[1-1] 일반항 \(a_n\)의 유도:
특성방정식: \(\alpha = \frac{1}{3}\alpha + 2 \implies \frac{2}{3}\alpha = 2 \implies \alpha = 3\).
점화식 변형: \(a_{n+1} - 3 = \frac{1}{3}(a_n - 3)\).
수열 \(\{a_n - 3\}\)은 첫째항이 \(a_1 - 3 = 2 - 3 = -1\)이고 공비가 \(\frac{1}{3}\)인 등비수열이다.
\(a_n - 3 = -1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \implies a_n = 3 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\).

[1-2] 무한등비급수의 합 계산:
\(a_n - 3 = -\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\).
공비 \(r = \frac{1}{3}\)이므로 \(|r| < 1\)을 만족하여 무한급수는 수렴한다.
\(\sum_{n=1}^\infty (a_n - 3) = \sum_{n=1}^\infty \left[ -\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \right] = \frac{-1}{1 - 1/3} = \frac{-1}{2/3} = -\frac{3}{2}\).

[정답] [1-1] \(a_n = 3 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\), [1-2] \(-\frac{3}{2}\)

[2-1] 접선의 방정식:
\(\frac{dx}{dt} = -3\sin t\), \(\frac{dy}{dt} = 3\cos t\).
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3\cos t}{-3\sin t} = -\cot t\).
\(t = \frac{\pi}{4}\)일 때: 점의 좌표는 \(\left(3\cos\frac{\pi}{4}, 3\sin\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\).
기울기 \(m = -\cot\frac{\pi}{4} = -1\).
접선: \(y - \frac{3\sqrt{2}}{2} = -1\left(x - \frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \implies x + y - 3\sqrt{2} = 0\).

[2-2] 곡선의 길이 계산:
\(\frac{dx}{dt} = e^t(\cos t - \sin t)\), \(\frac{dy}{dt} = e^t(\sin t + \cos t)\).
\(\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = e^{2t}[(\cos t-\sin t)^2 + (\sin t+\cos t)^2] = e^{2t}(1-2\sin t\cos t + 1+2\sin t\cos t) = 2e^{2t}\).
속력: \(\sqrt{2e^{2t}} = \sqrt{2}e^t\).
곡선의 길이: \(L = \int_0^1 \sqrt{2}e^t\,dt = \sqrt{2}[e^t]_0^1 = \sqrt{2}(e - 1)\).

[정답] [2-1] \(x + y - 3\sqrt{2} = 0\), [2-2] \(\sqrt{2}(e - 1)\)

[3-1] 타원의 초점 및 거리의 합:
장축 반지름 \(a = 4\), 단축 반지름 \(b = 3\).
초점 위치 \(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}\).
따라서 두 초점은 \(F(\sqrt{7}, 0)\), \(F'(-\sqrt{7}, 0)\)이다.
타원의 정의에 의해 두 초점으로부터의 거리의 합은 장축의 길이 \(2a = 2(4) = 8\)이다.

[3-2] 초점 벡터 내적의 최대·최소:
\(\vec{PF} = (\sqrt{7} - x_1, -y_1)\), \(\vec{PF'} = (-\sqrt{7} - x_1, -y_1)\).
\(\vec{PF} \cdot \vec{PF'} = (\sqrt{7}-x_1)(-\sqrt{7}-x_1) + (-y_1)^2 = (x_1^2 - 7) + y_1^2\).
타원 방정식에서 \(y_1^2 = 9\left(1 - \frac{x_1^2}{16}\right) = 9 - \frac{9}{16}x_1^2\).
대입: \(\vec{PF} \cdot \vec{PF'} = x_1^2 - 7 + 9 - \frac{9}{16}x_1^2 = \frac{7}{16}x_1^2 + 2\).
타원 위의 점이므로 \(-4 \le x_1 \le 4 \implies 0 \le x_1^2 \le 16\).
• 최댓값: \(x_1^2 = 16\)일 때 \(\frac{7}{16}(16) + 2 = 7 + 2 = 9\).
• 최솟값: \(x_1^2 = 0\)일 때 \(\frac{7}{16}(0) + 2 = 2\).

[정답] [3-1] 초점 \((\pm\sqrt{7}, 0)\), 거리 합 \(8\), [3-2] 최댓값 \(9\), 최솟값 \(2\)