1이 아닌 두 자연수 \(a, b\)에 대하여 \(a:b=2:1\)이고, 직선 \(y=3\)과 세 함수 \(y = \log_2 x\), \(y = \log_a x\), \(y = \log_b x\)의 그래프가 만나는 점을 각각 \(\text{A, B, C}\)라 하자. \(\overline{\text{AC}}:\overline{\text{BC}} = 1:8\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(\sqrt{a^3+b^3}\)의 값을 구하시오.
(2) 선분 \(\overline{\text{AB}}\)의 길이를 구하시오.
(3) 점 \(\text{C}\)의 좌표를 구하시오.

양수 \(\alpha\)에 대하여 함수 \(g(x) = 5\cos\left(-\frac{x}{\alpha}+\frac{2}{3}\pi\right)\)의 주기를 \(h(\alpha)\)라 하고
\[f(\alpha) = g(h(\alpha)) - 2\sin\left\{\frac{h(\alpha)}{12}+\frac{17}{6}\pi\right\}\]
이라 하자. 함수 \(f(\alpha)\)가 최댓값을 갖도록 하는 \(\alpha\)의 최솟값을 \(m\)이라 하고, 최솟값을 갖도록 하는 \(\alpha\)의 최솟값을 \(n\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(m\)과 \(n\)은 양수이다.)

(1) \(m\)의 값을 구하시오.
(2) \(n\)의 값을 구하시오.
(3) \(|h(m)-h(n)|\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = \log_a x\ (a>0, a \ne 1)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(1 < p < q\)인 모든 실수 \(p, q\)에 대하여 \(f(p)(q-1) > f(q)(p-1)\)이다.
(나) \(|f(8)| = 3\)

함수 \(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\)축에 대하여 대칭이동한 후, \(y\)축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를 \(y=g(x)\)라 하자. 두 함수 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)가 \(x\)축과 만나는 점을 각각 \(\text{A, B}\)라 하고, 두 그래프의 교점을 \(\text{C}\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(f(x) = \log_a x\)에서 밑 \(a\)의 값을 구하시오.
(2) 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이를 구하시오.
(3) 함수 \(y=f(x)\)의 역함수의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하고, 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이동한 후, \(x\)축의 방향으로 \(k\)만큼 평행이동한 그래프가 점 \((-6, -1)\)을 지날 때, 실수 \(k\)의 값을 구하시오.

모든 항이 자연수인 수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 아래의 조건을 만족시킨다.

(가) \(a_{2n-1} = n^3 + 1\)
(나) \(a_{2n} - a_{2n-1} = d\ (d\text{는 상수})\)
(다) \(a_n < a_{n+1}\)

다음 물음에 답하시오.

(1) \(\sum_{n=1}^{13} a_n\)의 최댓값과 최솟값의 차이를 구하는 과정을 서술하고, 차이를 구하시오.
(2) \(\sum_{n=1}^{13} a_n\)의 값이 최소일 때, \(a_{16}\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 1인 이차함수 \(f(x) = x^2+ax+b\ (a, b\text{는 상수})\)와 상수 \(k\)에 대하여 함수 \(g(x) = (x^2-2x+k)f(x)\)라 할 때, 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(g'(2) \ne 0\)이고, \(\lim_{x \to 2} \frac{g(x)-f(x)}{x-2} = 0\)이다.
(나) \(f(t) = f'(t)\)와 \(g'(t) = 3f'(t)\)를 동시에 만족시키는 실수 \(t\)가 존재한다.

다음 물음에 답하시오.

(1) 위의 조건을 만족시키는 실수 \(t\)의 값을 구하는 과정을 서술하고, \(t\)의 값을 구하시오.
(2) \(\frac{b}{a}\)의 값을 구하시오.
(3) (1)을 만족시키는 \(t\)에 대하여 \(g(t+5) = \frac{m}{n}\)일 때, \(m+n\)의 값을 구하시오. (단, \(m\)과 \(n\)은 서로소인 자연수이다.)

함수 \(f(x) = \begin{cases} 3x-18 & (x \ge 3) \\ -2x-3 & (x < 3) \end{cases}\) 에 대하여 함수 \(g(x) = \int_0^x (t-3)f(t)dt\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 \(g(x)\)가 극값을 갖도록 하는 \(x\)의 값을 모두 정확히 구하시오.
(2) \(g(x)\)의 최솟값을 구하시오.
(3) 함수 \(y=g(x)\)의 그래프와 직선 \(y=n\)과의 교점의 개수를 \(a_n\)이라 할 때, \(\sum_{k=1}^{15} a_k\)의 값을 구하시오. (단, \(n\)은 자연수이다.)

최고차항의 계수가 1인 이차함 \(f(x)\)에 대하여 \(\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}\)의 값이 존재하고, 미분가능한 함수 \(g(x)\)의 도함수가 \(g'(x) = f(|x+5|) - f(|x|)\)이다. 함수 \(g(x)\)가 \(x=\frac{1}{2}\)에서 극솟값을 가질 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 이차함수 \(f(x)\)를 구하시오.
(2) \(x_0 \ne \frac{1}{2}\)이고 \(g'(x_0) = 0\)을 만족시키는 두 실수 \(x_0 = \alpha\)와 \(x_0 = \beta\)를 구하는 과정을 서술하고, \(\alpha, \beta\)를 구하시오. (단, \(\alpha < \beta\)이다.)

(3) 함수 \(g(x)\)가 극댓값을 갖도록 하는 \(x\)의 값을 정확히 구하시오.

함수 \(f(x)\)가 \(x \ge 0\)에서 \(f(x) = x^2-4x\)이고, 모든 실수에 대하여 \(f(-x)+f(x)=0\)이다. 실수 \(t\)에 대하여 닫힌구간 \([t, t+2]\)에서 \(f(x)\)의 최솟값을 \(g(t)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(g(1)\)의 값을 구하시오.
(2) \(f(x) \ne g(x)\)인 모든 \(x\)값의 범위를 구하시오.
(3) 두 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

그림과 같이 선분 \(\text{AB}\)를 지름으로 하는 반원 위에 \(\overline{\text{CA}}=\sqrt[6]{3}, \overline{\text{CB}}=\sqrt[6]{24}\)인 점 \(\text{C}\)를 잡는다. 점 \(\text{C}\)에서 선분 \(\text{AB}\)에 내린 수선의 발을 \(\text{H}\)라 할 때, \(\overline{\text{BH}}=a, \overline{\text{CH}}=b\)라 하자. 이차방정식 \(x^2 - ax - \sqrt[6]{648} b = 0\)을 만족하는 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(a\)의 값을 구하시오. (2.8점)
(2) \(b\)의 값을 구하시오. (3.2점)
(3) \(\alpha^3 + \beta^3\)의 값을 구하시오. (4점)

등차수열 \({a_n}\)에서 \(a_4 = 7, a_{11} = 21\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 일반항 \(a_n\)을 구하시오. (2.5점)
(2) 수열의 합 \(\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+2}}\)의 값을 구하시오. (2.8점)
(3) 부등식 \(\sum_{k=1}^m \frac{4}{a_k a_{k+2}} < \frac{13}{12}\)을 만족시키는 자연수 \(m\)을 모두 구하시오. (4.7점)

모든 항이 양수인 수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(6S_n = a_n^2 + 3a_n - 10\)을 만족시킨다. 다음 물음에 답하시오.

(1) \(a_{10}\)의 값을 구하는 과정을 서술하고, \(a_{10}\)의 값을 구하시오. (6점)
(2) 첫째항 \(a_1\)의 값을 구하시오. (1.5점)
(3) 수열의 합 \(\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값을 구하시오. (2.5점)

1이 아닌 양의 실수 \(\alpha, \beta\)에 대하여 이차방정식 \(2x^2 - mx + n = 0\)의 두 근을 \(\log_2 \alpha\), \(\log_2 \beta\)라고 하자.

(1) \(\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \frac{1}{4}\)을 만족시키는 가장 작은 자연수 \(m\)의 값을 구하시오. (2.8점)
(2) 가장 작은 자연수 \(n\)의 값을 구하시오. (2.8점)
(3) 위에서 구한 \(m, n\)과 양수 \(a, b, c, k\)가 아래의 두 조건을 만족시킬 때, \(k\)의 값을 구하시오. (4.4점)
(가) \((2m)^a = (2n)^{2b} = k^c\)
(나) \(ab = bc - ac\)

함수 \(f(x) = \begin{cases} -3x & (x < 2) \\ 3(x-a) & (x \ge 2) \end{cases}\) 가 실수 전체 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 \(a\)의 값을 구하고, 함수 \(g(x) = \int_0^x (t-2)f(t)dt\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 상수 \(a\)의 값을 구하시오. (1.5점)
(2) 함수 \(g(x)\)를 구하시오. (4점)
(3) 곡선 \(y=g(x)\)와 직선 \(y=0\)과의 교점 개수를 \(b\), 직선 \(y=3\)과의 교점 개수를 \(c\)라 할 때, \(b+c\)의 값을 구하시오. (4.5점)

평행사변형 \(\text{ABCD}\)에 대각선 \(\text{AC}\)를 그려 두 개의 삼각형으로 나누었다. 삼각형 \(\text{ABC}\)의 각 변의 길이를 아래의 그림과 같이 각각 \(m\ (m>1)\)배 확대하여 새로운 삼각형 \(\text{PQR}\)을 만들었다. (단, \(\angle\text{CAB}=\alpha, \angle\text{ABC}=\beta, \angle\text{BCA}=\gamma\))

(1) 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이를 \(S\)라 할 때, 세 삼각형 \(\text{PAR, QBP, RCQ}\)의 넓이를 각각 \(m\)과 \(S\)에 대한 식으로 나타내는 과정을 서술하시오. (7점)
(2) 삼각형 \(\text{PQR}\)의 넓이가 평행사변형 \(\text{ABCD}\)의 넓이와 같게 하는 \(m\)의 값을 구하시오. (3점)

다항함수 \(f(x)\)가 \(\int \{f(x)-3\}dx + \int x f'(x)dx = x^4 - x^3\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 \(y=f(x)\)가 \(x=a\)에서 극대일 때, \(f(a)\)의 값을 구하시오. (3.8점)
(2) 함수 \(y=f(x)\) 위의 점 \((1, f(1))\)에서의 접선 \(\ell\)의 방정식을 구하시오. (2.2점)
(3) 함수 \(y=f(x)\)와 직선 \(\ell\)의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (4점)

두 함수 \(f(x) = x^3 + 4x^2 - 6x + 8\), \(g(x) = x^2 + ax + b\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) \(a=18\)일 때, 두 곡선 \(f(x)\)와 \(g(x)\)의 교점의 개수가 2가 되도록 하는 \(b\)의 값을 구하시오. (2.6점)
(2) \(a=3\)일 때, 열린구간 \((-2, 1)\)에서 두 곡선 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 적어도 한 점에서 만나기 위한 \(b\)의 범위를 구하는 과정을 서술하고, \(b\)의 범위를 구하시오. (5점)
(3) 두 곡선 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 오직 한 점에서만 만나기 위한 \(a\)의 범위를 구하시오. (2.4점)