QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 108쪽 단권화
2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본
2027학년도 한국기술교육대학교
출제 범위: 교과서 기반 교육과정 대수 · 미적분Ⅰ 핵심 범위
📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 108쪽 완결]
• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭
• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (16p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (110문항)
• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (35p): 출제 타당성 보고서(4p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)
• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (51p): 100문항 전수 아코디언 정밀 해설
• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터
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발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: QUESTIO-2027-UNIFIED-MASTER
PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS
2022~2026학년도 한국기술교육대학교
최근 5개년 기출 핵심 110문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.
📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록
📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공
✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 실수 지수의 연산과 지수법칙 ⏱️ 권장 시간: 12분
【기출 문제 1】 2027학년도 공식 모의논술 (문항 1) [20점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04] \[ \frac{\left(3 \times 3^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}}}{3^{\sqrt{3}-1}} \]
의 값을 구하시오.
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]
【유사 연습】 방정식 \(\log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 진수 조건에서 \(x \gt 3\)이고 \(\log_a M + \log_a N = \log_a MN\)을 적용한다. [2줄: 핵심계산] \((x-1)(x-3)=8 \implies x^2-4x-5=0 \implies (x-5)(x+1)=0\). [3줄: 최종결론] \(x \gt 3\)이므로 \(x = 5\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2027 문항 1 · 총 20점
[1줄: 공식선언 (30%)] 지수법칙 \((ab)^x = a^x b^x\), \((a^x)^y = a^{xy}\), \(\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 분자를 정리하면 \(\left(3^1 \times 3^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{3}} \times 3^3 = 3^{\sqrt{3}+3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 주어진 식은 \(\dfrac{3^{\sqrt{3}+3}}{3^{\sqrt{3}-1}} = 3^{(\sqrt{3}+3)-(\sqrt{3}-1)} = 3^4 = 81\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (6점) 지수법칙 \((ab)^x = a^x b^x\), \((a^x)^y = a^{xy}\), \(\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}\)를 적용한다. 6점 2단계: 핵심계산 (8점) 분자를 정리하면 \(\left(3^1 \times 3^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{3}} \times 3^3 = 3^{\sqrt{3}+3}\)이다. 8점 3단계: 최종결론 (6점) 따라서 주어진 식은 \(\dfrac{3^{\sqrt{3}+3}}{3^{\sqrt{3}-1}} = 3^{(\sqrt{3}+3)-(\sqrt{3}-1)} = 3^4 = 81\)이다. 6점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
무리수 지수에서도 밑이 양수(\(3 \gt 0\))이면 지수법칙이 그대로 성립함을 첫 줄에 밝히고, 나눗셈에서 분모의 지수 \((\sqrt{3}-1)\) 전체에 괄호를 씌워 부호 실수(\(-1 \to +1\))를 방어하십시오.
🎯 [최종 정답] \(81\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 거듭제곱 비례 상수 치환과 밑의 변환 공식 ⏱️ 권장 시간: 12분
【기출 문제 2】 2027학년도 공식 모의논술 (문항 2) [20점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07] \(1\)이 아닌 세 양수 \(a,\ b,\ c\)에 대하여 \(a^2 = b^3 = c^4\)일 때, \(\log_a b + \log_b c + \log_c a\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]
【유사 연습】 함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)의 합 \(M+m\)을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 도함수 \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)\)의 부호 변화를 조사한다. [2줄: 핵심계산] \(x=1\)에서 극댓값 \(M=f(1)=6\), \(x=3\)에서 극솟값 \(m=f(3)=2\)를 갖는다. [3줄: 최종결론] 따라서 \(M+m = 8\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2027 문항 2 · 총 20점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(a^2 = b^3 = c^4 = k\;(k \gt 0,\; k \ne 1)\)로 놓으면 \(a = k^{\frac{1}{2}},\; b = k^{\frac{1}{3}},\; c = k^{\frac{1}{4}}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 로그의 성질 \(\log_{k^m} k^n = \dfrac{n}{m}\)에 의하여 \(\log_a b = \dfrac{2}{3},\; \log_b c = \dfrac{3}{4},\; \log_c a = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 세 값을 통분하여 더하면 \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} + 2 = \dfrac{8 + 9 + 24}{12} = \dfrac{41}{12}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (6점) \(a^2 = b^3 = c^4 = k\;(k \gt 0,\; k \ne 1)\)로 놓으면 \(a = k^{\frac{1}{2}},\; b = k^{\frac{1}{3}},\; c = k^{\frac{1}{4}}\)이다. 6점 2단계: 핵심계산 (8점) 로그의 성질 \(\log_{k^m} k^n = \dfrac{n}{m}\)에 의하여 \(\log_a b = \dfrac{2}{3},\; \log_b c = \dfrac{3}{4},\; \log_c a = 2\)이다. 8점 3단계: 최종결론 (6점) 세 값을 통분하여 더하면 \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} + 2 = \dfrac{8 + 9 + 24}{12} = \dfrac{41}{12}\)이다. 6점
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세 거듭제곱이 같을 때 비례 상수 \(k\;(k \gt 0, k \ne 1)\)로 두고 각 밑과 진수를 \(k\)의 유리수 지수로 통일하면 밑 변환 계산 실수를 원천 차단할 수 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(\dfrac{41}{12}\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 치환형 삼각방정식의 실근 개수와 이차함수 근의 분리 ⏱️ 권장 시간: 15분
【기출 문제 3】 2027학년도 공식 모의논술 (문항 3) [20점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] \(0 \le x \le 3\pi\)에서 방정식 \(\sin^2 x + 2\cos x + 2 + k = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 모든 정수 \(k\)의 값의 합을 구하시오.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
【유사 연습】 삼각형 \(ABC\)에서 \(\overline{AB}=5, \overline{AC}=8, \angle A = \frac{\pi}{3}\)일 때, 변 \(\overline{BC}\)의 길이를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 코사인법칙 \(\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cos A\)를 적용한다. [2줄: 핵심계산] \(\overline{BC}^2 = 25 + 64 - 2\cdot 5\cdot 8\cdot\frac{1}{2} = 49\). [3줄: 최종결론] \(\overline{BC} \gt 0\)이므로 \(\overline{BC} = 7\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2027 문항 3 · 총 20점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\)를 대입하고 \(\cos x = t\;(-1 \le t \le 1)\)로 치환하면 \(g(t) = t^2 - 2t - 3 - k = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(0 \le x \le 3\pi\)에서 \(\cos x = t\)의 실근 개수는 \(t=1\)일 때 \(2\)개, \(t=-1\)일 때 \(2\)개, \(-1 \lt t \lt 1\)일 때 \(3\)개이므로, 대칭축이 \(t=1\)인 \(g(t)=0\)이 열린구간 \((-1, 1)\)에서 오직 한 실근을 가져야 한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(g(-1) = -k \gt 0\)이고 \(g(1) = -4 - k \lt 0\)에서 \(-4 \lt k \lt 0\)이므로 정수 \(k = -3, -2, -1\)의 합은 \(-6\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (6점) \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\)를 대입하고 \(\cos x = t\;(-1 \le t \le 1)\)로 치환하면 \(g(t) = t^2 - 2t - 3 - k = 0\)이다. 6점 2단계: 핵심계산 (8점) \(0 \le x \le 3\pi\)에서 \(\cos x = t\)의 실근 개수는 \(t=1\)일 때 \(2\)개, \(t=-1\)일 때 \(2\)개, \(-1 \lt t \lt 1\)일 때 \(3\)개이므로, 대칭축이 \(t=1\)인 \(g(t)=0\)이 열린구간 \((-1, 1)\)에서 오직 한 실근을 가져야 한다. 8점 3단계: 최종결론 (6점) \(g(-1) = -k \gt 0\)이고 \(g(1) = -4 - k \lt 0\)에서 \(-4 \lt k \lt 0\)이므로 정수 \(k = -3, -2, -1\)의 합은 \(-6\)이다. 6점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
구간 \([0, 3\pi]\)는 \(1.5\)주기이므로 \(t = \pm 1\) 경계값에서 실근이 \(2\)개씩 생김을 반드시 확인하여 등호 조건(\(g(\pm 1)=0\))을 제외해야 만점을 받습니다.
🎯 [최종 정답] \(-6\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 함수의 극한과 다항함수의 차수·미정계수 결정 ⏱️ 권장 시간: 14분
【기출 문제 4】 2027학년도 공식 모의논술 (문항 4) [20점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 다항함수 \(f(x)\)가
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x) + x^2}{x + 1} = 2, \quad \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - 1}{x - 3} = a \]
를 만족시킬 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2027 문항 4 · 총 20점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)+x^2}{x+1} = 2\)에서 \(f(x)+x^2 = 2x + b\)이므로 \(f(x) = -x^2 + 2x + b\) (\(b\)는 상수)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x \to 3\)일 때 분모 \(x-3 \to 0\)이고 극한값 \(a\)가 존재하므로 \(f(3) - 1 = (-9 + 6 + b) - 1 = 0 \implies b = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a = \lim_{x \to 3}\dfrac{-x^2+2x+3}{x-3} = \lim_{x \to 3}\dfrac{-(x-3)(x+1)}{x-3} = -4\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (6점) \(\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)+x^2}{x+1} = 2\)에서 \(f(x)+x^2 = 2x + b\)이므로 \(f(x) = -x^2 + 2x + b\) (\(b\)는 상수)이다. 6점 2단계: 핵심계산 (8점) \(x \to 3\)일 때 분모 \(x-3 \to 0\)이고 극한값 \(a\)가 존재하므로 \(f(3) - 1 = (-9 + 6 + b) - 1 = 0 \implies b = 4\)이다. 8점 3단계: 최종결론 (6점) 따라서 \(a = \lim_{x \to 3}\dfrac{-x^2+2x+3}{x-3} = \lim_{x \to 3}\dfrac{-(x-3)(x+1)}{x-3} = -4\)이다. 6점
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대학 과정 미분 공식을 쓰지 말고, 반드시 \(f(3)=1\)로부터 분자 \(-(x-3)(x+1)\)을 인수분해하여 약분하는 교과서 정석 과정을 서술하십시오.
🎯 [최종 정답] \(-4\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 도함수의 성질과 삼차함수의 식 결정 ⏱️ 권장 시간: 15분
【기출 문제 5】 2027학년도 공식 모의논술 (문항 5) [20점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(4)\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)는 \(0\)이 아닌 실수이다.)
(가) \(\{x \mid f(x) = 0\} = \{-a,\ a,\ 2a\}\)
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2027 문항 5 · 총 20점
[1줄: 공식선언 (30%)] 조건 \(f(-a)=f(a)=f(2a)=0\)과 최고차항 계수 \(1\)에 의하여 \(f(x) = (x+a)(x-a)(x-2a) = x^3 - 2ax^2 - a^2 x + 2a^3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 미분하면 \(f'(x) = 3x^2 - 4ax - a^2\)이고 \(f'(1) = 3 - 4a - a^2 = -2 \implies (a+5)(a-1)=0\)에서 \(a \gt 0\)이므로 \(a = 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2\)에 \(x = 4\)를 대입하면 \(f(4) = 64 - 32 - 4 + 2 = 30\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (6점) 조건 \(f(-a)=f(a)=f(2a)=0\)과 최고차항 계수 \(1\)에 의하여 \(f(x) = (x+a)(x-a)(x-2a) = x^3 - 2ax^2 - a^2 x + 2a^3\)이다. 6점 2단계: 핵심계산 (8점) 미분하면 \(f'(x) = 3x^2 - 4ax - a^2\)이고 \(f'(1) = 3 - 4a - a^2 = -2 \implies (a+5)(a-1)=0\)에서 \(a \gt 0\)이므로 \(a = 1\)이다. 8점 3단계: 최종결론 (6점) \(f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2\)에 \(x = 4\)를 대입하면 \(f(4) = 64 - 32 - 4 + 2 = 30\)이다. 6점
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\(a\)에 대한 이차방정식에서 \(a = -5, 1\) 두 근을 구한 뒤 단서 조건 \((a \gt 0)\)을 명시하여 \(a = 1\)만 채택하는 논리를 빠뜨리지 마십시오.
🎯 [최종 정답] \(30\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 구간별 정의된 절댓값 함수의 실수 전체 연속성 ⏱️ 권장 시간: 15분
【기출 문제 6】 2027학년도 공식 모의논술 (문항 6) [20점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 함수
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3 & (x \le a) \\[4pt] 2x - 6 & (x \gt a) \end{cases} \]
에 대하여 함수 \(|f(x)|\)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 \(a\)의 값의 합을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2027 문항 6 · 총 20점
[1줄: 공식선언 (30%)] 함수 \(|f(x)|\)가 실수 전체에서 연속이려면 경계 \(x=a\)에서 좌·우극한과 함숫값이 같아야 하므로 \(|a^2 - 4a + 3| = |2a - 6|\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] (ⅰ) \(a^2 - 4a + 3 = 2a - 6 \implies (a-3)^2 = 0\)에서 \(a = 3\); (ⅱ) \(a^2 - 4a + 3 = -(2a - 6) \implies (a+1)(a-3)=0\)에서 \(a = -1, 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 중복되는 근 \(a = 3\)을 한 번만 세면 조건을 만족시키는 서로 다른 상수 \(a\)는 \(-1, 3\)이므로 합은 \((-1) + 3 = 2\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (6점) 함수 \(|f(x)|\)가 실수 전체에서 연속이려면 경계 \(x=a\)에서 좌·우극한과 함숫값이 같아야 하므로 \(|a^2 - 4a + 3| = |2a - 6|\)이다. 6점 2단계: 핵심계산 (8점) (ⅰ) \(a^2 - 4a + 3 = 2a - 6 \implies (a-3)^2 = 0\)에서 \(a = 3\); (ⅱ) \(a^2 - 4a + 3 = -(2a - 6) \implies (a+1)(a-3)=0\)에서 \(a = -1, 3\)이다. 8점 3단계: 최종결론 (6점) 중복되는 근 \(a = 3\)을 한 번만 세면 조건을 만족시키는 서로 다른 상수 \(a\)는 \(-1, 3\)이므로 합은 \((-1) + 3 = 2\)이다. 6점
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두 경우 (ⅰ), (ⅱ)에서 공통으로 등장하는 \(a = 3\)을 중복 합산(\(3 + (-1) + 3 = 5\))하지 않도록 집합의 원소로 정리한 뒤 합을 구하십시오.
🎯 [최종 정답] \(2\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 우·좌극한 관계식을 통한 삼차함수 추론과 닫힌구간 최대·최소 ⏱️ 권장 시간: 18분
【기출 문제 7】 2027학년도 공식 모의논술 (문항 7) [20점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를
\[ g(x) = \begin{cases} f(x) - 2 & (x \le -1) \\[6pt] \dfrac{(x+1)^2}{f(x)+2} & (x \gt -1) \end{cases} \]
라 하자. \(\displaystyle \lim_{x \to -1^+} g(x) = \lim_{x \to -1^-} g(x) + 2\)를 만족시킬 때, 닫힌구간 \(\left[-2,\ -\dfrac{3}{4}\right]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (단, \(f(-1) \neq 0\))
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.36 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2027 문항 7 · 총 20점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\lim_{x\to -1^-} g(x) = f(-1)-2\)이므로 조건식에서 \(\lim_{x\to -1^+}\dfrac{(x+1)^2}{f(x)+2} = f(-1) \ne 0\)이고, 분모가 \((x+1)^2\)을 인수로 가져야 하므로 \(f(-1) = -2\) 및 \(f(x)+2 = (x+1)^2(x-a)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\lim_{x\to -1^+}\dfrac{1}{x-a} = \dfrac{1}{-1-a} = -2\)에서 \(a = -\dfrac{1}{2}\)이므로 \(f(x) = (x+1)^2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)-2\)이고, \(f'(x) = (x+1)\left(3x+2\right) = 0\)에서 극점은 \(x = -1, -\dfrac{2}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 닫힌구간 \(\left[-2, -\dfrac{3}{4}\right]\)에서 \(x=-1\)일 때 극댓값(최댓값) \(f(-1) = -2\), \(x=-2\)일 때 최솟값 \(f(-2) = 1\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)-2 = -\dfrac{7}{2}\)이므로 합은 \(-2 + \left(-\dfrac{7}{2}\right) = -\dfrac{11}{2}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (6점) \(\lim_{x\to -1^-} g(x) = f(-1)-2\)이므로 조건식에서 \(\lim_{x\to -1^+}\dfrac{(x+1)^2}{f(x)+2} = f(-1) \ne 0\)이고, 분모가 \((x+1)^2\)을 인수로 가져야 하므로 \(f(-1) = -2\) 및 \(f(x)+2 = (x+1)^2(x-a)\)이다. 6점 2단계: 핵심계산 (8점) \(\lim_{x\to -1^+}\dfrac{1}{x-a} = \dfrac{1}{-1-a} = -2\)에서 \(a = -\dfrac{1}{2}\)이므로 \(f(x) = (x+1)^2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)-2\)이고, \(f'(x) = (x+1)\left(3x+2\right) = 0\)에서 극점은 \(x = -1, -\dfrac{2}{3}\)이다. 8점 3단계: 최종결론 (6점) 닫힌구간 \(\left[-2, -\dfrac{3}{4}\right]\)에서 \(x=-1\)일 때 극댓값(최댓값) \(f(-1) = -2\), \(x=-2\)일 때 최솟값 \(f(-2) = 1\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)-2 = -\dfrac{7}{2}\)이므로 합은 \(-2 + \left(-\dfrac{7}{2}\right) = -\dfrac{11}{2}\)이다. 6점
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분자가 \((x+1)^2\)으로 \(0\)에 수렴하고 극한값이 \(0\)이 아닌 유한값 \(f(-1)\)이 되려면 분모 \(f(x)+2\) 역시 정확히 \((x+1)^2\)을 인수로 가져야 함을 명확히 서술하십시오.
🎯 [최종 정답] \(-\dfrac{11}{2}\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 기함수 대칭성과 정적분으로 정의된 다항함수의 미분 ⏱️ 권장 시간: 18분
【기출 문제 8】 2027학년도 공식 모의논술 (문항 8) [20점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03] 다항함수 \(f(x)\)와 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(g(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(f(x) + \displaystyle\int_0^x (x-t)f'(t)\,dt = g(x)\)
\(f(1) + g(1)\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2027 문항 8 · 총 20점
[1줄: 공식선언 (30%)] 조건 (나) \(g(-x) = -g(x)\)와 최고차항 계수 \(1\)에 의하여 \(g(x) = x^3 + ax\)이며, 조건 (가)에 \(x=0\)을 대입하면 \(f(0) = g(0) = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 조건 (가) \(f(x) + x\int_0^x f'(t)\,dt - \int_0^x t f'(t)\,dt = x^3 + ax\)의 양변을 미분하면 \(f'(x) + f(x) = 3x^2 + a\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(0)=0\)인 이차식 \(f(x) = px^2 + qx\)를 대입해 계수를 비교하면 \(p=3,\; 2p+q=0 \implies q=-6,\; a=q=-6\)이므로 \(f(1)+g(1) = (3-6) + (1-6) = -8\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (6점) 조건 (나) \(g(-x) = -g(x)\)와 최고차항 계수 \(1\)에 의하여 \(g(x) = x^3 + ax\)이며, 조건 (가)에 \(x=0\)을 대입하면 \(f(0) = g(0) = 0\)이다. 6점 2단계: 핵심계산 (8점) 조건 (가) \(f(x) + x\int_0^x f'(t)\,dt - \int_0^x t f'(t)\,dt = x^3 + ax\)의 양변을 미분하면 \(f'(x) + f(x) = 3x^2 + a\)이다. 8점 3단계: 최종결론 (6점) \(f(0)=0\)인 이차식 \(f(x) = px^2 + qx\)를 대입해 계수를 비교하면 \(p=3,\; 2p+q=0 \implies q=-6,\; a=q=-6\)이므로 \(f(1)+g(1) = (3-6) + (1-6) = -8\)이다. 6점
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\(\int_0^x (x-t)f'(t)\,dt\)를 미분하기 전에 반드시 피적분함수의 변수 \(x\)를 적분 기호 밖으로 분리(\(x\int_0^x f'(t)\,dt - \int_0^x tf'(t)\,dt\))하고 초기조건 \(f(0)=0\)을 먼저 확보하십시오.
🎯 [최종 정답] \(-8\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 로그치환 절댓값 이차부등식의 항상 성립 조건과 수열의 합 ⏱️ 권장 시간: 20분
【기출 문제 9】 2027학년도 공식 모의논술 (문항 9) [20점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06, 12대수03-07] \(1\)보다 큰 자연수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를
\[ f(x) = \left| (\log_a x)^2 - 5\log_a x + 5 \right| \]
라 하자. \(2 \le x \le 4\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) \ge 1\)이 성립하도록 하는 모든 자연수 \(a\)의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열한 수열을 \(\{a_n\}\)이라 할 때,
\[ \sum_{n=1}^5 a_n \]
의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06, 12대수03-07]
【유사 연습】 첫째항이 \(3\)이고 공차가 \(2\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+1}}\)의 값을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] \(a_n = 2n+1\)이며 부분분수 항등식 \(\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)\)을 적용한다. [2줄: 핵심계산] 망원급수 소거에 의해 \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{23}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{20}{69}\). [3줄: 최종결론] 구하는 값은 \(\frac{10}{69}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2027 문항 9 · 총 20점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\log_a x = t\)로 치환하면 \(a \ge 2\)이고 \(2 \le x \le 4\)이므로 \(\log_a 2 \le t \le 2\log_a 2\)에서 부등식 \(|t^2 - 5t + 5| \ge 1 \iff (t \le 1 \text{ 또는 } 2 \le t \le 3 \text{ 또는 } t \ge 4)\)가 항상 성립해야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 \([\log_a 2, 2\log_a 2]\)가 허용 구간에 포함될 조건은 ① \(2\log_a 2 \le 1 \implies a \ge 4\), ② \(2 \le \log_a 2 \le 2\log_a 2 \le 3\) (자연수 \(a\) 없음), ③ \(\log_a 2 \ge 4\) (자연수 \(a\) 없음)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 조건을 만족시키는 자연수 \(a\)는 \(4\) 이상이므로 \(a_n = n + 3\)이고, \(\sum_{n=1}^{5} a_n = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (6점) \(\log_a x = t\)로 치환하면 \(a \ge 2\)이고 \(2 \le x \le 4\)이므로 \(\log_a 2 \le t \le 2\log_a 2\)에서 부등식 \(|t^2 - 5t + 5| \ge 1 \iff (t \le 1 \text{ 또는 } 2 \le t \le 3 \text{ 또는 } t \ge 4)\)가 항상 성립해야 한다. 6점 2단계: 핵심계산 (8점) 구간 \([\log_a 2, 2\log_a 2]\)가 허용 구간에 포함될 조건은 ① \(2\log_a 2 \le 1 \implies a \ge 4\), ② \(2 \le \log_a 2 \le 2\log_a 2 \le 3\) (자연수 \(a\) 없음), ③ \(\log_a 2 \ge 4\) (자연수 \(a\) 없음)이다. 8점 3단계: 최종결론 (6점) 따라서 조건을 만족시키는 자연수 \(a\)는 \(4\) 이상이므로 \(a_n = n + 3\)이고, \(\sum_{n=1}^{5} a_n = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30\)이다. 6점
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\(|t^2 - 5t + 5| \ge 1\)을 \(t^2 - 5t + 5 \ge 1\) 또는 \(t^2 - 5t + 5 \le -1\)로 풀어 세 개의 분리된 구간 \((-\infty, 1], [2, 3], [4, \infty)\)을 모두 조사해야 누락 감점이 없습니다.
🎯 [최종 정답] \(30\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 절댓값 정적분 함수의 극값 조건과 삼차함수 극점 추론 ⏱️ 권장 시간: 20분
【기출 문제 10】 2027학년도 공식 모의논술 (문항 10) [20점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를
\[ g(x) = \int_0^x (|f(t)| - |t|)\,dt \]
라 하자. 두 함수 \(f(x),\ g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 \(g(x)\)는 \(x=2,\ x=6\)에서 극값을 갖는다.
(1) \(f(x) = x Q(x)\)라 할 때, \(Q(2) + Q(6)\)의 값을 구하시오. (단, \(Q(x)\)는 다항식) [8점]
(2) 함수 \(f(x)\)가 \(x = \alpha\)와 \(x = \beta\)에서 극값을 가질 때, \(\alpha + \beta\)의 값을 구하시오. (단, \(\alpha \lt \beta\)) [8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2027 문항 10 · 총 20점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(0)=0\)에서 \(f(x)=xQ(x)\) (\(Q(x)\)는 최고차항 계수가 양수인 이차식, \(Q(0)=f'(0)=1\))이고 \(g'(x) = |x|(|Q(x)|-1)\)이 \(x=2, 6\)에서 부호가 바뀌므로 \(|Q(2)|=1,\; |Q(6)|=1\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 조건 (나) \(f(2)=2Q(2)\lt 0,\; f(6)=6Q(6)\gt 0\)에서 \(Q(2)=-1,\; Q(6)=1\)이므로 (1) \(Q(2)+Q(6) = 0\)이고, \(Q(0)=1, Q(6)=1, Q(2)=-1\)을 대입하여 연립하면 \(Q(x) = \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{3}{2}x + 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(x) = \dfrac{1}{4}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 + x\)를 미분하면 \(f'(x) = \dfrac{3}{4}x^2 - 3x + 1 = 0\)이므로 근과 계수의 관계에 의해 (2) \(\alpha + \beta = \dfrac{3}{3/4} = 4\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (6점) \(f(0)=0\)에서 \(f(x)=xQ(x)\) (\(Q(x)\)는 최고차항 계수가 양수인 이차식, \(Q(0)=f'(0)=1\))이고 \(g'(x) = |x|(|Q(x)|-1)\)이 \(x=2, 6\)에서 부호가 바뀌므로 \(|Q(2)|=1,\; |Q(6)|=1\)이다. 6점 2단계: 핵심계산 (8점) 조건 (나) \(f(2)=2Q(2)\lt 0,\; f(6)=6Q(6)\gt 0\)에서 \(Q(2)=-1,\; Q(6)=1\)이므로 (1) \(Q(2)+Q(6) = 0\)이고, \(Q(0)=1, Q(6)=1, Q(2)=-1\)을 대입하여 연립하면 \(Q(x) = \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{3}{2}x + 1\)이다. 8점 3단계: 최종결론 (6점) \(f(x) = \dfrac{1}{4}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 + x\)를 미분하면 \(f'(x) = \dfrac{3}{4}x^2 - 3x + 1 = 0\)이므로 근과 계수의 관계에 의해 (2) \(\alpha + \beta = \dfrac{3}{3/4} = 4\)이다. 6점
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\(|Q(2)|=1, |Q(6)|=1\)에서 \(f(2)\lt 0, f(6)\gt 0\) 부호 조건을 적용해 \(Q(2)=-1, Q(6)=1\)을 확정하는 단계가 채점의 핵심입니다.
🎯 [최종 정답] (1) \(0\) (2) \(4\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 지수함수의 단조성과 닫힌구간 최대·최소 ⏱️ 권장 시간: 12분
【기출 문제 11】 2026학년도 자연·공학 기출 (문항 1) [20점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.22 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] 정의역이 \(\{x \mid 0 \le x \le 2\}\)인 함수
\[ f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} + 1 \]
의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M,\ m\)이라 하자. 정의역이 \(\{x \mid 0 \le x \le 1\}\)인 함수
\[ g(x) = -a^{x} + b \]
의 최댓값과 최솟값이 각각 \(-m,\ -M\)일 때, \(a+b\)의 값을 구하시오.
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.22 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]
【유사 연습】 방정식 \(\log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 진수 조건에서 \(x \gt 3\)이고 \(\log_a M + \log_a N = \log_a MN\)을 적용한다. [2줄: 핵심계산] \((x-1)(x-3)=8 \implies x^2-4x-5=0 \implies (x-5)(x+1)=0\). [3줄: 최종결론] \(x \gt 3\)이므로 \(x = 5\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2026 문항 1 · 총 20점
[1줄: 공식선언 (30%)] 밑이 \(0 \lt \dfrac{1}{2} \lt 1\)이므로 \(f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x+1\)은 \([0,2]\)에서 감소하여 최댓값 \(M=f(0)=2\), 최솟값 \(m=f(2)=\dfrac{5}{4}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a \gt 1\)이므로 \(g(x)=-a^x+b\)도 \([0,1]\)에서 감소하여 최댓값 \(g(0)=-1+b=-m=-\dfrac{5}{4}\), 최솟값 \(g(1)=-a+b=-M=-2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 두 식을 연립하면 \(b = -\dfrac{1}{4},\; a = \dfrac{7}{4}\)이므로 \(a + b = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (6점) 밑이 \(0 \lt \dfrac{1}{2} \lt 1\)이므로 \(f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x+1\)은 \([0,2]\)에서 감소하여 최댓값 \(M=f(0)=2\), 최솟값 \(m=f(2)=\dfrac{5}{4}\)이다. 6점 2단계: 핵심계산 (8점) \(a \gt 1\)이므로 \(g(x)=-a^x+b\)도 \([0,1]\)에서 감소하여 최댓값 \(g(0)=-1+b=-m=-\dfrac{5}{4}\), 최솟값 \(g(1)=-a+b=-M=-2\)이다. 8점 3단계: 최종결론 (6점) 두 식을 연립하면 \(b = -\dfrac{1}{4},\; a = \dfrac{7}{4}\)이므로 \(a + b = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\)이다. 6점
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지수함수 \(a^x\;(a \gt 1)\) 앞에 음수 부호가 붙은 \(g(x)=-a^x+b\)는 감소함수이므로 \(x=0\)에서 최댓값, \(x=1\)에서 최솟값을 가짐을 반드시 명시하십시오.
🎯 [최종 정답] \(\dfrac{3}{2}\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 로그함수의 역함수 합성과 함숫값 계산 ⏱️ 권장 시간: 12분
【기출 문제 12】 2026학년도 자연·공학 기출 (문항 2) [20점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03, 12대수01-04] 정의역이 \(\{x \mid x \gt 0\}\)인 함수
\[ f(x) = \log_{5}\left(10x^{2}+35\right) \]
에 대하여 \(\left(f^{-1} \circ f^{-1}\right)(3)\)의 값을 구하시오.
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03, 12대수01-04]
【유사 연습】 방정식 \(\log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 진수 조건에서 \(x \gt 3\)이고 \(\log_a M + \log_a N = \log_a MN\)을 적용한다. [2줄: 핵심계산] \((x-1)(x-3)=8 \implies x^2-4x-5=0 \implies (x-5)(x+1)=0\). [3줄: 최종결론] \(x \gt 3\)이므로 \(x = 5\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2026 문항 2 · 총 20점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f^{-1}(3) = k\;(k \gt 0)\)라 하면 역함수의 정의에 의하여 \(f(k) = \log_5(10k^2 + 35) = 3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 로그의 정의에서 \(10k^2 + 35 = 5^3 = 125 \implies 10k^2 = 90 \implies k^2 = 9\)이고, 정의역 조건 \(k \gt 0\)에서 \(k = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 즉 \(f^{-1}(3) = 3\)이므로 구하는 합성함숫값은 \((f^{-1} \circ f^{-1})(3) = f^{-1}(f^{-1}(3)) = f^{-1}(3) = 3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (6점) \(f^{-1}(3) = k\;(k \gt 0)\)라 하면 역함수의 정의에 의하여 \(f(k) = \log_5(10k^2 + 35) = 3\)이다. 6점 2단계: 핵심계산 (8점) 로그의 정의에서 \(10k^2 + 35 = 5^3 = 125 \implies 10k^2 = 90 \implies k^2 = 9\)이고, 정의역 조건 \(k \gt 0\)에서 \(k = 3\)이다. 8점 3단계: 최종결론 (6점) 즉 \(f^{-1}(3) = 3\)이므로 구하는 합성함숫값은 \((f^{-1} \circ f^{-1})(3) = f^{-1}(f^{-1}(3)) = f^{-1}(3) = 3\)이다. 6점
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역함수의 식 \(f^{-1}(x)\)를 직접 구하려 하지 말고 \(f^{-1}(3)=k \iff f(k)=3\) 동치 성질과 정의역 \(k \gt 0\) 조건을 선언하면 간결하게 만점을 받습니다.
🎯 [최종 정답] \(3\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 치환을 이용한 함수의 부등식과 극한의 대소 관계(조임정리) ⏱️ 권장 시간: 15분
【기출 문제 13】 2026학년도 자연·공학 기출 (문항 3) [20점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] 함수 \(f(x)\)가 모든 양의 실수 \(x\)에 대하여 부등식
\[ f\left(\frac{x-3}{5}\right) \le \frac{1}{5}x^{2} \le f\left(\frac{x-1}{5}\right) \]
을 만족시킬 때, \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{7x^{2}+4}\)의 값을 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2026 문항 3 · 총 20점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\dfrac{x-3}{5}=t\)로 치환하면 \(f(t) \le \dfrac{1}{5}(5t+3)^2\), \(\dfrac{x-1}{5}=s\)로 치환하면 \(\dfrac{1}{5}(5s+1)^2 \le f(s)\)이므로 충분히 큰 양수 \(x\)에 대하여 \(\dfrac{(5x+1)^2}{5(7x^2+4)} \le \dfrac{f(x)}{7x^2+4} \le \dfrac{(5x+3)^2}{5(7x^2+4)}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 양 끝 식의 극한을 계산하면 \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{25x^2+10x+1}{35x^2+20} = \dfrac{25}{35} = \dfrac{5}{7}\)이고 \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{25x^2+30x+9}{35x^2+20} = \dfrac{5}{7}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 함수의 극한의 대소 관계(조임정리)에 의하여 \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{7x^2+4} = \dfrac{5}{7}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (6점) \(\dfrac{x-3}{5}=t\)로 치환하면 \(f(t) \le \dfrac{1}{5}(5t+3)^2\), \(\dfrac{x-1}{5}=s\)로 치환하면 \(\dfrac{1}{5}(5s+1)^2 \le f(s)\)이므로 충분히 큰 양수 \(x\)에 대하여 \(\dfrac{(5x+1)^2}{5(7x^2+4)} \le \dfrac{f(x)}{7x^2+4} \le \dfrac{(5x+3)^2}{5(7x^2+4)}\)이다. 6점 2단계: 핵심계산 (8점) 양 끝 식의 극한을 계산하면 \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{25x^2+10x+1}{35x^2+20} = \dfrac{25}{35} = \dfrac{5}{7}\)이고 \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{25x^2+30x+9}{35x^2+20} = \dfrac{5}{7}\)이다. 8점 3단계: 최종결론 (6점) 따라서 함수의 극한의 대소 관계(조임정리)에 의하여 \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{7x^2+4} = \dfrac{5}{7}\)이다. 6점
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두 부등식에서 괄호 안의 식이 \(\dfrac{x-3}{5}\)과 \(\dfrac{x-1}{5}\)로 서로 다르므로 각각 치환하여 동일한 변수 \(x\)에 대한 양쪽 부등식으로 먼저 결합해야 감점이 없습니다.
🎯 [최종 정답] \(\dfrac{5}{7}\)
📚 단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 개념: 곱의 미분법과 접선·법선으로 둘러싸인 삼각형의 넓이 ⏱️ 권장 시간: 16분
【기출 문제 14】 2026학년도 자연·공학 기출 (문항 4) [20점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05] 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((2,\ f(2))\)에서의 접선을 \(l\), 함수
\[ g(x) = \frac{1}{8}x^{3}f(x) \]
에 대하여 곡선 \(y=g(x)\) 위의 점 \((2,\ g(2))\)를 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선을 \(m\)이라 하자. 직선 \(l\)의 방정식이 \(y=-3x+9\)일 때, 두 직선 \(l,\ m\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
【유사 연습】 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 교점 방정식 \(x^2 - 3x = 0\)에서 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha=0, \beta=3\)이다. [2줄: 핵심계산] 정적분 넓이 공식에 의해 \(S = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{|1|\cdot(3-0)^3}{6} = \frac{27}{6}\). [3줄: 최종결론] 기약분수로 나타내면 \(S = \frac{9}{2}\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2026 문항 4 · 총 20점
[1줄: 공식선언 (30%)] 점 \((2, f(2))\)에서의 접선 \(l : y = -3x + 9\)로부터 \(f(2) = 3,\; f'(2) = -3\)이고, 곱의 미분법에 의해 \(g'(x) = \dfrac{3}{8}x^2 f(x) + \dfrac{1}{8}x^3 f'(x)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(g(2) = f(2) = 3\)이고 \(g'(2) = \dfrac{3}{2}\cdot 3 + 1\cdot(-3) = \dfrac{3}{2}\)이므로, 접선에 수직인 직선 \(m\)의 기울기는 \(-\dfrac{2}{3}\)이고 방정식은 \(y = -\dfrac{2}{3}(x-2) + 3 = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{13}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 직선 \(l, m\)의 \(x\)절편은 각각 \(3,\; \dfrac{13}{2}\)이고 교점은 \((2, 3)\)이므로 삼각형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{13}{2}-3\right)\times 3 = \dfrac{21}{4}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (6점) 점 \((2, f(2))\)에서의 접선 \(l : y = -3x + 9\)로부터 \(f(2) = 3,\; f'(2) = -3\)이고, 곱의 미분법에 의해 \(g'(x) = \dfrac{3}{8}x^2 f(x) + \dfrac{1}{8}x^3 f'(x)\)이다. 6점 2단계: 핵심계산 (8점) \(g(2) = f(2) = 3\)이고 \(g'(2) = \dfrac{3}{2}\cdot 3 + 1\cdot(-3) = \dfrac{3}{2}\)이므로, 접선에 수직인 직선 \(m\)의 기울기는 \(-\dfrac{2}{3}\)이고 방정식은 \(y = -\dfrac{2}{3}(x-2) + 3 = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{13}{3}\)이다. 8점 3단계: 최종결론 (6점) 직선 \(l, m\)의 \(x\)절편은 각각 \(3,\; \dfrac{13}{2}\)이고 교점은 \((2, 3)\)이므로 삼각형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{13}{2}-3\right)\times 3 = \dfrac{21}{4}\)이다. 6점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
직선 \(m\)은 직선 \(l\)에 수직인 것이 아니라 '곡선 \(y=g(x)\)의 접선(기울기 \(3/2\))'에 수직이므로 기울기가 \(-\dfrac{2}{3}\)임을 정확히 구분하십시오.
🎯 [최종 정답] \(\dfrac{21}{4}\)
📚 단원: 대수 🎯 핵심 개념: 삼각함수를 계수로 갖는 제한된 정의역 이차함수의 최솟값 ⏱️ 권장 시간: 16분
【기출 문제 15】 2026학년도 자연·공학 기출 (문항 5) [20점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09] 정의역이 \(\{x \mid x \ge 0\}\)인 함수
\[ f(x) = x^{2} - 2(\sin\theta)x + \cos^{2}\theta - \sin\theta + 1 \]
의 최솟값이 \(1\)일 때, 이를 만족시키는 모든 실수 \(\theta\)의 값의 합을 구하시오. (단, \(0 \le \theta \lt 2\pi\))
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
【유사 연습】 함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)의 합 \(M+m\)을 구하시오.
💡 [풀이] [1줄: 공식선언] 도함수 \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)\)의 부호 변화를 조사한다. [2줄: 핵심계산] \(x=1\)에서 극댓값 \(M=f(1)=6\), \(x=3\)에서 극솟값 \(m=f(3)=2\)를 갖는다. [3줄: 최종결론] 따라서 \(M+m = 8\)이다.
✍️ 3줄 완성 공식선언·핵심계산·최종결론을 먼저 작성한 뒤 풀이를 확인하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 2026 문항 5 · 총 20점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta\)를 대입하여 완전제곱식으로 변형하면 \(f(x) = (x - \sin\theta)^2 - 2\sin^2\theta - \sin\theta + 2\) \((x \ge 0)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] ① \(\sin\theta \ge 0\)일 때 꼭짓점 \(x=\sin\theta \ge 0\)에서 최솟값 \(-2\sin^2\theta - \sin\theta + 2 = 1 \implies (2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 1)=0\)이므로 \(\sin\theta = \dfrac{1}{2}\)에서 \(\theta = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] ② \(\sin\theta \lt 0\)일 때 \(x=0\)에서 최솟값 \(f(0) = -\sin^2\theta - \sin\theta + 2 = 1 \implies \sin\theta = \dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)이나 \(-1 \le \sin\theta \lt 0\)인 해가 없으므로 모든 \(\theta\)의 합은 \(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{6} = \pi\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (6점) \(\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta\)를 대입하여 완전제곱식으로 변형하면 \(f(x) = (x - \sin\theta)^2 - 2\sin^2\theta - \sin\theta + 2\) \((x \ge 0)\)이다. 6점 2단계: 핵심계산 (8점) ① \(\sin\theta \ge 0\)일 때 꼭짓점 \(x=\sin\theta \ge 0\)에서 최솟값 \(-2\sin^2\theta - \sin\theta + 2 = 1 \implies (2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 1)=0\)이므로 \(\sin\theta = \dfrac{1}{2}\)에서 \(\theta = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\)이다. 8점 3단계: 최종결론 (6점) ② \(\sin\theta \lt 0\)일 때 \(x=0\)에서 최솟값 \(f(0) = -\sin^2\theta - \sin\theta + 2 = 1 \implies \sin\theta = \dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)이나 \(-1 \le \sin\theta \lt 0\)인 해가 없으므로 모든 \(\theta\)의 합은 \(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{6} = \pi\)이다. 6점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
제한된 정의역 \(x \ge 0\)에 대칭축 \(x = \sin\theta\)가 포함되는 경우(\(\sin\theta \ge 0\))와 제외되는 경우(\(\sin\theta \lt 0\))로 나누어 논증하는 것이 핵심 채점 기준입니다.
🎯 [최종 정답] \(\pi\)
PART 2-1 · MOCK EXAMS (10 ROUNDS · 100 QUESTIONS)
2022 개정 교육과정 교과서 기반
한국기술교육대학교 실제 기출 배점(4·4·8·8·8·12·12·12·16·16 = 100점)과 3단계 난이도(1~2회 기출유사 표준, 3~5회 고난도 심화, 6~10회 최상위 심화)를 완벽히 반영한 100% 교과서 DB 기반 모의고사입니다.
📘 1~2회 기출유사 표준편 (20문항): 최근 5개년 한기대 기출 난이도·빈출 유형 완벽 재현
🔥 3~5회 어려운 문제 심화편 (30문항): 준킬러 추론·조건 해석·융합형 문항 집중 훈련
👑 6~10회 조금 더 어려운 최상위편 (50문항): 상위권 학과 변별용 킬러 문항 및 고난도 논증 완비
✅ 검증 기준: 2022 개정 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정(로피탈 등) 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)
회차·문항 출제 과목 핵심 출제 테마 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) 배점/난이도 R1-Q1 대수 지수와 로그 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.14 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-04] 4점/표준(중) R1-Q2 대수 등차수열 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02] 4점/표준(중) R1-Q3 미적분Ⅰ 함수의 극한 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 8점/표준(중) R1-Q4 대수 삼각함수 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-02] 8점/표준(중) R1-Q5 미적분Ⅰ 도함수의 활용 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05] 8점/표준(중) R1-Q6 대수 지수 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-08] 12점/표준(중상) R1-Q7 미적분Ⅰ 도함수의 활용(극값) [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] 12점/표준(중상) R1-Q8 미적분Ⅰ 정적분과 함수 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] 12점/표준(중상) R1-Q9 대수 사인법칙과 코사인법칙 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 16점/표준(중상) R1-Q10 미적분Ⅰ 정적분의 활용(넓이) [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 16점/표준(중상) R2-Q1 대수 지수법칙 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] 4점/표준(중) R2-Q2 대수 등비수열 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-03] 4점/표준(중) R2-Q3 미적분Ⅰ 함수의 연속 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] 8점/표준(중) R2-Q4 대수 지수함수와 로그함수의 최대 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07] 8점/표준(중) R2-Q5 미적분Ⅰ 미분계수와 도함수 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] 8점/표준(중) R2-Q6 대수 수열의 합 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-07] 12점/표준(중상) R2-Q7 미적분Ⅰ 도함수의 활용(방정식) [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.42 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] 12점/표준(중상) R2-Q8 미적분Ⅰ 정적분의 성질 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03] 12점/표준(중상) R2-Q9 대수 삼각함수 그래프와 교점 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] 16점/표준(중상) R2-Q10 미적분Ⅰ 속도와 거리 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.44 정적분 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] 16점/표준(중상) R3-Q1 대수 거듭제곱근 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-01] 4점/심화(중상) R3-Q2 대수 등차수열과 합 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-04] 4점/심화(중상) R3-Q3 미적분Ⅰ 곱의 연속성 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03] 8점/심화(중상) R3-Q4 대수 로그함수와 직선 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-07] 8점/심화(중상) R3-Q5 미적분Ⅰ 미분가능성 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] 8점/심화(중상)
✅ 검증 기준: 2022 개정 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정(로피탈 등) 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)
회차·문항 출제 과목 핵심 출제 테마 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) 배점/난이도 R3-Q6 대수 귀납적 정의와 주기성 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 중단원 마무리 변형 | 성취기준: 12대수03-06] 12점/심화(상) R3-Q7 미적분Ⅰ 절댓값 함수의 미분 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.43 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 12점/심화(상) R3-Q8 미적분Ⅰ 정적분과 극값 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.29 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-02-07] 12점/심화(상) R3-Q9 대수 삼각함수와 사인 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 16점/심화(상) R3-Q10 미적분Ⅰ 넓이와 정적분 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.35 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 16점/심화(상) R4-Q1 대수 로그의 성질 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-04] 4점/심화(중상) R4-Q2 대수 수열의 합과 일반항 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.11 수학적 귀납법 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] 4점/심화(중상) R4-Q3 미적분Ⅰ 미정계수와 극한 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 8점/심화(중상) R4-Q4 대수 지수방정식의 실근 개수 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] 8점/심화(중상) R4-Q5 미적분Ⅰ 두 곡선의 공통접선 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05] 8점/심화(중상) R4-Q6 대수 삼각함수 부등식 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] 12점/심화(상) R4-Q7 미적분Ⅰ 평균값 정리와 도함수 부호 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] 12점/심화(상) R4-Q8 미적분Ⅰ 정적분으로 정의된 함수 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] 12점/심화(상) R4-Q9 대수 시그마와 군수열/소거 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 수학적 귀납법 변형 | 성취기준: 12대수03-05] 16점/심화(상) R4-Q10 미적분Ⅰ 넓이의 이등분 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.37 중단원 마무리 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 16점/심화(상) R5-Q1 대수 상용로그와 지표 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.24 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-05] 4점/심화(중상) R5-Q2 대수 등비수열의 합 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.12 수학적 귀납법 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-04] 4점/심화(중상) R5-Q3 미적분Ⅰ 가우스 기호와 극한 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.10 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 8점/심화(중상) R5-Q4 대수 코사인법칙과 넓이 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 8점/심화(중상) R5-Q5 미적분Ⅰ 접선과 거리 최솟값 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] 8점/심화(중상) R5-Q6 대수 수학적 귀납법과 부등식 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.16 수학적 귀납법 변형 | 성취기준: 12대수03-06] 12점/심화(상) R5-Q7 미적분Ⅰ 삼차함수의 극값과 넓이/부등식 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] 12점/심화(상) R5-Q8 미적분Ⅰ 우 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03] 12점/심화(상) R5-Q9 대수 삼각함수와 이차방정식 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] 16점/심화(상) R5-Q10 미적분Ⅰ 속도와 위치/넓이 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.42 정적분 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] 16점/심화(상)
✅ 검증 기준: 2022 개정 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정(로피탈 등) 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)
회차·문항 출제 과목 핵심 출제 테마 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) 배점/난이도 R6-Q1 대수 지수와 로그(자연수 조건) [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-08] 4점/최상위(상) R6-Q2 대수 등차수열 절댓값의 합 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-04] 4점/최상위(상) R6-Q3 미적분Ⅰ 극한의 대소 관계(샌드위치) [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.25 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] 8점/최상위(상) R6-Q4 대수 지수함수와 로그함수의 교점 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-07] 8점/최상위(상) R6-Q5 미적분Ⅰ 곡선 밖의 점에서 그은 접선 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05] 8점/최상위(상) R6-Q6 대수 등차 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-07] 12점/최상위(최상) R6-Q7 미적분Ⅰ 극값 차와 삼차함수 결정 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] 12점/최상위(최상) R6-Q8 미적분Ⅰ 정적분과 주기 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 정적분 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03] 12점/최상위(최상) R6-Q9 대수 삼각함수와 수열 융합 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.23 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03] 16점/최상위(최상) R6-Q10 미적분Ⅰ 도함수와 넓이 최소 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 16점/최상위(최상) R7-Q1 대수 지수방정식과 근의 합 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-08] 4점/최상위(상) R7-Q2 대수 수열의 합과 귀납 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] 4점/최상위(상) R7-Q3 미적분Ⅰ 분수식의 극한과 차수 결정 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 8점/최상위(상) R7-Q4 대수 삼각함수와 절댓값 최대 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.21 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수02-02] 8점/최상위(상) R7-Q5 미적분Ⅰ 접선의 개수와 곡률 변곡 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05] 8점/최상위(상) R7-Q6 대수 로그부등식과 정수해 개수 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-08] 12점/최상위(최상) R7-Q7 미적분Ⅰ 사차함수의 극값 조건 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 12점/최상위(최상) R7-Q8 미적분Ⅰ 정적분과 항등식 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] 12점/최상위(최상) R7-Q9 대수 사인법칙 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 16점/최상위(최상) R7-Q10 미적분Ⅰ 절댓값 함수의 정적분 넓이 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.35 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 16점/최상위(최상) R8-Q1 대수 지수 [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] 4점/최상위(상) R8-Q2 대수 등차 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03] 4점/최상위(상) R8-Q3 미적분Ⅰ 불연속점과 분수함수 연속 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03] 8점/최상위(상) R8-Q4 대수 삼각방정식과 근의 개수 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] 8점/최상위(상) R8-Q5 미적분Ⅰ 평균값 정리 응용 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.31 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] 8점/최상위(상)
✅ 검증 기준: 2022 개정 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정(로피탈 등) 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)
회차·문항 출제 과목 핵심 출제 테마 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) 배점/난이도 R8-Q6 대수 귀납적 정의 역추적 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 중단원 마무리 변형 | 성취기준: 12대수03-06] 12점/최상위(최상) R8-Q7 미적분Ⅰ 삼차함수의 극값과 교점 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09] 12점/최상위(최상) R8-Q8 미적분Ⅰ 정적분과 극한(미분계수) [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-02-01] 12점/최상위(최상) R8-Q9 대수 코사인법칙과 원의 성질 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 16점/최상위(최상) R8-Q10 미적분Ⅰ 역함수와 넓이 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.37 중단원 마무리 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 16점/최상위(최상) R9-Q1 대수 지수부등식과 정수해 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-08] 4점/최상위(상) R9-Q2 대수 등차수열과 공차 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02] 4점/최상위(상) R9-Q3 미적분Ⅰ 극한과 다항함수 결정 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 8점/최상위(상) R9-Q4 대수 삼각함수 그래프의 주기 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.18 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-02] 8점/최상위(상) R9-Q5 미적분Ⅰ 구간별 함수의 미분가능성 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] 8점/최상위(상) R9-Q6 대수 시그마와 거듭제곱 합 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05] 12점/최상위(최상) R9-Q7 미적분Ⅰ 최대 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08] 12점/최상위(최상) R9-Q8 미적분Ⅰ 정적분과 항등식(미정계수) [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] 12점/최상위(최상) R9-Q9 대수 코사인법칙과 각의 이등분선 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 16점/최상위(최상) R9-Q10 미적분Ⅰ 속도와 위치 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.44 정적분 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 16점/최상위(최상) R10-Q1 대수 로그방정식과 근의 곱 [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-08] 4점/최상위(상) R10-Q2 대수 등비수열과 로그 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-03] 4점/최상위(상) R10-Q3 미적분Ⅰ 연속성과 사잇값 정리 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-04] 8점/최상위(상) R10-Q4 대수 삼각함수의 합성 변형 없이 최대 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 문제 7 변형 | 성취기준: 12대수02-02] 8점/최상위(상) R10-Q5 미적분Ⅰ 접선의 수직과 삼차함수 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05] 8점/최상위(상) R10-Q6 대수 수학적 귀납법 빈칸 및 증명 [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-07] 12점/최상위(최상) R10-Q7 미적분Ⅰ 삼차함수의 극값과 부정적분 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] 12점/최상위(최상) R10-Q8 미적분Ⅰ 정적분과 극한 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-02-01] 12점/최상위(최상) R10-Q9 대수 삼각함수와 사인 [출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 16점/최상위(최상) R10-Q10 미적분Ⅰ 두 곡선 넓이와 역함수/미분 융합 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 16점/최상위(최상)
📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (10문항 · 4/4/8/8/8/12/12/12/16/16점) 🎯 테마: 2026·2025 기출 유형 1:1 표준형 모의고사 ⏱️ 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제1회 문항 1 대수 지수와 로그 4점 표준(중) 제1회 문항 2 대수 등차수열 4점 표준(중) 제1회 문항 3 미적분Ⅰ 함수의 극한 8점 표준(중) 제1회 문항 4 대수 삼각함수 8점 표준(중) 제1회 문항 5 미적분Ⅰ 도함수의 활용 8점 표준(중) 제1회 문항 6 대수 지수 12점 표준(중상) 제1회 문항 7 미적분Ⅰ 도함수의 활용(극값) 12점 표준(중상) 제1회 문항 8 미적분Ⅰ 정적분과 함수 12점 표준(중상) 제1회 문항 9 대수 사인법칙과 코사인법칙 16점 표준(중상) 제1회 문항 10 미적분Ⅰ 정적분의 활용(넓이) 16점 표준(중상)
제1회 실전 모의고사는 [기출 표준 난이도] 단계로, 실제 한기대 기출과 동일한 10문항 100점(4점×2, 8점×3, 12점×3, 16점×2) 배점 체계를 따릅니다. 1~5번(32점)을 25분 내에 실수 없이 돌파한 뒤, 12점·16점 배점 문항(68점)에서 1줄 공식 선언과 2줄 핵심 전개 과정을 논리적으로 명시하여 부분점수를 극대화하십시오.
📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (10문항 · 4/4/8/8/8/12/12/12/16/16점) 🎯 테마: 2024·2023 기출 유형 1:1 표준형 모의고사 ⏱️ 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제2회 문항 1 대수 지수법칙 4점 표준(중) 제2회 문항 2 대수 등비수열 4점 표준(중) 제2회 문항 3 미적분Ⅰ 함수의 연속 8점 표준(중) 제2회 문항 4 대수 지수함수와 로그함수의 최대 8점 표준(중) 제2회 문항 5 미적분Ⅰ 미분계수와 도함수 8점 표준(중) 제2회 문항 6 대수 수열의 합 12점 표준(중상) 제2회 문항 7 미적분Ⅰ 도함수의 활용(방정식) 12점 표준(중상) 제2회 문항 8 미적분Ⅰ 정적분의 성질 12점 표준(중상) 제2회 문항 9 대수 삼각함수 그래프와 교점 16점 표준(중상) 제2회 문항 10 미적분Ⅰ 속도와 거리 16점 표준(중상)
제2회 실전 모의고사는 [기출 표준 난이도] 단계로, 실제 한기대 기출과 동일한 10문항 100점(4점×2, 8점×3, 12점×3, 16점×2) 배점 체계를 따릅니다. 1~5번(32점)을 25분 내에 실수 없이 돌파한 뒤, 12점·16점 배점 문항(68점)에서 1줄 공식 선언과 2줄 핵심 전개 과정을 논리적으로 명시하여 부분점수를 극대화하십시오.
📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (10문항 · 4/4/8/8/8/12/12/12/16/16점) 🎯 테마: 절댓값·구간별 함수·변별력 강화형 모의고사 ⏱️ 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제3회 문항 1 대수 거듭제곱근 4점 심화(중상) 제3회 문항 2 대수 등차수열과 합 4점 심화(중상) 제3회 문항 3 미적분Ⅰ 곱의 연속성 8점 심화(중상) 제3회 문항 4 대수 로그함수와 직선 8점 심화(중상) 제3회 문항 5 미적분Ⅰ 미분가능성 8점 심화(중상) 제3회 문항 6 대수 귀납적 정의와 주기성 12점 심화(상) 제3회 문항 7 미적분Ⅰ 절댓값 함수의 미분 12점 심화(상) 제3회 문항 8 미적분Ⅰ 정적분과 극값 12점 심화(상) 제3회 문항 9 대수 삼각함수와 사인 16점 심화(상) 제3회 문항 10 미적분Ⅰ 넓이와 정적분 16점 심화(상)
제3회 실전 모의고사는 [어려운 문제 (준심화)] 단계로, 실제 한기대 기출과 동일한 10문항 100점(4점×2, 8점×3, 12점×3, 16점×2) 배점 체계를 따릅니다. 1~5번(32점)을 25분 내에 실수 없이 돌파한 뒤, 12점·16점 배점 문항(68점)에서 1줄 공식 선언과 2줄 핵심 전개 과정을 논리적으로 명시하여 부분점수를 극대화하십시오.
📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (10문항 · 4/4/8/8/8/12/12/12/16/16점) 🎯 테마: 역함수·매개변수·극한-미분 결합형 모의고사 ⏱️ 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제4회 문항 1 대수 로그의 성질 4점 심화(중상) 제4회 문항 2 대수 수열의 합과 일반항 4점 심화(중상) 제4회 문항 3 미적분Ⅰ 미정계수와 극한 8점 심화(중상) 제4회 문항 4 대수 지수방정식의 실근 개수 8점 심화(중상) 제4회 문항 5 미적분Ⅰ 두 곡선의 공통접선 8점 심화(중상) 제4회 문항 6 대수 삼각함수 부등식 12점 심화(상) 제4회 문항 7 미적분Ⅰ 평균값 정리와 도함수 부호 12점 심화(상) 제4회 문항 8 미적분Ⅰ 정적분으로 정의된 함수 12점 심화(상) 제4회 문항 9 대수 시그마와 군수열/소거 16점 심화(상) 제4회 문항 10 미적분Ⅰ 넓이의 이등분 16점 심화(상)
제4회 실전 모의고사는 [어려운 문제 (준심화)] 단계로, 실제 한기대 기출과 동일한 10문항 100점(4점×2, 8점×3, 12점×3, 16점×2) 배점 체계를 따릅니다. 1~5번(32점)을 25분 내에 실수 없이 돌파한 뒤, 12점·16점 배점 문항(68점)에서 1줄 공식 선언과 2줄 핵심 전개 과정을 논리적으로 명시하여 부분점수를 극대화하십시오.
📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (10문항 · 4/4/8/8/8/12/12/12/16/16점) 🎯 테마: 수열·삼각함수·미적분 복합 추론형 모의고사 ⏱️ 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제5회 문항 1 대수 상용로그와 지표 4점 심화(중상) 제5회 문항 2 대수 등비수열의 합 4점 심화(중상) 제5회 문항 3 미적분Ⅰ 가우스 기호와 극한 8점 심화(중상) 제5회 문항 4 대수 코사인법칙과 넓이 8점 심화(중상) 제5회 문항 5 미적분Ⅰ 접선과 거리 최솟값 8점 심화(중상) 제5회 문항 6 대수 수학적 귀납법과 부등식 12점 심화(상) 제5회 문항 7 미적분Ⅰ 삼차함수의 극값과 넓이/부등식 12점 심화(상) 제5회 문항 8 미적분Ⅰ 우 12점 심화(상) 제5회 문항 9 대수 삼각함수와 이차방정식 16점 심화(상) 제5회 문항 10 미적분Ⅰ 속도와 위치/넓이 16점 심화(상)
제5회 실전 모의고사는 [어려운 문제 (준심화)] 단계로, 실제 한기대 기출과 동일한 10문항 100점(4점×2, 8점×3, 12점×3, 16점×2) 배점 체계를 따릅니다. 1~5번(32점)을 25분 내에 실수 없이 돌파한 뒤, 12점·16점 배점 문항(68점)에서 1줄 공식 선언과 2줄 핵심 전개 과정을 논리적으로 명시하여 부분점수를 극대화하십시오.
📊 분석 대상: 제6회 전 문항 (10문항 · 4/4/8/8/8/12/12/12/16/16점) 🎯 테마: 지수·로그 정수격자 및 삼차함수 접선·적분 융합 모의고사 ⏱️ 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제6회 문항 1 대수 지수와 로그(자연수 조건) 4점 최상위(상) 제6회 문항 2 대수 등차수열 절댓값의 합 4점 최상위(상) 제6회 문항 3 미적분Ⅰ 극한의 대소 관계(샌드위치) 8점 최상위(상) 제6회 문항 4 대수 지수함수와 로그함수의 교점 8점 최상위(상) 제6회 문항 5 미적분Ⅰ 곡선 밖의 점에서 그은 접선 8점 최상위(상) 제6회 문항 6 대수 등차 12점 최상위(최상) 제6회 문항 7 미적분Ⅰ 극값 차와 삼차함수 결정 12점 최상위(최상) 제6회 문항 8 미적분Ⅰ 정적분과 주기 12점 최상위(최상) 제6회 문항 9 대수 삼각함수와 수열 융합 16점 최상위(최상) 제6회 문항 10 미적분Ⅰ 도함수와 넓이 최소 16점 최상위(최상)
제6회 실전 모의고사는 [조금 더 어려운 문제 (심화)] 단계로, 실제 한기대 기출과 동일한 10문항 100점(4점×2, 8점×3, 12점×3, 16점×2) 배점 체계를 따릅니다. 1~5번(32점)을 25분 내에 실수 없이 돌파한 뒤, 12점·16점 배점 문항(68점)에서 1줄 공식 선언과 2줄 핵심 전개 과정을 논리적으로 명시하여 부분점수를 극대화하십시오.
📊 분석 대상: 제7회 전 문항 (10문항 · 4/4/8/8/8/12/12/12/16/16점) 🎯 테마: 부등식 영역·사차함수 극값·정적분 방정식 심화 모의고사 ⏱️ 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제7회 문항 1 대수 지수방정식과 근의 합 4점 최상위(상) 제7회 문항 2 대수 수열의 합과 귀납 4점 최상위(상) 제7회 문항 3 미적분Ⅰ 분수식의 극한과 차수 결정 8점 최상위(상) 제7회 문항 4 대수 삼각함수와 절댓값 최대 8점 최상위(상) 제7회 문항 5 미적분Ⅰ 접선의 개수와 곡률 변곡 8점 최상위(상) 제7회 문항 6 대수 로그부등식과 정수해 개수 12점 최상위(최상) 제7회 문항 7 미적분Ⅰ 사차함수의 극값 조건 12점 최상위(최상) 제7회 문항 8 미적분Ⅰ 정적분과 항등식 12점 최상위(최상) 제7회 문항 9 대수 사인법칙 16점 최상위(최상) 제7회 문항 10 미적분Ⅰ 절댓값 함수의 정적분 넓이 16점 최상위(최상)
제7회 실전 모의고사는 [조금 더 어려운 문제 (심화)] 단계로, 실제 한기대 기출과 동일한 10문항 100점(4점×2, 8점×3, 12점×3, 16점×2) 배점 체계를 따릅니다. 1~5번(32점)을 25분 내에 실수 없이 돌파한 뒤, 12점·16점 배점 문항(68점)에서 1줄 공식 선언과 2줄 핵심 전개 과정을 논리적으로 명시하여 부분점수를 극대화하십시오.
📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (10문항 · 4/4/8/8/8/12/12/12/16/16점) 🎯 테마: 합성연속·삼차함수 비율관계·정적분 방정식 융합 모의고사 ⏱️ 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제8회 문항 1 대수 지수 4점 최상위(상) 제8회 문항 2 대수 등차 4점 최상위(상) 제8회 문항 3 미적분Ⅰ 불연속점과 분수함수 연속 8점 최상위(상) 제8회 문항 4 대수 삼각방정식과 근의 개수 8점 최상위(상) 제8회 문항 5 미적분Ⅰ 평균값 정리 응용 8점 최상위(상) 제8회 문항 6 대수 귀납적 정의 역추적 12점 최상위(최상) 제8회 문항 7 미적분Ⅰ 삼차함수의 극값과 교점 12점 최상위(최상) 제8회 문항 8 미적분Ⅰ 정적분과 극한(미분계수) 12점 최상위(최상) 제8회 문항 9 대수 코사인법칙과 원의 성질 16점 최상위(최상) 제8회 문항 10 미적분Ⅰ 역함수와 넓이 16점 최상위(최상)
제8회 실전 모의고사는 [조금 더 어려운 문제 (심화)] 단계로, 실제 한기대 기출과 동일한 10문항 100점(4점×2, 8점×3, 12점×3, 16점×2) 배점 체계를 따릅니다. 1~5번(32점)을 25분 내에 실수 없이 돌파한 뒤, 12점·16점 배점 문항(68점)에서 1줄 공식 선언과 2줄 핵심 전개 과정을 논리적으로 명시하여 부분점수를 극대화하십시오.
📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (10문항 · 4/4/8/8/8/12/12/12/16/16점) 🎯 테마: 수열·삼각함수·미분가능성·정적분 종합 모의고사 ⏱️ 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제9회 문항 1 대수 지수부등식과 정수해 4점 최상위(상) 제9회 문항 2 대수 등차수열과 공차 4점 최상위(상) 제9회 문항 3 미적분Ⅰ 극한과 다항함수 결정 8점 최상위(상) 제9회 문항 4 대수 삼각함수 그래프의 주기 8점 최상위(상) 제9회 문항 5 미적분Ⅰ 구간별 함수의 미분가능성 8점 최상위(상) 제9회 문항 6 대수 시그마와 거듭제곱 합 12점 최상위(최상) 제9회 문항 7 미적분Ⅰ 최대 12점 최상위(최상) 제9회 문항 8 미적분Ⅰ 정적분과 항등식(미정계수) 12점 최상위(최상) 제9회 문항 9 대수 코사인법칙과 각의 이등분선 16점 최상위(최상) 제9회 문항 10 미적분Ⅰ 속도와 위치 16점 최상위(최상)
제9회 실전 모의고사는 [조금 더 어려운 문제 (심화)] 단계로, 실제 한기대 기출과 동일한 10문항 100점(4점×2, 8점×3, 12점×3, 16점×2) 배점 체계를 따릅니다. 1~5번(32점)을 25분 내에 실수 없이 돌파한 뒤, 12점·16점 배점 문항(68점)에서 1줄 공식 선언과 2줄 핵심 전개 과정을 논리적으로 명시하여 부분점수를 극대화하십시오.
📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (10문항 · 4/4/8/8/8/12/12/12/16/16점) 🎯 테마: 2027 한기대 약술형 파이널 고난도 킬러 완결 모의고사 ⏱️ 제한 시간: 80분
회차 문항 번호 출제 과목군 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 배점 난이도 제10회 문항 1 대수 로그방정식과 근의 곱 4점 최상위(상) 제10회 문항 2 대수 등비수열과 로그 4점 최상위(상) 제10회 문항 3 미적분Ⅰ 연속성과 사잇값 정리 8점 최상위(상) 제10회 문항 4 대수 삼각함수의 합성 변형 없이 최대 8점 최상위(상) 제10회 문항 5 미적분Ⅰ 접선의 수직과 삼차함수 8점 최상위(상) 제10회 문항 6 대수 수학적 귀납법 빈칸 및 증명 12점 최상위(최상) 제10회 문항 7 미적분Ⅰ 삼차함수의 극값과 부정적분 12점 최상위(최상) 제10회 문항 8 미적분Ⅰ 정적분과 극한 12점 최상위(최상) 제10회 문항 9 대수 삼각함수와 사인 16점 최상위(최상) 제10회 문항 10 미적분Ⅰ 두 곡선 넓이와 역함수/미분 융합 16점 최상위(최상)
제10회 실전 모의고사는 [조금 더 어려운 문제 (심화)] 단계로, 실제 한기대 기출과 동일한 10문항 100점(4점×2, 8점×3, 12점×3, 16점×2) 배점 체계를 따릅니다. 1~5번(32점)을 25분 내에 실수 없이 돌파한 뒤, 12점·16점 배점 문항(68점)에서 1줄 공식 선언과 2줄 핵심 전개 과정을 논리적으로 명시하여 부분점수를 극대화하십시오.
PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS
실전 모의고사 1회 ~ 10회
시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 100문항 전체 원문 요약과 Track B 3줄 모범답안·비례 채점 루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.
🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능
⚡ 배점 비례 채점 기준표 완비: 4점·8점·12점·16점 배점별 30%-40%-30% 정밀 자가 채점 지원
👨🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭
【문제 1】 원문 요약 — 지수와 로그 [배점 4점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.14 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-04] 양수 \(x\)가 \(\log_{2} x + \log_{4} x^{3} = 10\)을 만족시킬 때, \(\log_{2}(8x)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 1 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] 로그의 밑의 변환 성질 \(\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m}\log_a b\)를 이용하여 밑을 \(2\)로 통일한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log_{4} x^{3} = \dfrac{3}{2}\log_{2} x\)이므로 \(\left(1 + \dfrac{3}{2}\right)\log_{2} x = \dfrac{5}{2}\log_{2} x = 10\)에서 \(\log_{2} x = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\log_{2}(8x) = \log_{2} 8 + \log_{2} x = 3 + 4 = 7\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) 로그의 밑의 변환 성질 \(\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m}\log_a b\)를 이용하여 밑을 \(2\)로 통일한다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) \(\log_{4} x^{3} = \dfrac{3}{2}\log_{2} x\)이므로 \(\left(1 + \dfrac{3}{2}\right)\log_{2} x = \dfrac{5}{2}\log_{2} x = 10\)에서 \(\log_{2} x = 4\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 따라서 \(\log_{2}(8x) = \log_{2} 8 + \log_{2} x = 3 + 4 = 7\)이다. 1점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
진수 조건 \(x>0\)을 먼저 확인하고, 밑 \(4=2^2\)을 지수 법칙으로 꺼낼 때 분모로 나감을 정확히 서술해야 감점이 없습니다.
🎯 [최종 정답] \(7\)
【문제 2】 원문 요약 — 등차수열 [배점 4점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02] 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(a_3 + a_7 = 24\)이고 \(a_5 - a_2 = 9\)일 때, \(a_{10}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 2 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] 등차수열의 일반항 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)와 등차중항 \(a_3 + a_7 = 2a_5\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2a_5 = 24\)에서 \(a_5 = 12\)이고, \(a_5 - a_2 = 3d = 9\)에서 공차 \(d = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a_{10} = a_5 + 5d = 12 + 5 \times 3 = 27\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) 등차수열의 일반항 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)와 등차중항 \(a_3 + a_7 = 2a_5\)를 적용한다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) \(2a_5 = 24\)에서 \(a_5 = 12\)이고, \(a_5 - a_2 = 3d = 9\)에서 공차 \(d = 3\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 따라서 \(a_{10} = a_5 + 5d = 12 + 5 \times 3 = 27\)이다. 1점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
첫째항 \(a_1\)을 굳이 구하지 않고도 \(a_{10} = a_5 + 5d\)로 바로 연결하면 계산 실수를 줄일 수 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(27\)
【문제 3】 원문 요약 — 함수의 극한 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = 3\), \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 5\)를 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 3 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 무한대 극한에서 차수와 최고차항 계수를 결정하고, \(x \to 1\) 극한에서 인수 \(x-1\)을 확정한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 첫 번째 식에서 \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 + ax + b\)이고, 두 번째 식에서 \(f(1)=0\)이므로 \(b = -a-5\)이다. \(\lim_{x \to 1}\dfrac{2x^3+3x^2+ax-a-5}{x-1} = \lim_{x \to 1}(2x^2+5x+5+a) = 12+a = 5\)이므로 \(a = -7,\ b = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 7x + 2\)이므로 \(f(2) = 16 + 12 - 14 + 2 = 16\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 무한대 극한에서 차수와 최고차항 계수를 결정하고, \(x \to 1\) 극한에서 인수 \(x-1\)을 확정한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) 첫 번째 식에서 \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 + ax + b\)이고, 두 번째 식에서 \(f(1)=0\)이므로 \(b = -a-5\)이다. \(\lim_{x \to 1}\dfrac{2x^3+3x^2+ax-a-5}{x-1} = \lim_{x \to 1}(2x^2+5x+5+a) = 12+a = 5\)이므로 \(a = -7,\ b = 2\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 따라서 \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 7x + 2\)이므로 \(f(2) = 16 + 12 - 14 + 2 = 16\)이다. 2점
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인수정리 \(f(1)=0\) 선언 후 조립제법 또는 미분계수 \(f'(1)=5\)를 이용해 계수를 확정하는 과정을 빠뜨리지 마세요.
🎯 [최종 정답] \(16\)
【문제 4】 원문 요약 — 삼각함수 [배점 8점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-02] \(0 \le x \lt 2\pi\)일 때, 방정식 \(2\cos^2 x - 3\sin x - 3 = 0\)의 모든 해의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 4 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 삼각함수의 기본 관계 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 \(\sin x\)에 대한 이차방정식으로 변환한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2(1-\sin^2 x)-3\sin x -3 = 0 \iff 2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0 \iff (2\sin x+1)(\sin x+1)=0\)에서 \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(0 \le x \lt 2\pi\)에서 해는 \(\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}\)이므로 모든 해의 합은 \(\dfrac{7\pi+11\pi+9\pi}{6} = \dfrac{9\pi}{2}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 삼각함수의 기본 관계 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 \(\sin x\)에 대한 이차방정식으로 변환한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) \(2(1-\sin^2 x)-3\sin x -3 = 0 \iff 2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0 \iff (2\sin x+1)(\sin x+1)=0\)에서 \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) \(0 \le x \lt 2\pi\)에서 해는 \(\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}\)이므로 모든 해의 합은 \(\dfrac{7\pi+11\pi+9\pi}{6} = \dfrac{9\pi}{2}\)이다. 2점
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\(\sin x = -1\)의 해 \(\frac{3\pi}{2}\)를 누락하지 않도록 단위나 대칭성(\(\pi\) 기준 합 \(3\pi\))을 반드시 확인하세요.
🎯 [최종 정답] \(\frac{9\pi}{2}\)
【문제 5】 원문 요약 — 도함수의 활용 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05] 곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 4x + 1\) 위의 점 \((1,\ 3)\)에서의 접선이 점 \((3,\ k)\)를 지날 때, 실수 \(k\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 5 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(y' = f'(x)\)를 구하여 접점 \((1,\ 3)\)에서의 접선의 기울기 \(f'(1)\)을 계산한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 4\)이므로 \(f'(1) = 3 - 6 + 4 = 1\)이고, 접선의 방정식은 \(y - 3 = 1(x - 1)\), 즉 \(y = x + 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 이 직선이 점 \((3,\ k)\)를 지나므로 \(k = 3 + 2 = 5\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 도함수 \(y' = f'(x)\)를 구하여 접점 \((1,\ 3)\)에서의 접선의 기울기 \(f'(1)\)을 계산한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 4\)이므로 \(f'(1) = 3 - 6 + 4 = 1\)이고, 접선의 방정식은 \(y - 3 = 1(x - 1)\), 즉 \(y = x + 2\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 이 직선이 점 \((3,\ k)\)를 지나므로 \(k = 3 + 2 = 5\)이다. 2점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
접점이 곡선 위에 있는지 확인(\(1-3+4+1=3\))한 뒤 접선의 방정식을 명시하는 것이 기본 채점 기준입니다.
🎯 [최종 정답] \(5\)
【문제 6】 원문 요약 — 지수 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-08] 부등식 \(\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + \log_{\frac{1}{2}}(x - 6) \ge -5\)를 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 진수 조건 \(x - 2 > 0,\ x - 6 > 0\)에서 \(x > 6\)을 먼저 확정하고, 밑이 \(\dfrac{1}{2} \lt 1\)이므로 부등호 방향이 반대로 바뀜을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log_{\frac{1}{2}}\{(x-2)(x-6)\} \ge \log_{\frac{1}{2}} 32 \implies (x-2)(x-6) \le 32 \iff x^2 - 8x - 20 \le 0 \iff (x-10)(x+2) \le 0\)이므로 \(-2 \le x \le 10\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 진수 조건 \(x > 6\)과의 공통범위는 \(6 \lt x \le 10\)이므로 정수 \(x\)는 \(7, 8, 9, 10\)이고 합은 \(34\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) 진수 조건 \(x - 2 > 0,\ x - 6 > 0\)에서 \(x > 6\)을 먼저 확정하고, 밑이 \(\dfrac{1}{2} \lt 1\)이므로 부등호 방향이 반대로 바뀜을 적용한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(\log_{\frac{1}{2}}\{(x-2)(x-6)\} \ge \log_{\frac{1}{2}} 32 \implies (x-2)(x-6) \le 32 \iff x^2 - 8x - 20 \le 0 \iff (x-10)(x+2) \le 0\)이므로 \(-2 \le x \le 10\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 진수 조건 \(x > 6\)과의 공통범위는 \(6 \lt x \le 10\)이므로 정수 \(x\)는 \(7, 8, 9, 10\)이고 합은 \(34\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
로그부등식에서 진수 조건 누락 시 최소 3~4점 감점되므로 1줄에 반드시 \(x>6\)을 선언하세요.
🎯 [최종 정답] \(34\)
【문제 7】 원문 요약 — 도함수의 활용(극값) [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] 함수 \(f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(a^2 - 4)x + 5\)가 \(x = 1\)에서 극댓값을 가질 때, \(f(x)\)의 극솟값을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 미분가능한 함수가 \(x = 1\)에서 극댓값을 가지므로 \(f'(1) = 0\)이고, \(x = 1\) 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀐다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3(a^2 - 4) = 3(x - a + 2)(x - a - 2)\)이다. \(f'(1) = 0\)이면 \(a = 3\) 또는 \(a = -1\)인데, \(x=1\)이 작은 근(\(a-2=1\))이어야 극댓값이므로 \(a = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 극솟값은 \(x = a + 2 = 5\)에서 \(f(5) = 125 - 9(25) + 15(5) + 5 = -20\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) 미분가능한 함수가 \(x = 1\)에서 극댓값을 가지므로 \(f'(1) = 0\)이고, \(x = 1\) 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀐다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3(a^2 - 4) = 3(x - a + 2)(x - a - 2)\)이다. \(f'(1) = 0\)이면 \(a = 3\) 또는 \(a = -1\)인데, \(x=1\)이 작은 근(\(a-2=1\))이어야 극댓값이므로 \(a = 3\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 극솟값은 \(x = a + 2 = 5\)에서 \(f(5) = 125 - 9(25) + 15(5) + 5 = -20\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
\(f'(1)=0\)에서 나온 두 \(a\) 값 중 극대 조건(\(f''(1) \lt 0\) 또는 도함수 부호 변화)을 판별해 하나를 배제하는 과정이 핵심입니다.
🎯 [최종 정답] \(-20\)
【문제 8】 원문 요약 — 정적분과 함수 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] 다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = 3x^2 - 2x + \int_{0}^{2} f(t)\,dt\)를 만족시킬 때, \(f(3)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분 \(\int_{0}^{2} f(t)\,dt = k\) (상수)로 치환하여 \(f(x)\)의 식을 세운다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x) = 3x^2 - 2x + k\)를 적분에 대입하면 \(k = \int_{0}^{2} (3t^2 - 2t + k)\,dt = \left[t^3 - t^2 + kt\right]_{0}^{2} = 8 - 4 + 2k = 4 + 2k\)이므로 \(k = -4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(x) = 3x^2 - 2x - 4\)이므로 \(f(3) = 27 - 6 - 4 = 17\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) 정적분 \(\int_{0}^{2} f(t)\,dt = k\) (상수)로 치환하여 \(f(x)\)의 식을 세운다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(f(x) = 3x^2 - 2x + k\)를 적분에 대입하면 \(k = \int_{0}^{2} (3t^2 - 2t + k)\,dt = \left[t^3 - t^2 + kt\right]_{0}^{2} = 8 - 4 + 2k = 4 + 2k\)이므로 \(k = -4\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(f(x) = 3x^2 - 2x - 4\)이므로 \(f(3) = 27 - 6 - 4 = 17\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
위·아래 끝이 상수인 정적분은 하나의 상수 \(k\)로 두는 것이 표준 풀이의 출발점입니다.
🎯 [최종 정답] \(17\)
【문제 9】 원문 요약 — 사인법칙과 코사인법칙 [배점 16점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5,\ \overline{\mathrm{AC}} = 7,\ \angle\mathrm{A} = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이 \(R\)에 대하여 \(R^2\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 9 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙으로 대변 \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 길이를 구한 뒤, 사인법칙 \(\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = 2R\)을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cos\dfrac{\pi}{3} = 25 + 49 - 35 = 39\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{39}\)이다. 사인법칙에서 \(2R = \dfrac{\sqrt{39}}{\sin\frac{\pi}{3}} = \dfrac{\sqrt{39}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{13}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(R = \sqrt{13}\)이므로 \(R^2 = 13\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) 코사인법칙으로 대변 \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 길이를 구한 뒤, 사인법칙 \(\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = 2R\)을 적용한다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cos\dfrac{\pi}{3} = 25 + 49 - 35 = 39\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{39}\)이다. 사인법칙에서 \(2R = \dfrac{\sqrt{39}}{\sin\frac{\pi}{3}} = \dfrac{\sqrt{39}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{13}\)이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) 따라서 \(R = \sqrt{13}\)이므로 \(R^2 = 13\)이다. 5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
변의 길이 제곱 \(R^2\)을 묻는 문제이므로 마지막에 루트를 벗겨 \(13\)으로 마무리해야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(13\)
【문제 10】 원문 요약 — 정적분의 활용(넓이) [배점 16점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 곡선 \(y = x^3 - 4x\)와 이 곡선 위의 점 \((1,\ -3)\)에서의 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제1회 문항 10 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] 접선의 방정식을 먼저 구한 뒤, 곡선과 접선의 다른 교점의 \(x\)좌표를 찾아 정적분 넓이 공식에 대입한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(y' = 3x^2 - 4\)이므로 \(x=1\)에서의 접선은 \(y = -(x-1)-3 = -x-2\)이다. \(x^3 - 4x = -x - 2 \iff x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2) = 0\)에서 다른 교점은 \(x = -2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 둘러싸인 넓이는 \(\int_{-2}^{1} \{(x^3 - 4x) - (-x - 2)\}\,dx = \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{-2}^{1} = \dfrac{3}{4} - (-6) = \dfrac{27}{4}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) 접선의 방정식을 먼저 구한 뒤, 곡선과 접선의 다른 교점의 \(x\)좌표를 찾아 정적분 넓이 공식에 대입한다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) \(y' = 3x^2 - 4\)이므로 \(x=1\)에서의 접선은 \(y = -(x-1)-3 = -x-2\)이다. \(x^3 - 4x = -x - 2 \iff x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2) = 0\)에서 다른 교점은 \(x = -2\)이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) 둘러싸인 넓이는 \(\int_{-2}^{1} \{(x^3 - 4x) - (-x - 2)\}\,dx = \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{-2}^{1} = \dfrac{3}{4} - (-6) = \dfrac{27}{4}\)이다. 5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
삼차함수와 접선으로 둘러싸인 넓이 공식 \(\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4 = \frac{1}{12}\cdot 3^4 = \frac{27}{4}\)은 검산용으로만 쓰고, 풀이는 정적분으로 서술하세요.
🎯 [최종 정답] \(\frac{27}{4}\)
【문제 1】 원문 요약 — 지수법칙 [배점 4점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] 양수 \(a\)에 대하여 \(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3\)일 때, \(a^2 + a^{-2}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 1 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] 곱셈 공식 \((x + x^{-1})^2 = x^2 + x^{-2} + 2\)를 두 번 연속 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a + a^{-1} = \left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 - 2 = 9 - 2 = 7\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a^2 + a^{-2} = (a + a^{-1})^2 - 2 = 49 - 2 = 47\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) 곱셈 공식 \((x + x^{-1})^2 = x^2 + x^{-2} + 2\)를 두 번 연속 적용한다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) \(a + a^{-1} = \left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 - 2 = 9 - 2 = 7\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 따라서 \(a^2 + a^{-2} = (a + a^{-1})^2 - 2 = 49 - 2 = 47\)이다. 1점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
지수 연산에서 중간값 \(a + a^{-1} = 7\)을 명확히 밝히면 100% 만점 처리됩니다.
🎯 [최종 정답] \(47\)
【문제 2】 원문 요약 — 등비수열 [배점 4점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-03] 모든 항이 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(a_2 a_4 = 36\)이고 \(a_5 = 24\)일 때, \(a_1\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 2 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] 등비중항 \(a_2 a_4 = a_3^2\)과 모든 항이 양수라는 조건을 이용해 \(a_3\)을 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_3^2 = 36,\ a_3 > 0\)이므로 \(a_3 = 6\)이다. 공비를 \(r\)이라 하면 \(a_5 = a_3 r^2 = 6r^2 = 24\)에서 \(r^2 = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a_1 = \dfrac{a_3}{r^2} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) 등비중항 \(a_2 a_4 = a_3^2\)과 모든 항이 양수라는 조건을 이용해 \(a_3\)을 구한다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) \(a_3^2 = 36,\ a_3 > 0\)이므로 \(a_3 = 6\)이다. 공비를 \(r\)이라 하면 \(a_5 = a_3 r^2 = 6r^2 = 24\)에서 \(r^2 = 4\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 따라서 \(a_1 = \dfrac{a_3}{r^2} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\)이다. 1점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
등비수열에서 \(r^2 = 4\)만 구해도 \(a_1 = a_3 / r^2\)을 바로 계산할 수 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(\frac{3}{2}\)
【문제 3】 원문 요약 — 함수의 연속 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] 함수 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x^2 + 3} - 2}{x - 1} & (x \ne 1) \\ a & (x = 1) \end{cases}\)이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 3 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 함수 \(f(x)\)가 \(x = 1\)에서 연속이려면 \(\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = a\)가 성립해야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 분자를 유리화하면 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2 + 3) - 4}{(x - 1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)} = \lim_{x \to 1} \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 3} + 2} = \dfrac{2}{2 + 2} = \dfrac{1}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a = \dfrac{1}{2}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 함수 \(f(x)\)가 \(x = 1\)에서 연속이려면 \(\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = a\)가 성립해야 한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) 분자를 유리화하면 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2 + 3) - 4}{(x - 1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)} = \lim_{x \to 1} \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 3} + 2} = \dfrac{2}{2 + 2} = \dfrac{1}{2}\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 따라서 \(a = \dfrac{1}{2}\)이다. 2점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
\(x \ne 1\)일 때 약분 가능함을 명시하고 극한값=함숫값 등식을 적어야 감점이 없습니다.
🎯 [최종 정답] \(\frac{1}{2}\)
【문제 4】 원문 요약 — 지수함수와 로그함수의 최대 [배점 8점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07] 닫힌구간 \([1,\ 8]\)에서 함수 \(f(x) = (\log_2 x)^2 - 4\log_2 x + 7\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 4 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(t = \log_2 x\)로 치환하고 구간 \(1 \le x \le 8\)에 대응하는 \(t\)의 범위 \(0 \le t \le 3\)을 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(g(t) = t^2 - 4t + 7 = (t - 2)^2 + 3\) (\(0 \le t \le 3\))이므로 \(t = 2\)에서 최솟값 \(3\), \(t = 0\)에서 최댓값 \(7\)을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 \(7 + 3 = 10\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) \(t = \log_2 x\)로 치환하고 구간 \(1 \le x \le 8\)에 대응하는 \(t\)의 범위 \(0 \le t \le 3\)을 구한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) \(g(t) = t^2 - 4t + 7 = (t - 2)^2 + 3\) (\(0 \le t \le 3\))이므로 \(t = 2\)에서 최솟값 \(3\), \(t = 0\)에서 최댓값 \(7\)을 갖는다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 \(7 + 3 = 10\)이다. 2점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
치환 시 새로운 변수 \(t\)의 범위(\(0 \le t \le 3\))를 반드시 먼저 명시해야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(10\)
【문제 5】 원문 요약 — 미분계수와 도함수 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f(2) = 3,\ f'(2) = 4\)일 때, \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + 3h) - f(2 - h)}{2h}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 5 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 미분계수의 정의 \(f'(2) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\) 형태로 분자를 변형한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\lim_{h \to 0} \dfrac{\{f(2 + 3h) - f(2)\} - \{f(2 - h) - f(2)\}}{2h} = \dfrac{3}{2}f'(2) + \dfrac{1}{2}f'(2) = 2f'(2)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(2 \times 4 = 8\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 미분계수의 정의 \(f'(2) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\) 형태로 분자를 변형한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\lim_{h \to 0} \dfrac{\{f(2 + 3h) - f(2)\} - \{f(2 - h) - f(2)\}}{2h} = \dfrac{3}{2}f'(2) + \dfrac{1}{2}f'(2) = 2f'(2)\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 따라서 \(2 \times 4 = 8\)이다. 2점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
\(-f(2)+f(2)\)를 분자에 더하고 빼는 미분계수 꼴 변형을 명확히 적어 주세요.
🎯 [최종 정답] \(8\)
【문제 6】 원문 요약 — 수열의 합 [배점 12점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-07] 첫째항이 \(1\)이고 공차가 \(2\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\sum_{k=1}^{24} \dfrac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(a_k = 2k - 1\)이므로 분모를 유리화하여 망원급수(소거형) 형태로 변형한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\dfrac{1}{\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1}} = \dfrac{\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}}{2}\)이므로 합은 \(\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{24}(\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1})\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 이웃한 항이 소거되어 \(\dfrac{1}{2}(\sqrt{49} - \sqrt{1}) = \dfrac{7 - 1}{2} = 3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) \(a_k = 2k - 1\)이므로 분모를 유리화하여 망원급수(소거형) 형태로 변형한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(\dfrac{1}{\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1}} = \dfrac{\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}}{2}\)이므로 합은 \(\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{24}(\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1})\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 이웃한 항이 소거되어 \(\dfrac{1}{2}(\sqrt{49} - \sqrt{1}) = \dfrac{7 - 1}{2} = 3\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
유리화할 때 공차 \(a_{k+1}-a_k = 2\)가 분모에 남는 점을 놓치지 마세요.
🎯 [최종 정답] \(3\)
【문제 7】 원문 요약 — 도함수의 활용(방정식) [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.42 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] 방정식 \(2x^3 - 6x^2 - 18x + k = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 \(k\)의 개수를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 18x\)로 두고 \(y = f(x)\)와 \(y = -k\)의 교점이 \(3\)개일 조건(\((\text{극댓값}) > -k > (\text{극솟값})\))을 사용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 6x^2 - 12x - 18 = 6(x + 1)(x - 3) = 0\)에서 \(x = -1,\ 3\)이다. 극댓값은 \(f(-1) = 10\), 극솟값은 \(f(3) = -54\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(-54 \lt -k \lt 10 \iff -10 \lt k \lt 54\)이므로 정수 \(k\)는 \(-9\)부터 \(53\)까지 총 \(53 - (-9) + 1 = 63\)개이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) \(f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 18x\)로 두고 \(y = f(x)\)와 \(y = -k\)의 교점이 \(3\)개일 조건(\((\text{극댓값}) > -k > (\text{극솟값})\))을 사용한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(f'(x) = 6x^2 - 12x - 18 = 6(x + 1)(x - 3) = 0\)에서 \(x = -1,\ 3\)이다. 극댓값은 \(f(-1) = 10\), 극솟값은 \(f(3) = -54\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(-54 \lt -k \lt 10 \iff -10 \lt k \lt 54\)이므로 정수 \(k\)는 \(-9\)부터 \(53\)까지 총 \(53 - (-9) + 1 = 63\)개이다. 3점
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양 끝 등호가 빠진 열린 구간 \(-10 \lt k \lt 54\)의 정수 개수는 \(54 - (-10) - 1 = 63\)개입니다.
🎯 [최종 정답] \(63\)
【문제 8】 원문 요약 — 정적분의 성질 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03] 정적분 \(\int_{-2}^{2} (5x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 7x + 1)\,dx\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 적분 구간 \([-2,\ 2]\)가 원점 대칭이므로 기함수(홀수 차수 항)의 정적분은 \(0\)이고, 우함수(짝수 차수 항)는 \(2\int_{0}^{2}\)로 계산한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\int_{-2}^{2} (-3x^3 - 7x)\,dx = 0\)이므로 준 식은 \(2\int_{0}^{2} (5x^4 + 6x^2 + 1)\,dx\)와 같다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(2\left[x^5 + 2x^3 + x\right]_{0}^{2} = 2(32 + 16 + 2) = 100\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) 적분 구간 \([-2,\ 2]\)가 원점 대칭이므로 기함수(홀수 차수 항)의 정적분은 \(0\)이고, 우함수(짝수 차수 항)는 \(2\int_{0}^{2}\)로 계산한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(\int_{-2}^{2} (-3x^3 - 7x)\,dx = 0\)이므로 준 식은 \(2\int_{0}^{2} (5x^4 + 6x^2 + 1)\,dx\)와 같다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) \(2\left[x^5 + 2x^3 + x\right]_{0}^{2} = 2(32 + 16 + 2) = 100\)이다. 3점
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기함수/우함수 성질을 선언하면 계산량을 절반 이하로 줄이고 계산 실수를 방지할 수 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(100\)
【문제 9】 원문 요약 — 삼각함수 그래프와 교점 [배점 16점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] 닫힌구간 \([0,\ 2\pi]\)에서 두 곡선 \(y = 2\cos^2 x - 1\)과 \(y = \sin x\)가 만나는 모든 점의 \(x\)좌표의 합을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 9 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] 삼각함수의 성질 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 \(\sin x\)에 관한 이차방정식을 세운다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2(1 - \sin^2 x) - 1 = \sin x \iff 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \iff (2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0\)이므로 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(0 \le x \le 2\pi\)에서 해는 \(x = \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{3\pi}{2}\)이므로 모든 \(x\)좌표의 합은 \(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{5\pi}{6} + \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{5\pi}{2}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) 삼각함수의 성질 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 \(\sin x\)에 관한 이차방정식을 세운다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) \(2(1 - \sin^2 x) - 1 = \sin x \iff 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \iff (2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0\)이므로 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\)이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) \(0 \le x \le 2\pi\)에서 해는 \(x = \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{3\pi}{2}\)이므로 모든 \(x\)좌표의 합은 \(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{5\pi}{6} + \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{5\pi}{2}\)이다. 5점
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\(\sin x = -1\)의 해 \(\frac{3\pi}{2}\)를 빠뜨리지 않도록 \([0,\ 2\pi]\) 범위에서 삼각함수 그래프의 교점을 모두 확인하세요.
🎯 [최종 정답] \(\frac{5\pi}{2}\)
【문제 10】 원문 요약 — 속도와 거리 [배점 16점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.44 정적분 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\ (t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, \(t = 0\)에서 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제2회 문항 10 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] 움직인 거리는 속도의 절댓값의 정적분 \(\int_{0}^{4} |v(t)|\,dt\)이므로 \(v(t) = 0\)이 되는 시각에서 구간을 나눈다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)에서 \(t = 1,\ 3\)이며, \([0,1]\)과 \([3,4]\)에서 \(v(t) \ge 0\), \([1,3]\)에서 \(v(t) \le 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\int_{0}^{1} v(t)\,dt - \int_{1}^{3} v(t)\,dt + \int_{3}^{4} v(t)\,dt = \left[t^3 - 6t^2 + 9t\right]_{0}^{1} - \left[t^3 - 6t^2 + 9t\right]_{1}^{3} + \left[t^3 - 6t^2 + 9t\right]_{3}^{4} = 4 - (0 - 4) + (4 - 0) = 12\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) 움직인 거리는 속도의 절댓값의 정적분 \(\int_{0}^{4} |v(t)|\,dt\)이므로 \(v(t) = 0\)이 되는 시각에서 구간을 나눈다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) \(v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)에서 \(t = 1,\ 3\)이며, \([0,1]\)과 \([3,4]\)에서 \(v(t) \ge 0\), \([1,3]\)에서 \(v(t) \le 0\)이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) \(\int_{0}^{1} v(t)\,dt - \int_{1}^{3} v(t)\,dt + \int_{3}^{4} v(t)\,dt = \left[t^3 - 6t^2 + 9t\right]_{0}^{1} - \left[t^3 - 6t^2 + 9t\right]_{1}^{3} + \left[t^3 - 6t^2 + 9t\right]_{3}^{4} = 4 - (0 - 4) + (4 - 0) = 12\)이다. 5점
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위치의 변화량(\(\int_0^4 v(t)\,dt = 4\))과 움직인 거리(\(\int_0^4 |v(t)|\,dt = 12\))를 반드시 구분해 서술하세요.
🎯 [최종 정답] \(12\)
【문제 1】 원문 요약 — 거듭제곱근 [배점 4점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-01] \(2 \le n \le 12\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \((-n^2 + 11n - 24)^{\frac{1}{n}}\)의 값이 실수가 되도록 하는 모든 \(n\)의 값의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 1 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(a^{\frac{1}{n}}\)이 실수가 되려면 \(n\)이 짝수일 때 \(a \ge 0\), \(n\)이 홀수일 때 \(a\)가 임의의 실수여야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(-n^2 + 11n - 24 = -(n - 3)(n - 8) \ge 0\)인 범위는 \(3 \le n \le 8\)이다. 따라서 짝수 \(n \in \{4, 6, 8\}\)과 홀수 \(n \in \{3, 5, 7, 9, 11\}\)이 모두 가능하다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 모든 \(n\)의 합은 \((4 + 6 + 8) + (3 + 5 + 7 + 9 + 11) = 18 + 35 = 53\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) \(a^{\frac{1}{n}}\)이 실수가 되려면 \(n\)이 짝수일 때 \(a \ge 0\), \(n\)이 홀수일 때 \(a\)가 임의의 실수여야 한다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) \(-n^2 + 11n - 24 = -(n - 3)(n - 8) \ge 0\)인 범위는 \(3 \le n \le 8\)이다. 따라서 짝수 \(n \in \{4, 6, 8\}\)과 홀수 \(n \in \{3, 5, 7, 9, 11\}\)이 모두 가능하다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 모든 \(n\)의 합은 \((4 + 6 + 8) + (3 + 5 + 7 + 9 + 11) = 18 + 35 = 53\)이다. 1점
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\(a=0\)일 때도 \(0^{\frac{1}{n}}=0\)으로 실수가 되므로 짝수 \(n\) 조건에서 등호(\(a \ge 0\))를 놓치지 마세요.
🎯 [최종 정답] \(53\)
【문제 2】 원문 요약 — 등차수열과 합 [배점 4점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-04] 첫째항이 \(23\)이고 공차가 정수 \(d\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 \(n = 6\)일 때 최댓값을 갖도록 하는 모든 정수 \(d\)의 값의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 2 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(S_n\)이 \(n = 6\)에서 최댓값을 가지므로 \(a_6 \ge 0\)이고 \(a_7 \le 0\)이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_6 = 23 + 5d \ge 0 \implies d \ge -4.6\), \(a_7 = 23 + 6d \le 0 \implies d \le -\dfrac{23}{6} \approx -3.83\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 정수 \(d\)는 \(-4\)뿐이므로 모든 정수 \(d\)의 합은 \(-4\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) \(S_n\)이 \(n = 6\)에서 최댓값을 가지므로 \(a_6 \ge 0\)이고 \(a_7 \le 0\)이어야 한다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) \(a_6 = 23 + 5d \ge 0 \implies d \ge -4.6\), \(a_7 = 23 + 6d \le 0 \implies d \le -\dfrac{23}{6} \approx -3.83\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 정수 \(d\)는 \(-4\)뿐이므로 모든 정수 \(d\)의 합은 \(-4\)이다. 1점
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정수 \(d\)의 부호와 부등호의 등호 포함 여부를 정확히 판정해야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(-4\)
【문제 3】 원문 요약 — 곱의 연속성 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03] 함수 \(f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x \lt 1) \\ x^2 - 4x + 1 & (x \ge 1) \end{cases}\)에 대하여 함수 \((x^2 + ax + b)f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, \(a + b\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 3 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x)\)가 \(x = 1\)에서 불연속(\(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 \ne \lim_{x \to 1^+} f(x) = -2\))이므로 다항식 \(g(x) = x^2 + ax + b\)가 \(g(1) = 0\)을 만족해야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(g(1) = 1 + a + b = 0\)에서 \(a + b = -1\)이다. (이때 좌극한과 우극한 모두 \(0 \times 3 = 0 \times (-2) = 0\)으로 일치한다.)
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a + b = -1\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) \(f(x)\)가 \(x = 1\)에서 불연속(\(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 \ne \lim_{x \to 1^+} f(x) = -2\))이므로 다항식 \(g(x) = x^2 + ax + b\)가 \(g(1) = 0\)을 만족해야 한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) \(g(1) = 1 + a + b = 0\)에서 \(a + b = -1\)이다. (이때 좌극한과 우극한 모두 \(0 \times 3 = 0 \times (-2) = 0\)으로 일치한다.) 4점 3단계: 최종결론 (2점) 따라서 \(a + b = -1\)이다. 2점
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곱함수의 연속 조건에서 불연속점의 좌·우극한이 다르므로 \(g(1)=0\)이 필요충분조건임을 명시하세요.
🎯 [최종 정답] \(-1\)
【문제 4】 원문 요약 — 로그함수와 직선 [배점 8점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-07] 두 곡선 \(y = \log_2(x - 1)\)과 \(y = \log_2(7 - x)\)의 교점을 \(\mathrm{A}\), 두 곡선이 \(x\)축과 만나는 점을 각각 \(\mathrm{B},\ \mathrm{C}\)라 할 때, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 4 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 교점 \(\mathrm{A}\)의 좌표와 두 \(x\)절편 \(\mathrm{B},\ \mathrm{C}\)의 좌표를 각각 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x - 1 = 7 - x \implies x = 4\)에서 \(\mathrm{A}(4,\ \log_2 3)\)이다. \(y=0\)일 때 \(x-1=1 \implies \mathrm{B}(2,0)\), \(7-x=1 \implies \mathrm{C}(6,0)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 밑변 \(\overline{\mathrm{BC}} = 6 - 2 = 4\), 높이 \(\log_2 3\)이므로 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 4 \times \log_2 3 = 2\log_2 3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 교점 \(\mathrm{A}\)의 좌표와 두 \(x\)절편 \(\mathrm{B},\ \mathrm{C}\)의 좌표를 각각 구한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) \(x - 1 = 7 - x \implies x = 4\)에서 \(\mathrm{A}(4,\ \log_2 3)\)이다. \(y=0\)일 때 \(x-1=1 \implies \mathrm{B}(2,0)\), \(7-x=1 \implies \mathrm{C}(6,0)\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 밑변 \(\overline{\mathrm{BC}} = 6 - 2 = 4\), 높이 \(\log_2 3\)이므로 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 4 \times \log_2 3 = 2\log_2 3\)이다. 2점
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진수 조건 \(1 \lt x \lt 7\) 확인 후 밑변이 \(x\)축 위에 놓임을 이용하면 간단히 넓이를 구할 수 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(2\log_2 3\)
【문제 5】 원문 요약 — 미분가능성 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] 함수 \(f(x) = \begin{cases} x^3 + ax & (x \lt 1) \\ bx^2 + 3x + 2 & (x \ge 1) \end{cases}\)이 \(x = 1\)에서 미분가능할 때, 상수 \(a,\ b\)에 대하여 \(a^2 + b^2\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 5 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x = 1\)에서 미분가능하려면 먼저 \(x = 1\)에서 연속이어야 하고, 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 연속 조건: \(1 + a = b + 5 \implies a - b = 4\). 미분계수 조건: \(3(1)^2 + a = 2b(1) + 3 \implies a = 2b\).
[3줄: 최종결론 (30%)] 연립하면 \(2b - b = 4 \implies b = 4,\ a = 8\)이므로 \(a^2 + b^2 = 64 + 16 = 80\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) \(x = 1\)에서 미분가능하려면 먼저 \(x = 1\)에서 연속이어야 하고, 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) 연속 조건: \(1 + a = b + 5 \implies a - b = 4\). 미분계수 조건: \(3(1)^2 + a = 2b(1) + 3 \implies a = 2b\). 4점 3단계: 최종결론 (2점) 연립하면 \(2b - b = 4 \implies b = 4,\ a = 8\)이므로 \(a^2 + b^2 = 64 + 16 = 80\)이다. 2점
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미분가능성 문제에서는 반드시 ① 연속 조건과 ② 좌·우 미분계수 일치 조건을 각각 번호 매겨 서술하세요.
🎯 [최종 정답] \(80\)
【문제 6】 원문 요약 — 귀납적 정의와 주기성 [배점 12점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 중단원 마무리 변형 | 성취기준: 12대수03-06] 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{a_n}{2} & (a_n \text{이 짝수}) \\ a_n + 5 & (a_n \text{이 홀수}) \end{cases}\)을 만족시킬 때, \(\sum_{k=1}^{30} a_k\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 초기항부터 차례로 대입하여 수열의 규칙성(주기성)을 찾는다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_1 = 2 \to a_2 = 1 \to a_3 = 6 \to a_4 = 3 \to a_5 = 8 \to a_6 = 4 \to a_7 = 2\)이므로 주기가 \(6\)이고 한 주기의 합은 \(2 + 1 + 6 + 3 + 8 + 4 = 24\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 주기 \(6\)인 \((2, 1, 6, 3, 8, 4)\)가 \(30 \div 6 = 5\)번 반복되므로 \(\sum_{k=1}^{30} a_k = 5 \times 24 = 120\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) 초기항부터 차례로 대입하여 수열의 규칙성(주기성)을 찾는다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(a_1 = 2 \to a_2 = 1 \to a_3 = 6 \to a_4 = 3 \to a_5 = 8 \to a_6 = 4 \to a_7 = 2\)이므로 주기가 \(6\)이고 한 주기의 합은 \(2 + 1 + 6 + 3 + 8 + 4 = 24\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 주기 \(6\)인 \((2, 1, 6, 3, 8, 4)\)가 \(30 \div 6 = 5\)번 반복되므로 \(\sum_{k=1}^{30} a_k = 5 \times 24 = 120\)이다. 3점
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수열의 귀납적 정의에서 몇 번째 항부터 주기가 반복되는지 항 번호를 정확히 나열해 보여야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(120\)
【문제 7】 원문 요약 — 절댓값 함수의 미분 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.43 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) = |f(x) - f(1)|\)이 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, \(f(4) - f(1)\)의 값을 구하시오. (단, \(f'(0) = 3\)이다.)
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(|f(x) - f(1)|\)이 실수 전체에서 미분가능하려면 \(f(x) - f(1) = 0\)의 실근이 오직 중근·삼중근뿐이어야 하므로 \(f(x) - f(1) = (x - 1)^3\)이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 검산하면 \(f'(x) = 3(x - 1)^2\)이므로 \(f'(0) = 3(-1)^2 = 3\)으로 조건에 부합한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(4) - f(1) = (4 - 1)^3 = 27\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) \(|f(x) - f(1)|\)이 실수 전체에서 미분가능하려면 \(f(x) - f(1) = 0\)의 실근이 오직 중근·삼중근뿐이어야 하므로 \(f(x) - f(1) = (x - 1)^3\)이어야 한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) 검산하면 \(f'(x) = 3(x - 1)^2\)이므로 \(f'(0) = 3(-1)^2 = 3\)으로 조건에 부합한다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(f(4) - f(1) = (4 - 1)^3 = 27\)이다. 3점
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단근이 존재하면 절댓값 그래프가 꺾여 미분불가능점이 생기므로 삼중근 \((x-1)^3\)이 유일한 해임을 서술하세요.
🎯 [최종 정답] \(27\)
【문제 8】 원문 요약 — 정적분과 극값 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.29 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-02-07] 함수 \(F(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 4t + 3)\,dt\)에 대하여 닫힌구간 \([0,\ 4]\)에서의 \(F(x)\)의 최댓값과 최솟값의 차를 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 미적분의 기본정리에 의해 \(F'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)\)이고 \(F(0) = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 \([0, 4]\)에서 \(F(x)\)는 \(x = 1\)에서 극대, \(x = 3\)에서 극소이다. 함숫값을 구하면 \(F(0) = 0,\ F(1) = \dfrac{1}{3}-2+3 = \dfrac{4}{3},\ F(3) = 9-18+9 = 0,\ F(4) = \dfrac{64}{3}-32+12 = \dfrac{4}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 최댓값은 \(\dfrac{4}{3}\), 최솟값은 \(0\)이므로 그 차는 \(\dfrac{4}{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) 미적분의 기본정리에 의해 \(F'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)\)이고 \(F(0) = 0\)이다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) 구간 \([0, 4]\)에서 \(F(x)\)는 \(x = 1\)에서 극대, \(x = 3\)에서 극소이다. 함숫값을 구하면 \(F(0) = 0,\ F(1) = \dfrac{1}{3}-2+3 = \dfrac{4}{3},\ F(3) = 9-18+9 = 0,\ F(4) = \dfrac{64}{3}-32+12 = \dfrac{4}{3}\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 최댓값은 \(\dfrac{4}{3}\), 최솟값은 \(0\)이므로 그 차는 \(\dfrac{4}{3}\)이다. 3점
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구간의 양 끝점 \(F(0), F(4)\)와 극점 \(F(1), F(3)\)을 모두 비교해야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(\frac{4}{3}\)
【문제 9】 원문 요약 — 삼각함수와 사인 [배점 16점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 원 \(O\)에 내접하는 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 3,\ \overline{\mathrm{BC}} = 5,\ \overline{\mathrm{CD}} = 5,\ \overline{\mathrm{DA}} = 8\)일 때, 대각선 \(\overline{\mathrm{BD}}\)의 길이의 제곱을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 9 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] 내접 사각형의 마주 보는 두 내각의 합이 \(\pi\)이므로 \(\cos C = -\cos A\)를 이용하여 두 삼각형 \(\mathrm{ABD},\ \mathrm{CBD}\)에 코사인법칙을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\overline{\mathrm{BD}}^2 = 3^2 + 8^2 - 2\cdot 3\cdot 8\cos A = 73 - 48\cos A\)이고, \(\overline{\mathrm{BD}}^2 = 5^2 + 5^2 - 2\cdot 5\cdot 5\cos(\pi - A) = 50 + 50\cos A\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 연립하면 \(73 - 48\cos A = 50 + 50\cos A \implies 98\cos A = 23 \implies \cos A = \dfrac{23}{98}\)이고, \(\overline{\mathrm{BD}}^2 = 50 + 50 \cdot \dfrac{23}{98} = 50 + \dfrac{575}{49} = \dfrac{3025}{49}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) 내접 사각형의 마주 보는 두 내각의 합이 \(\pi\)이므로 \(\cos C = -\cos A\)를 이용하여 두 삼각형 \(\mathrm{ABD},\ \mathrm{CBD}\)에 코사인법칙을 적용한다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) \(\overline{\mathrm{BD}}^2 = 3^2 + 8^2 - 2\cdot 3\cdot 8\cos A = 73 - 48\cos A\)이고, \(\overline{\mathrm{BD}}^2 = 5^2 + 5^2 - 2\cdot 5\cdot 5\cos(\pi - A) = 50 + 50\cos A\)이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) 연립하면 \(73 - 48\cos A = 50 + 50\cos A \implies 98\cos A = 23 \implies \cos A = \dfrac{23}{98}\)이고, \(\overline{\mathrm{BD}}^2 = 50 + 50 \cdot \dfrac{23}{98} = 50 + \dfrac{575}{49} = \dfrac{3025}{49}\)이다. 5점
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\(3025 = 55^2,\ 49 = 7^2\)이므로 \(\overline{\mathrm{BD}} = \frac{55}{7}\)이 됩니다. 내접 사각형 대각 관계 \(\angle A + \angle C = \pi\) 선언이 핵심입니다.
🎯 [최종 정답] \(\frac{3025}{49}\)
【문제 10】 원문 요약 — 넓이와 정적분 [배점 16점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.35 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 두 곡선 \(y = x^2 - 2x\)와 \(y = -x^2 + ax\ (a > 0)\)로 둘러싸인 도형의 넓이가 \(9\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제3회 문항 10 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] 두 곡선의 교점의 \(x\)좌표를 구하여 둘러싸인 넓이를 \(a\)에 관한 식으로 나타낸다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^2 - 2x = -x^2 + ax \iff 2x^2 - (a+2)x = 0\)에서 교점은 \(x = 0,\ \alpha = \dfrac{a+2}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 넓이 \(S = \int_{0}^{\alpha} \{(-x^2+ax)-(x^2-2x)\}\,dx = 2\cdot\dfrac{\alpha^3}{6} = \dfrac{\alpha^3}{3} = 9 \implies \alpha^3 = 27 \implies \alpha = 3\)이므로 \(\dfrac{a+2}{2} = 3 \implies a = 4\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) 두 곡선의 교점의 \(x\)좌표를 구하여 둘러싸인 넓이를 \(a\)에 관한 식으로 나타낸다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) \(x^2 - 2x = -x^2 + ax \iff 2x^2 - (a+2)x = 0\)에서 교점은 \(x = 0,\ \alpha = \dfrac{a+2}{2}\)이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) 넓이 \(S = \int_{0}^{\alpha} \{(-x^2+ax)-(x^2-2x)\}\,dx = 2\cdot\dfrac{\alpha^3}{6} = \dfrac{\alpha^3}{3} = 9 \implies \alpha^3 = 27 \implies \alpha = 3\)이므로 \(\dfrac{a+2}{2} = 3 \implies a = 4\)이다. 5점
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넓이 식 \(\int_0^\alpha (-2x^2 + (a+2)x)\,dx = \frac{\alpha^3}{3}\)을 직접 계산 과정으로 보여 주세요.
🎯 [최종 정답] \(4\)
【문제 1】 원문 요약 — 로그의 성질 [배점 4점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-04] \(1\)이 아닌 두 양수 \(a,\ b\)가 \(\log_a b + 4\log_b a = 4\)를 만족시킬 때, \(\log_a (a^3 b^2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 1 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] 밑 변환 공식 \(\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}\)을 이용하여 \(\log_a b = t\)로 치환한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(t + \dfrac{4}{t} = 4 \iff t^2 - 4t + 4 = (t - 2)^2 = 0\)에서 \(t = \log_a b = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\log_a(a^3 b^2) = 3 + 2\log_a b = 3 + 4 = 7\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) 밑 변환 공식 \(\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}\)을 이용하여 \(\log_a b = t\)로 치환한다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) \(t + \dfrac{4}{t} = 4 \iff t^2 - 4t + 4 = (t - 2)^2 = 0\)에서 \(t = \log_a b = 2\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 따라서 \(\log_a(a^3 b^2) = 3 + 2\log_a b = 3 + 4 = 7\)이다. 1점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
\(t \ne 0\) 확인 후 완전제곱식으로 \(t=2\)를 도출하면 됩니다.
🎯 [최종 정답] \(7\)
【문제 2】 원문 요약 — 수열의 합과 일반항 [배점 4점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.11 수학적 귀납법 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 \(S_n = n^2 + 3n - 2\)일 때, \(a_1 + a_5\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 2 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(a_1 = S_1\)이고, \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)임을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_1 = S_1 = 1 + 3 - 2 = 2\)이고, \(a_5 = S_5 - S_4 = (25 + 15 - 2) - (16 + 12 - 2) = 38 - 26 = 12\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a_1 + a_5 = 2 + 12 = 14\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) \(a_1 = S_1\)이고, \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)임을 적용한다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) \(a_1 = S_1 = 1 + 3 - 2 = 2\)이고, \(a_5 = S_5 - S_4 = (25 + 15 - 2) - (16 + 12 - 2) = 38 - 26 = 12\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 따라서 \(a_1 + a_5 = 2 + 12 = 14\)이다. 1점
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상수항 \(-2 \ne 0\)이므로 \(n=1\)은 반드시 \(S_1\)으로 따로 구해야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(14\)
【문제 3】 원문 요약 — 미정계수와 극한 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + ax + b}{x^2 - 4} = 3\)을 만족시키는 두 상수 \(a,\ b\)에 대하여 \(a^2 + b^2\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 3 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 분자도 \(x \to 2\)일 때 \(0\)으로 수렴해야 함을 이용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(4 + 2a + b = 0 \implies b = -2a - 4\)를 대입하면 \(\lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)(x+a+2)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{a+4}{4} = 3\)에서 \(a = 8,\ b = -20\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a^2 + b^2 = 64 + 400 = 464\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 분자도 \(x \to 2\)일 때 \(0\)으로 수렴해야 함을 이용한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) \(4 + 2a + b = 0 \implies b = -2a - 4\)를 대입하면 \(\lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)(x+a+2)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{a+4}{4} = 3\)에서 \(a = 8,\ b = -20\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 따라서 \(a^2 + b^2 = 64 + 400 = 464\)이다. 2점
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\(\frac{0}{0}\) 꼴 극한에서 인수분해 후 약분 과정을 정확히 적으세요.
🎯 [최종 정답] \(464\)
【문제 4】 원문 요약 — 지수방정식의 실근 개수 [배점 8점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] 방정식 \(4^x - k\cdot 2^{x+1} + 16 = 0\)이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 자연수 \(k\)의 최솟값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 4 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(t = 2^x\ (t > 0)\)로 치환하면 \(t^2 - 2kt + 16 = 0\)이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 판별식 \(D/4 = k^2 - 16 > 0 \implies k > 4\)이고, 두 근의 합 \(2k > 0\), 두 근의 곱 \(16 > 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(k > 4\)를 만족하는 자연수 \(k\)의 최솟값은 \(5\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) \(t = 2^x\ (t > 0)\)로 치환하면 \(t^2 - 2kt + 16 = 0\)이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) 판별식 \(D/4 = k^2 - 16 > 0 \implies k > 4\)이고, 두 근의 합 \(2k > 0\), 두 근의 곱 \(16 > 0\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 따라서 \(k > 4\)를 만족하는 자연수 \(k\)의 최솟값은 \(5\)이다. 2점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
\(t = 2^x > 0\)이므로 판별식뿐 아니라 두 근의 합·곱이 양수임을 반드시 확인·서술해야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(5\)
【문제 5】 원문 요약 — 두 곡선의 공통접선 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05] 두 곡선 \(y = x^3 + a\)와 \(y = 3x^2 - 3x\)가 점 \((1,\ b)\)에서 접할 때, 두 상수 \(a,\ b\)의 합 \(a + b\)를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 5 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 점 \((1,\ b)\)에서 두 곡선이 접하므로 \(x = 1\)에서의 함숫값과 미분계수가 모두 같아야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 두 도함수가 \(3x^2,\ 6x - 3\)이므로 \(x = 1\)에서 접선의 기울기는 모두 \(3\)으로 같다. 또한 \(b = 3(1)^2 - 3(1) = 0\)이고 \(1^3 + a = b = 0\)에서 \(a = -1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a = -1,\ b = 0\)이므로 \(a + b = -1\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 점 \((1,\ b)\)에서 두 곡선이 접하므로 \(x = 1\)에서의 함숫값과 미분계수가 모두 같아야 한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) 두 도함수가 \(3x^2,\ 6x - 3\)이므로 \(x = 1\)에서 접선의 기울기는 모두 \(3\)으로 같다. 또한 \(b = 3(1)^2 - 3(1) = 0\)이고 \(1^3 + a = b = 0\)에서 \(a = -1\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 따라서 \(a = -1,\ b = 0\)이므로 \(a + b = -1\)이다. 2점
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두 곡선이 접할 조건 \(f(t)=g(t)\)와 \(f'(t)=g'(t)\) 두 식을 모두 연립해야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(-1\)
【문제 6】 원문 요약 — 삼각함수 부등식 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(\cos^2 x + 2a\sin x + 2a - 3 \le 0\)이 항상 성립하도록 하는 실수 \(a\)의 최댓값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하고 \(t = \sin x\ (-1 \le t \le 1)\)로 치환한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(-t^2 + 2at + 2a - 2 \le 0 \iff t^2 - 2at - 2a + 2 \ge 0\)이 \([-1, 1]\)에서 성립해야 한다. \(f(t) = (t - a)^2 - a^2 - 2a + 2\)에서: ① \(a \lt -1\)이면 \(f(-1) = 3 \ge 0\) 항상 성립, ② \(-1 \le a \le 1\)이면 최솟값 \(-a^2 - 2a + 2 \ge 0 \implies -1-\sqrt{3} \le a \le -1+\sqrt{3}\), ③ \(a > 1\)이면 \(f(1) = 3 - 4a \ge 0\) 불가.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 성립하는 \(a\)의 최댓값은 \(-1 + \sqrt{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하고 \(t = \sin x\ (-1 \le t \le 1)\)로 치환한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(-t^2 + 2at + 2a - 2 \le 0 \iff t^2 - 2at - 2a + 2 \ge 0\)이 \([-1, 1]\)에서 성립해야 한다. \(f(t) = (t - a)^2 - a^2 - 2a + 2\)에서: ① \(a \lt -1\)이면 \(f(-1) = 3 \ge 0\) 항상 성립, ② \(-1 \le a \le 1\)이면 최솟값 \(-a^2 - 2a + 2 \ge 0 \implies -1-\sqrt{3} \le a \le -1+\sqrt{3}\), ③ \(a > 1\)이면 \(f(1) = 3 - 4a \ge 0\) 불가. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 성립하는 \(a\)의 최댓값은 \(-1 + \sqrt{3}\)이다. 3점
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이차함수의 축 \(t=a\)의 위치에 따라 구간 \([-1, 1]\)을 3가지로 나누어 최솟값을 판정해야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(-1+\sqrt{3}\)
【문제 7】 원문 요약 — 평균값 정리와 도함수 부호 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] 함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + (2a + 1)x + 3\)의 역함수가 존재하도록 하는 모든 정수 \(a\)의 개수를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 삼차함수 \(f(x)\)의 역함수가 존재하려면 실수 전체에서 일대일대응(증가함수)이어야 하므로 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 0\)이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + 2a + 1 \ge 0\)이 항상 성립하려면 판별식 \(D/4 = a^2 - 3(2a + 1) \le 0\), 즉 \(a^2 - 6a - 3 \le 0\)이어야 한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(3 - 2\sqrt{3} \le a \le 3 + 2\sqrt{3}\)이고 \(3.46 \lt 2\sqrt{3} \lt 3.47\)이므로 정수 \(a\)는 \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\)의 총 \(7\)개이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) 삼차함수 \(f(x)\)의 역함수가 존재하려면 실수 전체에서 일대일대응(증가함수)이어야 하므로 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 0\)이어야 한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + 2a + 1 \ge 0\)이 항상 성립하려면 판별식 \(D/4 = a^2 - 3(2a + 1) \le 0\), 즉 \(a^2 - 6a - 3 \le 0\)이어야 한다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) \(3 - 2\sqrt{3} \le a \le 3 + 2\sqrt{3}\)이고 \(3.46 \lt 2\sqrt{3} \lt 3.47\)이므로 정수 \(a\)는 \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\)의 총 \(7\)개이다. 3점
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역함수 존재 조건 \(\iff\) 순증가/순감소 \(\iff\) \(f'(x) \ge 0\) (\(\implies D \le 0\)) 논리 연결을 명확히 쓰세요.
🎯 [최종 정답] \(7\)
【문제 8】 원문 요약 — 정적분으로 정의된 함수 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] 다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{1}^{x} (x - t)f(t)\,dt = x^3 - 3x^2 + ax + b\)를 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오. (단, \(a,\ b\)는 상수이다.)
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 주어진 식에 \(x = 1\)을 대입하고, 양변을 \(x\)에 대하여 두 번 미분한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 1\) 대입 시 \(1 - 3 + a + b = 0 \implies a + b = 2\). 좌변을 전개해 미분하면 \(\int_{1}^{x} f(t)\,dt = 3x^2 - 6x + a\)이고, 다시 \(x = 1\) 대입 시 \(3 - 6 + a = 0 \implies a = 3,\ b = -1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 양변을 한 번 더 미분하면 \(f(x) = 6x - 6\)이므로 \(f(2) = 12 - 6 = 6\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) 주어진 식에 \(x = 1\)을 대입하고, 양변을 \(x\)에 대하여 두 번 미분한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(x = 1\) 대입 시 \(1 - 3 + a + b = 0 \implies a + b = 2\). 좌변을 전개해 미분하면 \(\int_{1}^{x} f(t)\,dt = 3x^2 - 6x + a\)이고, 다시 \(x = 1\) 대입 시 \(3 - 6 + a = 0 \implies a = 3,\ b = -1\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 양변을 한 번 더 미분하면 \(f(x) = 6x - 6\)이므로 \(f(2) = 12 - 6 = 6\)이다. 3점
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\(\int_1^x (x-t)f(t)dt = x\int_1^x f(t)dt - \int_1^x tf(t)dt\)로 분리한 뒤 곱의 미분을 적용해야 정확합니다.
🎯 [최종 정답] \(6\)
【문제 9】 원문 요약 — 시그마와 군수열/소거 [배점 16점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 수학적 귀납법 변형 | 성취기준: 12대수03-05] 자연수 \(n\)에 대하여 다항식 \(x^2 - (2n + 1)x + n(n + 1) = 0\)의 두 근을 \(\alpha_n,\ \beta_n\)이라 할 때, \(\sum_{n=1}^{19} \dfrac{1}{\alpha_n \beta_n}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 9 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] 근과 계수의 관계(또는 인수분해)로 \(\alpha_n \beta_n = n(n + 1)\)을 구하고 부분분수로 분해한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\)이므로 \(\sum_{n=1}^{19}\left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\right)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 망원 소거에 의해 \(1 - \dfrac{1}{20} = \dfrac{19}{20}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) 근과 계수의 관계(또는 인수분해)로 \(\alpha_n \beta_n = n(n + 1)\)을 구하고 부분분수로 분해한다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) \(\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\)이므로 \(\sum_{n=1}^{19}\left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\right)\)이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) 망원 소거에 의해 \(1 - \dfrac{1}{20} = \dfrac{19}{20}\)이다. 5점
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근과 계수의 관계 \(\alpha_n \beta_n = n(n+1)\) 확인 후 부분분수 분해 공식을 명시하세요.
🎯 [최종 정답] \(\frac{19}{20}\)
【문제 10】 원문 요약 — 넓이의 이등분 [배점 16점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.37 중단원 마무리 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 곡선 \(y = x(4 - x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 \(y = mx\ (0 \lt m \lt 4)\)가 이등분할 때, \((4 - m)^3\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제4회 문항 10 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] 곡선과 \(x\)축으로 둘러싸인 전체 넓이 \(S\)와 곡선과 직선 \(y = mx\)로 둘러싸인 넓이 \(S_1\)을 구하여 \(S_1 = \dfrac{1}{2}S\) 방정식을 세운다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(S = \int_{0}^{4} (4x - x^2)\,dx = \dfrac{4^3}{6} = \dfrac{32}{3}\)이다. \(4x - x^2 = mx \implies x(x - (4-m)) = 0\)이므로 교점은 \(0,\ 4-m\)이고 \(S_1 = \int_{0}^{4-m}\{(4-m)x - x^2\}\,dx = \dfrac{(4-m)^3}{6}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\dfrac{(4-m)^3}{6} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{32}{3} = \dfrac{16}{3}\)이므로 \((4 - m)^3 = 32\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) 곡선과 \(x\)축으로 둘러싸인 전체 넓이 \(S\)와 곡선과 직선 \(y = mx\)로 둘러싸인 넓이 \(S_1\)을 구하여 \(S_1 = \dfrac{1}{2}S\) 방정식을 세운다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) \(S = \int_{0}^{4} (4x - x^2)\,dx = \dfrac{4^3}{6} = \dfrac{32}{3}\)이다. \(4x - x^2 = mx \implies x(x - (4-m)) = 0\)이므로 교점은 \(0,\ 4-m\)이고 \(S_1 = \int_{0}^{4-m}\{(4-m)x - x^2\}\,dx = \dfrac{(4-m)^3}{6}\)이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) \(\dfrac{(4-m)^3}{6} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{32}{3} = \dfrac{16}{3}\)이므로 \((4 - m)^3 = 32\)이다. 5점
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세제곱근을 억지로 풀지 않고 문제에서 요구한 \((4-m)^3\) 자체를 구하면 깔끔히 떨어집니다.
🎯 [최종 정답] \(32\)
【문제 1】 원문 요약 — 상용로그와 지표 [배점 4점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.24 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-05] \(\log_{10} 2 = a,\ \log_{10} 3 = b\)라 할 때, \(\log_{6} 15\)를 \(a,\ b\)로 나타낸 식을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 1 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] 밑을 \(10\)으로 변환하고 \(15 = \dfrac{30}{2} = \dfrac{3 \times 10}{2}\), \(6 = 2 \times 3\)으로 소인수분해한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log_{6} 15 = \dfrac{\log_{10} 15}{\log_{10} 6} = \dfrac{\log_{10} 3 + \log_{10} 10 - \log_{10} 2}{\log_{10} 2 + \log_{10} 3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\dfrac{b + 1 - a}{a + b}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) 밑을 \(10\)으로 변환하고 \(15 = \dfrac{30}{2} = \dfrac{3 \times 10}{2}\), \(6 = 2 \times 3\)으로 소인수분해한다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) \(\log_{6} 15 = \dfrac{\log_{10} 15}{\log_{10} 6} = \dfrac{\log_{10} 3 + \log_{10} 10 - \log_{10} 2}{\log_{10} 2 + \log_{10} 3}\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 따라서 \(\dfrac{b + 1 - a}{a + b}\)이다. 1점
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\(5 = \frac{10}{2}\)를 이용해 \(\log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2\)로 바꾸는 것이 핵심 테크닉입니다.
🎯 [최종 정답] \(\frac{1 - a + b}{a + b}\)
【문제 2】 원문 요약 — 등비수열의 합 [배점 4점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.12 수학적 귀납법 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-04] 공비가 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)에 대하여 \(S_3 = 7,\ S_6 = 63\)일 때, \(S_9\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 2 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] 등비수열의 부분합 \(S_3,\ S_6 - S_3,\ S_9 - S_6\)이 공비 \(r^3\)인 등비수열을 이룸을 이용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(S_3 = 7,\ S_6 - S_3 = 63 - 7 = 56\)이므로 \(r^3 = \dfrac{56}{7} = 8\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(S_9 - S_6 = 56 \times 8 = 448\)이므로 \(S_9 = 63 + 448 = 511\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) 등비수열의 부분합 \(S_3,\ S_6 - S_3,\ S_9 - S_6\)이 공비 \(r^3\)인 등비수열을 이룸을 이용한다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) \(S_3 = 7,\ S_6 - S_3 = 63 - 7 = 56\)이므로 \(r^3 = \dfrac{56}{7} = 8\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 따라서 \(S_9 - S_6 = 56 \times 8 = 448\)이므로 \(S_9 = 63 + 448 = 511\)이다. 1점
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\(r \ne 1\)임을 확인하고 \(S_6/S_3 = 1 + r^3 = 9 \implies r^3 = 8\)로 전개해도 좋습니다.
🎯 [최종 정답] \(511\)
【문제 3】 원문 요약 — 가우스 기호와 극한 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.10 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 두 극한값 \(\lim_{x \to 2^+} \dfrac{[x]^2 - 2x}{[x] - 1}\)와 \(\lim_{x \to 2^-} \dfrac{[x]^2 - 2x}{[x] + 1}\)의 합을 구하시오. (단, \([x]\)는 \(x\)보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 3 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to 2^+\)일 때 \([x] = 2\), \(x \to 2^-\)일 때 \([x] = 1\)임을 각각 대입한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\lim_{x \to 2^+}\dfrac{2^2 - 2x}{2 - 1} = 4 - 4 = 0\)이고, \(\lim_{x \to 2^-}\dfrac{1^2 - 2x}{1 + 1} = \dfrac{1 - 4}{2} = -\dfrac{3}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 두 극한값의 합은 \(0 + \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{3}{2}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) \(x \to 2^+\)일 때 \([x] = 2\), \(x \to 2^-\)일 때 \([x] = 1\)임을 각각 대입한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) \(\lim_{x \to 2^+}\dfrac{2^2 - 2x}{2 - 1} = 4 - 4 = 0\)이고, \(\lim_{x \to 2^-}\dfrac{1^2 - 2x}{1 + 1} = \dfrac{1 - 4}{2} = -\dfrac{3}{2}\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 따라서 두 극한값의 합은 \(0 + \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{3}{2}\)이다. 2점
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우극한과 좌극한에서 가우스 함수 \([x]\)의 상수값이 달라짐을 반드시 구분해 적으세요.
🎯 [최종 정답] \(-\frac{3}{2}\)
【문제 4】 원문 요약 — 코사인법칙과 넓이 [배점 8점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 세 변의 길이가 각각 \(5,\ 6,\ 7\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(S^2\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 4 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙으로 한 내각의 코사인 값을 구한 뒤, \(\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}\)와 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 길이가 \(7\)인 변의 대각을 \(C\)라 하면 \(\cos C = \dfrac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5}\)이므로 \(\sin C = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \dfrac{2\sqrt{6}}{5} = 6\sqrt{6}\)이므로 \(S^2 = 216\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 코사인법칙으로 한 내각의 코사인 값을 구한 뒤, \(\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}\)와 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)를 적용한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) 길이가 \(7\)인 변의 대각을 \(C\)라 하면 \(\cos C = \dfrac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5}\)이므로 \(\sin C = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 따라서 \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \dfrac{2\sqrt{6}}{5} = 6\sqrt{6}\)이므로 \(S^2 = 216\)이다. 2점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
헤론의 공식보다 코사인법칙 \(\to \sin C \to \frac{1}{2}ab\sin C\) 흐름이 교과서 정통 감점 제로 서술입니다.
🎯 [최종 정답] \(216\)
【문제 5】 원문 요약 — 접선과 거리 최솟값 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] 곡선 \(y = x^2 + 2x + 3\) 위의 점 \(\mathrm{P}\)와 직선 \(y = 4x - 2\) 사이의 거리의 최솟값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 5 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 거리가 최소가 되는 점 \(\mathrm{P}\)에서의 접선의 기울기는 직선 \(y = 4x - 2\)의 기울기 \(4\)와 같다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(y' = 2x + 2 = 4 \implies x = 1\)이므로 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표는 \((1,\ 6)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 점 \((1,\ 6)\)과 직선 \(4x - y - 2 = 0\) 사이의 거리는 \(\dfrac{|4 - 6 - 2|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \dfrac{4}{\sqrt{17}} = \dfrac{4\sqrt{17}}{17}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 거리가 최소가 되는 점 \(\mathrm{P}\)에서의 접선의 기울기는 직선 \(y = 4x - 2\)의 기울기 \(4\)와 같다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) \(y' = 2x + 2 = 4 \implies x = 1\)이므로 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표는 \((1,\ 6)\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 점 \((1,\ 6)\)과 직선 \(4x - y - 2 = 0\) 사이의 거리는 \(\dfrac{|4 - 6 - 2|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \dfrac{4}{\sqrt{17}} = \dfrac{4\sqrt{17}}{17}\)이다. 2점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
평행한 접선이 거리의 최솟값을 준다는 기하적 이유를 1줄에 선언해야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(\frac{4\sqrt{17}}{17}\)
【문제 6】 원문 요약 — 수학적 귀납법과 부등식 [배점 12점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.16 수학적 귀납법 변형 | 성취기준: 12대수03-06] 자연수 \(n\ (n \ge 2)\)에 대하여 부등식 \(2^n > n^2\)이 성립함을 보일 때, \(n = k\)일 때 성립함을 가정하고 \(n = k + 1\)일 때 성립함을 증명하는 핵심 부등식 \((k + 1)^2 \lt 2k^2\)이 성립하는 최소의 자연수 \(k_0\)를 구하고, \(n = k_0\)일 때 \(2^n > n^2\)이 성립함을 확인하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2k^2\)이므로 \(2k^2 > (k + 1)^2\)이 성립하는 자연수 \(k\)의 범위를 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2k^2 - (k^2 + 2k + 1) = k^2 - 2k - 1 = (k - 1)^2 - 2 > 0\)은 \(k \ge 3\)일 때 성립한다. 단, \(n=3\)일 때 \(2^3=8 \lt 3^2=9\)이므로 성립하지 않고, \(n=4\)일 때 \(2^4=16 = 4^2\), \(n=5\)일 때 \(2^5=32 > 5^2=25\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 부등식 \((k+1)^2 \lt 2k^2\)의 최소 자연수는 \(k_0 = 3\)이나, \(2^n > n^2\) 자체가 성립하기 시작하는 최소의 자연수는 \(5\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) \(2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2k^2\)이므로 \(2k^2 > (k + 1)^2\)이 성립하는 자연수 \(k\)의 범위를 구한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(2k^2 - (k^2 + 2k + 1) = k^2 - 2k - 1 = (k - 1)^2 - 2 > 0\)은 \(k \ge 3\)일 때 성립한다. 단, \(n=3\)일 때 \(2^3=8 \lt 3^2=9\)이므로 성립하지 않고, \(n=4\)일 때 \(2^4=16 = 4^2\), \(n=5\)일 때 \(2^5=32 > 5^2=25\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 부등식 \((k+1)^2 \lt 2k^2\)의 최소 자연수는 \(k_0 = 3\)이나, \(2^n > n^2\) 자체가 성립하기 시작하는 최소의 자연수는 \(5\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
귀납법 증명에서 초기값 확인이 얼마나 중요한지 보여주는 교과서 대표 함정 문항입니다.
🎯 [최종 정답] \(k_0 = 3\ (\text{단, } 2^n>n^2\text{은 } n \ge 5)\)
【문제 7】 원문 요약 — 삼차함수의 극값과 넓이/부등식 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] \(x \ge 0\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(x^3 - 3x^2 + k \ge 0\)이 항상 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x) = x^3 - 3x^2 + k\)로 두고 \(x \ge 0\)에서의 최솟값이 \(0\) 이상일 조건을 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0\)에서 \(x \ge 0\) 범위의 극점은 \(x = 2\) (극소)이다. \(f(0) = k,\ f(2) = 8 - 12 + k = k - 4\)이므로 최솟값은 \(k - 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(k - 4 \ge 0 \implies k \ge 4\)이므로 최솟값은 \(4\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) \(f(x) = x^3 - 3x^2 + k\)로 두고 \(x \ge 0\)에서의 최솟값이 \(0\) 이상일 조건을 구한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0\)에서 \(x \ge 0\) 범위의 극점은 \(x = 2\) (극소)이다. \(f(0) = k,\ f(2) = 8 - 12 + k = k - 4\)이므로 최솟값은 \(k - 4\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(k - 4 \ge 0 \implies k \ge 4\)이므로 최솟값은 \(4\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
정의역 제한(\(x \ge 0\))에서의 최솟값이 경계값 \(f(0)\)과 극솟값 \(f(2)\) 중 더 작은 값임을 비교해 주세요.
🎯 [최종 정답] \(4\)
【문제 8】 원문 요약 — 우 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03] 다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\)를 만족시키고 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 5\)일 때, \(\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 - 2x + 4)f(x)\,dx\)의 값을 구하시오. (단, \(\int_{0}^{2} x^2 f(x)\,dx = 6\)이다.)
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x)\)가 우함수이므로 \(x^3 f(x),\ -2x f(x)\)는 기함수이고, \((3x^2 + 4)f(x)\)는 우함수임을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\int_{-2}^{2} (x^3 - 2x)f(x)\,dx = 0\)이므로 준 식은 \(2\int_{0}^{2} (3x^2 + 4)f(x)\,dx\)와 같다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(2\left(3\int_{0}^{2} x^2 f(x)\,dx + 4\int_{0}^{2} f(x)\,dx\right) = 2(3 \cdot 6 + 4 \cdot 5) = 2(18 + 20) = 76\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) \(f(x)\)가 우함수이므로 \(x^3 f(x),\ -2x f(x)\)는 기함수이고, \((3x^2 + 4)f(x)\)는 우함수임을 적용한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(\int_{-2}^{2} (x^3 - 2x)f(x)\,dx = 0\)이므로 준 식은 \(2\int_{0}^{2} (3x^2 + 4)f(x)\,dx\)와 같다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(2\left(3\int_{0}^{2} x^2 f(x)\,dx + 4\int_{0}^{2} f(x)\,dx\right) = 2(3 \cdot 6 + 4 \cdot 5) = 2(18 + 20) = 76\)이다. 3점
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우함수×기함수=기함수, 우함수×우함수=우함수 성질을 명확히 선언하면 감점이 없습니다.
🎯 [최종 정답] \(76\)
【문제 9】 원문 요약 — 삼각함수와 이차방정식 [배점 16점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] \(0 \le x \lt 2\pi\)일 때, 방정식 \(|\sin x| = \dfrac{1}{2}\)의 서로 다른 모든 실근의 합을 \(A\), 부등식 \(\cos x \ge -\dfrac{1}{2}\)을 만족시키는 \(x\)의 범위의 길이를 \(B\)라 할 때, \(\dfrac{A + B}{\pi}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 9 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(|\sin x| = \dfrac{1}{2}\)에서 \(\sin x = \pm\dfrac{1}{2}\)의 해의 합 \(A\)와 \(\cos x \ge -\dfrac{1}{2}\)의 해 구간 길이 \(B\)를 각각 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\sin x = \dfrac{1}{2}\)의 두 해의 합은 \(\pi\), \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\)의 두 해의 합은 \(3\pi\)이므로 \(A = 4\pi\)이다. \(\cos x \ge -\dfrac{1}{2}\)은 \(0 \le x \le \dfrac{2\pi}{3}\) 또는 \(\dfrac{4\pi}{3} \le x \lt 2\pi\)이므로 구간의 총 길이는 \(B = \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(A + B = 4\pi + \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{16\pi}{3}\)이므로 \(\dfrac{A + B}{\pi} = \dfrac{16}{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) \(|\sin x| = \dfrac{1}{2}\)에서 \(\sin x = \pm\dfrac{1}{2}\)의 해의 합 \(A\)와 \(\cos x \ge -\dfrac{1}{2}\)의 해 구간 길이 \(B\)를 각각 구한다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) \(\sin x = \dfrac{1}{2}\)의 두 해의 합은 \(\pi\), \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\)의 두 해의 합은 \(3\pi\)이므로 \(A = 4\pi\)이다. \(\cos x \ge -\dfrac{1}{2}\)은 \(0 \le x \le \dfrac{2\pi}{3}\) 또는 \(\dfrac{4\pi}{3} \le x \lt 2\pi\)이므로 구간의 총 길이는 \(B = \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3}\)이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) 따라서 \(A + B = 4\pi + \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{16\pi}{3}\)이므로 \(\dfrac{A + B}{\pi} = \dfrac{16}{3}\)이다. 5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
삼각방정식의 해를 일일이 더해도 되고, \(\sin x\) 그래프의 \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{3\pi}{2}\) 대칭성으로 합 \(4\pi\)를 바로 구해도 좋습니다.
🎯 [최종 정답] \(\frac{16}{3}\)
【문제 10】 원문 요약 — 속도와 위치/넓이 [배점 16점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.42 정적분 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 \(\mathrm{P},\ \mathrm{Q}\)의 시각 \(t\ (t \ge 0)\)에서의 속도가 각각 \(v_P(t) = 3t^2 - 4t + 1,\ v_Q(t) = 2t + 1\)일 때, 출발 후 두 점 \(\mathrm{P},\ \mathrm{Q}\)가 다시 만나는 시각 \(t_1\)과 \(t = 0\)부터 \(t = t_1\)까지 두 점 사이의 거리의 최댓값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제5회 문항 10 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] 두 점의 위치 \(x_P(t) = \int_0^t v_P(s)\,ds,\ x_Q(t) = \int_0^t v_Q(s)\,ds\)가 같아지는 양수 \(t_1\)을 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x_P(t) = t^3 - 2t^2 + t,\ x_Q(t) = t^2 + t\)이므로 \(x_P(t) = x_Q(t) \iff t^3 - 3t^2 = 0 \implies t_1 = 3\)이다. 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |x_P(t) - x_Q(t)| = |t^3 - 3t^2|\) (\(0 \le t \le 3\))이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(h(t) = t^3 - 3t^2\)에 대해 \(h'(t) = 3t(t - 2) = 0\)에서 극소 \(h(2) = 8 - 12 = -4\)이므로 거리의 최댓값은 \(4\)이다. (따라서 \(t_1 = 3,\ \text{최댓값 } 4\))
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) 두 점의 위치 \(x_P(t) = \int_0^t v_P(s)\,ds,\ x_Q(t) = \int_0^t v_Q(s)\,ds\)가 같아지는 양수 \(t_1\)을 구한다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) \(x_P(t) = t^3 - 2t^2 + t,\ x_Q(t) = t^2 + t\)이므로 \(x_P(t) = x_Q(t) \iff t^3 - 3t^2 = 0 \implies t_1 = 3\)이다. 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |x_P(t) - x_Q(t)| = |t^3 - 3t^2|\) (\(0 \le t \le 3\))이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) \(h(t) = t^3 - 3t^2\)에 대해 \(h'(t) = 3t(t - 2) = 0\)에서 극소 \(h(2) = 8 - 12 = -4\)이므로 거리의 최댓값은 \(4\)이다. (따라서 \(t_1 = 3,\ \text{최댓값 } 4\)) 5점
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두 점의 위치 차 \(D(t) = |x_P(t) - x_Q(t)|\)가 극값을 가질 때, 즉 두 점의 속도가 같아지는 시각 \(v_P(t)=v_Q(t)\)에서 거리가 최대가 됨을 확인하세요.
🎯 [최종 정답] \(t_1 = 3,\ \text{최댓값 } 4\)
【문제 1】 원문 요약 — 지수와 로그(자연수 조건) [배점 4점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-08] 자연수 \(n\ (2 \le n \le 100)\)에 대하여 \(\dfrac{1}{2}\log_2 n\)이 자연수가 되도록 하는 모든 \(n\)의 개수를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 1 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\dfrac{1}{2}\log_2 n = k\) (\(k\)는 자연수)로 두면 \(\log_2 n = 2k\), 즉 \(n = 2^{2k} = 4^k\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2 \le 4^k \le 100\)을 만족하는 자연수 \(k\)를 찾으면 \(k = 1\ (n=4),\ k = 2\ (n=16),\ k = 3\ (n=64)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 조건을 만족시키는 자연수 \(n\)의 개수는 \(3\)개이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) \(\dfrac{1}{2}\log_2 n = k\) (\(k\)는 자연수)로 두면 \(\log_2 n = 2k\), 즉 \(n = 2^{2k} = 4^k\)이다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) \(2 \le 4^k \le 100\)을 만족하는 자연수 \(k\)를 찾으면 \(k = 1\ (n=4),\ k = 2\ (n=16),\ k = 3\ (n=64)\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 따라서 조건을 만족시키는 자연수 \(n\)의 개수는 \(3\)개이다. 1점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
로그 값이 자연수가 되도록 하는 지수 변환 \(n = 4^k\)를 먼저 식에 명시하세요.
🎯 [최종 정답] \(3\)
【문제 2】 원문 요약 — 등차수열 절댓값의 합 [배점 4점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-04] 첫째항이 \(-19\)이고 공차가 \(4\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\sum_{k=1}^{10} |a_k|\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 2 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(a_k = -19 + 4(k - 1) = 4k - 23\)이므로 음수 항(\(k \le 5\))과 양수 항(\(k \ge 6\))을 구분하여 합한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(k=1\sim 5\)의 항은 \(-19, -15, -11, -7, -3\)이므로 절댓값의 합은 \(19+15+11+7+3 = 55\)이고, \(k=6\sim 10\)의 항은 \(1, 5, 9, 13, 17\)이므로 합은 \(45\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\sum_{k=1}^{10} |a_k| = 55 + 45 = 100\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) \(a_k = -19 + 4(k - 1) = 4k - 23\)이므로 음수 항(\(k \le 5\))과 양수 항(\(k \ge 6\))을 구분하여 합한다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) \(k=1\sim 5\)의 항은 \(-19, -15, -11, -7, -3\)이므로 절댓값의 합은 \(19+15+11+7+3 = 55\)이고, \(k=6\sim 10\)의 항은 \(1, 5, 9, 13, 17\)이므로 합은 \(45\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 따라서 \(\sum_{k=1}^{10} |a_k| = 55 + 45 = 100\)이다. 1점
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부호가 바뀌는 경계 항(\(a_5 = -3 \lt 0,\ a_6 = 1 \gt 0\))을 명시한 뒤 두 구간으로 나누어 계산하세요.
🎯 [최종 정답] \(100\)
【문제 3】 원문 요약 — 극한의 대소 관계(샌드위치) [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.25 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(3x^2 - 2x + 1 \le f(x) \le 3x^2 + 4x + 1\)이 성립할 때, \(\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - 1}{x}\)의 값이 존재하는지 판별하고, 만약 존재하지 않는다면 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{\{f(x)\}^2}{x^4 + 2x^2 + 1}\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 3 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to \infty\)일 때 부등식의 양변을 \(x^2\)으로 나누어 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(3 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2} \le \dfrac{f(x)}{x^2} \le 3 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2}\)에서 \(x \to \infty\)일 때 양 끝이 모두 \(3\)으로 수렴하므로 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2} = 3\)이다. (참고: \(x \to 0\)에서는 \(-2 \le \frac{f(x)-1}{x} \le 4\)로 수렴 여부가 결정되지 않는다.)
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{\{f(x)/x^2\}^2}{1 + 2/x^2 + 1/x^4} = \dfrac{3^2}{1} = 9\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) \(x \to \infty\)일 때 부등식의 양변을 \(x^2\)으로 나누어 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리)를 적용한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) \(3 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2} \le \dfrac{f(x)}{x^2} \le 3 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2}\)에서 \(x \to \infty\)일 때 양 끝이 모두 \(3\)으로 수렴하므로 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2} = 3\)이다. (참고: \(x \to 0\)에서는 \(-2 \le \frac{f(x)-1}{x} \le 4\)로 수렴 여부가 결정되지 않는다.) 4점 3단계: 최종결론 (2점) 따라서 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{\{f(x)/x^2\}^2}{1 + 2/x^2 + 1/x^4} = \dfrac{3^2}{1} = 9\)이다. 2점
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분모·분자를 \(x^4\)으로 나누어 \(\{f(x)/x^2\}^2\) 형태를 만드는 것이 핵심입니다.
🎯 [최종 정답] \(9\)
【문제 4】 원문 요약 — 지수함수와 로그함수의 교점 [배점 8점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-07] 두 곡선 \(y = 2^x\)과 \(y = \log_2 x\)에 대하여, 직선 \(y = -x + 5\)가 두 곡선과 만나는 점을 각각 \(\mathrm{A},\ \mathrm{B}\)라 할 때, 선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점의 좌표를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 4 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 두 곡선 \(y = 2^x\)과 \(y = \log_2 x\)는 직선 \(y = x\)에 대하여 서로 대칭이고, 직선 \(y = -x + 5\)는 \(y = x\)와 수직이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 따라서 두 교점 \(\mathrm{A},\ \mathrm{B}\)는 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이므로, 선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점은 직선 \(y = x\)와 직선 \(y = -x + 5\)의 교점과 일치한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(x = -x + 5 \implies x = \dfrac{5}{2},\ y = \dfrac{5}{2}\)이므로 중점의 좌표는 \(\left(\dfrac{5}{2},\ \dfrac{5}{2}\right)\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 두 곡선 \(y = 2^x\)과 \(y = \log_2 x\)는 직선 \(y = x\)에 대하여 서로 대칭이고, 직선 \(y = -x + 5\)는 \(y = x\)와 수직이다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) 따라서 두 교점 \(\mathrm{A},\ \mathrm{B}\)는 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이므로, 선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점은 직선 \(y = x\)와 직선 \(y = -x + 5\)의 교점과 일치한다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) \(x = -x + 5 \implies x = \dfrac{5}{2},\ y = \dfrac{5}{2}\)이므로 중점의 좌표는 \(\left(\dfrac{5}{2},\ \dfrac{5}{2}\right)\)이다. 2점
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역함수 관계 + 기울기 \(-1\) 직선의 수직 대칭성을 논리적으로 선언하면 방정식을 직접 풀지 않고도 완결됩니다.
🎯 [최종 정답] \(\left(\frac{5}{2},\ \frac{5}{2}\right)\)
【문제 5】 원문 요약 — 곡선 밖의 점에서 그은 접선 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05] 점 \((2,\ k)\)에서 곡선 \(y = x^3 - 3x + 2\)에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 정수 \(k\)의 개수를 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 5 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 접점을 \((t,\ t^3 - 3t + 2)\)로 두고 접선의 방정식에 점 \((2,\ k)\)를 대입하여 \(t\)에 대한 삼차방정식의 서로 다른 실근 개수가 \(3\)개일 조건을 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 접선 \(y - (t^3 - 3t + 2) = (3t^2 - 3)(x - t)\)에 \((2,\ k)\)를 대입하여 정리하면 \(k = -2t^3 + 6t^2 - 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(h(t) = -2t^3 + 6t^2 - 4\)라 하면 \(h'(t) = -6t(t - 2) = 0\)에서 극솟값 \(h(0) = -4\), 극댓값 \(h(2) = 4\)이므로 \(-4 \lt k \lt 4\)이고, 정수 \(k\)는 \(-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3\)의 \(7\)개이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 접점을 \((t,\ t^3 - 3t + 2)\)로 두고 접선의 방정식에 점 \((2,\ k)\)를 대입하여 \(t\)에 대한 삼차방정식의 서로 다른 실근 개수가 \(3\)개일 조건을 구한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) 접선 \(y - (t^3 - 3t + 2) = (3t^2 - 3)(x - t)\)에 \((2,\ k)\)를 대입하여 정리하면 \(k = -2t^3 + 6t^2 - 4\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) \(h(t) = -2t^3 + 6t^2 - 4\)라 하면 \(h'(t) = -6t(t - 2) = 0\)에서 극솟값 \(h(0) = -4\), 극댓값 \(h(2) = 4\)이므로 \(-4 \lt k \lt 4\)이고, 정수 \(k\)는 \(-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3\)의 \(7\)개이다. 2점
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삼차함수 변곡점 밖의 점에서 접선 개수 문제는 접점 \(t\)의 방정식 \(k = h(t)\)의 극댓값·극솟값 사이 범위로 환원합니다.
🎯 [최종 정답] \(7\)
【문제 6】 원문 요약 — 등차 [배점 12점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-07] 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\sum_{k=1}^{n} \dfrac{a_k}{k + 2} = n^2 + n\)을 만족시킬 때, \(\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(b_k = \dfrac{a_k}{k + 2}\)라 두고 수열의 합 \(T_n = n^2 + n\)으로부터 일반항 \(b_n\)과 \(a_n\)을 먼저 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(b_1 = T_1 = 2\)이고, \(n \ge 2\)일 때 \(b_n = T_n - T_{n-1} = (n^2+n) - \{(n-1)^2+(n-1)\} = 2n\)이므로 모든 자연수 \(n\)에 대해 \(a_n = 2n(n+2)\)이며, \(\dfrac{1}{a_k} = \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+2}\right)\)로 분해된다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\sum_{k=1}^{10}\dfrac{1}{2k(k+2)} = \dfrac{1}{4}\left(1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{11} - \dfrac{1}{12}\right) = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{132 + 66 - 12 - 11}{132} = \dfrac{175}{528}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) \(b_k = \dfrac{a_k}{k + 2}\)라 두고 수열의 합 \(T_n = n^2 + n\)으로부터 일반항 \(b_n\)과 \(a_n\)을 먼저 구한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(b_1 = T_1 = 2\)이고, \(n \ge 2\)일 때 \(b_n = T_n - T_{n-1} = (n^2+n) - \{(n-1)^2+(n-1)\} = 2n\)이므로 모든 자연수 \(n\)에 대해 \(a_n = 2n(n+2)\)이며, \(\dfrac{1}{a_k} = \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+2}\right)\)로 분해된다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) \(\sum_{k=1}^{10}\dfrac{1}{2k(k+2)} = \dfrac{1}{4}\left(1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{11} - \dfrac{1}{12}\right) = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{132 + 66 - 12 - 11}{132} = \dfrac{175}{528}\)이다. 3점
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합에서 일반항을 추출할 때 \(n=1\) 확인과 망원 소거 시 처음 2개 항과 마지막 2개 항이 남는 점을 주의하세요.
🎯 [최종 정답] \(\frac{175}{528}\)
【문제 7】 원문 요약 — 극값 차와 삼차함수 결정 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(4)\)의 값을 구하시오. (가) \(f'(0) = f'(2) = 0\), (나) \(f(0) + f(2) = 4\) 이고 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값의 차는 \(4\)이다.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 조건 (가)에서 \(f'(x) = 3x(x - 2) = 3x^2 - 6x\)이므로 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + C\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 극댓값은 \(f(0) = C\), 극솟값은 \(f(2) = 8 - 12 + C = C - 4\)이므로 극값의 차는 \(C - (C - 4) = 4\)로 항상 성립한다. 조건 (나)의 \(f(0) + f(2) = 2C - 4 = 4\)에서 \(C = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)이므로 \(f(4) = 64 - 48 + 4 = 20\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) 조건 (가)에서 \(f'(x) = 3x(x - 2) = 3x^2 - 6x\)이므로 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + C\)이다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) 극댓값은 \(f(0) = C\), 극솟값은 \(f(2) = 8 - 12 + C = C - 4\)이므로 극값의 차는 \(C - (C - 4) = 4\)로 항상 성립한다. 조건 (나)의 \(f(0) + f(2) = 2C - 4 = 4\)에서 \(C = 4\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)이므로 \(f(4) = 64 - 48 + 4 = 20\)이다. 3점
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도함수 \(f'(x)\)에서 원시함수 \(f(x)\)를 적분상수 \(C\)를 붙여 복원하는 것이 가장 깔끔합니다.
🎯 [최종 정답] \(20\)
【문제 8】 원문 요약 — 정적분과 주기 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 정적분 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03] 연속함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 2) = f(x)\)를 만족시키고, \(0 \le x \le 2\)에서 \(f(x) = x(2 - x)\)일 때, \(\int_{-1}^{5} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x)\)가 주기 \(2\)인 주기함수이므로 길이 \(2\)인 임의의 구간에서의 정적분 값이 모두 같다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 \([-1,\ 5]\)의 길이는 \(6 = 3 \times 2\)이므로 \(\int_{-1}^{5} f(x)\,dx = 3\int_{0}^{2} x(2 - x)\,dx\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\int_{0}^{2} (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \dfrac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2} = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}\)이므로 구하는 값은 \(3 \times \dfrac{4}{3} = 4\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) \(f(x)\)가 주기 \(2\)인 주기함수이므로 길이 \(2\)인 임의의 구간에서의 정적분 값이 모두 같다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) 구간 \([-1,\ 5]\)의 길이는 \(6 = 3 \times 2\)이므로 \(\int_{-1}^{5} f(x)\,dx = 3\int_{0}^{2} x(2 - x)\,dx\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) \(\int_{0}^{2} (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \dfrac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2} = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}\)이므로 구하는 값은 \(3 \times \dfrac{4}{3} = 4\)이다. 3점
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구간 길이 \(5 - (-1) = 6\)이 주기 \(2\)의 \(3\)배임을 명시하고 \(\int_0^2 f(x)dx\)를 계산하세요.
🎯 [최종 정답] \(4\)
【문제 9】 원문 요약 — 삼각함수와 수열 융합 [배점 16점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.23 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 4,\ \overline{\mathrm{BC}} = 6,\ \overline{\mathrm{CA}} = 5\)일 때, 선분 \(\mathrm{BC}\)를 \(1 : 2\)로 내분하는 점 \(\mathrm{D}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{AD}}^2\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 9 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] 점 \(\mathrm{D}\)는 \(\overline{\mathrm{BD}} = 2,\ \overline{\mathrm{DC}} = 4\)인 내분점이므로 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)와 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)에 공통각 \(B\)를 기준으로 코사인법칙을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\cos B = \dfrac{4^2 + 6^2 - 5^2}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \dfrac{16 + 36 - 25}{48} = \dfrac{27}{48} = \dfrac{9}{16}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AD}}^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \dfrac{9}{16} = 16 + 4 - 9 = 11\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) 점 \(\mathrm{D}\)는 \(\overline{\mathrm{BD}} = 2,\ \overline{\mathrm{DC}} = 4\)인 내분점이므로 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)와 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)에 공통각 \(B\)를 기준으로 코사인법칙을 적용한다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\cos B = \dfrac{4^2 + 6^2 - 5^2}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \dfrac{16 + 36 - 25}{48} = \dfrac{27}{48} = \dfrac{9}{16}\)이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AD}}^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \dfrac{9}{16} = 16 + 4 - 9 = 11\)이다. 5점
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중선정리(파푸스)가 아닌 임의의 내분점 \(1:2\)에서는 공통각에 대한 코사인법칙 2회 적용이 정석입니다.
🎯 [최종 정답] \(11\)
【문제 10】 원문 요약 — 도함수와 넓이 최소 [배점 16점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 양수 \(a\)에 대하여 곡선 \(y = x^2\)과 직선 \(y = ax + \dfrac{4}{a}\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S(a)\)의 최솟값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제6회 문항 10 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] 두 교점의 \(x\)좌표를 \(\alpha, \beta\ (\alpha \lt \beta)\)라 하면 넓이 \(S(a) = \dfrac{(\beta - \alpha)^3}{6}\)이고, 근과 계수의 관계로 \((\beta - \alpha)^2\)을 \(a\)로 표현한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^2 - ax - \dfrac{4}{a} = 0\)에서 \(\alpha + \beta = a,\ \alpha\beta = -\dfrac{4}{a}\)이므로 \((\beta - \alpha)^2 = a^2 + \dfrac{16}{a}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(a) = a^2 + \dfrac{16}{a}\ (a > 0)\)을 미분하면 \(f'(a) = 2a - \dfrac{16}{a^2} = 0 \implies a = 2\)에서 최솟값 \(f(2) = 12\)를 가지므로 \(\beta - \alpha = 2\sqrt{3}\)이고 \(S_{\min} = \dfrac{(2\sqrt{3})^3}{6} = 4\sqrt{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) 두 교점의 \(x\)좌표를 \(\alpha, \beta\ (\alpha \lt \beta)\)라 하면 넓이 \(S(a) = \dfrac{(\beta - \alpha)^3}{6}\)이고, 근과 계수의 관계로 \((\beta - \alpha)^2\)을 \(a\)로 표현한다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) \(x^2 - ax - \dfrac{4}{a} = 0\)에서 \(\alpha + \beta = a,\ \alpha\beta = -\dfrac{4}{a}\)이므로 \((\beta - \alpha)^2 = a^2 + \dfrac{16}{a}\)이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) \(f(a) = a^2 + \dfrac{16}{a}\ (a > 0)\)을 미분하면 \(f'(a) = 2a - \dfrac{16}{a^2} = 0 \implies a = 2\)에서 최솟값 \(f(2) = 12\)를 가지므로 \(\beta - \alpha = 2\sqrt{3}\)이고 \(S_{\min} = \dfrac{(2\sqrt{3})^3}{6} = 4\sqrt{3}\)이다. 5점
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산술·기하평균 부등식 \(a^2 + \frac{8}{a} + \frac{8}{a} \ge 3\sqrt[3]{64} = 12\)을 쓰면 미분 없이도 고1·고2 과정으로 최솟값을 증명할 수 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(4\sqrt{3}\)
【문제 1】 원문 요약 — 지수방정식과 근의 합 [배점 4점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-08] 방정식 \(9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0\)의 두 실근을 \(\alpha,\ \beta\)라 할 때, \(4^{\alpha + \beta}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 1 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(t = 3^x\ (t > 0)\)로 치환하면 \(t^2 - 10t + 9 = 0\)이고, 두 근은 \(3^\alpha,\ 3^\beta\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 근과 계수의 관계에서 \(3^\alpha \cdot 3^\beta = 3^{\alpha+\beta} = 9 = 3^2\)이므로 \(\alpha + \beta = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(4^{\alpha + \beta} = 4^2 = 16\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) \(t = 3^x\ (t > 0)\)로 치환하면 \(t^2 - 10t + 9 = 0\)이고, 두 근은 \(3^\alpha,\ 3^\beta\)이다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) 근과 계수의 관계에서 \(3^\alpha \cdot 3^\beta = 3^{\alpha+\beta} = 9 = 3^2\)이므로 \(\alpha + \beta = 2\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 따라서 \(4^{\alpha + \beta} = 4^2 = 16\)이다. 1점
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두 근의 곱 \(3^\alpha \cdot 3^\beta = 3^{\alpha+\beta}\)가 지수의 합으로 연결됨을 명확히 서술하세요.
🎯 [최종 정답] \(16\)
【문제 2】 원문 요약 — 수열의 합과 귀납 [배점 4점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06] 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 1\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} - a_n = 2n + 1\)을 만족시킬 때, \(a_{12}\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 2 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] 축차대입법(계차 합) \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)\)을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_{12} = 1 + \sum_{k=1}^{11} (2k + 1) = 1 + 2 \cdot \dfrac{11 \times 12}{2} + 11\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(1 + 132 + 11 = 144\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) 축차대입법(계차 합) \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)\)을 적용한다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) \(a_{12} = 1 + \sum_{k=1}^{11} (2k + 1) = 1 + 2 \cdot \dfrac{11 \times 12}{2} + 11\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 따라서 \(1 + 132 + 11 = 144\)이다. 1점
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\(\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1) = n^2 - 1\)이므로 실제로 \(a_n = n^2\), \(a_{12} = 12^2 = 144\)로 검산됩니다.
🎯 [최종 정답] \(144\)
【문제 3】 원문 요약 — 분수식의 극한과 차수 결정 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2 + 1} = 2\)와 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 3\)을 만족시킬 때, \(f(3)\)의 값을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 3 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 첫 번째 극한에서 \(f(x)\)는 최고차항 계수가 \(2\)인 이차식 \(f(x) = 2x^2 + ax + b\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 두 번째 극한에서 \(x \to 0\)일 때 분모가 \(0\)이므로 \(f(0) = b = 0\)이고, \(\lim_{x \to 0}\dfrac{2x^2 + ax}{x} = a = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(x) = 2x^2 + 3x\)이므로 \(f(3) = 18 + 9 = 27\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 첫 번째 극한에서 \(f(x)\)는 최고차항 계수가 \(2\)인 이차식 \(f(x) = 2x^2 + ax + b\)이다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) 두 번째 극한에서 \(x \to 0\)일 때 분모가 \(0\)이므로 \(f(0) = b = 0\)이고, \(\lim_{x \to 0}\dfrac{2x^2 + ax}{x} = a = 3\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 따라서 \(f(x) = 2x^2 + 3x\)이므로 \(f(3) = 18 + 9 = 27\)이다. 2점
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무한대 극한 \(\to\) 최고차항 결정, \(0\) 극한 \(\to\) 상수항 및 일차항 결정 순서를 지켜 서술하세요.
🎯 [최종 정답] \(27\)
【문제 4】 원문 요약 — 삼각함수와 절댓값 최대 [배점 8점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.21 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수02-02] 함수 \(f(x) = |2\cos x - 1| + 3\sin^2 x\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
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⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 4 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\)를 대입하고 \(t = \cos x\ (-1 \le t \le 1)\)로 치환한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(g(t) = |2t - 1| + 3(1 - t^2)\ (-1 \le t \le 1)\)에서 구간을 나눈다. ① \(t \ge \frac{1}{2}\)일 때: \(-3t^2 + 2t + 2 = -3(t-\frac{1}{3})^2 + \frac{7}{3}\) (감소)이므로 \(t=\frac{1}{2}\)에서 \(\frac{9}{4}\), \(t=1\)에서 \(1\). ② \(t \lt \frac{1}{2}\)일 때: \(-3t^2 - 2t + 4 = -3(t+\frac{1}{3})^2 + \frac{13}{3}\)이므로 \(t = -\frac{1}{3}\)에서 최댓값 \(\frac{13}{3}\), \(t = -1\)에서 최솟값 \(-3 + 2 + 4 = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 전 구간 \([-1, 1]\)에서 최댓값은 \(\dfrac{13}{3}\), 최솟값은 \(1\)이므로 합은 \(\dfrac{16}{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\)를 대입하고 \(t = \cos x\ (-1 \le t \le 1)\)로 치환한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) \(g(t) = |2t - 1| + 3(1 - t^2)\ (-1 \le t \le 1)\)에서 구간을 나눈다. ① \(t \ge \frac{1}{2}\)일 때: \(-3t^2 + 2t + 2 = -3(t-\frac{1}{3})^2 + \frac{7}{3}\) (감소)이므로 \(t=\frac{1}{2}\)에서 \(\frac{9}{4}\), \(t=1\)에서 \(1\). ② \(t \lt \frac{1}{2}\)일 때: \(-3t^2 - 2t + 4 = -3(t+\frac{1}{3})^2 + \frac{13}{3}\)이므로 \(t = -\frac{1}{3}\)에서 최댓값 \(\frac{13}{3}\), \(t = -1\)에서 최솟값 \(-3 + 2 + 4 = 3\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 전 구간 \([-1, 1]\)에서 최댓값은 \(\dfrac{13}{3}\), 최솟값은 \(1\)이므로 합은 \(\dfrac{16}{3}\)이다. 2점
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절댓값 기준점 \(t = \frac{1}{2}\)에서 구간을 분리한 뒤, 양 끝점 및 꼭짓점의 치역을 모두 비교하세요.
🎯 [최종 정답] \(\frac{16}{3}\)
【문제 5】 원문 요약 — 접선의 개수와 곡률 변곡 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05] 곡선 \(y = x^3 - 6x^2 + ax + 1\) 위의 점 중에서 접선의 기울기가 \(-9\)인 점이 오직 하나만 존재할 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 5 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(y' = 3x^2 - 12x + a\)에 대하여 방정식 \(3x^2 - 12x + a = -9\)가 오직 하나의 실근(중근)을 가져야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(3x^2 - 12x + (a + 9) = 0\)의 판별식 \(D/4 = (-6)^2 - 3(a + 9) = 0\)이어야 한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(36 - 3a - 27 = 9 - 3a = 0\)이므로 \(a = 3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 도함수 \(y' = 3x^2 - 12x + a\)에 대하여 방정식 \(3x^2 - 12x + a = -9\)가 오직 하나의 실근(중근)을 가져야 한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) \(3x^2 - 12x + (a + 9) = 0\)의 판별식 \(D/4 = (-6)^2 - 3(a + 9) = 0\)이어야 한다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) \(36 - 3a - 27 = 9 - 3a = 0\)이므로 \(a = 3\)이다. 2점
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기울기 \(-9\)인 접점이 유일하다 \(\iff\) 도함수 이차방정식이 중근을 갖는다(\(D=0\))를 명시하세요.
🎯 [최종 정답] \(3\)
【문제 6】 원문 요약 — 로그부등식과 정수해 개수 [배점 12점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-08] 부등식 \((\log_2 x)^2 - (n + 2)\log_2 x + 2n \le 0\)을 만족시키는 자연수 \(x\)의 개수가 \(13\)개일 때, 자연수 \(n\)의 값을 구하시오. (단, \(n > 2\)이다.)
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(t = \log_2 x\)로 치환하여 \((t - 2)(t - n) \le 0\)에서 \(2 \le \log_2 x \le n\), 즉 \(4 \le x \le 2^n\)을 얻는다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 자연수 \(x\)의 개수는 \(2^n - 4 + 1 = 2^n - 3\)개이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(2^n - 3 = 13 \implies 2^n = 16\)이므로 \(n = 4\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) \(t = \log_2 x\)로 치환하여 \((t - 2)(t - n) \le 0\)에서 \(2 \le \log_2 x \le n\), 즉 \(4 \le x \le 2^n\)을 얻는다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) 자연수 \(x\)의 개수는 \(2^n - 4 + 1 = 2^n - 3\)개이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) \(2^n - 3 = 13 \implies 2^n = 16\)이므로 \(n = 4\)이다. 3점
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부등식 양 끝점 \(4\)와 \(2^n\) 모두 정수이므로 개수 공식 \(2^n - 4 + 1\)을 정확히 적용하세요.
🎯 [최종 정답] \(4\)
【문제 7】 원문 요약 — 사차함수의 극값 조건 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08] 함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2ax^2 + 5\)가 극댓값을 갖지 않도록 하는 실수 \(a\)의 최솟값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 최고차항 계수가 양수인 사차함수가 극댓값을 갖지 않으려면 도함수 \(f'(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖지 않아야 한다 (중근·삼중근 또는 실근 1개).
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 4ax = 4x(x^2 - 3x + a) = 0\)이다. \(x = 0\)을 근으로 가지므로 ① \(x^2 - 3x + a = 0\)의 판별식 \(D = 9 - 4a \le 0 \implies a \ge \dfrac{9}{4}\), 또는 ② \(x = 0\)을 근으로 가질 때 \(a = 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a = 0\) 또는 \(a \ge \dfrac{9}{4}\)이므로 실수 \(a\)의 최솟값은 \(0\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) 최고차항 계수가 양수인 사차함수가 극댓값을 갖지 않으려면 도함수 \(f'(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖지 않아야 한다 (중근·삼중근 또는 실근 1개). 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 4ax = 4x(x^2 - 3x + a) = 0\)이다. \(x = 0\)을 근으로 가지므로 ① \(x^2 - 3x + a = 0\)의 판별식 \(D = 9 - 4a \le 0 \implies a \ge \dfrac{9}{4}\), 또는 ② \(x = 0\)을 근으로 가질 때 \(a = 0\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(a = 0\) 또는 \(a \ge \dfrac{9}{4}\)이므로 실수 \(a\)의 최솟값은 \(0\)이다. 3점
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판별식 \(D \le 0\)만 체크하고 \(x=0\)이 중근이 되는 \(a=0\) 경우를 놓치기 쉬우므로 반드시 두 경우를 모두 서술하세요!
🎯 [최종 정답] \(0\)
【문제 8】 원문 요약 — 정적분과 항등식 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] 모든 실수 \(x\)에 대하여 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + ax\)를 만족시킬 때, \(a + f(2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 적분식의 아래끝과 같은 \(x = 1\)을 대입하여 상수 \(a\)를 구하고, 양변을 \(x\)에 대해 미분하여 \(f(x)\)를 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 1\) 대입 시 \(0 = 1 - 2 + a \implies a = 1\)이다. 양변을 미분하면 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(2) = 12 - 8 + 1 = 5\)이므로 \(a + f(2) = 1 + 5 = 6\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) 적분식의 아래끝과 같은 \(x = 1\)을 대입하여 상수 \(a\)를 구하고, 양변을 \(x\)에 대해 미분하여 \(f(x)\)를 구한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(x = 1\) 대입 시 \(0 = 1 - 2 + a \implies a = 1\)이다. 양변을 미분하면 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(f(2) = 12 - 8 + 1 = 5\)이므로 \(a + f(2) = 1 + 5 = 6\)이다. 3점
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\(\int_1^1 f(t)dt = 0\) 조건을 먼저 사용해 \(a\)를 구한 뒤 미분하는 2단계가 정석입니다.
🎯 [최종 정답] \(6\)
【문제 9】 원문 요약 — 사인법칙 [배점 16점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 반지름의 길이가 \(4\)인 원에 내접하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\sin A + \sin B = \dfrac{3}{2}\)이고 \(\angle C = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이와 \(\overline{\mathrm{BC}} + \overline{\mathrm{CA}}\)의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 9 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)을 적용하여 변의 길이를 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2R = 8\)이므로 \(\overline{\mathrm{AB}} = c = 8\sin\dfrac{\pi}{3} = 4\sqrt{3}\)이다. 또한 \(a = 8\sin A,\ b = 8\sin B\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} + \overline{\mathrm{CA}} = a + b = 8(\sin A + \sin B) = 8 \times \dfrac{3}{2} = 12\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\overline{\mathrm{AB}} + (\overline{\mathrm{BC}} + \overline{\mathrm{CA}}) = 12 + 4\sqrt{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)을 적용하여 변의 길이를 구한다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) \(2R = 8\)이므로 \(\overline{\mathrm{AB}} = c = 8\sin\dfrac{\pi}{3} = 4\sqrt{3}\)이다. 또한 \(a = 8\sin A,\ b = 8\sin B\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} + \overline{\mathrm{CA}} = a + b = 8(\sin A + \sin B) = 8 \times \dfrac{3}{2} = 12\)이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) 따라서 \(\overline{\mathrm{AB}} + (\overline{\mathrm{BC}} + \overline{\mathrm{CA}}) = 12 + 4\sqrt{3}\)이다. 5점
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외접원 반지름 \(R=4\)에서 \(2R=8\)임을 확인하고 사인법칙 비례식을 정확히 대입하세요.
🎯 [최종 정답] \(12 + 4\sqrt{3}\)
【문제 10】 원문 요약 — 절댓값 함수의 정적분 넓이 [배점 16점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.35 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 곡선 \(y = |x^2 - 4|\)와 직선 \(y = 5\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제7회 문항 10 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] 곡선 \(y = |x^2 - 4|\)는 \(y\)축 대칭이므로 \(x \ge 0\) 부분의 넓이를 구해 \(2\)배 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x \ge 0\)에서 \(x^2 - 4 = 5 \implies x = 3\)이 교점이고, \([0, 2]\)에서 \(y = 4 - x^2\), \([2, 3]\)에서 \(y = x^2 - 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 넓이 \(S = 2\left[\int_{0}^{2}\{5 - (4 - x^2)\}\,dx + \int_{2}^{3}\{5 - (x^2 - 4)\}\,dx\right] = 2\left(\left[x + \dfrac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2} + \left[9x - \dfrac{1}{3}x^3\right]_{2}^{3}\right) = 2\left(\dfrac{14}{3} + \dfrac{8}{3}\right) = \dfrac{44}{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) 곡선 \(y = |x^2 - 4|\)는 \(y\)축 대칭이므로 \(x \ge 0\) 부분의 넓이를 구해 \(2\)배 한다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) \(x \ge 0\)에서 \(x^2 - 4 = 5 \implies x = 3\)이 교점이고, \([0, 2]\)에서 \(y = 4 - x^2\), \([2, 3]\)에서 \(y = x^2 - 4\)이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) 따라서 넓이 \(S = 2\left[\int_{0}^{2}\{5 - (4 - x^2)\}\,dx + \int_{2}^{3}\{5 - (x^2 - 4)\}\,dx\right] = 2\left(\left[x + \dfrac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2} + \left[9x - \dfrac{1}{3}x^3\right]_{2}^{3}\right) = 2\left(\dfrac{14}{3} + \dfrac{8}{3}\right) = \dfrac{44}{3}\)이다. 5점
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전체 직사각형 넓이 \(6 \times 5 = 30\)에서 아래쪽 영역을 빼는 검산법(\(30 - 2\cdot\frac{16}{3} - 2\cdot\frac{7}{3} = 30 - \frac{46}{3} = \frac{44}{3}\))도 정확히 일치합니다.
🎯 [최종 정답] \(\frac{44}{3}\)
【문제 1】 원문 요약 — 지수 [배점 4점]
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] \(2^a = 3^b = 6^c\)을 만족시키는 \(0\)이 아닌 세 실수 \(a,\ b,\ c\)에 대하여 \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c}\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 1 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(2^a = 3^b = 6^c = k\ (k > 0,\ k \ne 1)\)로 두면 \(2 = k^{\frac{1}{a}},\ 3 = k^{\frac{1}{b}},\ 6 = k^{\frac{1}{c}}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2 \times 3 = 6\)이므로 \(k^{\frac{1}{a}} \cdot k^{\frac{1}{b}} = k^{\frac{1}{c}} \implies k^{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = k^{\frac{1}{c}}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{c}\)이므로 \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c} = 0\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) \(2^a = 3^b = 6^c = k\ (k > 0,\ k \ne 1)\)로 두면 \(2 = k^{\frac{1}{a}},\ 3 = k^{\frac{1}{b}},\ 6 = k^{\frac{1}{c}}\)이다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) \(2 \times 3 = 6\)이므로 \(k^{\frac{1}{a}} \cdot k^{\frac{1}{b}} = k^{\frac{1}{c}} \implies k^{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = k^{\frac{1}{c}}\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 따라서 \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{c}\)이므로 \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c} = 0\)이다. 1점
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\(k > 0,\ k \ne 1\)임을 밝혀 지수 비교가 가능함을 명시하세요.
🎯 [최종 정답] \(0\)
【문제 2】 원문 요약 — 등차 [배점 4점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03] 서로 다른 세 실수 \(a,\ b,\ c\)가 이 순서대로 공차가 \(0\)이 아닌 등차수열을 이루고, \(a,\ c,\ b\)가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, \(a + b + c = 12\)이면 \(a^2 + b^2 + c^2\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 2 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] 등차중항 \(2b = a + c\)와 등비중항 \(c^2 = ab\)를 합 조건 \(a + b + c = 12\)와 연립한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(3b = 12 \implies b = 4\)이고 \(a + c = 8\)이다. \(a = 4 - d,\ c = 4 + d\ (d \ne 0)\)를 \(c^2 = ab\)에 대입하면 \((4 + d)^2 = 4(4 - d) \iff d^2 + 12d = 0 \implies d = -12\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a = 16,\ b = 4,\ c = -8\)이므로 \(a^2 + b^2 + c^2 = 256 + 16 + 64 = 336\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) 등차중항 \(2b = a + c\)와 등비중항 \(c^2 = ab\)를 합 조건 \(a + b + c = 12\)와 연립한다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) \(3b = 12 \implies b = 4\)이고 \(a + c = 8\)이다. \(a = 4 - d,\ c = 4 + d\ (d \ne 0)\)를 \(c^2 = ab\)에 대입하면 \((4 + d)^2 = 4(4 - d) \iff d^2 + 12d = 0 \implies d = -12\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 따라서 \(a = 16,\ b = 4,\ c = -8\)이므로 \(a^2 + b^2 + c^2 = 256 + 16 + 64 = 336\)이다. 1점
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서로 다른 세 수이므로 \(d \ne 0\) 조건으로 \(d = 0\)을 배제해야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(336\)
【문제 3】 원문 요약 — 불연속점과 분수함수 연속 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03] 함수 \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + ax + b}\)가 실수 전체의 집합에서 연속이고 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 1\)일 때, \(a + b\)의 최솟값은 없으나 \(a,\ b\)가 정수일 때 \(a^2 - 4b\)가 가질 수 있는 최대 정수값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 3 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 유리함수가 실수 전체에서 연속이려면 분모 \(x^2 + ax + b = 0\)의 실근이 존재하지 않아야 하므로 판별식 \(D = a^2 - 4b \lt 0\)이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a,\ b\)가 정수이므로 \(a^2 - 4b\) 역시 정수이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a\)가 홀수이면 \(a^2 \equiv 1 \pmod 4\)이므로 \(a^2 - 4b \equiv 1 \pmod 4\)가 되고, \(a\)가 짝수이면 \(a^2 - 4b \equiv 0 \pmod 4\)가 된다. 따라서 \(a^2 - 4b \lt 0\)을 만족시키는 최대의 정수는 \(-3\)이다. (예: \(a = 1,\ b = 1\))
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 유리함수가 실수 전체에서 연속이려면 분모 \(x^2 + ax + b = 0\)의 실근이 존재하지 않아야 하므로 판별식 \(D = a^2 - 4b \lt 0\)이어야 한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) \(a,\ b\)가 정수이므로 \(a^2 - 4b\) 역시 정수이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) \(a\)가 홀수이면 \(a^2 \equiv 1 \pmod 4\)이므로 \(a^2 - 4b \equiv 1 \pmod 4\)가 되고, \(a\)가 짝수이면 \(a^2 - 4b \equiv 0 \pmod 4\)가 된다. 따라서 \(a^2 - 4b \lt 0\)을 만족시키는 최대의 정수는 \(-3\)이다. (예: \(a = 1,\ b = 1\)) 2점
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단순히 \(D \lt 0\)이라고 \(-1\)로 답하지 말고, \(a^2 \pmod 4 \in \{0, 1\}\)에 의해 \(a^2 - 4b\)가 가질 수 있는 최대 음의 정수는 \(-3\)임을 논증해야 만점입니다!
🎯 [최종 정답] \(-3\)
【문제 4】 원문 요약 — 삼각방정식과 근의 개수 [배점 8점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] 닫힌구간 \([0,\ 2\pi]\)에서 방정식 \(\sin(2x) = \dfrac{1}{2}\)의 서로 다른 모든 실근의 개수와 그 합을 각각 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 4 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(t = 2x\)로 치환하면 \(0 \le t \le 4\pi\)이므로 주기 \(2\pi\)인 사인 그래프 \(y = \sin t\)가 두 주기 동안 \(y = \dfrac{1}{2}\)과 만나는 교점을 찾는다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \([0, 2\pi]\)에서 \(\sin t = \dfrac{1}{2}\)의 해는 \(\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}\) (합 \(\pi\))이고, \([2\pi, 4\pi]\)에서 해는 \(2\pi + \dfrac{\pi}{6},\ 2\pi + \dfrac{5\pi}{6}\) (합 \(5\pi\))이므로 총 \(4\)개이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(t\)의 합이 \(6\pi\)이므로 \(x = \dfrac{t}{2}\)의 개수는 \(4\)개, 모든 실근의 합은 \(3\pi\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) \(t = 2x\)로 치환하면 \(0 \le t \le 4\pi\)이므로 주기 \(2\pi\)인 사인 그래프 \(y = \sin t\)가 두 주기 동안 \(y = \dfrac{1}{2}\)과 만나는 교점을 찾는다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) \([0, 2\pi]\)에서 \(\sin t = \dfrac{1}{2}\)의 해는 \(\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}\) (합 \(\pi\))이고, \([2\pi, 4\pi]\)에서 해는 \(2\pi + \dfrac{\pi}{6},\ 2\pi + \dfrac{5\pi}{6}\) (합 \(5\pi\))이므로 총 \(4\)개이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 따라서 \(t\)의 합이 \(6\pi\)이므로 \(x = \dfrac{t}{2}\)의 개수는 \(4\)개, 모든 실근의 합은 \(3\pi\)이다. 2점
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각의 치환 \(t=2x\) 시 구간도 \(2\)배(\(0 \le t \le 4\pi\))로 확장한 뒤 마지막에 \(2\)로 나누어야 정확합니다.
🎯 [최종 정답] \(4\text{개},\ 3\pi\)
【문제 5】 원문 요약 — 평균값 정리 응용 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.31 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06] 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(f(1) = 2\)이고 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \le 4\)를 만족시킬 때, \(f(5)\)의 최댓값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 5 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 닫힌구간 \([1,\ 5]\)에서 평균값 정리를 적용하면 \(\dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = f'(c)\)를 만족하는 \(c \in (1,\ 5)\)가 존재한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 모든 실수에서 \(f'(x) \le 4\)이므로 \(f'(c) \le 4\), 즉 \(\dfrac{f(5) - 2}{4} \le 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(5) \le 16 + 2 = 18\)이므로 최댓값은 \(18\)이다. (등호는 \(f(x) = 4x - 2\)일 때 성립)
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 닫힌구간 \([1,\ 5]\)에서 평균값 정리를 적용하면 \(\dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = f'(c)\)를 만족하는 \(c \in (1,\ 5)\)가 존재한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) 모든 실수에서 \(f'(x) \le 4\)이므로 \(f'(c) \le 4\), 즉 \(\dfrac{f(5) - 2}{4} \le 4\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 따라서 \(f(5) \le 16 + 2 = 18\)이므로 최댓값은 \(18\)이다. (등호는 \(f(x) = 4x - 2\)일 때 성립) 2점
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평균값 정리의 적용 조건(연속·미분가능)과 등호 성립 함수의 존재 여부를 밝히면 완벽합니다.
🎯 [최종 정답] \(18\)
【문제 6】 원문 요약 — 귀납적 정의 역추적 [배점 12점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 중단원 마무리 변형 | 성취기준: 12대수03-06] 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} 2a_n & (a_n \lt 5) \\ a_n - 3 & (a_n \ge 5) \end{cases}\)을 만족시키고 \(a_4 = 4\)일 때, 가능한 모든 \(a_1\)의 값의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(a_4 = 4\)에서 출발하여 역방향 분기 규칙(\(a_n = a_{n+1}/2 \lt 5\) 또는 \(a_n = a_{n+1} + 3 \ge 5\))으로 \(a_3 \to a_2 \to a_1\)을 역추적한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_4 = 4 \implies a_3 \in \{2,\ 7\}\)이다. ① \(a_3 = 2 \implies a_2 \in \{1,\ 5\}\): \(a_2 = 1 \implies a_1 \in \left\{\dfrac{1}{2},\ 4\right\}\), \(a_2 = 5 \implies a_1 \in \left\{\dfrac{5}{2},\ 8\right\}\). ② \(a_3 = 7 \implies a_2 \in \left\{\dfrac{7}{2},\ 10\right\}\): \(a_2 = \dfrac{7}{2} \implies a_1 \in \left\{\dfrac{7}{4},\ \dfrac{13}{2}\right\}\), \(a_2 = 10 \implies a_1 = 13\) (\(5 \ge 5\)이므로 \(2a_1 = 10\)은 정의역 조건에 위배되어 제외).
[3줄: 최종결론 (30%)] 가능한 모든 \(a_1\)은 \(\dfrac{1}{2},\ 4,\ \dfrac{5}{2},\ 8,\ \dfrac{7}{4},\ \dfrac{13}{2},\ 13\)이므로 합은 \(\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}+\dfrac{13}{2}\right) + (4+8+13) + \dfrac{7}{4} = \dfrac{19}{2} + 25 + \dfrac{7}{4} = \dfrac{38+100+7}{4} = \dfrac{145}{4}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) \(a_4 = 4\)에서 출발하여 역방향 분기 규칙(\(a_n = a_{n+1}/2 \lt 5\) 또는 \(a_n = a_{n+1} + 3 \ge 5\))으로 \(a_3 \to a_2 \to a_1\)을 역추적한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(a_4 = 4 \implies a_3 \in \{2,\ 7\}\)이다. ① \(a_3 = 2 \implies a_2 \in \{1,\ 5\}\): \(a_2 = 1 \implies a_1 \in \left\{\dfrac{1}{2},\ 4\right\}\), \(a_2 = 5 \implies a_1 \in \left\{\dfrac{5}{2},\ 8\right\}\). ② \(a_3 = 7 \implies a_2 \in \left\{\dfrac{7}{2},\ 10\right\}\): \(a_2 = \dfrac{7}{2} \implies a_1 \in \left\{\dfrac{7}{4},\ \dfrac{13}{2}\right\}\), \(a_2 = 10 \implies a_1 = 13\) (\(5 \ge 5\)이므로 \(2a_1 = 10\)은 정의역 조건에 위배되어 제외). 5점 3단계: 최종결론 (3점) 가능한 모든 \(a_1\)은 \(\dfrac{1}{2},\ 4,\ \dfrac{5}{2},\ 8,\ \dfrac{7}{4},\ \dfrac{13}{2},\ 13\)이므로 합은 \(\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}+\dfrac{13}{2}\right) + (4+8+13) + \dfrac{7}{4} = \dfrac{19}{2} + 25 + \dfrac{7}{4} = \dfrac{38+100+7}{4} = \dfrac{145}{4}\)이다. 3점
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역추적 시 각 분기의 정의역 조건(\(a_n \lt 5\)인지 \(a_n \ge 5\)인지)을 매 단계 검산해 허근을 걸러내야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(\frac{145}{4}\)
【문제 7】 원문 요약 — 삼차함수의 극값과 교점 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09] 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\)에 대하여 방정식 \(|f(x)| = k\)가 서로 다른 \(4\)개의 실근을 갖도록 하는 정수 \(k\)의 개수를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(y = |f(x)|\)의 그래프가 \(y = k\ (k > 0)\)와 \(4\)개의 교점을 가지려면 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값의 부호 및 값을 구한 뒤 \(y = |f(x)|\)의 개형을 분석한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0\)에서 극댓값 \(f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5\), 극솟값 \(f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1 > 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(x \lt 0\)에서 \(f(x) \lt 0\)인 부분이 \(x\)축 위로 접어 올라가므로, \(y = |f(x)|\)와 \(y = k\)가 서로 다른 \(4\)개의 실근을 갖는 범위는 \(1 \lt k \lt 5\)이다. (양수 쪽 \(3\)개 + 음수 쪽 \(1\)개) 따라서 정수 \(k\)는 \(2,\ 3,\ 4\)의 \(3\)개이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) \(y = |f(x)|\)의 그래프가 \(y = k\ (k > 0)\)와 \(4\)개의 교점을 가지려면 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값의 부호 및 값을 구한 뒤 \(y = |f(x)|\)의 개형을 분석한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0\)에서 극댓값 \(f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5\), 극솟값 \(f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1 > 0\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) \(x \lt 0\)에서 \(f(x) \lt 0\)인 부분이 \(x\)축 위로 접어 올라가므로, \(y = |f(x)|\)와 \(y = k\)가 서로 다른 \(4\)개의 실근을 갖는 범위는 \(1 \lt k \lt 5\)이다. (양수 쪽 \(3\)개 + 음수 쪽 \(1\)개) 따라서 정수 \(k\)는 \(2,\ 3,\ 4\)의 \(3\)개이다. 3점
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극솟값 \(1 > 0\)이므로 음수 영역에서 접어 올라오는 가지(\(-f(x)\))와의 교점 \(1\)개를 포함해 \(1 \lt k \lt 5\)에서 총 \(4\)실근이 나옵니다.
🎯 [최종 정답] \(3\)
【문제 8】 원문 요약 — 정적분과 극한(미분계수) [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-02-01] 연속함수 \(f(x) = x^3 - 3x + 5\)에 대하여 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x - 2} \int_{2}^{x} (t + 1)f(t)\,dt\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(g(t) = (t + 1)f(t)\)의 한 부정적분을 \(G(t)\)라 하면 주어진 극한은 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{G(x) - G(2)}{x - 2} = G'(2) = g(2)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(2) = 8 - 6 + 5 = 7\)이므로 \(g(2) = (2 + 1)f(2) = 3 \times 7\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 구하는 극한값은 \(21\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) \(g(t) = (t + 1)f(t)\)의 한 부정적분을 \(G(t)\)라 하면 주어진 극한은 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{G(x) - G(2)}{x - 2} = G'(2) = g(2)\)이다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(f(2) = 8 - 6 + 5 = 7\)이므로 \(g(2) = (2 + 1)f(2) = 3 \times 7\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 구하는 극한값은 \(21\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
피적분함수 전체 \((t+1)f(t)\)를 \(g(t)\)로 치환해 미분계수의 정의를 적용하는 것이 핵심입니다.
🎯 [최종 정답] \(21\)
【문제 9】 원문 요약 — 코사인법칙과 원의 성질 [배점 16점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 길이가 \(10\)인 선분 \(\mathrm{AB}\)를 지름으로 하는 반원 위의 점 \(\mathrm{C}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{AC}} = 6\)이다. 호 \(\mathrm{BC}\) 위의 점 \(\mathrm{P}\)가 \(\overline{\mathrm{BP}} = \sqrt{10}\)을 만족시킬 때, \(\overline{\mathrm{CP}}^2\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 9 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\overline{\mathrm{AB}} = 10\)이 지름이므로 \(\angle\mathrm{ACB} = \angle\mathrm{APB} = \dfrac{\pi}{2}\)이고, 사각형 \(\mathrm{ACPB}\)는 지름이 \(10\)인 원에 내접한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 직각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{BC}} = 8\), \(\sin(\angle\mathrm{CAB}) = \dfrac{4}{5},\ \cos(\angle\mathrm{CAB}) = \dfrac{3}{5}\)이고, 직각삼각형 \(\mathrm{ABP}\)에서 \(\overline{\mathrm{AP}} = \sqrt{100 - 10} = 3\sqrt{10}\)이므로 \(\sin(\angle\mathrm{BAP}) = \dfrac{\sqrt{10}}{10},\ \cos(\angle\mathrm{BAP}) = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\angle\mathrm{CAP} = \angle\mathrm{CAB} - \angle\mathrm{BAP}\)에 사인법칙을 적용하면 \(\overline{\mathrm{CP}} = 10\sin(\angle\mathrm{CAB} - \angle\mathrm{BAP}) = 10\left(\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{3\sqrt{10}}{10} - \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{\sqrt{10}}{10}\right) = \dfrac{9\sqrt{10}}{5}\)이므로 \(\overline{\mathrm{CP}}^2 = \dfrac{162}{5}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) \(\overline{\mathrm{AB}} = 10\)이 지름이므로 \(\angle\mathrm{ACB} = \angle\mathrm{APB} = \dfrac{\pi}{2}\)이고, 사각형 \(\mathrm{ACPB}\)는 지름이 \(10\)인 원에 내접한다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) 직각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{BC}} = 8\), \(\sin(\angle\mathrm{CAB}) = \dfrac{4}{5},\ \cos(\angle\mathrm{CAB}) = \dfrac{3}{5}\)이고, 직각삼각형 \(\mathrm{ABP}\)에서 \(\overline{\mathrm{AP}} = \sqrt{100 - 10} = 3\sqrt{10}\)이므로 \(\sin(\angle\mathrm{BAP}) = \dfrac{\sqrt{10}}{10},\ \cos(\angle\mathrm{BAP}) = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) \(\angle\mathrm{CAP} = \angle\mathrm{CAB} - \angle\mathrm{BAP}\)에 사인법칙을 적용하면 \(\overline{\mathrm{CP}} = 10\sin(\angle\mathrm{CAB} - \angle\mathrm{BAP}) = 10\left(\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{3\sqrt{10}}{10} - \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{\sqrt{10}}{10}\right) = \dfrac{9\sqrt{10}}{5}\)이므로 \(\overline{\mathrm{CP}}^2 = \dfrac{162}{5}\)이다. 5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
지름에 대한 원주각 \(90^\circ\)와 내접 사각형 대각 관계(\(\angle\mathrm{CPB} = \pi - \angle\mathrm{CAB}\))를 이용해 코사인법칙으로 계산할 수 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(\frac{162}{5}\)
【문제 10】 원문 요약 — 역함수와 넓이 [배점 16점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.37 중단원 마무리 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 함수 \(f(x) = x^3 + x\ (x \ge 0)\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx + \int_{0}^{10} g(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제8회 문항 10 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(0) = 0,\ f(2) = 8 + 2 = 10\)이므로 역함수 정적분의 기하학적 성질(직사각형 넓이 항등식)을 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 모든 증가하는 연속함수 \(f\)와 그 역함수 \(g\)에 대해 \(\int_{0}^{a} f(x)\,dx + \int_{0}^{f(a)} g(y)\,dy = a \cdot f(a)\)가 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a = 2,\ f(2) = 10\)을 대입하면 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx + \int_{0}^{10} g(x)\,dx = 2 \times 10 = 20\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) \(f(0) = 0,\ f(2) = 8 + 2 = 10\)이므로 역함수 정적분의 기하학적 성질(직사각형 넓이 항등식)을 적용한다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) 모든 증가하는 연속함수 \(f\)와 그 역함수 \(g\)에 대해 \(\int_{0}^{a} f(x)\,dx + \int_{0}^{f(a)} g(y)\,dy = a \cdot f(a)\)가 성립한다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) 따라서 \(a = 2,\ f(2) = 10\)을 대입하면 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx + \int_{0}^{10} g(x)\,dx = 2 \times 10 = 20\)이다. 5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
역함수 \(g(x)\)를 직접 구할 수 없는 삼차함수이므로 그래프의 \(y=x\) 대칭과 직사각형 넓이 합을 이용해 서술하세요.
🎯 [최종 정답] \(20\)
【문제 1】 원문 요약 — 지수부등식과 정수해 [배점 4점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-08] 부등식 \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 2x} \ge 27^{x - 2}\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 합을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 1 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] 밑을 \(3\)으로 통일하면 \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 2x} = 3^{-x^2 + 2x}\), \(27^{x - 2} = 3^{3x - 6}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 밑 \(3 > 1\)이므로 지수 부등식 \(-x^2 + 2x \ge 3x - 6 \iff x^2 + x - 6 \le 0 \iff (x + 3)(x - 2) \le 0\)을 푼다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(-3 \le x \le 2\)이므로 정수 \(x\)는 \(-3, -2, -1, 0, 1, 2\)이고 합은 \(-3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) 밑을 \(3\)으로 통일하면 \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 2x} = 3^{-x^2 + 2x}\), \(27^{x - 2} = 3^{3x - 6}\)이다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) 밑 \(3 > 1\)이므로 지수 부등식 \(-x^2 + 2x \ge 3x - 6 \iff x^2 + x - 6 \le 0 \iff (x + 3)(x - 2) \le 0\)을 푼다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) \(-3 \le x \le 2\)이므로 정수 \(x\)는 \(-3, -2, -1, 0, 1, 2\)이고 합은 \(-3\)이다. 1점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
밑을 \(1\)보다 큰 \(3\)으로 통일해 부등호 방향 실수를 원천 차단하세요.
🎯 [최종 정답] \(-3\)
【문제 2】 원문 요약 — 등차수열과 공차 [배점 4점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02] 두 수 \(4\)와 \(40\) 사이에 \(8\)개의 수 \(a_1, a_2, \dots, a_8\)을 넣어 \(4, a_1, a_2, \dots, a_8, 40\)이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, \(a_3 + a_6\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 2 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] 전체 \(10\)개 항의 등차수열에서 첫째항이 \(4\), 제\(10\)항이 \(40\)이므로 대칭성(등차중항)을 이용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(4, a_1, \dots, a_8, 40\)에서 \(a_3\)은 앞에서 \(4\)번째 항, \(a_6\)은 뒤에서 \(4\)번째 항(앞에서 \(7\)번째 항)이므로 \(a_3 + a_6 = 4 + 40\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a_3 + a_6 = 44\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) 전체 \(10\)개 항의 등차수열에서 첫째항이 \(4\), 제\(10\)항이 \(40\)이므로 대칭성(등차중항)을 이용한다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) \(4, a_1, \dots, a_8, 40\)에서 \(a_3\)은 앞에서 \(4\)번째 항, \(a_6\)은 뒤에서 \(4\)번째 항(앞에서 \(7\)번째 항)이므로 \(a_3 + a_6 = 4 + 40\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 따라서 \(a_3 + a_6 = 44\)이다. 1점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
공차 \(d = \frac{40-4}{9} = 4\)를 구해 \(a_3 = 16,\ a_6 = 28 \implies 44\)로 검산할 수도 있습니다.
🎯 [최종 정답] \(44\)
【문제 3】 원문 요약 — 극한과 다항함수 결정 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] 다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2} = -2\)와 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 4\)를 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 3 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 첫 번째 극한에서 \(f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b\) 꼴임을 결정한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 두 번째 극한에서 \(x \to 0\)일 때 분모가 \(0\)이므로 \(f(0) = b = 0\)이고, \(\lim_{x \to 0}\dfrac{x^3 - 2x^2 + ax}{x} = a = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x\)이므로 \(f(2) = 8 - 8 + 8 = 8\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 첫 번째 극한에서 \(f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b\) 꼴임을 결정한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) 두 번째 극한에서 \(x \to 0\)일 때 분모가 \(0\)이므로 \(f(0) = b = 0\)이고, \(\lim_{x \to 0}\dfrac{x^3 - 2x^2 + ax}{x} = a = 4\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 따라서 \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x\)이므로 \(f(2) = 8 - 8 + 8 = 8\)이다. 2점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
인수 \(x\)가 분자에 존재해야 함을 \(f(0)=0\)으로 먼저 선언하세요.
🎯 [최종 정답] \(8\)
【문제 4】 원문 요약 — 삼각함수 그래프의 주기 [배점 8점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.18 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-02] 함수 \(f(x) = a\cos(bx) + c\ (a > 0,\ b > 0)\)의 최댓값이 \(5\), 최솟값이 \(-1\), 주기가 \(\pi\)이고 \(f(0) = 5\)일 때, \(a + b + c\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 4 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 최댓값 \(a + c = 5\), 최솟값 \(-a + c = -1\)과 주기 \(\dfrac{2\pi}{b} = \pi\)를 연립한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 두 식을 더하면 \(2c = 4 \implies c = 2,\ a = 3\)이고, \(\dfrac{2\pi}{b} = \pi \implies b = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(x) = 3\cos(2x) + 2\)는 \(f(0) = 3\cos 0 + 2 = 5\)를 만족하므로 \(a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 최댓값 \(a + c = 5\), 최솟값 \(-a + c = -1\)과 주기 \(\dfrac{2\pi}{b} = \pi\)를 연립한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) 두 식을 더하면 \(2c = 4 \implies c = 2,\ a = 3\)이고, \(\dfrac{2\pi}{b} = \pi \implies b = 2\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) \(f(x) = 3\cos(2x) + 2\)는 \(f(0) = 3\cos 0 + 2 = 5\)를 만족하므로 \(a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7\)이다. 2점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
진폭 \(a>0\), 주기 공식 \(\frac{2\pi}{|b|}\), 평행이동 상수 \(c\)를 차례로 구한 뒤 함숫값 조건을 검산하세요.
🎯 [최종 정답] \(7\)
【문제 5】 원문 요약 — 구간별 함수의 미분가능성 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] 함수 \(f(x) = (x - 1)|x - a|\)가 \(x = a\)에서 미분가능할 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 5 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(|x - a|\)는 \(x = a\)에서 뾰족점(\(\pm 1\)의 기울기 차)을 가지므로 \((x - 1)|x - a|\)가 \(x = a\)에서 미분가능하려면 \(x - 1 = 0\)이 \(x = a\)에서 성립해야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 직접 좌·우 미분계수를 확인하면 \(\lim_{x \to a^+} \dfrac{(x-1)(x-a) - 0}{x-a} = a - 1\), \(\lim_{x \to a^-} \dfrac{-(x-1)(x-a) - 0}{x-a} = -(a - 1)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 두 값이 같으려면 \(a - 1 = -(a - 1) \implies a = 1\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) \(|x - a|\)는 \(x = a\)에서 뾰족점(\(\pm 1\)의 기울기 차)을 가지므로 \((x - 1)|x - a|\)가 \(x = a\)에서 미분가능하려면 \(x - 1 = 0\)이 \(x = a\)에서 성립해야 한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) 직접 좌·우 미분계수를 확인하면 \(\lim_{x \to a^+} \dfrac{(x-1)(x-a) - 0}{x-a} = a - 1\), \(\lim_{x \to a^-} \dfrac{-(x-1)(x-a) - 0}{x-a} = -(a - 1)\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 두 값이 같으려면 \(a - 1 = -(a - 1) \implies a = 1\)이다. 2점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
절댓값 곱 함수의 미분가능성 판정은 반드시 좌미분계수와 우미분계수의 극한식으로 증명해야 감점이 없습니다.
🎯 [최종 정답] \(1\)
【문제 6】 원문 요약 — 시그마와 거듭제곱 합 [배점 12점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05] \(\sum_{k=1}^{10} (k^2 + 2k + 1) - \sum_{k=2}^{11} (k - 1)^2\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 두 번째 시그마에서 \(m = k - 1\)로 치환하여 두 시그마의 인덱스를 통일한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\sum_{k=1}^{10} (k + 1)^2 - \sum_{m=1}^{10} m^2 = \sum_{k=1}^{10} \{(k+1)^2 - k^2\} = \sum_{k=1}^{10} (2k + 1)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 망원합(또는 등차수열 합)으로 계산하면 \(11^2 - 1^2 = 120\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) 두 번째 시그마에서 \(m = k - 1\)로 치환하여 두 시그마의 인덱스를 통일한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(\sum_{k=1}^{10} (k + 1)^2 - \sum_{m=1}^{10} m^2 = \sum_{k=1}^{10} \{(k+1)^2 - k^2\} = \sum_{k=1}^{10} (2k + 1)\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 망원합(또는 등차수열 합)으로 계산하면 \(11^2 - 1^2 = 120\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
변수를 치환해 시그마의 시작·끝 번호(\(1 \sim 10\))를 맞춘 뒤 하나로 합치는 것이 가장 빠르고 정확합니다.
🎯 [최종 정답] \(120\)
【문제 7】 원문 요약 — 최대 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08] 곡선 \(y = 9 - x^2\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 부분에 내접하고 한 변이 \(x\)축 위에 있는 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 직사각형의 제1사분면 위 꼭짓점을 \((t,\ 9 - t^2)\ (0 \lt t \lt 3)\)로 두면 넓이 \(S(t) = 2t(9 - t^2) = 18t - 2t^3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(S'(t) = 18 - 6t^2 = 6(3 - t^2) = 0\)에서 \(0 \lt t \lt 3\) 범위의 극댓값은 \(t = \sqrt{3}\)에서 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 넓이의 최댓값은 \(S(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}(9 - 3) = 12\sqrt{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) 직사각형의 제1사분면 위 꼭짓점을 \((t,\ 9 - t^2)\ (0 \lt t \lt 3)\)로 두면 넓이 \(S(t) = 2t(9 - t^2) = 18t - 2t^3\)이다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(S'(t) = 18 - 6t^2 = 6(3 - t^2) = 0\)에서 \(0 \lt t \lt 3\) 범위의 극댓값은 \(t = \sqrt{3}\)에서 갖는다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 넓이의 최댓값은 \(S(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}(9 - 3) = 12\sqrt{3}\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
매개변수 \(t\)의 정의역 \((0 \lt t \lt 3)\)을 반드시 먼저 밝히고 극대가 최대임을 확인하세요.
🎯 [최종 정답] \(12\sqrt{3}\)
【문제 8】 원문 요약 — 정적분과 항등식(미정계수) [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] 다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x\int_{0}^{1} f(t)\,dt + \int_{0}^{2} f(t)\,dt\)를 만족시킬 때, \(f(1)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 두 상수 \(A = \int_{0}^{1} f(t)\,dt,\ B = \int_{0}^{2} f(t)\,dt\)로 치환하여 \(f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2Ax + B\)로 둔다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A = \int_{0}^{1}(4t^3 - 3t^2 + 2At + B)\,dt = \left[t^4 - t^3 + At^2 + Bt\right]_{0}^{1} = A + B \implies B = 0\)이다. 이어서 \(B = \int_{0}^{2}(4t^3 - 3t^2 + 2At)\,dt = 16 - 8 + 4A = 8 + 4A = 0 \implies A = -2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(x) = 4x^3 - 3x^2 - 4x\)이므로 \(f(1) = 4 - 3 - 4 = -3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) 두 상수 \(A = \int_{0}^{1} f(t)\,dt,\ B = \int_{0}^{2} f(t)\,dt\)로 치환하여 \(f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2Ax + B\)로 둔다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(A = \int_{0}^{1}(4t^3 - 3t^2 + 2At + B)\,dt = \left[t^4 - t^3 + At^2 + Bt\right]_{0}^{1} = A + B \implies B = 0\)이다. 이어서 \(B = \int_{0}^{2}(4t^3 - 3t^2 + 2At)\,dt = 16 - 8 + 4A = 8 + 4A = 0 \implies A = -2\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 따라서 \(f(x) = 4x^3 - 3x^2 - 4x\)이므로 \(f(1) = 4 - 3 - 4 = -3\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
두 개의 정적분 상수 \(A, B\)를 각각 치환해 연립방정식을 세우는 기출 심화 패턴입니다.
🎯 [최종 정답] \(-3\)
【문제 9】 원문 요약 — 코사인법칙과 각의 이등분선 [배점 16점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 6,\ \overline{\mathrm{AC}} = 4,\ \angle A = \dfrac{2\pi}{3}\)일 때, \(\angle A\)의 이등분선이 변 \(\mathrm{BC}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{D}\)라 하자. 선분 \(\mathrm{AD}\)의 길이를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 9 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이는 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)와 삼각형 \(\mathrm{ACD}\)의 넓이의 합과 같음을 이용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot \overline{\mathrm{AD}} \sin\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot \overline{\mathrm{AD}} \sin\dfrac{\pi}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)이므로 양변을 \(\dfrac{1}{2}\sin\dfrac{\pi}{3}\)으로 나누면 \(24 = (6 + 4)\overline{\mathrm{AD}} \implies \overline{\mathrm{AD}} = \dfrac{12}{5}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이는 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)와 삼각형 \(\mathrm{ACD}\)의 넓이의 합과 같음을 이용한다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) \(\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot \overline{\mathrm{AD}} \sin\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot \overline{\mathrm{AD}} \sin\dfrac{\pi}{3}\)이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) \(\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)이므로 양변을 \(\dfrac{1}{2}\sin\dfrac{\pi}{3}\)으로 나누면 \(24 = (6 + 4)\overline{\mathrm{AD}} \implies \overline{\mathrm{AD}} = \dfrac{12}{5}\)이다. 5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
각의 이등분선 길이 문제는 넓이 분할 공식 \(\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ACD\)이 가장 간결하고 감점 없는 해법입니다.
🎯 [최종 정답] \(\frac{12}{5}\)
【문제 10】 원문 요약 — 속도와 위치 [배점 16점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.44 정적분 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06] 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\ (t \ge 0)\)에서의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = -t^2 + 4t\)이다. 점 \(\mathrm{P}\)가 출발 후 다시 원점으로 돌아오는 시각 \(T\)를 구하고, \(t = 0\)부터 \(t = T\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리를 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제9회 문항 10 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] 원점으로 돌아오는 시각 \(T > 0\)은 위치 \(x(T) = \int_{0}^{T} v(t)\,dt = 0\)을 만족하는 양수이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x(T) = \left[-\dfrac{1}{3}T^3 + 2T^2\right] = T^2\left(2 - \dfrac{1}{3}T\right) = 0\)에서 \(T = 6\)이다. \(v(t) = t(4 - t)\)는 \([0, 4]\)에서 양수, \([4, 6]\)에서 음수이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 움직인 거리는 \(\int_{0}^{4}(-t^2 + 4t)\,dt - \int_{4}^{6}(-t^2 + 4t)\,dt = \dfrac{32}{3} - \left(0 - \dfrac{32}{3}\right) = \dfrac{64}{3}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) 원점으로 돌아오는 시각 \(T > 0\)은 위치 \(x(T) = \int_{0}^{T} v(t)\,dt = 0\)을 만족하는 양수이다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) \(x(T) = \left[-\dfrac{1}{3}T^3 + 2T^2\right] = T^2\left(2 - \dfrac{1}{3}T\right) = 0\)에서 \(T = 6\)이다. \(v(t) = t(4 - t)\)는 \([0, 4]\)에서 양수, \([4, 6]\)에서 음수이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) 움직인 거리는 \(\int_{0}^{4}(-t^2 + 4t)\,dt - \int_{4}^{6}(-t^2 + 4t)\,dt = \dfrac{32}{3} - \left(0 - \dfrac{32}{3}\right) = \dfrac{64}{3}\)이다. 5점
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원점 복귀 시각 \(T=6\)까지는 양의 방향 이동 거리와 음의 방향 이동 거리가 서로 같으므로 \(2 \times \int_0^4 v(t)dt = \frac{64}{3}\)로도 검산됩니다.
🎯 [최종 정답] \(T = 6,\ \text{움직인 거리 } \frac{64}{3}\)
【문제 1】 원문 요약 — 로그방정식과 근의 곱 [배점 4점]
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-08] 방정식 \((\log_3 x)^2 - 5\log_3 x + 3 = 0\)의 두 실근을 \(\alpha,\ \beta\)라 할 때, \(\alpha \beta\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 1 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(t = \log_3 x\)로 치환하면 \(t^2 - 5t + 3 = 0\)의 두 근은 \(\log_3 \alpha,\ \log_3 \beta\)이다. (진수 조건 \(\alpha > 0,\ \beta > 0\))
[2줄: 핵심계산 (40%)] 근과 계수의 관계에서 \(\log_3 \alpha + \log_3 \beta = \log_3(\alpha\beta) = 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\alpha\beta = 3^5 = 243\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) \(t = \log_3 x\)로 치환하면 \(t^2 - 5t + 3 = 0\)의 두 근은 \(\log_3 \alpha,\ \log_3 \beta\)이다. (진수 조건 \(\alpha > 0,\ \beta > 0\)) 1점 2단계: 핵심계산 (2점) 근과 계수의 관계에서 \(\log_3 \alpha + \log_3 \beta = \log_3(\alpha\beta) = 5\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 따라서 \(\alpha\beta = 3^5 = 243\)이다. 1점
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로그의 합이 진수의 곱으로 연결됨을 이용해 \(\alpha, \beta\)를 직접 구하지 않고 \(3^5\)을 도출하세요.
🎯 [최종 정답] \(243\)
【문제 2】 원문 요약 — 등비수열과 로그 [배점 4점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-03] 모든 항이 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(a_1 = 2,\ a_5 = 32\)일 때, \(\sum_{k=1}^{7} \log_2 a_k\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 2 · 총 4점
[1줄: 공식선언 (30%)] 등비수열에 \(\log_2\)를 취한 수열 \(\{\log_2 a_n\}\)은 등차수열이며, 등비중항 성질 \(a_1 a_7 = a_2 a_6 = a_3 a_5 = a_4^2\)을 활용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_5 = a_1 r^4 \implies 2r^4 = 32 \implies r = 2\) (\(r > 0\))이므로 \(a_k = 2^k\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\sum_{k=1}^{7} \log_2(2^k) = \sum_{k=1}^{7} k = \dfrac{7 \times 8}{2} = 28\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 4점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (1점) 등비수열에 \(\log_2\)를 취한 수열 \(\{\log_2 a_n\}\)은 등차수열이며, 등비중항 성질 \(a_1 a_7 = a_2 a_6 = a_3 a_5 = a_4^2\)을 활용한다. 1점 2단계: 핵심계산 (2점) \(a_5 = a_1 r^4 \implies 2r^4 = 32 \implies r = 2\) (\(r > 0\))이므로 \(a_k = 2^k\)이다. 2점 3단계: 최종결론 (1점) 따라서 \(\sum_{k=1}^{7} \log_2(2^k) = \sum_{k=1}^{7} k = \dfrac{7 \times 8}{2} = 28\)이다. 1점
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\(\log_2 a_k = k\)로 변환하면 자연수 1부터 7까지의 합으로 단순화됩니다.
🎯 [최종 정답] \(28\)
【문제 3】 원문 요약 — 연속성과 사잇값 정리 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-04] 연속함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f(0) = -2,\ f(1) = 3,\ f(2) = -1,\ f(3) = 4\)일 때, 방정식 \(f(x) = x\)가 열린구간 \((0,\ 3)\)에서 적어도 몇 개의 실근을 갖는지 사잇값 정리를 이용하여 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 3 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(g(x) = f(x) - x\)로 두면 \(g(x)\)는 \([0,\ 3]\)에서 연속이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(g(0) = -2 - 0 = -2 \lt 0\), \(g(1) = 3 - 1 = 2 > 0\), \(g(2) = -1 - 2 = -3 \lt 0\), \(g(3) = 4 - 3 = 1 > 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 세 구간 \((0,1),\ (1,2),\ (2,3)\)의 양 끝에서 \(g(x)\)의 부호가 각각 반대이므로 사잇값 정리에 의해 적어도 \(3\)개의 실근을 갖는다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) \(g(x) = f(x) - x\)로 두면 \(g(x)\)는 \([0,\ 3]\)에서 연속이다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) \(g(0) = -2 - 0 = -2 \lt 0\), \(g(1) = 3 - 1 = 2 > 0\), \(g(2) = -1 - 2 = -3 \lt 0\), \(g(3) = 4 - 3 = 1 > 0\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 세 구간 \((0,1),\ (1,2),\ (2,3)\)의 양 끝에서 \(g(x)\)의 부호가 각각 반대이므로 사잇값 정리에 의해 적어도 \(3\)개의 실근을 갖는다. 2점
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반드시 보조함수 \(g(x) = f(x) - x\)의 연속성을 선언하고, 부호 변화 곱 \(g(a)g(b) \lt 0\)을 세 구간 모두 적어야 만점입니다.
🎯 [최종 정답] \(3\text{개}\)
【문제 4】 원문 요약 — 삼각함수의 합성 변형 없이 최대 [배점 8점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 문제 7 변형 | 성취기준: 12대수02-02] \(0 \le x \le \pi\)일 때, 방정식 \(\sin^2 x + 2\cos x + 2a - 3 = 0\)이 실근을 갖도록 하는 실수 \(a\)의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 4 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\)를 대입하고 \(t = \cos x\ (-1 \le t \le 1)\)로 치환한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(1 - t^2 + 2t + 2a - 3 = 0 \iff 2a = t^2 - 2t + 2 = (t - 1)^2 + 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(-1 \le t \le 1\)에서 \((t-1)^2 + 1\)의 최솟값은 \(1\) (\(t=1\)), 최댓값은 \(5\) (\(t=-1\))이므로 \(1 \le 2a \le 5 \implies \dfrac{1}{2} \le a \le \dfrac{5}{2}\)이고 최댓값과 최솟값의 곱은 \(\dfrac{5}{4}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\)를 대입하고 \(t = \cos x\ (-1 \le t \le 1)\)로 치환한다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) \(1 - t^2 + 2t + 2a - 3 = 0 \iff 2a = t^2 - 2t + 2 = (t - 1)^2 + 1\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) \(-1 \le t \le 1\)에서 \((t-1)^2 + 1\)의 최솟값은 \(1\) (\(t=1\)), 최댓값은 \(5\) (\(t=-1\))이므로 \(1 \le 2a \le 5 \implies \dfrac{1}{2} \le a \le \dfrac{5}{2}\)이고 최댓값과 최솟값의 곱은 \(\dfrac{5}{4}\)이다. 2점
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상수 \(2a\)를 분리해 이차함수 치역과 직선의 교점으로 해석하는 기출 단골 전략입니다.
🎯 [최종 정답] \(\frac{5}{4}\)
【문제 5】 원문 요약 — 접선의 수직과 삼차함수 [배점 8점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05] 곡선 \(y = x^3 - 2x^2 + x + 3\) 위의 점 \((2,\ 5)\)에서의 접선에 수직이고 점 \((2,\ 5)\)를 지나는 직선(법선)의 \(y\)절편을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 5 · 총 8점
[1줄: 공식선언 (30%)] 점 \((2,\ 5)\)에서의 접선의 기울기 \(m = f'(2)\)를 구하면 수직인 직선의 기울기는 \(-\dfrac{1}{m}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 - 4x + 1\)이므로 \(f'(2) = 12 - 8 + 1 = 5\)이다. 따라서 수직인 직선의 기울기는 \(-\dfrac{1}{5}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 직선의 방정식은 \(y - 5 = -\dfrac{1}{5}(x - 2)\), 즉 \(y = -\dfrac{1}{5}x + \dfrac{27}{5}\)이므로 \(y\)절편은 \(\dfrac{27}{5}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 8점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (2점) 점 \((2,\ 5)\)에서의 접선의 기울기 \(m = f'(2)\)를 구하면 수직인 직선의 기울기는 \(-\dfrac{1}{m}\)이다. 2점 2단계: 핵심계산 (4점) \(f'(x) = 3x^2 - 4x + 1\)이므로 \(f'(2) = 12 - 8 + 1 = 5\)이다. 따라서 수직인 직선의 기울기는 \(-\dfrac{1}{5}\)이다. 4점 3단계: 최종결론 (2점) 직선의 방정식은 \(y - 5 = -\dfrac{1}{5}(x - 2)\), 즉 \(y = -\dfrac{1}{5}x + \dfrac{27}{5}\)이므로 \(y\)절편은 \(\dfrac{27}{5}\)이다. 2점
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수직 조건 \(m \cdot m' = -1\)을 명확히 밝힌 뒤 점 \((2, 5)\)를 대입해 직선을 구하세요.
🎯 [최종 정답] \(\frac{27}{5}\)
【문제 6】 원문 요약 — 수학적 귀납법 빈칸 및 증명 [배점 12점]
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-07] 모든 자연수 \(n\)에 대하여 등식 \(\sum_{k=1}^{n} k(k + 1) = \dfrac{n(n + 1)(n + 2)}{3}\)이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명할 때, \(n = m\)일 때 성립한다고 가정한 식에 \(n = m + 1\)번째 항 \((m + 1)(m + 2)\)를 더하여 우변이 \(\dfrac{(m+1)(m+2)(m+3)}{3}\)이 됨을 보이시오. 그리고 이 결과를 이용하여 \(\sum_{k=1}^{9} k(k + 1)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 6 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(n = 1\)일 때 좌변 \(1\cdot 2 = 2\), 우변 \(\dfrac{1\cdot 2\cdot 3}{3} = 2\)로 성립하고, \(n = m\)일 때 \(\sum_{k=1}^{m} k(k+1) = \dfrac{m(m+1)(m+2)}{3}\)이 성립한다고 가정한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(n = m + 1\)일 때 양변에 \((m + 1)(m + 2)\)를 더하면 \(\dfrac{m(m+1)(m+2)}{3} + (m+1)(m+2) = \dfrac{(m+1)(m+2)(m+3)}{3}\)이므로 \(n = m+1\)에서도 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 이 공식에 \(n = 9\)를 대입하면 \(\sum_{k=1}^{9} k(k + 1) = \dfrac{9 \times 10 \times 11}{3} = 330\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) \(n = 1\)일 때 좌변 \(1\cdot 2 = 2\), 우변 \(\dfrac{1\cdot 2\cdot 3}{3} = 2\)로 성립하고, \(n = m\)일 때 \(\sum_{k=1}^{m} k(k+1) = \dfrac{m(m+1)(m+2)}{3}\)이 성립한다고 가정한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(n = m + 1\)일 때 양변에 \((m + 1)(m + 2)\)를 더하면 \(\dfrac{m(m+1)(m+2)}{3} + (m+1)(m+2) = \dfrac{(m+1)(m+2)(m+3)}{3}\)이므로 \(n = m+1\)에서도 성립한다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 이 공식에 \(n = 9\)를 대입하면 \(\sum_{k=1}^{9} k(k + 1) = \dfrac{9 \times 10 \times 11}{3} = 330\)이다. 3점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
귀납법 증명 서술에서는 ① \(n=1\) 확인, ② \(n=m\) 가정, ③ \(n=m+1\) 유도 3단계를 빠짐없이 적어야 합니다.
🎯 [최종 정답] \(330\)
【문제 7】 원문 요약 — 삼차함수의 극값과 부정적분 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = -f(x)\)를 만족시키는 다항함수 \(f(x)\)가 \(f(1) = -2\)에서 극솟값을 가질 때, \(f(x)\)의 차수가 최소인 경우 \(f(3)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 7 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 기함수 \(f(x)\) 중 극값을 갖는 최소 차수의 다항함수는 상수항·짝수차항이 없는 삼차함수 \(f(x) = ax^3 + bx\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 1\)에서 극솟값 \(-2\)를 가지므로 \(f(1) = a + b = -2\)이고 \(f'(1) = 3a + b = 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 연립하면 \(2a = 2 \implies a = 1,\ b = -3\)이므로 \(f(x) = x^3 - 3x\)이고, \(f(3) = 27 - 9 = 18\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) 기함수 \(f(x)\) 중 극값을 갖는 최소 차수의 다항함수는 상수항·짝수차항이 없는 삼차함수 \(f(x) = ax^3 + bx\)이다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(x = 1\)에서 극솟값 \(-2\)를 가지므로 \(f(1) = a + b = -2\)이고 \(f'(1) = 3a + b = 0\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 연립하면 \(2a = 2 \implies a = 1,\ b = -3\)이므로 \(f(x) = x^3 - 3x\)이고, \(f(3) = 27 - 9 = 18\)이다. 3점
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기함수 조건 \(f(-x)=-f(x)\)에서 짝수 차수가 소거됨을 1줄에 선언하고, \(a > 0\) 확인으로 극소임을 검산하세요.
🎯 [최종 정답] \(18\)
【문제 8】 원문 요약 — 정적분과 극한 [배점 12점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-02-01] 다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{0}^{x} f(t)\,dt = x f(x) - 2x^3 + 3x^2\)을 만족시키고 \(f(1) = 5\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 8 · 총 12점
[1줄: 공식선언 (30%)] 주어진 항등식의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)를 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x) = f(x) + x f'(x) - 6x^2 + 6x \implies x f'(x) = 6x^2 - 6x\)이므로 \(f'(x) = 6x - 6\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 적분하면 \(f(x) = 3x^2 - 6x + C\)이고 \(f(1) = 3 - 6 + C = 5 \implies C = 8\)이므로 \(f(2) = 12 - 12 + 8 = 8\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (4점) 주어진 항등식의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)를 구한다. 4점 2단계: 핵심계산 (5점) \(f(x) = f(x) + x f'(x) - 6x^2 + 6x \implies x f'(x) = 6x^2 - 6x\)이므로 \(f'(x) = 6x - 6\)이다. 5점 3단계: 최종결론 (3점) 적분하면 \(f(x) = 3x^2 - 6x + C\)이고 \(f(1) = 3 - 6 + C = 5 \implies C = 8\)이므로 \(f(2) = 12 - 12 + 8 = 8\)이다. 3점
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우변의 \(x f(x)\)를 미분할 때 곱의 미분법 \((xf(x))' = f(x) + xf'(x)\)를 빠뜨리지 마세요.
🎯 [최종 정답] \(8\)
【문제 9】 원문 요약 — 삼각함수와 사인 [배점 16점]
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 8,\ \overline{\mathrm{AC}} = 5,\ \angle A = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 선분 \(\mathrm{BC}\)의 길이와 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 내접원의 반지름의 길이 \(r\)에 대하여 \(r^2\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 9 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙으로 \(\overline{\mathrm{BC}}\)를 구한 뒤, 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}r(a+b+c)\) 관계를 이용해 \(r\)을 구한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 8^2 + 5^2 - 2\cdot 8\cdot 5\cos\dfrac{\pi}{3} = 64 + 25 - 40 = 49\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\)이다. 넓이 \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 세 변의 합은 \(8 + 5 + 7 = 20\)이므로 \(\dfrac{1}{2}r \cdot 20 = 10\sqrt{3} \implies r = \sqrt{3}\)이고, 따라서 \(r^2 = 3\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) 코사인법칙으로 \(\overline{\mathrm{BC}}\)를 구한 뒤, 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}r(a+b+c)\) 관계를 이용해 \(r\)을 구한다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 8^2 + 5^2 - 2\cdot 8\cdot 5\cos\dfrac{\pi}{3} = 64 + 25 - 40 = 49\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\)이다. 넓이 \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\)이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) 세 변의 합은 \(8 + 5 + 7 = 20\)이므로 \(\dfrac{1}{2}r \cdot 20 = 10\sqrt{3} \implies r = \sqrt{3}\)이고, 따라서 \(r^2 = 3\)이다. 5점
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세 변의 길이가 \((5, 7, 8)\)일 때 \(\angle A = 60^\circ\)가 되는 특수 삼각형이며, 외접원·내접원 반지름 공식 \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c)\)을 정확히 적용하세요.
🎯 [최종 정답] \(3\)
【문제 10】 원문 요약 — 두 곡선 넓이와 역함수/미분 융합 [배점 16점]
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)의 그래프와 \(x\)축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이의 합을 \(S_1\), 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = 3x - 3\)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_2\)라 할 때, \(S_1 + S_2\)의 값을 구하시오.
✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오. 💡 정답 및 공식 풀이 보기
⚡ Track B 약술형 3줄 완성 노트 [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 제10회 문항 10 · 총 16점
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x) = x(x - 1)(x - 2)\)는 점 \((1,\ 0)\)에 대하여 점대칭이므로 \([0, 1]\)과 \([1, 2]\)의 넓이가 서로 같다. 또한 \(x^3 - 3x^2 + 2x = 3x - 3 \iff (x - 1)(x + 1)(x - 3) = 0\)이므로 \([-1, 1]\)과 \([1, 3]\)의 넓이 역시 점 \((1,\ 0)\) 대칭에 의해 같다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(S_1 = 2\int_{0}^{1}(x^3 - 3x^2 + 2x)\,dx = 2\left[\dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\right]_{0}^{1} = 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(S_2 = 2\int_{-1}^{1}(x^3 - 3x^2 - x + 3)\,dx = 2 \cdot 2\int_{0}^{1}(-3x^2 + 3)\,dx = 4\left[-x^3 + 3x\right]_{0}^{1} = 4 \times 2 = 8\)이므로 \(S_1 + S_2 = \dfrac{1}{2} + 8 = \dfrac{17}{2}\)이다.
📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 16점)
평가 단계 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 배점 1단계: 공식선언 (5점) \(f(x) = x(x - 1)(x - 2)\)는 점 \((1,\ 0)\)에 대하여 점대칭이므로 \([0, 1]\)과 \([1, 2]\)의 넓이가 서로 같다. 또한 \(x^3 - 3x^2 + 2x = 3x - 3 \iff (x - 1)(x + 1)(x - 3) = 0\)이므로 \([-1, 1]\)과 \([1, 3]\)의 넓이 역시 점 \((1,\ 0)\) 대칭에 의해 같다. 5점 2단계: 핵심계산 (6점) \(S_1 = 2\int_{0}^{1}(x^3 - 3x^2 + 2x)\,dx = 2\left[\dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\right]_{0}^{1} = 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\)이다. 6점 3단계: 최종결론 (5점) \(S_2 = 2\int_{-1}^{1}(x^3 - 3x^2 - x + 3)\,dx = 2 \cdot 2\int_{0}^{1}(-3x^2 + 3)\,dx = 4\left[-x^3 + 3x\right]_{0}^{1} = 4 \times 2 = 8\)이므로 \(S_1 + S_2 = \dfrac{1}{2} + 8 = \dfrac{17}{2}\)이다. 5점
👨🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC
점 \((1, 0)\) 대칭성을 이용하거나 평행이동(\(x - 1 = t\))을 쓰면 정적분 계산이 기함수·우함수로 극도로 단순화됩니다.
🎯 [최종 정답] \(\frac{17}{2}\)
🎯 전형 방식: 논술 100% (수능최저 없음) 📌 수능최저 기준: 수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 100% 일괄합산)
제1회 실전 모의고사 제2회 실전 모의고사 제3회 실전 모의고사 제4회 실전 모의고사 제5회 실전 모의고사 제6회 실전 모의고사 제7회 실전 모의고사 제8회 실전 모의고사 제9회 실전 모의고사 제10회 실전 모의고사 💾 회차 점수 저장 📂 불러오기
희망 지원 모집단위 선택 컴퓨터공학부(소프트웨어) (70%컷 84.0점) 컴퓨터공학부(인공지능) (70%컷 83.0점) 전기·전자·통신공학부(전자공학) (70%컷 81.5점) 전기·전자·통신공학부(전기공학) (70%컷 81.0점) 메카트로닉스공학부 (70%컷 80.0점) 전기·전자·통신공학부(정보통신) (70%컷 79.5점) 기계공학부 (70%컷 78.0점) 에너지신소재화학공학부(에너지신소재) (70%컷 76.5점) 에너지신소재화학공학부(화학생명) (70%컷 76.0점) 산업경영학부(자연) (70%컷 75.0점) 디자인공학전공 (70%컷 74.0점) 건축공학전공 (70%컷 72.0점)
수능최저학력기준 충족 여부 체크 (수능최저학력기준 없음 (전 모집단위 무최저 · 논술 100% 일괄) 합산 환산 총점 (100점 만점) 0.0 / 100점
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모집단위 모집인원 명목경쟁률 실질경쟁률 최초합 평균 70% 충원컷 수능최저 기준 실시간 합격 판정 컴퓨터공학부(소프트웨어) 18명 12.2:1 12.2:1 88.5점 84.0점 수능최저 없음 판정 대기 컴퓨터공학부(인공지능) 15명 11.8:1 11.8:1 87.8점 83.0점 수능최저 없음 판정 대기 전기·전자·통신공학부(전자공학) 15명 9.6:1 9.6:1 86.5점 81.5점 수능최저 없음 판정 대기 전기·전자·통신공학부(전기공학) 12명 9.1:1 9.1:1 85.8점 81.0점 수능최저 없음 판정 대기 메카트로닉스공학부 28명 8.5:1 8.5:1 85.0점 80.0점 수능최저 없음 판정 대기 전기·전자·통신공학부(정보통신) 10명 8.4:1 8.4:1 84.5점 79.5점 수능최저 없음 판정 대기 기계공학부 32명 7.8:1 7.8:1 84.0점 78.0점 수능최저 없음 판정 대기 에너지신소재화학공학부(에너지신소재) 14명 7.4:1 7.4:1 82.5점 76.5점 수능최저 없음 판정 대기 에너지신소재화학공학부(화학생명) 11명 6.9:1 6.9:1 81.8점 76.0점 수능최저 없음 판정 대기 산업경영학부(자연) 22명 6.8:1 6.8:1 81.0점 75.0점 수능최저 없음 판정 대기 디자인공학전공 14명 5.9:1 5.9:1 79.0점 74.0점 수능최저 없음 판정 대기 건축공학전공 15명 5.2:1 5.2:1 78.0점 72.0점 수능최저 없음 판정 대기
💡 모집단위 지원 전략 가이드: 수능최저학력기준 및 결시율을 반영한 실질경쟁률 은 명목경쟁률 대비 평균 35~55% 수준으로 감소합니다. 모의고사 1~10회 평균 점수가 희망 학과 70% 충원컷 +2.0점 이상 에 도달하도록 취약 단원을 집중 보완하십시오.
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회차 실전 응시일 소요 시간 원점수 / 100점 핵심 오답 단원 및 루브릭 보완 메모 제1회 2026. . . 분 / 100 제2회 2026. . . 분 / 100 제3회 2026. . . 분 / 100 제4회 2026. . . 분 / 100 제5회 2026. . . 분 / 100 제6회 2026. . . 분 / 100 제7회 2026. . . 분 / 100 제8회 2026. . . 분 / 100 제9회 2026. . . 분 / 100 제10회 2026. . . 분 / 100