| 순위 | 기출 원천 문항 | 핵심 출제 테마 및 변별 포인트 | 모의 1:1 매칭 | 부분점수 공략 전략 |
|---|---|---|---|---|
| TOP 1 | 2026 기출 수학 7번 | 절댓값 삼차함수 $|f(x)|$의 극값 개수와 경계값 배제 | 모의 6회 10번 · 8회 8번 · 10회 8번 | $f(0)f(2) \gt 0$ 부호 판정 및 접점($a=0, 4$)에서 극값이 3개임을 검증 |
| TOP 2 | 2026 기출 수학 6번 | 차함수 $f(x)-g(x)=x(x^2-\alpha^2)$ 대칭 정적분 넓이 | 모의 6회 9번 · 9회 9번 · 10회 9번 | 원점 대칭 기함수 성질로 $[0, \alpha]$ 정적분의 2배 공식화 |
| TOP 3 | 2026 기출 수학 5번 | 지수함수 그래프와 직선의 두 교점 거리($\sqrt{1+m^2}\Delta x$) | 모의 6회 2번 · 8회 2번 · 9회 2번 | 두 교점 대입식의 차를 구해 상수항 소거 후 교점 좌표 즉시 특정 |
| TOP 4 | 2026 기출 수학 4번 | 구간 정의 함수의 불연속 조건($|a| \ne a$)과 실근의 분리 | 모의 7회 6번 · 8회 6번 · 9회 6번 | 좌·우극한 불일치로 부호 확정 후 경계 함숫값 부호로 정수 개수 산출 |
| TOP 5 | 2026 기출 수학 1·2번 | 평행이동 등비수열($b_n=a_n+\alpha$) 및 치환 극한 다항식 결정 | 모의 6회 1·6번 · 7회 5번 · 10회 5번 | 등비중항 방정식과 $t=1/x$ 치환 극한을 1줄에 명시하여 부분점수 확보 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $b_1 = 6 + \alpha, \; b_2 = 4 + \alpha, \; b_3 = 3 + \alpha$가 등비수열을 이루므로 등비중항 성질 $(4 + \alpha)^2 = (6 + \alpha)(3 + \alpha)$가 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 전개하여 정리하면 $\alpha^2 + 8\alpha + 16 = \alpha^2 + 9\alpha + 18 \implies \alpha = -2$이므로 $b_1 = 4, \; b_2 = 2$ (공비 $r = \dfrac{1}{2}$)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $b_7 = 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^6 = \dfrac{1}{16}$이므로 $a_7 = b_7 - \alpha = \dfrac{1}{16} - (-2) = \dfrac{33}{16}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등비중항 방정식 $(4+\alpha)^2 = (6+\alpha)(3+\alpha)$를 세워 $\alpha = -2$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 등비수열 $\{b_n\}$의 첫째항 $b_1 = 4$, 공비 $r = \frac{1}{2}$ 및 $b_7 = \frac{1}{16}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a_7 = b_7 - \alpha$에 대입하여 최종 정답 $a_7 = \frac{33}{16}$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 조건 (가)에서 $\dfrac{1}{x} = t$로 치환하면 $\displaystyle\lim_{t \to \pm\infty} \dfrac{f(t)}{t^2} = -1$이므로 $f(x)$는 최고차항이 $-x^2$인 이차함수이고, (나)에서 분모가 $0$으로 가므로 $f(-1) = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(x) = -(x + 1)(x - c)$로 놓으면 $\displaystyle\lim_{x \to -1} \dfrac{-(x + 1)(x - c)}{x + 1} = 1 + c$이고 $f(1) = -2(1 - c) = 2c - 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $1 + c = 2c - 2$에서 $c = 3$이므로 $f(x) = -(x + 1)(x - 3)$이고, 따라서 $f(2) = -3 \times (-1) = 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | (가)의 치환 극한과 (나)의 $f(-1) = 0$으로부터 $f(x) = -(x+1)(x-c)$ 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극한값 $1 + c$와 함숫값 $f(1) = 2c - 2$를 등치하여 $c = 3$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(x) = -(x+1)(x-3)$에 $x = 2$를 대입하여 $f(2) = 3$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\tan x = t$로 치환하여 인수분해하면 $(3t + 1)(t - 3) = 0$이므로 $\tan x = 3$ 또는 $\tan x = -\dfrac{1}{3}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 $-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ (제1·4사분면 및 $0$)에서는 항상 $\cos x \gt 0$이고, 삼각함수 항등식 $\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$가 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\tan x = 3$일 때 $\cos^2 x = \dfrac{1}{10} \implies \cos x = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$이고, $\tan x = -\dfrac{1}{3}$일 때 $\cos^2 x = \dfrac{9}{10} \implies \cos x = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 이차방정식 인수분해로 $\tan x = 3$ 또는 $\tan x = -\frac{1}{3}$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $-\frac{\pi}{2} \lt x \lt \frac{\pi}{2}$에서 $\cos x \gt 0$ 부호 근거와 $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ 제시 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 경우의 값 $\frac{\sqrt{10}}{10}$과 $\frac{3\sqrt{10}}{10}$을 모두 정확히 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x = 0$에서 불연속이므로 좌극한 $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = |a|$와 우극한 $f(0) = a$가 달라야 하여 $|a| \ne a \iff a \lt 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a \lt 0$일 때 $x \lt 0$에서는 $-x - a \gt 0$이므로 근이 없고, $x \ge 0$에서 $x^2 + 3x + a = 0$의 유일한 양의 실근 $\dfrac{-3 + \sqrt{9 - 4a}}{2} \lt 5$이어야 한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\sqrt{9 - 4a} \lt 13 \implies 9 - 4a \lt 169 \implies a \gt -40$이므로 $-40 \lt a \lt 0$이고, 정수 $a$의 최댓값은 $-1$, 최솟값은 $-39$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x = 0$ 불연속 조건 $|a| \ne a$로부터 $a \lt 0$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x \lt 0$ 무근 확인 및 $x \ge 0$ 양의 실근 조건 $\frac{-3+\sqrt{9-4a}}{2} \lt 5$ 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $-40 \lt a \lt 0$으로부터 정수 최댓값 $-1$, 최솟값 $-39$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 직선 $y = x$ 위의 두 교점을 $A(x_1, x_1), \; B(x_2, x_2)$ ($x_1 \lt x_2$)라 하면 $\overline{AB} = \sqrt{2}(x_2 - x_1) = \sqrt{2}$이므로 $x_2 = x_1 + 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2^{x_1 - a} - 6a^2 = x_1$과 $2^{x_1 + 1 - a} - 6a^2 = x_1 + 1$을 변변 빼면 $2^{x_1 - a} = 1 \implies x_1 = a$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x_1 = a$를 첫 식에 대입하면 $1 - 6a^2 = a \implies 6a^2 + a - 1 = (2a + 1)(3a - 1) = 0$이므로 $a = -\dfrac{1}{2}$ 또는 $a = \dfrac{1}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 직선 $y = x$의 기울기와 $\overline{AB} = \sqrt{2}$로부터 $x_2 - x_1 = 1$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 두 교점 대입식의 차를 이용하여 $2^{x_1 - a} = 1 \implies x_1 = a$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $6a^2 + a - 1 = 0$을 인수분해하여 $a = -\frac{1}{2}, \; \frac{1}{3}$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 조건 (가)에 의하여 차함수 $f(x) - g(x) = x(x - \alpha)(x + \alpha) = x^3 - \alpha^2 x$ ($\alpha \gt 0$)는 원점 대칭인 기함수이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 조건 (나)에서 둘러싸인 넓이는 $S = 2\displaystyle\int_{0}^{\alpha} (\alpha^2 x - x^3)\,dx = 2\left[\dfrac{\alpha^2}{2}x^2 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_{0}^{\alpha} = \dfrac{\alpha^4}{2} = 8$이므로 $\alpha^2 = 4$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = (x^3 - 4x) + (3x + 1) = x^3 - x + 1$이므로 $f(3) = 27 - 3 + 1 = 25$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 차함수를 인수분해하여 $f(x) - g(x) = x^3 - \alpha^2 x$로 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 기함수 대칭 정적분 $\frac{\alpha^4}{2} = 8$로부터 $\alpha^2 = 4$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(x) = x^3 - x + 1$을 복원하여 $f(3) = 25$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$이므로 $f(x)$는 $x = 0$에서 극댓값 $f(0) = a$, $x = 2$에서 극솟값 $f(2) = a - 4$를 갖는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(x) = 0$이 중근($a = 0$ 또는 $a = 4$)이나 서로 다른 세 실근($0 \lt a \lt 4$)을 가지면 $|f(x)|$의 극값은 각각 $3$개 또는 $5$개가 되어 조건에 모순이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = 0$이 오직 한 실근만 가져야 하므로 극댓값과 극솟값의 부호가 같아야 하며, $a(a - 4) \gt 0$에서 $a \lt 0$ 또는 $a \gt 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f'(x) = 3x(x-2)$로부터 극댓값 $f(0) = a$, 극솟값 $f(2) = a - 4$ 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a = 0, \; a = 4$일 때 $|f(x)|$의 극값이 $3$개임을 확인하여 경계값 배제 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 단일 실근 조건 $a(a - 4) \gt 0$으로부터 $a \lt 0$ 또는 $a \gt 4$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그의 정의와 지수법칙에 의하여 $N = 2^{3+\alpha} = 2^3 \cdot 2^{\alpha}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2^{\alpha} = \dfrac{5}{4}$를 대입하면 $N = 8 \times \dfrac{5}{4} = 10$이고, $4N = 40$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 밑변환 성질로 정리하면 $N = 10$이고, $\log_5(4N) = \log_5 40 = \log_5(5 \times 8) = 1 + 3\log_5 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $N = 2^3 \cdot 2^{\alpha}$ 관계식을 정확히 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $N = 10$을 산출하고 $4N = 40 = 5 \times 2^3$으로 소인수분해함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $N = 10$ 및 $\log_5(4N) = 1 + 3\log_5 2$를 최종 명시함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 내접원의 중심을 $C$라 하면 $\overline{OC}$는 $\angle AOB$를 이등분하므로 중심에서 반지름에 내린 수선과 이루는 각은 $\dfrac{\pi}{6}$이고 $\overline{OC} = 9 - r$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 직각삼각형에서 $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{r}{\overline{OC}} = \dfrac{r}{9 - r} = \dfrac{1}{2}$이므로 $2r = 9 - r \implies 3r = 9 \implies r = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 내접원의 반지름의 길이는 $r = 3$이고, 원의 넓이는 $\pi r^2 = 9\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 중심 거리 $\overline{OC} = 9 - r$ 및 이등분각 $\frac{\pi}{6}$ 관계 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\frac{r}{9-r} = \frac{1}{2}$로부터 $r = 3$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 내접원의 반지름 $r = 3$과 넓이 $9\pi$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 코사인법칙에 의하여 $\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cos\dfrac{\pi}{3}$가 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\overline{BC}^2 = 25 + 64 - 2\cdot 5\cdot 8\cdot \dfrac{1}{2} = 49$이므로 $\overline{BC} = 7$이고, 사인법칙에서 $2R = \dfrac{7}{\sin\frac{\pi}{3}} = \dfrac{14}{\sqrt{3}}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 외접원의 반지름은 $R = \dfrac{7}{\sqrt{3}}$이므로 구하는 외접원의 넓이는 $\pi R^2 = \dfrac{49}{3}\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙을 선언하여 $\overline{BC}^2 = 49$ 관계식 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\overline{BC} = 7$ 및 사인법칙 $2R = \frac{14}{\sqrt{3}}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 외접원의 넓이 $\frac{49}{3}\pi$ 최종 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등차수열의 일반항은 $a_n = 2 + 3(n-1) = 3n - 1$이며, 인접한 두 항의 차는 $a_{k+1} - a_k = 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부분분수 항등식 $\dfrac{1}{a_k a_{k+1}} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a_k} - \dfrac{1}{a_{k+1}}\right)$을 대입하여 망원합으로 전개한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $S = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_{16}}\right) = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{47}\right) = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{45}{94} = \dfrac{15}{94}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 일반항 $a_n = 3n - 1$ 및 공차 $a_{k+1}-a_k = 3$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부분분수 변형식 $\frac{1}{3}(\frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2})$ 전개 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 소거 계산을 통해 기약분수 $\frac{15}{94}$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a_4 = 4$로부터 역추적 조건 $a_n = 2a_{n+1}$ (짝수 조건 항상 성립) 또는 $a_n = a_{n+1} - 5$ ($a_n$이 양의 홀수일 때만 유효)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_4 = 4 \implies a_3 = 8$ ($4-5=-1$은 자연수가 아니므로 제외); $a_3 = 8 \implies a_2 \in \{16, 3\}$ ($3$은 홀수이므로 유효).
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a_2 = 16 \implies a_1 \in \{32, 11\}$, $a_2 = 3 \implies a_1 = 6$ ($3-5=-2$ 제외)이므로 모든 자연수 $a_1$의 합은 $32 + 11 + 6 = 49$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 짝수·홀수 분기 역추적 조건을 명확히 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $a_3 = 8$ 및 $a_2 \in \{16, 3\}$을 누락 없이 구함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a_1 \in \{32, 11, 6\}$을 검증하여 합 $49$를 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to 3$일 때 분모가 $0$으로 수렴하고 극한값이 유한하므로 분자도 $0$으로 수렴하여 $\sqrt{6 + a} - b = 0 \implies b = \sqrt{6 + a} \ge 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 분자를 유리화하면 $\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{(2x + a) - (6 + a)}{(x - 3)(\sqrt{2x + a} + \sqrt{6 + a})} = \lim_{x \to 3} \dfrac{2}{\sqrt{2x + a} + \sqrt{6 + a}} = \dfrac{1}{\sqrt{6 + a}}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\dfrac{1}{\sqrt{6 + a}} = \dfrac{1}{4}$에서 $\sqrt{6 + a} = 4 \implies a = 10$, $b = 4$이므로 $a + b = 14$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $\frac{0}{0}$ 꼴 수렴 조건으로부터 $b = \sqrt{6+a}$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 유리화 및 $(x-3)$ 약분으로 극한값 $\frac{1}{\sqrt{6+a}}$ 계산 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a = 10, \; b = 4$를 구하여 $a + b = 14$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 다항함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[0, 3]$에서 연속이고 열린구간 $(0, 3)$에서 미분가능하므로 $\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = f'(c)$인 $c \in (0, 3)$가 존재한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(0) = 0$, $f(3) = 27 - 27 + 6 = 6$이므로 평균변화율은 $\dfrac{6 - 0}{3} = 2$이고, $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $3c^2 - 6c + 2 = 2 \implies 3c(c - 2) = 0$에서 $0 \lt c \lt 3$이므로 $c = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 닫힌구간 연속·열린구간 미분가능 조건과 평균값 정리 등식 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 평균변화율 $2$ 및 도함수 $f'(c) = 3c^2 - 6c + 2$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 열린구간 조건 $0 \lt c \lt 3$을 적용하여 $c = 2$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 - 3x + 2$라 하면 $f'(x) = 3x^2 - 3$이므로 점 $P(2, 4)$에서의 접선의 기울기는 $f'(2) = 9$이고 접선의 방정식은 $y = 9(x - 2) + 4 = 9x - 14$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 연립방정식 $x^3 - 3x + 2 = 9x - 14 \implies x^3 - 12x + 16 = 0$은 $x = 2$를 중근으로 가지므로 $(x - 2)^2(x + 4) = 0$으로 인수분해된다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 다른 교점의 좌표는 $Q(-4, -50)$이므로 $a = -4, \; b = -50$에서 $a + b = -54$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f'(2) = 9$를 이용하여 접선의 방정식 $y = 9x - 14$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $(x - 2)^2(x + 4) = 0$ 인수분해로 $a = -4$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $b = -50$을 대입하여 $a + b = -54$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 정적분과 미분의 관계에 의하여 $F'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $F'(x) = 0$에서 $x = 1$일 때 극대이고 $x = 3$일 때 극소이므로 $M = F(1) = 0$, $m = F(3) = \displaystyle\int_1^3 (t^2 - 4t + 3)\,dt$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $m = \left[\dfrac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 3t\right]_1^3 = (9 - 18 + 9) - \left(\dfrac{1}{3} - 2 + 3\right) = -\dfrac{4}{3}$이므로 $M - m = \dfrac{4}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $F'(x) = (x - 1)(x - 3)$ 도출 및 극값 위치 $x = 1, 3$ 판정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $M = F(1) = 0$ 및 정적분 계산식 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $m = -\frac{4}{3}$으로부터 $M - m = \frac{4}{3}$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 적분 구간 $[-2, 2]$가 원점 대칭이므로 홀수차항 $3x^5 - 4x^3 - 7x$의 정적분 값은 $0$이고, 짝수차항 $3x^2 + 5$는 구간 $[0, 2]$ 정적분의 $2$배이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 주어진 정적분은 $2\displaystyle\int_0^2 (3x^2 + 5)\,dx = 2\left[x^3 + 5x\right]_0^2$와 같다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 위끝 $2$를 대입하면 $2(8 + 10) = 36$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 기함수 항 소거($0$) 및 우함수 $2\int_0^2 (3x^2+5)\,dx$ 성질 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부정적분 $[x^3 + 5x]_0^2$ 정확히 계산 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 정적분 값 $36$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 속도 $v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$에서 점 $P$는 $t = 1$과 $t = 3$에서 운동 방향을 바꾸며, 움직인 거리는 $s = \displaystyle\int_0^4 |v(t)|\,dt$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간별 부호에 따라 $s = \displaystyle\int_0^1 (3t^2 - 12t + 9)\,dt + \int_1^3 (-3t^2 + 12t - 9)\,dt + \int_3^4 (3t^2 - 12t + 9)\,dt$로 나눈다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $F(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$라 하면 $F(0)=0, F(1)=4, F(3)=0, F(4)=4$이므로 $s = 4 + 4 + 4 = 12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $v(t) = 3(t-1)(t-3)$ 인수분해 및 거리 공식 $\int_0^4 |v(t)|\,dt$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 운동 방향이 바뀌는 $t = 1, 3$ 기준으로 절댓값 적분 구간 분할 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 각 구간의 이동 거리 $4 + 4 + 4 = 12$ 산출 | 3점 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R1-Q1 | 대수 | 지수의 확장 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중 |
| R1-Q2 | 대수 | 로그함수의 역함수와 교점 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/중 |
| R1-Q3 | 대수 | 삼각함수의 각 변환 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R1-Q4 | 대수 | 등차수열의 일반항과 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03] | 10점/중 |
| R1-Q5 | 미적분Ⅰ | 무리식이 포함된 함수의 극한 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.13 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R1-Q6 | 미적분Ⅰ | 도함수의 정의와 다항식 미분 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/중 |
| R1-Q7 | 미적분Ⅰ | 곡선 밖의 점에서 그은 접선 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/상 |
| R1-Q8 | 미적분Ⅰ | 다항식의 전개와 정적분의 계산 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중상 |
| R1-Q9 | 대수 | 사인법칙과 외접원의 반지름 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중상 |
| R1-Q10 | 미적분Ⅰ | 사잇값 정리를 이용한 실근 존재 구간 판정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/중상 |
| R2-Q1 | 대수 | 로그의 성질과 연립식 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05] | 10점/중 |
| R2-Q2 | 대수 | 코사인법칙과 최대각 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중상 |
| R2-Q3 | 대수 | 등비수열의 일반항과 조건 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03] | 10점/중상 |
| R2-Q4 | 대수 | 시그마와 이차방정식 근과 계수의 관계 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/중 |
| R2-Q5 | 미적분Ⅰ | 연속함수의 성질 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/중 |
| R2-Q6 | 미적분Ⅰ | 함수의 증가와 감소 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/상 |
| R2-Q7 | 미적분Ⅰ | 부등식에의 활용 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| R2-Q8 | 미적분Ⅰ | 곡선과 x축 사이의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/중상 |
| R2-Q9 | 대수 | 지수부등식의 해와 정수해의 합 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중상 |
| R2-Q10 | 미적분Ⅰ | 곱의 미분법과 접선의 y절편 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.17 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04] | 10점/중상 |
| R3-Q1 | 대수 | 지수방정식의 실근의 곱 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중 |
| R3-Q2 | 대수 | 부채꼴의 호의 길이와 넓이 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-01] | 10점/중 |
| R3-Q3 | 대수 | 사인법칙과 삼각형의 결정 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중상 |
| R3-Q4 | 대수 | 무리식 수열의 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/중상 |
| R3-Q5 | 미적분Ⅰ | 다항함수의 극한 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.13 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R3-Q6 | 미적분Ⅰ | 접선의 방정식과 삼각형의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/중상 |
| R3-Q7 | 미적분Ⅰ | 정적분과 우함수·기함수 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중상 |
| R3-Q8 | 미적분Ⅰ | 속도와 위치의 변화량 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/중 |
| R3-Q9 | 대수 | 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/중상 |
| R3-Q10 | 미적분Ⅰ | 사차함수의 극댓값과 도함수 인수분해 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/상 |
| R4-Q1 | 대수 | 거듭제곱근의 계산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] | 10점/중 |
| R4-Q2 | 대수 | 삼각함수 그래프와 대칭성 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R4-Q3 | 대수 | 등차수열의 부분합과 일반항 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03] | 10점/중상 |
| R4-Q4 | 대수 | 귀납적 정의와 주기성 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07] | 10점/중상 |
| R4-Q5 | 미적분Ⅰ | 함수의 연속과 최대·최소 정리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/중 |
| R4-Q6 | 미적분Ⅰ | 미분가능성과 미정계수 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/상 |
| R4-Q7 | 미적분Ⅰ | 도함수의 그래프와 극값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/상 |
| R4-Q8 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 나타낸 극한 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중상 |
| R4-Q9 | 대수 | 로그함수의 최대·최소와 진수의 이차식 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/중상 |
| R4-Q10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/중상 |
| R5-Q1 | 대수 | 지수와 로그의 혼합 계산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05] | 10점/중 |
| R5-Q2 | 대수 | 지수함수와 로그함수의 평행이동 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/중 |
| R5-Q3 | 대수 | 코사인법칙과 평행사변형 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/중상 |
| R5-Q4 | 대수 | 등비수열의 합과 일반항 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/중상 |
| R5-Q5 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한과 다항함수 추론 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중상 |
| R5-Q6 | 미적분Ⅰ | 두 곡선의 공통접선 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/상 |
| R5-Q7 | 미적분Ⅰ | 속도와 가속도 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-10] | 10점/중상 |
| R5-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차함수와 접선으로 둘러싸인 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R5-Q9 | 대수 | 삼각방정식의 치환과 모든 실근의 합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R5-Q10 | 미적분Ⅰ | 삼차부등식이 반직선에서 항상 성립할 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R6-Q1 | 대수 | 평행이동 등비수열 구조 추론 (기출 킬러 심화) | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03] | 10점/상 |
| R6-Q2 | 대수 | 지수함수와 직선의 두 교점 거리 추론 (기출 킬러 심화) | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/최상 |
| R6-Q3 | 대수 | 탄젠트 이차방정식과 사인값의 곱·합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R6-Q4 | 대수 | 외접원에 내접하는 삼각형의 코사인·사인법칙 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R6-Q5 | 대수 | 등차수열의 부분합 최솟값과 절댓값 수열의 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/상 |
| R6-Q6 | 미적분Ⅰ | 무한대·영분의영 극한 결합 다항함수 결정 (기출 2번 심화) | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/상 |
| R6-Q7 | 미적분Ⅰ | 구간별 정의 함수의 불연속과 실근 범위 (기출 4번 심화) | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/최상 |
| R6-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차함수와 일차함수의 대칭 교점 및 넓이 (기출 6번 심화) | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/최상 |
| R6-Q9 | 미적분Ⅰ | 절댓값 삼차함수 |f(x)|가 5개의 극값을 가질 조건 (기출 7번 심화) | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/최상 |
| R6-Q10 | 미적분Ⅰ | 정적분 상수 치환을 포함한 다항함수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중상 |
| R7-Q1 | 대수 | 거듭제곱근 중 실수인 것의 개수 합산 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02] | 10점/상 |
| R7-Q2 | 대수 | 역함수 대칭 지수·로그곡선과 기울기 -1 직선 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07] | 10점/상 |
| R7-Q3 | 대수 | 삼각함수의 주기와 대칭성을 이용한 실근의 합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R7-Q4 | 대수 | 반원에 결합된 평행사변형의 대각선과 넓이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R7-Q5 | 대수 | 상수항이 있는 이차식 부분합과 일반항 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05] | 10점/상 |
| R7-Q6 | 미적분Ⅰ | 구간별 함수의 미분가능성과 계수 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-04] | 10점/중상 |
| R7-Q7 | 미적분Ⅰ | 원점에서 삼차곡선에 그은 접선의 유일성 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05] | 10점/상 |
| R7-Q8 | 미적분Ⅰ | 직원뿔에 내접하는 직원기둥의 최대 부피 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/최상 |
| R7-Q9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 항등식과 자연수 아래끝 결정 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/상 |
| R7-Q10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 접선 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R8-Q1 | 대수 | 유리수 지수 대칭식의 제곱·세제곱 전개 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.15 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중상 |
| R8-Q2 | 대수 | 밑이 서로 다른 로그 연립방정식 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-04] | 10점/중상 |
| R8-Q3 | 대수 | 삼각함수의 제곱 관계와 세제곱 차의 계산 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02] | 10점/중상 |
| R8-Q4 | 대수 | 외접원에 내접하는 삼각형의 세 변의 비와 넓이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R8-Q5 | 대수 | 계차 누적 귀납적 정의와 일반항 합산 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07] | 10점/상 |
| 회차·문항 | 출제 과목 | 핵심 출제 테마 | 교과서 DB 원천 출처 (CITE_06) | 배점/난이도 |
|---|---|---|---|---|
| R8-Q6 | 미적분Ⅰ | 절댓값 유리식의 좌극한과 우극한의 차 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.13 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02] | 10점/중 |
| R8-Q7 | 미적분Ⅰ | 미분계수의 정의를 이용한 극한식의 변형 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02] | 10점/중상 |
| R8-Q8 | 미적분Ⅰ | 삼차함수가 역함수를 갖기 위한 정수 계수 개수 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/상 |
| R8-Q9 | 미적분Ⅰ | 절댓값 일차함수의 정적분이 최소가 되는 상수 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중상 |
| R8-Q10 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 x축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같을 조건 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R9-Q1 | 대수 | 지수 등식으로 연결된 세 양수의 역수 합 관계 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03] | 10점/중상 |
| R9-Q2 | 대수 | 산술·기하평균 치환을 이용한 지수함수의 최솟값 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 예제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08] | 10점/상 |
| R9-Q3 | 대수 | 절댓값 사인함수와 상수직선의 교점 개수 및 합 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R9-Q4 | 대수 | 삼각형에서 코사인법칙을 이용한 중선의 길이 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/상 |
| R9-Q5 | 대수 | 양수 등비수열의 구간별 부분합 블록 성질 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03] | 10점/중상 |
| R9-Q6 | 미적분Ⅰ | 평행이동한 불연속 함수와의 곱의 연속성 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04] | 10점/최상 |
| R9-Q7 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 상수 범위 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 예제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09] | 10점/중상 |
| R9-Q8 | 미적분Ⅰ | 닫힌구간에서 사차함수의 최댓값과 최솟값 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08] | 10점/중상 |
| R9-Q9 | 미적분Ⅰ | 원래 함수와 역함수의 정적분의 합 (직사각형 넓이 결합) | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/상 |
| R9-Q10 | 미적분Ⅰ | 동시 출발한 두 동점이 다시 만나는 시각과 위치 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/중상 |
| R10-Q1 | 대수 | 상용로그의 소수 부분이 같을 조건과 실근의 곱 | [출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.24 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-05] | 10점/상 |
| R10-Q2 | 대수 | 평행이동한 지수·로그함수와 세로 직선이 만드는 삼각형 넓이 | [출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 예제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-08] | 10점/중상 |
| R10-Q3 | 대수 | 모든 실수에서 항상 성립하는 삼각부등식 | [출처: 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 예제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-02] | 10점/상 |
| R10-Q4 | 대수 | 원에 내접하는 사각형의 대각선 길이와 코사인법칙 | [출처: 대수 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 예제 2 변형 | 성취기준: 12대수02-03] | 10점/최상 |
| R10-Q5 | 대수 | 분수 꼴 귀납적 정의와 주기 수열의 합 | [출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07] | 10점/중상 |
| R10-Q6 | 미적분Ⅰ | 다항식의 제곱 인수 나눗셈 나머지와 미분법 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.17 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04] | 10점/상 |
| R10-Q7 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 극대 접선 재교점과 극솟값 추론 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] | 10점/최상 |
| R10-Q8 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 대칭·비대칭 구간의 극한 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04] | 10점/중상 |
| R10-Q9 | 미적분Ⅰ | 포물선과 x축 넓이를 이등분하는 원점 직선 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.30 예제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05] | 10점/최상 |
| R10-Q10 | 미적분Ⅰ | 열차 제동 후 정지할 때까지의 이동 거리 | [출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06] | 10점/중 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 문항 1 | 대수 | 지수의 확장 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 2 | 대수 | 로그함수의 역함수와 교점 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 3 | 대수 | 삼각함수의 각 변환 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 4 | 대수 | 등차수열의 일반항과 합 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ | 무리식이 포함된 함수의 극한 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 도함수의 정의와 다항식 미분 | 10점 | 중 |
| 제1회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 곡선 밖의 점에서 그은 접선 | 10점 | 상 |
| 제1회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 다항식의 전개와 정적분의 계산 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 9 | 대수 | 사인법칙과 외접원의 반지름 | 10점 | 중상 |
| 제1회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 사잇값 정리를 이용한 실근 존재 구간 판정 | 10점 | 중상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제2회 | 문항 1 | 대수 | 로그의 성질과 연립식 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 2 | 대수 | 코사인법칙과 최대각 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 3 | 대수 | 등비수열의 일반항과 조건 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 4 | 대수 | 시그마와 이차방정식 근과 계수의 관계 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ | 연속함수의 성질 | 10점 | 중 |
| 제2회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 함수의 증가와 감소 | 10점 | 상 |
| 제2회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 부등식에의 활용 | 10점 | 상 |
| 제2회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 곡선과 x축 사이의 넓이 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 9 | 대수 | 지수부등식의 해와 정수해의 합 | 10점 | 중상 |
| 제2회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 곱의 미분법과 접선의 y절편 | 10점 | 중상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제3회 | 문항 1 | 대수 | 지수방정식의 실근의 곱 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 2 | 대수 | 부채꼴의 호의 길이와 넓이 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 3 | 대수 | 사인법칙과 삼각형의 결정 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 4 | 대수 | 무리식 수열의 합 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ | 다항함수의 극한 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 접선의 방정식과 삼각형의 넓이 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 정적분과 우함수·기함수 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 속도와 위치의 변화량 | 10점 | 중 |
| 제3회 | 문항 9 | 대수 | 로그부등식의 진수 조건과 정수해의 합 | 10점 | 중상 |
| 제3회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 사차함수의 극댓값과 도함수 인수분해 | 10점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제4회 | 문항 1 | 대수 | 거듭제곱근의 계산 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 2 | 대수 | 삼각함수 그래프와 대칭성 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 3 | 대수 | 등차수열의 부분합과 일반항 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 4 | 대수 | 귀납적 정의와 주기성 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ | 함수의 연속과 최대·최소 정리 | 10점 | 중 |
| 제4회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 미분가능성과 미정계수 | 10점 | 상 |
| 제4회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 도함수의 그래프와 극값 | 10점 | 상 |
| 제4회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 나타낸 극한 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 9 | 대수 | 로그함수의 최대·최소와 진수의 이차식 | 10점 | 중상 |
| 제4회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 | 10점 | 중상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제5회 | 문항 1 | 대수 | 지수와 로그의 혼합 계산 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 2 | 대수 | 지수함수와 로그함수의 평행이동 | 10점 | 중 |
| 제5회 | 문항 3 | 대수 | 코사인법칙과 평행사변형 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 4 | 대수 | 등비수열의 합과 일반항 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 5 | 미적분Ⅰ | 함수의 극한과 다항함수 추론 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 두 곡선의 공통접선 | 10점 | 상 |
| 제5회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 속도와 가속도 | 10점 | 중상 |
| 제5회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차함수와 접선으로 둘러싸인 넓이 | 10점 | 상 |
| 제5회 | 문항 9 | 대수 | 삼각방정식의 치환과 모든 실근의 합 | 10점 | 상 |
| 제5회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 삼차부등식이 반직선에서 항상 성립할 조건 | 10점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제6회 | 문항 1 | 대수 | 평행이동 등비수열 구조 추론 (기출 킬러 심화) | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 2 | 대수 | 지수함수와 직선의 두 교점 거리 추론 (기출 킬러 심화) | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 3 | 대수 | 탄젠트 이차방정식과 사인값의 곱·합 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 4 | 대수 | 외접원에 내접하는 삼각형의 코사인·사인법칙 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 5 | 대수 | 등차수열의 부분합 최솟값과 절댓값 수열의 합 | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 무한대·영분의영 극한 결합 다항함수 결정 (기출 2번 심화) | 10점 | 상 |
| 제6회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 구간별 정의 함수의 불연속과 실근 범위 (기출 4번 심화) | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차함수와 일차함수의 대칭 교점 및 넓이 (기출 6번 심화) | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 절댓값 삼차함수 |f(x)|가 5개의 극값을 가질 조건 (기출 7번 심화) | 10점 | 최상 |
| 제6회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 정적분 상수 치환을 포함한 다항함수 결정 | 10점 | 중상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제7회 | 문항 1 | 대수 | 거듭제곱근 중 실수인 것의 개수 합산 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 2 | 대수 | 역함수 대칭 지수·로그곡선과 기울기 -1 직선 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 3 | 대수 | 삼각함수의 주기와 대칭성을 이용한 실근의 합 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 4 | 대수 | 반원에 결합된 평행사변형의 대각선과 넓이 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 5 | 대수 | 상수항이 있는 이차식 부분합과 일반항 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 구간별 함수의 미분가능성과 계수 결정 | 10점 | 중상 |
| 제7회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 원점에서 삼차곡선에 그은 접선의 유일성 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 직원뿔에 내접하는 직원기둥의 최대 부피 | 10점 | 최상 |
| 제7회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 항등식과 자연수 아래끝 결정 | 10점 | 상 |
| 제7회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 포물선과 접선 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이 | 10점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제8회 | 문항 1 | 대수 | 유리수 지수 대칭식의 제곱·세제곱 전개 | 10점 | 중상 |
| 제8회 | 문항 2 | 대수 | 밑이 서로 다른 로그 연립방정식 | 10점 | 중상 |
| 제8회 | 문항 3 | 대수 | 삼각함수의 제곱 관계와 세제곱 차의 계산 | 10점 | 중상 |
| 제8회 | 문항 4 | 대수 | 외접원에 내접하는 삼각형의 세 변의 비와 넓이 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 5 | 대수 | 계차 누적 귀납적 정의와 일반항 합산 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 절댓값 유리식의 좌극한과 우극한의 차 | 10점 | 중 |
| 제8회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 미분계수의 정의를 이용한 극한식의 변형 | 10점 | 중상 |
| 제8회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 삼차함수가 역함수를 갖기 위한 정수 계수 개수 | 10점 | 상 |
| 제8회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 절댓값 일차함수의 정적분이 최소가 되는 상수 | 10점 | 중상 |
| 제8회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 삼차곡선과 x축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같을 조건 | 10점 | 상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제9회 | 문항 1 | 대수 | 지수 등식으로 연결된 세 양수의 역수 합 관계 | 10점 | 중상 |
| 제9회 | 문항 2 | 대수 | 산술·기하평균 치환을 이용한 지수함수의 최솟값 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 3 | 대수 | 절댓값 사인함수와 상수직선의 교점 개수 및 합 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 4 | 대수 | 삼각형에서 코사인법칙을 이용한 중선의 길이 | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 5 | 대수 | 양수 등비수열의 구간별 부분합 블록 성질 | 10점 | 중상 |
| 제9회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 평행이동한 불연속 함수와의 곱의 연속성 | 10점 | 최상 |
| 제9회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 상수 범위 | 10점 | 중상 |
| 제9회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 닫힌구간에서 사차함수의 최댓값과 최솟값 | 10점 | 중상 |
| 제9회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 원래 함수와 역함수의 정적분의 합 (직사각형 넓이 결합) | 10점 | 상 |
| 제9회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 동시 출발한 두 동점이 다시 만나는 시각과 위치 | 10점 | 중상 |
| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제10회 | 문항 1 | 대수 | 상용로그의 소수 부분이 같을 조건과 실근의 곱 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 2 | 대수 | 평행이동한 지수·로그함수와 세로 직선이 만드는 삼각형 넓이 | 10점 | 중상 |
| 제10회 | 문항 3 | 대수 | 모든 실수에서 항상 성립하는 삼각부등식 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 4 | 대수 | 원에 내접하는 사각형의 대각선 길이와 코사인법칙 | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 5 | 대수 | 분수 꼴 귀납적 정의와 주기 수열의 합 | 10점 | 중상 |
| 제10회 | 문항 6 | 미적분Ⅰ | 다항식의 제곱 인수 나눗셈 나머지와 미분법 | 10점 | 상 |
| 제10회 | 문항 7 | 미적분Ⅰ | 삼차함수의 극대 접선 재교점과 극솟값 추론 | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 8 | 미적분Ⅰ | 정적분으로 정의된 대칭·비대칭 구간의 극한 | 10점 | 중상 |
| 제10회 | 문항 9 | 미적분Ⅰ | 포물선과 x축 넓이를 이등분하는 원점 직선 | 10점 | 최상 |
| 제10회 | 문항 10 | 미적분Ⅰ | 열차 제동 후 정지할 때까지의 이동 거리 | 10점 | 중 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $25^n = (5^2)^n = 5^{2n} = 3^3$이므로 $5^{2n/3} = 3$이고, $5^m = 2^2$에서 $5^{m/2} = 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 지수법칙에 의하여 $5^{3m/2 - 2n/3} = \dfrac{\left(5^{m/2}\right)^3}{5^{2n/3}}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 값은 $\dfrac{2^3}{3} = \dfrac{8}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 지수의 확장의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $\dfrac{8}{3}$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x = 10$을 주어진 함수에 대입하면 $a = \log_3(10 - 1) + 2 = \log_3 9 + 2 = 4$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 역함수의 성질에 의하여 $f^{-1}(3) = b \iff f(b) = 3$이므로 $\log_3(b - 1) + 2 = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\log_3(b - 1) = 1$에서 $b - 1 = 3 \implies b = 4$이므로 $a + b = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 로그함수의 역함수와 교점의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $8$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각함수의 각 변환 공식에 의하여 $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos\theta$, $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 또한 $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$, $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 주어진 식에 대입하면 $A = (\cos\theta)(-\cos\theta) - (-\sin\theta)(-\sin\theta) = -(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = -1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 삼각함수의 각 변환의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $-1$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a_9 - a_4 = 5d = 26 - 11 = 15$에서 공차는 $d = 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 첫째항은 $a_1 = a_4 - 3d = 11 - 9 = 2$이고, 제$10$항은 $a_{10} = 2 + 9 \cdot 3 = 29$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $S_{10} = \dfrac{10(a_1 + a_{10})}{2} = 5(2 + 29) = 155$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 등차수열의 일반항과 합의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $155$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 분모가 $1$인 분수로 보고 켤레식 $\sqrt{x^2 + 6x + 2} + x$를 분모와 분자에 곱하여 유리화한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^2 + 6x + 2) - x^2}{\sqrt{x^2 + 6x + 2} + x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{6 + 2/x}{\sqrt{1 + 6/x + 2/x^2} + 1}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x \to \infty$일 때 극한값은 $\dfrac{6}{1 + 1} = 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 무리식이 포함된 함수의 극한의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $3$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 미분계수의 정의에 의하여 주어진 극한은 $\left\{2 - (-3)\right\}f'(-1) = 5f'(-1)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 도함수 $f'(x) = 4x^3 - 6x + 5$에 $x = -1$을 대입하면 $f'(-1) = -4 + 6 + 5 = 7$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 값은 $5 \cdot 7 = 35$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 도함수의 정의와 다항식 미분의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $35$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 접점을 $(t, t^2 - 2t + 1)$이라 하면 $y' = 2x - 2$이므로 접선의 방정식은 $y - (t^2 - 2t + 1) = (2t - 2)(x - t)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 점 $(1, -2)$를 대입하면 $-2 - (t - 1)^2 = 2(t - 1)(1 - t) \iff (t - 1)^2 = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 접점에서의 접선의 기울기는 $m = 2(t - 1)$이므로 $t - 1 = \pm\sqrt{2}$를 대입하면 두 기울기는 $2\sqrt{2}, \; -2\sqrt{2}$이고 그 곱은 $-8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $-8$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 피적분함수를 전개하면 $(2x + 1)(x^2 + x - 1) = 2x^3 + 3x^2 - x - 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부정적분을 구하면 $\left[\dfrac{1}{2}x^4 + x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 - x\right]_0^2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x = 2$를 대입하면 $8 + 8 - 2 - 2 = 12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 다항식의 전개와 정적분의 계산의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $12$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 사인법칙에 의하여 $\dfrac{\overline{BC}}{\sin A} = \dfrac{\overline{AC}}{\sin B} = 2R$가 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$이므로 $2R = \dfrac{6}{1/2} = 12 \implies R = 6$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 또한 $\overline{AC} = 2R\sin\dfrac{\pi}{4} = 12 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 사인법칙 관계식 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 외접원의 반지름 $R = 6$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\overline{AC} = 6\sqrt{2}$ 최종 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 + 2x - 5$라 하면 다항함수 $f(x)$는 실수 전체에서 연속이고 $f'(x) = 3x^2 + 2 \gt 0$이므로 증가함수이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 자연수를 대입하면 $f(1) = 1 + 2 - 5 = -2 \lt 0$이고 $f(2) = 8 + 4 - 5 = 7 \gt 0$이므로 $f(1)f(2) \lt 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 사잇값 정리에 의하여 $f(\alpha) = 0$인 실근 $\alpha$가 열린구간 $(1, 2)$에 존재하므로 자연수 $n = 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f(x) = x^3 + 2x - 5$ 설정 및 닫힌구간 $[1, 2]$에서의 연속성 명시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f(1) = -2 \lt 0$, $f(2) = 7 \gt 0$으로부터 $f(1)f(2) \lt 0$ 확인 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 사잇값 정리에 의해 $\alpha \in (1, 2)$이므로 $n = 1$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 식을 변끼리 더하면 $2\log_3 x = 6 \implies \log_3 x = 3$이므로 $x = 3^3 = 27$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 첫째 식에 대입하면 $\log_3 y = 4 - 3 = 1$이므로 $y = 3^1 = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $x + y = 27 + 3 = 30$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 로그의 성질과 연립식의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $30$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 양수 $k$에 대하여 $a = 3k, \; b = 5k, \; c = 7k$라 하면 가장 긴 변 $c$의 대각 $C = \theta$가 가장 큰 내각이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 코사인법칙에 의하여 $\cos\theta = \dfrac{(3k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{2(3k)(5k)} = \dfrac{9 + 25 - 49}{30} = -\dfrac{15}{30} = -\dfrac{1}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \lt \theta \lt \pi$이므로 $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 코사인법칙과 최대각의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $\dfrac{2\pi}{3}$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a_3 + a_4 = r^2(a_1 + a_2)$이므로 $12r^2 = 108 \implies r^2 = 9$이고 $r \gt 0$에서 공비는 $r = 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_1(1 + r) = 4a_1 = 12$이므로 첫째항은 $a_1 = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 제$5$항은 $a_5 = a_1 r^4 = 3 \cdot 81 = 243$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 등비수열의 일반항과 조건의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $a_1 = 3, \; a_5 = 243$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 이차식의 인수분해 성질에 의하여 $(x - \alpha)(x - \beta) = x^2 - 4x + 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 주어진 합은 $\sum_{k=1}^{5} (k^2 - 4k + 2) = \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} - 4 \cdot \dfrac{5 \cdot 6}{2} + 2 \cdot 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $55 - 60 + 10 = 5$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 시그마와 이차방정식 근과 계수의 관계의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $5$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to 2$일 때 분모가 $0$으로 가므로 분자도 $0$이 되어야 하여 $4 + 2a - 10 = 0 \implies a = 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a = 3$일 때 $\lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x + 5)}{x - 2} = 7 = b$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $ab = 3 \cdot 7 = 21$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 연속함수의 성질의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $21$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 최고차항의 계수가 음수인 삼차함수가 실수 전체에서 감소하려면 모든 실수 $x$에서 $f'(x) = -3x^2 + 2ax - 3a \le 0$이어야 한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이차방정식 $3x^2 - 2ax + 3a = 0$의 판별식 $D/4 = a^2 - 9a = a(a - 9) \le 0$이어야 한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \le a \le 9$이므로 정수 $a$의 개수는 $10$개이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 함수의 증가와 감소의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $10$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + k$라 하면 $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x + 1)(x - 2) = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x \ge 0$에서 $f(x)$는 $x = 2$일 때 극소이자 최솟값 $f(2) = 16 - 12 - 24 + k = k - 20$을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $k - 20 \ge 0$이어야 하므로 $k$의 최솟값은 $20$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 부등식에의 활용의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $20$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $-x^2 + 5x - 4 = -(x - 1)(x - 4) = 0$이므로 $[1, 4]$에서는 곡선이 $x$축 위에, $[4, 5]$에서는 $x$축 아래에 있다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\int_1^4 (-x^2 + 5x - 4)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - 1)^3 = \dfrac{9}{2}$이고, $\int_4^5 (x^2 - 5x + 4)\,dx = \left[\dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{5}{2}x^2 + 4x\right]_4^5 = \dfrac{11}{6}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 두 부분의 넓이의 합은 $S = \dfrac{9}{2} + \dfrac{11}{6} = \dfrac{19}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 곡선과 x축 사이의 넓이의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $\dfrac{19}{3}$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $t = 2^x$ ($t \gt 0$)로 치환하면 주어진 부등식은 $t^2 - 10t + 16 \le 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 인수분해하면 $(t - 2)(t - 8) \le 0$이므로 $2 \le t \le 8$, 즉 $2^1 \le 2^x \le 2^3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 밑 $2 \gt 1$이므로 $1 \le x \le 3$이며, 이를 만족시키는 정수 $x = 1, 2, 3$의 합은 $6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $t = 2^x \gt 0$ 치환 및 이차부등식 $(t-2)(t-8) \le 0$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 밑 $2 \gt 1$의 증가 성질을 적용하여 $1 \le x \le 3$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정수해의 합 $1 + 2 + 3 = 6$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $g(x) = (x^2 + 1)f(x)$라 하면 곱의 미분법에 의하여 $g'(x) = 2x f(x) + (x^2 + 1)f'(x)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x = 1$을 대입하면 접선의 기울기는 $g'(1) = 2(1)f(1) + 2f'(1) = 4 + 6 = 10$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 접선의 방정식은 $y = 10(x - 1) + 4 = 10x - 6$이므로 구하는 $y$절편은 $-6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 곱의 미분법으로 $g'(x) = 2xf(x) + (x^2+1)f'(x)$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 기울기 $g'(1) = 10$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 접선 $y = 10x - 6$으로부터 $y$절편 $-6$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $t = 3^x$ ($t \gt 0$)로 치환하면 주어진 방정식은 $t^2 - 18t + 81 = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 완전제곱식으로 인수분해하면 $(t - 9)^2 = 0$이므로 $t = 9$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $3^x = 9 = 3^2$이므로 실근은 $x = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 지수방정식의 실근의 곱의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $x = 2$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 부채꼴의 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$에 $\theta = \dfrac{2\pi}{3}, \; S = 12\pi$를 대입한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\dfrac{1}{2}r^2 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}r^2 = 12\pi$에서 $r^2 = 36$이고 $r \gt 0$이므로 $r = 6$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 호의 길이는 $l = r\theta = 6 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = 4\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 부채꼴의 호의 길이와 넓이의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $r = 6, \; l = 4\pi$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 사인법칙 $\dfrac{\overline{BC}}{\sin A} = \dfrac{\overline{AC}}{\sin B} = 2R$를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2R = \dfrac{6}{\sin(\pi/4)} = \dfrac{6}{\sqrt{2}/2} = 6\sqrt{2}$이므로 $R = 3\sqrt{2}$이고, $\overline{AC} = 2R\sin\dfrac{\pi}{3} = 6\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{6}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 외접원의 넓이는 $\pi R^2 = \pi (3\sqrt{2})^2 = 18\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 사인법칙과 삼각형의 결정의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $\overline{AC} = 3\sqrt{6}, \; 18\pi$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 분모를 유리화하면 $\dfrac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $k = 1$부터 $24$까지 대입하여 더하면 $(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{25} - \sqrt{24})$로 연쇄 소거된다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 남는 항은 $\sqrt{25} - 1 = 5 - 1 = 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 무리식 수열의 합의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $4$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 분자와 분모를 각각 인수분해하면 $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$, $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x \ne 2$에서 공통인수 $(x - 2)$를 약분하면 $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x = 2$를 대입하면 $\dfrac{4 + 4 + 4}{4} = 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 다항함수의 극한의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $3$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $y' = 2x - 4$에서 $x = 3$일 때 접선의 기울기는 $2$이므로 접선의 방정식은 $y - 4 = 2(x - 3)$, 즉 $y = 2x - 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이 직선의 $x$절편은 $(1, 0)$이고 $y$절편은 $(0, -2)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 좌표축과 이루는 삼각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 접선의 방정식과 삼각형의 넓이의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $1$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x)$가 우함수이므로 $(2x^3 - 3x)f(x)$는 기함수이고, $4f(x)$는 우함수이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 대칭구간 $[-3, 3]$에서 기함수의 정적분은 $0$이므로 주어진 식은 $4\int_{-3}^3 f(x)\,dx = 8\int_0^3 f(x)\,dx$와 같다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\int_0^3 f(x)\,dx = 5$를 대입하면 $8 \cdot 5 = 40$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 정적분과 우함수·기함수의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $40$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $v(t) = 3t(2 - t) = 0$에서 출발 후 운동 방향이 바뀌는 시각은 $t = 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 시각 $t = 2$에서의 위치는 $x(2) = x(0) + \int_0^2 (6t - 3t^2)\,dt$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x(2) = 2 + \left[3t^2 - t^3\right]_0^2 = 2 + (12 - 8) = 6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 속도와 위치의 변화량의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $6$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 진수 조건에서 $x - 1 \gt 0$이고 $x - 3 \gt 0$이므로 $x \gt 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 로그의 성질로 합치면 $\log_2\{(x - 1)(x - 3)\} \le \log_2 8$이고 밑 $2 \gt 1$이므로 $(x - 1)(x - 3) \le 8 \implies x^2 - 4x - 5 \le 0 \implies -1 \le x \le 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 진수 조건 $x \gt 3$과 공통범위를 구하면 $3 \lt x \le 5$이므로 정수 $x$는 $4, 5$이고 그 합은 $9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 진수 조건 $x \gt 3$을 최우선으로 선언함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $(x-1)(x-3) \le 8$을 풀어 $-1 \le x \le 5$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 공통범위 $3 \lt x \le 5$로부터 정수해 합 $4 + 5 = 9$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 도함수를 구하여 인수분해하면 $f'(x) = -4x^3 + 12x^2 - 8x = -4x(x - 1)(x - 2)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x) = 0$의 세 실근 $x = 0, 1, 2$ 주변에서 $f'(x)$의 부호가 $(+) \to (-) \to (+) \to (-)$로 바뀌므로 $x = 0$과 $x = 2$에서 극대이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(0) = 5$이고 $f(2) = -16 + 32 - 16 + 5 = 5$이므로 모든 극댓값의 합은 $5 + 5 = 10$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f'(x) = -4x(x-1)(x-2)$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 부호 변화를 조사하여 극대 위치 $x = 0, 2$ 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(0) + f(2) = 5 + 5 = 10$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 각 항을 소인수분해하여 거듭제곱근의 성질을 적용하면 $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\sqrt[3]{-16} = -\sqrt[3]{8 \cdot 2} = -2\sqrt[3]{2}$이고, $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 값은 $3\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} + 3 = \sqrt[3]{2} + 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 거듭제곱근의 계산의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $\sqrt[3]{2} + 3$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 대입하면 $y = -\cos^2 x - 2\cos x + 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $t = \cos x$ ($-1 \le t \le 1$)로 치환하면 $y = -(t + 1)^2 + 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $t = -1$일 때 최댓값 $M = 3$이고, $t = 1$일 때 최솟값 $m = -1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 삼각함수 그래프와 대칭성의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $M = 3, \; m = -1$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 등차수열의 합으로 이루어진 수열 $\{a_n + b_n\}$도 등차수열이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이 수열의 첫째항은 $5$이고 제$10$항은 $41$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 등차수열의 합 공식에 의하여 $\sum_{k=1}^{10} (a_k + b_k) = \dfrac{10(5 + 41)}{2} = 230$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 등차수열의 부분합과 일반항의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $230$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 초기 항을 차례로 계산하면 $a_1 = 2, \; a_2 = \dfrac{1}{3}, \; a_3 = -\dfrac{1}{2}, \; a_4 = -3, \; a_5 = 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 주기가 $4$인 주기수열이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+4} = a_n$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $2027 = 4 \times 506 + 3$이므로 $a_{2027} = a_3 = -\dfrac{1}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 귀납적 정의와 주기성의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $-\dfrac{1}{2}$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = \dfrac{2(x + 1) + 3}{x + 1} = 2 + \dfrac{3}{x + 1}$이므로 구간 $[1, 4]$에서 연속이고 단조감소한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 최댓값은 $f(1) = 2 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{7}{2}$이고, 최솟값은 $f(4) = 2 + \dfrac{3}{5} = \dfrac{13}{5}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 두 값의 곱은 $\dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{13}{5} = \dfrac{91}{10}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 함수의 연속과 최대·최소 정리의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $\dfrac{91}{10}$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x = 1$에서 극솟값 $-3$을 가지므로 $f(1) = -3$이고 $f'(1) = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(1) = 2 + a + b = -3 \implies a + b = -5$이고, $f'(1) = 3 + 2a + b = 0 \implies 2a + b = -3$이므로 연립하면 $a = 2, \; b = -7$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = x^3 + 2x^2 - 7x + 1$이므로 $f(-1) = -1 + 2 + 7 + 1 = 9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 미분가능성과 미정계수의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $9$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f'(x) = 6x^2 + 2ax + b = 6(x + 1)(x - 2) = 6x^2 - 6x - 12$이므로 $a = -3, \; b = -12$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 최고차항 계수가 양수이므로 $x = -1$에서 극댓값을 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 극댓값은 $f(-1) = -2 - 3 + 12 + 6 = 13$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 도함수의 그래프와 극값의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $13$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $F'(t) = f(t)$인 한 부정적분을 $F(t)$라 하면 정적분의 정의에 의해 $\int_2^x f(t)\,dt = F(x) - F(2)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 주어진 극한은 $\lim_{x \to 2} \dfrac{F(x) - F(2)}{x - 2} = F'(2) = f(2)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(2) = 8 - 8 + 8 + 1 = 9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 정적분으로 나타낸 극한의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $9$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 진수를 $g(x) = x^2 - 4x + 12 = (x - 2)^2 + 8$이라 하면 $0 \le x \le 4$에서 $8 \le g(x) \le 12$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 밑이 $\dfrac{1}{2}$ ($0 \lt \dfrac{1}{2} \lt 1$)인 감소함수이므로 $M = \log_{\frac{1}{2}} 8 = -3$, $m = \log_{\frac{1}{2}} 12$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $M + m = -3 + \log_{\frac{1}{2}} 12 = -\log_2 96 = -5 - \log_2 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 진수 $g(x) = (x-2)^2 + 8$의 범위 $8 \le g(x) \le 12$ 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 감소함수 성질로 $M = -3, \; m = -\log_2 12$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $M + m = -5 - \log_2 3$ 최종 정리 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 그래프의 교점의 $x$좌표는 $x^2 - 3x = x + 5 \implies x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5) = 0$에서 $x = -1, 5$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 $[-1, 5]$에서 직선이 포물선보다 위쪽에 있으므로 $S = \displaystyle\int_{-1}^{5} (-x^2 + 4x + 5)\,dx$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $S = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 5x\right]_{-1}^{5} = \left(-\dfrac{125}{3} + 75\right) - \left(\dfrac{1}{3} - 3\right) = 36$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 교점 방정식 $(x+1)(x-5) = 0$ 풀이로 적분 구간 $[-1, 5]$ 결정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 정적분 넓이 식 $\int_{-1}^5 (-x^2 + 4x + 5)\,dx$ 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분을 계산하여 넓이 $S = 36$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그의 성질 $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$에 의하여 $9^{\log_3 5} = 5^{\log_3 9} = 5^2 = 25$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 마찬가지로 $4^{\log_2 3} = 3^{\log_2 4} = 3^2 = 9$이고, $\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $25 - 9 + 3 = 19$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 지수와 로그의 혼합 계산의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $19$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 로그의 성질을 이용하면 $f(x) = \log_2\{4(x - 2)\} + 1 = \log_2(x - 2) + 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동하면 $y = \log_2(x - 2 - p) + 3 + q$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $y = \log_2 x$와 일치하려면 $-2 - p = 0, \; 3 + q = 0$에서 $p = -2, \; q = -3$이므로 $p + q = -5$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 지수함수와 로그함수의 평행이동의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $-5$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 평행사변형의 넓이는 $S = \overline{AB} \cdot \overline{AD} \sin\dfrac{\pi}{3} = 4 \cdot 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 삼각형 $ABD$에서 코사인법칙을 적용하면 $\overline{BD}^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cos\dfrac{\pi}{3} = 16 + 36 - 24 = 28$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\overline{BD} = 2\sqrt{7}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 코사인법칙과 평행사변형의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $S = 12\sqrt{3}, \; \overline{BD} = 2\sqrt{7}$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a_1 = S_1 = 3^2 - 3 = 6$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1} = (3^{n+1} - 3) - (3^n - 3) = 2 \cdot 3^n$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a_4 = 2 \cdot 3^4 = 162$이므로 $a_1 + a_4 = 6 + 162 = 168$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대수 · 등비수열의 합과 일반항의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $168$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 극한 조건으로부터 $f(0) = 0, \; f(1) = 0$이므로 차수가 가장 낮은 $f(x)$는 삼차함수 $f(x) = x(x - 1)(ax + b)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = -b = 4 \implies b = -4$이고, $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = a + b = 2 \implies a = 6$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = x(x - 1)(6x - 4)$이므로 $f(3) = 3 \cdot 2 \cdot 14 = 84$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 다항함수 추론의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $84$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 점 $(1, 3)$이 곡선 $y = x^3 + ax + b$ 위의 점이므로 $1 + a + b = 3 \implies a + b = 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x = 1$에서 두 곡선의 미분계수가 같아야 하므로 $3(1)^2 + a = 2(1) \implies a = -1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $b = 2 - a = 3$이므로 $a - b = -1 - 3 = -4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 두 곡선의 공통접선의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $-4$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 속도는 $v(t) = x'(t) = 3t^2 - 18t + 24$이고, 가속도는 $a(t) = v'(t) = 6t - 18$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 가속도가 $0$이 되는 시각은 $6t - 18 = 0$에서 $t = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $t = 3$일 때의 속도는 $v(3) = 27 - 54 + 24 = -3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 속도와 가속도의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $-3$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $y' = 3x^2 - 4x$에서 $x = 1$일 때 접선의 기울기는 $-1$이므로 접선의 방정식은 $y = -x + 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 교점 방정식 $x^3 - 2x^2 + 1 = -x + 1 \iff x(x - 1)^2 = 0$에서 교점의 $x$좌표는 $0, \; 1$ (접점)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 삼차곡선과 접선의 넓이 공식에 의하여 $S = \dfrac{1}{12}(1 - 0)^4 = \dfrac{1}{12}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 미적분Ⅰ · 삼차함수와 접선으로 둘러싸인 넓이의 핵심 공식 및 성질을 첫 줄에 정확히 선언하고 관계식을 수립함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 주어진 조건을 대입하여 핵심 식 전개 및 연산을 오류 없이 수행함 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 최종 결론 $\dfrac{1}{12}$을 정확히 도출함 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$를 대입하여 정리하면 $2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0 \implies 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 인수분해하면 $(2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$이므로 $\sin x = \dfrac{1}{2}$ 또는 $\sin x = -1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \le x \lt 2\pi$에서 $\sin x = \dfrac{1}{2}$의 근은 $\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$이고 $\sin x = -1$의 근은 $\dfrac{3\pi}{2}$이므로 모든 실근의 합은 $\dfrac{5\pi}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 변형으로 $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\sin x = \frac{1}{2}$ 또는 $\sin x = -1$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 세 실근 $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$의 합 $\frac{5\pi}{2}$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + k$라 하면 $x \ge 0$에서 최솟값이 $0$ 이상이어야 하며, $f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $x \ge 0$에서 $f(x)$는 $x = 1$에서 극대, $x = 3$에서 극소이므로 최솟값 후보는 $f(0) = k$와 $f(3) = 27 - 54 + 27 + k = k$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $x \ge 0$에서 최솟값은 $k$이므로 $k \ge 0$이어야 하며, 구하는 $k$의 최솟값은 $0$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$을 구하고 $x \ge 0$에서의 증감 분석 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f(0) = k$와 극솟값 $f(3) = k$를 비교하여 최솟값 $k$ 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $k \ge 0$으로부터 최솟값 $0$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $b_1 = 15 + c, \; b_2 = 9 + c, \; b_3 = 6 + c$가 등비수열을 이루므로 등비중항 성질 $(9 + c)^2 = (15 + c)(6 + c)$가 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 전개하면 $c^2 + 18c + 81 = c^2 + 21c + 90 \implies 3c = -9 \implies c = -3$이므로 $b_1 = 12, \; b_2 = 6$ (공비 $r = \dfrac{1}{2}$)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $b_6 = 12 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{3}{8}$이므로 $a_6 = b_6 - c = \dfrac{3}{8} + 3 = \dfrac{27}{8}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 등비중항 방정식 $(9+c)^2 = (15+c)(6+c)$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $c = -3$ 및 첫째항 $b_1 = 12$, 공비 $r = \frac{1}{2}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a_6 = b_6 + 3 = \frac{27}{8}$ 최종 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 기울기가 $2$인 직선 $y = 2x$ 위의 두 교점 $A(\alpha, 2\alpha), \; B(\beta, 2\beta)$ ($\alpha \lt \beta$) 사이의 거리가 $\sqrt{5}$이므로 $\sqrt{5}(\beta - \alpha) = \sqrt{5} \implies \beta = \alpha + 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(\beta) - f(\alpha) = 2(\beta - \alpha) = 2$에서 $3^{\alpha + 1 - k} - 3^{\alpha - k} = 2 \cdot 3^{\alpha - k} = 2 \implies 3^{\alpha - k} = 1 \implies \alpha = k$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(k) = 2k$에 대입하면 $1 - 3k^2 = 2k \implies 3k^2 + 2k - 1 = (3k - 1)(k + 1) = 0$이므로 $k = \dfrac{1}{3}$ 또는 $k = -1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 직선 기울기 $2$와 거리 $\sqrt{5}$로부터 $\beta - \alpha = 1$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 두 교점 식의 차 $2 \cdot 3^{\alpha - k} = 2$로부터 $\alpha = k$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $3k^2 + 2k - 1 = 0$을 풀어 $k = \frac{1}{3}, \; -1$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 인수분해하면 $(2\tan x + 1)(\tan x - 2) = 0$이므로 $\tan\alpha = -\dfrac{1}{2}$, $\tan\beta = 2$ (단, $\alpha \lt 0 \lt \beta$)로 놓을 수 있다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$에서 $\cos x \gt 0$이고 $1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$이므로 $\cos\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}}, \; \sin\alpha = -\dfrac{1}{\sqrt{5}}$이고 $\cos\beta = \dfrac{1}{\sqrt{5}}, \; \sin\beta = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\sin\alpha\sin\beta = -\dfrac{2}{5}$이고, $\sin\alpha + \sin\beta = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $(2\tan x + 1)(\tan x - 2) = 0$으로부터 $\tan x = -\frac{1}{2}, \; 2$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 사분면 부호를 판정하여 $\sin\alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}}, \; \sin\beta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 곱 $-\frac{2}{5}$ 및 합 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 코사인법칙에 의하여 $\overline{BC}^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \times 3 \times 8 \cos\dfrac{\pi}{3}$가 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\overline{BC}^2 = 9 + 64 - 24 = 49$이므로 양수 $\overline{BC} = 7$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 사인법칙 $2R = \dfrac{\overline{BC}}{\sin\frac{\pi}{3}} = \dfrac{7}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{14}{\sqrt{3}}$에서 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 코사인법칙을 선언하여 $\overline{BC}^2 = 49$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\overline{BC} = 7$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 사인법칙으로 $R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 일반항은 $a_n = -17 + 4(n - 1) = 4n - 21$이므로 $a_n \lt 0 \iff n \le 5$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 음수인 항까지만 더할 때 부분합이 최소이므로 $n = 5$에서 $S_5 = \dfrac{5(-17 + (-1))}{2} = -45$로 최소이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 제$6$항부터 제$10$항까지의 합은 $\dfrac{5(3 + 19)}{2} = 55$이므로 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} |a_k| = |-45| + 55 = 100$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 일반항 $a_n = 4n - 21$ 및 부호 변화 지점 $n = 5$ 판정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $S_n$ 최소 자연수 $n = 5$ 및 $S_5 = -45$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 양수 구간 합 $55$를 더하여 $\sum_{k=1}^{10} |a_k| = 100$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $t = \dfrac{1}{x}$로 치환하면 $\displaystyle\lim_{t \to \infty} \dfrac{f(t)}{t^2} = 2$이므로 $f(x)$는 최고차항이 $2x^2$인 이차함수이고, 두 번째 극한의 분모가 $0$으로 가므로 $f(1) = 0$이어서 $f(x) = 2(x - 1)(x - c)$로 놓는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{2(x - 1)(x - c)}{x - 1} = 2(1 - c)$이고 $f(0) = 2(-1)(-c) = 2c$이므로 $2 - 2c = 2c \implies c = \dfrac{1}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(x) = (x - 1)(2x - 1)$이므로 $f(4) = 3 \times 7 = 21$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $t = \frac{1}{x}$ 치환 및 $f(1) = 0$으로부터 $f(x) = 2(x-1)(x-c)$ 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극한값 $2(1-c) = f(0) = 2c$를 풀어 $c = \frac{1}{2}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(4) = 21$ 최종 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\lim_{x \to 0^-} f(x) = |a|$이고 $f(0) = a$이므로 $x = 0$에서 불연속일 조건은 $|a| \neq a \iff a \lt 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a \lt 0$일 때 $x \lt 0$에서는 $-2x + |a| \gt 0$이어서 실근이 없고, $x \ge 0$에서 $g(x) = x^2 + 4x + a$는 $g(0) = a \lt 0$이고 증가하므로 양의 실근 $1$개를 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 이 양의 실근이 $3$보다 작으려면 $g(3) = 9 + 12 + a \gt 0 \implies a \gt -21$이어야 하므로 $-21 \lt a \lt 0$에서 정수 $a$의 개수는 $20$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x = 0$ 불연속 조건 $|a| \neq a$로부터 $a \lt 0$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x \lt 0$ 무근 확인 및 $x \ge 0$에서 양의 실근 조건 $g(3) \gt 0$ 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $-21 \lt a \lt 0$을 만족하는 정수 개수 $20$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 차함수 $h(x) = f(x) - g(x)$는 최고차항 계수가 $1$이고 세 근이 $-\alpha, 0, \alpha$이므로 $h(x) = x(x^2 - \alpha^2) = x^3 - \alpha^2 x$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $h(x)$는 기함수이므로 둘러싸인 넓이의 합은 $S = 2\displaystyle\int_0^{\alpha} (\alpha^2 x - x^3)\,dx = 2\left[\dfrac{\alpha^2}{2}x^2 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^{\alpha} = \dfrac{\alpha^4}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\dfrac{\alpha^4}{2} = 8 \implies \alpha^4 = 16 \implies \alpha = 2$이므로 $f(x) = x^3 - 4x + (2x + 3) = x^3 - 2x + 3$이고 $f(3) = 24$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f(x) - g(x) = x^3 - \alpha^2 x$ 인수 정리 식 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 대칭성을 이용하여 넓이 합 $\frac{\alpha^4}{2} = 8$로부터 $\alpha = 2$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(x) = x^3 - 2x + 3$ 결정 및 $f(3) = 24$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$이므로 $f(x)$는 $x = 1$에서 극댓값 $f(1) = k + 4$, $x = 3$에서 극솟값 $f(3) = k$를 갖는다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 함수 $|f(x)|$가 $5$개의 극값을 가지려면 방정식 $f(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $f(1)f(3) \lt 0 \implies (k + 4)k \lt 0 \implies -4 \lt k \lt 0$이므로 정수 $k = -3, -2, -1$의 합은 $-6$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$ 및 극댓값 $k+4$, 극솟값 $k$ 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $|f(x)|$ 극값 $5$개 조건을 $f(x) = 0$의 서로 다른 세 실근 조건으로 변환 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $-4 \lt k \lt 0$에서 정수해 합 $-6$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 정적분 값은 상수이므로 $K = \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$로 놓으면 $f(x) = 3x^2 + Kx + 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이를 $K$의 정의식에 대입하면 $K = \displaystyle\int_0^1 (3t^2 + Kt + 2)\,dt = \left[t^3 + \dfrac{K}{2}t^2 + 2t\right]_0^1 = 3 + \dfrac{K}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\dfrac{K}{2} = 3 \implies K = 6$이므로 $f(x) = 3x^2 + 6x + 2$이고, $f(2) = 12 + 12 + 2 = 26$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 상수 치환 $K = \int_0^1 f(t)\,dt$ 및 $f(x) = 3x^2 + Kx + 2$ 표현 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $K = 3 + \frac{K}{2}$ 적분 방정식으로부터 $K = 6$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $f(2) = 26$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $a \gt 0$이면 $n$이 짝수일 때 $2$개·홀수일 때 $1$개이고, $a \lt 0$이면 $n$이 짝수일 때 $0$개·홀수일 때 $1$개이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $n = 2, 4, 6$ (짝수 $3$개)일 때 $(-2)^n \gt 0$이므로 $f(n, (-2)^n) = 2$이고 $f(n, -3) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $n = 3, 5, 7$ (홀수 $3$개)일 때 $f(n, (-2)^n) = 1$이고 $f(n, -3) = 1$이므로 구하는 합은 $(6 + 3) + (0 + 3) = 12$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $n$의 홀짝과 $a$의 부호에 따른 실수 제곱근 개수 규칙 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 짝수 $n=2,4,6$일 때 합 $6 + 0 = 6$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 홀수 $n=3,5,7$일 때 합 $3 + 3 = 6$을 더하여 총합 $12$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 함수는 서로 역함수 관계이고 직선 $y = -x + 8$은 $y = x$에 수직이므로 두 교점 $P(a, b), \; Q(b, a)$ ($a \lt b$)는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a + b = 8$이고 $b = 2^{a - 1} + 1$이므로 $2^{a - 1} + a = 7$이며, 좌변은 증가함수이고 $a = 3$일 때 등식이 성립하므로 $P(3, 5), \; Q(5, 3)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 선분 $PQ$의 길이는 $\sqrt{(5 - 3)^2 + (3 - 5)^2} = 2\sqrt{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $y = x$ 대칭성을 이용하여 두 교점을 $P(a, b), Q(b, a)$ 및 $a + b = 8$로 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 단조증가 방정식 $2^{a-1} + a = 7$에서 유일해 $a = 3, \; b = 5$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\overline{PQ} = 2\sqrt{2}$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 함수 $f(x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$의 주기는 $T = \dfrac{2\pi}{1/2} = 4\pi$이고, 구간 $[0, 4\pi]$에서 그래프는 직선 $x = 2\pi$에 대하여 대칭이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $0 \le x \le 4\pi$에서 직선 $y = \dfrac{1}{3}$과 만나는 교점은 $2$개이며 두 실근을 $x_1, x_2$ ($x_1 \lt x_2$)라 하자.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 대칭축이 $x = 2\pi$이므로 $\dfrac{x_1 + x_2}{2} = 2\pi \implies x_1 + x_2 = 4\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 주기 $T = 4\pi$ 및 대칭축 $x = 2\pi$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 구간 $[0, 4\pi]$에서 교점의 개수가 $2$개임을 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 중점 대칭성으로 두 실근의 합 $4\pi$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각형 $ABD$에서 코사인법칙에 의하여 $\overline{BD}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AD}^2 - 2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AD}\cos\dfrac{2\pi}{3}$가 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$이므로 $\overline{BD}^2 = 36 + 16 - 2(6)(4)\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 76 \implies \overline{BD} = 2\sqrt{19}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 평행사변형 $ABCD$의 넓이는 $\overline{AB}\cdot\overline{AD}\sin\dfrac{2\pi}{3} = 6 \times 4 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼각형 $ABD$에 코사인법칙 적용 식 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\overline{BD} = 2\sqrt{19}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 평행사변형 넓이 공식 $ab\sin\theta$로 $12\sqrt{3}$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 상수항이 $0$이 아닌 이차식 부분합이므로 첫째항은 $a_1 = S_1 = 1 + 2 + 3 = 6$으로 별도 산출한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n + 3) - \{(n-1)^2 + 2(n-1) + 3\} = 2n + 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a_5 = 11$, $a_{10} = 21$이므로 $a_1 + a_5 + a_{10} = 6 + 11 + 21 = 38$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a_1 = S_1 = 6$을 별도 산출함 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1} = 2n + 1$ 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $6 + 11 + 21 = 38$ 최종 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x = 2$에서 미분가능하므로 $x = 2$에서 연속이어야 하며, 좌·우극한 일치에서 $8 + 2a + b = 16 - 6 + 2 = 12 \implies 2a + b = 4$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 좌미분계수와 우미분계수의 일치에서 $3(2)^2 + a = 8(2) - 3 \implies 12 + a = 13 \implies a = 1$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a = 1$을 $2a + b = 4$에 대입하면 $b = 2$이므로 $b - a = 2 - 1 = 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x = 2$ 연속 조건으로부터 $2a + b = 4$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 좌·우미분계수 일치 조건 $12 + a = 13$으로부터 $a = 1$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $b = 2$ 및 $b - a = 1$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 접점을 $(t, t^3 - 3t^2 + 2t + 4)$라 하면 접선의 방정식은 $y = (3t^2 - 6t + 2)(x - t) + t^3 - 3t^2 + 2t + 4$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이 직선이 $(0, 0)$을 지나므로 $0 = -2t^3 + 3t^2 + 4 \implies 2t^3 - 3t^2 - 4 = (t - 2)(2t^2 + t + 2) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $2t^2 + t + 2 = 0$의 판별식은 $1 - 16 \lt 0$이므로 유일한 실근은 $t = 2$이고, 접선의 기울기는 $3(4) - 12 + 2 = 2$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 접점 매개변수 $t$를 이용한 접선의 방정식 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $(t - 2)(2t^2 + t + 2) = 0$ 인수분해 및 허근 배제 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $t = 2$와 접선의 기울기 $2$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 내접하는 직원기둥의 밑면의 반지름을 $r$ ($0 \lt r \lt 6$), 높이를 $h$라 하면 단면 직각삼각형의 닮음비에 의하여 $\dfrac{6 - r}{6} = \dfrac{h}{12} \implies h = 12 - 2r$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 부피 $V(r) = \pi r^2(12 - 2r) = 2\pi(6r^2 - r^3)$을 미분하면 $V'(r) = 6\pi r(4 - r)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $0 \lt r \lt 6$에서 $V(r)$는 $r = 4$일 때 극대이자 최대이므로 최댓값은 $V(4) = \pi \times 16 \times 4 = 64\pi$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 닮음비를 이용하여 높이 $h = 12 - 2r$ 및 정의역 $0 \lt r \lt 6$ 설정 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $V(r) = 2\pi(6r^2 - r^3)$ 및 $V'(r) = 6\pi r(4 - r) = 0$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $r = 4$에서 최대 부피 $64\pi$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 3x^2 - 4x - 3$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 주어진 항등식의 양변에 $x = a$를 대입하면 $0 = a^3 - 2a^2 - 3a + 6 = (a - 2)(a^2 - 3)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $a$는 자연수이므로 $a = 2$이고, $f(2) = 12 - 8 - 3 = 1$이므로 $a + f(a) = 2 + 1 = 3$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 양변 미분으로 $f(x) = 3x^2 - 4x - 3$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $x = a$ 대입 및 $(a - 2)(a^2 - 3) = 0$ 인수분해로 자연수 $a = 2$ 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a + f(2) = 3$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $y' = 2x - 4$에서 점 $(3, 2)$에서의 접선의 기울기는 $2$이므로 접선의 방정식은 $y = 2(x - 3) + 2 = 2x - 4$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 $[0, 3]$에서 포물선과 접선의 차는 $(x^2 - 4x + 5) - (2x - 4) = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \ge 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle\int_0^3 (x - 3)^2\,dx = \left[\dfrac{(x - 3)^3}{3}\right]_0^3 = 0 - (-9) = 9$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 접선의 방정식 $y = 2x - 4$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 차함수 $(x - 3)^2 \ge 0$ 확인 및 적분 구간 $[0, 3]$ 설정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 정적분을 계산하여 넓이 $9$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $t = x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$이라 하면 곱셈 공식 변형에 의하여 $x + x^{-1} = t^2 - 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 또한 세제곱 변형 공식에 의하여 $x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = t^3 - 3t$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $x + x^{-1} = 9 - 2 = 7$이고 $x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = 27 - 9 = 18$이므로 구하는 합은 $7 + 18 = 25$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 제곱 변형 공식 $x + x^{-1} = t^2 - 2 = 7$ 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 세제곱 변형 공식 $x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = t^3 - 3t = 18$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 두 식의 합 $7 + 18 = 25$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $A = \log_2 x, \; B = \log_3 y$라 하면 $A + B = 5, \; AB = 6$이므로 $A, B$는 이차방정식 $t^2 - 5t + 6 = 0$의 두 실근이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $(t - 2)(t - 3) = 0$과 조건 $A \gt B$에 의하여 $A = 3, \; B = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\log_2 x = 3 \implies x = 8$이고 $\log_3 y = 2 \implies y = 9$이므로 $x + y = 17$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $A = \log_2 x, B = \log_3 y$ 치환 및 $t^2 - 5t + 6 = 0$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 조건 $A \gt B$로 $A = 3, B = 2$ 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $x = 8, y = 9$로부터 $x + y = 17$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$이므로 $(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 이로부터 $\sin\theta\cos\theta = \dfrac{3}{8}$을 얻는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\sin\theta - \cos\theta)^3 + 3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta - \cos\theta) = \dfrac{1}{8} + 3\times\dfrac{3}{8}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{11}{16}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 양변 제곱과 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$로 식 전개 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{8}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 세제곱 공식 대입으로 $\frac{11}{16}$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 사인법칙 $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 3 : 4 : 5$이므로 $a = 3k, \; b = 4k, \; c = 5k$ ($k \gt 0$)라 놓을 수 있다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a^2 + b^2 = c^2$이므로 $\angle C = \dfrac{\pi}{2}$인 직각삼각형이고, 빗변의 길이는 외접원의 지름 $c = 2R = 10$이어서 $5k = 10 \implies k = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 세 변의 길이는 $6, 8, 10$이므로 둘레의 길이는 $24$이고, 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 사인법칙으로 세 변의 비 $a:b:c = 3:4:5$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $\angle C = \frac{\pi}{2}$ 판정 및 $c = 2R = 10$으로부터 $a=6, b=8, c=10$ 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 둘레 $24$ 및 넓이 $24$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $n \ge 2$일 때 $k = 1, 2, \dots, n-1$을 차례로 대입하여 변변 더하면 $a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(2k + 1)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $a_n = 2 + \{(n - 1)n + (n - 1)\} = n^2 + 1$이며, 이는 $n = 1$일 때도 $a_1 = 2$로 성립한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $a_{10} = 10^2 + 1 = 101$이고, $\displaystyle\sum_{k=1}^{5}(k^2 + 1) = \dfrac{5 \times 6 \times 11}{6} + 5 = 55 + 5 = 60$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 축차 대입 합산식 $a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 일반항 $a_n = n^2 + 1$ 유도 및 $n = 1$ 성립 확인 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a_{10} = 101$ 및 $\sum_{k=1}^5 a_k = 60$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x \to 2^+$일 때 $x^2 - 4 \gt 0$이므로 $|x^2 - 4| = (x - 2)(x + 2)$이고, $x \to 2^-$일 때 $x^2 - 4 \lt 0$이므로 $|x^2 - 4| = -(x - 2)(x + 2)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 우극한은 $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} (x + 2 + 3x) = 10$이고, 좌극한은 $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} (-(x + 2) + 3x) = 2$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구하는 두 극한값의 차는 $10 - 2 = 8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x \to 2^+$와 $x \to 2^-$에서의 절댓값 부호 분리 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 우극한 $10$ 및 좌극한 $2$ 각각 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 차 $10 - 2 = 8$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 미분계수의 정의를 적용하기 위해 분자에 $-4f(2) + 4f(2)$를 더하여 변형한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 준식은 $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{(x^2 - 4)f(2) - 4\{f(x) - f(2)\}}{x - 2} = \lim_{x \to 2}(x + 2)f(2) - 4\lim_{x \to 2}\dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $4f(2) - 4f'(2) = 4(3) - 4(5) = 12 - 20 = -8$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 분자에 $-4f(2) + 4f(2)$를 삽입하여 평균변화율 꼴로 변형 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $4f(2) - 4f'(2)$ 관계식 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 수치를 대입하여 $-8$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 최고차항 계수가 양수인 삼차함수가 실수 전체에서 역함수를 가질 필요충분조건은 모든 실수 $x$에서 $f'(x) \ge 0$인 것이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f'(x) = 3x^2 + 2kx + (k + 6) \ge 0$이 모든 실수 $x$에서 성립하려면 판별식 $\dfrac{D}{4} = k^2 - 3(k + 6) \le 0$이어야 한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $k^2 - 3k - 18 = (k - 6)(k + 3) \le 0$에서 $-3 \le k \le 6$이므로 정수 $k$의 개수는 $6 - (-3) + 1 = 10$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 역함수 존재 조건을 모든 실수에서 $f'(x) \ge 0$으로 전환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 판별식 $\frac{D}{4} = k^2 - 3k - 18 \le 0$ 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $-3 \le k \le 6$으로부터 정수 개수 $10$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $0 \lt a \lt 3$이므로 구간을 $[0, a]$와 $[a, 3]$으로 나누면 $I(a) = \displaystyle\int_0^a (a - x)\,dx + \int_a^3 (x - a)\,dx$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 적분하여 정리하면 $I(a) = \dfrac{1}{2}a^2 + \dfrac{1}{2}(3 - a)^2 = a^2 - 3a + \dfrac{9}{2} = \left(a - \dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{9}{4}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $a = \dfrac{3}{2}$일 때 최솟값 $\dfrac{9}{4}$를 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 적분 구간을 $[0, a]$와 $[a, 3]$으로 분할하여 절댓값 제거 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $I(a) = a^2 - 3a + \frac{9}{2}$ 이차함수 식 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a = \frac{3}{2}$ 및 최솟값 $\frac{9}{4}$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 구간 $[0, 2]$에서는 $y \ge 0$이고 구간 $[2, k]$에서는 $y \le 0$이므로 두 부분의 넓이가 같을 필요충분조건은 $\displaystyle\int_0^k x(x - 2)(x - k)\,dx = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 삼차함수의 점대칭성에 의하여 세 절편 $0, 2, k$가 등차수열을 이루므로 $k = 4$이다 (적분 확인: $\int_0^4(x^3 - 6x^2 + 8x)\,dx = 64 - 128 + 64 = 0$).
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 한 부분의 넓이는 $\displaystyle\int_0^2 (x^3 - 6x^2 + 8x)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 4x^2\right]_0^2 = 4 - 16 + 16 = 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 두 넓이가 같을 조건 $\int_0^k x(x-2)(x-k)\,dx = 0$ 수립 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $k = 4$ 결정 및 적분 등식 검증 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 한 부분의 넓이 $\int_0^2 (x^3 - 6x^2 + 8x)\,dx = 4$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $2^x = 36, \; 3^y = 36, \; 6^z = 36 = 6^2$에서 $z = 2$이고 $2 = 36^{\frac{1}{x}}, \; 3 = 36^{\frac{1}{y}}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $2 \times 3 = 6 = 36^{\frac{1}{2}}$이므로 $36^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = 36^{\frac{1}{2}} \implies \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 양변에 $2xy$를 곱하면 $2(x + y) = xy \implies xy - 2x - 2y + 4 = 4 \implies (x - 2)(y - 2) = 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $2 = 36^{\frac{1}{x}}, \; 3 = 36^{\frac{1}{y}}$ 및 $z = 2$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 지수법칙으로 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 인수분해 변형으로 $(x - 2)(y - 2) = 4$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $t = 2^x + 2^{-x}$로 치환하면 $2^x \gt 0, \; 2^{-x} \gt 0$이므로 산술·기하평균 부등식에 의하여 $t \ge 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $4^x + 4^{-x} = (2^x + 2^{-x})^2 - 2 = t^2 - 2$이므로 주어진 함수는 $g(t) = t^2 - 6t + 13 = (t - 3)^2 + 4$ ($t \ge 2$)가 된다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 꼭짓점 $t = 3$은 범위 $t \ge 2$에 속하므로 $2^x + 2^{-x} = 3$일 때 최솟값 $4$를 갖는다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $t = 2^x + 2^{-x}$ 치환 및 변역 $t \ge 2$ 명시 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $4^x + 4^{-x} = t^2 - 2$를 대입하여 $g(t) = (t - 3)^2 + 4$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $t = 3$일 때 최솟값 $4$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 방정식 $|2\sin x - 1| = 1$을 풀면 $2\sin x - 1 = 1$ 또는 $2\sin x - 1 = -1$, 즉 $\sin x = 1$ 또는 $\sin x = 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $0 \le x \le 2\pi$에서 $\sin x = 1$의 실근은 $x = \dfrac{\pi}{2}$ ($1$개)이고, $\sin x = 0$의 실근은 $x = 0, \pi, 2\pi$ ($3$개)이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 서로 다른 교점의 개수는 $4$이고, 모든 $x$좌표의 합은 $\dfrac{\pi}{2} + 0 + \pi + 2\pi = \dfrac{7\pi}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 절댓값 방정식을 $\sin x = 1$ 또는 $\sin x = 0$으로 분리 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 닫힌구간 $[0, 2\pi]$의 양 끝점 포함 실근 $4$개 정확히 나열 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 개수 $4$ 및 합 $\frac{7\pi}{2}$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 삼각형 $ABC$에 코사인법칙을 적용하면 $\cos B = \dfrac{4^2 + 6^2 - 5^2}{2 \times 4 \times 6} = \dfrac{27}{48} = \dfrac{9}{16}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $M$은 변 $BC$의 중점이므로 $\overline{BM} = 3$이고, 삼각형 $ABM$에 다시 코사인법칙을 적용한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $\overline{AM}^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \times 4 \times 3 \times \dfrac{9}{16} = 25 - \dfrac{27}{2} = \dfrac{23}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 삼각형 $ABC$에서 코사인법칙으로 $\cos B = \frac{9}{16}$ 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 삼각형 $ABM$ ($\overline{BM} = 3$)에 코사인법칙 적용 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\overline{AM}^2 = \frac{23}{2}$ 최종 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 등비수열의 합에서 $S_{10} - S_5 = a_6 + a_7 + \dots + a_{10} = r^5(a_1 + \dots + a_5) = r^5 S_5$가 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $40 - 10 = 10 r^5$이므로 $r^5 = 3$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 마찬가지로 $S_{15} - S_{10} = r^{10} S_5 = 3^2 \times 10 = 90$이므로 $S_{15} = 40 + 90 = 130$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 구간합 관계 $S_{10} - S_5 = r^5 S_5$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $r^5 = 3$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $S_{15} = S_{10} + r^{10}S_5 = 130$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x = 1$에서 $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 4$이고 $\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 0$이며, $k \neq 0$이므로 함수 $f(x - k)$는 $x = 1$에서 연속이고 극한값은 $f(1 - k)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 곱 $f(x)f(x - k)$가 $x = 1$에서 연속이려면 $4f(1 - k) = 0 \cdot f(1 - k) = 0$, 즉 $f(1 - k) = 0$이어야 한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $1 - k \lt 1$ ($k \gt 0$)일 때 $(1 - k) + 3 = 0 \implies k = 4$이고, $1 - k \ge 1$ ($k \le 0$)일 때 $-(1 - k) + 1 = k = 0$ ($k \neq 0$에 모순)이므로 $k = 4$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $x = 1$에서 $f(x)$의 좌극한 $4$, 우극한·함숫값 $0$ 확인 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 연속 조건으로부터 $f(1 - k) = 0$ 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 구간 분기로 $k \neq 0$을 만족하는 유일해 $k = 4$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 주어진 방정식을 $2x^3 - 9x^2 + 12x = k$로 변형하고 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$라 하면 $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $f(x)$는 $x = 1$에서 극댓값 $f(1) = 5$를 갖고, $x = 2$에서 극솟값 $f(2) = 16 - 36 + 24 = 4$를 갖는다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나야 하므로 구하는 범위는 $4 \lt k \lt 5$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$ 분리 및 $f'(x) = 6(x-1)(x-2)$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 극댓값 $f(1) = 5$ 및 극솟값 $f(2) = 4$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 세 실근 조건 $4 \lt k \lt 5$ 명시 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 도함수를 구하면 $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1)$이므로 극값 위치는 $x = -1, 0, 1$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 구간 $[-1, 2]$에 속하는 극점과 양 끝점의 함숫값을 비교하면 $f(-1) = 2, \; f(0) = 3, \; f(1) = 2, \; f(2) = 11$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 최댓값은 $M = 11$, 최솟값은 $m = 2$이므로 $M + m = 13$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $f'(x) = 4x(x-1)(x+1) = 0$으로부터 극점 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $f(-1)=2, f(0)=3, f(1)=2, f(2)=11$ 전수 계산 비교 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $M + m = 11 + 2 = 13$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $f(0) = 1$이고 $f(2) = 8 + 2 + 1 = 11$이므로 두 정적분의 아래끝과 위끝이 서로 대응점 $(0, 1)$, $(2, 11)$을 이룬다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 역함수의 그래프 대칭성에 의하여 $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx + \int_{f(0)}^{f(2)} g(x)\,dx$는 큰 직사각형의 넓이에서 작은 직사각형의 넓이를 뺀 값과 같다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 구하는 값은 $2 \times f(2) - 0 \times f(0) = 2 \times 11 - 0 = 22$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 대응 끝점 $f(0) = 1, \; f(2) = 11$ 확인 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 역함수 정적분 결합 공식 $b f(b) - a f(a)$ 원리 서술 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $2 \times 11 - 0 = 22$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 점 모두 시각 $t = 0$에 원점($0$)을 출발하므로 시각 $t$에서의 위치는 각각 $x_1(t) = \displaystyle\int_0^t (3s^2 - 4s)\,ds = t^3 - 2t^2$, $x_2(t) = \int_0^t (2s + 10)\,ds = t^2 + 10t$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 다시 만날 조건 $x_1(t) = x_2(t)$에서 $t^3 - 3t^2 - 10t = t(t - 5)(t + 2) = 0$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 출발 후이므로 $t \gt 0$에서 $t = 5$이고, 그때의 위치는 $x_1(5) = 125 - 50 = 75$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정적분으로 두 점의 위치 $x_1(t) = t^3 - 2t^2, \; x_2(t) = t^2 + 10t$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $t(t - 5)(t + 2) = 0$ 풀이 및 $t \gt 0$ 조건으로 $t = 5$ 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 만나는 위치 $75$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 두 상용로그의 소수 부분이 서로 같으므로 두 값의 차 $\log x^4 - \log x = 3\log x$는 정수이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $10 \lt x \lt 100$에서 $1 \lt \log x \lt 2$이므로 $3 \lt 3\log x \lt 6$이고, 가능한 정수는 $3\log x = 4$ 또는 $3\log x = 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 따라서 $\log x = \dfrac{4}{3}$ 또는 $\log x = \dfrac{5}{3}$이므로 두 실수 $x$의 곱은 $10^{\frac{4}{3}} \times 10^{\frac{5}{3}} = 10^3 = 1000$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 소수 부분 일치 조건을 차 \(3\log x = (\text{정수})\)로 변환 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | $3 \lt 3\log x \lt 6$으로부터 $\log x = \frac{4}{3}, \; \frac{5}{3}$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 모든 실수 $x$의 곱 $10^3 = 1000$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $x = 6$을 두 함수식에 각각 대입하면 $A(6, 2^4) = (6, 16)$이고 $B(6, \log_2 4) = (6, 2)$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 두 점 $A, B$의 $x$좌표가 같으므로 선분 $AB$의 길이는 $16 - 2 = 14$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 원점 $O(0, 0)$에서 직선 $x = 6$까지의 거리는 $6$이므로 삼각형 $OAB$의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times 14 \times 6 = 42$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 교점 좌표 $A(6, 16), \; B(6, 2)$ 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 선분 길이 $\overline{AB} = 14$ 도출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 삼각형 $OAB$의 넓이 $42$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$를 대입하여 정리하면 $\sin^2 x + 4\sin x + 4 - 2a \le 0$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $t = \sin x$로 치환하면 $-1 \le t \le 1$이고, $h(t) = (t + 2)^2 - 2a \le 0$이 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 항상 성립해야 한다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 구간 $[-1, 1]$에서 $h(t)$는 증가하므로 최댓값 $h(1) = 9 - 2a \le 0 \implies a \ge \dfrac{9}{2}$이며, 최솟값은 $\dfrac{9}{2}$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $t = \sin x$ ($-1 \le t \le 1$) 치환 및 $(t + 2)^2 - 2a \le 0$ 변형 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 제한 구간 $[-1, 1]$에서의 최댓값이 $h(1) = 9 - 2a$임을 판정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $a$의 최솟값 $\frac{9}{2}$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 원에 내접하는 사각형의 마주보는 두 각의 합은 $\pi$이므로 $\angle C = \pi - \angle A$에서 $\cos C = -\cos A$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 삼각형 $ABD$와 삼각형 $BCD$에서 코사인법칙으로 $\overline{BD}^2 = 2^2 + 3^2 - 2(2)(3)\cos A = 13 - 12\cos A$이고 $\overline{BD}^2 = 3^2 + 4^2 - 2(3)(4)(-\cos A) = 25 + 24\cos A$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $13 - 12\cos A = 25 + 24\cos A \implies 36\cos A = -12 \implies \cos A = -\dfrac{1}{3}$이므로 $\overline{BD}^2 = 13 - 12\left(-\dfrac{1}{3}\right) = 17$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 내접사각형 대각 성질 $\cos C = -\cos A$ 선언 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 두 삼각형에서 $\overline{BD}^2$에 대한 연립방정식 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $\cos A = -\frac{1}{3}$ 및 $\overline{BD}^2 = 17$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 초기 항을 차례로 계산하면 $a_1 = 3$, $a_2 = \dfrac{3 + 1}{3 - 1} = 2$, $a_3 = \dfrac{2 + 1}{2 - 1} = 3$, $a_4 = 2$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+2} = a_n$인 주기 $2$의 수열이며 한 주기의 합은 $a_1 + a_2 = 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $50 = 2 \times 25$이므로 $\displaystyle\sum_{k=1}^{50} a_k = 25 \times (3 + 2) = 125$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | $a_1 = 3, \; a_2 = 2, \; a_3 = 3$을 구하여 주기 $2$ 확인 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 한 주기의 합 $a_1 + a_2 = 5$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $25$주기를 곱하여 총합 $125$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 이차식으로 나눈 나머지를 $R(x) = ax + b$ ($a, b$는 상수)라 하면 항등식 $x^{10} - 2x^4 + 3x - 1 = (x - 1)^2 Q(x) + ax + b$가 성립한다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 양변에 $x = 1$을 대입하면 $1 - 2 + 3 - 1 = a + b \implies a + b = 1$이고, 양변을 미분한 식 $10x^9 - 8x^3 + 3 = 2(x - 1)Q(x) + (x - 1)^2 Q'(x) + a$에 $x = 1$을 대입하면 $a = 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $b = 1 - 5 = -4$이므로 $R(x) = 5x - 4$이고, $R(3) = 15 - 4 = 11$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 항등식 설정 및 $x = 1$ 대입으로 $a + b = 1$ 유도 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 양변 미분 후 $x = 1$ 대입으로 $a = 5, \; b = -4$ 산출 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $R(3) = 11$ 최종 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 극대점 $(-1, f(-1))$에서의 접선은 기울기가 $0$인 수평선 $y = f(-1)$이며, 이 직선이 점 $(2, 5)$를 지나므로 $f(-1) = f(2) = 5$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 방정식 $f(x) - 5 = 0$은 $x = -1$을 중근, $x = 2$를 단일근으로 가지므로 $f(x) = (x + 1)^2(x - 2) + 5$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f'(x) = 3(x + 1)(x - 1) = 0$에서 $x = 1$일 때 극소이므로 극솟값은 $f(1) = 4(-1) + 5 = 1$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 수평 접선 성질로 $f(-1) = f(2) = 5$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 중근 인수 정리를 이용해 $f(x) = (x + 1)^2(x - 2) + 5$ 결정 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 극소 위치 $x = 1$에서 극솟값 $f(1) = 1$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] $F'(x) = f(x)$인 한 부정적분을 $F(x)$라 하면 준식은 $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{F(2 + 2h) - F(2 - h)}{h}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 미분계수 정의로 분리하면 $\displaystyle\lim_{h \to 0}\left\{2\cdot\dfrac{F(2 + 2h) - F(2)}{2h} + \dfrac{F(2 - h) - F(2)}{-h}\right\} = 2F'(2) + F'(2) = 3f(2)$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $f(2) = 12 - 8 + 5 = 9$이므로 구하는 극한값은 $3 \times 9 = 27$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 부정적분 $F(x)$ 도입으로 $\frac{F(2+2h)-F(2-h)}{h}$ 표현 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 미분계수 정의를 이용하여 $3F'(2) = 3f(2)$ 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | $3 \times 9 = 27$ 산출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 곡선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축의 교점은 $x = 0, 4$이므로 전체 넓이는 $\displaystyle\int_0^4 (-x^2 + 4x)\,dx = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + 2x^2\right]_0^4 = \dfrac{32}{3}$이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] 곡선과 직선 $y = mx$의 교점은 $-x^2 + 4x = mx \implies x = 0, \; 4 - m$이므로 위쪽 부분의 넓이는 $\displaystyle\int_0^{4-m} \{-x^2 + (4 - m)x\}\,dx = \dfrac{(4 - m)^3}{6}$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] 넓이를 이등분하므로 $\dfrac{(4 - m)^3}{6} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{32}{3} = \dfrac{16}{3} \implies (4 - m)^3 = 32$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 전체 넓이 $\int_0^4 (-x^2 + 4x)\,dx = \frac{32}{3}$ 산출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 교점 $x = 4 - m$ 및 위쪽 넓이 $\frac{(4 - m)^3}{6}$ 유도 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 이등분 방정식으로부터 $(4 - m)^3 = 32$ 도출 | 3점 |
[1줄: 공식선언 (30% · 3점)] 열차가 정지하는 시각은 $v(t) = 30 - 3t = 0$에서 $t = 10$초이다.
[2줄: 핵심계산 (40% · 4점)] $0 \le t \le 10$에서 $v(t) \ge 0$이므로 정지할 때까지 달린 거리는 $s = \displaystyle\int_0^{10} (30 - 3t)\,dt$이다.
[3줄: 최종결론 (30% · 3점)] $s = \left[30t - \dfrac{3}{2}t^2\right]_0^{10} = 300 - 150 = 150\,(\mathrm{m})$이다.
| 평가 단계 | 세부 채점 기준 및 부분점수 급소 | 배점 |
|---|---|---|
| 1단계: 사용 공식 및 성질 선언 (30%) | 정지 조건 $v(t) = 0$으로부터 정지 시각 $t = 10$ 도출 | 3점 |
| 2단계: 핵심 식 전개 및 계산 (40%) | 제동 거리 정적분 식 $\int_0^{10} (30 - 3t)\,dt$ 수립 | 4점 |
| 3단계: 최종 결론 도출 (30%) | 제동 거리 $150$ 산출 | 3점 |
| 모집단위 | 모집인원 | 명목경쟁률 | 실질경쟁률 | 최초합 평균 | 70% 충원컷 | 수능최저 기준 | 실시간 합격 판정 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 소프트웨어융합학과 | 12명 | 9.8 : 1 | 4.6 : 1 | 86.0점 | 82.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 1개 4등급, 한국사 4등급 | 판정 대기 |
| 캠퍼스자율전공(자연·예능) | 48명 | 9.2 : 1 | 4.3 : 1 | 85.0점 | 81.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 1개 4등급, 한국사 4등급 | 판정 대기 |
| 스마트모빌리티학부 | 14명 | 8.7 : 1 | 4.1 : 1 | 84.0점 | 80.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 1개 4등급, 한국사 4등급 | 판정 대기 |
| 게임학부(게임소프트웨어·자연) | 11명 | 9.4 : 1 | 4.4 : 1 | 83.0점 | 79.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 1개 4등급, 한국사 4등급 | 판정 대기 |
| 전자전기융합공학과 | 18명 | 8.4 : 1 | 3.9 : 1 | 82.0점 | 78.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 1개 4등급, 한국사 4등급 | 판정 대기 |
| 기계정보공학과 | 16명 | 7.9 : 1 | 3.7 : 1 | 81.0점 | 77.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 1개 4등급, 한국사 4등급 | 판정 대기 |
| 미래에너지신소재공학부 | 14명 | 7.5 : 1 | 3.5 : 1 | 80.0점 | 76.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 1개 4등급, 한국사 4등급 | 판정 대기 |
| 바이오소재학과 | 10명 | 7.3 : 1 | 3.4 : 1 | 78.0점 | 74.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 1개 4등급, 한국사 4등급 | 판정 대기 |
| 나노화학공학전공 | 12명 | 7.0 : 1 | 3.2 : 1 | 76.0점 | 72.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 1개 4등급, 한국사 4등급 | 판정 대기 |
| 건축공학부(세종) | 15명 | 6.8 : 1 | 3.1 : 1 | 75.0점 | 71.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 1개 4등급, 한국사 4등급 | 판정 대기 |
| 조선해양공학과 | 10명 | 6.5 : 1 | 3.0 : 1 | 74.0점 | 70.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 1개 4등급, 한국사 4등급 | 판정 대기 |
| 환경식품보건학부 | 12명 | 6.4 : 1 | 2.9 : 1 | 73.0점 | 69.0점 | 국·수·영·탐(1) 중 1개 4등급, 한국사 4등급 | 판정 대기 |
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🚀 홍익대학교(세종) 올인원 합격 대시보드 바로가기| 회차 | 실전 응시일 | 소요 시간 | 원점수 / 100점 | 핵심 오답 단원 및 루브릭 보완 메모 |
|---|---|---|---|---|
| 제1회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제2회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제3회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제4회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제5회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제6회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제7회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제8회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제9회 | 2026. . . | 분 | / 100 | |
| 제10회 | 2026. . . | 분 | / 100 |