[문제 2] 다음 물음에 답하시오. (50점)
초월함수와 삼각함수의 대칭성 및 정적분으로 정의된 함수의 미분가능성, 원과 접선의 위치 관계 및 극한의 조임정리(샌드위치 정리), 속도·가속도와 합성함수의 이계도함수 성질을 종합적으로 활용하시오.
2-1 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(1) \(f(x) = \begin{cases} -(e^x - \cos x)^{2026}\sin x & (0 \le x \le 2\pi) \\ x - 2\pi & (x > 2\pi) \end{cases}\)
(2) \(x < 0\)일 때 \(f(x) = -f(-x)\)
함수 \(g(x) = \left| \int_a^x f(t) dt \right|\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 실수 \(a\)의 값을 모두 구하시오. (15점)
2-2 원 \(x^2 + y^2 = 1\)과 직선 \(y = a(x-1)\) (\(a > 1\))이 서로 다른 두 점 \(P, Q\)에서 만나고, 원 \(x^2 + y^2 = 1\)과 직선 \(y = a(x-1) + k\) (\(k\)는 양의 실수)가 서로 다른 두 점 \(R, S\)에서 만난다. 두 선분 \(PQ, RS\)와 길이가 \(\pi\)보다 작은 두 호 \(PR, QS\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S(k)\)라 하자. 극한값 \(\lim_{k \to 0^+} \frac{S(k)}{k}\)를 구하시오. (단, 점 \(P\)의 \(x\)좌표는 점 \(Q\)의 \(x\)좌표보다 크고, 점 \(R\)의 \(x\)좌표는 점 \(S\)의 \(x\)좌표보다 크다.) (15점)
2-3 모든 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(t)\)가 \(g(t) \ge 0\)이고 이계도함수를 갖는다. 좌표평면 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t\) (\(0 \le t \le 4\))에서의 위치를 \((t, g(t))\)라 하자. 점 \(P\), 함수 \(f(x)\)와 함수 \(h(t) = f(g(t))\) (\(0 \le t \le 4\))는 다음 조건을 만족시킨다.
(1) \(t = \frac{1}{4}\)일 때 점 \(P\)는 \(x\)축 위에 있고 가속도는 \((0, 1)\)이다.
(2) \(t = 1\)일 때 점 \(P\)의 속력이 최대가 되고, 이때 속력은 \(\sqrt{2}\)이다.
(3) 함수 \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수이고, \(x \ge 0\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) > 0\)이다.
(4) \(h\left(\frac{1}{4}\right) = 0\), \(h'(1) = \frac{9}{4}\), \(h''\left(\frac{1}{4}\right) = 4\), \(h''(1) = -2\)
\(f(3)\)의 값을 구하시오. (20점)
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