1) 각 카드 \(i\) (\(1 \le i \le n\))가 \(n\)번의 시행 중 선택된 횟수를 \(k_i\)라 하면, 각 시행에서 카드 \(i\)가 선택될 확률은 \(\frac{1}{n}\)이므로 \(k_i\)는 이항분포 \(B\left(n, \frac{1}{n}\right)\)을 따른다.
2) \(n\)번 시행 후 카드 \(i\)가 앞면(숫자 \(i\))을 보일 확률 \(P_i\)는 \(k_i\)가 홀수일 확률과 같다. 이항분포 확률질량함수 및 이항정리 식 \((x+y)^n - (x-y)^n = 2 \sum_{j \text{ 홀수}} \binom{n}{j} x^j y^{n-j}\)에 \(x = \frac{1}{n}\), \(y = 1 - \frac{1}{n}\)을 대입하면 다음과 같다. \[ P_i = P(k_i \text{가 홀수}) = \frac{1 - \left(1 - \frac{2}{n}\right)^n}{2} \]
3) 보이는 숫자의 합의 기댓값 \(E_n\)은 기댓값의 선형성에 의해 다음과 같다. \[ E_n = \sum_{i=1}^n i \cdot P_i = \frac{1 - \left(1 - \frac{2}{n}\right)^n}{2} \sum_{i=1}^n i = \frac{1 - \left(1 - \frac{2}{n}\right)^n}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} \]
4) 양변을 \(n^2\)으로 나누고 \(n \to \infty\)로 극한을 취하면, \(\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{2}{n}\right)^n = e^{-2}\)이므로 최종 극한값은 다음과 같다. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{E_n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \left(1 - \frac{2}{n}\right)^n}{4} \cdot \frac{n(n+1)}{n^2} = \frac{1 - e^{-2}}{4} = \mathbf{\frac{e^2 - 1}{4e^2}} \]

1) 조건 (Ⅱ)에 의해 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f(x) - g_i(x) \ge 0\)이어야 한다.
2) \(i=4\)일 때 \(f(x) - g_4(x) = ax^2 \ge 0\)이므로 \(a \ge 0\)이다. 만약 \(a = 0\)이면 \(f(x) - g_2(x) = bx \ge 0\), \(f(x) - g_5(x) = cx \ge 0\)에서 \(b=c=0\)이 되어 \(f(x)=0\)이 되므로 조건 (Ⅰ)에 모순된다. 따라서 \(a > 0\)이다.
3) 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f(x) - g_2(x) = ax^2 + (b-a)x \ge 0\)이 성립하려면 일차항 계수가 \(0\)이어야 하므로 \(a = b\)이다.
4) \(f(x) = ax^2 + ax + c\)에서 도함수를 구하면 다음과 같다.
\[ f'(x) = 2ax + a,\quad f''(x) = 2a \]
5) 따라서 구하는 식의 값은 다음과 같다.
\[ \frac{2f'(26)}{f''(26)} = \frac{2(2a \times 26 + a)}{2a} = 53 \]
따라서 최종 구하는 값은 \(\mathbf{53}\)이다.

1) [문제 3-1]에 의해 \(a = b = 26\)이므로 \(f(x) = 26x^2 + 26x + c\), \(g_5(x) = cx + 26\)이다.
2) 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f(x) - g_5(x) = 26x^2 + (26-c)x + (c-26) \ge 0\)이 성립해야 하므로 판별식 \(D \le 0\)이어야 한다.
\[ D = (26-c)^2 - 4 \times 26 \times (c-26) = (c-26)(c-130) \le 0 \]
따라서 \(c\)의 범위는 \(26 \le c \le 130\)이다.
3) 구하는 함숫값 \(f(-1) = 26 - 26 + c = c\)이므로 범위는 \(26 \le f(-1) \le 130\)이다.
4) 따라서 \(\alpha = 26\), \(\beta = 130\)이므로 구하는 값은 다음과 같다.
\[ \alpha + \beta = 26 + 130 = 156 \]
따라서 최종 구하는 값은 \(\mathbf{156}\)이다.

1) 직선 \(QR\)의 기울기를 \(m\)이라 하면, \(P\)가 쌍곡선 위를 움직이므로 \(m\)의 범위는 연속된 하나의 구간이다.
2) 기울기 최댓값 \(b\)에 대하여 쌍곡선의 접선 \(l_1: y = bx - \sqrt{4b^2-1}\)과 점 \(R(0, -\frac{\sqrt{5}}{2})\) 사이의 거리가 \(1\)이므로:
\[ \frac{|-\frac{\sqrt{5}}{2} + \sqrt{4b^2-1}|}{\sqrt{b^2+1}} = 1 \implies b^2 = \frac{89}{36} \implies b = \frac{\sqrt{89}}{6} \]
3) 점 \(R\)과 점근선 \(y = -\frac{1}{2}x\) 사이의 거리는 \(1\)이다. \(R\)을 지나고 기울기가 \(-\frac{1}{2}\)인 직선을 \(l_2\)라 하면, \(P\)와 \(l_2\)의 거리는 항상 \(1\)보다 크므로 원의 중심 \(Q\)는 \(l_2\) 아래로 갈 수 없다. 따라서 하한선은 \(m > -\frac{1}{2}\)이다.
4) 따라서 구하는 기울기 \(m\)의 범위는 다음과 같다.
\[ \left\{ m \;\middle|\; -\frac{1}{2} < m \le \frac{\sqrt{89}}{6} \right\} \]

1) 분모를 전개하여 식을 변형하면 \((e^{2x} + 1)(x^2 + 1) = (e^x + x)^2 + (1 - x e^x)^2\)이므로:
\[ f(x) = \frac{(e^x + x)(1 - x e^x)}{(e^x + x)^2 + (1 - x e^x)^2} \]
2) 최솟값은 \((e^x+x)(1-xe^x) < 0\)일 때 발생하므로, 역수의 부호를 바꾸어 정리한다.
\[ -\frac{1}{f(x)} = \frac{(e^x+x)^2 + (1-xe^x)^2}{(e^x+x)(xe^x-1)} = \frac{e^x+x}{xe^x-1} + \frac{xe^x-1}{e^x+x} \]
3) \(h(x) = \frac{e^x+x}{xe^x-1}\)라 하면, \(p(t) = t + \frac{1}{t}\) (\(t > 0\))의 최솟값은 산술-기하평균에 의해 \(t=1\)일 때 \(2\)이다.
4) \(h(x) = 1 \implies xe^x - e^x - x - 1 = 0\)에 대해 사잇값 정리를 적용하면, \(q(x) = xe^x - e^x - x - 1\)은 \(q(1) = -2 < 0\), \(q(2) = e^2 - 3 > 0\)이므로 구간 \((1, 2)\)에 \(h(\alpha)=1\)인 실근 \(\alpha\)가 존재한다.
5) 따라서 \(-\frac{1}{f(x)}\)의 최솟값은 \(2\)가 되어 \(f(x)\)의 최솟값은 \(\mathbf{-\frac{1}{2}}\)이다.

1) 분모를 전개하여 변형하면 \((e^{2x} + 1)(\cos^2 x + 4) = (2e^x + \cos x)^2 + (2 - e^x \cos x)^2\)이므로:
\[ f(x) = \frac{(2e^x + \cos x)(2 - e^x \cos x)}{(2e^x + \cos x)^2 + (2 - e^x \cos x)^2} \]
2) 최댓값은 분자가 양수일 때 발생하므로, 역수를 취해 정리한다.
\[ \frac{1}{f(x)} = \frac{2e^x+\cos x}{2-e^x\cos x} + \frac{2-e^x\cos x}{2e^x+\cos x} \]
3) \(h(x) = \frac{2e^x+\cos x}{2-e^x\cos x}\)라 하면, \(p(t) = t + \frac{1}{t}\) (\(t > 0\))의 최솟값은 산술-기하평균에 의해 \(t=1\)일 때 \(2\)이다.
4) \(h(x) = 1 \implies e^x \cos x + 2e^x + \cos x - 2 = 0\)에서 \(q(x) = e^x \cos x + 2e^x + \cos x - 2\)라 두면, \(q(0) = 2 > 0\), \(q(-\frac{\pi}{2}) = 2(e^{-\frac{\pi}{2}} - 1) < 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 구간 \((-\frac{\pi}{2}, 0)\)에 \(h(\alpha)=1\)인 실근 \(\alpha\)가 존재한다.
5) 따라서 \(\frac{1}{f(x)}\)의 최솟값은 \(2\)가 되므로 \(f(x)\)의 최댓값은 \(\mathbf{\frac{1}{2}}\)이다.

자동차가 북쪽 경계에서 멈추는 경우는 \(C_1, C_2\)에서 멈추는 두 가지 경우뿐이다.
1) \(C_1\)에서 멈추는 경우: 나온 공이 \((1,1), (1,3), (1,5), (3), (5)\)일 때이다. 그 확률은: \[ P(C_1) = 3 \times \left(\frac{1}{9}\right)^2 + 2 \times \frac{1}{9} = \frac{7}{27} \] 2) \(C_2\)에서 멈추는 경우: 나온 공이 \((1,2,1), (1,2,3), (1,2,5), (2,1,1), (2,1,3), (2,1,5), (2,3), (2,5)\)일 때이다. 그 확률은: \[ P(C_2) = 6 \times \frac{2}{9} \times \left(\frac{1}{9}\right)^2 + 2 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{9} = \frac{16}{243} \] 3) 시행을 정확히 2번 하여 북쪽 경계에서 멈추는 경우: 공이 \((1,1), (1,3), (1,5), (2,3), (2,5)\)일 때이다. 그 확률은: \[ P(\text{2번}) = 3 \times \left(\frac{1}{9}\right)^2 + 2 \times \frac{2}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{7}{81} \] 4) 따라서 자동차가 북쪽 경계에 도달해 멈추었을 때 두 번째 시행에서 종료되었을 조건부확률은: \[ P(\text{2번} \mid \text{북쪽}) = \frac{P(\text{2번})}{P(C_1) + P(C_2)} = \frac{7/81}{7/27 + 16/243} = \frac{21}{79} \] 따라서 구하는 확률은 \(\mathbf{\frac{21}{79}}\)이다.

1) 함수 \(f(x)\) 는 \([n, n+2k]\) 에서 연속이고 \((n, n+2k)\) 에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의해: \[ \frac{f(n+2k) - f(n)}{2k} = f'(n+c_k) \quad (0 < c_k < 2k) \] 2) 피적분함수 \(f'(x)\)의 식과 극한의 성질을 이용하면: \[ f'(x) = \frac{x^{2025} + x^{1885} + 1}{x^{2025} + x^{2024} + 1} \implies \lim_{n \to \infty} f'(n+c_k) = 1 \] 3) 이를 구하고자 하는 극한식에 대입하면 다음과 같다: \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=2}^{10} \frac{f(n+2k) - f(n)}{(k-1)k(k+1)} = \sum_{k=2}^{10} \frac{2}{(k-1)(k+1)} \lim_{n \to \infty} f'(n+c_k) \] \[ = \sum_{k=2}^{10} \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1} \right) = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{10} - \frac{1}{11} = \frac{72}{55} \] 따라서 최종 극한값은 \(\mathbf{\frac{72}{55}}\)이다.

\(2025 = 3^4 \times 5^2\) 이다.
[문제 3-1] n의 값에 따라 두 경우로 나누어 구한다.
(ⅰ) \(n\)이 \(2025\)와 서로소인 경우: \(f(n) = f(n^2)\) 이 항상 만족된다. 개수는 \(\phi(2025) = 2025 \times (1 - 1/3) \times (1 - 1/5) = 1080\).
(ⅱ) \(n\)이 \(2025\)와 서로소가 아닌 경우: \(f(n) = f(n^2)\) 을 만족시키려면:
① \(n\)이 \(3^4\)의 배수이나 5의 배수가 아닌 경우: \(25 - 5 = 20\)개.
② \(n\)이 \(5^2\)의 배수이나 3의 배수가 아닌 경우: \(81 - 27 = 54\)개.
③ \(n\)이 \(3^4\)과 \(5^2\)의 공배수인 경우: \(1\)개 (\(n=2025\)).
따라서 조건 만족 자연수 개수는 \(1080 + (20 + 54 + 1) = \mathbf{1155}\)이다.

[문제 3-2] \(f(f(n)) < n\) 에서 약수 성질을 이용한다.
(ⅰ) \(n\)이 \(2025\)의 약수인 경우: \(f(n) = \frac{2025}{n}\) 이므로 \(f(f(n)) = n\) 이 되어 성립하지 않는다.
(ⅱ) \(n\)이 \(2025\)의 약수가 아닌 경우: \(n = m \times 3^k \times 5^l\) (\(m\)은 15와 서로소인 \(\ge 2\) 자연수)라 하면 \(f(f(n)) = 3^k \times 5^l = \frac{n}{m} < n\) 이 되어 항상 성립한다.
따라서 조건을 만족시키는 개수는 \(2025 - (2025\text{의 약수 개수}) = 2025 - 15 = \mathbf{2010}\)이다.

\(c_n = \int_{n}^{n+1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx - \frac{1}{(n+1)^{\alpha}}\) 라 하면 \(c_n = a_n\) (\(\alpha = 1\)일 때), \(c_n = b_n\) (\(\alpha \ne 1\)일 때) 이다. 함수 \(f(x) = x^{-\alpha}\) 의 감소 및 아래로 볼록 성질과 평균값 정리를 적용하면: \[ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(n+1)^{\alpha}} - \frac{1}{(n+2)^{\alpha}} \right) \le c_n \le \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n^{\alpha}} - \frac{1}{(n+1)^{\alpha}} \right) \]
[문제 4-1] \(\alpha = 1\) 이면 \(\frac{1}{2(n+1)(n+2)} \le a_n \le \frac{1}{2n(n+1)}\) 이 성립한다.
따라서 \(\lim_{n \to \infty} n a_n = \frac{1}{2}\) 이며, 구하고자 하는 극한식에 대입하면: \[ \lim_{n \to \infty} n(3n+1)^3 a_n^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{27n^4}{4n^4} = \frac{27}{4} \] 따라서 최종 극한값은 \(\mathbf{\frac{27}{4}}\)이다.

[문제 4-2] 평균값 정리에 의해 \(\lim_{n \to \infty} n^{\alpha+1} c_n = \frac{\alpha}{2}\) 이 성립한다.
따라서 \(n^p b_n\)의 극한값이 \(0\)이 아닌 상수 \(L\)에 수렴하려면 차수 \(p = \alpha + 1\) 이어야 하며, 이때의 극한값 \(L = \frac{\alpha}{2}\) 이다. 따라서: \[ p + L = \alpha + 1 + \frac{\alpha}{2} = \mathbf{\frac{3\alpha + 2}{2}} \]

[문제 5-1] 접선의 \(x\)절편 관계식으로부터 수열의 일반항을 규명한다.
곡선 \(y = x^2\) 위의 점 \((x_n, x_n^2)\)에서의 접선의 방정식은 \(y - x_n^2 = 2x_n(x-x_n)\) 이므로, \(x\)절편인 \(x_{n+1} = \frac{x_n}{2}\) 이다. 따라서 수열 \({x_n}\)은 첫째항이 \(k\) 이고 공비가 \(1/2\) 인 등비수열이다. \[ a_k = \sum_{n=1}^{\infty} x_n = \frac{k}{1 - 1/2} = 2k \implies a_{2025} = 2 \times 2025 = \mathbf{4050} \]
[문제 5-2] \(a_k = 2k\) 이다. 접선의 수직인 법선의 \(x\)절편 \(b_k\)를 구한다.
법선의 방정식은 \(y - a_k^2 = -\frac{1}{2a_k}(x - a_k)\) 이므로, \(x\)절편 \(b_k = a_k + 2a_k^3 = 2k + 16k^3\) 이다.
따라서 \(b_m - a_m = 16m^3\) 이다. 식에 대입하면: \[ c_m = \prod_{i=1}^{m} \left( \frac{16m^3}{8i^3} + 1 \right)^{\frac{4i^2}{4m^3}} = \prod_{i=1}^{m} \left( \frac{2}{(i/m)^3} + 1 \right)^{\frac{i^2}{m^3}} \] 양변에 자연로그를 취하고 정적분 정의를 적용하면: \[ \lim_{m \to \infty} \ln c_m = \lim_{m \to \infty} \sum_{i=1}^{m} \left(\frac{i}{m}\right)^2 \ln \left( \frac{2}{(i/m)^3} + 1 \right) \frac{1}{m} = \int_{0}^{1} x^2 \ln \left(\frac{2}{x^3} + 1\right) dx \] \[ = \left[ \frac{1}{3} x^3 \ln \left(\frac{2}{x^3} + 1\right) \right]_0^1 + \int_{0}^{1} \frac{2}{3(x^3+2)} 3x^2 dx = \ln 3 - \frac{2}{3} \ln 2 \] \[ \lim_{m \to \infty} c_m = e^{\ln 3 - \frac{2}{3}\ln 2} = \mathbf{3 \times 4^{-1/3}} = \mathbf{3 \cdot 2^{-2/3}} \]

[문제 1-1] 정적분을 계산하여 확률변수를 정리한다.
\[ X = \int_{1}^{e} \{ m - n(\ln x)^2 \} dx = m(e - 1) - n(e - 2) \] 순서쌍 \((m,n)\)의 개수는 \(30 \times 29 = 870\)이다. \(m\)과 \(n\) 각각에 \(30\) 이하의 각 자연수는 \(29\)번씩 나타나므로 기댓값은 다음과 같다. \[ E(X) = \frac{1}{870} \left( (e-1) \sum_{k=1}^{30} 29k - (e-2) \sum_{k=1}^{30} 29k \right) = \frac{1}{30} \sum_{k=1}^{30} k = \mathbf{\frac{31}{2}} \]
[문제 1-2] \(xyz = \frac{mn}{30!}\) 에서 \(30!\)의 서로 다른 소인수는 \(10\)개이다. (\(30! = 2^{26} \cdot 3^{14} \cdot 5^7 \cdot 7^4 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29\)). 각 소인수는 \(x,y,z\) 중 하나에만 속한다.
따라서 서로소인 순서쌍의 총 개수 \(n(B) = 3^k\) (\(k\)는 소인수의 개수).
\(x > y > z\) 조건을 고려하고 \(1\)이 중복되는 경우를 제외하면, \(n(A) = \frac{3^k - 3}{6}\) 이다.
소인수 개수 \(k\)는 순서쌍 \((m,n)\)에 따라 \(8, 9, 10\)이 될 수 있다. \[ P(Y = \frac{3^8-3}{6}) = \frac{6}{435},\quad P(Y = \frac{3^9-3}{6}) = \frac{106}{435},\quad P(Y = \frac{3^{10}-3}{6}) = \frac{323}{435} \] 따라서 \(E\left( \frac{3^7}{2} Y + 1 \right)\) 은 계산하면 \(\mathbf{\frac{1077}{145}}\) 이다.

점 \(P(\alpha, f(\alpha))\) 에서의 접선으로부터 \(x\)절편 \(A\)와 \(y\)절편 \(B\)의 좌표를 구한다.
\(A\left( \alpha - \frac{f(\alpha)}{f'(\alpha)}, 0 \right)\), \(B(0, f(\alpha) - \alpha f'(\alpha))\) 이므로 \(\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OP} + \vec{OQ}\)에 의해: \[ X = -\frac{f(\alpha)}{f'(\alpha)},\quad Y = -\alpha f'(\alpha) \implies XY = \alpha f(\alpha) \]
[문제 2-1] \(f(x) = b \sqrt{1 - x^2/a^2}\) 이다. \(F(x) = x f(x) = b x \sqrt{1 - x^2/a^2}\) 라 하고 미분하면: \[ F'(x) = \frac{b(1 - 2x^2/a^2)}{\sqrt{1-x^2/a^2}} \implies x = \frac{a}{\sqrt{2}} \text{ 일 때 최댓값 } \mathbf{\frac{ab}{2}} \text{ 를 갖는다.} \]
[문제 2-2] \(XY = x f(x) = c\) 이며, \(f(1)=3 \implies c=3\) 이다. 따라서 \(f(x) = \frac{3}{x}\) 이다.
\(h(x) = \{f(x)\}^2 + \frac{1}{f(x)} = \frac{9}{x^2} + \frac{x}{3}\) 이다. 미분하여 최솟값을 찾는다. \[ h'(x) = -\frac{18}{x^3} + \frac{1}{3} = 0 \implies x^3 = 54 \implies x = \mathbf{\sqrt[3]{54}} = \mathbf{3\sqrt[3]{2}} \] 따라서 구하고자 하는 최솟값 위치 \(k = \mathbf{3\sqrt[3]{2}}\) 이다.

[문제 3-1] \(\vec{OP} = (t, 4-2t)\) 이다. \(a=2\) 이므로 \(\vec{PQ} = -2\vec{OP} = (-2t, 4t-8)\) 이다.
\(\vec{PR}\)은 \(\vec{OP}' = (1,-2)\)에 수직이므로 \(\vec{PR} = \alpha(2,1)\) 이다. \(\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = -8\alpha > 0 \implies \alpha < 0\) 이다.
길이 조건에서 \(\alpha = -2\sqrt{t^2 - 16t/5 + 16/5}\) 이고, \(\vec{PS} = -5\vec{PR}\) 이다.
연산하면 \((\vec{OP} \cdot \vec{PS})^2 = 320(5t^2 - 16t + 16)\) 이 되므로 정적분 값은 다음과 같다. \[ \int_{0}^{2} (\vec{OP} \cdot \vec{PS})^2 dt = 320 \int_{0}^{2} (5t^2 - 16t + 16) dt = \mathbf{\frac{12800}{3}} \]
[문제 3-2] \(\vec{OP} = (2\cos t, \sin t)\) 이고 \(a=5\) 이다. \(\vec{PR} = \alpha(\cos t, 2\sin t)\) 이고 \(\alpha = -5 \sqrt{\frac{4-3\sin^2 t}{1+3\sin^2 t}}\) 이다.
\((\vec{OT} \cdot \vec{PR})^2 = 4\alpha^2 \sin^2 t = 100 \times \frac{4s - 3s^2}{1+3s}\) (단, \(s = \sin^2 t\), \(0 \le s \le 1\)) 이다.
미분을 통해 최댓값을 구하면 \(s = \frac{\sqrt{5}-1}{3}\) 일 때 최댓값 \(\mathbf{\frac{200(3-\sqrt{5})}{3}}\) 을 갖는다.

[문제 3-3] \(\vec{OP} \cdot \vec{OR} = |\vec{OP}|^2 + \vec{OP} \cdot \vec{PR}\) 이다. 식을 성분화하여 정리하면: \[ \vec{OP} \cdot \vec{OR} = \{f(t)\}^2 + \frac{1}{\{f(t)\}^2} - 2a \]
\(f(t) > a > 2\) 이므로 \(\{f(t)\}^2 + \frac{1}{\{f(t)\}^2} - 2a > a^2 - 2a > 0\) 이 성립하여 항상 양수이다.

[문제 1-1] 로봇이 원점에서 점 \((21, 21)\) 까지 가기 위해서는 x축 방향으로 21, y축 방향으로 21 이동해야 한다. 방향 전환이 정확히 5번 일어나는 경로의 수는 3번의 x축 방향 이동(\(x_1, x_2, x_3\))과 3번의 y축 방향 이동(\(y_1, y_2, y_3\))으로 구성된다. x와 y 성분의 이동거리가 모두 양의 정수이어야 하므로 방정식은 다음과 같다. \[ x_1 + x_2 + x_3 = 21, \quad y_1 + y_2 + y_3 = 21 \quad (x_i, y_i \ge 1) \] 각 방정식의 양의 정수해의 개수는 중복조합에 의해 \(_3H_{18} = _{20}C_2 = 190\)이다. 따라서 구하는 경로의 수는: \[ 190 \times 190 = \mathbf{36100} \]
[문제 1-2] 로봇이 원의 테두리 \(x^2 + y^2 = 58^2\) 위의 점 \((x,y)\) (\(0 \le x \le 58\))에서 멈추었다고 하면, 이동 거리는 \(x+y = x + \sqrt{58^2 - x^2}\) 이다. 함수 \(f(x) = x + \sqrt{58^2 - x^2}\) 라 하고 미분하면: \[ f'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{58^2 - x^2}} = 0 \implies x = 29\sqrt{2} \] 함수 \(f(x)\)는 \(x = 29\sqrt{2} \approx 41.01\)에서 최댓값을 가진다. 로봇은 좌표가 모두 정수인 점에서만 방향을 전환하므로 테두리에 닿았을 때 \(x\) 또는 \(y\) 좌표는 정수이어야 한다. 대칭성에 의해 \(x\)가 정수인 근방의 정수 \(x = 41, 42\)에서의 값을 비교한다. \[ f(41) = 41 + \sqrt{58^2 - 41^2} = 41 + 3\sqrt{187} \approx 82.02 \] \[ f(42) = 42 + \sqrt{58^2 - 42^2} = 82 \] 따라서 구하는 거리의 최댓값은 \(f(41) = \mathbf{41 + 3\sqrt{187}}\) 이다.

[문제 2-1] 로그의 성질과 팩토리얼 정의를 통해 식을 정리한다. \[ \frac{1}{n} \ln a_{2n} - \frac{1}{n} \ln a_n - \ln 2n = \frac{1}{n} \ln \frac{(2n)!}{n!} - \ln 2n \] \[ = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln(n+k) - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln 2n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln \left( \frac{1}{2} + \frac{k}{2n} \right) \] 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의해 극한값은 다음과 같다. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln \left( \frac{1}{2} + \frac{k}{2n} \right) = \int_{0}^{1} \ln \left( \frac{1+x}{2} \right) dx \] \[ = 2 \int_{1/2}^{1} \ln u \, du = 2 \Big[ u \ln u - u \Big]_{1/2}^1 = \mathbf{-1 + \ln 2} \]
[문제 2-2] 조건 (가), (다)에 의해 \(b_n\)의 모든 소인수는 \(n\) 이하이며 \(b_n\)은 \((n!)^{c_n}\)의 약수가 아니다. 이는 \(b_n\)의 소인수 중 적어도 하나 \(p_n \le n\)이 존재하여 \(p_n^{c_n+1}\)이 \(b_n\)의 약수임을 의미한다. 조건 (나)에 의해 \(c_n \ge 3\log_2 n\) 이므로: \[ b_n \ge p_n^{c_n+1} > 2^{3\log_2 n} = n^3 \implies \frac{b_n}{n^2} > n \] 수열의 극한의 대소 관계에 의해 \(\lim_{n \to \infty} n = \infty\) 이므로, \(\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2} = \mathbf{\infty}\) (발산)이다.

[문제 3-1] \(20\)개의 카드쌍에 적힌 숫자를 각각 \((a_i, b_i)\) (\(1 \le i \le 20\))라 하자. 임의로 한 개의 카드쌍을 고를 확률은 \(1/20\)이므로 평균 \(E(X)\)는 다음과 같다. \[ E(X) = \sum_{i=1}^{20} \frac{1}{20} (a_i + b_i) = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (a_i + b_i) \] 모든 카드에 적힌 숫자의 합 \(\sum_{i=1}^{20} (a_i + b_i)\)는 카드쌍을 어떻게 구성하든 항상 \(0\)으로 일정하다 (\(-20\)부터 \(20\)까지 \(0\)을 제외한 정수의 총합). 따라서 평균은 \(E(X) = \mathbf{0}\)으로 일정하다.

[문제 3-2] 분산 \(V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = E(X^2)\) 이다. \[ E(X^2) = \sum_{i=1}^{20} \frac{1}{20} (a_i + b_i)^2 = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (a_i^2 + b_i^2) + \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{20} a_i b_i \] 여기서 \(\sum_{i=1}^{20} (a_i^2 + b_i^2)\)는 카드쌍 구성과 무관하게 \(2\sum_{k=1}^{20} k^2 = 5740\)으로 일정하므로 constant 항은 \(287\)이다. 따라서 \(\sum_{i=1}^{20} a_i b_i\)가 최대가 될 때 분산이 최대가 된다. 재배열 부등식에 의해 큰 수끼리, 작은 수끼리 인접하게 짝지을 때 합이 최대가 된다. 즉, 오름차순 정렬 후 인접한 두 수끼리 짝지어야 한다. \[ \text{짝짓기 방법}: \{(-20, -19), (-18, -17), \dots, (-2, -1), (1, 2), \dots, (19, 20)\} \] 이때의 최대 분산 값은 다음과 같다. \[ V(X) = \frac{1}{10} \sum_{k=1}^{10} (4k^2 - 2k) + 287 = 286 + 287 = \mathbf{573} \]

[문제 4-1] 두 반직선 \(l_1\)과 \(l_2\)가 만나는 점 \(P(1, 4)\)이다. 새로 생성된 반직선 \(l\) 위의 임의의 점 \(R\)은 \(\vec{OR} = \vec{OP} + t\vec{v}\) (\(t \ge 0\))를 만족한다. 법선벡터 \(\vec{w} = (-d, c)\)에 대하여 \(\vec{w} \cdot \vec{PR} = 0\) 이므로, 임의의 \(A\)에 대하여 \(\vec{w} \cdot \vec{PA} > 0\) 이면 반직선 \(l\)은 \(A\)를 지나지 않는다. 규칙 (가)에 의해 방향벡터는 \(\vec{v} = (-a, -1)\) 또는 \(\vec{v} = (-1, -a)\) 이다.
1) \(\vec{v} = (-a, -1)\)일 때, \(\vec{w} = (1, -a)\) 이고 \(\vec{w} \cdot \vec{PA} = (1, -a) \cdot (1, -2) = 1 + 2a > 0\) (\(\because a > 0\) 이므로 항상 양수).
2) \(\vec{v} = (-1, -a)\)일 때, \(\vec{w} = (a, -1)\) 이고 \(\vec{w} \cdot \vec{PA} = (a, -1) \cdot (1, -2) = a + 2 > 0\) (\(\because a > 0\) 이므로 항상 양수).
따라서 \(A(2,2)\)를 지나는 반직선은 생성될 수 없으며, 조건을 만족하는 양의 실수 \(a\)는 **존재하지 않는다**.

[문제 4-2] 새로 생성된 반직선 \(m\)의 시작점을 \(P\), 방향벡터를 \(\vec{v} = a\vec{u}_1 + \vec{u}_2\) (또는 \(\vec{v} = \vec{u}_1 + a\vec{u}_2\))라 하자. 법선벡터는 \(\vec{w} = a\vec{w}_1 + \vec{w}_2\) 이 된다. 귀납적으로 각 단계별 결합에 대칭성을 적용하면, 이전 단계의 모든 반직선들이 \(\vec{w}_i \cdot \vec{P_i A} > 0\) 을 만족하므로: \[ \vec{w} \cdot \vec{PA} = (a\vec{w}_1 + \vec{w}_2) \cdot \vec{PA} = a \vec{w}_1 \cdot \vec{PA} + \vec{w}_2 \cdot \vec{PA} > 0 \quad (\because a > 0) \] 수학적 귀납법에 의해 새로 생성되는 모든 반직선은 항상 \(\vec{w} \cdot \vec{PA} > 0\) 을 만족하게 되므로 점 \(A(2,2)\)를 지낼 수 없다. 따라서 조건을 만족하는 양의 실수 \(a\)는 **존재하지 않는다**.

[문제 1-1] 전등의 번호 \(n\)의 버튼은 수험번호가 \(n\)의 약수인 학생이 누른다. \(2023 = 7 \times 17^2\) 이므로 \(2023\)의 약수의 개수는 \((1+1) \times (2+1) = 6\)개다. 따라서 버튼은 총 6번 눌러진다.

[문제 1-2] 전등이 최종 켜지려면 홀수 번 눌러져야 하므로 약수의 개수가 홀수여야 한다. 이는 해당 전등 번호가 제곱수인 경우뿐이다. \(44^2 = 1936 < 2023 < 2025 = 45^2\) 이므로 켜져 있는 전등은 총 44개이다. 약수의 개수가 3개인 전등은 소수의 제곱수 \(p^2\) 형태이다. \(44\) 이하의 소수는 \({2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43}\) 총 14개다. 따라서 켜져 있는 전등 중 버튼이 3번 눌린 전등을 고를 확률은: \[ \frac{14}{44} = \mathbf{\frac{7}{22}} \]
[문제 1-3] \(1, 2, 3\)번 학생과 \(2022, 2023\)번 학생이 지나가지 않았으므로, 1부터 2021까지 학생이 모두 통과했을 때보다 전등은 최대 3번 덜 눌린다.
각 번호 \(n \le 2021\)에 대해 약수 중 \({1, 2, 3}\)에 속하는 개수만큼 덜 눌린다. \(2021\) 이하의 제곱수 \(44\)개(집합 \(A\)), 비제곱수(집합 \(B\))로 분류하고 약수의 포함 관계를 통해 계산한다.
1) 1번 덜 눌린 경우 (2, 3의 배수 아님): 비제곱수 \(\to\) 켜짐 (659개)
2) 2번 덜 눌린 경우 (2 또는 3의 배수나 6의 배수 아님): 제곱수 \(\to\) 켜짐 (22개)
3) 3번 덜 눌린 경우 (6의 배수): 비제곱수 \(\to\) 켜짐 (329개)
켜진 전등의 총 개수는 \(659 + 22 + 329 = 1010\)개이다. \(n = 2022, 2023\)은 모두 꺼져 있으므로 최종 확률은: \[ \mathbf{\frac{1010}{2023}} \]

[문제 2-1] 부등식 \(36x^3 - 27x^2 - 4x + 9 > 6\) 을 정리하면 \((4x-3)(3x-1)(3x+1) > 0\) 이다. 구간 \([0, 1]\) 에서 이를 만족하는 \(x\) 의 영역은 \(S = [0, 1/3) \cup (3/4, 1]\) 이므로 길이는 \(g(6) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \mathbf{\frac{7}{12}}\) 이다.
[문제 2-2] \(f(x) = 8x^3 - 11x^2 + 3x + 5\)의 도함수는 \(f'(x) = 24x^2 - 22x + 3 = 24(x-1/6)(x-3/4)\) 이다. 구간 \([0,1]\)에서 최소값은 극소점 \(x=3/4\) 또는 경계 \(x=0\)에서 발생한다. \(f(0)=5\) 이고 \(f(3/4) = 71/16\) 이므로 최소값은 \(71/16\) 이다. \(g(t)=1\) 이기 위해서는 \(t \le \mathbf{\frac{71}{16}}\) 이어야 한다.
[문제 2-3] \(ax = bx+c\) 의 교점 \(x_0 = \frac{c}{a-b}\) 이다. \(x_0\)의 범위에 따라 \(g(t)\)를 구한다.
1) \(c \le 0\): \(g(t) = \begin{cases} 1 & (t \le b+c) \\ \frac{t-c}{b} & (b+c < t \le c) \\ 0 & (t > c) \end{cases}\)
2) \(c \ge a-b\): \(g(t) = \begin{cases} 1 & (t \le 0) \\ 1 - \frac{t}{a} & (0 < t \le a) \\ 0 & (t > a) \end{cases}\)
3) \(0 < c < a-b\), \(b+c \ge 0\): $g(t) = \begin{cases} 1 & (t \le 0) \\ 1 - \frac{t}{a} & (0 < t \le b+c) \\ (\frac{1}{b} - \frac{1}{a})t - \frac{c}{b} & (b+c < t \le \frac{ac}{a-b}) \\ 0 & (t > \frac{ac}{a-b}) \end{cases}$
4) \(0 < c < a-b\), \(b+c < 0\): $g(t) = \begin{cases} 1 & (t \le b+c) \\ \frac{t-c}{b} & (b+c < t \le 0) \\ (\frac{1}{b} - \frac{1}{a})t - \frac{c}{b} & (0 < t \le \frac{ac}{a-b}) \\ 0 & (t > \frac{ac}{a-b}) \end{cases}$
[문제 2-4] \(g(t)\) 의 정의상 \(\int_{0}^{2023} g(t) dt\) 는 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x=0, x=1\)로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다. \([-10 < a, b < 0, 0 < c < 1]\) 이므로: \[ \int_0^1 f(x)dx = \int_0^c a(x-b)(x-c)dx + \int_c^1 -a(x-b)(x-c)dx \] \[ = \mathbf{-a\left( \frac{1}{3} c^3 - bc^2 + bc - \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} c + \frac{1}{3} \right)} \]

[문제 3-1] \(P(x_1, mx_1)\), \(Q(x_2, -mx_2)\) 이므로 중점 \(M(x,y)\)의 좌표는 \(x = \frac{x_1 + x_2}{2}\), \(y = \frac{m(x_1 - x_2)}{2}\) 이다. 이를 대입해 역산하면 \(x_1 = x + \frac{y}{m}\), \(x_2 = x - \frac{y}{m}\) 이다. 두 점 사이의 거리 \((x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 = 1\) 에 대입하면: \[ \left( \frac{2y}{m} \right)^2 + m^2 (2x)^2 = 1 \implies \mathbf{4m^2 x^2 + \frac{4}{m^2} y^2 = 1} \] 이때 \(x_1 \ge 0, x_2 \ge 0\) 이므로 범위는 \(x \ge \frac{1}{2\sqrt{m^2+1}}\) (또는 \(|y| \le mx\))이다.

[문제 3-2] \(Q(t, -mt)\) 이며 \(OQ = \frac{1}{2}\) 일 때 \(t = \frac{1}{2\sqrt{1+m^2}}\) 이다. \(P(s, ms)\) 라 하고 거리 조건 \((s-t)^2 + m^2(s+t)^2 = 1\) 을 \(s\) 에 대해 정리하면: \[ s = \frac{(1-m^2)t + \sqrt{(1+m^2) - 4m^2 t^2}}{1+m^2} \] 양변을 \(t\) 로 미분하고 \(t\) 값을 대입하여 \(\frac{ds}{dt}\) 를 도출한다. \[ \frac{ds}{dt} = \frac{1}{1+m^2} \left( 1 - m^2 - \frac{2m^2}{\sqrt{1+m^2+m^4}} \right) \] 따라서 \(P\) 의 속도벡터는 \(\vec{v}_P = \mathbf{\left( \frac{ds}{dt}, m\frac{ds}{dt} \right)}\) 이다.

[문제 3-3] 삼각형 넓이 관계를 이용하여 내접원 \(C_1\)의 반지름 \(R = \frac{\sqrt{15}}{24}\) 을 구한다. 원 \(C_1\)의 중심을 지나고 \(l_1\)에 수직인 직선 \(l_3\)와 두 원의 대칭적 닮음비를 구하면 \(\frac{r}{R} = \frac{4-\sqrt{10}}{4+\sqrt{10}}\) 이 성립한다. 이로부터 계산하면 두 중심 사이의 거리는: \[ R + r = \mathbf{\frac{2}{9}\sqrt{15} - \frac{5}{18}\sqrt{6}} \]

[문제 1-1] 주사위의 눈 \(a\) 가 나오면 직각이등변삼각형의 빗변 위의 음이 아닌 정수 좌표 \((x,y)\)의 개수는 \(x+y=a\)를 만족하는 음이 아닌 정수쌍의 개수이므로 \(X = a+1\) 이다. 눈 \(a\)의 기댓값은 \(E(a) = 3.5\) 이므로 구하는 기댓값은: \[ E(X) = E(a+1) = E(a) + 1 = 3.5 + 1 = \mathbf{4.5} \]
[문제 1-2] 직각이등변삼각형의 둘레 및 내부에 있는 정수 좌표의 개수 \(Y\)는 다음과 같다. \[ Y = \sum_{k=0}^a (k+1) = \frac{(a+1)(a+2)}{2} = \frac{a^2 + 3a + 2}{2} \] 눈 \(a\)에 대해 각 제곱의 기댓값은: \[ E(a) = \frac{7}{2}, \quad E(a^2) = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{91}{6} \] 따라서 구하고자 하는 기댓값 \(E(Y)\)는: \[ E(Y) = \frac{1}{2} \left( E(a^2) + 3E(a) + 2 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{91}{6} + \frac{63}{6} + \frac{12}{6} \right) = \mathbf{\frac{83}{6}} \approx 13.83 \]

[문제 2-1] 만나는 교점의 좌표 \(x = b_n\)에 대해 \(\frac{b_n^2}{a_{n+1}^2} - 1 = (\ln(1+b_n))^2\) 이 성립하고 \(b_n > a_{n+1}\) 임은 당연하다.
함수 \(h(x) = \frac{x^2}{a_{n+1}^2} - (\ln(1+x))^2 - 1\) 이라 하면 \(x > a_{n+1}\) 에서 \(h'(x) > 0\) 이므로 증가함수이다.
\(h(a_n)\)을 구하면 조건 \(1 + \frac{1}{a_n^2} \le \frac{1}{a_{n+1}^2}\) 에 의해: \[ h(a_n) \ge a_n^2 \left( 1 + \frac{1}{a_n^2} \right) - (\ln(1+a_n))^2 - 1 = a_n^2 - (\ln(1+a_n))^2 \] 제시문 1에 의해 \(\ln(1+a_n) < a_n\) 이므로 \(h(a_n) > 0\) 이다.
증가함수에서 \(h(b_n) = 0\) 이고 \(h(a_n) > 0\) 이므로 \(b_n < a_n\) 이다. 따라서 \(a_{n+1} < b_n < a_n\) 이 성립한다.

[문제 2-2] \(a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n/2}\) 이라 하면 \(n \to \infty\) 일 때 \(\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}a_n = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}\) 이다.
앞서 증명한 \(a_{n+1} < b_n < a_n\) 과 샌드위치 정리에 의해 \(\lim_{n\to\infty} \sqrt{n} b_n = \frac{1}{\sqrt{e}}\) 이다. 극한값 \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1\) 임을 이용하면: \[ \lim_{n\to\infty} \sqrt{n} \ln(1+b_n) = \lim_{n\to\infty} \sqrt{n} b_n \frac{\ln(1+b_n)}{b_n} = \mathbf{\frac{1}{\sqrt{e}}} \]

[문제 3-1] 등차수열 \({a_n}\)의 첫째항을 자연수 \(x\)라 하면 합은 \(S_m = mx + \frac{m(m-1)}{2}\) 이다.
조건 (나2)에 의해 \(mx + \frac{m(m-1)}{2} \le N\) 이므로 \(x \le \frac{N}{m} - \frac{m-1}{2}\) 이다. 첫째항 \(x\)는 자연수(\(x \ge 1\))이므로 만족하는 개수는: \[ g_N(m) = \max \left( 0, \leftlfloor \frac{N}{m} - \frac{m-1}{2} ightrfloor \right) \] \(N = qm + r\) 이고 \(m\)은 홀수이므로 \(\frac{m-1}{2}\)은 정수이다. 따라서 개수는: \[ g_N(m) = \mathbf{\frac{N-r}{m} - \frac{m-1}{2}} \quad \left( 단, \, N \ge \frac{m(m-1)}{2} \right) \]
[문제 3-2] 조건 (나1)에 의해 \(mx + \frac{m(m-1)}{2} = N\) 이 성립하는 \(x \ge 1\) 가 존재할 조건은 \(N \ge \frac{m(m-1)}{2}\) 이고 \(N - \frac{m(m-1)}{2}\) 이 \(m\)의 배수인 것이다.
시그마 합의 순서를 변경하여 구한다: \[ \sum_{N=1}^{200} f(N) = \sum_{m \text{ 홀수}} m \times g_{200}(m) \] 여기서 \(g_{200}(m) = \lfloor \frac{200}{m} - \frac{m-1}{2} floor \ge 1\) 을 만족하는 홀수 \(m\)의 범위는 \(m \le 19\) 이다.
각 홀수 \(m\)에 대한 항을 합산하면: - \(m=1: 1 \times 200 = 200\) - \(m=3: 3 \times 65 = 195\) - \(m=5: 5 \times 38 = 190\) - \(m=7: 7 \times 25 = 175\) - \(m=9: 9 \times 18 = 162\) - \(m=11: 11 \times 13 = 143\) - \(m=13: 13 \times 9 = 117\) - \(m=15: 15 \times 6 = 90\) - \(m=17: 17 \times 3 = 51\) - \(m=19: 19 \times 1 = 19\)
따라서 구하는 총합은 \(200 + 195 + 190 + 175 + 162 + 143 + 117 + 90 + 51 + 19 = \mathbf{1342}\) 이다.

[문제 4-1] 내각의 크기가 \(180^\circ\) 미만(볼록 다각형)이고 꼭짓점 \(V\)가 내부의 점이므로 이웃하는 3개 세 점으로 향하는 단위벡터 \(\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3\) 간의 사잇각은 모두 \(180^\circ\) 미만이어야 한다. 조건 (라)에 의해 3개 벡터 중 2개는 좌표축에 평행하다. 가능한 조합은 축 평행 벡터 2개와 대각선 벡터 1개 형태뿐이다. 회전 대칭성에 의해 \(\vec{u}_1 = (1,0)\), \(\vec{u}_2 = (0,1)\) 이면 대각선 벡터 \(\vec{u}_3\)는 \((-1,-1)\)이 되어 \(\vec{u}_1 + \vec{u}_2 + \vec{u}_3 = \vec{0}\) 가 만족된다. 다른 모든 회전 형태도 동일하므로 합은 항상 \(\vec{0}\) 이다.

[문제 4-2] 다각형의 내부 꼭짓점 \(V\)에서 이웃 꼭짓점으로 뻗어나가는 벡터의 합은 \(\vec{u}_{V1} + \vec{u}_{V2} + \vec{u}_{V3} = \vec{0}\) 이다. 모든 다각형 내부 꼭짓점 \(V\)에 대해 이 벡터 합을 전부 더하면, 내부 선분들은 양 끝점 꼭짓점에서 서로 반대 방향 벡터로 더해져 소거된다. 따라서 전체 합은 경계 꼭짓점 \(P\)에서 내부 꼭짓점 \(Q\)를 향하는 경계벡터들의 합만 남게 되며, 이 또한 \(\vec{0}\) 이 된다.

[문제 4-3] 삼각형 \(OAB\)의 둘레 위의 점 \(P\)에 대한 경계벡터 \(\vec{u}\)의 성질을 이용한다. 다각형 변이 \(OAB\) 변과 만날 때 수직(조건 다)이므로:
- 선분 \(OA\) (\(y=0\)) 위의 경계벡터들은 \(y\)축 방향 벡터 \((0, 1)\) 이다. 개수를 \(N_{OA}\) 라 하자.
- 선분 \(OB\) (\(x=0\)) 위의 경계벡터들은 \(x\)축 방향 벡터 \((1, 0)\) 이다. 개수를 \(N_{OB}\) 라 하자.
- 선분 \(AB\) (\(x+y=2022\)) 위의 경계벡터들은 대각선 방향 벡터 \((-1, -1)\) 이다. 개수를 \(N_{AB}\) 라 하자.
모든 경계벡터의 합이 \(\vec{0}\) 이므로: \[ N_{OB} (1, 0) + N_{OA} (0, 1) + N_{AB} (-1, -1) = (0, 0) \] \[ (N_{OB} - N_{AB}, \, N_{OA} - N_{AB}) = (0, 0) \implies N_{OA} = N_{OB} = N_{AB} \] 따라서 세 선분과 만나는 다각형의 개수는 모두 같다.