2027학년도 한국외국어대학교 자연계열 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 141쪽 단권화

2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본

2027학년도 한국외국어대학교
자연계열 수리논술
10회분 통합 마스터 문제집·해설집

출제 범위: 교과서 기반 교육과정 수학 전 범위 (Textbook DB SSOT)
시험 시간: 80분 | 전형 반영: 논술 100% (전 모집단위 학생부 미반영 일괄합산)

📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 141쪽 완결]

• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭

• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (41p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (20문항)

• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (53p): 출제 타당성 보고서(2p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)

• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (41p): 40문항 전수 아코디언 정밀 해설

• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터

📱 스마트폰 실시간 합격진단 & 올인원 대시보드 연동

우측 QR 스캔 또는 상단 툴바 버튼으로 한국외국어대학교 실시간 컷오프 시뮬레이터와 즉시 동기화됩니다.

발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: QUESTIO-2027-UNIFIED-MASTER

전형 반영 비율

논술 100% (전 모집단위 학생부 미반영 일괄합산)

논술 실질 변별력 핵심

시험 시간 · 문항

80분 · 4문항

회차당 수리 100점 만점

수능최저학력기준

모집단위별 기준 확인

서울캠퍼스(Language & AI융합): 국·수·영·탐(1)

출제 교육과정

교과서 기반 수학과

Textbook DB V1.0 완벽 준거

STEP 1기출 5개년 해부Part 1 정독

STEP 2표준 모의 1~5회실전 시간 엄수

STEP 3킬러 모의 6~10회TOP 5 심화 격파

STEP 4루브릭 약점 교정감점 요인 제거

STEP 5입결 컷오프 판정Part 3 시뮬레이션

📈 5개년 출제 경향 및 2027학년도 핵심 대비 전략

한국외국어대학교 자연·AI계열 수리논술은 논술 100% 일괄합산(시험시간 80분)으로 선발하며, 내신 영향력이 0%이므로 수리논술 실력만으로 역전이 가능한 핵심 전형입니다.
• 출제 범위 및 문항 특성: 교과서 기반 교육과정 대수(지수·로그·삼각함수·수열·수학적 귀납법)와 미적분Ⅰ(함수의 극한·미분가능성·접선·정적분 넓이)을 중심으로 출제되며, 서울캠퍼스 Language & AI융합학부 등 AI 계열 대비를 위한 확률·통계 추론까지 빈틈없이 대비해야 합니다.
• 캠퍼스별 수능최저 이원화: 서울캠퍼스(Language & AI융합학부)는 2합 4(한국사 4등급)가 적용되어 실질 경쟁률이 급감하며, 글로벌캠퍼스(컴퓨터공학·반도체전자·바이오메디컬 등)는 수능최저학력기준 없음으로 합격선(80~85점대) 확보 시 안정 합격합니다.

🔥 역대 킬러 문항 TOP 5 분석 & 실전 모의고사 6~10회 1:1 심화 매칭표

순위	기출 원천 문항	핵심 출제 테마 및 변별 포인트	모의 1:1 매칭	부분점수 공략 전략
TOP 1	2026 자연 문항 2 / 2025 자연 문항 4	삼차함수의 극값과 절댓값 함수 \|f(x)\|의 미분가능성 및 정수 계수 판별	제6회 문항 1	절댓값 함수가 꺾이는 실근에서 좌·우 미분계수 부호 조건과 극댓값·극솟값 곱 $f(\alpha)f(\beta) \lt 0$을 함께 서술
TOP 2	2026 자연 문항 7 / 2023 자연 문항 4	가변 구간 최댓값 함수와 정적분으로 정의된 함수의 도함수 추론	제7회 문항 2	구간 경계와 극점의 위치에 따라 구간을 분할하여 최댓값 함수를 식과 그래프로 명확히 표현
TOP 3	2025 자연 문항 1 / 2023 자연 문항 10	수열의 점화식과 수학적 귀납법을 이용한 정수·격자점 성질 증명	제8회 문항 3	초기 조건 $n=1$ 확인 후 $n=k$ 귀납 가정을 $n=k+1$ 식 변형에 대입하는 등식 연결 고리를 생략 없이 기술
TOP 4	2026 자연 문항 3 / 2024 자연 문항 3	외접원 사인·코사인법칙과 삼각방정식 교점 개수 및 합 추론	제9회 문항 2	삼각함수의 대칭축을 이용해 실근의 합을 구하고 사인법칙 $a=2R \sin A$ 변환으로 변과 각을 통일
TOP 5	서울 Language & AI / AI데이터융합 핵심	베이즈 조건부확률과 표본비율($\hat{p}$) 모비율 신뢰구간 추정(12확통03-06)	제6회 문항 4	표본비율 표준오차 $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$와 신뢰구간 길이 $2k \cdot \mathrm{SE}$ 식을 정확히 구분하여 최소 표본 크기 도출

📌 본 통합 마스터북 100% 활용 5단계 로드맵

STAGE 1

Step 1 (Part 1 5개년 기출 20문항 마스터): 2022~2026 한국외대 자연계열 기출 20문항과 교과서 1:1 유사 연습문제로 대수·미적분Ⅰ 핵심 출제 패턴 정복

STAGE 2

Step 2 (Part 2 실전 모의 10회 40문항 시간 단축 훈련): 80분 타임어택에 맞춰 제1~5회(실전 표준)와 제6~10회(킬러 심화)를 풀고 단계별 루브릭으로 감점 요소 제거

STAGE 3

Step 3 (Part 3 캠퍼스·모집단위별 합격 진단): 서울 Language & AI융합학부 및 글로벌 컴퓨터·반도체·AI데이터 등 14개 학과 합격선과 내 점수를 실시간 대조

PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS

2022~2026학년도 한국외국어대학교
공식 기출 심층 해설 & 교과서 1:1 연계

최근 5개년 기출 핵심 20문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.

📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록

📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공

✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능

📚 과목/단원: 대수 🎯 핵심 테마: 로그함수 · 지수·로그함수와 역함수의 교점 및 직선과의 교점 ⏱️ 권장 시간: 10분

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 (로그함수)의 정의와 기본 성질을 이용하여 다음 논제의 풀이 과정과 최종 답을 논리적으로 서술하시오.

함수 $y = \log_2(x+a) + b$와 그 역함수의 그래프가 만나는 두 점의 $x$좌표가 각각 $-1, 1$이다. 함수 $y = \log_2(x+a) + b$의 그래프가 직선 $y = 3$과 만나는 점의 $x$좌표를 구하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

【유사 연습 문제】 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB}=5, \overline{AC}=7, \angle A = \frac{\pi}{3}$일 때, 변 $\overline{BC}$의 길이와 외접원의 반지름 $R$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 코사인법칙에 의해 $\overline{BC}^2 = 25 + 49 - 2\cdot 5\cdot 7 \cos\frac{\pi}{3} = 39 \implies \overline{BC} = \sqrt{39}$. 사인법칙에 의해 $R = \frac{\sqrt{39}}{2\sin(\pi/3)} = \sqrt{13}$이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문항 1 (대수) [배점 10점]

함수 $y = \log_2(x+a) + b$와 그 역함수의 교점 $x$좌표가 $-1, 1$일 때, 직선 $y = 3$과 만나는 점의 $x$좌표를 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 1 · 총 10점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 교점의 성질을 통한 연립방정식 수립
함수 $y = \log_2(x+a) + b$와 그 역함수는 밑이 $2 \gt 1$인 증가함수이므로 교점은 직선 $y = x$ 위에 존재합니다. 따라서 교점의 좌표는 각각 $(-1, -1)$, $(1, 1)$입니다.
$\begin{cases} \log_2(-1+a) + b = -1 & \cdots\text{①} \\ \log_2(1+a) + b = 1 & \cdots\text{②} \end{cases}$

[2단계] 상수 $a, b$의 값 및 함수식 결정
②식에서 ①식을 빼면:
\[\log_2(a+1) - \log_2(a-1) = 2 \implies \log_2\left(\frac{a+1}{a-1}\right) = 2 \implies \frac{a+1}{a-1} = 4 \implies a = \frac{5}{3}\]
$a = \frac{5}{3}$을 ②식에 대입하면 $\log_2\left(\frac{8}{3}\right) + b = 1 \implies 3 - \log_2 3 + b = 1 \implies b = \log_2\left(\frac{3}{4}\right)$입니다.
따라서 구하는 함수식은 $y = \log_2\left(\frac{5}{3} + x\right) + \log_2\left(\frac{3}{4}\right) = \log_2\left(\frac{3x+5}{4}\right)$입니다.

[3단계] 직선 $y = 3$과의 교점의 $x$좌표 산출
$\log_2\left(\frac{3x+5}{4}\right) = 3 \implies \frac{3x+5}{4} = 8 \implies 3x + 5 = 32 \implies x = 9$

정답: $x = 9$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	역함수와의 교점이 직선 $y = x$ 위에 있음을 파악하고 두 교점 $(-1, -1), (1, 1)$을 대입하여 연립방정식을 세운 경우	3점
2단계	연립방정식을 정확히 풀어 상수 $a = 5/3$, $b = \log_2(3/4)$를 구하고 함수식을 완성한 경우	4점
3단계	$y = 3$을 대입하여 지수방정식을 풀고 최종 교점의 $x$좌표 $x = 9$를 정확히 도출한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

증가함수에서 원래 함수와 역함수의 교점은 반드시 직선 $y=x$ 위에 위치함을 명시하고 서술을 시작해야 감점이 없습니다.

🎯 [최종 정답]$x = 9$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 도함수의 활용 · 삼차함수의 극값과 절댓값 함수의 미분가능성 ⏱️ 권장 시간: 11분

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ (도함수의 활용)의 정의와 기본 성질을 이용하여 다음 논제의 풀이 과정과 최종 답을 논리적으로 서술하시오.

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$가 $f'(1) = 0, \; f'(3) = 0$을 만족시킨다. 함수 $g(x) = |f(x)|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지 않은 점의 개수가 3이다. $f(0)$이 정수일 때, 모든 $f(1)$의 값의 합을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

【유사 연습 문제】 곡선 $y = x^3 - 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 $S$를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 교점은 $x = -2, 0, 2$이고 기함수 대칭성에 의해 $S = 2\int_0^2 (4x - x^3)\,dx = 2\left[2x^2 - \frac{1}{4}x^4\right]_0^2 = 2(8 - 4) = 8$이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문항 2 (미적분Ⅰ) [배점 12점]

$f'(1)=f'(3)=0$이고 $|f(x)|$의 미분불가점이 3개인 최고차항 계수 1인 삼차함수에 대해 $f(0)$이 정수일 때 모든 $f(1)$의 합을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 2 · 총 12점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 삼차함수 $f(x)$의 일반형 수립
최고차항의 계수가 $1$이고 $f'(1) = f'(3) = 0$이므로 도함수는 $f'(x) = 3(x-1)(x-3) = 3x^2 - 12x + 9$입니다.
적분하면 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + C$ (단, $C$는 적분상수)입니다.
극댓값은 $f(1) = 1 - 6 + 9 + C = 4 + C$, 극솟값은 $f(3) = 27 - 54 + 27 + C = C$입니다.

[2단계] 절댓값 함수의 미분불가능 조건 해석
함수 $|f(x)|$가 서로 다른 세 점에서 미분가능하지 않으려면, 삼차방정식 $f(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가져야 합니다.
따라서 (극댓값) $\times$ (극솟값) $ \lt 0$이어야 하므로:
\[f(1)f(3) = (4+C)C \lt 0 \implies -4 \lt C \lt 0\]

[3단계] 정수 조건 및 $f(1)$의 값 산출
$f(0) = C$가 정수이므로 가능한 $C$의 값은 $C = -1, -2, -3$입니다.
각각에 대한 $f(1) = 4 + C$의 값은 다음과 같습니다:
• $C = -1$일 때: $f(1) = 3$
• $C = -2$일 때: $f(1) = 2$
• $C = -3$일 때: $f(1) = 1$
따라서 모든 $f(1)$의 값의 합은 $3 + 2 + 1 = 6$입니다.

정답: $6$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	도함수로부터 삼차함수 식 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + C$ 및 극값 $f(1)=4+C, f(3)=C$를 구한 경우	4점
2단계	\|f(x)\|의 미분불가점이 3개일 조건으로 $f(1)f(3) \lt 0$을 제시하고 $-4 \lt C \lt 0$을 도출한 경우	4점
3단계	$f(0)=C$의 정수 조건에서 $C=-1, -2, -3$을 찾고 $f(1)$의 합 $6$을 정확히 계산한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

절댓값 삼차함수가 3곳에서 꺾여 미분불가하려면 x축이 극댓값과 극솟값 사이에 위치해야 함을 그래프 개형과 함께 서술하십시오.

🎯 [최종 정답]$6$

📚 과목/단원: 대수 🎯 핵심 테마: 삼각함수의 활용, 수열의 합 · 외접원의 반지름과 사인법칙 ⏱️ 권장 시간: 12분

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 (삼각함수의 활용, 수열의 합)의 정의와 기본 성질을 이용하여 다음 논제의 풀이 과정과 최종 답을 논리적으로 서술하시오.

좌표평면 위의 점 $\mathrm{B}(0, 1)$과 자연수 $n$에 대하여 점 $\mathrm{A}_n(n, n+1)$이 있다. 세 점 $\mathrm{O}(0, 0), \mathrm{A}_n, \mathrm{B}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{OA}_n\mathrm{B}$의 외접원의 넓이를 $a_n$이라 할 때, $\sum_{n=1}^{10} a_n$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]

【유사 연습 문제】 방정식 $\log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 진수 조건에서 $x \gt 3$이다. $\log_2\{(x-1)(x-3)\} = 3 \implies (x-1)(x-3) = 8 \implies x^2 - 4x - 5 = 0 \implies (x-5)(x+1)=0$. $x \gt 3$이므로 $x = 5$이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문항 3 (대수) [배점 13점]

세 점 $\mathrm{A}_n(n, n+1), \mathrm{B}(0, 1), \mathrm{O}(0, 0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 외접원 넓이 $a_n$에 대해 $\sum_{n=1}^{10} a_n$을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 3 · 총 13점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 기하학적 각도 관계 파악
점 $\mathrm{B}(0, 1)$과 점 $\mathrm{A}_n(n, n+1)$을 지나는 직선의 기울기는 $\frac{(n+1)-1}{n-0} = 1$입니다.
직선 $\mathrm{BA}_n$이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각이 $45^\circ$이므로, $y$축(직선 $\mathrm{BO}$)과 직선 $\mathrm{BA}_n$이 이루는 각은 $\angle \mathrm{OBA}_n = 135^\circ = \frac{3}{4}\pi$입니다.

[2단계] 사인법칙을 통한 외접원의 반지름 산출
변 $\mathrm{OA}_n$의 길이는 두 점 사이의 거리 공식에 의해:
\[\overline{\mathrm{OA}_n} = \sqrt{n^2 + (n+1)^2} = \sqrt{2n^2 + 2n + 1}\]
삼각형 $\mathrm{OA}_n\mathrm{B}$에서 사인법칙을 적용하면 외접원의 반지름 $R_n$은:
\[2R_n = \frac{\overline{\mathrm{OA}_n}}{\sin(\angle \mathrm{OBA}_n)} = \frac{\sqrt{2n^2 + 2n + 1}}{\sin(3\pi/4)} = \frac{\sqrt{2n^2 + 2n + 1}}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{4n^2 + 4n + 2}\]
따라서 $R_n^2 = n^2 + n + \frac{1}{2}$이고, 외접원의 넓이는 $a_n = \pi R_n^2 = \pi\left(n^2 + n + \frac{1}{2}\right)$입니다.

[3단계] 수열의 합 계산
\[\sum_{n=1}^{10} a_n = \pi \sum_{n=1}^{10} \left(n^2 + n + \frac{1}{2}\right) = \pi \left( \frac{10 \times 11 \times 21}{6} + \frac{10 \times 11}{2} + 10 \times \frac{1}{2} \right) = \pi (385 + 55 + 5) = 445\pi\]

정답: $445\pi$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 13점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	직선 $\mathrm{BA}_n$의 기울기로부터 $\angle \mathrm{OBA}_n = 3\pi/4$ 및 대변의 길이 $\overline{\mathrm{OA}_n} = \sqrt{2n^2+2n+1}$을 구한 경우	4점
2단계	사인법칙을 정확히 적용하여 외접원의 넓이 일반항 $a_n = \pi(n^2+n+1/2)$를 유도한 경우	5점
3단계	자연수 거듭제곱의 합 공식을 적용하여 $\sum_{n=1}^{10} a_n = 445\pi$를 정확히 계산한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

세 점의 좌표로부터 직접 외심을 구하는 대신, 기울기를 이용해 특수각을 찾아 사인법칙을 쓰면 계산량이 1/3로 줄어듭니다.

🎯 [최종 정답]$445\pi$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 정적분의 활용 · 구간별 함수의 최댓값 함수와 정적분 ⏱️ 권장 시간: 15분

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ (정적분의 활용)의 정의와 기본 성질을 이용하여 다음 논제의 풀이 과정과 최종 답을 논리적으로 서술하시오.

실수 $t$에 대하여 $-1 \le x \le 1$에서 함수 $f(x) = x^2 - 2|x - t| + 1$의 최댓값을 $g(t)$라 할 때, $\int_{-3}^{2} g(t) dt$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

【유사 연습 문제】 점 $A(1, 2, -1)$을 지나고 법선벡터가 $\vec{n} = (2, -1, 3)$인 평면 $\alpha$의 방정식과 원점 $O$에서 평면 $\alpha$까지의 거리를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 평면의 방정식은 $2(x-1) - (y-2) + 3(z+1) = 0 \implies 2x - y + 3z + 3 = 0$이다. 원점까지의 거리는 $d = \frac{|3|}{\sqrt{4+1+9}} = \frac{3\sqrt{14}}{14}$이다.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 문항 7 (미적분Ⅰ) [배점 18점]

$-1 \le x \le 1$에서 $f(x) = x^2 - 2|x-t| + 1$의 최댓값 $g(t)$에 대해 $\int_{-3}^2 g(t)dt$를 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 문항 7 · 총 18점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 구간별 최댓값 함수 $g(t)$의 도출
함수 $f(x) = x^2 - 2|x-t| + 1$의 개형을 $t$의 위치에 따라 분석합니다:
• Case 1 ($t \le -1$): $-1 \le x \le 1$에서 $x \ge t$이므로 $f(x) = x^2 - 2(x-t) + 1 = (x-1)^2 + 2t$. 최댓값은 끝점 $x = -1$에서 $g(t) = 4 + 2t$
• Case 2 ($-1 \lt t \lt 1$): $x = t$에서 아래로 꺾이고 $x = 1+t$ 등에서 극값을 가짐. 구간 양 끝점 및 꺾인 점 비교 시 최댓값은 $x = -1$ 또는 $x = 1$에서 발생하며 $g(t) = t^2 + 1$
• Case 3 ($t \ge 1$): $-1 \le x \le 1$에서 $x \le t$이므로 $f(x) = x^2 + 2(x-t) + 1 = (x+1)^2 - 2t$. 최댓값은 끝점 $x = 1$에서 $g(t) = 4 - 2t$

[2단계] 구간별 정적분 계산
\[\int_{-3}^{2} g(t) dt = \int_{-3}^{-1} (4 + 2t) dt + \int_{-1}^{1} (t^2 + 1) dt + \int_{1}^{2} (4 - 2t) dt\]
• $I_1 = \int_{-3}^{-1} (4+2t)dt = [4t + t^2]_{-3}^{-1} = (-3) - (-3) = 0$
• $I_2 = \int_{-1}^{1} (t^2+1)dt = 2\left[\frac{t^3}{3} + t\right]_0^1 = 2\left(\frac{1}{3} + 1\right) = \frac{8}{3}$
• $I_3 = \int_{1}^{2} (4-2t)dt = [4t - t^2]_1^2 = (8 - 4) - (4 - 1) = 4 - 3 = 1$

[3단계] 정적분 총합 도출
\[\int_{-3}^2 g(t) dt = 0 + \frac{8}{3} + 1 = \frac{11}{3}\]

정답: $\frac{11}{3}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 18점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	실수 $t$의 범위($t \le -1,\; -1 \lt t \lt 1,\; t \ge 1$)에 따른 구간별 최댓값 함수 $g(t)$를 정확히 도출한 경우	6점
2단계	정적분 구간을 세 영역으로 올바르게 분할하여 적분 식을 세운 경우	6점
3단계	각 구간별 정적분을 정확히 계산하여 최종 합 $11/3$을 도출한 경우	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

파라미터 t의 위치에 따른 구간별 함수를 분기할 때 경계점($t = -1, 1$)에서의 연속성을 반드시 체크하십시오.

🎯 [최종 정답]$\frac{11}{3}$

📚 과목/단원: 대수 🎯 핵심 테마: 수학적 귀납법 · 원 위의 자연수 격자점 증명 ⏱️ 권장 시간: 10분

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 (수학적 귀납법)의 정의와 기본 성질을 이용하여 다음 논제의 풀이 과정과 최종 답을 논리적으로 서술하시오.

자연수 $n$에 대하여 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $45^n$인 원 위의 점 중 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 자연수인 점이 존재함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

【유사 연습 문제】 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 2a_n + 1 \; (n \ge 1)$을 만족시킬 때, 일반항 $a_n$을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$이므로 수열 $\{a_n + 1\}$은 첫째항 $a_1 + 1 = 3$, 공비 $2$인 등비수열이다. 따라서 $a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$이다.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 문항 1 (대수) [배점 10점]

중심이 원점이고 반지름이 $45^n$인 원 위에 $x, y$좌표가 모두 자연수인 점이 존재함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 1 · 총 10점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] $n = 1$일 때 명제의 성립 증명 (기저 단계)
$n = 1$일 때 원의 방정식은 $x^2 + y^2 = 45^2 = (3^2 \times 5)^2 = 2025$입니다.
피타고라스 삼조 $(3, 4, 5)$에 $9$를 곱하면 $(27, 36, 45)$가 되며, 실제로:
\[27^2 + 36^2 = 729 + 1296 = 2025 = 45^2\]
이 성립하므로, 점 $(27, 36)$은 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 자연수이며 원 $x^2 + y^2 = 45^2$ 위에 존재합니다.
따라서 $n = 1$일 때 명제가 참입니다.

[2단계] $n = k$일 때 명제의 성립 가정 (귀납 가설)
$n = k$ ($k$는 자연수)일 때 주어진 명제가 성립한다고 가정하면:
\[a^2 + b^2 = (45^k)^2 = 45^{2k}\]
을 만족시키는 자연수 순서쌍 $(a, b)$가 적어도 하나 존재합니다.

[3단계] $n = k + 1$일 때 명제의 성립 유도 (귀납 단계 및 결론)
위 가정의 식의 양변에 $45^2$을 곱하면:
\[45^2 (a^2 + b^2) = 45^2 \times (45^k)^2 \implies (45a)^2 + (45b)^2 = (45^{k+1})^2\]
이때 $a, b$가 자연수이므로 $45a, 45b$ 역시 모두 자연수입니다.
따라서 점 $(45a, 45b)$는 $x, y$좌표가 모두 자연수인 점으로서 원 $x^2 + y^2 = (45^{k+1})^2$ 위에 존재합니다.
그러므로 $n = k + 1$일 때도 주어진 명제가 성립합니다.
따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 명제가 성립합니다.

정답: 수학적 귀납법 증명 완료

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$n=1$일 때 $27^2+36^2=45^2$임을 제시하여 기저 단계가 성립함을 보인 경우	3점
2단계	$n=k$일 때 $a^2+b^2=(45^k)^2$을 만족하는 자연수 $(a,b)$의 존재를 가정한 경우	3점
3단계	양변에 $45^2$을 곱하여 $(45a)^2+(45b)^2=(45^{k+1})^2$을 유도하고 귀납 증명을 완결한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

수학적 귀납법 서술 시 기저 단계($n=1$)의 구체적 자연수 해와 귀납 가정에서 $n=k+1$로 넘어가는 대수적 연결고리를 명확히 표기해야 합니다.

🎯 [최종 정답]수학적 귀납법 증명 완료

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 정적분의 활용 · 직사각형과 삼차함수 곡선의 넓이 분할 비율 ⏱️ 권장 시간: 12분

상수 $a\; (-1 \lt a \lt 0)$에 대하여 함수 $f(x) = (x+1)(x-a)(x-1)$이라 하자. 네 점 $(-1, 2), (-1, -2), (1, -2), (1, 2)$를 꼭짓점으로 하는 직사각형의 내부가 곡선 $y = f(x)$에 의해 나누어지는 두 영역의 넓이를 각각 $S_1, S_2$ ($S_1 \gt S_2$)라 하자. $S_1 : S_2 = 5 : 4$일 때, $a$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

【유사 연습 문제】 닫힌구간 $[1, 3]$에서 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 실수 $c \in (1, 3)$의 값을 모두 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$이고 $f'(x) = 3x^2 - 6x$이므로 $3c^2 - 6c = 1 \iff 3c^2 - 6c - 1 = 0$. $1 \lt c \lt 3$이므로 $c = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$이다.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 문항 3 (미적분Ⅰ) [배점 13점]

직사각형을 삼차곡선 $f(x)=(x+1)(x-a)(x-1)$이 $S_1 : S_2 = 5 : 4$로 분할할 때 상수 $a$를 구하시오. ($-1\lt a \lt 0$)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 3 · 총 13점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 직사각형의 전체 넓이 및 영역 $S_1$의 넓이 산출
직사각형의 네 꼭짓점은 $(-1, 2), (-1, -2), (1, -2), (1, 2)$이므로 가로 길이는 $2$, 세로 길이는 $4$입니다.
따라서 직사각형 전체의 넓이는 $S_{\text{total}} = 2 \times 4 = 8$입니다.
$S_1 : S_2 = 5 : 4$이므로 위쪽 영역의 넓이는 $S_1 = \frac{5}{5+4} \times 8 = \frac{40}{9}$입니다.

[2단계] 정적분을 통한 $S_1$의 표현식 계산
$-1 \le x \le 1$에서 $f(x) = (x^2 - 1)(x - a) = x^3 - ax^2 - x + a$입니다.
$-1 \lt a \lt 0$일 때 삼차함수 그래프는 직사각형 윗변 $y = 2$보다 항상 아래에 있으므로:
\[S_1 = \int_{-1}^{1} \{2 - f(x)\} dx = \int_{-1}^{1} (2 - x^3 + ax^2 + x - a) dx\]
기함수 성질($\int_{-1}^1 x^3 dx = 0, \int_{-1}^1 x dx = 0$)을 적용하면:
\[S_1 = 2 \int_0^1 (2 + ax^2 - a) dx = 2 \left[ 2x + \frac{a}{3}x^3 - ax \right]_0^1 = 2 \left( 2 + \frac{a}{3} - a \right) = 2 \left( 2 - \frac{2}{3}a \right) = 4 - \frac{4}{3}a\]

[3단계] 상수 $a$의 산출
\[4 - \frac{4}{3}a = \frac{40}{9} \implies -\frac{4}{3}a = \frac{40}{9} - \frac{36}{9} = \frac{4}{9} \implies a = -\frac{1}{3}\]

정답: $a = -\frac{1}{3}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 13점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	직사각형 넓이 8 및 비례배분을 통해 $S_1 = 40/9$를 올바르게 계산한 경우	4점
2단계	정적분 식을 세우고 우함수·기함수 성질을 이용해 $S_1 = 4 - 4a/3$를 정확히 유도한 경우	5점
3단계	일차방정식을 풀어 최종 상수 $a = -1/3$을 정확히 도출한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

대칭 구간 [-1, 1] 정적분 시 기함수(홀수 차수) 항을 0으로 지우고 우함수(짝수 차수 및 상수)만 2배로 적분하는 기교를 서술하면 계산 실수를 방지할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]$a = -\frac{1}{3}$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 도함수의 활용 · 삼차함수의 극값과 부등식 및 그래프 개형 ⏱️ 권장 시간: 13분

양수 $a$에 대하여 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(a) = 0$

(나) 모든 실수 $x$에 대하여 $(x - 2a)f(x) \ge 0$이다.

함수 $f(x)$의 극솟값이 $-500$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

【유사 연습 문제】 곡선 $y = x^3 - 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 $S$를 구하시오.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 문항 4 (미적분Ⅰ) [배점 14점]

$f(a)=0, (x-2a)f(x)\ge 0$이고 극솟값이 -500인 삼차함수에 대해 상수 $a$를 구하시오. ($a \gt 0$)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 4 · 총 14점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 부등식 조건을 통한 삼차함수 $f(x)$의 인수 결정
모든 실수 $x$에 대하여 $(x-2a)f(x) \ge 0$이 성립하므로, 함수 $(x-2a)f(x)$는 $x = 2a$에서 부호 변화가 없어야 합니다.
따라서 $f(x)$는 반드시 $(x-2a)$를 인수로 가져야 하며, $f(a) = 0$이므로 $(x-a)$도 인수로 갖습니다.
$f(x)$의 최고차항 계수가 $1$이므로 $f(x) = (x-a)^2 (x-2a)$ 또는 $f(x) = (x-a)(x-2a)^2$입니다.
만약 $f(x) = (x-a)(x-2a)^2$이면 $(x-2a)f(x) = (x-a)(x-2a)^3$이 되어 $x = a$ 좌우에서 부호가 바뀌므로 모순입니다.
따라서 $f(x) = (x-a)^2 (x-2a)$입니다.

[2단계] 극솟값 위치 파악 및 계산
도함수를 구하면:
\[f'(x) = 2(x-a)(x-2a) + (x-a)^2 = (x-a)(2x-4a+x-a) = (x-a)(3x-5a)\]
$a \gt 0$이므로 극대점은 $x = a$ ($f(a) = 0$), 극소점은 $x = \frac{5}{3}a$입니다.
극솟값은 다음과 같습니다:
\[f\left(\frac{5}{3}a\right) = \left(\frac{5}{3}a - a\right)^2 \left(\frac{5}{3}a - 2a\right) = \left(\frac{2}{3}a\right)^2 \left(-\frac{1}{3}a\right) = -\frac{4}{27}a^3\]

[3단계] 상수 $a$의 산출
극솟값이 $-500$이므로:
\[-\frac{4}{27}a^3 = -500 \implies a^3 = 500 \times \frac{27}{4} = 125 \times 27 = 5^3 \times 3^3 = 15^3 \implies a = 15\]

정답: $a = 15$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 14점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	부등식 $(x-2a)f(x) \ge 0$과 $f(a)=0$으로부터 $f(x) = (x-a)^2(x-2a)$임을 논리적으로 증명한 경우	5점
2단계	도함수를 구해 극소점의 위치 $x = 5a/3$ 및 극솟값 $-4a^3/27$을 유도한 경우	5점
3단계	방정식 $-4a^3/27 = -500$을 풀어 양수 $a = 15$를 정확히 도출한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

부호 변화가 없어야 하는 인수정리 원리와 극값의 비례관계(극소점 2:1 내분점 5a/3)를 연계하면 빠르고 완벽한 답안 작성이 가능합니다.

🎯 [최종 정답]$a = 15$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 도함수의 활용 · 절댓값 이차곡선의 접선과 세 교점의 합 ⏱️ 권장 시간: 15분

점 $(-2, 0)$을 지나고 기울기가 양수인 직선 $l$이 곡선 $y = \frac{1}{4}|4x^2 + 3x - 1|$과 서로 다른 세 점에서 만날 때, 이 세 교점의 $x$좌표의 합을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

【유사 연습 문제】 정적분 $\displaystyle \int_1^e x \ln x \, dx$의 값을 부분적분법을 이용하여 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $u = \ln x, v' = x$로 놓으면 $\int_1^e x \ln x \, dx = \left[\frac{1}{2}x^2 \ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{2}e^2 - \left[\frac{1}{4}x^2\right]_1^e = \frac{e^2 + 1}{4}$이다.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 문항 7 (미적분Ⅰ) [배점 18점]

$(-2, 0)$을 지나는 직선 $l$이 곡선 $y = \frac{1}{4}|4x^2+3x-1|$과 서로 다른 세 점에서 만날 때 모든 교점의 $x$좌표의 합을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 문항 7 · 총 18점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 곡선의 꺾인 구간 및 접선 방정식 수립
$4x^2 + 3x - 1 = (4x - 1)(x + 1)$이므로 곡선은 $x = -1$과 $x = 1/4$에서 $x$축과 만납니다.
점 $\mathrm{P}(-2, 0)$을 지나는 직선을 $l: y = m(x+2)$라 합시다.
서로 다른 세 점에서 만나려면 직선 $l$이 뒤집힌 구간 $-1 \lt x \lt 1/4$의 위로 볼록한 포물선 $y = -x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}$에 접해야 합니다.
\[-x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{1}{4} = m(x+2) \implies x^2 + \left(m + \frac{3}{4}\right)x + \left(2m - \frac{1}{4}\right) = 0\]

[2단계] 접선의 기울기 $m$ 및 접점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표 산출
판별식 $D = 0$이어야 하므로:
\[D = \left(m + \frac{3}{4}\right)^2 - 4\left(2m - \frac{1}{4}\right) = m^2 - \frac{13}{2}m + \frac{25}{16} = 0 \implies 16m^2 - 104m + 25 = 0\]
\[(4m - 1)(4m - 25) = 0 \implies m = \frac{1}{4} \quad \left(m = \frac{25}{4}\text{는 접점이 구간 밖}\right)\]
$m = \frac{1}{4}$일 때 중근(접점)은 $x_1 = -\frac{m + 3/4}{2} = -\frac{1}{2}$ (구간 $-1 \lt x \lt 1/4$ 내 존재 성립).

[3단계] 나머지 두 교점 및 $x$좌표 총합 산출
직선 $y = \frac{1}{4}(x+2)$와 원래 포물선 $y = x^2 + \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$의 교점은:
\[x^2 + \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2} \implies x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{3}{4} = 0 \implies 4x^2 + 2x - 3 = 0\]
근과 계수의 관계에 의해 나머지 두 실근의 합은 $x_2 + x_3 = -\frac{1}{2}$입니다.
따라서 모든 세 교점의 $x$좌표의 합은 $x_1 + (x_2 + x_3) = -\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$입니다.

정답: $-1$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 18점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	세 점에서 만날 조건이 뒤집힌 구간의 포물선과의 접선임을 파악하고 판별식 식을 세운 경우	6점
2단계	판별식을 풀어 올바른 기울기 $m = 1/4$ 및 접점 $x_1 = -1/2$를 구한 경우	6점
3단계	원래 포물선과의 두 교점의 합 $-1/2$를 구하고 전체 세 교점의 합 $-1$을 도출한 경우	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

판별식에서 나온 두 기울기 중 실제 접점이 구간 $[-1, \frac{1}{4}]$ 내부에 존재하는 유효한 해를 판별하는 과정을 반드시 명시해야 합니다.

🎯 [최종 정답]$-1$

📚 과목/단원: 대수 🎯 핵심 테마: 수열 · 등차수열과 등비수열의 일반항 및 첫째항부터 제20항까지의 합 ⏱️ 권장 시간: 10분

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 (수열)의 정의와 기본 성질을 이용하여 다음 논제의 풀이 과정과 최종 답을 논리적으로 서술하시오.

수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $a_1 = 1, a_2 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $S_{2n+1} = S_{2n} + 3n + 1, \quad S_{2n+2} = S_{2n+1} + 2^n$일 때, $S_{20}$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]

【유사 연습 문제】 방정식 $\log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 문항 1 (대수) [배점 10점]

$a_1=1, a_2=2, S_{2n+1}=S_{2n}+3n+1, S_{2n+2}=S_{2n+1}+2^n$일 때 $S_{20}$의 값을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 1 · 총 10점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 일반항 분리 및 수열의 규칙성 파악
수열의 합과 일반항의 관계에 의해 다음과 같이 홀수 항과 짝수 항의 일반항을 얻습니다:
• $a_{2n+1} = S_{2n+1} - S_{2n} = 3n + 1$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)
$\implies a_3 = 4, a_5 = 7, a_7 = 10, \dots, a_{19} = 28$ (첫째항 $4$, 공차 $3$인 등차수열)
• $a_{2n+2} = S_{2n+2} - S_{2n+1} = 2^n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)
$\implies a_4 = 2, a_6 = 4, a_8 = 8, \dots, a_{20} = 2^9 = 512$ (첫째항 $2$, 공비 $2$인 등비수열)

[2단계] $S_{20}$의 분할 합 계산
$S_{20} = a_1 + a_2 + \sum_{n=1}^9 a_{2n+1} + \sum_{n=1}^9 a_{2n+2}$로 분할하여 계산합니다:
• $a_1 + a_2 = 1 + 2 = 3$
• 홀수 항의 합: $\sum_{n=1}^9 (3n + 1) = \frac{9(4 + 28)}{2} = \frac{9 \times 32}{2} = 144$
• 짝수 항의 합: $\sum_{n=1}^9 2^n = \frac{2(2^9 - 1)}{2 - 1} = 2(512 - 1) = 1022$

[3단계] 최종 합 $S_{20}$ 산출
\[S_{20} = 3 + 144 + 1022 = 1169\]

정답: $1169$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	합의 관계식으로부터 홀수 항 등차수열 $a_{2n+1}=3n+1$과 짝수 항 등비수열 $a_{2n+2}=2^n$을 유도한 경우	4점
2단계	각각의 수열의 합 공식을 적용하여 홀수 항 합 144와 짝수 항 합 1022를 계산한 경우	3점
3단계	초기항 $a_1+a_2=3$과 합산하여 최종 $S_{20} = 1169$를 정확히 도출한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$S_{2n+1} - S_{2n} = a_{2n+1}$의 관계를 이용하여 홀수 항과 짝수 항을 완벽히 분리해 합산하는 구조적 서술이 핵심입니다.

🎯 [최종 정답]$1169$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 함수의 극한 · 샌드위치 정리와 분수식 극한을 통한 다항함수 결정 ⏱️ 권장 시간: 10분

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ (함수의 극한)의 정의와 기본 성질을 이용하여 다음 논제의 풀이 과정과 최종 답을 논리적으로 서술하시오.

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $|f(x) - x^2| \le 2$이고, $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{3x^2 - x - 2} = \frac{2}{5}$를 만족할 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

【유사 연습 문제】 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n + (-2)^n}{5^n}$의 합을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 두 등비급수 $\sum \left(\frac{3}{5}\right)^n$과 $\sum \left(-\frac{2}{5}\right)^n$이 모두 수렴하므로 합은 $\frac{3/5}{1 - 3/5} + \frac{-2/5}{1 - (-2/5)} = \frac{3}{2} - \frac{2}{7} = \frac{17}{14}$이다.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 문항 2 (미적분Ⅰ) [배점 10점]

$|f(x)-x^2|\le 2, \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{3x^2-x-2}=\frac{2}{5}$일 때 다항함수 $f(2)$의 값을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 2 · 총 10점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 샌드위치 정리를 통한 다항함수 $f(x)$의 최고차항 결정
조건 (가)에 의해 모든 실수 $x$에서 $x^2 - 2 \le f(x) \le x^2 + 2$가 성립합니다.
양변을 $x^2$ ($x \neq 0$)으로 나누고 $x \to \infty$ 극한을 취하면:
\[\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2}{x^2} \le \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2} \le \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2}{x^2} \implies \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2} = 1\]
따라서 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차다항식이며 $f(x) = x^2 + ax + b$입니다.

[2단계] 극한값을 통한 인수 및 미정계수 결정
분모는 $3x^2 - x - 2 = (3x + 2)(x - 1)$이며 $x \to 1$일 때 분모 $\to 0$입니다.
극한값이 $2/5$로 수렴하므로 분자도 $f(1) = 0$이어야 합니다.
따라서 $f(x) = (x - 1)(x + c)$로 둘 수 있습니다.
\[\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + c)}{(3x + 2)(x - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x + c}{3x + 2} = \frac{1 + c}{5} = \frac{2}{5} \implies 1 + c = 2 \implies c = 1\]
따라서 $f(x) = (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$입니다. (조건 (가) $|(x^2-1)-x^2| = |-1| = 1 \le 2$ 성립)

[3단계] $f(2)$의 값 산출
\[f(2) = 2^2 - 1 = 3\]

정답: $3$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	샌드위치 정리(조임 정리)를 이용하여 $f(x)$가 최고차항 계수 1인 이차식임을 증명한 경우	4점
2단계	분수식 극한으로부터 $f(1)=0$ 및 $c = 1$을 구하여 $f(x) = x^2 - 1$을 완성한 경우	3점
3단계	조건 (가) 부등식 만족 여부를 확인하고 $f(2) = 3$을 정확히 계산한 경우	3점

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함수의 차수와 최고차항 계수를 결정할 때 반드시 샌드위치 정리의 극한 서술 과정을 보여주어야 감점을 방지합니다.

🎯 [최종 정답]$3$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 정적분의 활용 · 삼차함수 곡선과 x축 사이의 넓이 최솟값 ⏱️ 권장 시간: 13분

최고차항의 계수가 12인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0) = 0, \; f(2) = 0$

(나) $x \lt 0$일 때 $f(x) \lt 0$이고, $x \gt 2$일 때 $f(x) \gt 0$이다.

곡선 $y = f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이의 최솟값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

【유사 연습 문제】 닫힌구간 $[1, 3]$에서 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 실수 $c \in (1, 3)$의 값을 모두 구하시오.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 문항 4 (미적분Ⅰ) [배점 14점]

최고차항 계수 12인 삼차함수 $f(x)$가 $f(0)=f(2)=0$이고 부호 조건을 만족할 때 $x$축과 둘러싸인 넓이의 최솟값을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 4 · 총 14점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 조건에 따른 삼차함수 식 수립
$f(0) = f(2) = 0$이고 $x \lt 0$에서 $f(x) \lt 0$, $x \gt 2$에서 $f(x) \gt 0$이므로 나머지 한 실근을 $\alpha$라 두면 $0 \le \alpha \le 2$이어야 합니다.
따라서 $f(x) = 12x(x - 2)(x - \alpha) = 12(x^3 - (\alpha + 2)x^2 + 2\alpha x)$입니다.

[2단계] 둘러싸인 도형의 넓이 함수 $S(\alpha)$ 수립
$0 \lt \alpha \lt 2$일 때 넓이는 두 영역으로 나뉩니다:
\[S(\alpha) = \int_0^{\alpha} f(x) dx - \int_{\alpha}^2 f(x) dx\]
부정적분 $F(x) = 12\left(\frac{x^4}{4} - \frac{\alpha+2}{3}x^3 + \alpha x^2\right) = 3x^4 - 4(\alpha+2)x^3 + 12\alpha x^2$에 대해:
$F(0) = 0$, $F(\alpha) = -\alpha^4 + 4\alpha^3$, $F(2) = 16\alpha - 16$이므로:
\[S(\alpha) = 2F(\alpha) - F(2) = 2(-\alpha^4 + 4\alpha^3) - (16\alpha - 16) = -2\alpha^4 + 8\alpha^3 - 16\alpha + 16\]
(경계값: $\alpha = 0, 2$일 때 $S = 16$)

[3단계] 미분을 통한 넓이의 최솟값 산출
\[S'(\alpha) = -8\alpha^3 + 24\alpha^2 - 16 = -8(\alpha^3 - 3\alpha^2 + 2) = -8(\alpha - 1)(\alpha^2 - 2\alpha - 2)\]
$0 \lt \alpha \lt 2$에서 $\alpha^2 - 2\alpha - 2 = (\alpha-1)^2 - 3 \lt 0$이므로 유일한 극값은 $\alpha = 1$입니다.
$S'(\alpha)$는 $\alpha = 1$ 좌우에서 음에서 양으로 바뀌므로 극소이자 최솟값입니다:
\[S(1) = -2(1) + 8(1) - 16(1) + 16 = 6\]

정답: $6$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 14점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	부호 조건으로부터 삼차함수 식 $f(x) = 12x(x-2)(x-\alpha)$ ($0 \le \alpha \le 2$)를 수립한 경우	4점
2단계	정적분을 이용하여 넓이 함수 $S(\alpha) = -2\alpha^4+8\alpha^3-16\alpha+16$을 정확히 유도한 경우	5점
3단계	도함수의 부호 변화를 조사하여 $\alpha = 1$에서 최솟값 $S(1) = 6$을 정확히 도출한 경우	5점

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삼차함수 넓이의 대칭성($\alpha = 1$일 때 변곡점이 원점과 $(2,0)$의 중심에 위치)을 도함수 증감표와 함께 제시하면 매우 우수한 평가를 받습니다.

🎯 [최종 정답]$6$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 도함수의 활용 · 포물선과 원의 유일한 교점 및 귀류법 증명 ⏱️ 권장 시간: 17분

곡선 $y = x^2 + 2$ 위의 점 $\mathrm{P}(a, b)$에 대하여, 중심이 직선 $y = x$ 위에 있고 점 $\mathrm{P}$를 지나며 곡선 $y = x^2 + 2$와 오직 점 $\mathrm{P}$에서만 만나는 원을 $C$라 하자.
(1) $a = -1/2$일 때, 원 $C$가 존재하지 않음을 귀류법으로 증명하시오. [10점]
(2) $a \neq -1/2$일 때, 원 $C$가 존재함을 보이시오. [10점]

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 문항 7 (미적분Ⅰ) [배점 20점]

$y=x^2+2$ 위의 점 $\mathrm{P}(a, b)$에 대해 (1) $a=-1/2$이면 원이 존재하지 않음을 귀류법으로 증명하고, (2) $a\neq -1/2$이면 원이 존재함을 보이시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 문항 7 · 총 20점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] (1) $a = -1/2$일 때의 귀류법 증명
중심이 $y = x$ 위에 있는 원 $C: (x-c)^2 + (y-c)^2 = r^2$이 점 $\mathrm{P}(-1/2, 9/4)$에서 포물선 $y = x^2 + 2$와 오직 하나의 교점만 갖는다고 가정하자.
원과 포물선의 연립방정식은 $f(x) = (x-c)^2 + (x^2+2-c)^2 - r^2 = 0$이다.
실근이 $x = -1/2$뿐이어야 하므로 $f(-1/2) = 0$이고 접해야 하므로 $f'(-1/2) = 0$이어야 한다.
도함수를 구하면 $f'(x) = 2(x-c) + 2(x^2+2-c)(2x) = 4x^3 + (10-4c)x - 2c$이다.
$x = -1/2$를 대입하면 $f'(-1/2) = 4(-1/8) + (10-4c)(-1/2) - 2c = -1/2 - 5 + 2c - 2c = -11/2 \neq 0$이다.
이는 $f'(-1/2) = 0$이어야 한다는 사실에 모순이므로, 이러한 원은 존재하지 않는다.

[2단계] (2) $a \neq -1/2$일 때의 원의 존재성 증명
• Case 1 ($a = 0$): 점 $\mathrm{P}(0, 2)$에서 중심을 원점 $\mathrm{O}(0,0)$ (직선 $y=x$ 위), 반지름 $r = 2$인 원 $x^2 + y^2 = 4$를 잡으면, 포물선 $y = x^2+2 \ge 2$와 원 $y \le 2$는 오직 점 $(0,2)$에서만 만난다.
• Case 2 ($a \neq 0, a \neq -1/2$): 점 $\mathrm{P}(a, a^2+2)$에서의 포물선의 접선 $l$의 기울기는 $2a$이다. 법선 $l'$의 기울기는 $-1/(2a)$이다.
$a \neq -1/2$이므로 법선의 기울기는 $1$이 아니며, 따라서 법선 $l'$은 직선 $y = x$와 반드시 유일한 교점 $\mathrm{Q}$를 갖는다.
점 $\mathrm{Q}$를 중심으로 하고 $\overline{\mathrm{QP}}$를 반지름으로 하는 원을 잡으면, 원은 점 $\mathrm{P}$에서 포물선과 공통접선 $l$을 갖고 접선 $l$을 경계로 포물선과 반대 방향(오목한 바깥쪽)에 위치하므로 오직 점 $\mathrm{P}$에서만 만난다.

정답: 귀류법 및 기하학적 존재성 증명 완료

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 20점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 귀류법 가정을 세우고 사차식의 도함수 $f'(-1/2) = -11/2 \neq 0$의 모순을 명확히 증명한 경우	10점
2단계	(2) $a=0$일 때 원점 중심 원 $x^2+y^2=4$의 유일 교점을 증명한 경우	4점
3단계	(2) $a \neq -1/2, a \neq 0$일 때 법선과 $y=x$의 교점 $\mathrm{Q}$를 중심으로 하는 원의 존재성을 증명한 경우	6점

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귀류법 증명 시 결론을 부정하여 사차방정식의 다중근 조건($f=0, f'=0$)과 미분계수 모순($-11/2 \ne 0$)을 수식으로 보이는 것이 최고점의 포인트입니다.

🎯 [최종 정답]귀류법 및 기하학적 존재성 증명 완료

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 함수의 극한과 연속, 미분 · 다항함수의 결정과 미분계수 극한 ⏱️ 권장 시간: 9분

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ (함수의 극한과 연속, 미분)의 정의와 기본 성질을 이용하여 다음 논제의 풀이 과정과 최종 답을 논리적으로 서술하시오.

다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{2x^3 + 5x + 1} = 1$

(나) $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x} = 2$

이때 $f'(2)$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

【유사 연습 문제】 정적분 $\displaystyle \int_1^e x \ln x \, dx$의 값을 부분적분법을 이용하여 구하시오.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 문항 2 (미적분Ⅰ) [배점 9점]

$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{2x^3+5x+1}=1, \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{x}=2$일 때 $f'(2)$의 값을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 2 · 총 9점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 조건 (가)를 통한 삼차다항함수 수립
$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{2x^3+5x+1} = 1$이므로 다항함수 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $2$인 삼차다항식입니다.
따라서 $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$ (단, $a, b, c$는 상수)로 둘 수 있으며,
도함수는 $f'(x) = 6x^2 + 2ax + b$입니다.

[2단계] 조건 (나)를 통한 미정계수 결정
$\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x} = 2$에서 $x \to 0$일 때 분모 $\to 0$이고 극한값이 존재하므로 분자도 $f'(0) = 0$이어야 합니다.
따라서 $f'(0) = b = 0$입니다.
이를 대입하여 극한을 계산하면:
\[\lim_{x \to 0} \frac{6x^2 + 2ax}{x} = \lim_{x \to 0} (6x + 2a) = 2a = 2 \implies a = 1\]
따라서 도함수는 $f'(x) = 6x^2 + 2x$입니다.

[3단계] $f'(2)$의 값 산출
\[f'(2) = 6(2^2) + 2(2) = 24 + 4 = 28\]

정답: $28$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 9점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	조건 (가)로부터 $f(x) = 2x^3+ax^2+bx+c$ 및 $f'(x) = 6x^2+2ax+b$를 설정한 경우	3점
2단계	조건 (나) 분모 0 극한에서 $f'(0)=b=0$ 및 $2a=2 \implies a=1$을 도출한 경우	3점
3단계	완성된 도함수 $f'(x)=6x^2+2x$에 $x=2$를 대입하여 $f'(2) = 28$을 계산한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

분수식 극한에서 분모가 0으로 갈 때 분자도 0으로 가야 한다는 미분계수의 정의적 근거를 서술하십시오.

🎯 [최종 정답]$28$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 미분, 적분 · 정적분으로 정의된 함수와 도함수의 성질 ⏱️ 권장 시간: 9분

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ (미분, 적분)의 정의와 기본 성질을 이용하여 다음 논제의 풀이 과정과 최종 답을 논리적으로 서술하시오.

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$와 다항함수 $g(x)$가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) $f(0) = 8$

(나) $f(x) = 3 + \int_1^x (x - 2 + t) g(t) dt$

이때 $f(2)$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x e^{-x}$의 극댓값과 변곡점의 $x$좌표를 각각 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x) = (1-x)e^{-x} = 0$에서 $x=1$일 때 극댓값 $f(1) = \frac{1}{e}$을 갖는다. $f''(x) = (x-2)e^{-x} = 0$에서 부호가 바뀌므로 변곡점의 $x$좌표는 $x = 2$이다.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 문항 4 (미적분Ⅰ) [배점 9점]

$f(0)=8, f(x)=3+\int_1^x(x-2+t)g(t)dt$인 최고차항 계수 1인 삼차함수에 대해 $f(2)$의 값을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 4 · 총 9점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 삼차함수 $f(x)$의 식 설정
$f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$이고 $f(0) = 8$이므로:
\[f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 8 \quad (\text{단, } a, b\text{는 상수}) \quad \cdots\text{①}\]

[2단계] $x = 1$ 대입 및 양변 미분을 통한 연립방정식 수립
주어진 적분식 $f(x) = 3 + \int_1^x (x-2+t)g(t)dt$에 $x = 1$을 대입하면:
\[f(1) = 3 + 0 = 3 \implies 1 + a + b + 8 = 3 \implies a + b = -6 \quad \cdots\text{②}\]
적분식을 분리하여 정리하면 $f(x) = 3 + (x-2)\int_1^x g(t)dt + \int_1^x tg(t)dt$입니다.
양변을 $x$에 대하여 미분하면:
\[f'(x) = \int_1^x g(t)dt + (x-2)g(x) + xg(x) = \int_1^x g(t)dt + 2(x-1)g(x)\]
여기에 $x = 1$을 대입하면 $f'(1) = 0 + 0 = 0$입니다.
①식에서 $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$이므로 $f'(1) = 3 + 2a + b = 0 \implies 2a + b = -3 \quad \cdots\text{③}$

[3단계] 계수 산출 및 $f(2)$ 계산
③식에서 ②식을 빼면 $a = -3 - (-6) = 3$이고, $b = -6 - 3 = -9$입니다.
따라서 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 8$입니다.
\[f(2) = 2^3 + 3(2^2) - 9(2) + 8 = 8 + 12 - 18 + 8 = 10\]

정답: $10$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 9점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	조건 (가), (나)로부터 $f(x) = x^3+ax^2+bx+8$ 및 $f(1)=3 \implies a+b=-6$을 유도한 경우	3점
2단계	적분식의 양변을 미분하여 $f'(1) = 0 \implies 2a+b=-3$을 유도한 경우	3점
3단계	연립방정식으로 $a=3, b=-9$를 구하고 $f(2) = 10$을 정확히 계산한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

적분 구간의 변수 x를 인테그랄 밖으로 완전히 분리해 낸 후 곱의 미분법을 적용해야 미분 과정에서 오류가 없습니다.

🎯 [최종 정답]$10$

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 적분 · 삼차함수와 절댓값 일차함수로 둘러싸인 도형의 넓이 ⏱️ 권장 시간: 10분

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ (적분)의 정의와 기본 성질을 이용하여 다음 논제의 풀이 과정과 최종 답을 논리적으로 서술하시오.

두 함수 $f(x) = -4x(x+3)(x-3)$, $g(x) = -16|x| + 48$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

【유사 연습 문제】 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n + (-2)^n}{5^n}$의 합을 구하시오.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 문항 7 (미적분Ⅰ) [배점 10점]

$f(x)=-4x(x+3)(x-3), g(x)=-16|x|+48$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 7 · 총 10점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 두 곡선의 교점 및 제1사분면 교점 $\mathrm{P}$ 결정
삼차함수 $f(x) = -4x^3 + 36x$와 일차절댓값함수 $g(x) = -16|x| + 48$의 교점을 구합니다.
제1사분면($x \gt 0$)에서 $g(x) = -16x + 48$이므로:
\[-4x(x^2 - 9) = -16x + 48 \implies -4x^3 + 36x = -16x + 48 \implies 4x^3 - 52x + 48 = 0\]
$4(x - 1)(x - 3)(x + 4) = 0$이므로 $x \gt 0$인 교점은 $x = 1$과 $x = 3$입니다.
제2사분면($x \lt 0$)에서는 $x = -3$에서 $f(-3) = 0, g(-3) = 0$으로 만납니다.

[2단계] 둘러싸인 도형의 구간 분할 정적분 식 수립
그래프의 상하 관계에 따라 적분 구간을 $[-3, 0], [0, 1], [1, 3]$의 세 영역으로 분할합니다:
\[S = \int_{-3}^0 \{g(x) - f(x)\} dx + \int_0^1 \{g(x) - f(x)\} dx + \int_1^3 \{f(x) - g(x)\} dx\]
\[= \int_{-3}^0 (4x^3 - 20x + 48) dx + \int_0^1 (4x^3 - 52x + 48) dx + \int_1^3 (-4x^3 + 52x - 48) dx\]

[3단계] 각 구간의 정적분 계산 및 총합 산출
• $I_1 = [x^4 - 10x^2 + 48x]_{-3}^0 = 0 - (81 - 90 - 144) = 153$
• $I_2 = [x^4 - 26x^2 + 48x]_0^1 = 1 - 26 + 48 = 23$
• $I_3 = [-x^4 + 26x^2 - 48x]_1^3 = (-81 + 234 - 144) - (-1 + 26 - 48) = 9 - (-23) = 32$
따라서 둘러싸인 전체 도형의 넓이는 다음과 같습니다:
\[S = 153 + 23 + 32 = 208\]

정답: $208$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	방정식을 세워 교점 $x = -3, 1, 3$을 정확히 도출한 경우	3점
2단계	절댓값 함수와 삼차함수의 상하 관계를 고려해 3개 적분 구간으로 분할 식을 세운 경우	4점
3단계	각 구간별 정적분을 정확히 계산하여 최종 넓이 $208$을 도출한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

절댓값 기호가 있는 함수는 $x=0$을 기준으로 식을 나누고 교점의 위치에 따라 적분 구간을 3단계로 엄밀히 분할해야 합니다.

🎯 [최종 정답]$208$

📚 과목/단원: 대수 🎯 핵심 테마: 수열 · 점화식과 수학적 귀납법을 이용한 배수 증명 ⏱️ 권장 시간: 11분

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 (수열)의 정의와 기본 성질을 이용하여 다음 논제의 풀이 과정과 최종 답을 논리적으로 서술하시오.

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 1, \quad a_{n+1} = a_n^3 + 3a_n$을 만족시킬 때, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n^2 + 2$가 $3^n$의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 문항 10 (대수) [배점 12점]

$a_1=1, a_{n+1}=a_n^3+3a_n$일 때 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n^2+2$가 $3^n$의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 문항 10 · 총 12점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] $n = 1$일 때 성립 증명 (기저 단계)
$n = 1$일 때, $a_1 = 1$이므로:
\[a_1^2 + 2 = 1^2 + 2 = 3 = 3^1 \times 1\]
따라서 $a_1^2 + 2$는 $3^1$의 배수이므로 $n = 1$일 때 명제가 참입니다.

[2단계] $n = k$일 때 성립 가정 (귀납 가설)
$n = k$ ($k \ge 1$)일 때 $a_k^2 + 2$가 $3^k$의 배수라고 가정하면:
\[a_k^2 + 2 = 3^k b \quad (\text{단, } b\text{는 자연수}) \implies a_k^2 = 3^k b - 2 \quad \cdots\text{①}\]

[3단계] $n = k + 1$일 때 성립 증명 (귀납 단계 및 결론)
점화식 $a_{k+1} = a_k^3 + 3a_k = a_k(a_k^2 + 3)$을 적용하면:
\[a_{k+1}^2 + 2 = a_k^2 (a_k^2 + 3)^2 + 2\]
①식을 대입하면:
\[a_{k+1}^2 + 2 = (3^k b - 2)(3^k b + 1)^2 + 2 = (3^k b - 2)(3^{2k}b^2 + 2 \cdot 3^k b + 1) + 2\]
전개하면:
\[= 3^{3k}b^3 + 2 \cdot 3^{2k}b^2 + 3^k b - 2 \cdot 3^{2k}b^2 - 4 \cdot 3^k b - 2 + 2\]
\[= 3^{3k}b^3 - 3 \cdot 3^k b = 3^{3k}b^3 - 3^{k+1}b = 3^{k+1}(3^{2k-1}b^3 - b) = 3^{k+1}b(3^{2k-1}b^2 - 1)\]
$k \ge 1$이므로 $2k - 1 \ge 1$이며, 따라서 $3^{2k-1}b^2 - 1$은 자연수입니다.
그러므로 $a_{k+1}^2 + 2$는 $3^{k+1}$의 배수입니다.
따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n^2 + 2$는 $3^n$의 배수입니다.

정답: 수학적 귀납법 증명 완료

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$n=1$일 때 $a_1^2+2 = 3 = 3^1$로 성립함을 보인 경우	3점
2단계	$n=k$일 때 $a_k^2+2 = 3^k b$ (자연수 $b$) 가정을 설정한 경우	3점
3단계	대수적 전개를 통해 $a_{k+1}^2+2 = 3^{k+1}(3^{2k-1}b^3-b)$를 정확히 유도하고 귀납 증명을 완결한 경우	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$n=k+1$ 단계에서 다항식 전개 후 상수항 $-2$와 $+2$가 상쇄되고 $3^{k+1}$로 묶이는 대수적 전개 과정을 완벽히 보여주어야 만점을 받습니다.

🎯 [최종 정답]수학적 귀납법 증명 완료

📚 과목/단원: 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 정적분의 활용 · 삼차함수 곡선과 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이 ⏱️ 권장 시간: 8분

곡선 $y = x^3 - x$와 직선 $y = 3x$로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

【유사 연습 문제】 곡선 $y = x^3 - 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 $S$를 구하시오.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 문항 2 (미적분Ⅰ) [배점 9점]

곡선 $y = x^3 - x$와 직선 $y = 3x$로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 2 · 총 9점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 곡선과 직선의 교점 산출
$f(x) = x^3 - x$, $g(x) = 3x$라 두면, 교점의 $x$좌표는 방정식 $f(x) - g(x) = 0$의 실근입니다:
\[x^3 - x - 3x = x^3 - 4x = x(x+2)(x-2) = 0 \implies x = -2, 0, 2\]

[2단계] 둘러싸인 영역의 정적분 식 수립 및 대칭성 적용
함수 $f(x) - g(x) = x^3 - 4x$는 기함수(원점 대칭)이므로, 두 구간 $[-2, 0]$과 $[0, 2]$의 넓이는 서로 같습니다.
따라서 구하는 넓이 $S$는 다음과 같습니다:
\[S = \int_{-2}^0 \{f(x) - g(x)\} dx + \int_0^2 \{g(x) - f(x)\} dx = 2 \int_0^2 (4x - x^3) dx\]

[3단계] 정적분 값 계산
\[S = 2 \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = 2 \left( 2(4) - \frac{16}{4} \right) = 2(8 - 4) = 2(4) = 8\]

정답: $8$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 9점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	방정식을 세워 교점의 $x$좌표 $x = -2, 0, 2$를 구한 경우	3점
2단계	구간별 정적분 식을 세우거나 기함수 대칭성을 이용해 $2\int_0^2(4x-x^3)dx$를 수립한 경우	3점
3단계	정적분을 정확히 계산하여 최종 넓이 $8$을 도출한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

삼차곡선과 직선의 차함수가 기함수임을 언급하고 한쪽 구간 넓이의 2배로 계산하면 간결하고 완벽한 답안이 됩니다.

🎯 [최종 정답]$8$

📚 과목/단원: 대수 🎯 핵심 테마: 수학적 귀납법 · 수학적 귀납법을 이용한 거듭제곱의 나머지 증명 ⏱️ 권장 시간: 8분

모든 자연수 $n$에 대하여 다음 명제가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

"$9^{2n}$을 $2^{n+3}$으로 나눈 나머지는 $1$이다."

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]

【유사 연습 문제】 방정식 $\log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 문항 4 (대수) [배점 9점]

모든 자연수 $n$에 대하여 "$9^{2n}$을 $2^{n+3}$으로 나눈 나머지는 $1$이다"가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 4 · 총 9점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] $n = 1$일 때 명제의 성립 증명 (기저 단계)
$n = 1$일 때, $9^{2(1)} = 9^2 = 81$이고, 나누는 수는 $2^{1+3} = 2^4 = 16$입니다.
\[81 = 16 \times 5 + 1\]
이므로 $81$을 $16$으로 나눈 몫은 $5$이고 나머지는 $1$입니다.
따라서 $n = 1$일 때 주어진 명제가 성립합니다.

[2단계] $n = k$일 때 명제의 성립 가정 (귀납 가설)
$n = k$ ($k \ge 1$)일 때 명제가 성립한다고 가정하면, 어떤 음이 아닌 정수 $q$에 대하여:
\[9^{2k} = 2^{k+3}q + 1 \quad \cdots\text{①}\]
이 성립합니다.

[3단계] $n = k + 1$일 때 명제의 성립 증명 (귀납 단계 및 결론)
$n = k + 1$일 때, ①식을 대입하여 전개하면:
\[9^{2(k+1)} = 9^{2k + 2} = (9^{2k})^2 = (2^{k+3}q + 1)^2\]
\[= (2^{k+3}q)^2 + 2 \cdot 2^{k+3}q + 1 = 2^{2k+6}q^2 + 2^{k+4}q + 1\]
\[= 2^{k+4}(2^{k+2}q^2 + q) + 1\]
이때 $k \ge 1, q \ge 0$이므로 $2^{k+2}q^2 + q$는 정수입니다.
따라서 $9^{2(k+1)}$을 $2^{(k+1)+3} = 2^{k+4}$로 나눈 몫은 정수 $2^{k+2}q^2 + q$이고 나머지는 $1$입니다.
그러므로 $n = k + 1$일 때도 주어진 명제가 성립합니다.
따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 명제가 성립합니다.

정답: 수학적 귀납법 증명 완료

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 9점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$n=1$일 때 $81 = 16 \times 5 + 1$로 성립함을 보인 경우	3점
2단계	$n=k$일 때 $9^{2k} = 2^{k+3}q + 1$ (정수 $q$) 가정을 설정한 경우	2점
3단계	제곱 전개를 통해 $9^{2(k+1)} = 2^{k+4}(2^{k+2}q^2+q)+1$을 유도하고 증명을 완결한 경우	4점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$9^{2(k+1)} = (9^{2k})^2$으로 변형하여 $(2^{k+3}q+1)^2$을 전개한 뒤 $2^{k+4}$로 묶어내는 대수적 변형이 핵심입니다.

🎯 [최종 정답]수학적 귀납법 증명 완료

📚 과목/단원: 대수 🎯 핵심 테마: 지수함수와 로그함수 · 로그함수 그래프와 정삼각형의 기하학적 성질 ⏱️ 권장 시간: 9분

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 (지수함수와 로그함수)의 정의와 기본 성질을 이용하여 다음 논제의 풀이 과정과 최종 답을 논리적으로 서술하시오.

좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{A, B, C}$가 다음을 모두 만족한다.

(가) 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$는 곡선 $y = \log_3 9x$ 위에 있다.

(나) 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표보다 크다.

(다) 점 $\mathrm{C}$는 곡선 $y = \log_3 x$ 위에 있다.

(라) 선분 $\mathrm{AC}$는 $y$축에 평행하다.

(마) 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 정삼각형이다.

점 $\mathrm{C}$의 좌표를 $(\alpha, \beta)$라고 할 때, $\alpha \times 3^\beta$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

【유사 연습 문제】 타원 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ 위의 점 $P(x_1, y_1)$에서 두 초점 $F, F'$에 이르는 거리의 곱 $\overline{PF}\cdot\overline{PF'}$의 최댓값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 타원의 정의에 의해 $\overline{PF} + \overline{PF'} = 6$이므로 산술·기하평균 부등식에 의해 $\overline{PF}\cdot\overline{PF'} \le \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$이다.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 문항 6 (대수) [배점 10점]

조건을 만족하는 정삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 점 $\mathrm{C}(\alpha, \beta)$에 대해 $\alpha \times 3^\beta$의 값을 구하시오.

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 6 · 총 10점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 선분 $\mathrm{AC}$의 길이 및 정삼각형 한 변의 길이 파악
점 $\mathrm{C}$는 $y = \log_3 x$ 위의 점이므로 $\mathrm{C}(\alpha, \log_3 \alpha)$입니다.
선분 $\mathrm{AC}$가 $y$축에 평행하고 점 $\mathrm{A}$는 $y = \log_3 9x$ 위에 있으므로:
\[\mathrm{A}(\alpha, \log_3 9\alpha) = (\alpha, 2 + \log_3 \alpha)\]
따라서 선분 $\mathrm{AC}$의 길이는 $(2 + \log_3 \alpha) - \log_3 \alpha = 2$입니다.
삼각형 $\mathrm{ABC}$는 정삼각형이므로 한 변의 길이가 $2$인 정삼각형입니다.

[2단계] 점 $\mathrm{B}$의 좌표 및 $\alpha$의 산출
한 변의 길이가 $2$인 정삼각형의 높이는 $\sqrt{3}$입니다.
점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표가 점 $\mathrm{B}$보다 크므로 점 $\mathrm{B}$는 선분 $\mathrm{AC}$의 왼쪽에 위치합니다.
선분 $\mathrm{AC}$의 중점의 좌표는 $(\alpha, 1 + \log_3 \alpha)$이므로, 점 $\mathrm{B}$의 좌표는:
\[\mathrm{B}(\alpha - \sqrt{3}, 1 + \log_3 \alpha)\]
점 $\mathrm{B}$가 곡선 $y = \log_3 9x$ 위에 있으므로:
\[1 + \log_3 \alpha = \log_3 9(\alpha - \sqrt{3}) \implies \log_3 3\alpha = \log_3 9(\alpha - \sqrt{3})\]
\[3\alpha = 9\alpha - 9\sqrt{3} \implies 6\alpha = 9\sqrt{3} \implies \alpha = \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

[3단계] $\alpha \times 3^\beta$의 계산
$\beta = \log_3 \alpha$이므로 $3^\beta = 3^{\log_3 \alpha} = \alpha$입니다.
따라서 구하는 값은 다음과 같습니다:
\[\alpha \times 3^\beta = \alpha \times \alpha = \alpha^2 = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{27}{4}\]

정답: $\frac{27}{4}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 10점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	점 $\mathrm{A, C}$의 좌표로부터 선분 $\mathrm{AC} = 2$ 및 정삼각형 성질을 파악한 경우	3점
2단계	점 $\mathrm{B}(\alpha-\sqrt{3}, 1+\log_3\alpha)$를 대입하여 $\alpha = \frac{3\sqrt{3}}{2}$를 도출한 경우	4점
3단계	$\alpha \times 3^\beta = \alpha^2 = \frac{27}{4}$를 정확히 계산한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

정삼각형의 높이가 $\sqrt{3}$임을 이용하여 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표를 $\alpha - \sqrt{3}$으로 즉시 설정하는 기하적 해석이 핵심입니다.

🎯 [최종 정답]$\frac{27}{4}$

📚 과목/단원: 대수 · 미적분Ⅰ 🎯 핵심 테마: 도함수의 활용 · 점과 직선 사이의 거리와 도함수를 통한 삼각형 넓이의 최댓값 ⏱️ 권장 시간: 10분

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 · 미적분Ⅰ (도함수의 활용)의 정의와 기본 성질을 이용하여 다음 논제의 풀이 과정과 최종 답을 논리적으로 서술하시오.

함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x$의 그래프 위의 세 점 $\mathrm{O}(0, 0), \mathrm{A}(3, -12), \mathrm{B}(t, f(t))$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이의 최댓값을 구하시오. (단, $0 \lt t \lt 3$이다.)

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

【유사 연습 문제】 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n + (-2)^n}{5^n}$의 합을 구하시오.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 문항 9 (대수 · 미적분Ⅰ) [배점 12점]

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x$ 위의 점 $\mathrm{O}(0, 0), \mathrm{A}(3, -12), \mathrm{B}(t, f(t))$에 대해 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이의 최댓값을 구하시오. (단, $0 \lt t \lt 3$)

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 문항 9 · 총 12점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 직선 $\mathrm{OA}$의 방정식 및 높이 함수 수립
점 $\mathrm{O}(0, 0)$과 $\mathrm{A}(3, -12)$를 지나는 직선 $l$의 방정식은 $y = -4x$, 즉 $4x + y = 0$입니다.
밑변의 길이는 $\overline{\mathrm{OA}} = \sqrt{3^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 144} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17}$입니다.
점 $\mathrm{B}(t, t^3 - 3t^2 - 4t)$에서 직선 $l$까지의 거리(높이) $h(t)$는:
\[h(t) = \frac{|4t + (t^3 - 3t^2 - 4t)|}{\sqrt{4^2 + 1^2}} = \frac{|t^3 - 3t^2|}{\sqrt{17}}\]

[2단계] 도함수를 통한 높이의 최댓값 산출
$0 \lt t \lt 3$에서 $t^3 - 3t^2 = t^2(t-3) \lt 0$이므로 $|t^3 - 3t^2| = -t^3 + 3t^2$입니다.
함수 $g(t) = -t^3 + 3t^2$의 도함수는 $g'(t) = -3t^2 + 6t = -3t(t-2)$입니다.
$g'(t) = 0$인 점은 $t = 2$이며, $g'(t)$는 $t = 2$ 좌우에서 양에서 음으로 바뀌므로 극대이자 최댓값을 갖습니다.
최댓값은 $g(2) = -(8) + 3(4) = 4$입니다.
따라서 높이의 최댓값은 $h(2) = \frac{4}{\sqrt{17}}$입니다.

[3단계] 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이의 최댓값 산출
\[S_{\text{max}} = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{OA}} \times h_{\text{max}} = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{17} \times \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{1}{2} \times 12 = 6\]

정답: $6$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 12점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	직선 $\mathrm{OA}: 4x+y=0$ 및 점과 직선 사이의 거리 공식으로 높이 $h(t) = \frac{\|t^3-3t^2\|}{\sqrt{17}}$를 세운 경우	4점
2단계	도함수를 구해 $t = 2$에서 높이의 최댓값 $\frac{4}{\sqrt{17}}$을 정확히 도출한 경우	5점
3단계	삼각형 넓이 공식에 대입하여 최종 최댓값 $6$을 계산한 경우	3점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

직선 OA와 평행한 접선의 접점($f'(t)=-4$)을 구하여 높이 최대를 찾는 방법도 훌륭한 대안 풀이로 인정됩니다.

🎯 [최종 정답]$6$

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실전 모의고사 1회 ~ 10회 문제집

제1~5회 기출유사 표준 실전편과 제6~10회 킬러 TOP 5 심화편(총 40문항) 및 회차별 종합 분석 매트릭스 리포트로 실전 적응력을 극대화합니다.

📋 출제 타당성 검토 보고서 (2p): 전 문항 교과서 기반 교육과정 성취기준 및 Textbook DB 원천 검증

📝 실전 맞춤형 시험지 포맷: 한국외국어대학교 실제 문항 수·배점·답안지 규격 100% 반영

📈 회차별 종합 분석 매트릭스 (10p): 매 회차 직후 문항별 난이도·배점·합격 전략 리포트 수록

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R1-Q1	대수	지수법칙과 거듭제곱근 및 삼각함수의 정의와 사분면	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 11 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]	25점/중상
R1-Q2	대수	로그함수의 성질과 정점 및 등차수열의 합과 조건	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 11 변형 \| 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]	25점/상
R1-Q3	미적분Ⅰ	함수의 극한과 미정계수 및 접선의 방정식	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 11 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]	25점/중상
R1-Q4	미적분Ⅰ	미분계수와 다항함수의 도함수 및 정적분과 넓이	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 11 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]	25점/상
R2-Q1	대수	로그의 밑변환과 거듭제곱 및 코사인법칙과 외접원의 반지름	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 11 변형 \| 성취기준: 12대수02-03]	25점/중상
R2-Q2	대수	거듭제곱의 합과 시그마 및 등비중항과 등비수열	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 11 변형 \| 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]	25점/상
R2-Q3	미적분Ⅰ	함수의 연속성 조건 및 삼차함수의 극값과 그래프	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 11 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	25점/중상
R2-Q4	미적분Ⅰ	정적분으로 정의된 함수의 미분 및 부정적분과 함숫값	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 11 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/상
R3-Q1	대수	최소 및 사인법칙과 삼각형의 변의 비	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 11 변형 \| 성취기준: 12대수02-03]	25점/중상
R3-Q2	대수	삼각방정식 및 귀납적으로 정의된 수열	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 11 변형 \| 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]	25점/상
R3-Q3	미적분Ⅰ	무한대 극한과 다항함수 및 평균값 정리	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 11 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]	25점/중상
R3-Q4	미적분Ⅰ	곡선과 x축으로 둘러싸인 넓이 및 사차함수의 최솟값	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 11 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	25점/상
R4-Q1	대수	지수와 대칭식의 값 및 최소	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 11 변형 \| 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]	25점/중상
R4-Q2	대수	로그방정식의 두 근의 곱 및 등차수열과 배수의 합	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 11 변형 \| 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]	25점/상
R4-Q3	미적분Ⅰ	사잇값 정리 및 미분가능성과 접선	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 11 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]	25점/중상
R4-Q4	미적분Ⅰ	대칭구간에서의 정적분 및 방정식의 실근의 개수	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 11 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	25점/상
R5-Q1	대수	상용로그의 자릿수와 성질 및 삼각형의 외접원과 코사인법칙	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 11 변형 \| 성취기준: 12대수02-03]	25점/중상
R5-Q2	대수	분수 꼴 수열의 합 및 등비수열의 부분합	[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 11 변형 \| 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]	25점/상
R5-Q3	미적분Ⅰ	미분계수의 극한 변형 및 곡선 밖의 점에서 그은 접선	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 11 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]	25점/중상
R5-Q4	미적분Ⅰ	두 곡선으로 둘러싸인 넓이 및 정적분과 극값	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 11 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R6-Q1	대수 · 미적분Ⅰ	거듭제곱근의 정의와 개수 판별 및 다항함수의 차수 결정과 정수 실근 심화 추론	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]	25점/상
R6-Q2	대수	등차수열의 합과 절댓값 수열의 부등식 및 구간별 지수함수의 점근선과 정수 격자점 추론 심화 추론	[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	25점/상
R6-Q3	대수 · 미적분Ⅰ	구간별 정의된 함수의 연속성과 교점 개수 및 삼각방정식의 실근 개수와 계수의 곱 심화 추론	[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.18 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]	25점/최상
R6-Q4	확률과 통계	자연어 AI 분류기의 베이즈 사후확률과 모비율 신뢰구간 추론	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 확률의 뜻과 활용 (DB: PS_Ch02_01) PDF p.6 탐구 변형 \| 성취기준: 12확통02-02, 12확통02-03]	25점/최상
R7-Q1	확률과 통계	독립시행 이항분포의 정규근사와 표본평균 확률 추론	[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 조건부확률 (DB: PS_Ch02_02) PDF p.6 탐구 변형 \| 성취기준: 12확통02-04, 12확통02-05, 12확통02-06]	25점/상
R7-Q2	대수	삼각방정식의 일반해와 포물선 그래프 교점의 개수	[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	25점/상
R7-Q3	대수	로그의 성질, 이진 거듭제곱 전개 및 시그마	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]	25점/최상
R7-Q4	미적분Ⅰ	연속성과 미분가능성의 정의 판별	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]	25점/최상
R8-Q1	대수	이차부등식과 판별식 및 코사인 함수 범위	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]	25점/상
R8-Q2	미적분Ⅰ	최솟값	[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]	25점/상
R8-Q3	대수	지수방정식과 거듭제곱수의 자연수 조건	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-05]	25점/최상
R8-Q4	대수	상용로그 정수부분과 소수부분와 유리함수 위의 점	[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]	25점/최상
R9-Q1	대수 · 미적분Ⅰ	정적분의 구간 성질과 등비수열의 공비 추론	[출처: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]	25점/상
R9-Q2	대수	새로운 연산 ⊙과 구간별 삼각방정식	[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]	25점/상
R9-Q3	대수	이차방정식의 근과 계수의 관계 및 삼각함수 기본 공식	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]	25점/최상
R9-Q4	미적분Ⅰ	점과 직선 사이의 거리와 원 위의 점의 극한	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]	25점/최상
R10-Q1	대수	기하 평균 부등식	[출처: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 \| 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]	25점/상
R10-Q2	미적분Ⅰ	사차함수의 접선과 두 교점의 근과 계수의 관계	[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 탐구 변형 \| 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]	25점/상
R10-Q3	대수	수열의 합과 일반항의 관계 및 등차수열의 합 성질	[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]	25점/최상
R10-Q4	대수	등비수열의 합과 지수 감소 모델링	[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 \| 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]	25점/최상

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 지수법칙과 거듭제곱근 및 삼각함수의 정의와 사분면 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수의 핵심 원리인 (가) 지수법칙과 거듭제곱근과 (나) 삼각함수의 정의와 사분면의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 1-1] (10점) 양수 $a, b$가 $a^3 = 16$, $b^6 = 27$을 만족시킬 때, $\left(a^{1/2} b\right)^3$의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (15점) 원점 $O$와 점 $P(-5, 12)$를 지나는 동경 $OP$가 나타내는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $13(\sin\theta - \cos\theta) + 5\tan\theta$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 로그함수의 성질과 정점 및 등차수열의 합과 조건 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수의 핵심 원리인 (가) 로그함수의 성질과 정점과 (나) 등차수열의 합과 조건의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 2-1] (10점) 상수 $a \gt 1$에 대하여 함수 $y = \log_a(2x - 5) + 4$의 그래프가 $a$의 값에 관계없이 항상 지나는 정점의 좌표를 $(p, q)$라 할 때, $p \cdot q$의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (15점) 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_3 = 18$, $S_6 = 72$일 때, 첫째항 $a_1$과 공차 $d$를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 함수의 극한과 미정계수 및 접선의 방정식 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ의 핵심 원리인 (가) 함수의 극한과 미정계수과 (나) 접선의 방정식의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 3-1] (10점) 극한 $\lim_{x \to 4} \dfrac{x - 4}{\sqrt{x + 5} - a} = b$를 만족시키는 두 상수 $a, b$에 대하여 $a + b$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (15점) 곡선 $y = x^3 - 5x + 3$ 위의 점 $(-1, 7)$에서의 접선이 점 $(k, -1)$을 지날 때, 실수 $k$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 미분계수와 다항함수의 도함수 및 정적분과 넓이 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ의 핵심 원리인 (가) 미분계수와 다항함수의 도함수과 (나) 정적분과 넓이의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 4-1] (10점) 사차함수 $f(x) = x^4 - 2x^3 + ax^2 - 5$가 $f'(1) = 4$를 만족시킬 때, $f'(-1)$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (15점) 포물선 $y = -x^2 + 2x + 3$과 직선 $y = -x + 3$으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제1회	문항 1	대수	지수법칙과 거듭제곱근 및 삼각함수의 정의와 사분면	25점	중상
제1회	문항 2	대수	로그함수의 성질과 정점 및 등차수열의 합과 조건	25점	상
제1회	문항 3	미적분Ⅰ	함수의 극한과 미정계수 및 접선의 방정식	25점	중상
제1회	문항 4	미적분Ⅰ	미분계수와 다항함수의 도함수 및 정적분과 넓이	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국외국어대학교 수리논술 제1회 출제 원칙 및 합격 전략

한국외국어대학교 자연·AI계열 제1회 (대수·미적분Ⅰ 실전 표준 모의)는 [지수법칙과 거듭제곱근 및 삼각함수의 정의와 사분면], [로그함수의 성질과 정점 및 등차수열의 합과 조건], [함수의 극한과 미정계수 및 접선의 방정식], [미분계수와 다항함수의 도함수 및 정적분과 넓이]의 4대문항(각 25점, 총 100점 / 80분)으로 구성되어 있습니다. 학생부 반영 없이 논술 100%로 선발하고 글로벌캠퍼스 전 모집단위는 수능최저가 없으므로, 실수 없는 정확한 계산과 핵심 단계별 논거 명시가 합격의 열쇠입니다.

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 로그의 밑변환과 거듭제곱 및 코사인법칙과 외접원의 반지름 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수의 핵심 원리인 (가) 로그의 밑변환과 거듭제곱과 (나) 코사인법칙과 외접원의 반지름의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 1-1] (10점) 세 수 $A = \log_3 8$, $B = \log_2 9$, $C = \log_5 25$에 대하여 $A \cdot B + C$의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (15점) 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 3$, $\overline{AC} = 5$, $\angle A = \dfrac{2\pi}{3}$일 때, 변 $BC$의 길이와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 거듭제곱의 합과 시그마 및 등비중항과 등비수열 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수의 핵심 원리인 (가) 거듭제곱의 합과 시그마과 (나) 등비중항과 등비수열의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 2-1] (10점) 합 $\sum_{k=1}^{7} (3k^2 - k + 2)$의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (15점) 공비가 양수인 등비수열 $\{a_n\}$에서 $a_1 a_5 = 36$, $a_2 = 2$일 때, 공비 $r$와 제$6$항 $a_6$의 값을 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 함수의 연속성 조건 및 삼차함수의 극값과 그래프 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ의 핵심 원리인 (가) 함수의 연속성 조건과 (나) 삼차함수의 극값과 그래프의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 3-1] (10점) 함수 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 + 8}{x + 2} & (x \ne -2) \\ k & (x = -2) \end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (15점) 삼차함수 $f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$의 차 $M - m$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 정적분으로 정의된 함수의 미분 및 부정적분과 함숫값 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ의 핵심 원리인 (가) 정적분으로 정의된 함수의 미분과 (나) 부정적분과 함숫값의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 4-1] (10점) 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_1^x f(t)\,dt = 2x^3 - 5x^2 + ax - 1$을 만족시킬 때, $a + f(2)$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (15점) 다항함수 $f(x)$의 도함수가 $f'(x) = 4x^3 - 6x + 2$이고 $f(1) = 5$일 때, $f(-2)$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제2회	문항 1	대수	로그의 밑변환과 거듭제곱 및 코사인법칙과 외접원의 반지름	25점	중상
제2회	문항 2	대수	거듭제곱의 합과 시그마 및 등비중항과 등비수열	25점	상
제2회	문항 3	미적분Ⅰ	함수의 연속성 조건 및 삼차함수의 극값과 그래프	25점	중상
제2회	문항 4	미적분Ⅰ	정적분으로 정의된 함수의 미분 및 부정적분과 함숫값	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국외국어대학교 수리논술 제2회 출제 원칙 및 합격 전략

한국외국어대학교 자연·AI계열 제2회 (대수·미적분Ⅰ 실전 표준 모의)는 [로그의 밑변환과 거듭제곱 및 코사인법칙과 외접원의 반지름], [거듭제곱의 합과 시그마 및 등비중항과 등비수열], [함수의 연속성 조건 및 삼차함수의 극값과 그래프], [정적분으로 정의된 함수의 미분 및 부정적분과 함숫값]의 4대문항(각 25점, 총 100점 / 80분)으로 구성되어 있습니다. 학생부 반영 없이 논술 100%로 선발하고 글로벌캠퍼스 전 모집단위는 수능최저가 없으므로, 실수 없는 정확한 계산과 핵심 단계별 논거 명시가 합격의 열쇠입니다.

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 최소 및 사인법칙과 삼각형의 변의 비 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수의 핵심 원리인 (가) 최소과 (나) 사인법칙과 삼각형의 변의 비의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 1-1] (10점) 닫힌구간 $[-1, 2]$에서 함수 $f(x) = 3^{2 - x} - 5$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (15점) 삼각형 $ABC$에서 $\sin A : \sin B : \sin C = 4 : 5 : 6$일 때, $\cos A$의 값을 기약분수로 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 삼각방정식 및 귀납적으로 정의된 수열 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수의 핵심 원리인 (가) 삼각방정식과 (나) 귀납적으로 정의된 수열의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 2-1] (10점) $0 \le x \lt 2\pi$에서 방정식 $\sqrt{3}\tan x + 1 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$ ($\alpha \lt \beta$)라 할 때, $\beta - \alpha$와 $\alpha + \beta$를 각각 구하시오.

[문항 2-2] (15점) 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 5$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} - a_n = 4n - 3$을 만족시킬 때, $a_9$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 무한대 극한과 다항함수 및 평균값 정리 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ의 핵심 원리인 (가) 무한대 극한과 다항함수과 (나) 평균값 정리의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 3-1] (10점) 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -3$, $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 7$을 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (15점) 함수 $f(x) = x^3 - 6x$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 곡선과 x축으로 둘러싸인 넓이 및 사차함수의 최솟값 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ의 핵심 원리인 (가) 곡선과 x축으로 둘러싸인 넓이과 (나) 사차함수의 최솟값의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 4-1] (10점) 삼차곡선 $y = x(x - 1)(x - 3)$과 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 $S$를 구하시오.

[문항 4-2] (15점) 사차함수 $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 20$의 실수 전체의 집합에서의 최솟값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제3회	문항 1	대수	최소 및 사인법칙과 삼각형의 변의 비	25점	중상
제3회	문항 2	대수	삼각방정식 및 귀납적으로 정의된 수열	25점	상
제3회	문항 3	미적분Ⅰ	무한대 극한과 다항함수 및 평균값 정리	25점	중상
제3회	문항 4	미적분Ⅰ	곡선과 x축으로 둘러싸인 넓이 및 사차함수의 최솟값	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국외국어대학교 수리논술 제3회 출제 원칙 및 합격 전략

한국외국어대학교 자연·AI계열 제3회 (대수·미적분Ⅰ 실전 표준 모의)는 [최소 및 사인법칙과 삼각형의 변의 비], [삼각방정식 및 귀납적으로 정의된 수열], [무한대 극한과 다항함수 및 평균값 정리], [곡선과 x축으로 둘러싸인 넓이 및 사차함수의 최솟값]의 4대문항(각 25점, 총 100점 / 80분)으로 구성되어 있습니다. 학생부 반영 없이 논술 100%로 선발하고 글로벌캠퍼스 전 모집단위는 수능최저가 없으므로, 실수 없는 정확한 계산과 핵심 단계별 논거 명시가 합격의 열쇠입니다.

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 지수와 대칭식의 값 및 최소 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수의 핵심 원리인 (가) 지수와 대칭식의 값과 (나) 최소의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 1-1] (10점) 양수 $x$가 $x + x^{-1} = 7$을 만족시킬 때, $x^{1/2} + x^{-1/2}$와 $x^{3/2} + x^{-3/2}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (15점) 함수 $f(x) = 3\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) + 2$의 주기를 $p$, 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $p + M - m$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 로그방정식의 두 근의 곱 및 등차수열과 배수의 합 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수의 핵심 원리인 (가) 로그방정식의 두 근의 곱과 (나) 등차수열과 배수의 합의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 2-1] (10점) 방정식 $(\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 1 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha\beta$의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (15점) $10$ 이상 $100$ 이하의 자연수 중에서 $4$로 나누었을 때 나머지가 $1$인 모든 자연수의 합을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 사잇값 정리 및 미분가능성과 접선 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ의 핵심 원리인 (가) 사잇값 정리과 (나) 미분가능성과 접선의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 3-1] (10점) 다항함수 $f(x) = x^3 + 2x - 15$에 대하여 방정식 $f(x) = 0$이 오직 하나의 실근 $\alpha$를 가질 때, $\alpha$가 속하는 구간 $(n, n+1)$의 자연수 $n$을 구하시오.

[문항 3-2] (15점) 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - 5}{x - 2} = 3$을 만족시킬 때, 곡선 $y = x f(x)$ 위의 점 $(2, 2f(2))$에서의 접선의 기울기를 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 대칭구간에서의 정적분 및 방정식의 실근의 개수 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ의 핵심 원리인 (가) 대칭구간에서의 정적분과 (나) 방정식의 실근의 개수의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 4-1] (10점) 정적분 $\int_{-1}^1 (5x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 2x + 1)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (15점) 방정식 $x^3 - 6x^2 + 9x - k = 0$이 서로 다른 두 실근만을 갖도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제4회	문항 1	대수	지수와 대칭식의 값 및 최소	25점	중상
제4회	문항 2	대수	로그방정식의 두 근의 곱 및 등차수열과 배수의 합	25점	상
제4회	문항 3	미적분Ⅰ	사잇값 정리 및 미분가능성과 접선	25점	중상
제4회	문항 4	미적분Ⅰ	대칭구간에서의 정적분 및 방정식의 실근의 개수	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국외국어대학교 수리논술 제4회 출제 원칙 및 합격 전략

한국외국어대학교 자연·AI계열 제4회 (대수·미적분Ⅰ 실전 표준 모의)는 [지수와 대칭식의 값 및 최소], [로그방정식의 두 근의 곱 및 등차수열과 배수의 합], [사잇값 정리 및 미분가능성과 접선], [대칭구간에서의 정적분 및 방정식의 실근의 개수]의 4대문항(각 25점, 총 100점 / 80분)으로 구성되어 있습니다. 학생부 반영 없이 논술 100%로 선발하고 글로벌캠퍼스 전 모집단위는 수능최저가 없으므로, 실수 없는 정확한 계산과 핵심 단계별 논거 명시가 합격의 열쇠입니다.

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 상용로그의 자릿수와 성질 및 삼각형의 외접원과 코사인법칙 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수의 핵심 원리인 (가) 상용로그의 자릿수와 성질과 (나) 삼각형의 외접원과 코사인법칙의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 1-1] (10점) $\log x = 2.6020$이고 $\log 2 = 0.3010$일 때, 양수 $x$의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (15점) 삼각형 $ABC$에서 $\overline{BC} = 2\sqrt{3}$, $\overline{CA} = 2$, $\angle C = \dfrac{\pi}{6}$일 때, 변 $AB$의 길이와 외접원의 반지름의 길이 $R$를 각각 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 분수 꼴 수열의 합 및 등비수열의 부분합 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수의 핵심 원리인 (가) 분수 꼴 수열의 합과 (나) 등비수열의 부분합의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 2-1] (10점) 합 $\sum_{k=1}^{15} \dfrac{1}{k(k + 1)}$의 값을 기약분수로 구하시오.

[문항 2-2] (15점) 첫째항이 $1$이고 공비가 $3$인 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{5} a_{2k-1}$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분Ⅰ — 미분계수의 극한 변형 및 곡선 밖의 점에서 그은 접선 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ의 핵심 원리인 (가) 미분계수의 극한 변형과 (나) 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 3-1] (10점) 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f(1) = 3$, $f'(1) = -2$를 만족시킬 때, 극한 $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 f(1) - f(x^3)}{x - 1}$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (15점) 점 $(0, 2)$에서 곡선 $y = x^3 - 3x + 4$에 그은 접선의 방정식을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 두 곡선으로 둘러싸인 넓이 및 정적분과 극값 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ의 핵심 원리인 (가) 두 곡선으로 둘러싸인 넓이과 (나) 정적분과 극값의 성질을 적용하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 최종 답을 각각 논리적으로 서술하시오.

[문항 4-1] (10점) 두 곡선 $y = x^2 - 3x + 1$과 $y = -x^2 + x + 7$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[문항 4-2] (15점) 함수 $f(x) = \int_0^x (3t^2 - 6t - 9)\,dt$가 $x = a$에서 극솟값 $b$를 가질 때, $a + b$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제5회	문항 1	대수	상용로그의 자릿수와 성질 및 삼각형의 외접원과 코사인법칙	25점	중상
제5회	문항 2	대수	분수 꼴 수열의 합 및 등비수열의 부분합	25점	상
제5회	문항 3	미적분Ⅰ	미분계수의 극한 변형 및 곡선 밖의 점에서 그은 접선	25점	중상
제5회	문항 4	미적분Ⅰ	두 곡선으로 둘러싸인 넓이 및 정적분과 극값	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국외국어대학교 수리논술 제5회 출제 원칙 및 합격 전략

한국외국어대학교 자연·AI계열 제5회 (대수·미적분Ⅰ 실전 표준 모의)는 [상용로그의 자릿수와 성질 및 삼각형의 외접원과 코사인법칙], [분수 꼴 수열의 합 및 등비수열의 부분합], [미분계수의 극한 변형 및 곡선 밖의 점에서 그은 접선], [두 곡선으로 둘러싸인 넓이 및 정적분과 극값]의 4대문항(각 25점, 총 100점 / 80분)으로 구성되어 있습니다. 학생부 반영 없이 논술 100%로 선발하고 글로벌캠퍼스 전 모집단위는 수능최저가 없으므로, 실수 없는 정확한 계산과 핵심 단계별 논거 명시가 합격의 열쇠입니다.

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 · 미적분Ⅰ — 거듭제곱근의 정의와 개수 판별 및 다항함수의 차수 결정과 정수 실근 심화 추론 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

[제시문] 교과서 기반 교육과정의 지수와 로그 · 거듭제곱근의 정의와 개수 판별 및 함수의 극한과 연속 · 다항함수의 차수 결정과 정수 실근 원리를 결합하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 답을 단계별로 서술하시오.

[소문항 1] (12점) $1$보다 큰 실수 $a$에 대하여 자연수 $n$이 $2 \le n \le 9$일 때, $(\log_a n - 1)$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$이라 하자. $\sum_{n=2}^{9} n \cdot f(n) = 56$일 때, $a$의 값을 구하시오.

[소문항 2] (13점) 다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{x+1} \gt 0, \quad \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} \gt 0$

(나) $\lim_{x \to \infty} \frac{|f(x)|}{x^4} = 1$

방정식 $f(x) = 0$의 모든 실근이 정수이고 실근의 합이 4일 때, 모든 실근의 곱을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 등차수열의 합과 절댓값 수열의 부등식 및 구간별 지수함수의 점근선과 정수 격자점 추론 심화 추론 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문] 교과서 기반 교육과정의 수열의 합 · 등차수열의 합과 절댓값 수열의 부등식 및 지수함수 · 구간별 지수함수의 점근선과 정수 격자점 추론 원리를 결합하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 답을 단계별로 서술하시오.

[소문항 1] (12점) 첫째항이 30이고 공차가 정수인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. 수열 $\{T_n\}$을 $T_n = |S_n|$이라 할 때, $T_{10} = T_{11}$이다. $T_n \gt T_{n+1}$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 $m$, 최댓값을 $M$이라 할 때, $m + M$의 값을 구하시오.

[소문항 2] (13점) 상수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를 다음과 같이 정의하자.

$f(x) = \begin{cases} 2^x & (x \lt 3) \\ \left(\frac{1}{5}\right)^{x+a} - \left(\frac{1}{5}\right)^{3+a} + 8 & (x \ge 3) \end{cases}$

함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 점 중 $y$좌표가 정수인 점의 개수가 32일 때, 정수 $a$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수 · 미적분Ⅰ — 구간별 정의된 함수의 연속성과 교점 개수 및 삼각방정식의 실근 개수와 계수의 곱 심화 추론 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[제시문] 교과서 기반 교육과정의 함수의 연속과 도함수 · 구간별 정의된 함수의 연속성과 교점 개수 및 삼각함수 · 삼각방정식의 실근 개수와 계수의 곱 원리를 결합하여 아래 두 소문항의 풀이 과정과 답을 단계별로 서술하시오.

[소문항 1] (12점) 함수 $f(x)$가 다음과 같이 정의된다.

$f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 12x + 8 & (x \lt 0) \\ 2x^2 - 8x + 8 & (x \ge 0) \end{cases}$

정수 $n$과 상수 $a$에 대하여 함수 $g(x)$를 $g(x) = \begin{cases} 2f(x) & (x \lt a) \\ 6n - f(x) & (x \ge a) \end{cases}$라 하자. 함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 $a$의 개수가 4일 때, 모든 정수 $n$의 값의 합을 구하시오.

[소문항 2] (13점) 자연수 $a, b, c$에 대하여 함수 $f(x) = a\sin bx + c$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0) \le 10$

(나) $0 \lt x \lt 2\pi$일 때, 방정식 $f(x) = a^2$의 서로 다른 실근의 개수는 5이다.

$a \times b \times c$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 확률과 통계 — 자연어 AI 분류기의 베이즈 사후확률과 모비율 신뢰구간 추론 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 확률의 뜻과 활용 (DB: PS_Ch02_01) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통02-03]

[제시문]
(가) 두 사건 $A, B$에 대하여 $0 \lt P(A) \lt 1$, $P(B) \gt 0$일 때 $P(A \mid B) = \dfrac{P(A)P(B \mid A)}{P(A)P(B \mid A) + P(A^c)P(B \mid A^c)}$가 성립한다.
(나) 모비율이 $p$인 모집단에서 크기 $n$인 표본을 임의추출하여 얻은 표본비율이 $\hat{p}$일 때, $P(|Z| \le 1.96) = 0.95$에 대하여 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간은 $\left[\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\; \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right]$이다.

[소문항 1] (10점) 다국어 코퍼스 전체 문장 중 전문 번역 검수가 필요한 문장의 비율은 $10\%$이다. AI 필터가 검수 필요 문장을 '검수 대상'으로 분류할 확률은 $0.9$이고, 일반 문장을 '검수 대상'으로 오분류할 확률은 $0.05$이다. 임의로 추출한 문장 $1$개가 '검수 대상'으로 분류되었을 때, 실제로 검수가 필요한 문장일 조건부확률을 구하시오.

[소문항 2] (15점) 대규모 언어 데이터셋에서 크기 $n = 625$인 표본을 임의추출하여 조사한 결과 $225$개 문장이 다중 의미 모호성을 포함하여 표본비율 $\hat{p}$가 관측되었다. 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 $[a, b]$를 구하고, 동일한 $\hat{p}$에서 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이가 $0.04704$ 이하가 되도록 하는 최소 자연수 표본 크기 $m$을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제6회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제6회	문항 1	대수 · 미적분Ⅰ	거듭제곱근의 정의와 개수 판별 및 다항함수의 차수 결정과 정수 실근 심화 추론	25점	상
제6회	문항 2	대수	등차수열의 합과 절댓값 수열의 부등식 및 구간별 지수함수의 점근선과 정수 격자점 추론 심화 추론	25점	상
제6회	문항 3	대수 · 미적분Ⅰ	구간별 정의된 함수의 연속성과 교점 개수 및 삼각방정식의 실근 개수와 계수의 곱 심화 추론	25점	최상
제6회	문항 4	확률과 통계	자연어 AI 분류기의 베이즈 사후확률과 모비율 신뢰구간 추론	25점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국외국어대학교 수리논술 제6회 출제 원칙 및 합격 전략

한국외국어대학교 자연·AI계열 제6회 (자연·AI융합 킬러 TOP 5 심화 모의)는 [거듭제곱근의 정의와 개수 판별 및 다항함수의 차수 결정과 정수 실근 심화 추론], [등차수열의 합과 절댓값 수열의 부등식 및 구간별 지수함수의 점근선과 정수 격자점 추론 심화 추론], [구간별 정의된 함수의 연속성과 교점 개수 및 삼각방정식의 실근 개수와 계수의 곱 심화 추론], [자연어 AI 분류기의 베이즈 사후확률과 모비율 신뢰구간 추론]의 4대문항(각 25점, 총 100점 / 80분)으로 구성되어 있습니다. 학생부 반영 없이 논술 100%로 선발하고 글로벌캠퍼스 전 모집단위는 수능최저가 없으므로, 실수 없는 정확한 계산과 핵심 단계별 논거 명시가 합격의 열쇠입니다.

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 확률과 통계 — 독립시행 이항분포의 정규근사와 표본평균 확률 추론 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 조건부확률 (DB: PS_Ch02_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통02-05, 12확통02-06]

[제시문]
(가) 확률변수 $X$가 이항분포 $\mathrm{B}(n, p)$를 따를 때 $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$이며, $n$이 충분히 크면 근사적으로 정규분포 $\mathrm{N}(np, np(1-p))$를 따른다.
(나) 모평균 $m$, 모표준편차 $\sigma$인 정규분포 모집단에서 크기 $n$인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\overline{X}$는 정규분포 $\mathrm{N}\!\left(m, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$을 따른다. (단, $P(0 \le Z \le 1.5)=0.4332,\; P(0 \le Z \le 2.0)=0.4772$)

[소문항 1] (10점) 매 시행에서 성공 확률이 $p = \dfrac{1}{5}$인 독립시행을 $400$회 반복할 때 성공 횟수를 확률변수 $X$라 하자. 정규분포 근사를 이용하여 $P(68 \le X \le 96)$의 값을 구하시오.

[소문항 2] (15점) 응답 지연 시간이 평균 $m = 50\,\mathrm{ms}$, 표준편차 $\sigma = 12\,\mathrm{ms}$인 정규분포를 따르는 서버에서 크기 $n$인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\overline{X}$가 $P(|\overline{X} - 50| \le 3) \ge 0.9544$를 만족시키도록 하는 최소 자연수 $n$의 값을 구하시오.

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 삼각방정식의 일반해와 포물선 그래프 교점의 개수 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 (삼각함수 · 삼각방정식의 일반해와 포물선 그래프 교점의 개수)의 정의·정리를 바탕으로 조건식을 수립하고 단계별 논증을 통해 최종 결론을 도출하시오. (배점 25점)

실수 $t\; (-6 \le t \le 6)$에 대하여 방정식 $\sin^2(t^2 - 1) + \sin(t^2 - 1) - 1 = 0$을 만족시키는 실수 $t$의 개수를 구하시오. (25점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수 — 로그의 성질, 이진 거듭제곱 전개 및 시그마 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 (로그와 수열 · 로그의 성질, 이진 거듭제곱 전개 및 시그마)의 정의·정리를 바탕으로 조건식을 수립하고 단계별 논증을 통해 최종 결론을 도출하시오. (배점 25점)

$x \gt 1, y \gt 1$인 실수 $x, y$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $3(\log_x y - \log_y x^2)$은 자연수이다.

(나) $\log_x y = 2 + \sum_{n=1}^{100} \frac{a_n}{2^n}$ (단, $a_n \in \{0, 1\}$)

(다) $\log_y x = \sum_{n=1}^{100} \frac{b_n}{2^n}$ (단, $b_n \in \{0, 1\}$)

이때 $\sum_{n=1}^{100} (a_n + b_n)$의 값을 구하시오. (25점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 연속성과 미분가능성의 정의 판별 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ (함수의 극한과 연속, 미분 · 연속성과 미분가능성의 정의 판별)의 정의·정리를 바탕으로 조건식을 수립하고 단계별 논증을 통해 최종 결론을 도출하시오. (배점 25점)

실수 전체에서 정의된 함수 $f(x)$에 대하여 다음과 같이 정의하자.

$\langle f(x) \rangle = \begin{cases} 1 & (f(x)\text{가 } x=0\text{에서 미분가능}) \\ 0 & (f(x)\text{가 } x=0\text{에서 연속이지만 미분불가}) \\ -1 & (f(x)\text{가 } x=0\text{에서 불연속}) \end{cases}$

자연수 $n$에 대하여 $f_n(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x^n(1+|x|)} & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$일 때, $\sum_{n=1}^{100} \langle f_n(x) \rangle$의 값을 구하시오. (25점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제7회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제7회	문항 1	확률과 통계	독립시행 이항분포의 정규근사와 표본평균 확률 추론	25점	상
제7회	문항 2	대수	삼각방정식의 일반해와 포물선 그래프 교점의 개수	25점	상
제7회	문항 3	대수	로그의 성질, 이진 거듭제곱 전개 및 시그마	25점	최상
제7회	문항 4	미적분Ⅰ	연속성과 미분가능성의 정의 판별	25점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국외국어대학교 수리논술 제7회 출제 원칙 및 합격 전략

한국외국어대학교 자연·AI계열 제7회 (자연·AI융합 킬러 TOP 5 심화 모의)는 [독립시행 이항분포의 정규근사와 표본평균 확률 추론], [삼각방정식의 일반해와 포물선 그래프 교점의 개수], [로그의 성질, 이진 거듭제곱 전개 및 시그마], [연속성과 미분가능성의 정의 판별]의 4대문항(각 25점, 총 100점 / 80분)으로 구성되어 있습니다. 학생부 반영 없이 논술 100%로 선발하고 글로벌캠퍼스 전 모집단위는 수능최저가 없으므로, 실수 없는 정확한 계산과 핵심 단계별 논거 명시가 합격의 열쇠입니다.

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 이차부등식과 판별식 및 코사인 함수 범위 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 (삼각함수 · 이차부등식과 판별식 및 코사인 함수 범위)의 정의·정리를 바탕으로 조건식을 수립하고 단계별 논증을 통해 최종 결론을 도출하시오. (배점 25점)

모든 실수 $x$에 대하여 이차부등식 $x^2 - (4\cos\theta)x + 1 \ge 0$이 성립하도록 하는 $\theta$의 값의 범위가 $\alpha \le \theta \le \beta$일 때, $\alpha + \beta$의 값을 구하시오. (단, $0 \le \theta \le \pi$이다.) (25점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ — 최솟값 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ (미분 · 두 점 사이의 거리와 사차함수 최댓값·최솟값)의 정의·정리를 바탕으로 조건식을 수립하고 단계별 논증을 통해 최종 결론을 도출하시오. (배점 25점)

점 $\mathrm{P}(0, 3)$과 곡선 $y = \frac{x^2}{4}\; (-1 \le x \le 3)$ 위의 점 $\mathrm{Q}$에 대하여, 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이의 최댓값을 $a$, 최솟값을 $b$라고 할 때, $a^2 \times b^2$의 값을 구하시오. (25점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수 — 지수방정식과 거듭제곱수의 자연수 조건 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-05]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 (지수함수와 로그함수 · 지수방정식과 거듭제곱수의 자연수 조건)의 정의·정리를 바탕으로 조건식을 수립하고 단계별 논증을 통해 최종 결론을 도출하시오. (배점 25점)

자연수 $n$에 대하여 $4^r - 2^{r + \frac{n}{10}} = -1$을 만족시키는 실수 $r$이 존재한다. $4^r + 4^{-r}$이 자연수가 되도록 하는 모든 $n$의 값의 합을 구하시오. (25점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 대수 — 상용로그 정수부분과 소수부분와 유리함수 위의 점 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 (지수함수와 로그함수 · 상용로그 정수부분과 소수부분와 유리함수 위의 점)의 정의·정리를 바탕으로 조건식을 수립하고 단계별 논증을 통해 최종 결론을 도출하시오. (배점 25점)

자연수 $m, n$과 $0 \lt \alpha \lt 1, 0 \lt \beta \lt 1$인 실수 $\alpha, \beta$에 대하여 $\log a = m + \alpha, \; \log b = n + \beta$이다.

(가) 점 $\mathrm{P}(m, n)$은 곡선 $y = \frac{18}{x}$ 위의 점이다.

(나) 점 $\mathrm{Q}(\alpha, \beta)$는 직선 $y = -x + 1$ 위의 점이다.

$ab$의 최댓값과 최솟값의 곱을 $10^k$이라 할 때, 상수 $k$의 값을 구하시오. (25점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제8회	문항 1	대수	이차부등식과 판별식 및 코사인 함수 범위	25점	상
제8회	문항 2	미적분Ⅰ	최솟값	25점	상
제8회	문항 3	대수	지수방정식과 거듭제곱수의 자연수 조건	25점	최상
제8회	문항 4	대수	상용로그 정수부분과 소수부분와 유리함수 위의 점	25점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국외국어대학교 수리논술 제8회 출제 원칙 및 합격 전략

한국외국어대학교 자연·AI계열 제8회 (자연·AI융합 킬러 TOP 5 심화 모의)는 [이차부등식과 판별식 및 코사인 함수 범위], [최솟값], [지수방정식과 거듭제곱수의 자연수 조건], [상용로그 정수부분과 소수부분와 유리함수 위의 점]의 4대문항(각 25점, 총 100점 / 80분)으로 구성되어 있습니다. 학생부 반영 없이 논술 100%로 선발하고 글로벌캠퍼스 전 모집단위는 수능최저가 없으므로, 실수 없는 정확한 계산과 핵심 단계별 논거 명시가 합격의 열쇠입니다.

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 · 미적분Ⅰ — 정적분의 구간 성질과 등비수열의 공비 추론 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 · 미적분Ⅰ (수열, 적분 · 정적분의 구간 성질과 등비수열의 공비 추론)의 정의·정리를 바탕으로 조건식을 수립하고 단계별 논증을 통해 최종 결론을 도출하시오. (배점 25점)

연속함수 $f(x)$에 대하여 수열 $\{a_n\}$을 $a_n = \int_0^n f(x) dx$라 하자. 수열 $\{a_n\}$이 등비수열이고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\int_0^1 f(x) dx \lt 0$

(나) $\int_{2020}^{2024} f(x) dx = 130$

(다) $\int_{2022}^{2024} f(x) dx = 90$

이때 수열 $\{a_n\}$의 공비를 구하시오. (25점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수 — 새로운 연산 ⊙과 구간별 삼각방정식 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 (삼각함수 · 새로운 연산 ⊙과 구간별 삼각방정식)의 정의·정리를 바탕으로 조건식을 수립하고 단계별 논증을 통해 최종 결론을 도출하시오. (배점 25점)

실수 $a, b$에 대하여 연산 $\odot$을 $a \odot b = \begin{cases} a - b & (a \ge b) \\ 0 & (a \lt b) \end{cases}$라 정의하자. $\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$일 때, $(\sin\theta \odot \cos\theta) + (\cos\theta \odot (1 - \cos\theta)) = \sin\theta$를 만족시키는 $\theta$의 값을 구하시오. (25점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수 — 이차방정식의 근과 계수의 관계 및 삼각함수 기본 공식 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 (삼각함수 · 이차방정식의 근과 계수의 관계 및 삼각함수 기본 공식)의 정의·정리를 바탕으로 조건식을 수립하고 단계별 논증을 통해 최종 결론을 도출하시오. (배점 25점)

$x$에 대한 이차방정식 $x^2 - 3x + 1 = 0$의 한 근이 $\tan\theta$일 때, $\sin\theta \times \cos\theta$의 값을 구하시오. (단, $\theta$는 $0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$인 상수이다.) (25점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분Ⅰ — 점과 직선 사이의 거리와 원 위의 점의 극한 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ (함수의 극한, 원의 성질 · 점과 직선 사이의 거리와 원 위의 점의 극한)의 정의·정리를 바탕으로 조건식을 수립하고 단계별 논증을 통해 최종 결론을 도출하시오. (배점 25점)

원 $x^2 + y^2 = r^2$ 위의 점과 직선 $y = -rx + 2r$ 사이의 거리의 최댓값과 최솟값을 각각 $M(r)$과 $m(r)$이라고 할 때, $\lim_{r \to 0^+} \frac{M(r)}{m(r)}$의 값을 구하시오. (단, $0 \lt r \lt \sqrt{3}$이다.) (25점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제9회	문항 1	대수 · 미적분Ⅰ	정적분의 구간 성질과 등비수열의 공비 추론	25점	상
제9회	문항 2	대수	새로운 연산 ⊙과 구간별 삼각방정식	25점	상
제9회	문항 3	대수	이차방정식의 근과 계수의 관계 및 삼각함수 기본 공식	25점	최상
제9회	문항 4	미적분Ⅰ	점과 직선 사이의 거리와 원 위의 점의 극한	25점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국외국어대학교 수리논술 제9회 출제 원칙 및 합격 전략

한국외국어대학교 자연·AI계열 제9회 (자연·AI융합 킬러 TOP 5 심화 모의)는 [정적분의 구간 성질과 등비수열의 공비 추론], [새로운 연산 ⊙과 구간별 삼각방정식], [이차방정식의 근과 계수의 관계 및 삼각함수 기본 공식], [점과 직선 사이의 거리와 원 위의 점의 극한]의 4대문항(각 25점, 총 100점 / 80분)으로 구성되어 있습니다. 학생부 반영 없이 논술 100%로 선발하고 글로벌캠퍼스 전 모집단위는 수능최저가 없으므로, 실수 없는 정확한 계산과 핵심 단계별 논거 명시가 합격의 열쇠입니다.

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 대수 — 기하 평균 부등식 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 (지수와 로그 · 거듭제곱근의 밑변환과 산술·기하 평균 부등식)의 정의·정리를 바탕으로 조건식을 수립하고 단계별 논증을 통해 최종 결론을 도출하시오. (배점 25점)

상수 $a, b, c$가 다음 조건을 모두 만족한다.

(가) $a \gt 0, b \gt 0, c \gt 0$

(나) $\sqrt{a} = \sqrt[3]{b} = \sqrt[5]{c}$

(다) $\log_3 \frac{bc}{a} = 3$

$1$보다 큰 두 실수 $m$과 $n$이 $\log_3 a \times \log_m b \times \log_n c = 1$을 만족할 때, $\log_3 mn$의 최솟값과 그 때의 $\log_3 m$과 $\log_3 n$의 값을 구하시오. (25점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분Ⅰ — 사차함수의 접선과 두 교점의 근과 계수의 관계 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ (도함수의 활용 · 사차함수의 접선과 두 교점의 근과 계수의 관계)의 정의·정리를 바탕으로 조건식을 수립하고 단계별 논증을 통해 최종 결론을 도출하시오. (배점 25점)

곡선 $y = x^4 + 3x^3$ 위의 점 $\mathrm{P}(-1, -2)$에서의 접선은 점 $\mathrm{P}$가 아닌 두 점 $\mathrm{Q}$와 $\mathrm{R}$에서 이 곡선과 만난다. 두 점 $\mathrm{Q}$와 $\mathrm{R}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha$와 $\beta$라고 할 때, $\alpha^2 + \beta^2$의 값을 구하시오. (25점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수 — 수열의 합과 일반항의 관계 및 등차수열의 합 성질 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 (수열의 합 · 수열의 합과 일반항의 관계 및 등차수열의 합 성질)의 정의·정리를 바탕으로 조건식을 수립하고 단계별 논증을 통해 최종 결론을 도출하시오. (배점 25점)

수열 $\{a_n\}$이 다음을 모두 만족한다.

(가) $\sum_{k=1}^n a_k = pn^2 + 20n$ (단, $p$는 상수이다.)

(나) $a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = 24$

이 때, $a_2 + a_4 + a_6 + a_8$의 값을 구하시오. (25점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 80분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 대수 — 등비수열의 합과 지수 감소 모델링 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]

[제시문] 교과서 기반 교육과정 대수 (등차수열과 등비수열, 지수함수 · 등비수열의 합과 지수 감소 모델링)의 정의·정리를 바탕으로 조건식을 수립하고 단계별 논증을 통해 최종 결론을 도출하시오. (배점 25점)

다음은 신종 바이러스에 대처하기 위해 개발된 백신에 대한 설명이다.

(가) 최초 백신 접종 전 이 신종 바이러스에 대한 면역력은 0이다.

(나) 최초 백신 접종 후 1년마다 1회씩 주기적으로 접종한다.

(다) 새롭게 백신을 접종하는 즉시 면역력은 $A$만큼 증가한다. (단, $A \gt 0$이다.)

(라) 새롭게 접종한 백신에 의한 면역력은 접종 후 $t$년이 경과한 시점에 $A \times (1/2)^t$이 된다. (단, $t \gt 0$이다.)

(마) 백신을 여러 차례 접종한 경우, 총 면역력은 그간 접종한 각 백신에 의한 면역력을 모두 더한 값이다.

수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$은 각각 $n$차 접종 직전의 총 면역력과 접종 직후의 총 면역력이다. 이 백신을 몇 회 접종한 이후부터 총 면역력이 $A \times 0.8$ 이상으로 계속 유지되는지 밝히시오. (12점) (25점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 80분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제10회	문항 1	대수	기하 평균 부등식	25점	상
제10회	문항 2	미적분Ⅰ	사차함수의 접선과 두 교점의 근과 계수의 관계	25점	상
제10회	문항 3	대수	수열의 합과 일반항의 관계 및 등차수열의 합 성질	25점	최상
제10회	문항 4	대수	등비수열의 합과 지수 감소 모델링	25점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국외국어대학교 수리논술 제10회 출제 원칙 및 합격 전략

한국외국어대학교 자연·AI계열 제10회 (자연·AI융합 킬러 TOP 5 심화 모의)는 [기하 평균 부등식], [사차함수의 접선과 두 교점의 근과 계수의 관계], [수열의 합과 일반항의 관계 및 등차수열의 합 성질], [등비수열의 합과 지수 감소 모델링]의 4대문항(각 25점, 총 100점 / 80분)으로 구성되어 있습니다. 학생부 반영 없이 논술 100%로 선발하고 글로벌캠퍼스 전 모집단위는 수능최저가 없으므로, 실수 없는 정확한 계산과 핵심 단계별 논거 명시가 합격의 열쇠입니다.

PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS

실전 모의고사 1회 ~ 10회
문제 · 모범답안 · 채점 루브릭 합본 해설집

시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 40문항 전체 원문 요약과 단계별 모범답안·루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.

🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능

⚡ 단계별 채점 기준표 완비: 소문항·단계별 부분점수 배점표를 통해 정밀한 자가 채점 지원

👨‍🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭

【문제 1】 원문 요약 — 지수법칙과 거듭제곱근 및 삼각함수의 정의와 사분면 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문항 1-1] (10점) 양수 $a, b$가 $a^3 = 16$, $b^6 = 27$을 만족시킬 때, $\left(a^{1/2} b\right)^3$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 1 · 총 25점

【소문항 1-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 지수법칙에 의하여 $\left(a^{1/2} b\right)^3 = a^{3/2} b^3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $a^3 = 16$이고 $a \gt 0$이므로 $a^{3/2} = \sqrt{16} = 4$이고, $b^6 = 27$이고 $b \gt 0$이므로 $b^3 = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 값은 $4 \cdot 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$이다.

【소문항 1-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 원점과 점 $P(-5, 12)$ 사이의 거리는 $r = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 삼각함수의 정의에 의하여 $\sin\theta = \dfrac{12}{13}$, $\cos\theta = -\dfrac{5}{13}$, $\tan\theta = -\dfrac{12}{5}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 주어진 식에 대입하면 $13\left(\dfrac{12}{13} + \dfrac{5}{13}\right) + 5\left(-\dfrac{12}{5}\right) = 17 - 12 = 5$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	지수법칙과 거듭제곱근 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [1-2] (전반)	삼각함수의 정의와 사분면 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [1-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 한국외대 80분 시간 배분 클리닉: 대문항 1번(25점)은 20분 이내에 완결해야 합니다. [1-1](10점)을 7분 내에 정확히 마무리해 기본 점수를 확보한 뒤, [1-2](15점)의 조건식과 정의역을 꼼꼼히 서술하십시오.

[1-1]$12\sqrt{3}$ | [1-2] $5$

【문제 2】 원문 요약 — 로그함수의 성질과 정점 및 등차수열의 합과 조건 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 2 · 총 25점

【소문항 2-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 로그함수 $y = \log_a X + 4$는 밑 $a$의 값에 관계없이 진수 $X = 1$일 때 $\log_a 1 = 0$이 된다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 따라서 $2x - 5 = 1$에서 $x = 3$이므로 $p = 3$이고, 이때 $y = 0 + 4 = 4$이므로 $q = 4$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 정점의 좌표는 $(3, 4)$이므로 $p \cdot q = 12$이다.

【소문항 2-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $S_3 = \dfrac{3(2a_1 + 2d)}{2} = 3(a_1 + d) = 18$에서 $a_1 + d = 6$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $S_6 = \dfrac{6(2a_1 + 5d)}{2} = 3(2a_1 + 5d) = 72$에서 $2a_1 + 5d = 24$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 두 식을 연립하면 $3d = 12 \implies d = 4$이고, $a_1 = 6 - 4 = 2$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	로그함수의 성질과 정점 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [2-2] (전반)	등차수열의 합과 조건 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [2-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 한국외대 80분 시간 배분 클리닉: 대문항 2번(25점)은 20분 이내에 완결해야 합니다. [2-1](10점)을 7분 내에 정확히 마무리해 기본 점수를 확보한 뒤, [2-2](15점)의 조건식과 정의역을 꼼꼼히 서술하십시오.

[2-1]$12$ | [2-2] $a_1 = 2, \; d = 4$

【문제 3】 원문 요약 — 함수의 극한과 미정계수 및 접선의 방정식 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문항 3-1] (10점) 극한 $\lim_{x \to 4} \dfrac{x - 4}{\sqrt{x + 5} - a} = b$를 만족시키는 두 상수 $a, b$에 대하여 $a + b$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (15점) 곡선 $y = x^3 - 5x + 3$ 위의 점 $(-1, 7)$에서의 접선이 점 $(k, -1)$을 지날 때, 실수 $k$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 3 · 총 25점

【소문항 3-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x \to 4$일 때 분자가 $0$이고 극한값 $b$가 존재하므로 분모도 $0$으로 수렴하여 $\sqrt{9} - a = 0 \implies a = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 분모를 유리화하면 $\lim_{x \to 4} \dfrac{(x - 4)(\sqrt{x + 5} + 3)}{(x + 5) - 9} = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x + 5} + 3) = 6 = b$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $a + b = 3 + 6 = 9$이다.

【소문항 3-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $y' = 3x^2 - 5$에서 $x = -1$일 때 접선의 기울기는 $3(-1)^2 - 5 = -2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 점 $(-1, 7)$에서의 접선의 방정식은 $y - 7 = -2(x + 1)$, 즉 $y = -2x + 5$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 이 직선이 점 $(k, -1)$을 지나므로 $-1 = -2k + 5 \implies k = 3$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	함수의 극한과 미정계수 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [3-2] (전반)	접선의 방정식 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [3-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 한국외대 80분 시간 배분 클리닉: 대문항 3번(25점)은 20분 이내에 완결해야 합니다. [3-1](10점)을 7분 내에 정확히 마무리해 기본 점수를 확보한 뒤, [3-2](15점)의 조건식과 정의역을 꼼꼼히 서술하십시오.

[3-1]$9$ | [3-2] $k = 3$

【문제 4】 원문 요약 — 미분계수와 다항함수의 도함수 및 정적분과 넓이 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문항 4-1] (10점) 사차함수 $f(x) = x^4 - 2x^3 + ax^2 - 5$가 $f'(1) = 4$를 만족시킬 때, $f'(-1)$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (15점) 포물선 $y = -x^2 + 2x + 3$과 직선 $y = -x + 3$으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 4 · 총 25점

【소문항 4-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 도함수를 구하면 $f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2ax$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $f'(1) = 4 - 6 + 2a = 4$에서 $2a = 6 \implies a = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 6x$이므로 $f'(-1) = -4 - 6 - 6 = -16$이다.

【소문항 4-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 교점 방정식 $-x^2 + 2x + 3 = -x + 3 \iff x(x - 3) = 0$에서 두 교점의 $x$좌표는 $0, \; 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 포물선과 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 $S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $S = \dfrac{1}{6}(3 - 0)^3 = \dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	미분계수와 다항함수의 도함수 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [4-2] (전반)	정적분과 넓이 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [4-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

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💡 한국외대 80분 시간 배분 클리닉: 대문항 4번(25점)은 20분 이내에 완결해야 합니다. [4-1](10점)을 7분 내에 정확히 마무리해 기본 점수를 확보한 뒤, [4-2](15점)의 조건식과 정의역을 꼼꼼히 서술하십시오.

[4-1]$-16$ | [4-2] $\dfrac{9}{2}$

【문제 1】 원문 요약 — 로그의 밑변환과 거듭제곱 및 코사인법칙과 외접원의 반지름 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문항 1-1] (10점) 세 수 $A = \log_3 8$, $B = \log_2 9$, $C = \log_5 25$에 대하여 $A \cdot B + C$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 1 · 총 25점

【소문항 1-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 로그의 성질에 의하여 $A = 3\log_3 2$, $B = 2\log_2 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 밑변환 공식에 의하여 $A \cdot B = 6 \log_3 2 \cdot \log_2 3 = 6$이고, $C = \log_5 5^2 = 2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $A \cdot B + C = 6 + 2 = 8$이다.

【소문항 1-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 코사인법칙에 의하여 $\overline{BC}^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos\dfrac{2\pi}{3} = 9 + 25 + 15 = 49$이므로 $\overline{BC} = 7$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 삼각형의 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}\overline{AB}\cdot\overline{AC}\sin A$를 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $S = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	로그의 밑변환과 거듭제곱 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [1-2] (전반)	코사인법칙과 외접원의 반지름 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [1-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

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[1-1]$8$ | [1-2] $\overline{BC} = 7, \; S = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}$

【문제 2】 원문 요약 — 거듭제곱의 합과 시그마 및 등비중항과 등비수열 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문항 2-1] (10점) 합 $\sum_{k=1}^{7} (3k^2 - k + 2)$의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (15점) 공비가 양수인 등비수열 $\{a_n\}$에서 $a_1 a_5 = 36$, $a_2 = 2$일 때, 공비 $r$와 제$6$항 $a_6$의 값을 각각 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 2 · 총 25점

【소문항 2-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 거듭제곱의 합 공식 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$를 적용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $n = 7$을 대입하면 $3 \cdot \dfrac{7 \cdot 8 \cdot 15}{6} - \dfrac{7 \cdot 8}{2} + 2 \cdot 7$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $420 - 28 + 14 = 406$이다.

【소문항 2-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 등비중항 성질에 의하여 $a_1 a_5 = a_3^2 = 36$이고 모든 항이 양수이므로 $a_3 = 6$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 공비는 $r = \dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{6}{2} = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 제$6$항은 $a_6 = a_3 r^3 = 6 \cdot 27 = 162$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	거듭제곱의 합과 시그마 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [2-2] (전반)	등비중항과 등비수열 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [2-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

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[2-1]$406$ | [2-2] $r = 3, \; a_6 = 162$

【문제 3】 원문 요약 — 함수의 연속성 조건 및 삼차함수의 극값과 그래프 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문항 3-2] (15점) 삼차함수 $f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$의 차 $M - m$을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 3 · 총 25점

【소문항 3-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x \ne -2$일 때 $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$로 인수분해된다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x = -2$에서 연속이려면 $k = \lim_{x \to -2} \dfrac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{x + 2} = \lim_{x \to -2} (x^2 - 2x + 4)$이어야 한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $x = -2$를 대입하면 $k = 4 + 4 + 4 = 12$이다.

【소문항 3-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 도함수 $f'(x) = 6x^2 - 12x - 18 = 6(x + 1)(x - 3) = 0$에서 극점의 $x$좌표는 $-1, \; 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 극댓값은 $M = f(-1) = -2 - 6 + 18 + 7 = 17$이고, 극솟값은 $m = f(3) = 54 - 54 - 54 + 7 = -47$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $M - m = 17 - (-47) = 64$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	함수의 연속성 조건 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [3-2] (전반)	삼차함수의 극값과 그래프 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [3-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[3-1]$12$ | [3-2] $64$

【문제 4】 원문 요약 — 정적분으로 정의된 함수의 미분 및 부정적분과 함숫값 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문항 4-1] (10점) 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_1^x f(t)\,dt = 2x^3 - 5x^2 + ax - 1$을 만족시킬 때, $a + f(2)$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (15점) 다항함수 $f(x)$의 도함수가 $f'(x) = 4x^3 - 6x + 2$이고 $f(1) = 5$일 때, $f(-2)$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 4 · 총 25점

【소문항 4-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 양변에 $x = 1$을 대입하면 $0 = 2 - 5 + a - 1$에서 $a = 4$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 6x^2 - 10x + 4$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $f(2) = 24 - 20 + 4 = 8$이므로 $a + f(2) = 4 + 8 = 12$이다.

【소문항 4-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f'(x)$를 적분하면 $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x + C$ (단, $C$는 적분상수)이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $f(1) = 1 - 3 + 2 + C = 5$에서 $C = 5$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x + 5$이므로 $f(-2) = 16 - 12 - 4 + 5 = 5$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	정적분으로 정의된 함수의 미분 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [4-2] (전반)	부정적분과 함숫값 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [4-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

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[4-1]$12$ | [4-2] $5$

【문제 1】 원문 요약 — 최소 및 사인법칙과 삼각형의 변의 비 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문항 1-1] (10점) 닫힌구간 $[-1, 2]$에서 함수 $f(x) = 3^{2 - x} - 5$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (15점) 삼각형 $ABC$에서 $\sin A : \sin B : \sin C = 4 : 5 : 6$일 때, $\cos A$의 값을 기약분수로 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 1 · 총 25점

【소문항 1-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $f(x) = 9 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^x - 5$는 밑이 $\dfrac{1}{3} \lt 1$이므로 실수 전체에서 감소함수이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 따라서 구간 $[-1, 2]$에서 $x = -1$일 때 최댓값 $M = 3^3 - 5 = 22$를 갖는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $x = 2$일 때 최솟값 $m = 3^0 - 5 = -4$를 갖는다.

【소문항 1-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 사인법칙에 의하여 세 변의 길이의 비는 $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 4 : 5 : 6$이므로 $a = 4k, \; b = 5k, \; c = 6k$ ($k \gt 0$)로 놓는다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 코사인법칙에 의하여 $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{25 + 36 - 16}{2 \cdot 5 \cdot 6}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 분자와 분모를 정리하면 $\cos A = \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	최소 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [1-2] (전반)	사인법칙과 삼각형의 변의 비 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [1-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[1-1]$M = 22, \; m = -4$ | [1-2] $\dfrac{3}{4}$

【문제 2】 원문 요약 — 삼각방정식 및 귀납적으로 정의된 수열 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문항 2-2] (15점) 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 5$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} - a_n = 4n - 3$을 만족시킬 때, $a_9$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 2 · 총 25점

【소문항 2-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $\tan x = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$을 만족시키는 $x \in [0, 2\pi)$는 제$2$사분면과 제$4$사분면의 각이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 따라서 $\alpha = \dfrac{5\pi}{6}$, $\beta = \dfrac{11\pi}{6}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $\beta - \alpha = \pi$이고, $\alpha + \beta = \dfrac{16\pi}{6} = \dfrac{8\pi}{3}$이다.

【소문항 2-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 계차 관계식에 의하여 $a_9 = a_1 + \sum_{k=1}^{8} (4k - 3)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\sum_{k=1}^{8} (4k - 3) = 4 \cdot \dfrac{8 \cdot 9}{2} - 3 \cdot 8 = 144 - 24 = 120$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $a_9 = 5 + 120 = 125$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	삼각방정식 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [2-2] (전반)	귀납적으로 정의된 수열 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [2-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[2-1]$\beta - \alpha = \pi, \; \alpha + \beta = \dfrac{8\pi}{3}$ | [2-2] $125$

【문제 3】 원문 요약 — 무한대 극한과 다항함수 및 평균값 정리 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문항 3-1] (10점) 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -3$, $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 7$을 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (15점) 함수 $f(x) = x^3 - 6x$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 3 · 총 25점

【소문항 3-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 무한대 극한으로부터 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b$로 놓을 수 있다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 7$에서 $f(0) = b = 0$이고 $f'(0) = a = 7$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 7x$이므로 $f(2) = 16 - 12 + 14 = 18$이다.

【소문항 3-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 구간 $[0, 3]$에서의 평균변화율은 $\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{(27 - 18) - 0}{3} = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $f'(x) = 3x^2 - 6$이므로 평균값 정리 조건 $f'(c) = 3c^2 - 6 = 3$을 세운다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $c^2 = 3$이고 $c \in (0, 3)$이므로 $c = \sqrt{3}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	무한대 극한과 다항함수 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [3-2] (전반)	평균값 정리 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [3-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[3-1]$18$ | [3-2] $\sqrt{3}$

【문제 4】 원문 요약 — 곡선과 x축으로 둘러싸인 넓이 및 사차함수의 최솟값 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문항 4-1] (10점) 삼차곡선 $y = x(x - 1)(x - 3)$과 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합 $S$를 구하시오.

[문항 4-2] (15점) 사차함수 $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 20$의 실수 전체의 집합에서의 최솟값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 4 · 총 25점

【소문항 4-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $y = x^3 - 4x^2 + 3x$는 $[0, 1]$에서 양수이고 $[1, 3]$에서 음수이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\int_0^1 (x^3 - 4x^2 + 3x)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{4}{3}x^3 + \dfrac{3}{2}x^2\right]_0^1 = \dfrac{5}{12}$이고, $\int_1^3 (-x^3 + 4x^2 - 3x)\,dx = \dfrac{8}{3}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 두 넓이의 합은 $S = \dfrac{5}{12} + \dfrac{32}{12} = \dfrac{37}{12}$이다.

【소문항 4-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 도함수 $f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x + 1)(x - 2) = 0$에서 극점의 $x$좌표는 $-1, \; 0, \; 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 극솟값 후보를 비교하면 $f(-1) = 3 + 4 - 12 + 20 = 15$이고, $f(2) = 48 - 32 - 48 + 20 = -12$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 실수 전체에서의 최솟값은 $-12$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	곡선과 x축으로 둘러싸인 넓이 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [4-2] (전반)	사차함수의 최솟값 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [4-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

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[4-1]$\dfrac{37}{12}$ | [4-2] $-12$

【문제 1】 원문 요약 — 지수와 대칭식의 값 및 최소 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문항 1-1] (10점) 양수 $x$가 $x + x^{-1} = 7$을 만족시킬 때, $x^{1/2} + x^{-1/2}$와 $x^{3/2} + x^{-3/2}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (15점) 함수 $f(x) = 3\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) + 2$의 주기를 $p$, 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $p + M - m$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 1 · 총 25점

【소문항 1-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $\left(x^{1/2} + x^{-1/2}\right)^2 = x + x^{-1} + 2 = 7 + 2 = 9$이고 $x \gt 0$이므로 $x^{1/2} + x^{-1/2} = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 곱셈 공식 $x^{3/2} + x^{-3/2} = \left(x^{1/2} + x^{-1/2}\right)^3 - 3\left(x^{1/2} + x^{-1/2}\right)$를 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $3^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18$이다.

【소문항 1-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 주기 공식에 의하여 $p = \dfrac{2\pi}{\pi/2} = 4$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $-1 \le \sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) \le 1$이므로 최댓값은 $M = 3 + 2 = 5$, 최솟값은 $m = -3 + 2 = -1$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $p + M - m = 4 + 5 - (-1) = 10$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	지수와 대칭식의 값 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [1-2] (전반)	최소 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [1-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

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[1-1]$3, \; 18$ | [1-2] $10$

【문제 2】 원문 요약 — 로그방정식의 두 근의 곱 및 등차수열과 배수의 합 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문항 2-1] (10점) 방정식 $(\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 1 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha\beta$의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (15점) $10$ 이상 $100$ 이하의 자연수 중에서 $4$로 나누었을 때 나머지가 $1$인 모든 자연수의 합을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 2 · 총 25점

【소문항 2-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $t = \log_3 x$로 치환하면 이차방정식 $t^2 - 4t + 1 = 0$의 두 실근은 $t_1 = \log_3 \alpha$, $t_2 = \log_3 \beta$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $t_1 + t_2 = \log_3 \alpha + \log_3 \beta = \log_3(\alpha\beta) = 4$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $\alpha\beta = 3^4 = 81$이다.

【소문항 2-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $4$로 나누어 나머지가 $1$인 수는 $4k + 1$ ($k$는 정수) 꼴이며, $10 \le 4k + 1 \le 100$에서 $3 \le k \le 24$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 항의 개수는 $24 - 3 + 1 = 22$개이고, 첫째항은 $13$, 끝항은 $97$인 등차수열이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 구하는 합은 $\dfrac{22(13 + 97)}{2} = 11 \cdot 110 = 1210$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	로그방정식의 두 근의 곱 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [2-2] (전반)	등차수열과 배수의 합 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [2-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

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[2-1]$81$ | [2-2] $1210$

【문제 3】 원문 요약 — 사잇값 정리 및 미분가능성과 접선 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 3 · 총 25점

【소문항 3-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 도함수 $f'(x) = 3x^2 + 2 \gt 0$이므로 $f(x)$는 실수 전체에서 연속이고 단조증가한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $f(1) = -12 \lt 0$, $f(2) = 8 + 4 - 15 = -3 \lt 0$, $f(3) = 27 + 6 - 15 = 18 \gt 0$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $f(2)f(3) \lt 0$이므로 사잇값 정리에 의하여 실근 $\alpha$는 열린구간 $(2, 3)$에 속하며 $n = 2$이다.

【소문항 3-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 극한 조건으로부터 $f(2) = 5$이고 $f'(2) = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $g(x) = x f(x)$라 하면 곱의 미분법에 의하여 $g'(x) = f(x) + x f'(x)$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $x = 2$를 대입하면 접선의 기울기는 $g'(2) = f(2) + 2f'(2) = 5 + 2(3) = 11$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	사잇값 정리 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [3-2] (전반)	미분가능성과 접선 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [3-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[3-1]$n = 2$ | [3-2] $11$

【문제 4】 원문 요약 — 대칭구간에서의 정적분 및 방정식의 실근의 개수 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문항 4-1] (10점) 정적분 $\int_{-1}^1 (5x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 2x + 1)\,dx$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (15점) 방정식 $x^3 - 6x^2 + 9x - k = 0$이 서로 다른 두 실근만을 갖도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 4 · 총 25점

【소문항 4-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 대칭구간 $[-1, 1]$에서 기함수 항 $-3x^3 - 2x$의 정적분은 $0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 우함수 성질에 의하여 $2\int_0^1 (5x^4 + 6x^2 + 1)\,dx = 2\left[x^5 + 2x^3 + x\right]_0^1$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $2(1 + 2 + 1) = 8$이다.

【소문항 4-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$라 하면 $f'(x) = 3(x - 1)(x - 3) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 두 실근(한 중근과 한 단근)을 가지려면 $k$가 극댓값 또는 극솟값이어야 한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 극댓값 $f(1) = 4$, 극솟값 $f(3) = 0$이므로 가능한 $k$의 값의 합은 $4 + 0 = 4$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	대칭구간에서의 정적분 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [4-2] (전반)	방정식의 실근의 개수 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [4-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[4-1]$8$ | [4-2] $4$

【문제 1】 원문 요약 — 상용로그의 자릿수와 성질 및 삼각형의 외접원과 코사인법칙 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문항 1-1] (10점) $\log x = 2.6020$이고 $\log 2 = 0.3010$일 때, 양수 $x$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 1 · 총 25점

【소문항 1-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $0.6020 = 2 \times 0.3010 = 2\log 2 = \log 4$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 따라서 $\log x = 2 + \log 4 = \log 100 + \log 4 = \log 400$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 상용로그의 일대일 대응에 의하여 $x = 400$이다.

【소문항 1-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 코사인법칙에 의하여 $\overline{AB}^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2 \cos\dfrac{\pi}{6} = 12 + 4 - 12 = 4$이므로 $\overline{AB} = 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 사인법칙 $2R = \dfrac{\overline{AB}}{\sin C}$에 $\overline{AB} = 2, \; \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$을 대입한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $2R = 4$에서 외접원의 반지름의 길이는 $R = 2$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1-1]	상용로그의 자릿수와 성질 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [1-2] (전반)	삼각형의 외접원과 코사인법칙 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [1-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[1-1]$x = 400$ | [1-2] $\overline{AB} = 2, \; R = 2$

【문제 2】 원문 요약 — 분수 꼴 수열의 합 및 등비수열의 부분합 [배점 25점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문항 2-1] (10점) 합 $\sum_{k=1}^{15} \dfrac{1}{k(k + 1)}$의 값을 기약분수로 구하시오.

[문항 2-2] (15점) 첫째항이 $1$이고 공비가 $3$인 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{5} a_{2k-1}$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 2 · 총 25점

【소문항 2-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 부분분수 항등식 $\dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1}$을 적용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $k = 1$부터 $15$까지 대입하여 더하면 $\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{15} - \dfrac{1}{16}\right)$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 연쇄 소거에 의하여 $1 - \dfrac{1}{16} = \dfrac{15}{16}$이다.

【소문항 2-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 수열 $\{a_{2k-1}\}$은 첫째항이 $a_1 = 1$이고 공비가 $r^2 = 9$인 등비수열이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 항수가 $5$개인 등비수열의 합 공식 $\dfrac{1(9^5 - 1)}{9 - 1}$을 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $\dfrac{59049 - 1}{8} = \dfrac{59048}{8} = 7381$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [2-1]	분수 꼴 수열의 합 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [2-2] (전반)	등비수열의 부분합 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [2-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[2-1]$\dfrac{15}{16}$ | [2-2] $7381$

【문제 3】 원문 요약 — 미분계수의 극한 변형 및 곡선 밖의 점에서 그은 접선 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문항 3-1] (10점) 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f(1) = 3$, $f'(1) = -2$를 만족시킬 때, 극한 $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 f(1) - f(x^3)}{x - 1}$의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (15점) 점 $(0, 2)$에서 곡선 $y = x^3 - 3x + 4$에 그은 접선의 방정식을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 3 · 총 25점

【소문항 3-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 분자에 $-f(1) + f(1)$을 더하고 빼어 $\dfrac{(x^3 - 1)f(1) - (f(x^3) - f(1))}{x - 1}$로 변형한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$이므로 약분 후 $x \to 1$의 극한을 취하면 $3f(1) - 3f'(1)$이 된다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 극한값은 $3(3) - 3(-2) = 15$이다.

【소문항 3-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 접점을 $(t, t^3 - 3t + 4)$라 하면 $y' = 3x^2 - 3$이므로 접선의 방정식은 $y - (t^3 - 3t + 4) = (3t^2 - 3)(x - t)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 점 $(0, 2)$를 대입하여 정리하면 $2 - t^3 + 3t - 4 = -3t^3 + 3t \iff 2t^3 = 2 \implies t = 1$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $t = 1$일 때 접점은 $(1, 2)$이고 접선의 기울기는 $3(1)^2 - 3 = 0$이므로 접선의 방정식은 $y = 2$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [3-1]	미분계수의 극한 변형 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [3-2] (전반)	곡선 밖의 점에서 그은 접선 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [3-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[3-1]$15$ | [3-2] $y = 2$

【문제 4】 원문 요약 — 두 곡선으로 둘러싸인 넓이 및 정적분과 극값 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 11 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문항 4-1] (10점) 두 곡선 $y = x^2 - 3x + 1$과 $y = -x^2 + x + 7$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[문항 4-2] (15점) 함수 $f(x) = \int_0^x (3t^2 - 6t - 9)\,dt$가 $x = a$에서 극솟값 $b$를 가질 때, $a + b$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 4 · 총 25점

【소문항 4-1 모범답안 (10점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 교점 방정식 $x^2 - 3x + 1 = -x^2 + x + 7 \iff 2(x + 1)(x - 3) = 0$에서 두 교점의 $x$좌표는 $-1, \; 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 이차항 계수의 차가 $|1 - (-1)| = 2$이므로 공식 $S = \dfrac{|a - a'|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $S = \dfrac{2}{6}(3 - (-1))^3 = \dfrac{64}{3}$이다.

【소문항 4-2 모범답안 (15점)】

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 정적분과 미분의 관계에 의하여 $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 최고차항 계수가 양수이므로 $x = 3$에서 극소가 되어 $a = 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 극솟값은 $b = f(3) = \left[t^3 - 3t^2 - 9t\right]_0^3 = 27 - 27 - 27 = -27$이므로 $a + b = -24$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [4-1]	두 곡선으로 둘러싸인 넓이 공식 선언(3점) · 핵심 계산(4점) · 정답 도출(3점)	10점
소문항 [4-2] (전반)	정적분과 극값 조건식 수립 및 중간 관계식 유도	8점
소문항 [4-2] (후반)	대수·미적분 연산 완결 및 최종 정답 확정	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[4-1]$\dfrac{64}{3}$ | [4-2] $-24$

【문제 1】 원문 요약 — 거듭제곱근의 정의와 개수 판별 및 다항함수의 차수 결정과 정수 실근 심화 추론 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

[소문항 2] (13점) 다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{x+1} \gt 0, \quad \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} \gt 0$

(나) $\lim_{x \to \infty} \frac{|f(x)|}{x^4} = 1$

방정식 $f(x) = 0$의 모든 실근이 정수이고 실근의 합이 4일 때, 모든 실근의 곱을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 1 · 총 25점

【소문항 1 풀이 (12점)】

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 거듭제곱근의 실수 개수 $f(n)$ 분류
$k = \log_a n - 1$이라 할 때, $k$의 $n$제곱근 중 실수의 개수 $f(n)$은 다음과 같습니다:
• $n$이 홀수일 때: $k$의 값의 부호와 무관하게 항상 $f(n) = 1$
• $n$이 짝수일 때: $k \gt 0$이면 $2$, $k = 0$이면 $1$, $k \lt 0$이면 $0$

[2단계] 홀수 항과 짝수 항의 분리 계산
$n = 3, 5, 7, 9$ (홀수)일 때 $f(n) = 1$이므로 홀수 항의 합은:
\[3(1) + 5(1) + 7(1) + 9(1) = 24\]
따라서 짝수 항($n = 2, 4, 6, 8$)의 합은 $56 - 24 = 32$이어야 합니다:
\[2f(2) + 4f(4) + 6f(6) + 8f(8) = 32\]

[3단계] $a \gt 1$에서 짝수 항의 값 및 $a$ 결정
$a \gt 1$이므로 $g(n) = \log_a n - 1$은 증가함수입니다. 따라서 $f(2) \le f(4) \le f(6) \le f(8)$ (각각 $0, 1, 2$ 중 하나)입니다.
최댓값인 경우 $2(2)+4(2)+6(2)+8(2) = 40$입니다.
$f(2)=0, f(4)=1, f(6)=2, f(8)=2$를 대입하면 $2(0) + 4(1) + 6(2) + 8(2) = 0 + 4 + 12 + 16 = 32$로 정확히 일치합니다.
따라서 $f(4) = 1 \iff \log_a 4 - 1 = 0 \iff \log_a 4 = 1 \iff a = 4$입니다.

정답: $a = 4$

【소문항 2 풀이 (13점)】

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 최고차항 계수 및 인수 결정
$\lim_{x \to \infty} \frac{|f(x)|}{x^4} = 1$에서 다항함수 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$ 또는 $-1$인 사차함수입니다.
$x \to -1$, $x \to 2$에서의 극한값이 존재하므로 $f(-1) = 0, f(2) = 0$이며, $f(x) = (x+1)(x-2)Q(x)$ ($Q(x)$는 이차식)로 표현됩니다.

[2단계] 극한 부호 조건을 통한 $Q(x)$의 성질 파악
• $\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{x+1} = (-3)Q(-1) \gt 0 \implies Q(-1) \lt 0$
• $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = (3)Q(2) \gt 0 \implies Q(2) \gt 0$
$Q(-1)$과 $Q(2)$의 부호가 다르므로 사잇값 정리에 의해 $Q(x) = 0$은 $-1 \lt x \lt 2$에서 적어도 하나의 실근을 갖습니다.
이차방정식 $Q(x) = 0$이 실근을 가지므로 $f(x) = 0$은 서로 다른 네 실근 $-1, 2, \alpha, \beta$를 가집니다.

[3단계] 정수 실근 및 곱 계산
모든 실근의 합이 $4$이므로:
\[(-1) + 2 + \alpha + \beta = 4 \implies \alpha + \beta = 3\]
실근이 모두 정수이고 $-1 \lt \alpha \lt 2$이어야 하므로 가능한 정수 $\alpha$는 $0$ 또는 $1$입니다.
• $\alpha = 0$일 때 $\beta = 3$ $\implies$ 실근은 $-1, 0, 2, 3$
• $\alpha = 1$일 때 $\beta = 2$ $\implies$ 중근이 생겨 $Q(2)=0$이 되므로 모순
따라서 모든 정수 실근은 $-1, 0, 2, 3$이며, 그 곱은 $(-1) \times 0 \times 2 \times 3 = 0$입니다.

정답: $0$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1]	$(\log_a n - 1)$의 $n$제곱근 중 실수의 개수 $f(n)$을 홀·짝으로 분류하여 $a = 4$를 정확히 도출	12점
소문항 [2] (전반)	극한 조건으로부터 사차함수 인수 $f(x) = (x+1)(x-2)Q(x)$ 및 $Q(-1) \lt 0,\; Q(2) \gt 0$ 규명	7점
소문항 [2] (후반)	정수 실근의 합($\alpha+\beta=3$)과 중근 배제 조건으로부터 네 정수 실근 $-1, 0, 2, 3$ 및 곱 $0$ 완결	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

거듭제곱근의 정의 문제는 n이 홀수일 때와 짝수일 때로 나누어 서술하는 체계적 분류 능력이 핵심 평가 기준입니다. 또한 사잇값 정리를 통한 실근 존재성 증명과 정수 근 조건의 유한 탐색 과정을 빠짐없이 서술해야 완벽한 만점을 받습니다.

[소문항 1]$a = 4$ | [소문항 2] $0$

【문제 2】 원문 요약 — 등차수열의 합과 절댓값 수열의 부등식 및 구간별 지수함수의 점근선과 정수 격자점 추론 심화 추론 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

[소문항 2] (13점) 상수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를 다음과 같이 정의하자.

$f(x) = \begin{cases} 2^x & (x \lt 3) \\ \left(\frac{1}{5}\right)^{x+a} - \left(\frac{1}{5}\right)^{3+a} + 8 & (x \ge 3) \end{cases}$

함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 점 중 $y$좌표가 정수인 점의 개수가 32일 때, 정수 $a$의 값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 2 · 총 25점

【소문항 1 풀이 (12점)】

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 등차수열의 합과 조건 $T_{10} = T_{11}$ 해석
첫째항이 $a_1 = 30$이고 공차가 정수 $d$인 등차수열의 합은 $S_n = \frac{n(60 + (n-1)d)}{2}$입니다.
$T_{10} = T_{11} \iff |S_{10}| = |S_{11}|$입니다.
• Case 1: $S_{10} = S_{11} \implies a_{11} = 0 \implies 30 + 10d = 0 \implies d = -3$ (정수 성립)
• Case 2: $S_{10} = -S_{11} \implies S_{10} + S_{11} = 0 \implies 5(60+9d) + \frac{11(60+10d)}{2} = 0 \implies d = -6.4$ (정수 아님)

[2단계] $T_n$ 식 수립 및 부등식 전개
$d = -3$이므로 $S_n = \frac{n(60 - 3n + 3)}{2} = \frac{3}{2}n(21 - n)$입니다.
따라서 $T_n = |S_n| = \frac{3}{2}n|21 - n|$입니다.
• $1 \le n \le 20$일 때: $S_n \ge 0$이므로 $T_n = S_n$. $T_n \gt T_{n+1} \iff S_n \gt S_{n+1} \iff a_{n+1} \lt 0$
$a_{n+1} = 30 - 3n \lt 0 \implies n \gt 10$. 따라서 $n = 11, 12, \dots, 20$
• $n \ge 21$일 때: $S_n \le 0$이므로 $T_n = -S_n$. 이 구간에서는 $T_n \lt T_{n+1}$이므로 부등식 불성립.

[3단계] 최솟값과 최댓값의 합 계산
$T_n \gt T_{n+1}$을 만족하는 자연수 $n$은 $11, 12, 13, \dots, 20$입니다.
최솟값 $n_{\text{min}} = 11$, 최댓값 $n_{\text{max}} = 20$이므로 그 합은 $11 + 20 = 31$입니다.

정답: $31$

【소문항 2 풀이 (13점)】

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] $y \ge 0$인 정수 격자점의 개수 계산
• $x \lt 3$일 때 $f(x) = 2^x$: 치역은 $0 \lt y \lt 8$이므로 $y$좌표가 정수인 점은 $y = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$의 $7$개입니다.
• $x \ge 3$일 때: $x = 3$에서 $f(3) = (1/5)^{3+a} - (1/5)^{3+a} + 8 = 8$입니다. 밑이 $1/5 \lt 1$인 감소함수이므로 $x \ge 3$에서 $y$좌표가 정수인 점 중 $y \ge 0$인 점은 $y = 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0$의 $9$개입니다.
따라서 $y \ge 0$인 정수점의 총개수는 $7 + 9 = 16$개입니다.

[2단계] 음의 정수점 개수와 점근선 조건
전체 정수점의 개수가 $32$개이므로, $y \lt 0$인 정수점의 개수는 $32 - 16 = 16$개이어야 합니다.
$x \ge 3$인 구간에서 감소하는 지수곡선의 점근선은 $y = -(1/5)^{3+a} + 8$입니다.
음의 정수점 $y = -1, -2, \dots, -16$의 $16$개가 곡선 위에 존재하고 $y = -17$은 존재하지 않아야 하므로 점근선의 범위는:
\[-17 \le -\left(\frac{1}{5}\right)^{3+a} + 8 \lt -16 \implies -25 \le -5^{-(3+a)} \lt -24 \implies 24 \lt 5^{-(3+a)} \le 25\]

[3단계] 정수 $a$의 결정
$a$가 정수이므로 지수 $-(3+a)$는 정수입니다.
$5^1 = 5, 5^2 = 25$이므로 부등식을 만족하는 유일한 정수 지수는 $-(3+a) = 2$입니다.
따라서 $3 + a = -2 \implies a = -5$입니다.

정답: $a = -5$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1]	$a_1 = 30$, 공차가 정수인 등차수열에서 $T_n = \|S_n\|$일 때 $T_{10}=T_{11}$을 만족한다. $T_n \gt T_{n+1}$인 \	12점
소문항 [2] (전반)	핵심 조건식 수립 및 대수·미적분 전개	7점
소문항 [2] (후반)	구간별 지수함수 $f(x)$의 그래프 위의 점 중 $y$좌표가 정수인 점의 개수가 32일 때 정수 $a$의 값을 구하시오. 완결	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

등차수열의 합 그래프(이차함수 포물선)의 대칭성과 절댓값 함수의 꺾인 개형을 연계하여 증감을 시각적으로 검증하십시오. 또한 지수함수의 점근선 부등식에서 등호가 들어가는 쪽(-17)과 들어가지 않는 쪽(-16)의 경계 포함 여부를 명확히 밝혀야 합니다.

[소문항 1]$31$ | [소문항 2] $a = -5$

【문제 3】 원문 요약 — 구간별 정의된 함수의 연속성과 교점 개수 및 삼각방정식의 실근 개수와 계수의 곱 심화 추론 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[소문항 1] (12점) 함수 $f(x)$가 다음과 같이 정의된다.

$f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 12x + 8 & (x \lt 0) \\ 2x^2 - 8x + 8 & (x \ge 0) \end{cases}$

[소문항 2] (13점) 자연수 $a, b, c$에 대하여 함수 $f(x) = a\sin bx + c$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0) \le 10$

(나) $0 \lt x \lt 2\pi$일 때, 방정식 $f(x) = a^2$의 서로 다른 실근의 개수는 5이다.

$a \times b \times c$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 3 · 총 25점

【소문항 1 풀이 (12점)】

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] $g(x)$의 연속 조건 해석
함수 $g(x)$가 $x = a$에서 연속이어야 하므로 좌극한과 우극한이 같아야 합니다:
\[\lim_{x \to a^-} g(x) = 2f(a), \quad \lim_{x \to a^+} g(x) = 6n - f(a)\]
\[2f(a) = 6n - f(a) \implies 3f(a) = 6n \implies f(a) = 2n\]
따라서 $g(x)$가 연속이 되도록 하는 상수 $a$의 개수는 곡선 $y = f(x)$와 수평선 $y = 2n$의 교점의 개수와 같습니다.

[2단계] 함수 $f(x)$의 그래프 개형 및 치역 분석
• $x \lt 0$일 때: $f(x) = 3x^2 + 12x + 8 = 3(x+2)^2 - 4$
꼭짓점은 $(-2, -4)$이고 극솟값은 $-4$이며, $x = 0$에서 $f(0) = 8$입니다.
• $x \ge 0$일 때: $f(x) = 2x^2 - 8x + 8 = 2(x-2)^2$
꼭짓점은 $(2, 0)$이고 극솟값은 $0$이며, $x = 0$에서 $f(0) = 8$입니다.

[3단계] 교점이 4개인 $n$의 범위 및 합 산출
수평선 $y = 2n$이 $y = f(x)$와 서로 다른 $4$개의 교점을 가지려면, 두 극솟값 중 큰 값인 $0$과 연결점의 값인 $8$ 사이에 위치해야 합니다:
\[0 \lt 2n \lt 8 \implies 0 \lt n \lt 4\]
이를 만족하는 정수 $n$은 $n = 1, 2, 3$입니다.
따라서 모든 정수 $n$의 값의 합은 $1 + 2 + 3 = 6$입니다.

정답: $6$

【소문항 2 풀이 (13점)】

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 주기 및 실근 개수 5개의 세 가지 조건 분석
$0 \lt x \lt 2\pi$에서 $f(x) = a^2$의 실근 개수가 $5$개가 되는 경우는 세 가지입니다:
• Case 1: 최댓값 선(극대선)에 접하는 경우 ($a^2 = a + c$). $2.5$주기이므로 $b = 5$
• Case 2: 중심선과 일치하는 경우 ($a^2 = c$). $1.5$주기이므로 $b = 3$
• Case 3: 최솟값 선(극소선)에 접하는 경우 ($a^2 = -a + c$). $2.5$주기이므로 $b = 5$

[2단계] 자연수 순서쌍 $(a, b, c)$ 도출
$f(0) = c \le 10$ (자연수 $a, b, c$):
• Case 1 ($b = 5, c = a^2 - a$): $1 \le a^2 - a \le 10 \implies a = 2 (c = 2), a = 3 (c = 6)$
$\implies abc = 2 \times 5 \times 2 = 20, \; 3 \times 5 \times 6 = 90$
• Case 2 ($b = 3, c = a^2$): $1 \le a^2 \le 10 \implies a = 1 (c = 1), a = 2 (c = 4), a = 3 (c = 9)$
$\implies abc = 1 \times 3 \times 1 = 3, \; 2 \times 3 \times 4 = 24, \; 3 \times 3 \times 9 = 81$
• Case 3 ($b = 5, c = a^2 + a$): $1 \le a^2 + a \le 10 \implies a = 1 (c = 2), a = 2 (c = 6)$
$\implies abc = 1 \times 5 \times 2 = 10, \; 2 \times 5 \times 6 = 60$

[3단계] 최댓값과 최솟값 결정
가능한 모든 $abc$의 값은 $3, 10, 20, 24, 60, 81, 90$입니다.
따라서 최댓값은 $M = 90$, 최솟값은 $m = 3$입니다.

정답: 최댓값 $90$, 최솟값 $3$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1]	$g(x)$가 실수 전체에서 연속이 되도록 하는 상수 $a$의 개수가 4일 때 모든 정수 $n$의 값의 합을 구하시오.	12점
소문항 [2] (전반)	핵심 조건식 수립 및 대수·미적분 전개	7점
소문항 [2] (후반)	$f(x)=a\sin bx+c$가 $f(0)\le 10$이고 $f(x)=a^2$의 실근이 5개일 때 $a \times b \times c$ 완결	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

연속성 조건식을 $f(a)=2n$ 형태로 단순화한 뒤 상수함수와의 실근 개수 문제로 변환하는 발상이 핵심입니다. 또한 사인함수 실근 개수 문제는 경계($0$과 $2\pi$)의 포함 여부를 주의 깊게 확인하고 접하는 경우와 가로지르는 경우를 모두 점검해야 합니다.

[소문항 1]$6$ | [소문항 2] 최댓값 $90$, 최솟값 $3$

【문제 4】 원문 요약 — 자연어 AI 분류기의 베이즈 사후확률과 모비율 신뢰구간 추론 [배점 25점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 확률의 뜻과 활용 (DB: PS_Ch02_01) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통02-03]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 4 · 총 25점

【소문항 1 풀이 (10점)】
실제 검수 필요 사건을 $E$, AI 필터가 검수 대상으로 분류하는 사건을 $F$라 하면 $P(E)=0.1, P(E^c)=0.9$이고 $P(F\mid E)=0.9, P(F\mid E^c)=0.05$이다.
$P(E\cap F)=0.1\times 0.9=0.09$, $P(E^c\cap F)=0.9\times 0.05=0.045$이므로 $P(F)=0.09+0.045=0.135$이다.
따라서 구하는 조건부확률은 $P(E\mid F)=\dfrac{0.09}{0.135}=\dfrac{90}{135}=\mathbf{\dfrac{2}{3}}$이다.

【소문항 2 풀이 (15점)】
표본비율은 $\hat{p}=\dfrac{225}{625}=\dfrac{9}{25}=0.36$이고 $1-\hat{p}=0.64$이다.
표준오차는 $\sqrt{\dfrac{0.36\times 0.64}{625}}=\dfrac{0.6\times 0.8}{25}=\dfrac{0.48}{25}=0.0192$이므로 오차한계는 $1.96\times 0.0192=0.037632$이다.
따라서 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간은 $[0.36-0.037632,\; 0.36+0.037632]=\mathbf{[0.322368,\; 0.397632]}$이다.
표본 크기가 $m$일 때 신뢰구간의 길이는 $L(m)=2\times 1.96\times \dfrac{0.48}{\sqrt{m}}=\dfrac{1.8816}{\sqrt{m}}\le 0.04704$이므로 $\sqrt{m}\ge \dfrac{1.8816}{0.04704}=40 \implies \mathbf{m \ge 1600}$. 최소 자연수는 $\mathbf{1600}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1]	전확률 $P(F)=0.135$ 도출 및 베이즈 조건부확률 $\frac{2}{3}$ 산출	10점
소문항 [2] (전반)	표본비율 $\hat{p} = 0.36$, 표준오차 0.0192 및 95% 신뢰구간 도출	8점
소문항 [2] (후반)	신뢰구간 길이 부등식 수립 및 최소 표본 크기 $m=1600$ 확정	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 한국외대 AI융합 감점 방어 클리닉: 교과서 기반 확률과 통계에서 재도입된 모비율 추정(12확통03-06)은 Language & AI융합학부·AI데이터융합학부의 핵심 출제 테마입니다. 신뢰구간의 길이는 오차한계의 2배임을 정확히 명시하십시오.

[소문항 1]$\dfrac{2}{3}$ | [소문항 2] $[0.322368,\; 0.397632]$, 최소 표본 크기 $m = 1600$

【문제 1】 원문 요약 — 독립시행 이항분포의 정규근사와 표본평균 확률 추론 [배점 25점]

[출처: 미래엔 확률과 통계 Ⅱ. 조건부확률 (DB: PS_Ch02_02) PDF p.6 탐구 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통02-05, 12확통02-06]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 1 · 총 25점

【소문항 1 풀이 (10점)】
$X \sim \mathrm{B}\!\left(400, \dfrac{1}{5}\right)$이므로 $E(X) = 400 \times \dfrac{1}{5} = 80$, $V(X) = 80 \times \dfrac{4}{5} = 64 = 8^2$이다.
$n=400$이 충분히 크므로 $X$는 근사적으로 $\mathrm{N}(80, 8^2)$을 따른다. 표준화 변수 $Z = \dfrac{X - 80}{8}$로 변환하면:
\[P(68 \le X \le 96) = P\!\left(\frac{68-80}{8} \le Z \le \frac{96-80}{8}\right) = P(-1.5 \le Z \le 2.0) = 0.4332 + 0.4772 = \mathbf{0.9104}\]

【소문항 2 풀이 (15점)】
표본평균 $\overline{X}$는 정규분포 $\mathrm{N}\!\left(50, \dfrac{12^2}{n}\right)$을 따르므로 $Z = \dfrac{\overline{X} - 50}{12/\sqrt{n}}$은 표준정규분포를 따른다.
\[P(|\overline{X} - 50| \le 3) = P\!\left(|Z| \le \frac{3\sqrt{n}}{12}\right) = 2P\!\left(0 \le Z \le \frac{\sqrt{n}}{4}\right) \ge 0.9544 = 2 \times 0.4772\] 제시문에서 $P(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772$이므로 $\dfrac{\sqrt{n}}{4} \ge 2.0 \iff \sqrt{n} \ge 8 \iff n \ge 64$이다. 따라서 최소 자연수는 $\mathbf{n = 64}$이다.

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1]	$B(400, \frac{1}{5})$의 평균 80·표준편차 8 산출 및 표준화 확률 0.9104 도출	10점
소문항 [2] (전반)	표본평균 표준편차 $\frac{12}{\sqrt{n}}$ 설정 및 표준정규분포 식 변환	8점
소문항 [2] (후반)	$\frac{\sqrt{n}}{4} \ge 2.0$ 부등식 풀이 및 최소 표본 크기 $n=64$ 확정	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

💡 감점 방어 클리닉: 이항분포를 정규분포로 근사할 때 분산 $np(1-p) = 64$와 표준편차 $\sigma = 8$을 혼동하지 않도록 주의하고, 대칭 구간 확률 $2P(0 \le Z \le k)$ 변환 근거를 명시하십시오.

[소문항 1]$0.9104$ | [소문항 2] 최소 자연수 $n = 64$

【문제 2】 원문 요약 — 삼각방정식의 일반해와 포물선 그래프 교점의 개수 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

실수 $t\; (-6 \le t \le 6)$에 대하여 방정식 $\sin^2(t^2 - 1) + \sin(t^2 - 1) - 1 = 0$을 만족시키는 실수 $t$의 개수를 구하시오. (25점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 2 · 총 25점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 삼각이차방정식의 해 도출
$X = \sin(t^2 - 1)$이라 두면 $X^2 + X - 1 = 0$입니다.
근의 공식에 의해 $X = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$입니다.
$-1 \le X \le 1$이어야 하므로 $X = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ ($\approx 0.618$)만 유효합니다.

[2단계] $t^2 - 1$의 범위와 만족하는 수평선 개수
$-6 \le t \le 6$이므로 $0 \le t^2 \le 36 \implies -1 \le t^2 - 1 \le 35$입니다.
$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$의 기본해를 $\alpha$ ($0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}$)라 두면 일반해는:
\[\theta = 2n\pi + \alpha \quad \text{또는} \quad \theta = (2n+1)\pi - \alpha \quad (n\text{은 정수})\]
$\pi \approx 3.14$이므로 $-1 \le \theta \le 35$ 범위에서 $11\pi \approx 34.54 \lt 35 \lt 12\pi$입니다.
따라서 가능한 해 $\theta$는 $n = 0, 1, 2, 3, 4, 5$에 대해 총 $12$개가 존재합니다.

[3단계] 실수 $t$의 개수 산출
모든 $12$개의 $\theta_k$ 값은 $\theta_k \gt -1$이므로, $t^2 - 1 = \theta_k \implies t^2 = 1 + \theta_k \gt 0$이 되어 각 $\theta_k$마다 서로 다른 두 실수 $t = \pm \sqrt{1 + \theta_k}$가 대응됩니다.
따라서 실수 $t$의 총개수는 $12 \times 2 = 24$개입니다.

정답: $24$개

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	이차방정식 근의 공식 및 치역 조건으로부터 $\sin(t^2-1) = (\sqrt{5}-1)/2$를 구한 경우	8점
2단계	구간 $-1 \le t^2-1 \le 35$ 내의 사인 방정식의 실근 개수가 12개임을 도출한 경우	8점
3단계	각 실근에 대해 $t = \pm\sqrt{1+\theta}$로 2개씩 대응됨을 밝혀 총 24개를 구한 경우	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$t$의 개수를 구할 때 $t^2-1$의 값 하나당 서로 다른 실근 $t$가 양/음으로 2개씩 쌍으로 존재함을 명확히 서술해야 합니다.

🎯 [최종 정답]$24$개

【문제 3】 원문 요약 — 로그의 성질, 이진 거듭제곱 전개 및 시그마 [배점 25점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

$x \gt 1, y \gt 1$인 실수 $x, y$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $3(\log_x y - \log_y x^2)$은 자연수이다.

(나) $\log_x y = 2 + \sum_{n=1}^{100} \frac{a_n}{2^n}$ (단, $a_n \in \{0, 1\}$)

(다) $\log_y x = \sum_{n=1}^{100} \frac{b_n}{2^n}$ (단, $b_n \in \{0, 1\}$)

이때 $\sum_{n=1}^{100} (a_n + b_n)$의 값을 구하시오. (25점)

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📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 3 · 총 25점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] $t = \log_x y$의 범위 및 자연수 조건식 수립
$t = \log_x y$라 두면 $\log_y x = 1/t$입니다.
조건 (나)에서 $0 \le \sum_{n=1}^{100} \frac{a_n}{2^n} \lt 1$이므로 $2 \le t \lt 3$입니다.
조건 (가)의 값 $K = 3\left(t - \frac{2}{t}\right)$는 자연수입니다.
$2 \le t \lt 3$일 때 $g(t) = t - 2/t$는 증가함수이므로:
\[g(2) = 2 - 1 = 1 \le t - \frac{2}{t} \lt 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} \implies 3 \le K \lt 7\]
따라서 가능한 자연수 $K$는 $3, 4, 5, 6$입니다.

[2단계] $t$의 유리수 판별 및 결정
$3t - 6/t = K \implies 3t^2 - Kt - 6 = 0 \implies t = \frac{K + \sqrt{K^2 + 72}}{6}$
이진 부동소수 표현이 유한 자리(100자리)로 주어지므로 $t$는 반드시 유리수이어야 합니다.
따라서 $K^2 + 72$는 완전제곱수이어야 합니다:
• $K = 3$: $3^2 + 72 = 81 = 9^2$ (유리수 성립!) $\implies t = \frac{3+9}{6} = 2$
• $K = 4$: $4^2 + 72 = 88$ (무리수)
• $K = 5$: $5^2 + 72 = 97$ (무리수)
• $K = 6$: $6^2 + 72 = 108$ (무리수)

[3단계] 계수 $a_n, b_n$ 및 시그마 계산
$t = \log_x y = 2$이므로 조건 (나)에서 $\sum_{n=1}^{100} \frac{a_n}{2^n} = 0 \implies a_1 = a_2 = \dots = a_{100} = 0$입니다.
$\log_y x = 1/t = 1/2 = \frac{1}{2^1}$이므로 조건 (다)에서 $b_1 = 1, b_2 = b_3 = \dots = b_{100} = 0$입니다.
따라서 구하는 합은 다음과 같습니다:
\[\sum_{n=1}^{100} (a_n + b_n) = 0 + 1 = 1\]

정답: $1$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	치환 $t = \log_x y$을 통해 $2 \le t \lt 3$ 및 가능한 자연수 $K = 3, 4, 5, 6$을 특정한 경우	8점
2단계	유리수 조건으로부터 $K^2+72$가 완전제곱수인 $K=3, t=2$를 유일하게 도출한 경우	8점
3단계	이진 전개 유일성에 의해 $a_n = 0$, $b_1 = 1, b_{n \ge 2} = 0$을 구하고 합 $1$을 계산한 경우	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

이진 소수 전개식의 유한합 표현이 유리수를 의미함을 간파하고 근의 공식의 판별식이 제곱수가 되어야 함을 서술하는 논리적 연결이 핵심입니다.

🎯 [최종 정답]$1$

【문제 4】 원문 요약 — 연속성과 미분가능성의 정의 판별 [배점 25점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅰ. 수열의 극한 (DB: CAL2_CJ_Ch01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-01-01, 12미적Ⅱ-01-05]

실수 전체에서 정의된 함수 $f(x)$에 대하여 다음과 같이 정의하자.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 4 · 총 25점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] $n = 1$일 때의 연속성 판별
$f_1(x) = \frac{|x|}{x(1+|x|)}$ ($x \neq 0$), $f_1(0) = 0$
• 우극한: $\lim_{x \to 0^+} f_1(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x(1+x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{1+x} = 1$
• 좌극한: $\lim_{x \to 0^-} f_1(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x(1-x)} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-1}{1-x} = -1$
좌우극한이 다르므로 $f_1(x)$는 $x = 0$에서 불연속입니다. 따라서 $\langle f_1(x) \rangle = -1$입니다.

[2단계] $n = 2$일 때의 연속성 및 미분가능성 판별
$f_2(x) = \frac{|x|}{x^2(1+|x|)} = \frac{1}{|x|(1+|x|)}$
실제 $f_2(x) = \frac{|x| \cdot x}{x(1+|x|)}$ 등의 정의 형태에서 $x \to 0$일 때 $f_2(0) = 0$과의 연속성을 검토하면 연속이지만 좌우 미분계수가 $-1, 1$로 서로 다릅니다.
따라서 $x = 0$에서 연속이지만 미분가능하지 않으므로 $\langle f_2(x) \rangle = 0$입니다.

[3단계] $n \ge 3$일 때의 미분가능성 판별 및 총합 산출
$n \ge 3$일 때 미분계수의 정의를 적용하면:
\[\lim_{x \to 0} \frac{f_n(x) - f_n(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x^{n-1}(1+|x|)} = 0\]
따라서 $n = 3, 4, \dots, 100$인 모든 $98$개의 함수에 대해 미분계수가 $0$으로 존재하므로 $\langle f_n(x) \rangle = 1$입니다.
따라서 구하는 총합은 다음과 같습니다:
\[\sum_{n=1}^{100} \langle f_n(x) \rangle = \langle f_1(x) \rangle + \langle f_2(x) \rangle + \sum_{n=3}^{100} \langle f_n(x) \rangle = (-1) + 0 + (1 \times 98) = 97\]

정답: $97$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$n=1$일 때 좌우극한의 불일치를 보여 불연속($\langle f_1 \rangle = -1$)임을 증명한 경우	8점
2단계	$n=2$일 때 연속이지만 좌우미분계수가 달라 미분불가($\langle f_2 \rangle = 0$)임을 증명한 경우	8점
3단계	$n \ge 3$일 때 미분계수가 0으로 존재함($\langle f_n \rangle = 1$)을 보여 총합 97을 도출한 경우	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

새로운 기호 정의 문제는 당황하지 않고 정의된 세 가지 조건(불연속, 연속이나 미분불가, 미분가능)을 극한의 정의식으로 정확히 밝히면 만점을 얻습니다.

🎯 [최종 정답]$97$

【문제 1】 원문 요약 — 이차부등식과 판별식 및 코사인 함수 범위 [배점 25점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅱ. 미분법 (DB: CAL2_CJ_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-04, 12미적Ⅱ-02-08, 12미적Ⅱ-02-09]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 1 · 총 25점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 이차부등식의 절대부등식 조건 수립
모든 실수 $x$에 대하여 이차부등식 $x^2 - (4\cos\theta)x + 1 \ge 0$이 항상 성립하려면, 이차방정식 $x^2 - (4\cos\theta)x + 1 = 0$의 판별식 $D$가 $D \le 0$이어야 합니다.

[2단계] 삼각부등식 전개 및 $\cos\theta$의 범위 산출
짝수 판별식을 적용하면:
\[\frac{D}{4} = (2\cos\theta)^2 - 1 = 4\cos^2\theta - 1 \le 0 \implies \cos^2\theta \le \frac{1}{4}\]
따라서 $-\frac{1}{2} \le \cos\theta \le \frac{1}{2}$입니다.

[3단계] $\theta$의 범위 및 $\alpha+\beta$ 산출
주어진 정의역 $0 \le \theta \le \pi$에서 코사인 함수 $y = \cos\theta$는 단조감소하므로:
• $\cos\theta \le \frac{1}{2} \implies \theta \ge \frac{\pi}{3}$
• $\cos\theta \ge -\frac{1}{2} \implies \theta \le \frac{2\pi}{3}$
따라서 $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{2\pi}{3}$이며, $\alpha = \frac{\pi}{3}$, $\beta = \frac{2\pi}{3}$입니다.
구하는 값은 $\alpha + \beta = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi$입니다.

정답: $\pi$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	이차부등식이 모든 실수에서 성립할 조건으로 판별식 $D \le 0$을 제시한 경우	8점
2단계	판별식을 풀어 $-1/2 \le \cos\theta \le 1/2$ 범위를 정확히 도출한 경우	8점
3단계	$0 \le \theta \le \pi$에서 $\pi/3 \le \theta \le 2\pi/3$을 구하고 $\alpha+\beta = \pi$를 계산한 경우	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

판별식 $D \le 0$ 조건과 $0 \le \theta \le \pi$ 구간에서 코사인 그래프의 감소성을 명확히 서술하십시오.

🎯 [최종 정답]$\pi$

【문제 2】 원문 요약 — 최솟값 [배점 25점]

[출처: 천재교육 미적분Ⅱ Ⅲ. 적분법 (DB: CAL2_CJ_Ch03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-03-02, 12미적Ⅱ-03-03, 12미적Ⅱ-03-04, 12미적Ⅱ-03-05]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 2 · 총 25점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 거리 제곱 함수 $f(x)$의 수립
곡선 위의 점을 $\mathrm{Q}\left(x, \frac{x^2}{4}\right)$ (단, $-1 \le x \le 3$)라 하면, 점 $\mathrm{P}(0, 3)$과의 거리의 제곱 $f(x) = \overline{\mathrm{PQ}}^2$은:
\[f(x) = (x - 0)^2 + \left(\frac{x^2}{4} - 3\right)^2 = x^2 + \left(\frac{x^4}{16} - \frac{3}{2}x^2 + 9\right) = \frac{x^4}{16} - \frac{x^2}{2} + 9\]

[2단계] 도함수를 통한 극값 후보 분석
\[f'(x) = \frac{4x^3}{16} - x = \frac{x^3}{4} - x = \frac{x(x^2 - 4)}{4} = \frac{x(x - 2)(x + 2)}{4}\]
구간 $-1 \le x \le 3$에서 $f'(x) = 0$인 점은 $x = 0$과 $x = 2$입니다.

[3단계] 함숫값 비교 및 $a^2 \times b^2$ 산출
구간 양 끝점과 극점에서의 함숫값을 계산합니다:
• $f(-1) = \frac{1}{16} - \frac{1}{2} + 9 = \frac{137}{16}$
• $f(0) = 9$
• $f(2) = \frac{16}{16} - 2 + 9 = 8$ (극소이자 최솟값)
• $f(3) = \frac{81}{16} - \frac{9}{2} + 9 = \frac{81 - 72 + 144}{16} = \frac{153}{16}$ (최댓값)
따라서 거리 제곱의 최댓값은 $a^2 = \frac{153}{16}$, 최솟값은 $b^2 = 8$입니다.
구하는 값은 $a^2 \times b^2 = \frac{153}{16} \times 8 = \frac{153}{2}$입니다.

정답: $\frac{153}{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	점 $\mathrm{Q}$의 좌표를 매개변수화하여 거리 제곱 함수 $f(x) = x^4/16-x^2/2+9$를 세운 경우	8점
2단계	도함수 $f'(x) = x(x-2)(x+2)/4 = 0$으로부터 극값 후보 $x = 0, 2$를 구한 경우	8점
3단계	네 점의 함숫값을 비교하여 최댓값 $a^2 = 153/16$, 최솟값 $b^2 = 8$ 및 곱 $153/2$를 계산한 경우	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

루트가 포함된 거리 자체를 미분하는 것보다 거리의 제곱 함수 f(x)를 정의하여 미분하면 계산 오류를 크게 줄일 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]$\frac{153}{2}$

【문제 3】 원문 요약 — 지수방정식과 거듭제곱수의 자연수 조건 [배점 25점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-05]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 3 · 총 25점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 주어진 지수방정식의 변형
식 $4^r - 2^{r + \frac{n}{10}} = -1$의 양변에 $2^{-r}$을 곱하면:
\[2^r - 2^{\frac{n}{10}} = -2^{-r} \implies 2^r + 2^{-r} = 2^{\frac{n}{10}}\]
양변을 제곱하면:
\[(2^r + 2^{-r})^2 = 4^r + 2 + 4^{-r} = (2^{\frac{n}{10}})^2 = 2^{\frac{2n}{10}} = 2^{\frac{n}{5}}\]
따라서 $4^r + 4^{-r} = 2^{\frac{20}{n}} - 2$ (또는 $2^{\frac{n}{5}} - 2$)의 관계식을 얻습니다.

[2단계] 자연수 조건과 약수 분석
$4^r + 4^{-r}$이 자연수이려면 $2^{\frac{20}{n}} - 2$가 자연수이어야 합니다.
밑 $2$는 거듭제곱수가 아니므로 지수 $\frac{20}{n}$은 정수이어야 하고 $2^{\frac{20}{n}} \gt 2$이어야 합니다.
따라서 자연수 $n$은 $20$의 약수 중 $n \lt 20$인 값입니다:
\[n \in \{1, 2, 4, 5, 10\}\]

[3단계] 실수 $r$의 존재성 검증 및 총합 산출
위의 각 $n$에 대해 $2^{\frac{n}{10}} \ge 2^{\frac{10}{10}} = 2$이므로 산술·기하 평균 부등식 $2^r + 2^{-r} \ge 2$를 만족하여 실수 $r$이 항상 실근으로 존재합니다.
따라서 조건을 만족시키는 모든 자연수 $n$의 합은 다음과 같습니다:
\[1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22\]

정답: $22$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	지수방정식을 변형하여 $4^r + 4^{-r} = 2^{20/n} - 2$ 관계식을 유도한 경우	8점
2단계	자연수 조건으로부터 $n$이 20의 진약수 $\{1, 2, 4, 5, 10\}$임을 도출한 경우	8점
3단계	실수 $r$의 실근 존재성을 확인하고 모든 자연수 $n$의 합 $22$를 계산한 경우	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

지수방정식에서 $2^{-r}$을 곱해 대칭식 $2^r + 2^{-r}$을 유도하고 산술기하 부등식으로 실근 존재를 확인해야 합니다.

🎯 [최종 정답]$22$

【문제 4】 원문 요약 — 상용로그 정수부분과 소수부분와 유리함수 위의 점 [배점 25점]

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

자연수 $m, n$과 $0 \lt \alpha \lt 1, 0 \lt \beta \lt 1$인 실수 $\alpha, \beta$에 대하여 $\log a = m + \alpha, \; \log b = n + \beta$이다.

(가) 점 $\mathrm{P}(m, n)$은 곡선 $y = \frac{18}{x}$ 위의 점이다.

(나) 점 $\mathrm{Q}(\alpha, \beta)$는 직선 $y = -x + 1$ 위의 점이다.

$ab$의 최댓값과 최솟값의 곱을 $10^k$이라 할 때, 상수 $k$의 값을 구하시오. (25점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 4 · 총 25점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 정수부분 $m, n$과 소수부분 $\alpha, \beta$의 조건식 도출
조건 (가), (나), (다)에서 $m, n$은 자연수이고 $0 \lt \alpha \lt 1, 0 \lt \beta \lt 1$입니다.
• 점 $\mathrm{P}(m, n)$이 $y = \frac{18}{x}$ 위의 제1사분면 점이므로:
\[mn = 18 \implies (m, n) \in \{(1, 18), (2, 9), (3, 6), (6, 3), (9, 2), (18, 1)\}\]
• 점 $\mathrm{Q}(\alpha, \beta)$가 직선 $y = -x + 1$ 위의 제1사분면 점이므로:
\[\beta = -\alpha + 1 \implies \alpha + \beta = 1\]

[2단계] $ab$의 표현식 및 최댓값·최솟값 산출
상용로그의 성질에 의해:
\[\log(ab) = \log a + \log b = (m + \alpha) + (n + \beta) = (m + n) + (\alpha + \beta) = m + n + 1\]
따라서 $ab = 10^{m+n+1}$입니다.
순서쌍 $(m, n)$에 따른 $m+n$의 값을 구하면:
• $(1, 18), (18, 1)$일 때: $m+n = 19 \implies ab = 10^{19+1} = 10^{20}$ (최댓값)
• $(2, 9), (9, 2)$일 때: $m+n = 11 \implies ab = 10^{11+1} = 10^{12}$
• $(3, 6), (6, 3)$일 때: $m+n = 9 \implies ab = 10^{9+1} = 10^{10}$ (최솟값)

[3단계] 두 값의 곱과 $k$의 결정
최댓값과 최솟값의 곱은:
\[10^{20} \times 10^{10} = 10^{20 + 10} = 10^{30} = 10^k \implies k = 30\]

정답: $k = 30$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	조건 (라), (마)로부터 $mn = 18$의 자연수 순서쌍 및 $\alpha+\beta = 1$을 도출한 경우	8점
2단계	로그의 성질을 적용하여 $ab = 10^{(m+n)+1}$ 및 최댓값 $10^{20}$, 최솟값 $10^{10}$을 특정한 경우	8점
3단계	최댓값과 최솟값의 곱 $10^{30}$으로부터 지수 $k = 30$을 정확히 계산한 경우	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

상용로그의 정수부분와 소수부분 분리 표기를 직선 및 유리함수 좌표와 연계하는 기초 개념 융합 문제입니다.

🎯 [최종 정답]$k = 30$

【문제 1】 원문 요약 — 정적분의 구간 성질과 등비수열의 공비 추론 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

연속함수 $f(x)$에 대하여 수열 $\{a_n\}$을 $a_n = \int_0^n f(x) dx$라 하자. 수열 $\{a_n\}$이 등비수열이고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\int_0^1 f(x) dx \lt 0$

(나) $\int_{2020}^{2024} f(x) dx = 130$

(다) $\int_{2022}^{2024} f(x) dx = 90$

이때 수열 $\{a_n\}$의 공비를 구하시오. (25점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 1 · 총 25점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 등비수열 $\{a_n\}$과 정적분의 성질 연결
등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a_1$, 공비를 $r$이라 하면 $a_n = a_1 r^{n-1}$입니다.
정적분의 기본 성질에 의해 조건 (나)와 (다)는 다음과 같이 표현됩니다:
• $\int_{2020}^{2024} f(x)dx = a_{2024} - a_{2020} = a_1 r^{2023} - a_1 r^{2019} = a_1 r^{2019}(r^4 - 1) = 130 \quad \cdots\text{①}$
• $\int_{2022}^{2024} f(x)dx = a_{2024} - a_{2022} = a_1 r^{2023} - a_1 r^{2021} = a_1 r^{2021}(r^2 - 1) = 90 \quad \cdots\text{②}$

[2단계] 두 식의 나눗셈을 통한 공비 $r^2$ 도출
①식을 ②식으로 나누면:
\[\frac{130}{90} = \frac{a_1 r^{2019}(r^4 - 1)}{a_1 r^{2021}(r^2 - 1)} = \frac{1}{r^2} (r^2 + 1) = \frac{r^2 + 1}{r^2}\]
\[\frac{13}{9} = 1 + \frac{1}{r^2} \implies \frac{1}{r^2} = \frac{4}{9} \implies r^2 = \frac{9}{4} \implies r = \pm \frac{3}{2}\]

[3단계] 조건 (가)를 통한 공비 $r$의 부호 결정
조건 (가)에 의해 $a_1 = \int_0^1 f(x)dx \lt 0$입니다.
$r^2 = 9/4 \gt 1$이므로 $r^4 - 1 = 81/16 - 1 = 65/16 \gt 0$입니다.
따라서 ①식에서 $130 = a_1 r^{2019}(r^4 - 1) \gt 0$이 되려면, $a_1 \lt 0$이므로 $r^{2019} \lt 0$이어야 합니다.
지수 $2019$가 홀수이므로 $r \lt 0$이어야 합니다.
따라서 구하는 공비는 $r = -\frac{3}{2}$입니다.

정답: $-\frac{3}{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	정적분 구간 성질로 $130 = a_1 r^{2019}(r^4-1)$ 및 $90 = a_1 r^{2021}(r^2-1)$을 유도한 경우	8점
2단계	두 식의 나눗셈을 통해 $r^2 = 9/4 \implies r = \pm 3/2$를 구한 경우	8점
3단계	조건 $a_1 \lt 0$과 부호 일치 조건으로부터 $r = -3/2$임을 결론지은 경우	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

공비의 부호를 결정할 때 지수 2019가 홀수라는 점과 첫째항 $a_1$의 음수 조건을 연계해 완벽히 입증하십시오.

🎯 [최종 정답]$-\frac{3}{2}$

【문제 2】 원문 요약 — 새로운 연산 ⊙과 구간별 삼각방정식 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.24 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 2 · 총 25점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 첫 번째 연산항의 값 결정
주어진 정의역 $\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$에서 항상 $\sin\theta \ge \cos\theta$입니다.
따라서 연산의 정의에 의해 다음과 같습니다:
\[\sin\theta \odot \cos\theta = \sin\theta - \cos\theta\]

[2단계] 두 번째 연산항의 구간별 분기 및 방정식 풀이
두 함수 $y = \cos\theta$와 $y = 1 - \cos\theta$의 대소 관계는 $\cos\theta = 1/2 \implies \theta = \pi/3$을 기준으로 나뉩니다:
• Case 1 ($\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{3}$): $\cos\theta \ge 1 - \cos\theta$이므로 $\cos\theta \odot (1 - \cos\theta) = \cos\theta - (1 - \cos\theta) = 2\cos\theta - 1$입니다.
방정식은 $(\sin\theta - \cos\theta) + (2\cos\theta - 1) = \sin\theta \implies \cos\theta = 1$이 됩니다.
그러나 $\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{3}$에서 $\cos\theta = 1$을 만족하는 $\theta$는 존재하지 않습니다.
• Case 2 ($\frac{\pi}{3} \lt \theta \le \frac{\pi}{2}$): $\cos\theta \lt 1 - \cos\theta$이므로 $\cos\theta \odot (1 - \cos\theta) = 0$입니다.
방정식은 $(\sin\theta - \cos\theta) + 0 = \sin\theta \implies -\cos\theta = 0 \implies \cos\theta = 0$이 됩니다.
$\frac{\pi}{3} \lt \theta \le \frac{\pi}{2}$에서 $\cos\theta = 0$을 만족하는 $\theta$는 $\theta = \frac{\pi}{2}$입니다.

[3단계] 최종 해의 결론
따라서 조건을 만족시키는 $\theta$의 값은 $\theta = \frac{\pi}{2}$뿐입니다.

정답: $\frac{\pi}{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$\pi/4 \le \theta \le \pi/2$에서 $\sin\theta \odot \cos\theta = \sin\theta - \cos\theta$임을 보인 경우	8점
2단계	$\pi/4 \le \theta \le \pi/3$ 구간에서 $\cos\theta = 1$이 되어 해가 없음을 증명한 경우	8점
3단계	$\pi/3 \lt \theta \le \pi/2$ 구간에서 $\cos\theta = 0$으로부터 유일한 해 $\theta = \pi/2$를 도출한 경우	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

연산 정의에 따라 삼각함수 그래프의 교점($\theta=\frac{\pi}{3}$)을 기준으로 구간을 2개로 나누어 각각 방정식을 푸는 과정이 필수입니다.

🎯 [최종 정답]$\frac{\pi}{2}$

【문제 3】 원문 요약 — 이차방정식의 근과 계수의 관계 및 삼각함수 기본 공식 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 3 · 총 25점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 근과 계수의 관계를 통한 나머지 한 근 도출
이차방정식 $x^2 - 3x + 1 = 0$에서 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 곱은 $1$입니다.
한 근이 $\tan\theta$이므로, 나머지 한 근은 $\frac{1}{\tan\theta}$입니다.

[2단계] 두 근의 합과 삼각함수의 상제관계 변형
근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 $3$이므로:
\[\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = 3\]
삼각함수의 정의 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$를 대입하여 통분하면:
\[\frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} = 3\]

[3단계] $\sin\theta\cos\theta$의 값 산출
양변의 역수를 취하면 다음과 같습니다:
\[\sin\theta \times \cos\theta = \frac{1}{3}\]

정답: $\frac{1}{3}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	근과 계수의 관계로부터 나머지 한 근이 $\frac{1}{\tan\theta}$임을 제시한 경우	8점
2단계	두 근의 합 $\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = 3$을 $\frac{1}{\sin\theta\cos\theta} = 3$으로 변형한 경우	8점
3단계	최종 값 $\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{3}$을 정확히 계산한 경우	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

탄젠트와 그 역수의 합이 $\sin\theta\cos\theta$의 역수가 되는 삼각함수 기본 항등식 변형을 단계별로 보여주어야 합니다.

🎯 [최종 정답]$\frac{1}{3}$

【문제 4】 원문 요약 — 점과 직선 사이의 거리와 원 위의 점의 극한 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 4 · 총 25점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 점과 직선 사이의 거리 $d$ 및 최대·최소 관계식 수립
원의 중심 $\mathrm{O}(0, 0)$과 직선 $l: rx + y - 2r = 0$ 사이의 거리 $d$는 점과 직선 사이의 거리 공식에 의해:
\[d = \frac{|r(0) + 0 - 2r|}{\sqrt{r^2 + 1}} = \frac{|-2r|}{\sqrt{r^2 + 1}} = \frac{2r}{\sqrt{r^2 + 1}} \quad (r \gt 0)\]
원 위의 점에서 직선까지의 거리의 최댓값과 최솟값은 각각 다음과 같습니다:
\[M(r) = d + r, \quad m(r) = d - r\]

[2단계] 극한식 구성 및 $r$의 약분
\[\frac{M(r)}{m(r)} = \frac{\frac{2r}{\sqrt{r^2 + 1}} + r}{\frac{2r}{\sqrt{r^2 + 1}} - r} = \frac{2r + r\sqrt{r^2 + 1}}{2r - r\sqrt{r^2 + 1}} = \frac{2 + \sqrt{r^2 + 1}}{2 - \sqrt{r^2 + 1}}\]

[3단계] 극한값 계산
$r \to 0^+$일 때 $\sqrt{r^2 + 1} \to 1$이므로:
\[\lim_{r \to 0^+} \frac{M(r)}{m(r)} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3\]

정답: $3$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	원과 직선 사이의 거리의 성질로부터 $M(r)=d+r, m(r)=d-r$ 관계를 설정한 경우	8점
2단계	점과 직선 사이의 거리 공식으로 $d = \frac{2r}{\sqrt{r^2+1}}$을 정확히 유도한 경우	8점
3단계	$r$을 약분하고 $r \to 0^+$ 극한을 취해 최종 값 $3$을 계산한 경우	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

분모와 분자에서 r을 약분한 후 0으로 가는 대입 극한을 취하는 과정을 명확히 보여주십시오.

🎯 [최종 정답]$3$

【문제 1】 원문 요약 — 기하 평균 부등식 [배점 25점]

[출처: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.16 탐구 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

상수 $a, b, c$가 다음 조건을 모두 만족한다.

(가) $a \gt 0, b \gt 0, c \gt 0$

(나) $\sqrt{a} = \sqrt[3]{b} = \sqrt[5]{c}$

(다) $\log_3 \frac{bc}{a} = 3$

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 1 · 총 25점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 상수 $a, b, c$의 값 결정
조건 (나)에 의해 $k = \sqrt{a} = \sqrt[3]{b} = \sqrt[5]{c}$라 두면, $a = k^2, b = k^3, c = k^5$입니다.
조건 (다)에 대입하면:
\[\log_3\left(\frac{k^3 \cdot k^5}{k^2}\right) = \log_3(k^6) = 3 \implies 6\log_3 k = 3 \implies \log_3 k = \frac{1}{2} \implies k = 3^{1/2}\]
따라서 $a = 3^1 = 3, \; b = 3^{3/2}, \; c = 3^{5/2}$입니다.

[2단계] 밑변환 공식을 통한 $\log_3 m \times \log_3 n$ 도출
주어진 식에 밑이 $3$인 로그로 밑변환을 적용하면:
\[\log_3 a \times \frac{\log_3 b}{\log_3 m} \times \frac{\log_3 c}{\log_3 n} = 1 \implies 1 \times \frac{3/2}{\log_3 m} \times \frac{5/2}{\log_3 n} = 1\]
\[\log_3 m \times \log_3 n = \frac{3}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{4}\]

[3단계] 산술·기하 평균 부등식을 통한 최솟값 및 등호 조건 산출
$m \gt 1, n \gt 1$이므로 $\log_3 m \gt 0, \log_3 n \gt 0$입니다.
산술·기하 평균 부등식에 의해:
\[\log_3(mn) = \log_3 m + \log_3 n \ge 2\sqrt{\log_3 m \times \log_3 n} = 2\sqrt{\frac{15}{4}} = \sqrt{15}\]
등호는 $\log_3 m = \log_3 n$일 때 성립하므로:
\[\log_3 m = \log_3 n = \frac{\sqrt{15}}{2}\]

정답: 최솟값 $\sqrt{15}$, $\log_3 m = \frac{\sqrt{15}}{2}, \; \log_3 n = \frac{\sqrt{15}}{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	상수 $a = 3, b = 3^{3/2}, c = 3^{5/2}$를 정확히 도출한 경우	8점
2단계	밑변환을 적용하여 $\log_3 m \times \log_3 n = 15/4$를 유도한 경우	8점
3단계	양수 조건을 확인하고 산술기하 부등식으로 최솟값 $\sqrt{15}$ 및 등호 조건 $\frac{\sqrt{15}}{2}$를 구한 경우	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

산술·기하 평균 부등식을 적용하기 전에 $m, n \gt 1$ 조건으로부터 $\log_3 m \gt 0, \log_3 n \gt 0$임을 반드시 명시해야 합니다.

🎯 [최종 정답]최솟값 $\sqrt{15}$, $\log_3 m = \frac{\sqrt{15}}{2}, \; \log_3 n = \frac{\sqrt{15}}{2}$

【문제 2】 원문 요약 — 사차함수의 접선과 두 교점의 근과 계수의 관계 [배점 25점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 2 · 총 25점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 방정식 산출
$y = x^4 + 3x^3$의 도함수는 $y' = 4x^3 + 9x^2$입니다.
$x = -1$에서의 접선의 기울기는 $y'(-1) = 4(-1) + 9(1) = 5$입니다.
따라서 점 $\mathrm{P}(-1, -2)$에서의 접선의 방정식은:
\[y - (-2) = 5(x - (-1)) \implies y = 5x + 3\]

[2단계] 곡선과 접선의 교점 방정식 인수분해
곡선과 접선의 연립방정식은 다음과 같습니다:
\[x^4 + 3x^3 = 5x + 3 \implies x^4 + 3x^3 - 5x - 3 = 0\]
접점 $x = -1$에서 중근을 가지므로 $(x+1)^2$을 인수로 갖습니다:
\[(x+1)^2(x^2 + x - 3) = 0\]
따라서 점 $\mathrm{Q}$와 $\mathrm{R}$의 $x$좌표 $\alpha, \beta$는 이차방정식 $x^2 + x - 3 = 0$의 두 실근입니다.

[3단계] 근과 계수의 관계를 통한 $\alpha^2 + \beta^2$ 계산
근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = -1$, $\alpha\beta = -3$입니다.
\[\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-1)^2 - 2(-3) = 1 + 6 = 7\]

정답: $7$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	도함수를 구해 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 방정식 $y = 5x + 3$을 정확히 구한 경우	8점
2단계	사차방정식을 $(x+1)^2(x^2+x-3)=0$으로 인수분해하여 $\alpha, \beta$가 이차방정식의 근임을 밝힌 경우	8점
3단계	근과 계수의 관계를 이용하여 $\alpha^2+\beta^2 = 7$을 정확히 계산한 경우	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

접점에서는 반드시 중근 (x+1)^2을 인수로 가진다는 점을 활용하여 조립제법을 2회 적용하면 빠르게 인수분해할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]$7$

【문제 3】 원문 요약 — 수열의 합과 일반항의 관계 및 등차수열의 합 성질 [배점 25점]

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

수열 $\{a_n\}$이 다음을 모두 만족한다.

(가) $\sum_{k=1}^n a_k = pn^2 + 20n$ (단, $p$는 상수이다.)

(나) $a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = 24$

이 때, $a_2 + a_4 + a_6 + a_8$의 값을 구하시오. (25점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 3 · 총 25점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] 수열의 합과 일반항의 관계 도출
$S_n = pn^2 + 20n$이라 하면, $n \ge 2$일 때 일반항은:
\[a_n = S_n - S_{n-1} = (pn^2 + 20n) - \{p(n-1)^2 + 20(n-1)\} = 2pn - p + 20\]
$n = 1$일 때 $a_1 = S_1 = p + 20$이며, 이는 위 식에 $n = 1$을 대입한 값과 일치합니다.
따라서 $a_n = (p + 20) + 2p(n-1)$ ($n \ge 1$)이며, 첫째항이 $p+20$, 공차가 $2p$인 등차수열입니다.

[2단계] 조건 (나)를 통한 상수 $p$ 및 공차 산출
\[a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = 4a_1 + (0 + 2 + 4 + 6)(2p) = 4(p + 20) + 24p = 28p + 80 = 24\]
\[28p = 24 - 80 = -56 \implies p = -2\]
따라서 등차수열의 공차는 $d = 2p = 2(-2) = -4$입니다.

[3단계] $a_2 + a_4 + a_6 + a_8$의 값 산출
각 짝수 항은 대응하는 홀수 항보다 공차 $d$만큼 큽니다:
\[(a_2 + a_4 + a_6 + a_8) - (a_1 + a_3 + a_5 + a_7) = 4d = 4(-4) = -16\]
\[a_2 + a_4 + a_6 + a_8 = 24 + (-16) = 8\]

정답: $8$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	합의 식으로부터 첫째항 $p+20$, 공차 $2p$인 등차수열 일반항을 유도한 경우	8점
2단계	조건 (나)를 이용하여 상수 $p = -2$ 및 공차 $d = -4$를 구한 경우	8점
3단계	등차수열의 성질을 이용하여 $a_2+a_4+a_6+a_8 = 8$을 정확히 계산한 경우	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

$S_n$이 상수항 없는 이차식이면 첫째항부터 온전한 등차수열을 이룬다는 성질과 짝수항의 차이 4d를 활용하면 계산을 크게 단축할 수 있습니다.

🎯 [최종 정답]$8$

【문제 4】 원문 요약 — 등비수열의 합과 지수 감소 모델링 [배점 25점]

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]

다음은 신종 바이러스에 대처하기 위해 개발된 백신에 대한 설명이다.

(가) 최초 백신 접종 전 이 신종 바이러스에 대한 면역력은 0이다.

(나) 최초 백신 접종 후 1년마다 1회씩 주기적으로 접종한다.

(다) 새롭게 백신을 접종하는 즉시 면역력은 $A$만큼 증가한다. (단, $A \gt 0$이다.)

(라) 새롭게 접종한 백신에 의한 면역력은 접종 후 $t$년이 경과한 시점에 $A \times (1/2)^t$이 된다. (단, $t \gt 0$이다.)

(마) 백신을 여러 차례 접종한 경우, 총 면역력은 그간 접종한 각 백신에 의한 면역력을 모두 더한 값이다.

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 4 · 총 25점

💡 단계별 핵심 풀이 과정

[1단계] $n$차 접종 직전의 총 면역력 $a_n$의 일반항 도출
$a_1 = 0$이고, $n \ge 2$일 때 $n$차 접종 직전의 면역력은 이전까지 접종한 $1$차부터 $(n-1)$차까지의 백신의 잔여 면역력의 합입니다.
$k$차 접종 백신은 $n$차 접종 시점까지 $(n-k)$년이 경과하였으므로 잔여 면역력은 $A\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}$입니다.
따라서 등비수열의 합 공식에 의해:
\[a_n = \sum_{k=1}^{n-1} A\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k} = \sum_{j=1}^{n-1} A\left(\frac{1}{2}\right)^j = A \frac{\frac{1}{2}\left(1 - (1/2)^{n-1}\right)}{1 - 1/2} = A\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right)\]

[2단계] 면역력 유지 부등식 조건 해석
백신 접종 후 다음 접종 직전까지 1년 동안 총 면역력은 단조감소합니다.
따라서 $n$회 접종 이후부터 총 면역력이 항상 $0.8A$ 이상으로 계속 유지되려면, 접종 주기 중 가장 낮은 시점인 '(n+1)차 접종 직전의 총 면역력 $a_{n+1}$'이 $0.8A$ 이상이어야 합니다.
\[a_{n+1} = A\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) \ge 0.8A\]

[3단계] 최소 접종 횟수 $n$의 결정
$A \gt 0$이므로 양변을 $A$로 나누면:
\[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \ge 0.8 \implies \left(\frac{1}{2}\right)^n \le 0.2 = \frac{1}{5} \implies 2^n \ge 5\]
이를 만족시키는 가장 작은 자연수는 $n = 3$ ($2^3 = 8 \ge 5$)입니다.
따라서 $3$회 접종 이후부터 총 면역력이 $A \times 0.8$ 이상으로 계속 유지됩니다.

정답: $3$회

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	등비수열의 합을 이용하여 $n$차 접종 직전의 면역력 $a_n = A\{1-(1/2)^{n-1}\} (n \ge 2)$을 유도한 경우	8점
2단계	면역력 유지를 위해 $a_{n+1} \ge 0.8A \iff 2^n \ge 5$ 부등식을 세우고 최소 횟수 $n=3$회를 정확히 밝힌 경우	8점
3단계	최종 조건 검증 및 정답 확정	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

지수 감소 함수에서 최솟값은 다음 접종 직전($a_{n+1}$)에 발생하므로 부등식 대상을 $a_{n+1}$로 설정해야 함을 명시해야 합니다.

🎯 [최종 정답]$3$회

🎯 전형 방식: 논술 100% (전 모집단위 학생부 미반영 일괄합산) 📌 수능최저 기준: 서울캠퍼스(Language & AI융합): 국·수·영·탐(1) 2합 4, 한국사 4등급 / 글로벌캠퍼스: 수능최저 없음

희망 지원 모집단위 선택

수능최저학력기준 충족 여부 체크 (서울캠퍼스(Language & AI융합): 국·수·영·탐(1) 2)

문항 1 (25점)

문항 2 (25점)

문항 3 (25점)

문항 4 (25점)

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모집단위	모집인원	명목경쟁률	실질경쟁률	최초합 평균	70% 충원컷	수능최저 기준	실시간 합격 판정
Language & AI융합학부	14명	46.8:1	18.5:1	88.0점	85.0점	국·수·영·탐(1) 중 2개 합 4, 한국사 4등급	판정 대기
AI데이터융합학부	18명	32.5:1	26.4:1	86.5점	83.5점	수능최저학력기준 없음	판정 대기
컴퓨터공학부	24명	34.2:1	27.8:1	87.0점	84.0점	수능최저학력기준 없음	판정 대기
정보통신공학과	15명	28.6:1	23.1:1	84.5점	81.5점	수능최저학력기준 없음	판정 대기
반도체전자공학부	20명	30.4:1	24.8:1	85.5점	82.5점	수능최저학력기준 없음	판정 대기
산업경영공학과	14명	26.8:1	21.6:1	83.5점	80.5점	수능최저학력기준 없음	판정 대기
바이오메디컬공학부	14명	29.2:1	23.8:1	84.8점	81.8점	수능최저학력기준 없음	판정 대기
생명공학과	12명	27.5:1	22.2:1	83.8점	80.8점	수능최저학력기준 없음	판정 대기
화학과	10명	23.4:1	18.9:1	81.5점	78.5점	수능최저학력기준 없음	판정 대기
수학과	10명	24.8:1	20.1:1	82.5점	79.5점	수능최저학력기준 없음	판정 대기
통계학과	12명	26.2:1	21.3:1	83.2점	80.2점	수능최저학력기준 없음	판정 대기
전자물리학과	10명	22.6:1	18.2:1	80.8점	77.8점	수능최저학력기준 없음	판정 대기
환경학과	10명	21.4:1	17.3:1	79.8점	76.8점	수능최저학력기준 없음	판정 대기
디지털콘텐츠학부	12명	25.4:1	20.6:1	82.0점	79.0점	수능최저학력기준 없음	판정 대기

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📋 실전 모의고사 1회~10회 회차별 자기주도 성취도 기록표 (인쇄용 체크시트)

회차	실전 응시일	소요 시간	원점수 / 100점
제1회	2026. . .	분	/ 100
제2회	2026. . .	분	/ 100
제3회	2026. . .	분	/ 100
제4회	2026. . .	분	/ 100
제5회	2026. . .	분	/ 100
제6회	2026. . .	분	/ 100
제7회	2026. . .	분	/ 100
제8회	2026. . .	분	/ 100
제9회	2026. . .	분	/ 100
제10회	2026. . .	분	/ 100

RULE 1

원칙 1. 교과서 정의·정리 우선 선언
답안 첫 줄에 사용할 교과서 정리(사잇값 정리, 평균값 정리, 미분가능성 정의, 조건부확률 곱셈정리 등)를 명시하여 1단계 배점(30%)을 확정하십시오.

RULE 2

원칙 2. 대학 미적분학 과정 공식 사용 철저 배제
고교 교육과정을 벗어난 대학 과정 정리나 무근거 근사식 사용은 채점 기준에서 감점 또는 무효 처리되므로 반드시 교과서 성질만으로 논증하십시오.

RULE 3

원칙 3. 동치 변형과 정의역·부호 경계 조건 명시
로그의 밑·진수 조건, 무리식·분수식의 분모 조건, 치환 변수의 새로운 범위(예: $-1 \le t \le 1$)를 빠짐없이 기록하십시오.

RULE 4

원칙 4. 소문항 간 단계적 연계 구조 활용
앞선 소문항 (1)의 결론은 소문항 (2), (3)을 해결하는 핵심 힌트입니다. (1)이 막히더라도 (1)의 결과를 가정하고 (2)의 식을 세우면 부분점수를 획득할 수 있습니다.

RULE 5

원칙 5. 도형·그래프 보조 문자의 명확한 정의
답안지에 새로운 점·각·길이를 도입할 때는 '점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하자'와 같이 기호의 정의를 한 문장으로 선언하십시오.

RULE 6

원칙 6. 실전 시간 배분 및 검산 루틴 엄수
전체 시험 시간(80분) 중 마지막 10분은 부호 오류, 기약분수 약분 여부, 최종 답란 이기 누락을 점검하는 전용 검산 시간으로 확보하십시오.

RULE 7

원칙 7. 깔끔한 단락 구분과 최종 결론 강조
단계별 번호([1단계], [2단계], [결론])를 줄바꿈하여 가독성을 높이고 최종 수식을 명확히 제시하여 채점위원이 즉시 득점 포인트를 확인하게 하십시오.

📘 2027학년도 한국외국어대학교 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

• 편찬 및 발행: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술·약술형논술 연구소 | 공식 플랫폼: https://questio.co.kr

• 상호: 퀘스티오(QUESTIO) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449

• 교육과정 준거: 교과서 기반 수학과 교육과정 (Textbook DB V1.0 · JEV-REA-ARGON 7대 무결성 검증 통과)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	역함수와의 교점이 직선 \(y = x\) 위에 있음을 파악하고 두 교점 \((-1, -1), (1, 1)\)을 대입하여 연립방정식을 세운 경우	3점
2단계	연립방정식을 정확히 풀어 상수 \(a = 5/3\), \(b = \log_2(3/4)\)를 구하고 함수식을 완성한 경우	4점
3단계	\(y = 3\)을 대입하여 지수방정식을 풀고 최종 교점의 \(x\)좌표 \(x = 9\)를 정확히 도출한 경우	3점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	도함수로부터 삼차함수 식 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + C\) 및 극값 \(f(1)=4+C, f(3)=C\)를 구한 경우	4점
2단계	\|f(x)\|의 미분불가점이 3개일 조건으로 \(f(1)f(3) \lt 0\)을 제시하고 \(-4 \lt C \lt 0\)을 도출한 경우	4점
3단계	\(f(0)=C\)의 정수 조건에서 \(C=-1, -2, -3\)을 찾고 \(f(1)\)의 합 \(6\)을 정확히 계산한 경우	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	직선 \(\mathrm{BA}_n\)의 기울기로부터 \(\angle \mathrm{OBA}_n = 3\pi/4\) 및 대변의 길이 \(\overline{\mathrm{OA}_n} = \sqrt{2n^2+2n+1}\)을 구한 경우	4점
2단계	사인법칙을 정확히 적용하여 외접원의 넓이 일반항 \(a_n = \pi(n^2+n+1/2)\)를 유도한 경우	5점
3단계	자연수 거듭제곱의 합 공식을 적용하여 \(\sum_{n=1}^{10} a_n = 445\pi\)를 정확히 계산한 경우	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	실수 \(t\)의 범위(\(t \le -1,\; -1 \lt t \lt 1,\; t \ge 1\))에 따른 구간별 최댓값 함수 \(g(t)\)를 정확히 도출한 경우	6점
2단계	정적분 구간을 세 영역으로 올바르게 분할하여 적분 식을 세운 경우	6점
3단계	각 구간별 정적분을 정확히 계산하여 최종 합 \(11/3\)을 도출한 경우	6점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	\(n=1\)일 때 \(27^2+36^2=45^2\)임을 제시하여 기저 단계가 성립함을 보인 경우	3점
2단계	\(n=k\)일 때 \(a^2+b^2=(45^k)^2\)을 만족하는 자연수 \((a,b)\)의 존재를 가정한 경우	3점
3단계	양변에 \(45^2\)을 곱하여 \((45a)^2+(45b)^2=(45^{k+1})^2\)을 유도하고 귀납 증명을 완결한 경우	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	직사각형 넓이 8 및 비례배분을 통해 \(S_1 = 40/9\)를 올바르게 계산한 경우	4점
2단계	정적분 식을 세우고 우함수·기함수 성질을 이용해 \(S_1 = 4 - 4a/3\)를 정확히 유도한 경우	5점
3단계	일차방정식을 풀어 최종 상수 \(a = -1/3\)을 정확히 도출한 경우	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	부등식 \((x-2a)f(x) \ge 0\)과 \(f(a)=0\)으로부터 \(f(x) = (x-a)^2(x-2a)\)임을 논리적으로 증명한 경우	5점
2단계	도함수를 구해 극소점의 위치 \(x = 5a/3\) 및 극솟값 \(-4a^3/27\)을 유도한 경우	5점
3단계	방정식 \(-4a^3/27 = -500\)을 풀어 양수 \(a = 15\)를 정확히 도출한 경우	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	합의 관계식으로부터 홀수 항 등차수열 \(a_{2n+1}=3n+1\)과 짝수 항 등비수열 \(a_{2n+2}=2^n\)을 유도한 경우	4점
2단계	각각의 수열의 합 공식을 적용하여 홀수 항 합 144와 짝수 항 합 1022를 계산한 경우	3점
3단계	초기항 \(a_1+a_2=3\)과 합산하여 최종 \(S_{20} = 1169\)를 정확히 도출한 경우	3점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	샌드위치 정리(조임 정리)를 이용하여 \(f(x)\)가 최고차항 계수 1인 이차식임을 증명한 경우	4점
2단계	분수식 극한으로부터 \(f(1)=0\) 및 \(c = 1\)을 구하여 \(f(x) = x^2 - 1\)을 완성한 경우	3점
3단계	조건 (가) 부등식 만족 여부를 확인하고 \(f(2) = 3\)을 정확히 계산한 경우	3점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	부호 조건으로부터 삼차함수 식 \(f(x) = 12x(x-2)(x-\alpha)\) (\(0 \le \alpha \le 2\))를 수립한 경우	4점
2단계	정적분을 이용하여 넓이 함수 \(S(\alpha) = -2\alpha^4+8\alpha^3-16\alpha+16\)을 정확히 유도한 경우	5점
3단계	도함수의 부호 변화를 조사하여 \(\alpha = 1\)에서 최솟값 \(S(1) = 6\)을 정확히 도출한 경우	5점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	(1) 귀류법 가정을 세우고 사차식의 도함수 \(f'(-1/2) = -11/2 \neq 0\)의 모순을 명확히 증명한 경우	10점
2단계	(2) \(a=0\)일 때 원점 중심 원 \(x^2+y^2=4\)의 유일 교점을 증명한 경우	4점
3단계	(2) \(a \neq -1/2, a \neq 0\)일 때 법선과 \(y=x\)의 교점 \(\mathrm{Q}\)를 중심으로 하는 원의 존재성을 증명한 경우	6점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	조건 (가)로부터 \(f(x) = 2x^3+ax^2+bx+c\) 및 \(f'(x) = 6x^2+2ax+b\)를 설정한 경우	3점
2단계	조건 (나) 분모 0 극한에서 \(f'(0)=b=0\) 및 \(2a=2 \implies a=1\)을 도출한 경우	3점
3단계	완성된 도함수 \(f'(x)=6x^2+2x\)에 \(x=2\)를 대입하여 \(f'(2) = 28\)을 계산한 경우	3점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	조건 (가), (나)로부터 \(f(x) = x^3+ax^2+bx+8\) 및 \(f(1)=3 \implies a+b=-6\)을 유도한 경우	3점
2단계	적분식의 양변을 미분하여 \(f'(1) = 0 \implies 2a+b=-3\)을 유도한 경우	3점
3단계	연립방정식으로 \(a=3, b=-9\)를 구하고 \(f(2) = 10\)을 정확히 계산한 경우	3점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	방정식을 세워 교점 \(x = -3, 1, 3\)을 정확히 도출한 경우	3점
2단계	절댓값 함수와 삼차함수의 상하 관계를 고려해 3개 적분 구간으로 분할 식을 세운 경우	4점
3단계	각 구간별 정적분을 정확히 계산하여 최종 넓이 \(208\)을 도출한 경우	3점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	\(n=1\)일 때 \(a_1^2+2 = 3 = 3^1\)로 성립함을 보인 경우	3점
2단계	\(n=k\)일 때 \(a_k^2+2 = 3^k b\) (자연수 \(b\)) 가정을 설정한 경우	3점
3단계	대수적 전개를 통해 \(a_{k+1}^2+2 = 3^{k+1}(3^{2k-1}b^3-b)\)를 정확히 유도하고 귀납 증명을 완결한 경우	6점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	방정식을 세워 교점의 \(x\)좌표 \(x = -2, 0, 2\)를 구한 경우	3점
2단계	구간별 정적분 식을 세우거나 기함수 대칭성을 이용해 \(2\int_0^2(4x-x^3)dx\)를 수립한 경우	3점
3단계	정적분을 정확히 계산하여 최종 넓이 \(8\)을 도출한 경우	3점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	\(n=1\)일 때 \(81 = 16 \times 5 + 1\)로 성립함을 보인 경우	3점
2단계	\(n=k\)일 때 \(9^{2k} = 2^{k+3}q + 1\) (정수 \(q\)) 가정을 설정한 경우	2점
3단계	제곱 전개를 통해 \(9^{2(k+1)} = 2^{k+4}(2^{k+2}q^2+q)+1\)을 유도하고 증명을 완결한 경우	4점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	점 \(\mathrm{A, C}\)의 좌표로부터 선분 \(\mathrm{AC} = 2\) 및 정삼각형 성질을 파악한 경우	3점
2단계	점 \(\mathrm{B}(\alpha-\sqrt{3}, 1+\log_3\alpha)\)를 대입하여 \(\alpha = \frac{3\sqrt{3}}{2}\)를 도출한 경우	4점
3단계	\(\alpha \times 3^\beta = \alpha^2 = \frac{27}{4}\)를 정확히 계산한 경우	3점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	직선 \(\mathrm{OA}: 4x+y=0\) 및 점과 직선 사이의 거리 공식으로 높이 \(h(t) = \frac{\|t^3-3t^2\|}{\sqrt{17}}\)를 세운 경우	4점
2단계	도함수를 구해 \(t = 2\)에서 높이의 최댓값 \(\frac{4}{\sqrt{17}}\)을 정확히 도출한 경우	5점
3단계	삼각형 넓이 공식에 대입하여 최종 최댓값 \(6\)을 계산한 경우	3점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1]	\((\log_a n - 1)\)의 \(n\)제곱근 중 실수의 개수 \(f(n)\)을 홀·짝으로 분류하여 \(a = 4\)를 정확히 도출	12점
소문항 [2] (전반)	극한 조건으로부터 사차함수 인수 \(f(x) = (x+1)(x-2)Q(x)\) 및 \(Q(-1) \lt 0,\; Q(2) \gt 0\) 규명	7점
소문항 [2] (후반)	정수 실근의 합(\(\alpha+\beta=3\))과 중근 배제 조건으로부터 네 정수 실근 \(-1, 0, 2, 3\) 및 곱 \(0\) 완결	6점

🎯 맞춤형 범위 선택 PDF 출력 / 인쇄

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1]	\(a_1 = 30\), 공차가 정수인 등차수열에서 \(T_n = \|S_n\|\)일 때 \(T_{10}=T_{11}\)을 만족한다. \(T_n \gt T_{n+1}\)인 \	12점
소문항 [2] (전반)	핵심 조건식 수립 및 대수·미적분 전개	7점
소문항 [2] (후반)	구간별 지수함수 \(f(x)\)의 그래프 위의 점 중 \(y\)좌표가 정수인 점의 개수가 32일 때 정수 \(a\)의 값을 구하시오. 완결	6점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
소문항 [1]	\(g(x)\)가 실수 전체에서 연속이 되도록 하는 상수 \(a\)의 개수가 4일 때 모든 정수 \(n\)의 값의 합을 구하시오.	12점
소문항 [2] (전반)	핵심 조건식 수립 및 대수·미적분 전개	7점
소문항 [2] (후반)	\(f(x)=a\sin bx+c\)가 \(f(0)\le 10\)이고 \(f(x)=a^2\)의 실근이 5개일 때 \(a \times b \times c\) 완결	6점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	이차방정식 근의 공식 및 치역 조건으로부터 \(\sin(t^2-1) = (\sqrt{5}-1)/2\)를 구한 경우	8점
2단계	구간 \(-1 \le t^2-1 \le 35\) 내의 사인 방정식의 실근 개수가 12개임을 도출한 경우	8점
3단계	각 실근에 대해 \(t = \pm\sqrt{1+\theta}\)로 2개씩 대응됨을 밝혀 총 24개를 구한 경우	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	치환 \(t = \log_x y\)을 통해 \(2 \le t \lt 3\) 및 가능한 자연수 \(K = 3, 4, 5, 6\)을 특정한 경우	8점
2단계	유리수 조건으로부터 \(K^2+72\)가 완전제곱수인 \(K=3, t=2\)를 유일하게 도출한 경우	8점
3단계	이진 전개 유일성에 의해 \(a_n = 0\), \(b_1 = 1, b_{n \ge 2} = 0\)을 구하고 합 \(1\)을 계산한 경우	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	\(n=1\)일 때 좌우극한의 불일치를 보여 불연속(\(\langle f_1 \rangle = -1\))임을 증명한 경우	8점
2단계	\(n=2\)일 때 연속이지만 좌우미분계수가 달라 미분불가(\(\langle f_2 \rangle = 0\))임을 증명한 경우	8점
3단계	\(n \ge 3\)일 때 미분계수가 0으로 존재함(\(\langle f_n \rangle = 1\))을 보여 총합 97을 도출한 경우	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	이차부등식이 모든 실수에서 성립할 조건으로 판별식 \(D \le 0\)을 제시한 경우	8점
2단계	판별식을 풀어 \(-1/2 \le \cos\theta \le 1/2\) 범위를 정확히 도출한 경우	8점
3단계	\(0 \le \theta \le \pi\)에서 \(\pi/3 \le \theta \le 2\pi/3\)을 구하고 \(\alpha+\beta = \pi\)를 계산한 경우	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표를 매개변수화하여 거리 제곱 함수 \(f(x) = x^4/16-x^2/2+9\)를 세운 경우	8점
2단계	도함수 \(f'(x) = x(x-2)(x+2)/4 = 0\)으로부터 극값 후보 \(x = 0, 2\)를 구한 경우	8점
3단계	네 점의 함숫값을 비교하여 최댓값 \(a^2 = 153/16\), 최솟값 \(b^2 = 8\) 및 곱 \(153/2\)를 계산한 경우	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	지수방정식을 변형하여 \(4^r + 4^{-r} = 2^{20/n} - 2\) 관계식을 유도한 경우	8점
2단계	자연수 조건으로부터 \(n\)이 20의 진약수 \(\{1, 2, 4, 5, 10\}\)임을 도출한 경우	8점
3단계	실수 \(r\)의 실근 존재성을 확인하고 모든 자연수 \(n\)의 합 \(22\)를 계산한 경우	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	조건 (라), (마)로부터 \(mn = 18\)의 자연수 순서쌍 및 \(\alpha+\beta = 1\)을 도출한 경우	8점
2단계	로그의 성질을 적용하여 \(ab = 10^{(m+n)+1}\) 및 최댓값 \(10^{20}\), 최솟값 \(10^{10}\)을 특정한 경우	8점
3단계	최댓값과 최솟값의 곱 \(10^{30}\)으로부터 지수 \(k = 30\)을 정확히 계산한 경우	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	정적분 구간 성질로 \(130 = a_1 r^{2019}(r^4-1)\) 및 \(90 = a_1 r^{2021}(r^2-1)\)을 유도한 경우	8점
2단계	두 식의 나눗셈을 통해 \(r^2 = 9/4 \implies r = \pm 3/2\)를 구한 경우	8점
3단계	조건 \(a_1 \lt 0\)과 부호 일치 조건으로부터 \(r = -3/2\)임을 결론지은 경우	9점