(1) \(A=2^a, B=3^b\)라 하자. (\(A>0, B>0\))
\(\begin{cases} 2A + 9B = 113 \\ 4A + 3B = 91 \end{cases}\) 이 연립방정식을 풀면 \(A=16, B=9\)이다.
\(2^a = 16 \rightarrow a=4\), \(3^b = 9 \rightarrow b=2\)이다. 따라서 \(a+b=6\)이다.

(2) \(a=4, b=2\)를 대입하면,
\(\log_4(4+1/2)^2 + \log_2(2+1/4) = \log_4(9/2)^2 + \log_2(9/4) = \log_2(9/2) + \log_2(9/4) = \log_2(81/8)\)이다.
\(\log_2\frac{m}{n} = \log_2\frac{81}{8}\)이므로 \(m=81, n=8\)이다.
\(n\sqrt{m} = 8\sqrt{81} = 8 \times 9 = 72\)이다.

(1) 좌변을 통분하면 \(\frac{(2+2\cos x)-(2-2\cos x)}{4-4\cos^2 x} = \frac{4\cos x}{4\sin^2 x} = \frac{\cos x}{\sin^2 x} = \frac{2}{3}\)이다.
\(3\cos x = 2\sin^2 x = 2(1-\cos^2 x) \rightarrow 2\cos^2 x + 3\cos x - 2 = 0\)
\((2\cos x - 1)(\cos x + 2) = 0 \rightarrow \cos x = \frac{1}{2}\) (\(-1 \le \cos x \le 1\))
\(0 < x < \pi\)이므로 \(x = \frac{\pi}{3}\). 즉, \(\alpha = \frac{\pi}{3}\)이다.

(2) \(\cos A = \frac{1}{2}\cos(\pi/3) = \frac{1}{4}\)이다.
\(\sin A = \sqrt{1-\cos^2 A} = \sqrt{1-1/16} = \frac{\sqrt{15}}{4}\)이다.

(3) 사인법칙에 의하여 \(\overline{\text{BC}} = 2R\sin A = 2\sqrt{15} \times \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{15}{2}\)이다.

(1) 사인법칙에 의해 세 변의 길이를 \(a, b, c\)라 하면 \(\sin A:\sin B:\sin C = a:b:c\)이다.
조건 (가)에 의해 \(a^2 = b^2+2c^2\) 이고, (나)에 의해 \(b=2c\)이다. 대입하면 \(a^2 = 4c^2+2c^2=6c^2\)이다.
\(a = 2\sqrt{6}\)이므로 \(a^2 = 24 = 6c^2 \rightarrow c^2=4 \rightarrow c=2\)이고 \(b=4\)이다.
코사인법칙에 의해 \(\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{16+4-24}{16} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}\)이다.

(2) 삼각형 넓이 조건에서 \(\frac{1}{2}pq\sin A = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}bc\sin A\right) \rightarrow pq = \frac{1}{4}bc = \frac{1}{4}\times 8 = 2\)이다.

(3) 코사인법칙에 의해 \(\overline{\text{EF}}^2 = p^2+q^2-2pq\cos A = p^2+q^2-2(2)(-1/4) = p^2+q^2+1\)이다.
산술-기하평균 부등식에 의해 \(p^2+q^2 \ge 2pq = 4\)이므로 \(\overline{\text{EF}}^2 \ge 4+1 = 5\)이다.
따라서 선분 \(\overline{\text{EF}}\)의 길이의 최솟값은 \(\sqrt{5}\)이다.

(1) \(a_1 r = 1 \rightarrow a_1 = \frac{1}{r}\)이다. \(a_n = a_1 r^{n-1} = r^{n-2}\)이다.
\(b_n = a_{3n-1} = r^{3n-3}\)이다. \(b_n\)은 첫째항이 1, 공비가 \(r^3\)인 등비수열이다.
\(A_9 = \frac{a_1(r^9-1)}{r-1} = \frac{r^9-1}{r(r-1)}\), \(B_3 = \frac{1((r^3)^3-1)}{r^3-1} = \frac{r^9-1}{r^3-1}\)이다.
\(2A_9 = 7B_3 \rightarrow \frac{2(r^9-1)}{r(r-1)} = \frac{7(r^9-1)}{r^3-1}\)에서 \(r^9 \ne 1\)이므로 약분하면 \(\frac{2}{r(r-1)} = \frac{7}{r^3-1} = \frac{7}{(r-1)(r^2+r+1)}\)이다.
\(\frac{2}{r} = \frac{7}{r^2+r+1} \rightarrow 2r^2+2r+2 = 7r \rightarrow 2r^2-5r+2=0\)
\((2r-1)(r-2)=0 \rightarrow r=2\) (증가수열이므로 \(r>1\))

(2) \(\frac{b_n}{a_n} = \frac{r^{3n-3}}{r^{n-2}} = r^{2n-1} = 2^{2n-1} > 1024 = 2^{10}\) 이므로 \(2n-1 > 10 \rightarrow 2n > 11 \rightarrow n \ge 6\)이다.

(3) \(b_3 = r^6 = 2^6\), \(a_5 = r^3 = 2^3\)이므로 \(\log_{b_3} a_5 = \log_{2^6} 2^3 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)이다.

(1) \(S_n = \sum_{k=1}^n a_k\)라 하자. \(S_1 = a_1^2 + 2a_1\) 이고 \(S_1 = a_1\)이므로 \(a_1^2+a_1 = 0 \rightarrow a_1=0\) 또는 \(a_1=-1\)이다.
\(a_{n+1} = S_{n+1} - S_n = a_{n+1}^2+(n+2)a_{n+1} - a_n^2-(n+1)a_n\)
정리하면 \(a_{n+1}^2-a_n^2 + (n+1)(a_{n+1}-a_n) = 0 \rightarrow (a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n+n+1) = 0\) 이다.
조건 (가)에서 \(a_{n+1} \ne a_n\)이므로 \(a_{n+1}+a_n = -(n+1)\)이다. 즉, \(a_1+a_2 = -2\)이다.
만약 \(a_1 = -1\) 이면 \(a_2 = -1\)이 되어 조건 (가)에 모순이다. 따라서 \(a_1 = 0\)이다.

(2) \(a_1=0, a_2=-2, a_3=-1, a_4=-3, a_5=-2, a_6=-4\)로 진행된다.
\(n\)이 짝수일 때 \(S_{2m} = (a_1+a_2) + (a_3+a_4) + ... + (a_{2m-1}+a_{2m}) = -2 - 4 - 6 - ... - 2m = -m(m+1)\)이다.
\(|S_{2m}| = m(m+1) > 900 \rightarrow m^2+m > 900 \rightarrow m=30\)일 때 \(30 \times 31 = 930 > 900\)이다. \(n=60\)이다.
\(n\)이 홀수일 때 \(S_{2m-1} = -(m-1)m - m = -m^2\)이다. \(|S_{2m-1}| = m^2 > 900 \rightarrow m=31\)일 때 \(31^2 = 961 > 900\)이다. \(n=61\)이다.
따라서 가장 작은 자연수 \(n = 60\)이다.

(1) \(\int_1^x f(t)dt = xg(x)+2x+2\)의 양변을 미분하면 \(f(x) = g(x)+xg'(x)+2\)이다.
\(g(x) = x^2 + 2x\int_0^1 f(t)dt + \int_0^1 tf(t)dt\) 이므로, \(a = \int_0^1 f(t)dt, b = \int_0^1 tf(t)dt\)라 하면 \(g(x) = x^2+2ax+b\)이다.
\(\int_1^x f(t)dt = xg(x)+2x+2\)에 \(x=0\)을 대입하면 \(\int_1^0 f(t)dt = 2 \rightarrow a = -2\)이다.
\(x=1\)을 대입하면 \(0 = g(1)+4 \rightarrow g(1) = -4\)이다.
\(g(1) = 1+2a+b = 1-4+b = -4 \rightarrow b = -1\)이다. 따라서 \(g(x) = x^2-4x-1\)이다.

(2) \(g'(x) = 2x-4\)이므로 \(f(x) = (x^2-4x-1) + x(2x-4) + 2 = 3x^2-8x+1\)이다.

(3) \(f(x)-g(x) = 2x^2-4x+2\)이다. 직선 \(y=2\)와의 교점은 \(2x^2-4x+2 = 2 \rightarrow 2x^2-4x=0 \rightarrow x=0, 2\)이다.
넓이는 \(\int_0^2 (2 - (2x^2-4x+2)) dx = \int_0^2 (-2x^2+4x) dx = [-2/3 x^3 + 2x^2]_0^2 = -16/3 + 8 = \frac{8}{3}\)이다.

(1) \(f(x)\)가 \(x=0\)에서만 미분불가능하고, 다른 모든 점에서는 미분가능해야 한다.
\(x \ge 0\)에서 인수 \((x^2-3x) = x(x-3)\)은 \(x=3\)에서 근을 가진다. 절댓값 그래프가 \(x=3\)에서 미분가능하려면 중근이어야 하므로 \(a = -3\)이다.
\(x < 0\)에서 인수 \((x^2+3x) = x(x+3)\)은 \(x=-3\)에서 근을 가진다. 절댓값 그래프가 \(x=-3\)에서 미분가능하려면 중근이어야 하므로 \(b = 3\)이다.

(2) \(f(x) = \begin{cases} |(x-3)^2 x| & (x \ge 0) \\ |(x+3)^2 x| & (x < 0) \end{cases}\) 이다.
이 함수의 극댓값과 극솟값을 파악하기 위해 그래프를 그리면, \(x > 0\) 극대 \(f(1)=4\), 극소 \(f(3)=0\)이다.
\(x < 0\) 극대 \(f(-1)=4\), 극소 \(f(-3)=0\)이다.
\(y=n\) 과의 교점 수 \(g(n)\)은:
\(g(0) = 3\) (교점: \(-3, 0, 3\))
\(g(2) = 6\) (극대 4보다 작은 양수)
\(g(4) = 4\) (극댓값 4와 만나는 점)
\(g(6) = 2\) (극대 4보다 큰 값)
따라서 \(g(0)+g(2)+g(4)+g(6) = 3+6+4+2 = 15\)이다.

(1) \(f'(x) = 4(x+1)(x-\alpha)^2\) 이다. 이를 부정적분하면,
\(f(x) = x^4 + \frac{4}{3}(1-2\alpha)x^3 + 2(\alpha^2-2\alpha)x^2 + 4\alpha^2 x + C\)이다.
조건 (나)에서 \(f(0) = -16 \rightarrow C = -16\) 이다.
\(f(\alpha) = 0 \rightarrow \frac{1}{3}\alpha^4 + \frac{4}{3}\alpha^3 - 16 = 0 \rightarrow \alpha^4 + 4\alpha^3 - 48 = 0\) 의 양수 실근은 \(\alpha=2\)이다.

(2) \(\alpha=2\)를 대입하면 \(f'(x) = 4(x+1)(x-2)^2\) 이다. 도함수 \(f'(x)\)의 개형을 파악하기 위해 미분하면,
\(f''(x) = 12x(x-2)\) 이므로 \(x=0\)에서 극대 \(f'(0)=16\), \(x=2\)에서 극소 \(f'(2)=0\)이다.
구간 \([-1, t]\)에서 \(f'(x)\)의 최댓값 \(g(t)\)는 \(t\)의 범위에 따라 다음과 같다.
\(-1 \le t < 0\) 또는 \(t > 3\) 일 때 \(g(t) = f'(t) = 4t^3-12t^2+16\) 이며, \(0 \le t \le 3\) 일 때 \(g(t) = 16\)이다.
따라서 \(g(3/2) = 16\)이다.

(3) \(\int_{-1}^4 g(t)dt = \int_{-1}^0 (4t^3-12t^2+16) dt + \int_0^3 16 dt + \int_3^4 (4t^3-12t^2+16) dt = 11 + 48 + 43 = 102\)이다.

①-1 ㉡ / ①-2 공신 초상
②-1 ㉣ / ②-2 대상 (또는 인물 / 사람)

① ㉣
② ㉡
③ ㉢
④ ㉠
⑤ ㉤