2027 ADMISSION GOLD MASTER SERIES
2027학년도 한신대학교자연계열 약술형논술 10회분
공식 기출 심층해설 + 실전 봉투모의고사 10회분(100문항) + Track B 3줄 풀이 노트 + 모바일 QR 합격진단 대시보드 단권화
• Part 1 : 한신대 최신 기출 심층 해설
• Part 2-1 : 실전 약술형 모의고사 10회 문제편 (50쪽)
• Part 2-2 : Track B 3줄 풀이 & 2열 루브릭 해설집 (75쪽)
• Part 3 : 스마트폰 모바일 QR 합격진단 대시보드 (4쪽)
발행처: QUESTIO 첨단교육평가연구소
저자 및 감수: 강원호 대표연구원 | 사업자: 551-09-03449
100% 교과서 데이터베이스(CITE_06) 완벽 연계
실시간 합격진단 QR
🎯 한신대학교 약술형논술 전형 특징 & 2027 합격 전략
1. 전형 핵심 요약 시험 시간 및 문항 수 : 60분, 자연계 수학 10문항 (문항당 10점, 100점 만점)수능최저학력기준 : 없음 (수능최저 미적용, 논술 70% + 교과 30%) 출제 범위 : 수학Ⅰ, 수학Ⅱ (교과서 핵심 개념 및 대표 예제 중심)
🔥 한신대 약술형 3줄 풀이 합격 공식 [공식선언 ➔ 핵심계산 ➔ 최종결론]
1줄: 공식 선언 (30%)
정의·정리·공식을 명확히 밝혀 채점관의 부분점수 부여 유도
2줄: 핵심 계산 (40%)
단순 산수를 생략하고 핵심 식 변형 및 대입 과정만 압축 서술
3줄: 최종 결론 (30%)
문제에서 요구한 미지수 값이나 최댓값·최솟값을 정확히 도출
📌 본 교재의 100% 활용 로드맵 Step 1 : Part 1 최신 기출을 풀며 한신대 약술형 답안 분량 감각(A4 3줄 내외)을 익힙니다.Step 2 : Part 2-1 모의고사 10회분을 60분 타이머를 맞추고 집중적으로 풀이합니다.Step 3 : Part 2-2의 Track B 3줄 풀이와 2열 루브릭을 대조하여 감점 요소를 없애고, Part 3의 QR 대시보드에서 전 학과 합격 여부를 판정받습니다.
PART 1
한신대학교 공식 기출 심층 해설
한신대학교 최신 공식 기출 선별 문항
A4 1페이지 2문항 완결 레이아웃
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 예제 1 / 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 예제 3 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]
[1줄 공식선언 (30%)]: \(f'(x) = 3x^2 - 6\cdot 20x + 1197 = 3(x - 19)(x - 21) = 0\) 및 닫힌구간 \([19, 21]\)에서의 평균값 정리 등식을 선언한다.[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\alpha = 19, \beta = 21\)이므로 \(\beta - \alpha = 2\), \(f(\alpha) - f(\beta) = \int_{21}^{19} 3(x-19)(x-21)\,dx = 4\). 평균값 정리에서 \(f'(c) = -2\cdot 1 \implies 3(c-20)^2 - 3\cdot 1 = -2\cdot 1 \implies c = 20 \pm \dfrac{1\sqrt{3}}{3}\).[3줄 최종결론 (30%)]: 대칭중심에서의 접선의 기울기는 \(f'(20) = -3\)이며, \(g(x) = |f(x)-t|\)의 미분불가능점이 1개인 \(t\)의 범위는 \(t \ge f(19)\) 또는 \(t \le f(21)\)이다.
배점 단계 한신대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표
[1-1] 6점 • \(\alpha = 19, \beta = 21\) 도출 +3점 / \(\beta - \alpha = 2\), \(f(\alpha)-f(\beta) = 4\) 산출 +3점 [1-2] 7점 • 연속·미분가능 조건 명시 후 \(c = 20 \pm \dfrac{1\sqrt{3}}{3}\) 도출 +4점 / \(f'(20) = -3\) 계산 +3점 [1-3] 7점 • 단순근(부호 변화)에서만 첨점이 발생함을 논증 +4점 / \(t \ge f(19)\) 또는 \(t \le f(21)\) 도출 +3점
⚠️ 한신대학교 감점 방어 포인트: 평균값 정리 적용 전 닫힌구간 연속·열린구간 미분가능 조건을 반드시 첫 줄에 선언해야 감점이 없습니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 예제 1 / 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 예제 1 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
[1줄 공식선언 (30%)]: \(x\int_{3}^x f'(t)\,dt - \int_{3}^x tf'(t)\,dt = x^3 - 9x^2 + ax + b\)로 분리한 뒤 정적분과 미분의 관계를 선언한다.[2줄 핵심계산 (40%)]: 양변을 미분하면 \(\int_{3}^x f'(t)\,dt = 3x^2 - 18x + a\). \(x=3\)을 대입하여 \(a = 27, b = -27\)을 얻고, \(f(x) - f(3) = 3(x - 3)^2\)에서 \(f(3) = 19\)이므로 \(f(x) = 3(x - 3)^2 + 19\)이다.[3줄 최종결론 (30%)]: \(f(0) = 46\), \(f'(0) = -18\)이므로 접선 \(l\)은 \(y = -18x + 46\)이며, 정적분으로 넓이 \(S\)를 확정한다.
배점 단계 한신대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표
[2-1] 6점 • 적분변수 \(t\)와 \(x\) 분리 후 미분 +3점 / \(a=27, b=-27\) 및 \(f(x) = 3(x-3)^2 + 19\) 결정 +3점 [2-2] 7점 • \(f(0)\) 및 \(f'(0) = -18\) 산출 +3점 / 접선 \(y = -18x + 46\) 완성 +4점 [2-3] 7점 • 두 곡선 차 함수의 정적분 식 수립 +3점 / 최종 넓이 \(S\) 계산 완료 +4점
⚠️ 한신대학교 감점 방어 포인트: 정적분 기호 안의 \((x-t)f'(t)\)를 전개하지 않고 미분하면 라이프니츠 미분법 오류로 3점 감점됩니다.
[출처: 미래엔 대수 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 / 미래엔 대수 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-05, 12대수03-06]
[1줄 공식선언 (30%)]: \(b_{n+1} = b_n \iff a_{n+1} + c\cdot 3^{n+1} = 2(a_n + c\cdot 3^n)\) 동치식을 선언하여 \(c = -1\)을 결정한다.[2줄 핵심계산 (40%)]: \(b_n = b_1 = \dfrac{20 - 3}{2}\)이므로 \(a_n = 3^n + (17)\cdot 2^{n-1}\)이며, \(n=1\) 초기 확인과 \(n=k \implies n=k+1\) 귀납 단계를 통해 증명한다.[3줄 최종결론 (30%)]: 등비수열 합 공식으로 \(S_n = \dfrac{3(3^n - 1)}{2} + (17)(2^n - 1)\)을 구하면 극한값은 \(\dfrac{1}{2}\)이다.
배점 단계 한신대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표
[3-1] 6점 • \(c = -1\) 도출 +3점 / 일반항 \(a_n = 3^n + (17)\cdot 2^{n-1}\) 계산 +3점 [3-2] 7점 • \(n=1\) 성립 확인 +2점 / \(n=k\) 귀납 가정 명시 +2점 / \(n=k+1\) 등식 유도 +3점 [3-3] 7점 • 등비수열의 합 \(S_n\) 도출 +4점 / 극한값 \(\dfrac{1}{2}\) 산출 +3점
⚠️ 한신대학교 감점 방어 포인트: 수학적 귀납법 증명에서 \(n=k\)일 때 성립한다고 "가정하자"라는 문구와 \(n=k+1\)에서의 결론 문장을 빠뜨리지 마세요.
[출처: 대수 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 예제 1 / 대수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 예제 1 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-04, 12대수01-06]
[1줄 공식선언 (30%)]: 밑변환 공식 \(\log_b a = \dfrac{1}{x}\), \(\log_c b = \dfrac{1}{y}\)를 선언하여 \(x + 4y = 5\), \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y} = 5\)을 세운다.[2줄 핵심계산 (40%)]: 두 식을 연립하면 \((x - 1)(4x - 1) = 0\) 또는 대칭해로부터 \((x, y) = (1, 1)\)과 비등비 해를 얻는다.[3줄 최종결론 (30%)]: 등비수열일 때 \(x = y = 1 \implies \log_a c = xy = 1\)이며, \(a^t \gt 0, c^t \gt 0, a \neq c\)에서 산술·기하평균 부등식에 의해 \(a^t + c^t \gt 2\sqrt{(ac)^t} = 2b^t\)이다.
배점 단계 한신대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표
[4-1] 6점 • 밑변환 역수 관계 \(\log_b a = 1/x\) 적용 +3점 / 연립방정식 해 도출 +3점 [4-2] 7점 • 등비중항 \(b^2 = ac \iff x = y\) 조건 명시 +4점 / \(\log_a c = xy\) 계산 +3점 [4-3] 7점 • 양수 조건 및 산술·기하평균 부등식 적용 +4점 / \(a \neq c\) 등호 불성립 명시 +3점
⚠️ 한신대학교 감점 방어 포인트: 산술·기하평균 부등식 서술 시 양수 조건(\(a^t \gt 0, c^t \gt 0\))과 등호 성립 조건 확인은 필수 배점 요소입니다.
[출처: 대수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 예제 1 / 대수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02, 12대수02-03]
[1줄 공식선언 (30%)]: 사인법칙 \(\overline{\mathrm{AB}} = 2R\sin\dfrac{\pi}{3} = 5\sqrt{3}\)과 코사인법칙 \(a^2 + b^2 - ab = \overline{\mathrm{AB}}^2 = 75\)을 선언한다.[2줄 핵심계산 (40%)]: \((a+b)^2 - 3ab = 75\)에 \(a+b = 10\sqrt{2}\)를 대입하면 \(8\cdot 25 - 3ab = 3\cdot 25 \implies ab = \dfrac{5\cdot 25}{3}\)이고, 중선정리 \(a^2 + b^2 = 2(\overline{\mathrm{CM}}^2 + \overline{\mathrm{AM}}^2)\)로 \(\overline{\mathrm{CM}}\)을 구한다.[3줄 최종결론 (30%)]: 넓이 \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\sqrt{3}\cdot 25}{12}\) 및 \(S = \dfrac{1}{2}r(a+b+c)\)로부터 내접원 반지름 \(r\)를 확정한다.
배점 단계 한신대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표
[5-1] 6점 • 사인법칙 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5\sqrt{3}\) 도출 +3점 / 코사인법칙 \(a^2+b^2-ab = 75\) 계산 +3점 [5-2] 7점 • 곱셈공식 변형으로 \(ab = \dfrac{5\cdot 25}{3}\) 산출 +4점 / 중선 \(\overline{\mathrm{CM}}\) 계산 +3점 [5-3] 7점 • 삼각형 넓이 \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\) 산출 +4점 / 내접원 반지름 \(r = \frac{2S}{a+b+c}\) 도출 +3점
⚠️ 한신대학교 감점 방어 포인트: 사인법칙과 코사인법칙을 결합할 때 외접원 반지름 \(R\)과 내접원 반지름 \(r\)의 기호를 혼동하지 않도록 명확히 구분하여 서술하세요.
PART 2-1
실전 약술형 모의고사 10회분 문제편
60분 완결 실전 시험지 10회분 (총 100문항, 50쪽)
실제 시험지와 동일한 3줄 답안지 작성란 완비
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 1회 (실전 문제집 및 답안 작성란)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]
실수 \(a = \sqrt[3]{-64} + \sqrt[4]{81}\)이라 하고, 양수 \(b = 16^{\frac{3}{4}} \times 8^{-\frac{2}{3}}\)이라 할 때, 다음을 구하시오. (단, \(a, b\)는 실수이다.)
[1-1] (5점) 거듭제곱근의 정의와 지수법칙을 이용하여 실수 \(a\)와 \(b\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (5점) \(a^2 + b^3\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 5점 + [1-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.21 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-04]
\(1\)이 아닌 두 양수 \(p, q\)가 \(\log_3 p = 4\), \(\log_3 q = -2\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오. (단, \(p \gt 0, q \gt 0\))
[2-1] (5점) 로그의 성질을 이용하여 \(\log_3 (p^2 q^3)\)의 값을 구하시오.
[2-2] (5점) 밑변환 공식을 이용하여 \(\log_p (p^2 q^3)\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 5점 + [2-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 1회 (실전 문제집 및 답안 작성란)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]
닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 정의된 두 함수 \(f(x) = 3^{x+1} - 4\)와 \(g(x) = \log_2 (x + 6) + 1\)에 대하여 다음을 구하시오.
[3-1] (5점) 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값 \(M_1\)과 최솟값 \(m_1\)을 각각 구하시오.
[3-2] (5점) 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 함수 \(g(x)\)의 최댓값 \(M_2\)를 구하고, \(M_1 + m_1 + M_2\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 5점 + [3-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.12 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-01]
각 \(\theta\)가 제\(2\)사분면의 각이고 \(\sin\theta = \dfrac{4}{5}\)일 때, 다음을 구하시오. (단, \(\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi\))
[4-1] (5점) \(\cos\theta\)와 \(\tan\theta\)의 값을 각각 구하시오.
[4-2] (5점) \(15(\cos\theta + \tan\theta)\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 5점 + [4-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 1회 (실전 문제집 및 답안 작성란)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 중단원 마무리 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 귀납적 정의 \(a_{n+1} = a_n + 4n + 1\)을 만족시킬 때, 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) \(a_2,\; a_3,\; a_4\)의 값을 차례대로 구하시오.
[5-2] (5점) \(a_{10} = a_1 + \sum_{k=1}^{9} (4k + 1)\)임을 이용하여 \(a_{10}\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 5점 + [5-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.13 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
극한에 대한 성질에 의하여 등식 \(\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 + ax + b}{x + 2} = -7\)이 성립할 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 다음을 구하시오.
[6-1] (5점) \(x \to -2\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴함을 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[6-2] (5점) 위에서 구한 \(a, b\)에 대하여 \(\lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 + ax + b}{x - 5}\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 6 ([6-1] 5점 + [6-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 1회 (실전 문제집 및 답안 작성란)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.31 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 정의된 연속함수 \(f(x) = -x^2 + 2x + 5\)에 대하여 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) \(f(x)\)를 표준형 \(-(x - p)^2 + q\) 꼴로 변형하여 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
[7-2] (5점) 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 7 ([7-1] 5점 + [7-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.16 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]
삼차함수 \(f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1\)에 대하여 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 미분계수 \(f'(1)\)과 \(f'(2)\)의 값을 각각 구하시오.
[8-2] (5점) 극한 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + 3h) - f(2)}{h}\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 8 ([8-1] 5점 + [8-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 1회 (실전 문제집 및 답안 작성란)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]
이차함수 \(f(x) = -x^2 + 6x - 2\)에 대하여 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 닫힌구간 \([1, 5]\)에서 롤의 정리를 만족시키는 상수 \(c_1 \in (1, 5)\)의 값을 구하시오.
[9-2] (5점) 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c_2 \in (0, 4)\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 9 ([9-1] 5점 + [9-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]
이차함수 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 2\)에 대하여 다음을 구하시오.
[10-1] (5점) 정적분 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
[10-2] (5점) 정적분 \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 10 ([10-1] 5점 + [10-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 2회 (실전 문제집 및 답안 작성란)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]
거듭제곱근의 성질을 이용하여 두 실수 \(A = \sqrt[4]{4}\times\sqrt[4]{64} + \dfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}\)와 \(B = \left(\sqrt[6]{25}\right)^3\)에 대하여 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) 실수 \(A\)와 \(B\)의 값을 각각 간단히 하시오.
[1-2] (5점) \(A^2 - B^2\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 5점 + [1-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.24 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]
소리의 세기가 \(I\,(\mathrm{W/m^2})\)일 때 소리의 크기 \(D\,(\mathrm{dB})\)는 \(D = 10\log\dfrac{I}{10^{-12}}\)으로 정의된다. 다음을 구하시오. (단, \(\log 2 = 0.3\)으로 계산한다.)
[2-1] (5점) 소리의 세기가 \(I_A = 10^{-5}\,(\mathrm{W/m^2})\)일 때 소리의 크기 \(D_A\)를 구하시오.
[2-2] (5점) 소리의 세기 \(I_B\)가 \(I_A\)의 \(200\)배일 때 소리의 크기 \(D_B\)를 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 5점 + [2-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
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[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.11 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-08]
지수함수의 일대일대응 성질과 단조성을 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (5점) 지수방정식 \(4^{x+1} - 17\cdot 2^x + 4 = 0\)의 두 실근 \(\alpha, \beta\)를 각각 구하시오.
[3-2] (5점) 지수부등식 \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3x - 7} \ge \left(\dfrac{1}{9}\right)^{x - 1}\)을 만족시키는 자연수 \(x\)의 개수를 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 5점 + [3-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{BC}} = a = 5\), \(\overline{\mathrm{CA}} = b = 7\), \(\overline{\mathrm{AB}} = c = 8\)일 때, 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 코사인법칙을 이용하여 \(\cos B\)의 값과 각 \(B\)의 크기를 구하시오. (단, \(0 \lt B \lt \pi\))
[4-2] (5점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)를 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 5점 + [4-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
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[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.12 개념/본문 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-07]
모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = 4^n - 1\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (5점) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = 4^n - 1\)이 \(3\)의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명할 때, \(a_{k+1} - a_k\)를 \(k\)에 대한 식으로 정리하시오.
[5-2] (5점) 합 \(\sum_{k=1}^{5} a_k = \sum_{k=1}^{5} (4^k - 1)\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 5점 + [5-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.9 문제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01]
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} -2x + 5 & (x \lt 1) \\ x^2 + ax + 1 & (x \ge 1) \end{cases}\)에 대하여 다음을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)
[6-1] (5점) 좌극한 \(\lim_{x \to 1-} f(x)\)와 우극한 \(\lim_{x \to 1+} f(x)\)를 각각 구하시오.
[6-2] (5점) 극한값 \(\lim_{x \to 1} f(x)\)가 존재하도록 하는 상수 \(a\)의 값과 그때의 \(f(3)\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 6 ([6-1] 5점 + [6-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
삼차함수 \(f(x) = x^3 - x^2 + 2x - 5\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (5점) \(f(1)\)과 \(f(2)\)의 값을 각각 구하시오.
[7-2] (5점) 사잇값의 정리를 이용하여 방정식 \(f(x) = 0\)이 열린구간 \((1, 2)\)에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 서술하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 7 ([7-1] 5점 + [7-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07]
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 12\)에 대하여 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 방정식 \(f'(x) = 0\)의 두 실근을 구하고, 함수 \(f(x)\)가 감소하는 닫힌구간을 구하시오.
[8-2] (5점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)을 각각 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 8 ([8-1] 5점 + [8-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09]
수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 \(x(t)\)가 \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2\)일 때, 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 점 \(\mathrm{P}\)가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각 \(t\)를 모두 구하시오.
[9-2] (5점) 점 \(\mathrm{P}\)의 가속도가 \(0\)이 되는 시각에서의 위치 \(x\)를 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 9 ([9-1] 5점 + [9-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]
이차함수 \(y = x^2 - 5x + 4\)의 그래프와 직선 \(y = -x + 4\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하고자 한다. 다음 물음에 답하시오.
[10-1] (5점) 곡선과 직선의 두 교점의 \(x\)좌표를 구하시오.
[10-2] (5점) 정적분을 이용하여 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 10 ([10-1] 5점 + [10-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
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[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]
\(0\)이 아닌 실수에서 정의되는 정수 지수의 성질을 이용하여 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) \(P = 2^4 \times 2^{-6} \div 2^{-5}\)와 \(Q = \left(3^{-2}\right)^{-3} \times 3^{-4}\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (5점) \(P + Q\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 5점 + [1-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.23 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]
\(\log 4.25 = 0.6284\)일 때, 상용로그의 성질을 이용하여 다음을 구하시오.
[2-1] (5점) \(\log 4250\)의 값과 \(\log 0.0425\)의 값을 각각 소수로 구하시오.
[2-2] (5점) \(\log N = 3.6284\)를 만족시키는 양수 \(N\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 5점 + [2-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
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[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.16 개념/본문 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]
로그함수 \(f(x) = \log_3 (x + a) + b\)의 그래프의 점근선이 직선 \(x = -2\)이고, 이 그래프가 점 \((7, 5)\)를 지날 때, 다음을 구하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)
[3-1] (5점) 상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 각각 구하시오.
[3-2] (5점) 방정식 \(f(x) = 4\)의 해 \(x\)를 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 5점 + [3-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.8 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수02-01]
반지름의 길이가 \(r = 6\)이고 중심각의 크기가 \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\)인 부채꼴에 대하여 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 부채꼴의 호의 길이 \(l\)과 넓이 \(S\)를 각각 구하시오.
[4-2] (5점) 크기 \(-510^\circ\)인 각의 동경이 나타내는 일반각을 \(2n\pi + \alpha\) (\(n\)은 정수, \(0 \le \alpha \lt 2\pi\)) 꼴로 나타낼 때, \(\alpha\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 5점 + [4-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
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[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.13 개념/본문 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]
모든 항이 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_1 = 2\), \(a_5 = 162\)일 때, 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 공비 \(r\)와 제\(3\)항 \(a_3\)의 값을 각각 구하시오.
[5-2] (5점) \(\log_3 \left(\dfrac{a_1 a_2 a_3 a_4 a_5}{32}\right)\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 5점 + [5-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.22 개념/본문 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
다항함수 \(f(x)\)가 극한에 대한 성질에 의하여 다음 두 조건을 만족시킬 때, 물음에 답하시오.
[6-1] (5점) 조건 (가)를 이용하여 \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 + ax + b\)라 둘 때, 조건 (나)를 만족시키는 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[6-2] (5점) \(f(2)\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 6 ([6-1] 5점 + [6-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.20 개념/본문 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]
이차함수 \(f(x) = x^2 + 4x + 3\)에서 \(x\)의 값이 \(-1\)에서 \(3\)까지 변할 때의 평균변화율과 \(x = c\)에서의 미분계수 \(f'(c)\)가 서로 같을 때, 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) \(x\)의 값이 \(-1\)에서 \(3\)까지 변할 때의 평균변화율을 구하시오.
[7-2] (5점) 미분계수 \(f'(c)\)가 위 평균변화율과 같아지도록 하는 실수 \(c\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 7 ([7-1] 5점 + [7-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.52 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09]
지면으로부터 \(25\,\mathrm{m}\) 높이에서 \(20\,\mathrm{m/s}\)의 속도로 똑바로 위로 던져 올린 물체의 \(t\)초 후의 지면으로부터의 높이 \(x(t)\,(\mathrm{m})\)가 \(x(t) = 25 + 20t - 5t^2\)일 때, 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 물체가 최고 높이에 도달하는 시각 \(t_1\)과 최고 높이 \(H\)를 각각 구하시오.
[8-2] (5점) 물체가 지면에 떨어지는 순간의 시각 \(t_2\)와 그때의 속도 \(v(t_2)\)를 각각 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 8 ([8-1] 5점 + [8-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 3회 (실전 문제집 및 답안 작성란)
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 정적분 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-01]
곡선 \(y = f(x)\) 위의 임의의 점 \((x, f(x))\)에서의 접선의 기울기가 \(3x^2 - 4x + 1\)이고, 이 곡선이 점 \((2, 5)\)를 지날 때, 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 부정적분을 이용하여 함수 \(f(x)\)의 식을 구하시오.
[9-2] (5점) \(f(-1)\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 9 ([9-1] 5점 + [9-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.33 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]
좌표가 \(1\)인 점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 4t - t^2\)일 때, 다음을 구하시오.
[10-1] (5점) 시각 \(t = 4\)에서의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치를 구하시오.
[10-2] (5점) 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 5\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리 \(s\)를 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 10 ([10-1] 5점 + [10-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 4회 (실전 문제집 및 답안 작성란)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.13 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]
양수 \(a = 27,\; b = 16\)에 대하여 유리수 지수의 법칙을 이용하여 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) \(X = a^{\frac{2}{3}} b^{-\frac{1}{4}}\)와 \(Y = a^{-\frac{1}{3}} b^{\frac{3}{4}}\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (5점) \(2XY + \dfrac{X}{Y}\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 5점 + [1-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-08]
지수에 미지수가 있는 다음 두 부등식에 대하여 물음에 답하시오.
[2-1] (5점) 부등식 \(2^{x^2 - 3x} \le 16\)의 해를 구하시오.
[2-2] (5점) 위 부등식과 부등식 \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x - 2} \lt \left(\dfrac{1}{25}\right)^{x - 3}\)을 동시에 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 합을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 5점 + [2-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
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[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.17 개념/본문 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]
로그부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) \le 3\)에 대하여 다음을 구하시오.
[3-1] (5점) 로그의 진수 조건으로부터 \(x\)의 값의 범위를 구하시오.
[3-2] (5점) 주어진 로그부등식의 해를 구하고, 이를 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 합을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 5점 + [3-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.20 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02]
함수 \(f(x) = a\sin(bx) + c\)의 주기가 \(\pi\)이고, 최댓값이 \(5\), 최솟값이 \(-1\)일 때, 다음을 구하시오. (단, \(a \gt 0,\; b \gt 0\)이고 \(c\)는 상수이다.)
[4-1] (5점) 세 상수 \(a, b, c\)의 값을 각각 구하시오.
[4-2] (5점) \(f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 5점 + [4-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
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[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 개념/본문 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-03]
등차수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_3 = 11\), \(a_7 = 27\)을 만족시킬 때, 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항 \(a_1\)과 공차 \(d\)를 구하고, 일반항 \(a_n\)을 구하시오.
[5-2] (5점) 합 \(\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 5점 + [5-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.21 개념/본문 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
극한에 대한 성질과 무리식의 유리화를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (5점) 극한 \(\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}\)의 값을 구하시오.
[6-2] (5점) 등식 \(\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + a} - b}{x - 3} = \dfrac{1}{4}\)이 성립할 때, 두 양수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 6 ([6-1] 5점 + [6-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.21 개념/본문 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]
이차함수 \(f(x) = ax^2 + bx + 2\)가 \(f(1) = 5\), \(f'(1) = 8\)을 만족시킬 때, 다음을 구하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)
[7-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 각각 구하시오.
[7-2] (5점) 미분계수 \(f'(-1)\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 7 ([7-1] 5점 + [7-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.34 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]
삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + (a + 6)x + 1\)이 실수 전체의 집합 \((-\infty, \infty)\)에서 증가하도록 하는 실수 \(a\)에 대하여 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 0\)이 성립하기 위한 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.
[8-2] (5점) 실수 \(a\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)의 차 \(M - m\)을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 8 ([8-1] 5점 + [8-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 정적분 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
양수 \(a\)에 대하여 정적분 \(\int_{0}^{a} (3x^2 - 6x)\,dx = 0\)이 성립할 때, 다음을 구하시오. (단, \(a \gt 0\))
[9-1] (5점) 정적분을 계산하여 양수 \(a\)의 값을 구하시오.
[9-2] (5점) 위에서 구한 \(a\)에 대하여 정적분 \(\int_{0}^{a} |3x^2 - 6x|\,dx\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 9 ([9-1] 5점 + [9-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.22 정적분 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04]
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 정적분으로 정의된 등식 \(\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + ax - 3\)을 만족시킬 때, 다음을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)
[10-1] (5점) 양변에 \(x = 1\)을 대입하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[10-2] (5점) 적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 \(f(x)\)를 구하고, \(f(2)\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 10 ([10-1] 5점 + [10-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
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[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.14 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]
양수 \(a\)가 \(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3\)을 만족시킬 때, 지수법칙과 곱셈 공식을 이용하여 다음을 구하시오. (단, \(a \gt 0\))
[1-1] (5점) \(a + a^{-1}\)의 값과 \(a^2 + a^{-2}\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (5점) \(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 5점 + [1-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.15 개념/본문 변형 | 성취기준: 12대수01-06]
실수 전체의 집합에서 정의된 지수함수 \(f(x) = 2^{x-1} + 3\)과 그 역함수 \(y = f^{-1}(x)\)에 대하여 다음을 구하시오.
[2-1] (5점) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프의 점근선의 방정식과 \(f(3)\)의 값을 구하시오.
[2-2] (5점) 역함수의 성질을 이용하여 \(f^{-1}(7) + f^{-1}(11)\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 5점 + [2-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
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[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 문제 7 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
삼각함수의 주기성과 각의 변환 공식을 이용하여 다음을 구하시오.
[3-1] (5점) \(\sin\dfrac{7\pi}{6}\)와 \(\cos\dfrac{5\pi}{3}\)의 값을 각각 구하시오.
[3-2] (5점) \(\tan\dfrac{5\pi}{4}\)의 값을 구하고, \(\sin\dfrac{7\pi}{6} + \cos\dfrac{5\pi}{3} + \tan\dfrac{5\pi}{4}\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 5점 + [3-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = c = 6\), \(\overline{\mathrm{AC}} = b = 4\), \(A = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 코사인법칙과 사인법칙을 이용하여 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\overline{\mathrm{BC}} = a\)의 길이를 구하시오.
[4-2] (5점) 사인법칙을 이용하여 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이 \(R\)를 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 5점 + [4-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
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[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.11 수학적 귀납법 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 4\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 귀납적 정의 \(a_{n+1} = 3a_n - 4\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) \(a_2,\; a_3,\; a_4\)의 값을 차례대로 구하시오.
[5-2] (5점) \(b_n = a_n - 2\)로 놓을 때 \(b_{n+1} = 3b_n\)이 성립함을 이용하여 \(a_6\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 5점 + [5-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.20 개념/본문 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2} & (x \ne 2) \\ b & (x = 2) \end{cases}\)가 \(x = 2\)에서 연속일 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 다음을 구하시오.
[6-1] (5점) 극한값 \(\lim_{x \to 2} f(x)\)가 존재함을 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[6-2] (5점) 연속의 정의 \(\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)\)를 이용하여 상수 \(b\)의 값과 \(a + b\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 6 ([6-1] 5점 + [6-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.22 개념/본문 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]
미분가능한 다항함수 \(f(x)\)의 그래프 위의 점 \((2, 3)\)에서의 접선의 기울기가 \(5\)일 때, 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) \(f(2)\)와 \(f'(2)\)의 값을 각각 구하고, 점 \((2, 3)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
[7-2] (5점) 극한 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 f(2) - 4f(x)}{x - 2}\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 7 ([7-1] 5점 + [7-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.37 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2\)에 대하여 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하여 방정식 \(f'(x) = 0\)의 세 실근을 모두 구하시오.
[8-2] (5점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)을 각각 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 8 ([8-1] 5점 + [8-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 5회 (실전 문제집 및 답안 작성란)
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-02-07]
삼차함수 \(f(x)\)의 도함수가 \(f'(x) = 3x^2 - 6x\)이고, 함수 \(f(x)\)의 극솟값이 \(-2\)일 때, 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 함수 \(f(x)\)가 극소를 갖는 \(x\)의 값을 구하고, 부정적분을 이용하여 \(f(x)\)를 구하시오.
[9-2] (5점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 \(f(3)\)의 값의 합을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 9 ([9-1] 5점 + [9-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.19 중단원 마무리 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
정적분의 성질을 이용하여 다음 두 정적분의 값을 각각 구하시오.
[10-1] (5점) 정적분 \(I_1 = \int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 - 5x + 4)\,dx\)의 값을 구하시오.
[10-2] (5점) 정적분 \(I_2 = \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x)\,dx + \int_{1}^{3} (3x^2 + 2x)\,dx\)의 값을 구하시오.
[한신대 약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 10 ([10-1] 5점 + [10-2] 5점 = 10점)] [1줄: 공식선언 (30%)] :[2줄: 핵심계산 (40%)] :[3줄: 최종결론 (30%)] :
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.31 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 117} + 117\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 238\)에 대하여 서로 대칭이다.<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 238\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 238)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.
직선 \(y = -x + 238\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 238)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 238\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(119, 119)\)의 좌표를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 119)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 238)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 238 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{238}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]
<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{120}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 6\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(6\)인 등차수열을 이룬다.<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/120)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.
첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{120}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 120\right)\)을 이용하여 \(b_n = 6n + 114\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 114}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 2-3] (7점) 부분분수 항등식 \(6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{21600}\)의 값을 유도하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]
<제시문 (가)> 미분가능한 함수의 도함수는 정의에 의하여 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\;\left(f'(0) = 121\right)\)로 정의된다.<제시문 (나)> 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 성립하는 항등식 \(f(x+y) = f(x) + f(y) + 12xy(x+y) - 117\)이 주어지면 원점 대입으로 \(f(0) = 117\)를 먼저 결정한다.
미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 12xy(x + y) - 117\)을 만족시키고 \(f'(0) = 121\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 원점 대입으로 \(f(0) = 117\)를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 \(f'(x) = 12x^2 + 121\)임을 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 부정적분으로 함수 \(f(x) = 4x^3 + 121x + 117\)를 결정하고, 곡선 위의 점 \((1, 242)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 169\right)\)의 값을 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
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[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 339)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 339)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 339]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 339)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 678t^2 + 114921t = t(t - 339)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 339\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(339) = 0\)의 값을 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 339]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 113)(t - 339)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(113) = 5771588\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 1356 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 226\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(226) = 2885794\)를 각각 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
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80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 114)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (114, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{114} (-6x^2 + 684x)\,dx = 1481544\)이다.<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{114}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(1481544\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 684x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 342x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 684x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 1481544\)를 유도하시오.
[문항 5-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 1481544\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{114}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{114/2} (-6x^2 + 684x)\,dx = \dfrac{1481544}{2}\)임을 확인하시오.
[문항 5-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 684x\)와 직선 \(y = 342x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{1481544}{8}\)을 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.32 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대하여 \(u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{124}\right)\)로 치환하면 지수법칙에 의하여 \(x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 122\)이다.<제시문 (나)> \(u + u^{-1} = \sqrt{124}\)일 때 세제곱 곱셈 공식 \(u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 121\sqrt{124}\)이 성립한다.
양수 \(x\)가 \(x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{124}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 \(x + x^{-1} = 122\)임을 보이고 \(x^2 + x^{-2} = 14882\)의 값을 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 121\sqrt{124}\)과 \(x^3 + x^{-3} = 1815482\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 \(\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{1815484}{121\sqrt{124}}\)의 값을 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]
<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=339,\; c=565\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=791\right)\)이 성립한다.<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 1695\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{1695}{2}r\)가 성립한다.
삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 339,\; c = 565\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=339\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 791\)의 길이를 유도하시오.
[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{791\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{191535\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{113\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -467\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(2\)인 삼차함수이다.<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 116} \dfrac{f(x)}{(x - 116)^2} = 229\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 116)^2(2x + r)\) 꼴로 인수분해된다.
삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -467\)과 \(\lim_{x \to 116} \dfrac{f(x)}{(x - 116)^2} = 229\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 116)^2(2x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -3\)을 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 116)^2(2x - 3)\)이 무한대 극한 조건 \(-467\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.
[문항 3-3] (7점) 함숫값 \(f(118) = 932\)의 값과 \(x = 116\)에서의 미분계수 \(f'(116) = 0\)의 값을 각각 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]
<제시문 (가)> 이차함수 \(P(x) = x^2 - 231x + 13338\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 117|P(x)\)가 \(x = 117\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 좌·우미분계수가 일치하여 \(P(117) = 0\)인 것이다.<제시문 (나)> \(P(x) = (x - 117)(x - 114)\)일 때 구간 \(x \lt 117\)에서 \(h(x) = -(x - 117)^2(x - 114)\)로 표현된다.
이차함수 \(P(x) = x^2 - 231x + 13338\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 117|P(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) \(x = 117\)에서의 우미분계수 \(P(117)\)와 좌미분계수 \(-P(117)\)를 미분계수 정의로 구하고 \(P(117) = 0\)임을 확인하시오.
[문항 4-2] (7점) 구간 \(x \lt 117\)에서 도함수 \(h'(x) = -3(x - 117)(x - 115)\)을 유도하시오.
[문항 4-3] (7점) \(x \ne 117\)에서 도함수가 영이 되는 \(x = 115\)의 값과 그때의 함숫값 \(h(115) = -4\;(\text{기준점 } 117)\)를 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 상수 구간 정적분 \(A = \int_0^1 f(t)\,dt\;\left(c = 356\right)\)는 적분변수와 무관한 상수이므로, 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4Ax + 356\)을 양변 \([0, 1]\)에서 다시 적분하면 \(A = 119\)에 대한 일차방정식을 얻는다.<제시문 (나)> 대칭 구간 \([-1, 1]\)에서 기함수의 정적분은 소거되고 우함수의 정적분은 \(2\int_0^1 (3x^2 + 356)\,dx = 714\)이다.
연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 356\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 상수 \(A\)로 치환하고 \(A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 356)\,dt\)를 풀어 상수 \(A = 119\)과 함수 \(f(x)\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 함수 \(f(x) = 3x^2 - 476x + 356\)이 극솟값을 갖는 좌표 \(x = \dfrac{238}{3}\)와 함숫값 \(f(1) = -117\)을 각각 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 476x + 356)\,dx = 714\)의 값을 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.33 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{112},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{112}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.<제시문 (나)> 크기 \(n = 200704\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{200704}}\)이다.
두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{112},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{112}\)이며, 크기 \(n = 200704\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{112}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 112)\)를 각각 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 표본의 크기 \(n = 200704\)을 대입하여 표본비율의 표준오차 \(\dfrac{12/25}{448} = \dfrac{3}{2800}\)를 유도하시오.
[문항 1-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a = \dfrac{294}{70000}\)를 기약분수로 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 327x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 327\)인 \(c\)가 존재한다.<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 327 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 327}\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 327x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 327(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.
[문항 2-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 330\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{327}\)와 \(g'(330) = \dfrac{1}{330}\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((330, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{330}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(330)} = 657\)의 값을 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 678\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 678)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 678)\,dt = 3x^2 - 678x\)이고 \(F''(x) = 6x - 678\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 678)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 678x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 678\)를 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(226) = 5771588\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 113\)에서의 함숫값 \(F(113) = -2885794\)과 접선의 기울기 \(F'(113) = -38307\)을 각각 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
<제시문 (가)> 포물선 \(y^2 = 444x\) 위의 임의의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서 초점 \(\mathrm{F}(111, 0)\)까지의 거리는 준선 \(x = -111\)까지의 거리 \(x_1 + 111\)와 같다.<제시문 (나)> 포물선 \(y^2 = 444x\) 위의 점 \(\mathrm{P}(444, 444)\)에서의 접선의 방정식은 \(y = \dfrac{1}{2}x + 222\)이다.
초점이 \(\mathrm{F}(111, 0)\)인 포물선 \(y^2 = 444x\) 위의 제1사분면의 점 \(\mathrm{P}(444, 444)\)에서의 접선이 가로축과 만나는 점을 Q라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 포물선 정의를 이용하여 준선의 방정식 \(x = -111\)와 선분 \(\overline{\mathrm{PF}} = 555\)의 길이를 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 점 \(\mathrm{P}(444, 444)\)에서의 접선의 방정식과 가로축 절편 \(\mathrm{Q}(-444, 0)\)을 구하여 \(\overline{\mathrm{FQ}} = \overline{\mathrm{FP}} = 555\)임을 증명하시오.
[문항 4-3] (7점) 이등변삼각형 FPQ의 밑변 \(555\)와 높이 \(444\)로부터 삼각형의 넓이 \(S = 123210\)를 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(333, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 333, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 333)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 333\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 333)\)이다.<제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 333\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{110889}{2}\)가 성립한다.
좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(333, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 333, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 333)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 333\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 333 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 111\sqrt{3}\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 \(S' = \dfrac{110889}{2}\)와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 \(S = \dfrac{110889\sqrt{3}}{2}\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 6154339\)를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.34 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 120} + 120\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 244\)에 대하여 서로 대칭이다.<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 244\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 244)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.
직선 \(y = -x + 244\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 244)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 244\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(122, 122)\)의 좌표를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 122)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 244)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 244 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{244}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]
<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=345,\; c=575\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=805\right)\)이 성립한다.<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 1725\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{1725}{2}r\)가 성립한다.
삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 345,\; c = 575\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=345\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 805\)의 길이를 유도하시오.
[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{805\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{198375\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{115\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 684\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 684)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 684)\,dt = 3x^2 - 684x\)이고 \(F''(x) = 6x - 684\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 684)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 684x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 684\)를 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(228) = 5926176\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 114\)에서의 함숫값 \(F(114) = -2963088\)과 접선의 기울기 \(F'(114) = -38988\)을 각각 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집)
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[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 348)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 348)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 348]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 348)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 696t^2 + 121104t = t(t - 348)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 348\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(348) = 0\)의 값을 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 348]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 116)(t - 348)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(116) = 6243584\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 1392 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 232\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(232) = 3121792\)를 각각 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 확률과 통계 · 기출 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통03-06]
<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{113},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{113}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.<제시문 (나)> 크기 \(n = 204304\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{204304}}\)이다.
두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{113},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{113}\)이며, 크기 \(n = 204304\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{113}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 113)\)를 각각 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 표본의 크기 \(n = 204304\)을 대입하여 표본비율의 표준오차 \(\dfrac{12/25}{452} = \dfrac{3}{2825}\)를 유도하시오.
[문항 5-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a = \dfrac{294}{70625}\)를 기약분수로 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.35 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{124}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 5\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(5\)인 등차수열을 이룬다.<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/124)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.
첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{124}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 124\right)\)을 이용하여 \(b_n = 5n + 119\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{5n + 119}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 1-3] (7점) 부분분수 항등식 \(5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{21576}\)의 값을 유도하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -479\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(2\)인 삼차함수이다.<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 119} \dfrac{f(x)}{(x - 119)^2} = 235\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 119)^2(2x + r)\) 꼴로 인수분해된다.
삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -479\)과 \(\lim_{x \to 119} \dfrac{f(x)}{(x - 119)^2} = 235\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 119)^2(2x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -3\)을 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 119)^2(2x - 3)\)이 무한대 극한 조건 \(-479\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.
[문항 2-3] (7점) 함숫값 \(f(121) = 956\)의 값과 \(x = 119\)에서의 미분계수 \(f'(119) = 0\)의 값을 각각 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 333x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 333\)인 \(c\)가 존재한다.<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 333 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 333}\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 333x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 333(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.
[문항 3-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 336\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{333}\)와 \(g'(336) = \dfrac{1}{336}\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((336, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{336}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(336)} = 669\)의 값을 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 118)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (118, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{118} (-6x^2 + 708x)\,dx = 1643032\)이다.<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{118}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(1643032\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 708x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 354x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 708x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 1643032\)를 유도하시오.
[문항 4-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 1643032\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{118}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{118/2} (-6x^2 + 708x)\,dx = \dfrac{1643032}{2}\)임을 확인하시오.
[문항 4-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 708x\)와 직선 \(y = 354x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{1643032}{8}\)을 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (문제집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(339, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 339, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 339)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 339\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 339)\)이다.<제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 339\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{114921}{2}\)가 성립한다.
좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(339, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 339, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 339)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 339\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 339 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 113\sqrt{3}\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 \(S' = \dfrac{114921}{2}\)와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 \(S = \dfrac{114921\sqrt{3}}{2}\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 6493036\)를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
PART 2-2
실전 모의고사 10회분 상세 해설집
Track B 3줄 풀이 노트 + 2열 루브릭 채점기준표 (총 75쪽)
단계별 채점 기준에 따른 자가 채점 최적화
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 1회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음) 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]
실수 \(a = \sqrt[3]{-64} + \sqrt[4]{81}\)이라 하고, 양수 \(b = 16^{\frac{3}{4}} \times 8^{-\frac{2}{3}}\)이라 할 때, 다음을 구하시오. (단, \(a, b\)는 실수이다.)
[1-1] (5점) 거듭제곱근의 정의와 지수법칙을 이용하여 실수 \(a\)와 \(b\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (5점) \(a^2 + b^3\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [1-1] \(a = -1,\; b = 2\) | [1-2] \(9\)
[1줄: 공식선언 (30%)] \((-4)^3 = -64\)이므로 \(\sqrt[3]{-64} = -4\)이고, \(3^4 = 81\;(3 \gt 0)\)이므로 \(\sqrt[4]{81} = 3\)이며, 지수법칙 \((x^m)^n = x^{mn}\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a = -4 + 3 = -1\)이고, \(b = (2^4)^{\frac{3}{4}} \times (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^3 \times 2^{-2} = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a^2 + b^3 = (-1)^2 + 2^3 = 1 + 8 = 9\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (5점) • \(\sqrt[3]{-64}=-4,\; \sqrt[4]{81}=3\)으로 \(a=-1\) 산출 +3점 / 지수법칙으로 \(b=2\) 산출 +2점 소문항 [1-2] (5점) • \(a^2=1,\; b^3=8\) 대입 +2점 / 최종값 \(9\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 짝수차 거듭제곱근 \(\sqrt[4]{81}\)은 양의 네제곱근 \(3\)만을 나타내므로 \(\pm 3\)으로 쓰지 않도록 주의하세요.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 1회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음) 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.21 문제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-04]
\(1\)이 아닌 두 양수 \(p, q\)가 \(\log_3 p = 4\), \(\log_3 q = -2\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오. (단, \(p \gt 0, q \gt 0\))
[2-1] (5점) 로그의 성질을 이용하여 \(\log_3 (p^2 q^3)\)의 값을 구하시오.
[2-2] (5점) 밑변환 공식을 이용하여 \(\log_p (p^2 q^3)\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [2-1] \(2\) | [2-2] \(\dfrac{1}{2}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 로그의 성질 \(\log_a(M^k N^m) = k\log_a M + m\log_a N\)과 밑변환 공식 \(\log_p X = \dfrac{\log_3 X}{\log_3 p}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log_3 (p^2 q^3) = 2\log_3 p + 3\log_3 q = 2(4) + 3(-2) = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\log_p (p^2 q^3) = \dfrac{\log_3 (p^2 q^3)}{\log_3 p} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (5점) • \(2\log_3 p + 3\log_3 q\) 분리식 작성 +2점 / 값 \(2\) 산출 +3점 소문항 [2-2] (5점) • 밑변환 공식 적용 식 명시 +3점 / 최종값 \(\dfrac{1}{2}\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 진수의 곱을 로그의 곱으로 잘못 전개하지 않도록 로그의 기본 성질을 정확히 선언하세요.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 1회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음) 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]
닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 정의된 두 함수 \(f(x) = 3^{x+1} - 4\)와 \(g(x) = \log_2 (x + 6) + 1\)에 대하여 다음을 구하시오.
[3-1] (5점) 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값 \(M_1\)과 최솟값 \(m_1\)을 각각 구하시오.
[3-2] (5점) 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 함수 \(g(x)\)의 최댓값 \(M_2\)를 구하고, \(M_1 + m_1 + M_2\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [3-1] \(M_1 = 23,\; m_1 = -3\) | [3-2] \(M_2 = 4,\; 합 = 24\)
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x)\)는 밑 \(3 \gt 1\), \(g(x)\)는 밑 \(2 \gt 1\)이므로 두 함수 모두 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 증가함수임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(M_1 = f(2) = 3^3 - 4 = 23\), \(m_1 = f(-1) = 3^0 - 4 = -3\)이고, \(M_2 = g(2) = \log_2 8 + 1 = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(M_1 + m_1 + M_2 = 23 - 3 + 4 = 24\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (5점) • 증가함수 성질 명시 +1점 / \(M_1 = 23,\; m_1 = -3\) 산출 +4점 소문항 [3-2] (5점) • \(M_2 = 4\) 산출 +3점 / 합 \(24\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 밑이 \(1\)보다 크므로 구간의 양 끝점에서 최댓값과 최솟값을 갖는다는 증가 근거를 반드시 쓰세요.
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[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.12 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-01]
각 \(\theta\)가 제\(2\)사분면의 각이고 \(\sin\theta = \dfrac{4}{5}\)일 때, 다음을 구하시오. (단, \(\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi\))
[4-1] (5점) \(\cos\theta\)와 \(\tan\theta\)의 값을 각각 구하시오.
[4-2] (5점) \(15(\cos\theta + \tan\theta)\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [4-1] \(\cos\theta = -\dfrac{3}{5},\; \tan\theta = -\dfrac{4}{3}\) | [4-2] \(-29\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 항등식 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\), \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) 및 제\(2\)사분면에서 \(\cos\theta \lt 0\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\cos^2\theta = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}\)에서 \(\cos\theta = -\dfrac{3}{5}\)이고, \(\tan\theta = -\dfrac{4}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(15(\cos\theta + \tan\theta) = 15\left(-\dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{3}\right) = -9 - 20 = -29\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (5점) • 제\(2\)사분면 부호 판정 후 \(\cos\theta = -\dfrac{3}{5}\) 도출 +3점 / \(\tan\theta = -\dfrac{4}{3}\) 산출 +2점 소문항 [4-2] (5점) • 식에 대입 및 분배 계산 +3점 / 최종값 \(-29\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 제\(2\)사분면 조건(\(\cos\theta \lt 0\))을 명시하지 않고 부호만 적으면 부분 감점될 수 있습니다.
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[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 중단원 마무리 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 귀납적 정의 \(a_{n+1} = a_n + 4n + 1\)을 만족시킬 때, 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) \(a_2,\; a_3,\; a_4\)의 값을 차례대로 구하시오.
[5-2] (5점) \(a_{10} = a_1 + \sum_{k=1}^{9} (4k + 1)\)임을 이용하여 \(a_{10}\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [5-1] \(a_2 = 7,\; a_3 = 16,\; a_4 = 29\) | [5-2] \(a_{10} = 191\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 이웃한 두 항의 차 \(a_{k+1} - a_k = 4k + 1\)을 \(k = 1\)부터 \(n-1\)까지 변변 더하는 식을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_2 = 2 + 5 = 7\), \(a_3 = 7 + 9 = 16\), \(a_4 = 16 + 13 = 29\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a_{10} = 2 + 4\cdot\dfrac{9\times 10}{2} + 9 = 2 + 180 + 9 = 191\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (5점) • \(n=1,2,3\) 대입으로 \(a_2=7,\; a_3=16,\; a_4=29\) 산출 +5점 소문항 [5-2] (5점) • 시그마 합 공식 적용 +3점 / \(a_{10} = 191\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: \(a_{10}\)을 구할 때 더하는 항의 개수는 \(k=1\)부터 \(9\)까지 총 \(9\)개입니다.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.13 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
극한에 대한 성질에 의하여 등식 \(\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 + ax + b}{x + 2} = -7\)이 성립할 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 다음을 구하시오.
[6-1] (5점) \(x \to -2\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴함을 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[6-2] (5점) 위에서 구한 \(a, b\)에 대하여 \(\lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 + ax + b}{x - 5}\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [6-1] \(a = -3,\; b = -10\) | [6-2] \(7\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 극한에 대한 성질로부터 \(x \to -2\)일 때 분모가 \(0\)이면 분자도 \(0\)이므로 \(4 - 2a + b = 0\), 즉 \(b = 2a - 4\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\lim_{x \to -2} \dfrac{(x+2)(x + a - 2)}{x + 2} = a - 4 = -7\)에서 \(a = -3\), \(b = -10\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 3x - 10}{x - 5} = \lim_{x \to 5} (x + 2) = 7\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (5점) • \(b = 2a - 4\) 관계식 수립 +2점 / 약분 후 \(a = -3,\; b = -10\) 산출 +3점 소문항 [6-2] (5점) • 분자 \((x-5)(x+2)\) 인수분해 및 약분 +3점 / 극한값 \(7\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 약분하기 전 분자가 \(0\)으로 수렴한다는 조건을 먼저 명시해야 논리적 감점이 없습니다.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.31 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 정의된 연속함수 \(f(x) = -x^2 + 2x + 5\)에 대하여 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) \(f(x)\)를 표준형 \(-(x - p)^2 + q\) 꼴로 변형하여 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
[7-2] (5점) 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.
🎯 정답 : [7-1] 꼭짓점 \((1, 6)\) | [7-2] \(M = 6,\; m = 2\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 연속함수의 최대·최소 정리에 의하여 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 \(f(x)\)는 반드시 최댓값과 최솟값을 가짐을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x) = -(x - 1)^2 + 6\)이므로 꼭짓점은 \((1, 6)\)이고 대칭축 \(x = 1\)은 구간 \([-1, 3]\)에 속한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(1) = 6\), \(f(-1) = f(3) = 2\)이므로 최댓값은 \(M = 6\), 최솟값은 \(m = 2\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (5점) • 완전제곱식 \(f(x) = -(x-1)^2 + 6\) 변형 +3점 / 꼭짓점 \((1, 6)\) 명시 +2점 소문항 [7-2] (5점) • \(f(1)=6\) 및 양 끝점 함숫값 \(f(-1)=f(3)=2\) 비교 +3점 / \(M=6,\; m=2\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 대칭축 \(x=1\)이 주어진 닫힌구간 \([-1, 3]\) 안에 포함됨을 확인하는 과정을 꼭 적으세요.
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수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음) 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.16 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]
삼차함수 \(f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1\)에 대하여 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 미분계수 \(f'(1)\)과 \(f'(2)\)의 값을 각각 구하시오.
[8-2] (5점) 극한 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + 3h) - f(2)}{h}\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [8-1] \(f'(x) = 6x^2 - 10x + 4,\; f'(1) = 0,\; f'(2) = 8\) | [8-2] \(24\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 거듭제곱의 미분법 \((x^n)' = nx^{n-1}\)과 미분계수의 정의 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+kh)-f(a)}{h} = k f'(a)\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 6x^2 - 10x + 4\)이므로 \(f'(1) = 6 - 10 + 4 = 0\), \(f'(2) = 24 - 20 + 4 = 8\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2+3h)-f(2)}{3h} \times 3 = 3f'(2) = 3 \times 8 = 24\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (5점) • \(f'(x) = 6x^2 - 10x + 4\) 도출 +2점 / \(f'(1) = 0,\; f'(2) = 8\) 계산 +3점 소문항 [8-2] (5점) • 주어진 극한을 \(3f'(2)\)로 변형 +3점 / 최종값 \(24\) 산출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 분모의 \(h\)를 \(3h\)로 맞추어 \(3f'(2)\)로 바꾸는 과정을 생략하지 마세요.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.28 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]
이차함수 \(f(x) = -x^2 + 6x - 2\)에 대하여 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 닫힌구간 \([1, 5]\)에서 롤의 정리를 만족시키는 상수 \(c_1 \in (1, 5)\)의 값을 구하시오.
[9-2] (5점) 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c_2 \in (0, 4)\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [9-1] \(c_1 = 3\) | [9-2] \(c_2 = 2\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 다항함수 \(f(x)\)는 모든 실수에서 연속이고 미분가능하므로 롤의 정리 \(f'(c_1)=0\)과 평균값 정리 \(f'(c_2)=\dfrac{f(4)-f(0)}{4-0}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(1)=f(5)=3\)이고 \(f'(x) = -2x + 6 = 0\)에서 \(c_1 = 3 \in (1, 5)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\dfrac{f(4)-f(0)}{4} = \dfrac{6 - (-2)}{4} = 2\)이므로 \(-2c_2 + 6 = 2\)에서 \(c_2 = 2 \in (0, 4)\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [9-1] (5점) • \(f(1)=f(5)=3\) 확인 및 \(f'(c_1)=0\) 수립 +3점 / \(c_1 = 3\) 도출 +2점 소문항 [9-2] (5점) • 평균변화율 \(2\) 산출 및 \(-2c_2+6=2\) 수립 +3점 / \(c_2 = 2\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 구한 \(c_1, c_2\)가 열린구간 \((1, 5)\)와 \((0, 4)\)에 각각 속한다는 확인 표기를 반드시 덧붙이세요.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]
이차함수 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 2\)에 대하여 다음을 구하시오.
[10-1] (5점) 정적분 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
[10-2] (5점) 정적분 \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [10-1] \(4\) | [10-2] \(6\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 다항함수의 부정적분 \(F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x\)와 대칭구간 정적분 성질 \(\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} g_{\text{짝}}(x)\,dx\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 2)\,dx = \left[x^3 - 2x^2 + 2x\right]_{0}^{2} = 8 - 8 + 4 = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 4x + 2)\,dx = 2\int_{0}^{1} (3x^2 + 2)\,dx = 2\left[x^3 + 2x\right]_{0}^{1} = 2(1 + 2) = 6\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [10-1] (5점) • 부정적분 \(x^3 - 2x^2 + 2x\) 도출 +3점 / 정적분 값 \(4\) 산출 +2점 소문항 [10-2] (5점) • 기함수 항 \(-4x\) 소거 또는 부정적분 대입 +3점 / 정적분 값 \(6\) 산출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 대칭구간 \([-1, 1]\)에서 홀수차 항 \(-4x\)의 정적분은 \(0\)이 되므로 계산 실수를 줄일 수 있습니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 2회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
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[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]
거듭제곱근의 성질을 이용하여 두 실수 \(A = \sqrt[4]{4}\times\sqrt[4]{64} + \dfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}\)와 \(B = \left(\sqrt[6]{25}\right)^3\)에 대하여 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) 실수 \(A\)와 \(B\)의 값을 각각 간단히 하시오.
[1-2] (5점) \(A^2 - B^2\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [1-1] \(A = 7,\; B = 5\) | [1-2] \(24\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 거듭제곱근의 성질 \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\), \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\), \((\sqrt[np]{a^m})^p = \sqrt[n]{a^m}\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A = \sqrt[4]{256} + \sqrt[3]{27} = 4 + 3 = 7\)이고, \(B = (5^{\frac{2}{6}})^3 = 5^1 = 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(A^2 - B^2 = 7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (5점) • \(\sqrt[4]{256}=4,\; \sqrt[3]{27}=3\)으로 \(A=7\) 산출 +3점 / \(B=5\) 산출 +2점 소문항 [1-2] (5점) • \(A^2=49,\; B^2=25\) 계산 +2점 / 차 \(24\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 거듭제곱근의 지수 표기 \((\sqrt[6]{5^2})^3 = 5^{\frac{2}{6}\times 3}\)으로 바꾸어 풀면 계산이 명확합니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 2회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
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[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.24 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]
소리의 세기가 \(I\,(\mathrm{W/m^2})\)일 때 소리의 크기 \(D\,(\mathrm{dB})\)는 \(D = 10\log\dfrac{I}{10^{-12}}\)으로 정의된다. 다음을 구하시오. (단, \(\log 2 = 0.3\)으로 계산한다.)
[2-1] (5점) 소리의 세기가 \(I_A = 10^{-5}\,(\mathrm{W/m^2})\)일 때 소리의 크기 \(D_A\)를 구하시오.
[2-2] (5점) 소리의 세기 \(I_B\)가 \(I_A\)의 \(200\)배일 때 소리의 크기 \(D_B\)를 구하시오.
🎯 정답 : [2-1] \(D_A = 70\,(\mathrm{dB})\) | [2-2] \(D_B = 93\,(\mathrm{dB})\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 상용로그의 성질 \(\log 10^k = k\)와 \(D_B - D_A = 10\log\dfrac{I_B}{I_A}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(D_A = 10\log\dfrac{10^{-5}}{10^{-12}} = 10\log 10^7 = 70\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(I_B = 200 I_A\)이므로 \(D_B = D_A + 10\log 200 = 70 + 10(\log 2 + 2) = 70 + 23 = 93\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (5점) • \(\dfrac{10^{-5}}{10^{-12}} = 10^7\) 대입 +2점 / \(D_A = 70\) 산출 +3점 소문항 [2-2] (5점) • \(\log 200 = 2 + \log 2 = 2.3\) 계산 +3점 / \(D_B = 93\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: \(\log 200 = \log(2 \times 10^2) = \log 2 + 2\)로 분리하는 과정을 정확히 서술하세요.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 2회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음) 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.11 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-08]
지수함수의 일대일대응 성질과 단조성을 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (5점) 지수방정식 \(4^{x+1} - 17\cdot 2^x + 4 = 0\)의 두 실근 \(\alpha, \beta\)를 각각 구하시오.
[3-2] (5점) 지수부등식 \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3x - 7} \ge \left(\dfrac{1}{9}\right)^{x - 1}\)을 만족시키는 자연수 \(x\)의 개수를 구하시오.
🎯 정답 : [3-1] \(x = -2\) 또는 \(x = 2\) | [3-2] \(5\)개
[1줄: 공식선언 (30%)] \(t = 2^x\;(t \gt 0)\) 치환법과 밑이 \(\dfrac{1}{3} \in (0, 1)\)인 지수부등식의 부등호 방향 역전 성질을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(4t^2 - 17t + 4 = (4t - 1)(t - 4) = 0\)에서 \(2^x = \dfrac{1}{4}\) 또는 \(2^x = 4\)이므로 \(x = -2\) 또는 \(x = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3x-7} \ge \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x-2}\)에서 \(3x - 7 \le 2x - 2\), 즉 \(x \le 5\)이므로 자연수 \(x\)는 \(1, 2, 3, 4, 5\)의 \(5\)개이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (5점) • \(t = 2^x\;(t \gt 0)\) 치환 후 인수분해 +3점 / \(x = -2,\; 2\) 도출 +2점 소문항 [3-2] (5점) • 밑 \(\dfrac{1}{3}\) 통일 및 부등호 역전 \(3x-7 \le 2x-2\) 수립 +3점 / 자연수 \(5\)개 산출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 밑이 \(0\)과 \(1\) 사이일 때 지수 비교 시 부등호 방향이 바뀐다는 점을 반드시 명시하세요.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 2회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음) 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{BC}} = a = 5\), \(\overline{\mathrm{CA}} = b = 7\), \(\overline{\mathrm{AB}} = c = 8\)일 때, 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 코사인법칙을 이용하여 \(\cos B\)의 값과 각 \(B\)의 크기를 구하시오. (단, \(0 \lt B \lt \pi\))
[4-2] (5점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)를 구하시오.
🎯 정답 : [4-1] \(\cos B = \dfrac{1}{2},\; B = \dfrac{\pi}{3}\) | [4-2] \(S = 10\sqrt{3}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙 \(\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\)와 삼각형의 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}ac\sin B\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\cos B = \dfrac{25 + 64 - 49}{2 \times 5 \times 8} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}\)이므로 \(B = \dfrac{\pi}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(S = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin\dfrac{\pi}{3} = 20 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (5점) • 코사인법칙에 대입하여 \(\cos B = \dfrac{1}{2}\) 산출 +3점 / \(B = \dfrac{\pi}{3}\) 도출 +2점 소문항 [4-2] (5점) • 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}ac\sin B\) 대입 +2점 / \(S = 10\sqrt{3}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 코사인법칙에서 빼는 항은 구하려는 각 \(B\)의 대변인 \(b^2\)임에 유의하세요.
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[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.12 개념/본문 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-07]
모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = 4^n - 1\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (5점) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = 4^n - 1\)이 \(3\)의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명할 때, \(a_{k+1} - a_k\)를 \(k\)에 대한 식으로 정리하시오.
[5-2] (5점) 합 \(\sum_{k=1}^{5} a_k = \sum_{k=1}^{5} (4^k - 1)\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [5-1] \(a_{k+1} - a_k = 3\cdot 4^k\) | [5-2] \(1359\)
[1줄: 공식선언 (30%)] \(n=1\)일 때 \(a_1 = 3\)은 \(3\)의 배수이고, \(n=k\)일 때 \(4^k - 1 = 3m\) (\(m\)은 자연수)이라 가정하는 수학적 귀납법과 등비수열의 합 공식을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_{k+1} - a_k = (4^{k+1} - 1) - (4^k - 1) = 3\cdot 4^k\)이므로 \(a_{k+1} = 3(m + 4^k)\)가 되어 \(3\)의 배수이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\sum_{k=1}^{5} (4^k - 1) = \dfrac{4(4^5 - 1)}{4 - 1} - 5 = \dfrac{4 \times 1023}{3} - 5 = 1364 - 5 = 1359\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (5점) • \(n=1\) 확인 및 귀납 가정 명시 +2점 / \(a_{k+1} - a_k = 3\cdot 4^k\) 유도 +3점 소문항 [5-2] (5점) • 등비수열의 합 \(\dfrac{4(4^5-1)}{3} = 1364\) 산출 +3점 / 상수항 \(-5\) 처리 후 \(1359\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: \(\sum_{k=1}^{5} 1 = 5\)인데 이를 \(1\)로 잘못 빼서 \(1363\)으로 쓰지 않도록 주의하세요.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.9 문제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01]
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} -2x + 5 & (x \lt 1) \\ x^2 + ax + 1 & (x \ge 1) \end{cases}\)에 대하여 다음을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)
[6-1] (5점) 좌극한 \(\lim_{x \to 1-} f(x)\)와 우극한 \(\lim_{x \to 1+} f(x)\)를 각각 구하시오.
[6-2] (5점) 극한값 \(\lim_{x \to 1} f(x)\)가 존재하도록 하는 상수 \(a\)의 값과 그때의 \(f(3)\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [6-1] 좌극한 \(3\), 우극한 \(a + 2\) | [6-2] \(a = 1,\; f(3) = 13\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 극한값 \(\lim_{x \to 1} f(x)\)가 존재하기 위한 필요충분조건은 \(\lim_{x \to 1-} f(x) = \lim_{x \to 1+} f(x)\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\lim_{x \to 1-} (-2x + 5) = 3\)이고, \(\lim_{x \to 1+} (x^2 + ax + 1) = a + 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a + 2 = 3\)에서 \(a = 1\)이며, \(x = 3 \ge 1\)이므로 \(f(3) = 3^2 + 3 + 1 = 13\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (5점) • 좌극한 \(3\) 산출 +2점 / 우극한 \(a + 2\) 산출 +3점 소문항 [6-2] (5점) • \(a + 2 = 3\)에서 \(a = 1\) 도출 +3점 / \(f(3) = 13\) 계산 +2점
💡 감점 방어 클리닉: \(x \lt 1\)과 \(x \ge 1\)의 구간에 맞는 식을 각각 선택하여 극한을 취해야 합니다.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
삼차함수 \(f(x) = x^3 - x^2 + 2x - 5\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (5점) \(f(1)\)과 \(f(2)\)의 값을 각각 구하시오.
[7-2] (5점) 사잇값의 정리를 이용하여 방정식 \(f(x) = 0\)이 열린구간 \((1, 2)\)에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 서술하시오.
🎯 정답 : [7-1] \(f(1) = -3,\; f(2) = 3\) | [7-2] 닫힌구간 \([1, 2]\)에서 연속이고 \(f(1)f(2) = -9 \lt 0\)이므로 \((1, 2)\)에 실근 존재
[1줄: 공식선언 (30%)] 다항함수 \(f(x)\)는 닫힌구간 \([1, 2]\)에서 연속이라는 성질과 사잇값의 정리를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(1) = 1 - 1 + 2 - 5 = -3 \lt 0\)이고, \(f(2) = 8 - 4 + 4 - 5 = 3 \gt 0\)이므로 \(f(1)f(2) = -9 \lt 0\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 사잇값의 정리에 의하여 \(f(c) = 0\)인 실수 \(c\)가 열린구간 \((1, 2)\)에 적어도 하나 존재한다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (5점) • \(f(1) = -3\) 산출 +2점 / \(f(2) = 3\) 산출 +3점 소문항 [7-2] (5점) • 닫힌구간 \([1, 2]\) 연속 및 \(f(1)f(2) \lt 0\) 명시 +3점 / 사잇값 정리 결론 서술 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 사잇값의 정리 서술 시 '닫힌구간 \([1, 2]\)에서 연속'이라는 전제 조건과 '\(f(1)f(2) \lt 0\)' 부호 판정을 모두 적어야 만점입니다.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07]
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 12\)에 대하여 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 방정식 \(f'(x) = 0\)의 두 실근을 구하고, 함수 \(f(x)\)가 감소하는 닫힌구간을 구하시오.
[8-2] (5점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)을 각각 구하시오.
🎯 정답 : [8-1] \(x = -1,\; 3\) / 감소구간 \([-1, 3]\) | [8-2] 극댓값 \(M = 17\), 극솟값 \(m = -15\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)\)의 부호 변화를 이용한 증감 판정법을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 0\)의 근은 \(x = -1, 3\)이고, \(-1 \le x \le 3\)에서 \(f'(x) \le 0\)이므로 감소하는 구간은 \([-1, 3]\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 극댓값은 \(M = f(-1) = -1 - 3 + 9 + 12 = 17\), 극솟값은 \(m = f(3) = 27 - 27 - 27 + 12 = -15\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (5점) • \(f'(x) = 3(x+1)(x-3) = 0\)으로 \(x = -1, 3\) 도출 +3점 / 감소구간 \([-1, 3]\) 명시 +2점 소문항 [8-2] (5점) • 극댓값 \(f(-1) = 17\) 산출 +3점 / 극솟값 \(f(3) = -15\) 산출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: \(x = -1\)과 \(x = 3\) 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 각각 양에서 음, 음에서 양으로 바뀐다는 점을 명시하세요.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09]
수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 \(x(t)\)가 \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2\)일 때, 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 점 \(\mathrm{P}\)가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각 \(t\)를 모두 구하시오.
[9-2] (5점) 점 \(\mathrm{P}\)의 가속도가 \(0\)이 되는 시각에서의 위치 \(x\)를 구하시오.
🎯 정답 : [9-1] \(t = 1\) 또는 \(t = 3\) | [9-2] \(t = 2\)일 때 위치 \(x(2) = 4\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 속도 \(v(t) = x'(t)\)의 부호가 바뀌는 시각에서 운동 방향이 바뀌며, 가속도는 \(a(t) = v'(t)\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)에서 부호가 바뀌는 시각은 \(t = 1\)과 \(t = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a(t) = 6t - 12 = 0\)에서 \(t = 2\)이고, 이때의 위치는 \(x(2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [9-1] (5점) • \(v(t) = 3(t-1)(t-3)\) 도출 +3점 / \(t = 1,\; 3\) 산출 +2점 소문항 [9-2] (5점) • \(a(t) = 6t - 12 = 0\)에서 \(t = 2\) 도출 +2점 / \(x(2) = 4\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 운동 방향이 바뀌려면 \(v(t) = 0\)일 뿐만 아니라 그 좌우에서 속도의 부호가 바뀌어야 합니다.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]
이차함수 \(y = x^2 - 5x + 4\)의 그래프와 직선 \(y = -x + 4\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하고자 한다. 다음 물음에 답하시오.
[10-1] (5점) 곡선과 직선의 두 교점의 \(x\)좌표를 구하시오.
[10-2] (5점) 정적분을 이용하여 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.
🎯 정답 : [10-1] \(x = 0,\; 4\) | [10-2] \(S = \dfrac{32}{3}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 두 그래프의 교점 방정식 \(x^2 - 5x + 4 = -x + 4\)와 곡선 사이의 넓이 공식 \(S = \int_{\alpha}^{\beta} |f(x) - g(x)|\,dx\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^2 - 4x = x(x - 4) = 0\)이므로 두 교점의 \(x\)좌표는 \(0\)과 \(4\)이고, 구간 \([0, 4]\)에서 \(-x + 4 \ge x^2 - 5x + 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x)\,dx = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + 2x^2\right]_{0}^{4} = -\dfrac{64}{3} + 32 = \dfrac{32}{3}\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [10-1] (5점) • 연립방정식 \(x^2 - 4x = 0\) 수립 +2점 / 교점 \(x = 0,\; 4\) 도출 +3점 소문항 [10-2] (5점) • 정적분 \(\int_{0}^{4} (-x^2 + 4x)\,dx\) 수립 +2점 / 넓이 \(\dfrac{32}{3}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 \(S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3 = \dfrac{1}{6}\times 4^3 = \dfrac{32}{3}\)으로 검산하면 정확합니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 3회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음) 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]
\(0\)이 아닌 실수에서 정의되는 정수 지수의 성질을 이용하여 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) \(P = 2^4 \times 2^{-6} \div 2^{-5}\)와 \(Q = \left(3^{-2}\right)^{-3} \times 3^{-4}\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (5점) \(P + Q\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [1-1] \(P = 8,\; Q = 9\) | [1-2] \(17\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 정수 지수에서 지수법칙 \(a^m a^n = a^{m+n}\), \(a^m \div a^n = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(P = 2^{4 - 6 + 5} = 2^3 = 8\)이고, \(Q = 3^{(-2)\times(-3) - 4} = 3^{6 - 4} = 3^2 = 9\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(P + Q = 8 + 9 = 17\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (5점) • 지수 합·차로 \(P = 2^3 = 8\) 산출 +3점 / \(Q = 3^2 = 9\) 산출 +2점 소문항 [1-2] (5점) • \(P + Q = 8 + 9 = 17\) 도출 +5점
💡 감점 방어 클리닉: 나눗셈 \(\div 2^{-5}\)에서 지수를 뺄 때 \(-(-5) = +5\)가 됨에 주의하세요.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 3회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
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[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.23 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]
\(\log 4.25 = 0.6284\)일 때, 상용로그의 성질을 이용하여 다음을 구하시오.
[2-1] (5점) \(\log 4250\)의 값과 \(\log 0.0425\)의 값을 각각 소수로 구하시오.
[2-2] (5점) \(\log N = 3.6284\)를 만족시키는 양수 \(N\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [2-1] \(\log 4250 = 3.6284,\; \log 0.0425 = -1.3716\) | [2-2] \(N = 4250\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 양수 \(x\)를 \(a \times 10^n\;(1 \le a \lt 10,\; n\text{은 정수})\) 꼴로 나타내면 \(\log x = n + \log a\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log 4250 = \log(4.25 \times 10^3) = 3 + 0.6284 = 3.6284\)이고, \(\log 0.0425 = \log(4.25 \times 10^{-2}) = -2 + 0.6284 = -1.3716\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\log N = 3 + 0.6284 = \log(10^3 \times 4.25) = \log 4250\)이므로 \(N = 4250\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (5점) • \(\log 4250 = 3.6284\) 산출 +2점 / \(\log 0.0425 = -1.3716\) 산출 +3점 소문항 [2-2] (5점) • \(3 + 0.6284 = \log(4.25 \times 10^3)\) 변형 +3점 / \(N = 4250\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: \(-2 + 0.6284\)를 \(-2.6284\)로 잘못 계산하지 않도록 부호 연산에 주의하세요.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 3회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음) 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.16 개념/본문 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]
로그함수 \(f(x) = \log_3 (x + a) + b\)의 그래프의 점근선이 직선 \(x = -2\)이고, 이 그래프가 점 \((7, 5)\)를 지날 때, 다음을 구하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)
[3-1] (5점) 상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 각각 구하시오.
[3-2] (5점) 방정식 \(f(x) = 4\)의 해 \(x\)를 구하시오.
🎯 정답 : [3-1] \(a = 2,\; b = 3\) | [3-2] \(x = 1\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 로그함수 \(y = \log_3 (x + a) + b\)의 정의역은 \(x \gt -a\)이고 점근선의 방정식은 \(x = -a\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 점근선이 \(x = -2\)이므로 \(a = 2\)이고, \(f(7) = \log_3 (7 + 2) + b = 2 + b = 5\)에서 \(b = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(x) = \log_3 (x + 2) + 3 = 4\)에서 \(\log_3 (x + 2) = 1 \implies x + 2 = 3\)이므로 \(x = 1\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (5점) • 점근선 조건으로 \(a = 2\) 도출 +2점 / \((7, 5)\) 대입으로 \(b = 3\) 산출 +3점 소문항 [3-2] (5점) • \(\log_3(x+2) = 1\) 정리 +3점 / \(x = 1\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 로그함수 \(y = \log_3(x + a) + b\)의 점근선은 진수가 \(0\)이 되는 경계인 \(x = -a\)입니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 3회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음) 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.8 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수02-01]
반지름의 길이가 \(r = 6\)이고 중심각의 크기가 \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\)인 부채꼴에 대하여 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 부채꼴의 호의 길이 \(l\)과 넓이 \(S\)를 각각 구하시오.
[4-2] (5점) 크기 \(-510^\circ\)인 각의 동경이 나타내는 일반각을 \(2n\pi + \alpha\) (\(n\)은 정수, \(0 \le \alpha \lt 2\pi\)) 꼴로 나타낼 때, \(\alpha\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [4-1] \(l = 4\pi,\; S = 12\pi\) | [4-2] \(\alpha = \dfrac{7\pi}{6}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 부채꼴의 호의 길이 \(l = r\theta\), 넓이 \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}rl\) 및 \(180^\circ = \pi\) 호도법 변환식을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(l = 6 \times \dfrac{2\pi}{3} = 4\pi\)이고, \(S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 4\pi = 12\pi\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(-510^\circ = 360^\circ \times (-2) + 210^\circ\)이고 \(210^\circ = 210 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{6}\)이므로 \(\alpha = \dfrac{7\pi}{6}\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (5점) • \(l = 4\pi\) 산출 +2점 / \(S = 12\pi\) 산출 +3점 소문항 [4-2] (5점) • \(-510^\circ = -720^\circ + 210^\circ\) 분리 +3점 / \(\alpha = \dfrac{7\pi}{6}\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 일반각에서 \(\alpha\)는 반드시 \(0 \le \alpha \lt 2\pi\) 범위의 양의 각으로 나타내야 합니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 3회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
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[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.13 개념/본문 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]
모든 항이 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_1 = 2\), \(a_5 = 162\)일 때, 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 공비 \(r\)와 제\(3\)항 \(a_3\)의 값을 각각 구하시오.
[5-2] (5점) \(\log_3 \left(\dfrac{a_1 a_2 a_3 a_4 a_5}{32}\right)\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [5-1] \(r = 3,\; a_3 = 18\) | [5-2] \(10\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 등비수열의 일반항 \(a_n = a_1 r^{n-1}\)과 등비중항 성질 \(a_1 a_5 = a_2 a_4 = a_3^2\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_5 = 2r^4 = 162 \implies r^4 = 81\)에서 \(r \gt 0\)이므로 \(r = 3\)이고, \(a_3 = 2 \times 3^2 = 18\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 = a_3^5 = (2 \times 3^2)^5 = 32 \times 3^{10}\)이므로 \(\log_3 \left(\dfrac{a_1 a_2 a_3 a_4 a_5}{32}\right) = \log_3 3^{10} = 10\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (5점) • \(r^4 = 81\)에서 양수 공비 \(r = 3\) 도출 +3점 / \(a_3 = 18\) 산출 +2점 소문항 [5-2] (5점) • \(a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 = 32 \times 3^{10}\) 도출 +3점 / 로그 값 \(10\) 산출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 모든 항이 양수라는 조건으로부터 \(r = \pm 3\) 중 \(r = 3\)만을 선택하는 이유를 적으세요.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.22 개념/본문 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
다항함수 \(f(x)\)가 극한에 대한 성질에 의하여 다음 두 조건을 만족시킬 때, 물음에 답하시오.
[6-1] (5점) 조건 (가)를 이용하여 \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 + ax + b\)라 둘 때, 조건 (나)를 만족시키는 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[6-2] (5점) \(f(2)\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [6-1] \(a = -8,\; b = 3\) | [6-2] \(f(2) = 15\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 극한에 대한 성질에 의하여 조건 (가)에서 \(f(x) - 2x^3\)은 최고차항이 \(3x^2\)인 이차식이고, 조건 (나)에서 \(f(1) = 0,\; f'(1) = 4\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(1) = 5 + a + b = 0\)이고, \(\lim_{x \to 1}\dfrac{(x-1)(2x^2 + 5x + a + 5)}{x - 1} = a + 12 = 4\)에서 \(a = -8,\; b = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3\)이므로 \(f(2) = 16 + 12 - 16 + 3 = 15\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (5점) • \(f(1) = 5 + a + b = 0\) 도출 +2점 / 인수분해 극한으로 \(a = -8,\; b = 3\) 산출 +3점 소문항 [6-2] (5점) • \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3\) 완성 +2점 / \(f(2) = 15\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(f(1)=0\)으로부터 \(b = -a - 5\)를 대입하여 \(f(x) = (x-1)(2x^2 + 5x + a + 5)\)로 인수분해하면 정확합니다.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.20 개념/본문 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]
이차함수 \(f(x) = x^2 + 4x + 3\)에서 \(x\)의 값이 \(-1\)에서 \(3\)까지 변할 때의 평균변화율과 \(x = c\)에서의 미분계수 \(f'(c)\)가 서로 같을 때, 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) \(x\)의 값이 \(-1\)에서 \(3\)까지 변할 때의 평균변화율을 구하시오.
[7-2] (5점) 미분계수 \(f'(c)\)가 위 평균변화율과 같아지도록 하는 실수 \(c\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [7-1] 평균변화율 \(6\) | [7-2] \(c = 1\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 평균변화율의 정의 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(3) - f(-1)}{3 - (-1)}\)과 도함수 \(f'(x) = 2x + 4\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(3) = 9 + 12 + 3 = 24\), \(f(-1) = 1 - 4 + 3 = 0\)이므로 평균변화율은 \(\dfrac{24 - 0}{4} = 6\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f'(c) = 2c + 4 = 6\)에서 \(c = 1\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (5점) • \(f(3)=24,\; f(-1)=0\) 산출 +2점 / 평균변화율 \(6\) 도출 +3점 소문항 [7-2] (5점) • \(f'(c) = 2c + 4 = 6\) 방정식 수립 +3점 / \(c = 1\) 산출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 이차함수에서 구간 \([a, b]\)의 평균변화율과 같아지는 미분계수의 위치는 항상 구간의 중점 \(c = \dfrac{a+b}{2}\)입니다.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.52 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09]
지면으로부터 \(25\,\mathrm{m}\) 높이에서 \(20\,\mathrm{m/s}\)의 속도로 똑바로 위로 던져 올린 물체의 \(t\)초 후의 지면으로부터의 높이 \(x(t)\,(\mathrm{m})\)가 \(x(t) = 25 + 20t - 5t^2\)일 때, 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 물체가 최고 높이에 도달하는 시각 \(t_1\)과 최고 높이 \(H\)를 각각 구하시오.
[8-2] (5점) 물체가 지면에 떨어지는 순간의 시각 \(t_2\)와 그때의 속도 \(v(t_2)\)를 각각 구하시오.
🎯 정답 : [8-1] \(t_1 = 2\)초, \(H = 45\,\mathrm{m}\) | [8-2] \(t_2 = 5\)초, \(v(5) = -30\,\mathrm{m/s}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 최고 높이에서 속도 \(v(t) = x'(t) = 0\)이고, 지면에 도달할 때 높이 \(x(t) = 0\;(t \gt 0)\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(v(t) = 20 - 10t = 0\)에서 \(t_1 = 2\)이고, 최고 높이는 \(H = x(2) = 25 + 40 - 20 = 45\,(\mathrm{m})\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(x(t) = -5(t^2 - 4t - 5) = -5(t + 1)(t - 5) = 0\)에서 \(t_2 = 5\)이고, 그때의 속도는 \(v(5) = 20 - 50 = -30\,(\mathrm{m/s})\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (5점) • \(v(t) = 20 - 10t = 0\)으로 \(t_1 = 2\) 산출 +2점 / \(H = 45\) 계산 +3점 소문항 [8-2] (5점) • \(x(t) = 0\)에서 \(t_2 = 5\) 도출 +3점 / \(v(5) = -30\) 산출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 속도는 방향을 가지므로 지면에 떨어지는 순간의 속도는 음수인 \(-30\,\mathrm{m/s}\)로 적어야 합니다.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 정적분 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-01]
곡선 \(y = f(x)\) 위의 임의의 점 \((x, f(x))\)에서의 접선의 기울기가 \(3x^2 - 4x + 1\)이고, 이 곡선이 점 \((2, 5)\)를 지날 때, 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 부정적분을 이용하여 함수 \(f(x)\)의 식을 구하시오.
[9-2] (5점) \(f(-1)\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [9-1] \(f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3\) | [9-2] \(f(-1) = -1\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 접선의 기울기 조건 \(f'(x) = 3x^2 - 4x + 1\)과 부정적분 \(f(x) = \int f'(x)\,dx\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x) = x^3 - 2x^2 + x + C\)이고, \(f(2) = 8 - 8 + 2 + C = 5\)에서 적분상수 \(C = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3\)이므로 \(f(-1) = -1 - 2 - 1 + 3 = -1\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [9-1] (5점) • 부정적분 \(x^3 - 2x^2 + x + C\) 작성 +2점 / \(C = 3\) 결정으로 \(f(x)\) 완성 +3점 소문항 [9-2] (5점) • \(x = -1\) 대입 계산 +3점 / \(f(-1) = -1\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 부정적분 단계에서 적분상수 \(C\)를 반드시 표기한 뒤 초기조건 \(f(2)=5\)로 결정하세요.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 3회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음) 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.33 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]
좌표가 \(1\)인 점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 4t - t^2\)일 때, 다음을 구하시오.
[10-1] (5점) 시각 \(t = 4\)에서의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치를 구하시오.
[10-2] (5점) 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 5\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리 \(s\)를 구하시오.
🎯 정답 : [10-1] 위치 \(\dfrac{35}{3}\) | [10-2] 거리 \(s = 13\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 시각 \(t\)에서의 위치 \(x(t) = x(0) + \int_{0}^{t} v(u)\,du\)와 움직인 거리 \(s = \int_{0}^{5} |v(t)|\,dt\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x(4) = 1 + \int_{0}^{4} (4t - t^2)\,dt = 1 + \left[2t^2 - \dfrac{1}{3}t^3\right]_{0}^{4} = 1 + \dfrac{32}{3} = \dfrac{35}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(v(t) = t(4-t)\)는 \(t=4\)에서 부호가 바뀌므로 \(s = \int_{0}^{4} (4t - t^2)\,dt + \int_{4}^{5} (t^2 - 4t)\,dt = \dfrac{32}{3} + \dfrac{7}{3} = 13\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [10-1] (5점) • 초기 위치 \(x(0)=1\) 반영 식 수립 +2점 / \(x(4) = \dfrac{35}{3}\) 산출 +3점 소문항 [10-2] (5점) • 구간 \([0,4]\)와 \([4,5]\)로 절댓값 적분 분리 +3점 / 거리 \(13\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: \(t = 4\)에서의 위치를 구할 때 출발점의 좌표 \(x(0) = 1\)을 더하는 것을 빠뜨리지 마세요.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 4회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
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[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.13 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]
양수 \(a = 27,\; b = 16\)에 대하여 유리수 지수의 법칙을 이용하여 다음을 구하시오.
[1-1] (5점) \(X = a^{\frac{2}{3}} b^{-\frac{1}{4}}\)와 \(Y = a^{-\frac{1}{3}} b^{\frac{3}{4}}\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (5점) \(2XY + \dfrac{X}{Y}\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [1-1] \(X = \dfrac{9}{2},\; Y = \dfrac{8}{3}\) | [1-2] \(\dfrac{411}{16}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] \(a = 3^3,\; b = 2^4\)을 대입하여 유리수 지수법칙 \((p^m)^r = p^{mr}\)을 적용함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(X = (3^3)^{\frac{2}{3}} (2^4)^{-\frac{1}{4}} = 9 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2}\)이고, \(Y = (3^3)^{-\frac{1}{3}} (2^4)^{\frac{3}{4}} = \dfrac{1}{3} \times 8 = \dfrac{8}{3}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(2XY = 2 \times \dfrac{9}{2} \times \dfrac{8}{3} = 24\)이고 \(\dfrac{X}{Y} = \dfrac{27}{16}\)이므로 \(2XY + \dfrac{X}{Y} = 24 + \dfrac{27}{16} = \dfrac{411}{16}\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (5점) • \(X = \dfrac{9}{2}\) 산출 +3점 / \(Y = \dfrac{8}{3}\) 산출 +2점 소문항 [1-2] (5점) • \(2XY = 24\) 및 \(\dfrac{X}{Y} = \dfrac{27}{16}\) 계산 +3점 / 합 \(\dfrac{411}{16}\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: \(X\)와 \(Y\)의 곱 \(XY = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}} = 3 \times 4 = 12\)로 먼저 묶어 계산하면 빠르고 정확합니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 4회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
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[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-08]
지수에 미지수가 있는 다음 두 부등식에 대하여 물음에 답하시오.
[2-1] (5점) 부등식 \(2^{x^2 - 3x} \le 16\)의 해를 구하시오.
[2-2] (5점) 위 부등식과 부등식 \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x - 2} \lt \left(\dfrac{1}{25}\right)^{x - 3}\)을 동시에 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 합을 구하시오.
🎯 정답 : [2-1] \(-1 \le x \le 4\) | [2-2] \(5\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 밑이 \(2 \gt 1\)일 때 부등호 방향이 유지되고, 밑이 \(\dfrac{1}{5} \in (0, 1)\)일 때 부등호 방향이 반대로 바뀜을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2^{x^2 - 3x} \le 2^4\)에서 \(x^2 - 3x - 4 = (x+1)(x-4) \le 0\)이므로 \(-1 \le x \le 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x-2} \lt \left(\dfrac{1}{5}\right)^{2x-6}\)에서 \(x - 2 \gt 2x - 6 \implies x \lt 4\)이므로 공통해 \(-1 \le x \lt 4\)의 정수 \(-1, 0, 1, 2, 3\)의 합은 \(5\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (5점) • \(x^2 - 3x - 4 \le 0\) 수립 +2점 / 해 \(-1 \le x \le 4\) 도출 +3점 소문항 [2-2] (5점) • 부등호 역전으로 \(x \lt 4\) 도출 +3점 / 정수해 합 \(5\) 산출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 두 번째 부등식은 등호가 없으므로 \(x = 4\)가 공통해에서 제외됨에 주의하세요.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 4회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음) 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.17 개념/본문 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]
로그부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) \le 3\)에 대하여 다음을 구하시오.
[3-1] (5점) 로그의 진수 조건으로부터 \(x\)의 값의 범위를 구하시오.
[3-2] (5점) 주어진 로그부등식의 해를 구하고, 이를 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 합을 구하시오.
🎯 정답 : [3-1] \(x \gt 3\) | [3-2] 해: \(3 \lt x \le 5\), 정수 \(x\)의 합: \(9\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 진수 조건 \(x - 1 \gt 0,\; x - 3 \gt 0\)과 밑이 \(2 \gt 1\)인 로그함수의 증가 성질을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 진수 조건에서 \(x \gt 3\)이고, \(\log_2\{(x-1)(x-3)\} \le \log_2 8\)에서 \(x^2 - 4x - 5 = (x+1)(x-5) \le 0 \implies -1 \le x \le 5\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 진수 조건과 연립하면 \(3 \lt x \le 5\)이므로 만족시키는 정수 \(x = 4, 5\)의 합은 \(9\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (5점) • \(x - 1 \gt 0,\; x - 3 \gt 0\) 명시 +2점 / 공통 진수 조건 \(x \gt 3\) 도출 +3점 소문항 [3-2] (5점) • \((x-1)(x-3) \le 8\)에서 \(3 \lt x \le 5\) 도출 +3점 / 정수 합 \(4 + 5 = 9\) 산출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 로그부등식에서는 진수 조건 \(x \gt 3\)을 빠뜨리면 음수나 \(1, 2, 3\)까지 포함하여 오답이 됩니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 4회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음) 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.20 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02]
함수 \(f(x) = a\sin(bx) + c\)의 주기가 \(\pi\)이고, 최댓값이 \(5\), 최솟값이 \(-1\)일 때, 다음을 구하시오. (단, \(a \gt 0,\; b \gt 0\)이고 \(c\)는 상수이다.)
[4-1] (5점) 세 상수 \(a, b, c\)의 값을 각각 구하시오.
[4-2] (5점) \(f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [4-1] \(a = 3,\; b = 2,\; c = 2\) | [4-2] \(\dfrac{7}{2}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] \(a \gt 0,\; b \gt 0\)일 때 \(f(x) = a\sin(bx) + c\)의 주기는 \(\dfrac{2\pi}{b}\), 최댓값은 \(a + c\), 최솟값은 \(-a + c\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\dfrac{2\pi}{b} = \pi\)에서 \(b = 2\)이고, \(a + c = 5,\; -a + c = -1\)을 연립하면 \(a = 3,\; c = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = 3\sin\dfrac{\pi}{6} + 2 = 3 \times \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{7}{2}\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (5점) • 주기 공식으로 \(b = 2\) 산출 +2점 / 연립방정식으로 \(a = 3,\; c = 2\) 산출 +3점 소문항 [4-2] (5점) • \(x = \dfrac{\pi}{12}\) 대입 및 \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\) 계산 +3점 / \(\dfrac{7}{2}\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: \(a \gt 0,\; b \gt 0\) 조건을 확인하여 절댓값 기호 없이 \(|a| = a,\; |b| = b\)로 전개함을 명시하세요.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 4회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음) 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 개념/본문 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-03]
등차수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_3 = 11\), \(a_7 = 27\)을 만족시킬 때, 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항 \(a_1\)과 공차 \(d\)를 구하고, 일반항 \(a_n\)을 구하시오.
[5-2] (5점) 합 \(\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [5-1] \(a_1 = 3,\; d = 4,\; a_n = 4n - 1\) | [5-2] \(210\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 등차수열의 일반항 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)와 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_7 - a_3 = 4d = 16\)에서 \(d = 4\)이고, \(a_1 = a_3 - 2d = 11 - 8 = 3\)이므로 \(a_n = 4n - 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a_{10} = 39\)이므로 \(\sum_{k=1}^{10} a_k = \dfrac{10(3 + 39)}{2} = 210\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (5점) • \(d = 4,\; a_1 = 3\) 산출 +3점 / 일반항 \(a_n = 4n - 1\) 도출 +2점 소문항 [5-2] (5점) • 등차수열 합 공식 또는 시그마 공식 적용 +3점 / 합 \(210\) 산출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: \(a_7 - a_3 = (7-3)d = 4d\) 관계를 이용하면 연립방정식을 빠르게 풀 수 있습니다.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.21 개념/본문 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
극한에 대한 성질과 무리식의 유리화를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (5점) 극한 \(\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}\)의 값을 구하시오.
[6-2] (5점) 등식 \(\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + a} - b}{x - 3} = \dfrac{1}{4}\)이 성립할 때, 두 양수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
🎯 정답 : [6-1] \(\dfrac{1}{6}\) | [6-2] \(a = 1,\; b = 2\)
[1줄: 공식선언 (30%)] \(\dfrac{0}{0}\) 꼴 무리식의 극한에서 분자·분모에 켤레무리식을 곱하여 유리화하는 법칙과 분모가 \(0\)일 때 분자도 \(0\)으로 수렴하는 극한에 대한 성질을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\lim_{x \to 3} \dfrac{(\sqrt{x+6}-3)(\sqrt{x+6}+3)}{(x-3)(\sqrt{x+6}+3)} = \lim_{x \to 3} \dfrac{1}{\sqrt{x+6}+3} = \dfrac{1}{6}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(x \to 3\)일 때 분자 \(\sqrt{3+a} - b = 0\)이고, 유리화하면 \(\lim_{x \to 3} \dfrac{1}{\sqrt{x+a}+b} = \dfrac{1}{2b} = \dfrac{1}{4}\)이므로 \(b = 2,\; a = 1\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (5점) • 분자 유리화로 \(x-3\) 약분 +3점 / 극한값 \(\dfrac{1}{6}\) 산출 +2점 소문항 [6-2] (5점) • \(\sqrt{3+a} = b\) 및 \(\dfrac{1}{2b} = \dfrac{1}{4}\) 도출 +3점 / \(a = 1,\; b = 2\) 산출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 유리화 후 \(x - 3\)을 약분한 뒤 \(x = 3\)을 대입하는 단계를 명확히 적으세요.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.21 개념/본문 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]
이차함수 \(f(x) = ax^2 + bx + 2\)가 \(f(1) = 5\), \(f'(1) = 8\)을 만족시킬 때, 다음을 구하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)
[7-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 각각 구하시오.
[7-2] (5점) 미분계수 \(f'(-1)\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [7-1] \(a = 5,\; b = -2\) | [7-2] \(f'(-1) = -12\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 다항함수의 미분법에 의하여 \(f'(x) = 2ax + b\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(1) = a + b + 2 = 5 \implies a + b = 3\)이고, \(f'(1) = 2a + b = 8\)이므로 연립하면 \(a = 5,\; b = -2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f'(x) = 10x - 2\)이므로 \(f'(-1) = -10 - 2 = -12\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (5점) • \(a + b = 3,\; 2a + b = 8\) 수립 +2점 / \(a = 5,\; b = -2\) 산출 +3점 소문항 [7-2] (5점) • \(f'(x) = 10x - 2\) 완성 +2점 / \(f'(-1) = -12\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: \(f(1) = 5\) 식에서 상수항 \(2\)를 이항하여 \(a + b = 3\)으로 정확히 정리하세요.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.34 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]
삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + (a + 6)x + 1\)이 실수 전체의 집합 \((-\infty, \infty)\)에서 증가하도록 하는 실수 \(a\)에 대하여 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 0\)이 성립하기 위한 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.
[8-2] (5점) 실수 \(a\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)의 차 \(M - m\)을 구하시오.
🎯 정답 : [8-1] \(-3 \le a \le 6\) | [8-2] \(M - m = 9\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 삼차함수 \(f(x)\)가 실수 전체에서 증가할 필요충분조건은 모든 실수 \(x\)에서 \(f'(x) \ge 0\), 즉 이차방정식 \(f'(x)=0\)의 판별식 \(D \le 0\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + (a + 6)\)이므로 \(\dfrac{D}{4} = a^2 - 3(a + 6) = (a + 3)(a - 6) \le 0\)에서 \(-3 \le a \le 6\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 최댓값 \(M = 6\), 최솟값 \(m = -3\)이므로 \(M - m = 6 - (-3) = 9\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (5점) • \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + a + 6\) 도출 +2점 / \(\dfrac{D}{4} \le 0\)으로 \(-3 \le a \le 6\) 산출 +3점 소문항 [8-2] (5점) • \(M = 6,\; m = -3\) 명시 +3점 / \(M - m = 9\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수가 증가하기 위한 조건은 \(D \lt 0\)이 아니라 등호가 포함된 \(D \le 0\)임에 주의하세요.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 정적분 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
양수 \(a\)에 대하여 정적분 \(\int_{0}^{a} (3x^2 - 6x)\,dx = 0\)이 성립할 때, 다음을 구하시오. (단, \(a \gt 0\))
[9-1] (5점) 정적분을 계산하여 양수 \(a\)의 값을 구하시오.
[9-2] (5점) 위에서 구한 \(a\)에 대하여 정적분 \(\int_{0}^{a} |3x^2 - 6x|\,dx\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [9-1] \(a = 3\) | [9-2] \(8\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 다항함수의 정적분 \(\int_{0}^{a} (3x^2 - 6x)\,dx = \left[x^3 - 3x^2\right]_{0}^{a}\)과 피적분함수의 부호에 따른 구간 분할 성질을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a^3 - 3a^2 = a^2(a - 3) = 0\)이고 \(a \gt 0\)이므로 \(a = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\)는 구간 \([0, 2]\)에서 음수이므로 \(\int_{0}^{2} (6x - 3x^2)\,dx + \int_{2}^{3} (3x^2 - 6x)\,dx = 4 + 4 = 8\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [9-1] (5점) • 부정적분 대입으로 \(a^3 - 3a^2 = 0\) 수립 +3점 / 양수 \(a = 3\) 도출 +2점 소문항 [9-2] (5점) • \(x = 2\)를 경계로 구간 \([0,2],\; [2,3]\) 분리 +3점 / 정적분 합 \(4 + 4 = 8\) 산출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 절댓값이 포함된 정적분은 피적분함수가 \(0\)이 되는 \(x = 2\)를 기준으로 반드시 구간을 나누어 적분하세요.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 4회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음) 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.22 정적분 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04]
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 정적분으로 정의된 등식 \(\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + ax - 3\)을 만족시킬 때, 다음을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)
[10-1] (5점) 양변에 \(x = 1\)을 대입하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[10-2] (5점) 적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 \(f(x)\)를 구하고, \(f(2)\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [10-1] \(a = 4\) | [10-2] \(f(x) = 3x^2 - 4x + 4,\; f(2) = 8\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 위끝과 아래끝이 같을 때의 성질 \(\int_{1}^{1} f(t)\,dt = 0\)과 정적분으로 정의된 함수의 미분법 \(\dfrac{d}{dx}\int_{1}^{x} f(t)\,dt = f(x)\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 양변에 \(x = 1\)을 대입하면 \(0 = 1 - 2 + a - 3\)이므로 \(a = 4\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 4\)이고, \(f(2) = 12 - 8 + 4 = 8\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [10-1] (5점) • \(\int_{1}^{1} f(t)\,dt = 0\) 대입 식 수립 +2점 / \(a = 4\) 산출 +3점 소문항 [10-2] (5점) • 양변 미분으로 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 4\) 도출 +3점 / \(f(2) = 8\) 산출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 위끝이 \(x\)인 정적분 항등식에서는 ① 아래끝과 같은 값 대입, ② 양변 \(x\)로 미분 두 단계를 순서대로 적용합니다.
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[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.14 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]
양수 \(a\)가 \(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3\)을 만족시킬 때, 지수법칙과 곱셈 공식을 이용하여 다음을 구하시오. (단, \(a \gt 0\))
[1-1] (5점) \(a + a^{-1}\)의 값과 \(a^2 + a^{-2}\)의 값을 각각 구하시오.
[1-2] (5점) \(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [1-1] \(a + a^{-1} = 7,\; a^2 + a^{-2} = 47\) | [1-2] \(18\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 곱셈 공식 변형 \(x^2 + x^{-2} = (x + x^{-1})^2 - 2\)와 \(x^3 + x^{-3} = (x + x^{-1})^3 - 3(x + x^{-1})\)을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a + a^{-1} = \left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 - 2 = 9 - 2 = 7\)이고, \(a^2 + a^{-2} = 7^2 - 2 = 47\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = \left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right)^3 - 3\left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right) = 27 - 9 = 18\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (5점) • \(a + a^{-1} = 7\) 산출 +2점 / \(a^2 + a^{-2} = 47\) 산출 +3점 소문항 [1-2] (5점) • 세제곱 곱셈 공식 변형 적용 +3점 / \(18\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: \(a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} = a^0 = 1\)이므로 제곱할 때 가운데 항 \(2\)를 빼는 것을 잊지 마세요.
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[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.15 개념/본문 변형 | 성취기준: 12대수01-06]
실수 전체의 집합에서 정의된 지수함수 \(f(x) = 2^{x-1} + 3\)과 그 역함수 \(y = f^{-1}(x)\)에 대하여 다음을 구하시오.
[2-1] (5점) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프의 점근선의 방정식과 \(f(3)\)의 값을 구하시오.
[2-2] (5점) 역함수의 성질을 이용하여 \(f^{-1}(7) + f^{-1}(11)\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [2-1] 점근선 \(y = 3,\; f(3) = 7\) | [2-2] \(7\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 모든 실수 \(x\)에서 \(2^{x-1} \gt 0\)이므로 치역은 \(\{y \mid y \gt 3\}\)이고, 역함수의 성질 \(f^{-1}(k) = \alpha \iff f(\alpha) = k\)임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 점근선의 방정식은 \(y = 3\)이고, \(f(3) = 2^2 + 3 = 7\)이므로 \(f^{-1}(7) = 3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(k) = 2^{k-1} + 3 = 11\)에서 \(2^{k-1} = 8 = 2^3 \implies k = 4\)이므로 \(f^{-1}(7) + f^{-1}(11) = 3 + 4 = 7\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (5점) • 점근선 \(y = 3\) 명시 +2점 / \(f(3) = 7\) 산출 +3점 소문항 [2-2] (5점) • \(f^{-1}(7) = 3\) 및 \(f^{-1}(11) = 4\) 도출 +3점 / 합 \(7\) 산출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 식을 직접 구하지 않고 \(f(k) = 11\)을 만족하는 \(k\)를 찾으면 계산이 훨씬 간결합니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 5회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
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[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 문제 7 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
삼각함수의 주기성과 각의 변환 공식을 이용하여 다음을 구하시오.
[3-1] (5점) \(\sin\dfrac{7\pi}{6}\)와 \(\cos\dfrac{5\pi}{3}\)의 값을 각각 구하시오.
[3-2] (5점) \(\tan\dfrac{5\pi}{4}\)의 값을 구하고, \(\sin\dfrac{7\pi}{6} + \cos\dfrac{5\pi}{3} + \tan\dfrac{5\pi}{4}\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [3-1] \(\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2},\; \cos\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) | [3-2] \(\tan\dfrac{5\pi}{4} = 1\), 합 \(= 1\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 각의 변환 공식 \(\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta\), \(\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta\), \(\tan(\pi + \theta) = \tan\theta\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\sin\dfrac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}\)이고, \(\cos\dfrac{5\pi}{3} = \cos\left(2\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\tan\dfrac{5\pi}{4} = \tan\left(\pi + \dfrac{\pi}{4}\right) = \tan\dfrac{\pi}{4} = 1\)이므로 세 값의 합은 \(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + 1 = 1\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (5점) • \(\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}\) 산출 +3점 / \(\cos\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) 산출 +2점 소문항 [3-2] (5점) • \(\tan\dfrac{5\pi}{4} = 1\) 산출 +3점 / 세 값의 합 \(1\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 각 동경이 속한 사분면(제\(3\)사분면, 제\(4\)사분면)에서 삼각함수의 부호를 먼저 확인하세요.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 5회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음) 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = c = 6\), \(\overline{\mathrm{AC}} = b = 4\), \(A = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 코사인법칙과 사인법칙을 이용하여 다음을 구하시오.
[4-1] (5점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\overline{\mathrm{BC}} = a\)의 길이를 구하시오.
[4-2] (5점) 사인법칙을 이용하여 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이 \(R\)를 구하시오.
🎯 정답 : [4-1] \(a = 2\sqrt{7}\) | [4-2] \(R = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)와 사인법칙 \(2R = \dfrac{a}{\sin A}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a^2 = 16 + 36 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos\dfrac{\pi}{3} = 52 - 24 = 28\)이고 \(a \gt 0\)이므로 \(a = 2\sqrt{7}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(2R = \dfrac{2\sqrt{7}}{\sin\frac{\pi}{3}} = \dfrac{2\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{4\sqrt{21}}{3}\)이므로 \(R = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (5점) • 코사인법칙으로 \(a^2 = 28\) 산출 +3점 / \(a = 2\sqrt{7}\) 도출 +2점 소문항 [4-2] (5점) • 사인법칙 \(2R = \dfrac{a}{\sin A}\) 대입 +2점 / 분모 유리화로 \(R = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 사인법칙에서 구한 값은 \(R\)가 아니라 지름 \(2R\)이므로 마지막에 \(2\)로 나누는 과정을 잊지 마세요.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 5회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
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[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.11 수학적 귀납법 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 4\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 귀납적 정의 \(a_{n+1} = 3a_n - 4\)를 만족시킬 때, 다음을 구하시오.
[5-1] (5점) \(a_2,\; a_3,\; a_4\)의 값을 차례대로 구하시오.
[5-2] (5점) \(b_n = a_n - 2\)로 놓을 때 \(b_{n+1} = 3b_n\)이 성립함을 이용하여 \(a_6\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [5-1] \(a_2 = 8,\; a_3 = 20,\; a_4 = 56\) | [5-2] \(a_6 = 488\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 귀납적 정의 \(a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)\)로부터 수열 \(\{b_n\}\)이 첫째항 \(b_1 = a_1 - 2 = 2\), 공비 \(3\)인 등비수열임을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_2 = 3(4) - 4 = 8\), \(a_3 = 3(8) - 4 = 20\), \(a_4 = 3(20) - 4 = 56\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(b_n = 2 \cdot 3^{n-1}\)이므로 \(a_n = 2 \cdot 3^{n-1} + 2\)이고, \(a_6 = 2 \cdot 3^5 + 2 = 486 + 2 = 488\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (5점) • \(n = 1, 2, 3\) 순차 대입으로 \(a_2=8,\; a_3=20,\; a_4=56\) 산출 +5점 소문항 [5-2] (5점) • \(a_n = 2\cdot 3^{n-1} + 2\) 유도 +3점 / \(a_6 = 488\) 산출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: \(a_4 = 56\)에서 \(a_5 = 164,\; a_6 = 488\)을 직접 계산하여 등비수열 공식 결과와 검산해 보세요.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.20 개념/본문 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2} & (x \ne 2) \\ b & (x = 2) \end{cases}\)가 \(x = 2\)에서 연속일 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 다음을 구하시오.
[6-1] (5점) 극한값 \(\lim_{x \to 2} f(x)\)가 존재함을 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[6-2] (5점) 연속의 정의 \(\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)\)를 이용하여 상수 \(b\)의 값과 \(a + b\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [6-1] \(a = 1\) | [6-2] \(b = 5,\; a + b = 6\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속일 필요충분조건은 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2} = b\)이고, 분모가 \(0\)으로 갈 때 분자도 \(0\)으로 수렴함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 2\)를 분자에 대입하면 \(4 + 2a - 6 = 0\)이므로 \(a = 1\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(b = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 3) = 5\)이므로 \(a + b = 1 + 5 = 6\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (5점) • 분자의 극한 \(4 + 2a - 6 = 0\) 수립 +2점 / \(a = 1\) 도출 +3점 소문항 [6-2] (5점) • 약분 후 극한값 \(b = 5\) 산출 +3점 / \(a + b = 6\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 연속의 정의 \(\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = b\)를 답안에 명시하면 채점 기준을 완벽히 충족합니다.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.22 개념/본문 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]
미분가능한 다항함수 \(f(x)\)의 그래프 위의 점 \((2, 3)\)에서의 접선의 기울기가 \(5\)일 때, 다음을 구하시오.
[7-1] (5점) \(f(2)\)와 \(f'(2)\)의 값을 각각 구하고, 점 \((2, 3)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
[7-2] (5점) 극한 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 f(2) - 4f(x)}{x - 2}\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [7-1] \(f(2) = 3,\; f'(2) = 5\), 접선 \(y = 5x - 7\) | [7-2] \(-8\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 곡선 위의 점 \((2, 3)\)에서의 접선의 방정식 \(y - f(2) = f'(2)(x - 2)\)와 미분계수의 정의 \(f'(2) = \lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2}\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(2) = 3,\; f'(2) = 5\)이므로 접선의 방정식은 \(y - 3 = 5(x - 2)\), 즉 \(y = 5x - 7\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(\lim_{x \to 2} \dfrac{(x^2 - 4)f(2) - 4\{f(x) - f(2)\}}{x - 2} = 4f(2) - 4f'(2) = 12 - 20 = -8\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (5점) • \(f(2)=3,\; f'(2)=5\) 명시 +2점 / 접선 \(y = 5x - 7\) 도출 +3점 소문항 [7-2] (5점) • 분자에 \(-4f(2) + 4f(2)\)를 더하고 빼서 변형 +3점 / 극한값 \(-8\) 산출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 분자를 \((x^2 - 4)f(2) - 4(f(x) - f(2))\)로 분리하여 미분계수의 정의 꼴로 만드는 과정을 반드시 서술하세요.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.37 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2\)에 대하여 다음을 구하시오.
[8-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하여 방정식 \(f'(x) = 0\)의 세 실근을 모두 구하시오.
[8-2] (5점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)을 각각 구하시오.
🎯 정답 : [8-1] \(x = 0,\; 1,\; 2\) | [8-2] 극댓값 \(M = 3\), 극솟값 \(m = 2\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x\)의 부호 변화를 통해 사차함수의 극대와 극소를 판정함을 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 4x(x - 1)(x - 2) = 0\)이므로 세 실근은 \(x = 0,\; 1,\; 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(x = 1\)에서 극대이므로 극댓값은 \(M = f(1) = 1 - 4 + 4 + 2 = 3\)이고, \(x = 0, 2\)에서 극소이므로 극솟값은 \(m = f(0) = f(2) = 2\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (5점) • \(f'(x) = 4x(x-1)(x-2)\) 인수분해 +3점 / 실근 \(x = 0, 1, 2\) 도출 +2점 소문항 [8-2] (5점) • 극댓값 \(f(1) = 3\) 산출 +3점 / 극솟값 \(f(0) = f(2) = 2\) 산출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: 각 근의 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 \((-) \to (+) \to (-) \to (+)\)로 바뀜을 언급하면 감점이 없습니다.
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[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-02-07]
삼차함수 \(f(x)\)의 도함수가 \(f'(x) = 3x^2 - 6x\)이고, 함수 \(f(x)\)의 극솟값이 \(-2\)일 때, 다음을 구하시오.
[9-1] (5점) 함수 \(f(x)\)가 극소를 갖는 \(x\)의 값을 구하고, 부정적분을 이용하여 \(f(x)\)를 구하시오.
[9-2] (5점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 \(f(3)\)의 값의 합을 구하시오.
🎯 정답 : [9-1] \(x = 2\)에서 극소, \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) | [9-2] \(4\)
[1줄: 공식선언 (30%)] \(f'(x) = 3x(x - 2) = 0\)에서 부호 변화로 극소 위치를 찾고, 부정적분 \(f(x) = \int (3x^2 - 6x)\,dx = x^3 - 3x^2 + C\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 2\)에서 극소이므로 \(f(2) = 8 - 12 + C = -2 \implies C = 2\)가 되어 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(x = 0\)에서 극대이므로 극댓값은 \(f(0) = 2\)이고, \(f(3) = 27 - 27 + 2 = 2\)이므로 두 값의 합은 \(2 + 2 = 4\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [9-1] (5점) • \(x = 2\)에서 극소 판정 +2점 / 적분상수 \(C = 2\)로 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) 완성 +3점 소문항 [9-2] (5점) • 극댓값 \(f(0) = 2\) 및 \(f(3) = 2\) 산출 +3점 / 합 \(4\) 도출 +2점
💡 감점 방어 클리닉: \(f'(x) = 3x(x-2)\)에서 \(x = 0\)은 극대, \(x = 2\)는 극소이므로 극솟값 조건을 \(f(2) = -2\)에 대입해야 합니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 5회 (모범해설 및 2열 채점기준표)
수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음) 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.19 중단원 마무리 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
정적분의 성질을 이용하여 다음 두 정적분의 값을 각각 구하시오.
[10-1] (5점) 정적분 \(I_1 = \int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 - 5x + 4)\,dx\)의 값을 구하시오.
[10-2] (5점) 정적분 \(I_2 = \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x)\,dx + \int_{1}^{3} (3x^2 + 2x)\,dx\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [10-1] \(I_1 = 32\) | [10-2] \(I_2 = 36\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 대칭구간에서 기함수의 정적분 소거 성질과 구간 결합 성질 \(\int_{a}^{c} g(x)\,dx + \int_{c}^{b} g(x)\,dx = \int_{a}^{b} g(x)\,dx\)를 선언한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(I_1 = 2\int_{0}^{2} (3x^2 + 4)\,dx = 2\left[x^3 + 4x\right]_{0}^{2} = 2(8 + 8) = 32\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(I_2 = \int_{0}^{3} (3x^2 + 2x)\,dx = \left[x^3 + x^2\right]_{0}^{3} = 27 + 9 = 36\)이다.
배점 단계 한신대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [10-1] (5점) • 홀수차 항 \(x^3, -5x\) 소거 후 \(2\int_{0}^{2} (3x^2+4)\,dx\) 정리 +3점 / \(I_1 = 32\) 산출 +2점 소문항 [10-2] (5점) • 구간 \([0,1]\)과 \([1,3]\)을 \([0,3]\)으로 결합 +2점 / \(I_2 = 36\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수가 같고 위끝·아래끝이 \(1\)로 이어지므로 하나의 정적분 \(\int_{0}^{3}\)으로 합쳐 계산하세요.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (해설집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.31 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 117} + 117\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 238\)에 대하여 서로 대칭이다.<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 238\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 238)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.
직선 \(y = -x + 238\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 238)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 238\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(119, 119)\)의 좌표를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 119)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 238)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 238 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{238}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.
🎯 모범 정답 : [1-1] \(x_1 + x_2 = 238,\; \mathrm{M}(119, 119)\) | [1-2] \(\mathrm{P}(118, 120),\; \mathrm{Q}(120, 118)\) | [1-3] 넓이 \(S = 238\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 두 교점은 직선 \(x + y = 238\) 위에 있고 역함수 대칭이므로 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 238\)이며 중점은 \(\mathrm{M}(119, 119)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 기울기가 \(-1\)인 직선 위의 두 점 거리 공식에서 \(\sqrt{2}(x_2 - x_1) = 2\sqrt{2} \implies x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 238)\)이므로 연립하면 \(\mathrm{P}(118, 120),\; \mathrm{Q}(120, 118)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 원점에서 직선 \(x + y - 238 = 0\)까지의 거리는 \(h = \dfrac{238}{\sqrt{2}}\)이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{238}{\sqrt{2}} = 238\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] • 역함수 대칭 \(x_1 + x_2 = 238\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(119, 119)\) 도출 +3점 소문항 [1-2] • 거리 공식 \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 238)\) 도출 +3점 / 좌표 \(\mathrm{P}(118, 120),\; \mathrm{Q}(120, 118)\) 산출 +4점 소문항 [1-3] • 원점과 직선 사이 거리 \(h = \dfrac{238}{\sqrt{2}}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(S = 238\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 238\) 위에서 두 점의 좌표 차가 주어지면 대칭축 중점 \(\mathrm{M}(119, 119)\)을 기준으로 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (해설집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]
<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{120}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 6\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(6\)인 등차수열을 이룬다.<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/120)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.
첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{120}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 120\right)\)을 이용하여 \(b_n = 6n + 114\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 114}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 2-3] (7점) 부분분수 항등식 \(6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{21600}\)의 값을 유도하시오.
🎯 모범 정답 : [2-1] \(b_n = 6n + 114,\; a_n = \dfrac{1}{6n + 114}\) | [2-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [2-3] \(\dfrac{10}{120\times 180} = \dfrac{10}{21600}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 역수 치환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 120\right)\)에서 \(b_{n+1} - b_n = 6\)이므로 \(b_n = 120 + 6(n - 1) = 6n + 114\)이고 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 114}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] (i) 초기항 \(a_1 = \dfrac{1}{120}\) 성립. (ii) \(a_k = \dfrac{1}{6k + 114}\)이라 가정하면 \(a_{k+1} = \dfrac{a_k}{6a_k + 1} = \dfrac{1}{6(k+1) + 114}\)이므로 모든 자연수에서 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 부분분수 분해에 의해 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{120} - \dfrac{1}{180}\right) = \dfrac{10}{21600}\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] • 역수 등차수열 \(b_n = 6n + 114\) 유도 +3점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 114}\) 도출 +3점 소문항 [2-2] • 초기 조건 \(a_1 = \dfrac{1}{120}\) 확인 +2점 / 귀납 가정 후 \(a_{k+1} = \dfrac{1}{6(k+1) + 114}\) 연역 +5점 소문항 [2-3] • 망원급수 변형 \(\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{120} - \dfrac{1}{180}\right)\) +4점 / 합 \(\dfrac{10}{21600}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식의 분모를 곱하면 \(6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)이 바로 유도되어 망원급수 소거가 한 줄로 정리됩니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (해설집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]
<제시문 (가)> 미분가능한 함수의 도함수는 정의에 의하여 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\;\left(f'(0) = 121\right)\)로 정의된다.<제시문 (나)> 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 성립하는 항등식 \(f(x+y) = f(x) + f(y) + 12xy(x+y) - 117\)이 주어지면 원점 대입으로 \(f(0) = 117\)를 먼저 결정한다.
미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 12xy(x + y) - 117\)을 만족시키고 \(f'(0) = 121\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 원점 대입으로 \(f(0) = 117\)를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 \(f'(x) = 12x^2 + 121\)임을 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 부정적분으로 함수 \(f(x) = 4x^3 + 121x + 117\)를 결정하고, 곡선 위의 점 \((1, 242)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 169\right)\)의 값을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [3-1] \(f(0) = 117,\; f'(x) = 12x^2 + 121\) | [3-2] \(f(x) = 4x^3 + 121x + 117\), 접선 \(y = 133x + 109\) | [3-3] \(\dfrac{169}{4}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 함수방정식에 원점을 대입하면 \(f(0) = 2f(0) - 117 \implies f(0) = 117\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 도함수 정의에 대입하면 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 117 + 12xh(x+h)}{h} = 12x^2 + 121\)이므로 적분하면 \(f(x) = 4x^3 + 121x + 117\)이고, 점 \((1, 242)\)에서의 접선은 \(y = 133x + 109\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 분모를 인수분해하면 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{169}{4}\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] • \(f(0) = 117\) 산출 +2점 / 도함수 정의로 \(f'(x) = 12x^2 + 121\) 유도 +4점 소문항 [3-2] • \(f(x) = 4x^3 + 121x + 117\) 결정 +4점 / 접선 \(y = 133x + 109\) 도출 +3점 소문항 [3-3] • 미분계수 식 \(\dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{169}{4}\) 변형 +4점 / 극한값 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 도함수 정의식을 전개할 때 상수항 \(-117\)를 \(-f(0)\)으로 바꾸어 \(\dfrac{f(h)-f(0)}{h} \to f'(0) = 121\)를 명시해야 감점이 없습니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (해설집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 339)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 339)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 339]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 339)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 678t^2 + 114921t = t(t - 339)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 339\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(339) = 0\)의 값을 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 339]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 113)(t - 339)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(113) = 5771588\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 1356 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 226\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(226) = 2885794\)를 각각 구하시오.
🎯 모범 정답 : [4-1] \(t_1 = 339,\; h'(339) = 0\) | [4-2] \(t = 113\)에서 최댓값 \(5771588\) | [4-3] \(t_2 = 226,\; D(226) = 2885794\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 위치 차 \(h(t) = t(t - 339)^2 = 0\;(t \gt 0)\)에서 \(t_1 = 339\)이고, 도함수 \(h'(t) = 3(t - 113)(t - 339)\)에 대입하면 \(h'(339) = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 \([0, 339]\)에서 내부 극대점은 \(t = 113\)이므로 최댓값은 \(D(113) = 113(-226)^2 = 5771588\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 이계도함수 \(h''(t) = 6t - 1356 = 0\)에서 \(t_2 = 226\)이고, 그때의 거리는 \(D(226) = 226(-113)^2 = 2885794\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] • \(t_1 = 339\) 도출 +3점 / 속도 차 \(h'(339) = 0\) 확인 +3점 소문항 [4-2] • \(h'(t) = 3(t - 113)(t - 339) = 0\) 극대 판정 +4점 / 최댓값 \(5771588\) 산출 +3점 소문항 [4-3] • \(h''(t) = 6t - 1356 = 0 \implies t_2 = 226\) 도출 +3점 / 거리 \(2885794\) 계산 +4점
💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 비율 관계(\(1 : 2 : 3\))에 의해 원점 \(t=0\), 극대 \(t=113\), 변곡 \(t=226\), 접점 \(t=339\)이 등간격 \(113\)로 배열됩니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (해설집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 114)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (114, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{114} (-6x^2 + 684x)\,dx = 1481544\)이다.<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{114}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(1481544\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 684x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 342x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 684x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 1481544\)를 유도하시오.
[문항 5-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 1481544\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{114}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{114/2} (-6x^2 + 684x)\,dx = \dfrac{1481544}{2}\)임을 확인하시오.
[문항 5-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 684x\)와 직선 \(y = 342x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{1481544}{8}\)을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [5-1] \(S = 1481544\) | [5-2] \(k = \dfrac{114}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{1481544}{2}\) | [5-3] 교점 \(x = 0, \dfrac{114}{2}\), 넓이 \(S_1 = \dfrac{1481544}{8}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분을 계산하면 \(S = \left[-2x^3 + 342x^2\right]_0^{114} = -2(114)^3 + 3(114)^3 = 1481544\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 포물선의 대칭축 \(x = \dfrac{114}{2}\)에 의해 \(k = \dfrac{114}{2}\)이고, 실제로 \(\left[-2x^3 + 342x^2\right]_0^{114/2} = -\dfrac{1481544}{4} + \dfrac{3\times 1481544}{4} = \dfrac{1481544}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 연립방정식 \(-6x^2 + 684x = 342x \implies 6x\left(x - \dfrac{114}{2}\right) = 0\)이므로 교점은 \(x = 0, \dfrac{114}{2}\)이고 넓이는 \(S_1 = \int_0^{114/2} (-6x^2 + 342x)\,dx = \dfrac{1481544}{8}\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] • 원시함수 \(-2x^3 + 342x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 1481544\) 도출 +3점 소문항 [5-2] • 대칭축 \(k = \dfrac{114}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 114/2]\) 적분값 \(\dfrac{1481544}{2}\) 확인 +4점 소문항 [5-3] • 교점 \(x = \dfrac{114}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{1481544}{8}\) 도출 +4점
💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 \(-6\)이고 두 교점의 차가 \(\beta - \alpha = \dfrac{114}{2}\)일 때 둘러싸인 넓이는 항상 \((\beta - \alpha)^3 = \dfrac{1481544}{8}\)이 됩니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (해설집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.32 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대하여 \(u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{124}\right)\)로 치환하면 지수법칙에 의하여 \(x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 122\)이다.<제시문 (나)> \(u + u^{-1} = \sqrt{124}\)일 때 세제곱 곱셈 공식 \(u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 121\sqrt{124}\)이 성립한다.
양수 \(x\)가 \(x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{124}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 \(x + x^{-1} = 122\)임을 보이고 \(x^2 + x^{-2} = 14882\)의 값을 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 121\sqrt{124}\)과 \(x^3 + x^{-3} = 1815482\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 \(\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{1815484}{121\sqrt{124}}\)의 값을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [1-1] \(x + x^{-1} = 122,\; x^2 + x^{-2} = 14882\) | [1-2] \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 121\sqrt{124},\; x^3 + x^{-3} = 1815482\) | [1-3] \(121\sqrt{124}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 제곱 공식에서 \(x + x^{-1} = (\sqrt{124})^2 - 2 = 122\)이고, 다시 제곱하면 \(x^2 + x^{-2} = 122^2 - 2 = 14882\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 세제곱 공식에서 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = (\sqrt{124})^3 - 3\sqrt{124} = 121\sqrt{124}\)이고, \(x^3 + x^{-3} = 122^3 - 3\times 122 = 1815482\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 분자 \(x^3 + x^{-3} + 2 = 1815484 = (121\sqrt{124})^2\)이므로 분모 \(121\sqrt{124}\)로 약분하면 \(121\sqrt{124}\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] • \(x + x^{-1} = 122\) 유도 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 14882\) 산출 +3점 소문항 [1-2] • \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 121\sqrt{124}\) 도출 +3점 / \(x^3 + x^{-3} = 1815482\) 계산 +4점 소문항 [1-3] • 분자 \(1815484\) 완전제곱 변형 +4점 / 약분 결과 \(121\sqrt{124}\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 분자 \(1815484 = (121\sqrt{124})^2\)임을 활용하면 큰 수의 유리화 없이 한 번의 약분으로 정확한 값을 얻을 수 있습니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (해설집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]
<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=339,\; c=565\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=791\right)\)이 성립한다.<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 1695\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{1695}{2}r\)가 성립한다.
삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 339,\; c = 565\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=339\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 791\)의 길이를 유도하시오.
[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{791\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{191535\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{113\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [2-1] \(a = 791\) | [2-2] \(R = \dfrac{791\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{191535\sqrt{3}}{4}\) | [2-3] \(r = \dfrac{113\sqrt{3}}{2},\; R\cdot r = \dfrac{89383}{2}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙에서 \(a^2 = 339^2 + 565^2 - 2(339)(565)(-1/2) = 49\times 113^2\)이므로 \(a = 791\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 사인법칙에서 \(2R = \dfrac{791}{\sqrt{3}/2} \implies R = \dfrac{791\sqrt{3}}{3}\)이고, 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\times 339\times 565\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{191535\sqrt{3}}{4}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 둘레가 \(a + b + c = 1695\)이므로 \(\dfrac{1695}{2}r = \dfrac{191535\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{113\sqrt{3}}{2}\)이고 \(R\cdot r = \dfrac{89383}{2}\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] • 코사인법칙 대입 \(a^2 = 49\times 113^2\) +3점 / \(a = 791\) 도출 +3점 소문항 [2-2] • 외접원 반지름 \(R = \dfrac{791\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = \dfrac{191535\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점 소문항 [2-3] • 내접원 반지름 \(r = \dfrac{113\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 / 곱 \(R\cdot r = \dfrac{89383}{2}\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 끼인각이 \(120^\circ\)이고 두 변의 비가 \(3 : 5\)인 둔각삼각형은 대변의 비가 항상 \(7\)이 되는 대표적인 정수비 삼각형(\(3\times 113 : 5\times 113 : 7\times 113\))입니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (해설집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -467\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(2\)인 삼차함수이다.<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 116} \dfrac{f(x)}{(x - 116)^2} = 229\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 116)^2(2x + r)\) 꼴로 인수분해된다.
삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -467\)과 \(\lim_{x \to 116} \dfrac{f(x)}{(x - 116)^2} = 229\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 116)^2(2x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -3\)을 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 116)^2(2x - 3)\)이 무한대 극한 조건 \(-467\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.
[문항 3-3] (7점) 함숫값 \(f(118) = 932\)의 값과 \(x = 116\)에서의 미분계수 \(f'(116) = 0\)의 값을 각각 구하시오.
🎯 모범 정답 : [3-1] \(r = -3\) | [3-2] 이차항 계수 \(-467\) 일치 검증 완료 | [3-3] \(f(118) = 932,\; f'(116) = 0\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 \(\lim_{x \to 116} (2x + r) = 232 + r = 229\)이므로 \(r = -3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 전개하면 \(f(x) = (x^2 - 232x + 13456)(2x - 3) = 2x^3 - 467x^2 + \cdots\)이므로 이차항 계수 \(-467\)이 정확히 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(x = 118\)를 대입하면 \(f(118) = 4(236 - 3) = 932\)이고, \((x - 116)^2\)을 인수로 가지므로 \(f'(116) = 0\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] • 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 \(r = -3\) 도출 +3점 소문항 [3-2] • 삼차식 전개 후 이차항 계수 \(-467\) 확인 +7점 소문항 [3-3] • \(f(118) = 932\) 산출 +4점 / 중근 성질로 \(f'(116) = 0\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 분모에 \((x - 116)^2\)이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 \(x = 116\)을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (해설집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]
<제시문 (가)> 이차함수 \(P(x) = x^2 - 231x + 13338\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 117|P(x)\)가 \(x = 117\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 좌·우미분계수가 일치하여 \(P(117) = 0\)인 것이다.<제시문 (나)> \(P(x) = (x - 117)(x - 114)\)일 때 구간 \(x \lt 117\)에서 \(h(x) = -(x - 117)^2(x - 114)\)로 표현된다.
이차함수 \(P(x) = x^2 - 231x + 13338\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 117|P(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) \(x = 117\)에서의 우미분계수 \(P(117)\)와 좌미분계수 \(-P(117)\)를 미분계수 정의로 구하고 \(P(117) = 0\)임을 확인하시오.
[문항 4-2] (7점) 구간 \(x \lt 117\)에서 도함수 \(h'(x) = -3(x - 117)(x - 115)\)을 유도하시오.
[문항 4-3] (7점) \(x \ne 117\)에서 도함수가 영이 되는 \(x = 115\)의 값과 그때의 함숫값 \(h(115) = -4\;(\text{기준점 } 117)\)를 구하시오.
🎯 모범 정답 : [4-1] \(P(117) = -P(117) = 0\) 확인 | [4-2] \(h'(x) = -3(x - 117)(x - 115)\) | [4-3] \(x = 115,\; h(115) = -4\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 미분계수 정의에서 \(\lim_{x \to 117\pm} \dfrac{|x - 117|P(x)}{x - 117} = \pm P(117)\)이고 실제로 \(P(117) = (117 - 117)(117 - 114) = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 \(x \lt 117\)에서 \(h(x) = -(x - 117)^2(x - 114)\)를 미분하면 \(h'(x) = -(x - 117)(3x - 345) = -3(x - 117)(x - 115)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(x \ne 117\)에서 극점은 \(x = 115\)이고, 대입하면 \(h(115) = -(115 - 117)^2(115 - 114) = -4\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] • 좌·우미분계수 \(\pm P(117)\) 정의식 서술 +4점 / \(P(117) = 0\) 확인 +2점 소문항 [4-2] • \(x \lt 117\) 부호 분리 및 곱의 미분법 적용 +4점 / \(h'(x) = -3(x - 117)(x - 115)\) 유도 +3점 소문항 [4-3] • 극점 \(x = 115\) 도출 +3점 / 함숫값 \(h(115) = -4\;(\text{극점 } 115)\) 산출 +4점
💡 감점 방어 클리닉: 첨점 후보 \(x = 117\)에서 절댓값 함수가 미분가능하려면 곱해진 다항식이 \(x - 117\)을 인수로 가져야 함을 먼저 서술하세요.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (해설집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 상수 구간 정적분 \(A = \int_0^1 f(t)\,dt\;\left(c = 356\right)\)는 적분변수와 무관한 상수이므로, 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4Ax + 356\)을 양변 \([0, 1]\)에서 다시 적분하면 \(A = 119\)에 대한 일차방정식을 얻는다.<제시문 (나)> 대칭 구간 \([-1, 1]\)에서 기함수의 정적분은 소거되고 우함수의 정적분은 \(2\int_0^1 (3x^2 + 356)\,dx = 714\)이다.
연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 356\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 상수 \(A\)로 치환하고 \(A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 356)\,dt\)를 풀어 상수 \(A = 119\)과 함수 \(f(x)\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 함수 \(f(x) = 3x^2 - 476x + 356\)이 극솟값을 갖는 좌표 \(x = \dfrac{238}{3}\)와 함숫값 \(f(1) = -117\)을 각각 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 476x + 356)\,dx = 714\)의 값을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [5-1] \(A = 119,\; f(x) = 3x^2 - 476x + 356\) | [5-2] \(x = \dfrac{238}{3},\; f(1) = -117\) | [5-3] \(714\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분 정의식에 대입하면 \(A = \left[t^3 - 2At^2 + 356t\right]_0^1 = 357 - 2A \implies 3A = 357\)이므로 \(A = 119\)이고 \(f(x) = 3x^2 - 476x + 356\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 도함수 \(f'(x) = 6x - 476 = 0\)에서 극소점은 \(x = \dfrac{238}{3}\)이고, \(f(1) = 3 - 476 + 356 = -117\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 기함수 항 \(-476x\)는 소거되므로 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 476x + 356)\,dx = 2(1 + 356) = 714\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] • \(A = 357 - 2A \implies A = 119\) 도출 +3점 / \(f(x) = 3x^2 - 476x + 356\) 완성 +3점 소문항 [5-2] • 대칭축 \(x = \dfrac{238}{3}\) 산출 +4점 / \(f(1) = -117\) 계산 +3점 소문항 [5-3] • 기함수 소거 및 우함수 2배 공식 적용 +4점 / 정적분 값 \(714\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 적분 구간이 상수인 정적분은 함수가 아니라 상수 \(A = 119\)이므로 미분하지 않고 상수로 치환해야 합니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (해설집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.33 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{112},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{112}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.<제시문 (나)> 크기 \(n = 200704\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{200704}}\)이다.
두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{112},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{112}\)이며, 크기 \(n = 200704\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{112}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 112)\)를 각각 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 표본의 크기 \(n = 200704\)을 대입하여 표본비율의 표준오차 \(\dfrac{12/25}{448} = \dfrac{3}{2800}\)를 유도하시오.
[문항 1-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a = \dfrac{294}{70000}\)를 기약분수로 구하시오.
🎯 모범 정답 : [1-1] \(P(B) = \dfrac{2}{112},\; P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\) | [1-2] 표준오차 \(\dfrac{3}{2800}\) | [1-3] \(L = \dfrac{294}{70000}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 전확률 공식에서 \(P(B) = \dfrac{1}{224} + \dfrac{3}{224} = \dfrac{2}{112}\)이고, 베이즈 정리에 의해 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3/(2\times 112)}{2/112} = \dfrac{3}{4}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 표준오차는 \(\sqrt{\dfrac{9\times 16}{25^2 \times 200704}} = \dfrac{12}{25 \times 448} = \dfrac{3}{2800}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times \dfrac{49}{25} \times \dfrac{3}{2800} = \dfrac{294}{70000}\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] • 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{112}\) 계산 +3점 / 사후확률 \(P(A_2|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 112)\) 도출 +3점 소문항 [1-2] • \(\sqrt{n} = 448\) 계산 +4점 / 표준오차 \(\dfrac{3}{2800}\) 유도 +3점 소문항 [1-3] • 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / \(\dfrac{294}{70000}\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 교과서 기반 교육과정 확률과 통계(`12확통03-06`)에서 재도입된 모비율 신뢰구간 공식과 표준오차 \(\dfrac{3}{2800}\) 계산 과정을 명확히 서술해야 합니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (해설집)
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[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 327x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 327\)인 \(c\)가 존재한다.<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 327 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 327}\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 327x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 327(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.
[문항 2-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 330\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{327}\)와 \(g'(330) = \dfrac{1}{330}\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((330, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{330}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(330)} = 657\)의 값을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [2-1] \(f'(c) = 3c^2 + 327 \ge 327\) 증명 완료 | [2-2] \(g'(2) = \dfrac{1}{327},\; g'(330) = \dfrac{1}{330}\) | [2-3] 접선 \(y = \dfrac{1}{330}x,\; \text{합 } 657\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = 3c^2 + 327 \ge 327\)이고 \(x_2 - x_1 \gt 0\)이므로 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 327(x_2 - x_1)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 역함수 미분법에 의해 \(g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{327}\)이고 \(g'(330) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{330}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 점 \((330, 1)\)에서의 접선은 \(y - 1 = \dfrac{1}{330}(x - 330) \implies y = \dfrac{1}{330}x\)이고, 역수의 합은 \(327 + 330 = 657\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] • 평균값 정리 선언 및 \(f'(c) = 3c^2 + 327 \ge 327\) 서술 +6점 소문항 [2-2] • \(g'(2) = \dfrac{1}{327}\) 산출 +3점 / \(g'(330) = \dfrac{1}{330}\) 산출 +4점 소문항 [2-3] • 접선 \(y = \dfrac{1}{330}x\) 유도 +4점 / 역수 합 \(657\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 미분계수 \(g'(330)\)를 구할 때는 \(f(a) = 330\)를 만족시키는 원함수 위의 점 \(a = 1\)을 먼저 찾아야 합니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (해설집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 678\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 678)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 678)\,dt = 3x^2 - 678x\)이고 \(F''(x) = 6x - 678\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 678)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 678x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 678\)를 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(226) = 5771588\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 113\)에서의 함숫값 \(F(113) = -2885794\)과 접선의 기울기 \(F'(113) = -38307\)을 각각 구하시오.
🎯 모범 정답 : [3-1] \(F'(x) = 3x(x - 226),\; F''(x) = 6x - 678\) | [3-2] 극대 \(x=0\), 극소 \(x=226\), 차 \(5771588\) | [3-3] \(F(113) = -2885794,\; F'(113) = -38307\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 적분변수를 분리하여 미분하면 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 678)\,dt = 3x^2 - 678x\)이고 \(F''(x) = 6x - 678\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(F'(x) = 3x(x - 226) = 0\)에서 극댓값 \(F(0) = 0\), 극솟값 \(F(226) = -5771588\)이므로 극값의 차는 \(5771588\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 원시함수 \(F(x) = x^3 - 339x^2\)에 \(x = 113\)을 대입하면 \(F(113) = -2885794\)이고 \(F'(113) = -38307\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] • 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / \(F'(x) = 3x^2 - 678x\) 도출 +3점 소문항 [3-2] • 극점 \(x = 0, 226\) 판정 +3점 / 극값의 차 \(5771588\) 산출 +4점 소문항 [3-3] • \(F(113) = -2885794\) 계산 +4점 / \(F'(113) = -38307\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 \((x - t)(6t - 678)\) 안에 적분변수가 아닌 \(x\)가 들어 있으므로 미분하기 전에 반드시 \(x\)를 적분 기호 밖으로 묶어내야 합니다.
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80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
<제시문 (가)> 포물선 \(y^2 = 444x\) 위의 임의의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서 초점 \(\mathrm{F}(111, 0)\)까지의 거리는 준선 \(x = -111\)까지의 거리 \(x_1 + 111\)와 같다.<제시문 (나)> 포물선 \(y^2 = 444x\) 위의 점 \(\mathrm{P}(444, 444)\)에서의 접선의 방정식은 \(y = \dfrac{1}{2}x + 222\)이다.
초점이 \(\mathrm{F}(111, 0)\)인 포물선 \(y^2 = 444x\) 위의 제1사분면의 점 \(\mathrm{P}(444, 444)\)에서의 접선이 가로축과 만나는 점을 Q라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 포물선 정의를 이용하여 준선의 방정식 \(x = -111\)와 선분 \(\overline{\mathrm{PF}} = 555\)의 길이를 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 점 \(\mathrm{P}(444, 444)\)에서의 접선의 방정식과 가로축 절편 \(\mathrm{Q}(-444, 0)\)을 구하여 \(\overline{\mathrm{FQ}} = \overline{\mathrm{FP}} = 555\)임을 증명하시오.
[문항 4-3] (7점) 이등변삼각형 FPQ의 밑변 \(555\)와 높이 \(444\)로부터 삼각형의 넓이 \(S = 123210\)를 구하시오.
🎯 모범 정답 : [4-1] 준선 \(x = -111,\; \overline{\mathrm{PF}} = 555\) | [4-2] 접선 \(y = \dfrac{1}{2}x + 222,\; \mathrm{Q}(-444, 0),\; \overline{\mathrm{FQ}} = 555\) | [4-3] 넓이 \(S = 123210\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 포물선 \(y^2 = 444x\)의 준선은 \(x = -111\)이므로 정의에 의해 \(\overline{\mathrm{PF}} = 444 + 111 = 555\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{2}x + 222\)의 가로축 절편은 \(\mathrm{Q}(-444, 0)\)이므로 \(\overline{\mathrm{FQ}} = 111 - (-444) = 555\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 삼각형 FPQ의 밑변은 \(555\), 높이는 \(444\)이므로 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\times 555\times 444 = 123210\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] • 준선 \(x = -111\) 명시 +2점 / 포물선 정의로 \(\overline{\mathrm{PF}} = 555\) 도출 +4점 소문항 [4-2] • 접선 \(y = \dfrac{1}{2}x + 222\) 유도 +4점 / \(\mathrm{Q}(-444, 0)\) 및 \(\overline{\mathrm{FQ}} = 555\) 증명 +3점 소문항 [4-3] • 밑변 \(555\) 및 높이 \(444\) 설정 +3점 / 넓이 \(S = 123210\) 산출 +4점
💡 감점 방어 클리닉: 포물선 위의 점 \((444, 444)\)에서의 접선의 가로축 절편은 항상 \(-444\)가 되어 초점 F를 중심으로 이등변삼각형이 형성됩니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (해설집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(333, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 333, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 333)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 333\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 333)\)이다.<제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 333\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{110889}{2}\)가 성립한다.
좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(333, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 333, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 333)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 333\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 333 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 111\sqrt{3}\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 \(S' = \dfrac{110889}{2}\)와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 \(S = \dfrac{110889\sqrt{3}}{2}\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 6154339\)를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.
🎯 모범 정답 : [5-1] \(d = \dfrac{333}{\sqrt{3}} = 111\sqrt{3}\) | [5-2] \(S' = \dfrac{110889}{2},\; S = \dfrac{110889\sqrt{3}}{2}\) | [5-3] \(V = 6154339\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 점과 평면 사이의 거리 공식에서 \(d = \dfrac{333}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = 111\sqrt{3}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 정사영 넓이는 \(S' = \dfrac{110889}{2}\)이므로 \(S = \sqrt{3}S' = \dfrac{110889\sqrt{3}}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 사면체 부피는 \(V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{110889\sqrt{3}}{2} \times 111\sqrt{3} = 6154339\)로 정확히 일치한다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] • 평면 \(x+y+z=333\) 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 \(d = 111\sqrt{3}\) 산출 +3점 소문항 [5-2] • 정사영 넓이 \(S' = \dfrac{110889}{2}\) 계산 +3점 / \(S = \dfrac{110889\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 소문항 [5-3] • 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 \(V = 6154339\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 교과서 기반 교육과정 기하(`12기하03-05`)에서 강화된 벡터를 이용한 평면의 방정식 \(x + y + z = 333\)과 정사영 넓이 공식을 결합한 핵심 문항입니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (해설집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.34 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 120} + 120\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 244\)에 대하여 서로 대칭이다.<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 244\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 244)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.
직선 \(y = -x + 244\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 244)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 244\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(122, 122)\)의 좌표를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 122)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 244)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 244 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{244}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.
🎯 모범 정답 : [1-1] \(x_1 + x_2 = 244,\; \mathrm{M}(122, 122)\) | [1-2] \(\mathrm{P}(121, 123),\; \mathrm{Q}(123, 121)\) | [1-3] 넓이 \(S = 244\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 두 교점은 직선 \(x + y = 244\) 위에 있고 역함수 대칭이므로 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 244\)이며 중점은 \(\mathrm{M}(122, 122)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 기울기가 \(-1\)인 직선 위의 두 점 거리 공식에서 \(\sqrt{2}(x_2 - x_1) = 2\sqrt{2} \implies x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 244)\)이므로 연립하면 \(\mathrm{P}(121, 123),\; \mathrm{Q}(123, 121)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 원점에서 직선 \(x + y - 244 = 0\)까지의 거리는 \(h = \dfrac{244}{\sqrt{2}}\)이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{244}{\sqrt{2}} = 244\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] • 역함수 대칭 \(x_1 + x_2 = 244\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(122, 122)\) 도출 +3점 소문항 [1-2] • 거리 공식 \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 244)\) 도출 +3점 / 좌표 \(\mathrm{P}(121, 123),\; \mathrm{Q}(123, 121)\) 산출 +4점 소문항 [1-3] • 원점과 직선 사이 거리 \(h = \dfrac{244}{\sqrt{2}}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(S = 244\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 244\) 위에서 두 점의 좌표 차가 주어지면 대칭축 중점 \(\mathrm{M}(122, 122)\)을 기준으로 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (해설집)
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[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]
<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=345,\; c=575\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=805\right)\)이 성립한다.<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 1725\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{1725}{2}r\)가 성립한다.
삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 345,\; c = 575\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=345\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 805\)의 길이를 유도하시오.
[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{805\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{198375\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{115\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [2-1] \(a = 805\) | [2-2] \(R = \dfrac{805\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{198375\sqrt{3}}{4}\) | [2-3] \(r = \dfrac{115\sqrt{3}}{2},\; R\cdot r = \dfrac{92575}{2}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙에서 \(a^2 = 345^2 + 575^2 - 2(345)(575)(-1/2) = 49\times 115^2\)이므로 \(a = 805\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 사인법칙에서 \(2R = \dfrac{805}{\sqrt{3}/2} \implies R = \dfrac{805\sqrt{3}}{3}\)이고, 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\times 345\times 575\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{198375\sqrt{3}}{4}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 둘레가 \(a + b + c = 1725\)이므로 \(\dfrac{1725}{2}r = \dfrac{198375\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{115\sqrt{3}}{2}\)이고 \(R\cdot r = \dfrac{92575}{2}\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] • 코사인법칙 대입 \(a^2 = 49\times 115^2\) +3점 / \(a = 805\) 도출 +3점 소문항 [2-2] • 외접원 반지름 \(R = \dfrac{805\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = \dfrac{198375\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점 소문항 [2-3] • 내접원 반지름 \(r = \dfrac{115\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 / 곱 \(R\cdot r = \dfrac{92575}{2}\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 끼인각이 \(120^\circ\)이고 두 변의 비가 \(3 : 5\)인 둔각삼각형은 대변의 비가 항상 \(7\)이 되는 대표적인 정수비 삼각형(\(3\times 115 : 5\times 115 : 7\times 115\))입니다.
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[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 684\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 684)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 684)\,dt = 3x^2 - 684x\)이고 \(F''(x) = 6x - 684\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 684)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 684x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 684\)를 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(228) = 5926176\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 114\)에서의 함숫값 \(F(114) = -2963088\)과 접선의 기울기 \(F'(114) = -38988\)을 각각 구하시오.
🎯 모범 정답 : [3-1] \(F'(x) = 3x(x - 228),\; F''(x) = 6x - 684\) | [3-2] 극대 \(x=0\), 극소 \(x=228\), 차 \(5926176\) | [3-3] \(F(114) = -2963088,\; F'(114) = -38988\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 적분변수를 분리하여 미분하면 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 684)\,dt = 3x^2 - 684x\)이고 \(F''(x) = 6x - 684\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \(F'(x) = 3x(x - 228) = 0\)에서 극댓값 \(F(0) = 0\), 극솟값 \(F(228) = -5926176\)이므로 극값의 차는 \(5926176\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 원시함수 \(F(x) = x^3 - 342x^2\)에 \(x = 114\)을 대입하면 \(F(114) = -2963088\)이고 \(F'(114) = -38988\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] • 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / \(F'(x) = 3x^2 - 684x\) 도출 +3점 소문항 [3-2] • 극점 \(x = 0, 228\) 판정 +3점 / 극값의 차 \(5926176\) 산출 +4점 소문항 [3-3] • \(F(114) = -2963088\) 계산 +4점 / \(F'(114) = -38988\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 \((x - t)(6t - 684)\) 안에 적분변수가 아닌 \(x\)가 들어 있으므로 미분하기 전에 반드시 \(x\)를 적분 기호 밖으로 묶어내야 합니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (해설집)
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[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 348)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 348)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 348]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 348)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 696t^2 + 121104t = t(t - 348)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 348\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(348) = 0\)의 값을 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 348]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 116)(t - 348)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(116) = 6243584\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 1392 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 232\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(232) = 3121792\)를 각각 구하시오.
🎯 모범 정답 : [4-1] \(t_1 = 348,\; h'(348) = 0\) | [4-2] \(t = 116\)에서 최댓값 \(6243584\) | [4-3] \(t_2 = 232,\; D(232) = 3121792\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 위치 차 \(h(t) = t(t - 348)^2 = 0\;(t \gt 0)\)에서 \(t_1 = 348\)이고, 도함수 \(h'(t) = 3(t - 116)(t - 348)\)에 대입하면 \(h'(348) = 0\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 \([0, 348]\)에서 내부 극대점은 \(t = 116\)이므로 최댓값은 \(D(116) = 116(-232)^2 = 6243584\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 이계도함수 \(h''(t) = 6t - 1392 = 0\)에서 \(t_2 = 232\)이고, 그때의 거리는 \(D(232) = 232(-116)^2 = 3121792\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] • \(t_1 = 348\) 도출 +3점 / 속도 차 \(h'(348) = 0\) 확인 +3점 소문항 [4-2] • \(h'(t) = 3(t - 116)(t - 348) = 0\) 극대 판정 +4점 / 최댓값 \(6243584\) 산출 +3점 소문항 [4-3] • \(h''(t) = 6t - 1392 = 0 \implies t_2 = 232\) 도출 +3점 / 거리 \(3121792\) 계산 +4점
💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 비율 관계(\(1 : 2 : 3\))에 의해 원점 \(t=0\), 극대 \(t=116\), 변곡 \(t=232\), 접점 \(t=348\)이 등간격 \(116\)로 배열됩니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (해설집)
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[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 확률과 통계 · 기출 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통03-06]
<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{113},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{113}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.<제시문 (나)> 크기 \(n = 204304\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{204304}}\)이다.
두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{113},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{113}\)이며, 크기 \(n = 204304\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{113}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 113)\)를 각각 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 표본의 크기 \(n = 204304\)을 대입하여 표본비율의 표준오차 \(\dfrac{12/25}{452} = \dfrac{3}{2825}\)를 유도하시오.
[문항 5-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a = \dfrac{294}{70625}\)를 기약분수로 구하시오.
🎯 모범 정답 : [5-1] \(P(B) = \dfrac{2}{113},\; P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\) | [5-2] 표준오차 \(\dfrac{3}{2825}\) | [5-3] \(L = \dfrac{294}{70625}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 전확률 공식에서 \(P(B) = \dfrac{1}{226} + \dfrac{3}{226} = \dfrac{2}{113}\)이고, 베이즈 정리에 의해 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3/(2\times 113)}{2/113} = \dfrac{3}{4}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 표준오차는 \(\sqrt{\dfrac{9\times 16}{25^2 \times 204304}} = \dfrac{12}{25 \times 452} = \dfrac{3}{2825}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times \dfrac{49}{25} \times \dfrac{3}{2825} = \dfrac{294}{70625}\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] • 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{113}\) 계산 +3점 / 사후확률 \(P(A_2|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 113)\) 도출 +3점 소문항 [5-2] • \(\sqrt{n} = 452\) 계산 +4점 / 표준오차 \(\dfrac{3}{2825}\) 유도 +3점 소문항 [5-3] • 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / \(\dfrac{294}{70625}\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 교과서 기반 교육과정 확률과 통계(`12확통03-06`)에서 재도입된 모비율 신뢰구간 공식과 표준오차 \(\dfrac{3}{2825}\) 계산 과정을 명확히 서술해야 합니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (해설집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.35 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{124}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 5\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(5\)인 등차수열을 이룬다.<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/124)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.
첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{124}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 124\right)\)을 이용하여 \(b_n = 5n + 119\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{5n + 119}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 1-3] (7점) 부분분수 항등식 \(5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{21576}\)의 값을 유도하시오.
🎯 모범 정답 : [1-1] \(b_n = 5n + 119,\; a_n = \dfrac{1}{5n + 119}\) | [1-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [1-3] \(\dfrac{10}{124\times 174} = \dfrac{10}{21576}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 역수 치환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 124\right)\)에서 \(b_{n+1} - b_n = 5\)이므로 \(b_n = 124 + 5(n - 1) = 5n + 119\)이고 \(a_n = \dfrac{1}{5n + 119}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] (i) 초기항 \(a_1 = \dfrac{1}{124}\) 성립. (ii) \(a_k = \dfrac{1}{5k + 119}\)이라 가정하면 \(a_{k+1} = \dfrac{a_k}{5a_k + 1} = \dfrac{1}{5(k+1) + 119}\)이므로 모든 자연수에서 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 부분분수 분해에 의해 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{124} - \dfrac{1}{174}\right) = \dfrac{10}{21576}\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] • 역수 등차수열 \(b_n = 5n + 119\) 유도 +3점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{5n + 119}\) 도출 +3점 소문항 [1-2] • 초기 조건 \(a_1 = \dfrac{1}{124}\) 확인 +2점 / 귀납 가정 후 \(a_{k+1} = \dfrac{1}{5(k+1) + 119}\) 연역 +5점 소문항 [1-3] • 망원급수 변형 \(\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{124} - \dfrac{1}{174}\right)\) +4점 / 합 \(\dfrac{10}{21576}\) 산출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식의 분모를 곱하면 \(5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)이 바로 유도되어 망원급수 소거가 한 줄로 정리됩니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (해설집)
80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 교과서 예제 변형 💡 정답 및 공식 풀이 보기
[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -479\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(2\)인 삼차함수이다.<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 119} \dfrac{f(x)}{(x - 119)^2} = 235\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 119)^2(2x + r)\) 꼴로 인수분해된다.
삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -479\)과 \(\lim_{x \to 119} \dfrac{f(x)}{(x - 119)^2} = 235\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 119)^2(2x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -3\)을 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 119)^2(2x - 3)\)이 무한대 극한 조건 \(-479\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.
[문항 2-3] (7점) 함숫값 \(f(121) = 956\)의 값과 \(x = 119\)에서의 미분계수 \(f'(119) = 0\)의 값을 각각 구하시오.
🎯 모범 정답 : [2-1] \(r = -3\) | [2-2] 이차항 계수 \(-479\) 일치 검증 완료 | [2-3] \(f(121) = 956,\; f'(119) = 0\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 \(\lim_{x \to 119} (2x + r) = 238 + r = 235\)이므로 \(r = -3\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 전개하면 \(f(x) = (x^2 - 238x + 14161)(2x - 3) = 2x^3 - 479x^2 + \cdots\)이므로 이차항 계수 \(-479\)이 정확히 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \(x = 121\)를 대입하면 \(f(121) = 4(242 - 3) = 956\)이고, \((x - 119)^2\)을 인수로 가지므로 \(f'(119) = 0\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] • 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 \(r = -3\) 도출 +3점 소문항 [2-2] • 삼차식 전개 후 이차항 계수 \(-479\) 확인 +7점 소문항 [2-3] • \(f(121) = 956\) 산출 +4점 / 중근 성질로 \(f'(119) = 0\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 분모에 \((x - 119)^2\)이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 \(x = 119\)을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.
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[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 333x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 333\)인 \(c\)가 존재한다.<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 333 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 333}\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 333x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 333(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.
[문항 3-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 336\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{333}\)와 \(g'(336) = \dfrac{1}{336}\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((336, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{336}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(336)} = 669\)의 값을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [3-1] \(f'(c) = 3c^2 + 333 \ge 333\) 증명 완료 | [3-2] \(g'(2) = \dfrac{1}{333},\; g'(336) = \dfrac{1}{336}\) | [3-3] 접선 \(y = \dfrac{1}{336}x,\; \text{합 } 669\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = 3c^2 + 333 \ge 333\)이고 \(x_2 - x_1 \gt 0\)이므로 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 333(x_2 - x_1)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 역함수 미분법에 의해 \(g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{333}\)이고 \(g'(336) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{336}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 점 \((336, 1)\)에서의 접선은 \(y - 1 = \dfrac{1}{336}(x - 336) \implies y = \dfrac{1}{336}x\)이고, 역수의 합은 \(333 + 336 = 669\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] • 평균값 정리 선언 및 \(f'(c) = 3c^2 + 333 \ge 333\) 서술 +6점 소문항 [3-2] • \(g'(2) = \dfrac{1}{333}\) 산출 +3점 / \(g'(336) = \dfrac{1}{336}\) 산출 +4점 소문항 [3-3] • 접선 \(y = \dfrac{1}{336}x\) 유도 +4점 / 역수 합 \(669\) 계산 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 미분계수 \(g'(336)\)를 구할 때는 \(f(a) = 336\)를 만족시키는 원함수 위의 점 \(a = 1\)을 먼저 찾아야 합니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (해설집)
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[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 118)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (118, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{118} (-6x^2 + 708x)\,dx = 1643032\)이다.<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{118}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(1643032\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 708x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 354x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 708x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 1643032\)를 유도하시오.
[문항 4-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 1643032\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{118}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{118/2} (-6x^2 + 708x)\,dx = \dfrac{1643032}{2}\)임을 확인하시오.
[문항 4-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 708x\)와 직선 \(y = 354x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{1643032}{8}\)을 구하시오.
🎯 모범 정답 : [4-1] \(S = 1643032\) | [4-2] \(k = \dfrac{118}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{1643032}{2}\) | [4-3] 교점 \(x = 0, \dfrac{118}{2}\), 넓이 \(S_1 = \dfrac{1643032}{8}\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분을 계산하면 \(S = \left[-2x^3 + 354x^2\right]_0^{118} = -2(118)^3 + 3(118)^3 = 1643032\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 포물선의 대칭축 \(x = \dfrac{118}{2}\)에 의해 \(k = \dfrac{118}{2}\)이고, 실제로 \(\left[-2x^3 + 354x^2\right]_0^{118/2} = -\dfrac{1643032}{4} + \dfrac{3\times 1643032}{4} = \dfrac{1643032}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 연립방정식 \(-6x^2 + 708x = 354x \implies 6x\left(x - \dfrac{118}{2}\right) = 0\)이므로 교점은 \(x = 0, \dfrac{118}{2}\)이고 넓이는 \(S_1 = \int_0^{118/2} (-6x^2 + 354x)\,dx = \dfrac{1643032}{8}\)이다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] • 원시함수 \(-2x^3 + 354x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 1643032\) 도출 +3점 소문항 [4-2] • 대칭축 \(k = \dfrac{118}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 118/2]\) 적분값 \(\dfrac{1643032}{2}\) 확인 +4점 소문항 [4-3] • 교점 \(x = \dfrac{118}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{1643032}{8}\) 도출 +4점
💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 \(-6\)이고 두 교점의 차가 \(\beta - \alpha = \dfrac{118}{2}\)일 때 둘러싸인 넓이는 항상 \((\beta - \alpha)^3 = \dfrac{1643032}{8}\)이 됩니다.
2027학년도 대비 한신대학교 자연계열 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (해설집)
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[단원 연계: 교과서 기반 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(339, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 339, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 339)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 339\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 339)\)이다.<제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 339\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{114921}{2}\)가 성립한다.
좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(339, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 339, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 339)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 339\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 339 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 113\sqrt{3}\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 \(S' = \dfrac{114921}{2}\)와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 \(S = \dfrac{114921\sqrt{3}}{2}\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 6493036\)를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.
🎯 모범 정답 : [5-1] \(d = \dfrac{339}{\sqrt{3}} = 113\sqrt{3}\) | [5-2] \(S' = \dfrac{114921}{2},\; S = \dfrac{114921\sqrt{3}}{2}\) | [5-3] \(V = 6493036\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 점과 평면 사이의 거리 공식에서 \(d = \dfrac{339}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = 113\sqrt{3}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 정사영 넓이는 \(S' = \dfrac{114921}{2}\)이므로 \(S = \sqrt{3}S' = \dfrac{114921\sqrt{3}}{2}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 사면체 부피는 \(V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{114921\sqrt{3}}{2} \times 113\sqrt{3} = 6493036\)로 정확히 일치한다.
평가 소문항 한신대학교 자연계열 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] • 평면 \(x+y+z=339\) 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 \(d = 113\sqrt{3}\) 산출 +3점 소문항 [5-2] • 정사영 넓이 \(S' = \dfrac{114921}{2}\) 계산 +3점 / \(S = \dfrac{114921\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 소문항 [5-3] • 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 \(V = 6493036\) 도출 +3점
💡 감점 방어 클리닉: 교과서 기반 교육과정 기하(`12기하03-05`)에서 강화된 벡터를 이용한 평면의 방정식 \(x + y + z = 339\)과 정사영 넓이 공식을 결합한 핵심 문항입니다.
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모집단위
모집인원
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78.5점 (7.8문항)
79.2점 (7.9문항)
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컴퓨터공학부
22명
18.4:1
77.0점 (7.7문항)
78.0점 (7.8문항)
76~78점
정보통신학부
18명
14.2:1
73.5점 (7.3문항)
74.2점 (7.4문항)
72~74점
수리금융학과
15명
12.8:1
71.0점 (7.1문항)
72.0점 (7.2문항)
70~72점
IT영상콘텐츠학과
16명
15.1:1
72.5점 (7.2문항)
73.5점 (7.3문항)
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1. 60분 시간 배분 철칙 : 10문항을 50분 내에 풀이하고 남은 10분은 계산 실수 검산에 집중합니다.2. Track B 3줄 풀이 엄수 : [1줄: 공식선언 ➔ 2줄: 핵심계산 ➔ 3줄: 최종결론]의 3줄 구조로 군더더기 없이 명료하게 작성합니다.3. 부분점수 방어 : 답이 안 나오더라도 사용된 공식(로그 밑변환, 등차수열 합, 미분계수 정의 등)을 반드시 기재하십시오.4. 수능최저 없는 전형 : 결시율이 낮고 실질 경쟁률이 높으므로 1문항(10점)이 내신 2등급 이상을 역전합니다.5. 글씨 가독성 유지 : 약술형 논술은 채점관이 한눈에 풀이 과정을 파악할 수 있도록 정갈하고 또박또박 작성하십시오.
2027학년도 한신대학교 자연계열 약술형논술 10회분 통합 마스터 문제집 & 해설집
