2027학년도 한국항공대학교 자연계열 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

QUESTIO 2027 GOLDEN MASTER SERIES 교과서 기반 교육과정 완벽 반영 · 총 141쪽 단권화

2027학년도 대학별고사 공식 기출 5개년 + 실전 모의고사 10회분 합본

2027학년도 한국항공대학교
자연계열 수리논술
10회분 통합 마스터 문제집·해설집

출제 범위: 교과서 기반 교육과정 수학 전 범위 (Textbook DB SSOT)
시험 시간: 90분 | 전형 반영: 논술 100% 일괄합산 (수능최저학력기준 적용)

📘 [골드 마스터 단권화 핵심 편찬 체계 — 총 141쪽 완결]

• 표지 & 2027 합격 전략 심층 가이드 (2p): 5개년 출제 경향 · 역대 킬러 TOP 5 분석 & 모의 6~10회 1:1 매칭

• Part 1. 2022~2026학년도 5개년 기출 심층 해설 (41p): 기출 원문 + 교과서 DB 유사연습 + 채점 루브릭 (20문항)

• Part 2-1. 실전 모의고사 1~10회 문제집 (53p): 출제 타당성 보고서(2p) + 실전 시험지 + 회차별 종합 분석 매트릭스(10p)

• Part 2-2. 실전 모의고사 1~10회 문제·풀이·루브릭 합본 해설집 (41p): 40문항 전수 아코디언 정밀 해설

• Part 3. 합격 진단 인터랙티브 대시보드 (4p): 실시간 자가채점기 · 전 모집단위 입결 판정표 · QR 시뮬레이터

📱 스마트폰 실시간 합격진단 & 올인원 대시보드 연동

우측 QR 스캔 또는 상단 툴바 버튼으로 한국항공대학교 실시간 컷오프 시뮬레이터와 즉시 동기화됩니다.

발행처: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술연구소 | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 | 코드: QUESTIO-2027-UNIFIED-MASTER

전형 반영 비율

논술 100% 일괄합산 (수능최저학력기준 적용)

논술 실질 변별력 핵심

시험 시간 · 문항

90분 · 4문항

회차당 수리 100점 만점

수능최저학력기준

모집단위별 기준 확인

국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내

출제 교육과정

교과서 기반 수학과

Textbook DB V1.0 완벽 준거

STEP 1기출 5개년 해부Part 1 정독

STEP 2표준 모의 1~5회실전 시간 엄수

STEP 3킬러 모의 6~10회TOP 5 심화 격파

STEP 4루브릭 약점 교정감점 요인 제거

STEP 5입결 컷오프 판정Part 3 시뮬레이션

🔥 역대 킬러 문항 TOP 5 분석 & 실전 모의고사 6~10회 1:1 심화 매칭표

순위	기출 원천 문항	핵심 출제 테마 및 변별 포인트	모의 1:1 매칭	부분점수 공략 전략
TOP 1	2026 공학계열 문항 1	연속·미분가능성과 매개변수 곡선 호의 길이·정적분	제6회 핵심 문항	1단계 교과서 공식 명시 선언 후 동치 조건 전개
TOP 2	2026 공학계열 문항 2	사인·코사인법칙 내접 도형과 정적분 단면 부피 극한	제7회 핵심 문항	1단계 교과서 공식 명시 선언 후 동치 조건 전개
TOP 3	2025 공학계열 문항 1	역함수 미분법과 부분적분 수열 점화식 극한	제8회 핵심 문항	1단계 교과서 공식 명시 선언 후 동치 조건 전개
TOP 4	2025 이학계열 문항 2	삼차·사차함수 접선 개수와 절댓값 정적분 최소	제9회 핵심 문항	1단계 교과서 공식 명시 선언 후 동치 조건 전개
TOP 5	2024 공학계열 문항 2	원·삼각함수 극한 도형과 치환적분 항등식	제10회 핵심 문항	1단계 교과서 공식 명시 선언 후 동치 조건 전개

📌 본 통합 마스터북 100% 활용 5단계 로드맵

STAGE 1

1단계(Part 1 공학·이학 5개년 기출 20문항 2면 스프레드 분석)

STAGE 2

2단계(Part 2-1 실전 모의고사 1~5회 90분 실전 답안 작성)

STAGE 3

3단계(모의고사 6~10회 심화 문항 및 세부 부분점수 루브릭 점검)

STAGE 4

4단계(Part 3 항공운항·항공우주·AI융합 15개 모집단위 합격 판정).

PART 1 · OFFICIAL PAST EXAM ANALYSIS

2022~2026학년도 한국항공대학교
공식 기출 심층 해설 & 교과서 1:1 연계

최근 5개년 기출 핵심 20문항을 교과서 기반 교육과정 Textbook DB V1.0 성취기준과 1:1 매칭하여 출제 원리와 채점 루브릭을 완벽 해부합니다.

📖 교과서 DB 직결: 모든 문항에 실제 검증된 교과서 단원·쪽수·성취기준(CITE_06) 수록

📊 단계별 채점 루브릭 탑재: 부분점수 득점 급소와 감점 방지 논술 클리닉 완벽 제공

✍️ 자기주도 아코디언 토글: 문제 독립 풀이 후 원클릭으로 모범답안 확인 가능

📚 과목/단원: 함수의 극한과 미분가능성, 매개변수 곡선의 이동거리, 정적분 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2026학년도 공학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때, $(a, b)$의 모든 $x$에 대하여
(1) $f'(x) \gt 0$이면 $f(x)$는 $[a, b]$에서 증가한다. (2) $f'(x) \lt 0$이면 $f(x)$는 $[a, b]$에서 감소한다.

나) 삼각함수의 덧셈정리: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

다) 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서 위치 $(x, y)$가 $x = f(t),\ y = g(t)$일 때, 시각 $t = a$에서 $t = b$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리 $s$는 \[ \begin{aligned} &s = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt = \int_a^b \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2}\,dt \end{aligned} \]

라) 함수 $f(x)$가 어떤 구간에 속하는 모든 실수에서 연속일 때, $f(x)$는 그 구간에서 연속 또는 그 구간에서 연속함수라고 한다. 특히 함수 $f(x)$가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, $f(x)$는 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이라 한다.
(i) 열린구간 $(a, b)$에서 연속이다. (ii) $\lim_{x \to a+} f(x) = f(a), \quad \lim_{x \to b-} f(x) = f(b)$

[문제 1-1] 양의 실수에서 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 - 4x^2 + 5x - 2}{x^2 - 1} & (x \ne 1) \\ a & (x = 1) \end{cases}$ 이 $x = 1$에서 미분가능할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $a$는 상수이다.)

(1) $a$의 값을 구하시오.

(2) $f'(1)$의 값을 구하시오.

(3) 제시문 가)를 이용하여 함수 $f(x)$가 증가하는 구간을 모두 구하시오.

[문제 1-2] 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서 위치 $(x, y)$가 \[ \begin{aligned} &x = (1 + \cos 2t)\cos 2t, \quad y = (1 + \cos 2t)\sin 2t \end{aligned} \] 일 때, 제시문 나)와 다)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $\dfrac{dy}{dx}$를 구하시오.

(2) 시각 $t = \dfrac{\pi}{2}$에서 $t = \dfrac{3\pi}{2}$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직일 때, 점 $\mathrm{P}$의 속력이 최대가 되는 시각 $t$를 구하고 이때의 점 $\mathrm{P}$의 위치를 구하시오.

(3) 시각 $t = \dfrac{\pi}{2}$에서 $t = \dfrac{3\pi}{2}$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리를 구하시오.

[문제 1-3] 음이 아닌 실수 $a$에 대하여 \[ \begin{aligned} &I(a) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin\theta}{1 + a\cos\theta}\,d\theta \end{aligned} \] 일 때, 제시문 가)와 라)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $I(2)$의 값을 구하시오.

(2) $x \ge 0$에서 함수 $I(x)$가 연속인지 불연속인지 조사하시오.

(3) $x \ge 0$에서 함수 $I(x)$의 증가와 감소를 조사하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 11011 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-04]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = \dfrac{x^3 - 3x + 2}{x - 1}$ ($x \ne 1$)이 $x = 1$에서 연속이 되도록 하는 $f(1)$의 값과, 매개변수 $x = t^2, \ y = \dfrac{2}{3}t^3$ ($0 \le t \le 1$)의 곡선의 길이를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] ① $f(x) = (x-1)(x+2)$이므로 $\lim_{x\to 1} f(x) = 0$, 따라서 $f(1) = 0$. ② $\dfrac{dx}{dt} = 2t, \dfrac{dy}{dt} = 2t^2$에서 $L = \int_0^1 \sqrt{4t^2 + 4t^4}\,dt = \int_0^1 2t\sqrt{1+t^2}\,dt = \left[\dfrac{2}{3}(1+t^2)^{3/2}\right]_0^1 = \dfrac{2(2\sqrt{2}-1)}{3}$.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 2026학년도 공학계열 문제 1 (50점) (함수의 극한과 미분가능성, 매개변수 곡선의 이동거리, 정적분) [배점 50점]

2026학년도 자연계열 2026학년도 공학계열 문제 1 (50점) — 한국항공대 2026학년도 공학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 2026학년도 공학계열 문제 1 (50점) · 총 50점

【2026학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-1, 1-2) [배점 : 1-1 (15점) / 1-2 (15점)]

[정답 1-1] (총 15점) — (1) $a$의 값 (5점) / (2) $f'(1)$의 값 (5점) / (3) $f(x)$의 증가 구간 (5점)

(1) $a$의 값 (5점): $x \ne 1$에서 함수 $f(x)$의 분자를 인수분해하면 $x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = (x-1)^2(x-2)$, 분모를 인수분해하면 $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ [1점].
따라서 $x \ne 1$에서 $f(x) = \dfrac{(x-1)^2(x-2)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{(x-1)(x-2)}{x+1} = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x+1}$ [2점].
$x=1$에서 미분가능하므로 연속이다. $a = \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x-2)}{x+1} = 0$이므로 $a = 0$이다 [2점].
(2) $f'(1)$의 값 (5점): (1)에 의해 $x \gt 0$일 때 $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x+1}$이다 [1점]. 분자를 $N(x) = x^2 - 3x + 2$, 분모를 $D(x) = x + 1$이라 하면, \[ \begin{aligned} &f'(x) = \frac{N'(x)D(x) - N(x)D'(x)}{\{D(x)\}^2} = \frac{(2x-3)(x+1) - (x^2-3x+2)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 5}{(x+1)^2} \quad [2\text{점}] \\ &f'(1) = \frac{1+2-5}{(1+1)^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \quad [2\text{점}] \end{aligned} \]

[다른 풀이] 미분계수의 정의 이용:
$f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(1+\Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\dfrac{\Delta x(\Delta x - 1)}{\Delta x + 2}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta x - 1}{\Delta x + 2} = -\dfrac{1}{2}$ [2점]

(3) 함수 $f(x)$가 증가하는 구간 (5점): $f'(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 5}{(x+1)^2} = 0$에서 $x = \sqrt{6} - 1$ ($x \gt 0$) [2점]. 증감표를 만들면 다음과 같다:

$x$	$0$	$\cdots$	$\sqrt{6}-1$	$\cdots$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$(2)$	$\searrow$	$2\sqrt{6}-5$	$\nearrow$

따라서 함수 $f(x)$는 구간 $[\sqrt{6} - 1, \infty)$에서 증가한다 [3점].
답: (1) $a = 0$ (2) $f'(1) = -\dfrac{1}{2}$ (3) $[\sqrt{6} - 1, \infty)$

[정답 1-2] (총 15점) — (1) $dy/dx$ (5점) / (2) 속력 최대 시각 $t$ 및 위치 (6점) / (3) 이동 거리 (4점)

$x = (1 + \cos 2t)\cos 2t = \cos 2t + \cos^2 2t$, $y = (1 + \cos 2t)\sin 2t = \sin 2t + \cos 2t\sin 2t$.
(1) $\dfrac{dy}{dx}$를 $t$에 대한 식 (5점): $x(t), y(t)$를 $t$로 미분하면 \[ \begin{aligned} &\frac{dx}{dt} = -2\sin 2t - 4\sin 2t\cos 2t = -2\sin 2t - 2\sin 4t, \qquad \frac{dy}{dt} = 2\cos 2t - 2\sin^2 2t + 2\cos^2 2t = 2\cos 2t + 2\cos 4t \quad [3\text{점}] \\ &\therefore \ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2\cos 2t + 2\cos 4t}{-2\sin 2t - 2\sin 4t} = -\frac{\cos 2t + \cos 4t}{\sin 2t + \sin 4t} \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] (2) 점 $\mathrm{P}$의 속력 $v$가 최대가 되는 시각 $t$ 및 위치 (6점): \[ \begin{aligned} &v = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{4\sin^2 2t + 8\sin 2t\sin 4t + 4\sin^2 4t + 4\cos^2 2t + 8\cos 2t\cos 4t + 4\cos^2 4t} \\ &\quad = 2\sqrt{2 + 2(\sin 2t\sin 4t + \cos 2t\cos 4t)} = 2\sqrt{2 + 2\cos 2t} \\ &\quad = (2\sqrt{2})\sqrt{2\cos^2 t} = -4\cos t \quad \left(\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{3\pi}{2}\right) \cdots \text{①} \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] 식 ①에서 속력 $v$가 최대인 시각은 $t = \pi$ [2점]이고, 이때 점 $\mathrm{P}$의 위치는 $(2, 0)$이다 [1점].
(3) 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리 (4점): $\dfrac{\pi}{2} \le t \le \dfrac{3\pi}{2}$에서 $|\cos t| = -\cos t$이므로
$s = 4\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} |\cos t|\,dt = 4\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} (-\cos t)\,dt$ [2점] $= -4\Big[\sin t\Big]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} = -4\{(-1) - 1\} = 8$ [2점].
답: (1) $-\dfrac{\cos 2t + \cos 4t}{\sin 2t + \sin 4t}$ (2) $t = \pi$, 위치 $(2, 0)$ (3) $8$

【2026학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-3) [배점 : 1-3 (20점)]

[정답 1-3] (1) $I(2)$의 값 (4점)

$u = 1 + 2\cos\theta$로 치환하면, $\dfrac{du}{d\theta} = -2\sin\theta$이고, $\theta = 0$일 때 $u = 3$, $\theta = \dfrac{\pi}{2}$일 때 $u = 1$이므로 [1점] \[ \begin{aligned} &I(2) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin\theta}{1 + 2\cos\theta}\,d\theta = \int_3^1 \frac{-1}{2u}\,du = \frac{1}{2}\int_1^3 \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\Big[\ln|u|\Big]_1^3 = \frac{\ln 3}{2} \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] 답: $I(2) = \dfrac{\ln 3}{2}$

[정답 1-3] (2) $x \ge 0$에서 함수 $I(x)$가 연속인지 불연속인지 조사 (8점)

$x = 0$일 때, $I(0) = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta\,d\theta = \Big[-\cos\theta\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1$ [1점].
$x \gt 0$일 때, $u = 1 + x\cos\theta$로 치환하면 $\dfrac{du}{d\theta} = -x\sin\theta$이고, $\theta = 0$일 때 $u = x+1$, $\theta = \dfrac{\pi}{2}$일 때 $u = 1$이므로 \[ \begin{aligned} &I(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin\theta}{1 + x\cos\theta}\,d\theta = -\frac{1}{x}\int_{x+1}^1 \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{x}\int_1^{x+1} \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{x}\Big[\ln|u|\Big]_1^{x+1} = \frac{\ln(x+1)}{x} \quad (x \gt 0) \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] 따라서 $I(x) = \begin{cases} 1 & (x = 0) \\ \dfrac{\ln(x+1)}{x} & (x \gt 0) \end{cases}$이고, $x \gt 0$이면 $\ln(x+1)$과 $\dfrac{1}{x}$는 연속이므로 $I(x)$는 연속이다 [2점].
또한 $x = 0$일 때, $\lim_{x \to 0+} I(x) = \lim_{x \to 0+} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1 = I(0)$이므로, $I(x)$는 $x \ge 0$에서 연속이다 [2점].
답: $I(x)$는 $x \ge 0$에서 연속이다.

[정답 1-3] (3) $x \ge 0$에서 함수 $I(x)$의 증가와 감소를 조사 (8점)

$x \gt 0$에서 $I(x) = \dfrac{\ln(x+1)}{x}$를 미분하면: \[ \begin{aligned} &I'(x) = -\frac{\ln(x+1)}{x^2} + \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x+1} = \frac{x - (x+1)\ln(x+1)}{x^2(x+1)} \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] $I'(x)$의 분자를 $N(x) = x - (x+1)\ln(x+1)$, 분모를 $D(x) = x^2(x+1)$라 하자. $x \gt 0$에서 $D(x) \gt 0$이므로 $I'(x)$의 부호와 $N(x)$의 부호는 같다.
$N(0) = 0$이고, $N'(x) = 1 - \ln(x+1) - 1 = -\ln(x+1)$이므로 $x \gt 0$일 때 $N'(x) \lt 0$, 즉 $x \gt 0$에서 $N(x) \lt 0$이다 [3점].
$x \gt 0$일 때 $I'(x) \lt 0$이고, $x \ge 0$일 때 $I(x)$는 연속이므로 제시문 가)에 의해 $x \ge 0$에서 $I(x)$는 감소한다 [2점].

[다른 풀이] 임의의 실수 $x_1 \lt x_2$ ($x_1, x_2 \in [0, \infty)$)와 $0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$에서 $\cos\theta \ge 0, \ \sin\theta \ge 0$이므로 $x_1\cos\theta \le x_2\cos\theta$ [2점].
따라서 $\dfrac{\sin\theta}{1 + x_1\cos\theta} \ge \dfrac{\sin\theta}{1 + x_2\cos\theta}$ (양 끝점 제외 시 부등호 성립) [2점]이므로
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin\theta}{1 + x_1\cos\theta}\,d\theta \gt \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin\theta}{1 + x_2\cos\theta}\,d\theta$가 성립하여 $I(x)$는 감소한다 [4점].

답: $x \ge 0$에서 함수 $I(x)$는 감소한다.

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

매개변수 미분법 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{g'(t)}{f'(t)}$ 적용 시 분모 $f'(t) \ne 0$임을 서두에 반드시 선언해야 2점 감점을 예방할 수 있습니다.

정답:최종 정답 요약 (1-1) $a = 0, \ g'(0) = 2$ | (1-2) $L = \dfrac{2\sqrt{2}-1}{3}$ | (1-3) 최솟값 $\dfrac{1}{4}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

한국항공대 2026학년도 공학계열 문제 1 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 삼각함수, 코사인법칙, 수열의 합과 급수 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2026학년도 공학계열 문제 2 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned} &\frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = \frac{\overline{\mathrm{CA}}}{\sin B} = \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C} \end{aligned} \]

나) 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned} &\overline{\mathrm{AB}}^2 = \overline{\mathrm{BC}}^2 + \overline{\mathrm{CA}}^2 - 2\overline{\mathrm{BC}} \times \overline{\mathrm{CA}} \times \cos C \\ &\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{CA}}^2 + \overline{\mathrm{AB}}^2 - 2\overline{\mathrm{CA}} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \cos A \\ &\overline{\mathrm{CA}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{BC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{BC}} \times \cos B \end{aligned} \]

다) 삼각함수의 덧셈정리: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$, $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

라) 세 수 $a, b, c$가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, $b$를 $a$와 $c$의 등차중항이라고 한다. 이때 $b = \dfrac{a+c}{2}$임을 알 수 있다.

마) 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라고 하고, 그 일정한 수를 공비라고 한다.

[문제 2-1] 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 각 변의 길이를 $\overline{\mathrm{BC}} = a, \ \overline{\mathrm{CA}} = b, \ \overline{\mathrm{AB}} = c$라 하자. $a, b, c$는 이 순서대로 공비가 $r$인 등비수열을 이룬다. $\sin(B - A), \ \sin A, \ \sin C$는 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 다음의 (1)~(4)를 $r$에 대한 식으로 나타내고, (1)~(4)를 이용하여 (5)의 물음에 답하시오.

(1) $\cos A$ (2) $\cos B$ (3) $\dfrac{\sin B}{\sin A}$ (4) $\dfrac{\sin C}{\sin A}$ (5) $r^2$의 값을 구하시오.

[그림] 정사각형 $\mathrm{ABCD}$와 $\triangle\mathrm{QCB}$

[문제 2-2] 그림과 같이 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 내부에 점 $\mathrm{P}$가 있다. $\overline{\mathrm{PA}} = 5, \ \overline{\mathrm{PB}} = 8, \ \overline{\mathrm{PC}} = 13$이다. $\triangle\mathrm{PAB}$를 점 $\mathrm{B}$를 중심으로 시계 방향으로 $90^\circ$ 회전시킨 삼각형을 $\triangle\mathrm{QCB}$라고 하자.
다음을 구하시오.

(1) $\overline{\mathrm{PQ}}$

(2) $\cos(\angle\mathrm{CPQ})$

(3) $\sin(\angle\mathrm{CPQ})$

(4) $\cos(\angle\mathrm{BPC})$

(5) (1)~(4)를 이용하여 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11012 변형 | 성취기준: 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-05]

【유사 연습 문제】 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 4, \ \overline{\mathrm{AC}} = 5, \ \angle\mathrm{A} = 60^\circ$일 때, 변 $\mathrm{BC}$의 길이와 외접원의 반지름 $R$의 길이를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] ① 코사인법칙에 의해 $\overline{\mathrm{BC}}^2 = 4^2 + 5^2 - 2\cdot 4\cdot 5\cos 60^\circ = 16 + 25 - 20 = 21$, 따라서 $\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{21}$. ② 사인법칙에 의해 $2R = \dfrac{\sqrt{21}}{\sin 60^\circ} = \dfrac{\sqrt{21}}{\sqrt{3}/2} = 2\sqrt{7}$, 따라서 $R = \sqrt{7}$.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 2026학년도 공학계열 문제 2 (50점) (삼각함수, 코사인법칙, 수열의 합과 급수) [배점 50점]

2026학년도 자연계열 2026학년도 공학계열 문제 2 (50점) — 한국항공대 2026학년도 공학계열 문제 2 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 2026학년도 공학계열 문제 2 (50점) · 총 50점

【2026학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-1, 2-2) [배점 : 2-1 (25점) / 2-2 (25점)]

[문제 2-1] 예시 답안 (총 25점)

(1) 코사인법칙에 의해 $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{(ar)^2 + (ar^2)^2 - a^2}{2\cdot ar \cdot ar^2} = \dfrac{r^4 + r^2 - 1}{2r^3}$ [3.5점]
(2) 코사인법칙에 의해 $\cos B = \dfrac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} = \dfrac{(ar^2)^2 + a^2 - (ar)^2}{2\cdot ar^2 \cdot a} = \dfrac{r^4 - r^2 + 1}{2r^2}$ [3.5점]
(3) 사인법칙에 의해 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$이므로 $\dfrac{\sin B}{\sin A} = \dfrac{b}{a} = \dfrac{ar}{a} = r$ [2.5점] (4) 사인법칙에 의해 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C}$이므로 $\dfrac{\sin C}{\sin A} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{ar^2}{a} = r^2$ [2.5점]
(5) $\sin(B-A), \ \sin A, \ \sin C$는 순서대로 등차수열을 이루므로 $2\sin A = \sin(B-A) + \sin C$.
삼각함수의 덧셈정리를 적용하면 $2\sin A = \sin B\cos A - \sin A\cos B + \sin C$ [4점].
(1)~(4)의 결과를 적용하고 $\sin A \ne 0$으로 양변을 나누면: \[ \begin{aligned} &2 = r\frac{r^4+r^2-1}{2r^3} - \frac{r^4-r^2+1}{2r^2} + r^2 = \frac{r^4+r^2-1}{2r^2} - \frac{r^4-r^2+1}{2r^2} + r^2 \\ &\quad = 1 - \frac{1}{r^2} + r^2 \implies r^4 - r^2 - 1 = 0 \quad [5\text{점}] \end{aligned} \] $r^2 = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$인데, $r^2 \gt 0$이므로 $r^2 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ [4점].
답: (1) $\dfrac{r^4+r^2-1}{2r^3}$ (2) $\dfrac{r^4-r^2+1}{2r^2}$ (3) $r$ (4) $r^2$ (5) $r^2 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

[그림] $\triangle\mathrm{PAB} \equiv \triangle\mathrm{QCB}$

[문제 2-2] 예시 답안 (총 25점)

(1) $\triangle\mathrm{PAB} \equiv \triangle\mathrm{QCB}$이므로 $\overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{QB}}$이고, $90^\circ$ 회전이므로 $\angle\mathrm{PBQ} = 90^\circ$.
삼각형 $\mathrm{PBQ}$는 직각이등변삼각형이므로 $\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{2}\cdot\overline{\mathrm{PB}} = 8\sqrt{2}$ [4점].
(2) $\triangle\mathrm{CPQ}$에서 코사인법칙에 의해 ($\overline{\mathrm{QC}} = \overline{\mathrm{PA}} = 5$): \[ \begin{aligned} &\cos(\angle\mathrm{CPQ}) = \frac{\overline{\mathrm{PC}}^2 + \overline{\mathrm{PQ}}^2 - \overline{\mathrm{QC}}^2}{2\cdot\overline{\mathrm{PC}}\cdot\overline{\mathrm{PQ}}} \\ &\quad = \frac{13^2 + (8\sqrt{2})^2 - 5^2}{2\cdot 13\cdot 8\sqrt{2}} = \frac{136}{104\sqrt{2}} = \frac{17}{13\sqrt{2}} = \frac{17\sqrt{2}}{26} \quad [5\text{점}] \end{aligned} \] (3) $\angle\mathrm{CPQ} \in (0, \pi)$이므로 $\sin(\angle\mathrm{CPQ}) \gt 0$이다.
$\sin(\angle\mathrm{CPQ}) = \sqrt{1 - \left(\dfrac{17\sqrt{2}}{26}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{98}{676}} = \dfrac{7}{13\sqrt{2}} = \dfrac{7\sqrt{2}}{26}$ [5점].
(4) $\cos(\angle\mathrm{BPC}) = \cos(\angle\mathrm{CPQ} + 45^\circ) = \cos(\angle\mathrm{CPQ})\cos 45^\circ - \sin(\angle\mathrm{CPQ})\sin 45^\circ$
$\quad = \dfrac{17\sqrt{2}}{26}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{7\sqrt{2}}{26}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{5}{13}$ [5점].
(5) 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는
$\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{PC}}^2 + \overline{\mathrm{PB}}^2 - 2\cdot\overline{\mathrm{PC}}\cdot\overline{\mathrm{PB}}\cdot\cos(\angle\mathrm{BPC}) = 13^2 + 8^2 - 2\cdot 13\cdot 8\cdot\dfrac{5}{13} = 153$ [6점].
답: (1) $8\sqrt{2}$ (2) $\dfrac{17\sqrt{2}}{26}$ (3) $\dfrac{7\sqrt{2}}{26}$ (4) $\dfrac{5}{13}$ (5) $153$

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

코사인법칙에서 둔각삼각비의 부호($\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$) 처리에 유의하고, 사인법칙과의 상호 연계를 명시하십시오.

정답:최종 정답 요약 (2-1) $\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{21}, \ R = \sqrt{7}$ | (2-2) 수렴값 $S = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

한국항공대 2026학년도 공학계열 문제 2 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 함수의 극한과 연속, 삼차함수 그래프의 접선 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2026학년도 이학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 미분가능한 함수 $y = f(x)$의 도함수는 \[ \begin{aligned} &f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \end{aligned} \]

나) 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 두 근을 $\alpha, \ \beta$라고 하면 \[ \begin{aligned} &\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a} \end{aligned} \]

다) 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라 하고, 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다. 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라고 하면
$r \ne 1$일 때, $S_n = a\dfrac{(1 - r^n)}{1 - r}$ $r = 1$일 때, $S_n = na$

라) 함수 $y = \sin x$는 주기가 $2\pi$인 주기 함수이다.

[문제 1-1] 두 함수 $f(x), \ g(x)$가 미분가능할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 제시문 가)를 이용하여 다음이 성립함을 보이시오.
$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

(2) 함수 $g(x) = (x^2 + 1)f(x)$에 대하여 $g'(1)$의 값을 구하시오. (단, $f(1) = 2, \ f'(1) = 1$)

[문제 1-2] 이차방정식 $4x^2 - 2x + 1 = 0$의 두 근을 $\alpha, \ \beta$라 하자. $a_n = \alpha^n + \beta^n$일 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{100} a_n$의 값을 구하시오.

[문제 1-3] $\dfrac{1}{32} \le x \le 1$에서 정의된 함수 $f(x) = \sin\left(\pi\log_2 x + \dfrac{\pi}{4}\right) + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$에 대하여 함수 $y = f(x)$의 그래프와 $x$축의 모든 교점의 $x$좌표의 합을 구하시오.

[문제 1-4] 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열 $\{a_n\}$이 있다. $a_3 = 100$일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $1 \le a \le 100, \ r \gt 0$)

(1) $-(\log a)^3 + (\log a_2)^2$을 $a$에 대한 식으로 나타내시오.

(2) (1)에서 구한 식을 $f(a)$라 할 때, 함수 $f(a)$의 최댓값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 11013 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-02-01]

【유사 연습 문제】 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 위의 점 $(1, 0)$에서의 접선의 방정식과, 이 접선이 곡선과 다시 만나는 점의 좌표를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] ① $f'(x) = 3x^2 - 6x$이므로 $f'(1) = -3$. 접선의 방정식은 $y - 0 = -3(x - 1) \implies y = -3x + 3$. ② 곡선과 연립: $x^3 - 3x^2 + 2 = -3x + 3 \implies (x - 1)^2(x - 1) = 0$이므로 삼중근 아닌 교점은 $x = 1$ 외에 $(x-1)^2(x-1)=0$ 정리 시 다른 교점 $(1, 0)$ 외 $x = 1$ (변곡접선).

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 2026학년도 이학계열 문제 1 (50점) (함수의 극한과 연속, 삼차함수 그래프의 접선) [배점 50점]

2026학년도 자연계열 2026학년도 이학계열 문제 1 (50점) — 한국항공대 2026학년도 이학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 2026학년도 이학계열 문제 1 (50점) · 총 50점

【2026학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-1 ~ 1-4) [배점 : 1-1(11점) / 1-2(13점) / 1-3(13점) / 1-4(13점)]

[답안 1-1] (11점) — (1) 곱의 미분법 증명 (7.7점) / (2) $g'(1)$의 값 (3.3점)

(1) (7.7점): \[ \begin{aligned} &\{f(x)g(x)\}' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} \\ &\quad = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) \boxed{- f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h)} - f(x)g(x)}{h} \\ &\quad = \lim_{h \to 0} \frac{\{f(x+h)-f(x)\}g(x+h) + f(x)\{g(x+h)-g(x)\}}{h} \\ &\quad = \boxed{\lim_{h \to 0} \frac{\{f(x+h)-f(x)\}g(x+h)}{h}} + \boxed{\lim_{h \to 0} \frac{f(x)\{g(x+h)-g(x)\}}{h}} \\ &\quad = \lim_{h \to 0} \frac{\{f(x+h)-f(x)\}}{h} \times \lim_{h \to 0} g(x+h) + \lim_{h \to 0} f(x) \times \lim_{h \to 0} \frac{\{g(x+h)-g(x)\}}{h} \\ &\quad = \boxed{f'(x)g(x) + f(x)g'(x)} \end{aligned} \] ※ 별해(두 번째 줄): $= \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h) \boxed{- f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x)} - f(x)g(x)}{h}$
(2) (3.3점): $g'(x) = \dfrac{d}{dx}\{(x^2+1)f(x)\} = \{(x^2+1)\}'f(x) + (x^2+1)f'(x) = 2xf(x) + (x^2+1)f'(x)$.
$g'(1) = (2\times 1)f(1) + (1^2+1)f'(1) = 2f(1) + 2f'(1) = 2(2) + 2(1) = 6$. 답: (2) $6$

[답안 1-2] (13점)

근과 계수와의 관계에 따라서 $\alpha + \beta = \dfrac{1}{2}, \ \alpha\beta = \dfrac{1}{4}$이므로
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = \dfrac{1}{4} - 2\times\dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{4}$, $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = \dfrac{1}{8} - \dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}$.
또한 $(2x+1)(4x^2-2x+1) = 0$이므로 $x^3 = -\dfrac{1}{8}$이다. 따라서 $a_1 + a_2 + a_3 = 0$이고, $a_4 + a_5 + a_6 = -\dfrac{1}{8}(a_1 + a_2 + a_3) = 0$이며,
자연수 $n$에 대하여 $a_{3n+1} + a_{3n+2} + a_{3n+3} = -\dfrac{1}{8}(a_{3n-2} + a_{3n-1} + a_{3n}) = 0$이므로 \[ \begin{aligned} &\sum_{n=1}^{100} a_n = a_{100} = \alpha^{100} + \beta^{100} = (\alpha^{33})^3\alpha + (\beta^{33})^3\beta = (\alpha^3)^{33}(\alpha + \beta) = \left(-\frac{1}{8}\right)^{33} \times \frac{1}{2} = -\frac{1}{2^{100}} \end{aligned} \] 답: $-\dfrac{1}{2^{100}}$ (별해: 각 $\alpha, \beta$의 복소수값을 구해 패턴을 찾아 푼 경우 등 모두 정답 처리)

[답안 1-3] (13점)

$\dfrac{1}{32} \le x \le 1$이므로 $-5 \le \log_2 x \le 0$, 즉 $-\dfrac{19\pi}{4} \le \pi\log_2 x + \dfrac{\pi}{4} \le \dfrac{\pi}{4}$. $\sin\left(\pi\log_2 x + \dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$에서:
$\pi\log_2 x + \dfrac{\pi}{4} = \boxed{-\dfrac{3}{4}\pi}$ 또는 $\boxed{-\dfrac{1}{4}\pi}$, $\boxed{-\dfrac{11}{4}\pi}$ 또는 $\boxed{-\dfrac{9}{4}\pi}$, $\boxed{-\dfrac{19}{4}\pi}$ 또는 $\boxed{-\dfrac{17}{4}\pi}$.
따라서 $x = \dfrac{1}{2}, \ \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \ \dfrac{1}{8}, \ \dfrac{\sqrt{2}}{8}, \ \dfrac{1}{32}, \ \dfrac{\sqrt{2}}{32}$이므로 모든 교점의 $x$좌표의 합은 $\dfrac{21}{32}(1 + \sqrt{2})$. 답: $\dfrac{21}{32}(1 + \sqrt{2})$

[답안 1-4] (13점) — (1) $a$에 대한 식 (5점) / (2) $f(a)$의 최댓값 (8점)

(1) (5점): $a_1 = a, \ a_3 = ar^2 = 100 \implies \log(ar^2) = \log 100 \implies \log a + 2\log r = 2 \implies \log r = \dfrac{2 - \log a}{2}$.
따라서 $-(\log a)^3 + (\log a_2)^2 = -(\log a)^3 + \left(\log a + \dfrac{2 - \log a}{2}\right)^2 = -(\log a)^3 + \left(1 + \dfrac{\log a}{2}\right)^2$.
(2) (8점): $t = \log a$라 하면 $1 \le a \le 100$에서 $0 \le t \le 2$이고, $g(t) = -t^3 + \left(1 + \dfrac{t}{2}\right)^2$.
$g'(t) = -3t^2 + \dfrac{1}{2}t + 1 = 0$에서 $t = \dfrac{2}{3}$ 또는 $t = -\dfrac{1}{2}$이므로 $0 \le t \le 2$에서 $t = \dfrac{2}{3}$. 증감표는 다음과 같다:

$t$	$0$	$\cdots$	$\frac{2}{3}$	$\cdots$	$2$
$g'(t)$		$+$	$0$	$-$
$g(t)$	$1$	$\nearrow$	$\frac{40}{27}$	$\searrow$	$-4$

$t = \dfrac{2}{3}$에서 최댓값 $\dfrac{40}{27}$. 답: (1) $-(\log a)^3 + \left(1 + \dfrac{\log a}{2}\right)^2$ (2) $\dfrac{40}{27}$

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

곡선 밖의 점에서 그은 접선 문항은 접점의 좌표를 $(t, f(t))$로 놓고 접선 방정식을 세운 뒤 주어진 점을 대입하는 표준 전개를 따르십시오.

정답:최종 정답 요약 (1-1) 접선 $y = -3x + 3$ | (1-2) 교점의 좌표 $(1, 0)$ | (1-3) 극댓값 2, 극솟값 -2

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

한국항공대 2026학년도 이학계열 문제 1 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 등차수열, 지수·로그 부등식과 영역의 격자점 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2026학년도 이학계열 문제 2 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

나) 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $f(x)$의 부정적분 중의 하나를 $F(x)$라고 하면 $f(x)$의 $a$부터 $b$까지의 정적분은 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$

다) 함수의 극한의 성질: $\lim_{x \to a} f(x) = L, \ \lim_{x \to a} g(x) = M$ ($L, M$은 실수)일 때,
(1) $\lim_{x \to a} cf(x) = cL$ ($c$는 상수) (2) $\lim_{x \to a} \{f(x) + g(x)\} = L + M$ (3) $\lim_{x \to a} \{f(x) - g(x)\} = L - M$
(4) $\lim_{x \to a} f(x)g(x) = LM$ (5) $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$ ($M \ne 0$) ※ $x \to a-, \ x \to a+, \ x \to \infty, \ x \to -\infty$일 때도 성립한다.

[문제 2-1] 함수 $f(x) = x|(x-1)(x+1)|$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 제시문 가)를 이용하여 함수 $f(x)$의 증가와 감소를 조사하시오.

(2) 함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = k$가 만나는 점의 개수가 $2$일 때, 실수 $k$의 값을 모두 구하시오.

[문제 2-2] $-3 \le x \le 1$에서 정의된 함수 $f(x) = ax^2 - 2(a^2+1)x + 2a^2 - a + 3$ ($a$는 실수)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $s \gt 0, \ t \gt 0$일 때, 부등식 $\dfrac{s+t}{2} \ge \sqrt{st}$가 성립함을 보이시오.

(2) (1)의 부등식을 이용하여 실수 $a$의 값에 관계없이 함수 $f(x)$의 최솟값이 일정함을 보이시오.

[문제 2-3] 다항함수 $f(x)$에 대하여 $f(x) = -4x^3 + \left\{\dfrac{3}{2}x\displaystyle\int_0^1 tf'(t)\,dt\right\}^2 - 2x + \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt$가 성립할 때, 함수 $f(x)$를 모두 구하시오.

[그림] 영역 $A_k$와 $B_k$

[문제 2-4] 함수 $f(x) = \begin{cases} x & (x \ge 0) \\ x^2 & (x \lt 0) \end{cases}$과 함수 $g(x) = -kx + 2k^2$ ($k \gt 0$)이 있다.
두 함수 $y = f(x), \ y = g(x)$의 그래프가 만나는 두 교점의 $x$좌표는 각각 $\alpha, \ \beta$ ($\alpha \lt \beta$)이고 두 함수 $y = f(x), \ y = g(x)$의 그래프로 둘러싸인 영역은 $y$축에 의해 그림과 같이 $A_k$와 $B_k$의 두 부분으로 나뉜다. 다음 물음에 답하시오.

(1) 도형 $A_k$의 넓이를 $S(k)$, 도형 $B_k$의 넓이를 $T(k)$라 할 때, $\lim_{k \to \infty} \dfrac{S(k)}{T(k)}$의 값을 구하시오.

(2) $k = 1$일 때, 점 $(\alpha, f(\alpha))$를 지나고 도형 $B_1$의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 탐구 11014 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수03-01]

【유사 연습 문제】 첫째항이 3이고 공차가 4인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^n a_k \gt 200$을 만족하는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $S_n = \dfrac{n\{2\cdot 3 + (n-1)4\}}{2} = n(2n+1) = 2n^2 + n$. $2n^2 + n \gt 200$에서 $n=10$일 때 $200+10 = 210 \gt 200$, $n=9$일 때 $162+9 = 171 \lt 200$. 따라서 자연수 $n$의 최솟값은 10.

【문항 요약】 2026학년도 자연계열 2026학년도 이학계열 문제 2 (50점) (등차수열, 지수·로그 부등식과 영역의 격자점) [배점 50점]

2026학년도 자연계열 2026학년도 이학계열 문제 2 (50점) — 한국항공대 2026학년도 이학계열 문제 2 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2026 2026학년도 이학계열 문제 2 (50점) · 총 50점

【2026학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-1, 2-2) [배점 : 2-1 (12점) / 2-2 (13점)]

[답안 2-1] (12점) — (1) $f(x)$의 증가와 감소 조사 (9점) / (2) 교점 2개인 실수 $k$ (3점)

풀이) (1) (9점): $x \lt -1, \ -1 \le x \lt 1, \ x \ge 1$의 구간으로 나누어 증가하는 구간과 감소하는 구간을 찾을 수 있다.
i) $x \lt -1$일 때: $f(x) = x(x-1)(x+1) = x^3 - x$이므로 $f'(x) = 3x^2 - 1 = 3\left(x - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x + \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$이다. 이때 $x \lt -1$의 구간에서 $f'(x) \gt 0$ [2점].
ii) $-1 \le x \lt 1$일 때: $f(x) = -x(x-1)(x+1) = -x^3 + x$이므로 $f'(x) = -3x^2 + 1 = -3\left(x - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x + \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ [2점].
iii) $x \ge 1$일 때: $f(x) = x(x-1)(x+1) = x^3 - x$이므로 $f'(x) = 3x^2 - 1$이고, $x \ge 1$의 구간에서 $f'(x) \gt 0$ [2점].

$x$	$\cdots$	$-1$
$f'(x)$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$(0)$

$x$	$-1$	$\cdots$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\cdots$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\cdots$	$1$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$0$	$\searrow$	$-\frac{2\sqrt{3}}{9}$	$\nearrow$	$\frac{2\sqrt{3}}{9}$	$\searrow$	$(0)$

$x$	$1$	$\cdots$
$f'(x)$		$+$
$f(x)$	$0$	$\nearrow$

[그림] $y=f(x)$와 직선 $y=k$

따라서 증가하는 구간은 $(-\infty, -1], \ \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right], \ [1, \infty)$이고, 감소하는 구간은 $\left[-1, -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right], \ \left[\dfrac{\sqrt{3}}{3}, 1\right]$이다 [3점] (증감표 대신 그래프 그린 경우 인정).
(2) (3점): 오른쪽 그림과 같이 직선 $y = k$와 $y = f(x)$가 만나는 점의 개수가 $2$이므로 $k = -\dfrac{2\sqrt{3}}{9}, \ k = \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$이다 [3점].
답: (1) 증가: $(-\infty,-1], \left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right], [1,\infty)$, 감소: $\left[-1,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right], \left[\frac{\sqrt{3}}{3},1\right]$ (2) $k = \pm\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$

[답안 2-2] (13점) — (1) 산술·기하평균 부등식 증명 (3점) / (2) 최솟값 일정 증명 (10점)

풀이) (1) (3점): $s \gt 0, \ t \gt 0$일 때, \[ \begin{aligned} &\frac{s+t}{2} - \sqrt{st} = \frac{(\sqrt{s})^2 - 2\sqrt{st} + (\sqrt{t})^2}{2} = \frac{(\sqrt{s} - \sqrt{t})^2}{2} \ge 0 \implies \frac{s+t}{2} \ge \sqrt{st} \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] (2) (10점):
i) $a = 0$일 때: $y = -2x + 3$은 $-3 \le x \le 1$에서 감소하므로 $x = 1$에서 최솟값 $1$을 갖는다 [2점].
ii) $a \gt 0$일 때: $y = a\left(x - \left(a + \dfrac{1}{a}\right)\right)^2 - \dfrac{(a^2+1)^2}{a} + 2a^2 - a + 3$이므로 꼭짓점의 $x$좌표는 $a + \dfrac{1}{a}$이다.
$a \gt 0$이고 $\dfrac{1}{a} \gt 0$이므로 (1)에 의해 $a + \dfrac{1}{a} \ge 2$이다. 즉, 꼭짓점의 $x$좌표가 $2$보다 크거나 같으므로 아래로 볼록인 이차함수 $f(x)$는 $-3 \le x \le 1$의 범위에서 꼭짓점의 $x$좌표에서 가장 가까이 있는 $x = 1$에서 최솟값을 갖고, 이때 최솟값은 $f(1) = 1$이다 [4점].
iii) $a \lt 0$일 때: 꼭짓점의 $x$좌표는 $a + \dfrac{1}{a}$이다. $b = -a$라 하면 $b \gt 0, \ \dfrac{1}{b} \gt 0$이므로 (1)에 의해 $b + \dfrac{1}{b} \ge 2$이고, $a + \dfrac{1}{a} = -\left(b + \dfrac{1}{b}\right) \le -2$이다.
꼭짓점의 $x$좌표가 $-2$보다 작거나 같으므로 위로 볼록인 이차함수 $f(x)$는 $-3 \le x \le 1$의 범위에서 꼭짓점의 $x$좌표에서 가장 멀리 있는 $x = 1$에서 최솟값을 갖고, 이때 최솟값은 $f(1) = 1$이다 [4점].
따라서 i), ii), iii)에 의해 실수 $a$의 값에 관계없이 함수 $f(x)$의 최솟값은 $1$로 일정하다.
답: $a$의 값에 관계없이 $x = 1$에서 최솟값 $f(1) = 1$로 일정함 증명 완료

【2026학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-3, 2-4) [배점 : 2-3 (12점) / 2-4 (13점)]

[답안 2-3] (12점)

$a = \left(\dfrac{3}{2}\displaystyle\int_0^1 tf'(t)\,dt\right)^2$이고 $b = \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt$라 하면 $f(x) = -4x^3 + ax^2 - 2x + b$이다 [3점]. $f'(x) = -12x^2 + 2ax - 2$이므로: \[ \begin{aligned} &a = \left(\frac{3}{2}\int_0^1 (-12t^3 + 2at^2 - 2t)\,dt\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\left[-3t^4 + \frac{2a}{3}t^3 - t^2\right]_0^1\right)^2 = (a - 6)^2 \\ &\implies a^2 - 13a + 36 = 0 \implies a = 4 \ \text{또는} \ a = 9 \quad [4\text{점}] \end{aligned} \] 이때 $b = \displaystyle\int_0^2 (-4t^3 + at^2 - 2t + b)\,dt = -20 + \dfrac{8}{3}a + 2b$이므로 $b = 20 - \dfrac{8}{3}a$ [3점]. 따라서 $a = 4$일 때 $b = \dfrac{28}{3}$, $a = 9$일 때 $b = -4$이다 [2점].

<다른 풀이 예시> $f'(x) = -12x^2 + ax - 2$로 두면 $a = \dfrac{9}{2}\left(\displaystyle\int_0^1 tf'(t)\,dt\right)^2 = \dfrac{9}{2}\left(-4 + \dfrac{a}{3}\right)^2$에서 $a = 8$ 또는 $a = 18$ [7점],
$b = 20 - \dfrac{4}{3}a$에서 동일한 두 다항함수 도출 [5점].

답: $f(x) = -4x^3 + 4x^2 - 2x + \dfrac{28}{3}$ 또는 $f(x) = -4x^3 + 9x^2 - 2x - 4$

[문제 2-4] (13점) — (1) 넓이의 비의 극한 (7점) / (2) $B_1$의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기 (6점)

풀이) (1) (7점): $x \lt 0$일 때 $y = x^2$과 $y = -kx + 2k^2$의 교점의 $x$좌표는 $x = -2k$이다.
따라서 $A_k$의 넓이는 $S(k) = \displaystyle\int_{-2k}^0 (-x^2 - kx + 2k^2)\,dx = \dfrac{10}{3}k^3$이다 [3점].
$x \gt 0$일 때 $y = x$와 $y = -kx + 2k^2$의 교점의 $x$좌표는 $x = \dfrac{2k^2}{k+1}$이다. $B_k$는 $y$절편($2k^2$)이 밑변이고 높이가 교점의 $x$좌표인 삼각형이므로
$T(k) = \dfrac{1}{2}\cdot 2k^2 \cdot \dfrac{2k^2}{k+1} = \dfrac{2k^4}{k+1}$이다 [2점].
따라서 $\lim_{k \to \infty} \dfrac{S(k)}{T(k)} = \lim_{k \to \infty} \left(\dfrac{10}{3}k^3 \times \dfrac{k+1}{2k^4}\right) = \lim_{k \to \infty} \dfrac{5(k+1)}{3k} = \dfrac{5}{3}$이다 [2점].
(2) (6점): $k = 1$일 때 $\alpha = -2$이므로 점 $(-2, 4)$를 지나고 $B_1$의 넓이를 이등분하는 직선을 $l: y - 4 = m(x + 2)$ (기울기 $m$)라 하자.
직선 $l$과 $y = x$의 교점의 $x$좌표는 $x - 4 = m(x + 2) \implies x = \dfrac{2m+4}{1-m}$이고 $y$절편은 $2m + 4$이다.
$k = 1$일 때 $B_1$의 넓이는 $T(1) = 1$이므로 이등분된 삼각형 넓이 $\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\times(2m+4)\times\dfrac{2m+4}{1-m} \implies 4m^2 + 17m + 15 = 0 \implies m = -3$ 또는 $m = -\dfrac{5}{4}$ [4점].
그런데 이 직선의 기울기는 $-2 \lt m \lt -1$이어야 하므로 $m = -\dfrac{5}{4}$이다 [2점]. (다른 풀이: $y = mx + b$에 $(-2,4)$ 대입하여 $b = 2m+4$로 푸는 방법 동일 인정)
답: (1) $\dfrac{5}{3}$ (2) $-\dfrac{5}{4}$

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

부등식의 영역에서 경계선 포함 여부(등호 유무)를 정확히 확인하고 자연수 범위 조건을 반드시 기재하십시오.

정답:최종 정답 요약 (2-1) $n = 10$ | (2-2) 순서쌍의 개수 28개 | (2-3) 최댓값 64

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[2-1 (12점)] (1) 절댓값을 포함한 함수의 그래프를 이해하여 구간에 따라 나누고, 미분을 활용하여 그래프 개형 또는 증감표를 통해 증가·감소 구간을 구하면	9점
2단계	(2) 미분을 활용하여 그래프의 개형 또는 증감표를 통해 주어진 함수의 그래프와 직선이 만나는 점의 개수가 $2$개인 $k$의 값을 구하면	3점
3단계	[2-2 (13점)] (1) 주어진 절대부등식을 논리적으로 오류가 없이 증명하면	3점
4단계	(2) 일차함수($a=0$)일 때 최솟값이 일정함을 보이면 (2점) / (1)을 이용하여 $a \gt 0$일 때 보이면 (4점) / $a \lt 0$일 때 보이면 (4점)	10점
5단계	[2-3 (12점)] 항등식의 성질을 이용하여 다항함수로 표현하면 (3점) / 다항함수의 미분과 정적분을 이용하여 다항함수를 구하면 (9점)	12점
6단계	[2-4 (13점)] (1) 정적분을 이용하여 도형 $A_k$의 넓이를 구하면 (3점) / 도형 $B_k$의 넓이를 구하면 (2점) / 함수의 극한값을 구하면 (2점)	7점
7단계	(2) 직선의 방정식을 활용하여 도형 $B_1$의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기를 구하면	6점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

한국항공대 2026학년도 이학계열 문제 2 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 방정식과 부등식, 수열의 극한, 미분법과 적분법 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2025학년도 공학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 수렴하는 두 수열 $\{a_n\}, \ \{b_n\}$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha, \ \lim_{n \to \infty} b_n = \beta$일 때, 수열 $\{c_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \le c_n \le b_n$이고 $\alpha = \beta$이면 수열 $\{c_n\}$은 수렴하고 $\lim_{n \to \infty} c_n = \alpha$이다.

나) 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
$y - f(a) = f'(a)(x - a)$

다) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면 \[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x = \int_a^b f(x)\,dx \qquad \left(\text{단, } \Delta x = \frac{b-a}{n}, \ x_k = a + k\Delta x\right) \end{aligned} \]

[문제 1-1] 수열 $\{a_n\}$에 대하여 이차함수 $y = 2x^2 - 5(n+2)x + 3a_n$의 그래프는 $x$축과 만나고, 이차함수 $y = 2x^2 - 5nx + 3a_n$의 그래프는 $x$축과 만나지 않는다고 할 때, $\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n^2}$의 값을 구하시오.

[문제 1-2] 함수 $f(x) = (x - 5)e^x$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(k, f(k))$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

(2) 함수 $f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내고, 이를 이용하여 $f(x)$의 극값을 구하시오.

(3) 점 $(a, 0)$에서 곡선 $y = f(x)$에 서로 다른 두 개의 접선을 그을 수 있을 때, $a$의 값의 범위를 구하시오.

[문제 1-3] 제시문 다)를 이용하여 함수 $f(x) = \ln 3x$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n \left(\frac{2}{3n+2k}\right) f\left(3 + \frac{2k}{n}\right)$의 값을 구하시오.

[문제 1-4] 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수의 그래프의 개형을 이용하여 두 함수 $y = \ln x$와 $y = \dfrac{1}{2x}$의 그래프의 교점의 개수를 구하시오.

(2) 양의 실수 $t$에 대하여 두 함수 $f(x) = (4t^4 + 3t^2 + 1)\ln(x - t), \ g(x) = 3e^{2x - a}$의 그래프가 오직 한 점 $\mathrm{A}$에서 만나고 점 $\mathrm{A}$에서 두 그래프에 동시에 접하는 접선이 존재하도록 하는 실수 $a$의 값을 $h(t)$라 하자. $h'(2)$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11021 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]

【유사 연습 문제】 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x) = 3x^2 - 6x$이고 $f(0) = 2$일 때, 닫힌구간 $[0, 3]$에서 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. $f'(x) = 0 \implies x = 0, 2$. $f(0) = 2, \ f(2) = 8 - 12 + 2 = -2, \ f(3) = 27 - 27 + 2 = 2$. 따라서 최댓값은 2, 최솟값은 -2.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 2025학년도 공학계열 문제 1 (50점) (방정식과 부등식, 수열의 극한, 미분법과 적분법) [배점 50점]

2025학년도 자연계열 2025학년도 공학계열 문제 1 (50점) — 한국항공대 2025학년도 공학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

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📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 2025학년도 공학계열 문제 1 (50점) · 총 50점

【2025학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-1, 1-2) [배점 : 1-1 (8점) / 1-2 (10점)]

[답안 1-1] (총 8점)

이차함수 $y = 2x^2 - 5(n+2)x + 3a_n$의 그래프가 $x$축과 만나므로 이차방정식 $2x^2 - 5(n+2)x + 3a_n = 0$의 판별식을 $D_1$이라 하면 \[ \begin{aligned} &D_1 = \{-5(n+2)\}^2 - 4 \times 2 \times 3a_n = 25(n+2)^2 - 24a_n \ge 0 \implies a_n \le \frac{25(n+2)^2}{24} \quad \cdots \text{①} \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] 이차함수 $y = 2x^2 - 5nx + 3a_n$의 그래프는 $x$축과 만나지 않으므로 이차방정식 $2x^2 - 5nx + 3a_n = 0$의 판별식을 $D_2$라 하면 \[ \begin{aligned} &D_2 = (-5n)^2 - 4 \times 2 \times 3a_n = 25n^2 - 24a_n \lt 0 \implies a_n \gt \frac{25n^2}{24} \quad \cdots \text{②} \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] ①과 ②에서 $\dfrac{25n^2}{24} \lt a_n \le \dfrac{25(n+2)^2}{24}$이다 [2점]. 모든 자연수 $n$에 대하여 $n^2 \gt 0$이므로 각 변을 $n^2$으로 나누면 \[ \begin{aligned} &\frac{25n^2}{24n^2} \lt \frac{a_n}{n^2} \le \frac{25(n+2)^2}{24n^2}, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{25n^2}{24n^2} = \frac{25}{24}, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{25(n+2)^2}{24n^2} = \frac{25}{24} \end{aligned} \] 이므로 수열의 극한의 대소 관계(제시문 가)에 의하여 $\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n^2} = \dfrac{25}{24}$이다 [2점].
답: $\dfrac{25}{24}$

[답안 1-2] (총 10점) — (1) 접선의 방정식 (3점) / (2) 증감표 및 극값 (3점) / (3) $a$의 값의 범위 (4점)

(1) (3점): $f(x) = (x - 5)e^x$에서 $f'(x) = e^x + (x - 5)e^x = (x - 4)e^x$이므로 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(k, (k-5)e^k)$에서의 접선의 기울기는 $f'(k) = (k - 4)e^k$이다.
따라서 접선의 방정식은 $y - (k - 5)e^k = (k - 4)e^k(x - k)$, 즉 $y = (k - 4)e^k(x - k) + (k - 5)e^k$이다 [3점].
(2) (3점): $f'(x) = (x - 4)e^x$이므로 $f'(x) = 0$에서 $x = 4$이다. 함수 $f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다:

$x$	$\cdots$	$4$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	$-e^4$	$\nearrow$

따라서 함수 $f(x)$는 $x = 4$에서 극소이고 극솟값은 $f(4) = -e^4$이다 [3점].
(3) (4점): (1)에서 구한 접선이 점 $(a, 0)$을 지나므로 $-(k - 5)e^k = (k - 4)e^k(a - k)$이고, $e^k \gt 0$이므로 정리하면 \[ \begin{aligned} &k^2 - (a + 5)k + 4a + 5 = 0 \quad \cdots \text{①} \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] 점 $(a, 0)$에서 곡선 $y = f(x)$에 서로 다른 두 개의 접선을 그을 수 있으려면 접점이 두 개 존재해야 하므로 $k$에 대한 이차방정식 ①이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 이차방정식 ①의 판별식을 $D$라 하면 \[ \begin{aligned} &D = \{-(a + 5)\}^2 - 4(4a + 5) = a^2 - 6a + 5 = (a - 1)(a - 5) \gt 0 \implies a \lt 1 \ \text{또는} \ a \gt 5 \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] 답: (1) $y = (k-4)e^k(x-k) + (k-5)e^k$ (2) 극솟값 $-e^4$ (극댓값 없음) (3) $a \lt 1$ 또는 $a \gt 5$

【2025학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-3, 1-4) [배점 : 1-3 (14점) / 1-4 (18점)]

[답안 1-3] (총 14점)

\[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{2}{3n+2k}\right) f\left(3 + \frac{2k}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{3 + \frac{2k}{n}}\right) f\left(3 + \frac{2k}{n}\right) \frac{2}{n} \quad [4\text{점}] \end{aligned} \] 제시문 다)에서 $3 + \dfrac{2k}{n} = x_k, \ \dfrac{2}{n} = \Delta x$로 놓으면 $a = 3, \ b = 5$이므로 정적분으로 나타내면 \[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{3 + \frac{2k}{n}}\right) f\left(3 + \frac{2k}{n}\right) \frac{2}{n} = \int_3^5 \frac{1}{x}f(x)\,dx = \int_3^5 \frac{\ln 3x}{x}\,dx \quad [5\text{점}] \end{aligned} \] $t = \ln 3x$로 놓으면 $\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{1}{x}$이고 $x = 3$일 때 $t = \ln 9$, $x = 5$일 때 $t = \ln 15$이므로 \[ \begin{aligned} &\int_3^5 \frac{\ln 3x}{x}\,dx = \int_{\ln 9}^{\ln 15} t\,dt = \left[\frac{1}{2}t^2\right]_{\ln 9}^{\ln 15} = \frac{(\ln 15)^2 - (\ln 9)^2}{2} \\ &\quad = \frac{(\ln 5 + 3\ln 3)(\ln 5 - \ln 3)}{2} = \frac{(\ln 5)^2 + 2\ln 5\ln 3 - 3(\ln 3)^2}{2} \quad [5\text{점}] \end{aligned} \]

[다른 풀이] $\dfrac{k}{n} = x_k, \ \dfrac{1}{n} = \Delta x$ ($a=0, b=1$)로 놓으면 $\displaystyle\int_0^1 \frac{2}{3+2x}f(3+2x)\,dx$이고, $3+2x = y$로 치환하면 $\displaystyle\int_3^5 \frac{\ln 3y}{y}\,dy = \frac{(\ln 15)^2 - (\ln 9)^2}{2}$로 동일한 값을 얻는다.

답: $\dfrac{(\ln 15)^2 - (\ln 9)^2}{2}$ (또는 $\dfrac{(\ln 5)^2 + 2\ln 5\ln 3 - 3(\ln 3)^2}{2}$)

[답안 1-4] (총 18점) — (1) 교점의 개수 (5점) / (2) $h'(2)$의 값 (13점)

(1) (5점): $x \gt 0$에서 $y = \ln x$는 순증가 함수($\lim_{x\to 0+}\ln x = -\infty, \ \lim_{x\to\infty}\ln x = \infty$)이고 $y = \dfrac{1}{2x}$은 순감소 함수($\lim_{x\to 0+}\dfrac{1}{2x} = \infty, \ \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{2x} = 0$)이므로 두 그래프의 교점의 개수는 $1$이다 [5점].
(2) (13점): 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표를 $k$라 하면 $f(k) = g(k)$이고 $f'(k) = g'(k)$이므로 \[ \begin{aligned} &(4t^4 + 3t^2 + 1)\ln(k - t) = 3e^{2k - a} \quad \cdots \text{㉠}, \qquad \frac{4t^4 + 3t^2 + 1}{k - t} = 6e^{2k - a} \quad \cdots \text{㉡} \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] ㉠, ㉡에서 $(4t^4 + 3t^2 + 1)\ln(k - t) = \dfrac{4t^4 + 3t^2 + 1}{2(k - t)}$이고, $t \gt 0$이므로 $4t^4 + 3t^2 + 1 \gt 0$이어서 $\ln(k - t) = \dfrac{1}{2(k - t)}$이다 [3점].
(1)에 의해 방정식 $\ln x = \dfrac{1}{2x}$을 만족시키는 실수 $x$는 오직 하나 존재하므로 이 값을 $\alpha$라 하면 $k - t = \alpha$, 즉 $k = t + \alpha$ (㉢)이다.
㉢을 ㉡에 대입하면 $e^{2(t + \alpha) - a} = \dfrac{4t^4 + 3t^2 + 1}{6\alpha}$이므로 $2(t + \alpha) - a = \ln\left(\dfrac{4t^4 + 3t^2 + 1}{6\alpha}\right)$에서 \[ \begin{aligned} &a = h(t) = 2(t + \alpha) - \ln\left(\frac{4t^4 + 3t^2 + 1}{6\alpha}\right) \quad [4\text{점}] \\ &h'(t) = 2 - \frac{16t^3 + 6t}{4t^4 + 3t^2 + 1} \implies h'(2) = 2 - \frac{140}{77} = \frac{14}{77} = \frac{2}{11} \quad [3\text{점}] \end{aligned} \]

[다른 풀이] ㉢을 ㉠에 대입하면 $e^{2(t+\alpha)-a} = \dfrac{1}{3}(4t^4+3t^2+1)\ln\alpha$에서 $h(t) = 2(t+\alpha) - \ln\left\{\dfrac{1}{3}(4t^4+3t^2+1)\ln\alpha\right\}$이고 미분하면 동일하게 $h'(2) = \dfrac{2}{11}$을 얻는다.

답: (1) $1$ (2) $h'(2) = \dfrac{2}{11}$

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

대학과정 임의 공식을 사용하지 않고, 반드시 함수의 평균변화율 정의와 미분계수의 성질로 서술하십시오.

정답:최종 정답 요약 (1-1) 8점 확보 | (1-2) 10점 확보 | (1-3) 극한값 $\dfrac{1}{2}$ | (1-4) 정적분 값 $\ln 2$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

한국항공대 2025학년도 공학계열 문제 1 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 다항식, 삼각함수, 원의 기하학적 성질 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2025학년도 공학계열 문제 2 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 항등식의 뜻과 성질을 이용하여 등식에서 미지의 계수와 상수항을 정하는 방법을 미정계수법이라고 한다.

나) 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned} &\frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = \frac{\overline{\mathrm{CA}}}{\sin B} = \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C} \end{aligned} \]

다) 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned} &\overline{\mathrm{AB}}^2 = \overline{\mathrm{BC}}^2 + \overline{\mathrm{CA}}^2 - 2\overline{\mathrm{BC}} \times \overline{\mathrm{CA}} \times \cos C \\ &\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{CA}}^2 + \overline{\mathrm{AB}}^2 - 2\overline{\mathrm{CA}} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \cos A \\ &\overline{\mathrm{CA}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{BC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{BC}} \times \cos B \end{aligned} \]

[문제 2-1] 최고차항의 계수가 $a(a \ne 0)$인 삼차식 $f(x)$와 세 실수 $\alpha, \ \beta, \ \gamma$가 다음을 만족한다. \[ \begin{aligned} &f(x) - 5x + 6 = a(x - 2)(x - 3)(x - \alpha) \\ &f(x) - 6x + 8 = a(x - 2)(x - 4)(x - \beta) \\ &f(x) - 7x + 12 = a(x - 3)(x - 4)(x - \gamma) \end{aligned} \] $\alpha + \beta + \gamma = 24$일 때, $f(0)$의 값을 구하시오.

[그림] $\triangle\mathrm{ABC}$와 내접원 $O$

[문제 2-2] 그림과 같이 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 중심이 $\mathrm{R}$인 원 $O$가 세 점 $\mathrm{X, W, Z}$에서 접한다. 선분 $\mathrm{AX}$가 원 $O$와 만나는 점 중 $\mathrm{X}$가 아닌 점을 $\mathrm{Y}$라 하고 점 $\mathrm{Y}$에서의 접선이 두 선분 $\mathrm{AB, AC}$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{P, Q}$라 하자. $\overline{\mathrm{AP}} = 3, \ \overline{\mathrm{PB}} = 3, \ \overline{\mathrm{AC}} = 5$일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $\angle\mathrm{PYX} = \angle\mathrm{YXB}$임을 보이시오.

(2) 제시문 나)를 이용하여 $\overline{\mathrm{ZP}} = 1$임을 보이시오.

(3) 제시문 다)를 이용하여 $\overline{\mathrm{WQ}}$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11022 변형 | 성취기준: 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-04]

【유사 연습 문제】 원 $x^2 + y^2 = 25$ 위의 점 $(3, 4)$에서의 접선의 방정식과, 이 접선과 $x$축 및 $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 접선: $3x + 4y = 25$. $x$절편은 $\dfrac{25}{3}$, $y$절편은 $\dfrac{25}{4}$. 삼각형의 넓이 $S = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{25}{3}\cdot \dfrac{25}{4} = \dfrac{625}{24}$.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 2025학년도 공학계열 문제 2 (50점) (다항식, 삼각함수, 원의 기하학적 성질) [배점 50점]

2025학년도 자연계열 2025학년도 공학계열 문제 2 (50점) — 한국항공대 2025학년도 공학계열 문제 2 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 2025학년도 공학계열 문제 2 (50점) · 총 50점

【2025학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-1, 2-2) [배점 : 2-1 (21점) / 2-2 (29점)]

[답안 2-1] (총 21점)

주어진 세 등식에 $x = 2, \ 3, \ 4$를 대입하면 $f(2) = 4, \ f(3) = 9, \ f(4) = 16$이므로 [3점] 최고차항의 계수가 $a$인 삼차식 $f(x)$는 \[ \begin{aligned} &f(x) = a(x - 2)(x - 3)(x - 4) + x^2 \end{aligned} \] 이다. 첫 번째 등식에 $x = 4$를 대입하면 $f(4) - 20 + 6 = 16 - 14 = 2 = 2a(4 - \alpha)$에서 $\alpha = 4 - \dfrac{1}{a}$ [3점].
두 번째 등식에 $x = 3$을 대입하면 $f(3) - 18 + 8 = 9 - 10 = -1 = -a(3 - \beta)$에서 $\beta = 3 - \dfrac{1}{a}$ [3점].
세 번째 등식에 $x = 2$를 대입하면 $f(2) - 14 + 12 = 4 - 2 = 2 = 2a(2 - \gamma)$에서 $\gamma = 2 - \dfrac{1}{a}$ [3점].
따라서 $\alpha + \beta + \gamma = 24 = 9 - \dfrac{3}{a}$이므로 $a = -\dfrac{1}{5}$이다 [5점].
이로부터 $f(x) = -\dfrac{1}{5}(x - 2)(x - 3)(x - 4) + x^2$이므로 $f(0) = -\dfrac{1}{5}(-2)(-3)(-4) + 0^2 = \dfrac{24}{5}$이다 [4점].
답: $f(0) = \dfrac{24}{5}$

[그림] $\triangle\mathrm{ABC}$와 내접원 $O$

[답안 2-2] (총 29점) — (1) 각의 상등 (3점) / (2) $\overline{\mathrm{ZP}}=1$ 증명 (10점) / (3) $\overline{\mathrm{WQ}}$의 값 (16점)

(1) (3점): 접선과 반지름은 수직이므로 $\angle\mathrm{RYP} = \angle\mathrm{RXB} = 90^\circ$이고, $\triangle\mathrm{RXY}$는 $\overline{\mathrm{RX}} = \overline{\mathrm{RY}}$인 이등변삼각형이므로 $\angle\mathrm{RYX} = \angle\mathrm{RXY}$이다.
따라서 $\angle\mathrm{PYX} = 90^\circ - \angle\mathrm{RYX} = 90^\circ - \angle\mathrm{RXY} = \angle\mathrm{YXB}$이다 [3점].
(2) (10점): 원 밖의 한 점 $\mathrm{P}$에서 그은 두 접선의 길이는 같으므로 $\overline{\mathrm{ZP}} = \overline{\mathrm{PY}} = x$라 하자.
$\triangle\mathrm{APY}$와 $\triangle\mathrm{AXB}$에 각각 사인법칙을 적용하면 \[ \begin{aligned} &\frac{\overline{\mathrm{PA}}}{\overline{\mathrm{PY}}} = \frac{\sin\angle\mathrm{PYA}}{\sin\angle\mathrm{PAY}} \quad [1.5\text{점}], \qquad \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{BX}}} = \frac{\sin\angle\mathrm{AXB}}{\sin\angle\mathrm{BAX}} \quad [1.5\text{점}] \end{aligned} \] 이때 $\angle\mathrm{PAY} = \angle\mathrm{BAX}$이고, (1)에 의해 $\sin\angle\mathrm{PYA} = \sin(\pi - \angle\mathrm{PYX}) = \sin\angle\mathrm{PYX} = \sin\angle\mathrm{YXB} = \sin\angle\mathrm{AXB}$ [3점]이므로 \[ \begin{aligned} &\frac{3}{x} = \frac{\overline{\mathrm{PA}}}{\overline{\mathrm{PY}}} = \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{BX}}} = \frac{6}{3 - x} \implies 3(3 - x) = 6x \implies x = \overline{\mathrm{ZP}} = \overline{\mathrm{PY}} = 1 \quad [4\text{점}] \end{aligned} \] (3) (16점): 원의 접선의 성질에 의해 $\overline{\mathrm{ZB}} = 3 - x = 2 = \overline{\mathrm{BX}}$, $\overline{\mathrm{AZ}} = x + 3 = 4 = \overline{\mathrm{AW}}$, $\overline{\mathrm{WC}} = 5 - \overline{\mathrm{AW}} = 1 = \overline{\mathrm{XC}}$이므로 $\overline{\mathrm{BC}} = 2 + 1 = 3$ [3점].
$\overline{\mathrm{WQ}} = \overline{\mathrm{YQ}} = y$라 할 때, $\overline{\mathrm{PQ}} = 1 + y, \ \overline{\mathrm{AQ}} = 4 - y$이다 [2점].
$\triangle\mathrm{BAC}$와 $\triangle\mathrm{PAQ}$에 각각 코사인법칙을 적용하면 \[ \begin{aligned} &\cos\angle\mathrm{BAC} = \frac{6^2 + 5^2 - 3^2}{2 \times 6 \times 5} = \frac{13}{15} \quad [3\text{점}], \qquad \cos\angle\mathrm{PAQ} = \frac{3^2 + (4 - y)^2 - (1 + y)^2}{2 \times 3 \times (4 - y)} = \frac{12 - 5y}{12 - 3y} \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] $\cos\angle\mathrm{BAC} = \cos\angle\mathrm{PAQ}$이므로 $\dfrac{13}{15} = \dfrac{12 - 5y}{12 - 3y}$에서 $y = \overline{\mathrm{WQ}} = \dfrac{2}{3}$이다 [5점].
답: (1) 증명 완료 (2) $\overline{\mathrm{ZP}} = 1$ 증명 완료 (3) $\overline{\mathrm{WQ}} = \dfrac{2}{3}$

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

도형의 대칭성과 원주각의 성질을 기하학적으로 증명한 후 대수적 좌표 방정식으로 변환하여 서술하십시오.

정답:최종 정답 요약 (2-1) 접선 $3x + 4y = 25$ | (2-2) 넓이 $\dfrac{625}{24}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

한국항공대 2025학년도 공학계열 문제 2 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 삼차함수 접선, 정적분으로 둘러싸인 도형의 넓이 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2025학년도 이학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 복소수 $z = a + bi$ ($a, b$는 실수)에 대하여 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 $a - bi$를 $z$의 켤레복소수라 하고, 기호로 $\bar{z}$와 같이 나타낸다. 이때 $z\bar{z} = a^2 + b^2$이다.

나) 함수 $f(x)$에 대하여 $x = a$에서의 미분계수 $f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$가 존재할 때, 함수 $f(x)$는 $x = a$에서 미분가능하다고 한다.

다) 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열 $\{a_n\}$의 일반항은 $a_n = ar^{n-1}$ ($n = 1, 2, 3, \cdots$)이다.

[문제 1-1] 집합 $A = \{z \mid z\bar{z} = 2, \ z\text{는 복소수}\}$이고 집합 $B = \{z \mid z = k(2 + 2i), \ k\text{는 실수}\}$일 때, 집합 $A \cap B$를 원소나열법으로 나타내시오.

[문제 1-2] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$는 $x \ge 0$일 때 $f(x) = |(x + 2)(x - 3)(x - 4)|$이고, 임의의 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$가 성립한다. 다음 물음에 답하시오.

(1) 제시문 나)를 이용하여 $x = 4$에서 $f(x)$가 미분가능하지 않음을 보이시오.

(2) $x = a$에서 $f(x)$가 미분가능하지 않을 때, $a$의 값을 모두 구하시오.

[문제 1-3] 수열 $\{a_n\}$은 첫째항이 $2$이고 공비가 $\dfrac{1}{3}$인 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$은 첫째항이 $9$이고 공비가 $\dfrac{1}{27}$인 등비수열이다. 점 $\mathrm{R}_n$의 좌표를 $(a_n, b_n)$이라 하고, 선분 $\mathrm{R}_n\mathrm{R}_{n+1}$을 지름으로 하는 원을 $C_n$이라 하자. 원 $C_n$의 중심을 $\mathrm{O}_n$이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 $\mathrm{R}_1$, 점 $\mathrm{R}_2$, 점 $\mathrm{R}_3$과 점 $\mathrm{O}_1$, 점 $\mathrm{O}_2$의 좌표를 각각 구하시오.

(2) 점 $\mathrm{O}_n$의 좌표를 $n$에 대한 식으로 나타내시오.

(3) 삼차함수 $f(x) = ax^3 + bx^2$의 그래프가 점 $\mathrm{O}_1$과 점 $\mathrm{O}_2$를 지날 때, 두 상수 $a, b$의 값을 구하시오.

(4) (3)에서 구한 함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 점 $\mathrm{P}(t, f(t))$ $\left(\dfrac{1}{2} \le t \le 1\right)$에 대하여 점 $\mathrm{P}$와 직선 $\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2$ 사이의 거리가 $t = \alpha$에서 최대일 때 $\alpha^2$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11023 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

【유사 연습 문제】 곡선 $y = x^3 - x$와 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x^3 - x = 0 \implies x = -1, 0, 1$. 원점 대칭이므로 $S = 2\int_0^1 (x - x^3)\,dx = 2\left[\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^1 = 2\left(\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 2025학년도 이학계열 문제 1 (50점) (삼차함수 접선, 정적분으로 둘러싸인 도형의 넓이) [배점 50점]

2025학년도 자연계열 2025학년도 이학계열 문제 1 (50점) — 한국항공대 2025학년도 이학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 2025학년도 이학계열 문제 1 (50점) · 총 50점

【2025학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-1 ~ 1-3) [배점 : 1-1 (10점) / 1-2 (12점) / 1-3 (28점)]

[답안 1-1] (총 10점)

집합 $B$의 원소 $z = k(2 + 2i) = 2k + 2ki$ ($k$는 실수)를 집합 $A$의 조건 $z\bar{z} = 2$에 대입하면 \[ \begin{aligned} &z\bar{z} = (2k)^2 + (2k)^2 = 8k^2 = 2 \implies k^2 = \frac{1}{4} \implies k = \pm\frac{1}{2} \end{aligned} \] 따라서 $k = \dfrac{1}{2}$일 때 $z = 1 + i$, $k = -\dfrac{1}{2}$일 때 $z = -1 - i$이므로 $A \cap B = \{1 + i, \ -1 - i\}$이다 [10점].
답: $\{1 + i, \ -1 - i\}$

[답안 1-2] (총 12점) — (1) $x = 4$에서 미분불가능 증명 (6점) / (2) 미분불가능한 모든 $a$의 값 (6점)

(1) (6점): $x = 4$의 근방($x \gt 3$)에서 $f(x) = (x+2)(x-3)|x-4|$이고 $f(4) = 0$이므로 제시문 나)에 의해 좌·우 극한을 구하면 \[ \begin{aligned} &\lim_{\Delta x \to 0-} \frac{f(4 + \Delta x) - f(4)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{(4 + \Delta x + 2)(4 + \Delta x - 3)(4 - 4 - \Delta x)}{\Delta x} = -6, \\ &\lim_{\Delta x \to 0+} \frac{f(4 + \Delta x) - f(4)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{(4 + \Delta x + 2)(4 + \Delta x - 3)(4 + \Delta x - 4)}{\Delta x} = 6 \end{aligned} \] 좌미분계수와 우미분계수가 서로 달라 $\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(4 + \Delta x) - f(4)}{\Delta x}$가 존재하지 않으므로 $x = 4$에서 $f(x)$는 미분가능하지 않다 [6점].
(2) (6점): $x \gt 0$에서 $g(x) = (x+2)(x-3)(x-4) = x^3 - 5x^2 + 2x + 24$라 하면 $g(3) = g(4) = 0$이고 $g'(3) = -1 \ne 0, \ g'(4) = 6 \ne 0$이므로 절댓값 함수 $f(x) = |g(x)|$는 $x = 3, \ 4$에서 꺾여 미분가능하지 않다.
또한 $x = 0$의 우미분계수는 $g'(0) = 2$이고, $f(-x) = f(x)$ (우함수, $y$축 대칭)이므로 $x = 0$의 좌미분계수는 $-2$가 되어 $x = 0$에서도 미분가능하지 않으며, 대칭성에 의해 $x = -3, \ -4$에서도 미분가능하지 않다.
따라서 $f(x)$가 미분가능하지 않은 $a$의 값은 $-4, \ -3, \ 0, \ 3, \ 4$이다 [6점].
답: (1) 증명 완료 (2) $a = -4, \ -3, \ 0, \ 3, \ 4$

[답안 1-3] (총 28점) — (1) 각 점의 좌표 (5점) / (2) $\mathrm{O}_n$의 일반항 (6점) / (3) $a, b$의 값 (8점) / (4) $\alpha^2$의 값 (9점)

(1) (5점): $a_n = 2\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}, \ b_n = 9\left(\dfrac{1}{27}\right)^{n-1}$이므로 $\mathrm{R}_1 = (2, 9), \ \mathrm{R}_2 = \left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{3}\right), \ \mathrm{R}_3 = \left(\dfrac{2}{9}, \dfrac{1}{81}\right)$이고,
중점 $\mathrm{O}_1 = \left(\dfrac{4}{3}, \dfrac{14}{3}\right), \ \mathrm{O}_2 = \left(\dfrac{4}{9}, \dfrac{14}{81}\right)$이다 [각 1점, 총 5점].
(2) (6점): 원 $C_n$의 중심 $\mathrm{O}_n$은 선분 $\mathrm{R}_n\mathrm{R}_{n+1}$의 중점이므로 \[ \begin{aligned} &\mathrm{O}_n = \left(\frac{a_n + a_{n+1}}{2}, \ \frac{b_n + b_{n+1}}{2}\right) \quad [3\text{점}] \implies \mathrm{O}_n = \left(\frac{4}{3^n}, \ \frac{126}{27^n}\right) \quad \left(\text{또는 } \left(\frac{4}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}, \ \frac{14}{3}\left(\frac{1}{27}\right)^{n-1}\right)\right) \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] (3) (8점): $f\left(\dfrac{4}{3}\right) = a\left(\dfrac{4}{3}\right)^3 + b\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 = \dfrac{14}{3}$, $f\left(\dfrac{4}{9}\right) = a\left(\dfrac{4}{9}\right)^3 + b\left(\dfrac{4}{9}\right)^2 = \dfrac{14}{81}$을 연립하여 풀면 $a = \dfrac{63}{32}, \ b = 0$이다 [8점].
(4) (9점): 직선 $\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2$의 기울기는 $\dfrac{\frac{14}{81} - \frac{14}{3}}{\frac{4}{9} - \frac{4}{3}} = \dfrac{91}{18}$이다 [3점]. 구간 $\left[\dfrac{1}{2}, 1\right]$에서 직선 $\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2$로부터 가장 먼 거리에 있는 점 $\mathrm{P}$는 기울기가 $\dfrac{91}{18}$인 접선과 만나는 접점이므로 $f'(\alpha) = \dfrac{63}{32}(3\alpha^2) = \dfrac{91}{18}$에서 $\alpha^2 = \dfrac{208}{243}$ ($= \dfrac{1456}{1701}$)이다 [6점].
답: (1) 위 좌표 참조 (2) $\left(\dfrac{4}{3^n}, \dfrac{126}{27^n}\right)$ (3) $a = \dfrac{63}{32}, \ b = 0$ (4) $\alpha^2 = \dfrac{208}{243}$

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적분 구간에서 함수의 위아래($[f(x) - g(x)]$) 부호를 철저히 확인하고 절댓값 기호를 단계별로 해제하십시오.

정답:최종 정답 요약 (1-1) $x$절편 $-1, 0, 1$ | (1-2) 넓이 $S = \dfrac{1}{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

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한국항공대 2025학년도 이학계열 문제 1 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 수열의 합과 귀납적 정의, 점화식 추론 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2025학년도 이학계열 문제 2 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 점 $(x_1, y_1)$과 직선 $ax + by + c = 0$ 사이의 거리는 $\dfrac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$이다.

나) 사인함수 $y = \sin x$는 다음과 같은 성질을 갖는다.
(1) 정의역이 실수 전체의 집합이고, 치역은 $\{y \mid -1 \le y \le 1\}$이다.
(2) 주기가 $2\pi$인 주기함수이다. 즉, $\sin(x + 2n\pi) = \sin x$ (단, $n$은 정수)

다) 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하면 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$

라) 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(a) = 0$일 때, $x = a$의 좌우에서
(1) $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x = a$에서 극대이고, 극댓값 $f(a)$를 갖는다.
(2) $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x = a$에서 극소이고, 극솟값 $f(a)$를 갖는다.

[문제 2-1] 원 $(x - a)^2 + (y - a^2)^2 = b^2$이 두 직선 $y = -x + 4$와 $y = x + 2$에 동시에 접하도록 하는 두 실수 $a, b$의 순서쌍 $(a, b)$를 모두 구하시오.

[문제 2-2] 자연수 $n$과 $0 \le a \lt 1$인 실수 $a$에 대하여 $n + a$는 $x$에 대한 방정식 $x^3 + 6x^2 + 12x - k + 8 = 0$의 한 근이다. $n^2 - 2na \lt 0$이 성립할 때, 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문제 2-3] 자연수 $n$에 대하여 함수 $y = \sin(20\pi x)$의 그래프와 직선 $y = \dfrac{n - 1}{10}$의 교점 중 $x$좌표가 $(n + 1)^2$ 이상이고 $2(n + 1)^2$ 이하인 점의 개수를 $a_n$이라 하자. $\displaystyle\sum_{n=1}^{20} a_n$의 값을 구하시오.

[문제 2-4] 두 함수 $f(x) = x^2 - 2x + |x^2 - 2x|, \ g(x) = -x + 12$가 있다. $a \gt 2$인 실수 $a$에 대하여 함수 $h(a) = \displaystyle\int_{-a}^a \{f(x) - g(x)\}\,dx$라 할 때, $h(a)$의 증가와 감소를 표로 나타내고, 이를 이용하여 $h(a)$의 극값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 11024 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

【유사 연습 문제】 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 1, \ a_{n+1} = a_n + 2n$을 만족할 때, 일반항 $a_n$과 $\sum_{k=1}^{10} a_k$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 계차수열 공식에 의해 $a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2\cdot \dfrac{(n-1)n}{2} = n^2 - n + 1$. $\sum_{k=1}^{10} (k^2 - k + 1) = \dfrac{10\cdot 11\cdot 21}{6} - \dfrac{10\cdot 11}{2} + 10 = 385 - 55 + 10 = 340$.

【문항 요약】 2025학년도 자연계열 2025학년도 이학계열 문제 2 (50점) (수열의 합과 귀납적 정의, 점화식 추론) [배점 50점]

2025학년도 자연계열 2025학년도 이학계열 문제 2 (50점) — 한국항공대 2025학년도 이학계열 문제 2 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2025 2025학년도 이학계열 문제 2 (50점) · 총 50점

【2025학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-1, 2-2) [배점 : 2-1 (10점) / 2-2 (12점)]

[답안 2-1] (총 10점)

원이 두 직선 $x + y - 4 = 0$과 $x - y + 2 = 0$에 동시에 접하므로 원의 중심 $(a, a^2)$에서 두 직선까지의 거리 $d$가 서로 같고 $|b| = d$이다. 제시문 가)에 의하여 \[ \begin{aligned} &d = \frac{|a + a^2 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|a - a^2 + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \implies |a + a^2 - 4| = |a - a^2 + 2| \end{aligned} \] i) $a + a^2 - 4 = a - a^2 + 2$일 때: $2a^2 = 6 \implies a = \pm\sqrt{3}$.
ii) $a + a^2 - 4 = -(a - a^2 + 2)$일 때: $2a = 2 \implies a = 1$ [4점].
각 $a$의 값에 대하여 $|b| = d = \dfrac{|a - a^2 + 2|}{\sqrt{2}}$를 구하면:
• $a = \sqrt{3}$일 때: $|b| = \dfrac{|\sqrt{3} - 3 + 2|}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \implies b = \pm\dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$
• $a = -\sqrt{3}$일 때: $|b| = \dfrac{|-\sqrt{3} - 3 + 2|}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} \implies b = \pm\dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$
• $a = 1$일 때: $|b| = \dfrac{|1 - 1 + 2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \implies b = \pm\sqrt{2}$ [6점].
답: $\left(\sqrt{3}, \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right), \ \left(\sqrt{3}, -\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right), \ \left(-\sqrt{3}, \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right), \ \left(-\sqrt{3}, -\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right), \ (1, \sqrt{2}), \ (1, -\sqrt{2})$

[답안 2-2] (총 12점)

$n^2 - 2na \lt 0$ (①)이고 $n$은 자연수, $0 \le a \lt 1$이므로 $n^2 \lt 2na \lt 2n$ (②)이다.
따라서 $n^2 - 2n \lt 0$, 즉 $n(n - 2) \lt 0$을 만족하는 자연수는 $n = 1$뿐이다 [3점].
$n = 1$을 부등식 ①에 대입하면 $1 - 2a \lt 0$이고 $0 \le a \lt 1$이므로 $\dfrac{1}{2} \lt a \lt 1$ (③)이다 [3점].
[풀이 1] $f(x) = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = (x + 2)^3$이라 놓으면 방정식 $f(x) = k$의 한 근이 $x = n + a = 1 + a$이므로 $k = (n + a + 2)^3 = (a + 3)^3$이다.
③에서 $\dfrac{7}{2} \lt a + 3 \lt 4$이므로 [4점] $\left(\dfrac{7}{2}\right)^3 \lt k \lt 4^3$, 즉 $\dfrac{343}{8} \lt k \lt 64$이다 [2점].

[풀이 2] $g(x) = x^3 + 6x^2 + 12x - k + 8$이라 하면 $g'(x) = 3(x + 2)^2 \ge 0$이므로 $g(x)$는 실수 전체에서 증가한다. 근 $1 + a \in \left(\dfrac{3}{2}, 2\right)$가 존재하려면 $g\left(\dfrac{3}{2}\right) \lt 0$이고 $g(2) \gt 0$이어야 하므로 [4점], $\dfrac{343}{8} - k \lt 0$ 및 $64 - k \gt 0$에서 $\dfrac{343}{8} \lt k \lt 64$이다 [2점].

답: $\dfrac{343}{8} \lt k \lt 64$ (또는 $\left(\dfrac{7}{2}\right)^3 \lt k \lt 4^3$)

【2025학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-3, 2-4) [배점 : 2-3 (13점) / 2-4 (15점)]

[답안 2-3] (총 13점)

제시문 나)에 의해 함수 $y = \sin(20\pi x)$는 주기가 $\dfrac{2\pi}{20\pi} = \dfrac{1}{10}$인 주기함수이다 [2점].
교점의 $x$좌표가 $(n+1)^2$ 이상이고 $2(n+1)^2$ 이하인 구간(길이 $(n+1)^2$, 즉 주기가 $10(n+1)^2$번 반복)에서의 교점의 개수 $a_n$은 $0$ 이상 $(n+1)^2$ 이하인 구간에서의 교점의 개수와 같다.
• i) $n = 1$일 때 ($y = 0$): 한 주기마다 $2$개씩 $10(1+1)^2$주기에 양 끝점 포함이므로 $a_1 = 20(1+1)^2 + 1 = 81$ [2점].
• ii) $2 \le n \le 10$일 때 ($0 \lt \dfrac{n-1}{10} \lt 1$): 한 주기마다 $2$개씩이므로 $a_n = 20(n+1)^2$ [2점].
• iii) $n = 11$일 때 ($y = 1$): 한 주기마다 $1$개씩이므로 $a_{11} = 10(11+1)^2 = 1440$ [2점].
• iv) $12 \le n \le 20$일 때 ($\dfrac{n-1}{10} \gt 1$): 치역 $[-1, 1]$을 벗어나므로 $a_n = 0$ [2점].
따라서 구하는 합은 \[ \begin{aligned} &\sum_{n=1}^{20} a_n = 81 + \sum_{n=2}^{10} 20(n+1)^2 + 1440 = 81 + 20\left(\frac{11 \times 12 \times 23}{6} - 1^2 - 2^2\right) + 1440 = 81 + 10020 + 1440 = 11541 \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] 답: $11541$

[답안 2-4] (총 15점)

$x \lt 0$ 또는 $x \ge 2$일 때 $x^2 - 2x \ge 0$이므로 $f(x) = 2x^2 - 4x$이고, $0 \le x \lt 2$일 때 $x^2 - 2x \lt 0$이므로 $f(x) = 0$이다.
$a \gt 2$이므로 정적분 구간 $[-a, a]$를 $[-a, 0], \ [0, 2], \ [2, a]$로 나누어 $h(a)$를 계산하면 \[ \begin{aligned} &h(a) = \int_{-a}^0 (2x^2 - 3x - 12)\,dx + \int_0^2 (x - 12)\,dx + \int_2^a (2x^2 - 3x - 12)\,dx \\ &\quad = \left[\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 12x\right]_{-a}^0 + \left[\frac{1}{2}x^2 - 12x\right]_0^2 + \left[\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 12x\right]_2^a \\ &\quad = \left(\frac{2}{3}a^3 + \frac{3}{2}a^2 - 12a\right) + (-22) + \left(\frac{2}{3}a^3 - \frac{3}{2}a^2 - 12a + \frac{74}{3}\right) = \frac{4}{3}a^3 - 24a + \frac{8}{3} = \frac{4}{3}(a^3 - 18a + 2) \quad [6\text{점}] \end{aligned} \] $h(a)$를 $a$에 대하여 미분하면 $h'(a) = 4a^2 - 24 = 4(a^2 - 6) = 4(a + \sqrt{6})(a - \sqrt{6})$이고, $a \gt 2$에서 $h'(a) = 0$인 $a$의 값은 $a = \sqrt{6}$이다 [4점].
$a \gt 2$에서 함수 $h(a)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다 [3점]:

$a$	$(2)$	$\cdots$	$\sqrt{6}$	$\cdots$
$h'(a)$		$-$	$0$	$+$
$h(a)$		$\searrow$	$-16\sqrt{6} + \frac{8}{3}$	$\nearrow$

제시문 라)에 의해 $h(a)$는 $a = \sqrt{6}$에서 극소이고 극솟값 $h(\sqrt{6}) = -16\sqrt{6} + \dfrac{8}{3}$을 가지며, 극댓값은 갖지 않는다 [2점].
답: 증감표 위 참조, 극솟값 $-16\sqrt{6} + \dfrac{8}{3}$ (극댓값 없음)

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

점화식에서 $n \ge 2$ 조건과 $n = 1$일 때의 성립 여부를 반드시 분리하여 검증한 후 일반항을 합치십시오.

정답:최종 정답 요약 (2-1) $a_n = n^2 - n + 1$ | (2-2) $S_{10} = 340$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

한국항공대 2025학년도 이학계열 문제 2 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 나머지정리, 로그, 이차방정식, 등차·등비수열 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2024학년도 공학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 다항식 $f(x)$에 대하여 $f(\alpha) = 0$이면 $f(x)$는 일차식 $x - \alpha$로 나누어떨어진다. 거꾸로 $f(x)$가 $x - \alpha$로 나누어떨어지면 $f(\alpha) = 0$이다.

나) $a \gt 0, \ a \ne 1$이고 $M \gt 0, \ N \gt 0$일 때,
(1) $\log_a MN = \log_a M + \log_a N$ (2) $\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$

다) 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0 \ (a \ne 0)$의 근은 판별식 $D = b^2 - 4ac$의 부호에 따라 다음과 같이 정해진다.
(1) $D \gt 0$이면 서로 다른 두 실근을 갖는다. (2) $D = 0$이면 한 개의 실근(중근)을 갖는다. (3) $D \lt 0$이면 서로 다른 두 허근을 갖는다.

라) 이차방정식의 근과 계수의 관계: 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0 \ (a \ne 0)$의 두 근을 $\alpha, \ \beta$라 하면 $\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \dfrac{c}{a}$

마) 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열의 일반항 $a_n$은 $a_n = a + (n - 1)d \ (n = 1, 2, 3, \cdots)$이고, 첫째항이 $b$, 공비가 $r \ (r \ne 0)$인 등비수열의 일반항 $b_n$은 $b_n = br^{n-1} \ (n = 1, 2, 3, \cdots)$이다.

[문제 1-1] 사차함수 $y = f(x)$에 대하여 두 방정식 $f(x) = 0$과 $f'(x) = 0$은 모두 $20$과 $23$을 근으로 갖는다. $f(21) = 21$일 때, $f(24)$의 값을 구하시오.

[문제 1-2] $1$보다 큰 자연수 $k$에 대하여 방정식 $4^x - 2^{x+1} + 1 - \dfrac{1}{k^2} = 0$의 두 실근을 $\alpha_k, \ \beta_k$라 하자. $N = \displaystyle\sum_{k=2}^{2024} (\alpha_k + \beta_k)$일 때, $2^N$의 값을 구하시오.

[문제 1-3] 이차함수 $y = kx^2 - 2x + k - 3$의 그래프의 꼭짓점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $(x_k, y_k)$라 하자. $0 \lt x_k \lt 1, \ 0 \lt y_k \lt 1$일 때, 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문제 1-4] $x$에 대한 이차방정식 $x^2 + 2(\sin\theta + 1)x + \sin^2\theta = 0$의 두 실근을 $\alpha, \ \beta \ (\alpha \le \beta)$라 하자. $\beta - \alpha \le 2\sqrt{2}$일 때, $\theta$의 값의 범위를 구하시오. (단, $0 \le \theta \le 2\pi$)

[문제 1-5] $0$이 아닌 네 개의 실수 $a, b, c, d$가 다음의 조건을 만족한다.
(가) $a, b, c$가 이 순서대로 등비수열을 이룬다. (나) $b, c, d$가 이 순서대로 등차수열을 이룬다.
$\dfrac{d}{a}$의 최솟값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 11031 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수03-03]

【유사 연습 문제】 다항식 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$이 $x - 1$로 나누어떨어지고, $x + 1$로 나눈 나머지가 4일 때 상수 $a, b$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 나머지정리에 의해 $P(1) = 1 + a + b + 1 = 0 \implies a + b = -2$. $P(-1) = -1 + a - b + 1 = 4 \implies a - b = 4$. 연립하면 $2a = 2 \implies a = 1, \ b = -3$.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 2024학년도 공학계열 문제 1 (50점) (나머지정리, 로그, 이차방정식, 등차·등비수열) [배점 50점]

2024학년도 자연계열 2024학년도 공학계열 문제 1 (50점) — 한국항공대 2024학년도 공학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 2024학년도 공학계열 문제 1 (50점) · 총 50점

【2024학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-1 ~ 1-5) [배점 : 각 10점, 총 50점]

[답안 1-1] (총 10점)

사차함수 $y = f(x)$에 대하여 두 방정식 $f(x) = 0$과 $f'(x) = 0$이 모두 $20$과 $23$을 근으로 가지므로 $f(x)$는 $(x - 20)^2$과 $(x - 23)^2$을 인수로 갖는다.
따라서 상수 $k \ (k \ne 0)$에 대하여 $f(x) = k(x - 20)^2(x - 23)^2$으로 놓을 수 있다 [4점].
$f(21) = 21$이므로 $f(21) = k(21 - 20)^2(21 - 23)^2 = 4k = 21$에서 $k = \dfrac{21}{4}$이다 [3점].
따라서 $f(x) = \dfrac{21}{4}(x - 20)^2(x - 23)^2$이므로 $f(24) = \dfrac{21}{4}(24 - 20)^2(24 - 23)^2 = \dfrac{21}{4} \times 16 \times 1 = 84$이다 [3점]. 답: $f(24) = 84$

[답안 1-2] (총 10점)

$y = 2^x \ (y \gt 0)$으로 치환하면 [1점] 주어진 방정식은 $y^2 - 2y + 1 - \dfrac{1}{k^2} = 0$, 즉 $(y - 1)^2 = \dfrac{1}{k^2}$이므로 $y = 1 \pm \dfrac{1}{k}$이다 [2점].
$2^x = 1 \pm \dfrac{1}{k}$이므로 $x = \log_2\left(1 \pm \dfrac{1}{k}\right)$이다 [2점].
따라서 $\alpha_k + \beta_k = \log_2\left(1 - \dfrac{1}{k}\right) + \log_2\left(1 + \dfrac{1}{k}\right) = \log_2\left(1 - \dfrac{1}{k^2}\right) = \log_2\dfrac{(k - 1)(k + 1)}{k^2}$이다 [2점].
그러므로 합 $N$은 \[ \begin{aligned} &N = \sum_{k=2}^{2024} \log_2\frac{(k - 1)(k + 1)}{k^2} = \log_2\left(\frac{1 \cdot 3}{2^2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3^2} \cdots \frac{2022 \cdot 2024}{2023^2} \cdot \frac{2023 \cdot 2025}{2024^2}\right) = \log_2\left(\frac{2025}{2 \cdot 2024}\right) \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] 따라서 $2^N = \dfrac{2025}{4048}$이다 [1점]. 답: $2^N = \dfrac{2025}{4048}$

[답안 1-3] (총 10점)

$y = k\left(x - \dfrac{1}{k}\right)^2 + k - \dfrac{1}{k} - 3$이므로 꼭짓점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $(x_k, y_k) = \left(\dfrac{1}{k}, \ k - \dfrac{1}{k} - 3\right)$이다 [3점].
$0 \lt x_k \lt 1, \ 0 \lt y_k \lt 1$을 만족해야 하므로 $0 \lt \dfrac{1}{k} \lt 1$이고 $0 \lt k - \dfrac{1}{k} - 3 \lt 1$이다 [2점].
$0 \lt \dfrac{1}{k} \lt 1$에서 $k \gt 1$ (①)이다 [1점].
$0 \lt k - \dfrac{1}{k} - 3 \lt 1$의 각 변에 양수 $k$를 곱하면 $0 \lt k^2 - 3k - 1 \lt k$, 즉 $k^2 - 3k - 1 \gt 0$이고 $k^2 - 4k - 1 \lt 0$이다.
이 연립부등식을 풀면 $k \lt \dfrac{3 - \sqrt{13}}{2}$ 또는 $k \gt \dfrac{3 + \sqrt{13}}{2}$이고 $2 - \sqrt{5} \lt k \lt 2 + \sqrt{5}$ (②)이다 [2점].
①과 ②의 공통범위를 구하면 $\dfrac{3 + \sqrt{13}}{2} \lt k \lt 2 + \sqrt{5}$이다 [2점]. 답: $\dfrac{3 + \sqrt{13}}{2} \lt k \lt 2 + \sqrt{5}$

[답안 1-4] (총 10점)

이차방정식이 두 실근을 가지려면 $D / 4 = (\sin\theta + 1)^2 - \sin^2\theta = 2\sin\theta + 1 \ge 0$이어야 하므로 $\sin\theta \ge -\dfrac{1}{2}$이다 [3점].
근과 계수의 관계에서 $\alpha + \beta = -2(\sin\theta + 1), \ \alpha\beta = \sin^2\theta$이므로 $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 8\sin\theta + 4$이다.
$\alpha \le \beta$이므로 $\beta - \alpha = \sqrt{8\sin\theta + 4} \le 2\sqrt{2}$에서 $8\sin\theta + 4 \le 8$, 즉 $\sin\theta \le \dfrac{1}{2}$이다 [3점].
따라서 $-\dfrac{1}{2} \le \sin\theta \le \dfrac{1}{2}$이고 $0 \le \theta \le 2\pi$이므로 $0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{6}, \ \dfrac{5\pi}{6} \le \theta \le \dfrac{7\pi}{6}, \ \dfrac{11\pi}{6} \le \theta \le 2\pi$이다 [4점].
답: $0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{6}$ 또는 $\dfrac{5\pi}{6} \le \theta \le \dfrac{7\pi}{6}$ 또는 $\dfrac{11\pi}{6} \le \theta \le 2\pi$

[답안 1-5] (총 10점)

조건 (가)에서 $a, b, c$가 등비수열을 이루므로 공비를 $r \ (r \ne 0)$라 하면 $b = ar, \ c = ar^2$이다 [2점].
조건 (나)에서 $b, c, d$가 등차수열을 이루므로 $d - c = c - b$ [2점]에서 $d = 2c - b = 2ar^2 - ar = a(2r^2 - r)$이다 [3점].
따라서 $\dfrac{d}{a} = 2r^2 - r = 2\left(r - \dfrac{1}{4}\right)^2 - \dfrac{1}{8}$이므로 $r = \dfrac{1}{4}$일 때 최솟값 $-\dfrac{1}{8}$을 갖는다 [3점]. 답: $-\dfrac{1}{8}$

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

소문항 5개가 각 10점씩 균등 배점되어 있으므로, 1번부터 5번까지 서술형 식 전개를 생략 없이 기재하십시오.

정답:최종 정답 요약 (1-1) $a = 1, b = -3$ | (1-2) 공비 $r = 2$ | (1-3) 48 | (1-4) 96 | (1-5) 192

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

한국항공대 2024학년도 공학계열 문제 1 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 로그함수, 삼각함수, 미적분학, 접선의 방정식 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2024학년도 공학계열 문제 2 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $(x, y)$가 $x = f(t), \ y = g(t)$일 때, $t = a$에서 $t = b$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리 $s$는 다음과 같다. \[ \begin{aligned} &s = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt = \int_a^b \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2}\,dt \end{aligned} \]

나) 두 함수 $y = f(x), \ y = g(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, 두 곡선 $y = f(x), \ y = g(x)$ 및 두 직선 $x = a, \ x = b$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 다음과 같다.
$S = \displaystyle\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$

다) 탄젠트함수의 덧셈정리는 다음과 같다.
$\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}, \qquad \tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$

라) 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
$y - f(a) = f'(a)(x - a)$

[문제 2-1] 좌표평면 위에서 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $(x, y)$가 $x(t) = t^2\sin t, \ y(t) = t^2\cos t$이다. $t = 0$에서 $t = a$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리가 $\dfrac{19}{3}$일 때, $a$의 값을 구하시오. (단, $a \gt 0$)

[문제 2-2] 구간 $[0, \pi]$에서 정의된 두 함수 $f(x) = \cos x$와 $g(x) = ax\sin x$가 있다. 두 곡선 $y = f(x), \ y = g(x)$ 및 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_1$, 두 곡선 $y = f(x), \ y = g(x)$ 및 직선 $x = \pi$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_2$라 할 때, $S_2 - S_1$의 값을 구하시오. (단, $a \gt 0$)

[문제 2-3] 두 함수 $f(x) = e^x, \ g(x) = e^{ax-1}$의 그래프가 점 $\mathrm{P}$에서 만날 때, 점 $\mathrm{P}$에서 곡선 $y = f(x)$의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 점 $\mathrm{P}$에서 곡선 $y = g(x)$의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하자. $\tan(\angle\mathrm{APB})$를 $a$에 대한 식으로 나타내시오. (단, $a \gt 1$)

[문제 2-4] 구간 $(\sqrt{2}, \infty)$에서 정의된 함수 $f(x) = x + \dfrac{2}{x}$와 구간 $(1, \infty)$에서 정의된 함수 $g(x) = \ln x$가 있다. 곡선 $y = f(x)$ 위에서 움직이는 점 $\mathrm{P}(t, f(t))$에서의 접선을 $l$이라 할 때, 직선 $l$과 평행하고 곡선 $y = g(x)$에 접하는 직선을 $m$, 직선 $m$이 곡선 $y = g(x)$에 접하는 점을 $\mathrm{Q}(s, g(s))$라 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) $s$를 $t$에 대한 식으로 나타내시오.

(2) 접선 $l$이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{L}$, 접선 $m$이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{M}$이라 할 때, $\overline{\mathrm{LM}}$의 최댓값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11032 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]

【유사 연습 문제】 곡선 $y = \ln x$ 위의 점 $(e, 1)$에서의 접선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $y' = \dfrac{1}{x}$이므로 $x = e$에서 기울기는 $\dfrac{1}{e}$. 접선: $y - 1 = \dfrac{1}{e}(x - e) \implies y = \dfrac{1}{e}x$. 이는 원점을 지나므로 $x$축, $y$축과 둘러싸인 삼각형 넓이는 0 (원점 접촉). 점 $(1, 0)$에서의 접선 $y = x - 1$의 경우 넓이는 $\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 = \dfrac{1}{2}$.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 2024학년도 공학계열 문제 2 (50점) (로그함수, 삼각함수, 미적분학, 접선의 방정식) [배점 50점]

2024학년도 자연계열 2024학년도 공학계열 문제 2 (50점) — 한국항공대 2024학년도 공학계열 문제 2 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 2024학년도 공학계열 문제 2 (50점) · 총 50점

【2024학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-1 ~ 2-3) [배점 : 2-1 (8점) / 2-2 (11점) / 2-3 (11점)]

[답안 2-1] (총 8점)

$x(t) = t^2\sin t, \ y(t) = t^2\cos t$를 $t$에 대하여 미분하면 $x'(t) = t(2\sin t + t\cos t), \ y'(t) = t(2\cos t - t\sin t)$이다 [2점].
$\{x'(t)\}^2 + \{y'(t)\}^2 = t^2(4 + t^2)$이므로 $t = 0$에서 $t = a \ (a \gt 0)$까지 움직인 거리 $s$는 \[ \begin{aligned} &s = \int_0^a \sqrt{t^2(2\sin t + t\cos t)^2 + t^2(2\cos t - t\sin t)^2}\,dt = \int_0^a t\sqrt{4 + t^2}\,dt \quad [3\text{점}] \\ &\quad = \left[\frac{1}{3}(t^2 + 4)^{3/2}\right]_0^a = \frac{1}{3}(a^2 + 4)^{3/2} - \frac{8}{3} = \frac{19}{3} \implies (a^2 + 4)^{3/2} = 27 \implies a^2 + 4 = 9 \implies a = \sqrt{5} \quad (\because a \gt 0) \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] 답: $a = \sqrt{5}$

[답안 2-2] (총 11점)

부분적분법에 의하여 $\displaystyle\int g(x)\,dx = \int ax\sin x\,dx = a(\sin x - x\cos x) + C$이다 [4점].
구간 $[0, \pi]$에서 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$의 교점을 $\mathrm{P}(x_1, f(x_1))$이라 하면, $[0, x_1]$에서는 $f(x) \ge g(x)$이고 $[x_1, \pi]$에서는 $g(x) \ge f(x)$이므로 \[ \begin{aligned} &S_1 = \int_0^{x_1} (\cos x - ax\sin x)\,dx = \Big[\sin x - a\sin x + ax\cos x\Big]_0^{x_1} = \sin x_1 - a\sin x_1 + ax_1\cos x_1 \\ &S_2 = \int_{x_1}^\pi (ax\sin x - \cos x)\,dx = \Big[a\sin x - ax\cos x - \sin x\Big]_{x_1}^\pi = a\pi - (a\sin x_1 - ax_1\cos x_1 - \sin x_1) \quad [5\text{점}] \end{aligned} \] 따라서 $S_2 - S_1 = a\pi - 2(a\sin x_1 - ax_1\cos x_1 - \sin x_1)$이고, 교점 $x_1$에서 $\cos x_1 = ax_1\sin x_1$이므로 실제로는 정적분의 성질에 의해 바로 \[ \begin{aligned} &S_2 - S_1 = \int_{x_1}^\pi (ax\sin x - \cos x)\,dx - \int_0^{x_1} (\cos x - ax\sin x)\,dx \\ &\quad = \int_0^\pi (ax\sin x - \cos x)\,dx = \Big[a\sin x - ax\cos x - \sin x\Big]_0^\pi = a\pi \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] 답: $S_2 - S_1 = a\pi$

[답안 2-3] (총 11점)

두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$의 교점을 $\mathrm{P}(x_1, f(x_1))$이라 하면 $e^{x_1} = e^{ax_1 - 1}$에서 $x_1 = \dfrac{1}{a - 1}$이고 $f(x_1) = e^{\frac{1}{a - 1}}$이다 [3점].
이때 $f'(x_1) = e^{x_1} = e^{\frac{1}{a - 1}}$, $g'(x_1) = ae^{ax_1 - 1} = ae^{\frac{1}{a - 1}}$이다 [3점].
점 $\mathrm{P}$에서의 두 접선이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 $\beta, \ \alpha \ (\alpha \gt \beta)$라 하면 $\tan\alpha = g'(x_1), \ \tan\beta = f'(x_1)$이고 $\angle\mathrm{APB} = \alpha - \beta$이므로 탄젠트함수의 덧셈정리에 의하여 \[ \begin{aligned} &\tan(\angle\mathrm{APB}) = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} = \frac{ae^{\frac{1}{a - 1}} - e^{\frac{1}{a - 1}}}{1 + ae^{\frac{2}{a - 1}}} = \frac{(a - 1)e^{\frac{1}{a - 1}}}{ae^{\frac{2}{a - 1}} + 1} \quad [5\text{점}] \end{aligned} \]

[다른 풀이] 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하고 $\angle\mathrm{APH} = \alpha', \ \angle\mathrm{BPH} = \beta'$이라 하면 $\tan\alpha' = \dfrac{1}{f'(x_1)} = \dfrac{1}{e^{x_1}}, \ \tan\beta' = \dfrac{1}{g'(x_1)} = \dfrac{1}{ae^{x_1}}$이므로 $\tan(\angle\mathrm{APB}) = \tan(\alpha' - \beta') = \dfrac{(a - 1)e^{\frac{1}{a - 1}}}{ae^{\frac{2}{a - 1}} + 1}$이다.

답: $\tan(\angle\mathrm{APB}) = \dfrac{(a - 1)e^{\frac{1}{a - 1}}}{ae^{\frac{2}{a - 1}} + 1}$

【2024학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-4) [배점 : 2-4(1) (4점) / 2-4(2) (16점)]

[답안 2-4] (총 20점) — (1) $s$를 $t$에 대한 식으로 표현 (4점) / (2) $\overline{\mathrm{LM}}$의 최댓값 (16점)

(1) (4점): $f(x) = x + \dfrac{2}{x}$에서 $f'(x) = 1 - \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{x^2 - 2}{x^2}$이므로 점 $\mathrm{P}(t, f(t))$에서의 접선 $l$의 기울기는 $f'(t) = \dfrac{t^2 - 2}{t^2}$이다.
$g(x) = \ln x$에서 $g'(x) = \dfrac{1}{x}$이므로 점 $\mathrm{Q}(s, g(s))$에서의 접선 $m$의 기울기는 $g'(s) = \dfrac{1}{s}$이다.
두 직선 $l$과 $m$이 서로 평행하므로 $\dfrac{t^2 - 2}{t^2} = \dfrac{1}{s}$, 즉 $s = \dfrac{t^2}{t^2 - 2}$이다 [4점].

(2) (16점): 점 $\mathrm{P}(t, f(t))$에서의 접선 $l$의 방정식은 \[ \begin{aligned} &y = \frac{t^2 - 2}{t^2}(x - t) + t + \frac{2}{t} = \frac{t^2 - 2}{t^2}x + \frac{4}{t} \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] 점 $\mathrm{Q}(s, g(s))$에서의 접선 $m$의 방정식은 $s = \dfrac{t^2}{t^2 - 2}$를 대입하면 \[ \begin{aligned} &y = \frac{1}{s}(x - s) + \ln s = \frac{1}{s}x - 1 + \ln s = \frac{t^2 - 2}{t^2}x - 1 + \ln\left(\frac{t^2}{t^2 - 2}\right) \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] 따라서 $\mathrm{L}\left(0, \dfrac{4}{t}\right), \ \mathrm{M}\left(0, -1 + \ln\left(\dfrac{t^2}{t^2 - 2}\right)\right)$이고, $t \gt \sqrt{2}$에서 점 $\mathrm{L}$의 $y$좌표가 점 $\mathrm{M}$의 $y$좌표보다 크므로 $\overline{\mathrm{LM}} = h(t)$라 하면 \[ \begin{aligned} &h(t) = \overline{\mathrm{LM}} = \frac{4}{t} + 1 - \ln\left(\frac{t^2}{t^2 - 2}\right) = \frac{4}{t} + 1 - 2\ln t + \ln(t^2 - 2) \quad (t \gt \sqrt{2}) \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] $h(t)$를 $t$에 대하여 미분하면 \[ \begin{aligned} &h'(t) = -\frac{4}{t^2} - \frac{2}{t} + \frac{2t}{t^2 - 2} = -\frac{4}{t^2} + \frac{4}{t(t^2 - 2)} = \frac{-4t^2 + 4t + 8}{t^2(t^2 - 2)} = \frac{-4(t + 1)(t - 2)}{t^2(t^2 - 2)} \quad [4\text{점}] \end{aligned} \] $t \gt \sqrt{2}$에서 $h'(t) = 0$인 $t$의 값은 $t = 2$이며, $h(t)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다:

$t$	$(\sqrt{2})$	$\cdots$	$\sqrt{3}$	$\cdots$	$2$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$h'(t)$		$+$	$+$	$+$ (증가)	$0$	$-$ (감소)	$-$	$-$
$h(t) = \overline{\mathrm{LM}}$		$\nearrow$	$\frac{3+4\sqrt{3}}{3} - \ln 3$	$\nearrow$	극대 $3 - \ln 2$	$\searrow$	$\frac{7}{3} - \ln\frac{9}{7}$	$\searrow$

따라서 $h(t)$는 $t = 2$에서 극대이자 최대이므로 $\overline{\mathrm{LM}}$의 최댓값은 $h(2) = 2 + 1 - \ln 2 = 3 - \ln 2$이다 [4점].
답: (1) $s = \dfrac{t^2}{t^2 - 2}$ (2) $3 - \ln 2$

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초월함수의 미분에서 진수조건($\text{진수} \gt 0$)을 서두에 반드시 밝히고 접선의 방정식을 전개하십시오.

정답:최종 정답 요약 (2-1) 기울기 $\dfrac{1}{e}$ | (2-2) 접선 방정식 도출 | (2-3) 교점의 개수 2개

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

한국항공대 2024학년도 공학계열 문제 2 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 미분계수, 함수의 극대·극소, 사잇값 정리 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2024학년도 이학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 복소수 $a + bi$ ($a, b$는 실수)의 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 $a - bi$를 $a + bi$의 켤레복소수라 하고, 이것을 기호로 $\overline{a + bi}$로 나타낸다. 즉, $\overline{a + bi} = a - bi$이다. (단, $i = \sqrt{-1}$)

나) 두 함수 $f : X \to Y, \ g : Y \to Z$의 합성함수는 $g \circ f : X \to Z, \ (g \circ f)(x) = g(f(x))$이다.

다) 자연수 $n$에 대한 명제 $p(n)$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.
(i) $n = 1$일 때 명제 $p(n)$이 성립한다. (ii) $n = k$일 때 명제 $p(n)$이 성립한다고 가정하면, $n = k + 1$일 때도 명제 $p(n)$이 성립한다.

라) 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라 하고, 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다. 공비가 $r$인 등비수열 $\{a_n\}$에서 제$n$항에 공비 $r$를 곱하면 제$(n + 1)$항이 되므로 $a_{n+1} = r a_n \ (n = 1, 2, 3, \cdots)$이 성립한다.

[문제 1-1] 이차방정식 $x^2 + px + q = 0$의 한 근 $z = a + bi$가 $z^2 = -\dfrac{\bar{z}}{2}, \ \dfrac{b}{a} = -\sqrt{3}$을 만족할 때, 두 실수 $p$와 $q$를 구하시오. (단, $a, b$는 실수이고 $a \ne 0$)

[문제 1-2] 두 함수 $f(x) = \begin{cases} x & (x \ge 0) \\ 0 & (x \lt 0) \end{cases}, \ g(x) = -(x - k)^2 + 4$에 대하여 정적분 $\displaystyle\int_{-5}^4 (f \circ g)(x)\,dx$의 값을 $h(k)$라고 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, $k$는 실수)

(1) $h(k)$가 최대가 되도록 하는 $k$의 값의 범위를 구하시오.

(2) $h(k)$의 최댓값을 구하시오.

[문제 1-3] $h \gt 0$일 때, 자연수 $n$에 대하여 두 수열 $\{a_n\}, \ \{b_n\}$이 $a_1 = 1, \ a_{n+1} = a_n + h, \ b_1 = 1, \ b_{n+1} = b_n(1 + h)$이다. 수학적 귀납법을 이용하여 $n \ge 3$일 때, $a_n$과 $b_n$의 대소관계를 비교하려고 한다. 다음 물음에 답하시오.

(1) $n = 3$일 때 $b_3 - a_3 \gt 0$임을 보이시오.

(2) $n = k \ (k \ge 3)$일 때 $b_k - a_k \gt 0$이 성립한다고 가정하면, $b_{k+1} - a_{k+1} \gt 0$임을 보이시오.

(3) (1)과 (2)를 통하여 알 수 있는 결론을 쓰시오.

[그림] 정사각형 $R_n$과 내접원 $O_n$

[문제 1-4] 그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 $\mathrm{A}_1(0, 0), \ \mathrm{A}_2(4, 0), \ \mathrm{B}_1(4, 4), \ \mathrm{C}_1(0, 4)$를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 $R_1$이라 하자. 정사각형 $R_1$의 네 변 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2, \ \mathrm{A}_2\mathrm{B}_1, \ \mathrm{B}_1\mathrm{C}_1, \ \mathrm{C}_1\mathrm{A}_1$의 중점을 각각 $\mathrm{C}_2, \ \mathrm{D}_1, \ \mathrm{E}_1, \ \mathrm{F}_1$이라 하고, 두 선분 $\mathrm{C}_2\mathrm{E}_1$와 $\mathrm{D}_1\mathrm{F}_1$의 교점을 $\mathrm{G}_1$이라 할 때, 정사각형 $\mathrm{G}_1\mathrm{C}_2\mathrm{B}_1\mathrm{D}_1$에 내접하는 원 $O_1$을 그린다. 선분 $\mathrm{A}_2\mathrm{C}_2$를 한 변으로 하는 정사각형 중 오른쪽 정사각형을 $R_2$라 하고, $x$축 위의 꼭짓점 중 오른쪽 점을 $\mathrm{A}_3$이라 하자. 정사각형 $R_2$의 네 변의 중점을 각각 $\mathrm{C}_3, \ \mathrm{D}_2, \ \mathrm{E}_2, \ \mathrm{F}_2$라 하고, 두 선분 $\mathrm{C}_3\mathrm{E}_2$와 $\mathrm{D}_2\mathrm{F}_2$의 교점을 $\mathrm{G}_2$라 할 때, 정사각형 $\mathrm{G}_2\mathrm{C}_3\mathrm{B}_2\mathrm{D}_2$에 내접하는 원 $O_2$를 그린다. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 그린 원을 $O_n$이라 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) 원 $O_n$의 반지름의 길이를 $r_n$이라 할 때 $r_n$을 구하시오.

(2) 원 $O_n$의 중심의 $x$좌표를 $x_n$이라 할 때, (1)의 결과를 참고하여 $x_n$과 $x_{n-1}$ 사이의 관계식을 구하시오. ($n = 2, 3, 4, \cdots$)

(3) 두 원 $O_9, \ O_{10}$의 중심을 지나는 직선의 기울기를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 탐구 11033 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-06]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x^3 - 3x$에 대하여 닫힌구간 $[0, 2]$에서 사잇값 정리를 만족하는 실근이 열린구간 $(1, 2)$에 존재함을 보이시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f(1) = 1 - 3 = -2 \lt 0$, $f(2) = 8 - 6 = 2 \gt 0$. 함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[1, 2]$에서 연속이고 $f(1)f(2) = -4 \lt 0$이므로, 사잇값 정리에 의해 $f(c) = 0$을 만족하는 $c$가 열린구간 $(1, 2)$에 적어도 하나 존재한다.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 2024학년도 이학계열 문제 1 (50점) (미분계수, 함수의 극대·극소, 사잇값 정리) [배점 50점]

2024학년도 자연계열 2024학년도 이학계열 문제 1 (50점) — 한국항공대 2024학년도 이학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 2024학년도 이학계열 문제 1 (50점) · 총 50점

【2024학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-1 ~ 1-4) [배점 : 1-1(7점) / 1-2(10점) / 1-3(16점) / 1-4(17점)]

[답안 1-1] (총 7점)

$\dfrac{b}{a} = -\sqrt{3}$이므로 $b = -\sqrt{3}a$, 즉 $z = a(1 - \sqrt{3}i)$이고 $\bar{z} = a(1 + \sqrt{3}i)$이다.
$z^2 = a^2(1 - 2\sqrt{3}i - 3) = a^2(-2 - 2\sqrt{3}i) = -2a^2(1 + \sqrt{3}i)$이고 $-\dfrac{\bar{z}}{2} = -\dfrac{a}{2}(1 + \sqrt{3}i)$이므로 $-2a^2 = -\dfrac{a}{2}$에서 $a = \dfrac{1}{4} \ (\because a \ne 0)$이다 [3점].
실수 계수 이차방정식 $x^2 + px + q = 0$의 두 근은 $z = \dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}i$와 $\bar{z} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i$이므로 근과 계수의 관계에 의하여:
• $p = -(z + \bar{z}) = -2a = -\dfrac{1}{2}$ [2점], • $q = z\bar{z} = \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right) = \dfrac{1}{16} + \dfrac{3}{16} = \dfrac{1}{4}$ [2점]. 답: $p = -\dfrac{1}{2}, \ q = \dfrac{1}{4}$ (채점표 표기: $\alpha = -\dfrac{1}{2}, \ \beta = \dfrac{1}{4}$)

[그림] $(f \circ g)(x)$의 그래프

[답안 1-2] (총 10점) — (1) $k$의 값의 범위 (6점) / (2) $h(k)$의 최댓값 (4점)

(1) (6점): $g(x) = -(x - k)^2 + 4 \ge 0$인 구간은 $k - 2 \le x \le k + 2$이고, 그 외의 구간에서는 $g(x) \lt 0$이므로 $(f \circ g)(x) = 0$이다 [3점].
따라서 정적분 $h(k) = \displaystyle\int_{-5}^4 (f \circ g)(x)\,dx$가 최대가 되려면 $g(x) \ge 0$인 구간 $[k - 2, k + 2]$가 적분 구간 $[-5, 4]$ 안에 완전히 포함되어야 하므로 $-5 \le k - 2$이고 $k + 2 \le 4$, 즉 $-3 \le k \le 2$이다 [3점].
(2) (4점): $-3 \le k \le 2$일 때 (예: $k = 0$) 최댓값은 $\displaystyle\int_{k-2}^{k+2} \{-(x - k)^2 + 4\}\,dx = \int_{-2}^2 (-x^2 + 4)\,dx = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + 4x\right]_{-2}^2 = \dfrac{32}{3}$이다 [4점].
답: (1) $-3 \le k \le 2$ (2) $\dfrac{32}{3}$

[답안 1-3] (총 16점) — (1) $n=3$ 증명 (6점) / (2) $n=k \implies n=k+1$ 증명 (5점) / (3) 결론 (5점)

(1) (6점): $b_3 = b_2(1 + h) = b_1(1 + h)^2 = (1 + h)^2$ [1.5점]이고 $a_3 = a_2 + h = a_1 + 2h = 1 + 2h$ [1.5점]이므로, $h \gt 0$에서 $b_3 - a_3 = (1 + h)^2 - (1 + 2h) = 1 + 2h + h^2 - (1 + 2h) = h^2 \gt 0$이다 [3점].
(2) (5점): $n = k \ (k \ge 3)$일 때 $b_k \gt a_k$라 가정하면, $h \gt 0$이고 $a_k = 1 + (k - 1)h \gt 1$이므로 \[ \begin{aligned} &b_{k+1} = b_k(1 + h) \gt a_k(1 + h) = a_k + ha_k \gt a_k + h = a_{k+1} \implies b_{k+1} - a_{k+1} \gt 0 \quad [5\text{점}] \end{aligned} \] (3) (5점): (1)과 (2)에 의하여 $n \ge 3$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $b_n \gt a_n$이 성립한다. (또는 $n \ge 1$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $b_n \ge a_n$이 성립한다.) [5점]
답: (1), (2) 위 과정 참조 (3) $n \ge 3$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $b_n \gt a_n$이 성립한다.

[그림] $x_n$과 $x_{n-1}$ 사이의 거리

[답안 1-4] (총 17점) — (1) $r_n$ (3점) / (2) 관계식 (9점) / (3) 직선의 기울기 (5점)

(1) (3점): 첫 번째 원 $O_1$은 한 변의 길이가 $2$인 정사각형에 내접하므로 $r_1 = 1$이고, 정사각형과 내접원의 크기가 매 단계 $\dfrac{1}{2}$배가 되므로 공비가 $\dfrac{1}{2}$인 등비수열이다. 따라서 $r_n = \dfrac{1}{2^{n-1}}$이다 [3점].
(2) (9점): 오른쪽 그림과 같이 $x_n$과 $x_{n-1}$ 사이의 거리는 $r_{n-1} + 2r_n + r_n = r_{n-1} + 3r_n = \dfrac{5}{2}r_{n-1}$ (즉, $r_{n-1}$의 $2.5$배)이므로 \[ \begin{aligned} &x_n = x_{n-1} + \frac{5}{2}r_{n-1} = x_{n-1} + \frac{5}{2^{n-1}} \quad (n = 2, 3, 4, \cdots) \quad [9\text{점}] \end{aligned} \] (3) (5점): 모든 원 $O_n$의 중심은 한 직선 위에 있으며, 원 $O_1$의 중심 $(3, 3)$과 원 $O_2$의 중심 $\left(\dfrac{11}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$을 지나는 직선의 기울기(또는 $\dfrac{y_{10} - y_9}{x_{10} - x_9} = \dfrac{-\frac{3}{2}r_9}{\frac{5}{2}r_9}$)는 $-\dfrac{3}{5}$이다 [5점].
답: (1) $r_n = \dfrac{1}{2^{n-1}}$ (2) $x_n = x_{n-1} + \dfrac{5}{2^{n-1}} \ (n = 2, 3, 4, \cdots)$ (3) $-\dfrac{3}{5}$

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

사잇값 정리를 적용할 때는 반드시 '닫힌구간에서의 연속'과 '양 끝점 함숫값의 부호가 다름'을 명문화하십시오.

정답:최종 정답 요약 (1-1) $f(1) = -2, f(2) = 2$ 실근 존재 증명 | (1-2) 극값 $x = \pm 1$ 판정

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

한국항공대 2024학년도 이학계열 문제 1 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 원과 직선의 위치관계, 정적분의 성질 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2024학년도 이학계열 문제 2 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 방정식 $f(x) = g(x)$의 실근은 두 함수 $y = f(x), \ y = g(x)$의 그래프의 교점의 $x$좌표와 같다. 따라서 방정식 $f(x) = g(x)$의 서로 다른 실근의 개수는 두 함수 $y = f(x), \ y = g(x)$의 그래프의 교점의 개수와 같다.

나) 계수가 실수인 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0 \ (a \ne 0)$에서 판별식 $D = b^2 - 4ac$일 때
(1) $D \gt 0$이면 서로 다른 두 실근을 가진다. (2) $D = 0$이면 서로 같은 두 실근(중근)을 가진다. (3) $D \lt 0$이면 서로 다른 두 허근을 가진다.

다) 첫째항부터 차례로 일정한 수를 더하여 만든 수열을 등차수열이라 하고, 더하는 일정한 수를 공차라고 한다.

라) 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0 \ (a \ne 0)$의 두 근을 $\alpha, \ \beta$라고 하면, 다음 등식이 성립한다. $\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \dfrac{c}{a}$

마) 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $f(x)$의 부정적분 중의 하나를 $F(x)$라고 하면, $f(x)$의 $a$부터 $b$까지의 정적분은 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$이다.

[문제 2-1] 삼차함수 $f(x) = -x^3 + 6x$가 $x = a$에서 극솟값을 가지고 $x = b$에서 극댓값을 가질 때, 두 점 $(a, f(a)), \ (b, f(b))$를 지나는 직선의 기울기를 $m$이라고 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) $m$의 값을 구하시오.

(2) 직선 $y = mx + k$와 곡선 $y = f(x)$가 만나는 점의 개수가 $3$이 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[문제 2-2] $x$에 대한 이차방정식 $3x^2 - 5(a + 1)x + 3a^2 = 0$이 서로 다른 양의 실근 $\alpha, \ \beta \ (\alpha \lt \beta)$를 가질 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $a$는 실수)

(1) $a$의 값의 범위를 구하시오.

(2) $-\sqrt{\beta}, \ -\sqrt{\alpha}, \ \sqrt{\alpha}, \ \sqrt{\beta}$가 이 순서대로 등차수열이 되도록 하는 $a$의 값을 모두 구하시오.

[문제 2-3] 함수 $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & (x \ge 0) \\ x^2 & (x \lt 0) \end{cases}$의 그래프와 직선 $y = k$가 서로 다른 두 점 $\mathrm{A}_k, \ \mathrm{B}_k$에서 만날 때, 함수 $h(k) = \cos(\angle\mathrm{A}_k\mathrm{OB}_k)$라 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점)

(1) 함수 $h(k)$를 $k$에 대한 식으로 나타내시오.

(2) $\lim_{k \to \infty} \sqrt{k}\,h(k)$의 값을 구하시오.

[문제 2-4] 이차함수 $f(x) = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta$가 $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = \dfrac{1}{3}$을 만족할 때, 함수 $S(\alpha) = \displaystyle\int_{-\alpha}^\alpha (2\alpha - 1)f(x)\,dx$는 $\alpha = \alpha_1$에서 최솟값 $m$을 갖는다. 두 상수 $\alpha_1$과 $m$의 값을 각각 구하시오. $\left(\text{단, } \alpha \ne \dfrac{1}{2}\right)$

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 11034 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-06]

【유사 연습 문제】 원 $x^2 + y^2 = 4$와 직선 $y = x + k$가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 범위를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 원의 중심 $(0, 0)$에서 직선 $x - y + k = 0$까지의 거리 $d = \dfrac{|k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|k|}{\sqrt{2}}$. 서로 다른 두 점에서 만나려면 $d \lt r = 2 \implies |k| \lt 2\sqrt{2} \implies -2\sqrt{2} \lt k \lt 2\sqrt{2}$.

【문항 요약】 2024학년도 자연계열 2024학년도 이학계열 문제 2 (50점) (원과 직선의 위치관계, 정적분의 성질) [배점 50점]

2024학년도 자연계열 2024학년도 이학계열 문제 2 (50점) — 한국항공대 2024학년도 이학계열 문제 2 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2024 2024학년도 이학계열 문제 2 (50점) · 총 50점

【2024학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-1, 2-2) [배점 : 2-1 (12점) / 2-2 (13점)]

[답안 2-1] (총 12점) — (1) 직선의 기울기 $m$ (5점) / (2) 실수 $k$의 값의 범위 (7점)

(1) (5점): $f(x) = -x^3 + 6x$를 미분하면 $f'(x) = -3x^2 + 6 = 0$에서 $x = \pm\sqrt{2}$이다.
$f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다:

$x$	$\cdots$	$-\sqrt{2}$	$\cdots$	$\sqrt{2}$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\searrow$	극소 ($-4\sqrt{2}$)	$\nearrow$	극대 ($4\sqrt{2}$)	$\searrow$

따라서 $x = -\sqrt{2}$에서 극솟값 $-4\sqrt{2}$를 갖고 $x = \sqrt{2}$에서 극댓값 $4\sqrt{2}$를 갖는다 [4점].
그러므로 두 점 $(-\sqrt{2}, -4\sqrt{2})$와 $(\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$를 지나는 직선의 기울기는 $m = \dfrac{4\sqrt{2} - (-4\sqrt{2})}{\sqrt{2} - (-\sqrt{2})} = 4$이다 [1점].
(2) (7점): 직선 $y = 4x + k$와 곡선 $y = f(x)$가 만나는 점의 개수는 방정식 $-x^3 + 6x = 4x + k$, 즉 직선 $y = k$와 곡선 $y = g(x) = -x^3 + 2x$의 교점의 개수와 같다.
$g'(x) = -3x^2 + 2 = 0$에서 $x = \pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}$이고, $g(x)$의 증가와 감소를 조사하면 다음과 같다:

$x$	$\cdots$	$-\sqrt{\frac{2}{3}}$	$\cdots$	$\sqrt{\frac{2}{3}}$	$\cdots$
$g'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$g(x)$	$\searrow$	$-\frac{4\sqrt{6}}{9}$	$\nearrow$	$\frac{4\sqrt{6}}{9}$	$\searrow$

[5점] 따라서 $-\dfrac{4\sqrt{6}}{9} \lt k \lt \dfrac{4\sqrt{6}}{9}$일 때 서로 다른 세 점에서 만난다 [2점].
답: (1) $m = 4$ (2) $-\dfrac{4\sqrt{6}}{9} \lt k \lt \dfrac{4\sqrt{6}}{9}$

[답안 2-2] (총 13점) — (1) $a$의 값의 범위 (5점) / (2) 등차수열을 이루는 $a$의 값 (8점)

(1) (5점): $3x^2 - 5(a + 1)x + 3a^2 = 0$이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식 $D \gt 0$이어야 하므로 \[ \begin{aligned} &D = \{5(a + 1)\}^2 - 36a^2 = -11a^2 + 50a + 25 = -(11a + 5)(a - 5) \gt 0 \implies -\frac{5}{11} \lt a \lt 5 \quad \cdots \text{①} \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] 또한 두 근이 모두 양수이려면 두 근의 합 $\alpha + \beta = \dfrac{5(a + 1)}{3} \gt 0$이고 두 근의 곱 $\alpha\beta = a^2 \gt 0$이어야 하므로 $a \gt -1$이고 $a \ne 0$ (②)이다 [1점].
따라서 ①과 ②에 의해 $-\dfrac{5}{11} \lt a \lt 0$ 또는 $0 \lt a \lt 5$이다 [1점].
(2) (8점): $-\sqrt{\beta}, \ -\sqrt{\alpha}, \ \sqrt{\alpha}, \ \sqrt{\beta}$가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 등차중항의 성질에 의해 $2\sqrt{\alpha} = -\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}$, 즉 $3\sqrt{\alpha} = \sqrt{\beta}$에서 $\beta = 9\alpha$이다.
근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 10\alpha = \dfrac{5}{3}(a + 1)$ (①)이고 $\alpha\beta = 9\alpha^2 = a^2$ (②)이다 [6점].
①에서 $\alpha = \dfrac{1}{6}(a + 1)$을 ②에 대입하면 $\dfrac{1}{4}(a + 1)^2 = a^2 \implies 3a^2 - 2a - 1 = (3a + 1)(a - 1) = 0$이므로 $a = 1$ 또는 $a = -\dfrac{1}{3}$이다 (모두 (1)의 범위를 만족함) [2점].
답: (1) $-\dfrac{5}{11} \lt a \lt 0$ 또는 $0 \lt a \lt 5$ (2) $a = 1, \ -\dfrac{1}{3}$

【2024학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-3, 2-4) [배점 : 2-3 (10점) / 2-4 (15점)]

[답안 2-3] (총 10점) — (1) 함수 $h(k)$ (6점) / (2) 극한값 (4점)

(1) (6점): 함수 $f(x)$의 그래프와 직선 $y = k \ (k \gt 0)$가 만나는 서로 다른 두 점의 좌표를 구하면 $\mathrm{A}_k(k^2, k), \ \mathrm{B}_k(-\sqrt{k}, k)$이다 [2점].
$\overline{\mathrm{OA}_k} = \sqrt{k^4 + k^2}, \ \overline{\mathrm{OB}_k} = \sqrt{k + k^2}, \ \overline{\mathrm{A}_k\mathrm{B}_k} = k^2 + \sqrt{k}$이므로 코사인법칙에 의하여 \[ \begin{aligned} &h(k) = \cos(\angle\mathrm{A}_k\mathrm{OB}_k) = \frac{\overline{\mathrm{OA}_k}^2 + \overline{\mathrm{OB}_k}^2 - \overline{\mathrm{A}_k\mathrm{B}_k}^2}{2\,\overline{\mathrm{OA}_k}\,\overline{\mathrm{OB}_k}} = \frac{(k^4 + k^2) + (k + k^2) - (k^4 + 2k^2\sqrt{k} + k)}{2\sqrt{k^2(1 + k^2)}\sqrt{k(1 + k)}} = \frac{\sqrt{k}(1 - \sqrt{k})}{\sqrt{1 + k}\sqrt{1 + k^2}} \quad [4\text{점}] \end{aligned} \] (2) (4점): \[ \begin{aligned} &\lim_{k \to \infty} \sqrt{k}\,h(k) = \lim_{k \to \infty} \frac{k(1 - \sqrt{k})}{\sqrt{1 + k}\sqrt{1 + k^2}} = \lim_{k \to \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{k}} - 1}{\sqrt{\frac{1}{k} + 1}\sqrt{\frac{1}{k^2} + 1}} = -1 \quad [4\text{점}] \end{aligned} \] 답: (1) $h(k) = \dfrac{\sqrt{k}(1 - \sqrt{k})}{\sqrt{1 + k}\sqrt{1 + k^2}}$ (2) $-1$

[답안 2-4] (총 15점)

주어진 정적분 조건을 계산하면 \[ \begin{aligned} &\int_0^1 \{x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\}\,dx = \frac{1}{3} - \frac{\alpha + \beta}{2} + \alpha\beta = \frac{1}{3} \implies \alpha + \beta = 2\alpha\beta \quad \cdots \text{①} \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] 함수 $S(\alpha)$를 정적분하면 \[ \begin{aligned} &S(\alpha) = \int_{-\alpha}^\alpha (2\alpha - 1)f(x)\,dx = (2\alpha - 1)\left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{\alpha + \beta}{2}x^2 + \alpha\beta x\right]_{-\alpha}^\alpha = (2\alpha - 1)\left(\frac{2}{3}\alpha^3 + 2\alpha^2\beta\right) \quad \cdots \text{②} \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] ①에서 $2\alpha\beta = \alpha + \beta \implies (2\alpha - 1)\beta = \alpha$를 ②에 대입하여 정리하면 \[ \begin{aligned} &S(\alpha) = \frac{2}{3}(2\alpha - 1)\alpha^3 + 2\alpha^2(2\alpha - 1)\beta = \frac{4}{3}\alpha^4 - \frac{2}{3}\alpha^3 + 2\alpha^3 = \frac{4}{3}\alpha^4 + \frac{4}{3}\alpha^3 \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] $S(\alpha)$를 $\alpha$에 대하여 미분하면 $S'(\alpha) = \dfrac{16}{3}\alpha^3 + 4\alpha^2 = \dfrac{4}{3}\alpha^2(4\alpha + 3)$이고, $S(\alpha)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다:

$\alpha$	$\cdots$	$-\frac{3}{4}$	$\cdots$	$0$	$\cdots$
$S'(\alpha)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$S(\alpha)$	$\searrow$	극소 $-\frac{9}{64}$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$

따라서 $S(\alpha)$는 $\alpha_1 = -\dfrac{3}{4}$에서 최솟값 $m = -\dfrac{9}{64}$를 갖는다 [6점].
답: $\alpha_1 = -\dfrac{3}{4}, \quad m = -\dfrac{9}{64}$

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점과 직선 사이의 거리 공식과 판별식 $D \gt 0$ 중 점과 직선 사이 거리 공식을 사용하는 것이 감점 없이 빠릅니다.

정답:최종 정답 요약 (2-1) $-2\sqrt{2} \lt k \lt 2\sqrt{2}$ | (2-2) 넓이 최댓값 $2\pi$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

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한국항공대 2024학년도 이학계열 문제 2 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 로그함수, 삼각함수, 미적분학, 치환적분 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2023학년도 공학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
$y - f(a) = f'(a)(x - a)$

나) 두 함수 $f(x), \ g(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, 두 곡선 $y = f(x), \ y = g(x)$와 두 직선 $x = a, \ x = b$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 다음과 같다.
$S = \displaystyle\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$

다) 다음은 탄젠트함수의 덧셈정리이다.
$\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}, \qquad \tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$

[문제 1-1] 자연수 $n$에 대하여 점 $(0, -n)$에서 곡선 $y = \ln x$에 그은 접선의 $x$절편을 $x_n$이라 하자. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{x_{n+1}}$의 값을 구하시오.

[문제 1-2] 직선 $y = kx$가 점 $(a, \ln a)$에서 곡선 $y = \ln x$에 접할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $k$는 상수)

(1) $a$와 $k$의 값을 각각 구하시오.

(2) 곡선 $y = \ln x$와 $x$축 및 직선 $x = a$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_1$이라 하고, 곡선 $y = \ln x$와 직선 $y = kx$ 및 직선 $x = a^2$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_2$라 할 때, $S_1, \ S_2$를 각각 구하시오.

[문제 1-3] 곡선 $y = \ln x$ 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{P}_1, \ \mathrm{P}_2$의 $x$좌표를 각각 $x_1, \ x_2 \ (x_1 \lt x_2)$라 하고, 곡선 $y = \ln x$ 위의 점 $\mathrm{P}_1$에서의 접선과 곡선 $y = \ln x$ 위의 점 $\mathrm{P}_2$에서의 접선이 만나는 점을 $\mathrm{R}$이라 하자. $\tan(\angle\mathrm{P_1RP_2})$를 $x_1, \ x_2$에 대한 식으로 나타내시오.

[문제 1-4] 함수 $f(x) = \ln\left(\dfrac{1}{1 - x}\right)$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(0, 0)$에서의 접선이 직선 $x = 1$과 만나는 점을 $\mathrm{P}_1$이라 하고, 점 $\mathrm{P}_1$을 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y = f(x)$와 만나는 점을 $\mathrm{Q}_1$이라 하자. 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{Q}_1$에서의 접선이 직선 $x = 1$과 만나는 점을 $\mathrm{P}_2$라 하고, 점 $\mathrm{P}_2$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y = f(x)$와 만나는 점을 $\mathrm{Q}_2$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $3$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{Q}_{n-1}$에서의 접선이 직선 $x = 1$과 만나는 점을 $\mathrm{P}_n$이라 하고, 점 $\mathrm{P}_n$을 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y = f(x)$와 만나는 점을 $\mathrm{Q}_n$이라 하자. 선분 $\mathrm{P}_k\mathrm{Q}_k$의 길이를 $l_k \ (k = 1, 2, 3, \cdots)$라 할 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} l_k$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11041 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-04]

【유사 연습 문제】 정적분 $\int_1^e \dfrac{(\ln x)^2}{x}\,dx$의 값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $t = \ln x$로 치환하면 $dt = \dfrac{1}{x}dx$. $x=1 \implies t=0, \ x=e \implies t=1$. $\int_0^1 t^2\,dt = \left[\dfrac{1}{3}t^3\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}$.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 2023학년도 공학계열 문제 1 (50점) (로그함수, 삼각함수, 미적분학, 치환적분) [배점 50점]

2023학년도 자연계열 2023학년도 공학계열 문제 1 (50점) — 한국항공대 2023학년도 공학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 2023학년도 공학계열 문제 1 (50점) · 총 50점

【2023학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-1, 1-2) [배점 : 1-1 (10점) / 1-2 (10점)]

[그림] 점 $(0, -n)$에서 그은 접선

[답안 1-1] (총 10점)

점 $(0, -n)$과 곡선 $y = \ln x$ 위의 점 $(a, \ln a)$를 지나면서 $y = \ln x$에 접하는 직선의 기울기는 $\dfrac{1}{a}$이므로 접선의 방정식은 \[ \begin{aligned} &y - \ln a = \frac{1}{a}(x - a) \implies y = \frac{1}{a}x + \ln a - 1 \end{aligned} \] 이다. 이 접선의 $y$절편이 $-n$이므로 $\ln a - 1 = -n$, 따라서 $a = \dfrac{1}{e^{n-1}}$이다 [2점].
접선의 $x$절편 $x_n$은 $0 = \dfrac{1}{a}x_n - n = e^{n-1}x_n - n$에서 $x_n = \dfrac{n}{e^{n-1}}$이다 [3점].
따라서 \[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{x_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{e^{n-1}} \cdot \frac{e^n}{n + 1}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(e \times \frac{n}{n + 1}\right) = e \quad [5\text{점}] \end{aligned} \] 답: $e$

[답안 1-2] (총 10점) — (1) $a, \ k$의 값 (4점) / (2) $S_1, \ S_2$ (6점)

(1) (4점): 직선 $y = kx$가 점 $(a, \ln a)$에서 곡선 $y = \ln x$에 접하므로 $(a, \ln a) = (a, ka)$, 즉 $\ln a = ka$이다.
접선의 기울기는 $\dfrac{1}{a} = k$, 즉 $ka = 1$이므로 $ka = 1 = \ln a$에서 $a = e$ [2점]이고 $k = \dfrac{1}{e}$ [2점]이다.
(2) (6점): 접점의 $x$좌표가 $e$이므로 영역 $S_1$과 $S_2$는 다음과 같이 구할 수 있다. \[ \begin{aligned} &S_1 = \int_1^e \ln x\,dx = \Big[x\ln x - x\Big]_1^e = 1 \quad [3\text{점}] \\ &S_2 = \int_e^{e^2} \left(\frac{1}{e}x - \ln x\right)dx = \left[\frac{1}{2e}x^2 - x\ln x + x\right]_e^{e^2} = \frac{1}{2}e^3 - e^2 - \frac{1}{2}e \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] 답: (1) $a = e, \ k = \dfrac{1}{e}$ (2) $S_1 = 1, \ S_2 = \dfrac{1}{2}e^3 - e^2 - \dfrac{1}{2}e$

【2023학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-3, 1-4) [배점 : 1-3 (15점) / 1-4 (15점)]

[그림] 두 접선과 교점 $\mathrm{R}$

[답안 1-3] (총 15점)

$\angle\mathrm{P_1RP_2} = \theta$라 하자. 접선 $\mathrm{P_1R}$이 $x$축과 이루는 예각을 $\theta_1$, 접선 $\mathrm{RP_2}$가 $x$축과 이루는 예각을 $\theta_2$라 할 때, $\tan\theta_1$과 $\tan\theta_2$는 각각 접선 $\mathrm{P_1R}$ 및 접선 $\mathrm{RP_2}$의 기울기와 같다.
곡선 $y = \ln x$의 $x_1$에서의 기울기가 $\dfrac{1}{x_1}$이므로 $\tan\theta_1 = \dfrac{1}{x_1}$ [2점]이고, 같은 방법으로 $\tan\theta_2 = \dfrac{1}{x_2}$ [2점]이다.
$\theta = \pi - (\theta_1 - \theta_2)$이므로 $\tan\theta = \tan\big(\pi - (\theta_1 - \theta_2)\big) = -\tan(\theta_1 - \theta_2)$ [3점].
탄젠트함수의 덧셈정리에 의해 $-\tan(\theta_1 - \theta_2) = \dfrac{\tan\theta_2 - \tan\theta_1}{1 + \tan\theta_1\tan\theta_2}$ [3점]이므로 \[ \begin{aligned} &\tan\theta = \frac{\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1}}{1 + \frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}} = \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2 + 1} \quad [5\text{점}] \end{aligned} \] 답: $\tan(\angle\mathrm{P_1RP_2}) = \dfrac{x_1 - x_2}{x_1x_2 + 1}$

[그림] 점 $\mathrm{P}_n$과 $\mathrm{Q}_n$

[답안 1-4] (총 15점)

함수 $f(x) = \ln\left(\dfrac{1}{1 - x}\right) = -\ln(1 - x)$의 도함수는 $f'(x) = \dfrac{1}{1 - x}$이다 [3점].
점 $(0, 0)$에서의 접선은 기울기가 $f'(0) = 1$이므로 $y = x$이고, 점 $\mathrm{P}_1$의 좌표는 $(1, 1)$이다.
점 $\mathrm{Q}_1$은 $f(x) = -\ln(1 - x) = 1$인 점이므로 $x = 1 - e^{-1}$, 즉 $\mathrm{Q}_1(1 - e^{-1}, 1)$이다.
점 $\mathrm{Q}_1$에서의 접선은 기울기가 $f'(1 - e^{-1}) = e$이므로 $y = ex + (2 - e)$이고, $x$좌표가 $1$인 점 $\mathrm{P}_2$의 좌표는 $(1, 2)$이다. 점 $\mathrm{Q}_2$는 $-\ln(1 - x) = 2$에서 $\mathrm{Q}_2(1 - e^{-2}, 2)$이다.
같은 과정을 반복하면 $\mathrm{P}_n(1, n), \ \mathrm{Q}_n(1 - e^{-n}, n)$이다 [6점] (하나만 구하면 3점).
즉, $l_k = 1 - (1 - e^{-k}) = e^{-k}$이며 이는 첫째항이 $e^{-1}$이고 공비가 $e^{-1}$인 등비수열이다 [3점].
공비 $0 \lt e^{-1} \lt 1$이므로 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} l_k = \frac{e^{-1}}{1 - e^{-1}} = \frac{1}{e - 1}$ [3점].
답: $\dfrac{1}{e - 1}$

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치환적분 시 적분 구간의 상한과 하한이 새로운 변수에 맞추어 정확하게 치환되었는지를 반드시 확인하십시오.

정답:최종 정답 요약 (1-1) $\dfrac{1}{3}$ | (1-2) 정적분 값 $1 - \dfrac{2}{e}$ | (1-3) 최댓값 도출

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

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한국항공대 2023학년도 공학계열 문제 1 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 삼각함수, 극대·극소, 점과 직선의 거리 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2023학년도 공학계열 문제 2 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 두 실수 $x, \ y$가 $x^2 + y^2 = 1$을 만족할 때, $x = \cos\theta, \ y = \sin\theta$와 같이 매개변수 $\theta$로 나타낼 수 있다.

나) 다음은 사인함수와 코사인함수의 덧셈정리이다.
$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta, \qquad \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

다) 함수 $f(x)$가 미분가능하고 $f'(a) = 0$일 때, $x = a$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x = a$에서 극소이고, $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x = a$에서 극대이다.

[문제 2-1] 두 실수 $x, \ y$가 $x^2 + y^2 = 1$을 만족할 때, $xy - 2xy^3$의 최댓값을 구하시오.

[문제 2-2] 두 자연수 $a, \ b$와 두 실수 $\alpha, \ \beta$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\alpha + \beta = a, \ \alpha\beta = -32$

(나) 좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{A}(\alpha, 0), \ \mathrm{B}(0, \beta), \ \mathrm{C}(b, b)$로 이루어진 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $19$이다.

$a + b$의 최솟값을 구하시오.

[문제 2-3] 함수 $f(x) = (3x^2 - 4)(x - t)$의 극댓값과 극솟값의 차를 $g(t)$라 하자. $g(t)$의 최솟값을 구하시오. (단, $t$는 실수)

[문제 2-4] 함수 $f(x) = x + \ln(1 - x) \ (0 \lt x \lt 1)$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선을 $l$이라 하고, 점 $(t, f(t))$를 지나고 직선 $l$에 수직인 직선을 $m$이라 하자. 두 직선 $l, \ m$의 $y$절편을 각각 $g(t), \ h(t)$라 할 때, $g(t) - h(t)$의 최솟값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 11042 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12미적Ⅰ-02-08]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = \sin x + \cos x$의 최댓값과 그때의 $x$의 값 ($0 \le x \lt 2\pi$)을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 삼각함수 합성에 의해 $f(x) = \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$. 따라서 최댓값은 $\sqrt{2}$이며, $x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} \implies x = \dfrac{\pi}{4}$.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 2023학년도 공학계열 문제 2 (50점) (삼각함수, 극대·극소, 점과 직선의 거리) [배점 50점]

2023학년도 자연계열 2023학년도 공학계열 문제 2 (50점) — 한국항공대 2023학년도 공학계열 문제 2 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 2023학년도 공학계열 문제 2 (50점) · 총 50점

【2023학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-1 ~ 2-4) [배점 : 2-1(11점) / 2-2(12점) / 2-3(13점) / 2-4(14점)]

[답안 2-1] (총 11점)

$x = \cos\theta, \ y = \sin\theta$라 하면 \[ \begin{aligned} &xy - 2xy^3 = \cos\theta\sin\theta - 2\cos\theta\sin^3\theta = \cos\theta\sin\theta(1 - 2\sin^2\theta) = \cos\theta\sin\theta\cos 2\theta \quad [5\text{점}] \\ &\quad = \frac{1}{2}\sin 2\theta\cos 2\theta = \frac{1}{4}\sin 4\theta \le \frac{1}{4} \quad [6\text{점}] \end{aligned} \] 답: $\dfrac{1}{4}$

[답안 2-2] (총 12점)

두 점 $\mathrm{A, B}$를 지나는 직선 $l$의 방정식은 $\beta x + \alpha y - \alpha\beta = 0$ (또는 $y = -\dfrac{\beta}{\alpha}x + \beta$)이고, $\alpha + \beta = a, \ \alpha\beta = -32$이므로 점 $\mathrm{C}$와 직선 $l$ 사이의 거리는 $\dfrac{|\beta b + \alpha b - \alpha\beta|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} = \dfrac{|ab + 32|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}}$이다.
선분 $\mathrm{AB}$의 길이가 $\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\dfrac{1}{2}\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} \cdot \dfrac{|ab + 32|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} = \dfrac{|ab + 32|}{2} = 19$ [7점].
$ab = -70$ 또는 $ab = 6$이고 $a, b$는 자연수이므로 $ab = 6$. 가능한 순서쌍 $(a, b)$는 $(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)$이므로 $a + b$의 최솟값은 $5$이다 [5점]. 답: $5$

[답안 2-3] (총 13점)

$f'(x) = 9x^2 - 6tx - 4 = 0$이므로 $x = \dfrac{t \pm \sqrt{t^2 + 4}}{3}$에서 극값을 가진다. $f'(x) = 0$의 두 근을 $\alpha, \beta \ (\alpha \lt \beta)$라 하면 $\alpha + \beta = \dfrac{2t}{3}, \ \alpha\beta = -\dfrac{4}{9}, \ \alpha - \beta = -\dfrac{2}{3}\sqrt{t^2 + 4}$이다 [5점]. \[ \begin{aligned} f(\alpha) - f(\beta) &= (3\alpha^2 - 4)(\alpha - t) - (3\beta^2 - 4)(\beta - t) = 3(\alpha^3 - \beta^3) - 4(\alpha - \beta) - 3t(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) \\ &= (\alpha - \beta)\big[3\{(\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta\} - 4\big] + \frac{4}{3}t^2\sqrt{t^2 + 4} \\ &= -\frac{2}{3}\sqrt{t^2 + 4}\left\{3\left(\frac{2}{3}t\right)^2 - 3\left(-\frac{4}{9}\right) - 4\right\} + \frac{4}{3}t^2\sqrt{t^2 + 4} = \frac{4}{9}\sqrt{t^2 + 4}\,(t^2 + 4) \quad [5\text{점}] \end{aligned} \] $t^2 \ge 0$이므로 $t = 0$일 때 $g(t) = f(\alpha) - f(\beta) \ge \dfrac{4}{9}\sqrt{4} \cdot 4 = \dfrac{32}{9}$ [3점]. 답: $\dfrac{32}{9}$

[답안 2-4] (총 14점)

$f'(t) = 1 - \dfrac{1}{1 - t} = -\dfrac{t}{1 - t}$ [2점]이므로 직선 $l$: $y = -\dfrac{t}{1 - t}(x - t) + t + \ln(1 - t)$ [2점], 직선 $m$: $y = \dfrac{1 - t}{t}(x - t) + t + \ln(1 - t)$ [2점].
$x = 0$을 대입하면 $g(t) = -\dfrac{t}{1 - t}(-t) + t + \ln(1 - t)$ [2점], $h(t) = \dfrac{1 - t}{t}(-t) + t + \ln(1 - t)$ [2점]. \[ \begin{aligned} g(t) - h(t) &= \frac{t^2}{1 - t} + 1 - t = -2t + \frac{1}{1 - t} \quad [2\text{점}] \\ &= 2(1 - t) + \frac{1}{1 - t} - 2 \ge 2\sqrt{2} - 2 \quad (0 \lt t \lt 1, \ \text{산술·기하평균}) \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] 답: $2\sqrt{2} - 2$

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삼각함수 합성 시 각의 범위 $x + \alpha$가 속한 사분면을 명확히 제시해야 감점이 없습니다.

정답:최종 정답 요약 (2-1) 최댓값 $\sqrt{2}$, 최솟값 $-\sqrt{2}$ | (2-2) 거리의 최솟값 $\sqrt{5}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

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한국항공대 2023학년도 공학계열 문제 2 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 도함수의 활용, 증가·감소와 변곡점 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2023학년도 이학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 세 수 $a, b, c$가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, $b$를 $a$와 $c$의 등차중항이라 하고 $2b = a + c$를 만족시킨다. $0$이 아닌 세 수 $a, b, c$가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, $b$를 $a$와 $c$의 등비중항이라 하고 $b^2 = ac$를 만족시킨다.

나) 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(a) = 0$이고, $x = a$의 좌우에서 (1) $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x = a$에서 극대이다. (2) $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x = a$에서 극소이다.

다) 어떤 기준에 따라 대상을 분명하게 정할 수 있을 때, 그 대상들의 모임을 집합이라 한다. 이때 집합을 이루는 대상 하나하나를 그 집합의 원소라고 한다. 두 집합 $A, B$에 대하여 $A$에도 속하고 $B$에도 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 $A$와 $B$의 교집합이라 하고 이를 기호로 $A \cap B$와 같이 나타낸다.

라) 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 할 때, $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$이다.

[문제 1-1] 함수 $f(x) = \begin{cases} 1 & (x \ge 0) \\ 0 & (x \lt 0) \end{cases}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = ax + b$의 교점의 개수가 $2$이기 위한 두 실수 $a$와 $b$의 값의 범위를 각각 구하시오.

(2) 함수 $y = f(x)$의 그래프와 곡선 $y = (x + p)(x + 2p)$의 교점의 개수가 $3$이기 위한 실수 $p$의 값의 범위를 구하시오.

[문제 1-2] 서로 다른 세 실수 $a, b, c$는 이 순서대로 등비수열을 이루고 $abc = 8$이다. 세 실수 $a, b, c$를 다른 순서로 적당히 나열하여 등차수열을 만들 수 있을 때, 세 실수 $a, b, c$의 순서쌍 $(a, b, c)$를 모두 구하시오.

[문제 1-3] 함수 $f(x) = 2x - x^2$에 대하여 곡선 $y = f(x)$가 $x$축과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{O}(0, 0), \ \mathrm{A}(2, 0)$이라 하자. $0 \lt b \lt 2$인 실수 $b$에 대하여 점 $\mathrm{B}(b, f(b))$는 곡선 $y = f(x)$ 위의 점이고, 선분 $\mathrm{OB}$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{C}(c, f(c)) \ (0 \lt c \lt b)$는 삼각형 $\mathrm{OBC}$의 넓이가 최대가 되게 하는 점이다. 사각형 $\mathrm{OABC}$의 넓이의 최댓값을 구하시오.

[문제 1-4] 전체집합 $U = \{f(x) \mid f(x) = ax + b, \ a, b\text{는 실수}\}$의 세 부분집합 \[ \begin{aligned} &A = \left\{f(x) \,\middle|\, \int_0^1 f(x)(3x - 1)\,dx = 0\right\} \\ &B = \left\{f(x) \,\middle|\, \int_0^1 \{f(x)\}^2\,dx = 1\right\} \\ &C = \left\{f(x) \,\middle|\, \int_0^1 \{f(x) - (3x - 1)\}^2\,dx = 1\right\} \end{aligned} \] 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $f(x) \in A$일 때, 함수 $y = f(x)$의 그래프는 항상 점 $\mathrm{P}$를 지난다. 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 구하시오.

(2) $f(x) \in A \cap B$일 때, $\displaystyle\int_0^1 \{f(x) - (3x - 1)\}^2\,dx$의 값을 구하시오.

(3) $f(x) \in B \cap C$인 함수 $f(x)$를 모두 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 11043 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$의 변곡점의 좌표와, 곡선 위의 변곡점에서의 접선의 방정식을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9, \ f''(x) = 6x - 12$. $f''(x) = 0 \implies x = 2$. $f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$. 변곡점은 $(2, 3)$. $f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3$. 접선은 $y - 3 = -3(x - 2) \implies y = -3x + 9$.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 2023학년도 이학계열 문제 1 (50점) (도함수의 활용, 증가·감소와 변곡점) [배점 50점]

2023학년도 자연계열 2023학년도 이학계열 문제 1 (50점) — 한국항공대 2023학년도 이학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 2023학년도 이학계열 문제 1 (50점) · 총 50점

【2023학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-1, 1-2) [배점 : 1-1 (13점) / 1-2 (15점) — 문제 1 총 70점]

[그림] $y = f(x)$와 직선 $y = ax + b$

[답안 1-1] (총 13점) — (1) $a, b$의 범위 (6점) / (2) $p$의 범위 (7점)

(1) (6점): $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = ax + b$의 교점의 개수가 $2$이기 위해서는 오른쪽 그림과 같아야 한다 [2점].
따라서 직선 $y = ax + b$가 $y = f(x)$의 그래프와 $2$개의 교점을 가지려면 직선의 $y$절편 $b$는 $0$ 초과 $1$ 이하여야 하고, 기울기 $a$는 $0$보다 커야 한다. 즉, $a \gt 0, \ 0 \lt b \le 1$이다 [4점].
(2) (7점): 곡선 $y = (x + p)(x + 2p)$는 $p \ne 0$이면 서로 다른 두 점 $(-p, 0), \ (-2p, 0)$에서 $x$축과 만난다 [2점].
곡선이 $y = f(x)$의 그래프와 서로 다른 세 점에서 만나려면 곡선 $y = (x + p)(x + 2p)$는 $x \lt 0$에서 두 점에서 $x$축과 만나고, $y$축과의 교점의 $y$좌표 $2p^2$는 $0$ 초과 $1$ 이하여야 한다 [2점].
따라서 $p \gt 0$이고 $0 \lt 2p^2 \le 1$이므로 $-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \le p \le \dfrac{1}{\sqrt{2}}$와 함께 $0 \lt p \le \dfrac{1}{\sqrt{2}}$이다 [3점].
답: (1) $a \gt 0, \ 0 \lt b \le 1$ (2) $0 \lt p \le \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

[답안 1-2] (총 15점)

$a, b, c$는 이 순서대로 등비수열을 이루므로 $b^2 = ac$이고, $8 = abc = b^3$이므로 $b = 2, \ ac = 4$이다 [3점].
세 실수 $a, b, c$를 다른 순서로 나열하여 등차수열을 만드는 경우는 (i) $b$가 등차중항, (ii) $a$가 등차중항, (iii) $c$가 등차중항인 세 가지 경우가 있다.
(i) $b$가 등차중항인 경우: $2b = a + c$이고 $b = 2$이므로 $a + c = 4$. $ac = 4$이므로 $a$와 $c$는 $t^2 - 4t + 4 = 0$의 두 근, 즉 $a = c = 2$이다. 하지만 $a, b, c$가 서로 다르다는 가정을 만족하지 않는다 [3점].
(ii) $a$가 등차중항인 경우: $2a = b + c = 2 + c$이므로 $c = 2a - 2$. $ac = 4$에서 $2a^2 - 2a = 4$, 즉 $2(a - 2)(a + 1) = 0$이므로 $a = -1$ 또는 $a = 2$. $a = 2$이면 $c = 2$가 되어 가정에 모순이므로 $a = -1, \ b = 2, \ c = -4$이다 [3점].
(iii) $c$가 등차중항인 경우: $2c = a + b = a + 2$이므로 $a = 2c - 2$. $ac = 4$에서 $2(c - 2)(c + 1) = 0$이므로 $c = -1$ 또는 $c = 2$. $c = 2$이면 $a = 2$가 되어 모순이므로 $a = -4, \ b = 2, \ c = -1$이다 [3점].
결국 구하는 순서쌍 $(a, b, c)$는 $(-1, 2, -4), \ (-4, 2, -1)$이다 [3점].
답: $(-1, 2, -4), \ (-4, 2, -1)$

【2023학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-3, 1-4(1)) [배점 : 1-3 (17점) / 1-4(1) (6점)]

[답안 1-3] (총 17점)

점 $\mathrm{B}(b, 2b - b^2)$라 하면 $0 \lt b \lt 2$이고, 선분 $\mathrm{OB}$의 길이는 $\sqrt{b^2 + (2b - b^2)^2} = b\sqrt{1 + (b - 2)^2}$이며, 직선 $\mathrm{OB}$의 방정식은 $y = \dfrac{2b - b^2}{b}x = (2 - b)x$이다 [2점].
곡선 위의 점 $\mathrm{C}(c, 2c - c^2)$와 직선 $\mathrm{OB}$ 사이의 거리는 $\dfrac{|(2 - b)c - (2c - c^2)|}{\sqrt{1 + (2 - b)^2}} = \dfrac{|c^2 - bc|}{\sqrt{1 + (2 - b)^2}}$이므로 \[ \begin{aligned} &(\text{삼각형 OBC의 넓이}) = \frac{1}{2}\Big(b\sqrt{1 + (b - 2)^2}\Big)\frac{|c^2 - bc|}{\sqrt{1 + (2 - b)^2}} = \frac{b}{2}|c^2 - bc| \end{aligned} \] $0 \lt t \lt b$인 실수 $t$에 대하여 점 $\mathrm{P}(t, 2t - t^2)$에 대한 삼각형 $\mathrm{OBP}$의 넓이를 구하면 \[ \begin{aligned} &\frac{b}{2}|t^2 - bt| = \frac{b}{2}(bt - t^2) = -\frac{b}{2}\left\{\left(t - \frac{b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4}\right\} \le \frac{b^3}{8} \end{aligned} \] 그러므로 $t = \dfrac{b}{2}$일 때 삼각형 $\mathrm{OBP}$의 넓이가 최대이고, 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\left(\dfrac{b}{2}, \ b - \dfrac{b^2}{4}\right)$이다 [4점]. \[ \begin{aligned} &(\text{사각형 OABC의 넓이}) = (\text{삼각형 OBC}) + (\text{삼각형 OAB}) = \frac{b^3}{8} + \frac{1}{2} \times 2 \times (2b - b^2) = \frac{b^3}{8} - b^2 + 2b \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] $g(b) = \dfrac{b^3}{8} - b^2 + 2b$라 하면 $g'(b) = \dfrac{3}{8}b^2 - 2b + 2 = \dfrac{1}{8}(3b - 4)(b - 4)$이므로 $b = \dfrac{4}{3}$ 또는 $b = 4$일 때 $g'(b) = 0$이다 [3점]. $y = g(b)$의 증감표는 다음과 같다 [3점]:

$b$	$0$	$\cdots$	$\frac{4}{3}$	$\cdots$	$2$
$g'(b)$		$+$	$0$	$-$
$g(b)$	$0$	$\nearrow$	$\frac{32}{27}$	$\searrow$	$0$

따라서 사각형 $\mathrm{OABC}$의 넓이의 최댓값은 $\dfrac{32}{27}$이다 [2점]. 답: $\dfrac{32}{27}$

[답안 1-4] (1) (6점)

일차함수 $f(x) = ax + b$를 집합 $A$의 원소라 하면 $\displaystyle\int_0^1 (3x - 1)f(x)\,dx = 0$이 성립한다 [1점]. 따라서 \[ \begin{aligned} &\int_0^1 (3x - 1)(ax + b)\,dx = \int_0^1 \{3ax^2 + (3b - a)x - b\}\,dx = \left[ax^3 + \frac{1}{2}(3b - a)x^2 - bx\right]_0^1 = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b = 0 \end{aligned} \] 이고 $b = -a$이다 [3점]. 따라서 모든 실수 $a$에 대해 $f(x) = ax - a = a(x - 1)$이므로 $y = f(x)$의 그래프는 $a$에 상관없이 항상 점 $(1, 0)$을 지난다 [2점]. 답: $\mathrm{P}(1, 0)$

【2023학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-4(2), (3)) [배점 : 1-4(2) (8점) / 1-4(3) (11점)]

[답안 1-4] (2) (8점)

일차함수 $f(x)$가 집합 $A \cap B$의 원소라 하면, $f(x)$는 집합 $A$의 원소이므로 $\displaystyle\int_0^1 f(x)(3x - 1)\,dx = 0$이고, 집합 $B$의 원소이므로 $\displaystyle\int_0^1 \{f(x)\}^2\,dx = 1$이다 [2점]. 따라서 \[ \begin{aligned} \int_0^1 \{f(x) - (3x - 1)\}^2\,dx &= \int_0^1 \{f(x)\}^2\,dx - 2\int_0^1 f(x)(3x - 1)\,dx + \int_0^1 (3x - 1)^2\,dx \\ &= 1 + 0 + \int_0^1 (9x^2 - 6x + 1)\,dx = 1 + \Big[3x^3 - 3x^2 + x\Big]_0^1 = 1 + 3 - 3 + 1 = 2 \quad [6\text{점}] \end{aligned} \] 답: $2$

[답안 1-4] (3) (11점)

일차함수 $f(x) = ax + b$를 집합 $B \cap C$의 원소라 하자. $f(x)$는 집합 $B$의 원소이므로 $\displaystyle\int_0^1 \{f(x)\}^2\,dx = 1$이 성립한다 [1점]. 따라서 \[ \begin{aligned} &\int_0^1 (ax + b)^2\,dx = \int_0^1 (a^2x^2 + 2abx + b^2)\,dx = \left[\frac{1}{3}a^2x^3 + abx^2 + b^2x\right]_0^1 = \frac{1}{3}a^2 + ab + b^2 = 1 \quad \cdots \text{①} \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] $f(x)$는 집합 $C$의 원소이므로 $\displaystyle\int_0^1 \{f(x) - (3x - 1)\}^2\,dx = 1$이 성립한다 [1점]. 그런데 $f(x) \in B$이므로 \[ \begin{aligned} \int_0^1 \{f(x) - (3x - 1)\}^2\,dx &= \int_0^1 \{f(x)\}^2\,dx - 2\int_0^1 (ax + b)(3x - 1)\,dx + \int_0^1 (9x^2 - 6x + 1)\,dx \\ &= 1 - 2\left[ax^3 + \frac{1}{2}(3b - a)x^2 - bx\right]_0^1 + \Big[3x^3 - 3x^2 + x\Big]_0^1 = 1 - a - b + 1 = 1 \end{aligned} \] 즉, $a + b = 1 \ \cdots \text{②}$이다 [3점].
①과 ②를 연립하면 $1 = \dfrac{1}{3}a^2 + a(1 - a) + (1 - a)^2 = \dfrac{1}{3}a^2 - a + 1$이고 $a^2 - 3a = 0$이므로 $a = 0, \ b = 1$ 또는 $a = 3, \ b = -2$이다 [2점].
그러므로 $f(x) = 1$ 또는 $f(x) = 3x - 2$이다 [1점]. 답: $f(x) = 1$ 또는 $f(x) = 3x - 2$

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

변곡점 판정 시 $f''(a) = 0$뿐만 아니라 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 바뀌는 과정을 표나 서술로 반드시 보여주어야 합니다.

정답:최종 정답 요약 (1-1) 변곡점 $(2, 3)$ | (1-2) 접선 $y = -3x + 9$ | (1-3) 오목·볼록 구간 판정

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

한국항공대 2023학년도 이학계열 문제 1 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 수열, 경우의 수, 확률, 이동 경로의 확률 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2023학년도 공학계열 문제 추가 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 유리함수 $y = \dfrac{k}{x - p} + q \ (k \neq 0)$의 그래프는 $y = \dfrac{k}{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 것이다. 이때 이 함수의 정의역은 $\{x \mid x \neq p\text{인 실수}\}$이고, 치역은 $\{y \mid y \neq q\text{인 실수}\}$이다. 또 이 그래프의 점근선은 두 직선 $x = p$와 $y = q$이다.

나) 자연수를 차례로 나열한 수열 $1, 2, 3, \cdots, n, \cdots$은 첫째항이 $1$이고 공차가 $1$인 등차수열이므로 $1$부터 $n$까지의 자연수의 합은 다음과 같다.
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

다) 극한 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$에서 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty, \ \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty$이고 $f(x), \ g(x)$가 다항식일 때에는 주어진 식 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$의 분모의 최고차항으로 분모와 분자를 나눈 후에 극한값을 구할 수 있다.

[문제 1-1] 모든 자연수 $n$에 대하여 함수 $f_n(x)$를 $f_n(x) = \dfrac{x + 3n^2 + n}{x - 2n} \ (x \gt 2n)$이라 하자. 곡선 $y = f_n(x)$ 위의 한 점 $\mathrm{A}_n$은 $x$축까지의 거리와 $y$축까지의 거리가 같은 점이다. 그 거리를 $d_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{5} d_n$의 값을 구하시오.

[문제 1-2] 두 함수 $f(x) = \dfrac{30}{2x - 15}, \ g(x) = x - \dfrac{15}{2}$에 대하여 $h(x) = f(x) + g(x)$라 하자. 수열 $\{a_n\}$의 일반항이 $a_n = h(n)$일 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{15} a_n$의 값을 구하시오.

[문제 1-3] 함수 $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x - 1}$의 그래프 위의 두 점 $\mathrm{A}(-1, 2), \ \mathrm{B}\left(a, \dfrac{3a - 1}{a - 1}\right) \ (a \gt 1)$을 지나는 직선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}, \ \mathrm{Q}$라 하자. 점 $\mathrm{A}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{A}'$, 점 $\mathrm{B}$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{B}'$이라 할 때, 두 삼각형 $\mathrm{APA}', \ \mathrm{BB}'\mathrm{Q}$의 넓이를 각각 $S_1, \ S_2$라 하자. $\displaystyle\lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$의 값을 구하시오.

[문제 1-4] 함수 $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x - 1}$에 대하여 점 $\mathrm{P}(1, 2)$를 지나는 두 직선 $l, \ m$이 곡선 $y = f(x)$와 각각 두 점에서 만난다. 직선 $l$과 곡선 $y = f(x)$의 두 교점은 $\mathrm{A}\left(\dfrac{1}{2}, 0\right), \ \mathrm{B}$이다. 직선 $m$과 곡선 $y = f(x)$의 두 교점 중 $x$좌표가 $1$보다 큰 점을 $\mathrm{C}$, 직선 $m$과 $x$축의 교점을 $\mathrm{D}$라 하자. 두 삼각형 $\mathrm{BPC}, \ \mathrm{APD}$의 넓이를 각각 $S_1, \ S_2$라 할 때, $2S_1 = S_2$를 만족시키는 직선 $m$의 방정식을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 11044 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

【유사 연습 문제】 동전을 5번 던질 때 앞면이 3번 이상 나올 확률을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 독립시행의 확률: $P(X=3) = {}_5\mathrm{C}_3\left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{10}{32}$, $P(X=4) = {}_5\mathrm{C}_4\left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{5}{32}$, $P(X=5) = {}_5\mathrm{C}_5\left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{1}{32}$. 합은 $\dfrac{10+5+1}{32} = \dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2}$.

【문항 요약】 2023학년도 자연계열 2023학년도 공학계열 문제 추가 (50점) (수열, 경우의 수, 확률, 이동 경로의 확률) [배점 50점]

2023학년도 자연계열 2023학년도 공학계열 문제 추가 (50점) — 한국항공대 2023학년도 공학계열 문제 추가 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

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📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2023 2023학년도 공학계열 문제 추가 (50점) · 총 50점

【2021학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-1, 1-2, 1-3) [배점 : 1-1 (5점) / 1-2 (10점) / 1-3 (13점)]

[문제 1-1] 이동 경로

[답안 1-1] (총 5점)

동전을 $3$번 던질 때, 이동하는 모든 방법의 수는 $2^3 = 8$이다 [2점].
오른쪽 위로 원의 둘레의 $\dfrac{1}{4}$만큼 가장 가까운 점으로 이동하는 것을 $a$, 오른쪽 아래로 원의 둘레의 $\dfrac{1}{4}$만큼 가장 가까운 점으로 이동하는 것을 $b$라 하자.
점 $\mathrm{O}_2$에서 출발하여 점 $\mathrm{A}$에 도착하는 방법의 수는 $2$개의 $a$와 $1$개의 $b$를 일렬로 배열하는 수 $\dfrac{3!}{2! \times 1!} = 3$과 같으므로 점 $\mathrm{O}_2$에서 출발하여 점 $\mathrm{A}$에 도착할 확률은 $\dfrac{3}{8}$이다 [3점]. 답: $\dfrac{3}{8}$

[문제 1-2] $\mathrm{T}_1 \sim \mathrm{T}_6$과 $\triangle\mathrm{O}_2\mathrm{T}_2\mathrm{T}_5$

[답안 1-2] (총 10점)

그림과 같이 동전을 $5$번 던져서 도착할 수 있는 점을 위에서부터 차례로 $\mathrm{T}_1, \ \mathrm{T}_2, \ \mathrm{T}_3, \ \mathrm{T}_4, \ \mathrm{T}_5, \ \mathrm{T}_6$이라 하자. 점 $\mathrm{O}_2$에서 출발하여 $5$번의 동전을 던질 때, 이동하는 모든 방법의 수는 $2^5 = 32$이다.
(i) 점 $\mathrm{T}_1$에 도착하는 경우의 수는 $5$개의 문자 $a, a, a, a, a$를 일렬로 나열하는 경우의 수 $\dfrac{5!}{5!} = 1$이고, 같은 방법으로 점 $\mathrm{T}_6$으로 이동하는 경우의 수도 $1$이다. 따라서 두 점 $\mathrm{T}_1, \ \mathrm{T}_6$에 도착할 확률은 각각 $\dfrac{1}{32}$이다.
(ii) 점 $\mathrm{T}_2$로 이동하는 경우의 수는 $5$개의 문자 $a, a, a, a, b$를 일렬로 나열하는 경우의 수 $\dfrac{5!}{4! \times 1!} = 5$이고, 같은 방법으로 점 $\mathrm{T}_5$로 이동하는 경우의 수도 $5$이다. 따라서 점 $\mathrm{T}_2, \ \mathrm{T}_5$에 도착할 확률은 각각 $\dfrac{5}{32}$이다.
(iii) 점 $\mathrm{T}_3$으로 이동하는 경우의 수는 $5$개의 문자 $a, a, a, b, b$를 일렬로 나열하는 경우의 수 $\dfrac{5!}{3! \times 2!} = 10$이고, 같은 방법으로 점 $\mathrm{T}_4$로 이동하는 경우의 수도 $10$이다. 따라서 두 점 $\mathrm{T}_3, \ \mathrm{T}_4$에 도착할 확률은 각각 $\dfrac{10}{32} = \dfrac{5}{16}$이다.
(i), (ii), (iii)에서 $\dfrac{5}{32}$의 확률로 도착하는 두 점은 $\mathrm{T}_2, \ \mathrm{T}_5$이다. 원 $K$의 지름이 $2$이므로 구하는 선분 $\mathrm{BC}$의 길이는 $6$이다 [8점].
위의 그림에서 삼각형 $\mathrm{O}_2\mathrm{BC}$는 밑변의 길이가 $6$이고, 높이는 $5$인 이등변삼각형이므로 구하는 삼각형 $\mathrm{O}_2\mathrm{BC}$의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15$이다 [2점]. 답: $\overline{\mathrm{BC}} = 6$, 넓이 $= 15$

[문제 1-3] $\mathrm{H}, \mathrm{I}, \mathrm{J}, \mathrm{M}$ 경로

[답안 1-3] (총 13점)

점 $\mathrm{O}_1$에서 출발하고 동전을 $4$번 던져서 점 $\mathrm{D}$에 도착하기 위해서는 그림의 점 $\mathrm{I}$를 반드시 지나야 하고, 점 $\mathrm{I}$에 도착하기 위해서는 점 $\mathrm{H}$ 또는 점 $\mathrm{J}$를 지나야 한다. 점 $\mathrm{H}$에 도착한 후에는 반드시 점 $\mathrm{I}$에 도착한다.
$\mathrm{O}_1 \to \mathrm{H} \to \mathrm{I}$로 이동할 확률은 $\dfrac{1}{2}$이고, $\mathrm{O}_1 \to \mathrm{J} \to \mathrm{I}$로 이동할 확률은 $\dfrac{1}{4}$이므로 점 $\mathrm{O}_1$에서 출발하고 점 $\mathrm{I}$에 도착할 확률은 $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$이고, 점 $\mathrm{I}$에서 점 $\mathrm{D}$로 이동할 확률은 $\dfrac{1}{4}$이다. 따라서 점 $\mathrm{O}_1$에서 출발하여 점 $\mathrm{D}$에 도착할 확률 $\mathrm{P}(D) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{16}$이다 [5점].
점 $\mathrm{O}_1$을 출발하여 점 $\mathrm{E}$에 도착하기 위해서는 점 $\mathrm{I}$ 또는 점 $\mathrm{M}$을 지나야 한다. 점 $\mathrm{I}$에서 점 $\mathrm{E}$로 이동할 확률은 $\dfrac{1}{2}$이므로 $\mathrm{O}_1 \to \mathrm{I} \to \mathrm{E}$로 이동할 확률은 $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{8}$이다. 한편, 점 $\mathrm{M}$에 도착한 후에는 반드시 동전의 앞면이 나와야 점 $\mathrm{E}$에 도착하므로 $\mathrm{O}_1 \to \mathrm{M} \to \mathrm{E}$로 이동할 확률은 $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16}$이다.
따라서 $\mathrm{P}(E) = \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{7}{16}$ [5점]이고, $\dfrac{\mathrm{P}(D)}{\mathrm{P}(E)} = \dfrac{\frac{3}{16}}{\frac{7}{16}} = \dfrac{3}{7}$이다 [3점]. 답: $\dfrac{3}{7}$

【2021학년도 문제 1】 7. 예시 답안 (문제 1-4, 1-5) 및 6. 채점 기준 [배점 : 1-4 (12점) / 1-5 (10점) / 문제 1 전체 50점]

[문제 1-4] $\mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{F}$ 경로

[답안 1-4] (총 12점)

점 $\mathrm{O}_2$에서 출발하는 사건을 $O_2$, 점 $\mathrm{O}_3$에서 출발하는 사건을 $O_3$이라 하면 $\mathrm{P}(O_2) = \dfrac{1}{2}, \ \mathrm{P}(O_3) = \dfrac{1}{2}$이다.
점 $\mathrm{O}_2$에서 출발하여 점 $\mathrm{F}$에 도착하기 위해서는 점 $\mathrm{N}$ 또는 점 $\mathrm{P}$를 지나야 한다.
점 $\mathrm{O}_2$에서 출발하여 점 $\mathrm{N}$에 도착한 후에는 반드시 점 $\mathrm{F}$에 도착하므로 $\mathrm{O}_2 \to \mathrm{N} \to \mathrm{F}$로 이동할 확률은 $\dfrac{1}{2^5} = \dfrac{1}{32}$이다.
점 $\mathrm{O}_2$에서 출발하여 점 $\mathrm{P}$에 도착할 확률은 $\dfrac{5}{2^5}$이고, 점 $\mathrm{P}$에 도착한 후에는 반드시 동전의 앞면이 나와야 점 $\mathrm{F}$에 도착하므로 $\mathrm{O}_2 \to \mathrm{P} \to \mathrm{F}$로 이동할 확률은 $\dfrac{5}{2^5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{64}$이다.
따라서 $\mathrm{P}(O_2 \cap F) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{32} + \dfrac{5}{64}\right) = \dfrac{7}{128}$이다 [5점].
한편, 점 $\mathrm{O}_3$에서 출발하여 점 $\mathrm{F}$에 도착하는 경우의 수는 $6$개의 문자 $a, a, a, a, a, a$를 일렬로 나열하는 경우의 수 $1$과 같고, $6$번의 동전을 던질 때 이동하는 모든 방법의 수는 $2^6 = 64$이므로 $\mathrm{P}(O_3 \cap F) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{64} = \dfrac{1}{128}$이다 [5점].
따라서 $\mathrm{P}(F) = \mathrm{P}(O_2 \cap F) + \mathrm{P}(O_3 \cap F) = \dfrac{7}{128} + \dfrac{1}{128} = \dfrac{8}{128} = \dfrac{1}{16}$이고, 구하는 조건부확률은 $\mathrm{P}(O_3 \mid F) = \dfrac{\mathrm{P}(O_3 \cap F)}{\mathrm{P}(F)} = \dfrac{\frac{1}{128}}{\frac{1}{16}} = \dfrac{1}{8}$이다 [2점]. 답: $\dfrac{1}{8}$

[답안 1-5] (총 10점)

동전을 $2$번 던졌을 때 점 $\mathrm{G}_1$에 도착할 확률은 $\dfrac{2!}{1! \times 1!} \times \dfrac{1}{2^2}$이고, 동전을 $4$번 던졌을 때 점 $\mathrm{G}_2$에 도착할 확률은 $\dfrac{4!}{2! \times 2!} \times \dfrac{1}{2^4}$이다.
같은 방법으로 동전을 $2n$번 던졌을 때 점 $\mathrm{G}_n$에 도착할 확률 $\mathrm{P}(G_n)$은 $\mathrm{P}(G_n) = \dfrac{(2n)!}{n! \times n!} \times \dfrac{1}{2^{2n}}$이다 [4점].
따라서 $\mathrm{P}(G_7) = \dfrac{14!}{7! \times 7!} \times \dfrac{1}{2^{14}}$이고 $\mathrm{P}(G_8) = \dfrac{16!}{8! \times 8!} \times \dfrac{1}{2^{16}}$이다 [3점].
그러므로 $\dfrac{\mathrm{P}(G_7)}{\mathrm{P}(G_8)} = \dfrac{\frac{14!}{7! \times 7!} \times \frac{1}{2^{14}}}{\frac{16!}{8! \times 8!} \times \frac{1}{2^{16}}} = \dfrac{8 \times 8 \times 4}{16 \times 15} = \dfrac{16}{15}$이다 [3점]. 답: $\dfrac{16}{15}$

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독립시행의 확률 공식 ${}_n\mathrm{C}_r p^r (1-p)^{n-r}$을 명시하고 여사건 활용 여부를 판단하십시오.

정답:최종 정답 요약 (1-1) 경로의 수 10가지 | (1-2) 확률 $\dfrac{1}{2}$ | (1-3) 기댓값 도출

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1 (5점)] 같은 것이 있는 순열의 수를 수학적 확률로 변환할 수 있다 ($\text{모든 방법의 수 } 2^3 = 8$).	2점
2단계	확률의 기본 성질을 정리하여 점 $\mathrm{A}$에 도착할 확률 $\dfrac{3}{8}$을 구할 수 있다.	3점
3단계	[1-2 (10점)] 같은 것이 있는 순열의 수를 수학적 확률로 변환하고, 두 점 $\mathrm{B}(\mathrm{T}_2), \ \mathrm{C}(\mathrm{T}_5)$ 사이의 길이 $\overline{\mathrm{BC}} = 6$을 구할 수 있다.	8점
4단계	주어진 조건에 따른 삼각형 $\mathrm{O}_2\mathrm{BC}$의 넓이 $15$를 구할 수 있다.	2점
5단계	[1-3 (13점)] 주어진 조건을 이해하고, 점 $\mathrm{O}_1$을 출발하여 점 $\mathrm{D}$에 도착할 확률 $\mathrm{P}(D) = \dfrac{3}{16}$을 구할 수 있다.	5점
6단계	주어진 조건을 이해하고, 점 $\mathrm{O}_1$을 출발하여 점 $\mathrm{E}$에 도착할 확률 $\mathrm{P}(E) = \dfrac{7}{16}$을 구할 수 있다.	5점
7단계	수학적 확률의 의미를 이해하고 $\dfrac{\mathrm{P}(D)}{\mathrm{P}(E)} = \dfrac{3}{7}$을 구할 수 있다.	3점
8단계	[1-4 (12점)] 주어진 조건을 조건부확률로 변환하여 $\mathrm{P}(O_2 \cap F) = \dfrac{7}{128}$을 식으로 표현할 수 있다.	5점
9단계	주어진 조건을 조건부확률로 변환하여 $\mathrm{P}(O_3 \cap F) = \dfrac{1}{128}$을 식으로 표현할 수 있다.	5점
10단계	수학적 확률의 의미를 이해하고 $\mathrm{P}(O_3 \mid F) = \dfrac{1}{8}$을 구할 수 있다.	2점
11단계	[1-5 (10점)] 같은 것이 있는 순열의 수를 수학적 확률로 변환하여 $\mathrm{P}(G_n) = \dfrac{(2n)!}{n! \times n!} \times \dfrac{1}{2^{2n}}$을 구할 수 있다.	4점
12단계	확률의 기본 성질을 정리하여 $\mathrm{P}(G_7), \ \mathrm{P}(G_8)$을 구할 수 있다.	3점
13단계	수학적 확률의 의미를 이해하고 $\dfrac{\mathrm{P}(G_7)}{\mathrm{P}(G_8)} = \dfrac{16}{15}$를 구할 수 있다.	3점

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한국항공대 2023학년도 공학계열 문제 추가 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 함수와 그래프, 수열, 삼각함수, 함수의 극한과 연속 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2022학년도 공학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 함수 $y = f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, 곡선 $y = f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x = a, \ x = b$로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$는 $S = \displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$이다.

나) 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(a) = 0$이고 $x = a$의 좌우에서
(1) $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x = a$에서 극대이다.
(2) $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x = a$에서 극소이다.

다) 함수 $f(x)$가 임의의 세 실수 $a, \ b, \ c \ (a \lt b \lt c)$를 포함하는 구간에서 연속일 때 다음의 등식이 성립한다.
$\displaystyle\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx$

라) 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x = g(t)$의 도함수 $g'(t)$가 $a = g(\alpha), \ b = g(\beta)$일 때, $\alpha, \ \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면 다음의 등식이 성립한다.
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g'(t)\,dt$

[문제 2-1] $y = f(x)$와 $y = \beta$

[문제 2-1] 그림과 같이 함수 $f(x) = x\left(x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(x - \sqrt{3})$의 그래프와 직선 $y = \beta \ (\beta \gt 0)$가 서로 다른 세 점에서 만날 때, 세 교점의 $x$좌표를 각각 $k_1, \ \alpha, \ k_2 \ (k_1 \lt \alpha \lt k_2)$라 하자.
직선 $y = \beta$와 $y$축 및 곡선 $y = f(x) \ (0 \le x \le k_1)$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_1$, 직선 $y = \beta$와 곡선 $y = f(x) \ (k_1 \le x \le \alpha)$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_2$라 하자. 이때 $S_1 = S_2$를 만족시키는 $\alpha, \ \beta$의 값을 각각 구하시오.

[문제 2-2] 구간 $(0, 1]$에서 정의된 함수 $f(x) = \displaystyle\int_x^{2x} \ln(xt)\,dt$의 최솟값을 구하시오.

[문제 2-3] 서로 다른 세 실수 $a, \ b, \ c \ (a \lt b \lt c)$에 대하여 함수 $f(x)$를 $f(x) = x^3 - \dfrac{9}{2}x^2 + 6x - abc$라 하자. 방정식 $f(x) = 0$의 세 실근이 $a, \ b, \ c$일 때, 제시문 나)를 이용하여 $a \gt 0, \ c \lt 3$임을 각각 보이시오.

[문제 2-4] 제시문 다)와 제시문 라)를 이용하여 $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x^{2022})\,dx$임을 보이시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11051 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-01-02]

【유사 연습 문제】 함수 $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ ($x \ne 0$)에 대하여 $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$임을 샌드위치 정리로 설명하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 단위원에서 $0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$일 때 $\sin x \lt x \lt \tan x$. 각 변을 $\sin x$로 나누면 $1 \lt \dfrac{x}{\sin x} \lt \dfrac{1}{\cos x} \implies \cos x \lt \dfrac{\sin x}{x} \lt 1$. $\lim_{x \to 0^+} \cos x = 1$이므로 조임정리에 의해 극한값은 1.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 2022학년도 공학계열 문제 1 (50점) (함수와 그래프, 수열, 삼각함수, 함수의 극한과 연속) [배점 50점]

2022학년도 자연계열 2022학년도 공학계열 문제 1 (50점) — 한국항공대 2022학년도 공학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 2022학년도 공학계열 문제 1 (50점) · 총 50점

【2022학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-1, 1-2, 1-3) [배점 : 1-1 (12점) / 1-2 (12점) / 1-3 (13점)]

[그림] 점 $\mathrm{A}_n$과 $y = x$

[답안 1-1] (총 12점)

점 $\mathrm{A}_n$에서 $x$축까지의 거리와 $y$축까지의 거리가 같으므로, $\mathrm{A}_n$은 $f_n(x) = \dfrac{x + 3n^2 + n}{x - 2n}$의 그래프와 직선 $y = x$의 교점이다 [4점].
$\dfrac{x + 3n^2 + n}{x - 2n} = x$에서 $x^2 - (2n + 1)x - n(3n + 1) = 0$, 즉 $(x + n)\big(x - (3n + 1)\big) = 0$이다.
$x \gt 2n$이므로 $x = 3n + 1$이다. 따라서 점 $\mathrm{A}_n$의 좌표는 $(3n + 1, \ 3n + 1)$이고, $d_n = 3n + 1$이다 [4점]. \[ \begin{aligned} &\sum_{n=1}^{5} d_n = \sum_{n=1}^{5} (3n + 1) = \frac{3 \times 5 \times 6}{2} + 5 = 45 + 5 = 50 \quad [4\text{점}] \end{aligned} \] 답: $50$

[답안 1-2] (총 12점)

$a_n = h(n) = \dfrac{30}{2n - 15} + n - \dfrac{15}{2}$에 $n = 1, 2, \cdots, 15$를 차례대로 대입하면 \[ \begin{aligned} &a_1 = h(1) = -\frac{30}{13} - \frac{13}{2}, \quad a_2 = h(2) = -\frac{30}{11} - \frac{11}{2}, \quad a_3 = h(3) = -\frac{30}{9} - \frac{9}{2}, \ \cdots, \ a_7 = h(7) = -\frac{30}{1} - \frac{1}{2}, \\ &a_8 = h(8) = \frac{30}{1} + \frac{1}{2}, \ \cdots, \ a_{12} = h(12) = \frac{30}{9} + \frac{9}{2}, \quad a_{13} = h(13) = \frac{30}{11} + \frac{11}{2}, \quad a_{14} = h(14) = \frac{30}{13} + \frac{13}{2}, \\ &a_{15} = h(15) = 2 + \frac{15}{2} = \frac{19}{2} \end{aligned} \] 이때 $a_1 + a_{14} = 0, \ a_2 + a_{13} = 0, \ a_3 + a_{12} = 0, \ \cdots, \ a_7 + a_8 = 0$이므로 $\displaystyle\sum_{n=1}^{14} a_n = 0$을 만족한다 [8점].
따라서 $\displaystyle\sum_{n=1}^{15} a_n = \sum_{n=1}^{14} a_n + a_{15} = 0 + \frac{19}{2} = \frac{19}{2}$ [4점]. 답: $\dfrac{19}{2}$

[그림] 직선 $\mathrm{AB}$와 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$

[답안 1-3] (총 13점)

두 점 $\mathrm{A}(-1, 2), \ \mathrm{B}\left(a, \dfrac{3a - 1}{a - 1}\right) \ (a \gt 1)$을 지나는 직선의 기울기는 $\dfrac{\frac{3a - 1}{a - 1} - 2}{a + 1} = \dfrac{1}{a - 1}$이므로 두 점 $\mathrm{A}, \ \mathrm{B}$를 지나는 직선의 방정식은 $y = \dfrac{1}{a - 1}(x + 1) + 2$이다 [3점].
이때 이 직선의 $x$절편, $y$절편은 각각 $-2a + 1, \ \dfrac{2a - 1}{a - 1}$이므로 $\mathrm{P}(-2a + 1, 0), \ \mathrm{Q}\left(0, \dfrac{2a - 1}{a - 1}\right)$이고, 수선의 발은 $\mathrm{A}'(-1, 0), \ \mathrm{B}'\left(0, \dfrac{3a - 1}{a - 1}\right)$이다.
따라서 $\overline{\mathrm{AA}'} = 2, \ \overline{\mathrm{A}'\mathrm{P}} = -1 - (-2a + 1) = 2a - 2, \ \overline{\mathrm{BB}'} = a, \ \overline{\mathrm{B}'\mathrm{Q}} = \dfrac{3a - 1}{a - 1} - \dfrac{2a - 1}{a - 1} = \dfrac{a}{a - 1}$이므로 \[ \begin{aligned} &S_1 = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AA}'} \times \overline{\mathrm{A}'\mathrm{P}} = \frac{1}{2} \times 2 \times (2a - 2) = 2a - 2 \ \ [3\text{점}], \quad S_2 = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{BB}'} \times \overline{\mathrm{B}'\mathrm{Q}} = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a}{a - 1} = \frac{a^2}{2a - 2} \ \ [3\text{점}] \\ &\lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1} = \lim_{a \to \infty} \frac{\frac{a^2}{2a - 2}}{2a - 2} = \lim_{a \to \infty} \frac{a^2}{4(a - 1)^2} = \lim_{a \to \infty} \frac{a^2}{4a^2 - 8a + 4} = \lim_{a \to \infty} \frac{1}{4 - \frac{8}{a} + \frac{4}{a^2}} = \frac{1}{4} \quad [4\text{점}] \end{aligned} \] 답: $\dfrac{1}{4}$

【2022학년도 문제 1】 7. 예시 답안 (문제 1-4) 및 6. 채점 기준 [배점 : 1-4 (13점) / 문제 1 전체 50점]

[그림] 두 직선 $l, m$과 삼각형

[답안 1-4] (총 13점)

점 $\mathrm{P}(1, 2)$는 곡선 $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x - 1}$의 두 점근선의 교점이므로 $\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{BP}}$이다.
$\angle\mathrm{BPC} = \alpha, \ \angle\mathrm{APD} = \beta$라고 할 때, $\angle\mathrm{BPC}$와 $\angle\mathrm{APD}$는 맞꼭지각이므로 $\alpha = \beta$이다 [4점].
$S_1 = \dfrac{1}{2} \times \overline{\mathrm{BP}} \times \overline{\mathrm{CP}} \times \sin\alpha$이고, $S_2 = \dfrac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AP}} \times \overline{\mathrm{DP}} \times \sin\alpha$이다.
$\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{BP}}$이므로 $S_1 : S_2 = \overline{\mathrm{CP}} : \overline{\mathrm{DP}}$이다. 따라서 $2S_1 = S_2$이려면 $2\overline{\mathrm{CP}} = \overline{\mathrm{DP}}$이어야 한다 [5점].
점 $\mathrm{P}$와 점 $\mathrm{C}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{P}', \ \mathrm{C}'$이라 할 때, 두 삼각형 $\mathrm{DP}'\mathrm{P}, \ \mathrm{DC}'\mathrm{C}$는 닮음이고 $\overline{\mathrm{DP}} : \overline{\mathrm{DC}} = 2 : 3$이므로 $\overline{\mathrm{PP}'} : \overline{\mathrm{CC}'} = 2 : 3$이다.
점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표는 $2$이므로 점 $\mathrm{C}$의 $y$좌표는 $3$이다. $3 = \dfrac{2x - 1}{x - 1}$을 풀면 $x = 2$이므로 $\mathrm{C}$의 좌표는 $(2, 3)$이다.
따라서 두 점 $\mathrm{P}(1, 2)$와 $\mathrm{C}(2, 3)$을 지나는 직선 $m$의 방정식은 $y = x + 1$이다 [4점].
답: $y = x + 1$

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삼각함수의 극한 $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$을 증명할 때는 원의 부채꼴 넓이와 직각삼각형 넓이의 대소관계를 명문화하십시오.

정답:최종 정답 요약 (1-1) $f(0) = 1$ | (1-2) 연속성 증명 완료 | (1-3) 극한값 2

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[1-1] 함수의 개념을 이해하고 조건을 만족하는 함수를 표현할 수 있다.	4점
2단계	조건을 만족시키는 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.	4점
3단계	등차수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 구할 수 있다.	4점
4단계	[1-2] 함수의 변화에서 규칙성 찾고, 그 변화를 수열로 표현할 수 있다.	8점
5단계	$\sum$의 뜻을 알고, 그 성질을 활용하여 주어진 문제를 풀 수 있다.	4점
6단계	[1-3] 주어진 조건을 만족시키는 직선의 방정식을 표현할 수 있다.	3점
7단계	좌표를 이용하여 주어진 문제를 해결할 수 있다.	6점
8단계	함수의 극한 개념을 이해하고 극한값을 구할 수 있다.	4점
9단계	[1-4] 유리함수에서 점근선의 성질을 이해할 수 있다.	4점
10단계	삼각형 닮음을 이용할 수 있다.	5점
11단계	조건을 만족시키는 직선의 방정식을 구할 수 있다.	4점

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한국항공대 2022학년도 공학계열 문제 1 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 미분, 함수의 그래프, 정적분, 치환적분 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2022학년도 공학계열 문제 2 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) $n$개 중에서 같은 것이 각각 $p$개, $q$개씩 있을 때, 이들 $n$개를 일렬로 배열하는 순열의 수는 $\dfrac{n!}{p! \times q!}$이다. (단, $p + q = n$)

<그림 1-1>

나) 반지름의 길이가 $1$이고, 둘레를 $4$등분하는 $4$개의 점이 있는 원을 $K$라 하자. <그림 1-1>과 같이 $6$개의 원 $K$로 이루어진 도형에서 동전을 던져서 앞면이 나오면 오른쪽 위, 뒷면이 나오면 오른쪽 아래로 각각 원의 둘레의 $\dfrac{1}{4}$만큼 가장 가까운 점으로 이동한다. (단, 오른쪽 위로 이동할 수 없는 경우에는 오른쪽 아래로 이동하고, 오른쪽 아래로 이동할 수 없는 경우에는 오른쪽 위로 이동한다.)
예시> <그림 1-1>에서 ‘앞면 $\to$ 앞면 $\to$ 뒷면 $\to$ 앞면’이 나오면 점 $\mathrm{A}$에 도착하고, ‘뒷면 $\to$ 앞면 $\to$ 뒷면 $\to$ 뒷면’이 나오면 점 $\mathrm{B}$에 도착한다.

다) 동전을 던질 때, 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률은 각각 $\dfrac{1}{2}$이다.

<그림 1-2>

※ <그림 1-2>와 같이 $19$개의 원 $K$로 이루어진 도형에 대하여 [문제 1-1]∼[문제 1-4]의 물음에 답하시오.

[문제 1-1] 점 $\mathrm{O}_2$에서 출발하고 동전을 $3$번 던질 때, 점 $\mathrm{A}$에 도착할 확률을 구하시오.

[문제 1-2] 점 $\mathrm{O}_2$에서 출발하고 동전을 $5$번 던질 때, $\dfrac{5}{32}$의 확률로 도착하는 두 점을 각각 $\mathrm{B}, \ \mathrm{C}$라 하자. 선분 $\mathrm{BC}$의 길이와 삼각형 $\mathrm{O}_2\mathrm{BC}$의 넓이를 구하시오.

[문제 1-3] 점 $\mathrm{O}_1$에서 출발하고 동전을 $4$번 던질 때, 두 점 $\mathrm{D}, \ \mathrm{E}$에 도착하는 사건을 각각 $D, \ E$라 하자. $\dfrac{\mathrm{P}(D)}{\mathrm{P}(E)}$의 값을 구하시오.

[문제 1-4] 동전을 첫 번째 던져서 출발점을 정한 후 두 번째 던질 때부터 이동한다. 동전을 첫 번째 던져서 앞면이 나오면 점 $\mathrm{O}_2$에서 출발하고, 뒷면이 나오면 점 $\mathrm{O}_3$에서 출발한다. 출발점을 정한 후 동전을 $6$번 더 던져서 점 $\mathrm{F}$에 도착했을 때, 점 $\mathrm{O}_3$에서 출발했을 확률을 구하시오.

<그림 1-3>

[문제 1-5] <그림 1-3>과 같이 가로로 $9$개의 원 $K$로 이루어진 도형이 세로로 충분히 있다. 점 $\mathrm{O}_4$에서 출발해서 동전을 $2n$번 던질 때 점 $\mathrm{G}_n$에 도착하는 사건을 $G_n$이라 하자. $\dfrac{\mathrm{P}(G_7)}{\mathrm{P}(G_8)}$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 11052 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

【유사 연습 문제】 곡선 $y = x(x-2)^2$과 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 정적분으로 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $x=0$과 $x=2$에서 만남. $S = \int_0^2 x(x^2 - 4x + 4)\,dx = \int_0^2 (x^3 - 4x^2 + 4x)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{4}{3}x^3 + 2x^2\right]_0^2 = 4 - \dfrac{32}{3} + 8 = 12 - \dfrac{32}{3} = \dfrac{4}{3}$.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 2022학년도 공학계열 문제 2 (50점) (미분, 함수의 그래프, 정적분, 치환적분) [배점 50점]

2022학년도 자연계열 2022학년도 공학계열 문제 2 (50점) — 한국항공대 2022학년도 공학계열 문제 2 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 2022학년도 공학계열 문제 2 (50점) · 총 50점

【2022학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-1, 2-2) [배점 : 2-1 (15점) / 2-2 (10점)]

[답안 2-1] (총 15점)

$f(x) = x\left(x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(x - \sqrt{3}) = x^3 - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}x^2 + \dfrac{3}{2}x$이므로 방정식 $f(x) = 0$의 세 근은 $0, \ \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \ \sqrt{3}$이다.
두 부분의 넓이 $S_1, \ S_2$가 같기 위해서는 $\displaystyle\int_0^{\alpha} \big(f(x) - \beta\big)\,dx = 0$이어야 한다 [5점].
이를 적분하여 계산하면 $\dfrac{\alpha^4}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\alpha^3 + \dfrac{3}{4}\alpha^2 - \alpha\beta = 0$이다 [3점].
점 $(\alpha, \beta)$가 곡선 $y = f(x)$ 위의 점이므로 $\beta = \alpha^3 - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\alpha^2 + \dfrac{3}{2}\alpha$를 대입하면 \[ \begin{aligned} \frac{\alpha^4}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}\alpha^3 + \frac{3}{4}\alpha^2 - \alpha\left(\alpha^3 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\alpha^2 + \frac{3}{2}\alpha\right) &= \frac{\alpha^4}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}\alpha^3 + \frac{3}{4}\alpha^2 - \alpha^4 + \frac{3\sqrt{3}}{2}\alpha^3 - \frac{3}{2}\alpha^2 \\ &= -\frac{3}{4}\alpha^2\left(\alpha^2 - \frac{4\sqrt{3}}{3}\alpha + 1\right) = -\frac{3}{4}\alpha^2\left(\alpha - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)(\alpha - \sqrt{3}) = 0 \quad [4\text{점}] \end{aligned} \] $\alpha = 0, \ \dfrac{\sqrt{3}}{3}, \ \sqrt{3}$ 중에서 세 근의 위치 $\left(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$를 고려하면 $\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{3}, \ \beta = \dfrac{\sqrt{3}}{9}$이다 [3점].
답: $\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{3}, \ \beta = \dfrac{\sqrt{3}}{9}$

[답안 2-2] (총 10점)

로그의 성질에 의하여 정적분을 계산하면 \[ \begin{aligned} f(x) &= \int_x^{2x} (\ln x + \ln t)\,dt = \ln x \Big[t\Big]_x^{2x} + \Big[t\ln t - t\Big]_x^{2x} \\ &= x\ln x + 2x\ln(2x) - 2x - (x\ln x - x) = 2x\ln(2x) - x \end{aligned} \] 이를 미분하면 $f'(x) = 2\ln(2x) + 2x \times \dfrac{2}{2x} - 1 = 2\ln(2x) + 1$이다 [4점].
$x = \dfrac{1}{2\sqrt{e}}$에서 $f'(x) = 0$이며 구간 $(0, 1]$에서 $f(x)$의 증감표는 다음과 같다 [4점]. 따라서 $f(x)$는 $x = \dfrac{1}{2\sqrt{e}}$일 때 극소이면서 최소이므로 최솟값은 $f\left(\dfrac{1}{2\sqrt{e}}\right) = -\dfrac{1}{2\sqrt{e}} - \dfrac{1}{2\sqrt{e}} = -\dfrac{1}{\sqrt{e}}$이다 [2점].
답: $-\dfrac{1}{\sqrt{e}}$

【2022학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-3, 2-4) [배점 : 2-3 (15점) / 2-4 (10점)]

[답안 2-3] (총 15점)

$f'(x) = 3x^2 - 9x + 6 = 3(x - 1)(x - 2)$이므로 $x = 1, \ x = 2$일 때 $f'(x) = 0$이다 [2점].
$f(x)$의 증감상태를 조사하면 다음 표와 같다. 따라서 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 세 실근이 존재하려면 $f(1) \gt 0, \ f(2) \lt 0$이어야 하며, 사잇값 정리에 의해 $1$과 $2$ 사이에 방정식 $f(x) = 0$의 실근이 존재한다 $\cdots\cdots \text{①}$ [3점].
$f(1) = \dfrac{5}{2} - abc \gt 0$이므로 $abc \lt \dfrac{5}{2}$이고, $f(2) = 2 - abc \lt 0$이므로 $abc \gt 2$이다 [2점].
따라서 $f(0) = -abc \lt -2 \lt 0$이고 $f(1) \gt 0$이므로 사잇값 정리에 의해 $0$과 $1$ 사이에 방정식 $f(x) = 0$의 실근이 존재한다 $\cdots\cdots \text{②}$ [3점].
또한 $f(3) = \dfrac{9}{2} - abc \gt 2 \gt 0$이고 $f(2) \lt 0$이므로 사잇값 정리에 의해 $2$와 $3$ 사이에 방정식 $f(x) = 0$의 실근이 존재한다 $\cdots\cdots \text{③}$ [3점].
방정식 $f(x) = 0$의 세 실근 $a, \ b, \ c$는 $a \lt b \lt c$이므로 ①, ②, ③에 의해 $0 \lt a \lt 1 \lt b \lt 2 \lt c \lt 3$, 즉 $a \gt 0, \ c \lt 3$이다 [2점].
답: 풀이 참조 ($a \gt 0, \ c \lt 3$ 증명 완료)

[답안 2-4] (총 10점)

제시문 다)를 이용하면 정적분의 구간을 다음과 같이 나눌 수 있다 [3점]. \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx \] 제시문 라)를 이용하여 $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx$를 $x = -t$로 치환하여 계산하면 [4점] \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(t^{2022})}{1 + 2022^{-t}}\,dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2022^t\sin(t^{2022})}{2022^t + 1}\,dt \] 이므로 두 정적분을 합하면 다음과 같이 성립한다 [3점]. \[ \begin{aligned} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2022^x\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1 + 2022^x)\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x^{2022})\,dx \end{aligned} \] 답: 풀이 참조 (등식 증명 완료)

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

삼차함수 넓이 공식 $S = \dfrac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4$을 사용할 때는 객관식 검산용으로만 활용하고 주관식에는 정적분 전개식을 반드시 쓰십시오.

정답:최종 정답 요약 (2-1) 넓이 $\dfrac{4}{3}$ | (2-2) 극값 판정 | (2-3) 정적분 최종값 $\dfrac{8}{3}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[$x$] $(0)$	7점
2단계	[$f'(x)$]	36점
3단계	[$f(x)$]	7점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

한국항공대 2022학년도 공학계열 문제 2 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 정적분으로 정의된 함수, 접선과 법선 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2022학년도 이학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 함수 $f(x)$가 $a$를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $x$에 대하여 $f(x) \le f(a)$를 만족하면 $f(a)$를 ‘극댓값’이라 하고, 반대로 $a$를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $x$에 대하여 $f(x) \ge f(a)$를 만족하면 $f(a)$를 ‘극솟값’이라 한다.

나) 함수 $f(x)$가 미분가능하고 $f'(a) = 0$일 때, $x = a$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(a)$는 극댓값이고, $x = a$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(a)$는 극솟값이다.

다) 두 양수 $a, \ b$에 대하여 항상 $\dfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$가 성립하고 등호는 $a = b$일 때 성립한다.

라) 두 함수 $f(x), \ g(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$를 포함하는 열린구간에서 연속일 때, 두 곡선 $y = f(x), \ y = g(x)$ 및 두 직선 $x = a, \ x = b$로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$는 $S = \displaystyle\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$이다.

[문제 1-1] $a \gt 0$인 실수 $a$에 대하여 삼차함수 $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 9a^2x + 6a - 5$의 극솟값을 $g(a)$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $g(a)$의 최댓값을 구하시오.

(2) $g(a)$가 최대일 때, 방정식 $f(x) = 0$의 실근의 개수를 구하시오.

[그림 1] 도형 $E$

[문제 1-2] 좌표평면 위의 네 점 $\mathrm{A}(3a, 0), \ \mathrm{B}(3a, 2b), \ \mathrm{C}(-2b, 3a), \ \mathrm{D}(-2b, 0)$에 대하여 도형 $E$는 [그림 1]과 같이 삼각형 $\mathrm{OAB}$, 삼각형 $\mathrm{OCD}$, 중심각의 크기가 $90^\circ$인 부채꼴 $\mathrm{OBC}$로 이루어진 도형이다.
$9a^2 + 4b^2 = 36a^2b^2$일 때, 도형 $E$의 넓이의 최솟값을 구하시오. (단, $a \gt 0, \ b \gt 0, \ \mathrm{O}$는 원점)

[문제 1-3] 곡선 $y = x^2$ 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{A}(\alpha, \alpha^2), \ \mathrm{B}(\beta, \beta^2)$에 대하여, 점 $\mathrm{A}$에서의 접선을 $l$, 점 $\mathrm{B}$에서의 접선을 $m$이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $\alpha \gt 0$)

(1) 접선 $l$과 $x$축과의 교점을 $\mathrm{P}$, 점 $\mathrm{A}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}$라 하자. 곡선 $y = x^2$, $x$축 및 직선 $l$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S$, 삼각형 $\mathrm{APQ}$의 넓이를 $T$라 할 때, $\dfrac{T}{S}$의 값을 구하시오.

(2) 두 접선 $l$과 $m$이 서로 수직일 때, 두 접선 $l, \ m$의 교점을 $\mathrm{C}(p, q)$라 하자. $q$의 값을 구하시오.

(3) 위의 (2)에서 구한 점 $\mathrm{C}(p, q)$와 한 점 $\mathrm{D}(\alpha, q)$에 대하여 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 넓이를 $S(\alpha)$라 하자. $\displaystyle\lim_{\alpha \to \infty} \frac{S(\alpha)}{\alpha^3}$의 값을 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 11053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]

【유사 연습 문제】 함수 $F(x) = \int_0^x (3t^2 - 6t)\,dt$의 극값을 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] $F'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$. $F'(x) = 0 \implies x = 0, 2$. $F(0) = 0$ (극댓값), $F(2) = \int_0^2 (3t^2 - 6t)\,dt = [t^3 - 3t^2]_0^2 = 8 - 12 = -4$ (극솟값).

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 2022학년도 이학계열 문제 1 (50점) (정적분으로 정의된 함수, 접선과 법선) [배점 50점]

2022학년도 자연계열 2022학년도 이학계열 문제 1 (50점) — 한국항공대 2022학년도 이학계열 문제 1 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 2022학년도 이학계열 문제 1 (50점) · 총 50점

【2022학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-1) [배점 : 1-1(1) (10점) / 1-1(2) (10점)]

[답안 1-1 (1)] $g(a)$의 최댓값 (10점)

$f'(x) = x^2 - 9a^2$이고 $x = \pm 3a$일 때 $f'(x) = 0$이다 [2점].
$a \gt 0$이므로 $f(x)$의 증감상태를 조사하면 다음과 같다. 따라서 $x = 3a$일 때 $f(x)$는 극솟값을 갖고 $f(3a) = 9a^3 - 27a^3 + 6a - 5 = -18a^3 + 6a - 5$이므로 $g(a) = -18a^3 + 6a - 5$이다 [3점].
이제 $g'(a) = -54a^2 + 6$이므로 $a = \pm\dfrac{1}{3}$일 때 $g'(a) = 0$이다 [2점]. $a \gt 0$에서 $g(a)$의 증감상태를 조사하면 다음과 같다. 위 표에서 $g(a)$는 $a = \dfrac{1}{3}$일 때 극대이면서 최대이고, $g\left(\dfrac{1}{3}\right) = -18\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 + 6\left(\dfrac{1}{3}\right) - 5 = -\dfrac{11}{3}$이므로 최댓값은 $-\dfrac{11}{3}$이다 [3점].
정답: $-\dfrac{11}{3}$

[답안 1-1 (2)] 방정식 $f(x) = 0$의 실근의 개수 (10점)

(1)에서 $a = \dfrac{1}{3}$일 때 $g(a)$는 최대가 되고, 이때 $f(x)$의 증감상태를 조사하면 (1)의 증감표로부터 다음 증감표를 얻는다. 위 표에서 $x = -1$일 때 $f(x)$는 극대이고 [3점], $f(-1) = \dfrac{1}{3}\times(-1)^3 - 9\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\times(-1) + 6\times\dfrac{1}{3} - 5 = -\dfrac{7}{3}$이 $f(x)$의 극댓값이다 [3점].
그런데 극댓값 $\left(-\dfrac{7}{3}\right)$과 극솟값 $\left(-\dfrac{11}{3}\right)$이 모두 음수이므로 $f(x)$의 그래프는 $x$축과 한 번 만난다. 따라서 $f(x) = 0$은 $1$개의 실근을 갖는다 [4점].
정답: $1$

【2022학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-2, 1-3(1)) [배점 : 1-2 (15점) / 1-3(1) (10점)]

[그림] 도형 $E$의 분할

[답안 1-2] 도형 $E$의 넓이의 최솟값 (15점)

네 점 $\mathrm{A}(3a, 0), \ \mathrm{B}(3a, 2b), \ \mathrm{C}(-2b, 3a), \ \mathrm{D}(-2b, 0)$에 대하여 도형 $E$의 넓이 $S$는 삼각형 $\mathrm{OAB}$, 삼각형 $\mathrm{OCD}$, 그리고 중심각의 크기가 $90^\circ$인 부채꼴 $\mathrm{OBC}$의 넓이의 합과 같으므로 \[ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \times 3a \times 2b + \frac{1}{2} \times 3a \times 2b + \frac{1}{4}\pi\left(\sqrt{9a^2 + 4b^2}\right)^2 \\ &= \frac{1}{4}\pi(9a^2 + 4b^2) + 6ab \quad [5\text{점}] \end{aligned} \] 그런데 $a^2 \gt 0, \ b^2 \gt 0$이므로 제시문 다)에 의하여 $\dfrac{9a^2 + 4b^2}{2} \ge \sqrt{9a^2 \times 4b^2} = 6ab \ \cdots\cdots \text{①}$이다.
이때 등호는 $9a^2 = 4b^2$, 즉 $a \gt 0, \ b \gt 0$이므로 $3a = 2b$일 때 성립한다.
$9a^2 + 4b^2 = 36a^2b^2$이므로 ①에 의해서 $18a^2b^2 \ge 6ab$, 즉 $ab \ge \dfrac{1}{3} \ \cdots\cdots \text{②}$이다 [5점].
그러므로 도형 $E$의 넓이 $S$는 ①과 ②에 의해 \[ \begin{aligned} S = \frac{\pi}{4}(9a^2 + 4b^2) + 6ab \ge \frac{\pi}{4} \times 12ab + 6ab = (3\pi + 6)ab \ge 3(\pi + 2) \times \frac{1}{3} = \pi + 2 \end{aligned} \] 이고, 등호는 $3a = 2b$이고 $ab = \dfrac{1}{3}$, 즉 $a = \dfrac{\sqrt{2}}{3}, \ b = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$일 때 성립하므로 최솟값은 $\pi + 2$이다 [5점].
정답: $\pi + 2$

[답안 1-3 (1)] $\dfrac{T}{S}$의 값 (10점)

함수 $y = x^2$의 도함수는 $y' = 2x$이고, 직선 $l$은 곡선 $y = x^2$ 위의 점 $(\alpha, \alpha^2)$에서의 접선이므로 그 방정식은 $y = 2\alpha x - \alpha^2$이고, $x$절편은 $\dfrac{1}{2}\alpha$이다 [4점].
삼각형 $\mathrm{APQ}$의 넓이 $T$와 곡선 $y = x^2$, $x$축 및 직선 $l$로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$는 각각 다음과 같다. \[ \begin{aligned} &T = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{PQ}} \times \overline{\mathrm{AQ}} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\alpha^2 = \frac{1}{4}\alpha^3 \quad [2\text{점}] \\ &S = \int_0^{\alpha} x^2\,dx - (\triangle\mathrm{APQ}\text{의 넓이}) = \frac{1}{3}\alpha^3 - \frac{1}{4}\alpha^3 = \frac{1}{12}\alpha^3 \quad [2\text{점}] \end{aligned} \] 따라서 $\dfrac{T}{S} = \dfrac{\frac{1}{4}\alpha^3}{\frac{1}{12}\alpha^3} = 3$이다 [2점].
정답: $3$

【2022학년도 문제 1】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 1-3(2), 1-3(3)) [배점 : 1-3(2) (13점) / 1-3(3) (12점)]

[답안 1-3 (2)] 두 접선 $l, \ m$의 교점 $\mathrm{C}(p, q)$의 $y$좌표 $q$의 값 (13점)

곡선 $y = x^2$의 수직인 두 접선 $l$과 $m$이 $y = x^2$의 그래프와 두 점 $(\alpha, \alpha^2)$과 $(\beta, \beta^2)$에서 각각 접하므로 직선 $l$과 $m$의 방정식은 각각 $l : y = 2\alpha x - \alpha^2, \ m : y = 2\beta x - \beta^2$이고, 점 $\mathrm{C}(p, q)$는 두 접선의 교점이므로 다음 연립방정식을 만족한다 [4점]. \[ \begin{cases} q = 2\alpha p - \alpha^2 \\ q = 2\beta p - \beta^2 \end{cases} \] 두 식을 연립하여 풀면 $2\alpha p - \alpha^2 = 2\beta p - \beta^2 \implies 2(\alpha - \beta)p = \alpha^2 - \beta^2 = (\alpha - \beta)(\alpha + \beta)$이므로 $p = \dfrac{1}{2}(\alpha + \beta)$이고 [5점], \[ q = 2\alpha p - \alpha^2 = 2\alpha \times \frac{1}{2}(\alpha + \beta) - \alpha^2 = \alpha^2 + \alpha\beta - \alpha^2 = \alpha\beta \quad [2\text{점}] \] 두 직선은 서로 수직이므로 기울기의 곱 $4\alpha\beta = -1$, 즉 $\alpha\beta = -\dfrac{1}{4}$이다. 따라서 $q = -\dfrac{1}{4}$이다 [2점].
정답: $-\dfrac{1}{4}$

[답안 1-3 (3)] $\displaystyle\lim_{\alpha \to \infty} \frac{S(\alpha)}{\alpha^3}$의 값 (12점)

점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $(\alpha, \alpha^2)$이고, (2)의 풀이과정에서 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\left(\dfrac{\alpha + \beta}{2}, \ -\dfrac{1}{4}\right)$, 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\left(\alpha, \ -\dfrac{1}{4}\right)$이다.
따라서 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 넓이 $S(\alpha)$는 \[ \begin{aligned} S(\alpha) &= \frac{1}{2}\left(\alpha - \frac{\alpha + \beta}{2}\right)\left(\alpha^2 + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}\right)\left(\alpha^2 + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}(\alpha - \beta)\left(\alpha^2 + \frac{1}{4}\right) \quad [3\text{점}] \end{aligned} \] 그런데 두 접선 $l$과 $m$이 수직이므로 $\alpha\beta = -\dfrac{1}{4}$, 즉 $\beta = -\dfrac{1}{4\alpha}$이다 [2점].
이를 대입하여 $S(\alpha)$를 $\alpha$에 대한 식으로 정리하면 \[ \begin{aligned} S(\alpha) &= \frac{1}{4}(\alpha - \beta)\left(\alpha^2 + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}\left(\alpha + \frac{1}{4\alpha}\right)\left(\alpha^2 + \frac{1}{4}\right) = \frac{(4\alpha^2 + 1)^2}{64\alpha} \quad [4\text{점}] \end{aligned} \] 그러므로 구하는 극한값은 다음과 같다 [3점]. \[ \begin{aligned} \lim_{\alpha \to \infty} \frac{S(\alpha)}{\alpha^3} = \lim_{\alpha \to \infty} \frac{(4\alpha^2 + 1)^2}{64\alpha^4} = \lim_{\alpha \to \infty} \frac{16\alpha^4 + 8\alpha^2 + 1}{64\alpha^4} = \lim_{\alpha \to \infty} \frac{16 + \frac{8}{\alpha^2} + \frac{1}{\alpha^4}}{64} = \frac{1}{4} \end{aligned} \] 정답: $\dfrac{1}{4}$

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$\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$의 성질을 언급하고 양변에 $x = a$를 대입하여 초기 조건 $F(a) = 0$을 반드시 도출하십시오.

정답:최종 정답 요약 (1-1) $F(0) = 0$ | (1-2) 극댓값 0, 극솟값 -4 | (1-3) 변곡점 $(1, -2)$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[$x$] $\cdots$	16점
2단계	[$f'(x)$] $+$	17점
3단계	[$f(x)$] $\nearrow$	17점

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한국항공대 2022학년도 이학계열 문제 1 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

📚 과목/단원: 사인법칙, 연립방정식, 접선의 방정식, 정적분 🎯 핵심 테마: 한국항공대 2022학년도 공학계열 문제 추가 (50점) 단계별 논증 ⏱️ 권장 시간: 25분

[제시문]

가) 그림과 같이 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 세 각 $\angle\mathrm{A}, \ \angle\mathrm{B}, \ \angle\mathrm{C}$의 크기가 각각 $A, \ B, \ C$이고, 이들의 대변의 길이가 각각 $a, \ b, \ c$이며, 외접원의 반지름을 $R$라 하면 다음 관계식이 성립한다.
• 사인법칙: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ • 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$: $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ca\sin B = \dfrac{1}{2}ab\sin C$

나) 두 각 $\alpha, \ \beta$에 대한 삼각함수를 이용하면 $15^\circ, \ 75^\circ, \ 105^\circ$에 대한 사인함수 값과 코사인함수 값을 구할 수 있다.
$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta, \qquad \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

<그림 2-1>

[문제 2-1] <그림 2-1>과 같이 좌표평면의 점 $\mathrm{P}(\sqrt{6}, 0)$을 지나고 기울기가 $\sqrt{3}$인 직선 $\mathrm{PQ}$ 위에 점 $\mathrm{B}$가 있다. 선분 $\mathrm{OP}$ 위의 점 $\mathrm{A}$, 선분 $\mathrm{PQ}$ 위의 점 $\mathrm{B}$에 대하여 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선과 점 $\mathrm{B}$를 지나고 직선 $\mathrm{PQ}$에 수직인 직선의 교점을 $\mathrm{C}$라 하자. $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{6}$이고, $\angle\mathrm{BAP} = \theta$일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점이고, 점 $\mathrm{Q}$는 제$1$사분면에 있다.)

(1) $\theta = 45^\circ$일 때, 두 선분 $\mathrm{AC}, \ \mathrm{BC}$의 길이를 각각 구하시오.

(2) $\theta = 45^\circ$일 때, 삼각형 $\mathrm{APB}$의 넓이를 구하시오.

(3) $0 \le \theta \le 60^\circ$인 모든 $\theta$에 대하여 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이가 일정함을 보이시오.

<그림 2-2>

[문제 2-2] 좌표평면의 점 $\mathrm{P}(10, 0)$을 지나고 기울기가 $1$인 직선 $\mathrm{PQ}$ 위의 점 $\mathrm{B}$가 있다. 세 점 $\mathrm{A}, \ \mathrm{B}, \ \mathrm{C}$와 각 $\theta \ (0^\circ \le \theta \le 45^\circ)$를 [문제 2-1]과 같은 방법으로 정의한다. <그림 2-2>에서 $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{OP}} = 10$이며, 각 $\theta$의 크기가 각각 $0^\circ, \ 30^\circ, \ 45^\circ$일 때의 점 $\mathrm{C}$를 각각 점 $\mathrm{C}_1$, 점 $\mathrm{C}_2$, 점 $\mathrm{C}_3$이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점이고, 점 $\mathrm{Q}$는 제$1$사분면에 있다.)

(1) 세 점 $\mathrm{C}_1, \ \mathrm{C}_2, \ \mathrm{C}_3$의 좌표를 각각 구하시오.

(2) 점 $\mathrm{C}_1$과 두 점 $\mathrm{X}(6, 14), \ \mathrm{Y}(10, 14)$를 모두 지나는 곡선 $y = ax^2 + bx + c$에 대하여 $a + b + c$의 값을 구하시오. (단, $a, \ b, \ c$는 상수이다.)

(3) 위 (2)번에서 구한 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{C}_1$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

(4) 위 (2)번에서 구한 곡선 $y = f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x = 0, \ x = 10$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

📖 [교과서 기반 1:1 유사 단원 연계 연습 문제] Textbook DB 직결

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 11054 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]

【유사 연습 문제】 원 $x^2 + y^2 = 10$ 위의 점 $(1, 3)$에서의 접선과 포물선 $y = x^2$의 교점의 좌표를 구하시오.

💡 [유사 연습 풀이 및 정답] 접선: $x + 3y = 10 \implies y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{10}{3}$. 포물선과 연립: $x^2 = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{10}{3} \implies 3x^2 + x - 10 = 0 \implies (3x - 5)(x + 2) = 0$. 따라서 $x = \dfrac{5}{3}, -2$. 교점은 $(-2, 4), \left(\dfrac{5}{3}, \dfrac{25}{9}\right)$.

【문항 요약】 2022학년도 자연계열 2022학년도 공학계열 문제 추가 (50점) (사인법칙, 연립방정식, 접선의 방정식, 정적분) [배점 50점]

2022학년도 자연계열 2022학년도 공학계열 문제 추가 (50점) — 한국항공대 2022학년도 공학계열 문제 추가 (50점) 단계별 논증 핵심 조건 및 소문항 논증 요약

✍️ 스스로 논증 단계를 점검한 뒤 공식 모범답안과 채점 기준표를 확인하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 2022 2022학년도 공학계열 문제 추가 (50점) · 총 50점

【2021학년도 문제 2】 7. 예시 답안 혹은 정답 (문제 2-1, 2-2) [배점 : 2-1 (20점) / 2-2 (30점)]

[문제 2-1] 기하적 관계

[답안 2-1] (총 20점) — (1) 10점 / (2) 5점 / (3) 5점

(1) (10점): 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\theta = 45^\circ$일 때, $\angle\mathrm{A} = 90^\circ - \theta = 45^\circ, \ \angle\mathrm{B} = 90^\circ + 30^\circ - 45^\circ = 75^\circ, \ \angle\mathrm{C} = 60^\circ$이다 [3점].
사인법칙에 의하여 $\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin B} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin 60^\circ} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\overline{\mathrm{AB}}$이고, $\sin 75^\circ = \sin(30^\circ + 45^\circ) = \sin 30^\circ\cos 45^\circ + \cos 30^\circ\sin 45^\circ = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$이다 [3점].
따라서 $\overline{\mathrm{AC}} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin 60^\circ}\sin 75^\circ = \dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \times \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{3}$ [2점], $\overline{\mathrm{BC}} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin 60^\circ}\sin 45^\circ = \dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \times \dfrac{1}{\sqrt{2}} = 2$이다 [2점].
(2) (5점): $\overline{\mathrm{AB}}\sin\theta = \overline{\mathrm{PB}}\sin 60^\circ$이므로 $\overline{\mathrm{PB}} = \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}\overline{\mathrm{AB}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}} \times \sqrt{6} = 2$이고, $\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{AH}} - \overline{\mathrm{PH}} = \overline{\mathrm{AB}}\cos\theta - \overline{\mathrm{PB}}\cos 60^\circ = \sqrt{3} - 1$이다 [3점].
따라서 삼각형 $\mathrm{APB}$의 넓이 $S$는 $S = \dfrac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AP}} \times \sin 45^\circ = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{6} \times (\sqrt{3} - 1) \times \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{3 - \sqrt{3}}{2}$이다 [2점].
(3) (5점): 사인법칙 $\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin B} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C} = 2R$에서 $R = \dfrac{1}{2}\dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}} \times \sqrt{6} = \sqrt{2}$이다 [2점].
선분 $\mathrm{AB}$의 길이($\sqrt{6}$)와 $\angle\mathrm{C} = 60^\circ$가 $0 \le \theta \le 60^\circ$인 모든 $\theta$에 대하여 일정한 값을 가지므로 외접원의 반지름의 길이 $R = \sqrt{2}$는 일정하다 [3점].
답: (1) $\overline{\mathrm{AC}} = 1 + \sqrt{3}, \ \overline{\mathrm{BC}} = 2$ (2) $S = \dfrac{3 - \sqrt{3}}{2}$ (3) $R = \sqrt{2}$로 일정 (풀이 참조)

[문제 2-2] $\mathrm{C}_1, \mathrm{C}_2, \mathrm{C}_3$

[답안 2-2] (총 30점) — (1) 10점 / (2) 10점 / (3) 5점 / (4) 5점

(1) (10점):
i) $\theta = 0^\circ$일 때, $\angle\mathrm{OPC}_1 = 45^\circ$이므로 $\overline{\mathrm{OC}_1} = \overline{\mathrm{OP}} = 10, \ x_1 = 0, \ y_1 = \overline{\mathrm{OC}_1} = 10$에서 $\mathrm{C}_1(0, 10)$이다 [3점].
ii) $\theta = 30^\circ$일 때, 삼각형 $\mathrm{ABC}_2$에서 $\angle\mathrm{A} = 90^\circ - \theta = 60^\circ, \ \angle\mathrm{B} = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ, \ \angle\mathrm{C}_2 = 45^\circ$이고 $\dfrac{\overline{\mathrm{AC}_2}}{\sin B} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin 45^\circ} = 10\sqrt{2}$이므로 $\overline{\mathrm{AC}_2} = 10\sqrt{2}\sin 75^\circ = 10\sqrt{2} \times \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = 5(1 + \sqrt{3})$이다.
또한 $\overline{\mathrm{AB}}\sin\theta = \overline{\mathrm{PB}}\sin 45^\circ$에서 $\overline{\mathrm{PB}} = \dfrac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}\overline{\mathrm{AB}} = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{2} \times 10 = 5\sqrt{2}$이고, $\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{AH}} - \overline{\mathrm{PH}} = \overline{\mathrm{AB}}\cos 30^\circ - \overline{\mathrm{PB}}\cos 45^\circ = 5\sqrt{3} - 5$이다.
따라서 $x_2 = \overline{\mathrm{OP}} - \overline{\mathrm{AP}} = 10 - (5\sqrt{3} - 5) = 5(3 - \sqrt{3}), \ y_2 = \overline{\mathrm{AC}_2} = 5(1 + \sqrt{3})$이므로 $\mathrm{C}_2\big(5(3 - \sqrt{3}), \ 5(1 + \sqrt{3})\big)$이다 [4점].
iii) $\theta = 45^\circ$일 때, $\angle\mathrm{C}_3\mathrm{PQ} = 45^\circ$이므로 $\overline{\mathrm{PC}_3} = \dfrac{\overline{\mathrm{PQ}}}{\cos 45^\circ} = 10\sqrt{2}$이고 $x_3 = \overline{\mathrm{OP}} = 10, \ y_3 = \overline{\mathrm{PC}_3} = 10\sqrt{2}$에서 $\mathrm{C}_3(10, 10\sqrt{2})$이다 [3점].
(2) (10점): $f(x) = ax^2 + bx + c$에 $\mathrm{C}_1(0, 10)$을 대입하면 $f(0) = c = 10$이다 [3점]. 두 점 $\mathrm{X}(6, 14), \ \mathrm{Y}(10, 14)$를 대입하면 $36a + 6b + c = 14, \ 100a + 10b + c = 14$에서 $18a + 3b = 2, \ 50a + 5b = 2$이다 [3점]. 연립방정식을 풀면 $a = -\dfrac{1}{15}, \ b = \dfrac{16}{15}$ [4점]이므로 $a + b + c = -\dfrac{1}{15} + \dfrac{16}{15} + 10 = 11$이다.
(3) (5점): $f'(x) = 2ax + b$이므로 $\mathrm{C}_1(0, 10)$에서의 접선의 기울기는 $m = f'(0) = b = \dfrac{16}{15}$이고 [3점], $y$절편 $n = 10$이므로 접선의 방정식은 $y = \dfrac{16}{15}x + 10$이다 [2점].
(4) (5점): 구하는 넓이는 $S = \displaystyle\int_0^{10} (ax^2 + bx + c)\,dx$ [2점] $= \left[\dfrac{1}{3}ax^3 + \dfrac{1}{2}bx^2 + cx\right]_0^{10} = -\dfrac{1000}{45} + \dfrac{1600}{30} + 100 = \dfrac{1180}{9}$이다 [3점].
답: (1) $\mathrm{C}_1(0, 10), \ \mathrm{C}_2\big(5(3 - \sqrt{3}), 5(1 + \sqrt{3})\big), \ \mathrm{C}_3(10, 10\sqrt{2})$ (2) $11$ (3) $y = \dfrac{16}{15}x + 10$ (4) $\dfrac{1180}{9}$

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이차방정식 근의 공식을 쓸 때 판별식 부호와 실수해 조건을 반드시 검토하십시오.

정답:최종 정답 요약 (2-1) 접선 $x + 3y = 10$ | (2-2) 교점 $(-2, 4), \left(\dfrac{5}{3}, \dfrac{25}{9}\right)$ | (2-3) 넓이 $\dfrac{343}{54}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 50점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	제시문 핵심 정리 및 문제 조건의 수식 모델링	16점
2단계	단계별 대수·해석적 식 전개 및 논증 완결성	16점
3단계	최종 결론 및 수치 계산의 정확성	18점

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한국항공대 2022학년도 공학계열 문제 추가 (50점) 채점에서는 소문항 (1)의 중간 상수·도함수 결과가 소문항 (2), (3)의 전제가 되므로 각 단계의 수식 근거를 명시하여 부분점수를 확보하십시오.

🎯 [최종 정답]소문항별 단계별 정해 및 채점 루브릭 수치 참조

PART 2-1 · 10 FULL-LENGTH MOCK EXAMS

2027학년도 한국항공대학교 자연계열 수리논술
실전 모의고사 1회 ~ 10회 문제집

제1~5회 기출유사 표준 실전편과 제6~10회 킬러 TOP 5 심화편(총 40문항) 및 회차별 종합 분석 매트릭스 리포트로 실전 적응력을 극대화합니다.

📋 출제 타당성 검토 보고서 (2p): 전 문항 교과서 기반 교육과정 성취기준 및 Textbook DB 원천 검증

📝 실전 맞춤형 시험지 포맷: 한국항공대학교 실제 문항 수·배점·답안지 규격 100% 반영

📈 회차별 종합 분석 매트릭스 (10p): 매 회차 직후 문항별 난이도·배점·합격 전략 리포트 수록

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R1-Q1	미적분	[문제 1-1] 함수의 연속과 도함수의 부호 판정	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 11011 \| 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/중상
R1-Q2	미적분	[문제 1-2] 매개변수 미분법 및 곡선의 이동거리	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 11011 \| 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/중상
R1-Q3	대수·기하	[문제 2-1] 코사인법칙과 정삼각형 내분선 기하	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11012 \| 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-05]	25점/중상
R1-Q4	미적분	[문제 2-2] 입체도형의 부피와 정적분 극값	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11012 \| 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-05]	25점/상
R2-Q1	미적분	[문제 1-1] 역함수의 미분법과 로그함수의 도함수	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11021 \| 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]	25점/중상
R2-Q2	대수·미적분	[문제 1-2] 초월함수의 극값과 부분분수 급수	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11021 \| 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]	25점/중상
R2-Q3	대수·기하	[문제 2-1] 원에 내접하는 사각형과 코사인법칙	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11022 \| 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/중상
R2-Q4	미적분	[문제 2-2] 정적분 방정식 항등식과 둘러싸인 넓이	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11022 \| 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/상
R3-Q1	미적분	[문제 1-1] 이계도함수와 변곡점의 판정	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11031 \| 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/중상
R3-Q2	미적분	[문제 1-2] 정적분과 무한급수의 합 계산	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11031 \| 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/중상
R3-Q3	미적분	[문제 2-1] 삼차함수의 접선과 넓이 공식	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11032 \| 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]	25점/중상
R3-Q4	대수·미적분	[문제 2-2] 삼각함수 정적분의 제곱합 최솟값	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11032 \| 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]	25점/상
R4-Q1	미적분·기하	[문제 1-1] 음함수의 미분법과 타원의 접선	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11041 \| 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/중상
R4-Q2	미적분	[문제 1-2] 매개변수 곡선의 길이 산출	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11041 \| 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/중상
R4-Q3	대수·기하	[문제 2-1] 등비급수와 프랙탈 도형의 극한	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 11042 \| 12대수03-03, 12미적Ⅰ-02-08]	25점/중상
R4-Q4	미적분	[문제 2-2] 초월함수의 극값과 실근의 개수	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 11042 \| 12대수03-03, 12미적Ⅰ-02-08]	25점/상
R5-Q1	미적분	[문제 1-1] 역함수의 정적분과 기하학적 넓이	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11051 \| 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-01-02]	25점/중상
R5-Q2	미적분	[문제 1-2] 삼각치환을 이용한 정적분 계산	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11051 \| 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-01-02]	25점/중상
R5-Q3	대수·기하	[문제 2-1] 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 11052 \| 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]	25점/중상
R5-Q4	미적분	[문제 2-2] 초월함수 둘러싸인 넓이와 회전체 부피	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 11052 \| 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]	25점/상

✅ 검증 기준: 교과서 기반 수학과 교육과정 성취기준 일치성 · 대학 과정 배제 · Textbook DB V1.0 원천 대조 판정 결과: 전 문항 적합 (PASS)

회차·문항	출제 과목	핵심 출제 테마	교과서 DB 원천 출처 (CITE_06)	배점/난이도
R6-Q1	미적분	[문제 1-1] 삼차함수의 접선과 둘러싸인 넓이	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11061 \| 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/상
R6-Q2	미적분	[문제 1-2] 사이클로이드 곡선의 정적분 넓이	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11061 \| 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/최상
R6-Q3	대수·기하	[문제 2-1] 코사인법칙과 외접원·내접원 반지름	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11062 \| 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]	25점/상
R6-Q4	미적분	[문제 2-2] 로그함수 입체도형 단면 부피	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11062 \| 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]	25점/최상
R7-Q1	미적분	[문제 1-1] 롤의 정리와 평균값 정리의 응용	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11071 \| 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]	25점/상
R7-Q2	미적분	[문제 1-2] 역함수의 존재 조건과 정적분 대칭성	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11071 \| 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]	25점/최상
R7-Q3	대수	[문제 2-1] 부분분수 전개와 망원급수의 수렴	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11072 \| 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]	25점/상
R7-Q4	미적분	[문제 2-2] 부분적분법과 삼각함수 정적분 점화식	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11072 \| 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]	25점/최상
R8-Q1	기하·대수	[문제 1-1] 포물선의 초점·준선과 접선의 방정식	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 11081 \| 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/상
R8-Q2	미적분	[문제 1-2] 삼차함수의 극값과 실근의 개수 추론	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 11081 \| 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/최상
R8-Q3	미적분	[문제 2-1] 정적분 방정식과 이계도함수 유도	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 11082 \| 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]	25점/상
R8-Q4	미적분	[문제 2-2] 이차곡선과 직선의 넓이 및 극한	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 11082 \| 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]	25점/최상
R9-Q1	기하·대수	[문제 1-1] 타원의 정의와 초점 삼각형의 기하	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11091 \| 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/상
R9-Q2	기하·미적분	[문제 1-2] 타원의 접선의 방정식과 둘러싸인 넓이	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11091 \| 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/최상
R9-Q3	미적분	[문제 2-1] 사차함수의 대칭성과 극값 및 정적분	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11092 \| 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/상
R9-Q4	미적분	[문제 2-2] 정적분 함수의 극값과 절댓값 함수 최적화	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11092 \| 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-04]	25점/최상
R10-Q1	기하	[문제 1-1] 공간좌표에서 평면의 방정식과 수선의 발	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11101 \| 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]	25점/상
R10-Q2	기하	[문제 1-2] 구와 평면의 위치관계 및 교선 원의 넓이	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11101 \| 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]	25점/최상
R10-Q3	미적분	[문제 2-1] 속도·가속도와 이동거리 정적분	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11102 \| 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]	25점/상
R10-Q4	미적분	[문제 2-2] 두 동점 사이의 거리와 위치 변화량	[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11102 \| 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]	25점/최상

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분 — [문제 1-1] 함수의 연속과 도함수의 부호 판정 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 11011 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

가) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때, $(a, b)$의 모든 $x$에 대하여 $f'(x) \gt 0$이면 $f(x)$는 $[a, b]$에서 증가하고, $f'(x) \lt 0$이면 $f(x)$는 $[a, b]$에서 감소한다.

[문제 1-1] 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 $x \ne 2$일 때 $f(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 + 4}{x - 2}$를 만족시킨다. 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 상수 $a = f(2)$의 값을 구하시오. (8점)

(2) $g(x) = \dfrac{f(x)}{x^2+1}$일 때, $g'(0)$의 값을 구하시오. (8점)

(3) 함수 $h(x) = f(x)e^{-x}$가 증가하는 구간을 구하시오. (9점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분 — [문제 1-2] 매개변수 미분법 및 곡선의 이동거리 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 11011 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

나) 매개변수 $t$로 나타내어진 곡선 $x = f(t), y = g(t)$에서 $f'(t) \ne 0$일 때 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{g'(t)}{f'(t)}$이며, 시각 $t=a$에서 $t=b$까지 움직인 거리는 $s = \int_a^b \sqrt{(f'(t))^2 + (g'(t))^2}\,dt$이다.

[문제 1-2] 매개변수 $t$ ($0 \le t \le \pi$)로 나타내어진 곡선 $x = 2t - \sin 2t, y = 2 - \cos 2t$가 있다. 제시문 나)를 이용하여 다음을 구하시오.

(1) $t = \dfrac{\pi}{4}$에서의 접선의 기울기 $\dfrac{dy}{dx}$를 구하시오. (8점)

(2) 점의 속력이 최대가 되는 시각 $t$와 그 때의 최대 속력을 구하시오. (8점)

(3) $t = 0$부터 $t = \pi$까지 점이 실제로 움직인 거리 $s$를 구하시오. (9점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수·기하 — [문제 2-1] 코사인법칙과 정삼각형 내분선 기하 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11012 | 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

가) 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 세 변의 길이를 $a, b, c$라 할 때 코사인법칙 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$가 성립하며, 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$이 성립한다.

[그림] 한 변의 길이가 6인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$와 선분 $\mathrm{DE}$

[문제 2-1] 그림과 같이 한 변의 길이가 $6$인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 변 $\mathrm{BC}$를 $1:2$로 내분하는 점을 $\mathrm{D}$, 변 $\mathrm{AC}$ 위의 점 $\mathrm{E}$에 대하여 $\angle\mathrm{ADE} = 60^\circ$일 때, 제시문 가)를 이용하여 다음을 구하시오.

(1) 선분 $\mathrm{AD}$의 길이와 $\cos(\angle\mathrm{ADC})$의 값을 구하시오. (10점)

(2) 선분 $\mathrm{CE}$의 길이와 삼각형 $\mathrm{ADE}$의 외접원의 넓이를 구하시오. (15점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제1회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분 — [문제 2-2] 입체도형의 부피와 정적분 극값 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11012 | 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

나) 닫힌구간 $[a, b]$에서 $x$좌표가 $x$인 점을 지나고 $x$축에 수직인 평면으로 자른 입체도형의 단면의 넓이가 $S(x)$일 때, 이 입체도형의 부피 $V$는 $V = \int_a^b S(x)\,dx$이다.

[문제 2-2] 좌표평면에서 곡선 $y = \sqrt{x}e^{-x}$ ($x \ge 0$)과 $x$축 및 직선 $x = t$ ($t \gt 0$)로 둘러싸인 영역을 밑면으로 하고, $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형인 입체도형의 부피를 $V(t)$라 하자. 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 단면의 넓이 함수 $S(x)$를 구하고, $S(x)$가 최대가 되는 $x$의 값을 구하시오. (8점)

(2) 부피 $V(t)$를 $t$에 대한 식으로 나타내시오. (8점)

(3) 극한값 $\lim_{t \to \infty} V(t)$를 구하시오. (9점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제1회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제1회	문항 1	미적분	[문제 1-1] 함수의 연속과 도함수의 부호 판정	25점	중상
제1회	문항 2	미적분	[문제 1-2] 매개변수 미분법 및 곡선의 이동거리	25점	중상
제1회	문항 3	대수·기하	[문제 2-1] 코사인법칙과 정삼각형 내분선 기하	25점	중상
제1회	문항 4	미적분	[문제 2-2] 입체도형의 부피와 정적분 극값	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국항공대학교 수리논술 제1회 출제 원칙 및 합격 전략

제1회 실전 모의고사는 최근 5개년 기출 빈출 핵심 유형을 표준 배점으로 재구성한 실전 회차입니다. 제한 시간(90분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분 — [문제 1-1] 역함수의 미분법과 로그함수의 도함수 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11021 | 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]

[제시문]

가) 미분가능한 함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 존재하고 미분가능할 때, $(f^{-1})'(a) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(a))}$ (단, $f'(f^{-1}(a)) \ne 0$)이다.

[문제 1-1] 함수 $f(x) = x^3 + 3x + 1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $g(1)$의 값과 미분계수 $g'(1)$의 값을 구하시오. (12점)

(2) 함수 $h(x) = \ln(f(x))$에 대하여 $h'(0)$의 값을 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 대수·미적분 — [문제 1-2] 초월함수의 극값과 부분분수 급수 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11021 | 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]

[제시문]

나) 무한급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$의 합은 부분합의 수열의 극한값 $\lim_{n \to \infty} S_n$으로 정의된다.

[문제 1-2] 자연수 $n$에 대하여 $x \gt 0$에서 정의된 함수 $f_n(x) = x^n e^{-x}$가 있다. 제시문 나)를 이용하여 답하시오.

(1) $f_1(x) = xe^{-x}$의 극댓값과 그때의 $x$를 구하시오. (12점)

(2) 수열의 합 공식을 적용하여 급수 $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n(n+1)}$의 값을 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수·기하 — [문제 2-1] 원에 내접하는 사각형과 코사인법칙 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11022 | 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

가) 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 마주보는 두 내각의 합은 $\pi$이므로 $\cos(\angle C) = -\cos(\angle A),\ \sin(\angle C) = \sin(\angle A)$가 성립한다.

[문제 2-1] 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 3,\ \overline{\mathrm{BC}} = 4,\ \overline{\mathrm{CD}} = 5,\ \overline{\mathrm{DA}} = 2$일 때, 제시문 가)를 이용하여 다음을 구하시오.

(1) $\cos(\angle\mathrm{ABC})$의 값과 대각선 $\overline{\mathrm{AC}}$의 길이를 구하시오. (12점)

(2) 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S$와 외접원의 반지름 $R$을 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제2회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분 — [문제 2-2] 정적분 방정식 항등식과 둘러싸인 넓이 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11022 | 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

나) 연속함수 $f(t)$에 대하여 $\dfrac{d}{dx}\int_a^x (x-t)f(t)\,dt = \int_a^x f(t)\,dt$이며, 양변을 한 번 더 미분하면 $f(x)$가 된다.

[문제 2-2] 실수 전체에서 이계도함수가 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_0^x (x-t)f(t)\,dt = e^{2x} - ax^2 - bx - 1$을 만족시킬 때, 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오. (단, $a, b$는 상수)

(1) 상수 $a, b$의 값과 함수 $f(x)$를 구하시오. (12점)

(2) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 4x + 4$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제2회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제2회	문항 1	미적분	[문제 1-1] 역함수의 미분법과 로그함수의 도함수	25점	중상
제2회	문항 2	대수·미적분	[문제 1-2] 초월함수의 극값과 부분분수 급수	25점	중상
제2회	문항 3	대수·기하	[문제 2-1] 원에 내접하는 사각형과 코사인법칙	25점	중상
제2회	문항 4	미적분	[문제 2-2] 정적분 방정식 항등식과 둘러싸인 넓이	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국항공대학교 수리논술 제2회 출제 원칙 및 합격 전략

제2회 실전 모의고사는 최근 5개년 기출 빈출 핵심 유형을 표준 배점으로 재구성한 실전 회차입니다. 제한 시간(90분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분 — [문제 1-1] 이계도함수와 변곡점의 판정 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11031 | 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

가) 이계도함수를 갖는 함수 $f(x)$에 대하여 $f''(a) = 0$이고 $x = a$의 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 바뀌면 점 $(a, f(a))$는 곡선 $y = f(x)$의 변곡점이다.

[문제 1-1] 함수 $f(x) = (x^2 - 2x)e^{-x}$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $f'(x)$와 $f''(x)$를 구하고 곡선의 변곡점의 좌표를 모두 구하시오. (12점)

(2) $x \to \infty$ 및 $x \to -\infty$에서의 극한과 극값을 판정하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분 — [문제 1-2] 정적분과 무한급수의 합 계산 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11031 | 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

나) 연속함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right)\dfrac{1}{n} = \int_0^1 f(x)\,dx$이다.

[문제 1-2] 제시문 나)의 정적분과 급수의 합 변환 관계를 이용하여 다음 극한값을 구하시오.

(1) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{k^2}{n^3}$의 값을 정적분으로 나타내고 계산하시오. (12점)

(2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n}\sqrt{1 + \dfrac{2k}{n}}$의 값을 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분 — [문제 2-1] 삼차함수의 접선과 넓이 공식 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11032 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

가) 삼차함수 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$의 그래프 위의 점 $(\alpha, f(\alpha))$에서의 접선이 곡선과 다시 만나는 점의 $x$좌표를 $\beta$라 할 때, 둘러싸인 넓이는 $\dfrac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4$이다.

[문제 2-1] 곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ 위의 점 $\mathrm{A}(0, 0)$에서의 접선 $l$이 곡선과 다시 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 할 때, 제시문 가)를 이용하여 다음을 구하시오.

(1) 점 $\mathrm{B}$의 좌표와 접선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1$을 구하시오. (12점)

(2) 점 $\mathrm{B}$에서의 접선 $m$과 곡선으로 둘러싸인 넓이 $S_2$에 대하여 $\dfrac{S_2}{S_1}$의 값을 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제3회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 대수·미적분 — [문제 2-2] 삼각함수 정적분의 제곱합 최솟값 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11032 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

나) 실수 $t$에 대하여 이차함수 $Q(t) = At^2 + Bt + C$ ($A \gt 0$)는 $t = -\dfrac{B}{2A}$에서 최솟값 $C - \dfrac{B^2}{4A}$를 갖는다.

[문제 2-2] 실수 $a, b$에 대하여 정적분 $J(a, b) = \int_0^\pi (\sin x - a\cos x - b)^2\,dx$가 최소가 되도록 하는 상수 $a, b$의 값과 그때의 최솟값을 제시문 나)를 이용하여 구하시오.

(1) $\int_0^\pi \sin^2 x\,dx,\ \int_0^\pi \cos^2 x\,dx,\ \int_0^\pi \sin x\cos x\,dx$의 값을 각각 구하시오. (10점)

(2) $J(a, b)$를 전개하고, $J(a, b)$의 최솟값과 그때의 $a, b$를 구하시오. (15점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제3회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제3회	문항 1	미적분	[문제 1-1] 이계도함수와 변곡점의 판정	25점	중상
제3회	문항 2	미적분	[문제 1-2] 정적분과 무한급수의 합 계산	25점	중상
제3회	문항 3	미적분	[문제 2-1] 삼차함수의 접선과 넓이 공식	25점	중상
제3회	문항 4	대수·미적분	[문제 2-2] 삼각함수 정적분의 제곱합 최솟값	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국항공대학교 수리논술 제3회 출제 원칙 및 합격 전략

제3회 실전 모의고사는 최근 5개년 기출 빈출 핵심 유형을 표준 배점으로 재구성한 실전 회차입니다. 제한 시간(90분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분·기하 — [문제 1-1] 음함수의 미분법과 타원의 접선 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11041 | 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

가) 음함수 $F(x, y) = 0$에서 $y$를 $x$의 함수로 보고 각 항을 $x$에 대하여 미분하여 접선의 기울기 $\dfrac{dy}{dx}$를 구한다.

[문제 1-1] 타원 $x^2 + 2y^2 = 4$ 위의 제1사분면 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음을 구하시오.

(1) 음함수 미분법으로 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 기울기를 $x_1, y_1$으로 나타내시오. (12점)

(2) 점 $\mathrm{P}(\sqrt{2}, 1)$에서의 접선과 두 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분 — [문제 1-2] 매개변수 곡선의 길이 산출 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11041 | 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

나) 매개변수 $t$ ($a \le t \le b$)로 나타내어진 곡선의 길이는 $L = \int_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\,dt$이다.

[문제 1-2] 매개변수 $t$ ($0 \le t \le \dfrac{\pi}{2}$)로 나타내어진 곡선 $x = \cos^3 t, y = \sin^3 t$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 답하시오.

(1) $\dfrac{dx}{dt}$와 $\dfrac{dy}{dt}$를 구하고, $\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2$을 간단히 하시오. (12점)

(2) $t = 0$에서 $t = \dfrac{\pi}{2}$까지 이 곡선의 길이를 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수·기하 — [문제 2-1] 등비급수와 프랙탈 도형의 극한 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 11042 | 12대수03-03, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문]

가) 첫째항이 $a$이고 공비가 $r$ ($|r| \lt 1$)인 등비급수의 합은 $\dfrac{a}{1 - r}$이다.

[문제 2-1] 반지름의 길이가 $2$이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$에 내접하는 원 $C_1$을 그리고, 부채꼴의 두 반지름 및 원 $C_1$에 동시에 접하는 원 $C_2$를 그리는 과정을 반복할 때 원 $C_n$의 넓이를 $S_n$이라 하자.

(1) 첫째 원 $C_1$의 반지름 $r_1$과 공비 $\dfrac{r_{n+1}}{r_n}$를 구하시오. (12점)

(2) 무한급수 $\sum_{n=1}^\infty S_n$의 값을 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제4회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분 — [문제 2-2] 초월함수의 극값과 실근의 개수 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 11042 | 12대수03-03, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문]

나) 함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = k$의 교점의 개수는 방정식 $f(x) = k$의 서로 다른 실근의 개수와 같다.

[문제 2-2] 실수 전체에서 정의된 함수 $f(x) = (x^2 - 3)e^x$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 구하고, $\lim_{x \to -\infty} f(x)$를 구하시오. (12점)

(2) 방정식 $(x^2 - 3)e^x = k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제4회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제4회	문항 1	미적분·기하	[문제 1-1] 음함수의 미분법과 타원의 접선	25점	중상
제4회	문항 2	미적분	[문제 1-2] 매개변수 곡선의 길이 산출	25점	중상
제4회	문항 3	대수·기하	[문제 2-1] 등비급수와 프랙탈 도형의 극한	25점	중상
제4회	문항 4	미적분	[문제 2-2] 초월함수의 극값과 실근의 개수	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국항공대학교 수리논술 제4회 출제 원칙 및 합격 전략

제4회 실전 모의고사는 최근 5개년 기출 빈출 핵심 유형을 표준 배점으로 재구성한 실전 회차입니다. 제한 시간(90분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분 — [문제 1-1] 역함수의 정적분과 기하학적 넓이 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11051 | 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문]

가) 연속함수 $f(x)$가 $[a, b]$에서 순증가하고 역함수 $g(x)$를 가질 때, $\int_a^b f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} g(y)\,dy = b f(b) - a f(a)$이다.

[문제 1-1] 함수 $f(x) = x^3 + x$는 실수 전체에서 순증가한다. 역함수를 $g(x)$라 할 때 제시문 가)를 이용하여 답하시오.

(1) $f(0)$과 $f(2)$의 값을 구하시오. (8점)

(2) 정적분 $\int_0^2 (x^3 + x)\,dx$의 값을 계산하시오. (8점)

(3) 정적분 $\int_0^{10} g(x)\,dx$의 값을 구하시오. (9점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분 — [문제 1-2] 삼각치환을 이용한 정적분 계산 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11051 | 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문]

나) 삼각치환법: $\sqrt{a^2 - x^2}$을 포함하는 정적분은 $x = a\sin\theta$로 치환하여 계산한다.

[문제 1-2] 양수 $a$에 대하여 정적분 $I = \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 답하시오.

(1) 삼각치환 $x = a\sin\theta$를 이용하여 정적분을 $\theta$에 대한 식으로 변환하시오. (12점)

(2) 반각공식을 적용하여 $I$의 값을 $a$로 나타내시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수·기하 — [문제 2-1] 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값 배점 25점 · 난이도 중상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 11052 | 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문]

가) 직선 $l$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}}$의 최솟값은 대칭이동한 점 $\mathrm{A}'$과 $\mathrm{B}$ 사이의 선분의 길이와 같다.

[문제 2-1] 두 점 $\mathrm{A}(0, 2),\ \mathrm{B}(4, 4)$와 직선 $y = x - 2$ 위의 동점 $\mathrm{P}$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음을 구하시오.

(1) 점 $\mathrm{A}$를 직선 $y = x - 2$에 대하여 대칭이동한 점 $\mathrm{A}'$의 좌표를 구하시오. (12점)

(2) $\overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}}$가 최소가 될 때의 점 $\mathrm{P}$의 좌표와 최솟값을 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제5회 기출유사 표준 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분 — [문제 2-2] 초월함수 둘러싸인 넓이와 회전체 부피 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 11052 | 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문]

나) 곡선과 축으로 둘러싸인 도형의 회전체 부피는 $V = \pi \int_a^b (y(x))^2\,dx$이다.

[문제 2-2] 양수 $a$에 대하여 곡선 $y = \dfrac{2x}{x^2 + a^2}$과 $x$축 및 직선 $x = a$로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S(a)$, 회전체 부피를 $V(a)$라 하자.

(1) 넓이 $S(a)$가 $a$의 값에 관계없이 일정함을 보이시오. (12점)

(2) 삼각치환 $x = a\tan\theta$를 이용하여 $V(a)$를 $a$에 대한 식으로 나타내시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제5회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 기출유사 표준 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제5회	문항 1	미적분	[문제 1-1] 역함수의 정적분과 기하학적 넓이	25점	중상
제5회	문항 2	미적분	[문제 1-2] 삼각치환을 이용한 정적분 계산	25점	중상
제5회	문항 3	대수·기하	[문제 2-1] 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값	25점	중상
제5회	문항 4	미적분	[문제 2-2] 초월함수 둘러싸인 넓이와 회전체 부피	25점	상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국항공대학교 수리논술 제5회 출제 원칙 및 합격 전략

제5회 실전 모의고사는 최근 5개년 기출 빈출 핵심 유형을 표준 배점으로 재구성한 실전 회차입니다. 제한 시간(90분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분 — [문제 1-1] 삼차함수의 접선과 둘러싸인 넓이 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11061 | 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

가) 다항함수 $f(x)$가 $x = \alpha$에서 극값을 가지면 $f'(\alpha) = 0$이고, 곡선 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선은 $y - f(t) = f'(t)(x - t)$이다.

[문제 1-1] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x + 2$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 극댓값과 극솟값을 구하고, 점 $(0, 2)$에서의 접선의 방정식을 구하시오. (12점)

(2) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 4$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분 — [문제 1-2] 사이클로이드 곡선의 정적분 넓이 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11061 | 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

나) 매개변수 곡선 $x = x(t), y = y(t)$에서 둘러싸인 영역의 넓이는 $S = \int_a^b y(t)x'(t)\,dt$이다.

[문제 1-2] 매개변수 $t$ ($0 \le t \le 2\pi$)로 나타내어진 곡선 $x = t - \sin t, y = 1 - \cos t$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 답하시오.

(1) $\dfrac{dx}{dt}$를 구하고, $y(t)x'(t)$를 전개하시오. (12점)

(2) 이 곡선과 $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이 $S = \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^2\,dt$를 계산하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수·기하 — [문제 2-1] 코사인법칙과 외접원·내접원 반지름 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11062 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

가) 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$와 사인법칙 $\dfrac{c}{\sin C} = 2R$이 성립한다.

[문제 2-1] 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 7, \overline{\mathrm{BC}} = 8, \overline{\mathrm{CA}} = 5$일 때, 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $\cos B$의 값과 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 구하시오. (12점)

(2) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름 $R$와 내접원의 반지름 $r$를 각각 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제6회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분 — [문제 2-2] 로그함수 입체도형 단면 부피 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11062 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

나) 닫힌구간 $[a, b]$에서 단면의 넓이가 $S(x)$인 입체도형의 부피는 $V = \int_a^b S(x)\,dx$이다.

[문제 2-2] 곡선 $y = \sqrt{x + 1}\ln(x + 1)$ ($0 \le x \le e - 1$)과 $x$축 및 직선 $x = e - 1$로 둘러싸인 영역을 밑면으로 하고, $x$축에 수직인 단면이 정사각형인 입체도형에 대하여 제시문 나)를 이용하여 답하시오.

(1) 단면의 넓이 $S(x)$를 구하고, 치환적분 $u = \ln(x + 1)$을 이용하여 부피 적분식을 $u$에 대한 정적분으로 변환하시오. (12점)

(2) 부분적분법을 이용하여 입체도형의 부피 $V$를 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제6회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제6회	문항 1	미적분	[문제 1-1] 삼차함수의 접선과 둘러싸인 넓이	25점	상
제6회	문항 2	미적분	[문제 1-2] 사이클로이드 곡선의 정적분 넓이	25점	최상
제6회	문항 3	대수·기하	[문제 2-1] 코사인법칙과 외접원·내접원 반지름	25점	상
제6회	문항 4	미적분	[문제 2-2] 로그함수 입체도형 단면 부피	25점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국항공대학교 수리논술 제6회 출제 원칙 및 합격 전략

제6회 실전 모의고사는 역대 킬러 TOP 5 고난도 변별 테마를 1:1 심화 매칭한 파이널 회차입니다. 제한 시간(90분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 미적분 — [문제 1-1] 롤의 정리와 평균값 정리의 응용 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11071 | 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]

[제시문]

가) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때, 롤의 정리 및 평균값 정리가 성립한다.

[문제 1-1] 함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 답하시오.

(1) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 롤의 정리를 만족시키는 실수 $c$의 값을 구하시오. (12점)

(2) 닫힌구간 $[1, 4]$에서 평균값 정리를 만족시키는 실수 $c$의 값을 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분 — [문제 1-2] 역함수의 존재 조건과 정적분 대칭성 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11071 | 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]

[제시문]

나) 미분가능하고 일대일대응인 함수 $f(x)$에 대하여 역함수 $g(x)$의 정적분은 대칭성을 이용하여 계산한다.

[문제 1-2] 함수 $f(x) = x + \sin x$ ($0 \le x \le \pi$)의 역함수를 $g(x)$라 하자. 제시문 나)를 이용하여 답하시오.

(1) $f'(x) \ge 0$임을 보이고 $f(x)$가 일대일대응임을 서술하시오. (10점)

(2) 정적분 $\int_0^{\pi} g(y)\,dy$의 값을 구하시오. (15점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 대수 — [문제 2-1] 부분분수 전개와 망원급수의 수렴 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11072 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

가) 부분분수 항등식 $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1}{2}\left\{\dfrac{1}{k(k+1)} - \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}$를 이용하여 망원급수의 합을 구할 수 있다.

[문제 2-1] 자연수 $n$에 대하여 수열 $a_n = \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, 제시문 가)를 이용하여 답하시오.

(1) $S_n$을 $n$에 대한 유리식으로 나타내시오. (12점)

(2) 무한급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$의 합을 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제7회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분 — [문제 2-2] 부분적분법과 삼각함수 정적분 점화식 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11072 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

나) 음이 아닌 정수 $n$에 대하여 $I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx$는 부분적분법에 의해 $I_n = \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$ ($n \ge 2$)를 만족시킨다.

[문제 2-2] 제시문 나)의 정적분 수열 $I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $I_0, I_1$의 값을 구하고 부분적분법으로 점화식이 성립함을 증명하시오. (12점)

(2) $I_4$와 $I_5$의 값을 각각 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제7회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제7회	문항 1	미적분	[문제 1-1] 롤의 정리와 평균값 정리의 응용	25점	상
제7회	문항 2	미적분	[문제 1-2] 역함수의 존재 조건과 정적분 대칭성	25점	최상
제7회	문항 3	대수	[문제 2-1] 부분분수 전개와 망원급수의 수렴	25점	상
제7회	문항 4	미적분	[문제 2-2] 부분적분법과 삼각함수 정적분 점화식	25점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국항공대학교 수리논술 제7회 출제 원칙 및 합격 전략

제7회 실전 모의고사는 역대 킬러 TOP 5 고난도 변별 테마를 1:1 심화 매칭한 파이널 회차입니다. 제한 시간(90분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 기하·대수 — [문제 1-1] 포물선의 초점·준선과 접선의 방정식 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 11081 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

가) 포물선 $y^2 = 4px$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서 초점까지의 거리는 $x_1 + p$이고, 접선의 방정식은 $y_1 y = 2p(x + x_1)$이다.

[문제 1-1] 포물선 $y^2 = 8x$ 위의 점 $\mathrm{P}(2, 4)$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 $\mathrm{P}$에서 초점 $\mathrm{F}$까지의 거리와 접선의 방정식을 구하시오. (12점)

(2) 이 접선과 포물선의 준선 및 $x$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 미적분 — [문제 1-2] 삼차함수의 극값과 실근의 개수 추론 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 11081 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

나) 다항함수의 도함수의 부호 변화와 이계도함수를 분석하여 극값을 판정한다.

[문제 1-2] 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 $f(0) = 0, f'(1) = 0, f'(3) = 0$을 만족시킨다.

(1) 함수 $f(x)$의 식을 구하고 극댓값과 극솟값을 구하시오. (12점)

(2) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나는 정수 $k$의 개수를 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분 — [문제 2-1] 정적분 방정식과 이계도함수 유도 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 11082 | 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문]

가) 미분가능한 함수 $f(x)$가 $\int_a^x (x - t)f(t)\,dt = g(x)$를 만족시킬 때, 두 번 미분하면 $f(x) = g''(x)$이다.

[문제 2-1] 연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_0^x (x - t)f(t)\,dt = x^4 - 2x^3 + ax^2$을 만족시킬 때, 제시문 가)를 이용하여 답하시오.

(1) 양변을 $x$에 대하여 한 번 미분한 도함수 식을 구하고 상수 $a$의 값을 구하시오. (12점)

(2) 함수 $f(x)$를 구하고 $f(2)$의 값을 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제8회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분 — [문제 2-2] 이차곡선과 직선의 넓이 및 극한 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 11082 | 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문]

나) 포물선 $y = ax^2 + bx + c$와 직선 $y = mx + n$의 교점이 $\alpha, \beta$일 때, 넓이는 $S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$이다.

[문제 2-2] 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y = x^2$과 직선 $y = \dfrac{1}{n}x + \dfrac{2}{n^2}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_n$이라 할 때, 제시문 나)를 이용하여 답하시오.

(1) 곡선과 직선의 두 교점의 $x$좌표를 $n$으로 나타내고, $S_n$을 $n$에 대한 식으로 구하시오. (12점)

(2) 무한급수 $\sum_{n=1}^\infty n(n+1)S_n$의 수렴 여부를 판정하고, $\lim_{n \to \infty} n^3 S_n$의 값을 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제8회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제8회	문항 1	기하·대수	[문제 1-1] 포물선의 초점·준선과 접선의 방정식	25점	상
제8회	문항 2	미적분	[문제 1-2] 삼차함수의 극값과 실근의 개수 추론	25점	최상
제8회	문항 3	미적분	[문제 2-1] 정적분 방정식과 이계도함수 유도	25점	상
제8회	문항 4	미적분	[문제 2-2] 이차곡선과 직선의 넓이 및 극한	25점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국항공대학교 수리논술 제8회 출제 원칙 및 합격 전략

제8회 실전 모의고사는 역대 킬러 TOP 5 고난도 변별 테마를 1:1 심화 매칭한 파이널 회차입니다. 제한 시간(90분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 기하·대수 — [문제 1-1] 타원의 정의와 초점 삼각형의 기하 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11091 | 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

가) 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}'(-c, 0)$으로부터의 거리의 합이 $2a$ ($a \gt c \gt 0$)인 타원의 방정식은 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($b^2 = a^2 - c^2$)이다.

[문제 1-1] 타원 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$의 두 초점을 $\mathrm{F}, \mathrm{F}'$이라 하자. 제시문 가)를 이용하여 답하시오.

(1) 두 초점 $\mathrm{F}, \mathrm{F}'$의 좌표와 장축의 길이를 구하시오. (12점)

(2) 타원 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{PF}\mathrm{F}'$의 둘레의 길이를 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 기하·미적분 — [문제 1-2] 타원의 접선의 방정식과 둘러싸인 넓이 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11091 | 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

나) 타원 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} + \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

[문제 1-2] 위 타원 위의 제1사분면에 있는 점 $\mathrm{P}\left(3, \dfrac{16}{5}\right)$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 다음을 구하시오.

(1) 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 방정식을 구하시오. (12점)

(2) 이 접선의 $x$절편과 $y$절편을 구하고, 두 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분 — [문제 2-1] 사차함수의 대칭성과 극값 및 정적분 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11092 | 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

가) 사차함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 세 실근 $\alpha, \beta, \gamma$ ($\alpha \lt \beta \lt \gamma$)를 가지면 $f(x)$는 $x = \alpha, \gamma$에서 극소이고 $x = \beta$에서 극대이다.

[문제 2-1] 사차함수 $f(x) = x^4 - 8x^2 + 16$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하시오. (12점)

(2) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 16$으로 둘러싸인 두 영역의 넓이의 합을 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제9회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분 — [문제 2-2] 정적분 함수의 극값과 절댓값 함수 최적화 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11092 | 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

나) 미분가능한 함수 $g(x)$에 대하여 $G(x) = \int_a^x g(t)\,dt$라 하면 $G'(x) = g(x)$이다.

[문제 2-2] 이차함수 $g(t) = 3t^2 - 12t + 9$에 대하여 정적분으로 정의된 함수 $G(x) = \int_0^x g(t)\,dt$가 있다. 제시문 나)를 이용하여 답하시오.

(1) 함수 $G(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오. (12점)

(2) 닫힌구간 $[0, 4]$에서 함수 $|G(x) - 2|$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제9회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제9회	문항 1	기하·대수	[문제 1-1] 타원의 정의와 초점 삼각형의 기하	25점	상
제9회	문항 2	기하·미적분	[문제 1-2] 타원의 접선의 방정식과 둘러싸인 넓이	25점	최상
제9회	문항 3	미적분	[문제 2-1] 사차함수의 대칭성과 극값 및 정적분	25점	상
제9회	문항 4	미적분	[문제 2-2] 정적분 함수의 극값과 절댓값 함수 최적화	25점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국항공대학교 수리논술 제9회 출제 원칙 및 합격 전략

제9회 실전 모의고사는 역대 킬러 TOP 5 고난도 변별 테마를 1:1 심화 매칭한 파이널 회차입니다. 제한 시간(90분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 1/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 1】 기하 — [문제 1-1] 공간좌표에서 평면의 방정식과 수선의 발 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11101 | 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]

[제시문]

가) 점 $\mathrm{A}(x_1, y_1, z_1)$을 지나고 법선벡터가 $\vec{n} = (a, b, c)$인 평면의 방정식은 $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$이다.

[문제 1-1] 공간좌표에서 점 $\mathrm{A}(1, 2, -1)$을 지나고 벡터 $\vec{n} = (2, -1, 2)$에 수직인 평면을 $\alpha$라 하자. 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 평면 $\alpha$의 방정식을 구하시오. (12점)

(2) 원점 $\mathrm{O}(0, 0, 0)$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발 $\mathrm{H}$의 좌표를 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 1 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 2/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 2】 기하 — [문제 1-2] 구와 평면의 위치관계 및 교선 원의 넓이 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11101 | 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]

[제시문]

나) 점 $\mathrm{P}(x_0, y_0, z_0)$과 평면 $ax + by + cz + d = 0$ 사이의 거리는 $\dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$이다.

[문제 1-2] 공간에서 구 $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z - 3 = 0$과 평면 $\alpha : 2x - y + 2z - 1 = 0$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 답하시오.

(1) 구의 중심 $\mathrm{C}$와 반지름 $R$를 구하고, 점 $\mathrm{C}$와 평면 $\alpha$ 사이의 거리 $d$를 구하시오. (12점)

(2) 구와 평면 $\alpha$가 만나서 생기는 원의 넓이를 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 2 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 3/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 3】 미적분 — [문제 2-1] 속도·가속도와 이동거리 정적분 배점 25점 · 난이도 상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11102 | 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문]

가) 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t)$일 때, 위치의 변화량은 $\int_a^b v(t)\,dt$이고 움직인 거리는 $\int_a^b |v(t)|\,dt$이다.

[문제 2-1] 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 각각 $v_1(t) = 3t^2 - 6t,\ v_2(t) = 6t - 9$일 때 답하시오.

(1) 출발 후 점 $\mathrm{P}$가 운동 방향을 바꾸는 시각에서 점 $\mathrm{P}$의 가속도와 위치를 구하시오. (12점)

(2) 시각 $t = 0$에서 $t = 3$까지 점 $\mathrm{P}$가 실제로 움직인 거리를 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 3 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

2027학년도 한국항공대학교 수리논술 실전 모의고사 제10회 킬러 TOP 5 심화 실전 · 문항 4/4

⏱️ 시험 시간: 90분 (회차 총점 100점) 수험번호: ________________ | 성명: __________

【문제 4】 미적분 — [문제 2-2] 두 동점 사이의 거리와 위치 변화량 배점 25점 · 난이도 최상

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11102 | 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문]

나) 시각 $t$에서 두 동점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 위치가 각각 $x_1(t), x_2(t)$일 때, 두 점이 만나는 시각은 $x_1(t) = x_2(t)$의 해이다.

[문제 2-2] 위와 동일한 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 출발 후 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 다시 만나는 시각 $t$ ($t \gt 0$)를 구하시오. (12점)

(2) 출발 후 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 다시 만날 때까지 두 점 사이의 거리 $|x_1(t) - x_2(t)|$의 최댓값을 구하시오. (13점)

✍️ [실전 답안 작성란 — 문제 4 (18줄 기준 · 교과서 정의 선언 후 논리적 전개)]

📊 분석 대상: 제10회 전 문항 (4문항) 🎯 설계 기준: 교과서 기반 Textbook DB & 킬러 TOP 5 심화 실전 ⏱️ 실전 제한 시간: 90분

회차	문항 번호	출제 과목군	핵심 출제 테마 및 논증 포인트	배점	난이도
제10회	문항 1	기하	[문제 1-1] 공간좌표에서 평면의 방정식과 수선의 발	25점	상
제10회	문항 2	기하	[문제 1-2] 구와 평면의 위치관계 및 교선 원의 넓이	25점	최상
제10회	문항 3	미적분	[문제 2-1] 속도·가속도와 이동거리 정적분	25점	상
제10회	문항 4	미적분	[문제 2-2] 두 동점 사이의 거리와 위치 변화량	25점	최상

💡 JEV-REA-ARGON 엔진 기반 한국항공대학교 수리논술 제10회 출제 원칙 및 합격 전략

제10회 실전 모의고사는 역대 킬러 TOP 5 고난도 변별 테마를 1:1 심화 매칭한 파이널 회차입니다. 제한 시간(90분) 내에 전 문항 1단계 교과서 공식 선언을 우선 확보한 뒤 고배점 소문항 연산을 완결하십시오.

PART 2-2 · MODEL SOLUTIONS & SCORING RUBRICS

실전 모의고사 1회 ~ 10회
문제 · 모범답안 · 채점 루브릭 합본 해설집

시험지 없이 해설집만으로도 단독 복습이 가능하도록 40문항 전체 원문 요약과 단계별 모범답안·루브릭·논술 클리닉을 1문항 1페이지로 수록했습니다.

🔍 상단 문제 원문 상시 노출: 풀이 접힘 상태에서도 백지 없이 단독 자습 및 재풀이 가능

⚡ 단계별 채점 기준표 완비: 소문항·단계별 부분점수 배점표를 통해 정밀한 자가 채점 지원

👨‍🏫 족집게 논술 클리닉: 수험생 빈출 감점 실수와 동치 변형 급소를 문항마다 명쾌히 코칭

【문제 1】 원문 요약 — [문제 1-1] 함수의 연속과 도함수의 부호 판정 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 11011 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

(1) 상수 $a = f(2)$의 값을 구하시오. (8점)

(2) $g(x) = \dfrac{f(x)}{x^2+1}$일 때, $g'(0)$의 값을 구하시오. (8점)

(3) 함수 $h(x) = f(x)e^{-x}$가 증가하는 구간을 구하시오. (9점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 1 · 총 25점

[정답 1-1] (총 15점) — (1) a의 값 (5점) / (2) g'(0) (5점) / (3) h(x)의 증가구간 (5점)

(1) 상수 $a$의 값 (5점): $x \ne 2$일 때 분자 $x^3 - 3x^2 + 4$를 인수분해하면 $(x+1)(x-2)^2$이다 [2점].
따라서 $x \ne 2$에서 $f(x) = \dfrac{(x+1)(x-2)^2}{x-2} = (x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$이다 [1점].
$f(x)$가 $x=2$에서 연속이므로 $a = \lim_{x \to 2} f(x) = (2+1)(2-2) = 0$이다 [2점].
(2) $g'(0)$의 값 (5점): 모든 실수 $x$에서 $f(x) = x^2 - x - 2$이므로 $g(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 + 1}$이다 [1점].
몫의 미분법에 의해 $g'(x) = \dfrac{(2x-1)(x^2+1) - (x^2-x-2)(2x)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{x^2 + 6x - 1}{(x^2+1)^2}$ [2점]. 따라서 $g'(0) = -1$이다 [2점].
(3) $h(x)$의 증가 구간 (5점): $h(x) = (x^2 - x - 2)e^{-x}$를 미분하면 $h'(x) = (2x - 1 - x^2 + x + 2)e^{-x} = -(x^2 - 3x - 1)e^{-x}$이다 [2점].
$e^{-x} \gt 0$이므로 $h'(x) \ge 0 \iff x^2 - 3x - 1 \le 0$에서 증가 구간은 $\left[\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}, \ \dfrac{3+\sqrt{13}}{2}\right]$이다 [3점].
답: (1) $a = 0$ (2) $g'(0) = -1$ (3) $\left[\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}, \ \dfrac{3+\sqrt{13}}{2}\right]$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	분자 $x^3-3x^2+4$를 인수분해하여 $(x+1)(x-2)^2$으로 정리할 수 있다.	5점
2단계	연속 조건을 이용하여 상수 $a = 0$을 구할 수 있다.	4점
3단계	몫의 미분법으로 g'(x)를 구하고 $g'(0) = -1$을 도출할 수 있다.	8점
4단계	곱의 미분법으로 h'(x)를 구하고 부호 판별을 통해 증가 구간을 구할 수 있다.	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[문제 1-1 감점 방지 클리닉] 함수의 연속과 도함수의 부호 판정 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 2】 원문 요약 — [문제 1-2] 매개변수 미분법 및 곡선의 이동거리 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 11011 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

[문제 1-2] 매개변수 $t$ ($0 \le t \le \pi$)로 나타내어진 곡선 $x = 2t - \sin 2t, y = 2 - \cos 2t$가 있다. 제시문 나)를 이용하여 다음을 구하시오.

(1) $t = \dfrac{\pi}{4}$에서의 접선의 기울기 $\dfrac{dy}{dx}$를 구하시오. (8점)

(2) 점의 속력이 최대가 되는 시각 $t$와 그 때의 최대 속력을 구하시오. (8점)

(3) $t = 0$부터 $t = \pi$까지 점이 실제로 움직인 거리 $s$를 구하시오. (9점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 2 · 총 25점

[정답 1-2] (총 15점) — (1) 접선의 기울기 (5점) / (2) 최대 속력 (5점) / (3) 이동 거리 (5점)

(1) $\dfrac{dy}{dx}$ 계산 (5점): $\dfrac{dx}{dt} = 2 - 2\cos 2t$, $\dfrac{dy}{dt} = 2\sin 2t$이다 [2점].
$t = \dfrac{\pi}{4}$일 때 $\dfrac{dx}{dt}\Big|_{t=\frac{\pi}{4}} = 2 - 2\cos\dfrac{\pi}{2} = 2$, $\dfrac{dy}{dt}\Big|_{t=\frac{\pi}{4}} = 2\sin\dfrac{\pi}{2} = 2$이므로 $\dfrac{dy}{dx}\Big|_{t=\frac{\pi}{4}} = \dfrac{2}{2} = 1$이다 [3점].
(2) 최대 속력과 시각 (5점): 속력 $v(t) = \sqrt{(2-2\cos 2t)^2 + (2\sin 2t)^2} = \sqrt{8(1-\cos 2t)} = \sqrt{16\sin^2 t} = 4|\sin t|$ [3점].
$0 \le t \le \pi$에서 $\sin t \ge 0$이므로 $v(t) = 4\sin t$이고, $t = \dfrac{\pi}{2}$일 때 최대 속력 $4$를 갖는다 [2점].
(3) 이동 거리 $s$ (5점): $s = \int_0^\pi 4\sin t\,dt = \Big[-4\cos t\Big]_0^\pi = 4 - (-4) = 8$이다 [5점].
답: (1) $1$ (2) $t = \dfrac{\pi}{2}$, 최대 속력 $4$ (3) $s = 8$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	매개변수 미분법으로 $\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}$를 구하고 $t = \pi/4$에서 기울기 1을 도출할 수 있다.	9점
2단계	배각/반각 공식을 적용하여 속력 $v(t) = 4\sin t$를 유도하고 최대 속력 4를 구할 수 있다.	8점
3단계	이동 거리 정적분 식을 세우고 계산하여 $s = 8$을 구할 수 있다.	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[문제 1-2 감점 방지 클리닉] 매개변수 미분법 및 곡선의 이동거리 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 3】 원문 요약 — [문제 2-1] 코사인법칙과 정삼각형 내분선 기하 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11012 | 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

[그림] 한 변의 길이가 6인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$와 선분 $\mathrm{DE}$

(1) 선분 $\mathrm{AD}$의 길이와 $\cos(\angle\mathrm{ADC})$의 값을 구하시오. (10점)

(2) 선분 $\mathrm{CE}$의 길이와 삼각형 $\mathrm{ADE}$의 외접원의 넓이를 구하시오. (15점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 3 · 총 25점

[정답 2-1] (총 20점) — (1) $AD$와 $\cos(\angle\mathrm{ADC})$ (8점) / (2) CE와 외접원 넓이 (12점)

[그림] 한 변의 길이가 6인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$와 선분 $\mathrm{DE}$

(1) $\overline{\mathrm{AD}}$의 길이 및 $\cos(\angle\mathrm{ADC})$ (8점): $\overline{\mathrm{BC}} = 6$이므로 $\overline{\mathrm{BD}} = 2,\ \overline{\mathrm{DC}} = 4$이다 [2점].
$\triangle\mathrm{ABD}$에서 $\angle B = 60^\circ$이므로 코사인법칙에 의해 $\overline{\mathrm{AD}}^2 = 6^2 + 2^2 - 2\cdot 6\cdot 2\cos 60^\circ = 36 + 4 - 12 = 28$에서 $\overline{\mathrm{AD}} = 2\sqrt{7}$이다 [3점].
또한 $\triangle\mathrm{ADC}$에서 코사인법칙에 의해 $\cos(\angle\mathrm{ADC}) = \dfrac{(2\sqrt{7})^2 + 4^2 - 6^2}{2\cdot 2\sqrt{7}\cdot 4} = \dfrac{28 + 16 - 36}{16\sqrt{7}} = \dfrac{1}{2\sqrt{7}}$이다 [3점].
(2) $\overline{\mathrm{CE}}$의 길이 및 $\triangle\mathrm{ADE}$의 외접원 넓이 (12점): $\angle\mathrm{ADB} + \angle\mathrm{ADE} + \angle\mathrm{EDC} = 180^\circ$이고 $\angle\mathrm{ADE}=60^\circ,\ \angle B=60^\circ$이므로 $\angle\mathrm{BAD} = \angle\mathrm{EDC}$가 되어 $\triangle\mathrm{ABD} \sim \triangle\mathrm{DCE}$ (AA 닮음)이다 [4점].
닮음비 $\overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{BD}} = \overline{\mathrm{DC}} : \overline{\mathrm{CE}}$에서 $6 : 2 = 4 : \overline{\mathrm{CE}}$이므로 $\overline{\mathrm{CE}} = \dfrac{4}{3}$이다 [4점].
또한 $\overline{\mathrm{DE}} = \dfrac{2}{3}\overline{\mathrm{AD}} = \dfrac{4\sqrt{7}}{3}$이고, $\triangle\mathrm{ADE}$에서 코사인법칙으로 $\overline{\mathrm{AE}}^2 = 28 + \dfrac{112}{9} - 2\cdot 2\sqrt{7}\cdot \dfrac{4\sqrt{7}}{3}\cos 60^\circ = \dfrac{196}{9}$이므로 $\overline{\mathrm{AE}} = \dfrac{14}{3}$이다. 사인법칙 $2R = \dfrac{\overline{\mathrm{AE}}}{\sin 60^\circ} = \dfrac{28}{3\sqrt{3}}$에서 외접원의 넓이 $\pi R^2 = \dfrac{196}{27}\pi$이다 [4점].
답: (1) $\overline{\mathrm{AD}} = 2\sqrt{7},\ \cos(\angle\mathrm{ADC}) = \dfrac{\sqrt{7}}{14}$ (2) $\overline{\mathrm{CE}} = \dfrac{4}{3}$, 외접원 넓이 $\dfrac{196}{27}\pi$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	코사인법칙을 적용하여 $AD = 2\sqrt{7}$ 및 $\cos(\angle\mathrm{ADC})$를 정확히 구할 수 있다.	9점
2단계	삼각형 ABD와 DCE의 닮음을 발견하여 $CE = \frac{4}{3}$를 구할 수 있다.	8점
3단계	사인법칙으로 삼각형 ADE의 외접원 반지름과 넓이 $\frac{196\pi}{27}$를 구할 수 있다.	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[문제 2-1 감점 방지 클리닉] 코사인법칙과 정삼각형 내분선 기하 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 4】 원문 요약 — [문제 2-2] 입체도형의 부피와 정적분 극값 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11012 | 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

(1) 단면의 넓이 함수 $S(x)$를 구하고, $S(x)$가 최대가 되는 $x$의 값을 구하시오. (8점)

(2) 부피 $V(t)$를 $t$에 대한 식으로 나타내시오. (8점)

(3) 극한값 $\lim_{t \to \infty} V(t)$를 구하시오. (9점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제1회 문항 4 · 총 25점

[정답 2-2] (총 30점) — (1) 단면 넓이 최댓값 (10점) / (2) 부피 $V(t)$ (10점) / (3) 무한대 극한 (10점)

(1) 단면의 넓이 $S(x)$와 최대점 (10점): 한 변의 길이가 $y = \sqrt{x}e^{-x}$인 정삼각형의 넓이는 \[ S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}y^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}xe^{-2x} \quad [5\text{점}] \] 미분하면 $S'(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(1 - 2x)e^{-2x} = 0$에서 $x = \dfrac{1}{2}$일 때 극대이자 최대가 된다 [5점].
(2) 입체도형의 부피 $V(t)$ (10점): 부분적분법을 적용하면 \[ V(t) = \int_0^t \frac{\sqrt{3}}{4}xe^{-2x}\,dx = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\Big[-\frac{1}{2}xe^{-2x}\Big]_0^t + \int_0^t \frac{1}{2}e^{-2x}\,dx\right) = \frac{\sqrt{3}}{16}\left\{1 - (2t + 1)e^{-2t}\right\} \quad [10\text{점}] \] (3) 극한값 $\lim_{t \to \infty} V(t)$ (10점): $\lim_{t \to \infty} (2t+1)e^{-2t} = 0$이므로 $\lim_{t \to \infty} V(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{16}$이다 [10점].
답: (1) $S(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}xe^{-2x},\ x = \dfrac{1}{2}$ (2) $V(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{16}\{1-(2t+1)e^{-2t}\}$ (3) $\dfrac{\sqrt{3}}{16}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	정삼각형 단면 넓이 S(x)를 구하고 미분을 통해 $x = 1/2$에서 최대임을 보일 수 있다.	9점
2단계	부분적분법을 정확히 수행하여 $V(t)$를 $t$에 대한 식으로 도출할 수 있다.	8점
3단계	지수함수의 무한대 극한 성질을 이용하여 극한값 $\sqrt{3}/16$을 도출할 수 있다.	8점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[문제 2-2 감점 방지 클리닉] 입체도형의 부피와 정적분 극값 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 1】 원문 요약 — [문제 1-1] 역함수의 미분법과 로그함수의 도함수 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11021 | 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]

[제시문]

가) 미분가능한 함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 존재하고 미분가능할 때, $(f^{-1})'(a) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(a))}$ (단, $f'(f^{-1}(a)) \ne 0$)이다.

[문제 1-1] 함수 $f(x) = x^3 + 3x + 1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $g(1)$의 값과 미분계수 $g'(1)$의 값을 구하시오. (12점)

(2) 함수 $h(x) = \ln(f(x))$에 대하여 $h'(0)$의 값을 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 1 · 총 25점

[정답 1-1] (총 25점) — (1) $g(1),\ g'(1)$ (12점) / (2) $h'(0)$ 계산 (13점)

(1) $g(1)$과 $g'(1)$ 계산 (12점): $f(x) = x^3 + 3x + 1$은 실수 전체에서 미분가능하고 $f'(x) = 3x^2 + 3 \ge 3 \gt 0$이므로 실수 전체에서 순증가하여 역함수 $g(x)$가 존재한다 [4점].
$f(0) = 1$이므로 역함수의 정의에 의해 $g(1) = 0$이다 [4점].
$f'(0) = 3 \ne 0$이므로 제시문 가)의 역함수의 미분법에 의해 $g'(1) = \dfrac{1}{f'(g(1))} = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{3}$이다 [4점].
(2) $h'(0)$ 계산 (13점): $f(0) = 1 \gt 0$이므로 $x = 0$ 근방에서 $h(x) = \ln(f(x))$가 정의되고 미분가능하다. 합성함수의 미분법을 적용하면 \[ h'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{3x^2 + 3}{x^3 + 3x + 1} \quad [8\text{점}] \] 따라서 $x = 0$을 대입하면 $h'(0) = \dfrac{3}{1} = 3$이다 [5점].
답: (1) $g(1) = 0,\ g'(1) = \dfrac{1}{3}$ (2) $h'(0) = 3$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$f'(x) \gt 0$으로 일대일대응임을 확인하고 $g(1)=0,\ g'(1)=\frac{1}{3}$을 구할 수 있다.	12점
2단계	합성함수 미분법으로 $h'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$를 세워 $h'(0)=3$을 구할 수 있다.	13점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[문제 1-1 감점 방지 클리닉] 역함수의 미분법과 로그함수의 도함수 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 2】 원문 요약 — [문제 1-2] 초월함수의 극값과 부분분수 급수 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11021 | 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]

[제시문]

나) 무한급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$의 합은 부분합의 수열의 극한값 $\lim_{n \to \infty} S_n$으로 정의된다.

[문제 1-2] 자연수 $n$에 대하여 $x \gt 0$에서 정의된 함수 $f_n(x) = x^n e^{-x}$가 있다. 제시문 나)를 이용하여 답하시오.

(1) $f_1(x) = xe^{-x}$의 극댓값과 그때의 $x$를 구하시오. (12점)

(2) 수열의 합 공식을 적용하여 급수 $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n(n+1)}$의 값을 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 2 · 총 25점

[정답 1-2] (총 25점) — (1) $f_1(x)$ 극댓값 (12점) / (2) 부분분수 급수 (13점)

(1) $f_1(x) = xe^{-x}$의 극댓값과 $x$ (12점): $x \gt 0$에서 $f_1(x) = xe^{-x}$를 미분하면 $f_1'(x) = (1 - x)e^{-x}$이다 [5점].
$e^{-x} \gt 0$이므로 $f_1'(x) = 0 \iff x = 1$이며, $0 \lt x \lt 1$에서 $f_1'(x) \gt 0$(증가), $x \gt 1$에서 $f_1'(x) \lt 0$(감소)이다 [4점].
따라서 $x = 1$에서 극댓값 $f_1(1) = \dfrac{1}{e}$을 갖는다 [3점].
(2) 부분분수 급수의 합 (13점): 제$n$항까지의 부분합을 $S_n$이라 하면 부분분수 분해 $\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$에 의해 \[ S_n = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} \quad [8\text{점}] \] 제시문 나)에 의해 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)} = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty}\left(1 - \dfrac{1}{n+1}\right) = 1$이다 [5점].
답: (1) $x = 1$, 극댓값 $\dfrac{1}{e}$ (2) $1$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	도함수 $f_1'(x) = (1-x)e^{-x}$의 부호 변화를 조사하여 $x=1$에서 극댓값 $\frac{1}{e}$을 구할 수 있다.	12점
2단계	부분분수 소거로 부분합 $S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$을 세우고 극한값 $1$을 도출할 수 있다.	13점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[문제 1-2 감점 방지 클리닉] 초월함수의 극값과 부분분수 급수 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 3】 원문 요약 — [문제 2-1] 원에 내접하는 사각형과 코사인법칙 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11022 | 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

가) 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 마주보는 두 내각의 합은 $\pi$이므로 $\cos(\angle C) = -\cos(\angle A),\ \sin(\angle C) = \sin(\angle A)$가 성립한다.

(1) $\cos(\angle\mathrm{ABC})$의 값과 대각선 $\overline{\mathrm{AC}}$의 길이를 구하시오. (12점)

(2) 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S$와 외접원의 반지름 $R$을 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 3 · 총 25점

[정답 2-1] (총 20점) — (1) $\cos(\angle\mathrm{ABC})$와 $AC$ (10점) / (2) 사각형 넓이와 외접원 반지름 (10점)

(1) $\cos B$ 및 $\overline{\mathrm{AC}}$ (10점): $\angle B = \theta$라 하면 $\angle D = \pi - \theta$이다. $\triangle\mathrm{ABC}$와 $\triangle\mathrm{ADC}$에서 코사인법칙에 의해 \[ \overline{\mathrm{AC}}^2 = 3^2 + 4^2 - 2\cdot 3\cdot 4\cos\theta = 2^2 + 5^2 - 2\cdot 2\cdot 5\cos(\pi-\theta) \implies 25 - 24\cos\theta = 29 + 20\cos\theta \quad [5\text{점}] \] 따라서 $\cos\theta = -\dfrac{1}{11}$이고, $\overline{\mathrm{AC}}^2 = 25 - 24\left(-\dfrac{1}{11}\right) = \dfrac{299}{11}$에서 $\overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{\dfrac{299}{11}}$이다 [5점].
(2) 사각형 넓이 $S$와 외접원 반지름 $R$ (10점): $\sin\theta = \sqrt{1 - \dfrac{1}{121}} = \dfrac{2\sqrt{30}}{11}$이므로 \[ S = \frac{1}{2}(3\cdot 4 + 2\cdot 5)\sin\theta = 11 \cdot \frac{2\sqrt{30}}{11} = 2\sqrt{30}, \quad R = \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{2\sin\theta} = \frac{\sqrt{299/11}}{4\sqrt{30}/11} = \frac{\sqrt{98670}}{120} \quad [10\text{점}] \] 답: (1) $\cos(\angle\mathrm{ABC}) = -\dfrac{1}{11},\ \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{\dfrac{299}{11}}$ (2) $S = 2\sqrt{30},\ R = \dfrac{\sqrt{98670}}{120}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	내접사각형의 대각 성질과 코사인법칙 연립으로$\cos B = -1/11$과 AC를 구할 수 있다.	13점
2단계	$\sin B$를 구하여 사각형의 넓이 $2\sqrt{30}$과 외접원 반지름 $R$을 구할 수 있다.	12점

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[문제 2-1 감점 방지 클리닉] 원에 내접하는 사각형과 코사인법칙 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 4】 원문 요약 — [문제 2-2] 정적분 방정식 항등식과 둘러싸인 넓이 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11022 | 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

나) 연속함수 $f(t)$에 대하여 $\dfrac{d}{dx}\int_a^x (x-t)f(t)\,dt = \int_a^x f(t)\,dt$이며, 양변을 한 번 더 미분하면 $f(x)$가 된다.

(1) 상수 $a, b$의 값과 함수 $f(x)$를 구하시오. (12점)

(2) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 4x + 4$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제2회 문항 4 · 총 25점

[정답 2-2] (총 30점) — (1) 상수 a, b와 f(x) (15점) / (2) 둘러싸인 넓이 (15점)

(1) 상수 $a, b$ 및 $f(x)$ 도출 (15점): 주어진 식의 양변에 $x = 0$을 대입하면 $0 = 1 - 1$이 성립한다. 양변을 $x$에 대하여 미분하면 제시문 나)에 의해 \[ \int_0^x f(t)\,dt = 2e^{2x} - 2ax - b \quad [5\text{점}] \] 여기에 $x = 0$을 대입하면 $0 = 2 - b$에서 $b = 2$이다 [3점]. 다시 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 4e^{2x} - 2a$이다. 문제 조건에서 $f(0) = 4$라 할 때 (또는 $a=0$ 기본형 기준, $a=0$일 때 $f(x)=4e^{2x}$이며, 만약 $f(0)=0$ 조건이면 $a=2$가 됨. 여기서는 $f(0)=4 \implies a=0$ 또는 일반해 $f(x)=4e^{2x}-2a$에서 곡선 $y=f(x)$가 $(0, 4)$를 지나므로 $a = 0,\ f(x) = 4e^{2x}$)이다 [7점].
(2) 넓이 계산 (15점): $a = 0$일 때 $y = 4e^{2x}$와 $x = 0, x = 1$ 및 $x$축으로 둘러싸인 영역과 직선 $y = 4x + 4$의 차이를 구간 $[0, 1]$에서 적분하면 \[ \int_0^1 (4e^{2x} - 4x - 4)\,dx = \Big[2e^{2x} - 2x^2 - 4x\Big]_0^1 = (2e^2 - 6) - 2 = 2e^2 - 8 \quad [15\text{점}] \] 답: (1) $b = 2,\ f(x) = 4e^{2x} - 2a$ ($a=0$일 때 $4e^{2x}$) (2) $2e^2 - 8$ (구간 $[0,1]$ 기준)

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	정적분으로 정의된 함수를 2회 연속 미분하고 초기조건을 대입하여 $b = 2$와 f(x)를 구할 수 있다.	13점
2단계	정적분을 통해 곡선과 직선 사이의 넓이를 정확히 계산할 수 있다.	12점

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[문제 2-2 감점 방지 클리닉] 정적분 방정식 항등식과 둘러싸인 넓이 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 1】 원문 요약 — [문제 1-1] 이계도함수와 변곡점의 판정 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11031 | 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

[문제 1-1] 함수 $f(x) = (x^2 - 2x)e^{-x}$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $f'(x)$와 $f''(x)$를 구하고 곡선의 변곡점의 좌표를 모두 구하시오. (12점)

(2) $x \to \infty$ 및 $x \to -\infty$에서의 극한과 극값을 판정하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 1 · 총 25점

[정답 1-1] (총 25점) — (1) 도함수와 변곡점 (12점) / (2) 극한과 극값 판정 (13점)

(1) $f'(x),\ f''(x)$와 변곡점의 좌표 (12점): 곱의 미분법에 의해 \[ f'(x) = (2x - 2)e^{-x} - (x^2 - 2x)e^{-x} = (-x^2 + 4x - 2)e^{-x} \quad [4\text{점}] \] 한 번 더 미분하면 $f''(x) = (-2x + 4)e^{-x} - (-x^2 + 4x - 2)e^{-x} = (x^2 - 6x + 6)e^{-x}$이다 [4점].
$e^{-x} \gt 0$이므로 $f''(x) = 0$의 두 실근 $x = 3 - \sqrt{3},\ 3 + \sqrt{3}$의 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 모두 바뀐다. $x^2 - 6x + 6 = 0$일 때 $x^2 - 2x = 4x - 6$이므로 두 변곡점은 \[ \left(3 - \sqrt{3},\ (6 - 4\sqrt{3})e^{-3 + \sqrt{3}}\right), \quad \left(3 + \sqrt{3},\ (6 + 4\sqrt{3})e^{-3 - \sqrt{3}}\right) \quad [4\text{점}] \] (2) 극한과 극값 판정 (13점): $x \gt 0$에서 $e^{x/3} \gt \dfrac{x}{3}$이므로 $e^x \gt \dfrac{x^3}{27}$이고, 조임정리에 의해 $\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 - 2x}{e^x} = 0$이다 [3점].
$x \to -\infty$일 때 $x^2 - 2x \to \infty,\ e^{-x} \to \infty$이므로 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$이다 [2점].
$f'(x) = -(x^2 - 4x + 2)e^{-x} = 0$의 근은 $x = 2 \pm \sqrt{2}$이며, $x \lt 2 - \sqrt{2}$에서 $f'(x) \lt 0$, $2 - \sqrt{2} \lt x \lt 2 + \sqrt{2}$에서 $f'(x) \gt 0$, $x \gt 2 + \sqrt{2}$에서 $f'(x) \lt 0$이다. $x^2 - 4x + 2 = 0$일 때 $x^2 - 2x = 2x - 2$이므로 극솟값은 $f(2 - \sqrt{2}) = (2 - 2\sqrt{2})e^{-2 + \sqrt{2}}$, 극댓값은 $f(2 + \sqrt{2}) = (2 + 2\sqrt{2})e^{-2 - \sqrt{2}}$이다 [8점].
답: (1) $f'(x) = (-x^2+4x-2)e^{-x},\ f''(x) = (x^2-6x+6)e^{-x}$, 변곡점 $\left(3\mp\sqrt{3},\ (6\mp 4\sqrt{3})e^{-3\pm\sqrt{3}}\right)$ (2) $\lim_{x\to\infty}f(x)=0,\ \lim_{x\to -\infty}f(x)=\infty$, 극솟값 $(2-2\sqrt{2})e^{-2+\sqrt{2}}$, 극댓값 $(2+2\sqrt{2})e^{-2-\sqrt{2}}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$f'(x),\ f''(x)$를 구하고 부호 변화 확인을 통해 두 변곡점의 좌표를 정확히 구할 수 있다.	12점
2단계	$x \to \pm\infty$ 극한과 $f'(x)=0$에서의 극솟값·극댓값을 각각 판정하여 계산할 수 있다.	13점

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[문제 1-1 감점 방지 클리닉] 이계도함수와 변곡점의 판정 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 2】 원문 요약 — [문제 1-2] 정적분과 무한급수의 합 계산 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11031 | 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

나) 연속함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right)\dfrac{1}{n} = \int_0^1 f(x)\,dx$이다.

[문제 1-2] 제시문 나)의 정적분과 급수의 합 변환 관계를 이용하여 다음 극한값을 구하시오.

(1) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{k^2}{n^3}$의 값을 정적분으로 나타내고 계산하시오. (12점)

(2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n}\sqrt{1 + \dfrac{2k}{n}}$의 값을 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 2 · 총 25점

[정답 1-2] (총 25점) — (1) $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^3}$ (12점) / (2) $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\sqrt{1+\frac{2k}{n}}$ (13점)

(1) 첫째 극한값의 정적분 변환 및 계산 (12점): 일반항을 $\dfrac{k}{n}$의 꼴로 변형하면 \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n}\right)^2 \frac{1}{n} = \int_0^1 x^2\,dx \quad [7\text{점}] \] 정적분을 계산하면 $\Big[\dfrac{1}{3}x^3\Big]_0^1 = \dfrac{1}{3}$이다 [5점].
(2) 둘째 극한값 계산 (13점): 제시문 나)에서 $f(x) = \sqrt{1 + 2x}$로 놓으면 \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n}\sqrt{1 + \frac{2k}{n}} = \int_0^1 \sqrt{1 + 2x}\,dx \quad [6\text{점}] \] $u = 1 + 2x$로 치환하면 $du = 2\,dx$이고 적분 구간은 $[1, 3]$이므로 \[ \int_1^3 \frac{1}{2}u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\Big[u^{3/2}\Big]_1^3 = \frac{3\sqrt{3} - 1}{3} \quad [7\text{점}] \] 답: (1) $\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}$ (2) $\dfrac{3\sqrt{3} - 1}{3}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	급수 $\sum \frac{k^2}{n^3}$를 정적분 $\int_0^1 x^2\,dx$로 변환하여 $\frac{1}{3}$을 구할 수 있다.	12점
2단계	급수를 $\int_0^1 \sqrt{1+2x}\,dx$로 변환하고 치환적분으로 $\frac{3\sqrt{3}-1}{3}$을 계산할 수 있다.	13점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[문제 1-2 감점 방지 클리닉] 정적분과 무한급수의 합 계산 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 3】 원문 요약 — [문제 2-1] 삼차함수의 접선과 넓이 공식 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11032 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

(1) 점 $\mathrm{B}$의 좌표와 접선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1$을 구하시오. (12점)

(2) 점 $\mathrm{B}$에서의 접선 $m$과 곡선으로 둘러싸인 넓이 $S_2$에 대하여 $\dfrac{S_2}{S_1}$의 값을 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 3 · 총 25점

[정답 2-1] (총 20점) — (1) 점 B와 넓이 $S_1$ (10점) / (2) 넓이비 $S_2 / S_1$ (10점)

(1) 점 $\mathrm{B}$와 $S_1$ (10점): $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$에서 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$이므로 $f'(0) = 2$이고 접선 $l$은 $y = 2x$이다 [3점].
$x^3 - 3x^2 + 2x = 2x \implies x^2(x - 3) = 0$에서 $\mathrm{B}(3, 6)$이고, $S_1 = \dfrac{1}{12}(3 - 0)^4 = \dfrac{27}{4}$이다 [7점].
(2) $S_2$와 넓이비 (10점): 점 $\mathrm{B}(3, 6)$에서의 접선과 곡선의 교점의 $x$좌표 합은 근과 계수의 관계에 의해 $3 + 3 + \gamma = 3 \implies \gamma = -3$이다 [5점].
따라서 $S_2 = \dfrac{1}{12}\{3 - (-3)\}^4 = \dfrac{6^4}{12} = 108$이므로 $\dfrac{S_2}{S_1} = 2^4 = 16$이다 [5점].
답: (1) $\mathrm{B}(3, 6),\ S_1 = \dfrac{27}{4}$ (2) $\dfrac{S_2}{S_1} = 16$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	원점 접선 $y = 2x$와 교점 $B(3,6)$을 구하고 넓이 $S_1 = 27/4$를 도출할 수 있다.	13점
2단계	근과 계수의 관계로 재교점 $x=-3$을 구하고 $S_2/S_1 = 16$을 도출할 수 있다.	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[문제 2-1 감점 방지 클리닉] 삼차함수의 접선과 넓이 공식 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 4】 원문 요약 — [문제 2-2] 삼각함수 정적분의 제곱합 최솟값 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11032 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

나) 실수 $t$에 대하여 이차함수 $Q(t) = At^2 + Bt + C$ ($A \gt 0$)는 $t = -\dfrac{B}{2A}$에서 최솟값 $C - \dfrac{B^2}{4A}$를 갖는다.

(1) $\int_0^\pi \sin^2 x\,dx,\ \int_0^\pi \cos^2 x\,dx,\ \int_0^\pi \sin x\cos x\,dx$의 값을 각각 구하시오. (10점)

(2) $J(a, b)$를 전개하고, $J(a, b)$의 최솟값과 그때의 $a, b$를 구하시오. (15점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제3회 문항 4 · 총 25점

[정답 2-2] (총 30점) — (1) 기본 삼각적분 (10점) / (2) J(a,b) 최솟값 (20점)

(1) 기본 정적분 계산 (10점): 반각공식과 배각공식에 의해 \[ \int_0^\pi \sin^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}, \quad \int_0^\pi \cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}, \quad \int_0^\pi \sin x\cos x\,dx = 0 \quad [10\text{점}] \] (2) $J(a, b)$ 전개 및 최솟값 (20점): $\int_0^\pi \sin x\,dx = 2,\ \int_0^\pi \cos x\,dx = 0$이므로 제곱식을 전개하여 적분하면 \[ J(a, b) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}a^2 + \pi b^2 - 4b = \frac{\pi}{2}a^2 + \pi\left(b - \frac{2}{\pi}\right)^2 + \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \quad [12\text{점}] \] 따라서 $a = 0,\ b = \dfrac{2}{\pi}$일 때 최솟값 $\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{\pi}$를 갖는다 [8점].
답: (1) $\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{2},\ 0$ (2) $a = 0,\ b = \dfrac{2}{\pi}$, 최솟값 $\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{\pi}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	삼각함수의 직교 성질을 이용하여 세 기본 정적분 값을 정확히 계산할 수 있다.	8점
2단계	J(a,b)를 a, b의 완전제곱식으로 정리하여 최솟값과 a, b를 도출할 수 있다.	17점

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[문제 2-2 감점 방지 클리닉] 삼각함수 정적분의 제곱합 최솟값 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 1】 원문 요약 — [문제 1-1] 음함수의 미분법과 타원의 접선 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11041 | 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

가) 음함수 $F(x, y) = 0$에서 $y$를 $x$의 함수로 보고 각 항을 $x$에 대하여 미분하여 접선의 기울기 $\dfrac{dy}{dx}$를 구한다.

[문제 1-1] 타원 $x^2 + 2y^2 = 4$ 위의 제1사분면 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음을 구하시오.

(1) 음함수 미분법으로 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 기울기를 $x_1, y_1$으로 나타내시오. (12점)

(2) 점 $\mathrm{P}(\sqrt{2}, 1)$에서의 접선과 두 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 1 · 총 25점

[정답 1-1] (총 25점) — (1) 음함수 미분법과 접선의 기울기 (12점) / (2) 접선과 좌표축 삼각형 넓이 (13점)

(1) 접선의 기울기 표현 (12점): 타원 $x^2 + 2y^2 = 4$의 양변을 $x$에 대하여 음함수의 미분법으로 미분하면 \[ 2x + 4y\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2y} \quad (y \ne 0) \quad [8\text{점}] \] 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$은 제1사분면 위의 점이므로 $y_1 \gt 0$이며, 접선의 기울기는 $-\dfrac{x_1}{2y_1}$이다 [4점].
(2) 점 $\mathrm{P}(\sqrt{2}, 1)$에서의 삼각형 넓이 (13점): $x_1 = \sqrt{2},\ y_1 = 1$을 대입하면 접선의 기울기는 $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$이고 접선의 방정식은 \[ y - 1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}(x - \sqrt{2}) \iff \sqrt{2}x + 2y = 4 \quad [6\text{점}] \] $x$절편은 $y = 0$일 때 $x = 2\sqrt{2}$, $y$절편은 $x = 0$일 때 $y = 2$이다 [3점].
따라서 접선과 두 좌표축으로 둘러싸인 직각삼각형의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 2 = 2\sqrt{2}$이다 [4점].
답: (1) $-\dfrac{x_1}{2y_1}$ (2) $2\sqrt{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	음함수 미분법으로 $\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1}{2y_1}$을 유도할 수 있다.	12점
2단계	점 $(\sqrt{2}, 1)$에서의 접선과 $x,\ y$절편을 구하여 삼각형의 넓이 $2\sqrt{2}$를 구할 수 있다.	13점

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[문제 1-1 감점 방지 클리닉] 음함수의 미분법과 타원의 접선 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 2】 원문 요약 — [문제 1-2] 매개변수 곡선의 길이 산출 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11041 | 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

나) 매개변수 $t$ ($a \le t \le b$)로 나타내어진 곡선의 길이는 $L = \int_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\,dt$이다.

[문제 1-2] 매개변수 $t$ ($0 \le t \le \dfrac{\pi}{2}$)로 나타내어진 곡선 $x = \cos^3 t, y = \sin^3 t$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 답하시오.

(1) $\dfrac{dx}{dt}$와 $\dfrac{dy}{dt}$를 구하고, $\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2$을 간단히 하시오. (12점)

(2) $t = 0$에서 $t = \dfrac{\pi}{2}$까지 이 곡선의 길이를 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 2 · 총 25점

[정답 1-2] (총 25점) — (1) 도함수와 제곱합 정리 (12점) / (2) 곡선의 길이 계산 (13점)

(1) $\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}$와 제곱합 식 (12점): 매개변수 $t$에 대하여 미분하면 \[ \frac{dx}{dt} = -3\cos^2 t\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 3\sin^2 t\cos t \quad [6\text{점}] \] 제곱하여 더하면 \[ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = 9\cos^4 t\sin^2 t + 9\sin^4 t\cos^2 t = 9\sin^2 t\cos^2 t(\cos^2 t + \sin^2 t) = 9\sin^2 t\cos^2 t = \frac{9}{4}\sin^2 2t \quad [6\text{점}] \] (2) 곡선의 길이 $L$ (13점): $0 \le t \le \dfrac{\pi}{2}$에서 $\sin t \ge 0,\ \cos t \ge 0$이므로 $\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} = 3\sin t\cos t = \dfrac{3}{2}\sin 2t$이다 [5점].
제시문 나)에 의해 곡선의 길이는 \[ L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{3}{2}\sin 2t\,dt = \Big[-\frac{3}{4}\cos 2t\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{3}{4} - \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{2} \quad [8\text{점}] \] 답: (1) $\dfrac{dx}{dt} = -3\cos^2 t\sin t,\ \dfrac{dy}{dt} = 3\sin^2 t\cos t,\ \left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2 = 9\sin^2 t\cos^2 t$ (2) $\dfrac{3}{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$\frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt}$를 구하고 삼각함수 항등식으로 제곱합을 $9\sin^2 t\cos^2 t$로 정리할 수 있다.	12점
2단계	구간 $[0, \frac{\pi}{2}]$의 부호를 확인하여 곡선의 길이 $\frac{3}{2}$를 정확히 적분할 수 있다.	13점

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[문제 1-2 감점 방지 클리닉] 매개변수 곡선의 길이 산출 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 3】 원문 요약 — [문제 2-1] 등비급수와 프랙탈 도형의 극한 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 11042 | 12대수03-03, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문]

가) 첫째항이 $a$이고 공비가 $r$ ($|r| \lt 1$)인 등비급수의 합은 $\dfrac{a}{1 - r}$이다.

(1) 첫째 원 $C_1$의 반지름 $r_1$과 공비 $\dfrac{r_{n+1}}{r_n}$를 구하시오. (12점)

(2) 무한급수 $\sum_{n=1}^\infty S_n$의 값을 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 3 · 총 25점

[정답 2-1] (총 20점) — (1) $r_1$과 공비 (10점) / (2) 넓이의 무한급수 (10점)

(1) $r_1$과 공비 (10점): 원 $C_1$의 중심에서 $\mathrm{OA}$에 내린 수선의 발을 이용하면 $\sqrt{2}r_1 + r_1 = 2$이므로 $r_1 = \dfrac{2}{\sqrt{2}+1} = 2(\sqrt{2}-1)$이다 [5점].
이웃한 두 외접원의 중심거리로부터 $\sqrt{2}(r_n - r_{n+1}) = r_n + r_{n+1}$이므로 공비는 $\dfrac{r_{n+1}}{r_n} = \dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = (\sqrt{2}-1)^2 = 3 - 2\sqrt{2}$이다 [5점].
(2) 넓이 급수의 합 (10점): $S_1 = \pi r_1^2 = 4(3-2\sqrt{2})\pi$이고 넓이의 공비는 $R = (3-2\sqrt{2})^2 = 17 - 12\sqrt{2}$이므로 \[ \sum_{n=1}^\infty S_n = \frac{4(3-2\sqrt{2})\pi}{1 - (17-12\sqrt{2})} = \frac{(3-2\sqrt{2})\pi}{3\sqrt{2}-4} = \frac{\sqrt{2}-1}{2}\pi \quad [10\text{점}] \] 답: (1) $r_1 = 2(\sqrt{2}-1)$, 공비 $3-2\sqrt{2}$ (2) $\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\pi$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	내접원의 기하적 성질로 첫째항 $r_1$과 반지름의 공비를 구할 수 있다.	13점
2단계	등비급수 공식에 대입하여 넓이의 무한급수 합을 정확히 계산할 수 있다.	12점

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[문제 2-1 감점 방지 클리닉] 등비급수와 프랙탈 도형의 극한 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 4】 원문 요약 — [문제 2-2] 초월함수의 극값과 실근의 개수 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 11042 | 12대수03-03, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문]

나) 함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = k$의 교점의 개수는 방정식 $f(x) = k$의 서로 다른 실근의 개수와 같다.

[문제 2-2] 실수 전체에서 정의된 함수 $f(x) = (x^2 - 3)e^x$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 구하고, $\lim_{x \to -\infty} f(x)$를 구하시오. (12점)

(2) 방정식 $(x^2 - 3)e^x = k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제4회 문항 4 · 총 25점

[정답 2-2] (총 30점) — (1) 극값과 점근선 (15점) / (2) 세 실근 조건 (15점)

(1) 극값 및 극한 (15점): $f'(x) = (x^2 + 2x - 3)e^x = (x+3)(x-1)e^x = 0$에서 $x = -3$일 때 극댓값 $f(-3) = 6e^{-3}$, $x = 1$일 때 극솟값 $f(1) = -2e$를 갖는다 [10점].
또한 $\lim_{x \to -\infty} (x^2-3)e^x = 0$이다 [5점].
(2) 서로 다른 세 실근 조건 (15점): $x \lt -\sqrt{3}$에서 $f(x) \gt 0$이고 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$이므로, 직선 $y = k$가 곡선 $y = f(x)$와 서로 다른 세 점에서 만나려면 $0 \lt k \lt f(-3)$이어야 한다. 따라서 $0 \lt k \lt \dfrac{6}{e^3}$이다 [15점].
답: (1) 극댓값 $6e^{-3}$, 극솟값 $-2e$, 극한 $0$ (2) $0 \lt k \lt \dfrac{6}{e^3}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	도함수 부호 변화로 극댓값 $6e^{-3}$, 극솟값 $-2e$ 및 점근선 $y = 0$을 구할 수 있다.	13점
2단계	그래프 개형을 분석하여 세 실근을 갖는 $k$의 범위 $0 \lt k \lt 6e^{-3}$을 구할 수 있다.	12점

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[문제 2-2 감점 방지 클리닉] 초월함수의 극값과 실근의 개수 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 1】 원문 요약 — [문제 1-1] 역함수의 정적분과 기하학적 넓이 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11051 | 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문]

가) 연속함수 $f(x)$가 $[a, b]$에서 순증가하고 역함수 $g(x)$를 가질 때, $\int_a^b f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} g(y)\,dy = b f(b) - a f(a)$이다.

[문제 1-1] 함수 $f(x) = x^3 + x$는 실수 전체에서 순증가한다. 역함수를 $g(x)$라 할 때 제시문 가)를 이용하여 답하시오.

(1) $f(0)$과 $f(2)$의 값을 구하시오. (8점)

(2) 정적분 $\int_0^2 (x^3 + x)\,dx$의 값을 계산하시오. (8점)

(3) 정적분 $\int_0^{10} g(x)\,dx$의 값을 구하시오. (9점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 1 · 총 25점

[정답 1-1] (총 25점) — (1) $f(0),\ f(2)$ (8점) / (2) 정적분 값 (8점) / (3) 역함수 정적분 (9점)

(1) $f(0)$과 $f(2)$의 값 (8점): $f(x) = x^3 + x$에 대입하면 $f(0) = 0^3 + 0 = 0$, $f(2) = 2^3 + 2 = 10$이다 [8점].
(2) 정적분 $\int_0^2 (x^3 + x)\,dx$ 계산 (8점): \[ \int_0^2 (x^3 + x)\,dx = \Big[\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2\Big]_0^2 = 4 + 2 = 6 \quad [8\text{점}] \] (3) 역함수 정적분 $\int_0^{10} g(x)\,dx$ (9점): $f(0) = 0,\ f(2) = 10$이므로 제시문 가)에서 $a = 0,\ b = 2$를 적용하면 \[ \int_0^2 f(x)\,dx + \int_0^{10} g(y)\,dy = 2f(2) - 0\cdot f(0) = 20 \quad [5\text{점}] \] 따라서 $\int_0^{10} g(x)\,dx = 20 - 6 = 14$이다 [4점].
답: (1) $f(0) = 0,\ f(2) = 10$ (2) $6$ (3) $14$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$f(0)=0,\ f(2)=10$을 구하여 역함수 정적분의 적분 구간 대응을 세울 수 있다.	8점
2단계	다항함수의 정적분 $\int_0^2 (x^3+x)\,dx = 6$을 정확히 계산할 수 있다.	8점
3단계	역함수 정적분 항등식을 적용하여 $\int_0^{10} g(x)\,dx = 14$를 도출할 수 있다.	9점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[문제 1-1 감점 방지 클리닉] 역함수의 정적분과 기하학적 넓이 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 2】 원문 요약 — [문제 1-2] 삼각치환을 이용한 정적분 계산 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11051 | 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-01-02]

[제시문]

나) 삼각치환법: $\sqrt{a^2 - x^2}$을 포함하는 정적분은 $x = a\sin\theta$로 치환하여 계산한다.

[문제 1-2] 양수 $a$에 대하여 정적분 $I = \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 답하시오.

(1) 삼각치환 $x = a\sin\theta$를 이용하여 정적분을 $\theta$에 대한 식으로 변환하시오. (12점)

(2) 반각공식을 적용하여 $I$의 값을 $a$로 나타내시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 2 · 총 25점

[정답 1-2] (총 25점) — (1) 삼각치환 식 변환 (12점) / (2) 반각공식 적분 계산 (13점)

(1) 삼각치환 $x = a\sin\theta$ 적용 (12점): $x = a\sin\theta$ ($-\dfrac{\pi}{2} \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$)로 치환하면 $dx = a\cos\theta\,d\theta$이고, $x = 0 \implies \theta = 0$, $x = a \implies \theta = \dfrac{\pi}{2}$이다 [4점].
구간 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$에서 $\cos\theta \ge 0$이고 $a \gt 0$이므로 $\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2\cos^2\theta} = a\cos\theta$이다 [4점].
따라서 정적분은 \[ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (a\cos\theta)(a\cos\theta)\,d\theta = a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta\,d\theta \quad [4\text{점}] \] (2) 반각공식을 이용한 $I$ 계산 (13점): 반각공식 $\cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2}$를 대입하면 \[ I = a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\,d\theta = \frac{a^2}{2}\Big[\theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{a^2}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}a^2 \quad [13\text{점}] \] 답: (1) $I = a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta\,d\theta$ (2) $\dfrac{\pi}{4}a^2$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	삼각치환 $x = a\sin\theta$와 구간·부호 조건으로 $a^2\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta$를 유도할 수 있다.	12점
2단계	반각공식을 적용하여 정적분 값 $\frac{\pi}{4}a^2$를 정확히 계산할 수 있다.	13점

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[문제 1-2 감점 방지 클리닉] 삼각치환을 이용한 정적분 계산 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 3】 원문 요약 — [문제 2-1] 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 11052 | 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문]

[문제 2-1] 두 점 $\mathrm{A}(0, 2),\ \mathrm{B}(4, 4)$와 직선 $y = x - 2$ 위의 동점 $\mathrm{P}$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음을 구하시오.

(1) 점 $\mathrm{A}$를 직선 $y = x - 2$에 대하여 대칭이동한 점 $\mathrm{A}'$의 좌표를 구하시오. (12점)

(2) $\overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}}$가 최소가 될 때의 점 $\mathrm{P}$의 좌표와 최솟값을 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 3 · 총 25점

[정답 2-1] (총 20점) — (1) 대칭점 A' (8점) / (2) 최소점 P와 최솟값 (12점)

(1) 대칭점 $\mathrm{A}'$의 좌표 (8점): 점 $\mathrm{A}(0, 2)$를 직선 $y = x - 2$ ($x = y + 2$)에 대칭이동하면 $x' = 2 + 2 = 4,\ y' = 0 - 2 = -2$이므로 $\mathrm{A}'(4, -2)$이다 [8점].
(2) 최솟값과 점 $\mathrm{P}$ (12점): $\mathrm{A}'(4, -2)$와 $\mathrm{B}(4, 4)$를 잇는 직선은 $x = 4$이므로 최솟값은 $\overline{\mathrm{A}'\mathrm{B}} = 4 - (-2) = 6$이다 [6점].
직선 $x = 4$와 $y = x - 2$의 교점은 $\mathrm{P}(4, 2)$이다 [6점].
답: (1) $\mathrm{A}'(4, -2)$ (2) $\mathrm{P}(4, 2)$, 최솟값 $6$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	수직이등분 조건으로 대칭점 A'(4,-2)를 구할 수 있다.	10점
2단계	선분 A'B의 길이 6과 교점 P(4,2)를 정확히 구할 수 있다.	15점

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[문제 2-1 감점 방지 클리닉] 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 4】 원문 요약 — [문제 2-2] 초월함수 둘러싸인 넓이와 회전체 부피 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 11052 | 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문]

나) 곡선과 축으로 둘러싸인 도형의 회전체 부피는 $V = \pi \int_a^b (y(x))^2\,dx$이다.

[문제 2-2] 양수 $a$에 대하여 곡선 $y = \dfrac{2x}{x^2 + a^2}$과 $x$축 및 직선 $x = a$로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S(a)$, 회전체 부피를 $V(a)$라 하자.

(1) 넓이 $S(a)$가 $a$의 값에 관계없이 일정함을 보이시오. (12점)

(2) 삼각치환 $x = a\tan\theta$를 이용하여 $V(a)$를 $a$에 대한 식으로 나타내시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제5회 문항 4 · 총 25점

[정답 2-2] (총 30점) — (1) 넓이 S(a) 불변성 (12점) / (2) 부피 정적분 $V(a)$ (18점)

(1) 넓이 $S(a)$ 계산 (12점): $x^2 + a^2 = u$로 치환하면 $2x\,dx = du$이므로 \[ S(a) = \int_0^a \frac{2x}{x^2+a^2}\,dx = \Big[\ln(x^2+a^2)\Big]_0^a = \ln(2a^2) - \ln(a^2) = \ln 2 \quad [12\text{점}] \] 따라서 $a$의 값에 관계없이 항상 $\ln 2$로 일정하다.
(2) $V(a)$ 계산 (18점): $x = a\tan\theta$로 치환하면 $dx = a\sec^2\theta\,d\theta$이고 구간은 $\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$이므로 \[ V(a) = \pi\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{4a^2\tan^2\theta}{a^4\sec^4\theta}\cdot a\sec^2\theta\,d\theta = \frac{4\pi}{a}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2\theta\,d\theta = \frac{2\pi}{a}\Big[\theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta\Big]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi(\pi - 2)}{2a} \quad [18\text{점}] \] 답: (1) $S(a) = \ln 2$ (일정) (2) $V(a) = \dfrac{\pi(\pi - 2)}{2a}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	치환적분을 통해 $S(a) = \ln 2$로 일정함을 보일 수 있다.	10점
2단계	삼각치환 $x = a\tan\theta$를 적용하여 $V(a)$를 정확히 계산할 수 있다.	15점

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[문제 2-2 감점 방지 클리닉] 초월함수 둘러싸인 넓이와 회전체 부피 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 1】 원문 요약 — [문제 1-1] 삼차함수의 접선과 둘러싸인 넓이 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11061 | 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

가) 다항함수 $f(x)$가 $x = \alpha$에서 극값을 가지면 $f'(\alpha) = 0$이고, 곡선 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선은 $y - f(t) = f'(t)(x - t)$이다.

[문제 1-1] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x + 2$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 극댓값과 극솟값을 구하고, 점 $(0, 2)$에서의 접선의 방정식을 구하시오. (12점)

(2) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 4$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 1 · 총 25점

[정답 1-1] (총 25점) — (1) 극값과 점 (0, 2) 접선 (12점) / (2) 직선 y=4와의 넓이 (13점)

(1) 극값과 접선의 방정식 (12점): $f(x) = x^3 - 3x + 2$를 미분하면 $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)$이다 [3점].
$f'(x) = 0$인 $x = -1,\ 1$ 좌우의 부호 변화로부터 $x = -1$에서 극댓값 $f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4$, $x = 1$에서 극솟값 $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$을 갖는다 [5점].
점 $(0, 2)$에서의 접선의 기울기는 $f'(0) = -3$이므로 접선의 방정식은 $y - 2 = -3(x - 0) \iff y = -3x + 2$이다 [4점].
(2) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 4$로 둘러싸인 넓이 (13점): 교점의 $x$좌표를 구하면 \[ x^3 - 3x + 2 = 4 \iff x^3 - 3x - 2 = (x + 1)^2(x - 2) = 0 \implies x = -1 \text{ 또는 } x = 2 \quad [5\text{점}] \] 구간 $[-1, 2]$에서 $4 - f(x) = -(x + 1)^2(x - 2) \ge 0$이므로 둘러싸인 도형의 넓이는 \[ S = \int_{-1}^{2} (4 - x^3 + 3x - 2)\,dx = \int_{-1}^{2} (-x^3 + 3x + 2)\,dx = \Big[-\frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^2 + 2x\Big]_{-1}^{2} = 6 - \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{27}{4} \quad [8\text{점}] \] 답: (1) 극댓값 $4$, 극솟값 $0$, 접선 $y = -3x + 2$ (2) $\dfrac{27}{4}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	도함수의 부호로 극댓값 4, 극솟값 0과 점 (0, 2)에서의 접선 $y=-3x+2$를 구할 수 있다.	12점
2단계	방정식 $f(x)=4$의 교점 $x=-1,\ 2$를 찾고 정적분으로 넓이 $\frac{27}{4}$를 구할 수 있다.	13점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[문제 1-1 감점 방지 클리닉] 삼차함수의 접선과 둘러싸인 넓이 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 2】 원문 요약 — [문제 1-2] 사이클로이드 곡선의 정적분 넓이 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11061 | 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

나) 매개변수 곡선 $x = x(t), y = y(t)$에서 둘러싸인 영역의 넓이는 $S = \int_a^b y(t)x'(t)\,dt$이다.

[문제 1-2] 매개변수 $t$ ($0 \le t \le 2\pi$)로 나타내어진 곡선 $x = t - \sin t, y = 1 - \cos t$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 답하시오.

(1) $\dfrac{dx}{dt}$를 구하고, $y(t)x'(t)$를 전개하시오. (12점)

(2) 이 곡선과 $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이 $S = \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^2\,dt$를 계산하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 2 · 총 25점

[정답 1-2] (총 25점) — (1) $dx/dt$와 $y(t)x'(t)$ 전개 (12점) / (2) 정적분 넓이 $S$ (13점)

(1) $\dfrac{dx}{dt}$와 $y(t)x'(t)$ 전개 (12점): $x(t) = t - \sin t$를 미분하면 $\dfrac{dx}{dt} = 1 - \cos t$이다 [5점].
따라서 $y(t)x'(t) = (1 - \cos t)^2 = 1 - 2\cos t + \cos^2 t$이며, 반각공식 $\cos^2 t = \dfrac{1 + \cos 2t}{2}$를 적용하면 \[ y(t)x'(t) = \frac{3}{2} - 2\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t \quad [7\text{점}] \] (2) 정적분 넓이 $S$ 계산 (13점): $0 \le t \le 2\pi$에서 $y(t) = 1 - \cos t \ge 0,\ x'(t) = 1 - \cos t \ge 0$이므로 넓이는 \[ S = \int_0^{2\pi} \left(\frac{3}{2} - 2\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t\right)\,dt = \Big[\frac{3}{2}t - 2\sin t + \frac{1}{4}\sin 2t\Big]_0^{2\pi} = 3\pi \quad [13\text{점}] \] 답: (1) $\dfrac{dx}{dt} = 1 - \cos t,\ y(t)x'(t) = 1 - 2\cos t + \cos^2 t = \dfrac{3}{2} - 2\cos t + \dfrac{1}{2}\cos 2t$ (2) $S = 3\pi$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$\frac{dx}{dt} = 1-\cos t$를 구하고 반각공식으로 $y(t)x'(t)$를 적분 가능한 형태로 전개할 수 있다.	12점
2단계	구간 $[0, 2\pi]$에서 정적분을 계산하여 사이클로이드 넓이 $3\pi$를 도출할 수 있다.	13점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[문제 1-2 감점 방지 클리닉] 사이클로이드 곡선의 정적분 넓이 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 3】 원문 요약 — [문제 2-1] 코사인법칙과 외접원·내접원 반지름 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11062 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

가) 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$와 사인법칙 $\dfrac{c}{\sin C} = 2R$이 성립한다.

(1) $\cos B$의 값과 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 구하시오. (12점)

(2) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름 $R$와 내접원의 반지름 $r$를 각각 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 3 · 총 25점

[정답 2-1] (총 20점) — 소문항 (1) 10점 / 소문항 (2) 10점

(1) 단계별 풀이 (10점): 코사인법칙에 의해 $\cos B = \dfrac{7^2 + 8^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \dfrac{49 + 64 - 25}{112} = \dfrac{88}{112} = \dfrac{11}{14}$이다. $\sin B = \sqrt{1 - (11/14)^2} = \dfrac{5\sqrt{3}}{14}$이므로 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \dfrac{5\sqrt{3}}{14} = 10\sqrt{3}$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): 사인법칙에 의해 $2R = \dfrac{5}{\sin B} = \dfrac{70}{5\sqrt{3}} = \dfrac{14}{\sqrt{3}}$이므로 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$이다. 또한 $S = \dfrac{1}{2}(7+8+5)r = 10r = 10\sqrt{3}$이므로 내접원 반지름은 $r = \sqrt{3}$이다.
답: (1) $\cos B = \dfrac{11}{14},\ S = 10\sqrt{3}$ (2) $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3},\ r = \sqrt{3}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	코사인법칙으로 $\cos B = \frac{11}{14}$와 삼각형 넓이 $10\sqrt{3}$을 도출할 수 있다.	13점
2단계	사인법칙과 내접원 넓이 공식으로 $R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$, $r = \sqrt{3}$을 구할 수 있다.	12점

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[문제 2-1 감점 방지 클리닉] 코사인법칙과 외접원·내접원 반지름 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 4】 원문 요약 — [문제 2-2] 로그함수 입체도형 단면 부피 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11062 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

나) 닫힌구간 $[a, b]$에서 단면의 넓이가 $S(x)$인 입체도형의 부피는 $V = \int_a^b S(x)\,dx$이다.

(1) 단면의 넓이 $S(x)$를 구하고, 치환적분 $u = \ln(x + 1)$을 이용하여 부피 적분식을 $u$에 대한 정적분으로 변환하시오. (12점)

(2) 부분적분법을 이용하여 입체도형의 부피 $V$를 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제6회 문항 4 · 총 25점

[정답 2-2] (총 30점) — 소문항 (1) 15점 / 소문항 (2) 15점

(1) 단계별 풀이 (15점): 정사각형의 한 변의 길이가 $y$이므로 $S(x) = y^2 = (x + 1)\{\ln(x + 1)\}^2$이다. $u = \ln(x + 1)$로 치환하면 $x + 1 = e^u, dx = e^u\,du$이므로 $V = \int_0^1 e^u u^2 e^u\,du = \int_0^1 u^2 e^{2u}\,du$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): 부분적분법을 두 번 적용하면 $\int_0^1 u^2 e^{2u}\,du = \Big[\left(\dfrac{1}{2}u^2 - \dfrac{1}{2}u + \dfrac{1}{4}\right)e^{2u}\Big]_0^1 = \dfrac{1}{4}e^2 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{e^2 - 1}{4}$이다.
답: (1) $S(x) = (x+1)\{\ln(x+1)\}^2,\ V = \int_0^1 u^2 e^{2u}\,du$ (2) $V = \dfrac{e^2 - 1}{4}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	단면 넓이 $S(x)$를 세우고 로그 치환으로 $u^2 e^{2u}$ 정적분으로 변환할 수 있다.	13점
2단계	부분적분법을 정확히 수행하여 $V = \frac{e^2 - 1}{4}$를 구할 수 있다.	12점

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[문제 2-2 감점 방지 클리닉] 로그함수 입체도형 단면 부피 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 1】 원문 요약 — [문제 1-1] 롤의 정리와 평균값 정리의 응용 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11071 | 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]

[제시문]

가) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때, 롤의 정리 및 평균값 정리가 성립한다.

[문제 1-1] 함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 답하시오.

(1) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 롤의 정리를 만족시키는 실수 $c$의 값을 구하시오. (12점)

(2) 닫힌구간 $[1, 4]$에서 평균값 정리를 만족시키는 실수 $c$의 값을 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 1 · 총 25점

[정답 1-1] (총 25점) — (1) 롤의 정리 $c$ (12점) / (2) 평균값 정리 $c$ (13점)

(1) 구간 $[0, 3]$에서 롤의 정리 적용 (12점): 다항함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$은 닫힌구간 $[0, 3]$에서 연속이고 열린구간 $(0, 3)$에서 미분가능하며 $f(0) = 1,\ f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$로 $f(0) = f(3)$을 만족시킨다 [4점].
도함수 $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0$의 해는 $x = 1$ 또는 $x = 3$이며, 열린구간 $(0, 3)$에 속하는 실수는 $c = 1$이다 [8점].
(2) 구간 $[1, 4]$에서 평균값 정리 적용 (13점): 닫힌구간 $[1, 4]$에서 연속이고 열린구간 $(1, 4)$에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의해 다음을 만족시키는 $c \in (1, 4)$가 존재한다. \[ f'(c) = \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{(64 - 96 + 36 + 1) - (1 - 6 + 9 + 1)}{3} = \frac{5 - 5}{3} = 0 \quad [7\text{점}] \] $3(c - 1)(c - 3) = 0$의 해 $c = 1,\ 3$ 중 열린구간 $(1, 4)$에 속하는 값은 $c = 3$이다 [6점].
답: (1) $c = 1$ (2) $c = 3$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$f(0)=f(3)=1$과 미분가능성을 확인하고 열린구간 $(0, 3)$ 내 $c=1$을 찾을 수 있다.	12점
2단계	평균변화율 $\frac{f(4)-f(1)}{3}=0$을 구하고 열린구간 $(1, 4)$ 내 $c=3$을 구할 수 있다.	13점

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[문제 1-1 감점 방지 클리닉] 롤의 정리와 평균값 정리의 응용 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 2】 원문 요약 — [문제 1-2] 역함수의 존재 조건과 정적분 대칭성 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11071 | 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]

[제시문]

나) 미분가능하고 일대일대응인 함수 $f(x)$에 대하여 역함수 $g(x)$의 정적분은 대칭성을 이용하여 계산한다.

[문제 1-2] 함수 $f(x) = x + \sin x$ ($0 \le x \le \pi$)의 역함수를 $g(x)$라 하자. 제시문 나)를 이용하여 답하시오.

(1) $f'(x) \ge 0$임을 보이고 $f(x)$가 일대일대응임을 서술하시오. (10점)

(2) 정적분 $\int_0^{\pi} g(y)\,dy$의 값을 구하시오. (15점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 2 · 총 25점

[정답 1-2] (총 25점) — (1) 일대일대응 증명 (10점) / (2) 역함수 정적분 계산 (15점)

(1) $f'(x) \ge 0$ 및 일대일대응 서술 (10점): 함수 $f(x) = x + \sin x$는 $[0, \pi]$에서 연속이고 미분가능하며, 도함수는 $f'(x) = 1 + \cos x$이다. 모든 실수 $x$에 대하여 $-1 \le \cos x \le 1$이므로 $f'(x) \ge 0$이다 [4점].
특히 열린구간 $(0, \pi)$에서 $\cos x \gt -1$이므로 $f'(x) \gt 0$이고, $f'(x) = 0$이 되는 점은 끝점 $x = \pi$뿐이므로 $f(x)$는 $[0, \pi]$에서 순증가한다. 또한 연속함수로서 $f(0) = 0,\ f(\pi) = \pi$이므로 사잇값 정리에 의해 치역은 $[0, \pi]$이다. 따라서 $f : [0, \pi] \to [0, \pi]$는 일대일대응이며 역함수 $g(x)$가 존재한다 [6점].
(2) 정적분 $\int_0^{\pi} g(y)\,dy$ 계산 (15점): 역함수의 그래프 $y = g(x)$는 $y = f(x)$와 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 \[ \int_0^{\pi} f(x)\,dx + \int_0^{\pi} g(y)\,dy = \pi f(\pi) - 0\cdot f(0) = \pi^2 \quad [7\text{점}] \] $\int_0^{\pi} (x + \sin x)\,dx = \Big[\dfrac{1}{2}x^2 - \cos x\Big]_0^{\pi} = \left(\dfrac{\pi^2}{2} + 1\right) - (-1) = \dfrac{\pi^2}{2} + 2$이므로 \[ \int_0^{\pi} g(y)\,dy = \pi^2 - \left(\frac{\pi^2}{2} + 2\right) = \frac{\pi^2}{2} - 2 \quad [8\text{점}] \] 답: (1) $f'(x) = 1 + \cos x \ge 0$ ($(0,\pi)$에서 양수)이므로 순증가하고 치역이 $[0, \pi]$인 일대일대응 (2) $\dfrac{\pi^2}{2} - 2$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$f'(x) = 1 + \cos x \ge 0$과 치역 $[0, \pi]$ 확인으로 일대일대응임을 엄밀히 서술할 수 있다.	10점
2단계	대칭성 관계식 $\int_0^{\pi} f(x)\,dx + \int_0^{\pi} g(y)\,dy = \pi^2$을 이용해 $\frac{\pi^2}{2}-2$를 계산할 수 있다.	15점

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[문제 1-2 감점 방지 클리닉] 역함수의 존재 조건과 정적분 대칭성 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 3】 원문 요약 — [문제 2-1] 부분분수 전개와 망원급수의 수렴 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11072 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

가) 부분분수 항등식 $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1}{2}\left\{\dfrac{1}{k(k+1)} - \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}$를 이용하여 망원급수의 합을 구할 수 있다.

[문제 2-1] 자연수 $n$에 대하여 수열 $a_n = \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, 제시문 가)를 이용하여 답하시오.

(1) $S_n$을 $n$에 대한 유리식으로 나타내시오. (12점)

(2) 무한급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$의 합을 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 3 · 총 25점

[정답 2-1] (총 20점) — 소문항 (1) 10점 / 소문항 (2) 10점

(1) 단계별 풀이 (10점): 제시문 가)에 의해 $S_n = \dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left\{\dfrac{1}{k(k+1)} - \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\right\} = \dfrac{1}{2}\left\{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\right\} = \dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): $\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2}\left\{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\right\} = \dfrac{1}{4}$이다.
답: (1) $S_n = \dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$ (2) $\dfrac{1}{4}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	망원급수 소거법을 적용하여 부분합 $S_n$을 정확히 유도할 수 있다.	13점
2단계	$n \to \infty$ 극한을 취하여 무한급수의 합 $\frac{1}{4}$을 구할 수 있다.	12점

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[문제 2-1 감점 방지 클리닉] 부분분수 전개와 망원급수의 수렴 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 4】 원문 요약 — [문제 2-2] 부분적분법과 삼각함수 정적분 점화식 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11072 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

[제시문]

나) 음이 아닌 정수 $n$에 대하여 $I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx$는 부분적분법에 의해 $I_n = \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$ ($n \ge 2$)를 만족시킨다.

[문제 2-2] 제시문 나)의 정적분 수열 $I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $I_0, I_1$의 값을 구하고 부분적분법으로 점화식이 성립함을 증명하시오. (12점)

(2) $I_4$와 $I_5$의 값을 각각 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제7회 문항 4 · 총 25점

[정답 2-2] (총 30점) — 소문항 (1) 15점 / 소문항 (2) 15점

(1) 단계별 풀이 (15점): $I_0 = \dfrac{\pi}{2}, I_1 = 1$이다. $I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^{n-1}x \sin x\,dx = \Big[-\sin^{n-1}x\cos x\Big]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}x(1-\sin^2 x)\,dx = (n-1)(I_{n-2} - I_n)$이므로 $n I_n = (n-1)I_{n-2}$가 성립한다.
(2) 단계별 풀이 (15점): 점화식에 의해 $I_4 = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot I_0 = \dfrac{3\pi}{16}$이고, $I_5 = \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot I_1 = \dfrac{8}{15}$이다.
답: (1) $I_0 = \dfrac{\pi}{2},\ I_1 = 1$ 및 점화식 유도 (2) $I_4 = \dfrac{3\pi}{16},\ I_5 = \dfrac{8}{15}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	부분적분법과 삼각함수 항등식을 결합하여 월리스 관계식을 증명할 수 있다.	13점
2단계	귀납 관계식을 반복 적용하여 $I_4 = 3pi/16$, $I_5 = 8/15$를 정확히 구할 수 있다.	12점

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[문제 2-2 감점 방지 클리닉] 부분적분법과 삼각함수 정적분 점화식 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 1】 원문 요약 — [문제 1-1] 포물선의 초점·준선과 접선의 방정식 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 11081 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

가) 포물선 $y^2 = 4px$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서 초점까지의 거리는 $x_1 + p$이고, 접선의 방정식은 $y_1 y = 2p(x + x_1)$이다.

[문제 1-1] 포물선 $y^2 = 8x$ 위의 점 $\mathrm{P}(2, 4)$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 $\mathrm{P}$에서 초점 $\mathrm{F}$까지의 거리와 접선의 방정식을 구하시오. (12점)

(2) 이 접선과 포물선의 준선 및 $x$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 1 · 총 25점

[정답 1-1] (총 25점) — (1) 초점 거리와 접선 (12점) / (2) 접선·준선·$x$축 도형 넓이 (13점)

(1) 초점까지의 거리와 접선의 방정식 (12점): 포물선 $y^2 = 8x = 4 \cdot 2x$에서 $p = 2$이므로 초점은 $\mathrm{F}(2, 0)$, 준선은 $x = -2$이다 [4점].
제시문 가)에 의해 점 $\mathrm{P}(2, 4)$에서 초점 $\mathrm{F}$까지의 거리는 $\overline{\mathrm{PF}} = x_1 + p = 2 + 2 = 4$이다 [4점].
점 $\mathrm{P}(2, 4)$에서의 접선의 방정식은 $4y = 2\cdot 2(x + 2) \iff y = x + 2$이다 [4점].
(2) 접선, 준선, $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 (13점): 접선 $y = x + 2$, 준선 $x = -2$, $x$축 $y = 0$의 교점을 각각 구하면 \[ \text{접선과 } x\text{축: } (-2, 0), \quad \text{접선과 준선: } (-2, 0), \quad \text{준선과 } x\text{축: } (-2, 0) \quad [8\text{점}] \] 세 직선이 모두 한 점 $(-2, 0)$에서 만나므로 비퇴화 삼각형을 이루지 않으며, 둘러싸인 영역의 넓이는 $0$이다 [5점].
답: (1) 거리 $4$, 접선 $y = x + 2$ (2) 세 직선이 한 점 $(-2, 0)$에서 만나 넓이는 $0$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$p=2$를 찾아 거리 $\overline{\mathrm{PF}}=4$와 접선 $y = x + 2$를 정확히 구할 수 있다.	12점
2단계	접선·준선($x=-2$)·$x$축의 세 교점이 모두 $(-2, 0)$으로 일치함을 확인하여 넓이 $0$을 판정할 수 있다.	13점

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[문제 1-1 감점 방지 클리닉] 포물선의 초점·준선과 접선의 방정식 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 2】 원문 요약 — [문제 1-2] 삼차함수의 극값과 실근의 개수 추론 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 11081 | 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

나) 다항함수의 도함수의 부호 변화와 이계도함수를 분석하여 극값을 판정한다.

[문제 1-2] 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 $f(0) = 0, f'(1) = 0, f'(3) = 0$을 만족시킨다.

(1) 함수 $f(x)$의 식을 구하고 극댓값과 극솟값을 구하시오. (12점)

(2) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나는 정수 $k$의 개수를 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 2 · 총 25점

[정답 1-2] (총 25점) — (1) $f(x)$ 식과 극값 (12점) / (2) 서로 다른 세 교점 정수 $k$ 개수 (13점)

(1) 함수 $f(x)$와 극댓값·극솟값 (12점): 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$는 최고차항의 계수가 $3$이고 $f'(1) = f'(3) = 0$이므로 \[ f'(x) = 3(x - 1)(x - 3) = 3x^2 - 12x + 9 \quad [4\text{점}] \] 부정적분하고 $f(0) = 0$을 적용하면 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$이다 [4점].
$f'(x)$의 부호가 $x = 1$ 좌우에서 양에서 음으로, $x = 3$ 좌우에서 음에서 양으로 바뀌므로 극댓값은 $f(1) = 4$, 극솟값은 $f(3) = 0$이다 [4점].
(2) 서로 다른 세 점에서 만나는 정수 $k$의 개수 (13점): 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나려면 $k$가 극솟값과 극댓값 사이에 있어야 하므로 \[ 0 \lt k \lt 4 \quad [8\text{점}] \] 이를 만족시키는 정수 $k$는 $1,\ 2,\ 3$으로 총 $3$개이다 [5점].
답: (1) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$, 극댓값 $4$, 극솟값 $0$ (2) $3$개

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$f'(x) = 3(x-1)(x-3)$과 $f(0)=0$으로 $f(x)$를 구하고 극댓값 4, 극솟값 0을 도출할 수 있다.	12점
2단계	극값을 이용해 세 실근 조건 $0 \lt k \lt 4$를 세우고 정수 $k$의 개수 $3$개를 구할 수 있다.	13점

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[문제 1-2 감점 방지 클리닉] 삼차함수의 극값과 실근의 개수 추론 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 3】 원문 요약 — [문제 2-1] 정적분 방정식과 이계도함수 유도 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 11082 | 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문]

가) 미분가능한 함수 $f(x)$가 $\int_a^x (x - t)f(t)\,dt = g(x)$를 만족시킬 때, 두 번 미분하면 $f(x) = g''(x)$이다.

[문제 2-1] 연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_0^x (x - t)f(t)\,dt = x^4 - 2x^3 + ax^2$을 만족시킬 때, 제시문 가)를 이용하여 답하시오.

(1) 양변을 $x$에 대하여 한 번 미분한 도함수 식을 구하고 상수 $a$의 값을 구하시오. (12점)

(2) 함수 $f(x)$를 구하고 $f(2)$의 값을 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 3 · 총 25점

[정답 2-1] (총 20점) — 소문항 (1) 10점 / 소문항 (2) 10점

(1) 단계별 풀이 (10점): $\int_0^x (x - t)f(t)\,dt = x\int_0^x f(t)\,dt - \int_0^x t f(t)\,dt$의 양변을 미분하면 $\int_0^x f(t)\,dt = 4x^3 - 6x^2 + 2ax$이다. 다시 미분하면 $f(x) = 12x^2 - 12x + 2a$이며, 첫 미분식에 $x=0$을 대입하면 $0=0$으로 임의의 $a$에서 성립하고, 조건 $f(0) = 4$가 주어질 때 $2a = 4 \implies a = 2$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): $f(x) = 12x^2 - 12x + 2a$이므로 $f(2) = 48 - 24 + 2a = 24 + 2a$ ($a=2$일 때 $28$)이다.
답: (1) $\int_0^x f(t)\,dt = 4x^3 - 6x^2 + 2ax$ (2) $f(x) = 12x^2 - 12x + 2a,\ f(2) = 24 + 2a$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	정적분으로 정의된 함수를 곱의 미분법으로 정확히 미분할 수 있다.	13점
2단계	두 번 미분하여 $f(x) = 12x^2 - 12x + 2a$ 및 f(2)를 도출할 수 있다.	12점

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[문제 2-1 감점 방지 클리닉] 정적분 방정식과 이계도함수 유도 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 4】 원문 요약 — [문제 2-2] 이차곡선과 직선의 넓이 및 극한 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 11082 | 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문]

나) 포물선 $y = ax^2 + bx + c$와 직선 $y = mx + n$의 교점이 $\alpha, \beta$일 때, 넓이는 $S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$이다.

(1) 곡선과 직선의 두 교점의 $x$좌표를 $n$으로 나타내고, $S_n$을 $n$에 대한 식으로 구하시오. (12점)

(2) 무한급수 $\sum_{n=1}^\infty n(n+1)S_n$의 수렴 여부를 판정하고, $\lim_{n \to \infty} n^3 S_n$의 값을 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제8회 문항 4 · 총 25점

[정답 2-2] (총 30점) — 소문항 (1) 15점 / 소문항 (2) 15점

(1) 단계별 풀이 (15점): $x^2 - \dfrac{1}{n}x - \dfrac{2}{n^2} = \left(x - \dfrac{2}{n}\right)\left(x + \dfrac{1}{n}\right) = 0$에서 두 교점의 $x$좌표는 $-\dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}$이다. 따라서 $S_n = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{2}{n} - \left(-\dfrac{1}{n}\right)\right)^3 = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{3}{n}\right)^3 = \dfrac{9}{2n^3}$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): 모든 자연수 $n$에 대하여 $n(n+1)S_n = \dfrac{9(n+1)}{2n^2} \gt \dfrac{9}{2n}$이고 조화급수 $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}$이 발산하므로 비교판정법에 의해 무한급수 $\sum_{n=1}^\infty n(n+1)S_n$은 발산한다. 또한 $n^3 S_n = \dfrac{9}{2}$이므로 $\lim_{n \to \infty} n^3 S_n = \dfrac{9}{2}$이다.
답: (1) 교점 $-\dfrac{1}{n},\ \dfrac{2}{n}$, $S_n = \dfrac{9}{2n^3}$ (2) 급수는 발산, $\lim_{n \to \infty} n^3 S_n = \dfrac{9}{2}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	이차방정식을 인수분해하여 교점과 넓이 $S_n = \frac{9}{2n^3}$을 구할 수 있다.	13점
2단계	극한 성질을 이용하여 $\lim n^3 S_n = \frac{9}{2}$를 정확히 도출할 수 있다.	12점

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[문제 2-2 감점 방지 클리닉] 이차곡선과 직선의 넓이 및 극한 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 1】 원문 요약 — [문제 1-1] 타원의 정의와 초점 삼각형의 기하 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11091 | 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

[문제 1-1] 타원 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$의 두 초점을 $\mathrm{F}, \mathrm{F}'$이라 하자. 제시문 가)를 이용하여 답하시오.

(1) 두 초점 $\mathrm{F}, \mathrm{F}'$의 좌표와 장축의 길이를 구하시오. (12점)

(2) 타원 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{PF}\mathrm{F}'$의 둘레의 길이를 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 1 · 총 25점

[정답 1-1] (총 25점) — (1) 초점 좌표와 장축의 길이 (12점) / (2) $\triangle\mathrm{PFF}'$ 둘레 (13점)

(1) 두 초점의 좌표와 장축의 길이 (12점): 타원 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$에서 $a^2 = 25,\ b^2 = 16$ ($a = 5,\ b = 4$)이므로 \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 16} = 3 \quad [6\text{점}] \] 따라서 두 초점의 좌표는 $\mathrm{F}(3, 0),\ \mathrm{F}'(-3, 0)$이고 장축의 길이는 $2a = 10$이다 [6점].
(2) 삼각형 $\mathrm{PFF}'$의 둘레의 길이 (13점): 타원의 정의에 의해 타원 위의 임의의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 두 초점까지의 거리의 합은 $\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF}'} = 2a = 10$으로 일정하다 [7점].
또한 두 초점 사이의 거리는 $\overline{\mathrm{FF}'} = 2c = 6$이므로 삼각형 $\mathrm{PFF}'$의 둘레의 길이는 $10 + 6 = 16$이다 [6점].
답: (1) $\mathrm{F}(3, 0),\ \mathrm{F}'(-3, 0)$, 장축의 길이 $10$ (2) $16$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	$a=5,\ b=4$에서 $c=3$을 구하여 초점 $(\pm 3, 0)$과 장축 길이 $10$을 도출할 수 있다.	12점
2단계	타원의 정의 $\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF}'}=10$과 초점거리 $6$을 합하여 둘레 $16$을 구할 수 있다.	13점

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[문제 1-1 감점 방지 클리닉] 타원의 정의와 초점 삼각형의 기하 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 2】 원문 요약 — [문제 1-2] 타원의 접선의 방정식과 둘러싸인 넓이 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11091 | 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

나) 타원 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} + \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

[문제 1-2] 위 타원 위의 제1사분면에 있는 점 $\mathrm{P}\left(3, \dfrac{16}{5}\right)$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 다음을 구하시오.

(1) 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 방정식을 구하시오. (12점)

(2) 이 접선의 $x$절편과 $y$절편을 구하고, 두 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 2 · 총 25점

[정답 1-2] (총 25점) — (1) 타원의 접선의 방정식 (12점) / (2) 절편과 삼각형 넓이 (13점)

(1) 점 $\mathrm{P}\left(3, \dfrac{16}{5}\right)$에서의 접선의 방정식 (12점): 제시문 나)의 접선 공식에 $a^2 = 25,\ b^2 = 16,\ (x_1, y_1) = \left(3, \dfrac{16}{5}\right)$을 대입하면 \[ \frac{3x}{25} + \frac{\frac{16}{5}y}{16} = 1 \iff \frac{3}{25}x + \frac{1}{5}y = 1 \quad (\text{또는 } 3x + 5y = 25) \quad [12\text{점}] \] (2) $x$절편, $y$절편 및 삼각형의 넓이 (13점): $y = 0$을 대입하면 $x$절편은 $\dfrac{25}{3}$이고, $x = 0$을 대입하면 $y$절편은 $5$이다 [6점].
따라서 접선과 두 좌표축으로 둘러싸인 직각삼각형의 넓이는 \[ S = \frac{1}{2} \times \frac{25}{3} \times 5 = \frac{125}{6} \quad [7\text{점}] \] 답: (1) $\dfrac{3}{25}x + \dfrac{1}{5}y = 1$ ($3x + 5y = 25$) (2) $x$절편 $\dfrac{25}{3}$, $y$절편 $5$, 넓이 $\dfrac{125}{6}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	타원의 접선 공식을 적용하여 접선 방정식 $3x + 5y = 25$를 정확히 구할 수 있다.	12점
2단계	$x$절편 $\frac{25}{3}$, $y$절편 $5$를 구하여 삼각형의 넓이 $\frac{125}{6}$을 계산할 수 있다.	13점

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[문제 1-2 감점 방지 클리닉] 타원의 접선의 방정식과 둘러싸인 넓이 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 3】 원문 요약 — [문제 2-1] 사차함수의 대칭성과 극값 및 정적분 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11092 | 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

[문제 2-1] 사차함수 $f(x) = x^4 - 8x^2 + 16$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하시오. (12점)

(2) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 16$으로 둘러싸인 두 영역의 넓이의 합을 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 3 · 총 25점

[정답 2-1] (총 20점) — 소문항 (1) 10점 / 소문항 (2) 10점

(1) 단계별 풀이 (10점): $f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x - 2)(x + 2) = 0$에서 $x = 0$일 때 극댓값 $f(0) = 16$을 갖고, $x = \pm 2$일 때 극솟값 $f(\pm 2) = 0$을 갖는다.
(2) 단계별 풀이 (10점): $f(x) = 16 \iff x^4 - 8x^2 = x^2(x^2 - 8) = 0$에서 교점은 $x = 0, \pm 2\sqrt{2}$이다. 우함수 대칭성에 의해 넓이의 합은 $2\int_0^{2\sqrt{2}} (16 - (x^4 - 8x^2 + 16))\,dx = 2\int_0^{2\sqrt{2}} (8x^2 - x^4)\,dx = 2\Big[\dfrac{8}{3}x^3 - \dfrac{1}{5}x^5\Big]_0^{2\sqrt{2}} = \dfrac{256\sqrt{2}}{15}$이다.
답: (1) 극댓값 $16$, 극솟값 $0$ (2) $\dfrac{256\sqrt{2}}{15}$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	도함수 인수분해를 통해 극댓값 16과 극솟값 0을 정확히 구할 수 있다.	13점
2단계	우함수 대칭성과 정적분을 이용하여 둘러싸인 넓이 $\frac{256\sqrt{2}}{15}$를 구할 수 있다.	12점

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[문제 2-1 감점 방지 클리닉] 사차함수의 대칭성과 극값 및 정적분 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 4】 원문 요약 — [문제 2-2] 정적분 함수의 극값과 절댓값 함수 최적화 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11092 | 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]

나) 미분가능한 함수 $g(x)$에 대하여 $G(x) = \int_a^x g(t)\,dt$라 하면 $G'(x) = g(x)$이다.

[문제 2-2] 이차함수 $g(t) = 3t^2 - 12t + 9$에 대하여 정적분으로 정의된 함수 $G(x) = \int_0^x g(t)\,dt$가 있다. 제시문 나)를 이용하여 답하시오.

(1) 함수 $G(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오. (12점)

(2) 닫힌구간 $[0, 4]$에서 함수 $|G(x) - 2|$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제9회 문항 4 · 총 25점

[정답 2-2] (총 30점) — 소문항 (1) 15점 / 소문항 (2) 15점

(1) 단계별 풀이 (15점): $G'(x) = g(x) = 3(x - 1)(x - 3) = 0$이고 $G(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$이다. 따라서 $x = 1$에서 극댓값 $G(1) = 4$, $x = 3$에서 극솟값 $G(3) = 0$을 갖는다.
(2) 단계별 풀이 (15점): 구간 $[0, 4]$에서 $G(0) = 0, G(1) = 4, G(3) = 0, G(4) = 4$이므로 $G(x)$의 치역은 $[0, 4]$이다. 따라서 $|G(x) - 2|$는 $G(x) = 2$일 때 최솟값 $0$, $G(x) = 0$ 또는 $4$일 때 최댓값 $2$를 갖는다.
답: (1) 극댓값 $4$, 극솟값 $0$ (2) 최댓값 $2$, 최솟값 $0$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	정적분과 미분의 관계를 이용하여 G(x)의 극댓값 4와 극솟값 0을 구할 수 있다.	13점
2단계	구간 [0, 4]에서 G(x)의 치역 [0, 4]를 분석하여 \|G(x)-2\|의 최댓값 2, 최솟값 0을 도출할 수 있다.	12점

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[문제 2-2 감점 방지 클리닉] 정적분 함수의 극값과 절댓값 함수 최적화 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 1】 원문 요약 — [문제 1-1] 공간좌표에서 평면의 방정식과 수선의 발 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11101 | 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]

[제시문]

가) 점 $\mathrm{A}(x_1, y_1, z_1)$을 지나고 법선벡터가 $\vec{n} = (a, b, c)$인 평면의 방정식은 $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$이다.

(1) 평면 $\alpha$의 방정식을 구하시오. (12점)

(2) 원점 $\mathrm{O}(0, 0, 0)$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발 $\mathrm{H}$의 좌표를 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 1 · 총 25점

[정답 1-1] (총 25점) — (1) 평면 $\alpha$의 방정식 (12점) / (2) 수선의 발 $\mathrm{H}$의 좌표 (13점)

(1) 평면 $\alpha$의 방정식 (12점): 점 $\mathrm{A}(1, 2, -1)$을 지나고 법선벡터가 $\vec{n} = (2, -1, 2)$이므로 제시문 가)에 의해 \[ 2(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z + 1) = 0 \iff 2x - y + 2z + 2 = 0 \quad [12\text{점}] \] (2) 원점 $\mathrm{O}$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발 $\mathrm{H}$의 좌표 (13점): 직선 $\mathrm{OH}$는 원점 $\mathrm{O}(0, 0, 0)$을 지나고 법선벡터 $\vec{n} = (2, -1, 2)$에 평행하므로 실수 $t$에 대하여 $\mathrm{H}(2t, -t, 2t)$로 놓을 수 있다 [5점].
점 $\mathrm{H}$는 평면 $\alpha$ 위의 점이므로 평면의 방정식에 대입하면 \[ 2(2t) - (-t) + 2(2t) + 2 = 0 \iff 9t + 2 = 0 \implies t = -\frac{2}{9} \quad [4\text{점}] \] 따라서 수선의 발의 좌표는 $\mathrm{H}\left(-\dfrac{4}{9},\ \dfrac{2}{9},\ -\dfrac{4}{9}\right)$이다 [4점].
답: (1) $2x - y + 2z + 2 = 0$ (2) $\mathrm{H}\left(-\dfrac{4}{9},\ \dfrac{2}{9},\ -\dfrac{4}{9}\right)$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	법선벡터와 지나는 점을 이용해 평면 방정식 $2x - y + 2z + 2 = 0$을 구할 수 있다.	12점
2단계	법선벡터 방향의 매개변수 표현 $(2t, -t, 2t)$와 평면 교점 조건으로 수선의 발 $\mathrm{H}$를 구할 수 있다.	13점

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[문제 1-1 감점 방지 클리닉] 공간좌표에서 평면의 방정식과 수선의 발 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 2】 원문 요약 — [문제 1-2] 구와 평면의 위치관계 및 교선 원의 넓이 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11101 | 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]

[제시문]

나) 점 $\mathrm{P}(x_0, y_0, z_0)$과 평면 $ax + by + cz + d = 0$ 사이의 거리는 $\dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$이다.

[문제 1-2] 공간에서 구 $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z - 3 = 0$과 평면 $\alpha : 2x - y + 2z - 1 = 0$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 답하시오.

(1) 구의 중심 $\mathrm{C}$와 반지름 $R$를 구하고, 점 $\mathrm{C}$와 평면 $\alpha$ 사이의 거리 $d$를 구하시오. (12점)

(2) 구와 평면 $\alpha$가 만나서 생기는 원의 넓이를 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 2 · 총 25점

[정답 1-2] (총 25점) — (1) 구의 중심·반지름 및 거리 $d$ (12점) / (2) 교선 원의 넓이 (13점)

(1) 구의 중심 $\mathrm{C}$, 반지름 $R$, 거리 $d$ (12점): 구의 방정식을 완전제곱식으로 변형하면 \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 1 + 4 + 1 + 3 = 9 = 3^2 \quad [5\text{점}] \] 따라서 구의 중심은 $\mathrm{C}(1, 2, -1)$, 반지름은 $R = 3$이다 [3점].
제시문 나)를 이용하여 중심 $\mathrm{C}(1, 2, -1)$과 평면 $\alpha : 2x - y + 2z - 1 = 0$ 사이의 거리 $d$를 구하면 \[ d = \frac{|2\cdot 1 - 1\cdot 2 + 2\cdot (-1) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|-3|}{3} = 1 \quad [4\text{점}] \] (2) 교선 원의 넓이 (13점): $d = 1 \lt 3 = R$이므로 구와 평면 $\alpha$가 만나서 생기는 원의 반지름 $r$는 피타고라스 정리에 의해 \[ r^2 = R^2 - d^2 = 3^2 - 1^2 = 8 \quad [7\text{점}] \] 따라서 교선 원의 넓이는 $\pi r^2 = 8\pi$이다 [6점].
답: (1) $\mathrm{C}(1, 2, -1),\ R = 3,\ d = 1$ (2) $8\pi$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	완전제곱식으로 중심 $(1, 2, -1)$, 반지름 $3$을 찾고 평면까지의 거리 $d=1$을 구할 수 있다.	12점
2단계	관계식 $r^2 = R^2 - d^2 = 8$을 이용해 교선 원의 넓이 $8\pi$를 계산할 수 있다.	13점

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[문제 1-2 감점 방지 클리닉] 구와 평면의 위치관계 및 교선 원의 넓이 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 1-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 3】 원문 요약 — [문제 2-1] 속도·가속도와 이동거리 정적분 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11102 | 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문]

(1) 출발 후 점 $\mathrm{P}$가 운동 방향을 바꾸는 시각에서 점 $\mathrm{P}$의 가속도와 위치를 구하시오. (12점)

(2) 시각 $t = 0$에서 $t = 3$까지 점 $\mathrm{P}$가 실제로 움직인 거리를 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 3 · 총 25점

[정답 2-1] (총 20점) — 소문항 (1) 10점 / 소문항 (2) 10점

(1) 단계별 풀이 (10점): $v_1(t) = 3t(t - 2) = 0$ ($t \gt 0$)에서 운동 방향을 바꾸는 시각은 $t = 2$이다. 가속도는 $a_1(t) = 6t - 6$이므로 $a_1(2) = 6$이고, 위치는 $x_1(2) = \int_0^2 (3t^2 - 6t)\,dt = \Big[t^3 - 3t^2\Big]_0^2 = -4$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): 움직인 거리는 $\int_0^2 -(3t^2 - 6t)\,dt + \int_2^3 (3t^2 - 6t)\,dt = 4 + \Big[t^3 - 3t^2\Big]_2^3 = 4 + (0 - (-4)) = 8$이다.
답: (1) $t = 2$, 가속도 $6$, 위치 $-4$ (2) 거리 $8$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	속도의 부호 변화를 통해 $t = 2$에서의 가속도 $6$과 위치 $-4$를 구할 수 있다.	13점
2단계	절댓값 정적분을 구간별로 계산하여 실제 이동 거리 8을 도출할 수 있다.	12점

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[문제 2-1 감점 방지 클리닉] 속도·가속도와 이동거리 정적분 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-1]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

【문제 4】 원문 요약 — [문제 2-2] 두 동점 사이의 거리와 위치 변화량 [배점 25점]

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11102 | 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[제시문]

나) 시각 $t$에서 두 동점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 위치가 각각 $x_1(t), x_2(t)$일 때, 두 점이 만나는 시각은 $x_1(t) = x_2(t)$의 해이다.

[문제 2-2] 위와 동일한 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 출발 후 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 다시 만나는 시각 $t$ ($t \gt 0$)를 구하시오. (12점)

(2) 출발 후 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 다시 만날 때까지 두 점 사이의 거리 $|x_1(t) - x_2(t)|$의 최댓값을 구하시오. (13점)

✍️ 문제 원문을 독립 풀이한 뒤 공식 모범답안과 단계별 채점 루브릭을 대조하십시오.

📘 교과서 기반 공식 모범답안 (Step-by-Step Model Solution) 제10회 문항 4 · 총 25점

[정답 2-2] (총 30점) — 소문항 (1) 15점 / 소문항 (2) 15점

(1) 단계별 풀이 (15점): $x_1(t) = t^3 - 3t^2$, $x_2(t) = 3t^2 - 9t$이므로 $x_1(t) = x_2(t) \iff t^3 - 6t^2 + 9t = t(t - 3)^2 = 0$이다. 따라서 출발 후 다시 만나는 시각은 $t = 3$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): $D(t) = |t^3 - 6t^2 + 9t| = t(t - 3)^2$ ($0 \le t \le 3$)라 하면 $D'(t) = (t - 1)(3t - 9) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$에서 $t = 1$일 때 극대이자 최대이므로 최댓값은 $D(1) = 1 \cdot (-2)^2 = 4$이다.
답: (1) $t = 3$ (2) 최댓값 $4$

📊 단계별 채점 기준표 (Scoring Rubric · 총 25점)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	두 점의 위치 함수를 적분으로 구하고 방정식을 풀어 $t = 3$을 도출할 수 있다.	13점
2단계	거리 함수 $D(t) = t(t-3)^2$의 극댓값을 구하여 최댓값 4를 도출할 수 있다.	12점

👨‍🏫 선생님의 족집게 논술 CLINIC

[문제 2-2 감점 방지 클리닉] 두 동점 사이의 거리와 위치 변화량 적용 시 정의역·구간 경계 조건과 중간 도함수·적분 상수를 명확히 표기해야 25점 만점을 방어할 수 있습니다.

[문제 2-2]소문항별 최종 정해 및 배점 기준 완결

🎯 전형 방식: 논술 100% 일괄합산 (수능최저학력기준 적용) 📌 수능최저 기준: 국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내

희망 지원 모집단위 선택

수능최저학력기준 충족 여부 체크 (국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내)

문항 1 (25점)

문항 2 (25점)

문항 3 (25점)

문항 4 (25점)

합산 환산 총점 (100점 만점) 0.0 / 100점

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모집단위	모집인원	명목경쟁률	실질경쟁률	최초합 평균	70% 충원컷	수능최저 기준	실시간 합격 판정
항공운항학과	-	-	-	88.5점	85.2점	국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내	판정 대기
항공우주공학과	-	-	-	85.4점	82.5점	국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내	판정 대기
소프트웨어학과	-	-	-	84.8점	81.8점	국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내	판정 대기
AI자율주행시스템공학과	-	-	-	84.2점	81.2점	국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내	판정 대기
스마트드론공학과	-	-	-	83.6점	80.6점	국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내	판정 대기
전기전자공학과	-	-	-	83.2점	80.2점	국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내	판정 대기
기계공학과	-	-	-	82.5점	79.5점	국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내	판정 대기
컴퓨터공학과	-	-	-	83.8점	80.8점	국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내	판정 대기
신소재공학과	-	-	-	81.6점	78.6점	국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내	판정 대기
항공교통물류학부(항공교통)	-	-	-	84.0점	81.0점	국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내	판정 대기
항공교통물류학부(물류)	-	-	-	82.0점	79.0점	국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내	판정 대기
항공경영학과(이학적성)	-	-	-	81.8점	78.8점	국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내	판정 대기
공과대학(통합모집)	-	-	-	82.2점	79.2점	국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내	판정 대기
AI융합대학(통합모집)	-	-	-	83.0점	80.0점	국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내	판정 대기
자유전공학부(공학·이학)	-	-	-	82.4점	79.4점	국·수·영·탐(1) 중 2개 영역 등급 합 6 이내	판정 대기

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📋 실전 모의고사 1회~10회 회차별 자기주도 성취도 기록표 (인쇄용 체크시트)

회차	실전 응시일	소요 시간	원점수 / 100점
제1회	2026. . .	분	/ 100
제2회	2026. . .	분	/ 100
제3회	2026. . .	분	/ 100
제4회	2026. . .	분	/ 100
제5회	2026. . .	분	/ 100
제6회	2026. . .	분	/ 100
제7회	2026. . .	분	/ 100
제8회	2026. . .	분	/ 100
제9회	2026. . .	분	/ 100
제10회	2026. . .	분	/ 100

RULE 1

원칙 1. 교과서 정의·정리 우선 선언
답안 첫 줄에 사용할 교과서 정리(사잇값 정리, 평균값 정리, 미분가능성 정의, 조건부확률 곱셈정리 등)를 명시하여 1단계 배점(30%)을 확정하십시오.

RULE 2

원칙 2. 대학 미적분학 과정 공식 사용 철저 배제
고교 교육과정을 벗어난 대학 과정 정리나 무근거 근사식 사용은 채점 기준에서 감점 또는 무효 처리되므로 반드시 교과서 성질만으로 논증하십시오.

RULE 3

원칙 3. 동치 변형과 정의역·부호 경계 조건 명시
로그의 밑·진수 조건, 무리식·분수식의 분모 조건, 치환 변수의 새로운 범위(예: $-1 \le t \le 1$)를 빠짐없이 기록하십시오.

RULE 4

원칙 4. 소문항 간 단계적 연계 구조 활용
앞선 소문항 (1)의 결론은 소문항 (2), (3)을 해결하는 핵심 힌트입니다. (1)이 막히더라도 (1)의 결과를 가정하고 (2)의 식을 세우면 부분점수를 획득할 수 있습니다.

RULE 5

원칙 5. 도형·그래프 보조 문자의 명확한 정의
답안지에 새로운 점·각·길이를 도입할 때는 '점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하자'와 같이 기호의 정의를 한 문장으로 선언하십시오.

RULE 6

원칙 6. 실전 시간 배분 및 검산 루틴 엄수
전체 시험 시간(90분) 중 마지막 10분은 부호 오류, 기약분수 약분 여부, 최종 답란 이기 누락을 점검하는 전용 검산 시간으로 확보하십시오.

RULE 7

원칙 7. 깔끔한 단락 구분과 최종 결론 강조
단계별 번호([1단계], [2단계], [결론])를 줄바꿈하여 가독성을 높이고 최종 수식을 명확히 제시하여 채점위원이 즉시 득점 포인트를 확인하게 하십시오.

📘 2027학년도 한국항공대학교 수리논술 10회분 통합 마스터 문제집·해설집

• 편찬 및 발행: 퀘스티오(QUESTIO) 수리논술·약술형논술 연구소 | 공식 플랫폼: https://questio.co.kr

• 상호: 퀘스티오(QUESTIO) | 대표자: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449

• 교육과정 준거: 교과서 기반 수학과 교육과정 (Textbook DB V1.0 · JEV-REA-ARGON 7대 무결성 검증 통과)

\(x\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(\sqrt{6}-1\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\((2)\)	\(\searrow\)	\(2\sqrt{6}-5\)	\(\nearrow\)

\(t\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(\frac{2}{3}\)	\(\cdots\)	\(2\)
\(g'(t)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(g(t)\)	\(1\)	\(\nearrow\)	\(\frac{40}{27}\)	\(\searrow\)	\(-4\)

\(x\)	\(\cdots\)	\(-1\)
\(f'(x)\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(\nearrow\)	\((0)\)

\(x\)	\(-1\)	\(\cdots\)	\(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)	\(\cdots\)	\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)	\(\cdots\)	\(1\)
\(f'(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(f(x)\)	\(0\)	\(\searrow\)	\(-\frac{2\sqrt{3}}{9}\)	\(\nearrow\)	\(\frac{2\sqrt{3}}{9}\)	\(\searrow\)	\((0)\)

\(x\)	\(1\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)		\(+\)
\(f(x)\)	\(0\)	\(\nearrow\)

\(x\)	\(\cdots\)	\(4\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(\searrow\)	\(-e^4\)	\(\nearrow\)

\(a\)	\((2)\)	\(\cdots\)	\(\sqrt{6}\)	\(\cdots\)
\(h'(a)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(h(a)\)		\(\searrow\)	\(-16\sqrt{6} + \frac{8}{3}\)	\(\nearrow\)

\(t\)	\((\sqrt{2})\)	\(\cdots\)	\(\sqrt{3}\)	\(\cdots\)	\(2\)	\(\cdots\)	\(3\)	\(\cdots\)
\(h'(t)\)		\(+\)	\(+\)	\(+\) (증가)	\(0\)	\(-\) (감소)	\(-\)	\(-\)
\(h(t) = \overline{\mathrm{LM}}\)		\(\nearrow\)	\(\frac{3+4\sqrt{3}}{3} - \ln 3\)	\(\nearrow\)	극대 \(3 - \ln 2\)	\(\searrow\)	\(\frac{7}{3} - \ln\frac{9}{7}\)	\(\searrow\)

\(x\)	\(\cdots\)	\(-\sqrt{2}\)	\(\cdots\)	\(\sqrt{2}\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(f(x)\)	\(\searrow\)	극소 (\(-4\sqrt{2}\))	\(\nearrow\)	극대 (\(4\sqrt{2}\))	\(\searrow\)

\(x\)	\(\cdots\)	\(-\sqrt{\frac{2}{3}}\)	\(\cdots\)	\(\sqrt{\frac{2}{3}}\)	\(\cdots\)
\(g'(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(g(x)\)	\(\searrow\)	\(-\frac{4\sqrt{6}}{9}\)	\(\nearrow\)	\(\frac{4\sqrt{6}}{9}\)	\(\searrow\)

\(\alpha\)	\(\cdots\)	\(-\frac{3}{4}\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)
\(S'(\alpha)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(+\)
\(S(\alpha)\)	\(\searrow\)	극소 \(-\frac{9}{64}\)	\(\nearrow\)	\(0\)	\(\nearrow\)

\(b\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(\frac{4}{3}\)	\(\cdots\)	\(2\)
\(g'(b)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(g(b)\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(\frac{32}{27}\)	\(\searrow\)	\(0\)

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[\(x\)] \((0)\)	7점
2단계	[\(f'(x)\)]	36점
3단계	[\(f(x)\)]	7점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	[\(x\)] \(\cdots\)	16점
2단계	[\(f'(x)\)] \(+\)	17점
3단계	[\(f(x)\)] \(\nearrow\)	17점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	\(f'(x) \gt 0\)으로 일대일대응임을 확인하고 \(g(1)=0,\ g'(1)=\frac{1}{3}\)을 구할 수 있다.	12점
2단계	합성함수 미분법으로 \(h'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}\)를 세워 \(h'(0)=3\)을 구할 수 있다.	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	도함수 \(f_1'(x) = (1-x)e^{-x}\)의 부호 변화를 조사하여 \(x=1\)에서 극댓값 \(\frac{1}{e}\)을 구할 수 있다.	12점
2단계	부분분수 소거로 부분합 \(S_n = 1 - \frac{1}{n+1}\)을 세우고 극한값 \(1\)을 도출할 수 있다.	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	\(f'(x),\ f''(x)\)를 구하고 부호 변화 확인을 통해 두 변곡점의 좌표를 정확히 구할 수 있다.	12점
2단계	\(x \to \pm\infty\) 극한과 \(f'(x)=0\)에서의 극솟값·극댓값을 각각 판정하여 계산할 수 있다.	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	급수 \(\sum \frac{k^2}{n^3}\)를 정적분 \(\int_0^1 x^2\,dx\)로 변환하여 \(\frac{1}{3}\)을 구할 수 있다.	12점
2단계	급수를 \(\int_0^1 \sqrt{1+2x}\,dx\)로 변환하고 치환적분으로 \(\frac{3\sqrt{3}-1}{3}\)을 계산할 수 있다.	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	음함수 미분법으로 \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1}{2y_1}\)을 유도할 수 있다.	12점
2단계	점 \((\sqrt{2}, 1)\)에서의 접선과 \(x,\ y\)절편을 구하여 삼각형의 넓이 \(2\sqrt{2}\)를 구할 수 있다.	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	\(\frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt}\)를 구하고 삼각함수 항등식으로 제곱합을 \(9\sin^2 t\cos^2 t\)로 정리할 수 있다.	12점
2단계	구간 \([0, \frac{\pi}{2}]\)의 부호를 확인하여 곡선의 길이 \(\frac{3}{2}\)를 정확히 적분할 수 있다.	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	\(f(0)=0,\ f(2)=10\)을 구하여 역함수 정적분의 적분 구간 대응을 세울 수 있다.	8점
2단계	다항함수의 정적분 \(\int_0^2 (x^3+x)\,dx = 6\)을 정확히 계산할 수 있다.	8점
3단계	역함수 정적분 항등식을 적용하여 \(\int_0^{10} g(x)\,dx = 14\)를 도출할 수 있다.	9점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	삼각치환 \(x = a\sin\theta\)와 구간·부호 조건으로 \(a^2\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta\)를 유도할 수 있다.	12점
2단계	반각공식을 적용하여 정적분 값 \(\frac{\pi}{4}a^2\)를 정확히 계산할 수 있다.	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	도함수의 부호로 극댓값 4, 극솟값 0과 점 (0, 2)에서의 접선 \(y=-3x+2\)를 구할 수 있다.	12점
2단계	방정식 \(f(x)=4\)의 교점 \(x=-1,\ 2\)를 찾고 정적분으로 넓이 \(\frac{27}{4}\)를 구할 수 있다.	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	\(\frac{dx}{dt} = 1-\cos t\)를 구하고 반각공식으로 \(y(t)x'(t)\)를 적분 가능한 형태로 전개할 수 있다.	12점
2단계	구간 \([0, 2\pi]\)에서 정적분을 계산하여 사이클로이드 넓이 \(3\pi\)를 도출할 수 있다.	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	\(f(0)=f(3)=1\)과 미분가능성을 확인하고 열린구간 \((0, 3)\) 내 \(c=1\)을 찾을 수 있다.	12점
2단계	평균변화율 \(\frac{f(4)-f(1)}{3}=0\)을 구하고 열린구간 \((1, 4)\) 내 \(c=3\)을 구할 수 있다.	13점

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평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	\(f'(x) = 1 + \cos x \ge 0\)과 치역 \([0, \pi]\) 확인으로 일대일대응임을 엄밀히 서술할 수 있다.	10점
2단계	대칭성 관계식 \(\int_0^{\pi} f(x)\,dx + \int_0^{\pi} g(y)\,dy = \pi^2\)을 이용해 \(\frac{\pi^2}{2}-2\)를 계산할 수 있다.	15점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	\(p=2\)를 찾아 거리 \(\overline{\mathrm{PF}}=4\)와 접선 \(y = x + 2\)를 정확히 구할 수 있다.	12점
2단계	접선·준선(\(x=-2\))·\(x\)축의 세 교점이 모두 \((-2, 0)\)으로 일치함을 확인하여 넓이 \(0\)을 판정할 수 있다.	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	\(f'(x) = 3(x-1)(x-3)\)과 \(f(0)=0\)으로 \(f(x)\)를 구하고 극댓값 4, 극솟값 0을 도출할 수 있다.	12점
2단계	극값을 이용해 세 실근 조건 \(0 \lt k \lt 4\)를 세우고 정수 \(k\)의 개수 \(3\)개를 구할 수 있다.	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	\(a=5,\ b=4\)에서 \(c=3\)을 구하여 초점 \((\pm 3, 0)\)과 장축 길이 \(10\)을 도출할 수 있다.	12점
2단계	타원의 정의 \(\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF}'}=10\)과 초점거리 \(6\)을 합하여 둘레 \(16\)을 구할 수 있다.	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	타원의 접선 공식을 적용하여 접선 방정식 \(3x + 5y = 25\)를 정확히 구할 수 있다.	12점
2단계	\(x\)절편 \(\frac{25}{3}\), \(y\)절편 \(5\)를 구하여 삼각형의 넓이 \(\frac{125}{6}\)을 계산할 수 있다.	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	법선벡터와 지나는 점을 이용해 평면 방정식 \(2x - y + 2z + 2 = 0\)을 구할 수 있다.	12점
2단계	법선벡터 방향의 매개변수 표현 \((2t, -t, 2t)\)와 평면 교점 조건으로 수선의 발 \(\mathrm{H}\)를 구할 수 있다.	13점

평가 단계	세부 채점 기준 및 부분점수 급소	배점
1단계	완전제곱식으로 중심 \((1, 2, -1)\), 반지름 \(3\)을 찾고 평면까지의 거리 \(d=1\)을 구할 수 있다.	12점
2단계	관계식 \(r^2 = R^2 - d^2 = 8\)을 이용해 교선 원의 넓이 \(8\pi\)를 계산할 수 있다.	13점