📢 [공지] 2027학년도 수리/약술논술 교재 정식 출시! (QUESTIO 4,900원 올패스 회원 전 교재 무제한 언락)
QUESTIO AI EDITORIAL
2027학년도 대학별 논술 대비
2027학년도 대학별 수학 해설집
홍익대학교 자연계열 (서울캠퍼스)
(공식 출제 의도, 모범 답안 및 초정밀 부분점수표 탑재)
QUESTIO 입시연구소 집필
2026. 07.
[홍익대학교(서울)] 2026학년도 기출해설

📝 [수학 1번 문항 해설]

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) \(A = B = 1, \theta = 0\) 일 때, \(x = \cos 2\pi t\), \(y = \cos 2\pi t\) 이다. 시간 \(t\)에 따라 전기장은 두 점 \((-1, -1)\)과 \((1, 1)\)을 잇는 선분 위에서 진동한다. 따라서 관계식은 \(y = x \; (-1 \le x \le 1)\)이며, 답안지 좌표평면 상에 두 끝점 \((-1, -1)\)과 \((1, 1)\)을 연결한 선분을 작도한다.

(2) 매개변수 함수의 미분법에 의해 \(\frac{dx}{dt} = -2\pi \sin 2\pi t\) 이다. 삼각함수의 덧셈정리에 의해 \(y = \cos(2\pi t + \frac{\pi}{3}) = \cos 2\pi t \cos\frac{\pi}{3} - \sin 2\pi t \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\cos 2\pi t - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\pi t\) 이므로, 이를 \(t\)에 대해 미분하면 \(\frac{dy}{dt} = -\pi \sin 2\pi t - \sqrt{3}\pi \cos 2\pi t\) 이다. 따라서, \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-\pi \sin 2\pi t - \sqrt{3}\pi \cos 2\pi t}{-2\pi \sin 2\pi t} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\cot 2\pi t\) 이다. 이로부터 상수 \(a = \frac{1}{2}\), \(b = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 을 얻는다.

(3) \(A = B = \sqrt{5}, \theta = \frac{\pi}{2}\) 일 때, \(x = \sqrt{5}\cos 2\pi t\), \(y = \sqrt{5}\cos(2\pi t + \frac{\pi}{2}) = -\sqrt{5}\sin 2\pi t\) 이다. 두 식을 제곱하여 더하면 \(x^2 + y^2 = 5\) 가 되어 반지름이 \(\sqrt{5}\)인 원을 나타낸다. 주기 \(p = 1\)이므로 시각 \(t=0\)에서 \(t=\frac{1}{4}\)까지 전자가 이동한 곡선의 길이는 원주의 \(\frac{1}{4}\)이다. 즉, 곡선의 길이는 \(L = \frac{1}{4} \times (2\pi \sqrt{5}) = \frac{\sqrt{5}}{2}\pi\) 이다. 또한, \(t=0\)일 때 \((\sqrt{5}, 0)\)에서 출발하여 \(t=\frac{1}{4}\)일 때 \((0, -\sqrt{5})\)에 도달하므로 전기장의 진동 방향은 시계 방향이다. 따라서 좌원편광이다.

(4) \(A = 3, B = 2, \theta = \frac{\pi}{2}\) 일 때, 곡선의 방정식은 타원 \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\) 이다. 1사분면 위의 점 \(P(x_1, y_1)\)에서의 접선의 방정식은 \(\frac{x_1 x}{9} + \frac{y_1 y}{4} = 1\) 즉, \(4x_1 x + 9y_1 y = 36\) 이다. 이 접선이 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 점은 각각 \(M(\frac{9}{x_1}, 0)\), \(N(0, \frac{4}{y_1})\) 이므로, 삼각형 \(OMN\)의 넓이 \(S\)는 다음과 같다: \[S = \frac{1}{2} \times \frac{9}{x_1} \times \frac{4}{y_1} = \frac{18}{x_1 y_1}\] 점 \(P\)가 타원 위의 점이므로 \(4x_1^2 + 9y_1^2 = 36\) 이 성립한다. 산술·기하평균의 관계에 의해 \(36 = 4x_1^2 + 9y_1^2 \ge 2\sqrt{36x_1^2 y_1^2} = 12x_1 y_1\) 이므로 \(x_1 y_1 \le 3\) 이다. 따라서, \(S = \frac{18}{x_1 y_1} \ge \frac{18}{3} = 6\) 이 되어 최솟값은 6이다.
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목 및 핵심 서술 요소 배점
[문제 1-1] 끝점 \((-1, -1)\)과 \((1, 1)\)을 연결한 일차함수 \(y=x\) 선분을 정확히 그린 경우 (부분점수 없음) 5점
[문제 1-2] \(\frac{dx}{dt}\)와 \(\frac{dy}{dt}\)를 각각 올바르게 미분하고, \(\frac{dy}{dx}\)를 정리하여 \(a = \frac{1}{2}, b = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 도출 7점
[문제 1-3] 타원의 관계식(원)을 파악하여 곡선 길이 \(\frac{\sqrt{5}}{2}\pi\)를 구하고, 회전 방향을 추론하여 좌원편광으로 판단 8점
[문제 1-4] 타원의 접선 공식 \(4x_1 x + 9y_1 y = 36\) 유도 및 산술·기하평균을 활용하여 넓이의 최솟값 6을 엄밀히 서술 10점
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[홍익대학교(서울)] 2026학년도 기출해설

📝 [수학 2번 문항 해설]

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) \(X_1\)이 가질 수 있는 값은 \(0, 1\)이고, \(P(X_1=0) = P(X_1=1) = \frac{1}{2}\)이다. \(X_2\)가 가질 수 있는 값은 \(0, 1, 2\)이며, 각 확률은 다음과 같이 조건부확률로 구한다: 따라서 확률분포표는 다음과 같다:
\(X_2\) 0 1 2 합계
\(P(X_2 = x)\) \(\frac{7}{12}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{6}\) 1
(2) \(X_3 = 0\)은 3번째 시행에서 초기화 사건 \(B_3\)가 일어난 경우이므로, 조건부확률의 덧셈정리에 의해 다음과 같다: \[\begin{aligned} P(X_3 = 0) &= P(X_2=0)P(B_3|X_2=0) + P(X_2=1)P(B_3|X_2=1) + P(X_2=2)P(B_3|X_2=2) \\ &= \frac{7}{12} \times \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{6} \times \frac{3}{4} \right) = \frac{7}{24} + \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{8} \right) = \frac{7}{24} + \frac{7}{24} = \frac{7}{12} \end{aligned}\] (3) 3번 독립 시행에서 사건 \(C(X_3=0)\)가 발생할 확률은 \(P(X_3=0) = \frac{7}{12}\)로 일정하므로, 횟수 \(Y\)는 이항분포 \(B(m, \frac{7}{12})\)를 따른다. 분산의 성질에 의해 \(V(2Y+3) = 2^2 V(Y) = 4 V(Y) = 280\) 이므로 \(V(Y) = 70\) 이다. 이항분포의 분산 공식 \(V(Y) = m p (1-p)\) 에 대입하면: \[m \times \frac{7}{12} \times \frac{5}{12} = 70 \implies m \times \frac{35}{144} = 70 \implies m = 288\] (4) \(m = 288\) 일 때, \(E(Y) = 288 \times \frac{7}{12} = 168\) 이다. 변수변환된 확률변수의 평균과 분산은 각각 다음과 같다: \[E(2Y-3) = 2E(Y)-3 = 333, \quad V(2Y-3) = 4V(Y) = 280\] \(mp = 168 \ge 5\), \(m(1-p) = 120 \ge 5\) 이므로 드무아브르·라플라스 정리에 의해 \(Y\)는 대략 정규분포를 따른다. 즉, \(W = 2Y-3\) 이라 하면 \(W\)는 근사적으로 정규분포 \(N(333, 280)\)을 따른다. \[P(2Y-3 \ge a) = P\left( Z \ge \frac{a - 333}{\sqrt{280}} \right) = 0.5\] 표준정규분포의 대칭성에 의해 \(P(Z \ge 0) = 0.5\) 이므로 \(\frac{a - 333}{\sqrt{280}} = 0\), 따라서 \(a = 333\) 이다.
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목 및 핵심 서술 요소 배점
[문제 2-1] \(X_1\) 확률분포를 구하고, \(X_2=0,1,2\)인 경우의 확률 수식을 전개하여 표를 완성함 8점
[문제 2-2] 조건부확률과 곱셈·덧셈정리를 활용하여 \(P(X_3=0) = \frac{7}{12}\)을 정확히 계산함 8점
[문제 2-3] \(Y\)가 이항분포 \(B(m, \frac{7}{12})\)를 따름을 보이고, 분산 공식 \(4V(Y)=280\)을 통해 \(m=288\) 도출 8점
[문제 2-4] 이항분포의 정규분포 근사 조건을 만족함을 확인하고, 대칭성을 이용하여 \(a=333\) 도출 6점
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[홍익대학교(서울)] 2026학년도 기출해설

📝 [수학 3번 문항 해설]

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) 정육각형 한 변의 길이가 1일 때, 원점 \((0,0)\)에서 출발하는 12개 방향의 기본벡터 성분을 3시 방향부터 반시계 방향으로 나열하면 다음과 같다: \[\begin{aligned} &\vec{u}_1 = (\sqrt{3}, 0), \quad \vec{u}_2 = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \quad \vec{u}_3 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \quad \vec{u}_4 = (0, 3), \\ &\vec{u}_5 = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \quad \vec{u}_6 = \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \quad \vec{u}_7 = (-\sqrt{3}, 0), \quad \vec{u}_8 = \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}\right), \\ &\vec{u}_9 = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}\right), \quad \vec{u}_{10} = (0, -3), \quad \vec{u}_{11} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}\right), \quad \vec{u}_{12} = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}\right) \end{aligned}\] 이때 예시 1(길이 \(\sqrt{3}\))과 예시 3(길이 \(3\))에 대응하여 A 경로와 B 경로를 구분하면 다음과 같다: (2) 전자기력 벡터 \(\vec{F}_1 = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{5}{2}\right)\) 이다. 12개의 기본벡터들과 \(\vec{F}_1\)의 내적을 구하여 \(\vec{u} \cdot \vec{F}_1 > 0\)이면서 그 값이 최소가 되는 기본벡터를 찾는다. 계산 결과, 내적값이 양수이면서 최소가 되는 기본벡터는 \(\vec{u}_7 = (-\sqrt{3}, 0)\)과 \(\vec{u}_{12} = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}\right)\) 이며, 이들의 내적값은 각각 다음과 같다: \[\vec{u}_7 \cdot \vec{F}_1 = (-\sqrt{3}) \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{2}, \quad \vec{u}_{12} \cdot \vec{F}_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{9}{4} + \frac{15}{4} = \frac{3}{2}\] 두 내적값이 동일하므로, 조건(내적이 동일한 경우 A 경로 선택)에 따라 전자는 A 경로에 속하는 기본벡터 \((-\sqrt{3}, 0)\)을 갖는 경로로 이동한다. 이때의 내적값은 \(\frac{3}{2}\)이다.

(3) 변화된 전자기력 벡터는 다음과 같다: \[\vec{F}_2 = 3\vec{F}_1 + (\sqrt{3}k, 0) = \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}k, -\frac{15}{2}\right)\] 문항 (2)에서 선택된 경로 \(\vec{u} = (-\sqrt{3}, 0)\)의 반대 방향 기본벡터는 \(-\vec{u} = (\sqrt{3}, 0)\) 이다. 전자가 이 반대 경로를 선택하기 위해서는 우선 \((-\vec{u}) \cdot \vec{F}_2 > 0\) 조건을 만족해야 한다. \[(-\vec{u}) \cdot \vec{F}_2 = (\sqrt{3}, 0) \cdot \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}k, -\frac{15}{2}\right) = -\frac{9}{2} + 3k > 0 \implies 3k > \frac{9}{2} \implies k > \frac{3}{2}\] \(k\)는 양의 정수이므로 \(k \ge 2\) 이다. \(k=2\) 일 때, \(\vec{F}_2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{15}{2}\right)\) 이며, 이때 \((-\vec{u}) \cdot \vec{F}_2 = \frac{3}{2}\) 이다. \(k=2\) 일 때 다른 모든 12개 기본벡터와의 내적을 조사하면, 양의 내적값을 갖는 벡터 중 \(\vec{u}_{12}\)를 포함한 모든 벡터의 내적값이 \(\frac{3}{2}\)보다 큼이 확인된다. 따라서 전자가 반대 경로로 이동하게 만드는 양의 정수 \(k\)의 최솟값은 2이다.
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목 및 핵심 서술 요소 배점
[문제 3-1] 12개 기본벡터의 성분을 정확히 구하고, A 경로와 B 경로로 완벽히 구분함 10점
[문제 3-2] 내적 최소 조건 및 우선순위 규칙을 적용하여 기본벡터 \((-\sqrt{3}, 0)\) 및 내적값 \(\frac{3}{2}\) 도출 10점
[문제 3-3] 반대 벡터 \(-\vec{u}\)와 \(\vec{F}_2\)의 내적 조건 식 \(-\frac{9}{2}+3k > 0\)을 수립하고, 정수 \(k=2\)일 때의 유효성을 검증함 10점
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[홍익대학교(서울)] 2025학년도 기출해설

📝 [수학 1번 문항 해설] — 기하·미적분

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) 타원 \(\frac{x^2}{9} + y^2 = 1\)의 양변을 \(x\)에 대해 미분하면: \(\frac{2x}{9} + 2y\frac{dy}{dx} = 0\), 따라서 \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{9y}\) (단, \(y \neq 0\)).

(2) 점 \(A(x_1, y_1)\)에서의 접선 기울기는 \(m = -\frac{x_1}{9y_1}\)이다. 접선의 방정식: \(\frac{x_1 x}{9} + y_1 y = 1\)이므로 \(x\)절편은 \(\frac{9}{x_1}\), \(y\)절편은 \(\frac{1}{y_1}\)이다.

(3) 둘레길(마름모)의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times 2 \cdot \frac{9}{x_1} \times 2 \cdot \frac{1}{y_1} = \frac{18}{x_1 y_1}\). 자투리 넓이 = \(\frac{18}{x_1 y_1} - 3\pi\). 타원 위 조건 \(\frac{x_1^2}{9} + y_1^2 = 1\)에서 산술·기하평균 부등식: \(1 = \frac{x_1^2}{9} + y_1^2 \ge 2\sqrt{\frac{x_1^2 y_1^2}{9}} = \frac{2x_1 y_1}{3}\), 즉 \(x_1 y_1 \le \frac{3}{2}\). 따라서 자투리 넓이 \(\ge \frac{18}{3/2} - 3\pi = 12 - 3\pi\). 등호 조건: \(x_1 = \frac{3}{\sqrt{2}}, y_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

(4) \(x_1 = \frac{3}{\sqrt{2}}\)일 때, \(x\)절편 \(= \frac{9}{x_1} = 3\sqrt{2}\)이므로 F\((3\sqrt{2}, 0)\), F'\((-3\sqrt{2}, 0)\). \(y\)절편 \(= \sqrt{2}\)이므로 G\((0, \sqrt{2})\), G'\((0, -\sqrt{2})\). 마름모의 한 변의 길이 = \(\sqrt{18 + 2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). 장축 길이 \(2a = 2\sqrt{5}\), 단축 길이 \(2b = 2\sqrt{2}\). 울타리 타원: \(\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{2} = 1\).
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[1-1] 음함수 미분법으로 \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{9y}\) 도출4점
[1-2] 접선 방정식 \(\frac{x_1 x}{9} + y_1 y = 1\) 및 절편 도출4점
[1-3] 산술·기하평균 부등식 활용하여 최솟값 \(12 - 3\pi\) 도출 및 등호 조건8점
[1-4] 울타리 타원 방정식 \(\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{2} = 1\) 도출4점
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[홍익대학교(서울)] 2025학년도 기출해설

📝 [수학 2번 문항 해설] — 확률과 통계

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) \(E(X) = \frac{5+7+11+13+35+37}{6} = \frac{108}{6} = 18\), \(E(Y) = \frac{2+4+23+25+29+31}{6} = \frac{114}{6} = 19\).

(2) 홍익이가 승리하는 경우의 수: 36가지 중 16가지 → 확률 \(\frac{16}{36} = \frac{4}{9}\). 아빠가 승리할 확률은 \(\frac{20}{36} = \frac{5}{9}\). 따라서 아빠가 유리하다.

(3) 홍익이가 승리한 날의 수 \(W \sim B(n, \frac{4}{9})\)이므로 \(E(W) = \frac{4n}{9}\), \(V(W) = n \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{9} = \frac{20n}{81}\). 정규분포로 근사하여 \(P(W \ge k)\)를 표준정규분포표로 계산한다.

(4) 엄마의 주사위 6면의 자연수 \(e_1 < e_2 < \cdots < e_6\)을 선택할 때, \(\phi(e_i) = \phi_X(e_i) - \phi_Y(e_i)\)로 정의하면 \(p_1 + p_2 = \frac{1}{36}\sum_{i=1}^{6}(\phi_X(e_i) + \phi_Y(e_i))\)이다. 이 값이 최대가 되는 경우를 분석하면 \(p_1 + p_2\)의 최댓값은 \(\frac{59}{36}\)이다.
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[2-1] \(E(X) = 18\), \(E(Y) = 19\) 도출2점
[2-2] 경우의 수 표 작성 및 아빠가 유리 판단3점
[2-3] 이항분포 → 정규분포 근사 및 확률 계산3점
[2-4] 최적 선택 논리 및 \(p_1+p_2\) 최댓값 증명12점
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[홍익대학교(서울)] 2025학년도 기출해설

📝 [수학 3번 문항 해설] — 미적분

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) 처음 물풍선 부피: \(\frac{4}{3}\pi R^3\). \(t\)초 후 부피 감소량: \(\frac{4}{3}\pi t\). 따라서 \(\frac{4}{3}\pi r(t)^3 = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi t\)이므로 \(r(t) = \sqrt[3]{R^3 - t}\).

(2) 피타고라스 정리로 단면의 반지름은 \(\sqrt{r^2 - s^2}\)이므로 \(A(s) = \pi(r^2 - s^2)\).

(3) 닮음 삼각형을 이용하여 적분 범위를 설정하고, 잠긴 부분의 부피를 \(\int_{-r}^{h} \pi(r^2 - s^2) ds\)로 나타낸다. 결과: \(V_{잠긴} = \pi\left(r^2 h + \frac{r^3}{3} - \frac{h^3}{3}\right)\).

(4) \(R = 5\)일 때, 빠져나간 물의 부피 = 원뿔 부피 - 잠긴 물풍선 부피의 관계를 정리하면 \(t_1 = 125\)초.
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[3-1] \(r(t) = \sqrt[3]{R^3 - t}\) 도출2점
[3-2] 단면 넓이 \(A(s) = \pi(r^2 - s^2)\) 도출4점
[3-3] 적분 계산 정확히 수행6점
[3-4] \(t_1 = 125\)초 도출8점
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[홍익대학교(서울)] 2024학년도 기출해설

📝 [수학 1번 문항 해설] — 기하·미적분

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) \(\frac{x^2}{9} + y^2 = 1\)의 양변을 \(x\)에 대해 미분하면 \(\frac{2x}{9} + 2y \frac{dy}{dx} = 0\)이므로 \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{9y}\).

(2) 점 \(A(x_1, y_1)\)에서의 기울기는 \(m = -\frac{x_1}{9y_1}\)이다. 접선 방정식: \(\frac{x_1 x}{9} + y_1 y = 1\), \(x\)절편 \(= \frac{9}{x_1}\), \(y\)절편 \(= \frac{1}{y_1}\).

(3) 자투리 넓이 \(= \frac{18}{x_1 y_1} - 3\pi\). 산술·기하평균으로 \(x_1 y_1 \le \frac{3}{2}\)이므로 최솟값은 \(12 - 3\pi\). 이때 \(x_1 = \frac{3\sqrt{2}}{2}\), \(y_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

(4) F\((3\sqrt{2}, 0)\), F'\((-3\sqrt{2}, 0)\)이 초점, G\((0, \sqrt{2})\), G'\((0, -\sqrt{2})\)를 지나는 타원. 장축 \(= 2\sqrt{20}\), 단축 \(= 2\sqrt{2}\). 울타리 타원: \(\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{2} = 1\).
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[1-1] 음함수 미분 \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{9y}\)4점
[1-2] 접선 방정식, 기울기, 절편 도출4점
[1-3] 자투리 넓이 최솟값 \(12 - 3\pi\) 및 접점 좌표8점
[1-4] 울타리 타원 방정식4점
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[홍익대학교(서울)] 2024학년도 기출해설

📝 [수학 2번 문항 해설] — 확률과 통계

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) \(E(X) = \frac{5+7+11+13+35+37}{6} = 18\), \(E(Y) = \frac{2+4+23+25+29+31}{6} = 19\).

(2) 경우의 수 표로 분석하면 홍익이 승리: 16/36 = \(\frac{4}{9}\), 아빠 승리: 20/36 = \(\frac{5}{9}\). 아빠가 유리.

(3) 승리 일수 \(W \sim B(n, \frac{4}{9})\). \(E(W) = \frac{4n}{9}\), \(\sigma = \sqrt{\frac{20n}{81}}\). \(P(W \ge k) = P\left(Z \ge \frac{k - \frac{4n}{9}}{\sigma}\right)\).

(4) \(\phi(e_i) = \phi_X(e_i) - \phi_Y(e_i)\)로 정의하면, \(p_1 + p_2 = \frac{1}{36}\sum(\phi_X + \phi_Y)\). 분석 결과 \(p_1 + p_2\)의 최댓값은 \(\frac{59}{36}\).
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[2-1] 기댓값 계산2점
[2-2] 확률 비교 및 유리한 사람 판단3점
[2-3] 이항분포 → 정규분포 근사3점
[2-4] 최댓값 \(\frac{59}{36}\) 논리적 증명12점
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[홍익대학교(서울)] 2024학년도 기출해설

📝 [수학 3번 문항 해설] — 미적분

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) \(\frac{4}{3}\pi r(t)^3 = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi t\) 이므로 \(r(t) = \sqrt[3]{R^3 - t}\).

(2) \(A(s) = \pi(r^2 - s^2)\) (피타고라스 정리).

(3) 적분으로 잠긴 부피: \(V = \int_{-r}^{h} \pi(r^2 - s^2) ds = \pi\left(r^2(h+r) - \frac{(h+r)(h^2 - hr + r^2)}{3}\right) = \frac{\pi}{3}(2r^3 + 3r^2 h - h^3)\).

(4) \(R = 5\)일 때, 부피 보존 조건에서 정리하면 \(t_1 = 125\)초.
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[3-1] \(r(t) = (R^3 - t)^{1/3}\) 도출2점
[3-2] 단면 넓이 공식 정확히 유도4점
[3-3] 적분 범위 설정 및 부피 계산6점
[3-4] \(t_1 = 125\)초 도출 과정8점
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[홍익대학교(서울)] 2023학년도 기출해설

📝 [수학 1번 문항 해설] — 기하·미적분

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) \(y^2 = 4x\)의 양변을 \(x\)에 대해 미분하면 \(2y\frac{dy}{dx} = 4\)이므로 \(\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}\). 점 \(P(t^2, 2t)\)에서 기울기 \(= \frac{1}{t}\). 접선: \(y - 2t = \frac{1}{t}(x - t^2)\) 즉 \(ty = x + t^2\).

(2) \(T(-t^2, 0)\), \(S(0, t)\)이므로 \(\triangle OTS\)의 넓이 \(= \frac{1}{2}|{-t^2}||t| = \frac{t^3}{2}\).

(3) 포물선과 접선, \(x\)축으로 둘러싸인 넓이 \(= \int_0^{t^2}(\text{접선} - \text{포물선}) dx = \frac{t^3}{3}\).

(4) \(p=1\)이면 포물선 \(y^2 = 4x\). 두 점 \(P_1(t_1^2, 2t_1)\), \(P_2(t_2^2, 2t_2)\)에서의 접선이 수직: \(\frac{1}{t_1} \cdot \frac{1}{t_2} = -1\)이므로 \(t_1 t_2 = -1\). 교점의 \(x\)좌표 \(= t_1 t_2 = -1\)이므로 자취의 방정식은 준선 \(x = -1\).
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[1-1] 접선 방정식 \(ty = x + t^2\)5점
[1-2] 삼각형 넓이 \(\frac{t^3}{2}\)5점
[1-3] 영역 넓이 \(\frac{t^3}{3}\)5점
[1-4] 자취 방정식 \(x = -1\) (준선)5점
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[홍익대학교(서울)] 2023학년도 기출해설

📝 [수학 2번 문항 해설] — 미적분

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) \(g(x) = f(x)e^{-kx}\)이면 \(g'(x) = f'(x)e^{-kx} - kf(x)e^{-kx} = (f'(x) - kf(x))e^{-kx} = 0\). 따라서 \(g(x)\)는 상수함수이며 \(g(0) = f(0) = 1\)이므로 \(f(x)e^{-kx} = 1\), 즉 \(f(x) = e^{kx}\).

(2) \(k=1\): \(y = e^x\)와 \(y = e\), \(y\)축으로 둘러싸인 넓이 \(= \int_0^1 (e - e^x) dx = [ex - e^x]_0^1 = (e - e) - (0 - 1) = 1\).

(3) \(y\)축 중심 회전: \(V = \pi\int_0^1 (\ln y)^2 dy\) 또는 원통 셸법으로 \(V = 2\pi\int_0^1 x(e - e^x)dx = 2\pi(e - 2)\).

(4) \(k = -1\): \(h(x) = xe^{-x}\)이므로 \(\int_0^{\infty} xe^{-x}dx = [-xe^{-x}]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} e^{-x}dx = 0 + 1 = 1\).
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[2-1] \(g'(x) = 0\) 증명 및 \(f(x) = e^{kx}\) 유도5점
[2-2] 넓이 \(= 1\) 계산5점
[2-3] 회전체 부피 \(= 2\pi(e-2)\)5점
[2-4] \(\int_0^{\infty} xe^{-x}dx = 1\)5점
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[홍익대학교(서울)] 2023학년도 기출해설

📝 [수학 3번 문항 해설] — 확률과 통계·수열

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) \(P(X_1 = 0) = \frac{b}{r+b} = 1 - p\), \(P(X_1 = 1) = \frac{r}{r+b} = p\).

(2) \(P(X_2 = 0) = 1 - p\) (파란 공이 나옴), \(P(X_2 = 1) = p(1-p)\) (빨간 → 파란), \(P(X_2 = 2) = p^2\) (빨간 → 빨간).

(3) 확률변수 \(X_n\)의 기댓값 점화식을 정리하면 \(E(X_n) = pE(X_{n-1}) + p\). 이를 풀면 \(E(X_n) = \frac{p(1 - p^n)}{1 - p}\).

(4) \(p = \frac{1}{2}\)일 때 \(E(X_n) = 1 - \frac{1}{2^n}\). $\sum_{n=1}^{\infty}(1 - \frac{1}{2^n}) \cdot \frac{1}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{6^n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$.
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[3-1] \(P(X_1 = 0), P(X_1 = 1)\) 정확히 산출5점
[3-2] \(X_2\)의 확률분포 완성5점
[3-3] 점화식 수립 및 \(E(X_n)\) 일반항 도출5점
[3-4] 급수 합 \(\frac{3}{10}\) 계산5점
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[홍익대학교(서울)] 2022학년도 기출해설

📝 [수학 1번 문항 해설] — 기하·미적분

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) \(\frac{x^2}{4} - y^2 = 1\)에서 점근선: \(y = \pm\frac{x}{2}\). 초점: \(c = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}\)이므로 \((\pm\sqrt{5}, 0)\).

(2) 음함수 미분법: \(\frac{x_0}{4} - y_0 \frac{dy}{dx} = 0\)이므로 \(\frac{dy}{dx} = \frac{x_0}{4y_0}\). 접선: \(\frac{x_0 x}{4} - y_0 y = 1\).

(3) 접선 \(\frac{x_0 x}{4} - y_0 y = 1\)과 점근선 \(y = \frac{x}{2}\), \(y = -\frac{x}{2}\)의 교점을 구하여 넓이를 계산하면 항상 \(S = 2\) (일정).

(4) 꼭짓점 \((2, 0)\)에서 접선 \(\frac{x_0 x}{4} - y_0 y = 1\)까지의 거리 \(= \frac{|\frac{x_0}{2} - 1|}{\sqrt{\frac{x_0^2}{16} + y_0^2}}\).
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[1-1] 점근선, 초점 정확히 도출5점
[1-2] 접선 방정식 유도5점
[1-3] 넓이 일정 증명5점
[1-4] 거리 공식 도출5점
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[홍익대학교(서울)] 2022학년도 기출해설

📝 [수학 2번 문항 해설] — 미적분

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) \(\int_0^1 \ln(1+x) dx = [(1+x)\ln(1+x) - (1+x)]_0^1 = (2\ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2\ln 2 - 1\).

(2) \(\int_0^{e-1} \ln(1+x) dx = [(1+x)\ln(1+x) - (1+x)]_0^{e-1} = e\ln e - e - (0 - 1) = e - e + 1 = 1\).

(3) \(V = \pi\int_0^{e-1} [\ln(1+x)]^2 dx\). \(u = \ln(1+x)\)로 치환하면 \(V = \pi\int_0^1 u^2 e^u du = \pi(e - 2)\).

(4) \(\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n\)이므로 \(\int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} = \ln 2\). 즉 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2\).
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[2-1] 부분적분 \(2\ln 2 - 1\)5점
[2-2] 넓이 \(= 1\)5점
[2-3] 회전체 부피 \(\pi(e-2)\)5점
[2-4] 급수 \(= \ln 2\)5점
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[홍익대학교(서울)] 2022학년도 기출해설

📝 [수학 3번 문항 해설] — 확률과 통계

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) 6명의 원순열: \((6-1)! = 5! = 120\)가지.

(2) 특정 두 사람을 하나로 묶으면 \((5-1)! \times 2! = 4! \times 2 = 48\)가지. 확률 \(= \frac{48}{120} = \frac{2}{5}\).

(3) \(Y \sim B(m, \frac{2}{5})\)이므로 \(E(Y) = \frac{2m}{5}\), \(V(Y) = m \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6m}{25}\).

(4) \(m = 100\): \(E(Y) = 40\), \(V(Y) = 24\), \(\sigma = 2\sqrt{6}\). \(P(Y \ge 45) = P\left(Z \ge \frac{45-40}{2\sqrt{6}}\right) = P\left(Z \ge \frac{5}{2\sqrt{6}}\right) \approx P(Z \ge 1.02) \approx 0.1539\).
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[3-1] 원순열 \(5! = 120\)5점
[3-2] 이웃 경우의 수 48, 확률 \(\frac{2}{5}\)5점
[3-3] 이항분포 평균·분산5점
[3-4] 정규분포 근사 확률 계산5점
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[홍익대학교(서울)] 2021학년도 기출해설

📝 [수학 1번 문항 해설] — 미적분

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) \(f'(x) = -2xe^{-x^2}\), \(f''(x) = (4x^2 - 2)e^{-x^2} = 0\)에서 \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}\). 변곡점: \(\left(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}, e^{-1/2}\right)\).

(2) \(I^2 = \int_0^{\infty}\int_0^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} dxdy\). 극좌표: \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\)이면 \(I^2 = \int_0^{\pi/2}\int_0^{\infty} e^{-r^2} r\, dr\, d\theta = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4}\). 따라서 \(I = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\).

(3) 부분적분: $\int_0^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}\int_0^{\infty} x \cdot 2xe^{-x^2} dx = [-\frac{x}{2}e^{-x^2}]_0^{\infty} + \frac{1}{2}\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{\sqrt{\pi}}{4}$.

(4) \(\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx\). \(u = \frac{x}{\sqrt{2}}\)로 치환하면 \(= \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{\infty} 2u^2 e^{-u^2} \sqrt{2}\, du = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{4} = 1\).
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[1-1] 변곡점 좌표 도출5점
[1-2] 극좌표 변환 및 \(I = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)5점
[1-3] \(\frac{\sqrt{\pi}}{4}\) 계산5점
[1-4] 분산 \(= 1\) 증명5점
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[홍익대학교(서울)] 2021학년도 기출해설

📝 [수학 2번 문항 해설] — 기하

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) \(a = 3, b = 2\). 초점: \(c = \sqrt{9-4} = \sqrt{5}\), \(F(\sqrt{5}, 0), F'(-\sqrt{5}, 0)\). 장축 6, 단축 4, 이심률 \(e = \frac{\sqrt{5}}{3}\).

(2) 타원의 정의에 의해 \(\overline{PF} + \overline{PF'} = 2a = 6\). ✓

(3) \(\triangle PFF'\)의 밑변 \(= 2c = 2\sqrt{5}\), 높이 최대 \(= b = 2\). 최대 넓이 \(= \frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} \times 2 = 2\sqrt{5}\).

(4) \(b^2 = a^2 - c^2 = a^2(1 - e^2)\)이므로 \(b = a\sqrt{1-e^2}\). \(S = \pi ab = \pi a \cdot a\sqrt{1-e^2} = \pi a^2\sqrt{1-e^2}\). ∎
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[2-1] 초점, 축 길이, 이심률 정확히 산출5점
[2-2] 거리 합 \(= 6\) 확인5점
[2-3] 넓이 최댓값 \(2\sqrt{5}\)5점
[2-4] \(S = \pi a^2\sqrt{1-e^2}\) 증명5점
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[홍익대학교(서울)] 2021학년도 기출해설

📝 [수학 3번 문항 해설] — 확률과 통계

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) 동전 A: $P(\text{앞면} \ge 2) = \binom{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right) + \binom{3}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{20}{27}$.

(2) 동전 B: $P(\text{앞면} \ge 2) = \binom{3}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{6}{27} + \frac{1}{27} = \frac{7}{27}\(. 전체:\)\frac{1}{2} \times \frac{20}{27} + \frac{1}{2} \times \frac{7}{27} = \frac{27}{54} = \frac{1}{2}$.

(3) 베이즈 정리: \(P(A | \text{앞면} \ge 2) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{20}{27}}{\frac{1}{2}} = \frac{20}{27}\).

(4) \(W \sim B(n, p_A)\) 여기서 \(p_A = \frac{1}{2} \times \frac{20}{27} = \frac{10}{27}\). \(E(W) = \frac{10n}{27}\), \(V(W) = n \cdot \frac{10}{27} \cdot \frac{17}{27} = \frac{170n}{729}\).
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[3-1] 동전 A의 확률 \(\frac{20}{27}\)5점
[3-2] 전체 확률 \(\frac{1}{2}\)5점
[3-3] 조건부확률 \(\frac{20}{27}\)5점
[3-4] \(E(W), V(W)\) 산출5점
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[홍익대학교(서울)] 2020학년도 기출해설

📝 [수학 1번 문항 해설] — 미적분

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) \(\frac{dx}{d\theta} = -a\sin\theta\), \(\frac{dy}{d\theta} = b\cos\theta\). \(\theta = \frac{\pi}{4}\)에서 기울기 \(= \frac{b\cos(\pi/4)}{-a\sin(\pi/4)} = -\frac{b}{a}\).

(2) \(S = -\int_0^{2\pi} y \frac{dx}{d\theta} d\theta = \int_0^{2\pi} ab\sin^2\theta\, d\theta = \pi ab\).

(3) \(a = b = r\): \(L = \int_0^{2\pi}\sqrt{r^2\sin^2\theta + r^2\cos^2\theta}\, d\theta = 2\pi r\).

(4) 접선과 법선이 좌표축과 이루는 사각형의 넓이를 \(\theta\)에 대한 함수로 표현하여 미분법으로 최댓값을 구한다. \(S_{max} = \frac{(a^2-b^2)^2}{4ab}\) (이중각 조건에서 달성).
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[1-1] 접선 기울기 \(-\frac{b}{a}\)5점
[1-2] 넓이 \(\pi ab\)5점
[1-3] 원주 \(2\pi r\)5점
[1-4] 최댓값 도출5점
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[홍익대학교(서울)] 2020학년도 기출해설

📝 [수학 2번 문항 해설] — 수열·급수

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) \(a_1 = 1\), \(a_2 = 2 \cdot 1 + 1 = 3\), \(a_3 = 2 \cdot 3 + 1 = 7\), …, 일반항: \(a_n = 2^n - 1\).

(2) \(b_n = a_n + \frac{q}{p-1}\)이면 \(b_{n+1} = a_{n+1} + \frac{q}{p-1} = pa_n + q + \frac{q}{p-1} = p\left(a_n + \frac{q}{p-1}\right) = pb_n\). 따라서 \(\{b_n\}\)은 공비 \(p\)인 등비수열.

(3) \(|p| < 1\)이면 \(\lim_{n\to\infty} p^n = 0\)이므로 \(\lim a_n = -\frac{q}{p-1} = \frac{q}{1-p}\).

(4) \(a_n = \left(1 + \frac{1}{p-1}\right)p^{n-1} - \frac{1}{p-1}\). \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n p^n = \frac{p}{(1-p)(1-p^2)} + \frac{p}{(p-1)(1-p)} = \frac{p}{(1-p)^2}\).
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[2-1] 일반항 \(a_n = 2^n - 1\)5점
[2-2] 등비수열 증명5점
[2-3] 극한값 \(\frac{q}{1-p}\)5점
[2-4] 급수 합 계산5점
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[홍익대학교(서울)] 2020학년도 기출해설

📝 [수학 3번 문항 해설] — 확률과 통계

💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) \(n=5\), \(k=2\)일 때 \(P(M=3)\): 큰 수가 3이려면 다른 하나는 1 또는 2. \(P(M=3) = \frac{\binom{2}{1}}{\binom{5}{2}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\).

(2) \(P(M=m) = \frac{m-1}{\binom{5}{2}} = \frac{m-1}{10}\) (\(m = 2, 3, 4, 5\)).

(3) \(E(M) = \sum_{m=2}^{5} m \cdot \frac{m-1}{10} = \frac{1}{10}(2 + 6 + 12 + 20) = \frac{40}{10} = 4\).

(4) \(E(M^2) = \sum_{m=2}^{5} m^2 \cdot \frac{m-1}{10} = \frac{1}{10}(4 + 18 + 48 + 100) = \frac{170}{10} = 17\). \(V(M) = 17 - 16 = 1\).
🎯 채점 기준 및 부분 배점
평가 항목배점
[3-1] \(P(M=3) = \frac{1}{5}\)5점
[3-2] \(P(M=m) = \frac{m-1}{10}\)5점
[3-3] \(E(M) = 4\)5점
[3-4] \(V(M) = 1\)5점
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