첫째항이 $2$인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\displaystyle\sum_{n=1}^{9} a_n = 126$일 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{9} \dfrac{3}{a_n a_{n+1}}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

상수 $a$에 대하여 이차함수 $f(x)$가 $$4 \times \lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)-x}{x^3-8} = \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)-f(x+1)}{x^2-1} = a$$를 만족시킬 때, $a$와 $f(5)$의 값을 모두 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

모든 항이 정수인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} -2a_n + 5 & (a_n \lt 3) \\ a_n - n + 4 & (a_n \ge 3) \end{cases}$$을 만족시킨다. $a_5 = 8$일 때, $a_1,\ a_3,\ \displaystyle\sum_{k=1}^{8} a_k$의 값을 모두 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

함수 $f(x) = a\sin bx + c\ \left(0 \le x \le \dfrac{2\pi}{b}\right)$는 $x=\alpha$에서 최댓값 $13$, $x=\beta$에서 최솟값 $m$을 갖는다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 두 점 $A(\alpha, 13),\ B(\beta, m)$을 지나는 직선을 $y=g(x)$라 하자. $\beta - \alpha = 3\pi$이고 $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 10$일 때, 직선 $y=g(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x=\alpha,\ x=\beta$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, $a, b, c$는 양수이고, $a \lt c$이다.) (10점)

$2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 실수 $a$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f_n(a)$라 하자. $3f_{n+1}(a^n) + (-1)^n \times f_n(f_{n+1}(a))$의 값이 최소일 때, $$2f_n(a) - 4f_{n+1}(a^n) + f_{n+1}(|a|^n - a^n)$$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$가 $$f(x) = \begin{cases} (x+4)(x-2) & (x \lt 0) \\ x-3 & (x \ge 0) \end{cases}$$일 때, 모든 실수 $a$에 대하여 극한값 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)f(k-x)$가 존재하도록 하는 실수 $k$의 값을 모두 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

다항함수 $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하자. 모든 실수 $x$에 대하여 $$F(x) = x^2 f(x) - 4x^4 + ax + 2$$가 성립할 때, $F\left(\dfrac{8}{3a f'(0)}\right)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, $a$는 상수이다.) (10점)

상수 $a\ (a \gt 1)$와 양수 $t\ (t \gt 1)$에 대하여 곡선 $y = \log_a x + 4$와 곡선 $y = \log_{\frac{1}{a}} x + 2$가 만나는 점을 $A$라 하고, 직선 $x = t$와 두 곡선이 만나는 점을 각각 $B,\ C$라 하자. $\overline{AB} = \dfrac{5}{2}$이고 삼각형 $ABC$의 넓이가 $3$일 때, $a$와 $t$의 값을 모두 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, 점 $B$와 점 $C$의 $y$좌표는 정수이다.) (10점)

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$6f(x) = -6x^3 + 18x - 3 + \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \int_{1}^{1+h} \{f(t)\}^2\,dt$$를 만족시킬 때, 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)