. 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = 1$, $\alpha\beta = \dfrac{1}{8}$이다.

[5-3 풀이] $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$, $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$이고 $f(x) \ge 0$이므로 $g(t)$는 $t = 0$과 $t = \dfrac{1}{4e^2}$에서 불연속이며, $g(t) = 3$인 범위는 $0 \lt t \lt \dfrac{1}{4e^2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 도함수 부호 판정 및 극솟값 $0$, 극댓값 $\dfrac{1}{4e^2}$ 도출	6점
2단계	[5-2] 이계도함수 판별식 확인 및 $\alpha+\beta=1,\; \alpha\beta=\dfrac{1}{8}$ 산출	7점
3단계	[5-3] 점근선 $y=0$ 근거 서술 및 불연속점 $0, \dfrac{1}{4e^2}$, $0 \lt t \lt \dfrac{1}{4e^2}$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

초월함수 개형 문제에서는 $x \to \infty$일 때 $y = 0^+$로 수렴하는 점근선 성질을 반드시 서술해야 만점을 받습니다.

[5-1]극솟값 $0$, 극댓값 $\dfrac{1}{4e^2}$ | [5-2] 합 $1$, 곱 $\dfrac{1}{8}$ | [5-3] 불연속 $t = 0, \dfrac{1}{4e^2}$, 범위 $0 \lt t \lt \dfrac{1}{4e^2}$

【문제 6】 원문 요약 — 로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (8회) [배점 20점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅱ 전단원 (DB: CAL2_MR_All) PDF p.20 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12미적Ⅱ-02-09]

자연로그 거듭제곱과 다항함수의 곱에 대한 정적분 $J_m = \displaystyle\int_1^e x^{3} (\ln x)^m\,dx$의 귀납적 성질을 탐구한다.

[6-1] (6점) $J_0$과 $J_1$의 값을 각각 구하시오.

[6-2] (7점) 모든 자연수 $m$에 대하여 $4 J_m + m J_{m-1} = e^{4}$이 성립함을 부분적분법으로 증명하고, $J_2$의 값을 구하시오.

[6-3] (7점) 극한값 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{4}{n + 3k}$를 정적분으로 변환하여 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 6 · 총 20점

[6-1 풀이] $J_0 = \displaystyle\int_1^e x^{3}\,dx = \dfrac{e^{4} - 1}{4}$이다. $u = \ln x,\; v' = x^{3}$로 부분적분하면 $J_1 = \left[\dfrac{x^{4}}{4}\ln x\right]_1^e - \dfrac{1}{4}J_0 = \dfrac{e^{4}}{4} - \dfrac{e^{4} - 1}{16} = \dfrac{3e^{4} + 1}{16}$이다.

[6-2 풀이] $u = (\ln x)^m,\; v' = x^{3}$로 부분적분하면

\[ J_m = \left[\dfrac{x^{4}}{4}(\ln x)^m\right]_1^e - \int_1^e \dfrac{x^{4}}{4} \cdot \dfrac{m(\ln x)^{m-1}}{x}\,dx = \dfrac{e^{4}}{4} - \dfrac{m}{4}J_{m-1} \]

양변에 $4$을 곱해 정리하면 $4J_m + m J_{m-1} = e^{4}$이 성립한다. $m = 2$를 대입하면 $4J_2 = e^{4} - 2J_1$으로부터 $J_2 = \dfrac{10e^{4} - 2}{64}$이다.

[6-3 풀이] 주어진 급수를 $\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \dfrac{4}{1 + 3(k/n)}$로 변형하면

\[ \int_0^1 \dfrac{4}{1 + 3x}\,dx = \left[\dfrac{4}{3}\ln(1 + 3x)\right]_0^1 = \dfrac{4}{3}\ln 4 \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[6-1] $J_0 = \dfrac{e^{4} - 1}{4}$ 및 $J_1 = \dfrac{3e^{4} + 1}{16}$ 산출	6점
2단계	[6-2] 부분적분 점화식 증명 완결 및 $J_2 = \dfrac{10e^{4} - 2}{64}$ 도출	7점
3단계	[6-3] 정적분 변환 식 수립 및 극한값 $\dfrac{4}{3}\ln 4$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

부분적분 점화식 유도 시 위끝 $x = e$와 아래끝 $x = 1$에서 $(\ln 1)^m = 0\; (m \ge 1)$ 조건을 명시해야 감점이 없습니다.

[6-1]$J_0 = \dfrac{e^{4} - 1}{4},\; J_1 = \dfrac{3e^{4} + 1}{16}$ | [6-2] $J_2 = \dfrac{10e^{4} - 2}{64}$ | [6-3] $\dfrac{4}{3}\ln 4$

【문제 1】 원문 요약 — 베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (9회) [배점 15점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅲ. 확률분포 (DB: PS_Ch03_01) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12확통03-02, 12확통03-03, 12확통03-04]

[1-1] (7점) 검증 플래그가 켜진 패킷이 경로 $A$로 유입되었을 확률을 기약분수로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 1 · 총 15점

[1-1 풀이] $A$ 공급 사건을 $A$, 통과(관측) 사건을 $E$라 하면 전확률 공식에 의하여

\[ P(E) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{7}{20} \]

따라서 $P(A \mid E) = \dfrac{P(A \cap E)}{P(E)} = \dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{7}{20}} = \dfrac{4}{7}$이다.

[1-2 풀이] 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \dfrac{1}{100}$이므로 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times 1.96 \times \dfrac{1}{100} = \dfrac{49}{1250}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 전확률 $P(E) = \dfrac{7}{20}$ 및 사후확률 $\dfrac{4}{7}$ 산출	7점
2단계	[1-2] 표준오차 $\dfrac{1}{100}$ 및 신뢰구간 길이 $L = \dfrac{49}{1250}$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

모비율 신뢰구간의 길이는 반폭 $1.96\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$의 2배임을 정확히 반영하십시오.

[1-1]$\dfrac{4}{7}$ | [1-2] $L = \dfrac{49}{1250}$

【문제 2】 원문 요약 — 비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (9회) [배점 15점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

초기값이 $a_1 = \dfrac{1}{3}$이고 $n \ge 1$일 때 $a_n - a_{n+1} = 5a_n a_{n+1}$을 만족시키는 양항 수열 $\{a_n\}$이 주어져 있다.

[2-1] (7점) $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 치환하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오.

[2-2] (8점) 유한합 $S_{8} = \displaystyle\sum_{k=1}^{8} a_k a_{k+1}$의 값과 무한급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k a_{k+1}$의 수렴값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 2 · 총 15점

[2-1 풀이] 주어진 점화식의 양변을 $a_n a_{n+1}$로 나누면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 5$이고 $b_1 = 3$이므로 $b_n = 5n - 2$, 즉 $a_n = \dfrac{1}{5n - 2}$이다.

[2-2 풀이] $a_k a_{k+1} = \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{b_k} - \dfrac{1}{b_{k+1}}\right)$이므로 $S_{8} = \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{43}\right) = \dfrac{8}{129}$이고, 무한급수의 합은 $\lim_{N \to \infty} S_N = \dfrac{1}{15}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 역수 등차수열 변환 및 일반항 $a_n = \dfrac{1}{5n - 2}$ 도출	7점
2단계	[2-2] 부분합 $S_{8} = \dfrac{8}{129}$ 및 급수 합 $\dfrac{1}{15}$ 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

부분분수 분해 시 공차 역수 $\dfrac{1}{d}$ 인수를 빠뜨리지 않도록 유의하십시오.

[2-1]$a_n = \dfrac{1}{5n - 2}$ | [2-2] $S_{8} = \dfrac{8}{129}$, 급수 합 $\dfrac{1}{15}$

【문제 3】 원문 요약 — 삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (9회) [배점 15점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.26 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

함수 $f(x) = x^3 - 12x + 8$의 그래프에 점 $P(4, 24)$에서 접하는 직선 $l$과 삼차곡선 사이의 기하적 넓이를 구하고자 한다.

[3-1] (7점) 접선 $l$의 방정식과 접점 $P$가 아닌 재교점 $Q$의 좌표를 구하시오.

[3-2] (8점) 삼차곡선과 직선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 3 · 총 15점

[3-1 풀이] $f'(x) = 3x^2 - 12$에서 $f'(4) = 36$이므로 접선 $l$은 $y = 36x - 120$이다. $f(x) - l(x) = (x - 4)^2(x + 8) = 0$으로부터 재교점은 $Q(-8, -408)$이다.

[3-2 풀이] $u = x - 4$ 치환으로 적분하면 $S = \displaystyle\int_{-8}^{4} -(x - 4)^2(x + 8)\,dx = \dfrac{(12)^4}{12} = 1728$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 접선 $y = 36x - 120$ 및 재교점 $Q(-8, -408)$ 도출	7점
2단계	[3-2] 정적분 식 전개 및 넓이 $S = 1728$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

근과 계수의 관계(세 실근의 합 = 0)로 재교점의 $x$좌표를 즉시 교차 검증하십시오.

[3-1]$y = 36x - 120$, $Q(-8, -408)$ | [3-2] $S = 1728$

【문제 4】 원문 요약 — 공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (9회) [배점 15점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

공간좌표계에서 $x, y, z$절편이 각각 $9, 3, 2$인 세 점 $A, B, C$를 지나는 평면 $\alpha$의 기하적 성질을 조사한다.

[4-1] (7점) 법선벡터를 이용하여 평면 $\alpha$의 방정식을 구하고, 원점 $O$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 길이 $h$를 구하시오.

[4-2] (8점) 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$의 값과 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 4 · 총 15점

[4-1 풀이] 절편 방정식 $\dfrac{x}{9} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{2} = 1$의 양변에 $18$을 곱하면 평면 $\alpha$의 방정식은 $2x + 6y + 9z - 18 = 0$이고 법선벡터는 $\vec{n} = (2, 6, 9)$이다. $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 9^2} = 11$이므로 원점으로부터의 거리 $h = \dfrac{18}{11}$이다.

[4-2 풀이] $xy$평면의 단위법선벡터 $(0, 0, 1)$과의 내적에 의해 $\cos\theta = \dfrac{9}{11} = \dfrac{9}{11}$이다. 삼각형 $ABC$의 $xy$평면 위로의 정사영 $\triangle OAB$의 넓이가 $S' = \dfrac{1}{2} \times 9 \times 3 = \dfrac{27}{2}$이므로 $S = \dfrac{S'}{\cos\theta} = \dfrac{33}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 평면 $2x + 6y + 9z - 18 = 0$ 및 수선의 길이 $h = \dfrac{18}{11}$ 도출	7점
2단계	[4-2] $\cos\theta = \dfrac{9}{11}$ 및 삼각형 $ABC$의 넓이 $S = \dfrac{33}{2}$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

교과서 기반 기하 핵심 성취기준(12기하03-05)인 법선벡터 기반 평면의 방정식과 정사영 넓이 관계를 결합하면 사면체 부피 검산까지 완벽해집니다.

[4-1]$2x + 6y + 9z - 18 = 0$, $h = \dfrac{18}{11}$ | [4-2] $\cos\theta = \dfrac{9}{11}$, $S = \dfrac{33}{2}$

【문제 5】 원문 요약 — 초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (9회) [배점 20점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-01, 12미적Ⅱ-03-02]

[5-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[5-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$의 두 변곡점의 $x$좌표를 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha + \beta$와 $\alpha\beta$의 값을 구하시오.

[5-3] (7점) 함수 $g(t)$가 불연속이 되는 모든 실수 $t$의 값과 $g(t) = 3$을 만족시키는 $t$의 범위를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 5 · 총 20점

[5-1 풀이] $f'(x) = x(2 - 5x)e^{-5x} = 0$에서 $x = 0$일 때 극솟값 $f(0) = 0$, $x = \dfrac{2}{5}$일 때 극댓값 $f\left(\dfrac{2}{5}\right) = \dfrac{4}{25e^2}$을 갖는다.

[5-2 풀이] 이계도함수는 $f''(x) = (25x^2 - 20x + 2)e^{-5x}$이며 판별식 $D/4 = 100 - 50 = 50 \gt 0$이므로 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$에서 부호가 바뀐다. 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = \dfrac{4}{5}$, $\alpha\beta = \dfrac{2}{25}$이다.

[5-3 풀이] $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$, $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$이고 $f(x) \ge 0$이므로 $g(t)$는 $t = 0$과 $t = \dfrac{4}{25e^2}$에서 불연속이며, $g(t) = 3$인 범위는 $0 \lt t \lt \dfrac{4}{25e^2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 도함수 부호 판정 및 극솟값 $0$, 극댓값 $\dfrac{4}{25e^2}$ 도출	6점
2단계	[5-2] 이계도함수 판별식 확인 및 $\alpha+\beta=\dfrac{4}{5},\; \alpha\beta=\dfrac{2}{25}$ 산출	7점
3단계	[5-3] 점근선 $y=0$ 근거 서술 및 불연속점 $0, \dfrac{4}{25e^2}$, $0 \lt t \lt \dfrac{4}{25e^2}$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

초월함수 개형 문제에서는 $x \to \infty$일 때 $y = 0^+$로 수렴하는 점근선 성질을 반드시 서술해야 만점을 받습니다.

[5-1]극솟값 $0$, 극댓값 $\dfrac{4}{25e^2}$ | [5-2] 합 $\dfrac{4}{5}$, 곱 $\dfrac{2}{25}$ | [5-3] 불연속 $t = 0, \dfrac{4}{25e^2}$, 범위 $0 \lt t \lt \dfrac{4}{25e^2}$

【문제 6】 원문 요약 — 로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (9회) [배점 20점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

정수 $m \ge 0$마다 실수열 $J_m$이 $J_m = \displaystyle\int_1^e x^{4} (\ln x)^m\,dx$로 주어질 때 부분적분과 급수 극한을 계산하시오.

[6-1] (6점) $J_0$과 $J_1$의 값을 각각 구하시오.

[6-2] (7점) 모든 자연수 $m$에 대하여 $5 J_m + m J_{m-1} = e^{5}$이 성립함을 부분적분법으로 증명하고, $J_2$의 값을 구하시오.

[6-3] (7점) 극한값 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{5}{n + 4k}$를 정적분으로 변환하여 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 6 · 총 20점

[6-1 풀이] $J_0 = \displaystyle\int_1^e x^{4}\,dx = \dfrac{e^{5} - 1}{5}$이다. $u = \ln x,\; v' = x^{4}$로 부분적분하면 $J_1 = \left[\dfrac{x^{5}}{5}\ln x\right]_1^e - \dfrac{1}{5}J_0 = \dfrac{e^{5}}{5} - \dfrac{e^{5} - 1}{25} = \dfrac{4e^{5} + 1}{25}$이다.

[6-2 풀이] $u = (\ln x)^m,\; v' = x^{4}$로 부분적분하면

\[ J_m = \left[\dfrac{x^{5}}{5}(\ln x)^m\right]_1^e - \int_1^e \dfrac{x^{5}}{5} \cdot \dfrac{m(\ln x)^{m-1}}{x}\,dx = \dfrac{e^{5}}{5} - \dfrac{m}{5}J_{m-1} \]

양변에 $5$을 곱해 정리하면 $5J_m + m J_{m-1} = e^{5}$이 성립한다. $m = 2$를 대입하면 $5J_2 = e^{5} - 2J_1$으로부터 $J_2 = \dfrac{17e^{5} - 2}{125}$이다.

[6-3 풀이] 주어진 급수를 $\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \dfrac{5}{1 + 4(k/n)}$로 변형하면

\[ \int_0^1 \dfrac{5}{1 + 4x}\,dx = \left[\dfrac{5}{4}\ln(1 + 4x)\right]_0^1 = \dfrac{5}{4}\ln 5 \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[6-1] $J_0 = \dfrac{e^{5} - 1}{5}$ 및 $J_1 = \dfrac{4e^{5} + 1}{25}$ 산출	6점
2단계	[6-2] 부분적분 점화식 증명 완결 및 $J_2 = \dfrac{17e^{5} - 2}{125}$ 도출	7점
3단계	[6-3] 정적분 변환 식 수립 및 극한값 $\dfrac{5}{4}\ln 5$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

부분적분 점화식 유도 시 위끝 $x = e$와 아래끝 $x = 1$에서 $(\ln 1)^m = 0\; (m \ge 1)$ 조건을 명시해야 감점이 없습니다.

[6-1]$J_0 = \dfrac{e^{5} - 1}{5},\; J_1 = \dfrac{4e^{5} + 1}{25}$ | [6-2] $J_2 = \dfrac{17e^{5} - 2}{125}$ | [6-3] $\dfrac{5}{4}\ln 5$

【문제 1】 원문 요약 — 베이즈 사후확률 역추적과 표본비율 모비율 신뢰구간 (10회) [배점 15점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 조건부확률 (DB: PS_Ch02_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통02-05, 12확통02-06]

[1-1] (7점) 효율 기준치를 충족한 셀이 설비 $A$에서 제조되었을 확률을 기약분수로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 1 · 총 15점

[1-1 풀이] $A$ 공급 사건을 $A$, 통과(관측) 사건을 $E$라 하면 전확률 공식에 의하여

\[ P(E) = \dfrac{3}{10} \times \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{10} \times \dfrac{1}{7} = \dfrac{7}{20} \]

따라서 $P(A \mid E) = \dfrac{P(A \cap E)}{P(E)} = \dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{7}{20}} = \dfrac{5}{7}$이다.

[1-2 풀이] 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \dfrac{1}{125}$이므로 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times 1.96 \times \dfrac{1}{125} = \dfrac{98}{3125}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 전확률 $P(E) = \dfrac{7}{20}$ 및 사후확률 $\dfrac{5}{7}$ 산출	7점
2단계	[1-2] 표준오차 $\dfrac{1}{125}$ 및 신뢰구간 길이 $L = \dfrac{98}{3125}$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

모비율 신뢰구간의 길이는 반폭 $1.96\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$의 2배임을 정확히 반영하십시오.

[1-1]$\dfrac{5}{7}$ | [1-2] $L = \dfrac{98}{3125}$

【문제 2】 원문 요약 — 비선형 분수 점화식의 역수 선형화와 부분분수 급수 (10회) [배점 15점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.10 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]

수열 $\{a_n\}$의 첫째항이 $\dfrac{1}{2}$이며 임의의 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1 + 6a_n}$으로 귀납 정의될 때 다음 물음에 답하시오.

[2-1] (7점) $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 치환하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오.

[2-2] (8점) 유한합 $S_{9} = \displaystyle\sum_{k=1}^{9} a_k a_{k+1}$의 값과 무한급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k a_{k+1}$의 수렴값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 2 · 총 15점

[2-1 풀이] 주어진 점화식의 양변을 $a_n a_{n+1}$로 나누면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 6$이고 $b_1 = 2$이므로 $b_n = 6n - 4$, 즉 $a_n = \dfrac{1}{6n - 4}$이다.

[2-2 풀이] $a_k a_{k+1} = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{b_k} - \dfrac{1}{b_{k+1}}\right)$이므로 $S_{9} = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{56}\right) = \dfrac{9}{112}$이고, 무한급수의 합은 $\lim_{N \to \infty} S_N = \dfrac{1}{12}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 역수 등차수열 변환 및 일반항 $a_n = \dfrac{1}{6n - 4}$ 도출	7점
2단계	[2-2] 부분합 $S_{9} = \dfrac{9}{112}$ 및 급수 합 $\dfrac{1}{12}$ 도출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

부분분수 분해 시 공차 역수 $\dfrac{1}{d}$ 인수를 빠뜨리지 않도록 유의하십시오.

[2-1]$a_n = \dfrac{1}{6n - 4}$ | [2-2] $S_{9} = \dfrac{9}{112}$, 급수 합 $\dfrac{1}{12}$

【문제 3】 원문 요약 — 삼차곡선 접선의 중근 인수분해와 정적분 넓이 (10회) [배점 15점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04]

삼차곡선 $C : y = x^3 - 15x + 10$ 위의 접점 $P(5, 60)$에서의 접선 $l$이 곡선 $C$와 재교차하는 점을 $Q$라 하자.

[3-1] (7점) 접선 $l$의 방정식과 접점 $P$가 아닌 재교점 $Q$의 좌표를 구하시오.

[3-2] (8점) 삼차곡선과 직선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 정적분으로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 3 · 총 15점

[3-1 풀이] $f'(x) = 3x^2 - 15$에서 $f'(5) = 60$이므로 접선 $l$은 $y = 60x - 240$이다. $f(x) - l(x) = (x - 5)^2(x + 10) = 0$으로부터 재교점은 $Q(-10, -840)$이다.

[3-2 풀이] $u = x - 5$ 치환으로 적분하면 $S = \displaystyle\int_{-10}^{5} -(x - 5)^2(x + 10)\,dx = \dfrac{(15)^4}{12} = \dfrac{16875}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 접선 $y = 60x - 240$ 및 재교점 $Q(-10, -840)$ 도출	7점
2단계	[3-2] 정적분 식 전개 및 넓이 $S = \dfrac{16875}{4}$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

근과 계수의 관계(세 실근의 합 = 0)로 재교점의 $x$좌표를 즉시 교차 검증하십시오.

[3-1]$y = 60x - 240$, $Q(-10, -840)$ | [3-2] $S = \dfrac{16875}{4}$

【문제 4】 원문 요약 — 공간 평면의 법선벡터 방정식과 정사영 넓이 추론 (10회) [배점 15점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

세 점 $A(12, 0, 0),\; B(0, 9, 0),\; C(0, 0, 3)$에 의하여 유일하게 결정되는 공간 평면 $\alpha$와 원점 $O(0,0,0)$이 있다.

[4-1] (7점) 법선벡터를 이용하여 평면 $\alpha$의 방정식을 구하고, 원점 $O$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 길이 $h$를 구하시오.

[4-2] (8점) 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$의 값과 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 4 · 총 15점

[4-1 풀이] 절편 방정식 $\dfrac{x}{12} + \dfrac{y}{9} + \dfrac{z}{3} = 1$의 양변에 $36$을 곱하면 평면 $\alpha$의 방정식은 $3x + 4y + 12z - 36 = 0$이고 법선벡터는 $\vec{n} = (3, 4, 12)$이다. $|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = 13$이므로 원점으로부터의 거리 $h = \dfrac{36}{13}$이다.

[4-2 풀이] $xy$평면의 단위법선벡터 $(0, 0, 1)$과의 내적에 의해 $\cos\theta = \dfrac{12}{13} = \dfrac{12}{13}$이다. 삼각형 $ABC$의 $xy$평면 위로의 정사영 $\triangle OAB$의 넓이가 $S' = \dfrac{1}{2} \times 12 \times 9 = 54$이므로 $S = \dfrac{S'}{\cos\theta} = \dfrac{117}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 15점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 평면 $3x + 4y + 12z - 36 = 0$ 및 수선의 길이 $h = \dfrac{36}{13}$ 도출	7점
2단계	[4-2] $\cos\theta = \dfrac{12}{13}$ 및 삼각형 $ABC$의 넓이 $S = \dfrac{117}{2}$ 산출	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

교과서 기반 기하 핵심 성취기준(12기하03-05)인 법선벡터 기반 평면의 방정식과 정사영 넓이 관계를 결합하면 사면체 부피 검산까지 완벽해집니다.

[4-1]$3x + 4y + 12z - 36 = 0$, $h = \dfrac{36}{13}$ | [4-2] $\cos\theta = \dfrac{12}{13}$, $S = \dfrac{117}{2}$

【문제 5】 원문 요약 — 초월함수 곱 미분·변곡점 대칭식과 실근 개수 불연속 (10회) [배점 20점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

양의 감쇠 계수 $6$을 갖는 초월함수 $f(x) = x^2 e^{-6x}$에 대하여 곡선의 개형과 교점 개수 함수 $g(t)$를 단계별로 구하시오.

[5-1] (6점) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[5-2] (7점) 곡선 $y = f(x)$의 두 변곡점의 $x$좌표를 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha + \beta$와 $\alpha\beta$의 값을 구하시오.

[5-3] (7점) 함수 $g(t)$가 불연속이 되는 모든 실수 $t$의 값과 $g(t) = 3$을 만족시키는 $t$의 범위를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 5 · 총 20점

[5-1 풀이] $f'(x) = x(2 - 6x)e^{-6x} = 0$에서 $x = 0$일 때 극솟값 $f(0) = 0$, $x = \dfrac{1}{3}$일 때 극댓값 $f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{9e^2}$을 갖는다.

[5-2 풀이] 이계도함수는 $f''(x) = (36x^2 - 24x + 2)e^{-6x}$이며 판별식 $D/4 = 144 - 72 = 72 \gt 0$이므로 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$에서 부호가 바뀐다. 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = \dfrac{2}{3}$, $\alpha\beta = \dfrac{1}{18}$이다.

[5-3 풀이] $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$, $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$이고 $f(x) \ge 0$이므로 $g(t)$는 $t = 0$과 $t = \dfrac{1}{9e^2}$에서 불연속이며, $g(t) = 3$인 범위는 $0 \lt t \lt \dfrac{1}{9e^2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 도함수 부호 판정 및 극솟값 $0$, 극댓값 $\dfrac{1}{9e^2}$ 도출	6점
2단계	[5-2] 이계도함수 판별식 확인 및 $\alpha+\beta=\dfrac{2}{3},\; \alpha\beta=\dfrac{1}{18}$ 산출	7점
3단계	[5-3] 점근선 $y=0$ 근거 서술 및 불연속점 $0, \dfrac{1}{9e^2}$, $0 \lt t \lt \dfrac{1}{9e^2}$ 도출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

초월함수 개형 문제에서는 $x \to \infty$일 때 $y = 0^+$로 수렴하는 점근선 성질을 반드시 서술해야 만점을 받습니다.

[5-1]극솟값 $0$, 극댓값 $\dfrac{1}{9e^2}$ | [5-2] 합 $\dfrac{2}{3}$, 곱 $\dfrac{1}{18}$ | [5-3] 불연속 $t = 0, \dfrac{1}{9e^2}$, 범위 $0 \lt t \lt \dfrac{1}{9e^2}$

【문제 6】 원문 요약 — 로그 거듭제곱 부분적분 점화식 증명과 정적분 급수 극한 (10회) [배점 20점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-02]

초월 정적분 모멘트 수열 $J_m = \displaystyle\int_1^e x^{5} (\ln x)^m\,dx\; (m \ge 0)$과 조화형 유한합의 극한에 대하여 답하시오.

[6-1] (6점) $J_0$과 $J_1$의 값을 각각 구하시오.

[6-2] (7점) 모든 자연수 $m$에 대하여 $6 J_m + m J_{m-1} = e^{6}$이 성립함을 부분적분법으로 증명하고, $J_2$의 값을 구하시오.

[6-3] (7점) 극한값 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{6}{n + 5k}$를 정적분으로 변환하여 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 6 · 총 20점

[6-1 풀이] $J_0 = \displaystyle\int_1^e x^{5}\,dx = \dfrac{e^{6} - 1}{6}$이다. $u = \ln x,\; v' = x^{5}$로 부분적분하면 $J_1 = \left[\dfrac{x^{6}}{6}\ln x\right]_1^e - \dfrac{1}{6}J_0 = \dfrac{e^{6}}{6} - \dfrac{e^{6} - 1}{36} = \dfrac{5e^{6} + 1}{36}$이다.

[6-2 풀이] $u = (\ln x)^m,\; v' = x^{5}$로 부분적분하면

\[ J_m = \left[\dfrac{x^{6}}{6}(\ln x)^m\right]_1^e - \int_1^e \dfrac{x^{6}}{6} \cdot \dfrac{m(\ln x)^{m-1}}{x}\,dx = \dfrac{e^{6}}{6} - \dfrac{m}{6}J_{m-1} \]

양변에 $6$을 곱해 정리하면 $6J_m + m J_{m-1} = e^{6}$이 성립한다. $m = 2$를 대입하면 $6J_2 = e^{6} - 2J_1$으로부터 $J_2 = \dfrac{26e^{6} - 2}{216}$이다.

[6-3 풀이] 주어진 급수를 $\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \dfrac{6}{1 + 5(k/n)}$로 변형하면

\[ \int_0^1 \dfrac{6}{1 + 5x}\,dx = \left[\dfrac{6}{5}\ln(1 + 5x)\right]_0^1 = \dfrac{6}{5}\ln 6 \]

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[6-1] $J_0 = \dfrac{e^{6} - 1}{6}$ 및 $J_1 = \dfrac{5e^{6} + 1}{36}$ 산출	6점
2단계	[6-2] 부분적분 점화식 증명 완결 및 $J_2 = \dfrac{26e^{6} - 2}{216}$ 도출	7점
3단계	[6-3] 정적분 변환 식 수립 및 극한값 $\dfrac{6}{5}\ln 6$ 산출	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

부분적분 점화식 유도 시 위끝 $x = e$와 아래끝 $x = 1$에서 $(\ln 1)^m = 0\; (m \ge 1)$ 조건을 명시해야 감점이 없습니다.

[6-1]$J_0 = \dfrac{e^{6} - 1}{6},\; J_1 = \dfrac{5e^{6} + 1}{36}$ | [6-2] $J_2 = \dfrac{26e^{6} - 2}{216}$ | [6-3] $\dfrac{6}{5}\ln 6$

🎯 전형 방식: 논술 70% + 학생부 30% (교과 20% + 출결 10%) 📌 수능최저 기준: 국·수(미/기)·영·과탐(1) 중 3개 영역 등급합 6 이내 및 한국사 4등급 이내

희망 지원 모집단위 선택

수능최저학력기준 충족 여부 체크 (국·수(미/기)·영·과탐(1) 중 3개 영역 등급합 6 이내 및 )

문항 1 (15점)

문항 2 (15점)

문항 3 (15점)

문항 4 (15점)

문항 5 (20점)

문항 6 (20점)

합산 환산 총점 (100점 만점) 0.0 / 100점

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모집단위	모집인원	명목경쟁률	실질경쟁률	최초합 평균	70% 충원컷	수능최저 기준	실시간 합격 판정
소프트웨어학부	22명	88.4:1	24.2:1	89.0점	85.5점	3합 6 (과탐1)	판정 대기
AI학과	10명	94.6:1	25.8:1	88.2점	84.8점	3합 6 (과탐1)	판정 대기
전자전기공학부	35명	79.5:1	21.6:1	86.5점	82.5점	3합 6 (과탐1)	판정 대기
차세대반도체학과	8명	82.1:1	22.4:1	86.0점	82.2점	3합 6 (과탐1)	판정 대기
화학신소재공학부	18명	71.2:1	19.5:1	85.5점	82.0점	3합 6 (과탐1)	판정 대기
기계공학부	24명	68.4:1	18.8:1	85.0점	81.5점	3합 6 (과탐1)	판정 대기
융합공학부	15명	64.0:1	17.4:1	84.0점	80.5점	3합 6 (과탐1)	판정 대기
에너지시스템공학부	14명	58.6:1	16.1:1	82.0점	78.5점	3합 6 (과탐1)	판정 대기
수학과	8명	55.2:1	15.2:1	81.5점	77.5점	3합 6 (과탐1)	판정 대기
물리학과·화학과	12명	49.8:1	13.8:1	79.5점	75.5점	3합 6 (과탐1)	판정 대기

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📋 실전 모의고사 1회~10회 회차별 자기주도 성취도 기록표 (인쇄용 체크시트)

회차	실전 응시일	소요 시간	원점수 / 100점
제1회	2026. . .	분	/ 100
제2회	2026. . .	분	/ 100
제3회	2026. . .	분	/ 100
제4회	2026. . .	분	/ 100
제5회	2026. . .	분	/ 100
제6회	2026. . .	분	/ 100
제7회	2026. . .	분	/ 100
제8회	2026. . .	분	/ 100
제9회	2026. . .	분	/ 100
제10회	2026. . .	분	/ 100

RULE 1

원칙 1. 교과서 정의·정리 우선 선언
답안 첫 줄에 사용할 교과서 정리(사잇값 정리, 평균값 정리, 미분가능성 정의, 조건부확률 곱셈정리 등)를 명시하여 1단계 배점(30%)을 확정하십시오.

RULE 2

원칙 2. 대학 미적분학 과정 공식 사용 철저 배제
고교 교육과정을 벗어난 대학 과정 정리나 무근거 근사식 사용은 채점 기준에서 감점 또는 무효 처리되므로 반드시 교과서 성질만으로 논증하십시오.

RULE 3

원칙 3. 동치 변형과 정의역·부호 경계 조건 명시
로그의 밑·진수 조건, 무리식·분수식의 분모 조건, 치환 변수의 새로운 범위(예: $-1 \le t \le 1$)를 빠짐없이 기록하십시오.

RULE 4

원칙 4. 소문항 간 단계적 연계 구조 활용
앞선 소문항 (1)의 결론은 소문항 (2), (3)을 해결하는 핵심 힌트입니다. (1)이 막히더라도 (1)의 결과를 가정하고 (2)의 식을 세우면 부분점수를 획득할 수 있습니다.

RULE 5

원칙 5. 도형·그래프 보조 문자의 명확한 정의
답안지에 새로운 점·각·길이를 도입할 때는 '점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하자'와 같이 기호의 정의를 한 문장으로 선언하십시오.

RULE 6

원칙 6. 실전 시간 배분 및 검산 루틴 엄수
전체 시험 시간(120분) 중 마지막 10분은 부호 오류, 기약분수 약분 여부, 최종 답란 이기 누락을 점검하는 전용 검산 시간으로 확보하십시오.

RULE 7

원칙 7. 깔끔한 단락 구분과 최종 결론 강조
단계별 번호([1단계], [2단계], [결론])를 줄바꿈하여 가독성을 높이고 최종 수식을 명확히 제시하여 채점위원이 즉시 득점 포인트를 확인하게 하십시오.

📘 2027학년도 중앙대학교 창의형 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

• 편찬 및 발행: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술·약술형논술 연구소 | 공식 플랫폼: https://questio.co.kr

• 상호: 퀘스티오(QUESTIO) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449

• 교육과정 준거: 교과서 기반 수학과 교육과정 (Textbook DB V1.0 · JEV-REA-ARGON 7대 무결성 검증 통과)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1-1	접선의 방정식 \(y=2x-2\)를 정확히 구했으면	3점
2단계	교점 \((-2, -6)\)을 올바르게 도출했으면	2점
1-2	곡선의 개형을 파악하여 넓이의 정적분 식을 올바르게 수립했으면	5점
4단계	정적분을 계산하여 \(A_n = \frac{1}{2n^4} + \frac{9}{n^2}\)을 유도했으면	2점
5단계	극한값 \(\lim_{n \to \infty}(n^2 A_n) = 9\)를 완벽하게 구했으면	3점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	음함수 미분하여 \(4x^3+14xy^2+(14x^2y+4y^3)\frac{dy}{dx}=0\)을 구하고 \(\frac{dy}{dx}=-1\) 대입	5점
2단계	인수분해를 통해 \((y-x)(2x-y)(x-2y)=0\) 유도	4점
3단계	각 경우별로 \(a = 5^{1/4}, 1, 2\)를 정확히 산출 (각 2점씩)	6점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
3-1	\(g'(x) = 1 + a e^{-x^2} \gt 0\)임을 유도	3점
2단계	증가 구간 \((-\infty, \infty)\)를 정확히 도출	2점
3-2	역함수 정적분을 치환적분 \(\int_0^1 u g'(u)du\)로 변환	4점
4단계	정적분을 계산하여 \(\frac{1}{2} + \frac{a}{2}(1-e^{-1}) = 1\) 수립	4점
5단계	상수 \(a = \frac{e}{e-1}\)를 완벽히 계산	2점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
4-1	점 \(P_n(n^2, n)\)과 \(Q_n(n^2+n, 0)\)의 일반항 좌표 도출	8점
2단계	삼각형의 넓이 \(S_n = n^2 + n\)을 유도	4점
3단계	급수의 합 \(\sum_{n=1}^{10}(n^2+n) = 440\)을 정확히 계산	3점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
5-1	도함수 \(f'(x)\)를 구하고 연립방정식을 수립했으면	7점
2단계	상수 \(a = \frac{1}{2}, b = \frac{\sqrt{3}}{2}\)을 정확히 구했으면	3점
5-2	삼각함수 합성을 통해 \(f(x) = e^{x+\frac{\pi}{3}}\sin(x+\frac{\pi}{3})\) 유도	4점
4단계	극값 위치 \(x = \frac{5\pi}{12}\)를 구했으면	3점
5단계	경곗값과 비교하여 최댓값 \(\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{3\pi}{4}}\) 판정	3점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
6-1	점 \(A, B, C\)의 좌표를 \(t\)의 함수로 정확히 표현	10점
6-2	삼각형의 넓이 \(S(t)\) 함수식을 올바르게 유도	5점
3단계	정적분 계산값 \(\frac{1}{2}(2e^4 - 4e^3 + 2e^2 + 1)\) 완벽 도출	5점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	근과 계수의 관계를 통해 \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = -\frac{2m}{n}\)을 정확히 유도	4점
2단계	판별식 \(m^2 - 3n \gt 0\)과 \(m + n \le 9\) 조건을 적용하여 \(m, n\)의 순서쌍을 정확히 분류	4점
3단계	최댓값 조건에서 \(m = 4, n = 5, k = 1\)을 완벽하게 계산	2점
2-2	\(x = 0\)에서의 미분계수를 비교하여 \(a = -3\)을 정확히 도출	3점
5단계	증감표 또는 그래프 개형, 극대·극솟값을 바르게 계산하여 개형 확정	7점
6단계	불연속인 실수 \(k = -1, 0, 1, \frac{2\pi}{\sqrt{3}}\)를 빠짐없이 완벽하게 제시	5점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
4-1	\(\vec{\mathrm{PS}} + \vec{\mathrm{RQ}} = \vec{\mathrm{RS}} + \vec{\mathrm{PQ}}\) 벡터 분해식을 도출	2점
2단계	\(\vec{\mathrm{OY}} = \vec{\mathrm{RS}}\)를 만족하는 점 \(\mathrm{Y}\)가 육각형 영역임을 진술	5점
3단계	\(\vec{\mathrm{YZ}} = \vec{\mathrm{PQ}}\)를 만족하는 점 \(\mathrm{Z}\)가 반지름 2인 원 영역임을 규명	3점
4단계	직사각형, 육각형, 부채꼴의 넓이를 합산하여 \(72 + 36\sqrt{6} + 4\pi\) 완벽 도출	5점
4-2	점 \(\mathrm{P}\)가 이루는 원 \(C\)의 반지름 \(\overline{\mathrm{DP}} = 2\sqrt{5}\)를 정확히 계산	4점
6단계	\(\overline{\mathrm{OD}} = 4\sqrt{5}\) 및 점 \(\mathrm{D}\)의 좌표를 정확히 유도	3점
7단계	\(\overline{\mathrm{DH}} = \frac{4\sqrt{5}}{3}\) 및 \(\overline{\mathrm{ID}} = \sqrt{10}\)을 통해 \(\cos\angle\mathrm{ADI} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) 도출	3점
8단계	중심각 \(\angle\mathrm{ADB} = \frac{\pi}{2}\)를 통해 호 \(\mathrm{AB}\)의 길이 \(\sqrt{5}\pi\) 완벽 도출	5점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문제 1	사건 \(A\)의 확률 \(P(A) = \frac{1}{6}\)을 정확히 계산	2점
2단계	사건 \(C, D\)의 조건부확률 \(P(C\|A), P(D\|A), P(C\|A^c), P(D\|A^c)\)를 정확히 계산	8점
3단계	사건 \(C, D\)의 확률 \(P(C) = \frac{5}{9}, P(D) = \frac{19}{45}\)를 정확히 계산	8점
4단계	여사건 또는 직접 계산을 통해 최종 확률 \(\frac{2}{9}\)를 완벽히 도출	2점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	\(S_{2m+2} = -S_{2m+1} - 4\) 또는 \(S_{2m+1} = 2S_{2m} - 3\) 점화식을 정확히 유도	2점
2단계	\(S_{2m+2} = -2S_{2m} - 1\)을 유도하여 \(S_8\)과 \(S_2\)의 관계식을 정확히 도출	5점
3단계	모든 계산을 정확히 수행하여 첫째항 \(a_1 = \frac{499}{2}\)를 완벽히 도출	3점
2-2	각 구간에서 함수의 형태식을 바르게 도출	5점
5단계	적분식을 정리하여 \((*)=4\int_0^1 x^2\cos\pi x\,dx + 15\)를 바르게 유도	5점
6단계	부분적분법을 정확히 적용하여 정답 \(-\frac{8}{\pi^2} + 15\)를 완벽히 도출	5점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문제 1	\(k=4, 5, 6, 7\)에 대한 확률을 각각 정확히 계산 (+8점, 각 +2점)	8점
2단계	\(k\)에 따른 원기둥의 높이 및 부피 식을 바르게 유도 (+4점, 각 +1점)	4점
3단계	각 경우의 부피 \(8\pi, 24\pi, 36\pi, 32\pi\)를 정확히 계산 (+4점, 각 +1점)	4점
4단계	원기둥 부피의 기댓값 \(24\pi\)를 완벽하게 도출	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
2-1	로그함수 밑 변환 및 지수 정리를 통해 \(k^{\frac{k\ln 2}{\ln k}} = 2^k, \; 2^{\frac{2\ln k}{\ln 2}} = k^2\)을 유도	6점
2단계	등비수열 및 거듭제곱의 합 공식을 적용하여 정답 \(736\)을 완벽히 계산	4점
2-2	함수식 \(f(t) = 1 + (\tan t)\left\{\tan\left(t + \frac{\pi}{6}\right)\right\}\)를 정확히 수립	3점
4단계	급수의 극한을 정적분 \(\frac{6}{\pi}\int_0^{\pi/6} f(x)\,dx\) 형태로 정확히 변환	4점
5단계	탄젠트 덧셈정리를 적용하여 피적분함수를 정리	4점
6단계	정적분을 계산하여 최종 정답 \(\frac{6\sqrt{3}}{\pi}\ln\frac{3}{2}\)를 완벽히 도출	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
문제 1	\(n\)라운드 전후의 순열 조건을 이해하고 \(M_n\)의 규칙성을 파악 (+6점)	6점
2단계	\(M_n = 3 \times 2^{n-1} \; (n=1,\dots,6)\)의 각 경우의 수를 정확히 계산 (+12점, 각 +2점)	12점
3단계	등비수열의 합 공식을 적용하여 최종 정답 \(189\)를 완벽히 도출	2점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 독립시행 경로 확률 \(1/8\) 명시 및 8가지 전이 경로 전수 조사로 \(P(a_4=9) = \dfrac{3}{8}\) 도출	7점
2단계	[1-2] 교집합 경로 \((E,O,E)\) 판별 및 조건부확률 \(P(A \mid B) = \dfrac{1}{3}\) 산출	8점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] 진수 조건 검토 및 이차방정식 \((x-1)^2=0\)을 유도한 경우	4점
2단계	[2-1] 실근 \(x=1\) 및 최종 합을 도출한 경우	4점
3단계	[2-2] \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\) 적용 및 \(t=\cos\theta\) 치환 범위를 설정한 경우	3점
4단계	[2-2] 완전제곱식 전개 및 최댓값과 해당 \(\theta\)값을 정확히 구한 경우	2점
5단계	[2-2] 경계값 검토를 통해 최솟값과 해당 \(\theta\)값을 정확히 구한 경우	2점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 이항정리 일반항을 수립하고 \(x^2\)과 \(x\)의 계수식을 정확히 도출한 경우	3점
2단계	[3-1] 비례식을 풀어 자연수 \(n=7\)을 구한 경우	4점
3단계	[3-2] \(X \sim B(10, 1/3)\)임을 명시하고 평균 \(10/3\)과 분산 \(20/9\)을 구한 경우	4점
4단계	[3-2] \(E(X^2) = V(X) + \{E(X)\}^2\) 관계식을 적용하여 \(40/3\)을 완벽히 계산한 경우	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 이계도함수로 변곡점 \(P(1, -6)\)을 구한 경우	3점
2단계	[4-1] 미분계수 \(f'(1)=-12\)로 접선 방정식 \(y=-12x+6\)을 유도한 경우	4점
3단계	[4-2] 매개변수 미분 공식으로 접선 기울기 \(t - 1/t\) 및 점 \((0, 2)\)를 구한 경우	4점
4단계	[4-2] 교점 방정식의 증감과 사잇값 정리를 서술하여 교점 수를 정확히 판정한 경우	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 넓이 적분식 설정 및 부분적분 \(u, v'\)을 바르게 지정한 경우	3점
2단계	[5-1] 적분 계산을 전개하여 부정적분 \(-(x+1)e^{-x}\)을 유도한 경우	4점
3단계	[5-1] 경계값 대입으로 최종 넓이 \(1 - 3e^{-2}\)를 도출한 경우	3점
4단계	[5-2] 원형 단면 입체도형의 부피 공식 \(V = \pi \int_0^2 x^2 e^{-2x}dx\)를 수립한 경우	3점
5단계	[5-2] 2회 연속 부분적분을 오류 없이 수행하여 부정적분을 구한 경우	4점
6단계	[5-2] 정적분 계산 및 최종 부피 \(\frac{\pi}{4}(1 - 13e^{-4})\)를 완벽히 도출한 경우	3점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[6-1] 정적분 상수 \(k = \int_0^{1/2} f(t)\,dt\) 치환을 올바르게 설정한 경우	3점
2단계	[6-1] 삼각함수 적분을 수행하여 \(\int_0^{1/2} \sin(\pi x)\,dx = 1/\pi\)를 계산한 경우	4점
3단계	[6-1] 최종 함수식 \(f(x) = \sin(\pi x) + 2/\pi\)를 완성한 경우	3점
4단계	[6-2] \(g'(x) = (x-1)e^x\)를 구하고 증감표로 \(x=1\) 극솟값을 판정한 경우	3점
5단계	[6-2] 부분적분을 통해 극솟값 \(g(1) = 2 - e\)를 계산한 경우	4점
6단계	[6-2] 미분계수 정의를 적용하여 극한값 \(g'(0) = -1\)을 도출한 경우	3점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 앞면 횟수 \(k\)에 따른 좌표 관계식 \(S_5 = 3k - 5\)를 세운 경우	3점
2단계	[1-1] \(S_5=4\)로부터 \(k=3\)을 정확히 도출한 경우	2점
3단계	[1-1] 독립시행 공식으로 확률 \(5/16\)을 계산한 경우	3점
4단계	[1-2] 앞면 횟수 \(X \sim B(n, 1/2)\)의 평균 \(n/2\)과 분산 \(n/4\)를 명시한 경우	2점
5단계	[1-2] \(S_n = 3X - n\) 일차결합식을 세우고 기댓값 \(n/2\)을 구한 경우	3점
6단계	[1-2] 분산 공식 \(V(aX+b)=a^2V(X)\)를 적용하여 \(9n/4\)를 도출한 경우	2점

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평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1] \(t = 2^x \gt 0\) 치환 및 이차함수 완전제곱식을 변형한 경우	3점
2단계	[2-1] 축 \(t=2\)의 정의역 포함 여부 검토 및 최솟값 조건을 세운 경우	2점
3단계	[2-1] 부등식을 풀어 최솟값 \(k=4\)를 도출한 경우	2점
4단계	[2-2] 등차수열의 부분합 \(S_n = 2n^2 + n\)을 올바르게 구한 경우	4점
5단계	[2-2] 부등식을 만족하는 자연수 \(n=10\)을 정확히 도출한 경우	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 각 상자 선택 확률과 조건부확률 \(P(W\|A)=3/5, P(W\|B)=1/3\)을 명시한 경우	3점
2단계	[3-1] 전확률 공식을 적용하여 전체 확률 \(7/15\)를 계산한 경우	4점
3단계	[3-2] 베이즈 정리 정의식 \(P(A\|W) = P(A \cap W)/P(W)\)를 수립한 경우	4점
4단계	[3-2] 분자/분모 대입을 통해 사후확률 \(9/14\)를 정확히 도출한 경우	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 변곡점 \((0,0)\)과 접선 \(y=-3x\)를 구한 경우	3점
2단계	[4-1] 접점 방정식으로부터 \(k \ne 0\) 조건을 도출한 경우	4점
3단계	[4-2] \(g(1)=1 \implies h(1)=1\) 및 역함수 미분으로 \(h'(1)=1/2\)을 구한 경우	4점
4단계	[4-2] 접선 방정식 \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\)을 완벽히 유도한 경우	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] \(x=\sin\theta\) 치환 및 \(dx=\cos\theta d\theta\), 구간 변환을 설정한 경우	3점
2단계	[5-1] 반각공식 \(\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}\)을 적용하여 적분한 경우	4점
3단계	[5-1] 최종 정적분값 \(\pi/4\)를 도출한 경우	3점
4단계	[5-2] 단면적 함수 \(A(x) = 1 - x^2\)을 정확히 수립한 경우	5점
5단계	[5-2] 정적분을 수행하여 부피 \(2/3\)를 완벽히 계산한 경우	5점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 사인법칙으로 외접원 반지름 \(R=2\)를 구한 경우	3점
2단계	[1-1] 이등변삼각형 조건 및 코사인법칙 방정식을 수립한 경우	2점
3단계	[1-1] 변의 길이 \(2\sqrt{2+\sqrt{2}}\)를 정확히 계산한 경우	2점
4단계	[1-2] \(M=3\)인 표본공간의 수 10을 구한 경우	4점
5단계	[1-2] 합이 짝수가 되는 사건의 수 6과 조건부확률 \(3/5\)를 도출한 경우	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 양 끝값 \(f(0)=1, f(2)=3\)을 계산한 경우	3점
2단계	[3-1] 평균변화율 1을 정확히 구한 경우	4점
3단계	[3-2] 평균값 정리의 전제조건(연속 및 미분가능)을 명시한 경우	2점
4단계	[3-2] 미분계수 방정식 \(3c^2-3=1\)을 푼 경우	3점
5단계	[3-2] 구간 \((0, 2)\)에 속하는 \(c = 2\sqrt{3}/3\)을 정확히 확정한 경우	3점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[4-1] 몫의 미분법으로 \(f'(x)\)를 구하고 \(x=e\)에서 극댓값 \(1/e\)을 도출한 경우	3점
2단계	[4-1] 최댓값 성질 \(f(x) \le 1/e\)로부터 \(e^x \ge x^e\)를 엄밀히 유도한 경우	4점
3단계	[4-2] 원점 통과 조건으로 접점 \(t = \sqrt{e}\)를 구한 경우	4점
4단계	[4-2] 접선의 방정식 \(y = \frac{1}{2e}x\)를 완성한 경우	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[5-1] 매개변수 도함수 \(x'(t), y'(t)\)를 구한 경우	3점
2단계	[5-1] 속력 식 \(\sqrt{2}e^t\)를 유도한 경우	4점
3단계	[5-1] 호의 길이 \(\sqrt{2}(e^\pi - 1)\)을 정확히 계산한 경우	3점
4단계	[5-2] 부분적분을 2회 적용하여 부정적분 \((t-1)^2 e^t\)를 유도한 경우	5점
5단계	[5-2] 구간 대입으로 \(F(x) = (x-1)^2 e^x - 1\)을 완성한 경우	5점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[6-1] 음함수 미분으로 도함수 \(y' = -x/(4y)\)를 구한 경우	3점
2단계	[6-1] 기울기 1 조건으로 두 접점의 좌표를 도출한 경우	4점
3단계	[6-1] 접선 방정식 \(y = x \pm \sqrt{5}\)를 구한 경우	3점
4단계	[6-2] 최단거리를 이루는 평행접선을 선별한 경우	4점
5단계	[6-2] 점과 직선 사이의 거리 공식 전개 및 분자 정리를 수행한 경우	3점
6단계	[6-2] 유리화를 거쳐 최종 최단거리 \(\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}\)을 도출한 경우	3점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[3-1] 확률 총합 공식으로 \(c = 1/10\)을 구한 경우	3점
2단계	[3-1] 기댓값 \(E(X) = 3\)을 계산한 경우	4점
3단계	[3-2] \(E(X^2) = 10\) 및 분산 \(V(X) = 1\)을 구한 경우	4점
4단계	[3-2] \(V(2X-3) = 4\)를 정확히 도출한 경우	4점